/
Текст
А.А.Туганбаев
ТЕОРИЯ КОЛЕЦ
Арифметические модули и кольца
Москва
Издательство МЦНМО
2009
УДК 512.55 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.144 (издательский проект №09-01-07064).
Т81
_p<g>iL
А.А.Туганбаев
Т81 Теория колец. Арифметические модули и кольца. — М.:
МЦНМО, 2009.-472 с.
ISBN 978-5-94057-555-9
Данная книга посвящена изложению теории арифметических,
дистрибутивных и полудистрибутивных модулей и колец, а также модулей
и колец Безу над ассоциативными, но не обязательно коммутативными
кольцами. Многие из результатов принадлежат автору и не излагались
ранее в монографиях на русском языке, причем целый ряд результатов
не отражался в монографиях вообще.
Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся
кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для студентов
и аспирантов, изучающих современную алгебру.
ББК 22.144
Аскар Аканович Туганбаев
Теория колец. Арифметические модули и кольца
Подписано в печать 08.10.2009 г. Формат 60 х 90 !/i6. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 29,5. Тираж 400 экз. Заказ №1685
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. И. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука"».
121099, Москва, Шубинский пер., 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
©Туганбаев А. А., 2009.
ISBN 978-5-94057-555-9 © МЦНМО, 2009.
Оглавление
Введение 7
1. Полугруппы, моноиды, группы и решетки 11
Полугруппы, моноиды и группы 11
Гомоморфизмы и факторгруппы 14
Упорядоченные множества, решетки и девиация 16
2. Кольца, модули, бимодули и кольца эндоморфизмов 20
Кольца, предкольца и матрицы 20
Модули и идеалы 23
Фактормодули, факторкольца и эндоморфизмы 26
Бимодули и аннуляторы 29
3. Суммы и произведения модулей и колец 32
Прямые суммы и произведения 32
Свободные модули и матричное представление гомоморфизмов ... 36
Конечные прямые произведения колец 38
Подпрямые произведения и подпрямая неразложимость 40
4. Конечно порожденные, нётеровы и артиновы модули 43
Нётеровы и артиновы модули и кольца 44
Кольца обобщенных треугольных матриц 46
Тривиальные расширения, модули Безу и цепные модули 47
Прямые суммы конечно (счетно) порожденных модулей 48
Существенные расширения, конечномерные и равномерные модули 50
5. Полупростые модули и радикал Джекобсона 56
Полупростые модули и кольца 56
Радикал Джекобсона и полупримитивность 63
Локальные, полулокальные и полусовершенные кольца 70
Полуартиновы и полунётеровы модули 77
Модули с размерностью Крулля 82
6. Полупервичные и несингулярные кольца 84
Полупервичные и первичные кольца, первичный радикал 84
4 Оглавление
Сингулярные модули и идеалы, несингулярность, sg(M) 90
Кольца с условиями конечности для аннуляторов и кольца Голди . . 94
Кольца ограниченного индекса нильпотентности 99
Первичные идеалы и нётеровы кольца 107
7. Инъективные и проективные модули 113
Относительная инъективность и проективность ИЗ
Инъективные оболочки и 7г-инъективные модули 122
Конечно представимые, полунаследственные и риккартовы модули . 127
Самопроективные, 7г-проективные и непрерывные модули 131
Инъективность, максимальность и наследственность 138
8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули 149
Плоские модули 149
Плоские подмодули и /?/-кольца 156
Плоские модули и проективность 160
9. Дистрибутивные модули и кольца 167
Дистрибутивные модули 167
Дистрибутивные кольца 179
Модули над кольцами эндоморфизмов 191
Полудистрибутивные кольца и модули 200
Дистрибутивно порожденные кольца 209
10. Кольца частных и локализуемые кольца 214
Множества Оре и порядки в полупростых кольцах 214
Порядки в локальных и цепных кольцах 223
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 231
Локализуемые кольца и дистрибутивность 245
Кольца, алгебраические над своими центрами 254
11. Регулярные кольца и модули 263
Регулярные модули 263
Регулярные и строго регулярные кольца 267
Регулярные групповые кольца 273
Счетно инъективные кольца 283
12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца 294
Полурегулярные модули 294
Оглавление 5
Полурегулярные и слабо 7г-регулярные кольца 298
Слабо регулярные и бирегулярные кольца 302
К-кольца 307
13. Заменяемые кольца и пирсовские слои 310
Заменяемые кольца и модули 310
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 318
Строго 7г-регулярные и 7г-регулярные кольца 334
/о-модули и /о-кольца 343
Кольца с полурегулярными модулями 356
Чистые кольца 359
14. Максимальные кольца частных и рациональные
расширения 368
Максимальные кольца частных 371
Максимальные кольца частных несингулярных колец 376
Дистрибутивные расширения 379
Несингулярные 7г-инъективные кольца 386
15. Кольца многочленов и формальных рядов 390
Кольца косых многочленов 392
Кольца косых многочленов Лорана 397
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 403
Группа [[х~\ *]]Л[[л:, а:"1]] и кольцо [лг^ЛЦа:, <р]] 417
Модули косых степенных рядов и свойства колец рядов 418
Редуцированные кольца рядов и многочленов 426
Степенные ряды над строго регулярными кольцами 429
Условия конечности и ряды Лорана 433
Редуцированность и ряды Лорана 440
Ряды Лорана и радикал Джекобсона 445
16. Открытые вопросы 452
«Литература 453
Список обозначений 468
Предметный указатель 469
Светлой памяти моих родителей
Акана и Алмы Туганбаевых
Введение
Главной целью данной книги является изложение теории
арифметических модулей над не обязательно коммутативными кольцами. Кроме того,
исследуются дистрибутивные и полудистрибутивные модули и кольца,
а также модули и кольца Безу над ассоциативными, но не обязательно
коммутативными кольцами. При этом читатель подводится к переднему
краю исследований в теории колец. Многие из результатов принадлежат
автору и не излагались ранее в монографиях на русском языке, причем
целый ряд результатов не отражался в монографиях вообще. Книга также
содержит изложение базовых конструкций ассоциативных унитальных
колец и основ структурной теории колец и модулей. Все кольца
предполагаются ассоциативными и (за исключением нильколец и некоторых
оговоренных случаев) с ненулевой единицей, модули предполагаются
унитарными. Слова типа «нётерово кольцо» означают, что соответствующие
условия выполнены справа и слева.
Модуль называется арифметическим, если решетка С всех его
вполне инвариантных подмодулей дистрибутивна, т. е. X П (Y + Z) =
= X DY + X П Z для всех Ху У, Z е С. Кольцо с дистрибутивной
решеткой идеалов называется арифметическим кольцом. Поскольку
идеалы кольца А совпадают с вполне инвариантными подмодулями
в А а и с вполне инвариантными подмодулями в а Ау то арифметич-
ность кольца А равносильна как арифметичности модуля А а, так
и арифметичности модуля аА.
Классы арифметических колец и модулей весьма широки. Кольцо
называется бирегулярным, если каждый его однопорожденный идеал
порождается центральным идемпотентом. Ясно, что каждое бирегулярное
кольцо арифметично. В частности, любое простое кольцо
(например, всякое кольцо матриц над телом) арифметично.
Модуль М называется регулярным, если каждый его циклический
подмодуль — прямое слагаемое в М. Кольцо А называется регулярным
(по фон Нейману), если для любого а е А найдется такой элемент b G А,
что а = aba.
Регулярность кольца А равносильна как регулярности модуля
А а, так и регулярности модуля аА; это следует из того, что прямые
слагаемые в А а (в аА) — это главные правые (левые) идеалы вида еА
(Ае), где е = е2 еА.
Модуль М называется вполне приводимым, если каждый его
подмодуль—прямое слагаемое в М.
Введение
7
Каждый регулярный (например, вполне приводимый) модуль М
арифметичен. В частности, каждое регулярное кольцо
(например, кольцо всех линейных преобразований любого векторного
пространства над телом) арифметично.
(Действительно, пусть X, Y, Z —вполне инвариантные
подмодули регулярного модуля Мд и х = у + z е X П (Y + Z), у е Y, z € Z.
Найдется такой идемпотент е € End(Af), что хЛ = е(М). Так как К
и Z вполне инвариантны в Af, то е(*/) gXdK, е(г) е X П Z. Поэтому
x==e(jc)=e(f/) + e(e)€^nK+^nZ, Xn(r + Z)=XnK+^nZHiW
арифметичен.)
Каждое кольцо Ау в котором любой идеал равен своему
квадрату, арифметично, так как если В, С, D — идеалы в Л и В\ =
= Вn(C + D), то
В{ =Я? CB(C + D) = fiC + BD CfinC + SflD,
Sn(C + D) = SnC + finD.
Класс таких колец включает в себя, помимо всех бирегулярных или
регулярных колец, все правые (левые) V-кольца, т.е. кольца, над
которыми каждый правый (левый) модуль инъективен. Это вытекает из того, что
по 12.26 все факторкольца правых или левых V-колец полупримитивны
и, в частности, полупервичны. Кроме того, существуют нерегулярные
правые V-кольца (см. [111, 7.42]).
Модуль называется дистрибутивным (цепным), если решетка всех
его подмодулей дистрибутивна (является цепью). В частности,
дистрибутивные справа кольца — это кольца с дистрибутивной решеткой правых
идеалов.
Все дистрибутивные модули арифметичны. Прямая сумма
Z/2Z © Z/2Z двух циклических групп второго порядка —
арифметический недистрибутивный модуль над кольцом целых чисел
Z. Кольцо целых чисел дистрибутивно, а кольцо матриц над полем
арифметично, но не дистрибутивно справа или слева.
Прямая сумма дистрибутивных (цепных) модулей называется
полудистрибутивным (полуцепным) модулем. Ясно, что все прямые суммы
арифметических модулей арифметичны. В частности, любой
полудистрибутивный модуль арифметичен.
Если W\(F) — первая алгебра Вейля над полем F (т.е. W\(F) — F-
алгебра с двумя образующими х и у и одним соотношением ху — ух = 1),
то непосредственно проверяется, что W\ (F) — простая область главных
правых (левых) идеалов, не являющаяся дистрибутивной справа или
слева. Пусть М = 0,Af/, где все модули Af/ арифметичны, 7г,-: М —> М,- —
естественные проекции и X, Y, Z — вполне инвариантные подмодули в М.
8
Введение
Тогда
щ(Х) С X, 7Г,-(У) С Y, m(Z) С Z, * = 0(*ГШ/),
У = 0(КпуИ,), Z = 0(ZnM,), Xn(K + Z) = Jfny + KnZ
и Af арифметичен. В связи с тем, что полудистрибутивные модули ариф-
метичны, заметим, что в 15.7 будет приведен пример простой области А
главных односторонних идеалов, не являющейся дистрибутивной справа
или слева, и поэтому А — арифметическая область Безу, не являющаяся
полудистрибутивной справа или слева.
Пусть А — 5-мерная алгебра над полем F, порожденная все-
(/п /i2 /i3\
О /22 О I, где ft} e F. Тогда ецА =
О 0 /зз/
= е\ 1F + e\<iF + e\2>F — неразложимый дистрибутивный нётеров ар-
тинов нецепной А-модуль Безу и А — полудистрибутивное
справа полуцепное слева артиново кольцо, не являющееся полуцепным
справа.
Предыдущее утверждение проверяется непосредственно.
Модуль Af называется квазиинвариантным (инвариантным), если
все его максимальные подмодули (все его подмодули) вполне
инвариантны в М. Ясно, что правая квазиинвариантность (правая
инвариантность) кольца А равносильна тому, что все его максимальные
правые идеалы (все его правые идеалы) являются идеалами в А.
Кроме того, каждое коммутативное кольцо инвариантно и каждое
инвариантное справа кольцо квазиинвариантно справа.
Тело гамильтоновых кватернионов Н (см. с. 19) — пример
инвариантного некоммутативного кольца. Кольцо формальных степенных рядов
от двух некоммутирующих переменных с коэффициентами из тела не
инвариантно справа или слева, но квазиинвариантно справа и слева,
поскольку все ряды с нулевыми свободными членами образуют идеал,
являющийся единственным максимальным правым (левым) идеалом.
Модулем Безу называется модуль, у которого все конечно
порожденные подмодули цикличны. Каждый модуль Безу над
квазиинвариантным справа (например, коммутативным) кольцом
дистрибутивен. Подкольцо Z + Zy/^-5 поля комплексных чисел
С — пример коммутативной дистрибутивной нётеровой области,
не являющейся кольцом Безу. (Первое утверждение будет доказано
в 9.8(3). Кольцо Л = Z + Zv^5 —коммутативная нётерова область.
Если А — кольцо Безу, то А — область главных идеалов и каждый ее
Введение
9
ненулевой элемент обладает единственным (с точностью до обратимых
множителей) разложением в произведение простых элементов. Однако
6 = 2• 3 = (1 + л/—5)(1 - >/—5) —два разных таких разложения.)
Модуль Мд называется мультипликационным, если для любого его
подмодуля N найдется такой идеал В в Л, что N = МВ. Каждый
циклический правый модуль над инвариантным справа (например,
коммутативным) кольцом является мультипликационным.
Для кольца А рассмотрим следующие условия:
1) А — арифметическое кольцо;
2) А — дистрибутивное справа кольцо;
3) все конечно порожденные правые идеалы в А являются
мультипликационными.
Для инвариантных справа (например, коммутативных) колец все три
условия эквивалентны, а в общем случае верны импликации 3)=>2)=> 1),
но импликации 1)=>2) и 2)=>3) неверны.
Кольцо А называется локально цепным справа, если для любого его
максимального правого идеала Р классическая правая локализация Ар
существует и является цепным справа кольцом. Хорошо известно, что
для коммутативного кольца А равносильны условия:
1) А —- арифметическое кольцо;
2) А —дистрибутивное кольцо;
3) А — локально цепное кольцо.
(Эквивалентность этих условий будет доказана в 10.42 для некоторого
класса колец, содержащего все коммутативные кольца). В общем случае
импликация 3)=>2) будет доказана в 10.42, импликация 2)=> 1) очевидна,
а импликации 1)=>2) и 2)=>3) неверны (контрпример к импликации
1)=>2) — кольцо всех (2 х 2)-матриц над полем, а по 10.45 импликация
2)=^3) неверна даже для инвариантных колец Безу).
1
Полугруппы, моноиды, группы и решетки
Полугруппы, моноиды и группы
Группоиды. Множество X называется группоидом с бинарной
операцией *, если для любых двух элементов х, у € X однозначно определен
элемент х * у е X. Вместо X также пишут (Ху *), чтобы указать операцию
*. Кроме того, вместо * также используются символы • и +. При
использовании вместо * символа • (соответственно +) группоидная операция
часто называется умножением (соответственно сложением), а группоид
называется мультипликативным (аддитивным). Если это не приводит
к недоразумению, то часто вместо х * у или х • у пишут ху. Если Y и Z —
подмножества аддитивного группоида X, то их суммой Y + Z называется
множество {у + z \ у е У, z € Z}), причем при Y = {у} вместо {у} + Z
пишут у + Z. Мощность группоида X называется его порядком и
обозначается через card X или \Х\. Группоид конечного порядка называется
конечным.
Полугруппы. Если в группоиде X операция * ассоциативна, т. е.
(х * у) * z = х * (у * г) для всех х, #, 2 е Л\ то Л' называется полугруппой.
Например, множества N, Z, Q, Е, С всех натуральных, целых,
рациональных, действительных, комплексных чисел являются полугруппами
как относительно операции числового умножения, так и относительно
операции числового сложения. Заметим также, что множество X всех
трехмерных векторов является группоидом, если для ху у е X в качестве
х*у взять векторное произведение [ху у]. Так как операция векторного
произведения не ассоциативна, то данный группоид X не является
полугруппой.
Центр и идемпотенты. Элемент с группоида X называется
центральным, если с * х = х * с для всех х G X. Множество всех
центральных элементов группоида X называется его центром и обозначается
С(Х). Группоид X называется коммутативным, если каждый его
элемент централен, т.е. X = С(Х). Элемент е группоида X называется
идемпотентом, если е*е = е.
Замечание. Множество R2 всех (2 х 2)-матриц над R с обычной
операцией матричного умножения — некоммутативная полугруппа. На-
Полугруппы, моноиды и группы
11
пример, матрица (0 0J — нецентральный идемпотент, поскольку
/1 0\ /0 1W0 Л /0 0\Л> 1W1 0\
V0 о; vo о) [о о) г [о о] [о о] [о о] •
Моноиды. Если в группоиде X существует такой элемент е, что
$*х = х*0 = х для любого х е ХУ то в называется нейтральным
элементом группоида. В мультипликативных (аддитивных) группоидах
нейтральный элемент в часто называется единицей (нулем) и
обозначается символом 1 (символом 0), т. е. 1 • х = х • 1 = х (0 + х = х + 0 = х) для
всех х € X. Полугруппа, обладающая нейтральным элементом,
называется моноидом. Например, множество 2N всех четных натуральных чисел
с операцией обычного умножения образуют коммутативную полугруппу,
не являющуюся моноидом (при этом N —моноид по умножению).
Элемент х моноида X называется обратимым справа, если
существует хотя бы один такой элемент у €ХУ называемый правым
обратным к jc, что х * у = 0. Обратимые слева и левые обратные элементы
определяются аналогично. Обратимые справа и слева элементы
называются обратимыми. Если х — обратимый справа и слева элемент
моноида (X, *) с нейтральным элементом 0, т.е. х*у = г*х = в для некоторых
yyzeXy то
у = 0*у = (z*x)*y = z*(x*y) = z*0 = z.
Элемент у = zy называемый обратным элементом для х, обозначается
через х~х и, как следует из вышеприведенного соотношения,
определен однозначно. В аддитивной полугруппе вместо х~х пишут —х (т.е.
х + (—х) = (—х) + х = 0), причем элемент — х называется не обратным
к х, а противоположным к х.
Группы, подмоноиды и подгруппы. Множество всех обратимых
элементов моноида X обозначается через U(X). Моноид X называется
группой, если каждый его элемент обратим, т.е. X = U(X).
Множество U(X) всегда содержит нейтральный элемент 0, является группой
с операцией * и называется группой обратимых элементов моноида
X. Заметим, что натуральные числа с операцией обычного умножения
образуют коммутативный моноид, не являющийся группой.
Подмножество Y полугруппы (группоида) X называется
подполугруппой (подгруппоидом) в X, если у *z e Y для всех //, z G Y. Любая
подполугруппа (подгруппоид) полугруппы X — полугруппа (подгруппоид)
с той же операцией *. Если Y — подмножество полугруппы (группоида)
X, то через (Y) обозначается подполугруппа (подгруппоид) в X,
порожденная Y, состоящая из всех произведений конечного числа элементов
12 Плава I. Полугруппы, моноиды, группы и решетки
из Y. Подполугруппа моноида Ху содержащая его нейтральный элемент
0, называется подмоноидом в X и является моноидом с теми же
операцией и нейтральным элементом. Подмоноид Y группы X называется
подгруппой в Ху если у~х € Y для всех у е Y. Любая подгруппа группы
X является группой с теми же операцией и нейтральным элементом. Если
Y — подмножество группы X и К"1 ={y~l \ у € У}, то подполугруппа
(К, К""1) в X, порожденная множеством Y\JY~\ является подгруппой
в X и называется подгруппой, порожденной Y или подгруппой с
системой образующих Y. Если jc —элемент группы Ху то подгруппа (х)
называется циклической подгруппой, порожденной элементом х.
Пример. Множество X всех (2 х 2)-матриц над полем R с обычной
операцией матричного умножения — моноид с нейтральным элементом
(0 А н содержит подполугруппу У, образованную всеми матрицами
вида (~ А, где 0^aeR. Полугруппа К —моноид с нейтральным
элементом L п), но не является подмоноидом в Ху поскольку не содержит
/1 0\ 4U W
\0 \)'
Коммутативные группы также называются абелевыми группами; в них
часто используется аддитивная запись. Например, аддитивные моноиды
(Z, +), (Q, +), (R, +), (С, +) всех целых, рациональных, действительных,
комплексных чисел являются абелевыми группами. Заметим, что
мультипликативные моноиды (Z, •), (Q, •)» (R, *)> (С, •) всех целых,
рациональных, действительных, комплексных чисел группами не являются, причем
U(Z) = {1, -1}, а группы обратимых элементов моноидов (Q, •)» (R, •)
и (С, •) образованы соответственно всеми ненулевыми рациональными,
действительными и комплексными числами.
Подгруппоид Y группоида (Ху *) называется правым (левым) идеалом
в Ху если у *х eY (х * у € У) для всех х € X и */ € Y. Идеалом или
двусторонним идеалом группоида называется его подмножество,
являющееся левым и правым идеалом. Если х — элемент группоида (Ху *),
то через х * X (X * х) обозначается правый (левый) идеал {х * у \у еХ}
({у * х \ У € X}) в Х> называемый главным правым (левым) идеалом,
порожденным элементом х. Подгруппоид Y группоида X называется
собственным, если X ф Y.
Заметим, что элемент х моноида X обратим справа (слева) в X
в точности тогда, когда хХ = X (Хх = X). Таким образом, главный
правый (левый) идеал в Ху порожденный элементом ху является
собственным в точности тогда, когда элемент не обратим справа
(слева). (Действительно, если хХ =ХУ то ху = 1 для некоторого у еХ
Гомоморфизмы и факторгруппы
13
и поэтому х обратим справа. Если же ху = 1 для некоторого у еХ, то
z = (xy)z = x(yz) е хХ для любого z e X и поэтому X = хХ.)
Регулярные полугруппы. Элемент а полугруппы А называется
регулярным (строго регулярным справа, строго регулярным слева),
если a Е аАа (а е а2 А, а е Аа2). Полугруппа называется регулярной
(строго регулярной справа, строго регулярной слева), если все ее
элементы регулярны (строго регулярны справа, строго регулярны
слева). Полугруппа называется строго регулярной справа (слева), если
все ее элементы строго регулярны справа (слева). В любом моноиде А
каждый обратимый справа элемент а регулярен и строго регулярен
справа, поскольку a = aba = a2b, если ab = 1. Поэтому каждая группа —
регулярный и строго регулярный справа и слева моноид, причем
коммутативный мультипликативный моноид R регулярен и
строго регулярен, но не является группой.
Гомоморфизмы и факторгруппы
Пусть X, Y и Z — мультипликативные группоиды. Отображение
/: X —> К называется группоидным гомоморфизмом (группоидным
антигомоморфизмом), если f(xy) = f(x)f(y) (f(xy) = f(y)f(x)) для всех
х,уеХ, причем в случае коммутативных группоидов X и Y разницы
между гомоморфизмами и антигомоморфизмами нет. Подмножество
{/(*) I х € X) в Y называется образом гомоморфизма / и обозначается
через f(X) или Im(/). Кроме того, если g: Y —»Z — еще один
гомоморфизм, то правилом gf(x) = g(f(x)) определен гомоморфизм gf: X-+Z,
называемый композицией гомоморфизмов fug.
Замечание. Иногда мы будем писать (x)f вместо f(x). В этом случае
композиция гомоморфизмов fug имеет вид fg и задается правилом
Wg = ((x)f)g-
> Если X и У— моноиды с единицами 1*, 1у и /: X —► К —такой
полугрупповой гомоморфизм, что /(1х) = 1у, то / называется моноидным
гомоморфизмом. Если X и К —группы и f(x~l) = f(x)~l для всех хеХ,
то / называется групповым гомоморфизмом.
Если X и Y — группы, то каждый моноидный гомоморфизм
f'. X —>Y — групповой гомоморфизм.
Действительно, если х еХ, то
f(x)f(x~l) = f(xx-]) = f(\x) = 1ь f(x~l) = f(x)-]. □
Полугрупповой (группоидный, моноидный, групповой) гомоморфизм
/: X -+ Y называется сюръективным, если f(X) = Y, т.е. для каждого
У € Y существует такой элемент х G X, что у = f(x). Если f(x) ф f(xf)
14
Полугруппы, моноиды, группы и решетки
для всех несовпадающих ху х' еХу то / называется инъективным
гомоморфизмом. Если / — сюръективный и инъективный гомоморфизм, то
/ называется изоморфизмом и говорят, что полугруппы (группоиды,
моноиды, группы) X и У изоморфны. Гомоморфизмы (изоморфизмы)
X —+Х называются эндоморфизмами (автоморфизмами) для X. Для
любого моноидного гомоморфизма /: X —► У множество {х GX \ f(x) = 1 у}
называется ядром гомоморфизма / и обозначается через Кег(/). При
использовании аддитивной записи Ker(/) = {jt е X \ f(x) = 0y}. Заметим, что
групповой гомоморфизм f\X-*Y инъективен в точности тогда,
когда Кег(/)= 1*.
Смежные классы, нормальные подгруппы и факторгруппы. Пусть
X — группа, хеХ и К —подгруппа в X. Правым (левым) смежным Y-
классом группы X по У, содержащим ху называется подмножество в X
вида Yx = {ух | у е Y) (xY = {ху\уе У}). Ясно, что xY = Yx & Y = х~{ Yx.
Подгруппа Y группы X называется нормальной в Ху если х~хух € Y
для всех х € X и у € Y. Ясно, что Y нормальна в X в точности
тогда, когда в X все правые смежные Y-классы совпадают с левыми
смежными Y-классами.
Замечание. Вся группа Л", любая центральная подгруппа в X
(например, единичная подгруппа {1}) и ядро любого гомоморфизма X —► Y
всегда являются нормальными подгруппами в X.
Пусть Y — нормальная подгруппа группы X и X/Y = {xY \ х € X} —
множество всех смежных У-классов. Непосредственно проверяется, что
правилом (xY)(yY) = xyY, хуу€Ху множество X/Y корректно
превращается в группу с единицей \Y = Y (здесь через xY обозначается
множество {ху | у е Y}). Группа X/Y называется факторгруппой группы
X по нормальной подгруппе Y. Правилом х —>xY корректно определен
сюръективный групповой гомоморфизм /г: X —>X/Yy называемый
естественным групповым эпиморфизмом.
Замечание. Любой групповой гомоморфизм f: X —» G с ядром
У = Кег(/) индуцирует групповой изоморфизм /: X/Y —> f(X)y корректно
задаваемый правилом f(xY) = f(x).
В любой абелевой группе X каждая подгруппа Y нормальна и поэтому
существует факторгруппа X/Y. При аддитивной записи смежные классы
абелевой группы X по подгруппе Y имеют вид х + У, сложение в X/Y
задается формулой (х + У) + ((/ + У)=х + (/+Уи равенство х\ + У = Х2 + У
равносильно тому, что x<i — Х2 G У.
Декартовы и прямые произведения. Пусть {Х/},-€/ — некоторый
набор множеств, проиндексированных элементами / индексного множества
/. Обозначим через П/е/^' декартово произведение множеств Х1у
состоящее из всевозможных отображений <р: i-+xt eX[. Каждый элемент
Упорядоченные множества, решетки и девиация 15
Ф £ П/€/ ^ записывается в виде <р = (Jt;-),-€/, где */ = <р(/) € Л'/. Элемент */
называется 1-й компонентой элемента (х/)/6/. Для любого у €/
отображение 7Г/: П/6/*'""**/' ПРИ К0Т0Р0М ^z'1 (*/)/е/ -**/. называется /-й
естественной проекцией.
Декартово произведение П;<=/ ^/ полугрупп (группоидов) Х\ с
операциями */ с операцией (*;)*(#/) = (*/*///,)/6/—полугруппа (группоид),
называемая прямым произведением полугрупп (группоидов) Xly i € /.
Если все X; — моноиды (группы) с нейтральными элементами 0/, то
прямое произведение П/6/ ^/ — моноид (группа) с нейтральным элементом
в = №)/€/•
Прямое произведение X = YlieI X\ аддитивных абелевых групп —
абелева группа с покомпонентным сложением, при котором (х£-)+ (#/) =
= (*/ + *//) Для всех *ь tji G X/. Пусть у € /. Через J],y/ ^/ обозначается
подгруппа в Ху образованная всеми элементами с нулевой у-й
компонентой и совпадающая с ядром у-й проекции. Инъективный групповой
гомоморфизм и}\ Xj—*Xy при котором /-я компонента элемента и}(х})
равна х} при / = у и равна нулю при / ф у, называется j-м естественным
вложением для X. При этом ]-я проекция 7Гу: X -^>Х-} —такой сюръек-
тивный групповой эпиморфизм, что Кег(7Г/)=П|у*^1 и 7riuj(xj)=lXi Для
всех Xj eXj.
Упорядоченные множества, решетки и девиация
Пусть X — множество и £ —некоторое множество пар (ху у)
элементов ху у е Ху т. е. £ С X х X. Будем писать х ^ у вместо (ху у) € £.
Отношение ^ называется порядком или частичным порядком на X,
если выполнены следующие условия:
а) х ^х для всех хеХ;
/3) х — у для всех таких х, у Е Ху что х ^ у и */ ^ jc;
7) * ^-г для всех таких ху z еХу что х ^у и у ^z для некоторого
уех.
В этом случае X называется упорядоченным или частично
упорядоченным множеством (сокращенно —ч.у.м.) и мы пишем х<уу если
х^у и х^(/.
Пусть X — упорядоченное множество с порядком ^ и Y —
подмножество в X. Элемент xgX называется верхней (нижней) гранью для К,
если х^ у (х^у) для всех у е Y. Если верхняя (нижняя) грань х
подмножества Y лежит в Yу то х называется наибольшим (наименьшим)
элементом в Y. Элементу* е Y называется максимальным (минимальным)
элементом в Y', если не существует таких у е Yу что у > */* (у < у*).
Элементы ху у е X называются сравнимыми, если либо х ^ уу либо у ^ х.
16
Полугруппы, моноиды, группы и решетки
Подмножество Y СХ называется цепью или линейно упорядоченным
подмножеством, если любые два элемента из Y сравнимы. Порядок ^
называется линейным, если X линейно упорядочено. Линейно
упорядоченное множество X называется вполне упорядоченным, если каждое
его непустое подмножество Y содержит минимальный элемент. Мы
принимаем в качестве аксиомы следующий теоретико-множественный
принцип полного упорядочивания: каждое множество можно вполне
упорядочить. Принцип полного упорядочивания эквивалентен лемме
Цорна: если X —упорядоченное множество с порядком ^ и любое
линейно упорядоченное подмножество Y С X обладает в X верхней
гранью, то X обладает хотя бы одним максимальным элементом.
Упорядоченное множество называется ар типовым (нётеровым),
если оно не содержит бесконечных строго убывающих (строго
возрастающих) цепей своих элементов.
Девиация. Для каждого ординального числа а определим некоторый
класс Va упорядоченных множеств. По определению полагаем, что класс
Т>о совпадает с классом всех артиновых упорядоченных множеств.
Допустим, что а — ординал, а > О и для всех ординалов /3 < а классы V$ уже
определены. Обозначим через Т>а класс всех таких упорядоченных
множеств D, что D £ Т>р для любого ординала /? < а и для любой бесконечной
строго убывающей цепи L\ > L^ > ... элементов из D найдется такое
натуральное число п, что упорядоченное множество {X е D \ Ln+\ ^ X ^ Ln)
принадлежит Т>р для некоторого ординала ft < а. В этом случае ординал а
называется девиацией dev(D) множества D€Va. Класс Va называется
классом всех упорядоченных множеств с девиацией а. Класс всех
упорядоченных множеств, обладающих какой-нибудь девиацией,
достаточно широк и содержит все артиновы множества.
Решетки. Мультипликативная коммутативная полугруппа X
называется решеткой, если X также является коммутативной полугруппой
относительно еще одной аддитивной операции +, причем х=х + х = хх =
= х(х + у) = х + ху для всех х, у е X. Непосредственно проверяется,
что на решетке X правилом х^у & х-ху задается частичный
порядок С Отображение решеток <р: X -+Y называется решеточным
гомоморфизмом, если <р(ху) = ч>(х)у(у) и <р(х + у) = ф(х) + (р(у) для
всех х, у еХ. Инъективный и сюръективный решеточный гомоморфизм
называется решеточным изоморфизмом.
Решетка X называется модулярной, если в ней выполняется
модулярный закон, т. е. х(у + z) = у + xz = ху + xz для всех таких
x,y,zeX, что у^х. Решетка X называется дистрибутивной, если
х(у + z) = ху + xz для всех х, у, z еХ. Решетка X называется цепью,
если для всех х, у е X либо х ^ у, либо у <х.
Упорядоченные множества, решетки и девиация
17
Упражнения
1.1. Каждая дистрибутивная решетка модулярна и каждая цепь
дистрибутивна. (Проверяется непосредственно.)
1.2. Решетка L дистрибутивна в точности тогда, когда х + yz =
= (x + y)(x + z),x, y,zeL.
о Импликация => следует из того, что
(х + у)(х + z) = (x + y)x + (x + y)z = x + yx + xz + yz = x + yz.
Импликация <= следует из того, что
ху + xz = (ху + х)(ху + z) = x(z + x)(z + у) = х(у + г). □
1.3. Бесконечной циклической группой с образующим х
называется бесконечная абелева группа (х) = {xl}iEz, где х°= 1, х1х1 =*'+' для
всех ieZ. Группа (х) изоморфна аддитивной группе Z, где ip(xl) = i —
искомый изоморфизм.
1.4. Пусть G = {х) — бесконечная циклическая группа, п € N, Н =
= (хп) — подгруппа в G, порожденная элементом хп, и h: G -* G/H —
естественный эпиморфизм. Группа G/H называется конечной
циклической группой порядка п с образующим h(x)=x. Группа G/H состоит
из п элементов 1 = А(1), х, ..., хп~х = х~1.
1.5. Пусть G — моноид и g e G. Если gn = 1 для некоторого п е N, то
наименьшее такое п называется порядком g и обозначается o(g). Если
gn Ф 1 для всех п е N, то g — элемент бесконечного порядка o(g) = оо.
Множество T(G) всех элементов конечного порядка из G называется
периодической частью G. Если /? — простое число, то множество Gp
всех элементов моноида G, порядки которых — степени р, называется
р-примарной компонентой для С Моноид G называется
периодическим, если G = T(G), т. е. o(g) < оо для любого g eG. Моноид G —
моноид без кручения, если o(g) = оо для любого g e G \ 1.
Периодические группы совпадают с группами, в которых все циклические подгруппы
конечны. Если G — группа, то G без кручения в точности тогда, когда
подгруппа (g) бесконечна для любого 1 Ф g G G.
1.6. Группа называется локально конечной, если все ее конечно
порожденные подгруппы конечны. Если G — аддитивная абелева группа, то
^(G) —локально конечная подгруппа в G, G/T(G) — группа без кручения
и T(G) — прямая сумма всех примарных компонент группы G.
1.7 (см. [114, § 1.9]). Неабелева конечная группа К с двумя
образующими а, Ь называется группой кватернионов, если \К\ =8, а4 = 1,
а2 = 62, b~lab = a~l. Группа /С имеет факторгруппу К/(а2), изоморфную
прямому произведению двух циклических групп порядка 2.
18
Полугруппы, моноиды, группы и решетки
Группа кватернионов К может быть отождествлена с множеством
{1, — 1, /, —/, у", —/\ &, — &}, на котором умножение задается с помощью
приведенной ниже таблицы, где i = a, j=by k = ij = aby —i = a~\
1
-1
/
—/
/
-/■
k
-k
-1
-/
-/
k
-k
-1
-1
-1
-/
/
-k
k
t
i
—i
-\
1
-k
k
I
-i
-/
-i
1
-1
k
-k
-)
i
!
!
-i
k
-k
-1
1
—/
/
-/
-/
/
-k
k
1
-1
i
—i
k
k
-k
-j
J
-i
-1
f
-k
-k
k
!
-7
—/
i
1
-1
1.8 (cm. [114, 12.5.4]). Группа G называется гамилыпоновой, если
G — неабелева группа и все ее подгруппы нормальны в G (это
равносильно тому, что G — прямое произведение группы кватернионов порядка
8, периодической абелевой группы без элементов четных порядков и
абелевой группы, у которой все неединичные элементы имеют порядок 2).
Литература. [18,20,111,114,308].
2
Кольца, модули, бимодули и кольца
эндоморфизмов
Кольца, предкольца и матрицы
Аддитивная абелева группа А со сложением + называется предколь-
цому если Л—также мультипликативная полугруппа с дополнительной
операцией умножения и
х(у + г) = ху + xzy (у + z)x = ух + zx
для всех xyyyzeA. Центром С(А) предкольца А называется центр
мультипликативной полугруппы (Л, ♦), т. е. С(А) = {с € А \ са = ас для
всех а е А}у причем С(А) содержит ноль 0,4 предкольца А. Если А —
предкольцо и существует такое п е N, что па = 0 для всех а е Ау то
наименьшее такое п называется характеристикой А и обозначается
сЬаг(Л).
Если А — предкольцо с ненулевой единицей по умножению (т. е.
А — моноид относительно умножения), то А называется кольцом1 или
унитальным предкольцом. Например, множества Z, Q, Е, С всех целых,
рациональных, действительных, комплексных чисел — коммутативные
кольца с обычными операциями сложения и умножения. Множество 2Z
всех четных целых чисел с обычными операциями сложения и
умножения — коммутативное предкольцо, не являющееся кольцом. При этом
2Z — подгруппа аддитивной группы Z и подполугруппа
мультипликативной полугруппы Z, но 2Z — не подмоноид мультипликативного моноида Z.
Кольцо А называется телом, если каждый его ненулевой элемент
обратим (т. е. множество всех ненулевых элементов кольца А — группа по
умножению). Коммутативное тело называется полем. Например,
множества всех рациональных чисел Q, действительных чисел Е и комплексных
чисел С с обычными операциями сложения и умножения —поля.
Коммутативное кольцо целых чисел Z полем не является, так как 2-1 ^Z.
Пример некоммутативного тела — тело гамильтоновых
кватернионов Шу образованное всеми формальными суммами а + Ы + с] + dky
где а, Ьу су d EM, a /, у, k — формальные символы. Операции сложения
1 По нашему определению любое кольцо А содержит как минимум два элемента — ноль
Од и единицу 1^, лежащие в центре С (А) кольца А.
20 Глава 2. Кольца, модули, бимодули и кольца эндоморфизмов
и умножения в Н задаются правилами
(а + Ы + cj + dk) + (а' + b'i + с'/ + d'*) =
= (а + а') + (ft + ft')' + (с + с')/ + (rf + d')ky
(а + ft/ + cj + rf*)(a' + ft'/ + c'y + a"fc) =
= {aa' - bb' - cc' - dd') + (aft' + fta' + cd; - dc')i +
+ (ac' + ca! - bd1 + db')j + (ad' + da' + be' - cb')k.
Например,
/2 = y2 = &2 = -1, i/ = -/7 = 6, /Л = -fey = /, ki = -/& = у.
Если X —такое подмножество предкольца Л, что jtj + х<± € X и
Х\Х2еХ для всех jtj, *2 € X, то А' называется подпредкольцом в Л. Если
Л — кольцо и X — подпредкольцо в Л, являющееся кольцом относительно
тех же операций, то X называется подкольцом в Л.
Если X — подкольцо в Л, содержащее единицу Л, то А' называется
унитарным подкольцом в Л. Например, если е — ненулевой идемпо-
тент в Л, то еАе — подкольцо в А с единицей е, не являющееся
унитарным подкольцом при еф\.
Идемпотенты 0 и 1 кольца Л центральны в Л и называются
тривиальными идемпотентами, а остальные идемпотенты называются
нетривиальными. Если {е,-};€/ — некоторое множество идемпотентов кольца
Л и в/в/ = £/£/ = 0 для всех / ф у, то идемпотенты в/ называются
ортогональными. Если ej, ..., еп — ортогональные идемпотенты в Л
и е\ +... + еп = U, то {e/}-L, называется полным множеством
ортогональных идемпотентов в Л. Для любого (центрального) идемпотента
е е А полное множество (центральных) ортогональных идемпотентов есть
{1, 1-е}.
{а\\ а\2 ... а]п^
021 «22 •♦• «2л
Матричные кольца. Таблица
из элементов
\ami ат2 ... атп/
atj е А 1 ^ / ^ ту 1 ^ у ^ пу состоящая из т строк и п столбцов,
называется матрицей размера т х п над Л и обозначается (а//)тхл,
где индекс т х п может опускаться. Множество Мтх„(Л) всех
матриц размера т х п над Л — аддитивная абелева группа со сложением
(a/7) + (ft//) = (а/у + ft,7), причем правилами (aij)x = (a,-/*), c(ai}) = (jca,-/)
задается умножение на элементы хеЛ.
Если (a/y)mxrt и (bjk)nyip — две матрицы и длина л строк первой
матрицы равна высоте п столбцов второй матрицы, то можно определить
Кольца, предкольца и матрицы
21
произведение
/an
Я21
Я12
Я22
Я1Л /b\\
й2п Ь2\
\ат\ ат2
Ь\2
&22
М
Ър
йтп) \Ьп\ ЬП2
(С\\ С\2
С2\ С22
Ьпр/ \Ст\ Ст2
С\р\
С2р
Стр/
cik = ^ciijbjk e A.
/=1
При т = п МпХп(А) — кольцо с вышеуказанными операциями,
обозначаемое также через Ап и называемое кольцом квадратных
матриц порядка п над А, Единица кольца Ап —единичная матрица
/1 0 ... 0\
О 1 ... О
порядка п.
\0 0 .!. \)
Замечание. Кольцо А всех (2 х 2)-матриц над R —кольцо,
содержащее неунитарное подкольцо <(^ Л\аеШ> с единицей (0 Лу не
равной единице f ~ А кольца А. Кроме того, < (Q ^j |aeR> — под-
предкольцо в А без единицы и поэтому не является подкольцом в А.
Квадратные матрицы вида
(а О
'О а
ъ
называются скалярными.
\0 0 ... а)
Кольцо А изоморфно унитарному подкольцу всех скалярных
/а О ... 0\
[О а ... О
матриц в Ап. Искомый изоморфизм: а-> I
\0 0 ... a J
Для любого подмножества В кольца А через Вп обозначается
подмножество кольца АПу образованное всеми матрицами с элементами из
В. Через ец обозначается матрица из Лл, у которой элемент с индексом
// равен 1, а остальные элементы равны нулю. При / = / все матрицы
£//—ортогональные идемпотенты в Ап. Непосредственно проверяется,
что х = Y%=i Z)/=i enxeii Для каждой матрицы х е Ап. Если X и Y —
подмножества предкольца Л, то через XY обозначается аддитивная
подгруппа в Л, образованная всеми конечными суммами вида £,■*,• *//, где
22 Глава 2. Кольца, модули, бимодули и кольца эндоморфизмов
Xi еХ и yi Е У. Тогда Хп = {Y^*\*2 • ••*« \х\, х<± хп еХ}.
Подмножество X С Л называется нильпотентным, если Хп = 0 для некоторого
п Е N, т. е. х\ ... хп = 0 для любых jq, ..., хп Е А'. Наименьшее такое п
называется индексом (нильпотентности) для X. Например, множество
{ (о о) Iа е Щ с обычными операциями матричного умножения и
сложения — нильпотентное предкольцо, квадрат которого равен нулю. Элемент
а предкольца А называется нильпотентным (индекса не более л), если
ап = 0 для некоторого azeN. Предкольцо, все элементы которого ниль-
потентны, называется нильпредкольцом или нилькольцом. Предкольцо
А называется предкольцом индекса ^ пу если существует такое п е N,
что ап = 0 для каждого нильпотентного элемента а Е Л. Предкольцо А —
предкольцо ограниченного индекса, если Л —предкольцо индекса ^л
для некоторого п. Предкольца индекса ^ 1 совпадают с предкольцами
без ненулевых нильпотентных элементов и называются также
редуцированными предкольцами.
Модули и идеалы
Пусть X — аддитивная абелева группа и А — предкольцо. X
называется правым (левым) А-модулем, если для любых х Е X и а Е А
однозначно определен элемент хаеХ (ах Е X), причем (х + у)а — хал-уа
(а(х + у) = ах + ау) и x(ab) = (xa)b ((ba)x = Ь(ах)) для всех ху у еХ
и a, b E Л. Если при этом Л — кольцо и jcl =x (\х = х) для всех jc E X,
то X называется унитарным модулем.
В дальнейшем все модули над кольцами предполагаются
унитарными.
Будем писать Хд (аХ) для обозначения того, что X — правый (левый)
Л-модуль. Кольцо Л —правый и левый модуль над любым своим под-
кольцом В. Модули над телами часто называют векторными или
линейными пространствами. Правый (левый) Л-модуль X называется
циклическим модулем с образующим ху если X = хА (X = Ах) для
некоторого х Е X. Это означает, что для любого у Е X найдется такой
элемент аеАу что у — ха (у = ах).
Любой обратимый справа (слева) элемент кольца А —
образующий правого (левого) А-модуля Л. В частности, А — циклический
правый А-модуль и циклический левый А-модуль с образующим 1.
Для любого коммутативного кольца Л каждый правый Л-модуль X
можно считать левым Л-модулем и наоборот, поскольку можно считать,
что ах = ха для любых х€Х и аеА. Поэтому над коммутативными
кольцами говорят просто о модулях.
Модули и идеалы
23
Каждая аддитивная абелева группа X превращается в модуль над
кольцом целых чисел Z, если для любых х е X и п € N считать, что
хп = х +... + jc, х(—п) = -хл, xOz = O^.
■v
л раз
Таким образом, абелевы группы и Ъ-модули — это одно и то же.
Пусть Л — кольцо. Если Af — правый (левый) Л-модуль и X — такая
подгруппа аддитивной группы Af, что ха еХ (ах Е X) для всех jc € X
и а € Л, то X называется подмодулем в Af. Множество всех
подмодулей в Af обозначается через Lat(Af). Непосредственно проверяется,
что Lat(Af) — модулярная решетка с операциями П («умножение») и +
(«сложение»), где X + Y = {х + у \ х е X, y€Y} для всех Ху Y e Lat(Af).
Модуль называется дистрибутивным (цепным), если решетка всех его
подмодулей дистрибутивна (является цепью). Модуль называется
дистрибутивно порожденным, если он является суммой своих
дистрибутивных подмодулей, т. е. порождается дистрибутивными подмодулями.
Модуль Af называется нётеровым (артиновым), если Af не содержит
бесконечных строго возрастающих (убывающих) цепей подмодулей, т. е.
Lat(Af) — нётерова (артинова) решетка. Кольцо А называется
нётеровым справа (артиновым справа), если А а — нётеров (артинов) модуль.
Аналогично определяются нётеровы слева (артиновы слева) кольца.
В дальнейшем все выражения типа «нётерово кольцо»
означают, что соответствующие модульные условия выполнены справа
и слева.
Если Y — подгруппа аддитивной группы предкольца А и уа е Y
(ay G Y) для всех у е Y и а еА, то К называется правым (левым)
идеалом в А. Если У —правый и левый идеал предкольца Л, то К
называется двусторонним идеалом или просто идеалом в Л. Каждый
правый или левый идеал называется односторонним идеалом. Правый
(левый) идеал называется правым (левым) нильидеалом, если все его
элементы нильпотентны. Правый (левый) идеал X кольца Л называется
главным, если X — циклический Л-модуль, т.е. X — хА (X = Ах) для
некоторого элемента х е X.
Если А — кольцо, то подмодули правого (левого) А-мод у ля А
совпадают с правыми (левыми) идеалами в А и образуют модулярную
решетку Lat^) (ЬаЦлЛ)). Идеалы кольца А образуют модулярную
решетку, обозначаемую через Ьа^Л,*).
Кольцо называется простым, если оно совпадает с любым своим
ненулевым идеалом. Модуль называется вполне циклическим, если все
его подмодули цикличны. Кольцо Л называется кольцом главных
правых (левых) идеалов, если все его правые (левые) идеалы являются
24 Глава 2. Кольца, модули, бимодули и кольца эндоморфизмов
главными (т.е. если А — вполне циклическое справа кольцо). Кольцо
называется кольцом главных односторонних идеалов, если оно
является кольцом главных правых идеалов и кольцом главных левых идеалов.
Кольцо, в котором произведение любых двух ненулевых элементов не
равно нулю, называется областью).
Если X — односторонний идеал кольца А и 1^ € X, то X = А.
Поэтому в любом теле D каждый ненулевой односторонний
идеал совпадает с D. В частности, каждое тело —простая область
главных односторонних идеалов.
Пример простой области главных односторонних идеалов, не
являющейся телом, приведен в 15.7. Для любого кольца А и целого числа п
множество пА —идеал в А. С помощью алгоритма Евклида проверяется,
что кольцо целых чисел Z —коммутативная область главных идеалов.
Кольца вычетов Ъ/пЪ (п ^ 2) являются коммутативными артиновыми
кольцами главных идеалов.
Идеалы кольца матриц. Для каждого (ненулевого, собственного)
идеала В кольца А множество Вп — (ненулевой, собственный) идеал
матричного кольца Ап и соответствие В -*Вп задает изоморфизм
решетки всех идеалов кольца А на решетку всех идеалов кольца
Апхп, причем Т = X)/Li X)/=i еиТец для каждого идеала Т кольца Ап.
Поэтому Ап — простое кольцо в точности тогда, когда А —
простое кольцо. В частности, кольцо матриц над телом — простое
кольцо. (Утверждение проверяется непосредственно.)
Кольца верхнетреугольных матриц. Для любого кольца А кольцо
Ап всех (п х л)-матриц (а1}) над А содержит унитарное подкольцо Тп(А)
верхнетреугольных матриц, образованное всеми матрицами (а,-/), у
которых aij = 0 при i > j.
Пусть A =R2 и В = Т2(Ш) — кольца всех (2 х 2)-матриц и
верхнетреугольных (2 х 2)-матриц над R,
* = {(» S)MeR}- *'={(" ?)|'-'еж}-
'-{(2 о)мЧ "'-{(Л Э"-се,Ь
'-{(S S)i*--}- ''-{($!)!»«*}•
Непосредственно проверяется, что X и X' — правые идеалы в A, Y
и Y'-левые идеалы в А, А =Х +Х' = Y + V, X Г\Х'= Y п У' = 0, А
не имеет ненулевых собственных идеалов, J и V не являются од-
Фактормодули, факторкольца и эндоморфизмы 25
посторонними идеалами в A, J — нильпотентный идеал в В, У2 = 0,
X и J' — правые идеалы eByB=X+J\Xf)J' = 0.
Фактормодули, факторкольца и эндоморфизмы
Если Y — подмодуль правого (левого) модуля X над кольцом А
и X/Y — факторгруппа аддитивной группы X по У, то положим (х + Y)a =
= ха + Y (а(х + У) = ах + Y) для всех ху у еХ и аеЛ и
непосредственно проверяется, что X/Y — правый (левый) Л-модуль, называемый
фактормодулем модуля X по подмодулю Y. Подмодуль любого фак-
тормодуля модуля М называется подфактором модуля М. Если Y —
идеал кольца Л, то непосредственно проверяется, что фактормодуль
Aa/Y — кольцо, умножение в котором корректно задается правилом
(а + Y)(b + Y) = ab + Y для всех а, 6 € А. Кольцо A/Y называется
факторкольцом кольца А по идеалу Y.
Для любого натурального л ^ 2 Ъ/пЪ — коммутативное конечное
кольцо, которое состоит из п элементов и называется кольцом вычетов
по модулю п.
Если п — простое число, то Ъ/riL — конечное поле. Если п — km € Z,
где k ^ 2 и т ^ 2, то кольцо вычетов Z/rzZ содержит ненулевые главные
идеалы, порожденные элементами k + пЪ и m + azZ, причем произведение
этих идеалов равно нулю. В частности, если п делится на квадрат целого
числа k ^ 2, то Z/rtZ содержит ненулевой нильпотентный главный идеал,
порожденный элементом k + riL.
Если X и У — аддитивные абелевы группы, то множество всех
гомоморфизмов из X в Y обозначается через Hom^^, Y) и является
аддитивной группой со сложением, определенным правилом (/ + g)(x) =
= f(x) + g(x) для всех х е X. Заметим, что аддитивные абелевы группы
совпадают с Z-модулями, для которых Z-подмодули и Z-гомоморфизмы
совпадают с подгруппами и групповыми гомоморфизмами.
Если X и Y — правые (левые) Л-модули и /: X —► Y —такой
гомоморфизм аддитивных групп, что f(xa) = f(x)a ((ax)f = a(x)/) для всех х е X
и аеАу то / называется гомоморфизмом правых (левых) Л-модулей
или правым (левым) А-модульным гомоморфизмом. Если f:X—►К —
модульный гомоморфизм и Y' — подмодуль в У, то через f~x(Yf)
обозначается подмодуль {х еХ | f(x) e У'} в X.
Замечание. Мы записываем гомоморфизмы правых (левых) модулей
слева (справа) от аргументов. Кроме того, если f: X -+Y и g: Y -*Z —
гомоморфизмы правых (левых) модулей, то композиция gf: X —> Z
(fg: X —> Z) гомоморфизмов / и g определяется правилом gf(x) = g(f(x))
«*)fg = ((x)f)g).
26 Глава 2. Кольца, модули, бимодули и кольца эндоморфизмов
Пусть X и К —кольца. Отображение f:X—>Y называется
кольцевым гомоморфизмом (кольцевым антигомоморфизмом), если / —
гомоморфизм аддитивных групп и гомоморфизм (антигомоморфизм)
мультипликативных моноидов. Инъективный и сюръективный кольцевой
или модульный гомоморфизм (антигомоморфизм) называется
изоморфизмом (антиизоморфизмом). Антиизоморфизм на себя называется
антиавтоморфизмом. Если X — модуль (кольцо), то модульные
(кольцевые) гомоморфизмы X —> X называются модульными (кольцевыми)
эндоморфизмами модуля (кольца) X и для любого подмодуля
(идеала) X' в X правилом х —* х + X' корректно определен сюръективный
модульный (кольцевой) гомоморфизм h: X —>Х/Х'У называемый
естественным эпиморфизмом. Определение антиэндоморфизма
аналогично определению эндоморфизма, причем кольцевые антиэндоморфизмы
коммутативного кольца совпадают с его кольцевыми эндоморфизмами.
Приведенные ниже утверждения 2.1—2.4 проверяются
непосредственно.
2.1. Ядро Кег(/) любого модульного (кольцевого) гомоморфизма
/: X —»У — подмодуль (идеал) модуля (кольца) X и правилом
/(лг + Кег(/)) = /(лг)
индуцируется модульный (кольцевой) изоморфизм /: X/Ker(/)—> f(X).
2.2. Любой кольцевой гомоморфизм f:X—>Y — ненулевой,
поскольку /0х)= ly^Oy. Если при этом X— тело, то его идеал Кег(/) равен
нулю, / — мономорфизм и тело X можно отождествлять с унитарным
подкольцом f(X) в У.
2.3. Если Y — подмодуль (идеал) модуля (кольца) X, то каждый
подмодуль (идеал) фактормодуля (факторкольца) X/Y имеет вид Y'/Y, где
У — подмодуль (идеал) в X и Y СУ СХУ причем правилом (р(х + Y') =
= (х + Y) + Y'/Y задается модульный (кольцевой) изоморфизм X/Y' =
щх/У)/(Г/П
2.4. Если X и Y — подмодули модуля Af, то правило <р(х + у + А) =
= у + X П Y задает изоморфизм (X + Y)/X 9* Y/(X П У).
2.5. Пусть Ху У, X', К' —подмодули модуля Му X' СХ и У" С К.
Тогда
(Г + (X п У))/(*' + (* П К')) = (У + (* П У))/(У + (X' П У)).
> Заметим, что (X' + (ХГ) У)) + (X П У) = X' + (X П У) и по модулярному
закону
(*' + (*ПУ'))П(ХпУ) = (ГпУ) + (*ПУ').
Фактормодули, факторкольца и эндоморфизмы 27
Поэтому из 2.4 следует, что
(Л" + (X П У))/(А" + (X П К')) ^ (* П Y)/{(X' ПУ) + (ХП Y')),
(Y' + (Xn Y))/(Y' + (X' ПУ))**(ХП Y)/((X' n У) + (* П К')). П
Если ^о ^ ^i £ • • • Я Хт = М — конечная цепь подмодулей в М, то
фактормодули X;/X,-_i (/ = 1, ..., т) называются факторами этой
цепи, а уплотнением этой цепи называется любая такая конечная цепь
Хп Я Х[ С ... С X'k = Af, что все модули X,- встречаются среди модулей Ху'.
2.6. £с/ш модуль М содержит две конечные цепи подмодулей
0 = Хо Я Хх Я • • • С Хт = Af, 0 = У0 С К, С ... С Yn = Af,
mo обе ^е/ш имеют уплотнения одинаковой длины и (возможно,
после перенумерации) с изоморфными факторами.
о Вставим между Xt и X-t+\ подмодули Xiy / = X,- + (X,-+i П У/) (/ = 0, ...
..., п)у а между К/ и Yj+\ подмодули Yij = Y} + (Yj+\ ПХ,-), / = 0, ..., т.
По 2.5 Xij+\/Xij = Yi+\jYij (Xi =Xito, Xi+\ =Xitfl). О
Кольцо А называется алгеброй над коммутативным кольцом R или
R-алгеброй, если существует (ненулевой) кольцевой гомоморфизм / из
R в центр кольца А. Тогда f(R) — центральное унитарное подкольцо в А
и если Кег(/) = 0, то мы отождествляем R и f(R)CA. Таким образом,
если /? — поле, то Кег(/) = 0 и мы считаем, что А — алгебра над полем R
в точности тогда, когда А содержит поле R в качестве центрального
унитарного подкольца. Заметим, что тело гамильтоновых кватернионов
Ш — Ш-алгебрау но не С-алгебра, так как поле комплексных чисел С —
унитарное нецентральное подкольцо в И.
Множество всех правых (левых) Л-модульных гомоморфизмов из X
в Y обозначается через Нот(Хь У а) (Нот^, аУ)) и является
подгруппой аддитивной группы Hon\z(Xy У). Аддитивная группа Нохп(Ха, Хд)
(Нот^Х, аХ)) обозначается через End(^) (End^JQ) и является
кольцом, в котором произведение fg двух эндоморфизмов / и g совпадает
с их композицией, т.е. fg(x) = f(g(x)) ((x)fg = ((x)f)g). Кольцо Еп6(ХА)
(End^A)) называется кольцом эндоморфизмов правого модуля Хд
(левого модуля дХ).
Любое кольцо А изоморфно кольцам эндоморфизмов Ех\&(Аа)
и End(,4i4), причем требуемые кольцевые изоморфизмы —
отображения ip\ А —> End(y4^) и ф: А —► ЕгкЦ^Л), при которых <р(а): х —► ах
и ip(a): х-+ха для всех хеА.
Инъективный и сюръективный модульный (кольцевой) эндоморфизм
называется модульным (кольцевым) автоморфизмом. Множество всех
автоморфизмов модуля (кольца) X обозначается через Aut(A) и является
гРУппой, в которой для любого автоморфизма / обратный автоморфизм
28 Глава 2. Кольца, модули, бимодули и кольца эндоморфизмов
/_1 корректно задается правилом f~[(f(x)) = x для всех хеХ.
Единица группы автоморфизмов — тождественный автоморфизм 1*: х—>х.
Заметим, что группа автоморфизмов модуля М — группа обратимых
элементов кольца эндоморфизмов End(Af).
Инъективные модульные (кольцевые) гомоморфизмы также
называются модульными (кольцевыми) мономорфизмами, а сюръективные
модульные гомоморфизмы — модульными эпиморфизмами2.
Бимодули и аннуляторы
Пусть Л и В — кольца. Если Af — левый Л-модуль и правый В-
модуль, причем (ат)Ь = a(mb) для всех т е Му а € Л и b e Ву то
М называется А-В-бимодулем. Обозначение аМв означает, что М —
Л-В-бимодуль. Если X и У — Л-В-бимодули и /: X —► У —
гомоморфизм левых Л-модулей, являющийся также гомоморфизмом правых
В-модулей, то / называется гомоморфизмом А-В-бимодулей.
Изоморфизмы, эндоморфизмы и автоморфизмы Л-В-бимодулей определяются
аналогично.
Замечание. Любое кольцо А является Л-Л-бимодулем. Каждый
правый Л-модуль М — Z-Л-бимодуль и Егк)(Л1д)-Л-бимодуль. Каждый
левый Л-модуль М — A-Z-бимодулъ и Л-Еп()(дА1)-бимодуль.
Подмодуль X модуля М называется вполне инвариантным в М, если
X переходит в себя под действием любого эндоморфизма М. Каждый
вполне инвариантный подмодуль правого модуля М также
является подмодулем левого модуля End(M)M- Идеалы кольца А совпадают
с вполне инвариантными подмодулями в А а и с вполне
инвариантными подмодулями в дА.
Если левый идеал X в Л —не идеал в Л, то X — подмодуль левого
Епс1(Лд)-модуля Л, не являющийся вполне инвариантным подмодулем
в Ад. Примерами таких А к X являются Л =Мг и Х = <г! S\ \аеЩ.
Если X и К —правые Л-модули, то для любых / е Еп()(Уд), g €
е Ноп\(Ха, Уд) и А е End(A^) композиция fgh принадлежит группе
Нот(Хд, Ya). Аналогично, если X и У—левые Л-модули, то для
любых / е Еп()(дУ), g е Ногт^дА', дУ) и A G Епс1(дА) . композиция hgf
принадлежит группе Нот(дХ, дУ). Из вышеизложенного следует, что
имеются естественные бимодули
Епс1(Ул)Нот№ь У/ОЕпсКХл) И EndU*) HomClX, aY)eM{aY)-
2Мы не затрагиваем здесь теоретико-категорные понятия эпиморфизма и
мономорфизма. Отметим лишь, что в категории колец существуют несюръективные эпиморфизмы, но
естественные кольцевые эпиморфизмы на факторкольца сюръективны, а в категории правых
(левых) А -модулей все эпиморфизмы (мономорфизмы) сюръективны (инъективны).
Бимодули и аннуляторы 29
Если кольцо А коммутативно, то правые А-модулиу левые
А-модули и А-А-бимодули можно естественным образом
отождествить, полагая та = am и атЬ = таЬ = аЬт для всех т е М
и а, ЬеА.
Каждый модуль М над коммутативным кольцом А является
естественным Епд(Мд)-А-бимодулем и А-Епд(дМ)-бимодулем.
Если X и У — подмножества правого (левого) модуля М над кольцом
Л, то обозначим
(X\Y) = {aeA \ Ха С Y), гА(Х) = (Х.О) = г(Х)
(соответственно (Y/X) = {aeA \ аХ С У}, lA(X) = {0.'X) = t(X)).
Если У — подмодуль правого (левого) модуля М, то (А' .У)
(соответственно (Y /X)) — правый (левый) идеал в А, причем (X \ У)
(соответственно (У .X)) — идеал в Л, если X и У —подмодули правого
(левого) модуля М. Подмножества кольца А вида (X \ У) (читается «X под
У») и (Y /X) (читается «У над А'») называются частными.
Подмножество г(Х) (соответственно £(Х)) кольца Л —правый (левый) идеал в Л,
называемый правым (левым) аннулятором подмножества X правого
(левого) модуля М, причем ясно, что r(X) = f]xex r(x) (соответственно
£(Х) = f]xeX £(х)) и г(Х) (соответственно £(Х)) — идеал в Л, если X —
подмодуль правого (левого) модуля М.
Замечание. Для любого циклического модуля хА отображение
/: а —► ха — модульный эпиморфизм из Ад на хА с ядром г(х),
индуцирующий изоморфизм Ад/г(х) = хА. Аналогично, Ах = дА/£(х). Отсюда
следует, что все циклические правые (левые) А-модули с точностью
до изоморфизма совпадают с фактормодулями А/В по правым
(левым) идеалам В, мощности всех циклических А-модулей
ограничены сверху мощностью А и существует такое множество £
циклических правых А-модулей, что любой циклический правый
А-модуль изоморфен некоторому модулю из £3.
Модуль с нулевым аннулятором называется точным.
2.7. Каждый правый модуль М над кольцом А естественным
образом превращается в точный правый модуль над кольцом А/г(М).
Кроме того, если любому элементу теМ сопоставить такой
гомоморфизм fm е Нот(Лл, М), что fm(a) = ma для всех аеА, то
индуцируется Ех\й(М)-А-бимодульный изоморфизм М -+Нот(АА, М).
(Проверяется непосредственно.)
2.8. Пусть X — подмножество кольца Л.
_ 1) г(£(г(Х))) = г(Х)к£(г(£(Х))) = £(Х).
Аналогичное утверждение для всех правых /4-модулей не верно, поскольку их мощности
не ограничены в совокупности.
30
Глава 2. Кольца, модули, бимодули и кольца эндоморфизмов
2) Если Л —подкольцо некоторого кольца Qy то гд(Х) = А Г) tq(X)
и£А(Х)=Апед(Х).
3) Для каждого подмножества Y С А найдется такой идемпотент
е е Л, что r(Y) = eA в точности тогда, когда для каждого
подмножества Z С А найдется такой идемпотент е е Л, что £(Z) = Ae.
> Утверждения 1) и 2) проверяются непосредственно, а в 3) достаточно
доказать импликацию =>. Обозначим Y = £(Z), По 1) Y=£(r(Y)). По
условию r(Y) = eA для некоторого идемпотента ее А. Тогда Y = £(еА) =
= Ае. О
Кольцо А называется бэровским, если оно удовлетворяет
эквивалентным условиям из 2.8(3).
Упражнения
2.9. Если е — идемпотент кольца Л, то (1 - е)2 = 1 - еу г(е) = (1 - е)Л,
1(e) = А(\ - е)у (1 - е)А ПеА= е((\ - е)А п еА) = 0, А(\ -е)Г)Ае =
= (АеГ)А(\-е))е = 0у АА=еА®(\-е)Ау АА=Ае = А(\ -е).
2.10. Пусть е —ненулевой идемпотент кольца А.
1) Если S —идеал в Л, не содержащий еу то В = е(АВА)е и
существует естественный кольцевой изоморфизм h(e)h(A)h(e) —>
->еАе/еВе.
2) Если а\у а,2 е Л и eaie, (1 — е)Д2(1 ~е) ~~идемпотенты колец еАе
и (1 — е)Л(1 — е) соответственно, то еа\е + (1 — е)а,2(\ — е) —
идемпотент кольца Л.
3) Если eb{eeU(eAe)y (\-e)b2(\-e)eU((\-e)A(\-e))y u = eb{e +
+ (1 -e)b2(l-e)+ec(\-e)y то не (/(Л) для каждого се А.
> Упражнения 2.9 и 2.10(1),(2) проверяются непосредственно. Пусть
ed\e и (1 — е)с?2(1 — е) — обратные элементы для eftje и (1 -е)б2(1 — £)
в еАе и (1 -е)Л(1 -е) соответственно. Обозначим
v = ed\e + (\ -e)d2(\ -e) — ed\ec(l -e)d2{\ -e).
Тогда uv = vu=\. □
Литература. [9,13,21,22,24,111,112,288,289,291,308].
3
Суммы и произведения модулей и колец
Прямые суммы и произведения
Если {Xi}jef — некоторое множество подмодулей модуля X, то через
]Г/е/Х/ обозначается их сумма, т.е. подмодуль в X, образованный
всеми элементами вида YlieJ Xi> где ^ ~~ любое конечное подмножество в /
и xi e Xi. Ясно, что Yliei ^i — наименьший подмодуль в Ху содержащий
все подмодули Xi.
Каждый модуль X обладает хотя бы одним таким множеством {Х/},-6/
циклических подмодулей Xt с образующими х/, что X = ^2ielXi
(например, в качестве {xt} можно взять множество всех элементов X). Тогда
{Xi}ie/ называется системой (модульных) образующих для М, а модуль
М называется ^-порожденным, где К = card(/). В этом случае также
говорят, что X порождается элементами x-t, / el. Система образующих
называется минимальной, если она перестает быть системой
образующих при удалении любого своего элемента.
Пусть {Xi}ie/ — некоторое множество подмодулей модуля X и X/П
n^Jy =0 для всех / Е/. Подмодули Xi называются линейно
независимыми, а сумма Х)/^« называется (внутренней) прямой суммой
модулей Xi. В этом случае мы пишем Yliei^i — 0/е/^/- Каждый
модуль Xi называется прямым слагаемым модуля X. Каждому элементу
хеХ соответствует такое подмножество {Xi}CX, что jc/ eX; для
любого / е /, элементы xt однозначно определяются элементом х и почти
все они равны нулю, причем x = ^2ielXi. Элементы xt называются /-ми
компонентами х, а соответствие х —► xt задает модульный эпиморфизм
ег: X —>Х;У называемый i-й естественной проекцией, соответствующей
прямому разложению X = 0/6/ Xi. Проекции e-t являются
ортогональными идемпотентами кольца End(A). Прямые слагаемые модуля X
называются нетривиальными, если они — ненулевые собственные подмодули
в X. Прямое разложение X = ф/€/ Xi называется нетривиальным,
если все прямые слагаемые Xi нетривиальны. Нетривиальность прямого
слагаемого Xi модуля X равносильна нетривиальности соответствующего
идемпотента et e End(A). В случае конечного множества / = {1, ..., п)
прямая сумма ф/6/ Xt называется конечной прямой суммой модулей X-t
и обозначается через Х\®...®Хп.
32 Глава 3. Суммы и произведения модулей и колец
3.1. Если X —правый модуль и {е,-},-€/ — некоторое множество
ортогональных идемпотентов кольца End(A), то сумма £/€/в;(Я)
подмодулей е,(Л) в X — прямая сумма модулей ei(X). (Действительно,
пусть У — конечное подмножество в / и YljeJ xi ~ ^, где х} = е}(х}) е е}(Х)
при / €/. Выберем / eJ. Тогда
О = eif^Xj} = Yseiei(xi) = e'Mi) = */■)
3.2. Пусть X —* правый модуль. Если {ei}"=l — полное множество
ортогональных идемпотентов кольца End(A), то X = 0/€/ е,(Л).
Я наоборот, если имеется прямое разложение X = 0/е/ £;(Л) с есте-
ственными проекциями е,-: X —>Х,-, mo {е/}"=1 —полное множество
ортогональных идемпотентов кольца End (Л). (Проверяется с
помощью 3.1.)
3.3. Если е\у ..., еп — ортогональные идемпотенты в кольце Ау
то £•=, е:А = 0?=1 е:А и £?=1 М = ©?=i М-
В частности, если {е/}"=1 — полное множество ортогональных
идемпотентов в А, то Ад = ®"=leiA а /И = 0"=1 Ле,-. (Следует
из 3.1 и 3.2.)
Для любого кольца матриц Ап матрицы ецу е<я, ..., епп (см. с. 21)
образуют полное множество ортогональных идемпотентов в АПу правый
Л„-модуль Ап — прямая сумма правых идеалов е\\АПу ..., еппАПу а левый
Л«-модуль Ап — прямая сумма левых идеалов Апе\\у ..., Апепп, причем
правый идеал ekkAn образован всеми такими матрицами (а1})еАПу что
а1} = О при 1фкуъ левый идеал Anekk образован всеми такими матрицами
(ciij) € Ап, что аи = 0 при / ф k.
Если Х\, ..., Хп — идеалы кольца А и YH=\ х< = 0?=|№)* =
= Ф/=1 л№)» то говорят, что $^JL| X,- —прямая сумма идеалов Х\у ...
....*„.
Идемпотенты и неразложимые модули. Пусть Af = X ф У —
нетривиальное прямое разложение правого модуля М с кольцом
эндоморфизмов R и е: М —»X — естественная проекция с ядром У, индуцирующая
изоморфизм M/Y=X. Тогда 1м — е: М —» У — естественная проекция
с ядром X, индуцирующая изоморфизм М/Х = У. В силу разложения
Af = X 0 У каждому элементу теМ соответствует единственная пара
(ху у), где т = х + уу х еХу у € У. Отождествим модуль М со
множеством столбцов <( )\хеХу уеУ\ и сопоставим каждому эндомор-
/ efe ef(\-e) \
физму / е End(M) матрицу (^ _' ^ _'^(1 ^ J. Так как
Нх + у) = ef(e(x) + (1 - е)(у)) + (1 - e)/(s(x) + (1 - е)(у))у
Прямые суммы и произведения
33
то непосредственно проверяется, что элементу f(m) = f(x + у) € М
соответствует столбец ( eJe ^ 1 е) Д1 _ е)) • Q и коль^°
эндоморфизмов R можно естественным образом отождествить с кольцом мат-
- / eRe eR(\-e) \ л
рИЦ/?=[ \d(\ \) собычными матричными сложением
и умножением, причем существуют естественные кольцевые
изоморфизмы End(X) = е/?е, Еп<1(У)^(1 -e)R(\ -е), Епё(У)-Епё(Х)-бимодульный
изоморфизм Нот(Х, У) = (1 -e)Re и End(Лr)-End()0-бимoдyльный
изоморфизм Нот(К, *)-*#(! -е).
Если еу f — идемпотенты кольца Л, то для любого а е А правилами
oteafifx) = (eaf)fx = ея/* € еЛ, (xf)faeP = xf(fae) = x/ae e еЛ
(для всех fx e fA и xfeAf) корректно задаются Л-модульные
гомоморфизмы ага/ € Нот(/Л, еЛ) и д,г/3 Е Нот(Л/, Ае). Вышеприведенное
отображение а: еЛ/-»Нот(/Л, еА)) — eAe-fAf-бимодульный
изоморфизм, а отображение /3: [Ае —» Нот(Л/, Ае) — fAf—eAe-бимо-
дульный изоморфизм.
Замечание. Если е — ненулевой идемпотент кольца Л, то существуют
естественные кольцевые изоморфизмы End(eA) = eAe, End((l - е)А) =
= (1 — е)А(\ - е)у End((l — е)Л)-Егк)(еЛ)-бимодульный изоморфизм
Нот(еЛ, (1 - е)А) = (1 - е)Ае и End(£i4)-End((l - е)Л)-бимодульный
изоморфизм Нот((1 - е)Ау еА) = еА(\ - е). Например, для любого
еаеееАе правилами
Феае(ех) = еае(ех) = еаех е еА, (хе)аф = (хе)еае = хеае е Ае
(для всех х € Л) корректно задаются эндоморфизмы ц>еае е ЕгиЦеЛ^)
и еаеф G Епд(лАе). Поэтому мы обычно будем отождествлять кольца
еАеу Ег\А(еАА) и End(AAe).
Ненулевой идемпотент е кольца Л называется неразложимым или
примитивным, если е — единственный ненулевой идемпотент кольца
еАе, т.е. если кольцо еАе не имеет нетривиальных идемпотентов.
Ненулевой модуль называется неразложимым, если он не имеет нетривиальных
прямых слагаемых. Неразложимость ненулевого модуля равносильна
тому, что его кольцо эндоморфизмов не имеет нетривиальных идемпотентов.
Неразложимость ненулевого идемпотента ееА равносильна
неразложимости правого идеала еА (левого идеала Ае). Поэтому разложимость
кольца А в конечную прямую сумму неразложимых правых (левых)
идеалов равносильна тому, что А имеет полное множество неразложимых
ортогональных идемпотентов.
34 Плава 3. Суммы и произведения модулей и колец
Замечание. Разложимость модуля М с кольцом эндоморфизмов R
в конечную прямую сумму неразложимых модулей равносильна как
разложимости кольца R в конечную прямую сумму неразложимых правых
(левых) идеалов, так и тому, что кольцо R имеет полное множество
неразложимых ортогональных идемпотентов.
Прямые произведения колец и модулей. Пусть {Л,} —некоторое
множество колец с единицами 1/ и нулями О/. Прямое произведение Л
аддитивных групп колец Л/ с покомпонентным умножением называется
прямым произведением Ylie/Ai колец Л/. Единицей и нулем кольца А
являются элементы (1/)/€/ и (0;),€/. Естественные вложения щ: А\-*А
являются кольцевыми мономорфизмами, а естественные проекции А —► Л/
являются сюръективными кольцевыми эпиморфизмами, причем
сомножители Л/ отождествляются с (неунитарными) подкольцами и;(Л,) в Л.
Элементы ы;(1,-) — центральные идемпотенты кольца Л — обозначаются
через е-х и называются идемпотентами, соответствующими
разложению Л = П;6/А- Кольцо Л содержит идеал 0/6/£/Л, называемый
прямой суммой колец eiA=Ai с единицами et.
Если {Xi} — некоторое множество модулей над кольцами Л/
соответственно, то прямым произведением этих модулей называется
П/€/ Л/-модуль Y[ie}Xl4 являющийся прямым произведением
аддитивных групп модулей Х-1у причем умножение элементов (*/) € П/е/'й на
элементы (a>i) € Y[iej At производится покомпонентно. При этом /-е
вложение щ и /-я проекция я*; являются Л-модульными гомоморфизмами
и ортогональными идемпотентами кольца Er\d(Y\ie/Xi)y причем модуль
Xi отождествляется с подмодулем щ(Х{) в YlieIXi.
Если все кольца Л/ являются экземплярами одного и того же кольца
Ву то «диагональное» вложение <р: Ь —> (щ(Ь)) — кольцевой
мономорфизм. В этом случае кольцо Y\ieI Л,- называется прямой степенью
кольца В и обозначается через В{1\ кольцо В отождествляется с унитарным
подкольцом <р(В) в В(/) и В(/)-модуль YlieIXi естественным образом
рассматривается как В -модуль.
Внешние прямые суммы. Подмодуль в X = П/е/^'» образованный
всеми элементами (*;);6/, у которых почти все (т.е. все, за
исключением, быть может, конечного числа) компоненты равны нулю, называется
внешней прямой суммой модулей X-t и обозначается через 0/€/Х,-.
Внешняя прямая сумма 0/6/^/ совпадает с суммой ^2ieIUi(Xi) всех
подмодулей Ui(Xi) в X и является внутренней прямой суммой модулей
Ui(Xi) в X (см. с. 31). Так как каждый модуль X-t отождествляется с
подмодулем ui(Xi) в 0/е/ Xi, то мы пишем «прямая сумма» вместо «внешняя
прямая сумма» или «внутренняя прямая сумма». Прямая сумма 0/6/^/
Свободные модули и матричное представление гомоморфизмов 35
может рассматриваться как множество всех конечных формальных сумм
вида У2 *i> гДе xt ^Xi- Если / — конечное множество, то прямое
произведение П/€/ ^' м°ДУлей (колец) Xi совпадает с конечной прямой суммой
ф. Xi, называется конечным прямым произведением модулей (колец)
Х,'и обозначается через Х\ х ... х Хп = П"=1^/- Если все модули Xt
являются изоморфными копиями некоторого модуля Af, то модули П/€/ %
и 0- /Xt обозначаются через М1 и Af(/\ причем вместо Af(/) пишем М^п\
ecnHcard(/) = /i€N.
Прямые суммы и произведения гомоморфизмов. Пусть Af —
модуль, {Xi}ie/ — некоторое множество модулей, {//: Xt —> Af}/6/ и {g,: М —►
-* ^/}/б/ — некоторые множества гомоморфизмов. Тогда равенствами
/(£*/)= £/«(*«) и g(m) = (gi(m))ie/ корректно задаются
гомоморфизмы /: 0/€/<&—>Af и g: M —>Y\ie/Xi, называемые прямой суммой
гомоморфизмов fi и прямым произведением гомоморфизмов gt.
3.4. Пусть М — модуль.
1) £слы М —сумма подмодулей Xt, iel, то существует
естественный эпиморфизм /: 0/€/Х;—>Af.
2) £с/ш Af ^-порожден, то существует эпиморфизм 0/€/ X/ —►
—у М, где №}/6/ — некоторое множество циклических
подмодулей в М и card(/) = К.
> 1) Если /;: Xi -+Xt —тождественные изоморфизмы и / = : 0/6/Xi —►
—►Af — прямая сумма всех гомоморфизмов //, то / — искомый
эпиморфизм.
2) Так как существует такое множество {Xi}ie/ циклических
подмодулей в Af, что card(/) = К и Af = ]Г\6/ Xi, то 2) следует из 1). □
Свободные модули и матричное представление
гомоморфизмов
Модуль Ха называется свободным циклическим модулем, если
существует такой элемент хеХ, называемый свободным образующим для
X, что Х—хА и г(х) = 0. Заметим, что Ха —свободный циклический
модуль в точности тогда, когда Х=Аа- Модуль ХА называется
свободным, если существует такое подмножество {х;};€/ С X, называемое
базисом модуля X, что X = 0/е/ xtA и r{xt) = 0 для всех / е /; мощность
card(/) называется рангом1 модуля Af.
3.5. Каждое отображение / базиса {*;}/е/ свободного модуля Ха
в любой модуль Af^ правилом g(X) х/а/) = 5Z/(*/)**/ корректно
продолжается до гомоморфизма g: X -> Af. При этом, если {/(х,-)Ьб/ — система
Ранг свободного модуля не всегда определен однозначно.
36 Плава 3. Суммы и произведения модулей и колец
образующих модуля М, то g: X —► М — эпиморфизм. Ясно, что Хд —
свободный модуль (ранга Щ в точности тогда, когда X изоморфен прямой
сумме некоторого множества / (мощности N) изоморфных копий
свободного циклического модуля А а- В частности, существуют свободные
модули любого ранга К.
3.6. Каждый (^-порожденный) модуль — гомоморфный образ
свободного модуля (ранга N).
t> Пусть {т/},-€/ —система образующих мощности К для модуля Л/1д.
Возьмем свободный модуль Хд с базисом {х/};€/ мощности N. Зададим
отображение /: {*;};е/—*{т/},е/, при котором /(jc,-) = m/ для всех ie/.
По 3.5 / продолжается до модульного эпиморфизма X —*М. □
Матричное представление гомоморфизмов прямых сумм и
матричные единицы. Пусть X = 0"=1 Xt и У = 0jLi У/ — правые модули.
Элементы модулей X и Y будем представлять в виде столбцов
JL АЛ " /</Л
* = Х>(*) = :<=*, 1/ = ]>>/(<//) = ! € К,
i=l \*/i/ 1=1 \Ут)
где м,-: Л'/ —► X и у,: Уу —» У — естественные вложения. Множество
{£//}? у=1 ненулевых элементов некоторого кольца R называется
системой из п2 матричных единиц, если е/7е^ = 5^вцУ где <5У/- = 1 и 6jS = 0
для /t^s. В этом случае положим е = Y^=\eu- Тогда е —идемпотент
кольца R, множество {е/;}? =1 лежит в подкольце eRe в R и кольцо е/?е
можно отождествить с матричным кольцом Лл, где А — подкольцо в eRe,
образованное всеми элементами, коммутирующими со всеми е1}.
Пусть /: X —► У —модульный гомоморфизм, /?,•: X —>^- и 7Гу: У —►
-* У/ — естественные проекции, /,-у = 7r//w; € Hom(X/, Уу) и / — матрица
(/,-/) размера /nx/i. Тогда / = E/Li £i=i y/7i/P/-
3.7. Действие любого гомоморфизма f:X—>Y можно задать
в матричном виде:
(Ы /.2 ••• hn\
/W= '21 Ь ••• /а,
\/mi /m2 • • • fmn/
При X = Y непосредственно проверяется, что соответствие f —► /
задает кольцевой изоморфизм кольца эндоморфизмов End(JQ на
кольцо всех квадратных матриц (/,-,-) порядка п, где /,-/ еНот(А/, А^).
Если в 3.7 считать, что все модули Xt являются копиями одного и того
же модуля М и поэтому все гомоморфизмы /,-, являются эндоморфизмами
модуля М, то получаем утверждение 3.8.
Конечные прямые произведения колец
37
3 8. Пусть X = Х\ 0... 0 Хп — прямая сумма п копай правого мо-
'О
высоты п. Тогда существует естественный изоморфизм кольца
End(A) на кольцо всех квадратных матриц порядка п над кольцом
End(M).
С помощью 3.7, 3.8 и естественного кольцевого изоморфизма А —►
—►ЕпсЦЛл) непосредственно проверяется 3.9.
3.9. Для любого кольца А кольцо эндоморфизмов прямой суммы
конечного числа п копий модуля Ад можно естественным образом
отождествить с кольцом всех квадратных матриц Ап над кольцом
А. В частности, кольцо эндоморфизмов любого свободного А-моду-
ля конечного ранга п естественным образом изоморфно кольцу
матриц Ап.
Если e\,e<i — идемпотенты кольца Л, то изоморфизм е\Ад = е2АА
равносилен существованию таких е\2, е2\ €Л, что
е\еХ2е2 = £i2, е2е2{е\ = £21, е\2е2\ = ^ь £21^12 = *2-
Если А — кольцо, являющееся прямой суммой изоморфных
ненулевых правых идеалов А\9...,Ап, то существует такая система
{в/,}-1j=l матричных единиц в Л, что j]!=i еа = 1» еиА — ^« для всех
i и кольцо А изоморфно кольцу всех (п х п)-матриц над кольцом
е\\Аеп.
Для левых модулей можно аналогично сформулировать и доказать
утверждения, аналогичные 3.7, 3.8 и 3.9. При этом элементы прямых сумм
надо записывать в виде строк, а не столбцов, а матрицы эндоморфизмов
записывать справа от строк, поскольку гомоморфизмы левых модулей мы
записываем справа от аргументов.
Конечные прямые произведения колец
Для любого центрального идемпотента е кольца А идемпотент 1 — е
тоже централен в Л и
еАе = еА = Аеу (\-е)А(\-е) = (\-е)А = Л(1-е),
А = еА х (1 -е)Л.
Для конечного прямого произведения колец А\ х ... х Ап = А
естественные проекции et: А -* Л/ образуют полное множество центральных
ортогональных идемпотентов кольца А и Д=е,Л для всех /. Наоборот,
дуля М и элементы из X представляются в виде столбцов х ■■
38 Глава 3. Суммы и произведения модулей и колец
если {е\у ..., еп} — любое полное множество центральных
ортогональных идемпотентов кольца Л, то А = е\А х ... х епА. Кольцо
называется неразложимым, если оно не является прямым произведением двух
(ненулевых) колец.
3.10. Если е\, #2, ••• и еп — центральные идемпотенты кольца
А и е~\ — (1 — £|)... (1 — еп), то е — центральный идемпотент в А
uZU^ = eA.
> Так как е = 1 - (1 - е\)... (1 - еп), то еА С Y%=\ е*А- Поскольку
1 — е = (1 — е\)... (1 — еп) — центральный идемпотент, то е —
центральный идемпотент. Так как
е\(\ -ё) = е,(1 -ei)...(1 -ея) = 0, е,- = ехе = еех е еА,
для каждого /, то £)"=1 £/Л С еЛ С £?=1 etA. D
3.11. Если M = Х 0 У — правый модуль с кольцом эндоморфизмов
R и е: М-+Х — проекция с ядром У, то равносильны условия:
1) X —вполне инвариантный подмодуль в Af;
2) Hom(*, У) = 0;
3) е/? — идеал в /?;
4) (1 — е)/?^ = 0.
Кроме того, е — центральный идемпотент кольца R о X и Y —
вполне инвариантные подмодули в М & eR(\ — ё) = (1 - e)Re = 0 <=>
eR и (1 - е)/? — идеалы в R Ф> /?е и R(\ - е) — идеалы в /?.
> Утверждение 3.11 проверяется непосредственно. Например: если
eR — идеал, то (1 - e)Re С eR П (1 - е)/? = 0; если (1 - e)Re = 0, то
/?е/? = e(ReR) + (1 - e)(ReR) = eReR CeRueR — идеал; если е централен
в /?, то ясно, что eR(\ -е) = (1 -е)/?е = 0; если е/?(1 -е) = (1 -е)/?е = 0
и f eRy то
е/(1 - е) = (1 - е)/е = 0, ef = е/е = /в, ef-fe = 0
и е централен. Оставшиеся утверждения доказываются аналогично. □
Следующие утверждения 3.12 и 3.13 проверяются непосредственно.
3.12. Неразложимость кольца равносильна тому, что оно не
имеет нетривиальных центральных идемпотентов. Если М — модуль, то
End(Af) — неразложимое кольцо в точности тогда, когда М не является
прямой суммой двух ненулевых вполне инвариантных подмодулей. Кольцо
А — конечное прямое произведение неразложимых колец в точности
тогда, когда А не содержит бесконечного множества ненулевых
центральных ортогональных идемпотентов.
3.13. Пусть Мд = ©;6/ Mi — модульное прямое разложение в
прямую сумму вполне инвариантных подмодулей Af/. Тогда каждый
эндоморфизм / е End(Af) индуцирует эндоморфизм /,- е End(Af,) и соответствие
Подпрямые произведения и подпрямая неразложимость 39
/—>П/е/ Л "" КОЛьиевой изоморфизм кольца End(Af) на прямое
произведение П/6/ End(Af,-) колец End(Af,).
Подпрямые произведения и подпрямая
неразложимость
Максимальные подмодули и простые модули. Подмодуль М
ненулевого модуля X называется максимальным подмодулем в Ху если М —
максимальный элемент непустого множества всех собственных
подмодулей в X. Множество всех максимальных подмодулей в X обозначается
через тах(Л). Ненулевой модуль X называется простым, если X
совпадает с любым своим ненулевым подмодулем, т.е. если 0 —максимальный
подмодуль в X. Таким образом, для любых двух ненулевых элементов х
и у простого модуля Хд существуют такие а, Ь €/4, что ха = у и yb =х.
Все максимальные идеалы кольца Z имеют вид рЪ, а простые Z-модули
совпадают с циклическими модулями Z/pZ, где р — простое число.
Модуль называется инвариантным {квазиинвариантным), если
в нем все подмодули (максимальные подмодули) вполне инвариантны.
Кольцо называется нормальным или абелевым, если все его идемпотен-
ты центральны. Если {У/},€/ —некоторое множество подмодулей
(идеалов) модуля (кольца) X и f]ieI Yt = 0, то модуль (кольцо) X называется
подпрямым произведением фактормодулей (факторколец) X/Yi. Если
при этом хотя бы один из подмодулей (идеалов) У/ равен нулю, то под-
прямое произведение называется тривиальным. Если У/ ф 0 для всех
/, то подпрямое произведение называется нетривиальным. Ненулевой
модуль (кольцо) X называется подпрямо неразложимым, если X не
является нетривиальным подпрямым произведением никаких своих
фактормодулей (факторколец), т. е. пересечение всех ненулевых подмодулей
(идеалов) в X не равно нулю. Это означает, что существует ненулевой
подмодуль (идеал) в Ху содержащийся в каждом ненулевом подмодуле
(идеале) в X.
3.14. Каждый ненулевой модуль (каждое кольцо) — подпрямое
произведение подпрямо неразложимых модулей (колец).
> Докажем 3.14 только для модулей, поскольку кольцевой случай
доказывается аналогично. Пусть X — ненулевой циклический подмодуль в М
и У — множество всех подмодулей в М, не содержащих X. Достаточно
доказать существование такого подмодуля Y в Af, что X % Y и M/Y —
подпрямо неразложимый модуль. Объединение любой возрастающей цепи
модулей из У лежит в у. По лемме Цорна У содержит максимальный
элемент Y. Тогда X лежит в каждом подмодуле в Af, строго содержащем У\
40 Глава 3. Суммы и произведения модулей и колец
Фактормодуль M/Y подпрямо неразложим, поскольку (X + Y)/Y —
наименьший ненулевой подмодуль в M/Y. □
3.15. Для модуля М равносильны условия:
1) End(Af) — нормальное кольцо;
2) Hom(A\ Y) = 0 для любого прямого разложения М = X 0 У;
3) в М каждое прямое слагаемое вполне инвариантно.
Утверждение 3.15 проверяется непосредственно.
3.16. Для модуля М равносильны условия:
1) кольца эндоморфизмов всех фактормодулей модуля М
нормальны;
2) Hom(X/(X n У), Y/(X П У)) = 0 для всех таких X, У € Lat(Af),
что X + Y = M;
3) Нот(М/У, М/Х) = 0для всех таких XyYe Lat(Af), nmoX + Y =
= Af.
> Если Jf, У € Lat(Af) и X + У = Af, то */(* ПУ)^ Af/У, У/(* п У) S
= М/Х и можно применить 3.15. П
3.17. Допустим, что кольца эндоморфизмов всех
фактормодулей модуля М нормальны, f e End(Af) и X € Lat(Af).
1) Если f-l(X) + X=M,mo f(M)CX.
2) Если /(Af) С X + /(X), mo /(Af) С X.
3) Если Af = Х + /(X), mo Af =*.
4) Если М = Х)/=о /'W для некоторого neNy то М=Х.
5) Af — квазиинвариантный модуль.
> 1) Правилом g(m + f~l(X)) = /(т) + Х корректно определен
мономорфизм g: M/f-l(X)->M/X. По 3.16 g = 0. Поэтому /"1(^) = Af,
/(Af)CJf.
2) Пусть m € Af. По условию /(m) = /г + /(/) для некоторых пу t еХ.
Тогда
m-t e Г'(*)> m = (m-t) + t e f~l(X) + Xy Af = f'l{X) + X.
По 1) f(M)CX.
Пункт 3) следует из 2) и включения f(X) С /(Af).
4) При л = 1 утверждение следует из 3). Пусть п > 1, утверждение
выполнено для числа л - 1 и У = ^JJo /' W- Тогда Af = У + /(У). По 3)
Af = У и утверждение следует из предположения индукции.
5) Пусть X е max(Af) и / € End(Af). Тогда либо f(X) С X, либо
Af = X + /(X). В последнем случае Af = А' в силу 3) и получаем
противоречие. □
Подпрямые произведения и подпрямая неразложимость 41
Упражнения
3.18. Правая инвариантность (правая квазиинвариантность) кольца
Л равносильна тому, что в Л все правые идеалы (максимальные правые
идеалы) являются идеалами.
3.19. Каждое инвариантное справа или слева (например,
коммутативное) кольцо нормально.
3.20. Для кольца Л равносильны условия:
1) Л — тело;
2) Л —простой правый (левый) Л-модуль;
3) существует свободный простой правый (левый) Л-модуль.
Утверждения 3.18—3.20 проверяются непосредственно (в случае 3.19
см. 3.11).
3.21. Пусть Л — предкольцо, Z —кольцо целых чисел и
Л1—прямое произведение аддитивных групп колец Л и Z. Определим
умножение пар (аь z\), (a2, 22)€Л! правилом (аь 2i)-(a2, 22) = (aia2 + 22ai +
+ Z\u2, z\z<i). Группа Л1—кольцо с единицей (0, 1). Непосредственно
проверяется, что А можно отождествить с подпредкольцом (Л, 0) в Л1,
(Л, 0) —идеал в Л1 и каждый правый Л-модуль М может
рассматриваться как правый модуль над кольцом Л1 с единицей, если определить
умножение т • (a, z) правилом т • (a, z) = ma + zm.
1) Для любого Л-модуля М решетка всех Л-подмодулей в М
совпадает с решеткой всех Л1-подмодулей в Af. В частности, Lat(Af)
дистрибутивна в точности тогда, когда Lat(Af) дистрибутивна.
2) Для любых двух правых Л-модулей М и N множество всех
Л-гомоморфизмов М —» N совпадает с множеством всех Л1-
гомоморфизмов М —>N. В частности, End(Afy4) = End(Af/4i).
Литература. [3,9,13,20-22,24,111,112,288,289,291,308].
4
Конечно порожденные, нётеровы
и артиновы модули
Модуль называется конечно порожденным (счетно
порожденным), если он имеет конечную (счетную) систему образующих. Каждый
конечно порожденный (счетно порожденный) модуль — сумма конечного
(счетного) числа циклических модулей.
Например, аддитивная группа Q —счетно порожденный, но не
конечно порожденный Z-модуль, а аддитивные группы R и С не являются
счетно порожденными или конечно порожденными Z-модулями.
Гомоморфные образы систем образующих являются системами
образующих гомоморфных образов. Поэтому все гомоморфные образы
конечно порожденных (N-порожденных) модулей являются конечно
порожденными (N-порожденными) модулями.
Если X — конечно порожденный модуль с образующими х\, ...,хп
и X = Yliei Xi>то каждый из элементов Х\, ..., хп лежит в сумме
конечного числа модулей Xt и поэтому существует такое конечное подмножество
/С/, ЧТО * = £/€,*/•
4.1. Если конечно порожденный модуль X — объединение
некоторой цепи {Xi}iei своих подмодулей, то X =Xt для некоторого I e /.
> Так как {Х,-};€/ — цепь, то Yl^li %i = USi ^ = ^- Существует такое
конечное подмножество /С/, что конечная система образующих модуля
X лежит в YljeJ^j и поэтому X = YljejXj- Так как УОЬ'еУ —-конечная
цепь, то X =Л/ для некоторого / G/. О
4.2. Если X — ненулевой конечно порожденный модуль, то для
любого собственного подмодуля Y в X (например, для Y = 0)
существует хотя бы один максимальный подмодуль в X,
содержащий Y. В частности, каждый ненулевой конечно порожденный
модуль X обладает хотя бы одним максимальным подмодулем, т. е.
тах(Х) ф 0.
> Пусть М = {У/Ьб/ — непустое множество всех собственных
подмодулей в X, содержащих Y. По 4.1 множество М содержит объединение
любой возрастающей цепи своих элементов. По лемме Цорна М
содержит хотя бы один максимальный элемент М, являющийся искомым
максимальным подмодулем в X. □
Нётеровы и артиновы модули и кольца 43
Так как каждый ненулевой модуль содержит ненулевой циклический
подмодуль, то по 4.2 каждый ненулевой модуль имеет хотя бы один
простой подфактор.
Для любого ненулевого элемента х простого модуля Хд получаем,
что X =хА =Аа/г(х). Поэтому любой простой модуль цикличен. Кроме
того, любой ненулевой гомоморфизм между простыми модулями —
изоморфизм. Отсюда вытекает следующий результат.
Лемма (Шура). Каждый ненулевой эндоморфизм любого
простого модуля — автоморфизм, т. е. кольцо эндоморфизмов любого
простого модуля — тело.
Нётеровы и артиновы модули и кольца
Следующие утверждения 4.3, 4.4 и 4.5 проверяются непосредственно.
4.3. М — нётеров (артинов) модуль в точности тогда, когда каждое
непустое подмножество подмодулей в М содержит хотя бы один
максимальный (минимальный) элемент.
4.4. Все подмодули любого гомоморфного образа каждого нётерова
(артинова) модуля являются нётеровыми (артиновыми) модулями.
4.5. Если модуль X не является конечно порожденным, то X содержит
такую строго возрастающую бесконечную цепь подмодулей Х\ С X<i С...,
что для каждого п е N модуль Хп я-порожден и модуль Хп+\/Хп цикличен.
4.6. М — нётеров модуль в точности тогда, когда все подмодули в М
конечно порождены.
> Импликация => следует из 4.5. Импликация <£= следует из 4.1. □
4.7. Если в модуле М существует такой нётеров (артинов)
подмодуль Ху что М/Х — нётеров (артинов) модуль, то М —
нётеров (артинов) модуль.
> Рассмотрим только случай нётеровых модулей, поскольку случай
артиновых модулей рассматривается аналогично. Пусть М \ С Мг С ... —•
возрастающая цепь подмодулей в М. Так как X и М/Х —
нётеровы модули, то существует такой индекс я, что Мп П X = Мп+\ П X
и Мп +Х = Af„+i +X. Так как Мп CAfrt+i, то из модулярности решетки
Lat(M) следует, что Мп П (Af„+i + X) = Мп+{ + Af„ r\X. Поэтому
мп = МяП(Мп+Х) = МяП(Мп+1 +Х) = Мп+1+МппХ =
4.8. Пусть существует такая цепь 0 = Afo С М\ с ... С Afrt_i С
СМп = М подмодулей модуля Af, что Af//Af/_i —нётеровы
(артиновы) модули при i = 1, ..., п. Тогда М — нётеров (артинов) модуль.
Я частности, любая конечная прямая сумма нётеровых (арти-
44 Глава 4. Конечно порожденные, нётеровы и артиновы модули
новых) модулей — нётеров (артинов) модуль. (Утверждение следует
из 4.7.)
Модуль М называется модулем (композиционной) длины я е N,
если либо М = 0 и тогда по определению /2 = 0, либо Lat(Af) содержит
конечную цепь 0 = Хо С Х\ С ... Хп = М с простыми фактормодулями
Х{/Х[-\, / = 1, ..., я. Такая цепь называется композиционным рядом
модуля М, причем в этом случае Af также называется модулем конечной
длины.
4.9. Композиционные ряды и модули конечной длины. М —
модуль конечной длины в точности тогда, когда М — артинов и
нётеров модуль.
> Импликация => следует из 4.8. Докажем импликацию <=. Так как
множество X всех подмодулей в М, имеющих конечную дайну, непусто и М —
нётеров модуль, то X содержит максимальный элемент X. Если М/Х = 0,
то М = X и все доказано. Если М/Х ф 0, то ненулевой артинов модуль
М/Х содержит простой модуль Y/X и Y — модуль конечной длины, что
противоречит максимальности Y в £. □
4.10. Теорема Жордана—Гёльдера. Если М — артинов и нётеров
модуль и
0 = *о С Хх С ... С Хп = М, 0 = У0 С У, С ... С Ym = М
— два композиционных ряда Af, то т = п и Xi/Xt-\ = Yp^)/Xp^^\y
i = 1, ..., я, (Зля некоторой перестановки р натуральных чисел
1 я.
Теорема 4.10 следует из 2.6. Из 3.6 вытекает 4.11.
4.11. Каждый конечно порожденный модуль — гомоморфный
образ конечно порожденного свободного модуля.
4.12. Каждый конечно порожденный правый модуль М над нё-
теровым справа (артиновым справа) кольцом А — нётеров
(артинов) модуль.
> По 4.11 М — гомоморфный образ модуля Ху являющегося конечной
прямой суммой изоморфных копий модуля Ад. Так как по 4.8 X — нётеров
(артинов) модуль, то по 4.4 М — нётеров (артинов) модуль. □
4.13. Если А — нётерово справа (артиново справа) унитарное
подкольцо кольца R и правый А-модуль R конечно порожден, то
R — нётерово справа (артиново справа) кольцо.
> По 4.12 /?л —нётеров (артинов) модуль. Так как каждый подмодуль
в Rr — подмодуль в Ra , то Rr — нётеров (артинов) модуль. □
4.14. Если А — нётерово справа (артиново справа) кольцо, то
для каждого я е N кольцо матриц Ап нётерово справа (артиново
справа).
Кольца обобщенных треугольных матриц
45
Утверждение 4.14 следует из 4.13 и того, что Ап — л2-порожденный
Л-модуль.
Кольца обобщенных треугольных матриц
[А Х\
Пусть А и В — кольца, ^Хв — Л-в-бимодуль и I ^ „)—кольцо
обобщенных треугольных матриц, в котором сложение и умножение
определяются правилами
(ах хЛ (а2 х2\ _ (ах +а2 хх + х2\
{о ь{) + \о ь2)-{ о ьх+ь2)'
(ах хЛ (а2 х2\ _ (аха2 ахх2 + ххЬ2\
\Ъ Ьх)'\0 Ь2) ~ \ О ЬгЬ2 )
для всех а/ еЛ, bi еВ, xt eXy i= 1, 2.
Следующие утверждения 4.15 и 4.16 проверяются непосредственно.
(А Х\
п о) — кольцо
с единицей f ^ . ], X = (~ n) ~~ иДеал в Я, W2 = 0 и факторкольцо
Л/Х изоморфно кольцу Л х В.
В утверждениях 4.16—4.18 сохраняются обозначения из 4.15.
4.16. Множество всех правых (левых) идеалов кольца
обобщенных треугольных матриц /?, лежащих в 1~ п], совпадает со
множеством < ( ^ п ] | Y—подмодуль в дХ(вХв) \ и,
следовательно, решетку Lat^A) можно отождествить с решеткой Lat^A),
а решетку Lat(A#) можно отождествить с решеткой Lat(A#).
Следующие утверждения 4.17 и 4.18 проверяются с помощью 4.16
и 4.7.
4.17. Кольцо обобщенных треугольных матриц (п „1 нётерово
справа (слева) в точности тогда, когда А и В — нётеровы справа (слева)
кольца и X — нётеров правый В -модуль (нётеров левый Л-модуль).
4.18. Кольцо (^ о) артиново справа (слева) в точности тогда,
когда Л и В — артиновы справа (слева) кольца и J-артинов правый
В -модуль (артинов левый Л-модуль).
46
Плава 4. Конечно порожденные, нётеровы и артиновы модули
Следующие утверждения 4.19 и 4.20 вытекают из 4.17 и 4.18.
4.19. (0 J~J — нётерово справа кольцо, не являющееся нётеровым
слева.
4.20. (^ _J — артиново справа кольцо, не являющееся ни артино-
вым слева, ни нётеровым слева кольцом.
Тривиальные расширения, модули Безу
и цепные модули
Тривиальные расширения бимодулей и кольцевые
антигомоморфизмы. Пусть Л— кольцо и X — Л-Л-бимодуль. Тривиальным
расширением Л-Л-бимодуля X с помощью кольца Л называется подкол ьцо
(А Х\
Т(дХд) кольца обобщенных треугольных матриц ( п - ), образованное
(о а)'аёЛ'
всеми матрицами вида I п \уаеАух €Х. При другом (эквивалентном)
определении тривиальным расширением Л-Л-бимодуля X с помощью
кольца Л называется такое кольцо Т = Т(дХд), что Г —внешняя
прямая сумма абелевых групп Л и X с умножением, задаваемым
равенством (а\, х\)(а2У Х2) = (а\а2> а\Х2 + х\а2) для всех элементов а\9 яг^Л
и Х\у Х2 € X. Единица кольца Т — пара (1, 0). Кольцо Л и_бимодуль дХд
можно отождествлять с подкольцом (Л, 0)_и идеалом X = (0, X) в 7\
причем ясно, что Х2 = 0 и факторкольцо Т/Х изоморфно кольцу Л.
4.21. Если <р — эндоморфизм коммутативного кольца Л, то
с помощью соотношения ах = xip(a) (абЛ, х е X) любой правый
А-модуль X превращается в А-А-бимодуль и можно
рассматривать тривиальное расширение Т(дХд) этого бимодуля с помощью
кольца Л.
Модули Безу и цепные модули. Модуль называется модулем Безу,
если все его конечно порожденные подмодули цикличны. Ясно, что
модуль является модулем Безу в точности тогда, когда все его 2-
порожденные подмодули цикличны. Кроме того, ясно, что Хд — модуль
Безу в точности тогда, когда для любых х, у е X существуют
такие а, Ьу с, d Е Л, что х(\ - ас) = уЬс и у(\ — bd) = xad. Модуль
называется цепным, если любые два его подмодуля сравнимы по
включению, т.е. решетка всех его подмодулей — цепь. Каждый цепной
модуль — модуль Безу. Кольцо Z — коммутативное нецепное кольцо Безу.
Если р — простое число, то для любого п е N коммутативное конечное
кольцо вычетов Z/pnZ — цепное артиново кольцо.
Прямые суммы конечно (счетно) порожденных модулей 47
4.22. Для модуля М равносильны условия:
1) М — цепной модуль;
2) в модуле М любые два циклических подмодуля сравнимы по
включению;
3) М не имеет подфакторов X 0 К, где X и Y — простые модули.
о Импликации 2)=И) и 1)=>3) проверяются непосредственно.
Докажем 3)=>2). Допустим, что в М существуют несравнимые циклические
подмодули G и Н. Ненулевые циклические модули G/(G П Н) и ///(G П //)
обладают по 4.2 простыми фактормодулями X и К соответственно. Тогда
УИ имеет подфактор X 0 У и получаем противоречие. □
Для любого простого числа р G N через Q^ обозначается подкольцо
в поле Q, образованное всеми рациональными числами с не делящимися
на р знаменателями, а через С(р°°) или Z(/?°°) обозначается
аддитивная группа Qp/Z> называемая квазициклической группой. Приведенное
ниже утверждение проверяется непосредственно.
Пусть X = Qp/Z — квазициклическая группа, h: Qp —►X —
естественный эпиморфизм с ядром Z, Хп = h(p~nZ) (я = О, 1,2...). Тогда
все собственные подмодули Ъ-модуля Х являются конечными
циклическими модулями и образуют бесконечную строго
возрастающую цепь О = Хо С Х\ с X<i с ... С Ху объединение которой совпадает
с X. Поэтому X — цепной ар типов счетно порожденный Ъ-модуль,
изоморфный любому своему ненулевому гомоморфному образу, не
являющийся конечно порожденным модулем и не имеющий
максимальных подмодулей. Кроме того, каждый модуль Хп — вполне
инвариантный циклический нётеров цепной подмодуль в X и при
л €N имеет единственный максимальный подмодуль Хп_\.
Прямые суммы конечно (счетно) порожденных
модулей
4.23. Пусть М —прямая сумма ненулевых модулей Xly i € /,
и М = ]Гjej^h г^е все Yj — конечно порожденные модули и
множество J бесконечно. Тогда card(/) ^ card(/).
> Так как все Y} — конечно порожденные модули, то для каждого / €/
существует такое конечное подмножество £(/) в /, что Yj £ф/6£(;)^/-
Тогда
iei jeJ jeJ V/еед /
пРичем все Xi — ненулевые модули. Поэтому / = U/ey £/• Так как / бес-
к°нечно, то его мощность равна мощности множества 7 всех конечных
48 Плава 4. Конечно порожденные, нётеровы и артиновы модули
подмножеств множества У. Тогда
card(/) = card f [j еЛ ^ card(7) = card(/). П
4.24. Пусть М = 0/6/ X\ — @jeJ Yjf где все Xi и У) — ненулевые
конечно порожденные модули и множество J бесконечно. Тогда
card(/) = card(/).
> Если множество / бесконечно, то 4.24 следует из 4.23. Допустим, что
/ конечно. Тогда М — конечная прямая сумма конечно порожденных
модулей Xi и поэтому М — конечно порожденный модуль. Тогда М не может
быть бесконечной прямой суммой ненулевых модулей, что противоречит
бесконечности /. □
4.25. Теорема Капланского. Все прямые слагаемые прямых сумм
счетно порожденных модулей являются прямыми суммами счетно
порожденных модулей. В частности, все прямые слагаемые прямых
сумм конечно порожденных модулей являются прямыми суммами
счетно порожденных модулей.
> Пусть М — модуль и М = Р 0 Q = Yliei ^/. где все М°ДУЛИ Af/ счетно
порождены. Надо доказать, что модуль Р счетно порожден. С помощью
трансфинитной индукции построим вполне упорядоченную ординалами а
строго возрастающую цепь подмодулей Sa € Lat(Af), удовлетворяющую
следующим условиям:
1) М = \JSa и SQ — прямая сумма некоторых модулей М} для
любого а;
2) So = 0, и если а — ненулевой непредельный ординал, то модуль
SQ/SQ-\ счетно порожден;
3) если а — предельный ординал, то Sa = Цз<а S/з;
4) SQ = Pa0<?Q, Pa = PnSay Qa = QnSa.
Пусть So = 0. Если а —предельный ординал, то определим Sa =
= (J/3<aS/3. В противном случае a — непредельный ординал и
допустим, что Sa_i Ф М. Выберем Af/, для которого М} % Sa-\- Пусть
{*п, *!2» *13» ...} —счетная система образующих для М}. Тогда Х\\ —
сумма компонент из Р и Q. Эти две компоненты лежат в прямой сумме
конечного числа модулей М}, обладающей счетной системой
образующих {*2ь *22> *23, •••}• Разложим элемент х\2 аналогично элементу х\\
и получим счетную последовательность {*зь *32> *зз> • • •}• С помощью
индукции по т получим новую счетную строку для каждого хтп из
последовательности {*ц, х\2, *2i> Х\$у х^ъ *зь • • •}• Обозначим через Sa
подмодуль, порожденный модулем SQ_i и всеми элементами хтп из
полученной выше бесконечной матрицы.
Существенные расширения, конечномерные и равномерные модули 49
Можно проверить, что полученная цепь подмодулей Sa
удовлетворяет условиям 1)—4). Для каждого а модуль PQ —прямое слагаемое
в М и поэтому PQ — прямое слагаемое в Pa+i. Так как SQ+i/SQ =
s Pa+i/^a Ф Qa+\/Q<*> то Ра+\/Ра счетно порожден. Если а
—предельный ординал, то PQ = Ц?<а 5/3- Поэтому Р изоморфен прямой сумме
счетно порожденных модулей PQ+\/Pa. □
Существенные расширения, конечномерные
и равномерные модули
Если X — подмодуль модуля М и X П Y ф 0 для любого ненулевого
подмодуля Y в Му то X называется существенным в М и говорят,
что Af — существенное расширение X. Если А4 — существенное
расширение Ху то X содержит любой простой подмодуль модуля Му М —
существенное расширение любого существенного подмодуля Y модуля X
и N — существенное расширение XDN для любого подмодуля N в М.
4.26. Пусть А — кольцо и М — ненулевой правый А-модуль.
1) М — существенное расширение прямой суммы ненулевых
циклических модулей.
2) А — тело в точности тогда, когда все правые (левые)
А-мод у ли свободны.
> 1) Пусть £ — непустое множество всех подмодулей в Af,
являющихся прямыми суммами ненулевых циклических модулей. В £ существует
такой частичный порядок ^, что для любых S, Т € £ неравенство S ^ Т
означает, что S 0 Е = Т для некоторого Е € £. Так как £ содержит
объединение любой возрастающей (относительно ^) цепи своих элементов,
то по лемме Цорна £ содержит хотя бы один максимальный элемент
X. Ясно, что М — существенное расширение X = 0/6/Х/, где все Xt —
ненулевые циклические модули.
2) Импликация <= следует из 4.2 и 3.20. Докажем =>. Для любого
ненулевого m € М найдется такой ненулевой элемент а е Л, что таеХ.
Тогдат = (та)а"1 еХ и М = X = ®ie/Xi. ЕслихеМу ОфаеА ил:а = 0,
то х = (ха)а~1 = 0. Поэтому каждый ненулевой циклический модуль Xt
свободен и М = ф/е/ Xi свободен. □
4.27. Если N — существенный подмодуль модуля М, то для
каждого гомоморфизма f:X-+M подмодуль f~l(N) существенен в X.
* Допустим, что существует такой ненулевой подмодуль Y в X, что
Кп/"1(ЛО=0. Так как Кег(/) С /-'ДО. то Y П Кег(/) = 0. Поэтому
/(10 ^ 0. Тогда N П /(У) ф 0. Так как Y П Кег(/) = 0, то существу-
50 Глава 4. Конечно порожденные, нётеровы и артиновы модули
ет такой ненулевой подмодуль Y\ в Y, что f(Y\) = N П f(Y). Тогда
0^Y\CY П f~l(N) = 0. Получено противоречие. □
4.28. Если Мд = ф/6/ Mi и каждый модуль Af/ — существенное
расширение некоторого модуля Xiy то М — существенное
расширение 0/6/Х/.
> Так как каждый элемент из М лежит в сумме конечного числа
модулей М/, то без ограничения общности можно считать, что / = {1, ..., п)
и М = М\ ®...®М„. Проведем индукцию по п. При п= 1 М = М\
—существенное расширение Х\ =Х. Пусть п^2, m = Yyt=\ m/> m'i ^M[ и
исходное утверждение верно для п — 1. Достаточно доказать существование
такого а € А, что 0 Ф та е X. Так как Мп — существенное расширение Хп,
то 0 Ф тпап G Хп для некоторого ап € А. Тогда тап = тпап + (^=г т\)ап-
Если (^fjj mi)an = 0y то 0фтпап =тап € А' и все доказано. Допустим,
что (^"Г/ ш/)ая т^О. По предположению индукции 0ф (YlIZi rrii)anb£X
для некоторого Ь € Л. Тогда 0фтапЬ е X и все доказано. □
Конечномерные и равномерные модули. Модуль называется ко-
нечномерным, если он не содержит бесконечных прямых сумм
ненулевых подмодулей. Модуль М называется равномерным, если любые два
его ненулевых (циклических) подмодуля имеют ненулевое пересечение.
Подмодуль N модуля М называется коравномерным, если M/N —
равномерный модуль, т. е. если не существует таких строго содержащих N
подмодулей X и Y в М, что X П Y = N. Если для модуля М
существует такое п € N, что М не содержит прямую сумму из п + 1 ненулевых
модулей и М — существенное расширение прямой суммы я ненулевых
равномерных модулей, то М называется модулем конечной
равномерной размерности, а число п называется равномерной размерностью
или размерностью Голди модуля М и обозначается u. dim(Af); в этом
случае М — прямая сумма не более п неразложимых модулей, причем по
определению u. dim(0) = 0.
М — равномерный модуль о М — существенное расширение
любого своего ненулевого (циклического) подмодуля «=> М —
существенное расширение равномерного модуля.
Все равномерные модули конечномерны, каждый подпрямо
неразложимый (например, простой) модуль равномерен и !*% —
равномерный модуль, не являющийся подпрямо неразложимым.
Каждый конечномерный модуль имеет конечную равномерную
размерность.
Если п е N и каждое множество ненулевых ортогональных идемпотен-
тов кольца А содержит ^ п элементов, то кольцо А называется
ортогонально п-конечным. Кольцо называется ортогонально конечным,
Существенные расширения, конечномерные и равномерные модули 51
если оно ортогонально я-конечно для некоторого п е N. Если кольцо
End(M) ортогонально «-конечно для некоторого п е N, то модуль М —
прямая сумма п неразложимых (возможно, нулевых) модулей.
4.29. Если я е N, то для модуля М равносильны условия:
1) М — модуль равномерной размерности п\
2) М — конечномерный модуль равномерной размерности п\
3) М — существенное расширение прямой суммы п равномерных
модулей',
4) u. dim(Af) = п и каждый ненулевой подмодуль X в М —
прямая сумма k^n ненулевых неразложимых модулей, причем
End(A) — ортогонально k-конечное кольцо и для каждого
нильпотентного эндоморфизма f модуля X ядро
эндоморфизма fn — существенный подмодуль в X.
о Импликации 4)=> 1), 1)=>2) и 2)=>3) проверяются непосредственно.
3)=> 1). Пусть М — существенное расширение прямой суммы X
ненулевых равномерных модулей Х[у ...,Хп. Так как М — существенное
расширение X, то достаточно индукцией по п доказать следующее
утверждение.
Каждый модуль X, являющийся прямой суммой п равномерных ,
модулей, не содержит прямую сумму из п + 1 ненулевых модулей. * '
При п = 1 X равномерен и (*) верно. Пусть п > 1 и (*) верно для
числа п — 1. Допустим, что X содержит прямую сумму ненулевых модулей
Y\y ..., Yn+\ и Y = 0"=1 У/. Так как У П Yn+\ = О, то подмодуль Y не
существенен в X. Если все Y CiXi не равны нулю, то каждый равномерный
модуль Xi —существенное расширение YПХ[ и по 4.28 X —
существенное расширение У; получаем противоречие. Поэтому Y ПХ/ = 0 для
некоторого /. Без ограничения общности можно считать, что Y ПХп = 0. Пусть
h' * -> 0?",1 Xi — проекция с ядром Хп. Так как У ПХп = 0, то Л(У) ^ У.
Поэтому модуль 0£Г/ Xi содержит прямую сумму из п ненулевых
слагаемых h(Y\)y ..., Л(У„), что противоречит предположению индукции.
1)=>4). Так как u.dim(Af) = n, то X — прямая сумма k^n
ненулевых неразложимых модулей и кольцо End(A) ортогонально ^-конечно.
Допустим, что т е N, }т(Х) = 0 н X не является существенным
расширением Кег(/Я). Так как X = Кег(/т), то /я > л. Если Кег(/'+1) —
существенное расширение Кег(/') для всех / = л, ..., m — 1, то X—
существенное расширение Кег(/Л), что противоречит предположению.
Поэтому Ker(/*+1) не является существенным расширением Кег(/*)
Для некоторого k^n^ 1. Существует такой ненулевой подмодуль У*+1
в Kerf/**1), что У*+, п Кег(/*) = 0. Обозначим Кег(/°) = 0. Пусть
52 Глава 4. Конечно порожденные, нётеровы и артиновы модули
f(x) € Кег(/*-') П /(У4+|), где х е У*+,. Тогда
/*(*) = 0, лг€Кег(/*)пКА+| =0,
/W = 0, Кег(/*-')П/(К*+,) = 0.
Аналогично, /(Уж) С Кег(/'), Кег(/'_|) П /(У,+|) = 0, г = 1 А.
Поэтому
к,+1 + /(п+1) + ... + Лк,+1) = у,+1е/(к,+1)е...еЛк,+1).
Получено противоречие. П
Упражнения
4.30. М — конечномерный модуль & М — существенное
расширение конечномерного модуля Ф> в М любой подмодуль — существенное
расширение конечно порожденного модуля «=> кольцо эндоморфизмов
любого подмодуля в Af ортогонально конечно Ф> М — модуль
конечной равномерной размерности; &> в модуле Af пересечение конечного
числа коравномерных подмодулей равно нулю. (4.30 проверяется
непосредственно.)
4.31. Если М = ©Hj Xi = фу=1 Yjy где все Xt и Yj — ненулевые
равномерные модули, то т = п. (4.31 следует из 4.29.)
4.32. Любое существенное расширение конечной прямой суммы
конечномерных модулей конечномерно. (Указание. Пусть Af = ф"=1 Af/, где
все модули Mi конечномерны. Непосредственно проверяется, что каждый
модуль Mi — существенное расширение некоторого модуля X/,
являющегося конечной прямой суммой равномерных модулей. Тогда Af —
существенное расширение модуля ф"=1 Xi, являющегося конечной прямой
суммой равномерных модулей. По 4.29 все существенные расширения М
конечномерны.)
Модуль называется вполне конечномерным, если все его фактормо-
дули конечномерны. Ясно, что каждый нётеров или артинов модуль
вполне конечномерен.
4.33. Модуль вполне конечномерен в точности тогда, когда он не
имеет подфактора, являющегося бесконечной прямой суммой простых
модулей. (Указание. 4.33 следует из того, что каждый ненулевой
подмодуль имеет простой подфактор.)
4.34. Пусть А — кольцо и Af — правый Л-модуль.
1) Если Х\ С Х2 С ... — бесконечная строго возрастающая цепь
прямых слагаемых модуля Af, то существует такая бесконечная строго
убывающая цепь прямых слагаемых Y\ DY2D ... модуля Af, что
М = Xt 0 Yi для каждого /.
Существенные расширения, конечномерные и равномерные модули 53
2) Если Y\ d Y<i D ... — бесконечная строго убывающая цепь прямых
слагаемых модуля Af, то существуют такие ненулевые подмодули
С[у С2, . •. в Af, что Af = С, е... е Сп ® Yn и ©£л+1 С/ С Yn для
каждого п.
о 1) Существует такой подмодуль Y\ в Af, что М =Х\ @Y\. По
закону модулярности Х2 = Х\ 0 (^2 П Ki). Поскольку Х2 — прямое слагаемое
в Af, то Y\ = (Х2 П Y\) 0 К2 для некоторого подмодуля У^ в Af. Тогда
УИ = Xi 0 Ki = Х\ 0 (^2 П Y\) 0 У2 = ^2 © ^2 и У2 Э Ki. Повторяя эти
рассуждения, мы получим бесконечную строго убывающую цепь Y\ D У2 Э ...
прямых слагаемых в Af, причем Af = Xt 0 К/ для каждого /.
2) Для каждого / > 1 имеем К,- = K;+i 0 C,-+i, где C;+i € Lat(Af),
и Af = Y\ 0 Ci, где Cj e Lat(Af). Тогда для каждого п имеем Af = C\ 0...
...®СяеКл иЭ^С/СУя. □
4.35. Для модуля Af равносильны условия:
1) кольцо End(Af) не содержит бесконечного числа ненулевых
ортогональных идемпотентов;
2) Af — модуль с условием минимальности для прямых слагаемых;
3) Af — модуль с условием максимальности для прямых слагаемых.
При этих условиях Af — конечная прямая сумма неразложимых
модулей. В частности, если А — кольцо без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов, то дА —модуль с условиями
минимальности и максимальности для прямых слагаемых и модули Ад, дА
являются конечными прямыми суммами неразложимых модулей.
> Эквивалентность 2)ф>3) следует из 4.34.
3) => 1). Пусть е\, еъ ... —ортогональные идемпотенты кольца
End(Af). Тогда е\ Af С (е\ + e<i)M С ... — возрастающая цепь прямых
слагаемых модуля Af. Поэтому найдется такое п G N, что (е\ +... + ^)Af =
= (£1 +... + еп)М для каждого k ^ п. Тогда е* = О для каждого k > п.
1) => 2). Допустим, что Af содержит бесконечную строго убывающую
Цепь прямых слагаемых Y\ D У2 Э ... Без ограничения общности можно
считать, что Y\ фМ. По 4.34 Af содержит такие подмодули С\, Сг, ...,
что М = С\ 0... 0 С/ 0 Yi и 0£1ж С/ С Yi для каждого / Е N. Пусть
Щ — проекция модуля Af на подмодуль С/ относительно разложения
М = С\ 0 ... 0 С/ 0 К/. Тогда 7Г1, 7Г2, ... — бесконечная система
ортогональных ненулевых идемпотентов. Получено противоречие.
2) + 3) => 4). Пусть Af ^ 0. Так как Af — модуль с условием
минимальности для прямых слагаемых, то каждое ненулевое прямое
слагаемое модуля Af имеет ненулевое неразложимое прямое слагаемое. Тогда
М—Х\ 0 Y\y где Х\ —ненулевой неразложимый модуль. Если Y\ = 0, то
все доказано. Допустим, что п ^ 1, М = Х\ 0... 0 Хп 0 Yn и все Xt — нену-
54 Глава 4. Конечно порожденные, нётеровы и артиновы модули
левые неразложимые модули. Если Уп = 0, то все доказано. Если Yn ^0,
то существует прямое разложение Yn = Хп+\ 0 Yn+\, где Хп+\ — ненулевой
неразложимый модуль. Так как Х\ 0 ... 0 Хп С Х\ 0 ... 0 Хп+\ и М —
модуль с условием максимальности для прямых слагаемых, то Yk = 0 для
некоторого k € N. Поэтому М — конечная прямая сумма неразложимых
модулей. □
4.36. Если в модуле Af каждый ненулевой подмодуль содержит
ненулевое прямое слагаемое модуля Af и кольцо End(Af) не
содержит бесконечного множества ортогональных идемпотентов, то Af —
конечная прямая сумма простых модулей. В частности, если в кольце
А каждый ненулевой правый идеал содержит ненулевой идемпотент
и А не содержит бесконечного множества ортогональных
идемпотентов, то Ад — конечная прямая сумма простых модулей. (Указание.
Достаточно доказать, что Af — конечная прямая сумма неразложимых
модулей. Если это не так, то из условия следует существование таких
множеств {Хп}^ и {Yn}^ ненулевых подмодулей в Af, что для каждого
л £ N М = Yn 0X 0... 0Хп и Yn D Yn+\. Если еп: М -*Хп — проекция
с ядром Удф/^л^/, то {en}<nxLx —бесконечное множество ортогональных
идемпотентов в End(Af).)
4.37. Конечномерная справа область А равномерна справа.
(Указание. Допустим, что существуют такие ненулевые а, Ь € А, что аАГ\ЬА = 0.
Так как область А конечномерна справа, то сумма Yl^o a'^ не является
прямой суммой и существуют такие Со, . ♦ •» сп е Л, что
п п
^albci = 0, спф 0, a^2^'lbci = -bc0 € aAnbA = 0.
;=о i=i
Так как А — область и а ^0, то YH=\ al~lbci = 0. Повторив эти
рассуждения п раз, получим Ьсп = 0 и сп = 0. Получено противоречие.)
Модуль Af называется конечно копорожденным, если для любого
подмножества {Af;}f 6/ С Lat(Af) с условием f]iei Af/ = 0 существует такое
конечное подмножество УС/, что ПбУ Af/ = 0.
4.38. Модуль Af конечно копорожден в точности тогда, когда Af —
существенное расширение конечной прямой суммы простых модулей.
Литература. [3,9,13,20-22,24,111,112,288,289,291,308].
5
Полупростые модули и радикал
Джекобсона
Полупростые модули и кольца
Модуль М называется полу простым, если либо М = О, либо М —
прямая сумма простых модулей.
Замкнутые и П-дополнительные подмодули. Подмодуль У модуля
М называется замкнутым (в М), если У совпадает с любым подмодулем
в М, являющимся существенным расширением У. Если Х_, X Е Lat(Af)
и X — замкнутое в М существенное расширение X, то X называется
замыканием модуля X в М. Каждое прямое слагаемое — замкнутый
подмодуль и каждый замкнутый подмодуль совпадает со своим
замыканием.
5.1. В любом модуле _М каждыйjtod мод у ль X обладает хотя
бы одним замыканием X, причем X П У = 0 для любого такого
KGLat(Af), чтоХпУ = 0.
Если в модуле М сумма YLiei ^'l подмодулей Xt — прямая сумма,
то сумма замыканий J2iei ^'l подмодулей Xt в М — прямая сумма.
Модуль М конечномерен & М не содержит бесконечных
прямых сумм замкнутых подмодулей о М — модуль с условием
максимальности для замкнутых подмодулей о М — модуль с условием
минимальности для замкнутых подмодулей.
Кроме того, если в М любые два замкнутых ненулевых
подмодуля имеют ненулевое пересечение, то М равномерен.
> Пусть X е Lat(M) и £(Х) — множество всех лежащих в М
существенных расширений X. Так как объединение любой возрастающей цепи
модулей из £(X) лежит в £(Х), то по лемме Цорна £(X) содержит хотя бы
один максимальный элемент X, являющийся искомым замыканием X в М.
Оставшиеся утверждения проверяются непосредственно. □
Если X — подмодуль модуля М, то ^-дополнением к X в М
называется любой такой замкнутый подмодуль У в М, что X П У = О, М —
существенное расширение X ®У и X пУ ^0 для любого У е Lat(Af),
строго содержащего У. Подмодуль У модуля М называется П-дополни-
тельным, если У — П-дополнение вМк некоторому подмодулю в М.
56 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
5.2. Пусть М — модуль и X — подмодуль в М. I
1) Для любого подмодуля Y в М с условием X П Y = 0 (например, I
для Y = 0) в М к подмодулю X существует замкнутое П-до- 1
полнение К, содержащее Y'. 1
2) Подмодуль X имеет в М хотя бы одно замкнутое П-допол- I
нение Y и хотя бы одно замыкание Ху причем X ПК = 0 и X — 1
прямое слагаемое существенного подмодуля X' = Х 0 Y в М. 1
В частности, X — прямое слагаемое существенного подмо- I
дуля в М. 1
3) Для любого модуля N и каждого гомоморфизма f:X—>N най- I
дутся такой существенный подмодуль X' в М и гомоморфизм 1
/': X'->Ny что /' совпадает с f наХу f'(X') = f(X)y X' = Х 0 У, 1
К — замкнутое П-дополнение к X в М и f'(Y)=0. 1
> 1) Пусть 5 —множество всех подмодулей в Му которые содержат Y 1
и имеют нулевое пересечение с X. Так как У € £, то £ ^ 0. Объединение 1
любой цепи лежащих в £ подмодулей также лежит в У. По лемме Цорна 1
£ обладает максимальным элементом У. Непосредственно проверяется, 1
что Y — искомое замкнутое П-дополнение к X. щ
Пункт 2) следует из 1) и 5.1. Ц
3) Рассмотрим подмодуль X' — X 0 Y в Му указанный в 2). Определим Я
искомый гомоморфизм /': X' —> Л/ так, что f'(x + y) = f(x) для всех х е X 1
и yeY. D I
5.3. Пусть М — модуль и X — подмодуль в М. I
1) £суш Z — замыкание X в М и Y — П-дополнение к X в Му то I
Z — П-дополнение к Y в М и Y замкнут в М. 1
2) Множество всех замкнутых подмодулей в М совпадает со 1
множеством всех П-дополнительных подмодулей в М. I
> 1) Так как X П Y = 0, то по 5.2( 1) существует замкнутое П-дополнение I
Y\ к Ху содержащее П-дополнение Y к X. Поэтому Y = Kj замкнут в Af. |
Так как Z — существенное расширение ЛгиЛгПУ = 0>то KnZ = 0. Кроме I
того, М — существенное расширение Y 0 Z. Непосредственно проверяет- I
ся, что Y П Т ф 0 для любого Т е Lat(Af), строго содержащего Z. Поэтому I
Z — П-дополнение к Y. 1
Пункт 2) следует из 1) и того, что каждый замкнутый подмодуль |
совпадает со своим замыканием. D I
5.4. В модуле М все подмодули — прямые слагаемые в точности 1
тогда, когда М не имеет собственных существенных подмодулей. I
(Следует из 5.2(2).) I
5.5. Пусть М — модуль. 1
Полупростые модули и кольца
57
1) Если в М каждый ненулевой циклический подмодуль
содержит простой подмодуль, то М — существенное расширение
полупростого модуля.
2) Если М —модуль с условием минимальности для циклических
подмодулей, то М — существенное расширение
полупростого модуля.
о 1) На множестве £ всех полупростых подмодулей в М введем
частичный порядок так, что для любых Ху Y е£ неравенство X < Y равносильно
тому, что X ®Z = Y для некоторого ненулевого Z € £. Так как £ содержит
объединение любой цепи, то £ содержит максимальный элемент X. Если
X — существенный подмодуль в Af, то все доказано. Допустим теперь,
что X П Z' = 0 для некоторого ненулевого циклического подмодуля Z'
в М. По условию Z' содержит простой подмодуль Z. Тогда X DZ = 0,
X <X®Ze£ и получаем противоречие.
2) По 1) достаточно доказать, что каждый ненулевой циклический
подмодуль Х\ в М содержит простой подмодуль. Допустим, что это не
так. Так как Х\ не прост, то Х\ содержит ненулевой собственный
циклический подмодуль ^2, который снова не прост. Повторяя рассуждение,
получим бесконечную строго убывающую цепь циклических подмодулей
Х\ D X2 Э . •. и приходим к противоречию. □
5.6. Теорема. Для модуля М равносильны условия:
1) М — полу простой модуль;
2) М — гомоморфный образ (не обязательно прямой) суммы
простых модулей;
3) Af — вполне приводимый модуль.
> Без ограничения общности можно считать, что М ф 0. Импликация
1) =>2) очевидна.
2)=>3). Так как гомоморфный образ простого модуля либо прост,
либо равен нулю, то М = £;е/^0, где все модули Xt просты. Если N —
существенный подмодуль в Af, то N содержит все простые модули Xt
и поэтому N = М. По 5.4 в Af каждый подмодуль —прямое слагаемое.
3)=^ 1), Пусть А' —ненулевой циклический подмодуль в М. По 4.2
X имеет максимальный подмодуль Y. По условию существует прямое
разложение Af = Y 0 Z. Тогда X = Xn(Y®Z) = Y®XnZy где * П Z
прост. По 5.5(1) Af — существенное расширение некоторого полупростого
модуля N. По 5.4 Af = N. □
Следующие утверждения 5.7 и 5.8 вытекают из 5.6 и 5.4, а 5.9
проверяется непосредственно.
5.7. Каждый подфактор Af любого гомоморфного образа произволь-
н°й прямой суммы полупростых модулей — полупростой модуль, в Af
58 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
каждый подмодуль — прямое слагаемое, и любой гомоморфный образ 1
модуля М изоморфен прямому слагаемому модуля Af. I
5.8. Полупростые модули совпадают с модулями, не имеющими соб- я
ственных существенных подмодулей. я
5.9. Если М — полупростой модуль, то Af конечно порожден & М I
конечномерен & Af артинов Ф> Af нётеров & М — конечная прямая ||
сумма простых модулей. II
5.10. Если М — конечно порожденный модуль, то М полупрост И
в точности тогда, когда в М каждый максимальный подмодуль— ||
прямое слагаемое. II
> Импликация => следует из 5.6. Докажем импликацию <=. Пусть Ц
XeLat(Af). По 5.2(2) X — прямое слагаемое некоторого существенного я
подмодуля К в Af. Допустим, что Y ф М. По 4.2 собственный суще- 1
ственный подмодуль Y лежит в некотором существенном максимальном I
подмодуле Z в Af. Тогда Z — существенное прямое слагаемое в Af, я
откуда Z = Af, что противоречит максимальности Z в Af. Поэтому 1
Y = Af и в модуле Af любой подмодуль X — прямое слагаемое. По 5.6 Af ffl
полупрост. □ |
Цоколь. Для любого модуля Af из 5.6 следует, что сумма всех по- I
лупростых подмодулей в Af — полупростой модуль, содержащий все по- I
лупростые подмодули в Af. Эта сумма называется цоколем модуля Af I
и обозначается Soc(Af), причем Soc(Af) = 0, если Af не содержит простых |
подмодулей. Так как любой ненулевой гомоморфный образ простого мо- 1
дуля прост, то Soc(Af) — вполне инвариантный подмодуль в Af. В частно- I
сти, в любом кольце А правый цоколь Soc(Aa) и левый цоколь Soc(^y4) 1
являются идеалами. 1
5.11. Цоколь Soc(Af) совпадает с пересечением X всех суще- 1
ственных подмодулей модуля Af. 1
> Так как в Af каждый существенный подмодуль содержит любой про- I
стой подмодуль из Af, то Soc(Af) С X. Теперь достаточно доказать, что 1
X полупрост. Пусть Х\ —подмодуль в X. По 5.2(1) существуют такие |
подмодули Y СМ нХ2СХучто Xf)Y = 0y Af — существенное расширение ||
X 0 У, Х\ С\Х2 = 0 и X — существенное расширение Х\ 0^2- Тогда Af — |
существенное расширение Х\ 0 Х% 0 Y. По условию X С Х\ 0 Х% 0 Y. |
Отсюда и из модулярности решетки Lat(A) следует, что I
X =Xn{Xx®X2®Y) =Xi®X2®XnY =X{®X2y 1
Х\ — прямое слагаемое в X и по 5.6 модуль X полупрост. D 1
Модуль называется полуартиновым, если каждый его ненулевой I
подфактор имеет простой подмодуль. Ясно, что каждый ненулевой фак- |
тормодуль полуартинова модуля — существенное расширение своего цо- I
Полупростые модули и кольца
59
коля, а полуартиновы Z-модули совпадают с периодическими абелевыми
группами.
Однородные компоненты полупростых модулей. Если
полупростой модуль М является суммой модулей, изоморфных
фиксированному простому модулю S, то Af называется S-однородным модулем. Ес-
ли уи — полупростой модуль и {S/}/6/— множество всех представителей
классов изоморфных простых подмодулей в Af, то для любого S/
сумма всех простых подмодулей в Af, изоморфных 5/, обозначается через
Н(М, Si), называется Si-однородной компонентой Af и является 5/-
однородным полупростым модулем.
5.12. Если Af — S-однородный полупростой модуль, то все
простые подмодули любого гомоморфного образа М изоморфны S и М
не имеет собственных вполне инвариантных подмодулей.
> Пусть Af = YljeJ Mj> где все М°ДУЛИ Mj изоморфны одному простому
модулю S, Г —простой подмодуль в Af, 7г —проекция Af на его прямое
слагаемое Т. Тогда 7r(Afy) ^0 для некоторого / eJ. Так как модули Af,
и Т просты, то 7г индуцирует изоморфизм Af/-» Т. Тогда Т = S и по 5.7
каждый ненулевой подмодуль любого гомоморфного образа Af
—прямая сумма простых модулей, изоморфных S. Поэтому непосредственно
проверяется, что Af не имеет собственных вполне инвариантных
подмодулей. □
5.13. Пусть М — полупростой модуль и {//(Af, S/)},€/ —
множество всех однородных компонент Af. Тогда М единственным
образом разлагается в прямую сумму своих однородных компонент
Hi == //(Af, Si), End(Af) = П/6/ End(///) и для каждого i € / однородная
компонента Hi вполне инвариантна в М и не имеет собственных
вполне инвариантных подмодулей.
1) Af — арифметический модуль и каждый его ненулевой вполне
инвариантный подмодуль — прямая сумма некоторого
множества однородных компонент Af.
2) Кольцо End(Af) неразложимо в точности тогда, когда М —
однородный полупростой модуль, т. е. М не имеет
собственных вполне инвариантных подмодулей.
* Можно считать, что Af имеет как минимум две однородные
компоненты. Зафиксируем одну компоненту //, = //(Af, S/) и обозначим
*'*£/*■///. Ясно, что Af = //,•+*/.
Допустим, что Hi П Xi ф 0. Тогда //« П X-t полупрост и содержит
простое прямое слагаемое T = S/ модуля Af. Так как ^«=52^///, то
*' ^I^AeA ^a» где все модули У\ просты и не изоморфны Т. Кроме того,
существует проекция 7г: £АеЛ ^ -+ Т. Тогда Т 2 Ух для некоторого
60 Плава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
АеЛ и получаем противоречие. Поэтому Я,- П X,- = 0 и М = ф/е/Я/.
С помощью 5.12 непосредственно проверяется, что все модули Я,- вполне
инвариантны в Af. По 3.13 End(Af) = П/е/ End(#/). Теперь утверждения
1) и 2) проверяются непосредственно. □
5.14. Простые артиновы кольца. Для кольца А равносильны
условия:
1) А — простое артиново кольцо;
2) Л изоморфно кольцу матриц Dn, где D — тело и п GN;
3) Лл = Si 0... © Sn, где все S/ — изоморфные простые модули;
4) А изоморфно кольцу эндоморфизмов модуля Si ф.. .©Srt, где
все модули Si изоморфны одному простому модулю S;
5) А изоморфно неразложимому кольцевому сомножителю
кольца эндоморфизмов конечно порожденного полупростого
модуля М.
> Так как цоколь S ос (Ад) — идеал простого кольца Л, то импликация
1) =>3) следует из 5.13. Эквивалентность 3) Ф>4) следует из естественного
изоморфизма Л = End^). Эквивалентность 4)«=>5) следует из 5.13 и 5.9.
Так как по лемме Шура кольцо эндоморфизмов простого модуля — тело,
то импликация 4) => 2) следует из 3.8.
2)=>1). Так как D —простое кольцо, то Drt —простое кольцо (см.
с. 24). Поскольку D — артиново кольцо, то по 4.14 Dn — артиново кольцо.
□
5.15. Теорема. Пусть М —конечно порожденный полупростой
модуль.
1) М = 5i ф... ф S„, где все S/ — простые модули и каждый
простой подмодуль в М изоморфен одному из модулей S/, причем
если М = Т\ф... ф Гш и все модули Т} просты, то т = п и
существует такой автоморфизм <р модуля Му что <£(S/) = Тр^у
| = 1,...,л, для некоторой перестановки р чисел 1, ..., п.
2) Если X G Lat(Af), то существуют разложение М = Х ф К,
автоморфизм (р модуля М и подмножество J в {1, ..., п) такие,
4moX = <p(®ieJSi) и Y = <p(Qie{l „}V,S/).
3) М не содержит прямую сумму п + 1 ненулевых подмодулей,
End(Af) — ортогонально п-конечное кольцо и fn = 0 для
любого нильпотентного /eEnd(Af).
4) М имеет конечное число однородных компонент Н\ =
= Я(М, Si), ..., Hk = Я(М, Skh M = ©f=1 Я/, для каждого
i е I однородная компонента Hi вполне инвариантна в М
и является прямой суммой конечного числа щ изоморфных
копий простого модуля S/, End(Af) = End(H\) x ... х End(Hn)
Полупростые модули и кольца 61
и каждое кольцо End(#/) изоморфно простому артинову
кольцу всех матриц размера щ х щ над телом End(S/),
причем все числа щ и k определены однозначно.
о 1) Модуль М имеет композиционные ряды
О = Х0 С Хх С ... С Хп = М и 0 = У0 С Y{ С ... С Ym = Му
где Xi = Si е... е s,-, / = 1,..., л, и К/ = fi е... е h и = 1,..., т).
Тогда Si &Xi/Xi-i и 7/ as Ky/y/-i при / = 1, ..., л и / = 1, ..., m. Из 4.10
следует, что m = я и существует такой автоморфизм у? модуля Му что
</?(S;) = Тру), i = 1, ..., П.
Пункты 2) и 3) проверяются с помощью 1) и 4.29.
4) По 5.13 М имеет конечное число однородных компонент Н\ =
= Н(МУ S,), ...,//* = Н(М9 S*), М = 0f=I Hh для каждого i Е /
однородная компонента //, вполне инвариантна в М и является прямой
суммой конечного числа щ изоморфных копий простого модуля S/
и End(Af) = End(#i) x ... х End(tffc), гДе ^ определено однозначно. По
1) числа щ определены однозначно. По 5.14 каждое кольцо End(//;)
изоморфно простому артинову кольцу всех матриц размера щ х щ над
телом End(S/). □
5.16. Теорема Веддерберна—Артина. Для кольца А равносильны
условия:
1) Л — полупростое справа кольцо;
2) А — полупростое слева кольцо;
3) в А а каждый максимальный правый идеал — прямое
слагаемое;
4) в дА каждый максимальный левый идеал— прямое слагаемое;
5) все правые А-модули полу просты;
6) все левые А-модули полупросты;
7) А — конечное прямое произведение простых артиновых
колец;
8) А изоморфно конечному прямому произведению колец
матриц над телами.
^ Так как условие 8) лево-право-симметрично, то достаточно доказать
эквивалентность условий 1), 3), 5), 7) и 8). Эквивалентность 1)^3)
следует из 5.10. Импликация 5)=> 1) очевидна. Импликация 1)=>5) следует
из 5.7 и того, что по 3.6 каждый модуль — гомоморфный образ свободного
модуля. Импликация 1)=>8) и эквивалентность 8)«=> 7) следуют из 5.15
и 5.14. Импликация 7)=> 1) следует из 5.14 и того, что прямая сумма
полупростых модулей — полупростой модуль. □
62 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
5.17. Пусть М —конечно порожденный полупростой модуль,
М = Х\ 0 Х2 = У\ 0 ^2» е: М —► Х\ — проекция с ядром Х<± и f: Af -» Ki —
проекция с ядром Y<i- Если существует изоморфизм v: Y\ —»Яь mo
существует такой автоморфизм и модуля Af, что и"[еи = /.
> Так как У| =Яь то по 5.15(2) существует изоморфизм до: Кг—*Хг.
Пусть и — такой автоморфизм модуля Af, что w(jc + #) = v(x) + до(#)
при х G Ki и t/ G Уг- Тогда w_l (у(х) + до(*/)) = х + у для всех у(х) € Xi
и w(y)eX2. Поэтому
1Г\е(и(х + у))) = u~l(e(v(x))) = w_1(y(jc)) = jc, u'leu = f. D
5.18. Пусть А — полупростое кольцо. Если х, у€А и хА=уА, то
существуют такие обратимые u,veA, что x — uyv. Кроме
того, если {£;}?_! — полное множество ортогональных неразложимых
ненулевых идемпотентов из А, то А — ортогонально п-копечное
кольцо индекса ^п и для каждого идемпотента f € Л существуют
обратимый элемент и€А и подмножество I С {1, ..., п} такие,
что f — ueu^{, где в обозначает идемпотент £/€/ e'1 е^-
> Так как хА = у А к А полупросто, то г(х) = г(у)А. По 5.15 r(y) = vr(x)
для некоторого v G U(A). Пусть z = yv. Тогда г(г) = v~lr(y) = r(x) и
существует такой изоморфизм <р: xA-+zA, что <р(х) = z. Так как r(x) = r(z),
то х = uz = ш/у для некоторого ы € U(A). Второе утверждение следует
из 5.15 и естественного изоморфизма Еп6(Аа)-^А. □
Радикал Джекобсона и полупримитивность
Радикал Джекобсона для модулей и колец. Пересечение ядер всех
гомоморфизмов из модуля Af в любые простые модули называется
радикалом Джекобсона модуля М и обозначается через /(А4). Ясно, что либо
/(Af) = Af (если max(Af) = 0), либо /(Af) совпадает с пересечением всех
максимальных подмодулей в Af (если max(Af) ^ 0). Для любого кольца А
обозначим через J (А) сумму всех таких идеалов X в А, что элемент 1 — х
обратим в А для всех х € X. Поскольку ниже в 5.23(1) будет доказано, что
J(A) =/(Лд) = /(дЛ), то J(A) называется радикалом Джекобсона кольца
А. Кольцо А называется полупримитивным, если J(A) = 0. Модуль
Af называется полу примитивным, если /(Af)=0. Ясно, что M/J(M) —
полупримитивный модуль, являющийся подпрямым произведением
простых модулей.
5.19. Каждый полупростой модуль полупримитивен, каждый
ненулевой полупримитивный артинов модуль —полупростой нё-
теров модуль и Z — полупримитивное нётерово неполупростое
кольцо.
Радикал Джекобсона и полупримитивность
63
о Непосредственно проверяется, что Z — полупримитивное нётерово
неполупростое кольцо. Пусть М — полупростой модуль и S — простой
подмодуль в Af. Существует прямое разложение Af = 5фЛ/. Тогда N —
максимальный подмодуль в М и S g N. Поэтому S % J(M). Так как
каждый ненулевой подмодуль в Af — сумма простых подмодулей, то Af
полупримитивен. Пусть X — ненулевой полупримитивный артинов модуль
и {Yibei — непустое множество всех максимальных подмодулей в X. Из
леммы Цорна и артиновости X следует существование такого конечного
подмножества {Y\, ..., Yn} С {У/}/€/, что Y\ П... П Yn =J(X) = 0. Поэтому
существует мономорфизм из X в конечную прямую сумму простых
модулей X/Y\, ..., X/Yn. Тогда X —конечная прямая сумма простых
модулей. В частности, X — полупростой нётеров модуль. □
5.20. Для каждого модульного гомоморфизма f:M—>N имеем
f(J(M)) С J(N). В частности, /(Af) — вполне инвариантный
подмодуль в М и J(Aa) — идеал в А.
> Пусть g: N —> S — гомоморфизм в простой модуль S. Тогда gf e
е Hom(Af, 5). По определению /(Af) имеем gf(J(M)) = 0. Поэтому
f(J(M))CJ(N). □
Подмодуль X модуля М называется малым (в Af), если X + Y Ф М
для каждого собственного подмодуля Y в М. Так как Qz не имеет
максимальных подмодулей, то Qz = ^(Qz)- В частности, J(Qz) не мал в Qz.
5.21. Радикал /(Af) модуля М содержит любой малый подмодуль
X в М и каждый конечно порожденный подмодуль N C/(Af) мал в Af.
Поэтому /(Af) — сумма всех малых подмодулей в М и если /(Af) мал
в Af, то /(Af) — наибольший малый подмодуль в Af. Кроме того, если
Af — ненулевой конечно порожденный модуль, то M^J(M) и /(Af) —
наибольший малый подмодуль в Af.
> Если Y € max(Af), то X С Y, поскольку в противном случае X + Y = Af
и X не мал в Af. Поэтому X С /(Af). Допустим, что подмодуль N не
мал в Af. Тогда существует такой подмодуль Z в Af, что N + Z = Af
и N n Z ^ ЛЛ Так как Af/Z = (Л/ + Z)/Z £ Л//(# П Z), то Af/Z -
ненулевой конечно порожденный модуль. По 4.2 Af/Z имеет максимальный
подмодуль Af'/Z, где Z С Af' и Af'— максимальный подмодуль в Af. Так
как N С /(Af) С Af', ToAf = yV + ZCAf' + Z = Af' и получаем
противоречие. □
5.22. Если А — кольцо и xgJ(Aa), то для любого аеА найдется
такой элемент b еА, что (1 —ха)Ь = 1.
* Так как хаА + (1 - ха)А =А и по 5.21 хаА — малый правый идеал, то
(1 — ха)А =А и (1 — ха)Ь = 1 для некоторого be А. □
Через gs(Af) обозначается множество всех таких эндоморфизмов /
модуля Af, что подмодуль /(Af) мал в Af.
64 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
5.23. Пусть А — кольцо.
1) J(A)=J(AA) = J(AA) и \-zeU(A) для всех ztJ(A).
2) ueU(A) & u + J(A)eU(A/J(A)).
> 1) Пусть z e J(AA). По 5.22 (1 - z)b = 1 для некоторого b € А.
Поскольку zb eJ(AA) и b = 1 +zby то по 5.22 6с = 1 для некоторого с € Л.
Тогда
с = ((\-z)b)c = (\-z)(bc) = 1-2,
(1 -Z)b = 6(1-2) = 1, 1 -z e U(A).
Так как определение J (А) лево-право-симметрично, то для
доказательства равенств /(Л) = J(AA) = J(AA) достаточно доказать
равенство J(A) = J(AA). Пусть х € J(A) и У—такой правый идеал в Л, что
хА + Y = Л. Тогда хал- у — \ для некоторых а € Л и у €Y. Так как
jra G /(Л), то элемент # = 1 - ха обратим в Л. Поэтому Y = Л и хЛ —
малый правый идеал. По 5.21 jc e J(AA). Поэтому J(A) CJ(AA). Так
как по 5.20 J(AA) — идеал в Л, то включение /(Л) ^J(AA) следует из
обратимости в Л элемента 1 — z для любого z € /(Л).
Пусть <р: Епс^Лд) —► Л — естественный изоморфизм, переводящий
f eEnd(AA) в /(1). Так как <p(gs(AA)) — сумма всех малых правых
идеалов в Л, то по 5.21 y?(gs^y4)) = /^).
2) Достаточно доказать импликацию <=. Существуют такие vyw€A
и a:, yeJ(A), что 1 = иу+л: = шЛ-1/. По 1) 1 -xeU(A) и 1 -yeU(A).
Поэтому uv e U(A) uwuz U(A). Тогда и е U(A). П
5.24. Пусть А — кольцо и Af — правый А-модуль.
1) Если X — правый А-модуль и Н — подмножество группы
Нот^, МА), порожденное всеми гомоморфизмами с малыми
в X образами, то Н — подбимодуль Епд(М)-Епд(Х)-бимодуля
Нот^, МА). В частности, YlheH h(X) ~~ вполне
инвариантный подмодуль в МА.
2) gs(Af) — идеал кольца End(Af).
3) Естественный изоморфизм End^)—>Л отображает идеал
gs(AA) в End^) на радикал У(Л).
> 1) Пусть Л, h! еЯ, / G End(A) и ge End(Af). Достаточно доказать, что
Л + й'Е/У, gheH uhfeH. Пусть Af = N+ (h + h')(M), где N Е Lat(Af).
Так как (h + h')(M) С /z(Af) + h'(M), то Af = N + /z(Af) + h'(M). Поскольку
Л, h' еНу то N = Af. Поэтому h + b! еИ. Пусть М = N + gh(M)y где
Л/ € Lat(Af). Тогда для любого х Е М существуют такие п € Ny у е Af,
что g(x) = л + g/z((/) и g(x - /*(*/)) G N. Поэтому М = g~[(N) + Л(М).
Так как /z(Af) мал в Af, то g~l(N) = Af и g(M) С Л/. Тогда gh(M) С Л/
и Af = N + g/z(Af) = N. Поэтому gh е И. Пусть Af = N + Л/(Л1), где
Радикал Джекобсона и полупримитивность
65
д/ е Lat(Af). Так как h(M) мал в М и hf(M) С Af, то Л/ = Af. Поэтому
hfeH.
Пункт 2) следует из 1) при X = М, а 3) проверяется непосредственно.
□
5.25. Если Ь — элемент кольца А и / — такой идемпотент в А,
что f — b € J (А), то существует такой идемпотент е еАЬ, что
e-beJ(A).
> Так как / - Ь € J (А), то / - b - 1 € £/(Л). Обозначим a = (f- b)(f -
_&_!)-'€/(Л). Тогда
f-b = a(f-b-l), a + f-b =af-ab,
f(a + f-b)f = f(af~ab)f, faf + f - fbf = faf - fabf,
f-fbf = -fabf, f = f(b-ab)f.
Обозначим e = f(b - ab). Тогда e = e2€/li и e - b = fb - fab - b =
= f(b-f) + (f-b)-fabeJ(A). □
5.26. Пусть Af — правый модуль над кольцом А.
1) А1УИ)С/(А1).
2) Если М — ненулевой конечно порожденный модуль, то М Ф
фМ1{А).
3) Если М конечно порожден, то подмодуль MJ(A) мал в Af.
> 1) По 5.21 достаточно доказать, что для каждого хеМ подмодуль
xJ(A) мал в Af. Если Y — подмодуль в Af и Af = У + xJ(A)y то х = у + ха
для некоторых у е Y и а € У(Л). Тогда jc(1 — а)=у eY и 1 — а Е £/(Л).
Поэтому х € К. Так как M = Y + хАу то М = У.
2) Пусть {mi, ..., т„} — минимальная система ненулевых
образующих в М. Допустим, что Af = МУ(Л). Тогда mi = £"=1 m/fr/ для некоторых
ft,- eJ(A). Так как ft, Е/(Л), то 1 - ft, € U{A). Если л = 1, то т,(1 - ft,) = О,
т\ = т,(1 — Ь\){\ — Ь\)~х = 0 и получаем противоречие. Пусть п ^ 2.
