Автор: Лунгу К.Н.   Шевченко Ю.А.   Письменный Д.Т.   Норин В.П.  

Теги: анализ   учебные пособия и учебники по математике   задачи по математике   высшая математика  

ISBN: 978-5-8112-2948-2

Год: 2007

Похожие

Сборник задач по высшей математике. 2 курс

Сборник задач по высшей математике. 1 курс

Сборник задач по математике

Конспект лекций по высшей математике. Часть 2

Текст
                    СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
С контрольными работами
Ряды и интегралы
Векторный
и комплексный анализ
Дифференциальные уравнения
Теория вероятностей
Операционное исчисление

К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А.Шевченко
Под редакцией С. Н. Федина
СБОРНИК
ЗАДАЧ_
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
С контрольными работами
Ряды и интегралы_______________
Векторный
и комплексный анализ
Дифференциальные уравнения
Теория вероятностей
2 Операционное исчисление
курс
6-е издание
МОСКВА
АЙРИС ПРЕСС
2007

УДК 517(075.8)
ББК 22.1я73-4
С23
Авторы:
Лунгу Константин Никитович
Норин Владимир Павлович
Письменный Дмитрий Трофимович
Шевченко Юрий Алексеевич
Куланин Евгений Дмитриевич
Серийное оформление А. М. Драгового
Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу
С23 и др.; под ред. С. Н. Федина. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс,
2007. — 592 с.: ил. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-8112-2948-2
Книга является второй частью вышедшего ранее и выдержавшего не-
сколько изданий «Сборника задач по высшей математике». Сборник со-
держит три с лишним тысячи задач по высшей математике, охватывая
материал, обычно изучаемый во II-IV семестрах технических вузов.
По сути, эта книга — удобный самоучитель, который позволит сту-
денту быстро и эффективно подготовиться к экзаменационной сессии.
Этому способствуют необходимые теоретические пояснения ко всем разде-
лам сборника, детально разобранные типовые задачи, изрядное количе-
ство разнообразных заданий различных уровней сложности для самосто-
ятельного решения, а также наличие контрольных работ, устных задач и
«качественных» вопросов.
Книга будет полезна студентам младших курсов и преподавателям
вузов для проведения семинарских занятий.

ББК 22.1я73-4
УДК 517(075.8)
ISBN 978-5-8112-2948-2
© ООО «Издательство
«АЙРИС-пресс», 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................. 5
Глава 1. РЯДЫ
§ 1.	Понятие ряда. Ряды	с положительными членами............ 7
§2.	Знакопеременные ряды.................................. 21
§ 3.	Степенные ряды........................................ 32
§ 4.	Ряды Фурье............................................ 42
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1.	Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными....	52
§2.	Однородные дифференциальные уравнения................. 64
§ 3.	Линейные уравнения. Уравнения Бернулли................ 68
§ 4.	Уравнения в полных дифференциалах..................... 74
§ 5.	Уравнения Лагранжа и Клеро............................ 78
Контрольная работа......................................... 80
§ 6.	Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков..	82
§ 7.	Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка......	94
§8.	Интегрирование систем дифференциальных уравнений..... 113
Контрольная работа........................................ 124
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1.	Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления....... 127
§ 2.	Замена переменных в двойном интеграле................ 143
§ 3.	Применения двойного интеграла........................ 153
§ 4.	Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение... 168
Контрольная работа........................................ 184
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1.	Криволинейный	интеграл	первого	рода................. 187
§ 2.	Криволинейный	интеграл	второго	рода................. 200
§ 3.	Поверхностный интеграл............................... 218
Контрольная работа........................................ 231
Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 1.	Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня.
Векторные линии........................................... 235
§2.	Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. 242
§ 3.	Поток векторного поля................................ 247
§ 4.	Циркуляция векторного поля........................... 257
§ 5.	Потенциальные и соленоидальные	поля............... 264
Глава 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1.	Элементы комбинаторики............................... 271
§ 2.	Случайные события. Действия	над	событиями............ 281
3

§ 3.	Вероятность случайного события......................... 291
§ 4.	Условная вероятность................................... 302
§5.	Формула полной вероятности. Формула Бейеса............. 313
§ 6.	Схема испытаний Бернулли............................... 321
§ 7.	Приближенные формулы в схеме Бернулли.................. 326
Контрольная работа.......................................... 333
§ 8.	Дискретные случайные величины.......................... 338
§ 9.	Непрерывные случайные величины......................... 347
§ 10.	Числовые характеристики случайных величин............. 357
§ 11.	Важнейшие распределения случайных величин............. 370
§ 12.	Системы случайных величин............................. 385
§ 13.	Функции случайных величин............................. 410
§ 14.	Предельные теоремы теории вероятностей................ 428
Глава 7. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1.	Основные элементарные функции комплексного переменного. 439
§ 2.	Аналитические функции.................................. 444
§ 3.	Интегрирование функций комплексного переменного........ 453
§ 4.	Ряды Лорана. Изолированные особые точки................ 465
§ 5.	Вычеты................................................. 477
Контрольная работа.......................................... 484
Глава 8. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1.	Оригинал изображения. Преобразование Лапласа.
Нахождение изображений.....................................  487
§2.	Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению.... 497
§ 3.	Приложения операционного исчисления.................... 509
Контрольная работа.......................................... 519
Ответы...................................................... 522
Приложения.................................................. 589

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предисловие для студента
Привет! Тебе здорово повезло. Эта книга как раз то, что тебе нужно. По-
суди сам:
•	это не просто задачник, а еще и самоучитель — по нему можно
научиться решать задачи даже без преподавателя;
•	эта книга поможет тебе подготовиться не только к зачету, но и
к экзамену — ты найдешь в ней не только необходимые определения и
теоремы по каждой теме (и все это кратко, без утомительных коммента-
риев), но и типичные задачки и вопросы, которые даются на экзамене;
•	ты найдешь здесь задачи любого уровня сложности — от простых
до таких, которые удовлетворят даже самых продвинутых в твоей группе;
•	прочитав подробно разобранные примеры, ты без проблем раз-
берешься с любым типом задач.
В общем, с этой книгой не пропадешь! Имей в виду, что у этого задачника есть
еще и первый том. Удачи тебе на сессии!
Предисловие для преподавателя
Первая часть этой книги («Сборник задач по высшей математике. 1 курс»)
была очень хорошо принята читателями и к настоящему времени выдержат
ла несколько переизданий. В данном сборнике задач, охватывающем тради-
ционный курс высшей математики в объеме второго курса технического вуза,
сохранены все принципиальные особенности первого тома.
Каждая новая тема предваряется необходимыми теоретическими поясне-
ниями, включающими важнейшие определения и теоремы. Затем идет блок за-
дач на эту тему, по объему и структуре соответствующий стандартному семина-
ру по высшей математике: сначала подробно разбираются 1-2 типовые задачи
на тот или иной прием, после чего предлагается 3-6 аналогичных задач на его
закрепление. Затем точно так же осваивается другой стандартный навык при
решении задач на данную тему и так далее. В конце каждого раздела помещен
существенно ббльший по объему блок задач для самостоятельной работы сту-
дентов дома (именно отсюда преподаватель может брать задачи для домашних
заданий). Кроме того, в особый пункт, завершающий любую изучаемую тему,
включены задачи повышенной сложности и «качественные» вопросы, обычно
предлагаемые на экзаменах по высшей математике. Дополнительное удобство
Для преподавателей представляют контрольные работы в каждой главе книги.
Таким образом, данный сборник задач будет несомненно полезен препода-
вателям для проведения практических занятий (есть теория, есть разобранные
примеры, есть задания для семинара и на дом) и студентам для самостоятель-
ной работы, в качестве самоучителя.
В сборнике свыше трех тысяч задач, и практически ко всем из них даны
ответы или подробные решения и указания.
5

Книга написана преподавателями нескольких различных московских ву-
зов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со сту-
дентами. При этом главы 3, 4 и §§ 6-8 главы 2 написаны Лунгу К.Н.; главы 5
и 8 — Нориным В. П.; глава 6 и §§ 1-5 главы 2 — Письменным Д. Т.; главы 1
и 7 — Шевченко Ю. А.; Куланин Е. Д. написал § 4 главы 1.
Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические
замечания, которые можно присылать по адресу: 141103, Моск, обл., г. Щел-
ково-3, а/я 140; или по адресам электронной почты: chislovo@yandex.ru или
editor@airis.ru (обязательно указать тему: «Задачник»).
Авторы
Авторы и издательство благодарят преподавателя математики Пайкову Л. И.
из Днепропетровска (Украина) за ценные замечания, которые были учтены в
данном издании.
Принятые обозначения
определение
Q	начало решения задачи
•	конец решения задачи
N	множество натуральных чисел
Z	множество целых чисел
R	множество действительных чисел
R2 действительная плоскость
R3	действительное трехмерное пространство
С множество комплексных чисел
U объединение множеств
Г1 пересечение множеств
А С. В А — подмножество множества В (А В)
АС В А — подмножество множества В
V любой, для любого
= тождественно равен
sign (х)	знак числа х

Глава 1. РЯДЫ
□
§ 1. ПОНЯТИЕ РЯДА. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ
ЧЛЕНАМИ
Ряд. Сходимость ряда. Сумма ряда
Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или
комплексных)
Д1, Д2,ДЗ, • • • , Дм,• • •
Числовым рядом называется выражение вида
Д1 4- Д2 4- дз 4-... 4- Дп 4-...
оо
Сокращенно ряд обозначают следующим образом:	ап- При этом числа
п=1
Д1, Д2, Дз, • • •, Дп, • • • называются членами ряда, а число дп — общим членом
ряда. Суммы вида
Si = дх, S2 = Д1 4" Д2, • • •, Sn = Дх 4" Д2 4" Дз 4-... 4- Дп, • • •
называются частичными суммами ряда. Числовой ряд называется сходящим-
ся, если существует конечный предел последовательности {Sn} его частичных
сумм:
S = lim Sn.
n—>00
В этом случае указанный предел называется суммой ряда.
Если lim Sn не существует или равен бесконечности, то числовой ряд на-
п—>оо
зывается расходящимся и суммы не имеет.
Простейшие свойства рядов. Необходимый признак
сходимости
Теорема 1.1. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов,
то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное: если сходится
ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то
и данный ряд также сходится.
Таким образом, сходимость ряда не меняется при отбрасывании любого
конечного числа его членов.
7

оо
Теорема 1.2. Пусть ряд 52 ап сходится, и его сумма равна S. Тогда ряд
П = 1
оо
52 otan = aai 4- ааъ 4-... 4- аап 4-..где а — произвольное число, также
П = 1
сходится, причем его сумма равна aS.
оо	оо
Теорема 1.3. Пусть ряды 52 ап и 52 сходятся, и их суммы, соответствен-
ных	п=1
оо
но, равны Si и S%. Тогда ряд 52 (ап 4- bn) = (ах 4- bx) 4- (аг 4- 62) 4-... также
П = 1
сходится, причем его сумма равна Si 4-£2-
Необходимый признак сходимости
Если ряд 52 ап сходится, то общий член ряда ап стремится к нулю при
п=Х
п —> оо, т. е.:
lim ап = 0.
Таким образом, если lim ап / 0, то ряд 52 Лп расходится.
п~>о°	П=1
Ряд а 4- aq 4- aq2 4-... 4-agn"x 4-..., составленный из членов бесконечной гео-
метрической прогрессии со знаменателем q и первым членом а / 0, называется
геометрическим рядом. Если |g|	1, то геометрический ряд расходится, если
|g| < 1 — сходится (при этом его сумма S находится по формуле S = 2.-)-
111 00 1
Ряд 14-^4-^4-...4- — 4-..., или, что то же самое, 52 й? называется гар-
моническим. Гармонический ряд расходится. Ряд 14-77^4-77^4-...4--—-4-...,
2	3	71
где р > 0, называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при р > 1 и расхо-
дится при 0 < р 1. Частным случаем ряда Дирихле (при р = 1) является
гармонический ряд.
Признаки сходимости рядов с положительными членами
1-й признак сравнения
оо	оо
Пусть 52 an И 52 Ьп — ряды с положительными членами, причем ап Ьп
п=1	П=1
для всех номеров п, начиная с некоторого. Тогда:
оо	оо
1) если ряд 52 Ьп сходится, ТО СХОДИТСЯ И ряд 52 ап\
П=1	П=1
оо	оо
2) если ряд 52 ап расходится, то расходится и ряд 52 bn-
П=1	П=1
8

2-й признак сравнения
оо	оо
Пусть 52 ап и 52	— рады с положительными членами, причем суще
п = 1	П = 1
ствует конечный и отличный от нуля предел
lim
п—>оо 0п
оо	оо
Тогда ряды 52 ап И 52 сходятся или расходятся одновременно.
П=1	п = 1
При использовании 1-го или 2-го признака сравнения, как правило, срав-
нивают исходный ряд с соответствующим рядом Дирихле. При этом часто ис-
пользуют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей
(при п —> оо):
sin 1 ~ tg i ~ arcsin J ~ arctg 1 ~ In (1 + ±) ~ ±
Признак Даламбера
оо
Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, и существует конечный
п—1
предел
|. an+i _
11Ш	— = I.
п->оо ип
Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится.
Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требу-
ется исследовать ряд с помощью других методов.
Признак Коши
оо
Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, и существует конечный
п=1
предел
lim = I-
п—>оо
Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится.
Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требу-
ется исследовать ряд с помощью других методов.
Интегральный признак сходимости
оо
Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, для которого существует
п=1
положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1, +оо)
функция f(x) такая, что /(n) = an, п = 1,2,...
4-оо
оо	/*
Тогда ряд 52 ап и несобственный интеграл / f(x) dx сходятся или рас-
n=l	J
1
ходится одновременно.
9

1.1.1.	Для каждого ряда написать формулу частичной суммы Sny.
найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует;
п—>оо
сделать вывод о сходимости или расходимости ряда:
а)	14-2 + 3-1-... + п + ...;
б)	+ . . • Н---------------.	. + . . . .
1'2	2'0	3*4 п(п + 1)
Q а) Так как члены ряда 1 + 2 + 3 + ... + п + ... представляют собой
арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1, и разностью,
равной 1, то по формуле для суммы первых п членов арифметической
прогрессии получим:	1
_ 1 + п
п —	2
• n; lim Sn = +оо; ряд
п—>оо
2
Отсюда lim Sn = lim - • п = lim i(n + n2) = +oo. Следователь-
n—>oo	n—>oo 2	n—>oo 2
но, ряд расходится. Таким образом Sn :
расходится.
б) Так как *	= 1------, то
’	п(п +1) п п + 1’
Sn =
1-2 + 2 • 3 + 3-4 + "  +
1
п(п +1)
= 1-1 + 1_1 + 1_ 1
2	2	3	3	4
1
п —1 п^ п
= 1 + 0 + 0 + ... + 0--+т = 1-J
п + 1 п +
Отсюда lim Sn = lim (1--------) = 1. Значит, ряд сходится, и его
п—>оо	п—>оо X	П + 1 /
сумма равна 1.
Окончательно: Sn = 1------7-7; lim Sn = 1; ряд сходится.	•
71+1 п—>оо
Для каждого ряда в задачах 1.1.2-1.1.8:
1)	написать формулу частичной суммы Sn;
2)	найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует;
п—>оо
3)	сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
1.1.2.	1-1 + 1-1 + ... + (-1)п-1 +...
1.1.3.	1+ 3 4-5 + ... + (2п — 1) + ...
1.1.4.	2-4 + 6- 84-...+ (-l)n+1 •2п + ...
1.1.5.	1 + 2 + 4 + ... + 2П-1 + ...
1.1.7.	У -------i--------
n+(2n-l)(2n + l)
1.1.8.	In 2 + In + In + ... + In ^1 4-1^ + ....
10

1.1.9.
Найти предел при п -> оо общего члена ряда ап. Если lim ап
п—>оо
0, то, применяя необходимый признак сходимости, устано-
вить, что ряд расходится,
оо
П + 1
2п + Г
п2
п3 + 2
Q а) Найдем предел общего члена ряда:
n=l
оо
оо
п?1 ln(n + 1) ’
п + 2
lim ап = lim Jit I =
n^oo n^oo 2П -И 1
^Разделим числитель и знаменатель дроби на nj
1 + 1 lim (1 +
= Шп =	---Ц
^°°2+i lim (2 + 1)
I/O,
значит, ряд расходится-	n-^оо \	/
Итак, lim ап = ряд расходится.
п—>оо 2
б) Так как при п —> оо имеем (п + 2) —> оо и ln(n + 1) —> оо, то для
нахождения предела lim ап воспользуемся правилом Лопиталя:
'	п—юо
г х + 2 г (ж + 2)
lim —-------— = hm ----------------
Я->ОО 1п(ж + 1) ж->оо (1п(ж + 1))
= lim
—|— = lim (х + 1) = оо.
1 я->оо
(я + 1)
Отсюда следует, что lim ап = lim
п—>оо п—>оо
п + 2
, z „. = оо ф 0, и ряд расходится.
1п(п +1)
в) Найдем предел общего члена ряда:
2
lim ап = lim ——
п—^оо “  "
П->ОО п3 + 2
^Разделим числитель и знаменатель на п3
= lim ,	' Г , = lim —L-
п->оо (п6 + 2) : ТГ5 n->oo 1 + _£.
п3
п2 : п3
' М «	- 0 - П
m (1 + 4) 1
>оо У П6 /
Так как
Диться.
На самом деле, данный ряд, как будет показано ниже, расходится,
°Днако, используя только необходимый признак сходимости, доказать
этого нельзя.
Таким образом, lim ап = 0; ряд может сходиться или расходиться.
п—>оо
lim ап = 0, то данный ряд может сходиться, а может и расхо-
п—>оо
11

В задачах 1.1.10-1.1.17 найти предел при п —> оо общего члена ряда
ап. Если lim ап 0, то, применяя необходимый признак сходимости,
п—>оо
установить, что ряд расходится.
1.1.10.	п + 2 пЪ2п-3’	1.1.11.	п2 +1 n=i (п + 2)3'
1.1.12.	ОО кп у ——. п=1 п + 1	1.1.13.	+ п2 + 1
1.1.14.	оо	-< Е sin тг	1.1.15.	~ (-1)"-1 -п
	п=1	п		п=1 1п(п + 1)
1.1.16.	ОО	1 „51 (2 + (-W	1.1.17.	£(1+Ю”. п=1 х	'
1.1.18.	Применяя 1-й признак сравнения,		исследовать на сходимость
	2 + sinn ряд Е п п=1		
Q Так как sinn -1, то 2 + sinn 1, откуда — п Jr. Ряд V 1г
It	It	I ь
П=1
2 + sin п	ж
расходится, значит, расходится и больший ряд >, ---------.	•
п=1
Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Ука-
зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.21.
1.1.20. g5” + 1
П=1
оо
1.1.22. У ----------.
£1(п + 1)!
2П
1
1.1.19.
1.1.23.
2= п/п + 2
n=i Vn6 + 2п - 2
°° arctg п + 1
2-м	^2
п=1	П
оо 1
Ш П
71=1 у/п
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравне-
ния. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный
ряд.
а)	у п + 2
' п= 1 п2 + п + 1
х 1 I п+1
в) Е 77=14-п-
О а) Числитель и знаменатель дроби п + — неограниченно растут
п2 + п + 1
при п —> оо. Скорость роста числителя (п+2) определяется слагаемым п,
т.е. числитель «растет как п» при п —> оо. Более строго: lim = 1?
п—>оо
что также можно записать в следующем виде: п + 2~п, п—>оо (т. е. по-
следовательности п + 2 и п эквивалентны при п —> оо). Аналогично, ско-
рость роста знаменателя (n2 +n+1) определяется слагаемым п2, т. е. зна-
2	п	п2 + п +1	1
менатель «растет как п» при п -+ оо. Более строго: hm -----= 1,
п—too
что также можно записать в виде: n2 + n + l~n2,n—>оо (последова-
12

тельности п2 + n + 1 и п2 эквивалентны при п оо).
___	(п + 2) ~ п п 1
Таким образом, —г----------------- ~	В других обозначениях:
(п2 + п + 1) ~ п2 п2 п
r ( п + 2	1\	п2+2п
lim —---------- : 77 = lim —-------- =
"-►oo\n2+n + l "у "-юоп^+п + 1
„	(п2 + 2п) : п2
1пп —-------------- = lim
"-►оо (п2 + п 4-1) : п2 1
2
п
п—>оо 1 I 1 I _1_
+ П + П2
00 1
Так как ряд 52 77 расходится, то расходится и исходный ряд.
П=1
б)	Учитывая, что и числитель и знаменатель дроби	---не-
’	Vn6+2n-2
ограниченно растут при п -> оо, запишем дробь, составленную из экви-
валентных им выражений:
г-	/—3
Пу/П + 2	Пу/П _ 712 _ 1
л/п6 + 2п - 2	у/п? П3 п|
□° ।
Так как ряд 52 “ сходится, то сходится и исходный ряд.
71=1 п2
в)	Так как In п + 1 = In (1 +	~ (п -> оо), то In п + 1 ~
'	'	'у П
111	о° 1
~ “77= • г; = -г- (п —> оо). Ряд 52 Т сходится, значит, сходится и
п!	П=1п1
исходный ряд.	•
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Ука-
зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.24.	ОО Е 71=1	п 4- 5 п2 - 2	1.1.25.	? 2~п ^1 п3 + п - 1
1.1.26.	ОО Е П=1	п2 4- 2 Зп 4-1	1.1.27.	00	1 Г --— п=1 у/п2 4- 3
1.1.28.	оо Е	п - 1	1.1.29.	g у/п+ ^/п
	П=1	\/п3 4- Зп - 1		n=i п 4-
1.1.30.	оо Е	Ы 2^1).	1.1.31.	ОО	1 52 arcsin2 —
	П=1	\ п2 J		п=1	у/п
1.1.32.	оо Е	Г~ • 7Г у/п • sm —.	1.1.33.	ОО	л E«5-tg34-
	П=1	п2		п=1	п2
1.1.34.	оо Е П=1	2П4-3 5"+ 2'		
13

00
б) Е \
л Т)'
П=1 'Ь-
1.1.35. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Далам-
бера:
Q а) Преобразуем выражение :
Дп+1 = (»+ I)5 . п5 = (»+ I)5 з»+1 = 1 / п5
ап з(п+1)4-1 * 3П+1 П5 3^4-2	3	\ п/
Так как	—>	0 при п	—>	оо, то fl +	—> 0	и fl +	—> 0 при п	—>	оо.
Значит,
lim = 1 lim (1 + 1) = I < 1,
п->оо ип О п->оо \	,Ь/ О
и исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
б) Поскольку
вп+1 = (» + l)n+1 . Пп _ (” + l)n+1 п! =
°n (п + 1)! ' п! пп (п + 1)!
(п + 1)п • (n + 1)	l-23-...n	= /П + 1\П = Л 1\п
Пп ’ 12-3-...п(п + 1)	\ п )	\
ТО
lim Q™+1 = lim fl + JH =е>1 (2-й замечательный предел),
п—>оо ап п->оо \ п/
и, значит, исходный ряд расходится.
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать
Qn+1
0>п
lim
п—>оо
1.1.36.	оо on	оо п3 Е ^2-	1.1.37. Е п=1 п	П=1 °
1.1.38.	у 32	11 м	г п=1 п!	• ’ ’ „51 (2п)!’
1.1.40.	пп	1 л	1-4-... (Зп-2) n?in!2n'	Si	п!2"
1.1.42.	°о 1 • 3 • 5 • .  • (2п - 1) п+12-712-...-(5п-3)’
1.1.43.	Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши: v S / П + 2 \3та+1	Л _ IV2 а)„5Д2п+1)	•	б)п51 V1	’
Q а) Учитывая, что
Зп+ 1
/ п + 2\ п
\2п + 1)
( п+ 2 \3+п
\2п + 1)
14

a lim ”	i и lim (з + 1) = 3, получим
n—>oo Zn + 1	Z n->oo \	*4
lim у^=Пт(А±А)8+" = (1)3 = 1<1.
n->oo	п->оо\2п + 1/	\ZJ о
Исходный ряд сходится по признаку Коши.
/-------------------------------^2*	J	П2	j
б) Так как = у п • (1 -	= пп • (1 - 1) " = пп • (1 - 1) ,
— ( 1 \ п
то остается найти пределы lim п п и lim 11 — — ] .
П~Ь<Х)	П—>ОО \	J
1	1	1
1)	Поскольку пп = е1п1<пП\ где ln(nn) = Inn, то по правилу Лопи-
таля	1
lim 1S£= lim ^-= lim |=0,
n—>оо	п—>оо (ТЪ)	п—>оо 1
- -1
откуда lim пп = lim еп lnn = е° — 1.
п—>оо	п—>оо
2)	Так как lim (1 + zr) = еа (следствие из 2-го замечательного пре-
п—>ОО Х n'b
дела), то lim fl —	= е-1. Отсюда
п—>оо \	1Ь/
		1	/	1\™	I	/ 1\tt 1__1
lim Ч/Оп — lim nn•(1 — — ) = lim nn • lim 11- — ) = e = - < 1,
n—>OO____________________________________________________71—HX)	\	J n—¥OO	П—>OO \	J	c
и, значит, исходный ряд сходится.	•
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши. Указать
lim .
n—too
1.1.44.
1.1.46.
1.1.48.
1.1.50.
оо Е П=1		1.1.45.	°° / £ n=l v	п- 1 \п 2п + 1/ ’
оо Е 71=1	/2п —1\2 \Зп + 1/ ’	1.1.47.	ОО z н n=l v	п_ !чп(п-1) п + 1/
ОО Е 71=1	(arcsinl) П.	1.1.49.	П.М8 3	/Зп + 2\” ' \2п + 1/ ’
ОО Исследовать на сходимость ряд 71=2			1 nlnn	, применяя интеграль-
ный признак. Указать первообразную для функции /(ж)
4-оо
и J f(x)dx.
а
Q Так как ап = —р—, то f(x) = —р—. Проверим применимость ин-
п 1п п	х 1п х
тегрального признака Коши. Очевидно, что функция f(x) непрерывна
и принимает только положительные значения на промежутке (2,+оо).
Убедимся, что f(x) монотонно убывает на этом промежутке.
15

Пусть 2 < a?i < я2. Тогда 1ПЯ1 < 1пя2 и Я1 1пЯ1 < я21пя2, откуда
/(*i) = —jl— > —jl— = f(x2).
Я11ПЯ1 я21пя2
Итак, функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убыва-
ет на промежутке (2, +оо), значит, для использования данного ряда на
сходимость можно применять интегральный признак сходимости.
Найдем неопределенный интеграл j f(x) dx:
Г dx _ Г d(lnx) _ г	_ in in х + 0
J xinx J In х	J
Первообразной для функции f(x) является, например, функция Ininх.
4-оо
Вычисляя несобственный интеграл , получим
4-оо	М
Г dx _ 1;_ f_dx_
J X In X
2
2
I “1-- ~ 1™
J ЯШЯ M->+oo
2
lim (In In M — In In 2) = +oo.
—— расходится, то расходится и
ятя
ряд Е	2	•
тёг In п
Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука-
4-оо
зать первообразную для функции f(x) и j f(x) dx.
а
ОО i
1.1.51. У —i
n=2 nv 11
oo
1.1.53. У--------------.-------
n=l (n + 1) ln2(n + 1)
1.1.52.
1.1.54.
oo
у -----------------.
(n 4-1) ln(n + 1)
□°	4
52	> o*
n=l ,L
1
1
Исследовать ряд на сходимость. Указать применяемые признаки. До-
полнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым
сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim Q^-+1;
4)	для признака Коши — lim Ч/а^;
п—>оо	I»
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и f(x)dx.
а
1 1 55 2п + 3
1Л-55* ^Зп-2-
oo „2
1-1.56. E
16

1.1.57.	ОО Е П=1 оо	Зп + 1 2П - Г	п2
1.1.59.	Е	(!-я)	
	П=1		
1.1.61.	оо Е п=2		п+1
1.1.63.	оо Е П=1	/2п — 1 \5п + 2	Зп—2
1.1.65.	оо Е	tg-7=-	
	П=1	Пу/п	
1.1.67.	оо Е	Зтап3 П •	
	П=1	52	
1.1.69.	оо Е П=1	/Зп + 1 \2п + 1	^п+1
1.1.58.
1.1.60.
1.1.62.
1.1.64.
1.1.66.
1.1.68.
1.1.70.
00 i
п=1 уП 4“ 2
Elnfe1
П=1	\ П
л/inn
□° ч
^2 1ПП
1 • 4 •... • (Зп - 2)
п!
Дополнительные задачи
Для каждого ряда:
а)	написать формулу n-Й частичной суммы Sn;
б)	найти предел lim Sn или доказать, что этот предел не существует;
п—>оо
в)	сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
1.1.71.	21 = 1 + 1 + 1 + ...4-1 + ...
П=1
1.1.72.	2(-п) = -1-2-3-...-п-...
П=1
1.1.73.	2 (“1)п • (2п - 1) = -1 + 3 - 5 + 7 - ... + (-1)” • (2п - 1) +...
1.1.74.	21^- = 1 + 1 + ± + ... + ^ + ...
„|1 5”-1	1+5 + 52+	5"-1
1.1.75.	2 (! + (-1)П-|) = 2 + 3 + 2 + 3 + ... + 2 + 3 + ...
1 1 76 V _2п±1_ = 3	,	7	,	, 2п + 1
п=Ш2(п + 1)2 I2 • 22	32-42 п2(п + 1)2
Найти предел общего члена ряда ап. Если lim ап 0, то, применяя
П-+ОО
необходимый признак сходимости, установить, что ряд расходится.
1.1.77.	ОО Е п=1	п Зп - Г	1.1.78.	. Зп - 1 £,1П2„ + 3'
1.1.79.	оо Е п=1	cos-^. п2	1.1.80.	. п 4-1 п=1	П — О
1.1.81.	00 Е п=1	(~1)п+1 n+Vio’	1.1.82.	2п 2^ ОП • п=1 3
17

1.1.83.
у 2п
п=1 у/п? + 1'
оо
1.1.84.	£
П=1
п + 3
Зп2 - 1
Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Ука-
зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.85.
1.1.87.
00
1.1.86.	£
п=1
1
п-Зп’
ОО
1.1.88.	£
п=1
2п—1
5" + Г
Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Ука-
зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
1.1.89.	ОО Е п=1	2 -|- п п2 — 3
1.1.91.	оо Е	п3 + Зп2 - 2
	п=1	2п + 5 - п5
1.1.93.	оо Е п=1	2 4- Зу/п 2п - 5
1.1.95.	оо Е	
	п=1	
1.1.97.	оо Е	, п2 + 4 nln ,	.
	п=1	п2 + 3
	оо	КП
1.1.99.	Е п=1	0 2п + п*
1.1.90.
1.1.92.
1.1.94.
1.1.96.
1.1.98.
2п + 3
п^13п-2’
ОО	«
Е arctg3 -тух.
п=1	V™
Е n4-sin2^.
п=1	п3
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать
1.	®п4-1
111И -д—.
п—>оо ип
1.1.100.	ОО Е п=1	п7 п * 52	l.i.ioi. £ п=1	зп+1 2п • п4 ’
1.1.102.	оо Е 71=1	^3 п п! ’	1.1.ЮЗ. Е п=1	(п + 1)! 5п ‘
1.1.104.	ОО Е 71=1	п!Зп пп	1.1.105. Е п=1	1 • 3 • 5 •... • (2п - 1) п2 -Зп
1.1.106.	ОО Е	2-5-8-..	.. • (Зп - 1)	
	71=1	1-5-9-..	,. • (4п - 3) ’	
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши. Указать
lim ШГ-
п—>оо v
оо Ч / i \ п2
ХЛЛОГ. Е х (1 +1) .
1.1.108.
V Гп + 1\п-г
^ДЗп-1)
18

0° /	„	\2п+1
1ЛЛ09- S (зЛт)
00	/ /гэ \ п2
1ЛЛ1°- £та)'
£ * (зитт)
1.1.113. 2
п=2
00	1
1.1.115. £ -1—Ц—.
^2 п 1П П 1П1П П
Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука-
4-оо
зать первообразную для функции f(x) и J f(x) dx.
а
оо
£ (2п 4-1) 1п(2п 4-1)
1.1.116. f ——J--—.
п=2 nlnn(lnlnn)z
1
с которым
В задачах 1.1.117-1.1.131 исследовать ряд на сходимость и указать при-
меняемые признаки. Дополнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда,
сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim Q™+- ;
п—>оо ап
4)	для признака Коши — lim Ч/а^;
п—>оо v
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и
У f(x)dx.
а
1.1.117. £ 2.п4~^.
п=1 п(п + 2)
2
11 л19' 1^(1 + й)”'
1.1.121. £1п(^Цр\
п=1	\ п2 J
ill oq	2п 4“ 1
1.1.123. 23 cos
71=1
оо
1.1.125. £
71=1
1.1.127. 2
71=1
оо
Зп + 2‘
(Зп)!
(п!)323п
1
(Зп - 1) 1п(3п - 1) ’
г- /5п-3\”+1
'Mta+J 
1.1.131. fsin?2-±-l.
п=1 пл
Зп
1.1.118.	£ .
n=i n!2n+1
00	1
1.1.120.	£
п=2 П1П П
1.1.122.	£
71=1
оо
1.1.124.	£
71=1
оо
1.1.126.	£
71=1
оо
2 + (-1)п
п
1
пп‘
3-5-...-(2п + 1)
2 • 5 •... • (Зп - 1)
1.1.128. £ ^=.
п=1 V
ОО	-J
1.1.130. £ ------—
72=1 Зп П
19

Контрольные вопросы и более сложные задания
оо
1.1.132.	Можно ли утверждать, что ряд У\ап сходится, если liman = 0?
п=1	п->оо
оо
1.1.133.	Является ли необходимым для сходимости ряда 52 ап усло-
вие:	71=1
a)	lim ап 0 2;
п—>оо
б)	не все члены ряда — числа ап — равны 2;
в)	lim ап 0 0;
п—>оо
г)	не все члены ряда — числа ап — равны 0 ?
1.1.134.	Верно ли, что
а)	если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены;
б)	если частичные суммы ряда ограничены, то ряд сходится ?
1.1.135. Существует ли ряд, который
а)	по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши —
расходится;
б)	по признаку Коши сходится, а по признаку Даламбера —
расходится;
в)	по признаку Даламбера расходится, а по интегральному
признаку — сходится ?
оо
1.1.136.	Что можно сказать о сходимости ряда 52 (ап + Ьп), если
п=1
оо	оо
а)	ряды 52 ап И 52 Ьп сходятся;
п=1	П=1
оо	оо
б)	ряды 52 ап и 52 Ьп расходятся;
п=1	П=1
оо	оо
в)	ряд 52 ап сходится, а ряд 52 Ьп расходится?
п=1	п=1
оо
1.1.137.	Из того, что ряд 52 (ап + Ьп) сходится, следует ли, что
П=1
оо	оо
а)	оба ряда 52 ап и 52 Ьп сходятся;
п=1	П=1
оо	оо
б)	оба ряда 52 °п и 52 bn расходятся;
п=1	п—1
оо	оо
в)	один из рядов 52 ап и 52 bn сходится, а другой — расхо-
П=1	П=1
дится ?
1.1.138.	Исследовать на сходимость ряд 52 ----
п=1
оо епп|
1.1.139.	Исследовать на сходимость ряд >2 —тг-
п=1 п
20

оо
1.1.140.	Исследовать на сходимость ряд ^2 °п5 где
п=1
к = 1,2,...
ап —
ок—1
V-, n = 2fc — 1;
4*-i’	’
ок—1
п = 2к,
^к	1
а) по признаку Даламбера;
б) по признаку Коши.
1.1.141.	Привести пример двух рядов
оо
52 (ап + Ьп) сходится, а ряд 52 (оп - Ьп) расходится.
71=1	П=1
^71
1.1.142.	Докажите, что lim -—— = 0, исследовав на сходимость ряд
оо пп	п->°° (п!)2
оо
И Ьп, ДЛЯ которых ряд
п=1
оо
52 °п
П=1
оо
П=1(п!)2*
(п!)п
1.1.143.	Вычислите предел: lim —
п—>оо
§2. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена
имеют разные знаки. Таким образом, знакочередующийся ряд — это ряд вида
<ii — аг 4- аз — а4 4-... 4- (—1)п^"1ап 4- • • • =	1)п^"1ап,	(2.1)
П = 1
или
—ai 4- <12 аз 4- ап 4-... 4- (—l)n<in 4- • • • = ^^(—1)п<1п,	(2-2)
П = 1
где все ап — положительные действительные числа (ап > 0, п = 1,2,...).
Признак Лейбница
Пусть дан знакочередующийся ряд (вида (2.1) или (2.2)). Если выполнены
два условия:
1) ai >а2 > аз > • • • > ап > ... (абсолютные величины членов ряда
монотонно убывают);
2) lim ап = 0 (общий член ряда стремится к нулю при п оо),
п—>оо
то ряд СХОДИТСЯ.
Ряд, содержащий и положительные и отрицательные члены, называется
знакопеременным. В частности, всякий знакочередующийся ряд является зна-
копеременным.
21

oo
Теорема 1.4. Пусть дан знакопеременный ряд 52 где ап — произволь-
п=1	оо
ные числа (действительные или комплексные). Если ряд 52 1ап|, составлен-
71 = 1	ОО
ный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд 52 ап также
п=1
СХОДИТСЯ.
оо
В этом случае знакопеременный ряд 52 ап называется абсолютно сходя-
щимся.	n=1
оо	оо
Если же знакопеременный ряд 52 ап сходится, а ряд 52 1а™| расходится,
оо	п=1	71 = 1
то данный ряд ап называется условно сходящимся.
п=1
оо	оо
Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда 52 ап к ряду 52 1ап |
71 = 1	71 = 1
можно применять все признаки, используемые при исследовании рядов с по-
ложительными членами,
оо	оо
Из расходимости ряда 52 1ап| расходимость ряда 52 ап, вообще говоря,
71=1	ОО	71 = 1
не следует. Однако, если, применяя к ряду 52 1ап| признак Даламбера (или
71 = 1
признак Коши), получаем предел lim = I > 1 (или lim Ч/|ап| = I > 1),
п—>оо | ип I	п->оо
оо	оо
то в этом случае оба ряда — 52 1а^| и 52 ап — расходятся.
71 = 1	71=1
Пусть {ап} — последовательность комплексных чисел ап = Ьп 4- icn, где
оо
Ьп и сп — действительные числа для любого п = 1,2,... Ряд 52 ап (т-е- РЯД
71 = 1	ОО
52(fin 4- icn)) сходится тогда и только тогда, когда сходятся два ряда — 52 Ьп
ОО	ОО	ОО	ОО	П=1
и	52	Сп, причем в этом случае	52	ап =	12	Ьп 4- г	52	сп •
71 = 1	71 = 1	71=1	71=1
оо	|
1.2.1. Исследовать на сходимость ряд 52(“1)П7Г7=-------•
П=1	2у/п - 1
оо
Q 1. Исследуем на сходимость ряд 52 ап из абсолютных величин чле-
п=1
нов данного ряда:
оо	оо
п=1	П=1	*
00 1 1
Сравним этот ряд с рядом 52 —Так как 2у/п—1 < 2у/п, то —--------->
n=i 2 ул	2уТь ~~ 1
1	оо 1
> —-= для всех п. Ряд 52 —7= расходится, так как расходится ряд
2у/п	п=1 2у/п
52 —т=. (как ряд Дирихле 52 ПРИ Р = й < 1)- Значит, по 1-му при-
п=1 у/п	п=1п	2
22

oo 1
знаку сравнения расходится и ряд	—7=----•
П=1 2 у/п - 1
Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
2.	Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя
признак Лейбница.
а)	Проверим, выполняется ли неравенство ап > an+i для абсолютных
величин членов данного ряда:
~ _ 1 1
ап — п ✓—	1 л	— an+l-
2-^п I	2\/n 4~ I — I
Данное неравенство эквивалентно неравенству 2 у/п — I < 2у/п 4-1 — I,
которое верно для любого п = 1,2,... Значит, ап > an+i для всех номеров
п = 1,2,...
б)	Найдем предел общего члена ряда:
lim ап = lim —г!----------------------= 0.
п->оо п->оо 2у/п 4- 1
Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены
оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что
исходный ряд сходится. Однако он не является абсолютно сходящимся,
поэтому данный ряд сходится условно.	•
оо
1.2.2.	Исследовать на сходимость ряд V  ----;—.
2п - In п
оо
Q 1. Исследуем ряд ^2 ап из абсолютных величин членов данного ряда:
п=1
ОО	ОО	1	1	1	1
52 а” = 52 2n-lnn = 2 + 4 —1п2 + 6 —1пЗ + ‘‘
П=1	п=1
Применяя 2-й признак сравнения, сравним этот ряд с расходящимся
оо |
гармоническим рядом п :
п=1
lim (-—Ц= lira ---------1— = 1/0.
п—>оо\2п~ ШП п/ пчооп Inn 2
z п
оо
Следовательно, знакопостоянный ряд ^2 ап расходится, а значит, ис-
п=1
оо
ходный ряд £ (-1)пап не является абсолютно сходящимся.
71=1
2. Теперь выясним, является ли данный знакопеременный ряд схо-
дящимся, используя признак Лейбница.
а) Проверим, выполняется ли неравенство ап > an+i для всех номе-
ров п, начиная с некоторого:
°n 2n - In п > 2(п 4-1) - 1п(п 4-1)	°n+1 ’
23

Запишем последовательность неравенств, эквивалентных данному:
2п — Inn < 2(п 4-1) — 1п(п 4-1);
1п(п 4-1) - Inn < 2(п 4-1) — 2п;
1 п 4- 1	9
1п ~п~ <2;
1
< In е = 1 < 2 для любого п = 1,2,...
Значит, неравенство ап > an+i выполняется для всех п = 1,2,...
б) Найдем предел общего члена ряда:
1
п
1
п
1
= Q = 0.
lim ап = lira ---------:— = lim -----------:—
n—>оо п—>оо 2П — Ш П n—>oo Zn — ш П
П
= lim	----- —	-	к
п—>оо	9	1ПП	Z
z	п
выполнены
ОО ( — I)71-1"1
Итак, для данного знакочередующегося ряда У}  ----;—
п=1 "71 1п П
оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, этот ряд схо-
дится. Из этого и из того, что ряд не является абсолютно сходящимся,
окончательно следует, что ряд сходится условно.	•
оо
1.2.3.	Исследовать на сходимость ряд 1)п-1 —.
п=1
оо
Q Исследуем на сходимость ряд ^2 ап из абсолютных величин членов
п=1
данного ряда, т. е. ряд:
1
3’
П=1
используя признак Даламбера. Для этого сначала преобразуем выраже-
^п+1
ние -д —:
ип
Qn+1 _ п 4-1 . n _ п 4-1	Зп _ Л .
3П+1 ‘3^ n	3n+l V “Г
Найдем предел этого выражения:
lim = lim (1 + И • |	| <
п->оо ип	п—>оо \	6 о
оо п
По признаку Даламбера отсюда следует, что ряд on сходится, а зна-
П=1 6
чит, исходный ряд сходится абсолютно.	•
оо	I
1.2.4.	Исследовать на сходимость ряд J2 (“1)п 8*п ~г
п=1
оо
оо	1
Q Рассмотрим ряд £2 8*п из модулей членов данного ряда, т. е. (так
п=1	П
как 0 < —т- < 1, и следовательно, sin Дг > 0 для всех п = 1,2,...):
п2	п2
оо
24

Воспользуемся 2-м признаком сравнения, для чего сравним этот ряд с
00 1	1
рядом 22 ”о- Обозначив t = — и учитывая, что t —> 0 при п -4 оо,
п=1 п2	п2
имеем: lim (sin] = lim—— = 1 (1-й замечательный предел),
п—>оо у	П2 П2 /	t—>0	I
ОО 1	ОО 1
Так как ряд 23 ~сходится как ряд Дирихле 23 “п ПРИ р = 2 > 1, то
п=1 п2	п=1 пР
оо ।
сходится и ряд 22 sin—. Отсюда следует, что исходный ряд сходится
п=1 п2
абсолютно.	•
1.2.5.	Исследовать на сходимость ряд
1Чп+11-4-7-...-(Зп-2)
3 • 5 • 7 •... • (2n + 1) ’
n=l
оо
Q Рассмотрим ряд 22 ап из абсолютных величин членов данного ряда,
П=1
т.е. ряд:
1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2)
3 • 5 • 7 •... • (2п 4-1) ‘
Для ответа на вопрос о сходимости полученного ряда применим при-
знак Даламбера:
an+i = 1-4.7-...-(Зп-2)(3(п + 1)-2) 1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2) = 3n + 1
3 • 5 • 7 •... • (2п 4- 1)(2(п 4-1) 4-1) * 3 • 5 • 7 •... • (2п 4-1) 2п + 3’
Отсюда	।
lim ^±1 = lim я ~ lim = I > 1ф
п—>00 ип	п—>оо 2П -г о	п—>00 О 1 о 2
Z 4" п
оо	оо
Но это значит, что ряд 23 ап расходится, т. е. ряд 23 (“l)n+lfln не явля-
ется абсолютно сходящимся. Однако полученный результат lim -gj— =
= ^ > 1 | позволяет сделать более сильное утверждение. Так как >
> 1 для всех номеров п, начиная с некоторого, то ап 0 (п -> оо), и
стало быть (так как не выполняется необходимый признак сходимости),
оо
исходный ряд 23 (“l)n+lfln расходится.	•
П=1
00 п2 + 1
1.2.6. Исследовать на сходимость ряд 22	—“•
Q Нетрудно показать, что для данного ряда не выполнен необходимый
признак сходимости. В самом деле:
1 4-Х
г	V Т? 4“ 1 г	712	1 / л
hm ап = hm ——- = lim ---------= 7 / 0.
п—>ОО	П-4ОО — 2	п—>ОО 5 2 О
п2
Следовательно, ряд расходится.
25

Доказать, что ряд сходится условно:
оо (_1)п-1
1-2-7.	£ г 7 -	1.2.8.
n=l ln(n + 1)
оо (-1)”
1.2.9.	£ -----v /	1.2.10.
п=2 П 1П П\/1П 1П П
°о (~1)»(2п+1)
п=1 п(п + 2)
Е (-1)”+1-^—
п=1	2п — у/п
Доказать, что ряд сходится абсолютно:
1.2.11.	ОО	-1	1.2.12.	ОО Е 71=1	(-1)" (Зп - 2)!
1.2.13.	£ (-i)”+1 -А--			
	71=1	п In п			
1.2.14.				
	п=1	’	3-5-7-...-	(2п +1)'		
Доказать, что ряд расходится:
1.2.15.	Е(-1)п-п.
П=1
1.2.16.	ОО Е( 71=1	_i)n+iLZ?: ' ’	5-8-..	. • (4п - 1) . • (Зп + 2) ’	
1.2.17.	ОО Е( 71=1	_ 1 Ап	~ 1 ' } 5 + 2п2’	1.2.18.	71=1	х	/
Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. До-
полнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым
сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim °™+1;
п—>оо ип
4)	для признака Коши — lim V|an|.
71—>оо
1.2.19.
1.2.21.
1.2.23.
1.2.25.
1.2.27.
E(-i)"-1
71=1
(2п)!
4nn! ’
!.2.20. £(-1г|±1
1.2.22.
оо	_• „
1.2.24. Е (-1)п§^.
п=1	и
1.2.26. Е(-1)п1п2-
71=1
26

1.2.28.	Исследовать на сходимость ряд V ----
п=1 п’2
оо
Q Применим к ряду ^2 |°п| из абсолютных величин членов данного
П=1
ряда признак Даламбера:
К+11 = 1(3-нг+Ч . |(3 + »)П| =
|an| (n4-l)-2n+1 п-2п
(3 + i)n+1 П2п _ |3 + »| п
(3 + г)п (п 4-1)2”+1	2	' п + 1 ’
откуда
Um m = в™ .-У = !i±i! =	= 4° > 1.
n—>oo I fln | n->oo \	2 n 4-1J 2	2	2
Следовательно, |“5~| > 1 для всех номеров n, начиная с некоторого,
откуда lim an 0 0, и значит, исходный ряд расходится.	*
п—>оо
1.2.29.	Исследовать на сходимость ряд ( /о ~ \ —-) •
п=1 \ (2 + 7)71 + 1 /
оо
Q Применим к ряду ^2 |°п| из абсолютных величин членов данного
п=1
ряда признак Коши. Сначала преобразуем выражение \/|ап|:
vki =
/ /	\ п
п 11 I 77 4“ 3z \
у I \ (2 4- г)п + 1)
п 4- Зг
(2 + i)n 4- 1
|п 4- Зг|
|(2п + 1) 4- гп\
,______ /--------------------	1 . 9
Vn2 + З2 / п2 + 9	+ п2
У(2п 4-1)2 4- п2 у 5”2 + 4п + 1 V + « + i
Отсюда
оо
Таким образом, ряд 1°п| сходится, т. е. исходный ряд сходится абсо-
п=1
ЛЮТНО.
оо лп
1.2.30.	Исследовать на сходимость ряд 2S "F*
п=1 \/71
in
\/п
Q 1. Поскольку
1
— = —то ряд, составленный из абсолют-
п у/п
ных величин членов данного ряда, имеет вид £3 ”7=- Полученный ряд
п=1 \/71
27

00 1	1
расходится как ряд Дирихле У* — при р = н < 1. Значит, исходный
n=iпР	2
ряд не является абсолютно сходящимся.
2. Запишем члены данного ряда в алгебраической форме, т. е. в виде
bn + icn*.
_ ____1_____i_, 1 . i______1____i_. 1 .______
1 Vi y/4 x/5 Vi V7 V8
= (o + o+ f—5= + oZ) + (o- 4=) + (~7= + o?) + (о + Ц=) +
\ a/2	) \ Vi) \a/4	) \ Vi)
+ (—7=+0z) + (0--4= ) + (Ц=+Ог) + ...
\ Vi ) \ Vi) \Vi )
oo	oo
Составим два ряда bn и ^cn соответственно из действительных и
П=1	71=1
мнимых частей членов последнего ряда:
оо
Так как добавление (и удаление) произвольного числа членов ряда, рав-
ных нулю, не влияет на его сходимость, получим два ряда:
оо
—7= + Ц=-4= + 4= + -- - + (-1)”-^= +... = У2(-
Vi V* Vi Vi	V^n
п>
oo
z--*= + 4=-4= + -- - + (-i)n-1 . 1  +... = «• V(-i)n-1c;.
Vi Vi Vi	V^l
oo	oo
Для знакочередующихся рядов ^2 (-l)n&n и 13 (“l)n~lcn выполняются
n=l	n=l
оба условия признака Лейбница, так как при всех п = 1,2,3,... справед-
ливы соотношения
Ьп+1 = —===== < -у= = Ь'п и lim b'n = lim -7= = 0,
^/2(п +1) V%n п~>00	п-+о° V%n
cn+i = 7	1—= =  -	<	1	= с' и lim с'п = 0.
^2(п +1) -1	\/2п + 1	х/2п-1
ОО	оо
Значит, ряды $3 (-l)nb'n и $3	сходятся, т.е. сходятся ряды
П=1	П=1
ОО	ОО	ОО «п	ОО	00
52 Ьп и 52 сп- Отсюда следует, что ряд 52	- 12	+ г 52 сп схо-
п=1	П=1	п=1 У72,	п=1	71=1
дится. Поскольку в пункте 1 задачи установлено, что исходный ряд не
является абсолютно сходящимся, значит, он сходится условно. •
28

Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. До-
полнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым
сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim "™+1;
п—>ОО
4)	для признака Коши — lim \/|ап|.
п—>оо
1.2.31.	ОО Е п=1 оо	п 2п 4- iy/n 1
1.2.33.	Е	1
	п=1	п(2 + г)"
1.2.35.	оо Е п=1	/ 2п + г \п \Зш-2/
1.2.37.	оо Е	cos п 4- г sin п о
	п=1	П
Х.2.32.	£(^)’
ОО -2п
1.2.34.	£	.
п=1 у/п
1.2.36.	£
п=1 4 2 7
Дополнительные задачи
Доказать, что ряд сходится условно:
1.2.39.
1.2.41.
у (—1)п---- 1
n=i	п Vln п+ 2
Е (-i)n+1
П=1
п + 3
п2 + 4’
Доказать, что ряд сходится абсолютно:
1.2.42.	£ (_1)«	— n=i ’ 1 • 3 • 5 •... • (2п	-1)’		
1.2.43.	f (_1)п+Че 1 72—1	П'у П	1.2.44.	Е (-1)пзп п=1	/ п \ И2 (п + 1)
1.2.45.	g(_1)n-ic^n п=1	2			
Доказать, что ряд расходится:				
	оо		оо	п! 2п2
1.2.46.	Е (-1)П1п(п + 1). п=1	1.2.47.	Е (-1)п-1 п=1	
1.2.48.	о° ч /п + 1\"(п-1)	1.2.49.	оо E(-i)nin 71=1	п 4“ 3 2п + Г
29

Исследовать ряд на сходимость:
1.2.50.		1.2.51.	ОО Е 71=1	(—1)п~хп (2п + 1)-Зп
1.2.52.		1.2.53.	ОО Е' п=1	оп2 нг1^-
1.2.54.	( 1^+1 Зп > п(п 4~ 1) *	1.2.55.	оо Ei 71=1	(-1)"^
1.2.56.	у (-1)п-1	1.2.57.	ОО Г	(- 1)пп2
	п=1 п(2 + 1пп)3		71=1	Пу/п + Зп
1.2.58.	п=1	1.2.59.	ОО Е 71=1	/г(п + 2г)\п \ Зп )
1.2.60.	°° п(2 + г)п	1.2.61.	ОО	i 4- (-1)п • п
	2_>	пп п=1	°		Е 71=1	п2
1.2.62.	оо п(1 + г)п	1.2.63.	ОО Е	1
	п=1	3”	•		71=1	(п + i)y/n
1.2.64.	ОО -п ^2 ~п • п=1	1.2.65.	ОО Е 71=1	eosin Зп ’
1.2.66.	оо Е -ГТ~-			
	п=1 v П “Ь 2П			
2)
Контрольные вопросы и более сложные задания
1.2.67.
1.2.68.
1.2.69.
ОО
Исследовать на сходимость ряд 52 (“!)’
п=1
1.2.70.
1.2.71.
Верно ли, что
а)	если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно;
б)	если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно?
оо п2 + п
Исследовать на сходимость ряд	(—1) 2	•
shn
\/ ch2 п + 1
оо
Верно ли, что если знакопеременный ряд 52 (“1)п°п сходится,
то ап —> 0 (п —> оо) монотонно?	71=1
Верно ли для знакопеременного ряда, что
а)	если последовательность ап монотонна, то ряд 52	• (—1)п
сходится;	n=1
б)	если ап -> 0 (п -> оо), то ряд 52 (“ 1)п°п сходится;
П=1	оо
в)	если ап —> 0 (п —> оо) монотонно, то ряд 52 (“1)п°п сходится
условно;	n=1
г)	если ап -> 0 (п -> оо) монотонно, то ряд 52 (“1)п°п схо-
дится.	n=1
30

1.2.72.	Доказать для знакопеременных рядов следующие утвержде-
ния:
а)	ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходят-
ся два ряда — ряд из положительных членов и ряд из отрица-
тельных членов;
б)	если ряд сходится условно, то расходятся два ряда — ряд
из положительных членов и ряд из отрицательных членов;
в)	если один из двух рядов (с положительными членами и от-
рицательными членами) сходится, а другой — расходится, то
исходный ряд расходится.
оо
1.2.73.	Если ряд 52 ап сходится условно, что можно сказать о сходи-
п=1
мости ряда из его положительных членов ?
1.2.74.	Исследовать ряд на сходимость:
{ — Jr, п — четное;
п
1
—п — нечетное.
п
—г-г, n = 2fc-l;
2fc-i
•	n^2k.
32Л-1 ’
A 1	1	,	1	1,1	1,	„	1	„	1
B)1~3 + 3“^ + 5“^ + -- -’ °2*-1 - 2fc^l
„ч 1	, , 1	1 ,	1	1 ,	„	1	1
r) 3"1+7~5 + U_9 + -- ’°2fe-12 = 4fc^l’O2fc = "F^3'
Д) -----------7^--1---7^----7^----b. • •, d2fc-l = ,	1	,
л/2-l л/2 + l 5/3-1 x/3 + 1	л/fcTl -1
“2fe = ~5/FFl + l‘
OO
1.2.75.	Доказать, что если ряд 52 ап сходится абсолютно, то ряд
п + 1	n=1
> , —-—ап сходится абсолютно.
п=1
оо	оо
1.2.76.	Доказать, что если ряды 52 ап и 52 сходятся абсолютно,
оо	п=1	п=1
ТО ряд 52 апЬп сходится абсолютно.
П=1
1.2.77.	Доказать, что если ряд сходится абсолютно, то и ряд, полу-
ченный из исходного с помощью произвольной перестановки
его членов, также сходится абсолютно, причем к той же сум-
ме, что и исходный ряд.
1.2.78.	Теорема Римана. Доказать, что если ряд сходится условно,
то существует такая перестановка его членов, что полученный
ряд сходится к любому наперед заданному числу или расхо-
дится заданным образом (к -Foo, к —оо или к оо).
31

§ 3.	СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Выражение вида
clq + aix + аъх2 4-... 4- апхп 4-. • •,	(3-1)
где ао, ai, аг,...,ап,... — постоянные числа (действительные или комплекс-
ные), а и — переменная величина (также действительная или комплексная),
называется степенным рядом. Числа ао, <и, аг,..., ап,... называются коэф-
фициентами степенного ряда. Сокращенно степенной ряд обозначают так:
52 апХп.
п=0
Будем называть степенной ряд действительным (соответственно, комп-
лексным) степенным рядом, если его коэффициенты — действительные (соот-
ветственно, комплексные) числа, а переменная х принимает действительные
(соответственно, комплексные) значения.
Часто рассматривают степенные ряды более общего вида
ап(я — а)п = ао 4- ai(x — а) 4- аг(ж — а)2 4-... 4- ап(х — а)п 4-...,	(3.2)
п=0
частным случаем которых при a = 0 являются обычные степенные ряды (3.1).
С другой стороны, каждый степенной ряд вида (3.2) с помощью замены перв-
ое
менной у = х — а сводится к ряду 52 апХп вида (3.1).
п=0
Придавая переменной х в степенном ряде конкретное числовое значение
х = xq, получим числовой ряд, который сходится или расходится. Множество
всех тех значений переменной, при которых данный степенной ряд сходится,
называется областью сходимости этого ряда.
При х = 0 (соответственно, при х = а) всякий степенной ряд вида (3.1)
(соответственно, вида (3.2)) сходится, поэтому область сходимости степенного
ряда содержит по крайней мере одну точку.
оо
Теорема 1.5 (Абеля). Если степенной ряд 52 апХп сходится в точке xq, то
п=0
он абсолютно сходится в каждой точке х, для которой |я| < |яо|.
оо
Следствие 1.1. Если степенной ряд 52 апХп расходится при некотором зна-
п=0
чении х = Xi, то он расходится и при всех значениях х, для которых |я| > |xi|.
Интервалом сходимости действительного степенного ряда вида (3.1) (со-
ответственно, вида (3.2)) называется такой интервал (—R,R) (соответственно,
(ao — R,ao 4- R)), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой
32

точке, лежащей вне отрезка [—К, R] (соответственно, [#о—R, а?о+Л]), ряд расхо-
дится. На границах интервала сходимости, т. е. в точках х = (соответствен-
но, в точках х = xq ± R), ряд может как сходиться, так и расходиться. Число
R называется радиусом сходимости действительного степенного ряда.
В частности, R может равняться нулю — в этом случае область сходимости
ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, яо), или +оо — в этом случае
областью сходимости является вся числовая прямая (такой ряд называется
еще всюду сходящимся).
Кругом сходимости комплексного степенного ряда вида (3.1) (соответ-
ственно, вида (3.2)) называется такой открытый круг |я| < R (соответственно,
|я — а| < R), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке,
лежащей вне замкнутого круга |я| R (соответственно, вне замкнутого круга
|я — а| R), ряд расходится.
В граничных точках круга сходимости — т. е. на окружности |я| = R (со-
ответственно, |z — а| = R) — ряд может как сходиться, так и расходиться.
Число R называется радиусом сходимости комплексного степенного ряда. В
частности, R может быть равно 0 — в этом случае вся область сходимости
ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, а), или +оо — в этом случае
областью сходимости является вся комплексная плоскость С.
Интервал и круг сходимости ряда, как правило, определяют с помощью
признака Даламбера или признака Коши, примененных к знакоположитель-
ному ряду
У^ [апхп| (соответственно, У^ |ап(ж — а)п|),
п=0	п=0
составленному из абсолютных величин членов исходного степенного ряда.
Для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда применяются так-
же формулы:
7? = lim 1-^-1 и R =--------Ц=
"-ЮО I On+1 I	lim п
п—>оо
в тех случаях, когда указанные пределы существуют.
°° nl(x — 3)п-1
1.3.1.	Найти область сходимости ряда 2Z -----Т7----
п=1	2
О Применим признак Даламбера. Поскольку
Iап+1I
I “п I
(п + 1)!(ж - 3)(п+1)-1 п!(ж - З)”-1
2(n+i)+i	’	2n+1
то
lim |^^|= Нт 2 3' • (n + 1) =
г—>оо | ип | п->оо 2
-Foo при х — 3 0 0, х ф 3,
О при х — 3 = 0, х = 3.
2 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
33

Таким образом, ряд сходится (абсолютно) только при х = 3, в остальных,
точках числовой прямой ряд расходится.	*
оо Зп-1(я+ 1)п
1.3.2.	Найти область сходимости ряда V -----------.
п=1 п
Q Воспользуемся признаком Коши:
lim
п—>оо
'Ж! = lim
n->oo
31 — ~
= |я + 1| lim —-— = |ж-|-1|-0 = 0<1 при всех х € (—00, -Foo),
п—>00
Следовательно, ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой пря-
мой (—оо,+оо).	•
оо
1.3.3.	Найти область сходимости ряда 52 хП-
П=1
Q Применим признак Даламбера:
lim I a™+11 — lim
n—>OO I Un I n—>oo
a?n+1
xn
= lim lad = |a?|.
71—>OO
(Этот же результат можно получить, применяя признак Коши:
lim \/|aJ = lim x/lxnl = lim Ы = Ы.) Отсюда следует, что при
п—>оо	п—>оо	п->оо
|ж| < 1 (т. е. при х € (—1,1)) ряд сходится абсолютно, при |ж| > 1 расхо-
дится. Таким образом, интервал (—1,1) — интервал сходимости данного
ряда. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках этого интервала,
т. е. в точках х = — 1 и х — 1.
При х = — 1 получим знакочередующийся ряд
22(-1)п = -1 + 1 - 1 + 1 - ... + (-1)” 4-...
П=1
Этот ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости
(ап 0 при п —> оо).
При х = 1 получим ряд
52 г = 1+1 + 1 + ... + 1+...
П=1
Этот ряд расходится по той же причине, так как
lim ап = lim 1 = 10 0.
п—>00	п—>оо
Итак, область сходимости данного ряда — интервал (—1,1).
1.3.4.
ОО
Найти область сходимости ряда 52
п=1
(ж - 2)n+1
Зп(п + 2) ’
34

Q 1. Применим признак Даламбера. Учитывая, что
Qn+1I _	(х - 2)(n+1)+1	(а; - 2)w+1		
On 1	3n+1(n + l + 2)	’ 3"(n + 2)		
		(д. _ 2)n+2	3n n + 2	= |a? — 2| n + 2
		(х - 2)"+1	3n+! n + 3	-	3 n + 3’
получим
lim |^±1| = lim	. lim
n—>oo I Un I	n—>oo	и Tl + о	и	n—>oo Tl + о	о
Отсюда
— 21	х — 2
—< 1 О -1 <	<Ю-3<х-2<Зо-1<х<5.
о	О
Итак, при х € (—1,5) ряд сходится абсолютно, а при х [—1,5] — расхо-
дится. Значит, (—1,5) — интервал сходимости данного ряда. Исследуем
сходимость ряда на концах этого интервала, т. е. в точках х = — 1 и я = 5.
2.	При х = 5 получим ряд
ОО / ►* л \ yj ж 1 оо	.	ОО
ул (5 - 2)п+ _ ул 3"+1	_ ул 3
4 Зп(п + 2) “ Зп(п + 2) П + 2'
n=l v 7	п=1	4	7	п=1
Применяя 2-й признак сравнения, сравниваем этот ряд с гармоническим
°о
рядом 52 п:
П=1
lim	= Пт = lim —Ц- =3/0.
п—>оо \П 4- 2 п/	п—>оо TL + 2	п—>оо i । 2
“Г П
°О ч
Поскольку ряд 52 п расходится, а полученный предел не равен нулю,
п=0
оо о
то ряд 52 —расходится.
п=0 П + 2
3.	При х = — 1 получим ряд
~ (_i_2)n+1 = - (-ЗГ+1 =	(-ir+1-з"*1 =	3
£1 Зп(п + 2)	£.3”(п + 2)	3”(п + 2)	> п + 2-
ОО О
Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд 52 —ЗГо?
п=о п + 2
составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится
(см. пункт 2).
Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя
признак Лейбница.
а)	Очевидно, неравенство
_ 3	3
йп~ п + 2 > (п + 1) + 2" °п+1
выполнено для всех п = 1,2,...
35

б)	Кроме того,
lim ап = lim —— = 0.
п—>оо	п—>оо П + 2
ОО	о
Итак, для знакочередующегося ряда $2 (—l)n+1—т-х выполнены оба
п=о	п 4- 2
условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, данный ряд схо-
дится. Так как он не является абсолютно сходящимся, то ряд сходится
условно. Окончательно получим, область сходимости исходного ряда —
промежуток [—1,5).	•
ОО (% + 5)п
1.3.5.	Найти область сходимости ряда 52 -------—.
п=2 Зп+1П 1П3 П
Q 1. Применим признак Даламбера. Так как
I Дп+1 I _ _____(д + 5)n+1_______ (ж + 5)п	_
| ап I з(п+1)+1(п + 1)1пЗ(п + 1) ' Зп+1п1пзп
(д + 5)w+1 зп+i п 1пзп |д + 5| п 1пз п
(д + 5)п ’ Зп+2 ’ п + 1 ' 1пЗ(п + 1)	3 п + 1 1п3(п + 1)’
ТО
Вш 12=±L| = hm (. -Jsi-'l =
n->oo I un | n->oo l о П + 1 In (n -|- 1) J
l® + 5| Iim n ]. ln3n l* + 5| |д + 5|
= —z— • lim ——r • lim —-------------= —5— 11 = —-—.
O	n—>oo П 4“ 1 n—>oo Jnd(n + 1)
(При вычислении последнего предела воспользовались равенствами
✓	\ 3 г	13
fan 1п3п = lim ( Inn А = lim fan
п—>оо In (n + 1) n—>oo \ln(n + 1) /	|_n->oo ln(n + 1) J
и, далее, правилом Лопиталя.) Найдем интервал сходимости
|ж 4“ 5|	1 ж 4” 5 -I	q / _l / q	*v. q л» о
q	<1	1	< q <1	о < x 4~ о < о о < х	<	2.
о	о
Итак, при х € (—8, —2) ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость
ряда в точках х = — 8 и х = —2.
2. При х = — 8 получим ряд
~ (8 + 5)” = «	(-3)»	=	Зп = ~ (-1)"
3n+1n In3 п 3n+1n In3 п	3n+1n In3 п Зп In3 п
п=2	п=&	П=4	п=2
Исследуем этот ряд на сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда:
оо
Е
п=2
1
Зп 1п3 п
36

Применим интегральный признак. Так как ап =----Ц—, то
Зп In3 п
1
Зя In3 х
Очевидно, что /(ж) монотонно убывает на промежутке [2, -Foo), т. е.
V®i > х2 > 2 => /(®х) = -—-Ц— < -—-Ц— = /(®2).
3#1 in Xi 3#2 In Х2
Так как функция /(ж) положительна, непрерывна и монотонно убывает
на промежутке [2, +оо), то для исследования данного ряда на сходимость
можно применить интегральный признак.
Сначала найдем неопределенный интеграл
= 1 (-1)
Отсюда
4-oo	4-oo	M
[f(x)dx = f-^~= lim	=
j	j 3®ln3® M-H-oo J 3a;In3®
+ C =
—L-2~ + C.
6 In2 X
1
6 In2 2
4-oo
Так как несобственный интеграл f —— сходится, то сходится и ряд
J 3®1п3®
ОО 1	оо ( —1)п
52 ----5—, а значит, ряд 52 ---ё— сходится абсолютно.
п=2 Зп In п	п=2 Зп In3 п
3. При х = — 2 получим ряд
у* (—2 + 5)”	~ 3n ~ j
3n+1n In3 п 3n+1n In3 п	In3 п
Этот ряд сходится абсолютно (см. пункт 2).
Таким образом, область сходимости исходного ряда — промежуток
[-8,-2].	•
1.3.6. Найти круг сходимости комплексного степенного ряда
^4 (2t)n+1(z + 3i)w
(\/7 —Зг)п
37

Применим признак Коши:
lim 4/lan| - lim n
n—>oo	n—>oo
(2г)п+1(г + 3г)п
\	(л/7-Зг-)
lim |2г|1+п
-----------= |г + 3г| •
|х/7-Зг|
,п
= lim \z + ЗгI • ——-----
n-юо	|л/7-Зг|
|2г|
|г + Зг|-2
2
1^-Зг|	У(х/7)2 + (-3)
|z + Зг| • 2 _ |z + Зг|
4
2
Найдем круг сходимости ряда:
\z + Зг|
2
Итак, в круге |z + Зг| < 2 степенной ряд сходится абсолютно.
Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. До-
полнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым
сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim a^rl~1;
П—>ОО ип
4)	для признака Коши — lim Ч/а^;	. ~
n—>оо v	f
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и / f(x)dx.
а
В задачах 1.3.7-1.3.14 для определения интервала сходимости исполь-
зовать признак Даламбера. В задачах 1.3.15-1.3.20 для определения ин-
тервала сходимости использовать признак Коши.
1.3.7.	2	1.3.8.	°° (х — 2)” 1
	п=1 п!		П=1 (п + 1)!
	ОО		оо
1.3.9.	52 nlxn.	1.3.10.	52(п + '2)!(ж + 1)п.
	п=1		П=1
1.3.11.	оо 52 ^п-	1.3.12.	~ (3 - х)2п 7 >	г~
	П=1		n=l	V
	00 ~П		°О	d
1.3.13.	•£_ 'Ц п ' п=1	1.3.14.	„^1 } п + 1
	оо		ОО
1.3.15.	52 Ппхп.	1.3.16.	£ п"+1(а: —3)".
	П=1		п=1
1.3.17.	х^_ п=1 пП	1.3.18.	°° (ж + 2)п+1 (п +1)" ’
1.3.19.		1.3.20.	£(^)” <*->”+'
38

1.3.21.	ОО Е П=1	(д - 3)п 3n+i	1.3.22.	ОО Е П=1	(2д)п ?/п
1.3.23.	оо Е П=1	Х2п2 пп	1.3.24.	П=1	
1.3.25.	оо Е		1.3.26.	оо Е	'го 1 to 3 1 to
	П=1			П=1	
1.3.27.	оо Е П=1	(д + 1)п nlnn	1.3.28.	оо Е1 П=1	1	’ п + 2
	оо	(х -1- 1)п	1.3.30.	оо	хп(п-1)
1.3.29.	Е П=1			Е П=1	п!2п ‘
1.3.31.	оо Е П=1	х2п 1 4пп In2 п	1.3.32.	оо Е П=1	(х + 2)2”-1 Зп
1.3.33.	оо Е П=1	т” (-*>”•	1.3.34.	оо Е П=1	(2п)!(д 4- 7)n+1 3n-i
1.3.35.	оо г	(2 - х)п	1.3.36.	оо г	(д - 3)п
	П=1	2п+1(п + 2)п~1		Z—/ п=1	(2п + 1)!‘
1.3.37.	£(п4-1)п(6-д)п+1 -2”-		-1		
n=l
Найти круг сходимости ряда. Указать применяемые признаки.
1.3.38.	ОО Е П=1	n!(z — i)n.	1.3.39.	oo E n=l	(z 4- 2i)2n n2
1.3.40.	оо Е П=1	(z - 2i)n пп	1.3.41.	oo E n=l	
	оо	~n			
1.3.42.	Е П=1	z	 nin‘			
Дополнительные задания
Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. До-
полнительно указать:
1)	для необходимого признака — lim ап;
п—>оо
2)	для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым
сравнивается данный ряд;
3)	для признака Даламбера — lim Q^+1 •
n—>оо un
4)	для признака Коши — lim Ч/а^;
n->oo v
5)	для интегрального признака — первообразную для f(x) и / /(ж) dx.
а
В задачах 1.3.43-1.3.46 для определения интервала сходимости исполь-
зовать признак Даламбера.
39

В задачах 1.3.47-1.3.49 для определения интервала сходимости исполь-
зовать признак Коши.
1.3.43.	~ (а; - 2)п п=1 п2	1.3.44.	°° (За:)5" п^12п-Г
1.3.45.	п!жп+1 on—1 п=1 &	1.3.46.	ОО 3п-1д.п+2 п=1	п\
1.3.47.	°° 2п(2ж 4-3)п-1 2-/	~~ п п=1	п	1.3.48.	°° пп(х + 1)п+1 п=1	З”"1
	00	хуП2		
1.3.49.	X	 п=1 71		
Контрольные вопросы и более сложные задания
1.3.50. Может ли интервал сходимости ряда 52 быть таким:
а) (-2;0);	б) (0; 2);
в) (—3; 1);	г) (-оо;оо);
Д) (-3;3).
ОО
1.3.51. Известно, что ряд 52 an(# — 3)п в точке х = 2 расходится. Что
П=1
можно сказать о сходимости ряда в точке:
а) х = 5;	б) х = 3,5;
в) х = 4.
оо
1.3.52. Известно, что ряд 52 ап(я — 3)п в точке х = 2 сходится абсо-
п=1
лютно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке:
а) х = 5;	б) х = 3,5;
в) х = 4.
оо
1.3.53.	Известно, что ряд 52 an(z — (1 4- i))п в точке z = г сходится
П=1
условно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке:
a) z = 1;	б) z = 0;
1.3.54.	Существует ли степенной ряд, для которого верно следующее
утверждение:
а)	на обоих концах интервала сходимости ряд расходится;
б)	на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно,
а на другом — сходится абсолютно;
в)	на обоих концах интервала сходимости ряд сходится абсо-
лютно;
г)	на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно,
а на другом — расходится;
д)	на одном конце интервала сходимости ряд сходиться абсо-
лютно, а на другом — расходится.
40

OO /	1 \ n2
1.3.55. Найти область сходимости ряда Ц + п) ~ 1)п-
п=1 '	'
1.3.56. Степенный ряд сходится условно в точках z\ = 3 + 2г и Z2 =
= — 1-г. Что можно сказать о сходимости ряда в других точках
комплексной плоскости?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1. Исследовать ряды на сходимость:
а) Е n3tg2 А;
п—1	П
в)£т;
П~	(~1)пп!
п=1 2 • 5 • 8 •... • (Зп — 1) ’
V п! •
п=13"+2’
°о	!
V -------1___;
п=2 nlnnln(lnn) ’
°® 2г + (-1)пп
2^	Z2	*
п=1	П
°© (2 — х)п
2. Найти область сходимости ряда Е -----
п=1 п + 1
ОО
3. Найти круг сходимости ряда
П=1
(z - 2г)п
Зп
Вариант 2
1. Исследовать ряды на сходимость:
°® arcctg(n + 3)
оо (_пп
д) E-Y>
п=1 П “г "у п
00	/ 3/1 4-1 \ п
2. Найти область сходимости ряда ^2 (я + 1)п ( —б ) •
п=1	\ бп /
оо
3. Найти круг сходимости ряда
П=1
(z + i)n
2n+1
41

Вариант 3
1.	Исследовать ряды на сходимость:
д) Е (-l)n+1 sin—;
п=1	Пу/п
оо ( —1)пд;п
2.	Найти область сходимости ряда 52 ---—z—
п=1 п + 2
оо ____i)2n
3.	Найти круг сходимости ряда 52 ----ЗП—
п=1 п +1
Вариант 4
1. Исследовать ряды на сходимость:
00 (-1)п+1(п + 1)
П=1 п2 + Зп
3 • 5 • 7 •... • (2n + 1)
2 • 5 • 8 •... • (Зп — 1) ’
________1________.
(2п + 1)0п(2п + 1)’
п(г + 1)п
3 4- i
2.	Найти область сходимости ряда
(z + 2г)п+1
оо
3.	Найти круг сходимости ряда 52
п=1
§4	. РЯДЫ ФУРЬЕ
Ряды Фурье
Пусть функция f(x) — интегрируемая и периодическая с периодом 2тг. Ко-
эффициентами Фурье функции f(x) называются числа ао, <и,	, Gn, • • • >
bo, bi, 62, .. •, bn, •.., которые находятся по формулам
7Г
ao = i ff(x)dx>	(41)
— 7Г
7Г
ап = If(x) cos nxdx, (n=l,2,...),	(4.2)
42

7Г
bn = У f(x) sin пх dx, (n = l,2,...).	(4.3)
— 7Г
Рядом Фурье функции f(x) называется ряд
оо
+ У^(ап cos пх + Ьп sin пх).
п=1
Условия сходимости ряда Фурье
Ряд Фурье интегрируемой функции f(x) может либо расходиться, либо
сходиться, причем как к функции f(x), так и к функции, отличной от нее.
Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком
Дирихле.
Теорема 1.6 (Дирихле). Если функция f(x) непрерывна или имеет конечное
число точек разрыва на отрезке [—тг, тг] и при этом монотонна или имеет
конечное число экстремумов на [—тг, тг], то ряд Фурье функции f(x) сходится
для любых х из [—тг, тг] и его сумма равна:
1)	f(x) для всех точек непрерывности х из интервала (—тг,тг);
2)	^(/(^о — 0) + /(жо + 0)) для всех точек разрыва х$\
3)	^(/(—тг + 0) + /(тг — 0)) при х = —тг и х = тг.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) — четная функция (/(—ж) = /(ж), Vz € [—тг, тг]). Тогда Ъп = 0
(п = 1,2,...), и, следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по
косинусам:
оо
/(ж) = у- + ап cosnx,
п=1
7Г	7Г
где ао =	J f(x)dx, ап = f(x) cosnxdx, (n=l,2,...).	(4.4)
о	о
Аналогично нечетная функция f(x) (т. е. f(—x) = —f(x), Чх € [—тг, тг]) разла-
гается в ряд Фурье по синусам:
оо
= Ъп sin пх,
п=1
7Г
где Ьп = J f(x) sin пх dx, (n = 1,2,...).	(4.5)
о
43

Ряд Фурье функции, заданной на произвольном
промежутке
Пусть f(x) — периодическая с периодом 21 функция, удовлетворяющая
условиям теоремы Дирихле на интервале (—/,/)• Тогда ее разложение в ряд
Фурье имеет следующий вид
оо
f(x) = у + 52 (°n cos + bn sin у^) ,
П=1
где
I
ао = у У dx,
-i
i	i
an = j [ f(x) cos dx, 6n = | [ f(x)sin^dx (n = l,2,...).
V J	I	I J	I
-I	-I
Ряд Фурье четной функции f(x) содержит только свободный член и коси-
нусы
оо
,/ \ ао .	птгх
/(®) = у + > , On COS yr,
n=l
где
i	i
ао = у У f(x) dx, an =
о	о
Нечетная функция f(x) разлагается в ряд Фурье по синусам
оо
/(x) = 526nsm^,	(4.6)
П=1
где
i
Ьп = j у/(x)sin^ dx (n=l,2,...).	(4.7)
О
I Jf(x)cos^dx (n = 1,2,...).
1.4.1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 1, заданную на интер-
вале (-7г,тг).
Q Функция четная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по косинусам,
а коэффициенты ап можно найти по формулам (4.4):
<» = i /	=IА = 1|0’ = 1-’=2.
О	о
7Г	7Г
ап = f(x) cosnxdx = cosnxdx = sinna:^ =
о	о
= ^(sin7rn - sinO) = ^(0 - 0) = 0.
44

Итак, а0 = 2, ап = 0 (п = 1,2,...). Таким образом, в данном слу-
чае ряд Фурье состоит из единственного ненулевого слагаемого, равного
во 2	.м.	*1	1
— = н = 1, и разложение имеет тривиальный вид: 1 = 1.	•
hi
Разложить в ряд Фурье данные функции, заданные на интервале
(—7Г,7Г).’
1.4.2. f(x) = cos2 х.	1.4.3. f(x) = sin2 x.
1.4.4. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = < л < х <0,
[ 1, 0 < х < 7Г.
Q Функция нечетная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по синусам.
Находим коэффициенты Ьп по формулам (4.5):
:У f(x) sin nxdx =	sinnx dx = -cos=
о	о
-^(cosTrn - COSO) = -^((-1)" - 1) = ^(1 - (-1)") =
О,
4
Тг(2& — 1) ’
п = 2fc,
k = 1,2,...
п = 2к - 1,	’ ’
Окончательно получаем
_ 4 sin(2fc ~ l)ff _ 4 ( sin a: , sin 3x , sin 5x , j
7г2^ 2к - 1 -7Г1 1	3 + 5 + -J-
k=l	\	/
Положим в этом равенстве х = Тогда
1 _ 4 (sinf . sin37r2 sin57r2 .	А_4Л1.1_ \
7Г I 1	+	3	+	5 f	зт5 -
откуда j = 1 - |	|	+ (-l)fc+1o *	+ ..., т.е. мы получили
4	о О	ZK — 1
разложение в бесконечный ряд числа Впервые это разложение было
открыто знаменитым немецким математиком и философом Лейбницем
(1646-1716).	•
{3, -я < х < О,
-3, 0 < х < 7Г.
1.4.6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х.
Q Функция нечетная, поэтому ап = 0 (п = 0,1,2,...). Осталось опреде-
лить коэффициенты Ьп по формуле (4.5), т.е.
7Г
bn = х sin nxdx.
о
45

Для вычисления последнего интеграла применим метод интегрироваг
ния по частям. Положим и = х, dv = sinnxdx. Тогда du = dx, v =
= у sinnxdx = — cos па;, откуда
7Г	7Г
Ух sinnxdx = -^х cos пх\ + 1 уcosпх&х =
о	о
= -i(7TCOS7rn - 0) + -^sinm;|0 = -£(-l)n = £(-l)n+1.
Окончательно получаем bn = % • ^(—l)n+1 = ^(—l)n+1, стало быть,
_ х _	l)n+1 sin па; _ (sin а; _ sin 2х । sin За; _ sin 4у ।
п=1
Подставив значение х = в это равенство, придем к уже встречав-
шемуся нам в задаче 1.4.4 ряду Лейбница
7T_gfSinf 8Ш7Г . 81ПТ
2	\ 1	2	3
4	3 + 5	1 J 2k-1
sin27r .	\ тжтт„
—z------1-... I, или
4 J
1
Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале (—тг, тг)г
1.4.7.
1.4.9.
fix') = 1 - 2х.
1.4.8. f(x) = ±х - 3.
£
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = <
—7Г < х < 0,
0 < X < 7Г.
Q Функция общего вида, поэтому коэффициенты Фурье находим пс
формулам (4.1)—(4.3):
v	/I	О	17Г
ао = |/f(x) dx=±f2dx + |/(-4) dx = |х|	- |х|о = 2 - 4 = -2,
— 7Г	— 7Г	О
7Г	О	7Г
ап = i у f(x) cos пх dx = J 2 cos пх dx + j\—4) cos пх dx =
— 7Г	— 7Г	О
_ 2 sin па: 1°	4 sip па: Г _ п
п |_ж тг п |0 и>
7Г	О	7Г
bn = J f(x) sin пх dx = у 2 sinпх dx 4-	(-4) sinnx dx =
— 7Г	— 7Г	0
= - cos 4°^ + A cosna;|o = "Au - (-1)") + A((-!)n - !) =
46

о,
_ 12
7ГП’
п = 2fc,
п = 2к — 1,
(fc = l,2,...).
В итоге имеем
г/ \ ао	i 12 sin(2fc — 1)ж
/(x) = ~2 52 sm nx = “1 тГ 52 2fc — 1
n=l	k—1
Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале (—тг,тг):
Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале [—7г;тф
1.4.12. 1.4.14.	f(x)=x2.	1.4.13. f(x) = \x\. Используя разложение из задачи 1.4.12, вычислить сумму ряда °о п=1 и
1.4.15.	При помощи разложения из задачи 1.4.13, найти сумму ряда °о	1 Si (2k —I)2
На интервале (—7г,тг) разложить в ряд Фурье следующие функции:
1.4.16. 1.4.17.	f(x) = 1 - ||х|. f(x) = sin ax (a — не целое число).
1.4.18.	л/ ч	“Я,	“7Г < х < 0, f(*) = п А 0, 0 < X < 7Г.
1.4.19.	С помощью разложения из задачи 1.4.18, найти сумму ряда 1 + о + о + •••+ ,	>2 +•••• З2 52	(2k -1)2
1.4.20.	Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, тг] функцию х,	0 х < /(®) =	7Г . 7Г - X, 2 X я.
Q Продолжим функцию на отрезок [—тг,О] нечетным образом (рис. 1).
Тогда полученная функция нечетная и ее ряд Фурье содержит только
47

синусы. Найдем коэффициенты bn (n = 1,2,...):
7Г
7Г	2	тг
ьп = f(x) sin пх dx = у х sin пх dx +	(тг — х) sin пх dx =
о	О	ZL
2
7Г
тг	2	\	тг	7Г
a; cos па; | 2	1 у* cosnxdxj + - л f sinnxdx ~ J xsinnxdx =
О	'	IL	IL
2	2
cos^n 2sin^n
~П~+ 7ГП2
7Г COS
2n
2cos7rn , cos 2n , 2 cos тгп
n	n	n
2sin^n 2sin^n 4sin^n
7ГП2	7ГП2	7ГП2
cos ^n
n
{o,
4(-l)*+1
7T(2fc - l)2 ’
n = 2fc,
n = 2k - 1.
_	< r/ x 4	(-l)fc+1 sin(2fc - l)z
Таким образом, /(rr) = |	.
k=i (2fc - l)z
При x = j имеем j = (1+^+^+.. •+(2fcl1)2+-• ) ’ откуда еще
11	1	2
раз находим, что сумма ряда Ц~4~+... + -------т-+... равна •
З2 52	(2к -1)2	о
1.4.21. Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) следу-
ющие функции
а)Ж) = я;	б) f(x) = l-£
1.4.22. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] функцию
/(-) = I - f-
48

Рис. 2
Q Продолжим данную функцию на отрезок [-тг,О] четным образом
(рис. 2). В результате получится четная функция, ряд Фурье которой со-
стоит только из косинусов. Вычислим коэффициенты ап (п = 0,1,2,...)
по формулам (4.4):
ao = *J
0
о
_ 2 (тг _ а:2 \ Г _ 2 (тг2 _ тг2\ _ п
“ тг I 4х 4 J |0 “ тг I 4	4 J ’
cos пх dx =
ап = cosnxdx ~
о	о
= ycosnxdx - I Jxcosnxdx =	- Ж8япПа:|о + ^fif^nnxdx =
0	0	0
= ^(sinTrn - sinO) - (тгsin7гп - 0 • sinO) - C0S-1 =
2n'	7ГП	яп2 |0
i	i	fO, n = 2fc,
= “i(C0S7rn “ cos°) = it1 “ (-i)n) = 5 2 n - 2fc - 1
7ГП	7ГП	П — ZK — L.
7Г7Г
Итак, f(x) = | Е
к=1
тг = 2	1
4
cos(2fc — I)#
—-------у-. Положим в этой формуле х = 0. Тогда
\£К J. )
00	1	11	тг2
?0”уда£(5гл? = 1 + ? + ? + --= 8-'™
совпадает с найденным ранее значением для суммы этого ряда. •
1.4.23. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] следую-
щие функции
a) f(x) = -х;	б) /(х) = ±х - 1;
в) /(®) = -я2;	г) f(x) = j®2 + 3-
1.4.24. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х на интервале (-3,3).
49

Q Функция нечетная и поэтому разлагается в ряд Фурье по синусам
(формулы (4.6)-(4.7)). В нашем случае f(x) = х, I = 3, следовательно,
з
Ьп — з / х sin з dx —
о
[u = х, dv = sin , du = dx, v = J sin dx = - cos j
2	П7га;|3 , 2 f птгх >	6	. 2-3 • П7га;|3
-“ТГП®008 3 Io + 7ГП /cos 3 dx~ 7rnCOS7rn+ sin 3 Io -
= -ят(-1)" +	- ™0) = Si(-1)”+1-
Итак,
n ~ (-l)n+1 sin	/sin sin sin 2^	\
f( \ _	6	2___'________3_ = 6 (_____3________3_ . ______\
J{X) — X к 2^	n	7ГI 1	2^3
n=l	'	'
Разложить в ряд Фурье данные функции на указанных промежутках:
1.4.25. f(x) =х, (-2,2).
1.4.27.	/(ж) = |®|, (-2,2).
1.4.29.	/(ж) = яг2, (—3,3).
1.4.26.
1.4.28.
1.4.30.
f(x)=x,
/(®) = |хг|, (—4, 4)-
f(x) = x\ (-Ц).
Дополнительные задания
Разложить в ряд Фурье данные функции на интервале (—тг,7г)г
1.4.31.	<•/ \	1 9, -7Г < х < 0, _ Л	,z ч I а, -7Г < х < 0, 1 5, 0 < X < 7Г.	1 О, 0 < X < 7Г.
1.4.33. 1.4.34.	/(*) = f - |х|. /(я:) = cosax (а — не целое число). [^(у + я:), -тг < х < 0,
1.4.35.	~]2а (к \ п <
1.4.36.	ft \ /°> -7Г < х < 0’ "Х> =1 п х, 0 х < тг.
1.4.37.	При помощи разложения из задачи 1.4.35 вычислите сумму ря- Да 1 + 2 + 2 + ... +	2 4-... З2 52	(2k -1)2
50

1.4.38.	Используя разложение задачи 1.4.36, найдите сумму ряда
а)1+£+£+"+(^Ъ?+-
б)	1- | + |- | + | - •• (Рад Лейбница).
1.4.39.	Разложите в ряд Фурье по синусам функцию
ж, О
/w= о, 5
2’
Разложить в ряд Фурье на интервале (—1,1) следующие функции:
1.4.40.	f(x) = х.	1.4.41. f(x) = |ш|.
1.4.42.	f(x)=x2.
Более сложные задания
1.4.43.	Разложить в ряд Фурье на интервале (—тг,тг) функцию
/(х) = ех.
1.4.44.	Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) функ-
цию
a)	f(x) = ш2;
б)	/(х) = cosax, где а — целое число.
1.4.45.	Разложить в ряд Фурье по косинусам на интервале (0, тг) функ-
цию f(x) = sin ах, где а — целое число.
1.4.46.	Разложить функцию f(x) = х2 в ряд Фурье по синусам на от-
резке [0, i j .
1.4.47.	Разложить в ряд Фурье на отрезке [0,3] функцию
{х, 0 х 1;
1,	1	< х < 2;
3 — х, 2 х 3.
1.4.48. Разложить функцию f(x) = ех в ряд Фурье на интервале [—I, I].