Тогда
/и, =m,(l-&,)(l-&1)-1 =X>l-Ml-&i)"1 €£/M,
что противоречит минимальности системы {т\, ..., m„}._
_ 3)_Пусть А' —подмодуль в Af, ^=^+^/(/4) и М = М/Х. Тогда
M = Af/(y4). По 2) Af = 0. Поэтому Af =Я и Af/(/4)— малый подмодуль
вМ. □
5.27. Пусть А — кольцо.
1) Если В — правый идеал в Л, то В CJ(A) в точности тогда,
когда MB Ф М для каждого ненулевого конечно
порожденного правого А-мод у ля Af.
66 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
2) Все правые или левые нильидеалы кольца А лежат в J (А).
3) Если А — конечно порожденный правый модуль над своим
унитарным подкольцом R и Л/(/?) = Л/(/?)Л, то AJ(R)A С/(Л).
> 1) Импликация => следует из 5.26(2). Докажем <=. Пусть D —
максимальный правый идеал в А и М = Ад/D. По предположению MB ф М.
Тогда MB — собственный подмодуль простого модуля М. Поэтому MB = 0.
Тогда А В CD. Поэтому В С J (А).
2) Достаточно доказать, что J {А) содержит любой правый нильи-
деал X. Допустим противное. Тогда в А существует не содержащий
X максимальный правый идеал М. Тогда А = М + X и т=\-х для
некоторых х G X и т Е М. Так как хп = 0 для некоторого п € N, то
1 =(1 —х)(\ +.. . + хп~]) = т(\ +.. .+хп~]) еМ и получаем
противоречие.
3) Обозначим через В идеал J(R)A = AJ(R). По 1) достаточно
доказать, что MB ф М для любого конечно порожденного Л-модуля М. Пусть
М = Е"=\ miA и А = E/=i Я/#> Тогда
п п s
М = ^m/Л = ^Г^т/а;/?.
1=1 /=1 /=1
Поэтому Af — конечно порожденный правый /?-модуль. По 1) Af ф
^MJ(R) = MAJ(R) = MB. О
5.28. Пусть кольцо А — конечно порожденный модуль над своим
центральным унитарным подкольцом R.
1) Каждый конечно порожденный правый или левый А-модуль
М — конечно порожденный R-модуль.
2) AJ(R)ACJ(A).
3) Если В —идеал в Л, то В —конечно порожденный правый
(левый) идеал в точности тогда, когда В — конечно
порожденный R-модуль.
4) Если А — цепное справа артиново справа кольцо, то А —
цепное артиново кольцо.
> Пункт 1) проверяется непосредственно, 2) следует из 5.27(3), 3)
следует из 1).
4) Пусть УУ — ненулевой радикал кольца Л, Т7 —поле, являющееся
центром тела Q=A/Ny n — размерность векторного ^-пространства Q
и T = N/N2. Так как Ta = Qa, то размерность ^-пространства Т равна
п. Поэтому aT = aQ, главный правый идеал N — также главный левый
идеал, откуда Л — цепное артиново кольцо. □
5.29. J(X) = X П J(M) для каждого прямого слагаемого X
модуля М.
Радикал Джекобсона и полупримитивность
67
j> Пусть М=Хф К и N — пересечение всех максимальных подмодулей
в М, содержащих Y. Тогда
ЦМ) QN =J(X)®Yy XC\J(M) CXDN =Xn(J(X)®Y) = J(X).
Достаточно доказать, что /(A) CXnJ(M). Допустим противное. Тогда
J(X) £/(А/), поскольку J(X) CX. Поэтому J(X) g Af' для некоторого
максимального подмодуля Af' в М. Тогда М = ](Х) + Af' = X + Af' и А П Af' —
максимальный подмодуль в X, поскольку Х/(Х П М') = (X + Af')/Af' =
= М/М'. Поэтому /(Л) С А П М' С Af'. Получено противоречие. □
5.30. Если М = 0/6/Af/, mo /(Af) = 0/e//(Af,) u /(Af,) = Af/n/(Af)
для всех L
> По 5.29 Mi П /(Af) = /(Af/) для всех / € /. Пусть A,-: Af -> Af/ —
естественные проекции. Так как /(Af) вполне инвариантен в Af, то
hi(J(M))CJ(M) для всех /. Поэтому /(Af) = 0/6/(Af/ n/(Af)). □
5.31. Пусть Af — модуль и X — подмодуль в Af.
1) (/(Af) + ЛОД С J(M/X) и существуют естественные
эпиморфизмы M/J(M)-+M/(J{M)+X) и M/{J{M)+X)->(M/X)/(J{M/X)).
2) Если X - подмодуль в /(Af), то J(M)/X =J(M/X).
3) Если фактормодуль M/J(M) полупрост, то (M/X)/(J(M/X)) —
полупростой гомоморфный образ модуля Af//(Af).
4) Существует такой подмодуль Y в Af, что XnY = 0 и M/Y —
существенное расширение (X ф Y)/Y. Кроме того, если модуль
X прост, то каждый ненулевой подмодуль в M/Y содержит
простой модуль (X ф Y)/Y и либо Af =X ф К, либо простой
модуль (X ф Y)/Y лежит в радикале Джекобсона некоторого
циклического подмодуля в M/Y'.
5) Модуль M/J(M) полупримитивен и /(Af) С А' (Зля любого
такого X € Lat(Af), что модуль М/Х полупримитивен.
6) Для любого кольца А факторкольцо A/J (А) полу примитивно
и не имеет ненулевых правых или левых нильидеалов.
> Пункт 1) следует из 5.20, если в качестве / взять естественный
эпиморфизм Af —► М/Х. Пункт 2) следует из 1). Так как каждый гомоморфный
образ полупростого модуля полупрост, то 3) следует из 1).
4) По лемме Цорна существует подмодуль К в Af, максимальный
относительно свойства X П Y = 0. Допустим, что модуль Af/У не
является существенным расширением (X ф Y)/Y. Тогда M/Y содержит такой
ненулевой подмодуль P/Y, что ((X ф Y)/Y) П (P/Y) = 0. Так как P/Y ф 0,
то X П Р ф 0. Тогда ((X ф Y)/Y) П (P/Y) ф 0. Получено противоречие.
Допустим, что модуль X прост. Так как M/Y — существенное
расширение простого модуля (X ф Y)/Y, то каждый ненулевой подмодуль
содержит простой модуль (X ф Y)/Y. Допустим, что Af фХ ф Y.
68 Плава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
Тогда M/Y содержит такой ненулевой циклический подмодуль Q/Y, что я
Q/Y % (X 0 Y)/Y. Так как M/Y — существенное расширение простого 1
модуля (X ф Y)/Y, то (X 0 Y)/Y — собственный подмодуль в Q/Y и любой 1
ненулевой собственный подмодуль S/Y в Q/Y содержит (X 0 Y)/Y. Тогда 1
((X 0 Y)/Y) + (S/У) ф Q/Y. Поэтому простой модуль (X 0 Y)/Y лежит I
в радикале Джекобсона циклического модуля Q/Y. я
Пункт 5) следует из 1), 6) следует из 5) и 5.27(2). □ я
5.32. Пусть М — модуль. я
1) Если М квазиинвариантен, то кольцо End(Af//(Af)) редуци- я
ровано и изоморфно подкольцу прямого произведения тел. я
2) Если кольца эндоморфизмов всех фактормодулей модуля 1
М нормальны, то М квазиинвариантен, End(Af)/gs(Af) и я
End(M/J(M)) — редуцированные кольца, а кольцо End(Af//(Af)) I
изоморфно подкольцу прямого произведения тел (в частно- Я
сти, образ любого нильпотентного эндоморфизма f модуля я
М малвМ и f(M)CJ(M)). I
> 1) Обозначим М = M/J(M). Так как_в М каждый максимальный под- I
модуль X вполне инвариантен и End(M/X) -^тело, то существует есте- I
ственный кольцевой гомоморфизм fx: End(Af) —» Епд(М/Х). Пересече- I
ние ядер всех гомоморфизмов fx равно нулю. Поэтому кольцо End(Af) I
изоморфно подкольцу прямого произведения тел. Тогда кольцо End(Af) I
редуцировано. я
2) По 3.17(5) М квазиинвариантен. По 1) кольцо End(Af/7(Af)) Я
редуцировано и изоморфно подкольцу прямого произведения тел. Оста- я
ется доказать, что End(Af)/gs(Af) — редуцированное кольцо. Пусть я
/ € End(Af), п е N и fn G gs(Af) (т. е. подмодуль fn(M) мал в М). я
Достаточно доказать, что если- keN и fk+l(M) мал в Af, то fk(M) я
мал в М. Пусть X е Lat(M) и М =Х + fk(M). Тогда I
f(X) + fk+l(M) = W) Э fk(M), M = X + f(X) + fk+l(M). I
Так как fk+{(M) мал в Af, то М =Х + f(X). По 3.17(3) М = Х и /*(Af) I
мал вМ. '-'Я
5.33. Пусть А — кольцо. Если {е/}"=1 — полное множество орто- я
гональных ненулевых идемпотентов в А, то Ц
л л Я
/И) = ©AM), И//(Л))Л s 0М)/(/М)). 1
/=1 /=1 Я
Кроме того, если е = е2 € Л «Л„- кольцо матриц, то я
/Мл) = е/(Л) = У(Л)ПеЛ, /(Л„) = /(Л)„, Л„//(Л„) s (Л//(Л))„ 1
и при ефО радикал J(eAe) кольца еАе равен eJ(A)e. я
Локальные, полулокальные и полусовершенные кольца 69
о Первые два утверждения следуют из 5.30 и 5.29. Равенство J(An) =
~J(A)n и изоморфизм An/J(An) = (A/J(A))n проверяются с помощью того,
что для любого кольца R радикал /(/?) равен сумме всех таких идеалов
X в /?, что 1 -х € U(R) для всех хеХ (см. с. 62). Пусть 0Фе = е2 € А,
еае Е eJ(A)e и ехе € еАе. Так как еае € J (А), то (1 - еае • ехе)у = 1 для
некоторого у € Л. Тогда (е - еае • ехе)(еуе) — е. Кроме того, eJ(A)e —
идеал в еАе и еае е/(еЛе). Поэтому eJ(A)e CJ(eAe).
Пусть ebe e J(eAe), t € А к z = ebet(\ - е). Так как z2 = 1, то
(1 - 2)(1 + г) = 1. Так как ebe e J(eAe)y то (е - ebe • ete)eue = е для
некоторого ewe Е еЛе. Обозначим v = еае + 1 - е. Тогда
(1 - ebet)v = (1 - ebet)(eue + 1 - е) =
= (е — ебе • ete)eue + 1 - е — ebe/(l — е) =
= \-ebet(\-e)= 1-г, (1 -ebet)v(\ + 2) = 1.
Поэтому элемент 1 — ебе/ обратим справа. Кроме того, ebe е eJ(A)e.
Поэтому У(еЛе) С е/(Л)е. П
Локальные, полулокальные и полусовершенные
кольца
Модуль X называется локальным, если X цикличен и X/J(X) —
простой модуль, т.е. если X — ненулевой циклический модуль с единственным
максимальным подмодулем.
Локальные модули, кольца и идемпотенты.
5.34. X —локальный модуль в точности тогда, когда X^J(X)
иХ = хА для любого xeX\J(X), а также в точности тогда, когда
X/J(X) — простой модуль и J(X) — малый подмодуль в X. (Это
утверждение проверяется непосредственно.)
Если X — правый А-модуль, то X имеет ровно один
максимальный подмодуль & J(X) — максимальный подмодуль в X &
Х = хА + J(X) для любого хеХ\ J(X).
Из приведенного ниже примера следует существование нелокального
ненулевого модуля с единственным максимальным подмодулем.
Пример. Если Afz = Z/3Z0Z(2°o), то Z(2°°)=J(Xz) — единственный
максимальный подмодуль бесконечно порожденного модуля Х%, причем
X/J(X) — простой модуль.
Кольцо А называется локальным, если A/J(A) — тело. Ненулевой
идемпотент е е А называется локальным, если еЛе —локальное кольцо.
5.35. Для кольца А равносильны условия:
1) А — локальное кольцо;
2) АА — локальный модуль;
70 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
3) дА — локальный модуль;
4) для любых таких а, Ь € Л, что а Л- Ь = 1, хотя бы один из
элементов а, Ь обратим в Л;
5) Л \У(Л) С U(A) (т. е. J(A) совпадает с множеством всех
необратимых элементов кольца Л);
6) все циклические А-модули и все факторкольца кольца А
локальны, причем (A/J (А)) д — единственный с точностью до
изоморфизма простой правый А-модуль.
> Импликации 1)=>6), 6)=>2) и 6)=>3) проверяются непосредственно.
Импликации 2)=> 1) и 3)=> 1) следуют из того, что Л —тело в точности
тогда, когда Л —простой правый (левый) Л-модуль. Эквивалентность
2)«ф5) следует из 5.34. Импликация 1)=>4) следует из того, что для
любого аеА элементы aw 1 —а не могут одновременно лежать в J(A)
и из условия следует, что хотя бы один из этих элементов обратим.
4)=>2). Пусть aeA\J(A). Существует максимальный правый идеал
В в Л, не содержащий а. Тогда А = аА + В и существуют такие b € В
и с G Л, что ас + b = 1. Так как b G В, то b не обратим. По условию ас
обратим. Поэтому аА=А. По 5.34 модуль А а локален. □
5.36. Каждый конечно порожденный цепной модуль X локален.
В частности, каждое цепное справа или слева кольцо локально.
> Конечно порожденный цепной модуль X цикличен и имеет
максимальный подмодуль М. Так как X — цепной модуль, то М — единственный
максимальный подмодуль в X. □
5.37. Для ненулевого идемпотента е кольца А равносильны
условия:
1) е — локальный идемпотент;
2) еАд — локальный модуль;
3) дАе —локальный модуль.
> Достаточно доказать эквивалентность \)&2). Обозначим R = J(A).
По 5.33 J(eAA) = eRw J(eAe) = eRe.
1) => 2). Пусть eaeeA\ eR. Так как eae fi eRe и eAe/eRe — тело, то
eaebe = e для некоторого ebe G eAe. Поэтому eA = eaA. По 5.34 модуль
еАд локален.
2) => 1). Пусть eae e eAe \ eRe. Тогда eae eeA\ eR. По 5.34 eaeb = e
для некоторого b е Л. Тогда (eae)(ebe) = еи eAe/eRe — тело. □
Полулокальные и полусовершенные кольца. Кольцо Л
называется полулокальным, если Л /У (Л) — полупростое кольцо. Полулокальное
кольцо с нильпотентным радикалом Джекобсона называется полупри-
марным кольцом. Кольцо Л называется однородно полулокальным,
если Л/У (А) — простое артиново кольцо. Из теоремы Веддерберна—Ар-
Локальные, полулокальные и полусовершенные кольца 71
тина следует, что полулокальность кольца А равносильна правой (левой)
артиновости факторкольца A/J (А), а однородная полулокальность кольца
А равносильна тому, что факторкольцо A/J(A) изоморфно кольцу матриц
над телом.
5.38. Для кольца А равносильны условия:
1) А — артиново справа кольцо;
2) А — нётерово справа полупримарное кольцо.
о Обозначим R = J(A). Можно считать, что A/R — полупростое кольцо.
2)=>1). Пусть Rn=0. Так как Л —нётерово справа кольцо, то все
нётеровы полупростые правые модули Rl/Rl+[ над полупростым кольцом
A/R являются артиновыми. Поскольку Rn = 0, то А артиново справа
по 4.8.
1)=>2). Так как Л артиново справа и/?' DRl+l для всех/, то Rn = Rn+l
для некоторого neN. Обозначим B=Rn.
Допустим, что 6=0. Тогда Rn = 0, А полупримарно и Rl//?'+1 — арти-
нов правый модуль над полупростым кольцом A/R для любого /. Поэтому
R'/Rl+[ — артинов полупростой правый Л-модуль. Тогда Rl/Rl+l — нёте-
ров правый Л-модуль для любого /. По 4.8 А — нётерово справа кольцо.
Допустим, что В ф0. Тогда В2 = ВфО и В — элемент непустого
множества £ всех таких правых идеалов £, что Е С В и ЕВ -ф 0. Так как А —
артиново справа кольцо, то существует правый идеал Af, являющийся
минимальным элементом в £. Тогда аВ ф0 для некоторого a G М. Так
как аВ С М С В и (afi)fi = afi2 = afi ^ 0, то afi = Af. Поэтому ab — a для
некоторого b eB CR. Тогда 1 - 6 € U(A) и а(\ -b) = 0. Поэтому а = 0
и afi = 0. Получено противоречие. □
5.39. Пусть А — полулокальное кольцо.
1) £с/ш л — число слагаемых в любом разложении
полупростого кольца A/J(A) в_ прямую сумму минимальных ненулевых
правых идеалов и А — факторкольцо кольца А± то_А — полу-
локальное ортогонально п-конечное кольцо, A/J(A) —
ортогонально п-конечное кольцо индекса не более п и A/J (А) —
прямая сумма не более чем п минимальных ненулевых правых
идеалов.
2) Пусть 7г: А —» A/1(A) — естественный эпиморфизм, еу f eAy
п(е)> n(f) — идемпотенты кольца п(А) и тт(е)^А)—^(1)тг(Л)-
Тогда f -u~leueJ(A) для некоторого иеЩА).
3) Если М — А-модуль, то М вполне конечномерен в точности
тогда, когда М не имеет подфактора, являющегося
бесконечной прямой суммой изоморфных простых модулей.
4) Каждый А-модуль Везу вполне конечномерен.
72 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
> 1) По 5.31(3) А полулокально и A/J(A) — прямая сумма не более I
чем п минимальных ненулевых правых идеалов. По 5.18 А— ортого- Я
нально я-конечное кольцо индекса не более п. Допустим, что А содер- Я
жит множество {£/}"*/ ненулевых ортогональных идемпотентов. Пусть I
h: А —> J(A) — естественный эпиморфизм. Так как ](А) не содержит нену- Я
левых идемпотентов, то множество {Л(^/)}^11 состоит из п + 1 ненулевых I
ортогональных идемпотентов ортогонально л-конечного кольца h(A). По- Я
лучено противоречие. I
2) По 5.17 существует такой элемент и е Л, что h(u) е U(h(A)) Я
wh(f) = h(a)-{h(e)h(a). Тогда f-u~xeueJ(A). По 5.23(1) ие^И). I
Пункт 3) следует из 4.33 и того, что над полулокальным кольцом А Я
существует лишь конечное число неизоморфных простых модулей. ||
4) В силу 1) существует такое пу что каждый циклический полупростой 11
А -модуль является прямой суммой не более чем п простых модулей. Ц
Поэтому 4) следует из 3). □ Я
Подъем идемпотентов и полусовершенные кольца. Если В — под- Я
множество кольца А и для любого аеА с условием а — а2еВ существует Я
идемпотент е е А с условием е — а е Ву то говорят, что в А идемпотенты Я
поднимаются по модулю В. Если В — собственный идеал кольца А Я
и Л: Л —»А/В — естественный эпиморфизм, то в Л идемпотенты подни- II
маются по модулю В в точности тогда, когда для каждого идемпотента ||
ее А/В существует такой идемпотент ее А, что ё = Л(е), причем в этом я
случае говорят, что все идемпотенты кольца А/В поднимаются до Я
идемпотентов кольца А. Кольцо А называется полусовершенным, Я
если A/J(A) — полупростое кольцо и все его идемпотенты поднимаются Я
до идемпотентов кольца А. Если {ё/},-€/ — некоторое множество ортого- Я
нальных идемпотентов факторкольца А/В и существует такое множество Я
{ei}iEi ортогональных идемпотентов кольца Л, что для каждого / е / есте- Ц
ственный образ в А/В идемпотента е,- еА совпадает с ё\ еА/Ву то го- я
ворят, что множество {^/Ье/ ортогональных идемпотентов кольца Я
А/В поднимается до множества {^}/€/ ортогональных идемпотен- Я
тов кольца А. Я
5.40. Пусть В — нильидеал кольца Л. Я
1) В С /(Л) и все идемпотенты факторкольца А/В поднимают- я
ся до идемпотентов кольца А. Я
2) Если факторкольцо А/В полупримитивно, то J(A) = B. щ
3) Если факторкольцо А/В полупросто, то А — полусовершен- Я
ное кольцо и J (А) = В. я
> 1) По 5.27(2) BCJ(A). Пусть h\ A -+ А/В — естественный эпи- Я
морфизм, аеА и h (а) — идемпотент в Л(Л). Так как а2 — а е В, то Я
Локальные, полулокальные и полусовершенные кольца 73
0= (а2 -а)п = ап(\ — а)п для некоторого п. Поэтому для некоторого b €/4
имеем ab = ba и an=an+lb. Обозначим е = апЬп. Так как h(a) — h(a2)
и ап = ап+]Ь, то h(a) = h(e). Поскольку ab = ba и art = art+16, то
е2 = a2"fc2rt = an-\an+lbb2n-\ = an-\anb2n-\ =
= a2n-\b2n-l = =anbn =е
2) Так как факторкольцо А/В полупримитивно, то по 5.31(6) J(A)CB.
Кроме того, В С/(Л) по 5.27(2). Поэтому В = J(A).
3) Так как по 1) все идемпотенты кольца А/В поднимаются до идем-
потентов кольца Л и по 2) В = J(A), то кольцо А полусовершенно. D
5.41. Если А — полулокальное кольцо и J(A) — нильидеал, то А
полусовершенно. В частности, каждое полупримарное (например,
артиново справа или слева) кольцо полусовершенно. Подкольцо в Q,
состоящее из всех рациональных чисел с нечетными
знаменателями, — локальное (и даже цепное) кольцо, радикал Джекобсона
которого не является нильидеалом.
> Первое утверждение следует из 5.40. Второе утверждение проверяется
непосредственно. □
5.42. Для кольца А равносильны условия:
1) А — полусовершенное кольцо,
2) А а — конечная прямая сумма локальных модулей',
3) дА — конечная прямая сумма локальных модулей',
4) единица кольца А — сумма локальных ортогональных идем-
потентов',
5) каждое факторкольцо А/В — ортогонально конечное
полусовершенное кольцо.
Следовательно, каждое факторкольцо полусовершенного
кольца — конечная прямая сумма неразложимых правых (левых)
идеалов, полусовершенные кольца без нетривиальных идемпотентов
совпадают с локальными кольцами, а нормальные полусовершенные
кольца совпадают с конечными прямыми произведениями
локальных колец.
*> Пусть h\ A —>A/J(A)-— естественный эпиморфизм. Для любого
подмножества В С А через В обозначается подмножество h(B) Ch(A).
Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 2), 4) и 5).
Эквивалентность условий 2) и 4) следует из 5.37. Импликация 5)=>1) очевидна.
Импликация 1) =ф2) следует из того, что h(A)h{A) — конечная прямая
сумма простых Л(Л)-модулей и все идемпотенты кольца h(A) поднимаются
Д° идемпотентов кольца h(A).
74 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
2)=>J). По 5.33 А полулокально. Пусть х — идемпотент полупростого
кольца А и 1 = X^=i е\ — разложение единицы кольца А в сумму
локальных ортогональных идемпотентов. Так как А = хА 0 (1 — х)А = 0"=1 £;Л,
то по 5.15 существует такое подмножество / С {1, ..., п}у что хА =
= 0/6/ё,Л. Пусть e = Ylie/ е'- ^ак как иДемпотенты £/ ортогональны,
то е = е2. Поэтому ё = ё2 и Х/4 = гЛ. По 39(2) существует « € £/(Л),
для которого х - и~хеи e J(A)L Пусть / = и~[еи. Тогда /2 = / и х = /.
Поэтому идемпотенты кольца Л поднимаются до идемпотентов кольца А.
2)=>5). Пусть Лл =0/Li ^/» гДе все модули ХЬ локальны. Так как В —
идеал, то В = 0"=1 (В nJG) и (А/В)а/в — прямая сумма локальных
модулей Xi/(B П X/), / = 1, ..., п. Так как импликация 2) => 1) уже доказана, то
кольцо А/В полусовершенно. По 5.39(1) А/В ортогонально конечно. □
5.43. Пусть В —идеал кольца А и BCJ(A). Если кольцо А/В
ортогонально конечно, то А ортогонально конечно.
> Допустим противное. Пусть h: А —»А/В — естественный эпиморфизм.
Для каждого neN существует некоторое множество {е,\л}-*=1
ненулевых ортогональных идемпотентов кольца А. Так как ](А) не содержит
ненулевых идемпотентов, то множество {Л(е;,л)}?=1 состоит из ненулевых
ортогональных идемпотентов ортогонально конечного кольца h(A).
Получено противоречие. □
5.44. Пусть В —такой идеал кольца Л, что BCJ(A) и любой
идемпотент кольца А/В поднимается до идемпотента кольца А.
(По 5.40(1) это так, если В — нильидеал в А).
1) Для любого п € N каждое подмножество факторкольца А/В,
состоящее из п ортогональных идемпотентов, поднимается
до некоторого множества ортогональных идемпотентов
кольца Л, состоящего из п элементов.
2) Если факторкольцо А/В содержит некоторое счетное
множество Е ненулевых ортогональных идемпотентов, то Е
поднимается до счетного множества ненулевых
ортогональных идемпотентов кольца Л.
3) Ортогональная конечность кольца А равносильна
ортогональной конечности кольца А/В.
> 1) Пусть h: А —»А/В — естественный эпиморфизм. Будем вести
индукцию по п. При п = 1 утверждение верно по условию.
Пусть {ё,}*=1 —множество ортогональных идемпотентов кольца Л(Л),
k > 1 и утверждение верно для всех п < k. По предположению индукции
существуют такие ортогональные идемпотенты е\у ..., ek-\ E Л, что
h(et) = ё\ при / = 1, ..., k — 1. Обозначим е = YLi=\ ei- Тогда е —
идемпотент, причем идемпотент h(e) e h(A) ортогонален идемпотенту
Локальные, полулокальные и полусовершенные кольца 75
ёь £ h{A). Существует такой идемпотент /€/4, что /*(/) = £*. Так как
feeBQJ(A)y то \- feeU(A). Обозначим ek = (\-e)(\ - fe)~]/(I -e).
Тогда h(ek) = h(f) = ^k и е*е, = е,-е* = 0 для всех / < k. Так как /(1 - е) =
= /(1 -/е), то е| = е*.
Доказательство 2) аналогично доказательству 1); 3) следует из 2)
и 5.43. □
5.45. Модуль М вполне конечномерен в точности тогда, когда
каждый подмодуль X СМ содержит такой конечно порожденный
подмодуль У, что модуль X/Y не имеет максимальных подмодулей.
> =>. Допустим противное. Существует такой подмодуль X в Af, что
каждый конечно порожденный подмодуль в X лежит в максимальном
подмодуле в X. Модуль X не является конечно порожденным и содержит
максимальный подмодуль Y\. Возьмем Х\ € X \ Y\. Существует такой
максимальный подмодуль Кг в Ху что х\ € У^. Возьмем х% € X \ Уг. Повторив
рассуждения, получим множество {У/}?!, максимальных подмодулей в X
и такое множество {jc/^j элементов из Ху что х{ € Yj\X; для всех / > /.
Пусть й: X —*-K/(nSi У/) —естественный эпиморфизм. Для каждого п
имеем прямое разложение
h(X) = h(X\Yi(B f| У,)
и строго убывающую цепь
*( П ^)=>Л(^П(р| У;)) Эй(у„ПУ„_,П( p| У/))...
Поэтому модуль h(X) не конечномерен. Получено противоречие.
ф=. Допустим противное. По 4.33 существует подфактор Х/К модуля
Af, являющийся бесконечной прямой суммой простых модулей. Модуль
X не является конечно порожденным. По условию существует такой
конечно порожденный подмодуль У в X, что X/Y не имеет максимальных
подмодулей. Так как X не является конечно порожденным, то X/Y не
является конечно порожденным. Поэтому ХфК + Y'. Существует
эпиморфизм / вполне приводимого модуля Х/К на ненулевой модуль Х/(К + У).
Так как ненулевой вполне приводимый модуль Х/(К + У) имеет
максимальный подмодуль, то X/Y имеет максимальный подмодуль. Получено
противоречие. □
5.46. Модуль Ма вполне конечномерен в точности тогда, когда
для каждого такого подмножества {mt} в Af, что mi £ Ylj^i mj^ для
всех /, множество {т,} конечно.
* =к Для каждого / е I положим УУ/ = Ц/^/ mjA- По условию m,- £ N-t
*ля всех /. Обозначим через К подмодуль £,-€/(тМ ПУУ,-) в Af. Пусть
76 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
/г: М —► М/К — естественный эпиморфизм. Тогда
h(mi)An(Y2h(mi)A) = h(rmAnNi) с h(K) = 0
для каждого /. Поэтому Y^\L\ h{m{)A —прямая сумма. Так как mi A (jLNi
и К = ^2ie/(miA П Ni) С yv,- + Ylj^i mjA = М Для каждого /, то mtA £ /(
для всех /. Поэтому Л(т/)Л ^0 для всех /. Так как /г(М) конечномерен,
то {аи,-}|€/ конечно.
<=. Пусть М/К — фактормодуль модуля М, Л: Af —* Л1//С —
естественный эпиморфизм и {w/}-^j —такое бесконечное подмножество в М, что
бесконечная сумма Y^iL\ h{mi)A — прямая сумма. Так как {т,}?^
бесконечно, то по предположению т\ ^X^m/Л Лля некоторого /. Тогда
h(rrii) = 0. Поэтому /z(Af) не содержит бесконечных прямых сумм
циклических подмодулей, откуда h(M) конечномерен. □
Полуартиновы и полунётеровы модули
Модуль называется полунётеровым, если каждый его ненулевой
подфактор имеет максимальный подмодуль.
5.47. М — полунётеров вполне конечномерный модуль в
точности тогда, когда М — нётеров модуль. (Следует из 4.6 и 5.45.)
Для модуля М возрастающий цокольный ряд модуля М
трансфинитно определяется следующим образом:
Soco(M) = 0 и Soci(Af) = Soc(Af)
— цоколь модуля М\ если а — непредельный ординал, то
Soca(Af)/SocQ_,(Af) = Soc(Af/SocQ_i(Af));
если a — предельный ординал, то
SocQ(M) = (J SoC/3(Af).
/?<Q
5.48. Пусть М — модуль.
1) М полуартинов в точности тогда, когда М = SocQ(Af) для
некоторого ординала а.
2) Если А — полуартиново слева кольцо, то все левые А-модули
полуартиновы и все факторкольца кольца А полуартиновы
слева.
3) М — полуартинов вполне конечномерный модуль в точности
тогда, когда М — артинов модуль.
> Пункт 1) и 2) проверяются непосредственно.
Полуартиновы и полунётеровы модули
77
3) Импликация <= проверяется непосредственно. Докажем =>.
Допустим, что существует бесконечная строго убывающая цепь MDM\ Э...
. 3 Mi 2 • • • подмодулей в М. Без ограничения общности можно считать,
что (Xl\Mi = 0 и Mi т^О для всех /. Полуартинов конечномерный
модуль М — существенное расширение конечной прямой суммы простых
модулей. Поэтому М — существенное расширение артинова модуля X.
Существует такой индекс л, что X ПМ/ =Х Г)Мп для всех / > п. Тогда
оо п
0 = f](X(lMi) = f)(XnMi)=XnMn.
1=1 /=i
Так как М — существенное расширение Ху то Мп = 0. Получено
противоречие. □
5.49. Пусть М — полуартинов левый модуль над кольцом Л,
теМ и {bi}fl{— последовательность элементов из У(Л). Тогда
ЬпЬп-\ .-.Ь\т = 0 для некоторого леП
о Для каждого х е М обозначим через h(x) минимальный ординал (3
со свойством х е Socp(M). Если х е J2a<p SocQ(Af), то х е Soca(Af) для
некоторого а < /3. Поэтому h(x) — непредельный ординал. Если х ф 0,
то можно считать, что h(x) = а + 1. Так как SocQ+i(Af)/Soca(Af) —
полупростой модуль, то J(A) SocQ+i (Af) С SocQ(Af). Поэтому h(bx) < h(x)
для любого ненулевого х Е М и всех Ь е J(A). Допустим, что
существует такой элемент х Е Af, что ЬпЬп-\ , ..Ь\Х ф 0 для всех п. Тогда
h(x) > h{b\x) > h(b2b\x) > ..., что невозможно, поскольку каждая строго
убывающая цепь ординальных чисел в нашем случае конечна. □
Подмножество В кольца А называется t-нильпотентным справа
(слева), если для любой последовательности Ь\у Ьъ... элементов из В
существует такой индекс fc, что bkbk-\... b\ = 0 (b\b<i.. .6* = 0). Ясно,
что каждый нильпотентный идеал t-нильпотентен справа и слева
и любой t-нильпотентный справа или слева идеал— нильидеал.
5.50. Если В — t-нильпотентный справа идеал кольца Ау то
каждый ненулевой левый А-модуль X содержит такой ненулевой
элемент ху что Вх = 0.
> Допустим, что ВуфО для любого ненулевого у е X. Пусть 0 Ф х € X.
Тогда Ь\хф§ для некоторого Ь\ еВ. Поэтому b2b\X^0 для некоторого
&2Е#. Повторяя эти рассуждения, получаем такую последовательность
Ь\, &2, •-. элементов из Ву что bkbk-\ ...Ь\хф0для всех k. Так как идеал
Я f-нильпотентен справа, то bkbk-\ • • • b\ = 0 для некоторого й. Получено
противоречие. □
5.51. Кольцо А полуартиново слева в точности тогда, когда
Фйкторкольцо A/J (А) полуартиново слева и J (А) — t-нильпотент-
ный справа идеал.
78 Плава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
> Если А полуартиново слева, то по 5.48(2) A/J(A) полуартиново слева
и по 5.49 J(A) — /-нильпотентный справа идеал. Допустим, что A/J(A)
полуартиново слева, J(A) — /-нильпотентный справа идеал и К
—ненулевой левый Л-модуль. По 5.50 J(A)y = 0 для некоторого ненулевого
y€.Y. Так как А у — ненулевой левый модуль над полуартиновым слева
кольцом A/J(A), то Ау содержит простой A/J(A)-модуль S. Тогда S —
также простой А -подмодуль в Y. Поэтому Y — полуартинов модуль и Л —
полуартиново слева кольцо. □
5.52. Пусть X — свободный правый модуль над кольцом А с
базисом {Xi)fllt В —идеал в А с системой образующих {M/^i и Y —
подмодуль в Ху порожденный элементами {xt — Xi+\bi}flx.
1) Y — свободный модуль с базисом {xt — Xj+\bi}flx.
2) Если Y — прямое слагаемое в X у то Abkbk-\ ...b\=Abk-\bk-2--
... b\ для некоторого k > 1.
3) Если В С J(A) и bkbk-\ ...Ь^фОдля всех ky то X/Y ф 0 и X/Y =
= (X/Y)B.
о 1) Допустим, что YH=\(xi — xi+\bi)o>i =0, где а,- € А для любого /.
Тогда
х\ах +х2(а2 - Mi) + • • - + хп(ап - Ьп-\ап-\) - хп+хЬпап = 0,
0 = а\ = а2 - Mi = ... = а„ - &„_ia„_i,
0 = а\ = а2 = ... = ап.
2) Так как по 1) У — свободный Л-модуль с базисом {*, -*;+iMSi>
то существует такой изоморфизм /: Y -*Х, что f(xt - Jt;+i6/) = Х\ для
всех /. Поскольку К —прямое слагаемое в Ху то / индуцирует такой
гомоморфизм g: X -*ХУ что g(jt, - Jt,+i6/) = X; для всех /. Для любого
п = 1, 2, ... существуют такие Ci„, Сгя, —, что ст — 0 для почти всех
индексов/ и g(xn)=^2ixicin. Тогяа xn = g(xn-xn+ibn)=YliXi(Cin-Ci,n+\bn),
откуда спп - сп,п+\Ьп = 1 и с,л = C/,rt+i6„ для / Ф п. Тогда c*i = 0 для
некоторого k > 1 и
Ckkbk-\bk-2 • • • &1 = Ck,k-\bk-2bk-3 • • • 6l = . . . = С*2&1 = C*l = 0,
bk-\bk-2-..b\ = (1 -ckk)bk-\bk-2--b\ = -ckyk+\bkbk-\ ---b\y
Abkbk-\-..b\ = Abk-\bk-2'-b\.
3) Непосредственно проверяется, что Jf/K = (X/Y)B. Допустим, что
Х/У = 0. Тогда К=АГ. По 2) существует такое fc> 1, что abkbk-\ • ..^i =
= bk-\bk-2- "b\ для некоторого а€ Л. Тогда (1 — abk)bk-\bk-2 • • -^i =0.
Так как 6Л Gfi С /(Л), то 1 -aft* € £/(Л), откуда bk-\bk-2-*b\ =0 и
получаем противоречие. Поэтому ^/К не проективен. В частности, X/Y ф0.
□
Полуартиновы и полунётеровы модули
79
5.53. Для идеала В кольца А равносильны условия:
1) В — t-нильпотентный справа идеал;
2) В CJ(A) и для любых b\y b<i, ... £ В убывающая цепь главных
левых идеалов
АЪ\ 2 АЬ2Ь\ 2 ♦.. 2 Abkbk-X ...Ъ\ Э ...
стабилизируется на конечном шаге;
3) для любого правого А-модуля X его подмодуль ХВ мал в X;
4) МВфМ для каждого ненулевого правого А-модуля М.
Следовательно, если А — кольцо с условием минимальности для
главных левых идеалов, лежащих в J(A)y то J(A) t-нильпотентен
слева.
> Импликация 4) => 3) следует из того, что можно обозначить М = Х/ХВ.
Импликация 3)=>4) проверяется непосредственно.
4)=>2). По 5.52(3) достаточно доказать включение В С/(Л). Пусть
С - правый идеал вЛиВ + С=Л. Тогда А/С = (A/QB. По 4) А = С.
Поэтому В С J (А).
2)=> 1). Пусть {&,•}£ 1 £В. По условию Abkbk-\... Ь\ =Abk_\bk-2 -..b\
для некоторого k>\. Тогдаabkbk-\ - • -b\ = bk-\bk-2 • • -b\ для некоторого
а € Л. Поэтому (1 — abk)bk-\bk-2 • • • 61 =0. Так как bk € В С /(Л), то
1 -а&*€ t/(i4). Поэтому bk-\bk-2---b\ = 0.
1) => 4). Допустим, что Af = MS. Тогда Af = MBk для всех fc = 1, 2, ...
Пусть 0 ф т е Af. Для любого k существуют такие т\у ..., m^ E Af
и 6|, ..., 6* € В, что mkbkbk-\ ---bi = тф0. Так как bkbk-\ ...&i ^ 0
для всех &, то получаем противоречие. □
Кольцо Л называется правым шах-кольцом, если каждый
ненулевой правый Л-модуль имеет максимальный подмодуль, что равносильно
полунётеровости всех правых Л-модулей.
5.54. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — правое тах-кольцо;
2) все факторкольца кольца А — правые тах-кольца;
3) A/J(A) — правое тах-кольцо и идеал ](А) t-нильпотентен
справа;
4) кольцо А имеет такой t-нильпотентный справа идеал В,
что факторкольцо А/В — правое тах-кольцо;
5) Л имеет такое множество идеалов {Л}/е/> что все фактор-
кольца A/Pi — правые тах-кольца и для каждого ненулевого
правого А-модуля М найдется такой идеал Р,, что М Ф AfP,;
6) для каждого ненулевого правого А-модуля М существует
такой примитивный справа идеал Р в Л, что МРфМ и все
80 Глава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
примитивные справа факторкольца кольца А — правые тах-
кольца;
7) для каждого ненулевого правого А/](А)-модуля М
существует такой примитивный справа идеал Р факторкольца
A/J(A)y что МРфМ, все примитивные справа факторкольца
A/J(A) — правые max-кольца и идеал J(A) t-нильпотентен
справа.
> Импликации 3)=>4) и 6)=>5) очевидны. Импликация 1)=>2) и
эквивалентность 1)4=>5) проверяются непосредственно.
2)=>3). Допустим, что идеал J(A) не /-нильпотентен справа. Тогда
J(A) содержит такое подмножество {bi}fl{i что bnbn-\...b\ ^0 для
всех п. Пусть Р — свободный правый модуль бесконечного счетного
ранга с базисом {xi}flly Q — подмодуль в Р, порожденный элементами
{xi - Xi+\bi}fl{y и h: Р —» P/Q — естественный эпиморфизм. Так как
fi(xi) = h(Xi+\)bi для всех /, то h(P) = h(P)J(A). Поэтому модуль P/Q не
имеет максимальных подмодулей. Кроме того, А — правое тах-кольцо.
Тогда P/Q = 0 и Р = Q = £]£1|(*/ - xi+\bi)A. Поэтому существуют такие
аь ..., апеАу что
п
х\ = ^^(xi -xi+\bi)ai = х\а{+х2(а2- Ь\а\) + *з(яз -Ь2а2) + . ••
... + хп(ап - bn-\an-\) - хл+1&яал.
Так как {х;}-^—базис свободного модуля Р, то получаем следующие
соотношения:
а\ = \у a2 = b\a\=b\y а$ = b2a2 = b2b[y ...,
ап = bn-\an-\ = bn-\bn-2...b[y 0 = &„ал = bnbn-\bn-2...b\.
Последнее равенство невозможно по предположению.
4)=> 1). Пусть А4 — ненулевой правый А -модуль. По 5.53 Мф MB. Так
как А/В — правое тах-кольцо, то ненулевой правый А/В -модуль М/МВ
имеет максимальный подмодуль. Поэтому Л-модуль М имеет
максимальный подмодуль.
2)+3)=>7). По 2) все факторкольца кольца A/J(A) — правые max-
кольца. Так как М имеет простой фактор модуль, то существует такой
примитивный справа идеал Р факторкольца A/J(A)y что AfP^Af.
7) => 6). Так как множество всех примитивных справа факторколец
кольца А может быть естественным образом отождествлено с
множеством всех примитивных справа факторколец кольца A/J(A)y то все
примитивные справа факторкольца кольца А — правые max-кольца. Пусть
Af — ненулевой правый Л-модуль. По 5.53 M^MJ(A). Обозначим через
Модули с размерностью Крулля
81
М ненулевой правый Л//(Л)-модуль M/MJ(A). По предположению
существует такой примитивный справа идеал Р факторкольца Л/У(Л), что
МРфМ. Тогда P = P/J(A) для некоторого примитивного справа идеала
р, откуда М Ф MP. □
Модули с размерностью Крулля
Модули с размерностью Крулля Kdim — это такие модули Af, что
решетка Lat(Af) обладает девиацией в смысле с. 16. Таким образом,
по определению модула с нулевой размерностью Крулля
совпадают с артиновыми модулями. Пусть Af — неартинов модуль, а —
ординал > 0 и Kdim(Af) Ф (3 для всех ординалов (3 < а. Размерность
Крулля Kdim(Af) модуля М равна а, если для любой бесконечной строго
убывающей цепи М \ > М^ > •.. подмодулей в Af найдется такое п е N,
что K<i\m(Mn/Mn+\) <а. Например, если Z —кольцо целых чисел, то
Kdim(Zz)=l.
5.55. Каждый нётеров модуль М имеет размерность Крулля.
> Допустим, что Kdim(Af) не существует. Тогда множество £(М) всех
таких подмодулей £ в Af, что Kdim(Af/£) не существует, содержит
нулевой подмодуль и поэтому непусто. Так как Af нётеров, то £(Af) содержит
максимальный элемент Е фМ. Тогда каждый собственный фактормодуль
модуля tA/X имеет размерность Крулля. Так как все собственные фактор-
модули модуля М/Х образуют некоторое множество Т{М), то существует
такой ординал а, что Kdim(F) <а для всех F еТ(М). Тогда по
определению размерности Крулля Kdim(Af) ^ а и получаем противоречие. □
5.56. Если модуль М имеет размерность Крулля, то М
конечномерен.
> Если Kdim(Af) = 0, то Af —артинов и, в частности, конечномерен.
Допустим, что Kdim(Af) = a>0 и Af не конечномерен. Без ограничения
общности можно считать, что ординал а минимален среди размерностей
Крулля неконечномерных модулей. Пусть 0°^ М' £ Lat(Af), где УУ,- фО
Для всех /, и Мп = 0°!,! М(2«/> Рассмотрим бесконечную убывающую
цепь Af 1 э Af2 D Мз D ... Каждый фактормодуль Af,/Af/+i — бесконечная
прямая сумма ненулевых подмодулей и Kdim(Af;/Af/+i) ^ а. Из
минимальности а следует, что Kdim(Af;/Af/+i) = а для всех /. По определению
Kdim(Af) > а и получаем противоречие. □
Упражнения
Следующие упражнения 5.57—5.60 проверяются непосредственно.
5.57. Пусть А — кольцо, 0фе = е2 Е Л, Af — правый Л-модуль, В —
пРавый идеал в А.
^Шг^ш
82 Плава 5. Полупростые модули и радикал Джекобсона
1) Правилом ip(X)—Xe задается сюръективный решеточный
гомоморфизм <р\ Lat(Af) —* Lat((Me)eAe)y причем если М = ф/€/ М/, то
MeeAe = (BielMie-
2) Если Мд дистрибутивен (полудистрибутивен, дистрибутивно по-
рожден, артинов, нётеров, имеет размерность Крулля), то еАе-
модуль Me дистрибутивен (полудистрибутивен, дистрибутивно
порожден, артинов, нётеров, имеет размерность Крулля).
3) Правый идеал еВе кольца еАе — гомоморфный образ модуля
Вееде. Если Л-модуль В дистрибутивен (полудистрибутивен,
дистрибутивно порожден, артинов, нётеров, имеет размерность
Крулля), то еАе-модулъ еВе дистрибутивен (полудистрибутивен,
дистрибутивно порожден, артинов, нётеров, имеет размерность
Крулля).
5.58. Если N — подмодуль модуля М, то М имеет размерность Крулля
в точности тогда, когда N и M/N имеют размерность Крулля. В этом
случае Kdim(Af) = sup{Kdim(jV), Kdim(Af/yV)}.
5.59. Если N — подфактор модуля М\ ®...@Мп и все модули Af/
имеют размерность Крулля, то N имеет размерность Крулля.
5.60. Если А — кольцо и Ад имеет размерность Крулля, то каждый
конечно порожденный правый Л-модуль имеет размерность Крулля.
Литература. [3,9,13,20-22,24,111,112,288,289,291,308].
6
Полупервичные и несингулярные кольца
Полупервичные и первичные кольца,
первичный радикал
Кольцо без ненулевых нильпотентных идеалов называется
полупервичным кольцом. Полупервичность кольца А равносильна тому, что
Х2ф0 для любого ненулевого правого или левого идеала X в А (так как
(АХА)2=АХ2А).
Каждое под прямое произведение полупервичных
(редуцированных) колец полупервично (редуцировано). Центр полупервичного
кольца — редуцированное кольцо.
Правые идеалы кольца Л, являющиеся простыми Л-модулями,
называются минимальными правыми идеалами.
6.1. Пусть А — полупервичное кольцо.
1) Если А имеет минимальный правый идеал X, то существует
такой ненулевой идемпотент е е А, что X = еА, еАе — тело
с единицей е и Ае — минимальный левый идеал в А.
2) Если Soc(/4,4) — существенный правый идеал в А (это так,
например, если А полуартиново справа), то А полупримитивно.
> 1) Так как А полупервично, то X2 ф О и поэтому хХ ф О для
некоторого х еХ. Тогда X = хХ, поскольку X минимален. Поэтому х =хе фО,
где 0 ф е е X. Так как X минимален, то X = еА и е2 - е Е X П г(х).
Тогда X П г(х) = 0, поскольку X П г(х) ф X. Поэтому е2 — е = 0. Пусть
0 Ф еае е еАе = Хе. Так как X минимален, то eaeb = e для некоторого
Ъ Е А. Тогда (eae)(ebe) = eaebe — е2 = 0. Поэтому еАе — тело с единицей
е. Пусть а е А и ае Ф 0. Так как А полупервично, то aebae Ф 0 для
некоторого b еА. Тогда ebae — ненулевой элемент тела еАе и поэтому
(ece)(ebae) = е для некоторого се А. Поэтому Аае = Ае, откуда Ае —
простой Л-модуль.
2) Допустим, что J(A) ф0. Тогда J(A) содержит минимальный правый
идеал X. По 1) X = еА, где е = е2ф0. Так как х ЕУ(Л), то идемпотент
1 - е обратим и поэтому 1 — е = 1, е = 0 и получено противоречие. □
6.2. Пусть А — полупервичное кольцо и Soc(Aa) —
существенный правый идеал в Л.
84 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
1) В А каждый ненулевой правый идеал содержит ненулевой
идемпотент.
2) В А каждый неразложимый ненулевой правый идеал
—минимальный правый идеал и порождается ненулевым идемпо-
тентом.
3) Если А не содержит бесконечного множества
ортогональных идемпотентов, то А полупросто.
> 1) Пусть М — ненулевой правый идеал в А. Так как Soc^) —
существенный правый идеал, то М содержит минимальный ненулевой правый
идеал X. По 6.1(1) X = еА для некоторого ненулевого е = е2€А.
Пункты 2) и 3) следуют из 1) и 4.36. □
6.3. Теорема Веддерберна—Артина, II. Для кольца А
равносильны условия:
1) А — артиново справа (слева) полупервичное кольцо;
2) А — артиново справа (слева) полупримитивное кольцо;
3) А — полупервичное кольцо без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов и его правый (левый) цоколь —
существенный правый (левый) идеал;
4) А — полуартиново справа (слева) полупервичное кольцо без
бесконечных множеств ортогональных идемпотентов;
5) А — полупервичное кольцо с условием минимальности для
главных правых (левых) идеалов;
6) А — полупростое кольцо;
7) А изоморфно конечному прямому произведению колец
матриц над телами.
> Эквивалентность 2) «=> 6) следует из 5.19 и 5.16. Эквивалентность
6) 4=>7) доказана в 5.16. Импликации 1)=ф4), 1)=>5) и 4)=>3)
проверяются непосредственно. Импликации 3)=>6) и 6)=> 1) следуют из 6.2(3)
и 5.16.
5)=>3). По 5.5(2) правый (левый) цоколь кольца А — существенный
правый (левый) идеал. Так как А — кольцо с условием минимальности
для главных правых (левых) идеалов, то циклический правый (левый)
Л-модуль Л —конечная прямая сумма неразложимых модулей. Теперь
применим 6.2. □
6.4. Кольцо А — конечное прямое произведение тел в точности
тогда, когда А — редуцированное артиново справа кольцо.
> Импликация => проверяется непосредственно. Импликация <= следует
из 6.3 и того, что редуцированное кольцо матриц над телом совпадает
с этим телом. □
Первичные идеалы и первичный радикал. Кольцо называется
первичным, если произведение любых двух его ненулевых идеалов не равно
Полупервичные и первичные кольца, первичный радикал 85
нулю. Первичность кольца А равносильна тому, что произведение XY
любых двух его ненулевых правых (левых) идеалов X и Y не равно
нулю (так как (AXA)(AYA) = AXYA). Правый или левый идеал Р в А
называется первичным, если хАу % Р для любых х, у gA\P. Ясно, что
собственный идеал Р в А — первичный правый (левый) идеал в точности
тогда, когда факторкольцо А/Р первично. Пересечение всех первичных
идеалов кольца А обозначается через rad(/4) и называется первичным
радикалом или нижним нильрадикалом кольца А. Элемент аеА
называется строго нильпотентным в А, если все члены любой такой
последовательности {ап}^0, что ао = а и ап+\ еапАап для всех п,
равны нулю, начиная с некоторого индекса. Каждый строго нильпотентный
элемент нильпотентен.
Замечание. Каждое первичное кольцо полупервично, каждая
область первична, центр каждого первичного кольца — область, кольцо всех
(2 х 2)-матриц над R первично, но не область, кольцо R х R
полупервично, но не первично.
Кольцо А называется примитивным справа (слева), если А имеет
максимальный правый (левый) идеал, не содержащий ненулевых идеалов
кольца А, т.е. если А обладает точным простым правым (левым) модулем.
Замечание. Каждое коммутативное примитивное кольцо —поле.
Кольцо R x R полупервично, но не первично. Коммутативное первичное
кольцо Z не примитивно.
Собственный идеал Р кольца А называется примитивным справа
(примитивным слева, полупервичным, вполне полупервичным), если
факторкольцо А/Р примитивно справа (примитивно слева,
полупервично, редуцировано). Собственный правый или левый идеал Р кольца А
называется вполне первичным, если ху £Р для любых х, у € А \ Р (т. е.
множество А\Р мультипликативно замкнуто). Ясно, что собственный
идеал Р кольца А вполне первичен в точности тогда, когда А/Р — область.
Идеал Р называется минимальным первичным (минимальным вполне
первичным) идеалом, если Р — минимальный элемент множества всех
первичных (вполне первичных) идеалов.
6.5. Верны утверждения.
1) Каждый первичный идеал и пересечение любого множества
полупервичных идеалов — полупервичные идеалы.
2) Пересечение любой цепи первичных идеалов — первичный
идеал.
3) Каждый первичный идеал содержит минимальный первичный
идеал.
4) Р — примитивный справа идеал кольца А в точности тогда,
когда Р — аннулятор простого правого А-модуля, т.е. в А
86 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца Ц
существует такой максимальный правый идеал Af, что Р— f
наибольший среди идеалов кольца Л, лежащих в Af. :
> Пункты 1) и 2) проверяются непосредственно, 3) следует из 2) и леммы ц
Цорна, 4) следует из того, что аннуляторы простых правых Л-модулей —
это наибольшие идеалы, лежащие в максимальных правых идеалах. D
6.6. Верны утверждения.
1) Каждое примитивное справа (слева) кольцо первично и
поэтому каждый примитивный справа или слева идеал
первичен.
2) Пересечение любого множества примитивных справа
идеалов — полупервичный идеал.
3) Каждое простое кольцо примитивно справа.
4) Если М — бесконечномерное векторное пространство над
телом Л, то End^Af) — примитивное справа непростое А
кольцо. 7
> Если В и С — ненулевые идеалы примитивного справа кольца Л с
точным простым правым модулем Ху то ХВ Ф О, ХВ = Ху ХС ф О, ХВС ф О,
ВСфОу А первично и 1) доказано. Пункт 2) следует из 6.5 и 1), а 3)
проверяется непосредственно.
4) Пусть R = Епб(дМ). Непосредственно проверяется, что модуль Mr
прост. Так как каждый левый модуль — точный правый модуль над своим
кольцом эндоморфизмов, то R примитивно справа. Кольцо R обладает
ненулевым собственным идеалом, состоящим из эндоморфизмов с
конечно порожденными образами. □ .
6.7. Радикал Джекобсона J (А) кольца А совпадает с
пересечением всех примитивных справа идеалов и с пересечением всех
примитивных слева идеалов в А, т.е. J (А) совпадает с
пересечением правых (левых) аннуляторов всех простых правых (левых)
А-модулей. Факторкольцо A/J(A) полупервично и является под-
прямым произведением примитивных справа (примитивных слева)
колец.
> Пусть У* — пересечение всех примитивных справа идеалов в А. По 6.5
и 5.23(1) достаточно доказать, что /* = /(Л^). Так как каждый
максимальный правый идеал содержит некоторый примитивный справа идеал,
то /* CJ(Aa). По 5.1 J(Aд) — идеал, лежащий в каждом максимальном
правом идеале. Поэтому J (А а) лежит в каждом примитивном справа
идеале и /* DJ(Aa). □
6.8. Для кольца А равносильны условия:
1) А — артиново справа первичное кольцо\
2) А — примитивное справа или слева артиново справа кольцо;
Полупервичные и первичные кольца, первичный радикал 87
3) А — артиново справа простое кольцо;
4) А — простое кольцо, обладающее минимальным правым
идеалом;
5) А — артиново справа полупервичное неразложимое кольцо;
6) Л изоморфно кольцу всех (п х п)-матриц над телом, neN.
Утверждение 6.8 вытекает из 6.6, 5.14 и 5.16.
6.9. Если Р — такой идеал кольца А, что А/Р — артиново
справа или слева кольцо, то Р — полупервичный (первичный) идеал
в точности тогда, когда А/Р — полупростое (простое) кольцо.
Утверждение 6.9 следует из 6.3 и 6.8.
6.10. Первичный радикал гас1(Л) совпадает с пересечением всех
минимальных первичных идеалов кольца А, причем y?(rad(/4)) = rad(/4)
для любого автоморфизма (р кольца А.
о Утверждение 6.10 следует из того, что по 6.5(3) каждый
первичный идеал содержит минимальный первичный идеал, и того, что любой
кольцевой автоморфизм взаимно однозначно отображает множество всех
первичных идеалов этого кольца на себя. □
6.11. В кольце А первичный радикал rad(>4) — полупервичный ни-
льидеал, rad(>4) содержит все нильпотентные идеалы и совпадает
как со множеством всех строго нильпотентных элементов, так
и с пересечением всех полупервичных идеалов.
> Пусть Р = rad(>4). Так как Р — пересечение первичных идеалов, то
идеал Р полупервичен и содержит все нильпотентные идеалы. Обозначим
через Р* и Р' множество всех строго нильпотентных элементов в А
и пересечение всех полупервичных идеалов кольца А соответственно.
Достаточно доказать включения Р' С Р, Р С Р* и Р* С Р'. Включение
Р' СР следует из того, что каждый первичный идеал полупервичен.
Докажем, что РСР*. Допустим, что существует аеР\Р*. Так как
а не строго нильпотентен, то существует такое множество S = {an}^L0
ненулевых элементов в А, что ао = а и art+i е апАап для всех п. Пусть £ —
множество всех идеалов, имеющих пустое пересечение с S. Так как 0 е S,
то £ ф 0. Кроме того, £ содержит объединение любой возрастающей цепи
своих элементов. По лемме Цорна £ содержит максимальный элемент Е.
Так как а е Р \ Е, то идеал Е не первичен. Поэтому XY С Е для некоторых
идеалов X и Y, строго содержащих Е. Так как Е — максимальный элемент
в £, то существуют элементы aieX C\S waj eY nS. Пусть т = max(/, /).
Тогда am+1 e amAam С XY С Е. Поэтому ат+{ eS Г) Е = 0. Получено
противоречие.
Докажем включение Р* С Р'. Пусть ао € Р*. Допустим, что До ^ Р;.
Тогда а0 ^ Q для некоторого полупервичного идеала Q. Поэтому аоАао £ Q
88 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
и а\ ф. Q для некоторого а,\ € аоЛяо- Тогда а,\Аа\ g Q и a<i£Q для
некоторого й2€а\Аа\. Повторяя эти рассуждения, получим такую
последовательность {an}^L0, что ап+\ €апАап и an£Q для всех п. Тогда
ап т^О для всех гг. Поэтому ао&Р*. Получено противоречие. D
6.12. Пусть А —кольцо, Р = rad(/4) — его первичный радикал
и 0^е = е2еА. Тогда rad(eAe) = ePe для любого ненулевого идемпо-
тента ее А, Кроме того, если Р содержит все правые нильидеалы
кольца Ау то еРе содержит все правые нильидеалы кольца еАе.
> По 6.11 первичный радикал любого кольца совпадает с множеством
всех строго нильпотентных элементов. Так как еРе С Ру то все элементы
из еРе строго нильпотентны в А. Теперь достаточно доказать, что если
а G А и еае — строго нильпотентный элемент из еАе, то еае строго ниль-
потентен в А. Это следует из того, что если а\ =еае и ап+\ €апАап, то
все элементы ап лежат в еАе.
Пусть Р содержит все правые нильидеалы кольца А, X = еХе =
= еХеАе — правый нильидеал кольца еАе, аеА и х = ехе е X. Так как
ехеае — элемент правого нильидеала X кольца еАе, то (ехеае)п = 0 для
некоторого п е N. Тогда
(ха)п+2 = (ехеа)п+2 = ехеа(ехеа)п ехеа = ехеа(ехеае)пехеа = 0.
Поэтому хА — правый нильидеал кольца А. По предположению хА С Р.
Поэтому х = ехе е еРе и X С еРе. □
6.13. Полу первичность кольца А равносильна тому, что rad(/4) =
= 0, и поэтому каждое полупервичное кольцо — подпрямое
произведение первичных колец.
> Если rad(/4) = 0, то по 6.11 Л полупервично. Допустим, что А
полупервично и 0^/е rad(/4). Тогда t eQ для каждого первичного
идеала Q. Обозначим t\ =t. Допустим, что ненулевые t\, ..., tn уже
выбраны. Так как AtnA ^0 и А полупервично, то Atn+\A ^ 0 для
некоторого tn+\ e tnAtn. Обозначим T = {ti}flr Пусть £ — множество всех
таких идеалов Е, что ТпЕ = 0. Так как 0е£, то £ф0. Объединение
любой возрастающей цепи идеалов из £ лежит в £. По лемме Цорна
£ содержит максимальный элемент Е. По условию идеал Е не
первичен. Существуют такие идеалы В и С, что В и С строго содержат Е
и ВС С Е. Существуют b еТ П В и с еТ П С. Так как tn+\ e tnAtn,
то Ъас е Т для некоторого а € Л. Поэтому Ьас еТ П Е = 0. Получено
противоречие. D
6.14. Первичный радикал Р кольца А с условием максимальности
для нильпотентных идеалов — наибольший нильпотентный идеал
в А.
Полупервичные и первичные кольца, первичный радикал 89
о По условию в А непустое множество всех нильпотентных идеалов
содержит хотя бы один максимальный элемент Q. Тогда Q СР и кольцо
A/Q полупервично. По 6.11 Р С Q. П
6.15. Если В— идеал полупервичного кольца А, то г(В)=£(В)у
g Л r(fi) = 0 и идеал В 0 г(В) — существенный правый идеал и
существенный левый идеал в А.
> Так как (г(В)В)2 = О, (В£(В))2 = О, (В П г(В))2 = О и А полупервично,
то г(В) = £(В) и В П г(В) = 0. Обозначим D = S 0 г(Б) = S 0 *(В). Если
£ — правый идеал вЛи£пО = 0, то
Бп£ = 0, £SC£n£ = 0, £ = £n^(S) С EnD = 0.
Поэтому D — существенный правый идеал. Аналогично, D —
существенный левый идеал. □
6.16. Если X — вполне первичный правый идеал кольца А и X С
С](А)У то X — идеал в А.
> Пусть х е X и а е А. Тогда 1 + аха е U(A)y обратимый элемент
(1 + аха)~х не содержится во вполне первичном правом идеале X
и (1 + аха)~1(\ + аха)х = х е X. Поэтому (1 + аха)х е X и (ах)2 =
= (1 + аха)х — х е X. Так как (ах)2 € X и правый идеал X вполне
первичен, то ах еX и X — идеал в Л. □
6.17. Каждый ненулевой идеал В первичного кольца А имеет
ненулевое пересечение с каждым ненулевым правым или левым
идеалом в А.
> Пусть С — ненулевой правый идеал. Тогда (А С)В Ф 0, откуда СВ ф 0.
Так как СВ С В П С, то В П С Ф 0. Аналогично, S имеет ненулевое
пересечение с любым ненулевым левым идеалом. □
6.18. Если кольцо А содержит такое множество {е/}-^
ненулевых ортогональных идемпотентов, что ei+\ eeiAei для всех /, то
существует такое примитивное справа факторкольцо А/Ру что
естественные образы всех идемпотентов et не равны нулю в А/Р.
> Обозначим B = ^^i(l - efiA. Допустим, что В = А. Тогда е\ =
= Xw=i(l — £/)я; Для некоторых а\у ..., ап Е А, Так как е„ е е,Ле/ для
' ^ пу то еле,- = е„ для / ^ п. Поэтому
п п
еп = епе\ = ^1 ея(1 - */)<*/ = 5Г(*л - *«)<*/ = 0.
Получено противоречие. Поэтому В — собственный правый идеал. Тогда
В ЯМ для некоторого М €тах(Лл). Пусть Р — аннулятор простого
модуля (Л/М)^. Тогда кольцо Л/Р примитивно справа. Так как собственный
идеал Р содержит все элементы 1 — е1у то Р не содержит ни одного из
i е'*' П
i
90 Плава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
6.19. Если А/Р — примитивное справа факторкольцо кольца А,
то для любых х, у еА\Р существует такой элемент z^A, что
(xz)ny eA\P для всех п^\.
> Пусть Р — аннулятор простого модуля Мд. Для каждого аеА
положим Ма = {т € М | та = 0}. Так как ху у € А \ Р, то Мх и Му не
совпадают с Af. Докажем, что существует т Е М \ (Мх U Му). Если Мх
и Му сравнимы по включению, то Мх U Му^ М и т существует.
Допустим, что Мх и Му не сравнимы по включению. Существуют тх € Мх \ Му
и ту е Му \ Мх. Обозначим т — тхЛ-туеМ. Тогда тх = тух ^ 0
и ту = т**/ Ф0. Поэтому m Е Af \ (Af * U Af,,). Так как Af прост иж^О,
то Af = тхА и mxz = т для некоторого 2 Е А. Тогда m(xz)ny = my ^0
для всех я ^ 1. Поэтому (xz)ny еА\Р для всех п ^ 1. D
Сингулярные модули и идеалы,
несингулярность, sg(Af)
Если Af —правый (левый) модуль над кольцом Л, то Sing(Af)
обозначает множество всех таких т € Af, что г(т) (£(т)) — существенный
правый (левый) идеал в Л. Ниже в 6.21(2) показано, что Sing(Af) —
вполне инвариантный подмодуль в Af; он называется (наибольшим)
сингулярным подмодулем модуля Af. Поэтому в любом кольце A Sing^^)
и Sing(,4/4) — идеалы, называемые правым сингулярным идеалом и
левым сингулярным идеалом соответственно. Множество всех
эндоморфизмов модуля Af, ядра которых — существенные подмодули в Af,
обозначается через sg(Af). Ниже в 6.21(3) показано, что sg(Af) — идеал
в End(Af).
Замечание. Ясно, что Sing^) = sg^) и SingOH) = sg(/[A) для
любого кольца А.
Модуль Af называется сингулярным, если Sing(Af) = Af. Модуль Af
называется несингулярным, если Sing(Af) = 0. Все подмодули,
существенные расширения и подпрямые произведения несингулярных
модулей несингулярны.
6.20. Пусть L и М — правые модули над кольцом А и Т —
подмножество группы Hom(L/4, Af^), состоящее из всех таких /, что
Кег(/) — существенный подмодуль в L.
1) Т — подбимодуль End(M)-End(L)-6uModyM Hom(L, Af).
2) J2ter *(^)"""" вполне инвариантный подмодуль в Ма-
> 1) Допустим, что /, и € 7\ f e End(L) и g e End(Af). Достаточно
доказать, что / + и е 7\ gt eT и tf еТ. Включение t + иеТ следует из
того, что Кег(/ + и) содержит существенный подмодуль Кег(/) П Ker(w).
Сингулярные модули и идеалы, несингулярность, sg(Af) 91
Так как Ker(g/) содержит существенный подмодуль Кег(/) в М, то gt € 7\
Поскольку L — существенное расширение Кег(/), то по 4.27 /. —
существенное расширение /_1(Кег(/))- Так как Кег(//) Э f~l(K£r(t)), то // € Т,
что и требовалось.
2) По 1) gT С Т для любого g € End(Af). П
Модуль Af называется локально нётеровым, если каждый его
циклический подмодуль нётеров. Эндоморфизм / модуля X называется
локально нильпотентным, если X = U^li Кег(/Л), т.е. если для любого
х е X существует такое п е N, что fn(x) = 0. В этом случае для
любого конечно порожденного подмодуля Y в М найдется такое п € N, что
/«(У) = 0.
6.21. Пусть М — правый модуль над кольцом А.
1) Sing(M) — подмодуль в М, содержащий все сингулярные
подмодули в Му и g(Sing(Af)) С Sing(V) для каждого модульного
гомоморфизма g: М —»М'.
2) Sing(M) — вполне инвариантный сингулярный подмодуль в М
и SingpQ = 0 для любого такого подмодуля X в М, что
*nSing(Af) = 0.
3) Множества sg(Af) и gs(Af) — идеалы кольца End(Af) и sg(Af) П
ngs(Af)C/(End(Af)).
4) Если М локально нётеров, то sg(M) С J(End(M)) и каждый
эндоморфизм f € sg(Af) локально нильпотентен.
5) Если Y — подмодуль в М и X — существенный подмодуль в Y,
то Y/X — сингулярный модуль и для каждого meY правый
идеал В = {а е А \ та е X} кольца А существенен.
6) Если /: М'-+М — такой модульный гомоморфизм, что Кег(/)
— существенный подмодуль в М, то модуль f(M') сингулярен
и поэтому лежит в Sing(Af).
7) Если X — подмодуль в М и модуль М/Х несингулярен, то X —
замкнутый подмодуль в М.
8) Если {X[}iei С Lat(Af) и все модули M/Xt несингулярны, то
М/Х — несингулярный модуль и X=f)ieI Xt — замкнутый
подмодуль в М.
9) Если М не является сингулярным, то М содержит
изоморфную копию ненулевого правого идеала кольца А. Если при
этом А конечномерно справа, то М содержит изоморфную
копию ненулевого равномерного правого идеала кольца А.
ь 1) По 2.7 существует такой Епс)(М)-Л-бимодульный изоморфизм
М-» Нот(АА, М), что fm(a) = та для всех теМ и аеА. Поэтому 1)
следует из 6.20(1).
92 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
2) Пусть х, у € Sing(Af), g € Hom(Af, Af') и z eA. Надо показать,
что г(х + (/), г(х2) и /*(#(*)) — существенные правые идеалы. Так как
г(х) С r(g(x))f то r(g(jt))— существенен. Поскольку г(х) и г(*/)
существенны, то г(х) П г((/) существенен. Так как г(х) П г(у) С r(jc + 1/), то
г(х + у) существенен. Равенство f(a) = za определяет модульный
гомоморфизм 1'.Аа~*Аа' Так как г(х) существенен, то по 4.27 {аеА \ f(a)Е
е г(х)} — существенный правый идеал. Заметим, что r(xz) = {а е А \ f(a) е
€г(х)}.
3) По 6.20(1) и 5.24(2) sg(Af) и gs(Af) — идеалы кольца End(Af).
Тогда sg(Af) П gs(Af) — идеал в End(Af) и достаточно доказать, что
1 - / € £/(End(Af)) для любого / G sg(Af) Dgs(Af). Так как Кег(/) — суще- щ
ственный подмодуль в Af и Кег(1 — /) П Кег(/) = 0, то 1 — / —
мономорфизм. Поскольку /(Af) — малый подмодуль в Af и Af = /(Af) + (1 — /)(Af),
то 1 - / — эпиморфизм. Поэтому 1 - / — автоморфизм и 1 - / € \\
€ (/(End(Af)). )
4) Пусть Л' — циклический подмодуль в Af и X; = X П Кег(/'). Так как 'I
Я; Я ^0+1 и по условию X нётеров, то Хп+\ = Хп для некоторого я е N. По- I
этому гомоморфизм fn индуцирует изоморфизм h: Х/Хп —* /rt(A). Пусть I
* = Кег(/)П/"(*), Y/Xn = h-l(K),
XnCY CX.
Если fn(X) = 0y то / локально нильпотентен. Допустим, что fn(X)^0. I
Так как Af — существенное расширение Кег(/), то У строго содержит %|
*л и /Л+1(У) = /(/0 = 0. Поэтому УС^+|=ХЙ. Получено проти- J
воречие. Поэтому / локально нильпотентен. Поэтому формальный J
ряд g = Yl^Lo fn ~~ корректно определенный эндоморфизм модуля Af, !|
причем 1 — / и g — взаимно обратные элементы в кольце End(Af). Тогда
1 - / е i/(End(Af)), причем по 3) sg(Af) —идеал в End(Af). Поэтому
sg(Af)C/(End(Af)).
5) Равенством f(a) = та определим гомоморфизм /: А а —► Y. Так как
В = f~l(X)y то по 4.27 В — существенный правый идеал в А.
Пункт 6) следует из изоморфизма f(X) = X/Ker(f) и того, что по 5)
модуль ЛуКег(/) сингулярен.
7) Пусть Y e Lat(Af) и X — существенный подмодуль з У. Так как
модуль М/Х несингулярен и по 5) Y/X сингулярен, то Y/X = 0, X = Y
и поэтому X замкнут в Af.
8) Так как М/Х — подпрямое произведение несингулярных модулей
M/Xty то по 6.20 модуль М/Х несингулярен. По 7) X — замкнутый
подмодуль в Af.
9) По условию существует такой ненулевой элемент т е Af, что
правый идеал г(т) в А не является существенным. Пусть h: Ад —► тА —
Сингулярные модули и идеалы, несингулярность, sg(M) 93
естественный эпиморфизм и В — такой ненулевой правый идеал, что
В П г(т) = 0. Так как В П Кег(Л) = 0, то Вд изоморфен ненулевому
подмодулю h(B) в М. Если А конечномерно справа, то В содержит
ненулевой равномерный правый идеал С, откуда М содержит h(C). □
6.22. Пусть М — несингулярный модуль.
1) Ядро любого ненулевого модульного гомоморфизма М' —> М
не является существенным подмодулем в М'.
2) Ядро любого эндоморфизма f е End(Af) — замкнутый
подмодуль в М.
3) Если М — конечномерный модуль равномерной размерности
пу то End(Af) — кольцо индекса ^ п.
4) Каждый ненулевой подмодуль в М содержит подмодуль,
изоморфный ненулевому правому идеалу кольца А.
5) Подмодуль X С М замкнут в М в точности тогда, когда
модуль М/Х несингулярен.
> Пункт 1) следует из 6.21(6).
2) Пусть X = Кег(/). Так как М/Х = f(M) С М, то М/Х несингулярен
и по 6.21(7) X — замкнутый подмодуль в М.
3) Пусть / — нильпотентный элемент в End(Af). По 4.29 Кег(/Л) —
существенный подмодуль в М. Так как по 1) ядро любого ненулевого
эндоморфизма модуля М не является существенным подмодулем в Af, то
/rt = 0.
Пункт 4) следует из 6.21(9).
5) Если М/Х несингулярен, то по 6.21(7) X замкнут в М.
Допустим, что X замкнут в М и Y/X = S\ng(M/X). Если Y=Xy то
утверждение доказано. Допустим, что Y строго содержит замкнутый
подмодуль X в М. Тогда X П у А = 0 для некоторого ненулевого у € Y. Так как
У + Х eS\ng(M/X)y то (у\Х) — существенный правый идеал. Поскольку
ХГ)уА = 0у то г(у) = (у\Х) — существенный правый идеал и получаем
противоречие. □
6.23. Пусть А/Р — равномерное справа факторкольцо кольца
Ау h: А —>А/Р — естественный эпиморфизм и В —множество всех
таких be А, что ЬаеР для некоторого аеА\Р.
1) В — вполне первичный идеал в А и h(B) = Smg(h(A)h{A)) —
множество всех левых делителей нуля в h(A).
2) Если Р = 0(т. е. Кег(Л) = 0 и А равномерно справа), то в А
множество Ni всех левых делителей нуля совпадает как с вполне
первичным идеалом В, так и с правым сингулярным идеалом
Sing(y4^); в частности, если А несингулярно справа, то А —
область.
94 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
> 1) Так как кольцо h(A) равномерно справа, то h(B) = S\ng(h(A)h(A)) —
идеал в h(A). Кроме того, Л (Б) —множество всех левых делителей нуля
в h(A). Тогда h(B) — вполне первичный идеал в h(A), откуда В — вполне
первичный идеал в А.
Пункт 2) следует из 1). □
6.24. Пусть А — несингулярное справа кольцо.
1) Для любого подмножества X СА правый идеал г(Х) замкнут.
2) Если в А каждый замкнутый правый идеал порождается
идемпотентом, то А — бэровское кольцо.
3) Если в кольце А все замкнутые правые идеалы являются
идеалами, то А — редуцированное кольцо.
> 1) Пусть X = {Xi}iei. Так как х\А =Аа/г(х{), то все Л-модули Аа/г(х{)
несингулярны. Поскольку r(X) = f]ielr(Xi), то по 6.21(8) правый идеал
г(Х) замкнут в А а.
Пункт 2) следует из 1).
3) Пусть х е А и х2 = 0. По 5.2(1) существует такой замкнутый правый
идеал У в Л, что xAnY= 0 и хЛ ф У — существенный правый идеал. Так
как по условию У — идеал, то
xY С хА П У = 0, х(хА е У) = 0, х € Sing^) = 0
и А редуцировано. □
Кольца с условиями конечности для аннуляторов
и кольца Голди
Кольцо А называется кольцом с условием максимальности
(минимальности) для правых аннуляторов, если А не содержит
бесконечную строго возрастающую (строго убывающую) цепь правых идеалов,
являющихся правыми аннуляторами подмножеств в А.
6.25. Пусть А — кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов.
1) А — кольцо с условием минимальности для левых
аннуляторов, каждое подмножество В С А содержит такое конечное
подмножество В' = {Ьи ...у Ьп), что 1(B) = 1(В') = П/L, *(&,-),
и еАе — кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов для любого ненулевого идемпотента е е А.
2) Идеал Sing(/4,4) нильпотентен и ^(SingOH)) — существенный
левый идеал.
> 1) Пусть {£(Xi)}flx —такое множество левых аннуляторов в Ау что
t(Xi+\) C£(Xi) для всех /. Тогда r(£(Xi)) С r(l(Xi+\)) для всех /. Так как
Кольца с условиями конечности для аннуляторов и кольца Голди 95
д — кольцо с условием максимальности для правых аннуляторов, то
существует такое п е N, что r(£(XL)) = г(£(Хп)) для всех / ^ п. По 2.8
£(Xi) = £(r(£(Xi))) = £(г(£(Хп))) = £(Хп) для всех / ^ п, откуда А — кольцо
с условием минимальности для левых аннуляторов. Поэтому если £ —
множество всех конечных подмножеств в В, то множество {£(Е) \ Е €£}
имеет минимальный элемент £(В') для некоторого В' е £. Так как
£(В' U Ь) С £(В') для каждого b Е S, то ^(S' U 6) = ^(В')> поскольку
{£' U Ь) € 5. Поэтому 1(B) = *(fl')-
Если 0 ^ е = е2 G А, то /^(С) = еЛе П /^(С) для любого
подмножества С С еЛе и поэтому еАе — кольцо с условием максимальности для
правых аннуляторов.
2) Пусть B = Smg(AA) и S = Sing(^). Так как r(Sl) С r(S/+1) для
всех /, то r(S") = r(S'I+1) для некоторого /г EN. Допустим, что Sn+l ^0.
Можно выбрать aeS так, что Sna^0 и а имеет максимальный правый
аннулятор среди всех такихxeS, что Snx Ф0. Пусть b €S. Так как г(6) —
существенный правый идеал, то г(Ь)Г)аА ^0. Поэтому существует / е Л,
для которого at ф0 и bat = 0. Тогда r(fea) £ г(а) С г(6а). По выбору а
имеем S"6a = 0. Тогда Srt+1a = 0. Поэтому a€r(5rt+1) = r(Srt). Получено
противоречие. Поэтому идеал S нильпотентен. По 1) £(В) = Г\Т=\ ^(М Для
некоторых Ь\, ..., Ьт€В. Так как ^(fi) — пересечение конечного числа
существенных левых идеалов, то £ (В) — существенный левый идеал. □
6.26. Для кольца А равносильны условия:
1) А — кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов',
2) А — кольцо с условием минимальности для левых
аннуляторов',
3) А — подкольцо кольца с условием максимальности для правых
аннуляторов;
4) А — подкольцо кольца с условием минимальности для левых
аннуляторов.
Утверждение 6.26 следует из 6.25 и 2.8.
6.27. Если А — полупервичное кольцо и А — либо кольцо с
условием максимальности для правых аннуляторов, либо кольцо с
условием максимальности для левых аннуляторов, то А несингулярно
(справа и слева).
* Можно считать, что А — полупервичное кольцо с условием
максимальности для правых аннуляторов. По 6.25 А несингулярно справа. Так
как (В П ^(fi))2 = 0 и А полупервично, то В П 1(B) = 0. По 6.25 1(B) -
существенный левый идеал. Кроме того, В Г\£(В) = 0. Поэтому В = 0 и А
несингулярно слева. □
96 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
6.28. Пусть А — полупервичное кольцо с условием
максимальности для левых аннуляторов.
1) Если Му N — такие левые идеалы в Л, что N СМ и г(М) Ф r(N)y
то существует аеМу для которого Ма Ф О и Ма П N = 0.
2) Если АЬ — такой главный левый идеал в Л, что г(АЬ)фОу
то существует аеАу для которого АафО и АЬ Г)Аа = 0у
и поэтому левый идеал АЬ не является существенным.
3) Если ху у е Л и Ах, Ау — существенные левые идеалы в А, то
Аху — существенный левый идеал в А.
> 1) По 6.26 Л —кольцо с условием минимальности для правых
аннуляторов. Так как N СМ и г(М) фг(1\1)у то правый идеал г(М) строго
лежит в r(N). Пусть правый идеал U — минимальный элемент множества
правых аннуляторов, которые лежат в r(N) и строго содержат г(М). Тогда
MU ф0. Так как А полупервично, то MUMU ф0. Поэтому
существуют такие и е U и а € М, что идеал MuaU не равен нулю. Обозначим
а = иа € U. Достаточно доказать, что Ма П N = 0. Допустим
противное. Тогда Офха е Ма П N для некоторого х е М. Так как х G М, то
г(М) С г(х). Так как U и г(х) — правые аннуляторы, то U П г(х) — правый
аннулятор. Кроме того, г(М) С U П г(х) С r(N). Так как ха G N и U С r(N)y
то xaU = 0. Тогда aU С U П г(х). Кроме того, aU £ r(Af), поскольку
Mail ф 0. Поэтому U П г(Х) строго содержит г(М). Так как U —
минимальный элемент множества правых аннуляторов, которые лежат в r(N)
и строго содержат г(М)у то U П r(X) = U. Тогда £/ С г(х)у откуда хи = 0.
Поэтому ха = хиа = 0. Получено противоречие.
Пункт 2) следует из 1) при М = А и Л/ = Л6.
3) Пусть Л/ — ненулевой левый идеал в А. Обозначим М = {s_€ Л | sy €
Е Af}. Так как Ау — существенный левый идеал^то М ф0 и My = АуП
Г)Мф0. По определению М £(у) С М. Так как Му Ф 0 п_£(у)у = 0, то по
1) существует такой ненулевой левый идеал Г, что ГСМ и Тп£(у) = 0.
Обозначим Т = {^ G Л | sx ej}. Так как Ах — существенный левьш идеал,
то 0 Ф Ах П Т = 7>. Тогда 7jh/ ^ 0. Кроме того, 0 ^ 7jo/ С Ту С Му С М.
Поэтому Аху ПМфО, откуда Аху — существенный левый идеал. □
6.29. Если А — полупервичное кольцо с условием
максимальности для левых аннуляторов, аеА иАа — существенный левый идеал
в А, то а — неделитель нуля в Л.
> По 6.28(2) г(а) = 0. Так как Л — кольцо с условием максимальности
для левых аннуляторов и £(а1) = £(а1+х) для всех /, то £(ап) = £(ап+1) для
некоторого п G N. Если х е Аап П£(а), то х = уап и ха = 0 = уап+[у откуда
уе£(ап+1) = £(ап) их = уап = 0. Поэтому АапГ\£(а) = 0. Так как Аап —
существенный левый идеал по 6.28(3), то £(а) = 0. □
Кольца с условиями конечности для аннуляторов и кольца Голди 97
6.30. Пусть А — конечномерное справа кольцо,
1) Если аеА и г(а) = 0, то аА — существенный правый идеал в А
и поэтому, если А несингулярно справа, то £(а) = 0.
2) Если А несингулярно справа, то А — кольцо с условиями
максимальности и минимальности для правых (левых)
аннуляторов и каждое его подмножество X содержит такой элемент
х*, что г(х*) — максимальный элемент в {г(х)}хех-
о 1) Допустим, что существует такой ненулевой правый идеал В в А, что
ВпаА = 0. Так как г(а) = 0, то каждый правый идеал а1 В не равен нулю.
Пусть Zl=oaibi = °> ™е ьо>.• -,ЬпеВ. Тогда Ь0 = -а(£?=| а'"1^) €ВП
ПаЛ =0, поскольку Xw=i я'-16/ £г(а) = 0. Аналогично, 6i =. .. = bn = 0.
Поэтому 53^j а1 В — прямая сумма ненулевых правых идеалов. Получено
противоречие.
2) По 6.24(1) для любого подмножества X С А правый идеал г(Х)
замкнут. Так как по 5.1 в конечномерном справа кольце Л выполнены
условия максимальности и минимальности для замкнутых правых
идеалов, то Л — кольцо с условиями максимальности и минимальности для
правых аннуляторов. По 6.26 Л — кольцо с условиями максимальности
и минимальности для левых аннуляторов.
Допустим, что существует такое подмножество {х/}?^ в X, что г(х1+\)
строго содержит г(х/) для всех /. Так как дг,-Л = Л^//*(*,•), то правый идеал
XiA содержит такой ненулевой правый идеал В/, что В,-=r(je;+])//•(*;).
Так как В; — несингулярный правый Л-модуль, то по 6.21(5) г(х1+\) не
является существенным расширением правого идеала /*(*,•). Поэтому
существует такой ненулевой правый идеал С/ в Л,-что С/ С г(х1+\)
и С/ r\r(xi) = 0. Сумма всех ненулевых правых идеалов С, —их прямая
сумма. Получено противоречие. D
6.31. Пусть А — полупервичное кольцо.
1) Если каждое подмножество ХСА содержит такой элемент
х*, что г(х*) — максимальный элемент в {г(х)}хех, то А не
имеет ненулевых левых или правых нильидеалов.
2) Если А конечномерно справа и несингулярно справа, то А не
имеет ненулевых левых или правых нильидеалов.
*> 1) Допустим, что Л имеет ненулевой левый нильидеал Аа. По
условию существует такой ненулевой элемент Ь е Аа, что r(b) —
максимальный элемент множества правых аннуляторов ненулевых элементов из
Аа. Так как Л полупервично, то bdb ф0 для некоторого d e А. Тогда
Й^Ои существует п е N, для которого (db)n ^0 и (db)n+x = 0. Так
как r(b)Cr((db)n), то r(b) = r((db)n) в силу выбора правого идеала r(b).
Поэтому db e r((db)n) = r(b), откуда bdb=0. Получено противоречие.
98 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
Допустим, что А имеет ненулевой правый нильидеал Т. Рассмотрим
ненулевые t e T и с Е /L Так как (tc)n = 0 для некоторого п € N, то
(c/)rt+1 =c(tc)rtt = 0. Поэтому At —левый нильидеал. Так как А не
имеет ненулевых левых нильидеалов, то At =0. Поэтому / =0. Получено
противоречие.
Пункт 2) следует из 1) и 6.30(2). □
Кольцо А называется правым кольцом Голди, если А —
конечномерное справа кольцо с условием максимальности для правых аннуляторов.
6.32. Для кольца А равносильны условия:
1) А — полупервичное правое кольцо Голди;
2) А — конечномерное справа несингулярное справа
полупервичное кольцо;
3) А — конечномерное справа полупервичное кольцо с условием
максимальности для левых аннуляторов;
А) в А множество всех существенных правых идеалов
совпадает со множеством всех правых идеалов, содержащих хотя
бы один неделитель нуля.
> Импликации 1) => 2) и 3)=>2) следуют из 6.27. Импликации 2) => 1)
и 2)=>3) следуют из 6.30(2).
2) => 4). Если правый идеал В содержит неделитель нуля ft, то
по 6.30 ЬА — существенный правый идеал и поэтому В — существенный
правый идеал. Пусть D —любой существенный правый идеал. По 6.30
достаточно доказать, что r(d) = 0 для некоторого deD. По 6.31(2) А
не содержит ненулевых правых нильидеалов. Поэтому г(а\) = г(а2х) для
некоторого ненильпотентного элемента а\ € D. Если D П г(а\) = 0, то
r(ai) = 0 и можно положить d=a\. Допустим, что DC\r(a\)^0. Тогда
г(а\) = г(а2{) для некоторого ненильпотентного элемента a2GD Г\г(а\).
Считаем, что аь ..., ап --такие элементы, что ai+\ e D П (П/=1 r(aj))
и r(a,+i) = г(а?+1), V/ = 1, ..., п- 1. Если D Г)г(а\)П .. .Пг(ап) ^0, то
можно выбрать ненильпотентный элемент ап+\ е D П r(ai) П ... П г(ая).
Используя индукцию по пу докажем, что сумма правых идеалов а\Ау ...
..., апА является их прямой суммой. Случай п = 1 очевиден.
Допустим, что Y^=\ аИ —прямая сумма. Пусть an+\bn+\ = X^*=i a/ft/
(fti, ..., &rt+i € Л), / GN и / ^п. Так как a/a„+i =0, то 0 = XT/=i aiajbj>
откуда ft,- er(af) = r(ai). Тогда a/ft/ =0, откуда 0 = YJ!=\ a/ft/ =art+jftrt+i.
Поэтому J3"*/ аИ = 0"=/ a/Л. Так как А конечномерно справа, то
D П r(a\) П ... П r(a„) = 0 для некоторого n e N. Поэтому r(ai) П ...
...nr(art) = 0, поскольку D — существенный правый идеал. Обозначим
d = £?=i я/ € D. Тогда r(d) = r(ai) П... П r(a„) = 0.
Кольца ограниченного индекса нильпотентности 99
4) =>2). Пусть а е Singf/I^). Тогда г(а) — существенный правый идеал,
содержащий по условию неделитель нуля d. Так как ad = 0, то а = 0 и А
несингулярно справа.
Пусть X — идеал и Х2 = 0. По 5.2(2) существует такой правый идеал
у, что X П К = 0 и X 0 К — существенный правый идеал. По условию
найдутся такие х Е X и у € К, что х + // — неделитель нуля. Так как хХ = О
и г/Х С X П К = 0, то (jc + (/)^ = 0. Поэтому Л' = 0 и А полупервично.
Допустим, что А не конечномерно справа. Тогда в А имеется правый
идеал В = 0/6/ Bt, где множество / бесконечно и все правые идеалы В,
не равны нулю. По 5.2(2) можно без ограничения общности считать, что
В — существенный правый идеал. По условию В содержит неделитель
нуля Ь. Существует такое конечное подмножество / с/, что Ь €0.-6у В}
и правый идеал 0 бУ Bj существенен по условию, поскольку содержит
неделитель нуля Ь. Так как (0 бУ Bj)C\Bt = 0 для всех /, то получаем
противоречие. □
6.33. Пусть А — конечномерное справа полупервичное кольцо
и либо А несингулярно справа, либо А — кольцо с условием
максимальности для правых аннуляторов, либо А — кольцо с условием
максимальности для левых аннуляторов. Если В —идеал в А, то
В п г(В) = 0, идеал В 0 г(В) — существенный правый идеал и
содержит хотя бы один неделитель нуля, причем при В^О существует
такой ненулевой элемент be В, что bb' ^0 для любого ненулевого
ь'ев.
> По 6.15 r(B) = 1(B), В П г(В) = 0 и идеал В 0 г(В) — существенный
правый идеал. По 6.32 идеал В 0 г(В) содержит неделитель нуля
d = b + c, где 6 € Я и с е г(В). Пусть b' Е В и bb1 = 0. Так как В —
идеал, то сЬ'еВГ) г(В) = 0. Тогда dV = bb' + cb1 = 0. Так как r(d) = 0, то
b' = 0 и 6 — искомый элемент. □
Кольца ограниченного индекса нильпотентности
Редуцированные кольца.
6.34. Пусть А — редуцированное кольцо.
1) Если а\, ..., апеА и а\ • ...-ап = 0, то Аа3ц)А - ...-Aas{n)A = 0
для любой подстановки s на множестве {\, ..., п}.
2) Если х, у €Л, то ху = 0 <& ух — 0 & хАу = уАх = 0.
3) г(а) = г(ап) для всех аеА и я Е N.
4) Для любого подмножества ВС А г(В) — идеал и
r(B) = 1(B) = г(ЛЯЛ) = £(АВА) = {а € Л | АВАпАаА = 0}.
100 Плава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
> 1)—3). Элемент b =aS(i) • • • • * a>s(n) можно получить из произведения
а\ •... • ап с помощью конечного числа перестановок двух соседних
сомножителей. Если ху у е А и ху = 0, то Ъ
(уАх)2 = 0, уАх = 0, (хАу)2 = 0, хАу = 0.
Поэтому Ла5(1)Л •... • Aasi<rl)A = 0. Пусть а Е Л и 6 Е г(а). Тогда апЬп = 0
и по вышедоказанному (ab)n = 0. Поэтому ab = 0 и г(а") С г(а) С г(а"). *
4) Обозначим D = {а е А \ ABA П АаА = 0}. Непосредственно про- \
веряется, что D С г(ЛВЛ) С r(fl) и D С £(АВА) С £(Б). По 1) г(Б) =
= £(В) С г(АВА). Пусть а Е г(ЛВЛ). Тогда (АаА Г\ ABA)2 = 0. Так как
Л редуцировано, то ЛаЛ П ЛВЛ =0 и г(ЛВЛ) CD. D
6.35. Пусть Т — мультипликативный подмоноид
редуцированного кольца А и 0 £ Т.
1) <? = {аеЛ \г(а)пТ^0}-идеалв А и QnT = 0.
2) Существует такой подмоноид Т* мультипликативного
моноида Л, что 0 g Г*, ГСГ, Л \ Г* = {а е А \ г(а) Г)Т* ^ 0}
w Л \ Г* — собственный вполне первичный идеал в А. ;
> 1) Пусть /, и е 7\ а, b € Л, а/ = 0 и £ш = 0. По 6.34 аЛ/ = tAa = 0 |
и (а + 6)/м = 0. Поэтому ф — идеал. Допустим, что t e Q ПТ. Тогда <!
0 = tueT для некоторого и G 7\ Получено противоречие. I
2) Пусть {7/}/е/ — непустое множество всех подмоноидов
мультипликативного моноида Л, которые содержат Г и не содержат 0.
Непосредственно проверяется, что {7/} содержит объединение любой
возрастающей цепи его элементов. По лемме Цорна {7}} имеет максимальный
элемент Т*. Тогда 0 ^ Т* и Т СТ*. Обозначим <?* = {а е А \ at = 0 для
некоторого / е Т*}. По 1) <?* — идеал и Q* С Л \ Г*. Так как 0 ^ Г*, то
Q* — собственный идеал. Пусть аеА\Т*. Так как Т* — максимальный А
элемент в {7}}, то существуют такие to, >- -, tn € Т и неотрицательные ц
целые k\, ..., kny что toaklt\ak2t2. ..akntn = 0 и 6 = &i + ... + &л > 0. |
Обозначим / = /о •.. • • *« € 7\ По 6.34 а*/ = 0. По 6.34 а/ = 0. Поэто- I
му а е Q* и А\Т* CQ* СА\Т*. Допустим, что идеал Q* не вполне
первичен. Тогда tu e Q* для некоторых /, ueA\Q* =А\(А\ Т*) = Т*.
Тогда tu € <?* П Г* = (Л \ 74*) П 7** = 0. Получено противоречие. □
6.36. Теорема. Пусть А —редуцированное кольцо.
1) Л — нормальное несингулярное кольцо.
2) В А каждый минимальный первичный идеал Р вполне перви- ц
чен. f
3) В А каждый первичный идеал содержит вполне первичный J
идеал и пересечение всех вполне первичных идеалов редуци- i\
рованного кольца А равно нулю. Поэтому каждое редуциро- ||
ванное кольцо — подпрямое произведение областей. ||
Кольца ограниченного индекса нильпотентности 101
4) В А каждый максимальный правый или левый идеал М
содержит такой вполне первичный идеал Р, что Р — минимальный
первичный идеал.
5) Если в А пересечение любых двух ненулевых идеалов не равно
нулю (это так, например, если кольцо А первично), то А —
область.
6) Если для каждого вполне первичного идеала Р в А фактор-
кольцо А/Р — простое кольцо, то каждое первичное фак-
торкольцо кольца А — простая область.
о Пункты 1) и 5) следуют из 6.34(4).
2) Пусть Т — подмоноид мультипликативного моноида А,
порожденный множеством А \Р. Если 0е Т, то по 6.34(4)
(AaiA)-...-{Aa„A) = 0
для некоторых а\, ..., ап е А \ Р. Получено противоречие, поскольку Р —
первичный идеал. Поэтому 0 ^ Т. По 6.35 существует такой подмоноид Т*
мультипликативного моноида А, что 0 £ Т*, Т С Т*, А \ Т* = {а € А \ at = 0
для некоторого / € Т*} и А \ Т* -—собственный вполне первичный идеал
в А. Так как А\Т* СА\ТСА\(А\Р) = Р и Р — минимальный
первичный идеал, то Р = А \ Т* — вполне первичный идеал.
Пункт 3) следует из 2) и того, что по 6.5 и 6.10 в Л каждый
первичный идеал содержит минимальный первичный идеал и пересечение всех
минимальных первичных идеалов равно нулю.
4) Каждый примитивный справа (слева) идеал первичен. Так как М
содержит примитивный справа (слева) идеал, то М содержит
минимальный первичный идеал Р. По 3) Р вполне первичен.
6) Пусть Q — первичный идеал. По 3) первичный идеал Q содержит
вполне первичный идеал Р. По условию А/Р — простое кольцо. Поэтому
Р = Q и A/Q — простая область. □
Кольцо называется прямо-конечным или конечным по Дедекинду,
если все его обратимые справа или слева элементы обратимы.
6.37. Пусть А — кольцо и либо А нормально, либо А не
содержит бесконечных множеств ортогональных идемпотентов, либо
А квазиинвариантно слева, либо каждое его примитивное справа
факторкольцо не содержит бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов. Тогда А прямо-конечно.
> Пусть а, Ь е А и ab = 1. Тогда Ьа — (Ьа)2. Если А нормально, то
идемпотент Ьа централен, baa = aba = 1 • а = а и Ьа = baab = ab = 1.
Допустим, что А — кольцо без бесконечных множеств ортогональных
идемпотентов. Для любого п е N положим еп = bnan - bn+*an+].
Если Ьаф 1, то непосредственно проверяется, что {en}%L{ —бесконечное
102 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
множество ненулевых ортогональных идемпотентов, и получаем
противоречие.
Допустим, что А квазиинвариантно слева. Достаточно доказать, что
Аа = А. Допустим, что Аа фА. Тогда а лежит в некотором максимальном
левом идеале М. Так как по условию М — идеал, то 1 = ab € М. Получено
противоречие.
Допустим, что каждое примитивное справа факторкольцо кольца А
не содержит бесконечных множеств ортогональных идемпотентов.
Достаточно доказать, что ba G U(A). Обозначим х=\ - Ьа. Если х € J(A)y
то Ьа = 1 — х € U(A). Допустим, что х £ J(A). Тогда существует такое
примитивное справа факторкольцо А/Р, что Н(х)фОу где й: A-+A/P —
естественный эпиморфизм. По доказанному выше кольцо h{A)
прямо-конечно. Так как h(a)h(b) = й(1), то h{b)h(a) — h{\). С другой стороны,
h(b)h(a) ф/г(\)у поскольку h(\) - h(b)h(a) = h(x) ф 0. Получено
противоречие. □
6.38. Кольца индекса ^ я. Пусть А — кольцо индекса ^пу neN.
1) Если Х\у ...уХп — подмножества в А и XiX} = 0 при i ^ /, то
х{х2...хп=о.
2) Если В — нильподкольцо в А и Z — кольцо целых чисел, то
(bn-lZ + Bbn-lB)2 = 0 для всех ЬеВ.
3) Если В — нильподкольцо в А и b € В, то bn~l лежит в сумме
всех нильпотентных идеалов нилькольца В.
4) Если В — конечно порожденное нильподкольцо в Ау то
нилькольцо В нильпотентно.
5) Если D — нильподкольцо в Л, то Dn лежит в сумме всех
нильпотентных идеалов кольца А и поэтому Dn лежит в каждом
полупервичном идеале кольца А.
6) Если е\, #2, • • •, £/г+1 — ортогональные идемпотенты в Ау то
e\Ae<iA ...enAen+\ = 0.
7) {Хпг{Хп+х))п+х = 0 для каждого подмножества X в А.
> 1) Пусть Х[ eXiy i= 1, ..., пу и z=X\ +... + *„. Так как XiXj=0 для
/ ^ у, то zn = Х\Х2 ...хп и zn+l = 0. Так как А — кольцо индекса ^ пу то
х\Х2 ... хп = 0. Поэтому Х\Х2...Хп = 0.
2) Так как {Ьп~х)2 = 0, то (bn~lZ +Bbn~lB)2 СВЬп-1ВЬп~1В.
Поэтому достаточно доказать, что bn~lcbn~l = 0 для каждого элемента с
нилькольца В. Обозначим s = cbn~l. Тогда sb=0. Можно считать, что
п > 2. Так как В — нилькольцо индекса ^ п и sb = 0, то sn = 0 и Ьп = 0,
откуда
Кольца ограниченного индекса нильпотентности 103
для некоторого / Е Л. Так как Ы Е В, то (bt)n = 0. Поэтому Ы + 1 € £/(Л).
Тогда fccfc = (ft/ + \)~l[(bt + l)ftcft] =0.
Пункт 3) следует из 2).
4) Обозначим Afo = 0. Если /= 1, ..., я, то обозначим через Af,-
такой идеал нилькольца В, что Af,/Af,_i —сумма всех нильпотентных
идеалов нилькольца B/Mt-\. По 3) B/Af, — нилькольцо индекса ^ п — /,
/ = 0, ...,я. Поэтому В = Мп. Пусть {Л//},-€/ — множество всех
нильпотентных идеалов нилькольца В/Мп-\. Так как В/Мп-\ — конечно
порожденное кольцо, то существует такое конечное подмножество F С 1у
что B/Mn-i = YlieFNi — нильпотентный идеал. Поэтому Bk CM п—\ ДЛЯ
некоторого k е N. Так как В — конечно порожденное нилькольцо, то Bk —
конечно порожденное нилькольцо. Тогда (Вк + Af„_2)/Afrt_2 — конечно
порожденное нилькольцо, лежащее в сумме нильпотентных идеалов
нилькольца В/Мп-2- Поэтому (Вк + Afrt_2)/M„_2 лежит в некотором нильпо-
тентном идеале нилькольца В/Мп-2- Тогда В1 С Af„_2 для некоторого
/ € N. Повторив это рассуждение я раз, получим, что В нильпотентно.
5) Пусть Af —сумма всех нильпотентных идеалов в Л и В —
нилькольцо в D, порожденное произвольными я элементами d\y ..., dne D.
Достаточно доказать, что Вп С Af. По 3) В нильпотентно.
Если правый идеал ВпА нильпотентен, то Вп + ВпА+АВп +АВпА —
содержащий Вп нильпотентный идеал в Л, откуда Вп С Af.
Допустим, что правый идеал ВМ не нильпотентен. Так как В
нильпотентно, то существует такое натуральное k > я, что правый идеал
ВкА нильпотентен и правый идеал Вк~1А не нильпотентен. Обозначим
Е = АВкА. Так как идеал Е нильпотентен и Л —кольцо индекса ^я, то
А/Е — кольцо индекса ^ я. Обозначим X,- = Вк~1АВ1у i = 1, ..., я. Если
/^/, то Х<Х}=Вк-1АВк+1-'АВ!СЕ. Применим 1) к кольцу А/Е. Тогда
Х\Х2.. .Х„ СЕУ
(Вк-1АВ)(Вк~2АВ2)... (Вк~пАВп) С В, (Я*-|Д)я+| С В.
Поэтому правый идеал Вк~хА нильпотентен. Получено противоречие.
6) Пусть ль ..., ап еА и t = е\й\е2 + е2а2ез +... + enanen+i.
Индукцией по / = 1, ..., я проверяется, что
tl = ]Р ejdjej+ia...ej+i-idj+i-iej+i.
/=i
Поэтому /rt = е\а\е2С12 ... епапеп+\. Тогда /л+1 =0. Так как Л —кольцо
индекса ^nyToO = tn = e\a\e2a2...enanen+\. Поэтому
е\Ае2А...епАеп+\ = 0.
104 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
7) Обозначим Xt = г(Х')Х*, i = 1, ..., п. Если / ^ /, то
XiXj = г(Х!)Х1-'Х'г(Х')Х' = 0.
По 1) 0 = Х{Х2...Хп = r(X)(Xr(X2))...(Xn-[r(Xn))Xn. Так как
правый идеал Хпг{Ха+1) лежит в г(Х) Г) (Хг(Х2)) П ... Г) (Хп-{г(Хп))у то
(Xnr(Xn+x))n+x=0. D
6.39. Полупервичные кольца индекса ^ п. Если А —
полупервичное кольцо и neNy то равносильны условия:
1) А — кольцо индекса ^ п\
2) Xi^2 ... Хп = 0 (Зля любых таких подмножеств Х\, ..., Хп в А,
что XtXj = 0 при I ^ /;
3) г(Хп) = г(Хп+х) для каждого подмножества X СА\
4) г(хп) = г(хп+х) для всех х € А;
5) г(Тхп) = г(Тхп+х) для каждого х€А и любого идеала Т в А.
> Импликация \)=>2) следует из 6.38(1).
2)=>3). По 38(7) (Хпг(Хп+х))п+х =0. Тогда Хпг(Хп+1) = 0у поскольку
А полупервично. Поэтому г(Хп+х) С г(Хп) С r(A',I+1).
Импликация 3)=>4) проверяется непосредственно.
4)=> 1). Пусть х — нильпотентный элемент в А. Тогда г(хт) = Л для
некоторого натурального m > п. По 4)
г(х") = фг"+1) = ... = r(xm) =АУ хп = 0.
2) => 5). Обозначим X,- = r(Tx')Txly i = 1, ..., п. Если / ^ /', то
XiX^riTx^Tx^'xiriTx^Tx' =0. По 2)
0 = Х\Х2 ...Хп = Г• Х\Х2 •• *Хп =
= (Гг(Гх))(7хг(7х2))... (Тхп-хг(Тхп))Тхп.
Если / ^ 0, то
7хя-г(7хя+|) = Тх1-хп-1т(Тхп+х)у хп~'1 • г(Тхп+1) С г(7У+|).
Поэтому 7хл • г(Тхп+х) С 7У • г(7У+1) для всех / ^ 0. Тогда
(Тхп - г(Тхп+х))п+х =0.
Поэтому Tjc" •r(7jc/I+1) = 0, поскольку Л полупервично. Тогда г(7хл+1)С
Сг(Гхл)С^7*л+|).
Импликация 5)=>4) следует из того, что г(хп) = г(Ахп) = г(Ахп+х) =
= г(хп+х). О
6.40. Пусть А — полупервичное кольцо индекса < п.
\) А не имеет ненулевых правых или левых нильидеалов и Dn = 0
для любого нильподкольца D в А.
Кольца ограниченного индекса нильпотентности 105
2) Л — несингулярное кольцо.
3) Если В — идеал в Ау то А/г(В) — кольцо индекса ^ п.
4) Если Р — минимальный первичный идеал в А, то А/'Р —
первичное кольцо индекса ^п.
о Пункт 1) следует из 6.38(5).
2) Допустим, что Sing(/4,4) ф 0. Так как А не имеет ненулевых
правых или левых нильидеалов, то существует ненильпотентный элемент
x£S\ng(AA). По 6.39 г(хп) = г(хп+{). Тогда r(xtl) = г(хп). Так как
0 Ф хп € Sing(/4,4), то 0 Ф хпа е г(хп) для некоторого a е А.
Поэтому а е г(х2п). Тогда 0 = хпа Ф 0. Получено противоречие. Поэтому
Sing(y4y4) = 0. Аналогично, Sing(/qy4) = 0.
3) Пусть h: А —> А/г(В) — естественный эпиморфизм. Так как А
полупервично, то h(A) полупервично. Пусть h(x) E h(A)y где jc € Л. По 6.39
достаточно доказать, что правые аннуляторы элементов h(xn), h(xn+l)eh(A)
совпадают. Пусть h(xn+l)h(y) = 0. Достаточно доказать, что h(xn)h(y)=0.
Имеем хп+ху е г(В)у откуда Вхп+Ху = 0. По 6.39 г(Вхп) = г(Вхп+х).
Поэтому Вхпу = 0. Тогда хпу € r(fi), откуда h(xn)h(y) = 0.
4) Обозначим Г = Л \ Р. Пусть £ — множество всех таких идеалов
£, что Т Г\Е = 0 и Л/£ — кольцо индекса < п. Так как 0 € £, то £ Ф 0.
Объединение любой возрастающей цепи идеалов из £ лежит в £. По
лемме Цорна £ содержит максимальный элемент ф. Тогда Т C)Q = 0,
откуда QCP.
Допустим, что Q — неполупервичный идеал. Тогда существует такой
идеал В, что В строго содержит Q и В2 С Q. Так как A/Q — кольцо
индекса ^ п и В2 С ф, то Л/В — кольцо индекса ^ п. Тогда Т ПВ ф0,
поскольку Q — максимальный элемент в £. Поэтому существует элемент
t еТоВ. Так как Р — первичный идеал и / ^ Р, то tat eT для некоторого
аеА. Тогда tat eT Г) В2 CToQ = 0. Получено противоречие. Поэтому
Q полупервичен.
Допустим, что идеал Q не первичен. Пусть h: A —>Л/ф —
естественный эпиморфизм. Так как Q — полупервичный непервичный идеал, то
существуют такие идеалы X и У, что X и У строго содержат ф, ^ П Y = Q,
h(X) — аннулятор идеала Л(У) в Л(Л) и h(Y) — аннулятор идеала Л(А)
в МЛ). Так как Л(Л) —полупервичное кольцо индекса ^ л, то по 3)
h{A)/h(X) и h(A)/h(Y) — кольца индекса < л. Тогда Л Д и Л/К — кольца
индекса ^ л. Так как Q — максимальный элемент в £, то множества
ТпХиТпУж пусты. Пусть jc Е Т П * и */ е Т П К. Так как Р —
первичный идеал, то хау eTnXf]Y = TnQ = 0 для некоторого аеА.
Получено противоречие. Поэтому Q — первичный идеал. Так как Q С Р
и Р — минимальный первичный идеал, то Q = Р и Л/Р — кольцо индекса
не более п. □
106 Плава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
6.41. Первичные кольца индекса ^ п. Пусть А — первичное
кольцо индекса ^п.
1) А — ортогонально п-конечное кольцо.
2) Каждая строго возрастающая цепь правых (левых) аннуля-
торов подмножеств в А имеет ^ п собственных включений.
3) А — кольцо с условиями максимальности и минимальности
для правых аннуляторов и кольцо с условиями
максимальности и минимальности для левых аннуляторов.
4) Если аеА и аА — существенный правый идеал в Ау то а —
неделитель нуля в А.
5) Каждый существенный правый идеал L кольца А содержит
такой элемент а, что г(а) = 0.
6) В А каждый ненулевой идеал содержит неделитель нуля.
> 1) Пусть е\у #2, •••> £«+1 —ортогональные идемпотенты в А. По
6.38(6) e\Ae2A ...епАеп+\ = 0. Так как А первично, то хотя бы один
правый идеал е\А равен нулю.
2) Пусть S1CB2C.CB/- такая строго возрастающая цепь правых
идеалов, что В, = r(Ci), где С, С Л, / = 1, ..., /. Для каждого индекса /
положим Xi = B[£(Bi). Тогда XiXj = 0 при / ^ /. Если ^(B,_i)B, = 0 для
некоторого индекса /, то
Bi С гЩВ^)) = r(£(r(Ci-{))) = r(C^) = B/_, ф В/.
Получено противоречие. Поэтому все ^(B/_i)B, — ненулевые левые
идеалы. Считаем, что В\ ф0 и В/ фА. Надо доказать, что t <п.
Допустим, что t^n. По 6.38(1) Х\Х2...Хп = 0. Тогда В,(^(В1)В2)...
... (е(Вп-{)Вп)е(Вп) = 0. Кроме того, А первично, В, ^0и все ^(Ву-ОВ/ -
ненулевые левые идеалы. Поэтому £(Вп) = 0. Тогда
А = г(£(Вп)) = г(£(г(Сп))) = г(Сп) = Вп.
Поэтому Bt = Л, поскольку / ^ п. Получено противоречие.
Пункт 3) следует из 2) и 2.8.
4) По 3) А —кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов. По 6.29 г(а) = Ца) = 0.
5) По 3) существует такой элемент а Е L, что г(а) — минимальный
элемент множества правых аннуляторов элементов из L. Если аА —
существенный правый идеал, то г(а) = £(а) = 0 по 4).
Остается рассмотреть случай, когда правый идеал аА не является
существенным. Существует такой ненулевой правый идеал М в Л, что
М П аА = 0. Так как L — существенный правый идеал, то N = М П L Ф 0.
Первичные идеалы и нётеровы кольца
107
Пусть х е N и Ь е г(а + х). Тогда
(а + х)Ь = 0, аЬ = -хЬ Е Л/ПаЛ С МПаА = 0,
ft Е r(a) П г(х), г(а + х) = г(а) П г(х).
Кроме того, г(а) — минимальный элемент множества правых аннуляторов
элементов из L. Поэтому г(а) С г(х) для всех xeN. Тогда Nr(a) = 0. Так
как А первично, то г(а) = 0.
6) По 6.17 в Л каждый ненулевой идеал — существенный правый
идеал. Поэтому 6) следует из 5). □
6.42. Пусть А — кольцо индекса ^ п € N, Р = rad(/4) — первичный
радикал и Р* — сумма всех нильпотентных идеалов кольца А.
1) A/fP — полупервичное кольцо индекса ^ я, А/Р — подпрямое
произведение первичных колец индекса ^п и A/Q — кольцо
индекса ^п для каждого минимального первичного идеала
Q в А.
2) Рп С Р* С Р и Dn С Р* для каждого нильподкольца D в А.
> 1) Пусть h: А —»А/Р — естественный эпиморфизм и ф —
минимальный первичный идеал в А. Тогда Я С <?, A/Q=ih(A)/h{Q), и Q/P=h(Q) —
минимальный первичный идеал в Л/Л По 6.11 Р — полупервичный ни-
льидеал. Поэтому h(A) — полупервичное кольцо индекса ^ п. По 6.40(4)
h(A)/h(Q) — кольцо индекса не более п. Поэтому A/Q — кольцо индекса
^ п. По 6.10 пересечение всех минимальных первичных идеалов в А равно
Р. Поэтому h(A) — подпрямое произведение первичных колец индекса не
более п.
Пункт 2) следует из 6.38(5) и 6.11. □
Первичные идеалы и нётеровы кольца
6.43. Если X = YlT=\ Х*А u Y = ]L/=i !JjA ~~ конечно порожденные
правые идеалы кольца Л, причем Y — идеал в А, то
т п
*r = ££w*
— конечно порожденный правый идеал в А. (Проверяется
непосредственно.)
6.44. Если Р\, ..., Рп — такие конечно порожденные правые
идеалы кольца Л, что для любого i Pt — идеал в А и факторкольцо A/Pi
нётерово справа, то в А каждый правый идеал Ху
удовлетворяющий включениям P\P2'--PnQXCf|"=1 Pi, конечно порожден.
108 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
> По 6.43 все члены убывающей цепи идеалов
— конечно порожденные правые идеалы в Л. Так как при / = 1, ..., п - 1
кольцо A/Pi+\ нётерово справа и Р\Р2 ... Pi/P\P2 • • • Л+i — конечно
порожденный правый A/Pi+\-модуль, то в правом Л-модуле Р\/Р\р2 • • • Рп
все подмодули конечно порождены. Так как Х/Р\Р2 ...РпиР\Р2.-.Рп —
конечно порожденные правые Л-модули, то X — конечно порожденный
правый идеал. □
6.45. Пусть в кольце А каждый первичный идеал — конечно
порожденный правый идеал.
1) Для каждого идеала X в А существуют такие содержащие
X первичные идеалы Р\у ..., Рп в Л, что P\P2-PnQX.
2) А — кольцо с условием максимальности для первичных
идеалов.
> 1) Допустим противное. Тогда не является пустым множество X всех
идеалов X в Л, не содержащих произведение конечного числа первичных
идеалов РХ^Х.
Пусть Х\ С Х2 С ... — бесконечная строго возрастающая цепь идеалов
Xi e X. Докажем, что Ц°^, Xt e X. Если это не так, то существуют такие
первичные идеалы Qj Э Ц^, Х-1у / = 1, ..., пу что Q\Qo - • • Qn Я U/^i */»
причем по 6.43 Q\Q2--Qn — конечно порожденный гравый идеал, и
поэтому Q\ $2 •. • Qn С Xi e X для некоторого /, что приводит к
противоречию. Поэтому по лемме Цорна X содержит максимальный элемент X.
Так как идеал X не первичен, то существуют такие строго содержащие X
идеалы Y\ и ^2, что Y\Y2 СХ. Поскольку Y\ и Кг не лежат в X, то при
/ = 1,2 существуют такие первичные идеалы Р1}у что
hi
PnPi2...Pmi CK, С Г|р|7, / = 1,2,
/=1
PnPl2-*-Plk{P2\P22...P2k2Q Y{Y2CXC (ПР1/)П(ПР2/У
Так как X € Ху то получаем противоречие.
2) Допустим, что Л содержит бесконечную строго возрастающую цепь
Р\ С/>2С... первичных идеалов Р,. Обозначим X = Ц°^, Pt. По 1)
существуют такие первичные идеалы Q\, ... у Qny что
п
QiQ2..-Qncx с f]Qh
Первичные идеалы и нётеровы кольца
109
Так как по 6.43 @i<?2- • Qn — конечно порожденный правый идеал, то
Q\Q2-- Qn Q Pi Для некоторого /, причем Р, — первичный идеал. Тогда
Q. С Pi С X С Qj для некоторого у € {1, п) и получаем
противоречие. П
6.46. Если в кольце А все идеалы и все первичные правые
идеалы — конечно порожденные правые идеалы, то А — нётерово
справа кольцо.
о Допустим, что А не нётерово справа. Тогда непусто множество X всех
таких идеалов X в Ау что факторкольцо А/Х не нётерово справа. Так
как в /1 все идеалы являются конечно порожденными правыми
идеалами, то А — кольцо с условием максимальности для идеалов. Поэтому X
содержит максимальный элемент М. Без ограничения общности можно
считать, что /W = 0 и множество У всех правых идеалов, не являющихся
конечно порожденными, непусто. По лемме Цорна У содержит
максимальный элемент Y. Из условия следует, что правый идеал Y не первичен
и поэтому аАЬ С К для некоторых a, b € А \ Y. Из максимальности Y в У
следует, что правый идеал Y + аА конечно порожден. По условию
идеал ЛМ —конечно порожденный правый идеал. По 6.43 (Y + аА)АЬА —
конечно порожденный правый идеал, причем
(Y + aA)AbA = YbA + аАЬА С У.
Заметцм, что АЬАфА, поскольку в противном случае-
ае Y + aA = (Y + aA)AbA С Y.
Так как А/АЬА — нётерово справа кольцо, то Y/((Y + аА)АЬА) — конечно
порожденный Л-модуль. Кроме того, (Y + аА)АЬА — конечно
порожденный Л-модуль. Тогда К —конечно порожденный Л-модуль и получаем
противоречие. D
6.47. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) А — нётерово справа кольцо;
2) в А все первичные правые идеалы конечно порождены.
> Импликация 1)=>2) очевидна.
2) => 1). Если все первичные факторкольца кольца А нётеровы справа,
то по 6.44 и 6.45(1) А нётерово справа. Поэтому достаточно доказать, что
Для любого первичного идеала Р факторкольцо А/Р нётерово справа.
Пусть V — множество всех таких первичных идеалов Р, что факторколь-
Uo А/Р не нётерово справа. Допустим, что V Ф 0. Так как по 6.45(2)
4 — кольцо с условием максимальности для первичных идеалов, то V
содержит максимальный элемент М. Без ограничения общности можно
считать, что М = 0. Так как А не нётерово справа, то по 6.46 А содержит
ненулевой идеал Ху не являющийся конечно порожденным правым идеа-
110 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
лом. По 6.45(1) существуют такие строго содержащие X ненулевые
первичные идеалы Р\у ..., РПу что Р\?2 • • • Рп ^Х. Так как все собственные
факторкольца кольца А нётеровы справа, то все кольца A/Pi нётеровы
справа. По 6.44 X — конечно порожденный правый идеал и получаем
противоречие. D
Кольцо А называется совершенным справа, если ](А) — /-нильпо-
тентный справа идеал и A/J(A) — полупростое кольцо. По 5.40(3) каждое
совершенное справа или слева кольцо полусовершенно.
6.48. Теорема Басса. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — совершенное справа кольцо;
2) А — полуартиново слева полулокальное кольцо;
3) А — полуартиново слева ортогонально конечное кольцо;
4) А — полуартиново слева кольцо и А не содержит
бесконечного множества ортогональных идемпотентов;
5) А — полулокальное правое тах-кольцо;
6) каждое факторкольцо кольца А — совершенное справа
полуартиново слева ортогонально конечное правое тах-кольцоу
причем каждое полупервичное факторкольцо кольца А
полупросто.
> Импликации 6)=>1) и 3)=>4) очевидны. Эквивалентность 1)Ф>2)
следует из 5.51. Эквивалентность 1)^»5) следует из 5.54 и того, что
полупростое кольцо — тах-кольцо. Импликация 2)=>3) следует из того,
что по 5.38(1) каждое полулокальное кольцо ортогонально конечно.
4)=>2). По 5.51 Л//(Л) — полуартиново слева кольцо и идеал J(A)
/-нильпотентен справа. Так как А не содержит бесконечного множества
ортогональных идемпотентов и J(A) — нильидеал, то по 5.44(2) кольцо
A/J (А) не содержит бесконечное множество ортогональных
идемпотентов. По 6.3 кольцо A/J (А) полупросто.
1)=>6). Так как по 5.40(3) совершенное справа кольцо А
полусовершенно, то по 5.42 его произвольное факторкольцо А/В полулокально.
По 5.54 полулокальное кольцо А/В — правое тах-кольцо. Из
доказанной эквивалентности условий 1), 2) и 5) следует, что А/В — полуартиново
слева совершенное справа ортогонально конечное кольцо. Если кольцо
А/В полупервично, то по 6.2 А/В полупросто. □
6.49. Предложение. Пусть А — нётерово справа кольцо.
1) Если В —такой идеал в Л, что £(В) — существенный левый
идеал, то идеал В нильпотентен.
2) Идеалы Sing^) и Sing^/l) нильпотентны.
> 1) Так как Л —кольцо с условием максимальности для идеалов, то
существует такое п GN, что £(Вп) —£(Вп^1) для любого / GN. Так как
Первичные идеалы и нётеровы кольца
111
£(В) Q НВп)> то ЦВп) — существенный левый идеал. Допустим, что идеал
В не нильпотентен. Тогда £(Вп)фА. Пусть R = А/£(Вп). Так как /? —
нётерово справа ненулевое кольцо, то существует х € А, для
которого rR(x + £(Вп)) максимален в множестве правых идеалов кольца /?,
являющихся правыми аннуляторами ненулевых элементов из R. Если
хВп Q £(Вп), то а: € £(В2п) = £(Вп)у х + £(Вп) = 0. Получено противоречие.
Поэтому 0фхЬ££(Вп) для некоторого ЬеВп. Так как £(Вп) —
существенный левый идеал, то 0 Фyxb € £{Вп) для некоторого у е А.
Поскольку yxb е£(Вп) и xbg£(Bn)y то г(х + £(Вп)) строго лежит в г(ух + £(Вп)).
Кроме того, ух + £(Вп) ^0, поскольку в противном случае yxb = 0, что
противоречит выбору х.
2) Обозначим В = Sing^^). Так как А — кольцо с условием
максимальности для правых аннуляторов, то по 6.25(2) идеал Sing^)
нильпотентен и £(В) — существенный левый идеал. По 1) идеал В
нильпотентен. П
Упражнения
6.50. Пусть N — сумма всех нильидеалов кольца А. Тогда N —
наибольший нильидеал в Л, причем факторкольцо A/N не имеет ненулевых
нильидеалов. Если при этом факторкольцо А/Р кольца А по его
первичному радикалу Р не имеет ненулевых нильидеалов, то P = N. (Указание.
Утверждение проверяется непосредственно, с учетом того, что по 6.11
PCN.)
6.51. Если факторкольцо А/Р кольца А по его первичному радикалу
Р — правое кольцо Голди, то Р совпадает с суммой всех нильидеалов
в А. (Указание. Так как по 6.31(1) и 6.32 факторкольцо А/Р не имеет
ненулевых нильидеалов, то утверждение следует из 6.50.)
6.52. Пусть Р — первичный радикал кольца А с условием
максимальности для нильпотентных идеалов. Если А/Р — правое кольцо Голди, то
в кольце А каждый нильидеал нильпотентен. (Указание. Так как по 6.14
идеал Р нильпотентен, то утверждение следует из 6.51.)
6.53. Пусть Л —нётерово справа кольцо и S —нильидеал в А.
Тогда идеал В нильпотентен. Если при этом А/В — полупервичное кольцо
с условием минимальности для главных левых идеалов, то А — артиново
справа кольцо. (Указание. Так как по 6.52 идеал В нильпотентен и по 6.3
А/В — полупростое кольцо, то А полупримарно. По 5.38 А артиново
справа.)
6.54. Если А — нётерово справа полулокальное кольцо и J(A) —
нильидеал, то А артиново справа. (Указание. Примените 6.53.)
6.55. Лемма Андрунакиевича. Пусть В — идеал предкольца Л, С —
иДеал предкольца ВиО- идеал в Л, порожденный С. Тогда D3 С С С D.
112 Глава 6. Полупервичные и несингулярные кольца
В частности, если С — нильпотентный идеал в S, то D — нильпотентный
идеал в А. (Указание. Так как D = С + АС + С А +АСА С Б, то
D3 CBDB = ВСВ + ВАСВ + ВСАВ + ВАСАВ = ВСВ С С С D.)
6.56 ([222]). Если Л — кольцо с условием максимальности для
правых аннуляторов, то его факторкольцо по первичному радикалу
несингулярно справа.
6.57 ([230]). В правом кольце Голди все нильидеалы нильпотентны.
Литература. [3,9,13,20-22,24,111,112,288,289,291].
7
Инъективные и проективные модули
Относительная инъективность и проективность
Модуль X называется инъективным относительно модуля Y
(или Y-инъективным), если для любого подмодуля Y e Lat(Y) все
гомоморфизмы Y —* X продолжаются до гомоморфизмов Y ->Х.
Модуль X называется проективным относительно модуля Y (или
Y-проективным), если_для каждого эпиморфизма Л: У-^У и любого
гомоморфизма /: X —> К существует такой гомоморфизм f:X-+Y, что
/ = А/.
Модуль над кольцом А, инъективный (проективный) относительно
любого Л-модуля, называется инъективным (проективным) модулем.
Модуль, инъективный (проективный) относительно себя, называется ква-
зиинъективным (квазипроективным) или самоинъективным
(самопроективным) модулем. Модуль М называется малоинъективным,
если каждый эндоморфизм любого подмодуля в М продолжается до
эндоморфизма М. Модуль М называется малопроективным, если для
любого эпиморфизма h: М —* М и для каждого эндоморфизма / модуля
М существует такой эндоморфизм / модуля М, что /Л = Л/.
7.1. Верны утверждения.
1) Все инъективные (проективные) модули самоинъективны
(самопроективны), все самоинъективные (самопроективные)
модули малоинъективны (малопроективны), циклическая
группа любого простого порядка — самопроективный са-
моинъективный непроективный неинъективный простой
Ъ-модуль, бесконечная циклическая группа — малоинъек-
тивный несамоинъективный проективный Ъ-модуль, любая
квазициклическая группа —малопроективный несамопроек-
тивный инъективный Ъ-модуль.
2) Каждый модуль проективен и инъективен относительно
любого полупростого модуля.
3) Для любого кольца А модуль А а проективен.
* Пункт 1) проверяется непосредственно. _
2) Пусть Af — модуль, X — полупростой модуль, h: X —► ^ —
эпиморфизм и f:M-+X — гомоморфизм. Так как X полупрост, то суще-
114 Глава 7. Инъективные и проективные модули
ствует прямое разложение X — Кег(/) ф Y. Обозначим через и
изоморфизм и\_ Y —► h(M), индуцированный эпиморфизмом h. Равенством
f(m) = u~l f(m)_ корректно определен гомоморфизм /: М —»X' ф К. Так
как hf = hu~l f — f, то Af ^-проективен. Аналогично доказывается, что
М Л'-инъективен. _ _ _
3) Пусть h: Х_а —*Ха — эпиморфизм модулей и / € Нот(ЛУ4, Хд). Для
элемента /(1)€Х существует такой элемент х еХ, что f(\) = h(x).
Правилом f(a)=xa корректно задается гомоморфизм /: Ад —>Х. Так как
/ = hf, то модуль Ад Х-проективен. □
7.2. Все прямые слагаемые и прямые произведения модулей,
инъективных относительно данного модуля X, Х-инъективны.
В частности, все прямые слагаемые и прямые произведения
инъективных модулей инъективны. Все прямые слагаемые и прямые
суммы модулей, проективных относительно данного модуля X, X-
проективны. В частности, все прямые слагаемые и прямые суммы
проективных модулей проективны.
> Докажем только первое утверждение, поскольку второе
утверждение доказывается аналогично. Пусть М = \[1е} Mt. Ясно, что из X-
инъективности Af следует ^-инъективность всех Af/. Допустим теперь,
что все Mi ^-инъективны. Пусть К —подмодуль в X, / € Нот(У, М),
7Г/: М —>Mt — естественные проекции. Все гомоморфизмы 7Г;/: K-»Af/
продолжаются до гомоморфизмов gt: X —»Af/, определяющих
естественное продолжение g: X —► Af. □
7.3. Класс X всех модулей, относительно которых данный
модуль М инъективен, содержит все подмодули, гомоморфные образы
и прямые суммы модулей из X. Класс У всех модулей, относительно
которых данный модуль М проективен, содержит все
гомоморфные образы, подмодули и конечные прямые суммы модулей из У.
> Докажем только первое утверждение, поскольку второе утверждение
доказывается аналогично. Если М ^-инъективен, то непосредственно
проверяется, что М инъективен _относительно любого подмодуля
модуля X. Допустим, что h: X —> X — эпиморфизм, К —подмодуль в X,
g € Hom(K, Af). Обозначим через Y полный прообраз Y в X под
действием h. Пусть hy — ограничение h на Y. По условию
гомоморфизм ghy: К—>Af продолжается до гомоморфизма /: X —>Af. Так как
Кег(Л) С Y, то Кег(Л) С Кег(/)._Поэтому / продолжается до некоторого
гомоморфизма /: X -+М и М Х-инъективен.
Пусть {Xi}iei —такое множество модулей, что М ^/-инъективен
для всех i € /. Пусть Y = ®ielXif Yx e Lat(V), /i € Hom(Kb Af), £ —
множество всех пар (L, [l), где L — подмодуль в Y, содержащий Y\,
a II — гомоморфизм из L в Af, продолжающий f\. Определим отношение
Относительная инъективность и проективность 115
^ на £ так, что (L, fi) ^ (Q, /#) в точности тогда, когда L С Q и fL
продолжается до /$. Можно проверить, что ^ — частичный порядок на £
и каждая непустая цепь в £ обладает верхней гранью. По лемме Цорна
в £ существует максимальный элемент (У, /). Достаточно доказать, что
Y = Y, что равносильно включениям Xt С Y для всех /_€ /. Так как М Xt-
инъективен, то ограничение гомоморфизма / на Х\ П Y продолжается до
некоторого гомоморфизма /,-: X; —> М. Пусть и: (X/ + Y) —► Af — такой
гомоморфизм, что и(х +у) = fi(x) + f(y) для всех xeXi и у Е Y. Этот
гомоморфизм определен корректно (если х + у = 0, то _х = - г/ € X/ П К
и w(*_+ I/) = f(—y) + /(*/) = 0). По построению Xt + Y = У. Поэтому
X/ С К, что и требовалось. □
7.4. £Ъш модуль М инъективен относительно модуля X и
существует мономорфизм /: М-+Х, то f(M) —прямое слагаемое в X,
причем М самоинъективен и изоморфен прямому слагаемому
модуля X. В частности, если либо X неразложим, либо f(M)
—существенный подмодуль в X, то /: М-*Х — изоморфизм. Если модуль
М проективен относительно модуля X и существует эпиморфизм
h\ X —»Af, то Кег(Л) — прямое слагаемое в X и М —
самопроективный модуль, изоморфный прямому слагаемому модуля X, В
частности, если либо модуль X неразложим, либо Кег(Л) — малый подмодуль
в X, то h\ X —> Af — изоморфизм.
> Докажем первое утверждение. По 7.3 Af /(М)-инъективен. Так
как /(Af) = Af, то М самоинъективен. Поскольку /(Af) X-инъективен,
то естественное вложение /(Af) —► X продолжается до гомоморфизма
g: X —* /(Af). Тогда g — проекция X на /(Af). Поэтому /(Af) —прямое
слагаемое в X.
Докажем второе утверждение. По 7.3 Af самопроективен. Так как Af
^-проективен, то существует такой гомоморфизм g: M-+X, что 1^ =hg.
Обозначим 7г = 1 - gh G End(A). Так как 7г2 = 1 - gh - gh + g(hg)h =
= 1 - gh = тг, то X=ir(X) 0(1- п)(Х). Далее,
hn(X) = (А - hgh)(X) = (h- h){X) = 0, тг(Я) С Кег(Л),
Кег(Л) = gA(Ker(A)) + (l - gh)(Ker(h)) = тг(Кег(Л)) С тг(Л).
Поэтому Кег(Л) = ir{X) и Af S (1 - п)(Х). П
7.5. £сли У — подмодуль модуля X и либо Y инъективен
относительно X, либо модуль X/Y проективен относительно X, то К —
прямое слагаемое в X. Кроме того, проективность циклического
модуля хА равносильна как тому, что г(х) — прямое слагаемое в А а,
та>к и тому, что г(х) = еА для некоторого идемпотента ее А.
> Первое утверждение следует из 7.4. Второе утверждение следует из
первого утверждения и того, что для любого циклического модуля хА
116 Глава 7. Инъективные и проективные модули
существует такой изоморфизм /: хА ->Ад/г(х)у что f(xa) = а + г(х) для
всех а е А. □
7.6. Для кольца А равносильны условия:
1) А — полу простое кольцо;
2) #се правые А-модули и все левые А-модули инъективны и про-
ективны\
3) в А все правые (левые) идеалы — инъективные А-модули;
4) все простые правые (левые) А-модули проективны.
> Так как условие 1) лево-право-симметрично, то достаточно
рассмотреть правосторонние варианты условий 3) и 4). Поскольку по теореме
Веддерберна—Артина 5.16 все модули над полупростым кольцом
полупросты, то импликация 1)=>2) следует из 7.1(2). Импликации 2)=>3)
и 2)=>4) очевидны.
3) => 1) и 4) => 1). По 7.5 в Л каждый максимальный правый идеал —
прямое слагаемое в Лд. По 5.16 А — полупростое кольцо. D
7.7. Для модуля М равносильны условия:
1) М — проективный модуль;
2) М изоморфен прямому слагаемому свободного модуля;
3) для каждого модульного эпиморфизма h: X —» М модуль
Кег(/г) — прямое слагаемое в X;
4) существуют подмножество {m;},e/ CM и множество {//},-€/
гомоморфизмов /,•: М-+Ад такие, что т = £/€/т,7;(га) для
любого теМ(где /;(т) = 0 для почти всех индексов I);
5) существуют система образующих {т,-}/€/ модуля М и
множество {fi}iei таких гомоморфизмов /,-: М —► Лд, что т =
= Х^б/т///(т) для любого теМу где ft(m) = 0 для почти всех
индексов i.
> Импликация 1)=>3) следует из 7.5. Импликация 3)=>2) следует из
того, что по 3.6 каждый модуль — гомоморфный образ свободного модуля.
2)=> 1). Так как по 7.1(3) свободный циклический модуль проективен
и по 7.2 все прямые слагаемые и прямые суммы проективных модулей
проективны, то М проективен.
2)=ф4). Можно считать, что МфЯ = ^, где Qa — свободный
модуль с базисом {jc,-}/€/. Пусть g,-: х\А —► Ад — такие изоморфизмы, что
g(xt) = 1, /: Q —> Af — проекция с ядром /\ т,- = /(*,-), Л,: ф —> х,Л —
естественные проекции и // = ^/Л/Ы- М —>Лд. Рассмотрим теМ.
Существует такое конечное подмножество / С /, что т = $3/€/ х/Я/. Так как
^m///(m) = ^т/^(Л/(т)) = ^m/gifo-a,-) = ]Гт/Я/ = т,
/€У /€У /€У <6У
Относительная инъективность и проективность 117
то множества {т,-}/€/ и {/,-},-€/ обладают требуемыми свойствами.
4)=>5). Так как rn = Y^iei mifi(m) я^я всех me Af, то {т,-},-€/
порождает М.
5)=>2). Пусть (^—свободный модуль с базисом {х;Ье/, и*: Ад —►
—>Х/Л — такие изоморфизмы, что w/(1)=jc/, и /: <?-»Af — такой
эпиморфизм, что t(xi) = т\ для любого / е I. Пусть гомоморфизм f:M-+Q
задается правилом /(m) = £,-€/M/i(w)) = I3,-€/*i7i('n)- Можно
проверить, что / определен корректно. Тогда
(tf)(m) = t(^2xifi(m)J = ^m,/,(m) = т.
iei iei
Поэтому // = 1м и модуль М изоморфен прямому слагаемому свободного
модуля Q. О
Эквивалентность 1)«=>4) из 7.7 часто называют леммой о дуальном
базисе.
7.8. Каждый модуль — гомоморфный образ проективного
модуля.
> По 7.7 каждый свободный модуль проективен и каждый
проективный модуль изоморфен прямому слагаемому прямой суммы циклических
модулей. Поэтому 7.8 следует из того, что по 3.6 каждый модуль —
гомоморфный образ свободного модуля. □
7.9. Теорема Капланского. Каждый проективный модуль
—прямая сумма счетно порожденных модулей.
Теорема Капланского следует из 4.25.
7.10. Пусть А — кольцо.
1) Пусть В —правый идеал в А и М —правый А-модуль.
Гомоморфизм [:Вд-+ Мд продолжается до гомоморфизма
g: Ад —> М в точности тогда, когда существует такой
элемент теМ, что f(b) = mb для всех b eB.
2) Если В и С — идеалы кольца А и существует модульный
изоморфизм f: (А/В)д -> (А/С)Ау то В = С.
*> 1) Импликация <= следует из того, что правилом g(a) = та
задается продолжение g: Ад —► М гомоморфизма /. Докажем =>. По
условию / продолжается до g € Нот(ААу М). Если т = g(\) e Af, to
f(b) = g(\ -b) = mb для всех be В.
2) Пусть йя: Ад-+ (А/В)А и he: Ад-* (А/С)д —-естественные
эпиморфизмы. Так как модуль Ад проективен, то существует такой
гомоморфизм g: Ад —»Ад, что ffie =hcg- Так как / — изоморфизм, то
Кег(/Ав) = Ker(/ie) = В. Так как С — идеал, то g(C) = g(\ . С) = g(\)C С
£ С Поэтому (fhB)(C) = hc(g(C)) С АС(С) = 0, С С Кег(/Ав) = ВиССб.
Аналогично получаем В С С. □
118 Глава 7. Инъективные и проективные модули
7.11. Лемма Шанюэля. Пусть Р\ и Р2 — проективные
модули, h\\ P\ —>Afi и h\\ P\ —> М\— эпиморфизмы с ядрами Q\ и Q2
соответственно и существует изоморфизм f:M\-+M2. Тогда
Р\ 0 (?2 — Р2 0 Q\- Следовательно, если модули P<i и Q\ конечно
порождены, то Р\ и Q2 конечно порождены.
> Так как Pi проективен и h2 — эпиморфизм, то h2u = fh\ для
некоторого гомоморфизма и: Р\ -*Р2. Тогда u(P\) + Q2 = P2 и u~l(Q2) = Q\.
Правилом t(p\ +(72) = и(р\) — q2 задается гомоморфизм /: Pi ®Q2-+P2. Так
как Рг проективен, то Кег(/) — прямое слагаемое в Pi 0 Q2 и Pi ф Q2 —
^Р20Кег(/). Пусть K={qi+u(q{)\qieQi}CQl®Q2. Тогда K*Q\.
Достаточно доказать, что Кег(/) = /С. Так как t(q\ + u(q\)) = u(q\) -
- u(q\) = О, К С Кег(/). Если р\ + q2 € Кег(/), то #2 = и(р\) и р\ е
£ w_I (Q2) = <?1 • Поэтому Кег(/) С /С, что и требовалось. П
7.12. Критерий Бэра. Для правого модуля М над кольцом А
равносильны условия:
1) М — инъективный модуль;
2) М инъективен относительно модуля А а,
3) для каждого правого идеала В в А и любого гомоморфизма
/: В-+М существует такой элемент теМ, что f(b) = mb
для всех b еВ.
> Импликация 1)=>2) очевидна. Эквивалентность 2)^»3) следует
из 7.10(1).
2) => 1). Так как М инъективен относительно А а, то по 7.3 М
инъективен относительно всех гомоморфных образов свободных модулей. По 3.6
М инъективен. □
Модуль Ха называется конечно точным, если для некоторого rzeN
модуль Хп содержит изоморфную копию Аа (это равносильно
существованию таких Х\, ..., хп € X, что г({х\, ..., хп}) = 0).
7.13. Если модуль М инъективен относительно конечно
точного модуля X, то М инъективен.
7.13 следует из того, что любой X -инъективный модуль М по 7.3
инъективен относительно Аа и по 7.12 инъективен.
7.14. Qz —пример непроективного Zz-проективного Ъ-модуля,
являющегося проективным относительно любого конечно
порожденного правого Ъ-модуля. (Проверяется непосредственно.)
7.15. Пусть модуль М проективен относительно конечно
точного модуля X. Тогда М проективен относительно любого конечно
порожденного правого А-модуля. Кроме того, если М конечно
порожден, то М проективен. В частности, каждый конечно
порожденный конечно точный самопроективный модуль проективен.
Относительная инъективность и проективность 119
о Пусть М — X-проективный модуль. По 7.3 М проективен
относительно всех гомоморфных образов конечно порожденных свободных
/[-модулей. По 3.6 М проективен относительно любого конечно порожденного
модуля. Допустим, что М конечно порожден. По 3.6 существует
эпиморфизм h: F —>Af, где F — конечно порожденный свободный модуль.
Так как М проективен относительно F, то по 7.5 М изоморфен прямому
слагаемому свободного модуля F. Поэтому М проективен. □
Правый модуль М над кольцом А называется делимым, если для
каждого т € М и любого неделителя нуля а е А существует такой
элемент хеМ, что т = ха (т.е. М = Ма). Модуль Мд называется р-
инъективным, если для любого аеА каждый гомоморфизм f:aA-*M
продолжается до гомоморфизма g: А а —► M
Каждый инъективный модуль р-инъективен и самоинъективен.
Любая циклическая группа простого порядка — самоинъективный
простой не р-инъективный Ъ-модуль.
7.16. Пусть М — правый модуль над кольцом А.
1) М р-инъективен в точности тогда, когда х е Ма для любых
таких х еМ и аеАу что г(а) С г(х). В частности, если А —
область, то М р-инъективен в точности тогда, когда М
делим.
2) Если А — кольцо главных правых идеалов, то М —
инъективный модуль в точности тогда, когда М р-инъективен.
Если А— область главных правых идеалов, то М инъективен
в точности тогда, когда М делим.
> 1) Докажем импликацию =х Так как г(а) С г(х), то существует
такой эпиморфизм /: аА —>хА, что f(a) = x. Теперь утверждение следует
из 7.10(1).
<=. Допустим, что а е А, f е Нот(аЛ, М) и х = f(a). Тогда г(а) С г(х).
По условию f(a) = та для некоторого теМ. Поэтому f(ay) = may для
всех zeA. Теперь применяем 7.10(1).
Пункт 2) следует из 1) и 7.12. □
7.17. Пусть А — р-инъективное справа кольцо.
1) £(г(а)) = Аа для всех а е А и для любого а € Л множество
{х е А | г(а) С г(х)} лежит в левом идеале Аа.
2) Если А — кольцо с условием максимальности для левых ан-
нуляторов, то А — кольцо с условием максимальности для
главных левых идеалов.
3) Если А — цепное справа кольцо, то А — цепное кольцо.
* Пункт 1) следует из 7.16(1); 2) следует из 1).
120 Плава 7. Инъективные и проективные модули
3) Пусть a, b € А. Так как Л —цепное справа кольцо, то либо
r(a)Cr(ft), либо r(b)Cr(a). По 1) Аа = £(г(а)) и Ab = t{r{b)). Поэтому
либо АЬ С Аау либо Аа С АЬ. П
Модуль X над кольцом А называется кообразующим над А или
кообразующим, если для любого ненулевого Л-модуля М существует
ненулевой гомоморфизм М —>Х.
7.18. Модуль ХА — кообразующий в точности тогда, когда
каждый модуль МА изоморфен подмодулю прямого произведения
изоморфных копий X.
> =>. Для каждого ненулевого т € М существуют изоморфная копия
Хт модуля X и гомоморфизм fm: М-+Хт такие, что fm(tn)^0- Прямое
произведение всех гомоморфизмов fm — мономорфизм из М в Птем^т-
<=. Пусть g: M —► Y[iejXi —такой мономорфизм, что для любого
/Е/ существует изоморфизм /,•: Л/—> X. Пусть Л;: П/е/^'~*^'~
естественные проекции. Тогда (A/ g)(Af) ф 0 для некоторого / € /. Поэтому
fihig: М —► Л' — ненулевой гомоморфизм. П
7.19. Для инъективного правого А-модуля X равносильны
условия:
1) X — кообразующищ
2) каждый простой правый А-модуль изоморфен подмодулю
вХ\
3) Л' содержит прямую сумму представителей всех классов
изоморфных простых правых А-модулей,
> Импликация 1)=>2) следует из того, что любой ненулевой
гомоморфизм из простого модуля — мономорфизм. Эквивалентность 2)^»3)
следует из того, что сумма попарно не изоморфных простых подмодулей
в X — их прямая сумма.
2)=> 1). Пусть Y — ненулевой циклический подмодуль правого Л-моду-
ля М. Так как по 4.2 Y обладает простым фактормодулем, то существует
ненулевой гомоморфизм /: Y —*Х. Поскольку X инъективен, то /
продолжается до ненулевого гомоморфизма М —*Х. О
7.20. Модуль Q/Z — инъективный кообразующий над кольцом
целых чисел Z.
> Обозначим D = Q/Z. Так как Dn — D для всех ненулевых п е Z, то
по 7.16(2) D — инъективный Z-модуль. Кроме того, непосредственно
проверяется, что D содержит изоморфные копии всех простых Z-модулей.
По 7.19 Dz — инъективный кообразующий. □
7.21. Для любого кольца А естественно определенный модуль
Хд = Нот(Лг, (Q/Z)z) — инъективный кообразующий над Л.
> Пусть В — правый идеал в Л, h еИот(ВАу ХА)У D=Q/Z.
Правилом fe(b) = (h(b))(\) задается Z-модульный гомоморфизм /д.* Bz—*D.
Относительная инъективность и проективность 121
По 7.16(2) D — инъективный Z-модуль. Поэтому /я продолжается до Z-
модульного гомоморфизма /: А% —» D. Для любых Ь € В и а Е А имеем
(f(b))(a) = f(ba) = fB(ba) = (h(ba))(\) = (h(b)a)(\) = (A(ft))(a).
Поэтому h(b) = f(b) для всех 6 gS. По 7.10(1) X инъективен. Так как
любой ненулевой гомоморфизм из простого модуля — мономорфизм,
то по 7.19 достаточно доказать, что для любого простого Л-модуля
М существует ненулевой гомоморфизм Нот(ЛУ4, Мд) —> X. Поскольку
МА = Нот(Аду Ма)у то необходимо только проверить, что существует
ненулевой гомоморфизм g: M—*D. Допустим, что М = тА. Докажем,
что существует такой групповой гомоморфизм /: Af-»D, что 1(т)ф0.
Так как D — инъективный Z-модуль, то достаточно определить t(n) при
п Е тЪ. Пусть и: Q —► D — естественный эпиморфизм. Если циклический
Z-модуль тЪ бесконечен, то / задается правилом t(mk) = u(2~lk)
для всех k e Z. Допустим теперь, что тЪ — абелева группа порядка
п. Тогда t(mk) = u(n~xk) для всех k € Z. Гомоморфизм / определен
корректно, поскольку из равенства mk = 0 следует, что k делится на п,
откуда u(n~lk) = 0. Определим гомоморфизм g следующим правилом:
g(v) = tv для всех v e Ноп\(Аа, Ра)- Тогда g ф 0, поскольку существует
эпиморфизм А а —* тА. П
7.22. Пусть М — правый модуль над кольцом А.
1) М изоморфен подмодулю инъективного А-модуля,
являющегося прямым произведением изоморфных копий модуля
(Нот(Л2, (Q/Z)z)b.
2) Существует такое множество {S/}/€/ простых модулей над
А, что А4 изоморфен подмодулю инъективного модуля,
являющегося прямым произведением инъективных оболочек
простых модулей S[.
3) Каждый инъективный модуль изоморфен прямому
слагаемому прямого произведения инъективных оболочек простых
модулей.
> Так как любое прямое произведение инъективных модулей инъектив-
но, то 7.22 следует из 7.21, 7.18 и 7.19.
7.23. Проективность А-модуля М равносильна тому, что
модуль М проективен относительно всех инъективных правых А-
модулей.
Так как по 7.22(1) каждый модуль изоморфен подмодулю
инъективного модуля, то 7.23 следует из 7.3.
7.24. Инъективность А-модуля М равносильна тому, что
модуль М инъективен относительно всех проективных правых А-
модулей.
122 Глава 7. Инъективные и проективные модули
Так как по 7.8 каждый модуль — гомоморфный образ проективного
модуля, то 7.24 следует из 7.3.
7.25. М — инъективный модуль в точности тогда, когда для
любого модуля X и каждого мономорфизма f:M-+X модуль /(Af) —
прямое слагаемое в X.
> Импликация =4> следует из 7.4. Так как все прямые слагаемые инъ-
ективных модулей инъективны, то импликация ф= следует из того, что по
7.22(1) каждый модуль изоморфен подмодулю инъективного модуля. □
Инъективные оболочки и 7г-инъективные модули
Инъективной оболочкой модуля Af называется любой инъективный
модуль, являющийся существенным расширением изоморфной копии
модуля М. Иногда М отождествляется с его изоморфной копией и
инъективной оболочкой модуля Af называется инъективный модуль, являющийся
существенным расширением М.
Модуль Af называется п-инъективным или квазинепрерывным,
если каждый идемпотентный эндоморфизм любого подмодуля в Af
продолжается до эндоморфизма модуля Af. Ясно, что все самоинъективные
модули 7г-инъективны и любое прямое слагаемое 7г-инъективного модуля
7г-инъективно. Любой циклический Z-модуль 7г-инъективен, но прямая
сумма Z0Z 7г-инъективных Z-модулей не 7г-инъективна.
7.26. Пусть М — л-инъективный модуль.
1) Если X и У — такие подмодули в М, что X Г)У = О и X 0 У —
существенный подмодуль в М, то существует такое прямое
разложение М = X 0 У, что X — существенное расширение X,
У — существенное расширение У, X — ^-дополнение к Y в М
и У — Г^-дополнение к X в М.
2) Если X — подмодуль в Af, Y —любое ^-дополнение к X в У
и X — любое замыкание модуля X в М, то М = ХфУ. В
частности, в М каждый замкнутый подмодуль — прямое
слагаемое и каждый подмодуль — существенный подмодуль
некоторого прямого слагаемого модуля Af.
3) Если X = Х\ 0... 0 Хп — подмодуль в М^_ то существует
такое прямое разложение М =Х\ 0... @Хп 0 У, что X; —
существенное расширение Xly i = 1, ..., п.
4) Если М несингулярен, то Кег(/) — прямое слагаемое в М для
любого f e End(Af), пересечение любого множества {Af,}/6/
замкнутых подмодулей Af/ в М — прямое слагаемое в Af, причем
подмодуль X в М — прямое слагаемое в М в точности тогда,
когда М/Х несингулярен.
Инъективные оболочки и 7г-инъективные модули 123
5) Если М несингулярен, то X^=i Af,- — прямое слагаемое в М для
любых замкнутых подмодулей М\у ...у Мп в М.
6) Неразложимость модуля М равносильна его равномерности.
7) Все идемпотенты кольца End(Af)/sg(Af) поднимаются до
идемпотентов кольца End(Af).
8) Каждое счетное множество {ё,}?^ ортогональных
идемпотентов кольца End(Af)/sg(Af) поднимаются до счетного
множества {е/}-^, ортогональных идемпотентов кольца
End(Af).
9) Если кольцо End(Af) не содержит бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов, то М конечномерен, М —
конечная прямая сумма равномерных модулей и кольцо
End(Af)/sg(Af) ортогонально конечно.
> 1) По_5.1 и 5.2(1) существуют такие замкнутые подмодули X и Y
в М, что X — замыкание X в М^ Y — замыкание Y в М, X Г)У = 0, М —
существенное расширение М = Х ф У^Х —_П-дополнение к Y в М и Y —
П-дополнение к X в Af. Пусть /: Af -»X — проекция с ядромК. По
условию существует эндоморфизм / е End(Af), совпадающий_с / на Af.
Тогда X С /(Af) и К С Кег(/). Кроме того, Y С /-'(У). Поэтому Y = f~l(Y)>
поскольку в противном случае
0^Xf]f-l(Y) = f(Xnf-l(Y)) CXnY = 0.
Если /(Af)_строго содержит^, jro существует m e Af, для которого
0^ f(m)e YC\f(M), те f~l(Y) = У» /(т) = 0и получаем противоречие.
Поэтому
/(Af) =ХУ Y = Кег(/), / = /2, М = X ф F.
Пункт 2) следует из 1).
3) При п = 1 утверждение следует из 2). Допустим, что п ^ 2 и
утверждение верно для п- КТаккак^! ф. ..®Хп-\)Г\Хп = 0,то по 5.2(1) вМ
имеется такой существенный подмодуль М*фЛ/*, что Af* —замыкание
Х\ ® ...® Хп-\ в М и /V* —замкнутый подмодуль в Af, содержащий
^«. По 2) М = М* ф Л/*, где модули Af* и Л/* 7г-инъективны. Теперь
применяем предположение индукции и 2) к 7г-инъективным модулям Af*
и/V*. □
4) По 6.22(2) Кег(/) —замкнутый подмодуль в Af. По 2) Кег(/) —
прямое слагаемое в Af. По 6.22(5) все фактормодули Af/Af/
несингулярны. По 6.21(8) П/б/ Mi — замкнутый подмодуль в Af. По 2) П/е/М,—*
прямое слагаемое в Af. По 2) подмодуль X замкнут в А/ в точности тогда,
когда X — прямое слагаемое в Af, а по 6.22(5) подмодуль X замкнут в Af
в точности тогда, когда М/Х несингулярен.
124 Глава 7. Инъективные и проективные модули
5) По соображениям индукции достаточно доказать утверждение при
я = 2. Пусть h: Af —> М/(М\ П Af2) — естественный эпиморфизм. По 4)
М\ Г)М2> М\ и Af2 — прямые слагаемые в Af. Тогда h(M) —
несингулярный 7г-инъективный модуль, h(M\) и /z(Af2) — прямые слагаемые в h(M).
Кроме того, A(Afj) ПЛ(М2)==0. По 3) h(M\) 0/z(Af2) — прямое
слагаемое в /z(Af). Тогда модуль h(M)/(h(M\)(Вh(M2)) несингулярен. Поэтому
модуль М/(М\ +М2) несингулярен. По 4) М\ + Af 2 —прямое слагаемое
в Af.
Пункт 6) следует из 2).
7) Пусть ё — идемпотент кольца End(Af)/sg(Af), h: End(Af) —*
—» End(Af)/sg(Af) —естественный эпиморфизм, ё = Л(/), / Е End(Af)
и UP = Кег(/ — /2). Так как ё2 = ё, то Af — существенное расширение
W. Пусть X, = /(И?) и Х2 = (1 - /)(W). Так как (/ - f2)(W) = О, то
Xj П Jfe = 0. Поскольку Af 7г-инъективен, то существует прямое
разложение Af = М\ 0 Мг 0 Yy где Af/ — существенное расширение X,- при
/ = 1,2. Так как W СХ\ 0^2, то Afi 0M2 существенен в Af. Поэтому
К = 0 и Af = Af 1 0Af2. Пусть е: Af —► Af 1 —естественная проекция. Если
х = f(u) + (1 - f)(v) еХ{®Х2 и uyveW,то f{x) = f2{u) и е(х) = /(и).
Кроме того, /2(ы) = /(и), поскольку и е Кег(/ - /2). Поэтому
/к = *к, / - е е sg(Af), t(e) = t(f) = ё
и е —требуемый идемпотент в End(Af).
8) По 7) существует такой идемпотент е\ € End(Af), что ё\ =h(e\).
Допустим, что даны такие ортогональные идемпотенты е\, ..., еп е End(Af),
что ei — h{e\) при /=1,...,л. По 7) существует такой идемпотент
/ е End(Af), что ёп+\ = Л(/). Так как eien+\ = ёя+ie/ = 0 для всех
/=1,...,я, то Кег(е,/) и Кег(/е,) —существенные подмодули в Af
для всех / = 1, ..., п. Пусть L — пересечение всех Кег(/е,) и Кег(е,/).
Тогда Af — существенное расширение L. Пусть Y = f(L) и Xi = ei(L)
при / = 1, ..., л. Тогда /(Л;) = е/(У) = 0 для каждого /. Поэтому сумма
модулей К, Х\, ..., ^л — их прямая сумма. Обозначим Т = 0"=1 £/(Af) €
€ Lat(Af). Так как L существенен в Af и Lnei(M) = Х^ то Xt
существенен в e/(Af) для каждого /. Тогда Т — существенное расширение
X = 0"=1 X/ и из Л' П У = 0 следует, что Т П К = 0. Так Как Af тг-
инъективен, то существует прямое разложение Af = Af 1 0Af20Af3, где
Af i и Af2 — существенные расширения модулей Т и Y соответственно.
Пусть еп+\: Af —► М2 — естественная проекция и и = еп+\ — / Е End(Af).
Тогда w(L) = 0 и поэтому и e sg(Af). Тогда ёп+\ = h(en+\) и получаем
требуемый идемпотент еп+\ е End(Af). Повторяя эти действия, получим
множество {е/}-^! идемпотентов кольца End(Af).
Инъективные оболочки и 7г-инъективные модули 125
9) По 4.35 М — прямая сумма неразложимых модулей Af ь ..., Мп. По
6) все Mi равномерны. Так как М — конечная прямая сумма
равномерных модулей, то Af конечномерен. Заметим, что ядро любого ненулевого
идемпотентного эндоморфизма модуля М не существенно в Af. Второе
утверждение следует теперь из 8). □
7.27. Для модуля М равносильны условия:
1) М — тг-инъективный модуль;
2) каждый идемпотентный эндоморфизм любого подмодуля
в М продолжается до идемпотентного эндоморфизма
модуля Af;
3) для любых Х\УХ2€ Lat(Af) с условием Х\ П Х<± — О существует
такое прямое разложение М — М\ 0Af2, что Afj ~ЭХ\, ^2^2;
4) М = М\ 0М2 для любых таких замкнутых подмодулей М\
и M<i в Af, что М1 п А/г = 0 и М — существенное расширение
Afi0Af2;
5) 0"=i Xj — прямое слагаемое в М для любых таких замкнутых
подмодулей Х\у ..., Хп в Af, что сумма модулей Х{ — прямая
сумма;
6) для любого такого подмодуля Y в Му что Y = 0f=1 У/,
существует такое прямое разложение М = 0,*,1 Х-1у что X-t —
существенное расширение У/ для всех i = 1, ..., k.
> Импликация 1)=>4) следует из 7.26(1). Импликация 4)=>3) следует
из 5.2(1). Эквивалентность 5)&6) и импликации 3)=>2), 2)=> 1) и 5)=ф4)
проверяются непосредственно.
4)=>5). Докажем 5) при л = 2. По 5.2(1) существует такой замкнутый
подмодуль Xz в Af, что (Х\ 0^)0^3 = 0 и Af — существенное
расширение Х\ 0^2 0^3. По 5.2(1) существует такой замкнутый подмодуль
А/2 в Af, что Х\ nAf2 = 0 и А?2 — существенное расширение ^Ф^з- По
4) М = Х\ 0Af2. Непосредственно проверяется, что свойство 4)
переносится с модуля М на его прямое слагаемое Af2. Поэтому ^2=^2 0^3,
М = Х\ 0 Х2 0 Х$ и свойство 5) доказано при п = 2. Теперь 5) проверяется
индукцией по л с использованием 5.2(1). □
7.28. Пусть модули М и X инъективны относительно друг дру-
га и являются существенными расширениями модулей М' и X'
соответственно. Если существует изоморфизм {':М'->Х', то /'
продолжается до изоморфизма f:M-*X.
* Так как X Af-инъективен, то /' продолжается до гомоморфизма
f' М^Х. Поскольку Af' П Кег(/) С Кег(/') = 0 и Af — существенное
расширение Af', то / — мономорфизм. По 7.4 f(M) = X. П
7.29. Верны утверждения.
126 Плава 7. Инъективные и проективные модули
1) Если X — подмодуль инъективного модуля М, то М содержит
хотя бы одну инъективную оболочку X и для любого
прямого разложения X =Х\® ...®Хп существует такое прямое
разложение М = М\ 0 ... 0 Мп 0 Y у что Af,- — инъективная
оболочка Xiy i = 1, ..., п.
2) Каждый модуль X обладает инъективной оболочкой,
единственной с точностью до изоморфизма.
3) Для п-инъективности модуля X необходимо и достаточно,
чтобы f(X) С X для любого идемпотентного эндоморфизма
f инъективной оболочки М модуля X.
4) Если Q — существенное расширение п-инъективного модуля
X и f = f2e End(Q), то f(X) с X.
> Пункт 1) следует из 7.26.
2) По 7.22(1) можно считать, что любой модуль X — подмодуль
некоторого инъективного модуля М. По 1) М содержит хотя бы одну
инъективную оболочку Ху единственность которой следует из 7.28.
3) Достаточность. Пусть п — идемпотентный эндоморфизм подмодуля
X' в X. По 7.27 7г продолжается до идемпотентного эндоморфизма /
инъективного модуля М. Так как f(X)CXy то / индуцирует искомое
продолжение п на X.
Необходимость. Пусть / = /2 е End(Af). Обозначим Y =Х П f~l(X).
Так как /2 = /, то f(Y) С Y. Так как ограничение /у эндоморфизма / на
Y — идемпотентный эндоморфизм подмодуля Y 7г-инъективного модуля
Ху то существует такой эндоморфизм g модуля Ху что (/у - g)(Y) =
= (/-г)О0 = о.
Пусть (/ - g)(x) €X П (/ - g)(X), глех£Х. Тогда
№ = (/-g)(x) + g(x) ex, xexnf-*(X) = Y,
(/ - g№ € (/ - g)(Y) = 0, Jf n (/ - g)W = 0.
Так как Af — существенное расширение Ху то (/ — g)(X) = 0. Поэтому
/W = g(X)cx.
4) Инъективная оболочка Е модуля Q — инъективная оболочка X.
Тогда Е = Е\ 0 £*2» где £"i — инъективная оболочка f(Q) и £2 —
инъективная оболочка (1 - f)(Q). Пусть g: E-+E\— проекция с ядром £*2- По 3)
№ = g{X)cx. и
Инъективный кообразующий Мд называется минимальным инъек-
тивным кообразующим, если произвольный ненулевой инъективный
правый Л-модуль имеет прямое слагаемое, изоморфное М.
7.30. Пусть Л —кольцо, {Xi}ie/ —множество представителей
классов всех простых правых А-модулейу X = ©/€/Xi, M
—инъективная оболочка Ху Ei — инъективная оболочка Xly E = ]\iel Et.
Конечно представимые, полунаследственные и риккартовы модули 127
Тогда М — минимальный инъективный кообразующий и Е — инъек-
тивный кообразующий.
> По 7.2 Е инъективен. По 7.19 М и Е — инъективные кообразую-
шие и произвольный ненулевой инъективный модуль Q — кообразующий
в точности тогда, когда Q содержит подмодуль X' = X и тогда по 7.29
Q содержит прямое слагаемое, являющееся инъективной оболочкой X'.
Поэтому М — минимальный инъективный кообразующий. □
7.31. Квазициклическая группа Z(p°°) является для любого neN
инъективной оболочкой циклического Ъ-модуля Ъ/ рпЪ. Кроме
того, Q/Z — минимальный инъективный кообразующий над кольцом
Ъ.
Первое утверждение проверяется непосредственно, а второе следует
из 7.30, 7.20 и первого утверждения.
Конечно представимые, полунаследственные
и риккартовы модули
Модуль М называется конечно представимым, если M = P/Q, где
Р — конечно порожденный проективный модуль, а модуль Q конечно
порожден. Модуль называется когерентным, если каждый его конечно
порожденный подмодуль конечно представим. Модуль называется
полунаследственным, если все его конечно порожденные подмодули проек-
тивны.
7.32. Пусть А — кольцо и М — конечно порожденный правый
А-модуль.
1) Если М проективен, то М конечно представим.
2) Каждый полунаследственный модуль когерентен.
3) Если А — нётерово справа кольцо, то М — конечно предста-
вимый нётеров модуль. В частности, все правые А-модули
когерентны.
> Пункт 1) проверяется непосредственно, а 2) следует из 1).
3) Существует такой конечно порожденный свободный модуль Р, что
M^P/Qy где <?€Lat(P). По 4.12 Р и Af — нётеровы модули. По 4.6 Q
конечно порожден. Поэтому М конечно представим. □
7.33. Пусть М — конечно представимый модуль.
1) Если Р — конечно порожденный проективный модуль и М =
= P/Qy то модуль Q конечно порожден.
2) Если N — подмодуль в М,то N конечно порожден в точности
тогда, когда модуль M/N конечно представим.
* Пункт 1) следует из леммы Шанюэля 7.11.
128 Глава 7. Инъективные и проективные модули
2) По условию существует такой эпиморфизм h: Р—► Af, что Р
—конечно порожденный проективный модуль и Кег(Л) = Q — конечно
порожденный модуль. Так как М конечно представим, то Q конечно порожден.
Эпиморфизм h индуцирует изоморфизм P/h~l(N) = M/N.
Допустим, что N конечно порожден. Существует такой конечно
порожденный подмодуль S в Ру что h(S) = N. Тогда Q + S — конечно
порожденный подмодуль вРи M/N = P/(Q + S). Поэтому M/N конечно
представим.
Допустим, что M/N конечно представим. Так как Р —конечно
порожденный проективный модуль и P/h~x(N) = M/N, то по 1) модуль
h~x(N) конечно порожден. Поэтому N — гомоморфный образ конечно
порожденного модуля Л-1 (Л/), откуда N конечно порожден. D
7.34. Конечная прямая сумма конечно представимых модулей
конечно представима.
> Пусть Х\ и X<i — конечно представимые модули и X = Х\ ф X<i*
Достаточно доказать, что X конечно представим. По условию при
/ = 1, 2 существуют такие эпиморфизмы Л,-: Р, -*Хп что Р/—
конечно порожденные проективные модули и модули Кег(Л/) конечно
порождены. Пусть Р = Р\ ф P<i и Л: Р—>Х— такой гомоморфизм, что
h(x\ +JC2) = /г 1 (jc 1) + /*2(*2) при Xi €Xi. Тогда Р —конечно порожденный
проективный модуль, h — эпиморфизм и Кег(Л) = Ker(Aj) ф Кег(Й2)
конечно порожден. □
7.35. Если Х\ и X<i — конечно представимые подмодули модуля
М и модуль Х\ +Х2 конечно представим, то модуль Х\ ПХ2 конечно
порожден.
> Пусть X = Х\ П Хъ. Существует такой эпиморфизм h: Х\ ф Х<± —>
->Х\ +Х%У что Ker(h)=X. По 7.34 модуль Х\ фЛ^ конечно представим.
По 7.33(2) X конечно порожден. D
7.36. Для правого модуля М над кольцом А равносильны условия:
1) М — когерентный модуль;
2) в М каждый циклический подмодуль конечно представим
и пересечение любых двух конечно порожденных подмодулей
конечно порождено;
3) в М пересечение любых двух конечно порожденных
подмодулей конечно порождено и для любого теМ правый идеал
г(т) кольца А конечно порожден.
> Эквивалентность 2)^»3) следует из 7.33(1) и изоморфизма тА э*
= ЛА/г(т).
1)=>2). Пусть Х\ и Хч — конечно порожденные подмодули в Af
и X =Х\ ПЛ2. По 7.33(2), 7.34, 7.35 и предположению модули Х\ фХг
Конечно представимые, полунаследственные и риккартовы модули 129
и Х\ + ^2 конечно представимы. Так как существует такой эпиморфизм
h: Х\ Ф^2 —> Х\ +^2» что Кег(Л) = Х, то по 7.35 модуль X конечно
порожден.
2)=>1). Докажем индукцией по п е N, что любой я-порожденный
подмодуль Т в М конечно представим. При п = 1 утверждение верно по
предположению. Пусть п > 1 и любой (п — 1)-порожденный подмодуль
в М конечно представим. Тогда Т = Х\ + ^2, где модули Xt конечно
представимы. По условию модуль Х\С\Х2=Х конечно порожден. По 7.34
модуль Х\ 0^2 конечно представим. Так как существует такой эпиморфизм
h: Х\ $X<i —> Т, что Кег(Л) = Х, то по 7.33(2) Т конечно представим. □
Модуль Хд называется риккартовым, если он удовлетворяет
следующим эквивалентным по 7.5 условиям: в X все циклические подмодули
проективны; для каждого х е X существует такой идемпотент е € А, что
г(х) = еА. Модуль называется наследственным, если все его подмодули
проективны. Можно проверить, что кольцо многочленов Ъ\х\ —
коммутативное неполунаследственное риккартово кольцо, а прямое
произведение бесконечного числа полей — коммутативное
полунаследственное ненаследственное кольцо.
7.37. Верны утверждения.
1) Все области — риккартовы кольца, каждый риккартов
модуль несингулярен, все полунаследственные справа кольца
риккартовы справа, и все наследственные справа кольца
полунаследственны справа.
2) Если подкольцо А риккартова справа кольца Q содержит все
идемпотенты из Q, то А риккартово справа.
> Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) Если а е А, то rQ(a) = еА, где е = е2 Е Q. По условию ее А, откуда
rA(a) = erA(a) = e(Ar\rQ(a)) = еА. □
7.38. Для кольца А равносильны условия:
1) А — риккартово справа или слева нормальное кольцо;
2) А — риккартово справа или слева редуцированное кольцо;
3) А — риккартово редуцированное кольцо;
4) в Л каждый элемент — произведение центрального идемпо-
тента и неделителя нуля;
5) А — редуцированное кольцо и для любого его конечно
порожденного идеала В существует такой центральный
идемпотент ее А, что r(B) = 1(B) = еА= Ае.
ь Импликации 4)=»3)=>2) проверяются непосредственно. Импликация
2)=* 1) следует из 6.36(1). Импликация 5)=Ф>3) следует из 6.34(4).
f
130 Глава 7. Инъективные и проективные модули
1)=>4). Пусть А риккартово справа, х€А их2 = 0. Так как А рик-
картово справа и нормально, то г(х) = еА для некоторого центрального
идемпотента е € А. Тогда х е г(х) = еА. Поэтому х = ех = хе — 0 и А
редуцировано. Так как А редуцировано, то по 6.34 £(х) = г(х) — еА—Ае и А
риккартово слева. Пусть as А. Тогда г(а) = £(а) = еА = Ае для
некоторого центрального идемпотента ее А. Пусть / = 1 — е и d = (\ — е)а + е.
Тогда / — центральный идемпотент и a = fd. Пусть b e £(d). Тогда
0 = d& = (l-e)a& + e& и
еб = -(1 -e)ab = -аб € еАп (1 -е)Л =0, еб = 0,
b G r(a) = еА, Ъ = eb = 0, €(rf) = 0.
Аналогично, r(d) = 0.
3)=>5). Пусть В = £"=rli4fi,-i4, в,-—такие центральные идемпотенты
в Л, что г(й/) = е,Л при / = 1, ..., л, и е = е\-.. .-еп. По 6.34(4)
п
r(B) = 1(B) = f](eiA) = еА. □
i=i
7.39. Пусть М — проективный правый модуль над
несингулярным справа кольцом А.
1) Если М — существенное расширение конечно порожденного
модуля Ny то М конечно порожден.
2) Если М конечномерен, то М конечно порожден.
> 1) Так как М проективен, то существуют прямые разложения М ф Y =
= 01€/Я/ =/\ где X,- =Л,4 для всех / € /. Поскольку модуль А а
несингулярен, то F несингулярен. Так как /V конечно порожден, то
найдется такое конечное подмножество УС/, что N С ®:ejXj =H. Пусть
f'F-+ 0/6/\y ®Xi —проекция с ядром И. Так как f(N) =0 и М —
существенное расширение Ny то по 6.21(6) f(M) CS\ng(F) = 0. Поэтому
МСН. Тогда прямое слагаемое М модуля F — прямое слагаемое конечно
порожденного модуля Н. Поэтому М конечно порожден.
2) Так как по 4.30 конечномерный модуль М — существенное
расширение конечно порожденного модуля, то 2) следует из 1). □
7.40. Каждый конечномерный правый идеал наследственного
справа кольца конечно порожден. В частности, каждое
наследственное справа конечномерное справа кольцо нётерово справа.
Так как каждое наследственное справа кольцо несингулярно справа,
то 7.40 следует из 7.39(2).
Самопроективные, 7г-проективные и непрерывные модули 131
Самопроективные, 7г-проективные и непрерывные
модули
Модуль Af называется ^-проективным, если для любых таких его
подмодулей U и V, что U + V = Af, существует такой эндоморфизм
/ £ End(Af), что /(Af) С U и (1 - /)(Af) С V.
7.41. Пусть Af — самопроективный модуль.
1) £сш/ Af = Af 1 + ... + Af„, mo для каждого f e End(Af)
существуют такие Д, ..., /„ е End(Af), что f\ + ... + /„ = /
w //(Af) С Af/ при / = 1,...,я. S частности, существуют
такие эндоморфизмы gi модуля Af, что gi + ... + gn = 1^
и gi(M)CMiy /=1, ..., гг.
2) Af — ^-проективный модуль.
3) £"сли Af = Af 1 +Л/, где Afi —прямое слагаемое модуля Af, то
существует такое прямое разложение М = М\ ф А?2, что
M2CN.
4) Пусть М = Р 0 Q = 0i6/ Л/,, Л: Af -» Q — проекция с ядром Р
и существуют такие подмодули Qt С h(Nt), что Q = ©,6/ ф/,
/ € /. Тогда существуют такие подмодули N- С Л//, что
аг = я© (©i€/#/)/€/.
5) Для любого neN модуль Мп самопроективен.
> 1) Будем вести индукцию по п. Пусть /1 = 2, Af = Afi+Af2 и Л: Af-»
—>Af/(Af iПAf2) — естественный эпиморфизм. Тогда /z(Af)=/z(Af j)0/z(Af2).
Пусть /,-: /z(Af)-»/z(Af,) — естественные проекции и gi=t'thf: M—»й(Л1/),
/= 1, 2. По 7.3 Af Af/-проективен. Существуют такие g/ E Hom(Af, Af/),
что /zg/ = g/ = Uhf. Тогда
ft (АО С Miy (1 - g, - g2)(Af) С Кег(Л) = Af, П Af2.
Обозначим /i =gi, /2 = 1 - /1 = 1 - g\. Тогда /i(Af)CAfi,
/2(Af) = (l-g,)(Af) С g2(M) + (\- g\- g2){M) С Af2 + M,nM2 = Af2.
Поэтому утверждение верно для п — 2. Пусть я > 2, Af = Af 1 + ...
... + (Af„_i + Мп) и утверждение верно для п — 1. По предположению
индукции существуют такие гомоморфизмы //: Af —»Af/, / = 1, ..., п — 2,
и /*: Af —> Afrt_i + Мп, что / = /| +... + /л_2 + /*• Так как Af проективен
относительно Afrt_i + Af„ и утверждение верно для п = 2, то существуют
такие гомоморфизмы fn-\'- Af —► Afrt_i и /„: Af —>Af„, что /* = /„_,+ /л.
Поэтому / = /i+... + /„.
Пункт 2) следует из 1).
3) Пусть Af = Af 1 ф L. Тогда
N/{MiDN) 2*(N + Mi)/Mi e (M\®L)/MX * L.
132 Глава 7. Инъективные и проективные модули
Так как М самопроективен и N СМ, то М Л/-проективен. Тогда прямое
слагаемое L N -проективного модуля М Л/-проективно. Кроме того,
существует эпиморфизм N —>L с ядром М\ Г)ЛЛ По 7.4 существует прямое
разложение N = (Mj ПЛ/)фМ2. Тогда M = Mi 0М2.
4) Так как Р С Р 0 ф С Р + Л// для всех / G /, то
P0^. = (р + М)п(РеО,-) = я+((РеО,-)пМ).
По 3) Р 0 (?, = Р 0 УУ/ для некоторых подмодулей Л// С Л/,-.
Непосредственно проверяется, что М = Р 0 (0/€/ <?;) = Р 0 (0,-€/ Л//).
Пункт 5) следует из 7.2 и 7.3. D
7.42. Пусть X и Y — подмодули п-проективного модуля М.
1) Если M=X®YymoX — У-проективный модуль.
2) Пусть X + Y = М, модуль X П У жал вХ « модуль X f\Y мал
в У. ToedaXC)Y = 0uM = X®Y.
3) £Ъш Л' + У = М, то существуют такие гомоморфизмы
f:M-+X и g:M-*Yy что
f(Y) + g(X)CXnY, (f + g-\M)(M)CXnYy
М = (/ + £)(М) + *ПУ, Ker(/ + g)CXnK
Кроме того, если X C\Y мал в М, то (/ + g)(M) = М.
> 1) Пусть Л: У-> F — эпиморфизм, /еНот(Х, У), /: * 0 У -+ У —
проекция с ядром А' и ы: А —► А ф У — естественное вложение.
Кроме того, пусть g — идемпотентный эндоморфизм модуля X 0 У,
задаваемый правилом g(m + Л(я)) = т + /(w). По условию существует
такой эндоморфизм g модуля^ X 0 У, что (1* 0/z)g = g(ljf 0/z). Пусть
/ = /ga G Hom(X, У). Тогда / = Л/, откуда X У-проективен.
2) Рассмотрим изоморфные копии Xf =Х и Y' = У вместе с
соответствующими изоморфизмами f: X —*Х' и g: У —» У. Пусть X' 0 У —
внешняя прямая сумма модулей Л7 и У, N — подмодуль {(/(*), -g(x))|*e
ЕХпУ} в X' 0 У. Так как модуль XC\Y мал как в Ху так и в У, то модуль
(f(X П У), 0) 0 (0, g(* П У)) мал в А' 0 У. Поскольку Л/ С (f(X П У), 0) 0
0 (0, g(* П У)), то модуль УУ мал в X1 0 У. Равенство h((f(u)y g(v))) =
= и + у определяет эпиморфизм Л: А' 0 У —► М. Тогда Л/ = Кег(Л). Так
как М 7г-проективен, то существует такой идемпотент 7г Е End(M), что
тг(М) аи(1- 7г)(М) С У. Равенство а(/и) = (/(тг(т)), g((l - тг)(т)))
задает гомоморфизм а: М —►Х 0 У. Тогда
йа(т) = Л((/(тг(т)), g((l -тг)(/п)))) = тг(/п) + (1 -тг)(т) = т
для каждого тбМ. Поэтому Кег(Л) = УУ — прямое слагаемое в Л" 0 У.
Кроме того, УУ мал вХ'еУ. Поэтому УУ = 0, X П У = 0 и М = Х0У.
Самопроективные, 7г-проективные и непрерывные модули 133
3) Пусть h: Af —► М/(Х П Y) — естественный эпиморфизм. Так как
h(M) = h(X) 0 h(Y)y то существуют естественные проекции /: h(M)-^h(X)
и g: h(M)->h{Y). Поскольку Af 7г-проективен, то fh = hf и gh = hg
для некоторых /, geEnd(Af). Поэтому
/(Af) С *, g(Af) С К, /(У) + gW С X П К
Так как (/ + g - 1л<ло) = 0, то (/ + g - 1>и)(АГ) С X П К. Так как
Af = (/ + g)(Af) + (/ + g - 1м){М), то Af = (/ + g)(Af) + X П У. Если
x€Ker(/ + g),TOX = (lM-/-g)W€^nK. Тогда Ker(/ + g)C^ny.
Если^пКмалвЛ! и Af = (/ +g)(Af)+*n У, то (/ + g)(Af)=Af. П
Модуль М называется непрерывным, если каждый его подмодуль,
изоморфный замкнутому подмодулю в Af,— прямое слагаемое в Af.
7.43. Для модуля М равносильны условия:
1) Af — непрерывный модуль;
2) М — п-инъективный модуль и Кег(/) w /(Af) — прямые
слагаемые в М для любого такого / е End(Af), что Кег(/) замкнуто
вМ;
3) Af п-инъективен и /(Af) — прямое слагаемое в М для любого
такого / е End(Af), что Кег(/) — прямое слагаемое в Af.
> Импликация 2) =Ф 3) очевидна.
3) => 1). Пусть X — замкнутый подмодуль в Af, g: X —> Af —
мономорфизм и N = g(JQ. По 7.26(2) существует прямое разложение Af —X 0 Y.
Пусть Л: Af —» А' — проекция с ядром У и / = gh € End(Af). Тогда
Кег(/) = К —прямое слагаемое в y?(Af) и N = /(Af). По условию N —
прямое слагаемое в Af.
1)=ф2). Пусть Afi и Af2 —такие замкнутые подмодули в Af, что
Af 1 П Af2 = 0 и М — существенное расширение Afj ф А/2. Так как М\ —
замкнутый подмодуль непрерывного модуля Af, то существует прямое
разложение М = М\ ®Х. Пусть h: Af —► X — проекция с ядром Afi-
Тогда подмодуль h(M2)QX изоморфен замкнутому подмодулю Af2 в М
и поэтому /z(Af2) — прямое слагаемое в X. Кроме того, X — существенное
расширение Хп(М\® Af2) = h(X П (Af i e Af2)) = /z(Af2). Поэтому
X = /z(Af2), M = Mi ФХ = Afi ® A(Af2) = Af! ® Af2.
По 7.27 Af 7г-инъективен. Так как Кег(/) — замкнутый подмодуль
непрерывного модуля Af, то существует прямое разложение Af = Кег(/) 0ЛЛ
Тогда /(Af) = Af/Ker(/) = УУ и /(Af) изоморфен замкнутому подмодулю
в М. Поэтому /(Af) — прямое слагаемое в Af. □
7.44. Пусть М и X — модули и Е — существенное расширение М.
1) Если f е Нот(Я, Е) и существует такой гомоморфизм g: X —►
—>Af, что / совпадает с g на /~l(Af), то f(X)CM.
134 Глава 7. Инъективные и проективные модули
2) Если М инъективен относительно X, то f(X) С М для любого
гомоморфизма f e Нот(Л\ £).
> 1) Пусть у = (/ - g)(x) GМ П (/ - g)(X), гяехеХ. Тогда
fix) = (/ - g№ + g(x) = у + g(x) &М, хе Г1(М),
yZ(f-g)(rl№) = 0> Mn(f-g)(X) = 0.
Так как £ —существенное расширение М, то (f — g)(X) = 0. Поэтому
f(X) = g(X)CM.
2) Так как /(/ {(М))СМ и М X-инъективен, то / продолжается до
гомоморфизма g: Х^М. По 1) f(X)CM. П
7.45. Для модуля М равносильны условия:
1) Af — самоинъективный модуль;
2) М — непрерывный модуль и /(Af) С М для любого
гомоморфизма /: Af —►£;
3) М = М\ ф...фМл, где для любых i и j модуль Mi Mr
инъективен\
4) М вполне инвариантен в своей инъективной оболочке Е\
5) для любого п е N модуль Мп самоинъективен.
> Эквивалентность 1)ф>3) следует из 7.2 и 7.3. Импликации 5)=>1),
2)=>4) и 4)=>1) проверяются непосредственно. Импликация 1)=>5)
следует из 7.2 и 7.3.
1)=>2). Так как М — Af-инъективный модуль и Е — существенное
расширение Af, то по 7.44(1) /(Af) С Af для любого гомоморфизма
/: Af —► £. Пусть Л' — замкнутый подмодуль в Af, g: X —* М —
мономорфизм иЛ/ = g(X). 'По 7.26(2) существует прямое разложение Af = X ф У.
Пусть Л: Af —> А' — естественная проекция. Так как Af самоинъективен, то
гомоморфизм g~l: N —>Х продолжается до эндоморфизма /EEnd(Af).
Обозначим и = ghf e Hom(Af, N). Если jc e Nt то
«W = g(A(e"lW)) = g(g"IW)=^
Поэтому Л/ — прямое слагаемое в Af. □
7.46. Пусть М — непрерывный (например, самоинъективный)
модуль.
1) £сли Af — неразложимый модуль, то М равномерен и каждый
его инъективный эндоморфизм — автоморфизм.
2) Неразложимость модуля М равносильна локальности кольца
End(A4).
3) Если кольцо End(Af) не содержит бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов, то End(Af) полусовершенно
Самопроективные, 7г-проективные и непрерывные модули 135
и М — конечная прямая сумма равномерных модулей с
локальными кольцами эндоморфизмов.
о По 7.43 Af 7г-инъективен.
1) По 7.26(6) Af равномерен. Пусть fe End(Af) и Кег(/) = 0. По 7.43
/(Af) — прямое слагаемое неразложимого модуля М. Поэтому Af = /(Af)
и / — автоморфизм.
2) Если кольцо End(Af) локально, то модуль Af неразложим.
Допустим, что Af неразложим, geEnd(Af) и g-не автоморфизм. По 1)
Ker(g) ф 0 и М равномерен. Так как М — существенное расширение
Ker(g) и Ker(g) П Кег(1^ - g) = О, то Кег(1м - g) = 0. По 1) 1^ - g -
автоморфизм. По 5.35 кольцо End(Af) локально.
3) Так как End(Af) не содержит бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов, то по 4.35 М = М\ 0...0Af„, где все Aff- —
неразложимые непрерывные модули. По 1) все модули Af/ равномерны. По
2) все кольца End(Af;) локальны. Поэтому единица кольца End(Af) —
сумма локальных ортогональных идемпотентов. По 5.42 кольцо End(Af)
полусовершенно. □
7.47. Теорема. Пусть М — непрерывный (например, самоинъек-
тивный) модуль. Тогда кольцо End(Af) полу регулярно, /(End(Af)) =
= sg(Af) и каждое счетное множество {ei}^ ортогональных
идемпотентов кольца End(Af)/sg(Af) поднимается до счетного
множества {ei}?l{ ортогональных идемпотентов кольца End(Af).
> Пусть В = End(Af)/sg(Af), h: End(Af) —> В — естественный
эпиморфизм и / Е End(Af). Так как по 7.43 М 7г-инъективен, то
существует прямое разложение Af = V 0 W, где V — существенное
расширение Кег(/). Тогда W П Кег(/) = 0, откуда f(W) изоморфно прямому
слагаемому W непрерывного модуля Af. Поэтому Af = f(W) 0 Y для
некоторого Y € Lat(Af). Пусть g — такой эндоморфизм модуля Af, что
g(x + y) = f~x(x) для всех х € f(W), у е У. Так как W П Кег(/) = 0, то g
определен корректно. Тогда (fgf - f)(W 0 Ker(/)) = 0 и Af —
существенное расширение W 0 Кег(/). Поэтому fgf - f € sg(Af), h(fgf - f) = 0
и fi регулярно. В частности, J(B) = 0. Тогда /(End(Af)) С sg(Af).
Остается доказать, что sg(Af) С /(End(Af)). Так как sg(Af) —идеал кольца
End(Af), то достаточно доказать, что 1 — / — автоморфизм модуля Af для
любого t e sg(Af). Так как Кег(1 - /) П Кег(/) = 0 и Af — существенное
расширение Кег(/), то 1 -/ — мономорфизм. Тогда (1 - t)(M) — прямое
слагаемое в Af. Кроме того, Кег(/) = (1 - 0(Кег(/)) С (1 - /)(Af). Поэтому
(1 — t)(M) — существенное прямое слагаемое в Af. Тогда (1 — /)(Af) = Af
и 1 - / — автоморфизм. Оставшееся утверждение следует из 7.26(8). □
7.48. Пусть А — непрерывное справа (например, инъективное
справа) кольцо.
136 Глава 7. Инъективные и проективные модули
1) A/J(A) — регулярное кольцо, J(A) = Sing^) и каждое счетное
(конечное) множество {ё/}-^ ортогональных идемпотентов
кольца A/J(A) поднимается до счетного (конечного)
множества ортогональных идемпотентов кольца А. В частности,
если А несингулярно справа, то А регулярно.
2) Если А не содержит бесконечных множеств ортогональных
идемпотентов, то оно полусовершенно и является конечной
прямой суммой равномерных правых идеалов с локальными
кольцами эндоморфизмов.
3) Если А не имеет нетривиальных идемпотентов, то А—
равномерное справа локальное кольцо и каждый его левый
неделитель нуля обратим в А.
4) Если А — область, то А — тело.
> Пункты 1) и 2) следуют из 7.47 и 7.46(3), 3) следует из 2) и 7.46(1), 4)
следует из 3). D
7.49. Пусть Е — инъективная оболочка модуля М. Для любого
f EEnd(Af) обозначим через f какой-нибудь (не обязательно
единственный) эндоморфизм модуля Е, совпадающий с f на М.
1) Правилом g(f + sg(Af)) = / + sg(E) корректно определен
кольцевой мономорфизм End(Af)/sg(Af) —> End(£)/sg(£).
2) Если М тг-инъективен, то кольцо End(Af)/sg(Af) риккар-
тово и все идемпотенты кольца End(E)/sg(E) лежат в
£(End(M)/sg(Af)).
3) Если М конечномерен, то End(Af)/sg(A4) — кольцо с условиями
максимальности и минимальности для правых аннуляторов
и для левых аннуляторов, End(£)/sg(£) — полупростое кольцо
a/(End(£)) = sg(£).
> Обозначим R = End(M)/sg(M) и S = End(£)/sg(£).
1) Проверим, что g определен корректно. Допустим, что f\, /2 €
е End(Af) и /i - /2 € sg(Af). Тогда М — существенное расширение
Ker(/i — /2). Так как М существенен в Е, то Е — существенное
расширение Кег(Д - /2). Поэтому М — существенное расширение Кег(Д - /2).
Тогда /i - /2Esg(£). Непосредственно проверяется, что g — кольцевой
мономорфизм.
2) Пусть Им: End(Af) —► R и Не : End(£) —► S — естественные
кольцевые эпиморфизмы и ё— идемпотент кольца 5. По 7.26(7) Л£-(е) = ё для
некоторого идемпотента е в End(£). По 7.29(3) е(М) С М. Поэтому е
индуцирует идемпотентный эндоморфизм ем модуля М, откуда ё = км(ем)-
Поэтому все идемпотенты кольца 5 лежат в g(R). Пусть х € g(R). Так
как S регулярно, то rs(x)=yS для некоторого идемпотента у eS. По вы-
Самопроективные, 7г-проективные и непрерывные модули 137
шеизложенному у € g(R) и rg{R)(x) = g(R) П rs(x). Поэтому rg{R)(x)=yR.
Поэтому кольцо g(R) риккартово справа. Аналогично, g(R) риккартово
слева. Так как g(R) = R, то кольцо R риккартово.
3) По 7.47 и 7.46(3) /(End(£)) = sg(£) и 5 полупросто. В частности,
5 — кольцо с условиями максимальности и минимальности для правых
аннуляторов и для левых аннуляторов. По 1) R изоморфно подкол ьцу
в S. Пункт 3) следует теперь из 6.26. □
7.50. Следствие. Для тг-инъективного модуля М равносильны
условия:
1) кольцо End(M) ортогонально конечно;
2) End(Af) не содержит бесконечных множеств ортогональных
идемпотентов;
3) М конечномерен, М — конечная прямая сумма
равномерных модулей, кольцо End(Af)/sg(M) ортогонально конечно
и End(M)/sg(M) — риккартово кольцо с условиями
максимальности и минимальности для правых аннуляторов и для
левых аннуляторов;
4) кольцо End(Af)/sg(Af) ортогонально конечно;
5) End(Af)/sg(Af) не содержит бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов.
> Импликации 1)=ф2), 3)=>4) и 4)=ф5) проверяются непосредственно.
Импликация 5)=> 1) следует из 7.26(8) и того, что ненулевой идемпотент-
ный эндоморфизм не может иметь существенное ядро.
2)=>3). По 7.26(9) М конечномерен, М — конечная прямая сумма
равномерных модулей и End(Af)/sg(Af) не содержит бесконечное
множество ортогональных идемпотентов. Оставшиеся утверждения следуют
из 7.49(3). □
7.51. Следствие. Для п-инъективного справа кольца А
равносильны условия:
1) А не содержит бесконечных множеств ортогональных
идемпотентов;
2) факторкольцо A/S'mg(AA) не содержит бесконечных
множеств ортогональных идемпотентов;
3) А конечномерно справа, А — конечная прямая сумма
равномерных правых идеалов, кольца А и A/S\ng(A^)
ортогонально конечны и A/ S\x\g(Aа) — риккартово кольцо с условиями
максимальности и минимальности для правых аннуляторов
и для левых аннуляторов.
Следствие 7.51 вытекает из 7.50.
138 Глава 7. Инъективные и проективные модули
Инъективность, максимальность и наследственность
7.52. Пусть X ф У — прямое слагаемое тг-инъективного
модуля Af.
1) X Y-инъективен.
2) Если существует мономорфизм h\ X —► У, то h(X) — прямое
слагаемое в Y и X самоинъективен. Кроме того, если Y
неразложим, то h — изоморфизм.
3) Если X самоинъективен, то X (X ф Y)-UHbefcmueeH.
4) Если М\ и М^ —прямые слагаемые в М, являющиеся
существенными расширениями модулей М\ и M<i
соответственно, Af 1 П М2 = 0 и Af, ^ Af2, то М{ £ Af2 С End(Af)Af2,
Af2 С End(Af)Af, w модуль Af i ф Af2 самоинъективен.
> Непосредственно проверяется, что модуль X ф Y 7г-инъективен.
1) Пусть Y — подмодуль в Y, f е Нот(У, X), t: X ф Y -> * —
проекция с ядром У им: Y —> Л' ф К — естественное вложение. Пусть g —
идемпотентный эндоморфизм модуля X ф Y, определенный правилом
g(m + п) = /(я) + /г. По условию £ продолжается до эндоморфизма g
модуля X ф Y. Обозначим / = tgu E Нот(У, X). Тогда / продолжается
до / и Л' У-инъективен.
Так как по 1) X У-инъективен, то 2) и 3) следуют из 7.4 и 7.3.
4) По_7.26(3) существует прямое разложение Af = M\ ф Af2 ф Z.
Пусть Л: Af 1 —► Af2 — изоморфизм. По J) Af2 Afi-инъективен и Af, Af2-
инъективен. Поэтому мономорфизм h продолжается до
гомоморфизма Л: Afi —> Af2. Так как Af i — существенное расширение М\ и Afi П
ПКег(Л) = 0, то h — мономорфизм. По 2) Afi самоинъективен и Л(Л41) —
прямое слагаемое в Af2. Кроме того, Af2 — существенное расширение
/z(Afi). Поэтому /z(Afi)=Af2. Тогда Afi=Af2 и Afi самоинъективен.
По 7.45 М1 ф Af 2 самоинъективен. Так как Af = Af i ф Af 2 ф Z и Af i = Af 2,
то Af,CEnd(Af)Af2 и Af2CEnd(Af)Afi. □
7.53. Для кольца А равносильны условия:
1) кольцо А нётерово справа',
2) все прямые суммы инъективных правых А-модулей инъек-
тивны\
3) все счетные прямые суммы инъективных правых А-модулей
инъективны;
4) все счетные прямые суммы инъективных правых А-модулей
п-инъективны;
5) каждый правый А-модуль Af, являющийся прямой суммой
инъективных модулей, является инъективным модулем и
Инъективность, максимальность и наследственность 139
разлагается в прямую сумму равномерных инъективных
модулей',
6) для каждого правого А-мод у ля М существует такое прямое
разложение М = X ф У, что X — инъективный модуль и
модуль У не имеет ненулевых инъективных подмодулей.
о Импликации 5)=>2), 2)=>3) и 3)=>4) очевидны.
4)=>3). Пусть Af^ — счетная прямая сумма инъективных модулей.
Тогда Ад ф Af — счетная прямая сумма инъективных модулей, откуда
Л^фМ 7г-инъективен по условию. По 7.52(1) Af инъективен
относительно Ад. По критерию Бэра 7.12 Af инъективен.
3) => 1). Пусть В\ С Вг С ... — возрастающая цепь правых идеалов,
Е\ — инъективная оболочка Ад/Bi для всех / = 1,2,..., В = \Jfl{ В/,
М = 0/^i £"/ и /i: В —> £/, / = 1,2,... — такие гомоморфизмы, что
Д (*)=* +В/. Пусть /: B-»Af — прямая сумма 0°^ Д гомоморфизмов
Д. Так как по условию Af инъективен, то по критерию Бэра 7.12
существует т е Af, для которого f(b) = mb при всех b е В. Тогда
тЛ С ]Г"=1 В/ для некоторого п. Поэтому В/ = Вп для всех / > п.
1)=>2). Пусть Af —прямая сумма инъективных правых Л-модулей
Mj (/ € /), В — правый идеал в А и / е Нот(ВУ4, Af). Так как модуль /(В)
конечно порожден, то /(В) лежит в N = 0.-6у, Afy для некоторого
конечного подмножества /'С/. Ясно, что N инъективен. Тогда существует
гомоморфизм g: Ад —> Af, продолжающий /. По критерию Бэра 7.12 Af
инъективен.
2) =>6). Пусть {Х/}/€/ — множество всех подмодулей в Af, являющихся
прямой суммой инъективных модулей. На этом множестве зададим такой
частичный порядок ^, что при /, / Е / неравенство Xt ^Xj равносильно
тому, что Xt ®Xk = Xj для некоторого ke/. Из условия 2) следует, что
в этом множестве каждая возрастающая цепь имеет верхнюю грань. По
лемме Цорна множество {Xi}ieI имеет максимальный элемент X. Тогда
существует прямое разложение Af — X ф У, являющееся искомым
разложением.
6)=>3). Пусть Af = 0^j Af/, где все правые Л-модули Af,- инъектив-
ны. По условию существует такое прямое разложение Af = X ф У, что
X инъективен и У не имеет ненулевых инъективных подмодулей. Если
^ = 0, то Af = X инъективен. Допустим, что У Ф 0. Так как X не является
существенным подмодулем в Af, то X П Af/ не является существенным
подмодулем в Af/ для некоторого / € /. Тогда инъективный модуль Af/ име-
ет такое ненулевое прямое слагаемое N> что X П N = 0. Пусть 7г: А/ —* У —
проекция с ядром X. Так как X П Л/ = 0, то 7r(/V) =" W и У имеет ненулевой
инъективный подмодуль 7г(Л0. Получено противоречие.
140 Глава 7. Инъективные и проективные модули
1)+2)=>5). По 2) М инъективен. По 4.26(1) М — существенное
расширение прямой суммы циклических модулей. Так как каждый
циклический правый модуль над нётеровым справа кольцом нётеров, то М —
существенное расширение 0/6/(?/, где все <?,- равномерны. Инъектив-
ный модуль Af содержит инъективную оболочку Af/ каждого (?,-. Все Af,-
равномерны. Обозначим Af = £/6/ Af,-. Непосредственно проверяется, что
Af = 0/€/Af/. По 2) УИ инъективен. Поэтому М — существенное прямое
слагаемое в Af. Тогда Af = Af = 0/6/ Af/. D
Если Af —правый модуль над кольцом А и В— такой правый идеал
в Л, что В = гд(Х) для некоторого подмножества X С Af, то В называется
правым М-аннулятором.
7.54. Теорема Фейса. Для инъективного правого модуля М над
кольцом А равносильны условия:
1) для любого множества I модуль Af(/) инъективен;
2) Af ^о) — инъективный модуль;
3) А — кольцо с условием максимальности для правых М-анну-
ляторов.
> Импликация 1)=>2) очевидна.
2)=>3). Допустим противное. Тогда А содержит бесконечную
строго возрастающую цепь В\ СЙ2С... правых Af-аннуляторов. Пусть
Ni = {т е М | тВ\ = 0}. Тогда N\ э Л^2 Э ... — бесконечная строго
убывающая цепь подмодулей в Af и существуют элементы xt €М\Мч-1-
Пусть В = Ц°^, В,- С Л. Для каждого 6 Е В существует такое п, что
bxn+j = 0 для всех / ^ 1. Поэтому правило /(6) = (Ьх\у Ьх2, ...)
задает гомоморфизм /: Вд —» Af(**o). Так как Af(**o) инъективен, то по
критерию Бэра 7.12 существует у = (у\у ..., уПу 0, ...) € Af(*o), для
которого (6*ь 6*2, •..) = f{b) = by = (6f/i, ..., ЬуПу 0, ...). Получено
противоречие, поскольку хп+\ £Вп+2.
3) => 1). Пусть В — правый идеал в А и / е Иот(Вду Af(/)). Так как
Af(/) — подмодуль инъективного модуля Af7, то по критерию Бэра 7.12
существует х = (*/);е/ Е Af7, для которого f(b) =xb при всех b € В. Для
любого подмножества /С/ через Ху обозначим элемент (#/)/е/ Е Af7, для
которого \fi =Xi при / Е/ и yi = 0 при / Е/ \/. Рассмотрим множество
£ = {г(х/\/г) | Т7—конечное подмножество в /}. По условию £ содержит
максимальный элемент r(jt/\G). Если Т7 —конечное подмножество в /,
содержащее G, то r(jt/\G) = r(xj\F). Пусть b е В и /(6) = (2/)/€/ Е Af7.
Так как /(6) Е Af(/), то существует такое конечное подмножество F(b) в Л
что G С ^(б) и 2/ = 0 для / € / \ /^б). Поэтому b Е r(xi\F{b)) = r(jt/\G)'
Поэтому f(b) = xb -хд\СЬ=ХсЬ. Так как 6 — произвольный элемент из
В и xq Е Af(7), то по критерию Бэра 7.12 Af(7) инъективен. □
Инъективность, максимальность и наследственность 141
Пусть f —кардинал. Модуль М называется t-дистрибутивным,
если М не имеет подфакторов, являющихся прямыми суммами /
изоморфных копий простого модуля. No-дистрибутивные модули называются
счетно дистрибутивными модулями.
7.55. Пусть М — правый модуль над кольцом А.
1) Если X 0 Y — подфактор М и существует ненулевой
гомоморфизм X —> К, то М имеет подфактор, являющийся
прямой суммой двух изоморфных простых модулей.
2) М t-дистрибутивен & М не имеет подфакторов,
являющихся прямыми суммами t ненулевых изоморфных модулей Ф>
М т-дистрибутивен для любого кардинала m^t ф> каждая
однородная компонента любого полупростого подфактора
модуля М — прямая сумма s простых модулей, где s <t.
3) Если М дистрибутивен и X ф Y —подфактор М, то
Нот^, У) = 0. В частности, любой дистрибутивный модуль
t-дистрибутивен для любого кардинала t ^2.
4) Если t =card(Af)> то М т-дистрибутивен для каждого
кардинала r>t.
5) М счетно дистрибутивен в точности тогда, когда каждая
однородная компонента любого полупростого подфактора
М конечномерна.
6) Если множество всех неизоморфных простых подфакторов
М конечно, то М счетно дистрибутивен в точности тогда,
когда М вполне конечномерен.
7) Если t —кардинал и F — t-порожденный подфактор М, то
существует такой t-порожденный подмодуль FСМ, что F
изоморфен фактормодулю модуля F.
8) Если существует такое п е N, что каждый полупростой
фактормодульлюбого (п+\)-порожденного подмодуля в М —
прямая сумма не более чем п простых модулей, то каждый
подфактор модуля М не содержит прямую сумму из п+ \
ненулевых слагаемых.
9) Пусть А полулокально uk — число минимальных правых
идеалов в разложении полупростого кольца A/J(A) в прямую
сумму минимальных правых идеалов. Если существует такое
т € N, что все конечно порожденные подмодули в М т-
порождены, то каждый подфактор модуля М не содержит
прямую сумму из km + 1 ненулевых слагаемых.
Ю) Любая конечная прямая сумма счетно дистрибутивных
модулей над полулокальным кольцом — конечномерный модуль.
142 Глава 7. Инъективные и проективные модули
t> Пункт 1) следует из того, что каждый ненулевой модуль имеет простой
подфактор, а 2) проверяется с помощью 1).
3) Пусть х е X и / € Hom(X, Y). Так как модуль X 0 Y
дистрибутивен, то (л- + f(x))A = (х + f(x))A П хА + (х + /(лг))Л П /(х)Л. Поэтому
существуют такие а, 6, с, d e А, что
х + /(*) = ха + f(x)b, xa = (x + f(x))cy f(x)b = (х + /(x))rf,
jw/ = /(jc)(ft - d) G X n У - 0, f{x)b = /(jc)rf = /(xrf) = /(0) = 0,
x + f(x) = xay f{x) = x(a - 1) € X П К = 0, Hom(*, У) = 0.
Пункт 4) проверяется непосредственно; 5) следует из 2); 6) следует из
5).
7) Пусть F = G/H = £/€/(/' + Я)Л, где G Е Lat(M), Я Е Lat(G)
и // е G. Пусть card(/) = / и F = £/6/ /,-Л € Lat(Af). Тогда Т7 — требуемый
модуль.
8) Допустим противное. Так как каждый ненулевой модуль имеет
простой подфактор, то существует такой подфактор F модуля Му что
Р = (&*!=} 7/» гДе модули 7/ просты. По 7) F = ®"*} T-t для некоторого
(л + 1)-порожденного подмодуля FbM. Получено противоречие.
9) Каждый циклический полупростой А -модуль — прямая сумма не
более k простых модулей. Поэтому каждый полупростой фактормодуль
любого конечно порожденного подмодуля в М — прямая сумма не более
km простых модулей. Теперь 9) следует из 8).
10) Так как конечные прямые суммы конечномерных модулей
конечномерны, то утверждение следует из 6). □
7.56. Пусть {S/Ье/ — множество всех правых идеалов
кольца Ау Ni = Аа/В1у NA=Q)ielNly M — инъективная оболочка N
и / = card(Af).
1) В А каждый правый идеал — правый М-аннулятор.
2) Если А — кольцо с условием максимальности
(минимальности) для правых М-аннуляторову то А — нётерово справа
(артиново справа) кольцо.
3) Кольцо А нётерово справа в точности тогда, когда модуль
Af(**o) инъективен.
4) Если Ра — любой модуль, являющийся существенным
расширением прямой суммы Q некоторых неизоморфных
циклических модулей, то существует мономорфизм f: P-» Af.
Поэтому card(P) ^ t.
5) Мощность каждого неразложимого п-инъективного
правого А-модуля Р не превосходит t.
Инъективность, максимальность и наследственность 143
6) Мощность каждого дистрибутивного правого А-модуля Р
не превосходит t,
7) Мощность каждого счетно дистрибутивного правого
А-модуля Р не превосходит мощности инъективной оболочки Е
модуля N{*°\
8) Для каждого кардинала t существует такой кардинал
г, что мощность каждого t-дистрибутивного правого
А-модуля Р не превосходит мощности инъективной
оболочки модуля N{r).
о 1) Пусть Bi — правый идеал в Л, h: А& —* N{? — естественный
эпиморфизм и т = h( 1) € М. Поэтому В, = г(т).
Пункт 2) следует из 1).
3) Импликация => следует из 7.53. Импликация <= следует из 2) и 7.54.
4) Существует мономорфизм g: Q—>N СМ. Так как М инъективен,
то g продолжается до гомоморфизма /: Я —>Af. Так как @ПКег(/) = 0
иР- существенное расширение Qy то / — мономорфизм.
5) Так как неразложимый 7г-инъективный модуль Р равномерен, то
Р — существенное расширение любого своего ненулевого циклического
подмодуля. Поэтому 5) следует из 4).
6) По 4.26(1) Р — существенное расширение ф/бУ <?/, где Q} —
циклические модули. По 7.55(3) Qi^Qj Для всех 1Ф\- Поэтому 6) следует из 4).
7) По 4.26(1) Р — существенное расширение Q = 0/e/ Q}, где Q} —
циклические модули. Так как Р счетно дистрибутивен, то множество всех
модулей Qjy изоморфных некоторому фиксированному Q,-, конечно.
Поэтому существует мономорфизм g: Q —> N^o) С Е. Так как Е инъективен,
то g продолжается до гомоморфизма /: Р —> £. Поскольку Q П Кег(/) = О
и Р — существенное расширение Q, то / — мономорфизм.
8) Доказательство аналогично доказательству 7). □
7.57. Для кольца А равносильны условия:
1) кольцо А нётерово справа;
2) для любого инъективного правого А-модуля М модуль М{По)
инъективен;
3) каждый инъективный правый А-модуль М —прямая сумма
неразложимых модулей;
4) существует такой кардинал /, что каждый инъективный
правый А-модуль — прямая сумма модулей, мощности
которых не превосходят t;
5) существует такой кардинал т, что каждый инъективный
правый А-модуль —прямая сумма т-дистрибутивных
модулей.
144 Глава 7. Инъективные и проективные модули
> Импликация 1)=>2) следует из 7.53. Импликация 2)=>\) следует
из 7.56(3). Импликация 3)=>4) следует из 7.56(5). Импликация 4)=>5)
следует из 7.55(4). Импликация 5)=ф4) следует из 7.56(8). Импликация
1)=»3) следует из 7.53.
4)=>2). Пусть X — такое бесконечное множество, что card(A) > /,
card(A) > card(Af) и К —множество всех подмножеств в X. Выберем
такое бесконечное множество /, что card(/) > card(V). Прямое
произведение MJ — инъективный модуль. По условию Afy=0/€/Af/, где
card(Af,) ^ / для всех /.
Докажем утверждение
существует такое разбиение {/(0), /(1), /(2), ...} множества /, что при
п ^ 1 мощность каждого множества 1(п) не превосходит / #
и 0 Mi = Рп 0 Qn для п > 1, где Рп 2 М. ( '
Для любого / Е/ обозначим через /у естественное вложение М —> Afy,
отображающее М на у-ю компоненту модуля Afy. Пусть s e J. Так
как fs(M) С 0/6/ М/, то существует такое подмножество /(1)С/, что
card(/(l)) ^ /, fs(M) С©/€/(1) Mh Если Р{ =ЦМ)^МУ то из инъективно-
сти Pj следует равенство 0;€//п M-t =P\®Q\. Допустим, что найдены
такие непересекающиеся подмножества /(1), ..., 1(п) в /, что card(/(6)) ^ /,
®ie/(k)Mi = pk®Qk uPk = M (l^k^n). Обозначим D = /(l) U... U I(n).
Тогда card(0i€D) ^n-t2 = t. Сумма £/€y((0/6DМйn fi(M))"пРямая
сумма, лежащая в 0/eD Af,-, где card(y) < / и 0/б£) Af/ не содержит более
чем card(V) подмножеств. Поэтому (0/б£) Af/) П //(Af) = 0 для некоторого
/ е/. Пусть Л: Afy —► 0/6/\о Af; — проекция с ядром 0i6D Af/. Тогда
Кег(Л)П fj(M) = 0, A(/y(Af)) S Л* и Ял+1 = А(/У-(Л1))
— прямое слагаемое в 0;€/w>Af,-. Существует такое подмножество
/(л + 1) С (/ \ D), что card(/(rt + 1)) ^ /, Рп+Х С 0/€/(;1+1) М/. Поэто-
МУ 0i€/(/i+i)^' = Pn+X ® Qn+\- Используя индукцию по пу построим
множества {I(n)}^L{. Обозначим /(0) = / \ (U^Li I(n))- Утверждение (*)
доказано. Поэтому
^ = (©*.)©(©<?.) €>(©*')
4=1 ' 4=1 ' \'€/(0) '
и модуль Af(*o) изоморфен прямому слагаемому 0^ Рп инъективного
модуля Afy. □
7.58. Пусть модуль X проективен относительно модуля Y и
модуль Y инъективен относительно X. Тогда в X все подмодули Y-
Инъективность, максимальность и наследственность 145
проективны в точности тогда, когда все фактормодули модуля
Y Х-инъективны.
о =». Пусть Л: У -* У — эпиморфизм, X е Lat(A) и ge Hom^, У). По
условию X У-проективен. Поэтому g — ht для некоторого гомоморфизма
t\X-+Y. Так как Y X-инъективен, то t продолжается до гомоморфизма
d\ X —» Y. Тогда g продолжается до гомоморфизма hd: X —» У, откуда
X У-инъективен.
Доказательство импликации 4= двойственно доказательству =>. □
7.59. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) А наследственно справа;
2) все подмодули проективных правых А-модулей проективные
3) все подмодули проективных правых А-модулей п-проектив-
ны\
4) все фактормодули инъективных правых А-модулей инъек-
тивны;
5) все фактормодули инъективных правых А-модулей п-инъек-
тивны.
> Импликации 2)=>3) и 4)=>5) очевидны. Импликация 2)=> 1) следует
из того, что А а проективен. _
1)=ф4). Допустим, что Y —- фактормодуль инъективного модуля Y.
По 7.58_(при X =/4д) модуль У Лд-инъективен. По критерию Бэра 7.12
модуль Y инъективен. _
__ 4) =>2). Допустим, что X — подмодуль проективного модуля X. По 7.58
X проективен относительно любого инъективного правого Л-модуля.
По 7.23 X проективен.
3)=ф2). Пусть X — подмодуль проективного модуля Q. Существует
эпиморфизм h: У —>Х, где модуль Y проективен. По условию подмодуль
X 0 Y проективного модуля Q 0 Y 7г-проективен. По 7.42(1) X Y-
проективен. По 7.4 X изоморфен прямому слагаемому проективного
модуля У, откуда X проективен.
5)=>4). Допустим, что X — фактормодуль инъективного модуля Q.
Существует мономорфизм h: X —> У, где модуль У инъективен. По
условию фактормодуль X 0 У инъективного модуля Q 0 У 7г-инъективен.
По 7.52(1) X У-инъективен. По 7.4 X изоморфен прямому слагаемому
инъективного модуля У. Поэтому X инъективен. □
7.60 (см. [264]). Пусть А —кольцо, содержащее бесконечное
множество {et \ i e /} ненулевых ортогональных идемпотентов.
Допустим, что для каждого непустого подмножества X С /
существует такой элемент /* Е Л, что et = fxei для i еХ и etfx = 0
для i € / \Х. Обозначим S = {а € А \ eta = 0, I e /}. 7Ьгда модуль
^/(2/6/ ^ + 5) не -к-инъективен.
146 Глава 7. Инъективные и проективные модули
> Представим множество / в виде бесконечного дизъюнктного
объединения бесконечных подмножеств / =\JxezX, рДе Ее27. Рассмотрим
множество Т всех элементов Q из 2;, удовлетворяющих условиям:
1) если X eQ, то множество X бесконечно;
2) если Ху Y € Qy X Ф Y, то множество X П У конечно.
Непосредственно проверяется, что объединение любой возрастающей
цепи множеств из Т лежит в Т. По лемме Цорна Т содержит такой
максимальный элемент Д, что Е с Д. Если а € Л и {eta \ i € / \ {i\y ..., in}} = {0},
то а — ена —... - е1па € 5. Поэтому множество В = £/€/ etA + 5
совпадает с множеством всех элементов кольца Л, аннулирующих слева почти
все элементы из {et \ I e /}.
Покажем, что сумма YlxeA^fxA + В)/В — прямая сумма. Пусть
X е Д, а е Л, Л/ е Д\Ш, где 1 ^ / ^ л, и предположим, что /*а ^ #•
Тогда eifxu^O ддя бесконечного числа / €Х. По построению множество
^n(U/=i^/") конечно. Таким образом, если ао £ S/=i /*,-^ + В, то
е;Яо = 0 для почти всех / еХ. Поэтому fxa£Y?j=\ fx,A + В.
Существует такой идемпотентный эндоморфизм <р подмодуля
ZxeA(fxA + В)/В модуля Л/Б, что tp{fx + В) = fx + В при X е Е
и ¥>(/* + Б) = 0 при X е Д \ Е. Допустим, что модуль А/В 7г-инъективен.
Тогда <р продолжается до эндоморфизма ф модуля А/В. Поэтому
существует такой элемент / е Л, что fx = tfx + b для всех X € Е, где
be В. Тогда е, fxet = £///*£; + е,-6е; для каждого / Е А'. Поскольку e,fc = 0
и /*е/ = £/ для почти всех / Е А', то множество Ао = {/ Е X | е/ = е,//*£; =
= £,•/£/} бесконечно. Пусть С —множество, которое с каждым
элементом из множества {Хо \ X Е Е} пересекается по одноэлементному
подмножеству. Допустим, что С Е Д. Тогда С Е Д \ Е. Поэтому //с Е В
и ectfcec = 0 для почти всех с Е С. С другой стороны ес = ectec для
каждого с € С. Полученное противоречие показывает, что С ^ Д. В силу
максимальности Д для некоторого D Е Д пересечение С П D бесконечно
и D ^ Е. Тогда tfo Е В и е;//о = 0 для почти всех элементов / Е /.
Тогда eatfo = 0 для почти всех элементов d eCDD. С другой стороны,
2d = edted =^dtfD^d = 0 для каждого d eC C\D. Поэтому идемпотенты
е</ являются нулевыми для бесконечного множества элементов d Е С PiD,
что противоречит условию. □
7.61. Если все циклические правые модули над кольцом А 7г-
инъекпгивны, mo A — конечная прямая сумма равномерных правых
идеалов.
> Обозначим В = A/S\ng(AA). По 7.51 достаточно доказать, что
В не содержит бесконечных множеств ортогональных идемпотентов.
Непосредственно проверяется, что все циклические правые В-модули 7г-
Инъективность, максимальность и наследственность 147
инъективны. По 7.51 кольцо В риккартово. В частности, В несингулярно.
Допустим, что В содержит бесконечное множество {е/}/е/ ненулевых
ортогональных идемпотентов. Пусть И — произвольное подмножество
в /, N = ®ieHeiB, L = 0/6д//£;Я, <? — такой правый идеал в Ву
что (N Ф L) П Q = 0 и (N 0 L) ф Q — существенный правый идеал.
Так как N П (L ф Q) = О и В 7г-инъективно справа, то существует
такой идемпотент m e В, что mfi — существенное расширение
правого идеала N и (1 - m)fi — существенное расширение правого идеала
I ф Q. Тогда те/ = в/ при / е Н. Пусть / € / \ И и /: тВ -» еу-В —
гомоморфизм, определенный правилом f(mb) = e/mfc для b £ В. Тогда
Л/ С Кег(/). Поэтому mfi — существенное расширение Кег(/). Поэтому
/(тВ) С Sing(B#) = 0. Поэтому ejtn = 0. Тогда все циклические правые
В-модули 7г-инъективны. Это противоречит 7.60. □
7.62. Теорема [263,264]. Для кольца А равносильны условия:
1) все циклические правые А-модули инъективны;
2) А — инъективное справа наследственное справа кольцо;
3) А регулярно и все циклические правые А-модули п-инъектив-
ны\
4) А — полупростое кольцо.
> Импликация 3)=>2) следует из того, что по 7.6 все модули над
полупростым кольцом инъективны и проективны.
2)=Н). Каждый циклический модуль Мд изоморфен фактормодулю
инъективного модуля Лд. По 7.59 каждый фактормодуль любого инъек-
тивного правого модуля над наследственным справа кольцом инъективен.
Поэтому М инъективен.
1)=>3). Каждый главный правый идеал аА в А инъективен. Поэтому
аА — прямое слагаемое в А а и кольцо А регулярно.
3)=>4). Так как кольцо А регулярно и по 7.61 А — конечная прямая
сумма равномерных правых идеалов, то А — полупростое кольцо. □
Упражнения
7.63. Если N — вполне инвариантный подмодуль самопроективного
(малопроективного, 7г-проективного) модуля Af, то модуль M/N само-
проективен (малопроективен, 7г-проективен).
7.64. Если Af —самопроективный (малопроективный, 7г-проектив-
ный) правый модуль над кольцом А и В — правый идеал в Л, то модуль
М/МВ самопроективен (малопроективен, 7г-проективен).
7.65. Если п GN, то любая прямая сумма (А/пА)1 изоморфных копий
А -модуля А/пА самопроективна.
148 Глава 7. Инъективные и проективные модули
7.66. Если п е N, то любая прямая сумма С(п)! изоморфных копий
циклической абелевой группы С(п) порядка п — самопроективный модуль
над кольцом целых чисел.
Упражнения 7.63—7.66 проверяются непосредственно.
7.67. Пусть Л—унитарное подкольцо кольца В, Af — подмодуль
модуля В а и существуют такие т\у ..., тп е М и Ь\у ..., Ьп € В, что
1 = Y%=\ m'ibi и biM С А для всех /. Тогда Af = YH=\ т'<А ~~ проективный
я-порожденный модуль. (Указание. Пусть /ь ..., fn\ M а —* Ад — такие
гомоморфизмы, что 1(т) = Ь\т для me Af. Тогда т = ^"=1 т///(т) для
любого т € Af и утверждение следует из 7.7.)
7.68. Если Л—унитарное подкольцо кольца В и Af, С, D —такие
подбимодули в ^Вл, что AfC = MD =Л, то С = D и Af^, ^Af — конечно
порожденные проективные Л-модули. (Указание. Так как С = DAfС = D,
то AfC = CAf = А. Существуют такие Ь\у ..., Ьп е С, что 1 = £"=1 т,-6/
для некоторого т\, ..., тп € Af и 6/Af С Л для любого /. По 7.67 Af^ —
конечно порожденный проективный модуль. Аналогично, ^Af —конечно
порожденный проективный модуль.)
7.69. Если А — кольцо и модуль Ад фАд 7г-инъективен, то А инъ-
ективно справа. (Указание. По 7.52(2) модуль Ад фАд самоинъективен.
По 7.12 модуль Ад фАд инъективен.)
Литература. [3,9,13,20-22,24,111,112,288,289,291,308].
8
Модули без кручения по Хаттори и плоские
модули
Плоские модули
Тензорное произведение и модули без кручения по Хаттори.
Пусть Л — кольцо, Хд и а У — правый и левый Л-модули соответственно,
X х К—декартово произведение, F — свободный Z-модуль с базисом,
индексированным множеством X х У, и Н — подгруппа в /\ порожденная
всеми элементами вида
(х + иуу)- (ху у) - (иу у)у (ху y + v)- (ху у) - (ху v)y (xay у) - (х, ау)у
ху и е Ху yyveYy а е А.
Абелева группа F/H называется тензорным произведением модулей
X и У; она обозначается через X ®д У• Будем писать X ® У вместо
X ®а У у если ясно, какое кольцо Л имеется в виду. Образ пары (ху у)
при естественном отображении X х Y —>Х ® Y обозначается через x<g>y.
Если вХа и а Ус — бимодули, то группа X ® aY естественным образом
превращается в В-С-бимодуль, в котором умножение на 6 € В и с Е С
задается равенствами 6(£x/j/;) = ][]6jt;(// и (£*///;)£ = £*;*/,£. В
частности, X® дУ — Еп()(Л)-Еп()(У)-бимодуль и X ®аА — правый Л-модуль.
Правый Л-модуль X называется модулем без кручения по Хаттори или
модулем без Н-кручения, если для любого а^А естественный групповой
эпиморфизм X ® Аа —> Ха — изоморфизм. Если X — правый Л-модуль
и X' — такой подмодуль в Ху что для каждого левого Л-модуля Y
естественный групповой гомоморфизм X'®аУ —>Х<&аУ — мономорфизм, то
X' называется чистым подмодулем в X. (В этом случае можно
рассматривать X' <%>аУ как подгруппу в X ®аУ-) Последовательность модульных
/я-l /я /л+1
гомоморфизмов ... —► M„_i —► Мп —► Мп+\ —►... называется
точной в члене МПу если f(Mn-\) = Ker(/„) для всех п. Последовательность
гомоморфизмов называется точной, если она точна в каждом своем
члене.
Следующие свойства 8.1—8.13 проверяются непосредственно.
8.1. Для любого элемента х группы X ®дУ существует такое
конечное множество индексов /, что х = ^2ief *i ® *//•
150 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
8.2. Если х, и е Ху уу v e Y и а € Л, то
(JC + W)0(/ = Jt0(/ + W0(/, JC0((/ + W) =Х0(/+Х0У,
ха<8у — х®ау.
8.3. Если Y!!=\ xi ® Hi € X 0,4 У, то £?=1 jc/ 0 */,= 0 в точности тогда,
когда существуют такие конечные множества {х* €Х}™=[ и {a,-* Е Л}, что
1 < / < /i, \ ^ k ^ my xi = ^Xkuik, Ylaikyi = ° V/' k'
k=\ i=\
8.4. Для любых модульных гомоморфизмов /: Ха-+Ма и g: aY-+aN
равенство (/ 0 g)(%2 x\ 0 #) = £ /(*«•) 0 g(yt) корректно задает
групповой гомоморфизм /0g: X ®aY —>Af ®aN.
8.5. Канонический групповой эпиморфизм h: X ®а Л —>X —
изоморфизм естественного правого Л-модуля А' 0,4 Л на модуль ХА.
8.6. Если Ха = 0;6/^/> то существует естественный групповой
изоморфизм группы (0^/^)0^ Y на группу 0^/(^/0^У).
8.7. ЕслиР и <? — подмодули в ^ У, то пересечение в A' <8>a(P + Q)
канонических образов модулей X 0^Р и X 0aQ совпадает с каноническим
образом X 0 а (Р П Q).
8.8. Если вХау аУс и c^d — бимодули, то существует естественный
B-D-бимодульный изоморфизм в((Х <8>aY)®c Z)d—> в(Х <8>а (У 0с^))о-
8.9. Если яХь ^Ус и dZc — бимодули и вХ'А — подбимодуль в вХа>
то существуют естественные fi-D-бимодульные изоморфизмы
а: Нот((Х®AY)c, Zc) -> Hom(^, Hom(Kc, Zc)),
/J: Нот((Г®„У)с, 2C) -+ Hom(^, Нот(Ус, Zc))
и естественные B-D-бимодульные гомоморфизмы
/: Hom((X®AY)c, Zc) -> Hom((X'0л У)с, 2C),
g: Hom(^, Hom(Kc.Zc)) -+ Hom(^, Hom(Kc> Zc)l
причем ga = ftf. Поэтому если / — эпиморфизм, то g — эпиморфизм.
8.10. Объединение любой возрастающей цепи чистых подмодулей —
чистый подмодуль.
8.11. Каждое прямое слагаемое и объединение любой возрастающей
цепи прямых слагаемых — чистый подмодуль.
8.12. Если вХа и вХ'а — В-Л-бимодули и Х'А чист в Ха, то для каж-
дого Л-С-бимодуля aYc {Xf ®aY)c чист в (X®aY)c-
f g
8.13. Если 0 —► Х\ —► Х2 —► Xz —► 0 — точная последовательность
/<s>i g®\
правых Л-модулей, то Х\ 0 Y —► Х% 0 Y —> Х$ 0 Y —► 0 — точная по-
Плоские модули
151
следовательность абелевых групп для любого левого Л-модуля Y. В
частности, g<8> 1—эпиморфизм и*3® Y = (X2®Y)/(f® \)(X\® Y).
8.14. Для правого модуля X над кольцом А равносильны условия:
1) X — модуль без Н-кручения;
2) в X каждый циклический подмодуль лежит в некотором
подмодуле в Ху являющемся модулем без Н-кручения;
3) для любых х еХ и а € Л с условием ха = 0 найдутся такие
х\у ..., хп еХ и а]у ..., ап еЛ, что m = YH=\ *<а< u Д/Д = 0 для
всех /.
о Эквивалентность 1)^»2) проверяется непосредственно.
1)=>3). Допустим, что ха = 0, где х ЕX и ае Л. По условию х ® а = 0.
По 8.3 х = 5Z/=i xiah где xi €Xy aj еА и aja = 0 для всех /'. Поэтому
X — модуль без //-кручения.
3) => 1). Допустим, что Yll=\ *ibia = 0y где х,еХ и b-t eA. Обозначим
х = Y%=\ xibi € X. Тогда ха = 0. Так как X — модуль без tf-кручения, то
х = 5Zy=1 XjQj, где Xj еХу а} € Л и ауа = 0 для всех /. Тогда
п k k k
^2,Xi®bia = x®a = J^jcya, ® a = ^ jc/ ® a}a — ^x, ® 0 = 0. □
i=i /=i /=i /=i
8.15. £сли X1 — подмодуль правого А-модуля Xy то равносильны
условия:
1) Х/Х' — модуль без Н-кручения;
2) (Зля любых таких х€Х и аеАу что хаеХ'у существуют
такие Х\у ..., хп Е X и аь ..., ап еАу что х = YH=\ xia't G ^'
ы a,a = 0 (Зля всех /.
> Утверждение 8.15 проверяется непосредственно. П
Плоские модули. Правый Л-модуль X называется плоским, если для
любого мономорфизма левых Л-модулей Y' —► К естественный
групповой гомоморфизм ^0,4Y'-*X®aY — мономорфизм. Ясно, что каждый
плоский модуль —без //-кручения.
8.16. Для правого модуля X над кольцом А равносильны условия:
1) X — плоский модуль;
2) для каждого левого идеала Y в А канонический групповой
эпиморфизм X ® a Y —> XY — изоморфизм;
3) для каждого конечно порожденного левого идеала Y в А
канонический групповой эпиморфизм X ® д Y -+XY —
изоморфизм;
152 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
4) для любых таких х\у ..., хпеХ и у\у ..., */rt€/4, что Y^=\ */#/ =
=0, существуют такие х\, ..., хт е X и а-& € Ау что 1 ^ / ^ л,
1 ^ k ^ ту xi = Y^k=\ XkUik и Y%=\ а1ьУ1 — 0 для всех i и k.
> Эквивалентность условий 1), 2) и 3) проверяется с помощью 8.3.
2)=>4). Обозначим Y = £?=! Ау<СА. Так как £"=1 хцн = 0, то по 2)
Z)/*=i x'i ® *// = 0. Теперь применим 8.3.
4)=>2). Пусть У —левый идеал вЛ, й:Лг®Уг—>ЛУ — канонический
групповой эпиморфизм и £"=1 x'i®yi € Кег(А). Тогда £"=1 */*// =0 и
существуют такие Х\ , ..., хт е X и a,* Е Л, что
m /г
1 ^ / ^ пу \ ^ k^ my Xi = ^2xkaiky ]Га,**/; = °»
*=i i=i
/г п т т п п
$^*/®# = ^]^х,-а/л®# = 5^5Z*i®a,-*# = $1*'"®° = °*
/=i i=i k=\ fc=i ;=i 1=1
Поэтому /г — изоморфизм. D
8.17. Все прямые суммы и все прямые слагаемые плоских модулей
являются плоскими. (Следует из 8.6.)
8.18. Все свободные или проективные модули являются
плоскими.
> По 8.5 и 8.16 все свободные циклические модули плоские. Так как
каждый свободный модуль — прямая сумма свободных циклических
модулей, то по 8.17 все свободные модули плоские. Поскольку каждый
проективный модуль изоморфен прямому слагаемому свободного модуля,
то по 8.17 все проективные модули плоские. □
8.19. Для элемента а кольца А равносильны условия:
1) (А/аА)А—модуль без Н-кручения;
2) правый идеал аА порождается идемпотентом;
3) А/аА — проективный А-модуль.
> Импликация 2)=> 1) следует из 8.18. Эквивалентность 2)=>3)
проверяется непосредственно.
1)=>2). Так как 1 • а е аА и А/аА — правый Л-модуль без #-
кручения, то по 8.15 существуют такие Ьу х\, ..., хПу а\, ..., ап е Ау что
1 = аЬ + Y^=\ x'tai и aia = 0 Для всех /. Тогда a = (ab + Y^=\ xiai)a = a*a-
Поэтому аЬ — идемпотент и аЬА =аА. □
8.20. Для правого модуля X над кольцом А равносильны условия:
1) X — плоский модуль;
2) X —модуль без Н-кручения и ХВ Г)ХС —Х(В П С) для любых
левых идеалов В и С в А;
Плоские модули
153
3) X — модуль без Н-кручения и ХВ ПХС =Х(В П С) для любых
конечно порожденных левых идеалов В и С в А\
4) в X каждый конечно порожденный подмодуль лежит в
некотором плоском подмодуле из X.
о Импликации 2)=>3) и 1)=>4) очевидны.
3)=> 1). Пусть keN и Y — ^-порожденный левый идеал. По 8.16
достаточно доказать, что канонический групповой эпиморфизм /у: X 0 Y —*
-+XY — изоморфизм. Будем вести индукцию по fc. При fc = 1 утверждение
следует из того, что М — модуль без Я-кручения. Пусть Y = В + С — k-
порожденный левый идеал, где B — (k— 1)-порожденный левый идеал
иС- главный левый идеал. Пусть
fB:X®B -+ХВ, fc:X®C ->XCy w:X®A -+ХАУ
hB:X®B -^X®Yy hc:X®C ->X®Yy g:X®Y ->X®A
— канонические групповые гомоморфизмы и пусть
р = ^2Xi ® (*' ~ С|") = X) **' ® *'" ~ 51 *' ® С/ G Кег(/к),
bi е Ву а е С, ? = Х^*/С/ € ХВу S£X®B> У^*/®б/ = hB(s).
Так как 0 = fy(p) = £3*,-(ft; - С/), то ^ = 13 *<с« € ^ п ХС- ^°
условию ХВ ПХС = Х(В П С). Поэтому <7 = X)ui^i для некоторых wy- е X
и djeBnC. Пусть и€*®В и 52uj®dj=hB(v). Тогда
0== fr (51"/®^/""$^^®*') =we(hB{v-s)) = fB(v-s)y
откуда y = s, так как по предположению индукции fB — мономорфизм.
Тогда
5^*i®*i = Ms) = Afl(f) = Ylui®dr
Аналогично, ]Г х\ 0 с,- = £ ы,- 0 d/. Поэтому р = 53 */ 0 &/ - 13 */ ® С/ = О
и / — изоморфизм.
1) =>2). По 8.7 пересечение в X ® д(В + С) канонических образов
модулей X ®АВ и X ®аС совпадает с каноническим образом X ®а(ВПС).
Применяя 8.16, получим требуемое утверждение.
4)=>3). По 8.14 X — модуль без Н-кручения. Пусть В и С —конечно
порожденные левые идеалы и
п т
х = J2yibi = Y^zici tXBnXC, yi,Zj€X, bt £ By Cj e С.
f
154 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
Обозначим через Y подмодуль в Ху порожденный всеми элементами yt
и Zj. Так как Y конечно порожден, то по предположению Y лежит в
некотором плоском подмодуле М в X. Поэтому х е МВПМС. Так как М
плосок и импликация \)=>2) уже доказана, то MB ПМС = М(ВП С) С
СХ(В ПС). Поэтому хеХ(В ПС) и ХВ ПХС = Х(ВП С). D
8.21. Пусть Q — подмодуль плоского правого модуля Р над
кольцом А. Равносильны условия:
1) P/Q — плоский модуль;
2) для любого конечно порожденного левого идеала В в А
естественный групповой эпиморфизм PB/QB —»(P/Q)B —
изоморфизм;
3) для любого левого идеала В в А естественный групповой
эпиморфизм PB/QB —»(P/Q)B — изоморфизм;
4) QnPB = QB для любого конечно порожденного левого
идеала В в А\
5) QnPB = QB для любого левого идеала В в А.
При этих условиях Q — плоский модуль.
> По 8.13 последовательность Q ® В —► Р ® В —► (P/Q) ® М —> О
точна. Так как Р плосок, то по 8.16 канонический эпиморфизм Р®В-»
—»РВ — изоморфизм, отображающий Q®B на QB. Поэтому (P/Q)B =
= PB/QB. По 8.16 P/Q плосок в точности тогда, когда канонический
эпиморфизм (P/Q) ® В —► (P/Q)B — изоморфизм для любого (конечно
порожденного) левого идеала В. Отсюда следует эквивалентность
условий 1), 2) и 3).
Эквивалентность условий 1), 4) и 5) следует из эквивалентности
условий 1), 2), 3) и того, что (P/Q)B = (РВ + Q)/Q £ PB/(Q n PB).
Докажем, что при условии 5) Q плосок. Так как Р плосок, то по 8.20
Р —без //-кручения и РВ П PC = Р(В П С). Отсюда и из 5) следует, что
QBnQC = QnPBDPC = QnP(BnC) = Q(BnC).
Теперь по 8.20 достаточно доказать, что ф — без tf-кручения. Пусть
qa = 0, где q е Q и а € А. Так как Р — модуль без //-кручения, то
существуют такие р\, ..., рп е Р и d\, ..., dn € А, что q = ]Г"=1 p/d,- и d,# = 0
для всех /. Пусть D = Ym=\ Adi. Тогда q e Q П PD и поэтому <7 £ QD
по 5). Тогда существуют такие q\y ..., qn G ф, что q = £?_, <7/d/. Так как
d;a = 0 для всех /, то Q — без //-кручения. □
8.22. Пусть Y — подмодуль свободного правого модуля X над
кольцом А. Равносильны условия:
1) X/Y — плоский модуль;
2) для любого у € К существует такой гомоморфизм h: X —>Y>
что h{y) = y\
Плоские модули
155
3) для любого конечного подмножества {у[у ..., yn}Q У
существует такой гомоморфизм /г: X —> К, что /*(*//) = *// для всех
у\, -.., Уп>
о 1) =Ф 2). Пусть {jc,-},-€/ — базис свободного модуля Хд, {*i, ..., хп) С
С {x/}i€/ и 1/ = Xw=i *|"в|". где а! а„ € Л. Обозначим S = £?=1 Ла,-.
Так как у е Y Г)ХВ и по 8.21 К ПЛБ = YB, то */ = £*=1 у,-ft/ для
некоторых у\У ...,*/*€ У и b\y ...y bk € В. Существует такой гомоморфизм
h\ X -* Ху что h(Xi) = (// для всех / = 1, ..., k и h(xi) = 0 для всех
i е I \ {1 > •. •, *}. Тогда h(X) С К и h(y) = у.
2)=>3). Будем вести индукцию по гг. При л= 1 утверждение следует
из 2). Допустим, что я > 1. Пусть /: X —» У—такой гомоморфизм, что
f(yn) = yn. По предположению индукции существует такой гомоморфизм
<£>: X -» У, что ¥?((// - /((/,-)) = Hi - /(*/;) Для всех / = 1, ..., п - 1. Поэтому
О* - v)(h - /)Ы = 0* - <р)(Уп-Уп) = 0.
Для любого / < п получаем, что
(1* -0(1* " /)(№) = (!*-*)(№ - /(<//)) = 0.
Пусть h = 1* — (1л — ¥0(1* — /) € End (Л). Тогда Л обладает нужными
свойствами.
Импликация 3)=>2) очевидна.
2)=4> 1). Пусть В —конечно порожденный правый идеал в А и у =
= Y11=\ x'ibi €Y Г\ХВУ где xt G А' и bi eB. По условию существует такой
гомоморфизм Л: X —► У, что # = h(y). Тогда г/ = h(y) = Х^=1 h(xt)bi € KB,
откуда Г ПЛБ = YB. По 8.21 */У плосок. П
8.23. Для кольца А равносильны условия:
1) А — регулярное кольцо;
2) все правые А-модули и все левые А-модули плоские;
3) все циклические правые А-модули плоские;
4) (Зля любого аеА циклический правый А-модуль А/аА — без
Н-кручения.
> Импликации 2)=>3) и 3)=>4) очевидны, 4)=> 1) следует из 8.19.
1) =>2). Достаточно доказать, что каждый правый А -модуль X плосок.
По 8.16 достаточно доказать, что для любого конечно порожденного
левого идеала Y канонический групповой эпиморфизм /: X ® дУ —>XY —
изоморфизм. Пусть р = X^=i Х\ ® у( е Кег(/). Тогда Xl/Li «*/# = 0- Так как
А регулярно, то Y =Ае для некоторого е = е2еА. Тогда
п , п v
Р = $3*/®№* = ( 5^JCitf,-)®e = 0®e = 0, Ker(/) = 0. П
156 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
Плоские подмодули и р/-кольца
8.24. Все подмодули модуля X — без И-кручения в точности
тогда, когда все циклические подмодули в X — без Н-кручения. Все
подмодули в X — плоские в точности тогда, когда все конечно
порожденные подмодули в X — плоские. (Первое утверждение следует
из 8.14, а второе —из 8.20.)
8.25. Для кольца А равносильны условия:
1) все подмодули плоских правых А-модулей плоские;
2) все подмодули плоских левых А-модулей плоские;
3) в А все правые идеалы плоские;
4) в А все левые идеалы плоские;
5) в А все конечно порожденные правые идеалы плоские;
6) в А все конечно порожденные левые идеалы плоские;
7) в А для любого конечно порожденного правого идеала X
и каждого конечно порожденного левого идеала Y
естественный групповой гомоморфизм X ® Y —► XY —
изоморфизм.
> Так как 7) лево-право-симметрично, то достаточно доказать
эквивалентность условий 1), 3), 5) и 7). Импликация 1)=>3) следует из того, что
по 8.18 А а —плоский правый модуль. Эквивалентность 3)4=>5) следует
из 8.24, а 5)^7) —из 8.16.
7) => 1). Пусть X — подмодуль плоского модуля Мау f:X-+M —
естественное вложение, Y — конечно порожденный левый идеал в Л. По лево-
право-симметричному аналогу 8.16 ^У плосок. Поэтому /® 1
—мономорфизм. Допустим, что YH=\ xtyi = 0, где jci , ..., хп €X и у\, ..., уп € Y.
Так как М плосок, то по 8.16 естественный групповой эпиморфизм
М 0 Y —► МY — изоморфизм. Поэтому (/ ® 1)Ё/=1 х* ® #) = 0- Так
как / ® 1 — мономорфизм, то £i=i*«# = 0. Поэтому естественный
групповой эпиморфизм X ® Y —► XY — изоморфизм. По 8.16 X — плоский
модуль. □
8.26. Главный правый идеал хА кольца А—плоский А-модуль
в точности тогда, когда для любого у еА с условием ху = 0,
существуют такие а, Ь еА, что а + b = 1, ха = 0 и Ьу = 0.
> Так как хА = Аа/г(х) и Нот^, г(х)) можно отождествить с г(х), то
по 8.22 хА плосок в точности тогда, когда для любого у е г(х) существует
такой элемент а е г(х), что у = ау. Отсюда следует 8.26. □
Кольцо А называется pf-кольцом, если все его главные левые идеалы
являются плоскими.
8.27. Для кольца А равносильны условия:
Плоские подмодули и р/-кольца
157
1) для любых таких ху у € Ау что ху = 0, существуют такие
a, ft еЛ, что а + Ь = 1, ха = 0 и Ьу = 0;
2) в А все главные правые идеалы плоские;
3) в А все главные левые идеалы плоские;
4) все подмодули правых А-модулей без Н-кручения —без Н-
кручения;
5) все подмодули левых А-модулей без И-кручения — без Н-
кручения;
6) в А все главные правые идеалы — без Н-кручения;
7) в А все главные левые идеалы — без Н-кручения.
> Так как условие 1) симметрично, то достаточно доказать
эквивалентность условий 1), 2), 4) и 6). Эквивалентность 1) и 2) следует из 8.26.
1)=ф4). Пусть Мд — модуль без //-кручения, N е Lat(Af) и В —
главный левый идеал в Л. Так как А — /?/-кольцо, то дВ плосок. Поэтому
естественный групповой гомоморфизм /: Л/®В—►Af®/? —
мономорфизм. Так как М — без //-кручения, то по 8.14 естественный групповой
гомоморфизм g: М ® В —► MB — изоморфизм. Пусть h: N ®В —► NB —
естественный групповой эпиморфизм. Так как h = gf, то h — изоморфизм.
По 8.14 N — без //-кручения.
4)=ф6). По 8.20 Ад —модуль без //-кручения.
6) => 1). Пусть ту п е А и тп = 0. Так как тА — без //-кручения, то
существуют такие т\, ..., m^ G тА и Х\, ..., xk € А, что т = X)?=i т«*«
и х/я = 0 для любого /. Пусть
/и/ = /и#, # € Л (/ = 1, ..., fc),
* k
а = 1 - 5^#х,- € Л, ft = ]Г *//*/ е Л.
i=! i = I
Тогда
ftrt = 0, ma = m — mb = m-m J^ *//*/ = m — ^ m,- jc/ =0. П
i=I /=1
В дальнейшем pf-кольцами называются кольца, удовлетворяющие
эквивалентным условиям 8.27.
8.28. Для редуцированного кольца А равносильны условия:
1) А — pf-кольцо;
2) для любых ху у е А с условием АхА П АуА = 0 существуют
такие а, ЬеАу что а + Ь= 1, АхА пЛаЛ = 0 « АЬАпАуА = 0;
3) (Зля любых х, у еА с условием АхА П Л*/Л = 0 существуют
такие а, ft еЛ, что а + ft = 1, ха = 0 и */ft = 0;
158 Плава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
4) хА фуА = (х + у)А для любых таких х, у^А, что АхАпАуА^
= 0;
5) для любых таких ху у еАу что АхА П А у А = 0, 2-порожденный
правый идеал хАфуА — главный;
6) (х + у)А = (х + у)А П хА © (х + у)А П (/Л (Зля любых таких
ху у €Л, что АхАпАуА=0.
> Эквивалентность условий 1), 2) и 3) следует из 8.27 и 6.34(4).
3) => 6). Пусть х, (/ € Л и АхА П Л*/Л = 0. По 3) существуют такие
а, Ь ЕЛ, что
а + 6 = 1, ха = 0, yb = 0,
(х + */)Л = (jc + t/)M + (х + #)аЛ = xbA © t/аЛ.
Поэтому (х + #)Л = (х + #)Л П хА ф (х +#) Л П */Л.
6) => 4). Пусть hx: хЛ ф (/Л —► хА и hx: хА(ВуА-+хА— естественные
проекции. По условию
(х + у)А =hx((x + y)A)®hy((x + y)A).
Поэтому
х = hx(x + y) e (x + y)Ay y = hy(x + y)eV и (х + у)А = хА ®уА.
Импликация 4) =4> 5) очевидна.
5) =>3). По условию существуют такие 5, /, и, v Е Л, что x = (xs +yt)u
i\y = (xs+yt)v. Так как АхА Г) А уА = 0, то x = xsu u0 = xsv=y(\ - tv) =
— yb, где 6=1 — tv. Обозначим а = 1 — b = to E Л. Так как у € r(jts), то
по 6.34(4) utv er(xs) и Jca = xswa = JC5wto = 0. Доказано существование
таких а, 6 Е Л, что а + 6 = 1, ха = 0 и yb = 0. □
8.29. £Ьш Л — редуцированное правое кольцо Безу, то все
подмодули плоских правых или левых А-модулей являются плоскими.
> Так как Л — правое кольцо Безу и по 8.8 все его главные правые
идеалы плоские, то в Л все конечно порожденные правые идеалы плоские
и утверждение следует из 8.25. □
8.30. Унитарное подкольцо А локального кольца Q — pf-кольцо
в точности тогда, когда А — область.
> Если Л — область, то все ее ненулевые главные правые идеалы
свободны и Л — ^/-кольцо. Допустим, что Л — /?/-кольцо, jc, у Е Л и ху = 0.
По 8.27 существуют такие a, b еАу что а + b — 1, ха = 0 и by = 0. Так
как а + b = 1 и а, 6 — элементы локального кольца Q, то хотя бы один
из элементов a, b обратим в (J и поэтому является неделителем нуля
в Л. Если а —неделитель нуля, то х = 0, поскольку ха = 0. Если Ь —
неделитель нуля, то у = 0, поскольку Ьу = 0. О
Плоские подмодули и р/-кольца
159
8.31. Пусть А — кольцо.
1) Пусть а\у а2у b\, Ь2 G Ау а\Ь\ — а2Ь2 и а\А + а2А — плоский А-
модуль. Тогда существуют такие fl} €Л, 1 ^/, / ^2, что
01/ll = 02/21, (1 - f\\)b\ - /l2&2,
а,/12 = а2/22, (1 - /22)^2 = /21^ь
2) В А все 2-порожденные правые (левые) идеалы плоские
в точности тогда, когда для любых таких а\у а2, Ь\, Ь2еАу
что а\Ь\ = а2Ь2у существуют такие /и, f\2y /21, /22 ^Ау что
<*\ = 0l/ll +^2/21, 02 = 0l/l2 + 02/22, f\\b\ = f\2b2 " /21*1 =/22*2-
о 1) Пусть А^ — свободный Л-модуль ранга 2 с базисом {jci , JC2},
// = jci^i + Х2&2, В = а\А + а2А и g: Хд —> fi^ — такой эпиморфизм, что
g(*iCi +JC2C2) = 0iCi -а2С2 для любых с\у с2еА. Обозначим Y = Ker(g).
Так как i/GK иб плосок, то по 8.22 f(y) = у для некоторого
гомоморфизма f:X-+Y. Пусть /,-/ G/4, 1 </, /'^2, причем
f{x\) = *i/ii +^2/21 € У, f(x2) = xlf[2 + x2f22 € К.
Тогда
О = g{f(x\)) = g(f(x2)), 01/11 = 02/21, 01/12 = 02/22,
У = КУ) = f(X\b\+X2b2) =*l(/ll&l + /l2&2)+*2(/2i&l + /22&2),
Ь\ = /ll^l + /12&2, *2 = /21^1 + /22^2,
(1 - /ll)*I = /l2&2, (1 - /22)^2 = /21 &1-
2) Доказательство аналогично доказательству 1) и использует 8.22.
□
8.32. Пусть в кольце А все 2-порожденные правые идеалы плоские.
1) Для любых и, vy до, z G А с условием uv = zw существуют такие
/, g, h G A, что uf = zg и (1 - f)v = йдо.
2) Для любых w, у, до G Л с условием uv = удо существуют такие
/, gy heAy что uf = vg и (\ - f)v = hw.
3) Для любых иу vy z G Л с условием ми = ги существуют такие
/, gy heAy что uf = zg и (1 — f)v = hu.
3) Если Л —локальное кольцо, то Л — область. Кроме того, если В
и С — главные правые идеалы вЛиВпС^О, то либо В С С,
либо ССВ.
4) Если Л — равномерное справа локальное кольцо, то Л — цепная
справа область.
* Пункт 1) следует из 8.31(1). Пункты 2) и 3) следуют из 1).
4) По 8.30 Л—область. Пусть В = иА и С = гЛ. Допустим, что
В g С. Надо доказать, что С С В. По условию uv^zw^O для некоторых
160 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
иу v еА. По 1) существуют такие /, gy he А, что uf = zg и (1 - f)v = hw.
Элемент / не обратим, поскольку в противном случае и € С, В С С
и получаем противоречие. Так как А локально, то 1 - / Е U(A). Тогда
v = (1 — f)~lhw и zw = uv = и(\ — f)~xhw. Так как А —область, то
z = u(\ - f)~xh, откуда С = 2/4 СиА = В.
Пункт 5) следует из 4). □
Плоские модули и проективность
8.33. Пусть А —унитарное подкольцо кольца Q.
1) Если М —конечно порожденный плоский правый А-модуль
и M<g>AQ — проективный правый Q-модуль, то МА
проективен.
2) Если Q — полупростое кольцо, то каждый конечно
порожденный плоский правый или левый А-модуль проективен.
3) Если Q — полупростое кольцо и все конечно порожденные
правые идеалы кольца А плоские, то А полунаследственно
справа и слева.
> 1) Существует точная последовательность
0->Х -+Y ^> М —-0,
где Y — конечно порожденный свободный модуль. Так как М плосок, то
последовательность абелевых групп
0->X®AQ-*Y®AQ-+M®AQ —► 0
точна. Так как (М ® Q)q проективен, то (X ® Q)q изоморфен прямому
слагаемому в (Y ® Q)Q. По 8.21 ХА плосок, поскольку YA и МА плоские.
Пусть {q\ ® 1, ..., qn<& 1} —система образующих для (X® Q)q. По 8.22
существует такой гомоморфизм /: Y -+ХУ что f(qt) = qi для любого /.
Рассмотрим любое q Е X. Тогда q ® 1 = Y!*i=\(4i ® О^ь гДе b-t e Q. Так
как ХА плосок, то Х=Х®А—»X ® Q — мономорфизм. Кроме того, для
элементов из (X ® Q)q верны равенства
f(q)®\ М/®1)(?®1) = £(/®Ш<7/®6«) =
= Y1 л*') ® */ = 51 «i ® */ = ? ® 1-
Тогда f(q) = q для всех q еХ и поэтому X — прямое слагаемое в Y. Тогда
М проективен, поскольку М изоморфен прямому слагаемому
проективного модуля.
Пункт 2) следует из 1) и проективности всех модулей над полупростым
кольцом. Пункт 3) следует из 2) и того, что по 8.25 в А все конечно
порожденные левые идеалы плоские. D
Плоские модули и проективность
161
Если для модуля М существует такой эпиморфизм /: Р-»Af, что
р проективен и модуль Кег(/) мал в Р, то любой такой эпиморфизм
называется проективным накрытием модуля Af, а Р называется в этом
случае проективной оболочкой модуля М. Как следует из приведенного
ниже утверждения 8.34(2), иногда М можно отождествлять с Р/Кег(/).
8.34. Пусть модуль М имеет проективное накрытие /: Р-» Af.
1) Если Q — проективный модуль и существует эпиморфизм
g: Q-+M, то существует такой эпиморфизм h: Q—>Р, что
g = fh, Q = Кег(Л) 0 P_u ограничение h на Р — изоморфизм
прямого слагаемого Р модуля Q на Р; в частности, Р
изоморфен прямому слагаемому в Q.
2) Если f*: Р* —» М — еще одно проективное накрытие
модуля Му то существуют такие изоморфизмы h: Р* —> Р
и h* = Л~!: Р —> Р\ что f* = fh и / = /*А*. В частности,
любые две проективные оболочки модуля М изоморфны.
> 1) Так как Q проективен, то g = fh для некоторого гомоморфизма
h\ Q-+P. Поскольку / — эпиморфизм, то h(Q) + Кег(/) = Р. Так как
Кег(/) мал в Р, то h(Q) = P. Поэтому h — эпиморфизм на проективный
модуль Р и существует прямое разложение Q = Кег(Л) ф Р.
2) По 1) существуют такие эпиморфизмы Л: Р* —>Р и Л*: Р —>Р*У что
/* = /й, / = /*Л*, Р* = Кег(Л)еР, Р = Кег(Л*)еР*.
Поэтому /* = f*h*h и (1 - Л*Л)(Р*) С Кег(/*). Тогда модуль (1 - Л*Л)(Р*)
мал в Р*. Кроме того, Кег(Л) = (1 - А*А)(Кег(А) С (1 - h*h)(P*). Поэтому
Кег(Л) — малое прямое слагаемое в Р*. Тогда Кег(Л) = 0, h — изоморфизм,
Л*Л = 1. Аналогично, Л* — изоморфизм и АЛ* = 1. П
8.35. Пусть М — плоский модуль.
1) £сли Af конечно представим, то М проективен.
2) Если М имеет проективную оболочку Р, то М — Р и поэтому
М проективен.
> 1) Пусть M = F/Qy где Р —конечно порожденный свободный модуль
и Q порождается элементами q\y ..., qn. По 8.22 существует такой
гомоморфизм h: F —► Qy что Л(<7/) = <7/ для всех /. Тогда h(q) = 4 для любого
Q E (?. Поэтому Af изоморфен прямому слагаемому свободного модуля F.
2) Пусть Q — малый подмодуль в Pr P/Q = М и iV-циклический
подмодуль в Q. Достаточно доказать, что N = 0. По 8.22 (1 — f)(N) = 0 для
некоторого гомоморфизма /: Р —► Q. Так как /(Р) мал в Р и Р = /(Р) +
+ (1 — f)(P)j то (1 — f)(P) = P. Так как 1 — f — эпиморфизм на
проективный модуль Р, то Кег(1 — /) — прямое слагаемое в Р. Если х е Кег(1 — /),
то * = f(x) € Q. Тогда Кег(1 - f)QQy откуда Кег(1 - /) мал в Р. Так
162 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
как Кег(1 — /) — прямое слагаемое в Ру то Кег(1 - /) = 0. Поэтому
yVCKer(l-/)=0. D
8.36. Пусть X — свободный правый модуль над кольцом А с
базисом {xi)fl{y В —идеал в А с системой образующих {bi}fl{ и Y —
подмодуль в Ху порожденный элементами {х, — *жМ/^р
1) У — свободный модуль с базисом {xt -xi+\bi}fl{.
2) X/Y - плоский модуль и X/Y = (X/Y)B.
3) Если X/Y проективен, то Abkbk-\ ...bi = Abk-\bk-2---b\ для
некоторого k> 1.
4) Если В С J(A) и bkbk-\... b\ Ф 0 для всех k, то X/Y — плоский
непроективный ненулевой модуль и X/Y — (X/Y)B.
> 1) Допустим, что Х^=1(х/ — Xi+\bi)ai = 0, где а,- € Л для любого /.
Тогда
*ia, +х2(а2 - МО +... + хп(ап - bn-Xan-\)-xn+\bnan = 0,
0 = а, = a<i-b\a\ = ... = a„-b„-\an-\,
0 = а\ = а2 = ... = Ял.
2) Равенство X/Y = (X/Y)B проверяется непосредственно. По 5.52(1)
У —свободный Л-модуль с базисом {*,- — X;+iM£i- Пусть у € К.
Тогда (/ € S?=j(*/ ~X/+i6/)/4 для некоторого п €N. Зададим гомоморфизм
h: X -*Y так, что А (*,•) = *,• — xn+\bnbn-\ ...b\ при / = 1,..., ли /г (jc, ) =0
для / > п. Ясно, что A(jc/ — Jt/+i6;) = X/ — Jt,+i6; при / = 1, ..., п. Поэтому
/г(у) = у и по 8.22 X/Y плосок.
3) Так как по 5.52(1) У —свободный Л-модуль с базисом {х, -
— */+iMSi» то существует такой изоморфизм /: У—>Х, что /(х/ —
- JC|+i&i) = Xi для всех /. Поскольку X/Y проективен, то У —прямое
слагаемое в X. По 5.52(2) Abkbk-\ ...b\ =Abk-\bk-2---b\ для
некоторого k > 1.
4) По 2) X/Y = (X/Y)B плосок. Допустим, что X/Y проективен. По
3) существует такое k > 1, что abkbk-\ •. • b\ — bk-\bk-2 • • • b\ для
некоторого а € Л. Тогда (1 - abk)bk-\bk-2 • • -b\ = 0. Так как 6* еВ С /(Л),
то 1 — abfc € (/(Л), откуда bk-\bk-2... &i = 0 и получаем противоречие.
Поэтому Х/У не проективен. П
8.37. Пусть А — полусовершенное кольцо, J = У(Л), А: Л —»Л// —
естественный эпиморфизм, t —кардинал и М —ненулевой
(-порожденный правый А-модуль.
1) Для любого простого модуля Та существует такой
локальный идемпотент /еЛ, что T^h(fA)^ fA/fJ = /Л//(/Л).
2) Пусть е — примитивный идемпотент в Л, / — локальный
идемпотент и существует эпиморфизм ф: h(eA)A —>А(/Л)^.
7Ъгда еЛ = /Л, откуда е — локальный идемпотент.
Плоские модули и проективность
163
3) Если е и f — локальные идемпотенты в А, то
h(eA)m £ h(fA)h{A) & eA/eJ s fA/fJ & eA <* fA.
4) Каждый примитивный идемпотент eeA локален.
5) Если 1 = Yl?=\ e'i — S/=i // ~ два разложения единицы кольца
А в сумму ортогональных примитивных идемпотентов, то
т = п и существует такая перестановка s на{\, ..., п), что
etA = fsa)A для всех I.
6) Если подмодуль MS (А) мал в М и k — число неразложимых
слагаемых в (любом) разложении полупростого кольца A/J(A)
в прямые суммы минимальных правых идеалов, то
существуют множество локальных идемпотентов {в,-}/€/ кольца А
(возможно, что et = е} при i Ф /"), ненулевой проективный
модуль ?а и эпиморфизм f:P-+M такие, что
Р = 0^-Л, P/PJ(A) ^ M/MJ(A), Ker(/) С PJ(A),
card(/) ^ kt (если t — бесконечный кардинал, то kt = /), и если
модуль М — плоский модуль, то Кег(/) = Кег(/)/(Л).
7) Если М конечно порожден, то существуют конечное
множество идемпотентов {е/}?=1 в А (возможно, что е,- = е}
при i Ф /), конечно порожденный проективный модуль Р =
= 0"=г1(е;Л) и эпиморфизм /: Р-+М такие, что Р
—проективная оболочка для М, P/PJ(A)^M/MJ(A) и Кег(/) С PJ(A).
Кроме того, если М плосок, то М = Р проективен.
8) Если М — ненулевой конечно порожденный проективный
правый А-модуль, то существует такое конечное
множество локальных идемпотентов {в,-}"=1 в А (возможно,
что ei=ej при i ф /), что М = ф"=1(еИ). В частности, М
изоморфен прямой сумме неразложимых прямых слагаемых
свободного циклического модуля А а, причем если А локально,
то М = (Аа)п — свободный А-модуль.
9) Если J (A) — t -нильпотентный справа идеал, то существуют
множество идемпотентов {^}/е/ С Л (возможно, что e-t = ej
при 1ф /), проективный модуль Рд и эпиморфизм f: Р—> М
такие, что Р = 0/€/еИ, P/PJ(A)^M/MJ(A), PJ(A) мал в Р
и Кег(/) С PJ(A). Кроме того, если М плосок, то М = Р и М
проективен.
10) А полунаследственно справа в точности тогда, когда А
полу наследственно слева.
* Для любого подмножества ВС.А через В обозначается множество h(B).
164 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
1) Таккак 77 = 0, то Г — простой правый модуль на^ полупростым
кольцом Л. Тогда Тд_ изоморфен прямому слагаемому в А а. Существует
/ Е Л, для которого / — идемпотент в Л и 7^ = /Л. Так как А
полусовершенно, то можно считать, что / — идемпотент. Тогда
Т й h(fA) a fA/(JnfA) = fA/fJ = fA/J(fA)
и / локален.
2) Пусть h\: eA —» ёА и h<i\ fA-*fA — естественные эпиморфизмы.
Так как еА проективен и ф: ёА —► [А — эпиморфизм, то fi2tp = <ph\ для
некоторого гомоморфизма <р: еА-* fA. Тогда
fA = <p(eA) + Ker(h2) = <p(eA)+J(fA).
Так как J(fA) мал в /Л, то <£(еЛ) = /Л. Поскольку /Л проективен и у? —
эпиморфизм, то Кег(у?) — прямое слагаемое в еА. Так как модуль еА
неразложим, то Кег(у?) = 0, откуда еА = /Л.
Пункт 3) следует из 2).
4) Так как (ёА)А — ненулевой полупростой модуль, то существует
эпиморфизм (ёА)А —* 7^, где Т прост. По 1) для некоторого локального
идемпотента / € Л существует эпиморфизм &Д —» /Л. По 2) е
—локальный идемпотент.
5) По 4) Л-модули А(в|Л) и h(fjA) просты для любых / и /. Так как
АИЬи) = фАМ) = 0А(М),
i=i /=1
то по 4.31 т = гг. По 5.15(1) существует такая перестановка s множества
{1, ..., п), что А(е/Л) = h(fs(i)A) для всех /. По 3) etA = /5(/)Л для всех /.
6) Так как кольцо A/J полупросто, то M/MJ — прямая сумма
изоморфных копий минимальных правых идеалов кольца Л//, каждый
из которых порожден идемпотентом. Поскольку Л полусовершенно,
то M/MJ = ф/6/[(е/Л + У)/У] для некоторого множества локальных
идемпотентов {е;}/6/СЛ. Ясно, что мощность множества / ограничена,
что и требовалось. Так как У — идеал, то etA ПУ = е,У для всех /. Поэтому
M/MJ = ©/6/(£/Л/е,7). Пусть Р = ©/6/М). Тогда Я проективен
и существует изоморфизм g: P/PJ -* M/MJ. Поэтому существует такой
гомоморфизм /: Я —► Af, что Л/У + /(Я) = Af и f~x(MJ) = PJ. По условию
МУ мал в М. Поэтому /(Я) = М и Q = Кег(/) С f~l(MJ) = ЯУ. Если
M^P/Q плосок, то по 8.21 Q = QnPJ = QJ.
7) По 5.26(3) подмодуль УМУ мал в Af. По 6) существуют конечное
множество идемпотентов {£;}"=i в Л, конечно порожденный проективный
модуль Р = ®"=1 (е/Л) и такой эпиморфизм /: Р -> Af, что Я/ЯУ = А//МУ(Л)
Плоские модули и проективность
165
и Ker(/)C/V. По 5.26(3) Pi — малый подмодуль в /\ откуда Кег(/) мал
в Р. Поэтому Р — проективная оболочка для М. Если М плосок, то М = Р
по 8.35(2).
Пункт 8) следует из 7).
9) По 5.53 MJ мал в М. По 6) существуют проективный модуль
РА и эпиморфизм /: Р-+М такие, что P/PJ = M/MJ и Кег(/) С /V.
По 5.53 подмодуль /7 мал в Р. Теперь допустим, что М плосок. По 6)
Кег(/) = Кег(/)/, откуда по 5.53 Кег(/) = 0. Поэтому М = Ру что и
требовалось.
10) Пусть А полунаследственно слева и Af — конечно порожденный
правый идеал в Л. По 8.25 Мд плосок. По 7) Мд проективен. Поэтому
А полунаследственно справа. □
8.38. Теорема Басса, II. Для кольца А равносильны условия:
1) каждый правый А-модуль имеет проективную оболочку;
2) каждый плоский правый А-модуль имеет проективную
оболочку;
3) все плоские правые А-модули проективны;
4) А — кольцо с условием минимальности для главных левых
идеалов;
5) А — полуартиново слева кольцо, не содержащее бесконечного
множества ортогональных идемпотентов;
6) А — совершенное справа кольцо.
> Импликация 5)=>6) доказана в 6.48, а 6) => 1) следует из 5.41
и 8.37(9). Импликация 1)=>2) очевидна, а 2)=>3) следует из 8.35(2).
3) =Ф 4). Допустим, что А \ D Лг Э ... — бесконечная строго
убывающая цепь главных левых идеалов. Тогда существуют такие Ь\, 62, •••»
что An=Abnbn-[...b\ для любого п. По 8.36(2),(3) АЬпЬп-\. ..Ь\ =
= Abn-\bn-2---b\ для некоторого п. Поэтому Ап—Ап-\ и получено
противоречие.
4) => 5). По 4.35 А не содержит бесконечное множество
ортогональных идемпотентов. Докажем, что А полуартиново слева. Пусть
М — ненулевой левый Л-модуль и О^теМ. Достаточно доказать, что
модуль дАт содержит простой подмодуль. Допустим противное. Тогда
в М каждый ненулевой подмодуль содержит ненулевой собственный
подмодуль. Поэтому существует бесконечная строго убывающая цепь
Аа\т D Ай2а\тЭ Аа^а^ахт 2 ••• Тогда Аа\ DAa2a\ DAa^aim Э ...
и получаем противоречие. □
8.39. Предложение. Для кольца А равносильны условия:
1) А — полуартиново слева кольцо с условием минимальности
для левых аннуляторов;
166 Глава 8. Модули без кручения по Хаттори и плоские модули
2) А — кольцо с условиями минимальности для левых аннулято-
ров и для главных левых идеалов;
3) А — совершенное справа кольцо с условием максимальности
для правых аннуляторов;
4) А — полупримарное кольцо с условием максимальности для
правых аннуляторов.
> Можно считать, что А не содержит бесконечное множество
ортогональных идемпотентов. Тогда эквивалентность условий 1), 2), 3) и 4)
следует из 8.38 и 6.26. □
Упражнения
8.40. Теорема Чейза ([168] см. также [112, 20.21]). Подмодуль X
правого Л-модуля М называется Г)-чистыму если МаПХ —Ха для
любого аеА. Если Л —кольцо и существует такой кардинал /, что любое
прямое произведение изоморфных копий модуля Ад — П-чистый
подмодуль прямой суммы правых Л-модулей мощности ^/, то Л —кольцо
с условием минимальности для главных левых идеалов.
8.41. Если Л —кольцо и существует такой кардинал /, что любое
прямое произведение изоморфных копий модуля Ад — П-чистый
подмодуль прямой суммы /-дистрибутивных модулей, то Л — кольцо с условием
минимальности для главных левых идеалов. (Указание. 8.41 вытекает
из 8.40 и 7.56(8).)
8.42. Если Л —кольцо и существует такой кардинал /, что любой
инъективный правый Л-модуль и любое прямое произведение копий
модуля Ад являются прямыми суммами /-дистрибутивных модулей, то
Л артиново справа. (Указание. По 7.57 Л нётерово справа. Так как
над любым факторкольцом кольца Л каждый модуль — прямая сумма
/-дистрибутивных модулей, то по 8.41 Л и Л/У (Л) — кольца с условием
минимальности для главных левых идеалов. По 5.53 J(A) — нильидеал.
По 6.53 Л артиново справа.)
8.43 ([223]). Если Л —кольцо и п GN, то в Л все я-порожденные
правые идеалы плоские «=> , когда в Л все я-порожденные левые
идеалы плоские «=>, когда для любых таких х\у ..., хп, у\у ..., уп е Л,
что Х\у\ + ... + хпуп — 0, существует (п х л)-матрица Af, для которой
(*i, ..., х„)М = (хи ...,х„) и м\ : \ = \
\Уп) \0>
8.44 ([224]). Над локальным кольцом каждый ненулевой
проективный модуль свободен.
Литература. [13,22,24,111,112,211,288,289,291,308].
9
Дистрибутивные модули и кольца
Ясно, что все подфакторы дистрибутивного модуля
дистрибутивны. Кроме того, по 1.2 дистрибутивность М равносильна тому, что
(X + Z) П (Y + Z) = X ПУ + Z для всех Ху К, Z E Lat(Af).
Непосредственно проверяется также, что дистрибутивные полупростые модули
совпадают с прямыми суммами попарно неизоморфных простых модулей.
Дистрибутивные модули
Следующее утверждение 9.1 проверяется непосредственно и
используется в дальнейшем без ссылок.
9.1. Для модуля М равносильны условия:
1) М — дистрибутивный модуль;
2) в М все 2-порожденные подмодули дистрибутивны;
3) в М каждый ^порожденный подмодуль лежит в некотором
дистрибутивном подмодуле;
4) Xn(Y + Z)=Xr\Y + XDZ для всех циклических подмодулей
ХУ YyZ вМ;
5) (Ei€/*') п (Е/€У Yi) = £*■€/./€;№ п У>) йля Любых двУх
множеств {Xi}iei и {Yj}jej подмодулей в М.
9.2. Для правого модуля М над кольцом А равносильны условия:
1) М —дистрибутивный модуль;
2) все подфакторы модуля М дистрибутивны;
3) А содержит такое унитарное подкольцо А' у что
естественный А'-модуль М дистрибутивен;
4) для любых ху у еМ существует а € Ау для которого хаА +
+ #(1 -а)АСхАГ)уА;
5) для любых ху у е М существуют такие а, Ьу су d e Ау что
\=a + byxa = ycu yb=xd;
6) А = (х\уА) + (у'.хА) для всех ху уеМ;
7) для любых ху у еМ существует такой правый идеал В в Ау
что (х + у)А=хВ + уВ.
> Эквивалентности 1)^=^2) и 4)«=> 5)«=> 6) проверяются непосредственно.
168
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
1) => 4). Пусть Т = хА П уА. Так как (х + у)А = (х + у)А П хА +
+ (х +*/)Л ПуАу то существуют такие by d G Л, что
(* + (/)& € хЛ, (x + y)d е уАу х + у = (х + у)Ь + (х + y)d.
Поэтому yb = (x + y)b -xbeTuxd = (x + y)d -yd G 7\ Пусть а = 1 - b
н z = a-d = \ -b -d. Тогда
1 = a + by (x + y)z = (x + y)-(x + y)b-(x + y)d = 0,
xa = xd + X2 = xd + (x + y)z — yz = xd — yz,
yz = -Jt2 G 7\ xa € 7\
• 4)=H). Пусть*, У, ZgM и 2 = Jt + #G(* + K)nZ, где JtG* и #GK.
По условию существуют такие a, 6 G Л, что \=a + by хаеуА и yb exA.
Тогда zb=xb + yb exAnzA,
za = ха + уа G yAnzAy z = zb + zaeXnZ + YnZy
(X + Y)C\Z CXr\Z + YnZ C(X + Y)DZ.
1) => 7). Пусть В = (a: '. (x + #)Л). Тогда (х + #)Л П *Л = л:В. Если 6 g S,
то yb — {x-\-y)b -xb е(х + у)А. Поэтому
В = (У .(х + у)А)у (х + у)АГ)уА = уВу
(х + у)А = (х + у)АГ)хА + (х + у)Аг\уА = хВ + уВ.
7)=Ф 1). Пусть ху у еМ. По условию (х + у)А = хВ + уВу где S —правый
идеал в Л. Из модулярного закона следует, что
хА П (х + у)А =хАп (хВ-\-уВ) = хВу
уА П {х + у)А =уАг\ (хВ+уВ) = уВу
(х + у)А = хАГ)(х + у)А +уАп(х + у)А
и М дистрибутивен.
1)^»3) вытекает из эквивалентности 1)ф>5). П
9.3. Для модуля М равносильны условия:
1) М— дистрибутивный модуль;
2) Ногт^Х, У) = 0 для любого подфактора X ®Y модуля М;
3) М не имеет подфакторову являющихся прямыми суммами
двух изоморфных ненулевых модулей;
4) М не имеет подфакторову являющихся прямыми суммами
двух изоморфных простых модулей;
5) в каждом подфакторе модуля М любое прямое слагаемое
вполне инвариантно;
6) кольцо эндоморфизмов любого подфактора М нормально;
Дистрибутивные модули
169
7) Пот(Х/{Х П У), Y/(X П У)) = 0 для любых подмодулей X uY в М\
8) Hom((* + Y)/Yy (X + Y)/X) = 0 для любых подмодулей X и Y
в М\
9) Нот(М'/У, М'/Х) = 0 для любых таких Ху У, M' € Lat(Af), что
* + У = АГ;
10) для любого подфактора М модуля М и каждого подмодуля
X в М верно, что X + f(X) — существенное расширение X для
любого гомоморфизма /: Х_-*М;
И) для любого подфактора М модуля М_каждый замкнутый
подмодуль в М вполне инвариантен в М.
о Импликации 2)=»3), 3)=»4), 10)=» 11) и 11)=» 5), а также
эквивалентности 2) 4» 5), 5)«»6), 2) 4» 7) и 8) <» 9) проверяются
непосредственно. Эквивалентность 7)«»8) следует из естественных изоморфизмов
X/(XnY)^(X + Y)/Y и Y/{XnY)*{X + Y)/X.
2) =» 10). Пусть Y — подмодуль в X + f(X) и Y ПХ = 0. Тогда У = YП
П (X + /(*)) = Y П X + К П /(X) = К П f(X). Поэтому существует такой
подмодуль X' в Ху что К = /(*') и X' П Y = 0. По 2) Y = 0. Поэтому
X + f(X) — существенное расширение X.
4) =»3). Допустим, что М имеет такой подфактор X 0 У, что ,Y и У —
ненулевые модули и существует изоморфизм f:X—>Y. Ненулевой модуль
X имеет ненулевой циклический подмодуль N. Модуль N имеет простой
фактормодуль N/T. Тогда К имеет простой подфактор f(N)/f(T). Поэтому
М имеет подфактор, изоморфный модулю N/T' ®N/T.
3) =» 1). Допустим, что М не дистрибутивен. Существуют такие
Ху У, ZeLat(Af), что XCY+Z и ^/(^ПУ+^nZ)— ненулевой подмодуль
в (Y + Z)/(X DY + XnZ). Пусть Л: Y + Z -> (У + Z)/(X PiY+XnZ)-
естественный эпиморфизм. Тогда
0 ?= h(X) С h(Y + Z) = h(Y)®h(Z)y
h(X) П h(Y) = 0, Л (X) П /z(Z) = 0.
Пусть /: h(Y) 0 /z(Z) -> Л(У) и g: Л(У) 0 /*(Z) -► A(Z) — естественные
проекции. Так как h(X) П h(Y) = 0 и й(Х) П /z(Z) = 0, то f(h(X)) =* й(Х) =*
— g(h(X))^0. Получено противоречие.
1)=»2). Пусть / е Нот(*, У), х еХ и */ = /(*) e У. По 9.2 существует
такой элемент а е Ау что
хаА+у{\-а)А С хЛп^/Л С*пУ = 0,
ха = (/(1 - а) = 0, у = уа = f(x)a = /(ха) = /(0) = 0.
Поэтому / = 0 и Нот(*, У) = 0. П
Пусть а — элемент кольца А и f(x) — многочлен с коэффициентами из
Центра С(А) кольца А. Если f(a) = 0 и старший коэффициент многочлена
170
Плава 9. Дистрибутивные модули и кольца
f(x) — центральный обратимый элемент в А, то элемент а называется
целым над С(А). Если f(a) = 0 и старший коэффициент для /(^ —
центральный неделитель нуля в Л, то а называется алгебраическим над
С(А). Кольцо А называется целым (алгебраическим) над своим центром,
если все его элементы являются целыми (алгебраическими) над С(А).
9.4. Пусть М — дистрибутивный модуль, f e End(Af) и X е
Е Lat(Af).
1) Если либо X + f~{{X) = M, либо f{M)CX + f(X), то f{M)CX.
2) ЕслиХфМ, то X + f(X) ф Af.
3) Если М = YH=o V W для некоторого neN, то М = Х.
4) Если /л+1(*)С£?=о/'(*) для некоторого neN, то f(X)CX.
В частности, если элемент f кольца End(Af) цел над центром
End(Af), то f{X)CX\ это так, например, если f — идемпо-
тентный или нильпотентный эндоморфизм.
5) 1X11 Кег(/Л) — существенное расширение Кег(/).
6) Если U^li Кег(/Л) — существенный подмодуль в М, то Кег(/) —
существенный подмодуль в М. В частности, если Кег(/") —
существенный подмодуль в М для некоторого п Е N, то
Кег(/) — существенный подмодуль в М.
7) End(Af)/sg(Af) — редуцированное кольцо.
> 1) Допустим, что X + /"* (X) = М. Правилом g(m + /~* (X)) = f(m) + X
корректно задается мономорфизм g: M/f~x(X) —»М/Х. По 9.3 g = 0.
Поэтому f~l(X) = M и f(M)CX.
Допустим, что /(Af) С X + f(X). Пусть m € Af. По условию /(m) = jc +
+ /(*/) для некоторыхх, у еX. Поэтому т-уе /~*(X), т = у + (т-у)€
еХ + f~l(X). Тогда Af = f~l(X) + X и по вышедоказанному /(Af)CA\
2) Допустим, что X + /(X) = Af. Тогда /(Af) С X + /(*). По 1) /(Af) С *.
Тогда Af = ^ + f(X) СХ + f(M) = X. Получено противоречие.
3) При л = 1 утверждение следует из 2). Пусть п > 1 и утверждение
верно для я - 1. Обозначим Y = ^"J fl(X). Тогда Af = К + /(У). По 2)
Af = К. Теперь применяем предположение индукции.
4) Обозначим Af' = £"=0 /'"(X) е Lat(Af). Тогда /(Af') лежит в Af',
/ индуцирует эндоморфизм дистрибутивного модуля Af', причем Af' =
= £?=о /''(*)• Применяя 3) к Af', получаем, что f{X)CX.
5) Пусть X — такой циклический подмодуль в U^li Кег(/Л), что
ХпКег(/) = 0. Допустим, что ХфО. Так как А' цикличен, то для
некоторого п ^ 2 X С Кег(/Й) и X % Ker(fn~l). Поскольку fn~{(X) С Кег(/)
и *НКег(/) = 0, то по 9.3 Hom(*, fn~l(X))=0. Поэтому /Л"1(^) = 0,
XCKer(/"_1) и получаем противоречие.
Пункты 6) и 7) следуют из 5). □
Дистрибутивные модули
171
9.5. Для правого модуля М над кольцом А равносильны условия:
1) М — дистрибутивный модуль;
2) каждый подфактор модуля М квазиинвариантен;
3) любой ^-порожденный подмодуль X в М не имеет фактормо-
дуля, являющегося прямой суммой двух изоморфных простых
модулей;
4) для любого 2-порожденного подмодуля X в М 2-порожден-
ный А/1{Аумодуль X/XJ(A) дистрибутивен; _
5) для любого фактормодуля М модуля М и для любых ху у еМ
с условием хА П уА = О существуют такие a, b e А, что
\=а + Ь и ха = yb — 0;
6) для любого ненулевого е = е2 е А правый еАе-модуль Me
дистрибутивен,
о Импликация 1)=>6) следует из того, что правилом (р(Х) = Хе
определен сюръективный решеточный гомоморфизм <р: Lat(Af,4) —»Lat ((Me)eAe)-
Импликация 6)=Н) следует из того, что можно взять е = 1, а 1)=>4)
проверяется непосредственно.
4)=>3). Пусть 2-порожденный подмодуль X в М имеет фактормодуль
S ® Ту где 5 и Т просты. Так как (S ® T)J(A) = 0, то можно считать, что
S 0 Т — фактормодуль дистрибутивного Л//(Л)-модуля X/XJ(A). Тогда 5
и Г —простые неизоморфные Л//(Л)-модули. Поэтому S и Г —простые
неизоморфные Л-модули и выполнено условие 3). _
3)=>5). Допустим противное. Существуют фактормодуль М модуля М
и такие ху у е М, что хА П у А = 0 и г(х) + г(у) фА. Тогда г(х) + г(у) С В,
где В е тах(Л,4). Поэтому хА и #Л обладают фактормодулями,
изоморфными простому модулю А/В, и М имеет подфактор, изоморфный
А/В®А/В. Получено противоречие.
5) => 1). Пусть jc, у €М и h: M -+ М/(хА Г\уА) — естественный
эпиморфизм. Тогда h(x)A П h(y)A = 0, (х \у) = r(h(x))y (у \х) - r(h(y)). По
условию
А = r(h(x)) + r(h(y)) = (х- .у) + (у .х).
По 9.3 М дистрибутивен.
1)=>2). Так как все подфакторы М дистрибутивны, то достаточно
доказать квазиинвариантность М. Пусть X е max(Af) и / Е End(Af).
По 9.4(2) X + f(X) ф М. Так как подмодуль X максимален в Af, то
f(X)CX.
2) => 1). Пусть X ® Y — такой подфактор М, что X \\Y просты. Тогда X
и К — максимальные подмодули квазиинвариантного по условию модуля
X ® Y. Поэтому X и Y вполне инвариантны в X ® К, откуда X ^ Y. По 9.3
М дистрибутивен. □
172
Плава 9. Дистрибутивные модули и кольца
9.6. Пусть X =@nl=\Xt — подфактор дистрибутивного
модуля М.
1) Если Р — модуль и для всех i = 1, ..., п существуют
эпиморфизмы hi: Р —»Xiy то гомоморфизм h\+. .. + hn: Р^>Х —
эпиморфизм.
2) Если для некоторого кардинального числа N все модули Х\ N-
порождены, то X — ^-порожденный модуль.
> 1) По соображениям индукции можно считать, что п = 2 и X = Х\ фХг-
Обозначим Y = (h\ + h2)(P). Пусть h\ и /*2 — естественные проекции
модуля X на Х\ и Л2 соответственно. Так как К = КпХ = УпЛг1фУгПЛг2>
то У ^>h\(Y)®h2(Y) = L и /*i + Л2 —эпиморфизм.
Пункт 2) следует из 1), если в качестве Р взять свободный модуль
ранга К. □
9.7. Пусть М — дистрибутивный правый модуль над кольцом А.
1) Любой подфактор модуля Af, являющийся конечной прямой
суммой циклических модулей, цикличен. В частности, любой
конечно порожденный полупростой подфактор модуля М
цикличен.
2) Если М = 0/€/Af/, то все Mi вполне инвариантны в М и
поэтому существует естественный кольцевой изоморфизм
End(Af)^ri/€/EndW)-
3) Если все простые подфакторы модуля М изоморфны, то М —
цепной модуль.
4) Если A/J(A) — простое артиново кольцо, то М — цепной
модуль.
5) Если Офх, уеМ и хАПуА = 0, то хА®уА = (х+у)А и г(х+у) =
= г(х)Пг(у)^г(х).
6) Если М не конечномерен, то существует такое множество
{*/}/^i ненулевых элементов xt e Af, что сумма всех
циклических модулей xtA — прямая сумма, циклический модуль
d"=|ljc«M строго содержит циклический модуль С"=1*/)Л
для любого п и г(£?_| *,-) строго содержит /•(£?=/ xt) для
любого п.
7) Если либо М — модуль с условием максимальности для
циклических подмодулей, либо А — кольцо с условием
минимальности для правых аннуляторов элементов модуля Af, то М
конечномерен.
8) Если <р: М -+Аа — гомоморфизм и Ь, Ъ' е р(М), то либо ЬА П
П Ь'А ф 0, либо ЬАЬ' — 0. В частности, если кольцо А первично,
Дистрибутивные модули
173
то каждый его дистрибутивный правый идеал —
равномерный правый А-модуль.
9) Если А —первичное кольцо и neNy то каждый правый
идеал кольца Л, являющийся суммой п дистрибутивных правых
идеалов, — существенное расширение прямой суммы ^ п
равномерных правых идеалов.
о Пункты 1) и 2) следуют из 9.6(2) и 9.3.
3) Так как все простые подфакторы модуля М изоморфны, то по 9.3
дистрибутивный модуль М не имеет подфакторов X 0 К, где X и К —
простые модули. По 4.22 М — цепной модуль.
Пункт 4) следует из 3) и того, что над простым артиновым кольцом
все простые модули изоморфны.
5) По 9.2 ха = у(\ -а) = 0 для некоторого аеА. Поэтому (х + у)а =
= */^0, {х + у)(1 -а) = ху хА®уА = (х + у)Ау ае г{х)\г(х + у).
Если Ь е г(х + у), то xb = -yb ехАПуА = 0 и be r(x) П г(у). Поэтому
г(х + у) = г(х) П г(у) и г(х) строго содержит г(х + у).
6) Так как М не конечномерен, то существует такое множество {Xi)fl{
ненулевых x-t е Af, что сумма всех циклических модулей xtA — прямая
сумма. Поэтому циклический модуль (]l^=i xt)A строго содержит
циклический модуль (52?=\ xi)A Для любого п. По 5) г(53"=1 xi) строго содержит
ГИ21=\ xi) я^я любого п.
Пункт 7) следует из 6).
8) Пусть ЬА П Ь'А = О и аеА. Правилом f(b'x) = bax определен
гомоморфизм /: Ь'А —* ЬА. Так как модуль <р(М) дистрибутивен, то по 9.3
/ = 0 и bab' = 0. Поэтому bAbf = 0.
9) Будем вести индукцию по п. При п = 1 утверждение следует
из 8). Допустим, что утверждение верно для п — 1, В — правый идеал
в А и В = £i=i Biy где все правые идеалы В, дистрибутивны.
Обозначим X = Y1?Z\ Bh Тогда В/Х — дистрибутивный Л-модуль, поскольку
В/Х = Вп/(Вп П X). По предположению индукции X — существенное
расширение правого идеала ©f=1 Xly где k ^ п - 1 и все правые идеалы X,-
равномерны. В Л существует такой правый идеал Xk+\y что X C\Xk+\ = 0
и В — существенное расширение Jf0^+|. Тогда В — существенное
расширение правого идеала 0^/^/. Так как Х^\ПХ = 0у то Л-
модуль Afc+i изоморфен подмодулю дистрибутивного Л-модуля В/Х.
По 8) Xk+\ —равномерный правый идеал. □
9.8. Пусть А — квазиинвариантное справа кольцо.
1) Каждый циклический полупростой правый А-модуль
дистрибутивен.
174
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
2) Если М — правый А-модуль, то М дистрибутивен о
каждый 2-порожденный полупростой фактормодулъ любого 2-
порожденного подмодуля в М цикличен <=> в М каждый
конечно порожденный полупростой подфактор цикличен.
3) Каждый правый А-модуль Безу дистрибутивен.
> 1) По 9.3 достаточно доказать, что если циклический полупростой А-
модуль имеет прямое слагаемое М =Х ф Y, где модули X и Y просты,
то X 'Щ Y. Пусть М = тА, X = хА и Y = уА. Максимальные правые
идеалы г(х) и г(у) являются по условию идеалами. Поэтому г(х) = г(Х)
и r(y) = r(Y). Так как аннуляторы изоморфных модулей совпадают, то
r(X) = r(Y). Поэтому r(m) D г(М) = г(Х) П r(Y) = r(x) и существует
эпиморфизм X = хА —► тА = М = X ф К. Так как модуль X прост, то получено
противоречие.
Пункт 2) следует из 1), 9.5 и 9.7(1), а 3) следует из 2). □
9.9. Если М — правый модуль над кольцом А, то равносильны
условия:
1) М — модуль Безу\
2) для любого 2-порожденного подмодуля X в М
2-порожденный модуль Х/]{Х) цикличен;
3) для любого 2-порожденного подмодуля X в М
2-порожденный А/1{А)-модуль X/XJ(A) цикличен.
> Если X — 2-порожденный подмодуль в М, то по 5.21 и 5.26(3) J(X)
и XJ(A) — малые подмодули в X. Поэтому 9.9 вытекает из того, что
цикличность модуля X следует из цикличности модуля X/J(X) или X/XJ(A).
П
9.10. Пусть X -*- правый модуль над кольцом А.
1) X — нётеров модуль Безу в точности тогда, когда М вполне
цикличен.
2) Если А — однородно полулокальное кольцо, то X
дистрибутивен в точности тогда, когда X — цепной модуль.
3) Если А — локальное кольцо, то X дистрибутивен ф> X —
цепной модуль & X — модуль Безу.
4) Если А — локальное кольцо, то X — нётеров
дистрибутивный модуль в точности тогда, когда X вполне цикличен.
5) Если над факторкольцом A/J(A) дистрибутивные правые
модули совпадают с правыми модулями Безу, то и над кольцом
А дистрибутивные правые модули совпадают с правыми
модулями Безу.
> Пункт 1) проверяется непосредственно; 2) следует из 9.7(3) и того,
что все простые Л-модули изоморфны.
Дистрибутивные модули
175
3) Первая эквивалентность следует из 2). Во второй эквивалентности
достаточно доказать импликацию =>. Так как A/J(A) — тело, то кольцо А
квазиинвариантно справа. По 9.8(3) X дистрибутивен. По 2) X — цепной
модуль.
Пункт 4) следует из 1) и 3); 5) следует из 9.5 и 9.9. □
Модуль М называется нильпотентно инвариантным, если
каждый его нильпотентный эндоморфизм переводит в себя все подмодули
в М. Ясно, что каждый инвариантный модуль нильпотентно инвариантен.
В 9.12(6) мы покажем, что каждый дистрибутивный модуль
нильпотентно инвариантен.
9.11. Теорема. Пусть М — нильпотентно инвариантный
модуль, Т — множество всех его нильпотентных эндоморфизмов,
(J —группа автоморфизмов модуля М и Р — первичный радикал
кольца End(Af).
1) Если f еТ, то Кег(/) — существенный подмодуль в М, f(M) —
малый подмодуль в М и f(M) С Sing(Af).
2) Т — нильподкольцо в идеале sg(Af) П gs(Af) кольца End(Af),
sg(Af) П gs(Af) С J(End(M))y причем нилькольцо Т совпадает
с суммой всех своих нильпотентных идеалов.
3) Первичный радикал Р содержит все правые нильидеалы и все
левые нильидеалы кольца End(Af).
4) UT = TU — идеал предкольца /(End(Af)).
5) Р — наибольший правый нильидеал и наибольший левый ни-
льидеал в End(Af).
6) Если нилькольцо Т t-нильпотентно справа или слева, то
Т — Р и в частности, End(M)/P — редуцированное кольцо.
7) Если нилькольцо Т t-нильпотентно справа и Реп6(М) — цепной
модуль, то Т = Р — нильпотентный идеал в End(Af).
8) Если М несингулярен, то End(Af) — редуцированное кольцо
(причем если кольцо End(A4) первично, то End(Af) — область).
> Пусть W — подмодуль в М. Обозначим R = End(Af). Нам потребуются
три приведенных ниже утверждения.
Если /,, ..., fn, gu ..., gn е Т и (/, /2... fn){W) = 0, то ( .
Если f, g еТ и Г(Щ = gn(W) = 0, то (/ + g)m+n(W) = 0. (**)
Если f еТ и fn(W) = 0, то (fTx)n(W) = 0, где Г, - подкольцо , .
в R, порожденное множеством {1}и Т. * '
Утверждение (*) следует из того, что нильпотентные эндоморфизмы
//> gj нильпотентно инвариантного модуля М переводят каждый
подмодуль в М в себя. Утверждения (**) и (* * *) следуют из (*).
176 Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
1) Пусть п € N, U = Кег(/Л) и К—такой подмодуль в Ker(/rt+1),
что (/nV = 0. Так как /rt+1(V) = 0, то /(!/) С U. Так как Af
нильпотентно инвариантен, то f(V) С V П (/ = 0. Поэтому К С Кег(/) С U.
Тогда 1/ = 1/ п (/ = 0. Поэтому Ker(/rt+1) —существенное
расширение Кег(/Л) для любого п е N. Так как эндоморфизм / нильпотентен,
то получаем, что Af — существенное расширение Кег(/). По 6.21(6)
/(Af) С Sing(Af). Докажем, что /(Af) — малый подмодуль в Af. Допустим
противное. Тогда Af = X + /(Af) для некоторого собственного подмодуля
X в Af. Пусть Л: Af —> Af/(X П /(Af)) — естественный эпиморфизм. Так
как МфХ и М=Х + /(Af), то h(f(M))ф0. Поскольку / нильпотентен, то
М ф /(Af). Поэтому h(X) Ф 0. Так как / нильпотентен и h(f(M)) ф 0,
то существует такое k € N, что h(fk(M)) ф 0 и /z(/*+I(Af)) = 0. По
условию /(X) СХ П /(Af). Поэтому h(f(X)) = 0. Так как Af нильпотентно
инвариантен, то h(X П /(Af)) СХ П /(Л1). Поэтому из h(f(X)) = 0 следует,
что й(/*(*)) = 0. Тогда 0 ^ h(fk(M)) = А(/*(* + /(Af))) С h(fk(X)) +
+ A(/*+,(Af)) = 0. Получено противоречие.
2) По (*) и (**) Т — нильподкольцо в End(Af). По 1) Т С sg(Af) П
ngs(Af). По 6.21(3) sg(Af)Hgs(Af)C/(End(Af)). По (*) и (* * *)
нилькольцо Т совпадает с суммой всех своих нильпотентных идеалов.
3) Пусть /? = End(Af) и D —идеал в /?, порожденный произвольным
правым нильидеалом Е. Так как (ху)п+х =х(ух)пуу то D — нильидеал в R.
По (**) 0 = ]Г\6/7/, где {7/},-€/ — некоторое множество нильпотентных
идеалов нилькольца D. Пусть D, — идеал в /?, порожденный идеалом 7/.
По 6.55 D,- — нильпотентный идеал. Поэтому Д С Р. Так как D = £/€/ 7}
и D — идеал в /?, то D = £-€/ D, С Р. Поэтому Е CD СР. Аналогично,
Р содержит все левые нильидеалы.
4) Пусть aeU, t €Т и X — циклический подмодуль в Af. Тогда
tn(a~l(X)) = 0 для некоторого rzeN. Поэтому
{ata~l)n(X) = (а/яа_|)(Х) = 0, а/сГ1 e Т.
Аналогично, а~ЧаеТ, откуда UT = TU. По 9.11(2) TCJ(R). Поэтому
UTCJ(R). Если aeUJeTn ft €/(/?), то
1+ft € tf, 6a/ = (l+ft)a/-a/ е 67\
/aft = /a(l+ft)-/a G TU = UT.
5) Так как по 6.11 P — нильидеал, то 5) следует из 9.11(3).
6) Пусть нилькольцо Т /-нильпотентно слева, aeUy / еТ и /,-s
= a' fa~l для /=1,2... Тогда (/i ... /rt)(Af) = 0 для некоторого л.
Поэтому (a/)"(Af) = (/,... fnOLn)(M) = 0 и Г = 67\ По 4) Т - идеал в /(/?). Так
как по 9.11(2) нилькольцо Г —сумма своих нильпотентных идеалов, то
Дистрибутивные модули
177
по 6.55 7* = Р. Если нилькольцо Т /-нильпотентно справа, то равенство
Т = Р доказывается аналогично.
7) По 6) Т = Р. Можно считать, что Р ф 0. Так как ненулевой идеал
Р /-нильпотентен справа, то по 5.53 РфР2. Пусть хеР\Р2. Так как
PR — цепной модуль, то Р2 С xR. Поскольку х Е Р, то xR — нильпотент-
ный правый идеал. Поэтому Р2 — нильпотентный идеал. Тогда идеал Р
нильпотентен.
8) По 9.11(1) End(Af) — редуцированное кольцо. Если End(Af) —
редуцированное первичное кольцо, то по 6.36(5) End(Af) — область. □
9.12. Пусть М — дистрибутивный правый модуль над кольцом А.
1) М — модуль Везу & для любого 2-порожденного подмодуля
X в М 2-порожденный модуль X/J(X) — прямая сумма
циклических модулей & для любого 2-порожденного подмодуля X
в М 2-порожденный А/1(А)-модуль X/XJ(A) — прямая сумма
циклических модулей.
2) Если каждый дистрибутивный 2-порожденный правый
А/}{А)-модуль — прямая сумма циклических модулей, то М —
мод.уль Везу.
3) Если М — артинов модуль, то М — модуль Везу.
4) Если кольцо А полулокально, то М — вполне конечномерный
модуль Везу.
5) Если кольцо А полулокально, то М — нётеров модуль & М —
полунётеров модуль <=> М вполне цикличен.
6) Каждый локально нильпотентный эндоморфизм f e End(Af)
имеет существенное в М ядро и переводит в себя все
подмодули в М. В частности, М — нильпотентно инвариантный
модуль и по 9.11(3) первичный радикал кольца End(Af)
содержит все правые нильидеалы и все левые нильидеалы кольца
End(Af).
7) Если М несингулярен, то М не имеет ненулевых локально
нильпотентных эндоморфизмов.
8) Равномерность М равносильна тому, что любые два его
ненулевых вполне инвариантных подмодуля имеют
ненулевое пересечение.
9) Если М не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых
вполне инвариантных подмодулей, то End(Af)/sg(Af) —
кольцо с условиями максимальности и минимальности для правых
аннуляторов и для левых аннуляторов, причем М
конечномерен и содержит такой циклический существенный
подмодуль X, что X = Х\ 0...0Х„, где все X-t —равномерные
циклические модули.
178
Плава 9. Дистрибутивные модули и кольца
10) Если каждый подпрямо неразложимый фактормодуль модуля
М полунётеров, то М — инвариантный модуль.
11) Если М — локально нётеров модуль, то идеал sg(Af) кольца
End(Af) совпадает со множеством Т всех локально нильпо-
тентных эндоморфизмов модуля Af, T C/(End(Af)) и каждый
эндоморфизм f e sg(M) отображает каждый подмодуль
модуля М в себя.
> Пункт 1) следует из 9.9 и 9.7(1); 2) следует из 1).
3) Пусть X — 2-порожденный подмодуль в М. Так как артинов
полупримитивный модуль X/J(X) — конечная прямая сумма простых модулей,
то утверждение следует из 1).
Пункты 4) и 5) следуют из 3), 5.47 и того, что модуль М вполне
цикличен в точности тогда, когда М — нётеров модуль Безу.
6) По 9.4(6) / имеет существенное ядро. Теперь достаточно показать,
что / переводит в себя любой циклический подмодуль X в Af. Так как
fn(X) = 0 для некоторого пу то применяем 9.4(4).
7) По 9.4(6) каждый локально нильпотентный эндоморфизм / модуля
М имеет существенное ядро. По 6.22(1) / = 0.
8) Так как по 9.3 в дистрибутивном модуле все замкнутые подмодули
вполне инвариантны, то утверждение следует из 5.1.
9) Так как по 9.3 в дистрибутивном модуле все замкнутые
подмодули вполне инвариантны, то по 5.1 М конечномерен. Поэтому М
содержит такой существенный подмодуль Ху что X =Х\ 0... ®ХПу где все
Xi — равномерные циклические модули. По 9.7(1) X цикличен. По 9.4(7)
End(Af)/sg(M) — редуцированное кольцо. По 7.49(3) End(Af)/sg(A4) —
кольцо с условиями максимальности и минимальности для правых анну-
ляторов и для левых аннуляторов.
10) По 3.14 каждый модуль — подпрямое произведение подпрямо
неразложимых модулей. Кроме того, любое пересечение вполне
инвариантных подмодулей в М вполне инвариантно в М. Поэтому достаточно
доказать, что для каждого подпрямо неразложимого фактормодуля М/Х
модуль X вполне инвариантен в М. Пусть Y — пересечение всех вполне
инвариантных подмодулей в М, содержащих X. Достаточно доказать, что
Y/X = 0. Допустим, что Y/X ф0. Так как М/Х — полунётеров модуль, то
ненулевой модуль Y/X имеет максимальный подмодуль Z/X. Тогда Z —
максимальный подмодуль в У и Z 2 X. По 9.5 максимальный подмодуль Z
дистрибутивного модуля Y вполне инвариантен в Y. Кроме того, Y вполне
инвариантен в М. Поэтому Z вполне инвариантен в М и X CZ CY. Это
противоречит выбору Y.
11) По 6.21(4) sg(Af)C rn/(End(iW)). По 6) Т С sg(Af) и каждый
эндоморфизм / € Т переводит в себя все подмодули модуля М. □
Дистрибутивные кольца
179
Дистрибутивные кольца
9.13. Теорема. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо, Р, U
и Т — первичный радикал, группа обратимых элементов и
множество всех нильпотентных элементов кольца А.
\) А —квазиинвариантное справа нормальное кольцо,
каждый его максимальный правый идеал М —вполне первичный
идеал, А/М — тело, и все нильпотентные элементы кольца
А лежат в идеале J(A) П Sing^^), причем факторкольца
A/J(A), A/S\ng(AA) и A/(J(A) Г) S\ng(AA)) —редуцированные
pf-кольца.
2) Для любых аеА и neN правый идеал г(ап) — существенное
расширение правого идеала г(а).
3) Р и Т — нильподкольца идеала Sing^) П J(A) кольца А,
UT = TU — идеал предкольца J(A), P — наибольший правый
нильидеал и наибольший левый нильидеал в А.
4) Если нилькольцо Т t-нильпотентно справа или слева, то
Т = Р (в частности, А/Р — редуцированное кольцо).
5) Если нилькольцо Т t-нильпотентно справа и РА — цепной
модуль, то Т = Р — нильпотентный идеал в А.
6) Если А — неразложимое кольцо, то А/Р — неразложимое
кольцо.
> 1) По 9.3 и 9.5 А — квазиинвариантное справа нормальное кольцо.
Так как А квазиинвариантно справа, то каждый его максимальный
правый идеал М — вполне первичный идеал, А/М — тело и A/J(A) —
подпрямое произведение тел. Поэтому A/J(A) — редуцированное кольцо.
Кроме того, по 9.4(6) A/ S\ng(AA) — редуцированное кольцо. Тогда
A/(J(A) П Sing(y4/4)) — редуцированное кольцо, и поэтому все
нильпотентные элементы кольца А лежат в J(A) П Sing^). Так как по 8.28 все
дистрибутивные справа редуцированные кольца являются ^/-кольцами,
то A/J(A), A/S\ng(AA) и A/(J(A)nS\ng(AA)) — /?/-кольца.
Пункт 2) следует из 9.4(5). Пункты 3), 4) и 5) следуют из 9.11.
6) Так как А неразложимо и по 1) все его идемпотенты центральны,
то А не имеет нетривиальных идемпотентов. Поскольку Р — нильидеал,
то все идемпотенты из А/Р поднимаются до идемпотентов кольца А без
нетривиальных идемпотентов. Поэтому А/Р неразложимо. □
9.14. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо.
1) Правая равномерность кольца А равносильна тому, что
любые два его ненулевых идеала имеют ненулевое пересечение.
В частности, если А равномерно слева или первично
(например, область), то А равномерно справа.
180
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
2) Правая конечномерность кольца А равносильна тому, что А
не содержат бесконечных прямых сумм ненулевых идеалов.
В этом случае А содержит такой существенный главный
правый идеал X, что X = Х\ 0... ®ХП1 где все X-t —
равномерные главные правые идеалы.
3) Если каждый подпрямо неразложимый циклический правый
А-модуль полунётеров (это так, например, если А полунё-
терово справа), то А инвариантно справа.
4) Если А полулокально, то А — вполне конечномерное справа
правое кольцо Везу и все циклические правые А-модули вполне
конечномерны.
5) Если А — полунётерово справа полулокальное кольцо, то А —
инвариантное справа кольцо главных правых идеалов.
6) Если А полупримитивно или несингулярно справа, то А —
редуцированное pf-кольцо.
7) Если А несингулярно справа и не содержит бесконечных
прямых сумм ненулевых идеалов, то А — конечное прямое
произведение дистрибутивных справа равномерных справа
областей.
8) Если элемент аеА цел над центром С(А) кольца А, то аВ С В
для любого правого идеала В в А. В частности, если А цело
над С(А), то А инвариантно справа.
9) Если А — либо кольцо с условием максимальности для главных
правых идеалов, либо кольцо с условием максимальности для
левых аннуляторов, то А конечномерно справа.
10) Если либо А не содержит бесконечные прямые суммы
ненулевых идеалов, либо А — кольцо с условием
максимальности для левых аннуляторов, то А конечномерно справа
и A/S\ng{Aа) —конечное прямое произведение
дистрибутивных справа равномерных справа областей.
11) Если А —кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов, то его первичный радикал Р нильпотентен
и совпадает как с Sing^), так и с множеством Т всех
нильпотентных элементов кольца А.
> Пункты 1), 2), 3) и 4) следуют соответственно из 9.12(8), 9.12(9),
9.12(9) и 9.12(4). Пункт 5) следует из 3) и 9.12(5). Пункт 6) следует
из 9.13(1).
7) По 2) кольцо А содержит такой существенный главный правый
идеал хА, что хА = Х\ 0 ... 0 Хп, где все Xt — равномерные главные
правые идеалы. Поскольку А несингулярно справа, то £(х) = 0. Так
как по 6) А редуцировано, то по 6.34(4) г(х) = £(х) = 0. Поэтому
Дистрибутивные кольца
181
дА=хА = Х\ ф ... ф Хп. Тогда А — прямая сумма равномерных правых
идеалов. Так как по 9.13(1) все идемпотенты кольца А центральны, то
А — конечное прямое произведение дистрибутивных справа равномерных
справа несингулярных справа колец. Непосредственно проверяется, что
каждое равномерное справа несингулярное справа кольцо — область.
Пункты 8) и 9) следуют из 9.4(4) и 9.7(7).
10) По 9) А конечномерно справа. По 9.12(9) A/ S\ng(Aa) —
дистрибутивное справа редуцированное кольцо. По 7) A/Sing(>4л) — конечное
прямое произведение дистрибутивных справа равномерных справа
областей.
11) По 9.13(1) Т С Smg(AA). По 6.25(2) идеал Sing(y4„) нильпотентен.
Поэтому S'mg(AA)СРСТ. □
9.15. Пусть А — кольцо.
1) Если А — правое кольцо Безу, то его правая
дистрибутивность равносильна тому, что А квазиинвариантно справа.
2) Если А — квазиинвариантное слева правое кольцо Везу,
то А — дистрибутивное справа квазиинвариантное справа
кольцо.
3) Если А — кольцо Везу, то А дистрибутивно справа & А
дистрибутивно слева & А квазиинвариантно справа & А
квазиинвариантно слева.
4) А — дистрибутивное справа полулокальное кольцо в
точности тогда, когда А — правое кольцо Везу и A/J(A) — конечное
прямое произведение тел.
> Пункт 1) следует из 9.5 и 9.8(3).
2) В силу 1) достаточно доказать, что любой максимальный
правый идеал М квазиинвариантного слева правого кольца Безу А —
идеал. Допустим противное. Тогда А =АМ и 1 = Y^=\ a\mi, гДе ai £ А
и т\ € М. Так как Л —правое кольцо Безу, то существуют такие
Ь[у ..., ЬПу С\, ..., сп G Л, что £)?=! mtCi = m^M и m/ = mbi для всех
/. Так как m e Af, то тАфА. По 6.37 АтфА. Поэтому т лежит
в некотором максимальном левом идеале В. По условию В — идеал.
Поэтому 1 =]££=! a\mbi eB\ получено противоречие.
Пункт 3) следует из 1) и 2).
4) Импликация => следует из 9.14(4) и того, что дистрибутивные
справа полупростые кольца — конечные прямые произведения тел.
Импликация <= следует из 9.8(3). □
9.16. Пусть X — дистрибутивный правый модуль над кольцом А
и Nr(X) — множество всех элементов в Л, аннулирующих ненулевые
элементы из X.
182
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
1) Если 1 — а £ Nr(X) для всех а е Nr(X)y то X равномерен.
2) Если Nr(X) — подполугруппа аддитивной группы кольца Ау то
X равномерен.
3) Если Nr(X)CJ(A), то X равномерен.
4) Для каждого равномерного правого А-моду ля М и любых
гомоморфизмов /, g: X —> Af подмодули Кег(/) и Ker(g) в X
сравнимы по включению.
5) Если А равномерно справа, то равномерность X равносильна
тому, что для любых ху у е X правые аннуляторы г(х) и г(у)
сравнимы по включению.
> 1) Пусть ху у € Ху х ф 0 и хА П у А = 0. По 9.5 существует такой
элемент а € А, что ха = 0 и у(\ - а) = 0. Тогда а е Nr(X). По условию
1 - а ф Nr(X). Тогда у = 0, поскольку (/(1 - а) = 0. Поэтому Л' равномерен.
2) Пусть aeNr(X). По 1) достаточно доказать, что 1 - а £ Nr(X).
Допустим противное. Так как Nr(X) — подполугруппа аддитивной группы
Л, то 1 = а + (1 — а) е Nr(X). Поэтому х • 1 = 0 для некоторого ненулевого
хеХ. Получено противоречие.
3) Пусть aeNr(X)C J(A). Тогда 1 - а е U(A). Поэтому 1 - a i Nr(X).
По 1) X равномерен.
4) Допустим, что существуют ненулевые и е Ker(g) \ Кег(/) и v €
€Ker(/)\Ker(g). Ненулевые подмодули f(uA) и g(vA) равномерного
модуля М имеют ненулевое пересечение. Поэтому существует 0 ф t € f(uA) П
П g(vA). Существуют такие х € иА С Ker(g) и у € vA С Кег(/), что
t = /(jc) = g(#) ф 0. По 9.2 существует такой элемент а е Ау что элементы
ха и i/(l — а) лежат в модуле хА П у А С Кег(/) П Ker(g). Поэтому
/а = /(ха) = 0и/(1 -a) = g(jc(l -а)) = 0.Таккак0^/ = /а + /(1 -а) = 0,
то получаем противоречие. □
9.17. Пусть X — дистрибутивный правый модуль над
равномерным справа кольцом А и NГ(Х) — множество всех элементов в Ау
являющихся правыми аннуляторами ненулевых элементов X.
Равносильны условия:
1) X — равномерный модуль;
2) для любых ху у € X правые аннуляторы г(х) и г(у) сравнимы
по включению;
3) Nr(X) — подполугруппа аддитивной группы А\
4) Nr(X) — вполне первичный правый идеал в А.
> Импликация 4)=>3) очевидна. Импликация 3) => 1) следует из 9.16(2).
1)=>2). Пусть ху у € X. Существуют такие гомоморфизмы /, g: A a -»
-+Х, что f(\)=x и g(l) = (/. По 9.16(4) можно считать, что Кег(/) С
С Ker(g). Так как Кег(/) = г(х) и Ker(g) = г(у)у то г(х) С г(#).
Дистрибутивные кольца
183
2) =>3). Пусть Ь, с е Nr(X). Существуют такие ненулевые х, у е X,
что b е г(х) и с € г(у). По 2) правые идеалы г(х) и г(*/) сравнимы по
включению. Без ограничения общности можно считать, что г(х) С г(у).