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
□
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЯ
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение
F(x,y,y’) = 0,	(1.1)
связывающее между собой независимую переменную, искомую (неизвестную)
функцию у(х) и ее производную у'(х) называется дифференциальным уравне-
нием первого порядка.
Если уравнение (1.1) можно записать в виде у1 = /(х^у), то говорят, что
оно разрешимо относительно производной. Это уравнение иногда записывают
в виде dy = f(x, у) dx или, более общо,
Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = Q
(дифференциальная форма).
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого по-
рядка называется любая функция у = <^(д?), которая при подстановке в это
уравнение обращает его в тождество. График функции у = ip(x) в этом случае
называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений данного диф-
ференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого поряд-
ка (1.1), удовлетворяющего заданному начальному условию у(хо) = Уо, назы-
вается задачей Коши.
Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интеграль-
ную кривую уравнения (1.1), проходящую через точку Mq(xq, уо).
Общим решением уравнения (1.1) называется такая функция
У = ^,С),	(1.2)
где С — произвольная постоянная, что:
1) при любом конкретном значении С она является решением этого урав-
нения;
2) для любого допустимого начального условия у(хо) = уо найдется такое
значение постоянной С = Со, что <^(д?о, Со) = уо-
В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения при-
ходится записывать в неявном виде: Ф(я?,з/, С) = 0. Тогда соотношение
Ф(я, 2/, С) = 0 называется общим интегралом этого уравнения.
Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семей-
ство интегральных кривых на плоскости Оху.
52

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка на-
зывается функция
у = ^(д?,С0),
получаемая из общего решения (1.2) при конкретном значении постоянной
С = С0.
Частным интегралом уравнения (1.1) называется равенство Ф(я?,2/, Со) =
= 0, полученное из общего интеграла при фиксированном значении С.
Теорема 2.11. Пусть в дифференциальном уравнении у' = f(x,y) функция
f(x,y) и ее частная производная fy(x,y) непрерывны в некоторой области D
плоскости Оху. Тогда для любой точки М(я?о,?/о) € D существует и притом
единственное решение у = у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начально-
му условию у(хо) = 2/0-
В каждой точке (а?о,З/о) € D число /(д?о,?/о) выражает угловой коэффици-
ент касательной к кривой у = у(х). Поэтому каждой точке области D уравне-
ние 2/' = f(x,y) ставит в соответствие некоторое направление — геометрически
его можно изобразить черточкой (стрелкой), проходящей через эту точку. Тем
самым уравнение у1 = /(х^у), (х,у) € D определяет поле направлений на плос-
кости.
Множество точек (я, у) € В, в которых у' = к, где к — постоянная, или, что
то же самое, f(x,y) = к (линия уровня функции /(я, 2/))> называется изоклиной
дифференциального уравнения. В точках изоклины направление поля одина-
ково, т. е. направления касательных в точках изоклины (или соответствующие
черточки) параллельны.
Придавая к близкие числовые значения, можно построить достаточную
густую сеть изоклин, а с их помощью — приближенно нарисовать вид инте-
гральных кривых, т.е. решений дифференциального уравнения. Этот метод,
метод изоклин, или графический (геометрический) метод решения дифферен-
циальных уравнений, особенно ценен в том случае, когда решение, общее или
частное, уравнения не выражается в элементарных функциях — интеграл не
берется.
Некоторые дифференциальные уравнения могут иметь такие решения, ко-
торые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной посто-
янной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми.
Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются
условия теоремы существования и единственности решения.
Уравнение вида
Pi(х) • Qi(2/) dx + Р2(х) • Q2(?z) dy = 0	(1.3)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
1 Теорема существования и единственности решения дифференциального уравне-
ния первого порядка.
53

Уравнение (1.3) путем деления на произведение Qi(y) • Р2(х) приводится к
уравнению с разделенными переменными
рЛх) . , QAy) , __
pi(x) Qi(y) У
(1-4)
(коэффициент при dx зависит только от х, а при dy — только от у).
Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегриро-
ванием:
fpdx), , rQz(y), „
J ^dx + J =
Заметим, что уравнению (1.3) могут удовлетворять решения, потерянные при
делении на Qi(y) • -FH#), т. е. получаемые из уравнения Q\(y) • Р2(х) = 0. Если
эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми
решениями уравнения (1.3).
Уравнение у' = f\(x) • /2(3/) сводится к уравнению (1.4). Для этого доста-
, dy
точно положить у = — и разделить переменные.
dx
2.1.1.	Показать, что данная функция является решением данного
дифференциального уравнения.
а)	у = (х + С)ех, у' -у = ех;
б)	у = ху2 dx-dy = 0;
X
в)	х2 - ху + у2 = С, (х - 2у)у' - 2х + у = Q.
Q а) Находим производную данной функции: у' = ех + (х + С)ех. Теперь
подставим значения у и у1 в заданное уравнение: ех Л\х+С)ех — (х+С)ех =
= ех. Получили тождество ех=ех. Следовательно, функция у = (х + С)ех
является решением уравнения у' — у = ех.
б) Сначала находим dy: dy = (—	dx = • dx. Подставив значения
\ х2 J х	х6
/	\ 2
4
у и dy в данное уравнение, получим тождество: х-1 —- 1 dx--dx = 0,
\ х2 J х6
2
т. е. 0 = 0. Значит, функция у = —- — действительно решение исходного
х2
уравнения.
в) Найдем производную неявной функции, для чего продифференци-
руем обе части уравнения х2 — ху+у2 = С по х: 2х—у—ху,+2уу' = 0, отку-
да у' =	, х 2у. Подставим полученное выражение для у' в данное
X	у___
дифференциальное уравнение: (х — 2у) •	---2х + у = 0. Уравнение
х
обращается в тождество, т. е. функция х2 — ху + у2 = С является инте-
гралом исходного уравнения.	•
2.1.2. Показать, что заданные функции являются решениями соот-
ветствующих дифференциальных уравнений:
а) у = In cos х, у1 = — tg х;
54

2.1.3.
б)	х2 + 2ху = С, (х + у) dx + xdy = 0;
в)	у = С • sin ш, у1 tg х — у — 0;
г)	у = Се-3®, у' 4- Зу = 0;
д)	у - х = Сеу, (х-у + \)у' = 1;
е)	у = Сех , dy — Зх2у dx = 0.
Проверить, являются ли решениями данных дифференциаль-
ных уравнений указанные функции:
а,9=з(ГЛ)'^ = зЛ
б)	v = | (1 — е~~а ),	+ bv — с = 0;
в)	У = 3 — е-®2, ху' + 2у = е-®2;
г)	х2 4- t2 - 2t = С, х +1 = 1.
Решить задачу Коши:
а)	у' = sin5a:, у = 1; б) = 3, х = 1 при t = —1.
\ /	at
О а) Проинтегрируем обе части уравнения:
2.1.4.
у = у sin dx — — | cos	+ С.
Теперь найдем частное решение уравнения. Подставив х = и у = 1
в найденное решение, получим искомое значение С: 1 = — cos + С,
откуда С = 1. Таким образом решением задачи Коши является функция
у = —| cos 5а: + 1.
о
б)	Интегрируя, находим: а: = 3£ + С, откуда, с учетом начального
условия, имеем: 1 = 3 • (—1) + С, С = 4. Искомое частное решение есть
функция а: = 3£ + 4.	•
2.1.5.	Решить задачу Коши:
а) у' = 2а: + 1, у(2) = 5; б) у' = е~3х, у(0) = |.
О
2.1.6.	Составить дифференциальное уравнение по заданному семей-
ству интегральных кривых:
а)	у — Сх3;
б)	семейство парабол, с вершиной в начале координат и осью,
совпадающей с осью абсцисс.
Q а) Продифференцировав по х равенство у = Сх3, получим: у' = ЗСх2.
У
Кроме того, очевидно, С = —. Подставляя это выражение для С в
хА
равенство у' = ЗСх2, получаем искомое дифференциальное уравнение:
у1 = 3 •	• х2, т. е. ху1 = Зу.
х6
б)	Заданное в условии семейство парабол определяется уравнением
у2 = Сх. Отсюда 2у • у' = С. Исключив из равенств у2 = Сх и2у - у' = С
параметр С, получим дифференциальное уравнение 2ху' — у = 0.	•
55

2.1.7.	Изобразить семейство интегральных кривых дифференциаль-
ного уравнения:
а) у' = 3;	б) у' = |.
2.1.8.	Составить дифференциальные уравнения заданных семейств
интегральных кривых:
а) у = у;	б) а:3 = С(х2 - у2).
2.1.9.	Составить дифференциальное уравнение:
а)	процесса изменения температуры тела в среде с температу-
рой to, если скорость изменения температуры пропорциональна
разности температур тела и среды;
б)	процесса изменения численности населения страны, считая,
что скорость прироста населения пропорциональна его числен-
ности.
Q а) Обозначим через T(t) температуру тела в момент времени t. Ско-
рость изменения температуры тела равна . Разность температур тела
at
и среды равна Т — to. Тогда дифференциальное уравнение процесса со-
гласно условию задачи будет таким: — = —к(Т — to), где к > 0 —
коэффициент пропорциональности. Если Т — to > 0, то скорость измене-
ния температуры отрицательна, т. е. что температура тела понижается;
если Т — to < 0, то скорость положительна — тело нагревается.
б) Обозначим численность населения страны в момент времени t че-
рез N(t). Тогда дифференциальное уравнение процесса изменения чи-
сленности населения будет таким = fc/V, где к > 0 — коэффициент
at
пропорциональности.	•
2.1.10.	Составить дифференциальное уравнение изменения скорости
при замедленном прямолинейном движении тела массы то под
действием силы сопротивления среды, пропорциональной ква-
драту скорости (fc — коэффициент пропорциональности). Ис-
пользовать второй закон Ньютона.
2.1.11.	Составить дифференциальное уравнение изменения массы ра-
дия в зависимости от времени («радиоактивный распад»), счи-
тая, что скорость распада радия прямо пропорциональна (ко-
эффициент к > 0) его количеству в каждый момент времени.
2.1.12.	Дано дифференциальное уравнение у' = х2. Построить поле
направлений. Методом изоклин построить приближенно гра-
фики интегральных кривых. Сравнить их с точными инте-
гральными кривыми.
Q Имеем f(x,y) = ш2, fy(x,y) = 0. Условия теоремы существования и
единственности выполняются во всех точках плоскости Оху. Через ка-
ждую точку проходит единственная интегральная кривая и различные
интегральные кривые не пересекаются.
56

Рис. 4
Рис. 3
При х = 0 и любом ?/ € (—оо, +оо) имеем у' = 0, т. е. во всех точках оси
Оу поле горизонтально (рис. 3). При х = 1 и любом у G (—оо, +оо) имеем
у' = 1 (поле образует угол 45° с осью Ох), при х = 1 поле также образует
с осью Ох угол 45°. Поле симметрично относительно оси Ох. Построим
теперь интегральные кривые, которые в каждой точке касаются «поля».
Полученные кривые напоминают кубические параболы (рис. 4). Точные
интегральные кривые имеют вид у =	+ С.	•
о
Для следующих дифференциальных уравнений построить поле направ-
лений и приближенным образом построить некоторые интегральные
кривые
2.1.13.	у1 = -х + у.	2.1.14. у‘=х-1.
2.1.15.	Решить уравнение (х — xy2)dx + (у — yx2)dy = 0. Имеет ли оно
особые решения?
Q Преобразовывая, запишем данное уравнение в виде (1.3):
ш(1 — y2)dx + ?/(1 — x2)dy = 0.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части
уравнения на (1 — 2/2)(1 — я2). Получим уравнение с разделенными пе-
57

ременными
х , У
-1 о	+ 1	2
1 — X2 1 — у2
Интегрируя обе части уравнения, имеем:
dy = 0.
— i 1П |1 — Х2| — | ln|l — J/2| = —| 1П |С|, С^О
Z	Z	Z
(произвольную постоянную здесь удобно записать именно так: — i In |С|),
т.е. (1 — я2)(1 — у2) = С, где С 0; это возможно, так In|С| может при-
нимать любые действительные значения. Получили общий интеграл ис-
ходного уравнения. При делении на (1 — ?/2)(1 — х2) мы могли потерять
решения у = 1, у = — 1, а; = 1, а; = — 1, но они содержатся в общем инте-
грале, если подставить дополнительное значение С = 0. Таким образом,
особых решений данное уравнение не имеет.	•
Решить дифференциальные уравнения:
2.1.16.	(1 4- у) dx - (1 — х) dy = 0.
2.1.17.	\/1 — у2 dx + уу/1 — х2 dy = 0.
2.1.18.	хуу' = 1 - х2.	2.1.19. у'(1 + у) = xysinx.
2.1.20.	еу(1 + у') = 1.	2.1.21. у' - ху2 = 0.
2.1.22.	Найти частное решение уравнения
ydx + clgxdy = 0, у\ _тг= — 1.
1Ж-3
Q Это уравнение имеет вид (1.3). Разделяя переменные и интегрируя,
находим общее решение заданного уравнения:
tgxdx+^dy = 0, Jtgxdx + у Y =ln|C'i|, Ci 0 0, откуда
In |?/| — In I cosa;| = In |Ci|, |?/| = |Ci cosa;|, т.е.
у = ±C1 COST, ИЛИ у = C COS Ж (положили С = ±С1).
Подставляя в найденное общее решение у = — 1 и я = (используем
о
начальное условие), находим постоянную С. А именно:
-l = Ccos£, С =—2.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид: у = — 2 cos я. •
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
2.1.23.	2^/ydx - dy = 0, 2/(0) = 1. 2.1.24. у' = 8^/у, 2/(0) = 4.
2.1.25.	у' sin# — у In у = 0, у = 1.
2.1.26.	(1 + у2) dx + (1 + х2) dy = 0,2/(1) = 2.
2.1.27.	Определить численность населения России через 20 лет, счи-
тая, что скорость прироста населения пропорциональна его на-
личному количеству, и зная, что население России в 2000 году
58

составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год
был равен а%. (Вычислить при а = 2%, а = —1%.)
ф Обозначим численность населения России в момент времени t через
N = N(t). Дифференциальное уравнение исследуемого процесса (ско-
рость «прироста» численности населения) имеет вид = kN, где
к > 0 — коэффициент пропорциональности (см. задачу 2.1.9). Отсюда
находим, что = кdt, откуда In |7V| — In |С| = kt, т. е. |ln | = kt, т. е.,
учитывая, что N > 0, имеем N = Cekt — общее решение уравнения. Со-
гласно условию задачи N = 145 при t = 0. Находим частное решение:
145 = Се°, т. е. С = 145, N = 145ен. Найдем значение коэффициента
к, зная, что в конце 2000 года, т. е. при t = 1, население России рав-
но N = 145 +	• 145 млн человек: 145 -I-	• 145 = 145е*. Отсюда
ек = 1 -I- т.е. к = In (1 -F Равенство N = 145ekt теперь можно
переписать так: N = 145 (1 -I-	• Таким образом через 20 лет числен-
ность населения составит:
при а = 2%:	N = 145 • (1,О2)20 « 215 (млн человек);
при а = —1%: N = 145 • (О,99)20 «119 (млн человек).
2.1.28.	Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному
пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движе-
ния, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 м, а
за 3 секунды — 40 м?
2.1.29.	Известно, что тело охлаждается в течение 15 мин от 100° до
80°. Через сколько минут температура тела понизится до 40°,
если температура окружающей среды составляет 10°? (Ско-
рость охлаждения тела пропорциональна разности температур
тела и окружающей среды, см. задачу 2.1.9.)
Дополнительные задачи
2.1.30.	В заданном семействе кривых найти линию, удовлетворяющую
начальному условию:
а) у(1 - Сх) = 1, у(2) = j ; б) у2 - х2 = С, у(0) = 1.
2.1.31.	Убедиться, что заданная функция является решением соответ-
ствующего дифференциального уравнения:
— dx, ху' — у — хех-,
б) 1п(4ш-|-82/-|-5)+82/—4х = С, (x+2y + l)dx — (2x+4y + 3)dy = 0.
2.1.32.	Составить дифференциальное уравнение семейства кривых,
для которых отрезок любой касательной, заключецный между
координатными осями, делится пополам в точке касания. (Ис-
пользовать геометрический смысл производной).
59

2.1.33.	Решить дифференциальное уравнение: а) = 2cosa:;	б) sin?/' = 1.
2.1.34.	При каком значении С заданная функция является решением данного уравнения: a) s = Ct + 4, s' = —1;	б) у = ш3, у1 = Сх2.
2.1.35.	Написать уравнение геометрического места точек (ш, ?/), являю- щихся точками максимума или минимума решений уравнения у' = f(x, у).
2.1.36.	Как доказать, что ху -4-ln = С есть общий интеграл уравнения х(1 + ху)у' = у(1 - ху)?
2.1.37.	Зная, что у = С1п х является общим решением уравнения ху1In а: = у, найти интегральную кривую, проходящую через точку М(е, 1).
2.1.38.	Какая из функций: У-ех, у — 2, у-],, у-у/Щх + 1) Ju | 1 является решением дифференциального уравнения ydy= ,dx ? у у 2(х + 1)
2.1.39.	Решить уравнения: а) 2у' = 0;	б) у' = х\ в) у1 = у.
2.1.40.	Какие из приведенных уравнений являются уравнениями с раз- деляющимися переменными? а) 2/' = Зу — 1;	6)	xdy + у dx	=	у2 dx\ в) (1 - х2)у' -1- ху = 1;	г)	ху' + у =	cosy; д) у' = (х + у)2-,	е)у' + х2у = ех; ж) у' — ху2 = 2ху;	з)	е~у ^1 4-	= 1; и) х2у' — 1 = cos 2у;	к)	у = хеу .
Решить дифференциальные уравнения:
2.1.41.	(у/ху + у/х)у' -у = 0.	2.1.42.	у'	— 3^-3/
2.1.43.	у х -1-1	2.1.44.	ds + s tg t dt = 0.	
2.1.45.	< + е* = о.	2.1.46.	X	+ xy + y'(y + xy) = 0.
2.1.47.	у' + у = 5.	2.1.48.	v'	— 4tv = 0.
2.1.49.	dy — у cos2 х dx = 0.	2.1.50.	y'	. x - у . x + у = sin 2	sin 2
2.1.51.	(e* + l)ejy+ е*(1+е!()	= 0.		
2.1.52.	/ . х sin x _ q у ~ у cos у			
60

2.1.53.	у' = cos(2/ — х). (Положить у — х = t.)
2.1.54.	(ху + х)^- = 1.
dy
2.1.55.	6xdx -&ydy - 2x2ydy + Зху2 dx = 0.
2.1.56.	х2 dy + {у - a) dx = 0.	2.1.57.	у1 tgx-y = a.
2.1.58.	з/'cosx - (3/ +l)sinx =	0.	2.1.59.	y' - 2yctgx = ctgx.
2.1.60.	= 1 +	2.1.61.	=
2.1.62.	у' = У/П У .	2.1.63.	2x + 2xy2 + V^x^y'	= 0.
y/x +1
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
2.1.64.	x2dy-y2dx = 0,y(^ = |.
2.1.65.	1 + у2 = хуу', у(2) = 1.
2.1.66.	(х + ху2) dx + (а:2у — у) dy = 0, у(0) = 1.
2.1.67.	у'(х2 - 2) = 2ху, у(2) - 2.
2.1.68.	cos х sin ydy = cos у sin x dx, у (тг) = тг.
2.1.69.	у' = 1,5 tyy, У(-$ = L
2.1.70.	у' = 2х+у + 2х~у, у(0) = 0.
2.1.71.	ху' -	= 0, у(е) = 1.
In X
2.1.72.	у1 sinx - (2у + 1) cosx = 0, у = 1.
2.1.73.	(е® + 8) dy - уех dx = 0, 2/(0) = 1.
2.1.74.	Найти кривую, проходящую через точку А(2,16), зная, что уг-
ловой коэффициент касательной в любой точке кривой:
а) в три раза больше углового коэффициента прямой, соединя-
ющей эту же точку с началом координат,
б) равен квадрату ординаты этой точки.
2.1.75.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(4,1), для
которой:
а)	отрезок любой касательной к кривой, заключенный между
осями координат, делится точкой касания пополам;
б)	отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс
делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
2.1.76.	Подкасательной кривой у = f(x) в точке М называется про-
екция АР на ось Ох отрезка AM касательной к этой кривой,
где А точка пересечения касательной с осью Ох (рис. 5) Най-
ти семейство кривых, у которых подкасательная имеет длину,
равную 2.
2.1.77.	Найти кривую, проходящую через точку А(1,1), для которой
площадь треугольника, образованного касательной, ординатой
точки касания и осью абсцисс, равна 1.
61

2.1.78.	Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее,
длины ее отрезка от точки касания до точки пересечения с
осью абсцисс) и подкасательной в любой ее точке равна произ-
ведению координат точки касания.
2.1.79.	Скорость распада радия пропорциональна наличной его массе.
Определить, через сколько лет от 1 кг радия останется 0,7 кг,
если известно, что период полураспада радия (время, за кото-
рое масса радия уменьшается вдвое) равен 1590 лет.
2.1.80.	Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна
количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматривае-
мый момент времени t. Количество бактерий за 4 часа утрои-
лось. Найти зависимость количества бактерий от времени, если
при t = 0 их было а.
2.1.81.	Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью
20 км/час. Через одну минуту после выключения двигателя
ее скорость уменьшилась до 2 км/час. Определить скорость
лодки через две минуты после остановки двигателя, считая,
что сопротивление воды пропорционально скорости движения
лодки.
2.1.82.	Металлическая болванка, нагретая до 420°С, охлаждается в
воздухе, температура которого 20°С. Через 15 минут после на-
чала охлаждения температура детали понизилась до 120°С.
Определить температуру болванки через 30 минут охлажде-
ния, считая, что скорость охлаждения пропорциональна раз-
ности между температурой тела и температурой воздуха.
2.1.83.	При брожении скорость прироста действующего фермента про-
порциональна его количеству. Через t± часов после начала
брожения масса фермента составила т\ г, а через t2. часов
(^2 > й) — т2 г (m2 > mi). Какова была первоначальная масса
фермента?
2.1.84.	Вращающийся в жидкости диск замедляет свое движение под
действием силы трения, пропорциональной угловой скорости
62

вращения w. Известно, что диск, начавший вращаться со скоро-
стью 18 об/с, по истечении 45 с вращается со скоростью 6 об/с.
С какой угловой скоростью будет вращаться диск по истече-
нии 90 с после начала замедления? В какой момент времени w
будет равняться 1 об/с?
Контрольные вопросы и более сложные задачи
2.1.85.	Могут ли интегральные кривые дифференциального уравне-
ния у1 = f(x) пересекаться?
2.1.86.	Можно ли множество всех решений уравнения у' = у предста-
вить в виде:
а) у = Сех;	У = С±ех + С2;
в) у = \[Сех\	г) у = sin (7 • ех,
д) У = ех+с;	е) у = ех?
С/
2.1.87.	В резервуаре находится 80 л раствора, содержащего 8 кг со-
ли. Каждую минуту в него вливается 4 л воды и вытекает 4 л
раствора, при этом концентрация соли поддерживается рав-
номерной (путем перемешивания). Сколько соли останется в
резервуаре через 40 минут?
2.1.88.	Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие опре-
деляется формулой v = Qfiy/2gh, где h — высота столба жид-
кости над отверстием, д — ускорение свободного падения (д ~
« 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из
а)	заполненного полусферического котла диаметра 2 м через
круглое отверстие на дне 0,1 м;
б)	цилиндрического бака радиуса R = 0,5 м и высотой Н = 2 м
через круглое отверстие в дне радиуса г = 0,02 м.
2.1.89.	Тело движется по прямой со скоростью, обратно пропорцио-
нальной пройденному пути. В начальный момент тело имело
скорость vq = 15 м/с и находилось на расстоянии 4 м от начала
отсчета пути. Определить скорость тела через 8 с после начала
движения.
2.1.90.	Судно водоизмещением 10000 тонн движется прямолинейно со
скоростью 10 м/с. Сопротивление воды пропорционально ква-
драту скорости судна и равно 20000 Н при скорости 1м/с. Ка-
кое расстояние пройдет судно после выключения двигателя,
прежде чем его скорость уменьшится до 2 м/с?
2.1.91.	Решить уравнение 2 ch у dx = (у/х -F 1 -F \/х — 1) dy.
2.1.92.	Решить уравнения:
а)	у1 = у sin ж2;
б)	(2х — y)dx + (4ж — 2у -I- 3) dy = 0 (положить 2х — у = ty
ч . cos у — sin у — 1
в)	У =--------•----
cos х — sin х + 1
63

г)	^/1 - y2dx + л/1 - x2dy = 0,2/(0) = 1;
д)	у' = Зх — 2у + 1 (положить Зх — у + 1 = t);
е)	у1 = cos(2/ — х).
§2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Функция f(x,y) называется однородной функцией степени п, где п-целое,
если при любом а имеет место тождество f(ax,ay) = ап f(x, у).
В частности, функция /(ж, у) — однородная нулевой степени, если
f(ax,ay) = f(x,y).
Дифференциальное уравнение вида
Р(х, у) dx 4- Q(x, y)dy = 0	(2.1)
называется однородным, если Р(х,у) и Q(x,y) — однородные функции одина-
ковой степени.
Уравнение (2.1) может быть приведено к виду
У = / (|) •	(2-2)
Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися пе-
ременными при помощи замены переменной
У
— = и т. е. у = их,
где и = и(х) — новая неизвестная функция (можно также применять подста-
новку | = и).
О	лг	, ах + by + с
Замечание. Уравнение вида у =----------приводится к однородному
aix + biy + ci
с помощью замен ж = ц 4- а, у = v + /3, где а и /3 — числа, которые подбирают
соответствующим образом (см. задачу 2.2.5). Этот же прием используется при
,	( ax + by + с \
решении уравнений вида у = f \ --------- I.
\aix + biy + a J
2.2.1. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения:
2	2
а) (у2 + ху) dx — х2 dy = 0; б) у' = ——у(-1) = 1;
X
х ,	%-	~
в) ху —у + хех = 0.
О а) Заданное уравнение имеет вид (2.1). Коэффициенты при dx и dy,
т. е. Р(х, у) = у2 +ху и Q(x, у) = —х2, являются однородными функциями
одной и той же степени (второй). Действительно,
Р(ах,ау) = (ау)2 + (ах • ay) = а2(у2 -I- ху) = а2Р(х,у),
64

2
у
X'
т.е.
Полагая
Q(ax,ay) = -(аж)2 = а2(—ж2) = а2ф(я,з/), п = 2. Следовательно, данное
уравнение однородное. Положим у = их. Тогда dy = х du + и dx, и данное
уравнение принимает вид
(и2ж2 4- х2и) dx — х2(х du + и dx) = 0.
После упрощений получим:
и2 dx - х du = 0 или	= 0.
х и2
Интегрируя последнее уравнение, получим In |ж| +	= С. Вспоминая,
что и = находим общий интеграл исходного уравнения: In |я| 4- = С.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к
виду (2.2):
2 । 2dy п	dy у2+ху	,	(у\
у+ху~х^=^ те- = или У=Ы
Полагая у = их, находим далее у1 = и'х 4- и и т. д. (см. б)).
(у X 2	у
— ] -%.
у = их, находим: у' = и'х 4- и. Подставим значения у и у' в данное урав-
нение: и'х 4- и = и2 — и. Преобразовывая, получим уравнение с разделя-
ющимися переменными: • х = и2 — 2и. Разделяя переменные и инте-
dx
грируя, имеем: J ^^и = / откУДа	= 1пИ + |1п1С'1Ь
т.е. ц 21 = |<71|ж2. Подставляя и = получаем \ —| = |С1 |ж2,
У %Х = ±С1Я2, или У = Сх2, где С = ±Ci. Теперь найдем
У	У
значение постоянной С, используя начальное условие: —j— = С • 1, т.е.
С = 3. Отсюда: ^Х = Зя2, т.е. 2/(Зя2 — 1) = — 2х, откуда окончательно:
2х
у = -——- — частное решение заданного уравнения.
в) Преобразуем уравнение к виду (2.2): у' — ^4-е® =0. Сделав подста-
новку = и, т. е. у = их, получим и'х+и—и+еи = 0, или ^4-^г = 0. Ин-
v х	7
С' X
тегрируя, имеем: J е~и du = - J т. е. —еи = — In |я| - In |С|, С 0. От-
сюда In|(7x| = е~и, т.е. —и = Inin|Cx|, С 0. Учитывая, что и = по-
лучаем общее решение заданного уравнения у = —я In In |(7x|, С 0. •
т.е.
Решить уравнения:
2.2.2.
2.2.4.
у dx 4- (я 4- у) dy = 0.	2.2.3.
ху' = y + a;sin|, у(1) =
65
у1 = ху + у2
2х2 4- ху
3 Сборник задач по высшей математике. 2 курс

2.2.5.	Привести дифференциальное уравнение
(2/ 4- 2) dx - (2х 4- у 4- 6) dy = О
к однородному.
Q Положив х = и + а, у = v + /3, получаем
(v 4- /3 4- 2) du - (2и 4- 2а 4- v 4- f3 4- 6) dv = О,
т. е. (v 4- (/? 4- 2)) du — (2и 4- v 4- (2а 4- /3 4- 6)) dv = 0. Подберем а и 0 так,
чтобы	(	£ + 2 = 0,
t 2а+ /3 + 6 = 0.
Решая систему, находим, а = —2, /? = —2. Тогда исходное уравнение
принимает вид (2.1): v dv — (2u + v)dv = 0, т. e. является однородным, что
и требовалось.	*
2.2.6.	Решить уравнение, сведя его к однородному:
(2х — 2)dy = (x + 2y — 3) dx.
2.2.7.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1,1), у ко-
торой подкасательная (см. задачу 2.1.76) равна сумме коорди-
нат точки касания.
Q На рис. 6 отрезок ВС является подкасательной. Касательная к ис-
комой кривой у = f(x) проведена в точке М(х,у). Так как по усло-
вию ВС = х 4- у, то из прямоугольного треугольника МСВ находим:
tga = —у—, т.е. у' =
х + у у
ренциальное уравнение. Полагая у = их, откуда у1 = и'х 4- и, имеем
/	।	их
их 4- и = —;-----, т.е.
х 4- их'
1 4~ и	dx
—— = — — . Интегрируя полученное уравнение, имеем
и2	х
У
——. Решим полученное однородное диффе-
ж 4- 2/
I	и	гх	du —и2
и х = з—-----и. Отсюда — х = ——, или
14- и	dx 14- и
ln|u| — i = — 1п|®| — 1п|С|,
С 0, т. е. = In ICxul или у = In |С2/|, С 0. Подставляя х = 1, у = 1
и«	у
(по условию кривая проходит через точку А(1,1)), находим конкретное
66

значение С: 1 = In |(7|, С = ±е. Таким образом, искомой кривой является
линия, определяемая уравнением х = 3/In \еу\.	•
2.2.8.	Найти семейство линий, касательные к которым отсекают от
оси абсцисс отрезки, равные ординате точки касания.
2.2.9.	Найти кривую, проходящую через точку А(1,1), у которой рас-
стояние любой касательной от начала координат равно абсцис-
се точки касания.
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
2.2.10.	ху' =у + у/х2+у2.	2.2.11.	=
2.2.12.	у = ху1 — хех.	2.2.13. ху1 — y(kiy — Inх) = 0.
2.2.14. 2.2.16.	у' = У + 2у/ху	2.2.15. ss' — 2s + t = 0. х2 + у2 = 2хуу'.	2.2.17.	у/у(2у/х-у/у) dx+x dy = 0.
2.2.18.	У'-х-у-	2.2.19. !/'cos|-|cos| + l-0.
2.2.20.	xy' + xtg^-y.	2.2.21.	- ^(1 +In у-In ж) =0.
2.2.22. 2.2.24. 2.2.25. 2.2.26.	(За;2 - y2)y' = 2xy.	2.2.23. y' - 1 = 4 + y(l) = 0. (2a;3y — y4)dx + (2xy3 — a;4) dy = 0. x dy = (x + y) dx, y(l) = 0. y2 + x2y' = xyy', y(l) = 1.
2.2.27.	(у' - I) arctg I = У (|) =0-
2.2.28. 2.2.29. 2.2.30. 2.2.31. 2.2.32. 2.2.33. 2.2.34. 2.2.35.	,	x + y xy' у = (x + y )]n x . y(x2 + y2)dx - x3 dy = 0. (a;2 + y2 + xy) dx - x2 dy = 0. x2y' + xy - x2 - y2 = 0, y(l) = 0. x2 - 3y2 + 2xyy' — 0, y(-2) = 2. У — xy' = 2(a; + yy'), y(l) = 0. у' = llnL y(i) = e- Найти кривую, проходящую через точку А(1,0), если извест- но, что треугольник, образованный осью ординат, касательной к кривой в произвольной ее точке и радиус-вектором точки ка- сания, равнобедренный; основанием его является отрезок каса- тельной от точки касания до оси ординат.
2.2.36.	Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кри- вой, равен абсциссе точки касания.
67

2.2.37.	Найти кривую, проходящую через точку А(3,0), если известно,
„	,,	м х + у
что угловой коэффициент касательной равен —-—.
2.2.38.	Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке кото-
рых равна среднему арифметическому координат точки каса-
ния.
Более сложные задачи
2.2.39.	Решить уравнение, сведя его к однородному:
, _ Зх - 4у - 2	ч _ х + у - 2
а) У ~ За; - 4у - 3’	У ~ Зх - у - 2’
2.2.40.	Решить уравнение х3(у' — х) = у2, (Сделать замену у = ит.
Число т подобрать так, чтобы привести уравнение к однород-
ному.)
2.2.41.	Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
v ¥>(<) ,___________________________
а) у' = I + —Т-Т-;	б) ху' = 4у/2х2 + у2 + у;
Л©
в) W = +101 +10-
2.2.42.	Задача о прожекторе. Найти форму зеркала, отражающего все
лучи, исходящие из одной точки, параллельно заданному на-
правлению. (Рассмотреть сечение зеркала плоскостью Оху, ис-
точник лучей (света) поместить в начале координат, ось Ох
направить параллельно отраженным лучам.)
2.2.43.	При каких а и р уравнение у' = 2ха 4- Зу& приводится к од-
нородному с помощью замены у = ит? (См. указание к зада-
че 2.2.40.)
§3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ
БЕРНУЛЛИ
Дифференциальное уравнение вида
У +р(х)у = д(х),	(3.1)
где р(х) и д(х) — непрерывные функции (в частности — постоянные), называ-
ется линейным уравнением первого порядка.
Уравнение
х'+р(у)х = д(у)	(3.2)
является линейным относительно х и х'.
Если д(х) = 0, то уравнение (3.1) принимает вид у' +р(х)у = 0 и называется
линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися перемен-
ными. В случае д(х) 0 уравнение (3.1) называется линейным неоднородным
уравнением.
68

Решение уравнения (3.1) ищется в виде у = uv, где и = и(х) и v = v(x) —
неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из этих функций
(например, v(x)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), то-
гда вторая определится из уравнения (3.1). В обоих случаях они находятся из
уравнений с разделяющимися переменными (см. задачу 2.3.1 а)).
Кроме того, уравнение (3.1) можно решить методом вариации произволь-
ной постоянной (метод Лагранжа); в этом случае его общее решение ищется
в виде С(х)е~ fp(x^dx (см. задачу 2.3.1 а)).
Уравнение вида
у + р(х)у = д(х)уП) где п G R, п / 0, п / 1,
а р(х) и д(х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.
Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y~n+1.
Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помо-
щью подстановки у = uv (т. е. методом Бернулли) или применив метод вариа-
ции произвольной постоянной (метод Лагранжа).
2.3.1.	Решить дифференциальные уравнения:
Л)у'+1ёХ.у=^-	б)у' = ^_.
X -Г у
в) ху1 — 4у = х2у/у.
Q а) Данное уравнение имеет вид (3.1) и, стало быть, является линей-
ным. Здесь р(х) = tgx, д(х) = СОдд.. Решим уравнение двумя способами.
Метод Бернулли
Полагаем у = uv, где и = и(х), v = v(x) — некоторые функции от х,
тогда у1 = u'v + uv'. Данное уравнение принимает вид:
u'v + uv1 + tgzuv =
VVJD db
или
и' v + и(у' + v tg ж) = (±2.	(3.3)
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было
равно нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разде-
ляющимися переменными v1 + vtgx = 0. Отсюда + vtgx = 0, т.е.
dx
-у- 4- tgxdx = 0, In|v| — In | cosx| = In |(7|, С 0, откуда v = Ccosx,
C 0. Поскольку нам достаточно какого-нибудь одного ненулевого ре-
шения уравнения, то возьмем v = cos х (положили (7 = 1). Подставляя
v = cos х в уравнение (3.3), получим второе дифференциальное уравне-
ние с разделяющимися переменными, из которого найдем функцию и(х):
и1 cosх = 1 т.е. du =	, и, следовательно и = tgz + С. Таким
cosx	cos2 х
образом, у = uv = (tg х -I- С) cos х или у = С cos х + sin х — общее решение
исходного уравнения.
69

Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного урав-
dy
нения у + tgz • у = 0, т. е. — = — tgz • у. Разделяя переменные, имеем
^ = -tgxdx, In |2/| = In I cosx| + In |C|, C 0,
т. e. у = C cos x. Общее решение заданного уравнения ищем в виде у =
= С (ж) cos х (букву С заменили неизвестной функцией С(х)). Подставляя
у и у1 = С'(х) cos х — С(х) sin х в данное уравнение, получим
С1 (ж) cosx - С(х) sinx + tgxC(x) cosx =
т.е.	1
C'(z)cosz=cosz
(второе и третье слагаемые взаимно уничтожились). Отсюда
dC(x) =	С(х) = tga: + С.
их COSZ X	COSZ X
Следовательно, общее решение заданного уравнения есть
у = (tgx + С) cos х,
т.е. у = С cos х + sin ж, как и в первом случае.
б)	Данное уравнение не является линейным относительно у и у1, но
является таковым относительно х и х'. Учитывая, что у' = -j, приведем
х
уравнение к виду (3.2):
/1 V	/ х + у2	,	1
У = — =------т.е. х=—т—, или х -т х = у.
х х + у2	У	У
Решая методом Бернулли, полагаем х = uv, где и = и(у), v = v(y) —
функции от 2/. Тогда х1 = u‘v + uv’ и
u'v + uv1 — uv = у,
ИЛИ	1
u'v + u(v' - v) = у.	(3.4)
Решаем уравнение с разделяющимися переменными v1 — i v = 0:
т.е. = откуда In (v| = In |Су|, C/0.
Выбирая одно из возможных решений (самое простое), имеем: v = у.
Подставляя v = у в уравнение (3.4), получим и'у = 2/, т.е. у1 = 1, и,
значит, и = у + С. Следовательно, х = uv = (2/ + С)у = у2 + Су, т. е.
х = у2 + Су — общее решение заданного уравнения; у = 0 — особое
решение.
70

в)	Уравнение приводится к виду (3.2), т.е. это уравнение Бернулли:
у1 — j у = х^у. Снова полагаем у = uv. Получаем уравнение
/	/ 4	/—
и V + UV — — UV = Xy/UV
или u'v + u(v' —	= Xy/uv. Решаем первое уравнение v' — j v = О,
разделяя переменные: = ^dx, т.е. In|v| = 4In|ж| + С. Выбирая про-
стейшее решение (при С = 0), находим v — х4. Решаем второе уравнение
с разделяющимися переменными: и'х4 = Ху/й • ж2 *, т.е.	отку-
у/и х
да 2у/й = 1п|ж| + 1п|С|, С / 0. Таким образом, и = ^1п2 |жС|, С / 0,
и, следовательно, у = uv = ^ж41п2 |жС|, где С 0, — общее решение
заданного уравнения, у = 0 — особое решение.	•
Решить уравнения:
2.3.2.	у'-2ху = ех\	2.3.3.	ху' + у - Зя2 = 0.
2.3.4.	у2 dx + (х + 2) dy = 0.	2.3.5.	(х + 1)у' — 2у = у2(х + I)5.
2.3.6.	Найти кривую, проходящую через точку Р(1,0) и такую, что
отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсцис-
се точки касания.
Q Пусть АС — касательная к искомой кривой в точке М(х, у) (рис. 7).
Согласно условию OB = х = ОА. Найдем ординату точки А, положив
X = 0 в уравнении касательной Y — у = у'(Х — ж), где Y = О А. Име-
ем: Y — у = —у'х, т.е. Y = у — у'х. Таким образом, получили линейное
уравнение х = у — у'х, или у' — ^у = —1. Положив у = uv, решим
его методом Бернулли: u'v + uv' —	= —1, т.е. uv' + v (и' —	— —1.
Находим ц:	— % = 0	и = х. Находим v, подставляя и:
ах х их
1	I (j I
xv' = — 1, или v' = — — , откуда v — — 1п|ж| + In |С|, т.е. v = In I— , где
С 0. Итак, у = х 1п||, где С / 0 — уравнение семейства интеграль-
ных кривых. Выделим среди них одну кривую, проходящую через точку
71

Р(1,0): 0=1- In |С|, а значит, С = ±1. Следовательно, у = ж In—, т.е.
|ж|
у = — ж In |ж| — уравнение искомой кривой.	•
2.3.7.	Найти кривую, проходящую через точку 0(0,0), зная, что угло-
вой коэффициент в любой ее точке равен сумме координат этой
точки.
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
2.3.8.	у' + 2у = 3еа:.	2.3.9.	(1 + x2)y’ + 2xy = Зж2.
2.3.10.	2(х + у4)у' -у = 0.	2.3.11.	у2 dx + (xy -l)dy = 0.
2.3.12.	ху1 + у = У— In ж.	2.3.13.	2/' + 2xy = 2xy3.
2.3.14.	у’ + у cos х = sin 2х.	2.3.15.	x^ + y = 4x3.
2.3.16.	у'е*2 - (хе*2 - у2)у = 0.	2.3.17.	x3y2yf + x2y3 = 1.
2.3.18.	у'х3 sin у — ху' 4- 2у = 0.	2.3.19.	y' -y = (x + i)e*-
2.3.20.	У1 + . Х 2У = 2'	2.3.21. 1-х2	1	У	x x У ^=tg2‘
2.3.22.	ху’ — у — х3 = 0, ?/(2) = 4.	
2.3.23.	у' sinx — ycosx = 1, у (^0 =	
2.3.24.	2у2 dx + (х + ey)dy = 0, у(е) = 1.	
2.3.25.	у' ~^у = -у\ yW = -1-	
2.3.26.	х cos2 х у1 + 2у cos2 х = 2ху/у.	
2.3.27.	у dx + (4 In ?/ — 2х — у) dy = 0.	
2.3.28.	(2/' + у)(х2 + 1) = е~х, 2/(0) = 1.	
2.3.29.	s' — ssintf = 2sin2£, s(0) = 1.	
2.3.30.	ipr1 + r - e* = 0, r(a) = 2a.	
2.3.31.	dx + (xy - 2/3) dy = 0, 2/(-1) = 0.	
2.3.32.	y' +	= 3x2 y/y3, 2/(1) = 1-	
2.3.33.	Пусть у\ и у2 — два различных решения уравнения у' +р(х)у =
= д(х). При каком соотношении между постоянными Ci и С2
функция у = Ciyi + С2У2 будет решением данного уравнения?
2.3.34.	Материальная точка массой т погружается с нулевой началь-
ной скоростью в жидкость. На нее действует сила тяжести и
сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости по-
гружения (коэффициент пропорциональности к). Найти зави-
симость скорости движения точки от времени.
2.3.35.	Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), касательная
к которой в произвольной ее точке отсекает на оси ординат
отрезок, равный квадрату ординаты точки касания.
72

2.3.36.	Сила тока I в электрической цепи с сопротивлением Я, ко-
эффициентом индуктивности L и электродвижущей силой Е
удовлетворяет дифференциальному уравнению
L + RI = Е.
dt
Найти зависимость силы тока I = I(t) от времени, если:
а)	Е изменяется по закону Е = kt и 7(0) = 0 (L, Я, к — посто-
янные), к — коэффициент пропорциональности;
б)	Е изменяется по закону Е = Asinurt и /(0) = 0 (L, Я, А,
ш — постоянные).
Контрольные вопросы и более сложные задачи
2.3.37.	Найти общее решение уравнения у' + yip'(x) — у?(ж)у?'(ж) = 0, где
— заданная функция.
2.3.38.	Решить уравнения:	х
а) ху' — хеу +2 = 0;	б) у(х) = Jy(t) dt + х + 1.
о
Решить дифференциальные уравнения:
2.3.39.	у1 - 2ху = 1 - 2ж2, у(0) = 2.
2.3.40.	ух' + 2х =	?/(0) = тг.
cos2 у
2.3.41.	у' cosy + sin= х.
2.3.42.	dx + (2ж + sin 2у - 2 cos2 у) dy = 0, у(-1) = 0.
2.3.43.	(64т/3 - х)у‘ - 2у = 0.
2.3.44.	у' + ху = еху2, 2/(0) = 2.
2.3.45.	Найти кривые, у которых площадь треугольника, образованно-
го осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки каса-
ния, постоянна и равна 4.
2.3.46.	Кривая у = /(ж) проходит через точку 0(0,0). Найти ее урав-
нение, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки
кривой до оси абсцисс лежит на параболе у2 = х.
Указание. Середина С отрезка нормали имеет координаты
(* + I УУ'> |) •
2.3.47.	Найти такие функции р(х) и gix), чтобы решениями уравнения
у' +р(х)у = д(х) являлись функции 2/ = 1и?/ = ж3 + 1.
2.3.48.	Можно ли решать уравнение у' = у с помощью подстановки
у — uv?
2.3.49.	Может ли решение уравнения уг = у (у 0) иметь точки ми-
нимума?
2.3.50.	Для какой кривой касательная в каждой ее точке перпендику-
лярна радиус-вектору точки касания?
73

§4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Дифференциальное уравнение
Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = О
(4.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть
полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.
dU(x, у) = ^dx+^dy = Р(х, у) dx + Q(x, у) dy.	(4.2)
ох оу
Уравнение (4.1) с учетом (4.2) можно записать в виде dU(x,y) = 0, поэтому
его общий интеграл имеет вид
и(х,у) = а
Для того, чтобы уравнение (4.1) было уравнением в полных дифференциалах,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
dP = dQ
ду дх
Функция U(x,y) может быть найдена из системы уравнений
^=Р(х,у),	<^-=Q(x,y)
ох	оу
либо по формуле
х
У
U(x,y) = Jp(x,y)dx+ jQ(x0,y)dy,
®0	УО
(4-3)
(4.4)
где (хо^уо) — некоторая фиксированная точка из области непрерывности
функций Р(х,у), Q(x,y) и их частных производных.
Замечание. Если условие (4.3) не выполняется для уравнения (4.1), то в
ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умно-
жением на некоторую функцию t(x,y) = t, называемую «интегрирующим мно-
жителем». Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: если
t = t(x) или t = t(y\, в первом случае
дР &Q
г ду дх
t(x) = е^ Q
dx
дР dQ
ду дх
причем выражение ---—---должно зависеть только от х; во втором случае
9Q дР
Г дх ду ,
t(y) = eJ р dy
причем подынтегральное выражение должно зависеть только от у.
74

т. е.
2.4.1.	Решить уравнение e®+?/+sin у+у' (еу+х+х cosy) = 0, у (In 2) = 0.
Ci Запишем уравнение в дифференциальной форме
(ех + у + sin у) dx + (еу + х + х cos у) dy = 0.
Здесь Р(ж, у) = ех + у + sin ?/, Q(x, у) = еу + х + х cos у. Проверим выпол-
нение условия (4.3):
дР	.	dQ	.	ЭР	&Q
^- = l + cos?/, -~- = l + cos?/, т.е.
оу	ох	оу	ох
и, значит, условие (4.3) выполняется. Следовательно, данное дифферен-
циальное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Найдем
функцию U, используя равенства
— ех + у + sin у и = еу + х + х cos у.
Интегрируя первое равенство по х (считаем у постоянным), находим
U(x,y) = j\ex + у + sin?/) dx = ех + ух + ж sin?/ + </?(?/),
где (/?(?/) — произвольная дифференцируемая (по у) функция. Найдем
<р(у)- Продифференцировав полученное равенство по у и учитывая второе
/ СкТТ	\
равенство ( -7— = еу + х + х cos у 1, получаем
\ оу	J
f^TT
= х + х cos у + <£>'(?/) = еу + х + х cos ?/,
откуда <р'(у) = еу, т.е. <р(у) = еу + С\. Следовательно,
U(ж, у) = ех + ху + х sin у + еу + Ci.
Общим интегралом является соотношение ех + ху + х sin у + еу + Ci = С2
или ех + ху + х sin у + еу = С, где С = С2 — С{. Найдем частный инте-
грал уравнения, для чего подставим начальное условие у = 0, х = In 2
в общий интеграл: 2 + 0 + 0 + 1 = С, откуда С = 3. Таким образом,
ех + ху + х sin у -|- еу = 3 — искомый частный интеграл.	•
2.4.2.	Решить уравнение j dx + (З?/2 + In х) dy = 0.
Ci В данном случае Р(х,у) = |, Q(x,y) = 3?/2 + 1пя, а
<ЭР dQ
-77— = -7—. Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах
оу ох
И, значит, имеет вид dU(x.y) = 0, где	= Зу2 + In х. Отсюда
ох х оу
U(x,y) = J 7j;dx, т.е. U(x,y) = ?/1пж + ср(у).
(Функцию U(x,y) можно находить и из второго равенства, интегрируя
его по у: U(x,y) = J(Зу2 + In ж) dy + <^(ж).) Тогда = (?/1пж + <р(у))'у =
= 1пж + (рг(у). Отсюда З?/2 + In я = In я + <£>'(?/), <р'(у) = Зу2 и, стало быть,
т. е.
т. е.
75

(р(у) = У3+С1- Следовательно, U{x,у) = y\nx+y3+Ci, aykix+y3 — С —
общий интеграл исходного уравнения.
Замечание. Найдем функцию U(х,у), используя формулу (4.4). По-
ложим xq = 1, уо = 0, тогда точка (1,0) принадлежит области непрерыв-
ности D = {{х,у\. х > 0}. Имеем:
X	у
U(x,y) = f^dx + j\ty2 + lnl)dy,
1 о
откуда U(x,y) = у\пх + у3. Следовательно, ?/1пж + у3 = С — общий
интеграл уравнения.	*
Решить уравнения:
2.4.3.	(2х - у) dx - xdy = 0.	2.4.4. е у dx + (2 - хе y)dy = O.
2.4.5.	Найти интегрирующий множитель и решить уравнение
(еу + sin х) dx + cos х dy = 0.
О Здесь = еу = — sinх, т.е.	и, значит, уравнение не
оу ох	оу ох
является уравнением в полных дифференциалах. Так как отношение
0Q _ дР
дх ду _ — sin ж — еу _
Р ~ еу + sin х ~
не зависит от ж, то интегрирующий множитель может быть найден по
формуле	, _ ,
(см. замечание на с. 74):
Умножая исходное уравнение на t = е~у, получаем уравнение в полных
дифференциалах:
(1 + е 27 sin я) eta: + е у cos xdy = 0
(так как Ру = —e~ysinx = е~у(— sinx) = Q'x}. Решаем его (без поясне-
ний):
а)	= 1 + е~у sin х, = е~у cos ж;
ох	оу
б)	{/(ж, у) = j(1 + е~у sin х) dx = х — е~у cos х + <£>(?/);
в)	= е~у cosx + <^'(?/), откуда e-2,cosa: -I- <//(?/) = e~ycosx, т.е.
¥’,(у) = 0> ¥’(!/) = Ci;
г)	U(x,y) = х — е~у cosх + Ci. Таким образом х — е~у cosx = С —
общий интеграл уравнения.	•
2.4.6.	Найти интегрирующий множитель и решить уравнение
(ж2 — sin2 у) dx + х sin 2у dy = 0.
76

Дополнительные задания
Решить уравнения:
2.4.7. 2.4.8. 2.4.9.	(Зя - 5я22/2) dx + (З?/2 - х3у) dy = 0. (х cos 2у — 3)dx — х2 sin 2у dy = 0. (2я + уеху) dx + (1 + хеху) dy = 0, 2/(0) = 1.
2.4.10.	( 1 Х - + У + (я Н—, -У )dy = 0, y(V*2) = \у/х2 + у2 /	\	уа:2+з/2/
2.4.11. 2.4.12.	(ж2 + 2ху + 1) dx + (я2 + у2 — l)dy = 0. вш(я + 2/) dx + х сов(я + у) (dx + dy) = 0.
2.4.13. 2.4.14. 2.4.15. 2.4.16.	(Зя2 + Зя2 In 2/) dx - ^2y -	dy = 0. Зя22/ + sin я = (cos у — x3)y'. (Зя2 + у2 + 2/) dx + (2я2/ + я + ey) dy = 0, 2/(0) = 0. (я2 + 2я2/) dx + (я2 - у2) dy = 0, 2/(1) = -1-
2.4.17.	(я - 2/) </я + (я + у) dy _ X2 + у2
2.4.18.	(zx - 1 -	dx - (Zy - Tj^dy = 0.
2.4.19.	(2ir + ev^dx + (1 - ей dy = 0.
2.4.20.	(у sin у - -2 cos х + dx + (jcosa--^2siny + ^)dy = Q-
Контрольные вопросы и более сложные задачи
Решить уравнения:
2.4.21.	(sin у + у sin я + j) dx + (я cos у — cos я +	dy = 0.
2.4.22. 2.4.23.	xey2 dx + (x2yey2 + tg2 y) dy = 0. (я ch у + sh я) dy + (2/ ch я + sh y) dx = 0.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида t =
= t(x) или t = t(y):
2.4.24. 2.4.25. 2.4.26.	y2 dx + xydy — dy = 0. (1 + Зя2 sin y)dx — x ctg у dy = 0. Найти условия, при которых уравнение Р(я, 2/) dx + <Э(я, у) dy = 0 допускает интегрирующий множитель вида t = /(я + у).
2.4.27.	Найти общие интегралы дифференциальных уравнений: а) я dx + у dy = 0;	б) я dy + у dx = 0.
77

2.4.28. Определить тип дифференциальных уравнений:
а) (1 - х2)у' + ху - 3 = 0;
в) (я + у - 1) dx + (я + еу) dy;
д) У = ху1 + у'\пу;
ж) у'(х2 - 4) = 3;
и) я dx + (я + у) dy = 0;
л) у2 dx — (2ху + 3)dy = 0;
ч / %ХУ
н) У = ~2----2’
х2 — у2
п) у' - 2у/у\пх = 0;
с) ху' — Зу + х4у2 = 0;
У) У1 = 7Х~У;
X dy у ,
х) Т" = т +
dx х
ч) y'tgy = У,
б) (у + ху2) dx — xdy = 0;
г) Зу' -2у =
е) 2х2 dx — (х% + у2) dy = 0;
з) 2х + Зя2?/ + (я3 - Зу2)у' = 0;
к) у(х — y)dx = я2 dy,
м) \/17 - 4я - 2я? dy - dx = 0;
о) (я3 + у)х' + я — у = 0;
р) х(у' - у) =ех-
т) ху' = 2(у - у/ху)\
ф) (у2 + 2у + х2)у' + 2я = 0;
^^dx + y±^d^Bi
у6 у
э) (я + у - 2) dx + (я -у + 4) dy = 0;
ю) xdy — уdx — д/я2 + р2dx = 0;
я) dx = (sin у + 3 cos у + Зя) dy.
§5. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка приходится ре-
шать методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений
относятся уравнение Лагранжа
у = х<р(у) + ф(у)	(5.1)
и уравнение Клеро
у = ху +’ф(у1'),
(5-2)
где (р и — известные функции от у'.
Уравнение (5.1) интегрируется следующим образом: обозначая р = у', запи-
шем уравнение в виде у = х<р(р) + ^(р). Дифференцируя полученное уравнение
по х, имеем
Р = ф(р) + (*¥>'(?) +
J
откуда получим (р — <р(р))^~ = хр’(р) + t//(p) — линейное уравнение относи-
сь
тельно х и . Если его решение будет х = /(р, С), то общее решение уравне-
ар
ния (5.1) записывается в виде
я = /(р,С),
у = хр(р) -I- ^(р) = /(р, с)р(р) + ^(р).
Уравнение (5.1) может иметь особое решение, вида у = <р(ро)я + ^(ро), где ро —
корень уравнения р = <р(р).
78

Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при
</?(?/) = У - Его общее решение имеет вид у = Cx+ty^C), особое решение получа-
ется путем исключения параметра р из уравнений у = рх + ^(р) и х = —i//(p).
2.5.1. Решить уравнение: у = ху' — у'2.
Q Уравнение имеет вид (5.2), т. е. это уравнение Клеро. Положим у' = р.
Тогда заданное уравнение принимает вид
у=рх-р2.	(5.3)
Продифференцировав его по ж, имеем: у' = р'х+р—2рр', т. е. р'(х—2р)+р =
= р, или р'(х — 2р) = 0. Если р' = 0, то р = С и, значит, общее решение
данного уравнения есть у = Сх — С2 (см. уравнение 5.3). Если х — 2р = 0,
т. е. х = 2р, то получаем у = 2рр - р2, т. е. у = р2. Особое решение задан-
{х = 2р, тт	/	х \
о Исключая параметр р (р = — , находим
у = рJ.	\	2 /
х2
особое решение уравнения в явном виде у = — .	9
Решить уравнения:
2.5.2. у = ху1 + у' - (р')2-	2.5.3. у = ху' - З(р')3-
2.5.4. Решить уравнение Лагранжа: у = ж(1 + у'} + (у'}2-
Q Положим у' = р. Тогда имеем у = ж(1 +р) +р2. Дифференцируя по
х, приходим к уравнению у' = (1 +р) + хр' + 2рр', откуда (х + 2р)р' + 1 =
= 0, т.е. (х + 2р)з^ = —1. Отсюда х + 2р = — з^, т.е. х* + х = —2р —
ах	ар
линейное относительно х и х' уравнение. Решим его методом Бернулли.
Полагая х = uv, получаем u'v + uv' + uv = —2р, т. е. u'v + u(v' + v) = —2р.
Находим v, приравнивая скобку к нулю и разделяя переменные: v' + v =
— 0,	= —v, 3^ = —dp, In Ivl = — p + С. Выбираем простейшее решение:
ар	и
v = е~р. Тогда: и'е~р = —2р, т.е. и' = —2рер. Отсюда и = -2 Jрер dp =
= — 2(рер—ер)+С, и, значит, и = — 2рер+2ер+С. Следовательно, х = uv =
— е~р(-2рер + 2ер + С) =2- 2р + Се~р. Учитывая, что у = ж(1 +р) + р2,
получим у = (2 - 2р + Се“р)(1 +р) +р2. Таким образом, общее решение
уравнения имеет вид (в параметрической форме)
х = 2 - 2р + Се~р,
у = (2 — 2р + С'е_р)(1 +р) +р2;
особого решения нет.
Решить уравнения:
2.5.5. у = х(у')2 + (у')2.
9 к R	ХУ X
2.S.6. у =	- -
79

2.5.7. Решить уравнение: уу/у9 — 1 = 2 — у'.
Q Разрешим заданное уравнение относительно у, а затем положим у' =
= р, тогда получим
Далее, так как у’ =
dy
dx
2-Р
\/р-^
(5.4)
откуда, после интегрирования, получим
х = -=!= +С.	(5.5)
Vp-i
Исключив параметр р из уравнения (5.5), находим	= х — С, т.е.
Vp-1
р = 1+-—-—-г. Найденное выражение для р подставим в равенство (5.4):
(Of -----
— общее решение исходного уравнения.
Дополнительные задачи
Решить уравнения:
2.5.8.
2.5.10.
2.5.12.
2.5.14.
2.5.15.
У = х/1 — у'2 3 4- у'-
2уу’ - х(у'2 + 4) = 0.
У1 + У - ху'2 = 0.
ху' ~У = In у'.
Построить интегральные кривые уравнения у = у'х + -V
У
2.5.9.
2.5.11.
2.5.13.
у' = \п(ху' - у).
у = у'2еу'.
у = ху' + у' + у/у>.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1. Решить дифференциальные уравнения:
а) х2 dy + ydx = 0, у(1) = е; б) у' = —=
1 + vх
2. Решить уравнение: у'(2х — у) = х + 2у.
3. Решить уравнение: (х + у)у' — 1 = 0.
80

4. Решить уравнение: (у3 4- cosx) dx 4- (еу 4- Зх?/2) dy = 0.
5. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радия. Через
сколько времени останется 1% от его первоначального количества, если
скорость распада радия пропорциональна его количеству в рассматрива-
емый момент?
Вариант 2
1.	Решить дифференциальные уравнения:
1 4-
а) у2у' + 2я - 1 = 0;	б) у' = ---у(0) = 1.
14-х
2.	Решить уравнение: ху1 — у = 2у/х2 4- у2.
3.	Решить уравнение: Зу' — 2у = х3у~2.
4.	Решить уравнение: — Х + dy = 0.
у У
5.	Автомобиль движется прямолинейно со скоростью 30 м/с. За какое
время и на каком расстоянии он будет остановлен тормозами, если со-
противление движению после начала торможения равно 0,3 его веса (д =
= 10 м/с2)?
Вариант 3
1.	Решить дифференциальные уравнения:
a) ydx 4- ctgxdy = 0, у = “2; б) у'2х~у 4- 32х~у = 0.
2.	Решить уравнение: ydx = (х — y/ху) dy.
3.	Решить уравнение: у1 —	= ех(х 4-1).
. „	/ 1	Зу2 \ , 2у ,
4.	Решить уравнение:	4---т- ] dx = — dy.
\х2 х4 / хл
5.	Тело массы т падает вертикально вниз под действием силы тяжести
и тормозящей силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости
(коэффициент пропорциональности к). Найти закон изменения скоро-
сти v падения тела, если в момент времени t = v = vq = 0.
Вариант 4
1.	Решить дифференциальные уравнения:
а) (1 4- у2) dx — у/х dy = 0;	б) у1 4- у cos х = cos х, 2/(0) = 2.
81

2.	Решить уравнение: Зя2?/' = у2 + 8ху + 4я2.
3.	Решить уравнение: ху1 + у = ху2.
4.	Решить уравнение: (sin 2х — 2 cos(# + у)) dx — 2 cos(# + у) dy = 0.
5.	Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произ-
ведению скорости движения v на время t. Установить зависимость между
скоростью и временем, если при t = 0 v = vq.
Вариант 5
1.	Решить дифференциальные уравнения:
а) у' + У + 7 = 0;	б) (y/ху + у/х) dy = у dx, у(0) = 1.
ху1 — у у
2.	Решить уравнение: —— = ctg .
3.	Решить уравнение: ху1 — х2 sin х = у.
4.	Решить уравнение: (5rrj/2 — х3) dx + (5x2g/ — y)dy = 0.
5.	Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 минут понижает-
ся от 100° до 60°. Температура воздуха 20°. Через сколько времени от
начала охлаждения температура хлеба будет 30°? (Указание: скорость
охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и среды.)
§6	. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Основные понятия. Теорема существования
и единственности
Уравнение
F(x,y,y',y”) = 0,	(6.1)
связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию
у(х), а также ее первые две производные у' (х) и у"(х), называется дифферен-
циальным уравнением второго порядка.
Если уравнение (6.1) можно записать в виде
у” = f(x,y,y'),	(6.2)
то говорят, что оно разрешено относительно второй производной. Мы будем
иметь дело только с такими уравнениями.
Задача отыскания решения уравнения (6.2), удовлетворяющего заданным
начальным условиям у(хо) = уо, у'(хо) = у'^, где xq, уо, у'о — некоторые числа,
называется задачей Коши.	&
82

Решением уравнения (6.2) называется всякая функция у = <р(х\ которая
при подстановке вместе с у' и у” в это уравнение обращает его в тождество.
График функции у = <р(х) в этом случае называется интегральной кривой.
Общим решением уравнения (6.2) называется функция у = y>(a?,Ci, Сг),
зависящая от двух произвольных постоянных Ci и С2 и такая, что:
1) она является решением этого уравнения при любых конкретных значе-
ниях (71 и С2;
2) при любых допустимых начальных условиях
УМ = yQ, у(хо) = y'Q	(6.3)
можно подобрать такие значения (7? и (7° постоянных, что функция
у = <р(Х) (7?, С2) будет удовлетворять этим начальным условиям.
Любая функция у = (р(х, (7°, С§), получающаяся из общего решения урав-
нения (6.2) при конкретных значениях постоянных (71 и С2, называется част-
ным решением этого уравнения.
Для дифференциального уравнения второго порядка (6.2) имеет место тео-
рема существования и единственности решения, аналогичная соответствующей
теореме для уравнений первого порядка.
Теорема 2.2. Если функция f(x,y,y') и ее частные производные fy(x,y,yr)
и ?у,(х,у,у') непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с
координатами (^о, 2/о, 2/о)» т0 существует и притом единственное решение
у = у(х) уравнения (6.2), удовлетворяющее начальным условиям у(хо) = уо,
у'(хо) = Уо-
Общий интеграл Ф(я,?/,(7i,С2) = 0 или общее решение у = <^(ж,(7i,С2)
уравнения (6.2) представляет собой семейство кривых, зависящих от двух про-
извольных постоянных (71 и С2. Задача Коши в таком случае состоит в опреде-
лении интегральной кривой у = у(х), проходящей через данную точку (яо, Уо) и
имеющей данный угловой коэффициент yfQ касательной t (данное направление
в данной точке (рис. 8)), т.е. у'(хо) = у'о = tga.
83

Понижение порядка дифференциальных уравнений
В некоторых частных случаях удается понизить порядок дифференциаль-
ного уравнения второго порядка.
Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению пер-
вого порядка одного из изученных ранее типов.
Рассмотрим наиболее типичные случаи.
Уравнения вида у" = /(х)
Интегрированием обеих частей уравнения у" = f(x) оно приводится к урав-
нению первого порядка
У = J f(x) dx = F(x) +
Повторно интегрируя полученное равенство, находим общее решение исходного
уравнения:
у = j (F(x) + Ci)dx + С2-
Дифференциальные уравнения F(xiy,iy,t) = 0, явно не содержащие
искомой функции у
Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой у' = р, у” =
= р'. Другими словами, данное уравнение равносильно системе дифференци-
альных уравнений первого порядка
у' = Р,
F(x,p,p') = 0.
Дифференциальные уравнения F(y^y^yn) = 0У явно не содержащие
независимой переменной х
Уравнения такого вида допускают понижение порядка подстановкой у' =
= р = р(у) (формальное отсутствие аргумента х позволяет считать неизвест-
ную функцию р функцией аргумента р), откуда: у” = (р(у)У = р'(у) • у'(х) =
= р' • р.
Таким образом, уравнение F(p,p,,p") = 0 равносильно системе
у' = Р,
F(y,p,p-p1') = 0.
Если функция F является однородной функцией степени к относительно
переменных р, у' и р", т.е. F(x,ty,ty',ty") = tk • F(x,y,yf ,у”У то дифференци-
альное уравнение F(x,y,yr,у") = 0 допускает понижение порядка подстанов-
кой
У _ efp(x)dx^
где р(х) — новая неизвестная функция.
84

Интегрирование дифференциальных уравнений порядка
выше второго
Приемы, описанные в предыдущем пункте, можно распространить на урав-
нения более высоких порядков.
Общее решение простейшего дифференциального уравнения n-го порядка
^(п) _ Дд.) находится n-кратным интегрированием функции f(x) и содержит
п произвольных постоянных.
Дифференциальное уравнение вида F(x, у^к\ у^к+1\ . •., у^) = 0, не содер-
жащее в явном виде искомой функции у, допускает понижение порядка под-
становкой у^ = р. Другими словами, данное уравнение равносильно системе
1у —р,
(FCr,p,p',...,p(n-fc)) =0.
Дифференциальное уравнение вида F(p, р', р",..., р^п^) = 0, не содержа-
щее явно аргумент я, допускает понижение порядка на единицу подстановкой
у' = р = р(р). При этом (по правилу дифференцирования сложной функции):
dp	dp dy	,
= — = — • — = р • р
dx	dy dx
У
у" = н71^р'р^'^ = ^"p + (p)2)*’
dy dx
и т. д.
2.6.1.	Найти общее решение дифференциального уравнения
р" = ——- + х — sin х.
1 + яг
Q Интегрируя, получим
у1 = [ ( ——т + х - sin а? ) dx = arctgx +	+ cos# + Сд.
J \ 1 + xz	J	*
Повторное интегрирование (J axctgxdx надо брать по частям: arctg# =
= и, du = —v = х, dx = dv) приводит к ответу:
1 +xz
У = J ^arctg х +	+ cos х + Сд^ dx =
= zarctgz + | ln(l + я2) + ^- + sin# + C±x + C2.	•
о
Найти общие решения данных дифференциальных уравнений:
2.6.2.	р" = sin 4# + 2х — 3.
2.6.3.	р" = е5х + cosх - 2я3.
2.6.4.	р" = хех* + 3~х.
2.6.5.	р" = 4cos4 х + 2 sin2 + у/х + 2.
85

2.6.6.	Найти частное решение данного дифференциального уравне-
ния, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
у” = (е2х + зшЗя)я, ?/(0) = 1, 2/'(0) = 1.
Q Сначала находим общее решение. Интегрируя по частям, находим
у1 = J (е2х + зтЗя)яб?я =
х = и,	du = dx
(е2х + sin Зя) dx = dv, v = ±e2x — | cos Зя
— x (±e2x — | cos3x\ - ±e2x + i sinЗя + Ci. (6.4)
Повторное интегрирование по частям (проделайте нужные вычисления)
приводит к общему решению:
у = х (%е2х - ± sin Зя) - ~е2х — cos Зя + С1Я + Сг- (6.5)
В равенствах (6.4) и (6.5) подставим я = 0, у’ = 1, у = 1, откуда получаем
систему уравнений относительно неизвестных констант С\ и С^'.
/1 = -1 + с,, Гс, = |,
' 1 = -1--2- + С |С =ИЗ
I1 4	27 + °2’	108'
Найденные значения постоянных подставляем в общее решение (6.5). По-
лучаем искомое частное решение
(1 „2х	1 ОлЛ	1 „2х	2 о— । 5_ । 143	а
g sin Зяj ^е cos Зя -I- ^я Ч-	®
Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовле-
творяющие заданным начальным условиям:
2.6.7.	у” = (я2 +	7я + 9)еж, 2/(0) = 1, у'(0) = 4.
2.6.8.	у” — 2(2я2	+ 2я - 5) соз2я - 4(2я + 1) зш2я, у = 0,	у'(0)	=	0.
2.6.9.	у" =	+ 2 cos я — я sin я, 2/(1) = 1, 2/'(1) = 0.
2.6.10.	у” = (4я3	+ 10я2 + 2я + 2)е2:Е + 6 sin Зя + 9ясозЗя,	2/(0)	= 1,
2/(0)' = 1.
2.6.11.	Решить дифференциальное уравнение у” — у' ctgx = 2язшя.
Найти также частное решение, если у = 1, у' = 0 при я = ^.
Q Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит
явно искомую функцию у, т. е. имеет вид F(x, у1, у") = 0. Положим у1 = р,
тогда у" = р'. Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
р' — р ctg я = 2я sin я — линейное относительно неизвестной функции
р = р(х). Общее решение этого уравнения найдем подстановкой р = и • v,
р' = u’v + uv1. Получаем:
u'v + uv1 — uv ctg я = 2я sin я О
v' — г;^я = 0,
u'v = 2язшя.
86

Из первого уравнения находим In |v| = In | sin z|, т. е. v = sin х. Подставляя
во второе уравнение, получим и' = 2я, откуда и = x2+Ci. Следовательно,
р = uv = (х2 +С1) sin х, т. е. у1 = (х2 + Ci) sin х. Интегрируя это равенство,
найдем общее решение исходного уравнения
у = — (х2 + Ci) cos х + 2# sin я + 2 cos х + С2.
Подставляя в два последних равенства начальные условия х = , у = 1,
у' = 0, получаем
и 1- (я2 Vz . 7Г V^_|_9 л. С
°“1<16+С17^_ и 1 “	16 + C1) Т + 2 ~2~ + 2 Т" + °2'
Найденные значения Ci = — 77г и С2 — 1--т- (5 + 2) подставляем в
1о	2 \ 2	)
общее решение. Отсюда искомое частное решение
уч = 2a:sinT + 1 —	д^у/2 — (х2 —	— 2 J cost.	•
Следующие дифференциальные уравнения решить подстановкой у' = р:
2.6.12.
2.6.14.
2.6.16.
2.6.18.
2.6.20.
2.6.21.
= 0.
2.6.13.
2.6.15.
2.6.17.
2.6.19.
{х + 1)у" = у' - 1.
у" + у' tg т — sin 2х — 0.
ху'Чпх = у'.
ху" + у' + х = 0.
У" ~ %у' = 2х3.
х3у" + х2уг -1 = 0.
ху” ~У' — х2ех.
y"tgx -у' -1 = 0.
(1 + х2)у" + 2хуг - х3
Найти общее решение дифференциального уравнения у" tgy =
= 2(у1)2. Найти также частное решение, удовлетворяющее на-
чальным условиям 2/(1) =	3/(1) = —2.
Q Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде ар-
гумента х, т.е. имеет вид F(y,y',y") = 0. Примем в качестве независимой
переменной у и выполним замену у' = р = р(у). Тогда у” = р • р', а ис-
ходное уравнение принимает вид: р • р’ tg 2/ = 2р2. Если р = 0, то у1 = 0,
т. е. у = С. После сокращения на р 0 решим дифференциальное урав-
нение первого порядка р' tg у = 2р. Это уравнение с разделяющимися
переменными. Решаем его стандартным образом:
Р sin у
т.е. In |р| = 2In | sin2/| + In |Ci|, Ci 0, откуда p = Cisin22/ (заметим,
что найденное ранее решение р = 0 содержится в полученном выраже-
нии — достаточно положить Ci =0). Заменим р на у1 и решим урав-
нение у' = Ci sin2 у, которое также является уравнением с разделяющи-
dv
мися переменными: —— = Ci dx, или — ctg2/ = Cix + 62- Получили
sin2 у
общее решение исходного уравнения в неявном виде. Подставим в него
87

и в выражение для у1 значения ж = 1, у = и у' = —2. Из равенства
—2 = Ci sin2 находим Ci = —4, а из равенства — ctg = Ci + С2, учи-
тывая, что Ci = —4, находим С% = 3. Подставляя полученные значения
констант в общее решение, которое запишем в виде у = arcctg(—Cix—62),
находим требуемое частное решение уч = arcctg(4# — 3).	•
2.6.22.	Найти частное решение дифференциального уравнения
(1 +2/2/V = (1 + (2/')2У,
удовлетворяющее начальным условиям 2/(0) = $/'(0) = 1.
Q Подстановка у' = р = р(у) и у" = р р' приводит данное уравне-
ние к виду (1 + ру)р - р' = (1 + р2)р, откуда р = 0, т. е. у = С, или
1 + р2
р' =	. Полученное дифференциальное уравнение не относится к
уравнениям первого порядка известного нам типа. Перепишем его в виде
1 _|_ ру	1
у' = ---учитывая, что р' = —. Получим линейное (относительно у
1 + р2	У
и у') дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно ре-
шить подстановкой у = uv. Его общее решение имеет вид (найдите его
самостоятельно)
у = л/1+р2( Р „ + С1 ) .
xyi + p2 /
Теперь остается решить дифференциальное уравнение первого порядка
s =	(-7== + с,
\у1 + (у')2
не разрешенное относительно производной у1. Но в общем виде решить
его достаточно хлопотно. Однако, так как нам нужно найти частное ре-
шение исходного уравнения, то воспользуемся начальными условиями
для определения постоянной Ci, полагая в последнем равенстве у = 1 и
у' = 1. Приходим к равенству
\л/2	/
из которого Ci = 0. Тем самым, нам достаточно решить уравнение у = у1,
откуда у = Сех. Полагая здесь х = 0, у = 1, находим С = 1. Таким
образом уч = ех — искомое частное решение.	•
Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений, а там,
где указаны начальные условия, найти соответствующее частное реше-
ние:
2.6.23.	у"у3 = 1.	2.6.24.	уу" - О/')2 -1=0.
2.6.25.	1 + (j/')2 - W' = 0.	2.6.26.	2yy" - 3(j/')2 = 4y2.
2.6.27.	у" = 2/'(1 + (у')2)-
2.6.28.	у" = у’ In у’, у(0) = 0, j/'(0) = 1.
88

2.6.29.	у" + у'у/(у')2 - 1 = 0, 2/(тг) = О, у'(тг) = -1.
2.6.30.	Зу'у" = 2у, у(0) = у'(0) = 1.
2.6.31.	у" = 2у3, у(0) = 0, у'(0) = 1.
2.6.32.	Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго по-
рядка ху'(уу" - (у')2) = у(у')2 + х4у3.
Q Перепишем уравнение в виде
ху'(уу" - (у')2) - у(у')2 - Х4У3 = О,
после чего обозначим через F(x,y,y' ,у") левую часть полученного равен-
ства. Если заменить 2/, у', у" на ty, ty', ty", соответственно, то приходим
к равенству
= t3[xy'(yy" - (у1)2) - у(у')2 - xr4y3] = t3F(x,y,y',y").
Это означает, что функция F — однородная (третьей степени, к = 3) и в
таком случае соответствующее уравнение допускает понижение порядка
подстановкой у = eJpdx, где р = р(х) — неизвестная функция от х.
Отсюда у1 = peJpdx, у" = (pl +p2)eJpdx. После соответствующих замен и
сокращения на e3fpdx 0 приходим к дифференциальному уравнению
первого порядка относительно р
I	. „4	„„„ Л Р . X3
ХР\Р + Р — Р ) = Р +х , или р = - + —
(при этом мы теряем решение у = 0, которое потом надо добавить к отве-
ту). Получили уравнение Бернулли, которое можно решить (предлагаем
сделать это самостоятельно) подстановкой р = uv. Его общее решение
имеет вид	/------
р = хух2 + Ci.
Поскольку у = eJpdx, то находим сначала
Jpdx = Jх\/х2 -I- Ci dx = |\/(я2 + Ci)3 + С2,
а затем и общее решение исходного дифференциального уравнения (за
вычетом частного решения у = 0) имеет вид
J/ = elv'(l2+C1)3+c'2, или у = С3  elv/(l2+C1)3, С3 > 0.
Учитывая, что при Сз = 0 как раз получается потерянное частное
решение у = 0, приходим к окончательному ответу: у = Сз • ез‘\А:с2+с'2)3?
С3 0.	•
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.33.	х2уу" = (у- ху’)2.	2.6.34. 2уу" - 3(2/')2 = 4з/2.
2.6.35.	Найти частное решение дифференциального уравнения третье-
го порядка у'" — 16 cos3 2х + ех — 1, удовлетворяющее началь-
ным условиям ?/(0) = — 1, 2/'(0) = ", y"(fi) = 3.
89

Q Это простейшее дифференциальное уравнение решается трехкрат-
ным интегрированием правой части. Сначала понизим степень косинуса:
16 cos3 2х = 8(1 + cos 4ж) cos 2х = 8 cos 2х + 4 • (2 cos 4х cos 2х) =
= 8 cos 2х + 4 • (cos 2х + cos 6х) = 12 cos 2х + 4 cos 6х.
После первого интегрирования получаем
у" = 6 sin 2х + | sin 6х + ех — х + Ci,	(6.6)
о
после второго
у' = -3cos2z - cos6z + ех -	+ Cix + С2,	(6.7)
а после третьего — общее решение
у = sin2£ - sin6# + е® - ^- + Ci~y + С2х + С3.	(6.8)
Подставляя в (6.6)-(6.8) значения х = 0, у = — 1, у' = —	у” = 3,
получим соответственно: 3 = 1 + Ci, — i = — 3 — + 1 + С2, —1 = 1 + <73,
У	У
откуда Ci =2, С2 = 2, <73 = —2. Подставляя эти значения в выражение
для у, получаем требуемое частное решение
уч = - sin 2х — ^7 sin6x + ех -	+ х2 + 2х - 2.	•
2	54	о
Замечание. Произведения произвольных постоянных на конкретные
числа также можно считать произвольными постоянными. Например,
______________________	0 д.2
в (6.8) можно писать Ci#2 вместо ——.
Решить следующие дифференциальные уравнения высших порядков, а
там, где имеются начальные условия, найти соответствующие част-
ные решения:
2.6.36.	/v = cos2x.	2.6.37. у^=еЬх.
2.6.38.	у'" = 6х2.	2.6.39. у1" = 4 cos3 х - х.
2.6.40.	у'" = cos х cos 2х cos 5х.
2.6.41.	у"’ = х2 + Зх - 1, 2/(0) = 1,2/'(0) = 2, j/"(0) = 3.
2.6.42.	yv = sin 2/(0) = 2/'(0) = 1, 2/"(0) = 8, 2/"'(0) = 6, yIV(0) = -2.
2.6.43.	у'" =	!/(0) = 0, 2/(0) = 2, 2/"(0) = -|.
2.6.44.	Решить дифференциальное уравнение четвертого порядка
22//v = 3
Q Это уравнение имеет вид F(x, у"', yIV) = 0, поэтому его порядок мож-
но снизить на три единицы при помощи замены ут = р, yIV = р'. При-
ходим к уравнению 2р' = 3 %/р. Рассмотрим два случая: 1) если р = 0,
90

т е> у,п = 0 то у = Стх2 4- С2Х + С*з — не общее решение; 2) если р 0 О,
то = dx. Отсюда получаем рз = х 4- Ст, или у"' = ±(я 4- Ci)3/2.
3 ур
Последовательные интегрирования дают
у" = ±|(х + С'1)2+С'2)
о
у' =	+ (71)2 4- С2Х 4- (7з,
У = ±^х + С1)1+С2х2 + С3х + С4.
Таким образом, общее решение имеет вид
у =	+	+ С2х2 + С3х + С4,
uld
к которому присоединим полученное ранее не общее решение у = С±х2 4-
4- С2Х 4- (7з.	®
Решить данные дифференциальные уравнения высших порядков:
х4у'" + 2zV = 1.
у"' 4- у” tg х = sin 2х.
yIV - 2(у"' - 1) ctgx = 0.
2.6.45.
2.6.47.
2.6.49.
2.6.51.
(1 4- х2)ут 4- 2ху" = х3.	2.6.46.
x4yIV + 2х3у'" = 1.	2.6.48.
ху'" - у” = х2ех.	2.6.50.
Найти частное решение дифференциального уравнения
in „н ।	2 о л
ху ~ У + х — 2 = 0,
удовлетворяющее начальным условиям р(1) = 2, ?/'(1) = “,
2/"(1) = -3.
Q Данное уравнение имеет вид F(x, ?/", у'") = 0, т. е. не содержит явно у
и у'. Поэтому положим у" = р, у'" = р'. Получаем линейное относительно
неизвестной функции р = р(х) уравнение
р'_Р = 1
Р X X
— х.
Его общее решение имеет вид (проверьте!) р = х (Ст — х — Нам оста-
ется решить простейшее дифференциальное уравнение у" = С\х — х2 — 2.
Подставив из начальных условий х = 1, у" = —3, находим Ст = 0. Инте-
з
грируя получающееся равенство у" = —х2 — 2, имеем у' =	— 2х 4- С*2-
о
Снова подставляя начальные условия х = 1, у' = — находим С2 = 2.
о
3	4
Значит, у' = — — 2х 4- 2. Отсюда у = —	— х2 4- 2х 4- (7з. Наконец,
1	13
учитывая, что р(1) = 2, т. е. 2 = -тк -14-24- (7з, получим (7з = тк, и,
1.Л	L/i
т4 9	13	—
следовательно, уч = -	- х2 4- 2х 4-	®
2.6.52.	Решить дифференциальное уравнение у"(1 4- 2In?/') = 1.
91

Q В этом уравнении явно отсутствуют и аргумент ж, и искомая функ-
ция. Поэтому его можно отнести и к типу F(y, у', у”) = 0, а, значит, можно
положить у' = р = р(у), у” = р р', и к типу F(x,y',y") = 0, а, значит,
можно положить у1 = р = р(х), у" = р1.
1)	В первом случае приходим к уравнению рр'(1 + 21np) = 1. Здесь
, dp	.
р = —, а уравнение после разделения переменных может быть записано
dy
в виде р(1 + 21np) dp = dy. Отсюда Jр(1 + 21np) dp = f dy, т.е. (после
интегрирования по частям) р21пр = у + C*i, или (у’)2 \пу’ = у + С\. По-
лучили уравнение, не разрешенное относительно у’ (и не разрешенное
относительно у1). Его проинтегрировать нельзя.
2)	Во втором случае приходим к уравнению р'(1 + 21np) = 1. Здесь
di)
р' = —, а уравнение может быть записано в виде dp(l+2 lnp) = dx. Отсю-
да y\l + 21np) dp = j dx, t. e. 2plnp-p = я + С*2, или 2y' In у' - у' = x + C2.
Это уравнение также нельзя проинтегрировать.
3)	Результаты предыдущих действий можно объединить и получить
параметрическую форму общего решения исходного уравнения. Поло-
жим у1 = t. Тогда
у + Ci = t2 In t,
х + С2 = In t — t
— общее решение данного уравнения в параметрической форме.
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.53.	(z/")2 + (2/'")2 = 1-	2.6.54.	у'у"' = Цу")2.
2.6.55.	ху"' + у" = х + 1.	2.6.56.	\у")2 - 2у,уп + 3 = 0.
2.6.57.	(у")2-у'Г=
2.6.58.	у'" = Зуу', у(0) = j/'(0) = 1, j/"(0) =
2.6.59.	у" + 2у" In у' = 1, з/(0) = 1,3/' (0) = -1.
2.6.60.	у"'у2 - Зуу'у" + 2(з/')3 + %(уу" - (у1)2) = 4-
X
92

Дополнительные задания
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.61.	(1 + Х2)У" + (j/')2 + 1 = 0.
2.6.62. 2.6.63. 2.6.64.	ху" = у'In у-. ху'" 4- у" = 1 4- х. (1 4- х2)у" - 2ху' = 0, 2/(0) = 0, у'(0) = 3.
2.6.65.	2/"(1 + 1пя) + ^- = 2 + Inz, у(1) =	j/'(l) = 1.
2.6.66.	2/" = ^l+ln^,2/(l) = l у'(1) = 1.
2.6.67. 2.6.68. 2.6.69. 2.6.70. 2.6.71. 2.6.72. 2.6.73.	уу" + (у')2 - (у')3 In у = 0. у'" = (у")3. (ж 4- 1)у" - (ж 4- 2)у' 4- х 4- 2 = 0. Зу'у" = у + (у')3 + 1, у(0) = -2,2/'(0) = 0. У2 + (у')2 ~ 2УУ" = 0, у(0) = у'(0) = 1. 2уу" - 3(i/')2 = 4t/2, 2/(0) = 1, у'(О') = 0. у' = х(у")2 4- (у")2.
Контрольные вопросы и более сложные задания
2.6.74.	Почему общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит ровно две постоянные? Какую роль играют они в структуре общего решения?
2.6.75.	Могут ли через точку (яо,?/о) плоскости Оху проходить пять различных частных решений дифференциального уравнения третьего порядка? второго порядка?
Решить дифференциальные уравнения:
2.6.76. 2.6;77. 2.6.78. 2.6.79. 2.6.80. 2.6.81. 2.6.82.	у'"(1 + (у')2)-3у'(у")2=о. 2уу" + (у")2 + (У')4 = 0. уу" + (у')2 = у2 Ьу.	 уу" = (у')2 + у'\/у2 + (у')2- 1 + (у')2 = 2уу", у(1) = у'(1) = 1- у' = ху" + у" - (у")2.
2.6.83.	х(у')2у" = (у')2 +1^4- О
2.6.84.	V1 - Х2у" 4- у/1 - (у1)2 = 0.
93

§7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Предварительные сведения
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка
называется уравнение вида
у” + р(х)у' + q(x)y = f(x),	(7.1)
где функции р(х), q(x) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [а, Ь].
При этих условиях существует единственное решение уравнения (7.1), удо-
влетворяющее заданным начальным условиям: у(хо) = ?/о, у'(хо) = Уо при
хо Е [а, 6].
Функция f(x) называется правой частью уравнения (7.1), а соответству-
ющее уравнение называется также линейным дифференциальным уравнением
второго порядка с правой частью. При f(x) = 0 приходим к линейному одно-
родному дифференциальному уравнению второго порядка (или уравнению без
правой части)
у" -I- р(х)у' + q(x)y = 0.	(7.2)
Линейно независимые функции
Функции yi(x) и у2(х) называются линейно независимыми на отрезке [а, Ь],
если тождество
С1У1(х) + С2у2(х) = 0, хе [а,Ь],	(7.3)
имеет место тогда и только тогда, когда Ci = С2 = 0.
Если же существуют такие числа Ci и С2, из которых хотя бы одно отлично
от нуля, что для всех х е [а,Ь] имеет место тождество (7.3), то функции yi(x)
и у2(х) называются линейно зависимыми на отрезке [а, 6].
Данные определения равносильны следующим:
функции т/i(х) и у2(х) называются линейно независимыми (зависимыми) на
отрезке [а,Ь], если
У1(х)	(yi(x) _	\
—— const I —— = const J , х е [а, о\.
У2\Х)	\У2(Х)	)
О линейной зависимости или независимости функций yi(x) и у2(х) можно
судить по определителю
W[yi,y2] =
У1(х)
У1(х)
У2(х)
У2(х)
который называется определителем Вронского (или просто вронскианом).
Теорема 2.3. Если yi(x) и у2(х) линейно зависимы на отрезке [а,Ь], то
W[yi,y2] = 0 для всех х из [а, Ь].
94

Теорема 2.4. Если yi(x) и у2(х) линейно независимые на отрезке [а,Ь] ре-
шения дифференциального уравнения (7.2), то определитель Вронского этих
функций отличен от нуля во всех точках отрезка [а, Ь].
Структура общего решения линейного
дифференциального уравнения
Теорема 2.5. Общее решение уоо линейного однородного дифференциально-
го уравнения (7.2) имеет вид
Уоо = С1У1(х) -I- С2У2(х),
где yi(х), у2(х) — линейно независимые решения этого уравнения.
Таким образом, для того, чтобы получить общее решение однородного
уравнения (7.2), достаточно найти любые два линейно независимых частных
решения этого уравнения (в этом случае говорят, что они образуют фундамен-
тальную систему решений уравнения (7.2)).
В некоторых случаях удается тем или иным способом найти только одно
частное решение yi(x). Тогда другое частное решение У2(х) можно найти по
формуле
х
— fp(x)dx dx,
уг(х) = 2/1(х) • / -57— • ехр
где хо G [а,Ь]. Оба решения yi(x) и у2(х) при этом линейно независимы.
Теорема 2.6. Общее решение уоп линейного неоднородного дифференциаль-
ного уравнения (7.1) представляется в виде суммы
Уон — Уоо “1" З/ч,
где уоо — общее решение соответствующего однородного уравнения (7.2), а
2/ч — некоторое частное решение неоднородного уравнения (7.1).
Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)
второго порядка с постоянными коэффициентами
у" + РУ + qy = Q.	(7.4)
Квадратное уравнение
fc2+pfc + g = 0	(7.5)
называется характеристическим уравнением для уравнения (7.4).
95

Для составления общего решения уоо дифференциального уравнения (7.4)
необходимо найти корни ki и &2 соответствующего характеристического урав-
нения (7.5) и применить следующую теорему:
Теорема 2.7. Пусть fci и — корни характеристического уравнения для
уравнения (7.4). Тогда общее решение уравнения (7.4) находится по одной из
следующих трех формул:
1)	Если ki и &2 — действительные и ki / к2, то
yoo = CieklX+C2ek2X-,
2)	если ki = к2, то
Уоо = ек1Х(С1+С2хУ,
3)	если &i,2 = а ±/Зг — комплексно-сопряженные корни, то
Уоо = eax(Ci cos/Зх -I- Сг sin/Зя).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛНДУ) второго порядка с постоянными
коэффициентами
Поскольку общее решение уоо линейного однородного уравнения (7.4) лег-
ко находится по теореме 2.7, то в силу теоремы 2.6 для нахождения общего
решения линейного неоднородного уравнения
у" +ру' + qy = f(x)	(7.6)
остается найти какое-нибудь одно его частное решение уч. В тех случаях, когда
правая часть f(x) имеет специальный вид, частное решение уч неоднородно-
го уравнения находится методом неопределенных коэффициентов. Этот метод
называется также методом подбора частного решения неоднородного уравне-
ния и сводится к следующим двум случаям.
Случай 1. /(я) = eaa:Pn(#), где Рп(х) — многочлен степени п.
а)	Если а не является корнем уравнения (7.5), то частное решение уч мож-
но искать в виде
Уч = eaxQn(x),
где Qn(x) — многочлен степени п с неизвестными коэффициентами.
б)	Если а — корень уравнения (7.5) кратности к, то частное решение у^
можно искать в виде
Ун = xkeaxQn(x).
В частности, если /(я) = Рп(х), т. е. а = 0, то у^ имеется в виде у^ = Qn(x)
(если а = 0 не является корнем характеристического уравнения) или в ви-
де уч = хк • Qn(x) (если а = 0 — корень кратности к характеристического
уравнения).
96

Случай 2. f(x) = еах[Рп(х) cos/Зх A Qm(x) sin/Зх], где Рп(х) и Qm(x) —
многочлены степени п и т, соответственно. Положим N = max(n, т).
а)	Если а ± /3i не являются корнями уравнения (7.5), то
• уч = еах[Ри(х) cos/Зх A Qn(x) sin/Зх].
б)	Если а± /3i — корни уравнения (7.5) кратности к, то
уч = xkeax[PN(x)cos/3x + QN(x)sin/3x].
В частности, если f(x) = a cos fix + 5 sin/fa, т. e. a = m = n = 0, то частное
решение ищется в виде уч = A cos /Зх А В sin /Зх (если числа ±/3i не являются
корнями характеристического уравнения) или в виде уч = (A cos fix А В sin /Зх)-х
(если числа A/3i — корни характеристического уравнения).
Теорема 2.8. Если уЧ1 и уЧ2 — частные решения соответственно уравнений
у” Ару A qy = /i(u)
и
у” Ару A qy = /2(я),
то функция ?/ч = т/ч1 + ?/ч2 — частное решение уравнения
у” Ару A qy = /i(z) + f2(x).
Метод вариации произвольных постоянных
для определения частного решения неоднородного
уравнения
В общем случае, в том числе тогда, когда правая часть ЛНДУ имеет вид,
не предусмотренный предыдущим пунктом, для отыскания частного решения
используют метод вариации (т. е. изменения) произвольных постоянных (или
метод Лагранжа). Суть его в следующем. Пусть yi(x) и у2(х) — фундамен-
тальная система решений однородного уравнения (7.4). Тогда частное решение
можно представить в виде
У = Ci(x)yi АС2(х)у2,
где функции Ci (х) и С2 находятся из системы дифференциальных уравнений
fCij/i + С2у2 = 0,
АС2У2 = f(x).
Разумеется, метод вариации произвольных постоянных можно применять
и в случае, когда правая часть ЛНДУ имеет вид, рассмотренный в предыдущем
пункте.
4 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
97

Уравнение Эйлера
Дифференциальное уравнение второго порядка вида
х2у" + рху +qy = О
называется уравнением Эйлера.
Подстановкой у = е* оно сводится к ЛОДУ с постоянными коэффициен-
тами.
Обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка
(ах 4- b)2y 4- р(ах 4- b)y' 4- qy = О
приводится к ЛОДУ с постоянными коэффициентами подстановкой ах+b = е*.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами порядка выше второго
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
порядка п 2
у{п) 4- ai7/(n-1) 4- а2у(п~2) 4-... 4- an-iy' 4- апу = f(x)
решаются аналогично уравнениям второго порядка, опираясь на соответству-
ющие определения и теоремы. В частности:
1.	Система функций yi = yi(x), у2 = У2(х), ..., уп = Уп(х) называется
линейно зависимой на отрезке [а,Ь], если существуют постоянные Ci, С2г ...,
Сп, не все равные нулю такие, что имеет место тождество
Ciyi 4- С2у2 4-... 4- СпУп =0, х € [а, Ь].
Если же это тождество имеет место только при Ci = С2 = ... = Сп = 0, то
данные функции линейно независимы на отрезке [а,Ь].
Вронскиан системы функций j/i, у2, ..., уп имеет вид
	yi У1	У2 У2	Уп Уп	
Ж(х) = W[yi,y2,---,yn] =				
	(п-1) У1	У2	(п— 1) Уп '	
2. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному диффе-
ренциальному уравнению n-го порядка
?/(n) 4- ai7/(n-1) -I-... -F an-iy -I- апу = 0,	(7.7)
имеет вид
к + aik ... -|- an-ik 4- ап = 0.	(7*8)
98

Теоремы 2.3-2.6, сформулированные для уравнений второго порядка, также
имеют место и при любом п > 2.
3. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейно-
го дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффици-
ентами
у'” + РУ" + qy' +гу = /(х)	(7.9)
состоит в следующем: общее решение уравнения (7.9) имеет вид
у = С1(х)у! -|- С2(х)у2 4- Сз(х)уз,
где i/i, 2/2, уз — фундаментальная система решений однородного уравнения
У +ру +qy +гу =
а функции С1(ж), Съ^х), Сз(х) — находятся из системы дифференциальных
уравнений первого порядка
{С1У1 4- С2У2 4- С'зуз = О,
С1У1 4- С2У2 4- С'зУз = О,
С1У1 С2У2 + С3У3 = f(x).
2.7.1.	Установить линейную зависимость или независимость данных
пар функций на областях их определения.
а)	ж, cos X]	б) х, 2х;
в) tgx, ctg х.
Q а) Функции yi(x) = х и у2(х) = cosх определены на всей прямой, т.е.
при х Е (—оо, +оо). Тождество С±х 4- С2 cos х = 0 имеет место только при
Ci = С2 = 0. В самом деле, если предположить противное, т.е. что это
тождество имеет место, например, при С2 / 0, то после его дифференци-
рования получим новое тождество — С2 sinrr = О, откуда sin х =
<>2
х е (—оо,+оо), что неверно. Если же предположить, что С2 = 0, то
получим С\Х = 0, что также невозможно при С± 0 0. Таким образом,
тождество С\х 4- C^cosx = 0 имеет место только при С\ = С2 = 0, и,
стало быть, функции х и cos х линейно независимы на действительной
прямой.
Заметим, что	const и со^ж const, т.е. функции х и cosх
Удовлетворяют и другому определению линейной независимости.
б)	Имеем = 2 при х 0 0 (тождество можно доопределить по не-
прерывности и при х = 0), поэтому функции yi = 2х и у2 = х — линейно
зависимы.
в)	Ввиду периодичности функций у± = tgx и У2 = ctg х с периодом
Т = тг достаточно установить их линейную независимость в интервале
х е (0,тг) (* 0 ?)• Имеем	= tg2 х £ const х € (0,тг),
\	2 /	У2 Ctg X COS х
99

х / Таким образом, функции tg# и ctgz линейно независимы в обла-
сти их определения (х 0 п • п Е z).	*
Установить, какие из следующих пар функций линейно независимы, q
какие — линейно зависимы:
2.7.2.	arcsinx и arccosx.	2.7.3.	sin x, sin2x.
2.7.4.	ех, е®2.	2.7.5.	1, X.
2.7.6.	•	• 2 sin х, sin X.	2.7.7.	sinxcosx, sin2x.
2.7.8.	1 - cos2x, sin2 x.	2.7.9.	1 4- cos2x, cos2 x.
2.7.10.	Даны функции у\ = ех, у2 = е~2х. Составить однородное диф-
ференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко-
эффициентами, общее решение которого имеет вид
уоо = Ciex + С2е~2х.
Q Заметим сначала, что данные функции линейно независимы на всей
прямой, так как	= е3х const. Пусть у = С\ех 4-	—
i/2 С~^х
общее решение некоторого ЛОДУ второго порядка. Тогда
у' = Схех -2С2е~2х,
у" = С±ех +4С2е~2х.
Разрешим эту систему относительно постоянных Ci и С2. Вычитая первое
уравнение из второго, получаем ЪС2е~2х = у" — у'. Отсюда
С'2 = |(!/"-№.
Теперь первое уравнение, домноженное на 2, прибавим ко второму:
2у'+ у" = 3Ciex.
Отсюда Ci = ^(2уг 4- у”)е~х. Полученные выражения для С± и С2 под-
ставим в выражение для у:
y = h2yf + y") + ky"-y'),
о	и
т. е. у" 4- у1 - 2у = 0. В итоге мы получили дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяют функции yi — ех, у2 = е~2х.
Поскольку решения yi = ех и у2 = е~2х этого уравнения линейно
независимы, то в силу теоремы 2.5 функция уоо = С\ех 4- С2е~2х — дей-
ствительно его общее решение. Отсюда следует, что это и есть искомое
дифференциальное уравнение.	•
юо

Составить линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами, для которого данные функ-
ции составляют фундаментальную систему решений, предварительно
проверив, что данные функции линейно независимы:
2.7.11.	sinx, cos а?.	2.7.12.	е~х, ех.
2.7.13.	1, х.	2.7.14.	хех, ех.
2.7.15.	е2х, ех.	2.7.16.	е2х, хе2х.
2.7.17.	sin2x, cos2x.
2.7.18.	Найти общее решение уравнения 2у” — Зу' + у = 0.
Q Составим характеристическое уравнение: 2k1 2 — 3fc + 1 = 0. По его
корням fci = 1 и А?2 = составим общее решение данного однородного
уравнения, согласно теореме 2.8:
у00 =	+ С2е^х.	•
Найти общие решения уравнений:
2.7.19.	у"	- Зу' + бу = 0.	2.7.20.	2у" + бу' - 7у = 0.
2.7.21.	у"	+ 4?/' - Зу = 0.	2.7.22.	Зу" + у' -2у = 0.
2.7.23.	у"	+ 25?/' = 0.	2.7.24.	4?/" - 9?/' = 0.
2.7.25.	Найти общее решение уравнения 4?/" + 4?/' + у = 0.
Q Характеристическое уравнение 4fc2 + 4fc +1 = 0 имеет два одинаковых
корня fci = k2 = — 1. В таком случае (см. теорему 2.8)
&
1 1
Уоо=С1е 2® +С2а:е 2®,
или Уоо = (С*! + С2Я)е 2®.
Найти общие решения уравнений:
2.7.26.	у" — бу'4-9у = 0.	2.7.27. у" - 4у'4-4у = 0.
2.7.28.	4у" — 12у'4-9у = 0.	2.7.29. 9у" 4-12у'4-4у = 0.
2.7.30.	Найти общее решение уравнения 2у" + у' + Зу = 0.
О Характеристическое уравнение 2fc2 4- к 4- 3 = 0 имеет комплексные
(комплексно-сопряженные) корни:
,	-1±ч/23г
fci,2 =--4-----•
В этом случае общее решение уравнения имеет вид
Уоо —
V23	~ . V23 \ _i
Ci cos —4—я 4- С2 sm —4—я I е 4 .
Найти общие решения уравнений:
2.7.31. у" + 4у = 0.
2.7.33. у" 4-у'4-у = 0.
2.7.32.
2.7.34.
101
4у" 4- 9у = 0.
у" - у' 4- бу = 0.