Тогда b + ce r(x) + г(#) = г(у). Поэтому 6 + с е Nr(X).
3)=>4). Пусть beNr(X). Тогда хб = 0 для некоторого ненулевого
х е X. Так как ЬА С г(х) и Nr(X) — подполугруппа аддитивной группы А,
то /Vr(X) — правый идеал в А.
Допустим, что b — cd для некоторых с, d еА и с fiNr(X). Тогда хсФО
и (xc)rf = jc6 = 0. Поэтому rf € Nr(X) и A/V(A) — вполне первичный правый
идеал. □
9.18. Пусть X — дистрибутивный правый модуль над
равномерным справа кольцом А. Если Nr(X) С J (А), то X равномерен и Nr(X) —
вполне первичный идеал в А.
> По 9.16(3) X равномерен. По 9.17 Nr(X) — вполне первичный правый
идеал. По 6.16 Nr(X) — идеал в А. □
9.19. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо.
1) Если X и У — вполне первичные правые идеалы в А, то либо
X + Y = А, либо X и Y сравнимы по включению.
2) Если В — вполне первичный левый идеал в А, то для любых
х еА и у еА\В существуют такие х' еА и yf еА\В, что
ху' = ух'.
3) Если М-либо максимальный левый идеал, либо
максимальный правый идеал, либо вполне первичный идеал в А и £ —
множество всех вполне первичных идеалов в А, лежащих в М,
то £ — непустое линейно упорядоченное множество и £
содержит ровно один минимальный элемент.
4) Если X — вполне первичный правый идеал в А и X CJ(A), то
X — идеал в А, X = уХ суА и £(у)С£(Х) для каждого уеА\Х
(в частности, X сравним по включению с любым правым
идеалом кольца А) и для любых х еА и t еА\Х существуют
такие х'еА и VеА\Х, что xV — tx'.
5) Правая равномерность кольца А равносильна тому, что
множество Nr всех его правых делителей нуля —
подполугруппа аддитивной группы А. В этих условиях Nr — вполне
первичный правый идеал в А, множество всех левых
делителей нуля Ne в А —вполне первичный идеал, Ni = Sing^)
и либо Nr + Ne = A, либо правый идеал Nr и идеал Ne сравнимы
по включению.
> 1) Допустим, что существуют х еX \ У и у еУ \Х. По 9.2
существует а еА, для которого ха е уА С У и у(\ - а) е хА С X. Так как
184
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
правые идеалы X и Y вполне первичны, то aeY и 1 — а€Х. Поэтому
A = (\-a)A + aACX + YCA.
2) По 9.2 существуют такие а, с, d е А, что ха = ус и у(\ — a) = xd.
Если а Е А \ Ву то можно положить у' = а и х' = с. Поэтому можно
считать, что а е В. Тогда 1 - аеА\В и xd = у(\ -а) € Л \ В. Так как
В— левый идеал, то d G Л \В. В этом случае можно положить у' = d
и х' = 1 - а.
3) По 1) либо £ пусто, либо £ непусто и линейно упорядочено. В
последнем случае £ содержит ровно один минимальный элемент, поскольку
пересечение убывающей цепи вполне первичных идеалов — вполне
первичный идеал. По 9.13(1) достаточно доказать, что £ непусто, если М —
максимальный левый идеал. Пусть h: A -»Л//(Л) — естественный
эпиморфизм. По 9.13(1) кольцо h(A) редуцировано. По 6.36(4) h(M)
содержит вполне первичный идеал h(B) в Л(Л), где В — идеал в Л, содержащий
J(A). Поэтому Ве£.
4) По 9.16 X — идеал в А. Пусть х еХ и у е А \Х. По 9.2 существует
а е Л, для которого ха€уА и у(\ — а) ехА С X. Так как X — вполне
первичный правый идеал и у еА\Ху то 1 -аеХ С /(Л). Поэтому а € U(A)
и jc = jcaa_1 €*/Л. Тогда x = yb для некоторого 6 еЛ. Так как А' — вполне
первичный идеал и у еА\Хуто b еХ. Поэтому x = ybeyX иХ СуХ СХ.
Так как X СуАу то ^(*/) С £(Х). По 2) для любого / € Л \ X существуют
такие х'еА и t'eA\Xy что xV = tx'.
5) Первое утверждение следует из 9.3 и 9.16(2). Пусть Л
равномерно справа. По 9.17 Л/г —вполне первичный правый идеал. По 6.23(2)
Nt = S\ng(AA) и Ni — вполне первичный идеал. По 1) либо Nr + Ne=Ay
либо правый идеал Nr и идеал Ne сравнимы по включению. □
9.20. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо, Nr —
множество всех правых делителей нуля в Л, Nt — множество всех левых
делителей нуля вАу N = NrU Ne. Если для каждого правого делителя
нуля аеА элемент 1 - а — неделитель нуля в А (это таку например,
если Nr С J(A)), то Л — равномерное справа кольцо, Nr+Ne^Ay Nr
и N — вполне первичные правые идеалы в Ау Ne — вполне первичный
идеал в Л, правый идеал Nr и идеал Ne сравнимы по включению
и либо N = NrDNe, либо N — идеал в А и N = Ne^>Nr.
> Если а е Nry то 1 - а £ Ne по условию. Поэтому Nr + Ne^A. Пусть
0 ф х е А, у е А и хА П у А = 0. По 9.2 существует такой элемент а е А, что
ха = 0 и у( 1 - а) = 0. Тогда а е Nr и по условию 1 - а — неделитель нуля.
Так как у(\ - а) = 0, то у = 0. Поэтому Л равномерно справа. Оставшиеся
утверждения следуют из 9.19(5). □
9.21. Пусть X — вполне первичный правый идеал
дистрибутивного справа кольца Л, XCJ(A) и Хг—множество всех элементов
Дистрибутивные кольца 185
кольца А, являющихся правыми аннуляторами ненулевых
элементов из X. Если £(Х) = 0, то Хг С X С J (А) и все элементы из А\Х
не являются правыми делителями нуля в А. Если А первично, то
Хг СХ С J(A) и все элементы из А\Х не являются правыми
делителями нуля в А.
о Первое утверждение следует из того, что по 9.19(4)
£(t) С £(Х) = О для любого t £Х.
Докажем второе утверждение. Так как А первично, то либо £(Х) = 0, либо
X = 0. Если £(Х) = 0, то утверждение следует из (а). Если X = 0, то А —
область и утверждение очевидно. □
9.22. Пусть М — дистрибутивный правый модуль над
кольцом А.
1) Если А совершенно справа, то М —вполне циклический и,
в частности, нётеров модуль.
2) Если А совершенно слева, то М — артинов модуль.
3) Если А совершенно (например, полупримарно), то М — вполне
циклический модуль конечной длины.
> Так как во всех трех случаях кольцо А полулокально, то по 9.12(4)
М — вполне конечномерный модуль Безу.
1) Так как по 6.48 А — правое max-кольцо, то М — полунётеров
модуль. По 5.47 вполне конечномерный полунётеров модуль М нётеров. Так
как М — нётеров модуль Безу, то М вполне цикличен.
2) Так как по 6.48 кольцо А полуартиново справа, то по 5.48(2)
М — полуартинов модуль. Вполне конечномерный полуартинов модуль М
по 5.48(3) артинов.
Пункт 3) следует из 1), 2) и 4.9. □
9.23. Дистрибутивные справа полусовершенные кольца
совпадают с конечными прямыми произведениями цепных справа колец.
> Так как по 9.10(3) цепные справа кольца совпадают с
дистрибутивными справа локальными кольцами и по 9.13(1) все дистрибутивные справа
кольца нормальны, то утверждение следует из 5.42. □
9.24. Для кольца А равносильны условия:
1) А — дистрибутивное справа совершенное слева кольцо;
2) А — дистрибутивное справа совершенное справа кольцо;
3) А — дистрибутивное справа полупримарное кольцо;
4) А — конечное прямое произведение цепных справа артино-
вых справа колец.
* Импликация 4)=>3) следует из 9.23 и 5.38. Импликации 3)=>1)
и 3) => 2) очевидны.
186
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
2)=>3). По 9.22(1) Л —кольцо главных правых идеалов. Поэтому
J(A) = xA эАх для некоторого нильпотентного элемента х. Пусть хп = 0.
Тогда (J(A))n =0 и полулокальное кольцо А полупримарно.
1)=>4). По 9.23 можно без ограничения общности считать, что Л —
цепное справа совершенное справа или слева кольцо. Если цепное справа
кольцо А совершенно слева, то по 9.22(2) А — артиново справа кольцо.
D
9.25. Пусть А — дистрибутивное справа неразложимое кольцо,
не являющееся равномерной справа областью, и либо А не
содержит бесконечные прямые суммы ненулевых идеалов, либо А —
кольцо с условием максимальности для левых аннуляторов.
1) Если идеал Sing^) нильпотентен, то он совпадает как
с первичным радикалом Р кольца А, так и со множеством
Ni всех левых делителей нуля в А, А/Р — равномерная справа
область, Р —ненулевой вполне первичный идеал, Р
—существенный правый идеал в А, сравнимый по включению с
любым правым идеалом в А, причем для любого аеА\Р верно,
что а —левый неделитель нуля в А, аР — Р С а А и правилом
а(р) = ар корректно определен автоморфизм а модуля Ра.
2) Если А — либо кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов, либо нётерово слева кольцо, то идеал Sing^)
нильпотентен и выполнены утверждения из 1).
> 1) По 9.14(10) A/ Sing(/4л) — конечное прямое произведение
равномерных справа областей. Тогда A/S\ng(Aа) — редуцированное
кольцо, откуда Р С Sing(/4,4). Так как идеал Sing^) нильпотентен, то
Sing(y4y4) С Р. Поэтому P = Sing^) и А/Р — конечное прямое
произведение равномерных справа областей. Так как А —дистрибутивное справа
неразложимое кольцо, то по 9.13(6) А/Р — неразложимое кольцо, откуда
А/Р — равномерная справа область и Р — вполне первичный идеал. Так
как по условию А не является равномерной справа областью, то Р ^ 0.
Пусть аеА\Р. По 9.19(4) аР = РСаА. Поэтому а —эпиморфизм,
идеал Р сравним по включению с любым правым идеалом кольца А
и Р — существенный правый идеал. Так как А — кольцо с условием
максимальности для правых аннуляторов, то r(an) = r(al) для некоторого
л Е N и всех / > п. Обозначим g = (а)п е End(PA). Тогда g(M) = М
и Ker(g) = Ker(g2). Для любого х е Ker(g) существует у е Р, для которого
х = g(y). Поэтому у е Ker(g2) = Ker(g), x = 0, g — автоморфизм модуля
Ра и а —автоморфизм модуля Р&. Тогда Р П г(а) = 0. Так как Р —
существенный правый идеал, то а —левый неделитель нуля.
Пункт 2) следует из того, что по 6.25(2) и 6.49(2) идеал Sing^)
нильпотентен. D
Дистрибутивные кольца
187
9.26. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) А — нётерово слева дистрибутивное справа кольцо;
2) А — конечное прямое произведение цепных справа артино-
вых колец и нётеровых слева дистрибутивных справа
областей.
о Импликация 2)=> 1) проверяется непосредственно.
1)=»2). Без ограничения общности можно считать, что А —
неразложимое кольцо, не являющееся областью. Пусть Р — первичный радикал
кольца А. По 9.25(2) Р — ненулевой вполне первичный нильпотентный
идеал, совпадающий со множеством Nt всех левых делителей нуля в Л,
и аР = Р для всех аеА\Р.
Допустим, что А/Р — тело. Тогда Л —дистрибутивное справа
локальное кольцо с нильпотентным радикалом Джекобсона Р. По 9.24 Л —
цепное справа артиново справа кольцо. Артиново справа нётерово слева
кольцо Л артиново слева.
Допустим, что А/Р — не тело. Тогда существует необратимый слева
элемент а е А\Р. Пусть О Ф р G Р. Так как аР = Р, то р = ах\ для
некоторого х\ € Р и для каждого / Е N найдется такое jc,-+i е Ру что
Х1 — ах1Л.\, Поскольку Р —нётеров левый Л-модуль, то найдутся такие
Ьи •.., Ьп € А, что *„+, = £JL| М,- =£?=i Мл+1-'*л+ь
( 1 -5>ая+1-') *«+1 = 0, 1 -£мя+|-' =yeNe = P,
(Е*.^"1' ) -а = £>-ал+1-' = 1 -у € </(Л),
\i=i / i=i
так как # нильпотентен. Тогда а обратим слева и получено противоречие.
□
9.27. Пусть в кольце А пересечение любых двух ненулевых
идеалов не равно нулю (это так, например, если А первично).
1) Если каждое собственное факторкольцо кольца А
арифметично, то А арифметично.
2) Если каждое собственное факторкольцо кольца А
полудистрибутивно справа или слева, то А арифметично.
3) Если кольцо А инвариантно справа и каждое его
собственное факторкольцо полудистрибутивно справа или слева, то
А дистрибутивно справа.
* 1) Для любых идеалов X, Y и Z в Л надо доказать включение
Xn(Y + Z)CXnY + XnZ. Без ограничения общности можно считать,
188
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
что все идеалы X, Y и Z не равны нулю. По условию X П Y П Z ^0.
Пусть /г: Л —»А/(Х П К П Z) — естественный кольцевой эпиморфизм. Из
условия следует, что h(X П (Y + Z)) С /z(^ П У + J( П Z). Поэтому
^n(y + Z)c^nK+AfnZ + ^nKnZ=^nK + xnz.
Пункты 2) и 3) следуют из 1). D
9.28. Пусть А — область и каждый ее ненулевой идеал В
содержат такой ненулевой элемент Ь, что ЬА — идеал в А.
1) В А для каждого ненулевого идеала В существует такой
ненулевой идеал С области А, что С С В, собственное
факторкольцо А/С имеет существенный нильпотентный
правый идеал и кольцо А/В изоморфно факторкольцу кольца
А/С.
2) Если в А каждое собственное факторкольцо с существенным
нильпотентным правым идеалом полупримарно, то каждое
собственное факторкольцо кольца А полупримарно.
3) Если в А каждое собственное факторкольцо либо
полупримарно, либо является прямым произведением полупервичного
кольца и полупримарного кольца, то каждое собственное
факторкольцо кольца А полупримарно.
> 1) По условию ЬА — идеал для некоторого ненулевого Ь еВ. Тогда
Ь2А = (ЬА)2 - идеал. Пусть С = Ь2А С В, R = А/Ь2А, h: А -> R -
естественный кольцевой эпиморфизм, аеА, D = h(a)RDh(b)R, D = 0. Тогда
h{b)h(a) gD, bae b2A, a e bA, h(a) € D = 0.
Поэтому ЬА — существенный нильпотентный идеал в R.
2) Так как каждое факторкольцо полупримарного кольца
полупримарно, то 2) следует из 1).
3) Пусть А/С— любое собственное факторкольцо с существенным
нильпотентным правым идеалом. Так как А/С не может иметь
полупервичного кольцевого сомножителя, то по условию А/С полупримарно. По
2) каждое собственное факторкольцо А/В кольца А полупримарно. □
9.29. Для кольца А равносильны условия:
1) А — дистрибутивное справа полупервичное правое кольцо
Голди;
2) А — дистрибутивное справа несингулярное справа кольцо, не
содержащее бесконечных прямых сумм ненулевых идеалов;
3) А — конечное прямое произведение дистрибутивных справа
равномерных справа областей.
> Импликация 3) => 1) проверяется непосредственно. Импликация
1)=>2) следует из 6.32. Импликация 2)=фЗ) следует из 9.14(7). D
Дистрибутивные кольца
189
9.30. Предложение. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — нётерово справа дистрибутивное справа кольцо и
каждое его факторкольцо — прямое произведение
полупервичного кольца и полупримарного кольца (один из сомножителей
может отсутствовать);
2) А = А\ х ... х Ат х D\ х ... х Dn (некоторые сомножители
могут отсутствовать), где все Л/ — цепные справа артино-
вы справа кольца и все D} — инвариантные справа области,
у которых каждое собственное факторкольцо — конечное
прямое произведение цепных справа артиновых справа
колец.
о 1)=*>2). Без ограничения общности можно считать, что Л
—неразложимое кольцо и А либо полупервично, либо полупримарно. Если А
полупримарно, то по 9.24 А — цепное справа артиново справа кольцо.
Допустим, что А полупервично. По 9.29 А —область. По 9.14(3) область
А инвариантна справа. По 9.28(3) каждое собственное факторкольцо А/В
полупримарно. По 9.24 дистрибутивное справа полупримарное кольцо
А/В — конечное прямое произведение цепных справа артиновых справа
колец.
2)=> 1). Без ограничения общности можно считать, что Л—
инвариантная справа область, у которой каждое собственное факторкольцо —
конечное прямое произведение цепных справа артиновых справа колец.
Так как А — инвариантное справа кольцо, у которого каждое
собственное факторкольцо нётерово справа, то А нётерово справа. По 9.27(3) А
дистрибутивно справа. □
9.31. Пусть А— унитарное подкольцо кольца Q и
естественный модуль QA дистрибутивен. Если q eQ и qn+lA C^=0^M для
некоторого neN, то q eA. В частности, А содержит все идемпо-
тенты и все нильпотентные элементы кольца Q.
> Правило fq(x) = qx задает эндоморфизм fq дистрибутивного модуля
Qa- Так как tf(A) = qn+lA С ^=0 #И), то по 9.4(4) q = fq(\)eA. П
9.32. Пусть А —локальное кольцо, M=J(A) и М = тА для
некоторого теМ.
1) Мп = тпА для каждого neN и либо Мп = 0, либо Мп фМп+Х.
2) Если В — такой правый идеал в А, что BDMk для
некоторого k, то существует такое neN, что В = тпА = Мп и А/В —
инвариантное справа цепное справа артиново справа кольцо
главных правых идеалов.
* 1) Так как М — идеал, то М = тА = АтА. Поэтому Мп = (тА)п =
=*тпА. Если Мпф0, то по 5.26(2) МпфМп+х.
190
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
2) Каждый ненулевой циклический правый модуль Мп/Мп+Х над
телом А/М прост. Поэтому В совпадает с главным правым идеалом Мп
для некоторого п. Поэтому А/В — инвариантное справа цепное справа
артиново справа кольцо главных правых идеалов. D
9.33. Пусть А — цепная справа область, M=J(A)^0,N = f)°l{ Mt
и М = тА для некоторого теМ.
1) Мп = тпА Ф Afrt+1 для каждого п е N. Кроме того, если правый
идеал В в А строго содержит N, то существует такое
п е N, что В = тпА —Мп и А/В — инвариантное справа
цепное справа артиново справа кольцо главных правых идеалов.
2) N — вполне первичный идеал в А и N = MN.
3) Если N Ф 0, то левый идеал N в А не конечно порожден.
4) A/N — инвариантная справа область главных правых
идеалов, каждый ненулевой собственный правый идеал кольца
A/N совпадает с некоторой степенью идеала M/N и
каждое собственное факторкольцо области A/N — цепное
справа артиново справа кольцо.
5) Если N — главный правый идеал и М — главный левый идеал,
то N=0.
> 1) По 9.32(1) Мп = тпА ф Мп+Х для любого п. Допустим, что В
строго содержит идеал N. Так как А — цепное справа кольцо, то В строго
содержит некоторую степень идеала М. Каждый ненулевой циклический
правый модуль Afrt/Afrt+I над телом А/М прост. Поэтому В совпадает
с одним из главных правых идеалов Мп. Поэтому А инвариантно справа
и А/В — инвариантное справа цепное справа артиново справа кольцо
главных правых идеалов.
2) Допустим, что идеал N не вполне первичен. Тогда ab e N для
некоторых a, b gA\N. По1)а€ mkA \ mk+lA и be mnA для некоторых
целых чисел й, п > 0. Поэтому а = mku и b = mnv для некоторых
и, v е А \ М = U(A). Так как ab G N С тп+хЛ, то mkumnv = ab = mk+n+lx
для некоторого х е А. Поэтому тп = u~lmn+lxv~l G Mn+l. По 1)
тпА=Мп. Поэтому Afrt = Afrt+1. Это противоречит 1). Поэтому УУ —
вполне первичный идеал и N = (m\N). Кроме того, N СтА. Поэтому
N = m(m'.N) = mN=MN.
Пункт 3) следует из 2) и 5.26(2). Пункт 4) следует из 1) и 2).
5) Главный левый идеал М содержит идеал N. Поэтому N =РМ для
некоторого идеала Р. Так как N вполне первичен, то N = NM. Так как
N — главный правый идеал, то по 5.26(2) N = 0. □
9.34. Цепная справа конечномерная слева область А — цепная
слева.
Модули над кольцами эндоморфизмов
191
о Для любых ненулевых a, b e А достаточно доказать, что либо а еАЬу
либо Ь €/4а. По 4.37 конечномерная слева область А равномерна слева.
Существуют такие иу v е Ау что ua = vb ф 0. Так как А — цепное справа
кольцо, то либо и е vAy либо v € иА. Допустим, что v — иху х Ф 0. Поэтому
0фиа = ихЬ. Тогда a = xb €АЬ. Аналогично, если uevAy то b GAa. П
9.35. Если А — нётерова справа цепная справа конечномерная
слева область, то А — инвариантная цепная нётерова область
главных идеалов и каждый ее ненулевой собственный идеал-
степень идеала J(A).
о Нётерово справа цепное справа кольцо А — кольцо главных правых
идеалов. Обозначим М = /(Л), N = f]^L{ Mn. Допустим, что А — не тело.
Тогда М = тА Ф 0. Так как М ф 0, то М ф М2 и М строго содержит N.
Докажем, что М = Am, Допустим противное. Тогда существует / еМ\Ат.
Так как по 9.34 Л —цепное слева кольцо, то At строго содержит Am.
Поэтому m = ut для некоторого иеМ. Так как Af = гаЛ, то u = mvy где
и е А. Тогда т = mvt и \ =vt € М. Получено противоречие. Поэтому
М=Ат = тА. По 9.33(1) каждая степень идеала Af — главный правый
идеал и главный левый идеал. По 9.33(5) N = 0. По 9.33(4) А —
инвариантная область и каждый ее ненулевой собственный правый или левый
идеал — главный идеал и совпадает с некоторой степенью идеала М. □
9.36. Если do, . • •, dm — ненулевые элементы цепного справа
кольца А и Yl'iLo di = 0, то d\A = djA для некоторого i Ф j.
> Можно считать, что d\ проиндексированы так, что doA D d\A~3 ...
... D dmA. Тогда d\ = dob\, ..., dm = dobm для некоторых b\, ..., bm G A.
Обозначим b = Y1T=\ bi. Тогда do(\ + b) = 0. Допустим, что do А строго
лежит в d\A. Тогда b\y ..., bm € J(A)y b e J(A)y 1 + b e U(A). Так как
^о(1+^) = Ои 1 +b € U(A)y то do = 0. Получено противоречие. Поэтому
d0A=d{A. О
Модули над кольцами эндоморфизмов
Правый модуль М называется эндо-Безу (эндодистрибутивныму
эндопростым) модулем, если М — Безу (дистрибутивный, простой)
левый Епс1(Л1)-модуль.
9.37. Если X и Y — правые модули над кольцом А и левый End(X)-
модуль Hom(A\ Y) — модуль Безуу то для любых /, g e Нот(Х, У)
существует h е Нот(А\ Y) с условием Кег(/) П Ker(g) = Кег(Л).
* Пусть /? = End(y). По условию #(/?/ + /?£) цикличен. Поэтому
f = s(uf + vg) и g = t(uf + vg)
Для некоторых sy ty uyv eR. Тогда Ker(/)ПKer(g) = Ker(w/ + ug) и
можно положить h = uf + vg. □
192
Плава 9. Дистрибутивные модули и кольца
9.38. Пусть R — прямое произведение колец /?,, lei, Я; — левые
Ri-модули (i e I) и пусть И и К— прямое произведение и прямая
сумма всех естественных левых R-модулей Ht.
1) Если все Я,- — Ri-модули Безу, то Я и К — R-модули Безу.
2) Если все Hi — дистрибутивные Ri-модули, то Н и К —
дистрибутивные R-модули.
> Пусть /, g <ЕЯ, где / = (/,-)/€,, g = (gi)ieI и /,-, ft <Е Я,.
1) Так как все Я, — модули Безу над Rt, то для каждого / € /
существуют такие Si, U, щ, щ е Ri, что // = s,- (и,- /; + vt ft) и ft = /,- (w/ /, + и,- ft).
Пусть 5 = (s/)/G/ eR,t = (ti)ieI eR,u = {ui)iel eRuv = (Vi)ieI e R. Тогда
/ = s(uf + vg) и g = /(w/ + yg). Поэтому Rf + Rg = R(uf + vg) и Н ~
модуль Безу над R. Аналогично К — модуль Безу над R.
2) Пусть et — единицы колец /?,-. Так как все Я,- —дистрибутивные
модули над /?/, то по 9.2 для каждого / G / существуют такие s,-, /,-, и,-, t/f- € /?,-,
что sifi = //ft- и (е, - Si)gi = и,- /,-. Пусть s = (s/)/6/ eR, t = (//)/6/ € /?
и u = (u«)/6/ G /?. Тогда sf = tgeRfDRg и (1 - s)g = uf e Rf n /?g.
По 9.2 Я —дистрибутивный /^-модуль. Аналогично К —дистрибутивный
/^-модуль. □
9.39. Пусть {Я/}/6/ — некоторое множество правых модулей над
кольцом А, Н = П/6/ Ht и К = ф/6/ Я/.
1) £сли Hi— модуль эндо-Безу для любого I, то Епб(И)Н и
Епб(К)К — модули Безу.
2) Если для любого i левый Егк)(Я))-модуль Hi дистрибутивен,
то модули End(H)H и End(K)K дистрибутивны.
> Рассмотрим кольцо S = П/е/ Егк1(Я;) как унитарное подкольцо
в End(H). Пункт 1) следует из того, что по 9.38(1) Я и /С—левые
модули Безу над унитарным подкольцом S в Епб(Н). Пункт 2) следует
из того, что по 9.38(2) левые модули Я и К над унитарным подкольцом
S в End(H) дистрибутивны. □
9.40. Пусть А и R — кольца.
1) Если Н — дистрибутивный левый R-модуль и 0j£e = e2eRy
то левый eRe-модуль еН дистрибутивен.
2) Если Я — правый А-модуль и левый Еп6(Н)-модуль Я
дистрибутивен, то каждое прямое слагаемое Н1 модуля На —-
дистрибутивный левый Епд(Н')-модуль.
> 1) Пусть ef, eg eeH. По 9.2 sef, (1 -s)eg eRef DReg для
некоторого s eR. Тогда ese • /, (е - ese) • eg е eRe • ef П eRe • eg. Кроме того,
е —единица кольца eRe. Применяя 9.2 к eRe^H, получаем, что е%ееН —•
дистрибутивный модуль.
Модули над кольцами эндоморфизмов
193
2) Пусть Я = /У'0//", R = End(HA) и е —проекция #-►//' с
ядром Н". Тогда §фе = е2 € R и существует естественный изоморфизм
End(H'A)->eRe. По 1) eReH' дистрибутивен. Поэтому Епд(Н')Н'
дистрибутивен. П
9.41. Пусть N — самоинъективный правый модуль над кольцом
А.
1) Если М — правый А-модуль, то левый Епд(Ы)-модуль
Hom(Af, N) — модуль Безу в точности тогда, когда для
любых f>g€ Hom(Af, N) существует h e Hom(Af, N) с условием
Ker(/)nKer(g) = Ker(A).
2) N —модуль эндо-Безу в точности тогда, когда для любых
ху у eN существует zeN с условием г(х) П г (у) = r(z).
3) Если N содержит изоморфные копии всех циклических
правых А-модулейу то N — модуль эндо-Безу.
4) End(yV) — левое кольцо Безу в точности тогда, когда для
любых f,ge End(/V) существует h е End(A0 с условием Кег(/) п
ПКег(#) = Кег(Л).
> 1) Импликация => следует из 9.37. Докажем <=. Пусть /, g е
е Hom(Af, N). По условию существует h е Hom(Af, N) с условием
Кег(/) П Ker(g) = Кег(Л). По 7.3 N инъективен относительно
внешней прямой суммы /(Af) 0 g(M). Так как Кег(/) П Ker(g) = Кег(Л), то
существует такой мономорфизм s: h(M) —► /(Af) 0 g(M)y что s(h(m)) =
= (f(m)> g(m) Для всех m £ M. Так как N инъективен относительно
f(M) 0 g(M)y то 5_1: s(h(M)) —► /z(Af) продолжается до гомоморфизма
f: /(Af)0 g(M) —>N. Так как N инъективен относительно /(Af) и g(M)y
то ^l/(Af)- f(M)—*N и /|g(Af)' g(M)-+N продолжаются до ы, veEnd(N).
Если me Af, то
(uf + vg)(m) = uf(m) + vg(m) = tf(m) + tg(m) =
= *((/(m), £(m))) = s-!((/H), «("))) = A(m).
Поэтому h = uf + vgeRf + Rgy где /? = End(yV). Так как Кег(Л) СКег(/)
и Кег(Л) С Ker(g), то существуют такие эпиморфизмы w\: h(M) —► /(Af)
и ^2: /z(Af) —» g(Af), что w\(h(m)) = /(m) и W2(h(m)) = g(m) для всех
га е Af. Так как УУ самоинъективен, то ^i и Ш2 продолжаются до
*i, 22 G End(A0. Тогда f = z\h и g = Z2h. Поэтому Rf + Rg С Rh С
£Rf + Rg. Так как Rf + Rg = Rhy то Hom(Af, A/) — левый /^-модуль
Безу.
2) По 1) Hom(y4,4, yV) —левый End(УV)-мoдyль Безу в точности тогда,
когда для любых ху у eN существует z е N с условием г(х)Пг(у) = г(г).
Кроме того, существует естественный изоморфизм N = Нот(Л,4, N).
194
Плава 9. Дистрибутивные модули и кольца
3) По 2) достаточно показать, что для любых ху у € N существует
z е N с условием г(х) П r(y) = r(z). Это следует из того, что N содержит
изоморфную копию циклического модуля Ад/(г(х)Пг(у)).
Пункт 4) следует из 1) при M = N. D
9.42. Пусть М и X — правые модули над кольцом Ау причем М
дистрибутивен и X — М-инъективен.
1) Если М — под]фактор модуля М и существуют такие /, ge
е Hom(Af, Х)у_что Кег(/) П Ker(g) = 0, то существует
мономорфизм h: M-+X.
2) Hom(Af, X) —левый End(A)-модуль Безу.
3) Если М самоинъективен, то End(Af) — левое кольцо Безу.
> 1) М содержит Ker(/)®Ker(g). В М существует такой подмодуль Р,
что Р П (Кег(/) е Ker(g)) = 0 и Рф Кег(/) е Ker(g) существенен в М.
Существует такой гомоморфизм ft': P0 Кег(/) 0 Ker(g) —> X, что Ы
совпадает с g на Р 0 Кег(/) и Л' совпадает с / на Ker(g). Так как
X М-инъективен, то Ы продолжается до гомоморфизма h: М-+Х. Так
как £(Кег(Л) П (Р ф Кег(/))) = Л(Кег(Л) П(Рф Кег(/))) = 0, то Кег(Л) П
П (Р ф Кег(/)) С Ker(g) Г) (Р ф Кег(/)) = 0. Кроме того, Кег(Л) П Ker(g) С
С Кег(/) П Ker(g) = 0. Так как М дистрибутивен, то
Кег(Л) П (Р 0 Кег(/) ф Ker(g)) =
= Кег(Л) П (Я ф Кег(/)) + Кег(Л) n Ker(g) = 0
ий- требуемый мономорфизм.
2) Пусть /, geHom(Af, JQ. По 9.41(1) достаточно доказать, что
существует h € Hom(A4, X) с условием Кег(/) П Ker(g) = Кег(й). Обозначим
через М дистрибутивный_ модуль А4/(Кег(/) П Ker(g))_. Гомоморфизмы /
и g индуцируют такие /, g € Hom(Af, JQ, что Кег(/) П Ker(g) = 0. По
1) существует мономорфизм Л: Л1 —+Х. Если 7г: Af —»А4 — естественный
эпиморфизм и h = /йг, то h — требуемый гомоморфизм.
Пункт 3) следует из 2) при М = Х. О
9.43. Для правого модуля М над кольцом А равносильны условия:
1) М — дистрибутивный модуль;
2) Hom(Af, X) — цепной левый Еп<1(Х)-модуль для любого
правого А-модуля Ху являющегося инъективной оболочкой
произвольного простого подфактора модуля Af;
3) для любого правого А-модуля Ху являющегося инъективной
оболочкой произвольного простого подфактора модуля Af,
левый Еп6(Х)-модуль Hom(Af, X) либо дистрибутивен, либо
модуль Безу;
Модули над кольцами эндоморфизмов
195
4) для любого инъективного правого А-модуля X левый End(A)-
модуль Hom(Af, X) — дистрибутивный модуль Безу\
5) для любого самоинъективного правого А-модуля X левый
Епд(Х)-модуль Hom(Af, X) — дистрибутивный модуль Безу\
6) для любого правого А-модуля Ху являющегося прямой суммой
или прямым произведением самоинъективных модулей, левый
ЕпА(Х)-модуль Hom(Af, X) — дистрибутивный модуль Безу.
о Импликация 5)^-6) следует из 9.39. Импликации 6)=>5), 5)=>4),
4)=>3) и 2)=>3) очевидны. Импликация 1)=>3) вытекает из 9.42(2).
Импликация 3)^-2) вытекает из 9.10(3) и того, что кольцо End(A) локально.
2) => 1). Допустим противное. По 9.3 существуют такие подмодули
V СМ и W CV, что V/W = S фS, где S — простой модуль. Поэтому
существуют такие V\, V2£ Lat( V), что V = Vx + V2f V\ П V2 = W и V- ^ S
(/ = 1, 2). Тогда существуют такие эпиморфизмы /ь /2 € Hom(V, S), что
Ker(/i) = V} и 1/j, V^2 несравнимы. Пусть X — инъективная оболочка S,
/? = End(A) и // = Hom(Af, X). Поскольку X инъективен, то f\ и f2
продолжаются до gi, g2 €//. Так как Ker(gi) и Кег(^) несравнимы, то Rg\
и /?й несравнимы; получено противоречие.
2)+1)=>4). По 9.42(2) Endw Hom(Af, Л') —модуль Безу. По 7.22(3)
существует такое множество {ф/}/е/ инъективных правых модулей над Л,
что ф, — инъективная оболочка простого модуля (i el) и X изоморфен
прямому слагаемому в Q = JJ,e/ Qi> Можно считать, что Q = X ф F.
По условию левый Егк1(<?/)-модуль Нотд(М, Qi) дистрибутивен, / е /.
По 9.39(2) левый End((?)-мoдyль Иот(Му Q) дистрибутивен. Так как
Hom(A4, Q) можно отождествить с Hom(Af, X) ф Hom(Af, F), то по
9.40(2) левый End(Л)-мoдyль Hom(Af, X) дистрибутивен.
4) =>5). По 7.45 X вполне инвариантен в своей инъективной оболочке
X. Поэтому Hom(Af, X)eLat(En6{x)Hom(My X)) и Lat(End(X)Hom(yM, X)) =
= Lat(End(j^Hom(AJ, X)). Так как левый Егк1(А)-модуль Нот(Му Л)
—дистрибутивный модуль Безу, толевый End(J0-мoдyль Hom(Af, X)
—дистрибутивный модуль Безу. □
9.44. Теорема [46,52,297]. Пусть А — кольцо, {В£-},*€/ —
множество всех правых идеалов кольца А и Е — инъективная оболочка
модуля 0/е/ Ад/Bi. Равносильны условия:
\) А — дистрибутивное справа кольцо;
2) каждый правый А-модуль Ху являющийся прямой суммой
или прямым произведением самоинъективных модулей,—
дистрибутивный левый Еп6(Х)-модуль Безу;
3) все прямые слагаемые любого самоинъективного правого
А-модуля эндо-Безу являются модулями эндо-Безу\
196
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
4) все прямые слагаемые инъективного модуля Е являются
модулями эндо-Безу;
5) для каждого простого правого А-модуля S инъективная
оболочка X модуля S —либо дистрибутивный левый End(A)-
модульу либо левый Епд(Х)-модуль Безу.
> Для каждого правого Л-модуля X существует естественный
изоморфизм X = Нот(Аду X). Поэтому эквивалентность условий 1), 2) и 5)
следует из 9.43. Импликация 2) => 3) следует из того, что любое
прямое слагаемое самоинъективного модуля самоинъективно. Импликация
3)=>4) следует из 9.41(3). Импликация 4)=>5) следует из того, что все
инъективные оболочки простых правых Л-модулей изоморфны прямым
слагаемым инъективного модуля Е. О
Так как кольцо целых чисел Z — дистрибутивное кольцо Безу, то из
теоремы 9.44 следует, что каждая делимая абелева группа М —
дистрибутивный модуль Безу над кольцом End(M). В связи с теоремой 9.44 ниже
приведен пример прямого слагаемого модуля эндо-Безу, не являющегося
модулем эндо-Безу.
9.45. Прпмер.Существует инъективный модуль эндо-Безу,
обладающий свободным циклическим инъективным прямым
слагаемым, которое не является модулем эндо-Безу.
> Пусть F — поле из двух элементов, (х) и (у) — две циклические
группы порядка 2 с образующими х и у, G = (х) х (у), A—FG — групповое
кольцо. Тогда А — коммутативное конечное инъективное кольцо и его
2-порожденный идеал (1 — х)А + (1 — у) А не главный. Поэтому А а —
свободный циклический инъективный модуль, не являющийся модулем эндо-
Безу. Пусть {£;}i€/ —множество всех правых идеалов кольца А и N —
инъективная оболочка ф^Л^/в/. По 9.41(3) N — модуль эндо-Безу.
Кроме того, инъективный циклический модуль Ад изоморфен прямому
слагаемому в N. □
9.46. Пусть А — кольцо.
1) А дистрибутивно слева <& модуль Ад эндодистрибутивен
& каждый проективный правый А-модуль
эндодистрибутивен «=> существует свободный эндодистрибутивный правый
А-модуль.
2) А — левое кольцо Безу Ф> Ад — модуль эндо-Безу & каждый
свободный правый А-модуль — модуль эндо-Безу.
> Утверждение 9.46 следует из 9.40(2), 9.39 и естественного
изоморфизма у?: End(/?#)—>/?, при котором ¥?(/) = /(1). О
9.47. А — квазиинвариантное слева левое кольцо Безу в
точности тогда, когда каждый свободный правый А-модуль М — дис-
Модули над кольцами эндоморфизмов
197
трибутивный левый модуль Безу над End(Af). (Следует из 9.46(1),(2)
и 9.15(1).)
9.48. Пусть А — кольцо.
1) Если А инвариантно справа и дистрибутивно слева, то все
прямые слагаемые любой прямой суммы или прямого
произведения циклических правых А-мод улей — дистрибутивные
левые модули над своими кольцами эндоморфизмов.
2) Если А — инвариантное справа левое кольцо Безу, то все
прямые суммы и прямые произведения циклических правых А-
модулей — дистрибутивные левые модули Безу над своими
кольцами эндоморфизмов.
о Пусть {Mi)iei — некоторое множество циклических правых модулей
над А и М = 0/6/ Mt. Для любого / Е / существует такой правый идеал В,-
в Л, что Mi = (А/В;)а. По условию все В, идеалы. Поэтому факторколь-
цо A/Bi естественным образом изоморфно кольцу ЕпЩА/В^д). Тогда
факторкольцо A/Bi дистрибутивно слева (левое кольцо Безу) в
точности тогда, когда циклический правый модуль Af/ над
Л—дистрибутивный левый модуль (левый модуль Безу) над кольцом End(Af/). Если Л
дистрибутивно слева (левое кольцо Безу), то любое его факторкольцо
дистрибутивно слева (левое кольцо Безу) и каждый циклический модуль
Af/—дистрибутивный левый модуль (левый модуль Безу) над кольцом
End(Af,). Кроме того, по 9.15 все инвариантные справа левые кольца
Безу дистрибутивны слева. Поэтому 1) и 2) следуют из 9.39(1), 9.39(2)
и 9.40(2). □
Из 9.48(2) следует, что все прямые суммы и прямые произведения
циклических Ъ-модулей являются эндодистрибутивными модулями
эндо-Безу.
9.49. Если А — полусовершенное кольцо и каждый инъективный
или проективный неразложимый правый А-модуль М —
дистрибутивный левый ЕпА(М)-модуль или левый Епд(М)-модуль Безу, то
А — конечное прямое произведение цепных колец.
> По 9.44 Л дистрибутивно справа. По 9.23 Л — конечное прямое
произведение цепных справа колец Л i, ..., Ап. Так как все Л/ — неразложимые
проективные правые Л-модули с кольцами эндоморфизмов Л,*, то каждое
локальное кольцо Л/ дистрибутивно слева по условию. По симметричному
аналогу 9.23 Л/ — цепное слева кольцо. □
9.50. Если А — кольцо и М е тах(Л,4), то равносильны условия:
1) простой модуль (А/М)д — эндодистрибутивный модуль',
2) простой правый А-модуль А/М —модуль эндо-Безу;
3) простой правый А-модуль А/М эндопрост;
198
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
4) М — идеал в А.
> Обозначим через N и R модуль (А/М) и тело End^). Импликации
3)=> 1) и 3)=»2) очевидны.
1)=>3) и 2)=>3). Так как ненулевое векторное пространство дЛ/ —
либо модуль Безу, либо дистрибутивный модуль, то непосредственно
проверяется, что пространство rN одномерно. Поэтому модуль #N прост.
4) =>3). Так как М — идеал, то существует естественный изоморфизм
тел R и А/М. Модуль а/м^ прост. Поэтому модуль rN прост.
3) => 4). Пусть аеА\М, теМ и Л: Л,* —»Л/ — естественный
эпиморфизм с ядром М. Так как rN прост, то существует / е End(A/^) с условием
/(А(1)) = А(а). Тогда
h(am) = f(h(l))m = f(h(\)m) = f(h(m)) = /(0) = 0, am e M
и Af — идеал. D
9.51 ([46,52]). Для кольца А равносильны условия:
1) каждый полупростой правый А-модуль эндодистрибутивен;
2) каждый полупростой правый А-модуль — модуль эндо-Безу;
3) каждый простой правый А-модуль эндодистрибутивен;
4) каждый простой правый А-модуль — модуль эндо-Безу,
5) А квазиинвариантно справа.
> Импликации 1)=>3) и 2)=>4) очевидны. 3)=>1) и 4)=>2) следуют
из 9.39. Эквивалентности 3) &4) &5) следуют из 9.50. □
9.52. Замечание. Из 9.51 следует, что каждый полупростой модуль
М над любым коммутативным кольцом — дистрибутивный модуль Безу
над кольцом End(M).
9.53. Пусть R — такое кольцо, что существует модульный
эпиморфизм #/? —► RR ф#/?. Тогда каждый конечно порожденный левый
R-модуль является циклическим модулем. Следовательно, каждый
левый R-модуль является модулем Безу. В частности, R —левое
кольцо Безу.
> Из условия следует, что каждый конечно порожденный свободный
левый /?-модуль —гомоморфный образ циклического модуля #/?.
Кроме того, каждый конечно порожденный модуль — гомоморфный образ
конечно порожденного свободного модуля. Поэтому каждый конечно
порожденный левый R -модуль цикличен. D
Для кольца R обозначим через /?оохоо множество всех бесконечных
матриц (aij)f°i=l (а/у е R) со счетными строками и столбцами.
Матрица MeRooxoo называется конечно-столбцовой (конечно-строчной),
если каждый столбец (каждая строка) этой матрицы содержит только
конечное число ненулевых элементов. Множество /?оохоо содержит подмно-
Модули над кольцами эндоморфизмов
199
жества R\, R2 и /?з, образованные всеми конечно-столбцовыми
матрицами, всеми конечно-строчными матрицами и всеми конечно-столбцовыми
и конечно-строчными матрицами соответственно. Непосредственно
проверяется, что /?ь /?2 и /?з являются кольцами с обычными матричными
операциями сложения и умножения.
9.54. Пусть R — либо кольцо всех конечно-столбцовых матриц
над кольцом Л, либо кольцо всех конечно-строчных матриц над Л,
либо кольцо всех конечно-столбцовых конечно-строчных матриц
над А.
1) Существуют изоморфизмы /?/?—>/?/?$rR и Rr-^Rr®Rr.
2) Все левые и все правые R-модули — модули Везу.
3) R — кольцо Везу и А = eRe для некоторого идемпотента
eeR.
> 1) Обозначим через М и N такие матрицы (a,/) eR и (bij) eR> что
а#7 = 0 при /^2/ - 1, a;,2i-i = 1» bij —0 при /V2/ - 1, fc2/-i,/ = 1. Для
любой матрицы А' = (jr,-/) е R получаем, что
ХМ =
/*ll AT12 *13
*21 *22 *23
*31 *32 *33
V
V
/10 0 0 0
0 0 10 0
0 0 0 0 1
V
(х\\ 0 хи 0 лг13 0 ...\
Х2\ 0 JC22 0 Х23 0 . .
*31 0 Х32 0 *33 0 ..
у
л
ЛИГ =
/1
'0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.л
.. /
*п
*21
*31
Х\2
*22
*32
ЛГ13
*23
*33
..Л
•■7
0
*21
0
*31
0
0
*22
0
*32
0
*13 —
0 ...
Х23
0 ...
*33
0 ...
200
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
Поэтому отображение /: X —* ХМ — инъективный эндоморфизм левого
модуля rR, индуцирующий такое прямое разложение rR = /(#/?) 0 G,
что G =/?/?. Кроме того, отображение g: X —> NX — инъективный
эндоморфизм правого модуля /?#, индуцирующий такое прямое разложение
RR = g(RR) e G, что G^Rr. Поэтому rR^rR®rR и Rr^Rr®Rr.
Пункт 2) следует из 1) и 9.53, а 3) следует из 2). □
9.55. Пусть М — правый модуль над кольцом S, А = End(Afs),
{Mi}^—счетное множество изоморфных копий S-модуля Му
tf = End(e~,M,).
1) Кольцо R изоморфно кольцу всех конечно-столбцовых
матриц над кольцом А.
2) Все левые R-модули и все правые R-модули являются
модулями Безу. Следовательно, 0°^ Af,- —модуль эндо-Безу.
3) R — кольцо Безу и А = eRe для некоторого идемпотента
ezR.
> Пункт 1) проверяется непосредственно. Пункты 2) и 3) следуют из 1)
и 9.54. □
9.56. Теорема |102|. Пусть А —любое кольцо.
1) Существуют кольцо Безу R и идемпотент е eRy такие что
A^eRe.
2) Каждый А-модуль является прямым слагаемым модуля эндо-
Безу.
3) Каждый свободный А-модуль бесконечного ранга —модуль
эндо-Безу. Следовательно, каждый проективный модуль
над любым кольцом является прямым слагаемым свободного
модуля эндо-Безу.
> Пункт 1) следует из 9.54(3). Пункты 2) и 3) следуют из 9.55(2). □
Полудистрибутивные кольца и модули
Пусть А — полусовершенное кольцо, Р = 0™^ etA и Q = 0"^ e-jA —
конечно порожденные проективные правые Л-модули, где et и е} —
неразложимые идемпотенты, и /: Р—* Q — гомоморфизм. Через Ац
обозначается абелева группа eiAej. Так как каждый гомоморфизм из etA в е}А
задается левым умножением на элемент из А,-у, то / можно представить
как левое умножение на (т х л)-матрицу (//у), где /,-у G А1}.
В случае Р = Q = А а получаем, что каждый элемент а е А
можно записать в виде u = J2ijaii> г^е ач = e'iaei G А/- Поэтому а
может рассматриваться как матрица М(а) = (а1}) и умножение элемен-
Полудистрибутивные кольца и модули
201
тов в А относительно этого представления —умножение матриц (т.е.
M(ab) = M(a)-M(b) для всех a, be А).
Такое матричное представление элементов полусовершенного
кольца будет широко использоваться в данном разделе.
9.57 ([10]). Пусть Р\, Р^ Рз —конечно порожденные
проективные правые модули над полусовершенным кольцом А и Q\, Q2,
фз — конечно порожденные проективные левые А-модули, Р* —
левые А-модули Hom(Piy AA)y Q* —правые А-модули Нот((?/, АА).
Для любых / € Нот(Р,, Р}) и g e Hom(Q/, Qj) обозначим через /*
и g* гомоморфизмы Р* —> Р* и Q*-*Q?> индуцированные fug
соответственно. Тогда все Р* — конечно порожденные
проективные левые А-модули, (/23/12)* = /12V23* для любых /12 € Нот(Рь Рг)
и /23 € Нот(Р2, Рз), все Q* — конечно порожденные проективные
правые А-модули и (g23gi2)* = £*2#23 для любых g\% € Hom(Qi, Q2)
и g23€Hom(Q2, <?з).
Утверждение 9.57 проверяется непосредственно.
9.58 ([10]). Пусть А —полуцепное кольцо, Р — 0"=I etA и Q =
= ©7=i ejA — конечно порожденные проективные правые
А-модули, / = (/;;): Р —> <? — гомоморфизм, где в\ и в\ — локальные идемпо-
тенты и /;, еАц.
1) Существуют такие автоморфизмы а: Р —» Р и /3: Q —> Q,
что а и /3 задаются матрицами, являющимися
произведениями элементарных матриц, и f3fa: P -+Q задается
матрицей G = (gij) с не более чем одним ненулевым элементом
в каждой строке и каждом столбце.
2) Для любого а € А существуют такие и, v e U(A), что все
строки и столбцы матрицы M(uav) содержат не более
одного ненулевого элемента иМ(и) и M(v) — произведения
элементарных матриц. Кроме того, для некоторого meNматрица
M((uav)m) диагональна.
> 1) Без ограничения общности можно считать, что т = п (т.е. G —
квадратная матрица). Докажем индукцией по п, что диагонального вида
можно добиться элементарными преобразованиями строк и столбцов.
Случай п = 1 тривиален. Допустим, что для всех чисел, меньших п,
утверждение верно. Докажем утверждение для п. Без ограничения общности
можно считать, что выбран такой матричный элемент /ц, что левый идеал
Af\\ —наибольший элемент множества {Aft\}. Элементарными
преобразованиями строк можно обнулить все элементы ниже /и, а затем по
предположению индукции можно привести дополнительный минор
элемента /и к диагональному виду без изменения первого столбца. Поэтому
202
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
матрица имеет вид
(fn /12 ... ЛЛ
О /22 ... О
\0 0 ... fnn/
Если f\i € f\\A для некоторого / > 1, то можно обнулить fu
элементарными преобразованиями столбцов, а затем можно применить предположение
индукции к дополнительному минору элемента //,- (если / > ту то /-и
столбец нулевой). Аналогично можно применить предположение
индукции, если fu GAfu для некоторого / > 1. В противном случае /и Е fuA
и fuEAfu при 1 </<л. Выберем такое f\fy что правый идеал f\jA —
наибольший элемент в {fuA}. По условию /> 1. Тогда можно
обнулить элементарными преобразованиями все элементы первой строки и /-
го столбца (исключая f\j)y а затем применяем предположение индукции
к дополнительному минору элемента f\r
2) Первое утверждение следует из 1). Второе утверждение следует из
того, что для любого п е N существует такое т е N, что 7гт = 1 для любой
подстановки 7г на множестве {1, ..., п). □
9.59 ([10]). Для полусовершенного кольца А равносильны
условия:
1) А — полуцепное справа кольцо;
2) для любых локальных проективных правых модулей Ру Р\
и ?2 и любых двух гомоморфизмов f\\ Р\ —> Р и /2: P2 —► Л
либо /i = /2* для некоторого х Е Нот(Рь Р2) верно, что либо
/2 = \\У для некоторого у Е Нот(Я2» Л);
3) для любых локальных проективных левых модулей Qy Q\ и @2
и гомоморфизмов f\: Q —► Q\ и /2: Q —► (?2 верно, что либо
f\ =xf2 для некоторого х е Нот(@2, Q\)> либо fa — yf\ для
некоторого у Е Hom(Qi, Q2).
> Эквивалентность 2)^»3) следует из 9.57.
1) =>2). Так как А — полуцепное справа кольцо, то Р — цепной модуль.
Поэтому либо /i(Pi) С /2(^2), либо /2(^2) Q f\(P\). Так как Р\ и Р^ про-
ективны, то либо f\ = /2* для некоторого х Е Hom(Pi, P2), либо /2 = f\U
для некоторого у Е Нот(Я2> Р\)-
2) => 1). Допустим, что А — не полуцепное справа кольцо. Тогда
некоторый локальный проективный модуль Ра содержит несравнимые
подмодули М\ и Л^. Пусть т\ еМ\\М2 и тгЕ Af2\Afi. Существуют такие
локальные идемпотенты е\у е2^Ау что т\е\ еМ\ \Мг и ni2e2€M2\M\-
Обозначим через // такие гомоморфизмы etA —>Я, что /;(е,) = т;е,-. Обо-
Полудистрибутивные кольца и модули
203
значим Pi=etA. Тогда f\{P\) и f2(P) несравнимы. Поэтому уравнения
f{ = /2jc и /2 = \\У не имеют решения. Получено противоречие. □
9.60 ([10]). Если А — полусовершенное кольцо и все конечно
представимые неразложимые правые А-модули имеют
неразложимые проективные оболочки, то А — полуцепное слева кольцо.
о Допустим противное. По 9.59 существуют такие локальные
проективные правые модули Ру Р\, Рч и гомоморфизмы \\\ Р\-* Р, h '• ?2 —* Л что
уравнения f\ = fax и /2 = f\y не имеют решения. Обозначим Q = P\ ф/Ъ-
Обозначим через / гомоморфизм Р —► Q с матрицей ( } 1. Так как /,- — не
изоморфизмы, то f(P)CJ(Q). Поскольку /,- ^0, то Кег(/) CJ(P).
Обозначим М = Q/f(P). Тогда Q — проективная оболочка конечно представимого
правого модуля М. Так как Q не неразложим, то М не неразложим.
Поэтому существуют такие автоморфизмы иу v модулей Р, ф
соответственно, что либо vfu = ( *} 1, либо y/w = ( 1, где g/ Е Hom(P, Pi).
Допустим, что у имеет матрицу ( п ,2|, vr} G Hom(Py, Pi).
Тогда либо v\\f\ + У12/2 = 0, либо V2\f\ +^22/2 = 0. Например, пусть
^21 /i + ^22/2 = 0. Тогда либо V2\ — изоморфизм, либо ^22 — изоморфизм.
Поэтому хотя бы одно из уравнений f\ = /2*, /2 = [\У имеет решение.
Получено противоречие. □
9.61. Теорема Дрозда—Уорфилда 110,306]. Для кольца А
равносильны условия:
1) А — полуцепное кольцо;
2) все конечно представимые правые А-модули полу цепные;
3) все конечно представимые левые А-модули полуцепные;
4) каждый конечно представимый правый А-модуль изоморфен
прямой сумме цепных модулей вида е^А/е^а-^А, где e-j
—локальные идемпотенты в А;
5) каждый конечно представимый левый А-модуль изоморфен
прямой сумме цепных модулей вида Ае-^Ае^а^е], где все е} —
локальные идемпотенты в А;
6) А — полусовершенное кольцо, все конечно представимые
неразложимые правые А-модули локальны и все конечно
представимые неразложимые левые А-модули локальны.
ь Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 2), 4) и 6).
Импликации 4)=>2) и 2)=>6) проверяются непосредственно.
6)=>1). Непосредственно проверяется, что проективные оболочки
всех конечно представимых неразложимых (правых или левых)
Л-модули неразложимы. Пункт 1) следует теперь из 9.60.
204 Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
1)=»4). Пусть М — конечно представимый правый Л-модуль, Р и (? —
такие конечно порожденные проективные Л-модули, что М = Q/f(P)y
f: Р -+ Q — гомоморфизм и Р = ®*=1 £/Л, Q = ©,=1 £/Л, где et и в, —
локальные идемпотенты. По 9.58(1) существуют такие автоморфизмы
g: Р —► Р и h: Q —► (?, что hfg(etA) Qe}A и индексы / не совпадают
для различных индексов /. Тогда Af = Q/f(P) = Q/fg(P) = Q/hfg{P)
и последний модуль — прямая сумма модулей ejA/hfg(eiA) для
подходящих индексов /. Так как h/g — гомоморфизм из etA в е7Л,
являющийся левым умножением на некоторый элемент а,/ € £/Ле;, то
ejA/hfg(eiA) = е/А/а^А и все е^А/^аА — цепные модули. D
Прямая сумма равномерных модулей называется полуравномерным
модулем.
9.62. Теорема Иванова [215]. Для кольца А равносильны условия:
1) все конечно порожденные правые А-модули полуцепные;
2) А —полуцепное кольцо и все равномерные правые А-модули
цепные;
3) все 2-порожденные правые А-модули полуцепные;
4) Л — полуравномерное справа кольцо и все неразложимые
инъективные правые А-модули цепные;
5) Л — полуцепное справа кольцо и для каждого изоморфизма
f:M-+N между любыми подмодулями М и N любых
примитивных циклических А-модулей хА и у А соответственно
хотя бы один из гомоморфизмов /, f~[ продолжается до
гомоморфизма между хА и у А.
> 1)=>2). По 9.61 Л —полуцепное кольцо. По 1) все неразложимые
конечно порожденные правые Л-модули цепные. Так как все подмодули
равномерных модулей неразложимы, то все конечно порожденные
подмодули равномерных правых Л-модулей цепные. Поэтому все равномерные
правые Л-модули цепные.
Импликация 2)=>3) проверяется непосредственно.
3)=>4). Непосредственно проверяется, что Л —полуцепное справа
кольцо. Пусть Af — любой неразложимый инъективный правый Л-
модуль. Тогда М равномерен. Если М не цепной, то М содержит
2-порожденный подмодуль, являющийся прямой суммой не менее двух
цепных подмодулей, что противоречит равномерности Af.
4)=> 1). Ниже элемент т правого Л-модуля называется
примитивным, если m = те для некоторого неразложимого идемпотента е Е Л-
Достаточно доказать, что для любого п € N каждый конечно порожденный
правый Л-модуль с минимальной системой из п примитивных
образующих—прямая сумма п цепных подмодулей. Проведем индукцию по числу
Полудистрибутивные кольца и модули
205
примитивных образующих конечно порожденных правых Л-модулей.
Пусть {гп\, ..., тп+\} — минимальная система примитивных образующих
конечно порожденного модуля Ма- Допустим, что каждый правый Л-
модуль с минимальной системой из п примитивных образующих — прямая
сумма п цепных подмодулей. Обозначим N = гп\А + ... + тпА. Без
ограничения общности можно считать, что Л/ = 0"=1т;Л. Обозначим
U = N П хп+\А. Тогда U не содержит таких элементов X^=i m,-a,-,
что a/ = 1 для некоторого /, поскольку в противном случае система
{trij | / Ф /, 1 ^ / ^ п + 1} порождает М. Это противоречит минимальности
системы {т\у ..., тп+\).
Правилом fi(YTj=\ mjaj) = miai корректно определены
гомоморфизмы /,-: U —► т,Л (1 ^i^ri). Обозначим £// = //(£/). Так как £/ — цепной
модуль, то можно считать, что Ker(/t) С Кег(/г) Q . • • С Кег(/л).
Правилом gi(f\(u)) = fi(u) корректно определены гомоморфизмы gt: U\ —»■(/,■
(1 ^i ^п). Пусть £, — инъективная оболочка модуля U\ (1 ^ / ^ п).
Гомоморфизмы g/ продолжаются до гомоморфизмов gt\ m\A —» £,-. Так
как £,- — цепной модуль, то либо g/(m^) С т,Л, либо m/Л С #,-(т|Л).
Поэтому существуют такие bt € Л, что гомоморфизмы gt индуцируют
гомоморфизмы hi: m\b\A -+mtA, где либо x\bt = jci, либо hi(x\)bi = т\.
Так как т\А — цепной модуль, то один из модулей т\Ь\А лежит в
остальных. Обозначим через b элемент 6/, соответствующий этому модулю.
Тогда гп\ЬА лежит во всех модулях т\Ь[А и совпадает с одним из этих
модулей. Обозначим у = т\Ь + h2(m\b) + ... + hn(m\b). Если ueUy то
и = /i (и) +... + /„(w), откуда
и = xiba + /z2(*i&a) + ... + fn(x\ba) = t/a
для некоторого aG Л. Поэтому U СуА и уА — цепной модуль, поскольку
уА**ххЬА.
Так как все неразложимые инъективные правые Л-модули цепные,
то \и продолжается либо до гомоморфизма а: тп+\А —► у А, либо
до гомоморфизма /3: #Л —► тп+\А. Если 1<у продолжается до а, то
*/Л + тп+\А = уА 0 (mrt+i - а(тл+1Л))Л. Если 1^ продолжается до
0, то j/Л + тп+\А = (у — Р(у))А 0 тп+\А. Так как один элементов
Х\ЬУ ?2(х\Ь)у ..., fn(x\b) совпадает с т/ (1 ^ / ^ я), то уА — прямое
слагаемое в М. Поэтому М — полуцепной модуль.
4)=>5). Так как все неразложимые инъективные правые Л-модули
Цепные, то все равномерные правые Л-модули цепные. Поэтому все
полуравномерные правые Л-модули полуцепные и Л — полуцепное справа
кольцо. Пусть £((/Л) — инъективная оболочка у А и g: хА —► Е(уА) —
продолжение /. Так как Е(уА) — цепной модуль, то либо g(x)A CyAy
•либо у А С g(x)A. В первом случае утверждение доказано. Допустим, что
206
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
У А С g(x)A. Тогда g(xb) = y для некоторого b е А. Правилом h(ya) = xba
корректно определено продолжение g гомоморфизма /-|.
5)=>4). Пусть М — неразложимый инъективный правый Л-модуль.
Допустим, что М — не цепной модуль. Тогда существуют такие ху у € УИ,
что хАПуА = U — собственный подмодуль как в хАу так и в у А. Без
ограничения общности можно считать, что тождественное отображение
модуля U продолжается до /: хА —> у А. Обозначим z = х - f(x). Тогда
хА+уА = zA Л-у А. Если za,\ = ya<i ezAnyA, то хах = f(xa\) + ya<i,
откуда ха\ е U. Так как (/— l)(t/) = 0, то ха\ = f(x)ct\y откуда za\ = #а2 = 0.
Поэтому zA П у А = 0. Тогда хА + у А = zA 0 у А и модуль Af неравномерен;
получено противоречие. □
9.63. Следствие. Для кольца А равносильны условия:
1) А — нётерово справа полуцепное кольцо;
2) все конечно порожденные правые А-модули — полуцепные не-
теровы модули;
3) все 2-порожденные правые А-модули — полуцепные нётеровы
модули;
4) Л — полуцепное кольцо и все циклические равномерные
правые А-модули — цепные нётеровы модули;
5) А — полуравномерное справа кольцо и все инъективные
правые А-модули полу цепные.
> Если А нётерово справа, то все конечно порожденные правые А-
модули нётеровы, по 7.53 каждый инъективный правый Л-модуль
—прямая сумма неразложимых модулей, и по 9.62 условия 1)—5) равносильны.
Поэтому достаточно доказать, что из любого условия 1)—5) следует, что
Л нётерово справа. Это очевидно для условий 1), 2) и 3) и следует из 7.57
для условия 5). Допустим, что выполнено 4). Так как Л — полуцепное
справа кольцо, то Л конечномерно справа и по 4.30 Л имеет такие
правые идеалы В\у ..., ВПу что В\ П... П Вп = 0 и все циклические правые
Л-модули A/Bi равномерны. Так как В\ П ... П Вп — 0, то существует
мономорфизм Ад —*А/В\ 0.. .фА/Вп. По 4) все модули A/Bi нётеровы.
Тогда модуль Ад нётеров, поскольку Ад изоморфен подмодулю нётерова
модуля А/В\ 0... 0 А/Вп. □
9.64. Для полудистрибутивного справа кольца А равносильны
условия:
1) Л совершенно справа;
2) Л совершенно слева;
3) Л артиново справа.
> Импликации 3)=> 1) и 3)=>2) очевидны.
Полудистрибутивные кольца и модули
207
2) => 3) и 1) => 3). Так как Ад — циклический
полудистрибутивный модуль, то Аа — конечная прямая сумма дистрибутивных модулей
А\у .. •, Ап. Если А совершенно слева, то по 9.22(2) все модули Л,- арти-
новы. Тогда А артиново справа. Пусть А совершенно справа. По 9.22(1)
все модули Л/ нётеровы. Тогда Л — нётерово справа совершенное справа
кольцо. По 6.54 Л артиново справа. □
9.65. Для полудистрибутивного кольца А равносильны условия:
1) Л совершенно справа;
2) Л совершенно слева\
3) Л артиново.
> Утверждение 9.65 следует из 9.64 и его симметричного аналога.
9.66. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) все правые А-модули полудистрибутивны;
2) А —артиново справа кольцо и каждый правый А-модуль —
прямая сумма вполне циклических дистрибутивных
неразложимых модулей конечной длины.
> Импликация 2) => 1) очевидна.
1)=>2). Так как по 7.55(3) каждый дистрибутивный модуль 2-
дистрибутивен, то по 8.42 Л артиново справа. По 9.22(3) каждый
дистрибутивный правый Л-модуль X — вполне циклический модуль
конечной длины. Так как М артинов, то X — прямая сумма неразложимых
модулей. □
9.67. Теорема Скорнякова [27]. Если над кольцом А все правые
модули полуцепные, то А — полуцепное артиново кольцо.
> По 9.61 Л — полуцепное кольцо. По 9.66 Л артиново справа. По 9.65
Л артиново. □
9.68. Пусть А — полуцепное артиново кольцо с радикалом J
и п — индекс нильпотентности J.
1) Каждый конечно порожденный или инъективный правый А-
модуль X — прямая сумма вполне циклических цепных
модулей длины ^ п.
2) Если Y — правый А-модуль и YJn~l ^0, то Y имеет ненулевое
инъективное цепное прямое слагаемое.
3) Для каждого правого А-модуля М существует такое прямое
разложение М = X 0 У, что X — инъективный полуцепной
модуль и YJn~l=0.
ь 1) По 9.63 и 9.22(3) X =0/6/ Xt и для любого / Xt — вполне
циклический цепной модуль, XiJn = 0. Пусть iel. Так как Xt — цепной модуль,
то для любого натурального k ^ n модуль XiJk~x/XiJk либо прост, либо
Равен нулю. Поэтому Xt — модуль длины ^ п.
208
Плава 9. Дистрибутивные модули и кольца
2) Так как YJn~l Ф 0, то Y имеет такой циклический подмодуль Ру
что PJn~] т^О. По 1) можно считать, что Р — цепной модуль длины ^п.
Тогда Р —модуль длины я, поскольку в противном случае PJn~l = 0.
Инъективная оболочка Q модуля Р неразложима. По 1) Q — циклический
цепной модуль длины ^ я, причем Q содержит подмодуль Р длины п.
Поэтому P = Q — инъективное прямое слагаемое в Y'.
3) По 7.53 существует такое прямое разложение М =Х ф У, что X —
инъективный модуль и К не имеет ненулевых инъективных подмодулей.
По 2) YJn~[ =0. По 1) X — полуцепной модуль. D
9.69. Теорема Накаямы ([246], см. также [112, 25.4.2]).
1) Если А — полуцепное артиново кольцо и п —индекс
нильпотентности У(Л), то каждый А-модуль — прямая сумма
вполне циклических цепных модулей длины ^п.
2) Если А — артиново справа кольцо и каждый конечно
порожденный неразложимый правый А-модуль является полу
цепным, то А — полуцепное артиново кольцо.
> 1) Будем вести индукцию по п. При п= 1 А — полупростое кольцо,
каждый Л-модуль полупрост и утверждение верно. Допустим, что п > 1,
R = A/Jn~l и каждый ^-модуль —прямая сумма вполне циклических
цепных модулей длины ^ п — 1. Пусть М — правый Л-модуль. По 9.68(3)
существует такое прямое разложение М =Х ф К, что X — инъективный
полуцепной модуль и YJn~{ = 0. По 9.68(1) X — прямая сумма вполне
циклических цепных модулей длины ^ п. Так как Y — /?-модуль, то по
предположению индукции Y — прямая сумма вполне циклических цепных
модулей длины ^ п — 1.
2) Так как кольцо А артиново справа, то каждый конечно
порожденный правый Л-модуль Af — прямая сумма неразложимых модулей,
являющихся по условию полуцепными. Тогда М — полуцепной модуль.
По 9.62 А — полуцепное кольцо. По 9.65 А — артиново кольцо. □
9.70. Теорема. Для совершенного справа или слева кольца А
равносильны условия:
1) А — дистрибутивное кольцо;
2) над кольцом А все правые модули и все левые модули —
дистрибутивные левые модули Безу над своими кольцами
эндоморфизмов;
3) каждый инъективный или проективный неразложимый
правый А-модуль М — либо дистрибутивный левый End(Af)-
модульу либо левый Ех\А(М)-модуль Безу;
4) А — конечное прямое произведение инвариантных цепных
артиновых колец.
Дистрибутивно порожденные кольца
209
о Импликация 2)=>3) очевидна. Импликация 3)=>1) следует из
того, что по 9.49 Л — конечное прямое произведение цепных колец.
Импликация 1)=>4) следует из 9.23 и 9.24. Импликация 4)=>2) следует
из 9.69(1), 9.48(2) и того, что А — инвариантное артиново полуцепное
дистрибутивное кольцо. □
9.71. Пример. Кольцо целых чисел Z — коммутативная
дистрибутивная нётерова область Безу, над которой не все модули эн-
додистрибутивны.
Хорошо известно и непосредственно проверяется, что Z
—коммутативная дистрибутивная нётерова область. По теореме 88.4 из [113]
существует такая абелева группа Af, что Af — неразложимая группа без
кручения ранга 2 и все эндоморфизмы группы М являются
умножениями на целые числа. Тогда множество всех Епс)(А4)-подмодулей
группы Af совпадает со множеством всех ее Z-подмодулей. Z-модуль М не
дистрибутивен, поскольку Af содержит прямую сумму двух изоморфных
ненулевых подгрупп. Поэтому Епс1(М)-модуль Af не дистрибутивен. □
Дистрибутивно порожденные кольца
9.72. Пусть М — дистрибутивно порожденный модуль над
кольцом Ау т.е. М = £/€/ Af/, где все модули Af/ дистрибутивны.
1) Af— гомоморфный образ полудистрибутивного модуля
2) Если М конечно порожден, то существует такое конечное
подмножество {1, ..., п) С /, что Af = Yl?=\ Mt и М —
гомоморфный образ полудистрибутивного модуля 0f=1 Af/.
3) Если М локален, то М дистрибутивен.
4) Если М локален и A/J (А) — простое артиново кольцо, то М —
цепной модуль.
> Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) Так как Af конечно порожден и Af = 5Z/€/ ^i, то существует такое
конечное подмножество {1, ..., я} С /, что Af = X^=I Af/. По 1) Af —
гомоморфный образ полудистрибутивного модуля 0^! Af/.
3) Так как М конечно порожден, то по 2) существует такое конечное
множество {Af 1, ..., Af„} С Lat(Af), что М = X)/Li Af«- Так как каждый
собственный подмодуль локального модуля Af мал в Af, то хотя бы один
из дистрибутивных модулей Af/ совпадает с Af.
Пункт 4) следует из 1) и 9.7(4). □
9.73. Пусть А — кольцо и X — класс всех дистрибутивно
порожденных правых А-модулей.
210
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
1) X замкнут относительно перехода к гомоморфным образам.
2) X совпадает с классом всех гомоморфных образов
полудистрибутивных А-модулей.
> 1) Пусть й: M-+N — модульный эпиморфизм и М = Ylief ^'» где все
Mi дистрибутивны. Тогда все й(М,) дистрибутивны, h(M) = ^2ieI h(M[).
Пункт 2) следует из 9.72(1). □
9.74. Пусть А — дистрибутивно порожденное справа кольцо.
1) Каждый гомоморфный образ кольца А — дистрибутивно
порожденное справа кольцо.
2) еАе — дистрибутивно порожденное справа кольцо для
каждого ненулевого идемпотента ее А.
3) Для каждого s е N кольцо матриц As дистрибутивно
порождено справа.
4) Для каждого конечно порожденного проективного правого
А-модуля М кольцо End(Af) дистрибутивно порождено
справа.
5) Каждый правый А-модуль М дистрибутивно порожден и
существует такое множество {Л;}/6/ дистрибутивных правых
идеалов в Ау что М — гомоморфный образ
полудистрибутивного модуля ф/€/ Л/. Кроме того, если М конечно порожден,
то множество I можно выбрать конечным.
6) Каждый локальный правый А-модуль дистрибутивен.
7) Если А — локальное кольцо, то А — цепное справа кольцо.
> Пусть А а = Y%=\ Bt> гДе все правые идеалы Bt дистрибутивны.
Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) По 5.57(3) все eBte — дистрибутивные правые еЛе-модули. Кроме
того, еАе = e(53/!=i В'*)е — £/==i ^fte. Поэтому еАе дистрибутивно
порождено справа.
3) Пусть R = As и Rk — правый идеал в /?, образованный всеми такими
матрицами (а,-/), что ац = 0 для / ^ k, k = 1, ..., s. Так как /?# — прямая
сумма изоморфных правых идеалов /?*, k = 1, ..., sy то достаточно
доказать, что R\ —дистрибутивно порожденный правый /^-модуль. Так как
А = YH=i ^i» то пРавый /?-модуль R\ — сумма его подмодулей Х\, ..., ХПу
где ^/ — множество всех таких матриц из R\y что a\j Е В,- для всех /.
Так как все Bt —дистрибутивные правые Л-модули, то все Xt
—дистрибутивные правые /?-модули. Поэтому R\ —дистрибутивно порожденный
правый /?-модуль.
4) По 9.73(1) М дистрибутивно порожден. Пусть М = ]T/L=i т,Л. Так
как М — ^-порожденный проективный Л-модуль, то М изоморфен
прямому слагаемому прямой суммы п изоморфных копий модуля Ад. Поэтому
Дистрибутивно порожденные кольца
211
существует такой идемпотент е матричного кольца Ап, что кольцо End(Af)
изоморфно кольцу еАпе. По 2) и 3) кольцо End(Af) дистрибутивно
порождено справа.
5) Так как каждый свободный правый Л-модуль дистрибутивно
порожден, то 5) следует из 9.72(1), 9.72(2) и того, что каждый модуль —
гомоморфный образ свободного модуля.
Пункты 6) и 7) следуют из 5), 9.72(3) и 9.72(4). □
9.75. Пусть А —кольцо и X — класс всех таких колец X, что
первичный радикал кольца X содержит каждый нильидеал кольца
X.
1) Если АеХ, то для каждого ненулевого идемпотента eGA
еАе е Л.
2) Если {e;}JL, — полное множество ненулевых ортогональных
идемпотентов в А и все кольца е[Ае\ лежат в Ху то АеХ.
3) Если существует такое полное множество {еЛ"=1 ненулевых
ортогональных идемпотентов в Л, что каждое кольцо etAei
дистрибутивно справа или слева, то АеХ.
4) Если {М;}"=| — конечное множество модулей и все кольца
End(Af/) лежат в X, то для любого прямого слагаемого М
модуля 0£_i Mi кольцо End(Af) принадлежит X.
> 1) Пусть /V — первичный радикал кольца А. Непосредственно
проверяется, что eNe — первичный радикал кольца еАе. Пусть Х = еХе =
= еАеХеАе — нильидеал кольца еАе, а, Ь е Л и х = ехе € X. Так как
еЬаехе содержится в нильидеале X кольца еАе, то (ebaexe)n = 0 для
некоторого п € N. Тогда
{axb)n+2 = (aexeb)n+2 = aexeb{aexeb)n aexeb =
= аехе(еЬаехё)п ebaexeb = 0.
Поэтому АхА — нильидеал кольца А. По предположению АхА CN.
Поэтому х = ехе € eNe wXC. eNe.
2) Надо доказать, что каждый нильидеал В кольца А содержится
в первичном радикале N. Так как N — полупервичный идеал, то
достаточно доказать включение Вп CN. Пусть S — множество всех перестановок
5 множества {1, ..., п). Тъккш В = Y^=\ £y=1 eiBej и (eiBej)(etBek) = 0
для \ф /, то В» = £•=! Eses E/-1 е-'Ве*Мв • ■ ■ Bes{n)Beh
Достаточно доказать, что eiBeS(\)B ... BeS(n)Be} e N для любых
фиксированных /, s и /. Непосредственно проверяется, что eiBeS(\)B...
•.. BeS(n)Bej С AekBekA для некоторого k е {1, ..., п). Также
непосредственно проверяется, что e^Nek — первичный радикал кольца £*Ле*- Так
212
Глава 9. Дистрибутивные модули и кольца
как нильидеал ekBek кольца ekAek содержится в ekAek по условию, то
AekBekA CAekNekA CN. Поэтому eiBes^\)B . ..BeS(n)BejCAekBekACN.
Пункт 3) следует из 2) и 9.12(6).
4) Пусть M^OyN = ®/Li Mi, A = End(N) и е,-: N —Mi —
естественные проекции. Так как е\Ае\ = End(M;), то все кольца е/Ле,- содержатся
в X. Кроме того, е\ +... + еп — единица кольца А и et — ненулевые
ортогональные идемпотенты кольца А. По 2) А е А Так как М — ненулевое
прямое слагаемое в Ny то существует такой ненулевой идемпотент е € Л,
что кольцо End(Af) изоморфно кольцу еАе. По 1) еЛе Е X. Поэтому
End(Af)eA\ D
Кольцо А называется дистрибутивно разложимым справа, если
его единица является суммой таких ненулевых ортогональных идемпо-
тентов е\, ..., е„, что все кольца е/Ле,- дистрибутивны справа.
9.76. Теорема. Пусть X — класс всех таких колец Ху что
первичный радикал кольца X содержит каждый нильидеал кольца X.
1) Класс X содержит все дистрибутивно разложимые справа
или слева кольца. Кроме того, если М — прямое слагаемое
конечной прямой суммы дистрибутивных модулей М\, ..., Мп,
то End(M)eX.
2) Если М — самопроективный модуль и М —конечная сумма
дистрибутивных модулей М\, ..., Мп, то End(Af) e X.
3) Кольцо эндоморфизмов любого конечно порожденного
самопроективного дистрибутивно порожденного модуля
принадлежит X.
> Пункт 1) следует из 9.75(3), 9.75(4) и 9.12(6).
2) Обозначим N = 0JI==1 Af/. Существует эпиморфизм h: N —► М. Так
как М самопроективен, то по 7.3 М М-проективен. По 7.4 Кег(Л) —
прямое слагаемое в N. Поэтому М изоморфен прямому слагаемому в /V.
По 1) Еп6(М)еХ.
3) Пусть М — конечно порожденный самопроективный модуль и М =
==Xwe/ Mi, где все модули Af,- дистрибутивны. Так как М конечно
порожден, то существует такое конечное подмножество / в /, что М = Y^ieJ ^'*
По 2) End(Af)GA □
9.77. Теорема. Пусть А —дистрибутивно порожденное справа
кольцо и Р(А) — его первичный радикал.
1) Для каждого конечно порожденного проективного правого
А-модуля М кольцо End(Af) дистрибутивно порождено
справа и его первичный радикал содержит каждый нильидеал
кольца End(Af).
Дистрибутивно порожденные кольца
213
2) Р(А) содержит каждый нильидеал кольца А. Кроме того, если
J(А) — нильидеал, то J(A) = Р(А). В частности, если J(A) —
нильидеал и А полу первично, то А полу примитивно.
> 1) По 9.74(4) End(Af) дистрибутивно порождено справа. По 9.76(3)
первичный радикал кольца End(Af) содержит каждый его нильидеал.
2) Из 1) и естественного изоморфизма Л = End^) следует, что Р(А)
содержит каждый нильидеал кольца А. Поэтому если J (А) — нильидеал,
то 1(A) С Р(А). Так как Р(А) — нильидеал, то N С J(A). □
Упражнения
9.78 ([17]). Существуют полудистрибутивные нётеровы
полупервичные ненаследственные кольца, а также
полудистрибутивные нётеровы кольца, не являющиеся прямыми произведениями ар-
тиновых колец и полупервичных колец.
9.79. Пусть А — предкольцо и А1 — кольцо с единицей из 3.21.
1) Если М — правый Л-модуль, то Af — дистрибутивный Л-модуль
в точности тогда, когда для любых двух элементов т\, т% Е М
существуют такие z, y\, y% G Z и a,b\,b<i€. А, что т\а + zm\ =
= Ш2^2 +1/2^2 и m<i — m2a-zm2 = m\b\ +y\m\.
2) Л1—дистрибутивное справа кольцо & Л1—дистрибутивный
правый Л-модуль & для любых а\, а% € Л и х\, Х2 G Z
существуют такие z, Х\, *2, */ь У2€% и а, 6ь &2^Л, что
a\a + x\a + za\ = Я2&2 + *2*2 + 4/2^2,
Я2 — ага — *2Я — гаг = ajfej + Jti6i + */iai,
«I = «/2^2, ^2-2X2 = У\Х\.
3) Если В —дистрибутивный правый идеал в Л и М — максимальный
подмодуль в В а, то М — идеал предкольца В.
> Пункт 1) следует из 3.21(1) и 9.2. Пункт 2) следует из 1) и 3.21(1).
3) Для любого b е В возьмем такой эндоморфизм fb € End(B,4), что
fb(x) = bx для всех хеВ. По 9.5 и 3.21 М вполне инвариантен в Вд.
Поэтому ВМ С М и М — идеал в В. □
Литература. [4-8,11,24,35-37,42-50,52-69,71,73,96,102-108,110,
115-118,121,152-157,157-160,163,164,170,171,179,181,184-188,193-
198,201 -206,208,210,214,220,220,221,221,226-228,235-238,243-245,
266-268,271,272,282,282,287-291,297,305-307,310,311].
10
Кольца частных и локализуемые кольца
Множества Оре и порядки в полупростых кольцах
Пусть Л — кольцо. Элемент а € Л называется неделителем нуля
в Л, если гл(а) =^д(а) = 0. Подмножество S С Л называется
мультипликативным, если S — подмоноид мультипликативного моноида Л, не
содержащий нуль кольца Л. Подмножество SCA называется
перестановочным справа (слева), если для любых а е А и 5 € S существуют
такие b е А и t e S, что at =sb (ta = fcs). Множество 5 называется
правым (левым) множеством Оре (в А), если S — перестановочное
справа (слева) мультипликативное подмножество в Л и каждый элемент
из S — неделитель нуля в Л.
10.1. Подмножество S кольца Л —правое (левое) множество Оре
в точности тогда, когда существует такое кольцо Л5-1 (кольцо S~M),
содержащее Л в качестве унитарного подкольца, что
S С U(AS~l), AS~l = {as^1 \ a e A, s e 5}
(S с U(S~lA), S~[A = {s~la \ a e A, s e S}).
> Рассмотрим только правосторонний случай.
<=. Пусть s € S и а е Л. Так как 5 G (/(Л5-1), то s — неделитель нуля
в Л. Существуют такие Ь еА и / eS, что s""1a = &/~1. Тогда at = sb и 5
перестановочно справа.
=>. Пусть Л х S —декартово произведение множеств Л и S.
Определим отношение ~ на Л х S так, что
(a, s) ~ (a\, si) <& ab = ai6i, 56 = si^i e S
для некоторых 6, b\ e A.
Непосредственно проверяется, что ~ —отношение эквивалентности на
A xS. Пусть AS~l —фактормножество (Л х S)/~, h: A xS —>AS~] —
естественная сюръекция и g: Л —► Л xS—такое отображение, что
а —» (а, 1). Обозначим / = /zg: Л —> AS~l. Тогда (а, 1) ~ (а\, 1) для
любых таких а, а\ € Л, что /(а) = f(a\). Поэтому существуют такие
Ь, Ь\ еА, что ab — a\b\ и \ -b = \ -b\ eS. Тогда 6 = ^ €5. Так как Ь —
неделитель нуля, то а = а\ и отображение / инъективно.
Множества Оре и порядки в полупростых кольцах 215
Допустим теперь, что х = h((a, s)) G AS~[ и у = h((a\, s\)) e AS"1.
Существуют такие а^ аз е А и $2, $з е ^, чт0 sa2 = si52 ^ 5 и sa3 = а^з.
Для любых х, (/G/4S_I положим
х + у = А((аа2 + Я1$2, sis2)), х-у = A((aa3f Sj53)).
Непосредственно проверяется, что определенные выше операции
превращают AS~l в кольцо с единицей А((1, 1)) и /: Л —>Л5-1
—кольцевой мономорфизм. Тогда A((l, s)) = (/(s)"1), для любого s E S, откуда
А((а, 5)) = f(a)f(s)~l. Можно отождествить Л и /(Л). □
10.2. Подмножество S кольца Л —правое и левое множество Оре
в точности тогда, когда существует такое кольцо S~lAS~{, что
S~lAS-1 =AS~l =S'lA,
т.е. Л —унитарное подкольцо в S~[AS~{, SQ U(S~lAS~l),
S-lAS~l = {as"1 | a G Л, seS} = {Г !ft | 6 e Л, <6S}.
В этом случае кольцо S~lAS~l называется двусторонним кольцом
частных кольца А относительно S.
> По 10.1 существует правое кольцо частных AS~l. Пусть xeAS"1.
Существуют такие s € S и а е А, что х = as"1. Так как S — левое
множество Оре, то ta = bs для некоторых / € S и 6 Е Л. Тогда jc = as~~1 = t~xb
и Л5-1 —двустороннее кольцо частных S~MS~!. □
10.3. £сли S — правое (левое) множество Оре в А и g\ A-+B —
такой кольцевой гомоморфизм, что g(S) С 11(B), то
существует такой единственный кольцевой гомоморфизм A: AS~] —* В
(A: S-,i4 —>В), что g — ограничение А яа Л. (Кроме того, если g —
мономорфизм, то А также мономорфизм.) В частности, кольца
частных AS"1 и S~XA являются единственными с точностью до
изоморфизма.
> Определим отображение A: AS"1 —> В равенством h(as"x) =
= g(a)g(s)-1 (я € Л, 5 eS). Сначала докажем, что А задано корректно.
Для любых таких b еА и zeS, что as-1 =bz"1, существуют такие с еА
и t eS, что z~1s = c/~! и a = bz"xs = bct~[. Поэтому
at = ftc, st = zc, g(af) = g(bc), g(st) = g(zc).
Так как g(s), g(z) e U(B), то g(a)g(s)~x = ^)^(г)""1. Поэтому А
корректно задан и А|Л = g. Единственность А проверяется непосредственно.
Так как Ker(g) = 0, то Кег(А) = 0. П
Элемент а кольца Л называется правым (левым) делителем нуля
в Л, если £a(u) Ф 0 (гд(а) Ф 0). Если мультипликативное множество S всех
неделителей нуля кольца Л — правое (левое, правое и левое) множество
216 Плава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
Оре, то А называется правым (левым, двусторонним) кольцом Оре,
а правое (левое, двустороннее) кольцо частных кольца А относительно
5 называется классическим правым (левым, двусторонним) кольцом
частных кольца А и обозначается QC\(A) (C\Q(A), c\Qc\(A)). В этом
случае также говорят, что А — правый порядок (левый порядок, порядок)
в Qc\(A) (в c\Q(A)y c\Qc\(A)). Правые (левые, двусторонние) кольца Оре,
являющиеся областями, называются правыми областями Оре (левыми
областями Оре, областями Оре).
Замечание. Если 5 —множество всех неделителей нуля кольца А,
то А обладает классическим правым (левым) кольцом частных QC\(A)
(c\Q(A)) в точности тогда, когда для любых а е А и s € S существуют
такие b € А и / е S, что at = sb (ta = bs).
10.4. Инвариантное справа кольцо А — нормальное кольцо, в
котором каждое подмножество S перестановочно справа, причем
если все элементы из S — неделители нуля в А, то существует
правое кольцо частных AS~X и, в частности, А имеет классическое
правое кольцо частных. Кроме того, каждое инвариантное кольцо
обладает классическим кольцом частных.
> Пусть кольцо А инвариантно справа, e = e2eAuSCA. Тогда
АеА(\-е)А+А(\-е)АеА СеАп(\-е)А =0,
as esA для всех аеА и s €S, S перестановочно справа, и 10.4 следует
из \0Л и 10.2. □
10.5. Теорема Оре. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — правая область Оре;
2) А — равномерная справа область;
3) А — конечномерная справа область;
4) А — правый порядок в некотором теле Q.
В этом случае Q — равномерный правый А-модуль. Поэтому
каждое подкольцо в Q, содержащее А, равномерно справа и
является правым порядком в Q.
> Эквивалентность 1)^»2) и импликация 2)=>3) проверяются
непосредственно. Импликация 3)=>2) доказана в 4.37.
2) «=>4). Так как подкольцо тела — область, то можно считать, что А —
область. По 10.1 можно считать, что Л —правая область Оре, в
которой множество S всех ненулевых элементов — правое множество Оре,
и существует правое кольцо частных /IS"1. Так как каждый элемент
кольца AS~X имеет вид as~\ где a, s GS, to AS~l —тело. Оставшаяся
часть 10.5 проверяется непосредственно. □
10.6. Верны утверждения.
Множества Оре и порядки в полупростых кольцах 217
1) Каждая область, являющаяся либо инвариантным справа,
либо нётеровым справа, либо дистрибутивным справа
кольцом, равномерна справа и является правым порядком в теле.
2) Если А — правая область Везу, то А — полунаследственная
(справа и слева) равномерная справа область, являющаяся
правым порядком в теле, и пересечение любых двух
ненулевых главных правых идеалов кольца А — ненулевой главный
правый идеал.
3) А — конечномерное справа редуцированное правое кольцо
Везу в точности тогда, когда А — конечное прямое
произведение полунаследственных равномерных справа правых
областей Везу.
4) А — дистрибутивное справа несингулярное справа
полулокальное кольцо о А — несингулярное справа правое кольцо
Везу и A/J(A) — конечное прямое произведение тел <=> А —
редуцированное кольцо, все циклические правые А-модули
вполне конечномерны, А — конечное прямое произведение
равномерных справа полунаследственных правых областей
Везу Ai и все факторкольца Ai /J (At)— конечные прямые
произведения тел.
5) А — полулокальное редуцированное правое кольцо Везу в
точности тогда, когда А — конечное прямое произведение
полулокальных равномерных справа полунаследственных
правых областей Везу Ai и все циклические правые Аь-модули
вполне конечномерны.
> Пункт 1) следует из 10.4, 10.5 и 9.14(1).
2) Пусть А — правая область Безу, х, у е А, х ф 0 и хА П у А = 0. Так
как хА + уА — главный правый идеал, то существуют такие а, Ь, с, d € Л,
что
(xa + yb)c = х, (xa + yb)d = у, х(\ —ас) = ybc, y(\-bd)=xad.
Так как х(\ - ас) = ybc е хА П уА = 0, xad = у(\ - bd) е хА П уА = 0
и х ф 0, причем Л —область, то ас = 1 и ad — 0. Тогда (са)2 = са,
откуда са = 1 и а, с е U(A). Так как ad = 0 и а е U(A), то d = 0
и у = (ха + yb)d = 0. Поэтому область А равномерна справа. По 10.5 Л —
правый порядок в теле. По 8.29 все правые идеалы области А плоские.
По 8.33 область А полунаследственна.
Пусть Офх, у € А. Так как А — равномерная справа область, то
хА П у А ф 0. По условию хА + у А — главный правый идеал.
Поэтому хА + у А — циклический проективный модуль. Тогда ядро хА П у А
естественного эпиморфизма хА 0 у А —»хА + у А — прямое слагаемое 2-
218 Плава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
порожденного модуля хАфуА. Поэтому 2-порожденный правый идеал
хАПуА правого кольца Безу А — главный правый идеал.
3) Достаточно доказать только =>. Так как А конечномерно справа,
то найдется такой существенный правый идеал В = ©f_i Bly что все
Bt — равномерные главные правые идеалы. Так как Л—правое кольцо
Безу, то В — ЬА, По 6.36(1) А несингулярно справа. Поэтому £(Ь) = 0.
По 6.34(4) г(а) = 0. Поэтому А а = Я/ь А —конечная прямая сумма
равномерных правых идеалов. Кроме того, по 6.36(1) А нормально. Поэтому
А — конечное прямое произведение равномерных справа несингулярных
справа колец Ль ..., Л„. Все Л/ — правые области Безу. По 2) все Л/ —
полунаследственные области.
Пункт 4) следует из 3), 9.15(4) и 9.14(7). Пункт 5) следует из 3)
и 5.39(4). D
10.7. Пусть Q — правое кольцо частных кольца А относительно
правого множества Ope S.
1) Для любых <7ь • • •» Qn^Q существуют такие s eS и а\у ...
..., апеАу что qt = a,s~1 при 1 = 1, ..., п.
2) Если л Е N и N — п-порожденный подмодуль в aQ> то
существует такой элемент s e S, что Ns — п-порожденный
левый идеал в Л, изоморфный N как левый А-модуль. Поэтому
каждый конечно порожденный подмодуль в aQ изоморфен
конечно порожденному левому идеалу кольца А.
3) Для каждого ненулевого правого идеала В в А и любого
ненулевого элемента q правого идеала BQ в Q существует такой
элемент s eSy что 0 ^ q € В П qA. Поэтому правый идеал BQ
в Q совпадает с {bs~l \ b e By s eS} и Qa — существенное
расширение А а.
4) Если X — ненулевой правый идеал в Q, то X = (X П A)Q =
= {as~l \аеХГ\Ау s eS}y X ПА — ненулевой правый идеал в А
и для любого правого идеала Y в Qy строго содержащего Ху
правый идеал Y Г)А в А строго содержит правый идеал ХпА
в А.
5) (ВПC)Q = BQf)CQ и (В + C)Q = BQ + CQ для любых правых
идеалов В и С в А. Поэтому если В П С = 0, то BQ П CQ = 0.
> 1) Достаточно рассмотреть случай п — 2. Существуют такие dt еЛ
и Si eSy что qi =diSfly /=1,2. Так как S перестановочно справа, то
S\U\ =52^2 = s Для некоторых U\ eS и U2€:A. Так как s\ eS и и\ eS, то
s eS и s e U(Q). Обозначим a,- =d/W/. Тогда
sfl = UiS~\ a/5_I = diUis'1 = diSf{(s-tUiS~l) = qt (I = 1, 2).
Множества Оре и порядки в полупростых кольцах 219
2) По 1) W = ]Г"=1 Ла/s"1 для некоторых s eS и а\, ..., ап еА. Тогда
Л/s = Z)?=i Aai —^-порожденный левый идеал в А, Равенство f(x)=xs
определяет изоморфизм /: N —>^yVs.
3) Существуют такие Ь\у ... у Ьп € В и si, ..., s^ G S, что q =
£"=i ^'^Г1* ^о 1) существуют такие s € S и aj, ..., an e А, что s~l =
= a;S~! для каждого / = I, ..., п. Если b — элемент £"=1 й,-а/ правого
идеала В в А, то 0^^5 = (^==1 bi(iiS~l)s =beB.
4) Пусть 0 ^ Jt E А\ ПоЗ) O^xs еХ ПА для некоторого s e S. Тогда
x = xss~l e{as~l \aeXnA, s eS}. Поэтому
X = (*ПЛ)<? = {as"1 | а еХпЛ, s € S}
и X П Л — ненулевой правый идеал в А. Пусть у GY\X и у = ЬиГх, где
&ЕЛ и w€S. Так как */^Л\ то ft ^A\ Тогда b=yueY и YnA^XnA.
5) Непосредственно проверяется, что (В + С)ф = SQ + Сф. Пусть
q eBQnCQ. По 3) ^ = 65j"1 = с$2-1 для некоторых b €fi, с € С, Si eS
и S2 € S. По 1) существуют такие а\, а^^А и 5 € S, что 5J"1 =ai5_1
и S2""1 =a25-1. Тогда
<7 = ba\s~l = ca2S_l, toi = cu2 € fiflC, 4 e (BnC)Q.
Поэтому BQ П CQ D (B n C)<? С S<? n CQ. П
10.8. Пусть Q — правое кольцо частных кольца А относительно
правого множества Ope S, В — ненулевой правый идеал в А, X —
ненулевой правый идеал в Q.
1) Если BA=Qie/ Bt и В^О, i € /, то BQQ = ®ie/(BiQ) и BtQ ф0,
/€/.
2) fcyiw *Q = ф.€/ X,- a X,- ^ 0, / € /, mo (X П Л)„ = ф/€/№ П Л)д
u (XiDAUф0, i€/.
3) В — существенный правый идеал в А в точности тогда,
когда BQ — существенный правый идеал в Q.
4) X — существенный правый идеал в Q в точности тогда,
когда X П А — существенный правый идеал в А.
5) fQ(C) = rA(C)Q для любого подмножества С С Л.
6) Если £ — множество всех правых идеалов Е в А с условием
Е = АПEQ, то £ — подрешетка решетки всех правых
идеалов в Л, решетка всех правых идеалов кольца Q изоморфна
решетке £ и решетка £ содержит каждый правый идеал в Л,
являющийся конечной прямой суммой правых идеалов в А,
содержащихся в £.
7) Если аеА, то aQ = Q в точности тогда, когда ab eS для
некоторого be А.
220 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
> Пункт 1) следует из 10.7(5). Пункт 2) следует из 10.7(4) и 1).
Пункты 3) и 4) следуют из 2) и 10.7(5). Пункт 5) следует из равенства
rA(C) = ADrQ(C) и того, что по 10.7(5)
(AnrQ(C))Q = QnrQ(C) = rQ(C).
Пункт 6) следует из 1), 2) и 10.7(5).
7) Если aQ — Q, то abs~x = 1 для некоторых b еА и s eS, и поэтому
ab = s. Если ab=s для некоторых b €Л и s eS, to abs~[ = 1 и aQ = Q.
П
10.9. Пусть Q — правое кольцо частных кольца А относительно
правого множества Opelfr.
1) Q конечномерно справа (равномерно справа) в точности
тогда, когда А конечномерно справа (равномерно справа).
2) Q — кольцо с условием максимальности (минимальности) для
правых аннуляторов «=> Q — кольцо с условием
минимальности (максимальности) для левых аннуляторов «=> А — кольцо
с условием максимальности (минимальности) для правых
аннуляторов.
3) Q — правое кольцо Голди в точности тогда, когда А —
правое кольцо Голди.
4) Q несингулярно справа в точности тогда, когда А
несингулярно справа.
5) Q редуцировано в точности тогда, когда А редуцировано.
6) А — область в точности тогда, когда Q — область.
7) Q — тело в точности тогда, когда для каждого ненулевого
аеА существует такой элемент b еА, что ab е Т.
> Пункт 1) следует из 10.8(1) и 10.8(2), 2) —из 10.8(5) и 6.26, 3)-из
1) и 2).
4) Импликация =ф следует из 10.8(5) и 10.8(4). Докажем импликацию
<=. Пусть q eQ и rQ(q) — существенный правый идеал в Q. Существуют
такие аеА и t еТ, что q =at~l. Так как Q = t~lQ, то правый
идеал t~lrQ(q) в Q существенен. По 10.8(4) A Dt~lrQ(q) — существенный
правый идеал в А. Так как a A nt~lrQ(q) = 0, то а = 0. Поэтому q =0.
5) Импликация =ф следует из того, что каждое подкольцо
редуцированного кольца редуцировано. Докажем <=. Пусть q e Q и q2 = 0.
Существуют такие а € А и t e T, что q = at~l. Так как Т
перестановочно справа, то аи = tb для некоторых и е Т и b e А. Тогда
0 = q2tu = at~lau = ab. Так как А редуцировано, то по 6.34 аАЬ=0
и г(а) = г(а2). Тогда а2и = atb = 0 и и е г(а2) = г(а). Поэтому аи = 0,
а = 0 и q = 0.
Множества Оре и порядки в полупростых кольцах 221
6) Импликация <= следует из того, что каждое подкольцо области —
область. Докажем =>. Пусть р, q eQ> pq = 0, рфО. Существуют такие
a, b еА и t, иеТ, что р = at~l и q = bu~l. Так как at~l фО, то афО.
Существуют такие v е Т и с е Ау что t~lb = cv~l. Тогда
0 = рг7 = at~xbu~x — acv~lu~], ас = 0, а ^ 0,
с = 0, /_16 = су-1 =0, 6 = 0.
Поэтому q = £ш-1 = 0 и Q — область.
Пункт 7) следует из следующих эквивалентностей: Q — тело Ф> для
любого ненулевого а € Л и каждого « G Г элемент аи~1 обратим справа
в(? ^ каждый ненулевой элемент аеА обратим справа в Q «=> для
каждого ненулевого а € А существует такой элемент b € А, что ab € Т.
Первая и вторая эквивалентности проверяются непосредственно. Третья
эквивалентность следует из 8(7). □
10.10. Пусть Q — правое кольцо частных кольца А
относительно правого множества Орё*Г.
1) Если А нётерово справа, то Q нётерово справа.
2) Если каждый неделитель нуля любого факторкольца А
кольца А обратим в А, то канонический гомоморфизм /: А —► Q
сюръективен. В этом случае кольцо Q изоморфно фактор-
кольцу Л/Кег(/).
3) Если Р — идеал в Q и идеал РГ)А кольца А первичен
(полупервичен), то Р —первичный (полупервичный) идеал в Q.
В частности, если А первично (полупервично), то Q
первично (полу первично).
4) Пусть либо кольцо Q нётерово справа, либо Т — центральное
подмножество в А. Тогда (BC)Q = (BQ)(CQ) для любых
правых идеалов В и С в А. Кроме того, кольцо Q полупервично
(первично) в точности тогда, когда кольцо А полупервично
(первично).
5) Q — полупростое кольцо в точности тогда, когда В П Т Ф 0
для каждого существенного правого идеала В в А. Кроме
того, если Q полупросто, то А — несингулярное справа
полупервичное правое кольцо Голди с условием максимальности
для левых аннуляторов.
6) Q — простое артиново кольцо в точности тогда, когда А —
первичное кольцо и ВГ)Тф0 для каждого существенного
правого идеала В в А.
* Пункт 1) следует из 10.8(6), а 2) следует из определения кольца Q.
222 Плава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
3) Рассмотрим только случай первичных идеалов и колец, поскольку
полупервичный случай рассматривается аналогично. ПустьX и Y —такие
правые идеалы в Qy что Р С Ху Р С Y и XY С Р. Тогда
РпА СХГ\АУ РпА С КпЛ, (XnA)(YnA) CPnA.
Так как Р П А — первичный идеал в Л, то либо X П А С Р С Л, либо
К П Л С Р С Л. Допустим, что X П Л С Р С Л. По 7(4) X = (X П Л)<? С
С(РСЛ)^ = Р. Поэтому Q первично.
4) По 3) достаточно доказать первое утверждение. Если Т
центрально, то утверждение проверяется непосредственно. Допустим, что
Q нётерово справа. Пусть b € Ву с € С и t € Т. Достаточно
доказать, что bt~{d G (ВС)т- Так как Q нётерово справа, то его
правый идеал ICSo*""1^ конечно порожден. Поэтому существуют такие
<7о, .. •, qn € <?, что /-rt-1d = £"=0 /*/d?l-. Поэтому
л я
ГЫ = ^t^dqi, bt~ld = Y^btn-'ldqi € (ЯС)Г.
;=о /=о
5) Докажем =4>. По 10.8(3) BQ — существенный правый идеал
полупростого кольца Q. Поэтому BQ = Q и 1 eBQ, По 10.7(3) 1 = W_I для
некоторых ЬеВ и t еТ. Поэтому b = t еВпТ.
<£=. По 5.8 достаточно доказать, что каждый существенный правый
идеал X в Q совпадает с Q. По 10.8(4) X П Л — существенный правый
идеал в Л. По условию ХГ)АпТ = ХпТ^0. Пусть t еХпТ. Тогда
i = /r!Gxg=^H^ = (3.
Второе утверждение следует из 4), 10.9(2—4).
6) По 6.2 и 5.16 Q — простое артиново кольцо в точности тогда, когда
Q — первичное полупростое кольцо. Поэтому 6) следует из 5) и 4). □
10.11. Теорема Голди. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — правый порядок в полупростом кольце;
2) в А множество всех существенных правых идеалов
совпадает с множеством всех правых идеалов, содержащих хотя бы
один неделитель нуля;
3) Л — конечномерное справа полупервичное кольцо с условием
максимальности для левых аннуляторов;
4) Л — полупервичное правое кольцо Голди;
5) Л конечномерно справа, несингулярно справа и полупервично.
> Эквивалентность условий 2), 3), 4), 5) доказана в 6.32. Импликация
1)=>3) следует из 10.10(5).
2) => 1). Пусть Т — множество всех неделителей нуля вЛ,яеЛ,/е7\
В = {b e А | ab e tA}. По условию tA —существенный правый идеал.
По 6.21(5) В — существенный правый идеал. По условию существует
Порядки в локальных и цепных кольцах
223
t' € В Г) Т. Тогда at = to! для некоторого а1 е А. Поэтому Г — правое
множество Оре и А имеет классическое правое кольцо частных Q.
По 10.10(5) Q — полупростое кольцо. □
10.12. А — правый порядок в простом артиновом кольце ф> Л —
первичное правое кольцо Голди &> А — несингулярное справа
конечномерное справа первичное кольцо &> А — конечномерное справа
первичное кольцо с условием максимальности для левых аннулято-
ров.
Утверждение 10.12 следует из 10.11 и 10.10(6).
10.13. А —правый порядок в конечном прямом произведении
тел & А — правый порядок в артиновом справа редуцированном
кольце <=> А конечномерно справа и редуцировано.
В 10.13 первая эквивалентность следует из 6.4, а вторая
эквивалентность следует из 10.11 и того, что по 6.36(1) все редуцированные кольца
несингулярны.
10.14. А — порядок в полупростом кольце <=> А —
конечномерное слева полупервичное правое кольцо Голди ф> А — конечномерное
справа полупервичное левое кольцо Голди & А — несингулярное
справа конечномерное полупервичное кольцо & А— несингулярное
слева конечномерное полупервичное кольцо о А — несингулярное
конечномерное полупервичное кольцо.
> По 10.11 можно считать, что А — полупервичное конечномерное
кольцо, являющееся правым или левым порядком в полупростом артиновом
кольце Q. Так как Q — кольцо с условиями максимальности для
правых и левых аннуляторов, то по 10.9(2) и 6.27 можно считать, что А —
полупервичное несингулярное кольцо с условиями максимальности для
правых и левых аннуляторов. □
Порядки в локальных и цепных кольцах
10.15. Пусть S—множество всех неделителей нуля кольца А,
Nt и Nr — множества всех левых и всех правых делителей нуля в А
uN = A\S = NeUNr.
1) А — правый порядок в локальном кольце Q в точности
тогда, когда S — правое множество Оре и N —
подполугруппа аддитивной группы кольца А. В этих условиях радикал
Джекобсона J(Q) совпадает с множеством N всех левых или
правых делителей нуля в Q и N — вполне первичный идеал
в Ау совпадающий с A DJ(Q).
2) А — правый порядок в цепном справа кольце Q в точности
тогда, когда N — левый идеал мультипликативной полугруп-
224 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
пы кольца А и для любых а\1й2^А или существуют
такие Ь\€А и S\ eSy что a\b\ = a2S\y или существуют такие
Ъъ^А и S2 Е S, что а2&2 = Д1$2. В этих условиях А
равномерно справа, радикал Джекобсона J(Q) совпадает с
множеством N всех левых или правых делителей нуля в Qy N —
вполне первичный идеал в А, совпадающий с A(lJ(Q)y Ni —
вполне первичный идеал в Ау Nt = Sing^), множество Nr
всех правых делителей нуля в Q — вполне первичный идеал
в Qy множество Ni всех левых делителей нуля в Q — вполне
первичный идеал в Qy совпадающий с Sing(@<?), и Ne = NtQ.
> 1) Допустим, что Л —правый порядок в локальном кольце Q. Тогда
5 —правое множество Оре. Пусть а, Ь eN. Тогда а, Ь ф U(Q). Так как
Q локально, то а + b £ U(Q). Поэтому а + b eN и N — подполугруппа
аддитивной группы кольца А.
Допустим, что 5 — правое множество Оре и N — подполугруппа
аддитивной группы кольца А. Тогда А имеет классическое правое кольцо
частных Q. Пусть q £ U(Q). Существуют такие а Е А и s Е S, что q = as~l.
Так как q £ U(Q), то а € N. Поскольку N — подполугруппа аддитивной
группы кольца А и сумма элементов а Е N и s - а равна s e S. то
s -aeS. Поэтому s - a fi U(Q). Так как
1 — </ = 1 -as~l = (s — a)s~\
то 1 - q Е U(Q) и Q локально.
Докажем оставшиеся утверждения из 1). Так как Q локально и все
неделители нуля кольца Q обратимы в Qy то J(Q) = N. Поскольку J(Q) —
вполне первичный^деал в Qy то A C\J(Q) — вполне первичный идеал в Л.
Так как N С Л П /V = АГ) J(Q)y то остается доказать, что Л П J(Q) С N.
Пусть а — элемент идеала Л C\J(Q). Так как а $. U(Q)y то а Е N.
2) Допустим, что Л — правый порядок в цепном справа кольце Q. По
1) N — идеал в Л. Пусть а\у Я2 Е Л. Так как Q — цепное справа кольцо»
то или a\b\s^1 =Я2 для некоторых fri еЛ и s\ eSy или a^s^"1 =ai Для
некоторых &2 € Л и 52 Е S.
Допустим, что Л/ — левый идеал мультипликативной полугруппы Л
и для любых а\у a<i E Л или существуют такие 6j E Л и S\ E S, что
a^i =Я2$1, или существуют такие 62 £>4 и S2ES, что a^b^ — axs^.
Докажем, что 5 — правое множество Оре. Достаточно доказать, что
aSnsA ф0 для любыхаЕЛ hs eS. По условию или s^i =as\ для
некоторых Ь\ Е Л и si Е 5, или а^2 = s$2 А*1*1 некоторых 62 E Л и S2 E S. В
первом случае sb\ = as\ eaS DsA^ 0. Допустим, что а^2 = s$2 € S. Если
^2 E S, то а£?2 Е aS П $Л ^ 0. Допустим, что &2 € Л \ S = ЛЛ Так как А/ —
левый идеал мультипликативной полугруппы Л, то а^2 = SS2 Е Л/ Г) S = 0
Порядки в локальных и цепных кольцах
225
и получаем противоречие. Поэтому S — правое множество Оре и А имеет
классическое правое кольцо частных Q. Пусть q\, q^tQ- Существуют
такие a\,a<i^A и s eS, что q\ = a\S~x и q^ = a2S~{. По условию или
axbx =ci2S\ для некоторых b\ G/4 и $i €S, или aob2 = a\S2 для некоторых
fr2€/l и S2GS. В первом случае q2 = a2S\s'[xs~x ea\b\QCq{Q. Во
втором случае аналогично получаем q\ G<72@- Поэтому Q — цепное справа
кольцо.
Докажем оставшиеся утверждения из 2). Цепное справа кольцо Q
локально. По 1) J(Q) = yV, Л' — вполне первичный идеал в А и N = A C)J(Q).
Так как Л — правый порядок в цепном справа кольце (?, то
непосредственно проверяется, что А равномерно справа. Так как А и Q
равномерны справа, то по 6.23(2) Nt — вполне первичный идеал в Л, Ne = Sing(/4<i),
Nt — вполне первичный идеал в Q, Nt = Sing(Qp). Поэтому NtQCNt.
Пусть t\ G Nt. Тогда /«.^ = 0 для некоторого ненулевого /2 G <?.
Существуют такие С\,С2^А И Wi,^2G5, ЧТО t\=C\U\~X И /2 = ^2"2_1 ф 0.
Существуют такие d G/4 и у eS, что М|-1соМ2-1 =du~K Так как t2^0, то
d^O. Тогда ciJ = Cirfy~'y = /|/2^-=0 и cj ЕЛ^. Поэтому NtQNeQCNe.
По 9.18 Л/, — вполне первичный идеал в Q. О
10.16. Пусть Q —локальное кольцо с радикалом Джекобсона J,
N* — множество всех левых или правых делителей нуля в Q, J С /V*.
А — унитарное подкольцо в Q. содержащее J, h: Q-+Q/J —
естественный эпиморфизм. Тогда J = /V = УУ*, J =sJ csA и J = Л? с As
для всех s G A \J. Кроме того, А —левый порядок в Q в точности
тогда, когда h(A) — левый порядок в теле h(Q).
> Так как Q — локальное кольцо и J(Q)=J С Л/*, то / = N*.
Поскольку J(Q)=J с Л, то N* совпадает со множеством N всех левых или
правых делителей нуля в А. Пусть s €A\J CQ\J. Так как Q
локально, то <? g U(Q). Кроме того. У —идеал в Q. Поэтому / = Js~x =s~4
i\J=Js = sJ.
Пусть А —левый порядок в Q и q e Q. Существуют такие a, s e А,
что s обратим в Q и q=s~xa. Тогда h(q) = h(s)~xh(a) и h(A)— левый
порядок в теле h{Q).
Пусть h(A) —левый порядок в теле h(Q) и q eQ. Существуют такие
ае А и s eA\J, что h(q) = h(s)~xh(a). Тогда sq = а + х для
некоторого xg/. Так как Q — локальное кольцо с радикалом Джекобсона /
и s g Q\J, то s —обратимый элемент в Q. Поэтому q=s~x(a + x)w А —
«левый порядок в Q. П
10.17. Пусть Q — цепное справа кольцо, N* —множество всех
левых или правых делителей нуля в Q, h: Q —> Q/J(Q) —
естественный эпиморфизм, А — такое унитарное подкольцо в Q, что
HQ) С A ON* и h(A) — дистрибутивное справа кольцо, являющееся
226 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
левым порядком в теле h(Q). Тогда А дистрибутивно справа
и является левым порядком в Q.
> Цепное справа кольцо Q локально. Так как h(A) — левый порядок
в теле h(Q)y то по 10.16 Л—левый порядок в Q. Пусть Ьу с € А.
По 9.2 остается доказать существование такого а е А, что Ьа € с А
и с(\ —а)еЬА. Так как Q — цепное справа кольцо, то можно считать,
что c — bq для некоторого q € Q. Если q e J(Q) С Л, то с € ЬА и можно
положить а = 0. Поэтому можно считать, что q e Q \ J(Q). Так как
Q локально, то q € U(Q). Поскольку Л—левый порядок в Qy то для
q G U(Q) существуют такие ху у G A \J(Q), что q = x~ly. Так как h(A)
дистрибутивно справа, то по 9.2 существует такой элемент аеАу что
h(xa) e h(yA) и h(y(\ - а)) € h(xA). Поскольку q =x~ly € Q\J(Q), то
x>y€Q\J(Q). По 10.16 J(Q) СхАПуА. Поэтому
ха € уА + /(<?) = уА и у(\ -а) е хА + /(<?) = хА.
Тогда
6а = bx~xxa e Ьх~хуА = сЛ,
с(1 -а) = Ьх~[у(\ -а) Е Ьх~ххА = ЬА.
Поэтому а — искомый элемент. □
10.18. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо, N
—множество всех левых или правых делителей нуля в Л, Nr — множество
всех правых делителей нуля в Л.
1) Если А имеет такой вполне первичный левый идеал В, что
N С S, то S =А\В — правое множество О ре в А и правое
кольцо частных AS~{ — цепное справа кольцо.
2) Если N — левый идеал в Л, то Л — правый порядок в цепном
справа кольце Q и J(Q) = NQ. Если при этом N С /(Л), то
QN = N.
3) Если А — равномерное справа кольцо и каждый его правый
делитель нуля —левый делитель нуля, то А — правый
порядок в цепном справа кольце Q и J(Q) = NQ.
4) Если ANГ С N и для каждого а е Nr элемент \ - а —
неделитель нуля в Л, то А —правый порядок в цепном справа
кольце.
> 1) По 9.19(2) Л \В — правое множество Оре. Поэтому Л имеет
правое кольцо частных Q относительно Л \В. Остается доказать, что для
любых <7i, <72 £ Q верно хотя бы одно из включений q\ е Q2Q, #2 € q\Q-
Существуют такие х\у x<i € Л и s e А\ВУ что #i = x1s~1 и q% = ддо"1.
По 9.2 существует такой элемент а Е Л, что х\а Е хгЛ и Jt2(l - а) Е JtiЛ.
Порядки в локальных и цепных кольцах
227
Множество А \ В содержит хотя бы один из элементов а и 1 - а. Можно
считать, что а е А \ В. Тогда а е U(Q). Поэтому
q\ = x\s~l = x\a-a~]s~l e X2Aa~ls~[ С х2ф = <72<?-
2) Непосредственно проверяется, что N — вполне первичный левый
идеал в А. По 1) А —правый порядок в цепном справа кольце Q. Пусть
/V*— множество всех левых или правых делителей нуля в Q. Так как
А — правый порядок в локальном кольце Q, то в Q каждый необратимый
элемент —делитель нуля. Поэтому J(Q) = N* э NQ. Пусть а е Ау s eS
и as~l £/(<?). Тогда a^U(Q). Кроме того, Л —правый порядок в Q.
Поэтому a €N, as~leNQ и J(Q)QNQCJ(Q).
Допустим, что jV С J(A). Докажем, что QN =N. Достаточно доказать,
что у exN для любых х е А \ N и у е N. По 9.2 существует такой элемент
a G Л, что хаеуА и у(\ -а)е хА. Так как х £ N и ха — элемент вполне
первичного левого идеала /V, то а € N С J (А). Поэтому 1 - а € U(A)
и у = у(\ - а)(\ - а)~~{ е хА. Тогда у = хЬ для некоторого b e Л. Так
как х £ N и xb — элемент вполне первичного левого идеала N, то Ь е N
и y = xbexN.
3) Так как А равномерно справа, то по 6.23(2) множество Nt всех
левых делителей нуля —вполне первичный идеал. Так как по условию
в А каждый правый делитель нуля — левый делитель нуля, то N = Nt —
вполне первичный идеал. По 2) А — правый порядок в цепном справа
кольце Q и J(Q) = NQ.
4) Так как ANr СУУ, то по 9.20 N — вполне первичный идеал. По 2)
А — правый порядок в цепном справа кольце. □
10.19. Теорема. Каждое коммутативное дистрибутивное
равномерное кольцо — порядок в цепном кольце. Каждое
коммутативное дистрибутивное кольцо — подпрямое произведение
коммутативных дистрибутивных подпрямо неразложимых порядков в
цепных кольцах.
> Первое утверждение следует из 10.18(3). Так как все факторкольца
дистрибутивных колец дистрибутивны, то второе утверждение следует из
первого утверждения и того, что по 3.14 каждое кольцо — подпрямое
произведение подпрямо неразложимых колец. □
10.20. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо, Nr —
множество всех правых делителей нуля в А> Ne — множество всех левых
делителей нуля в А и N =NeuNr — множество всех левых или
правых делителей нуля в А. Равносильны условия:
1) А — правый порядок в цепном справа кольце Q;
2) N —левый идеал в А;
228 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
3) N и Ne —вполне первичные идеалы в Ау Nr —вполне
первичный правый идеал в Ау правый идеал Nr и идеал Ne сравнимы
по включению и либо N = NrD Ne, либо N = Л^ Э Nr.
> Импликация 3)=> 1) следует из 10.18(4).
1) =>2). Так как кольцо Q локально, то J(Q) — множество всех
необратимых элементов в Q. Поскольку А — правый порядок в Q, то J(Q)
совпадает с множеством N_ всех делителей нуля в Q. Пусть х, у eN
и аеА. Тогда х, у е N С N = J(Q). Поэтому х + у и ах лежат в J(Q).
Тогда элементы х + у и ах не обратимы в ф. Поэтому х + у и ах —
делители нуля в А.
2)=>3). Так как в А сумма любых двух делителей нуля — делитель
нуля, то для каждого правого делителя нуля аеА элемент 1 - а —
неделитель нуля в А. Поэтому утверждение следует из 9.20. D
10.21. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо, Nr, Ne и N =
= Nel)Nr — множества всех правых делителей нуля, всех левых
делителей нуля и всех левых или правых делителей нуля в А.
1) Если Nr С J(A)y то А — правый порядок в цепном справа
кольце Q, J{Q) — NQ, множества Ny Nr и Nt —вполне первичные
идеалы в Ау Nr = yNr с у А для каждого у е A\Nry идеалы
Nr и Ne сравнимы по включению и либо N = NrD Ne, либо
N = Л/^ 2 Nr. Кроме того, если Ne С J(A)y то QN = N = J(Q).
2) Если Ni —вполне первичный идеал в Ау причем NeQJ(A)
и £(N) = 0, то А — правый порядок в цепном справа кольце Qy
NrCNe = NCJ(A), QN = N uJ(Q) = NQ.
3) Если кольцо А первично и NeCJ(A), то А —правый порядок
в цепном справа кольце Qy N — вполне первичный идеал в А,
лежащий в J(A)y NrCN£ = NC J(A)y QN=N и J(Q) = NQ.
> 1) По 9.20 Nr — вполне первичный правый идеал в А. Так как по
условию NrCJ(A), то по 9.19(4) Nr — идеал в А и Nr — yNrCyA для
всех yeA\Nr. По 10.19 А — правый порядок в цепном справа кольце
Q. Оставшиеся утверждения следуют из 10.18(2) и 10.20.
2) По 9.21 (при X = Ne) NrCNeC J(A). Тогда N = NeC J(A) и N -
вполне первичный идеал. По 10.18(2) А — правый порядок в цепном
справа кольце QyQN = N и /(<?) = NQ.
3) Любые два ненулевых идеала первичного кольца А имеют ненулевое
пересечение. По 9.19(5) Ne — вполне первичный идеал. Так как А
первично, то либо £(N) = 0, либо А — область. Если £(N) = 0, то утверждение
следует из 2). Если А — область, то утверждение следует из 10.18(2). О
10.22. Пусть А — дистрибутивное кольцо, Nr — множество всех
правых делителей нуля в Ау Ne —множество всех левых делителей
Порядки в локальных и цепных кольцах
229
нуля в А и N = NeUNr — множество всех левых или правых
делителей нуля в А.
1) Если N С/(Л), то А — порядок в цепном кольце Qy J(Q) = N =
= QN = NQ и A/J(Q) — дистрибутивный порядок в теле
Q/J(Q).
2) N С J(A) в точности тогда, когда существует такое
цепное кольцо Qy что все элементы из J(Q) лежат в А и
являются делителями нуля в Q, причем A/J(Q) —
дистрибутивный порядок в теле Q/J(Q). В этих условиях цепное кольцо
Q определяется однозначно с точностью до изоморфизма
и является классическим кольцом частных кольца А.
3) Если существует такой вполне первичный идеал X в Ау что
XCJ(A) u£(X) = r(X) = OymoNCXCJ(A).
4) Если А первично, то N С/(Л) в точности тогда, когда J(A)
содержит вполне первичный идеал кольца А.
> 1) По условию /V С /(Л). Из утверждения 9.20 и его симметричной
версии следует, что Nt и Nr — вполне первичные идеалы в Л. Из
утверждения 10.21(1) и его симметричной версии следует, что существуют
такие кольца Q и Q'y что Q — цепное справа кольцо, Qf — цепное слева
кольцо, Л — правый порядок в Qy Л —левый порядок в Q'y J(Q) = NQy
J(Q') = Q'Ny QN = N и NQ' = N. Учитывая 10.2, получаем, что Л \N—
правое и левое множество Ope, Q — цепное кольцо, Л — порядок в Qy
J(Q) = NQ = QN =N C N(Q) С /(<?),
причем все элементы из J(Q) — правые или левые делители нуля в Q.
Кроме того, J(Q) = NQ = QN = N. Поэтому все элементы из J(Q) —
делители нуля в Л. По утверждению 10.16 и его симметричной версии
A/J(Q) — порядок в теле Q/J(Q). Факторкольцо A/J(Q) дистрибутивного
кольца Л дистрибутивно.
Пункт 2) следует из 1), 10.17 и 10.2. Пункт 3) следует из
утверждения 9.21 и его симметричной версии. Пункт 4) следует из 3) и 10.21(3). □
Замечание. 10.22(2) сводит исследование дистрибутивных колец,
у которых все делители нуля лежат в радикале Джекобсона, к
исследованию цепных колец и дистрибутивных порядков в телах.
10.23. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — дистрибутивное первичное кольцо и J(A) содержит
вполне первичный идеал кольца Л;
2) существует такое цепное первичное кольцо Qy что
факторкольцо A/J(Q) — дистрибутивный порядок в теле Q/J(Q)
и все элементы из J(Q) лежат в А и являются делителями
нуля в Q.
230 Плава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
В этих условиях цепное первичное кольцо Q определяется
однозначно с точностью до изоморфизма и является классическим
кольцом частных кольца А.
> Утверждение 10.23 следует из 10.22(2), 10.22(4) и того, что по 10.10(3)
классическое кольцо частных первичного кольца первично. □
Кольцо А называется предлокализуемым справа (слева), если для
любого его максимального правого (левого) идеала М множество А \ М
перестановочно справа (слева) и мультипликативно.
10.24. Каждое инвариантное справа или дистрибутивное
справа кольцо А пред локализуемо справа.
> Пусть М е тах(Лд), аеА, s е А \ М. По 9.13(1) М — идеал в А
и факторкольцо А/М— тело. Поэтому А \ М — мультипликативное
множество. Остается доказать, что at € sA для некоторого t еА\М. Если
А дистрибутивно справа, то это следует из 9.19(2). Если А инвариантно
справа, то as EsA и можно положить t =s. □
Пусть S — перестановочное справа мультипликативное подмножество
кольца А и X — правый Л-модуль. Подмножество Y в X называется 5-
насыщенным (в X), если Y содержит любой такой элемент хеХу что
xs € У для некоторого s e S. Для любого подмодуля Y в X через Ys
обозначается множество
{х е X | xs e Y для некоторого s e S},
называемое S-насыщением модуля Y в X. Если S =А \ Af, где М е max
тах^л), то вместо Ys будем писать YM, a S-насыщенные множества
и S-насыщения будем называть М-насыщенными множествами и М-на-
сыщениями.
10.25. Если S — перестановочное справа мультипликативное
подмножество кольца А и X — правый А-модуль, то для каждого
Y € Lat(A) S-насыщение Ys есть S-насыщенный подмодуль в М
и совпадает с пересечением Y всех содержащих Y S-насыщенных
подмножеств в X.
> Пусть jc, z e YM и а е А, Найдутся такие s, s' e 5, что xs, zs' e Y. По
условию at =sb и sbf = sft' eS для некоторых /, t' eS и by b' eA. Тогда
(xa)t = (xs)b e Yy (x + z)s'f = {xs)b'+ {zs')t' G У,
xay x + z e Ys.
Поэтому Ys — подмодуль в X. Так как 1 GS, то УС Ys. Пусть х еХ
и xs е Ys для некоторого s € S. Из определения Ys следует, что xst e Y
для некоторого t eS, причем st eS в силу мультипликативности S.
Поэтому х е Ysy откуда Ys —S-насыщенный подмодуль в X. Теперь из
определения Ys следует, что Ys = Y. □
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 231
10.26. Для правого модуля X над предлокализуемым справа
кольцом А равносильны условия:
1) X — дистрибутивный модуль;
2) для каждого М етах^л) любые два М-насыщенных
подмодуля в X сравнимы по включению;
3) для любых jc, у е X и каждого М € тах(Ад) М-замыкания
(хА)м и (уА)м циклических подмодулей хА и уА в X сравнимы
по включению.
о Импликация 2)=>3) очевидна.
3) => 1). Допустим, что X не дистрибутивен. По 9.2 найдутся такие
х,уеХу что (х'.уА) + (у\хА)фА. Тогда (х\уА) + (у\хА) С М для
некоторого М € тах^л). По 10.25 М-замыкания (хА)м и (уА)м модулей
хА и у А сравнимы по включению. Пусть, например, (хА)м С (уА)м. Тогда
хе(уА)м. Поэтому xs еуА для некоторого s eA \М. Так какя e(x'.yA),
то {х'.уА)%М и получаем противоречие.
1)=>2). Пусть Y и Z — Af-насыщенные подмодули в X. Допустим,
что Y и Z несравнимы, т. е. найдутся у eY \ Z и z e Z\Y. Так как X
дистрибутивен, то по 9.2 существуют такие a, b e Ау что
а + Ь = 1, уа е zA С Zy zb e уА С У.
Так как а + 6 = 1, то хотя бы один из элементов а, & не лежит в М. Пусть,
например, а ^ Af. Тогда у eZM = Z, поскольку (/а Е Z. Это противоречит
тому предположению, что у eY\Z. □
10.27. Теорема. Кольцо А дистрибутивно справа в точности
тогда, когда А предлокализуемо справа и для любого его
максимального правого идеала М любые два М-насыщенных правых
идеала сравнимы по включению.
Теорема 10.27 следует из 10.24 и 10.26.
Кольца и модули частных по множествам
знаменателей
Пусть S — подмножество кольца Л, K(S) = {а е А \ at = 0 для
некоторого t eS}y K*(S) = {aeA |а/ = 0, иа = 0 для некоторых /, ueS}.
Множество S называется множеством правых знаменателей
в кольце Л, если существуют ненулевое кольцо AS~l и кольцевой
гомоморфизм /s = /• А —* AS~l такие, что все элементы из /(S) обратимы
*AS'\ AS~l={f(a)f{t)-l\aeA, t eS} и Ker(/) = /((S). В этом случае
AS~[ называется правым кольцом частных для А относительно S
и /S"1 называется каноническим кольцевым гомоморфизмом для
^S-"1. (Это определение кольца AS"1 согласуется с определением
232 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
правого кольца частных относительно правого множества Ope S.) Если
М — правый идеал в А и S = А\М — множество правых знаменателей
в А, то вместо AS~l и fs будем писать Ам и /м-
Определения левого множества знаменателей S, левого кольца
частных S~]A относительно 5 и канонического кольцевого гомоморфизма
5-1/: A-+S~lA аналогичны определениям правого множества
знаменателей, правого кольца частных и канонического кольцевого
гомоморфизма A -+AS-1.
Множество 5 называется двусторонним множеством
знаменателей, если существуют кольцо S_1y45-1 и кольцевой гомоморфизм
/*: А —>S-Iy4S_1 такие, что все элементы из /(S) обратимы в кольце
S-lAS-{,
S-[AS~l = {f(a)f(t)-{ \аеА, t e S} = {f{t)'1 f{a) \ a e A, t eS},
и Ker(/) = K*(S). В этом случае S~MS_I называется двусторонним
кольцом частных кольца А относительно S и гомоморфизм /*
называется каноническим гомоморфизмом для S~lAS~l.
Множество 5 называется реверсивным справа, если для любых
таких а € А и / G S, что ta = 0, существует такой элемент и е S, что аи = 0.
Множество S называется слабо реверсивным справа, если для любых
таких а е А и / € S, что а2 = 0 и /а = 0, существует такое и е S, что aw = 0.
В любом кольце каждое центральное подмножество реверсивно
и перестановочно.
10.28. Пусть S — мультипликативное подмножество кольца А
и K(S) = {а е А | at = 0 для некоторого t e S}. Равносильны условия:
1) правое кольцо частных AS~{ существует (т.е. S
—множество правых знаменателей)',
2) K(S) — идеал в А и для естественного эпиморфизма h: Л —>
—> >4//C(S) множество h(S) — правое множество Оре в кольце
h(A)'
3) /C(S) — идеал в Л и для естественного эпиморфизма h: А—>
-^A/K(S) множество h(S) — правое подмножество Оре в h(A)\
4) S — перестановочное справа реверсивное справа множество',
5) S — перестановочное справа слабо реверсивное справа
множество.
> Эквивалентность условий 1), 2) и 3) следует из ЮЛ. Импликация
4)=>5) и 4)=>3) проверяются непосредственно.
3) =>4). Так как K(S) — идеал в А, то S реверсивно справа. Пусть а € А
и / eS. Так как h(S) — правое множество Оре в h(A), то h(au\) = h(tb\)
для некоторых Ь\еАи u\eS. Поэтому аи\ —tb\ eK(S) и (аи\ —tb\)u2 =
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 233
= 0 для некоторого u<i e S. Пусть u = u\U2 и b = b\ii2. Тогда ueS
и au = tb. Поэтому 5 перестановочно справа.
5) => 4). Пусть а € Л, t е S и ta = 0. Обозначим b = at. Тогда
/72 = tb = 0. По условию 6х = 0 для некоторого х Е 5. Обозначим
u = tx€S. Тогда aw = 0 и 5 реверсивно справа. □
Если М — правый или левый идеал ъ А и S = А\М — множество
правых (левых, двусторонних) знаменателей в А, то вместо AS~[ (S~lA,
S~lAS~[) пишем Am (мА, мАм)- Кольцо А называется локализуемым
справа (локализуемым слева, локализуемым), если для любого его
максимального правого (левого, правого или левого) идеала М существует
правое (левое, двустороннее) кольцо частных Ам (мА, лИм)-
По 10.28 все локализуемые справа (слева) кольца предлокализуемы
справа (слева). Позже (в 10.45) мы приведем пример предлокализуемого
(инвариантного и дистрибутивного) справа и слева кольца, не
являющегося локализуемым справа или слева.
10.29. Пусть А — кольцо.
1) В А каждое мультипликативное центральное
подмножество—множество двусторонних знаменателей. В
частности, каждое центральное подкольцо R в А локализуемо
и для любого максимального идеала М в R существует
двустороннее кольцо частных мА =Ам-
2) А локализуемо справа в точности тогда, когда А предло-
кализуемо справа и для любого его максимального правого
идеала М множество А\М слабо реверсивно справа.
3) Если А инвариантно справа и S — слабо реверсивное
справа мультипликативное множество в А, то S—множество
правых знаменателей в А.
4) Если А инвариантно справа или дистрибутивно справа, то
А локализуемо справа в точности тогда, когда для любого
его максимального правого идеала М множество А\М слабо
реверсивно справа.
> Пункты 1) и 2) следуют из 10.28 и того, что в любом кольце каждое
центральное подмножество реверсивно и перестановочно. Пункт 3)
следует из 10.28 и того, что по 10.24 каждое подмножество инвариантного
справа кольца А перестановочно справа. Пункт 4) следует из 2) и того,
что по 10.24 каждое инвариантное справа или дистрибутивное справа
кольцо А предлокализуемо справа. □
10.30. Пусть AS~l —правое кольцо частных кольца А
относительно множества правых знаменателей S и g: А —> В — такой
гомоморфизм колец, что каждый элемент в g(S) обратим в В.
234 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
Тогда существует такой единственный кольцевой гомоморфизм
h\ AS~[ —»В, что h совпадает с g на А. Кроме того, если g —
мономорфизм, то и h — мономорфизм.
Утверждение 10.30 следует из 10.28.
10.31. Правое кольцо частных AS~l кольца А относительно
множества правых знаменателей S единственно с точностью до
изоморфизма.
> Пусть Q\ и (?2 — два правых кольца частных для А
относительно 5 и /i: А —> Q\ и /2: А —> @2 — канонические гомоморфизмы. Тогда
Ker(/i) = Кег(/2). По 10.30 существуют такие кольцевые гомоморфизмы
h\\ Q\ -><?2 и Л2: <?2-><?ь что h\f\ = /2 и Л2/2 = /i- Тогда МмЛ = Д
и А|Л2/2 = /2- Пусть ^7i =/i(a)/i(/)"1 G(?i. Так как (l-Mi)(/i(fl)) = 0,
то f(qi) = 0. Тогда Л2Л| = 1. Аналогично, h\h,2=\. Поэтому (?i = @2- П
10.32. £слы S — множество правых знаменателей и множество
левых знаменателей в кольце Ау то S — множество двусторонних
знаменателей в A, AS~[ = S~lAS~l и канонический
гомоморфизм /: А —> AS~l совпадает с каноническим гомоморфизмом
f*--A-+S-[AS-[.
Доказательство 10.32 использует 10.30 и аналогично
доказательству 10.31.
10.33. Пусть S —мультипликативное подмножество кольца А.
1) Если А редуцировано и S перестановочно справа, то правое
кольцо частных AS~[ существует и редуцировано.
2) Если А инвариантно справа и полупервично, то А
редуцировано и правое кольцо частных AS~l существует и
редуцировано.
3) Если А инвариантно и полупервично, то двустороннее
кольцо частных S~{AS~l существует и редуцировано.
> 1) По 6.34 S слабо реверсивно справа. По 10.28 S — множество
правых знаменателей. Пусть /: А —>/4S_1 —канонический гомоморфизм
с ядром {а е А | r(a) n S ^ 0} и Л: А —»А/ Кег(/) — естественный
эпиморфизм. Пусть х еЛ и (/(jc))2 = 0. Тогда x2t =0 для некоторого t eS.
По 6.34 xt = 0. Поэтому х е Кег(/) и f(x) = 0. Доказано, что /И)-—
редуцированное кольцо. Поэтому без ограничения общности можно
считать, что А = [(A) — подкольцо в AS~l и /: А —*AS~l —естественное
вложение. Допустим, что а еА, t E S, q = at~{ eQ, и q2 = 0. Так как S
перестановочно справа, то au = tb для некоторых ueS и b€A. Тогда
0 = q2tu = at~xau — ab. По 6.34(4) r(a) — идеал и b е r(a). Поэтому
0 = atb = а2и. По 6.34 аи = 0. Поэтому а = 0 и q = 0.
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 235
2) Если аеА и а2 = 0, то (АаА)2 = Аа2А = 0, ЛаЛ=0, а = 0 и Л
редуцировано. Так как А инвариантно справа, то S перестановочно справа.
По 1) AS"1 существует и редуцировано.
Пункт 3) следует из 2) и 10.32. □
10.34. Пусть S—множество правых знаменателей в кольце
Л, Q — правое кольцо частных AS~l кольца А относительно S
и /: Л -» Q — канонический кольцевой гомоморфизм.
1) Для любых <7ь • • >, Цп € Q существуют такие t eS и а\, ...
..., ап еЛ, что qi = f(ai)f(t)~[ при i = l, ..., п.
2) Если В - правый идеал в Л, то f(B)Q = {f(b)f(t)~l \beB,teS}.
Поэтому если q e f(B)Q, то qf(t) € f(B) для некоторого t eS.
3) Если q € Q, то qQ = Q в точности тогда, когда существует
такой элемент аеА, что qQ = f(a)Q и Sf)aA^0.
4) Если Ветах(АА) и f(B)Q^Q, то f(B)Q emax(QQ). Поэтому,
если Q квазиинвариантно справа, то f(B)Q — идеал в Q.
5) Если A\S аддитивно замкнуто, то кольцо Q локально.
6) Если S =А\М, где М — собственный правый идеал в А, то
кольцо Q локально и J(Q) = MS~l =Мм-
7) Каждый конечно порожденный подмодуль левого [(А)-модуля
Q изоморфен конечно порожденному левому идеалу кольца
№■
8) Если А —левое кольцо Везу, то f^)Q — модуль Везу (в
частности, Q — левое кольцо Везу).
9) Если А дистрибутивно слева, то f^)Q — дистрибутивный
модуль (в частности, Q дистрибутивно слева).
> Пункты 1) и 2) следуют из 10.7(1) и 10.7(3).
3) Пусть q € Q. Если существуют такие a, b E А, что qQ = f(a)Q
и ab e S, то f(ab) e U(Q) и Q = f(ab)Q С f(a)Q = qQQQ. Теперь
допустим, что qQ = Q. Существуют такие а е А и s e S, что q = f(a)f(s)~[.
Тогда Q = qQ С f(a)Q С Q, f(a)Q = Q и существуют такие с е А и 5 е 5,
что f(a)f(c)f(s)~l = /(1). Тогда ас - s е t € Кег(/) и (ас - s)t = 0 для
некоторого / е S. Тогда s/ = ас/ Е S П а А.
4) Допустим, что f(B)Q ф Q. Тогда /(В)ф СХ для некоторого А' €
€ тах(фф). Найдется такой правый идеал X в А, что ВСХ и X = f(X)Q.
Так как f(X)Q^Q, то ВСХСА, X = В n f(B)Q = Xemax(QQ).
5) Пусть qQ ф Q, где q = f(a)f(s)~[ eQ, аеА и s eA.
Достаточно доказать, что (1 - q)Q = Q. Так как qQ фQ, то а Е Л \ S. Так как
s = (s-a) + a€SHy4\S аддитивно замкнуто, то 5 - а е S. Поэтому
Q = f(s-a)Q = f(s-a)f(s)-lQ = (/(s) - f(a))f(s)-lQ = (1 - ?)<?.
236 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
6) Достаточно доказать, что q ф U(Q) для любого q Е AfS-1 и и Е U(Q)
для любого ие Q\MS~l. Если g E £/((?) и # EMS-1, то 1 Е AfS-1 и по
2) 1 -t = t Е Af Г) S для некоторого / Е S, что невозможно. Допустим, что
u = f(a)f{t)~leQ\MS-1, где аЕЛ, /ES. Тогда
а Е Л \ УИ = S, /(а) Е £/(<?), и = /(а)/(0_1 Е (/«?).
Пункт 7) следует из 10.7(2). Пункт 8) следует из 7).
9) Так как дистрибутивность Af равносильна тому, что в Af каждый 2-
порожденный подмодуль лежит в некотором дистрибутивном подмодуле
модуля Af, то 9) следует из 7). D
Модули частных. Пусть Q — правое кольцо частных кольца Л
относительно множества правых знаменателей S, /: Л —> Q — канонический
кольцевой гомоморфизм и Af — правый Л-модуль. На декартовом
произведении М xS определим отношение ~ так, что
(х, s) ~ (у, t) & Зс, d Е А: хс = t/d, sc = td e S.
Легко проверить, что ~ — отношение эквивалентности на Af x S.
Пусть h — естественное сюръективное отображение
Af xS -+(М х S)/ ~= MS~l
и gs — такое отображение из Af в MS""1, что gs(m) = h(my 1). В MS-1
определим сложение и умножение на элементы из Q равенствами
h((xy s)) + h((yy t)) = h((xc + ydy и)) (и = sc = td e S)
и
h((xyc))-f(b)f(t)-1 = h((xc,tu))9
где b еЛ, / E5, sc — bu и «gS.
Непосредственно проверяется, что AfS"1 — правый ф-модуль, gs =
= g — Л-модульный гомоморфизм, Ker(g) = {m E Af \ 3s E S: ms = 0}
и AfS"1 = {^(ttOfts)"1 | m E Af, s E S}. Правый Q-модуль MS-1
называется модулем частных для Af относительно 5. Л-модульный
гомоморфизм gs: Af —»AfS_1 называется каноническим
гомоморфизмом. Для каждого подмодуля X в Л-модуле Af обозначим через X и XS~l
естественный образ модуля X в Л-модуле Af/Ker(g) и подмодуль g(X)Q
в ф-модуле AfS-1.
10.35. Пусть Q — правое кольцо частных кольца А
относительно множества правых знаменателей S, Af — правый А-модуль,
AfS-1 —модуль частных, f: A—>Q — канонический кольцевой
гомоморфизм, g: Af —> AfS"1 — канонический гомоморфизм А-модулей.
1) Правилом <p(52i=\ mi<g>qi) = £/=1 g(mi)qi корректно задается
изоморфизм правых Q-модулей <р: М <8aAS~1 —>AfS_1.
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 237
2) Для любых Х\, ..., xneMS~l существуют такие s eS и т\, ...
..., тпеМу что Х\ — g(mi)f(s)~[ при i= \, ..., п.
3) Если X — подмодуль в М и X — S-насыщение модуля X в М,то
XS~l = XS~l = {g(x)f(()~l | x € Xy t eS}.
Поэтому для любого у eXS~~[ существует такое s eS, что
yf(s)£g(X).
4) Если W - подмодуль в Q-модуле MS~l uX = g~l(Wn g(M)) -
подмодуль А-модуля Му то XS~l = Wy X 2 Ker(g) и X — S-
насыщенный подмодуль в М.
Соответствие X ->XS~l — сохраняющее включение биекция
между множеством всех S-насыщенных подмодулей
А-модуля М и множеством всех подмодулей Q-модуля MS~{.
5) Пусть X и Y — подмодули в МА. Тогда (X + Y)S~l =XS~l +
+ YS~l и(Хп Y)S~l CXS~[ П YS~l. Кроме тогоу если Ker(g) С
QX Г) Yy то (X П Y)S~l = XS_1 DYS~l. Поэтому отображение
X —► XS~l — сюръективный решеточный гомоморфизм
решетки всех подмодулей А-модуля Af/Ker(g) на решетку
всех подмодулей Q-модуля MS~l. Следовательно, если М —
дистрибутивный (дистрибутивно порожденный, нётеров,
артинов, полу нётеров, полуартинов) А-модуль, то MS~l —
дистрибутивный (дистрибутивно порожденный, нётеров,
артинов, полунётеров, полуартинов) Q-модуль.
6) Если t — кардинальное число и X — t-порожденный
подмодуль в Мд, то XS~l — t-порожденный подмодуль Q-модуля
MS~[. Следовательно, если в А-модуле М все подмодули (-
порождены, то в Q-модуле MS~l все подмодули
t-порождены. В частности, если М — А-модуль Везу, то MS~X — Q-
модуль Везу. Кроме того, для любого t-порожденного
подмодуля Pq в (MS~x)q существует такой (-порожденный
подмодуль X в Мау что XS~l =Я.
7) Если PQ = 0?=1 Pi e Lat((MS-{)Q), то подмодуль Png(M)
модуля g(M)f(A) — прямая сумма модулей Р\ П g(M).
8) aQ — плоский модуль.
9) (X/Y)S~{ <*XS-l/YS-1 для любых X еLat(Af) и YeLatfJQ.
10) Если теМ и X е Lat(Af), то g(m) e g(X)Q в точности тогда,
когда ms еХ для некоторого s eS.
11) Если Ma —свободный (проективный, плоский) модуль, то
(MS~1)q — свободный (проективный, плоский) модуль.
12) Если t — кардинал и все (-порожденные правые идеалы кольца
А являются свободными (проективными, плоскими) А-моду-
238 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
лями, то все t-порожденные правые идеалы кольца Q —
свободные {проективные, плоские) Q-модули. В частности, если
А полу наследственно справа, то Q полу наследственно
справа.
13) Если теМ и X еLat(Af), то f((m\X))Q C(g(mA)Q'.g(X)Q).
> Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) По определению модуля частных MS~l существуют такие Si, ...
..., sn eS и ух уп Е М, что xi = g(yi)f(si)'1 при / = 1,..., п. По
10.34(1) существуют такие s eS и а\, ..., ап е Ау что /(s;)-1 = f(di)f(s)~{
при / = 1, ..., п. Если положить т,- = £//«/, то
Xi = g(yi)f(si)-1 = g(yi)f(ai)f(sr[ = gimi)f(sr\ i = 1, ..., п.
Пункт 3) следует из 2) и 10.25. Пункт 4) следует из 2), 3) и 10.25.
5) Ясно, что (X П Y)S~l CXS~[ П YS~l. Пусть wx €XS~l + YS~l. По
2) существуют такие Х\ ЕX, у\ Е Y и /, что
Поэтому XS"1 + KS"1 С (* + У)5-1 CXS~l + KS"1. Допустим, что
Ker(g) С X П У и w2 Е XS"1 n YS~{. По 10.35(2) ш2 = g(x2)f(u)-[ =
= g(y2)f(u)~[ для некоторых х2 € *, (/2 € К и и € 5. Тогда g(x2) = g(*/2),
*2~У2^ Ker(g) СXП К, и *2^ = (/2^ €XП К для некоторого у GS. Тогда
w2 = g(x2v)f(u)-1 ПО'1 е(Хп Y)S~l.
Пункт 6) проверяется с помощью 2) и 3). Пункт 7) проверяется с
помощью 5).
8) Пусть h: ХА —» Мд — мономорфизм правых Л-модулей, jc € Я
и g(h(x)) = 0. Тогда h(x)s = 0 для некоторого s € S, откуда xs Е Кег(Л) = О
и (jCy4)S_1 =0, что и требовалось.
Пункт 9) следует из 8) и того, что (XS~1)b = (X ®aQ)q для любого
модуля ХА.
10) Если ms еХ для некоторого s Е S, то g(m)f(s) Е g(X) и g(m) €
€ g(X)f(s)-q С g(X)<?. Теперь допустим, что g(m) Е #(*)<?. По 3)
g(m) = g(x)f(t)~{ для некоторых jc € А' и / Е S. Тогда g(m/) = g(x). Так
как mt —х е Ker(g), то (т/ — jc)w = 0 для некоторого и Е S. Обозначим
s = tueS. Тогда ms = mtu = xu€X.
11) Так как фд свободен, то 11) следует из 8.8 и равенства AfS-1 =
Пункт 12) следует из 11) и 6).
13) Пусть у Е (g(m)Q . g(X)Q). Тогда у = f(a)f(s)~l для некоторых
а Е Л и s Е S. Тогда g(ma) = g(m)f(a)f(s)-{ f(s) Е g(m)yQ С g(X)Q. По
10) ma/ EX для некоторого / eS. Тогда
а/ Е (/и' .X) и у = f(at)f(t)-]f(s)-1 e /((/я" .*))<?. О
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 239
10.36. Пусть А — кольцо, содержащее такое локализуемое
справа унитарное подкольцо R, что R\M— множество правых
знаменателей в А для каждого максимального правого идеала М в R.
(Это так, например, если R — центральное подкольцо в А или A = R
локализуемо справа,) Далее, пусть X — правый А-модуль. Для
каждого М Етах(/?#) обозначим через Ам, Хм, /м и ём правое кольцо
частных AR\m, правый Ам-модуль Х#\м, канонический кольцевой
гомоморфизм А —* Ам и канонический А-модульный гомоморфизм
X —► Хм соответственно.
1) Если х е X, Z — подмодуль в X и gM(х) e Zm для всех М е
€ тах(##), то х е Z. В частности, если ём(х) = 0 для всех
М е max(R), то х = 0.
2) Если Y и Z — подмодули в X и Ym = Zm для всех М € тах(/?#),
то Y = Z.
3) Если Y — подмодуль в X и Ym = 0 для всех М е тах(/?#), то
К = 0.
4) Если п G N и Ам — кольцо индекса < п для всех М е max(RR),
то А — кольцо индекса < п.
5) Если neN, то пе U(A) в точности тогда, когда п е U(Am)
для всех М е max(R).
6) X — дистрибутивный А-модуль в точности тогда, когда
Хм — дистрибутивный Ам-модуль для всех М € max(RR).
7) Если Am/J(Am) — простое артиново кольцо для любого М €
€ тах(/?#), то Na дистрибутивен в точности тогда, когда
Nm — цепной Ам-модуль для всех М е тах(/?#).
8) Если Т — правый идеал в Q и Тм — идеал в Qm для всех
М G max(/?#), mo T — идеал в Q.
9) Если Qm квазиинвариантно справа (инвариантно справа)
для всех М е тах(/?#), то Q квазиинвариантно справа
(инвариантно справа).
10) Если Qm — нётерово справа дистрибутивное справа кольцо
для всех М € тах(/?#), то Q инвариантно справа.
* 1) Обозначим через D правый идеал {а е R \ ха Е Z} в R.
Достаточно доказать, что D = R. Допустим противное. Правый идеал D лежит
в некотором М е тах(/?#). Поэтому D П (/? \ М) = 0, что противоречит
Ю.35(3).
Пункты 2) и 3) следуют из 1).
4) Пусть а — нильпотентный элемент в A, MemaxRR и ам
—естественный образ а в Ам- Так как Ам — кольцо индекса ^ п и ам —
нильпотентный элемент, то (ам)п=0. По 1) ап = 0.
240 Плава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
Пункт 5) следует из того, что п € U(R) «=> R = nR, и можно применить
2).
6) Импликация => следует из 10.35(5). Докажем <=. Пусть х, у е X
и Me тах(/?я). Так как А м -модуль Хм дистрибутивен, то по 9.2 и 10.35(2)
существуют такие a, b, cd € А и s € R \ М, что
gM(x)fM(a)fM(s)~[ = gM(y)fM(c)fM(s)~\
gM(y)fM(l-a)fM(s)~l = gM(x)fM(d)fM(s)~\
xa-yc € Ker(gM), y(\-a)-xd e Ker(gM).
Тогда существует такое / € R \ M, что xat = yet e у А и (/(1 — a)t =
= jcrf/ G Jt/4. Поэтому
(jf .*/Л) + (//- .хЛ) эа/ + (1-а)/ = / €/?\M.
Тогда ((х'.г/Л)+ ((/'.JC>4))Af =Ам- Так как Af — произвольный
максимальный правый идеал в R, то по 2) (х\ уА) + (у \хА) = А. По 9.2 Л' —
дистрибутивный А -модуль.
Пункт 7) следует из 6) и 9.7(4).
8) Пусть М G тах(/?я). По условию QmTm = ?Af- Поэтому (АТ)м £
Су4л|7л| = 7)и. По 1) AT — T и Г —идеал в ф.
9) Если Qm инвариантно справа для любого М е тах(/?#), то по 8)
Q инвариантно справа. Пусть Qm квазиинвариантно справа для любых
Mzmax(RR) и Т Е max(QQ). По 10.34(4) Тм — идеал в <?м. По 8) QM
квазиинвариантно справа.
Пункт 10) следует из 9) и 9.14(3). □
10.37. Пусть А —локализуемое справа кольцо.
1) Если В — правый идеал в А и Вм — идеал в Ам для всех
М е тах(Ад), то В — идеал в А. В частности, если для
любого М е тах^^) кольцо Ам инвариантно справа, то А
инвариантно справа.
2) А — квазиинвариантное справа нормальное кольцо и для
любого М € тах(Л,4) кольцо Ам локально, а факторкольцо
А/М — тело.
3) Правый А-модуль X дистрибутивен в точности тогда,
когда Хм — цепной правый Ам-модуль для любого М е тах(Ад).
4) А —редуцированное кольцо в точности тогда, когда Ам —
редуцированное кольцо для любого М е тах(Л,4).
5) Если Ам — кольцо главных правых идеалов для любого М €
е тах(Л,4), то А — инвариантное справа дистрибутивное
справа кольцо.
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 241
6) Если Ам — наследственное справа равномерное справа
кольцо для любого М € тах(Л,4), то А — инвариантное справа
дистрибутивное справа редуцированное кольцо.
7) Если А наследственно справа и Ам равномерно справа для
любого М етах(Ад), то А — инвариантное справа
дистрибутивное справа редуцированное кольцо.
8) Пусть А — pf-кольцо, М е тах(ЛУ4) и N —ядро канонического
гомоморфизма А —>Ам- Тогда А редуцировано, Ам —область
и N — вполне первичный идеал в А. Кроме того, если область
A/N равномерна справа, то область Ам равномерна справа.
9) Если в А для любого вполне первичного идеала N область
A/N равномерна справа и все 2-порожденные правые
идеалы плоские, то А— локально цепное справа дистрибутивное
справа редуцированное кольцо.
10) Если А инвариантно справа и все его 2-порожденные правые
идеалы плоские, то А — локально цепное справа
дистрибутивное справа редуцированное кольцо.
\> По 10.34(6) Ам —локальное кольцо для любого М € тах(Ад).
Пункт 1) следует из 10.36(2) и того, что Вм Q (АВ)м=АмВм = £м-
2) Пусть В, Memax^) и е = е2 еА. По 10.34(6) кольцо Ам
локально и Мм = J{M) — идеал в Ам- Если В = М, то Вм = Мм — идеал в Ам-
Если ВфМ, то В + УИ = Л и Ам = ВМ +Мм =ВМ +J(AM) и ВМ=АМ —
идеал в Ам- По 1) В — идеал в Л и кольцо А квазиинвариантно справа.
Каждый из правых идеалов (еА)м и (1 — е)Ам локального кольца Ам
совпадает либо с Одь либо с Ам- Поэтому (еА)м и (1 —е)Ам — идеалы
в Ам и по 1) еА и (1 — ё)А — идеалы в А. Тогда идемпотент е централен
и А нормально. Так как М — идеал и М G max(/4,4), то А/М — тело.
3) По 2) для любого М е тах^^) кольцо Ам локально. По 10.26
дистрибутивность Хд равносильна тому, что для любого М € тах(Л,4)
любые два М-насыщенных подмодуля в X сравнимы по включению.
Последнее условие равносильно по 10.35(4) тому, что Хм — цепной правый
Л^-модуль для любого М € тах(Л,4).
4) Импликация => следует из 10.33(1). Импликация <= проверяется
с помощью 10.36(1).
Пункт 5) следует из 10.36(6), 10.36(10) и 9.10(4).
6) Пусть М етах(Ад). По 7.40 наследственное справа равномерное
справа кольцо Ам нётерово справа. Пусть X — ненулевой правый идеал
в Л. По 10.34(6) Ам локально. Так как X — ненулевой конечно
порожденный проективный модуль над локальным кольцом, то по 8.37(8) X —
свободный равномерный модуль. Поэтому X =АА, откуда Ам — локаль-
242 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
ная область главных правых идеалов. По 4) и 5) А — инвариантное справа
дистрибутивное справа редуцированное кольцо.
Пункт 7) следует из 6), 10.35(6) и 10.35(11).
8) Пусть М G max(/4,4), S = А\МУ /: Л —» Л^ — канонический
гомоморфизм, ОфхеАм, у€Ам и ху=0. Пусть х = f(x)f(s)~[ и */=
= f(y)f(t)~x Для некоторых ху у G А и s, t G 5. Найдутся такие z e A
и weS, что f{s)-lf(y) = f{z)f(u)-1. Тогда f(x)f(s)-1 f(y)=0 и /(**) = 0.
Поэтому хгу = 0 для некоторого у € S. Так как Л — ^/-кольцо, то
ха = (\ -a)zv=0. Если a GS, то х = f(x)f(s)~[ = f(xa)f{a)-{ f(s)~[ =0
и получаем противоречие. Поэтому а ^ S, аеМи 1-aeS. Тогда
У = /Ш'Г1 = f(s)f(s)-[Ky)f(trl = f(s)f{2)f{u)-lf{t)-1 =
= f(s)f(\-a)-]f((\-a)zv)f(v)-lf(urlf(t)-[ =
= /(s)/(l -а)-,/(0)/(^)-1/("Г7(0-1 = 0
и Ам — область. По 4) А редуцировано. Если область A/N равномерна
справа, то непосредственно проверяется, что область Ам равномерна
справа.
9) По 8) А редуцировано. Пусть М G тах(ЛУ4), S=A\My Q=Am
и /: А —► Q — канонический гомоморфизм. По 8) Q — равномерная
справа область. В силу 3) остается доказать, что Q — цепное справа
кольцо. Достаточно доказать, что Х\ G X2Q для любых ненулевых х\ е Q
и Х2 £ х\ Q, Так как Q равномерно справа, то найдутся z\, 22 G Q с
условием X\Z\ = X2Z2 Ф 0. По 2) существуют такие ненулевые Х\, *2, %\, 22 € А
и s GS, что xi = f(Xi)f(s)~l и zi = f(Zi)f(s)~l (i = 1, 2). Тогда
f(xxmsrlf(zi) = f(x2)f(s)-xf(z2) ф 0.
По 10.35(2) существуют такие #i,(/2G>4 и / G 5, что /(s)_I/(2,-) =
= т)ШГх ф 0 (| = 1, 2). Тогда /(jci^i) = /(х2*/2) ^ 0. Так как *,*/, -
— *2#2 £ Кег(/), то Х\у\и = Х2У2М для некоторого w G 5. По 8.31(2)
существуют такие Яц, ai2, Д21, «22 €/4, что
*l(l -All) =^2«21> ^2(1 ~«22) =^|fll2.
Так как Jt2^*iQ. то f(x2) $. f(x\)Q\ кроме того, дггО -«22) = ^i«i2-
Поэтому /(1 — Д22) £ U(Q). Тогда /(ягг) € t/(Q), поскольку ф локально
по 10.34(6). Поэтому
f(aX\y\u) = f(a]2y2u) = /(ai2)/(a^21)/(a22l/2") = f{a\2)f{a^)f(a2\)f{y\u).
Кольца и модули частных по множествам знаменателей 243
Так как Q —область и f(au)f(y\)f(u) = f(a{2)f(a22) lf(a2\)f(y\)f(u), то
f(a\\) = f(a\2)f(a22)~] f(a2]). Если f(au) не обратим, то
f(\-au)eU(Q),
/(*,) = /(^(l-anMl-a,,)"1 = f(x2a2x)f(\-au)~x e f(x2)Q,
xx =f(Xl)f(s)-[ e f(x2)Q = x2Q.
Допустим, что f(a\\) = f(a\2)f(a22)~{ f(a2\) обратим. Тогда
f(a2i)e(J(Q),
x2Q = f(x2)Q = f(x2a2{)f(a2x)~xQ = f(xx{\-an))Q С /(*))<? = *,<?
и получаем противоречие.
Пункт 10) следует из 9) и того, что любая инвариантная справа
область равномерна справа. □
10.38. Пусть в кольце А либо каждый элемент с нулевым
квадратом коммутирует с любым t € S (это так, например, если в А
все элементы с нулевым квадратом центральны), либо для любого
аеА существует такое n = n(a)eN, что г(ап) = г(ап+{) (это так,
например, если А — кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов).
1) В А любое перестановочное справа мультипликативное
подмножество S реверсивно справа и правое кольцо частных
AS~X существует.
2) Если А инвариантно справа и S — мультипликативное
подмножество в А, то правое кольцо частных AS~X
существует.
3) Если А инвариантно справа или дистрибутивно справа, то
А локализуемо справа, а для каждого М е тах(Лл) кольцо Ам
локально и J(Am) — Мм- Если А дистрибутивно справа, то
Ам — цепное справа кольцо.
> 1) По 10.28 достаточно доказать, что S слабо реверсивно справа.
Это проверяется непосредственно, если в А каждый элемент с нулевым
квадратом коммутирует с любым / €5. Допустим теперь, что для любого
а е А существует такое п = п(а) Е N, что г(ап) = г(ап+1). Пусть аеА,
t ES и ta = 0. По условию r(tn) = r(tn+{) для некоторого лбМ. Так как
S перестановочно справа, то tnb =au для некоторых b € А и и eS. Так
как tn+[b = tau = 0, то Ъ е r(tn+l) = r(tn), откуда au = tnb = 0. Поэтому
5 реверсивно справа.
Пункт 2) следует из 1) и того, что в любом инвариантном справа
кольце все подмножества перестановочны справа.
Пункт 3) следует из 1), 10.29(4), 10.34(6) и 10.37(3). □
244 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
10.39. Пусть А — инвариантное справа кольцо и X —правый
А-модуль. Если либо А —кольцо с условием максимальности для
правых аннуляторов, либо в А все элементы с нулевым квадратом
центральны, либо А полу первично, то А локализуемо справа и X
дистрибутивен в точности тогда, когда Хм — цепной правый Ам-
модуль для любого М € тах(Ад) (причем если А полупервично, то А
редуцировано).
Утверждение 10.39 следует из 10.38(3), 10.37(3) и редуцированности
инвариантных справа полупервичных колец.
10.40. Если А — риккартово справа или слева нормальное кольцо
и S — перестановочное справа мультипликативное подмножество
в А, то правое кольцо частных AS"1 существует и является
редуцированным риккартовым кольцом.
> По 7.38 А — редуцированное риккартово кольцо и каждый его
элемент—произведение центрального идемпотента и неделителя нуля.
По 10.33(1) правое кольцо частных AS"1 существует и редуцировано.
Тогда каждый элемент q e AS"1 имеет вид q = eas~l, где е = е2 е А,
а —неделитель нуля в A, s eS. Так как в редуцированном кольце AS"1
идемпотент е централен и as"1 —неделитель нуля в AS"1, то по 7.38
AS"1 —редуцированное риккартово кольцо. □
10.41. Пусть А — дистрибутивное справа несингулярное справа
кольцо и S — правое множество Оре в А. Тогда AS~l
—дистрибутивное справа редуцированное кольцо и все его идемпотенты
лежат в А. Если при этом AS"[ —риккартово справа или слева
кольцо, то А— риккартово кольцо.
> По 9.14(6) А — редуцированное р/-кольцо. По 10.33(1) и 10.35(5)
правое кольцо частных AS"1 = Q существует и является дистрибутивным
справа редуцированным кольцом. Пусть е = е2 = as~[ € Q, где а € Л
и s € S, s — неделитель нуля в Л. Тогда as"1 а = а и а е rQ(as"1 — 1).
По 6.34(4) rQ(as~l - 1) —идеал редуцированного кольца Q. Поэтому
0 = (as~{ - \)sa = (а - s)a.
По 6.34(4) А(а - s)Af)AaA = 0. Так как А — редуцированное /?/ -кольцо,
то по 8.28 существует такое b е А, что а( 1 - Ь) = 0 и (а — s)b = 0. Тогда
(1 - ь)а = Ь(а - s) = 0, bs = (1 - Ь)а + Ь(а -s) + bs = а,
е = as"1 = Ъ € А.
Если Q риккартово справа или слева, то по 7.38 и 7.37(2) А
риккартово. D
Локализуемые кольца и дистрибутивность
245
Локализуемые кольца и дистрибутивность
10.42. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) А дистрибутивно справа и для любого М етах(Ад)
множество А\М слабо реве рейв но справа;
2) А — дистрибутивное справа локализуемое справа кольцо;
3) А — дистрибутивно порожденное справа локализуемое
справа кольцо;
4) для любого М е тах^^) правое кольцо частных Ам
существует и является цепным справа кольцом.
о Эквивалентность 1)ф>2) следует из 10.29(4). Эквивалентность 2)ф>4)
следует из 10.37(3). Импликация 2)=фЗ) очевидна.
3)=>4). Пусть М €тах(Ад). По 10.35(5) кольцо Ам дистрибутивно
порождено справа. По 10.34(6) кольцо Ам локально. По 9.74(7) Ам —
цепное справа кольцо. □
10.43. Следствие. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо.
1) Если либо в кольце А все элементы с нулевым квадратом
центральны, либо А — кольцо с условием максимальности
для правых аннуляторов, то для любого М е тах^л) правое
кольцо частных Ам существует и является цепным справа
кольцом.
2) Если М — собственный вполне первичный идеал в А и
либо множество А \ М слабо реверсивно справа, либо в А
каждый элемент с нулевым квадратом коммутирует с
любым t е А \ М у либо для любого а € А существует такое
п = п(а) GN, что r(an) = r(art+1), то правое кольцо частных
Ам существует и является цепным справа кольцом.
> Пункт 1) следует из 10.42 и 10.37(3).
2) По 10.5 А \ М — перестановочное справа мультипликативное
подмножество в А. По 10.28 и 10.38(1) правое кольцо частных Ам
существует. По 10.35(5) и 10.34(6) Ам —дистрибутивное справа локальное
кольцо. По 9.10(3) Ам — цепное справа кольцо. □
10.44. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) А — дистрибутивное справа несингулярное справа кольцо;
2) А — дистрибутивное справа редуцированное pf-кольцо;
3) А — дистрибутивное справа редуцированное кольцо;
4) для любого М етах(Ад) правое кольцо частных Ам
существует и является цепной справа областью;
5) в А все максимальные правые идеалы — вполне первичные
идеалы, для каждого вполне первичного идеала Р правое кольцо
246 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
частных АР существует и является цепной справа
областью, а ядро Н канонического гомоморфизма /: А —»Лр —
единственный лежащий в Р минимальный первичный идеал
И в А, причем И совпадает со множеством {а € А | sa = 0 для
некоторого s еА\Р} (в частности, все элементы идеала И —
делители нуля в А).
> Импликация 1)=>2) следует из 9.14(6). Импликации 2)=>3) и 5)=>4)
очевидны. Импликация 3)=>4) следует из 10.37(4), 10.39 и того, что
цепное справа редуцированное кольцо — область. Импликация 4) => 3)
следует из 10.37(4) и 10.42.
3)=ф5). По 10.43(2) и 10.33(1) правое кольцо частных Ар
существует и является цепным справа редуцированным кольцом. Тогда Ар —
область и // — вполне первичный идеал. По 9.19(3) Р содержит
единственный минимальный вполне первичный идеал £ и £ лежит в И. Тогда
Н = £, поскольку И = {a G A | as = 0 для некоторого 5 G 5}. По 6.34(2)
И = {а е А | sa = 0 для некоторого 5 е А \ Р). □
10.45. Теорема. Существует дистрибутивное кольцо Ау не
являющееся локализуемым справа или слева кольцом. Кроме того, А —
инвариантное равномерное подпрямо неразложимое кольцо Везу,
обладающее указанными ниже свойствами.
1) Множества Ne и Nr всех левых делителей нуля и всех правых
делителей нуля являются несовпадающими максимальными
правыми (левыми) идеалами в А, причем А не имеет других
максимальных правых (левых) идеалов и существует такой
левый делитель нуля х е N?, что 1 — х — правый делитель
нуля в А и J (А) не содержит ни х, ни 1 - х (в частности,
A=Ne + Nr).
2) Множество A\Nr не реверсивно справа, а множество A\Nt
не реверсивно слева.
3) Факторкольца A/Ne и А/ЫГ — поля, A/1(A) = A/Nt x A/Nn
множество Ne П Nr всех двусторонних делителей нуля в А
совпадает с J(A), Nr —единственный собственный идеал
в А с нулевым правым аннулятором и Ne — единственный
собственный идеал в А с нулевым левым аннулятором.
4) А содержит такой идеал М, что М2 = 0, А/М —
коммутативная область главных идеалов, имеющая ровно два
максимальных идеала, М —цепной артинов делимый А-модуль,
М = аМ = М а саА—Аа для каждого a € Л \ Af и М —
единственный правый или левый идеал в А, не являющийся
главным.
Локализуемые кольца и дистрибутивность
247
5) А не изоморфно подкольцу локального кольца. В частности,
А не является порядком в цепном справа или слева кольце
и утверждения 10.18(3), 10.19 не переносятся на
инвариантные дистрибутивные равномерные кольца.
> Пусть Z — кольцо целых чисел, Q — поле рациональных чисел, Q[i] —
поле частных кольца целых гауссовых чисел Щ1\ (/2 = -1). Обозначим
через <р автоморфизм q\ + 42'—><7i — <72* поля Q[/]. Пусть R\ и /?2 —
локализации коммутативной области главных идеалов Z[i] по простым
идеалам, порожденным простыми элементами 2-hi и 2 — /
соответственно. Тогда /?i и /?2 — коммутативные цепные области главных идеалов.
Обозначим R = R\ П/?2- Пусть X и У —идеалы в Ry порожденные
элементами 2 + / и 2 — / соответственно.
Коммутативная область главных идеалов R имеет ровно два
максимальных идеала X и У, Rx = R\, Ry — #2, <p(Rx) = Ry, X + Y = R>
J(R) = X П У = (2 + /)(2 - i)R = 5/? и факторкольцо /?//(/?) изоморфно
прямому произведению полей А/Х и Л/У. Кольцо /? совпадает с
множеством всех несократимых рациональных гауссовых дробей, знаменатели
которых не делятся ни на 2 + /, ни на 2 — /.
Обозначим через М правый /^-модуль Q[l]/Rx- Тогда все
собственные подмодули в Af# цикличны и образуют бесконечную счетную строго
возрастающую цепь 0 = soR С S\R С S2R С ..., где простой модуль S\R
изоморфен модулю R/Y = R/(2 - i)R и r#(srt) = (2 - i)nR для всех п е N.
Мы также превратим Af в левый /?-модуль по правилу гт = тц>(г) для
всех элементов г Е R и m € Af. Непосредственно проверяется, что Af — R-
У?-бимодуль, являющийся цепным артиновым делимым правым (левым)
У?-модулем.
Обозначим через А тривиальное расширение /?-/?-бимодуля М
с помощью кольца /?. Напомним, что А — внешняя прямая сумма
абелевых групп R и Af с таким умножением, что
(П, /и0(г2, /иг) = {г\Г2> гхт2 + т{Г2) = (Г|Г2, m2¥?(r1) + mir2)
Для любых Гь Г2Е/? и mi, т2еМ. Пара (1, 0) —единица кольца Л. Мы
будем отождествлять МД и У с идеалами (0, Af), (Ху 0) и (У, 0) в Л
соответственно. Кольцо R отождествляется с подкольцом (/?, 0) в Л.
Правые (левые) идеалы кольца Л, лежащие в Af, совпадают с R-
подмодулями в Af. Заметим, что тА = Am для любого т е Af,
факторкольцо Л//(Л) изоморфно прямому произведению полей А/Х и Л/У,
Af2 = 0, факторкольцо Л/Af изоморфно коммутативной области главных
идеалов /?, Af — цепной артинов делимый правый (левый) Л-модуль Безу,
простой правый (левый) Л-модуль S\A =As\ —наименьший ненулевой
^*^-
248 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
правый (левый) идеал в Л, rA(s\) = Y и £a(s\) =X. Перечислим некоторые
свойства кольца А.
a) X = (2 + i)A=eA(Sl) = NeH Y = (2-i)A = rA(Sl) = Nr;
b) элемент (2 + /) + (2 - /) = 4 = 5 - 1 обратим в А, поскольку
5<Е/(Л);
c) если обозначить х = (2 + /)/4 е X, то
1 -х = ^р е У, (2 + «>i =5,(^(2 + /) =si(2-«) =0,
xsi =si(1-jc) = 0, x eX\J(A) =X\Y CNe,
1-х G Y\X = К\/(Л) С /Vr, si € г(х)П*(1-*),
ф,)П(Л\У) = Кп(Л\У) = 0, *(5|)П(Л\Х) =ХП(Л\Х) = 0;
d) множество A \ Y не реверсивно справа, а множество А \ X не
реверсивно слева;
e) /(Л) содержит не все правые (левые) делители нуля в Л;
f) идеал М сравним по включению с любым правым или левым
идеалом кольца Л;
g) А —дистрибутивное кольцо;
h) A — инвариантное подпрямо неразложимое кольцо Безу;
i) А не изоморфно подкольцу локального кольца.
Свойства а)—с) проверяются непосредственно. Свойства d) и е) вытекают
из свойства с). Свойство f) вытекает из того, что М — делимый /^-модуль.
Свойство g) вытекает из f) и следующих фактов: А/М — коммутативное
кольцо Безу; М — А -модуль Безу; тА =Ат для каждого теМ; si>4 —
наименьший ненулевой правый (левый) идеал в А. Свойство h)
вытекает из свойства g) и того, что по 9.8(3) каждый правый модуль Безу
над инвариантным справа кольцом дистрибутивен. Докажем свойство
i). Допустим, что Л—подкольцо в некотором локальном кольце Я. По
свойству d) х и 1 —х — делители нуля. Поэтому х и 1 —х не обратимы
в локальном кольце Н. Получено противоречие. Из приведенных выше
рассуждений и свойств a)—i) вытекает, что кольцо Л удовлетворяет
свойствам, указанным в теореме 10.45. □
10.46. Пусть R — центральное подкольцо кольца А и тах(/?) —
множество всех максимальных идеалов в R. Для любого М е max(R)
обозначим через Ам (двустороннее) кольцо частных кольца А
относительно центрального мультипликативного подмножества
R\M в А (см. 1) ниже).
1) Если Т — мультипликативное подмножество в /?, то
двустороннее кольцо частных jAj существует и (ВС)т = ВтСт для
любых правых идеалов В и С в А.
Локализуемые кольца и дистрибутивность 249
2) Если В — правый идеал в А, то В — идеал в А в точности
тогда, когда Вм — идеал кольца Ам для всех М е max(R).
3) Если для всех М е тах(/?) кольцо Ам квазиинвариантно
справа, то А квазиинвариантно справа.
4) Если А м —полу первичное кольцо для всех М € тах(/?), то А
полу первично.
5) Для любого М Е тах(/?) кольцо Rm локально, J(Rm) = Мм
и R/M = Rm/Mm- Кроме того, для любого а € R верно, что
аеМ <ф» ам^ММ-
6) Пусть а, be U(R), М e тах(/?), h: R-+ R/M uv: RM-> RM/MM -
естественные эпиморфизмы. Тогда уравнение
х2 - h(a)y2 - h(b)z2 = О
имеет в R/M единственное решение х = у = z = 0 в
точности тогда, когда уравнение х2 - v(aM)y2 — v(bM)z2 = 0 имеет
в Rm/Mm единственное решение х = у = z = 0.
t> 1) Так как Т — центральное подмножество в Л, то Т перестановочно
и реверсивно. По 10.28 и 10.32 Т — множество двусторонних
знаменателей в Л. Равенство (ВС)Т = ВТСТ следует из 10.28 и 10.10(4).
Пункт 2) следует из 1) и 10.36(2).
3) Пусть М е max(/?), Р етах(Ад) и К — полный прообраз идеала
АмРм кольца Ам в Л. По 2) достаточно доказать, что ?м — идеал в Ам-
Если Рм = Ам, то утверждение верно. Допустим, что РмфАм- Тогда Рм
лежит в некотором максимальном правом идеале кольца Ам, являющемся
по условию идеалом в Ам- Поэтому (Ар)м ^АмРм^Ам* КфА и PQK.
Поэтому Р = К и Рм = Км = АмРм — идеал в А м-
4) Пусть В — нильпотентный правый идеал в Л. Непосредственно
проверяется, что Вм — нильпотентный правый идеал в Ам для каждого
М е max(tf). Тогда Вм = 0 для каждого М € max(tf). По 10.36(3) В = 0.
Пункт 5) проверяется с помощью 10.34.
6) Так как ядро гомоморфизма Л —> Ам лежит в М, то 6) следует
из 5). □
10.47. Пусть А —дистрибутивная справа область и М =
= тах(АА).
1) Область А равномерна справа, А —правый порядок в
некотором теле Q и для любого М еМ существует такое
цепное справа подкольцо Ам тела Q, что А С Ам, Ам —правое
кольцо частных кольца А относительно М и естественное
вложение А —► Ам — канонический гомоморфизм.
2) В = Г\мем Вм для любого правого идеала В в А.
3) ЕслиОфуеА, то уА=Г\МеМ(уАм) и Ау = Г\МеМ(Аму).
250 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
4) Если х и у — ненулевые элементы области А и х € Аму для
всех М е М, то хе Ау.
5) Если Офу € Л и для любого М еМ левый идеал Аму в Ам —
идеал, то А у — идеал в А.
6) Если для любого М еМ кольцо Am инвариантно слева, то А
инвариантна слева и дистрибутивна слева.
> 1) Так как по 9.14(1) область А равномерна справа, то по 10.5 Л —
правый порядок в теле Q. По 10.44 для любого М € М существует
правое кольцо частных Ам, являющееся цепной справа областью. Так
как Л — область, то канонический гомоморфизм Л —> Ам — мономорфизм.
Поэтому можно считать, что Л С Ам Q Q для всех М еМ. Кроме того,
можно считать, что естественные вложения Л —►Ам — канонические
гомоморфизмы.
Пункт 2) следует из 1) и 10.36(2). Пункт 3) следует из равенства
Л = Омем ^м и того, что Л — область. Пункт 4) следует из 3) и того, что
Л — область.
5) Пусть аеА, Me М. По условию ay e уАм. По 4) ay e уА.
Пункт 6) следует из 5) и того, что любое дистрибутивное справа
инвариантное слева кольцо дистрибутивно слева. □
10.48. Пусть А — дистрибутивная справа конечномерная слева
область и М = тах(Л,4).
1) Л — равномерная область, А — порядок в некотором теле Q
и для любого М еМ существует такое цепное под кольцо
Ам тела Qy что А С Ам, Ам — правое кольцо частных
кольца А относительно М и естественное вложение А —> Ам —
канонический гомоморфизм.
2) Если для любого М еМ кольцо Ам нётерово справа, то А
инвариантна слева и дистрибутивна слева.
3) Если А нётерова справа, то А — инвариантное
дистрибутивное нётерово кольцо.
> 1) По 4.37, 10.5 и 10.47(1) Л — равномерная область, Л —порядок
в некотором теле Q, и для любого М е М существует такое цепное справа
подкольцо Ам тела Q, что Л СЛ^, Ам — правое кольцо частных кольца
Л относительно М и естественное вложение Л —> Ам — канонический
гомоморфизм. Пусть М еМ. По левостороннему аналогу 10.5 кольцо Ам
равномерно слева. По 9.34 цепная справа равномерная слева область
Ам — цепная область.
2) Пусть МеМ. По 1) правое кольцо частных Ам существует и
является цепной областью. По условию Ам нётерово справа. По 9.35 Ам
Локализуемые кольца и дистрибутивность
251
инвариантно слева. По 10.47(6) Л инвариантна слева и дистрибутивна
слева.
3) Пусть М еМ. Так как А нётерова справа, то по 10.35(5) кольцо
Ам нётерово справа. По 2) А инвариантна слева и дистрибутивна слева.
По 9.14(3) дистрибутивное справа нётерово справа кольцо А инвариантно
справа. □
10.49. Предложение. Для кольца А равносильны условия:
1) А — дистрибутивное справа нётерово справа несингулярное
справа конечномерное слева кольцо;
2) А — дистрибутивное слева нётерово слева несингулярное
слева конечномерное справа кольцо\
3) А — конечное прямое произведение инвариантных
дистрибутивных нётеровых областей',
4) А — конечное прямое произведение инвариантных областей,
у которых каждое собственное факторкольцо — конечное
прямое произведение цепных артиновых колец.
В частности, если А — равномерная область, то А —
дистрибутивное справа нётерово справа кольцо <=> А — дистрибутивное
слева нётерово слева кольцо &> А — инвариантная
дистрибутивная нётерова область.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 3) и 4).
Импликация 3)=>1) проверяется непосредственно. Импликация 1)=>3) следует
из 9.14(7) и 10.48(3). Импликация 4)=>3) следует из 9.30.
3)=>4). Можно считать, что А — инвариантная дистрибутивная
нётерова область. Пусть А/В — собственное факторкольцо области Л.
По 9.30 достаточно доказать, что А/В — прямое произведение
полупервичного кольца и полупримарного кольца. Это следует из 9.26. □
10.50. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) А — нётерово справа дистрибутивное справа и слева кольцо;
2) А — нётерово слева дистрибутивное справа и слева кольцо;
3) А = А\ х ... х Ат х D\ х ... х Dn (некоторые сомножители
могут отсутствовать), где все Л/ — цепные артиновы
кольца и все D} — инвариантные области, у которых каждое
собственное факторкольцо — конечное прямое произведение
цепных артиновых колец.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1) и 3). Импликация
3)=> 1) следует из 9.30.
1)=>3). По симметричному аналогу 9.26 каждое факторкольцо
кольца Л — конечное прямое произведение цепных справа артиновых справа
колец и нётеровых справа дистрибутивных (справа и слева) областей.
252 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
Поэтому можно считать, что Л—либо цепное справа артиново справа
дистрибутивное слева кольцо, либо нётерова справа дистрибутивная
область. Если А — цепное справа артиново справа дистрибутивное слева
кольцо, то по симметричному аналогу 9.24 А — цепное слева
артиново слева кольцо. Если А — нётерова справа дистрибутивная область, то
по 9.14 область А равномерна и по 10.49 каждое ее собственное фактор-
кольцо — конечное прямое произведение цепных артиновых колец. О
10.51. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — нётерово справа и слева дистрибутивное справа кольцо;
2) А = А1 х ... х Ат х D\ х ... х Dn (некоторые сомножители
могут отсутствовать), где все А\ — цепные справа артиновы
кольца и все Dj — инвариантные области, у которых каждое
собственное факторкольцо — конечное прямое произведение
цепных артиновых колец.
> Импликация 2) =И) следует из 9.30.
1)=>2). По 9.26 каждое факторкольцо кольца Л —конечное прямое
произведение цепных справа артиновых справа нетеровых слева колец
и нетеровых справа и слева дистрибутивных справа областей. Поэтому
можно считать, что Л—либо цепное справа артиново справа нётерово
слева кольцо, либо нётерова справа и слева дистрибутивная справа
область. В первом случае по симметричному аналогу 9.24 А — артиново
слева кольцо. Во втором случае по 10.49 каждое собственное фактор-
кольцо области А — конечное прямое произведение цепных артиновых
колец. □
10.52. Пусть дистрибутивное кольцо А обладает классическим
кольцом частных Q и М —такой идеал в Л, что М =Аа\ +Ля2 =
= азЛ + а\А, где аь Я2> Дз, Д4 — неделители нуля в Л. Тогда модули
МА и дМ проективны.
> Существуют такие b\y b<i, / € Л, что / — неделитель нуля, а\х =t~xb\
и а%{ =t~lb2. По 9.2 существуют такие Д, /г, Ль /*2 ЕЛ, что 1 =/i + /2»
b\f\ =M2, ^2/2 = Mi- Тогда
ci2^4\ = a2t~lb\f\ = a2t~lb2li2 = a2a^xh2 = Л2 £ Ay
Q-x^h = a\t~lb2f2 = a\t~[b\h\ = a\a~[[h\ — h\ e A.
Пусть С = а\хf\A -ha^hACQ. Тогда
MC = AfxA+ Aaxa^{f2A+ Af2A^Aa2a\{fxA С A.
Так как 1 = /i + /г € Af С, то Л С МС С Л и Л = МС. Аналогично,
существует такой подмодуль D ъ aQ> что Л = DM. Непосредственно проверя-
Локализуемые кольца и дистрибутивность
253
ется) что С и D — подбимодули бимодуля aQa- По 7.68 модули Мд и аМ
проективны. □
10.53. Пусть А/Р — равномерное слева факторкольцо
дистрибутивного справа кольца А, В — множество всех таких Ь еАу что
Ьа€Р для некоторого аеА\Р, С — множество всех таких с е Л,
что асеР для некоторого аеА\Р,Т = Т(Р) = Л \ (В U С).
1) Кольцо А/Р равномерно, В и С —вполне первичные идеалы
в А и либо В + С = А, либо В С Ct либо С СВ.
2) Множество Т перестановочно справа.
о 1) По 9.14(1) А/Р равномерно. По 6.23(1) В и С —вполне первичные
идеалы в Л. По 9.19(1) либо В + С = АУ либо В С С, либо С С В.
2) Допустим, что В + С^А. По 1) А\Т = ВиС — вполне первичный
идеал в Л, совпадающий либо с Ву либо с С. По 9.19(2) Т перестановочно
справа.
Допустим, что В + С = А. Достаточно доказать, что для любых а € А
и t еТ правый идеал (a'JA) содержит элемент из Т. Пусть N = (a\tA).
Так как N = (B + C)r)N = BnN + Cr\N, то возможны только
следующие три случая: (*) N = BnN С В; (**) N = С П /V С С; (* * *) существуют
be(Bf)N)\B и с € (С П N) \ В. По 9.2 А = N + (Г. аЛ).
Рассмотрим случай (*). Так как N СВ^А, то (/ \аЛ)£В. Кроме того, Я —
вполне первичный идеал и / фВ, откуда (t \В) = В. Поэтому существует
х 6 (/'. aA) \ (t'. В). Тогда tx = ау £ В для некоторого у е А. Поэтому
у £ В. Кроме того, у e(a'JA) = N С В; получено противоречие. Поэтому
случай (*) невозможен. Аналогично, случай (**) невозможен.
Рассмотрим случай (* * *). Пусть m = b +с Е N и h: Л —»А/Р — естественный
эпиморфизм. Если те В, то с = m — b e By что противоречит выбору
с. Если те С, то b = т- с еС, что противоречит выбору Ь. Поэтому
т € Л \ (В U С) = Т. Тогда meTnN и Г перестановочно справа. □
10.54. Пусть А/Р — факторкольцо дистрибутивного кольца А
и в А/Р пересечение любых двух ненулевых идеалов не равно нулю
(это так, например, если А/Р — первичное или подпрямо
неразложимое кольцо).
1) Если S — множество всех таких элементов s € Л, что s + Р —
неделитель нуля в А/Р, то S перестановочно.
2) А/Р обладает классическим двусторонним кольцом частных
Q и кольцо Q дистрибутивно.
ъ 1) По 9.14(1) кольцо А/Р равномерно и можно применить 10.53(2).
2) По 1) S перестановочно. По 10.2 А/Р обладает классическим
Двусторонним кольцом частных Q. По 10.35(5) Q дистрибутивно. □
254 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
Кольца, алгебраические над своими центрами
10.55. Предложение. Для дистрибутивного справа
редуцированного кольца А равносильны условия:
1) А дистрибутивно слева;
2) для любого М е тах^Л) левое кольцо частных мА
существует и является цепной справа и слева областью;
3) для любого М б тах^Л) левое кольцо частных мА
существует и конечномерно слева;
4) Л локализуемо слева и для любого минимального первичного
идеала Н в А кольцо А/Н конечномерно слева;
5) для любого минимального первичного идеала Н в А А/Н —
локализуемое слева конечномерное слева кольцо;
6) для любого минимального первичного идеала И в А кольцо
А/Н дистрибутивно слева.
> По 6.36(2) кольцо А/Н — область для любого минимального
первичного идеала И в А.
Импликация 2) => 1) следует из 10.42. Импликация 1)=>6) очевидна.
Импликация 6)=>5) следует из левосторонних аналогов 10.47(1) и 10.44,
примененных к А/Н.
5)=>4). Пусть М е тах^Л). По 9.19(3) М содержит такой
минимальный первичный идеал Я, что А/Н — область. Пусть h: А -^ А/Н —
естественный эпиморфизм. По условию А/Н имеет левое кольцо
частных h(M)h(A) = Q. Так как h(А) — область, то канонический
гомоморфизм /: h(A) —> Q — мономорфизм. По левостороннему аналогу 10.44
(см. условие 5)) h(M) — вполне первичный идеал в h(A). Тогда Af —
вполне первичный идеал в Л. По 10.44 Н = {a G Л | sa = 0 для некоторого
seA\M}. Поэтому Q— левое кольцо частных кольца Л относительно
множества Л \ Af и гомоморфизм g = fh: A —* Q — канонический
гомоморфизм.
4)=>3). Пусть М етгх(дА). По левостороннему аналогу 10.44 (см.
условие 5)) М — вполне первичный идеал. По условию и 10.44
существуют канонические гомоморфизмы /: Л -»лИ и ё- А —»Ам- Обозначим
Н = Ker(g). По 10.44 И — {а е А \ sa = 0 для некоторого s eA\ Af}.
Поэтому Н = Кег(/). По условию А/Н конечномерно слева. По
левостороннему аналогу 10.9 мЛ конечномерно слева.
3)=>2). Пусть М етах(дА). По левостороннему аналогу 10.37(2) М —
вполне первичный идеал. По 10.44 кольцо Ам существует и является
цепной справа областью. По условию кольцо мА существует и конечномерно
слева. По 10.32 мА=Ам- Поэтому мА — конечномерная слева цепная
справа область. По 9.34 мА — цепная слева область. □
Кольца, алгебраические над своими центрами 255
10.56. Пусть А — квазиинвариантное справа кольцо и для
любого хеА существует такое я Е N, что хпА С Ах.
1) В А любой максимальный левый идеал М — вполне первичный
идеал, для каждого вполне первичного идеала N A\N —
перестановочное слева мультипликативное множество и
A/N — равномерная слева область.
2) Если либо в А все элементы с нулевым квадратом
центральны, либо А — кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов, либо для любого аеА существует такое
п = п(а) ЕN, что r(an) = r(an+l)y то А локализуемо слева и для
любого его вполне первичного идеала N существует левое
кольцо частных нА.
> 1) Допустим, что М — не идеал. Тогда МА —А и 1 =]£"=1 "*/Я;, где
тх Е М и а/ Е А. По условию существует такое d Е N, что mf е Ami С М
для любого /. Обозначим Н = YH=\ m?A- Тогда Н фА, откуда И лежит
в некотором максимальном правом идеале В. По условию В — идеал.
Поэтому А/В — тело и из включений mf e И С В следует, что m,- G В
при / = 1, ..., п. Поэтому 1 = 51/Li mtai € В. Получено противоречие.
Поэтому М — идеал, А/М — тело и М — вполне первичный идеал. Пусть
Т = A\N, t еТ и аеЛ. По условию tna = bt для некоторого b € А.
Так как N — вполне первичный идеал, то множество Т мультипликативно
и tn еТ. Поэтому Т перестановочно слева. Если а € Г, то b e Т. Поэтому
A/N — равномерная слева область.
Пункт 2) следует из 1) и левостороннего аналога 10.38(1). □
10.57. Пусть А — дистрибутивное справа редуцированное
кольцо.
1) Если для любого аеА существует такое neNy что апА С Аау
то А дистрибутивно слева.
2) Допустим, что для любого аеА существует такое п е N,
что h(anA) С h(Aa) для любого минимального первичного
идеала И в А и естественного эпиморфизма h: A-+A/H. Тогда
А дистрибутивно слева и апА САа для всех аеА.
> 1) По 9.5 Л квазиинвариантно справа. По 10.56(2) А
локализуемо слева. По 6.36(2) для любого минимального первичного идеала И
кольцо А/И = /? — область. По 10.56(1) область R равномерна слева.
По 10.56(2) R локализуема слева. По 10.55 А дистрибутивно слева.
2) Пусть И — произвольный минимальный первичный идеал и А/Н =
= /?, По 6.36(2) R — область. По 1) область R дистрибутивна слева.
По 10.55 А дистрибутивно слева. По левостороннему аналогу 10.44 для
каждого М етахдА существует левое кольцо частных мАУ являюще-
256 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
еся цепной слева областью, и ядро И канонического гомоморфизма
/: А —► мА — единственный лежащий в М минимальный первичный
идеал. Пусть а, Ь е А и h: А —> А/Н — естественный эпиморфизм. По
условию h(anb) € h(Aa) для некоторого п € N. Тогда f(anb) E f(Aa). По
левостороннему аналогу 10.36(1) anbeAa. О
10.58. Предложение. Пусть А —редуцированное кольцо.
1) Допустим, что для любого аеА существует такое neN,
что апА = Аап. Тогда А дистрибутивно справа в точности
тогда, когда А дистрибутивно слева.
2) Допустим, что А дистрибутивно справа или слева и для
любого а € Л существует такое л € N, что h(anA) =h(Aan) для
любого минимального первичного идеала И в А и
естественного эпиморфизма h: А —» А/Н. Тогда А — дистрибутивное
справа и слева кольцо и апА —Аап.
> Утверждение 10.58 вытекает из 10.57(1) и 10.57(2). □
10.59. Пусть А — дистрибутивная справа область и ^2*!=ох'а1 =
= 0, гдеО^хеА, <ц€С(А) иапф0. Тогда хтА=Ахт, где т = п\.
> Обозначим F = тах(Ад)- По 10.47(1) Л — правый порядок в теле
Q и для любого М € Z7 существует такое цепное справа подкольцо Ам
тела Q, что Ам содержит А, Ам— правое кольцо частных кольца А
относительно М и естественное вложение А ->Ам — канонический
гомоморфизм. По 10.36(8) и 10.47(5) для любого у € А выполнено следующее
утверждение (*): уА — идеал в А в точности тогда, когда уАм —
идеал в Ам для любого М е F\ кроме того, Ау — идеал в А в точности
тогда, когда АмУ — идеал в Ам для любого MeF.
Пусть MeF. Имеем Х^=0*'Д/ =0. По 9.36, примененному к цепной
справа области Ам, существуют такие индексы / и j, что 0 ^ / < у ^п,
а,- Ф 0, aj ф0 и х1а{ = х}аг Обозначим т = п\, d = m/(j — /), t =
= (ajlai)d € C(AM). Тогда х'~1Ам = aJlaiAM, xmAM = tAM = AMt =
= Амхт. Утверждение следует теперь из (*), примененного к у =хт. □
10.60. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо,
алгебраическое над своим центром, В — кольцо частных кольца А
относительно множества Т всех центральных неделителей нуля, N —
первичный радикал в А и A/N = /?.
1) В — дистрибутивное справа инвариантное справа кольцо,
целое над своим центром, модуль Вд дистрибутивен и А
содержит все идемпотенты и нильпотентные элементы в В.
2) Если А первично, то А — дистрибутивная область.
> 1) По 10.34(8) В дистрибутивно справа и модуль В а дистрибутивен.
По 9.31 А содержит все идемпотенты и нильпотентные элементы в В.
Кольца, алгебраические над своими центрами 257
Допустим, что Х^=о*'Д/к = 0> гДе * € А, а0, ..., ап еС(А) и апеТ. Если
/ € Г, то Ё?=о(^"1)//,'а' =°. ''а<' € СИ). '"a« G r- Поэтому Я цело над
своим центром. По 9.14(8) В инвариантно справа.
2) Так как А первично, то В первично. По 1) В инвариантно справа.
Поэтому В — область и А — область. По 10.59 для любого а е А найдется
m GN с условием Аат = атА. По 10.58(1) А дистрибутивно слева. □
10.61. Теорема. Если А — полупервичное кольцо, алгебраическое
над своим центром, то равносильны условия:
1) А дистрибутивно справа;
2) А дистрибутивно слева;
3) А — дистрибутивное редуцированное кольцо, для любого
хеА существует такое т€N, что хтА = Ахт, и для любого
минимального первичного идеала И кольца А кольцо А/И —
область, алгебраическая над своим центром.
> Достаточно доказать эквивалентность 1)ф>3). Импликация 3)=»1)
очевидна.
1)=>3). Так как А полупервично, то В полупервично. По 10.60(1)
В инвариантно справа. Поэтому В — редуцированное кольцо, откуда А
редуцировано. Пусть И — минимальный первичный идеал в A, R=A/H
и h: А —> R — естественный эпиморфизм. По 6.36(2) R — дистрибутивная
справа область. Если а —неделитель нуля в А, то Л(а)^0 по 10.44(5).
Так как А алгебраично над своим центром, то область R алгебраична над
своим центром. По 10.60(2) R дистрибутивно слева. Оставшаяся часть
утверждения следует из 10.58(2) и 10.59. □
10.62. Предложение. Пусть А — дистрибутивное справа кольцо,
алгебраическое над своим центром, N — первичный радикал кольца
A, R=A/N и В — кольцо частных кольца А относительно
множества S всех центральных неделителей нуля.
1) N = sN = Ate для любого центрального неделителя нуля s еА,
N совпадает со множеством Е всех нильпотентных
элементов в В и N совпадает с первичным радикалом F кольца В.
2) R — дистрибутивное редуцированное кольцо,
алгебраическое над своим центром и для любого х Е R существует
такое meN, что xmR = Rxm.
3) А имеет дистрибутивное справа классическое правое кольцо
частных.
4) Если А полупервично, то В — инвариантное
дистрибутивное редуцированное кольцо.
> 1) Обозначим B/F = D. Инвариантное справа полупервичное кольцо
О редуцировано. Поэтому F = Е. По 10.60(1) ECN. Поэтому N — E = F.
258 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
Поэтому подкольцо R редуцированного кольца D — редуцированное
кольцо. Так как s"1 € В и N = F — идеал в S, то s~lN CN и sN CN.
Поэтому N — sN = Ns.
2) Пусть Л: Л—>/?—естественный эпиморфизм и seS.
Непосредственно проверяется, что h(s) — центральный неделитель нуля в /?.
Поэтому /? алгебраично над своим центром. Пункт 2) следует теперь
из 10.61.
3) Так как В инвариантно справа, то все его подмножества
перестановочны справа. Поэтому В имеет классическое правое кольцо частных
Q. По 10.35(5) кольцо Q дистрибутивно справа. Так как В = А$У то Q —
классическое правое кольцо частных кольца Л.
4) Так как Л полупервично, то В полупервично. По 10.60(1) S —
дистрибутивное справа инвариантное справа кольцо, целое над своим
центром. По 10.61, примененному к В, это кольцо дистрибутивно слева.
По левостороннему аналогу 9.14(8) В инвариантно слева. Инвариантное
полупервичное кольцо В редуцировано. □
10.63. Если А — первичное кольцо и R — унитарное центральное
подкольцо в Л, то R — коммутативная область, обладающая
классическим полем частных /\ множество Т всех ненулевых элементов
кольца R — центральное мультипликативное подмножество в Л,
все элементы из Т — неделители нуля в Ау кольцо частных At
существует и является первичной алгеброй над полем F.
Утверждение 10.63 проверяется непосредственно.
10.64. Пусть А —первичное кольцо, являющееся конечно
порожденным модулем над своим центральным унитарным подколь-
цояЯ, uA = YZ=\aiR'
1) R — коммутативная область с классическим полем частных
F, множество Т всех ненулевых элементов области R —
центральное мультипликативное подмножество в Ау все
элементы из Т — неделители нуля в Л, Л7- = Х^=1а;/\ кольцо
частных Aj существует и является первичной алгеброй над
полем F. Поэтому размерность алгебры Aj над F не
превосходит п.
2) Л — несингулярное конечномерное кольцо и А— порядок в
простом артиновом кольце Aj.
3) Для каждого аеА существует такой многочлен f(x) E/?[x]
степени л, что /(а) = 0.
4) Л алгебраично над своим центром.
> Пункт 1) проверяется с помощью 10.63; 2) следует из 1) и 10.12.
Кольца, алгебраические над своими центрами 259
3) Пусть F —свободный правый /?-модуль с базисом х\,...ух„,
h: Fr —► Л# —такой модульный эпиморфизм, что A(jc,-) = a,- и S —под-
кольцо в End(/7/?), состоящее из таких эндоморфизмов /, что /(Кег(Л)) С
С Кег(й). Все эндоморфизмы модуля Л# поднимаются до эндоморфизмов
свободного модуля Fr. Поэтому кольцо End(y4#) изоморфно В. Кольцо Л
изоморфно подкольцу в End(/4#). Кольцо Ex\&(Fr) изоморфно кольцу Rn
всех (п х л)-матриц над коммутативной областью R. Поэтому существует
кольцевой мономорфизм Л —>Rn. Пусть аеА. По теореме Гамильтона—
Кэли существует такой многочлен f(x) € R[x] степени л, что /(a) = 0.
Пункт 4) следует из 3). □
10.65. Пусть кольцо А — конечно порожденный модуль над
своим унитарным центральным подкольцом R.
1) Для любого М € тах(/?) кольцо частных Ам — конечно
порожденный модуль над своим локальным центральным
подкольцом /?Af.
2) Каждое первичное факторкольцо кольца А — порядок в
простом артиновом кольце.
3) AmJ(Rm) QJ(Am) для всех М € тах(/?).
4) Для любого М е max(R) кольцо Ам полулокально,
ортогонально конечно и является конечно порожденным модулем над
своим центром.
5) А дистрибутивно справа в точности тогда, когда для
любого М е max(R) кольцо частных Ам — правое кольцо Безу
и Am/J(Am) — конечное прямое произведение тел.
> Пункт 1) проверяется непосредственно. Пункт 2) следует из 10.64(2).
Пункт 3) следует из 5.28(2), примененного к^и Ам- Пункт 4) следует
из 1), 3) и того, что (Am)/(AmJ(Rm)) — конечномерная алгебра над полем
Rm/J(Rm)- Пункт 5) вытекает из 4), 10.26(6) и 9.15(4). □
10.66. Пусть кольцо А алгебраично над своим центром С (А).
1) Если все левые делители нуля кольца А лежат в некотором
вполне первичном идеале Р и PQaAy то а — неделитель нуля
в А и существует центральный неделитель нуля t еаА\Р.
2) Если А — область, то А равномерна и для любого
ненулевого а е А существует такое ненулевое Ь Е Л, что ah = ba —
ненулевой центральный элемент в Л, лежащий в аАпАа.
*> 1) Так как Л алгебраично над своим центром, то существует
многочлен f(x) e С(А)[х] минимальной возможной степени п с тем
свойством, что /(a) € Р и старший коэффициент сп многочлена f(x) —
Центральный неделитель нуля. Пусть / — свободный член многочлена f(x)
и f(x) = xg(x) + t, g(x)eC(A)[x]. Так как п минимально, то g(a)eA\P.
260 Глава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
Поскольку Р —вполне первичный идеал, то ag(a) € А \ Р. Поэтому
/ = f(a) — ag(a) е А \ Ру откуда / —левый неделитель нуля. Кроме
того, t централен. Поэтому / — неделитель нуля. Так как f(a) e P С аА
и Р вполне первичен, то f(a) = ар для некоторого р € Р. Поэтому
t = а(р - g(a)) € аА \ Р. Так как / — центральный неделитель нуля
и / € аЛ, то а — правый неделитель нуля.
2) Так как Л—область, то можно применить 1) к нулевому вполне
первичному идеалу Р и любому ненулевому элементу а. Повторяя
доказательство 1), получим центральный неделитель нуля t=abeaAy где
b = -g(a)y g(x) — многочлен из С(Л)[х]. Так как все коэффициенты
многочлена g(x) центральны, то ba = — g(a)a = —ag(a) = аб = / € аЛ ПAa.
Поэтому каждый ненулевой главный правый или левый идеал содержит
ненулевой центральный элемент и область А равномерна. D
10.67. Пусть А — дистрибутивное справа неразложимое кольцо
с первичным радикалом Ру причем А алгебраично над своим
центром С(Л), идеал Sing^) нильпотентен, А не содержит
бесконечные прямые суммы ненулевых идеалов и не является равномерной
справа областью.
1) Каждый элемент аеА\Р — неделитель нуля в А, А/Р —
область и существует центральный неделитель нуля t €аА\Р,
причем P = tP = PtCtAnAt.
2) Если Q — правый идеал в Л, строго содержащий Р, то
PQ = QP = Р и либо А — цепное справа артиново справа
кольцо и Р = /(Л), либо Рд и дР — ненулевые модули без
простых фактор мод улей.
3) Если Р — конечно порожденный правый (левый) идеал, то А —
цепное справа артиново справа (артиново справа и слева)
кольцо и Р = /(Л).
> 1) Пусть а еА\Р. По 9.25(1) Р = аР С аА и Л/Р —область.
По 10.66(1) а — неделитель нуля в Л и существует центральный
неделитель нуля teaA\P. По 9.25(2) P = tP = Pt CtAnAt.
2) Пусть q eQ\P. По 1) существует такой центральный неделитель
нуля teqACQ, что P = tP = Pt CQPnPQ СР. Поэтому PQ = QP = Р.
Допустим, что ненулевой правый Л-модуль Р имеет простой фактор-
модуль S. Тогда Р • r(S) С Р. Так как по 9.13(1) А квазиинвариантно
справа,то r(S) — максимальный правый идеал и Р• r(S)QPCJ(A) Сr(S).
Так как PQ = QP = Р для любого строго содержащего Р правого идеала
Q, то r(S) = J(A) = Р, А/Р — тело и А —дистрибутивное справа
локальное кольцо с нильпотентным радикалом Джекобсона р. По 9.24 А —
цепное справа артиново справа кольцо.
Кольца, алгебраические над своими центрами 261
Допустим, что ненулевой левый Л-модуль Р имеет простой фактормо-
дуль Т. Тогда Р -ЦТ) С Р. Так как А алгебраично над своим центром и Р
нильпотентен, то дистрибутивная справа область А алгебраична над
своим центром. По 10.61 область А/Р дистрибутивна слева. Так как Р С J (А)
и по 9.13(1) область А/Р квазиинвариантна слева, то А квазиинвариантно
слева, ЦТ) — максимальный левый идеал и ЦТ) PC PC J(A) С ЦТ).
Поскольку PQ = QP = P для любого строго содержащего Р правого идеала
Q, то ЦТ) = J(A) = Р, А/Р — тело и А — дистрибутивное справа локальное
кольцо с нильпотентным радикалом Джекобсона Р. По 9.24 А — цепное
справа артиново справа кольцо.
3) Так как каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет
максимальный подмодуль, то по 2) А — цепное справа артиново
справа кольцо и P = J(A). Если Я —конечно порожденный левый идеал, то
артиново справа кольцо А артиново слева. □
10.68. Теорема. Пусть кольцо А алгебраично над своим
центром.
1) А — дистрибутивное справа нётерово справа кольцо в
точности тогда, когда А — конечное прямое произведение
цепных справа артиновых справа колец и инвариантных
областей, у которых каждое собственное факторкольцо —
конечное прямое произведение цепных артиновых колец.
2) А — дистрибутивное справа нётерово слева кольцо в
точности тогда, когда А — конечное прямое произведение цепных
справа артиновых колец и инвариантных областей, у
которых каждое собственное факторкольцо — конечное прямое
произведение цепных артиновых колец.
> 1) Импликация <= следует из 9.26 и 10.49.
=>. Без ограничения общности можно считать, что А — неразложимое
кольцо. Если А — область, то по 10.66(2) А равномерна и по 10.49 А —
инвариантная область, у которой каждое собственное факторкольцо —
конечное прямое произведение цепных артиновых колец. Допустим, что
Л —не область. По 6.25(2) идеал Sing^) нильпотентен. По 10.67(3)
А — цепное справа артиново справа кольцо.
2) Импликация <= следует из 9.26 и 10.49.
=>. По 9.26 можно считать, что А — нётерова слева дистрибутивная
справа область. По 10.66(2) А — равномерная область. По 10.49 Л —
инвариантная область, у которой каждое собственное факторкольцо —
конечное прямое произведение цепных артиновых колец.
Допустим, что А — не область. По 6.25(2) идеал Sing^)
нильпотентен. По 10.67(3) А — цепное справа артиново справа кольцо. По симмет-
262 Плава 10. Кольца частных и локализуемые кольца
ричному аналогу 5.38 нётерово слева артиново справа кольцо А артиново
слева. □
Упражнения
Обозначим через Ъ{Х\, X<i, ...} кольцо многочленов от счетного
числа некоммутирующих переменных Х\, Х2, ... с целыми коэффициентами.
Кольцо А называется Pl-кольцом, если существует такой многочлен
f(X{, ..., Хп) е Ъ{Х\, Х2у ...}, что f(a\, ..., ап) = 0 для любых а,- € А,
причем хотя бы один из старших коэффициентов многочлена / равен 1.
10.69 ([66]). Дистрибутивное справа полупервичное PI-кольцо А
дистрибутивно слева и для любого а € Л существует такое п € N,
что апА=Аап.
10.70 ([66]). Если А — PI-кольцо, то А — дистрибутивное
справа нётерово справа или слева полупервичное кольцо в точности
тогда, когда А — конечное прямое произведение инвариантных
нётеровых наследственных областей.
10.71 ([66]). Если А — PI-кольцо, то А — дистрибутивное
справа нётерово слева кольцо в точности тогда, когда А — конечное
прямое произведение инвариантных нётеровых наследственных
областей и цепных справа артиновых колец.
Литература. [55,62,85,86,88,157,220,221,267,268,281,282].
11
Регулярные кольца и модули
Регулярные модули
Модуль М называется регулярным, если каждый его циклический
подмодуль — прямое слагаемое в М. Непосредственно проверяется, что
каждый подмодуль регулярного модуля — полупримитивный регулярный
модуль. Предкольцо А называется регулярным (строго регулярным
справа, строго регулярным слева), если А — регулярная (строго
регулярная справа, строго регулярная слева) мультипликативная полугруппа,
т.е. если аеаАа (аеа2А, а^Аа2) для каждого а€Л. Ниже в 11.4
будет доказано, что регулярность А равносильна регулярности модуля
Аа (модуля аА). Идеал кольца называется регулярным, если он является
регулярным предкольцом.
11.1. Каждый регулярный модуль М — арифметический модуль,
в котором каждый конечно порожденный подмодуль X
разлагается в конечную прямую сумму циклических модулей и является
прямым слагаемым в М и поэтому X = е(М) для некоторого идем-
потента е Е End(Af).
> Непосредственно проверяется, что X — конечная прямая сумма
циклических модулей. Теперь докажем индукцией по п, что в М все п-
порожденные подмодули — прямые слагаемые. При п = 1 утверждение
верно. Допустим, что п > 1 и утверждение верно для всех натуральных
чисел, меньших п. Пусть /Y = У + Z — «-порожденный подмодуль в М, где
модуль Y (п— 1)-порожден и Z цикличен. По предположению индукции
существует прямое разложение М = Y ф#. Обозначим Т =Х Г\Н. Тогда
X=Xn(Y®H) = Y®T. Так как Т ^X/Y *Z/(Y П Z), то Т цикличен.
Существует прямое разложение М = Т @U. Так как Т С Н, то Н = Т $ W,
где W = HnU. Поэтому M = Y ®H = Y ®T ®W =X ®W.
Докажем арифметичность М. Пусть X, Y, Z —вполне инвариантные
подмодули в М и х = у + z € X П (Y + Z), у eY, 2 € Z. Найдется такой
идемпотент е е End(M), что хА = е(М). Так как Y и Z вполне инвариантны
в М, то e(y)eXr\Y, e(z)€Xf)Z. Поэтому
х = е(х) = e(y) + e{z) eXnY + XnZ,
Xn(K + Z) =XnY+XPiZ
и М арифметичен. □
264
Глава 11. Регулярные кольца и модули
11.2. Если а — элемент полугруппы Л, то а регулярен <=>
существуют такие идемпотенты е\, е% е А и элемент Ь еА, что ab —е\,
Ьа = е2 и а = е\а = ае2 & аА=еА для некоторого идемпотента
ее А Ф> Аа = Ае для некоторого идемпотента е е А.
11.2 проверяется непосредственно (например, в первой
эквивалентности для доказательства импликации => надо положить е\ = ab и е2 — Ьау
где Ь — такой элемент из Ау что а = aba).
11.3. Если а — элемент кольца А, то а регулярен Ф> а А — прямое
слагаемое в Ад о Аа — прямое слагаемое в &А.
Утверждение 11.3 следует из 11.2.
11.4. А — регулярное кольцо & А а— регулярный модуль Ф>
АА — регулярный модуль & каждый конечно порожденный
правый идеал в А порождается идемпотентом ф> каждый конечно
порожденный левый идеал в А порождается идемпотентом.
Утверждение 11.4 следует из 11.3 и 11.1.
11.5. Пусть А — регулярное кольцо.
1) Все факторкольца кольца А регулярны и еАе — регулярное
кольцо для любого ненулевого идемпотента ее А.
2) В А каждый ненулевой неразложимый правый идеал
—минимальный правый идеал. В частности, если А — сумма п
неразложимых правых идеалов, то А — полупростое
кольцо, являющееся прямой суммой не более чем п минимальных
ненулевых правых идеалов.
3) А — полунаследственное кольцо Безу, в котором каждый
элемент с нулевым правым (левым) аннулятором обратим слева
(слева).
4) Для любого аеА существует такой идемпотент ее А, что
ееаА и 1 -ее(\ -а)А.
5) Если S — множество правых знаменателей в кольце А, то
правое кольцо частных AS~[ регулярно и канонический
гомоморфизм A —*AS~l сюръективен.
> Пункты 1) и 2) проверяются с помощью 11.4.
3) Так как по 11.4 каждый конечно порожденный правый (левый)
идеал в А — прямое слагаемое циклического проективного модуля Аа
(модуля аА)у то А — полунаследственное кольцо Безу. Пусть аеАи г(а) = 0.
Существует такой идемпотент ее А, что Аа = Ае. Тогда 1 — е е г(а) = 0,
е=\у Аа — А на обратим слева.
4) Так как А регулярно, то аА = fA для некоторого идемпотента
f еаА. Тогда
Л = /Л + (1-а)Л и \-fbe(\-a)A
Регулярные модули
265
для некоторого b € А. Пусть е = / + fb(\ - /). Тогда
е1 = е € fA С аЛ, 1-е = (\ - fb)-{\ - fb)f e (\-а)А.
5) Каждое факторкольцо любого регулярного кольца регулярно.
Кроме того, каждый неделитель нуля любого регулярного кольца —
обратимый элемент. Поэтому утверждение следует из 10.10(2). □
11.6. Если Х\ С X<i С Xz С ... — возрастающая цепь конечно
порожденных подмодулей регулярного модуля М, то существует
такое счетное множество {е{ 11 ^ / < оо} ортогональных идемпотен-
тов в End(Af), что ф"^ ei(M) =Хп для каждого neN и (J^l, Xn —
счетная прямая сумма циклических прямых слагаемых модуля М.
В частности, если В\ С В<± С В3 С • • • — возрастающая цепь конечно
порожденных правых идеалов регулярного кольца А, то
существует такое счетное множество {et 11 ^ / < оо} ортогональных идем-
потентов в Л, что ф"=1 etA —Bn для каждого неотрицательного
целого числа п. Следовательно, каждый счетно порожденный
правый идеал в А порождается счетным множеством ортогональных
идемпотентов.
> Заметим, что Хп+\ =Xn + Yn для каждого п € N, где все модули Уп
конечно порождены. По 11.1 для каждого п имеем Хп+\ = Хп + Yn =
= Хп 0 Z„+i, где каждый модуль Zn+\ конечно порожден. Обозначим
Z\=X\. Тогда (J^li Хп = ф^ Zn и множество {еп}™=х естественных
проекций модуля М на модули Zn таково, что ф"=1 е^М) = Хп для всех п € N
и (J^li Хп — прямая сумма счетного числа конечно порожденных модулей
Zrt. По 11.1 каждый модуль Zn — конечная прямая сумма циклических
регулярных модулей. □
11.7. Пусть М — регулярный модуль.
1) Каждый счетно порожденный подмодуль в М — счетная
прямая сумма циклических регулярных прямых слагаемых модуля
М.
2) Если М самопроективен и Q — прямое слагаемое в М, то
для любого конечно порожденного подмодуля N в М модуль
Q + N — прямое слагаемое в М и существует такой
подмодуль U в N, что Q + N = Q®U.
> Пункт 1) следует из 11.6 и того, что М — объединение счетной
возрастающей цепи конечно порожденных подмодулей.
2) Пусть М = Q ф L и h: М —» L — проекция с ядром Q. Так как
h(N) — конечно порожденный подмодуль регулярного модуля L, то
h(N) — прямое слагаемое в L. Поэтому Q + N = Q ® h(N) — прямое
слагаемое в М. По 7.41(3) существует такой подмодуль U в N, что
Q + N = Q®U. О
266
Глава 11. Регулярные кольца и модули
11.8. Если регулярный модуль М —прямое слагаемое прямой
суммы счетно порожденных модулей, то М — прямая сумма
циклических регулярных модулей.
> По 4.25 М — прямая сумма счетно порожденных регулярных модулей
Af/ (/€/). По 11.7(1) каждый модуль Af,— прямая сумма циклических
регулярных модулей. D
11.9. Если М — проективный регулярный правый модуль над
кольцом Л, то М изоморфен прямой сумме циклических регулярных
прямых слагаемых модуля Ад и каждый счетно порожденный
подмодуль в М проективен. В частности, в регулярном кольце
каждый счетно порожденный правый идеал проективен.
> По 4.25 М — прямая сумма счетно порожденных модулей. По 11.7(1)
Af —прямая сумма циклических регулярных модулей Af/. Каждый
циклический проективный модуль Af/ изоморфен прямому слагаемому
свободного циклического модуля. Пусть X — счетно порожденный подмодуль
в Af. По 11.7(1) X — прямая сумма циклических прямых слагаемых
проективного модуля М. Поэтому X проективен. □
11.10. Если М — прямое слагаемое прямой суммы проективных
регулярных правых модулей Mi над кольцом Л, iel, то М —
проективный регулярный модуль, изоморфный прямой сумме циклических
регулярных прямых слагаемых модуля А а-
> Так как Af — прямое слагаемое прямой суммы проективных модулей
Af/, то Af проективен. По 11.9 достаточно доказать, что Af регулярен.
Пусть Н — циклический подмодуль в Af. Без ограничения общности
можно считать, что N С / и Н С ф"=1 Af/ для некоторого /igN. Обозначим
X = 0"=1Af/. Так как X — прямое слагаемое в Af, то достаточно
доказать, что X регулярен. Будем вести индукцию по п. Если п = 1, то
X — М\ — прямое слагаемое в Af и X регулярен. Допустим, что п > 1.
Обозначим / = 0^ Af/. По предположению индукции Y регулярен. Пусть
/: X —> Afп — проекция с ядром Y. Тогда /(Я) — циклический подмодуль
регулярного модуля Af„. Поэтому Мп = /(//) ф Z для некоторого
подмодуля Z в Af„. Так как Afrt проективен, то /(/У) проективен. Поэтому Y Г\Н —
прямое слагаемое в Я, т. е. Y = Y П Н 0£ для некоторого подмодуля Е
в Y. Тогда /(£) = /(/У) и Y П Е = 0. Значит, Y ® Е = Y 0 /(//). Так как
У Г\Н — циклический подмодуль регулярного модуля К, то Y = Y Г)Н 0 L
для некоторого подмодуля L в Y. Поэтому
Y®f(H) = YDH&L&E = H®L.
Следовательно,
X = W0L0Z,
откуда X регулярен. □
Регулярные и строго регулярные кольца
267
Регулярные и строго регулярные кольца
11.11. Для кольца А равносильны условия:
1) А — регулярное кольцо;
2) А — полупервичное кольцо, в котором объединение любой
цепи полупервичных идеалов — полупервичный идеал и каждое
первичное факторкольцо регулярно;
3) каждое ненулевое факторкольцо кольца А имеет ненулевой
регулярный идеал;
4) каждый проективный А-модуль регулярен и изоморфен
прямой сумме циклических регулярных прямых слагаемых
модуля А а.
> Импликации 3)=> 1) и 4)=> 1) очевидны. Импликация 1)=ф2)
следует из того, что любое факторкольцо регулярного кольца полупервично.
Импликация 1)=>4) следует из НЛО.
2) => 1). Допустим, что существует а Е А \ аАа. Пусть £ — множество
всех таких полупервичных идеалов £ в Л, что а + Е £аАа + Е. Так как
нулевой идеал лежит в £ и объединение любой цепи полупервичных
идеалов в А — полупервичный идеал, то £ содержит максимальный элемент Q.
Поскольку каждое первичное факторкольцо кольца А регулярно, то идеал
Q не первичен и существуют такие идеалы S и Т в Л, что S и Т строго
содержат Q и ST С Q. Пусть К = {г Е Л | гТ С Q} и L = {г Е А \ Кг С Q}.
Так как Q — полупервичный идеал, то идеалы К и L полупервичны. Кроме
того, (К П L)2 QKLCQ. Поэтому К П L С Q. В силу того, что S С К
и TCLy идеалы К и L строго содержат Q. Так как Q — максимальный
элемент множества £, то существуют такие уу z Е Л, что а — а(/а Е /(
и а - ага Е L. Кроме того,
а - а(у + z — yaz)a = (а — ш/а) - (а - aya)za Е /С,
а - а(# + 2 - */аг)а = (а - ага) - ш/(а — aza) E L,
а - а(у + 2 -yaz)a e KnL С Qy а е аАа + Q.
Получено противоречие.
1)=>3). Пусть £ — множество всех регулярных идеалов в Л. Так как
О Е £, то £ф0. Кроме того, £ содержит объединение любой
возрастающей цепи своих элементов. По лемме Цорна £ содержит максимальный
элемент Е. Если Л = £, то Л регулярно. Допустим, что Л ф Е. По условию
ненулевое кольцо А/Е имеет ненулевой регулярный идеал D/E. Пусть
а е D. Так как D/E регулярен, то а — aba Е Е для некоторого b E D.
Поскольку Е регулярен, то а — aba = (a — aba)x(a — aba) для некоторого
268
Плава 11. Регулярные кольца и модули
хеЕ. Тогда
а = aba + (а - aba)x(a - aba) = a(b + jc — бах - xab 4- baxab)a e aAa.
Поэтому D e£, что противоречит максимальности £в5. D
11.12. Пусть М — модуль с кольцом эндоморфизмов R.
1) Если f G End(Af), то f — регулярный элемент в R в точности
тогда, когда f(M) и Кег(/) — прямые слагаемые в М.
2) Регулярность R равносильна тому, что образ и ядро любого
эндоморфизма модуля М являются прямыми слагаемыми в М.
3) Если М полупрост, то R регулярно. В частности, все
полупростые кольца регулярны.
4) Если М — непрерывный несингулярный модуль, то R
регулярно.
5) Если М — самоинъективный несингулярный модуль, то R
регулярно.
> 1) Импликация => следует из того, что f(M) = е\(М) и Кег(/) =
= (1 - е2)(М), где е\ и e<i — идемпотенты в End(Af), соответствующие
утверждению 11.1, примененному к кольцу End(Af).
Докажем импликацию <=. Допустим, что М = Кег(/) 0W = f(M) 0 Y
для некоторого подмодуля Y в М. Обозначим <р= /|#. Так как М =
= Кег(/)0Л/, то <p(N) = f(M). Поэтому (р — мономорфизм.
Существует такой эндоморфизм g G А, что g(x + у) = <£-1(*) для всех х е а(М)
и yeY. Тогда / = fgf.
Пункт 2) следует из 1); 3) следует из 2).
4) Пусть / €/?. По 7.26(4) Кег(/)— прямое слагаемое в М. По 7.43
/(Af) — прямое слагаемое в М. По 2) /? регулярно.
Пункт 5) следует из 4) и того, что по 7.45 самоинъективные модули
непрерывны. □
11.13. Для кольца А равносильны условия:
1) А — строго регулярное справа (слева) кольцо',
2) А полупервично и все его первичные факторкольца — тела;
3) А — регулярное нормальное кольцо;
4) А — регулярное редуцированное кольцо;
5) в А каждый элемент — произведение центрального идемпо-
тента и обратимого элемента;
6) А — дистрибутивное справа (слева) регулярное кольцо;
7) А — квазиинвариантное справа (слева) регулярное кольцо;
8) А — инвариантное регулярное дистрибутивное кольцо,
каждый циклический А-модуль — регулярный инвариантный
дистрибутивный модуль, причем если d — левый или правый
Регулярные и строго регулярные кольца
269
неделатель нуля в А и (р — инъективный эндоморфизм кольца
A,mod,<p(d)€lt{A);
9) правый аннулятор любого подмножества в А — идеал в А
и существует такой инъективный кольцевой эндоморфизм
<р кольца Л, что для любого а € Л существует такой элемент
Ь Е Л, что (р(а) = (p(a)ab;
10) для любого мультипликативного подмножества S в А
двустороннее кольцо частных S~lAS~l существует и является
строго регулярным факторкольцом кольца Л, причем для
любого максимального правого или левого идеала М в А
двустороннее кольцо частных мАм существует и является телом;
11) для любого максимального правого (левого) идеала М в А
правое кольцо частных Ам (левое кольцо частных мА)
существует и является телом.
> Достаточно рассматривать только правосторонние варианты условий
1), 6), 7) и 11). Импликация 2)=>3) следует из 6.36(1). Импликация
3) =Ф 4) следует из 7.38. Импликация 4) => 5) следует из 11.5(3) и 7.38.
Импликации 8)=> 1), 8)=>2), 8)=>3), 8)=>6), 5)=» 2) и 10)=>11)
проверяются непосредственно. Импликация 6) => 7) следует из того, что по 9.5
каждый дистрибутивный модуль квазиинвариантен. Импликация 7) => 4)
следует из того, что квазиинвариантное справа полупримитивное кольцо
Л — подпрямое произведение тел и поэтому редуцировано. Импликация
1)=>9) следует из того, что можно взять <р равным тождественному
автоморфизму Л.
9) => 1). Пусть а € Л. По условию <р(а)(\ — ab) = 0 для
некоторого Ь € Л. Обозначим т= 1 —ab. Так как по условию г((р(а)) — идеал
и (р(а)т = 0, то <р(ат)ат = 0. По условию <р(ат) = (p(am)amg для
некоторого gGA. Поэтому из (р(ат)ат = 0 следует, что (р(ат)=0. Тогда
0 = ат = а(1 -ab)y а = а2Ь и Л строго регулярно справа.
2)=ф4). По 6.13 каждое полупервичное кольцо — подпрямое
произведение первичных факторколец. Тогда из условия следует, что каждое
полупервичное факторкольцо кольца Л — подпрямое произведение тел,
откуда каждый полупервичный идеал в Л вполне полупервичен. В
частности, Л — редуцированное кольцо. Непосредственно проверяется, что
объединение любой возрастающей цепи вполне полупервичных идеалов
любого кольца — вполне полупервичный идеал. Поэтому в Л
объединение любой возрастающей цепи полупервичных идеалов — полупервичный
идеал. По 11.11 Л регулярно.
1)=>4). Пусть а е Л. Так как Л строго регулярно справа, то а = а2Ь = 0
Для некоторого be А. Поэтому каждый элемент с нулевым квадратом
270
Плава 11. Регулярные кольца и модули
равен нулю и Л редуцировано. Так как А строго регулярно справа, то
а(\ -ab) = 0 для некоторого b eA. Тогда по 6.34 (1 - ab)a = 0. Поэтому
a = aba и А регулярно.
3)=>8). В регулярном нормальном кольце А каждый односторонний
идеал порождается центральным идемпотентом. Тогда А инвариантно.
Поэтому решетка подмодулей любого циклического Л-модуля М
совпадает с решеткой идеалов некоторого факторкольца кольца А, откуда М —
регулярный инвариантный модуль. По 11.1 М дистрибутивен. Пусть d —
левый или правый неделитель нуля в Л и <р — инъективный эндоморфизм
кольца Л. По 11.5(3) d e U(A). Тогда
1 = ф) = <p(d-d-1) = <p(d-[ -d) = ip(d)-ip(d-1) = ^(d~{)^(d).
Поэтому ip(d) G U(A).
8) => 10). По 10.33(3) кольцо частных З^ЛЗ""1 существует и
редуцировано. По 11.5(5) кольцо 5-1Л5-1 регулярно и канонический
гомоморфизм Л —^S'MS""1 сюръективен. Регулярное редуцированное кольцо
5~MS_1 строго регулярно. Пусть М — максимальный правый или левый
идеал вЛ и Т = А\М. Так как {1} —множество двусторонних
знаменателей в Л, то по условию Л строго регулярно. Поэтому Af — идеал и Т
мультипликативно. По условию кольцо мАм существует и строго
регулярно. По 10.34(6) кольцо мАм локально. Строго регулярное локальное
кольцо мАм —тело.
11) => 1). Пусть а е А и М € тах(Л,4). Так как Ам —-тело, то ам €
€ад,Лм- По 10.36(1) а€а2А и Л строго регулярно. □
11.14. Пусть R — центральное подкольцо кольца Л. Для любого
М е тах(/?я) обозначим через Ам кольцо частных кольца А
относительно центрального мультипликативного подмножества R\M
в А.
1) Регулярность коммутативного кольца R равносильна тому,
что для любого М е тах(/?#) кольцо частных Rm — поле.
2) Л — регулярное (строго регулярное, редуцированное,
полупервичное, инвариантное справа) кольцо в точности тогда,
когда для любого М Е max(R) кольцо частных Ам регулярно
(строго регулярно, редуцировано, полупервично,
инвариантно справа).
> Пункт 1) следует из 11.13.
2) Рассмотрим только случай регулярных колец, поскольку
остальные случаи рассматриваются аналогично (при этом надо использовать
утверждения 10.46(1) и 10.46(2)). Импликация => следует из 5(5).
Регулярные и строго регулярные кольца 271
<=. Пусть хе Л, Afemax(/?), А=АМ и x=jM(x). Тогда xAx — RM-
подмодуль в А. Так как А регулярно, то хехАх. По 10.36(1) х GxAx.
Поэтому А регулярно. □
11.15. Пусть М — правый модуль над регулярным кольцом А.
1) Если X — подмодуль в М и В —левый идеал в Л, то ХВ =
= ХпМВу причем если В —идеал в А, то существует
мономорфизм /: (Х/ХВ)а —>(М/МВ)д.
2) Если М Ф 0, то существует такое примитивное справа фак-
торкольцо А/В, что М/МВ — ненулевой правый А/В-модуль.
t> 1) Обозначим х = ^У!=\ m'tbi еХпМВ, где Ь{ еВ и m, еМ.
Обозначим через £ конечно порожденный левый идеал £"=1 Л£; в Л. Так как
А регулярно, то существует такой идемпотент е € Е, что Е = Ле. Тогда
b{ —b[e для всех /. Поэтому
х = хе еХВ, ХпМВ СХВ СХпМВ, ХВ = ХГ)МВ.
Второе утверждение следует из первого и естественного изоморфизма
/: N/(N П MB) -> (N + MB)/MB С Af/AfВ.
2) Пусть А' —ненулевой циклический подмодуль в Af. Существует
простой фактормодуль ^/У модуля X. Пусть В — аннулятор простого
модуля X/Y. Тогда А/В — примитивное справа кольцо и Х/ХВ — ненулевой
правый Л/В-модуль. По 1) М/МВфО. □
11.16. Пусть А — кольцо.
1) £Ъш факторкольцо A/J(A) строго регулярно, то
дистрибутивные А-модули совпадают с А-модулями Без у.
2) Если А имеет такой нильидеал В, что факторкольцо А/В
строго регулярно, то дистрибутивные А-модули совпадают
с А-модулями Безу.
3) А дистрибутивно справа и факторкольцо А/](А) регулярно
в точности тогда, когда А — правое кольцо Безу и фактор-
кольцо A/J (А) строго регулярно.
> 1) По 9.10(5) можно ограничиться случаем, когда А строго регулярно.
Так как А инвариантно, то по 9.8(3) каждый Л-модуль Безу
дистрибутивен. Пусть Мд —дистрибутивный модуль, х, у € М и X = хЛ + уА.
Достаточно доказать, что модуль X цикличен. По 9.2 существуют такие
a, b е Л, что 1 =а + Ь, хаеуА и yb €хА. Существует такой центральный
идемпотент е строго регулярного кольца Л, что аА=еА. Поэтому
хе е уеА, у(\-е) = (ya + yb)(l-e) = уЬ(\ -е) € х(1-е)А,
X = Хе®Х(1-е) =
= хеА+уеА+х(\ -е)А+у(1 -е)А = (уе+х(\ -е))А.
272
Плава 11. Регулярные кольца и модули
2) Так как нильидеал В лежит в J (А) и А /В строго регулярно, то
кольцо A/J(А) строго регулярно. Поэтому 2) следует из 1).
Пункт 3) следует из 1) и того, что по 11.13 дистрибутивные справа
регулярные кольца совпадают со строго регулярными кольцами. D
11.17. Если А — дистрибутивное справа несингулярное справа
кольцо и факторкольцо A/J (А) регулярно, то все подмодули плоских
правых или левых А-модулей являются плоскими.
Утверждение 11.17 следует из 11.16(3), 8.29 и 9.14(6).
11.18. Если А — полупервичное кольцо, то его правый цоколь
Soc(Aa) — регулярное предкольцо и совпадает с левым цоколем
SocCH).
> Пусть S = Soc(/l/4). Можно считать, 4toS^0. Пусть O^aeS. По 6.1
существует такой идемпотент е е а А С S, что а А = еА. Тогда е = е2 eaS.
Поэтому е = ab для некоторого b е S. Тогда а = еа = aba е aSa и S —
регулярное предкольцо. Остается доказать 5 = Бос^Л). Достаточно
доказать, что S С Бос^Л). Пусть Т — минимальный правый идеал в А.
Достаточно доказать, что Т CSoc(aA). По 6.1 существует такой
ненулевой идемпотент е € Л, что Т = еА и Ае С Бос^Л). Так как Бос^Л) —
идеал в Л, то eAeQSoc(AA). Тогда ТCAT = AeACSoc(AA). □
11.19. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — полуартиново справа регулярное кольцо;
2) Л — полуартиново слева регулярное кольцо;
3) каждое ненулевое факторкольцо кольца А — полупервичное
кольцо, содержащее минимальный ненулевой правый или
левый идеал.
> Достаточно доказать эквивалентность 1)^»3). Импликация 1)=>3)
проверяется непосредственно.
3)=>1). По 11.18 каждое ненулевое факторкольцо кольца Л
имеет ненулевой правый цоколь, являющийся регулярным предкольцом.
По 11.11 Л регулярно^ Кроме того, правый цоколь любого его
ненулевого факторкольца Л — ненулевой идеал в Л. Отсюда следует, что
Аа = 5оса(Л,4) для некоторого ординала а. По 5.48(1) Л полуартиново
справа. □
11.20. Пусть А— унитарное подкольцо кольца R и модуль дА
изоморфен прямому слагаемому модуля aR (например, это так,
если модуль aR свободен).
1) Существует такой А-модульный эпиморфизм t: aR -* аА,
что t(x) = х для любого х еА.
2) Если R дистрибутивно справа, то А дистрибутивно справа.
3) Если a, b еА и ае bR, то аеЬА. В частности, если а е а2/?,
то аеа2А.
1
Регулярные групповые кольца 273
4) Если аеА и aR = R, то аА=А.
5) Если R локально, то А локально.
6) Если R — цепное справа кольцо, то А — цепное справа кольцо.
7) Если R строго регулярно, то А строго регулярно.
8) Если R регулярно и А — центральное подкольцо в R, то А
регулярно.
9) Если R инвариантно справа, то А инвариантно справа.
о 1) По условию л/? = аЕ ®аВ> где aF — свободный циклический
модуль со свободным образующим /. Пусть h: л/? —► a? — проекция с ядром
В, g: aF~*аА —такой изоморфизм, что g{f) = 1 и t = gheHom(AR, aA).
Тогда t(x) = x для любого хеА.
2) Так как R дистрибутивно справа, то по 9.2 существуют такие
а, Ь, с, d €/?, что верны равенства
1 = а + Ь, та = пс, пЪ = md. (*)
Пусть а = t(a), b = t(b), с = t(c) и d = t(d). Так как t(x) = x для
любого хеА, то применяя / к (*), получим равенства 1 = а + 6, та = пс
и nb = md. По 9.2 А дистрибутивно справа.
3) Пусть а = Ъх, где х е R и d = t(x) еА. Тогда а = t(a) = t(bx) = bde
ebA.
4) Так как 1 eaR, то 1 €аЛ по 3).
Пункт 5) следует из 4) и того, что А — локальное кольцо в точности
тогда, когда для любого х е А хотя бы один из элементов х и 1 — х
обратим справа.
Пункты 6), 7) и 8) следуют из 3).
9) Для любых a, b € А достаточно доказать существование такого
с е А, что Ьа = ас. Так как R инвариантно справа, то ba = am для
некоторого т е R. Пусть /: AR —* /И — эпиморфизм из 1). Поэтому
ba = t(ba) = t(am) = at(m) = ас, где с = /(т) € Л. □
Регулярные групповые кольца
Пусть А — кольцо, G — моноид, AG —свободный левый Л-модуль с
базисом {g \ g e G), состоящий из конечных формальных сумм Y,geG ag8>
ageA и ge G. Определим умножение на AG так, что
4 g ' Х g ' g Xf,heG,fh=g /
При этом умножении модуль A G превращается в кольцо, которое
называется моноидным кольцом моноида G с кольцом коэффициентов А. Если
274
Глава 11. Регулярные кольца и модули
G — группа, то моноидное кольцо AG называется групповым кольцом.
Для любого подмножества В С А через BG обозначается подмножество
\ YlgeG bgg \у где bg^B &ля всех ё £ G. Если А — коммутативное
кольцо, то AG называется также моноид ной А-алгеброй. Вместо 1 • g будем
писать g. Единицы кольца А и моноида G отождествляются и
обозначаются одним символом 1. Кроме того, элементы кольца AG записываются
в виде ^a-tgi. Пусть х = ]Ta,g/ € >4G, где все а,- ^0. Конечное
подмножество {g\, ..., gn} моноида G называется носителем элемента х.
Объединение носителей всех элементов подмножества X С AG
называется носителем X и обозначается через supp(A). Для любого подмоноида
Н моноида G через ujH (или через uagH) обозначается правый идеал
Xw*e//0 —h)AG в AG. Непосредственно проверяется, что соотношение
^(2ai&') = Y^at> Д; еЛ, gi eG, корректно задает сюръективный
кольцевой гомоморфизм <р: AG —>А с ядром ujG, действующий
тождественно на А\ в частности, A = AG/ujG и ujG Ф AG. Идеал ujG
моноидного кольца AG называется фундаментальным идеалом. Под-
моноид моноида G, порожденный подмножеством X С G, обозначается
через {X). Если Y С G, то будем писать (X, Y) вместо {{X U Y}). Порядок
подмоноида Н группы G равен числу элементов в Я и обозначается через
\И\. (Если geG, то будем писать \g\ вместо \(g}\.)
11.21. Пусть А — кольцо и G — моноид.
1) Если G — прямое произведение моноидов S иТуто моноидное
кольцо AG изоморфно моноидному кольцу моноида Т с
кольцом коэффициентов AS.
2) {l-g)h = (l-gh)-(l-h) uh(\-g) = (\-hg)-(\-h) для
любых g, heG.
3) ujG — свободный левый А-модуль с базисом {! - g}geG и
свободный правый А-модуль с базисом {1 - g}geG-
> Пункты 1) и 2) проверяются непосредственно.
3) По 2) uG = £^G(1 - g)A = ZgEG Ml-g)- Допустим, что
п п п
0 = $^а,-(1 - gi) = £а' -£<!'#•
i=i /=i /=i
где О^а; €/4 и g; € G. Тогда все элементы а,- равны нулю, поскольку
модуль a(AG) свободен. D
11.22. Пусть А — кольцо, G — моноид, Н — подмоноид в G,
{М/е/ —система моноидных образующих моноида Н. Тогда ujH =
== Xwe/0 ~ hi)AG = J3/€/i4G(l — А,-). £ частности, если Н —
п-порожденный моноид, то ujH — п-порожденный правый идеал в AG.
Регулярные групповые кольца
275
> По 11.21(3) достаточно доказать индукцией по п, что 1 - h\ .. .hn e
е^2(\ -hi)iefAG (мы считаем, что {1, ..., п}С1). При п= 1 утверждение
верно. Допустим, что утверждение верно для некоторого п. По 11.21(1)
l-A|...M«+i=(l-A|...MA«+i+(l-An+i)€i:(l--A/)«€MG. □
11.23. Пусть А — кольцо, G — моноид с группой обратимых
элементов U', И — подгруппа группы U.
1) Существует такой АН-АН-бимодульный эпиморфизм
ср: ahAGah —* ahAHahi что <рн(х) = х для любого х е АН
и ipH(y) = 0 для любого такого у €AG, что Н nsupp(*/) = 0.
2) Если А —алгебра над полем /\ то существует такой FG-
FG-бимодульный эпиморфизм ф: AG -+FG, что ф(х) = х для
любого xeFG.
3) Если 1 -г€£?=1(1-й,-)Л0, где Ни ..., Ая€#, то gzH.
4) Если {А|}/€/ —система групповых образующих группы Н, то
vH = ^2i€/{l -A/)i4G = J]/€/i4G(l —hi). В частности, если И —
п-порожденная группа, то и>Н — п-порожденный правый
идеал в AG.
> 1) Пусть В — множество всех таких у € AG, что Н П supp(//) = 0.
Если g e G, Л е И и либо gh е //, либо hg € /У, то g e И. Поэтому
В — АН-АН-бимодулъ и ahAGah = В 0 анАНан- Пусть
^//—проекция ah AG ан ~* ан АНан с ядром В. Тогда у?//— требуемый АН-АН-
бимодульный эпиморфизм.
2) Включим единицу кольца А в базис
{!,{*« }/€/} (*)
векторного пространства Л/?. Пусть В —множество всех элементов
Yliaigi^AG, у которых в разложении по базису (*) коэффициент
при единице равен нулю. Тогда В — FG-FG-бшодулъ и имеет место
бимодульное прямое разложение fgAGfg = В 0 fgFGfg- В качестве
бимодульного эпиморфизма ф можно взять проекцию fgAGfg —>fgAGfg
с ядром В.
3) Пусть (р: ah AG ан —► анАНан — эпиморфизм из 1) и 1 — g =
^E/LiO -hi)xi, гдех/€ЛС Тогда
1 = <pH(l-g) = <РнП2(1-Ь)хА = £(1 -hi)ipH{Xi) e шС
\=i ' i=\
Получено противоречие, поскольку ujG фАС.
4) Так как {A/, Af1}/^/—система моноидных образующих для /У,
то по 11.21(3) w// = £/6/0 -А|МО + Е,-€/П -AfMO). Кроме того,
276 Глава 11. Регулярные кольца и модули
1 - Af1 = (1 - hi)(-hrl) € (1 - ht)AG. Поэтому шН = £/6/(1 " ^)ЛС-
Аналогично, о;// = £/€/ >4G(1 - A,). D
11.24. Пусть А — коммутативное кольцо.
1) £ош G —моноид, то кольцо AG дистрибутивно справа
в точности тогда, когда для любого максимального идеала
М кольца А кольцо AmG дистрибутивно справа.
2) Если G — конечный моноид, то J(A)G CJ(AG).
3) Если G — группа и a: AG —>AG —отображение, задаваемое
правилом а(£?=1 aigi) = ]C/*=i aie7Xy mo ol
—антиавтоморфизм кольца AG, a2(a) = a для всех а € Л и а индуцирует
изоморфизм решетки Lz{(AGag) на решетку Lat^c^G).
> Пункт 1) следует из 10.36(6) и изоморфизма AmG = (AG)м- Пункт 2)
следует из 5.28(2). Пункт 3) проверяется непосредственно. □
11.25. Пусть А — кольцо, G — группа, И — подгруппа в G, {Hg} —
множество всех правых смежных И-классов, Т —множество
представителей правых смежных И-классов, А({Нg}) — свободный
левый А-модуль с базисом {Ht}teT и f: AG —► А({Нg}) — гомоморфизм
левых А-модулей, задаваемый правилом f(%2agg) = ^ZagHg. Тогда
Кег(/) = ujH и правый идеал ujH в AG — подмодуль левого АН-модуля
AG.
> Так как / — гомоморфизм левых А -модулей и f((\—h)g)=Hg—Hhg—
=Hg-Hg=0 для всех Ле// и ge G, то шН СКег(/). Пусть YlagS €
е Кег(/), ageA, geG. Тогда
££**/"« =£(!>*///') =0.
teTheH teT heH
Так как {Ht}teT — базис свободного левого Л-модуля A({Hg}), то
Y,heH aht =0 Для любого teT. Поэтому
teTheH teTheH
= ££(1-Л)(-ЯА/0еи;/У. □
teT heH
1 1.26. Пусть А — кольцо, G — группа, Н — подгруппа в G,
{gi)iei ■— множество представителей левых смежных Н-классов.
Тогда AG — свободный правый АН-модуль с базисом {gi}tei-
Следовательно, каждый свободный (проективный) AG-модуль —
свободный (проективный) АН-модуль.
> Так как G = Ц6/ &Н, то AG = £.€/ &АН. Пусть £. g&t = 0, где
*' = Yjj aijhj, uj e A, hj е Н. Тогда £.;. a^ftA/ = 0. Поэтому а,-, = 0 для
Регулярные групповые кольца
277
всех i, /\ поскольку gi — представители левых смежных классов по Н.
Тогда х\ = О для всех /. П
11.27. Пусть А — кольцо, G — группа, И — подгруппа в G, geG.
1) gO — h) e о;// (Зля всех h e H в точности тогда, когда
gojH CujH.
2) gHg~l СН в точности тогда, когда g(\ -h)eusH для всех
heH
3) Н — нормальная подгруппа в G Ф> g(\ -h)ewH для всех
geG и heH ф> иН — идеал в AG.
о Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) Докажем => . Пусть h е Н. Так как ghg~l е Н, то
ff(l -А) = £(1 -А)*"1* = (1 - ghg-l)g е о;//.
«=. Пусть ЛеЯ. Тогда 1 - ghg~x = g(l - /*)£-' е (1 - Л)Л[7]. По
11.23(3) ghg~leH.
Пункт 3) следует из 1) и 2). П
Моноид G называется моноидом с сокращениями, если g = h для
любых таких f,g,he G, что fg= fh или gf = hf.
11.28. Пусть G — моноид с сокращениями и U —группа
обратимых элементов моноида G.
1) Если И — бесконечный подмоноид в G, то О = £Ag(uH) =
2) £слы geG и существуют такие т, neN, что т>п и gm = gn,
то gm~n = 1 и поэтому geU.
3) Если Н — конечный подмоноид в G, то Н — конечная
подгруппа группы U ,hH — H для любого heH, 0^AG(Y^heH h) =
= £AH(u;H)=eAG(ujH), Q^Y,heHh^rAH{\-h)CrAG(\-h) для
любого heH.
4) Если Н — подмоноид в G, то моноид Н конечен ф>
Наконечная группа Ф> £ag(uH)^0.
5) Если Н — подмоноид моноида G, порожденный единицей
моноида G и элементом geG, то Н конечен <& 1 — g — правый
делитель нуля в AG <=> 1 - g — левый делитель нуля в AG ^
Н — конечная циклическая группа.
> 1) Достаточно доказать, что 0 = f]heH r(\ —h) = f]heH £(\ —h). Пусть
Xw=i a'igi € Плея г(1 ~ Л)> где ° Ф а< е А* ei £ G. Так как G — моноид
с сокращениями, то множество {g\h)heH бесконечно. Поэтому
существует такое heH, что hg\ Ф gi, i —\, ..., п. Так как (1 -А)(£"=, Я/£/) = 0»
то Y^=\aigi —Y^=\aihgi- Поэтому существует такое /, что g\ = Ag,-;
получено противоречие. Аналогично, Г\нен^ — Л) = 0.
278
Глава 11. Регулярные кольца и модули
Пункт 2) следует из того, что равенство gm = gn можно домножить
на g~n.
3) По 2) Н — конечная подгруппа группы U. Пусть Н —{h\, ..., hn},
где все Л/ различны и т = Yyt=\ а^- Для любого h е И имеем НИ — И',
mh = hm = m, 0 = m(l -Л) = (1 - h)m. Поэтому 0^AGmC£AH(ujH) С
С £ag(ujH) иО^шС ган(\ - h) С a^gO — Л) для любого he H. Пусть
х = YlaiSj ZtAG&H) и Г —множество представителей левых смежных
классов {#//} из G относительно Н. Тогда Ylaiei =Ha}ei^ wn всех
Л € Н. Поэтому если gtH = gjH, то а/ = ау-. Тогда
х = ^attm e AGm, О ^ 4Gm = £АН(иН) = £AG(uH).
teT
Пункт 4) следует из 1) и 3).
5) Эквивалентность первого и последнего условий следует из 4). Так
как первое условие симметрично, то достаточно доказать первую
эквивалентность. Импликация => следует из 4) и из включения 1 - geuH.
<=. Пусть О^х e£AG(\ - g). По 11.22 иН = (1 - g)AG. Поэтому
0^xe£AG(uH). По 4) Н конечен. D
11.29. Пусть А — кольцо, G — группа и И — подгруппа в G. Тогда
правый идеал и>Н в AG — прямое слагаемое модуля AGAq в
точности тогда, когда \Н\ = п <оо и п~1 еА.
> =>. Пусть шН = е - AG, е = е2. Так как ujH С wG Ф AG, то е Ф 1.
Поскольку 0 ^ 1 - е € ^//), то по 11.28(4) \Н\ = п< оо. По 11.28(3)
£{шН) = /1G Ylhefi h- ПУСТЬ ! - е = * Елея л> ™e * ^ £а<&* € AG,
{Hg} — множество правых смежных //-классов, A({Hg}) —
свободный левый А -модуль с базисом {Hg} и /: AG —» 4({//g}) —левый
Л-гомоморфизм, задаваемый правилом f(Ylagg) = ^2ag^g- По 11.25
Кег(/) Э и;// э е. Поэтому /(1 — е) = 1 • Н. С другой стороны, /(1 — е) =
= (£я;£;)(л • //)• Сравнивая в соотношении 1 • Н = (Ylaigi)(n • Н)
коэффициенты при базисном элементе Н, получим, что п~х еА.
<=. Пусть е=п-1(п-^нен h) = \-n~l £А€// h- TaK как л-£л€// h==
=Т,иен(1 ~h)' T0 eAGCuH. По 11.28(3) AG(ZheH h) = l{u>H). Поэтому
l-e = n~l J2heH he£(uH)C£(e). Тогда
(\-e)e = 0, e = e2, (\-e)u;H=0, ujH CeAG CujH. D
11.30. Пусть А — кольцо, G —группа, М — правый AG-модуль,
H — подгруппа в G конечного индекса п, причем n~x e A.
1) AG — п-порожденный правый АН-модуль.
2) MAq — конечно порожденный (нётеров) модуль в точности
тогда, когда МАН — конечно порожденный (нётеров) модуль.
Регулярные групповые кольца
279
3) Если X — правый AG-модуль и /: M—>X — гомоморфизм
правых АН-модулей, то f — гомоморфизм правых AG-модулей.
4) Если модуль Май инъективен (проективен, самоинъективен,
самопроективен, малоинъективен, малопроективен, тг-инъ-
ективен, п-проективен), то модуль Mag инъективен
{проективен, самоинъективен, самопроективен, малоинъективен,
малопроективен, п-инъективен, п-проективен).
5) Если Nag — подмодуль в Mag и ^ан — прямое слагаемое
е Май у пго Nag — прямое слагаемое в Mag-
6) Af — проективный AG-модуль в точности тогда, когда М —
проективный АН-модуль.
7) М —регулярный (полупростой, полунаследственный, нёте-
ров) AG-модуль в точности тогда, когда М —регулярный
(полупростой, полунаследственный, нётеров) АН-модуль.
8) AG — регулярное (полупростое, полунаследственное справа,
наследственное справа) кольцо в точности тогда, когда
АН — регулярное (полупростое, полунаследственное справа,
наследственное справа) кольцо.
> 1) Пусть G = U?=i xiH. Тогда AG = YH=\ X>AH-
Пункт 2) следует из 1).
3) Пусть G = \J"=[Hti. Если теМ, hi eH и £=/*,/;, то f(mt~{)U =
= f(mti~x)ti. Поэтому правилом f(m) = n~x Y%=\ f(mtrx)ti корректно
задается отображение /: М-»N. Если g€G и m € Af, то
Kmg) = п~{ £ f(mgtrx)ti = п-1 (£ f(mgtrl)(gtrlrl) ё = /(«)*
Поэтому / — гомоморфизм правых ЛО-модулей. Кроме того,
п п
f(m) = п~х J2 fimtr{)U = п~х ]Г f(m) = n~lnf(m) = f(m).
Пункт 4) следует из 3).
5) Так как Nah — прямое слагаемое в Ман, то существует проекция
/: МАн -*NAh- По 4) / — проекция модуля MAg на NAH. Тогда Nag —
прямое слагаемое в Mag-
Пункт 6) следует из 5) и 11.26. 7) следует из 2), 5) и 6). 8) следует
из 7). □
11.31. Теорема Машке. Если А — кольцо и G —группа, то
равносильны условия:
\) AG — полупростое кольцо,
280
Плава 11. Регулярные кольца и модули
2) А — полупростое кольцо и ujG — прямое слагаемое в AGag\
3) А — полупростое кольцо, G — конечная группа порядка п
и п~х еА.
> Импликация 1) =>2) следует из того, что кольцо А изоморфно фактор-
кольцу AG/ujG полупростого артинова кольца AG. Импликация 2)=> 1)
следует из 11.30(8). Эквивалентность 2)«=>3) следует из 1 1.29. □
11.32. Если моноидное кольцо AG регулярно (строго регулярно),
то моноид G регулярен (строго регулярен). G — регулярный моноид
с сокращениями в точности тогда, когда G — группа. (Проверяется
непосредственно.)
11.33. Если А —кольцо и G —моноид, то равносильны условия:
1) AG — регулярное кольцо и G —моноид с сокращениями;
2) A G — регулярное кольцо и G — группа;
3) А — регулярное кольцо, G — группа и для любой конечно
порожденной подгруппы Н группы G кольцо АН регулярно;
4) А—регулярное кольцо, G— локально конечная группа и
п~х еА для любой ее подгруппы И конечного порядка п.
> Импликация 4)=>3) следует из 11.30(8). Импликации 3)=>2) и 2)=М)
проверяются непосредственно. Импликация 1)=>2) следует из 11.32.
2)=>4). Так как А изоморфно факторкольцу AG/ujG регулярного
кольца AG, то А регулярно. Пусть И — конечно порожденная подгруппа
в С По 11.23(4) иН — конечно порожденный правый идеал регулярного
кольца AG. Поэтому ujH — прямое слагаемое в AGag- Теперь
утверждение следует из 11.29. □
11.34 (см. 1.8). Каждая гамильтонова группа — неабелева
локально конечная группа, содержащая в качестве прямого
сомножителя группу кватернионов порядка 8.
11.35. Пусть А — кольцо простой характеристики р > 0 и G —
такая группа, что AG — редуцированное кольцо. Тогда G не
содержит подгрупп, изоморфных группе кватернионов. В частности,
G — негамильтонова группа.
> Допустим противное. По 11.34 G содержит подгруппу, изоморфную
группе кватернионов К с двумя образующими a, b и соотношениями
а4 = 1, a2 = b2, b~lab = а-1. Кроме того, АК — редуцированное кольцо.
Случай р—2 невозможен, поскольку (1 + а2)2 — 0; это противоречит
редуцированности кольца АК. Пусть р — нечетное простое число.
Тогда 2-1 еА. Пусть / = 2~~1(1 - а2) е АК. Пусть х и (/ —
произвольные целые числа, удовлетворяющие неравенствам 0 ^х ^2~[(р - 1),
О^у ^2~[(р — 1). Оба числовых множества {х2} и {—1 —у2} содержат
р + 1 чисел, причем существует только р классов вычетов по модулю р.
Регулярные групповые кольца
281
Поэтому некоторый элемент х2 первого множества сравним по модулю
р с элементом -1 — у2 второго множества, откуда 1 +х2 + у2 = тр для
некоторых целых чисел х, у, т. Пусть
О ф г = at+xbt+yabt eAG.
Тогда г2 = 0; это противоречит редуцированности кольца АК. □
11.36. Если А — кольцо и G — такая группа, что кольцо AG
инвариантно справа, то А инвариантно справа и группа G либо
абелева, либо гамильтонова.
о Так как А изоморфно факторкольцу инвариантного справа кольца
AG, то А инвариантно справа. По 11.27(3) все подгруппы группы G
нормальны. □
11.37. Пусть А — кольцо, G —моноид с группой обратимых
элементов U, И — подгруппа в U.
1) Если х,уеАН и xeyAG, то хеуАН. В частности, если
xex2AG, то хех2АН.
2) Если х еАН их — обратимый справа элемент в AG, то х —
обратимый справа элемент в АН.
3) Если AG — дистрибутивное справа (локальное, цепное
справа, строго регулярное, редуцированное, инвариантное
справа) кольцо, то АН — дистрибутивное справа (локальное,
цепное справа, строго регулярное, редуцированное,
инвариантное справа) кольцо.
4) Пусть А — факторкольцо кольца А и И — факторгруппа
группы Н. Если AG — дистрибутивное справа (локальное,
цепное справа, строго регулярное, инвариантное справа)
кольцо, то AG и АН — дистрибутивные справа (локальные,
цепные справа, строго регулярные, инвариантные справа)
кольца. Кроме того, если А — алгебра над полем F, то FG
и FH — дистрибутивные справа (локальные, цепные справа,
строго регулярные, инвариантные справа) кольца.
5) Если для любого конечно порожденного подмоноида S
моноида G моноидное кольцо AS дистрибутивно справа
(локально, цепное справа, строго регулярно, регулярно,
редуцировано, инвариантно справа, правое кольцо Везу), то AG
дистрибутивно справа (локально, цепное справа, строго регулярно,
регулярно, редуцировано, инвариантно справа, правое
кольцо Везу).
6) Если для любой конечно порожденной подгруппы Е группы
Н групповое кольцо АЕ дистрибутивно справа (локально,
цепное справа, строго регулярно, регулярно, редуцировано,
282
Плава 11. Регулярные кольца и модули
инвариантно справа, правое кольцо Безу), то кольцо АН
дистрибутивно справа (локально, цепное справа, строго
регулярно, регулярно, редуцировано, инвариантно справа,
правое кольцо Безу).
> Пункты 1), 2) и 3) следуют из 11.23(1) и 11.20.
4) Так как кольца AG к АН изоморфны факторкольцам колец А\Т\
и АН соответственно и рассматриваемые свойства наследуются фак-
торкольцами, то утверждение следует из 11.23(2) и 11.20, примененных
к кольцу AG.
5) Для того чтобы кольцо R было дистрибутивным справа (локальным,
цепным справа, строго регулярным, редуцировано, инвариантным справа,
правым кольцом Безу), достаточно, чтобы любое конечное множество
его элементов принадлежало некоторому его подкольцу, являющемуся
дистрибутивным справа (локальным, цепным справа, строго регулярным,
редуцированным, инвариантным справа, правым кольцом Безу). С учетом
этого, утверждение проверяется непосредственно.
Пункт 6) доказывается аналогично 5). □
11.38. Если А — строго регулярное кольцо uG — такая локально
конечная группа, что порядки ее конечных подгрупп обратимы
в А, то равносильны условия:
\) AG — дистрибутивное справа кольцо;
2) AG — квазиинвариантное справа правое кольцо Безу;
3) AG — строго регулярное кольцо;
4) для любого факторкольца F кольца А, являющегося телом,
FG — редуцированное кольцо;
5) для любого факторкольца F кольца А, являющегося телом,
и для любой конечной подгруппы Н группы G кольцо FH
редуцировано;
6) для любого факторкольца F кольца А, являющегося телом,
и для любой конечной подгруппы Н группы G кольцо FH
дистрибутивно справа;
7) для любого факторкольца F кольца А, являющегося телом,
и для любой конечной подгруппы Н группы G кольцо FH
инвариантно справа.
> По 11.33 для любой подгруппы И группы G кольцо АН регулярно.
Эквивалентность условий 1), 2) и 3) следует из 11.13.
Эквивалентность 4)<=>5) следует из 11.37(3) и 11.37(6). Эквивалентность условий 5),
6) и 7) следует из 11.13 и того, что все групповые кольца конечных групп
над телом артиновы. Импликация 3) =>4) следует из того, что кольцо FG
изоморфно факторкольцу строго регулярного кольца AG.
Счетно инъективные кольца
283
4)=>3). По 11.13 достаточно доказать, что регулярное кольцо AG
редуцировано. Так как строго регулярное кольцо А изоморфно подпрямому
произведению тел {Fj}iei, то AG изоморфно подпрямому произведению
редуцированных колец F}G. Тогда AG редуцировано. □
11.39. Если А — кольцо и G —моноид, то равносильны условия:
1) AG — строго регулярное кольцо и G — некоммутативный
моноид с сокращениями;
2) А — строго регулярная алгебра над полем рациональных чи-
сел$£, G — гамильтонова группа, причем для любого фактор-
кольца F кольца А, являющегося телом нулевой
характеристики, и для любой конечной подгруппы Н в G кольцо FH
дистрибутивно справа;
3) А — строго регулярная алгебра над полем рациональных
чисел Q,G — гамильтонова группа и для любого факторкольца
F кольца А, являющегося телом нулевой характеристики,
и для любой конечной подгруппы И группы G кольцо FH
инвариантно справа.
> Импликация 2) => 1) следует из 11.38.
1)=>2). По 11.33 G—локально конечная группа и порядки всех ее
конечных подгрупп обратимы в А. Так как А изоморфно факторкольцу
строго регулярного кольца AG, то А строго регулярно. По 11.36 G —либо
абелева, либо гамильтонова группа. По предположению G неабелева.
Поэтому G гамильтонова. По 11.38 для любого факторкольца F кольца
Л, являющегося телом, и для любой конечной подгруппы И группы G
кольцо FH дистрибутивно справа. Допустим, что А не является алгеброй
над полем рациональных чисел. Существует такое простое число р, что
А ф рА. Тогда собственный идеал рА лежит в некотором максимальном
идеале М строго регулярного кольца А. Пусть А =А/М. Тогда А —тело
характеристики р, и AG строго регулярно. По 11.35 G — негамильтонова
группа и получено противоречие. □
Счетно инъективные кольца
Правый Л-модуль М называется счетно инъективным или Ко-
инъективным, если для любого счетно порожденного правого идеала
В в Л каждый гомоморфизм В а —* М продолжается до гомоморфизма
АА —► М. Пусть М е mod (Л) и L(al}, mt, Mа) — система из счетного
числа линейных уравнений \^2^2ох/ач = т'* \ с коэффициентами
Я// € Л от счетного числа неизвестных {x}}JL0, принимающих значения
в М, причем любая конечная подсистема этой системы разрешима. Такая
284
Глава 11. Регулярные кольца и модули
система L(alh mly Ма) называется счетной конечно разрешимой
системой. Правый Л-модуль М называется счетно алгебраически
компактным или Щ-алгебраически компактным, если любая счетная
конечно разрешимая система L(a/y> mly Мд) имеет решение в М.
11.40. Пусть М —счетно инъективный правый модуль над
кольцом А. Если все счетно порожденные правые идеалы кольца
А проективны (по 11.9 это так, если А регулярно), то все
гомоморфные образы модуля М счетно инъективны.
> Пусть hL М —> М — эпиморфизм, В — счетно порожденный правый
идеал в Л и / €Hom(B,4> М). Тогда f = hf для некоторого /eHom^, M).
Так как М_счетно инъективен^ то / продолжается до g Е Ногп^л, М)у
hg: А а —*Af продолжает / и М счетно инъективен. □
11.41. Для правого модуля М над кольцом А равносильны условия:
1) М — счетно алгебраически компактный модуль;
2) для любой счетной конечно разрешимой системы
L(aijy miy MA) = L
найдется такой элемент уо Е М, что каждая конечная
подсистема L* в L имеет частное решение у* ={уо> У*, • • •}, где
Уо зависит только от системы L.
> Импликация 1)=>2) проверяется непосредственно.
2) =И). Необходимо доказать существование решения у = {уоУ у\у ...}
системы L. Существование элементов уп€М докажем по индукции. По
условию уо существует. Допустим, что уо> ..., уп найдены. Рассмотрим
систему
г /(') П чОО
N = 1 Yl xiaii = mi - 5Z*/a'7 f '
По условию, примененному к /V и неизвестному хп+\у найдется уп+\ еМу
для которого любая конечная подсистема N* в N имеет решение
z* = {(/„+!, */*+2, ...}, где (/rt+i зависит от системы Л/, но уп+{ не
меняется при переходе к другой конечной подсистеме из N. Докажем, что
у = {уо>Уи •••} — требуемое решение системы L. Достаточно доказать,
что i/ —решение любой конечной подсистемы L* из L. Подсистема L*
содержит лишь конечное число неизвестных хо, • •-,*«• Из способа
выбора последовательности {ут}™=о следует существование такого
решения у* системы L*, что уо, ...,*/„£ Af — первые п + 1 компонент
этого решения. Поэтому у — решение системы L*. □
11.42. Для регулярного кольца А равносильны условия:
1) А — счетно инъективное справа кольцо;
2) все циклические правые А-модули счетно инъективны;
Счетно инъективные кольца
285
3) А — счетно алгебраически компактное справа кольцо\
А) в А для любого счетного множества {ei}f=l ортогональных
идемпотентов и каждого счетного подмножества {я;}-^,
найдется такой элемент b G Л, что bet —aiex для всех i.
Кроме того, если А строго регулярно, то условия 1)—4)
эквивалентны следующим равносильным условиям:
5) А — счетно инъективное слева кольцо;
6) все циклические левые А-модули счетно инъективны;
7) А — счетно алгебраически компактное слева кольцо;
8) в А для любого счетного множества {e^f^i ортогональных
идемпотентов и каждого счетного подмножества {я;}-^,
найдется такой элемент_Ь е А, что еф — е-^ для всех /;
9) каждое факторкольцо А кольца А — счетно инъективное
счетно алгебраически компактное кольцо и каждый
циклический правый или левый А-модуль счетно инъективен.
> Импликация 1)=>2) следует из 11.40. Импликация 2)=> 1) очевидна.
1)=ф4). Существует такой гомоморфизм /: 0^ е,-Л-+Л^, что
f(Hetxi) = J2aieixi- П° условию / продолжается до гомоморфизма
g: Ал —► Лд. Обозначим b = g(\). Тогда Ъех =а,-е,- для всех /.
4) => 3). Пусть L — такая счетная конечно разрешимая система
{52)=ох!ач = m«)So» что ач е А* т; G А и для любого п^О
конечная подсистема Ln = {5^/=ox/a'/ == m^?=o в ^ имеет частное
решение *(л) = {*у(я)}^о» где т(л) = maxo^/i№)}- По 11.41 достаточно
доказать существование такого множества {y(n)^L0} частных
решений системы Lny что у(п) = {Ь, у\(п)у У2(п), ...}, где Ь зависит только
от L и не меняется с изменением п. Зафиксируем число п. Пусть
Нп = {$2*1=0 xiaU == 0}?=о — однородная конечная система,
соответствующая неоднородной системе Lrt, Grt —множество всех решений системы
Нп и Тп —левый идеал в Л, порожденный всеми первыми компонентами
из Gn. Тогда Gn — ядро эндоморфизма Л свободного левого Л-модуля Т7
ранга т(п). По 11.11 Т7 — регулярный модуль. Поэтому h(F) — прямое
слагаемое в F и модуль Grt конечно порожден, поскольку модуль
Grt изоморфен прямому слагаемому конечно порожденного модуля F.
Левый идеал Тп регулярного кольца Л — гомоморфный образ модуля Gn
и поэтому конечно порожден. Тогда Л = 7^0 Л/„, где fn — идемпотент.
Начнем менять п. Так как Тп Э Гл+1, то найдется такой идемпотент
е„+1> что Тп = 7^+1 0 Лел+1 и fn = fn+{ + еп+\. Обозначим е0 = /о- Тогда
{в/ }fl0 — счетное множество ортогональных идемпотентов и fn=:52l=oei
при п ^ 0. Обозначим я,- = х0(') € Л. Тогда а,- - ап е Т\ при / ^ пу
286
Глава 11. Регулярные кольца и модули
поскольку х(1) — х(п) Е Hi. Поэтому a,-/,- = anfi при / ^ п. По условию
найдется b еАу для которого bet =atei для всех /. Тогда
п п
(b-an)fn = Y^^b - an)ei = J^(& - а,)е; = О,
i=0 /=0
(b-an)(\ -fn) = b-a„f b-an € Тп.
Поэтому для всех / найдется такое решение z(n) = {zj(n)}J}^ однородной
системы НПу что b =an + zo(n). Если у(п) — сумма решения х(п)
неоднородной системы Lrt и решения 2(л) однородной системы НПу то г/(л2) —
решение неоднородной системы Ln и #(л) = {b, у\(п), У2(п), ...}.
3)=>4). Достаточно доказать, что счетная система L = {xex =a,-e;}~j
конечно разрешима. Это равносильно тому, что конечная система Ln =
= {*£,• = ^i^/}f=1 разрешима для любого п. Так как все в\ ортогональны,
то ^21-QUiei — частное решение системы Ln.
4)=>1). Пусть В — счетно порожденный правый идеал в Л и fe
€Нот(Я,4, АА). По 11.7(1) и 11.9B = 0~jM, где {е-,}^ -некоторое
счетное множество ортогональных идемпотентов. Обозначим а, = /(е,).
Так как /(в/) = а,-в,- для всех /, то по условию найдется такой
элемент b е Л, что бе/ = Я;£/ для всех /. Существует такой эндоморфизм
g е End(AA)y что g(x) = 6х. Тогда g\B = /.
Эквивалентность условий 5)—8) следует из того, что они являются
левосторонними аналогами эквивалентных (как уже доказано) условий
1)-4).
Допустим, что А строго регулярно. Эквивалентность 4)«=> 8) следует
из центральности всех идемпотентов ех. Так как условия 1)—8)
эквивалентны, то эквивалентность 6)ф>9) проверяется непосредственно. □
Центральный идемпотент е кольца А называется абелевым идем-
пошептом, если каждый идемпотент из еА — центральный идемпотент
кольца А. Идемпотент / кольца А называется тотально неабелевым,
если каждый ненулевой идемпотент, лежащий в /Л, не является абелевым
идемпотентом в А. Ясно, что / — тотально неабелев идемпотент
кольца А в точности тогда, когда для любого ненулевого идем-
потента ge fA существует такой ненулевой идемпотент he [А,
что h не является центральным идемпотентом в А.
Кольцо А называется тотально неабелевым, если его единица —
тотально неабелев идемпотент (т. е. для любого ненулевого идемпотента
geA существует ненулевой нецентральный идемпотент he gA).
Замечание. Если / — центральный идемпотент кольца Л, то / —
тотально неабелев идемпотент в Л в точности тогда, когда /Л — тотально
неабелево кольцо.
Счетно инъективные кольца
287
11.43. Пусть М — несингулярный тг-инъективный правый
модуль над кольцом А и R = End(Af).
1) Если е и f — идемпотенты в R и е(М) П /(Af) = 0, то либо
Hom(e(Af), /(Af)) = Hom(/(Af), e(Af))=0, либо Hom(e(Af), ?(М))ф
фОу Hom(/(Af), е(М)) ф 0 и существуют такие ненулевые
идемпотенты е\у f\ е/?, что
ех = еех Е eR, /i = //, € /Я, ех{М) * fx{M) С Re(M)y
fi{M) * ех(М) С Rf(M)
и модуль е\ (Af) 0 f\ (Af) самоинъективен.
2) Если е — идемпотент в R и е(М) — существенное расширение
вполне инвариантного подмодуля Р в М, то е —
центральный идемпотент в R.
3) Существует такой абелев идемпотент е в Ry что \ — е —
центральный тотально неабелев идемпотент кольца R
и (1 — e)R — тотально неабелево кольцо.
> 1) Так как е(М) и /(Af) —прямые слагаемые 7г-инъективного
модуля М и е(М) П /(Af) = 0, то по 7.26(3) существует прямое
разложение Af = е(М) 0 /(Af) 0 N. Допустим, что 0 Ф g Е Hom(e(Af), f(M))y
g — такой эндоморфизм модуля Af, что g(x + у) = g(x) для Jt E e(Af)
и // Е /(Af) 0 N. Тогда g совпадает с g на е(М). Поэтому можно
считать, что g = ge = /ge. По 7.26(4) Ker(g) — прямое слагаемое
в Af. Так как Ker(g) = /(Af) 0 N 0 Ker(g), то Ker(g) — прямое
слагаемое в е(М). Поэтому существует такой идемпотент е\ Е /?, что
е1=ее[ и Ker(g) = e(l -£i)(Af). Тогда e{(M)^e(M)/Ker(g)^ ge(M).
Так как /(Af) 7г-инъективен, то существует такой идемпотент f\ Е /?,
что /i(/(Af))— прямое слагаемое в /(Af), являющееся существенным
расширением ge(M). Поэтому f\ = //i, ge(Af) = ei(Af). По 7.52(4)
П(М) * е{(М) С /tei(Af), e2(Af) С /?e,(Af)
и е\ (Af) 0 /i (Af) самоинъективен. Кроме того, Hom(/(Af), e(Af)) ф 0.
Случай Hom(/(Af), e(Af))^0 рассматривается аналогично.
2) Обозначим / = 1 - е Е R. Если
HomHAf), /(Af)) = Hom(/(Af), е{М)) = 0,
то fRe = е/?/ = 0 и е-центральный идемпотент. Допустим, что либо
Hom(e(Af), /(Af)) ф 0, либо Hom(/(Af), e(Af)) ф 0. По 1) 0 ф ge(M) С /(Af)
Для некоторого эндоморфизма g E End(Af). Так как Р вполне инвариантен
в Af, то g(P) СРП /(Af) С е(М) П /(Af) = 0. Тогда Р С е(М) П Ker(g)
и е(М) — существенное расширение e(Af) П Ker(g). По 6.21(6) 0 Ф
^ ge(M) С Sing(/(Af)) = 0 и получаем противоречие.
288
Глава 11. Регулярные кольца и модули
3) Пусть £ = {е,-},-€/ —множество всех абелевых идемпотентов
кольца R. (Так как О Е £, то 8 Ф 0.) Если 8 содержит только ноль, то
утверждение доказано. Допустим, что 8 содержит ненулевые
идемпотенты. Обозначим Р = 5Z/6/ et(M)- Так как Af 7г-инъективен, то
существует такой идемпотент е Е /?, что е(М) — существенное
расширение Р. Кроме того, Р вполне инвариантен в Af, поскольку все е{ —
центральные идемпотенты кольца R. По 2) е — центральный идемпотент
в R. Поэтому 1 -е = / — центральный идемпотент в R. Докажем, что
е — абелев идемпотент. Пусть / — ненулевой идемпотент в eR. Тогда
О ф /(Af) = et(M) С е(М). Так как е(М) — существенное расширение Р, то
О ф t(M) П Р = t(P). Тогда существует такой ненулевой абелев идемпотент
е,, что te-t Ф 0. Так как et — абелев идемпотент и tet = е,/ Е £,/?, то fe,- —
ненулевой центральный идемпотент в /?. Поэтому е — абелев идемпотент.
Так как /(Af) П Р = 0, то / — тотально неабелев идемпотент кольца А. Так
как / — центральный идемпотент в Ry то каждый центральный идемпотент
кольца fR централен в R. Поэтому / — тотально неабелев идемпотент
в fR и кольцо fR тотально неабелево. D
11.44. Пусть Af = Af 1 0 Af2 — правый модуль, е\: Af -* Af,- —
естественные проекции, R = End(Af) и Е — подкольцо в /?, порожденное
всеми идемпотентными эндоморфизмами модуля Af.
1) R = e\Re\+e2Re2 + exRe2 + e2Re\.
2) eiRejCE для 1ф\.
3) Если eiRei С Е при / = 1, 2, то /? = £.
4) £сли кольца End(Afi) ы End(Af2) порождены идемпотентами
кольца /?, то R = E.
5) Если Ml^M2,mo R = E.
> Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) Пусть / Е /?. Тогда (е\ + ei /^)2 = e\+e\ fe2 Е £. Поэтому
e\fe2 = (e\+eife2)-ei Е £.
Аналогично, e2fe\ е£.
Пункт 3) следует из 1) и 2). Пункт 4) следует из 3) и того, что кольцо
etRi изоморфно кольцу End(Af/).
5) Так как Afj = М2, то существует такой автоморфизм и модуля Af,
что w(Afi) = Af2, w(Af2) = Afi и и = и~1. Пусть /е/?. Тогда е\ — ие2ие\
и e\fe\ =(e\fue2)(e2ue\). По 2) e\fue2 е£, е2ие\ еЕ. Поэтому e\Re\ C£.
Аналогично, e2Re2 С Е. По 3) R = £. □
11.45. Пусть Af = X0K0Z — модуль, X = Y и модуль Z
изоморфен прямому слагаемому в X 0 Y.
1) Кольцо End(Af) порождено как кольцо своими идемпотентами.
2) Если М п-инъективену то М самоинъективен.
Счетно инъективные кольца
289
о 1) Пусть £ — подкольцо в End(Af), порожденное всеми идемпотен-
тами из End(Af). По 11.44(5) End(X 0 Y) С Е. По 11.44(4) достаточно
доказать, что End(Z) С Е. По условию X ф Y = К Ф L, где /С = Z. Тогда
Af = Z 0 /С 0 L. Так как по 11.44(5) End(/C 0 Z) С Е, то End(Z) С £.
2) Обозначим /V= А' ф К. Модуль Л/ 7г-инъективен. По 7.52(1) X Y-
инъективен. Так как X = К, то X и К самоинъективны. По 7.45 модуль
N ф Л/ самоинъективен. Так как Z изоморфен прямому слагаемому в N
и А/ = Л/ ®Z, то М изоморфен прямому слагаемому самоинъективного
модуля N фЛЛ Поэтому М самоинъективен. □
11.46. Если М — несингулярный п-инъективный модуль, то
существует такое прямое разложение M = D®Ey что:
1) D и Е —вполне инвариантные подмодули в М и End(Af) =
^End(D)xEnd(£);
2) End(£) — редуцированное кольцо;
3) D самоинъективен, О = /70ОфЯ, где F = G и Н изоморфен
прямому слагаемому в F 0 G;
4) End(D) — инъективное справа регулярное тотально неабе-
лево кольцо, порожденное (как кольцо) идемпотентами.
> Обозначим /? = End(Af). По 11.43(3) существует такой абелев
идемпотент е в R, что 1 - е = d — центральный тотально неабелев идемпотент
и dR — тотально неабелево кольцо. Пусть Е = е(М) и D = d(M). Так как
End(D) = dRd = dRy то кольцо End(D) тотально неабелево.
1) Так как d и е — центральные идемпотенты в R, то D и Е вполне
инвариантны в М. Поэтому End(Af) = End(D) x End(£).
2) Пусть / € End(£) и /2 = 0. По 7.26(4) ядро любого
эндоморфизма каждого несингулярного 7г-инъективного модуля — прямое слагаемое
этого модуля. Поэтому существует прямое разложение Е = U 0 Кег(/).
Существует такой идемпотент и е End(£), что U — и(Е). Так как е —
абелев идемпотент, то и — центральный идемпотент кольца End(£). Поэтому
U вполне инвариантен в £, t(U) С U. С другой стороны, t(U) С Кег(/),
поскольку /2(£) = 0. Тогда
t(U) CUnКег(/) = 0, U = UПКег(/) =0, Е = Кег(/), t = 0.
3) Пусть {Di}iei ~~ множество всех подмодулей в D вида D,- = Ft ф G/, где
Fi^d. Каждый подмодуль в D, являющийся прямой суммой модулей из
{О,-}, лежит в {D/}. Поэтому существует такой подмодуль LCD, что L —
прямая сумма модулей из {D,} и L П D, Ф 0 для любого ненулевого модуля
F>i при / G /. Тогда L G {D,-}. Существует такое подмножество / С /, что
L = ®Dl = ®(F,®Gi) = F®G,
i€J j€J
290
Глава 11. Регулярные кольца и модули
где F = ©у€У Fj и С = фу.€У Gh Так как F} & G} для всех / € У, то Z7 й G.
Поскольку D 7г-инъективен, то существует такое прямое разложение
D = /г ®G ф//, что Т7 и G —существенные расширения модулей F и G
соответственно. Кроме того, F^G. По 7.52(4) F^G.
По 11.45(2) достаточно доказать, что И изоморфен прямому
слагаемому в F ф G. Пусть £ = {Hi}iei — множество всех прямых слагаемых из
Я, изоморфных прямым слагаемым в F ф G, и и}: Н} -► F ф G —такие
мономорфизмы, что Vj(Hj) — прямые слагаемые в ^фО для всех /"€/.
Докажем, что сумма модулей У/(Я,) — прямая сумма. Допустим
противное. Тогда существуют индекс / е I и подмножество У С / \ {/} такие,
что Vi(Hi)nY,jejVj(Hj)^0. Поэтому существует такой индекс /С У,
что Wj(pi(Hi)) ф 0, где Wj — проекция модуля F ф G на свое прямое
слагаемое иД///). Обозначим s = у/--,ш/-и/. Тогда O^s € Hom(tf/, //;),
где / Ф /. По 11.43(1) существуют такие ненулевые прямые слагаемые
Li и L} модулей //,• и Н} соответственно, что £; = £,. По 7.27 Lt ®Lj —
прямое слагаемое 7г-инъективного модуля И. Кроме того, L,- = L/. Тогда
из конструкции Z7 ф G следует, что
£/Ф/-у С (F®G)DH = 0, L/®L7- = 0.
Получено противоречие. Поэтому £f€/ в,-(//,■) = 0,6/ и,-(//,-).
Существует такое подмножество УС/, что £/бУ /У, — прямая сумма
и /// П (ф/€У Hj) ф 0 для любого / G / \ У. Обозначим Л/ = 0/€/ #,. По
вышеизложенному F ф G содержит подмодуль V = ®jeJHj. Поэтому
К 9ё ЛЛ_ Так_как Aj 7г-инъективен, то существуют такие прямые
слагаемые N и V модулей И и Т7 ф G соответственно, что Л/ — существенное
расширение Л/ и V — существенное расширение V. Кроме того, К = Л/_.
По 4.20(4) К = /V. Поэтому N € £ и каждое прямое слагаемое в N
лежит в £. _
Пусть Н = N фр. Достаточно доказать, что Р = 0. Допустим
противное. Пусть х: М —> р — ненулевая проекция с ядром Е ® F ®G ® N =
= (1 -x)(Af). Так как Р С D, то существует такой ненулевой идемпо-
тент у = ху exRy что */ не является центральным идемпотентом
кольца R. Пусть 0^Q = y(M)CP. По 11.43(2) RQ^Q. Из конструкции
модуля Л/ следует, что Р не имеет ненулевых прямых слагаемых,
изоморфных прямым слагаемым в F0G. Поэтому Q не имеет ненулевых
прямых слагаемых, изоморфных прямым слагаемым в F0G. Так как
каждое прямое слагаемое в N лежит в £, то Q не имеет ненулевых
прямых слагаемых, изоморфных прямым слагаемым в N. По 11.43(1)
0 = Hom(<?, F ф G) = Hom(Q, N). Поэтому RQ С Р. Кроме того, RQ ф Q.
Тогда по 11.43(1) существуют ненулевое прямое слагаемое Q\ в Q и
ненулевое прямое слагаемое Р\ в Р такие, что Р! П <? = 0 и Pi = Q\. По-
Счетно инъективные кольца
291
этому Р имеет подмодуль Р\ ф Q\, являющийся прямой суммой двух
ненулевых изоморфных модулей. Из конструкции F ф G следует, что
Р\ Ф Q\ Q (F $ G) П Р = 0. Получено противоречие. □
11.47. Если М — несингулярный непрерывный модуль, то
существует такое прямое разложение М = Х ф К, что:
1) X и Y —вполне инвариантные подмодули в М и End(Af) —
регулярное кольцо, изоморфное кольцу End(A) x ЕпсЦУ);
2) End(V) строго регулярно и End(A) — инъективное справа
регулярное тотально неабелево кольцо, порожденное (как
кольцо) идемпотентами\
3) X самоинъективен и X — F ф G ф Н, где F = G и модуль Н
изоморфен прямому слагаемому в F®G.
t> По 7.43 непрерывный модуль М 7г-инъективен. По 11.12(4) кольцо
End(Af) регулярно. Так как регулярные редуцированные кольца строго
регулярны, то 11.47 следует из 11.46. □
11.48. Пусть М — конечно порожденный -к-инъективный модуль
и X — такой подмодуль в Af, что М/Х —модуль с условием
максимальности для прямых слагаемых. Тогда X не является прямой
суммой бесконечного числа ненулевых модулей.
> Допустим, что X — прямая сумма бесконечного числа ненулевых
модулей. Тогда существует прямое разложение ^ = 0°^i^/, где каждое
слагаемое X-t — прямая сумма бесконечного числа ненулевых модулей.
Так как каждое прямое слагаемое М 7г-инъективно, то существует такое
множество {Mn}^L{ подмодулей в Af, что для любого neN
л+1 сю
M = ®Miy 0*|САГл+1> XiCMh 1 = 1,..., п.
i=i ;=л+1
Так как М/Х — с условием максимальности для прямых слагаемых и
M/xzQMi/XiQMn+JfG) Xi\
/=i ' \-=/i+i *
для каждого пу то по условию хотя бы одно слагаемое MjXi равно
нулю. Зафиксируем этот индекс /. Тогда Af/ =Xi и существует прямое
разложение Xi =ф£=1^/ь где все модули X-tk не равны нулю. Так как
Af/ — гомоморфный образ конечно порожденного модуля Af, то X-t = Af/ —
конечно порожденный модуль. Поэтому X, лежит в прямой сумме
конечного числа модулей Л^. Тогда все остальные ненулевые слагаемые Xtk
должны быть равны нулю. Получено противоречие. □
11.49. Пусть А — инъективное справа регулярное кольцо.
292 Плава 11. Регулярные кольца и модули
1) Если А содержит бесконечное множество {et \ i e N} ненулевых
ортогональных идемпотентов и B = 0/€NeM, то
циклический правый А-модульА/В не инъективен (см. [263, lemma 5]).
2) Если А имеет счетно порожденный правый идеал М, не
являющийся конечно порожденным, то циклический модуль А/М
не инъективен.
3) Если каждый циклический правый А-модуль— прямая сумма
инъективного модуля и модуля с условием максимальности
для прямых слагаемых, то А — полупростое кольцо.
4) Если каждый циклический правый А-модуль — прямая сумма
инъективного модуля и полупростого модуля, то А —
полупростое кольцо.
> 1) Для каждого непустого подмножества / С N найдется такой
идемпотент / € А, что [А — существенное расширение @ieIetA. Так
как А — инъективное справа регулярное кольцо, то с помощью 11.43(1)
и 7.26(4) непосредственно проверяется, что fet = e-t и e}f — О для всех / е /
и / gN\/. Обозначим через С правый аннулятор в А множества {£;}/eN-
Существует такой идемпотент gGA, что gA — существенное расширение
С. Тогда (g'. С) — существенный правый идеал в А. Поскольку А
несингулярно справа и etg(g'. С) = О для каждого / Е N, то etg = О для
всех / € N. Тогда g € С и С = gA. Модуль В — существенный подмодуль
некоторого прямого слагаемого D инъективного модуля Ад. Поскольку
CnD = 0 и А а — инъективный модуль, то Ад = С ®D®U и модуль U
инъективен. Кроме того, А/(В + С) = (А/В) 0 U. Поэтому инъективность
модуля А/В равносильна инъективности модуля А/(В + С). Так как
по 7.60 модуль А/(В + С) не инъективен, то модуль А/В не инъективен.
2) Так как М — счетно порожденный правый идеал регулярного кольца
Л, то по 11.6 в Л существует такое счетное множество {^/}-^1
ортогональных идемпотентов, что М = 0£^ etA. По 1) модуль А/М не инъективен.
3) Допустим, что регулярное кольцо А не полупросто. Тогда А имеет
счетно порожденный правый идеал Ху являющийся прямой суммой
бесконечного числа ненулевых главных правых идеалов Xt (1 </ <оо). По
условию А/Х = В/Х 0 М/Х, где В/Х — циклический инъективный модуль
и М/Х — циклический модуль с условием максимальности для прямых
слагаемых. Тогда М — счетно порожденный правый идеал и модуль А/М
7г-инъективен, поскольку А/М = (А/Х)/(М/X) = В/Х. По 2) М — конечно
порожденный правый идеал. Так как А регулярно, то Мд — прямое
слагаемое инъективного модуля Ад. Тогда Мд — конечно порожденный
инъективный модуль и М/Х — модуль с условием максимальности для прямых
слагаемых. По 11.48 X не является прямой суммой бесконечного числа
ненулевых модулей. Так как ^ = 0^i Xt, то получено противоречие.
Счетно инъективные кольца
293
Пункт 4) вытекает из 3) и того, что любой циклический полупростой
модуль нётеров. □
Литература. [22,111,112,200,291].
12
Полурегулярные и слабо регулярные кольца
Полурегулярные модули
Говорят, что подмодуль X модуля М лежит над прямым слагаемым
модуля Af, если существует такое прямое разложение М — М\ 0 Af2, что
Afi CX и МъСьХ — малый подмодуль в Af2. В этом случае М<х
Немалый подмодуль вМ иМгПХ CJ(M). Модуль Af называется
полурегулярным, если каждый его конечно порожденный подмодуль лежит над
прямым слагаемым модуля Af.
12.1. Для модуля М равносильны условия:
1) Af — полурегулярный модуль;
2) в М каждый циклический подмодуль лежит над прямым
слагаемым;
3) для каждого конечно порожденного подмодуля N в М
существует такой идемпотентный эндоморфизм f € End(Af),
что /(Af) С N и (1 — f)(N) — малый подмодуль в Af.
> Эквивалентность 1)ф>3) проверяется непосредственно. Импликация
1)=>2) очевидна.
2) =Н). Для каждого п е N докажем, что в Af любой я-порожденный
подмодуль лежит над прямым слагаемым. По условию в Af каждый
циклический подмодуль лежит над прямым слагаемым. Допустим, что
п ^ 2 и в Af каждый (п - 1)-порожденный подмодуль в Af лежит
над прямым слагаемым. Пусть N — я-порожденный подмодуль в М.
Существуют (п — 1)-порожденный модуль X и циклический модуль Y
такие, что N =Х + Y. По условию существует такое прямое разложение
Af = Afi 0 Af2, что Af i С X и X П Af2 мал в Af. Пусть /г: Af —> M<i —
проекция с ядром М\. Так как X и N содержат М\, то
N = Afi ей(Л0 = Af, ®(h(X) +Л(У)), * = Afj ©й(Х).
где h(N) = NnM2 и /z(A) = Л' П Af2. Так как h(Y) — циклический
подмодуль в Af, то существует такое прямое разложение М =S\ 0S2, что
S\ Q h(Y) С h(N) С А^2 и Л (У) П S2 мал в Af. Существует такое прямое
разложение М2 = Si 0 <?, что Q С S2 и /г(У) П Q мал в Af. Обозначим
Р = М\ 0Sj. Тогда Af = Р0ф. Пусть и: Af2 —'> Q — проекция с ядром Si-
Так как MX) мал в Af, то и(Н(Х)) мал в Af. Тогда u(h(X)) + (h{Y) П Q)
Полурегулярные модули
295
мал в М. Так как S, С А(У), то h(X) + h(Y) = u(h(X)) + Si + (А(У) П <Э). По
модулярному закону
NHQ = (А(Х) + А(У))ПР = (u{h(X)) + Sx)nQ + (h(Y)nQ) =
= u(h(X)) + (h(Y)nQ)y
откуда N П Q мал вМ. П
12.2. £Ъш Af —модуль и /(Af) мал в Af, mo равносильны условия:
1) Af — полурегулярный модуль;
2) для каждого конечно порожденного подмодуля N в М
существует такой идемпотентный эндоморфизм f e End(Af),
что f(M)CN и (l-/)(/V)C/(Af);
3) для каждого циклического подмодуля N в М существует
такой идемпотентный эндоморфизм /EEnd(Af), что f{M)CN
u(l-f)(N)CJ(M).
Утверждение 12.2 следует из 12.1 и 5.21.
12.3. Пусть М — полурегулярный модуль.
1) M/J(M) — регулярный модуль.
2) Регулярность М равносильна его полупримитивности.
3) Если М счетно порожден и /(Af) —малый подмодуль в Af, то
М — прямая сумма счетного множества циклических
полурегулярных модулей.
4) Если М конечно порожден, то М — конечная прямая сумма
циклических полурегулярных модулей.
> 1) Пусть Л: М —»M/J(M) — естественный эпиморфизм и X — конечно
порожденный подмодуль в A(Af). Тогда X = h(N), где /V — конечно
порожденный подмодуль в Af. Так как Af полурегулярен, то существует такой
идемпотент / € End(Af), что /(Af) С N и (1 - f)(N)CJ(M). Тогда
A(Af) = A(/(Af))0A((l-/)OM)),
X = h(N) = h(f(M) + (1 - /)(Л0) = h(f(M)).
Поэтому X — прямое слагаемое в A(Af) и модуль h(M) регулярен.
Пункт 2) следует из 1).
3) Пусть Af = X^i Xly где все X-t цикличны. Так как Х\ — циклический
подмодуль полурегулярного модуля Aff то существует такое прямое
разложение М = Р\ ф Q\, что Р\ С Х\ и (?i П Xi С /(Af). Прямое слагаемое Pi
Циклического модуля Х\ циклично. Обозначим Y\—P\. Тогда М = Y\ ф Q\
И*|СУ,+/(Л1).
Допустим, что найдены подмодуль Qn и такие циклические подмодули
Y\, ..., Yn в М, что сумма Y%=\ ^ = Яя — их прямая сумма, Af = Р„ ф (?„
296 Плава 12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца
и YH=\Xi С Рп + /(Af). Пусть h: Af —► Ря — проекция с ядром (?я.
Тогда Рп+Хп+\ =Рп ®h(Xn+\). Так как A^+i) — циклический подмодуль
полурегулярного модуля Qny то существует такое прямое разложение
Qn = Yn+]®Qn+u что
Уя+1 С Л(Хя+|), <?я+, ПА(Хя+1) С У«?я) С /(Af).
Тогда Кя+1 —прямое слагаемое циклического модуля h(Xn+\). Поэтому
Уя+1 цикличен. Тогда Qn = Yn+{ 0 (?я+1 и А(Хя+0 С Yn+[ +J{M).
Обозначим
л+1 со сю
ял+| = Рп е кя+1 = 0 у, с м, я = (J Рп = 0 к,.
/=1 я=1 /=i
Тогда М = Ря+, 0 <?я+1 и Хя+1 СРя+! + /(Af). Поэтому М = ££, X,- СР +
+ /(Af). Так как/(Af) мал в Af, то Af = Р = 0~1 К/.
Пункт 4) следует из 3) и того, что по 5.21 радикал Джекобсона любого
конечно порожденного модуля Af мал в Af. □
12.4. £слы М — самопроективный модуль и /(Af) мал в Af, то
равносильны условия:
1) Af — полурегулярный модуль;
2) M/J(M) — регулярный модуль и для каждого такого прямого
разложения M/J(M) =X 0 У, что модуль X конечно
порожден, существует такое прямое разложение М =Х 0 У, что
модули X и У— естественные образы модулей X и Y
соответственно.
> Пусть A: Af —>M/J(M) — естественный эпиморфизм. __
1)=>2). По 12.3(1) A(jW) регулярен. Пусть h(M) =1 ®7, где *
конечно порожден. Существует такой конечно порожденный
подмодуль N в Af, что X = A(/V). По 12.2 существует такой идемпотент
/ G End(Af), что /(Af) Q N и (1 - /)(#) С/(Af). Обозначим * = f(M).
Так как A(Af) = h{N) + У, то Af = N + Л"1 (У). Кроме того, N содержит
прямое слагаемое X самопроективного модуля Af. По 7.41(3) существует
такое прямое разложение Af =X 0 У, что У С A-1(F). Тогда
А(М) = Л(Х)0А(У) = *0У, X = h(N) = h(X)y h(Y) С У
Поэтому У = А(У).
2)=>1). Пусть yV —конечно порожденный подмодуль в Af. Так как
h(N) — конечно порожденный подмодуль в ft(Af), то по предположению
существует такое прямое слагаемое У в Af, что h(M) = h(N)®h(Y). Тогда
Af = yV + y+/(Af) и Nf)YCJ(M). Так как/(Af) мал в Af, то Af = N + У
и N П У мал в Af. По 7.41(3) существует такое прямое разложение
M=X®Y,vroXCN. a
Полурегулярные модули
297
12.5. Если М — самопроективный конечно порожденный
модуль, то его полурегулярность равносильна тому, что фактор-
модуль M/J(M) регулярен и для каждого прямого разложения
M/J(M) =_Х ф Y существует такое прямое разложение М = Х 0 Y,
что X и Y — естественные образы модулей X и Y соответственно.
> Так как Af конечно порожден, то /(Af) мал в Af и все гомоморфные
образы Af конечно порождены. Поэтому 12.5 следует из 12.4. □
12.6. Пусть М — полурегулярный модуль и /(Af) —малый
подмодуль в Af.
1) Если М — прямое слагаемое прямой суммы счетно
порожденных модулей, то М — прямая сумма циклических модулей.
2) Если М проективен, то М — прямая сумма циклических
модулей.
> 1) По 4.25 Af = 0/€/ Mi, где все модули Af,- счетно порождены. Для
каждого / Е / модуль Af; полурегулярен и J (Mi) — малый подмодуль в Af,-.
По 12.3(3) каждый модуль Af/ — прямая сумма циклических модулей.
Пункт 2) следует из 1) и того, что по 7.9 каждый проективный
модуль—прямое слагаемое прямой суммы циклических модулей. □
12.7. Пусть А —кольцо, каждый идемпотент кольца A/J (А)
поднимается до идемпотента кольца А и М —правый А-модуль,
проективный относительно каждого конечно порожденного
правого А-модуля. Равносильны условия:
1) Af — полу регулярный модуль;
2) M/J(M) — регулярный модуль.
> Импликация 1)=>2) следует из 12.3(1).
2)=> 1). Пусть хА — циклический подмодуль в Af. Так как фактор-
модуль M/J(M) регулярен, то существует такой подмодуль Т в Af, что
М = хА + Т и хАпТ С /(Af). Пусть h: Af —► h(M) — естественный
эпиморфизм, g: h(M) —► h(xA) — проекция с ядром h(T) и f: Ад-^хА —
такой эпиморфизм, что f(a)=xa. Так как hf — эпиморфизм циклического
модуля А а на gh(M) и Af проективен относительно Аау то существует
такой гомоморфизм /: Af —>Аа, что hft = gh. Тогда
h(x - xt(x)) = h(x) - hft(x) = h(x) - gh(x) = 0, x- xt(x) e J(M),
t(x) - t(x)2 = t(x -xt(x)) € /(/(Af)) С J(A).
Так как каждый идемпотент кольца A/J(A) поднимается до идемпотента
кольца А, то существует такой идемпотент е еА, что е - t(x) =y eJ(A).
Тогда
и = 1 -e + t(x) = 1 - у € U(A), ей = et(x), e = et(x)u~l.
298 Глава 12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца
Обозначим через w такой гомоморфизм w: М —>Ад, что w(m) = и let(m)
для всех теМ. Тогда
w(x)2 = w-1^^*)^"1)^*) = u~let(x) — w{x)y
w(x) — идемпотент в А. Кроме того,
w(x) = u~let(x) — u~xeu — u~{euy
w(x) - t(x) = w(x) - e + у = u~{(uw(x) -ue) + y =
= u~\eu-ue) + y = w_1Hl -y) - (1 -y)e] + y € J{A),
x( 1 - w(x)) = (x - */(*)) + *(/(*) - ш(х)) € /(Af) + MJ(A).
По 5.26(1) Af/(i4)cy(AI). Поэтому х(\ -w(x))eJ(M). Тогда jc(1 -в/(*))Л -
малый подмодуль в Af. Пусть
P = а:ш(х)ш(М) G Lat(Af), Q = {m e Af \ xw(x)w(m) = 0} e Lat(Af).
Тогда
л:ш(л:)ш(л:(1 - w(x))A) = дгш(х)(1 - ш(л:))/4 = л: • 0 = 0.
Поэтому х(\ - ш(х)) G (?. Пусть m € Af. Тогда
xw(x)w(m - хш(л:)йу(т)) = ;га(л:)ш(т) - хш(х)ш(хш(х)ш(т)) =
= хш(х)ш(т) - xw(x)w(m) = 0,
m - xw(x)w(m) e Qy m — xw(x)w(m) + (m — xw(x)w(trij) е P + Q.
Поэтому M = P + Q. Если у G Af и хш(х)до((/) е (?, то
0 = xw(x)w(xw(x)w(y)) = хш(х) w(y).
Следовательно, Р Г\ Q = 0 и Af = Р ф <?. Кроме того, х = дгдо(дг) +
+ х(\ - w(x))y xw(x) € РУ х(\ - w(x)) e Q и х(\ - w(x))A — малый
подмодуль в Af. Тогда хА лежит над прямым слагаемым Р в Af. Поэтому
Af полурегулярен. □
Полурегулярные и слабо ^-регулярные кольца
Пусть X — подмодуль модуля Af. Подмодуль К в Af называется
аддитивным дополнением для X в А/, если X + Y =М и X Г)У мал в Y.
Модуль Af называется конечно дополняемым (или f-дополняемым),
если каждый конечно порожденный подмодуль в Af имеет аддитивное
дополнение в М. Модуль Af называется вполне конечно дополняемым
(или вполне f-дополняемым), если Af конечно дополняем и для любых
таких подмодулей X и Z в М, что X + Z = М и X конечно порожден,
существует такое аддитивное дополнение Y к X в Af, что Y С Z.
Полурегулярные и слабо ^-регулярные кольца 299
12.8. Пусть X — подмодуль модуля М и У — множество всех
таких подмодулей У в Af, что X + У = М.
1) Подмодуль У в М — аддитивное дополнение для X в М в
точности тогда, когда У —минимальный элемент в У.
2) Если М конечно порожден и X имеет в М аддитивное
дополнение Уу то У конечно порожден.
о 1) Пусть У — аддитивное дополнение к X в Af, У € У и К' С К. Тогда
У = (Х + У")ПУ = ХПК + Г. Так как * П К мал в У, то У = У и У -
минимальный элемент в X
Пусть У — минимальный элемент в УУ Р — подмодуль в У и X П У +
+ Р = У. Тогда Af = X + У =Х+*П У + Р=* + Л Так как PC У и У-
минимальный элемент в уу то Р= У.
2) Так как Af/X = (X + У)/Х конечно порожден, то существует такой
конечно порожденный подмодуль У в У, что А'Н- У = Af. По 1) У' = У.
□
12.9. Каждый полурегулярный модуль М конечно дополняем.
Если при этом М самопроективен, то М вполне конечно дополняем.
> Пусть X — конечно порожденный подмодуль в Af. Так как Af
полурегулярен, то существует такое прямое разложение Af = X' ф У, что X' С X
и X П У мал в У. Поскольку Af = X' ф У, то Af = X + У, У — аддитивное
дополнение к X и Af конечно дополняем. Заметим, что X П У мал в Af.
Допустим, что Af самопроективен, Z € Lat(Af) и А' + Z = Af. Тогда
х =Агп(*'еУ) = г+;гпУ, м = r+*ny + z,
откуда М = X1 + Z, поскольку Аг П У мал в Af. По 7.41(3) У С Z
для некоторого прямого разложения Af =Аг/ф У. Пусть /: Af —> У —
проекция с ядром X1. Так как X' С X и Af = А'' ф У = А'' 0 У, то
X = *' 0 X П У = X' ф X П У. Поэтому /(* п У) = /ДО =1ПГ. Так
как X П У мал в Af, то по 5.1 X П У = f(X П У) мал в У. Поэтому У —
аддитивное дополнение для X в Af и У С Z. □
12.10. Для конечно порожденного самопроективного модуля М
равносильны условия:
1) Af полурегулярен;
2) Af вполне конечно дополняем.
> Импликация 1)=>2) следует из 12.9.
2)=Н). По 7.41(2) самопроективный модуль Af 7г-проективен. Пусть
А' — конечно порожденный подмодуль в М. Так как М конечно дополняем,
то существует такой подмодуль У в Af, что X + У = Af и X Г\У мал в У.
По 12.8(2) аддитивное дополнение У к А' в Af конечно порождено. Так как
М вполне конечно дополняем и X + У = Af, то существует такой подмо-
300 Глава 12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца
дульХ' в Х,что X'+Y = M иХ'ПУ мал вХ'. По 7.42(2) 7г-проективный
модуль М — прямая сумма модулей X' и Y. Так как X' С X и X П Y мал
в У\ то Af полурегулярен. D
Кольцо Л называется полурегулярным, если факторкольцо A/J(A)
регулярно и каждый его идемпотент поднимается до идемпотента
кольца А.
12.11. Для кольца А равносильны условия:
1) А — полурегулярное кольцо;
2) /4^ — полу регулярный модуль;
3) дА — полурегулярный модуль;
4) Л^ — вполне конечно дополняемый модуль;
5) лЛ — вполне конечно дополняемый модуль.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 2) и 4). Существует
такой кольцевой изоморфизм а: ЕпсЦЛл) —»Л, что а(/) = /(1). Так как
А а — проективный циклический модуль, то А а — самопроективный
конечно порожденный модуль. Поэтому эквивалентность 1)«=>2) следует
из 12.5. Так как Л^ — конечно порожденный проективный модуль, то
эквивалентность 2)ф>4) следует из того, что по 12.10 полурегулярность
А а равносильна тому, что Аа вполне конечно дополняем. □
12.12. Пусть А — кольцо и для каждого подмножества {а,-},-€/ С Л
и любого такого множества {t//}/e/ конечно порожденных левых
идеалов в Л, что пересечение любого конечного числа
подмножеств в {а/ + {//he/ непусто, пересечение всех множеств а,- + Ut
непусто. Тогда А — полурегулярное кольцо.
> По 12.11 достаточно доказать, что АА — вполне конечно дополняемый
модуль. Пусть X — конечно порожденный левый идеал, U —левый идеал,
X + U = Л и £ — множество всех таких левых идеалов Vy что V С U
и_Х + К = Л. Надо доказать, что 5 имеет минимальный элемент. Пусть
{{/,•}/€/ —такая цепь левых идеалов, содержащихся в U у что X + {/,- —A
для всех / € /. По лемме Цорна достаточно доказать, что X + f|/G/ Ut—A.
Так как Л имеет единицу, то существуют такие конечно порожденные
идеалы [//, что {/,- С Ui и X + £/,- = Л для всех / € /. Так как f|/€/ {// С Р|/€/ Un
то достаточно доказать равенство X + П/€/ ^/ =А.
Пусть аеА. Так как X + {/,- = Л для всех / Е /, то существуют такие
Xi € X и щ е Ui, что а = Xi + «/, / Е /. Тогда {*,- + Ut П Х}/6/ — цепь,
поскольку из включений Ut С Uj вытекают равенства х, — х} = — м, + щ €
€ £// ПА\ откуда х\ + UiC\X С jc7 + [// ПХ. Поэтому пересечение любого
конечного числа подмножеств в {*, + Ui nX}ie/ непусто. По условию
пересечение всех множеств xt + UiC\X непусто. Пусть у е f)ie[(Xi + UidX).
Тогда у е X и у = Xi + и,-, где v-t € (/, П X для всех / Е /. Поэтому
Полурегулярные и слабо ^-регулярные кольца 301
а _ у = (а — Xi) - Vi = щ — vi Е Ui для всех / Е /. Поэтому а = у + (а-у)€
еХ + П/6/ ^• Поэтому X + П/6/ ^ = А• D
Кольцо Л называется слабо п-регулярным справа {слева), если
для каждого а Е А существует такое п = я(а) Е N, что апА = (аМ)2
(/lart = (Аап)2). Следующее утверждение 12.13 проверяется
непосредственно.
12.13. Для кольца А равносильны условия:
1) А слабо тт-регулярно справа\
2) для каждого аеА существуют такие п еN и b Е АапАу что
ап = апЬ\
3) для каждого аеА существуют такие пЕN и Ь ЕАапА, что
\-ber(an).
Кроме того, все факторкольца конечных прямых произведений
слабо ^-регулярных справа колец слабо ^-регулярны справа.
12.14. Пусть А — слабо п-регулярное справа кольцо.
1) АаА =А для каждого левого неделителя нуля аеАу и
поэтому каждая слабо п-регулярная справа область — простое
кольцо.
2) Smg^A) — нильидеал в Ау J(А) — наибольший нильидеал в А
и все идемпотенты факторкольца A/J(A) поднимаются до
идемпотентов кольца А.
3) Если А не имеет ненулевых нильидеалов, то А несингулярно
слева и полупримитивно.
4) Если А — кольцо индекса ^ пу то каждое первичное фактор-
кольцо А/Р — простое кольцо индекса ^ л, и поэтому в А все
первичные идеалы являются максимальными и
минимальными первичными идеалами.
> 1) Пусть а Е А. Тогда ап(\ - Ь) = 0 для некоторых п Е N и Ь Е АапА.
Так как г(а) = 0, то г(ап) = 0. Поэтому 1 — 6 =0 и \=Ье АапА С АаА.
2) Пусть а Е А. Существуют такие п Е N и Ь Е АапА, что ап(\ — Ь) = 0.
Если а Е J(A), то b Е /(Л), 1 - 6 Е (/(Л) и а" = 0. Поэтому J(A) —
нильидеал. По 5.27(2) ]{А) содержит каждый нильидеал. По 5.40(1) все
идемпотенты факторкольца A/J(A) поднимаются до идемпотентов
кольца А. Допустим, что а Е SingCH). Тогда Ь еАапА С SingOH). Левый
идеал £(Ь) существенен. Пусть х = уап Е £(Ь) Г\Аапу где уеА. Тогда
О = хЬ = уапЬ = (/а* = х. Поэтому I(Ь) П Аап = 0. Так как £(Ь) —
существенный левый идеал, то Аап =0 и а" = 0.
Пункт 3) следует из 2).
4) Первичный идеал Р содержит минимальный первичный идеал Q.
Обозначим A=A/Q. По 6.42(1) Л —кольцо индекса ^ п. Кроме то-
302 Плава 12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца
го, А — слабо 7г-регулярное справа первичное кольцо. Если А — простое
кольцо, то P=Q и А/Р — простое кольцо индекса ^ п. Допустим, что
кольцо А имеет ненулевой собственный идеал В. Так как А ^первичное
кольцо ограниченного индекса, то по 6.41(6) ненулевойидеал_В_ содержит
элемент b с нулевым правым аннулятором. По 1) А=АЬАСВСА;
получено противоречие. □
Слабо регулярные и бирегулярные кольца
Элемент а предкольца А называется слабо регулярным справа
(слева), если а € а(АаА) (а € (АаА)а), т. е. существуют такие jq, ..., хп,
у и • • • > упеАу что а = a(£?=I xiayi) (а = (£?=1 xiay^a). Предкольцо
называется слабо регулярным справа (слева), если каждый его элемент
слабо регулярен справа (слева). Для кольца А обозначим через W(A)
и М(А) множество всех таких аеА, что идеал АаА слабо регулярен
справа, и множество всех таких а е Ау что идеал АаА регулярен.
Следующее утверждение 12.15 проверяется непосредственно.
12.15. Для кольца А равносильны условия:
1) А — слабо регулярное справа кольцо;
2) В2 = В для каждого правого идеала В в А\
3) В2 = В для каждого главного правого идеала В в А.
Ясно, что все регулярные кольца слабо регулярны (справа и слева),
каждое слабо регулярное справа кольцо слабо ж-регулярно справа
и все факторкольца конечных прямых произведений слабо
регулярных справа колец являются слабо регулярными справа
полупримитивными кольцами.