2.7.35.	2у" — Зу'+ 5у = 0.	2.7.36. 5у" - Зу'+ 2у = 0.
2.7.37.	Найти частное решение уравнения Зу"+7у'+4у = 0, удовлетво-
9
ряющее заданным начальным условиям т/(0) = 1, у'(0) = —
Q Характеристическое уравнение 3fc2 + 7fc+4 = 0 имеет корни fci = — 1 и
А?2 = — q . Следовательно, общее решение имеет вид у00 = С\ е~х + С^е з х.
о
4	_ —
Находим у'оо = —С\е~х — зж. Подставляя в последних двух равен-
ствах ж = 0, у = 1, у1 = — д, получаем систему уравнений относительно
Cl И С*2-
(Ci + С2 = 1, J Ci = 2,
=	=*1с2 = -1.
х	U	Ох
Найденные константы подставляем в выражение для общего решения.
Получаем искомое частное решение
уч = 2е~х - е~^х.	•
Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовле-
творяющие заданным начальным условиям:
2.7.38.	у" - 4т/' + Зу = 0, 2/(0) = 6, у1 (0) = 10.
2.7.39.	у" + 4?/' = 0,2/(0) = 7, 2/'(0) = 8.
2.7.40.	2/" - 6?/' + 9у	= 0,	2/(0)	=	0,	у'(0)	= 2.
2.7.41.	42/" + 42/' + у	= 0,	2/(0)	=	2,	2/'(0)	= 0.
2.7.42.	у" - 42/' + 32/	= 0,	2/(0)	=	6,2/'(0)	= Ю.
2.7.43.	Найти общее	решение	уравнения у"—7у' = 5хех, подбирая част-
ное решение методом неопределенных коэффициентов.
Q Характеристическое уравнение к2 — 7k = 0 имеет два действительных
корня fci = 0 и А?2 = 7, поэтому общее решение однородного уравнения
у" — 7yf = 0 имеет вид у00 = Ci + С2в7х. Правая часть неоднородного
уравнения имеет вид /(ж) = Pi(x)ekx, где Pi(х) = 5х — многочлен пер-
вой степени, а к = 1 — не является корнем характеристического урав-
нения. Значит, частное решение ищем в таком же виде: уч = (Ах + В)ех
(Ах + В = Qi(x) — многочлен первой степени с неизвестными коэффи-
циентами). Для определения коэффициентов А и В находим
у'ч = Аех + (Ах + В)ех = (А + Ах + В)ех, у'' = (2А + Ах + В)ех,
после чего подставляем выражения для уч, у'ч и у" в исходное диффе-
ренциальное уравнение:
(2А + Ах + В)ех - 7(А + Ах + В}ех = Ьхех.
После сокращения обеих частей на ех и приравнивания коэффициентов
при соответствующих степенях х в левой и правой части полученного
102

равенства приходим к системе уравнений относительно неизвестных А
иВ:	х: А — 7А = 5,	f-6A = 5,
х° : 2А + В - 7А - 7В = 0, Т в’ (-5А - 6В = 0.
К	QK	/ К	25\
Отсюда А = В = кг, а уч = I-%х + »£ I е®. Теперь в силу теоре-
О	оо	\ о	оо /
мы 2.6 общее решение исходного уравнения имеет вид
Уон=С1+С2е7®+(-|а:+||)е®.	•
Найти общие решения уравнений, находя их частные решения методом
неопределенных коэффициентов:
у" - Зу’ + 2у = 10е~х.
у" - Зу' + 2у = 2х3 - 30.
у” + 4у' - 5у = 1.
Найти общее решение уравнения yff + бу1 + 9у = (х — 2)е~3х
у" - бу' + 9у = 2х2 - х + 3.
у" - 2у' + 2у = 2х.
2у" ~ У' ~ У = 4гге2®.
2.7.44.
2.7.46.
2.7.48.
2.7.50.
Q Характеристическое уравнение fc2 + 6fc + 9 = 0 имеет корень k = — 3
кратности 2, откуда у00 = (Ci + Czx)e~3x. Правая часть исходного урав-
нения имеет вид Pi(x)eax, где Р±(ж) = х — 2— многочлен первой сте-
пени, а а = —3 — корень кратности 2 характеристического уравне-
ния. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
уч = x2Qi(x)e~3x, т.е. уч = (Ах + В)х2е~3х. Дальнейшие вычисления
оформим следующим образом. Расположим уч, у'ч, у”, в столбик, слева
от них запишем соответствующие коэффициенты исходного дифференци-
ального уравнения, после чего составим систему уравнений относительно
А и В, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной
х левой и правой частей полученного равенства (при этом е~3х можно
сократить)
9 У = (Ах3 + Вх2)е
6
1
В приведенных выражениях одинаковыми линиями подчеркнуты подоб-
ные члены.
х3 : 94 - 184 + 94 = 0,
х2 : 9В + 184 - 18В - 184 + 9В = 0,
х1 : 12В + 64- 12В = 1,
xQ : 2В = -2.
2.7.45.
2.7.47.
2.7.49.
,—Зх
у' = (ЗАх2 ТТВх - ЗАх3 - ЗВх2}е~3х
у” = (9Ах3 - 18Ах2 + 9Bz2 + 6Аг - 12Вх + 2В)е~3®
0 = 0,
0 = 0,
А-1
А~ 6’
В = -1.
Заметим, что получили систему из четырех уравнений с двумя неизвест-
ными, при этом два уравнения тривиальны. Это признак правильности
составления системы.
Таким образом, уч =
ж2е 3®, откуда общее решение
Уон = (Ci + С2х)е Зх
Л-3®
103

Найти общие решения уравнений:
2.7.51.	у" + Зу' -4у = (х + 1)е®.
2.7.52.	у" -2у' + у = (х + 1)е®.
2.7.53.	у" + 2у' + у = (х + 3)е"ж.
2.7.54.	2у" + Зу' + у = (1 - 2х)е~х.
2.7.55.	у" + Зу' + 2у = (1 - 4х)е~2х.
2.7.56.	у" + 4у' + Ау = (1 - 4х)е~2х.
2.7.57.	Решить уравнение у" 4- Зу' + 2у = (2х 4- 3) sin х 4- cos х.
Q Решая характеристическое уравнение fc2+3fc+2 = 0, находим к± = —1,
&2 = —2, откуда у00 = С\е~х 4- С2е~2х. Частное решение неоднородного
уравнения ищем в виде
уч = (Ах 4- В) sin х 4- (Сх 4- D) cos х.
Так как неизвестные многочлены Pn(x) = Ах + В и Qn(x) = Сх + D
должны иметь степень N = max(m,n), где т = 1 — степень многочлена
Pi(x) = 2х 4- 3, п = 0 — степень многочлена Qq(x) = 1 (см. случай 2а
на с. 97 при 7 = 0; мы специально поменяли местами Р(х) и Q(x\ чтобы
показать, что это не влияет на структуру уч). Далее
2 уч = (Ах 4- В) sin х 4- (Сх 4- D) cos ж,
3 у'ч = A sin х 4- (Ах 4- В) cos х + С cos х — (Сх 4- В) sin ж,
1 у'ч = 2A cos х — (Ах 4- В) sin х — 2С sin х — (Сх + В) cos х.
Теперь приравниваем коэффициенты при подобных членах в левой и
правой частях соответствующего уравнения:
х sin х :
sin х :
х cos х :
cos x :
2A - ЗС - A = 2,
2B + ЗА - 3D - В - 2С = 3,
2С + ЗА - С = 0,
2В + ЗВ + ЗС + 2А-В = 1,
ГА-ЗС = 2,
ЗА + В - 2С - 3D = 3
ЗА + С = 0,
к2А + ЗВ + ЗС + В = 1
1	3
Из первого и третьего уравнений находим: А = -=, С = — Из второ-
21
го и четвертого, с учетом полученных коэффициентов, имеем: В =
3
В = — не- Таким образом,
Уон =	sinx -	cosa; 4-Ge W+C2e 2®.
\О 2о/	\О 2о/
Решить уравнения:
2.7.58.	у" - 7у' + 6у = sin х. 2.7.59.	2у" + Зу'	= 29 cos х.
2.7.60.	у" -4у = е2х sin2x. 2.7.61.	у" - 2у'	-8у=	-8cos2x.
2.7.62.	у" -I- 4у' 4- 4у = (2х 4- 3) sin х 4- cos х.
2.7.63.	у" — 2у = 2x(cosx - sinx)ex.
2.7.64.	Решить уравнение у" 4-16?/ = Зх sin 4х 4- cos 4х.
104

Q Корни характеристического уравнения fc2+16 = 0 мнимые: fci,2 = ±4г.
С ДРУг°й стороны, правая часть неоднородного уравнения имеет вид
f(x) = еОж(Ро(^) cos4x 4- Qi(x) sin4x). Значит, а ± /3i = ±4i — корни
характеристического уравнения, поэтому (см. случай 26, с. 97).
уч = х [(Аж 4- В) cos 4ж 4- (Сх 4- В) sin 4ж].
Имеем:
16 уч = (Ах2 4- Вх) cos 4ж 4- (Сх2 4- Dx) sin 4ж,
О у'ч = (2Ах 4- В) cos 4ж - 4( Ах2 4- Вх) sin 4ж + (2Сх + D) sin 4ж +
-F 4(Сж2 4- Dx) cos 4х,
1 у" = 2 A cos 4х - 9>(2Ах 4- В) sin 4х - 16(Ах2 4- Вх) cos 4х +
4- 2С sin 4х 4- 8(2Сж 4- D) cos 4х — 16(Сх2 4- Dx) sin 4х.
Отсюда
х2 cos 4х : 16А - 16А = О,
х cos 4х : 16В - 16В 4-160 = О,
cos4x: 2А4-8Р = 1,
x2sin4x: 160-160 = 0,
х sin 4х : 16Р - 16А - 16Р = 3,
sin 4х : -8В 4- 20 = 0.
откуда А = В = С = О, D =
16	64
Таким образом,
Уон = Oi cos 4х 4- О2 sin 4х - -^х2 cos 4х 4- Ц sin 4х.
16	64
'0 = 0,
2А + 8Р = 1,
-16А = 3,
^-8В + 2О = 0,
Решить уравнения:
2.7.65.	у" 4- 25?/ = cos 5ж.
2.7.67.	у" + у = х sin х.
2.7.69.	у" — 2у‘ 4- 5у = ех cos 2х.
2.7.66.	у" 4- у = 2xcosx 4- sin ж.
2.7.68.	у" + 9у = |isin3x-xcos3x.
3 л
2.7.70.	5у" - бу' + 5у = е$х sin
о
2.7.71.	Решить уравнение у” — 2у' 4- бу = хех cos 2х 4- х2 — х 4- 2.
Q Общее решение соответствующего однородного уравнения
у” — 2у' + бу = О
имеет вид (проверьте!) у00 = (Oi cos2x 4- О2 8т2х)еж. Данное дифферен-
циальное уравнение представим в виде совокупности двух уравнений:
'у" — 2у' 4- 5у = хех cos2x,
.у" - 2у' 4- Ьу = х2 - х 4- 2.
Частное решение первого уравнения находим в виде
2/Ч1 = ж[(Аг 4- В) cos 2х 4- (Сх 4- D) sin 2х]ех,
так как а ± Pi = 1 ± 2г — корень характеристического уравнения
к2 - 2к + 5 = 0, к = 1 ± 2г.
105

Соответствующие вычисления, которые предлагаем выполнить самосто-
ятельно, дают
^41 = Х	COS2X + |#sin2a/| ех.
Частное решение второго уравнения находим в виде
уЧ2 = Ах2 + Вх + С.
Аналогично находим ?/ч 2 = I#2 — тгЬ# + tkU Общее решение исходного
уравнения имеет вид уон = Уоо + Уч1 + Уч2, т.е.
Уон = (Ci cos 2т + С2 sin 2т)е®+
+ х (cos 2т +
\ 1о
1	^х । 1 _2	1 _ । Зо
gTsin2Tje + -=х ~25а:+125- •
Решить уравнения (данные уравнения, согласно правым частям, пред-
лагаем целесообразным образом представить в виде совокупности более
простых):
2.7.72.	у"	- 2у' + у = х2 - х + 3 + х cos х.
2.7.73.	у"	+ бу' + бу = (х - 2)е"3® + х2 + 2х - 3.
2.7.74.	у"	+ бу' + 10?/ = (ж + 6) cos Зя - (1&г + 6) sin Зя + 2хе~3х cosx.
2.7.75.	у"	+ 9у = е~3х(х - 2) + 14 + 63ж2.
2.7.76.	у" -2у' + у = sinx + ±ех - ±е~х.
&	и
е2х
2.7.77.	Решить уравнение у" — у' = ........
д/1 — е2х
Q Общее решение однородного уравнения у" — у' = 0 имеет вид у00 =
е2х
= Ci + Съех. Правая часть /(ж) = —-------неоднородного уравнения не
\/1 - е2х
позволяет найти частное решение уч методом подбора (или неопределен-
ных коэффициентов), поэтому воспользуемся методом вариации произ-
вольных постоянных:
Уч = С^х^у! +С2(х)у2,
где yi = 1, у2 = ех — фундаментальная система решений однородно-
го уравнения, a Ci(x) и С2(х) — решения системы дифференциальных
уравнений
С[у\ + С'2У2 — О,
С^+«=Ж»,
т.е. <
С[ • 1 + ех = О,
4,2®
с:»+с5"- = ет-
Из второго уравнения находим
/ех
——= dx
\/1 — е2х
ех
С2 =	, откуда после интегри-
>/1 - е2х
= arcsine® (константу интегрирования
106

полагаем равной нулю). Из первого уравнения системы получим С{ =
— -С<>ех =------ ---, т.е., интегрируя,
\/1 — е2х
с'м = Ч^=в = '/'^-
Тем самым, частное решение имеет вид
Уч = С\(х) • 1 + С2{х)ех = \/1 — е2х + ех arcsine®,
а общее решение
Уон = С\ + С2Х +	- е2ж + ех arcsine®.	•
Решить уравнения, используя метод вариации постоянных:
2.7.78.	у"-у
2.7.80.	у" -бу' + 9у = ^.
2.7.82.	у" + у + ctg2 х = 0.
2.7.84.	у"-2у' + у=^—
х2 +1
2.7.79.	у"-2у' + у = ^.
2.7.81.	у" + 4у = —^г—.
COS^ X
2.7.83.	у" — у' — e2xVl-e2x.
2.7.85.	Найти частное решение уравнения у" — 2у' — у = 6хех, удовле-
творяющее заданным начальным условиям: у(0) = 2, у’(0) = —5.
Q Запишем уравнение без правой части у" — 2у' — у = 0. Его характери-
стическое уравнение имеет вид к2 — 2k — 1 = 0, откуда fci,2 = 1 ± л/2, т. е.
Уоо = Cie^~^x + С2е^1+^Х. Частное решение неоднородного уравнения
найдем методом подбора:
-1 уч = (Ах -I- В)ех
—2 у'ч = (Ах + В + А)ех
1 у'± = (Ах + 2А + В)ех
х :
xQ :
-4-24 + 4 = 6,
-В - 2В - 24 + 24 + В = 0.
Следовательно, 4 = —3, В = 0 и уч = — Зхех. Отсюда
Уон = С1е^-^х + С2е<1+^® - Зхех.
Полученное выражение продифференцируем, а затем в уон и у'он подста-
вим х = 0, у = 1, у' = 1 из начальных условий и из получающейся
системы определим значения констант С± и С2. Имеем:
у'о„ = (1 -	+ (1 + V2)C2e<1+^x - Зе® - Зхех,
а соответствующая система, о которой говорили выше, имеет вид:
{Ci + С2 = 2 (заменили х = 0, уон = 2),
(1 - VtyCi + (1 + V^)C2 - 3 = -5 (заменили х = 0, у’он = -5).
Первое уравнение, домноженное на — (1 + Vty, прибавим ко второму:
-2V2C! = -4 - 2>/2, Cr = 2v/2 + 4 = 1 + \/2.
2>/2
107

Далее С2 = 1 — Ci = 1 — у/2. Искомое частное решение имеет вид
у = (1 + V2)e{1-^x + (1 - v/2)e(1+v7)a: - Зхех.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным на-
чальным условиям:
2.7.86.	у" + у = 4хех, у(0) = -2, у'(0) = 0.
2.7.87.	у" + у = 4 sin я,	у(0) = 1, у'(0)	= 2.
2.7.88.	у" - 2у' — Зу =	eix, у(0) =	у'(0) =
2.7.89.	у" + 2у' - Зу =	48а;2е:’, у(0)	=	1, у'(0) =
2.7.90.	у" + 4у' + 4у =	32а;е2*, у(0)	=	-1, у'(0)	= 1.
2.7.91.	у" - у = 2ех - х2, у(0)	= 2, у'(0) = 1.
2.7.92.	у" + Зу' + 2у = 2sinЗх	+ 6созЗх, у(0) = у'(0) = 0.
2.7.93.	у" + 9у = бсозЗгг, у(0)	= 1, у'(0) = 3.
2.7.94.	у" -у' =	у(0) = 1, у'(0) = 2.
2.7.95.	4у" + у = ctg у(тг) = 3, у'(тг) = |.
2.7.96.	Найти общее решение уравнения Эйлера х2у" + 2ху' + у = 0.
Q Положим х = е*, откуда t = In х. Тогда неизвестная функция у = у(х)
становится сложной функцией аргумента t: у = у(е*). Следовательно,
dy
, = dy_= dL = dye-t
dx dx dt
dt
у"
^ye-t _ e-t^y\e-t_
dt2e dt r -
e~2t
e2t
Исходное дифференциальное уравнение принимает вид
e-2t + 2е*  ^е~* + у = 0,
at
т.е.
+ +У = °’ или У” + У' + У = °,
dt2 dt
где у = y(t). Общее решение полученного линейного уравнения с посто-
янными коэффициентами находим стандартным образом:
/	\/3	у/3 \
Уоо = е 2 I Ci cos ^-t + С2 sin ^-t 1 .
Остается вернуться к переменной х, используя замену t = In ж. Получаем
1 (	л/3	73	\
Уоо = — I Ci cos ^5- In я + С2 sin	In x ) .	•
x/X \	J
108

решить уравнения:
2.7.97.	х2у" + 2ху' - бу = 0.	2.7.98. х2у" + Зху' + у = 0.
2.7.99.	ху" + у' = 0.
2.7.100.	Решить обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера
(За; - 2)2у" - 2(3х - 2)у' + бу = 0.
Q Положим За; — 2 = е*, откуда t = 1п(3а; — 2). Тогда х = 1(е‘ + 2),
— Iе*» тг’ = 3e-t. Далее
at dx
Ух = У'г*х = Зе“‘ •
у"2 = (Зе~‘у{)' • *' = 3(—e-t • y't + е-‘ • у^3е~* =	- у').
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
9(?//2 - y't) - 6y't + бу = 0, т. е. 9у" - 15у' + бу = 0, у = y(t).
Корни соответствующего характеристического уравнения 9fc2 — 15fc + 6 =
= 0, т.е. 3fc2 — 5fc + 2 = О равны fci = 1, fc2 = i, поэтому
о
?/оо(£) = (Де Н-С^ез .
После замены t = In (Зя — 2) и преобразований получим окончательно
Уоо(х) = (Д (Зя - 2) + С2 V(3^-2)2.	•
Решить уравнения:
2.7.101.	(2я + 1)V - 2(2я + 1)у' + 4у = 0.
2.7.102.	х2у" + ху' + у = 0.	2.7.103. яV - ху' - Зу = 0.
2.7.104.	х2у" + 4яу' + 2у = 0.
Дополнительные задания
Доказать линейную независимость данных функций на их области
определения, найти определитель Вронского:
2.7.105.	я, ех,е~х.	2.7.106. я, хех, хе~х.
2.7.107.	arctgx, arctg2x, arctg3x. 2.7.108. 1, я, я2,	, яп.
2.7.109.	eklX, ек2Х, екзХ (fci, А?2, кз — различные действительные числа).
2.7.110.	' ех, е2х, е3х, ..., епх.
2.7.111.	cos я, соз2я, ..., созпя, я е [0,2тг].
Доказать линейную зависимость данных функций и найти определи-
тель Вронского:
2.7.112.	1, агсзшя, агссозя, я 6 [—1,1].
109

2.7.113.	тг, arctg2#, arcctg2#, x € (—oo,+oo).
2.7.114.	sin2#, cos2#, cos2#, sin2#, x € (—oo,+oo).
2.7.115.	sin 3a, sin a, sin3 a, 1, a € (—oo,+oo).
2.7.116.	cos a, cos3 a, cos 3a, 5, a 6 (—oo,+oo).
2.7.117.	In#, In#2, In2#, In3#, # e (0, -Foo).
2.7.118.	ex, ex sin2 #, ex cos2 #, e~2x, x 6 (-oo, +oo).
Показать, что не существует линейного однородного дифференциаль-
ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, для
которого данная система функций является фундаментальной:
2.7.119. sin#, sin2#. 2.7.121. X, 2.7.123. e®,sin#.	2.7.120. cos#, cos2#. 2.7.122. #2, j. 2.7.124. e®, cos#.
2.7.125. #, sin#.	2.7.126. #, cos#.
2.7.127. #, #2, sin#.	2.7.128. ex, e~x, cos#.
2.7.129. #, #2, cos#.	2.7.130. #, ex, sin#.
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение с посто-
янными коэффициентами, фундаментальная система решений которо-
го имеет вид:
2.7.131. е2х, е~3х, ех.
2.7.133. cos 2#, sin 2#, е х.
2.7.135. ех, хех, х2ех, е3х.
2.7.132. 1, ех, е3х.
2.7.134. ех, хех, sin#, cos#.
2.7.136. ех, хех, sin3#, cos3#.
Составить линейное дифференциальное уравнение с переменными коэф-
фициентами по данному общему решению:
2.7.137.	у = С1Х + ^.	2.7.138. у = С^х + 2) + —.
#2	г	(# + 2)3
2.7.139.	у = Ci#2 + С2#4 + С3.	2.7.140. у =	+ 2х.
2.7.141.	y = C1+(72(#+l)6 + Сз
(# +1)
2.7.142.	у = (Ci eosin# + С2 sin In#)# + #ln#.
2.7.143.	у = #(Ci + C2In# + In2#).
2.7.144.	у = Cix + C2#2 + 1 + (#2 + 2#)In#.
Решить уравнения:
2.7.145. y" — 4y' + 3y = 0.	2.7.146. y" + 4y' + 29y = 0.
2.7.147. 9y" + 6y' = 0.	2.7.148. 4y" + 12y' + 9y = 0.
2.7.149. 5y" + y = 0.	2.7.150. 5y" + y' = 0.
2.7.151. y"1 - 2y" - 3y' = 0.	2.7.152. y'" + 4y" + 13y' = 0.
2.7.153. y'" + 2y" + y' = 0.	2.7.154. y'" + 2y" - y' - 2y = 0.
2.7.155. yIV - 16y = 0.	2.7.156. yIV + y = 0.
110

2.7.157.	2у'" 4- 9у" + 17у' 4- 14у = 0.
2.7.158.	yIV+y" = 0.
решить уравнения, а там, где есть начальные условия, найти соот-
ветствующее частное решение:
2.7.159.	у" + у' = (ж 4- ех - 2х - 2.
2.7.160.	у" + у' — (1 - 4ж)е-2а:.	2.7.161. у" 4- у' = Зе-2® sinх.
2.7.162.	у" +у' = (2х + 3) sin а: + cos а:.
2.7.163.	у" - 2у' + у = sin х + е~х.
2.7.164.	у'" + у" = 12а:2.
2.7.165.	у'" -Зу" + 8у' -4у = е2х.
2.7.166.	у" - Зу' + 2у = (а:2 4- а:)е3а:.
2.7.167.	у" - 2у' 4- Зу = е~х cosх.
2.7.168.	у" 4- у' = cos2 х + ех 4- х2.
2.7.169.	у" 4- 4у = х sin2 х.
2.7.170.	у" + 4у = X COS X.
2.7.171.	у" - 2у' + 10т/ = | cos Зя + 2 sin Зя.
2.7.172.	у” — Зу’ + 2у = sin я sin 2я.
2.7.173.	у” - 4у’ + 5у = (4я + 22) sin Зя - (28я + 84) cos Зя.
2.7.174.	у" - 4у' + 5у = 2х2ех, 2/(0) = 2, ?/'(0) = 3.
2.7.175.	у"-бу' + 9у = х2-х + 3, у(0) =	у'(0) =
2.7.176.	у" + 4у = 4(sin2a: 4- cos2а:), у(тг) = тг, у'(л-) = 2тг.
2.7.177.	у” — 2у' + 2у = 4ех cosx, у(я) = тге”, у'(тг) = ё".
2.7.178.	у" - 2у' 4- 10у = 10а:2 4- 18а: + 6, у(0) = 1, у'(0) = 3,2.
з
2.7.179.	4у" 4- 16у' 4- 15у = 4е“2а;, у(0) = 3, у'(0) = -5,5.
2.7.180.	у" - 2у' = ех(х2 + х - 3), у(0) = 0, у'(О) = 2.
2.7.181.	у" +у = ctga:.	2.7.182.	у" + 2у' + у = ^.
2.7.183.	у"+у—	2.7.184.	у" - 2у = 4х2ех2.
2.7.185.	-	в» = 4А-’.	2-Т-186.	у" + у =
Контрольные вопросы и более сложные задания
2.7.187.	Привести пример функций yi(x) и yz(x), которые линейно за-
висимы на одном отрезке и линейно независимы на другом.
2.7.188.	Доказать, что если два частных решения линейного однородно-
го дифференциального уравнения второго порядка имеют экс-
тремумы в одной и той же точке, то они линейно зависимы.
2.7.189.	Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты р и q
уравнения у” + ру’ + qy = 0, чтобы все его частные решения
были ограниченными.
111

2.7.190.	Построить две дифференцируемые линейно независимые
функции на отрезке [а, Ь], для которых их определитель Врон-
ского равен нулю тождественно.
2.7.191.	На отрезке [а, Ь] построить три линейно независимые функ-
ции, для которых определитель Вронского равен нулю тож-
дественно.
Доказать линейную зависимость функций на их области определения:
2.7.192.	sin4 х, cos 4а;, cos 2а;, 1.	2.7.193. cos4 a;, cos 4a;, cos 2a;, 1.
2.7.194.	Ina;, Ina;2, Ina;3, In2 a;, In3 a;.
2.7.195.	sin a;, sin (a; -	, sin (x +	.
2.7.196.	Зная фундаментальную систему решений еж, cos a;, sin а; ли-
нейного однородного уравнения, найти его частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям ?/(0) = 3, т/'(0) = 4 и
2/"(0) = -1.
2.7.197.	Функции ех, е2ж, е3х образуют фундаментальную систему ре-
шений линейного однородного дифференциального уравнения.
Найти частное решение, удовлетворяющее начальным услови-
ям 7/(0) = 6, 2/'(0) = 14, у"(0) = 36.
2.7.198.	Проверив, что 2/1 = ех и 2/2 = х образуют фундаментальную
систему решений уравнения у” — 3,Х'^У1 + х~ = на^ти
общее решение уравнения (а; — 1)2/" — ху1 4- у = (х — I)2.
2.7.199.	Проверив, что 2/1 = cos х и 2/2 = х cos х образуют фундаменталь-
ную систему решений уравнения у”+2 tga>2/' + (2 tg2 х+1)у = 0,
найти общее решение уравнения ctga;*2/,,4-22/,4-(2 tga;+ctga;)2/ =
= cos2 х.
2.7.200.	Найти общее решение уравнения 4yIV 4- 4у” 4- у = 0.
Найти общие решения уравнений:
2.7.201.	yv + 8у'" 4-162/' = 0.	2.7.202.	yv - 6yIV + 9у"' = 0.
2.7.203.	yrv - 8у" 4-162/ = 0.	2.7.204.	у" + 42/' + 42/ = е~2х In х.
2.7.205.	yVI - 2yv + 32//v - 42/"' + З2/" - 2у' + у = 0.
Найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным усло-
виям:
2.7.206.	2/"' ~У' = -Ъх, 2/(0) = 0, 2/'(0) = 1, 2/"(0) = 2.
2.7.207.	yIV -у = 8еж, 2/(0) = -1, 2/'(0) = 0, 2/"(0) = 1, 2/"'(0) = 0.
2.7.208.	Найти интегральную кривую дифференциального уравнения
у" — у = 0, касающуюся в точке 0(0,0) прямой у = х.
2.7.209.	Найти интегральную кривую уравнения у" — 4у' 4- Зу = 0, ка-
сающуюся в точке Mq(0, 2) прямой у = х 4- 2.
112

Решить уравнения Эйлера:
2.7.210.	х2у" 4- ху' — у = 0.	2.7.211. х2ут — Зху" 4- Зу1 = 0.
2.7.212.	(х + 2)2у" + 3(х 4- 2)у' - Зу = 0.
2.7.213.	х2у'" = 2у'.
§8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системой дифференциальных уравнений называется совокупность диффе-
ренциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую перемен-
ную, искомые функции и их переменные.
Нормальная система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных от-
носительно производной, т. е. система вида
У1 = fi(x,yi,y2,...,yn),
У2 = f2(x,yl,y2,...,yn),	/О1.
Уп = fn(x,yi,y2, ...,Уп),
где х — независимая переменная, a j/i(a?), 2/2(2?),..., уп(х) — неизвестные функ-
ции от ж, называется нормальной системой.
Решить эту систему означает найти функции yi(x), 2/2(2?),..., j/n(2?), удо-
влетворяющие системе (8.1) и данным начальным условиям:
2/1 (2?о) = 2/10, 2/2(я?о) = 2/20, . . . , 2/п(2?о) = 2/п0.
Нормальную систему можно привести к одному уравнению порядка п (или
меньше) относительно одной неизвестной функции, скажем j/i, при помощи
следующего алгоритма, называемого метод исключения.
Дифференцируем первое уравнение системы по переменной х:
2/1 = (/1)х + (/1 )vi • У1 + (/1)'1/2 • 2/2 4-... 4- (/1)'^ • Уп-
Производные у[, 2/2, • • • ? 2/п в правой части этого равенства заменим их выра-
жениями из системы (8.1). Получим уравнение
2/i =F2(2?,2/i,2/2,...,2/n).
Это равенство дифференцируем по переменной х:
У1 = (^2)® 4- (Гг)^ • 2/1 4- (Г2)у2 • 2/2 4-... 4- {F2)yn • уп-
Производные ?/i, 2/2, • • •, Уп в правой части этого равенства заменим их выра-
жениями, заданными системой (8.1). Получим еще одно уравнение
у” = Рз(з?, 2/1,2/2, • • •, 2/п).
113

Это уравнение дифференцируем по переменной х и так далее до тех пор, пока
не придем к уравнению
^n) = Fn(x,yi,y2,...,yn).
Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединим в
одну систему, к которой присоединим первое уравнение системы (8.1):
y'l = fi(x,yi,y2,...,yn)
у" = F2(x,yi,y2,... ,уп),
у'" = F3(x,yi,y2,...,yn),
(8-2)
У1П) = Fn(x,yi,y2,...,yn).
Первые п — 1 уравнений системы (8.2) разрешим относительно переменных
2/2, 2/з, • • •, 2/п, выражая их через переменные х и 2/1, а также производные j/J,
2/Г,..., у[п~1)- Полученные выражения подставим в последнее уравнение си-
стемы (8.2). В итоге придем к дифференциальному уравнению порядка п от-
носительно одной неизвестной функции yi.
Из общего решения этого уравнения можно получить общее решение си-
стемы (8.1) или требуемое частное решение. Заметим, что порядок последнего
уравнения может быть меньше, чем п, если при его получении были использо-
ваны не все уравнения системы (8.1).
Поиск интегрируемых комбинаций
Интегрирование системы (8.1) существенно облегчается, если эта систе-
ма допускает интегрируемые комбинации дифференциальных уравнений. Под
интегрируемой комбинацией подразумевается дифференциальное уравнение,
получаемое из уравнений системы (8.1) с помощью определенных преобразо-
ваний, но уже легко интегрирующееся. Примером интегрируемой комбинацией
является уравнение вида
<7Ф(ят, 2/1,2/2, -.., 2/п) = 0.
Возможно, что заменой переменных удастся получить дифференциальное
уравнение известного типа, решение которого не представляет труда.
Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Для решения нормальной системы линейных однородных дифференциаль-
ных уравнений вида
У1 = «112/1 + «122/2 + ... + «1п2/п,
2/2 = «212/1 + «222/2 4- ... 4- «2п2/п,
(8-3)
Уп — 0>п1У1 4- «П22/2 4- ... 4- «пп2/п
114

удобно воспользоваться методами линейной алгебры, а конкретнее, методом
собственных векторов.
Добавим, что общее решение однородной линейной системы представля-
ет собой линейную комбинацию фундаментальной системы решений, а общее
решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствую-
щего решения однородной системы и одного частного решения неоднородной
системы.
2.8.1.	Решить систему дифференциальных уравнений:
{х' = — 2х — 2у — 4г,
у' = —2х + у - 2z,
z' = 5х + 2у + 7z.
О В данной системе x,y,z — неизвестные функции, а независимая пе-
ременная t — их аргумент.
Дифференцируем первое уравнение системы по t:
х" = -2а/ - 2у' - 4z'
Вместо у1 и z1 подставим их выражения из второго и третьего уравнений
системы. Получаем
х" = —2а/ — 2(—2х + у — 2z) — 4(5# -I- 2у + 7z),
откуда
х" = —2а/ - 16а: - Ют/ - 24z.
Полученное уравнение дифференцируем по t, а вместо у’ и z' опять
подставим выражения из тех же уравнений системы
х"' = —2х" - 16а/ - 10у' - 24г' =
= —2а/' - 16а/ - 10(-2х + у - 2z) - 24(5а: + 2у + 7z),
х"' = —2х" - 16а/ - 100а: - 58а: - 148z.
Составим новую систему:
{xf = —2х — 2у — 4z,
х" = —2а/ - 16а: - Wy - 24z,	(8.4)
х'" = —2а/' - 16а/ - 100ж - 58з/ - 148z.
Система состоит из первого уравнения исходной системы и двух уравне-
ний, полученных последовательным дифференцированием.
Из этой системы исключим неизвестные у и z. Для этого проще все-
го использовать первые два уравнения системы (8.4), из которых, после
преобразований (рассматривая —6а/ 4- х" и —Ьх' -I- а/'), находим
Ъ = х"-*х' + 4х,	(85)
4z = —х" 4- За/ — 6а:
115

и эти выражения подставим в третье уравнение системы:
хш = -2х" - 16а/ - 100а: - 29(а/' - 4х' 4- 4а:) - 37(-а/' 4- За/ - 6а:).
После приведения подобных слагаемых получаем одно уравнение третье-
го порядка (однородное с постоянными коэффициентами) относительно
неизвестной функции х = x(t):
х'" — бх" 4- На/ — 6а: = 0.
Корнями его характеристического уравнения к3 — бк2 4-llfc — 6 = 0 явля-
ются числа fci = 1, &2 = 2, &з = 3. Следовательно, общее решение послед-
него уравнения имеет вид
хоо =	4-	4- Сзе3*.
Теперь надо получить значение для уоо и zoo. Это легко сделать, имея
в виду систему (8.5), содержащую 2у и 4z, выраженные через а:, х' и х".
Поэтому сначала находим
х'оо = Сге* + 2C2e2t + 3C3e3t,
®"0 = Cie‘ + 4C2e2t +9C3e3f.
Остается сделать соответствующие подстановки:
у = ±(ж" - 4®' + 4®) = | (Cie* + 4C2e2t + 9C3e3t - 4Cie‘ - 8C2e2t-
- 12C3e3t + 4Cie‘ + 4C2e2t + 4C3e3t),
откуда
Аналогично, zQQ
чательно,
Уоо =	4- |Сзе3*.
= z(~a:oo - За:оо - 62:00) = -Cie‘ - C2e2t - |c3e3t. Окон-
'хоо = Суе1 + C2e2t + C3e3t,
< Уоо = ^Cie* + |c3e3t,	•
Zoo = -Cie* - C2e2t - |c3e3t.
2.8.2. Решить систему <
x' +y‘ ~y = e*,
при данных начальных
2x 4- у1 4- 2y = cost
условиях tQ = 0, a:0 = yQ =
О Сначала приводим систему к нормальному виду, т. е. к виду, разре-
шенному относительно производных
х' = —Зу 4- cost — ef,
у' = 4у — cost 4- 2е*.
Далее действуем по схеме, примененной при решении предыдущего при-
мера.
116

Первое уравнение дифференцируем по t, после чего вместо у’ подста-
вим выражение из второго уравнения новой системы
х" = -Зу1 - sin t - е* = —3(4т/ — cos t 4- 2ef) — sin t — e*, t. e.
x" = —12 у -I- 3 cos t — 7ef — sin t.
Из этого уравнения и первого уравнения исходной системы составим
систему
= + (8.S)
\х" = — 12у 4- 3cost — 7ef — sint,
из которой исключим у (первое уравнение, умноженное на (—4) прибавим
ко второму):
х — 4х — — cos t — Зе — sin t
Полученное неоднородное уравнение второго порядка с постоянны-
ми коэффициентами решается стандартным способом подбора частного
решения. А именно (в сокращенном изложении):
х" - 4х' = 0 => к2 - 4fc = 0 => fci = 0, к2 = 4 => хоо = С\ 4- C2e4f;
О	хч = Ае* 4- В cost 4- Csint ef : —ЗА = —3	^”^3
-4 х'ч = Ле* — Bsinf 4- Ccost => cost: —4C—B = —1	= ~17’
1	x" = Ae* — В cost — Csint	sint: 4B — C = — 1	/7 ——
“ 17’
Отсюда x4 = e* — cos 14- yy sin t. Окончательно,
Яон = xoo + x4=Ct+ C2e4t 4- e* - cos t 4- yy sin t.
Другую функцию уон можно найти двумя способами.
а)	Из второго уравнения системы (8.6) находим
у = --^(х" — 3cost 4- 7е* 4- sint).
Подставляя сюда найденное выражения для х"н, находим уон-
б)	Из первого уравнения нормальной системы имеем
у = |(-ж' 4- cost - ef).
о
Отсюда, учитывая, что
х' = (Ci +C2e4t + е* -	cost + уу sin t)' = 4C2e4t 4-е* 4-	sin 14-	cost,
получим
Уон = I (-4C2e4t - e1 - sint - cost + cost - e‘) ,
т.е. yOH = -sint 4- cost — |e‘.
117

Таким образом, общее решение системы имеет вид
Тон = C'i+ C2e4t + е‘ - cost + y^sint
Уон = -- |e‘ + cost - siat-
Подставляя начальные условия x = у = ± и t = О, определим
константы Ci и С^:
ГС1 + й + 1-А = -А, fc. = -l,
l_4r _2 , 4__4_ |г -_1
3°2 3 + 17	17	2'
Итак, частные решения, удовлетворяющие начальным условиям, имеют
вид	Г 1	1	q	с
х =	- ±e4t 4-е* - cost 4- p=sint,
<	9 2	1	17	•
У = |e4t -	+ ^ cost - уу sint.
Замечание. Далее будем заменять 2гон на х, уои на у и т. д.
Решить данные системы дифференциальных уравнений:
2.8.3.
2.8.4.
2.8.5.
2.8.7.
2.8.9.
X* = у + Z,
у1 = Зх 4- г,
z' = Зх 4- у.
х* = Зх — 2у,
у' = 2х- у,
х(0) = 1, 7/(0) = 2.
х' 4- Зх 4- у = е*
<
у' — х — Зу = e2t.
4х‘ — у1 = sint — Зх,
х' = cos t — у.
{х1 = х — 2у — z,
у' = -х + у + Z,
Z1 = X — Z.
2.8.6.
2.8.8.
2.8.10.
{х1 = —х + у + Z,
у' = X - у + Z,
z' = X + у — Z.
!х' = 2х + у,
у' = Зт + 4у.
< х' = у,
у' = х + е1 + е~ь.
к
2.8.11. Решить систему уравнений <	’
[2/ = х.
Q Почленное сложение этих равенств приводит к интегрируемой ком-
d(x 4- 2/)
бинации: х’ 4- у — х 4- 2/» т.е.  х = dt.
Отсюда находим х 4- у = Cie*.
Аналогичную комбинацию получаем вычитанием уравнений исход-
ной системы
d(a; — 2/)
х —у = —(х — у), откуда х — у = т.е. х — у = Сге .
118

Остается почленно сложить и вычесть полученные равенства:
_ Cl t , Сг _t
%оо — 2 е + 2 е
Ci t -t
Уоо =	- -^е
fx' = у -Z,
2.8.12.
Решить систему у' = z — я,.
z’ = х — у.
Q Сложив почленно все три уравнения, получим интегральное выраже-
ние d(x + у + z) = 0, т.е. х + у + z = Ci.
Умножим первое уравнение на х, второе на у, третье на z и полу-
ченные результаты сложим почленно. Получим другую интегрируемую
комбинацию
х^ + y~dt + Z^dt = °’ Т’е’ + 2/2 +	= °’ откУда х2 + у2 + z2 = С2.
Эти два соотношения уже можно использовать для того, чтобы из исход-
ной системы получить одно дифференциальное уравнение относитель-
но одной неизвестной функции. Но мы попробуем использовать только
первое соотношение, из которого имеем z = Ci — х — у. Подставим это
выражение для z в первые два уравнения:
х' = 2у — Ci + я,
у' = -2x-y + Ci.
Дифференцируя первое уравнение по t, подставим затем выражение для
у' из второго уравнения: х” = 2у' + х' = —4х — 2у + 2Ci + х'.
А теперь из полученной системы
х' — х -I- 2у — Ci ,
х" = х* - ^х -2у + 2Ci
к
исключаем у — получим х” + Зя = Ci, откуда
х = С2 cos Vst -I- Сз sin y/St + |Ci.
о
Из уравнения xf = 2у — Ci + х находим у = (я' — я + Ci), т. е.
У =	^л/3(?з — COS — 2	+ С3) sin y/St -I- дС*1.
Наконец, z = Ci — я — т/, т. е.
z = — ^л/ЗС?з 4- С?2^ cos л/з^ + (^С2 — sin л/З^ +
119

Решить системы уравнений:
2.8.13.
2.8.15.
2.8.16.
' dx _ 1
dt 2/’
dy _ 1
.dt x'
(dx = y^_
J dt x’
| dy _ a:2
t dt ~ У
f dy __ z — 1
J dx ~	1
| dz _	1
{dx у — x'
2.8.14.
3/(0) = -1, z(0) = 1.
'dy _________
di {z -у)2'
az _
. dx
У___
-у)2'
z
2.8.17.
У = ~z>
Решить систему z2 где у = y(t), z = z(t).
lz' = ~y>
Q Продифференцируем первое уравнение: у" = —z'. Подставив z' из
z2
второго уравнения системы, получаем у" = — —. Поскольку из пер-
вого уравнения (у1)2 = z2, приходим к уравнению относительно одной
-(г/')2
функции: у" = —-—, или уу" -I- (т/)2 = 0. Это уравнение равносильно
уравнению (уу'У = 0, откуда уу1 = С±. Разделяя переменные, получим
ydy = Ci dt, откуда = Cit + С2, т.е. у = ±5/2(61* + С2). Функцию z
находим из первого уравнения исходной системы:
2-/2(Ci* + С2)
И окончательно,
У = ±\/2(Ci* + C2),
•
2/6*1* + C2
!x' = 2x + 3v,
y=6x- y.
О Данную систему решим матричным способом, используя собственные
числа и собственные векторы матрицы правой части системы. Обозначим
через	/п о \
матрицу системы.
Составим характеристическое уравнение det (Л — кЕ) = 0, т.е.
2-к	3
6	-1-fc
Приходим к уравнению к2 — к — 20 = 0 с корнями fci = —4, fc2 = 5.
120

Находим собственные векторы. При к = — 4 имеем: 6С1 + ЗС2 = О,
Ci = 1, С2 = —2 и собственный вектор имеет вид (	.
При к = 5 имеем: -ЗС1 +ЗС2 = 0, Ci = 1, С2 = 1, собственный вектор
/С2\
имеет вид I @.
Составляем общее решение системы
(х\ _ ( сг \ к1Х (С2\ к2Х _ ( С^х + С2ек*х \
\у) ~ \-2Ci)	\<?2/	“ V-2C1C*11 + С2ек*х) ’
х = Ci е~4® + С2е&х,
у = —2(7ie-4® + С2е5х.
{X1 — X + у,
у' = —X + у — Z,
z' = 3у + z.
Q Матрица системы имеет вид
/ i 1 0 \
А= 1-1 1 -1 I .
\ ° 3 1 /
Отсюда характеристическое уравнение
1-к	1 О
-1	1-к	-1
= 0
О 3	1-к
с характеристическими числами ki = 1, к2 = 1 + 2г, кз = 1 — 2г.
Собственный вектор, отвечающий собственному числу fci = 1, полу-
чаем из системы	( „	„
I -(71 - С3 = 0,
1 ЗС2 = 0,
Ci € ]R, вектор	/ 1 \
V2
0
представляет собой нормированный (единичный) вектор отвечающий
собственному числу fci = 1 (хотя переходить к единичным векторам не-
обязательно).
121

Собственному числу Лт2 = 1 + 2г отвечает комплексный собственный
вектор, получаемый из системы
—2гС1 Н- С2 = О,
< — Ci — 2гС2 — Сз = О,
ЗС2 - 2гСз = О
[<?! = 1,
\ С2 — 2г,
[с3=3
или
3
\л/б/
С*2 G IL
Аналогично для fc3 = 1 — 2г: имеем
2гС1 Н- С2 — О,
< “Ci + 2гС2 — Сз — О,
ЗС2 - 2гСз = о
или
Е IR.
Общее решение системы можно записать в виде
\75/
Ci е4
С3 • е^*.
О
v/§/
Осталось покоординатно взять от правой части действительную часть:
х = -^е4 + -^=е4 cos 2t + Ц=Сзе4 cos 2t,
ч/2 ч/б	V6
< у = ^^-е4 sin 2t - ^^е4 sin 2t,
ч/б	ч/б
z = —|=Cie4 + -^=Сге4 cos2t + -^Сзв4со8 2£.
ч/б ч/б	ч/б
Решить системы уравнений (все функции аргумента t):
2.8.20.
х" = у,
у" = х.
2.8.21.
dy
Tt=xy'
dz dy
Л + Л =2 + l»'
2.8.22.
х' = X — у + Z,
<у' = X + у - Z,
z' = -у + 2z.
122

Дополнительные задания
решить системы уравнений:
	’ dy.	= 1-1	f (ty	
2.8.23.	dx	Z	2.8.24.	<	dx	yz^
	dz	= 1	dz	_ x
				
	I dx	у - X	dx	3/z-
			' dx	__ x-y
	' dy_		dt	z — t'
2.8.25.	<	dx	= sin x — 2y — z, 2.8.26.	<	dy	_ X-y
	dz < dx	= cos x 4- Ay + 2z.	dt dz	~ z — t'
			» dt	= x-y + 1.
О Я Q7		dz		 dy _ dz		
l + \		CM 1 r—1 1 1 H 1		
Контрольные вопросы и более сложные задачи
2.8.28. Есть ли разница в записи собственных векторов матрицы в об-
щем виде или в нормированном виде?
Решить системы уравнений:
2.8.32.
2.8.29.
2.8.31.
r dx	= За; — у 4- z,	.	..a		
dt			dx	= У-
. dy dt	= — x 4- by — z,	2.8.30.	<	dt dy	®2’ =
dz . dt f dx At	= x - у 4- 3z. = 3z + by,		k dt	y2
CLl * dy dt	при = —2x — 8y,	условии a;(0) =	= 2,	J/(0) = 5.
' dx _
dt
dy =
. dt
—2x — Ay + 1 4- 4f,
-x + y + |t2.
2.8.33.
x' = 3x 4- Ay + 2z,
< у’ = X 4- Ay 4- z,
kz' = Ax + 6y + 5z.
2.8.34.
2.8.35.
= 2x + у - 2z - t + 2,
dt
, dV 1
 л'1"1'
^=x + y-z-t + l.
dt _ dx _ ^3/
t2_x2_y2 2tx 2ty'
123

2.8.36.
t • dy = (tx + ty 4- 2x - t) dt,
t- dx = (t - 2x) dt.
к
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения
(1 -I- х2)у" + 2ху' = 7х3.
2.	Решить задачу Коши:
у" у3 = 4/-0,25, у(0) = -1=, у'(0) = ^.
V "
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" - 3j/' + 2у = (4а + 9)е2ж.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" -I- Зу1 + 13з/ = е"3® sin 2х.
5.	Найти решение задачи Коши:
’" + 4’ = S^' Hl) = 2’ »'(i)=,r-
6.	Решить систему дифференциальных уравнений
х' = х + 2/ + Зе*,
у' = 2х - у + cos 2t.
к
Вариант 2
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения
х4у" +х3 у' = 10.
2.	Решить задачу Коши:
у"у3+4 = 0, у(1) = 2, 2/"(1) = 2.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" + Зу1 + 2у = (1 — 2х)е~х.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" -I- 4т/ - Зу = 2х3е~2я: sin За:.
5.	Найти решение задачи Коши:
у"-3у' + 2у =	-1-	у(0) = 1 + 8 In 2, у'= 7 In 4.
о + е
6.	Решить систему дифференциальных уравнений
< х1 = 2х -I- Зу - е*,
у1 = х - Зу - sin 2t.
124

Вариант 3
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения
(х2 + 1) • у" + 2ху' = х(х2 + 1).
2.	Решить задачу Коши:
у" - 8 sin3 ycos у, у(1) =	у'(1) = 1.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у"-2у'-Зу = (8х + ^е~х.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" - 8у‘ -9у = (2х + l)e4® sin 5х.
5.	Найти решение задачи Коши:
л-За;
^~3^ = Л —з»’ 2/(0) = In 4, j/'(0) = 31п4 - 1.
3 + е лх
6.	Решить систему дифференциальных уравнений
{х1 = Зх - 2у + e-t,
у' = 5а: + бу — 3 sin t.
Вариант 4
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения
х у +х у =д.
2.	Решить задачу Коши:
у" = 50 sin3 у cosy, у(1) =	у'(1) = 5.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" + 2у’ - Зу = (х2 + 2х- 3)е®.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" + 4у‘ + 8у = (х + 2)е~2х cos За:.
5.	Найти решение задачи Коши:
у" + 3у' + 2у = —^, у(0) = 0, 2/'(0)=0.
j. I ze
6.	Найти общее решение линейной системы дифференциальных уравне-
ний
у1 + 2х - Зу - Зе2* = 0,
а:' + а: + 4$/ + cos f = 0.
125

Вариант 5
1.	Найти общее решение дифференциального уравнения
(1 -F х2)у" -I- 2ху' = х3 +х.
2.	Решить задачу Коши:
у" = 16зД 3/(4) = 1, у1 (4) = 4.
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" —	+ 4у = (2х2 — Зх + 2)е2ж.
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения
у" - 2у‘ + Зу — (2х - 3)ех cos 2х.
5.	Найти решение задачи Коши:
у"-У = ТТ^’ у(0) = 31пЗ, у'(0) = 21пЗ — 1.
J. “Г
6.	Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
х1 + у1 + 2х - Зу - е* = О,
2х' — Зу' + х — 2у + cost = 0.

Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
□
§ 1.	ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА И МЕТОДЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
Определение и геометрический смысл двойного
интеграла
Пусть D — некоторая замкнутая область в плоскости Оху, на которой
определена непрерывная функция двух переменных z = f(x,y). Разобьем об-
ласть D на п «элементарных областей» Dt (г = 1,п), площади которых обо-
значим соответственно через AS,. Теперь в каждой области Di выберем про-
извольную точку Mi(xi,yi) (рис. 9), после чего составим сумму
п
Оп = 52 f(Xi,
i=l
которая называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D.
Рис. 9
Обозначим через d наибольший из диаметров областей Di. Тогда стремле-
ние d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на «элемен-
тарные области» Di (и, как следствие, стремление п к оо).
Если существует конечный предел интегральных сумм ап при d —> 0, не
зависящий от разбиения на области Di и выбора точек Mi, то этот предел
называется двойным интегралом функции f(x,y) по области D и обозначается
УУ f(x,y)dS или уу f(x,y)dxdy.
D	D
127

В этом случае говорят, что функция f(x,y) интегрируема на области D. При
этом функция f(x,y) называется подынтегральной функцией, а область D —
областью интегрирования.
Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то она интегрируема.
Теорема 3.1. Если f(x,y) 0 и непрерывна в области D, то интеграл
f(x,у) dS
D
выражает объем тела, ограниченного снизу областью D, сверху — поверхно-
стью z = f(x,y), а с боков — цилиндрической поверхностью, образующие
которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D
(рис. 10).
В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла.
В частности, если f(x,y) = 1, то jj f(x,y)dS равен площади области D:
D
S(D) = ff dS = jJ dxdy.
D	D
Свойства
Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам
определенного интеграла.
128

1.	Линейность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области D,
to
УУ (a • f(x, y)±&' g(x, y)) dxdy = a JJ f(x, y) dxdy + @	у) dxdy
D	D	D
(а и fl — постоянные числа).
В частности,
УУ af(x,y) dxdy = a J J f(x,y) dxdy,
D
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла.
2.	Монотонность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области
D и всюду в этой области f(x,y) д(х,у), то
У[ f(x, у) dxdy < JJ д(х, у) dxdy.
D	D
Таким образом, неравенства можно почленно интегрировать.
В частности, если т f(x,y) ЛГ, V(x,y) 6 D , то
т S УУ /(ж, у) dxdy ^M‘S,
D
где S = S(D) — площадь области D. Данные неравенства называются оценкой
интеграла. Еще одно следствие: если f(x,y) 0 на области Z>, то
fix,у) dxdy 0.
D
3.	Теорема о среднем значении.
Теорема 3.2. Если функция f(x,y) непрерывна на области D, то существует
точка Мо(хо,уо) 6 D такая, что
У[ fix, у) dxdy = /(®0, !/о)  S, или fix, у) dxdy = f(x0, уо).
D	D
При этом значение /(яо,?/о), т.е. число
i// f(x,y>dxdy’
D
называется интегральным средним значением функции f(x,y) в области D.
4.	Аддитивность. Если область D представляется в виде объединения двух
областей Di и Z>2 без общих внутренних точек, то
f(x, у) dxdy = f(x,y)dxdy+ Ц f(x,y)dxdy.
D	Di	Dq
5 Сборник задач по высшей математике. 2 курс	129

5. Для любой функции f(x,y), непрерывной на области, D имеет место
неравенство
УУ f(x,y)dxdy < уу\f(x,y)\dxdy.
Вычисление двойного интеграла
Предположим, что область D можно задать в виде системы неравенств:
У1 (z) О	У2<х)-
Геометрически это означает, что каждая вертикальная прямая х = хо
(а < хо < Ь) пересекает границу области D только в двух точках Mi и М2
(рис. 11), которые называются соответственно точкой входа и точкой выхода.
Тогда
Ь У2^х)
ff f(x,y)dxdy - f dx У f(x,y)dy.
D
У1(х)
Рис. 11
Рис. 12
Если же область D (рис. 12) можно задать в виде системы неравенств:
то
d х2(у)
f(x,y)dxdy = У dy У f(x,y)dx.
D	c Xi(y)
Интегралы, стоящие в правых частях приведенных равенств, называют-
ся повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядком
интегрирования. Интеграл, содержащий функцию /(ж, у), называется внутрен-
ним, другой — внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать
сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком
130

дифференциала, принимается постоянной. Затем вычисляется внешний инте-
грал (таким образом, интегрирование в повторном интеграле идет справа на-
лево) . Каждый из них вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница,
как определенный интеграл.
Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на ко-
нечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координат-
ным осям (см. рис. 13). При вычислении двойных интегралов по таким обла-
стям следует применить свойство аддитивности (свойство 4).
Рис. 13
Рис. Ц
3.1.1.	Оценить интеграл
JJ(я + У - 5) dxdy,
D
где область интегрирования D — это круг х2 + у2 16.
Q Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x,y) = х + у — 5 на круге х2 + у2 16 и применить оценку из свойства 2.
Функция z = х + у принимает значение 0 на прямой х + у = 0. На прямых
х + у = С, параллельных прямой х + у = 0, функция z принимает значе-
ние С. Следовательно, функция z = х + у (а значит, и функция /(ж, у))
принимает на круге максимальное значение в точке М (2д/2,2д/2) (см.
рис. 14) и минимальное значение — в точке N(—2y/2,—2y/2). При этом
имеем f(M) = 4\/2 — 5 и f(N) = —4д/2 —5. Поскольку площадь круга рав-
на 7гЯ2 = 16тг, то согласно свойству 2 двойного интеграла (т = —4д/2 — 5
и М = 4\/2 — 5), получаем
—16тг(4\/2 + 5) < УУ(ж + У ~ 5) dxdy < 16тг(4\/2 — 5).	•
D
131

3.1.2.	Оценить интеграл
(4ж2 + у2 - 2) dxdy,
D
где область интегрирования D — круг х2 + у2 16.
Q Так как 4ж2 + у2 — 2 0, то оценка снизу 4ж2 + у2 - 2	-2, У(ж, у) е
е R2 очевидна. Поэтому можно принять т = — 2 = /(0,0), где f(x,y) =
= 4ж2 +у2 — 2. Чтобы вычислить М = шах /(ж,у), воспользуемся пара-
(a?,3/)G£>
метрическими уравнениями окружности: х = 4cost, у = 4sint, t 6 [0,2тг].
Тогда при любом t
/(4 cos t, 4 sin t) = 64 cos21 + 16 sin21 — 2 =
= 16(sin21 + cos2 t) + 48 cos2 t - 2 = 48 cos2 t + 14 < 62,
т. к. cos2t 1. Вместе с этим f(x,y) принимает значение M = 62 при
t = 0, т. е. М = /(4,0) = 62. Отсюда, учитывая, что площадь S круга
ж2 + у2 16 равна 16тг, получаем оценку
-32тг < уу (4ж2 + у2 - 2) dxdy < 992тг.	•
D
Оценить интегралы:
3.1.3.	Ц(х + у + 1) dxdy, где D — круг х2 + у2 4.
D
3.1.4.	f f cos	—— dxdy, где D — эллипс + у2 < 1.
Я х2 + Зу2 + 2	3
3.1.5.	fj\x + xy — x2— у2) dxdy, где D — прямоугольник 0 х 1,
D
0 0^2.
3.1.6.	JJ(ж2 - у2) dxdy, где D — круг х2 + у2 < 2х.
D
7 х2
3.1.7.	Вычислить повторный интеграл I = J dx J dy.
о о
Q Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона-Лейб-
ница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего ин-
теграла.
о х 7 о
3 Зх ч
3.1.8.	Вычислить повторный интеграл I = J dx ^dy.
1 х
132

Q Множитель (он не зависит от у, поэтому может считаться постоян-
ным для внутреннего интеграла) можно вынести за знак интеграла, т. е.
перенести во внешний интеграл:
3 Зх	3 / 9 о \	3	3	_ о
M=/^(H9=2/^8x2=Vidi=4-yir16'
la?	1 4 7 1	1
Вычислить повторные интегралы:
а	\/х
3.1.9. J dx J dy.
о	о
2	1
3.1.11. J dy J(ж2 + 2у) dx.
о о
з 5
3.1.13. J dy J (x + 2y)dx.
-3	j/2-4
2 In у
3.1.10. J dy J ex dx.
1 о
4	2
3.1.12. J dx j\x + y)~2dy.
3	1
3.1.14.	Вычислить двойной интеграл I = / / —-—- dxdy, где D — пря-
1 + Г
моугольник	O^i/^l.
Q Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирова-
ния известны, поэтому
2	1
1 = fx2dx. /•_^_ = ^|2.arctgJ1=|.5 = ^.
J J 1 + v2 з Io	3 4 3
О	О y
Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от
Друга определенных интегралов, поскольку результат вычисления вну-
треннего интеграла есть число.	•
3.1.15.	Вычислить двойной интеграл I = Г [-у dxdy— где р —
(1 + х2 + у2}3/2
квадрат 0^ж^1, 0^27^1.
Q Данный двойной интеграл можно представить в виде повторного дву-
мя способами:
rdxf—„л„ Ldy г—
/ I (1 + ®2 + у2)3/2 J J (1 + X2 + у2)3/2
Визуальное наблюдение показывает, что проще брать первый интеграл,
так как его внутренний интеграл легко сводится к табличному. Таким
133

образом, считаем первый интеграл:
I = }dxh Ф+*2+*/2) _ }( i ру
J	J 2 (1 + ж2 + у2)3/2 J\ ^/1 + ж2 + 2/2 10/
= [ (	1-------1	) dx = Г1п(яг + л/1 + ж2) - 1п(ж + у/2 + ж2)11 =
J кх/ГТж2 у/2 + хЧ L	Jlo
= ln(l + x/2)-ln(l + \/3) + lnv^ = ln^^. •
Вычислить двойной интеграл по данной области D:
3.1.16.	уxydxdy, где D: 0 < х < 1, 0 < у < 2.
D
3.1.17.	[f	, где D: 0 х 1, 0 у 1.
Л O + 2/4-1)2
3.1.18.	[ [ Х^Х<^У , где D: 0 ж 2, ж у ху/3.
{/ х2 + у2
3.1.19.	[[	где £>: 1 ж 3, 2 у 5.
Л (ж + 2у)2
3.1.20.	Вычислить интеграл I = ff Х^Х^У , где область D — парабо-
х2 + у2
лический сегмент, ограниченный параболой у = ^х2 и прямой
у = х.
Q Изобразим область интегрирования D (рис. 15). Так как прямая у = х
и парабола у = ^х2 пересекаются в точках 0(0,0) и А(2,2), то область
[0 0^2,
D определяется системой неравенств < х2
Рис. 15
134

Теперь вычислим искомый интеграл I:
i = fxdx f ^-- =
О	д.2	У 0	4	2
2
2
= у (arctg 1 - arctg |)
О
2	2
dx = J dx — J arctg ^dx =
о о
^(laretgl-lh^ + ^j) |’= 1-2-I + 1»2 = 1„2
(интеграл J arctg
dx был найден интегрированием по частям).
Вычислить интегралы:
3.1.21.	уу(4 — х2 — у2) dxdy, где область D ограничена линиями х = О,
D
у = 0, х = 1, у = 1,5.
3.1.22.	уу(3 — х — у) dxdy, где D — круг х2 + у2 < 1.
D
3.1.23.	уУ xydxdy, где D — круг (ж — I)2 + (у — I)2	1.
D
3.1.24.	уу у/х2 +у2dxdy, где D — круг х2 + у2 — 2ах < 0.
D
3.1.25.	Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
6	3+712+4®-х2
J dx J f(x,y)dy.
-2	3-712+4ж-я2
Ci Учитывая пределы интегрирования, представим область D в виде
системы неравенств
-2	6,
3 - >/12 + 4х-х2 < у < 3 + а/12 + 4ж - х2.
Графики функций у\ = 3 — а/12 + 4х — х2 и у2 = 3 + д/12 + 4х — х2
представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю полуокружно-
сти окружности (у — З)2 = 12 + 4х — х2, или (ж — 2)2 + (у — З)2 = 16.
Таким образом, область интегрирования D — круг радиуса 4 с центром
в точке (2,3) (рис. 16). Зададим этот круг другой системой неравенств.
Если спроектировать его на ось Оу, то получим отрезок [—1,7], откуда
имеем первое неравенство — 1 у 7. Выразив далее х из уравнения
окружности, получим соответственно уравнения левой и правой полу-
окружностей xi = 2 — 06 — (у — З)2 и я?2 = 2 + 06 — (у - З)2. Теперь
135

область D можно записать так:
D :
-1 <У < 7,
2 - ^/16 - (у - З)2 х 2 + ^/16 - (у - З)2.
Таким образом, после замены порядка интегрирования исходный повтор-
ный интеграл можно записать в виде
7	2+-^/16 —(у—З)2
J dy j f(x,y)dx.
-1	2-/16-(»-3)’
Рис. 16
Рис. 17
у/2 У2/2
3.1.26.	Изменить порядок интегрирования J dy J f(x,y)dx.
-у/2	2/2-1
Q При разборе этого примера используем другой подход. Область ин-
тегрирования D задается системой неравенств
д/2 у ^ч/2,
Геометрически это означает следующее: каждая горизонтальная прямая,
проходящая через точки отрезка [—\/2, л/2] оси Оу, пересекает сначала
(при движении слева направо) параболу х = у2 — 1 (назовем ее линией
входа в D), а затем параболу х = -% (назовем ее линией выхода из D) —
см. рис. 17.
При перемене порядка интегрирования нужно спроектировать
область интегрирования D на другую ось (ось Ох) и обнаружить линии
входа и выхода при движении снизу вверх вдоль вертикальных прямых.
136

2
Параболы х = ^-их = у2 — 1 пересекаются в точках В(1, — у/2) и
£
у2
С(1, \/2) (действительно, приравнивая уравнения парабол, имеем =
~у2-1&у2 = 2& у = ±д/2). Таким образом, проекция области D на
ось Ох — отрезок [—1,1]. Из рисунка видно, что на участке х е [—1,0]
точки входа и выхода расположены на ветвях одной параболы, а на
участке х 6 [0,1] — на ветвях разных парабол. Сначала определим ветви
у2
этих парабол, решая относительно у уравнения х = у2 — 1 и ж = у на
соответствующих участках. Получаем: у = ±^х + 1 и у = ±х/2х, х 0.
Первое равенство соответствует дугам АС (знак «плюс») и АВ (знак
«минус»), второе — дугам ОС и ОВ (рис. 17). Тем самым, область D
разбивается на три отдельные области Di, Z>2 и Вз, т. е. D = Di UB2UB3,
где
Di :
D2:
D3:
Исходный интеграл напишем в виде двойного
72 У2/2
j dy J f{x, y)dx = f(x, y) dxdy,
-y/2	2/2-l	d
и применяя свойство адаптивности двойного интеграла, запишем ответ
о	л/я+1
f [	у) dxdy = J dx j f(x, y) dy+
D	-1	-y/x+T
1	—	y/2x	1	y/x+1
+ j dx j f(x,y)dy + J dx J f(x,y)dy. •
o -y/x+1	о хЛж
Изменить порядок интегрирования:
3	3-2/	1	2-2/
3.1.27.	у dy у f{x,y)dx. 3.1.28. J dy J f(x,y)dx.
0	0	0	2/
0	3	3	3
3.1.29.	у dx у f(x,y)dy + J dx J f(x,y)dy.
—3	— x	0 x
О V1-»2	72/2 x/1-»2
3.1.30.	J dy у f(x,y)dx+ у dy J f(x,y)dx.
72/2 -У	0 у
137

3.1.31.	Вычислить интегральное среднее значение функции z — 12 —
— 2х — Зу в области D, ограниченной прямыми 12 — 2х — Зу = О,
ж = 0, у = 0.
Q Область D — треугольник О АВ, где 0(0,0), А(6,0), В(0,4) — рис. 18.
Рис. 18
По определению интегральное среднее значение функции z(x,y) в
области D равно JJ z(x,y)dxdy, где S — площадь области D (свой-
ство 3).	d
Площадь S вычисляем по формуле площади прямоугольного тре-
угольника: S = |ОА| • \ОВ\ = 12. Остается вычислить интеграл по обла-
сти D, которую можно задать неравенствами 0 ж 6, 0^27^4 — ^х.
Имеем
. 2
6 4_зж
УУ (12 — 2х - Зу) dxdy = J dx J (12 - 2х — Зу) dy =
D	оо
6	4--
J dx (12y - 2xy - ^y2) |o 3
0
12 — 2a?
3 dx =
0
6
о
6 Г
= / -1(
0 L
3 /12 —2х\2
<	3	,
) dx =
3 2
= /1(12-2^ =
о
48
Таким образом, искомое интегральное среднее равно т.е. 4.
Вычислить интегральные средние значения данных функций в указан-
ных областях:
3.1.32.	f(x,y) = 2х + у, D — треугольник О АВ с вершинами 0(0,0),
А(0,3), В(3,0).
3.1.33.	f(x,y) = х + бу, D — треугольник, ограниченный прямыми
у = х, у = Зх, х = 1.
138

3.1.34.	f(x,y) = y/R2 — x2 — у2, D — круг x2 + у2 R2.
3.1.35.	f(x, y) = x3y2, D — круг x2 + у2 R2
Дополнительные задания
Оценить интегралы:
3.1.36.
3.1.37.
3.1.38.
3.1.39.
С С . х + у + 10
/ / sin -5----5—- dxdy.
J J	x2 + y2 + 5
а?2+з/2^4
УУ xy(x + y) dxdy.
О^а^З
0^3
if (я2 + 3/2 “ 2лА2 +y2) dxdy.
0^a?^2
O^2/^2
УУ (ж2 + у2 — 4x - 4y + 10) dxdy.
(a?-l)2+4(2Z-2)2^4
Определить знак данных интегралов:
3.1.40.	уу 1п(ж2 + у2) dxdy. 3.1.41. JJ у/1 — х2 — у2 dxdy.
|а?| + |2/|^1	a?2+j/2^4
ЗЛ.42. ff arcsin(x + у) dxdy.
Двойной интеграл jj f(x,y) dxdy по заданной области представить в
D
виде повторного двумя способами. Сделать чертеж, области интегри-
рования:
3.1.43.	D ограничена линиями у = 0, х = 5, у = х.
3.1.44.	D — треугольник с вершинами в точках А(—1,—1), В(1,3),
(7(2,-4).
3.1.45.	D — параллелограмм ABCD с вершинами А(—3,1), В(2,1),
<7(6,4), Г>(1,4).
3.1.46.	D — круг (ж — 2)2 + (у — З)2 4.
3.1.47.	D ограничена линиями у = ж2, х = у2.
3.1.48.	D ограничена линиями у = ж3, х + у = 10, х — у = 4, у = 0.
Изменить порядок интегрирования:
	2	2х		2	\/2х—х2	
3.1.49.	У dx	[ f dy.	3.1.50.	/ dx J	/ fdy.
	0	J X		1	J 2—х
139

3.1.51.
3.1.53.
3.1.55.
J dx f f dy.
0	a?3
1	1-x2
J dx	J f dy.
~1	—x/1—a?2
4	12a?
J dx f f dy.
О 3a:2
3.1.52.
e In a?
J dx j f dy.
i о
3.1.59.
3.1.61.
3.1.57.
a \/a2—x2
I dx J f dy.
0 a2-a?2
2a
a \/2ax—x^
J dx	j	f dy.
a/2	0
3.1.54.
3.1.56.
3.1.58.
3.1.60.
2tt sin x
Jdx j f dy.
0	0
2a V^ax
Jdx	J	f dy.
0	\/2ax—x2
1	1-2/
J dy	J	f dx.
0	-V1-»2
Вычислить двойные интегралы:
3.1.62.	J[ xsin(x + у) dxdy, если D: 0 < x < тг, 0 < у <
D
3.1.63.	J{ x2y cos(a?2/2) dxdy, если D: 0 < x < , 0 < у < 2.
D
3.1.64.	Jf(ж3+з/3) dxdy, где D ограничена линиями x—2y = 0, x—у = 0,
D
x = 4.
3.1.65.	f f	dxdy, где D ограничена линиями x = 0, у = 0, x = 1,
JDJ (* + 2/)3
У = 1-
3.1.66.	J J y2 sinx dxdy, где D ограничена линиями x = 0, у = 0, x = тг,
D
у = 1 + cos x.
3.1.67.	J J y2 sin2 x dxdy, где D ограничена линиями x = —у = 0,
D
x = ^, у = 3cosx.
3.1.68.	yy (x + y3)dS.
l^a?^2
O^2/^2
3.1.69.	/f ^2 dxdyi где ограничена линиями x = 2, у = x, у =
d У
140

3.1.70.	yy xydxdy, где D — треугольник АВС с вершинами; А(0,0),
D
В(1,0), С(0,1).
3.1.71.	уу у dxdy, где D ограничена линиями у = 0, у = \/х, у + х = 2.
D
Найти интегральное среднее значение данной функции f(x,y) в указан-
ной области D:
3.1.72.	f(x,y) = ех+у] D — квадрат 0 я 1, 0 3/	1.
3.1.73.	f(x,y) = sin2 а; • sin2 у; D — квадрат 0 я тг, 0	з/ тг.
3.1.74.	f(x,y) = х2 + 2у2 + ху, область D ограничена линиями х = О,
у = 0, x + y = 1.
3.1.75.	f(x, у) = соз(ят+з/); область D ограничена линиями х = 0, у = тг,
У = х.
Контрольные вопросы и более сложные задания
3.1.76.	Привести примеры функции f(x,y), для которой формула из
теоремы о среднем значении верна для любой точки из
области D.
3.1.77.	Почему в определении двойного интеграла условие d -4 0 не-
льзя заменить условием п -> оо?
3.1.78.	Как можно с помощью двойного интеграла выразить объем те-
ла, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), а снизу —
поверхностью z = g(x,y), заданных на одной и той же обла-
сти D? [Функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны и f(x,y) д(х,у)
ЫеО].
Изменить порядок интегрирования:
2
3.1.79.	у dx
-2
1
3.1.80.	у dx
о
4
3.1.81.	у dx
о
о
3.1.82.	fdy
-2
74^
/ fdy.
2
У fdy + уdx
о 1
л/4я—я2
/ fdy.
— X
1/+1	7Г
У fdx + у dy
-1 о
1 —^/4х—3
/ fdy.
о
cos у
У fdx.
-1
141

Представить в виде повторных двойной интеграл
ff f(x, у) dxdy,
D
3.1.83.
3.1.84.
3.1.85.
3.1.86.
если область D ограничена линиями:
У = -х2 + 3х, у =
у = 1 4- sin х, у = —1, х = 0, х = 2тг.
х2 4- у2 = 2а2, х2 = ау (а > 0).
х2 4- у2 = ах, х2 +у2 = 2ах, у = 0 (а > 0).
Вычислить интегралы:
3.1.87.	ff (х + У) dxdy, D ограничена линиями х = 0, у = х2 4- 2х — 3,
D
2у = Зх.
3.1.88.	// xydxdy. 3.1.89. ff (2х2у - ху2) dxdy.
(®-2)2+j/2^1	0Са<1
3/^0
ff \ dxdy, D ограничена линиями у = ^х, у = у/х, х = 1.
D Х
г г dxdy
J J	Л /л2   z»»2  7/2
3.1.90.
3.1.91. /у
я2+3/2^а2
3.1.92. ff (х2 + 2/) dxdy, D ограничена линиями х — 2у = 0, 2х — у = О,
D
ху = 2.
Оценить интегралы:
3.1.93.	// (ж2 4- 4j/2 4-10) dxdy.
я2+з/2^9
3.1.94.	ff (х2 + у2) dxdy. 3.1.95.
3|x|+4|3Z|^12
3.1.98.	fj (1 - х2 - у2) dxdy.
(x-l)2+(3/-l)2^l
ff (х + у + ху) dxdy.
1<х^2
2^з/^3
Почему данные двойные интегралы зависят от порядка интегрирова-
ния?
3.1.97.
е у2 dxdy.
У3 J
O^a^l
(k^l
142

г г х2 — И2
3.1.98.	//	 dxdy.
J J (х* + VZY
О^з/^1
3.1.99. Оценить сверху интеграл I = (х 4- ху — х2 — у2) dxdy.
О^.х^.1
О^з/^2
§2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Рассмотрим двойной интеграл
У[f(x, у) dxdy
D
в прямоугольных координатах (х, у}. Предположим, что переменные х и у явля-
ются функциями двух переменных и и v, т. е. х = х(и, v), у = у (и, v), и эти функ-
ции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по
и и v в некоторой замкнутой области G плоскости Ouv. Предположим также,
что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на
область D.
Тогда имеет место равенство
УУf(x,y)dxdy = jjf[x(U) v\y(U) v)] • |J(u, v)\dudv, где
D	G
J = J(u, v) =
dx
du
dy
du
dx
dv
dy
dv
называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определи-
тель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от
нуля). Геометрически | J(u, v)| dudv выражает элемент площади в области G, а
1^(п, г>)| — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании
в элемент площади D.
Координаты (u, v) называются криволинейными координатами точки
(ж, ?/), поскольку уравнения ж(и, v) = const и y(u,v) = const представляют не-
которые линии, вообще говоря, кривые, в области G.
Интеграл
У/[я(ц, t>),?/(u,t;)] • |J(u, г>)| dudv
G
называется двойным интегралом в криволинейных координатах.
Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат
являются полярные координаты (г, <р). Они связаны с прямоугольными ко-
143

ординатами формулами х = г cosy?, у = г sin у? (г 0, 0 у? < 2тг). Якобиан
преобразования в этом случае равен
дх дх
-z \	^у? _ cosy? —г sin у? _
' ’ ду ду ~ sin у? г cos у? “ ’
дг dip
a dxdy = г drdip — элемент площади в полярных координатах.
При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле
при переходе к полярным координатам
Jf f(x, у) dxdy = уу/(г cos у?, г sin <р) г drdip,
D	G
К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, ко-
гда область интегрирования круг или часть круга. Расстановка пределов и
вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется
аналогично случаю прямоугольных координат.
3.2.1. Вычислить двойной интеграл
УУ (2а: + у) dxdy
D
по области ограниченной прямыми у = 2х — 3, у = 2ж + 5,
у = —х 4- 7, у = —х — 1.
Q Область D — параллелограмм АВС К (рис. 19 а). Хотя подынте-
гральная функция и область интегрирования просты, вычисление данно-
го интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убе-
дитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать
в виде у — 2х = —3, у — 2х = 5, у + х = 7иу + х= —1, перейдем к новым
координатам, для чего обозначим

Имеем
и = у - 2х,
v = у 4- х,
откуда
дх дх _ 1
ди dv _	3
ду_ ду	1
ди dv	3
1
3’
т.е. |J| = В новой системе координат (u,v) область G ограничена
прямыми и = —3, и = 5, v = —1, v = 7, т.е. представляет собой прямо-
угольник (рис. 19 6), а подынтегральная функция равна
2i + s = 2(_| + ^ + (| + ^=_| + 4„.
144

Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобра-
зует параллелограмм АВС К в прямоугольник А1В1С1К1, вторая си-
стема — наоборот, преобразует прямоугольник А1В1С1К1 в параллело-
грамм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной
фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин
другой. Именно поэтому J < 0. Переходим к вычислениям:
5	7
JJ (2x+y)dxdy = JJ	| J du j\-u+4v)dv =
АВСК	AtBtCtKt	-з -1
5	7	5
= ф fdu(-uv + 2v2)| 1= i y*[(-7u + 98) - (u + 2)]du =
-3	-3
5
l(-4u2 + 96u)|5 =Z§4.
9	1-3	9
3.2.2. Вычислить
УУ xydxdy,
D
где D — область, ограниченная кривыми у2 = 4х, у2 = 9ж,
ху = 1, ху = 5.
Q Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить преде-
лы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая
замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по пря-
моугольнику.
Введем новые переменные и и v при помощи равенств у2 = их, ху = и.
Выразим отсюда переменные х и у через и и и: х = У = %/uv-
145

Находим якобиан полученного преобразования
J(u, v)
oil
%и~з
о
1 1	_2
•V з
о
1
3u’
откуда, с учетом того, что х > 0 на области Р, а значит, и =	> О,
имеем |J(u,v)| =
Таким образом, исходный интеграл в плоскости Ouv имеет вид
//	• ^dudv = I ff£dudv-
G	G
Граница области G описывается линиями и = 4 (так как одна из фор-
мул преобразования имеет вид у2 = их, то линии у2 = 4т в плоскости
Оху соответствует линия и = 4 в плоскости Ouv), и = 9, v = 1, v = 5
(рис. 20 6).
Поэтому область G имеет вид 4 и 9, 1 v 5 (т. е. предста-
вляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется
намного проще:
95	О
I = l//^dudv = lf = ilnuL’y|i=81n2- •
G	4	1
Выбирая подходящие замены переменных, вычислить двойные интегра-
лы, заданные в прямоугольных координатах:
3.2.3.
3.2.4.
//где D ограничена линиями у = — |я+5, у = х-1-1,
D
1	7
у = х - 3, у = -^х 4- д.
Уdxdy, где D — параллелограмм со сторонами на прямых
D
у = х, у = х + 3, у = —2х 4-1, у = —2т 4- 5.
146

3.2.5.
3.2.6.
3.2.7.
УУ у/xydxdy, где D ограничена кривыми у2 = ах, у2 = Ьх,
D
ху = р, ху = q (0 < а < 6, О <р < q).
JJ(х + у) dxdy, где D ограничена прямыми х + у = 4, х + у = 12
D
и параболой у2 = 2х.
Вычислить интеграл
I
х2 — у2 dxdy,
D
где D — круг х2 4- у2 2ах.
Q Строим круг х2 +у2 2ах радиуса а с центром в точке (а, 0) (рис. 21).
Подынтегральная функция четная по переменной у (т. е. f(x, —у) =
= /(я, ?/))> а область интегрирования симметрична относительно оси Ох.
Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и
результат удвоить:
2 ууу/4а2 - х2 - у2 dxdy.
D/2
Рис. 21
Переходим к полярным координатам х = rcosp, у = rsin<^. Для
удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим по-
лярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. То-
гда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств
0	г 2а cosq>, подынтегральная функция примет вид \/4а2 — г2,
a dxdy = г dr dip. Таким образом,
7г/2 2а cos (р
1 = 2 j dp J у/4а2 - г2 • г dr =
о о
7г/2 2а cos <р
= 2 У dp у* у/4а2 - г2 •	d(4a2 - г2) =
о о
тг/2 7	о \
147

тг/2
о
- 16„з
тг/2
-I №
о
[a2 sin2 р) 2
= усГ <p|oZ + /(1 - cos2 <р) d(cos<p) = ya3 (f “ |) •
cos2 p) 2 - (4a2) 2 j dp =
тг/2
I dp = | у (8a3 - 8a3 sin3 p) dp =
о
о
Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы:
3.2.8.
3.2.9.
х2 — у2 dxdy.
®2+j/2^a2
3.2.10.
2^®2+1/2^4тг2
a Va2—x2
Вычислить повторный интеграл I = J dx J е®2 4-2,2 dy.
о о
Q Сначала преобразуем повторный интеграл в двойной:
3.2.11.
I = JJ еХ +у dxdy, где D:
D
х\
Рис. 22
Область интегрирования представляет собой четверть круга
(рис. 22 a), поэтому удобно перейти к полярным координатам (г, р). По-
лярную систему координат изобразим также в виде прямоугольной
(рис. 22 6). Тогда область G в системе координат Огр определяется си-
стемой неравенств
J 2
[О г С а,
т.е. G — прямоугольник. Учтем также, что подынтегральная функция
имеет вид er2(cos2^+sm2^) — е7*2. Следовательно,
я/2 а
I = JJ er*r drdp = J dp J er\dr =	-|er21 = ^(efl2 - 1).	•
g	oo
148

Вычислить интегралы, переходя к полярным координатам:
а у/а2—у2
3.2.12.	J dy J у/а2 — у2 — х2 dx.
° ^ау—у2
3.2.13.	уд/я2 4- ?/2 — 9dxdy, D — кольцо, ограниченное окружностя-
D
ми х2 4- у2 = 9 и х2 -I- у2 = 25.
а у/а2-у2
3.2.14.	J dy J у/а2 - х2 - у2 dx.
о о
3.2.15.	ff(x2 + У2) dxdy, где область D ограничена окружностями
D
х2 +у2 = ах, х2 + у2 = 2ах и осью Ох (у 0).
3.2.16.	Вычислить
I = ff xVx2 + У2 dxdy,
D
где D — область, ограниченная лемнискатой
(х2 -I- у2)2 = а2(х2 - у2), х 0.
а
Рис. 23
Q Заменяя х на г cos ip, а у rsin<£, получим на уравнение лемниска-
ты (рис. 23) в полярных координатах г = ay/cos 2ip (cos2<^	0 при
Подынтегральная функция равна г2 cosip. В силу сим-
метрии лемнискаты относительно оси Ох и четности подынтегральной
функции относительно переменной у можно записать:
4	а у/cos 2(р	4
I = 2 JJ г2 cos <£• г dr dip = 2 f cos ip dip J r3 dr = ±a4 J cos2 2ip-cos ip dip =
p	ooo
2
7Г	7Г
4	4	4 4
= IT / (1 ~ si1*2 ^)2 d(sin= f (1-4sin2 ip 4- 4sin4 ip) d(sinip) =
о	о
a4 ( •	4«з	। 4 • 5 \ 14	2\/2 4
= y(sin^-3Sm ^+5Sm ^1о = -ТГа- *
149

Вычислить интегралы, переходя к полярным координатам:
3.2.17.	уУ у/а2 — х2 — у2 dxdy, где D — полукруг х2 4- у2 С а2, у 0.
D
а у/а2—х2
3.2.18.	у dx у у/х2 + у2 dy.
о о
3.2.19.	уУ у/а2 — х2 — у2 dxdy, где D ограничена лемнискатой
D
(ж2 + у2)2 = а2(х2 -у2),
D
1 X2 у2 1 1 п
1----------- dxdy, где D — внутренность эллипса
а2 Ь2
В следующих двойных интегралах расставить пределы интегрирования,
применяя прямоугольные и полярные системы координат:
3.2.21.	уу f(x, у) dxdy, где D ограничена окружностями х2 4- у2 = 4а?,
D
х2 4- у2 = 8х и прямыми у = х и у = 2х.
3.2.22.	уу f(x, у) dxdy, где D ограничена прямыми у = 0, х = 1, у = х.
D
Дополнительные задания
Вычислить двойные интегралы:
3.2.23.	уу(ж2 + у2) dxdy, где D ограничена кривыми у = х, х -I- у = 2а,
D
х = 0.
3.2.24.	уу y/ху — у2 dxdy, где D — трапеция с вершинами 4(1,1),
В(5,1), С(10,2), К(2,2).
3.2.25.	уу xydxdy, где D ограничена кривыми х -I- у = 2, х2 4- у2 = 2у
D
3.2.26.	уу(ж 4- 2у) dxdy, где D ограничена кривыми у = х2, у = у/х.
D
150

Данные интегралы вычислить, переходя к полярным координатам:
3.2.27.	ff \/9 - x2 — y2 dxdy, где D ограничена кривыми у = x, у = D = х/Зж, x2 + у2 = 9.
3.2.28.	f[(х2	dxd^ где & ограничена окружностью х2 +у2 = 2Rx.
3.2.29.	f[ dxdy, где D ограничена линией (х2 + у2)2 = 2ах3.
3.2.30.	D ff \/R2 — х2 — у2 dxdy, где D — круг х2 + у2 Rx. Г)
3.2.31.	и ff у dxdy, где D — полукруг (х — а)2 + у2 а2, у 0. ГЛ
3.2.32.	и //^2 + dxdy> где & — КРУГ я2 + 0/ + 2)2 < 4. Г)
3.2.33.	и ff arctg dxdy, где D — четверть круга х2 + у2 1, х 0, D у^0.
3.2.34.	f[ dxdy, где D ограничена лемнискатой (х2 + у2)2 = 2а2ху. D
Контрольные вопросы и более сложные задания *
3.2.35.	Что выражает знак якобиана преобразования координат?
3.2.36.	Почему при преобразовании координат в двойном интеграле
необходима взаимная однозначность этого преобразования?
3.2.37.	Почему функции х = x(u,v), у = y(u,v) используемые при
замене переменных в двойном интеграле должны быть диффе-
ренцируемыми (при (u,v) G G)?
3.2.38.	Можно ли выполнить такое преобразование, чтобы соответ-
ствующим интегралом вычислить длину кривой?
3.2.39.	При составлении повторного интеграла получилась запись
х Зх2
j dx у f(x,y)dy.
а 2х—у
Какой области D может соответствовать этот интеграл?
В данных двойных интегралах перейти к полярным координатам и рас-
ставить пределы интегрирования:
3.2.40.	ff dxdy, D — круг x2 + у2 ax.
D
151

3.2.41.	у/(ж, у) dxdy, область D — общая часть кругов х2 + у2 ах,
D
х2 +у2 Ьх.
3.2.42.	J{	dxdy, область D ограничена прямыми у = —х, у = х,
D
У = 1-
В данных интегралах произвести указанную замену переменных и рас-
ставить пределы интегрирования:
	b	0Х
3.2.43.	У dx Jf(x, у) dy (а > 0, а > 0), если и = х, v = а	ах 1	1
3.2.44.	j dx f f(x, у) dy, если u = x + y,v = x — у. 0	0
3.2.45.	f [	dxdy, W D — область, ограниченная кривой D (x2 +	= x2y, если x = r cos <p, у = VSr sin <p.
3.2.46.	f [	dxdy, гДе D ограничена параболами у = ax2, у = by2 D и гиперболами xy = p, xy = q, если у = их2, xy = v (0 < a < b, 0<p<q).
3.2.47.	Преобразовать с помощью подстановок x = ar cos <p, у = br sin ip интеграл [ff(R2 -	dxdy, J J \	a2 b2 J D	x	7 где D — лежащая в первой четверти часть эллиптического кольца	о 1^ + ^4. " а2 Ь2 "
Перейти к полярным координатам (г, tp) и расставить пределы инте-
грирования в том и в другом порядке в данных интегралах:
3.2.48.	11 1 У dx У f(x,y)dy.	3.2.49. J dx J f(x,y)dy. 00	0	1-х
3.2.50.	! dx J f(y/x2+y2)dy. 0	x
152

3.2.51.	В двойном интеграле
J[	у) dxdy,
D
где область D ограничена кривыми у/х + y/у = у/d, х = 0, у = О,
сделать замену переменных х = u cos4 v, у = и sin4 v. Интеграл
привести к повторному.
3.2.52.	Вычислить	/у
/ / dxdy,
D
х2	У2	х	У
где D ограничена кривой —- + — = т + т.
a	b	п,	к
3.2.53.	Вычислить	/•/•
/ / dxdy,
D
где D ограничена кривыми	= 1, х = 0, у = 0.
3.2.54.	Вычислить
УУ г2 |sin (^ + j) “ г|
D
где D — прямоугольник 0^г^1,0^<£^2тг.
§3. ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и
физических задач: вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объ-
емов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т. д.
Вычисление геометрических величин
1.	Если D — ограниченная область плоскости Оху, то ее площадь S вы-
числяется по формуле
S = S(D) = JJdxdy.
D
2.	Пусть z = f(x,y) — неотрицательная, непрерывная функция в замкну-
той области D. Если V — тело, ограниченное сверху поверхностью z — f(x,y),
снизу — областью D, а сбоку — соответствующей цилиндрической поверх-
ностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей, совпадающей с
границей области D, то объем этого тела равен
v = ff f(x,y)dxdy.
D
3.	Пусть V — тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, у), снизу —
поверхностью z = д(х,у), причем проекцией обеих поверхностей на плоскость
153

Оху служит область D, в которой функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны (и
f(x,y) д(х,уУ), то объем этого тела равен
V = jj<f(x’ S') - 9(х’ S')) dxdy-
D
4.	Пусть поверхность задана уравнением z = f(x,y), (х,у) 6 О, где функ-
ция f(x,y), а также ее частные производные первого порядка, непрерывны в
области D. Тогда ее площадь S вычисляется по формуле
5 = ууу 1 + Л2 (я, у) + fv4x, у) dxdy.
D
Приняты также обозначения: f'x (х,у) = р, fy(x,y) = q. В таком случае,
S = jjy/1 + Р2 + <72 dxdy.
D
Вычисление физических и механических величин
Предположим, что плоская пластина D имеет поверхностную плотность
распределения масс р(х,у) непрерывную в D. Тогда масса т = m(D) этой
пластины вычисляется по формуле
m = ffp(x,y) dxdy
D
(физический смысл двойного интеграла).
Моменты инерции Jx, Jy и Jo плоской материальной пластины D с поверх-
ностной плотностью р(х,у) относительно координатных осей Ох, Оу и начала
координат 0(0,0) соответственно вычисляются по формулам:
Jx = ff У2р(х, у) dxdy; Jy = J J x2 p(x, у) dxdy;
D	D
Jo = Jx+Jy = ff(x2 + y2)p(x, y) dxdy.
D
В случае однородной пластины (р = 1) эти формулы принимают более
простой вид:
Jx = ffy2 dxdy, Jy = ffx2 dxdy, Jo = ff(x2 4- y2) dxdy.
D	D	D
Координаты центра тяжести материальной пластины D с плотностью
р(х, у) вычисляются по формулам
Му _ Мх
Хс т ’ Ус т 1
154

где
Му = JJхр(х, у) dxdy, Мх = JJур(х, у) dxdy —
D	D
статические моменты пластины D относительно осей Ох и Оу соответственно,
а тп — ее масса.
В случае однородной пластины соответственно имеем:
JJx dxdy	jУу dxdy
_ D______ _ D____________
JУ dxdy	JУ dxdy
D	D
3.3.1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = 2х и
У = х.
Q Имеем S = JJ dxdy. Направление, или порядок, интегрирования вы-
D
берем так, как указано на чертеже (рис. 24).
Рис. 24
Сначала определим координаты точки А:
у2 = 2х п
<	=> х = 2х => xi = 0, 2/1 = 0 и Х2 = 2, у2 = 2.
у = х,
Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом,
2
3.3.2.	Вычислить площадь параболического сегмента АО В, ограни-
ченного дугой ВО А параболы у = ах2 и отрезком В А, соеди-
няющим точки В(—1,2) и А(1,2).
155

Q Ясно, что уравнение параболы имеет вид у = 2х2 (з/(-1) = 3/(1) = 2).
Фигура 7?, площадь которой надо вычислить, ограничена снизу парабо-
лой у = 2ж2, а сверху — прямой у = 2. Следовательно,
1
1
2
2х2
D
О
л (	х3\ |х_ 8
41 х « 1 — и •
\ о / 1о о
3.3.3.	Вычислить площадь петли кривой
х2 , У?\2 =
а2 Ь2) с2 ’
Q Под петлей будем подразумевать область, ограниченную данной кри-
вой и расположенную в первой четверти (х 0, у 0). Воспользуемся
обобщенными полярными координатами: х = а • г cos </?, у = b • г sin </?. В
таком случае, якобиан преобразования равен
дх дх
дг др
ду ду
dr др)
a cos ip —ar sin ip
b sin ip br cos ip
Кривая в полярных координатах имеет вид
2	2	, 2 • 2 \2 2abr2 sin cos
(г COS ip + Г Sin ip) = -------------,
с2
, 2ч2 abr2 • 2sin^cos</j	y/ab , . n o
т.е. (r2)2 = -------—---откуда r = —— ysin2(£. Внутренность пе-
тли, т.е. область интегрирования D в прямоугольных координатах, за-
дается неравенством
+	<^У
\а2	Ъ2) " <? '
В полярных координатах соответствующая область интегрирования G
определяется неравенством 0 г -^p^siri 2<^, при этом sin 2р 0, т. е.
0 ip . Таким образом,
S = ff dxdv = ff a^r =
D	G
7V	TV
2	2
= ^/|Sin2^=^/si„2^=(g2. •
0	0
156

Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.4.
3.3.5.
3.3.6.
3.3.7.
3.3.8.
3.3.9.
3.3.10.
3.3.11.
3.3.12.
х = 0, у = |т, у = 4 - (х - I)2.
ху = 4, х + у — 5 = 0.
у/х + Jy = \/а, х + у = а.
х2 +yi = ах, у2 = 2ах, х = 2а, у 0.
у2 = 10а: + 25, у2 = —6а: + 9.
х2 + у2 = 2а:, х2 + у2 = 4а:, у = х, у = 0.
(а:2 + у2) = 2ах3, а > 0.
х2 + у2 + 2у = 0, у = -1, у = -х.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
(4а: — 7у + 8)2 + (За: + 8у - 9)2 = 64.
Q Вычисления по формуле
S = уу dxdy
неприемлемы ввиду сложности пределов интегрирования. Произведем
замену переменных по формулам
4а: - 7у + 8 = и
За: + 8у - 9 = и,
откуда
х = ^j(8u + 7v + 1)
ОО
у - Х(-Зи + 4и + 60).
ОО
ттг>м дх-IL дх_7_ду_ __3_ ду _ 4
При этом ди 53, Qv 53,5u	53, dv 53
т.е.
дх дх
ди ди
ду ду
ди ди
8
53
3
53
7
53
4
53
_ _1_
53'
В плоскости координат (и, и) соответствующая линия имеет вид и2+и2 =
= 64, т. е представляет собой окружность, а область G — круг и2+и2	64
с площадью S(G) = 64тг. Используя соответствующие формулы, полу-
чаем
S = ffdxdy = Jdudu = Jf ±dudu=±S(G) = ^-.	•
D	G	G
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.13.
3.3.14.
3.3.15.
(а: + у - I)2	(а: - у + З)2
4	9
(2а: + Зу - 5)2 (За: - 2у + I)2
16	+	25 Ъ
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
г = а(1 + cos</>), r = acos</j, (а > 0).
157

Рис. 25
Q Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся фор-
мулой площади в полярных координатах
S = JJ г drdip.
G
Первая функция г = а(1 + cos</?) определена при ip 6 [—7г,тг], а вто-
рая г = a cos ip — при ip €	так как ПРИ прочих значениях ip
получается г < 0. Соответствующая область имеет вид, изображенный
на рис. 25. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси мож-
но ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить.
Имеем
2
S = 2 J dip
о
a(l+cos <р)
a cos
a(l+cos <p)
J r dr =
о
2
2	я-
= а2 у (1 + 2 cos ip) dip + a2 J (1 + 2 cos ip + cos2 ip) dip =
0	ZL
2
= а2
2	7Г	7Г
J (1 + 2 cosy?) dp + J (1 + 2cosp) dp + J cos2 pdp =
.0	Z	Z
2	2
7/-. n \ j 7 (1 + cos2y>)
I (1 + 2 cos p) dp + I ----------£------- dp
-0	z
2
5	2
= ^7ra .
4
= а2
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.16.
3.3.17.
3.3.18.
/ж2 idV = _ у!
4	9 J 4	9 •
(у - ж)2 + X2 = 1.
ж3 + у3 = 2ху, х 0, у 0.
158

3.3.19.	х2 + у2 = 2ах, х2 + у2 = 2&г, у = 0, у = ж, О < а < Ь.
х2 У2
3.3.20.	+ 77 = 1.
а2 1г
3.3.21.	ху = а2, ху = Ь2, у = т, у = п (а > Ь; т > п).
3.3.22.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями у = у/х,
у = 2у/х, х + z = 4, z = 0.
Q Первые два уравнения изображают параболические цилиндры с вер-
тикальной образующей, третье,т.е. х + z = 4 — уравнение наклонной
плоскости, а уравнение z = 0 — плоскость Оху. Соответствующее тело
изображено на рис. 26; сверху его ограничивает поверхность z — 4 — х.
Рис. 26
Рис. 27
Объем тела вычислим по формуле
JJ(4 — х) dxdy,
D
V
где область D изображена на рис. 27. Имеем
4	2->/х	4	2у/х
У = У*(4 - x)dx у dy = у(4 - х) dxy\ =
о	7®	0
= [ (4 - х)у/х dx = (4- %х% -	| = W. •
J	у о О J 10
0	'
3.3.23.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 0,
z = 2 - у, у = X2.
Q Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 28. В си-
лу симметрии тела (клина) относительно плоскости Oyz, вычислим объ-
ем половины тела и результат удвоим. Координаты точек А и В удовле-
творяют системе уравнений у = х2 и у = 2, откуда А(\/2,2), В(—\/2,2).
159

Рис. 28
Следовательно,
2
2
V = JJ(2 - у) dxdy = 2 J(2 -y)dy Jdx = 2 J (2- y)y/y dy =
D	ООО
/	9 3 q 5
= 2\2 ±y2 -jy2
2 32>/2
o“ 15 ’
Вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями:
3.3.24.	z = 0, z = 3-x2-y2.
3.3.25.	х = 0, у — 0, z = 0, у = 4, z + х2 + у2 = 1.
3.3.26.	а: = 0, у = 0, z = 0, | + | + ^ = 1-
3.3.27.	х = 0, у = 0, z = 0, х = у2 + г2, у + z = 1.
3.3.28.	az = у2, х2 +у2 = г2, z — 0.
3.3.29.	z = х2 + у2, у = х2, у = 1, z = 0.
3.3.30.	х + у + z = а, Зх + у = а, Зх + 2у = 2а, у = 0, z = 0.
3.3.31.	4 + 4 = 1, У = их> у = °>z = °-
а2 с2	и
3.3.32.	Вычислить площадь поверхности сферы х2 + у2 + z2 = R2.
Q Сфера симметрична относительно координатных плоскостей, поэто-
му ограничимся вычислением площади поверхности той ее части, что
расположена в первом октанте, а результат умножим на 8. Запишем по-
верхность верхней полусферы явно, т.е. в виде z = y/R2 — х2 — у2, и
воспользуемся соответствующей формулой. Имеем:
z1 =_____х . _ z' =____________-	 У	-
х	у/R2 - х2 - у2 У y/R2 - х2 - у2
\I1 + Z'x+Z’j =
1 + х2 + у2 = R
R2 -х2 ~ у2 R2 -х2 - у2 y/R2 _х2 _у2
160

Переходя к полярным координатам х = г cos </?, у = г sin найдем иско-
вую площадь (заметим, что здесь мы имеем дело со сходящимся несоб-
ственным интегралом)	£ R
S = 8 [[ R -rdrdy = 8R (dtp f , rdr =
JJ y/R2 - r2	J J y/R2 - r2
= 8Л • J 2 (-VR2 - г2)|Л= 4тгЯ2. •
Io	Io
3.3.33.	Вычислить площадь S части поверхности параболоида z = ху,
принадлежащей цилиндру х2 -I- у2 Я2.
Q Поскольку z'x = у, z'y = х, 1 +	+ zy2 = у/1 + х2 + у2, то, переходя
к полярным координатам, имеем:
S= JJ \/1 + х2 + у2 dxdy = JJr\/l + г2 drdip =
x2+y2^R2	r^R
2тг R	3
= fdp fy/T^-y(l + r2) = ^-[(l + R2)2-1]. •
о 0
3.3.34.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 -I-?/2 = Я2,
заключенной между плоскостями z = 0 и z = рх, р > 0.
Q Поверхность цилиндра не может быть записана явной формулой z =
= г (#>?/)> поэтому формула
S = УД/1 + 42 + z'y dxdy
D
неприменима. Выразим в таком случае поверхность цилиндра (рис. 29)
явно в виде у = ±\//?2 — х2 и воспользуемся формулой
S = ff\/1 + y'x2+ y'z dxdz,
D
где D — область, ограниченная прямыми z = рх, z — 0, х = R (рис. 30) в
плоскости Oxz. Имея в виду знак ± перед радикалом, вычислим площадь
6 Сборник задач по высшей математике. 2 курс	161

половины поверхности, т.е. описываемой уравнением z — \/R2 — ж2, а
результат удвоим. Имеем
у'х = ~y'z = ^ ^ + У*+У? =	=
Следовательно,
S = 2 [[dxdz = 2R [ _ dx [dz =
JjJ \/R2 — х2	J \/R2 — х2 J
R	|Я
= 2pR	2 dx = -2pfl(-\/fl2-a;2)|o = 2pR2. •
3.3.35.	Найти площадь части поверхности z2 -I- (ж cos a -I- 3/sina) = r2
содержащейся в первом октанте.
х	У	z
3.3.36.	Найти площадь части плоскости — + - + - = 1, заключенной
и	Ь	с
между координатными плоскостями.
3.3.37.	Найти площадь части поверхности параболоида у2 -I- z2 — 4аж,
отсекаемой цилиндром у2 = ах и плоскостью х = За.
3.3.38.	Найти площадь части поверхности параболоида 2z = х2 -I- у2,
«вырезанного» цилиндром (ж2 + з/2)2 = х2 — у2.
3.3.39.	Вычислить площадь той части конуса х2 -I- у2 — z2 — 0, ко-
торая лежит над плоскостью z — 0 и отсечена плоскостью
г = 72(| + 1).
3.3.40.	Вычислить площадь части поверхности гиперболического па-
раболоида 2z — х2 — у2, «вырезанной» плоскостями х — у = ±1,
х + у = ±1.
3.3.41.	Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в на-
чале координат, если поверхностная плотность материала пла-
стины в точке М(х,у) равна р(х,у) = к\/х2 -I-у2, где к > 0 —
фиксированное число.
Q Переходя от декартовых координат к полярным, имеем
т = JJр(х, у) dxdy =	Ц к\/х2 +у2dxdy =
D	х2+з/2^н2	| R
= 4к [dtp j г2 dr =	•
О о
3.3.42.	Найти массу круглой пластины D (х2+у2	1) с поверхностной
плотностью р(х, у) = 3 — х — у.
Q Имеем:
1 у/Т^Х^
т= JJ (3 - х -у) dxdy = j dx	j (3 - x -y)dy =
X2+y2^l	-1
162

—5-	1
t__dx = J2(3 - x)\/l — x2 dx =
x	-i
= J6\/l — x2 dx — 2 Jx\/l - x2 dx.
-i	-i
Последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по
симметричному относительно началу координат отрезку. Поэтому, делая
подстановку х = sin t, получим
1	________ 2	__________ 2
m= J 6\/l — x2 dx = 6 J Vl — sin21 cos tdt = 6 Jcos2tdt =
— 1	_ —	_2L
2	2
7Г
2
= 3 /*(1 + cos 2t) dt = Зтг. •
“2
3.3.43.	Найти моменты инерции квадратной пластины 0 х а,
О у а относительно осей координат и начала коорди-
нат, если плотность пластины пропорциональна ординате точ-
ки пластины с коэффициентом к.
Q Вычисления производим по соответствующим формулам этого пара-
графа учитывая, что р(х, у) = ху:
1)	Jx = Ц ку у2 dxdy = к Idx jy3 dy =
О О
2)	Jy = II ку х2 dxdy = к jх2 dx Iу dy =	.
О^х^а	О	О
3)	Jo = Jx + Jy =
Найти массу пластины D с поверхностной плотностью р(х,у):
3.3.44.	D: 0 < х < 1, 0 < у < 2; р(х, у) = ху.
3.3.45.	D: 0 < х < 1, 0 < у < 1; р(х,у) = ——-.
1 + у2
3.3.46.	D: 0 х 1, 0 у 2; р(х,у) = х2уеху.
3.3.47.	D ограничена кривыми х2+у2 = ах, х2+у2 = 2ах, у = 0 (у > 0);
р(х,у) =х2 -I- у2.
3.3.48.	D ограничена лемнискатой (х2 -I- у2)2 = а2(х2 — у2), (х 0);
р(х,у) = х\/х2 -I- у2.
163

3.3.49.	D задана неравенствами х 0, у О, x+y 1, р(х, у) = e^+j/)2t
3.3.50.	D ограничена кривыми х2 = ay, х2 -I- у2 = 2а2, у = 0 (х > О,
а > 0), р(ж, у) = к.
3.3.51.	Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной па-
раболой ау = х2 и прямой х -I- у = 2а, если плотность пластины
постоянна и равна ро.
Q Сделаем чертеж (рис. 31). Находим абсциссы точек А и В пересе-
х2
чения прямой х -I- у = 2а и параболы у = —. Из системы уравнений
х -I- у = 2а
<	2 находим Xi = — 2а и а?2 = а.
__ X
Рис. 31
1)	Масса пластины D равна
а
т = m(D) = JJpQ dxdy = ро J dx
D	—2a
2)	Вычислим статические моменты пластины относительно коорди-
натных осей
а
/dx
—2а
2а—х
У ydy =
х2
а
а г	а
= |ро / (2а-х)2-^-
-2а L
dx = ^rpoa3.
о
164

a	2a—x
My = Po JJx dxdy = ро У xdx fa
D	-2a	.,2
a
a /	n x
/* ।	372 i j	9 ч
= po J 12a — x—— jxdx = —-apo.
—2a 4	7
3)	Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам
_ Му_ _ _а _ Мх _ 8
Хс т 2’ т 5а*
Ответ: Mq (-#, fY).
\ 2 о /
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями:
3.3.52.	у = х2, у = 0, х = 4.	3.3.53. у2 = ах, у = х.
3.3.54.	х2 + у2 = R2, у = 0.	3.3.55. х%+у%=а1.
Дополнительные задания
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
3.3.56.
3.3.58.
3.3.60.
3.3.61.
3.3.62.
3.3.63.
у = х2 + 4х, у = х + 4.	3.3.57. а2у2 = х2(а2 — х2).
7/2
—--------- = 1, х = 2а.	3.3.59. х2 = 2ру, у2 = 2рх.
a2, Ь2
+ l/у =	—a	a.
(x — a)2 + y2 = a2, x2 + (?/ - a)2 = a2.
x2 -I- у2 = 7?2, x2 -I- y2 - 2Ry = 0, x = 0.
(x - 2y + 3)2 + (3z + 4y - I)2 = 100.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.3.64.	z = 4х2 -1- 2у2 + 1, z — 1, х 4- у = 3, х = 0, у = 0.
3.3.65. 3.3.66.	_ х2 . У2 _ z ~	2 + к2 1 % ~ С’ а2 Ь2 Зх - 2у = 0, 8х - у = 0, 2х 4- Зу - 13 = 0, 2х 4- Зу - 26 = 0, 17# 4-16?/ - 13z = 0, z — 0.
3.3.67. 3.3.68. 3.3.69.	6z - 9у 4- 5z = 0, Зх - 2у = 0, 4х - у = 0, х 4- у - 5 = 0, z = 0. z — 4 - х2, у = 5, у = 0, z = 0. z = а2 — х2, х + у — а, у — 2х, у = 0, z = 0.
3.3.70. 3.3.71.	г! + ^ + ^ = 1. а2 Ь2 с2 Плоская пластина D представляет треугольник АВС с верши- нами 4(1,1), В(2,2), С(3,1). Плотность распределения масс в каждой точке равна ординате этой точки. Определить а) массу пластины;
165

б)	статические моменты пластины относительно координатных
осей;
в)	координаты центра тяжести пластины.
3.3.72.	Найти массу пластины, ограниченной кривыми у = ж2, у = у/х,
если ее плотность равна р(х, у) = х + 2у.
3.3.73.	Найти моменты инерции треугольника АВС с вершинами
А(0,1), В(1,2), С(2,1) относительно координатных осей и на-
чала координат, если плотность треугольника постоянна и рав-
на С.
3.3.74.	Найти центр тяжести квадрата 0 ж 2, 0 з/ 2 с плотно-
стью р(ж, у) = х + у.
3.3.75.	Найти площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 = R2, за-
ключенной между плоскостями z = тх и z — пх (т > п > 0).
3.3.76.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 + з/2 = ах,
вырезанной из него сферой х2 + у2 + z2 — а2.
3.3.77.	Вычислить площадь части поверхности шара х2 + у2 -I- z2 = а2,
х2 У2
вырезанной поверхностью — + — = 1.
а2 Ь2
3.3.78.	Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
кардиоидой г = а(1 -I- cos</?).
3.3.79.	Найти массу круглой пластины радиуса R, если плотность ее
пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна
а на краю пластины.
3.3.80.	Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу од-
нородной фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos</?)
0 тг и полярной осью.
3.3.81.	Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, огра-
ниченной кривыми у = х и у2 = ах.
3.3.82.	Найти массу прямоугольного треугольника с катетами а и Ь,
если его плотность равна расстоянию точки от катета Ъ.
3.3.83.	Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу одно-
родной фигуры, ограниченной синусоидой у = sin ж и прямой
О А, проходящей через начало координат и вершину А
синусоиды (х 0).
3.3.84.	Вычислить моменты инерции относительно координатных осей
треугольника с вершинами в точках А(2,2), В(0,2), С(2,0).
Контрольные вопросы и более сложные задания
Найти площади фигур, ограниченных кривыми:
3.3.85.	х2 = ау, х2 = by, у2 = ах, у2 = fix, а < Ь, а < /3.
3.3.86.	у2 = ах, у2 = Ьх, ху = а, ху = /3 (0 < а < Ь, 0 < а < /3).
166