12.16. Если а — элемент кольца А и существуют такие х\,..., хПу
У\, •••<, Уп^А, что элемент а - а(%2"=\ х\ау{) слабо регулярен справа
в А, то а слабо регулярен справа.
> Существуют такие Ь\, ..., Ьр, С\, ..., ср е А, что
S=i ' ' \=i
i-afY^Xiayij = f «-^f Х^^'2^)) ГХ^^^а_а^Х^Х/а^'))<::>)'
= awlXiayi)
U-afjTxiayijjf^ ea(AaA).
а = а\ 2^Xiayi ) +
р
+( г :,"; , ,
12.17. W(A) — слабо регулярный справа идеал кольца А и
W(A/W(A)) = 0.
Слабо регулярные и бирегулярные кольца
303
> Если х 6 ЩА) и а е Ау то хау ах € АхА С ЩЛ). Допустим, что
х, // € ЩЛ) и и + у € Л(х + у)А = АхА + Л(/Л, где и € ЛхЛ и у € Л(/Л.
Так как идеал АхА слабо регулярен справа, то и слабо регулярен справа
и существуют такие Ь]у ..., ЬПу с\у ..., сп Е Л, что и — и(%2"=1 biuct) = 0.
Тогда
(u + v)-(u + v)(^2М" + у)с/ ) € ЛуЛ £ Л#Л.
Поэтому элемент (ы + и) — (" + и)Е/==1 М" + и)с/) слабо регулярен
справа. По 12.16 элемент и + v слабо регулярен справа. Поэтому
ЩЛ) —слабо регулярный справа идеал в Л. Пусть h\ A —► A/W(A) —
естественный кольцевой эпиморфизм, а € Л и Л(а) — слабо регулярный
справа элемент в h(A). Существуют такие х\у .,., xs, у\> ..., ys G Л,
что а - а(£]*=1 *;я*//) € №(Л). Тогда элемент а - я(Х^=1 *;Я*/;) слабо
регулярен справа в Л. По 12.16 а слабо регулярен. □
12.18. Пусть А — слабо регулярное справа кольцо.
1) Л — несингулярное слева кольцо без ненулевых нильидеалов
и его центр — коммутативное регулярное кольцо.
2) Для каждого ненулевого идемпотента е е А кольцо еАе слабо
регулярно справа.
3) Для любого neN кольцо Ап всех матриц размера пх п над А
слабо регулярно справа.
4) Для каждого конечно порожденного правого А-модуля М
кольцо End(Af) слабо регулярно справа.
> 1) Пусть X — нильидеал и х € X. Так как X — идеал и Х=Х2У то
х(\ - у) = 0 для некоторого нильпотентного элемента у нильидеала X. Так
как элемент 1 - у обратим, то х = 0. Поэтому X = 0, Л не имеет ненулевых
нильидеалов и по 12.14(3) Л несингулярно слева. Пусть R — центр кольца
Л и х € R. Тогда хЛ = (хА)2 = (хЛ)4 = х4Л. Поэтому х = хъу = х(ху)х для
некоторого (/ G Л. Достаточно доказать, что ху е /?, т. е. 2(;п/) = (х*/).г для
любого zeA. Действительно,
z{xy) = (*2)(/ = (x3J/z)*/ = yz(x3y) = y(zx) = (xy)z.
2) Пусть еае е еАе. Так как Л слабо регулярно справа, то еае =
= eae(]L^=i bieaeci) для некоторых ftj, ..., 6rt, c\y ..., п е Л. Поэтому
еае = eae\Y^nl=x(ebie)eae(eCie)\ и кольцо еЛе слабо регулярно справа.
3) Сначала рассмотрим случай я = 2. Пусть М\ = ( ! _! J —любой
элемент в А^ Так как Л слабо регулярно справа, то b\ —b\ (J3/L, X/&i*/;)
304 Глава 12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца
для некоторых х\, ..., хр, у\, ..., ур€А. Обозначим
Обозначим через M<i матрицу
Mx-M{(^XiMxY\=h -°V а2ус2,а2еА.
Существуют такие и\, ..., uSy v\, ..., ys> 5i, ..., й5, Ui, ..., vs €Л, что
a2 = a2 ( Л "/a2y/ ) » й2 = ^2 ( X] u/52«/ ) •
Af з = Af2 - Af2 (]T f//M2 l^ = ( ° g) f
C3 € /4.
Существуют такие a/b ..., wty Z\y ..., zt € А, что сз = сз(££=1 WkC^Zk).
Обозначим
Wi
Тогда Мз = Мз(Х^^=1 WkM^Zk) иМз- слабо регулярный справа элемент
в А2. Так как Мз = М2 — Af2(5Z/=i Uj^Vj), то по 12.16 М2 — слабо
регулярный справа элементе А2. Так как Af2 = Afi — AfiQ^L, X,-AfiK,-), то
по 12.16 М\ —слабо регулярный справа элемент в А2. Поэтому кольцо
А2 слабо регулярно справа.
Теперь допустим, что п > 2. Существует такое т е N, что п < 2т. Пусть
R — кольцо всех (2m x 2т)-матриц над А. В силу вышеприведенного R
слабо регулярно справа. Существует такой ненулевой идемпотент е € /?,
что кольцо Ап всех (п х л)-матриц над Л изоморфно кольцу eRe. По 2)
кольцо Ап слабо регулярно справа.
4) Существует такое п € N, что Af изоморфен прямому слагаемому
прямой суммы (Аа){п) = F. Так как кольцо End(F) изоморфно матричному
кольцу Ап и Af изоморфен прямое слагаемому в /\ то существует такой
идемпотент в АПу что End(Af) = еЛле. По 2) и 3) кольцо End(Af) слабо
регулярно справа. О
Слабо регулярные и бирегулярные кольца
305
12.19. Для кольца А равносильны условия:
1) А слабо регулярно справа и все его первичные факторкольца
регулярны',
2) А слабо регулярно слева и все его первичные факторкольца
регулярны',
3) А — регулярное кольцо.
о Достаточно доказать эквивалентность 1)ф>3). Импликация 3)=>1)
следует из того, что все факторкольца регулярных колец регулярны и
поэтому слабо регулярны.
1_)=>3). Так как А слабо регулярно справа, то каждое его факторколь-
цо А слабо регулярно справа и, в частности, полупервично. Так как для
А каждое факторкольцо полупервично и каждое первичное факторкольцо
регулярно, то по 11.11 А регулярно. □
Кольцо называется бирегулярныму если каждый его идеал,
порожденный одним элементом, порождается центральным идемпотентом.
12.20. Пусть А — бирегулярное кольцо.
1) Каждое факторкольцо кольца А бирегулярно и полу
примитивно.
2) Каждое неразложимое факторкольцо кольца А — простое
кольцо.
3) А не содержит бесконечного множества ненулевых
центральных ортогональных идемпотентов в точности тогда,
когда А — конечное прямое произведение простых колец.
4) А слабо регулярно (справа и слева).
> Пункты 1), 2) и 3) проверяются непосредственно.
4) Пусть В — правый или левый идеал в А и Ь € В. По условию
АЬА = еА=еА для некоторого центрального идемпотента ее А. Тогда
ееАЬАуЬеВ2уВ = В2. □
12.21. Для редуцированного кольца А равносильны условия:
1) А — бирегулярное кольцо;
2) А — слабо ^-регулярное справа кольцо;
3) А — слабо п-регулярное слева кольцо;
4) А — слабо регулярное справа кольцо;
5) А — слабо регулярное слева кольцо;
6) каждое неразложимое факторкольцо кольца А — простая
область;
7) в А каждый первичный идеал — максимальный идеал.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 2), 4), 6) и 7).
Импликация 1)=>4) следует из 12.20(4), а 4)=ф2) следует из того, что каждое
слабо регулярное справа кольцо слабо 7г-регулярно справа.
306 Глава 12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца
2)=» 1). Пусть а бЛ. Так как А слабо 7г-регулярно справа, то по 12.13
1 - Ь е г(ап) для некоторых п Е N и Ь Е АапА. Поэтому
А = АапА + г(ап).
Так как Л редуцировано, то по 6.34(4) г(а") — идеал в Л и ЛаМПг(ая)=0.
Поэтому существует такой центральный идемпотент е Е Л, что r(a") = еЛ
и ЛаМ = (1 - е)Л. Так как А редуцировано, то г(а) = еА по 6.34. Поэтому
АаА = (1 -ф4аЛ С (1 -е)Л = АапА С ЛаЛ.
Тогда идеал ЛаЛ порождается центральным идемпотентом 1 — е и Л
бирегулярно.
1)=>6). Пусть Л/Q — неразложимое факторкольцо. По 12.20(2)
A/Q — простое кольцо. Первичный идеал Q содержит минимальный
первичный идеал Р. Так как Л редуцировано, то по 6.36(2) А/Р — область.
По 12.20(2) А/Р — простое кольцо. Кроме того, PCQ. Поэтому P = Q
и A/Q — область.
6) => 7). Так как каждое первичное кольцо неразложимо, то по 6)
каждый первичный идеал максимален.
7) =Н). По 6.36(6) каждое первичное факторкольцо кольца Л —
простая область. Пусть O^a E Л. Если АаА = Л, то идеал АаА порождается
центральным идемпотентом 1. Допустим, что АаАфА. Пусть Q —
объединение всех первичных идеалов, содержащих идеал АаА. Так как Л
имеет единицу, то из леммы Цорна следует, что идеал АаА лежит в
некотором максимальном идеале. Поэтому Q^0. Обозначим S = A\Q. Так
как каждое первичное факторкольцо — область, то S — подмоноид
мультипликативного моноида Л и O^S. Пусть Г —подмоноид
мультипликативного моноида Л, порожденный объединением множеств {а} и S.
Докажем, что Т содержит нуль кольца Л. Допустим противное. Пусть £ —
множество всех таких идеалов Е в Л, что Е П Т = 0. Тогда £ ^ 0, поскольку
£ содержит нулевой идеал. Множество £ содержит объединение любой
возрастающей цепи его элементов. По лемме Цорна £ содержит
максимальный элемент М. Тогда М — первичный идеал. Так как каждое
первичное факторкольцо кольца Л просто, то М — максимальный идеал. Так как
а Е 7\ то а Е Л \ М. Поэтому р + с = 1 для некоторых р Е М и с Е АаА.
Так как р fi Qy то р Е S С Т. Тогда р Е Т П М = 0. Получено
противоречие. Доказано, что Т содержит нуль кольца Л. Поэтому существуют такие
п\ rik Е N и si, ..., Sk Е 5, что anis\an2S2 .. . art*s* = 0. Обозначим
s = SiS2...s*ES. По6.34 art,+,l*+-"+,I*s=0. По 6.34 as =0. По 6.34(4)
ЛаЛ П AsA = 0. Допустим, что ЛаЛ +AsA ФА. Тогда идеал ЛаЛ +AsA
лежит в некотором максимальном идеале N. Так как первичный идеал
N содержит а, то N С Q. Поэтому s eN CQ и s eS Г) <? = 0. Получе-
V-кольца 307
но противоречие. Доказано, что АаА +AsA = А. Тогда А =АаА х AsA
и АаА = Ае, где е — центральный идемпотент в Л. □
12.22. А —слабо тг-регулярное справа редуцированное
неразложимое кольцо в точности тогда, когда А — простая область.
А — редуцированное слабо п-регулярное справа кольцо, не
содержащее бесконечного множества нетривиальных центральных
ортогональных идемпотентов, в точности тогда, когда А —
конечное прямое произведение простых областей.
Утверждение 12.22 следует из 12.21 и 12.20.
12.23. Если А—кольцо с первичным радикалом Р, то А/Р —
слабо регулярное справа редуцированное кольцо <& А/Р — слабо
Ti-регулярное справа редуцированное кольцо <& все первичные
факторкольца кольца А — простые области.
> Так как факторкольцо А/Р изоморфно подпрямому произведению
первичных факторколец кольца А и все подпрямые произведения
редуцированных колец редуцированы, то можно считать, что А/Р
редуцировано. Кроме того, первичные факторкольца кольца А можно
отождествить с первичными факторкольцами кольца А/Р. Теперь 12.23
следует из 12.21. □
У-кольца
Кольцо А называется правым V-кольцом, если каждый простой
правый А -модуль инъективен.
12.24. Пусть М — простой правый модуль над кольцом А.
1) Для инъективности М необходимо и достаточно, чтобы
для любых таких правых идеалов В и В' в А, что В' с В
и В/В' = М, простой модуль В/В' был прямым слагаемым
циклического модуля А/В'.
2) Если А инвариантно справа, то инъективность_ М
равносильна тому, что для каждого факторкольца А кольца А
любой его минимальный правый идеал В, изоморфный Мкак
правый А-модуль, порождается идемпотентом кольца А.
> 1) Необходимость следует из того, что по 7.5 каждый инъективный
модуль — прямое слагаемое любого содержащего его модуля.
Достаточность. Пусть В — правый идеал в Л, 0^ / € Ноп\(Ва> М),
в' = Кег(/) и h: А а -* А/В' — естественный эпиморфизм. Гомоморфизм
/ индуцирует гомоморфизм /: h(B) —> М. Так как М прост и /(В)^0,
то М = }(В) = В/В' = h(B). По условию существует прямое
разложение h(A) = h(B) $ h(C). Пусть 7г: h(A) -» h(B) — проекция с ядром
308 Глава 12. Полурегулярные и слабо регулярные кольца
/г(С) и g = fnh e Нот(Ад, Af). Тогда g продолжает /. Поэтому М
/1,4-инъективен. По критерию Бэра 7.12 Af инъективен.
Пункт 2) следует из 1). D
12.25. Над строго регулярным кольцом А каждый ненулевой
равномерный модуль М — простой инъективный модуль. В
частности, А — V-кольцо.
> Пусть X — ненулевой циклический подмодуль равномерного модуля
Af. Неразложимый циклический модуль X является по 11.13
регулярным. Поэтому X прост, т.е. в равномерном модуле Af каждый ненулевой
циклический подмодуль прост. Тогда Af прост. Так как каждое фактор-
кольцо строго регулярного кольца А строго регулярно, то по 12.24(2) Af
инъективен. □
12.26. Для кольца А равносильны условия:
1) А — правое V-кольцо;
2) в А каждый собственный правый идеал — пересечение
максимальных правых идеалов;
3) каждый циклический правый А-модуль полупримитивен;
4) каждый правый А-модуль полупримитивен;
5) каждый ненулевой правый А-модуль — подпрямое
произведение простых модулей;
6) любое существенное расширение каждого простого правого
А-мод у ля Т совпадает с Т;
7) для каждого правого А-мод у ля Af любой его простой
подмодуль — прямое слагаемое в М; _
8) для каждого циклического правого А-модуля N и любого А-
модульного эпиморфизма f: N -»/V, модуль Кег(/) не является
ненулевым малым подмодулем в N;
9) для каждого правого идеала X в А и любого максимального
подмодуля Y в Ха существует такой максимальный правый
идеал М в А, что МПХ = Y;
10) каждое факторкольцо кольца А — правое V-кольцо.
> Эквивалентности 2)ф>3), 4)^»5) и 1)^»10) проверяются
непосредственно. Импликация 1)=>7) следует из 7.25, а 7)=> 1) следует из 12.24(1).
Импликация 4)=>3) очевидна, а 3)=>6) и 6)=>7) следуют из 5.31(4).
7) => 4). Пусть Af —ненулевой правый Л-модуль. Допустим, что
/(Af) ф 0. Тогда /(Af) содержит ненулевой циклический подмодуль Р,
который имеет простой фактормодуль P/N. По условию существует
прямое разложение M/N = P/N 0 Q/N. Тогда Af = Р + Q. Так как Р —
циклический подмодуль в /(Af), то Q = Af. Тогда
p/N = (P/N) П (M/N) = (P/N) П (Q/N) = 0.
Получено противоречие.
V-кольца
309
7) =>8). Допустим, что существует такой Л-модульный эпиморфизм
/: N —» N, что Кег(/) —ненулевой малый подмодуль в N. Пусть X —
ненулевой циклический подмодуль в Кег(/). Модуль X имеет
простой фактормодуль X/Y'. По условию существует прямое разложение
/V/K = Я/у е Z/K. Тогда N =Х + Z и Z ^ N. Так как X — малый
подмодуль в Ny то Z = N; получено противоречие. _
8) => ЗУ Пусть N — циклический правый Л-модуль, N = N/J(N)
и /: Л/ —»Л/ — естественный эпиморфизм. По 5.21 Кег(/)=/(Л0— малый
подмодуль в N. По условию J(N) = 0.
3)=>9). Так как J(Aa/Y) = 0, то существует такой максимальный
подмодуль Af/У в Aa/Y, что простой модуль Jf/У не лежит в M/Y'. Поэтому
AA/Y = X/Y®M/Y nXnM = Y.
9)=фЗ). Пусть В — собственный правый идеал в Л. Допустим, что
J(Aa/B) ф 0. Так как каждый ненулевой модуль имеет простой подфактор,
то существуют такие правые идеалы X и У, что В Э У с X, Х/В С J(Aa/B)
и модуль Х/У прост. По условию, что МпХ = У 2 В для некоторого
М € тах^л). Так как Х/В С/(Л^/В) С Af/В, то X = Af П* = У. Получено
противоречие. □
Литература. [30,97-99,112,290-292,308].
13
Заменяемые кольца и пирсовские слои
Заменяемые кольца и модули
Пусть К — кардинальное число. Модуль М называется
^-заменяемым (см. [180]), если для каждого модуля X и любого такого прямого
разложения X = М' 0 Y = 0/€/ /V/, что М' = М и card(/) ^ К, существуют
такие подмодули N- С N-tJ i e I, что X — Mf 0 (0/€/ N{). (По модулярному
закону Л// —прямое слагаемое в N; для всех /.) Модуль М называется
заменяемым, если М — N-заменяемый модуль для каждого
кардинального числа К. Модуль М называется конечно заменяемым, если М
«-заменяем для каждого neN.
Необходимо подчеркнуть, что прямые суммы в определении
заменяемых модулей — внутренние прямые суммы подмодулей в X. Одно из
преимуществ разложений во внутренние прямые суммы (в отличие от
изоморфизмов с внешними прямыми суммами) заключается в том, что
в таких суммах прямые слагаемые с общими дополнениями изоморфны
(например, Y = 0/6/ N- в определении N-заменяемого модуля),
поскольку любое из этих слагаемых модуля X имеет ЛГ в качестве
дополнительного слагаемого.
Множество {//Ье/ модульных гомоморфизмов X —► М называется
суммируемым, если для каждого х €X верно, что f-t(x) = 0 для почти всех /.
(В этом случае корректно задан гомоморфизм £/€/ /,-: X —»М.)
13.1. Пусть М — модуль, R = End(Af) и N — кардинальное число.
Равносильны условия:
1) М — ^-заменяемый модуль;
2) М — прямое слагаемое ^-заменяемого модуля;
3) М — конечная прямая сумма ^-заменяемых модулей;
4) для каждого такого прямого разложения М ® В = Q)ieI Х1У
что card(/) ^ К и X-t = Af для всех i е 1, существуют такие
подмодули С,- СXi, что М 0 (0/6/ С,-) = 0/€/ X-t\
5) для любого такого суммируемого множества {/,}/€/
эндоморфизмов модуля М, что card(/) ^ К и Yliei f'1 = 'м, существует
такое суммируемое множество {е;}/е/ ортогональных идем-
потентов в R, что J2ief е* = 1м и ех € /?/,• (Зля всех i e I.
Заменяемые кольца и модули
311
о Импликации 1)=>2) и 1)=>3) очевидны. Эквивалентность 1)^4)
следует из определения К-заменяемого модуля.
2)=>1). Пусть
Р = Af0N, X =M®Q = 0У), card(/) ^ N.
Тогда Х0Л/ = Рф(? = Л/0 (0/6/ ^')- Так как ^ —^-заменяемый
модуль, то существуют такие подмодули N' С N и К/ С У/, / € /, что
X0/V=P0yV'0 (0/€/ У;'). Поскольку N' С Р и Л/' П Р = 0, то N' = 0.
Тогда *0УУ = М0Л/0 (0/е/ У)'). Так как Af 0 (0/6/ У/) С X, то по
модулярному закону
х = *п(ме#©(0У/)) = Af©(0y/)+xnw.
Поскольку XON =0У то X = Af 0 (0/6/ У/). Поэтому Af — N-заменяемый
модуль.
3) => 1). Пусть Af = Af1 ф ... 0 Af* и все Af,- — N-заменяемые
модули. Без ограничения общности можно считать, что k = 2. Пусть
Ar = Afi0Af20y = 0/6/М, где / — множество мощности К. Так как
Af J ^-заменяем, то
х = Af,eAf2ey = Af,e(05/V
/6/
где Si С yV/ (/ € /). Пусть h: X -+ 0/€/ S,- — проекция с ядром М\. Тогда
Л(М2)0Л(У) = 0S/, X = А1| 0Л(М2)0/*(У).
Так как Af2 П Кег(Л) = 0, то /z(Af2) = Af2, откуда /z(Af2) К-заменяем.
Поэтому /z(Af2) ф Л(У) = /z(Af2) 0 (0/€/ 7}), где 7} С S,- С yV/ для всех /.
Кроме того, Afi 0/z(Af2) = Afi 0 Af2. Поэтому
X = А/,0Л(М2)0Л(У) = Afi ®A(Af2) 0(07/) =
i€/
= Af, 0 Af20 (0 Тк?) = Af 0 (0 7-).
i€/ i€/
4) => 5). Пусть_{Х/}|€/ — некоторое множество_изоморфных копий Af,
Я = 0/€/Х,-, Af — такой подмодуль в X, что Af = {(fi(m))ief | m e Af},
/: Af -» Af —такой гомоморфизм, что /(га) = (/;(га))/6/, g: X —► Af —
такой гомоморфизм, что g((ra,)/6/) = ]Г\6/га,-. Тогда / — изоморфизм,
312
Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
М = М и gf = 1м- Поэтому Af —прямое слагаемое в X. По условию
существуют такие прямые разложения Xt = В, ф С,, что
х = мФ(фс,) = (фе,)ф(фс,).
i€/ <€/ /€/
Пусть р: X —>ф(6/ В, — проекция с ядром ф/6/ С,. Так как М С /?(уЙ) +
+ (Ф,-6/ С,) и X = Л* + (0/6/ С), то
X = p(Af) + (ф С,) = /7(уЙ) ф (ф С,) = (ф ft) Ф (ф С,).
i€/ /6/ /6/ /€/
Кроме того, p(Af) С 0/€/В/. Поэтому p(Af) = 0/6/ В,- и р
индуцирует изоморфизм /: М —> 0/е/ В/. Пусть р,-: 0/6/ В,- —* В; — естественные
проекции, // = /?//: М —*В, и е, = gt~xttf €/?. Тогда
*/*/ = gt~XUfgt~xtjf = gt~xPitjf.
Поэтому (е,)2 = е,- и е,еу- = 0 при / ^ у. Пусть Л: X,- —* В,- — проекция с
ядром С/. Тогда tif = h[fit откуда в\ €/?//. Поэтому {е/}/е/ — суммируемое
множество и 5Z/6/ ^ = 1>и-
5) => 4). Допустим, чтоХ = М фВ = 0/6/Лг/, щ\Х-+Х{ ии:Х-*М —
соответствующие проекции, /,-= ш/,-|д| е/? и card(/) ^ N. Тогда {//he/ —
суммируемое множество и Х^/6/ // = 1м- По условию существует такое
суммируемое множество {е/}/€/ идемпотентов в /?, что Х^6/£/ = 1л1
и е,- = s,7/ € /?//. Обозначим g/ = eiSiVUi: X —» Af. Тогда
*=Ме(0*/ПКег(&)).
/е/
Поэтому {g/he/ — суммируемое множество гомоморфизмов из X в Л1
Обозначим g = ]Г/е/ gi\ X -*М. Тогда
g/U = е,-, g,-g/ = Sijy g\M = 1 Af -
Непосредственно проверяется, что g2 = g и Ker(g) = 0/6/(Х/ П Ker(g/)).
D
13.2. Каждое прямое слагаемое конечной прямой суммы
заменяемых модулей — заменяемый модуль. (Следует из 13.1.)
13.3. Каждый конечно порожденный конечно заменяемый
модуль М — заменяемый модуль.
> Пусть К — кардинальное число, X — модуль и X = М' ф Y = 0/6/ УУ/ —
такое прямое разложение, что М' = Ми card(/) ^ N. Так как М! — конечно
Заменяемые кольца и модули
313
порожденный подмодуль в X, то существует такое конечное
подмножество / в Л, что Af' С 0:бУ Nr Поскольку М' конечно заменяем, то
существуют такие подмодули Nj С Nj (/' € /), что ф/бУ Nj = Af' 0 (ф/бУ Nj).
Для / Е / \ J положим N[ = Nh Тогда X = Af' 0 (ф/6/ Л//). □
13.4. Для кольца R равносильны условия:
1) для любого а € R существует такой идемпотент e€aRy что
1-е€(1-а)Л;
2) для любого а € R существует такой идемпотент е' € /?а,
что 1 -е'е/?(1 -а).
> Докажем только импликацию 1) =>2), поскольку обратная импликация
доказывается симметрично. По условию существует такой идемпотент
е € а/?, что \ - е е (\ — a)R. Обозначим Ь = 1 - а и / = 1 — е = f2.
Допустим, что е = аг и f = bs> где г, s €/?. Заменяя г на re и s на s/,
можно считать, что гаг = г, rfrs = 0, sbs = s и sar = 0. Пусть
г' = \-sb + rby s'=l-ra + sa, e'= r'a e Ray f' = s'beRb.
Тогда r's = (1 - sb + r6)s = (s - sbs) + rfts = 0, s'r = (1 - ra + sa)r =
= (r — rar) + sar = 0. Так как ar + 6s = e + / = 1, то
ar' = a(\ -sb) + arb = a(l -sb) + (\ -bs)b =
= a(l-s6) + 6(l-s&) = (a + 6)(l-s&) = l-s&.
Поэтому r'ar' = г'. Аналогично, bsf = 1 — га и s'6s' = s'. Поэтому е'
и /' — идемпотенты. Так как ab = bay то e' + /' = r'a + s'b = (a — s£a +
+ r&a) + (6-ra& + sa6) = a + 6 = 1. П
13.5. Для правого модуля Af с кольцом эндоморфизмов R
равносильны условия:
1) Af — конечно заменяемый модуль;
2) Af — 2-заменяемый модуль;
3) (Зля любых таких эндоморфизмов а, /?€/?, что а + /?= 1м,
существуют такие идемпотенты е € а/? ы / € /?/?, что
е + /=1л|;
4) (Зля любых таких эндоморфизмов а, /?€/?, что а + /3= 1м,
существуют такие идемпотенты е' е /?а w /' е /?/?, что
е' + /'=1м.
* Эквивалентность 3)ф>4) следует из 13.4. Импликация 1)=>2)
очевидна.
2)=> 1). Индукцией по я ^2 докажем, что Af «-заменяем для всех
^ € N. При п = 2 утверждение верно. Допустим, что Af л -заменяем
и ^ = AfeV=D10...0 D„+i. Обозначим Е = D, 0 ... 0 D„. Тогда
^ = МфУ=£0 Ai+i- Так как Af 2-заменяем, то существуют такие
314
Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
подмодули £' С £ и D'n+l С D„+i, что X = М 0 £' 0 D'n+{. Обозначим
£" = £n(Af фО^+1) и D^+1 =Dn+\ n(Af ©£')• По модулярному закону
£ = £'ф£" и Drt+,=D^+10D;/+l. Так как
* = m©(£'©d;+i) = (£"©о?+1)ф(е'©о;;+|),
то модуль £" изоморфен прямому слагаемому в Af. По 13.1 £" л-
заменяем. Кроме того, £ = £' 0 £" = Di 0... 0 Dn. Поэтому существуют
такие подмодули D/ С D/, / = 1, ..., я, что £ = £" 0 DJ 0... 0 D'n.
Обозначим E'" = {M®D'n+l)n{E'®Dn+i). Из включений £"CAf©D;+1C
С £" ф (£' ф Drt+i) и модулярного закона следует, что М ф D^, =
= £"©£'". Поэтому
X = £'ф£"ф£'" = £ф£'" =
= D\ 0... 0 D'n 0 £" 0 £'" = Af 0 D\ 0... 0 D'n+X
и Af — (n + 1)-заменяемый модуль.
1)=>3). Пусть
* = Af ©Af, /V, = {(*, 0) | jc € Af}, yV2 s {(0, x) \ x € Af},
D = {(*, x) | x e Af}, Af' = {(a(x)y -0(x)) \ x e Af}.
Тогда * = Af' ф D = N\ Ф N2. Так как Кег(а) П Ker(/3) = 0, то Af' ^ Af. Так
как Af 2-заменяем, то существуют такие подмодули /V/ С Л/,, / = 1, 2, что
X = Af' ф N[ ф Л^. Пусть х € Af. Существует единственное разложение
(х, х) = (а(у)у -(3(у)) + (*,, 0) + (0, х2)у (*,, 0) € Л/[, (0, х2) € N'2.
(*)
Приравнивая первые компоненты в (*) и затем вторые компоненты в (*),
получаем х — а(у) + х\ и х = -/?(#) + х2. Тогда
О = а(у) + х, + /%) - х2у *2 -*i = (<* + /?)(*/) = у.
Определим эндоморфизмы а', /?' Е End(Af) равенствами а'(х) = х2 и
/?'(*) = *i. Из разложений
(аа'(х), аа'(*)) = (аа'(х), /?а'(х)) + (0, 0) + (0, а'(х)),
(ДО'М, /?/?'(*)) = (-<№), /№)) + (№, 0) + (0, 0)
следует, что аа'а = а и /J/З'/З = (3. Поэтому е = аа' и / = /3/3' — идем-
потенты в Ry e eaR и f e 0R. Кроме того, а'(х) - (З'(х) = х2- х\ =у.
Тогда
(е + f)(x) = аа'(х)+0р'(х) = а{0,(х)+у) + 00,(х) =
= (а+ /?)/?'(*)+ а(#) = /?'(*)+ a(//) = *, + (х - *,) = х.
Заменяемые кольца и модули
315
Поэтому е + f=\M.
3)=> 1). Пусть X = М ® Y = N\ 0Л/2- разложение модулей, £ =
sEnd(A), h: X —► М — проекция с ядром У, t\ и ^ — такие идемпотенты
в £\ что
/, + /2 = 1*, Л/, = /,(*) = Ker(/2), N2 = /2W = Кег(/,).
Так как End(Af) = hEh и Л = ht\h + Л/2Л — единица кольца Л£/г, то по
условию существуют такие ортогональные идемпотенты vt G (hEh)htih =
= hEhtih, /=1,2, что v\ +v2 = h. Тогда v-t = oatih, где a, = u,-a; € Л£Л.
Обозначим w\ = /,-a,7/, /=1,2. Тогда до,- — ортогональные идемпотенты
и адДО С М (/ = 1, 2). Поэтому Ni = Wi(X) Ф W/, где УУ/ = N: П Кег(ш,).
Тогда * = ш, w e ш2 w e yv[ © щ. a
13.6. Следствие. Для модуля М равносильны условия:
1) Af — неразложимый заменяемый модуль;
2) М — неразложимый конечно заменяемый модуль;
3) М — неразложимый 2-заменяемый модуль;
4) End(Af) —локальное кольцо.
> Импликация 1)=>2) очевидна. Эквивалентность 2) «=> 3) следует
из 13.5. Эквивалентность 2)ф>4) следует из 13.5 и того, что по 5.35
локальность кольца равносильна тому, что для любого его необратимого
элемента а элемент 1 — а обратим.
2) => 1). Пусть М — неразложимый конечно заменяемый модуль
и X = М ф Л/ = 0/€/ У/. Так как каждый элемент в X лежит в сумме
конечного числа модулей У,, то существует такое конечное подмножество / в /,
что М п (0/€У У/) ^0. Обозначим Е = 0/6/у У/. Тогда X = (0i6/ Kf) 0 £.
Так как А4 конечно заменяем, то существуют такие подмодули Е' СЕ
и Y{ С У), / g /, что А' = М 0 (0/6у У/) Ф £'. Так как £ содержит прямое
слагаемое £' модуля X и У/ содержит прямое слагаемое У/ модуля X,
/ € /, то существуют прямые разложения £ = £' 0 £" и У/ = У/ ф У/',
/Е/. Так как
* = (ф Y) ®Е = (ф *7) ©£'© (ф >7') ®£" = м® (ф ^/) ф£'-
ieJ ieJ ieJ ieJ
то неразложимый модуль М изоморфен модулю (0/6у Y") ф £". Так как
М П (0/бУ У/) ^ 0 и М П (0/€У У/) = 0, то 0/€У У/' ф 0. Кроме того,
модуль М неразложим, откуда £" = 0. Тогда £' = £, откуда
* = Мф(фУ/)ф£ = Л*ф(фУ/)©(фГ;).
Поэтому М — заменяемый модуль.
П
316 Плава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
Кольцо R называется заменяемым, если для любого а е А существует
такой идемпотент е еаАу что 1 — е е (1 - а)Ау причем из 13.7 следует, что
определение заменяемого кольца лево-право-симметрично и все фактор-
кольца любых прямых произведений заменяемых колец заменяемы.
13.7. Теорема [261]. Для кольца А равносильны условия:
1) А —заменяемое кольцо, т.е. для любого as А существует
такой идемпотент е еаАу что 1 - е е (1 - а)А\
2) для любого as А существует такой идемпотент е е Аа, что
\-ееА(\-а);
3) А — конечно заменяемое справа кольцо;
4) А — конечно заменяемое слева кольцо;
5) А — заменяемое справа кольцо;
6) А — заменяемое слева кольцо;
7) каждый конечно порожденный проективный правый А-мо-
дуль заменяем;
8) каждый конечно порожденный проективный левый А-мо-
дуль — заменяемый модуль;
9) для любого аеА существует такой идемпотент е еА, что
е-аеА(а-а2);
10) для любого аеА существуют такие е = е2 еАа и с еАу что
(\-e)-c(\-a)eJ(A);
11) для любого аеА существует такой идемпотент е е Аау что
А=Ае + А(\ -а);
12) еАе — заменяемое кольцо для каждого идемпотента ее А;
13) все факторкольца кольца А — заменяемые кольца;
14) каждый идемпотент кольца А поднимается по модулю
каждого левого или правого идеала;
15) A/J(A) — заменяемое кольцо и каждый его идемпотент
поднимается до идемпотента кольца А;
16) существует такой идеал В кольца Ау что BCJ(A)y А/В —
заменяемое кольцо и каждый его идемпотент поднимается
до идемпотента кольца А.
> Эквивалентность 1)^»2) следует из 13.4. Эквивалентности 1)^»3)
и 2) «=>4) следуют из 13.5. Эквивалентности 3)ф>5) и 4)«=> 6) следуют
из 13.3. Эквивалентности 5)ф>7) и 6)«=> 8) следуют из 13.2.
Импликации 1)+14)=Н5), 15)=>16), 16)=>1), 12) =*1) и 1)=>13) проверяются
непосредственно.
2)=>9). Пусть а е А, е = е2 = Ьа е Аа и 1 -е = с(\ -а) е А(\ - а).
Тогда
е-а = е(\ -а)-(\ -е)а = ba(\ -a)-c(\ -a)a e А(а-а2).
Заменяемые кольца и модули
317
9) => 10). Пусть е = е2 е Л, а, Ь Е Л, с = 1 - 6а и е - а = 6(а - а2).
Тогда
1 -е-с(1 -а) = \-e-\+a + ba-ba2 =
= -е + а + Ьа - Ьа2 = 0 Е /(Л).
10) =^ 11). Пусть ау сеАу е = е2еАа и (\ -е)-с(\ -a)eJ(A). Тогда
е + с(1-а) = 1 — ((1 — е) — с(1 — а)) € £/(Л), Ле + Л(1-а) = Л.
11)=>2). Пусть а, s, / € Л, е = е2 е Аау 1 = fe + s(l -а), / = е +
+ (1 - e)te. Тогда /2 = / е Аа и 1 - / = (1 - e)s(\ - a).
13) => 14). Так как условие 13) лево-право-симметрично, то достаточно
доказать, что каждый идемпотент кольца Л поднимается по модулю
каждого левого идеала М. Пусть xgA и х — х2 еМ. Так как Л — заменяемое
кольцо и верна импликация 1) =ф 9), то по 9) е - х е А(х - х2) С М для
некоторого идемпотента е€А.
14)=>2). Пусть х е Л. Так как х — х2 € Л (jc — jc2) и каждый идемпотент
поднимается по модулю левого идеала А(х — х2)у то е - х е А(х - jc2) С
С Ах П Л (1 — дг) для некоторого идемпотента е € Л. Тогда е = (е — х) +
+ хеАх и 1 -е = (1 -л:)-(е-л:)ЕЛ(1 -а:).
3) => 12). Так как еА — прямое слагаемое в Л^ то по 13.1 еА — конечно
заменяемый модуль. Так как еАе = Еп6(еА)у то еАе — заменяемое кольцо
по 13.5 и 13.3. □
13.8. Следствие. Если М — ненулевой модуль и /? = End(Af), mo
равносильны условия:
1) М — конечно заменяемый модуль;
2) R — заменяемое кольцо;
3) для любых таких /ь ..., fn е /?, что £"=1 /,- = \м,
существуют такие ортогональные идемпотенты et € /?/,-, что
4) (Зля любых таких /ь ..., fn е /?, что £"=1 // = 1м, с#"(е-
ствуют такие ортогональные идемпотенты et € /;/?, что
5) существует такое прямое разложение М = 0"=1 Af,-, что #се
кольца End(Af/) заменяемы;
6) существует такое полное множество {e/}-L, ненулевых
ортогональных идемпотентов в /?, что все кольца etRei
заменяемы;
7) кольцо R изоморфно факторкольцу прямого произведения
заменяемых колец;
318 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
8) для каждого аеА существует такое унитарное заменяемое
подкольцо S в R, что a€S\
9) М — прямое слагаемое конечной прямой суммы 2-заменяемых
модулей.
> Эквивалентность 1)<=>2) следует из 13.5 и 13.7. Эквивалентность
1)4=>3) следует из 13.1. Так как условие 2) лево-право-симметрично
и эквивалентно условию 1), то эквивалентность 1)ф>4) следует из
эквивалентности 1)«=>3). Импликация 2)=>5) и эквивалентность 5)ф>6)
проверяются непосредственно. Импликация 5) => 1) следует из 13.5 и 13.2.
Эквивалентности 1)ф>7) и 1)ф>8) следуют из 13.7. Эквивалентность
1)4*9) следует из 13.1 и 13.5. D
Пирсовские слои и максимальные неразложимые
факторы
Пусть Л —кольцо и S(A) — непустое множество всех собственных
идеалов кольца Л, порожденных некоторыми множествами центральных
идемпотентов1. По лемме Цорна S(A) содержит максимальные элементы.
Для любого максимального элемента PeS(A) факторкольцо А/Р
называется пирсовским слоем кольца А.
Если А/Х — неразложимое факторкольцо кольца А и для любого
идеала К в Л, строго лежащего в Ху факторкольцо A/Y не является
неразложимым, то А/Х называется максимальным неразложимым фактор-
кольцом или максимальным неразложимым фактором кольца А.
Пирсовские цепи. Обозначим через Ро — нулевой идеал кольца Л.
Пусть а — ординал и для всех ординалов (3 < а уже определены
идеалы Pp. Если а — непредельный ординал, то выберем в качестве идеала
PQ такой идеал в Л, что А/Ра — некоторый пирсовский слой кольца
R/Pa-\. Если а —предельный ординал, то обозначим через Ра идеал
Цз<а 'V Существует такой ординал 7, что Р1 = P7+i. Такое множество
V(A) = {Ра | 0 ^ а ^ 7} сравнимых по включению собственных идеалов
в Л называется пирсовской цепью в Л, а идеал Р1 называется
наибольшим элементом пирсовской цепи в Л. (Заметим, что Л может иметь
более одной пирсовской цепи идеалов.)
13.9. Если {A/Bi}iei —такое множество неразложимых фак-
торколец кольца Л, что для любых /, /' е / идеалы В, и By сравнимы
по включению, то A/f]ieI В/ — неразложимое кольцо.
> Без ограничения общности можно считать, что П/е/ ^ = 0»
множество / линейно упорядочено и В, Э В, при / ^ у. Пусть е — ненулевой
центральный идемпотент в Л и Л,: Л -»A/Bt — естественные эпимор-
1 Так как 0 е S{A)t то S{A) ф 0.
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 319
физмы. Так как f]ieI Bt = 0, то hj(e) Ф Ау (0) для некоторого /. Тогда
hk(e)-~ ненулевой центральный идемпотент неразложимого кольца А/Вь
для любого k ^ /. Поэтому hk(e) = hk(\) и е - 1 sBk для всех k ^ /. Тогда
е - 1 е C\k^j &k — П/е/ Bi=0> е=\ и Л неразложимо. □
13.10. Для любого неразложимого факторкольца А/В
существует такой максимальный неразложимый фактор А/Х, что
ХСВ. В частности, каждое неразложимое факторкольцо кольца
А — гомоморфный образ некоторого максимального
неразложимого фактора кольца А.
13.10 следует из 13.9 и леммы Цорна.
13.11. Пусть £ — некоторый класс колец, содержащий все
гомоморфные образы любого лежащего в £ кольца, причем Л е£ для
любого кольца А, у которого все неразложимые факторкольца
принадлежат £. Тогда £ содержит любое кольцо, у которого все
максимальные неразложимые факторы лежат в £.
Утверждение 13.11 следует из 13.10.
13.12. Пусть А/Х — ненулевое неразложимое факторкольцо
кольца А,
1) Если {е,-}|€/ — множество всех центральных идемпотентов
в А, лежащих в собственном идеале X, то ]Г/6/etA — пир-
совский слой кольца А.
2) Идеал X содержит наибольший элемент Р некоторой пир-
совской цепи идеалов в А.
\> 1) Обозначим Р = 53/6/ е*А- Пусть е — такой центральный идемпотент
в А, что Р + еА ф Л. Надо доказать, что е € Р. Допустим, что е £ Р. Тогда
е £ {в/}/6/. Поэтому е £ X. Тогда 1 — е е X, поскольку А/Х —
неразложимое кольцо. Поэтому
1-е € {е/},-€/, \-ezP, Р + еА=А
и получаем противоречие.
Пункт 2) непосредственно проверяется с помощью 1). □
13.13. Если X — собственный идеал кольца А, то А/Х
—максимальный неразложимый фактор для А в точности тогда, когда
X — наибольший элемент некоторой пирсовской цепи идеалов в А.
■> =>. По 13.12(2) существует такой идеал Р в А, что Р С X и Р —
наибольший элемент некоторой пирсовской цепи идеалов в Л. Из
определения пирсовской цепи следует, что А/Р — неразложимое кольцо. Так
как PCX и А/Х —максимальный неразложимый фактор, то X = Р.
<=. Пусть X = PQ — наибольший элемент некоторой пирсовской цепи
{^/зЬз^а идеалов в А. Допустим, что импликация ф= неверна. Тогда
существует такой идеал Y в А, что Y строго лежит в X и Л/К —
320 Плава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
неразложимое кольцо. Так как 0 = Ро С Y С Ху то существует
такое /3 < а, что Рр С Y и Рр+\ % Y. Пусть й: A —* /4/Р/з —
естественный эпиморфизм и й(е) — такой центральный идемпотент в й(Л), что
е € /Ун \ Y и ЛИ е Л(Р/з+|) \ h(Y) С й(*). Тогда h(е) — ненулевой
центральный идемпотент неразложимого кольца h(A)/h(Y). Поэтому
й(е) = й(1) и центральный идемпотент й(1 - ё) € h(A) лежит в h(Y) С h(X).
Поэтому й(1)=й(1 -e) + h(e)€h(X)y откуда А=Х + Р$=Х и получаем
противоречие. Q
13.14. Пусть Р — собственный идеал кольца А, порожденный
некоторыми центральными идемпотентами из Ау и й: А—* А/Р —
естественный эпиморфизм.
1) Если кольцо А/Р не является пирсовским слоем кольца Ау
то существует такой центральный идемпотент ееАу что
Р + еА и Р + (1 - е)А — собственные идеалы в Ау
порожденные центральными идемпотентами в Ау идеалы Р + еА
и Р + (\ — е)А строго содержат идеал Ру
А = (Р + еА) + (Р + (\-е)А)у
Р = (Р + еА)(Р + (\-е)А) = {Р + (I - е)А){Р + еА) =
= (Р + еА)Г\(Р + (\-е)А)
и кольцо А/Р изоморфно прямому произведению ненулевых
колец h(eA) и h((\— ё)А).
2) Для любого идемпотента ё € А/Р существует такой
идемпотент ееАу что h(e) = ё.
3) Если А/Р — пирсовский слой кольца А и е — центральный
идемпотент в Ау то либо ееР, либо 1 - е е Р.
4) Если кольцо А/Р неразложимо, то А/Р — пирсовский слой для
А.
5) Существует хотя бы один такой пирсовский слой А/Е, что
РСЕ.
6) Если d — элемент в А с нулевым правым (левым) аннулятором
и А/Р — пирсовский слой, то в кольце А/Р элемент d + P
имеет нулевой правый (левый) аннулятор.
7) Если А — pf-кольцо, то А/Р — pf -кольцо.
8) Любое конечное множество ортогональных идемпотентов
{ё}?=1 кольца А/Р поднимается до некоторого множества
iei}?=\ ортогональных идемпотентов кольца А.
9) Любое счетное множество ортогональных идемпотентов
{e}fl{ кольца А/Р поднимается до некоторого счетного
множества {efifZi ортогональных идемпотентов кольца А.
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 321
10) Если А не содержат бесконечных множеств нецентральных
ортогональных идемпотентов, то кольцо А/Р не
содержит бесконечных множеств нецентральных ортогональных
идемпотентов.
11) Если А не содержит бесконечных множеств нецентральных
ортогональных идемпотентов и А/Р — пирсовский слой
кольца А, то А/Р не содержит бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов.
о 1) Так как идеал Р порождается центральными идемпотентами
и А/Р не является пирсовским слоем, то существует такой центральный
идемпотент е Е А \ Р, что Р + еА — собственный идеал в А. Тогда
Р + (1 — е)А — собственный идеал в Л, поскольку в противном случае
е Е е(Р + (1 — е)А) С Р. Идеал Р + (1 - ё)А строго содержит Р, поскольку
в противном случае 1 =(1 - е) + е еР + еА. Оставшиеся утверждения
проверяются непосредственно.
2) Пусть ё = Л(а), где аеА. Тогда а — а2еР. Поэтому существуют
такие центральные идемпотенты е\, ..., еп Е Р, что а — а2 Е Х^=, е,Л.
Существует такой центральный идемпотент ее А, что еА = Y^=\ eiA.
Тогда а( 1 - е) - (а( 1 - е))2 е еА П (1 - е)А = 0. Поэтому а( 1 - е) —
идемпотент в Л и h(a(\ -e)) = h(a).
3) Допустим, что е £ Р. Так как Л/Р — пирсовский слой кольца А
и е — центральный идемпотент, то Р Л-еА = Л. Тогда 1 = еа + р для
некоторых аеА и р Е Р. Тогда
1-е = (\-е)(еа + р) = (1-е)/? Е Р.
Пункт 4) следует из 1).
5) Пусть £ — множество всех собственных идеалов в Л, которые
содержат Р и порождаются центральными идемпотентами в Л. Так как
Р € £, то £ ф 0. По лемме Цорна достаточно доказать, что если Е —
объединение возрастающей цепи идеалов Et Е £, / Е /, то £ Е £. Так
как все идеалы £,- порождаются центральными идемпотентами, то Е
порождается центральными идемпотентами. Остается доказать, что ЕфА.
Допустим противное. Тогда 1 Е Е = Ц6/ £",•. Поэтому 1 лежит в некотором
собственном идеале £,- в Л. Получено противоречие.
6) Пусть ^(d) = 0, а Е Л и da E Р. Существует такое конечное
подмножество / С /, что da E ]С/е/ еИ- Так как / конечно, то существует
такой центральный идемпотент е еАу что 5Z/6/ еИ = еЛ. Тогда da = dae
и rfa(l - е) = 0. Так как r(d) = 0, то a(l - е) = 0. Тогда £/€У в/Л С Р
игл/Р(^ + Р) = 0.
7) Пусть Р = ]£/6/е/Л, где все ^ — центральные идемпотенты в Л,
a, b еА и h(a)h(b) = 0. Тогда a& EP и существует такое конечное под-
322 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
множество У С /, что ah E ^2ieJ е\А. Так как У конечно, то в Л существует
такой центральный идемпотент еу что J2ieJе'1^ = е^- Тогда а(\ — е)Ь = 0.
Так как Л — ^/-кольцо, то по 8.27 существуют такие ху у е Л, что
х + у=\у я(1-ф; = 0, y(l-e)b=09
h(x) + h(y) = й(1), A(a)A(x) = 0, h{y)h{b) = 0.
По 8.27 A/P — ^/-кольцо.
8) Существуют такие ai, ..., an € Л, что ё/ = /z(a,) для всех /. Тогда
а,- — af е Р для всех /, причем а/Я/ Е Я при / ф j. Существуют такие
центральные идемпотенты /ь ..., fm е Р, что идеал £™=, /*Л содержит
все элементы щ — af и я,Яу Е Р, где /, у = 1, ..., п, i ф /'. Существует
такой центральный идемпотент / в Л, что /Л = Y^=\ fkA- Обозначим
е,- =я/(1 — /), / = 1, ..., п. Тогда /z(e,) = Л(я,) для всех /. Кроме
того, все элементы et — ef (/ = 1, ..., п) и е,е/ (/ Ф j) лежат в идеале
/Л П (1 - f)A = 0. Поэтому ei, ..., еп — искомые ортогональные
идемпотенты кольца Л.
9) Существует такое счетное множество {а,-}^, элементов кольца
Л, что ei = A(a/) для всех /. Пусть п е N. По 8) существует такое
множество ортогональных идемпотентов {е/}?=1 кольца Л, что А(е;) = ё/
при /=1,...,я. Теперь достаточно доказать существование
такого идемпотента еп+\ Е Л, что идемпотенты е\у ...у еп+\ ортогональны
и /z(e„+i) = ert+i. Идеал Р содержит элементы я„+1 - я^+1, е/Я^+ь
an+\ei при / = 1, ..., я. Существуют такие центральные идемпотенты
Л, .... /т € Р, что идеал ££1, /ЛЛ содержит элементы я„+1 - а2п+1,
е\ап+\у an+\ei при / = 1, ..., п. Существует такой центральный
идемпотент / кольца Л, что /Л = X^=i //И- Обозначим еп+\ =ап+\(\ - /). Тогда
h(en+\) = h(an+\). Кроме того, элементы е„+1 -е*+|, е-йеп+и en+\ei (1ф{)
лежат в идеале /Л Г) (1 - /)Л = 0 при i = 1, ..., п. Поэтому в\, ..., еп+\ —
ортогональные идемпотенты кольца Л.
10) Утверждение следует из 9).
11) Допустим, что пирсовский слой А/Р содержит счетное множество
{ei}fZ\ нетривиальных ортогональных идемпотентов. Пусть h: Л —► А/Р —
естественный эпиморфизм. По 9) Л содержит такое счетное множество
ортогональных идемпотентов {ei}fl{ С Л \Р, что Л(е;) = ё,- для всех /. Так
как Л не содержит бесконечных множеств нецентральных ортогональных
идемпотентов, то существует центральный идемпотент ee{ei}fl{.
Поскольку А/Р — пирсовский слой, то А=Р + еА. Тогда A(e) = /z(l), что
противоречит нетривиальности идемпотента h(e) кольца h(A). О
13.15. Пусть М — правый модуль над кольцом А и {Л/Р,};е/ —
множество всех пирсовских слоев кольца Л.
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 323
1) Если О^теМ, то т£MPi для некоторого пирсовского слоя
A/Pi.
2) П/е/(МР/)= 0 (в частности, А — подпрямое произведение
своих пирсовских слоев).
3) Если N — подмодуль в М и m£N, то m£N + MPt для
некоторого пирсовского слоя A/Pi.
4) Если N € Lat(Af), теМ и meN + MP для каждого пирсовского
слоя А/Р, то meN.
5) Для каждого ненулевого правого А-модуля М существует
хотя бы один такой пирсовский слой A/Pi, что МфМР{.
6) Для каждого неразложимого правого А-модуля X
существует такой пирсовский слой А/Р, что Р С г(Х).
t> 1) Пусть {Bj}j£j — множество всех таких собственных идеалов Bj
в А, что Bj порождается центральными идемпотентами в Л и т£МВ}.
Множество {Bj} непусто, поскольку содержит нулевой идеал. Кроме
того, непосредственно проверяется, что {Bj} содержит объединение любой
возрастающей цепи его элементов. По лемме Цорна {Bj} содержит
максимальный элемент Р. Тогда т £ MP. Достаточно доказать, что А/Р —
пирсовский слой кольца А. Допустим противное. По 13.14(1) P = QS = SQ
для некоторых таких собственных идеалов Q и 5, что Q и S строго
содержат Р, A = Q + S и Q и S порождаются центральными идемпотентами.
Так как Р — максимальный элемент в {Bj}, то
т е MQnMS = (MQf\MS)(Q + S) С MSQ + MQS = MP.
Получено противоречие.
Пункт 2) следует из 1).
3) Применим 1) к ненулевому элементу m + N € M/N. По 1) т + N £
£ (M/N)Pt = (N + MPi)/N для некоторого пирсовского слоя A/Pi.
Поэтому m£N + MP;.
Пункты 4) и 5) следуют из 3) и 2) соответственно.
6) Пусть Р — идеал в Л, порожденный множеством всех центральных
идемпотентов в Л, содержащихся в идеале г(Х). Достаточно доказать,
что Р + еА = Л для любого центрального идемпотента е е Л \ Р. Так
как е е А \ г(Х) по определению идеала Р, то Хе — ненулевой подмодуль
неразложимого модуляХ=ХефХ(\ -е). ТогдаХ(\ -е) = 0и 1 -еег(Х).
Поэтому \-eeP. Тогда Л = (1 -ё)А + еА СР + еА. □
13.16. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — нормальное кольцо;
2) для каждого собственного идеала Р в Л, порожденного
центральными идемпотентами из Л, кольцо А/Р нормально;
3) все пирсовские слои кольца А — нормальные кольца;
324 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
4) все пирсовские слои кольца А не имеют нетривиальных идем-
потентов.
> Импликация 4) => 3) проверяется непосредственно. Импликация
2)=>3) следует из того, что для каждого пирсовского слоя А/Р
собственный идеал Р порождается центральными идемпотентами.
3)=>1). Пусть е = е2еАу аеАу А/Р — пирсовский слой и h: А—►
-*А/Р — естественный эпиморфизм. Так как h(e) — идемпотент
нормального кольца Л(Л), то /г(еа - ае) = 0. Поэтому еа — аееР. По 13.15(2)
еа — ае = 0 и е — центральный идемпотент.
1)=>2). Пусть Л: А—>А/Р — естественный эпиморфизм и e=e2eh(A).
По 13.14(2) e = h(e) для некоторого идемпотента ее А. Так как А
нормально, то е — центральный идемпотент в А. Тогда h(e) — центральный
идемпотент в h(A).
1)=>4). Пусть А/Р — пирсовский слой, h\ А —»А/Р — естественный
эпиморфизм и ё— ненулевой идемпотент в h(A). По 13.14(2) существует
такой идемпотент е € Л, что к(е) = ёфО. Так как А нормально и Н(е)фОу
то идемпотент е централен в А и е £ Р. По 13.14(3) 1 - е Е Р. Тогда
й(е) = й(1). D
13.17. Пусть М —ненулевой правый модуль над кольцом А и
М(А) — множество всех максимальных неразложимых факторов
кольца Л.
1) Если М не является прямой суммой двух ненулевых вполне
инвариантных подмодулей, то MP = 0 для некоторого
максимального неразложимого фактора А/Р.
2) Г\рем(А) MP = 0. В частности, М ф MP хотя бы для одного
РеМ(А).
3) Если А нормально, то множество всех его максимальных
неразложимых факторов совпадает с множеством всех его
пирсовских слоев.
> 1) Обозначим через Ро идеал в Л, порожденный всеми
центральными идемпотентами, аннулирующими ненулевой модуль М. Пусть е —
центральный идемпотент в А и е £ Ро- Тогда М = Me ф М(\ — е), Me
и М(1 — е) — вполне инвариантные подмодули в М и Me Ф 0. По условию
М не является прямой суммой двух ненулевых вполне инвариантных
подмодулей. Поэтому М(\ - е) = 0, 1 - е е Ро и еА + Ро = Л. Поэтому
Л/Ро — пирсовский слой кольца Л.
Допустим, что имеется такая пирсовская цепь V = {Ра | 0 ^ а < /?}, что
AfPQ=0 при а<0. Если /? — предельный ординал, то M(\Ja<pPQ) = 0.
Если /? — непредельный ординал, то повторим вышеприведенные
рассуждения. В любом случае пирсовская цепь может быть продолжена идеалом,
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 325
аннулирующим М. Наконец, получаем такой максимальный
неразложимый фактор А/Ру что AfP = 0.
2) М — подпрямое произведение подпрямо неразложимых фактормо-
дулей M/Niy где f|/€/ УУ,- = 0. Тогда r(M) = f|/€/ r{M/Ni). По 1)
существуют такие максимальные неразложимые факторы А/Р1у что Р,- Cr(M/Ni)y
iel. Поэтому MP/ С /V/ для всех /. Тогда
f| MPcf)(MPi)cf)Ni=0.
PeV(A) iei ie/
3) По 13.16 все пирсовские слои нормального кольца А не имеют
нетривиальных идемпотентов. Поэтому множество всех пирсовских слоев
кольца А совпадает с множеством всех максимальных неразложимых
факторов кольца А. О
13.18. Пусть А — кольцо, а\у ..., ат € Л и f\y ..., fk —
многочлены с целыми коэффициентами от некомму тирующих переменных
х\у •.., хту у\у ...у уПу причем свободные члены всех многочленов
/ь •, fk равны нулю. Для каждого факторкольца А/Р обозначим
через hp естественный эпиморфизм А —> А/Р. Равносильны условия:
1) существуют такие Ь\у ..., ЬпеАу что
fi(au ..., ату Ьи ...,*„) = 0, / = 1, ..., k\
2) для каждого факторкольца А/Р существуют такие Ь\у ...
..., Ьп е А/Ру что в А/Р верны равенства
fi(hP(a{)y ...yhP(am)y bXy ..., bn) = 0, / = 1, ...,*;
3) для каждого пирсовского слоя А/Р существуют такие
Ь\у ...уЬп еА/Ру что в А/Р верны равенства
fi(hP(a{)y ...yhP{am)y b[y ..., bn) = 0, / = 1, ..., k\
4) для каждого неразложимого факторкольца А/Р
существуют такие Ь\у ..., Ьп ЕА/РУ что в А/Р верны равенства
fi(hP(ax)y ..., hP{am)y b{y ...y bn) = 0, / = 1, ..., k\
5) для каждого максимального неразложимого фактора А/Р
кольца А существуют такие элементы Ь\у ...у Ьпе А/Ру что
fi(hP(ax)y ...yhP(am)ybly ...,*„) = МО), / = 1, ..., k.
ъ В доказательстве 13.18 мы называем факторкольцо А/Р
специальным, если существуют такие b\y_...y Ьп€ А/Ру что в А/Р верны равенства
fi(hP(a\) hp(am), b\y ..., bn) = 0 (/ = 1 k). Обозначим через £
множество всех таких собственных идеалов Е в Л, что А/Е не специально.
326 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
Через £* обозначается подмножество в £, образованное всеми
элементами из £, являющимися идеалами в Л, порожденными центральными
идемпотентами. (Множества £ и £* могут быть пустыми.)
Импликации 1)=>2), 2)=>3), 2)=>4) и 4)=>5) проверяются
непосредственно. Импликация 5)=>4) следует из того, что по 13.10 каждое
неразложимое факторкольцо кольца А изоморфно факторкольцу
некоторого максимального неразложимого факторкольца кольца А.
4)=> 1). Допустим противное. Тогда 0е£ и £^0. Непосредственно
проверяется, что объединение любой возрастающей цепи идеалов из £
лежит в £. По лемме Цорна £ содержит максимальный элемент Р. По
условию 4) достаточно доказать, что А/Р — неразложимое кольцо.
Допустим противное. Существуют такие собственные идеалы Q и R в Л, что
A/P = A/Q х A/R и идеалы Q и R строго содержат Р. Так как идеалы
Р + еА и Р + (1 — е)А не лежат в £, то кольца A/Q и A/R специальны.
Так как A =A/Q x Л//?, то непосредственно проверяется, что А/Р —
специальное кольцо. Получено противоречие.
3)=> 1). Допустим противное. Так как 0е£*, то £* ^0.
Непосредственно проверяется, что объединение любой возрастающей цепи идеалов
из £* лежит в £ *. По лемме Цорна £ * содержит максимальный элемент
Р. По условию 3) достаточно доказать, что А/Р — пирсовский слой.
Допустим противное. По 13.14(1) существует такой центральный идемпотент
е е Ау что Р + еА и Р + (1 — ё)А — собственные идеалы в Л, Р + еА
иР + (1- е)А строго содержат Р и
А/Р £ (A/(Q + eA)) х (A/(Q + (l-e)A)).
Идеалы Р + еА и Р + (1 — е)А порождаются центральными
идемпотентами. Кроме того, Р + еА и Р + (1 - е)Л не лежат в £*.
Поэтому А/(Р + еА) и Л/(Р + (1 - е)А) — специальные кольца. Так как
А/Р = (Л/(Р + еА)) х (Л/(Р + (1 - е)А))у то непосредственно
проверяется, что А/Р — специальное кольцо. Получено противоречие. D
13.19. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — заменяемое кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А — заменяемые кольца\
3) все неразложимые факторкольца кольца А заменяемы;
4) все максимальные неразложимые факторы для А —
заменяемые кольца.
> Импликации 1)=>2) и 1)=>3) следуют из того, что по 13.7 каждое
факторкольцо заменяемого кольца заменяемо. Импликация 3)=>4)
очевидна. Импликация 4)=>3) следует из 13.10 и того, что все факторкольца
заменяемых колец заменяемы.
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 327
2)=И) и 3)=Н). Пусть Ль Х2, Y\y Y<i — некоммутирующие
переменные. Обозначим через
fi{Xi,YuY2)=Yl-XlY2,
h(X\, Х2, У\, Y2) = %2 - У\ - № — X\)Y2,
h(Y0 = Yl-Yl2.
В случае условия 2) пусть А/Р — пирсовский слой кольца А. В случае
условия 3), пусть А/Р — неразложимое факторкольцо кольца А. Пусть
h: А —>Л/Р — естественный эпиморфизм и аеА Так как Л(Л)
—заменяемое кольцо, то существуют такие ёу by ceh(A)y что
0 = ё-Л(а)5 = fx(h(a)yeyb)y
О = й(1)-*-(й(1)-А(а))с = /2(й(а), й(1), ёу с),
0 = ё-^2 = /3(ё).
По 13.18 существуют такие е, Ьу с G /4, что 0 = е — ab = f\(ay ey b)y
0= 1 - е - (1 - а)с = f2(ay 1, еу с)у 0 = е - е2 = /з(е). Тогда е —идем-
потент, ее а А и 1 - е G (1 - а)Л. Поэтому Л — заменяемое кольцо. П
13.20. Пусть А — кольцо, аеАу {/4/Р/}/6/ —множество всех его
пирсовских слоев с естественными эпиморфизмами Л/: А -+А/Р-1У
{A/Qj}jEj —множество всех максимальных неразложимых
факторов кольца А с естественными эпиморфизмами 7гу: A ->A/Q}.
1) Если п G N и 2о, £ь . • •, zn G Z, mo
я п
J2zkak = 0 & Х>(М*))* = й/(0)
(Зля любого i g/ ф> X^Uo2^71"/^))* = 7Г/(0) ^ля любого j eJ.
2) а — идемпотент eA<=*hi (а) — идемпотент в A/Pi для любого
i G / «=> тгДа) — идемпотент в A/Qj для любого j eJ.
3) Элемент а обратим (обратим справа) в А ф> Л/ (а) обратим
(обратим справа) в A/Pi для любого I G / Ф> тгу(а) обратим
(обратим справа) в A/Qj для любого j G/.
4) а = aba для некоторого обратимого b G Л «=► для каждого
/G/ существует такой обратимый элемент behi(A)y что
hi(a) = hi(a)bhi(a) «=> (Зля каждого j eJ существует такой
обратимый элемент benj(A), что 7г/(а) = 7г/-(а)&7Гу(а).
5) Существует такой элемент ЬеАу что a = aba (а = а2Ь)
«=> для каждого_i G/ существует такой элемент b G ht(A)y
что ht (a) = ht (a)bhi (a) (A,- (a) = hi (a)2b) <& для каждого j eJ
328 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
существует такой элемент b е7Г;(Л), что
7Tj(a) = nj(a)b7Tj(a) (я-Да) = nj(a)2b).
6) а — сумма (произведение) идемпотента и обратимого
элемента в А ф> hi (а) —сумма (произведение) идемпотента
и обратимого элемента в A/Pi для любого i G / &> к}(а) —
сумма (произведение) идемпотента и обратимого элемента
в A/Qj для любого j eJ.
> 1) Докажем только эквивалентность
п п
J2*kCik = О & ]Г2*(Л,(а))* = МО)
для любого / е /, поскольку эквивалентность
п п
Y^zkak = О & Х>*(тг/(а))* = тгДО)
k=0 k=0
для любого j eJ доказывается аналогично. Импликация => проверяется
непосредственно.
<=. Пусть / G/, h: А -+A/Pi — естественный эпиморфизм и f(X) =
= 53^=0 2^ХЛ — многочлен от переменной X. Так как f(h(a)) = О, то
по 13.18 0 = /(a) = £Lo^*-
2) Утверждение следует из 1).
3) Докажем только то, что а обратим в А в точности тогда, когда Л, (а)
обратим в A/Pi для любого / е/, поскольку остальные эквивалентности
доказываются аналогично. Импликация => проверяется непосредственно.
<=. Пусть / € /, h: А —* Л/Р; — естественный эпиморфизм и
/l(*b ^2, У|) = Х| -^2^1, Ы^Ь Х2у Y\y Y2) = Х\ - Ki^
— многочлены от некоммутирующих переменных Х\у X<i, Y\y Y<i. Так как
h(a) € U(h(A))y то
О = h(\)-h(a)b = Л(й(1), h(a)y b) = h(\)-bh(a) = /2(A(1), ft, A(a))
для некоторого £ G А(Л). По 13.18 /i(l, a, 6) = /2(1» by a) = 0 для
некоторого be А. Поэтому а е U(A).
4) Докажем только эквивалентность «a = aba для некоторого
обратимого b е А Ф> для каждого / € / существует такой обратимый
элемент hi(b) e hi(A)y что A,-(a) = hi(a)hi(b)hi(a)»y поскольку
эквивалентность «а = аба для некоторого обратимого b € А & для
каждого j е J существует такой обратимый элемент nj(b) е itj(A)y что
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 329
TTj(a) = -Ks(a)'Kj(b)'Kj(a)», доказывается аналогично. Импликация =>
проверяется непосредственно.
<=. Пусть / Е/, A: A -*A/Pt —естественный эпиморфизм и
h(XXyYXyY2) = Xx-YxY2y h(Xi,YlyY2)=X{-Y2Y{ и
/з№, Y\) = Х2 -X2Y\X2
— многочлены от некоммутирующих переменных Х\у Х2у Y\y Y2. По
условию существует такой обратимый элемент b Е А(Л_) с обратным с, что
bc = cb = h(l) и h(a) = h(a)bh(a). Тогда /i(A(l), Ьу с) = Л(1) - be = О,
f2(h(\)ycyb) = h(\)-cb=0 и fs(h(a)yb)=h(a)-h(a)bh(a). По 13.18
О = а - аба для некоторого обратимого b Е A.
5) Доказательство аналогично доказательству 4).
6) С помощью 2) и 3) утверждение проверяется непосредственно. □
13.21. Для кольца А равносильны условия:
1) А — нормальное заменяемое кольцо;
2) каждый элемент кольца А — сумма обратимого элемента
и центрального идемпотента\
3) все пирсовские слои кольца А — локальные кольца.
> 1) =» 2). Пусть jc G Л. Так как Л — нормальное заменяемое кольцо, то
существуют центральный идемпотент е Е хА и такие элементы a, ft Е Ау
что е=ха и 1 — е = (1 —х)Ь. Без ограничения общности можно считать,
что а = еа = ае и 6 = (1 — е)6 = (1 — е)6. Тогда ах и Ь(\ -х) —
центральные идемпотенты и
ах = а(ха)х = ха(ах) = хаха = ха — е.
Аналогично доказывается, что (1 —х)Ь = 1 — е. Кроме того,
[х-(1 -e)](a-b) = xa + (\-x)b-b-a + ea + (\-e)b =
= e + (l-e)-ft + 6 = 1.
Аналогично доказывается, что (а — Ь)[х — (1 — е)\ = 1. Поэтому х —
-(1 - е) — обратимый элемент и х = х- (1 — е) + (1 -е).
2) =>3). Пусть Л/Я — пирсовский слой, А: А —»Л/Р — естественный
эпиморфизм и А(а) — любой необратимый элемент в /г(Л), где а Е Л.
Достаточно доказать, что А(1) - А(а) — обратимый элемент в /г(А). По
условию существует такой центральный идемпотент е Е Л, что е-аб £/(Л).
Тогда А(е) - А(а) E U{h(A)). Так как А(а) £ U(h{A))y то А(е) ^ 0. То-
гДа е е Л \ Р и идеал Я + еЛ порождается центральными идемпотента-
ми и строго содержит идеал Ру где А/Р — пирсовский слой. Поэтому
Р + еА=А. Тогда А(е) = А(1). Поэтому А(1) -А(а) Е (/(А(Л)).
330 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
3) => 1). Так как каждое локальное кольцо нормально, то по 13.16
кольцо А нормально. Кроме того, из 13.7 следует, что каждое локальное
кольцо заменяемо. По 13.19 Л заменяемо. О
13.22. Кольцо А — pf-кольцо в точности тогда, когда все
пирсовские слои кольца А — pf-кольца.
> Если А — /?/-кольцо, то по 13.14(7) все его пирсовские слои — pf-
кольца.
Пусть все пирсовские слои кольца А — ^/-кольца, а\уй2^А и
аха2 = 0. Рассмотрим следующие многочлены от некоммутирующих
переменных Х\, Х2> Y\y Y2, Y$:
/i(*i, Yu Y2) = Yx + Y2-Xu №, Yl) = X2Yl, h(X2, Уз) = Y3X2.
Пусть А/Р — пирсовский слой и А: А —» А/Р — естественный
эпиморфизм. Так как h(A) — pf'-кольцо и h(a\)h(u2) = 0, то существуют такие
ЬиЬ2еА/Р, что /i(A(l), &ь&2) = 6|+&2-й(1) = 0,
/2(A(fli), *i) - h(ax)bx = 0, /3(А(а2), ft2) = М(а2) = 0.
По 13.18 существуют такие b\t b2^Ay что
f\(Lbub2) = bi+b2-l =0, f2(a[yb{) = albl = 0,
/з(«2, Ь2) = Ь2й2 = 0.
Поэтому А — /?/-кольцо. D
13.23. Для кольца А равносильны условия:
1) А — редуцированное кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А — редуцированные кольца без
нетривиальных идемпотентов;
3) все пирсовские слои кольца А — редуцированные кольца.
> Импликация 2)=>3) очевидна. Так как по 13.15(2) каждое кольцо —
подпрямое произведение своих пирсовских слоев, то импликация 3)=> 1)
следует из того, что подпрямое произведение редуцированных колец
редуцировано.
1)=>2). Пусть А/Р — пирсовский слой. По 6.36(1) редуцированное
кольцо А нормально. По 13.16 А/Р не имеет нетривиальных
идемпотентов. Пусть а е А и а2 е Р. Существуют такие центральные идемпо-
тенты е\, ..., еп е Ру что а2 е Y%=\ eiA £ ?• По 3.11 существует такой
центральный идемпотент е, что еА = YH=\ е'^ £ ?• Тогда ((1 - е)а)2 =
= (1 - е)а2 е (1 — е)еА = 0. Так как А — редуцированное кольцо, то
(1 - е)А —редуцированное кольцо. Поэтому (1 - е)а = 0, а = ае € Р
и А/Р — редуцированное кольцо. О
13.24. Для кольца А равносильны условия:
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 331
1) А — нормальное заменяемое pf-кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А — локальные области;
3) А — редуцированное заменяемое pf-кольцо.
о Импликация 3) => 1) следует из того, что по 6.36(1) каждое
редуцированное кольцо нормально.
1)=>2). Пусть А/Р — пирсовский слой. Так как А — нормальное
заменяемое кольцо, то по 13.21 А/Р локально. По 13.22 А/Р — pf-кольцо.
По 8.30 локальное /?/-кольцо А/Р — область.
2) =>3). Так как каждая область — редуцированное /?/-кольцо, то Л —
редуцированное ^/-кольцо по 13.22 и 13.23. По 13.21 А заменяемо. □
13.25. Для кольца А равносильны условия:
1) А — дистрибутивное справа кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А дистрибутивны справа;
3) все неразложимые факторкольца кольца А дистрибутивны
справа;
4) все максимальные неразложимые факторы для А
дистрибутивны справа.
> Импликации 1)=>2) и 1)=>3) следуют из того, что каждое фактор-
кольцо дистрибутивного справа кольца дистрибутивно справа.
Импликация 3)=>4) очевидна. Импликация 4)=>3) следует из 13.10 и того, что
все факторкольца дистрибутивных справа колец дистрибутивны справа.
2) => 1) и 3) => 1). Пусть У, + У2 - 1, Х{ К, - Х2 Y3 и Х2 Y2 - Х{ У4 -
многочлены от некоммутирующих переменных Х\уХ2у Y\y Y2y Уз и Y4. В случае
условия 2) пусть А/Р — пирсовский слой, а в случае условия 3) пусть
А/Р — неразложимое факторкольцо. Пусть h: A —»А/Р — естественный
эпиморфизм и ту п€А. Так_как_кольцо h(A) дистрибутивно справа, то
по 9.2 существуют такие а, Ь, с, d € h(A)y что
а + *-й(1) = 0, h(m)a - h(n)c = 0, h(n)b-h(n)d =0.
По 13.18 существуют такие а, 6, с, d € Л, что 0 = а + Ь — 1, 0 = та — пс
и 0 = я& - mrf. По 9.2 Л дистрибутивно справа. □
13.26. Для кольца А равносильны условия:
1) А — дистрибутивное справа заменяемое кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А — цепные справа кольца.
* Импликация 2)=> 1) следует из 13.21 итого, что каждое цепное справа
кольцо дистрибутивно справа.
1)=>2). По 9.13(1) дистрибутивное справа кольцо Л нормально. Пусть
А/Р
— пирсовский слой. Так как Л —дистрибутивное справа нормальное
заменяемое кольцо, то по 13.25 и 13.21 Л/Р —дистрибутивное справа
локальное кольцо. По 9.10(3) А/Р — цепное справа кольцо. □
332 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
13.27. Для кольца А равносильны условия:
1) А — правое кольцо Безу;
2) все пирсовские слои кольца А — правые кольца Безу;
3) все неразложимые факторкольца кольца А — правые кольца
Безу;
4) все максимальные неразложимые факторы для А — правые
кольца Безу.
> Импликации 1)=ф2) и 1)=>3) следуют из того, что каждое фактор-
кольцо правого кольца Безу —правое кольцо Безу. Импликация 3)=>4)
очевидна. Импликация 4)=>3) следует из 13.10 и того, что все фактор-
кольца правых колец Безу —правые кольца Безу.
2)=>1) и 3)=>1). Пусть ту пеА и
Х{ - (X{Y{ +X2Y2)Y3y Х2 - (Х,У, + X2Y2)YA
— многочлены от некоммутирующих переменных Х\у Х2у Y\y Y2y У3
и Y±. В случае условия 2) пусть А/Р — пирсовский слой кольца А.
В случае условия 3) пусть А/Р — неразложимое факторкольцо. Пусть
А: А —»А/Р — естественный эпиморфизм. Так как А(Л) —правое кольцо
Безу, то существуют такие а, Ьу с, d E Л (Л), что
0 = А(т) - (h(m)a + h(n)b)cy 0 = А(л) - (A(m)fi + h(n)b)d.
По 13.18 существуют такие а, 6, с, rf G Л, что 0 = m - (та + л6)с
и 0 = п — (та + nb)d. Поэтому Л — правое кольцо Безу. □
13.28. Если А —заменяемое кольцо, то равносильны условия:
1) Л дистрибутивно справа;
2) Л — нормальное правое кольцо Безу,
> 1)=>2). По 13.26 все пирсовские слои —цепные справа кольца.
В частности, все пирсовские слои — локальные заменяемые правые
кольца Безу. По 13.27 и 13.21 Л — нормальное заменяемое правое кольцо
Безу.
2) =► 1). Пусть А/Р — пирсовский слой. Так как Л — нормальное
заменяемое правое кольцо Безу, то по 13.27 и 13.21 А/Р — локальное правое
кольцо Безу. По 9.10(3) Л/Р —цепное справа кольцо. □
13.29. Для кольца А равносильны условия:
1) Л — регулярное кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А регулярны;
3) все неразложимые факторкольца кольца А регулярны;
4) все максимальные неразложимые факторы для А регулярны.
> Импликации 1)=>2) и 1)=>3) следуют из того, что каждое
факторкольцо регулярного кольца регулярно. Импликация 3)=>4)
очевидна. Импликация 4)=>3) следует из 13.10 и того, что все факторкольца
Пирсовские слои и максимальные неразложимые факторы 333
регулярных колец регулярны. Импликации 2)=>1) и 3)=>1) следуют
из 13.20(4) и 13.20(5). □
13.30. Для кольца А равносильны условия:
1) А — строго регулярное кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А — строго регулярные кольца\
3) все пирсовские слои кольца А — тела.
\> Импликация 3)=>2) следует из строгой регулярности тел.
2)=И). Пусть аеА и А/Р — пирсовский слой. Так как кольцо А/Р
строго регулярно, то аеР + а2А. По 13.15(4) аеа2А и А строго
регулярно.
1)=>3). Пусть А/Р — пирсовский слой строго регулярного кольца А.
Так как А нормально, то по 13.16 А/Р — строго регулярное кольцо без
нетривиальных идемпотентов. Поэтому А/Р — тело. □
13.31. Кольцо А бирегулярно в точности тогда, когда все
пирсовские слои кольца А — простые кольца.
> Допустим, что А бирегулярно. Пусть А/Р — пирсовский слой, h: А —*
—► А/Р — естественный эпиморфизм, Л(6)—любой ненулевой элемент
кольца h(A) и S —идеал в Л, порожденный элементом b еА. Так как
А бирегулярно, то В = еА для некоторого центрального идемпотента
ее А. Тогда е не лежит в Р, поскольку 0ф1г(В)=Н,(еА). Так как А/Р —
пирсовский слой, то Л = Р + еА = Р + В. Поэтому h(A) = h(B) и А/Р —
простое кольцо.
Допустим, что в Л все пирсовские слои — простые кольца, но Л не
бирегулярно. Существует такой идеал В в Л, что В порождается
элементом b е В и В не порождается центральным идемпотентом. Пусть £ —
множество всех собственных идеалов £ в Л со следующими свойствами:
1) идеал Е порождается центральными идемпотентами; 2) не существует
такого центрального идемпотента / е Л, что естественный образ идеала В
в кольце А/Е порождается образом центрального идемпотента /. Так как
0 б £, то £ ф 0. Непосредственно проверяется, что объединение любой
возрастающей цепи идеалов в £ лежит в £. По лемме Цорна множество
£ содержит максимальный элемент Р. Пусть h\ А —> А/Р — естественный
эпиморфизм. Тогда h(B) ф 0, поскольку h(B) не порождается образом
центрального идемпотента в Л.
Допустим, что А/Р — пирсовский слой. По условию А/Р — простое
кольцо. Тогда h(B) — ненулевой идеал простого кольца А/Р. Поэтому
h(B) = h(A). Тогда h(B) порождается образом центрального идемпотента
1 ЕЛ. Получено противоречие.
Допустим, что А/Р не является пирсовским слоем. По 13.14(1)
существует такой центральный идемпотент е е Л, что Р + еА и Р + (1 - е)А —
334 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
собственные идеалы в Л, строго содержащие Р. Тогда идеалы Р + еА
и Р + (1 — е)А порождаются центральными идемпотентами и строго
содержат максимальный элемент Р множества £. Поэтому
существуют такие центральные идемпотенты /, g в А, что h(B + (1 - е)А) =
= h(fA + (1 - е)А) и h(B + еА) = h(gA + еА). Идемпотенты еу /, g
центральны в А. Поэтому ef и (1 - e)g — центральные ортогональные
идемпотенты и е/Л + (1 - e)gA = tAy где / = ef + (1 - e)g — центральный
идемпотент. Тогда
h(B) = eA(fl) + (1 - е)А(Я) = eA(S + (1 - е)А) + (1 - e)A(fl + еА) =
= eh(fA + (1 - е)А) + (1 - е)А(#Л + еА) = А(е/Л + (1 - е)#Л) = А(/)Л.
Так как А(Б) порождается центральным идемпотентом h(t)y то получено
противоречие. □
13.32. А — бирегулярное редуцированное кольцо в точности
тогда, когда все пирсовские слои кольца А — простые области.
> По 13.31 и 13.23 можно считать, что А — бирегулярное
редуцированное кольцо, у которого все пирсовские слои являются простыми
редуцированными кольцами. По 6.36(5) все простые редуцированные кольца —
области. D
Строго 7г-регулярные и 7г-регулярные кольца
Кольцо А называется строго ^-регулярным, если для каждого а € Л
существует такое neN, что ап е an+lА Г) Аап+[. Кольцо А называется
п-регулярным, если для каждого а € А существует такое k e N, что
ak eakAak.
13.33. Все п-регулярные кольца слабо п-регулярны (справа и
слева) и все факторкольца конечных прямых произведений строго
п-регулярных (^-регулярных) колец строго ^-регулярны (п-регуляр-
ны).
Утверждение 13.33 проверяется непосредственно.
13.34. Существуют регулярные кольца, не являющиеся строго
ж-регулярными.
> Пусть Мр — векторное пространство над телом F с бесконечным
базисом {ei}fZ\ и A = End(Af/r). Так как А — кольцо эндоморфизмов
полупростого модуля МрУ то по 11.12(3) А регулярно. Допустим, что А строго
7г-регулярно, х € А и x(et) = e/+i для всех /. Так как А строго 7г-регулярно,
то хпА =xrt+1/4 для некоторого п € N. Поэтому хп(М) =хп+1(М). Так
как xn(ei) = el+n для всех /, то хп(М) = J2i>ne^^*п+{(М). Получено
противоречие. О
Строго ^-регулярные и 7г-регулярные кольца 335
13.35. Каждое регулярное кольцо тт-регулярно и существуют -к-
регулярные кольца, не являющиеся слабо регулярными справа или
слева.
о Ясно, что все регулярные кольца 7г-регулярны. Кольцо вычетов Z/4Z
7г-регулярно и не является слабо регулярным справа или слева. □
13.36. Каждое строго к-регулярное кольцо -к-регулярно и
существуют -к-регулярные кольца, не являющиеся строго
^-регулярными.
> По 13.34 и 13.35 существует 7г-регулярное кольцо, не являющееся
строго 7г-регулярным. Пусть А —строго 7г-регулярное кольцо. Для
любого аеА существуют такие Ь, с Е Л и л Е N, что ап = а2пЬ = са2п. Тогда
а2п = а2пЬса2п и А 7г-регулярно. □
13.37. Для кольца А равносильны условия:
1) А строго -к-регулярно, т.е. для каждого хеА существуют
такие у, zeA и rtEN, что хп = xn+{y = zxn+],
2) для каждого хеА существует такой элемент уеА, что
х" Е хп+[А для некоторого п EN;
3) для каждого хеА существует такой элемент zeA, что
хпеАхп+1 для некоторого neN;
4) для каждого х Е А убывающая цепь главных правых идеалов
хА D х2А 2 •. • 2 хпА Э • • ♦ кольца А стабилизируется на
конечном шаге;
5) для каждого х е А убывающая цепь главных левых идеалов
Ах D Ах2 Э ... D Ахп 2 • • • кольца А стабилизируется на
конечном шаге;
6) факторкольцо A/rad(A) по первичному радикалу строго
7г-регулярно\
7) каждое первичное факторкольцо кольца А строго
п-регулярно.
Следовательно, если каждое первичное факторкольцо кольца А
артиново справа или слева, то А строго -к-регулярно.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 2), 4), 6) и 7).
Импликация 1)=>2) и эквивалентность условий 2) и 4) проверяются
непосредственно. Импликации 1)=>6) и 6)=>7) следуют из того, что все
факторкольца строго ^-регулярных колец строго 7г-регулярны.
2) =ф 1). Пусть х Е А. По условию существуют такие у, z Е А и h, k Е N,
что хн=хшу и yk=yk+lz. Пусть a = xh+k, b=yh+k и c = zh+k. Тогда
а2Ь = а и Ь2с = Ь. По 2) (с - а)п = (с - a)n+ld для некоторых п Е N
и d eA. Тогда
аЪс = а2Ь2с = а2Ь = а, ас = а2Ьс = а2, а(с - а) = 0.
336 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
Кроме того,
Ь2(с - а)2 = Ь2с(с - а) - Ь2а(с -а) = Ь(с - а).
Поэтому верны соотношения
Ьт(с-а)т = b(c-a)y m = 1,2, ... (*)
Учитывая равенства
abc = ау (с - а)п = (с - a)n+2d2y а(с - а) = О,
применим соотношения (*) несколько раз и получим равенства
а-аЬ2а2 = аЬ{с-а)+аЬ2(с-а)а = а&л+|(с-в)я+1 +a&rt+1(c-a)"a =
= abn+\c-a)na = айл+|(£-а)л+2</2с = ab(c-a)2d2c =
= (a-aba)(c-a)d2c = О, а = a&V, хл+* Е Лхл+*+1.
Так как xh = xh+xyy то xh+k =xh+k+xy. Обозначим n = h + k.
7) =ф 1). Допустим, что ал Е А \ ап+хА для всех п Е N. Пусть £ —
множество всех таких идеалов £ в Л, что h(an) €h(A)\h(an+[A)y где
Л: А —» Л/£ — естественный эпиморфизм. Так как 0 Е £, то по лемме
Цорна непустое множество £ содержит максимальный элемент /. По
условию 7) идеал / не первичен. Поэтому существуют такие идеалы К и L
в Л, что К w L строго содержат 1 w KLC.L Существуют такие ху у Е А
и п Е N, что ал - а2п+{х € /С, ал - а2л+1 # Е L. Поэтому
-а2п+х(апу + хап-ха2п+{) = (ал -а2л+1х)(ал -a2n+ly) E АХ С /.
,2«
Это противоречит включению / Е £. □
Свойства решений уравнений ап = ап+1 х = хап+].
13.38. Пусть а — элемент кольца А.
1) Система уравнений <
а=а2уу имеет не более одного решения.
2) Существует такое k E N, что включение ak Е а*+1Л ра#-
носильно как равенству АА = akA 0 r(ak)y так и томуу что
А а = апА 0 г(ап) для всех n^k.
3) Если существуют такие ky m EN, что ak e ak+lA и ат еАат,
то А а =аАфг(ап) и аА =Ааф£(ап) для всех п ^ тах(й, т).
4) Если существует такое п eN, что Ад = апА 0 г(ап) и дА ~
= Аап 0 £(ап)у то существуют такие ху b e еАе и идемпо-
Строго 7г-регулярные и 7г-регулярные кольца 337
тент е^Ау что ах = ха — идемпотент,
ап = ап+\х = шп+\^ х = ап-\ь е еАе^ е = апь = Ьап^
х = ап~хЬу а = ае = еа Е еАе, b = be = eb Е eAe,
апА = еАу Аап = Ле, г(аЛ) = (\-е)Ау £(ап) = Л(1 -е).
5) £слы существует такое я Е N, что А а = алЛ 0 г(аЛ) м^ =
= Л а" 0 £(ап)у то существует ровно один такой элемент
у еЛ, что ау—уау ап = а2пу и у2ап—у.
6) Если а — центральный элемент кольца А и апА—ап^хА для
некоторого я Е N, то существует такой центральный
элемент х е Ау что ап = ап+{х.
> 1) Пусть
ху у е Ау ау = уау а = а2уу у2а = уу
ах = хау а — а2ху х2а = х.
Тогда
у = у2 а = у2(а2х) = у(уа2)х = у ах = у(а2х)х = (#а2)*2 = ах2 = х.
2) Так как включение ak Е ak+xA равносильно тому, что ап Е ал+1 А для
всех л > 6, то достаточно доказать, что включение ak Е ak+x А
эквивалентно равенству A a =akA фг(ак). Эта эквивалентность следует из того, что
ak €ak+lA «=> ak(\ —ab) = 0 для некоторого Ь Е А & 1 —ab Е r(A) для
некоторого b Е А & А а = akA 0 r(ak).
Пункт 3) следует из 2).
4) Так как Ал = апА 0 г(ал) и АЛ=Аап ф£(ап)у то существуют такие
идемпотенты е, /ЕЛ, что
аМ = еАу г(ап) = (1 -е)А, Аап = Л/, фл) = Л(1 - /),
ап = еая =anf, е = anbu f = c{any (bly с, Е Л).
Так как 0 = ал(1 -е) = (1 - /)ал, то ап = апе = fan. Поэтому
е = апЬ\ = /ал^, = fe = схапе = с,ал = /.
Обозначим b =eb\e е еАе и с = ecie E еЛе. Тогда е = апЬ = сал. Кроме
того,
Ьап = е&ал = шл6ал = сеал = сал = апЬ = е.
Обозначим
x = an~lb = an~lebe = a2/I"^V E еАе.
338 Плава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
Тогда
ах = апЬ = еу х = ех = хеу ап+хх = ап+{ап~{Ь = а2пЬ = ап.
Обозначим g = xa. Тогда
g2 = х(ах)а = хеа = ха = g e еАу eg = g.
Так как Аап =АЬа2п САа2п С Ла"+1 С Ла", то
Ле = Аап = Лал+1 = Ла"а = Ла"+,ха С Л#,
откуда е = eg = g = xa. Поэтому ха — ах.
5) По 4) существует такой элемент х Е Л, что ах^ха и а" = ап+{х.
Тогда
а" = (а"+1х)ах = ап+2х2 = ...= a2V.
Обозначим у = апх2п. Тогда
ay = */a, a2ny = (a2"*")^*" = a2"*" = а\
у2ап = а3"*4" = (a2"*")^*3" = (a2"*")*2" = anx2n = у.
По 1) (/ — единственное решение системы {ау = уау ап — а2пуу у2ап = у}.
6) По 2) Лл = апА 0 г(ал). Так как а — центральный элемент, то
апА =Аап и г(ап) = £(ап). По 4) существуют такие еу ху beеАеу что
е = е2у апА = Аап = еЛ = Ле, r(art) = фл) = (1 -е)Л = Л(1 -в),
* = а""1*, ап = art+1x, a"6 = to" = е.
Так как еА и (1 —е)А — идеалы кольца Л, то идемпотент е централен
в Л. Так как anb = ban = е и ап — центральный обратимый элемент в еАу
то 6— обратимый центральный элемент в еА. Тогда х — центральный
элемент кольца Л, поскольку х = ап~{. Тогда art+12 = art+IJt = a'1. □
13.39. Для модуля М равносильны условия:
1) кольцо End(Af) строго -к-регулярно\
2) для каждого эндоморфизма f € End(M) существует такое
пеЯчто М = Кег(/")0 fn(M).
Следовательно, если кольцо End(Af) строго -к-регулярно, то
каждый инъективный или сюръективный эндоморфизм модуля М —
автоморфизм.
> 1)=>2). Так как End(Af) строго 7г-регулярно, то существуют такие
эндоморфизмы gy h € End(Af), что fn = f2ng — hf2n для некоторого п € N.
Поэтому
(1 - fng)(M) С Кег(Г), Af = (1 — Гг)(Л«) + /лг(АГ).
Строго тг-регулярные и 7г-регулярные кольца 339
Тогда М = Кег(/Л) + fn(M). Если х = fn(m) e Кег(/Л) П fn(M), то
О = A/"(jc) = hf2n(m) = /rt(m) = л:, Кег(/Я) П Г(М) = 0.
2) => 1). Пусть / е End(Af). По условию М = Ker(/rt) 0 /"(Af) для
некоторого п eN. Обозначим / = /". Тогда
Af = Кег(/) ф t(M)y /(Af) = t(Ker(t) ф /(Af)) = /2(А4),
/(Кег(/2)) С t(M)DKer(t) = 0,
Кег(/2) С Кег(/) С Кег(/2), Кег(/2) = Кег(/).
Тогда Af = Ker(/2)0/2(Af). Равенством u(x + t2(y)) = t(y) корректно
задается эндоморфизм и е End(Af), где х е Ker(t) = Ker(/2) и t2(y) e t2(M).
Тогда / = at2. Поэтому fn = uf2n и кольцо End(Af) строго 7г-регулярно. П
13.40. Для кольца А равносильны условия:
1) А строго 7г-регулярно;
2) каждый инъективный эндоморфизм любого циклического
правого А-модуля — автоморфизм;
3) для каждого а е А существует такое п е N, что Ад =
= г(ап)еапА;
4) для каждого а е А существует такое п е N, что дА =
= Аап®1(ап);
5) для каждого а€А существует такой элемент хеА, что
ах — хаи an = an+lx = xan+l;
6) для каждого а еА существует такое п е N, что система
уравнений {ау=уау ап = а2пуу у2ап = у) имеет ровно одно
решение.
> Импликации 1)=>3) и 1)=>4) следуют из 13.39 и естественных
изоморфизмов А = End(/4,4) и А = Еп6(аА). Импликации 3) + 4) => 5)
и 3) + 4)=>6) следуют из 13.38(4) и 13.38(5) соответственно. Импликации
5)=И) и 6)=Н) следуют из 13.37.
1)=>2). Пусть / — инъективный эндоморфизм циклического модуля
тА и f(m) = mxy где х € Л. Тогда fk(m) = mxk для всех fc ^ 1. Так как Л
строго 7г-регулярно, то существует такой элемент у е Л, что Jt' =xt+ly
для некоторого / Е N. Поэтому
/'(/и) = /я*' = mx/+1(/ = ft+x(my)y /'(m - /(my)) = 0.
Так как /'—мономорфизм, то m-f(my). Поэтому тЛ = f(mA) и / —
автоморфизм.
2)=>1). Пусть аеА и Г = Ц~, г(а'). Тогда Г —правый идеал
в Л и ar(ai+x) С г(а')- Поэтому аГ С Г. Равенством f(x + T) = ax + T
340 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
корректно задается эндоморфизм / циклического модуля Аа/Т. Пусть
х + Т е Кег(/). Тогда ах е г(а') для некоторого индекса /. Поэтому
х е r(al+l) С Т и Кег(/) = 0. По предположению инъективный
эндоморфизм / — автоморфизм. Пусть 1 + Т = f(b + 7) = ab + Т. Тогда
1 ~ab еТ. Поэтому 1 - ab € г(ап) для некоторого п € N. Тогда ап = an+lb
и А 7г-регулярно. D
13.41. Если А —кольцо, то равносильны условия:
1) все кольца матриц Ап строго ^-регулярны;
2) для каждого neN все инъективные эндоморфизмы любого
циклического правого Ап-модуля являются
автоморфизмами;
3) все инъективные эндоморфизмы любого конечно
порожденного правого А-модуля являются автоморфизмами;
4) все инъективные эндоморфизмы любого конечно
порожденного левого А-модуль являются автоморфизмами.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 2), 3).
Эквивалентность 1)=>2) следует из 13.40.
2)=>3). Пусть / — инъективный эндоморфизм п-порожденного
модуля Ма =1]"=1'иИ. Обозначим через Мп правый Лл-модуль,
состоящий из всех строк (х\, ..., хп)у где все элементы Х\ лежат в М.
Тогда Мп — циклический Л„-модуль с образующим (т\у ...у тп).
Равенством fn((x\y ..., хп)) = (f(x\), ..., f(xn)) корректно определен
инъективный эндоморфизм fn /4,,-модуля Мп. По предположению fn(Mn) = Мп.
Поэтому / — автоморфизм.
3)=>2). Пусть / — инъективный эндоморфизм циклического правого
Л„-модуля М. Тогда М — конечно порожденный Л-модуль и / —
инъективный эндоморфизм Мд. По предположению /(Af) = Af. □
13.42. Если R — кольцо и {Л,}/6/ — некоторое множество
строго ^-регулярных унитарных подколец в /?, то f]ieIAi — строго 7г-
регулярное кольцо.
> Обозначим Л=р|-е/Л/. Выберем любые аеА и / € /. Тогда а —
элемент строго 7г-регулярного кольца Л/. По 13.40 (см. условие 6))
существует такое п е N, что система уравнений {ах=хау ап = а2пху х2ап =х)
имеет ровно одно решение. Достаточно доказать, что х eAj для
произвольного индекса / €/. По 13.40 существует такое meNy что система
уравнений
{апту = уапту апт = а2птуу у2апт = у}
имеет ровно одно решение. Тогда
апт = а2птхт x*™a™ = х™ ^
Строго ^-регулярные и ^-регулярные кольца 341
Так как система уравнений
{апту = уапт, апт = а2птуу у2апт = у}
имеет ровно одно решение, то у = хт € А}. Если т= 1, то х = —у € Л/.
Если т > 1, то равенство х = х2ап влечет х = хта{т~1)п € Л/. В обоих
случаях х€ Л j. □
13.43. £суш Л — строго ^-регулярное кольцо и я € N, то
равносильны условия:
1) Г(ап) = ф^1) для всех аеА\
2) 1(ап) = 1(ап+х) для каждого аеА;
3) апА = ап+1А для каждого а € Л;
4) Лал=Лал+1 (Зля каждого аеА\
5) Л — кольцо индекса ^ гг.
> Импликация 3)=>5) проверяется непосредственно.
5)=>3). Пусть деЛ. Так как А строго 7г-регулярно, то по 13.40
существуют такие х € А и mGN, что ах = ха и am = am+lx = Jtam+1.
Так как ax = Jta, то
(а - а2х)т = ат - С1тат+1х + С2тат+2х2 -... + (-1)тЛт.
Кроме того, ат = ат+1х = ат+2л:2 =... = а2тхт. Поэтому
(а-а2х)т = aw-C>m + C2am-... + (-l)mam = (a-a)m = 0.
Поэтому элемент а — а2х нильпотентен. По условию 5) (а — а2х)л = 0 =
= ап(\ — ах)п. Существует такой элемент у е Л, что (1 - ах)п = 1 - at/.
Тогда ап(\ —ау). Поэтому ап = ап+[у еап+[А.
3) =>2). Пусть a € Л. Так как апА = ал+М, то Л строго 7г-регулярно
и Цап+Х) = £(ап+хА) = £(апА) = 1{ап).
1)=>3). Допустим, что апА фап+хА. Так как А строго 7г-регулярно
и апА ф ап+хА, то существует такое натуральное т>п, что атА = ат+хА
и ат~хА фатА. Существует такой элемент Ь G Л, что am(l - afe) = 0.
Поэтому am"1-,I(l -a^)€r(art+1). Так как r(an+x) = r(an), то
0 = a"am-1-',(l - ab) = а"1"1 (1 - <*Ь).
Поэтому ат~х =атЬ. Тогда ат~1А =атА. Получено противоречие.
Доказательство импликаций 2)=>4) и 4)=> 1) аналогично
доказательству импликаций 1)=>3) и 3)=>2). □
13.44. Пусть А — п-регулярное кольцо индекса ^п. Тогда
радикал Джекобсона J (А) совпадает с первичным радикалом гас1(Л), все
идемпотенты кольца A/J(A) поднимаются до идемпотентов
кольца А и Л/гас1(Л) — полу примитивное кольцо индекса ^п. В
частности, если А полупервично, то А полупримитивно.
342 Плава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
> Пусть /г: А —> Л/rad(/4) — естественный эпиморфизм. По 6.42(1)
h(A) — полупервичное кольцо индекса ^ п. По 6.40(1) /г(А) не имеет
ненулевых нильидеалов. Так как А 7г-регулярно, то по 12.14(2) /(Л) —
нильидеал и все идемпотенты кольца A/J(A) поднимаются до идемпо-
тентов кольца А. Поэтому h(J(A)) — нильидеал в Л(Л). Тогда h(J(A)) = 0.
Поэтому J(A) С rad(i4) С J (A). D
13.45. Пусть С — центр кольца А.
1) Если А — первичное кольцо и все его центральные неделители
нуля обратимы в А, то С — поле.
2) Если А — п-регулярное первичное кольцо, то С — поле.
3) Пусть для каждого а € А существует такой многочлен
feC[x], что /(а) = 0 и младший коэффициент многочлена
f(x) обратим в А. Тогда А —строго п-регулярное кольцо.
4) Если А полупервично и для каждого сеС существует такое
т = т(с) е N, что ст е cm+1 Л, то С — коммутативное
регулярное кольцо.
5) Если кольцо А полупервично и центр его любого
первичного факторкольца — поле, то С — коммутативное регулярное
кольцо.
6) Если А — п-регулярное полупервичное кольцо, то С —
коммутативное регулярное кольцо.
7) Если А — слабо п-регулярное справа кольцо, то С — строго п-
регулярное коммутативное кольцо, С/Р — поле для каждого
первичного идеала Р в С и факторкольцо R/J{R) регулярно.
> 1) Так как центр первичного кольца — область, то утверждение
следует из того, что обратный элемент любого центрального обратимого
элемента — центральный элемент.
Пункт 2) следует из 1) и того, что в 7г-регулярном кольце каждый
неделитель нуля обратим.
3) Пусть аеА. По условию существуют такие п ^ 0, b € U(C) и
многочлен g(x) e С[х], что an(b - ag(a)) =0 (многочлен f(x) из условия
представлен здесь в виде хп(Ь - xg(x))). Тогда ап — an+l g(a)b~[.
Поэтому Л строго 7г-регулярно.
4) Пусть ст = ст+1х, где с € С, х е А и т е N. Если a G А, то
(ас(\ -сх))т = ста(\ -сх)(а(\ - сх))т~1 =
= а(ст - ст+1х)(а(\ - сх))т~1 = 0.
Поэтому (Ас(\ —сх))т =0. Так как Л полупервично, то
с = с2х = ссх = сс2хх = с(сх2)с.
/о-модули и /о-кольца
343
Для каждого а € Л имеем
9 9 949 499 9
а а = х ас = лгас** = с х ах' = асх .
Поэтому cjc2 G С. Так как c = c(cjt2)c, то кольцо С(А) регулярно.
5) Пусть с € С. Множество Т = {ст - ст+1х | х € Л, m = 1, 2, ...}
мультипликативно. Допустим, что 0 ^ Т. Пусть £ — множество всех таких
идеалов £ в Л, что Е П Т = 0. Тогда £ ^ 0. По лемме Цорна 5 содержит
максимальный элемент Р. Ясно, что Р — первичный идеал. По
предположению ненулевой центральный элемент с + Р первичного кольца А/Р
обратим. Поэтому 1 —су € Р для некоторого у е А, Тогда с - с2 у € Р П 7\
Получено противоречие. Поэтому cm = cm+1x, где х € А и m eN. По 4)
С — регулярное кольцо.
Пункт 6) следует из 5) и 2).
7) Пусть аеС. Так как А слабо 7г-регулярно справа и а
—центральный элемент, то существует такое п е N, что ап е апАапА = а2М.
По 13.38(6) С —строго 7г-регулярное коммутативное кольцо. Пусть Р —
первичный идеал в С. Тогда С/Я —строго 7г-регулярная область.
Поэтому С/Р —поле. По 11.13 факторкольцо C/J(C) регулярно. D
/о-модули и /о-кольца
Модуль М называется /о-модулем, если каждый его подмодуль, не
лежащий в ](М), содержит ненулевое прямое слагаемое модуля М.
Кольцо А называется /q-кольцом, если каждый его правый или левый
идеал, не лежащий в J(A)y содержит ненулевой идемпотент. Ясно, что А —
/о-кольцо в точности тогда, когда Аа и а А — /о-модули. Ниже в 13.46
показано, что А — /о-кольцо в точности тогда, когда Аа — /о-модуль.
Непосредственно проверяется, что каждое полусовершенное кольцо А —
/о-кольцо.
13.46. Для кольца А равносильны условия:
1) А — /о-кольцо;
2) А а — /о-модуль;
3) а А — /о-модуль;
4) для каждого aeA\J(A) существует такой ненулевой
элемент хеА, что х = хах.
Следовательно, А — полупримитивное /о-кольцо в точности
тогда, когда каждый ненулевой правый идеал в А содержит
ненулевой идемпотент, что эквивалентно существованию для
каждого ненулевого аеА такого ненулевого хе Л, что х=хах.
344 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
> Так как условие 1) равносильно выполнению условий 2) и 3), а
условие 4) лево-право-симметрично, то достаточно доказать эквивалентность
условий 2) и 4).
2) => 4). Пусть а е A \J(A). По условию существует такой эле-
мент be А, что ab — ненулевой идемпотент. Обозначим x = bab. Тогда
хах = bababab = be = x.
4)=>2). Пусть В — правый идеал в Л, fig/(Л) и beB\J(A). По
условию x=xbx для некоторого ненулевого хеЛ. Обозначим е = Ьх.
Тогда хе = хфО, ОфееЬАСВ, е2 = b(xbx) = bx = e. Q
13.47. Для модуля М равносильны условия:
1) М — /о-модуль\
2) в М каждый немалый циклический подмодуль содержит
ненулевое прямое слагаемое модуля М.
Следовательно, полупримитивные l^-модули совпадают как с
модулями М, в которых каждый ненулевой подмодуль содержит
ненулевое прямое слагаемое модуля Af, так и с модулями Af, в
которых каждый ненулевой циклический подмодуль содержит ненулевое
циклическое прямое слагаемое модуля Af.
Кроме того, конечно порожденные неразложимые /о-модули
совпадают с локальными модулями.
Утверждение 13.47 непосредственно проверяется с помощью 5.21.
13.48. Пусть А — 1^-кольцо.
1) Для любого neN кольцо матриц Ап — 1^-кольцо.
2) еАе — 1^-кольцо для любого ненулевого идемпотента е € Л.
3) Каждый неразложимый идемпотент е е А — локальный
идемпотент.
4) Каждый неразложимый идемпотент факторкольца A/J(A)
поднимается до локального идемпотента кольца А.
> 1) Пусть J =J(A) и В — такой левый идеал в Л, что В £J(An). Тогда
B£Jn- Существует такая матрица (&,•/)€ В, что bpq^J для
некоторого индекса pq. Множество Во = {а е А \ а = apq для некоторой
матрицы (aij € В)} —левый идеал в Л, не содержащийся в У(Л). По условию
So содержит ненулевой идемпотент е. Пусть (я,-/) — такая матрица в В,
что хря —ew Eqp(e) — такая матрица, что элемент с индексом // равен
идемпотенту е, а остальные элементы равны нулю. Тогда Едр(е)(хц) —
ненулевой идемпотент, лежащий в В.
2) Пусть еВе — правый идеал в еАе, не содержащийся в J(eAe). Так
как J(eAe) = eJ(A)e, то правый идеал еВеА в Л не лежит в У(Л).
Поскольку Л — /о-кольцо, то существует ненулевой идемпотент / = ef Е еВеА.
Тогда efe = fe Ф О, поскольку Оф f = (ef)2 = e(fe)f. Так как / = ef, то
/о-модули и /о-кольца 345
(efe)2 = ef(ef)e = ef2e = efe — ненулевой идемпотент, лежащий в еВе.
Поэтому еАе — /о-кольцо.
3) Пусть В = еВ — подмодуль в еЛ и S £ /(еЛ) = е/(Л). Тогда В £ /(Л).
Так как Л — /о-кольцо, то существует ненулевой идемпотент f еВ СеА.
Так как е — неразложимый идемпотент, то / = е. Тогда В = еА. Поэтому
еА —локальный модуль и е—локальный идемпотент.
4) Пусть h: А —>A//(Л) — естественный эпиморфизм, хеА и /i(x) —
неразложимый идемпотент кольца h(A). Так как Л —/о-кольцо, то
правый идеал хА содержит ненулевой идемпотент /. Тогда Л(/) —ненулевой
идемпотент, h(f) е h(x)A и h(x) — неразложимый идемпотент кольца h(A).
Поэтому h(f) = h(x), откуда f — х к xf — fx лежат в /(Л). Обозначим
е = / + (1-/)х/. Тогда
е2 = е и e-x = {f-x) + {xf-fx)f€J(A).
Поэтому Л(е) = /z(jc) — неразложимый идемпотент кольца h(A). По 3)
достаточно доказать, что е — неразложимый идемпотент. Допустим
противное. Тогда е — е\ + #2» где е\ ъ e<i — ненулевые ортогональные идем-
потенты кольца еАе. Поэтому h(e) =h(e\) + /2(22), где h(e\) и hfa) —
ненулевые ортогональные идемпотенты в Л(Л). Так как h(e) —
неразложимый идемпотент, то получено противоречие. □
13.49. Пусть А — полупримитивное 1^-кольцо.
1) Кольцо А несингулярно и еАе — полупримитивное Iq-кольцо
для любого ненулевого идемпотента ее А.
2) Пусть aeA,neN,an = Ou an~l Ф0. Тогда идеал АаА
содержит систему из п2 матричных единиц.
3) Если А имеет систему {£;/}" ._, из п2 матричных единиц и
либо кольцо ецАец не редуцировано, либо £"=1 ен не является
центральным идемпотентом в Л, то А имеет такую
систему {fst}™t=l матричных единиц, что т>п и /ц еецАец.
4) Если каждое примитивное справа факторкольцо кольца А —
кольцо ограниченного индекса, то каждый ненулевой идеал
В в А содержит такой ненулевой идеал С в А, что C = Dn,
D — редуцированное кольцо, причем единица и —ненулевой
центральный идемпотент в Л.
5) Если А — неразложимое кольцо и каждое его примитивное
справа факторкольцо — кольцо ограниченного индекса, то
А — простое кольцо, изоморфное матричному кольцу над
простой областью D.
6) Если А — неразложимое кольцо и каждое его примитивное
справа факторкольцо артиново, то А — простое артиново
кольцо.
346 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
> 1) Если О Ф t = ete € еАе, то по 13.46 у =y(ete)y для некоторого
ненулевого у е А, откуда eye = (eye)t(eye) и по 13.46 еАе — полупримитивное
/о-кольцо.
Допустим, что O^aG Sing(y4,4). По 13.46 ненулевой левый идеал Аа
содержит ненулевой идемпотент е. Так как г(а) С г(е) и г(а) —
существенный правый идеал в А, то правый идеал г(е) существенен. Тогда
(1 — ё)А = г(е) — существенный правый идеал и (1 - е)А П еА = 0.
Поэтому е = 0; получено противоречие. Поэтому А несингулярно справа.
Аналогично, А несингулярно слева.
2) По 13.46 ненулевой правый идеал ап~хА содержит ненулевой
идемпотент е. Поэтому ап~хЬ = ефО для некоторого b = be. Обозначим
ех = an-[bal-x = ап~1Ьеа^\ (/ = 1, ..., л).
Тогда ef = art~lban~xbal~x = an~lbeal~x =et, e\ =e. Так как
а'-^ецр-'Ь = а1-х(ап-'1Ьс?-х)ап-1Ь = a""1^"'*? = в ф 0,
то е,- т^ 0. Если / > /', то
а«+/-/-1 = 0> е.е. = ап-1Ьа1-хап-1Ьа1-х = ап-:Ьап^'^хЬа''х = 0.
Для любых х, (/ 6 Л обозначим хо(/ = х + (/ — jq/. Также обозначим
w = ei o^2o...oe„. Непосредственно проверяется, что операция о
ассоциативна, и — ненулевой идемпотент и etu = aet = е,- для / = 1, ..., п.
Обозначим В = иАи. Тогда В — кольцо с единицей иу и В содержит все
идемпотенты et. Так как е/е, = 0 для / > /, то В в = 0"=i e,-B. Кроме
того, (а"-1^)^-1 = е,- и а1-х(ап-'1Ь) = е{. По 3.9 е<В^е{В для всех /
и В содержит систему из п2 матричных единиц.
3) Обозначим u = YH=ien- Допустим, что кольцо е\\Ае\\ не
редуцировано. По 1) е\\Аец —полупримитивное /о-кольцо. Пусть В = иАи.
Тогда В = d, где С — подкольцо в В, образованное элементами,
коммутирующими со всеми элементами е1}. Кроме того, С = е\\Вец =е\\Аец.
Поэтому С — нередуцированное полупримитивное /о-кольцо. По 2)
кольцо С имеет систему {dpq}kp q=l из k2 > 1 матричных единиц. Поэтому
кольцо В = Сп имеет систему {fst}skt=\ из л2й2 матричных единиц Д/,
являющихся произведениями матричных единиц ец и матричных единиц
dpq. Можно считать, что f\\=e\\d\\=d\\e\\ €e\\Ae\\. Допустим, что и
не является центральным идемпотентом в А. Так как полупримитивное
кольцо А полупервично, то иА(\ — и) ф0. Тогда существует такой индекс
ру что еррА(\ —и)ф0. Так как ненулевой правый идеал еррА(\ — и)А
не нильпотентен, то еррА(\ -и)Аерр ф0. По 1) еррА(\ —и)Аерр —
полупримитивное /о-кольцо. Так как еррА(\ — и)Аерр ф0у то еррА(\ — и)Ьф0
для некоторого b е(\ - и)Аерр. Тогда еррА(\ - и)Ь — ненулевой левый
/о-модули и /о-кольца 347
идеал полупримитивного /о-кольца еррА(\ - и)Аерр. Поэтому
существует ненулевой идемпотент fppeeppA(\ - u)b. Тогда fpp = fpn+{ fn+\9P,
где fP,n+\ eeppA(\ -и) и fn+Up = b €(1 -и)Ле^. Можно считать, что
fppfp,n+\ = fp.n+\ И fn+\,pfpp = /rt+I,/?- Тогда /л+1,л+1 = fn+\,pfp,n+\ —
ненулевой идемпотент кольца (1 -м)Л(1 - и). Обозначим fpi = fppePi
и /i> = ^/?/р/?» / = 1, .... л. Тогда /,,-/,> = /?/? и /// — ненулевой
идемпотент кольца еиАецу i = 1, ..., п. Обозначим /^ = ///?/^ (у, ft = 1, ...
..., л+ 1). Можно проверить, что {/>} — требуемая система матричных
единиц.
4) По 13.46 каждый ненулевой правый идеал полупримитивного /о-
кольца А содержит ненулевой идемпотент. Поэтому можно считать,
что ненулевой идеал В содержит систему {^/(l)} из п\^ 1 матричных
единиц. Если либо кольцо е^Ле}^ не редуцировано, либо идемпотент
м(|) = ^^(0 не централен в Л, то по 3) существует такая другая
система {е^.^)} из п\^п\ матричных единиц, что е\\ Ее^Ле}1^.
Применив рассуждения, использовавшиеся для Ц-^д!)}. к системе {^2w(2)}»
получим множество £ систем {ei{Luk)}, состоящих из п\ матричных единиц
(ft = 1, 2, ...), где л, < п2 < ... и е{$ € e\k~l)Ae\k-[).
Допустим, что множество бесконечно. По 6.18 существует такое
примитивное справа факторкольцо А/Р, что естественные образы всех идем-
потентов е}, не равны нулю в кольце А/Р (ft= 1, 2...). Поэтому
естественные образы всех элементов е^м.™ не равны нулю в кольце А/Р.
Тогда А/Р содержит систему из п\ матричных единиц. Поэтому кольцо
А/Р имеет нильпотентный элемент индекса п^ Так как tik —► оо, то А/Р
не является кольцом ограниченного индекса. Получено противоречие.
Поэтому множество £ конечно. Это означает, что существует такая
система {ещцк)} матричных единиц, что i^k) — Yl,ei{k)i{k) — центральный
идемпотент кольца А и е^Ле^ — редуцированное кольцо. Так как е^ е В
и еп € e\k-l)Ae\k-{\ то {е$т} С В. Поэтому С = и^Аи^ С В. Так
как и(/г) — центральный идемпотент кольца Л, то С —идеал в Л. Кроме
того, С —кольцо всех (л* х л*)-матриц над редуцированным кольцом
5) Так как по 4) каждый ненулевой идеал В содержит такой ненулевой
идеал С в Л, что С = Dny D — редуцированное кольцо и его единица и —
ненулевой центральный идемпотент в Л, то А — простое кольцо и Л = D„,
где D — редуцированное кольцо. Так как Л — простое кольцо, то D —
простое кольцо. По 6.36(5) простое редуцированное кольцо D — область.
348 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
6) Пусть А/Р — примитивное справа факторкольцо кольца А. По 6.3
А/Р — полупростое кольцо. По 5.18 А/Р — кольцо ограниченного
индекса. По 5) А — простое кольцо. В частности, А примитивно. По условию
А — артиново кольцо. □
13.50. Если М — полупримитивный ^-модуль, то кольцо End(Af)
нормально в точности тогда, когда End(Af) — редуцированное
кольцо.
> По 6.36(1) все редуцированные кольца нормальны. Допустим, что
кольцо End(Af) нормально, / € End(A4) и f(M) ф0. По условию ненулевой
модуль f(M) содержит ненулевое прямое слагаемое /V модуля М.
Существует такой идемпотент е е End(M), что е(М) =N С /(Af). По условию
е — центральный идемпотент кольца End(Af). Тогда
0 ф N = e(N) С ef(M) = fe(M) = f(N).
Поэтому f2(N) = N ф 0, [2ф0, и End(Af) — редуцированное кольцо. D
13.51. Для кольца А равносильны условия:
1) А — полупримитивное редуцированное 1о-кольцо;
2) А — полупримитивное нормальное Iq-коаьцо;
3) каждый ненулевой главный правый идеал в А содержит
ненулевой центральный идемпотент;
4) каждый ненулевой главный левый идеал в А содержит
ненулевой центральный идемпотент.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 2) и 3).
Эквивалентность \)&2) следует из 13.50. Импликация 2)&3) следует из 13.46.
3)=>2). Допустим, что кольцо А не нормально. По 6.36(1) а2 = 0 для
некоторого ненулевого аеЛ. По условию ненулевой правый идеал аА
содержит ненулевой центральный идемпотент e = aby где be А. Тогда
е = е2 = abe = aeb = а2Ь2 = 0. Получено противоречие. D
Кольцо А называется потентным, если каждый его правый или
левый идеал, не лежащий в J(A)y содержит ненулевой идемпотент (т. е. А —
/о-кольцо) и каждый идемпотент кольца A/J(A) поднимается до идемпо-
тента кольца А. Следующее утверждение 13.52 вытекает из 5.25, а 13.53
проверяется непосредственно.
13.52. Кольцо А потентно в точности тогда, когда A/J{A)-~
потентное кольцо и каждый его идемпотент поднимается до
идемпотента кольца А.
13.53. Потентные кольца без нетривиальных идемпотентов
совпадают как с ^-кольцами без нетривиальных идемпотентов,
так и с локальными кольцами.
/о-модули и /о-кольца
349
13.54. Каждое тг-регулярное кольцо — заменяемое /о-кольцо,
причем существуют заменяемые 1$-кольца, не являющиеся
тг-регулярными.
о Пусть В — правый идеал 7г-регулярного кольца А, не содержащийся
в 1(A). Тогда В не является правым нильидеалом. Пусть Ь — ненильпо-
тентный элемент в В. Так как А 7г-регулярно, то bn =bncbn для
некоторого с е А. Обозначим через е идемпотент Ьпс€В. Так как ОфЬп = ebny
то е Ф 0. Поэтому А — /о-кольцо.
Пусть R — кольцо всех рациональных чисел с нечетными
знаменателями. Тогда R —локальная область и J(R) ф0. По 13.6 и 13.53 локальное
кольцо R — заменяемое /о-кольцо. Так как J(R) не является нильидеалом,
то по 12.14(2) R не 7г-регулярно. □
13.55. Для кольца А равносильны условия:
1) A/J(A) — потентное кольцо;
2) A/J (А) — 10-кольцо\
3) каждый ненулевой правый идеал кольца A/J(A) содержит
ненулевой идемпотент;
4) каждый ненулевой левый идеал кольца A/J(A) содержит
ненулевой идемпотент.
Следовательно, если кольцо A/J(A) регулярно, то A/J(A) —
потентное кольцо. В частности, каждое полурегулярное кольцо потент-
но.
Утверждение 13.55 проверяется непосредственно.
13.56. Кольца финально постоянных последовательностей. Пусть
В — унитарное под кольцо кольца A, D — прямое произведение
бесконечного счетного множества {Ai}flx экземпляторов Л/ кольца
А и R — подкольцо в D, порожденное идеалом ф^Л,- и подколь-
цом В' = {(Ь, 6, 6, ...) | 6 € В}. Заметим, что единицы e-t колец Ai —
центральные идемпотенты кольца D и лежат в кольце R.
1) R = {(а\, ..., ап, Ь, Ь, Ь, ...) | щ еА,Ье В}, где п зависит от
элемента (а\, ..., ап, Ь, Ь, Ь, ...).
2) Кольцо А изоморфно факторкольцу кольца R, причем кольца
В и В1 изоморфны факторкольцу R/((&°1{ At).
3) Каждый ненулевой правый идеал М в R содержит ненулевой
правый идеал ф°^ MAi кольца D.
4) Для каждого х е R существует такой элемент br € В' DxR,
что x-b'exRD (0~, Ai).
5) Для каждого конечного подмножества множества X С R
существует такое унитарное под кольцо S в R, что X С S
и S =А\ х ... х Ап х В*, где В* = В и В* —множество всех
350 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
таких s € S, что set = 0 для i ^п и se,- = sen+\ € В для всех
i>n.
6) Полупримитивность кольца R равносильна
полупримитивности кольца А.
7) Регулярность кольца R равносильна тому, что А и В —
регулярные кольца.
8) R — Io-кольцо в точности тогда, когда А — 1^-кольцо.
9) Если А = Q — поле рациональных чисел и В = Z — кольцо
целых чисел, то R — коммутативное редуцированное
полупримитивное Iq-кольцо и R имеет факторкольцо /?/(0^1^/)»
которое изоморфно Ъ и не является Iq-кольцом. Поэтому
кольцо R не регулярно.
10) R —правое max-кольцо в точности тогда, когда А и В —
правые тах-кольца.
> Пункты 1), 2), 3) и 4) проверяются непосредственно.
5) Так как X конечно, то существует такое п е N, что xet =xen+\ € В
для каждого хеХ и всех I > п. Пусть S —унитарное подкольцо в R,
порожденное всеми такими элементами s, что sei =sen+\ €fi для всех
/ > п. Тогда
X С 5, S = А{ х ... х Ап х В*, В* <*В.
6) Если R полупримитивно, то полупримитивность кольца А следует
из того, что А изоморфно прямому сомножителю кольца R. Допустим,
что А полупримитивно, но J(R) ф0. По 3) существует такой индекс /, что
0ф eiJ(R) = J(eiR) — J(Ai). Так как /(Л,) = 0, то получено противоречие.
7) Непосредственно проверяется, что регулярность R равносильна
тому, что каждый элемент х е R лежит в некотором регулярном подкольце
S = S(x) в R. Кроме того, все гомоморфные образы и прямые
произведения регулярных колец —регулярные кольца. Поэтому 7) следует из 5).
8) Если /? — /о-кольцо, то Л — /о-кольцо, поскольку А
изоморфно прямому сомножителю кольца R. Допустим, что А — /о-кольцо
и х е R\J(R). По 4) хе\ € R\J(R) для некоторого /. Тогда
хе: eRei\J(R)ei =Л/\У(Л/).
Так как А\ — /о-кольцо, то правый идеал xe-tAi содержит ненулевой идем-
потент /. Так как правый идеал xR содержит ненулевой идемпотент /, то
/? —/о-кольцо.
9) Непосредственно проверяется, что R — коммутативное
редуцированное кольцо. По 6) и 8) R — полупримитивное /о-кольцо. По 2)
факторкольцо /?/(ф^! Ai) изоморфно Z, которое не является /q-кольцом.
/о-модули и /о-кольца
351
10) Если # — правое max-кольцо, то Л и В — правые тах-кольца,
поскольку все факторкольца правых max-колец — правые тах-кольца
и по 1) кольца А и В изоморфны факторкольцам кольца R.
Пусть А и В — правые тах-кольца, М — ненулевой правый R-модуль
и 5 == 0^, А{. По 2) правое max-кольцо В изоморфно факторколь-
цу R/S. Поэтому, если М ф MS, то ненулевой правый R/S-модуль
M/MS имеет максимальный подмодуль, откуда ненулевой правый R-
модуль М имеет максимальный подмодуль. Поэтому можно считать,
что М = MS = 0~, MAt. Тогда ненулевой модуль М имеет
ненулевое прямое слагаемое МА\ для некоторого / € /. Заметим, что А\ —
ненулевое кольцевое прямое слагаемое кольца R. Так как Л/=Л, то
Ai — правое max-кольцо. Тогда ненулевой правый Л;-модуль МА\ имеет
максимальный подмодуль N. Так как Л,=/?Л;/?, то все Л,-подмодули
в MAi — /?-подмодули. Поэтому N — максимальный /?-подмодуль в МЛ/.
Тогда N е (©/^/ MAi) — максимальный /?-подмодуль в М. Поэтому R —
правое max-кольцо. ^
13.57. Пусть В — унитарное подкольцо кольца A, D —прямое
произведение бесконечного счетного множества {Л;},^ экземпля-
торов At кольца А и R —подкольцо в D, порожденное идеалом
(BZi А'< и подкольцом Bf = {(b,b,b,...)\be В}. Заметим, что
единицы ei колец Ai — центральные идемпотенты кольца D и лежат
в кольце R.
1) Кольцо R строго тт-регулярно в точности тогда, когда А
и В — строго п-регулярные кольца.
2) Кольцо R -к-регулярно в точности тогда, когда А и В — п-
регулярные кольца.
3) Если А — кольцо всех (2 х 2)-матриц над полем F и В —
кольцо верхнетреугольных (2 х 2)-матриц над F, то R —
строго п-регулярное полупримитивное max-кольцо, не
являющееся слабо регулярным справа или слева. В частности,
R не регулярно. Кроме того, R имеет неполупервичное
факторкольцо и удовлетворяет полиномиальному
тождеству [[Х],Х2]2,Х3]=0 (где [х, у] обозначает коммутатор
ху-ух).
ь 1) Допустим, что R строго 7г-регулярно. По 13.56(2) кольца Л и В
изоморфны факторкольцам строго ^-регулярного кольца /?. Все фактор-
кольца строго 7г-регулярного кольца строго 7г-регулярны.
Допустим, что А и В строго 7г-регулярны. Пусть х € /?. По 13.56(5)
существует такое унитарное подкольцо S в R, что х е S и S =А\ х ...
•хАпхВ\ где В* * В. Так как Л/ £ Л и В* S В, то S - конеч-
352 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
ное прямое произведение строго 7г-регулярных колец. Поэтому S -—
строго 7г-регулярное кольцо. Поэтому существует такое п е N, что
хп+\ £XnSCxnR. Поэтому R строго 7г-регулярно. Q
2) Доказательство 2) аналогично доказательству 1).
> 3) Так как артиновы кольца — строго 7г-регулярные тах-кольца, то
А и В — строго 7г-регулярные тах-кольца. По 1) R строго 7г-регулярно.
По 13.56(10) R — max-кольцо. По 13.56(6) R полупримитивно. Так как В
имеет ненулевой нильпотентный идеал, то В не является слабо
регулярным справа или слева. По 13.56(2) кольцо В изоморфно факторкольцу
кольца А. Поэтому R не является слабо регулярным справа или слева.
Для любых матриц а, Ь € А матрица ab - Ьа имеет след 0. Поэтому
(ab — Ьа)2 — скалярная матрица. Тогда А удовлетворяет
полиномиальному тождеству [[Х\, Хг]2, Аз] = 0, откуда D удовлетворяет этому
тождеству. Поэтому подкольцо R в D удовлетворяет этому тождеству. D
13.58. Теорема. Для модуля М с кольцом эндоморфизмов R
равносильны условия:
1) М — конечная прямая сумма модулей с локальными кольцами
эндоморфизмов;
2) существуют такие ненулевые ортогональные идемпотенты
е\> ..., eneRy что £"=1 e-t = 1 и все кольца eiRet локальны;
3) М — конечная прямая сумма неразложимых 2-заменяемых
модулей;
4) М — 2-заменяемый модуль и R не содержит бесконечных
множеств ортогональных идемпотентов;
5) R — полусовершенное кольцо;
6) М — заменяемый модуль и все факторкольца кольца R —
заменяемые ортогонально конечные полусовершенные по-
тентные кольца;
7) R — Iq-кольцо без бесконечных множеств ортогональных
идемпотентов;
8) R — заменяемое кольцо без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов.
> Эквивалентность 1)^»2) и импликации 6)=>4), 6)=>7) и 6)=>8)
проверяются непосредственно. Импликация 8)=>4) следует из 13.8.
Импликация 4)=>3) следует из 8.35. Эквивалентность 1)^»3) следует из 13.6.
Эквивалентность 2)«=> 5) следует из 5.42.
1)=>6). По 13.8 Af — конечная прямая сумма заменяемых модулей.
По 13.2 М — заменяемый модуль. По 13.8 любое факторкольцо R/B
заменяемо. Так как условия 1) и 5) эквивалентны, то по 5.42 R/B
ортогонально конечно и полусовершенно. Так как по 13.55 каждое
полурегулярное кольцо потентно, то R/B потентно.
/о-модули и /о-кольца
353
7)=>5). Так как R — /о-кольцо без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов, то по 4.35 /?# — конечная прямая сумма
неразложимых ненулевых /о-модулей /?,, по 13.48(3) все модули /?,- локальны,
и по 5.42 /? полусовершенно. П
13.59. Каждое п-регулярное кольцо без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов полусовершенно. Каждое
совершенное справа или слева кольцо строго ^-регулярно.
о Первое утверждение следует из 13.54 и 13.58. Так как по 6.48
каждое полупервичное факторкольцо совершенного справа или слева кольца
А полупросто, то каждое первичное факторкольцо кольца А артиново,
и поэтому второе утверждение следует из 13.37. □
13.60. Если М — модуль и для любого ненулевого циклического
малого подмодуля X в М каждый максимальный подмодуль Y в X —
прямое слагаемое в X, то /(Af) — полупростой модуль.
> Без ограничения общности можно считать, что /(Af) Ф 0. Достаточно
доказать, что каждый ненулевой циклический подмодуль X в /(Af) —
полупростой модуль. Пусть Х\ —собственный подмодуль в X.
Существует такой подмодуль Х2 в Ху что Х\ ПХ2 = 0 и Х\ 0 X<i — существенный
подмодуль в X. Если X = Х\ 0^2, то X — полупростой модуль.
Допустим, что X фХ\ 0^2. Так как X цикличен, то Х\ 0^2 С Y для
некоторого максимального подмодуля Y в X. Так как Y содержит
существенный подмодуль Х\ 0^2 в X, то Y — существенный подмодуль в X.
Так как /(Af) — сумма всех малых подмодулей в Af, то X —сумма
конечного числа малых подмодулей в Af. Поэтому X — малый подмодуль в Af.
По условию К —прямое слагаемое в X. Кроме того, Y — существенный
подмодуль в X. Поэтому Y = Af и получаем противоречие. □
13.61. Пусть М — модуль, X — малый подмодуль в М и
существует такой эпиморфизм /: X —> S, что S — простой модуль и М 0 5 —
Io-модуль. Тогда Кег(/) — прямое слагаемое в X.
> Рассмотрим подмодуль
X9 = {*+/(*) \х£Х}
в Af 0 S. Существует такой изоморфизм ц>: X —»Х\ что (р(х) = х + /(*)
для всех jcGiY. Заметим, что
Кег(/) = у>(Кег(й) = ^(Kerf/)) = jf'nAf.
Так как Af 0 S = Af + X' и Af ^ Af 0 S, то X' не мал в Af 0 S. Поэтому
X' £ /(Af 0 S). По условию Af 0 S — /о-модуль. Поэтому существует такое
прямое разложение Af 0 S = Y' 0 Af', что Y' Ф 0 и У" С Х'.
Пусть 7г: Af 0 5 —»Af — проекция с ядром S. Тогда
Af = тг(У" 0 Af') = тг(У') + тг(АГ) С X + тг(М').
354 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
Тогда 7г(АГ) = Af, поскольку X — малый подмодуль в Af. Так как
7r(Af) = Af, то М 0S = Af' + S. Возможны два случая: 1) Af'nS^O;
2) AfnS = 0.
1) Допустим, что Af'nS^O. Тогда S С Af', поскольку S —простой
модуль. Поэтому
0^ Yf = Y'n{M®S) = K'n(Af' + S) = K'nM' = 0.
Получено противоречие.
2) Допустим, что Af'nS = 0. Тогда
Afes = Ai'es = Af'eK', y' ^ (Af'0S)/Af'^s.
Поэтому К' —простой модуль. Поэтому либо У С Кег(/) С X, либо
У'пКег(/) = 0. Первый случай невозможен, так как в этом случае малый
подмодуль X в Af содержит ненулевое прямое слагаемое Y' модуля
Af. Поэтому У" П Кег(/) = 0. Так как Кег(/) = р(Кег(/)) = уГ|(Кег(/)) —
максимальный подмодуль в^ и ^: X—»Jf'— изоморфизм, то Кег(/) =
= у?(Кег(/)) — максимальный подмодуль в X'. Поэтому X' = Y' 0 Кег(/).
Изоморфизм у?""1: Л7 —► X индуцирует равенство X = у?-1 (У) 0 Кег(/).
П
13.62. Предложение. Для кольца А равносильны условия:
1) каждый правый А-модуль — /о-модуль;
2) для каждого правого А-модуля М верно, что /(Af) —
полупростой модуль и если /(Af) = 0, то в М каждый ненулевой
подмодуль содержит ненулевое прямое слагаемое модуля Af;
3) каждый правый А-модуль либо имеет ненулевое инъектив-
ное прямое слагаемое, либо полупрост и лежит в радикале
Джекобсона своей инъективной оболочки;
4) каждый циклический правый А-модуль либо имеет ненулевое
инъективное прямое слагаемое, либо полупрост.
> \)=>2). Пусть Af —ненулевой правый Л-модуль. Если /(Af)=0, то
по 13.47 в Af каждый ненулевой подмодуль содержит ненулевое прямое
слагаемое модуля Af.
Допустим, что /(Af) 7^0 и Jf-ненулевой циклический подмодуль
в /(Af). Тогда X — циклический малый подмодуль в Af. По 13.61 каждый
максимальный подмодуль в X — прямое слагаемое в X. По 13.60 /(Af) —
полупростой модуль.
2)=>3). Пусть Л/ —ненулевой правый модуль с инъективной
оболочкой Af. Допустим, что N C/(Af). Тогда /(Af) ^0 и по условию У(М) —
полупростой модуль. Тогда подмодуль N полупростого модуля /(Af)
полупрост.
/о-модули и /о-кольца
355
Допустим, что /(Af) = 0. По 2) ненулевой подмодуль N инъективного
модуля М имеет ненулевое инъективное прямое слагаемое.
Импликация 3)=>4) очевидна.
4)=Н). Пусть Af — правый Л-модуль и X — циклический подмодуль
в Af, не являющийся малым подмодулем в М. Если X имеет ненулевое
инъективное прямое слагаемое У, то У —прямое слагаемое модуля Af
и все доказано.
Допустим, что ненулевой модуль X не имеет ненулевых инъективных
прямых слагаемых. По 4) X полупрост. Поэтому существует такое прямое
разложение X = 0"=1 Xly что все модули Xt просты. Так как подмодуль X
не мал в Af, то существует такое / G {1, ..., л}, что Xt не мал в М. Поэтому
существует такой собственный подмодуль У в Af, что Xt + У = Af. Тогда
Xi П У фХ\, поскольку модуль Х[ прост. Поэтому
Xi П У = 0, Xi®Y = M
и А содержит ненулевое прямое слагаемое модуля Af. □
13.63. Пусть каждый правый модуль над кольцом А — 1о-модуль.
1) Каждый неразложимый правый А-модуль либо инъективен,
либо является простым малым подмодулем своей инъектив-
ной оболочки.
2) Каждый неразложимый ненулевой правый А-модуль —либо
простой малый подмодуль своей инъективной оболочки, либо
циклический цепной инъективный модуль длины 2.
3) Каждый неразложимый правый А-модуль — циклический
цепной нётеров и артинов модуль длины ^ 2.
4) Каждый правый А-модуль —под прямое произведение
циклических цепных модулей конечной длины < 2. В частности,
каждый ненулевой правый А-модуль обладает максимальным
подмодулем и не совпадает со своим радикалом Джекобсона.
5) Для каждого правого А-модуля М радикал Джекобсона
](М) — полупростой малый подмодуль в М.
> Пункт 1) следует из 13.62 (см. условие 3)).
2) Пусть М — неразложимый ненулевой правый Л-модуль. Допустим,
что Af не является простым малым подмодулем своей инъективной
оболочки. По 1) Af — инъективный непростой модуль. Достаточно доказать,
что любой собственный ненулевой подмодуль N в Af прост. Так как Af —
неразложимый модуль и N ф Af, то УУ не инъективен. По 1) N прост.
Пункт 3) следует из 2). Пункт 4) следует из 3) и того, что каждый
модуль — подпрямое произведение подпрямо неразложимых модулей.
5) По 13.62 7(Af) — полупростой модуль. Допустим, что J(M) не мал
в М. Существует такой собственный подмодуль X в М, что Af = X + /(Af).
356 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
Тогда М/Х — ненулевой модуль, совпадающий со своим радикалом Дже-
кобсона. Это противоречит 4). □
Кольца с полурегулярными модулями
13.64. Пусть А — такое кольцо, что А а — прямая сумма
неразложимых модулей и каждый конечно порожденный неразложимый
правый А-модуль —цепной артинов модуль. Тогда А — полуцепное
артиново кольцо.
> Так как Ад — конечная прямая сумма артиновых модулей, то А
артиново справа. По 9.69(2) А — полуцепное артиново кольцо. D
13.65. Пусть над кольцом А каждый циклический правый модуль
либо полупрост, либо имеет ненулевой инъективный подмодуль.
1) Для любого правого А-модуля М радикал /(Af) полу прост.
Следовательно, /(Af) С Soc(Af) и /(Af) • J(A) = 0.
2) (/(Л))2 = 0, S\ng(AA)Crad(A)=J(A)CSoc(AA).
3) Если Af — неразложимый непростой правый А-модуль, то
М — циклический инъективный цепной модуль длины 2.
4) Если А а — прямая сумма неразложимых модулей, то А —
полуцепное артиново кольцо и (/(Л))2 = 0.
> Так как в любом модуле любой инъективный подмодуль — прямое
слагаемое, то из условия следует, что каждый циклический неполупростой
правый Л-модуль имеет ненулевое инъективное прямое слагаемое.
1) Так как по 5.21 J(M) — сумма всех малых подмодулей в Af, то
каждый конечно порожденный подмодуль в /(Af) мал в Af и поэтому не
содержит ненулевых инъективных подмодулей. Тогда из условия следует,
что в /(Af) каждый циклический модуль полупрост. Поэтому /(Af)
полупрост, поскольку /(Af) — сумма полупростых подмодулей.
2) По 1) (/(Л))2 = 0. Поэтому /(Л) С гас!(Л), а включение /(Л) Э rad(A)
верно для любых колец. Допустим, что Sing^) £ /(Л). Тогда существует
х е Sing^) \/(Л). Если циклический модуль хА не полупрост, то из
условия следует, что Sing^) содержит ненулевой идемпотент е, что
противоречит равенству еА П (1 - е)А == 0. Поэтому модуль хА полупрост,
откуда хА =Х\ 0... фХПу где все модули Л/ просты. Так как х £ /(Л), то
хА + В=А для некоторого В етах(Л), откуда Xt + В = Л для некоторого
/. Тогда Xi П В = 0 и Х[ 0 В = Л а • Поэтому X-g = efA для некоторого
ненулевого идемпотента е' € Xt С Sing^), что снова приводит к противоречию.
3) Так как неразложимый непростой модуль Af не полупрост, то
Af Ф Soc(Af). По условию для любого х е М \ Soc(Af) циклический
неполупростой модуль хА содержит ненулевой инъективный подмодуль
X. Тогда X — ненулевое прямое слагаемое неразложимого модуля Af.
Кольца с полурегулярными модулями 357
Поэтому М =Х = хА — циклический неразложимый инъективный
непростой модуль, причем М порождается любым элементом х € М \ Soc(Af).
Тогда М/ Soc(Af) — простой модуль. Так как неразложимый инъективный
модуль М равномерен, то Soc(Af) — неразложимый полупростой модуль.
Поэтому Soc(Af) — простой собственный подмодуль в М и М — цепной
модуль длины 2.
4) По 2) (У(Л))2 = 0. По 3) каждый конечно порожденный
неразложимый правый Л-модуль —цепной артинов модуль. По 13.64 А —
полуцепное артиново кольцо. □
13.66. Пусть А — полупервичное кольцо.
1) Если X —конечно порожденный полупростой правый идеал
в Л, то любой подмодуль в ХА —прямое слагаемое в АА и,
следовательно, циклический проективный правый А-модуль,
порожденный идемпотентом из А.
2) Если X — конечно порожденный полупростой правый идеал
в Л, то X — инъективный правый А-модуль.
3) Если каждый циклический правый А-модуль — прямая сумма
полупростого модуля и инъективного модуля, то А —
полупростое кольцо.
> 1) Так как каждый подмодуль конечно порожденного полупростого
модуля — конечно порожденный полупростой модуль, то достаточно
доказать, что А' —прямое слагаемое в АА. Пусть X —Х\ ф ... фХПу где
все Xi — простые модули. При п = 1 утверждение верно по 6.1(1).
Допустим, что п > 1 и для любого k < n правый идеал, являющийся прямой
суммой k простых модулей, —прямое слагаемое в А а. Существуют
такой идемпотент е е Л, что еА = Х\ ф ... фХ„_|. Тогда X = еА ф У, где
Y=Xn(l -e)A, Хп^Х/еА^У, Уд-простой модуль. По 6.1(1) У-
прямое слагаемое в ААу причем У С (1 - е)А. Тогда существует прямое
разложение (1 - е)А = У ф Z. Поэтому
АА =еЛфУфг = X®Z.
2) Пусть В — правый идеал в Л и / Е Hom(fi, X). По критерию
Бэра 7.12 достаточно доказать, что / продолжается до g e Нот(Л,4, X).
Так как по 1) модуль f(B) проективен, то В = С ф Кег(/), где С = /(S),
причем по 1) /(B) —конечно порожденный полупростой модуль. По 1)
С = ж(АА), где тг = 7Г^е Епй(АА). Обозначим g = fne Ногт^Лд, X). Тогда
g совпадает с / на В = С ф Кег(/).
3) По условию АА = X ф У, где модуль X полупрост и У инъекти-
вен. По 2) X инъективен. Поэтому Л инъективно справа. По 13.65(2)
Sing04/0 Crad(A) =0. По 11.12(5) несингулярное справа инъективное
справа кольцо Л регулярно. По 11.49(3) Л полупросто. □
358 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
13.67. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) каждый правый А-модуль — прямая сумма полупростого
модуля и инъективного модуля\
2) каждый циклический правый А-модуль — прямая сумма
полупростого модуля и инъективного модуля;
3) Ад — конечная прямая сумма неразложимых модулей и
каждый циклический правый А-модуль либо полу прост, либо
имеет ненулевой инъективный подмодуль;
4) Ад — конечная прямая сумма неразложимых модулей и
каждый неразложимый правый А-модуль — цепной модуль длины
^2;
5) А — полуцепное артиново кольцо и (J(A))2 = 0.
> Импликация 5) => 1) следует из 9.68(3). Импликация 1) =>2) очевидна.
2) => 3). Пусть Р = rad А — первичный радикал. Кольцо А/Р
полупервично и каждый циклический правый Л/Р-модуль — прямая сумма
полупростого модуля и инъективного модуля. По 13.66(3) А/Р —
полупростое кольцо, а по 13.65(2) Р2 = 0. Поэтому А полупримарно. Тогда
Ад — конечная прямая сумма неразложимых модулей.
Импликация 3)=>4) следует из 13.65(3).
4) => 5). Из 4) следует, что А — артиново справа полуцепное
справа кольцо и /(Л) —полупростой правый Л-модуль. Тогда (ДЛ))2=0.
По 13.64 Л — полуцепное артиново кольцо. D
Говорят, что модуль М обладает свойством подъема, если каждый
его подмодуль лежит над прямым слагаемым модуля М. Ясно, что
каждый модуль со свойством подъема полурегулярен. Кроме того, прямое
произведение бесконечного числа полей — пример полурегулярного
модуля над собой без свойства подъема, поскольку ясно, что
полупримитивные модули со свойством подъема совпадают с полупростыми
модулями (это следует из того, что J(M) — сумма всех малых подмодулей
в М для любого модуля М).
13.68. Теорема. Для кольца А равносильны условия:
1) каждый правый А-модуль полурегулярен;
2) каждый правый А-модуль обладает свойством подъема;
3) каждый правый А-модуль — прямая сумма полупростого
модуля и инъективного модуля Q с условием Soc(Q)CJ(Q);
4) каждый правый А-модуль — прямая сумма полупростого
модуля и инъективного модуля, являющегося прямой суммой
цепных модулей длины 2;
5) Л — артиново полуцепное кольцо и /2(Л) = 0.
Чистые кольца
359
о Импликация 5)=>4) вытекает из 13.67. Импликации 4)=>3) и 2)=> 1)
проверяются непосредственно.
3)=>2). Пусть М-правый Л-модуль и X е Lat(M). По 3) X/Y—
полупростой модуль для некоторого инъективного Y e Lat(A).
Существуют прямые разложения М = Y 0 М | и А' = Y фХ\, где Xj — полупростой
подмодуль в М\. По 3) M\=P®Q, где Р — полупростой модуль и Q—
инъективный модуль с условием Soc(Q) С J(Q). Так как Х\ полупрост,
то существует прямое разложение Х\ = X<i ф (Х\ П ф), где ^0^=0.
Поскольку подмодуль X20@ в Af 1 содержит прямое слагаемое Q
модуля Mi, то существует прямое разложение Х2 0 Q = Pi 0 Q, где Pi —
подмодуль полупростого модуля Р. Так как Р полупрост, то существует
прямое разложение Р = Pi 0 Р2. Тогда
М = У0М1 = К0Р10Р20<? = К0Р20*2 0<?,
* = К0Х, = Y®X2®(XlnQ),
где полупростой модуль Х\ П ф лежит в малом подмодуле Soc(@) в (?.
Поэтому X лежит над прямым слагаемым Y фХ2 модуля М и выполнено
условие 2).
1)=>5). По 13.67 достаточно доказать, что каждый циклический
правый А -модуль А —прямая сумма полупростого модуля и инъективного
модуля. Пусть М — инъективная оболочка X. Так как М
полурегулярен, то существует такое прямое разложение М = М\ 0Af2, что М[СХ
и Af2 ПХ — малый подмодуль в Af2. Тогда X = М\ 0(М2ПА), где М\
инъективен. По 13.62 У(М2) полупрост. Так как Af2 Г)Х СУ(М2), то Af2 Г) А
полу прост. □
Чистые кольца
Кольцо называется чистым2, если каждый его элемент является
суммой идемпотента и обратимого элемента.
13.69 ([261]). Каждое чистое кольцо А заменяемо и все его фак-
торкольца — чистые кольца.
ъ Непосредственно проверяется, что все факторкольца кольца А чисты.
Пусть е = е2еАу ueU(A)y a = e + uy f = u~l(\ -е)и = f2eA. Тогда
а - / = а - и~х (1 - е)и = е + и - 1 + и~хей =
= и~1(ие + и2-и + еи) = и~1(а2-а)
и выполнено условие 9) из 13.7. По 13.7 А заменяемо. □
13.70 ([209]). Пусть А - кольцо.
В англоязычной терминологии «clean».
360 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
1) Если единица кольца А является суммой ортогональных
ненулевых идемпотентов е\, ..., еп и все etAei — чистые
кольца, то А — чистое кольцо.
2) Если А — чистое кольцо, то для любого neN кольцо Ап всех
(п х п)-матриц над А является чистым кольцом.
3) Если Мь ..., Мп —модули и все End(Af/) — чистые кольца, то
End(Afi 0...0Afrt)— чистое кольцо.
> 1) По соображениям индукции можно считать, что п = 2. Обозначим
е = е\, 1 — е = #2- Каждый элемент X кольца А можно представить в
матричном виде
a jcI Г еАе еА(\-е) 1
у ЬI € |(1-е)Ле (\-е)А{\-е)\ •
X =
где по условию a — f + и, / = /2 е еЛе, и — обратимый элемент в еАе
с обратным Ир Тогда (1 - е)А(\ — е) э b — уи\х = g + v, где g = g2 e
e(\ -e)A{l-e) nveU{(l-e)A{\-e)). Тогда
X =
F =
'f + u
У
0
0
g + v + yuix
G =
= F + Uy
= F\
x
V+yU\X
и достаточно отметить, что G € £/(Л), поскольку
Г е
-у их 1
Г *
\ГУ*\
0 1
-ej
w х\
0 yj
0 1
1-е|'
Ги jc
[у y + i/wixj
Ге —WjX
L° 1_*.
Ге — u\x\
|0 1-eJ
'
V
-
U\X
0 1 - e
'и 0
0 v
\u 0
L°
V
*
Г
= <-Л
Пункты 2) и 3) следуют из 1). О
13.71 ([166]). Для кольца А равносильны условия'.
\) А — чистое кольцо;
2) A/J(A) — чистое кольцо и А— заменяемое кольцо;
3) A/J (А) — чистое кольцо и все его идемпотенты
поднимаются до идемпотентов кольца А.
> Импликация 1)=>2) следует из 13.69, а 2)=>3)-—из 13.7.
3) => 1). Пусть а е А и h\ А —»/4/У(Л) — естественный эпиморфизм.
Так как h(A) — чистое кольцо, то h(a) = h(e + и), где е — е2 € J(A)
и h(uv) = h(vu) = h(\) для некоторого уеЛ. Так как все идемпотенты
Чистые кольца
361
кольца h(A) поднимаются до идемпотентов кольца А, то можно
считать, что е = е2. Кроме того, можно считать, что и е U(A)y поскольку
uv - 1, ий- 1 eJ(A). Тогда а — еЛ-и-^у для некоторого у eJ(A)y причем
1 +u~]yeU(A). Тогда u + y€(J(A). Так как и+у = и(\ +и~[у)еи(А)
и а = е + (и + у)у то все доказано. □
13.72 ([166]). Для кольца А равносильны условия:
1) А — чистое кольцо без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов;
2) А — полусовершенное кольцо.
о Импликация 1)=>2) следует из 13.69 и 13.58.
2)=> 1). По 13.58 А не содержит бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов. Так как А = End^), то по 13.58 Ад — конечная
прямая сумма модулей с локальными кольцами эндоморфизмов. Поэтому
достаточно доказать, что каждое локальное кольцо R — чистое кольцо.
Надо доказать, что каждый элемент а е R имеет вид а = е + и, где е = е2у
и € U(А). Если а € U(A)y то можно обозначить е = 0, и = а. Если а £ U(A)y
то а - 1 G £/(Л) и можно обозначить е = 1, и = а - 1. □
13.73 ([101]). Для кольца А равносильны условия:
1) А — чистое кольцо;
2) все пирсовские слои кольца А — чистые кольца;
3) все неразложимые факторкольца кольца А — чистые кольца;
4) все максимальные неразложимые факторкольца кольца А —
чистые кольца.
> Импликации 1)=>2) и 1)=>3) следуют из того, что все факторкольца
чистых колец —чистые кольца. Импликация 3)=>4) очевидна. Так как
все факторкольца чистых колец —чистые кольца, то импликация 4)=>3)
следует из того, что по 13.10 каждое неразложимое факторкольцо кольца
А изоморфно факторкольцу некоторого максимального неразложимого
фактора кольца А. Импликации 2) => 1) и 3) => 1) следуют из 13.20(6). □
13.74 ([101]). Если А — кольцо без бесконечных множеств
нецентральных ортогональных идемпотентов, то равносильны условия:
1) А — чистое кольцо;
2) А — заменяемое кольцо;
3) все пирсовские слои кольца А полусовершенны.
* Импликация 1)=>2) следует из 13.69.
2) =>3). Пусть А/Р — пирсовский слой кольца А. Так как А не
содержит бесконечных множеств нецентральных ортогональных идемпотентов,
То по 13.7 и 13.14(11) А/Р — заменяемое кольцо без бесконечных
множеств ортогональных идемпотентов. По 13.58 А/Р полусовершенно.
362 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
3)=>1). По 13.72 все пирсовские слои кольца Л —чистые кольца.
По 13.73 Л —чистое кольцо. О
13.75. Кольца стабильного ранга 1. Кольцо А называется
кольцом стабильного ранга 1, если для любых таких /, vy ху у € Л, что
fx + vy = 1, существует такое heAy что f + vhe U(A).
Непосредственно проверяется, что А — кольцо стабильного ранга 1 <=> Л —
прямое произведение колец стабильного ранга 1 Ф> для любых
таких fyveAy что fA + vA = Л, существует такое he А, что
f + vhe U(А) ф> A/J(A) — кольцо стабильного ранга 1.
13.76 ([167]). Для заменяемого кольца А равносильны условия:
1) Л — кольцо стабильного ранга 1;
2) для каждого такого аеАу что аА — прямое слагаемое в АА,
существуют g = g2 еА и ие U(A) такие, что а = gu\
3) для любых таких ау х еА и е = е2 е Л, что ах + е = 1, а/а^е-
ствует такое у € Л, что a-hey е £/(Л).
> 1)=>2). Так как аЛ —прямое слагаемое в Л^, то aA — gAy где
g = g2 = ax, jc g А. Тогда аха = а. Так как ах + (1 - g) = 1, то по 1)
существует такое */ € Л, что a + (1 - g)y = ue U(A). Тогда
gw = ga + g(l - g)y = ga = a.
2) => 3). Пусть ay x eAy e = e2 e Л, ax = 1 - e, 6 = (1 - e)a = ал:а.
Тогда
6x6 = (ax)3a = axa = by
bx = (1 -e)ax = (1 -e)2 = 1 -ey bx + e = \
и ЬА = ЬхА — прямое слагаемое в Ад. По 2) 6 = #и, где g = g2 e Л
и w€ £/(Л). Тогда
^Г1 = g = g2 = (6W"1)2, 6 = fttt"1*.
Так как bx + е = 1, то b = (bx + e)b = 6x6 + еб = 6 + eby eb = 0,
(6w_1 -ef = бы"1 -fcw^e + e = 6w_,(l -e) + e =
= bu~lbx + e = bx + e = \-e + e = \-
Поэтому bu~l -ее U(A)y откуда b - eu = (6w"! - е)ы G £/(Л). Тогда
(a — e(a + u) = (1 — e)a -eu — b — eue U(A) и можно положить у = а + и.
3) => 1). Пусть аА + ЬА = А. Так как Л—заменяемое кольцо, то
(1 — ё)А СаАу еА С ЬА для некоторого е = е2 е А. Существуют такие
ху z еАу что 1 — е = ах и е = bz. По предположению a-hey — ие U(A)
для некоторого у еА. Поэтому а + to/ = и е U(A). D
Чистые кольца
363
Элемент а кольца А называется обратимо-регулярным, если
a = aba для некоторого b e 11(A). Каждый обратимо-регулярный элемент
регулярен. Кольцо называется обратимо-регулярным, если все его
элементы обратимо-регулярны.
13.77. Если R —кольцо эндоморфизмов правого модуля М над
кольцом А и / E /?, то равносильны условия:
1) / — обратимо-регулярный элемент в R\
2) существуют такие идемпотенты е\, е2 € R и и, v e £/(/?), что
v = и~[у / = е\и, f = ие2у
fv = e\, vf = e2y f = e\f = fe2;
3) существуют идемпотент e\€R и ие U(R) с условием f = e\U\
4) существуют идемпотент e2eR и ие U(R) с условием / = ue2\
5) существуют такие идемпотенты е\у e2eRy что
fR = exR s e2R9 rR{f) = (1 -e2)R a (1 -*,)*;
6) /(Af) w Ker(/) — прямые слагаемые в М и Ker(/) = Af//(Af).
> Импликация 1)=^2) следует из того, что можно положить е\ = fv,
e2 = vf и u = v~l.