3.3.87.	Найти площадь фигуры, ограниченной прямой rcosc/? = 1 и
окружностью г = 2 (фигура не содержит полюса).
3.3.88.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1—cos ср)
и г = а (вне кардиоиды).
3.3.89.	Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного
параболой (f +	= а “ f и осью
Вычислить объем тел, ограниченных поверхностями:
3.3.90.	2az = х2 + у2, х2 + у2 + z2 = За2 (внутри параболоида).
3.3.91.	х2 + у2 = 2ах, х2 +у2 = z2, z — 0.
3.3.92.	В каком отношении гиперболоид х2 + у2 — z2 — а2 делит объем
шара х2 -I- у2 -I- z2 За2?
3.3.93.	2az = х2 + у2, х2 -I- у2 — z2 — a2, z = 0.
3.3.94.	Найти объем тела, заключенного между конусом
2(ж2 -I- у2) - z2 = 0
и гиперболоидом х2 + у2 — z2 — — а2.
3.3.95.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 -I-?/2 = 2ах,
содержащейся между плоскостью Оху и конусом
2 . „,2	2 _ п
х + у — z = U.
3.3.96.	Найти площадь части конуса z = \/х2 + у2, «вырезанной» ци-
линдром (х2 + у2)2 = а(х2 - у2).
3.3.97.	Вычислить площадь части поверхности параболоида х2 -I- z2 —
— 2ах, содержащейся между цилиндром у = ах и плоскостью
х = а.
3.3.98.	Найти моменты инерции однородного треугольника, ограни-
ченного прямыми х + у = 1, х + 2у — 2, у = 0, относительно
координатных осей.
3.3.99.	Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной
кардиоидой г = а(1 + cos</?), относительно осей Ох, Оу и от-
носительно полюса.
3.3.100.	Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной эл-
липсом	_ о
^ + ^ = 1
а2 Ь2 ’
относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат.
3.3.101.	Найти момент инерции области, ограниченной лемнискатой
г2 = a2 cos2</?,
относительно полюса.
3.3.102.	Найти статический момент однородного полукруга радиуса R,
лежащего в плоскости Оху, относительно диаметра.
167

§4. тройной интеграл, свойства,
ВЫЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕНЕНИЕ
Определение тройного интеграла
Определение тройного интеграла аналогично определению двойного инте-
грала. Пусть в пространственной области V 6 R3 определена и непрерывна
функция трех переменных и = /(#, ?/, г). Разбиение области V на п произволь-
ных областей Avi, Дуг, ..., Avn с объемами Дгп,	Avn и выбор в
каждой области Avi произвольной точки Mi позволяют строить интегральную
сумму вида
г=1
Тогда существует предел интегральных сумм тп при условии стремления к
нулю наибольшего из диаметров областей AVJ. Этот предел, не зависящий от
способа разбиения области V на области A Vi и выбора точек Mi, называется
тройным интегралом и обозначается символом
/[/	dv и
V	V
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойно-
го интеграла (линейность, аддитивность, оценка интеграла, свойство среднего).
/77/(:г, У, z) dxdydz.
Вычисление тройного интеграла
Предположим, что функция трех переменных f(x,y,z) определена и не-
прерывна в пространственной области V, которая ограничена сверху поверх-
ностью z = Z2(x,y), а снизу — поверхностью z = zif^y), где функции zi(x,y)
и Z2(x,y) определены и непрерывны в области D 6 Оху (рис. 32). Тогда вы-
числение тройного интеграла сводится к последовательному (справа налево)
вычислению определенного интеграла по переменной z (переменные х и у счи-
таются при этом константами) и двойного интеграла от того, что получится,
по области D.
V	D	Zi(xty)
В частности, если область V представляет собой прямоугольный паралле-
лепипед, определяемый неравенствами	с у d, т z п, то
тройной интеграл сводится к трем определенным интегралам:
b d п
Jj*f	У, z) dxdydz = Jdx Jdy J f(x, y, z) dz.
V	a c m
Естественно, можно выбирать другой порядок интегрирования.
168

z = z2(x,y)
Рис. 32	Рис. 33
Замена переменных в тройном интеграле
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты г, у?, z (рис. 33) представляют собой обобще-
ние полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными коорди-
натами х, ?/, z формулами
х = г cos у?, у = г sin у?, z = z.
Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется
по формуле
JJJf(x, у, z) dxdydz = JJJ f(r cos у?, r sin y?, z)r drdipdz.
v
В частности, если положить в этом равенстве f(x,y,z) = 1, то получим фор-
мулу для объема тела в цилиндрических координатах:
V = JJJrdrdtpdz.
v
Сферические координаты
Сферические координаты г, в, <р связаны с прямоугольными координатами
3/, z при помощи формул (рис. 34)
х = г sin <р cos 0,
< у = г sin tp sin 0,
Z = г cosy?.
169

Рис. 34
В общем случае переменные г, 0, <р изменяются в пределах г 6 [0, +оо), у? 6
6 [0, тг], 6 6 [0; 2тг). Формула перехода к сферическим координатам имеет вид
z) dxdydz = JJJf(r
sin <p cos 0, r sin (£> sin 0, r cos 0)r2 sin <p drdOdip.
Положив f(x,y,z) = 1, получим формулу для объема тела в сферических ко-
ординатах:
v = JJ{г2 sin ср drd0d(p.
Приложения тройного интеграла
1.	Объем v тела V находится по формуле:
v = JJJ dxdydz.
2.	Масса т тела V с данной плотностью p(x,y,z), где функция p(x,y,z)
непрерывна, вычисляется по формуле
т = jjJр(х, у, z) dxdydz.
3.	Статические моменты Мху, Mxz, Myz тела V относительно координатных
плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны
Мху = JJJzp(x, у, z) dxdydz, Mxz = JJJyp(x, Уч z) dxdydz,
хр(х, т/, z) dxdydz,
где р = р(х, у, z) — плотность тела V.
170

4.	Координаты центра тяжести тела V с массой т определяются по фор-
мулам
Myz	MXz	МХу
Хс ~ т ’ Ус ~ т ’ Zc ~ т ’
или, более подробно:
Хс =	УУ[хр(х, у, z) dxdydz, ус = Т fffур(х, у, z) dxdydz,
v	v
гс = m fffZP(X' V’ z>> dxdVdz-
В частности, если p = po (тело однородно), эти формулы упрощаются:
хс = | fff х dxdydz, ус = | fff у dxdydz, zc = | fff z dxdydz,
где v — объем тела V.
5.	Моменты инерции тела V с плотностью р(ж, ?/, z) относительно коорди-
натных плоскостей вычисляются по формулам
Jxy = JJJz2p(x,y,z)dv, Jyz = JJJx2p(xy у, z) dv,
Jxz= fffy2p(x,y,z)dv.
Моменты инерции Jx, Jy и Jz тела V относительно координатных осей Ох,
Оу и Oz соответственно находятся по формулам
Jx =	+ z2}p(x,y,z)dv, Jy = Hl(x2^z2)p(x,y,z)dv,
V	V
jz= ffj(x2 + y2)p(x,y,z)dv.
3.4.1. Вычислить тройной интеграл
JJJ x2yz dxdydz,
v
где V — область, ограниченная плоскостями х = 0, у = 0, z = О,
х + у + z — 1.
Q Область V (рис. 35) достаточно просто устроена, поэтому данный
тройной интеграл можно вычислить, используя произвольный порядок
интегрирования. Традиционно проектируют область V на плоскость Оху,
принимая полученную проекцию в качестве области D (на рис. D —
треугольник АОВ). Прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу V
в Двух точках. Аппликата первой точки равна нулю (точка входа лежит
171

Рис. 35
на плоскости Оху, т. е. z = 0), аппликата второй точки равна z — 1 — х — у
(поскольку точка выхода из области V лежит на плоскости z = 1 — х — у).,
Таким образом,
1-х-у
J' — Щ х2уz dxdydz = Ц х2у dxdy	zdz = - Ц х2у(1 — х — у)2 dxdy.
V	D	О	D
Двойной интеграл приводим к повторному известным уже способом, по-
этому детали опускаем.
1	1-х
J =1 J x2dx у у(1 - х - у)2 dy =
О'	о
1	1-х
= 1 J х2 dx f у(1 + х2+у2-2x-2y + 2xy)dy = ... =•
О	о
Вычислить следующие тройные интегралы в прямоугольных координа-
тах:
3.4.2.
3.4.3.
3.4.4.
3.4.5.
3.4.6.
Щ	dxdydz, где V — куб, ограниченный плоскостями
v
х — 0, х = 1, у = 0, у — 1, z = 0, z = 1.
ЩО- ~ y)xz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0,
v
у = 0, z = 0,x + y + z = l.
HI x2y2z dxdydz, где V — параллелепипед, ограниченный
v
плоскостями х = 1, х = 3, у = 0, у = 2, z = 2, z = 5.
HI -—* где ограничена координатными плос-
костями и плоскостью х + у + z = 1.
HI х dxdxdz, где V ограничена цилиндром х2 -I- у2 = 1 и плос-
v
костями z = 0 и z = 3.
172

3.4.7.
3.4.8.
/// XVZ dxdxdz^ где ограничена координатными плоскостя-
v
ми, сферой х2 + у2 + z2 = 1 и расположена в первом октанте.
Вычислить тройной интеграл
///(ж2 *" 2/2) dxdydz,
если V ограничена плоскостью z = 2 и параболоидом 2z =
Рис. 36
Q Область V ограничена сверху плоскостью z — 2, а снизу параболо-
~|“ у2
идом z — —2— (рис. 36). Переходим к цилиндрическим координатам
ж = г cosy?, у = г sin у?, z = z. При этом подынтегральная функция пре-
образуется к виду х2 -I- у2 = г2 cos2 у? + г2 sin2 у? = г2. Таким образом,
2тг 2	2
J = ffj\x2 + У2) dxdydz = Щ r3drdpdz = f dip f г3 dr
v	v	о о p2
2
2
2
47
О
2
о
з я».	16^ А
Г dr — -Z-7T.	“
о
Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить данные тройные
интегралы:
3.4.9.	ууу dxdydz, где V — ограничена сферой х2 + у2 + z2 = 2Rz,
v
конусом х2 + у2 = z2 и содержит точку (О, О, Л).
173

2	х/2® —®2 а
3.4.10.	J dx J dy J z\/x2 + у2 dz, преобразовав сначала к тройно-
ооо
му интегралу.
2г \/2гх—х2	\/4г2-х2-у2
3.4.11.	J dx J dy	J	dz, приведя сначала к тройному
0	х/—2га;—я2	0
интегралу.
3.4.12.	Вычислить повторный интеграл
1	у/1-х2-у2
f dx j dy f (я2 + У2 + ^2) dz.
оо	о
Q Преобразуем повторный интеграл в тройной
//У (я2 + З/2 + ^2) dxdydz,
v
для чего, исследуя пределы интегрирования в повторном интеграле, вос-
становим область интегрирования V. Она ограничена снизу плоскостью
z — 0, т. е. плоскостью Оху, а сверху — поверхностью z = д/i — х2 — у2,
т.е. верхней частью сферы х2 + у2 + z2 — 1. Область D лежит в плос-
кости Оху и ограничена снизу прямой у = 0 (осью Ох) и сверху линией
у = \/1 — я2, т.е. верхней полуокружностью х2 + у2 = 1. Наконец, про-
екция D на ось Ох — это отрезок [0,1]. По названным поверхностям
построим чертеж области V (рис. 37), а по соответствующим линиям —
область D (рис. 38).
Рис. 37	Рис. 38
Исходя из вида подынтегральной функции и вида области интегриро-
вания, делаем вывод о целесообразности перехода к сферическим коор-
динатам: х = г sin р cos в, у = г sin р sin в, z = г cos у?. При этом dxdydz =
= г2 sin р drdpdQ, O^r^l,	Подынтегральная
174

функция равна х2 + у2 + z2 = г2 (sin2 cos2 в + sin2 <р sin2 в + cos2 у?) =
— г2(sin2 <р + cos2 (р) = г2. Таким образом,
2	2	1
J = f/f + У2 + dxdydz — jsintpdO jdip J r4 dr =
Вычислить повторные интегралы:
3.4.13.
3.4.15.
3.4.17.
1 х 2(л2+2/2)
dz.
X2 Х2+у2
у/а2—х2	у/х2+у2
dy J dz.
X2 + у2
а
a+\Ja2-p2
dz.
р
1	1-х х+у
3.4.14. J dx f dy J dz.
О 0 ху
3.4.16.
О
7Г
2
fd<p I pdp j
О о
у/а2—х2
J dz.
о
3.4.18. Вычислить объем тела ограниченного сферой х2 + у2 + z2 = 22
и поверхностью параболоида 9z = х2 + у2.
Тело V расположено над плоскостью Оху между полусферой з2 =
= у/22 — х2 — у2 и параболоидом z\ = ±(х2 + у2) (рис. 39).
Рис. 39
О
а
а
о
а
о
Объем v тела V вычислим по формуле
V = /// dxdydZ'
175

Из симметрии тела V относительно плоскостей Оху и Oyz заключаем,
что удобно перейти к цилиндрическим координатам х = rcos<p, у =
= rsin<p, z = z и вычислить объем четвертой части V, а результат умно-
жить на 4.
Z2
v = 4 JJJ г drdipdz = 4 JJ г dr dip Jdz =
К	D	zi
= 4 J J r dr dip Г \/22 - r2 -
D	V
r drdip.
Для дальнейших вычислений надо найти область D — проекцию на плос-
кость Оху пространственной области V. Для этого решим систему
р= 22, !#.г, + 9г = 22=!.г = 2>г=_11.
[я2 -I-2/2 = 9z
Подставляя z = 2 (z = —11 не подходит, т. к. z 0) во второе уравне-
ние системы, найдем, что сфера и параболоид пересекаются в плоскости
z = 2 по окружности х2 + у2 = 18. Следовательно, область D это че-
тверть круга х2 + у2 18 (х 0, у 0), или, в полярных координатах:
0 г \/18, 0 ip Таким образом,
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.19.	z = х2 + у2, z = 2(я2 + 2/2), у = х, у = х2.
3.4.20.	z = у/х2 4- у2, 3z = х2 + у2.
3.4.21.	±az = 16 - х2 — у2, z = 4 - х — у, х = 0, у = 0, z = 0.
3 4 22	— + — — — 1 — -к — — z
3.4.22.	4 + 9 + 4-	4 + 9 - z-
3.4.23.	Вычислить координаты центра тяжести верхней половины ша-
ра радиуса R с центром в начале координат при условии, что
его плотность постоянна и равна ро-
Q Сделаем сначала рисунок (рис. 40).
Воспользуемся формулами
яс = | JJJ х dxdydz, Ус = JJJ У dxdydz, zc = | JJJ z dxdydz,
v	v	v
176

Рис. 40
9_оЗ
где v = —з--объем полушара.
Подынтегральные функции х и у в числителях первых двух дробей
нечетные, а область интегрирования V симметрична относительно соот-
ветствующих плоскостей у = 0 и х = 0. Поэтому хс — ус = 0. К этому
же выводу приходим, исходя из определения хс и ус и симметрии тела
относительно координатных плоскостей Oyz и Oxz. Остается вычислить
/// zdxdydz'
v
Для этого переходим к сферическим координатам так же, как в приме-
ре 3.4.12. Получаем
fffZ dxdydz = fff г cos <р • г2 sin <р drdOdcp =
v	v
7Г
2	2тгН	/
К  4I.W-
о
7гЯ4
~ = ЗЯ
-7гК3	8
“ 3
Вычислить координаты центра тяжести тела,
параболоидом 4х = у2 + z2 и плоскостью х = 2.
Вычислить координаты центра тяжести тела,
КОНУСОМ	£ у± =
9 + 16 ~ 25
И ПЛОСКОСТЬЮ z = 5.
Вычислить координаты центра тяжести тела,
параболоидом z — х2 + у2, плоскостью х + у = 5 и коорди-
натными плоскостями.
Следовательно, хс = 0, ус = 0, zc = [ff z dxdydz =
и J J J	г>1ГКГ о
v
ограниченного
3.4.24.
3.4.25.
3.4.26.
ограниченного
ограниченного
177

3.4.27.	Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного
ЭЛЛИПСОИДОМ	2	2	2
«г । У । z ___
64“^ 49	36
и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0 (х 0, у О,
z 0).
3.4.28.	Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра ради-
уса 4 и высоты 6 относительно диаметра сечения, проходящего
через центр симметрии цилиндра; плотность цилиндра посто-
янна и равна ро-
Рис. 41
Q Введем прямоугольную систему координат Oxyz так, как обозначено
на рис. 41: ось цилиндра расположена на оси Oz, среднее сечение цилин-
дра лежит в плоскости Оху. Тогда задача сводится к вычислению Jx —
момента инерции цилиндра относительно оси Ох. Используем формулу
Л = ///(у2 + -2)Р0 dv,
v
где V — цилиндр: х2 -I- у2 16, — 3 z 3. Перейдем к цилиндрическим
координатам: х = г cos <р, у = г sin <р, z — z, dxdydz = г drdpdz, 0 <р 2тг,
0 С г 4, — 3 z 3. Отсюда у2 + z2 — т2 sin2 р + z2 и, стало быть,
27г	3	4
Jx = Ро J dp f dz j (r2 sin2 p + z2)r dr =
0	-3	0
27 f	/r4	2	Z2r2\ I4
= Po J dp J dz I у sin p +	1 | =
0	-3	x	7
271-3	27Г i-	-j
= Po jdp j(64;sin2 p + 8z2)dz = pq J dp 32(1 — cos 2<р)з + ^|- |
0-3	о L	J
8г3 |3 _
178

27Г	/	• о
= 48ро У [4(1 - cos 2р) + 3] dip = 48ро (7р -
о	4
Попробуйте взять интеграл в другом порядке:
27Г	4	3
Ро Jdp J г dr J(г2 sin2 р + z2) dz.
оо -з
2тг
= 672ро?г-
о
3.4.29.	Вычислить момент инерции прямого цилиндра, высота которо-
го равна Н и радиус основания Л, относительно оси, содержа-
щей диаметр основания цилиндра.
3.4.30.	Найти момент инерции круглого конуса, высота которого равна
Н, а радиус основания Л, относительно диаметра основания.
3.4.31.	Найти моменты инерции относительно координатных плоско-
стей тела, ограниченного плоскостями ^ + ^ + ^,# = 0, $/ = 0,
z = 0.
3.4.32.	Вычислить объем v и массу т тела V, ограниченного конусом
х2 -|- у2 = z2 и плоскостью z = 1, если его плотность p(x,y,z)
пропорциональна координате z с коэффициентом пропорцио-
нальности fc, к > 0.
Рис. 4%
Q Требуемые величины вычислим в цилиндрических координатах: х =
= г cos у?, у = г sin у?, z = г, dxdydz = г drdipdz, 0 р 2тг, 0 z 1,
О г 1 (рис. 42):
27Г	1	1
= ///dxdydZ = /d(^	dr Jdz = р
V	О О г
|27Г i	/т2	„3\ |1 „
|„ /(1-г)г* = 2^у-у) |о= j;
о
2тг 1	1	27Г 1 2 1
т = к JdpJrdrfzdz = k-p\ J 1 г dr = тгк j
0	0 г	0	0
179

3.4.33.	Вычислить массу прямоугольного параллелепипеда 0 х а,
О^З/^Ь,	если плотность в точке (ж, у, z) пропорци-
ональна сумме координат этой точки.
3.4.34.	Определить массу шара радиуса R, плотность которого пропор-
циональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии
единицы от центра плотность равна двум.
3.4.35.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями z = h и
2.2	2
Xz + у= z£,
если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате
этой точки.
3.4.36.	Найти массу сферического слоя между сферами x2+2/2+z2 = а2
и х2 + у2 + z2 = 4а2, если плотность в каждой точке обратно
пропорциональна расстоянию точки от начала координат.
Дополнительные задания
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.37.
3.4.38.
3.4.39.
3.4.40.
3.4.41.
3.4.42.
3.4.43.
3.4.44.
3.4.45.
3.4.46.
3.4.47.
3.4.48.
z = х + у, z = ху, х + у = 1, х = 0, у = 0.
х2 + z2 = а2, х + у = ±а, х — у = ±а.
az = х2 + у2, z = у/х2 + у2, а > 0.
(х2 +у2 + z2)2 = 2az, X2 + у2 = Z2.
х = 0, у = 0, z = 0, 2х — Зу - 12 = 0, 2z = у2.
х2 +у2 = R2, z — г = 0 (О 0).
а2
z = 4-2/2, у = у, z = 0.
z =	- х2 - у2, z = у/х^Ту2.
2 = У4 ~ г ~ » >'- = у -255-.
z = д/64 - х2 — у2, х2 +у2	60, z — \.
х2 + у2 = у, х2 + у2 = 4у, Z = у/х2 + у2, Z = 0.
х2 + у2 = 18, х = y/Зу, z = ур, х = 0, z = 0.
Вычислить повторные интегралы:
3.4.49.
3.4.50.
х/3-z2	у/1-х2-у2
J dy у	dz.
О	s2 + i,2
______	3
\/4—22	2
У dy У (г2 + у2) dx.
-\/4-z2 Z2 + у2
2
180

	а	h
3.4.51.	Jdy	f с1г У y/y2 + z2dx. ~а	4(У2+*2) а R	\/R2-x2	y/R2—x2—y2
3.4.52.	У dx f dy	У	\/zdz. —R -^Ri-Xi	о
Вычислить тройные интегралы:
3.4.53.	fffz>/x2+y2 dxdydz, где область V задана неравенствами V 0 ж 2, 0 з/ л/2ж - х2, 0 z а.
3.4.54.	///XVz2 dxdydz, где V лежит в I-м октанте и ограничена еди- V ничной сферой я2 + з/2 + z2 = 1 и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0.
3.4.55.	УУУ2з/2ежз/ dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 1, V у = х, z = 0, z = 1.
3.4.56.	JJJx dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 1, у = 0, V у = 10ж, z = 0 и параболоидом z = ху.
3.4.57.	JJJx2zsin(xyz) dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, V х = 2, у = 0, у = я z = 0, z = 1.
3.4.58.	fff&y2zexyz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = —1, V х = 0, у = 0, у = 2, z = 0, z = 1.
3.4.59.	“1" У “1" г) dxdydz, где V задана неравенствами 0 х а, V О^з/^Ь,
3.4.60.	УУУpsin0 dpdipdf), где V задана неравенствами 0 ip V Л
3.4.61.	! х dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, V у = h, х + z = а.
3.4.62.	fff	dxdydz	у 0Граничена плоскостями z = 0, v (1+3 + J + f) z = 8 (1 - | - 1), x = 0, у = 0.
181

Вычислить массы однородных тел, ограниченных поверхностями:
3.4.63. 3.4.64. 3.4.65.	х2 + у2 + 4z2 — 1. х + у + z = а, х + у + z = 2а, х + у = z, х + у = 2z. у2 — 4а2 - Зая, у2 = ах, z = ±Л.
3.4.66.	е II н н|Ь CN II Ml Q + , ^1
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных
поверхностями:
3.4.67.	Плоскостями х = 0, у = 0, z — 0, 2х + Зу — 12 — 0 и цилиндром z - У—
3.4.68.	2 ' Плоскостями z — 0, х + z — 6 и цилиндрами z — у/х и z — 2>/х.
3.4.69.	X2 “I- 7/2 Сферой х2 + у2 + z2 = За2 и параболоидом z = —~	 (над za ним).
3.4.70.	Сферой х2 + у2 + z2 = R2 и конусом ztga = у/х2 + у2, tga > 0 (над конусом).
Найти моменты инерции однородных тел с данной массой М:
3.4.71.	Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь, с относитель- но каждого из ребер и относительно своего центра тяжести.
3.4.72. 3.4.73.	Шара радиуса R относительно прямой, касательной к шару. Эллипсоида а2 Ь2 с2 относительно каждой из трех своих осей.
3.4.74.	Найти статические моменты относительно координатных плос- костей и координаты центра тяжести однородного тела, огра- ниченного параболоидом z — 3 — х2 — у2 и плоскостью z = 0.
Контрольные вопросы и более сложные задания
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
3.4.75.	Плоскостями х = 0, х + у = 2, х — у = 2 и цилиндрами z = 1п(ж + 2) и z = 1п(6 — х).
3.4.76. 3.4.77. 3.4.78. 3.4.79. 3.4.80. 3.4.81.	Плоскостью z — х + у и параболоидом z = х2 + у2. Плоскостью 2х + z — 2 и параболоидом (х — I)2 + у2 = z. (х2 4- у2 4- z2)2 = а2(х2 + у2 - z2). (х2 4- у2 4- г2)3 = Зху. Сферой х2 4- у2 4- z2 — 4 и параболоидом х2 4- у2 = 3z. (х2 4- у2 4- z2)2 = axyz.
182

Вычислить тройные интегралы:
3.4.82.	///У2^еХУ ~ е ХУ^	V ограничена поверхностями х = 0, V у = —2, у = 4х, z — 0, z — 2.
3.4.83.	z2}dxdydz^ ограничена плоскостями х = 0, у = 0, V z = 0, х + у = 1, z = x + y.
3.4.84.	///хУ2г3 dx(tydzi V ограничена
3.4.85.	у ///(?+?+£)	4+$«1-
3.4.86.	/,/	 dxdydz	V: 4V +	1. 1 + у/ (х2 + у2 + Z2)3
3.4.87. 3.4.88. 3.4.89. 3.4.90.	(х2 + у2 + z2)2 = а3х. (х2 + у2 + z2)2 = a2z4. (х2 4- у2 4- z2)3 = а2(х2 4- у2)2. (х2 4- у2)2 4- г4 = a3z.
Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей од-
нородных тел, ограниченных поверхностями:
3.4.91.	© |Н кэ| КЗ + О- |<с? КЗ 1 КЗ II ©|N ©|Н + 0-1^ II ©|N V О о* V о сь V о '—'
3.4.92.	© |Н КЗ | КЗ + О- кз | КЗ + О 1*9 КЗ 1 кз II 1—1 © |Н КЗ I КЗ + о- 1<с2 КЗ 1 КЗ II ©|Н V О '—'
3.4.93.	Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями у — A-ж2, z — 0, z — т(Ь — у) az	о (a>0,b>0,h> 0).
3.4.94.	Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями z = Az (у2 — х2), z — 0, у = ±а. а2
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных
поверхностями:
3.4.95.	© |Н КЗ | КЗ + о- |<се II СЬ IN кз| КЗ N II ©
3.4.96. 3.4.97.	х2 4- у2 = z, х 4- у = а, х = 0, у = 0, z = 0. Найти момент инерции части параболоида у2 4- z2 = 2сх, отсе- ченной плоскостью х = с, относительно оси Ох (массу прини- мать, равной единице).
183

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Изменить порядок интегрирования
1	тг—arcsinj/
fdy f f(x,y)dx.
0	arcsin у
2.	Найти массу треугольника О АВ, если 0(0,0), А(1, — 1), В(1,1), а плот-
ность равна р(ж, у) = \/х2 — у2.
3.	Найти объем тела, ограниченного плоскостью Оху, цилиндром
х2 + у2 = 4 х и сферой х2 + у2 + z2 — 16 (внутреннего по отношению
к цилиндру).
4.	Найти площадь поверхности z =	, расположенной внутри цилиндра
х2 + у2 = а2.
5.	Вычислить тройной интеграл
//А*'
V
где V — область, ограниченная поверхностями х = 1, у = 0, у = 10ж,
z = 0, z = ху.
Вариант 2
1.	Вычислить двойной интеграл
D ’
если область D ограничена линиями у = 0, у = ^у/а2 — х2.
2.	Вычислить интеграл
JJr2 sin ip • г drdp,
D
где область D ограничена линиями г = R, г = 2R sin р.
3.	Вычислить массу плоской фигуры, ограниченной лемнискатой
(х2 + у2)2 = а2(х2 - у2), если ее плотность равна р(х,у) = ху/х2 + у2.
4.	Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного
прямыми х + у = 2, 2х + у = 4, х = 0, относительно координатных осей.
5.	Вычислить тройной интеграл
JJ[Ху2еХУХ dxdydz^
v
где V — тело, ограниченное поверхностями х = 0, х = 2, у = 0, у = 3,
z = 1, z = 5.
184

Вариант 3
1. Вычислить интеграл
JJr3 drdip,
D
если область D ограничена лемнискатой г2 = a2 cos 2р и лучами р = О,
7Г
^=4-
2.	Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
о
Va “2/	а 2а
J f(x,y)dx + Jdy I
yL	0	a+y/a2-y2
2а
2а 2а
fdy jf(x,y)dx.
0	£
2а
3.	Найти массу пластины D: (х — З)2 + у2 1, х 3, если ее плотность в
точке (ж, у) равна |j/|.
4.	Вычислить тройной интеграл
УУУ у2х cos xyz dxdydz,
v
если D — тело, ограниченное поверхностями х = 1, х = 2, у = 1, у = 3,
z = 1, z = 4.
5.	Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями ж = 0,?/ = 0,г = 0,
х + у 4- z = 1, если плотность в точке (х, у, z) равна
3 ,43-
(1 + х + у + г)л
Вариант 4
1.	Вычислить интеграл	--
г3 drdp,
D
если D имеет вид 0 р 2тг, 0 г	.
ysin4 р 4- cos4 р
2.	Вычислить площадь части поверхности сферы х2 4- у2 4- z2 = 81, за-
ключенную между плоскостями у = — 5 и 2/ = 5.
3.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
(ж + у - З)2 + (2х - Зу + 5)2 = 49.
4.	Вычислить тройной интеграл
Ш,
V 1+£+<+4
185

х У z
если тело V ограничено поверхностями я = 0, у = 0, = 0 и+ = 1.
Z О 4
5.	Вычислить тройной интеграл
yyy63(i + 27y)dv,
V
где тело V ограничено поверхностями у = х, у = 0, х = 1, z = 0, z = ху.

Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
□
§1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Определение криволинейного интеграла первого рода
Пусть в каждой точке гладкой кривой L = АВ в плоскости Оху задана
непрерывная функция двух переменных f(x,y). Произвольно разобьем кривую
L на п частей точками А = Mq, Mi, М2,..., Мп = В. Затем на каждой из
полученных частей Л57—1 выберем любую точку М^х^Щ) и составим сумму
Sn = f(xii У^^г,
г=1
где Д/j = Mi-iMi — длина дуги	Полученная сумма называется ин-
тегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданной на кривой L.
Обозначим через d наибольшую из длин дуг	(таким образом, d =
= тахД/г). Если при d —> 0 существует предел интегральных сумм Sn (не
г
зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек Mi), то
этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции
f(x,y) по кривой L и обозначается
jf(x,y)dl или	У f(x,y)dl.
L	АВ
Можно доказать, что если функция f(x,y) непрерывна, то криволинейный
интеграл
jf(x,y)dl
L
существует. Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, ана-
логичными соответствующим свойствам определенного интеграла (аддитив-
ность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Однако есть отличие:
У f(x, у) dl = f f(x, у) dl,
АВ	BA
т- е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления инте-
грирования.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычисле-
нию определенного интеграла. А именно:
187

1.	Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией у =
= у(х), х G [а, Ь], то
ь
У f(x,y)dl = J f(x,y(x\)y/l + (y'(x))2dx,
L	a
при этом выражение dl = у/1 4- (у'(х))2 dx называется дифференциалом длины
дуги.
2.	Если кривая L задана параметрически, т. е. в виде х = x(t)y у = y(t), где
x(t), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке
[а, /3], то
0
ff(x, у) dl = jf(x(t), y(t))y/(x'(t))2 + (y'(t))2dt.
L	a
Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L,
заданной параметрически: х = x(t), у — y(t\ z = z(t), t € [аг, /3]. В этом случае,
если f(x,yyz) — непрерывная функция вдоль кривой L, то
3
р(х, у, z) dl = jf[x(t), y(t),z(t)]V(x'(0)2 + (у'(*))2 + (г'(*))2<й-
L	а
3.	Если плоская кривая L задана полярным уравнением г = г(<£>), <р € [а, /3],
то
0
У) = У?(г cos г sin ^)л/г2 4- г'2 dip.
L	а
Приложения криволинейного интеграла первого рода
1.	Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный ин-
теграл
fdl
L
равен длине S кривой L, т. е.
Уdl = S.
L
2.	Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена
и непрерывна функция двух переменных z = f(x,y) 0. Тогда можно постро-
ить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, парал-
лельной оси Oz и заключенной между L и поверхностью z = f(x,y). Площадь
этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле
S= Jf(x,y)dl.
L
188

3.	Если L = АВ — материальная кривая с плотностью, равной р = р(х,у),
то масса этой кривой вычисляется по формуле
т = ур(х,у) dl
АВ
(физический смысл криволинейного интеграла первого рода).
4.	Статические моменты материальной кривой L относительно координат-
ных осей Ох и Оу соответственно равны
Мх = У yp(x,y)dl, Му = J xp(x,y)dl,
L	L
(	\	П Г	Му	Мх
где р(х,у) — плотность распределения кривой L, а хс = ус =	—
координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5.	Интегралы
Jx = У у2 р(х, у) dl, Jy = У х2р(х, у) dl, Jq = j\x2 + y2)p(x,y)dl
L	L	L
выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью р(х, у) относи-
тельно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.
4.1.1. Вычислить криволинейный интеграл
/>•
L
где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками
(2,2) и (8,4).
Q Найдем дифференциал дуги dl для кривой у = \flx. Имеем
2/' = -^, dZ = yi + (y'^dx = Jl + ±dx.
y2x	V
Следовательно, данный интеграл равен
g	—	—
J У	J V 2x J 2x
L	2 v
8 _ 18
= 1 [Vl + 2idx= J-1(1 +2a:)3/2 = |(17х/17-5л/б). •
Z J	Z О	|2 О
2
4.1.2. Вычислить криволинейный интеграл
f(x2 + у3) dl,
L
где L — контур треугольника ABO с вершинами А(1,0),
В(0,1), 0(0,0) (рис. 43).
189

Q Поскольку
j\x2 + y3)dl = j\x2+y3)dl + j\x2+y3)dl+ j\x2+y3)dl,
L	AB	BO	OA
то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков
АВ, ВО и О А:
Рис. 43
1) (АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у = 1 — х, то
dl = ^/1 + О/')2 dx = V%dx. Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1,
получим
1
j\x2 + у3) dl = у [ж2 4- (1 — ж)3] V2dx =
ав	о
2) (ВО): рассуждая аналогично, находим я = 0, 0	1, dl = dy,
откуда	х
f (®2 + у3) dl = jy3dy=
ВО	о
3) (ОА): у = 0, 0 х 1, dl — dx.
У(х2 4- у3) dl = Jх2 dx =
ОА	о
4) Окончательно
7\/2	1	1 = 7y/2-b7 = 7(л/2 + 1)
12 + 4 + 3	12	12
4.1.3.
L
Вычислить криволинейный интеграл
jVx2 + У2 dl,
L
где L — окружность х2 4- у2 = ах (а > 0).
190

Q Введем полярные координаты х — г cos <р, у = г sin ip. Тогда, посколь-
ку х2 4- у2 = г2, уравнение окружности примет вид г2 = ar cos <р, т.е.
г = acos<£, а дифференциал дуги
dl = у/г2 + г2 dip = yj a2 cos2 ip + a2 sin2 ip dip = a dip.
При этом ip e — к, к • Следовательно,
L Za J
7Г
2
j\/x2 + y2 dl = a у acosipdip = 2a2.	•
L
2
4.1.4.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции
с тремя переменными
У(5z — 2у/х2 4- у2) dl,
L
где L — дуга кривой, заданной параметрически х = tcost,
у = tfsintf, z = t, 0 t тг.
Q Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для
подынтегральной функции:
5z — 2у/х2 4- у2 = 5t — 2yjt2(cos21 + sin2 t) = 3t.
Теперь выразим через t дифференциал dl:
dl = у/(х'У2 4- (у'}2 4- (z')2dt = у/(cost — tfsintf)2 4- (sintf 4- tfcostf)2 4- left =
= yj(cos2 — 2£ sin £ cos £ 4- £2 sin2t) 4- (sin2 £ 4- 2£ sin t cos £ 4- £2 cos2 £) 4- 1 eft =
= yj (cos214- sin21) 4-12 (sin214- cos2 £) 4-1 = х/2+Т2 eft.
Таким образом,
f (5z - 2y/x2 + J/2) dl =	+ t2dt= J+ t2d(2 + t2) =
L	0	0
= (2 +12)3/21’= x/(2 + тг2)з - 2л/2. •
Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода:
4.1.5.	Jxydl, где L — контур квадрата |ж| 4- |з/| = а.
L
4.1.6.	f —	, где L — отрезок О А и 0(0,0), А(1,2).
191

4.1.7.	А-т-, где L — отрезок АВ, Л(2,4), В(1,3).
J х -г у
L
4.1.8.	А-т-, где L — отрезок MN, М(0, -2), ЛГ(4,0).
Jх У
L
4.1.9.	Jу2 dl, L — дуга циклоиды х = a(t — sin2), у = а(1 — cos2)
L
О t 2тг.
4.1.10.	J (х2 +з/2 + z2) dl, L — дуга цепной линии х = a cost, у = asint
L
z = bt, 0 t 2тг.
4.1.11.	j\х + у) dl, L — правый лепесток лемнискаты г2 = a2 cos 2ср.
L
4.1.12.	J(x2 4- y2)n dl, L — окружность x2 4- y2 = a2.
L
4.1.13.	Jxydl, L — четверть эллипса 4-	= 1, x 0, у 0.
L
4.1.14.	Jydl,L — дуга параболы у2 = 2px, отсеченная параболой
L
х2 = 2ру.
4.1.15.	Вычислить площадь части боковой поверхности кругового ци-
линдра х2 4- у2 = R2, ограниченной снизу плоскостью Оху, а
х2
сверху поверхностью f(x, у) = R +
R
Q Искомая площадь вычисляется по формуле
где L — окружность х2 4- у2 = R2. Поверхность цилиндра и поверхность
2
f(x,y) = R + симметричны относительно координатных плоскостей
R
Oxz и Oyz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при
условиях у 0, х 0, т.е. вычислить четверть искомой площади и
результат умножить на 4. Имеем
у = y/R2 — х2,
y/R2 - х2'

Следовательно,
«/	2\
5 = 4 /(Я + ^1
J X it )
о	'
Rdx
VR2 - х2
f R2 + х2
[y/R2-x2
dx.
192

Получили определенный интеграл, который берем подстановкой х =
Bsin<£>, откуда
dx = Rcosipdp, 0 р	у/R2 — х2 = Rcosp.
f R2 + (flsin<p)2	J 2	2 • 2 \J
5 = 4/-----=------------ R cos <pdip = 4 I (R2 + R2 sin2 w) dip =
J R, cos ip	J
о	о
7Г
= 4Я2 Д1 + 1~c2os2^’^ dip = SitR2. •
o'	7
4.1.16.	Найти массу четверти эллипса
£ + v- = l,
а2 Ь2 ’
расположенной в первой четверти, если линейная плотность в
каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэф-
фициентом к.
Q Поскольку р(ж,2/) = ку, имеем
L
L — четверть эллипса
7*2 у2
^ + ^ = 1,	у^О.
а2 Ь2
Переходим к параметрическим координатам эллипса х = a cost, у =
= 6sint. Напомним, что с = у/а2 — Ь2 — фокусное расстояние эллипса, а
g = е — эксцентриситет эллипса. Находим
dl = у/(х')2 + (у')2 dt = у/a2 sin2t + Ь2 cos21 dt =
= \Д2(1 - cos21) 4- b2 cos21 = y/a2 — (a2 — b2) cos21 dt =
= 4 a2 (1 — -—• cos21) = ay/1 - e2 cos21 dt.
у \ a2 J
Переходим к вычислению массы
7Г	7Г
2	_________ 2
т = kab J sin ty/1 - е2 cos21 dt = —(e cos t)2 d(e cost),
о	о
Воспользуемся формулой
J y/1 — и2 du = i(u\/l — u2+ arcsinu),
Сборник задач по высшей математике. 2 курс	193

где и = е cos t. Получаем
т = —	| Ге cos ty/l - е* 2 cos21 + arcsin(s cos t)l I 2 =
e 2 L	J Io
_ _ bob Г_£^/1 _ £2 _ arcsine].
2s L	J
,r	y/a2 - b2 Гл---у b
Учитывая, что e =------g---, vl — £ = , получим окончательно
ka2b	( b /~Ъ	। ot.rwjn ^a2 ~b2\	м
2y/a2 - b2 \a2	a J
4.1.17.	Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной ду-
ги циклоиды х = a(t — sint), у = а(1 — cost), 0 t 2тг.
тт	Мх
Имеем хс = ус = где
т = J dl, Му = Jxdl, Мх = Уу dl.
L	L	L
Находим х1, у' и dl по отдельности: х' = а(1 — cost), у' = asint,
dl = д/а2(1 — 2cost 4- cos21) 4- a2 sin2 tdt =
= ал/l - 2cost 4- (cos21 4- sin21) = a\/2(l - cost) =
= a\ 2 • 2 sin2 = 2asin
Следовательно,
27T	2k
[ sin 77 dt = -4a cos I = 8a.
J 2	2 Io
о
Puc. 44
Из рис. 44 видно, что циклоида симметрична относительно прямой
х = ла, поэтому хс = ла. Таким образом, Му можно не вычислять, хотя,
учитывая равенство	,,
с т 1
194

можно предположить, что Му = 8тга2. Предлагаем самостоятельно полу-
чить этот результат. Вычислим теперь Мх:
2тг
Мх = Jу dl = fa(l - cos t) • 2a sin ^dt = 2a2
L	0
2тг
[ 2 sin2 • a sin dt =
J	£	£
0
2тг
= 4a2 J sin3 ^dt = -8a2
2тг
/(l-cos2
2) (cos 2) -
0
= -8a2 (cos 5 - I cos3 I = ^a2.
\	2	3	2/ Io 3
Окончательно получаем:
m = 8a, Mx = ^a2, My = 8тга2, xc = яа, yc = ^a.	•
о	о
4.1.18.	Найти координаты центра тяжести дуги однородной кривой
у = ach|
от точки А(0,а) до точки B(b,h).
4.1.19.	Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды
х = a(t - sint), у = a(l - cost), 0 t тг.
4.1.20.	Найти моменты инерции относительно координатных осей и на-
чала координат четверти окружности х2 -Ьз/2 = а2, х 0, у 0.
Плотность распределения масс дуги постоянна и равна к.
Q Данная кривая (четверть окружности) симметрична относительно
биссектрисы у = х первого координатного угла. Отсюда заключаем, что
Jx и Jy одинаковы, т. е.
Jx — Jy — jУ2 dl = У х2 dl.
L	L
Переходя к параметрическим уравнениям окружности х = a cost, у =
= asint, 0 t откуда dl = adt, получаем
Iх2 dl = a3 fcos2tdt = ^ /(l + cos2f)dt = ^(i+^) |J=
L	0	0
Таким образом Jx = Jy = Jq = Jx 4- Jy = £2-.	•
4.1.21.	Вычислить массу четверти эллипса х = 5cost, у = 4sint, рас-
положенную в первой четверти, если ее линейная плотность р
равна у.
4.1.22.	Найти массу контура эллипса
^ + ^ = 1,
а2 Ь2 ’
если его линейная плотность в каждой точке М(х,у) равна |з/|.
195

4.1.23.	Найти массу первого витка винтовой линии х = a cost, у = = a sin t, z = bt, если плотность в каждой точке равна радиусу- вектору этой точки.
4.1.24.	Найти момент инерции относительно оси Oz первого витка вин- товой линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt.
Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу
плоскостью Оху, а сверху поверхностью z = f(x,y), при условии, что
известна направляющая L этой цилиндрической поверхности:
4.1.25. 4.1.26.	f(x,y) = y/2x — 4x2, y2 = 2x. f(x,y) = x2 + y2 = R2-
4.1.27.	f(x,y) = 2 - у/х, у2 = |(a; - l)3.
4.1.28. 4.1.29.	f(x,y) = x, у = |ж2 (x € [0,4]). Вычислить массу контура прямоугольника со сторонами, ле- жащими на прямых х = 0, х = 4, у = 0, у = 2, если р(х, у) = ху.
4.1.30.	Вычислить массу дуги параболы у2 = 2х, заключенной между точками 0(0,0) и А(1, у/2), если р(х,у) = ху.
С помощью криволинейного интеграла I рода вычислить длины заданных
дуг:
4.1.31. 4.1.33.	ау2 = х3, 0 х 5а.	4.1.32. г = a sin3 п X	X	о у = ^(еа+е а),0<ж^4.
4.1.34.	у = 1 — In cos а:, 0 С х
С помощью криволинейного интеграла I рода найти координаты центра
тяжести кривых:
4.1.35. 4.1.37.	2	2	2 у2 = ах3 — х4.	4.1.36. хз + уз = аз, у 0. у/х 4- y/у = \/а (0 х а).
4.1.38.	п —	— — У = т;(еа + е °), ~а х а.
Дополнительные задания
Вычислить данные интегралы I рода:
4.1.39.	fу/х2 + у2 dl, где L задана уравнениями х = a(cost 4-1 sin t), L у = a(sint — tcost), 0 t 2тг.
4.1.40.	[ —z—где L — первый виток винтовой линии J ж2 + у2 + z2 х = a cost, у = asint, z = bt, 0 t 2тг.
196

4.1.41.	J\ x + z)dl, где L — дуга пространственной кривой, заданной
L
0/2
параметрически х = t, у = —=, z = t , 0 t 1.
4.1.42.	Найти длину дуги конической винтовой линии х = aefcost,
у = ae*sint, z = ае*, заключенной между точками 0(0,0,0) и
А(а,0,а).
4.1.43.	Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограни-
ченной кардиоидой г = а(1 4- cos<£>).
4.1.44.	Найти декартовы координаты центра тяжести дуги логариф-
мической спирали г = ае* от <^i = до <^2 = тг-
4.1.45.	Вычислить	г
J |х 4- у\dl,
L
где L — контур треугольника АВС с вершинами А(0,0),
В(1,0), 0(0,1).
4.1.46.	Вычислить интеграл j\/2y2 4- z2 dl, если L — окружность
L
х2 +у2 + z2 = а2,
х = у.
4.1.47.	Вычислить площадь боковой поверхности параболического ци-
линдра у = х2, ограниченного плоскостями z = 0, z = 2х, х = О,
х = 1.
4.1.48.	Вычислить массу кривой х = 1п(1 4- t2), у = 2arctgt — t на
участке от t = 0 до t = 1, если ее линейная плотность равна
р(х,у) = е~ху.
4.1.49.	Вычислить массу четвертой части эллипса
х2 У2
^ + ^2=1, х^О, у^О,
а2 Ь2
если линейная плотность р(х,у) = ху.
а —	— —
4.1.50. Вычислить массу всей цепной линии у = -(еа + е а), если ее
I	2
линейная плотность р(х,у) = —.
У
4.1.51. Вычислить	/•
J(x-y) dl,
L
где L: х2 4- у2 = ах.
4.1.542. Вычислить	r ,-------
/ х\/х2 — у2 dl,
L
где L — линия, заданная уравнением (х2 4- у2)2 = а2(х2 — у2),
х 0 (половина лемнискаты).
197

4.1.53.	Вычислить	г у
/ arctg dl,
L
где L — часть спирали Архимеда г = 2<р, заключенная внутри
круга радиуса R с центром в начале координат.
Контрольные вопросы и более сложные задания
4.1.54.	Вычислить	г 4	4
/(#3 4- уз) dl,
L
222
где L — дуга астроиды ж з 4- уз = аз, лежащая в первой че-
тверти.
4.1.55.	Вычислить	г
У |у| dl,
L
где L — дуга лемнискаты (ж2 4- у2)2 = а2(х2 — у2), х 0.
4.1.56.	Вычислить	г ------
jVx2 + У2 dl,
L
где L — полуокружность х2 4- у2 = ах, у 0.
4.1.57.	Найти длину пространственной кривой
. х 1 4 - х
у = arcsin -г, z = In -7——
”	4	4 4-х
4.1.58.
4.1.59.
4.1.60.
4.1.61.
от точки 0(0,0,0) до точки А(2,3,4).
Вычислить	г
где L — коническая винтовая линия х = t cos t, у = t sin t, z — t,
at3
= заключен-
о
если ее линейная
Найти массу дуги параболы у2 = 2рх, заключенной между
/ п \
точками 0(0,0) и	если ее линейная плотность рав-
на р(х,у) = у.
at2
Найти массу дуги кривой х — at, у = -х-, z
ной между точками 0(0,0,0) и Al а, %, 1,
\ о у
плотность равна р(х, у) =
Вычислить	г
/ xyzdl,
7?2
где L — четверть окружности х2 4- у2 + z2 = R2, х2 4- у2 =
z 0, лежащая в первом октанте.
198

Согласно закону Био-Савара элемент тока действует на магнитную массу
m с силой	.
и» mJ SIH Q dl
г2
где J — ток, dl — элемент длины проводника, г — расстояние от элемента
тока до магнитной массы, а — угол между направлением прямой, соединяю-
щей магнитную массу и элемент тока, и направлением самого элемента тока.
Эта сила F направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и
точку, в которую помещена магнитная масса, направление силы определяется
по правилу буравчика.
Опираясь на закон Био-Савара, решить следующие задачи:
4.1.62.	Найти силу, с которой ток J в бесконечном прямолинейном
проводнике действует на точечную магнитную массу т, нахо-
дящуюся от проводника на расстоянии а.
4.1.63.	По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет
ток J. С какой силой этот ток действует на точечную магнит-
ную массу т, находящуюся в центре квадрата?
4.1.64.	С какой силой ток J, текущий по круговому контуру радиуса
R, действует на точечную магнитную массу т, помещенную
в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восстановленном в
центре круга на расстоянии h от этого круга?
4.1.65.	С какой силой ток J, текущий по замкнутому эллиптическому
контуру, действует на точечную магнитную массу т, находя-
щуюся в фокусе эллипса?
4.1.66.	С какой силой ток J, текущий по бесконечному параболиче-
скому контуру, действует на точечную магнитную массу т,
помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до
фокуса равно
Вычислить площадь цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу
плоскостью Оху, сверху данной поверхностью z = f(x,y), при условии,
что направляющая задана кривой L:
4.1.67.	f(x,y) = ху, L — четверть эллипса
^+^ = 1,
а2 62	’
лежащая в первой четверти (х 0, у 0).
4.1.68.	f(x,y) = у, L — участок параболы
у2 = 2рх
от начала координат до точки (хо,Уо)-
4.1.69.	f(x,y) = х2 + у2, L — прямолинейный отрезок, соединяющий
точки А(а, а) и В(Ь,Ь).
199

4.1.70.	f(x,y) = ye~x, L — участок кривой
х = ln(l + t2), у = 2arctgt - t + 3,
заданной параметрически, между точками, соответствующими
t = 0 и t = 1.
4.1.71.	f(x,y) = jj, L — дуга параболы у = 2ж, лежащая между точ-
ками (1, Л) и (2,2).
4.1.72.	f(x,y) = у3, L — арка циклоиды
х = a(t - sint), у = а(1 - cos£), 0 t 2тг.
§2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Определение криволинейного интеграла второго рода
Пусть L = АВ — гладкая кривая, а Р(ж, у) — некоторая функция, опре-
деленная в точках кривой L. Разобьем кривую L на п произвольных частей
точками А = Mo, Mi, М2,..., Мп = В. Далее на каждой из полученных
дуг	выберем произвольную точку Mi(xi, yj, после чего составим про-
изведение Р(жг,^) До:» значения функции Р(х,у) в точке Mi на проекцию
Дж» = яч+1 — Xi этой дуги на ось Ох. Складывая все такие произведения, по-
лучим сумму
п
8п,х — P(Xjj
i=0
которая называется интегральной суммой второго рода для функции Р(ж, у)
по координате х.
Пусть теперь d — наибольшая из длин дуг	Если функция Р(ж, у)
непрерывна в точках кривой L, то при d —> 0 существует предел интегральных
сумм Sn,x, не зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора
точек Mi. Этот предел называется криволинейным интегралом второго рода
по координате х и обозначается
JР(х,у) dx.
L
Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода по коор-
динате ?/, который обозначается
У Q(x,y)dy,
L
rneQ(x,y) — непрерывная функция.
Сумма криволинейных интегралов
У Р(ж, у) dx и у Q(x, у) dy
L	L
200

называется полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается
f Р(х, у) dx + Q(x, у) dy.	&
L
Криволинейные интегралы второго рода называются также криволиней-
ными интегралами по координатам.
Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что
и определенный интеграл. В частности,
УР(х, у) dx + Q(x, y)dy = — JP(x, у) dx + Q(x, y) dy,
BA	AB
т. e. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направ-
ления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Предположим, что кривая L задана в явном виде непрерывно дифферен-
цируемой функцией у = з/(ж), х 6 [а,Ь]. Тогда
ь
Ур(х, у) dx + Q(x, y)dy = J[P(z, y(x)) + Q(x, y(x))y'(x)] dx.
L	a
Если L задается параметрическими функциями x = x(t), у = y(t), t 6 [a, /5],
TO
0
/P(x,y)dx + Q(x,y)dy = J[P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)] dt.
L	a
Это равенство можно распространить и на пространственный случай (аргумен-
ты (x,y,z) функций Р, Q, R для краткости опускаем):
0
JPdx + Qdy + Rdz = j(P • x (t) -I- Q • y(t) + R • z(t)) dt,
L	a
где (x, y,z),x = x(t), у = y(t), z = z(t) — параметрические уравнения кривой L.
Приложения криволинейного интеграла второго рода
Интеграл
J Pdx + Qdy
L
можно представить в виде скалярного произведения векторов F = Pi + Qj и
ds = idx + jdy:
fpdx + Qdy= уF(:r, у) • ds.
L	L
201

В таком случае
F ds
L
выражает работу переменной силы F = Pi+Qj при перемещении материальной
точки М = М(ж, у) вдоль кривой L = АВ от точки А до точки В.
При А = В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный инте-
грал по замкнутой кривой обозначается так:
Pdx + Q dy.
В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на
кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это
значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой L = dD (dD — обозначение
границы области £)), а в области D и на ее границе dD функции Р(ж, у) и Q(rr, у)
непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема 4.1. Пусть Aw В — произвольные точки области D, АтВ и АпВ —
два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 45).
Тогда следующие условия равносильны:
L = (условие гРина)-
2.	J Pdx + Qdy= J Pdx + Qdy (криволинейный интеграл не зависит
АтВ	АпВ
от пути интегрирования).
3.	J Рdx + Qdy = 0 (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
АпВтА
4.	Pdx A Qdy = dU (выражение Pdx A Qdy представляет собой полный
дифференциал некоторой функции U = U(x,y)).
Рис. 45
В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей тео-
ремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (яо, з/о)
и (хi,3/i) из области £>, можно вычислить при помощи формулы Ньютона-
202

Лейбница
[ Pdx + Qdy = U(x,y)\ 1,3/1 = U(xi,yi) - U(xo,yo),
J	l(zo,3/o)
(®0,3/0 )
где U(x,y) — некоторая первообразная для Pdx + Qdy.
С другой стороны, первообразная U(x,y) выражения Pdx + Qdy может
быть найдена при помощи криволинейного интеграла
(®,з/)
U{x,y) = J Pdx-]-Qdy.
(zo,3/o)
В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(x,y), а также на область D,
имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по
замкнутому контуру к двойному интегралу
fpdx + Qdy =	dxdy.
dD	D
Здесь предполагается, что обход границы dD области D в криволинейном ин-
теграле
$Pdx + Qdy
dD
совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы
область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает
с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S = S(D) области D может быть вычислена при
помощи криволинейного интеграла второго рода:
S = $xdy — ydx
dD
(эта формула получается из формулы Грина с Р = — Q = ^3/)-
4.2.1.	Даны функции Р(х, у) = Sx + 4у + 2, Q(x, у) = Sy + 2 и точки
А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл
J (&г + Ау + 2) dx + (Sy + 2) dy,
L
где:
1)	L — отрезок ОА-
2)	L — ломаная ОБА-,
3)	L — ломаная ОСА',
4)	L — парабола, симметричная относительно оси Оу и прохо-
дящая через точки О и А;
5)	проверить выполнимость условия Грина.
203

Q Пути интегрирования, соответствующие п. п. 1)-4), изображены на
рис. 46.
Рис. 46
1) Отрезок О А может быть записан в виде: у = 2ж, х 6 [0,3]. Тогда
dy = 2 dx и
з
f Pdx + Qdy = J[(8# + 4 • 2x + 2) dx + (8 • 2x + 2) • 2 dx] =
oa	о
f	|3
= /(48x + 6) dx = (24x2 + 6x) = 234.
о
2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл
по отрезкам ОБ и В А. Тогда:
а)	ОБ: здесь у = 0, 0 х 3, т. е. dy = 0, откуда
3	з
J fix 4- Ay + 2) dx + fiy + 2)dy = J(fix + 2) dx = (4x2 + 2x) |^= 42.
OB	о
6)	BA: x = 3, 0 у 6, t. e. dx = 0, и
6	|6
J fix + Ay + 2) dx + fiy + 2)dy = Jfiy + 2)dy = (4?/2 + 2y) |^= 156.
ba	о
Таким образом,
J fix + 4г/ + 2) dx + fiy + 2) dy = 42 + 156 = 198.
OBA
3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
204

а)	ОС: x = 0, (т.е. dx = О), О у 6, откуда
6
J (&г + Ау + 2) dx + {Sy + 2) dy = J{Sy + 2) dy = 156.
ос	о
б)	С А: О х 3, у = 6, dy = О, следовательно,
з
J(&г 4- Ау + 2) dx + {Sy + 2)dy = J{Sx + 26) dx = 114.
са	о
Окончательно
У (8а; + 4у + 2) dx + (8j/ + 2) dy = 114 + 156 = 270.
ОСА
4) Подставив координаты точки Л(3; 6) в равенство у = ах2 найдем
2д.2	а
уравнение данной параболы у = При этом 0^я^Зи(й/= -zxdx,
о	о
откуда (путь О А по параболе обозначим )
J (&г 4- Ау + 2) dx + {Sy + 2)dy =
о	3 г /	\	/	\1
ОА = [ [8х + ^- + 2] dx + [	+ 2) %xdx =
J \	О /	\ о /О
0 L \	/	\	/	J
3	q
= [(угх3 + |а;2 + ^х + 2) dx= f^a;4 + |®3 + ^ш2 + 2а/) = 222.
J \ У о о /	\ 9 У 3	/10
о
5) Имеем
= |-(8х + 4у + 2) = 4,	= ^-(8j/ + 2) = 0,
оу оу	ох ох
т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в
пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный ин-
теграл второго рода зависит от пути интегрирования.	•
4.2.2.	Даны функции Р{х,у) = у 4- 3, Q{x,y) = Sx 4- 7у 4- 6 и точки
Л(9,4), В(9,0), (7(0,4). Вычислить криволинейный интеграл
j\y + 3)dx + {Sx 4- 7у 4- 6) dy,
L
где:
1)	L — отрезок О А;
2)	L — ломаная ОБА;
3)	L — ломаная ОСА-
4)L — парабола, соединяющая точки 0(0,0) и А(9,4) и сим-
метричная относительно оси Оу.
5)	Проверить выполнение условия Грина.
205

4.2.3.	Вычислить
J (Ay + 4) dx + (Зх + Зу + 4) dy
L
по разным путям, соединяющим точки 0(0,0), А(2,6), В(2,0)
0(0,6):
1)	L = OA;
2)	L = OCA;
3)	L = OBA;
4)	L — дуга параболы у =
4.2.4.	Вычислить интеграл
J2ху dx — х2 dy,
L
взятый вдоль различных путей, соединяющих точки 0(0,0)
А(2,1), В(2,0), 0(0,1):
1)	L — отрезок О А;
2)	L — парабола с осью симметрии Оу, проходящая через О
и А;
3)	L — парабола, проходящая через О и А с осью симметрии
Ох;
4)	L — ломаная ОВА;
5)	L — ломаная ОСА.
4.2.5.	Вычислить интеграл
Jу2 dx + х2 dy,
L	х2	У2
где L — верхняя половина эллипса — + — = 1, пробегаемая
по ходу часовой стрелки.	а	°
Q Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х = a cos t,
у = bsint, t € [0, тг], т.е. dx = — a sin tdt, dy = b cos tdt. Подставляя в
интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется
от тг до 0), получаем
о
J у2 dx + х2 dy = у(—b2 sin21 • a sin t + a2 cos21 • b cos t) dt =
L	7Г
7Г	7Г
= Jab2 sin2 t • sintdt — ja2bcos2 t • costdt =
о	0
= -ab2 y*(l - cos21) d(cos t) - ab2 J(1 - sin2 t) d(sin t) =
о	0
12 {	.	COS3 t \	Iя’ 21 I • .	sin3 £ \	Iя’ 4 12	A
= —ab ( cost---z— I —a b sint-----«—	= -^ab .	•
\	3 J Io \	o/lo3
206

4.2.6.
Вычислить '
4.2.7.
4.2.8.
х2 dy — у2 dx
5	5	’
L ЖЗ +уЗ
где L — дуга кривой х = Я cos3t, у = 7? sin3 t, пробегаемая от
точки А(7?, 0) к 72(0,7?).
Вычислить	/•
/ xydx,
L
где L — дуга синусоиды у = sin х от точки (0,0) до точки (тг, 0).
Вычислить	г
4.2.9.
L
где L — отрезок прямой = 1 от точки А(а, 0) до точки
В(0,Ь).
Вычислить
4.2.10.
х2 У2
вдоль эллипса — Ч—- = 1, пробегаемого в положительном
а2 Ь2
направлении (против часовой стрелки).
Вычислить
по дуге винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z — Ы при изме-
. нении t от 0 до 2тг.
Ci Сначала найдем дифференциалы переменных: dx = —a sin t dt, dy =
= a cos t dt, dz = b dt. Выразим подынтегральное выражение через t, сводя
исходный интеграл к определенному:
2тг
f yzdx + xz dy + xydz = J (—a2bt sin21 + a2bt cos21 + ba2 sin t cos t) dt =
L	0
= a?b J (tcos2t + si^2f)	=
0
= o2Jrsi^|2’_l /sin2tdt-^n=0. •
V 2 Io 2 J	4 Io J
о
4.2.11.	Вычислить	p
xdy — у dx,
L
где линия L — задана уравнениями x = 2^/5 cos3t, у = 4^/5 sin3t,
te [0,27г].
207

4.2.12.	Вычислить	r _
f(x2+y2)3dx
L
вдоль окружности x2 + у2 = 5, пробегаемой в положительном
направлении.
4.2.13.	Вычислить
У (х2 - 2ху2 + 3) dx + (у2 - 2х2у + 3) dy,
L
где L — дуга параболы у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и
А(2,8).
4.2.14.	Вычислить /•
ydx + zdy + xdz,
L
где L — виток винтовой линии х = a cost, у = asint, z = bt,
О t 2тг, пробегаемый в направлении убывания параметра.
4.2.15.	Показать, что интеграл
(10,10)
У (х + у) dx + (х - у) dy
(о,о)
не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0)
и (10,10), и вычислить его.
Q Проверим условие Грина. Положим P = x + y,Q = x — у. Тогда
3Q = с?Р =1
дх ду ’
и, значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегри-
рования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегри-
рования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки 0(0,0)
и В(10,10). Отрезок ОВ можно задать так: у = х, х Е [0,10]. При этом
dy = dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу
(ю,ю)	10	.10
J (х + у) dx + (х — у) dy = j (х + х) dx = х2\ = 100.	•
(о,о)	о
Проверить, что данные криволинейные интегралы не зависят от пути
интегрирования и вычислить их:
(и)
4.2.16.	у (Зж2 - Зу) dx + (Зу2 - За;) dy.
(0,0)
(2,0)
4.2.17.	J (Зх2 + бху2) dx + (6х2у + 4у3) dy.
(i,i)
208

2,3
4.2.18.	J (x3 - Зху2 + 2) dx - (Зх2?/ — у2) dy.
(0,0)
4.2.19.	Вычислить криволинейный интеграл
j\x 4-1) dx 4- xyz dy 4- y2z dz,
L
где L — отрезок, соединяющий точку (7(2,3, — 1) с точкой
79(3, —2,0).
Q Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя урав-
нения прямой, проходящей через две точки:
x-2_3/“3_z4-1
1 “ -5 “ 1 *
Отсюда х = 2 4-1, у = 3 — 5t, z = — 14-1, t G [0,1]. Далее, находим dx = dt,
dy = —5 dt, dz = dt, подставляем все нужные выражения в данный инте-
грал, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:
1
J = y[(3 + t)dt-5(2 + t)(3-5t)(-l + t)dt + (3-5t)2(-l + t)^] =
о	1
= y(24-25t-45t2 + 50t3)dt = 9. •
о
4.2.20.	Вычислить криволинейный интеграл
Jxydx — у dy
L
вдоль кривой L = CD, соединяющей точки (7(4,0) и 79(0,2),
если:
1)	CD — отрезок прямой;
2)	CD — парабола, симметричная относительно оси Ох;
3)	CD — парабола, симметричная относительно оси Оу;
4)	CD — дуга эллипса с центром в начале координат.
Вычислить простейшим образом данные интегралы от полных диффе-
ренциалов:
(2,3)
4.2.21. J xdy + ydx.
(-1,2)
(14)
4.2.23. J (х 4- 2/)(dx 4- dy).
(о,о)
4.2.22.
4.2.24.
(3,4)
J xdx + ydy.
(0,1)
(2,1) Л J
/ydx — xdy
У2
(1,2) У

209

4.2.25.	Проверить, является ли выражение
(Зх2?/ + dx + ( х3 -	] dy
\ У/ \ у2 J
полным дифференциалом некоторой функции U(x, у) и если
да, то найти эту функцию.
Q Обозначим Р = Зх2у + Q = х3 - Тогда
У	У
§£ = 3^-А, ^ = 3^-1
оу	у2 дх	у2
Таким образом, условие Грина ( -7— = -7— ) имеет место при у 0.
уду дх)
Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некото-
рой функции С7(гс, ?/), которая может быть найдена как криволинейный
интеграл	, ч
У (Зх2у 4- dx + ( х3 - J dy,
(so,3/0)
где (а?о5 З/о) — произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не ле-
жащая на оси Ох (так как уо / 0). Положим (xq, уо) = (0,1), а в качестве
пути интегрирования выберем путь L = АВС, изображенный на рис. 47.
Тогда сокращенно можно написать
(s,3/)
U(x,y) = j = j = j+ j.
(so,3/o) ABC AB BC
Puc. 47
Имеем: 1) (AB): у — 1, т.e. dy = 0 и
J (Зя2у + dx 4- (x3
AB	'
V	(®.l)
) dy = f (3x2 4- l)dx = x3 + x.
(0,1)
210

2) (ВС): х— фиксировано, следовательно, dx = 0, откуда
3)	Таким образом, С7(ж, у) = х3 + х + х3у + - х3 - х = х3у +
Проверка показывает, что действительно,
dU = d (х3у +	dx + (х3
Найдя первообразные данных подынтегральных выражений вычислить
криволинейные интегралы:
(3,0)
4.2.26.	J (х4 + 4од3) dx + (6я2у2 — 5$/4) dy.
(-2,-1)
(1,0) Л Л
4.2.27.	/
(».-ц <1“’)
(3,1)/	Л X >
4.2.28.	[ (» +ЭД	(1 + „ ± 0).
(/>	<1 + »>
(12,5)/	\	/
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных
кривых:
4.2.30.	J(y — z)dx + (z — х) dy + (х — у) dz, где L — виток винтовой
L
линии х = a cost, у = asint, z = bt, 0 t 2тг.
4.2.31.	(^ydx + zdy + x dz, где L — окружность, заданная формулами
L
х = R cos a cos t, у = R cos a sin t, z = R sin a (a = const).
Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов
(предварительно найдя первообразную):
(6,4,8)
4.2.32.	у х dx + у dy — z dz. 4.2.33.
(1,0,-3)
(а,6,с)
J yzdx + xz dy + ху dz.
(МЛ)
211

(3.4,5) ,	,	,
4 2 34 Г xdx + ydy + zdz
(0,6,0) х/^ + У2*^
4.2.35.	С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный ин-
теграл
х2 + у2 dx + у [ху + 1п(я + \/х2 + у2)] dy
L
в двойной и с его помощью вычислить интеграл по контуру
прямоугольника ABCD (рис. 48), где А(1,1), В(7,1), С(7,4),
Р(1,4).
Рис. 48
Q Имеем Р = у/х2 + j/2, Q = у(ху + 1п(х + \/х2 + у2)), откуда
9Q
дх
1
X + \/х2 + у2
дР = У
ду \/х2 + у2
^._дР=у2+ У _ У = 2
дх ду yjx? + у2	\/Х± + у2
Таким образом, в силу формулы Грина данный криволинейный интеграл
равен двойному интегралу от у2 по прямоугольнику ABCD, т.е.
L	ABCD х	'
7	4
dxdy = уу у2 dxdy = Jdx jу2 dy =
ABCD	1	1
4.2.36.	Применяя формулу Грина, вычислить
У 2(х2 + у2) dx + {х + у)2 dy,
L
212

где L — контур ДАВС, пробегаемый в положительном направ-
лении, и А(1,1), В(2,2), С(1,3). Полученный результат про-
верить непосредственным вычислением криволинейного инте-
грала.
Найти функции по данным полным дифференциалам:
4.2.37.	dU = х2 dx + у2 dy.
4.2.38.	dU = 4(я2 - y2)(xdx - ydy).
4.2.39.	du=^ + Wx + „dy
(® + y)2
4.2.40.	dU = ^^dx-^ZHdy.
y^Jx2 + у2 у2\Хж2 + у2
4.2.41.	dU = ( * ~ \ dx + (;-y . - y2>) dy.
\(.У ~ ХГ J \{y~xr J
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
/х dy -|- у dx _	z ^\9 /
— --------—, где L — окружность (х — 1)^ + (у — 1)^ = 1, про-
х2 + у2
бегаемая против хода часовой стрелки.
/*	_,2	7/2
4.2.43.	ф(ху + у + x)dx + (ух — у + x)dy, L — эллипс	= 1.
J	а2	Ь2
Jb
4.2.44.	<j>(xy + x + y)dx + (ху + х — у) dy, L — окружность х2 + у2 = ах.
L
4.2.45.	<1>(2х + Зу) dx + (Зх — 4у) dy, где L состоит из дуги параболы
L
у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и А(2,4), и отрезка прямой,
соединяющей эти точки.
4.2.46.	^(х4 + 4од3) dx + (6ат2з/2 — 5$/4) dy, где L — дуга верхней по-
L
2	л»2
ловины гиперболы ---------- = 1 от точки А(—а, \/2Ь) до точки
а2 Ь2
В(а, \/2Ь) и отрезка прямой, соединяющей эти точки.
4.2.47.	Вычислить площадь эллипса при помощи криволинейного ин-
теграла.
2	т/2
Q Запишем эллипс	—- = 1 в параметрической форме х = a cost,
а2 Ь2
У = bsint, 0 t 2тг, после чего воспользуемся формулой для площади
213

области D
2тг
S = <j>xdy - ydx = - f(acost • bcost + bsint • asint) dt =
dD	О	27Г
= - Jabdt = nab. Ф
о
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
4.2.48.	Астроидой х = a cos31, у = а sin3t.
4.2.49.	Кардиоидой х = а(2 cost — cos2t), у = а(2sint — sin2t).
4.2.50.	Петлей декартова листа ж3 + у3 — Заху = 0 (а > 0).
4.2.51.	Кривой (х + 2/)3 = аху.
4.2.52.	Петлей (х + у)* = х2у.
4.2.53.	Лемнискатой Бернулли (х2 + у2)2 = 2а2(х2 - у2).
4.2.54.	Петлей линии (у/х + у^)12 = ху.
4.2.55.	Вычислить работу силового поля F = yi — xj при перемещении
материальной точки вдоль верхней половины эллипса
^ + ^ = 1
а2 Ь2
из точки С(а, 0) в точку В(—а, 0).
Работа А силового поля F = Pi + Qj при перемещении материальной
точки М вдоль линии СВ равна
J Pdx + Qdy.
св
Запишем дугу эллипса СВ в параметрической форме: х = a cost, у =
= bsint, t Е [0,7г]. Тогда dx = — asintdt, dy = bcostdt и
7Г	7Г
А = у ydx — xdy — у (—ab sin2 t - ab cos2 t) dt = —ab j dt = nab. •
св	о	о
4.2.56.	Дана переменная сила F = — yi + (Зу — 8x)j. Вычислить работу
этой силы при перемещении материальной точки вдоль конту-
ра прямоугольника с вершинами Л(9,4), В(—9,4), С(—9, — 4),
Г>(9,-4).
4.2.57.	Найти работу силы F = — yi + (Зу — 8x)j при перемещении ма-
териальной точки вдоль эллипса
£ + у! = 1.
81 16.
4.2*58	. Найти работу силы F = — 4yi+(4y—3x)j при перемещении мате-
риальной точки вдоль прямоугольника с вершинами Л(2, — 6),
В(2,6), С(—2,6), Г>(-2,-6).
4.2.59.	Найти работу силы F = —4j/i + (4у — 3x)j вдоль эллипса
^ + ^ = 1
4 + 36
214

Дополнительные задания
4.2.60.	Даны точки А(2,2), В(2,0), С(0,2). Вычислить
J (2х + 3) dx + (х + 7у + 1) dy,
L
где
a) L = OA-,	б) L = OBA-,
в) L = OC;	г) L = OCA-,
д) L — парабола, симметричная оси Оу и соединяющая точки
О и А.
4.2.61.	Даны точки А(9,0,0), В(9,4,0), С(9,9,9). Вычислить
J dx + (3z + 8) dy + (7z + 6) dz,
L
где
a) L = AC-,	6) L = OABC.
4.2.62.	Даны точки A(—2, —2), B(—2,0), C(0, —2). Вычислить
j\y + 4)dx + (3a: + 3y) dy,
L
где
a) L = OA;	6) L = OCA;
в) L = OB A;	r) L — дуга параболы О A.
4.2.63.	Даны точки А(2,0,0), В(2,2,0), С(2,2,2). Вычислить
j 4 dx + (4z + 3) dy + (За; + 4) dz,
L
где
a) L = AC;	6) L = OBC.
4.2.64.	Вычислить J (%x2y + y) dx + (x — 2y2) dy, где ABC — контур
ABC
треугольника ABC с вершинами A(0,0), B(l,0), C(0,1).
4.2.65.	Вычислить
ydx — xdy,
L
4.2.66.
x2 У2
где L — эллипс — 4—- = 1, пробегаемый в положительном
а2 Ъ2
направлении.
Вычислить
[ xdx _ ydy
J x2 +y2 x2 + y2
L
по окружности с центром в начале координат.
215

4.2.67.
Вычислить
у dx + xdy
я2 + у2
4.2.68.
4.2.69.
по отрезку прямой у = х от точки х = 1 до точки х = 2.
Вычислить	-
xdy — у dx
L
по петле декартова листа х =	, у = —.
1 +13 1 +13
Вычислить	-
xdy — у dx,
L
где L — арка циклоиды х = a(t — sint), у = а(1 — cost), 0
t 2тг.
Найти функции по их полным дифференциалам:
4.2.70.	dU = ydx + х dy.
4.2.71.	dU = (cos я + Зят2з/) dx + (я3 — у2) dy.
4.2.72.	dU = х dx + У dy.
у/х2 +у2 у/х2 + у2
4.2.73.	dU = (2х + у + z) dx + (х + 2у + z) dy + (х + у + 2z) dz.
4.2.74.	dU = (Зя2 + 2у2 + 3z) dx + (4ху + 2у — z)dy + (Зя — у — 2) dz.
4.2.75.	dU = (2xyz — 3y2z + Sxy2 + 2) dx + (x2z — 6xyz -I- 8x2y + 1) dy+
+(я2?/ - Зху2 + 3) dz.
4.2.76.	dU= dx + (1“Л) <*У+ dz-
x2 / \z У2 /	\	z2 /
4.2.77.	Вычислить работу силы F = я^/i + (я + j/)j при перемещении
точки из начала координат в точку А(1,1):
а) по прямой;
б)	по параболе у = я2.
4.2.78.	В каждой точке эллипса я = a cost, у = bsint приложена сила
F = —я! — у].
а)	Вычислить работу силы F при перемещении точки вдоль
дуги эллипса, лежащей в первой четверти.
б)	Вычислить работу, если точка обходит весь эллипс.
Найти работу данного силового поля F при перемещении материальной
точки вдоль отрезка АВ, если известны координаты концов отрезка:
4.2.79.	F = (я4 + 4xy3)i + (6х2у2 - 5y2)j, А(-2, -1), В(3,0).
4'2-80'
4-2-81- F = 7£Y^i + r77vj'-4<1’1)'s(3'1)-
(х + у)2 (ж + у)2
216

4.2.82.
4.2.83.
4.2.84.
4.2.85.
4.2.86.
4.2.87.
F= —4= + y i+ V=^ + x i 4(0,0), B(l,l).
\ y/X2 + y2 )	\ ya:2 + у2 /
F = (За:2?/ - ?/3)i + (a;3 - 3a:?/2)j, A(0,0), B(l, 1).
F = (v» - tts) ‘+ + ife)1 л<1'4)’B<9’1K
\ О yX /	у /
F =-------------------rri--------------------тт-j, 4(1,1), B(2,2).
(a:2 + ?/2) (arctg |)	(a:2 + ?/2) (arctg |)
F =	+ -2^j, 4(2,1), B(l,7).
x2 + y2 x2 + y2
F = (у3 - бод2)! + (Зятз/2 - 6x2y + 8$/3)j, A(0,0), B(l, 1).
Контрольные вопросы и более сложные задания
Вычислить криволинейные интегралы II рода:
4.2.88.	У dx — arctg ^dy, где От А — дуга параболы у = х2, а ОгпАпО ОпА — отрезок прямой у = х. (2,3)	(3,-4)
4.2.89.	У xdy + ydx.	4.2.90. J xdx + ydy. (-1,2)	(0,1)
4.2.91.	(1,2) Л	J	(6’8) J _i_ Л /•	(, / 0). 4.2.92.	[ Idl + *d* J	X2	j л/х2 + и2 (2,1)	(1,0) Vх (2,тг)/	2	\
4.2.93.	г Л	у У\^^У,У У\ Л J	dx+\smx + xcosx) dy- (l.’t)v	7
4.2.94.	Доказать, что если f(u) — непрерывная функция, то J f(x2 +y2)(xdx + ydy) = 0 L
для любого гладкого контура L.
Найти первообразную функцию по данному дифференциалу:
4.2.95.	, 2х dx + 2у dy dz=	9	9* x2 +y2
4.2.96.	2ydx , 2ydy dz =	n +	n • a:2 sin2—	arsin^ Jb Olli	du Dill
4.2.97.	dz =	5	[ ydx + xdy]. (x - y)2
217

4.2.98.	Вычислить
J (у2 — z2)dx + 2yzdy — x2 dz,
L
где L — кривая x — t, у = t2, z — t3, 0 t 1, пробегаемая в
направлении возрастания параметра t.
4.2.99.	Вычислить
J(у2 - z2) dx + (z2 - х2) dy + (х2 - у2) dz,
L
где L — контур, который ограничивает часть сферы
х2 + у2 + z2 = 1, х О, у^О, z О,
пробегаемый так, что внешняя сторона сферы остается слева.
4.2.100.	Доказать, что для криволинейного интеграла II рода справед-
лива оценка
I jp(x, у) dx + Q(x, у) dy| LM,
L
где L — длина кривой L, а
М = шах у/Р2(х,у) + Q2(x,y).
(x,y)eL
4.2.101.	Оценить интеграл
г ydx — xdy
J (ж2 +ху + у2)2 ’
Lj
где L — окружность х2 + у2 = R2. Доказать, что при R -> +оо
данный интеграл стремится к нулю.
§3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение и вычисление поверхностного интеграла
первого рода
Пусть f(x,y,z) — функция, заданная в точках некоторой гладкой поверх-
ности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части Si,..., Sn с площадями
Д<71,..., Д<7П и диаметрами di,..., dn соответственно. Произвольно выбрав на
каждой из частей Si точку Mi(xi, yi, Zi), составим сумму
п
^2f(xi,yi,Zi) 
t=i
которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y,z).
Если при d —> 0 (где d = max di) существует предел интегральных сумм,
i
который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора
218

точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода
и обозначается
»>z) da- &
s
Если функция /(и, з/, z) непрерывна, то интеграл
УУf(x, у, z)dcr
S
существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично опреде-
лению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного ин-
теграла первого рода (линейность, аддитивность и т. д.) также аналогичны со-
ответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z =
= z(z,3/), причем z(x^y) непрерывна вместе со своими частными производными
z'x = z'x(x,y) и z'y = z'y(x, у), то поверхностный интеграл сводится к двойному с
помощью формулы:
УУ Л®, y,z)da = JJ f(x, у, z(x, y))Jl + (4)2 + (z'y)2 dxdy.
S	D
Если поверхность S задана параметрически в виде х = ж(ц, v), у = у (и, v),
z = z(u, v), где х, у, z — непрерывно дифференцируемые функции в некоторой
области G плоскости Ouv, то
УУ/(ж, з/, z) da = УУ f[x(u, v), з/(ц, v), z(u, v)]у/EH — F2 dudv,
S	G
где
E = (t1)’ + Or)’ + (r)2' "-(?)’ + (JrY + (r)2 
\ouJ	\du J	\ouJ	\dv/ \dv J \dv/
дх дх dydy Qz Qz
du dv du dv du dv
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Пусть S — гладкая материальная поверхность с плотностью р = p(x^y^z).
Тогда с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1)	статические моменты этой поверхности относительно координатных
плоскостей
Мху = JJzpda, Myz = JJxpda, Mxz = JJypda]
s	s	s
2)	координаты центра тяжести поверхности
Муг	Mxz	Mxy	r r
х° = ^т->	=	где m = Jjpdcr-,
S
219

3)	моменты инерции относительно координатных осей и начала координат
Jx = /fa2 +
s
= jj^-^-z^pda, Jz = jj(x2 + y2)p da,
s	s
jj(x2 + y2 + z2)pda.
s
Определение и вычисление поверхностного интеграла
второго рода
Площадь поверхности S можно найти по формуле
JJda = im.S.
s
Если p(x,y,z) — поверхностная плотность материальной поверхности S,
то ее масса тп находится так:
т =
ffp(x,y,z)
S
da.
Пусть S — гладкая ориентированная поверхность, на которой задана не-
прерывная функция R(x,y, z), и пусть в каждой точке М поверхности опреде-
лено положительное направление нормали п(М) (п(М) — непрерывная век-
тор-функция).
Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единич-
ной нормалью п и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на ча-
сти Si,..., Sn с диаметрами di,..., dn • Обозначим через ДР1,..., ДРП площади
соответствующих проекций частей Si,..., Sn на плоскость Оху, а через d —
максимум из чисел di,..., dn. Выбрав в каждой части Si произвольную точку
Mi(xi,yi,Zi), составим сумму
п
R(Xi, yi, Zi)&Pi,
г=1
которая называется интегральной суммой второго рода для функции
R(x,y,z). Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности
R(x,y,z)) при d -> 0, который не зависит от способа разбиения поверхности S
на части и выбора точек Mi, называется поверхностным интегралом второго
рода от функции R(x, у, z) по поверхности S и обозначается
УR(x, у, z) dxdy.
s+
Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода
УfР(х, у, z) dydz и уу R(x, у, z) dxdz
S+	Q+
220

от непрерывных функций Р(ж, у, z) и Q(x, у, z). Сумма трех указанных поверх-
ностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегра-
лом второго рода и обозначается
JJ Р dydz + Q dxdz + R dxdy.
s+
Пусть теперь поверхность S имеет явное представление z = z(x,y), (х,у) €
е D С Оху. Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному
интегралу по области D
Jf R(x, у, z) dxdy = J J R(x, у, z(x, у)) dxdy.
S+	D
Если выбрана противоположная сторона S поверхности 5, то
JJ R(x, у, z) dxdy = — J J R(x, y, z(x, y)) dxdy.
S-	D
Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы
J[ Р(х9 у, z) dydz и J J Q(x, у, z) dxdz.
s+	34-
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Если а, /3, 7 — углы, образованные соответственно с положительными
направлениями осей Ох, Оу и Oz, единичной нормалью п к выбранной стороне
поверхности S, то связь поверхностных интегралов первого и второго рода
выражается следующим равенством
JJ Р dydz + Q dxdz + R dxdy = JJ(? cos a + Q cos 0 + R cos 7) da.
s+	S
Поскольку n = {cos a, cos 0, cos 7}, то поверхностный интеграл первого рода в
правой части этого равенства можно записать компактно в векторной форме
ffFnda’
S
где F = {Р, Q, R} — векторное поле, определенное на S.
Векторное поле F можно ассоциировать с полем скоростей жидкости, про-
текающей через поверхность S. Тогда интеграл
ffFnda
S
можно истолковывать механически как общее количество жидкости, протека-
ющее в единицу времени через поверхность S в положительном направлении,
221

т.е. вдоль п. Поэтому этот интеграл называется потоком векторного поля F
через поверхность S.
4.3.1.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
[[——
JJ (l + x + z)3
где а — часть плоскости х 4- у 4- z = 1, заключенная в первом
октанте.
Q Поверхность а можно выразить явно: z = 1 — х — у, (х,у) € D, где
область D — треугольник, ограниченный прямыми х = 0, у = 0 и x+y = 1
(рис. 49). При этом da = ^14- (z'x)2 4- (^)2 dxdy = y/3dxdy. Данный
интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной
функции равен 14-x4-z = 14-#4-(l — я — 2/) = 2 — ?/):

Вычислить поверхностные интегралы первого рода:
4.3.2.
4.3.3.
da
где а — часть плоскости х 4- у 4- z = 1 при
условии х 0, у 0, z 0.
ff(z+2x+ly) to’
где ст — часть плоскости 6x+4?/+3z
= 11,
а
лежащая в I октанте.
222

4.3.4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
JJ(x2 + y2)dtr,
(Г
где а — сфера х2 4- у2 4- z2 = R2,
Q В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхно-
сти а и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла
при условии х 0, у 0, z 0 (т.е. в первом октанте), а результат
умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические
уравнения сферы х = Esin<pcos0, у = Esin<psin0, z = Ecoscp, учитывая,
что и = 0, v = <р. Тогда
\ои/ \диJ \ouJ
= (—Esin ip sin в)2 4- (R sin<pcos0)2 4- 0 = R2 sin2 <р,
НгЛ т +(?)2 =
\ OV /	\ OV / \ovJ
= (Ecos<pcos0)2 4- (Ecos<psin0)2 4- (—Esincp)2 = Д2,
p _дхдх . ду dy gz gz _
ди dv ди dv ди dv
= (—Esin sin 0)(Д cos cos 0) 4- (Esin<pcos0)(E cos<psin0) = 0,
x/EG-F2 = .R2sin<p,
а область интегрирования — четверть круга х2 4- у2 Е2 (обозначим ее
через В) в параметрической форме имеет вид
Д2 sin2 ip cos2 0 4- Д2 sin2 sin2 в Д2, 0	0 0
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию
f(x>y) = х2 + у2. На сфере х2 4- у2 4- z2 = Д2 имеем f(x,y) = R2 — z2 =
= R2 — R2 cos2 ip = Д2(1 — cos2 ip). Таким образом данный интеграл равен
7Г 7Г
2 2
8 ! Д2(1 - cos2 ip) • Д2 sin ip dedip = —SR* J dip J(1 — cos2 ip) d(cos ip) =
в	oo
/	4	\ 2L
-	7Г /	COS	H	2_8p4	a
— —O-tC	• -x- I COS(p-5-- I — «-Ге 7Г.	W
Z у	о у Io О
4.3.5.	Вычислить поверхностный интеграл
JJlx2 + y2)da,
(Г
где а — сфера х2 4- у2 4- z2 = R2 способом выделения однознач-
ной ветви поверхности интегрирования (сферы). Этот пример
223

совпадает с примером 4.3.4, но его следует решить иным спо-
собом.
4.3.6.	Вычислить	гг г-------
/у \А2 +?/2 ds,
s
гдеЗ—боковая поверхность конуса ^т-4-^- —= 0 (0 z 5).
а2 Ь2 с2
4.3.7.	Вычислить площадь той части параболоида вращения ау =
= х2 4- z2, которая находится в первом октанте и ограничена
плоскостью у = 2а (а > 0).
Рис. 50
Q Способ 1. Поверхность, площадь которой будем вычислять, предста-
х2 z2
вим в виде у = —g—, т.е. как функцию переменных х и z. Следова-
тельно, соответствующая формула для площади примет вид
s = ff у/1 + (у'х)2 + (y'z)2dxdz,
D
где область D — проекция поверхности на плоскость Oxz (рис. 50). Па-
раболоид ау = х2 4- z2 пересекается плоскостью у = 2а по окружно-
сти х2 4- z2 — 2а2 радиуса а\[2. Следовательно, D — четверть круга
х2 4- z2 2а2 (х 0, z 0). Определим подынтегральную функцию.
Имеем = ^, si =
1	+ (й)2Ш)2 = 1 + ^ + < = ^^.
а а	а
Таким образом,	n гг ______________
S = g II \/а2 + 4(я2 4- z2) dxdz.
D
Переходя к полярным координатам, получаем
2L	г-
2	aV2	—	ау/2
S=afdV / \/a2+4r2rdr =	° ’ 4^3 (°2 + 4r2)3/210 = Ц™2-
О	о
224

Способ 2. Поверхность параболоида представим в виде z = \/ау — х2,
т.е. как функцию переменных х и у. В этом случае соответствующая
формула имеет вид
s = fj y/l + (z'x)* + (ztfdxdy,
Г>1
где D\ — проекция поверхности на плоскость Оху. Область D± ограни-
чена осью Оу, параболой х = у/ay и прямой у = 2а. Определим подынте-
гральную функцию. Имеем
z< =_____2____ z< ______а_____	1 + (z< )2 . (z< \2 = 4°У + °2
х	У 2^^’	{у Цау-х^
Таким образом
S = 1	tody - 1 M^ydy 7^= =
£>; V аУ ~х	i	о V аУ ~ х
2 J	х/ау\о	2 2 О 1о 12
О	v
4.3.8.	Найти площадь части параболоида 4z = х2 4- у2, отсекаемой
цилиндром у2 = z и плоскостью z = 3.
4.3.9.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
JJz dxdy 4- у dxdz 4- х dydz,
где а — верхняя сторона плоскости х 4- у 4- z = 1, ограниченной
координатными плоскостями.
Q Интеграл будем вычислять покомпонентно, проектируя а на разные
координатные плоскости (см. рис. 51).
Рис. 51
8 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
225

Вычислим
J J z dxdy.
Выражая явно z через x и у, сведем этот интеграл к двойному интегралу
по ДО АВ. Подставляя z = 1 — х — у в подынтегральную функцию и
учитывая, что: 0^а:^1,0^?/^1 — а:, получаем
1	1-х
ffzdxdy =	— х — у) dxdy = fdx f(l — x — y)dy =
a	OAB	О
1
о
о
>21
0 L	J
Убедитесь, что остальные интегралы
ffy dxdz и ffx dydz
приводят к такому же результату. Поэтому искомый интеграл равен
3.i_i	•
6 “ 2‘
Вычислить следующие интегралы второго рода:
4.3.10.	ffvz dydz + xz dxdz + ХУ dxdy, где a — внешняя сторона тетра-
эдра, ограниченного плоскостями х + у + z = а, х = О, У = О,
z — О
4.3.11.	уzdxdy, где S — внешняя сторона эллипсоида
S	ж2 Д2 . г2 _
а2 Ь2 с2 ’
4.3.12.	ffx2 dydz + У2 dxdz 4- z2 dxdy, где a — внешняя сторона поверх-
сг
ности верхней полусферы х2 4- у2 4- z2 — а2.
4.3.13.	ffx3 dydz + У3 dxdz 4- z3 dxdy, где a — внешняя сторона сферы
х2 4- у2 4- z2 — а2.
4.3.14.	ff(x — у) dxdy + (z — х) dxdz + (у — z) dydz, где а — внешняя
сг
сторона конической поверхности х2 4- у2 = z2 (0 z Л).
4.3.15.	Найти поток векторного поля F(a;, y,z) = ай 4- у] 4- zk через
часть поверхности эллипсоида
*! + 2d + ^ = i,
а2 Ь2 с2 ’
лежащую в первом октанте в направлении внешней нормали.
226

Q Искомый поток равен
х cos а 4- у cos /3 + z cos 7) da.
Последний интеграл сводится к поверхностным интегралам второго рода
JJx dydz 4- ууу dxdz 4- JJ z dxdy,
Di	D2	D3
где Di, D2, D3 — проекции эллипсоида на соответствующие координат-
ные плоскости.
Рассмотрим, например, гг
/ / zdxdy,
d3
где z можно выразить через х и у из уравнения эллипсоида, D$ — вну-
тренность четверти эллипса
т2 У2
+	о 0, у>0.
а2 Ь2
Очевидно, что	гг
z dxdy
d3
равен объему восьмой части эллипсоида, которая, как известно, равна
| • ^тгаЬс. Аналогичные интерпретации можно дать и другим интегралам,
о о
поэтому исходный интеграл I рода, т.е. поток векторного поля, равен
3.1.^оЬс=^_	•
4.3.16. Найти поток вектора F = a:2i—?/2j4-^2k через поверхность тела,
ограниченного сферой х2 4- у2 4- z2 — ЗЯ2, плоскостью Оху и
однополостным гиперболоидом х2 4- у2 — z2 = R2.
Q Имеем
JJF n da = УУ^2 cos а — у2 cos /3 4- z2 cos 7) da =
cr	a
= JJx2 cos a da - JJy2 cos/3 da 4- JJz2 cos у da.
a	a	a
На плоскости Oxz и Oyz поверхность а проектируется дважды, с обе-
их сторон, к тому же поверхность а симметрична относительно этих плос-
костей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:
УУ#2 cos a da = JJy2 cos /3da = 0.
cr	a
А теперь вычислим	r r
z2 cos 7 da.
a
Поверхность а состоит из трех частей (см. рис. 52):
227

Рис. 52
а)	сегмент сферы z — \]3R? — х2 — у2, для которого cos7 > 0 (внеш-
няя нормаль образует с Oz острый угол); проекция этого сегмента на Оху
есть круг х2 4- у2 2Я2 (сегмент сферы х2 4- у2 4- z2 — 3R2 пересекается
с гиперболоидом х2 4- у2 — z2 = Я2 по линии
< х2 4- у2 4- Z2 = ЗЯ2	(х2 4- У2 = 2R2
х2 + у2 - z2 = R2	z = R
к
окружность радиуса y/2R)\
б)	сегмент параболоида проектируется на Оху в кольцо R2 х2 4-?/2
2Я2, z = х2 4- у2 — R2 (из уравнения гиперболоида);
в)	наконец, третья часть — это круг х2 4- у2 R2, на котором z = 0.
Поэтому
JJf • л da = J fz2 cos 7 da =
a	a
= jj (3R2-x2 —y2) dxdy—	(x2 +y2 — R2) dxdy =	.
x2+y2^2R2	R?<^x2+y2^2R2
4.3.17.
4.3.18.
Предлагаем самостоятельно вычислить эти интегралы.	•
Найти поток вектора F = #2i4-2/2j4-z2k через поверхность тела
Н /---------
— \/х2+у2 z Н в направлении внешней нормали.
Найти поток вектора F = 2zi — у] через часть поверхности
цилиндра х2 4- у2 = R2, х 0, у 0, 0 z Н в направлении
внешней нормали.
Найти поток вектора F = #2i — ?/2j 4- z2k через часть сферы
х2 4- у2 4- z2 = R2, х 0, у 0, z 0 в направлении внешней
4.3.19.
нормали.
228

4.3.20.	Найти поток вектора F = zi 4- yi — 2zk через поверхность куба
kl а, Ы a, |z| а в направлении внешней нормали.
4.3.21.	Найти массу полусферы х2 4- у2 4- z2 = R2, z 0 радиуса R с
поверхностной плотностью, равной у/х2 4- у2.
О Имеем	f, ,
т = 11 yxz 4- у2 da,
Z = VR2-*2-V2, ^/1 + (^)2 + (^= ^д2Д2_у2
(проверьте!). Следовательно,
г г \/х2 4- V2
т =	/ / R—	 - dxdy.
J J	\/ R2 — х2 — и2
Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, получаем
„. = ff	. в	.	•
JJ y/R2 - г2 J J y/R2 - r2 2
и и
4.3.22.	Найти массу поверхности куба 0 ж 1, 0	1, O^z^l,
если поверхностная плотность в каждой ее точке M(x,y,z)
равна р(х, y,z) = х + у + z.
4.3.23.	Найти массу поверхности куба 0 я 1, 0	1, 0 z 1,
если поверхностная плотность в каждой ее точке (х, у, z) равна
р(х, у, Z) = xyz.
4.3.24.	Определить координаты центра тяжести однородной параболи-
ческой оболочки az = х2 4- у2 (0 z а).
4.3.25.	Найти момент инерции части боковой поверхности конуса z —
— у/х2 4- у2 (0 z Л) относительно оси Oz.
4.3.26.	Вычислить	г г
/>•
а
где а —часть параболоида z = х2 4- у2, которая вырезана ци-
линдром (х2 4- у2) = х2 — у2.
Дополнительные задания
4.3.27.	Найти статические моменты однородной треугольной пластин-
ки x + y + z = а, х 0, у 0, z О относительно координатных
плоскостей.
4.3.28.	Вычислить момент инерции относительно Ох сферической обо-
лочки х2 4- у2 4- z2 = R2 (х 0).
4.3.29.	Вычислить моменты инерции однородной конической оболочки
X2 . У2 Z2 (г\	л х У z — b
^т-4-2^ —о = 0 (ОО^о) относительно прямой т = - = ——.
а2 а2 Ь2	1 0 U
229

4.3.30.	Найти координаты центра тяжести однородной поверхности
z — у/а2 — х2 - у2 (х 0, ?/^0, х 4- у а).
4.3.31.	Найти полярный момент инерции Iq поверхности куба |ж| а,
М a, |z| а.
4.3.32.	Найти моменты инерции треугольной пластины х + у 4- z — 1
(х 0, у 0, z 0) относительно координатных плоскостей.
4.3.33.	Найти полярный момент инерции полной поверхности цилин-
дра х2 4- у2 = Я2, 0 z < Н.
4.3.34.	Вычислить площадь той части параболоида 2az = х2 4- у2, ко-
торая ограничена плоскостями у = 0, z — 0, z — z — artga,
а — фиксировано, 0 < а <
4.3.35.	Вычислить площадь той части поверхности сферы х2 +y2+z2 =
= а2, которая вырезана цилиндром х2 4- у2 = ау.
4.3.36.	Вычислить площадь той части поверхности сферы х2 4-?/2 4-z2 =
= а2, которая вырезана цилиндром х2 4- у2 = Ь2, b < а.
Контрольные вопросы и более сложные задания
4.3.37.	Найти площадь поверхности z =	расположенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
4.3.38.	Найти	/• г а где а — часть поверхности 2az = х2 + z2 (а > 0), вырезанная конусом z— у/х2 4- у2.
4.3.39.	Найти	г г (х + У + z)da, где а — верхняя половина сферы х2 4- у2 4- z2 — а2.
4.3.40.	Найти	Г /7 2 2ч j JJ(x2 4- у2) da, (Г где а — граница тела, заданного неравенствами у/х2 + у2 z < 1.
4.3.41.	Вычислить	г г а где а — часть поверхности геликоида х = ucosv, у = usinv, z = v (fi и a, 0 v 2тг).
4.3.42.	Вычислить	г f о jfz где а — часть поверхности конуса х = г cos sin а, у = г sin sin а, z — г cos а (О^г^а,	2тг), а — постоянная (о < а <	.
230

4.3.43. Вычислить ..
(ху + yz + xz) da,
or
где a — часть конической поверхности z — у/х2 4- у2, вырезан-
ная поверхностью х2 4- у2 = 2ах.
4.3.44. Вычислить
JJх2 dydz 4- у2 dzdx 4- z2 dxdy,
s
где S — внешняя сторона сферы (х — а)2 4- (у — Ь)2 4- (z — с)2 = R2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Вычислить	о
L
где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (1, л/2) и
(2,2).
2.	Вычислить г
I (4у 4- 4) dx 4- (За: 4- Зу 4- 4) dy,
L
где L — контур треугольника х = 0, у = 0, 2х 4- Зу = б, и результат
проверить при помощи формулы Грина.
3.	Вычислить
(1/ (з*! - з»! -1\/5)dx+G6”+dy-
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
Jfx2d3,
S
х2	У2	z2
где S — боковая поверхность конуса — 4—- = —,Q^z^.h.
а2	а2	с2
5.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
y2dxdz,
or
&	— внутренняя сторона полусферы х2 4- у2 4- z2 = R2, у 0.
231

Вариант 2
1.	Вычислить	г
J {х + у) dl,
L
где L — контур треугольника АВС с вершинами .4(1,— 1), В(—3, —1),
С(—3,2).
2.	Вычислить массу дуги четверти эллипса
^+^ = 1,
а2 Ь2 ’
расположенный в первой четверти, если линейная плотность в каждой
точке пропорциональна абсцисса этой точке, с коэффициентом т.
3.	Вычислить
(2,2)
(бя - Зу - dx +
(1Л)
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
fpdS,
S
где S — боковая поверхность конуса 4(ж2 4- у2) = z2, 0 z 2.
5.	Вычислить поверхность интеграла второго рода
Уz3dxdy,
or
а — внешняя поверхность плоскости х + у + z = 10, расположенная в
первом октанте (х 0, у 0, z 0).
-Зх + I dy.
Вариант 3
1.	Вычислить	г п
f(x2 + y2)dl,
L
L — окружность (х 4- а)2 4- у2 = а2, а > 0.
2.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода
j\x + l)dx + xyz dy 4- y2z dz,
L
где L — отрезок, соединяющий точку M(2, —1,3) с точкой ЛГ(7,4,11).
232

3.	Вычислить
(6,4)
/ (fil'+ rb)dx + (“гЪ+3»2)
(1,1)
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
fpds-
S
где S — верхняя часть полусферы х2 4- у2 4- z2 = Я2, z 0.
5.	Вычислить поверхность интеграла второго рода
//z^dxdy,
а — внутренняя сторона поверхности полусферы х2 4-т/2 4-z2 = R2, z 0.
Вариант 4
1.	Вычислить
У (ж2 4- у2 - z) dl,
L — дуга цепной линии х — a cost, у = asint, z — bt, 0 t тг.
2.	При помощи криволинейного интеграла второго рода вычислить пло-
щадь фигуры, ограниченной кривыми х = 8 cos3 t,y = 8 sin31, 0 t 2тг.
3.	Вычислить
(3,3)
(1,1)
4.	Вычислить площадь той части параболоида вращения z = —а(х2+у2),
которая находится в пятом октанте (х 0, у 0, z 0) и ограничена
плоскостью z = — 2а (а < 0).
5.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
где а — внешняя сторона плоскости 2х 4- Зу 4- 4z = 12, расположены в
первом октанте (х 0, у 0, z 0).
233

Вариант 5
1. Вычислить интеграл
j\x-y)dl,
L
L — левый лепесток лемнискаты г = a^/cos 2<р, а > 0.
2.	Вычислить работу силового поля F = (х 4- у 4- 2)i + (8х 4- 7у 4- 6)j по
контуру треугольника, стороны которого лежат на прямых х = 0, у = 0,
Зх 4- 2у = 6, и результат проверить при помощи формулы Грина.
3.	Вычислить
1
I	I о „	2	,	+ 10ж2у )	dx + ( -------—- +	10я:22/ )	dy.
/	\а;2 + 2ху + у2 + 1	/	\ (я	+ у)2 + 1	/
4.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода
ffx2d3,
S
где S — нижняя часть полусферы х2 4- у2 4- z2 = Л2, z 0.
5.	Вычислить поверхностный интеграл второго рода
JJ(x + у) da,
or
где а — внутренняя сторона конической поверхности х2 4- у2 = z2, рас-
положены в первом октанте (ж 0, у 0, 0 z h).

Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
□
В этой главе все рассматриваемые функции будут предполагаться диффе-
ренцируемыми достаточное число раз.
§ 1.	СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
ПОВЕРХНОСТЬ УРОВНЯ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ
Скалярное поле
Функция U(r) = U(x,y,z), где г = ж-i + y- j + z- k — радиус-вектор
произвольной точки пространства R3, называется скалярным полем.
Скалярное поле можно рассматривать как обыкновенную функцию U =
= U(x,y, z) трех переменных.
Наряду с определенными выше скалярными полями рассматривают также
плоские скалярные поля, т. е. функции U = U(r) = U(x, у), где г = х • i -I- у • j —
радиус-вектор произвольной точки плоскости.
Поверхностью уровня скалярного поля U = U(x,y, z) называется множе-
ство точек пространства R3, удовлетворяющих уравнению U(x,y, z) = с, где
с — произвольная постоянная.
Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля
U = U(x,y).
Понятие поверхности уровня и линии уровня скалярного поля тождествен-
ны понятиям, соответственно, поверхности уровня функции U = U(x,y, z) трех
переменных и линии уровня функции U = U(x,y) двух переменных.
Векторное поле
Вектор-функция F(r) = Р(я, ?/, z) • i + Q(x, у, z) • j + R(x, y,zyk называется
векторным полем.
Вектор-функция F(r) = P(x, y) • i -I- Q(z, y) • j, где г = x • i -I- у • j, называется
плоским векторным полем.
Линии г(£) = (#(£),?/(£), z(£)), касательные к которым в каждой их точке со-
впадают с направлением векторного поля F(P, Q,P), называются векторными
линиями этого ПОЛЯ.
Аналогичным образом определяется понятие векторных линий плоского
векторного поля.
235

Векторные линии векторного поля F(P, Q,R) могут быть найдены из си-
стемы дифференциальных уравнений:
' Л =
= R(X'V'Z}
или из системы, записанной в симметрической форме:
dx _ dy _ dz
Р “ Q “ R'
Векторные линии поля называют также силовыми линиями или линиями тока.
Г радиент
Градиентом скалярного поля U = U(x,y, z) называется векторное поле
gradi7=^.i+^j+^k = ^i + t/;j + t/:-k.
дх ду dz	у
Градиент скалярного поля в каждой точке перпендикулярен поверхностям
уровня этого скалярного поля. Кроме того, градиент скалярного поля U пока-
зывает направление наибольшего роста функции U = U(x,y, z).
Величиной градиента называют скалярное поле
IgradtTI = д/(^)2 + (^)2 + (^)2-
5.1.1.	Найти величину и направление градиента скалярного поля U =
= х2 — у2 4- yz — х в точке А(1,0, —1).
Q Находим частные производные функции U:
Ufx = 2x-1, U'y = —2y + z, U'z=y.
Таким образом, grad U = (2х — 1) • i + (—2у 4- z) • j 4- у • к. Подставляя в
последнее равенство координаты точки А, получим:
grad U(A) = i — j = (1,-1,0).
Величина градиента при этом будет
|grad 17(A) | = >/12 + (-1)2 + О2 = >/2.	•
Найти градиент скалярного поля U(te,y,z):
5.1.2.	U = xyz.	5.1.3.	U = x2+y2-z2.
5.1.4.	U = еху — yz2.	5.1.5.	U = 1п(ж2 4- у2 4- z2).
236

Найти градиент скалярного поля U(x,y,z) в точке А(а?о,?/о,^о)*
5.1.6.	U = За;2 — ху3 + xz — z2, 4(1,2,3).
5.1.7.	U = zsin(a: - у), А ^,1).
5.1.8.	U = ^^-, А(2,0,1).
5.1.9.	U = arctg(x 4-22/4- z2), 4(1,1,0).
5.1.10.	В каких точках градиент скалярного поля U = ху 4- 2z — z2:
а) коллинеарен вектору а(1, —1,2);
б)	перпендикулярен оси Ох;
в)	перпендикулярен плоскости 2х + у + z = 1?
Q Вычислим градиент поля:
grad 17 = у • i 4- х • j 4- (2 - 2z) • k = (2/, я, 2 - 2z).
а) Для ответа на этот вопрос напишем условие коллинеарности век-
торов grad 17 и а:
У _ х =	х = У = z-1
1-1	2	—11	-1 *
Это уравнение прямой, проходящей через точку A/q(0,0, 1) с направляю-
щим вектором /(—1,1,-1).
б)	1(1,0,0) — направляющий вектор оси Ох, Условием перпендику-
лярности векторов grad 17 и а является равенство нулю их скалярного
произведения: grad U • i = 0 О у = 0. Уравнение у = 0 задает плоскость
Oxz, Во всех точках этой плоскости grad U перпендикулярен оси Ох.
в)	Поскольку grad U перпендикулярен плоскости 2x+y + z = 1, то он
коллинеарен ее нормальному вектору n(2,1,1), т. е. должны выполняться
равенства	у	_ 2г	_ j
2	1	12	4	-1 '
Следовательно, grad 17 перпендикулярен исходной плоскости в точках
прямой, проходящей через точку A/q (0,0,1) с направляющим вектором
€(2,4,-1).	•
5.1.11.	В каких точках плоскости IR2 градиент плоского скалярного
поля U =	- ж 4- |i/2 перпендикулярен радиусу-вектору
г = х • i 4- у • j ?
5.1.12.	Найти угол между градиентами поля U =	—- в точках
У2 + я2
4(3,0,1) иВ(1,—1,0).
5.1.13.	В каких точках градиент скалярного поля
17 = г2 (г = х • i 4- у • j 4- z • к, г = |г|) :
а)	параллелен оси Ох;
б)	перпендикулярен оси Ох;
в)	параллелен плоскости х — у 4- z = 3;
г)	перпендикулярен плоскости х — Зу 4- 2z — 1 = 0;
д)	равен 0;
е)	имеет величину, равную 4?
237

5.1.14.	Найти линии уровня плоских скалярных полей:
a)	U = ху;
б)	U = г2, где г = х • i + у • j, г = |г|;
в)	U = arcsin(x 4- у).
5.1.15.	Найти поверхности уровня скалярных полей:
a) U = г, где r = x- i + 3/-j + z- kHr = |г|;
б)	U = x2+y2;
х2 И- у2
в)	и = arctg-5—.
zi
5.1.16.	Найти поверхности уровня скалярного поля U = f(r), где г =
= a;-i4-3/-j4-z-kHr = |г|, функция f(t) определена для всех
t 0 и:
а)	/W — монотонна;
б)	f(t) — не монотонна.
5.1.17.	Найти векторные линии векторного поля F(P, Q, R):
a)	F(3,1,2);
б)	F(y,x,z);
в)	F(z — у,х — z,y — х).
Q а) Составим нормальную систему дифференциальных уравнений,
определяющую векторные линии поля:
r dx _ о
dt
• £=*•
dz _ су
{dt
Ее решениями будут прямые линии, задаваемые в параметрической фор-
ме системой уравнений:
| х = 3t 4-Жо,
\ У = * + З/о,
[2 = 2t 4- zq,
(я0, Уо, zq — произвольные постоянные). Таким образом, векторными
линиями будут прямые с направляющим вектором €(3,1,2).
б) В этом случае можно поступить так же, как в пункте а), составив
систему линейных однородных дифференциальных уравнений и решив ее
(см. § 7, глава 2). Однако векторные линии находятся проще с помощью
метода составления интегрируемых комбинаций. Проиллюстрируем его
в этом (и в следующем) пункте.
Запишем уравнения векторных линий в виде системы
dx _ dy _ dz
у х z *
Равенство 4г — образует первую интегрируемую комбинацию. Это
у я
уравнение легко решается методом разделения переменных: xdx = у dy,
238

откуда х2 = у2 4- С\. Для получения еще одной интегрируемой комбина-
ции используют обычно известное свойство пропорции:
Qi   О>2   ^3   fcitli + ^2^2 4" кза3
bi 62 Ь3 fcibi 4- ^2^2 4" к3Ь3
причем множители ki подбирают так, чтобы в числителе образовался
дифференциал знаменателя или чтобы в знаменателе получался нуль,
а в числителе — полный дифференциал. В нашем случае, складывая
числители и знаменатели первых двух дробей (здесь к± = fc2 = 1, к3 = 0),
получим следующую интегрируемую комбинацию
d(x + у) = dz
x + y 2 •
Интегрируя данное равенство, получаем х + у = C2Z. Таким образом,
векторные линии задаются системой
(х2 - у2 = Ci,
[я + у = C2z,
т. е. являются линиями пересечения гиперболических цилиндров х2 — у2 =
= Ci с плоскостями х 4- у — C2Z = 0.
в) Запишем, как и в пункте б), уравнения векторных линий поля в
симметрической форме:
dx _ dy _ dz
z — у x — z у — x'
Составим первую интегрируемую комбинацию:
dx _ dy _ dz ____________dx + dy + dz______ d(x + y + z)
z-y~x-z~y-x~(z-y) + (x-z) + (y-x)~	0
Чтобы последнее отношение равнялось предыдущим, необходимо, чтобы
выполнялось d(x 4- у 4- z) = 0, т. е. х 4- у 4- z — С. Вторая интегрируемая
комбинация может быть получена следующим образом:
dx _ dy _ dz _
z — у x — z у — x
_ xdx + ydy + zdz	+ + z 0
x(z -y)+ y(x - z) 4- z(y - x)	0
Следовательно, d Q(#2 + У2 + z2)j = 0, t. e. x2+y2+z2 = R2. Таким обра-
зом, векторные линии получаются как пересечение плоскостей х 4- у 4- z —
= С со сферами х2 4- у2 4- z2 — R2 и, следовательно, являются окружно-
х У z
стями с центрами на прямой у = у = у и расположенные в плоскостях,
отсекающих на осях координат равные отрезки.	•
239

Найти векторные линии плоских векторных полей:
5.1.18.	F = х • i -I- у • j.	5.1.19. F = у • i -I- х • j.
5.1.20.	F = (2/,-x).
Найти векторные линии пространственных векторных полей:
5.1.21.	F = a- i + b- j + c-k, где а, Ь, с — константы.
5.1.22.	F = (з/ + z) • i + (я + z) • j + (я + ?/) • к.
5.1.23.	F(-?/,ж, а), где а — константа.
5.1.24.	Доказать, что grad (и • v) = и • grad v -I- v • grad и.
Q По определению градиента скалярного поля имеем:
grad (и • v) = ((uv)s, (uv)y, (uv)'z).
Используя правило дифференцирования произведения функций, а также
правила сложения векторов и умножения их на число в координатной
форме, получаем:
5.1.25.
grad (и • v) = (u'xv + uvx,uyv + uvy, u'zv + uvz) =
= (u'xv,u'yv,u'zv) + (uvx,uvy,uv'z) = v • (u'x,uy,uz) + и • (vx,vy,vz) =
= и • grad v 4- v • grad u. •
Докажите свойства градиента скалярного поля:
a)	grad (U + С) = grad 17, где С — константа;
б)	grad (С • U) = С • grad 17, где С — константа;
в)	grad (Ц) = -^-(v • grad и — и • gradv).
и v2
Докажите равенство grad (<p(u)) = <p'(u) • gradu.
Найти grad (и • y?(u)).
Q r	Or
Доказать, что grad f(u, v) =	• grad и 4-	• gradv.
5.1.26.
5.1.27.
5.1.28.
В следующих задачах r = xi4-?/j4-zk и г = |r|.
5.1.29.	Вычислить grad г.	__________
Q Найдем длину вектора г: г = |г| = у/х2 4- 2/2 4- z2. Далее находим
частные производные функции г:
f ______х_________ х I ________У______ У
у/х2 + у2 + z2 г’ У у/х2 + у2 + z2 г’
/ _ z _ z
Т — •	— —.
z	ЛТ7—77—9	Т
у/х2 4- у2 4- z2
Следовательно, градиентом скалярного поля г будет векторное поле
gradr = (7,7,7) = |(®,2/,г) = 7.	•
5.1.30.	Доказать, что gradr2 = 2г.
240

5.1.31.	Найти grad/(г).
5.1.32.	Найти grad (с • г), где с — фиксированный вектор.
5.1.33. Найти производную поля U = г в направлении вектора г.
Q Как известно, производная по направлению единичного вектора I
функции U = Щх, j/, z) может быть найдена по формуле: = grad U -I.
ot г
Находим градиент скалярного поля U: grad U = grad г = - (см. зада-
чу 5.1.29). Единичным вектором, имеющим то же направление, что и
вектор г, будет вектор t =	= £. Тогда
11*1	'
^ = gradC7 /=I .£ = l(r.r) = d = i.	•
5.1.34.	Найти производную поля U = - в направлении градиента ска-
лярного поля v = г.
Дополнительные задания
5.1.35.	Найти поверхности уровня скалярного поля
5.1.36.	Найти поверхности уровня скалярного поля U = ех2+у2.
5.1.37.	Показать, что для скалярного поля U = х2 + у2 + z2 векторные
поля gradCZ и grad |grad {71 коллинеарны.
5.1.38.	Найти угол между градиентами скалярных полей U = xyz и
V = yz 4- zx 4- ху в точке Мо(1, —1,2).
5.1.39.	В каких точках пространства градиенты скалярных полей U =
= х2 4- у2 4- z2 и V = х2 — у2 4- z2 перпендикулярны?
5.1.40.	Найти поверхности уровня скалярного поля |gradt7|, где ска-
лярное поле U задано равенством U = ху + yz + zx.
5.1.41.	Доказать, что линии уровня плоских скалярных полей U = ху
и V = х2 — у2 перпендикулярны в каждой точке плоскости,
кроме начала координат.
5.1.42.	Найти векторные линии поля F = yz • i 4- xz • j 4- ху • k.
5.1.43.	Найти векторные линии поля F = г, где r = x*i4-3pj4-z-k.
5.1.44.	Найти г х grad г, где г = |r|, ar = x- i4-jrj4-z-k.
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.1.45.	Могут ли разные скалярные поля обладать одним и тем же
набором поверхностей уровня?
5.1.46.	Верно ли, что если поверхности уровня у скалярных полей U
и V одинаковы, то эти поля удовлетворяют условию
U — V = const ?
241

5.1.47.	Могут ли разные поверхности уровня скалярного поля U пере-.1
секаться?	*
5.1.48.	Может ли у разных векторных полей быть один и тот же набсф
векторных линий?
5.1.49.	Привести пример двух пространственных скалярных полей,
у которых поверхности уровня ортогональны в каждой точке
пространства.
5.1.50.	Вдоль каких линий градиент скалярного поля U = xy + yz + zx
сохраняет свое направление?
5.1.51.	Найти силовые линии векторного поля
F(nz — ly, lx — mz, ту — пх).
5.1.52.	Найти производную скалярного поля U в направлении гради-
ента скалярного поля V.
5.1.53.	Какова связь между поверхностями уровня скалярного поля U
и векторными линиями grad U.
5.1.54.	Верно ли, что если линия, уравнение которой х2 + у2 = 1, явля-
ется линией уровня некоторого скалярного поля С7, то линия
х2 4- у2 = 2 тоже является линией уровня того же скалярного
поля?
§2. ДИВЕРГЕНЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.
ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
Дивергенция и ротор
Дивергенцией {расходимостью) векторного поля F(P, Q^R) называется
скалярное поле, определяемое равенством
divF= +	+ =р'х +Q'v + B!z.	«5
дх ду dz	у
Ротором векторного поля F(P, Q^R) называется векторное поле, опреде-
ляемое следующим образом:
rotF=f™ЭД_а£\ д, .
\ду dz dz дх дх ду) у	у
Для удобства запоминания ротора принята формальная запись:
» j к
А А А
дх ду dz ’
Р Q R
где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понима-
ется как взятие соответствующей частной производной этой функции.
242

Физический смысл ротора2: если вектор-функция v является полем скоро-
стей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, то с точностью
до числового множителя ротор векторного поля v представляет собой мгно-
венную угловую скорость w этого вращения: w = ^rot v.
Ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля.
Оператор Гамильтона
Оператор Гамильтона или оператор V (набла) определяется формулой
V = Ai + Aj + А
- dx dy*dz
Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формаль-
ной точки зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координа-
д д д
тами дх' ду' dz'
VC7 = (— — —
\дх' ду' dz
. тр — f д д д \
— \дх'ду'dz)
ill
dx'dy'dz
ас/• . ас/• . ас/k
дх + ду* dz ’
_ дР_ , dQ QR
' dx dy dz'
»	j	k
э = А	д	д
дх	ду	dz
Р	Q	R
V х F =
Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств
выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей:
VU = grad U, V • F = div F, V х F = rot F.
Оператор Лапласа
Оператор Лапласа (обозначаемый V2 = V • V или Д) определяется фор-
мулой
^Д + £. + £_.
дх2 ду2 dz2
Применение этого оператора к скалярным и векторным полям определя-
ется равенствами:
^u^u=(dL+dL+dr\u=^u + ^u + ^Uy
\дх2 ду2 dz2) дх2 ду2 dz2
AF = V2F = V2(Pi + Qi + Як) = (V2P)i + (V2Q)j + (V2K)k.
Скалярное поле U(x,y, z) называется гармоническим, если ДС/ = 0.
2 О физическом смысле дивергенции будет сказано в следующем параграфе.
243

5.2.1.	Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля
F = жз/2 -i-3/z-j + z2 - к.
По определению, divF = Р^ -I- Qy + R'z. В нашем случае Р = ху\
Q = -yz, R = z2. Отсюда находим Рх = у2, Qy = -г, Rz = 2z. Следова-
тельно, div F = у2 — z 4- 2z = у2 4- z.
Вычислим ротор поля F:
rot F =
д
дх
= (0 4- y)i 4- (0 - 0)j 4- (0 - 2arj/)k = (3/, 0, -2xy). •
Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
5.2.2.	F = с, где с — постоянный вектор.
5.2.3.	F = г, где r = x- i4-j/-j4-z-k.
5.2.4.	F(yz,xz,xy).
5.2.5.	F Q(j/2 +s2),|(z2 + x2),±(x2 + j/2))-
5.2.6.	F = x2y • i 4- y2z • j 4- z2x • k.
5.2.7.	Вычислить дивергенцию и ротор градиента скалярного поля
U = U(x,y,z).
5.2.8.	Вычислить div £, где r(x,3/,z) и г = |г|.
ф £ = yi4-^j4-|k. Найдем
р' = (—V = г ХГх —
Х {г)х г2	2
f — ----—----- 2
_ Г - х(у/Х2 +у2 + Z2)'x _ у/х2 + У2 + Z2) _ г- %- _ г2 _д2
у.2	^2	^2	^,3
Аналогично находим
с;=(ю;=^ "
Следовательно,
.. г _ г2 - х2	г2 - у2	г2 - z2	_	Зг2 - т2	_	2	ф
V м	Q	I	Q	I	Q	““	Q	ПЛ	*
•	р<3	рО	рО	I
5.2.9.	Вычислить div(r • г).
5.2.10.	Вычислить div(/(r) • г).
5.2.11.	Доказать равенство div(/ • F) = grad f • F 4- f • div F.
ф Пусть F = P i + Q j + R k. Тогда f F = f P • i 4- f Q • j 4- f • Я к и
div(/. F) = (/P)' + (/(?)' + m’z = (fx . P + f. Pi) + (fy . Q + f. Qfy)+
244

в первой скобке стоит скалярное произведение градиента скалярного по-
ля f на вектор F, а во второй — дивергенция векторного поля F. Таким
образом, div(/ • F) = grad f • F 4- f • div F.	•
5.2.12.	Доказать свойства линейности дивергенции:
a)	div(Fi -I- F2) = div Fi 4- divF2j
6)	div(c • F) = c • div F, где c — константа.
5.2.13.	Доказать равенство: div(C7 - с) = grad U с, где c — постоянный
вектор.
5.2.14.	Вычислить div(C7 • grad V).
5.2.15.	Доказать равенство div(Fi x F2) = F2 • rot Fi — Fi • rot F2.
5.2.16.	Доказать свойства линейности ротора:
a)	rot (Fi 4- F2) = rot Fi 4- rot F2;
6)	rot (c • F) = c • rot F, где c — произвольная постоянная.
5.2.17.	Доказать, что rot (/ • F) = f • rot F 4- grad f x F.
ф Пусть F = P • i 4- Q • j 4-7? • k. Тогда /F = /Pi4-/Qj4-//?k.
Найдем rot (/ • F):
rot(/ • F) =
i
d
dx
fP
dy dz
fQ fR
=tm'y - (/<?)'] - лот' - (/p)']+кт - m'y] =
= i[fyR + fR'y — f'zQ — fQ'z] - j[/' R + fR'x - fzP - /P']+
+ k[/'Q + fQ'x - fyP - fP>y] =	- Q'z) - j(fi' - P') + k(Q' - p;)]+
+ m -mr - m+к(л<? - /;р)] =
5.2.18.	Доказать, что div(rotF) = 0.
5.2.19.	Вычислить ротор векторного поля F = г с, где с — постоянный
вектор, аг — модуль радиуса-вектора г.
5.2.20.	Для векторного поля F(xy, yz, zx) вычислить rot (rot F).
5.2.21.	Найти grad (div F), если F(xyz2,xy - z,zx2).
5.2.22.	Записать с помощью оператора набла V векторные поля:
a)	grad (div F);	б) rot (grad U).
Q а) Дивергенция векторного поля F с помощью оператора V записы-
вается так: V • F. Градиент скалярного поля U через оператор V выра-
жается следующим образом: VC7. Следовательно,
grad (div F) = V(div F) = V(V • F).
б)	Ротор векторного поля F с использованием оператора V записы-
вается следующим образом: V х F. Следовательно,
rot (grad U) = V х (grad U) = V x (VC7).	•
245

5.2.23.	Записать с помощью оператора Гамильтона следующие выра-
жения:
a) div(gradC);	б) div(rotF);
в) rot (rot F);	г) rot (grad (divF)).
5.2.24.	Доказать следующие равенства:
a) V x (VC) = 0;	б) V • (V x F) = 0;
в) V • (VC) = V2C = AC.
5.2.25.	Доказать свойства линейности оператора Гамильтона:
a)	V(CiCi + C2U2) = Сг • VCi + С2 • VC2;
б)	V • (C1F1 + C2F2) = Ci(V • Fi) + C2(V • F2);
в)	V x (CiFi + C2F2) = Ci(V x Fi) + C2(V x F2), где Ci, C2 —
произвольные постоянные, Ci, C2 — скалярные поля, a Fi,
F2 — векторные поля.
5.2.26.	Доказать равенства (С, V — скалярные поля, F, Fi и F2 —
векторные поля):
a)	V(C • V) = CVV 4- VVC;
б)	V(C • F) = C(V • F) + (VC) • F;
в)	V(Fi x F2) = F2 • (V x Fi) + Fi • (V x F2);
г)	V x (CF) = C(V x F) 4- (VC) x F.
Дополнительные задания
Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля Fr
5.2.27.	F = j/-i4-2-j4-x-k.
5.2.28.	F = ху • i 4- yz • j 4- zx • k.
5.2.29.	F = (a;3 + y2 + z) • i + (j/3 + z2 + x) • j + (г3 + x2 + j/) • k.
5.2.30.	F = ^-i + ^-j + ^-k.
•ъ У
5.2.31.	Найти угол между роторами векторных полей Fi (х2у, y2z, z2x)
и F2(z,x,3/) в точке Л/о(1,1,1).
5.2.32.	Найти длину ротора векторного поля F(# - z2,yz,x2 4- у2) в
точке ЛГ(1,2, —1).
5.2.33.	В каких точках пространства ротор векторного поля
F(y2 + z2, z2 + х2, х2 + у2)
перпендикулярен оси 0x1
5.2.34.	В каких точках пространства ротор векторного поля
F(x2y,y2z,z2x)
перпендикулярен плоскости х 4- у 4- z = 2?
5.2.35.	В каких точках пространства роторы векторных полей
F^xy.yz.zx) и F2(z,x,y)
коллинеарны?
246

В следующих задачах г = х • i + у j + z к иг = | г |:
5.2.36.	Вычислить div (с х г), где с — постоянный вектор.
5.2.37.	Вычислить divb(r • а), где а и b — постоянные векторы.
5.2.38.	Вычислить divr(r • а), где а — постоянный вектор.
5.2.39.	Вычислить rot (с х г), где с — постоянный вектор.
5.2.40.	Вычислить rotr(r • а), где а — постоянный вектор.
5.2.41.	Вычислить rotb(r • а), где а и b — постоянные векторы.
5.2.42.	Доказать свойства оператора Лапласа:
а)	Д(С1СЛ + С2С/2) = CiДС/1 + С2ДС72;
б)	Д(С/! • С/2) = Щ • ДС/2 + 2(VC71) • (VC/2) + U2 • ДГь
Контрольные вопросы и более сложные задания
В следующих задачах г = х -i + y • j + z • к и г = |г| :
5.2.43.	Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F = /(г) • с,
где с — постоянный вектор.
5.2.44.	Доказать, что если div(/(r) • г) = 0, то /(г) =
г6
5.2.45.	Вычислить div (grad /(г)). Какова должна быть функция /(г),
чтобы div(grad/(r)) = 0.
5.2.46.	Вычислить rot [с х /(г) • г], где с — постоянный вектор.
5.2.47.	Доказать равенство: grad (div F) = V2F + Vx(VxF).
5.2.48.	Доказать равенство: rot (rotF) = V(V • F) - V2F.
5.2.49.	Векторное поле F задано равенством: F = c-ln г, где r — модуль
радиуса-вектора точки. Найти VF, V х F и V2F.
§ 3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть в области Q С R3 задано некоторое векторное поле F = Pi+Qj 4- Rk,
где Р(я, ?/, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) — непрерывно дифференцируемые в области
Q функции. Пусть S С Q — гладкая ориентируемая поверхность, на которой
выбрана определенная сторона, задаваемая единичной нормалью
n(cos a, cos /3, cos 7) к этой поверхности.
Потоком векторного поля F через поверхность S в направлении единичной
нормали п называют поверхностный интеграл первого рода:
П = JjFndS = jj(Pcosa + Qcos/3 + Rcosу) dS. (3.1)
s	s
Если обозначить через Fn проекцию вектора F на направление вектора п,
то, учитывая, что имеет место равенство F • n = |F| • |n| cos 92 = |F| • cos 92 = Fn
(где ip — угол между векторами F и п), формулу для вычисления потока
можно записать в форме, которая не зависит от выбора системы координат:
П = JfFndS.
S
247

Поверхностный интеграл первого рода в формуле (3.1) связан с поверхностным
интегралом второго рода равенством:
П = cos а + Q cos /3 + R cos 7) dS = J J P dydz + Q dzdx + Rdxdxy, (3.2)
S	(S.n)
которое дает еще один способ вычисления потока.
Физический смысл потока: если вектор-функция F есть поле скоростей
текущей жидкости, то поток П этого векторного поля через поверхность S
равен общему количеству жидкости, протекающей через S за единицу времени.
Используя понятие потока, можно понять физический смысл потока (см.
также задачу 5.3.39). Дивергенция векторного поля F в точке М есть предел
отношения потока поля через сферу S достаточно малого радиуса, окружаю-
щую точку М, к объему V шара, ограниченного этой сферой, при стремлении
диаметра d шара к нулю: divF = lim ± J^Fn -dS
s
Формула Гаусса-Остроградского
Теорема 5.1 (Остроградский). Пусть S — замкнутая гладкая ориентируе-
мая поверхность, являющаяся границей тела V и n(cosa, cos/3, cos7) — еди-
ничная внешняя нормаль к S. Пусть векторное поле F(P, Q, R) — непрерывно
дифференцируемо на S и в V. Тогда
J'^Pcosa + Qcos/3 + Rcosy)dS = J‘J‘f+ |j) dV. (3.3)
s	v V	'
Выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части равенства (3.3),
представляет собой дивергенцию векторного поля F, интеграл, стоящий слева,
представляет собой поток векторного поля F через поверхность S в направле-
нии внешней нормали. Поэтому формула (3.3) может быть переписана в виде:
ffp-ndS
S
-ш
divFdV.
v
Если использовать оператор Гамильтона, то формула Гаусса-Остроградского
(3.3) может быть записана в следующей форме:
//г
S	V
Формулу Гаусса-Остроградского часто применяют для вычисления потока
векторного поля через замкнутую поверхность S. Однако следует иметь в ви-
ду, что для применения этой формулы необходимо, чтобы векторное поле бы-
ло непрерывно дифференцируемым внутри поверхности S. Это условие всегда
248

будет выполнено, если область Q, в которой рассматривается поверхность S,
пространственно односвязная:
Область Q С R3 называется пространственно односвязной, если из того,
что замкнутая поверхность S лежит в Q, следует, что тело V, границей кото-
рого является поверхность S, тоже лежит в Q.
5.3.1.	Вычислить поток векторного поля F(P, Q, R) через поверхность
S в сторону, определяемую вектором единичной нормали п к
поверхности S, если:
a)	F(4, —5,2), a S — часть плоскости я 4- 2т/ 4- 3z = 6, располо-
женная в октанте х 0, у 0, z 0, л образует острый угол с
осью Oz\
б)	F(0, у, 0), S — часть плоскости 1 — х + у — z = 0, располо-
женная в октанте х 0, у 0, z 0, а л образует острый угол
с осью Oz\
в)	F(l, 1, z), S — часть параболоида z = х2 4- у2, удовлетворя-
ющая условию z 1, а л — внешняя нормаль к параболоиду.
Q а) Хорошо известно, что нормальным вектором к плоскости являет-
ся вектор, координаты которого суть коэффициенты при неизвестных в
уравнении плоскости. В нашем случае — это вектор т(1,2,3). Посколь-
ку m F = 1-44-2 - (—5) 4-3• 2 = 0, то нормаль пт к плоскости, (а, значит,
и единичная нормаль л к этой плоскости) перпендикулярна векторному
полю. Но тогда
ljF-ndS = fjodS = O.
s	s
б) Вычислим поток векторного поля с помощью поверхностного ин-
теграла II рода (формула (3.2))
П =
УУ Р dydz 4- Q dzdx 4- R dxdxy
(S,n)
(S,n)
(в нашем случае P = R = 0, Q = у). Для вычисления последнего инте-
грала изобразим на чертеже поверхность S (рис. 53) и ее проекцию Dxz
на плоскость Oxz (рис. 54)
Нормаль л к плоскости 1 — х + у — z = 0, образующая острый угол с
осью Oz, образует тупой угол с осью Оу (это очевидно из чертежа; однако
несложно показать, что нужную сторону поверхности S задает единичная
нормаль л (	—^=,	|; здесь cos7 > 0, а cos/З < 0, следовательно,
\V3 V3 V3/
п образует острый угол с осью Oz и тупой — с осью Оу). Поэтому при
сведении поверхностного интеграла к двойному по области Dxz перед
249

Рис. 53
Рис. 54
двойным интегралом необходимо поставить знак минус:
в) Изобразим поверхность S вместе с требуемой в условии задачи
нормалью на рис. 55.
Из геометрических соображений понятно, что единичная нормаль п
(т. к. она — внешняя нормаль) образует тупой угол с осью Oz. Также
ясно, что она образует острый угол с осью Ох в тех точках, где х 0 и
тупой — в тех, где х < 0. Аналогично, л образует острый (тупой) угол
с осью Оу в точках, где выполняется неравенство у > 0 (у < 0). Для
вычисления потока векторного поля напишем интеграл II рода:
П = Ц Р dydz 4- Q dzdx -I- R dxdy = J J dydz 4- dzdx 4- z dxdy =
(S,n)	(S,n)
= //*г+ IJdzdz+ !Szdzdv-
(S,n)	(S,n)	(S,n)
Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Для вычисления инте-
грала
// dydz
(S,n)
250

разобьем поверхность S на две части: Si и S2 плоскостью Ozy (Si отве-
чает той части параболоида, где х 0). Необходимость разбиения про-
диктована, как уже отмечалось выше, тем фактором, что нормаль п на
Si образует острый угол с осью Ох (т.е. cos а > 0), а на S2 — тупой.
Проекцией и Si и S2 на плоскость Ozy является одна и та же область
DZy, показанная на рис. 56. Следовательно,
У*dydz + dydz = JJdydz — J J dydz = 0.
(Sun)	(S2,n)
Dzy	DZy
Puc. 55
Puc. 56
Осталось вычислить
Знак минус перед вторым двойным интегралом поставлен постольку, по-
скольку на S2 нормаль образует тупой угол с осью Ох (или, что то же
самое, cos а < 0). Из соображений симметрии понятно, что и
Jу dzdx — 0.
(S,n)
JУ zdxdy.
(5,n)
Как отмечено выше, cos 7 < 0. Поэтому имеем:
JJ z dxdy = - JJ (х2 + у2) dxdy,
(S,n)	Dxy
где Dxy — проекция поверхности S на плоскость хОу (она изображена
на рис. 57). Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным
координатам:
27Г	1
- JJ(x2 + У2) dxdy = - JJ р2 • pdpdtp = - J dp Jp3dp=
Dxy	D'ptp	0	0
251

Рис. 57
Таким образом, поток векторного поля равен —	•
&
Вычислить поток векторного поля F(P,Q,R) через поверхность S в
сторону, определяемую нормалью п к поверхности S, если:
5.3.2.	F(2, —1,1), S — квадрат: 0 ж 1,	z = 1, нормаль
п направлена вверх.
5.3.3.	F(—y,x,z), S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, заключенная ме-
жду плоскостями 2 = 0иг=1)П — внешняя нормаль.
5.3.4.	F(x, у, 0), S — часть плоскости у + z = 1, расположенная в
первом октанте между плоскостями х = 0их = 1,п образует
острый угол с осью Оу.
5.3.5.	F(x, y,z), S — полусфера х2 + у2 + z2 = R2, расположенная в
полупространстве z 0, п образует острый угол с осью Oz.
5.3.6.	Р(у — z,z — х,х — у), S — часть конуса z2 = х2+у2, заключенная
между плоскостями г = 0иг = 2,п образует тупой угол с осью
Oz.
5.3.7.	F(l,0,0), S — поверхность пирамиды, ограниченной плоско-
стями х + у + z = 1, х = 0, «/ = 0, г = 0.
5.3.8.	F(x«/, yz, xz), S — часть сферы x2+y2+z2 = Я2, расположенная
в первом октанте, п — внешняя нормаль к сфере.
5.3.9.	Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского вычислить поток
векторного F поля через замкнутую поверхность S в направле-
нии внешней нормали:
a)	F = х2 • i + у2 • j + z2 • k, S — поверхность куба 0 х а,
0 у а, 0 z а;
б)	F(x(z — у),у(х — z),z(y — ж)), S — произвольная замкнутая
поверхность.
Q а) Вычислим дивергенцию поля:
div F = (x2)J. + (у2)'у + (г2)' = 2(ж + у + z).
Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, вычислим поток
252

векторного поля:
П = JJf • ndS = уууdivFdV = 2 JJJ(X + У + я) dxdydz =
SV	V
a a a
= 2 fdx jdy j\x + y + z)dz = 3a4.
0	0	0
Промежуточные вычисления, в силу их очевидности, опущены.
б) Пусть V — тело, ограниченное поверхностью S. Тогда
П = yyydivFdV.
v
Но
div F = \x(z - y)]'x + \y(x - zfly + [z(y - xflz = (z - y) + (ж - z) + («/ - x) = 0.
Следовательно, и поток равен 0.	•
5.3.10.	Доказать, что поток постоянного векторного поля F = с через
любую замкнутую поверхность равен 0.
5.3.11.	Докажите, пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, что
поток радиуса-вектора г через любую замкнутую поверхность
в направлении внешней нормали равен утроенному объему те-
ла, ограниченного этой поверхностью.
В задачах 5.3.12-5.3.14 вычислить поток векторного поля F через за-
мкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если:
5.3.12.	F(x,z,«/), S — полная поверхность цилиндра х2 + у2 = R2,
z = 0, z = Н.
5.3.13.	F = #z • i + я/2 • j + я • k, S — полная поверхность призмы,
ограниченной плоскостями х + у = 1, х = 0, «/ = 0, z = 0, z = 1.
5.3.14.	F = (у2 — z) • i + xy • j — (y + x) • k, S — полная поверхность
пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = 0,
у = 0, z = 0.
5.3.15.	Используя задачу 5.3.11, найти поток радиуса-вектора г через
полную поверхность пирамиды ABCD с вершинами в точках
А(-1,0,0), В(1,1,0), С(1, -1,0), D(0,2,3).
5.3.16.	Найти поток градиента скалярного поля U = х2 +у2 + z2 через
поверхность уровня U = 1 этого скалярного поля в направле-
нии внешней нормали.
5.3.17.	Найти поток ротора векторного поля F(yz,zx,xy) через сферу
х2 + У2 + z2 = 4 в направлении внешней нормали.
5.3.18.	Найти поток векторного поля F(x — 1, у + 3, z) через боковую
поверхность конуса z2 = х2 + у2, заключенную между плоско-
стями z — 0 и z = 1 в направлении внешней нормали.
Рассмотрим тело V, границей которого служит коническая поверх-
ность z2 = х2 + у2 (Si) и плоскость z = 1 (S2) (см. рис. 58).
253

Рис. 58
На поверхности S = Si US2, являющейся объединением поверхностей
Si и S2, возьмем внешнюю нормаль п. Поток П через поверхность S скла-
дывается из потоков П1 и П2 через поверхности Si и S2 соответственно.
Следовательно, интересующий нас поток может быть найден как раз-
ность потоков: П1 = П — П2. Поток П может быть найден по формуле
Гаусса-Остроградского:
n = //F.„<iS = ///divFdV = 3///dV.
SV	V
Последний интеграл представляет собой объем тела V. Тело представля-
ет собой конус с высотой h = 1 и радиусом основания R = 1. По извест-
ной из элементарной математики формуле, его объем равен |тгй2Л = |тг.
1 6 6
Отсюда П = 3-^7г = 7г. Поток П2 (через плоскость z — 1) может быть
вычислен довольно просто. Внешней единичной нормалью к плоскости
является вектор л(0,0,1). Поэтому
п2 = tfFndS = ffzds.
S2	S2
Поскольку z — 1 на S2, а элемент площади (dS) равен элементу площади
ее проекции на плоскость Оху (dxdy), то последний интеграл сводится к
двойному:
// dxdy,
Dxy
где Dxy — круг с центром в начале координат и радиуса 1. Этот интеграл
выражает площадь этого круга, которая равна тг. Следовательно, иско-
мый поток через коническую поверхность равен Щ = П — П2 = тг — тг =
= 0.	•
254

Найти поток векторного поля F через незамкнутую поверхность S
в направлении нормали п, используя формулу Гаусса-Остроградского:
5.3.19.	F(l, 2,3), S — боковая поверхность конуса, осью которого слу-
жит ось Oz, вершина находится в точке M(h, 0,0), а основа-
ние — круг радиуса R, лежащий в плоскости Оху.
5.3.20.	F(rc3,?/3,0), S — верхняя часть сферы х2 -I- у2 + z2 = 1, распо-
ложенная выше плоскости Оху, п образует острый угол с осью
Oz.
5.3.21.	F(2x, — у, z), S — боковая поверхность цилиндра х2 + у2 = R2,
расположенного между плоскостями z — 0 и z = Н, п — внеш-
няя нормаль.
5.3.22.	F = zi 4- yk, S — часть поверхности параболического цилиндра
z = 1 — х2, отсеченная плоскостями у = 0, у = 1, z = 0, п —
нормаль, образующая острый угол с осью Oz.
5.3.23.	F = (у — l)i + j — yk, S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, располо-
женная между плоскостями z = 0nx + y + z = 5,n — внешняя
нормаль.
5.3.24.	Найти поток градиента скалярного поля U = х2 + yz через
часть сферы х2 + у2 + z2 = R2, у 0 в направлении единичной
нормали, образующей острый угол с осью Оу.
Дополнительные задания
Вычислить поток векторного поля F через поверхность S в сторону,
определяемую единичной нормалью п к поверхности S:
5.3.25.	F = Xi — zj + t/2k, S — прямоугольник: 0 я 2, 0	1,
нормаль л направлена вверх.
5.3.26.	F = x2i — 2xt/j + zk, S — сфера: (x — I)2 + (у — 2)2 + (z — 3)2 = 9,
n — внешняя нормаль.
5.3.27.	F = (1 — yz)i + (1 + xz)j + 2(x + y)k, S — часть параболоида
z = x2 + у2, заключенная между плоскостями z — 0, z — 1, n —
нормаль, образующая тупой угол с осью Oz.
5.3.28.	F — zi + (1 — z)j + xyk, S — часть плоскости x + у = 1, огра-
ниченная плоскостями z = 0, z = 1, х = 0, у = 0, п — нормаль,
образующая острый угол с осью Ох.
5.3.29.	F(0,0, z), S — часть конуса z2 = х2 + у2, заключенная между
плоскостями z = 0, z = 1, п — нормаль, образующая тупой
угол с осью Oz.
5.3.30.	F(x2, у2, z2), S — боковая поверхность цилиндра, заключенная
между плоскостями z = 0, z = 2, n — внешняя нормаль.
5.3.31.	Найти поток радиуса-вектора г через боковую поверхность
пирамиды, вершина которой находится в точке А(4,5,3), а
255

основанием служит четырехугольник с вершинами В(0,0,0),
С(1,1,0), В(3, -1,0), Е(2, —2,0).
5.3.32.	Найти поток векторного поля F(yz,x + 2yz,z2 — z) через поверх-
ность параллелепипеда, построенного на векторах ОА, ОВ и
ОС, где 0(0,0,0), 4(1, -2,1), В(3,2,1), С(1,0,-1).
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.3.33.	Показать, что поток градиента скалярного поля 17, являющего-
ся гармонической функцией (т. е. удовлетворяющей уравнению
ДО = 0) через любую замкнутую поверхность равен 0.
5.3.34.	Показать, что поток grad (с • г), где г — радиус-вектор, а
с — фиксированный вектор, через произвольную замкнутую
поверхность равен 0.
5.3.35.	Найти поток поля с х г через поверхность сферы x2+y2+z2=R2
в направлении внешней нормали.
5.3.36.	Отрезок кривой z = y/у, лежащий в плоскости Ozy между точ-
ками 0(0,0,0) и 4(0,1,1), вращаясь вокруг оси Oz образует
поверхность S. Найти поток векторного поля F(y,x,z — 1) че-
рез поверхность S в направлении внешней нормали.
5.3.37.	Найти поток векторного поля F(x3,f/3,z3) через сферу:
а)	х2 + у2 + z2 = Я2;
б)	х2 — х + у2 + z2 — 0 в направлении внешней нормали.
Z д»з	з \
5.3.38.	Найти поток векторного поля F I ——-, —- I через поверх-
\ о О иО оС /
ность эллипсоида
х2 .У2 . г2 _ -I
а2 Ь2 с2
в направлении внешней нормали.
5.3.39.	Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского доказать фор-
мулу:
где V£ — шар с центром в точке М, a S£ — ограничивающая его
сфера, | V£ | — объем этого шара. Используя этот факт показать,
что дивергенция не зависит от выбора прямоугольной системы
координат.
5.3.40.	Пусть U — дважды непрерывно дифференцируемое скалярное
поле в пространственно односвязной области Q. Пусть тело V
йТТ
вместе со своей границей S лежит в Я, а — производная
256

поля U в направлении внешней нормали к поверхности S. До-
казать, что
(теорема Гаусса).
V	S
5.3.41.
Пусть U, V — дважды непрерывно дифференцируемые ска-
лярные поля в пространственно односвязной области Q. Пусть
тело V вместе со своей границей S лежит в Я, а и —
on on
производные полей U и V в направлении внешней нормали к
поверхности S. Доказать, что:
а> f/u^ds=/№и'2 dv+f/Ju- ™dv'
S	V	V
dU dV
VdS = f/f
S	V
/\U
U
AV
V
dV.
§4. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть F = Pi + Qj + Rk — векторное поле, заданное в некоторой области
Q С R3, и функции Р(х, у, z), Q(x,y, z), R(x,y,z) — непрерывно дифференци-
руемы в области Q. Пусть L — гладкая кривая, расположенная в области Q.
Криволинейный интеграл
А= fPdr= Jpdx + Qdy + Rdz	(4.1)
L	L
называется работой векторного поля F вдоль кривой L.
В случае, если L — замкнутая кривая, то криволинейный интеграл (4.1)
называется циркуляцией векторного поля F вдоль кривой L.
Таким образом, циркуляция поля F равна:
Ц =	• dr = <j)Pdx + Qdy + Rdz.
L	L
В случае, когда векторное поле F(P, Q) — плоское, его циркуляция вдоль за-
мкнутой кривой L задается интегралом:
Ц = $ Pdx + Qdy.
L
9 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
257

Формула Стокса
Теорема 5.2 (Стокс). Пусть S — гладкая ориентируемая поверхность, a L —
замкнутая гладкая кривая, являющаяся границей поверхности S. Пусть
n(cosa, cos/3, cos7) — единичная нормаль к поверхности S, задающая одну
из ее сторон. Пусть векторное поле F(P,Q,R) — непрерывно дифференци-
руемо на S и L. Тогда
j> Р dx+Q dy+R dz=
_ff\(dR &Q\ tfdP dR\ ~ (dQ др\ 1
JJ \dy dz)C0Sa+\dz dx)C0S$+\dx dy)™*'1 dS~
s
- <42)
J J уду dz J \dz dx J ydx dy J
(5,n)
причем направление обхода контура L выбрано так, что при взгляде с конца
вектора п оно происходит против часовой стрелки.
Левый интеграл в формуле (4.2) представляет собой циркуляцию вектор-
ного поля F вдоль контура L, а правый — поток ротора этого поля через по-
верхность S. Поэтому формулу Стокса удобно записывать в векторной форме:
^F-dr= JJrotFndS = JJ(rot F)n dS,
l	s	s
т. e. поток ротора векторного поля F через ориентированную поверхность S ра-
вен циркуляции поля F вдоль контура L этой поверхности (проходимого в по-
ложительном направлении). Используя оператор Гамильтона, формулу Стокса
можно записать в виде:
^F dr = xF)-ndS.
L	S
В случае, когда векторное поле F(F, Q) — плоское, формула Стокса принимает
вид формулы Грина:
fpdx + Qdy = ff	dxdy.
Формулу Стокса часто применяют для вычисления циркуляции векторного
поля. Однако следует помнить, что для того, чтобы можно было применить
формулу Стокса к контуру L С Q, необходимо, чтобы нашлась поверхность S,
целиком лежащая в Q, границей которой был бы контур L.
Область Q, обладающая таким свойством, называется поверхностно од-
носвязной областью. Более точно, область Q С R3 называется поверхностно
односвязной) если для любого замкнутого контура L С Q найдется поверхность
S С Q, границей которого является контур L.
258

5.4.1.	Найти работу плоского векторного поля F(P, Q) вдоль кри-
вой L:
a)	F(x2,«/x), L — часть параболы у = х2, концевыми точками
которой служат точки А(0,0) и В(2,4);
б)	F(t/,x), L — арка циклоиды х = t — sintf, у = 1 — costf,
0 2тг.
Q а) Вычислим работу поля, применяя формулу (4.1):
А = f х2 dx + ух dy
L
(т. к. поле плоское, то R = 0). Поскольку вдоль кривой L переменные
связаны равенством у = х2, то dy = 2xdx, и криволинейный интеграл
сводится к определенному интегралу:
22	2
А = [х2 dx + х2 • х • 2xdx = f(x2 + 2я4) dx = (I =
J	J	\3 о / 1о 15
о	о
б) Находим dx = (1 - costf) dt и dy = sin tdt. Тогда
27Г
A = J ydx + xdy = y*[(l — cost)(l — costf) + (t — sin J) sint] dt =
l	о
27Г	27Г
= У [l-2cos£ + cos2 t + t sin	sin2 £] dt = j [l — 2cost + cos2t + tsint\dt =
0	0	о
/	1	\ l27r
= it — 2sin£ + - sin 22 — t cost + sin* — 0.	•
\	1	/Io
5.4.2.	Найти работу векторного поля F(x, у, z) вдоль линии L, являю-
щейся пересечением параболического цилиндра z = у2 с плос-
костью z + х = 1 от точки А(0,1,1) до точки В(1,0,0).
Q Зададим линию L параметрически: положив у = t, получим z = t2,
а ж = 1 — z = 1 — t2. Тогда dx = —2tdt, dy = dt, dz = 2tdt. Точке A
соответствует значение параметра t = 1, а точке В — значение t = 0.
Таким образом,
о
о
1
у(1 - t2) • (-2t) dt + tdt + t2 • 2t dt =
') dl = y(4i3 - I) dl = (l* - y) |°=
' =°-(*4) = 4
Найти работу плоского векторного поля F = Pi + Qj вдоль кривой L:
5.4.3.	F = —	+ ij, L — часть окружности х2 + у2 = R2, лежащая в
у
I четверти и пробегаемая против часовой стрелки.
259

5.4.4.	F = —xi+f/j, L задана параметрически уравнениями x = л/cost,
у = д/sint, 0 t
5.4.5.	F = 3«/i + xj, L — ломаная ABC, где A(0,0), B(l, 1), C(2,4).
Найти работу пространственного векторного поля F(P,Q,R) вдоль
кривой L:
5.4.6.	F(x, 2у, — z), L — отрезок АВ прямой, задаваемой уравнениями
= I = Чг’ где Л(1’ °’-1)’ в(3’11 -2)-
5.4.7.	F(x,y, 1), L — первый виток винтовой линии, заданной па-
раметрически уравнениями х = Я cost, у = Rsint, z — at,
0 t 27г.
5.4.8.	F(z, l,2t/), L — часть окружности х = cost, у = sint, z — 1,
ti = 0, t2 = |.
5.4.9.	Найти работу градиента скалярного поля U = xyz вдоль от-
резка прямой АВ, где А(1,2,3), В(3,-2,3).
5.4.10.	Найти работу ротора векторного поля F(y,z,x) вдоль кониче-
ской спирали х = tcost, у = t sin t, z = t, 0 t 2тг.
5.4.11.	Найти циркуляцию плоского векторного поля F(P, Q) по за-
мкнутой кривой L в положительном направлении:
a) F(—у,х), L — окружность, задаваемая уравнением
х2 + (у + 1)2 = R2;
б) F(2t/, х), L — контур треугольника АВС, где А(0,0), В(1,0),
<7(1,1).
Q а) Запишем параметрические уравнения окружности: х = Л cost,
у = Rsint — 1, 0 t 2тг. Находим dx = —Rsintdt, dy = Rcostdt.
Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
2тг
Ц = ^F • dr = j> —ydx + xdy = j [(.Rsint — l)Rsint + R2 cos21] dt =
l	l	о
27 о	о	127Г о
= / (R2 — Rsint)dt = (R2t + Rcost) =2ttR.
о
б) Первый способ.
Контур L есть объединение отрезков АВ, ВС и С А. Поэтому циркуляция
поля F вдоль кривой L будет равна:
Ц= yFdr= Jvdr+ yFdr+ f?dr.
L	AB	ВС	CA
Вычислим каждый из интегралов. Вдоль отрезка АВ имеем у = 0 и,
стало быть, dy = 0. Следовательно,
J F • dr = у 2у dx + х dy = 0.
АВ	АВ
260

Вдоль отрезка ВС имеем х = 1 и dx = 0. Поэтому
1
J F • dr — J 2ydx + xdy = J dy = 1.
вс вс	о
Наконец, вдоль отрезка С А имеем у = х и dy = dx. Следовательно,
J F-dr= J 2ydx + xdy = Jixdx =	= “|-
CA	CA	1
Таким образом, циркуляция поля F вдоль контура L будет равна: Ц =
- о + 1 _ 3 _ _1
2	2
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Грина:
Ц= fPdx + Qdy^ff^-^ dxdy,
где областью D является треугольник АВС. В нашем случае Р = 2у,
Q = х. Следовательно, = 1, а = 2. Тогда циркуляция поля F
ох	оу
вдоль L равна
1 х	1 х	1	2 х
Ц = УУ(1 - 2)dxdy = - Jdx Jdy = - Jy^dx = - Jxdx = ~y|0=
D	0	0	0	0
Найти циркуляцию плоского векторного поля F(p,Q) вдоль кривой L (на-
правление обхода — положительное):
5.4.12.	F(j/2,2ху), L — произвольный замкнутый контур.
5.4.13.	F(?/, -ж), L — окружность х2 + у2 = R2.
5.4.14.	F(?/, -ж), L — окружность (ж - I)2 + (у + I)2 = R2.
5.4.15.	F(2rr — ху2, —2ху), L — ломаная АВА, где А(0,0), В(1,1), кри-
вая АВ — кусок параболы у = х2, а В А — отрезок прямой.
5.4.16.	Р(ху, 1), L — граница квадрата
5.4.17.	Вычислить циркуляцию пространственного векторного поля
F = — Xi + х] + yk вдоль эллипса L, получающегося пересе-
чением цилиндра х2 + у2 = 1 с плоскостью х + у + z = 1 (при
взгляде с положительного направления оси Oz обход контура
L совершается против часовой стрелки).
Первый способ.
Запишем параметрические уравнения эллипса: х = cosi, у = sini, z —
= 1 — cos t — sin t. При изменении параметра t от 0 до 2тг получаем требу-
261

емое направление обхода контура L. Вычислим теперь циркуляцию:
Ц = <j)F • dr = ^Pdx + Qdy + Rdz = ^—xdx + xdy + ydz =
L	L	L
2тг
2тг
sin f) + cos t • cos t + sin t(sin t — cos t)] dt = J dt = 2тг.
о
0
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Стокса, причем в качестве
поверхности S, ограничиваемой кривой L, выберем часть плоскости х +
+ у + z — 1, лежащей внутри цилиндра х2 + у2 = 1. Единичную нормаль
к плоскости выберем так, чтобы, глядя с ее конца, направление обхода
контура L проходило против часовой стрелки. Такой единичной норма-
лью будет вектор п (	-Д=, -4= ). По формуле Стокса имеем:
\л/3 л/3 л/3/
rot F • n dS =
L
= ff [(Ai - Q'z) cos a + (P'z - R'x) cos p + {Q'x - P'J cos 7] dS =
s
=	(1-0) ^ + (0-0).^ + (1-0)-^= dS= ^dS.
L	Vo	Vo	VoJ у Vo
Вычисление последнего интеграла сведем к вычислению двойного инте-
грала по области Dxy, являющейся проекцией поверхности S на плос-
кость Оху. Этой областью будет круг х2 + у2 1. Поскольку dS =
_ dxdy _	то окончательно получаем:
| cos7|
Ц = ff-y=dS = Jf2dxdy = 2 ff dxdy = 2S(Dxy) = 2тг. •
Найти циркуляцию векторного поля F(P,Q,R) вдоль замкнутого кон-
тура L:
5.4.18.	F(rr2,?/2, z2), L — окружность, параметрические уравнения ко-
торой: х = cost, у = sintf, z = 1, направление обхода — в сто-
рону увеличения параметра t.
5.4.19.	F(y + z,z + х,х + у), L — окружность, получающаяся пересе-
чением сферы х2 + у2 + z2 = В? и плоскости х + у + z — 0,
направление обхода— против часовой стрелки, если смотреть
с конца оси Oz.
5.4.20.	F(rr — у, у — z, z — х), L — контур треугольника АВС, А(1,0,0),
В(1,1,0), С(1,0,1).
262

5.4.21.
5.4.22.
5.4.23.
При
F |------—,—-—,0
\ x2 + y2 x2 + y2 J
a)	L — окружность: x = cost, у = sint, z = h; направление
обхода — в сторону увеличения параметра;
б)	L — окружность: х = cost+2, у = sint-|-2, z = Л; направление
обхода — в сторону увеличения параметра.
F(rr — 2у — z, х — z, у + х), L — контур треугольника АВС, где
4(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1).
Найти поток ротора векторного поля V(y,z,x) через поверх-
ность параболоида z — 4 — х2 — у2, расположенную выше плос-
кости Оху в направлении нормали, у которой cos 7 > 0.
решении данной задачи имеет смысл воспользоваться теоре-
мой Стокса, поскольку вычисление потока, проведенное непосредствен-
но, сложнее, нежели вычисление циркуляции по границе поверхности.
Границей параболоида является окружность L, лежащая в плоскости
хОу, параметрические уравнения которой: х = 2 cost, у = 2sint, z — 0.
Таким образом,
П — JJrot F • n dS = ^F • dr — j>y dx + zdy + xdz =
S	L	L
2тг	2tt	27r
= J 2 sin t(-2 sin t) dt = J ^(l-cos2t) dt = -2 (t - |sin2t) | =-4тг.
о	о
Замечание. Если в аналогичных задачах вычисление циркуляции за-
труднительно, то можно вновь воспользоваться теоремой Стокса, рас-
смотрев другую, более простую поверхность, которую ограничивает дан-
ный контур. В нашем случае — это мог быть круг в плоскости Оху:
ж2 4- у2 < 4.	•
5.4.24.	Найти поток ротора векторного поля F(xz2,y2z,z + у) через
часть поверхности конуса (z — I)2 = х2 + у2, расположенную
между плоскостями z = 0 и z = 1 в направлении внешней нор-
мали.
5.4.25.	Найти поток ротора векторного поля F(z, х, у) через часть сфе-
ры х2 + у2 + z2 — 1 (z 0) в направлении внешней нормали.
5.4.26.	Тело вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг оси
Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль
окружности единичного радиуса, центр которой лежит на оси
вращения, а плоскость, в которой лежит окружность, перпен-
дикулярна оси Oz, в направлении оси вращения.
Дополнительные задания
5.4.27.	Найти циркуляцию векторного поля F = 3/i+2rrj вдоль ломаной
АВС, где 4(1,1), В(4,2), С(0,4).
263

5.4.28.	Найти циркуляцию векторного поля F(—у, х) вдоль кардиоиды
х = 2cosi — cos 22, у = 2 sin t — sin 22 в сторону увеличения,
параметра.	;
5.4.29.	Показать, что циркуляция радиуса-вектора г вдоль любого за-
мкнутого контура равна 0.
5.4.30.	Найти циркуляцию векторного поля F(—у,х, 1)
а)	вдоль окружности (ж - З)2 + у2 = 1, z = 1;
б)	вдоль окружности х2 + z2 — 1, у = 0.
5.4.31.	Показать, что циркуляция постоянного векторного поля F = с
вдоль любой гладкой замкнутой линии L равна 0.
5.4.32.	Найти циркуляцию векторного поля F(z,2,1) вдоль ломаной
АВС, где 4(1,3,2), В(0,0,1), С(-1, -1,1).
5.4.33.	Найти циркуляцию векторного поля
F = (z + 2х - 3j/)i + (ж + у - 2z)j + ук
вдоль контура треугольника АВС, где 4(2,0,0), В(0,3,0),
С(0,0,1).
5.4.34.	Найти циркуляцию градиента скалярного поля U = х3у2z
вдоль эллипса: х2 + у2 = 1, х + z — 3.
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.4.35.	Привести примеры области П:
а)	являющейся пространственно односвязной, но не поверх-
ностно односвязной;
б)	являющейся поверхностно односвязной, но не пространст-
венно односвязной;
в)	не являющейся ни поверхностно, ни пространственно одно-
связной.
5.4.36.	Верно ли, что если в области П ротор векторного поля F равен
0, то циркуляция этого векторного поля F по любому замкну-
тому контуру L, расположенному в П равна 0?
5.4.37.	Верно ли, что потоки ротора векторного поля F через две раз-
ные поверхности Si и S2, имеющие одну и ту же границу L
совпадают?
§5.	ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И СОЛЕНОЙ ДАЛ ЬНЫЕ ПОЛЯ
Векторное поле F называется потенциальным, если оно является гради-
ентом некоторого скалярного поля U, т. е. F = grad U = VC7.
В случае, если поле F(P, Q,R) потенциально, выполняются равенства
Р-	n-QV
дх' 4 ду' dz'
264

что равносильно тому, что выражение Р dx 4- Q dy 4- R dz = dU является пол-
ным дифференциалом некоторой функции Ufay^z). Эта функция называется
потенциалом векторного поля F.
Теорема 5.33. Пусть область Q поверхностно односвязна и функции Р, Q,
R — непрерывно дифференцируемы в Q. Тогда векторное поле F(P, Q,R)
потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
3Q =	дР	dR	= OQ	dP	= dR
дх	ду ’	ду dz'	dz дх'
Приведенная теорема фактически утверждает, что векторное поле F потен-
циально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т. е. поле является безвихревым.
Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того,
что криволинейный интеграл
Р dx + Q dy + Rdz
АВ
не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области Q (в пред-
положении, естественно, что Q— поверхностно односвязная), а также того, что
циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
F • dr = 0.
L
Если поле F потенциально, то его потенциал U может быть найден путем
решения системы уравнений с частными производными:
U'x =Р, U'y= Q, U'z = R.
Также можно найти потенциал U непосредственным интегрированием по не-
которому пути MqM:
U = J Рdx 4- Qdy 4- Rdz.
мом
При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь MqM
выбирают в виде ломаной М0М1М2М, вдоль каждого из звеньев которой из-
меняется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом
случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются
в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:
U = У P(x,yo,zo)dx + У Q(x,y, zo)dy+ J R(x,y,z)dz,
3Терема о необходимом и достаточном условии потенциальности векторного поля.
265

где каждый из интегралов — суть обычный определенный интеграл по соот-
ветствующей переменной, а остальные переменные (индексированные и неин-
дексированные) играют роль констант.
Если потенциал векторного поля F известен, то
У Р dx + Qdy + Rdz = JdU = U(B)-U(A).
AB	AB
Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором
некоторого векторного поля А, т. е. F = rot А = V х А. Поле А называется
векторным потенциалом поля F.
Теорема 5.44. Пусть область Q пространственно односвязна и координаты Р,
Q, R векторного поля непрерывно дифференцируемы в Q. Тогда векторное
поле F(P, Q,R) соленоидально в том и только в том случае, когда
divF № + ЭД + ав=0
ох ду dz
в каждой точке области Q.
Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую
поверхность равен нулю.
5.5.1. Показать, что поле F(2rr + yz)\ + xz\ + (ху + 2z)k потенциально
и найти его потенциал.
Q Покажем, что rot F = 0.
rot F = (Ry - Q'z)i + (P' - R'x)j + (Qx - P')k =
= (x - rr)i + (y - y)i + (z - z)k = 0.
Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал U(x,y,z) поля
F двумя разными способами.
I способ. Составим систему уравнений с частными производными:
{Ux = 2х + yz,
Uy = xz,
Uz=xy + 2z.
Интегрируя первое уравнение по х, получаем:
U = J(2х + yz) dx = х2 + xyz + ip(y, z)
(здесь роль константы интегрирования играет любая функция ip(y, z),
ибо ее частная производная по х равна нулю). Далее, дифференцируя
4Теорема о необходимом и достаточном условии соленоидальности поля.
266

полученную функцию U по переменной у и используя второе равенство
системы, получаем уравнение xz + ip'y(y, z) — xz, откуда z) = 0. Ин-
тегрируя полученное уравнение по переменной у, получим </?(?/, z) = ^(z).
Подставляя найденное значение функции </>(?/, z) в функцию U, прихо-
дим к равенству: U = х2 + xyz + ip(y,z) = х2 + xyz + 'ф(г). Наконец,
дифференцируя функцию U по переменной z и используя последнее ра-
венство системы, получаем: ху + ^'(z) = ху + 2z, откуда 'ф'(г) = 2z, т.е.
i/>(z) = z2 + С. Таким образом, приходим к окончательному виду потен-
циала: U = х2 + xyz + z2 + С.
II способ. Вычислим потенциал непосредственным интегрированием.
Фиксируя точку Мо(жо?3/о?^о)5 рассмотрим произвольную точку
M(rr,2/,z). Тогда
U(x,y,z) = U(M) = у Pdx + Qdy + Rdz.
мом
Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от фор-
мы пути) выберем в виде ломаной MqMiM2M, где отрезок MqM± па-
раллелен оси Ох, отрезок М±М2 — оси Оу, а отрезок М2М — оси Oz.
Вдоль MqMi имеем у = уо и z = zq, а, следовательно, dy = dz = 0, вдоль
М±М2 уже х — постоянно и z — zq, откуда dx = dz = 0, а вдоль М2М
обе переменные, хну — постоянны, а, значит, dx = dy = 0. Тогда
X	у	Z
и(М)— у (2х + yozo) dx + Jxzody+ f(xy + 2z)dz =
Xo	Уо	Z0
/ 2	J®	\y /	2\|Z
= (x +3/oZo#) +^o +(xyz + z)\ =
1яо	I Уо	Izo
= (ж2 + yoZQX - £Tq - yoZQXo) + (xyzQ - xyQzQ) + (xyz + z2 - xyzQ - Z2) =
= x2 + xyz + z2 - (Xq + XoyoZQ + Zq) = x2 + xyz + z2 + C. •
Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
5.5.2.	F = г.
5.5.4.	F(rr2, — y2,xz).
5.5.6.	F = т/2(1 — z)i + 2xy(l
5.5.3.	F = xi + t/rrj + zyk.
5.5.5.	F = xyi — zj + xk.
~ z)j - (xy2 - 3z2)k.
Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их
потенциалы:
5.5.7.	F = rr2i + у2 у + z2k.	5.5.8. F = yzi + rrzj + yxk.
5.5.9.	F(z — 2x, z — 2y,x + y).
5.5.10.	F(t/2z3,2xyz3 + z2,3xy2z2 + 2yz + 1).
5.5.11.	Показать, что плоское поле
F(2ху3 + 2ху sin(x22/), Зх2у2 + х2 sin(x2y))
потенциально, и найти его потенциал.
267

5.5.12.	Не используя теорему 5.3 показать, что ротор потенциального
поля равен нулю.
5.5.13.	Непосредственным вычислением показать, что циркуляция
гладкого потенциального поля F вдоль любой замкнутой кри-
вой L равна 0.
5.5.14.	Найти циркуляцию векторного поля F(f/z2, xz2, 2xyz) вдоль эл-
липса: х2 + у2 = 4, х + 2у + 3z = 6.
5.5.15.	Найти циркуляцию векторного поля F(3x2y2z,2x3yz,x3y2)
вдоль контура АВС, где 4(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1).
5.5.16.	Вычислить работу силового поля F(yz,xz,yx) вдоль одного
витка винтовой линии х = cost, у = sini, z — t (0 С t 2тг).
Q При t = 0 получим начальную точку кривой М±(1,0,0), при t = 2тг —
конечную точку Л/2(1,0,2тг). Так как векторное поле потенциально (см.
задачу 5.5.8), то работа силового поля не зависит от формы пути. Поэто-
му выберем в качестве пути M±Mz прямолинейный отрезок. Вдоль него
х = 1, у = 0, dx = dy = 0, и, следовательно, работа
2тг
4 = J yzdx + xz dy + yxdz = J 0dz = 0.
A/i Л^2	о
Другим способом работу можно было бы найти как разность потенци-
алов в точках Mz и . Для этого находим сначала потенциал U = xyz
(см. задачу 5.5.8). Тогда 4 = U (М2) - U (Mi) = 1- 0-2тг-1-0-0 = 0. •
5.5.17. Вычислить работу векторного поля F(z3 — у3, — 3xy2,3xz2) от
точки 4(1,1,1) до точки В(2,0,1).
5.5.18.	Вычислить работу векторного поля F(?/ + 2xz2,x — 2y,2x2z)
вдоль полуокружности большого радиуса сферы
(1 + х)2 + у2 + z2 = 1
от точки 4(—1,1,0) до точки В(—1, —1,0).
Является ли векторное поле F соленоидальным?
5.5.19.	V(xy, —у — x,z — zy). 5.5.20.	¥(x2yz, 2xyz, —z2(xy + ж)).
5.5.21.	F = (у2 + z2)i - (xy + z3)j + (y2 + zrr)k.
5.5.22.	F = (x2yz — rr3)i + 2/rr3j + (x2z — y)k.
5.5.23.	Является ли пространственное векторное поле г х с (где с —
постоянный ненулевой вектор):
а) потенциальным;	б) соленоидальным?
5.5.24.	Является ли пространственное векторное поле F = ± • г:
а) потенциальным;	б) соленоидальным?
5.5.25.	Вычислить поток векторного поля F(ху2 — z, —ху + z,zx — zy2)
через поверхность эллипсоида
ж2 , 2/2  z2 _ 1
а2 Ь2 с2
в направлении внешней нормали.
268

Дополнительные задания
Являются ли следующие поля потенциальными?
5.5.26.	F = (yz2 — l)i + rrz2j + 2x?/zk.
5.5.27.	F = (x2 + у - z)i + (xy — xz)j + rr2zk.
5.5.28.	F = cos(2?/ + 3z)i — 2y sin(2y + 3z)j + 3z sin(2y + 3z)k.
5.5.29.	Показать, что векторное поле
F(yz(2x + у + z), xz(x + 2y + z),xy(x + у + 2z))
потенциально, и найти его потенциал.
5.5.30.	Показать, что векторное поле
F = (бху - 2x)i + (Зя2 - 2z)j + (1 - 2j/)k
потенциально, и найти его потенциал.
Являются ли следующие поля соленоидальными?
5.5.31.	F = (х2 - yz + 2)i - 2rr?/j + (ух3 — l)k.
5.5.32.	F(xy — yz + xz)\ + (yz — xz + xy)] + (xz — xy + yz)k.
5.5.33.	F(rr2?/, y2z — y2x, xy - yz2).
Вычислить работу векторного поля F от точки А до точки В:
5.5.34.	F(3rr2,2т/, 1), 4(1,2,-1), В(0,1,1).
5.5.35.	F(f/2 + 2xz, z2 + 2ху, х2 + 2yz), 4(0,0,0), B(l, -1,1).
5.5.36.	F = г • г, где г — радиус-вектор точки, а г = |г|, 4(0,0,0),
В(6,2,3).
5.5.37.	F = 4г2 • г, где г — радиус-вектор точки и г = |г|, 4(0,3,4),
£(3,4,0).
5.5.38.	Показать, что если векторные поля Fi, F2 потенциальны и с —
число, T0F1+F2 ис-Fi — также потенциальные векторные
поля.
5.5.39.	Показать, что если векторные поля Fi и F2 соленоидальны, то
ci • Fi + с2 • F2 — соленоидальное векторное поле (ci и С2 —
некоторые константы).
Контрольные вопросы и более сложные задания
5.5.40.	Привести пример векторного поля:
а)	потенциального и соленоидального;
б)	потенциального, но не соленоидального;
в)	не потенциального, но соленоидального;
г)	не потенциального и не соленоидального.
5.5.41.	Показать, что потенциал U потенциального и соленоидального
поля F удовлетворяет уравнению Лапласа: ДС7 = 0.
269

5.5.42.	Показать, что если векторное поле F = где г = rri+3/j+zk
и г = |г|, соленоидально, то /(г) = Д-.
г6
5.5.43.	Будет ли пространственное поле F=r-(cxr), где r=rri+?/j+zk,
г=|г| ис — постоянный вектор, соленоидальным?
5.5.44.	Показать, что пространственное поле F = /(г) • г, где r(x,y,z)
и г = |г|, потенциально и найти его потенциал.
5.5.45.	Показать, что если векторное поле F потенциально, то вектор-
ное поле с х F (где с — постоянный вектор) является солено-
идальным. Верно ли обратное?
5.5.46.	Верно ли, что векторное произведение потенциальных полей
потенциально?
5.5.47.	Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей
соленоидально?
5.5.48.	Показать, что векторное произведение потенциальных полей —
соленоидальное векторное поле.
5.5.49.	Верно ли, что векторное произведение соленоидальных по-
лей — потенциальное векторное поле?

Глава 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
□
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Во многих задачах классической теории вероятностей используется комби-
наторика, т. е. раздел математики, в котором изучаются различные соединения
(комбинации) элементов конечных множеств.
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух пра-
вил — правила умножения и правила сложения.
Теорема 6.1. Правило умножения: если из некоторого конечного множества
первый объект (элемент а) можно выбрать m способами, а второй объект
(элемент Ь) — П2 способами, то оба объекта (а и Ь) в указанном порядке
можно выбрать m • тц способами.
Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов.
Теорема 6.2. Правило сложения: если некоторый объект а можно выбрать
П1 способами, а объект Ъ можно выбрать П2 способами, причем первые и
вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (а или 6) можно
выбрать П1 +п2 способами.
Это правило распространяется на любое конечное число объектов.
Существуют две схемы выбора т элементов из заданного множества: без
возвращения, когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множе-
ство, и с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязатель-
ным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.
Схема выбора без возвращений
Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов.
Размещением из п элементов по к элементов (0 к п) называется
любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее к эле-
ментов.
Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо со-
ставом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по к обозначаются символом и вы-
числяется по формуле
А* = п(п - 1)(п - 2)... (п - к + 1) = 7-^,	(1-1)
(п — к)\
где n! = 1 • 2 • 3... п, причем 1! = 1,0! = 1.
271

Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по
п элементов.
Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из
п элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому
любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следова-
ния элементов.
Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп и вычисля-
ется по формуле
Рп = А™ = п!	(1.2)
Сочетанием из п элементов по к (0 к п) называется любое подмно-
жество данного множества, которое содержит к элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом
(т. е. отличаются только составом элементов). Число сочетаний из п элементов
по к обозначается символом и вычисляется по формуле
rk _ n(n - l)(n - 2)... (n - k + 1) _ W! _ A*
k\	k\(n - k)\ k\ ’	( }
Для чисел C„ (они называются биномиальными коэффициентами) справед-
ливы следующие тождества:
Ск = Сп~к (правило симметрии),
С°+С* + ... + С£ = 2п,
Ск = Ск-1 + Ск-1 (правило Паскаля),
С£=С% = 1.
Схема выбора с возвращением
Если при упорядоченной выборке к элементов из п элементы возвращают-
ся обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повто-
рениями. Число всех размещений с повторениями из п элементов по к обозна-
чается символом Ап и вычисляется по формуле
Акп = пк.	(1.4)
Если при выборке к элементов из п элементы возвращаются обратно без
последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы мо-
гут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки
есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из п
элементов по к обозначается символом Сп и вычисляется по формуле
<£ = С*+*-1-	(1-5)
Пусть в множестве из п элементов есть к различных типов элементов, при
этом 1-й тип элементов повторяется m раз, 2-й — пг раз, ..., &-й — пь раз,
272

причем ni +пг + .. - + пк = п. Тогда перестановки элементов данного множества
представляют собой перестановки с повторениями.
Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений
множества) из п элементов обозначается символом Fn(ni, пг,..., п*.) и вычис-
ляется по формуле
Рп(П1,П2, • • • ,Пк) = W! —j.	(1.6)
Итоговая сводка формул приведена в следующей таблице.
Таблица 1
(1-я строка — без повторений, 2-я строка — с повторениями)
	Размещения	Перестановки	Сочетания
1	Ак _ п! п (п - Л)!	Рп =п!	pfc _	п! п Щп - ку.
2	6 II 4Й g К	Рп(П1,П2,...,П*.)=	,	7’	i щ’ пг'-.. . п*.! (ni +п2 + .. . + п*. = п)	7 + V II 4Й g IO
6.1.1.	Сколько различных трехзначных чисел можно составить из
цифр 0, 2, 3, 5, 7 если:
а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?
Q а) Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (числа вида
025, 073, ... не считаем трехзначными). Выбрав первую цифру (напри-
мер, цифру 5), вторую цифру можно также выбрать четырьмя способа-
ми (второй цифрой может быть любая из оставшихся 0, 2, 3, 7). Третью
цифру, очевидно, можно выбрать тремя способами. Следовательно, со-
гласно правилу умножения имеется 4 • 4 • 3 = 48 способов расстановки
цифр, т. е. искомых трехзначных чисел будет 48 (вот некоторые из них:
509, 237, 530, 702,...).
б) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначные чи-
сла можно составить 4 • 5 • 5 = 100 способами (вот некоторые из них: 222,
200,332,...).	•
6.1.2.	Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных
цифр, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?
Q По правилу умножения трехзначных чисел можно составить 5 • 4 • 3 =
= 60 способами, а четырехзначных — 5 • 4 • 3 • 2 = 120 способами, столько
же пятизначных чисел (5 • 4 • 3 • 2 • 1). По правилу сложения, всего можно
составить 60 + 120 + 120 = 300 чисел, состоящих не менее чем из трех
попарно различных цифр.	•
6.1.3.	Сколькими способами могут быть распределены три призовых
места среди 16 соревнующихся?
273

6.1.4.	В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими
способами можно выбрать для вручения призов двух студентов
одного пола?
6.1.5.	Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколь-
ко имеется различных возможных комбинаций выброшенных
очков?
6.1.6.	В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными спо-
собами можно составить букет, содержащий 3 цветка?
6.1.7.	Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом,
автобусом, а из него в пункт С — пешком, на тракторе, на ло-
шади, на лодке. Сколькими способами можно выбрать дорогу
от пункта А до пункта С через В?
6.1.8.	Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины,
в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?
6.1.9.	Составить различные размещения по два элемента из элемен-
тов множества А = {3,4,5} и подсчитать их число.
Q Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два
элемента: (3,4); (4,3); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4). Таким образом, всего
их 6. Однако число размещений можно подсчитать и по формуле (1.1):
Aj = 3 • 2 = 6 или Al = . 3’ , = у = 6.	•
3	3	(3-2)!	1
6.1.10.	Сколькими способами 3 награды (за I, II, III места) могут быть
распределены между 10 участниками соревнований?
Q Будем считать, что каждый участник соревнований может получить
не более одной награды. Выбрать 3-х участников соревнований из 10
м°жно	_ 10! _ 7!. 8.9. ю _
Л1° " (10--3)! "	7!	” 720
способами, так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо
составом участников, либо порядком их следования.
Этот же результат можно получить, применяя правило умножения:
претендентов на главную награду (за I место) 9; на вторую — 8; на тре-
тью — 7; число различных способов распределения наград равно 10-9-8 =
= 720.	•
6.1.11.	Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых
различны?
6.1.12.	Сколькими способами можно составить трехцветный полоса-
тый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя
5 различных цветов?
6.1.13.	Из группы в 15 человек выбирают 4-х участников эстафеты
800 х 400 х 200 х 100. Сколькими способами можно расставить
спортсменов на этих этапах?
6.1.14.	Составить различные перестановки из элементов множества
А = {5;8;9}.
274

Q По формуле (1.2) число перестановок из 3-х элементов равно Рз =
= 3! = 1 • 2• 3 = 6. Составляем их: (5,8,9); (5,9,8); (8,9,5); (8,5,9); (9,5,8);
(9,8,5).	•
6.1.15.	Сколькими способами можно расставить на книжной полке де-
сятитомник произведений Д. Лондона, располагая их:
а)	в произвольном порядке;
б)	так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом (в любом порядке);
в)	так, чтобы I, II, III тома не стояли рядом (в любом порядке).
О а) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из
10 элементов: Рю = 10! = 3628800.
б)	Мысленно связав I, V и IX тома или положив в один пакет, полу-
чим 8 «книг», т. е. 7 книг и 1 связку (или пакет) книг. Их можно расста-
вить на полке Рз = 81 способами. Каждому из этих способов расстановки
соответствуют Рз = 3! способов расстановки книг, находящихся в связке
(I, V и IX тома по-прежнему стоят рядом, но в ином порядке). Соглас-
но правилу умножения, число возможных расстановок 10 книг на полке
так, чтобы 3 определенные книги (I, V и IX тома) стояли рядом, равно
Р8 . р3 = 8! • 3! = 40320 • 6 = 241920.
в)	Искомое число способов расстановки книг, с учетом пунктов а) и
б), равно Рю - Р8 • Рз = 3628800 - 241920 = 3386880.	•
6.1.16.	В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно раз-
местить на них 7 гостей? 3 гостя?
6.1.17.	Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по мате-
матике. Сколькими способами можно распределить экзамены,
но так, чтобы экзамены по математике следовали один за дру-
гим? Не следовали один за другим?
6.1.18.	Сколько различных «слов» можно получить, переставляя бук-
вы в слове:
а) СОЛНЦЕ;	б) ТЕАТР;
в) ЛИЛИ;	г) SOS?
6.1.19.	Сколькими способами можно упорядочить множество А =
= {8,9,10,11,..., 15} так, чтобы каждое четное число имело
четный номер?
6.1.20.	Составить различные сочетания по два из элементов множе-
ства А = {3,4,5} и подсчитать их число.
Q Из трех элементов можно составить следующие три сочетания по два
элемента: {3,4}; {3,5}; {4,5}. Их число можно подсчитать и по фор-
муле (1.3): (?з =	= 3 (или так: Cj =
С2з=С'=3).
6.1.21.	Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих луч-
ших друзей. Сколькими способами он может выбрать пригла-
шенных?
— = 3; или так:
275

Q Так как для Владимира важен только состав гостей (порядок роли
не играет), то число способов выбора троих гостей из 7 можно найти по
формуле сочетаний (1.3): Су = 1*2*3 =35.	*
6.1.22.	В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими спосо-
бами можно выбрать из нее:
а)	3 гвоздики;
б)	6 гвоздик одного цвета;
в)	4 красных и 3 розовых гвоздики?
Q а) Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3
гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно Cf6 способами. По
формуле (1.3) находим:	= -у = 560.
б)	Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно Сд = 84 способами, а 6
гвоздик розового цвета Су = 7 способами. По правилу сложения выбрать
6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно Сд + Су = 84 + 7 =
= 91 способом.
в)	Выбрать 4 красных гвоздики из 9 имеющихся можно Сд способами,
а 3 розовых из имеющихся 7 можно Су способами. Поэтому букет из 4
красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения
Г4 . С3 _ 9!____7! _ 5! 6 > 7 8 9.4! 5 6 7 _ 4410 спосо6ами *
°9 °7 " 4! • 5! 3! • 4! — 5! • 1 • 2 • 3 • 4 4! • 1 • 2 • 3 "	° способами‘ •
6.1.23.	Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две рав-
ные (по количеству предметов) группы?
6.1.24.	Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые
два из них встречались между собой один раз. Сколько шах-
матистов участвовало в соревновании?
6.1.25.	Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жре-
бию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует
способов при которых в эту «пятерку» попадут:
а) одни девушки;	б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей?
6.1.26.	Сколькими способами можно разбить 9 предметов на 2 группы
(выбор одной группы однозначно определяет вторую)?
6.1.27.	Пять авторов должны написать задачник по математике, состо-
ящий из 14 глав. Два автора напишут по 2 главы, два других —
по 3 и еще один — 4 главы книги. Сколькими способами может
быть распределен материал между авторами?
6.1.28.	В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу
выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов,
в каждом из которых 2 детали бракованные?
6.1.29.	Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и соче-
тания с повторениями по два элемента.
Q Размещения с повторениями по два элемента таковы: (2,2); (2,4);
(2,5); (4,4); (4,5); (4,2); (5,5); (5,2); (5,4).
276

Их число можно вычислить и по формуле (1.4):
A3 = З2 = 9.
Сочетания с повторениями по два элемента таковы (в отличие от
размещений здесь порядок элементов в выборке не имеет значения, т.е.,
например, пары (2,4) и (4,2) не различаются): {2,2}; {2,4}; {2,5}; {4,4};
{4,5}; {5,5}.
Их число можно вычислить и по формуле (1.5):
77^ _	_ 4 • 3 _ ✓?	а
°3 — ^3+2-1 — V>4 — Y?2 ~ °’
6.1.30.	В магазине имеется 7 видов тортов. Сколькими способами мож-
но составить набор, содержащий 3 торта? А если имеются 3
вида тортов, а нужен набор из 7 тортов?
Q Поскольку порядок расположения тортов в наборе не играет роли,
то искомое число наборов равно числу сочетаний с повторениями из 7
элементов по 3 в каждом. По формуле (1.5) имеем С? = Сд =	| * g = 84
(см. также задачу 6.1.6).
Если имеется 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов, то число
возможных наборов равно с\ = Сд =	= 36.	•
6.1.31.	Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного до-
ма. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на
нужных этажах?
Q Каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со
2-го по 9-й включительно. Возможными вариантами их выхода являются,
например, 2-3-5-5-5 (это значит, что на 2-м этаже вышел один пассажир,
на 3-м — один, а трое вышли на 5-м этаже) или 9-9-9-9-9 или 4-5-6-7-9,
и т.д.
Общее число выходов пассажиров, по формуле (1.4), равно
А® = 85 = 32 768.
Этот же результат можно получить, используя правило умножения:
для 1-го пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для 2-го —
тоже 8, и для 3-го — 8, и для 4-го — 8, и для 5-го — 8. Всего получается
8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 85 вариантов выхода 5-ти пассажиров.	•
6.1.32.	Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая
комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове
АГА? MISSISSIPPI?
Q Вообще из трех букв можно составить Р3 = 3! = 6 различных трехбу-
квенных «слов». В слове АГА буква А повторяется, а перестановка оди-
наковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторе-
ниями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколь-
ко можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две бу-
квы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных трехбуквенных «слов»
277

р о |
из букв слова АГА можно составить столько: — = -j = 3. Впрочем, от-
-Г2	2!
вет можно получить и проще: каждое слово из букв А, Г и А однозначно
определяется положением буквы Г; их всего три, поэтому и различных
слов будет тоже три.
Пользуясь формулой (1.6), этот результат можно получить сразу:
Рз(2,1) = ^=3.
По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов»
при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь n = ll, ni = l, П2=4
(4 буквы S), пз = 4 (4 буквы I),	= 2, поэтому
Рп(1,4,4,2) - lj4!—j ---------------------- 34650-	*
6.1.33.	Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9
различных предметов?
6.1.34.	Сколькими способами можно распределить 6 разных книг ме-
жду 3 школьниками?
6.1.35.	В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Скольки-
ми способами можно приобрести в нем 4 открытки? 4 одинако-
вых открытки? 4 разных открытки?
6.1.36.	Сколько различных букетов по 5 цветков в каждом можно со-
ставить, если в наличии есть достаточно много цветков четырех
видов?
6.1.37.	У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида — другого и 4
вида — третьего. В течение девяти дней он каждый день пред-
лагает больному по одному лекарству. Сколькими способами
он может выделить больному лекарства?
6.1.38.	Сколько существует различных перестановок букв в слове
ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ?
Дополнительные задания
6.1.39.	Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы
любые две соседние цифры были различными?
6.1.40.	Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно
образовать из букв слова
а) ЛЕТО;	б) ШАЛУН?
6.1.41.	Сколько существует шестизначных чисел, у которых на четных
местах стоят четные цифры?
6.1.42.	20 студентов обмениваются фотокарточками. Сколько фото-
карточек понадобилось для этого?
6.1.43.	Каждого из 6 студентов можно направить для прохождения
практики на одно из трех предприятий. Сколькими различны-
ми способами это можно осуществить?
278

6.1.44.	Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2,
3, 4 если:
а)	цифры не могут повторяться;
б)	цифры могут повториться;
в)	числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г)	число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться).
6.1.45.	4 пианиста, 5 скрипачей и 6 баянистов участвуют в конкурсе.
Сколькими способами жюри может отобрать по три победителя
в каждой номинации?
6.1.46.	Сколькими способами можно составить трехцветный (три вер-
тикальные полосы) полосатый флаг, если имеется материал
красного, желтого, зеленого и черного цветов, причем извест-
но, что одна из полос должна быть зеленой?
6.1.47.	В классе изучается 7 предметов. Сколькими способами можно
составить расписание на понедельник, если в этот день должно
быть 5 различных предметов?
6.1.48.	Сколькими способами можно рассадить вокруг круглого стола
6 мальчиков и 6 девочек, если каждая девочка должна сидеть
между двумя мальчиками?
6.1.49.	Сколькими способами можно сформировать железнодорожный
состав из 9 вагонов так, чтобы 2-й и 4-й вагоны шли через один?
6.1.50.	Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, ис-
пользуя 5 первых букв русского алфавита?
6.1.51.	Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать
6 человек так, чтобы среди них было не менее 2-х женщин.
Сколькими способами это можно сделать?
6.1.52.	Сколькими способами можно распределить 36 игральных карт
поровну между четырьмя игроками?
6.1.53.	Сколько различных комбинаций из 6 карт содержат 3 дамы,
2 короля и 1 туз?
6.1.54.	Из группы в 12 человек надо выбрать 2 человека для выпол-
нения одной работы и 3 — для другой. Сколькими способами
это можно сделать?
6.1.55.	Сколько чисел, больших 100, можно записать с помощью цифр
0, 1, 3, 5, б (без повторений)?
6.1.56.	В футбольной команде имеется 13 полевых игроков и 2 вра-
таря. Сколькими способами можно выбрать играющий состав,
состоящий из 10 игроков и 1-го вратаря?
6.1.57.	Сколькими способами можно распределить б билетов в театр
по трем группам первокурсников?
6.1.58.	В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматиче-
ски отпирается, если в определенной последовательности на-
жать 4 кнопки из имеющихся 12. Некто, не зная кода, стал
наудачу набирать различные комбинации из 4-х цифр. Какое
279

наибольшее число попыток ему надо осуществить, чтобы дверь
открылась?
6.1.59.	В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими спосо-
бами можно приобрести в ней:
а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных?
6.1.60.	12 человек прибыли в гостиницу, в которой есть один четырех-
местный, два трехместных и один двухместный номера. Сколь-
ко существует способов их размещения?
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.1.61.	Сколькими способами можно переставить буквы слова ЗОЛО-
ТО так, чтобы буквы О не стояли подряд?
6.1.62.	На предприятии имеется 3 вакансии для мужчин, 2 — для жен-
щин и 4 вакансии, которые могут быть заняты как мужчинами,
так и женщинами. Сколькими способами могут выбрать место
работы трое мужчин и две женщины?
6.1.63.	Сколькими способами можно разбить на две группы 6 мальчи-
ков? На две группы по 3 мальчика в каждой?
6.1>64.	В четырехзначном числе пропущены (не видны) две цифры.
Сколько можно получить различных четырехзначных чисел,
вставляя пропущенные цифры?
6.1.65.	Сколькими возможными способами 3 незнакомых человека мо-
гут разместиться в 8 вагонах электрички?
6.1.66.	В азбуке Морзе используются два знака: точка и тире. Каждый
символ (напримеру буква) кодируется определенной последова-
тельностью этих знаков (например, Е = •, А = • —, Э = • • — ••)•
Какое число разных символов можно закодировать не более
чем четырьмя знаками азбуки?
6.1.67.	Две команды, в каждой из которых по 5 спортсменов, стро-
ятся в одну шеренгу. Сколькими способами можно построить
шеренгу, чтобы игроки одной команды не стояли рядом?
6.1.68.	20 студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было сде-
лано рукопожатий?
6.1.69.	Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в
командировку. Сколько может быть различных составов отъ-
езжающей группы, если 3 руководителя лаборатории (заведу-
ющий, его заместитель и главный инженер) одновременно уез-
жать не должны?
6.1.70.	Сколько прямых линий можно провести через 7 точек, из ко-
торых лишь 3 лежат на одной прямой?
6.1.71.	Группа туристов в количестве 9 человек намеревается пойти
в поход в ближайшее воскресенье. Сколько существует вари-
280

антов прихода (некоторые могут не явиться) этих туристов к
месту отправления?
6.1.72.	7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются в три па-
кета по 5 фруктов в каждом. Сколькими способами это можно
сделать?
6.1.73.	В шахматной встрече двух команд по 6 человек участники пар-
тий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьев-
кой. Каково число различных исходов жеребьевки?
6.1.74.	Сколько чисел меньших, чем 1000000, можно написать с помо-
щью цифр 8 и 9.
§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.
ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ
Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход
опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или
не произойти.
События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского ал-
фавита А, В, С,....
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в ре-
зультате данного опыта; достоверное событие обозначается через Q.
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в
результате проведения опыта; невозможное событие обозначается через 0.
Два события называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном
случае события называются совместными.
События Ai, А2,..., Ап называются попарно-несовместными, если любые
два из них несовместны.
События Ai,A2, ... ,Ап образуют полную группу, если они попарно несо-
вместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из
них.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если
ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т. е. все
события имеют равные «шансы»).
Суммой событий А и В называется событие С = А+В, которое происходит
тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (т. е.
или А, или В, или оба вместе).
Произведением событий А и В называется событие С = А В, которое
происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В (т. е. и
А и В вместе).
Разностью событий А и В называется событием С = А—В, которое проис-
ходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В.
281

Событие А влечет событие В (или: А является частным случаем В), если
из того, что происходит событие А, следует наступление события В; записы-
вают это так: А С В.
Если А С В и В С А, то события А и В называются равными] обозначается
это следующим образом: А = В.
Противоположным событию А называется событие А, которое происходит
тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
Теоретико-множественная интерпретация операций
над событиями
Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.
Множество Q = {си} всех возможных взаимоисключающих исходов данного
опыта (испытания, эксперимента) называется пространств ом элементарных
событий (коротко ПЭС), а сами исходы си — элементарными событиями (или
«элементами», «точками»).
Случайным событием (или просто событием) называется любое подмно-
жество множества Q, если оно конечно или счетно.
Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Q, на-
зываются благоприятствующими событию А.
Множество Q называется достоверным событием] ему благоприятствует
любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произой-
дет.
Пустое множество 0 называется невозможным событием] в результате
опыта оно произойти не может.
Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над
множествами, точнее — подмножествами пространства Q.
Сумма (или объединение) двух событий А С Q и В С Q (обозначается А+В
или A U В) — это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих
хотя бы одному из событий А и В.
Произведение (или пересечение) двух событий А С Q и В С Q (обознача-
ется А • В или А Г) В) — это множество, которое состоит из элементов, общих
для событий А и В.
Разность событий А С Q и В С Q (обозначается А — В или А \ В,) —
это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят
в В.	«=
Противоположным событию А С Q называется событие А = Q \ А; мно-
жество А называют также дополнением множества А.
Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый
элемент события А содержится в В; обозначается А С В.
282

По определению 0 С А для любого А.
События А и В называются несовместными, если их произведение (пере-
сечение) есть невозможное событие, т. е. А • В = 0.
Несколько событий Ai, А2,..., Ап образуют полную группу несовместных
событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события попарно не
совместны, т. е. J2 А = П и А$ • Aj = 0 (г j).
г=1
Полную группу, в частности, образуют события А и А (А+А = Q, А-А = 0).
Операции над событиями (множествами) обладают следующими свойст-
вами:
1.	А -|- В = В + А, А В = В А (переместительное);
2.	(А+В)-С = А-С+В-С, А В + С = (A-I-C')-(B-I-C') (распределительное);
3.	(А + В) + С = А + (В + С), (А • В) • С = А • (В • С) (сочетательное);
4.	А +А = А, А А = А;
5.	А + Q — Q, А • Q — А;
6.	A + A = Q, А -А = 0;
7.	0 = Q, Q = 0, А = А;
8.	А - В = А • В; ___ _ _
9.	А + В = АВиА-В = А + В (законы де Моргана).
6.2.1.	В урне находится 12 пронумерованных шаров. Опыт состоит в
извлечении одного шара из урны. Требуется:
1)	составить пространство элементарных событий для данного
опыта;
2)	указать элементарные события (исходы), благоприятству-
ющие событиям: А = {появление шара с нечетным номером},
В = {появление шара с четным номером}, С = {появление ша-
ра с номером большим, чем 3}, D = {появление шара с номером
меньшим, чем 7};
3)	пояснить, что означают события В, С;
4)	указать, какие из пар событий А, В, С, D совместны, а какие
нет;
5)	указать, какие из этих пар событий образуют полную груп-
пу, а какие нет;
6)	привести примеры невозможного и достоверного событий;
7)	привести пример другого пространства элементарных собы-
тий в данном опыте.
Q 1) Пространство элементарных событий можно записать в виде П =
= {си$}, где uji — появление шара с номером г, где i = 1,2,..., 12. Появле-
ние г-го шара можно обозначить и так: Ш$, и т.д. Поэтому можно
записать:
П = {Ш1, Ш2, . . . , Ш12} = {cui, CJ2, • • -5^12} = {cdnii,CJin2, • • • ,^Ш12}-
283

2)	Рассмотрим события А, В, С и D как подмножества пространст-
ва П. Элементарные события, входящие в эти подмножества и являются
благоприятствующими указанным событиям: А = {cui, cu3, CU5, CU7, gu9, cuii},
В = {й?2? ^4, ^6? ^8» ^10, tJi2}, С = {о?4, CJ5, . . . , CJ12}, D = {tUl, CU2, ^3, . . . , Сс>б}’
3)	Событие В означает, что событие В не происходит, т. е.
В = {cdl, CU3, . . . , Сиц },
откуда ясно, что В = А.
Событие С является противоположным событию С, поэтому С =
= {сл,си2,^з}«
4)	События А и В несовместны; события А и С, так же, как А и D,
В и С и другие — совместны.
5)	События Ап В образуют полную группу; в результате опыта про-
изойдет только одно из них: или А или В. Другие пары событий (А и
С, В и Р и т.д.) не образуют полную группу. Так, появление шара с
номером 3 означает наступление двух событий: и А и В.
6)	Событие Bi = {появление шара с номером 13} — является не-
возможным событием, а событие В2 = {появление шара с номером п
12} — достоверное, т.е. Е2 = П.
7)	Если в данном опыте нас интересует лишь то, что извлеченный
шар имеет четный или нечетный номер, то можно считать П = {cji, с^},
где о?1 — появление шара с нечетным номером, о?2 — с четным.
Другим возможным пространством для описания данного опыта мо-
жет быть такое П = {сл, о>2, <^з, CJ4}, где a>i — появление шара с номером
от 1 до 9 включительно, си2,^з,о?4 — появление шара с номером 10, 11,12
соответственно. Примером неправильно выбранного пространства может
служить П = {о?1,сиг}, где cji — появление шара с номером меньшим,
чем 10, a CJ2 — большем, чем 6. События cji и 012 не являются элемен-
тарными, так как в результате опыта эти исходы могут наступить одно-
временно.	•
6.2.2.	Указать пространства элементарных событий для следующих
опытов (испытаний):
а)	подбрасывание двух игральных костей;
б)	стрельба по мишени до первого попадания;
в)	наблюдение за временем безотказной работы прибора.
Q а) Согласно правилу умножения (см. § 1 настоящей главы) число
исходов в данном опыте равно 6 • 6 = 36. Изобразим пространство эле-
ментарных исходов (событий) в виде матрицы
С^21
О?12	О?13
CU22 ^23
^16^
^26
\а?б1 ^62 ^63 • • • ^66 /
где Wij означает, что на первой игральной кости выпало i очков, а на
второй j (i,j = 1,6).
284