2)=>3) и 2)=>4). Можно положить u = v~[.
3)=> 1) и 4)=> 1). Можно положить у = и"!.
2)=>5). Если 2) верно, то
г(/) = г(ие2) = (1 -е2)Л = r(eiu) = м"1^) й г(е,) = (l-ex)R,
e2R s R/(l-e2)R = Д/г(/) ^ //? = ^иЛ = *i*.
5)=>4). Имеем RR = fR®(\-ei)R=e2R®r(f)y fR^e2R и (1-е,)/?^
=г(/). Поэтому f = ue2 для некоторого обратимого «е/?.
2)=>6). По 2) f = e\U и f = ue2 для некоторых идемпотентов вь ег^Я
и обратимого ы Е /?. Тогда
/(Af) = (eitt)(Af) = ei(Af), Af//(Af) = M/ex{M) * (1 -e,)(Af) =
= Kerfa) S u"1 Kerfo) = Ker(^iw) = Ker(/).
6) => 1). Пусть Af = Ker(/) 0 N = /(Af) © L для некоторых подмодулей N
и L в Af и * = /|л,. Так как Af = Ker(/) 0N, то /(/V) = /(Af). Поэтому / —
изоморфизм модуля N на /(Af). По предположению Кег(/) ^ Af//(Af).
Поэтому существует изоморфизм L—»Кег(/). Пусть у — такой автоморфизм
Модуля Af = /(Af) 0 L = Кег(/)0УУ, что v(x + y) = t~l(x) + v(y) для всех
*Gf(M) uyeL. Тогда / = М. □
13.78 ([200]). Для модуля Af равносильны условия:
1) End(Af) — обратимо-регулярное кольцо;
364 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
2) End(Af) — регулярное кольцо стабильного ранга 1;
3) каждый эндоморфизм / модуля М — произведение проекции
и автоморфизма в некотором порядке;
4) для каждого эндоморфизма / модуля М существуют
такие проекции е\ и е2 и автоморфизм и модуля Af, что
f = в\и = ие2\
5) для каждого / € End(Af) верно, что Кег(/) = M/f(M) и /(Af),
Кег(/) — прямые слагаемые в Af;
6) End(Af) — регулярное кольцо и для любых прямых разложений
М = Af I 0/Vi = Af20yV2, что M\ = Af2, имеем N\ =N2.
> Обозначим /? = End(Af). Эквивалентность условий 1), 3), 4) и 5)
следует из 13.77.
2) => 1). Пусть а е R. Тогда аха = а для некоторого х € /?, aR +
+ (1 - ах)/? = /? и а + (1 - ах)// Е £/(/?) для некоторого у € /?. Тогда
[а + (1 -ах)у\и— 1 для некоторого ueu(R),
а = аха = ах(а + (1 - ах)у)иа = ахаиа = аыа
и /? обратимо-регулярно.
1)=>2). По 13.77 } = еиддя некоторых е = е2 Е /? и ueu(R). По 13.54
регулярное кольцо /? заменяемо. По 13.76 Л — кольцо стабильного
ранга 1.
1)=>6). Существует такой эндоморфизм / модуля Af, что f(N\) = 0
и / индуцирует изоморфизм модуля Af i на Af2. Так как R
обратимо-регулярно, то существует такой автоморфизм и модуля Af, что /(1 —uf) = 0.
Имеем
Af = uf(M) + (1 - uf)(M) = и(М2) + (1 - w/)(Af),
(\-uf)(M)CKer(f) = Nu
откуда Af = w(Af2) + N\. Кроме того, w(Af2) П N\ - uf(M) П Ker(/) = 0,
поскольку fuf = f. Поэтому Af = w(Af2) ®N\. Так как и — автоморфизм
Af, то
Af = и(М) = u(M2®N2) = u(M2) + u(N2).
Поэтому N\ ** u(N2) = M>.
6) => 5). Так как /? регулярно, то существует g € R, Для которого
/ = fgf и /(М), Кег(/) — прямые слагаемые в Af по предложению 7.6. Так
как fg и gf — идемпотенты, то Af = gf(M) 0 Ker(/) = /(Af) 0(1- fg)(M).
Кроме того, / индуцирует изоморфизм модуля gf(M) на /(Af). По
предположению Кег(/) £* (1 - /g)(Af) ^ Af//(Af). □
13.79. Для кольца А равносильны условия:
1) А — обратимо-регулярное кольцо;
Чистые кольца
365
2) все пирсовские слои кольца А обратимо-регулярны;
3) все неразложимые факторкольца кольца А
обратимо-регулярны;
4) все максимальные неразложимые факторы для А
обратимо-регулярны.
> Импликации 1)=>2) и 1)=>3) следуют из того, что каждое фактор-
кольцо обратимо-регулярного кольца обратимо-регулярно. Импликация
3)=>4) очевидна. Импликация 4)=>3) следует из 13.10 и того, что все
факторкольца обратимо-регулярных колец обратимо-регулярны.
Импликации 2)=> 1) и 3)=* 1) следуют из 13.20(4) и 13.20(5). □
13.80 ([165]). А — обратимо-регулярное кольцо в точности
тогда, когда каждый элемент а€.А можно записать в виде а = е + иу
где е = е2еА, иеU(A) и аАПеА=0. В частности, каждое
обратимо-регулярное кольцо — чистое кольцо.
<= . аи~ха-а = аи~[(а-и) = аи~1е = (е + и)и~{е е аАПеА = 0.
> =>. Пусть а еЛ и К = аА Пг(а). Непосредственно проверяется, что
аАу а А + г(а) и /С —прямые слагаемые в А а. По 7.41(3) существует
такой правый идеал X, что X С г(а) и аА + г(а) = аЛ 0 Я. Так как
существуют прямые разложения Л^ = я Л 0 X 0 У и аА = К 0 Z, то
Лл = Я 0 К 0 У 0 Z. По 13.78 и модулярному закону X 0 К = r(a) ^
= А/аА = Х 0 У. По 13.78 существует изоморфизм у?: /С -» У. Так как
Лл = Я 0/С 0 У 0Z, то существуют такие эндоморфизмы hut модуля
А а, что
h(x + k + y + z) = <p(k) + y, t(x + k + у + z) = v(k) + <p-l(y)
для всех х € X, k € /С, # € У, г € Z. Можно рассматривать /г и / как
элементы кольца Л. Так как
hth{x + k + y + z) = M{<p(k) + y) = hip-l(ip(k) + y) =
= й(*+ УГ1 (у)) = ¥>(*) +У =/*(x + ft + (/ + z),
то /zf/z = Л, откуда /г/ — идемпотент в Л. Так как a = ht + (a - ht)y то
остается доказать, что a-ht € U(A). Пусть (а - Л/)(* + £ + у + г) = 0, где
хеХу keK, yeY и zeZ. Тогда а(х + & + */ + z) = й/(* + fc + у + г) =
= h(<p(k) + v?_1 (#)) = </?(£) + t/ € аА П У = 0. Поэтому правый аннулятор
элемента a-ht регулярного кольца Л равен 0. Тогда a-ht e 11(A). □
13.81 ([166]). Если факторкольцо A/J(A) кольца А
обратимо-регулярно и каждый идемпотент кольца A/J(A) поднимается до
идемпотента кольца Л, то А — чистое кольцо.
* По 13.80 Л//(Л) —чистое кольцо. По 13.71 Л — чистое кольцо. □
366 Глава 13. Заменяемые кольца и пирсовские слои
13.82. Если А — заменяемое кольцо и A/J(A) — кольцо без
бесконечных множеств нецентральных ортогональных идемпотентов,
то А — чистое кольцо.
> По 13.7 и 13.74 A/J (А) — чистое кольцо. По 13.71 А —чистое кольцо.
D
Элемент а е А называется квадратным корнем из единицы, если
а2=\.
13.83 ([166]). Если А — кольцо и 2-1 еА, то А — чистое кольцо
в точности тогда, когда в А каждый элемент — сумма
обратимого элемента и квадратного корня из единицы. В этом случае
каждый элемент кольца А — сумма двух обратимых элементов.
> =>. Пусть х еА и (х + 1)/2 = и + е, где и е U(A) и е2 = е. Тогда
х = 2и + (2е-1), гяе2иеЩА) и (2е-1)2=1.
<=. Пусть х еА и 2х - 1 = и + ty где и е U(A) и t2 = 1. Обозначим
е = (t + 1)/2. Тогда и/2 € ЩА) и е2 = (t2 + 2/ + 1)/4 = (2 + 2/)/4 = е.
Кроме того, х = и/2 -he. □
Упражнения
13.84. Пусть Л —первичное /о-кольцо, являющееся существенным
расширением суммы п дистрибутивных правых идеалов, п е N. Тогда А —
конечномерное справа полусовершенное кольцо равномерной правой
размерности ^п. Если А полупримитивно, то А — простое артиново кольцо,
являющееся прямой суммой не более чем п минимальных правых идеалов.
(Указание. По 9.7(9) А — конечномерное справа кольцо равномерной
правой размерности < п. По 13.58 конечномерное справа /о-кольцо А
полусовершенно. Если А полупримитивно, то полусовершенное
полупримитивное первичное кольцо А — простое артиново кольцо.)
13.85. Пусть А — 7г-регулярное кольцо с первичным радикалом Р
и А — сумма п дистрибутивных правых идеалов, п е N.
1) Каждое первичное факторкольцо А кольца А — простое артиново
кольцо индекса ^ п и А изоморфно кольцу всех (k x £)-матриц
над телом с k ^ п.
2) А — строго 7г-регулярное кольцо.
3) А/Р — полупримитивное кольцо индекса ^п.
> 1) Так как А 7г-регулярно, то А 7г-регулярно. По 12.14(2) J (А) — ни-
льидеал в А. По 9.77(2) А полупримитивно. По 13.54 7г-регулярное
кольцо А — /о-кольцо. Так как А — первичное полупримитивное /о-коль_цо,
являющееся суммой п дистрибутивных правых идеалов, то по 13.84 А —
простое артиново кольцо и А — прямая сумма не более чем п
минимальных ненулевых правых идеалов. Поэтому А изоморфно кольцу всех
(k х й)-матриц над телом. Тогда А — кольцо индекса ^ п. Поэтому k < п.
Чистые кольца
367
2) По 1) каждое первичное факторкольцо кольца А артиново. По 13.37
А строго 7г-регулярно.
3) По 1) каждое первичное факторкольцо кольца Л —кольцо
индекса не более п. Тогда А/Р — полупервичное кольцо индекса ^ п. Так
как А/Р 7г-регулярно, то J(A/P) — нильидеал кольца А/Р по 12.14(2).
По 6.40(1) А/Р полупримитивно. □
Кольцо А называется строго чистым, если каждый элемент а е А
имеет вид а = е + и, где е2 = еу ие U(A), ей = ие.
13.86 ([262]). Каждое строго п-регулярное кольцо А строго
чисто.
13.87 ([303]). Если А — кольцо всех рациональных чисел с
нечетными знаменателями, то кольцо М2(А) всех матриц над А размера
2x2 полусовершенно, но не является строго чистым.
13.88 ([169]). Если А — коммутативное кольцо и кольцо М2(А)
строго чисто, то для любого до e J (А) уравнение х2 - х = до
разрешимо в А.
13.89 ([169]). Пусть А — коммутативное локальное кольцо.
1) Если 2eU(A), то М2(А) строго чисто в точности тогда,
когда для любого до e J (А) уравнение х2 - х = до разрешимо
в А.
2) Если A/J(A) = Z/2Z, то Л4гИ) строго чисто в точности
тогда, когда для любого до е J(A) уравнение х2 - х = до
разрешимо в А.
3) Если 2eJ(A) и A/J(A) ^Z/2Z, то М2(А) строго чисто в
точности тогда, когда для любых w\, До2 SJ(A) уравнение х2 +
+ (1 +До1)х = до2 разрешимо в А.
Литература. [79,97-99,101,161,162,166,167,180,261,291,292].
14
Максимальные кольца частных
и рациональные расширения
Говорят, что правый модуль Af над кольцом А — рациональное
расширение своего подмодуля X, если для любых ту п е Му где т ф О,
существует такой элемент а е Л, что та фО и па € X. В этом случае X
называется рациональным подмодулем в Af. Если X — подмодуль в Af,
то рациональной оболочкой модуля X в Af называется такой
подмодуль Q в Af, что Q — рациональное расширение X и Q содержит любое
рациональное расширение X, содержащееся в М.
14.1. Если X — подмодуль модуля М и Е — инъективная
оболочка модуля Af, то равносильны условия:
1) М — рациональное расширение X;
2) /(Af) = 0 для любого f e End(£) с условием f(X) = 0;
3) Af — существенное расширение X и для любых двух ненулевых
теМ и х еХ существует такой элемент аеАу что хафО
и таеХ.
> 1) => 2). Допустим, что /(Af) ф 0. Тогда М П /(Af) ф 0. Пусть 0 ф х =
= /((/) G М П /(Af), (/ G Af. Так как Af — рациональное расширение X, то
существует такое а € Л, что ха ^ 0 и #а е X. Поэтому 0 = f(ya) =хаф0.
Получено противоречие.
2)=>1). Допустим, что Af не является рациональным расширением
X. Тогда существуют такие ху у е М, что х ф 0 и (г/' Х)С г(х). Так как
/*(!/) Q (у' .X) С r(x), то существует такой эпиморфизм g: у А —> хЛ, что
g(ya) = xa для всех а Е Л. Тогда А' П#Л С Ker(g), поскольку (у'.Х) С г(х).
Поэтому существует такой эпиморфизм h: (уА +Х) —► хАу что X С Кег(Л)
и h(ya)=xa для всех а € Л. Так как Е инъективен, то h продолжается до
/€End(£), причем f(X) = h(X) = 0. Так как ?(у) = хф0у то /(Af)^0.
1)=фЗ). Пусть ОфтеМ. Подставляя в определение
рационального расширения т\ = Ш2 = т, получим, что существует такой элемент
а^Ау что ma G А' и та ф 0. Поэтому Af — существенное расширение X.
Оставшаяся часть утверждения следует из определения рационального
расширения.
3)=> 1). Пусть 0фт\у т% E Af. Надо доказать существование такого
аеАу что т\аф0 и т^а^Х. Так как Af — существенное расширение
Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения 369
X, то Офт\а\ еХ для некоторого а\ еА. Если т2й\ = 0, то m<ia\ eX
и можно положить а — а\. Допустим, что т^ах ф0. Обозначим через
хит ненулевые элементы т\(Х\ еХ и m<id\ € Af соответственно. По
условию существует такой элемент Ъ е Ау что хЬ ф 0 и mb e X. Обозначим
а = а\Ь. Тогда т\а = m\u\b = xb ф0 и т2а = т2й\Ь = тЬ еХ. □
14.2. Пусть X — рациональный подмодуль правого модуля М над
кольцом А и Е — инъективная оболочка М.
1) В М каждый подмодуль N — рациональное расширение N Г)Х.
2) М — рациональное расширение N ПХ для любого
рационального подмодуля N в М.
3) Если X —рациональное расширение Ny то М — рациональное
расширение N.
4) М — существенное расширение X.
5) Е — инъективная оболочка X.
6) g(X) Ф 0 для любого ненулевого g e End(Af). В частности,
в любом кольце левый аннулятор каждого рационального
правого идеала равен нулю.
> Пункты 1), 2) и 3) проверяются непосредственно.
4) Пусть 0 ф т = п е М. По определению рационального
расширения 0 Ф та = паеХ для некоторого а е А. Поэтому М — существенное
расширение X.
Пункт 5) следует из 4).
6) Допустим, что g(X) = 0. Так как Е инъективен, то g продолжается
до / е End(£). Поскольку f(X) = 0 и М — рациональное расширение X,
то /(Af) = 0. Поэтому g = 0. Получено противоречие. □
14.3. Если М — существенное расширение несингулярного
модуля Ху то М несингулярен и М — рациональное расширение X.
> Пусть Е — инъективная оболочка Af, /EEnd(£) и f(X) = 0. Так как
Af — существенное расширение X и Е — существенное расширение Af,
то £ — существенное расширение несингулярного модуля X. Поэтому Е
несингулярен. По 6.22(1) / = 0. По 14.1 /(Af) = 0 и Af — рациональное
расширение X. □
14.4. Пусть М — инъективная оболочка модуля X.
1) Существует ровно одна рациональная оболочка Q модуля
X в Af, причем Q совпадает с суммой всех рациональных
расширений модуля X в М.
2) Если М\ и Af2 — инъективные оболочки модуля X и Q\y Q2 —
рациональные оболочки модуля X в М\ и М2 соответственно,
то Qi ^ <?2.
3) Если М — рациональное расширение Ху то Q = М и кольцо
End(<?) полурегулярно.
370 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
4) Если X инъективен, то X = (?.
5) Если X несингулярен, то Q = M и кольцо End(Q) регулярно.
6) Если N — рациональный подмодуль в Ху то Q — рациональная
оболочка модуля N.
7) Если Y — подмодуль в М и Y — рациональное расширение Q,
moY = Q.
8) Если для эндоморфизма g € End(Af) существует такой
рациональный подмодуль N в Q, что g{N) С Qy то g(Q) С Q.
9) Для любого рационального подмодуля N в Q и для каждого
гомоморфизма h: N —» Q существует единственный
эндоморфизм h e End(Q), совпадающий с h на N.
10) Каждый эндоморфизм g любого рационального подмодуля N
в Q единственным образом продолжается до эндоморфизма
g модуля <?, причем правилом (p(g) = g задается инъектив-
ный кольцевой гомоморфизм <р: End(yV) —>End(<?).
11) Если N —рациональный вполне инвариантный подмодуль
в Q, то End(A0 = End(<?).
12) Если существует такой рациональный подмодуль N в Ху что
N вполне инвариантен в Qy то En6(N) = End(Q).
> 1) Пусть {Qi}iei —множество всех подмодулей в Му являющихся
рациональными расширениями Ху Q = ]Г/€/ Qly f е End(Af) и f(X) = 0. Тогда
f(Qi) = 0 для всех /. Поэтому f(Q) = 0 и Q — рациональное
расширение X.
Пункт 2) следует из 1) и того, что любые две инъективные
оболочки одного модуля изоморфны. Пункт 3) следует из 7.47 и определения
рационального расширения. Пункт 4) следует из 3).
5) По 14.3 М — рациональное расширение X. По 3) Q = М. По
11.12(5) кольцо End((?) регулярно.
Пункт 6) следует из 14.2(3). 7) следует из того, что Y — рациональное
расширение X.
8) Пусть /GEnd(Af) и /(А) = 0. Тогда fg(XC)N) = 0. По 14.2(2) Q-
рациональное расширение X ON. Поэтому fg(Q) = 0. Тогда g(Q)Q Q.
9) Так как М инъективен, то h продолжается ^до g € End(Af). По 8)
g(Q) Q Q- Поэтому g индуцирует эндоморфизм h модуля_ф,
совпадающий с А на Af. Допустим, что существует эндоморфизм h\ модуля (?,
совпадающий с h на N. Продолжим h\ эндоморфизма g\ инъективного
модуля М. Тогда (g - g\)(N) = 0^Так_как Q — рациональное расширение
N, то (g- g\)(Q) = 0. Поэтому h\ = h.
Пункт 10) следует из 9).
11) По 10) существует инъективный кольцевой гомоморфизм <р:
End(N)—»End(Q). Так как N вполне инвариантен в Qy то <р — изоморфизм.
Максимальные кольца частных 371
Пункт 12) следует из 11) и 3). □
14.5. Пусть X и Y — идеалы кольца А.
1) X — рациональный правый идеал в точности тогда, когда
£{Х) = 0.
2) Если X и Y — рациональные правые идеалы, то идеал XY —
рациональный правый идеал.
> 1) Импликация => следует из 14.2(6).
<=. Пусть а, Ь е А, где а Ф 0. Так как £(Х) = 0, то ах ^ 0 для некоторого
х еХ. Так как X — идеал, то Ьх €X.
2) По 1) £{Х) = *(У) = 0. Поэтому *(ХУ) = 0. По 1) * К — рациональный
правый идеал. D
Максимальные кольца частных
Пусть А — кольцо, Е — инъективная оболочка модуля АА и Q =
= End(End(£)£)• Кольцо Q называется максимальным правым кольцом
частных кольца А и обозначается через Qmax(A). Максимальное левое
кольцо частных maxQ(A) кольца А определяется аналогично. Так как
элементы из Q — эндоморфизмы левого модуля End(£)£> то записываем
эти эндоморфизмы справа от аргументов. Тогда Е — Ег^(£)-ф-бимодуль
End(£)£<?-
14.6. Пусть Q — максимальное правое кольцо частных кольца
А и Е — инъективная оболочка модуля Ад. Сопоставим каждому
элементу аеА его канонический образ deQ так, что (х)а = ха
для х € Е. Каждому элементу q eQ сопоставим его канонический
образ (\)q. Сопоставим каждому эндоморфизму /GEnd(£) его
канонический образ /(1)е£.
1) Для любого х е Е существует такой эндоморфизм f e
е End(EA), что х = /(1).
2) Каноническое отображение f —» /(1) — Еп6(Е)-модульный
эпиморфизм End(£) End(£) -> End(£)£-
3) Каноническое отображение а-+а — кольцевой мономорфизм
A^Q.
4) Каноническое отображение q-+(\)q—А-модульный
мономорфизм и: Qa~+Ea-
5) Образ канонического мономорфизма и: Qa—>Ea совпадает
с рациональной оболочкой А модуля Ад в Е.
6) Для любого модуля Mq каждый А-модульный гомоморфизм
f: МА-*Ед — Q-модульный гомоморфизм f:MQ^EQ.
7) End(EA) = End(EQ), End(QA) = End(QQ). Кроме того, можно
считать, что Q = End(QA)-
372 Плава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
\> 1) Правилом <р(а) =ха задается эпиморфизм <р: Аа —* хА. Так как
модуль Е инъективен, то <р продолжается до эндоморфизма / € End(Af).
Тогда x = ip(\) = f(l).
Пункт 2) следует из 1).
3) Если аеА и а = 0, то а = (\)а = 0.
4) Пусть q —такой элемент в Q, что (1)<7 = 0 и х —любой элемент из
Е. По 1) jc = /(1) для некоторого / € End(£^). Поэтому
(x)q = {f{l))q = №)Я) = №) = 0, q =s 0.
5) Пусть /еEnd(£) и f(A) = 0. Если qeQ.ro
№)Q) = (/(!))</ = (0)<7 = 0, откуда Q С А.
Докажем, что ACQ. Пусть те А. По 1) для любого х еЕ существует
fx e End(£^), для которого х = /*(!)• Если /* и /** —такие
эндоморфизмы модуля Еу что /*(1) = /**(!), то (/* - /**)(Л)=0 и (/* - f**)(m) = 0.
Поэтому правилом (x)q = (fx(\))q = /*(#*) корректно определен элемент
<7€ф. Если jt= 1, то /х = If. Поэтому (\)q = fl(m) = m и meu(Q).
6) Пусть шбМ. Определим гомоморфизм /т: (?д —* £л правилом
/m(<7) = f(mq) — f(m)q. Тогда /т(Л) = 0. Так как Еа инъективен, то fm
продолжается до эндоморфизма модуля £д. Поскольку Qa
—рациональное расширение Лд, то fm(Q) = 0. Поэтому f(mq) - f(m)q = 0 для всех
qeQ и feHom(MQy EQ).
Пункт 7) следует из 6). □
14.7. Пусть Q — максимальное правое кольцо частных кольца Л,
Е — инъективная оболочка модуля Аа и А — рациональная
оболочка модуля Ад в Е. Отождествим А с его каноническим образом
в Q. Используя 14.6(5) и 14.6(6), можно считать, что <? = Егк1(<?д)
и QA=A.
1) Е — рациональное расширение А а в точности тогда, когда
Qa = E.
2) Если кольцо А инъективно справа, то A = Q.
3) Для любого рационального подмодуля X в Qa и для каждого
гомоморфизма h: Xa-+Qa существует такой единственный
элемент Л Е (?д, что h(x) = hx для всех хеХ.
4) Для каждого эндоморфизма g и любого рационального под-
модуля_Ы в Qa существует такое единственное heQ, что
h(n)—hn для всех neN, причем правилом <p(g) = g задается
инъективный кольцевой гомоморфизм <р: End(A^) —* Q.
5) Если существует такой рациональный правый идеал В в А,
что В —левый идеал в Q, то End(fi) = Q.
6) Eq — инъективная оболочка модуля Qq.
Максимальные кольца частных 373
7) Пусть В — рациональный правый идеал в Л, q eQ и q~[(B) =
= {а е А | qa e £}. Тогда q~l(B) — рациональный правый идеал
в А. В частности, q~] (А) — рациональный правый идеал в А.
8) Если пересечение В всех рациональных правых идеалов кольца
А — рациональный правый идеал в А, то В — левый идеал в Q
и Q^End{BA).
9) Если кольцо End(£) инвариантно слева, то (? = £.
10) Если левый аннулятор каждого собственного правого идеала
кольца А не равен нулю, то A = Q.
> Пункты 1), 2), 3), 4) и 5) следуют из 14.4(3), 14.4(4), 14.4(9), 14.4(10),
14.4(12).
6) Пусть Mq — подмодуль ф-модуля Mqj\ f EHom(Mg, Eq). Тогда
/ E Hom(Afy4, Ед). Так как Ед инъективен, то / продолжается до Л-гомо-
морфизма /: Мд —>Ед. По 8(6) /EHom(Afp, Eq). Поэтому Eq
инъективен.
7) Пусть Л —такой эндоморфизм модуля ЕАу что h(q~x(B)) = 0,
b\, Ьч^В и а\, a<i — такие элементы в Л, что Ь\ +qa\ = 62 + <7Я2- Тогда
q(ax -а2) ЕЙ, а\ -а2 € <7~!(Я)> Afci) = h(a2).
Поэтому правилом f(n + qa) = Л(а) корректно определен гомоморфизм
/: В + qA-*А. Тогда /(£) = 0. Так как £ инъективен, то / продолжается
до эндоморфизма / модуля ЕА. Поскольку f(B) = 0 и £ —рациональный
правый идеал, то /И) = 0. По 14.6(6) / Е End(£c). Тогда f(q) = f(\)q = 0
для всех q €Q. Поэтому
А(1) = /to) = /to) = 0> h(A) = Л(1)Л = 0.
8) Пусть ^^(/-^^{аеЛ |?аЕ£}. По 7) ^"^fi)—
рациональный правый идеал в А. Поэтому BC\q~x[B) — рациональный правый
идеал и £п<7_1(£)С£. Так как В — пересечение всех рациональных
правых идеалов, то Bf]q~l(B) = B. Поэтому qB С В и В — левый идеал
в д. По 5) Q^End^).
9) Пусть х Е Е и / — такой эндоморфизм модуля £,4, что /(Л) = 0.
Так как Е инъективен и существует такой эпиморфизм (р: А а —>хА, что
ф(\) = х, то (р продолжается до такого эндоморфизма g Е End(£), что
* = g(l). Поскольку кольцо End(£) инвариантно слева, то fg = hf для
некоторого h e End(£). Тогда
/W = /g(l) = /*/0)=0, /(£)=0,
Е — рациональное расширение Ад и £ = Q.
10) Пусть # € (? и £ = {а Е Л | ^а Е А}. По 7) £ — рациональный
правый идеал. По 14.2(6) ^(£) = 0. По условию В =А и 1 ЕЙ. Поэтому
q = q\eAyA = Q. □
374 Плава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
14.8. Пусть Q — максимальное правое кольцо частных кольца А
и Е — инъективная оболочка модуля Ад. Равносильны условия:
1) кольцо Q инъективно справа;
2) Q — инъективный правый А-модуль\
3) Q = E;
4) Е — рациональное расширение Ад,
5) Е — рациональное расширение Ад, ()д = Е, Q = End(QA) — яо-
ЛурегуЛЯрНОе КОЛЬЦО U qQ' = End(£)£'•
> Эквивалентность 1)ф>2) следует из 14.7(6). Эквивалентности 2)ф>3)
и 3)4=>4) следуют из определения кольца Q. Импликация 5)=» 4)
очевидна. Импликация 4) =^5) следует из 14.4(3). D
14.9. Пусть Q — максимальное правое кольцо частных кольца А.
1) Центр кольца А лежит в центре кольца Q. Если А
коммутативно, то Q коммутативно.
2) Если В —ненулевой правый идеал в А, то BQ — ненулевой
правый идеал в Q, А П BQ — ненулевой правый идеал в А
и (В(?)д, AnBQ — существенные расширения Вд.
3) Если В — замкнутый правый идеал в А, то В = AnBQ.
4) BQ П CQ = 0 для любых таких правых идеалов В и С в Ау что
ВГ)С = 0.
5) Если Вд = 0f-€/ Bi — правый идеал в А, то (BQ)q = 0/€/(Bi <?).
6) Л равномерно справа в точности тогда, когда Q равномерно
справа.
7) А конечномерно справа в точности тогда, когда Q
конечномерно справа.
8) R П А — существенный правый идеал в А для любого
существенного правого идеала R в Q.
9) BQ — существенный правый идеал в Q для любого
существенного правого идеала В в А.
10) S\ng(QA) = Smg(QQ) и S\ng(AA)=AnSmg(QQ).
11) Если А — локальное кольцо и £(J(A)) ф0, то A = Q. В
частности, каждое локальное полупримарное кольцо совпадает со
своим максимальным правым кольцом частных.
12) Если кольцо Q инъективно справа, то А п-инъективно
справа в точности тогда, когда А содержит все идемпотенты
кольца Q.
13) Пусть R — правое кольцо частных кольца А относительно
правого множества О ре S. Тогда R С (?тах(Л). Кроме того,
если модуль RA инъективен, то R = Qmax(A) и кольцо R
инъективно справа.
Максимальные кольца частных
375
> 1) Пусть с — центральный элемент в Л и q € Q. Допустим, что
qc - cq т^О. Так как Qa — рациональное расширение Ад, то существует
такое ае Л, что (qc — cq)a^ 0 и qa = bsA. Поэтому
0 ф (qc - cq)a = qca -cb — qac — bc = 0
и получено противоречие.
Допустим, что А коммутативно, q\y 42 £ Q и В/ = {а € Л | qta e А}
(/ = 1,2). По 14.7(7) В/ — рациональные идеалы кольца А. По 14.5(2)
В\Въ — рациональный идеал. Пусть b\ Е В/. Тогда <//fi/ E Л и
Q\Q2b\b2 = q\(q2b2)b\ = (<7i6i)(<72&2) = ?2M?i*i) = 4241М2,
(q\Q2-q2q\)b\b2 = 0, (q\q2-q2Q\)B\B2 = 0.
Так как В|Вг — рациональный идеал, то (#i<72 - Q2Q\)Q = 0. Поэтому
2) Достаточно доказать, что (Вф)^ — существенное расширение В^.
Пусть 0 ^ jc = ]Г"=1 &/^/ g BQ, где 6/ € В и <7/ £ Q. Так как ф^ —
рациональное расширение Л,*, то существует такое а\ е Л, что
л
0 т^ jcai = 5^&/<7/ai € BQ, ^jai G Л, fti^iai e B.
i=l
Аналогично существует такое Я2 € Л, что
л
0 ^ jcaja2 = ^&i<7i*aia2 € BQ, 42^1^2 € Л.
/=i
Кроме того, b\q\u\u2^ В. Поэтому 0 ^ ха\ ...ап е В для некоторых
аь ..., ал еЛ.
Пункт 3) следует из 2).
4) Пусть В_и С — замыкания правых идеалов Вн С в Л
соответственно. Тогда ВПС = 0. ПоЗ) В=ЛпВ<? и C = AnCQ. Поэтому
0 = (AnBQ)n(AnCQ) =An(BQnCQ).
Так как (^—существенное расширение Ад, то BQ C\CQ = 0. Поэтому
BQr\CQ = 0.
Пункт 5) следует из 4) и того, что (Х)/€у В,)(? = Х^еу(В,(?) для любого
подмножества / С /. Пункт 6) следует из 4) и того, что Qa — существенное
расширение Ад. Пункт 7) следует из 5) и того, что Qa —существенное
расширение Ад. Пункт 8) следует из того, что Qa —существенное
расширение Ад. Пункт 9) следует из 4). Пункт 10) следует из 8) и 9).
11) Каждый собственный правый идеал В в Л лежит в J(A). Поэтому
1(B)т^О. По 14.7(10) Л = <?.
376 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
12) Пусть £ — инъективная оболочка модуля А а. По 7.29(3) А 7г-
инъективно справа в точности тогда, когда f(A) С А для любого идем-
потентного эндоморфизма / € End(£). По 14.8 Qa=E и Q = EndfQ^).
Поэтому А 7г-инъективно справа в точности тогда, когда fA С А для
любого идемпотента / € (?, т. е. / = / • 1 € Л.
13) Пусть 0 ^ и е /?, r<i е/?. Существуют такие aj, Я2 € Л и s € S, что
г, =a/S_1, / = 1, 2. Тогда O^/^s, Г25 —а^ € Л и /?л —рациональное
расширение А а. Поэтому R С Qmaix(A). Допустим, что модуль Ra инъективен.
Пусть Еа —инъективная оболочка модуля А а, содержащая Qmax(A). Так
как А С R С (?тахИ) С £ и RA инъективен, то R = (?тахИ) = £. По 14.8
ФтахИ) инъективно справа. П
14.10. Пример. Существует такое кольцо Ау что кольцо Qmax(A)
не инъективно справа или слева, причем А = (?тах(Л).
> Пусть F[xy у] — кольцо многочленов от двух переменных ху у с
коэффициентами из поля F, S — идеал в F[xy y]y порожденный многочленами
{х2у у2, ху}у А = F[xy y]/Sy h: F[xy у]-* А — естественный эпиморфизм
и Af — идеал в Ау образованный образами многочленов с нулевыми
свободными членами. Тогда М2 = 0, А/М = Fy А — коммутативное локальное
артиново кольцо, М =J(A)y Ma = (А/М)а 0 (А/М)а — прямая сумма двух
простых А -модулей и кольцо А не равномерно. По 7.46(2) локальные
инъективные кольца равномерны. Поэтому Л не инъективно. По 14.9(11)
Л = 0тахИ)- □
Максимальные кольца частных несингулярных колец
14.11. Пусть Q —максимальное правое кольцо частных кольца
А. Равносильны условия:
1) кольцо А несингулярно справа;
2) модуль Qa несингулярен;
3) кольцо Q несингулярно справа;
4) Q — инъективное справа регулярное кольцо, Qa —
инъективная оболочка модуля Аа и Q = Et\6(Qa).
> Эквивалентность 1)<=>2) следует из того, что существенные
расширения несингулярных модулей несингулярны. Импликация 4)=>3) очевидна.
3) => 1). Пусть а е А, В — существенный правый идеал в А и аВ = 0.
Так как Qa — существенное расширение А а, то В — существенный
подмодуль в Qa. Тогда В ПМ ф0 для любого ненулевого правого идеала М
в Q. Поэтому BQ — существенный правый идеал в Q. Так как aBQ = 0y
то а = 0.
1)=>4). По 14.4(5) кольцо Q регулярно и модуль Qa инъективен. По
14.8 Q инъективно справа и Q = End(<?/4)- □
Максимальные кольца частных несингулярных колец 377
14.12. Пусть А — строго регулярное кольцо и Q = Qmax(A).
1) Для любого ненулевого q eQ существует такой
центральный идемпотент eeQ, что е еА и 0^qe = eq е А.
2) Инъективность Ад равносильна инъективности дА. В этом
случае A = Q = miixQ(A).
> 1) Так как ^—существенное расширение Аду то O^qaeA для
некоторого аеА. Так как А строго регулярно, то а — еиу где е
—центральный идемпотент в А и и Е U(A). По 14.8(1) е лежит в центре кольца
Q. Поэтому
О ф eq = qe = qau~x е A.
2) Пусть А инъективно справа, Т = тахФИ) и O^teT. Так как А
инъективно справа, то А = фтахИ)- По 14.11 7* инъективно слева. По
левосторонней версии 1) существует такой центральный идемпотент ее А,
что О Ф tee А. Поэтому Тд — существенное расширение инъективного
модуля Ад. Тогда Т = А и А инъективно слева. □
14.13. Пусть Q — максимальное правое кольцо частных кольца
А. Равносильны условия:
1) Q — редуцированное кольцо\
2) Q — строго регулярное инъективное кольцо;
3) А — редуцированное кольцо и все его замкнутые правые
идеалы являются идеалами;
4) ВС = 0 для любых таких правых идеалов В и С в Ау что
ВпС = 0\
5) be = 0 для любых таких Ьу се А, что ЬАПсА = 0.
> Эквивалентность 4)«=> 5) и импликация 2)=> 1) проверяются
непосредственно.
1 )=>2). По 6.36(1) Q несингулярно. По 14.11 Q — инъективное справа
регулярное кольцо. Регулярное редуцированное кольцо Q строго
регулярно. По 14.12(2) Q инъективно слева.
2)=>3). Так как Q редуцировано, то А редуцировано. Пусть S —
замкнутый правый идеал в А и / е Нот(Вду АА). По 14.9(3) В = A DBQ.
Правый идеал BQ строго регулярного кольца Q — идеал в Q. Поэтому
B=AnBQ — идеал в Л.
3)=>1). По 14.11 Q регулярно. Допустим, что Q не редуцировано.
Тогда q2 = 0 для некоторого q e Q. Так как QA —существенное
расширение Ад, то O^qaeADqQ для некоторого аеА. Так как qQ — прямое
слагаемое регулярного модуля Qq, to A DqQ — замкнутый правый идеал
в Л, являющийся по условию идеалом. Поэтому aqa e A DqQ и aqa = qq'
378 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
для некоторого q1 eQ. Тогда
(qa)2 = qaqa = q-qq' = q2-q' = 0
и получаем противоречие.
3)^4). Пусть В и С — замыкания правых идеалов Bj\_C в_Л. Тогда
В п С = 0. Из 3) следует, что ВиС- идеалы. Поэтому ВС С В Г) С = 0,
откуда ВС = 0.
4) => 3). Если а е Л и а2 = 0, то по 4) 0 = аА п аЛ = аЛ. Поэтому Л
редуцировано. Пусть В — замкнутый правый идеал в А. Допустим, что АВ
строго содержит замкнутый правый идеал В. Тогда А В содержит такой
ненулевой правый идеал С, что В П С =0. По условию ВС = 0. По 6.34(4)
ЛСпЛВ = 0. Поэтому С = СпЛв = 0. Получено противоречие. □
14.14. Пусть Q — максимальное правое кольцо частных кольца
А, Равносильны условия:
1) А — несингулярное справа конечномерное справа кольцо;
2) Q — несингулярное справа конечномерное справа кольцо;
3) Q — несингулярное справа кольцо без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов;
4) Q — полупростое кольцо, Qa — инъективная оболочка
модуля АА и ф = Еп()(<?л).
> Эквивалентность 1)^»2) следует из 14.11 и 14.9(7). Импликации
2) => 3) и 4) =► 2) проверяются непосредственно. Импликация 3) => 4)
следует из 14.10 и того, что регулярные кольца без бесконечных множеств
ортогональных идемпотентов совпадают с полупростыми артиновыми
кольцами. □
14.15. Пусть А — конечномерное справа кольцо.
1) Если А — несингулярное справа полупервичное кольцо, то
А — правый порядок в полупростом артиновом кольце Ry
R = Qmax(A), Ra — инъективная оболочка модуля А а и /? =
= End(*>i).
2) Если А — редуцированное кольцо, то А— правый порядок
в кольце /?, причем R — конечное прямое произведение тел,
R = ФтахИ), Ra — инъективная оболочка модуля Ад и /? =
= End(RA).
> 1) По 10.11 А — правый порядок в полупростом артиновом кольце /?.
Обозначим Q = фтах(Л). По 14.9(13) RCQ. Так как Qa — существенное
расширение Аа, то (^ — существенное расширение /?#. Так как /? —
полупростое кольцо, то /?# — прямое слагаемое в Qr. Поэтому Q = R-
По 14.8 Ra — инъективная оболочка модуля Аа и /? = End(/?/i).
Дистрибутивные расширения 379
Пункт 2) следует из 1) и того, что по 10.13 Л —правый порядок
в конечном прямом произведении тел. □
Дистрибутивные расширения
Пусть X — подмодуль модуля М. Расширение X С М
называется дистрибутивным, если Xn(K + Z)=XflK+XnZ для любых
Y, Z € Lat(Af). Ясно, что из дистрибутивности расширения X СМ
следует дистрибутивность расширения X С Mf для любого
подмодуля М' в М, содержащего Х\ для любого подмодуля X
дистрибутивного модуля М расширение X СМ дистрибутивно', если
подмодуль X модуля М сравним по включению с любым подмодулем
в М, то расширение ХСМ дистрибутивно (в частности, при X = М
или X = 0 расширение ХСМ дистрибутивно).
Дистрибутивное расширение ХСМ называется максимальным
дистрибутивным расширением X, если /(Af) = Af' для любого такого
дистрибутивного расширения X С М', что существует мономорфизм
/: М —»Af', действующий тождественно на X.
14.16. Если X — подмодуль правого модуля М над кольцом А, то
равносильны условия:
1) расширение ХСМ дистрибутивно;
2) (X + Y)D(X + Z)=X + Yr\Z для любых подмодулей Y и Z в М;
3) Xn(yA+zA)=XnyA + XDzA для любых у, zeM;
4) х € X п у А + X п (х - у) А для любых хеХ и у еМ\
5) для любых х еХ и у е М существуют такие а, Ь еА, что
\=а + Ь и ха, уЬеХпуА;
6) (х\уА) + (у'.Х)=А для любых хеХ и уеМ.
> Импликация 1)=>3) и эквивалентность 5)«=> 6) проверяются
непосредственно.
3)=>1). Пусть Y,ZeLat(M), х = у + z eX D(Y + Z), yeY, zeZ.
Тогда
х eXH(yA+zA) =Xr\yA+XC)zA CXnY+XnZ,
XD(Y + Z) CXnY+XnZ CXD(Y + Z).
1) => 2). По модулярному закону (X + У) П (X + Z) = X + Y П (X + Z).
Пусть у = х + ze YП(X + Z), где х€X и zeZ. Тогда
х =y-z eXD(Y + Z) = XnY+XnZ.
Поэтому х = Х\ + *2, где Х\ еX П Y и Х2 €X П Z. Тогда
J/-*, = X2 + 2 € VHZ, у =xi + (y-x{) eX + YDZ,
X + Yn{X + Z)CX + YKZ CX+YD(X+Z).
380 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
2)=>1). Пусть У, ZeLat(M)yx = y + zeXn(Y + Z)yyeYyzeZ. Тогда
у = х-z e YП(Х + Z) С (X + Y)H(X + Z) = X + YDZ,
z=x-y e(X + Y)nZ C(X + Y)D(X + Z) = X + Yr\Z.
Поэтому у =X\ +у\ и z = X2 + z\y где х\у х2€Х и у\, z\ e YHZ. Тогда
*\ = 1/ —l/i € XnK, jc2 = z-z\ € *nZ,
л: = y+z = x{+y\+x2+zi = x\+x2+y\+z\ e XnY+XnZ + YDZ,
Xn(Y + Z) С XDY+XnZ + YnZ.
Используя модулярный закон, получаем
X n (Y + Z) = (X n (У + Z)) П(*П К + ^flZ + У nZ) =
= *ny+*nz + Xn(y + Z)nynZ = ;my+*nz.
1) =>5). Пусть jc GiY и у еМ. Тогда
х = (х-у) + у еХГ)((х-у)А+уА) = ХГ)(х-у)А+ХПуА.
Поэтому jc = (jc - (/)& + (/с для некоторых Ьу с € Л, где (jc - */)6, г/с € X.
Обозначим а = 1 — b e A. Тогда
1 = а+ 6, л:а = х(\ -b) = y(c-b) e ХПуА,
yb = xb-(x- y)b € ХПуА.
5) =>4). Пусть х € X и j/ G М. По условию существуют такие а, 6 Е Л, что
1 = а + Ь и хау yb еХПуА. Тогда
(х - y)b = xb - yb е X П(х - у)Ау
х = xa + xb = (xa + yb) + (x-y)b е ХПуА+Хп(х-у)А.
4)=> 1). Пусть
У, ZeLat(Af), jc = f/ + 2 GXn(K + Z), у € У, zeZ.
Так как х — y = z и jc = f/ + 2GAr П((/Л + 2/4), то по условию jt = */' + z'£
G^nK + XnZ для некоторых у' еХПуА и z'eXDzA. Поэтому
*n(y + Z) cxnY+xnZ c*n(y + Z). D
14.17. Пусть X — подмодуль модуля М.
1) Если для любого х еХ существует такой подмодуль Zx в X,
что х eZx и расширение ZXCM дистрибутивно, то
расширение X СМ дистрибутивно.
Дистрибутивные расширения 381
2) Множество Q(Xy Af) всех таких подмодулей М' С Af, что
расширение X С Af' дистрибутивно, непусто и для
любого линейно упорядоченного по включению подмножества
{М;}/е/ Я б(Ху Af) расширение X С Ц€/Af,- дистрибутивно.
Следовательно, непустое множество Q(Xy Af) содержит
хотя бы один максимальный элемент.
3) Если X' — подмодуль в М и расширения X С Af, X' С М
дистрибутивны, то расширения X ПХ*'СМ и X + Х' СМ
дистрибутивны.
> 1) Пусть х еХ и у € М. По условию существует такой подмодуль
Zx в Ху что х G Zx и расширение Zx С М дистрибутивно. Так как
х Е Zx С X, то по 14.16 существуют такие а, Ь Е Ау что 1 = а + Ь
и хау ybeZxDуА СXПуА. По 14.16 расширение X СМ дистрибутивно.
2) Так как X Е Q(Xy Af), то G(Xy M) ф 0. Пусть
хеХу М' = {JMiy yeM'.
Тогда у е Mi для некоторого/ е/. По 14.16 существуют такие a, be Л, что
\ = а + b и хау yb € X Г) уА. По 14.16 расширение А' САГ дистрибутивно.
3) Пусть У, Z e Lat(Af). Тогда
XCiX'n(Y + Z) =Xn(X'C\Y+X'C\Z) = X Г)Х'C)Y+X Г)Х'DZ.
Поэтому расширение X С\Х* С М дистрибутивно. Кроме того, по 14.16
(Х+*'+У)П(Х + Х' + 2) = X + (X'+Y)r\(X' + Z) =X+X'+YnZ.
Поэтому расширение X + X' С М дистрибутивно. □
14.18. Пусть {Xi)iei —такое множество подмодулей модуля Af,
что все расширения Xt С М дистрибутивны. Тогда расширение
YlieiX'i С Af дистрибутивно. В частности, если множество {Х/},-€/
линейно упорядочено по включению, то расширение \Jie/Xi С М
дистрибутивно.
> Пусть X = £/€/ Xi и х е X. Существует такое конечное подмножество
/С/, что хeYljejXj = Zx СХ. По 14.17(3) расширение Zx СМ
дистрибутивно. По 14.17(1) расширение X СМ дистрибутивно. □
14.19. Пусть X СМ — дистрибутивное расширение правых
модулей над кольцом А.
1) Для каждого модульного эпиморфизма h: М —> h(M)
расширение h(X) Ch(M) дистрибутивно.
2) Иош(Ха, Ул) = Нот(Уд, Хд) = 0 для любого такого подмодуля
Y вМу 4moXDY = 0.
382 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
3) Если h: М-+М — эпиморфизм и_ У— такой подмодуль в Му
что h(X)nY = Oy то Нот(А(Х), У) = Нот(У, h(X)) = 0.
4) Нот(Х/(* П У), У/(Х П У)) = HomA(Y/(X П У), Х/(Х C)Y)) = 0 для
любого подмодуля Y в М.
5) НотА(М/Х, M/Y) = Нот^М/У, М/Х) = 0 для любого такого
подмодуля Y в Му что X + У = М.
6) Для любого подмодуля Y в М никакой простой подфактор
модуля Х/(Х DY) не изоморфен никакому простому
подфактор у модуля Y/(XnY).
7) Для существенности подмодуля X в М необходимо и
достаточно, чтобы не существовал такой ненулевой подмодуль У
в Му что X П У = 0 и никакой простой подфактор модуля X
не изоморфен никакому простому подфактору модуля У.
8) Если множество всех простых подфакторов модуля X
содержит изоморфные копии всех простых подфакторов модуля
Му то X — существенный подмодуль в М.
> 1) Пусть h(x) e h{X) и h(y) € h(M)y где х е X и у € М. По 14.16
существуют такие а, Ь е Ау что 1 = а + Ь и хау уЬ € X П у А. Тогда
Л(х)а, h(y)beh(X)nh(y)A, По 14.16 расширение Л(Х)£Л(М)
дистрибутивно.
2) Пусть / G Нот(Уу4, ХА)У т G У и х = f(m)eX. По 14.16 существуют
такие а, 6 Е Л, что 1 = а + 6 и ха, тЬ е X Л тЛ С X П У = 0. Тогда
х =xa + xb = 0+f{m)b = /(mft) = /(0) = 0,
/ = 0, Нот(У, X) = 0.
Теперь пусть gE Horru(X, У) и Л: А4 —>Af/Ker(g) — естественный
эпиморфизм. Тогда Н(Х) П h(g(X)) = 0 и существует изоморфизм /: h(g(X)) -»
—>Л(Л). По 1) расширение h(X)Ch(M) дистрибутивно. По
доказанному выше Hom{h(g(X))y h(X)) = 0. Поэтому h(X) = f(h(g(X))) = 0. Тогда
* = Кег(£), £ = 0 и Нотд(Х, У) = 0.
Пункт 3) следует из 2) и того, что по 1) расширение h(X) С М
дистрибутивно. Пункт 4) следует из 3), примененного к естественному
эпиморфизму Л: M-^M/(XDY).
5) Так как X + У = А4, то
М/Х = (X + Y)/X ^Y/(XDY) и Af/K = (X + У)/К s Х/(Х П У).
Теперь применяем 3).
6) Допустим противное. Тогда существуют такие подмодули Х\, Х2у Уь
У2 в М, 4ToXnYCX2CX{CXy X П У С У2 С У, С У, Хх/Х2 и У|/У2-
простые модули, Х\/Х2 = У|/*2- Пусть Л: /И —► М/(Х2 + У2) —
естественный эпиморфизм. Так как ^ П (Х2 + У2) = ,Y2 + A'i П У2 С ^2 + X П У = Х2
Дистрибутивные расширения 383
и Y{n (X2 + Y2) = Y2 + YlnX2CY2 + XnY = Y2, то h(X{) и h(Yx) -
изоморфные простые модули и h(X\)C)h(Y\) = 0. Это противоречит 3).
7) Необходимость следует из того, что X П Y ф 0 для любого
ненулевого подмодуля КСМ.
Достаточность. Допустим, что существует такой ненулевой подмодуль
Y в М, что X П Y = 0. По 6) никакой простой подфактор модуля X не
изоморфен никакому простому подфактору модуля Y. Это противоречит
условию.
Пункт 8) вытекает из 7).
14.20. Для подмодуля X правого модуля М над кольцом А
равносильны условия:
1) X СМ — дистрибутивное расширение;
2) для любых хеХиуеМне существует простого фактормо-
дуля циклического модуля хА/(ХГ)уА), изоморфного
простому фактормодулю циклического модуля уА/(Х П у А);
3) для любого подмодуля Y в М никакой простой подфактор
модуля Х/(Х П У) не изоморфен никакому простому
подфактору модуля Y/(X П У).
> Импликация 1)=>3) доказана в 14.19(6). Импликация 3)=>2) очевидна.
2)=>1). Допустим, что расширение X С М не дистрибутивно. По
14.16 (х'.уА) + (у'.Х)^А для некоторых х €Х и у еМ. Пусть h: М —>
—►М/^П^/Л) —естественный эпиморфизм. Собственный правый идеал
(х у А) + (у'.Х) лежит в некотором максимальном правом идеале Р. Так
как х(\ - р) £Х П у А для всех р еР, то h(x)P^h(x)A. Поэтому
циклический модуль h(xA) имеет простой фактормодуль, изоморфный модулю
(А/Р)А. Кроме того, г(у) С (у \Х) СРиХПуА = у(у\Х)СуРфуА.
Поэтому циклические модули h(xA) и Л(#/4) имеют простые фактормодули,
изоморфные модулю (А/Р)д. Получено противоречие. □
14.21. Пусть X — подмодуль правого модуля М над кольцом А.
1) Если все простые подфакторы модуля М изоморфны, то
дистрибутивность расширения X СМ равносильна тому, что
модуль X сравним по включению с любым подмодулем в М.
2) Если A/1(A) — простое артиново кольцо, то
дистрибутивность расширения X СМ равносильна тому, что модуль X
сравним по включению с любым подмодулем в М.
3) Если А — простое артиново кольцо, то дистрибутивность
расширения X СМ равносильна тому, что либо X = 0, либо
Х = М.
> 1) Если модуль X сравним по включению с любым подмодулем в М,
то расширение X СМ дистрибутивно. Поэтому 1) вытекает из 14.20(2).
384 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
Пункт 2) вытекает из 1) и того, что в данном случае все простые А-
модули изоморфны друг другу.
3) Так как А — простое артиново кольцо, то существует прямое
разложение М = Х ®Y. По 2) либо X С У, либо У СХ. Поэтому либо Х=0,
либоХ = М. D
14.22. Если М — модуль и М = Х 0 У, то равносильны условия:
1) расширение X СМ дистрибутивно;
2) никакой простой подфактор модуля X не изоморфен
никакому простому подфактору модуля У;
3) Z=XnZ®YC)Z для любого подмодуля Z в М.
> Импликация 1)=>2) следует из 14.19(6).
2) => 3). Пусть А: М —► М/(Х П Z 0 У П Z) — естественный
эпиморфизм. Тогда h(M) = h(X) 0 h(Y) и существуют естественные
проекции жх: h(M) -> А (Л) и тг^: h(M) -> Л(У). Так как h(Z) П А(Х) = О
и A(Z) П Л(У) = 0, то 7rx(h(Z)) ** A(Z) ^ 7ry(h(Z)). Поскольку никакой
простой подфактор модуля X не изоморфен никакому простому
подфактору модуля У, то никакой простой подфактор модуля nx(h(Z)) не
изоморфен никакому простому подфактору модуля 7ry(h(Z)). Кроме того,
7rx(h(Z))^7rx(h(Z)). Поэтому irx(h(Z)) = 0 и ny(h(Z)) = 0. Тогда A(Z) = 0
и z=xnzeynz.
3)=>1). Пусть Zu Z2eLat(Af). Так как Z\ =X nZ, 0 У nZ, и Z2 =
= ,Y П Z2 0 У П Z2, то по модулярному закону
*n(Z,+z2) = ^n[(^nz1+^nz2)0(ynZI + ynZ2)] =
= xnZi+xnz2+xn{YnZi + Ynz2) = xnZi+xnZ2. d
14.23. Пусть существует хотя бы один простой правый А-
модуль, не изоморфный подфактору модуля X — и пусть {S;},€/
какое-нибудь непустое множество представителей классов всех
простых правых А-модулей, не изоморфных подфактору
модуля X. Тогда для любого кардинального числа N расширение
X СХ® (0i6/ S,)^ дистрибутивно.
> Обозначим через У полупростой модуль (©/€/S,-)<N). Произвольный
простой подфактор полупростого модуля У изоморфен одному из простых
модулей Si. По 14.22 X С X 0 У — дистрибутивное расширение. □
14.24. Если Е — инъективная оболочка правого модуля X над
кольцом А у то равносильны условия:
1) каждое дистрибутивное расширение X С Мд —
существенное расширение;
2) для каждого дистрибутивного расширения Хд С Мд модуль
М изоморфен подмодулю в Е\
Дистрибутивные расширения
385
3) существует такая мощность К, что card(A/) ^ К для каждого
дистрибутивного расширения X С Мд\
4) модуль X обладает максимальным дистрибутивным
расширением',
5) каждый простой правый А-модуль изоморфен подфактору
модуля X.
> Импликация 5)=> 1) следует из 14.19(8). Импликация 1)=>2) следует
из того, что для каждого существенного расширения X С Мд модуль М
изоморфен подмодулю в Е. Импликация 2) => 3) следует из того, что
можно положить N = card(£).
1) =»5). Допустим, что существует простой правый Л-модуль 5,
который не изоморфен подфактору модуля X. По 14.23 расширение^ СХ 0S
дистрибутивно. Это дистрибутивное расширение не является
существенным, что противоречит 1).
3) => 1) и 4) => 1). Допустим, что существует дистрибутивное
расширение X С М, не являющееся существенным. Тогда X П Y = О для некоторого
ненулевого циклического подмодуля Y в М. Модуль Y обладает простым
фактормодулем S. Из 14.17(3) следует, что расширение X CX&S
дистрибутивно. По 14.23 для любого кардинального числа К расширение
X СХ0SW дистрибутивно. Это противоречит 3) и 4).
1) =>4). Пусть G(Xy Е) — множество всех таких подмодулей Е' в £, что
расширение ХСЕ' дистрибутивно. По 14.17(2) множество Q(Xy E)
непусто и содержит хотя бы один максимальный элемент М. Пусть X С Y —
дистрибутивное расширение и существует мономорфизм /: М —► К,
действующий тождественно на модуле X. Изоморфизм /_1: f(M) —► М С Е
действует тождественно на модуле X и продолжается до
гомоморфизма g: Y —>£, поскольку модуль Е инъективен. По вытекающему из 1)
условию 2) X — существенный подмодуль в Y. Так как A'nKer(g) = 0,
то g — мономорфизм. Кроме того, расширение X С g(Y) дистрибутивно
и М = gf(M)) С g(Y). Так как М — максимальный элемент в G(Xy £), то
g(Y)=M. Поэтому f(M) = Y и X С М — максимальное дистрибутивное
расширение. □
14.25. Если X СМ — дистрибутивное расширение правых
модулей над кольцом А и X содержит изоморфную копию модуля Аду
то М — существенное расширение X. (Вытекает из 14.24 и того, что
любой простой правый Л-модуль —гомоморфный образ модуля Ад.)
14.26. Если в кольце А правый аннулятор любого элемента
лежит в левом аннуляторе этого элемента и Хд = Ад, то каждое
дистрибутивное расширение Хд С Мд — рациональное расширение.
> По 14.25 X СМ — существенное расширение. Пусть О^х еХ и 0 ^
т^гае Af. По 14.1 достаточно доказать существование такого а €/4, что
386 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
хафОи таеХ. Если теХ, то можно положить а = 1. Поэтому считаем,
что т^Х. Так как Л' = А а , то существует такой элемент у Е Л\ что ^ = i/Л
и г,4((/) = 0. По утверждению 14.16, примененному куеХ и теМ,
существуют такие ft, се А, что//(1 — 6)€AT)m/4, mfr eXfim/l и i/( 1 —ft) = mc.
Если xb Ф О, то можно положить a — by поскольку mb € X. Если хс ф 0,
то можно положить а —с, поскольку тс еХ.
Допустим, что xb = хс = 0. Существует такой элемент d € А, что
х = yd. Тогда */d6 = j/dc =0 и й = & = 0. По условию правый анну-
лятор га№) лежит в левом аннуляторе ^(d). Поэтому bd = cd = 0. Тогда
х = yd = у(\ — b)d = mcd = m • 0 = 0 и получаем противоречие. D
Несингулярные 7г-инъективные кольца
14.27. Предложение. Для кольца А равносильны условия:
1) А — несингулярное справа is-инъективное справа кольцо;
2) А = D х Е, где D — инъективное справа регулярное бэров-
ское тотально неабелево кольцо, порожденное (как кольцо)
идемпотентами, Е — редуцированное бэровское кольцо,
содержащее все идемпотенты своего максимального правого
кольца частных Q, причем Q — строго регулярное
инъективное кольцо.
> 1)=>2). По 14.11 (?тахИ) — инъективное справа регулярное кольцо.
По 11.6 Qmax(A) = D х Q, где кольцо D порождается своими идемпо-
тентами, Q — инъективное справа строго регулярное кольцо. По 14.12(2)
кольцо Q инъективно. По 14.9(12) все идемпотенты кольца Qmax(A)
лежат в А. Поэтому DC/4,j4 = DxZ:h(? = Qmax(E). Тогда все идемпотенты
из Q лежат в Е. Пусть В — подмножество в А. По 6.24(1) г(В) —
замкнутый правый идеал. Так как А 7г-инъективно справа, то г(В) = еА
и е = е2 € А. Поэтому А — бэровское кольцо.
2) => 1). Так как А — бэровское кольцо, то А несингулярно. Так как D =
= Qmax(O), то Qma\(A) = D xQ. Поэтому А содержит все идемпотенты
инъективного справа кольца фтахИ). По 14.9(12) А 7г-инъективно справа.
О
14.28. Предложение. Верны утверждения.
1) А— несингулярное справа непрерывное справа кольцо в
точности тогда, когда A=DxE, где D — инъективное справа
тотально неабелево регулярное кольцо, порожденное идемпоте-
нтами, и Е — непрерывное справа строго регулярное кольцо.
2) А — инъективное справа несингулярное справа
неразложимое кольцо в точности тогда, когда А — инъективное
справа регулярное первичное кольцо.
Несингулярные 7г-инъективные кольца
387
> Пункт 1) следует из 14.27 и 11.47.
2) Достаточно доказать импликацию =>. По 11.12(4) А регулярно.
Допустим, что А не первично. Существуют такие ненулевые идеалы М
и N в Л, что MN = 0. Тогда (М П ЛО2 = 0. Так как регулярное кольцо
А полупервично, то М П N = 0. Пусть е = е2 € А и еА — инъективная
оболочка модуля Af^. По 11.43(2) е — центральный идемпотент
неразложимого кольца А. Поэтому е= 1 и N = 0. Получено противоречие. □
14.29. Предложение. А — п-инъективное справа несингулярное
справа кольцо, не содержащее бесконечных множеств
центральных ортогональных идемпотентов в точности тогда, когда
А = А\ х ... х Ап, где каждое Ai—либо инъективное справа
регулярное первичное кольцо, либо равномерная справа область.
Кольцо без бесконечных множеств центральных ортогональных
идемпотентов — конечное прямое произведение неразложимых колец.
Поэтому можно считать, что А — неразложимое кольцо. Импликация <= следует
из того, что любой равномерный модуль 7г-инъективен.
=>. Если А — инъективное справа регулярное неразложимое кольцо,
то А первично по 14.28(2). Допустим, что А не инъективно справа. По
14.27 А — редуцированное неразложимое кольцо, максимальное правое
кольцо частных Q кольца А строго регулярно и все идемпотенты Q
лежат в А. Поэтому строго регулярное кольцо Q не имеет нетривиальных
центральных идемпотентов. Тогда Q — тело и А — область. По 7.26(6) 7г-
инъективная справа область А равномерна справа. □
14.30. Пусть А — я-инъективное справа несингулярное справа
кольцо.
1) Л — бэровское кольцо.
2) Если В — идеал в А и е — такой идемпотент в Ау что еА —
существенное расширение В а, то идемпотент е централен.
> Пункт 1) следует из 6.24(2). Пункт 2) следует из 11.43(2). □
14.31. Пусть А — кольцо, содержащее бесконечное счетное
множество {ei}fl{ ненулевых центральных ортогональных
идемпотентов е{, Т = @^xeiA и А=А/Т. Допустим, что для любого
собственного подмножества М в Я существует такой центральный
идемпотент щ>м €А, что wm^i = £; для i еМ и wMet = 0 для ieAf\M.
1) Кольцо AjiMeem такой счетно порожденный идеал В, что
идеал Гд(В) не порождается идемпотентом.
2) Кольцо А не является бэровским.
3) А не является тг-инъективным справа регулярным кольцом.
> 1) Для любого а € А обозначим d(a) = {/ G N | et(a) ф 0}. Представим
N в виде объединения N = |JN/ бесконечного числа бесконечных непе-
388 Глава 14. Максимальные кольца частных и рациональные расширения
ресекающихся множеств Л/у. По условию для любого / €N существует
такой центральный идемпотент w-s в А, что e\Wj =et при / € Nj и etWj = 0
при i eN\Nj. Пусть Л: А->А — естественный эпиморфизм. Для любого
подмножества X С А будем вместо Л (Л) писать X. Пусть в — идеал в А,
порожденный счетным множеством {w}} идемпотентов, F — полный
прообраз в А идеала Гд(В) в А. Тогда Z7 = {а 6 Л | \d(a) Г) Nj\< ос V/ е N}.
Допустим, что F = /Л, / € F и / = (/)2 € F. Так как / € /\ то множество
d(/) П yVy- конечно для любого / € N. Поэтому можно выбрать число
п} € Nj \ (d(f) П Nj). Все числа л у различны, поскольку множества Nj
не пересекаются. Обозначим через t такой элемент в Л, что £,-(/) = е,-(1),
если / совпадает с одним из чисел п} и е,(/) = 0 в противном случае. Для
любого N} множество d(t)C)Nj содержит в точности один элемент.
Поэтому / G F. Тогда /7= J и множество d(ft — t) конечно. Так как все числа
rij лежат в d(t) \ d(f), то множество d(ft - t) содержит бесконечно много
чисел rij и, в частности, d(ft — t) бесконечно. Получено противоречие.
Поэтому идеал F в Л не порождается идемпотентом.
Пункт 2) следует из 1). Пункт 3) следует из 2) и 14.30(1). D
14.32. Пусть А — кольцо.
1) Пусть {Ai}fl{ — бесконечное счетное множество
ненулевых колец А\. Попустим, что либо А = Yl°l{ Л/, либо А —
инъективное справа регулярное кольцо, содержащее
бесконечное счетное множество {ei}fl{ ненулевых центральных
ортогональных идемпотентов et. Тогда существует такое
бесконечное счетное множество ненулевых центральных
ортогональных идемпотентов {//}-^j в Л, что факторкольцо
D =A/(Q)°l{tiA) имеет такой счетно порожденный идеал
В, что идеал го(В) не порождается идемпотентом, D не
является бэровским кольцом, D не является инъективным
справа регулярным кольцом.
2) Если А — прямое произведение счетного множества строго
регулярных колец Л,- и D — факторкольцо Л/(ф^, Л/), то А
и D — строго регулярные кольца и D не инъективно справа.
> 1) По 14.31 достаточно доказать, что Л содержит такое
бесконечное счетное множество {ef-}/6N ненулевых центральных ортогональных
идемпотентов е-и что для любого собственного подмножества М в N
существует такой центральный идемпотент wm € Л, что w^ei = e{ при
/€Af и WMei = 0 при i€J\f\M.
Пусть Л — прямое произведение бесконечного счетного множества
{Л;}?^1 ненулевых колец Л/ с единицами в\. Для любого собственного
подмножества М в N обозначим через wm центральный идемпотент в Л,
Несингулярные 7г-инъективные кольца
389
соответствующий естественной проекции кольца А на П/ем^/- Тогда
WM^i — &i ДЛЯ / € М И Wm^i — О ДЛЯ / Е N \ М.
Пусть А — инъективное справа регулярное кольцо, содержащее
бесконечное счетное множество {е/},^ ненулевых центральных
ортогональных идемпотентов ег и Af — любое собственное подмножество в N. Так
как модуль Ад инъективен, то существует такой идемпотент wm Е/4, что
WmA — существенное расширение (©/6yW e-tA) и (1 - Wm)A —
существенное расширение (0/€N\m ей). Поэтому w^ei = е/ для / Е Af и шм£; = О
для /EN\Af. Так как все идемпотенты е,- центральны, то ф/6^^/^ —
идеал в Л. По 14.30(2) идемпотент wm централен.
2) Ясно, что А строго регулярно. Поэтому D строго регулярно. В
частности, А несингулярно. Пункт 2) следует теперь из 1). □
14.33. Теорема. Для регулярного кольца А равносильны условия:
1) А малоинъективно справа;
2) А инъективно справа\
3) А = D х £, где D — инъективное справа регулярное тотально
неабелево бэровское кольцо, порожденное (как кольцо) идем-
потентами, и Е — строго регулярное инъективное кольцо.
> Импликации 3)=>2) и 2)=> 1) проверяются непосредственно.
1)=>3). Каждый малоинъективный модуль 7г-инъективен. По 11.48
А = D х £, где D — регулярное тотально неабелево инъективное
справа бэровское кольцо и £ —редуцированное регулярное кольцо.
Поэтому Е строго регулярно. Достаточно доказать, что Е
инъективно. Пусть В — правый идеал в £, / Е Hom(fi£, Ее) и Ь Е В.
Существует такой центральный идемпотент е Е £, что ЬЕ = еЕ. Поэтому
f(b) = f(be) = f(b)e = ef(b) Е еЕ = ЬЕ. Поэтому f(B) С В. Так как Е
малоинъективно справа, то / продолжается до эндоморфизма модуля
Ее. По критерию Бэра 7.12 Е инъективно справа. По 14.12(2) Е
инъективно. □
14.34. Следствие. Для строго регулярного кольца А равносильны
условия:
1) А малоинъективно справа;
2) А малоинъективно слева;
3) А инъективно.
Утверждение 14.34 вытекает из 14.33 и 14.12(2).
Литература. [22,96,112,149,300].
15
Кольца многочленов и формальных рядов
Группа [ \х~\ х\ \А [ [х, х~х\ ] и ее подгруппы. Пусть Л
—аддитивная абелева группа и х — формальная переменная. Обозначим через
[[х~\ х]]А[[ху х~1}] аддитивную абелеву группу, образованную всеми
формальными рядами Ylm пеъхт(Хт«хП (а«™ ^^) со сложением
£ хтатлх" + Y, хт<пх"= £ хт(атп + а'тп)хп.
т,пе% m,n€Z т,п€%
Вместо х°ахпу хтах° и х°ах° будем писать ахпу хта и а соответственно.
Мы будем отождествлять нулевые элементы 0 и ]Гт пег*™®*" ФУПП А
и[[х-\х]]А[[х,х-1]].
А[[ху х 1]]Л\Х '» Х]]А обозначают подгруппы в [[х \х]]А[[ху х 1]],
образованные всеми рядами Y^neza^xn и YLmei^0-^ соответственно.
А((х)) обозначает подгруппу в Л [[jc, jc—1 ]], образованную всеми
рядами f(x) = ^2neZanxny у которых ап = 0 для почти всех отрицательных п.
Элементы f(x) группы А((х)) называются левыми рядами Лорана от х
над А с коэффициентами ап еАу причем наименьший индекс п, для
которого ап т^О, называется младшей степенью ряда f(x)y а
соответствующие одночлен апхп и коэффициент ап называются младшим членом
и младшим коэффициентом ряда /(*), причем младший
коэффициент обозначается через А(/) и по определению полагаем А(0) = 0. Для
каждого подмножества F СА((х)) через X(F) обозначается подмножество
{\(f)\f€F}QA.
А[[х]] обозначает подгруппу в /t((x))C/4[[x,x *]], образованную
всеми рядами ^2nez,anXn9 у которых п ^ 0. Элементы группы А[[х]]
называются левыми степенными рядами от х над А.
А((х~[)) обозначает подгруппу в А[[ху х-1]], образованную всеми
рядами f(x) = X^nez апХп, у которых ап = 0 для почти всех положительных пу
причем наибольший индекс п, для которого апфОу называется старшей
степенью ряда /(*), соответствующие одночлен апхп и коэффициент ап
называются старшим членом и старшим коэффициентом ряда /(*),
а коэффициент ао называется свободным членом ряда f(x).
А[[х~{\] обозначает подгруппу в А((х~[)) с А[[х, х~[]]у
образованную всеми рядами Y^nez an*n, У которых л ^ 0.
Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов 391
А[ху х~х] обозначает подгруппу А((х))Г)А((х~1)) в А((х)) и А((х~{)).
Элементы группы А[ху х~{ ] называются левыми многочленами Лорана
от х над А и состоят из всех f(x) = ^„ez а«*л, у которых ап = О для почти
всех п.
Л[х] обозначает подгруппу в А[х, х~[]у образованную всеми f(x) =
= X]«ez йпХГ'» У которых п^Ои ап = 0 для почти всех л. Элементы группы
Л[х] называются левыми многочленами от х над Л.
Группы ((х))Л, [[х]]Л ((л:"1))^, [[х"1]]^ [х_1,х]Л и [х]А
определяются аналогично группам А((х))у А[[х]]у Л((х-1)), Л[[х~1]], А[ху х-1]
и Л[х] соответственно. Элементы групп ((х))Л, [[*]]Л, [х-1, х]А и [х]Л
называются правыми рядами Лорана, правыми степенными рядами,
правыми многочленами Лорана и правыми многочленами от х над
Л соответственно, причем аналогично левостороннему случаю
определяются младшая и старшая степени, младший и старший члены, младший
и старший коэффициенты и свободный член. Мы будем также иногда
писать АГ((х))у Аг[[х]]у Аг[ху х-1], Аг[х] вместо ((х))Ау [[х]]Ау [х~\ х]А
и [х]А соответственно.
[*_1]Л[[х]] обозначает подгруппу в [[х-1, *]]Л[[х, х~[]]у
образованную всеми рядами Ylm,nezxmamn^n, У которых т ^ 0, п ^ 0 и ат„ = 0 для
почти всех т.
[[х~ху х]]А[х~{] обозначает подгруппу в [[х~\ х]]Л[[х, х~{]]9
образованную всеми рядами 52т,пехХтатпХпУ У К0Т0РЫХ п ^0 и ат« = 0 для
почти всех л.
Кольца |х~"! |А | |xt у>||, \\сру х\\А и их подкольца. Пусть <р —
инъективный эндоморфизм кольца Л, х — формальная переменная и S =
Через Л [[jc, у?]] обозначается левое кольцо косых степенных рядов,
состоящее из формальных рядов Х^о Ял*л от переменной х с
каноническими коэффициентами ап е Л, где сложение определяется естественным
образом, а умножение —с помощью правила
х"а = <рп(а)х\ аеАу п = 0, 1, 2, ...
Через [[у?, х]]Л или Аг[[ху <р]] обозначается правое кольцо косых
степенных рядов, состоящее из формальных рядов Y^Lo*"61" 0T пеРе_
менной х с каноническими коэффициентами ап€А, где сложение
определяется естественным образом, а умножение — с использованием правила
ахп=хпуп(а)у аеАу п = 0у 1,2, ...
Кольца А[[ху у?]] и [[<ру А]] содержат в качестве унитарных подко-
лец левое кольцо косых многочленов А[ху <р] и правое кольцо косых
многочленов [у?у х]Ау состоящие из рядов с конечным числом ненулевых
коэффициентов.
392 Плава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
Если ср — тождественный автоморфизм 1^ кольца Л, то ясно, что
А((х9 \А)) = ((\А,х))А=А((х)) = ((х))А,
А[[х9 1а]] = [[1а,х)]А=А[[х]] = [[х)]А,
А[х, х'\ \А] = [1а, х'\ х]А = А[х, х~1] = [х~\ х)А,
А[х91а] = [1а,х]А=А[х] = [х)А.
Кольца косых многочленов
Если <£ —автоморфизм кольца Л, то имеется кольцевой изоморфизм
7: [у>, х]А - А[х, <р-{Ъ 7 (ХУ*/) = Х^(а«)*й. * € Z>
превращающийся при <р = 1л в естественный кольцевой изоморфизм
[х]Л —* А[х], при котором суммы £] Jt'a,- переходят в суммы Ylaixl' •
15.1. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца А.
1) Л[х, у?] — область в точности тогда, когда А — область.
2) Л[х, <р] — нётерово слева кольцо в точности тогда, когда
А — нётерово слева кольцо.
3) Если А — тело, то А[ху <р] — область главных левых идеалов.
> Обозначим R = A[xy <p]. Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) Если R нётерово слева, то А нётерово слева, поскольку А
изоморфно факторкольцу R/Rx. Допустим теперь, что А нётерово слева
и Т7 —левый идеал в R. Выберем любой ненулевой многочлен f\ € F
наименьшей степени. Если многочлены /i, ..., fn уже выбраны, то
возьмем любой многочлен /4+i €/7\{//}f=rl наименьшей степени. Получена
бесконечная последовательность {fnY%L\ многочленов fn степени kn со
старшими коэффициентами ап е Л, причем k\ ^ k<i ^ ... Так как А
нётерово слева, то ап+\ =Ym=\ biG>i для некоторых Ь\, ..., bn G А. Обозначим
/ = /я+1 - YH=\ bih G F. Так как deg(/) < kn+\ и fn+\ имеет
наименьшую степень среди многочленов F\{fi}"=l, то / € £"=1/?//. Поэтому
/«+! = / + Е-=. *//-• е Е?=. «Л и f = ЕГ=, л//-
3) Пусть Z7 — ненулевой левый идеал области R. Существует такой
ненулевой многочлен /б/7, что deg(/) ^deg(g) для каждого ненулевого
многочлена g€F. Так как Л—тело, то можно считать, что старший
коэффициент для / равен 1. Пусть g — ненулевой многочлен в F со
старшим коэффициентом а. Тогда
g_fljcdeg(*)-deg</)j € F> degtg-fljc^^-^^/) < deg(/),
g - д^вЫМ/)/ = 0> g € /?/, Z7 = Я/.
Поэтому R — область главных левых идеалов. □
4
Кольца косых многочленов
393
15.2. Пусть ip —инъективный эндоморфизм кольца A, R =
= А[ху(р]у f—многочлен из R со свободным членом /о€Л, п е N,
п ^ 2, h: R —► R/Rxn — естественный эпиморфизм, S = [<р, х]Л.
1) Rxn — идеал в R, xnS — идеал в S, существуют
естественные кольцевые изоморфизмы А = R/Rx = S/xSy причем h(Rx) —
нильпотентный идеал в h(R).
2) Если h(f) — ненулевой идемпотент в h(R)y то fa — ненулевой
идемпотент в А.
3) Если h(f) лежит в центре h(R)y то fa лежит в центре R
" /о = ¥>(/о).
4) Если h{f) — идемпотент в h(R) и fa — центральный
идемпотент в Ry то h(f) = h(fa).
5) Если h(f) — центральный идемпотент в h(R)y то fa —
центральный идемпотент в /?, /о = ¥>(/о)€Л и h(f) = h(fa).
6) Если f — центральный идемпотент в Ry то f € Л и f = <£(/).
7) Если D(A) — множество всех таких центральных идем-
потентов е кольца Ау что ip(e) = ey то множество всех
центральных идемпотентов кольца R совпадает с D(A)
и множество всех центральных идемпотентов кольца h(R)
совпадает с h(D(A)).
8) Если А строго регулярно, то h(R) — левое кольцо Везу в
точности тогда, когда кольцо h(R) дистрибутивно слева.
9) Если А строго регулярно и (р(е) = е для каждого
центрального идемпотента е в Ау то для каждого главного
левого идеала Т кольца R существуют такие ортогональные
идемпотенты ео, •••> ^л-i €АУ что все ег лежат в центре
R и h(T) = 0£ГО1 h(Rxl)h(ei) — идеал в h(R) (некоторые из е-й
могут равняться нулю).
> Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) Так как h(f) фОу то / Ф 0. По условию / - /2 е Rxn. Поэтому
свободный член fa - /о2 многочлена / — /2 равен нулю и fa —
идемпотент. Допустим, что /о = 0. Существует такое натуральное k ^ 1, что
/ = (а + gx)xk, где 0 Ф а е А и g e R. Так как h(f) ф 0, то k < п. Тогда а —
коэффициент при xk многочлена / — /2 eRxn. Поэтому а — О. Получено
противоречие.
3) Коэффициент при х многочлена fx—xf равен fa — <p(fa). Так как
fx ~ xf e Rxn и п ^ 2, то /о - <p(fo) = 0- Поэтому /0 = <?(/о), откуда
fax = xfo. Пусть а е А. Свободный член многочлена fa — af равен
ha — a fa. Так как fa - af е Rxny то faa = a fa. Кроме того, fax = xfa.
Поэтому fa лежит в центре R.
394 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
4) Допустим, что h(f) ф А(/о). Так как А(/о) — центральный идемпотент
в h(R)y то и h(\ — /о) — центральный идемпотент. Кроме того, /*(/) —
идемпотент. Тогда h(\ - fo)h(f) — ненулевой идемпотент в h(R)y причем
свободный член многочлена (1 - /о)/ равен нулю. Это противоречит 2).
5) По 2) и 3) /о — центральный идемпотент в S и /о = ¥?(/о)£Л. По
4)А(/) = А(/о).
6) Возьмем такое целое число k ^ 2, что k > deg(/). Пусть h*: R —►
—> R/Rxk — естественный эпиморфизм. Тогда h*(f) — центральный
идемпотент в h*(R). Применим 5) к случаю А = А*. По 5) /о = <^(/о) € Л
и /**(/) = /г*(/о). Тогда / - /о Е Rxk. Так как * > deg(/ - /о), то / = /0 € Л.
Пункт 7) следует из 5) и 6).
8) Так как h(Rx) — нильпотентный идеал в h(R) и h(R)/h(Rx) = Ay то
кольцо h(R)/h(Rx) строго регулярно и 8) следует из 11.16(3).
9) Обозначим Т0 = Т. Пусть Т0 = Rf{0) ф О и /{0) = а0 + g(0)x, где
ао€/4 и g(0) € /?. По 11.13 ao = doeoy где ео — центральный идемпотент
и do € £/(Л). Так как <р(во) = ео, то ео — центральный идемпотент в R
и r0 = Wo + g(0)^oe/?(l -e0)g{0)x. Обозначим /<■> = (1 -e0)g{0) €#,
T{=Rf{[)x. Пусть /(1) = fl|+ g(l)*, гдеа^Л и g{l) e R. По 11.13
aj = di^i, где ei — центральный идемпотент и di € £/(/4). Так как
tp(e\) — е\у то ^| — центральный идемпотент в R и Т\ =R(d\ + g(1)Jt)xei ф
0/?g(1)(l -е,)х2. Обозначим /(2) = g(1)(l - *>0 Е /?, T2 = Rf{2)x.
Повторим эти действия несколько раз. Так как многочлен /(0) имеет
конечную степень, то в конце концов мы получим прямое разложение
Т = ©""J R(di + g{})x)xieiy где g{i) € /?, d; G £/(Л), e,- — ортогональные
идемпотенты кольца Л, лежащие в центре /?, / = 0, ..., п — 1. Так как
h{g{i)x) — нильпотентные элементы кольца й(/?) и A(d,) € £/(А(Л)), то
ft(d,- + g(/)x) € £/(/*(/?)) для всех /. Поэтому h(R(di + g{i)x)xl) = Л(/?х'")
для всех /. Кроме того, h(et) — ортогональные идемпотенты кольца h(A)y
лежащие в центре h(R)y i = 0, ..., п — 1. Тогда
Я-1 /1-1
— идеал в /*(/?). □
15.3. £с/ш (р — инъекпгивный эндоморфизм кольца А и R =
= А[ху <р]у то равносильны условия:
1) R — нормальное кольцо;
2) R/Rx2 — нормальное кольцо;
3) R/Rxn — нормальное кольцо для всех neN;
4) Л — нормальное кольцо и ц>(е) = е (Зля каждого центрального
идемпотента ее А.
Кольца косых многочленов
395
> Импликация 3)=>2) очевидна.
2)=>4). Пусть й: R-+ R/Rx2 — естественный эпиморфизм. Так как
А П Кег(й) = 0, то кольцо А изоморфно подкольцу нормального кольца
h(R). Поэтому А нормально. Пусть е — центральный идемпотент в А.
Тогда h(e) — идемпотент нормального кольца h(R). Поэтому
h(xe) = h(x)h(e) = h(e)h(x) = h{ex).
С другой стороны, h{xe) = h((p(e)x). Тогда h((p(e)x - ex) = 0, откуда
(<р(е) - е)х е Rx2. Поэтому <р(е) -е = 0.
4)=>3). Пусть й: /? —» R/Rxn — естественный эпиморфизм и / —
такой многочлен из R, что й(/)— ненулевой идемпотент в h(R). Пусть
е — свободный член многочлена /. По 15.2(2) г —ненулевой идемпотент
нормального кольца А. По условию (р(е)=е. Тогда ех = хе. Поэтому
е — центральный идемпотент в R. Тогда й(е) — центральный идемпотент
вй(/?). По 15.2(4) h(f) = h(e).
Доказательство 1)=>4) аналогично доказательству 2)=>4).
Доказательство 4) => 1) аналогично доказательству 4) => 3). □
15.4. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца Ау R =
= А[х,<р], neN, й: R —> R/Rxn — естественный эпиморфизм, £(А),
£(R) и £(h(R)) — множества всех пирсовских слоев колец A, R
и h(R) соответственно. Допустим, что <р(е) = е для каждого
центрального идемпотента ее Л.
1) Если А/Р — пирсовский слой для А, то R/RP и h(R)/h(RP) —
пирсовские слои колец R и h(R) соответственно. Кроме
того, правилами s(A/P) = R/RP и t(A/P) = h(R)/h(RP) задаются
биекции s: £{A)-+£{R) и t: £(A)->£(h(R)).
2) Если А/Р — пирсовский слой для А, то ср(Р) СР,<р индуцирует
инъективный эндоморфизм ф кольца А/Р и ф индуцирует
естественные кольцевые изоморфизмы a: R/RP-+(А/Р)[х, ф]
и (3: h(R)/h(RP)-+(A/P)[x, ф]/(А/Р)[х, ф]х".
3) Пусть Т — такой класс колец, что Х^Т в точности тогда,
когда все пирсовские слои кольца X принадлежат Т. Тогда
h(R) eF в точности тогда, когда для каждого пирсовского
слоя А/Р кольцо (А/Р)[х, ф]/(А/Р)[х, ф]хп принадлежит Т.
Кроме того, R€lT в точности тогда, когда для каждого
пирсовского слоя А/Р кольцо (А/Р)[х, ф] принадлежит Т.
4) R — левое кольцо Везу в точности тогда, когда для каждого
пирсовского слоя А/Р кольцо (А/Р)[х, ф] —левое кольцо Везу.
5) h(R) —левое кольцо Везу в точности тогда, когда для
каждого пирсовского слоя А/Р кольцо (А/Р)[х, ф]/(А/Р)[х, ф]хп —
левое кольцо Везу.
396 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
6) Если А — риккартово слева нормальное кольцо и y?(d) e U(A)
для каждого неделителя нуля deA, то R —
редуцированное кольцо, каждый пирсовский слой А/Р — область, <р(Р) С Ру
(р индуцирует инъективный эндоморфизм ф области А/Р
и (А/Р)ф(а)=А/Р для каждого ненулевого аеА/Р.
> Пункт 1) следует из 15.2(7).
2) Пусть Р = ^2ief Ае;у где все ^ — центральные идемпотенты в А.
Так как (p(ei) = е,- для всех е1у то (р(Р) С Р и <р индуцирует эндоморфизм ф
кольца А/Р. Пусть а + Ре Кег(<£), где a Е А. Тогда (р(а) € Я и существует
такое конечное подмножество /С/, что ц>(а) Е YljeJ^ei- Обозначим
через и центральный идемпотент в Л, являющийся произведением всех
центральных идемпотентов (1 - е}) (/€/). Тогда 1 - и Е Ру иц>(а)=0
и и = (р(и) по условию. Поэтому
О = (р(и)<р(а) = (р(иа)у аи = иа Е Кег(у?) = 0.
Тогда а = (1 — и)аеР и ф — инъективный эндоморфизм.
Непосредственно проверяется, что ф индуцирует естественные кольцевые изоморфизмы
a:R/RP -> (А/Р)[х,ф)
и
(3: h(R)/h(RP) - (Л/Р)[х, ^]/(Л/Р)[х, с^х".
Пункт 3) следует из 1) и 2). Пункты 4) и 5) следуют из 3) и 13.27.
6) Допустим, что 0^ f eR и /2 = 0. Пусть / = (а + gJt)*", где /2^0,
gEtf, О^яеЛ. Тогда
0 = /2 = (а + #х)хл(а + я^)^л = (врл(я) + ^jc)jc2rt, w e R.
Поэтому а(рп(а) = 0. Так как А — риккартово слева нормальное кольцо, то
по 7.38 а = edy где е — ненулевой центральный идемпотент и d —
неделитель нуля. Кроме того, по условию <р(е) = е ^0. Поэтому 0 = ed<pn(ed) =
= ed(pn(d). Кроме того, либо /г = 0 и (pn(d) = dy либо гг > 0 и по условию
<£"(d) E U(A). В обоих случаях d(pn(d) — неделитель нуля в А. Так как
ed(pn(d) = 0y то е = 0. Получено противоречие. Поэтому /? редуцировано.
По 13.14(7) А/Р — область. По 2) <р(Р) С Р и ср индуцирует инъективный
эндоморфизм ф области А/Р. Пусть п: А —* Л/Р — естественный
эпиморфизм и а = 7г(а), где а Е Л \ Р. Так как Л — риккартово слева нормальное
кольцо, то по 7.38 a = edy где е — центральный идемпотент в Л и d —
неделитель нуля. Поскольку a = 7r(e)7r(d) ^0, то 7г(е) — ненулевой
идемпотент области 7г(Л). Поэтому 7г(е)=7г(1) и п(Ае) =7г(Л). По условию
¥?(е) = е и A(p(d) = A. Поэтому
п(А)ф(а) = 7г(Лу?(б/))7г(^) = 7г(Ле) = 7г(Л). □
Кольца косых многочленов Лорана
397
Кольца косых многочленов Лорана
Пусть <р — инъективный эндоморфизм кольца А. Левым кольцом
косых многочленов Лорана называется левое кольцо частных А[ху х~{, ср]
левого кольца косых многочленов А[х, <р] относительно левого
множества Ope S = {xk}fL0. Кольцо А[ху х~\ <р] состоит из выражений вида
*~*(l>*') = 1>~Ч*'') (k 3* О, а,- е А).
\-=о ' i=o
Если (р — автоморфизм кольца Л, то кольцо R совпадает с левым кольцом
косых многочленов Лорана, состоящим из многочленов
/=0 i=0
Аналогично определяются правые кольца косых многочленов Лорана
[<р, х~\ х]А.
15.5. Пусть <р — инъективный эндоморфизм кольца А и R =
= А[х,х-\<р].
1) Для каждого я е N многочлен 1 -хп не обратим в /?; в
частности, R — не тело.
2) Если <рп — тождественный автоморфизм кольца А для
некоторого п е N, то 1 — хп — центральный необратимый
элемент в R.
3) Если А — тело, то R — область главных левых идеалов.
4) Если (1 + x)R — идеал в R, то <р=\а — тождественный
автоморфизм.
5) Если R инвариантно справа и А полупервично, то А —
коммутативное редуцированное кольцо и (р — тождественный
автоморфизм.
> Пункт 1) проверяется непосредственно.
2) Так как для всех i G Z и а е А имеем
х! {1-х") =х1-х1+п = (\-хп)х1
и
(1 -хп)а = а-<рп(а)хп = а(\ -хп)у
то 1 - хп лежит в центре R.
3) Пусть Т7 —ненулевой левый идеал области R. Так как по 15.1(3)
А[х> Ф\ — область главных левых идеалов, то FnS =S/ для некоторого
многочлена f еА[х, <р]. Непосредственно проверяется, что F = Rf и
поэтому R — область главных левых идеалов.
398 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
4) Пусть ОфаеА. Так как (1 +*)/? — идеал в /?, то в /? найдется
такой ненулевой многочлен Лорана / = х~к (53"=о //*')' где * ^ 0» /' ^»
/о^О, /я^0, что
а + ах = а(1+х) = (1 +*)/ = / + */ =
= x-k(J2fiA+x-k(JZxf'A =
\=0 ' \=0 '
= ^-"(/0 + ^(/,)^+Ч^(//+ср(//-1))х/\
xka + xkax = h + ip(fn)xn+x+Y^h + 4>{fi-\)W,
1=1
Поэтому * = 0, а = /0, л = 0, ¥>(/„) = <р(/о) = а, р(а) = а, Р=1д.
5) По 4) <р — тождественный автоморфизм. Пусть 0 Ф a, b € Л. Так как
/? инвариантно справа, то ba = af для некоторого / €/? со свободным
членом CG/4, откуда Ьа = ас и Л инвариантно справа. Инвариантное
справа полупервичное кольцо Л редуцировано. Остается доказать, что
ba = ab. Допустим, что Ьа - ab Ф 0. Так как (а + x)R — идеал в /?, то
существует 0 ф f = £"=m //*' G /?, для которого // Е Л и
ft(x + а) = (х + a) f = Y, /<*'+1 + £ «/<*' € /?, (*)
где т, л Е Z, m ^ я, /,- € Л, /m ^ 0, /„ ^ 0. Так как старший член
многочлена bx + ba = xf + af = fx + af равен bx- fnxn+\ то /2 = 0, fn = f0 = b
и соотношение (*) превращается в
о о
ftjc + fta = 5^/|jcl"+1+5^a/fjc'". (**)
/=m i=m
Если m = 0, то по (**) bx + ba = bx + aby откуда ba-ab— ^ и получаем
противоречие. Поэтому т^ -1. По (**)
-1 -1
0 ф ba-ab = ^//х'+Ч^а/,*''.
/=m |=/и
Так как £jL!m Л'*1'"*-1 —ba-ab - J27=mafix'> то все коэффициенты //
многочлена J^jl^ /<x'+1 лежат в ЛаЛ. В частности, fm GAaA. Так как
т^-1 и afmxm — младший член многочлена ba — ab нулевой степени,
то afm = 0. Поскольку Л редуцировано и по 6.34(4) AfmA пАаА = 0, то
получаем противоречие. □
Кольца косых многочленов Лорана
399
15.6. Если А —поле и р — его автоморфизм, то равносильны
условия:
1) А[ху х~\ ср] — простое кольцо;
2) А[ху х~[у <р] — простая область главных правых и левых
идеалов, не являющаяся телом;
3) в кольце А[ху x~ly ip] каждый ненулевой центральный
элемент обратим;
4) для каждого neN автоморфизм <рп поля А не тождественен.
> Импликация 1)=>2) следует из 15.5(1) и 15.5(3). Импликация 2)=>3)
следует из того, что каждый ненулевой центральный элемент простого
кольца обратим. Импликация 3)=>4) следует из 15.5(2).
4)=Н). Обозначим R = A[xy x~\ ф\. Для каждого ненулевого
многочлена Лорана geR обозначим через k(g) целое число n(g) -m(g) ^0,
где n(g) и m(g) — степень и младшая степень для g. Надо доказать,
что произвольный ненулевой идеал F кольца R совпадает с R. Пусть
0 ^ / е F и k(f) ^ k(g) для каждого ненулевого g € F. Без ограничения
общности можно считать, что m(g) = 0y k{f) = n(f) и / имеет ненулевой
свободный член /о € Л. Так как А — поле, то можно считать, что старший
коэффициент многочлена / равен 1. Если &(/) = 0, то f =\ eF и F = R.
Допустим, что k(f) ^ 1. Тогда / = xk{^ + g для некоторого такого
многочлена g еА[ху <р]у что k(g) <k(f). По условию 4) (pk^(a)^a для
некоторого аеА. Тогда a^(p~k{^(a) и идеал F содержит элемент
fa - 4>-k{f)(a)f = (xk{f) + g)a - <p-k{f)(a)(xk{!) + g) =
= xk{f)(a-a) + (ga-ip-k{»(a)g) = ga-<p-M(a)g
с ненулевым свободным членом f$(a — 4>~k^(a)). Так как
b{ga-<p-kM{a)g)^k(g)<k{f),
то получено противоречие. П
15.7. Существует такое поле А и его автоморфизм <р, что
А[х, х~х, ц>] — простая нерегулярная область главных правых и
левых идеалов, не являющаяся дистрибутивным справа или слева
кольцом. В частности, А[ху х~\ <р] — слабо регулярная область, не
являющаяся телом.
> Пусть Т7 —любое поле, {*;}/ez — счетное множество переменных
и А —поле F({xi})iez всех рациональных функций от всех переменных х{
с коэффициентами в F'. Равенством
<р(%2 //, in*h • --Хы) = J2 U '«^i + l • -Xin + X
определен автоморфизм ф кольца многочленов F[{xi}]ie%. Автоморфизм
ф кольца ^[{х/Л/бг естественно продолжается до автоморфизма <р поля
400 Плава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
рациональных функций Л. Для каждого п е N автоморфизм фп поля А
не тождественен. По 15.6 R = A[xy x~[y ср] —простая область главных
правых и левых идеалов, не являющаяся телом. Тогда простое кольцо R
не квазиинвариантно справа или слева. По 9.13(1) кольцо R не
дистрибутивно справа или слева. Простое кольцо R слабо регулярно. Так как
каждая регулярная область — тело, то область R не регулярна. □
15.8. Пусть кольцо А обладает таким инъективным
эндоморфизмом <ру что а € а<р(а)А для любого аеА. Тогда <р(е) = е для любого
центрального идемпотента ее А и (p(d)A = А для каждого левого
неделителя нуля d € Л.
> По условию существуют такие Ьу с е А, что е = etp(e)b и 1 — е =
= (l-e)(l-<p{e))c = (l-<p{e))c{l-e).Torj&
е = ер(е)Ь = e((p(e))2b = (р(е)е<р(е)Ь = <р(е)е = е<р(е)у
(р{е) = (е + (1 - е))<р{е) = е<р(е) + (1 - е)<р(е) =
= е + (р(е)(1 -е) = е + <р(е)(1 -<р(е))с(\ -е) = е.
По условию (1 -(p(d)m)er(d) = 0 для некоторого теАу cp(d)A =A. □
15.9. Пусть в кольце А все правые аннуляторы являются
идеалами и А обладает таким инъективным эндоморфизмом ц?у что
а е ар(а)А для любого а € Л.
1) А нормально, г(а) = г((р(а)) для любого аеА и <р(е) = е для
любого идемпотента ее А.
2) А — редуцированное риккартово кольцо и для любого аеА
существует такой элемент b еАу что (р(а)Ь и 1 - (р(а)Ь—
центральные идемпотенты в Ауа = а<р(а)Ьу <р(а) = (р(а)Ь<р(а) =
= (<р(а))2Ь и г{а) = 1(а) = (1-<р{а)Ь)А.
3) (p(d) e U(A) для любого левого неделителя нуля d e Л.
4) Если А/Р — пирсовский слой кольца Л, то <p(P)QPy А/Р —
область, р индуцирует инъективный эндоморфизм ф
области А/Р и ф(а + Р) — обратимый элемент области А/Р для
каждого ненулевого а + Р е А/Р.
> Так как в Л все правые аннуляторы являются идеалами, то Л
нормально.
1) По 15.8 кр{ё) — е для любого идемпотента ее А. Пусть аеА. По
условию а = а(р(а)Ь для некоторого be А. Пусть xer(tp(a)). Так как
r(ip(a)) — идеал в Л, то bx e г((р(а)). Поэтому
ip(a)bx = 0, ах = а<р(а)Ьх = 0, г(ар(а)) С г(а).
Пусть у е г(а). Тогда <р(у) е г(<р(а)). По условию y = y<p(y)z для
некоторого z е А. Так как г((р(а)) — идеал в Л и (р(у) е г(р(а))у то у<р(у) е <р(а).
Кольца косых многочленов Лорана
401
Поэтому
Ч>(а)УЧ>(у) = 0, <р(а)у = <p(a)y<p{y)z = 0, г(а) С г{(р{а)).
2) Пусть х € А и jc2 = 0. По 1) г(х) = г(<р(х)). Так как хег(х), то
х<£>(*) = 0. По условию x€xip(x)A. Поэтому х — 0 и А
редуцировано. Пусть а еЛ. По условию а = снр(а)Ь для некоторого be Л. Тогда
1-<р(а)б€г(а). По 1) и 6.34(4)
r(a) = 1(a) = г(<р{а)) = %(а)).
Поэтому
0 = у>(а)(1 -ср(а)б) = (1-^(а)%(а),
<р(а) = y>(a)M*) = (<р(а))2Ь,
откуда (р(а)Ь и 1 - (р(а)Ь — идемпотенты. По 1) y?(a)fe и 1 — ц>(а)Ь —
центральные идемпотенты в А. Так как 1 — <p(a)b Е г(а)у то остается
доказать включение г(а) С (1 — ср(а)Ь)А. Если */ е г(а) = ^(у?(а)), то
у = 1/(1 - v(a)ft) € Л(1 -y>(a)ft) = (1 -у>(а)&)Л.
Поэтому идеал г(а) порождается центральным идемпотентом 1 - (р(а)Ь
и А риккартово.
3) По 1) ip(d)A=A. По 6.37 <p(d)eU(A).
4) По 13.14(7) А/Р — область. Пусть А: А —> А/Р — естественный
эпиморфизм и P = J2iei е*Ау гДе все £;—Центральные идемпотенты. По
1) ip(et) = et для всех et. Поэтому ср(Р) С Р и <р индуцирует эндоморфизм
ф области А/Р. Пусть а еА\Р. По 7.38 a = ed, где е — центральный
идемпотент и d — неделитель нуля. Так как a — ed еА\Ру то е € Л \ Р.
По 3) y>(rf) G £/(Л). Поэтому AMrf)) € (/(Л/Р). По 1) <р{е) =ееА\Р
и A(<p(e)) = A(e) = A(l) — единица кольца Л/Р. Поэтому
е = <р(е) = ^)^(d)Mrf))-1 = v(aMrf)"1 G Л \Л
v(a)€i4\P, A(l) = AMa))AMd)-1),
Ker(^) = 0 и h((p(a)) = </?(a + Р) — обратимый элемент области Л/Р. □
15.10. Пусть А —область, (р — такой инъективный
эндоморфизм области Л, что <р(а) е ЩА) для каждого ненулевого аеА.
Обозначим R = [<р, х]А.
1) Для любых двух таких ненулевых многочленов /, geR, что
deg(/) < deg(g), существует такой многочлен A е Ry что
deg(A) < deg(g) и fR + gR = fR + hR.
2) Если G — ненулевой правый идеал в R и m = m\no^geG deg(g),
то G порождается многочленами степени т.
402 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
3) Если F — конечно порожденный ненулевой правый идеал в R
и m = m\no^fepdeg(f)y то F порожден конечным числом
многочленов степени т.
4) Для любого ненулевого f 6 R существуют целое число т ^ 0,
0^/0еЛ и s€R такие, что fR = xmf0(\ +xs)R.
5) Пусть F и G —главные правые идеалы кольца R, л Е N,
h: R —» R/xnR — естественный эпиморфизм. Допустим, что
главные правые идеалы h(F) и h(G) кольца h(R) не сравнимы
по включению. Тогда существуют несравнимые главные
правые идеалы Fo, Go кольца А и целое число т^О такие,
что h(F) = h(xm)h(F0)h(R)J h(G) = h(xm)h(G0)h(R), h(F)nh(G) =
= h(xm)h(F0 n Go)h(R), h(F) + h(G) = h(xm)h(F0 + G0)h(R).
> 1) Обозначим m = deg(/) )0и deg(g) = n> т. Существуют такие
ненулевые a, b € А, что / = xma + s и g = xnb + /, где deg(s) < m
и deg(/) <n. Обратимый справа элемент ip(a) области А обратим в А.
Тогда хп-т = ахп-т(срп~т(а))-[. Поэтому
g-t =хпЬ =хтахп-т(ч>п-т(а)Г{Ь = (/ -s)xn-m(ipn-m(a))-lb.
Обозначим
h = g-fxn-m(vn-m(a))-{b = t-sxn-m(ipn-m(a))-{b € fR + gR.
Тогда deg(A) < n и g = fxn-m(<pn-m(a))-lb + h e fR + hR. Поэтому
[R + gRCfR + hRCfR + gR.
2) Пусть F — ненулевой правый идеал кольца /?, порожденный всеми
многочленами степени т, лежащими в G. Допустим, что F^G. Тогда
существует такое целое число п>ту что все многочлены из G степени < п
лежат в F и deg(g) =п для некоторого многочлена g € G \F. В правом
идеале F возьмем произвольный ненулевой многочлен / степени т. По 1)
существует такой многочлен h G /?, что deg(/z) < п и //? + gR — fR + hR.
Так как h € G и deg(/z) < пу то h 6 F. Поэтому g € fR + hRCF. Получено
противоречие.
Пункт 3) следует из 2) и того, что из каждой системы образующих
конечно порожденного правого идеала можно выбрать конечную систему
образующих.
4) Для / существуют целое число m ^ 0, ненулевой элемент /о 6 А
и многочлен seR такие, что / = хш(/о + xs) = xmfo(\ + x((p(fo))~ls).
Поэтому fR = xmf0(\+xs)R.
5) По 4) существуют целые числа ^Оит^О, ненулевые /о, go^A
и многочлены 5, t GR такие, что F =xk/о(1 + xs)R и G =xmgo(\ +xt)R.
Так как h(xs) и h(xt) — нильпотентные элементы кольца h(R), то h(R) =
= А(1 +xs)h(R) = h(\ +xt)h(R). Поэтому h(F)=h(xk)h(f0)h(R) и h(G) =
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 403
= h(xm)h(go)h(R). Допустим, что кфт. Например, пусть к<т. Тогда
xmg0 = xkxm-kgo = xkkxm-k(tpm-k{k))-'gQ € xkf0R.
Поэтому h(G) = h(xmgo)h(R) С h(xk fo)h(R) = h(F). Тогда главные
правые идеалы h{F) и h(G) кольца h(R) сравнимы по включению.
Получено противоречие. Поэтому к = т. Тогда h(F) = h(xm)h(Fo)h(R)
и h(G) = h(xm)h(G0)h(R), где F0 = f0A и G0 = g0A. Так как h(F) и h(G)
несравнимы, то Fo и Go несравнимы. Равенства h(F) Пh{G) = h(xm)h(Fo П
П Go)h(R) и h(F) + ft(G) = h(xm)h(F0 + Go)h(R) проверяются
непосредственно. □
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность
15.11. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца A, R =
= [<р, х]А, причем R/x2R — правое кольцо Безу.
1) А —правое кольцо Безу и для каждого аеЛ существуют
такие /о, go, ио, vo, b, c€A, что
а = а/0«о, я/(М) = 0, 1 = <р(а)Ь 4- g0v0y (р(а)с = g0u0.
2) Если в А все правые аннуляторы являются идеалами, то
для любого а € А существует такой элемент b € А, что
а = аср(а)Ь.
3) Если А прямо-конечно, то (р(е) = е для каждого
центрального идемпотента ее A, (p(d) € U(A) для каждого левого
неделителя нуля d в А и (p(A)f]J(A)=0 (в частности, если р —
автоморфизм, то А полупримитивно).
4) Если А — прямо-конечное кольцо с первичным радикалом
rad(/4) и (p(rad(A))CJ(A), то А полупервично.
5) Если А — прямо-конечное кольцо и <р — автоморфизм, то для
любого такого идеала В в А, что <р(В) = В, кольцо А/В
полупримитивно и В2 = В.
> Пусть А: R —» R/x2R — естественный эпиморфизм.
1) Так как существует сюръективный гомоморфизм R/x2R —► R/xR = A,
то Л—правое кольцо Безу. Так как h(R) — правое кольцо Безу, то
A(aR +xR) — главный правый идеал в h(R). Поэтому существуют такие
ряды /, geR, что h(aR + xR) = h((af+xg)R). Тогда существуют такие
ряды и, и € /?, что
(af + xg)u-a € x2R, (af + xg)v-x е x2R.
Пусть /о, go, uq и vo — свободные члены рядов /, g, и, v соответственно,
f\,u\,v\ — канонические коэффициенты при х рядов /, и, v
соответственно. Так как свободные члены и коэффициенты при х рядов (af +xg)u — a
404 Плава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
и (af +xg)v-x равны нулю, то:
af0u0 - а = 0, af0v0 = 0, <p(a){<p{fo)u\ + f\u0) + go«o = 0,
4>(a)(4>(h)v\ + /ifо) + go^o -1=0.
Теперь можно обозначить
* = ¥>(/o)0i + /i«o. с = -p(/o)"i - /i"o-
2) По 1) существуют такие /о, go, "о, t/o. ft £ Л, что
а = а/о«о, £>о € г(а/о), 1 = р(а)& + go^o-
Так как voer(afo) и по условию г(а/о) —идеал в Л, то uogovoer(afo).
Поэтому afoUogovo = 0. Так как a = afoUo и 1 = </?(a)ft + gof о, Т0
a(govo) = (afou0)govo = 0, 1 = y?(a)ft + go^o,
a = a • 1 = cnp(a)b + ago^ о = ач>{й)Ь.
3) Пусть е — центральный идемпотент в Л. По 1) существуют такие
/о, go, «о, и0у ЬусеАу что
е = (ef0)(eu0)y (efo)(ev0) = 0, 1 = <p(e)b + go^o-
Так как А прямо-конечно, то еА — прямо-конечное кольцо. Поэтому
из равенства е = (efo)(euo) следует, что е/о, euo е £/(еЛ). Тогда из
равенства (efo)(evo) = 0 следует, что 0 = ^о = ^о^- Поэтому из равенства
1 = (p(e)b + govo следует, что е = eip(e)b. Тогда е = £<р(е) для любого
центрального идемпотента е е А. Так как 1 —е — также центральный
идемпотент, то аналогично получаем, что
1-« = (1-ф(1-в) = (1-в)(1-^)).
Тогда
<р(е) = е<р(е) + (1 -е)<р(е) = е + (1 -e)(l -<p(e))tp(e) = е.
Пусть d еА и r(d) = 0. В силу 1) существуют такие /о, go, "о, Уо, ft €>4,
что
1 = /о"о. /of о = 0, 1 = ¥>(<*)* + gof о-
Так как А прямо-конечно и 1 =/о«о, то /о Е £/(/4). Поскольку /о^о = 0>
то уо = 0. Поэтому из равенства 1 =cp(d)b + goVo следует, что 1 =(p(d)b.
Так как А прямо-конечно, то y>(d) е U(A).
Пусть а е A uip(a)eJ(A). По 1) существуют такие /о, go, "о, fo, be А,
что
a = a/0wo, a/of о = 0, 1 = p(a)ft + go^o-
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 405
Так как <р(а) € У(Л), то 1 — ip(a)b € U(A). Поскольку 1 = v(a)b + go^o> то
goVotU(A). Тогда элемент vq обратим слева. Так как А прямо-конечно,
то vo e U(A). Тогда из равенства afoVo = 0 следует, что а/о = 0. Так как
а = я/о"о, то а = а/о«о = 0.
4) По 3) (p(A)C)J(A) = 0. Так как ip(rad(A)) СУ(Л), то ip(rad(A)) С
С <р(Л) ПУ(Л) = 0. Поэтому rad(i4) = 0.
5) Пусть 7г: А—> Л/В2 — естественный эпиморфизм. Так как <р(В) = В,
то <р(В2) = В2 и автоморфизм у? индуцирует автоморфизм <р факторколь-
ца 7г(Л). Так как кольцо [[<£, х]]7г(Л)Д2[</?, х]7г(Л) — гомоморфный
образ правого кольца Безу R/x2R, то [[ф, х]\-к(А)/х2[[х, <^]]7г(Л) — правое
кольцо Безу. Применяя 3) к автоморфизму ф кольца 7г(Л), получим, что
тг(А) полупримитивно. В частности, тг(А) — полупервичное кольцо с ниль-
потентным идеалом п(В). Тогда п(В) = 0, откуда В = В2 и 7г(А) = А/В. П
15.12. £а/ш ц> —инъективный эндоморфизм области А и R =
= [у?, х]А, то равносильны условия:
1) R — правое кольцо Безу;
2) R/x2R — правое кольцо Безу;
3) Л — правое кольцо Безу и ц>(а)А = Л для каждого ненулевого
аеА.
> Импликация 1) =>2) следует из того, что любое факторкольцо правого
кольца Безу R — правое кольцо Безу.
2) => 3). По 15.11 (1) и 15.11 (2) А — правая область Безу и а € ац>(а)А
для любого аеА. По 15.9(3) <р(а)А = Л для каждого ненулевого аеА.
3)=>1). Пусть F — конечно порожденный ненулевой правый идеал
в R и т = mino^/£fdeg(/). По 15.10(3) существуют такие ненулевые
многочлены /i,...,/rt степени m ^ 0, что F = £^=1///?. Пусть а,- —
ненулевые старшие коэффициенты многочленов /,-, / = 1, ..., п. Так как
Л — правое кольцо Безу, то существуют такие Ь\, ..., Ьп, С\, ..., сп Е Л,
что (£"=| а'А') ci — ai* У = 1, • • •, л. Обозначим g = £f=1 //ft; € F
и Л у = /у - gey € F. Тогда deg(/iy) < m. Так как т = mino^/eFc'eg(/),
то получаем h} = 0 и /у = gcy (/ = 1, ..., n). Поэтому F = gR. П
15.13. Теорема. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца А
и R = [<p, x]A. Если в А все правые аннуляторы являются идеалами,
то равносильны условия:
1) R — правое кольцо Безу;
2) R/x2R — правое кольцо Безу;
3) R — редуцированное правое кольцо Безу;
4) Л — риккартово справа правое кольцо Безу, ip(e) = e для
каждого центрального идемпотента е еА и элемент cp(d)
обратим в А для каждого неделителя нуля d E Л.
406 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
> Так как в Л все правые аннуляторы являются идеалами, то Л
нормально. Импликация 3)=>1) очевидна. Импликация 1)=>2) следует из
того, что все факторкольца правых колец Безу — правые кольца Безу.
2)=>4). По 15.11(1) и 15.11(2) А —правое кольцо Безу и аеаср(а)А
для любого ае А. По 15.9 А — риккартово справа правое кольцо Безу,
ср(е) = е для каждого центрального идемпотента е е А и (p(d) е U(A) для
каждого неделителя нуля d е А.
4)=>3). По 15.4(6) R редуцировано. Пусть А/Р — пирсовский слой
кольца Л, h: А —»А/Р — естественный эпиморфизм. По 15.4(6) h(A) —
область, ip(P) QPy<p индуцирует инъективный эндоморфизм <р области
/г(А) и ip(a)h(A) = h(A) для каждого ненулевого aeh(A). Так как А —
правое кольцо Безу, то h(A) — правое кольцо Безу. По 15.12 [tpy x]h(A) —
правое кольцо Безу. По 15.4(4) R — правое кольцо Безу. D
15.14. Следствие. Если <р — инъективный эндоморфизм строго
регулярного кольца А и (р(е) = е для каждого центрального
идемпотента ее А, то [у?, х]А — редуцированное правое кольцо Безу.
> Это следствие вытекает из 15.13, поскольку строго регулярное кольцо
А — риккартово кольцо Безу и <p(d) e U(A) для каждого неделителя нуля
deA. П
15.15. Существует коммутативная цепная область Л,
которая не является строго регулярным кольцом и обладает таким
инъективным эндоморфизмом у?, что (р(а) е U(A) для любого
ненулевого аеА. В частности, А — коммутативная дистрибутивная
область Безу и <p(J(A) \0) С A \J(A). По 15.13 [<ру х]А —правая
область Безу.
> Пусть k — поле, F — поле рациональных функций над k от счетного
числа переменных {/;}^0- Обозначим / = to. Существует такой
инъективный эндоморфизм а поля /\ что а(/,) = /,-+i для всех /; элемент t
трансцендентен над a(F). Пусть Л —кольцо, образованное всеми
дробями //(1 +yg)y где /, g — произвольные многочлены из кольца
многочленов F[y]. С помощью правила <р(у) = t можно продолжить а до
инъективного эндоморфизма у? кольца А. Непосредственно проверяется,
что А — коммутативная цепная область главных идеалов, не являющаяся
полем, причем элемент (р(а) обратим в А для любого ненулевого а еА.
Так как А — не поле, то область А не является строго регулярной. □
15.16. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца Л, R =
= [у?, х]А и R/x2R —левое кольцо Безу.
1) Для каждого аеА существуют такие /о, go, "о, £>о> Ьу се А,
что
а = uofoct, vofoa = 0; (p{u0)<p{go) = bay <p(voMgo) = 1 -ca-
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 407
2) Если А прямо-конечно, то А полупримитивно, каждый его
правый неделитель нуля обратим в А и ip(e) = e для каждого
центрального идемпотента ее А.
3) Если А — правое или левое кольцо Голдиу то А — полупростое
кольцо и (р(е) = е для каждого центрального идемпотента
ееА.
> 1) Пусть h: /?—»R/x2R — естественный эпиморфизм. Так как h(R) —
левое кольцо Безу, то h(Ra + Rx) — главный левый идеал в h(R). Поэтому
существуют такие многочлены /, g, uy v € /?, что
u(fa + gx)-a € Jt2/?, v(fa + gx) - x e x2R.
Пусть /о, go» "о, ^o~свободные члены многочленов /, g, w, у
соответственно. Пусть /i, Hi, v\ —канонические коэффициенты при х
многочленов fyu,v. Свободные члены и коэффициенты при х многочленов
u(fa + gx) — aw v(fa + gx) — x равны нулю. Поэтому
uofoa = a, vofoa = 0, (tti/o + p("o)/i)e + ^("oMgo) = 0,
(Wi/o + ^(«o)/i)a + ^(uoMgo) = 1.
Теперь можно обозначить
b = -uifo-<p{u0)fu с = v\h + <p(v0)f\.
2) Пусть a G Л. По 1) существуют такие /о, go, "о, уо, &> с € Л, что
a = uofoa, vofoci = 0, ^(MoMgo) = 6a,
pfaoMgo) = 1 - ca.
Допустим, что a eJ(A). Тогда 1 - ca € (/(Л). Так как <p(vo)<p(go) = 1 - ca,
то <р(г/о)Л = Л. Так как А прямо-конечно, то <p{vo) e U(A). Кроме того, из
vofoa = 0 следует, что <p(vo)<p(foa) = 0. Поэтому ip(foa) — 0, откуда foa = 0,
а = wo/оя = 0. Поэтому А полупримитивно.
Допустим, что £(а) = 0. Так как а = wo/oa, то 1 — "о/о € £(а) = 0.
Поэтому ноЛ = Л. Так как Л прямо-конечно, то uq € £/(Л). Поэтому
<р(ио) е U(А). Так как <p(uo)ip(go) = Ьау то ^(go) = M"o))_1*fl. Отсюда
и из <p(vo)v(go) = 1 — ca следует, что 1 = ca + tp(vo)((p(uo))~l ba. Поэтому
а —обратимый слева элемент прямо-конечного кольца Л. Тогда а
обратим.
Допустим, что a — центральный идемпотент в А. Так как Л
прямо-конечно, то кольцо Аа прямо-конечно. Так как а = «о/оД, то (uoa)(foa)=a —
единица прямо-конечного кольца Аа. Поэтому foa — обратимый элемент
в Аа. Кроме того, (voa)(foa) = 0, поскольку vofoa = 0. Тогда 0 = voa = avo-
Кроме того, из ip(vo)<p(go) = \ - ca следует, что 1 - ca = <p(vo)<p(go)-
408 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
Поэтому
(1 -а)ф(а) =ср(а)(1 -а)(1 - са) = (1 -а)у?(а)(1 - са) =
= (1 - a)<p(a)<p(v0)<p(go) = (1 -аМ^оМго) = 0,
откуда ср(а) = аср(а) Е аЛ. Так как 1 - а — центральный идемпотент
и <р(а) Е Аа для любого центрального идемпотента а € Ау то ip(l — а) Е
Е(1 -а)Л. Поэтому
а(1 -<£>(а)) = а<£>(1 -а) = 0,
а = снр(а) + а(1 -<р(а)) = снр{а) = <р(а).
3) По 6.37 конечномерное слева кольцо А прямо-конечно. По 2) А
полупримитивно, каждый его правый неделитель нуля обратим и ср(е) = е
для каждого центрального идемпотента ее А. По 6.11 полупервичное
правое или левое кольцо Голди А — правый или левый порядок в
полупростом артиновом кольце Q. Так как в А все неделители нуля обратимы,
то А = Q. О
15.17. Если ср — инъективный эндоморфизм строго регулярного
кольца Л, /? = [<р, х]Ау п Е N и п ^ 2, то равносильны условия:
1) R/xnR — правое кольцо Безу\
2) R/xnR — инвариантное справа кольцо;
3) R/xnR — нормальное кольцо;
4) R/xnR — дистрибутивное справа кольцо;
5) R — редуцированное правое кольцо Безу, R/xkR —
инвариантное справа дистрибутивное справа правое кольцо Безу
для каждого k E N;
6) ip(e) = e для каждого центрального идемпотента ее А.
Кроме того, если ср — автоморфизм кольца Л, то R = А[ху <р-1],
xnR = Rxn для любого л, причем условия 1)—6) также равносильны
следующим эквивалентным условиям 7)—10):
7) R/xnR —левое кольцо Безу;
8) R/xnR — инвариантное слева кольцо;
9) R/xnR — дистрибутивное слева кольцо;
10) /? — редуцированное левое кольцо Безу, R/xkR —
инвариантное слева дистрибутивное слева левое кольцо Безу для
каждого k E N.
> Эквивалентность условий 1) и 4) следует из 15.2(8). Импликации
5)=>4) и 5)=>2) очевидны. Импликация 2)=^3) следует из того, что
каждое инвариантное справа кольцо нормально. Импликация 3)=>6) следует
из 15.3. Импликация 4)=>3) следует из того, что каждое дистрибутивное
справа кольцо нормально по 9.13(1).
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 409
6)=>5). Строго регулярное кольцо А — риккартово кольцо Безу,
причем cp(d) Е U(A) для каждого неделителя нуля d Е А (см. 11.13). Пусть
h\ /?—*R/xkR — естественный эпиморфизм. По 15.13 /?
—редуцированное правое кольцо Безу. Тогда Л(/?) — правое кольцо Безу. По 15.2(9)
каждый главный правый идеал в h(R) — идеал в h(R). Поэтому h(R) —
инвариантное справа кольцо. По 9.15 инвариантное справа правое кольцо
Безу h(R) дистрибутивно справа.
Эквивалентность условий 1)—6) доказана. Допустим теперь, что у? —
автоморфизм кольца А и S = А[ху ф~[]. Из эквивалентности условий 1)—
6) вытекает эквивалентность следующих условий:
7*) S/Sxn — левое кольцо Безу;
8*) S/Sxn — инвариантное слева кольцо;
9*) S/Sxn —дистрибутивное слева кольцо;
10*) S — редуцированное левое кольцо Безу S/Sxk — инвариантное
слева дистрибутивное слева левое кольцо Безу для каждого k Е N;
11*) (р~[ (е) = е для каждого центрального идемпотента е Е А.
Непосредственно проверяется, что R = S и xnR = Sxn для любого п.
Поэтому любое из условий 7)—10) эквивалентно условию 11*), причем
ясно, что условие 11*) равносильно условию 6). □
15.18. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца Л, R =
= [<р, хА] и кольцо R/x2R дистрибутивно справа.
1) А дистрибутивно справа и для любого аеА существует
такой элемент Ь G Л, что а = а(р(а)Ь.
2) А — риккартово редуцированное нормальное кольцо, <р(е) = е
для любого идемпотента е еА и (p(d) E U(A) для каждого
левого неделителя нуля d еА.
> Пусть h: /? —>R/x2R — естественный эпиморфизм.
1) Так как A =h(R)/h(xR)y то А дистрибутивно справа. Пусть а е А.
По 9.2 для элементов h(a) и h(x) дистрибутивного справа кольца h(R)
существуют такие /, с, d E /?, что h(a)h(f) = h(x)h(c) и h{x)h(\ — /) =
= h(a)h(d). Поэтому существуют такие vy w E /?, что
af = xc + x2vy x(\ - /) = ad +x2w.
Приравнивая свободные члены в первом равенстве и коэффициенты при
х во втором равенстве, получим, что а/о = 0 и 1 - fo = <p(a)di, где /о —
свободный член многочлена / и d\ = Ь — коэффициент при х многочлена
d. Поэтому а = а(1 - fo) = aip(a)b.
2) По 9.13(1) дистрибутивное справа кольцо А нормально. Поэтому
из 1), 15.8 и 6.37 следует, что <р(е)=е для любого идемпотента ееА
и ip(d) E U(A) для каждого левого неделителя нуля d еА. Пусть а —
410 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
нильпотентный элемент кольца А. По 1) а(\ — ip(a)b) = 0 для некоторого
be А. Так как элемент (р(а) нильпотентен, то по 9.13(1) ср(а) € /(Л).
Поэтому 1 - <р(а)Ь е U(A). Тогда 0 = а(\ - <р(а)Ь)(\ - (p(a)b)~l =а и А
редуцировано. По 6.34(4) все правые аннуляторы элементов из А
являются идеалами в Л. По 15.9(2) А риккартово. D
15.19. Если <р — инъективный эндоморфизм кольца Ау R = [ц>у х]А
и п — натуральное число ^ 2, то равносильны условия:
1) R/xnR — дистрибутивное справа кольцо;
2) для каждого пирсовского слоя А/Р эндоморфизм (р
индуцирует естественным образом инъективный эндоморфизм ф
кольца А/Р и кольцо [<ру х](А/Р)/хп[<ру х](А/Р) дистрибутивно
справа.
> Пусть Т — класс всех дистрибутивных справа колец. По 13.25
кольцо X лежит в Т в точности тогда, когда все пирсовские слои кольца
X лежат в Т. Пусть е — произвольный центральный идемпотент в А.
Если (р(е) = еу то эквивалентность 1)«=>2) следует из 15.4(3). Поэтому
достаточно доказать, что <р(е) = еу если выполняется 1) или 2).
Если выполнено 1), то R/x2R дистрибутивно справа (поскольку
R/x2R — гомоморфный образ дистрибутивного справа кольца R/xnR)
и по 15.18(1) (р(е) = е. Допустим, что выполнено 2). Пусть А/Р — любой
пирсовский слой кольца А и п: А —► А/Р — естественный эпиморфизм.
По 13.15(2) каждое кольцо — подпрямое произведение своих пирсов-
ских слоев. Поэтому достаточно доказать, что <р(е) — е е Р. Так как
[<£, х](А/Р)/х2[фу х](А/Р) — гомоморфный образ дистрибутивного справа
кольца [фух](А/Р)/хп[фух](А/Р)у кольцо [ху фу х](А/Р)/х2[!ру х](А/Р)
дистрибутивно справа. По 15.18(1) </?(7г(е)) = 7г(е). Поэтому (р(е) -
-ееР. О
15.20. Пусть кольцо А имеет такой инъективный
эндоморфизм (ру что А(р(а)=А для любого ненулевого аеА. Обозначим
R = A[x,<p].
1) Для любых двух таких ненулевых /, g € Ry что deg(/) < deg(g),
существует такой многочлен h e Ry что deg(/z) < deg(g)
и Rf + Rg = Rf + Rh.
2) Если G — ненулевой левый идеал в R и т = mino^geG deg(g), то
левый идеал G порождается многочленами степени т.
3) Если F — конечно порожденный ненулевой левый идеал в R
и m = mino^/eFdeg(/), то левый идеал F порожден конечным
числом многочленов степени т.
4) Для любого ненулевого f eR существуют целое число т ^ 0,
О^аеА и s eRy для которых /?/ = /?(! + sx)axm.
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 411
5) Пусть F и G — главные левые идеалы в /?, n Е N и h: R -+
—* R/Rxn — естественный эпиморфизм. Если главные левые
идеалы h(F) и h(G) кольца h(R) несравнимы, то существуют
несравнимые главные левые идеалы F$y Go в А и целое число
т^О такие, что
h(F) = h(R)h(F0)h(xm)y h(G) = h(R)h(G0)h(xml
h(F)nh(G) = h(R)h(FbC\Go)h{xm),
h(F) + h(G) = h(R)h(F0 + G0)h(xm).
> 1) Обозначим m = deg(/) )0и deg(g) = n> т. Существуют такие
ненулевые a, b € Л, что / = axm + s и g = bxn + /, где deg(s) < m
и deg(/) < п. Обратимый слева элемент (р(а) области А обратим в А.
Поэтому хп~т — ((рп~т(а))~1хп~та, откуда
g-t = bxn = b(<pn-m(a))-lxn-maxm = Ь{<рР-т(а))-1хя-т{1-s).
Обозначим
h = g-b(vn-m(a))-lfxn-m = /-ft(^"m(a)r1jc',"ms € Rf + Rg.
Тогда deg(A) <п и g = b((pn^m(a))-lxn-mf + Л € /?/ + Ли. Поэтому
Rf + RgQRf + RhCRf + Rg.
2) Пусть Z7 — ненулевой левый идеал в /?, порожденный всеми
многочленами степени т, лежащими в G. Допустим, что F фС. Тогда
существует такое целое число п> т, что все многочлены из G степени < п
лежат в F и deg(g) = n для некоторого многочлена geG\F. В левом
идеале F возьмем произвольный ненулевой многочлен / степени т. По 1)
существует такой многочлен h G /?, что deg(A) < п и Rf + Rg = Rf + Rh.
Так как Л € G и deg(A) <я, то h eF. Поэтому g€Rf + RhCF. Получено
противоречие.
Пункт 3) следует из 2) и того, что из каждой системы образующих
конечно порожденного левого идеала можно выбрать конечную систему
образующих.
4) Существуют целое число m ^ О, О Ф а € А и t e R такие, что
/ = (а + tx)xm = (1 + t(<p(a))~lx)axm. Поэтому Rf = R(\ + sjt)axw, где
see /Ma))"1.
5) По 4) существуют целые числа ^Оиш^О, ненулевые ау b еА
и многочлены s, / €/? такие, что
F = /?(1 +sx)ajt*, G = R(\ + tx)bxm.
Так как h(sx) и Л(/х) — нильпотентные элементы кольца h(R)y то
Й(Я) = h(R)h(\ +sx) = h(R)h(\ + tx)y
h{F) = h(R)h(a)h(xkl h(G) = h(R)h(b)h(xm).
412 Плава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
Допустим, что кфт. Например, пусть k<m. Тогда
Ьхт = bxm~kxk = b(tpm-k(a))~lxm-kaxk € Raxk.
Поэтому
h(G) = h(R)h(bxm) С h(R)h(axk) = A(f).
Тогда главные левые идеалы h(F) и h(G) в й(/?) сравнимы по
включению. Получено противоречие. Поэтому k — my h(F) = h(R)h(F0)h(xm)
и h(G) = h(R)h(G0)h(xm)y где /^ееЛя и G0 = Ab. Так как A(f) и h(G)
несравнимы, то Fq и Go несравнимы. Равенства
h(F)C\h{G) = h(R)h(F0nG0)h(xm)y h(F)+h(G) = h(R)h(F0 + G0)h(xm)
проверяются непосредственно. □
15.21. £сли (р —инъективный эндоморфизм области А и /? =
= Л[х, у?], то равносильны условия:
1) R/Rx2 — дистрибутивное слева кольцо\
2) R/Rxn — дистрибутивное слева кольцо для всех п € N;
3) А — дистрибутивное слева кольцо и А(р(а)=А для каждого
ненулевого аеА.
> Импликация 2)=> 1) очевидна. Импликация 1)=>3) следует из 15.18(1)
и 15.18(2).
3) => 2). Пусть Л: /? —► R/Rxn — естественный эпиморфизм, Z7, G
и /У — произвольные главные левые идеалы в /?. Достаточно доказать
следующее равенство:
h(F)n(h(G) + h(H)) = h(F)nh(G) + h(F)nh(H). (*)
Если любые два из трех левых идеалов /zf/7), /z(G), Л(#) несравнимы, то
(*) следует из 15.20(5). Если либо h(F)Ch(G)y либо h(F)Ch(H)y то (*)
проверяется непосредственно. Если либо h(F) 2^(G), либо h(F) ^>h(H)y
то (*) следует из модулярного закона. □
15.22. Если (р — инъективный эндоморфизм кольца А и R =
= А[ху (р]у то равносильны условия:
1) R/Rx2 — дистрибутивное слева кольцо;
2) R/Rxn — дистрибутивное слева кольцо для любого п е N;
3) А — дистрибутивное слева риккартово слева кольцо, <р(е) = е
для каждого центрального идемпотента ееА и (p(d) e U(A)
для каждого неделителя нуля d еА.
> Так как все гомоморфные образы дистрибутивных слева колец
дистрибутивны слева, то 2) =Ф 1) следует из того, что при п ^ 2 R/Rx2 —
гомоморфный образ кольца R/Rxn. Импликация 1)=>3) следует из 15.18(1)
и 15.18(2).
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 413
3)=>2). По 9.13(1) дистрибутивное слева кольцо А нормально. Пусть
А/Р — пирсовский слой кольца А и h: А —► А/Р — естественный
эпиморфизм. По 15.4(6) h(A) —область, <р(Р)СР, <р индуцирует инъективный
эндоморфизм (р области h(A) и h(A)ip(a) = h(A) для каждого
ненулевого а€Л(Л). По 15.21 h(A)[xy <p]/xnh(A)[xy <р] дистрибутивно слева.
По 15.19 R/Rxn дистрибутивно слева. □
15.23. Пусть <р — инъективный эндоморфизм кольца А и для
любого аеА существует такое ЬеАу что (р(а) = <p(a)ab.
1) Л — полупримитивное кольцо.
2) Если гд(а) — идеал в А для любого а € Л, то А строго
регулярно и для любого идемпотента е Е А верно, что (р(е) = е
и е централен в кольце А[ху (р).
> 1) Пусть аеУ(Л). По условию <р(а)(\ -ab) = 0 для некоторого b еЛ.
Так как а е J(A)y то 1 - ab е U(A). Поэтому <р(а) = 0 и а = 0.
2) По 11.13 А строго регулярно. По условию существуют такие
и, v еЛ, что
<р{е) = ч>(е)еи> ¥>(! -е) = <р(1 — e)(l - e)v
и еу 1 - еу (р(е)у (р(\ - ё)у е<р(е), (1 - е)<р(\ — е) — центральные
идемпотенты в А. Кроме того, 1 =<р(е) + у?(1 —в). Домножая это равенство на
центральные идемпотенты еу <р(е) еАу получим е = (р(е)у ех=хе. Кроме
того, е — центральный идемпотент в А. Тогда е — центральный идемпо-
тент в R. □
15.24. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца Ау R =
= Л[х, (р] и кольцо R/Rx2 дистрибутивно справа.
1) Для любого аеА существует такое ЬеАу что (р(а) = (p(a)ab.
2) (р — автоморфизм, А строго регулярно, R и А[ху х~\ ц>]
—редуцированные кольца Безу, (р(е) = е для каждого
идемпотента е е А и R/Rxk — инвариантное дистрибутивное кольцо
Безу для каждого целого числа k^2.
> 1) Естественный образ в R/Rx2 любого подмножества Y CR
обозначается через У. JlycTb a Е А. По 9.2 для элементов а и х дистрибутивного
справа кольца R существуют такие /, g, h, s Е /?, что I = / + g, af = xh
и x'g = as. Поэтому существуют такие и, vy zeRy что
l = / + g + w*2> af = xh + vx2, xg = as + zx2.
Обозначив w = x2h + xvx2 + <p(a)zx2 + xaux E Rx2, получим
ip(a)x = xa = xaf + xag + xaux2 = (p(a)as + w.
Приравнивая коэффициенты при х в первом и последнем членах этой
цепи равенств, получим <р(а) = ip(a)as\. Поэтому можно положить b = S\.
414 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
2) По 1) и 15.23(1) Д/4) = 0. Кольцо А изоморфно факторкольцу
(R/Rx2)/(Rx/Rx2) дистрибутивного справа кольца R/Rx2. Поэтому А
дистрибутивно справа и полупримитивно. По 9.13(1) А редуцировано.
По 6.34(4) в А все аннуляторные правые идеалы — идеалы. По 22(2) А
строго регулярно, каждый идемпотент е G/4 централен в R и <р(е) = е.
Докажем, что а € <р(А) для любого а € Л. По 9.2 существуют такие
/, gy heRy что
axf = xg + ux2, jc( 1 — /) = axh + vx2.
Пусть by с и d — свободные члены рядов /, g и h
соответственно. Приравнивая коэффициенты при х в равенствах axf = xg = их2
и х(\ — /) = axh + vx2y получим равенства
aip(b) = (р(с)у 1 — (p(b) = cnp(d).
Так как А строго регулярно, то b = mty где т е £/(Л) и е — центральный
идемпотент. Так как ц>(е) — е и ау?(6) = </?(с), т° ае<р(т) =у?(с). Поэтому
а^ = ¥?(ст""1).
Докажем включение а Е <р(Л). Так как at =<p(cm~l)y то
достаточно доказать включение а(\ — е) € ¥>(Л). Пусть Лi = Л(1 - е) и (р\ —
ограничение <р на А\. Тогда y?i — инъективный эндоморфизм кольца
А\. Для любого # € А элемент у{\ — е) € Лi обозначается через #|.
Так как ^(^i) == <р(0) = 0 и 1 - (p(b) = a(p(d)y то lj = a\<p\(d\).
Поэтому <P\(d\) € U(A\). Тогда d\ — неделитель нуля в строго регулярном
кольце А\. Поэтому d\ G U(A\). Тогда из равенства \\ = a\(p\(d\)
следует, что а\ = <p\{d^~l) е А\. Поэтому а е <р(А). Доказано, что (р —
автоморфизм. Поэтому R = [(р~{, х]А. По утверждению 15.17 и его
симметричному варианту R — редуцированное кольцо Безу, R/Rxk —
инвариантное дистрибутивное кольцо Безу для каждого целого числа
k ^ 2. Так как А[ху х~\ <р] —двустороннее кольцо частных кольца
R относительно множества Ope {xl}f^0y то по 10.33(1) и 10.35(6)
А[Ху х~1, (р) —редуцированное кольцо Безу. □
15.25. Если (р — инъективный эндоморфизм кольца А у то
равносильны условия:
1) А[ху (р) — инвариантное справа кольцо;
2) А[Ху (р] — коммутативное кольцо;
3) А — коммутативное кольцо и (р= \д — тождественный
автоморфизм.
> Импликации 3)=>2) и 2)=> 1) проверяются непосредственно.
1) => 3). Пусть 0 Ф а, Ь е А и R = А [ху <р]. Так как (а + x)R — идеал
в /?, то существует такой зависящий от а и b ненулевой многочлен /
Многочлены, кольца Безу и дистрибутивность 415
степени п ^ О, что
b(a + x) = (a + x)f = ip(fn)xn+x + gy 0 ф <p(fn) е Л, deg(g) ^ п.
Отсюда следует, что /2 = 0 и / = /о = с(ау Ь)еА. Получено равенство:
ba + bx = ас + у?(с(а, 6))х. (*)
Подставляя в (*) единицу вместо а, получим, что для любого
ненулевого b е А существует такой ненулевой элемент d = с(1, Ь)у что
b + bx = d + (p(d)x. Тогда b =d = ip(d)y откуда b = y?(6), у? = 1 и (*)
превращается равенство ba + bx = ас(а, 6) + с(а, 6)х. Приравнивая
в последнем равенстве сначала коэффициенты при ху а затем свободные
члены, получим равенства b = c(ay b) и ba = ab. Поэтому А
коммутативно. □
15.26. Если <р — инъективный эндоморфизм кольца Ау то
равносильны условия:
1) А[ху (р) — дистрибутивное справа кольцо;
2) А[ху х~[] — дистрибутивное справа кольцо;
3) А[ху х~1] — квазиинвариантное справа правое кольцо Безу;
4) А[ху (р] и А[ху х"1] — коммутативные дистрибутивные
редуцированные кольца Безу;
5) А — коммутативное регулярное кольцо и (р = 1^ —
тождественный автоморфизм.
> Обозначим R = А[ху х~1]. Импликации 4)=>1) и 4)=>3) очевидны.
Импликация 3)=>2) следует из 9.8(3).
2) =>5). Элементы х и 1 — х центральны в R. Пусть аеА. По 9.2 для
элементов а и 1 - х дистрибутивного справа кольца /?, существуют такие
/, g, hy t е/?, что 1 = / + g, я/ = (1 -jc)A и (1 -jt)g = a/. Тогда
а(1 -jc) = а(1 -х)/ + а(1 -x)g = (1 -x)2h + a2t.
Так как канонические записи многочленов Лорана Ли/ содержат только
конечное число отрицательных степеней ху то существует такое п е N, что
hxn=zeA[x] и txn = m€A[x]. Поэтому
а(1 -х)хл = (1-х)22 + а2т,
(1 -х)а = а(\ -х)хп + а(1 -х)(1 -*я) =
(l-jc)22 + a2m + a(l-Jc)2(l+JC + ... + xrt-!) =
= (1 -х)2ш + а2т,
где а/ € А[х]. Так как {(1 -х)у}/^о — базис свободного правого Л-модуля
А[х) и (1 -х)а = (\ — x)2w + a2my то а = а2Ьу где 6 — коэффициент при
416 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
1 —х в разложении многочлена т по базису {(1 — x)*}JL0. Поэтому А
строго регулярно. Тогда А — подпрямое произведение тел D}.
Для доказательства коммутативности А достаточно показать, что все
тела D7 — поля. Зафиксируем тело D} = D и обозначим S = D[x, х~~1].
Так как 5 изоморфно факторкольцу дистрибутивного справа кольца R, то
S дистрибутивно справа. Так как D[x] — нётерово кольцо и S изоморфно
кольцу частных кольца D[x] относительно множества Ope {xl}fl0, то
по 10.35(5) S —нётерово кольцо. По 9.14(3) дистрибутивное справа
нётерово справа кольцо 5 инвариантно справа. По 15.5(5) D коммутативно.
1)=>5). По 15.24(2) А строго регулярно, ip — автоморфизм и (р(е)==е
для любого идемпотента е € А. Пусть Af — такой идеал в А, что А =
= Л/М —тело. Так как идеал М строго регулярного кольца А
порождается центральными идемпотентами и ip(e) = е для любого
идемпотента е е А,_ то <р(М) = М. Поэтому <р индуцирует автоморфизм ф тела А.
Кольцо А[х, ф] изоморфно факторкольцу дистрибутивного справа кольца
А[х, <р] и поэтому дистрибутивно справа. Так как у? —автоморфизм, то
А[ху (р] = [ч>~\ х]А. Тогда по утверждению 15.1(2) и его симметричному
аналогу /? — нётерово справа и слева кольцо. По 9.14(3) дистрибутивное
справа нётерово справа кольцо R инвариантно справа. По 15.25 А — поле
и ^ — тождественный автоморфизм. Поэтому (<р - \а)(А) С М. Кроме
того, строго регулярное кольцо А — подпрямое произведение тел. Значит,
(у?- 1,4)(у4) = 0, А — подпрямое произведение полей и А коммутативно.
5)=>4). При условии 5) кольца R и А[х] =А[ху <р] коммутативны.
По 15.24(2) и 9.8(3) R и А[х] —дистрибутивные редуцированные кольца
Безу. □
15.27. Пусть <р — инъективный эндоморфизм кольца Ау S =
= /4[х, (р)у S/Sx2 — правое кольцо Безу и либо А квазиинвариантно
справа, либо правые аннуляторы всех элементов в А — идеалы.
Тогда ц> —автоморфизм, А строго регулярно, S и А[х, х~1, <р] —
редуцированные кольца Безу, S/Sxk — инвариантное
дистрибутивное кольцо Безу для каждого целого числа k^2, для любого
аеА существует такое Ь еА, что (p(a) = (p(a)ab, каждый идемпо-
тент е е А централен в S и ср(е) = е.
> Пусть 7г: S —► S/Sx2 — естественный эпиморфизм. Для любого
подмножества Y CS _будем_писать Y вместо n(Y). Так как идеал Sx в S
нильпотентен, то Sx C/(S). Кроме того, S/Sx = А. _
Допустим, что А квазиинвариантно справа. JTo^a S —
квазиинвариантное справа правое кольцо Безу. По 9.8(3) S дистрибутивно справа.
Утверждение в этом случае следует из 15.24.
Допустим теперь, что в А все правые аннуляторы — идеалы. По
изложенному выше достаточно доказать, что А квазиинвариантно справа.
Группа [[х"\ *]]Л[[л:, jc ']] и кольцо [лг_1]Л[[л:, tp]] 417
Пусть а € А. По условию aS + xS — главный правый идеал в S. Поэтому
существуют такие /, gy m, ueSy что (ag + xm)f = a и (ag + xm)w = x.
Поэтому существуют такие и, 2GS, что:
(ag + xm)f = a + vx2y (*)
(ag + хт)и = jc + 2х2. (**)
Сравнивая свободные члены в (*), получим ago/о = &• Сравнивая
свободные члены и коэффициенты при х в (**), получим agouo = О
и a[g0u\ + gnp(u0)] + v(m0uo) = 1. Так как ag0u0 = 0 и по
предположению гд(ago) — идеал в Ау то ат^щ = agototnouo = 0. Поэтому
(р(а)(р(т0и0) = 0. Пусть Ь = g0u\ + gi^(w0)- Тогда
y?(a) = v(a)(ab + (р(т0и0)) = v(a)ab.
По 11.13 Л строго регулярно; в частности, Л квазиинвариантно. □
Группа [ \х"\ х\ \А\ \х, х~]] | и кольцо
\х-1]А\[х,<р\\
15.28. S = {xk}^L0 — левое множество Оре в кольце А[[х, <р]]
и правое множество Оре в кольце [[<ру х]]А.
> Если f = TZUanXneA[[x, ¥>]]=# hx*gS, то
оо
xkf = ^yk(an)xk+n eRxky
/z=0
и поэтому S — левое множество Оре в R. Аналогично доказывается, что
S — правое множество Оре в [[уэ, х]]А. □
Левое кольцо частных кольца А[[ху <р]] относительно левого
множества Оре S = {xk}<£L0 обозначается через [*-1]Л[[х, <р]] и называется
обобщенным левым кольцом косых рядов Лорана. Правое
кольцо частных кольца [[у?, х]]А относительно правого множества Оре
S = {xk}<j£=0 обозначается через [[(ру х]]А[х~1] и называется
обобщенным правым кольцом косых рядов Лорана.
Кольца [х-1]/4[[х, ¥>]] и [[у?, х]]Л[х-1] содержат в качестве подколец
обобщенное левое кольцо косых многочленов Лорана [х~1\А[ху <р]
и обобщенное правое кольцо косых многочленов Лорана [у?, х]А[х~х ],
определяемые аналогично кольцам косых многочленов.
Если <р —автоморфизм кольца Ау то левым кольцом косых
рядов Лорана и правым кольцом косых рядов Лорана называются
кольца А((ху ip)) и ((у?, х))Ау состоящие из таких рядов X^6Za«xrt
и ^2neZxnan соответственно, что ап =0 для почти всех отрицательных пу
418 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
причем умножение рядов задается в А((ху <р)) с помощью соотношений
ахт • Ьхп =снрт(Ь)хт+пу а в ((<ру х))А —с использованием соотношений
хта • xnb =xm+n(pn(a)b, ту neZ. Кольцо ((сру х))А также обозначается
через Аг((ху <р)).
Кольца А((ху (р)) и ((у?, х))А =Аг((ху <р)) содержат в качестве
унитарных подколец левое кольцо косых многочленов Лорана А[ху х~х, (р) и
правое кольцо косых многочленов Лорана [чру х~\ х]А=Аг[ху х~\ <р],
состоящие из рядов с конечным числом ненулевых коэффициентов.
Если у? —тождественный автоморфизм 1^ кольца Ау то пишем
А((х))у ((х))Ау А[[х]]у [[х)]Ау А[х]у [х]Ау А[ху х~х)у [х~\ х]А
вместо А((ху\А))у ((\Аух))Ау А[[ху \А))У [[\Аух]]Ау А[ху\А)у [\Ау х]Ау
А[ху х~\ \А]У [\Ау х~\ х]А соответственно, А((х)) = ((х))Ау А[[х}] =
= [[х]]Ау А[х] = [х]Л, А[ху х-{} = [х-1, х]А.
15.29. Если (р — автоморфизм кольца Ау то имеются кольцевые
изоморфизмы
(сю \ сю
т е N,
0: Ы х]]А[х-1} -+ (fe>, х))Ау р((^^аХх'т\ = ^х\-т(ап)у
т е N,
/ СЮ v СЮ
7: ((¥>, х))А - А((ху уГ1)), 7(ХУа") = Е^Ы*"* * € Z'
Ч=* ' n=k
Модули косых степенных рядов и свойства
колец рядов
Пусть <р — инъективный эндоморфизм кольца Ау Р — правый А-
модуль, Q— левый Л-модуль, х — формальная переменная, Р[[х]] и
[[*]](? — аддитивные группы рядов, состоящие из формальных рядов
Ydlo Р'х' и 5uloxi4i соответственно, где pt ePy q-t Е Q. Через Р[[ху у?]]
обозначается правый А[[ху у?]]-модуль, называемый модулем левых
косых степенных рядов, аддитивная группа которого совпадает с /*[[*]],
а умножение на элементы кольца А[[ху ср]] задается правилом
x>')=e(e/><Wk
/=0 / k=0 \+/=* '
Модули косых степенных рядов и свойства колец рядов 419
Через [[у?, x]]Q или Qr[[x> чА\ обозначается левый [[<р, х]] А -модуль,
называемый модулем правых косых степенных рядов, аддитивная группа
которого совпадает с [[*]](?, а умножение на элементы кольца [{чр, х]]А
задается правилом
• ОО \ / ОО ч ОО
Е*Ч • Е*Ч = Е**< Е *i{ai)qi)-
Модули косых рядов Лорана. Пусть <р — автоморфизм кольца Ау
Р —правый Л-модуль, Q — левый Л-модуль, х — формальная
переменная, Р((х)) и ((x))Q — группы формальных рядов. Через Р((х, ip))
обозначается правый А((ху у?))-модуль, называемый модулем левых косых
рядов Лорана, аддитивная группа которого совпадает с Р((х)) и состоит
из всех формальных рядов Y^lt Р'х'* где Pi G ^> ^ ~~~ (возможно,
отрицательное) целое число и либо pt ^0, либо р\ = 0 для всех /. Умножение
рядов из Р((х, ф)) на элементы кольца А((х, <р)) задается правилом
(х>0 •(£>')= е (е **(*,))**.
Через ((у?, x))Q обозначается левый (((р, х)) А -модуль, называемый
модулем правых косых рядов Лорана, аддитивная группа которого совпадает
с ((x))Q и состоит из всех формальных рядов Y^lt •*'</«» гДе <7/ £ Q* t —
(возможно, отрицательное) целое число и либо qt Ф 0, либо qt = 0 для всех
/. Умножение рядов из ((у?, x))Q на элементы кольца ((у?, х))А задается
правилом
(х>чУ (£у*) - Е Ле^/>*
\}=s J \i=t J k=t+s \i+j=k
15.30. Пусть (p — инъективный эндоморфизм кольца A, R =
= A[[x9<p]], R' = [[ip,x])A, S = A[x,<p], S' = [<p,x]A9 neN, hn: R ^
- R/Rxn, h'n:Rf - R'/xnR', тгл: S -> fl/S^", <: S' -> S'/xnR' -
естественные эпиморфизмы. Для любого идеала В в А подкольцо В + Rx
в R — идеал в R, подкольцо В + xRf в R' — идеал в /?', подкольцо
В + Sx в S — идеал в S, подкольцо В + xS' в S' — идеал в S',
R = А + Rx, R' = А + xR', S = А + 5а:, S' = Л + xS', x — неделитель
нуля в R' и R, hn и h'n — сюръективные кольцевые гомоморфизмы,
ядрами которых являются нильпотентные идеалы Rxn и xnRf
соответственно, R/Rxn^S/Sxn, R'/xnR' *S'/xnS'9 причем h\ и h\
индуцируют кольцевые изоморфизмы а: А —*R/Rx, a': A —► R'/xR',
0:A^S/Sx,0':A-+S'/xS'.
420 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
Утверждение 15.30 проверяется непосредственно.
15.31. Пусть ср —инъективный эндоморфизм кольца А, и /? =
= A[[x,ip]\.
1) Если младший член ненулевого ряда f € R имеет нулевой
правый аннулятор в А, то ряд f имеет нулевой правый аннуля-
тор в кольце R.
2) Для любых рядов fygsR ряд 1 +£^, (fxg)leR определен
корректно и является обратным элементом в R для ряда 1 - fxg.
3) Правая (левая) обратимость в R ряда f eR равносильна
правой (левой) обратимости в А свободного члена /о ряда f.
4) Идеал Rx кольца R лежит в J(R). Следовательно, каждый
максимальный правый или левый идеал в R содержит
неделитель нуля х в R.
5) Если f eR и / - /2 е Rx, то свободный член /о ряда f — идем-
потент в А и / - /о € /?х С J(R).
6) Все идемпотенты факторкольца R/Rx поднимаются до
идемпотентов кольца R.
7) J(R) совпадает с подкольцом J(A) + Rx в R, а факторколь-
цо R/J(R) естественным образом изоморфно факторколь-
цу A/J(A).
8) Все идемпотенты факторкольца A/J(A) поднимаются до
идемпотентов кольца А в точности тогда, когда все
идемпотенты факторкольца R/J(R) поднимаются до
идемпотентов кольца R.
9) Если а^А и А(р(а) = А, то Rf = RaD Rx для каждого ряда
/ €/? со свободным членом а.
10) Если кольцо R конечномерно справа, то ^(А)^)
—существенный подмодуль в Аф(Ау
И) Если А — полупростое кольцо и R — конечномерное справа
кольцо, то <р — автоморфизм кольца А.
12) Если А —тело, то для каждого собственного
ненулевого левого идеала Т в R существует такое п е N, что
Т = Rxn = RxnR\ в частности, R — цепная слева
инвариантная слева область главных левых идеалов, над которой
каждый собственный циклический левый модуль имеет
конечное число подмодулей.
> Пункты 1) и 2) проверяются непосредственно.
3) Если g € R и fg= 1, то /bgo= 1- Допустим, что faa = 1 для некоторого
а £А. Тогда свободный член ряда fa равен 1. По 2) fah= 1 для некоторого ряда
heR.
Пункт 4) следует из 2), 3) и 5.23(1).
Модули косых степенных рядов и свойства колец рядов 421
5) Так как по 4) RxCJ(R)y то 5) проверяется непосредственно.
Пункт 6) следует из 5).
7) Пусть f = fo + gxeJ(A) + RxtrAef0eJ(A) и geR. Так как \-f0eU(A),
то по 3) 1 — / € U(R). Кроме того, по 15.30 J(A) + Rx — идеал в R. Поэтому
]{А) + RxC J(R). Пусть h = hQ + txe J(R), где h0 в А и t е R. Так как 1 - h е U(R),
то свободный член 1 — ho ряда 1 — h обратим в Л. Кроме того, множество /о
всех свободных членов рядов из J(R) — идеал в А. Поэтому /(/?) С/(Л) + Rx.
Непосредственно проверяется, что имеется естественный кольцевой изоморфизм
R/J(R) -A/J (А).
Пункт 8) следует из 3), 4), 7) и 15.30.
9) Пусть bip(a) = 1 и / = а + gx, где Ь е А, g е R. Тогда / = а + gbip(a)x =
= (1 +#6л:)а, где/?(1 + £бл:) = /? по 2). Поэтому Rf = Ra DRxa = R<p(a)x = Rx.
10) Допустим противное. Тогда у?(Л) Па</?(Л) =0 для некоторого ненулевого
аеА. Достаточно доказать, что бесконечная сумма Х]]^0 у?"(а)*"*1/? —прямая
сумма. Для каждого п все коэффициенты всех многочленов из <pn(a)xn+iR лежат
в (рп(а)(рп+1(А). Остается доказать, что сумма аддитивных групп у?1 (а)ф1*1 (А) —
прямая сумма. Допустим противное. Тогда YH=k h — 0 для некоторого Ь, 6
е<р*(а)(р1+1(А) и можно считать, что Ькф0. Тогда bk 6 £"=Л+, <р* (a)<pt+l (А) С
Су>*+|(Л). Поэтому р*(а)<р*+,(Л)П<р*+,(Л)#0. Получено противоречие.
11) Так как </?(Л) — полупростое кольцо, то ip(A)4>(A) — прямое слагаемое
в AV{A). По 10) (p(A)V(A) —существенный подмодуль в А^А). Поэтому (р(А)—А.
12) Достаточно доказать, что для каждого собственного ненулевого левого
идеала Т в R существует такое п е N, что Т = /?хл = RxnR. Существует такой
ряд fxn е Т, что / — ряд с ненулевым свободным членом а, причем п не
превышает младшую степень любого ненулевого ряда из Т. По 3) / е U(R). Поэтому
Rxn = Rf~l fxn С Т. Так как п не превышает младшую степень любого ненулевого
ряда из Т, то Т = Rxn. По 15.30 Rxn = RxnR. □
15.32. Пусть <р — инъективный эндоморфизм кольца Л.
1) Л[[*, у?]] — область в точности тогда, когда А — область.
2) А[[х, <р]]—полулокальное (локальное, однородно полулокальное)
кольцо в точности тогда, когда А полулокально (локально,
однородно полулокально).
3) Кольцо А[[х, </?)] полусовершенно в точности тогда, когда кольцо
А полусовершенно.
4) Кольцо А[[х, <p]]/J(A[[x, у?]]) регулярно (строго регулярно) в
точности тогда, когда кольцо A/J (А) регулярно (строго регулярно).
5) Если кольцо A/J (А) строго регулярно, то А[[х, tp]] —правое (левое)
кольцо Безу в точности тогда, когда кольцо А[[х, у?]]
дистрибутивно справа (слева).
6) А[[х, (р]] — потентное кольцо в точности тогда, когда А — по-
тентное кольцо.
> Обозначим R = A[[x, tp]]. Пункт 1) следует из 15.31(1). Пункты 2) и 4)
следуют из того, что по 15.31(7) кольцо R/J(R) изоморфно кольцу A/J (А). Пункт 3)
следует из 2) и 15.31(8).
422 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
5) Так как по 4) R/J(R) строго регулярно, то 5) следует из 11.16(3).
6) <=. По 13.52 A/J(A) — потентное кольцо и все его идемпотенты
поднимаются до идемпотентов кольца А. Так как по 15.31(7) /?//(/?) = A/J(A), то
R/J(R) потентно. По 15.31(8) все идемпотенты кольца R/J(R) поднимаются до
идемпотентов кольца /?. По 13.52 R потентно.
=х По 13.52 R/J(R) — потентное кольцо и все его идемпотенты поднимаются
до идемпотентов кольца R. Так как по 15.31 (7) /?//(/?)= Л//(Л), то A/J(А)
потентно. По 15.31(8) каждый идемпотент кольца A/J(A) поднимается до идемпотента
кольца Л. По 13.52 А потентно. D
15.33. Пусть кольцо А имеет такой инъективный эндоморфизм <р, что
А<р(а)=А для любого ненулевого аеА. Обозначим R = A[[x, ф\\.
1) А и R — области.
2) Если Р и Q — ненулевые главные левые идеалы в R, то
существуют такие ненулевые Ь, с е А и неотрицательные т, п 6Z, что
Р = Rbxm, Q = Rcxn и равенство Р = Q равносильно равенствам
т = п, АЬ = Ас. Кроме того, Р С Q в точности тогда, когда либо
т<п, либо т — п и АЬ С Ас.
3) Если А — цепное слева кольцо {дистрибутивное слева, кольцо с
условием максимальности для главных левых идеалов), то R — цепное
слева кольцо (дистрибутивное слева кольцо, кольцо с условием
максимальности для главных правых идеалов).
4) Если А — цепная слева нётерова слева область, то R — цепная слева
нётерова слева область главных левых идеалов.
5) aRDxR = 0 для любого ненулевого необратимого элемента а
области А. Следовательно, если кольцо R равномерно справа, то А —
тело.
6) Если R либо дистрибутивно справа, либо конечномерно справа,
либо — правое кольцо Везу, то А — тело.
\> 1) Так как А(р(а) =А для всех ненулевых а е А, то A<p(ab) = А<р(Ь) для всех
ненулевых a, be А, откуда ab^O для всех ненулевых a, be А, Л — область и по
15.32(1) /?- область.
2) Пусть Р = Rfxm и Q = Rgxn, где /, g — ряды с ненулевыми
свободными членами Ь, с е Л. Без ограничения общности можно считать, что
О^т^п. Так как по условию Aip(b) =A =Л</?(с), то по 15.31(9) Rf = Rb э Rx
и Rg = Re. Тогда Р = Rbxm D Rx™**, Q - Rcxn D Rxn+l. Если m < n, то
P D Rxm+l D Rxn D Rgxn = Q. Если m = n, то P = Rbxm, Q = Rcxm и включение
PCQ равносильно включению АЬ С Ас.
Пункт 3) проверяется с помощью 2). Пункт 4) следует из 3) и цикличности
любого конечно порожденного цепного модуля.
5) Допустим, что af = xg, где / и g — ненулевые ряды из R с каноническими
коэффициентами /,, gi еА. Пусть Оф gt € Л. Приравнивая коэффициенты при
х1*1, получаем afc+i =ip(gi) —обратимый слева элемент области Л. Так как Л —
область, то элемент a//+i обратим в Л, откуда а е U(A). Получено противоречие.
Модули косых степенных рядов и свойства колец рядов 423
6) Так как по 10.5 и 10.6(1) R — равномерная справа область, то утверждение
следует из 5). □
15.34. Теорема. Если <р — инъективный эндоморфизм кольца Л, то
равносильны условия:
1) А[[х, у?]] —цепное слева кольцо;
2) Л — цепное слева кольцо и Atp(a) = А для всех ненулевых а£А.
В этих условиях кольца А[[х, у?]] и А являются областями.
> Обозначим /? = Л[[х, </?]]. Если Atp{a) = Л для всех ненулевых а € Л, то
по 15.33(1) Л и /? — области. Импликация 2) => 1) следует из 15.33(3).
1) =>2). Пусть а, а! € Л. Так как /? — цепное слева кольцо, то либо а 6 /fa',
либо а' € /?а. Поэтому либо а £ Ла', либо а' 6 Ла, откуда Л — цепное слева
кольцо. Допустим, что афО. Так как а £ Rx и R — цепное слева кольцо, то
х € Ra и х = fa для некоторого ряда / е R с каноническим коэффициентом 6
при х. Поэтому х = /ш2 = bip(a)x, 1 = by?(a), Л = Л</?(а). □
15.35. Предложение-пример. Существует коммутативная цепная
область главных идеалов А, которая не является полем и обладает таким
инъективным кольцевым эндоморфизмом (р, что ip(a) € U(A) для всех
ненулевых аеА и кольцо А[[х, <р]] = R обладает следующими свойствами:
1) R — цепная слева область главных левых идеалов; в частности, R —
дистрибутивная слева нётерова слева наследственная слева
правая область Безу;
2) кольцо R не является ни дистрибутивным справа, ни
конечномерным справа, ни правым кольцом Безу;
3) существуют такие ненулевые различные вполне первичные идеалы
S и Т в /?, что Т = TS с S С /(/?), Т ^ST сТ и R/ST — цепное слева
нётерово слева кольцо главных левых идеалов, содержащее
ненулевой немаксимальный нильпотентный вполне первичный идеал T/ST;
4) в цепной слева области главных левых идеалов R умножение вполне
первичных идеалов не коммутативно, причем существует такой
вполне первичный идеал Т, что Т не является конечно
порожденным правым идеалом и R имеет цепное слева нётерово слева
неразложимое факторкольцо R, не являющееся ни артиновым
слева, ни полупервичным кольцом.
> Пусть k — поле, Z7 —поле рациональных функций над k от счетного
числа переменных {/<}^0 и * — *о- Существует такой инъективный эндоморфизм
а поля F, что a(U) — U+\ для всех i и элемент / трансцендентен над ot(F).
Пусть Л —кольцо, порожденное всеми дробями //(1 +yg), где / и g
—произвольные многочлены из F[y]. Правилом ip(y) — t отображение а продолжается
до инъективного эндоморфизма кр кольца Л. Непосредственно проверяется, что
Л — коммутативная цепная область главных идеалов и ip(a) 6 U(A) для всех
аеА\0. Обозначим R = A[[x,<p]]. По 15.33(3) и 15.33(6) R — цепная слева
область главных левых идеалов, которая не является ни дистрибутивным справа
кольцом, ни конечномерным справа кольцом, ни правым кольцом Безу. Обозна-
424 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
чим Т = Rx и S = RJ(A). Тогда S и Т — ненулевые вполне первичные идеалы в /?,
S Ф Т С S С /(/?) и Т ф ST по 5.26(2). Так как S — главный левый идеал, строго
содержащий вполне первичный идеал 7\ то TS = Т. Оставшиеся утверждения
проверяются непосредственно, если положить R = R/ST. □
15.36. Пусть ip — инъективный эндоморфизм кольца А и М-правый
А-мод у ль.
1) Если М[[х, ip\] —равномерный правый А[[ху 1р]]-модуль, то М —
равномерный А-модуль.
2) Если М[[ху ip]] —цепной правый А[[х, (р]]-модульу то М — простой
А-модуль.
3) Цоколь А[[х, {р\]-модуля М[[х, <р]] равен нулю.
4) Как правый цоколь, так и левый цоколь кольца Л[[х, tp]] равны нулю.
> Обозначим /? = А[[ху </?]].
1) Пусть Офу, z£M. Так как М[[ху </?]] — равномерный /?-модуль, то
существуют такие ряды fyg€Rco свободными членами /о, go £ Л, что yf = гцф0.
Тогда yfo = zgo ф 0. Поэтому у А П zA Ф 0 и М равномерен.
2) Пусть 0фтеМу аеА и тафО. Так как М[[ху <р]] —цепной правый
/^-модуль и та £ mxRy то mxR С гая/?. Тогда гах = та] для некоторого
ряда 52?10щх' €/?, где а,- € А. Сравнивая коэффициенты при ху получаем, что
т = таа\. Поэтому тА — таА. Так как каждый ненулевой циклический
подмодуль в тА совпадает с тА, то тА — простой Л-модуль. Поэтому в М все
ненулевые циклические подмодули просты. Остается доказать, что тА содержит
любой ненулевой элемент у €. М. Циклический подмодуль уА в М прост. Так
как все цепные модули равномерны, то по 15.33(1) Ма равномерен. Поэтому
тАПуА ф0. Так как тА и уА — простые Л-модули с ненулевым пересечением,
то тА —уА.
3) Допустим, что существует такой ненулевой ряд /бМ[[х, </?]], что fR —
простой правый /?-модуль. Тогда /S = 0 для некоторого максимального правого
идеала S в /?. По 15.31(4) х € S. Поэтому fx = 0. Тогда / = 0 и получаем
противоречие.
4) По 3) Soc(/?/?) =0. Допустим, что Soc(#/?) ф 0. Тогда R имеет минимальный
ненулевой левый идеал /?/ и Tf — 0 для некоторого Т е тах(/?/?). По 15.31(4)
х € Т. Поэтому xf = 0. Тогда / = 0 и получаем противоречие. □
15.37. Если ip — автоморфизм кольца А и М- ненулевой правый А-
модуль, то равносильны условия:
1) М[[ху tp]] — цепной правый А[[ху <р]]-модуль;
2) М — простой А-модуль\
3) множество всех ненулевых подмодулей правого R-модуля М[[ху у?)]
совпадает с {MxnR)ZL0;
4) М[[ху tp]] —цепной нётеров А[[х, р]]-модуль, у которого все
собственные фактормодули являются артиновыми, а все подмодули
являются циклическими.
Модули косых степенных рядов и свойства колец рядов 425
> Обозначим R = A[[x, <р]]. Импликации 3)=>4) и 4) => 1) проверяются
непосредственно. Импликация 1)=>2) следует из 15.36(2).
2)=>3). Пусть Г —ненулевой подмодуль правого Я-модуля М[[х, tp]].
Существуют неотрицательное п € Ъ и ряд / = ]£Som'*' £ М[[*> ¥?]] с ненулевым
свободным членом апо, для которых rrti GM, /х" € Т C\MxnR и либо /2 = 0, либо
Г П Afx*/? = 0 для всех k < п. Так как т0 — ненулевой элемент простого Л-модуля
М, то М = тоА. Поэтому существуют такие щ е Л, что а0 = 1 и ш,- = тоЯ/ для всех
/. Обозначим и = £f~0 а,-*'* €/?. По 15.31(3) ueU(R). Кроме того, xnR = Rxn,
поскольку у?(Л) = Л. Тогда
MxnR = f0xnR = foRxn = fouRx" = fRxn = fxnR С Т.
Остается доказать, что Т CMxnR. Это верно при /г = 0, так как Af/? = Af[[jt, </?]].
Пусть п > 0 и gx* — любой ненулевой ряд из Т, где g = ]CSo 8*х* ~ Ряд из
М[[х, ¥>]] с ненулевым свободным членом go 6 М и gi € М для всех /. Тогда
0 ф gxk е Т П MxnR. Поэтому k^n, ge MxnR и Г С MxnR. D
15.38. Теорема. Если <р — инъекпгивный эндоморфизм кольца Л, то
равносильны условия:
1) А[[х, (р]] — цепное справа кольцо;
2) А[[х, if]] — инвариантная цепная область главных идеалов, над
которой каждый собственный циклический правый или левый модуль
имеет конечное число подмодулей;
3) Л — тело и ip — его автоморфизм.
> Обозначим /? = Л[[л\ ip]]. Импликация 2)=> 1) очевидна.
1)=>2). По 15.37 А а —простой модуль (т.е. Л—тело) и /? — цепное справа
кольцо главных правых идеалов. По 9.14(3) R инвариантно справа. По 15.31(11)
if — автоморфизм кольца Л. По 9.14(3) R инвариантно справа. По 15.31(12) R —
цепная слева инвариантная слева область главных левых идеалов, над которой
каждый собственный циклический левый модуль имеет конечное число
подмодулей. □
15.39. Пусть <р — автоморфизм кольца Л, R = А[[х, ip]] и п: /?—>Л —
отображение, сопоставляющее каждому ряду из R его свободный член.
1) Rx — xR и h — сюръективный кольцевой гомоморфизм с ядром
Rx = xR.
2) Если М — конечная прямая сумма конечно порожденных правых А-
модулей М\, ...у МПу то правый А[[х, (р]]-модуль М[[х, ip]]
изоморфен конечной прямой сумме R-модулей М\[[х, ip]], ..., Мл[[х, ip]].
3) Если М — конечно порожденный полупростой правый А-модуль, то
Щ[х* ¥?]] — полуцепной нётеров правый А[[х, 1р]]-модуль.
4) Если А — полупервичное кольцо без бесконечных прямых сумм
ненулевых идеалов, то А[[х, ip]] —полупервичное кольцо.
5) Если Р — первичный правый идеал в А и п(Р) = £"_, М/»)Л для
некоторых рядов f\ fn € Р, то Р = £?=! fiR при х £ Р и Р = xR +
> Пункты 1) и 2) проверяются непосредственно. Пункт 3) следует из 2) и 15.37.
426 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
4) Допустим, что R не полупервично. Существует такое неотрицательное п € Z
и ряд / = £^0 fix1 € R с ненулевым свободным членом /о, что ft £ Л для всех /
и fxnRfxn = 0. Для любого т ^ 0 обозначим через £т ненулевой идеал Aipnm(fo)A
в Л. Так как fxnRfxn = 0, то fxnmAf = 0 для всех ал б N. Поэтому /0Л<//"и(/о)
для всех ал € N. Тогда Л/В/ = 0 при i < у. Поэтому (Во + ... + Bt)Bj = 0
при i < у. Поскольку А полупервично и (Во + • • • + Bi)Bj = 0 при / < у, то
(Во + ... + Bi) П В, = 0 при / < у. Поэтому Л содержит бесконечную прямую
сумму ф°10£; ненулевых идеалов Bi. Получено противоречие.
5) Если х еРуТО равенство P = xR-\- £"_, fiR проверяется непосредственно.
Допустим, что х £ Р. Надо для любого ряда g e R доказать существование таких
рядов ai, ..., ап> что g = £?_, //а,. Так как /г(Р) = ^"=1 h(fi)Ay то существуют
такие а^еА (/ = 1 /г) и ряд g\ е /?, что g - £"=| /,а,о = g\x e Р.
Тогда g\Rx = g\xR С Р, причем Р —первичный правый идеал и х ^ Р. Поэтому
gi € Р. Аналогично доказывается существование таких at\ € А (I = I, ..., п)
и ряда g2 £ /?, что g\ — IC/Li ha'& — §2Х £ ^- Продолжая этот процесс, получим
подмножество {а,-/| / = 1, ..., /г; 1 ^ у < оо} С Л. Обозначим hi = Yl^l\ ачх* € Я,
1 = 1, .... я. Тогда Я = Е-=, figi и /> = £?=, /«/?• О
15.40. Теорема. Если <р — автоморфизм кольца Л, ало равносильны
условия:
1) Л — нётерово справа кольцо;
2) А[[ху (/?]] —нётерово справа кольцо.
> Обозначим /? = Л[[*, <р]]. Импликация 2)=> 1) следует из кольцевого
изоморфизма Л = /?//?*.
1)=>2). По 6.47 достаточно доказать, что любой первичный правый идеал
Р в /? конечно порожден. Пусть h: R—>Л — сюръективный кольцевой
гомоморфизм, сопоставляющий каждому ряду из R его свободный член. Так как кольцо
Л нётерово справа, то его правый идеал п(Р) конечно порожден. По 15.39(5) Р —
конечно порожденный правый идеал. □
Редуцированные кольца рядов и многочленов
15.41. Если (р — инъективный эндоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) Л редуцировано и а<р(а)ф0 для всех ненулевых аеА;
2) Л редуцировано и aipn(а)ф0 и ipn(а)а ф0 для всех п € N и ненулевых
аеА;
3) Л редуцировано и (рп(а)АЬ = ЬА(рп(а) = 0 для всех п € N и любых
таких а, Ь 6 Л, чало afr = 0;
4) для любых рядов /, £бЛ[[х, ip]] равенство fg = 0 равносильно
равенству С(/) П C(g) = 0, где C(f) обозначает идеал в Л, порожденный
всеми каноническими коэффициентами // е А ряда /;
5) А[ху <р] —редуцированное кольцо;
6) [</?, х]Л — редуцированное кольцо;
7) Л[[л\ (/?]] —редуцированное кольцо;
Редуцированные кольца рядов и многочленов 427
8) [[<р, х]]А —редуцированное кольцо.
> Так как условие 2) лево-право-симметрично, то достаточно доказать
эквивалентность условий 1), 2), 3), 4), 5), 7). Импликация 4) => 7) следует из
условия 4) при / = g. Импликация 7) =>5) следует из того, что подкольцо А [л\ <р]
редуцированного кольца А[[х, у?]] редуцировано.
5) => I). Подкольцо А редуцированного кольца А[х, ip] редуцировано. Если
ОфаеА, тоОф(ах)2 = а<р(а)х2, откуда а<р(а)Ф0.
1) =>2). По 6.34(2) достаточно доказать, что снрп(а) ф 0 для всех п € N и
ненулевых а€А. При п = i утверждение верно по условию. Допустим, что
утверждение верно для /2 — 1^0. Допустим, что а е А и снрп(а) = 0. Так как по 2)
(a<pa-l(a))<p(atpa-l(a)) = а(<р*-1 (а)<р(а))<ря (а) = 0,
то по условию а<р"~1 (а) = 0. По предположению индукции а =0.
2) =>3). Так как аб =0, то <р(а)<р(Ь) = 0,
(Ма)ММя)) = Ь(<р(а))<рЬ)<р*(а) = 0
и 6</?(а) = 0. По 6.34(2) </?(а)6 = 0 для любых а, Ь е А с условием аЬ = 0.
Тогда ipn(a)b = 0 для любых nGN и а> b € А с условием afr = 0. По 6.34(2)
ЬА<рп(а) = (рп(а)АЬ=0 для любых /zeN.
3) =>4). Допустим, что /, g € R и С(/) П C(g) = 0. Тогда /,-g,- = 0 для всех /, у.
По 3) fnp'(gj) = 0 для всех i, у. Поэтому fg = 0.
Допустим теперь, что /g = 0. Пусть / = £~0 /<*'> £ = E/lo £/'*'. Л» 8i^A-
По 6.34(2) достаточно доказать, что ftgj = 0 при 0 ^ /, у ^ оо.
Сначала докажем индукцией по у, что fogj =0 для любого у. При у =0
утверждение следует из того, что fa go = (/g)o = 0. Пусть fogj = 0 для 0 ^ у ^ п.
По 3) fofnpl(gj) = 0 для всех / при 0 ^ у ^ /г. Тогда
О=/о(/0„+1 = /о( £ №(8i)) = fog*+i>
\,-+/вя+1 /
(hgn+lfof = 0, /ofti+l/o = 0, (fogn+\)2 = 0, /о^я+1 = 0
и равенства /,g, =0 доказаны для / = 0 и всех у.
Проведем индукцию по /'. Допустим, что figj = 0 при 0 ^ / ^ п и 0 ^ у ^ оо.
По 3) /,У (^у) = 0 для (К К л. Представим / в виде / = ^?=о /<*' +'*"+I. ™e
' =£,~я+1 Л*1""""1. Тогда /£ = 0 и (ZUo hxl)g = 0. Поэтому tg = 0 и /0 = /„+1.
По предположению индукции, примененному к /, получим, что 0 = togj = f„+\ gh
где 0 ^ у ^ оо. □
15.42. Если <р — инъективный эндоморфизм кольца Л, атю равносильны
условия:
1) /4[jc, <pj — риккартово справа редуцированное кольцо;
2) /4[jc, <p] —риккартово слева редуцированное кольцо;
3) в А[ху у?] каждый многочлен — произведение центрального идемпо-
тента, лежащего в А, и неделителя нуля;
4) А — риккартово справа или слева редуцированное кольцо и aip(a) Ф 0
для все* ненулевых аеА.
428 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
> Обозначим R = A[x, ф\. Эквивалентность условий 1), 2) и 3) следует из 7.38
и 15.2(6).
1)=>4). По 15.41 А редуцировано и aip(a)^0 для всех ненулевых а е А.
Пусть аеА. По 7.38 rR(a) = eR для некоторого центрального идемпотента е е R.
По 15.2(6) ее А. Поэтому гл(а) = еА и Л риккартово справа.
4)=» 1). По 15.41 R редуцировано. Пусть f=J2Uo Л*''е/? и £=£Г=о £/*'€«,
где /,-, g/ 6 Л для всех /, /. Обозначим через В и С идеалы в Л, порожденные
конечными множествами {/о, ..., fn) и {go, • ••» gm) соответственно. По 15.41
(см. 4)) fg = 0 & В П С = 0. По 7.38 гЛ(В) = £А(В) = еА=Ае для некоторого
е = е2 G Л. Так как R редуцировано, то идемпотент е централен в /?. Так как
gerR(f) о С Се/?, то rR(f)=eR. Поэтому R риккартово справа. □
15.43. Если (р — инъективный эндоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) А[[х, ip\] —риккартово справа редуцированное кольцо;
2) А[[х, (р]] —риккартово слева редуцированное кольцо;
3) в кольце Л[[л\ if]] каждый ряд — произведение центрального
идемпотента, лежащего в А, и неделителя нуля;
4) Л — риккартово справа или слева редуцированное кольцо, в
котором аннулятор любого счетно порожденного идеала порождается
центральным идемпотентом и а<р(а)ф0 для всех ненулевых аеА.
\> Обозначим /? = Л [[*, </?]]. Эквивалентность условий 1),2) и 3) следует из 7.38
и 15.2(6).
3) =>4). Пусть / — многочлен степени /г, / е А[ху </?] С /?. По 3) / = eg,
где ее A, geRy e — центральный идемпотент в /?, g — неделитель нуля в /?.
Обозначим h = eg+ \ — ееА[х, ф\. Тогда f = ef = eh и h — неделитель нуля в R.
По 15.42 Л — риккартово справа или слева редуцированное кольцо и ау>(а) /0
для всех ненулевых аеА. Пусть В — счетно порожденный идеал ^^L] Ab„A.
Обозначим и = ££1| Ьпхп е R. По 3) и — e'g'y где е' е Л, g' e R, е' —
центральный идемпотент в /?, gf — неделитель нуля в /?. Тогда г а (и) = А П rR(u) = eAy
а по 15.41 (см. 4)) rA(u) = {v e R \ C(v) ПВ = 0}. Теперь с помощью 6.34(2)
проверяется, что г(В) =£(В) =еА.
4)=>3). По 15.41 R редуцировано. Пусть f = Y!Zof'x' е Я» где /«' £^ для
всех I. Обозначим В = £^10 Л/,-Л. ^° 4) Oi(£) = еЛ Для некоторого центрального
идемпотента г кольца Л. Так как /? редуцировано, то е централен в R. Тогда
1-е — центральный идемпотент в R и / = (1 — e)f. Обозначим g — e + / е R.
Тогда / = (1 - e)g. Пусть h e R и gh = he + //z(l — е) = 0. Тогда he = 0
и /*(1 — е) е rR(f). С помощью 15.41 и 6.34(2) легко проверяется, что h —
неделитель нуля в /?. П
15.44. Если <р — инъективный эндоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) Л[х, if]—правое кольцо Везу и либо А квазиинвариантно справа,
либо в А все аннуляторные правые идеалы — идеалы;
2) Л строго регулярно, <р — автоморфизм; А[х, х~\ </?], А[ху </?] —
полунаследственные редуцированные кольца Везу;
Степенные ряды над строго регулярными кольцами 429
3) А строго регулярно, <р — автоморфизм и ip(e) = е для любого идем-
потента ее А.
> Обозначим R — A\x, </?]. Импликация 2) => 1) проверяется непосредственно.
Импликация 1)^3) следует из 15.27.
3)=>2). Пусть ОфаеА. По 11.13 а = еи, где е — ненулевой центральный
идемпотент в А, и е U(A). Так как идемпотент (р(е) = е централен и ip(u) е U(A),
то aip(a) = euip(e)ip(u)=euip(u)^0. Так как по 15.17 и 15.42 /?
—редуцированное риккартово кольцо Безу, то R полунаследственно. Кольцо S =А[х, х~\ ip]
изоморфно кольцу частных кольца R по двустороннему множеству
знаменателей {хп}%0. По 10.33(1) S редуцировано. По 10.35(12) S полунаследственно.
По 10.35(6) 5 —кольцо Безу. D
Степенные ряды над строго регулярными кольцами
15.45. Если ip — автоморфизм кольца Айв кольце А[[х, ip]] все 2-
порожденные правые идеалы плоские, то А регулярно.
> Пусть аеА н R = A[[x, у?]]. Так как ip(a)x = ха, то по 8.32(2) существуют
такие ряды /, h, t е /?, что у?(а)/ =xh и (1 — f)x = ta. Пусть с — свободный член
ряда / и <р(Ь) — коэффициент при х ряда /, be А. Приравнивая в равенстве
<p(a)f =xh свободные члены, а в равенстве (1 — f)x = ta коэффициенты при х,
получим равенства ip(a)=c и 1 — с = <p(b)ip(a). Тогда
ip(a) = ip(a)(\ —c) = ip(aba)y a — aba
и А регулярно. □
15.46. Теорема. Если ip — инъективный эндоморфизм кольца А, то
равносильны условия:
1) А[[х, ip]] — дистрибутивное справа кольцо;
2) А[[х, ip]] — правое кольцо Безу и либо А квазиинвариантно справа,
либо правые аннуляторы всех элементов в А — идеалы;
3) А[[х, ip]] — инвариантное дистрибутивное редуцированное кольцо
Безу и все подмодули плоских правых или левых А[[х, 1р]]-модулей
являются плоскими;
4) А — строго регулярное счетно инъективное кольцо, ip —
автоморфизм и ip(e) = e для любого идемпотента ее А.
> Обозначим R = А[[х, ip]] и S = А[х, ф\. Для любого п е N факторкольца
R/Rxn и S/Sxn изоморфны. Импликация 3)=>2) очевидна.
2) => 1). Так как S/Sx2^R/Rx2, то S/Sx2 — правое кольцо Безу. По 15.27 А
строго регулярно. По 15.32(5) R дистрибутивно справа.
1)=>4). Так как R/Rx2 = S/Sx2, то S/Sx2 дистрибутивно справа. По 15.24(2)
ip — автоморфизм, А строго регулярно и ip(e) — e для каждого идемпотента ее А.
Пусть {ei}fl0 — счетное множество центральных идемпотентов в A, {ai}fl0 —
счетное подмножество в A, u = J2ZoeiX* и и = 5^оа|"в|'*1+1- По 9.2 для рядов и
и v существуют такие ряды /, h, z € /?, что uf = vh и v(\ — f) = uz. Домножая
эти равенства на центральные в R идемпотенты е\, получим ах1 f = aieix1^h
430 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
и eiXlz = aieiXl+l(\ - /). Тогда
eixi+lf = xe&'f = xaieixi+]h = efxi+2g, g в R.
Поэтому e,x'z = a/e,jt'"fl — aieix'^g. Приравнивая в этом равенстве
коэффициенты при х1+х, получим, что <p(z\)ei = ые, для всех /. По 11.42 А счетно
инъективно.
4)=>3). По 15.41 R редуцировано. Так как А — строго регулярное счетно
инъективное кольцо, то по 11.42 Л —счетно алгебраически компактное кольцо.
Докажем, что R инвариантно слева. Достаточно доказать, что для любых
известных рядов / = Y^Zo f'x' e % и 8 = 1С/^о 8ix* c известными
коэффициентами /,-, gj € А существует такой неизвестный ряд у = ]££10 ykXk с неизвестными
коэффициентами ^бЛ, что yf = fg. Разрешимость в R уравнения yf = fg
равносильна разрешимости в кольце А следующей счетной системы линейных
уравнений
0о/о = /о go,
yof\+y\h = fo8\ + f\8o, w
УоЬ+yifi +02/0 = hg2 + figi + /г£о,
от неизвестных yo, yiy y<i, ... Эта система имеет известные коэффициенты
/о» /ь /г. ••• и известные правые части уравнений. Так как R/Rxn = S/Sxn
для любого «GN, то из 15.17 следует, что любая конечная подсистема в (*)
разрешима. Поскольку А — счетно алгебраически компактное кольцо, то система
(*) разрешима.
Докажем, что R дистрибутивно слева. По 9.2 достаточно доказать, что
для любых известных рядов / = ]С^о Ьх* € R и 8 = И211о 8ix* c известными
коэффициентами /,-, gj e А существуют такие неизвестные ряды у = ]С£=о #***'
2 = 5^^=02тл:т, t = ^2<£=о*пхП с неизвестными коэффициентами */*, zm, t„ € Л,
что yf = zg и (1 — y)g = tf, причем второе уравнение можно заменить на
уравнение yg = g — tf. Разрешимость в R системы из двух уравнений yf =zg
и yg = g — tf равносильна разрешимости в кольце А следующей счетной системы
линейных уравнений:
Уо fo = zogo,
yogo = 80- 'о/о,
Уо /i + 4/1/0 = z0gi +21^0,
yog\+y\go = g\ -*o/i +'1/0, (**)
yof2+y\fl +02/o = Z0g2+Zig\ + Z2g0,
yog2+y\g\ +#2g0 = g2-tQf2 + t\f\+t2fa,
Эта система содержит неизвестные уоУ zo, /о, У\, z\y t\, ..., известные
коэффициенты и известные правые части уравнений. Так как R/Rxn = S/Sxn для любого
п € N, то из 15.17 следует, что любая конечная подсистема в (**) разрешима.
Степенные ряды над строго регулярными кольцами 431
Поскольку А — счетно алгебраически компактное кольцо, то система (**)
разрешима. Заметим, что R = А[[ху (р]] = [[<р~\ х]]А и (p~l(e) = e для каждого
е = е2 € А. Так как доказано, что R — инвариантное слева дистрибутивное слева
кольцо, то [[<р-1, х]]А инвариантно справа и дистрибутивно справа. Доказано,
что R — инвариантное дистрибутивное редуцированное кольцо. По 15.32(5) /? —
кольцо Безу. По 8.29 все подмодули плоских /?-модулей являются плоскими. D
15.47. Предложение-пример. Существует такое коммутативное
регулярное кольцо А, что А не является счетно инъективныму а кольцо А[[х\]
не дистрибутивно справа или слева.
> Пусть Т — поле и А — кольцо, образованное всеми финально постоянными
последовательностями / = (/я)я=о элементов из 7\ т. е. для каждого (/„) е А
существует такой номер N = N(f)y что /„ = fu для всех п ^ N. Кольцо А
коммутативно и регулярно. Пусть {е(/)}^0 — такое счетное множество
ортогональных идемпотентов кольца Л, что e(i)t = 1 и e(i), = О для ]ф[ и {a(i)}fl0 —
такое счетное подмножество в Л, что a(i) = \а для нечетных i и a(i) = 0^ для
четных I. Допустим, что Л счетно инъективно. По 11.42 существует такое
Ь € Л, что be(i) — a(i)e(i) для всех /. Выберем четное число п ^ N(b). Тогда
bn = (be(n))n = Or, bn+\ = (be(n))„+\ = 1г- Так как Ьп ф Ьп+\у то получаем
противоречие. Поэтому Л не счетно инъективно. Если Л[[х]] дистрибутивно,
то по 15.46 Л счетно инъективно и получаем противоречие. □
15.48. Если if — автоморфизм нормального кольца А и (р(е) = е для
любого идемпотента ее А, то равносильны условия:
1) все подмодули плоских правых или левых А[[ху 1р]]-модулей плоские;
2) все 2-порожденные правые идеалы кольца А[[ху у?]] плоские;
3) все 2-порожденные левые идеалы кольца А[[ху у?]] плоские;
4) Л — строго регулярное счетно инъективное кольцо.
> Импликация 4)=> 1) следует из 15.46. Импликации 1)=>2) и 1)=»3)
проверяются непосредственно.
2)=>4) и 3)=>4). По 15.45 Л регулярно. Нормальное регулярное кольцо Л
строго регулярно. Пусть {et}/=o — счетное множество центральных ортогональных
идемпотентов в Л и {а/}^0 — счетное подмножество в Л. Обозначим
оо оо оо
и — ^2е'х'у v = ^2,aie'tX+Xy w = y^frVfa')*1"1"1-
i=0 /=0 «=0
Тогда uv = wu. По 8.32(2) существуют такие ряды /, gy h € R, что uf = wh
и (1 — f)v = gu. Домножая эти равенства на центральные ортогональные идемпо-
тенты ех и учитывая, что <р(ех) = ех для всех еХу получим равенства xle-tf = х1ахеххп
и (1 - /)а,-*,\*'+| = geix1. Тогда
ge-tX1 = (ei - ахеххп)аххк^.
Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при xt+\ получаем, что ехах = g\ex
для всех I. По 11.42 Л счетно инъективно. П
15.49. Если if— такой автоморфизм нормального кольца Л, что
(р(е) = е для любого е — е2 6 Л, то равносильны условия:
432 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
1) в А[[х, ф]\ все 2-порожденные правые идеалы проективные
2) в А[[х, ip]] все 2-порожденные левые идеалы проективные
3) А[[х, ip)\ — полунаследственное редуцированное кольцо;
4) А — строго регулярное счетно инъективное кольцо ив А аннулятор
любого счетно порожденного идеала порождается центральным
идемпотентом.
> Достаточно доказать эквивалентность условий 1), 3) и 4). Импликация 3) =И)
очевидна. Импликация 1)=>4) следует из 15.48 и 15.43.
4)=>3). Обозначим /? = Л[[х, </?]]. По 15.43 /? — редуцированное риккартово
кольцо. По 15.46 /? — кольцо Безу. Риккартово кольцо Безу /?
полунаследственно. □
15.50. Предложение-пример.
1) Существует коммутативное регулярное кольцо D, которое
является факторкольцом коммутативного регулярного инъективного
кольца А, имеет такой счетно порожденный идеал В, что го(В) не
порождается (как идеал) идемпотентом и не является ни бэров-
ским, ни тг-инъективным справа или слева.
2) Существует такое коммутативное регулярное счетно
инъективное кольцо D, что D[[x]] — коммутативное дистрибутивное
редуцированное кольцо Безу, все подмодули плоских й[[х]]-модулей
являются плоскими, D[[x]] не является риккартовым кольцом и
классическое кольцо частных кольца D[[x]] не регулярно.
3) Существует такое коммутативное регулярное счетно
инъективное кольцо D, что D не п-инъективно и D — факторкольцо
коммутативного регулярного инъективного кольца А.
> 1) Пусть Л —прямое произведение бесконечного множества полей Л/,
Т = ф~! Л, и D=A/T. По 14.32(2) А и D — коммутативные регулярные кольца
и D не инъективно. Так как Л — прямое произведение инъективных колец, то Л
инъективно. По 14.31 D — требуемое кольцо.
2) По 1) существует коммутативное регулярное кольцо D, являющееся
факторкольцом коммутативного регулярного инъективного_кольца Л и обладающее
таким счетно порожденным идеалом В, что идеал го(В) не порождается
идемпотентом. По 11.42 все факторкольца кольца Л счетно инъективны. Поэтому D
счетно инъективно. По 15.46 D[[x]] —коммутативное дистрибутивное
редуцированное кольцо Безу и все подмодули плоских D[[x]]-модулей являются плоскими.
По 15.43 D[[x]] не риккартово. По 10.41 классическое кольцо частных
дистрибутивного нериккартова кольца /)[[*]] не может быть регулярным.
3) Пусть Л — прямое произведение бесконечного числа полей Л/ и D —
факторкольцо кольца Л по прямой сумме полей Л/. По 1) А — коммутативное
регулярное инъективное кольцо, D — коммутативное регулярное кольцо и D не
инъективно. По 11.42 D счетно инъективно. D
15.51. Если А — тело действительных кватернионов, то кольцо А[[х\]
дистрибутивно, а кольцо А[х] не дистрибутивно справа или слева. Если
А — коммутативное регулярное кольцо, построенное в 15.47, то кольцо
Условия конечности и ряды Лорана
433
А[х] дистрибутивно, а кольцо Л[[х]\ не дистрибутивно справа или слева.
(Вытекает из 15.46, 15.47 и 15.26.)
Условия конечности и ряды Лорана
В этом разделе, если не оговорено противное, через <р обозначается некоторый
автоморфизм кольца Л. Напомним, что в этом случае кольцо левых косых
рядов Лорана А((х, ip)) состоит из формальных рядов £S/ atxl от переменной
х с каноническими коэффициентами а{ 6 Л, где / — (возможно, отрицательное)
целое число и либо at фОу либо а, =0 для всех /. В А((х, ip)) сложение
определяется естественно, а умножение задается с помощью равенств х1а = (р1(а)х'
для всех а 6 А и / е Z. Элементы at 6 А называются каноническими
коэффициентами ряда / = ]CS/*'а<- Если at Ф0У то ненулевой коэффициент at 6 Л
называется младшим коэффициентом для /; он обозначается через А(/). (Если
/ = 0, то А(/) = 0 по определению.) Если / #0, то элемент xl ft и целое число
/ называются младшим членом и младшей степенью ряда / соответственно.
Для каждого подмножества FC А((ху (р)) обозначим через X(F) подмножество
{X(f) | / £ F) С Л. Для каждого подмножества В С А обозначим через В((ху ip))
подмножество $^lt Ь\х1 \ Ъ\ е В) в А((ху ip)).
Аналогично, если ^ — автоморфизм кольца Л, то кольцо правых косых рядов
Лорана ((у?, х))А = Аг((ху ф)) состоит из формальных рядов YlZt x'ai от пеРе~
менной х с каноническими коэффициентами щ 6 Л, где t €Z и ах1 — х1ф(а) для
всех а е А и / eZ. Кольца степенных рядов А[[ху ip]] и [[ip, x]]A — подкольца
колец А((ху ip)) и ((ip, x))A соответственно.
Напомним также, что для каждого правого Л-модуля М через М((ху ip))
обозначается множество всех формальных рядов YZt mi*'* где m, € М, meZ
и либо mt Ф 0, либо тх = 0 для всех /. Ненулевой коэффициент mt € М
обозначается через А(/); он называется младшим коэффициентом ряда /. (По
определению полагаем, что А(0) = 0.) Если / ф0у то элемент ftxl и целое число
/ называются младшим членом и младшей степенью ряда /
соответственно. М((ху у?)) —правый А((ху у?))-модуль, где модульное сложение определяется
естественно, а умножение на элементы из А((х, ip)) определяется равенством
Для каждого подмножества F в М((х, ip)) обозначим через X(F) подмножество
Mf)\ /^/^СЛ. Если F — А((ху <р))-подмодуль в М((ху у?)), то A(F) —
подмодуль в Ма- Для каждого подмножества N в Ма через N((x, ip)) обозначается
подмножество правого А((ху </?))-модуля М((ху ip)), образованное всеми рядами,
коэффициенты которых лежат в N.
15.52. Пусть ip — автоморфизм кольца А и R = A((xy ip)).
1) R = (((p~\ x))A иА[ху </?] = [</?"', x]A. Если В и С — любые правые
идеалы в Л, то (В + С)((ху ip)) = B((xy <p)) + C((x, ip)) и В((х, <р))ПС((х, </?)) =
= (ВГ\С)((ху ip)). Поэтому решетка правых идеалов кольца А
изоморфна подрешетке решетки правых идеалов в /?.
434 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
2) Если В — правый идеал в Л, то В((ху у?)) — правый идеал в R. Кроме
того, если Вп = 0 и (р(В) С В, то (В((ху ip)))n = 0 иу в частности,
B((xy<p))CJ(R).
3) Если В —идеал в Л, то В((ху у?)) — идеал в R в точности тогда,
когда ip(B) С В. Кроме того, если В — идеал в А и у(В) = В, то
£((*> Ч>)) — идеал в R и факторкольцо R/B((xy ip)) изоморфно кольцу
косых рядов Лорана (А/В)((ху ip))y где (р — автоморфизм кольца А/В,
индуцированный автоморфизмом <р кольца А.
4) Если В и С — такие идеалы в А, что tp(B)CBy <р(С)СС и ВС=0у то
В((ху ip)) и С((ху <р)) - идеалы в R и В((ху <р))С((х, tp)) = 0.
5) Если F — правый идеал в /?, то \(F) — правый идеал в А и X(F)
совпадает со множеством свободных членов всех рядов из F Г\А[[ху ф\\.
6) Если А — конечное прямое произведение колец А\у ..., Ап с
единицами е\, ..., еп и ip(ei) = ех для всех /, то для каждого i
автоморфизм if индуцирует автоморфизм <#• кольца Л, и R = А\ ((ху ip\)) х ...
... хА„((ху </?„)).
7) Если F — ненулевой идеал в R, то \(F) — ненулевой идеал в А,
X(F) = <p(X(F)) и X(F)X(G)CX(FG) для каждого идеала G в R.
8) Если элемент а € А обратим справа (слева) в Ry то а обратим
справа (слева) в А. Если / = ^УЦт а'х* ~~ так°й Ря& из R> что ai £^
и младший коэффициент ат обратим справа (слева) в Ау то ряд f
обратим справа (слева) в Ry причем если f имеет степень 0 (т.е.
m = 0), то обратный справа (слева) ряд для f тоже имеет степень
0.
9) Если F — правый идеал в R и X(F) — Ау то F — R.
10) Если М — максимальный правый идеал в Л, то М((ху
^—максимальный правый идеал в R.
> Утверждения 1)—6) проверяются непосредственно.
7) Без ограничения общности можно считать, что /^0 и X(F) — ненулевой
идеал в Л. Пусть O^aeX(F). Существует такой ряд / eFnA[[xy (p]]y что а —
свободный член ряда /. Так как F — идеал в /?, то xf € F и х~х / е F. Кроме того,
<p(a)=X(xf) H<p-l(a)=X(x-lf). Поэтому <p(X(F)) CX(F) и tp"l(\(F))C X(F).
8) Первое утверждение проверяется непосредственно. Докажем второе.
Допустим, что ата = 1 для некоторого а 6 Л. Для каждого целого / ^ 0 положим
gj =ат+цр*(а) € А. Кроме того, положим
g = fx-ma = f>*'-ma = £)й*' € А[[х, ц>]} С R.
i=.m /=0
Тогда go = 1. По 15.31(3) ряд g обратим в А[[ху у?]] С R. Тогда fx~mag~x =
= gg~x = 1. Поэтому ряд f обратим справа в Ry причем если / имеет степень
0, то обратный справа ряд для / тоже имеет степень 0. Левая обратимость
рассматривается аналогично.
9) По 5) X(F) — правый идеал в Л и существует ряд / е F с младшим членом
1. По 8) feU(R). Поэтому F = Л.
Условия конечности и ряды Лорана
435
10) Достаточно доказать, что для каждого ряда t € R\ М((х, </?))
существуют такие h е М((ху (р)) и g е /?, что h + tg = 1. Без ограничения общности
можно считать, что / = £~0 ttx\ где 0 ф /о € Л \ М и /,• € Л для всех /. Так
как М € max (Л л)» то то + /оЯо = 1 Для некоторых то € М и ао € /4. Тогда
ало + /ао = 1 + £Si ti<p'(ao)xt. Поэтому (mo 4- too)/ = 1 для некоторого / 6 /?.
Обозначим h = mof еМ и g — aofeR. Тогда h + tg= 1. □
15.53. Пусть ip — автоморфизм кольца А и R = A((xy у?)).
1) /(/?) С (/(Л ))((*, у?)) (ап. е. для любого ряда / = £~т /,*' е J(R) (при
fi € А) все коэффициенты /; лежат в J(A))y <p(J(A)) —J(A) и кольцо
R/(J(A))((xy ip)) изоморфно кольцу косых рядов Лорана (Л//(Л ))((*, ip)),
где <р — автоморфизм кольца A/J(A)y индуцированный
автоморфизмом ip кольца А. Поэтому кольца R/(J{A))((x, ip)) и (A/J(A))((xy ip))
изоморфны одному факторкольцу кольца R/J(R). В частности, если
А полу примитивно, то R полупримитивно.
2) Если R полулокально, то А полулокально.
3) Если n€Nu (J(A))n = 0, то J(R) = (J(A))((x, ip)) и (J(R))n = 0.
4) Если R конечномерно справа, то А конечномерно справа.
5) Пусть N — идеал в A, ip(I\f)—N, ip — автоморфизм A/N,
индуцированный автоморфизмом ip, и кольца R и (A/N)((x, ip)) конечномерны
справа. Тогда кольца А и A/N конечномерны справа.
6) Пусть В —такой идеал в А, что ip(B) = В и кольцо косых рядов
Лорана (А/В)((х, ip)) полупримитивно, где ip — автоморфизм
кольца А/В, индуцированный автоморфизмом ip. Тогда В((х, у?)) Э/(/?).
Поэтому если В((х, ip))CJ(R), то J(R)=B((x, ip)).
7) Если N\—сумма всех нильпотентных идеалов в А, то N\((x)) —
идеал в А((х)), лежащий в сумме всех нильпотентных идеалов кольца
А((х)); в частности, идеал N\((x)) лежит в радикале Джекобсона
кольца А((х)).
8) R — тело в точности тогда, когда А — тело.
9) А((х, ip)) —область «=> А[х, x~l, ip] —область <& А—область.
> 1) Пусть {Mi}i& = тах(у4л). По 15.52(10) Mi((x, ip)) e тах(/?/?) для любого /.
Поэтому /(/?) С f\ieJ(Mi((x, ip))) = (J(A))((x, ip)). Если М — правый идеал в А, то
Метах(АА) <* ip(M)€тах(Л^) <* ip~x(M)€тгх(АА). Поэтому у?(/(Л))=/(Л).
По 15.52(3) R/(J(A))((x, <p))*(A/J(A))((x, ip)).
Пункт 2) следует из 1) и того, что каждое факторкольцо полулокального
кольца полулокально. Пункт 3) следует из того, что по 15.52(2) (J(A))((x, ip)) CJ(R)
и по 1) J(R) лежит в (7(Л))((лг, ip)). Пункт 4) следует из 15.52(1). Пункт 5) следует
из 4) и 15.52(3).
6) Так как кольцо (А/В)((х, ip)) полупримитивно и существует естественный
кольцевой изоморфизм R/(B((x, ip))) ^ {A/B)((x, ip)), то кольцо R/(B((x, (p)))
полупримитивно. Поэтому В((х, <p))^J(R)-
Пункт 7) следует из 15.52(2), 8) —из 15.52(8).
9) Если R — область, то его подкольцо А[х, х~х, ф\ —область. Если
А[х, х"{, ip] —область, то его подкольцо Л—область. Если Л —область, то
436 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
младший коэффициент произведения любых двух ненулевых рядов в./? не равен
нулю, откуда R — область. D
15.54. Пусть ip — автоморфизм кольца А, М — правый А-модуль и /? =
= A((x,ip)).
1) Если М = ]C"=i т*А для некоторых т\, ..., т„еМ, то
п
i=\
2) Если Y uZ — несовпадающие подмодули в Ма> то Y((x, ip))^Z((x, ip)),
(Y + Z)((x, ip)) = Y((x, fp)) + Z((x, ip)) и (Y n Z)((x, v» = У((х, *>)) П
П Z((x, у?)). Поэтому решетка всех подмодулей в Ма изоморфна
подрешетке решетки подмодулей правого R-модуля М((х, ip)).
3) N = X(N((x, ip))) для каждого подмодуля N в Ма-
4) Решетка всех подмодулей в Ма изоморфна подрешетке решетки
всех подмодулей правого R-модуля М((х, ip)). В частности, если R-
модуль М((х, ip)) нётеров (артинов, дистрибутивный, цепной), то
А-модуль М нётеров (артинов, дистрибутивный, цепной).
5) Для каждого ряда f eM((x, ip)) существует такой ряд g е М[[х, ip]],
что g имеет младшую степень 0 и fA — gA.
6) Пусть F и G—подмодули правого R-модуля М((х, ip)), F С G,
X(F) = X(G) и правый А-модуль Л(С) конечно порожден. Тогда F — G.
7) Если Ма —* нётеров модуль, то существует такое отображение X
множества всех подмодулей правого R-модуля М((х, ip)) в
множество всех подмодулей А-модуля М, что X сохраняет собственные
включения; в частности, М((х, ip)) — нётеров R-модуль.
8) М — артинов и нётеров А-модуль в точности тогда, когда
М((х, <р)) — артинов и нётеров R-модуль. В этом случае
композиционная длина d.A модуля Ма равна длине а*ц модуля М((х, <p))r.
9) М — простой А-модуль в точности тогда, когда М((х, ip))
—простой R-модуль.
10) Пусть М — конечно порожденный полупростой А-модуль, тогда
М((х, ip)) — конечно порожденный полу простой R-модуль.
> Пункты 1), 2) и 3) проверяются непосредственно. Пункт 4) следует из 2).
5) Пусть / — младшая степень ряда / и g = fx~*. Так как x~l e U(R) и g
имеет младшую степень 0, то g —требуемый ряд.
6) Можно считать, что F ф 0. Существуют такие ненулевые f\, ..., fm € F, что
ЦР) = 12?=i Mfi)A. По 5) можно считать, что все /,• имеют младшую степень 0.
Надо доказать, что F содержит все ненулевые g € G. По 5) можно считать, что
g имеет младшую степень 0. Мы построим такие ац £ А (при i = 1, ..., т
и у = 0, 1, 2, ...), что для всех п = 0, 1, 2, ... ряд g - £Г=1 £/=о /;а,7х'
имеет младшую степень > п. Так как X(g) € X(G) = Л^ = Yl7=i -МЛМ, то
X(g) = X(f\)a\o + ...X(fm)amo для некоторых аю € А Так как все / fm, g
имеют младшую степень 0, то g — (f\a\o + ... fmamo) должен иметь младшую
степень > 0.
Условия конечности и ряды Лорана
437
Допустим, что при i = 1, ..., т и у = О, 1, ..., п построены такие ац е Л,
что h — g — ]C/li ]C/=o Ьачх'! имеет младшую степень > п. Заметим, что
h€G. Обозначим через hn+\ коэффициент при xn+l в п. Либо hn+\ = 0, либо
hn+i =X(h). Тогда hn+\ е X(G) в обоих случаях. Существуют такие а,-.я+| € Л, что
„+,=A(/i)a,.„+i+... + A(/„)am,,l+, и пп+{ - (f{a\,n+\xn+x +... + fmam.n+\xn+x)
имеет младшую степень > п + 1. Это завершает шаг индукции. Наконец, полагая
d\ = ^2%о a'ixj №я всех / = 1, ..., т, получаем g = f\d\ +... + /mdOT. Поэтому
> Пункт 7) следует из 6).
8) По 7) и 4) М — артинов и нётеров Л-модуль в точности тогда, когда
Щ(х, (р)) — артинов и нётеров /?-модуль. По 4) dA^d^. По 7) d^ ^ ^л-
Пункт 9) следует из 7) и 4).
10) Пусть М = £"_i >я,Л, где все Л-модули ап,Л просты. По 15.52 /Vf((jc, </?)) =
= ]C?=i ш<#- По 9) все /?-модули /тг,/? просты. Поэтому М((jc, <р)) — конечно
порожденный полупростой /?-модуль. D
15.55. Теорема (ср. [280, Theorem 4]). Если у — автоморфизм кольца А
и М — правый А-модуль, то равносильны условия:
1) М((ху if)) —вполне конечномерный правый А((ху (р))-модуль;
2) УМ ((jc, ф)) — нётеров правый А((ху ф))-модуль\
3) М — нётеров правый А-модуль.
> Импликация 3)=>2) следует из 15.54(4). Импликация 2)=>1) проверяется
непосредственно.
1) => 3). Допустим противное. Существует такое счетное подмножество
{л*|}|€/ СМ, что ]C?=i ^/Л — собственный подмодуль в £?*,' т*А ^я всех п € N.
Обозначим через g такое сюръективное отображение множества N на себя, что
g~l («) — счетное множество для любого п € N (например, можно положить
g(/z) = /г — [\//г]2). Для каждого i = g(/z) 6 N обозначим через /,- такой ряд из
Af((jc, </?)), что для всех п с условием g(n) = i коэффициенты при х2" равны тПу
а коэффициенты при всех остальных xk равны нулю. Так как g сюръективно, то
получаем счетное подмножество {fi}fl\ CAf((jc, <р)). Обозначим # = Л((*, у?)). Так
как все фактормодули /?-модуля М((jc, у?)) конечномерны, то по 5.46 существуют
/ € N, конечное подмножество У С N и конечное подмножество {г/}/€7 С #,
для которых /,• = ]С/еу //Г/ и '' & J- Для конечного подмножества {rfijtj С R
существует такое А £ N, что rjXx € A [[jc, <p]] для всех у. По выбору g существует
такое п 6 N, что 2я > А и g(n) = /. Пусть /(у, s) и r(y\ s) — коэффициенты при Xs
рядов /у е М((jc, у?)) и г/ 6 /? соответственно. Так как Д = ]С/€у //г/ и m« "~
коэффициент при х2" ряда fiy то тп - Z)/ey Es^2«+a /(/• s)^s(r(/» 2я - s))-
Поэтому m„ 6 2/6У £s^2«+a /(/» s>^ £ Е2Л<2«+А тнА, где s ^ 2я + А < 2Я_И
по выбору п. Каждый коэффициент /(/, s) либо равен нулю, либо совпадает
с одним из элементов ап/,. Так как т\А 4-... + тиА — собственный подмодуль
в т\А +... + ти+\А для каждого Л, то существуют такие натуральные числа h ^ i
и у, s, что s < 2"+' и /(/, s) = mA. Так как у / /, то h ф /. Поэтому s = 2я ^ 2я+|.
Получено противоречие. □
438 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
15.56. Следствие. Если ip — автоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) все циклические правые А((ху (р))-модули конечномерны;
2) А((ху ip)) — нётерово справа кольцо;
3) Л — нётерово справа кольцо.
> Так как для каждого кольца R любой циклический правый /?-модуль
изоморфен фактормодулю модуля /?/?, то 15.56 следует из 15.55. □
15.57. Предложение. Если ip — автоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) А((х, ip)) — простое кольцо;
2) <р(В) g В для любого ненулевого собственного идеала В в А;
3) <р(В) ф В для любого ненулевого собственного идеала В в А.
> Обозначим /? = Л((х, <р)). Импликация 2) =»3) очевидна.
3) => 1). Пусть F — ненулевой идеал в /?. По 1 (7) X(F) — ненулевой идеал в Л
и \(F) = ip(\(F))> По условию 3) X(F) = A. По 15.52(9) F = R.
1)=>2). Допустим противное. По 15.52(3) В((х, у?)) — ненулевой идеал в R.
Так как /? —простое кольцо, то В((х, ip)) = R. Поэтому В=А. Получено
противоречие. D
15.58. Существуют простые кольца косых рядов Лорана, у которых
кольца коэффициентов не просты.
> Пусть А\ и Ач — два экземпляра поля /\ Л — прямое произведение колец А\
и Лг, у? —такой автоморфизм кольца Л, что <р(а\у ач) = («2, а\) для всех а\ € А\
и яг £ Л 2. Тогда Л не просто и по 15.52 кольцо А((ху ф)) просто. □
15.59. Предложение. Если <р — автоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) А((ху ip)) — первичное кольцо;
2) Л не имеет таких ненулевых идеалов В и С, что ВС = 0, </?(£) С В
и <р(С) С С;
3) Л яе имеет таких ненулевых идеалов В и С, что ВС = 0, <р(В) — В
и<р(С) = С.
> Обозначим /? = Л((х, у?)). Импликация 2)=»3) очевидна.
3) => 1). Допустим, что R имеет такие ненулевые идеалы F и G, что FG =0.
По 15.52(7) A(/0A(G)C A(FG) = A(0)=0. По 15.52(7) ip(\(F)) = X(F) и v?(A(G)) =
= A(G). Получено противоречие.
1)=>2). Допустим, что Л имеет такие ненулевые идеалы В и С, что ВС = 0,
ip(B)CB и v?(C)CC. По 15.52(4) В{(х, у?)) и С((х, у?)) -идеалы кольца Я
и £((*, (р))С((ху (р))=0. Получено противоречие. □
15.60. Предложение. Если <р — автоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) А((х, (р)) — полупервичное кольцо;
2) (р(В) 2 В для любого ненулевого нильпотентного идеала В в А;
3) Л не имеет такого ненулевого идеала В, что ip(B) = В и В2 = 0.
> Пусть /? = Л((лг, у?)). Импликация 2)=>3) очевидна.
Условия конечности и ряды Лорана 439
3) => 1). Допустим, что R имеет такой ненулевой идеал F, что F" = 0 для
некоторого п е N. По 15.52(7) (\{F))n C\(Fn) = Л(0) = 0. Кроме того, ip(\(F)) = \(F)
по 15.52(7). Получено противоречие.
1)=>2). Допустим, что Л имеет такой ненулевой нильпотентный идеал В,
что <р(В)СВ. По 15.52(4) В((х, у?)) — идеал в /? и (В((х, <р)))п = 0. Получено
противоречие. D
15.61. Пусть (р — автоморфизм кольца Л.
1) Если А полупервично, то А((х, if)) — полупервичное кольцо.
2) £слы Л — кольцо с условием максимальности для нильпотентных
идеалов, то А((х, ip)) полупервично в точности тогда, когда А
полупервично.
> Пункт 1) следует из 15.60.
2) Импликация <= следует из 1).
=>. Допустим противное. Тогда В2 = 0 для некоторого ненулевого идеала В
в Л. Для каждого / е Z имеем (<р'(В))2 = 0 и (В + р(В) + ... + <р1(В)У+2 = 0.
Так как Л — кольцо с условием максимальности для нильпотентных идеалов, то
ICSo Ф* №) = 1С/=о Vх (Я) ^_^ ЛЦЯ некоторого /г 6 N. Тогда 5 — ненулевой
нильпотентный идеал в Л и <р(В)СВ. По 15.60 А((х, ф)) не полупервично; получено
противоречие. □
15.62. Существуют кольцо А и его автоморфизм а, для которых
кольцо А((х, if)) полупервично и А не полупервично.
> Пусть F — поле, Z —множество всех целых чисел, {jc/}c-€z — счетное
множество переменных, Л = /Ч^Л^ег — кольцо многочленов от всех переменных
xi, А ^факторкольцо кольца Л по идеалу, ^порожденному всеми элементами
х2, h: А —* Л — естественный эпиморфизм и L — множество всех полилинейных
многочленов над Л. Тогда А = h(L) и Л не полупервично. Каждый элемент
аеА имеет следующий вид: я = Л(Х])/м i„*/, ...*/„) (//, /я € Z7 и //# i*
при у ^ /г). Равенством а(А(£/;, <«*ч •••*<„)) = Л(£/ч /„Х/, + 1 .. .X/„+i)
определен автоморфизм а кольца Л. Допустим, что кольцо А((х, а)) не
полупервично. По 15.60 Л имеет такой ненулевой идеал Ву что а(В) = В и £2 = 0.
Пусть 0 Ф Ь = /*(£ /;, inXi{ ...xin) € В. Существует такое т € N, что ат(Ь) —
= /*(£/ч inXil+m...xia+m) и ij^ik+m для у, /?=1, ..., /г. Тогда Ьат(Ь)ф0.
С другой стороны, bam(b) 6 В2 = 0, поскольку а(£) = В и В2 = 0. Получено
противоречие. □
15.63. Предложение. Пусть ip — автоморфизм кольца А.
1) А((х, (р)) — нётерово справа полупервичное кольцо в точности
тогда, когда А — нётерово справа полупервичное кольцо.
2) А((х, ф)) — полу простое кольцо в точности тогда, когда А —
полупростое кольцо.
3) А((х, ip)) — первичное артиново кольцо в точности тогда, когда
А — полупростое кольцо и А не имеет таких ненулевых идеалов В
и С, что ВС = 0, ip(B) = B и ip(C) - С.
> Обозначим R = A ((x, if)).
440 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
1) Так как по 15.54(4) и 15.54(7) можно считать, что R и Л — нётеровы справа
кольца, то 1) следует из 15.61(2).
2) Импликация <= следует из 15.54(10).
=х По 6.2 полупростое кольцо /? — артиново справа полупервичное кольцо.
По 15.54(4) Л артиново справа. По 1) Л полупервично. Артиново справа
полупервичное кольцо А полупросто.
3) По 2) и 6.2 можно считать, что R и А — полупростые кольца. Поэтому
утверждение следует из 15.59. D
15.64. Существует первичное артиново кольцо косых рядов Лорана,
у которого кольцо коэффициентов не первично.
> Пусть В\ и #2— Две копии поля /\ В —прямое произведение полей В\ и #2
и </? — такой автоморфизм кольца В, что ip(b\, Ьч) = (£>2, Ь\) для всех Ь\ € В\
и Ьч £ #2- Тогда В — полупростое непервичное кольцо и В((ху ф)) — первичное
артиново кольцо по 15.63(3). □
Редуцированность и ряды Лорана
Кольцо А с автоморфизмом </? называется <р-редуцированным, если А —
редуцированное кольцо и АаА ПА<р(а)А ф0 для каждого ненулевого а € А.
15.65. Если ip — автоморфизм кольца Л, то равносильны условия:
1) ((<р, х))А — редуцированное кольцо;
2) Л — ip-редуцированное кольцо;
3) А редуцированое и X П ip(X) ф 0, X П у~х (X) ф 0 для каждого
ненулевого идеала X в А\
4) Л редуцировано и ВГирп(С)фО для каждого п € Z и любых таких
идеалов В и С в А, что ВпСфО;
5) ((</?, х))А — полупримитивное редуцированное кольцо и А —
ip-редуцированное кольцо.
> Пусть /? = ((</?, х))Л. Импликации 2) =>3) и 5) => 1) проверяются
непосредственно.
1)=>2). Пусть аеЛ и ЛаЛ ПА<р(а)А =0. Тогда у?(а)а б АаА C\Aip(a)A =0
и (ха)2 = хаха = х2(р(а)а = 0. Так как /? редуцировано, то ха = 0 и а = 0.
3) =>4). По условию 3)
0# (ДпС)П</?(ВГ)С) С ВГир(С)
и
0^ (ЯпОПуГЧЯпС) С ВГир~1(С).
Мы доказали 4) для случаев п = 1 и п = — 1. Будем вести индукцию по |я|.
Пусть & 6 N. Допустим, что условие 4) верно для всех таких /г, что \п\ ^ &. Тогда
ВГчрк(С)ф0и ВПip~k(C)ф0. По условию 3)
0 ф (Bnipk(C))rnp(Bntpk(C)) С ВП</+1(С),
о # (Дп^-*(С))п^-^впуГ*(С)) с an у?-*"*'(С).
Редуцированность и ряды Лорана 441
4) =» 1). Допустим, что / = ^ln aix' € /?, щ е А для всех / и ап ф 0. По
условию 4) АапА ПА(рп{ап)А ф0. Тогда ап<рп(ап)ф0. Поэтому 0фап<р"(ап) —
канонический коэффициент младшего члена ряда /2, f2 ф0 и R редуцировано.
1)+2)+3)+4) => 5). По 1) и 2) /? редуцировано и /1 ^-редуцировано.
Допустим, что /(/?) / 0. Существует такой ряд / = J^S-i Ьх* € А'?). что
f-i ф0 и все // лежат в Л. Так как / € /(/?), то 1 — / € £/(/?). Обозначим
g = (l -/Г1 =£~_т £/*'€/?, ™е 8-тф0 и все g, лежат в Л.
Рассмотрим случай ал > 0. Сравнив коэффициенты при х~т"\ получим
f-W-x(g-m)=0. По 6.34(4) Af-iAnAip-l(g-m)A=0. По условиюЗ) #_„,/_, =0.
Сравнив коэффициенты при х~ш, получаем f-\<p~l (g-m+l) + (\ - fo)g-m=0.
Домножая это равенство на g-m и учитывая, что g-mf-\ =0, получаем
0 = g-mf-\4>~X(g-m+\) + g-m{\-h)g-m = g-m(l ~h)g-m.
Тогда (g-m(\ - /о))2 = 0. Поэтому g-m(\ - /0) = 0. По 15.53(1) /0бУ(Л), откуда
1 — /о € U(A). Поэтому g-m = 0. Получено противоречие.
Рассмотрим случай т = 0. Тогда f-\<p~l(g\) + 0 — /о)go = 1. Поэтому
go = U — /о)-,0 — f-np~l(g\))€U(A)t откуда /_| =0. Получено противоречие.
Рассмотрим случай т < 0. Тогда
/ = £ л*'е '(*>• /-■ #о. g = о -/)"'= Е »*'■
i = —1 j=—m
Поэтому ш = — 1 и f-)ip~l(g)) = \. По 15.53(1) /_| б/(Л>. Получено
противоречие. D
15.66. Пусть (р — автоморфизм кольца А и /? = Л((х, у?)).
1) Если е — центральный идемпотент в R и е € Л, ало (р(е) = е.
2) /? не имеет ненулевого идемпотента f с младшей степенью т > 0.
3) Если е = £5от £/*' — ненулевой центральный идемпотент в /?, где
е; 6 Л ы еот ^ 0, ало либо е 6 Л и <р(е) = г, либо Л имеет такой
ненулевой нильпотентный элемент а, что аА =Аа = АаА, (АаА)2 = 0
и ip(a) = a (в частности, А не полу первично).
4) Если А полупервично, то каждый центральный идемпотент е
кольца R лежит в А и ip(e) = е.
5) Если А содержит такое бесконечное множество {е,- |0</<оо}
ненулевых ортогональных идемпотентов, что у?'(е/) ^5Г*=о^(^)Л для
всех i4 то для ряда z = £°l0</?'(e,)jt' бЛ((х, у?)) не существует
такого идемпотента f е /?, чало zR = fR.
6) Если А содержит такое бесконечное множество {et 10 ^ / < оо}
ненулевых центральных ортогональных идемпотентов, что </?(£,) = ех
для всех /, ало двусторонний идеал в R, порожденный рядом
г = ]С/^о ф1(ег)х1, не порожден центральным идемпотентом кольца R.
> Пункт 1) следует из того, что ех = хе = р(е)х.
2) Допустим, что существует такой идемпотент / = £~m fix1 € /?, что
ал > 0, fi € Л и fm ф 0. Тогда / = (fm + g*)*m, где g^e Л[[*, ^]]. Поэтому
442 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
(/« + gx)x'" = f = f2 = (fm + gx)xm(fm + gx)xmy откуда
/« + g* = (/« + gX)xm(fm + g*).
Тогда /m = 0 и получаем противоречие.
3) Рассмотрим случай т < 0. Так как хе = ex, то (р{ет) = ет. Кроме того,
ет<рт(ет) = 0, поскольку е2 = е. Поэтому е?„ = 0. Так как е — центральный идем»
потентв RyTobemxm — emxmb для всехЬ еЛ. Поэтому Ает — етА =АетА. Теперь
можно положить а = ет.
Случай т>0 невозможен по 2).
Рассмотрим случай т = 0. Тогда е = ео + ых, где ео € Л. Так как ех = хе,
то во —ненулевой центральный идемпотент в R, <р(ео) = ео и ы€Л[[х, ф\\.
Элемент (1 — ео)е = (1 — ео)их —центральный идемпотент в /?. По 2) (1 — ео)е = 0.
Поэтому е = еое = ео(ео + "*) = *о(1 + и*)- По 15.52(8) 1 + их € U(R). Поэтому
ео(1 +их) = е = е2 = ео(\ + их)2у откуда е = ео(\ +их) = ео€А.
Пункт 4) следует из 3).
5) Допустим, что существует такой идемпотент / = ^yjlt fax* (t ^ 0), что
fR = zR. Тогда fz = z. Сравнив коэффициенты при х\ получим
№(*-!) +... + Wfe) + -.. + №(е0) = ¥>'(*«■) (0 < i < оо).
Так как г,- — ортогональные идемпотенты, то идемпотенты у?1 (ео), у?' (*i )> • ♦ •
ортогональны для каждого фиксированного индекса /. Поэтому fo<pl(ei) = <pl(ei). Кроме
того, f = zh для некоторого h 6 А. Поэтому /о = ]С1?=о 4>k(eb)hk для некоторых
^о, . •., hrEA. Тогда
¥>'+Wi) = /ov'+'(e,+i) = 5>г(е*)А*¥>,+1(ег+|) 6 5>*(е*М;
*=0 *=0
это противоречит предположению.
6) Так как <р(е,-) = е,-, то ряд 2 лежит в центре кольца /?. Поэтому идеал
в /?, порожденный zy совпадает с zR. Если zR =■ fR для некоторого центрального
идемпотента /, то получено противоречие с 5). D
15.67. Теорема [30]. Если ip — автоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) Л((х, ф)) — бирегулярное кольцо;
2) Л((х, ф)) — конечное прямое произведение простых колец R\y ... /?„;
3) Л — конечное прямое произведение колец A i, ..., Ап с единицами
е\у ..., еп, ip(ei) = et для всех i и каждое кольцо Л, совпадает с любым
таким его ненулевым идеалом В, что ip(B) = B.
> Пусть /? = Л((х, <р)). Импликация 2) => 1) проверяется непосредственно.
1)=>3). Докажем, что Л бирегулярно. Пусть 0^6 € Л. Существует такой
ненулевой центральный идемпотент е бирегулярного кольца /?, что RbR = г/?.
Если е € Л, то ЛМ = еЛ и Л бирегулярно. Допустим, что е $. Л. По 15.66(3)
найдется такой ненулевой нильпотентный элемент а е Л, что
аЛ = Ла = ЛаЛ, (ЛаЛ)2 = 0, (р(а) = а.
Так как <р(а) = аи (АаА)2 = 0, то (ЛаЛ)((х, (р)) — ненулевой нильпотентный идеал
бирегулярного кольца /?, что невозможно. Поэтому Л бирегулярно. В частности, Л
Редуцированность и ряды Лорана 443
полупервично. По 15.66(4) и 15.66(6) бирегулярное кольцо R не содержит
бесконечного множества центральных ортогональных идемпотентов. Тогда R —
конечное прямое произведение простых колец R\, ..., Rn. Пусть ег — единица простого
кольца Ri и Л, = etA. По 15.66(4) все идемпотенты ех лежат в А и </?(е,) =е, для
всех /. Поэтому А — прямое произведение колец Л/, <р индуцирует автоморфизмы
(pi колец Л,, Ri a Ai((x, <#)) и А((х, if)) а* Л,((х, у?,)) х ... х Д,((х, </?„)). По
15.57 каждое кольцо Д- не имеет такого ненулевого собственного идеала Ву что
<р(В) = В.
3)=>2). Так как ip(ei) = et, то автоморфизм у? индуцирует автоморфизм <#•
кольца Л, для каждого / и А((ху ip)) = А\((х, <р\)) х ... х Л„((л:, y?rt)). По 15.57
все кольца Л/((*, у?/)) просты. □
15.68. £слы (р — автоморфизм кольца Л, ало равносильны условия:
1) Л((х, у?)) — редуцированное кольцо и его факторкольцо по радикалу
Джекобсона регулярно;
2) А({ху (р)) —регулярное нормальное кольцо;
3) А((х, у?)) — конечное прямое произведение тел;
4) Л — конечное прямое произведение тел и ip(e) = е для каждого
центрального идемпотента е £ Л.
> Обозначим /? = Л((х, у?)). Импликация 2)=>1) следует из 11.13.
1)=»2). Так как R редуцировано, то по 15.65 /(/?) =0. Тогда R регулярно,
поскольку по условию R/J(R) регулярно. Регулярное редуцированное кольцо R
строго регулярно по 11.13.
2)=ф-3). Строго регулярное кольцо R бирегулярно. По 15.67 # —конечное
прямое произведение простых колец R\, ... Rn. Каждое простое строго регулярное
кольцо Ri —тело.
3) => 4). Так как R редуцировано, то Л редуцировано. По 15.66(4) (р(е) = е для
каждого центрального идемпотента е Е Л. Так как R полупросто, то по 15.63(2) Л
полупросто. Ясно, что редуцированное полупростое кольцо Л — конечное прямое
произведение тел.
4) => 2). Так как Л полупросто, то по 15.63(2) R полупросто. С помощью 15.65
непосредственно проверяется, что R редуцировано. Так как редуцированное
полупростое кольцо — конечное прямое произведение тел, то R строго регулярно. □
15.69. Пусть ip — автоморфизм кольца Л.
1) Если А регулярно и имеет такой собственный существенный
правый идеал В в Л, что <р(В) С Ву то А содержит такое
бесконечное множество ненулевых ортогональных идемпотентов
{et 10 ^ / < со}, что <pl (et) £ Yl'k^o <pk(£k)A для всех L
2) Если А([ху ip)) — регулярное неполу простое кольцо, то А
—регулярное неполупростое кольцо и <р(В) g В для любого собственного
существенного правого идеала В в А.
> 1) По 4.26(1) ^—существенное расширение прямой суммы циклических
модулей. Поэтому существует такой правый идеал С =®s€5as^» что &а
—существенное расширение С^. Тогда С — собственный существенный правый идеал
444 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
в А и S*lo^*(Q Q В Ф А. Выберем любое bo G. {as \ s € S}. Выберем такие
fc 6 {а, | s € S} \ {*><> *>,-.}, что bi i С,, где О = ^=0 £')-{, <//(*>/)Л ф А.
Докажем возможность выбора элементов Ь,. Допустим, что выбор Dm
невозможен (т. е. ipm(as)€ Ст для каждого as € {as \ s € S} \{bo bm-\}).
Существенный правый идеал С лежит в собственном конечно порожденном правом идеале
<р~т(Ст)\ это противоречит тому, что Л регулярно. По 15.58 существуют такие
ортогональные идемпотенты ех (О ^ / < оо), что ©f=0e'^ = Ф?=о^ Д^я
каждого d. Допустим, что существует такой индекс / ^ 1, что ip'(ei) £ ]С*=о <pk(ek)A.
Тогда ipl(ei) € С,-, поскольку </?'(£/) € ¥>'(£i=o ^*^) £ £'■ 0 < / < / — 1. Поэтому
<р'(6,) £ G. поскольку у?Че?) £ V^CCjLo ^*) - С» (<7 ^ '_ Ui это противоречит
выбору ^.
2) Так как Л((х, у?)) не полупросто, то по 15.63(2) Л не полупросто. Для
каждого а € А существует такой ряд / = YlZt fiX'> что afa = а- Тогда aha = a
и А регулярно.
Допустим, что А имеет такой собственный существенный правый идеал Ву
что (р(В) С В. По 15.69 существует такое бесконечное множество {et | О ^ / < оо}
ортогональных идемпотентов в Л, что <р'(е/)^Х)*=о<Р*(£*И для всех /. Это
противоречит 15.66(5). П
15.70. Предложение. Если у? — автоморфизм кольца Л, то равносильны
условия:
1) А((х, (р)) —регулярное кольцо и Soc(Aa) — существенный правый
идеал в Л;
2) А((ху ф)) — полупростое кольцо;
3) Л — полупростое кольцо.
> Эквивалентность 2)Ф>3) доказана в 15.63(2). Импликация 2)+3) => 1) следует
из того, что по 11.12(3) любое полупростое кольцо регулярно.
1)=>3). Обозначим R = A((xy <p))y В = Soc(Aa). Допустим, что Л не
полупросто. Тогда В — собственный существенный правый идеал в Л. По 15.63(2) /? не
полупросто. Тогда Л — регулярное неполупростое кольцо. По 15.69(2) <р(В) g В.
Получено противоречие, поскольку цоколь кольца замкнут относительно
автоморфизмов. □
15.71. Теорема [29]. Если if — автоморфизм кольца А и <рп = \а для
некоторого п е N, то равносильны условия:
1) А((ху <р)) —регулярное кольцо;
2) Л — полупростое кольцо.
> Импликация 2) => 1) следует из 15.70.
1 )=» 2). Обозначим /? = Л ((*, у?)). Допустим, что Л не полупросто. По 15.63(2)
/? не полупросто. По 15.69(2) Л — регулярное неполупростое кольцо. Тогда Л
имеет собственный существенный правый идеал С. Обозначим через В собственный
существенный правый идеал Г\1=0(рк(С) кольца Л. Так как <рп = 1^, то ip(B) СВ.
Это противоречит 15.69(2). П
15.72. Пусть <р — автоморфизм кольца А и ip(e) = e для каждого
центрального идемпотента е £ Л.
Ряды Лорана и радикал Джекобсона
445
1) Если А — бирегулярное редуцированное кольцо, то А((х, ip)) —
редуцированное кольцо и все его идемпотенты лежат в А.
2) Если А —строго регулярное кольцо, то А((х, ip)) —редуцированное
кольцо, у которого все идемпотенты лежат в А и каждый
ненулевой правый идеал содержит ненулевой центральный идемпотент.
> Обозначим R = А((х, ф)).
1) Пусть Офа €.А. Так как А бирегулярно, то АаА =еА для некоторого
центрального идемпотента е £ А. По условию ip(e) —е. Поэтому А(р(а)А =(р(еА) =
= еА = АаА. По 15.65 R редуцировано. По 6.36(1) R нормально. По 15.66(4) все
идемпотенты кольца R лежат в А.
2) Строго регулярное кольцо А — бирегулярное редуцированное кольцо. По
1) R редуцировано и все его идемпотенты лежат в А. Докажем, что каждый
ненулевой правый идеал F в R содержит ненулевой центральный идемпотент.
Пусть / = YIZm fiX' — ненулевой ряд в F, где О Ф fm 6 А и /,- € А для всех /.
Так как А строго регулярно, то fm = ev для некоторого ненулевого центрального
в А идемпотента е £ А и v 6 U(A). Так как <р(е) = е, то идемпотент е централен
в R. Поэтому fe = eY^lmеЬх'> где efm = ev —обратимый элемент кольца еА.
Поэтому fe — обратимый элемент кольца eR с обратным элементом eg. Тогда
е — feg — ненулевой центральный идемпотент и е € F. D
Ряды Лорана и радикал Джекобсона
15.73. Пусть ip — автоморфизм кольца А, Р — первичный радикал
кольца А и R = A((x, ip)).
1) Если R неполупримитивно и В — ненулевой идеал в А,
порожденный всеми младшими коэффициентами рядов из J(R)> то для
любого ненулевого Ь € В существуют такие ненулевые Ь', Ь" еВ, что
ЬЬ' = Ь"Ь = 0.
2) Если либо А — полупервичное правое кольцо Голди, либо А —
первичное кольцо ограниченного индекса, то R полу примитивно.
3) Если А —полупервичное кольцо ограниченного индекса и </?((?) = Q
для каждого минимального первичного идеала Q в А, то R
полупримитивно.
4) Если А — полупервичное кольцо ограниченного индекса, то кольцо
А((х)) полупримитивно.
5) Пусть Р((х, ф)) С /(/?) и либо А/Р — правое кольцо Голди, либо
А/Р — несингулярное справа конечномерное справа кольцо, либо
А/Р — первичное кольцо ограниченного индекса, либо А/Р — кольцо
ограниченного индекса и <р(Р) = Р для каждого минимального
первичного идеала Р в А. Тогда J(R) = P((x, ip)).
6) Если идеал Р нильпотентен и либо А/Р — правое кольцо Голди,
либо А/Р — несингулярное справа конечномерное справа кольцо, либо
А/Р —первичное кольцо ограниченного индекса, либо А/Р
—кольцо ограниченного индекса и ip(Q) = Q для каждого минимального
446 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
первичного идеала Q в А, то радикал Джекобсона кольца R ниль-
потентен и совпадает с идеалом Р((х, </?)).
7) J(A((x))) ^Р((х)). Кроме того, если А/Р —кольцо ограниченного
индекса (по 6.42(1) это так, если А — кольцо ограниченного индекса),
тоЦА((х))) = Р((х)).
8) Если А — полулокальная область, не являющаяся телом, то R не
полулокально.
9) Если идеал Р нильпотентен, А — кольцо с условием максимальности
для правых аннуляторов и А/Р — конечномерное справа кольцо, то
радикал Джекобсона J(R) кольца R нильпотентен и J(R)=P((x, у?)).
10) Если А — кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов и либо кольца А и А/Р конечномерны справа, либо все фак-
торкольца кольца R конечномерны справа, то радикал Джекобсона
кольца R нильпотентен и совпадает с Р((х, у?)).
11) R — потентное редуцированное кольцо в точности тогда,
когда А — потентное полупримитивное <р-редуцированное кольцо.
В этих условиях R полупримитивно и, если А не является
конечным прямым произведением тел, то R — нерегулярное потентное
полупримитивное редуцированное кольцо. В частности, если А —
прямое произведение бесконечного числа полей, то А({х)) —
коммутативное потентное полупримитивное нерегулярное кольцо.
> 1) Пусть Ь — младший коэффициент ненулевого ряда f €J(R). Докажем, что
ЬЬ' = 0 для некоторого Ь' € В. Так как fxn € J(R) для всех п, то можно считать,
что младшая степень ряда / равна —1 (т.е. / — bx~l € А[[х, </?]]). Так как / £/(/?),
то ряд 1 — / обратим. Поэтому существует такой обратимый ряд g e R, что
(1-/)£=1и#=1 + /£- Пусть g = ££* gix* в /?, где gk ф 0 и gx е А для всех /.
Так как fgeJ(R), то по 15.53(1) все канонические коэффициенты ряда fg лежат
в J(A). Поэтому из равенства g=l + fg следует, что коэффициент go обратим в А
и bgo ф 0. Так как go Ф 0, то к < 0. Поэтому либо к = 0, либо к < 0. Если к = 0, то
ненулевой элемент bgo — младший коэффициент рядов fg и 1 + fg = g, откуда
младшая степень к ряда g равна —1 и получено противоречие. Если к <0, то из
g = 1 -f fg следует, что bgk =0и^- младшая степень ряда fg € J(R); поэтому
gk 6 В и можно положить Ь' = gk. Существование такого Ь" € В, что b"b = 0,
доказывается аналогично.
2) Допустим, что J(R) Ф 0. Пусть в —ненулевой идеал в А, порожденный
всеми младшими коэффициентами рядов из /(/?). По 15.52 для любого ненулевого
b € В существует такое ненулевое Ь' € В, что ЬЬ' = 0. Если А — полупервичное
правое кольцо Голди, то получаем противоречие с 6.33. Если А — первичное
кольцо ограниченного индекса, то получаем противоречие с 6.41(6).
3) Пусть {Qihef—множество всех минимальных первичных идеалов в А.
Так как А полупервично, то f]i€/ Qi =0. Пусть i € /. По условию <p(Qi) = (?,.
Поэтому автоморфизм (р индуцирует автоморфизм </?, факторкольца A/Qi.
Так как <?« — минимальный первичный идеал полупервичного кольца А
ограниченного индекса, то по 6.40(4) A/Qi — первичное кольцо ограниченного
Ряды Лорана и радикал Джекобсона
447
индекса. По 2) кольцо (A/Q,)((xy <#•)) полупримитивно. Кроме того,
непосредственно проверяется существование естественного кольцевого изоморфизма
(A/Qt)((xt w)) = R/{Qi((xy у?,))). Для любого i е/ кольцо /?/(<?,((*, <#)))
полупримитивно и Р|.6/ Qi = 0. Поэтому П|б/(©'((^» У*))) — нулевой идеал в /?. Тогда
R изоморфно подпрямому произведению полупримитивных колец (A/Qi)((x% </?,•)).
Поэтому /? полупримитивно.
Пункт 4) следует из 3).
5) По 6.10 ip(P) — P. Пусть ^ — автоморфизм кольца А/Р, индуцированный
автоморфизмом (р. По 15.53(6) достаточно доказать, что (А/Р)({ху <£))
полупримитивно. Так как А/Р полупервично, то по 6.32 А/Р — правое кольцо Голди
в точности тогда, когда А/Р несингулярно справа и конечномерно справа.
Поэтому 5) следует из 2), 3) и следующего свойства: если </?((?) = Q для каждого
минимального первичного идеала Q в Л, то <p(Q) = Q для каждого минимального
первичного идеала Q в А/Р.
6) По 6.10 <р(Р) = Р. По 15.52(2) />((*, if)) — нильпотентный идеал в /?.
В частности, Р((х, <p))CJ(R). По 5) /(/?) = />((*, у?)).
7) Пусть Pi — сумма всех нильпотентных идеалов в А. Пусть а — порядковое
число и для любого порядкового числа 0 < а уже определен идеал Рр в Л.
Если а предельно, то определим идеал Ра равенством Ра = Цз<а 'V ECJ1H a
не предельно, то обозначим через Ра сумму всех таких идеалов В в Л, что
5" С Рй_| для некоторого /г 6 N. Тогда Ра/Ра-\ —сумма всех нильпотентных
идеалов кольца А/Ра-\. Существует такое порядковое число 7» что первичный
радикал Р совпадает с идеалом Р7 (см., например, [3, гл. 1, §1]). По 15.53(7)
P((x)) = Py((x))CJ(R). По 15.73(5) № = РЦх)).
8) Допустим, что R полулокально. Так как А — область, то R — область. Так
как R/J(R) полупросто и по 15.65 /(/?) = 0, то R полупросто. По 15.63(2) А
полупросто. Полупростая область А —тело. Получено противоречие.
Пункт 9) вытекает из 6) и того, что по 6.56 для кольца А с условием
максимальности для правых аннуляторов его факторкольцо по первичному радикалу
несингулярно справа.
10) По 15.53(3) и 15.52(3) можно считать, что А и А/Р конечномерны
справа. Так как А — конечномерное справа кольцо с условием максимальности для
правых аннуляторов, то по 6.57 нильидеал Р нильпотентен. По 9) идеал /(/?)
нильпотентен и совпадает с Р((ху ф)).
11) Докажем импликацию =х Так как R редуцировано, то по 15.65 R
полупримитивно и А у?-редуцировано. Кроме того, А редуцировано. Пусть 0 Ф а € А.
Так как R — полупримитивное редуцированное /о-кольцо, то по 13.51 существуют
такие ряды /, е € /?, что af =-e и е — ненулевой центральный идемпотент в /?.
По 15.66(4) ее А. Тогда afo = e€aAy где /о — свободный член ряда /. Поэтому
каждый ненулевой главный правый идеал в А содержит ненулевой центральный
идемпотент. По 13.51 А потентно и полупримитивно.
<=. Так как по 15.65 R редуцировано, то Л редуцировано. Пусть /=]С^т № ~~
любой ненулевой ряд из /?, где 0^ fm 6 Л. Так как Л потентно и полупримитивно,
то существует такой ненулевой идемпотент е бЛ/от, что e = bfm для некоторого
448 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
b €А. Так как R редуцировано, то е — центральный идемпотент в R по 6.36(1).
Поэтому ц>(е)=е. Пусть ^ — автоморфизм кольца еА, индуцированный
автоморфизмом ip и R = (еА)((х, ip)). Ряд ebf лежит в R и имеет ненулевой свободный
член е, являющийся единицей кольца еА. По 15.52(8) существует такой ряд
g = eg 6 R С R, что е = ge6/ € /?/. Поэтому каждый ненулевой главный левый
идеал в R содержит ненулевой идемпотент и R потентно.
Если А не является конечным прямым произведением тел, то по 15.68 R не
регулярно. П
15.74. Если <р — автоморфизм кольца А, то равносильны условия:
1) А((х, (р)) — артиново справа кольцо;
2) А — кольцо с условием максимальности для правых аннуляторов
и А((х, ip)) — полулокальное кольцо и все его факторкольца
конечномерны справа.
> Обозначим R = A((x, ip)).
1)=»2). Ясно, что R полулокально и все его факторкольца конечномерны
справа. Так как R нётерово справа, то R — кольцо с условием максимальности
для правых аннуляторов. Кроме того, все подкольца любого кольца с условием
максимальности для правых аннуляторов обладают этим свойством.
2)=> 1). По 15.73(10) /(/?) — нильпотентный идеал в R. Из условия следует,
что R/J(R) полупросто и для каждого п е N Jn(R)/Jn+l(R) — полупростой артинов
правый /?-модуль. Поэтому R артиново справа. □
15.75. Пусть А — полупримарное кольцо, ip — его автоморфизм,
индуцирующий автоморфизм ip кольца A/J(A), R = A((x, ip)), R = (A/J)((x, ip)),
(J(A))n=0(neN).
1) /(/?) = (J(A))(_(xy <р)Ъ (/(/?))" = 0, /?//(/?) a (A/J(A))((x, ip)), причем
(A/J(A))((x, ip)) — полупростое кольцо.
2) R — полупримарное кольцо.
3) Если е — примитивный идемпотент кольца А, то е
—примитивный идемпотент в R и решетка всех подмодулей в еАд изоморфна
подрешетке решетки всех подмодулей правого R-модуля еА((ху ip)).
В частности, если R-модуль еА((х, ip)) нётеров (артинов,
дистрибутивный, цепной), то А-модуль М нётеров (артинов,
дистрибутивный, цепной).
4) Если R — полуцепное справа (полудистрибутивное справа) кольцо,
то А — полуцепное справа (полудистрибутивное справа) кольцо.
> 1) По 15.53(3) J(R) = (J(A))((x,ip)) и (J(R))n = 0. По 15.53(1) /?//(/?) ^
= (A/J(A))((x, ip)), где ip — автоморфизм кольца A/J(A), индуцированный
автоморфизмом ip. Так как A/J (А) — полупростое кольцо, то по 15.54(10) (A/J(A))((xy ip))
полупросто.
Пункт 2) следует из 1).
3) Пусть h: А —► A/J (А) и 7г: R —> R/J(R) — естественные эпиморфизмы.
Тогда h(e) — примитивный идемпотент полупростого кольца h(A). Поэтому
модуль h(eA)h{A) прост. По 15.54(9) h(eA)((x, Ip)) — минимальный правый идеал
Ряды Лорана и радикал Джекобсона
449
в h(A)((x, ip)). Следовательно, h(e) — примитивный идемпотент в п(А)((х, ф)).
Тогда 7г(е) — примитивный идемпотент в R/J(R), причем R полупримарно.
Поэтому е — примитивный идемпотент в R. Оставшаяся часть 3) следует из 15.54(4).
Пункт 4) следует из 3) и того, что любое прямое разложение полупримарного
кольца R в прямую сумму ненулевых неразложимых правых идеалов единственно
с точностью до изоморфизма. □
15.76. Теорема [100,108]. Если ip — автоморфизм кольца Л, то
равносильны условия:
1) Л((л\ ф)) — артиново справа полуцепное справа кольцо;
2) Л — кольцо с условием максимальности для правых аннуляторов
и А((ху <р)) — полу цепное справа кольцо;
3) Л — артиново справа полуцепное справа кольцо.
> Обозначим R = Л ((*, у?)) и У = J(A). Импликация 1) => 2) следует из того, что
подкольцо Л нётерова справа кольца R — кольцо с условием максимальности для
правых аннуляторов.
2) =>3). Так как R — полуцепное справа кольцо, то R — полулокальное
кольцо, у которого все факторкольца конечномерны справа. По 15.74 R артиново
справа. По 15.54(4) А артиново справа. По 15.75(4) Л полуцепное справа.
3)=> 1). По 15.54(8) А артиново справа. Так как А полуцепное справа, то
его единица является суммой таких ортогональных примитивных идемпотентов
е\у ..., еп в Л, что г,Л —цепной Л-модуль для каждого i и существует
такое kt е. N, что etJki = 0 и ejk'l~x ф 0. Зафиксируем et — е и kx = k. Так как
/? = ©|L, eiRy то достаточно доказать, что eR — цепной /?-модуль.
Композиционная длина цепного Л-модуля еА равна k. По 15.54(8) длина /^-модуля eR тоже
равна k. Пусть {Si}?L0 — такое множество /?-подмодулей в eR, что So = 0, Sm = eR
и Si/Si-i — цоколь модуля eR/Si-i при i = 1, ..., m. Так как длина /?-модуля eR
равна &, то т ^ k. Если m — kyTO eR% — цепной модуль и все доказано. Допустим,
что m<k. Тогда (eR)Tm =0, где T = J(R). Так как по 15.73(10) T = J((xy у?)), то
eJk~x С eJm С (eR)Tm = 0 и получаем противоречие. □
Замечание. В 15.76 эквивалентность 2)Ф>3) была доказана в [108], а
эквивалентность 1)Ф>2) —в [100].
15.77. Пусть Р — правый идеал кольца А,а, b еА uab=\. Если а € 1 + Я,
то Ье\+Р.
> Ь = 1 + (Ь - 1) = 1 + Ф - ab) = 1 + (1 - а)Ь е 1 + Р. □
15.78. Предложение [109]. Пусть А — кольцо с радикалом Джекобсона
У uJaCaA для любого а € У. Тогда младший коэффициент любого ряда f из
радикала Джекобсона кольца А((х)) порождает в кольце А нильпотентный
правый идеал.
> Пусть / — любой ряд из радикала Джекобсона кольца Л ((*)), а /* — младший
коэффициент ряда /. Обозначим /' = / — fkXh. Младшая степень ряда f не
ниже k + 1 и по 15.53(1) все коэффициенты рядов / и /' лежат в У. Тогда ряд
1 — f'x~k~l имеет младшую степень 0 и его младший коэффициент равен 1 - /*+i
и, следовательно, обратим. Тогда по 15.52(8) обратим и сам ряд 1 — ffx~k~\
причем по 15.77 его обратный ряд h лежит в 1 +У. Младший коэффициент ho
I
450 Глава 15. Кольца многочленов и формальных рядов
ряда h лежит в 1 +У и поэтому обратим. Рассмотрим ряд (1 — fx~k~x)h. С одной
стороны, (1 — fx~k~x)h обратим, как произведение двух обратимых рядов. С
другой стороны, (1 — fx~k~x)h = (\ — f'x~k~x — fkx~l)h= 1 — fkhx~l. Младший член
этого ряда равен fkhox~x. Пусть g — ряд, обратный ряду 1 — fkhx~x. Его младшая
степень Л не может быть положительна, поскольку тогда коэффициент при х°
произведения g(\ - fkhx~]) был бы равен g\ /*/*о €У, что невозможно, так как он
должен быть равен единице. Пусть А = —п + 1, где п 6N. Рассмотрим равенство
(\ + fkhx-'Mfkhx-x)2 + ..^(fkhx-x)n)(\-fkhx^) = 1-(/*Лх-|)я+1.
Домножив обе его части на g справа, получим:
1 + /*Лх-|+(/*Лх"|)2 + ... + (/*Лх-|)я = g-(fkhx-l)n+lg.
Приравнивая коэффициенты при х"п левой и правой частей, получаем (с учетом
того, что младшая степень g больше -/г), что (/*Ао)я лежит в правом
идеале, порожденном элементами вида (/*/*/, )(/*Л/2)... (М«„+,), где /|, /2, ..., in+i —
любые неотрицательные целые числа. Обозначим fkho = a€J. Тогда ап лежит
в правом идеале, порожденном элементами вида аПцХПцаПцХП12...аПцХп;а+г
При этом hk лежит в У для всех к ф 0.
Докажем, что все элементы ah$x h^an^ hi2... яЛ^1/г,,1+| лежат в ап+хА. Если
/, /0, то по условию
hixah^xhl2 ...aliQ1 е ah^xhi2 ...afiQXA.
Применив это условие ко всем /*, отличным от нуля, получим
ah.QX hixaliQX Ы2... ahQ{ hln+x G an+xA.
Таким образом, ап = an*xb для некоторого b € А, Тогда an(\ — ab) = 0. Поскольку
a eJ(A)y то \-abeU(A) иал = 0.
Докажем теперь, что правый идеал аА нильпотентен. Так как АаА С У, то
(аА)2п лежит в aJaJa. ..JaAy где а повторено п раз. По условию JaJ С aAJ — aJ
и J а С аА. Применяя эти включения нужное количество раз, получаем, что
(аА)2п С апА = 0, т. е. аА = ап^хА = /*Л — нильпотентный правый идеал. □
15.79. Теорема [109]. Пусть А — кольцо с первичным радикалом N и
радикалом Джекобсона У. Если J а С аА для всех aeJ,mo радикал Джекобсона
кольца рядов Лорана А((х)) совпадает с N((x)).
> Докажем, что для любого а е N правый идеал аА нильпотентен. Так как
N — нильидеал, то ап = 0 для некоторого п. Поскольку АаА С N С У, то
(аА)2п С aJaJa.. JaA, где а повторено в п раз. По условию JaJ С aAJ = aJ
и J а С аА. Применяя эти включения ^ужное количество раз, получаем^ что
(аА)2п С апА = 0. Обозначим через N и У первичный радикал и радикал
Джекобсона кольца А((х)) соответственно. Так как аА — нильпотентный правый
идеал в А, то аА((х)) — нильпотентный правый идеал в А((х))у откуда N Q N С У.
Пусть / €У. По 15.78 младший коэффициент /* ряда / лежит в N СУ. Тогда
/' = / — fkxk eJ. Применяя к ряду /' те же рассуждения, мы докажем, что /*+i
лежит в N. Продолжая далее, получаем, что все коэффициенты ряда / лежат
в N. Поэтому У cyV((jc)).
Докажем обратное включение N((x)) С У. Достаточно доказать, что если
/ 6 N((x)), то ряд 1 + / обратим справа. Если младшая степень А ряда /
Ряды Лорана и радикал Джекобсона
451
неотрицательна, то это вытекает из 15.52(8). Допустим теперь, что А = — п <0.
Рассмотрим ряд /' = /о + f\X + /2X2 +... Так как по 15.52(8) ряд 1 + /' обратим,
то достаточно доказать, что обратим ряд (1 + /)(1 + /')"1 = 1 +(/ — f')(\ + /')-1-
Ряд / — /' — конечная сумма_ f-nx~n + ... + f-\x~\ причем все_ /_,- лежат
в N и, как доказано выше, в У. Поэтому ряд / — /' также лежит в У. Тогда ряд
(1 +/)(1 -Ь/')-1 = !+(/ — f')(l + /')-1 обратим, что и требовалось доказать. D
15.80. Следствие [109]. Если А — кольцо с первичным радикалом N и все
элементы J (А) коммутируют по умножению друг с другом, то радикал
Джекобсона кольца А((х)) совпадает с идеалом N({x)).
Следствие 15.80 вытекает из теоремы 15.79.
Упражнения
15.81. Пусть (р — инъективный эндоморфизм кольца Л. Тогда Л[[х, у?]] —
заменяемое (чистое) кольцо в точности тогда, когда Л —заменяемое (чистое)
кольцо. (Указание. 15.81 и 15.82 вытекают из 13.7, 13.71 и 15.31(8).)
15.82 ([169]). Пусть А — коммутативное локальное кольцо и /г € N. Тогда
кольцо всех матриц Мг(Л) размера 2x2 над А строго чисто «=> ^Ы^ [[*]])
строго чисто «=> М2(А[х\/хпА[х]) строго чисто.
15.83. Пусть X — (частично) упорядоченное множество. X называется узким,
если каждое его подмножество несравнимых элементов конечно. X называется
частично вполне упорядоченным, если для любого непустого подмножества
Y С X множество минимальных элементов в Y конечно и непусто. Доказать,
что X — артиново узкое множество в точности тогда, когда X частично вполне
упорядочено.
15.84 ([240]). Пусть Л —кольцо и (S, <) — строго упорядоченный моноид,
т. е. S — моноид, причем S — упорядоченное множество с порядком <hs/ <s'/,
ts < ts' для любых 5, s\ t e S с условием s < s'. Пусть (/? —моноидный
гомоморфизм из S в моноид моноидных гомоморфизмов
мультипликативного моноида Л и Л[[5]]— множество всех таких отображений f: S —► Л, что
supp(/) = {s € S I f(s) ф 0} —артиново узкое множество. Ясно, что A[[S]] —
аддитивная абелева группа с поточечным сложением. Используя 15.83, докажите,
что:
1) для любых /j, ..., fn 6 Л[[5]] и s € S множество X(s, /1, ...,/«) =
= {(х\, ..., хп)еsupp(/i) х ... х supp(/„) Is = x\...xn) конечно;
2) для любых /, ^€Л[[5]] корректно определен такой элемент /£бЛ[[5]],
что (fg)(s) = £(JC y)€X{s f f{x)4>x{g{y)) при X(s, 1ш)фг и (fg)(s) = 0 при
X(s,/,0 = 0;
3) 4[[S]] с таким умножением является кольцом, которое обозначается через
Л[[5, V?]] и называется кольцом косых обобщенных степенных рядов с
коэффициентами из Л и показателями степени в S.
Литература. [28-30,45,49,82-84,95,100,103-110,212,239,240,269,280,288,
289,291,298].
16
Открытые вопросы
16.1. Являются ли дистрибутивные модули над регулярными кольцами
модулями Безу?
16.2. Если дистрибутивное (справа и слева) кольцо имеет правую
размерность Крулля, то всегда ли оно имеет левую размерность Крулля?
16.3. Является ли любая дистрибутивная область полунаследственной?
16.4. Являются ли все правые идеалы дистрибутивного редуцированного
кольца плоскими?
16.5. Пусть Л —дистрибутивное справа кольцо, являющееся либо целым над
своим центром, либо конечно порожденным модулем над своим центром. Является
ли А дистрибутивным слева?
16.6. Когда каждый конечно порожденный (конечно представимый, плоский)
правый Л-модуль полудистрибутивен?
16.7. Описать кольца, над которыми каждый конечно порожденный (конечно
представимый, плоский) правый Л-модуль эндодистрибутивен.
16.8. Описать такие кольца Л, что кольцо рядов Лорана А((х)) дистрибутивно
справа (полудистрибутивно справа, полуцепное справа).
16.9. Описать такие кольца Л и моноиды (группы) G, что моноидное
(групповое) кольцо AG полудистрибутивно справа (полуцепное справа).
16.10. Пусть все правые модули над кольцом Л эндодистрибутивны.
1) Являются ли все левые Л-модули эндодистрибутивными?
2) Является ли кольцо Л нётеровым?
3) Является ли Л конечным прямым произведением цепных артиновых
колец?
16.11. Верно ли, что каждый малоинъективный модуль с существенным
цоколем самоинъективен?
16.12. Верно ли, что каждый малоинъективный модуль с существенным са-
моинъективным подмодулем самоинъективен?
16.13. Пусть все циклические правые модули над кольцом Л малоинъективны.
1) Верно ли, что все циклические левые Л-модули малоинъективны?
2) Верно ли, что Л — конечное прямое произведение простых артиновых
колец, цепных самоинъективных колец и полунаследственных областей?
16.14. Описать кольца, над которыми каждый правый модуль —расширение
полупростого модуля с помощью инъективного модуля.
16.15. Пусть все правые Л-модул и —/о-модул и. Являются ли все левые
Л-модули /о-модулями?
Литература
1. Абызов А. И. Слабо регулярные модули над нормальными кольцами // Сиб.
матем. журн. 2008. Т. 49, вып. 4. С. 721—738.
2. Абызов А.Н.У Туганбаев А. А. Кольца, над которыми все модули являются
/о-модулями, II J/ Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14,
вып. 2. С. 3—12.
3. Андрунакиевич В. Л., Рябухин Ю. М. Радикалы алгебр и структурная
теория. М: Наука, 1979.
4. Вечтомов Е.М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций // Матем.
заметки. 1983. Т. 34, вып. 34. С. 321-332.
5. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций и ^-пространства,
избранные темы. М.: МПГУ, 1992.
6. Голод Е. С. О некоммутативных базисах Грёбнера над кольцами //
Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10, вып. 4. С. 91—96.
7. Голод Е. С. Арифметические кольца, би-эндоморфизмы и базисы Грёбнера //
Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, вып. 1. С. 167—168.
8. Грегуль О. £., Кириченко В. В. О полунаследственных полуцепных
кольцах // Укр. матем. ж. 1987. Т. 39, вып. 2. С. 156-161.
9. Джекобсон И. Строение колец. М.: Иностранная литература, 1961.
10. Дрозд Ю.А. Об обобщенно однорядных кольцах // Матем. заметки. 1975.
Т. 18, вып. 5. С. 707-710.
11. Жаринов В. В. Дистрибутивные решетки и их приложения в комплексном
анализе // Труды МИАН ССР. 1983. Т. 162. С. 3-116.
12. Забавский Б. В., Комарницкий Н.Я. Дистрибутивные области
элементарных делителей // Укр. матем. ж. 1990. Т. 42, вып. 7. С. 1000—1004.
13. Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.
14. Кириченко В. В., Берник О.Я. Полусовершенные кольца дистрибутивного
модульного типа //Докл. Акад. Наук УССР. 1988, вып.З. С. 15—17.
15. Кириченко В. В., Костюкевич П. П. Бирядные кольца // Укр. матем. ж.
1986. Т. 38, вып. 6. С. 718-723.
16. Кириченко В. В., Яременко Ю.В. Нётеровы бирядные кольца // Укр.
матем. ж. 1988. Т. 40, вып. 4. С. 435-440.
17. Кириченко В.В.У Яременко Ю.В. О полусовершенных
полудистрибутивных кольцах II Матем. заметки. 2001. Т. 69, вып. 1. С. 153—156.
18. Клиффорд А.у Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир,
1972.
19. Кожухов И. Б. Цепные полугрупповые кольца // Успехи матем. наук. 1974.
Т. 29, вып. 1.С. 169-170.
20. Крылов П. А.у Михалев А.В.У Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца
эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.
454 Литература
21. Крылов П. А., Туганбаев А. А. Модули над областями дискретного
нормирования. М.: Факториал Пресс, 2007.
22. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.
23. Пунинский Г. Е. Эндодистрибутивные и чисто-инъективные модули над
цепными кольцами // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48, вып.З. С. 201—202.
24. Пунинский Г. Е.у Туганбаев А. А. Кольца и модули. М.: Союз, 1998.
25. Репницкий В. Б. Арифметические модули // Матем. сборник. 1979. Т. 110,
вып. 1. С. 150-157.
26. Скорняков Л, А. Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные
кольца. М.: Физматгиз, 1961.
27. Скорняков Л. А. Когда все модули полуцепные? // Матем. заметки. 1969.
Т. 5, вып. 2. С. 173-182.
28. Сонин К. И. Регулярные кольца рядов Лорана // Фундаментальная и
прикладная математика. 1995. Т. 1, вып. 1. С. 315—317.
29. Сонин К. И. Регулярные кольца косых рядов Лорана // Фундаментальная
и прикладная математика. 1995. Т. 1, вып. 2. С. 565—568.
30. Сонин К. И. Бирегулярные кольца рядов Лорана // Вестник МГУ. Матем.,
мех. 1997, вып. 4. С. 20—22.
31. Туганбаев А. А. Строение модулей, близких к инъективным // Сиб. матем.
журн. 1977. Т. 18, вып. 4. С. 890-898.
32. Туганбаев А. А. Строение модулей, близких к проективным // Матем. сб.
1978. Т. 106, вып. 4. С. 554-565.
33. Туганбаев А. А. Характеризации колец, использующие малоинъективные
и малопроективные модули // Вестник МГУ, матем., мех. 1979, вып. 3.
С. 48-51.
34. Туганбаев А. А. Малопроективные модули // Вестник МГУ, матем., мех.
1979, вып. 5. С. 43-47.
35. Туганбаев А. А. Кольца, над которыми каждый модуль является прямой
суммой дистрибутивных модулей // Вестник МГУ, матем., мех. 1980, вып. 1.
С. 61-64.
36. Туганбаев А. А. Дистрибутивные нётеровы кольца // Вестник МГУ, матем.,
мех. 1980, вып. 2. С. 30-34.
37. Туганбаев А. А. Дистрибутивные модули // Успехи матем. наук. 1980. Т. 35,
вып. 5. С. 245—246.
38. Туганбаев А. А. О самоинъективных кольцах // Математика. Известия
вузов. 1980, вып. 12. С. 71-74.
39. Туганбаев А. А. О квазипроективных модулях // Сиб. матем. журн. 1980.
Т.21, вып.З. С. 177-183.
40. Туганбаев А.А. Малопроективные модули // Сиб. матем. журн. 1980. Т.21,
вып. 5. С. 109—113.
41. Туганбаев А. А. Целозамкнутые кольца // Матем. сборник. 1981. Т. 115,
вып. 4. С. 544—559.
42. Туганбаев А. А. Дистрибутивные модули и кольца // Успехи матем. наук.
1984. Т. 39, вып. 1.С. 157-158.
Литература
455
43. Туганбаев А. А. Дистрибутивные кольца // Матем. заметки. 1984. Т. 35,
вып.З. С. 329—332.
44. Туганбаев А. А. Дистрибутивные справа кольца // Математика. Известия
вузов. 1985, вып. 1. С. 46—51.
45. Туганбаев А. А. Кольца с плоскими правыми идеалами и дистрибутивные
кольца // Матем. заметки. 1985. Т. 38, вып. 2. С. 218-228.
46. Туганбаев А. А. Дистрибутивные кольца и эндодистрибутивные модули //
Укр. матем. ж. 1986. Т. 38, вып. 1. С. 63-67.
47. Туганбаев А. А. Кольца, у которых структура правых идеалов
дистрибутивна // Математика. Известия вузов. 1986, вып. 2. С. 44—49.
48. Туганбаев А. А. Кольца с дистрибутивной структурой правых идеалов //
Успехи матем. наук. 1986. Т.41, вып.З. С.203—204.
49. Туганбаев А. А. Дистрибутивные кольца рядов // Матем. заметки. 1986.
Т. 39, вып. 4. С. 518-528.
50. Туганбаев А. А. Кольца рядов и слабая глобальная размерность //
Математика. Известия вузов. 1987, вып. 11. С. 70—78.
51. Туганбаев А. А. Наследственные кольца // Матем. заметки. 1987. Т. 41,
вып.З. С.303—312.
52. Туганбаев А. А. Дистрибутивные кольца и модули // Труды Моск. матем.об-
ва. 1988. Т. 51. С. 95-113.
53. Туганбаев А. А. Дистрибутивные кольца с условиями конечности //
Математика. Известия вузов. 1988, вып. 10. С. 50—55.
54. Туганбаев А. А. Модули с дистрибутивной решеткой подмодулей // Успехи
матем. наук. 1989. Т. 44, вып. 1. С. 215—216.
55. Туганбаев А. А. Дистрибутивные кольца и модули // Матем. заметки. 1990.
Т. 47, вып. 2. С. 115-123.
56. Туганбаев А. А. Полуцепные кольца и модули // Матем. заметки. 1990. Т.48,
вып. 2. С. 99-106.
57. Туганбаев А. А. Дистрибутивные моноидные алгебры // Матем. заметки.
1992. Т. 51, вып. 2. С. 95-102.
58. Туганбаев А. А. Алгебры кватернионов над коммутативными кольцами //
Матем. заметки. 1993. Т. 53, вып. 2. С. 126—131.
59. Туганбаев А. А. Об алгебрах кватернионов // Труды семинара им. И. Г.
Петровского. 1994, вып. 17. С. 209—214.
60. Туганбаев А. А. Кольца эндоморфизмов и дистрибутивность // Матем.
заметки. 1994. Т. 56, вып. 4. С. 141-152.
61. Туганбаев А. А. Кольцо эндоморфизмов дистрибутивного модуля // Успехи
матем. наук. 1995. Т.50, вып. 1. С.215—216.
62. Туганбаев А. Л. О левой дистрибутивности дистрибутивных справа колец //
Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, вып. 1. С. 289—300.
63. Туганбаев А. А. Эндоморфизмы дистрибутивных модулей // Успехи матем.
наук. 1995. Т.50, вып.З. С. 167—168.
64. Туганбаев А. А. Нётеровы полупервичные кольца и дистрибутивность //
Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, вып.З. С.767—779.
456
Литература
65. Туганбаев А. А. Дистрибутивные справа и слева кольца // Матем. заметки.
1995. Т. 58, вып. 4. С. 604-627.
66. Туганбаев А. А. Дистрибутивные полупервичные кольца // Матем. заметки.
1995. Т. 58, вып. 5. С. 736-761.
67. Туганбаев А. А. Дистрибутивно разложимые кольца // Успехи матем. наук.
1996. Т. 51, вып. 3. С. 215-216.
68. Туганбаев А. А. Плоские модули и кольца, конечно порожденные над своим
центром J/ Матем. заметки. 1996. Т. 60, вып. 2. С. 254—277.
69. Туганбаев А. А. Кусочно целостные кольца и несингулярно первичные
идеалы // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, вып. 4. С. 171 —172.
70. Туганбаев А. А. Циклические малоинъективные модули // Труды Моск.
матем. об-ва. 1996. Т. 57. С. 199—217.
71. Туганбаев А.А. Прямые суммы дистрибутивных модулей// Матем. сборник.
1996. Т. 187, вып. 12. С. 137-156.
72. Туганбаев А. А. Кольца, над которыми каждый модуль обладает
максимальным подмодулем // Матем. заметки. 1997. Т. 61, вып.З. С. 407—415.
73. Туганбаев А. А. Полудистрибутивные наследственные кольца // Успехи
матем. наук. 1997. Т. 52, вып. 4. С. 215—216.
74. Туганбаев А. А. Максимальные подмодули и локально совершенные
кольца // Матем. заметки. 1998. Т. 64, вып. 1. С. 136—142.
75. Туганбаев А. А. Кольца эндоморфизмов строго неразложимых модулей //
Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, вып. 2. С. 207—208.
76. Туганбаев А. А. Идеалы дистрибутивных колец // Фундаментальная и
прикладная математика. 1998. Т. 4, вып.2. С. 791—794.
77. Туганбаев А. А. Полудистрибутивные и дистрибутивно разложимые
кольца J/ Матем. заметки. 1999. Т.65, вып.2. С.307—313.
78. Туганбаев А. А. Модули над полуцепными кольцами // Матем. заметки.
1999. Т. 65, вып. 6. С. 880-892.
79. Туганбаев А. А. Квазипроективные модули со свойством конечной замены //
Успехи матем. наук. 1999. Т.54, вып.2. С. 191—192.
80. Туганбаев А, А. Модули над наследственными и полуцепными кольцами //
Успехи матем. наук. 1999. Т. 54, вып. 5. С. 177—178.
81. Туганбаев А. А. Дистрибутивно порожденные кольца и дистрибутивные
модули II Матем. заметки. 2000. Т. 68, вып. 4. С. 568—578.
82. Туганбаев А. А. Области Безу и косые многочлены // Успехи матем. наук.
2000. Т. 55, вып. 5. С. 169-170.
83. Туганбаев А. А. Кольца Безу, многочлены и дистрибутивность // Матем.
заметки. 2001. Т.70, вып.2. С.270-288.
84. Туганбаев А. А. Кольца Безу и косые многочлены // Успехи матем. наук.
2001. Т. 56, вып. 5. С. 173-174.
85. Туганбаев А. А. Строение дистрибутивных колец // Матем. сборник. 2002.
Т. 193, вып. 5. С. 113-128.
86. Туганбаев А. А. Дистрибутивные нелокализуемые кольца // Успехи матем.
наук. 2002. Т.57, вып.З. С. 165-166.
Литература
457
87. Туганбаев А. А. Мультипликационные модули над некоммутативными
кольцами // Матем. сборник. 2003. Т. 194, вып. 12. С. 93—122.
88. Туганбаев А. А. Порядки в цепных кольцах // Матем. заметки. 2003. Т. 74,
вып. 6. С. 927-936.
89. Туганбаев А.А. Идеалы наследственных колец// Успехи матем. наук. 2003.
Т. 58, вып. 2. С. 177-178.
90. Туганбаев А. А. Кольца слабой глобальной размерности единица и
дистрибутивно порожденные кольца // Успехи матем. наук. 2003. Т. 58, вып. 6.
С. 167-168.
91. Туганбаев А. А. Дистрибутивные и полунаследственные кольца //
Фундаментальная и прикладная математика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 253—258.
92. Туганбаев А. А. Дистрибутивные и мультипликационные модули и кольца //
Матем. заметки. 2004. Т. 75, вып.З. С. 425—434.
93. Туганбаев А. А. Модули над кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки.
2004. Т. 75, вып. 6. С. 895-908.
94. Туганбаев А. А. Плоские и мультипликационные модули // Успехи матем.
наук. 2005. Т. 60, вып. 1. С. 174-175.
95. Туганбаев А. А. Радикал Джекобсона кольца рядов Лорана //
Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, вып.2. С. 209—215.
96. Туганбаев А. А. Дистрибутивные расширения модулей // Фундаментальная
и прикладная математика. 2006. Т. 12, вып.З. С. 141 — 150.
97. Туганбаев А. А. Модули с большим числом прямых слагаемых //
Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, вып. 8. С. 233—241.
98. Туганбаев А. А. Кольца, над которыми все модули полурегулярны //
Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 2. С. 185—194.
99. Туганбаев А. А. Кольца, над которыми все модули являются /о-модулями //
Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 5. С. 193—200.
100. Туганбаев А. А. Кольца косых рядов Лорана и условие максимальности для
правых аннуляторов //Дискретная математика. 2008. Т. 20, вып. 1. С. 80—
86.
101. Туганбаев А. А. Кольца без бесконечных множеств нецентральных
ортогональных идемпотентов // Фундаментальная и прикладная математика. 2008.
Т. 14, вып. 2. С. 207-221.
102. Туганбаев А.А. Модули и кольца Безу// Фундаментальная и прикладная
математика. 2008. Т. 14, вып. 4. С. 227—229.
103. Туганбаев Д. А. Цепные кольца рядов Лорана // Фундаментальная и
прикладная математика. 1997. Т.З, вып.З. С.947—951.
104. Туганбаев Д. А. Цепные кольца косых рядов Лорана // Вестник МГУ,
матем., мех. 2000, вып. 1. С. 52—55.
105. Туганбаев Д. А. Полулокальные дистрибутивные кольца косых рядов
Лорана И Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т.6, вып.З. С.913—
921.
106. Туганбаев Д. А. Кольца косых рядов Лорана и кольца главных идеалов Ц
Вестник МГУ, матем., мех. 2000, вып. 5. С. 55—57.
458 Литература
107. Туганбаев Д.А. Кольца псевдодифференциальных операторов и условия на
цепи // Вестник МГУ, матем., мех. 2002, вып. 4. С. 26—32
108. Туганбаев Д.А. Лорановские кольца // Фундаментальная и прикладная
математика. 2006. Т. 12, вып.З. С. 151—224.
109. Туганбаев Д.А. Радикал Джекобсона и кольца рядов Лорана //
Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, вып. 8. С. 243—246.
110. Туганбаев Д.А. Мальцевские кольца //Дискрет, матем. 2008. Т. 20, вып. 2.
С. 63-81.
111. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, Т. 1. М.: Мир, 1977.
112. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, Т. 2. М.: Мир, 1979.
113. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, II. М: Мир, 1977.
.114. Холл М. Теория групп. М.: Иностранная литература, 1959.
115. Achkar H. Sur les anneaux arithmetiques a gauche // C. R. Acad. Sci. 1974.
Vol.278, №5. A307-A309.
116. Achkar H. Sur les proprietes des anneaux arithmetiques a gauche // С R.
Acad. Sci. 1977. Vol.284, № 17, A993-A995.
117. Achkar H. Anneaux arithmetiques a gauche // С R. Acad. Sci. 1978. Vol.286,
№20, A871-A873.
118. Achkar H. Anneaux arithmetiques a gauche: proprietes de transfert // C. R.
Acad. Sci. 1979. Vol.288, №11. RA583-A586.
119. Al-Shaniafi Y. Multiplication modules and ideals // Int. J. Pure Appl. Math.
2007. Vol.41, №2. P.213-219.
120. Al-Shaniafi Y.y Singh S. A companion ideal of a multiplication module //
Period. Math. Hungar. 2003. Vol.46, № 1. P. 1-8.
121. Albu 7\, NSstSsescu С Modules arithmetiques//Acta Math. Acad. Sci. Hung.
1974. Vol.25, №3-4. P.299-311.
122. Ali M.M. The Ohm type properties for multiplication ideals // Beitrage Algebra
Geom. 1996. Vol.37, №2. P.399-414.
123. AH M.M. Residual submodules of multiplication modules // Beitrage Algebra
Geom. 2005. Vol.46, №2. P.405-422.
124. AH M.M. Invertibility of multiplication modules // New Zealand J. Math. 2006.
Vol.35, №1. P. 17-29.
125. AH M.M. Multiplication modules and tensor product // Beitrage Algebra
Geom. 2006. Vol.47, №2. P.305-327.
126. AH M.M. Multiplication modules and homogeneous idealization // Beitrage
Algebra Geom. 2006. Vol.47, № 1. P.249-270.
127. Ali M.M. Multiplication modules and homogeneous idealization, II // Beitrage
Algebra Geom. 2007. Vol. 48, № 2. P. 321-343.
128. AH M.M. о cancellation modules and homogeneous idealization // Comm.
Algebra. 2007. Vol.35, №11. P.3524-3543.
129. All M.M. Idealization and theorems of D. D. Anderson, II // Comm. Algebra.
2007. Vol.35, №9. P.2767-2792.
130. Ali Af.Af., Smith D.J. Finite and infinite collections of multiplication modules//
Beitrage Algebra Geom. 2001. Vol.42. №2. P.557—573.
Литература
459
131. Ali М.М., Smith D.J. Projective, flat and multiplication modules // New
Zealand J. Math. 2002. Vol. 31, №2. P. 115-129.
132. Ali M.M.y Smith D.J. Multiplication modules and a theorem of P. F. Smith //
Period. Math. Hungar. 2002. Vol.44, №2. P. 127-135.
133. Ali M.M.y Smith D.J. Some remarks on multiplication and projective
modules // Comm. Algebra. 2004. Vol.32, № 10. P.3897-3909.
134. Ali M.M., Smith D.J. Pure submodules of multiplication modules // Beitrage
Algebra Geom. 2004. Vol.45, № 1. P.61-74.
135. Ameri R. Two versions of Nakayama lemma for multiplication modules // Int.
J. Math. Math. Sci. 2004. №53-56. P.2911-2913.
136. Anderson D.D. Multiplication ideals, multiplication rings and the ringR(X) //
Canad. J. Math. 1976. Vol.28, №4. P.760-768.
137. Anderson D.D. Some remarks on multiplication ideals // Math. Japan. 1980.
Vol.25, №4. P.463-469.
138. Anderson D.D. Some remarks on multiplication ideals, II // Comm. Algebra.
2000. Vol.28, №5. P.2577-2583.
139. Anderson D.D., Al-Shaniaji Y. Multiplication modules and the ideal 0(M) //
Comm. Algebra. 2002. Vol. 30, №7. P. 3383-3390.
140. Anderson D. D.y Anderson D.F.y Markanda R. The rings R(X) and R{X) //
J. Algebra. 1985. Vol.95, №1. P.96-115.
141. Ansari-Toroghy //., Farshadifar F. The dual notion of multiplication
modules // Taiwanese J. Math. 2007. Vol. 11, №4. P. 1189-1201.
142. Ansari-Toroghy H., Ovlyaee-Sarmazdeh R. Multiplication modules and
connectivity// Southeast Asian Bull. Math. 2007. Vol.31. № 1. P. 1-6.
143. Atani S.E. Multiplication modules over pullback rings // Int. Math. J. 2003.
Vol.3, no. 10. P. 1029-1032.
144. Atani S.E. Multiplication modules and related results // Arch. Math. (Brno).
2004. Vol.40, №4. P.407—414.
145. Atani S.E. Submodules of multiplication modules // Taiwanese J. Math. 2005.
Vol.9, №3. P.385-396.
146. Atani S. E. Indecomposable weak multiplication modules over Dedekind
domains // Demonstrate Math. 2008. Vol.41. № 1. P.33—43.
147. Atani S.E.y Callialp F., Tekir U. A short note on the primary submodules of
multiplication modules// Int. J. Algebra. 2007 Vol. 1, №5—8. P.381-384.
148. Atani S.£., Ghaleh S.K. G. On multiplication modules // Int. Math. Forum.
2006. Vol. 1, №21-24. P. 1175-1180.
149. Barnard A. Distribitive extensions of modules// J. Algebra. 1981. Vol.70, №2.
P. 303—315.
150. Barnard A. Multiplication modules // J. Algebra. 1981. Vol.71, № 1. P. 174—
178.
151. Behrens E. A. Die Halbgruppe der Ideale in Algebren mit distributivem
Idealverband // Arch. Math. 1962. Vol. 13. P.251-266.
152. Behrens E.A. Ring Theory. New York: Acad. Press, 1972.
460 Литература
153. Behrens E. A. Noncommutative arithmetic rings // Rings, Modules and
Radicals, Amsterdam London. P. 67—71. 1973.
154. Belzner T. Towards self-duality of semidistributive Artinian rings // J. Algebra.
1990. Vol. 135, №1. P. 74-95.
155. Bessenrodt /(., Brungs H. //., Torner G. Right chain rings, Part 1 //
Schriftenreihe des Fachbereich Mathematik. Universitat Duisburg, 1990.
156. Blair R.L. Ideal lattice and the structure of rings // Trans. Amer. Math. Soc.
1953. Vol.75, №1. P. 136-153.
157. Brungs H.H. Rings with distributive lattice of right ideals // J. Algebra. 1976.
Vol.40, №2. P.392-400.
158. Brungs H.H. Bezout domains and rings with a distributive lattice of right
ideals // Canad. J. Math. 1986. Vol.38, №2. P.286-303.
159. Brungs H.H. Ideal theory in rings with a distributive lattice of right ideals //
Wiss. Beitr. M.-Luther-Univ. Halle. Wittenberg. 1987. №48. P. 73-80.
160. Brungs //.//., Grater J. Value groups and distributivity // Canad. J. Math.
1991. Vol.43, №6. P. 150-1160.
161. Burgess W.D., Stephenson W. An analogue of the Pierce sheaf for non-
commutative rings // Comm. Algebra. 1978. Vol.6, №9. P.863-886
162. Burgess W.D.y Stephenson W. Rings all of whose Pierce stalks are local //
Canad. Math. Bull. 1979. Vol.22, №2. P. 159-164.
163. Caballero C.E. Self-duality and ^-hereditary semidistributive rings // Comm.
Algebra. 1986. Vol. 14, № 10. P. 1821-1843.
164. Camillo V. Distributive modules // J. Algebra. 1975. Vol.36, № 1. P. 16-25.
165. Camillo V., Khurana D. A characterization of unit regular rings // Comm.
Algebra. 2001. Vol.29, №5. P.2293-2295.
166. Camillo V.y Yu H.-P. Exchange rings, units and idempotents // Comm.
Algebra. 1994. Vol.22, № 12. P.4737-4749.
167. Camillo V., Yu H.-P. Stable range one for rings with many idempotents //
Trans. Amer. Math. Soc. 1995. Vol.347, №8. P.3141-3147.
168. Chase S.U. Direct products of modules // Trans. Amer. Math. Soc. I960.
Vol.97. P.457-473.
169. Chen /., Yang X.y Zhou Y. When is 2 x 2 matrix ring over a commutative local
ring strongly clean // J. Algebra. 2006. Vol.301. P.280-293.
170. Chen Q. On graded distributive modules // Northeast. Math. J. 1994. Vol. 10,
№2. P. 273-278.
171. Chen (?., Li Ch. Characterizations of graded distributive modules // Algebra
Colloq. 2002. Vol.9, №3. P.313-320.
172. Chick H.L.y Gardner B.J. The preservation of some ring properties by
semilattice sums // Comm. Algebra. 1987. Vol. 15, №5. P. 1017-1038.
173. Cho Y.H. On multiplication modules, I // Bull. Honam Math. Soc. 1996.
Vol.13. P. 75-80.
174. Cho Y.H. On multiplication modules, II // Comm. Korean Math. Soc. 1998.
Vol. 13, №4. P. 727-733.
Литература
461
175. Cho Y.H. On multiplication modules, III // Korean Ann. Math. 1999. Vol. 16,
№1. P. 21-25.
176. Cho Y.H. On multiplication modules, IV // Korean Ann. Math. 2006. Vol.23,
№1. P. 77-83.
177. Choi C. W. Multiplication modules and endomorphisms // Math. J. Toyama
Univ. 1995. Vol. 18. P. 1-8.
178. Choi C. W.y Smith P.F. On endomorphisms of multiplication modules // J.
Korean Math. Soc. 1994. Vol.31, № 1. P.89-95.
179. Chouinard L.G.y Hardy B.R., and Shores T.S. Arithmetical semihereditary
semigroup rings // Comm. Algebra. Vol.8, № 17. P. 1593—1652.
180. Crawley P., Jonsson B. Refinements for infinite direct decompositions of
algebraic systems // Pacif. J. Math. 1964. Vol. 14. P 797—855.
181. Davison T.M. K. Distributive homomorphisms of rings and modules//J. reine
und angew Math. 1974. Vol.271. P.28-34.
182. El-Bast Z.A., Smith P.F. Multiplication modules // Comm. Algebra. 1988.
Vol. 16, №4. P. 755-779.
183. El-Bast Z.A., Smith P.F. Multiplication modules and theorems of Mori and
Mott // Comm. Algebra. 1988. Vol. 16, №4. P. 781-796.
184. Erdogdu V. Distributive modules // Canad. Math. Bull. 1987. Vol.30, №2.
P. 248-254.
185. Erdogdu V. Modules with locally linearly ordered distributive hulls // J. Pure
Appl. Algebra. 1987. Vol.47. P. 119-130.
186. Erdogdu V. Multiplication modules which are distributive // J. Pure Appl.
Algebra. 1988. Vol.54, №2-3. P.209-213.
187. Erdogdu V. Regular multiplication rings // J. Pure Appl. Algebra. 1989. Vol.59,
№1. P. 55-59.
188. Erdogdu V. Rings with principal distributive ideal // Turk. Mat. Derg. 1990.
Vol.4, №2. P. 120-124.
189. Escoriza /., Torrecillas B. Multiplication modules relative to torsion theories //
Comm. Algebra. 1995. Vol.23, №11. P.4315-4331.
190. Escoriza /., Torrecillas B. Relative multiplication and distributive modules //
Comment. Math. Univ. Carolin. 1997. Vol.38, №2. P.205-221.
191. Escoriza /., Torrecillas B. Multiplication objects in commutative Grothendieck
categories// Comm. Algebra. 1998. Vol.26, №6. P. 1867-1883.
192. Escoriza /., Torrecillas B. Multiplication rings and graded rings // Comm.
Algebra. 1999. Vol.27, Mb 12, 6213-6232.
193. Feinberg R.B. Faithful distributive modules over incidence algebras // Pacif. J.
Math. 1976. Vol.65, № 1. P.35-45.
194. Ferrero M., Paques A. A note on the structure of distributive rings. Arch.
Math. 1998. Vol.70, №2. P. 111-117.
195. Ferrero M.y SantAna A. On distributive modules and rings // Results Math.
2003. Vol.44, № 1-2. P.74-85.
196. Ferrero Af., Tomer G. On the ideal structure of right distributive rings //
Comm. Algebra. 1993. Vol.21, №8. P.2697-2713.
462
Литература
197. Fuller К. R. Weakly symmetric rings of distributive module type // Comm.
Algebra. 1977. Vol.5, №9. P.997-1008.
198. Fuller K.R. On generalization of serial rings, II // Comm. Algebra. 1980. Vol.8,
№7. P. 635-661.
199. Gaur Л., Maloo A. K., Parkash A. Prime submodules in multiplication
modules // Int. J. Algebra. 2007. Vol. 1, №5-8. P. 375-380.
200. Goodearl K.R. Von Neumann Regular Rings. London: Pitman, 1979.
201. Grater J. Zur Theorie Nicht Kommutativer Prufer Ringer// Arch. Math. 1983.
Vol.41. P.30-36.
202. Grater J. Uber die Distributivitat des Idealverbandes Eines Kommutativem
Ringes // Monatsh. Math. 1985. Vol.99, №4. P.267-278.
203. Grater J. On Noncommutative Prufer rings // Arch. Math. 1986. Vol.46, №5.
P. 402-407.
204. Grater /. Lokalinvariante Pruferringe// Results Math. 1986. Vol.9. P. 10-32.
205. Grater J. Ringe mit Distributivem Rechtidealverband // Results Math. 1987.
Vol. 12. P. 95-98.
206. Grater /. Strong right D-domains // Monatsh. Math. 1989. Vol. 107, №3.
P. 189-205.
207. Griffin M. Multiplication rings via their quotient rings // Canad. J. Math. 1974.
Vol.26. P.430-449.
208. Haack J.K. Self-duality and serial rings // J. Algebra. 1979. Vol.59, №2.
P. 345-363.
209. Han /., Nicholson W.K. Extensions of clean rings // Comm. Algebra. 2001.
Vol.29, №6. P.2589-2595.
210. Hardy B.R., Shores T.S. Arithmetical semigroup rings // Canad. J. Math.
1980. Vol.32, №6. P. 1361-1371.
211. Hattori A. A foundation of torsion theory for modules over general rings //
Nagoya Math. J. 1960. Vol. 17. P. 147-158.
212. Herbera D. Bezout and semihereditary power series rings // J. Algebra 2003.
Vol.270. P. 150-168.
213. Ho Yue-Chan P. The preservation of the semiprime Goldie property by strong
semilattice sums // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 114, №3. P.613—616.
214. Hong C, Kim N., Lee Y. Hereditary and semiperfect distributive rings. Algebra
Colloq. 2006. Vol. 13, №3. P.433-440.
215. Ivanov G. Decomposition of modules over serial rings // Comm. Algebra. 1975.
Vol.3, №11. P. 1031-1036.
216. Jain R.K. On multiplication ideals // Math. Student. 1978. Vol.46. №2-4.
P. 116-120. (1982).
217. Jain R.K. On multiplication rings // Math. Student. 1978. Vol.46, №2-4.
P. 359-363. (1982).
218. Jain R.K. Generalized multiplication modules // Riv. Mat. Univ. Parma (4).
1981. Vol.7. P.461-472. (1982).
219. Jaipong P., Sanwong J. Multiplication semilocal modules and their endomor-
phism rings// East-West J. Math. 2003. Vol.5, №2. P. 169-177.
Литература 463
220. Jensen C.U. A remark on arithmetical rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1964.
Vol. 15, №6. P. 951-954.
221. Jensen C.U. Arithmetical rings // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1966. Vol. 17,
№1. P. 15-123.
222. Johns B. Chain conditions and nil ideals // J. Algebra. 1981. Vol.73, №2.
P. 287-294.
223. Jondrup S. P.P. rings and finitely generated flat ideals // Proc. Amer. Math.
Soc. 1971. Vol.28, №2. P.431-435.
224. Kaplansky I. Projective modules // Ann. Math. 1958. Vol.68. P.372—377.
225. Khaksari Л., Sharif //., Ershad M. On prime submodules of multiplication
modules // Int. J. Pure Appl. Math. 2004. Vol. 17, № 1. P. 41-49.
226. Kim K. //., Roush F. W. Regular rings and distributive lattices // Comm.
Algebra. 1980. Vol.8, № 13. P. 1283-1290.
227. Kirichenko V. V. Semi-perfect semi-distributive rings // Algebr. Represent.
Theory. 2000. Vol.3, № 1. P.81-98.
228. Koike K. Self-duality of quasi-Harada rings and locally distributive rings // J.
Algebra. 2006. Vol.302, №2. P.613-645.
229. Koohy H. On finiteness of multiplication modules // Acta Math. Hungar. 2008.
Vol. 118, №1-2. P. 1-7.
230. Lanski C. Nil subrings of Goldie rings are nilpotent // Canad. J. Math. 1969.
Vol.21. P.904-907.
231. Krylov P. A., Mikhalev A.V.y Tuganbaev A. A. Endomorphism Rings of
Abelian Groups. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers,
2003.
232. Krylov P. A., Tuganbaev A. A. Modules over Discrete Valuation Domains.
Berlin: Walter de Gruyter, 2008. (de Gruyter Expositions in Mathematics;
Vol.43).
233. Lee Sin Min. On the constructions of local and arithmetical rings // Acta
Math. Acad. Sci. Hung. 1978. Vol.32, № 1-2. P.31-34.
234. Low G.M., Smith P.F. Multiplication modules and ideals // Comm. Algebra.
1990. Vol. 18, № 12. P. 4353-4375.
235. Lu X. Distributive rings and their Grothendieck groups // Nanjing Daxue
Xuebao Shuxue Bannian Kan. 2006. Vol.23, №2. P.209-216.
236. Mazurek R. Distributive rings with Goldie dimension one // Comm. Algebra.
1991. Vol.19, №3. P.931-944.
237. Mazurek R.y Puczylowski E. R. On nilpotent elements of distributive rings //
Comm. Algebra. 1990. Vol. 18, №2. P. 463-471.
238. Mazurek /?., Puczylowski E. R. On semidistributive rings // Comm. Algebra.
1997. Vol.25, №n. P3463-3471.
239. Mazurek /?., Ziembowski M. On Bezout and distributive generalized power
series rings//J. Algebra. 2006. Vol.306. P. 397-411.
240. Mazurek /?., Ziembowski M. On Von Neumann regular rings of skew
generalized power series // Comm. Algebra. 2008. Vol.36, №5. P. 1855—1868.
464 Литература
241. Mehdi F. On multiplication and weak multiplication modules// Riv. Mat. Univ.
Parma (4). 1976. Vol.2. P. 107-112.
242. Menal P. Group rings in which every left ideal is a right ideal // Proc. Amer.
Math. Soc. 1979. Vol.76, №2. P.204-208.
243. Menzel W. Uber den Untergruppenverband einer Abelschen Operatorgruppe.
Teil II. Distributive und M-Verbande von Untergruppen einer Abelschen
Operatorgruppe// Math. Z. 1960. Vol.74, № 1. P.52—65.
244. Menzel W. Ein Kriterium fur Distributivitat des Untergruppenverbands einer
Abelschen Operatorgruppe//Math. Z. 1961. Vol.75, №3. P.271-276.
245. Naghipour /?., Zamani N. Graded distributive modules // Southeast Asian
Bull. Math. 2005. Vol.29, №6. P. 1095-1099.
246. Nakayama T. On Frobenius algebras. II // Ann. Math. 1941. Vol.42, № 1.
P. 1-21.
247. Naoum A. G. The Ohm type properties for finitely generated multiplication
ideals // Period. Math. Hung. 1986. Vol. 18, №4. P. 287-293.
248. Naoum A. G. The Ohm type properties for finitely generated multiplication
ideals // Period. Math. Hungar. 1987. Vol. 18, №4. P. 287-293.
249. Naoum A.G. On the dual of a finitely generated multiplication module II //
Beitrage Algebra Geom. 1988. Vol.27. P.83-88.
250. Naoum A. G. On the ring of endomorphisms of a finitely generated
multiplication module // Period. Math. Hungar. 1990. Vol.21. №3. P.249-255.
251. Naoum A.G. Flat modules and multiplication modules // Period. Math.
Hungar. 1990. Vol.21, №4. P.309-317.
252. Naoum A. G. A note on projective modules and multiplication modules //
Beitrage Algebra Geom. 1991. Vol.32. P.27-32.
253. Naoum A.G. On the ring of endomorphisms of a multiplication module //
Period. Math. Hungar. 1994. Vol.29, №3. P.277-284.
254. Naoum A. G. Regular multiplication modules // Period. Math. Hungar. 1995.
Vol.31, №2. P. 155-162.
255. Naoum A. G., Al-Hashimi В., Kider J. R. On the module of homomorphisms
on finitely generated multiplication modules, I // Period. Math. Hungar. 1991.
Vol.22, №2. P.97-105.
256. Naoum A. G., Al-Hashimi £., Kider J. R. On the module of homomorphisms
on finitely generated multiplication modules, II // Period. Math. Hungar. 1991.
Vol.22, №3. P. 153-160.
257. Naoum A. G., Balboul M. M. On finitely generated multiplication ideals in
commutative rings // Beitrage Algebra Geom. 1985. Vol. 19. P. 75—82.
258. Naoum A.G., Hasan M.A. K. The residual of finitely generated multiplication
modules // Arch. Math. 1986. Vol.46. P225-230.
259. Naoum A.G.y Kider J.R. On the module of homomorphisms into projective
modules and multiplication modules // Period. Math. Hungar. 1996. Vol.33,
№1. P. 55-63.
260. Nekooei R. On finitely generated multiplication modules // Czechoslovak Math.
J. 2005. Vol.55, No2. P.503-510.
Литература
465
261. Nicholson W.K. Liftingidempotents and exchange rings//Trans. Amer. Math.
Soc. 1977. Vol.229. P.269-278.
262. Nicholson W.K. Strongly clean rings and Fitting's lemma // Comm. Algebra.
1999. Vol.27, №8. P.3583-3592.
263. Osofsky B. L. Rings all of whose finitely generated modules are injective //
Pacific J. Math. 1964. Vol. 14. P. 645-650.
264. Osofsky B.L. Noninjective cyclic modules // Proc. Amer. Math. Soc. 1968.
Vol.19. P. 1383-1384.
265. Passman D. S. The Algebraic Structure of Group Rings. New York: Wiley,
1977.
266. Puninski G.E. Serial rings. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.
267. Puninski G.E. Projective modules over the endomorphism ring of a biuniform
module // J. Pure Appl. Algebra 2004. Vol. 188, № 1-3. P. 227-246.
268. Puninski G. £., Wisbauer /?. E-injective modules over right duo and right
distributive rings // J. Pure Appl. Algebra. 1996. Vol. 113. P. 55-66.
269. Ribenboim P. Semisimple rings and Von Neumann regular rings of generalized
power series // J. Algebra. 1997. Vol. 198. P. 327-338.
270. Sanwong J. Forcing linearity numbers for multiplication modules // Comm.
Algebra. 2006. Vol.34, № 12. P.4591-4596.
271. Shindoh Y. Finitely cogenerated distributive modules are <?-cocyclic // Comm.
Algebra. 2004. Vol.32, №11. P.4265-4271.
272. Shores 7\, Lewis WJ. Serial modules and endomorphism rings// Duke Math.
J. 1974. Vol.41, №4. P.889-909.
273. Singh S. Direct sums of multiplication modules // Comm. Algebra. 2001.
Vol.29, №4. P. 1741-1757.
274. Singh S., Al-Shaniafi Y. Quasi-injective multiplication modules // Comm.
Algebra. 2000. Vol.28, №7. P.3329-3334.
275. Singh S., Al-Shaniafi Y. Multiplication modules // Comm. Algebra. 2001.
Vol.29, №6. P.2597-2609.
276. Singh S.yMehdiF. Multiplication modules //Canad. Math. Bull. 1979. Vol.22,
№ LP 93-98.
277. Smith P.F. Some remarks on multiplication modules // Arch. Math. 1988.
Vol.50, №3. P.223-235.
278. Smith P. F. Multiplication modules and projective modules // Period. Math.
Hungar. 1994. Vol.29, №2. P. 163-168.
279. Smith P.F., Ukegawa 7\, and Umaya N. On non-commutative Noetherian
multiplication rings // Math. Sem. Notes Kobe Univ. 1983. Vol. 11, №2.
P. 259—276.
280. Sonin K. I. Krull dimension of Malcev—Neumann rings // Comm. Algebra.
1998. Vol.26, №9. P.2915-2931.
281. Stenstrom B. Rings of Quotients: An Introduction to Methods of Ring Theory.
Berlin: Springer, 1975.
282. Stephenson W. Modules whose lattice of submodules is distributive // Proc.
London Math. Soc. 1974. Vol.28, №2. P.291-310.
466
Литература
283. Tekir U. On coprimely packed multiplication modules // Int. J. Pure Appl.
Math. 2006. Vol.28, № 1. P.55-58.
284. Tekir U. A note on multiplication modules // Int. J. Pure Appl. Math. 2006.
Vol.27, №1. P. 107-111.
285. Tekir U. On multiplication modules // Int. Math. Forum. 2007. Vol.2, №29—
32. P. 1415-1420.
286. Tiras V\, Harmanci Л., Smith P.F. Some remarks on dense submodules of
multiplication modules// Comm. Algebra. 2000. Vol.28, №5. P.2291—2296.
287. Tuganbaev A. A. On distributive rings and modules // First International
Tainan—Moscow Algebra Workshop. Berlin; New York: Walter de Gruyter,
1996. P. 323-328.
288. Tuganbaev A. A. Semidistributive Rings and Modules. Dordrecht; Boston;
London: Kiuwer Academic Publishers, 1998.
289. Tuganbaev A. A. Distributive Modules and Related Topics. Amsterdam:
Gordon and Breach, 1999.
290. Tuganbaev A. A. Some Ring and Module Properties of Skew Power
Series // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics / Eds. D. Krob,
A. A. Mikhalev, A. V. Mikhalev. Berlin: Springer, 2000. P. 602—612.
291. Tuganbaev A. A. Rings Close to Regular. Dordrecht; Boston; London: Kiuwer
Academic Publishers, 2002.
292. Tuganbaev A. A. Semiregular, weakly regular, and 7r-regular rings // J. Math.
Sci. 2002. Vol. 109, №3. P. 1509-1588.
293. Tuganbaev A. A. Rings and modules with exchange properties // J. Math. Sci.
2002. Vol. 110, № 1. P. 2348-2431.
294. Tuganbaev A. A. Primitively pure submodules and primitively divisible
modules // J. Math. Sci. 2002. Vol. 110, №3. P. 2746-2754.
295. Tuganbaev A. A. Semihereditary rings and FP-injective modules // J. Math.
Sci. 2002. Vol. 112, №6. P. 4736-4742.
296. Tuganbaev A. A. Rings of eventually constant sequences//J. Math. Sci. 2003.
Vol. 113. № LP. 175-178.
297. Tuganbaev A. A. Distributive rings, uniserial rings of quotients, and endo-
Bezout modules // J. Math. Sci. 2003. Vol. 114. №2. P. 1185-1203.
298. Tuganbaev A. A. Polynomial and series rings and principal ideals // J. Math.
Sci. 2003. Vol. 114, №2. P. 1204-1226.
299. Tuganbaev A. A. Multiplication modules and ideals // J. Math. Sci. 2006.
Vol. 136. №4. P. 4116-4130.
300. Tuganbaev A. A, Distributive extensions of modules over noncommutative
rings // J. Math. Sci. 2007. Vol. 143. №5. P. 3509-3516.
301. Tuganbaev D.A. Some ring and module properties of skew Laurent series //
Formal power series and algebraic combinatorics (Moscow, 2000). Berlin:
Springer, 2000. P. 613-622.
302. Vamos P. Finitely generated Artinian and distributive modules are cyclic //
Bull. London Math. Soc. 1978. Vol. 10, №3. P. 287-288.
Литература
467
303. Wang Z., Chen J. On two open problems about clean rings // Bull. Austral.
Math. Soc. 2004. Vol.70, №2. P.279-282.
304. Warfield R. B. Purity and algebraic compactness for modules // Pacif. J. Math.
1969. Vol.28. P.699-719.
305. Warfield R. B. Decomposability of finitely presented modules // Proc. Amer.
Math. Soc. 1970. Vol.25. P. 167-172.
306. Warfield R.B. Serial rings and finitely presented modules // J. Algebra. 1975.
Vol.37, №3. P. 187-222.
307. Warfield R.B. Bezout rings and serial rings // Comm. Algebra. 1979. Vol.7.
P. 533-545.
308. Wisbauer R. Foundations of Module and Ring Theory. Gordon and Breach,
Philadelphia. 1991.
309. Xue W. Rings with Morita duality // Lecture Notes Math. 1992. Vol. 1523.
P. 1-197.
310. Yaremenko Yu. Noetherian semi-perfect rings of distributive module type //
Mat. Stud. 1997. Vol.8, № 1. P.3-10.
311. Yukimoto Y. Artinian rings whose projective indecomposables are
distributive // Osaka J. Math. 1985. Vol.22. P.339-344.
312. Zhang G., Wang /\, Tong W. Multiplication modules in which every prime
submodule is contained in a unique maximal submodule // Comm. Algebra.
2004. Vol.32, №5. P. 1945-1959.
Список обозначений
Л\[х, ?]]
Цх, <р]
\\<Р. х]\А
1<р, х]А
С(А)
char(/4)
card(/)
End(M)
(X .Y)
(Y.X)
XY
Kdim(M)
Lat(M)
eA(X)
M'
Af(/>
max(yW)
<?с(Л)
ciQci{A)
Qmax (Л )
тах<?(Л)
га(Х)
sg(M)
gs(AJ)
Sing(Af)
ЩХ)
левое кольцо косых рядов
левое кольцо косых многочленов
правое кольцо косых рядов
правое кольцо косых многочленов
центр предкольца А
характеристика предкольца А
мощность множества /
кольцо эндоморфизмов модуля М
подмножество ia 6А \Ха С У} правого Л-модуля
подмножество {а 6 Л | аХ С К} левого Л-модуля
{]С *'#'" 1 */ € Я CI /I, yi e Y С Л }, Л — предкольцо
размерность Крулля модуля Af
решетка всех подмодулей модуля М
левый аннулятор X С А
прямое произведение / копий М
прямая сумма / копий М
множество всех максимальных подмодулей в М
классическое правое кольцо частных кольца А
классическое двустороннее кольцо частных кольца А
максимальное правое кольцо частных кольца А
максимальное левое кольцо частных кольца А
правый аннулятор множества В С А
(/ € End(Af) | Кег(/) существенно в модуле М}
{/ 6 End(M) | f(M) мал в модуле М}
сингулярный подмодуль в М
группа обратимых элементов моноида X
390
391
390
391
19
19
19
27
29
29
21
81
23
29
35
35
39
216
216
371
371
29
90
90
90
11
Предметный указатель
П-дополнение 55
П-дополнительный подмодуль 55
тах-кольцо 79, 110, 350
7г-инъективный модуль 122, 133, 279,
387
7г-проективный модуль 131, 279
7г-регулярное кольцо 334
/-дополняемый модуль 298
/о-кольцо 343
/о-модуль 343
М-аннулятор 140
р-инъективный модуль 119
р/-кольцо 156, 179, 241, 330
/-дистрибутивный модуль 141, 166
/-нильпотентный идеал 77, 79, 110,
163
V-кольцо 7, 307
У-инъективный модуль 113
У-проективный модуль 113
абелев идемпотент 286
автоморфизм 14
аддитивное дополнение 298
алгебраическое над своим центром
кольцо 170
алгебраичный над центром элемент
170
антигомоморфизм 13
арифметический модуль 6
арифметическое кольцо 6
артинов модуль 23
артиново множество 16
базис свободного модуля 35
бимодуль 28
бирегулярное кольцо 6, 305
бэровское кольцо 30, 94, 387, 432
вполне /-дополняемый модуль 298
— конечно дополняемый модуль 298
— первичный идеал 85
— циклический модуль 23
гамильтонова группа 18, 280
гомоморфизм 13, 16
группа 11
— кватернионов 17
— обратимых элементов 11
групповое кольцо 274
группоид 10
девиация 16
делимый модуль 119
делитель нуля 215
дистрибутивная решетка 16
дистрибутивный модуль 7, 23, 436
заменяемое кольцо 316
заменяемый модуль 310
замкнутый подмодуль 55
замыкание 55
идеал 12
идемпотент 10
изоморфизм 14, 16
инвариантный модуль 8
индекс нильпотентности 22
инъективная оболочка 122
инъективный модуль 113
канонический гомоморфизм 231, 236
квазиинвариантный модуль 8, 39
квазициклическая группа 47
классическое кольцо частных 216
когерентный модуль 127
кольцо 19
— главных правых идеалов 23
— Голди 98
— индекса ^ п 22
— косых многочленов 391
рядов 391
рядов Лорана 417
— многочленов Лорана 397
470
Предметный указатель
— ограниченного индекса 22
— стабильного ранга 1 362
композиционный ряд 44
конечно дополняемый модуль 298
— заменяемый модуль 310
— копорожденный модуль 54
— представимый модуль 127
— точный модуль 118
конечномерный модуль 50
кообразуютий 120
левый идеал 12
лемма Андрунакиевича 111
— Накаямы 65
— о дуальном базисе 117
— Шанюэля 118
— Шура 43
локализуемое кольцо 233
локальная нильпотентность 91
локально конечная группа 17
— нётеров модуль 91
— цепное кольцо 9
локальное кольцо 69
локальный идемпотент 69
— модуль 69
максимальное кольцо частных 371
максимальный неразложимый фактор
318
— подмодуль 39
малоинъективный модуль 113
малопроективный модуль 113
малый подмодуль 63
матрица 20
минимальный первичный идеал 85
множество знаменателей 231
— Оре214
— правых знаменателей 235, 236
модуль 22
— без //-кручения 149
— без кручения по Хаттори 149
— Безу 8, 46
— частных 236
модулярная решетка 16
модулярный закон 16
моноид 11
— с сокращениями 277
моноидное кольцо 273
мультипликативное множество 214
мультипликационный модуль 9
наследственный модуль 129
насыщенное подмножество 230
неделитель нуля 214
нейтральный элемент 11
непрерывный модуль 133
несингулярный модуль 90
нётеров модуль 23
нётерово множество 16
нильидеал 23
нилькольцо 22
нильпотентно инвариантный модуль
175
нормальная подгруппа 14
нормальное кольцо 39
носитель 274
область 24
обратимо-регулярное кольцо 363
обратимый элемент 11
обратный элемент 11
однородная компонента 59
однородно полулокальное кольцо 70
ортогонально конечное кольцо 50
ортогональные идемпотенты 20
первичное кольцо 84
первичный радикал 85
перестановочное множество 214
пирсовская цепь 318
пирсовский слой 318
плоский модуль 151
подгруппа 12
подгруппоид 11
подкольцо 20
подмодуль 23
подмоноид 12
подполугруппа 11
подпредкольцо 20
подфактор 25
подъем идемпотентов 72
Предметный указатель 471
поле 19
полуартинов модуль 58
полугруппа 10
полудистрибутивный модуль 7
полулокальное кольцо 70
полунаследственный модуль 127
полунётеров модуль 76
полупервичное кольцо 83
полупервичный идеал 85
полупримарное кольцо 70
полупримитивный модуль 62
полупростой модуль 6, 55
полуравномерный модуль 204
полурегулярное кольцо 300
полурегулярный модуль 294
полусовершенное кольцо 72
полуцепной модуль 7
порядок в кольце 216
правый идеал 12
предкольцо 19
предлокализуемое кольцо 230
примитивное кольцо 85
примитивный идеал 85
проективная оболочка 161
проективное накрытие 161
проективный модуль 113
простое кольцо 23
простой модуль 39
прямо-конечное кольцо 101
равномерная размерность 50
— справа 216, 217
равномерный модуль 50
радикал Джекобсона кольца 62
модуля 62
размерность Голди 50
— Крулля 81
ранг 35
— свободного модуля 35
рациональная оболочка 368
рациональное расширение 368
рациональный подмодуль 368
реверсивное множество 232
регулярная полугруппа 13
регулярное кольцо 6
— предкольцо 263
регулярный идеал 263
— модуль 6, 263
— элемент 13
редуцированное кольцо 22
решетка 16
риккартов модуль 129
самоинъективный модуль 113
самопроективный модуль 113
свободный модуль 35
сингулярный модуль 90
— подмодуль 90
скалярная матрица 21
слабо 7г-регулярное кольцо 301
— реверсивное множество 232
— регулярное предкольцо 302
смежный класс по подгруппе 14
собственный подгруппоид 12
совершенное кольцо 110
строго 7г-регулярное кольцо 334
— нильпотентный элемент 85
— регулярная полугруппа 13
— регулярное кольцо 263
— чистое кольцо 367
суммируемое множество
гомоморфизмов 310
существенное расширение 49
существенный подмодуль 49
счетная конечно разрешимая система
284
счетно алгебраически компактный
модуль 284
— дистрибутивный модуль 141
— инъективный модуль 283
тело 19
тензорное произведение 149
теорема Голди 222
— Дрозда—Уорфилда 203
— Капланского 48
— Машке 279
— Фейса 140
тотально неабелев идемпотент 286
— неабелево кольцо 286
472
Предметный указатель
точная последовательность 149
точный модуль 29
тривиальный идемпотент 20
унитальное предкольцо см. кольцо
унитарное подкольцо 20
упорядоченное множество 15
условие максимальности для
аннуляторов 94
— минимальности для аннуляторов
факторгруппа 14
фундаментальный идеал 274
характеристика 19
целый над центром элемент 170
центр 10, 19
цепной модуль 7, 23
цепь 16
циклический модуль 22
цоколь 58
цокольный ряд 76
чистое кольцо 359
эндо-Безу модуль 191
эндодистрибутивный модуль 191
эндоморфизм 14