б)	В данном случае пространство П теоретически бесконечно, но счет-
но. Обозначая знаком «+» попадание в цель при соответствующем вы-
стреле, а знаком «—» — промах, получим такое пространство элемен-
тарных событий:
Q = {+, —н,----н,-------н,--------н,...}.
Здесь, например, событие-------h означает, что первые три выстрела
были промахами, а на четвертый произошло попадание.
Можно записать ПЭС и так:
Q = {1,01,001,0001,...},
где 1 означает попадание в цель, 0 — промах.
в)	Здесь также исходов опыта (наблюдения) бесконечно много, при
этом множество П несчетное: Q = {t: 0^£<оо}, где t — время безот-
казной работы прибора. Понятно, что в качестве результата наблюдения
может появиться любое число t 0.	•
6.2.3.	Игральная кость бросается 1 раз. Описать пространство эле-
ментарных событий, указать элементарные события, благопри-
ятствующие событиям: Ai — выпало четное число очков; А2 —
выпало не менее 4 очков; Аз — выпало более 6 очков.
6.2.4.	Построить пространство П для следующих испытаний:
а)	проводится одна игра в шахматы;
б)	трижды подбрасывается монета;
в)	подсчитывается число студентов группы, сдавших экзамены
по теории вероятностей.
6.2.5.	Какие из следующих пар событий являются несовместными,
совместными:
a)	Ai = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной},
А? = {на кухне};
б)	A3 = {попадание при одном выстреле}, А4 = {промах};
в)	А5 = {выпадение герба при бросании монеты}, Ав = {выпа-
дение решки};
г)	А7 = {хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, А% =
= {два попадания}?
6.2.6.	Образуют ли полную группу следующие события:
а)	А3 и А4 из задачи 6.2.5;
б)	А7 и Ав из задачи 6.2.5;
в)	Bq = {ни одного попадания при трех выстрелах по мишени},
Bi = {одно попадание}, В? = {два попадания}, Вз = {три по-
падания};
г)	Ci = {покупатель купит товар хотя бы в одном из трех ма-
газинов}, С2 = {не купит ни в одном магазине}?
6.2.7.	Каждый из двух стрелков производит по одному выстрелу в
мишень. Пусть событие А = {первый стрелок попал в цель},
285

событие В = {второй стрелок попал в цель}. Что означают
события:
а)	А + В;	б) А • В;
в) А • В?
Q Составим пространство элементарных событий данного опыта: Q =
= {cuoo5tJio,cuoi,cun}, где cjqo означает: первый стрелок промахнулся и;
второй промахнулся; а?ю — первый попал, второй промахнулся и т.д/
Тогда А = {(1-й стрелок попал, 2-й не попал) или (1-й стрелок попал,
2-й тоже попал)} = {ацо,и>ц}, В = {а>о1,^п}-
а) Событие А + В состоит в том, что хотя бы один стрелок попал
в цель. Событие (множество) А + В состоит из элементарных исходов,
каждый из которых входит или в множество А, или в множество В, или
в оба эти множества, т.е. А + В = {а/ю,cuoi,}•
б)	Событие А • В состоит в том, что оба стрелка попали в цель. Оно
состоит из элементарных событий, каждое из которых входит и в мно-
жество А, и в множество В. Следовательно, А • В = {о?ц}.
в)	Событие А • В состоит в том, что первый стрелок попал в цель,
а второй — нет. Оно состоит из тех элементарных событий, каждое из
которых входит и в множество А, и в множество В = {cjOo?^io}? т.е;
А • В = {о?ю}-	Ь
6.2.8.	Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же
задачу. Пусть событие А^ = {первый студент решил задачу},
А% = {второй студент решил задачу}, Аз = {третий студент
решил задачу}. Выразить через события Ai (г = 1,2,3) следу-
ющие события:
1)	А = {все студенты решили задачу};
2)	В = {задачу решил только первый студент};
3)	С = {задачу решил хотя бы один студент};
4)	D = {задачу решил только один студент}.
Q 1) Осуществление события А означает, что произошли события Ai, А2
и A3 одновременно, т.е. имеем произведение событий: А = Ai • А2 • A3.
2)	В этом случае событие Ai произошло, а события А2 и А3 не про-
изошли, т. е. произошли события А2 и A3. Следовательно, В = Ai • А2 • A3.
3)	Событие С означает, что произошло или событие Ai, или событие
А2, или событие A3, или любые два из них, или все вместе, т.е. имеем
сумму событий: С = Ai + А2 + A3.
4)	Задачу решит только первый студент (Ai • А2 • A3), или только
второй студент (Ai • А2 • A3), или только третий студент (Ai • А2 • A3), т. е.
имеем сумму событий D = Ai • А2 • A3 + Ai • А2 • A3 + Ai • А2 • A3.	•
6.2.9.	Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, вы-
бирается один цветок. Пусть события А = {выбрана красная
роза}, В = {выбранажелтая роза}, С = {выбрана белая роза}.
Что означают события:
286

а) А;	б) A + B;
в) AC; _	г) A + B;
д) A + B;	e) AB + C?
6.2.10.	В задаче 6.2.8 найти выражения для следующих событий:
а)	Е = {с задачей не справился ни один из студентов};
б)	F = {задачу решило не более двух студентов}.
6.2.11.	В задаче 6.2.1 выяснить, что означают следующие события:
а) А + В;	б) A D;
в) С — D;	г) А • В - С;
д) AD;	е) А • В.
6.2.12.	Пусть А, В, С — три произвольных события. Выразить через
А, В, С и их отрицания следующие события:
а) произошло только событие С;
б)	произошли все три события;
в)	произошло по крайней мере одно из этих событий;
г)	произошло по крайней мере два события;
д)	произошло только два события;
е)	ни одно событие не произошло;
ж)	произошло не более двух событий.
6.2.13.	Событие С влечет событие D. Что представляют собой собы-
тия:
a) CiD,	б) C D,
в) С — D,	г) В • С?
6.2.14.	Пусть событие А = {экзамен сдан}, а событие В = {экзамен
сдан на отлично}. В чем состоят события:
а) А - В;	б) ~А^В;
в) А - В?
6.2.15.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на ри-
сунке 59. Событие Ai = {элемент с номером i вышел из строя},
i = 1,2,3. Событие В = {схема вышла из строя (разрыв цепи)}.
Выразить события В и В через события А$.
Рис. 59
Рис. 60
6.2.16.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на ри-
сунке 60. Событие Ai = {элемент с номером i вышел из строя},
i = 1,2,3. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить события В и
В через события А$.
287

6.2.17.	Упростить выражение А 4- А • В.
Q A + AB = AQ4-AB = A(Q4-B) = А(В + Q) = А • Q = А, т.е.'
А 4- АВ = А. Использованы свойства 5, 2, 1 операций над событиями. *
6.2.18. Пусть А, В и С — случайные события. Доказать, что
А(В-С) = А В-А С.
Q Пусть произвольный исход (элементарное событие) опыта си Е
€ А(В — С). Тогда си € А и си € (В - С), т.е. си € А, си € В, но си С.
Следовательно, со € АВ и со £ АС, т. е. со € АВ — АС. Таким образом,
любой исход события А (В — С) является исходом события АВ — АС, т. е.
А(В —С) С АВ—АС. Аналогично доказывается, что АВ—АС С А(В—С).
Отсюда следует А(В — С) = А В — А С (события А(В — С) и АВ — АС
состоят из одних и тех же элементарных событий си).	•
6.2.19.	Доказать, что А 4-В = А4- АВ, где А и В — случайные события.
Привести геометрическую интерпретацию событий.
Q Используя свойства операций над событиями, получаем:
A4-B = AQ + BQ = AQ4- В(А + А) = АП4-ВА + ВА =
= A(fi4-B)4-AB = AQ4-AB = A4-AB.
Изображая пространство П прямоугольником, элементарные собы-
тия (исходы) — точками этого прямоугольника, а события — его под-
множествами (такая интерпретация множеств носит название диаграмм
Эйлера-Венна), получим рисунки, изображенные на рис. 61.
А + В	= А + АВ
Рис. 61
6.2.20.	Упростить выражение (А 4- В) • (А 4- В) • (А 4- В).
6.2.21.	Доказать, что события А, АВ, А 4- В образуют полную группу.
6.2.22.	Упростить выражения:
а) А(В — ABY_____	б) АВ 4- АС 4- ВС 4- В;
в) А 4" АВ 4- А 4- В.
6.2.23.	Доказать справедливость законов де Моргана:
а) АТВ = А • В;	б) АВ = А 4- В.
6.2.24.	Упростить выражения: АВ, А 4- В, А 4- В 4- С, если известно,
что А С В.
288

6.2.25.	Установить, какие из следующих соотношений правильны:
а) А + В = А + В;	б) А + В + С = АВС;
в) (А + В) - С = А + (В - С).
6.2.26.	Совместны ли события А и А + В?
6.2.27.	Справедливы ли и в каком случае равенства
а) А • В = А;	б) А + В = А?
Дополнительные задания
6.2.28.	Построить пространство П для следующих испытаний:
а) монета бросается до первого появления герба или до тех пор,
пока решка выпадет три раза подряд;
б)	подбрасывается игральная кость, а затем монета.
6.2.29.	В урне находится 10 одинаковых шаров, занумерованных чи-
слами 0,1,2,..., 9. Из нее извлекаются по одному 4 шара. По-
сле каждого извлечения вынутый шар возвращается обратно.
Описать пространство П для этого эксперимента и найти число
его элементов.
6.2.30.	Из четырех карточек с номерами 1, 2, 3, 4 последовательно
наудачу выбирают две. Составить пространство элементарных
событий для этого опыта, если его элементами служат:
а) двузначные числа, образованные извлеченными карточ-
ками;
б) суммы номеров, извлеченных карточек.
6.2.31.	Назвать противоположные события для следующих событий:
а) А = {выигрыш 1-го игрока в шахматной партии};
б)	В = {произошло хотя бы одно попадание при десяти вы-
стрелах};
в)	С = {произошло три попадания при трех выстрелах};
г)	D = {произошло не более двух попаданий при пяти выстре-
лах};
д)	Е = {в семейной паре муж старше жены}.
6.2.32.	Упростить выражения:
а) (X + У)У + Х(ХУ); б) (X - ZX) + (У - ZY) + Z.
6.2.33.	Доказать тождество:
а) А - В = А • В; _	б) А - В = А - АВ;
в) А + В = А • В + АВ + АВ.
6.2.34.	Показать, что:
а)	АВ = А => А С В;
б)	АС В => А + В = В, АВ = А.
6.2.35.	Упростить выражение:
а)	(А + В) • (А 4- В) • (А + В) • (А + В);
б)	А • В;	в) (А 4- В)(В 4- С)(С 4- А).
Ю Сборник задач по высшей математике. 2 курс	289

6.2.36.	Доказать, что:
а)	АВ+ В = В — А; __________
б)	В = А, если АВ = 0иАВ = 0.
6.2.37.	Электрическая цепь с выключателями составлена по схеме,
приведенной на рисунке 62. Пусть событие Ai = {включен вы-
ключатель с номером i }, i = 1,2,..., 5.
а)	Для схемы рис. 62 а записать через Ai событие А = {ток
идет};
б)	для схемы рис. 62 б записать через Ai события А и А.
Рис. 62
6.2.38.	Пусть А, В, С — случайные события, причем А и В несовмест-
ны. Показать, что события АС и ВС также несовместны.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
6.2.39.	Из колоды игральных карт (всего их 36) извлекают одну. Со-
ставить не менее двух пространств элементарных событий для
данного опыта.
6.2.40.	Сколько событий можно составить для пространства
П = {(Ji, Ш2, сиз}?
6.2.41.	Подбрасываются 3 монеты. Сколько имеется равновозможных
исходов данного опыта? Составить события, образующие пол-
ную группу. Привести примеры событий, не образующих пол-
ную группу. Указать подмножества множества Q, соответству-
ющие событиям: А — выпало не более одной решки; В — вы-
пало ровно два герба.
6.2.42.	Известно, что события Ai и Л2 произошли, а событие Л3 не
произошло. Произошли ли события:
а) А± • А% + А3;	б) Ai + Л2Л3;
в) Ai • Л2 • А3 ?
6.2.43.	Каков смысл равенств:
а) А • В • С = А;	б) А + В + С = А?
290

6.2.44.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на
рис. 63. Пусть события Ai, i = 1,2,3,4,5, состоят в том, что
одноименные элементы работают безотказно в течение време-
ни Т. Событие В = {схема работает безотказно в течение вре-
мени Т}. Выразить события В и В через события Ai.
Рис. 63
Рис. 64
6.2.45.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на
рис. 64. Событие Ai — элемент под номером г выходит из строя,
г = 1,2,3,4,5. Событие В — разрыв цепи. Выразить событие В
через события Ai.
6.2.46.	Доказать, что А • В + С = (А + С) • (В'+ С), где А, В, С —
случайные события.
6.2.47.	Найти случайное событие X из равенства:
а) А • X = А + X-	б) А + Х + А + Х = С.
6.2.48.	Справедливы ли следующие равенства:
а) А + А = А;	б) А • А = А;
в) А + В = А • В?
6.2.49.	При каком условии справедливо равенство (А + В) — В = А?
6.2.50.	Доказать, что (А -I- В) — В = А — В.
6.2.51.	Показать, что если В С А, то (А — В) + В = А.
6.2.52.	Доказать, что А — В = 0оАСВ.
§3. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
Классическое определение вероятности
Вероятность события численно характеризует степень возможности его
появления в рассматриваемом опыте.
Пусть производится опыт с п равновозможными исходами, образующими
полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементар-
ными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит
к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятству-
ющим) ему.
291

Вероятностью события А называется отношение числа т случаев, благо-
приятствующих этому событию, к общему числу п случаев.
Р(А) = ^.
Такое определение вероятности называется классическим.
Из классического определения следуют свойства вероятности: 0 Р(А)
1; Р(0) = 0; Р(П) = 1; Р(А) = 1 - Р(А); Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если
А В = 0.
Геометрическое определение вероятности
Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бес-
конечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие «гео-
метрической вероятности». К этому понятию приводят задачи на подсчет ве-
роятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть
тела и т. д.).
Пусть пространство элементарных событий Q представляет собой неко-
торую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться
области А, содержащиеся в Q.
Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из обла-
сти Q, называется геометрической вероятностью события А и находится по
формуле
где S(A) и S(Q) площади областей А и Q соответственно.
Случай, когда Q представляет собой отрезок или трехмерную область, рас-
сматривается аналогично.
Аксиоматическое определение вероятности
Пусть Q — множество всех возможных исходов некоторого опыта (экспери-
мента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому со-
бытию А (А — подмножество множества Q) ставится в соответствии некоторое
число Р(А), называемое вероятностью события А, причем так, что выполня-
ются следующие три условия (аксиомы вероятностей):
Р(А) 0;
P(Q) = 1;
аксиома сложения: Р
\ k / k
(3.1)
(3.2)
(3.3)
если Ai-Aj = 0 (г j), т. е. вероятность суммы попарно-несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий.
292

Из аксиом (3.1)-(3.3) вытекают основные свойства вероятности:
1.	Р(0) = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю.
2.	Р(А) 4- Р(А) = 1.
3.	О Р(А) 1 для любого события А.
4.	Р(А) Р(В), если А С В.
5.	Р(А) = 1» если Ai = Q и Ai • Aj = 0^ i j.
i=l	i=l
Если множество Q состоит из п равновозможных элементарных событий,
(т.е. Р(ап) = Р(сиг) = ... = P(cun) = ^), то вероятность события А определя-
ется по формуле классического определения вероятности
Р(А) = %,
где т — число случаев (элементов) ал, принадлежащих множеству А (число
благоприятствующих событию А исходов), п — число элементов множества Q
(число всех исходов опыта).
6.3.1. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся
только цветом.
1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что
он белый.
2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того,
что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.
О 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно
записать в виде П = {Bi, Б2, 63, Б4, Б5,4i, Ч2, Ч3, Ч4, }. Пусть событие
А = {появление белого шара}, тогда А = {61,62,63,64,65}.
Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классиче-
скому определению вероятности Р(А) = ^ = |.
2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (6i,4i),
(62,63), (63,62), (44,65) и т.д. Число всех случаев равно п = Ад =
= 9 • 8 = 72.
а)	Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {по-
явление двух белых шаров}, являются (Bi, 62), (61,63), (63,65), (63,61)
и т.д. Число таких случаев равно т = А? = 5 • 4 = 20. Поэтому Р(В) =
_ т _ 20 _ 5
п ~ 72 ” 18’
б)	Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {по-
явление хотя бы одного черного шара}, являются (Bi,4i), (Б1,Ч2),
(Bi,Ч3), (Ч3,Б1), (41,Ч2), (Чз,Ч4) и т.д. Число таких случаев равно
m = Ад — Al = 72 — 20 = 52 (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара
(см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров
ГН -I о
будет черным. Отсюда Р(С) = 72 = 18’ ^тот же РезУльтат можно полу-
чить иначе, т.к. С = В, то Р(С) = Р(В) = 1 - Р(Р) = 1 -	•
293

6.3.2.	В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу
вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что:
а) все они одного цвета; б) все они разных цветов;
в)	среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.
Q Сначала заметим, что число способов выбрать 3 карандаша из 12
имеющихся в наличии равно п = Cf2 = 220.
а)	Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно Cf способами; 3 красных
из имеющихся 4 можно выбрать Cf способами; 3 зеленых из 3 зеленых —
(?з способами.
По правилу сложения общее число т случаев, благоприятствующих
событию А = {три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета}, равно
т = С35 + Cl + Cl = 15. Отсюда Р(А) =	= Д.
б)	Пусть событие В = {три вынутых карандаша разных цветов}. Чи-
сло т исходов, благоприятствующих наступлению события В, по прави-
лу умножения равно т =	• Cl •	= 5 • 4 • 3 = 60. Поэтому Р(А) =
_ т _ 60 _
п 220	11*
в)	Пусть событие С = {из трех выбранных карандашей 2 синих и 1
зеленый}. Выбрать 2 синих карандаша из имеющихся 5 синих можно Cj
способами, а 1 зеленый из имеющихся 3 зеленых — способами. Отсюда
по правилу умножения имеем: т = Cf •	= 30. Поэтому Р(С) =	=
= 30 = _3_	е
220	22’
6.3.3.	Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти веро-
ятность того, что:
а)	получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбира-
ются три карточки;
б)	получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой вы-
бираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке
появления.
Q а) Из шести данных букв можно составить п =	= 120 трехбу-
квенных «слов» (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ, МИЛ и т. д.). Слово ЛОМ при
этом появится лишь один раз, т. е. т = 1. Поэтому вероятность появле-
ния слова ЛОМ (событие Л) равна Р(Л) = ^ =
б) Шестибуквенные «слова» отличаются друг от друга лишь поряд-
ком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их
число равно числу перестановок из 6 букв, т. е. п = Pq = 6!. Очевидно,
что т = 1. Тогда вероятность появления слова МОЛНИЯ (событие В)
равна Р(В) “ "п = б! = 720’	®
6.3.4.	Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что:
а)	сумма выпавших очков не превосходит 7;
б)	на обеих костях выпадет одинаковое число очков;
294

в)	произведение выпавших очков делится на 4;
г)	хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.
6.3.5.	Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться.
Какова вероятность того, что, случайно набирая цифры, можно
угадать нужный код?
6.3.6.	Из букв А, С, Н, Н, А, А разрезной азбуки составляется нау-
дачу слово, состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что
поручится слово «АНАНАС»?
6.3.7.	Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жре-
бию. Какова вероятность того, что два из них, а именно А и В,
будут сидеть рядом?
6.3.8.	Двое друзей, А и В, стоят в очереди из 8 человек. Найти веро-
ятность того, что:
а)	А и В стоят рядом;
б)	между А и В стоят два человека.
6.3.9.	На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4,
5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того,
что число на второй карточке больше, чем на первой?
6.3.10.	Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова
вероятность событий: А = {все извлеченные карты пиковой
масти}, В = {среди этих четырех карт окажется хотя бы один
король}?
6.3.11.	Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент
знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад вы-
бранных вопросов студент знает:
а) 3 вопроса;	б) 2 вопроса;
в) 1 вопрос.
6.3.12.	Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрич-
ки. Какова вероятность того, что все они:
а) зайдут в один вагон; б) зайдут в вагон № 3;
в) разместятся в разных вагонах?
6.3.13.	12 человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в го-
стинице, в которой есть один 4-местный, два 3-местных и один
2-местный номер. Какова вероятность события А, состоящего
в том, что Петров и Иванов попадут в 2-местный номер?
6.3.14.	На отрезок АВ длины а наудачу нанесена точка С. Найти веро-
ятность того, что меньший из отрезков АС и СВ имеет длину,
большую, чем
Q Расположим отрезок АВ на числовой оси Ох так, как это изображено
на рисунке 65.
Пусть х — координата случайной точки С. Тогда пространство Q
элементарных событий можно записать в виде Q = {ж : 0 х а}. Яс-
но, что исходов опыта (нанесение точки С на отрезок АВ) бесчисленное
множество и все они равновозможны.
295

А М С
0	«
6 6Q
N В
-И---1-
а
6Q
X
Рис. 65
Разобьем отрезок АВ на 6 равных отрезков. Очевидно, что условие
«меньший из отрезков АС и СВ имеет длину, большую, чем (событие
А) будет выполнено, если точка С попадет на отрезок MN = . [^, ^]-
Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события А
(на рисунке 65 она заштрихована), является отрезок MN, а множеству
всех исходов опыта соответствует отрезок АВ. Отсюда
4а
Р(Д\ — MN _ _6_ _ 2	ф
1 } АВ а 3'	w
6.3.15.	Противник в течение часа делает один десятиминутный налет
на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть
этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно из-
бежать налета, если время преодоления опасного участка пять
минут?
Q Обозначим через х момент времени, когда начинается выход на опас-
ный участок шоссе, а через у — момент времени начала обстрела этого
участка шоссе. Ясно, что 0 х 60, 0 у 60.
Будем рассматривать х и у как декартовы координаты на плоскости.
Тогда элементарные исходы в данном опыте (он состоит в фиксации вре-
мени начала действий обеих сторон), изобразятся точками (ж, у) квадрата
со стороной Т = 60, т. е. П = {(ж, у) : 0 х 60, 0 у 60}.
Интересующее нас событие А = {удастся избежать налета} наступит
тогда и только тогда, когда налет начнется спустя пять (или больше) ми-
нут после выхода на опасный участок либо начнется за десять (и более)
минут до начала преодоления участка шоссе, т. е. должно выполняться
одно из условий
Эти неравенства определяют благоприятствующую событию А область
Л, заштрихованную на рисунке 66.
Площадь области D равна S(D) =	• 50 • 50 +	• 55 • 55 = 2762,5;
площадь квадрата П равна S(Q) = 60 • 60 = 3600.
Тогда искомая вероятность равна
> S(fi) 3600	288	’
296

Рис. 67
Рис. 66
6.3.16.	Какова вероятность того, что корни уравнения х2 +рх + q = О
будут действительными, если коэффициенты р и q уравнения
выбираются наудачу из отрезка [0,1]?
Q Будем рассматривать множество всех возможных пар чисел (р, q) как
координаты точек единичного квадрата с вершинами (0,0), (0,1), (1,1),
(1,0) (см. рис. 67). Поэтому Q = {(р, q) : 0 < р < 1, 0 < q < 1}.
Корни уравнения действительны, если выполняется неравенство
р2 — 4q 0, т. е. q ^р2. Отсюда ясно, что множество точек квадрата,
благоприятствующих событию А = {корни уравнения действительны},
есть область D (на рисунке 67 область D заштрихована):
D = {(р,<?) : q |р2, 00^1, 0 q 1} .
Искомая вероятность равна
™ = ад = 111 = £|‘= X •
1 ' S(fi) 1 I2I0 12'
6.3.17.	В некоторой точке С линии АВ длины L произошел разрыв.
Какова вероятность того, что точка С удалена от точки А на
расстояние не меньше 17
6.3.18.	В круг радиуса г наудачу брошена точка. Какова вероятность
того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг пра-
вильного треугольника?
6.3.19.	На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а =
= 6 см, случайно падает монета радиуса г = 2 см. Найти веро-
ятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.
6.3.20.	На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа х и у. Найти
вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам
х2 Зр < Зх.
6.3.21.	В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем
поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и
297

равновозможно в любой промежуток времени длительностью
3 часа. Сигнализатор срабатывает, если интервал между мо-
ментами поступления сигналов менее 0,15 ч. Найти вероят-
ность того, что сигнализатор сработает в течение 3 часов, если
каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
6.3.22.	Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну
линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля
20 м. Какова вероятность того, что корабль благополучно прой-
дет через заграждение?
6.3.23.	В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная на-
удачу внутри шара точка окажется внутри куба.
6.3.24.	Опираясь на аксиомы теории вероятностей, доказать следую-
щие утверждения:
а)	Р(0) = 0;	б) Р(А) = 1 - Р(А).
Q а) Так как 0 + Q = Q, то Р(0 + Q) = Р(П). По аксиоме (3.3):
Р(0 + П) = P(0) + P(Q),
т. к. 0 • Q = 0. Итак, Р(0) + Р(П) = Р(П), откуда Р(0) = 0.
б)	Так как А + Л = ПиА-А = 0, то по аксиомам (3.2)-(3.3):
Р(А + А) = Р(А) + Р(А) = Р(П) = 1.
Отсюда Р(А) = 1 — Р(А).	•
6.3.25.	Доказать, что Р(А + В) = Р(А) -I- Р(В) — Р(АВ).
Q Так как А+В = А+(В — А) и В = (В—А)+АВ, причем А (В—А) = 0
и (В - А) - АВ = 0, то по аксиоме сложения (3.3) находим: Р(А + В) =
= Р(А) + Р(В - А) и Р(В) = Р(В - А) + Р(АВ), откуда Р(В - А) =
= Р(В) - Р(АВ). Следовательно, Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). •
6.3.26. Доказать, что для любых событий А и В выполнено неравен-
ство Р(А + В) Р(А) + Р(В).
6.3.27.	Доказать, что для любых событий А, В и С
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)-
- Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
6.3.28.	Пусть Р(А) = Р(В) = Доказать, что Р(АВ) = Р(А • В).
6.3.29. Доказать, что если A D В, то Р(А — В) = Р(А) — Р(В).
Дополнительные задания
6.3.30.	Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероят-
ностью не меньше 0,6 хотя бы один раз выпало 6 очков?
6.3.31.	Из последовательности чисел 1,2,3,4,..., 600 наудачу выбира-
ются два числа. Какова вероятность того, что одно из них мень-
ше 126, а другое больше 126?
298

6.3.32.	В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши выпали на 20 билетов. Некто приобрел 5 билетов. Найти вероятности сле- дующих событий: а)	выигрыш выпадет на все 5 билетов; б)	выигрыш выпадет хотя бы на 1 билет; в)	выигрыш выпадет на 2 билета.
6.3.33.	Восемь шахматистов, среди которых три гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две команды по 4 человека. Какова ве- роятность того, что два гроссмейстера попадут в одну команду, а еще один — в другую?
6.3.34.	В ящике 20 деталей, 4 из них — нестандартные. Какова вероят- ность того, что среди 6 наугад взятых деталей нестандартных не окажется?
6.3.35.	Железнодорожный состав из 9 вагонов и вагона-ресторана фор- мируется произвольным образом. Какова вероятность того, что: а)	вагон № 7 и вагон-ресторан расположены рядом; б)	между вагоном № 7 и вагоном-рестораном окажется 5 ваго- нов?
6.3.36.	Две однотипные радиостанции имеют 8 фиксированных одина- ковых частот. Какова вероятность того, что при независимом и произвольном выборе частот они окажутся настроенными на: а) одну частоту;	б) разные частоты?
6.3.37.	Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы роди- лись: а)	в разные дни года (в году 365 дней); б)	в один день года;	в) 8 марта; г) в разные месяцы года;	д) в сентябре; е) в разные дни сентября.
6.3.38.	Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров?
6.3.39.	Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото — 6 из 49», купивший один билет, угадает правильно: а) 2 номера;	б) 6 номеров.
6.3.40.	Какова вероятность того, что произвольно взятое трехзначное число делится на 3?
6.3.41.	Натуральные числа от 1 до п расставлены случайно. Найти ве- роятность того, что числа 5, 6, 7 расположены рядом и притом в порядке возрастания.
6.3.42.	На 9 одинаковых карточках написаны буквы Е, Е, Р, Р, С, С, Я, Г, И. Эти карточки выкладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово РЕГРЕССИЯ?
299

6.3.43.	В «Словаре русского языка» С. И. Ожегова 900 страниц. Како-
ва вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь
порядковый номер, кратный 13?
6.3.44.	В группе 10 юношей и 10 девушек. Для дежурства на вечере пу-
тем жеребьевки выделяют 5 человек. Какова вероятность того,
что в число дежурных войдут:
а) 5 юношей;	б) 2 юноши и 3 девушки?
6.3.45.	В урне 3 белых, 6 черных и 5 синих шаров. Из нее вынимают
наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся
разного цвета?
6.3.46.	Какова вероятность того, что два определенных студента будут
посланы на практику в город С, если в наличие имеется 5 мест
в город А, 8 — в город В и 7 — в город С?
6.3.47.	10 яблок, 3 груши и 8 лимонов раскладывают наудачу в три
пакета с равным количеством фруктов. Найти вероятности со-
бытий:
а)	в каждом пакете по 1 груше;
б)	в случайном выбранном пакете нет груш.
6.3.48.	Из колоды в 36 карт вынимают наудачу 4 карты. Найти веро-
ятности событий: А = {все карты — дамы}, В = {две карты
из четырех — шестерки}. Решить задачу для схемы выбора:
а) без возвращения;	б) с возвращением.
6.3.49.	На плоскости нарисованы две концентрические окружности,
радиусы которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что
точка, брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо,
образованное этими окружностями?
6.3.50.	Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых
правильных положительных дробей будет не больше i?
6.3.51.	Два человека договорились о встрече в определенном месте в
промежутке времени от 19.00 до 20.00. Каждый из них приходит
наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова
вероятность того, что они встретятся?
6.3.52.	Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова ве-
роятность того, что их сумма заключена между i и 1?
6.3.53.	На паркет, составленный из правильных треугольников со сто-
роной а, случайно падает монета радиуса г. Найти вероятность
того, что монета целиком окажется внутри одного из треуголь-
ников.
6.3.54.	Стержень длины L ломают на три части, выбирая случайным
образом места разлома. Найти вероятность того, что из полу-
ченных отрезков можно составить треугольник.
300

6.3.55.	Задача-шутка.
На дне глубокого сосуда
Лежат спокойно п шаров,
Поочередно их оттуда
Таскают двое дураков.
Сие занятье им приятно,
Они таскают т минут
И, взявши шар, его обратно
В сосуд немедленно кладут.
Ввиду условия такого
Сколь вероятность велика,
Что первый был глупей второго,
Когда шаров он вынул fc?
В.П. Скитович, 1946 г.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.3.56.	12 предметов произвольно расставляют по трем комнатам. Ка-
кова вероятность того, что в первой комнате окажется 2 пред-
мета, во второй — 3, а в третьей — 7?
6.3.57.	Из множества чисел {1,2,3,..., п} наудачу выбираются два чи-
сла. Какова вероятность того, что второе число больше перво-
го, если выбор осуществляется с возвращением?
6.3.58.	п шаров произвольно раскладываются по п гнездам. Какова
вероятность того, что одно гнездо окажется пустым?
6.3.59.	Некто написал на листке четырехзначное число и предложил
отгадать его. Какова вероятность угадывания числа с первой
попытки?
6.3.60.	Бросается 10 монет. Найти вероятность того, что на 4 монетах
выпадет герб.
6.3.61.	Какова вероятность появления герба не менее одного раза при
двукратном бросании монеты?
6.3.62.	Числа 1,2,3...,п расставлены в случайном порядке. Какова
вероятность того, что числа 4, 5, 6 расположены в порядке воз-
растания, но необязательно рядом?
6.3.63.	Из 5 видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Найти
вероятность того, что все отобранные открытки будут разными.
6.3.64.	Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1) нау-
дачу выбирается точка М(х,у). Найти вероятность события
А = {(ж, у) : х 4- у2	а2, а > 0}.
6.3.65.	Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу.
Моменты времени прихода обоих пароходов независимы и рав-
новозможны в течение данных суток. Найти вероятность того,
301

6.3.66.
6.3.67.
6.3.68.
6.3.69.
что одному из пароходов придется ожидать освобождения при-
чала, если время стоянки первого парохода — 1 час, а второ-
го — 2 часа.
Задача Бюффона, Игла длины I бросается на плоскость, раз-
графленную параллельными прямыми на полосы шириной L.
Все положения центра иглы и все ее направления одинаково
вероятны. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-
нибудь прямую.
На окружность радиуса R наудачу поставлены три точки А, В
и С. Найти вероятность того, что треугольник АВС — остро-
угольный.
Какой толщины должна быть монета радиуса R, чтобы веро-
ятность падения на ребро была равна |?
Расстояние от пункта А до пункта В пешеход проходит за
20 минут, а автобус — за 2 минуты. Интервал движения ав-
тобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени от-
правляется из А в В. Какова вероятность того, что его в пути
догонит автобус?
§ 4.	УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Правило умножения вероятностей
Пусть А и В — некоторые события, причем Р(В) > 0. Условной вероят-
ностью события А при условии В (обозначается Р(А | В)) называется веро-
ятностью события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта
вероятность находится по формуле
Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А:
Из этих формул следует
Теорема 6.3 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведе-
ния двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(А) • Р(В | А) или Р(АВ) = Р(В) • Р(А | В).
Понятие условной вероятности, так же как и правило умножения веро-
ятностей естественным образом обобщаются на случай произвольного числа
302

событий. А именно, в случае п событий имеем
P(A1-A2-...-A„)=P(Ai)-P(A2 I А1)-Р(Аз | AM2)-...-P(An | AiA2-...-An_i).
Независимые события
Событие А называется независимым от события В, если вероятность
события А не зависит от того, осуществилось или нет событие В.
В этом случае условная вероятность события А при условии В равна без-
условной вероятности события А, т. е. выполняется равенство
Р(А | В) = Р(А).
Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А. Оба
события при этом называются независимыми.
Таким образом два события называются независимыми, если появление
одного из них не меняет вероятности появления другого.
Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает
вид:
Р(АВ) = Р(А) • Р(В).
Эта формула часто используется в качестве определения независимых собы-
тий.
События Ai, А2,..., Ап называются независимыми (или независимыми в
совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления
или неосуществления любого числа остальных событий.
В случае п независимых событий имеем
P(Ai • А2 • А3 •... • Ап) = Р(АХ) • Р(А2) •... • Р(АП).
События А1,Аг,...,Ап называются попарно-независимыми, если любые
два события Ai и Aj (г 0 j) из этого набора независимы.
Независимые события Ai, А2,..., Ап являются попарно-независимыми. Об-
ратное, вообще говоря, неверно.
Вероятность суммы совместных событий
Теорема 6.4. Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их
вероятностей минус вероятность их произведения, т.е.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
Для трех событий А, В и С имеем:
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
303

В случае трех и большего числа событий для нахождения вероятности
суммы S этих событий проще найти вероятность противоположного события
S, а затем воспользоваться равенством P(S) = 1 — P(S).
6.4.1.	Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что
на первой кости выпало 2 очка при условии, что сумма очков,
выпавших на двух костях, меньше 6.
Q Решим задачу двумя способами.
1.	Пусть событие А = {на первой кости выпало 2 очка}, событие
В = {сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6}. Событие В
состоит из 10 элементарных событий:
в = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)}.
Событие А, определяемое условием В (это значит, что исходы, благопри-
ятствующие событию А, отбираются среди исходов, составляющих собы-
тие В), состоит из трех элементарных исходов опыта: (2,1), (2,2), (2,3).
о
Поэтому искомая вероятность равна Р(А | В) =
2.	Пространство элементарных событий состоит из 36 элементов: Q =
= {(1,1), (1,2),..., (6,6)}. Для вычисления вероятности Р(А | В) вос-
Р(АВ}
пользуемся формулой Р(А | В) =	• ^ак как
А = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)},
В = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)},
то АВ = {(2,1), (2,2), (2,3)}.
Z?	1Л
По классическому определению вероятности Р(Л) = Р(В) = йй,
оо	оо
Р(ЛВ) = Поэтому
оо
3
Р(А I В) =	= 36 = _3_	ф
( 1 Р(В) 10	10’
36
6.4.2.	Из стандартного набора домино (28 штук) берется наудачу одна
кость. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем
(т. е. будет иметь вид 1-1, 4-4 и т. д.), если известно, что сумма
очков на ной — четное число?
6.4.3.	Найти вероятность того, что при бросании трех игральных ко-
стей хотя бы на одной выпадет 5 очков, при условии, что на
всех костях выпали грани с нечетным числом очков? с четным
числом очков?
6.4.4.	Вероятность попадания в цель равна 0,3, а вероятность ее уни-
чтожения равна 0,05. Найти вероятность того, что при попада-
нии в цель она будет уничтожена.
304

6.4.5.	В произвольном порядке выписываются 2 буквы И и 2 буквы С.
Найти вероятность того, что обе буквы С стоят рядом, при
условии, что последняя по порядку буква есть буква И.
6.4.6.	Известно, что события А и В независимы. Доказать, что собы-
тия А и В так же независимы.
Q По условию, Р(А | В) = Р(А). А так как Р(А | В) 4- Р(А | В) = 1, то
Р(А | В) = 1 - Р(А | В) = 1 - Р(А) = Р(А). Итак, Р(А | В) = Р(А), т.е.
события А и В — независимы.	•
6.4.7.	В урне находится 4 шара: красный, синий, черный и трехцвет-
ный (красно-сине-черный) шар. Из урны извлекается один шар.
Исследовать на независимость события: К = {извлеченный
шар имеет красный цвет}, С = {извлеченный шар имеет си-
ний цвет}, Ч = {извлеченный шар имеет черный цвет}.
Q Множество возможных исходов опыта таково: П = £К;С;Ч; КСЧ},
где буква К означает, что извлечен шар красного цвета, и т. д.
Очевидно, что Р(К) = = Р(С) = Р(Ч) = i.
Событиям К • С, К • Ч, С • Ч благоприятствует лишь один исход —
это шар КСЧ (имеет все 3 цвета). Значит, Р(К • С) = ^ = Р(К) • Р(С),
Р(К • Ч) = 1 = 1 • 1 = Р(К) • Р(Ч) и Р(С • Ч) = 1 = Р(С) • Р(Ч).
Следовательно, события КиС, КиЧ, СиЧ независимы. Тем не менее,
события К, С и Ч не являются независимыми в совокупности. Действи-
тельно, Р(К • С • Ч) = 1, а Р(К) • Р(С) • Р(Ч) = 1 | • 1 = т.е.
Р(К • С • Ч) / Р(К) • Р(С) • Р(Ч).	•
6.4.8.	Брошены три игральные кости. Событие А = {на 1-й и 2-й ко-
сти выпало одинаковое число очков}, событие В = {на 2-й и 3-й
кости выпало одинаковое количество очков}, событие С = {на
1-й и 3-й кости выпало одинаковое количество очков}. Будут
ли события А, В и С:
а) попарно независимы;
б) независимы в совокупности?
6.4.9.	Из колоды в 36 карт вытаскивается наудачу одна. Зависимы ли
события А = {вытащен валет} и В = {вытащена карта черной
масти}?
6.4.10.	Доказать, что если события А и В независимы, то события В
и А, А и В также независимы.
6.4.11.	В урне находится а белых и b черных шаров, причем а > 2 и
b > 2. Из нее извлекаются два шара по схеме выбора с воз-
вращением. Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, А2 =
= {второй шар — белый}. Найти P(Ai), Р(А2), P(Ai * А2),
P(Ai | А2) и Р(А2 | Ai). Выяснить: являются ли события Ах и
А2 независимыми? совместными?
305

6.4.12.	В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара.
Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть вы-
борки:
а) без возвращения;	б) с возвращением.
Q Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, событие А2 = {второй
шар — белый}. Тогда событие А = {оба шара белые} наступит, если
осуществится и событие Ai, и событие А2, т.е. А = Ai • А2.
а)	События Ai и А2 зависимы, т. к. наступление события Ai влияет
на вероятность события А2 (шаров в урне останется 6, из них только 3
белых). Поэтому
Р(А) = Р(Л • А2) = Р(Ах) • Р(А2 | Ах) = | • | = |.
б)	Если после первого извлечения шар возвращается в урну, то со-
бытия Ai и А2 — независимы, откуда
Р(А) = Р(Ах • А2) = Р(А,) • Р(А2) = 1 • 1	•
6.4.13.	Задачу 6.3.6 решить другим способом, используя правило умно-
жения вероятностей для п событий.
Q Рассмотрим следующие события: А = {получится слово АНАНАС},
Ai = {первой, выбранной наудачу буквой, будет буква А}, А2 = {вто-
рой — Н}, A3 = {третьей — А}, А4 = {четвертой — Н}, А5 = {пятой —
А}, Аб = {шестой — С}. Тогда А = Ai • А2 • А3 • А4 • А5 • А§. Применяя
правило умножения вероятностей, имеем
Р(А) = P(Ai • А2 • А3 • А4 • А5 • А6) = P(AJ • Р(А2 | Л) • Р(А3 | АМ2)х
х Р(А4 | AiА2А3) • Р(А5 | А1А2А3А4) • Р(Аб | А1А2А3А4А5) =
_3 2 2 1 1 1_Х	е
6 5 4 3 2 1	60'
6.4.14.	Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются три карты (без воз-
врата). Какова вероятность того, что среди них не будет ни
одной шестерки?
6.4.15.	Среди 100 лотерейных билетов есть 10 выигрышных. Какова
вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся
выигрышными?
6.4.16.	Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова
вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для от-
крывания замка?
6.4.17.	Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того,
что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй — 0,4; тре-
тий — 0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что
данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность
того, что корреспондент вообще услышит вызов.
6.4.18.	В ящике содержатся 9 белых, 6 черных и 5 зеленых шаров.
Наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что
он окажется либо черным, либо зеленым.
306

Q Пусть событие А = {извлеченный шар окажется черным}, В = {из-
влеченный шар окажется зеленым}. Тогда событие С = {извлеченный
шар окажется либо черным, либо зеленым} представляет собой сумму
несовместных событий А и В , т. е. С = А + В. Поэтому
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) 4- Р(В) =	= || = 0,55.
Вероятность извлечения черного или зеленого шара можно было бы най-
ти без использования теоремы сложения вероятностей; ведь имеется 11
равновозможных, благоприятных событию С исходов: Р(С) = ^-)	®
6.4.19.	Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероят-
ность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго — 0,8.
Найти вероятность того, что мишень будет поражена. А если
стрелки сделают по два выстрела?
Q Пусть событие Ai = {попадание в мишень первым стрелком при г-м
выстреле}, событие Bi = {попадание в мишень вторым стрелком при г-м
выстреле}, г = 1,2; событие С = {мишень поражена}.
Сначала решим задачу для случая, когда стрелки делают по одному
выстрелу.
Первое решение.
По условию Р(АХ) = Р(А2) = 0,7, Р(ВХ) = Р(В2) = 0,8.
Событие С = Ai 4- Bi состоит в том, что при одном залпе мишень
будет поражена хотя бы одним стрелком.
Так как события Ах и Bi совместны, то
Р(С) = Р(А + Bi) = Р(Л) + Р(вх) - Р(Л • Bi).
События Ai и Bi — независимы, поэтому Р(АХ • Bi) = Р(АХ) • Р(ВХ),
откуда
P(C) = P(Ai) 4- P(B0 - P(Ai) • P(Bi) = 0,7 4- 0,8 - 0,7 • 0,8 = 0,94.
Второе решение.
Поражение цели (С) означает, что: в нее попал первый стрелок, а
второй промазал (Ai -Bi); или попал второй стрелок, а первый промазал
(Ai • Bi); или попали оба стрелка (Ai • Bi). Тогда
С = Ai 4- Bi = AiBi 4- AiBi 4- AiBi.
По правилу сложения вероятностей несовместных событий получаем
Р(С) = Р( Ai Bi) + Р( Ai Bi) 4- Р( Ai Bi) = 0,7 • 0,2 + 0,3 • 0,8 4- 0,7 • 0,8 = 0,94.
Третье решение.
Найдем вероятность события (7, противоположного событию С. Оче-
видно, что С = Ai 4- Bi = Ai Bi = {оба стрелка промахнулись}. Так
как события Ai и Вх независимы, то Р(С) = Р(А • Вi) = Р(АХ) • Р(ВХ) =
= 0,3 • 0,2 = 0,06. Следовательно, Р(С) = 1 — Р(С) = 1 - 0,06 = 0,94.
307

Если стрелки делают по два выстрела в мишень, то событию С бла-
гоприятствует 15 исходов данного опыта (стрельба по мишеням) из 16
возможных исходов. Такими исходами являются, например, следующие:
А1А2В1В2, А1А2В1В2, А1А2В1В2, А1А2В1В2 и т. д. Поэтому проще най-
ти вероятность противоположного события С = {все четыре выстрела —
промах}. Имеем Р(С) = P(AiA2BiB2) = P(Ai) • Р(А2) -_Р(^1) * ^(^2) =
= 0,3-0,3-0,2-0,2 = 0,0036. Следовательно, Р(С) = 1 —Р(С) = 1 — 0,0036 =
= 0,9964.	•
6.4.20.	Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. С целью
контроля из этой партии отбираются наугад 7 изделий. Если
среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся
партия изделий. Какова вероятность того, что партия изделий
будет забракована?
Q Партия бракуется, если среди 7 изделий бракованных будет не менее
трех; не бракуется — если среди 7 изделий бракованных ноль, одно или
два.
Пусть событие Ао = {среди 7 изделий нет бракованных}, событие
Ai = {среди 7 изделий есть одно бракованное}, событие А2 = {среди
7 изделий — два бракованных}. Тогда событие А = {партия изделий
принимается} можно представить в виде А = Ао + Ai + А2. И так как
события Ао, Ai, А2 несовместны, то
Р(А) = Р(А0 + Ai + А2) = Р(А0) + Р(Л) + Р(А2).
Найдем вероятность Р(Ао), используя классическое определение веро-
ятности. Отобрать 7 деталей из 100 можно п = C7QQ способами. Собы-
тию Ао благоприятствует т = CgQ • (7% = CgQ случаев. Следовательно,
С7
Р(А0) =	= у ° . Аналогично находим, что
^100
Cl z^6	r^2	z^5
10 ’ °90 р/ л \	°10 ’ °90
= “7^----’	= “7^7----*
^100	° 100
/^0 л*7	/^1 /^6	Г^2
Таким образом, Р(А) =	+ ^22 + £^Чо 098
^100	^100	^100
Следовательно, вероятность того, что партия изделий будет забрако-
вана, равна Р(А) = 1 — Р(А) = 1 — 0,98 = 0,02.	•
6.4.21.	Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй —
только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти
вероятность того, что правильно ответят:
а) оба студента;	б) только первый студент;
в) только один из них;	г) хотя бы один из студентов.
6.4.22.	В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, в другой
10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному челове-
ку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба они
окажутся юношами или оба — девушками.
308

6.4.23.	Монета бросается до первого появления герба. Какова вероят-
ность того, что понадобится четное число бросков?
6.4.24.	При включении зажигания двигатель начнет работать с веро-
ятностью 0,9. Какова вероятность того, что для запуска двига-
теля придется включать зажигание не более трех раз?
6.4.25.	Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на ри-
сунке 68. Элементы с номерами 1, 2, 3 могут выйти из строя
независимо друг от друга с вероятностями, равными соответ-
ственно 0,10; 0,15; 0,20. Какова вероятность разрыва цепи?
Рис. 68
6.4.26.	Устройство состоит из
а)	пяти последовательно включенных элементов;
б)	пяти параллельно включенных элементов.
Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,80.
Определить вероятность безотказной работы всего устройства,
полагая, что отказы отдельных элементов независимы.
6.4.27.	Какова вероятность того, что наудачу написанную дробь
m,n € {1,2,3,..., 100}
а) можно сократить на 2; б) нельзя сократить на 6?
6.4.28.	Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при
трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания
при одном выстреле?
Дополнительные задания
6.4.29.	В урне содержится 3 белых и 4 черных шара. Из нее последова-
тельно вынимаются два шара. Обозначая события Ai = {пер-
вый шар белый}, А2 = {второй шар белый}, В = {хотя бы один
из вынутых шаров белый}, вычислить условные вероятности:
Р(А | Л2), Р(А | В).
6.4.30.	Бросают две игральные кости. Известно, что выпала сумма оч-
ков, равная 7. Какова вероятность того, что выпало 1 и 6?
6.4.31.	Пусть Р(А | В) > Р(В | А), Р(А) / 0, Р(В) / 0. Верно ли, что
Р(А) > Р(В)?
6.4.32.	Один раз подбрасывается игральная кость. Событие А = {вы-
падение нечетного числа очков}, событие В = {выпадение чет-
ного числа очков}, событие С = {выпадение менее 4 очков}.
Вычислить вероятности Р(А | В), Р(А | С).
309

6.4.33.	Пятизначное число образовано при помощи перестановки цифр!
2, 2, 2, 5, 5. Все размещения равновозможны. Найти вероят-
ность того, что обе пятерки стоят рядом при условии, что по-
лученное число четное.
6.4.34.	Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два во-
проса, которые не повторяются. Экзаменующийся может отве-
тить только на 45 вопросов. Найти вероятность того, что экза-
мен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два во-
проса из одного билета или на один опрос из первого билета и
на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
6.4.35.	В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке, и 6
человек — только на финском. Какова вероятность того, что из
двух наудачу выбранных людей оба говорят на одном языке?
6.4.36.	В урне находятся 3 белых, 4 желтых и 2 черных шара. Из нее
наугад вынимают (без возвращения) один за другим по одно-
му шару. Какова вероятность того, что белый шар появится
раньше желтого?
6.4.37.	Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг
от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не по-
требует внимания рабочего равна 0,9, второй — 0,8, третий —
0,75. Найти вероятность того, что за смену:
а) только один станок потребует внимания;
б)	хотя бы один станок потребует внимания;
в)	только третий станок потребует внимания рабочего.
6.4.38.	Для приема партии готовых изделий применяют выборочный
контроль. Для этого берут наугад 3 изделия. Если среди них
окажется:
а)	хотя бы одно бракованное;
б)	более одного бракованное, то бракуется вся партия.
Вычислить в обоих случаях вероятность того, что при таком
способе контроля партия, состоящая из 46 стандартных изде-
лий и 4 бракованных, будет принята.
6.4.39.	Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор за-
дает ему вопросы до тех пор, пока не обнаруживает пробел в
знаниях студента. Найти вероятность того, что будут заданы:
а) два вопроса;	б) более двух вопросов;
в) менее пяти вопросов.
6.4.40.	Электрическая цепь (рис. 62 о) состоит из 4 элементов, выход
из строя которых в заданном промежутке времени — независи-
мые события, имеющие вероятности qi = 0,1; q? = 0,2; q% = 0,3;
q4 = 0,4. Найти вероятность разрыва цепи.
6.4.41.	Электрическая цепь состоит из 5 элементов:
а) рис. 63;	б) рис. 64.
310

Найти вероятность разрыва цепи, предполагая, что отказы от-
дельных элементов независимы. Вероятности отказов элемен-
тов соответственно равны: qi = 0,1; #2 = 0,15;	= 0,15; q± =
= 0,15; <75 = 0,2.
6.4.42.	Два игрока поочередно бросают:
а) монету;	б) игральную кость.
Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб (в случае а),
шестерка (в случае б). Найти вероятность выигрыша первого
игрока.
6.4.43.	Из набора цифр от 0 до 9, написанных по одной на 10 одина-
ковых картонках, извлекаются по одной 4 цифры и ставятся в
ряд. Какова вероятность того, что получившееся число:
а) 1957;	б) 2003?
Рассмотреть два случая выборки: без возвращения и с возвра-
щением.
6.4.44.	Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух
орудий равна 0,35. Найти вероятность попадания при одном
выстреле первым орудием, если для второго орудия эта веро-
ятность равна 0,75.
6.4.45.	Работа некоторого устройства прекратилась из-за выхода из
строя одного из четырех блоков. Производится последователь-
ная замена наудачу взятого блока новым до тех пор, пока
устройство не начнет работать (новые блоки не заменяются).
Какова вероятность того, что придется заменить:
а) один блок;	б) два блока;
в) четыре блока?
6.4.46.	При автоматическом изготовлении болтов допускается в сред-
нем 3% брака. Какова вероятность того, что среди взятых для
контроля 5 болтов не окажется
а) ни одного бракованного; б) один бракованный?
6.4.47.	Четверть билетов лотереи — выигрышные. Сколько билетов
надо приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, быть
уверенным, что выиграет хотя бы один билет?
6.4.48.	Стрелок производит выстрел по мишени до первого попадания.
Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5. Какова
вероятность того, что по мишени будет произведено:
а) 7 выстрелов;	б) не более 7 выстрелов?
6.4.49.	Из букв А, А, И, Л, М, Н разрезной азбуки выбирают наудачу
по одной и ставят в ряд. Найти вероятность того, что получится
слово:
а) МИНА;	б) НАЛИМ;
в) МАЛИНА?
311

6.4.50.	Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магази-’
на. Вероятность наличия ее в каждом магазине равна 0,2. Что
вероятнее — найдет он искомую вещь или нет?
6.4.51.	Найти вероятность того, что заказанный (в данный промежу-
ток времени) междугородный разговор не состоится, если веро-
ятность занятости всех каналов связи в этот промежуток равна
0,7, а вероятность отсутствия вызываемого лица равна 0,4.
6.4.52.	Студент может добраться до института или автобусом, кото-
рый ходит через каждые 20 мин, или троллейбусом, который
ходит через каждые 10 мин. Найти вероятность того, что сту-
дент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших
5 мин?
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.4.53.	Доказать свойства условных вероятностей:
а)	Р(П | В) = 1;
б)	Р(А | В) = 1 - Р(А | В);
в)	Р(А + С | В) = Р(А | В) + Р(С | В)_- Р(АС | В).
6.4.54.	Верно ли равенство Р(А | В) + Р(А | В) = 1?
6.4.55.	В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девоч-
ки — независимые и равновероятные события, вычислить ве-
роятность того, что:
а)	оба ребенка — мальчики;
б)	оба ребенка — мальчики, если известно, что в семье есть
мальчик.
6.4.56.	Зависимы ли:
а)	несовместные события;
б)	события, образующие полную группу?
6.4.57.	Известно, что АВ = 0, Р(А) > 0, Р(В) > 0. Доказать, что
события А и В зависимы.
6.4.58.	Каждую из 5 палок разламывают произвольно на две части —
короткую и длинную. Из полученных обломков наудачу обра-
зуют 5 «йовых» палок. Какова вероятность того, что:
а)	обломки объединены в том виде, в каком они были первона-
чально;
б)	все длинные палки соединены с короткими?
6.4.59.	Брошены белая и черная игральные кости. Какова вероятность
того, что на белой кости выпадет больше очков, чем на черной?
6.4.60.	Абонент забыл последнюю цифру телефона и набирает ее на-
угад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не
более чем в 5 мест?
312

6.4.61.	Известно, что
Р(А\ В) = Р(А\В).
Доказать, что события А и В независимы.
6.4.62.	Подброшены 3 монеты. Определить зависимы или не зависимы
события А и В, если: А = {выпадение решки на первой монете};
В = {выпадение хотя бы одной решки}.
6.4.63. Для повышения надежности р данного прибора он дублирует-
ся несколькими такими же приборами так, чтобы полученная
система работала (она работает, если работает хотя бы один из
приборов). Сколько приборов надо взять, чтобы повысить его
надежность до заданной вероятности pi ?
6.4.64. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно
вынимают (без возвращения) по одному шару. Выигрывает тот,
кто первым вытащит белый шар. Найти вероятность того, что
выиграет первый игрок.
6.4.65. Электрическая цепь состоит из 5 элементов (рис. 69), выход из
строя которых в заданный промежуток времени — независи-
мые в совокупности события, имеющие соответственно вероят-
ности qi (i = 1,2,3,4,5). Найти вероятность разрыва цепи.
rn~>y-r~3~~F
Г~5~~1
Рис. 69
§ 5.	ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА
БЕЙЕСА
Теорема 6.5. Пусть событие А может произойти только с одним из событий
Hi, #2, • • •,-Ни» образующих полную группу попарно несовместных событий,
т. е. Hi • Hj = 0, i 0 j и Hi = Q.
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности
Р(А) = ^Р(Нг)-Р(А\Нг).
(5-1)
При этом события Я1, Я2,. •., Нп обычно называют гипотезами, а числа
P(Hi) — вероятностями гипотез.
313

Теорема 6.6. Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние,
доопытные (или априорные) вероятности гипотез Р(Я1),..., Р(НП) должны
быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности
P(Hi | А),..., Р(НП | А), которые вычисляются по формуле Бейеса:
P(Hi) . Р(А I Hi)
Р(А)
(г = 1,2,... ,п), где вероятность Р(А) вычисляется по формуле (5.1).
6.5.1.	45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м
заводе, 15% — на 2-м, остальные — на 3-м заводе. Вероятности
того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потре-
буют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96, 0,84,
0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный
наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.
Q Пусть событие: А = {телевизор выдержит гарантийный срок рабо-
ты}, а гипотезы Hr = {телевизор изготовлен на 1-м заводе}, Н2 = {те-
левизор изготовлен на 2-м заводе}, Н3 = {телевизор изготовлен на 3-м
заводе}.
События Я1, Я2, Я3 образуют полную группу несовместных собы-
тий, при этом: P(Hi) = 0,45; Р(Н2) = 0,15; Р(Я3) = 0,40. (Для контроля
можно найти сумму вероятностей гипотез; она должна равняться едини-
це: £ P(Hi) = 0,45 + 0,15 + 0,40 = 1).
г=1
По условию Р(А I Hr) = 0,96, Р(А | Я2) = 0,84, Р(А | Н3) = 0,90.
Отсюда по формуле полной вероятности имеем
Р(А) = Р(ЯЙ • Р(А | Hr) + Р(Я2) • Р(А | Я2) + Р(Я3) • Р(А | Я3) =
= 0,45 • 0,96 + 0,15 • 0,84 + 0,40 • 0,90 = 0,918.	•
6.5.2.	Для улучшения качества радиосвязи используются два радио-
приемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником
равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независи-
мы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность
безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого
приемника равна 0,9.
Q Пусть событие А = {сигнал будет принят}. Рассмотрим четыре ги-
потезы: Hr = {первый приемник работает, второй — нет}; Я2 = {второй
приемник работает, первый — нет}; Я3 = {оба приемника работают},
Я4 = {оба приемника не работают}. Событие А может произойти только
с одной из этих гипотез. Найдем вероятность этих гипотез, рассматривая
314

следующие события: Ci = {первый приемник работает}, С2 = {второй
приемник работает}. Тогда:
Р(Я1) = P(Ci • С2) = P(Ci) • Р(С2) = 0,9 • 0,1 = 0,09;
Р(Я2) = P(Ci • С2) = P(Ci) • Р(С2) = 0,1 • 0,9 = 0,09;
Р(Я3) = P(Ci • С2) = P(Ci) • Р(^) = 0,9 • 0,9 = 0,81;
Р(Я4) = P(Ci • С2) = P(Ci) • Р(С2) = 0,1 • 0,1 = 0,01.
4
(Контроль: £ Р(Я0 = 0,09 + 0,09 + 0,81 + 0,01 = 1.)
г=1
Условные вероятности Р(А | Я^) соответственно равны: Р(А \ Hi) =
= 0,8; Р(А | Я2) = 0,8; Р(А | Я3) = 0,8+0,8-0,8-0,8 = 0,96; Р(А | Я4) = 0.
Теперь по формуле полной вероятности находим искомую вероят-
ность Р(А) = 0,09 • 0,8 + 0,09 • 0,8 + 0,81 • 0,96 + 0,01 • 0 = 0,9216.	•
6.5.3.	Имеются две одинаковые урны с шарами. В 1-й находится 3 бе-
лых и 4 черных шара, во 2-й — 2 белых и 3 черных. Из наудачу
выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность то-
го, что этот шар белый?
6.5.4.	Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вы-
тащить счастливый билет для него больше, если он идет сда-
вать экзамен первым или если — вторым?
6.5.5.	На рисунке 70 изображена схема дорог. Туристы выходят из
пункта А, выбирая наугад на развилке дорог один из воз-
можных путей. Какова вероятность того, что они попадут в
пункт Я?
6.5.6.	Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной це-
ли. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6, 2-м — 0,7,
3-м — 0,8. При одном попадании в мишень вероятность пора-
315

жения цели равна 0,2, при двух — равна 0,6, при трех — цель
заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.
6.5.7.	Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовле-
творяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает при-
годной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна,
и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероят-
ность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный
контроль.
6.5.8.	Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не ме-
нее двух из трех независимо работающих элементов. Вероят-
ности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны
0,2; 0,4; 0,3.
Известно, что устройство отказало. Найти вероятность то-
го, что отказали 1-й и 2-й элементы.
Q Пусть событие А = {устройство отказало}. До опыта, т.е. до отказа
устройства, можно сделать следующие предположения-гипотезы:
Hq = {откажут все три элемента};
Hi = {откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й — не откажет};
Н? = {откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й — не откажет};
Я3 = {откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й — не откажет};
Я4 = {откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й, 3-й};
Я5 = {откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й, 3-й};
Hq = {откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й, 2-й};
Н^ = {все элементы, будут работать}.
Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых со-
бытий, найдем вероятности этих гипотез:
Р(Я0) = 0,2 • 0,4 • 0,3 = 0,024;
Р(я/) = 0,2-0,4-0,7 = 0,056;
Р(Я2) = 0,2 • 0,3 • 0,6 = 0,036;
Р(Я3) =0,4-0,3-0,8 = 0,096;
Р(Я4) = 0,2-0,6-0,7 = 0,084;
Р(Я5) = 0,4-0,8-0,7 = 0,224;
Р(Я6) = 0,3 • 0,8 • 0,6 = 0,144;
Р(Я7) = 0,8 • 0,6 • 0,7 = 0,336.
(Контроль: £ Р(Я0 = 0,024 + 0,056 + ... + 0,336 = 1.)
г=0
Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое
невозможно при гипотезах Я4, Я5, Не, Hi и достоверно при гипотезах
Яо, Я1, Я2, Я3, найдем условные вероятности событий Р(А | Я;):
Р(А | Яо) = 1, Р(А | Я0 = 1, Р(А | Я2) = 1, Р(А | Я3) = 1,
Р(А | Я4) = 0, Р(А | Не) = 0, Р(А | Я6) = 0, Р(А | Я7) = 0.
Найдем вероятность гипотезы Hi при условии, что событие А про-
изошло (т.е. Р(Я1 | А)) по формуле Бейеса. Для этого предварительно
316

найдем вероятность события А по формуле (5.1)
7
Р(А) = ^Р(Я<).Р(А|Я<)г=
г=0
= 0,024 • 1 + 0,056 • 1 + 0,036 • 1 + 0,096 -1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,212.
Отсюда
Р(Н I 41 -	' Р(А I Я1) - 0,056'1 - 56 - 14 ~ 0 264 •
Р{Н1 1 Л)  -----Р(А)------” ”W " 212 “ 53 ~ °’264’ *
6.5.9.	Предположим, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин дальто-
ники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая,
что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероят-
ность того, что этот человек:
а) мужчина,	б) женщина.
Q Пусть событие А = {выбранный человек оказался дальтоником}. То-
гда в качестве гипотез примем события Hi = {выбранный человек —
мужчина} и Я2 = {выбранный человек — женщина}. Очевидно,
Hi+H2 = Q, Н1-Н2 = 0 и P(Hi) = Р(Н2) = 0,5.
Для нахождения искомых вероятностей, т. е. условных вероятностей
P(Hi | А) и Р(Н2 | А), воспользуемся формулой Бейеса. Сначала по фор-
муле полной вероятности найдем Р(А): т. к. по условию Р(А | Hi) = 0,05
и Р(А | Н2) = 0,0025, то Р(А) = 0,5 • 0,05 + 0,5 • 0,0025 = 0,02625. Следо-
вательно:
а) Р(Я! | А) =
Р(Я1)-Р(А|Я1)	0,5 0,05	20
Р(А)	0,02625	21’
_ Р(Я2) • Р(А | Я2) _ 0,5 0,0025 _ _г
б) Р(Я2 | А)	0,02625	21 ’
Отметим, что сумма условных вероятностей гипотез (т.е. апостери-
20	1
орных вероятностей) также равна единице (^ + 21 = !)•	®
6.5.10.	Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне
действия локатора может давать ложные показания с вероят-
ностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает
ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в
зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.
6.5.11.	В условиях задачи 6.5.7 взятое изделие, прошло упрощенный
контроль. Найти вероятность того, что оно стандартное. А если
изделие дважды прошло упрощенный контроль?
6.5.12.	В условиях задачи 6.5.5 туристы пришли в пункт В. Какова
вероятность того, что они пошли по дороге № 3?
6.5.13.	В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, при-
чем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й — 30, 3-й — 20 изделий.
Среди изделий 1-го завода 70% первосортных, а среди изделий
317

2-го — 80%, 3-го — 90% первосортных. Куплено одно изделие.
Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что это
изделие выпущено 1-м заводом?
6.5.14.	Перед посевом 80% всех семян было обработано ядохимиката-
ми. Вероятность поражения растений, проросших из этих се-
мян, вредителями равна 0,06, а растений, проросших из необ-
работанных семян — 0,3. Какова вероятность того, что взятое
наудачу растение окажется пораженным? Если оно поражен-
ное, то какова вероятность того, что оно выращено из обрабо-
танного семени?
Дополнительные задания
6.5.15.	В студенческой группе 70% — юноши. 20% юношей и 40% деву-
шек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был.
найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что
он принадлежал
а) юноше?	б) девушке?
6.5.16.	Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному вы-
стрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответ-
ственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После
стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова веро-
ятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?
6.5.17.	В урну, содержащую 100 шаров, опущен красный шар, после че-
го из нее наудачу вынимают шар. 1) Какова вероятность того,
что он красный? 2) Известно, что из урны вынут красный шар.
Какова вероятность того, что в ней содержалось 44 красных
шара?
(Все предположения о первоначальном количестве красных
шаров в урне равновозможны.)
6,5.18.	Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с
минным заграждением в любом месте. Вероятность его подры-
ва на мине в правой части заграждения шириной 200 м равна
0,3, а на остальной части — 0,8. Найти вероятность того, что
корабль благополучно пройдет пролив.
6.5.19.	На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й
автомат дает 0,25% брака, 2-й — 0,40%, 3-й — 0,60%. Какова
вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с
1-го автомата поступило 2000, со 2-го — 1500 и с 3-го — 1300
деталей?
6.5.20.	В урне находится а шаров, из них b — белых. Из нее вытащили
наудачу сначала один шар, а затем — другой. Шары не возвра-
щаются. Какова вероятность того, что второй шар — белый?
318

6.5.21.
Две электрические цепи содержат соответственно 3 и 4 элемен-
та (рис. 71). Выход из строя этих элементов — независимые
события, имеющие вероятности pi = 0,1, р2 = 0,2, р3 = 0,3 (1-я
цепь); р± = р5 = ре = р7 = 0,4 (2-я цепь). Наудачу выбирается
одна цепь. Какова вероятность того, что она работает?
Рис. 71
6.5.22.
6.5.23.
6.5.24.
6.5.25.
6.5.26.
В 1-й урне находится 7 белых и 5 черных шаров, а во 2-й —
4 белых и 8 черных. Из первой урны наудачу перекладывают
во вторую 2 шара, а затем из 2-й урны извлекают один шар.
Какова вероятность того, что он окажется белым?
Планируется ракетный залп по кораблю противника. Вероят-
ность попадания каждой ракеты в цель равна 0,4. Вероятность
поражения корабля при попадании одной, двух, трех, четырех
ракет соответственно равна 0,3; 0,4; 0,5; 0,6. Найти вероятность
поражения корабля.
В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннис-
ных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем
их возвращают после игры в коробку. Найти вероятность того,
что для второй игры будут вытянуты два новых мяча.
В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами
в соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих
фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока со-
ответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность
того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта
в течение гарантийного срока.
На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 по-
ступает полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 —
только одни помехи. Если поступает полезный сигнал с поме-
хами, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероят-
ностью pi; если только помехи — с вероятностью р2. Какова
вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то сиг-
нал?
319

6.5.27.	Из 1000 ламп 100 принадлежит 1-й партии, 250 — 2-й и осталь-
ные — 3-й партии. В 1-й партии 6%, во 2-й — 5%, в 3-й — 4%
бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова
вероятность того, что выбранная лампа — бракованная?
6.5.28.	В условиях задачи 6.5.18 корабль прошел благополучно про-
лив. Какова вероятность того, что он прошел в левой части
пролива?
6.5.29.	В условиях задачи 6.5.21 электрическая цепь работает. Какова
вероятность того, что выбрана 1-я цепь?
6.5.30.	В условиях задачи 6.5.23 корабль был поражен. Какова веро-
ятность того, что он был поражен попаданием трех ракет?
6.5.31.	В условиях задачи 6.5.25 купленный телевизор не потребовал
ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее
всего поставила данный телевизор?
Контрольные вопросы и более сложные задачи
6.5.32.
Из полного набора домино (28 костей) наудачу берутся две ко-
сти. Какова вероятность того, что вторую кость можно приста-
вить к первой по правилам домино (рис. 72)?
Рис. П
6.5.33.	Сообщение может передаваться по одному из 10 каналов свя-
зи; из них 4 канала находятся в отличном состоянии, 3 — в
хорошем, 2 — в посредственном и 1 — в плохом. Вероятно-
сти правильной передачи сообщения для разного вида каналов
равны соответственно 0,6; 0,4; 0,2; 0,1.
Какова вероятность того, что хотя бы один раз сообщение
будет передано, если оно передается по одному и тому же ка-
налу (выбранному наудачу):
а) один раз;	б) два раза?
6.5.34.	На шахматную доску ставят наудачу двух слонов, белого и чер-
ного. Какова вероятность того, что слоны будут пробивать друг
друга?
6.5.35.	Вероятность отказа прибора при воздействии на него только
вибрации равна 0,1, а только перегрева — 0,05; вероятность
отказа при воздействии вибрации и перегрева равна 0,2. При
эксплуатации прибора вероятность возникновения перегрева
равна 0,2, вероятность возникновения вибрации равна 0,3. Пе-
регрев и вибрация возникают независимо. Найти вероятность
отказа прибора.
320

6.5.36.	Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаме-
натору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятно-
стью 0,9, незнание вероятностью 0,2. Какова вероятность того,
что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов
знает 20 билетов из 30, Петров — лишь 15, а остальные сту-
денты знают все билеты?
6.5.37.	Из множества чисел {1,2,3,..., 99,100} последовательно (без
возвращения) извлекают два числа. Какова вероятность того,
что первое число больше второго:
а) на 20;	б) не менее чем на 20?
6.5.38.	В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу
извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются
в альбом. После чего вновь извлекаются 3 марки. Определить
вероятность того, что все 3 марки чистые.
6.5.39.	Имеются три урны с белыми и черными шарами. Известно, что
отношение числа белых шаров к числу черных равно ci, С2, сз
для 1-й, 2-й, 3-й урн соответственно. Наудачу выбирается урна
и из нее вытаскивается шар. Какова вероятность того, что он
белый?
§6. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ
Формула Бернулли
Пусть производятся п независимых испытаний, в каждом из которых мо-
жет произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называ-
ют успехом) с одной и той же вероятностью Р(А) = р или произойти про-
тивоположное событие А (такой исход называют неудачей) с вероятностью
Р(А) = q = 1 — р (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли).
Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно т раз, находится по
формуле Бернулли
Рп(т) = С™-рт- qn~m, т = 0,1,2,..., п.
Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в п испытаниях,
удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:
а)	менее т раз — равна Рп(0) + Рп(1) + • • • + Рп(т — 1);
6)	более т раз — равна Рп(т + 1) + Рп(т + 2) + ... + Рп(п);
в)	хотя бы один раз — равна Pn(jn 1) = 1 — qn\
г)	не менее mi раз и не более m2 раз — равна
7П2
Pn(mi т m2) = Pn(mi) + Pn(mi + 1) + ... + Pn(m2) = 57 ^n(m).
7П = 7П1
Число mo (0 то п) называется наивероятнейшим числом наступлений
события А (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если
11 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
321

Рп^тпо) Рп(тп) для всех тп = 0,1, 2,...,п. Если вероятность р и q отличны от
нуля, то число то определятся из двойного неравенства
пр — q то пр + р.
Если в каждом из п независимых испытаний вероятность наступления со-
бытия А равна pi (числа р», вообще говоря, разные), то вероятность Pn(m) того,
что в этой серии испытаний событие А наступит m раз, равна коэффициенту
при m-й степени (т. е. при zm) многочлена
<рп(г) = (91 +piz)(?2 +P2Z) •... • (g„ +Pn • г).
Функция <рп (г) при этом называется производящей функцией.
Полиномиальное распределение
Пусть теперь каждое из п испытаний может иметь только к исходов собы-
тий Ai, Аг,..., Ак с соответствующими вероятностями р1,рг, • • ,Pfc (ясно, что
к
52 Pi = 1)- Тогда вероятность того, что в этих опытах событие Ai появится mi
i=i
раз, событие Аг — тг раз,..., событие Ак — тпк раз (mi -I- тг + ... + Шк = п)
равна
Pn(mi,m2,...,mk) =	,	"!----—у  Р?'  Р™2      Р™к 
mi! • тг’- •.. • • Шк-
Эта формула задает полиномиальное распределение вероятностей (назва-
ние объясняется тем, что выражение для Pn(nii,ni2, •.. , т&) является общим
членом полинома (pi +рг +... +Pfc)n)- Заметим, что схема Бернулли является
частным случаем полиномиального распределения при к = 2, рг = 1 — pi = qi.
6.6.1.	Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность то-
го, что шестерка выпадет:
а) два раза;	б) не более восьми раз;
в) хотя бы один раз.
Q Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание имеет два
исхода: шестерка выпадет, шестерка не выпадет. Вероятность выпадения
шестерки в каждом испытании постоянна и равна , т. е. р = ^. Таким
образом, мы имеем дело со схемой Бернулли. Для нахождения искомых
вероятностей применим формулу Бернулли.
1	15
а)	Здесь п = 10, тп = 2, р = q = 1 — - — Отсюда
ООО
Р.о(г) = М|)Ч|Г=*4(|)’^
б)	Искомая вероятность равна
Pw(O) + Рю(1) + Рю(2) + Рю(3) + Р10(4) + Р10(5) + Р10(б) + Р10(7) + Р10(8).
322

□днако в этом случае проще найти вероятность противоположного собы-
тия — шестерка выпадет более 8 раз, т.е. выпадет 9 или 10 раз. Имеем:
Итак, вероятность того, что шестерка выпадет не более восьми раз,
равна 1 - (Рю(9) + Рю(Ю)) = 1 - Д.
/ 5\10
в)	Искомая вероятность равна Piq(tti > 1) = 1 —	. Ее можно
найти и так (что, конечно, гораздо сложнее): Pio(l) + Pio(2)-K.. +Рю(10)
- !- Р,. <0,- !- С».-
6.6.2.	Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Най-
ти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 се-
мян.
Q Наивероятнейшее число то всхожих семян находим из условия
пр — q С то С пр + р.
Поскольку п = 240, р = 0,7 и q = 0,3, то 240 • 0,7 — 0,3 С то С 240 • 0,7 + 0,7,
т.е. 167,7 С то С 168,7. Отсюда следует, что то = 168.	•
6.6.3.	Прибор состоит из 3 независимо работающих элементов. Ве-
роятности отказов элементов за время t различны и соответ-
ственно равны: pi = 0,1, pz = 0,2, рз = 0,3. Найти вероятности
того, что за время t откажут:
а) все элементы;	б) два элемента;
в) один элемент;	г) ноль элементов.
Так как pi = 0,1, ръ = 0,2, рз = 0,3, то вероятности того, что элементы
не откажут, соответственно равны: qi = 0,9, q% = 0,8, q% = 0,7. Составим
производящую функцию:
^з(г) = (0,9+0,lz)(0,8+0,2z)(0,7+0,3z) = 0,006z3+0,092z2+0,398z+0,504.
Отсюда следует, что:
а)	Р3(3) = 0,006;
б)	Р3 (2) = 0,092;
в)	Р3(1) = 0,398;
г)	Р3(0) = 0,504.	•
6.6.4.	По мишени произведено 3 выстрела. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность п попада-
ний в мишень, где п = 0,1,2,3.
6.6.5.	Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, ис-
пользуя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность полу-
чения не менее 80% правильных ответов, если использовать
«метод угадывания»?
6.6.6.	Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна
0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студен-
тов.
323

6.6.7.	В ящике находится 70% стандартных и 30% нестандартных де-
талей. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу дета-
лей не более одной окажется нестандартными.
6.6.8.	Корабль выходит из строя, если получит не менее 5 попаданий
в надводную часть или 2 попадания в подводную часть. Найти
вероятность выхода из строя корабля при 5 попаданиях, если
вероятности попадания в надводную и подводную части при
попадании в корабль относятся как семь к трем.
6.6.9.	В семье 6 детей. Найти вероятность того, что в данной семье
не менее двух мальчиков, но не более четырех. Считать веро-
ятности рождения мальчика и девочки равными 0,5.
6.6.10.	В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что ка-
ждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7.
Найти:
а)	вероятность того, что в течение года придется заменить
2 лампочки;
б)	наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать
в течение года.
Дополнительные задания
6.6.11.	Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Веро-
ятность отказа элемента в момент включения равна 0,2. Найти:
а) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, что-
бы отказало не менее 4 элементов;
б)	наивероятнейшее число то отказавших элементов;
в)	вероятность
6.6.12.	Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна
0,86. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче
сигнал будет принят:
а) 4 раза;	б) не менее 4 раз.
6.6.13.	Что вероятнее выиграть у равносильного противника:
а)	одну из двух партий или две из четырех;
б)	не менее двух из трех партий или не менее четырех из
восьми?
6.6.14.	Вероятность события А в одном испытании равна 0,1. Какое
минимальное число испытаний достаточно провести, чтобы с
вероятностью, не меньшей, чем 0,95, событие А наступило хотя
бы один раз?
6.6.15.	Десять человек пришли на избирательный участок и случай-
ным образом отдали свои голоса за одного из пяти кандидатов
в президенты. Какова вероятность того, что за первого по спис-
ку кандидата проголосовало 3 человека?
324

6.6.16.	В урне 8 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимаются с воз-
вращением 12 шаров. Найти вероятность того, что белых шаров
будет вынуто:
а) 1;
б) не менее 10 белых шаров?
6.6.17.	Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 0,125. Найти
вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из пяти.
6.6.18.	Отмечено, что в городе D в среднем 10% заключенных браков
в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность
того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в
течение года:
а)	ни одна пара не разведется;
б)	разведутся 2 пары?
6.6.19.	Из четырех орудий произведен залп по цели. Вероятность по-
падания в цель для 1-го орудия равна 0,8, 2-го — 0,7, 3-го —
0,6, 4-го — 0,5. Найти вероятность того, что в цель попадут:
а) два орудия;	б) три орудия;
в) четыре орудия.
6.6.20.	Вероятность выхода на линию каждого из 18 автобусов равна
0,9. Какова вероятность нормальной работы автобазы в тече-
ние дня, если для этого необходимо иметь на линии не менее
15 автобусов?
6.6.21.	В электричку из 4 вагонов садятся наудачу 8 пассажиров. Ка-
кова вероятность того, что в каждый вагон вошло по 2 чело-
века?
6.6.22.	На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,19 может вы-
пасть крупный выигрыш, с вероятностью 0,11 — мелкий вы-
игрыш и с вероятностью 0,70 билет может оказаться без вы-
игрыша. Куплено 15 билетов. Найти вероятность получения
трех крупных выигрышей и одного мелкого.
6.6.23.	В равносторонний треугольник со стороной, равной а, вписан
круг. Внутри треугольника независимо друг от друга науда-
чу выбираются 5 точек. Найти вероятность того, что 3 из них
окажутся внутри круга.
6.6.24.	Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наиве-
роятнейшее число выпадений шестерки было равно 5?
6.6.25.	Считая, что в среднем 15% открывающихся малых предприя-
тий становятся в течение года банкротами, найти вероятность
того, что из 10 новых малых предприятий за это время банк-
ротами станут:
а) одно предприятие;	б) более трех предприятий.
6.6.26.	Проводятся испытания по схеме Бернулли. Вероятность успе-
ха в одном испытании равна р. Найти вероятность события
А = {все т успехов в п испытаниях появятся подряд}.
325

6.6.27.	Монета бросается
а) 2 раза;	б) 4 раза.
Какова вероятность выпадения одного герба в случае а), двух
гербов в случае б)?
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.6.28.	Задача Банаха. Некий курящий носит с собой две коробки спи-
чек. Всякий раз, когда необходима спичка, он выбирает наугад
одну из коробок. В какой-то момент одна из коробок окажется
пустой. Какова вероятность того, что в этот момент в другой
коробке окажется тп спичек (т = 0,1,2,... , п; п — число спи-
чек, бывших первоначально в каждой из коробок)?
6.6.29.	В задаче на схему Бернулли найти значение р, при котором ве-
роятность Рз(2) достигает максимума, и вычислить этот мак-
симум.
6.6.30.	По мишени, состоящей из «яблочка» и двух колец, произведено
5 выстрелов. Вероятность попадания в яблочко равна 0,2, в 1-е
кольцо — 0,3, во 2-е — 0,5. Найти вероятность того, что будут
два попадания во второе кольцо, два в первое кольцо и одно —
в «яблочко».
6.6.31.	Игральную кость подбрасывают 8 раз. Какова вероятность то-
го, что 5 раз выпадут одинаковые числа?
§7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ
БЕРНУЛЛИ
Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе ис-
пытаний связано с громоздкими вычислениями. Поэтому при больших п вместо
нее, как правило, используют приближенные формулы Пуассона и Муавра-
Лапласа.
Везде далее речь идет о серии п независимых испытаний по схеме Бернул-
ли, Рп (т) означает вероятность m успехов в этой серии.
Формула Пуассона
Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность р достаточно
мала, причем их произведение а = пр не мало и не велико (обычно достаточно
условий р < 0,1; npq < 10), то вероятность Рп(т) можно приближенно найти
по формуле Пуассона
m -а
Рп(т) « а
ml
326

Локальная формула Муавра-Лапласа
Теорема 6.7. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятности р и
q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий п > 100, npq > 20),
то вероятность Pn(m) можно приближенно найти по локальной формуле
Муавра-Лапласа
Pn(m) » - А_з • ip(x),
y/npq
2
m - пр	z ч i	_ z
где х = —	(р{х) = - _е % — функция Гаусса.
y/npQ	v2tt
Таблица значений функции <р(х) приводится в приложениях.
Интегральная формула Муавра-Лапласа
Теорема 6.8. В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность
Pnfjni fn m2) того, что число успехов m заключено между mi и m2,
можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа
Pn(mi m т2) = Фо(х2) - Фо(я1),
где
mi — пр	m2 — пр
Х1 = --- , Х2 — -------- ,
y/npq	y/npQ
*
1 f —
Фо (ж) =	- е 2 dt — функция Лапласа.
V27T J
о
Таблица значений функции Ф(я)о приводится в приложениях.
6.7.1.	Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом
вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить веро-
ятность 9 «сбоев».
Ci По условию п = 1000, m = 9, р = 0,007. Поскольку п — достаточно
велико, р — мало (npq < 7), то для вычисления Рюоо(9) можно исполь-
зовать формулу Пуассона. Имеем a = [пр] = 1000 • 0,007 = 7, откуда
А ООО (9) и	» 0,1014.	•
6.7.2.	Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачествен-
ных изделий. Число изделий поврежденных при транспорти-
327

ровке, составляет в среднем 0,05%. Найти вероятность того,
что на базу поступит:
а)	не более 3 поврежденных изделий;
б)	хотя бы 2 поврежденных.
Q Для нахождения искомых вероятностей применим формулу Пуассо-
на. Имеем п = 12 000, р = 0,0005, а = 12 000 • 0,0005 = 6.
а)	В этом случае имеем
Р12ооо(0 m 3) — Pi2ooo(0) + ^12000 (1) + ^12000 (2) + Fi2ooo(3) «
6°•е~6 । 61 •е~6 । 62•е~6 . 63-е~6
0!	1!	2!	3!
= е“6(1 + 6 + 18 + 36) = 0,151.
б)	Искомая вероятность Pi2ooo(™ > 2) = Pi2ooo(2) + Pi2ooo(3) + ...
• • • +Pi2ooo(12000) вычисляется довольно громоздко, поэтому найдем ве-
роятность противоположного события: поступило менее 2-х поврежден-
ных деталей:
Р12ООо(0 ТП 1) = Р12ООо(0) + Р12ооо(1)	6 + бе 6 = 0,0174.
Следовательно, Р12ооо(^ > 2) = 1 — 0,0174 = 0,9826.	•
6.7.3.	Вероятность выхода из строя одного элемента устройства, в
течение t часов работы, равна 0,002. Какова вероятность то-
го, что за время t из 1500 независимо работающих элементов
выйдет из строя:
а) 4 элемента;	б) не более 2 элементов?
6.7.4.	Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста,
состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность то-
го, что при наборе будет допущено:
а) 6 ошибок;	б) хотя бы одна ошибка.
6.7.5.	Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда:
а)	четверо родилось 23 февраля;
б)	двое родилось 1 марта;
в)	никто не родился 22 июня? (Считать, что в году 365 дней.)
6.7.6. Некачественные изделия составляют 2% всей продукции цеха.
Какова вероятность того, что среди 200 наудачу взятых изде-
лий окажется:
а)	не более 5 некачественных изделий;
б)	два или три некачественных изделия.
6.7.7.	Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий
отдельное изделие окажется бракованным (т.е. с отклонени-
ем от стандарта), постоянна и равна 0,05. Какова вероятность
того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 брако-
ванных?
Q По условию задачи п = 1000, т = 40, р = 0,05, q = 0,95. Теоретически
можно использовать формулу Бернулли, тогда
Лооо(40) = С^оо • (О,О5)40 • (О,95)960.
328

Однако полученное выражение слишком громоздко, поэтому удобнее
применить локальную формулу Муавра-Лапласа (п • р • q = 1000 • 0,05 х
х0,95 = 47,5 > 20). Так как
= ^/47^ « 6,892, т - пр = 40 - 1000 • 0,05 = 40 - 50 = -10,
то
т — пр -10_
Jnpq 6,892	’ ’
<р(х) = ¥>(-1,45) = ^(1,45) « 0,1394
(значение функции ip(x) находим по таблице). Следовательно,
1	0 14Q4
6.7.8.	Используя условие задачи 6.7.7, выяснить, сколько небрако-
ванных изделий следует ожидать с вероятностью 0,042.
Q Имеем: п = 1000, р = 0,95 (вероятность стандартного изделия), q =
= 0,05; требуется найти т. Снова используем локальную формулу Му-
авра-Лапласа. Так как y/npq = д/1000 • 0,95 • 0,05 « 6,892, то
Piooo(m) »	’ У’С’О = 0,042.
Отсюда находим = 6,892 • 0,042 « 0,289.
По таблице значений функции (р(х) находим х « ±0,80. Учитывая,
т - пр т- 1000 • 0,95 т - 950	т - 950
ЧТ° Х =	= -----6^92---- = -6392"’ ПОЛучаеМ “6392" =
= ±0,80. Отсюда т = 950 ± 5,51, т.е. т = 955 или т — 945 (т — целое
число, поэтому округляем).	•
6.7.10.	Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2.
Приборы испытываются независимо друг от друга. Что веро-
ятнее: отказ 10 приборов при испытании 80, или отказ 15 при
испытании 120?
6.7.11.	Монета подбрасывается 2020 раз. Какова вероятность того, что
герб выпадет 1000 раз?
6.7.12.	Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Най-
ти вероятность того, что из 700 посаженных семян будет 500
проросших.
6.7.13.	В городе N из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры.
Какова вероятность того, что из 400 семей 340 имеют такие
телевизоры?
6.7.14.	Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при
отдельном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что
при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не
более 230 раз.
По условию п = 300, р = 0,75, q = 0,25, mi = 210, m2 = 230. Для на-
хождения вероятности РЗОо(210 С т С 230) воспользуемся интегральной
Формулой Муавра-Лапласа.
329

Имеем: пр = 300 • 0,75 = 225, y/npq = ^/300 • 0,75 • 0,25 = 7,5. Тогда
т\ — пр
Ж1 = ——=-
y/npq
Следовательно,
210 - 225
7,5
о „ _ ™2-пр
—	2, л:2 —	___
y/npq
230 - 225
7,5
= 0,67.
Рзоо(2Ю т <i 230) = Ф0(ж2) - ФоЫ = Фо(0,67) - Фо(-2) =
= Фо (0,67) + Фо (2) = 0,2486 + 0,4772 = 0,7258.	•
6.7.14.	Сколько раз надо подбросить симметричную монету, чтобы с
вероятностью 0,90 частота появления герба отличалась от
(вероятности выпадения герба) не более чем на 0,01 ?
Q Пусть произведено п испытаний (бросаний монеты). Тогда, согласно
условию задачи, число т выпадений герба должно удовлетворять нера-
венству |тг — ^|	0,01. Отсюда следует, что —0,01	0,01, т.е.
0,49 С yf С 0,51, и, значит, 0,49n С т С 0,51п.
Воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа. Имеем:
р = 0,5, q — 0,5, mi = 0,49п, т2 = 0,51п, пр = 0,5п. Тогда, по усло-
вию задачи, Рп(0,49n С т С 0,51п) = 0,90, т.е.
(0,51п - 0,5п | ж | 0,49п - 0,5n | n
—I - Фо I —.. - 	= 0,90,
vn H )	\ vn-H /
откуда Фо (0,02 • у/п) + Фо (0,02 • у/п) = 0,90, или Фо (0,02 • у/п) = 0,45. Ис-
пользуя таблицу значений функции Лапласа, получаем 0,02 • у/п = 1,65.
Отсюда следует, что у/п — 82,5, т. е. п = 6807.
Таким образом, нужно подбросить монету около 7000 раз.
Замечание. Задачу можно было решить проще, используя формулу
«вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероят-
ности в п независимых испытаниях не более чем на число е > 0»
Р„(|^-р|<е)=2Ф»(£-У^).
Тогда
2Ф0 I 0,01 •	] = 0,90,
\ V 2’2/
откуда Фо(0,02^/п) = 0,45, т.е. 0,02д/п « 1,65 и, следовательно, п « 7000.
•
6.7.15.	Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100
независимых испытаниях равна 0,7. Найти вероятность того,
что число т наступлений события удовлетворяет следующим
неравенствам:
а) 83 т С 93;	б) т 70.
330

6.7.16.	Какова вероятность того, что из 2450 ламп, освещающих улицу,
к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что
каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.
6.7.17.	Замечено, что в среднем 80% посаженных семян всхожи. Сколь-
ко нужно посадить семян, чтобы с вероятностью 0,90 можно
было бы ожидать, что не менее 100 посаженных семян взой-
дут?
6.7.18.	Используя условие задачи 6.7.11, найти вероятность того, что
число проросших семян будет лежать в промежутке [450; 520].
Дополнительные задания
6.7.19.	Прибор содержит 1000 элементов, каждый из которых за время
t может выйти из строя, независимо от других, с вероятностью
0,002. Какова вероятность выхода из строя за время t прибора,
если это происходит при отказе хотя бы одного из элементов?
6.7.20.	Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна
0,005. Какова вероятность попадания в цель не менее трех раз,
если число выстрелов равно 800?
6.7.21.	Посеяли 1000 семян. Вероятность не прорасти для каждого се-
мени равна 0,002. Найти вероятность того, что:
а) не прорастет 10 семян; б) все семена прорастут.
6.7.22.	Садоводческий кооператив застраховал на год свои дачные до-
ма от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внес по 150 руб-
лей. Вероятность пожара (в одном доме) в течение года равна
0,005, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, со-
ставляет 12000 рублей. Какова вероятность того, что страхо-
вая компания понесет убыток?
6.7.23.	Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того,
что книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Най-
ти вероятность того, что тираж содержит менее 5 бракованных
книг.
6.7.24.	Стрелок сделал 80 выстрелов; вероятность попадания при ка-
ждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что:
а) стрелок попадет 56 раз;
б) число попаданий будет заключено между 50 и 60.
6.7.25.	Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна
0,9. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 из-
делий 95% окажется доброкачественных.
6.7.26.	Используя условие задачи 6.7.11, найти вероятность того, что
из 700 посаженных семян число проросших будет заключено
между 460 и 510.
331

6.7.27.	Вероятность рождения девочки равна 0,485. Найти вероятность
того, что из 600 родившихся детей девочек:
а) будет 300;
б) будет больше, чем мальчиков.
6.7.28.	Контрольную работу по теории вероятностей успешно выпол-
няют в среднем 70% студентов. Какова вероятность того, что
из 200 студентов работу успешно выполнят:
а) 150 студентов;	б) не менее 100 студентов;
в)	не более 150 студентов?
6.7.29.	Игральная кость бросается 180 раз. Найти приближенные гра-
ницы, в которых число тп выпадений единицы будет заключено
с вероятностью 0,997.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.7.30.	Известно, что левши в среднем составляют 1% населения. Ис-
пользуя формулы Бернулли, Пуассона и локальную формулу
Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что среди 100 чело-
век окажется пятеро левшей.
6.7.31.	Максимальный выигрыш в игре «Спортлото 6 х 49» можно по-
лучить, угадав 6 из 49 номеров. В очередном розыгрыше уча-
ствуют 10 млн карточек. Какова вероятность того, что хотя бы
на одной картинке будут зачеркнуты 6 выигрышных номеров?
6.7.32.	Равна ли сумма вероятностей числа появлений события в не-
зависимых испытаниях, вычисленных по формуле Пуассона,
единице? Ответ объяснить.
6.7.33.	Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы среди них с ве-
роятностью, не меньшей 0,95, цифра 2 появилась хотя бы один
раз?
6.7.34.	144 служащих предприятия обедают в одном из двух кафе, при-
чем выбор ими кафе одинаково вероятен. Владелец одного из
кафе желает, чтобы с вероятностью 0,95 все пришедшие слу-
жащие смогли одновременно пообедать. Сколько мест должно
для этого быть в его кафе?
6.7.35.	В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4 : 3. Из
нее извлекается шар, фиксируется цвет и возвращается в ур-
ну. Чему равно минимальное число п извлечений, при котором
с вероятностью 0,9545 можно ожидать, что отклонение отно-
сительной частоты появления белого шара от вероятности его
появления в одном опыте не превышает, по модулю, величины
0,05?
6.7.36.	Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4.
Было произведено 600 выстрелов. Найти:
332

а)	границы, в которых с вероятностью 0,9948 будет заключено
число попаданий в цель;
б)	число выстрелов, которые надо произвести по мишени, что-
бы с вероятностью 0,9948 ожидать, что отклонение относитель-
ной частоты от вероятности попадания при одном выстреле бу-
дет меньше по модулю величины 0,05.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	12 студентов случайным образом рассаживаются на 12 первых местах
одного ряда партера. Какова вероятность, что студенты М и Н будут
сидеть рядом?
2.	Батарея, состоящая из 10 орудий, ведет огонь по 15 кораблям непри-
ятеля. Найти вероятность того, что все орудия стреляют: а) по одной
цели; б) по разным целям (выбор цели случаен и не зависит от других).
3.	В ящике находятся 20 лампочек, среди которых 3 перегоревшие. Най-
ти вероятность того, что 10 лампочек, взятых наудачу из ящика, будут
гореть.
4.	На АТС могут поступать вызовы трех типов. Вероятности поступления
вызовов 1-го, 2-го и 3-го типа соответственно равны 0,2; 0,3; 0,5. Посту-
пило три вызова. Какова вероятность того, что а) все они разных типов;
б) среди них нет вызова 2-го типа?
5.	На елочный базар поступают елки с трех лесхозов, причем 1-й лесхоз
поставил 50% елок, 2-й — 30%, 3-й — 20%. Среди елок 1-го лесхоза 10%
голубых, 2-го — 20%, 3-го — 30%. Куплена одна елка. Она оказалась
голубой. Какова вероятность, что она поставлена 2-м лесхозом?
6.	Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,004.
Какова вероятность того, что из 750 проверяемых изделий более трех
изделий не выдержат испытания ?
7.	Найти вероятность отказа схемы (рис. 73), предполагая, что отказы
отдельных элементов независимы. Вероятность отказа каждого элемента
равна q.
Вариант 2
1-	9 туристов наудачу рассаживаются по 12 вагонам электрички. Найти
вероятность того, что все они окажутся: а) в одном вагоне; б) во втором
вагоне; в) в разных вагонах.
333

co
Рис. 73
2.	В автопарке 20 экскурсионных автобусов двух марок: 12 и 8 соот-
ветственно. Вероятность выезда на экскурсию автобусов каждой марки
одна и та же. Какова вероятность того, что после выезда на экскурсию
16 автобусов, в автопарке остались автобусы: а) первой марки; б) одной
марки; в) разных марок.
3.	С вероятностью 0,4 посланное сообщение принимается при одной пе-
редаче. Сколько надо сделать передач, чтобы с вероятностью не менее
0,9 она была принята хотя бы один раз?
4.	В одной коробке находится 4 красных, 5 зеленых и 3 черных каран-
даша, а в другой — 3 красных и 2 черных. Из первой коробки взяты
три карандаша, а из второй — два. Какова вероятность того, что все
вытащенные карандаши одного цвета?
5.	Из 1000 ламп 590 принадлежит 1-й партии, 200 — 2-й, остальные —
3-й партии. В 1-й партии 6%, во 2-й — 5%, в 3-й — 4% бракованных
ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что
она бракованная?
6.	Проведено 8 независимых испытаний, каждое из которых заключается
в одновременном подбрасывании двух монет. Найти вероятность того, что
а) в трех испытаниях из восьми появится по 2 герба;
б) не менее двух раз выпадет 2 герба.
7.	Найти вероятность безотказной работы схемы (рис. 74), предполагая
что отказы отдельных элементов независимы. Вероятность отказа ка-
ждого элемента равна q.
о
Г~Г1
Рис. 74
334

Вариант 3
1.	В семизначном телефонном номере стерлись три последние цифры.
Найти вероятность того, что стерлись: а) одинаковые цифры; б) разные
цифры.
2.	На устройство поступают 2 сигнала, причем поступление каждого сиг-
нала, в течение часа, равновозможно.
Устройство срабатывает, если разность между моментами поступле-
ния сигналов меньше 10 минут. Найти вероятность того, что устройство
сработает.
3.	В урне находится 40 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара
у
окажутся белыми, равна Сколько в урне белых шаров?
4.	Вероятность потери письма в почтовом отделении равна 0,03, а те-
леграммы — 0,01. Отправлено два письма и одна телеграмма. Какова
вероятность того, что дойдет: а) только телеграмма; б) хотя бы одно из
отправлений?
5.	В пункте проката имеется 8 новых и 10 подержанных (т.е. хотя бы
раз использованных) автомобилей. 3 машины взяли наудачу в прокат
и спустя некоторое время вернули. После этого вновь наудачу взяли в
прокат два автомобиля. Какова вероятность того, что оба автомобиля
новые?
6.	Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Найти
вероятность того, что при 5 выстрелах цель будет поражена: а) 2 раза;
б) не менее 2 раз; в) не будет поражена ни разу.
7.	Найти вероятность отказа схемы (рис. 75), предполагая, что отказы
отдельных элементов независимы. Вероятности отказов элементов со-
ответственно 0,1; 0,2; 0,05; 0,2; 0,1.
Рис. 75
Вариант 4
1-	Два приятеля В и С решили, что за билетами в кино пойдет тот, у
кого выпадет меньшее число очков при бросании игральной кости. Ка-
кова вероятность того, что за билетами пойдет: а) С; б) проигравший;
в) выигравший?
335

2.	В ящике 50 годных и 16 дефектных деталей. Сборщик наудачу достает
8 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) нет дефектных;
б) 3 дефектных.
3.	Вероятность того, что в результате 5 независимых опытов событие А
(предполагается, что она одна и та же во всех опытах) произойдет хотя
бы один раз, равна 0,99757. Определить вероятность появления события
при одном опыте.
4.	В мастерской три станка. Они требуют наладки в течение смены с
вероятностями 0,05; 0,1; 0,3 соответственно. Какова вероятность того, что
в течение смены потребуется наладить: а) все станки; б) только один
станок.
5.	В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, во второй 5 белых и 2 черных.
Из первой урны переложили во вторую три шара, затем из второй урны
извлечен один шар. Какова вероятность того, что он белый?
6.	По каналу связи передаются 7 сообщений, каждое из которых, не-
зависимо от других, может быть искажено с вероятностью 0,15. Найти
вероятность того, что будет правильно принято не менее двух сообщений.
7.	Найти вероятность безотказной работы схемы (рис. 76), считая что
отказы отдельных элементов независимы. Вероятность отказа элемента
с номером г равна qi.
г~г~|--------------
Рис. 76
Вариант 5
1.	В ящике лежат 9 кубиков с номерами от 1 до 9. Последовательно из-
влекаются три кубика. Найти вероятность того, что появятся кубики: а)
с номерами 2, 5, 9; б) с номерами 5, 2, 9; в) с номерами 4, 5, 4.
2.	52 игральные карты раздаются 4 игрокам. Найти вероятность того,
что: а) все тузы будут у одного игрока; б) каждый игрок получил один
туз.
3.	Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятности попа-
даний в цель соответственно равны 0,6; 0,85; 0,7. Какова вероятность
попадания в цель: а) только второго стрелка; б) хотя бы одного стрелка?
336

4.	В мешке смешаны нити, среди которых 30% красных, 60% синих, а
остальные белые. Какова вероятность того, что три вынутые наудачу
нити будут одного цвета?
5.	На склад с оружием совершают налет четыре самолета. Вероятность
поражения самолета системой ПВО равна 0,8. При прорыве к самолетов
атакуемый объект будет уничтожен с вероятностью Pk- Найти вероят-
ность уничтожения склада.
6.	Найти вероятность того, что в серии из 9 подбрасываний игральной
кости 5 очков выпадет менее трех раз.
7.	Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется пригодным без
доводки, равна 0,97. Контролер проверяет 400 изделий. Если среди них
окажется 16 или более нуждающихся в доводке, вся партия возвраща-
ется на доработку. Найти вероятность того, что партия изделий будет
принята.
Вариант б
1.	В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что случайная точка,
брошенная в круг, не попадет в квадрат.
2.	В цветочном ларьке продаются 8 аспарагусов и 5 гераний. Какова
вероятность того, что среди 5 проданных растений: а) 2 аспарагуса; б) все
герани?
3.	В ящике 6 белых и 30 черных шаров. Какова вероятность того, что из
двух вынутых шаров один белый, а другой черный?
4.	Вероятность дозвониться с первой попытки в Справочное бюро вокза-
ла равна 0,4. Какова вероятность того, что: а) удастся дозвониться при
втором звонке; б) придется звонить не более трех раз?
5.	Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в
цель. Найти вероятность того, что третье орудие попало, если вероятно-
сти попадания в цель 1-м, 2-м и 3-м орудиями соответственно равны 0,5;
0,3; 0,4.
6.	Сообщение содержит 500 символов. Вероятность искажения символа
при передаче постоянна и равна р. Если хотя бы один символ искажен,
то сообщение будет принято неверно. При каких значениях р вероятность
того, что сообщение будет успешно передано, окажется равной 0,95?
7.	Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число то
появлений числа очков, кратного трем. Найти вероятность Pi в (то) ?
337

§8. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Понятие случайной величины. Функция распределения
Понятие случайной величины — одно из важнейших в теории вероятно-
стей. При этом под случайной величиной понимают величину, которая в ре-
зультате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значе-
ние, причем заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины (кратко: с. в.) обозначают большими латинскими бу-
квами X, У,..., а принимаемые ими значения — малыми буквами ал, • • •,
У1) У2^--
Используя теоретико-множественную трактовку, можно дать более строгое
определение:
Случайная величина X есть числовая функция, определенная на простран-
стве элементарных событий Q.
Таким образом, с. в. X каждому элементарному событию ш ставит в соот-
ветствие действительное число A’(td), т. е. X = A’(td), w 6 Q.
Для того, чтобы получить полное представление о данной случайной вели-
чине, недостаточно знать, какие значения она принимает — важно еще знать,
насколько часто они принимаются этой величиной («выпадают») в результате
испытаний. Для этой цели используют понятие закона распределения.
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить ве-
роятности произвольных событий А С Q (в частности, вероятности того, что
данная с. в. примет конкретное значение или попадет в заданный интервал),
называется законом распределения случайной величины (или короче: распре-
делением). Если для с. в. X задан закон распределения, то говорят, что она
распределена по этому закону.
Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона рас-
пределения является функция распределения.
Функцией распределения с. в. X называется функция Fx(x) (коротко F(x))>
которая для любого числа х 6 R равна вероятности события {X < ж}, т.е.
F(x) = Р{Х < ж}.	<=
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1.	О F(x) 1;
2.	F(x) — неубывающая функция, т.е. F(xz) F(xi), если Х2 > хг,
3.	Г(-оо) = 0, F(+oo) = 1;
4.	F(x) непрерывна слева в любой точке х, т. е. F(x — 0) = F(x), х 6 R;
5.	Р{а^Х <b} = F(b) - F(a).
Дискретные случайные величины
Если множество возможных значений с. в. X конечно или счетно (это зна-
чит, что его элементы могут быть перенумерованы натуральными числами),
т.е. дискретно, то с.в. X называется дискретной (коротко: д.с.в. X). Если же
множество значений с. в. X заполняет (непрерывно) конечный или бесконеч-
338

ный промежуток на числовой оси, то такая случайная величина называется
непрерывной (коротко: н.с. в. X).
О непрерывных случайных величинах пойдет речь в следующем пара-
графе.
Закон распределения д. с. в. X удобно задавать с помощью следующей таб-
лицы
Xi	Xl	X2		Xn	
Pi	Pl	P2		Pn	
называемой рядом распределения. При этом возможные значения ал, а?2,... с. в.
X в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в
нижней — соответствующие вероятности pi = Р{Х = Яг} (52 Р* = 1).
г
Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или
полигона) распределения (рис. 77).
Рис. 77
Функция распределения д. с. в. имеет вид
F(x) = 52 Р’’
Xi <х
где суммирование ведется по всем индексам г, для которых Xi < х.
Операции над дискретными случайными величинами
Суммой (соответственно, разностью или произведением) д. с. в. X, прини-
мающей значения Xi с вероятностями pi = Р{Х = Xi}, г = 1, 2,..., п и д. с. в. У,
принимающей значения yj с вероятностями qj = P{Y = ?/j}, j = 1,2,..., m на-
зывается д. с. в., принимающая все значения вида Жг+pj (соответственно, Xi—yj
или Xi - yj) с вероятностями pij = Р{{Х =	• {У = у3}} = Р{Х = Xi,Y = yj}.
Обозначение: X + У (соответственно, X — У или X -Y).
Произведением д. с. в. X на число с называется д. с. в. сХ, принимающая
значения с • Xi с вероятностями pi = Р{Х = я;}-
Квадратом (соответственно, m-ой степенью) д. с. в. X называется д. с. в.,
принимающая значения х2 (соответственно, х™) с вероятностями pi =
= Р{Х = Обозначение: X2 (соответственно, Хт).
339

Дискретные с. в. X и У называются независимыми, если независимы со-
бытия {X = ж»} и {У = yj] при любых i = 1,2,3,... , n, j = 1,2,... , m.
6.8.1.	В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вы-
нимают шары до первого появления белого шара. Построить
ряд и многоугольник распределения д. с. в. X — числа извле-
ченных шаров.
Q Возможными значениями с. в. X являются числа a?i = 1, я2 = 2, хз =
= 3, Х4 = 4. Значение хз = 3, например, означает, что первый и второй
шары были черными, а третий — белый.
Соответствующие им вероятности Pi, Р2, Рз, Р4 найдем, воспользовав-
шись правилом умножения вероятностей:
Pi = Р{Х = 1} = Р{1-й шар белый} =
р2 = Р{Х = 2} = Р{1-й шар черный, 2-й — белый} = t = В,
„ _ ргг-91-з 24-1	7
Рз-Р{Х 3}	7-65	35,
п   р г y 41   — — — —   -1
р4 - Р{Х - 4} - 7 • 6 • 5 • 4 - 35.
Таким образом, ряд распределения с. в. X имеет вид
А 4 2	4	1 А
Контроль: 22	= у + у + — + — = 1. I
Xi	1	2	3	4
Pi	4 7	2 7	4 35	1 35
Многоугольник распределения с. в. X представлен на рис. 78.
Рис. 78
6.8.2.	В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлекли три
шара. Найти:
а)	ряд распределения д. с. в. У — числа извлеченных белых
шаров;
340

б)	вероятность события А = {извлечено не менее 2-х белых
шаров}.
Q а) Случайная величина Y может принять следующие значения: уо =
— О, з/i = 1, у2 — 2, уз = 3. Соответствующие им значения pi найдем,
исходя из классического определения вероятности:
„ _P/y_ni_^_± n pry п_^^_12
** -pV -°} - С3 - 35’ Р1 - р{у -	- С3 “35’
о -pry.cn-^Q2 _18	„ _Р,у_^_С°3 С1 _ 4
Отсюда ряд распределения с. в. У имеет вид
yi	0	1	2	3	/	3	119	18	4 (Контроль:Pi = 35 + 35 + 35 + 35 = 1-
Pi	1 35	12 35	18 35	4 35	
б)	Найдем искомую вероятность, используя ряд распределения с. в.
У:	Р(А) = Р{У > 2} = Р{У = 2} + Р{У = 3} = || + Ц = ||.	•
6.8.3.	Монета подбрасывается 5 раз. Построить многоугольник рас-
пределения д. с. в. Z — числа выпадений герба.
6.8.4.	Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному вы-
стрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно рав-
ны 0,5, 0,6, 0,8. Построить ряд распределения с. в. X — числа
попаданий в цель.
6.8.5.	Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты
срабатывает правильно, равна 0,98. Построить ряд распреде-
ления с. в. — числа опусканий монет в автомат до первого пра-
вильного срабатывания автомата. Найти вероятность того, что
будет опущено 5 монет. Решить ту же задачу при условии, что
в наличии всего 3 монеты.
6.8.6.	Построить ряд распределения числа попаданий в ворота при
двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попада-
ния при одном ударе равна 0,7.
6.8.7.	Дискретная с. в. X задана рядом распределения
Xi	-2	1	2	3
Pi	0,08	0,40	0,32	0,2
Найти:
а)	функцию распределения F^x);
б)	вероятности событий А = {X < 2}, В = {1 X < 3},
С = {1<Х^З};
в)	построить график функции F(x).
Q а) По определению функции распределения находим:
если х -2, то F(x) = Р{Х < х} = 0;
если —2 < х 1, то F(x) = Р{Х < х} = Р{Х = -2} = 0,08;
341

если 1 < х $ 2, то F(x) = Р{Х = -2} + Р{Х - 1} = 0,08 + 0,40 = 0,48;
если 2 < х < 3, то F(x) = Р{Х = -2} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} =
= 0,08 + 0,40 + 0,32 = 0,80;
если 3 < х, то F(x) = Р{Х = -2} + Р{Х = 1} + Р{Х = 2} + Р{Х = 3} =
= 0,08 + 0,40 + 0,32 + 0,2 = 1.			
	о,	если X :	$ -2,
	0,08,	если —	2 < х 1,
Итак, F(x) = <	0,48,	если 1 «	< х 2,
	0,80,	если 2 -	< х 3,
	1,	если 3 -	< X.
б) Сначала найдем искомые вероятности непосредственно:
Р(А) = Р{Х < 2} = Р{Х = -2} + Р{Х = 1} = 0,08 + 0,40 = 0,48;
Р(В) = Р{1 х < 3} = 0,40 + 0,32 = 0,72;
Р(С) = Р{1 < х 3} = 0,32 + 0,2 = 0,52.
Эти же вероятности можно найти, используя формулы
Р(ат) = Р{Х < ж} и Р{а X < Ъ} = Р(6) - Р(а).
Тогда
Р(А) = Р{Х < 2} = Р(2) = 0,48;
Р(В) = Р{1 О < 3} = Р(3) - Р(1) = 0,80 - 0,08 = 0,72;
Р(С) = Р{1 < х 3} = Р{1 х < 3} - Р{Х = 1} + Р{Х = 3} =
= Р(3) - Р(1) - 0,40 + 0,2 = 0,72 - 0,2 = 0,52.
в) График функции F(x) изображен на рис. 79.
6.8.8.	Найти функцию распределения случайной величины X, закон
распределения которой получен при решении задачи 6.8.1.
342

Q Найдем F(x), используя формулу F(x) = ^2 Рг (что быстрее приво-
Xi<X
дит к цели, чем использование определения F(x)). Тогда
	'0, 4 7’	x s 1 <			S 1, 1x^2,	
F(x) = <		2 7	_ 6 7’	2 <	C x	: 3,
	h	2 7	+ OO	-34	о , “ 35’	6	C x	:4,
	i+	2	+	+ 4? = 1, x:	>4.	
	<7	7	35	35		
6.8.9.
В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. На-
удачу выбирают двух спортсменов. Построить ряд распределе-
ния и функцию распределения числа перворазрядников среди
выбранных.
6.8.10.
Задана функция распределения с. в. X. Найти ряд распределе-
ния, а также вероятности: Р{Х = 1}, Р{1 < X 8}.
6.8.11.
	0,	при X	o,
a) F(x) = J	0,3,	при 0 <	x S
	[1,	при 1 <	X',
	'o,	X 1,	
	0,2,	1 < x i	$3,
6) F(x) = <	0,35,	3 < x :	% 6,
	0,8,	6 < x :	$8,
	1, 4	8 < x.	
Дискретная с. в. X задана рядом распределения
Xi	1,1	1,4	1,7	2,0	2,3
Pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1
Построить многоугольник распределения, график функции
распределения, найти вероятности
Р{Х > 1,4}, Р{1,4 <С х 2,3}.
6.8.12.	Подбрасывают две монеты. Найти функцию распределения с. в.
X — числа выпадений герба.
6.8.13.	Задано распределение д. с. в. X
Xi	-2	-1	1	2	3
Pi	0,20	0,25	0,30	0,15	0,10
Построить ряд распределения случайных величин:
a) Y = 2Х;	б) Z = X2.
Q а) Возможные значения с. в. Y таковы:
Ух = 2 • (-2) = —4, у2 = 2 -(-I) = -2, ?/з = 2, 2/4=4, 2/5=6.
343

Вероятности этих значений равны вероятностям соответствующих зна-
чений с. в. X (например, P{Y = —4} = Р{Х = —2} = 0,20 и т.д.). Таким
образом
Vi	-4	—2	2	4	6
Pi	0,20	0,25	0,30	0,15	0,10
1, z3 = I2 =
б) Значения с. в. Z таковы: z\ = (—2)2 = 4, Z2
= 1, z4 = 22 = 4, ^5 = З2 = 9. При этом
P{Z = 4} = Р{Х2 = 4} = Р{Х = -2} + Р{Х = 2} = 0,20 + 0,15 = 0,35
и т. д. Поэтому ряд распределения с. в. Z имеет вид
Zi	1	4	9
Pi	0,55	0,35	0,10
6.8.14.
Даны законы распределения двух независимых случайных ве-
личин X и Y:
X{	1	2	3
Pi	0,3	0,5	0,2
и
Vi	-2	-1
Pi	0,4	0,6
Найти закон распределения случайных величин
a)	Z = X + Y;	б) W = X • У.
О а) Найдем возможные значения Zij = Xi + уj\ —1 = 14- (—2), 0 =
= 1 + (-1), 0 = 2 + (-2), 1 = 2 + (-1), 1 = 3 + (-2), 2 = 3 + (-1), т.е.
случайная величина Z принимает значения z\ = — 1, Z2 = 0, z% = 1 и
z± = 2. Находим вероятности этих значений:
Pi = P{Z = -1} = Р{Х = 1, У = -2} = Р{Х = 1} • Р{У = -2} =
= 0,3 • 0,4 = 0,12;
р2 = P{Z = 0} = Р{Х = 1, У = -1} + Р{Х = 2, У = -2} =
= 0,3 • 0,6 + 0,5 • 0,4 = 0,38;
рз = P{Z = 1} = Р{Х = 2,У = -1} + Р{Х = 3,У = -2} =
= 0,5 • 0,6 + 0,2 • 0,4 = 0,38;
р4 = P{Z = 2} = Р{Х = 3, У = -1} = 0,2 • 0,6 = 0,12.
Напомним, что запись вида Р{Х = 3,У = —1} означает вероятность
наступления двух независимых событий {X = 3} и {У = —1}, т.е.
Р{Х = 3, У = -1} = Р{{Х = 3} • {У = -1}} = Р{Х = 3} • Р{У = -1}.
При нахождении вероятности р3 = P{Z = 1} и рг мы воспользовались
правилом сложения несовместных событий.
В итоге получаем закон распределения с. в. Z = X + У:
Zi	-1	0	1	2	/	4 1 Контроль: 52 Pi = 1- \	г=1
Pi	0,12	0,38	0,38	0,12	
344

б) Аналогично находим (проверьте!) ряд распределения с. в. W =
Wi	-6	-4	-3	-2	-1
Pi	0,08	0,20	0,12	0,42	0,18
6.8.15. Задано распределение дискретной с. в. X
Xi	-3	-1	0	1	3	5
Pi	0,05	0,20	0,25	0,30	0,15	0,05
Найти распределение с. в.:
б)	график функции распределения с. в. Y.
6.8.17.	Построить ряд распределения для случайных величин
Z = X + Y и W = XY,
если X и Y — независимые случайные величины, заданные
рядами распределения
Xi	0	1	И	Уз	2	3
Pi	0,3	0,7		Рз	0,4	0,6
Найти условную вероятность события {Z <4} при условии,
что {Z > 2}.
6.8.18.	Распределение д. с. в. X задано формулой Р{Х = к} = С • к,
где к = 2,3,4,5,6. Найти:
а) значение С;	б) Р{|Х - 4| < 1}.
Дополнительные задания
6.8.19.
6.8.20.
6.8.21.
Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения:
а) суммы выпавших очков; б) разности выпавших очков.
Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную
ему книгу, равна 0,4. Построить ряд распределения числа биб-
лиотек, которые он может посетить, если ему доступны четыре
библиотеки.
Автомобиль на пути к месту назначения встретит 5 светофоров,
каждый из которых пропустит его с вероятностью Постро-
ить ряд распределения числа светофоров, пройденных маши-
ной до первой остановки или до прибытия к месту назначения.
345

6.8.22.
6.8.23.
6.8.24.
6.8.25.
6.8.26.
6.8.27.
6.8.28.
6.8.29.
6.8.30.
6.8.31.
У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вы-
нув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат.
Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь
(проверенный ключ второй раз не используется). Построить
многоугольник этого распределения.
АТС обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в те-
чение 3 минут на АТС поступит вызов, равна 0,002. Построить
ряд распределения с. в. X, равной числу вызовов, поступивших
на АТС в течение 3 минут. Найти вероятность того, что за это
время поступит более трех вызовов.
В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с
дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их
качества. Построить ряд распределения числа дефектных из-
делий, содержащихся в указанной выборке.
Используя условие задачи 6.8.4, найти функцию распределе-
ния с. в. и построить ее график.
Используя условие задачи 6.8.6, найти функцию распределе-
ния с. в. и построить ее график.
Используя условие задачи 6.8.22, найти функцию распределе-
ния с. в. и построить ее график.
Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения
и функцию распределения д. с. в. X — числа выпадений четно-
го числа очков.
X и Y — независимые дискретные случайные величины, за-
данные таблицами распределения
Xi	1	2	3	И	Уг	2	4
Рг	0,3	0,2	0,5		Pi	0,6	0,4
Найти:
а)	ряд распределения с. в. Z = X • У;
б)	Р{Х+ Y >5};
в)	Р{(Х + У>5)|(Х = 2)}.
Заданы распределения двух независимых случайных величин
X и У:
Xi	0	1	2	И	Pi	2	3	4
Рг	0,2	0,4	0,4		Рг	0,3	0,3	0,4
Найти:
а)	функцию распределения с. в. X;
б)	ряд распределения случайных величин Z = X + У, W =
= Х-У;
в)	Р{|Х - У| 2};
г)	построить многоугольники распределения с. в. Z и W.
Найти функцию распределения с. в. У = sin ^Х, где с. в. X —
число очков, выпадающее при бросании игральной кости.
346

Контрольные вопросы и более сложные задания
6.8.32.	Испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха р в одном
испытании повторяются до двух успехов. Построить ряд рас-
пределения числа проведенных испытаний. Найти вероятность
того, что в первых N испытаниях число успехов меньше 2.
6.8.33.	Пользуясь условием задачи 6.8.29, построить ряд распределе-
ния с. в. Z = min{X, У}.
6.8.34.	Какая из нижеприведенных последовательностей является рас-
пределением вероятностей некоторой дискретной случайной
величины?
«П = Л.,; Ь„=рп (1-р)2, 0<р<1;
п(п -I-1)
„ _ 4П-1	-4, j _ 2	/* dx „ т\т
Сп~ (п-1/ ’ dn~* J 1 + х2’
п—1
6.8.35.
6.8.36.
6.8.37.
6.8.38.
6.8.39.
Дискретная с. в. X принимает целочисленные значения х\ = 1,
Х2 = 2, хз = 3, ... . Известно, что рп — Р{Х = п} = —— -.
пг 4- Зп + 2
Найти:
а)	значение параметра с;
б)	вероятность события D = {X = 5}.
Может ли функция F(x) быть функцией распределения неко-
торой с. в., если:
a) F(x) = е~х;
в) F(x) = 1 - ех;
д) F(x) = 0,5 + ^ • arctg(z);
б) F(x) = ех-,
г) F(x) = 1 — е~х;
е) F(x) = <
О,
0,4,
0,35
1,
Можно ли утверждать, что событие С является невозможным,
если Р(С) = 0?
Совпадают ли законы распределения дискретных случайных
величин X + X и 2 • X?
Дискретная с. в. X принимает натуральные значения, причем
значение п с вероятностью Построить ряд распределения
вероятностей для с. в. У = sin (^?Х) .
§9. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В предыдущем параграфе было введено понятие непрерывной случайной
величины (н.с. в.). Можно дать другое, более строгое, определение н. с. в., ис-
пользуя понятие функции распределения.
347

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распре-
деления F(x) непрерывна на всей числовой оси.
В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного зна-
чения для непрерывной случайной величины равна нулю: Р{Х = с} = О,
Vc G R. Поэтому для н. с. в. X имеем:
Р{а X < b} = Р{а < X < b} = Р{а < X b} = Р{а X Ь} = Г(Ь) - Г(а).
Помимо функции распределения для непрерывных случайных величин, су-
ществует еще один удобный способ задания закона распределения — плотность
вероятности.
Пусть функция распределения F(x) данной н. с. в. X непрерывна и диффе-
ренцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек. Тогда производная
f(x) ее функции распределения называется плотностью распределения непре-
рывной с. в. X (или «плотностью вероятности», или просто «плотностью»):
№) = F'(x).
Наряду с обозначением f(x) для плотности распределения используется
также обозначение р(х) (т.е. р(х) = F'(x)).
Свойства плотности распределения:
1.	f(x) 0 (свойство неотрицательности);
оо
2.	J f(x)dx = 1 (свойство нормированности);
— оо
Ь
3.	Р{а^Х ^Ь} = У f(x) dx-,
а
4.	F(x) = у /(t) dt-,
5.	lim f(x) = 0.
x—>±oo
График плотности распределения f(x) называется кривой распределе-
ния.	&
6.9.1.	Задана функция распределения н. с. в. X
{0,
С(я-З)2,
1,
при х < 3,
при 3 х 5,
при 5 < х.
Найти:
а)	коэффициент С;
348

б)	плотность распределения /(а:) с. в. X и построить графики
функций F(x) и f(x)\
В) Р{Хе[з,4)}.
Q а) Так как с. в. X — непрерывна, то F(x) должна быть непрерывной
функцией в любой точке, в частности, и при х = 5. Так как F(5) = 1, то
С • (5 - З)2 = 1, откуда С = Таким образом,
{О,	при	х	< 3,
— З)2,	при	3	х	5,
1,	при	5	< х.
б) Плотность распределения /(ж) = F'(x) выражается формулой:
{О,	при х < 3,
- 3), при 3 х 5,
Л
О,	при 5 < х.
Графики функций F(x) и f(x) представлены на рис. 80 и рис. 81.
Рис. 80	Рис. 81
ь
в) Используя формулу Р{а X b} = J f(x) dx, находим, что
а
4
Р{Х € [3,4)]} = Р{3 X < 4} = /1(х - 3) dx = 1
3
Или, иначе Р{3 X < 4} = Р(4) - Р(3) = 1 - 0 = |.	•
6.9.2. При каких значения параметров к и b функция
{0,	я^-1,
кх + b, — 1 < х 2,
1,	2<х
может быть функцией распределения некоторой непрерывной
с. в. X? Найти вероятность того, что с. в. X примет значение,
заключенное в промежутке (—2,3; 1,5). Построить график плот-
ности распределения этой случайной величины.
349

6.9.3.
Задана функция распределения н. с. в. X
| О,	х < —7Г,
1,
Найти:
а) значения постоянных а и с;
б) /(*);
6.9.4.
ВД =
6.9.5.
в)Р1{хе[ з> 2]}’Р2{%_ 200з}'
Случайная величина X задана функцией распределения
'О, х А,
±у/х - 1, А < х < В,
1,	В<х.
Найти: значения А и В, плотность распределения н.с. в. X,
вероятность события С = {X € (3; 5)}.
При каком значении параметра С функция
С .
у к	~г, х
f(x) = X4
О, х < 1
может быть плотностью распределения некоторой непрерыв-
ной с. в. X? Найти Р{1 < X < 5}.
Q Очевидно, что f(x) > 0 при С > 0, lim f(x) = 0. Используя свой-
оо	X—>±оо
ство нормированности ( J f(x) dx = 1), найдем значение параметра С:
—оо
1	оо
/о^+/
—оо	1
OO
—oo
т.е.
Ъ
• lim / х~4 dx =
b-too J
с 1;1	n- О.
3 dLoo^li 3^°	)	3’
§ = 1, отсюда (7 = 3. Таким образом, функция
3	Г 3	о-	1
—г, х	1,
f(x) = X4
Д х < 1
является плотностью распределения некоторой с. в. X.
Найдем искомую вероятность, используя формулу
ь
Получаем:
5	°
f-^dx = 3- -^Ц|5 = Ш= 0,992. •
' х4	- Зт311 125
1
350

6.9.6. Непрерывная с. в. X имеет плотность распределения вероятно-
стей	о
4, О1,
/(ж) = х4
О, х < 1.
Найти функцию распределения вероятностей F(x)\ построить
графики f(x) и F(x).
Q Используем формулу
х
F(x) = Jf(t)dt.
При х е (—оо, 1) имеем:
F(x) = j 0 • dt = O.
—ОО
При х € [1, +оо) промежуток интегрирования разбивается на два:
1	X	X
FM= +	=	= -i|“ =	+ 1.
— ОО	1	1
Рис. 82	Рис. 83
Таким образом,
[О,
= ) 1 _ ±
I х3’
Графики функций
Рис. 82 и рис. 83.
f(x) и F(x) представлены соответственно на
351

6.9.7. Непрерывная случайная величина X распределена «по закону
прямоугольного треугольника» на интервале (0,4); на рис. 84
изображена плотность распределения этой с. в. Найти:
а) значение у о]
б) аналитическое выражение для плотности /(ж) и функции
распределения F(x). Построить график F(x).
Q а) Так как площадь S фигуры, ограниченной сверху кривой распре-
деления (т.е. графиком функции /(ж)), а снизу — осью Ох, равна 1, то
s = S&AOB = • 4 • Уо = 1. Отсюда у0 =
6) Уравнение прямой АВ найдем как уравнение прямой, проходящей
и В(4;0)): ?/= —	1. Аналитическое выражение
о 2
для плотности распределения с. в. X таково:
+®е[о,4],
\о, х £[0,4].
через точки
Рис. 84
Теперь найдем функцию распределения F(x)-.
X
если х G (—оо,0), то F(x) = j 0 dt — 0;
—оо
если х G [0,4], то
о х
F(X) = / ол + J(-lt +1) а = (-it= + 4) |о = -fg + ь
—оо	0
если х G (4, +оо), то
о 4
F(x) = fodt + /(-±t +
— оо	О
dt + Jodt =
4
/ /2	Ai4
= °+ -Т« + £) +о=-14-0 + 2-0= 1.
\ 1о	2 / 1о
352

Таким образом,
{О,
х2 , х
16	2’
1,
х < О,
О х 4,
х > 4.
ВД =
График функции F(x) изображен на рис. 85.
Рис. 85
6.9.8.	Дана плотность распределения с. в. X:
{О,	при х < О,
Ь • ж, при 0 х < 5,8,
О,	при 5,8 х.
Определить постоянную 5, найти функцию распределения F(x)
и построить ее график, вычислить вероятность того, что с. в.
X примет значение, удовлетворяющее условию:
а) X < 3,3;	б) 3,3 < X < 7,8.
6.9.9.	Плотность вероятности с. в. X имеет вид
/(a0 <* a;GR-
ех + е х
Найти значение параметра а, функцию распределения F(x).
6.9.10.	Случайная величина X имеет плотность распределения
Г с , |®| < 2,
/(т) = < ч/4-т2
(О,	|т|	2.
Найти:
а)	значение параметра с;
б)	функцию распределения Р(я);
в)	Р{1 < X < 5}.
6.9.11.	Задана плотность распределения н. с. в. X:
{0, х 1,
2х — 2, 1 < х 2,
О, 2 < х.
12 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
353

Что вероятнее: попадание случайной величины в интервал
(1,6; 1,8) или в (1,9; 2,6)?
6.9.12.	Задана плотность распределения н. с. в. X:
х < -А,
—А х < О,
О х < А,
А х.
Найти A, F(x), Р{-2 < X < 1}.
6.9.13.	График плотности распределения н. с. в. X имеет вид, изобра-
женный на рис. 86. Записать аналитическое выражение для
плотности распределения f(x).
Рис. 86
Рис. 87
Дополнительные задания
6.9.14.	Случайная величина X задана функцией распределения
= 3*'
I 1, при х > 0.
Найти:
а)	плотность /(ж);
б)	вероятность того, что с. в. X в результате опыта примет зна-
чение в интервале (—1,1).
6.9.15.	На рис. 87 задан график функции распределения с. в. X. Найти
аналитическое выражение для:
a) Г(х);	б) /(ж).
Построить график плотности распределения с. в. X.
6.9.16.	Функция распределения н. с. в. X задана выражением
F(x) =
+ &,
7Г
6’
354

6.9.17.
Найти:
а) коэффициенты а, Ь;	6) плотность /(х);
в)Р{0«Х<|}.
Построить график функции /(ж).
Задана функция
6.9.18.
6.9.19.
6.9.20.
6.9.21.
6.9.22.
'о,
F(x) = а • ж2,
1,
х О,
О < я 1,
1 < х.
Определить:
а)	при каком значении а функция F(x) будет функцией рас-
пределения некоторой с. в. X;
б)	плотность вероятности с. в. X;
в)	вероятность события Z>=| —
Функция распределения с. в. X имеет вид F(x) = a + b- arctg
х G R Найти:
а)	значение параметров а и Ь;
б)	плотность вероятности.
Функция распределения н. с. в. X — времени безотказной рабо-
ты некоторого прибора — равна F(x) = 1 — е т, х 0. Найти
Р{Х > Г}, т.е. вероятность безотказной работы прибора за
время, большее Т.
Дана функция
{А • х • е-х, х 0,
0,	х < 0.
При каком значении параметра А эта функция является плот-
ностью распределения некоторой н. с. в. X? Найти F(x).
Задана плотность вероятности случайной величины X:
/(®) =
{о,
—Ах,
Ау/х,
0,
х < —4,
-4 х < 0,
0 х < 4,
4 < х.
Найти A, F(x), Р{-1 < X < 5}.
Плотность вероятности н. с. в. X имеет вид
0, х < —А,
-А<х<0,
0 х < 2А,
0, 2А х.
Найти A, F(®), Р{—0,5 < X < 2}.
/(®) =
355

Контрольные вопросы и более сложные задания
6.9.23.
Задана некоторая функция
{О,
1,
X “1,
—1 < ат 1,
1 < X.
6.9.24.
6.9.25.
Является ли она функцией распределения некоторой случай-
ной величины X? Чему равна вероятность события
А = {0 X < 1}?
Значения с. в. X находятся в промежутке	Может ли
функция распределения F(x) равняться на этом участке:
a) sin ат;	б) ат2;
в) 1,1;	г) cos ат;
д)
7Г
Непрерывная с. в. X задана функцией распределения
{о,	х<-^
а  sin (х -	+ Ь, < х <
С,	<	X.
4
Найти:
6.9.26.
6.9.27.
6.9.28.
а)	значения а, Ь, с;
б)	плотность /(ат) распределения с. в. X. Построить графики
функций F(ar) и /(ат).
Функция распределения н.с. в. X, равная
{О,	х	1,
ах2 + Ъх +	с,	1 < х	2,
1,	2 < ат.
Функция F(ar) =	ах2 + Ъх + с при	ат = 2 имеет максимум. Найти:
а)	параметры а,	Ь, с;
б)	вероятности событий А = {X > 3}, В = {1 X < 3},
Е = {X G (-1;1,5)}.
Непрерывная с. в. X распределена по закону Лапласа:
/(ат) = А • е”л’^1,где А > 0.
Найти коэффициент А и функцию распределения F(ar). По-
строить графики /(ат) и F(ar).
Непрерывная с. в. X задана функцией распределения
{0,	ат \/3,
ж6~чп~18’	< X 2,
oU
1,	2 < ат.
Найти Р{1,8 < X < 2,8}, /(ат); построить графики F(ar) и /(ат).
356

6.9.29.	Случайная величина X подчиняется закону Гаусса:
(х + 2)2
• е 18	.
Найти функцию распределения F(x), построить графики функ-
ций /(ж) и F(x).
6.9.30.	При каком значении параметра А функция
является плотностью распределения некоторой н. с. в. X? По-
строить график /х(ж). Найти функцию распределения этой
с. в. Найти
Р
§10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
При решении многих задач теории вероятности вовсе необязательно знать
закон распределения данной случайной величины, полностью ее описываю-
щей. Зачастую достаточно иметь под рукой лишь несколько числовых харак-
теристик этой случайной величины, т. е. числовых параметров, характеризу-
ющих наиболее важные черты ее закона распределения. Важнейшими среди
них являются характеристики положения (математическое ожидание, меди-
ана и т. д.) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднеквадратическое от-
клонение и др.).
Математическим ожиданием (или средним значением) М(Х) (или МХ)
дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее
возможных значений Xi на их соответствующие вероятности:
i
Если д. с. в. X принимает конечное число значений 2?i,	, хп, то ее ма-
тематическое ожидание находится по формуле
М(Х) = Y^XiPi.
i=l
Если же д. с. в. X принимает счетное число значений, то
М(Х)=^ХгР1-,
i=l
пРи этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой
формулы абсолютно сходится.
357

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плот-
ностью вероятности /(гг) находится по формуле
оо
М(Х) = Jxf(x)dx.
— ОО
При этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части
оо
формулы абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл f |rr| f (я) dx).
— оо
Свойства математического ожидания
1.	М(С) = С, где С = const;
2.	М(СХ) = С • М(Х);
3.	М(Х ± У) = М(Х) ± M(Y) (правило сложения математических ожида-
ний);
4.	М(Х • У) = М(Х) • М(У), если X и У — независимые случайные вели-
чины (правило умножения математических ожиданий).
Обозначим математическое ожидание с. в. X через а.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины X называется математиче-
ское ожидание квадрата отклонения с. в. от ее математического ожидания а:
£>(Х) = М(Х - а)2.
Сразу из определения вытекает часто используемая формула
D(X) = М(Х)2 - а2.
Если X — дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется
по формуле
П(Х) = ^(х{-а)2-pt, т.е. D(X) = х2 • pt - а2
г=1	г=1
в случав конечного числа значений, принимаемых с. в. X, и по формуле
D(X) =	- a)2Pi
i=l
oo
(т. e. D(X) = 22 xiPi ~ а2) в случае счетного числа значений.
г=1
Если X — непрерывная случайная величина с плотностью /(ж), то
D(X) = 1\х — а)2 - f(x) dx, или D(X) = f х2 f(x)dx — а2.
358

Свойства дисперсии
1.	D(C) = 0, где С = const;
2.	D(CX) = С2 • D(X);
3.	D(X ± У) = D(X) + D(Y), если X и У — независимые случайные вели-
чины (правило сложения дисперсий);
4.	D(X + С) = D(X).
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называет-
ся число сг(Х), определяемое равенством а(Х) = y/D(X).
Величина а(Х) неотрицательна и имеет ту же размерность, что и с. в. X.
Начальным моментом порядка к (к = 0,1,2,...) случайной величины X
называется число at, определяемое по формуле
ак = М(Хк), т.е. ак =У^хк pi,
i
если X — д. с. в., и	оо
ак = У хк • f(x) dx,
если X — н. с. в.	-о°
Центральным моментом порядка к с. в. X называется число цк, опреде-
ляемое по формуле
Рк = М(Х —а)к, т.е. рк =	-а)к Pi,
i
если X — д. с. в., и
оо
Рк = У (х - а)к • f(x) dx,
— оо
если X — н. с. в.
Коэффициент асимметрии («скошенности»), или, короче, асимметрия
с. в. X есть величина
Коэффициент эксцесса
с. в. X, есть величина
А=-Р—
а3(Х)
(«островершинности»), или, проще, эксцесс
Е=-^--3.
Мода д. с. в. X — есть ее наиболее вероятное значение Mq(X). Мода н. с. в.
X с плотностью f(x) есть то ее значение Mq(X), при котором функция f(x)
достигает максимума.
Медиана случайной величины X (обозначение Ме(Х)) — есть такое ее
значение хр, для которого одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше хр
или больше хр, т. е.
Р{Х < хр} = Р{Х > тР} = 1
359

Квантилью уровня р с. в. X называется число хр, удовлетворяющее урав-
нению Р{Х < хр} = р.
Таким образом, хр является решением уравнения F(xp) = р. В частности,
Я?о,5 = Ме(Х).
6.10.1.	Задан закон распределения д. с. в. X:
Xi	-2	-1	0	1	2	3
Pi	од	0,2	0,25	0,15	0,1	0,2
Найти математические ожидания и дисперсии случайных ве-
личин X, -2Х, X2.
Q Сначала найдем математические ожидания данных величин. Исполь-
п
зуя формулу М(Х) = 22 xiPii находим
г=1
6
М(Х) = xiPi = -2 • 0,1 - 1 • 0,2 + 0 • 0,25 + 1 • 0,15 + 2 • 0,1 + 3 • 0,2 = 0,55.
г=1
Для нахождения М(—2Х) воспользуемся свойством математического
ожидания: М(СХ) = С-М(Х). Имеем: М(-2Х) = -2-М(Х) = -2-0,55 =
= -1,1-
Закон распределения с. в. X2 запишем в виде таблицы распределения:
Xi	0	1	4	9
Pi	0,25	0,35	0,2	0,2
Тогда, М(Х2) = 0 • 0,25 + 1 • 0,35 + 4 - 0,2 + 9 - 0,2 = 2,95.
Найдем дисперсии указанных случайных величин. Непосредственно
по определению дисперсии имеем:
P(X) = ^(a;<-M(X))2.pi =
г=1
= (-2 - 0,55)2 • 0,1 + (-1 - 0,55)2 • 0,2 + (0 - 0,55)2 • 0,25+
+ (1 - 0,55)2 • 0,15 + (2 - 0,55)2 • 0,1 + (3 - 0,55)2 • 0?22 = 2,6475.
Эту же величину можно найти проще, используя формулу
Р(Х) = М(Х2) - (МХ)2.
Действительно, М(Х2) = 2,95, (М(Х))2 = 0,552 = 0,3025. Следовательно,
D(X) = 2,95 - 0,3025 = 2,6475. Далее,
Р(-2Х) = (—2)2Р(Х) = 4 • 2,6475 = 10,59;
Р(Х2) = (0 - 2,95)2 • 0,25 + (1 - 2,95)2 • 0,35 + (4 - 2,95)2 • 0,2+
+ (9 - 2,95)2 • 0,2 = 11,0475.
360

Поскольку ряд распределения д. с. в. X4 имеет вид
xi	0	1	16	81
Pi	0,25	0,35	0,2	0,2
то Р(Х2) можно найти проще:
Р(Х2) = М(Х4)-(МХ2)2 = О2 0,25 4-12 -0,35 4-42 -0,24-92-0,2 —(2,95)2 =
= 19,75 - 8,7025 = 11,0475.	•
6.10.2.	Брошены 10 игральных костей. Найти М(Х), D{X) и а(Х), где
с. в. X — сумма очков, выпавших на всех игральных костях.
Q Обозначим через Xi (г = 1,2,...,10) число очков, выпавших на г-й
кости. Тогда X = Xi + Х2 + Хз + ... + Хю- Случайные величины Xi,
Х2, - - •, Хю имеют одинаковые законы распределения, поэтому М(XJ =
= М(Х2) = ... = М(Хю) и P(Xi) = Р(Х2) = ... = Р(Хю). И так как
с. в. Х$ (г = 1,2,..., 10) независимы, то
М(Х) = M(Xi + Х2 + ... + Хю) = M(Xi) + М(Х2) + ... + М(Хю) =
= 10-M(Xi),
Р(Х) = 1?(Х14-Х24-.. .+Хю) = Р(Х1)+Р(Х2)+.. .+Р(Хю) = ЮР(Х1).
Закон распределения с. в. Xi имеет вид
^1,2	1	2	3	4	5	6
Pi	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6
Поэтому, учитывая, что
D{X) = М(Х)2 - (М(Х))2 = -Pi - (MX)2,
2=1
имеем
M(X,) = l.l+2.1 + ... + 6.l = Z
ВД)=(12| + 22|+3!1 + .. . + в’.1)-(1)2 = И-^ = §.
Стало быть, М(Х) = 10 • Itf(Xi) = 10 • j = 35, D(X) = 10 • £»(%i) =
= 1°f| = iP=29|,<7(X) = A/P(X) = v^F^5’4-	•
6.10.3.	Закон распределения д.с.в. X задан таблицей распределения
	1	2	3	4
Pi	1 8	1 4	1 3	c
Найти с, М(Х), Р(Х), а(Х), Р{Х < 3}.
361

6.10.4. Функция распределения д.с. в. X имеет вид
	'о,	X	<0,	
	0,2,	0-	< X	1,
F(x) = *	0,6,	1 «	< X	2,
	0,9,	2 «	< X	з,
	1, к	3	< X.	
Найти М(Х), М(Х2), D(X), о			(X).	
6.10.5.	Независимо испытываются на надежность 3 прибора. Вероят-
ности выхода из строя каждого прибора одинаковы и равны 0,6.
Найти М(Х) и а(Х), где с. в. X — число вышедших из строя
приборов.
6.10.6.	Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые
выпадают при бросании двух игральных костей.
6.10.7.	Случайные величины X и Y независимы, причем D(X) = 2
и Р(У) = 6. Найти P(Z), если Z = 12 • X - ЗУ + 2.
Q На основании свойств дисперсии (1-4) получаем:
P(Z) = D( 12Х - ЗУ + 2) = 144 • D(X) + 9 • D(Y) =
= 144 • 2 + 9 • 6 = 342.	•
6.10.8.	Математическое ожидание и дисперсия с. в. X соответственно
7	35
равны и 12* Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины 4Х — 1.
Q Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, полу-
чаем:
М(4Х - 1) = М(4Х) + М(-1) = 4М(Х) -1 = 4- 5-1 = 13;
Zi
Р(4Х - 1) = 16 • D(X) = 16 -^ = 140.	•
J. Z	о
6.10.9.	Независимые случайные величины X и У заданы таблицами
распределения вероятностей
	10	20	И	Pi	30	40	50
Pi	0,2	0,8		Pi	0,5	0,3	0,2
Найти D(X + У) двумя способами: 1) составив предварительно
таблицу распределения с. в. Z = X + У; 2) используя правило
сложения дисперсий.
6.10.10.	Найти М(X) и а(Х) для случайной величины
п
где Xi (г = 1,2,..., п) — независимые дискретные случайные
величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а
•>
и одну и ту же дисперсию а .
362

6.10.11.	Вероятность появления события А в каждом независимом ис-
пытании одинакова и равна р. Найти эту вероятность, если для
д. с. в. X = {число появлений события А в 5 испытаниях} дис-
персия равна D(X) = 1,25.
6.10.12.	Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «5», равна
0,2, на «4» — 0,4. Определить вероятности получения им оце-
нок «3» и «2», если известно, что М(Х) = 3,7, где д. с. в. X —
оценка, полученная студентом на экзамене.
6.10.13.	Дан ряд распределения с. в. X:
Xi	1	2	3	4
Pi	0,1	0,2	0,3	0,4
Найти начальные и центральные моменты первых четырех по-
рядков.
6.10.14.	Плотность вероятности с. в. X задается формулой
(о, X £[0,2].
Найти ее числовые характеристики: математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение, асимметрию и
эксцесс.
Q Найдем математическое ожидание:
оо	0	2	+оо
М(X) = J х • f(x) dx — J х Odx + Jx • ^(x - 3)2 dx + J x Odx =
—oo	—oo	0	2
2
= X- ftx3-6x2 + 9x)dx = ^(^-2x3 + 9^] I2 = ^«0,692.
2o J	2o \ 4	2 / Io 13
0	7
Теперь отыщем дисперсию:
oo
D(X) = j(x- M(X))2 • /(ж) dx =
—OO
2	9	2	9
=/(х_й) ^x-^2dx=ft Д*2 - ft®+il) dx=
о	0
2	9
=ft /К®  ft)  3>]dx=
0
2
_A [(^ . 2304 2 , 729 _ 96 Я , 54 2 _ 2592 \	_
26 ‘ J\ + 169	+ 169 13 + 13	169 ) d
0
3 f x5 , 768 я , 729 _ 24 4, 18 3	1296 Л I2 ~ n 9I-Q
= 26 T + 169* +169a:~13a: +131 "W® J |o^0’259-
363

(Иначе:
Р(Х) = у х2 • /(х) dx - (М(Х))2 = fx2 • ^(х - З)2 dx - (^)2 =
—оо	О
2
= Дх4 — 6х3 + 9х2) dx — (£)2 = ^(у-6 ^+9-^)|2-^ =
2о J	\1о/ 2о \ о 4 о / 1о 1о9
о	7
_ 3 /32 9А. 9Д 81 _ 3 -32	81	48	81 _ 219 ~ п 9.0 х
" 26 IT -24 + 24; - 169 - 2675 " 169 = 65 " 169 " 845 ~ °’259 )
Отсюда найдем среднеквадратическое отклонение:
<т(Х) = y/D(X) = ^/0,259 » 0,509.
Наконец, вычислим асимметрию:
2	„
Л = ^ = (б^Э)3 7(Х-Й)
2
-ч, 1	3 /7 5 _ 105 4 , 3870 „з _ 60750,2 , 32805, _ 6561 \ .
" 0,132 ’ 26 JX 13	+ 169	2197	+ 2197	2197/ d '
О
3	1 (х^__ 105х5 , 3870х4 _ 60750Х3 32805х2 _ 6561хА I2
’ 26 0,132 \ 6	13-5169-4	2197-3	2197-2	2197 J 1о
« 0,634.
и эксцесс:
2	.
Е =	-3»	• [(х — Л') •	• (х - 3)2dx-3 =
ai 0,067 J\ 13/ 26 v ’
О
- -3- • 1 .	- il4^ . 4815 4 _ 95580,3 ,
“ 26 0,067 J\ 13	+ 169	2197 +
о
 973215 2 380538, i 59049\ . 3~ 0545 •
+ 28561 * 28561 * + 2856J 3 ~ U’545’ *
6.10.15. Дана плотность распределения вероятностей случайной вели-
чины X:
го,
/(х) = < | • X,
,0,
при х < 0,
при 0 х < 4,
при 4 х.
Найти М(Х), D(X) и а(Х).
6.10.16. Плотность распределения с. в. X
t, х (Х е~Хх, х>0, (А > 0),
/(®) = { п 'П
|^0, х < 0.
Найти М(Х), D(X), а(Х).
364

6.10*1	7. Случайная величина X принимает положительные значения,
имеет плотность вероятностей f(x) = —ах2 4- 2ах. Найти зна-
чение параметра а и математическое ожидание с. в. X.
6.10.18.	Плотность вероятностей случайной величины X равна
{1
7Гл/100 — X2 '
О,
при — 10 < х < 10,
при |яг| 10.
Найти М(Х), Р(Х), а(Х).
6.10.19.	Плотность распределения с. в. X задана в виде
/(®) =
{| sin х,
о,
при 0 С X < 7Г,
при 0 < X И X 7Г.
6.10.20.
Найти М(Х) и D(X).
Найти моду, медиану, математическое ожидание и квантиль
уровня 0,75 случайной величины с плотностью вероятности
8x-e~ix2,
0
при х 0,
при х < 0.
Q Найдем точку максимума функции f(x):
/'(я) = 8е-4®2 + 8х • е-4®2(—8х) = 8е"4®2(1 - 8я2);
отсюда f'(x) = 0 при х = —Точка х = -Д= является точкой макси-
2л/2	2л/2
мума функции f(x) (так как, если х < ^=, т0 /Ч®) > 0, а если х > ^=,
то f'(x) < 0). Следовательно, мода Mq(X) = —« 0,35.
2у2
Медиана Ме(Х) = xi определяется как значение случайной величи-
ны, которое делит площадь фигуры, ограниченной графиком функции
/(ж), на две равные части. Поэтому
J8х • е-4®2 dx = | (или: J 8х • е-4®2 dx = |),
0	o?i
откуда
- /е-4®2d(-4a;2) = |, т.е. -е-4®2| =
J	£	1о
о
И, следовательно, е-4®2 = Отсюда находим:
Л
Xi = МеХ = |Ип2 « 0,42.
365

Находим математическое ожидание с. в. X:
оо	0	+оо
М(Х) = J х • f(x) dx = f х Odx + у x • &r2 • e”4®2 dx =
—oo	—oo	0
M
= 8 lim [x x2 • e~4x2dx —
M—>4-oo J
0
[по частям: и = x2 , du = 2x dx, dv = x e 4®2 dx, v = — 4aj2
м	\
Ц-l +i [x * e-4®2 dx | =
о p4ar Io O J	I
e	0	/
M	\	„
\ /e-4a;2d(-4z2) | lim e“4a;2| =
p4A/2	8 J	/4 M—>4-00	Io
e	o	/
= -| lim (e-4Af2 - 1) = -|(0 - 1) = | = 0,25.
4 m->+oq	7 4V 7	4
Найдем функцию распределения с. в. X. Предварительно заметим,
что если х < 0, то
F(x) = J f(t)dt— f0dt = 0.
—оо	—оо
Если же х 0, то
F(x) = J /(t) dt= fodx+fst- е"4<2 dt = -е~^ |* = -е"4’2 + 1,
—оо	—оо	О
т.е. F(x) = 1 - е-4®2, х 0.
Квантиль #о,75 находим из равенства ^(#0,75) = О Имеем:
1 _ е-4^,7б = 0)75.
Отсюда находим, что 2:0,75 = ^\/1п4 « 0,59.
Кривая распределения (с. в. X распределена по закону Релея) пред-
ставлена на рис. 88.	•
6.10.21.	Случайная величина имеет плотность распределения вида
/М - • 2 ? 2 ’ а>0
JU I и
(распределена по закону Коши). Найти моду, медиану и кван-
тили порядка р = 0,25; 0,5; 0,75.
6.10.22.	Случайная величина X задана функцией распределения
{О,	х	2,
^ (х3-8), 2 < х 3,
1,	х	> 3.
Найти: М(Х), М0(.Х), Ме(Х).
366

6.10.23.	Плотность распределения с. в. X имеет вид
/(ж) = |1ж2’ ^e[°;2L
(О,	®£[0;2].
Найти моду, медиану, математическое ожидание и квантиль по-
рядка 0,25.
Дополнительные задания
6.10.24.	Найти закон распределения дискретной с. в. X, зная, что: она
принимает два значения х± и Х2 (si < #2) и, кроме того, P(xi) =
= 0,4; М(Х) = 2,6; D(X) = 8,64.
6.10.25.	Используя условие задачи 6.8.3, найти математическое ожида-
ние и дисперсию с. в. Z.
6.10.26.	Используя условие задачи 6.8.5, найти среднее значение числа
опусканий монет в автомат.
6.10.27.	Используя условие задачи 6.8.9, найти М(Х), D(X) и а(Х),
где X — число перворазрядников среди двух выбранных на-
угад спортсменов.
6.10.28.	Используя условие задачи 6.8.10, найти:
а)	М(Х) и М(Х2) для функции из условия задачи 6.8.10 а;
б)	D(X) и а(Х) для функции из условия задачи 6.8.106
6.10.29.	Используя условие задачи 6.8.11, найти М(Х), М(Х2), JD(X),
D(X2).
6.10.30.	Используя условие задачи 6.8.16, найти М(Х) и M(Y).
6.10.31.	Используя условие задачи 6.8.17, найти M(Z), M(W),
D(W).
367

6.10.32.	Производится два независимых выстрела. Вероятность по-
падания при каждом выстреле постоянна. Найти дисперсию
с. в. X — числа попаданий, если М(Х) = 1,6.
6.10.33.	Человек находится в начале прямоугольной системы коорди-
нат. Он подбрасывает монету. При появлении герба делает шаг
направо, при появлении решки — шаг налево (длина шага рав-
на одной единице масштаба). Пусть X — абсцисса положения
человека после трех бросаний. Найти М(Х) и D(X).
6.10.34.	Используя условие задачи 6.10.13, найти асимметрию и эксцесс
с. в. X.
6.10.35.	Случайная величина X задана плотностью распределения
( 10 — 2х о . г
/М = |—9—'
(О,	в остальных случаях.
Вычислить: М(Х), начальные моменты второго и третьего по-
рядка, D(X).
6.10.36.	Плотность распределения вероятностей непрерывной случай-
ной величины X задана формулой
{1
7 + 1’
О,
х е [—1; 2],
х^[-1;2].
Найти: параметр 7, М(Х) и D(X).
6.10.37.	Случайная величина X задана плотностью распределения
f(x) = f|-sm2a:, ®€[О;тг],
(0,	т^[О;тг].
Найти М(Х) и Р(Х).
6.10.38.	Используя условие задачи 6.9.6, найти M(X), D(X) и а(Х).
6.10.39.	Используя условие задачи 6.9.11, найти:
а) М(Х);	б) Р(Х);
в) а(Х).
6.10.40.	Используя условие задачи 6.9.14, найти:
а) М(Х);	б) Р(Х);
в) моду с. в. X,
6.10.41.	Используя условие задачи 6.9.20, найти:
а) М(Х);	б) Р(Х);
в) <т(Х).
6.10.42.	Используя условие задачи 6.9.27, найти:
а)	М(Х);	б) MoW;
в)	Ме(Х);
г)	#о,5 (квантиль порядка р = 0,5).
6.10.43.	Используя условие задачи 6.9.30, найти математическое ожи-
дание и моду с. в. X.
368

6.10.44.	Случайная величина X задана плотностью распределения
х 0,1, при х G [0; 10],
fix] =
1^0, при х [0; 10].
Найти: М(Х), £>(Х), Ме(Х), квантиль порядка р = 0,25, р =
= 0,50 и р = 0,75.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.10.45.	Используя условие задачи 6.8.22, найти среднее число попыток
открыть дверь.
6.10.46.	Используя условие задачи 6.8.24, найти математическое ожи-
дание, дисперсию, моду и коэффициент асимметрии случайной
величины X — числа дефектных изделий в выборке.
6.10.47.	Используя условие задачи 6.8.29, найти математическое ожида-
ние, дисперсию, центральный момент четвертого порядка, ко-
эффициент эксцесса случайной величины Z.
6.10.48.	Используя условие задачи 6.8.32, найти математическое ожи-
дание числа проведенных испытаний.
6.10.49.	Случайная величина X принимает значение т с вероятностью
Рп(т) — С™ • рт • qn~m (т — 0,1,2,..., n; р + q = 1). Найти
М(Х) и D(X).
6.10.50.	X и Y — независимые случайные величины. Доказать, что
D(XY) = D(X) • D(Y) + (М(У))2 • D(X) + (М(X))2 • Р(У).
6.10.51.	Доказать, что т С М(Х)	ЛГ, где X — дискретная случайная
величина, т и М — соответственно наименьшее и наибольшее
значения с. в. X.
6.10.52.	Показать, что дисперсия числа успехов при однократном про-
ведении испытания не превосходит 0,25.
6.10.53.	Выразить центральные моменты второго, третьего и четвертого
порядков через начальные моменты.
6.10.54.	Непрерывная с. в. X имеет плотность распределения вероятно-
стей вида
1 |д - д|
/(ж) = —, где а > 0, а е R.
Найти М(Х) и D(X).
6.10.55.	Плотность распределения вероятностей с. в. X задана в виде
f(x) = Га-(1 —ж2)2, |ж|<1,
|0,	|х|>1.
Найти А, М(Х) и Р(Х).
6.10.56.	Используя условие задачи 6.9.28, найти математическое ожи-
дание, начальные и центральные моменты первого и второго
порядков с. в. X.
369

х < и,
0 С х < А,
А х < 2Л,
2А^х.
6.10.57.	Задана плотность распределения с. в. X:
'О,
0,1,
0,2,
,0,
Найти А, М(Х) и Р(Х).
6.10.58.	Что можно сказать о математическом ожидании с. в. X, задан-
ной плотностью распределения
§ 11. ВАЖНЕЙШИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
Важнейшие дискретные распределения
1.	Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение
(или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения:
0,1,2,...., п с соответствующими вероятностями:
рт = Р{Х = т} = С™ рт -qn~m, где 0 < р < 1, q = 1 — р, т = 0,1,2,..., п.
Математическое ожидание и дисперсия с. в. X, имеющей биномиальное рас-
пределение, находятся по формулам:
М(Х) = пр, £>(Х) = npq.
Из формулы Бернулли следует, что с. в. X — число появлений события А
в серии из п независимых испытаний (Р(А) = р) — распределена по биноми-
альному закону.
2.	Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона (или
распределена по закону Пуассона), если она принимает счетное число зна-
чений: 0,1, 2,..., т..., с соответствующими вероятностями
рт = р{Х = т} = ——, где т = 0,1,2,...; а —пр.
Математическое ожидание и дисперсия с. в. X, имеющей распределение
Пуассона, находятся по формулам:
М(Х) = a, D(X) = а.
Распределение Пуассона является предельным для биномиального, если
число опытов п устремляется к бесконечности, а вероятность события р стре-
мится к нулю, причем их произведение пр = а остается постоянным. При этих
условиях (т.е. п—>оо, р—>0, np=a=const) вероятность P{X=m}=C™pmqn~m,
где q = 1 — р, находимая по формуле Бернулли, стремится к вероятности
370

a---;, находимой по закону Пуассона. Поэтому распределение Пуассона
ml
приближенно заменяет биномиальное распределение в случае, когда число
опытов велико, а вероятность события А в каждом из них мала. С этим связано
еще одно название распределение Пуассона — закон редких событий.
3.	Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение,
если она принимает счетное число значений: 1,2,..., т,... с соответствующими
вероятностями:
Pm = Р{Х = т} = qrn~1 р, где т = 1,2,..., О < р < 1, q = 1 — р.
Для с. в. X, имеющей геометрическое распределение
М(Х) = 1 Р(Х) = 4-
F	р
Случайную величину, распределенную по геометрическому закону, мож-
но интерпретировать как число т опытов (испытаний), проведенных по схеме
Бернулли до первого положительного исхода.
Важнейшие непрерывные распределения
4.	Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение
на отрезке [а;Ь], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрез-
ке, а вне его равна нулю:
{1
Ь-а'
О,
при
при
х 6 [а,Ь],
х [а> ЭД-
Тот факт, что с. в. X распределена равномерно, записывают коротко так:
X~R[a,b].
К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те
с. в., о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого про-
межутка [а, 6] и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания
транспорта, ошибка, получающаяся от округления результата измерения до
ближайшего целого числа, и т. д.
Функция распределения F(x) для равномерно распределенной с. в. X имеет
вид
F(x) =
х — а
b — а ’
1,
при
при
при
х а,
а < х Ь,
b < х.
Числовые характеристики равномерного распределения:
М(х) = а + Ь1 р(х)=(Ц^>
371

5.	Непрерывная случайная величина X имеет показательное (или экспо-
ненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид
{Ле Ля:, при х О,
л	л
О,	при х < О,
где Л > 0 — параметр данного распределения.
Функция распределения с. в. X, распределенной по показательному закону,
находится по формуле
F(l)=<[l-e-A’, при О О,
[О,	при х < 0.
Важнейшие числовые характеристики этого распределения определяются
равенствами:
М(Х) = |, D(X) = ± а(Х)=1
6.	Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение
(говорят также, что она распределена по нормальному закону или по закону
Гаусса), если ее плотность имеет вид
Js-g)2
f(x) = --i— • е 2а2 .
(у • у2тг
График функции f(x) называется кривой Гаусса (рис. 89).
Рис. 89
Тот факт, что с. в. X распределена по нормальному закону, записывают
коротко, так: X ~ N(a,a).
Параметры а и а представляют собой соответственно математическое ожи-
дание и среднеквадратическое отклонение с. в. X, т. е.
а = М(Х), а = <т(Х).
Отсюда D(X) = а2.
372

Если а = 0 и а = 1, т. е. с. в. X ~ 7V(O,1), то соответствующее нормальное
распределение называется стандартным. Функция распределения для такой
случайной величины имеет вид
f t2
Ф(я) = —±= I е~~2 dt
v2?r J
— оо
и обладает (помимо обычных свойств функции распределения) свойством
Ф(я) + Ф(—х) = 1, х G R.
В более общем случае (X ~ N(a,a)) функция распределения нормального
закона выражается формулой
х (t _ а)2
F(SC)=^fe /е’^-Л = ф(^)=0,5 + Фо(^),
— ОО
где функция
г t2
Фо (я) = —;= • [е~~2 dt
V27T J
о
— называется функцией Лапласа (иногда функцией Лапласа называют функ-
цию
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1) Фо(—х) = —Фо(я), т.е. функция Фо(я) — нечетная. Отсюда, в частности,
следует, что Фо(0) = 0;
2) Ф0(+оо) = 0,5.
Таблицу значений функции Лапласа можно найти в приложении 2.
Связь функции Ф(я) с функцией Лапласа Фо(х) выражается формулой
Ф(я) = 0,5 + Фо(я).
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в
заданный интервал (а, /3) определяется формулой
Р{а < X < П = Ф

Вероятность попадания с. в. X ~ 7V(a,a) в интервал (а — е, а + е), симме-
тричный относительно центра рассеяния а, находится по формуле
Р{а - е < X < а + е} = Р{|Х - а| < е} = 2Ф0 (f) = 2Ф (|) - 1.
В частности, Р{|Х — а| < За} а 0,9973, т.е. практически достоверно, что
с. в. X ~ 7V(a,a) принимает свои значения в промежутке (а — За, а + За). Это
утверждение называется «правилом трех сигм».
373

6.11.1.	20% изделий, выпускаемых данным предприятием, нуждаются
в дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 150 изделий.
Найти среднее значение и дисперсию случайной величины X —
числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.
Q В данном случае мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли, по-
этому с. в. X имеет биномиальное распределение. Используя формулы
М (X) = при D(X) = npq, находим (при п = 150, р = 0,2, q = 0,8)
М(Х) = 150 • 0,2 = 30, D(X) = 150 • 0,2 • 0,8 = 24.	•
6.11.2.	Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпа-
дут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность
выигрыша одного билета равна 0,1. Найти дисперсию числа
успехов в данном опыте.
6.11.3.	Проводятся 3 независимых испытания, в каждом из которых
вероятность наступления некоторого события постоянна и рав-
на р. Пусть X — число появлений события А в этом опыте.
Найти D(X), если известно, что М(Х) = 2,1.
6.11.4.	Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4.
Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожи-
дать в среднем 80 попаданий в цель?
6.11.5.	Проверяется партия из 10000 изделий. Вероятность того, что
изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найти математи-
ческое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в
этой партии. Найти вероятность того, что в партии есть хотя
бы одно бракованное изделие.
Q Число опытов (п = 10000) достаточно велико, а вероятность (р =
= 0,002) «успеха» в каждом из них мала, поэтому можно считать, что
случайная величина X — число бракованных изделий — распределена
по закону Пуассона: ее возможные значения 0,1,2,..., 10000, а соответ-
ствующие вероятности вычисляются по формуле
рт = Р{Х = т} =
III»
По формуле а = пр определяем параметр а и математическое ожи-
дание с. в. X:
М(Х) = а = 10000 • 0,002 = 20.
Дисперсия числа бракованных изделий равна
D(X) = npq = 10000 • 0,002 • 0,998 = 19,96,
т.е. М(Х} « D(X}. Полагая = D(X) = 20, находим приближенно
искомую вероятность события А = {в партии содержится хотя бы одно
бракованное изделие}:
Р(А) = 1 - Р(Л) = 1 - Рюооо(О) = 1 - 20°0f 20 =
= 1 - е-20 = 1 - 2,06 • 10-9 «1.	•
374

6.11.6.	Дискретная случайная величина X распределена по закону
Пуассона с параметром а = 0,324. Найти математическое ожи-
дание и среднеквадратическое отклонение этой случайной ве-
личины.
6,11.7.	В магазин отправлены 1000 бутылок минеральной воды. Веро-
ятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой,
равна 0,002. Найти:
а)	среднее число разбитых бутылок;
б)	вероятность того, что магазин получит более двух разбитых
бутылок.
6.11.8.	Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения
одного символа равна 0,004. Найти среднее число искаженных
символов; найти вероятность того, что будет искажено не более
3-х символов.
6.11.9.	Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероят-
ность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти мате-
матическое ожидание и дисперсию случайной величины X —
числа произведенных выстрелов, считая, что:
а) стрелять можно неограниченное число раз;
в) в наличии есть всего 5 патронов.
Q а) Случайная величина X имеет геометрическое распределение, ее
ряд распределения имеет вид
Xi	1	2	3	
Pi	р	qp	g2p	
Числовые характеристики этого распределения: М(Х) = i D(X) =
Р	pz
Следовательно, зная, что р = 0,2 и q = 0,8, имеем:
Mm = 5L=5;	=
б)	Ряд распределения с. в. X имеет вид
Х^	1	2	3	4	5
Pi	P	QP	g2p	g3p	94
Поэтому, М(Х) = 1 • р + 2 • qp + 3 • q2p + 4 • q3p + 5g4; при p = 0,2 и
9 = 0,8 имеем М(Х) = 0,2 + 0,32 + 0,384 + 0,4096 + 2,048 = 3,3616, т.е.
ЩХ) = 3,3616; Далее
£>(Х) = М(Х)2-(М(ХУ)2 = l-p+4-gp+9-g2p + 16-g3p+25g4-(M(X))2;
при р = 0,2 и q = 0,8 получим
D(X) = 0,2+0,644-1,152+1,6384+10,24—(3,3616)2 » 13,8704-11,3 = 2,57,
т.е. D(X) = 2,57.	•
375

6.11.10.	Игрок покупает лотерейные билеты до первого выигрыша. Ве-
роятность выигрыша по одному билету равна 0,1. Найти М(X),
где с. в. X — число купленных билетов, если игрок может ку-
пить:
а)	только четыре билета;
б)	неограниченное (пусть теоретически) число билетов.
6.11.11.	Вероятность производства нестандартной детали равна 0,05,
Контролер проверяет партию деталей, беря по одной до перво-
го появления нестандартной детали, но не более 3 штук. Най-
ти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных
стандартных деталей.
6.11.12.	Игральная кость подбрасывается до первого появления пяти
очков. Какова вероятность того, что первое выпадение пятерки
произойдет при пятом подбрасывании игральной кости?
6.11.13.	Случайная величина X распределена равномерно на отрезке
[а, Ь], т.е. X - R[a, Ь]. Найти вероятность попадания с. в. X на
отрезок [а, /3], целиком содержащийся внутри отрезка [а, Ь].
Q Воспользуемся известной формулой
= j f(x)dx,
а
где плотность вероятности с. в. X ~ R[a, b] имеет вид
/(®) =
1
< Ь - а’
1о,
х Е [а, Ь],
х [°? Ь].
Следовательно,
Р{а^Х^] = Р{Х€ [а,/?]} = [r±~dx =	= у—-
1	l Jb-a b — a 1а b — a
a
т. e. окончательно P{X 6 [a, /3]} = ———.	•
6.11.14.	Плотность вероятности непрерывной случайной величины X
имеет вид
ч (0,25-А, же [0,4],
/W = to, х,[0,4).
Найти А, Р(т), М(Х), D(X), ст(Х), Р{Х G [0; 1,1]}.
Q Коэффициент А найдем, используя следующее свойство плотности
вероятности
У f(x)dx = 1.
—ОО
376

Имеем
jf(x)dx= j Odx 4- J(),25Adx + j()dx = l,
—оо	— oo	0	4
T,e. 0,25Ar|o = 1. Отсюда следует, что A = 1. Итак,
/(a;) = /i ®G[°’4]>
[о, x ^[0,4],
и, значит, случайная величина X равномерно распределена на отрезке
Функция распределения для с. в. X ~ Я[0,4] имеет вид
{0, х 0,
0 < х 4,
1, 4 < х.
Числовые характеристики этого распределения таковы:
0 + 4 ?
2	’
_ £	4
~ 12 ~ 3’
М(Х) = [^] =
Г(Ь-о)2]
12
ад =
а(Х) = [x/D(X)] =
Вероятность попадания с. в. X в промежуток [0; 1,1] находим, ис-
в — Ol
пользуя формулу Р{Х € [а, /3]} = ----------
и О
(см. задачу 6.11.13). Отсюда
Р{Х е [0; 1,1]} =	= ^ = 0,275.	•
6.11.15. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время
ожидания звонка есть непрерывная с. в. X, имеющая равномер-
ное распределение на отрезке [19,20]. Найти вероятность того,
что звонок поступит в промежутке от 19 час 22 минут до 19 час
46 минут.
6.11.16.	Случайная величина X, распределенная равномерно, имеет
следующие числовые характеристики М(Х) = 2, D(X) = 3.
Найти F(x).
6.11.17.	Про с. в. X известно, что X ~ Я[4,7]. Найти:
a) /(я);	б) М(Х) и а(Х);
в)	Р{Хе (6; 6,81)}.
в. 11.18. Функция распределения непрерывной случайной величины X
имеет вид, указанный на рис. 90. Найти аналитические выра-
жения для F(x), f(x), М(Х) и D(X).
в. 11.19. Непрерывная случайная величина X имеет показательное рас-
пределение. Найти вероятность попадания с. в. X в интервал
(а, Ь), где а 0.
377

Рис. 90
Q Воспользовавшись формулой
Р{а^Х^^} = у f(x)dx,
а
находим:
ъ	ъ
P{a<X<b} = jХе~Хх dx =-е~Хх\ = -е~хь + е~Ха,
а
т.е. Р{Х 6 (а, Ь)} = е~Ха — е~хь.
Этот же результат можно получить, используя формулу
Р{а < X < b} = F(b) - F(a).
Так как F(x) = 1 — е~Хх, х 0, то
Р{а < X < b} = (1 - e~Xb) - (1 - е~Ха) = е~Ха - е~хь. •
6.11.20.	Время Т выхода из строя радиостанции подчинено показатель-
ному закону распределения с плотностью
р fo,2 e-°'2t, при t^O,
FtW = |о. при t < 0.
Найти: функцию распределения Ft(£); математическое ожида-
ние и дисперсию случайной величины Т; вероятность того, что
радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 час. рабо-
ты.
6.11.21.	С. в. X распределена по показательному закону с параметром
А = 0,4. Найти дифференциальную и интегральную функции
распределения (т.е. /(ж) и F(x)), cr(X), а также вероятность
попадания значений с. в. X в интервал (0,25; 5).
6.11.22.	С. в. X, которая равна длительности работы элемента, имеет
плотность распределения f(t) = О,ООЗе-0’003*, t 0. Найти:
среднее время работы элемента; вероятность того, что элемент
проработает не менее 400 часов.
378

6.11.23.	Средняя продолжительность телефонного разговора равна
3 мин. Найти вероятность того, что произвольный телефон-
ный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая,
что время разговора является с. в. X, распределенной по пока-
зательному закону.
6.11.24.	Определить закон распределения случайной величины X, если
ее плотность вероятности имеет вид
/(ж) = А-е~хЧ2х+1.
Найти:
а) М(Х\,	б) а(Ху
в) значение коэффициента А; г) М(Х2);
д)Р{1<Х<3}.
Q Сравнив данную функцию	-—✓ 1-<2
f(x) = A.e~x2+2x+1 =	= А-е2= А • е2 • е 2 \\/2/
с ПЛОТНОСТЬЮ	_ а)2
/(®) = —Ц= • е" 2<г2
а • v 2тг
нормального распределения, заключаем, что с. в. X имеет нормальное
распределение.
а)	Очевидно, М(Х) = 1.
б)	ст(Х) =
V "
в)	Значение коэффициента А найдем из равенства А • е2 = —
где ст =	« 0,71. Отсюда
ч/2
Л= 1_____________= 1
e2.i.72.^ е2-^'
л/2
Следовательно, плотность вероятности с. в. X имеет вид
(»-1)22
/(т) = 1 - • е2 • е ('У) ,
ех • л/тг
Ясно, что X ~ N [ 1; Д= ).
\ х/27
г)	М(Х2) найдем, используя формулу D(X) •= М(Х2) — (М(Х))2. В
нашем случае М(Х) = 1, D(X) — (ст(Х))2 = Поэтому
М(Х2) = D(X) + (М(Х))2 = | + 1 = |.
379

д)	Используя формулу
Р{а < X < /3} = Фо - Фо (^) ,
находим, что
Р{1 < X < 3} = Фо
= Фо(2,82) - Ф(0) = 0,4976 - 0 = 0,4976.
Значение Фо(2,82) найдено по таблице значений функции
Фо(я) = —= [е 2 dt
(см. приложение 2 в конце книги).	®
6.11.25.	Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному
закону с параметром а = 20 мм. Найти вероятность того, что
измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по
модулю 25 мм.
Q Воспользуемся формулой Р{|Х — а| < е} = 2Фо (—). В нашем случае
а = 20, в = 25, поэтому
Р{|Х - а| < 25} = 2Ф0 (хх) = 2Фо(1,25) = 2 • 0,3944 = 0,7888.	•
6.11.26.	Пусть X ~ ЛГ(5;0,5). Найти вероятность того, что при трех
независимых испытаниях с. в. X хотя бы в одном из них X
примет значение в интервале (2; 4).
6.11.27.	Плотность вероятностей с. в. X имеет вид
/(я) =с-е-2®2-5®+1.
Найти: с, М(Х), £>(Х), F(x), р{-| < X < |).
6.11.28.	Известно, что X ~ ЛГ(50,ст), Р{Х € (40; 60)} = 0,7888. Найти
ад.
6.11.29.	Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, рас-
пределенной по нормальному закону: X ~ 2V(175;10). Найти:
плотность вероятности, функцию распределения этой случай-
ной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу вы-
бранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.
Дополнительные задания
6.11.30.	Контрольная работа по теории вероятности состоит из 6 задач.
Вероятность решить правильно каждую задачу для данного
380

студента равна 0,7. Найти математическое ожидание и диспер-
сию с. в. X — числа правильно решенных задач.
6.11.31.	Стрельба по мишени ведется до второго попадания. Найти
М(Х), где с. в. X — число попаданий, если вероятность по-
падания при одном выстреле равна 0,25.
6.11.32.	Известно, что: среднее число попаданий в мишень в серии из п
выстрелов равно 192; вероятность попадания при каждом вы-
стреле равна р; (т(Х) = 8, где с. в. X — число попаданий. Най-
ти п и р.
6.11.33.	В боевой операции участвуют 30 самолетов. Вероятность ги-
бели самолета в результате обстрела противником равна
Найти М(Х) и а(Х), где с. в. X — число сбитых самолетов.
6.11.34.	Успеваемость студентов I курса составляет 80%. Найти матема-
тическое ожидание и дисперсию числа успевающих студентов
среди 50 наудачу отобранных первокурсников.
6.11.35.	Используя условие задачи 6.6.4, найти М(Х) и а(Х), где
с. в. X — число попаданий в мишень.
6.11.36.	Используя условие задачи 6.6.12, найти среднее число приемов
радиосигнала.
6.11.37.	Используя условие задачи 6.7.19, найти М(Х) и а(Х), где
с. в. X — число электроэлементов, вышедших из строя.
6.11.38.	Используя условие задачи 6.7.21, найти среднее число семян,
которые не прорастут.
6.11.39.	Используя условие задачи 6.7.23, найти:
а)	М(Х) и D(X), где с. в. X — число книг сброшюрованных
неправильно;
б)	вероятность того, что тираж содержит 10 бракованных книг.
6.11.40.	Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно
180. Какова вероятность события:
а)	А = {за 2 секунды на АТС не поступит ни одного вызова};
б)	В = {за 2 секунды на АТС поступит менее 2-х вызовов}?
6.11.41.	Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6.
Какова вероятность того, что первое попадание в цель произой-
дет при четвертом выстреле?
6.11.42.	Производятся последовательные независимые испытания пя-
ти приборов на надежность. Надежность каждого из приборов
равна 0,8. Каждый следующий прибор испытывается лишь в
случае, когда предыдущий оказался надежным. Составить за-
кон распределения д.с. в. X — числа испытанных приборов.
Найти М(Х).
6*11.43. Студент знает 30 из 40 вопросов. Экзаменатор задает вопросы
студенту до тех пор, пока обнаружит незнание вопроса. Найти
вероятность того, что число заданных вопросов больше двух.
381

6.11.44.	Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероят-
ность попадания при одном выстреле равна 0,1. Найти:
а) D(X) и а(Х), где с. в. X — число сделанных выстре-
лов;
б)	вероятность того, что потребуется сделать не более трех вы-
стрелов.
6.11.45.	Автобусы данного маршрута идут с интервалом 30 мин. Пасса-
жир подходит к автобусной остановке в произвольный момент
времени. Время ожидания автобуса есть непрерывная случай-
ная величина X, имеющая равномерное распределение. Найти:
плотность вероятности; функцию распределения; математиче-
ское ожидание и дисперсию этой случайной величины; вероят-
ность появления пассажира не ранее чем через 17 минут после
ухода предыдущего автобуса, но не позднее чем за одну минуту
до отхода следующего автобуса.
6.11.46.	Найти математическое ожидание и дисперсию произведения
двух независимых непрерывных случайных величин X и Y с
равномерными законами распределения:
Х~Я[0;1], Y ~Я[1;3].
6.11.47.	Известно, что непрерывная случайная величина X имеет плот-
ность вероятности
/(®) = <
0,375,
0,
/	4
хе I а -	+
\	«5
х (а - |;а +
Найти М(Х) и D(X).
6.11.48.	Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. По-
казания прибора округляют до ближайшего деления. Полагая*
что ошибка округления распределена по равномерному закону
в промежутке от 0 до 0,1, найти:
а)	вероятность того, что ошибка округления более 0,03;
б)	вероятность того, что ошибка округления меньше 0,02;
в)	среднее значение ошибки.
6.11.49.	Непрерывная случайная величина X распределена по показа-
тельному закону, а именно,
f \ .
о,
при х 0,
при х < 0.
б) М(Х) и D(X).
Найти:
а)	значение параметра А;
Построить график функции распределения F(x). Найти веро-
ятность того, что с. в. X примет значение, меньшее, чем М(Х)-
382

6.11	• 50. Найти математическое ожидание с. в. X, распределенной по по-
казательному закону, если ее функция распределения имеет
вид
ч 1 — е 5®, при х О,
=	'а
О,	при х < 0.
Найти Р{\Х - М(Х)\ < 3<т(Х)}.
6.11.51.	90% лампочек перегорают после 800 часов работы. Найти ве-
роятность того, что лампочка перегорит в промежутке от 100
до 200 часов работы (с. в. Т — время безотказной работы лам-
почки).
6.11.52.	Испытываются два независимо работающих элемента. Дли-
тельность времени безотказной работы элемента имеет пока-
зательное распределение со средним значением для 1-го эле-
мента 20 часов, 2-го — 25 часов. Найти вероятность того, что
за промежуток времени длительностью 10 часов:
а) оба элемента будут работать;
б)	откажет только один элемент;
в)	хотя бы один элемент откажет.
6.11.53. Известно, что время ремонта телевизоров есть с. в. Т, распре-
деленная по показательному закону; при этом среднее время
ремонта телевизора составляет две недели. Найти:
а) Р(Т) и <т(Т);
б)	вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется ме-
нее десяти дней.
6.11.54.	Известно, что X ~ ЛГ(а, а), а максимальное значение плотности
вероятности равно —у=- Найти D(X).
6.11.55.	X — нормально распределенная с. в., причем М(Х) = 6,2 и
а(Х) = 4,4. Найти Р{\Х - М(Х)\ < 5,7}.
6.11.56.	Ошибка измерения подчинена нормальному закону с параме-
трами а = 50 дм и а = 10 дм. Найти вероятность того, что
измеренное значение будет отклоняться от истинного не более
чем на 20 дм.
6.11.57.	Установлено, что с. в. X ~ Nfaa),
Р{Х > 20} = 0,02, Р{Х < 10} = 0,31.
Найти М(Х) и Р(Х).
6.11.58.	Срок безотказной работы телевизора представляет собой с. в.
X ~ 7V(12; 3). Найти вероятность того, что телевизор прорабо-
тает
а) не менее 15 лет;	б) от 6 до 9 лет;
в)	от 9 до 15 лет.
6.11.59,	Отклонение размера детали от стандарта представляет собой
с. в. X, распределенную нормально, с математическим ожи-
данием М(Х) — 4 и со среднеквадратическим отклонением
383

a = 0,2. Найти процент деталей, отклоняющихся от М(Х) по
модулю не более чем на 0,05.
6.11.60.	Деталь изготавливается на станке с систематической ошибкой
3, среднеквадратической ошибкой 4 и считается годной, если
ее отклонение от номинала менее 12. Найти вероятность того,
что три наудачу взятые детали из пяти будут годными.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.11.61.	Случайная величина X распределена по биномиальному зако-
ну. Найти:
а)	начальные моменты до 4-го порядка включительно;
б)	центральные моменты до 4-го порядка включительно;
в)	асимметрию (А = и эксцесс (Е =	— 3) случайной
а6	ст
величины X.
6.11.62.	Найти математическое ожидание и дисперсию относительной
па
частоты — в п независимых испытаниях, в каждом из которых
событие А может наступить с вероятностью р.
6.11.63.	Доказать рекуррентную формулу для биномиальных вероят-
ностей	П пп _ ПГГ)
Fn(m + l) = |-^-^-Pn(m).
6.11.64.	Доказать, что сумма двух независимых случайных величин,
распределенных по закону Пуассона с параметрами а± и 02,
также распределена по закону Пуассона с параметром
(L = G1 + 02*
6.11.65.	Какая из величин в законе Пуассона больше: математическое
ожидание, число независимых испытаний или дисперсия?
6.11.66.	Вероятность брака партии деталей равна 0,2. Сколько в сред-
нем нужно проверить деталей до первого обнаружения брака?
6.11.67.	Доказать, что вероятности pi отдельных значений д. с. в. X,
имеющей геометрическое распределение, удовлетворяют усло-
вию	оо
= 1‘
i=l
6.11.68.	Известно, что непрерывная случайная величина X ~ Я[а, Ь].
Найти четвертый центральный момент и эксцесс этой случай-
ной величины.
6.11.69.	С. в. X имеет показательное распределение. Найти:
а) центральные моменты третьего и четвертого порядков;
б) асимметрию и эксцесс.
6.11.70.	Доказать, что функция
f 1 — е~Хх, х О,
F(s) = {	’	’
[0,	х < О,
384

где А > О, является функцией распределения некоторой слу-
чайной величины X. Построить ее график при А = 2.
6.11.71.	Во сколько раз уменьшится максимальное значение ординаты
кривой Гаусса, если дисперсия случайной величины увеличить
в 16 раз?
6.11.72.	Вычислить центральные моменты второго, третьего и четвер-
того порядков случайной величины, распределенной по нор-
мальному закону.
6.11.73.	Чему равны мода и медиана с.в. X ~ N(a,ay?
6.11.74.	Найти функцию распределения F(x) с. в. X ~ N(a,a). Учесть,
о
6.11.75.	Известно, что: с.в. X ~	Р{Х < 2} = 0,99. Найти:
а) а;	б) М(Х2).
6.11.76.	Случайная величина X распределена по закону ЛГ(а, а). Най-
ти P{xi X Х2}, где Xi и Х2 — абсциссы точек перегиба
соответствующей кривой Гаусса.
6.11.77.	В нормально распределенной совокупности 15% значений X
меньше 12 и 40% значений X больше 16,2. Найти среднее зна-
чение и среднеквадратичное отклонение для данного распреде-
ления.
6.11.78.	Случайная величина X распределена нормально, ее плотность
вероятности имеет вид
1	(* + 2)2
f(x) = -±=e——.
V 87г
Найти математическое ожидание с. в. У = ЗХ — 1, зная, что
У ~ЛГ(а,<т).
§12. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Функция распределения системы случайных величин
Во многих практических задачах результат опыта описывается не одной,
а двумя (или более) случайными величинами X и Y. В этом случае говорят о
системе двух случайных величин (X, У) (или двумерной случайной величине
Геометрически систему двух случайных величин (X, У) можно интерпре-
тировать как случайную точку на плоскости.
На двумерные случайные величины практически без изменений переносят-
ся основные понятия для одномерных случайных величин, в частности закон
Распределения, функция распределения, плотность распределения и т. д.
Закон распределения системы (X, У) двух дискретных случайных величин
в случае конечного числа значений можно задать формулой
ptj = Р{Х = Xi,Y = yj], i = 1,... , n, j = 1,... , m
13 Сборник задач по высшей математике. 2 курс	385

или с помощью таблицы с двойным входом:
Х\У	У1	У2		Утп
Х1	рп	Р12		Р1т
Х2	Р21	Р22		Р2т
				
Хп	Рп1	Рп2		Рпт
где Е Е Ру = 1.
1=1 J=1
Важнейшей из исчерпывающих характеристик (законов распределения) си-
стемы случайных величин является функция распределения.
Функцией распределения (иначе: интегральной функцией) системы с. в.
(X, У) называется функция F(x,y), которая для любых действительных чи-
сел хну равна вероятности совместного выполнения двух событий {X < ж} и
{У < j/}, т.е. F^x^y) = Р{Х < х, Y < у} (событие {X < ж, У < у} означает
произведение событий {X < ж} и {У < у}).
Геометрически каждое значение функции F(x,y) означает вероятность по-
падания случайной точки (X, У) в заштрихованной прямой угол Rx,y (ква-
дрант) с вершиной в точке (х,у) (рис. 91).
У\
(х,у)
Rx,y
г
Рис. 91
Вероятность попадания случайной точки (X, У) в прямоугольник D со сто-
ронами, параллельными координатным осям, находится по формуле:
P{xi X 02, У1 у У2} = F(x2,y2) - F(zi,?/2) - F(x2,yi) + Г(Ж1,2/1).
Свойства двумерной функции распределения
1.	О F(x,y) 1;
2.	F(x,y) — не убывает по каждому из своих аргументов (при фиксиро-
ванном другом аргументе):
F(x2,y) F(xi,y) при Х2 > Х1]
F(x,y2) F(x,yi) при у2 > У1.
3.	F(x,y) непрерывна слева по каждому из своих аргументов;
386

4.	F(x, —oo) = F(—00,3/) = F(—oo, — oo) = 0, где, например, F(x, —oo) озна-
чает lim F(z,3/);
y-* — oo
5.	F(+oo,+00) = 1;
6.	Г(ж,+оо) = Fi(ж) = Fx(x), F(+oo,t/) = F2(y) = Fy(y), где Fr(x) и
F2 (?/) — функции распределения с. в. X и Y соответственно.
Значение F(x,y) функции распределения в случае системы (X,У) двух
дискретных с. в. находится суммированием всех вероятностей pij с индексом
i,j, для которых Xi < ху yj < у, т. е.
Г(х,у) У Pv-
Xi<x yj<y
Плотность распределения системы случайных величин
В случае системы непрерывных случайных величин (X, Y) ее закон рас-
пределения удобно задавать с помощью плотности распределения.
=} Плотностью распределения вероятностей (или просто плотностью) си-
стемы (X, У) двух непрерывных случайных величин называется вторая сме-
шанная производная ее функции распределения, т. е.
,, v d2F(x,y) „
f{x'y}= дхду =F^X^'	*
Свойства двумерной плотности распределения вероятностей
1-	f(x,y) > 0;
+00 +00
2.	у у f(x,y)dxdy = 1;
— 00 —оо
3.	Р{(Х, У) 6 D} = If f(x, у) dxdy, где D — произвольная область;
D
х у
4.	F(x,y) = у J f(uyv)dudv'y
—00 —00
4-00	+00
5-	f f(x,y)dy = fi(x) = fx(x), f f(x,y)dx = f2(y) = fY(y).
— 00	—00
Независимые случайные величины
Случайные величины X и У называются независимыми, если независимы-
ми являются события {X < ж} и {У < у} для любых действительных чисел х
И у. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Сразу из определения независимости с. в. X и У вытекает следующее ра-
венство, которое можно положить в основу равносильного определения:
F(x,y) = F1(x)-F2(y).
387

В случае системы двух дискретных случайных величин (X, У) необходи-
мым и достаточным условием их независимости является равенство
Р{Х = Xi,Y = yj} = Р{Х = Xi} • P{Y = yj},
выполняющееся для любых г = 1,..., n, j = 1,..., т.
Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных
с. в. X и У, образующих систему (X, У), является равенство
f(x,y) = fl(x)  f2(y\
Условные законы распределения
Условным законом распределения одной из с. в., входящих в систему (X, У),
называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая с. в.
приняла определенное значение (или попала в некий интервал).
В частности, в случае системы двух дискретных случайных величин (X, У)
рсловным законом распределения с. в. У при рсловии X = Xi называется сово-
купность вероятностей
Р{у = го \X = Xi} = у ’ YT7V^ ’ j = i = l,...,n.
Р{Х = Xi}
Аналогично определяется условный закон распределения дискретной с. в.
X при условии У = yj.
Условная плотность непрерывной с. в. У при рсловии X = х (обозначение1
f(y | ж)) определяется равенством
f(y I х) = где М*) Т6 °-
fi(x)
Аналогично,
f(x I у) = ffX(', где Л(у) # 0.
/2 (у)
Теорема умножения плотностей распределения:
f(x,y) = /Л®) • f(y Iх) = h(y)  f(x I у)-
Математическое ожидание и дисперсия системы
случайных величин
Математическим ожиданием двУмерной с. в. (X, У) называется совокуп-
ность двух м.о. М(Х) и М(У) (т.е. упорядоченная пара (М(Х), М(У))), опре-
деляемых равенствами:
пт	пт
М(Х) = У У XiPij и М (у) = У 52	’
г=1 j = l	г=1 j = l
388

если X и Y — дискретные с. в.;
М(Х) = J J X • f(x,y)dxdy и M(Y) = J J у  f(x,y)dxdy,
если X и Y — непрерывные с. в.
Математическое ожидание с. в. <£(Х, У), являющейся функцией компонент
X и У двумерной с. в. (X, У), находится аналогично по формулам:
оо оо
У)) = У У 2/) • f(x,y)dxdy для непрерывного случая;
— оо —оо
71	771
M(y(X,Y)) =	!/>) ’ Pij Для дискретного случая.
г=1 j = l
Дисперсия системы с. в. (X, У):
П 771	71	771
D(x) = Y, 22^ - «Ли и D(x) = 22 YSw ~ av)2pn>
г=1 j = l	г=1 j = l
если (X, У) — система дискретных случайных величин (ах = М(Х),ау =
= М(У));
ОО ОО	оо оо
D(X) = у у (ж - ах)2 f(x,y)dxdy =	f х2 f(x,y)dxdy - а2х
— оо —оо	—оо —оо
и
Z>(Y) = У J\y - ау)2f(x, у) dxdy = J J у2 f(x, у) dxdy - ay,
— oo —oo	—oo —oo
если (X, У) — система непрерывных случайных величин.
Пусть (X, У) — система дискретных случайных величин. Условное мате-
матическое ожидание дискретной с. в. У при условии X = Xi определяется
равенством:
771
M(Y | X = Xi) = M(Y | ц) = £ Vjp(yj | х{),
j=l
где
р(.Уз I Xi) = p{Y = У; I X = Xi}.
Аналогично
71
M(x I У = Vj) = M(X !%) = £>• p(xi \yj).
i=l
Пусть теперь (X, У) — система непрерывных случайных величин. В этом
случае условное математическое ожидание с. в. У при условии X = х опре-
деляется равенством:
оо
M(Y\x)= jyf(y\x)dy.
— ОО
389

Аналогично
М(Х I у) =
ОО
J х - f(x\ y)dx.
— ОО
Корреляционный момент и коэффициент корреляции
Для характеристики связи между величинами X и Y служит корреляци-
онный момент Kxy (иначе: ковариация cov(X, У)), который для дискретных
с. в. вычисляется по формуле
71	771
Kxy = 52 52^ “ах^ ’ ”а«) ’Р»’
i=l j=l
а для непрерывных — по формуле
оо оо
Kxy = J j\x — ах)(у — av)f(x,y)dxdy.
— оо —оо
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле
Kxy = M(XY) - М(Х) • М(У).
Если с. в. X uY независимы, то Kxy = 0 (cov(X, У) = 0). Таким образом,
если Kxy / 0, то с. в. X и Y зависимы; в этом случае случайные величины
называют коррелированными. В случае Kxy = 0, с. в. X и У называют некор-
релированными.
Коэффициент корреляции rxY двух с. в. X и У есть безразмерная величи-
на, определяемая равенством
где ах и (уу — среднеквадратические отклонения соответственно величин X
и У.
Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости
случайных величин X и У.
Свойства коэффициента корреляции
1.	—1 txy 1;
2.	Если X и У — независимые с. в., то rxY = 0;
3.	Если с. в. X и У связаны линейной зависимостью У = аХ + Ь, а 0, то
|rxy| = 1;
4.	Если |rxy| = 1, то с. в. X и У связаны линейной функциональной зави-
симостью.
390

6.12.1.	Задана таблица распределения дискретной двумерной случай-
ной величины
Х\У	1	2	3
1	0,16	0,12	0,08
2	0,28	0,11	0,25
Найти:
а)	законы распределения случайных величин X и Y;
б)	функцию распределения системы с. в. (X, У).
Q а) Случайная величина X принимает два значения: х± = 1 и х% = 2.
Вероятности этих значений соответственно равны: р± = [рп +pi2 +Р13] =
= 0,16 -I- 0,12 + 0,08 = 0,36, Р2 = 0,28 + 0,11 + 0,25 = 0,64. Следовательно,
закон распределения с. в. X (т. е. безусловный закон распределения ком-
поненты X) можно представить в виде
	1	2
Pi	0,36	0,64
Аналогично получаем безусловный закон распределения компоненты У:
yi	1	2	3
Pi	0,44	0,23	0,33
б) В соответствии с формулой F(x,y) = ^2 52 Pij получаем:
Xi<X yj<y
если ж^1и?/^1, то F(x,y) = Р{Х < х, У < у} = 0, так как события
{X <#} и {У < у} в этом случае являются невозможными.
Аналогично получаем:
если х 1 и 1 < р, то F(x, у) = 0;
если 1<ж^2и?/^1, то F(x, у) = 0;
если 1<я^2и1<?/^2, то F(x,y) = Р{Х = 1, У = 1} = 0,16;
если 1<я^2и2<1/^3, то
F(x, у) = Р{Х = 1, У = 1} + Р{Х = 1, У = 2} = 0,16 + 0,12 = 0,28;
если 1<ж^2иЗ<?/, то
F(x,y) = Р{Х = 1, У = 1} + Р{Х = 1, У = 2} + Р{Х = 1, У = 3} =
= 0,16 + 0,12 + 0,08 = 0,36;
если 2 < х и у 1, то Р(ж, у) = 0;
если 2<яи1<1/^2, то
Р(я, у) = Р{Х = 1, У = 1} + Р{Х = 2, У = 1} = 0,16 + 0,28 = 0,44;
если 2<жи2<?/^3, то
F(x,y) = Р{Х = 1, У = 1} + Р{Х = 2, У = 1} + Р{Х = 1, У = 2}+
+ Р{Х = 2, У = 2} = 0,16 + 0,28 + 0,12 + 0,11 = 0,67;
если 2 < х и 3 < у, то Р(ж, у) = 0,16 + 0,28 + 0,12 + 0,11 + 0,08 + 0,25 = 1.
391

Таким образом, функция распределения данной системы дискретных
случайных величин имеет вид
F(x,y) = <
при	У 1	1—1 Л /Л ьо	ьо Л /Л со	^5 V ео
X < 1	0	0	0	0
1 <а:^2	0	0,16	0,28	0,36
2 < х	0	0,44	0,67	1
6.12.2.	Закон распределения системы дискретных случайных величин
задан таблицей
Х\У	1	2	3	4
1	0,10	0,15	0,04	0,06
2	0,12	0,08	0,05	0,04
3	0,03	0,02	0,11	D
Найти:
а)	значение числа D;
б)	безусловные законы распределения случайных величин X
и У;
в)	вероятности событий {X = 1, У 2} и {X = У}.
6.12.3.	Двумерная случайная величина (X, У) задана законом распре-
X\Y	0	1
0	0,12	0,18
1	0,28	0,42
Найти:
а)	функцию распределения д. с.в. Х\
б)	функцию распределения двумерной с.в. (X, У);
в)	вероятность события {X У}.
6.12.4.	По мишени производится один выстрел. Вероятность попада-
ния равна 0,75. Пусть с.в. X — число попаданий; с.в. У —
число промахов. Составить таблицу совместного распределе-
ния вероятностей случайных величин X и У. Описать функцию
распределения F(x,y) системы с.в. (X,У).
6.12.5.	Используя условие задачи 6.12.1, установить, зависимы или
нет компоненты X и У.
О Условие независимости с. в. X и У в дискретном случае имеет вид:
Р{Х = Xi, У = yj} = Р{Х = #$} • P{Y = yj} для любых i = 1,2,... , п и
j = 1,2,..., m. Проверяем: пусть х± = 1 и у± = 1. По условию
Р{Х = 1, У = 1} = 0,16,
а Р{Х = 1} = 0,36, Р{У = 1} = 0,44 (эти вероятности найдены в ходе
решения задачи 6.12.1). Поскольку
Р{Х = 1, У = 1} = 0,16 / 0,36 • 0,44 = Р{Х = 1} • Р{У = 1},
то отсюда заключаем: компоненты системы (X, У) зависимы.	•
392

6.12.6.	Задано распределение двумерной случайной величины (X, У)
Х\У	1	1,5	2
1	1 12	1 24	1 24
2	1 12	1 24	1 24
2,5	1 3	1 6	1 6
6.12.7.
6.12.8.
Найти одномерные распределения компонент системы. Устано-
вить, зависимы ли компоненты X и У. Найти Р{Х + У 3,5}.
Используя условие задачи 6.12.2, установить, зависимы или
нет случайные величины X и У.
Заданы законы распределения двух независимых друг от друга
случайных величин X и У:
Xi	8	9	10
Pi	0,1	0,3	0,6
yi	8	9	10
Pi	0,2	0,3	0,5
Описать функцию распределения F(x, у) и вычислить ее зна-
чение в точке (9,2; 8,5).
6.12.9.	Закон распределения системы дискретных случайных величин
(X, У) задан таблицей
Х\У	-2	-1	0	1
-1	1 16	2 16	3 16	1 16
0	2 16	3 16	1 16	0
1	0	1 16	0	2 16
Найти:
а)	безусловные законы распределения случайных величин X
и У;
б)	условный закон распределения с. в. У при X = 0;
в)	проверить независимость случайных величин X и У.
Ci а) Случайная величина X принимает значения xi = — 1, х% = 0,
я3 = 1, вероятности которых находим суммированием вероятностей со-
ответственно в первой, второй и третьей строках таблицы:
Р1 16 + 16 + 16 + 16	16’	16’	16’
Суммируя вероятности в первом, втором, третьем и четвертом столбцах
таблицах, находим вероятности соответствующих значений с. в. У.
Таким образом, безусловные законы распределения X и У имеют
вид:
Xi	-1	0	1
Pi	7 16	6 16	3 16
yi	-2	-1	0	1
Pi	3 16	6 16	4 16	3 16
393

б) Вероятности значений с. в. У при X = 0 найдем с помощью форч
мулы	ргГ-„	= Y = yj} P{Y — у} \ X — хг} -	р{х =	.
Так как	р1х = Ъ = Тб + Тб + Тб = Тв’
то	2 Р{У = -2|Х = 0} = ^ = | = |, 16 3 P{Y = -1 | X = 0} =	= | = 1 16 1 Р{У = 0|Х = 0} = -^ = |, 16 P{Y = 1 I X = 0} = -2- = 0. 16
Таким образом, условный закон распределения с. в. У при X = 0 имеет
вид
yi	-2	-1	0	1
Px=Q	1 3	1 2	1 6	0
в) Так как безусловный и условный законы распределения с. в. У
не совпадают, то случайные величины X и У зависимы. (В этом можно
было бы убедиться и «старым способом»:
P{X = -1, Y = -2} = ±/^ .± = P{X = -l}P{Y = -2}.) ♦
6.12.10.	Используя условие задачи 6.12.9, найти условный закон рас-
пределения:
а) с. в. У при X = —1;
в) с. в. X при У = 0.
6.12.11.	Задана система дискретных случайных величин (X, У):
б) с. в. X при У = —2;
Х\У	10	20	30
50	0,15	0,30	0,15
100	0,10	0,05	0,25
Найти:
а)	условный закон распределения с. в. У при условии, что X =
= 100;
б)	условный закон распределения с. в. X при условии, что У =
= 20.
Являются ли независимыми величины X и У?
394

6.12.12.	Используя условие задачи 6.12.1, найти:
а)	математические ожидания М(X) и М(У);
б)	дисперсии D(X) и £>(У);
в)	среднеквадратические отклонения сг(Х) и сг(У).
Q а) Используя формулы для вычисления математического ожидания,
приведенные в начале параграфа, находим М(Х) и М(У):
М(Х) = XiPn + Я1Р12 + Я1Р13 + Я2Р21 + Х2Р22 + Я3Р23 =
= 1 • 0,16 + 1 • 0,12 + 1 • 0,08 + 2 • 0,28 + 2 • 0,11 + 2 • 0,25 = 1,64,
т.е. ах = М(Х) = 1,64. Аналогично
М(У) = 1 • 0,16 + 1 • 0,28 + 2 • 0,12 + 2 • 0,11 + 3 • 0,08 + 3 • 0,25 = 1,89,
т.е. ау = М(X) = 1,89.
Отметим, что, найдя безусловные законы распределения случайных
величин X и У (в задаче 6.12.1 они найдены), можно найти указанные
числовые характеристики, используя «старые формулы»:
М(Х) = 1 • 0,36 + 2 • 0,64 = 1,64; М (У) = 1 • 0,44 + 2 • 0,23 + 3 • 0,33 = 1,89.
б)	Находим дисперсии D(X) и D(Y):
г п т
d(x) = УУ(^-«»)2-ро
4=13=1
= (1 - 1,64)2 • 0,16 + (1 - 1,64)2 • 0,12 + (1 - 1,64)2 • 0,08+
+ (2 - 1,64)2 • 0,28 + (2 - 1,64)2 • 0,11 + (2 - 1,64)2 • 0,25 =
= 0,4096 • 0,36 + 0,1296 • 0,64 = 0,2304, т.е. D(X) = 0,2304.
Аналогично
£>(У) = (1 - 1,98)2 • 0,16 + (1 - 1,89)2 • 0,28 + (2 - 1,89)2 • 0,12+
+ (2 - 1,89)2 • 0,11 + (3 - 1,89)2 • 0,08 + (3 - 1,89)2 • 0,25 =
= 0,7921 • 0,44 + 0,0121 • 0,23 + 1,2321 • 0,33 = 0,7579.
Найдем D(X) иначе, используя безусловный закон распределения с. в.
X: D(X) = [М(Х2) - (М(Х))2] = 1 • 0,36 + 22 • 0,64 - (1,64)2 = 0,2304.
Точно так же
Я(У) = [М(У2) - (М(У))2] = I2 • 0,44 + 22 • 0,23 + З2 • 0,33 - (1,89)2 =
= 4,33 - 3,5721 = 0,7579.
в)	Теперь уже легко найти <т(Х) = y/D(X) = -/0,2304 = 0,48 и <т(У) =
= V077579 « 0,87.	•
6-12.13. Используя условие задачи 6.12.3, найти Л/(Х), Л/(У), D(X),
D(Y), а(Х) и <т(У).
6-12.14. Используя условие задачи 6.12.6, найти М(У), D(Y), trlY).
395

6.12.15.	Закон распределения двумерной дискретной случайной вели*
чины задан таблицей
Х\У	-2	0	2
0,2	0,03	0,05	0,12
0,6	0,15	0,30	0,35
Найти условное математическое ожидание М(Х | Y = 2).
Q Для нахождения искомой величины воспользуемся формулой
п
М(Х I Y = yj) = 52 xi • p(xi I УД где P(xi I Уз) = p{x = xi I Y = Уз}-
i=l
Найдем сначала условный закон распределения компоненты X при
условии, что Y = 2.
Так как P{Y = 2} = 0,12 4- 0,35 = 0,47, то условный закон распреде-
ления с. в. X при У = 2 имеет вид
P(xi 1 Уз) =		0,2	0,6	(См. решение задачи 6.12.9.
	Ру=2	0,12 0^7	0,35 047	
Стало быть,
М(Х I Y = 2) = [Ж17?О1 I Уз) + ж2р(а:2 I Уз)] =
0,12	0,35	0,024 + 0,21 _ 0,234 _ 234 ,,
= 0,2. — +°,6. — =	04-— - W - 470 «0,498,
т.е. окончательно М(Х | У = 2) « 0,498.	•
6.12.16.	Используя условие задачи 6.12.15, найти:
а) М (X);	б) М(Х | У = 0);
в) М(У);	г) М (У | X = 0,2).
6.12.17.	Используя условие задачи 6.12.10, найти
М(У I X = -1), М(Х I У = -2), М(Х I У = 0).
6.12.18.	Используя условие задачи 6.12.1, найти корреляционный мо-
мент Kxy (ковариацию) и коэффициент корреляции гху.
Q Математические ожидания компонент уже найдены: ах = М(Х) =
= 1,64; ау = M(Y) = 1,89 (см. задачу 6.12.12).
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение компонент также из-
вестны: D(X) = 0,2304; D(Y) = 0,7579; а(Х) = 0,48; а(У) 0,87 (задача
6.12.12).
Найдем корреляционный момент Kxy-
Kxy
п т
/С — ax)(yj ~ ay)Pij
i=l j=l
= (1—1,64)(1—1,89)-0,16+(1—1,64)(2—1,89)-0,12+(1 —1,64)(3—1,89)-0,08+
+ (2—1,64)(1—1,89)-0,28+(2—1,64)(2—1,89)-0,11 + (2—1,64)(3—1,89)-0,25 =
= -0,64 • (-0,0404) + 0,36 • 0,0404 = 0,0404.
396

Теперь найдем Kxy иначе, используя формулу
КХу = M(XY) - М(Х) • M(Y) :
Kxy = 1 • 1 • 0,16 + 1 • 2 • 0,12 + 1 • 3 • 0,08 + 2 • 1 • 0,28+
+ 2 • 2 • 0,11 + 2 • 3 • 0,25 - 1,64 • 1,89 = 3,16 - 3,0996 = 0,0404.
Как видно, второй способ проще.
Находим коэффициент корреляции.
rxY =
Kxy _ 0,0404
а(Х) • а(У) “ 0,48 • 0,87
« 0,096732,
т. е. txy 0,1.	®
6.12.19.	Используя условие задачи 6.12.3, найти Kxy и гху.
6.12.20.	Используя условие задачи 6.12.9, найти основные характери-
стики Af(X), М(У), D(X), D(Y), Kxy, txy данной системы
случайных вличин (X, У).
6.12.21.	Совместное распределение случайных величин X и У задано
плотностью распределения вероятностей
f(x u} = [C'(y~Xy>)’
’	|0,
где область D = {(ж, у) : 0 х 1, 0 у 1}. Найти:
а)	коэффициент с;
б)	плотности распределения отдельных компонент X и У;
в)	вероятности попадания случайной точки (X, У) в область
Z>i = {(х,у) : 0,7 х 3, 0 у < 0,3};
г)	совместную функцию распределения F(x,y).
Рис. 92
Q Области D и Di изображены на рис. 92.
а)	Коэффициент с найдем из условия нормировки:
оо оо
j j f(x, у) dxdy = 1.
-оо -оо
397

Имеем
оо оо	11
У У f(x,y)dxdy = jdx jcy(l- x)dy =
— oo —oo	0
о
= с/(
о
,2 11
— £
о 4’
откуда = 1, т. е. с = 4.
б)	Находим плотности распределения компонент X и Y:
оо	1	2 1
fi(x) = fx(x) = у f(x,y)dy = у4у(1 -x)dy = 4(1 - ж) • у|о = 2(1 - х),
— оо	О
т.е.
т.е.
Ы.)=М ^[0,1],
[0,	х«[0,1];
Л(у) = /у(у) = У f(x,y)dx = j4y(l-x)dx = 4у (х- у J | = 2у,
—оо	О
(О, у £[0,1].
в) Для нахождения вероятности попадания случайной точки (X, У)
в область Di воспользуемся формулой
P{(X,Y')eD} = jjf(x,y)dxdy.
D
Тогда
1	0,3	3	0,3
P{(X,У) € Z>i} = yyf(x,y)dxdy = jdx j4(1 -x)ydy + jdx jody =
Di	0,7 о	io
}	W2|0,3	/	_2\ |1
= 4 (l-x)dx-^-	= 2-0,09- hr- =
J	2 Io	\	2 Io,7
0,7	x	'
( i	0 49\
= 0,18 1 - ± - 0,7 +	= 0,0081.
\ Z	Z J
г) Для нахождения совместной функции распределения воспользу-
емся формулой	у
F(?,y) = У У f(u,v)dudv,
—оо —оо
где хну — любые действительные числа.
398

Рассмотрим возможные положения точки (ж, у) на плоскости:
1) если точка расположена во II четверти (х < 0, у > 0), либо
в III (х < 0, у < 0), либо в IV четверти (х > 0, у < 0), то F(x, у) = 0, так
как там всюду f(x,y) = 0;
2) если точка (ж, у) расположена в I четверти, то она находится либо:
(а) внутри области D (на рис. 92 это точка Mi); (б) справа от области D,
причем у 1 (точка М2); (в) справа от области D, причем у > 1 (точка
Мз); (г) над областью £>, причем х < 1 (точка М4).
В случае (а) имеем
X	у
F(x,y) =4
X
f du
—00
J(1 — u)v dv — 4 j\l — u)du Jvdv =
—00
0
В случае (б) получаем
F(x,y) =4 jvdv у<1 -и) du = 4- 1 •	= у2;
О о
В случае (в) имеем
11	2 1
F(x, у) = 4 Jv dv j\l - и) du = 4 • 1 •	| = 1;
оо	°
И, наконец, в случае (г):
X	1
F(x, у) = 4 j\l — u)du Jvdv = 4 • |
о	о
— ж(2 — х).
Таким образом,
х < 0, у < 0 или х < 0, у > 0 или х > 0, у < 0,
(х,у) е D,
0 С у С 1, х > 1,
0 < х < 1, у > 1,
х > 1, у > 1.
6.12.22.	Используя результаты, полученные при решении задачи
6.12.21, найти:
а)	частные функции распределения случайных величин, вхо-
дящих в систему с. в. (X, У);
б)	вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
Di с вершинами в точках (0,7;0), (0,7;0,3), (3;0,3), (3;0) (рис. 92).
399

О а) Так как
. f ( \	(2(1-а:)> ® е [0,1],
Л(®) = /х(®) =
ж [0,1],
то:
при х 0 имеем
х
Г1(х)= jfi(x')dx =
— ОО
х
J 0 dx = О,
—оо
при 0 < х 1 получаем
о
Fi (х) = J 0 dx +
—оо
У 2(1 — u)du = 2х — х2,
о
при 1 < х получаем
о
—оо
1	X
j2(l — x)dx + Jodu=l.
о
1
Таким образом,
{о,
2х - х2,
1,
Аналогично находим, что
{О,
У2,
1,
б) Используя формулу
P{^i X х2, У1 Y у2} = F(x2,y2)—F(xi,y2)—F(x2,yi)+F(xi,yi),
находим искомую вероятность:
Р{0,7 <Х^З, О^У^ 0,3} =
= Р(3; 0,3) - Р(0,7; 0,3) - Р(3; 0) + Р(0,7; 0) =
= (0,3)2 - (2 • 0,7 • 0,32 - 0,72 • 0,32) - О2 + (2 • 0,7 • 0 - 0,72 • 0) =
= 0,09 - 0,126 + 0,0441 = 0,0081.
Получим такой же ответ, как и в задаче 6.12.21.	•
6.12.23. Задана плотность совместного распределения системы непре-
рывных с.в. (X,У):
fit,у) = <
с • ху,
0,
если (х,у) е D,
если (х,у) D,
400

где D = {(ж, у) : х 0, у О, х + у < 1}. Найти:
а)	коэффициент с;
б)	плотности распределения отдельных компонент X и У;
в)	функции распределения отдельных компонент;
г)	вероятность события А = {X > i, У 1).
6.12.24.	Двумерная случайная величина (X, У) имеет плотность рас-
пределения вероятностей
/(ж, у) = —---г-------, х € R, у € R.
(l+x2)(3 + y2)
Найти:
а)	значение величины с;
б)	функцию распределения F(x,y);
в)	плотности распределения отдельных компонент X и У;
г)	вероятность события А = {X < 1, У < \/3}.
6.12.25.	Используя условие задачи 6.12.21, проверить, зависимы ли слу-
чайные величины X и У.
Q Проверим, выполняется ли условие независимости двух непрерыв-
ных случайных величин X и У: f(x,y) = Л (ж) • /2(3/)-
В ходе решения задачи были получены следующие результаты:
1)	с = 4 и, значит, плотность распределения вероятностей /(ж, у) име-
ет вид

при 0 х < 1, 0^2/^ 1,
в остальных случаях;
2)	плотности распределения отдельных компонент X и У имеют вид
/1W — <
/2(У) = №
при 0 < х < 1,
в остальных случаях.
при 0 < у < 1,
в остальных случаях.
Как видим, равенство f(x,y) = /1(2) /2(3/) выполняется. Следовательно,
случайные величины X и У независимы. В этом же можно убедиться,
проверив выполнение равенства F(x,y) = Fi(x) •	•
6.12.26.	Используя условие задачи 6.12.23, выяснить, являются ли слу-
чайные величины X и У независимыми.
6.12.27.	Используя условие задачи 6.12.24, показать, что случайные ве-
личины X и У независимы.
6.12.28.	Независимые случайные величины X и У имеют соответствен-
но плотности:
/1(®) =
Зе-3®,
<
о,
к
при х 0,
при х < 0,
Л (у) =
'4е~*У,
0,
к
при у 0,
при у < 0.
401

Найти:
а)	плотность распределения двумерной случайной величины
(х,У);
б)	функцию распределения Fxy^x^y).
6.12.29.	Используя условие задачи 6.12.21, найти условные плотности
отдельных компонент X и Y.
Q Для нахождения условной плотности распределения f(x | у) восполь-
зуемся формулой f(x | у) = при всех у е [0,1]. Так как
J2W
J42/(1-x),
f&,y) = <Q
О х < 1, 0 у < 1,
в остальных случаях ,
0^?/^1,
в остальных случаях,
ги
„ I '	2(1-х),
| у) =
к
Аналогично находим
0 ж 1, 0^2/^ 1?
в остальных случаях.
/(у I х)
2у, 0 х 1, 0 у 1,
0, в остальных случаях.
Отметим, что безусловные плотности распределения компонент X и Y
равны соответствующим условным плотностям. Это доказывает, что слу-
чайные величины X и Y независимы.	•
6.12.30.	Используя условие задачи 6.12.23, найти условные плотности
компонент X и Y.
6.12.31.	Двумерная с. в. (Х,У) имеет равномерное распределение веро-
ятностей в треугольной области D (ААВС), т.е.
И
f(x,y) = < S’
если (ж, у) 6 D,
если (ж, у) D,
где S — площадь области D. Координаты вершин треуголь-
ника АВС таковы: А(—1; 1), В(1;1), С(0;0). Найти плотности
распределения компонент X и У, условные плотности распре-
деления с. в. X и Y. Являются ли с. в. X и Y независимыми?
6.12.32.	Используя условие задачи 6.12.21, найти:
а)	М(Х), М(У);	б) Р(Х), Р(У).
Q а) Используя формулу
М (X) = J j х- /(ж, у) dxdy
—оо —оо
402

и учитывая, что вне области D имеем /(ж, у) = 0, находим математиче-
ское ожидание компоненты X:
1 1
М(Х) = JJx • 4j/(l - х) dxdy = 4 Jж(1 — x)dx Jydy =
D	0	0
= 4 • i • f(x - x2) dx = 2	I1 = 2 • i = i
& j	oo
о
Аналогично находим М(У):
M(Y) = JJy f(x,y) dxdy = JJy 4y(l-x) dxdy =
D	D
1	1	1	3 1	/	n\ 1
= 4 f(l — x)dx fy2dy = 4 fcl-x)dx~\ = I (x - I =i| = i-
J	J	J	и 10 о \
0	0	0	7
Отметим, что M{X) и М(У) можно так же найти, используя формулы:
М(Х) = Jx-f1(x)dx, M(Y)= Jyfa(y)dy.
—оо	—оо
А именно:
=	=	)‘=2'Ы;
О	4	7
M(Y') = /y-2ydy = 2.^ = l.
О
б)	Для нахождения дисперсии с. в. X можно воспользоваться одной
из следующих формул
D(X) = J J(х -- ах)2  f(x, у) dxdy;
—оо —оо
D(X) = J J х2  f(x, у) dxdy - (ах)2;
—оо —оо
D(X) = J(х - ах)2  falx') dx = J х2  fi{x) dx - (ах)2.
—oo	—oo
Здесь ax — M(X). Найдем 7?(X), используя первую формулу:
D
о
о
403

1
= 2 у (х2 -	- х3 + |х2 - iz) dx =
о
_9/б х^_7 х^ , 1 _ яЛ I1 _9/5 _ J7, 1_1\ -±
\3 3	9 2 ' 9Х 4 / Io— U 18 9 4J ~ 18'
Теперь найдем D(X) другим способом, используя третью формулу:
ад =
У х2  fi(x)dx-al
—ОО
1	2
= Jx2 • 2(1 — х) dx — Q) =
о
3	4 J 1о 9	6 9	18'
Отсюда видно, что второй способ оказался проще. Находим этим спосо-
бом Р(У):
оо	1	2
D(Y) = У у2 • f2(y) dy - (ау)2 = jy2-2ydy-(^j =
—оо	О
_9 ^Р_4_ 1 _4_ J_ А
4 1о 9	2 9	18'
6.12.33.	Используя условие задачи 6.12.21, найти корреляционный мо-
мент Kxy (или: cov(X, У)) и коэффициент корреляции гху-
Q Корреляционный момент с. в. X и У можно найти, используя фор-
МУЛЫ	оо оо
Kxy = У J\x-ax)(y- av)f(x,y) dxdy
—оо —оо
ИЛИ	оо оо
Kxy = У У ху • f(x, у) dxdy - axav.
—оо —оо
Здесь ах = М(Х), ау = M(Y). Воспользуемся второй формулой.
1 1
Kxy = //ХУ 4У С1 ~ х) dxdl) ~ | ’ | = 4 j\x ~ а;2)dx fy2dy-^ =
D	оо
-4 lf^_^A|1_2 = 4 l_2=n
’ 3 \ 2	3 J Io 9 3 6 9
Отсюда и
_ Kxy _n
XY ct(X) • <т(У)
Этого следовало ожидать, ведь X и У — независимые случайные вели-
чины! (См. решение задачи 6.12.25.)	•
404

6.12.34.	Используя условие задачи 6.12.31, найти:
а)	математические ожидания М(Х) и М(У);
б)	дисперсии D(X) и D(У);
в)	коэффициент корреляции г%у.
6.12.35.	Используя условие задачи 6.12.23, найти:
а) М(Х) и М(У);	б) D(X) и Р(У);
в) cov(X, У);	г) гху.
6.12.36.	Плотность совместного распределения случайных величин X
и У задана формулой
[0,25(1 - ху3}, при - 1 < х < 1, -1 < у < 1,
f\x>У) — л п
10,	в остальных случаях.
Найти:
а)	коэффициент корреляции с. в. X и У;
б)	безусловные и условные плотности распределения с. в. X
I А2е“Л2г'
/2(2/) = 1о,
л(®) = <
в)	условное математическое ожидание M(Y | X = х).
6.12.37.	Случайные величины X и У независимы, имеют плотности рас-
пределения соответственно
jAie-*1®, а
Л(®) = с
0, а
(Ai > 0, Л2 > 0). Найти:
а)	плотность совместного распределения f(x,y);
б)	Р{Х > У};
в)	значения М(Х) и M(Y).
Дополнительные задания
6.12.38.	По цели производится два независимых выстрела. Вероятность
попадания в цель при первом выстреле равна 0,8, при втором
0,9. Случайная величина X — число попаданий при первом
выстреле, У — число попаданий при втором выстреле. Найти:
а) закон распределения системы случайных величин (X, У);
б)	безусловные законы распределения отдельных компонент X
и У и их функции распределения;
в)	функцию распределения /\у(я,з/).
6.12.39.	Функция распределения системы дискретных с. в. (X, У) имеет
вид
при	тГ 1 V/	—4 < у 1	1<У^8	V оо
см 1 V/ н	0	0	0	0
—2 < х 3	0	1 12	1 4	7 12
3 < х	0	1 4	7 12	1
405

Найти таблицу распределения случайного вектора (X, У); ряд
распределения с.в. У; вероятность события {X > У}.
6.12.40.	Симметричную монету подбрасывают 3 раза. Пусть с.в. X —
количество гербов, выпавших в первом и втором испытаниях,
с.в. У — количество гербов, выпавших во втором и третьем
испытаниях. Найти: совместное распределение с.в. X и У; ве-
роятность события {X 0 У}.
6.12.41.	Задано распределение двумерной случайной величины (X, У)
Х\У	1	2	3
1	1 12	1 6	1 4
2	1 12	1 6	1 4
Установить, зависимы ли компоненты X и У. Найти
P{XY > 2}.
6.12.42.	Используя условие задачи 6.12.6, найти:
а)	условный закон распределения с. в. У при X = 2,5;
б)	Р{Х = Xi I У = 2};	в) P{VX2 + У2 < л/2}.
6.12.43.	Система случайных величин (X, У) задана таблицей распреде-
ления
Х\У	-1	0	1
0	0,1	0,2	о,1
1	0,1	0,3	0,2
Найти:
а)	безусловный закон распределения с. в. У;
б)	закон распределения с. в. Y при условии, что X = 0;
в)	вероятность события {X = 0, Y 0}.
6.12.44.	Среди 10 лотерейных билетов есть 2 выигрышных. Сначала де-
вушка вытягивает один билет, затем один билет вытягивает
юноша. Описать закон распределения системы случайных ве-
личин (X, У), где X — число выигрышных билетов у девушки,
Y — у юноши. Найти:
а) Р{Х > У};	б) P{Y = yi\X = 1}.
6.12.45.	Используя условие задачи 6.12.6, найти М(Х), D(X), а(Х).
6.12.46.	Используя условие задачи 6.12.11, найти математические ожи-
дания и дисперсии случайных величин X и У.
6.12.47.	Используя условие задачи 6.12.6, найти г%у.
6.12.48.	Используя условие задачи 6.12.11, найти Kxy, гху-
6.12.49.	Двумерная случайная величина задана таблицей распределе-
ния
Х\У	4	5	6	7
1	0,08	0,10	0,10	0,03
2	0,08	0,14	0,16	0,05
3	0,04	0,06	0,14	D
406

Найти величину D, одномерные распределения составляющих;
проверить независимость случайных величин X и У; вычи-
слить М(Х), М(У), D(X), D(Y), а(Х), а(У), cov (X, У) = KXY,
?XY-
6.12.50.	Система случайных величин (X, У) подчинена закону распре-
деления с плотностью
. с • sin (х + у). в области D.
/(®,У) = 4П	й п
0,	вне области D,
где D = |(ж,у) : х 0, х у 0, у Найти:
а)	коэффициент с;
б)	плотности распределения отдельных компонент X и У;
в)	вероятность попадания случайной точки (X, У) в прямо-
угольник, ограниченный прямыми х = 0, х = у = 0, у = ^.
6.12.51.	Система непрерывных с. в. (X, У) равномерно распределена
(т.е. f(x,y) = с = const) внутри эллипса 9ж2 4- I63/2	144,
вне эллипса f(x, у) = 0. Найти:
а) совместную плотность /(х,у);
б)	плотности компонент X и У (т.е. /1(ж) и /2(3/))?
в)	вероятность события А = {—1 X 1, 0 < У < 1}.
6.12.52.	Дана плотность распределения вероятностей двумерной с. в.
(Х,У)
„	. (се~х~у,	х	0,	у О,
f(x,y ) = <
0,	х	<	0,	у	< 0.
Найти:
а)	параметр с;
б)	функцию распределения вероятностей F(x,g/);
в)	вероятности событий: А = {X < 0, У <2},В = {0^Х^1,
-X X}.
6.12.53.	Двумерная случайная величина (X, У) имеет плотность рас-
пределения вероятностей
. с, в области D,
f&,y) = <
0, вне области £>,
к
где D = {(ж, у) : у 0, х + у < 1, 2у - х < 2}. Найти
а)	величину с ;
б)	плотность распределения случайной величины X;
в)	функцию распределения Fx(x) = Р{Х < ж};
г)	вероятность события {X 0}.
407

6.12.54.	Плотность распределения вероятностей системы случайных ве-
личин (X, У) имеет вид
/^Х ^=1х + У’ а: е [0,1], 2/€ [0,1],
0, в остальных случаях.
Найти
а)/х(я) и/уО/);	б)Р{Х + У<1}.
Являются ли с. в. X и Y независимыми?
6.12.55.	Двумерная с. в. (X, У) задана плотностью совместного распре-
деления
Я ,У)	(О,	(x,y) $ D,
где D область на плоскости Оху, определяемая системой не-
равенств: {у > — 1, я?>0, у < —ж3}. Найти безусловное и
условное распределения составляющей X. Убедиться, что с.в.
X и У зависимы.
6.12.56.	Используя условие задачи 6.12.51, найти условные плотности
f(x | у) и f(y | х) компонент X и У двумерной случайной
величины (X, У).
6.12.57.	Задана плотность
/(a;,y) = |е-<«2+4«„+8»2)
совместного распределения двумерной с.в. (X,У). Найти без-
условные и условные плотности распределения случайных ве-
личин X и У; выяснить являются ли с. в. X и У независимыми
(известно, что
У е~и2 du = у/тг).
—оо
6.12.58.	Используя условие задачи 6.12.50, найти:
а) М(Х), М(У);	б) Р(Х), Р(У);
в) cov(X,У), т.е. Kxy] г) г%у.
6.12.59.	Задана плотность совместного распределения системы двух
с.в. (Х,У)
№,у) = <
[0,	(x,y)$D,
где D = {(ж, у) : |ж| + |j/| < 1, у < 0}. Найти:
а)	коэффициент корреляции гху]
б)	/1(х);	в) /(у | х).
408

Контрольные вопросы и более сложные задания
6.12.60.	Закон распределения дискретной двумерной случайной вели-
чины задан таблицей
Х\У	—2	0	4
0	0,15	0,05	0
10	0,10	0,20	0,10
20	0,05	0,10	0,25
Составить функцию распределения Fx,y(x,y). Найти услов-
ный закон распределения с. в. Y при X = 20. Выяснить, за-
висимы ли случайные величины X и Y.
6.12.61.	В урне содержится 5 белых и 3 черных шара. Из нее извлекают
2 шара без возвращения. Пусть с. в. X — число белых шаров в
выборке, с. в. У — число черных шаров в выборке. Составить
закон совместного распределения случайного вектора (X, У).
Найти:
а) Р{Х 2, У = 1};	б) D(X) и Р(У);
в) коэффициент корреляции г%у.
6.12.62.	Задана система случайных величин (X, У). Известно, что:
М(Х) = 1, М(У) = -2, Г>(Х) = 4, Г>(У) = 2, гХУ =
Найти:
а) М(2Х + У);	б) D(X - ЗУ).
6.12.63.	Случайные величины X и У связаны зависимостью У = —X +1.
Показать, что гху = — 1.
6.12.64.	Дана плотность распределения вероятностей двумерной слу-
чайной величины (X, У)
{с • cos х cos у. в области D,
0,	вне области Z),
где D = {(я,у) : х е (в;	, у Е (о; Найти:
а)	функцию распределения Гху(х,у);
б)	плотность /х(ж);
в)	вероятность события А = {У < 2Х}.
6.12.65.	Функция распределения двумерной случайной величины имеет
вид
Fxy(x,y) =
'1-е~х -е~У + е~х~У,
0,
х 0, у 0,
х < 0, у < 0.
Найти:
а)	двумерную плотность вероятности системы (X, У);
б)	вероятность события А = {X < 1,У < 1}?
409

6.12.66.	Функция распределения системы (X, У) непрерывных с. в. за-
дана в виде
О,	х < О или у < О,
F(x,y) = < 0,5(sinx + sin у - sin(x + у)),	О з/
1,	х>^иу=^.
7Г
2’
Найти:
а) Р{(Х,У)еГ>},где
D = (х,у)
б)	fxY^X.y).
6.12.67.	Двумерный случайный вектор (X, У) равномерно распределен
(/(ж, 2/) = с) в области D = {(ж, у) : |ж| + |g/|	1} (вне области
f(x,y) = 0). Найти:
а) /ху(ж,2/);	б) fx(x) и fY(y)-
Зависимы ли случайные величины X и У?
6.12.68.	Задана функция f(x,y) = К е~ (ахЧЬх+су2)' Каким
условиям
должны удовлетворять числа а, b и с для того, чтобы эта функ-
ция могла бы быть плотностью распределения вероятностей?
6.12.69.	Пусть случайные величины X и У независимы и нормально
распределены: X ~ 7V(0; 1) и У ~ 7V(0; 1). Найти:
а) совместную плотность распределения /ху(я,з/);
б)	Р{(Х,У) е Г>}, где D = {(х,у) : 2 у/х2 + у2 < 3}.
6.12.70.	Непрерывная с. в. X~R[—2; 4], а непрерывная с. в. Y~N(—1; 2).
Известно, что гху=—0,5. Найти M(XY).
6.12.71.	Задана непрерывная с. в. X с плотностью распределения веро-
ятностей /х(ж) = А • е~х . Известно, что другая с. в. У свя-
зана со с. в. X равенством У — X2. Чему равен коэффициент
корреляции с. в. X и У? Какой вывод следует из полученного
результата?
§13. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Функции одной случайной величины
Пусть рассматриваются две случайные величины X и У, связанные функ-
циональной зависимостью
у = ^да-
410

Если X — дискретная с. в., закон распределения которой определяется фор-
мулой pi = Р{Х = #;}, i = 1,2,3,..., то с. в. Y также дискретна, а ее закон рас-
пределения выражается формулой pi = P{Y = yi}, i = 1,2,3,..., где yi = <£(#;),
P{Y = yi} = P{X = Xi}.
Математическое ожидание и дисперсия с. в. Y определяются соответствен-
но равенствами
М(У) = М(<р(Х)) = ^Pi =
i	i
И
О(У) = D(<p(X)) = ^(j/i - ay)2pi =	- o,y)2pi,
г	i
где ay = M(Y).
Если X — непрерывная с. в. с плотностью распределения /(ж) и если
у = ip(x) — дифференцируемая и монотонная функция, то плотность распре-
деления д(у) с. в. У = (р(Х) выражается формулой
s(s/) = /(№)) • 1^'(г/)1>
где V’(y) =	= х — функция, обратная функции у = <р(х) (эта функция
существует в силу монотонности <р(Х)).
Если функция у = <р(х) немонотонная, то числовая прямая разбивается
на п промежутков монотонности и обратная функция i/>i(y) находится на ка-
ждом из них; плотность распределения д(у) с. в. У = у?(Х) определяется в этом
случае по формуле
р(»)=XZ/(^(»)) • i^(»)i-
г=1
Для нахождения математического ожидания и дисперсии с. в. У = у?(Х)
необязательно находить закон ее распределения; можно воспользоваться фор-
мулами
М(У) = М(у?(ж)) = J <р(х) • f(x)dx,
— оо
оо
Р(У) = о(у>(т)) = J(у>(ж) - ay)2f(x) dx.
— ОО
Функции двух случайных величин
Пусть рассматривается система двух случайных величин (X, У). Если ка-
ждой паре (ж, у) возможных значений с. в. X и У соответствует одно возможное
значение z = <р(х, у) (находимое по определенному закону) с. в. Z, то Z назы-
вают функцией двух случайных аргументов X и У:
Z = у?(Х,У).
411

Для функции двух (и более) аргументов удобнее сначала находить ее
функцию распределения G(z), а затем — плотность распределения g(z):
g(z) = G\z).
Если (X, У) — система дискретных с. в., то
G(z) = P{Z<z} =	£ ру;
если (X, У) — система непрерывных с. в., то
G(z) = P{Z < z} = J J f(x, y) dxdy,
Dz
где f(x,y) — плотность распределения системы (X, У);
Dz = {(х,у) : ip(x,y) < z}.
Важное для практики значение имеет задача определения закона распре-
деления суммы двух случайных величин: Z = X + У.
Функция распределения с. в. Z может быть найдена по формуле
Gz(z) = J f(x,y)dy^dx,
— oo —oo
где f(x,y) — плотность распределения системы (X, У). Плотность распреде-
ления суммы двух случайных величин выражается формулой
оо	оо
g{z) = Jf(x,z-x)dx (или: g(z) = J f(z - у, у) dy).
— оо	—оо
Особенно важен случай, когда случайные величины X и У независимы.
Тогда f(x,y) = fi(x)f2(y) и
оо	оо
g(z) = У fi(x)f2(z - x)dx (или: g(z) = J fi(z- y)fa(y)dy),
— oo	—oo
где f\(x) и /2(2/) — плотности распределения с.в. X и У соответственно. Если
возможные значения аргументов неотрицательны, то д(х) находим по формуле
z
g(z) = j hdx.
о
Последнюю формулу называют формулой свертки или формулой компо-
зиции двух распределений, а функцию g(z) — сверткой функций fi(x) и /2(2/);
закон распределения суммы Z = X -I- У двух независимых с. в. называют ком-
позицией (сверткой) законов распределения слагаемых.
412

6.13.1.	Дискретная с. в. X задана своим рядом распределения
Xi	-2	-1	0	1	2	3	4
Pi	0,05	0,10	0,15	0,25	0,15	0,20	0,10
Найти:
а)	распределение с. в. У = —ЗХ2 + 1;
б)	закон распределения с. в. Т = cos - 1, а также М(Т)
и D(T).
Q а) Случайная величина Y принимает следующие значения: у± =
= -3(-2)2 + 1 = -11,2/2 = -3(-1)2 + 1 = —2, у3 = 1,2/4 = -2 • 1 + 1 = -2,
у5 = -3*4 + 1 = -11, 2/6 = —3 • З2 + 1 = -26, 2/7 = -3 • 42 + 1 = -47.
Вероятности, этих значений такие же, как и у с.в. X, т.е. pi = 0,05,
р2 = 0,10 и т.д. Закон распределения с. в. Y можно записать в виде
Pi	-11	-2	1	-2	-11	-26	—47
Pi	0,05	0,10	0,15	0,25	0,15	0,20	0,10
или (учитывая, что P{Y = —11} =р± +р5 =0,05 + 0,15 = 0,20, P{Y = — 2} =
= 0,10 + 0,25 = 0,35) в более компактном виде
Vi	-47	-26	-11	—2	1
Pi	0,10	0,20	0,20	0,35	0,15
Y
б) Аналогично получаем закон распределения с. в. Т = cos -1:
&
ti	-2	-1	0
Pi	0,20	0,55	0,25
3
проверка:	= 1
г=1
Находим математическое ожидание и дисперсию:
М(Т) = —2 • 0,20 + (-1) • 0,55 + 0 • 0,25 = -0,95;
П(Т) = [М(Т2)-(М(Т))2] = (-2)2 0,20+(—1)2 О,55+О2О,25—(-0,95)2 =
= 1,35 - 0,9025 = 0,4475.	•
6.13.2.	Дискретная с. в. X задана законом распределения
Xi	0	7Г 6	7Г 4	7Г 3	7Г 2	7Г
Pi	0,15	0,15	0,25	0,30	0,10	0,05
Найти:
а)	закон распределения с. в. Y = 4 sin2 X;
б)	М(У), Р(У), <т(У).
6.13.3.	Дискретная с. в. X задана таблицей распределения
Xi	-4	0	4	6
Pi	0,1	0,4	0,3	0,2
413

Найти:
а)	законы распределения с.в. Y = ||Х|, Z = X — М(Х);
б)	М(У), D(Y), a(Y), M(Z), D(Z).
6.13.4.	Плотность распределения вероятностей непрерывной с. в. X
имеет вид
f(x) =-----—е 8 , —оо < х < оо.
2 • л/2тг
Найти плотность распределения с. в. У = X* 2.
Q Отметим, что заданная н. с. в. X распределена по нормальному зако-
ну: X ~ 7V(0; 2). Решим задачу двумя способами:
1)	предварительно найдя функцию распределения G(y) с. в. У, а за-
тем, воспользовавшись равенством д(у) = и искомую плотность
распределения д(у) с. в. У;
2)	используя формулу д(у) = /(№)) ’ |чЛ'(?/)1-
Способ 1. Возможные значения случайных величин X и У связаны
зависимостью у = х2. Так как с. в. У не принимает отрицательных зна-
чений, то G(y) = P{Y < у} = 0 для 2/^0. Пусть у > 0. Тогда
G(y) = P{Y < у} = Р{Х2 <у} = Р{|Х| < y/у} =
у/У	2	у/У 2
= Р{-^<*<7й=	=
-у/У
о
т.е.

G(y) =
v 0
о,
при у > О,
при 3/^0.
Отсюда
<?(у) = G'(J/) =
1 Ш2
у2тг
О,
1
-^=е 8
•\/27Г
О,
1
'2^/’
т.е.
1
---е 8 , при у > О,
д(у) = Ъу/^яу
О,
Замечание. Выражение для функции распределения
записать иначе:
с. в. У можно
G(y) = P{Y < у} = ... = Р{-уУу < X < y/у} =
= Р{Х < у/у} -- Р{Х -y/у} = Р{Х < y/у} - Р{Х < -y/у} =
= Fx(y/y) ~ Fx(~y/y)-
414

Дифференцируя полученное равенство по у, получаем
д(у) = G'Y(y) =
= j-.fj-e
2^ \2ч/2тг
т. е. такой же результат
• А= =	+ Ы-у/У» =
*уУ £\/У
(у/у)2	!	(~л/у)2 \	! _у
8 + —е 8	= --i=e 8 ,
2д/2тг	/	2д/2^7г
1
е 8,
д(у) = 2\/%*у
°,
Способ 2. В интервале (—оо; оо) функция у = х2 не монотонна. Разо-
бьем этот интервал на два интервала (—оо; 0) и (0; оо), в которых функ-
ция у = х2 монотонна. На интервале (—оо;0) обратная функция к функ-
ции у = х2 есть Xi = V’lG/) = на интеРвале (0;°о) имеем Х2 =
— ^2(?/) — \/у- Искомую плотность распределения найдем, используя
д(у) = Ух(^1(у)) • W(y)l + fx(^'2(y))  1^2(у)I-
Так как
то
= -1=, и Шу)\ = |(^)'| =
1
2^/
= 1
2^’
1	(>/у)2 -I	I (~>/у)2 -I	-I
п(у) = —-— е 8	. ——|--------— е 8	.	= —-—
2^	^	2^	2у/У 2у/2тгу
у = х2, х G R = (—оо; оо), то у > 0, поэтому д(у) = 0 при у 0.
1
е 8, у > 0,
Так как
Итак,
_з/
е 8.
д(у) = 272тгг/
.°’
Непрерывная случайная величина X имеет равномерное рас-
(л/ ч f при х е [1; 3], \
т. е. f{x) = <	з] I.
Найти плотность распределения функции:
a) Y = 2Х;	б) Y = X2.
О а) Функция у = 2х на отрезке возможных значений с. в. X монотонна.
Поэтому обратная ей функция х = гр (у) = существует и также моно-
тонна на отрезке [2; 6) (так как 1 х 3, то 2 у = 2х 6). Используя
формулу д(у) =	• |^(?/)|, получаем:
6.13.5.
д(у) = s 2
1о
_ Д» при 2 у < 6
0, при ?/^[2; 6].
415

Как видим, н. с. в. Y имеет также равномерное распределение, т. е.
У ~Я[2;6].
б)	Функция у = х2 тоже монотонна на отрезке [1; 3] и поэтому имеет
обратную функцию х = ^(y) = y/у, которая также монотонна на отрезке
[1:91. Отсюда х1 = 'ф'М =	и, следовательно,
2^	2у/у
'1 _J_
д(у) = < 2 2у/у"
о,
1 < У < 9,
у i [1;9].
6.13.6. Известно, что плотность распределения с.в. X имеет вид
Найти:
/(х) = <
О,
cos х,

6.13.7.
6.13.8.
а)	плотность распределения с. в. У = X2;
б)	числовые характеристики М(У) и D(Y).
Непрерывная с.в.Х (0 < х < оо) имеет плотность распределе-
ния вероятностей f{x) и функцию распределения вероятностей
F(x). Для с. в. У = 1пХ найти плотность распределения веро-
ятностей д(у) и функцию распределения вероятностей G(y).
Случайная величина X имеет плотность распределения
/(х) =
За;2,
О,
а; € [0; 1],
ж [0; 1].
Найти плотность распределения с. в. У = |Х — 2|.
6.13.9.	Задана плотность распределения н. с. в. X:
fx(x) = <
е~х
0,
х 0,
х < 0.
Найти Fy(y) и fy(y)) если У = е х.
6.13.10.	Случайная величина имеет плотность распределения
(х~\ а;е[2;4],
ж [2; 4].
/х(«) = s 2
(о,
Найти:
а)	плотность распределения ду(у)\
б)	математическое ожидание М(У) и дисперсию D(Y) с.в. У,
которая представляет собой площадь круга радиуса X.
6.13.11.	Случайная величина X имеет плотность распределения
/(1) К при1б[1;2],
(0, при х £ [1;2].
416

Другая с. в. Y связана с X функциональной зависимостью Y =
= 2Х3+1. Найти математическое ожидание и дисперсию с. в. У:
а) не находя плотности ду(у);
б) найдя предварительно плотность ду(у).
6.13.12. Совместное распределение д. с. в. X и У задано таблицей
Х\У	0	4	9
1	0,20	0,15	0,10
4	0,30	0,20	0,05
Описать закон распределения с. в. Z = X — уУ
Q Запишем законы распределения составляющих X и У:
#2	1	4
Pi	0,45	0,55
Уг	0	4	9
Pi	0,50	0,35	0,15
Закон распределения с.в. уУ имеет вид
y/yi	0	2	3
Pi	0,50	0,35	0,15
Случайная величина Z = X — уУ принимает значения z± = 1 — 0 = 1,
£2 = 1 — 2 = —1, £3 = 1 — 3 = —2, £4 = 4 — 0 = 4, £5 = 4 — 2 = 2,
zq = 4 — 3 = 1. Вероятности этих значений таковы:
P{Z = 1} = P{Z = Z1} + P{Z = zQ} =
= P{X = 1, Vy = 0} + P{x = 4, Vy = 3} =
= P{X = 1, У = 0} + P{X = 4, У = 9} = 0,20 + 0,05 = 0,25;
P{Z = -1} = P{X = 1, VY = 2} = P{X = 1, У = 4} = 0,15;
P{Z = -2} = P{X = 1, У = 9} = 0,10;
P{Z = 4} = P{X = 4, У = 0} = 0,30;
P{Z = 2} = P{X = 4, У = 4} = 0,20.
Таким образом, закон распределения с. в. Z = X — л/У имеет вид
Zi	-2	-1	1	2	4
Pi	0,10	0,15	0,25	0,20	0,30
6.13.13. Используя условие задачи 6.13.12, описать закон распределе-
ния с. в.:
a) Zi = Х + У;	б) Z2 = \X- У|;
в) Z3 =	+ У2.
6-13.14. X и Y — независимые случайные величины, распределенные
по одному и тому же геометрическому закону с параметром
р = 0,7 (р — вероятность успеха в одном испытании). Описать
закон распределения с. в. Z = X + У.
14 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
417

6.13.15. Совместное распределение с.в. X и Y задано плотностью рас-
пределения вероятностей
(х + у, при X G [0;1],у € [0; 1],
f \х) У) ~ л п
10,	в противном случае.
Найти:
а)	функцию распределения вероятностей с. в. Z = X + Y;
б)	плотность распределения fz(z).
Q a)Fz(z) = Fx+Y(z) = P{X+Y<z} = ff(x+y)dxdy, где область Dz
Dz
есть множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворя-
ют неравенству x + y < z, где z — произвольное число (на рис. 93 область
Dz есть часть квадрата (0^х^1,0^?/^1), лежащая ниже прямой
у = —х + z). При z 0, очевидно, F(z) = 0 (вне квадрата f(x,y) = 0).
Если 0 < z 1 (область Dz заштрихована на рис. 93), то
z —x+z	z /	2\ —x+z
F{z) = ff(x + у) dxdy = fdx f (x + y)dy = fdx (xy + у J |	=
dz	oo	о	'	'
Д, (z — x)2\ ,	/ -r3	-r2	I (z — х)3\|г
-a;2 + xz + v ’ da; =	+ z • %- - ± v ’	=
2 j \ о	z	z o/lo
и	x
-	23 J. 4. If, m3 _ z3 , Z3 _ 23
-"T+ T + 6(2-0) --6+y-y
Puc. 93
Puc. 94
Если 1 < z 2 (см. рис. 94), то
—x+z
J (x + y)dy =
0
0	0
1
+ У dx
z-l
z — 1
418

ж3 +z. ж2 _ 1.
3 +	2	2
(z - х)3\ I1
3 Д-i
(z-1)2	г-1/ 1 , (г-1)3 , z Zl_ 2	i„_ з Л
=	+ ^- +Дз + —3—+ 2'2(г-1) -б[(г-1) "Д-
_ z2 - z z3 - 3z2 + 3z - 2	2г2 - z3 z3 — 3z2 + 3z - 2 _
“	2	+	3	+	2	6
= ~2*3 +66*2 ~ 2 = |(-z3 + 3z2 - 1).
Наконец, если z > 2, то
i 1
F (z) = ff(x + y) dxdy = f dx j\x + y) dy =
Таким образом,
при z 0,
при 0 < z 1,
при 1 < z 2,
при z > 2.
б) Находим fz(z\ используя равенство fz(z) = F'z(z):
0,
fz(z) = < Z2,
—z2 + 2z,
при z 0 или z > 2,
при 0 < z < 1,
при 1 < z 2.
oo
Можно убедиться, что J fz(z)dz = 1.
—oo
6.13.16.	Используя условие задачи 6.13.15, найти Fz(z) и
Z = X — Y.
6.13.17.	Используя условие задачи 6.13.15, найти Fz(z) и
Z = XY.
6.13.18.	Случайные величины X и Y независимы и имеют
fz(z), где
fz(z), где
равномер-
плотность
ное распределение: X ~ 1?[0; 1], Y ~ R[— 1; 2]. Найти
распределения случайной величины Z = X 4- Y.
Q Найдем закон распределения суммы независимых с. в. двумя спосо-
бами.
Способ 1. Сначала найдем функцию распределения с. в. Z — X -F Y.
Система двух с. в. (X, У) равномерно распределена в прямоугольнике
ABCD (см. рис. 95), поэтому
*z(z) = P{Z <z} = Р{Х + Y<z} = I[f(x, у) dxdy =
Dz	Dz
dxdy,
419

где область Dz — часть этого прямоугольника, лежащая ниже прямой
х + у = z, т. е. у = — х + z] f(x, у) — плотность распределения двумерной
с.в. (X,У); /1(х) = /х(х) и /2(3/) = fy(y) — плотности распределения
вероятностей случайных величин X и У соответственно. По условию
Л (я) =
1,
О,
х е [0; 1],
х t [0; 1],
/2 (у) =
1
3’
о,
у е [-1;2],
НН; 2].
И
Так как с. в. X и Y независимы, то f(x,y) = /i(x)/2(j/) = 1 • к = 1 в
О о
прямоугольнике ABCD (вне его f(x,y) = 0).
С л едовательно,
fz(z) = //1 dxdV = | ff dxdy = ^SD:
Dz	D,
(здесь Sdz — площадь области Dz), Отсюда имеем:
1)	если z < —1, то F(z) = 0;
2)	если -1 < z < 0, то F(z) = [|SdJ = | • |(z + l)(z + 1) =	,
Lu J и Z	О
поскольку в этом случае область Dz — прямоугольный треугольник с
катетами z + 1 и z + 1 (на рис. 95 область Dz заштрихована).
420

Площадь области Dz можно, конечно, найти с помощью интеграла
(хотя этот способ более громоздкий):
z+l z—x z+1	х *+1
Sdz = J dx J dy = f dx-y\ = J(z — x + l)dx =
o-i о -1 о
( X2 \ |*+1	2 (z + i)2	1
\	2 J Io	2
_ 2z2 + 4z + 2 — z2 — 2z — 1 _ z2 + 2z + 1 _ (z + 1)2
2	2	“	2	’
3)	если 0 < z 2, to F(z) = |	* • 1 =	так как
область Dz в этом случае представляет собой прямоугольную трапецию
с основаниями z + 1 и z (проверьте!); ее высота равна 1.
4)	если 2 < z 3, то
F(z) = ^Sdabcd-S^cef) = | (1 • 3 - |(1 - (z - 2)) • (1 - (z - 2))) =
= 3 (3-5(3-« = 1 -
Или, иначе, используя интегралы:
F(z) = | ( f dx f dy+ [ dx [ dy \ =
V 0	-1	z-2 /	z-2	1	\ = |(3д:|	+ j(z-x + l)dxj = '	z-2	' = | ( 3z — 6 + z - z2 + 2z - 0 \ 1 /	2 E	7	(z - 2)2\ - 3 ( z + 5z 2+	2	) - = |(-z2 + 6z-3) = - 5) если 3 < z, то F(z) =	= o, 0 +1)2 F(z) = < 1,	1 ' 1 /	(	T2	\ |1 \ ^ISz-e+ zx-^ + a: 3 \	\	2	/ 1г-2/ 1 . (2~2)2 . .	,2\_ ’2+	2	+1 z + 2)~ - |(-2г2 + lOz - 7 + z2 - 4z + 4) = -l(z2-6z + 9-6) = l-j(z-3)2; IstlABCD = |-3 = 1. Таким образом 0	0 Z -1, ,	-1	< z	< 0, 0 <	z	2, 3)2 —,	2 <	z	3, 3 <	z.
421

Отсюда
О,
z + 1
fz(z) = F'(z) = ! 3
z C —1, z > 3,
-1 < z < 0,
0 < z < 2,
2 < z < 3.
Способ 2. Найдем плотность распределения с. в. Z = X+Y, используя
формулу свертки:
ОО
fz (z) = J fl (z - х) dx.
—ОО
Функции под знаком интеграла отличны от нуля лишь в случае
0 х 1,	I 0 х 1,
т.е. <
—1 z — я 2, lz — 2^#^z + l.
(13.1)
Решение системы зависит от значения z.
Если z < —1, система (13.1) несовместна; отрезки [0; 1] и [z - 2;z + 1]
не пересекаются (см. геометрическую иллюстрацию на рис. 96). Следо-
вательно, в этом случае fzfjz — х) =0 и, значит, /(z) = 0.
—bWWWi w
z—2	z+1
Puc. 96
Puc. 97
Если — 1 < z 0, система (13.1) эквивалентна неравенству 0 x
z + 1 (рис. 97). Поэтому
/(*) = y|dx = ^±l.
0
Если 0 < z 2, система (13.1) эквивалентна неравенству 0 х 1
(рис. 98). Поэтому
/(*) = f±dx =
JO	о
О
z -- 2vz+1	*
—Г~1-------X
Рис. 98
422

Если 2 < z 3, система (13.1) эквивалентна неравенству z — 2 х 1
(рис. 99). Поэтому
1
/(*) = у|</х = |(1-г + 2) = 1-|.
z-2
z—2	z+1
Рис. 100
Рис. 99
Если 3 < z, система (13.1) несовместна, так как отрезки [z — 2; z + 1]
и [0; 1] не пересекаются (рис. 100); т.е. /2(2 — ж) = 0 и /(z) — 0.
Итак, как и в первом случае,
0, х < -1, х > 3,
3’	’
1-(, 2 < z 3.
X О
6.13.19.	Найти плотность распределения вероятностей суммы двух не-
зависимых случайных величин, равномерно распределенных
на отрезке.[0; 2].
6.13.20.	Найти закон распределения суммы Z двух независимых слу-
чайных величин X и У, распределенных по нормальному за-
кону: X - ЛГ(О; 1), Y - ЛГ(О; 1). Найти M(Z) и D(Z).
6.13.21.	Случайные величины X и Y независимы и распределены по
показательному закону:
fo,2e~0^, у^0,
Л(®) = <4	f2(y) = t
10, X < 0,	(°, У < °-
Найти композицию этих законов.
Q Плотность распределения с. в. Z = X+Y найдем, используя формулу
Имеем
Z
g(z) = У Л(«) • /2(2 - х) dx.
о
g(z) = Jo,25e~0,25x  0,2е_о’2(г-х) dx = 0,05е-о’2г Jе-о,25х+о,2Ох dx =
о	о
= 0,05е“°’2г уе-°’05а: dx = —е~0,2г  е-0’0511* = e~°'2z  (1 - е“°'05г
О
423

6.13.22.	Найти законы распределения с. в. Z = X + У, где X и Y —
независимые случайные величины, имеющие равномерное рас-
пределение на отрезке [0; 1]
fxW =
хе [0;1],
х i [0; 1],
fy (у) =
У € [0;1],
У * [0;1]
6.13.23.	Известно, что с. в. X распределена по показательному закону
t , ч	f 0,Зе—0,3а:,
/х(я) = < 0
х 0,
х < 0,
а с. в. У ~ Я[0; 2] и не зависит от X. Найти плотность распре-
деления случайной величины Z = X + У.
Дополнительные задания
6.13.24.	Случайный вектор (X, У) распределен по закону, заданному
таблицей
X\Y	-2	-1	0	1
-1	0,02	0,16	0,24	0,03
0	0,05	0,15	0,10	0,06
2	0,03	0,09	0,06	0,01
Найти:
а)	законы распределения с. в. X и У;
б)	законы распределения с. в. Z = —5Х + 2 и W = |У3 — 1|;
в)	математические ожидания и дисперсии случайных величин
ZhW.
6.13.25.	Дискретная с. в. X задана своим рядом распределения
х^	-2	-1	0	2	7
Pi	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1
Найти дисперсию с. в. У = \/Х + 2.
6.13.26.	Непрерывная с.в. X распределена равномерно в интервале
(-fi)-Найти:
а)	плотность распределения с. в. У = sin X;
б)	числовые характеристики М(У) и D(Y).
6.13.27.	Случайная величина X распределена по закону Коши
/(ж) =	2?, х е R.
Найти функцию распределения и плотность вероятности слу-
чайной величины:
а) У = 1-Х;	б)У = Х3.
424

6.13.28.
Случайная величина X имеет плотность распределения
Найти плотность распределения вероятностей д(у) случайной
величины:
а) У = 6Х + 3;	б) Y = |Х|;
в) Y = е~х2.
6.13.29.	Пусть f(x) — плотность распределения н. с. в. X, х 6 (—оо, оо).
Найти плотность распределения д(у) случайной величины У,
если:
a) Y = -X-	б) Y = X + 10;
в) Y = X2;	г) У = arctgX.
6.13.30.	Пусть F(x) — функция распределения н.с. в. X, Выразить че-
рез нее функцию распределения F(y) случайной величины У,
если:
а) У = 2Х + 3;	б) У = е~х\
в) У = X3.
6.13.31.	Случайная величина X имеет плотность распределения
f(x) = -±=e~^.
у2тг
Найти плотность распределения вероятностей д{у) случайной
величины У, если:
а)У = ^;	б)У = |Х-1|;
в) У = 5Х + 1.
6.13.32.	Известно, что н.с.в. X ~ Я[0,2]. Найти функцию распределе-
ния и плотность распределения случайных величин
У = —2Х + 4, Z = |Х - 1|.
Найти М(У) и £>(У).
6.13.33.	Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из
двух стрелков (X и У соответственно), таковы:
	8	9	10
Pi	0,1	0,3	0,6
yi	8	9	10
Pi	0,2	0,3	0,5
Описать закон распределения суммы очков, выбиваемых этими
стрелками.
6.13.34.	Используя условие задачи 6.13.15, найти Fr(t) и /т(£), где
т = —.
X
6.13.35.	Совместное распределение с. в. X и У задано плотностью рас-
пределения вероятностей
{^, если 0 < х < 1, 0 у £ тг,
А
0, в противном случае.
Найти плотность распределения вероятностей с. в. Z = X + У.
425

6.13.36.	Случайные величины X и Y независимы и одинаково распреде-
лены по закону 7V(0,1). Найти распределение с. в. Z = X2 + Y2.
6.13.37.	Используя условие задачи 6.13.18, найти функцию и плотность
Рис. 101
6.13.38.	Случайная точка (А', У) распределена равномерно в квадра-
те со стороной 1 (рис. 101). Найти закон распределения с.в.
S = XY.
f , z . fl, 0 О 1, 0 О 1; A
\fxY(x,y) = <
\	I 0, в противном случае. J
6.13.39.	Найти функцию распределения и плотность распределения ве-
роятностей с.в. Z = тах{Х, У}, где X и У — непрерывные,
независимые, равномерно распределенные на отрезке [0,1] слу-
чайные величины.
6.13.40.	Заданы плотности распределения вероятностей двух независи-
мых с. в. X и У:
, ,	/0,25х,	[1,3],	fl, у е [1,2],
fxM = [o, г НМ " МЛ= (0, у* [1,2].
Найти плотность распределения суммы Z = X + У.
6.13.41.	Время Ti, в течение которого клиент ожидает обслуживания, и
само время обслуживания Т? — две независимые непрерывные
случайные величины, имеющие показательное распределение
с параметрами Ai и А2 Ai соответственно. Найти плотность
распределения вероятностей общего времени Т = Т\ +Т%, про-
веденного клиентом в системе массового обслуживания.
6.13.42.	Независимые случайные величины X и У распределены по од-
ному и тому же:
а)	показательному закону с параметром А = 0,1;
б)	равномерному закону в интервале (0,1).
Найти M(Z), где Z = X + У.
426

Контрольные вопросы и более сложные задания
6.13.43.	Известно, что с. в. X ~ N(a, а). Показать, что с. в. У, связанная
со с. в. X линейной функциональной зависимостью Y = кХ + b
(k,b Е R), также распределена по нормальному закону. Чему
равны М(У) и <т(У)?
6.13.44.	Известно, что с.в. X ~ R[—1,2]. Найти плотность распределе-
ния с.в. У = |Х|. (Найти /х(я) в интервале (—1; 1), а затем в
интервале (1;2).)
6.13.45.	Пусть F(x) — функция распределения непрерывной случай-
ной величины X. Найти функции распределения случайных
величин У = 16Х2 — 9, Z = е“зх, выразив их через функцию
распределения с. в. X.
6.13.46.	Случайная величина X имеет показательное распределение с
плотностью
/(*) =
е~х, х О,
О, х < 0.
Будет ли иметь показательное распределение с. в. У = X + 1?
Найти функцию плотности распределения случайных величин
У = 2ех+6, Z = X2.
6.13.47.	Будут ли независимы с. в. X и У, если их совместное распре-
деление f(x,y) является равномерным:
а)	в области D = {(х,у) : 0^я^1, 0^2/^1-я};
б)	в области F = {(ж, у) : 0 я 1, 0	2}?
6.13.48.	Используя условие задачи 6.13.35, найти Fz(z) и где
Z=Y_
* Z Х'
6.13.49.	Известно, что X и У — независимые случайные величины, име-
ющие нормальное распределение: X ~ 7V(0;l), У ~ 7V(0;l).
Найти распределение с. в. Z — \JX2 + У2.
6.13.50.	Найти плотность распределения суммы двух равномерно рас-
пределенных на отрезке [— 1; 1] независимых случайных вели-
чин X и У. Чему равна F%+y(z)?
6.13.51.	Студент при поездке в институт пользуется метро и троллей-
бусом. Поезд метро приходится ожидать не более 3 минут, а
ожидание троллейбуса не более 8 минут. Считается время ожи-
дания поезда в метро и троллейбуса непрерывными с. в. X и
У, распределенными равномерно соответственно в промежут-
ках [0; 3] и [0; 8], найти плотность распределения вероятностей
общего времени ожидания Z = X + У.
427

§ 14. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Во многих задачах теории вероятностей изучаются случайные величины,
являющиеся суммами большого числа других случайных величин, т. е. зави-
сящие от большого числа случайных факторов. Определенные свойства таких
случайных величин описываются совокупностью так называемых предельных
теорем, которые, в свою очередь, разбиваются на две группы теорем — «закон
больших чисел» и «центральная предельная теорема».
Группа теорем, называемых «законом больших чисел», устанавливает ус-
тойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний ре-
зультат может быть предсказан с достаточной точностью. Другая группа тео-
рем, называемая «центральной предельной теоремой», устанавливает, что при
достаточно общих и естественных условиях закон распределения суммы боль-
шого числа случайных величин близок к нормальному.
Неравенство Чебышева и закон больших чисел
Теорема 6.9 (Неравенство Маркова). Если с. в. X принимает неотрица-
тельные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого
е > 0 имеет место неравенство:
Р{х > е} <
М(Х)
ё
Это неравенство, очевидно, равносильно следующему

Теорема 6.10 (Неравенство Чебышева). Если с. в. X имеет математическое
ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого е > 0 имеет место нера-
венство
Р{\Х-М(Х)\^е}^^-.
Неравенство Чебышева можно заменить равносильным
Р{|Х - М(Х)\ < е} 1 -
(14.1)
Неравенства Маркова и Чебышева можно использовать для оценки веро-
ятностей событий, связанных со случайной величиной, распределение которой
неизвестно.
428

Если с.в. X = т имеет биномиальное распределение с математическим
ожиданием М(Х) = а = пр и дисперсией D(X) = npq, неравенство Чебышева
имеет вид
P{|m - np| < е} > 1 -
е
Для относительной частоты ~ события А в п независимых испытани-
ях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью р, неравенство
Чебышева принимает вид
(142)
пе
Основной формой «закона больших чисел» считается
Теорема 6.11 (Чебышев). Если случайные величины Xi, Хг,... ,ХП,... не-
зависимы и существует такое число с > 0, что D(Xi) с (г = 1,2,3,...), то
для любого е > 0 выполняется неравенство
г=1	г=1	J	Пв
Из неравенства (14.3) следует предельное равенство
“» p{|s	<»} = !
г=1	г=1
Теорема Чебышева показывает, что среднее арифметическое большого чи-
сла случайных величин как угодно мало отличается (с вероятностью близкой
к 1) от среднего арифметического их математических ожиданий.
Следствие 6.1. Если с.в. Х1,Хг,... ,ХП,... независимы и одинаково рас-
пределены, с математическим ожиданием а и дисперсией а2, то для любого
€ > О
С п
lim рШГХ-а <е> = 1.
П—>00 I I 11	I I
4	г=1	'
Следствие 6.2 (Теорема Бернулли). Если в условиях схемы Бернулли ве-
роятность наступления события А в одном опыте равна р, число наступлений
этого события при п независимых испытаниях равно т, то для любого е > О
429

Центральная предельная теорема
Сформулируем центральную предельную теорему для случая одинаково
распределенных слагаемых.
Теорема 6.12. Пусть независимые с. в. Xi,X2,X3,... ,ХП,.. • одинаково рас-
пределены с математическим ожиданием а и дисперсией а2. Тогда функция
распределения центрированной и нормированной суммы Zn этих случайных
величин
^Xi-na
Z_ г=1	\г=1	/ _ г=1
п —	/---------- —	~Г~
I / п	\	у И
JD
у \г=1	/
стремится при п ч оо к функции распределения стандартной нормальной
случайной величины:
? t2
Fzn (х) = P{Zn < ж}-----> Ф(ж) = —[ е~ 2” dt.
п->°°	у/2тг J
— оо
Из центральной предельной теоремы, в частности, следует, что при боль-
ших п сумма Sn = Xi + Х2 + ... + Хп приближенно распределена по нормаль-
ному закону:
Sn ~ 7V(na, у/па).
Напомним, что:
1. С.в. X называется центрированной и нормированной (т.е. стандартной),
если М(Х) = 0 и D(X) = 1.
2. Функция Лапласа
? t2
Ф(х) = Jllz [ е~ 2 dt
\/2тг J
— оо
связана с нормированной функцией Лапласа
® t2
Фо (я) = I dt
V27r J
о
равенством
Ф(х) = i + Фо(а:)-
Из теоремы 6.12 также следует, что при достаточно больших п (уже при
п > 10) выполняется соотношение
(1М
\	0\0п)	/	\ O’yDn) /
Частным случаем центральной предельной теоремы являются рассмотрен-
ные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
430

6.14.1.	Дискретная с. в. X задана рядом распределения
	0	2	6	10
Pi	0,2	0,3	0,4	0,1
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,
что \Х-М(Х)\<5.
Q Найдем сначала математическое ожидание и дисперсию с. в. X:
М(Х) = 0 • 0,2 + 2 • 0,3 + 6 • 0,4 + 10 • 0,1 = 4;
D(X) = О2 • 0,2 + 22 • 0,3 + 62 • 0,4 + 102 • 0,1 - 42 = 25,6 - 16 = 9,6.
Согласно формуле (14.1), получаем следующую оценку вероятности:
9 6
Р{|Х-4|< 5} >1-^у = 1-0,384 = 0,616.	•
5
6.14.2.	Средний срок службы прибора 10 лет. Используя неравенство
Маркова, оценить вероятность того, что данный прибор не про-
служит более 15 лет.
6.14.3.	Дискретная с. в. X задана законом распределения:
	1	2	3	4	5
Pi	0,10	0,15	0,30	0,25	0,20
Найти вероятность события А = {|Х — М(Х)| < 1,5}. Оценить
эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.
6.14.4.	Непрерывная с. в. X ~ 7?(2,8). Найти вероятность события
А = {3,5 < X < 6,5}; оценить вероятность события А, исполь-
зуя неравенство Чебышева.
Q Случайная величина X имеет плотность распределения
Используя формулу
/3
Р{а<Х<$} = ff(x)dx,
а
находим вероятность события А. Имеем:
6,5	6 5
Р(Л)=	=	= | =	-е. Р(Л) = 0,5.
3,5
Математическое ожидание и дисперсия с. в. X таковы:
М(Х) = [^] =	= 5, Р(Х) =	= 3.
431

Так как
А = {3,5 < X < 6,5} = {-1,5 < X - 5 < 1,5} = {|Х - 5| < 1,5},
то, используя неравенство Чебышева (14.1), получаем (здесь е = 1,5)
искомую оценку:
Р(Л) = Р{|Х - 5| < 1,5} > 1 -	-1
1,0	°
Получили неинтересную (грубую) оценку, вероятность любого события
всегда неотрицательна!	*
6.14.5.	Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,
что с.в. X отклонится от своего математического ожидания
М(Х} менее, чем на:
а) а;	б) За;
в) 9а, где а = ^/Р(Х) — среднее квадратическое отклонение
с.в. X.
6.14.6.	X — непрерывная с. в. с плотностью распределения
/(х) =	X е К.
Найти:
а)	Р{|Х| < 2};
б)	оценку вероятности события {|X| < 2}, используя неравен-
ство Чебышева.
6.14.7.	Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,85. Оценить ве-
роятность того, что из 400 посеянных семян число взошедших
будет заключено в пределах от 300 до 380.
6.14.8.	Устройство состоит из 400 независимо работающих элементов.
Вероятность отказа любого из них за время Т равна 0,01. С по-
мощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что
модуль разности между числом отказавших элементов и сред-
ним числом отказов за время Т окажется не менее 5.
6.14.9.	Число дождливых дней в году для данной местности является
с.в. X с М(Х) = 100. Оценить вероятность того, что в следу-
ющем году в данной местности будет меньше 140 дождливых
дней.
6.14.10.	Парикмахерская обслуживает в среднем 120 клиентов в день.
Оценить вероятность того, что сегодня в данной парикмахер-
ской будет обслужено:
а) не менее 150 клиентов; б) менее 160 клиентов.
6.14.11.	Оценить вероятность того, что при 15000 подбрасываниях мо-
неты относительная частота появления герба отклонится от
вероятности появления герба при одном подбрасывании по мо-
дулю меньше, чем на 0,01.
432

Q Рассматриваемые испытания удовлетворяют схеме Бернулли. Вос-
пользуемся неравенством (14.2). Имеем р = q = i, п = 15000, е = 0,01,
поэтому
р (I—™----II < 0 011 > 1 -
1115000 2| ^и’и±/
1.1
----—-----« 0,83,
15 000-0,012
6.14.12.	Игральная кость подбрасывается 1200 раз. Оценить вероят-
ность отклонения относительной частоты выпадения 6 очков
от вероятности этого события (по модулю) на величину, мень-
шую, чем 0,02.
6.14.13.	В урне находится 20 белых и 80 черных шаров. Из нее извлека-
ют, с возвращением, 40 шаров. Оценить вероятность того, что
количество белых шаров в выборке заключено между 4 и 12.
6.14.14.	В автопарке 200 автомобилей. Каждый из них за время экс-
плуатации t может выйти из строя, независимо от других, с
вероятностью 0,04. Оценить вероятность того, что доля надеж-
ных автомобилей отличается по модулю от вероятности безот-
казной работы любого из них не более чем на 0,1.
6.14.15.	Игральная кость подбрасывается 400 раз. Оценить вероятность
того, что среднее арифметическое числа выпавших очков от-
клонится от математического ожидания числа очков, выпав-
ших при однократном подбрасывании кости, по модулю мень-
ше, чем на 0,1.
Q Обозначим через ХДг = 1,2, ...,400) — число очков, выпавших на
грани кости в г-м испытании.Эти случайные величины независимы; име-
ют одно и то же математическое ожидание, равное (см. задачу 6.10.2) и
35
ограниченные в совокупности дисперсии, равные (см- задачу 6.10.2).
Поэтому к данной последовательности случайных величин Лд,Х2,...
... , Л400 применим закон больших чисел (теорема Чебышева).
Искомую оценку получим, используя неравенство (14.3), где п = 400,
с = D(Xi) = M(Xi) = I e = 0,1:
Z	400	400
1400	~ 400 I < 0’1
k	1=1	1=1
Z	400	X
= Р{|4бб^Х< “ 1| < 0,1 J 1 “
4	i=l	'
6.14.16.	Дисперсия каждой из 2000 независимых с. в. не превышает 2.
Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифмети-
ческого этих с. в. от среднего арифметического их математиче-
ских ожиданий меньше 0,04.
433

6.14.17.	Применима ли к последовательности независимых с. в. Х\,
Хз,... теорема Чебышева, если закон распределения каждой
из с. в. Хп (п = 1,2,3,...) имеет вид:
xn,i	—па	0		па	
Pi	0,25	0,5		0,25	
xn,i	—n 1		п 1		
Pi	0,5		0,5		
^71,2	-п0-1	п0-1
Pi	0,5	0,5
6.14.18.	Сколько раз нужно измерить длину детали, истинное значение
которой а, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95, можно
было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений
отличается от а по модулю меньше, чем на 1, если дисперсия
каждого измерения меньше 16?
6.14.19.	На отрезке [О; случайным образом выбраны 162 числа, т.е.
рассматриваются 162 независимых и равномерно распределен-
ных случайных величин Xi, Х%, Хз, ..., Хюг- Найти вероят-
ность того, что их сумма заключена между 22 и 26.
Q Пусть Xi + Х2 + Хз +... + Xi62 = S162 • Случайные величины незави-
симы, одинаково распределены с математическим ожиданием M(Xi) =
Га+ 61	1	и Г(Ь-°Г
=	“8й Дисперсией D(Xi) =
= 1^2 Условия Цент-
12
ральной предельной теоремы соблюдены, поэтому случайная величина
S162 приближенно распределена по нормальному закону с плотностью

(s-M(S162))2
2-a2(Si62)
,21
Итак, Si62 ~ N (162 • I, л/162 • \/. Так как
\ о	V 1У2/
z162 х	162
M(Si62) = m(£xJ = £M(Xi) = |162 = Si,
'г=1	'	i=l
✓ 162	х	162
£>(S162) = D( £) = £ D(xi) = ife ‘ l62 =
4=1	/	i=l
то, применяя формулу (14.4), получим
P{22 < Si62 < 26} « Фо
^26 —
и Фо(6,26) - Ф(1,91) » 0,5 - 0,4719 = 0,0281.
Итак, с вероятностью, приблизительно равной 0,03, можно утверждать,
что сумма 162 случайных чисел, выбранных на отрезке [о; ij, заключена
между 22 и 26.	•
434

6.14.20.	Вероятность попадания в цель при каждом выстреле для дан-
ного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что число по-
паданий в цель будет больше 52, если он произвел 84 выстрела.
6.14.21.	Складываются 300 независимых случайных величин Ад, %25 •••
...,Х3оо, равномерно распределенных на отрезке [0;0,4].
Найти:
зоо
а)	приближенное выражение плотности с. в. У = Х^
б)	вероятность события А = {56 < Y < 65}.	г=1
6.14.22.	Напряжения на выходах 40 каналов радиотехнического устрой-
ства есть независимые с.в. с математическими ожиданиями,
равными 5 В и дисперсиями, равными 10 В. Найти вероятность
того, что напряжение на выходе устройства, суммирующего на-
пряжения каналов:
а)	будет находиться в пределах от 140 В до 200 В;
б)	превысит 180 В.
6.14.23.	При статистическом отчете складывается 900 чисел, каждое
из которых округлено с точностью до 0,001. Предполагается,
что ошибки округления независимы и равномерно распределе-
ны в интервале (—0,5 • 10“3; 0,5 • 10-3). Найти интервал, симме-
тричный относительно математического ожидания, в котором
с вероятностью, не меньшей, чем 0,996, будет находиться сум-
марная ошибка.
Дополнительные задания
6.14.24.	Игральная кость подбрасывается 120 раз. Оценить вероятность
того, что:
а)	число появлений 6 очков будет не меньше 30;
б)	6 очков появится от 12 до 28 раз.
6.14.25.	Монета подбрасывается 100 раз. С помощью неравенства Че-
бышева оценить вероятность того, что число выпавших гербов
будет находиться в пределах от 40 до 60. Найти вероятность
этого же события с помощью интегральной формулы Муавра-
Лапласа.
6.14.26.	Случайная величина X задана функцией распределения
0,
F(x) = (х - I)2,
1.
при X 1,
при 1 < х 2,
при 2 < х.
С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность собы-
тия А = {|Х-М(Х)| < |}. Найти р{|Х-М(Х)| < j}.
6.14.27.	Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали
равно 20 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,1 см.
435

Оценить снизу вероятность того, что длина случайно отобран-
ной детали находится в пределах от 19,6 до 20,4 см.
6.14.28.	Известно, что: X и Y — неотрицательные независимые слу-
чайные величины; М(Х) = 2, М(У) = 7. Оценить вероятность
событий А = {X + Y < 16}, В = {ХУ < 42}.
6.14.29.	Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Оце-
нить вероятность того, что при посеве 4000 семян:
а)	отклонение числа взошедших семян (с.в. X) от М(Х) не
превзойдет по модулю 100;
б)	отклонение доли взошедших семян от вероятности всхоже-
сти любого из них не превзойдет по модулю 0,03.
6.14.30.	Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того,
что среди 800 новорожденных детей мальчиков будет от 370 до
430 включительно. Считать вероятность рождения мальчика
равной 0,5.
6.14.31.	Сколько раз надо подбросить монету, чтобы вероятность от-
клонения относительной частоты появления герба от вероят-
ности его появления при одном подбрасывании на величину,
меньшую 0,1, была:
а) больше 0,90;	б) больше 0,98?
6.14.32.	Известно, что с.в. X имеет плотность распределения
Г я2е~х х>0
№) = {	2 ’
(0, х < 0.
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность собы-
тия А = {X 6 (0; 6)}.
6.14.33.	Дисперсия каждой из независимых с.в. Xi, означающей
продолжительность горения электролампочки, не превышает
30 часов. Сколько лампочек надо взять для испытаний, чтобы
вероятность того, что отклонение средней продолжительности
горения лампочки от среднего арифметического их математи-
ческих ожиданий меньше (по модулю) одного часа, была не
меньше 0,90?
6.14.34.	Удовлетворяет ли последовательность Xi,Xz,..., Хп,... неза-
висимых с. в., имеющих плотность fx^x) = ------------^~2~27 закону
больших чисел?	* х '
6.14.35.	Вероятность искажения одного сигнала равна 0,02. Пользуясь
центральной предельной теоремой, найти вероятность того, что
из 1000 переданных сигналов будет искажено:
а) больше 22;	б) меньше 40.
6.14.36.	Поезд состоит из 49 вагонов. Вес вагона — случайная величи-
на X, для которой М(Х) = 60 т, сг(Х) = 7 т. Локомотив мо-
жет везти поезд, если масса последнего не превосходит 3000 т.
436

В противном случае подцепляют дополнительный локомотив.
Какова вероятность того, что этого делать не придется?
6.14.37.	Игральная кость подбрасывается 360 раз. Найти вероятность
того, что суммарное число очков будет находиться в пределах
от 1200 до 1298 (т.е. Р{1200 S36o 1298}).
6.14.38.	Приживаются в среднем 70% от числа посаженных саженцев.
Сколько нужно посадить саженцев, чтобы с вероятностью, не
меньшей 0,9, ожидать, что отклонение числа прижившихся са-
женцев от математического ожидания не превышает по модулю
40? Решить задачу с помощью неравенства Чебышева.
6.14.39.	Пусть Xi,Х2,... ,Лдоо — последовательность независимых
стандартных случайных величин (т.е. Xj ~ 7V(0; 1)). Исполь-
зуя центральную предельную теорему, найти вероятность того,
что с. в. Sioo = X? -I- Х$ + ... + X^QQ примет значение больше,
чем 125,8.
Контрольные вопросы и более сложные задания
6.14.40.	Оценить вероятность того, что с. в. X отклонится от своего ма-
тематического ожидания М(Х) менее чем на Зсг(Х). Указать
эти вероятности для с. в. X, имеющей:
а) показательное распределение;
б)	равномерное распределение;
в)	нормальное распределение.
6.14.41.	Игральная кость подбрасывается 100 раз. Оценить вероятность
того, что суммарное число очков (с. в. X):
а) будет не менее 400;
б) отклонится от математического ожидания М(Х) меньше,
чем на 25.
6.14.42.	Общая стоимость всех букетов в цветочном киоске составляет
18 000 руб. Вероятность того, что стоимость взятого наугад бу-
кета не превышает 300 рублей, равна 0,7. Что можно сказать о
количестве букетов в киоске?
6.14.43.	Вероятность выхода из строя элемента радиотехнического
устройства за время Т равна 0,1. Оценить вероятность того,
что за время Т из 100 элементов выйдет из строя менее 20.
6.14.44.	Применима ли к последовательности независимых с.в. Xi,...
... ,ХП,..., где
X, ~Я(а,Ь),
теорема Чебышева?
437

6.14.45.	Доказать теорему Маркова:
Пусть Xi, Х2,..., Хп — последовательность независимых
с. в., для которых
п
lim 1УЖ)=0.
п—>00
i=l
Тогда для любого е > О
6.14.46.	Найти	а
lim V
а—>00	ml
тп=О
где а — целое положительное число.
6.14.47.	Известно, что случайные величины Ад, Х2,...,Хп имеют рав-
номерное распределение соответственно на промежутках (0; 1),
(0; 2),..., (0; п). Как будет меняться с. в.
i=l
при увеличении п?

Глава 7. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пусть D — некоторое подмножество комплексной плоскости С. Комплекс-
ной функцией f(z) с областью определения D называется отображение, кото-
рое каждой точке z € D ставит в соответствие комплексное число w = f(z). 4=
Если z = х + iy, w = и + w, то можно записать f(z) в виде
f(z) = и(х,у) + iv(x,y),
где и(х,у) = Ref(z) — действительная часть f(z), v(x,y) = Im/(z) — мнимая
часть f(z).
Укажем некоторые элементарные функции комплексного переменного:
etz = cos г + isinz, z G R (формула Эйлера),
eiz - e~iz
Sinz~ 2i
, ez — e~z
sbZ=--------------->
Inz = In |z| + iargz
eiz + e~iz
C°SZ=------2---->
, ez + e~z
chz = —
(argz G (-7Г, тг]),
Ln z = In |z| -I- i Arg z = In |z| + i arg z + i • 2irk = In z + i • 2irk
(1-1)
(k € Z).
Заметим, что Ln г — многозначная функция, которая каждому числу z / О
ставит в соответствие бесконечное множество значений {Lnz}.
7.1.1. Для данной функции f(z) = и(х,у) + iv(x,y), где z = х + iy,
найти действительную часть и(х,у) и мнимую часть v(x,y):
=	б)/(г) = |;
в) /сю -	г) /сю = sin^-
Q a) z2 = (я+г?/)2 = х2+2x-iy + (iy)2 = х2+i'2xy — y2 = (х2 —y2)+i-2xy,
т. е. и(х, у) = х2 —у2\ v(x, у) = 2ху.
б)	1 =	1	=	1	= х + гу = x + iy = х +
x + iy x-iy (х - iy)(x + iy) х2+у2	х2+у2
4-г • —- —- т.е. и(х.у) = п х—и(х.у) =
х2 + у2	х2 + у2	х2 + у2
в)	ez = ех+гу = ех • егу = ех • (cos у + г sin у) = ех cos у + г • ех sin у, т. е.
и(х, у) = ех cos у; v(x, у) = ех sin у.
439

г)	sinz = 2je ** =	- е~^х+^) = ± (eix~y - e~ix+y) =
= (e-s(cosa: + isina:) — ey(cos(-a:) + г sin(—a:))) = — ^(cosx(e_y — ey) +
_ x\	ey — e~y ey + e~y
+г sin x(e y+ey)) = i cos x-------hsin x-------= 8*п x У+i cos x 8^ У>
т.е. u(x,y) = sin x ch?/; v(x,y) = cosy shy.	•
Для данных функций найти их действительную часть и(х, у) и мнимую
часть v(x,y):
7.1.2.	z.	7.1.3.	iz.
7.1.4.	(z)2.	7.1.5.	z2 — 2z + i.
7.1.6.	г3.	7.1.7.	Rez + zlmz.
7.1.8.	z + z.	7.1.9.	1 + i z — i'
7.1.10.	1	7.1.11.	-I-
7.1.12.	ez.	7.1.13.	
7.1.14.	shz.	7.1.15.	sin(2z).
7.1.16.	cos г.	7.1.17.	г In г.
7.1.18.	1п(г2).	7.1.19.	sh(z + г).
7.1.20.	Для данной функции /(г), где z = гег<р, найти |/(z)| и Arg/(z): a)/(z) = z2;	б)/(z) = |; в) f{z) = ez.		
О а) Имеем z2		= (гегу?)2 = г2 • е%'2^. Так	как |ег*?| = 1 для любого
действительного		</?, a Arg(e2v?) = (^ + 2?rfc, к 6	Z, то
\z2\=r2, Arg(z2) = 2р + 2тгк, keZ.
б)	Так как i = —= —— = • ег</?, то
г rei? ге~ч> г
|j| = F> Arg Q) = р + 2тгк, keZ.
в)	Поскольку ez = ех+гу = ех • егу = erC08v? • егг81П*?, то
|e*| = erC08v?, Arg(e*) = г sin<£ + 2тт&, к е Z.
Для данных функций f(z) найти |/(z)| и Arg f(z):
7.1.21.	z.	7.1.22.	+
7.1.23.	z3.	7.1.24. zn.
7.1.25.	z~5.
7.1.26.	Определить функцию f(z), где z = х + iy, если Re/(z) = х и
Im /(г) = -у.
Q Так как z = х + iy, a z = х — iy, то z + z = 2а:, z — z = 2iy, откуда
x =
z + z
2
z — z .z — z
2i ~ 1 2
(1-2)
У =
440

Следовательно, /(z) = х - iy =	- i •	- ----- = z. Итак,
/(z) = z.	•
7.1.27.	Определить функцию f(z), где z = x+iy, если Re/(z) = ex cosy
и Im/(z) = ex siny.
Q Имеем:
/(z) = ex cosy -I- iex siny = e®(cosx/ -I- i siny) = ex • егу = ех+гу = ez.
Другой способ: воспользуемся равенствами (1.2) и (1.1). Тогда
z z %______%	z z %______%
f(z) = ex cosy + i • easins/ = e 2 cos—^7—I- i • e 2 sin =
Z + Z / 1 / . Z — Z	_ . Z — Z \	1 / . z — z _ . z — z \ 4
= e 2 А ег 2г -p e г 2г -p г . А ег 2г -e г 2i
\ 2 \	/ 2г \	J
1 Z + Z / Z — Z _Z — Z z — Z	Z — Z
= kc2 Ie2 +e 2 +e 2 -e 2
\
1 z + z z — Z
= ±е 2 2е 2 = ez.
Определить функцию f(z), где z = x -I- iy, no заданным Re/(z) = u(x,y)
и Im/(z) = v(x,y):
7.1.28.	и = —3/, v = x.	7.1.29. и = x2 — 3/2, v = 2xy.
7.1.30.	и =	v = ~^—z.
x* + у x + у
7.1.31.	и = chs/cosz, v = -shs/sinz.
7.1.32.	Найти значение функции z — | в точке 3 -I- 2г.
Имеем:
3 2г —	1	— 3 — 2г_______— 3 _ 2г — -_____________— —
д + 2г 3 + 2г"3 Л (3 + 2г)(3-2г) "	9 + 4"

36_;.24
13 * 13‘
7.1.33.	Вычислить значение z5 в точке
_ л/2	.л/2
Zq 2	2 *
Записать ответ в алгебраической, тригонометрической и пока-
зательной формах.
Q Так как вычисление значения
/х/2	,ч/2\5
( 2 +г 2 J
непосредственно в алгебраической форме довольно трудоемко, запишем
• 7Г
число zq в показательной форме: zq = 1 • ег4 (см. рис. 102); отсюда сле-
дует, что
z5- fl-e^V-e'T -cos^+isin^--^-i^--zn	•
~Q — I А С “ I С • Lvu I v Dili —	2	^2	—
441

Рис. 102
7.1.34.	Вычислить sin(7r -|- г).
Q Пользуясь формулами (1.1), получим
sin(7r + г) = ут(е<(,г+<) - е-^’+О) =	- е1”^) =
^(е~1егп -е1е~гп) = ^(e-1(cos7r + гзттг) -e1(cos(-7r) +isin(-7r))) =
=	(е-1 • (-1 + 0) - е1  (-1 + 0)) = | •	= -г • sh 1.	•
Вычислить значения функции f(z) в точках zi, Z2. В задачах 7.1.37-
7.1.38 ответ записать в показательной, тригонометрической и алгеб-
раической формах.
7.1.35.	/(z) = z2 - 2z + г, zi = — 2 -I- Зг, Z2 = 4 - Зг.
7.1.36.	f(z) = l-2i, zi = l-i, z2 = %.
z	z
7.1.37.	/(z) =	*i=2 + 2г, z2 = 2e‘l.
1*1
7.1.38.	/(z) = z7, zi = |	*2=1/2 (cos^ + г sin 20.
7.1.39.	f(z) = ez, zi = 1 -I- г, Z2 = ln2 - 10ттг.
7.1.40.	/(z) = chz, zi = т^г, Z2 = 1пЗ -I- г^.
7.1.41.	f(z) = ln(iz), zi = -1, Z2 = 1.
7.1.42.	/(z) = cosz, zi = 2тг - г, Z2 = 2ттг.
Дополнительные задания
Для данных функций f(z), где z = х + iy, найти их действительную
часть и(х,у) и мнимую часть v(x,y): 7.1.43.	iz2.	7.1.44. 7.1.45.	Re(z2) + ilm((z)2).	7.1.46. 7.1.47.	z-|z-l|.	7.1.48.	(z)3 + 2г - 1. z + 1 z - i '_ icqs(z — г).
442

7.1.49. 7.1.51.	sh(iz2).	7.1.50. e^z. tgz.
Для данных функций f(z), где z = гег(р, найти |/(z)| и Arg/(z)r
7.1.52. 7.1.54.	az, где a G В.	7.1.53. z  peie, где p, 0 G B. р», где n G N.
Определить функцию f(z), где z = х + iy, по заданным Re/(z) = и(х,у)
и Im f(z) = v(x,y):
7.1.55.	x2 - y2	1 u —	—— v —		— (a;2 + y2)2’	Zxy'
7.1.56.	u = x3 — 3xy2, v = y3 - 3x2y.
7.1.57.	x2 +y2 + 1	x2 +y2 — 1 U-X 2	t , V-y „	. a:2 +y2	x2 + y2
Вычислить значение функции f(z) в точке zq:
7.1.58.	Г / \	Z “|“ 1	Q . /(*) =	z0= 2 +г. Ar	1
7.1.59. 7.1.60.	/(г) = (z)2 • Imz, z§ — 1 — 2г. /(г) = x, zo = 1 - гТЗ.
7.1.61. 7.1.62.	/(г) = 2г sin 2г.?, zq = —1. /(z) = sh(z + г), z0 = 2 - г.
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.1.63.	Могут ли у двух различных функций комплексного перемен- ного быть а)	различные действительные части и одинаковые мнимые ча- сти; б)	одинаковые действительные части и различные мнимые ча- сти; в)	одинаковые действительные части и одинаковые мнимые ча- сти; г)	различные действительные части и различные мнимые ча- сти?
7.1.64. 7.1.65. 7.1.66. 7.1.67. 7.1.68.	Верно ли, что е2 0 0 при любом z е С? Решить уравнение sin z = 0. Существуют ли такие точки z е С, что | cosz| > 1? Верно ли, что функция sinz не ограничена на С? Найти все такие точки z е С, в которых значения функции ez чисто мнимые.
443

7.1.69.	Возможно ли однозначно задать функцию f(z), если известно,
что
а)	1/СЮ1 = И, Re/(z) = Rez (при Rez > 0);
б)	Arg/(z) = Argz, Re/(z) = Rez (при Rez > 0)?
§2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть функция /(z) определена в некоторой окрестности точки zo ком-
плексной плоскости.
Производной f'(zo) функции /(z) в точке zq называется предел
Um /(^о + Дг) -/(го)
lim ------т--------
Az

если он существует и конечен.
Если существует производная /'(zo), то функция /(z) называется диффе-
ренцируемой в точке Zq.
Множество D точек расширенной комплексной плоскости С U {оо} назы-
вается областью, если
1) множество D открыто, т. е. для каждой точки, принадлежащей D, суще-
ствует окрестность этой точки, принадлежащая Z?;
2) множество D связно, т. е. любые две точки из D можно соединить не-
прерывной кривой, все точки которой принадлежат D.
Функция /(z) называется аналитической в области D, если она диффе-
ренцируема в каждой точке этой области.
Функция /(z) называется аналитической в точке zo, если она дифферен-
цируема в каждой точке некоторой окрестности точки zq.
Теорема 7.1. Для того, чтобы функция /(z) = и(х, у) + w(s, у) (z = х 4- iy)
была дифференцируема в точке zq = xq + iyo, достаточно, чтобы
1) частные производные
ди(х,у)	ди(х,у)	dv(x,y) dv(x,y)
дх ' ду ' дх	’ ду
существовали и были непрерывны в некоторой окрестности точки (гго, ?/о) (как
функции двух действительных переменных х и у)\
2)	в точке (#о,2/о) были выполнены условия Коши-Римана
ди(х, у) _ dv(x,y)	du(x,y) _ dv(x, у)
дх	ду ' ду	дх '
Заметим, что условия Коши-Римана являются необходимыми для диффе-
ренцирования функции /(z) в точке zq = xq -I- iyQ.
444

В полярных координатах (г, р) условия Коши-Римана записываются сле-
дующим образом:
ди(г, </0_1 р) dv(r, р) _ 1 ди(г, р)
дг = ?	’ дг =~г др ’	( )
Если существует производная f'(z), то ее можно записать одним из следу-
ющих способов:
ff(z\ _ ди . ‘&v _ dv _ ‘ди _ ди _ -ди = dv < -dv
дх дх ду ду дх ду	ду дх
или
л// \ _ г (ди i‘dv\ _ 1 ( dv
f z^ + tw ~ z	
Для производных от функций комплексного переменного имеют место пра-
вила, аналогичные соответствующим правилам для производных от функций
действительного переменного. А именно: если в точке z существуют произ-
водные f'(z) и д'(2), то существуют и производные (С • /(2)) , (/(2) ± g(z)} ,
(/(2) • g(z)) , (/(^)/^(^)) , причем выполняются следующие равенства:
(С • /(г))' = С  f(z)', где Се С,
(/(«) ± »(«))' = /'(«) ± У(г),
(/(«) ' »(*))' = /'(г) • g(z) + /(г) • У (г),
/700 Y /'(«)•»(*)- f(z)-g'(z)
I ТТ =-------------J77-------- (ПРИ 9W / 0).
\9(z)J	g2(z)
Если функция f(z) — аналитическая в области D, то ее действительная
часть и(х,у) и мнимая часть v(x,y) являются функциями, гармоническими
в D. Это значит, что у каждой из функций и(х,у) и v(x,y) существуют непре-
рывные в D частные производные 2-го порядка, и для каждой из них верно
уравнение Лапласа
Ди=Й + Й=0’ Av=ft + fi=°
дх2 ду2	дх2 ду2
где Л — оператор Лапласа (см. с. 243). Если функция и(х, у) (функция v(x, у))
является гармонической в некоторой области D (вообще говоря, односвяз-
ной5), то существует аналитическая в D функция f(z) с действительной ча-
стью и(х,у) (соответственно, с мнимой частью v(#,?/)), определяемая с точно-
стью до постоянного слагаемого.
7.2.1.	Найти точки, в которых существует производная функции е2,
и вычислить эту производную.
5То есть ограниченной замкнутой несамопересекающейся линией. Области, описы-
ваемые в приводимых далее задачах, являются односвязными.
445

Q Так как (см. задачу 7.1.1 в) ez = ех cosy + i • ех siny, то
u(x, у) = ех cos з/, v(x, у) = ех sin у.
тт л	ди ди dv dv
Найдем частные производные -х—,	тг- и выясним, в окрестно-
дх ду дх ду
стях каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках
плоскости выполняются условия Коши-Римана (2.1):
(еж cos $/) = e®cosa/,	(ех sin у) = ех cosy,
дх дху '	ду дуу '
т.е.	для любых действительных х и у, и эти частные производ-
ит ду
ные непрерывны во всей плоскости IR2; кроме того,
(ех cos у) = —ех sin у,	(ех sin у) = ех sin у,
ду дух 1	дх дхх '
т. е.	для любых действительных х и у, и эти частные произ-
ду дх
водные непрерывны во всей плоскости IR2.
Так как условия Коши-Римана (2.1) выполняются для любой пары
действительных чисел (х,у), и частные производные	су-
да ду дх ду
ществуют и непрерывны в окрестности любой точки (х,у), то производ-
ная ff(z) существует в любой точке z = х + iy комплексной плоскости С.
Найдем эту производную:
f '(z) = ^ + i^- = ех cosy + i • ех siny = ex(cosy + г sins/) = ez.
Итак, f'(z) = (ez)f = ez (Vz EC).	•
7.2.2.	Указать область дифференцируемости функции /(z) = z и вы-
числить производную.
Q Так как z = х — iy, то и(х, у) = х, v(x, у) = —у и
ди _ дх _ dv _
дх дх ’ ду ду
для любых действительных хну. Следовательно, ^ = 1/ —1 = ^
ох	оу
и первое из двух условий Коши-Римана (2.1) не выполняется ни для
какой пары действительных чисел (х,у). Значит, функция /(z) = z не
дифференцируема ни в какой точке z е С.	•
7.2.3.	Найти точки, в которых существует производная функции i,
и вычислить эту производную.
Q Способ 1. Так как
f(z) = 1 = _J_ =	=_______
z x + iy (х + iy)(x - iy) х2+у2'
x — iy
x — iy
то
u(x,y) =	, v(x,y) =-----27“2-
x2 + y2	x2 + y2
446

Найдем частные производные	и выясним, в окрестно-
дх ду дх ду
стях каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках
выполняются условия Коши-Римана (2.1):
о о /	\	• (х2 -I- у2) - -0~(х2 -I- у2) • х
ди _ д ( х \ _ дх vу 7 дхх____________* '	_
дх дх\х2+у2)	(х2 +у2)2
(х2 -I- у2) — 2х • х у2 — х2
(х2 +у2)2	(х2 +з/2)2’
а, = д_ (___у_\ =	+
ду ду у х2 + у2 )	(ж2 + у2)2
_ (ж2 + у2) -2у-у _ у2 - ж2
(ж2 4- у2)2	(ж2 + у2)2'
т. е.	для любой пары действительных чисел (ж, у), если ж2 + у2 /
/ 0. Эти частные производные существуют и непрерывны в окрестности
каждой точки плоскости Ж2, за исключением точки (0,0). Далее,
а» _ s_ / х \ =	+ х =
ду ду \х2 + у2)	(ж2 4- у2)2
_ 0 • (ж2 4- у2) - 2у • ж _ 2жу
(ж24-у2)2	(ж2 4-у2)2'
dv=d_ (______у_\ = ^<х2 + У2>>-^х2+У2>У =
дх дх \ х2 -I- у2 J	(х2 -I- у2)2
_ 0 • (х2 + з/2) — 2х -у _ 2ху
(х2 + у2)2	(я2 +з/2)2’
т.е.	для любой пары действительных чисел (х.у). если
ду дх
х2+у2	0. Эти частные производные существуют и непрерывны в окрест-
ности каждой точки из Ш?, за исключением точки (0,0).
Так как условия Коши-Римана (2.1) выполняются для любой пары
действительных чисел (ж, 3/), кроме пары (0,0), и частные производные
ди ди dv dv	«
~ду’ дх’ ~ду сУществУют и непрерывны в окрестности любой точки
из R2 \ {(0,0)}, то производная f(z) существует в любой точке z = х + гу
комплексной плоскости С, за исключением точки z = 0.
447

Найдем эту производную:
= ди +idv = У2 -х2	2ху = у2 -х2 + i- 2ху =
дх дх (х2+у2)2	(х2 + у2)2	(х2+у2)2
у2 - х2 + г  2ху _	-(ж2 -у2 - г- 2ху) _ j _ i
(ж + iy)2(x - iy)2 (х + iy)2 (ж2 - у2 - г- 2ху) (ж + гу)2 z2
Итак, /'(z) =	= -^ Vz G С, z / 0.
Как видно из решения, нахождение производной таким способом не
вполне очевидно. В данном примере более целесообразно вычисление
производной в полярных координатах.
Способ 2. Так как
/(*) = I =	= F •	= |(cos¥’ - »sin¥>) = I cos<^> 4- г sin9?) ,
TO	11
u(r, = r cos v(r’ = ” r sin
Найдем частные производные и :
dr dr
ir = (^C0S¥>) =-^COS¥’’ I? = Д (“Fsin*’) = 4sin^-
or or \'	/ Г2	or or \ '	/
Вычисление частных производных и , а также проверку усло-
dp dp
вий Коши-Римана (2.2) предоставляем читателю.
Найдем производную функции f(z) = |:
^> = nt+it) = ?H^+ivs4 =
= --^(cos<£ - г sinp) =-Д— -е~г(р = —— = — Дт.
zr	гег<р • г	гег<р • гег<р z2
Получили тот же результат, что и при решении первым способом. •
7.2.4. Указать область дифференцируемости функции f(z) = zn
(n е N) и найти f'(z).
Q Так как
f(z) = zn = (гег1р)п = гпегп(р = rn(cosnp + isinnp)^
то
u(r, р) = rn cos np, v(r, p) = rn sin np.
Найдем частные производные	и выясним, где они су-
dr dr dp dp
ществуют и непрерывны, а также в каких точках выполняются условия
Коши-Римана (2.2):
= СОЗП(Р) = Tirn~1 cos пр, =	s^nn<^) = пгП cosn(£>
448

т.е.	для любой пары чисел (г, 92), г > 0; эти частные произ-
ог ' dip
водные существуют и непрерывны в любой точке (г, </?) при г > 0. Далее,
= -^-(rn sin nip) = nrn-1 sin nep, = -^-(rn cosnip) = -nrn sin nip,
dr dr	dip dip
T. e.	для любой пары чисел (г, ip), г > 0; эти частные произ-
dr ' dip
водные существуют и непрерывны в любой точке (г, ip) при г > 0.
Так как условия Коши-Римана (2.2) выполняются для любой пары
/	\ /	du du dv dv
чисел \r,ip) (при г > 0) и частные производные	суще-
ствуют и непрерывны в окрестности каждой точки (г, ip) (при г > 0),
то производная f(z) существует в любой точке z = гег(р комплексной
плоскости С (за исключением, может быть, точки z — 0).
Найдем эту производную:
j\z} = lzny = £ (^ +	= ^(nrn 1 cosnv + inrn 1 sinn^) =
_ nr—(cosny, + isinny>) = nrn-1 •	= nrn-1 •	=
= n • (гег(р)п 1 = nzn-1.
Итак, j\z) — (zny = nzn-1 € C (z 0). Проверку условий Коши-
Римана (2.1) в точке z = 0 и вычисление производной функции в этой
точке предоставляем читателю.	•
Для данной функции f(z) указать точки, в которых существует про-
изводная f'(z), и найти производную в этих точках:
7.2.5.	/(«) = iz.	7.2.6.	/(*)	= z + 2г.
7.2.7.	f(z) = iz2 - 3z +1.	7.2.8.		= zRez.
7.2.9.	/(г) = г6.	7.2.10.	f(z)	_ 1 z^
7.2.11.	/(г) = 1п(г2).	7.2.12.		= Ln(z2).
7.2.13.	f(z) = ch г.	7.2.14.	/(*)	= sin z.
7.2.15.	f(z) = sin(z -1- 2г).	7.2.16.		= cos(iz)
7.2.17.	Найти множество точек, в которых функция v(x,y) = 2ху — 3
удовлетворяет условию Av = 0. Определить, существует ли
аналитическая в некоторой области D функция f(z) (z=x+iy),
для которой Im / = v. Если такая функция f(z) существует, то
найти ее.
Q 1. Найдем частные производные:
|Я = 2<,.	|^=0, |^=0.
дх dy dx2 dy2
15 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
449

Следовательно,
д» = Й + й = о
дх* ду*
для любой пары действительных чисел х и у, т.е. функция v(x,y) явля-
ется гармонической во всей плоскости ШР. Значит, существует такая ана-
литическая во всей комплексной плоскости С функция f(z), что
/(z) = f (х + iy) = и(х, у) -h w(z, у).
2.	Найдем действительную часть и(х,у). Первое из условий Коши-
Римана (2.1) дает равенство	= 2я, из которого возможно опре-
ох оу
делить функцию и(х, у) с точностью до слагаемого ip(y) — функции, за-
висящей только от у и не зависящей от ж, — следующим образом:
и(х,у) = f^dx + (P(y) = f %xdx + <p(y) =х2+у>(у).
Так как по второму из условий (2.1) выполняется равенство	=
= —2?/, то
ди(х,у) д , 2	.
—Si- = di^ +Л)) = -2».
(»’) + Мк» = о + V'M = -2»-
Из последнего равенства имеем:
V’(y) = f (~2у) dy = -у2 + С,
где С = const, С е К. Значит, и(я, у) = х2 — у2 + С, откуда окончательно
т.е.
/(z) = f (х -h iy) = и(х, у) -I- w(z, у) = (х2 -у2 + С) + i(2xy - 3) =
= (я2 — 2/2 + г • 2ху) + С — 3i = (х + iy)2 + С - Зг = z2 + С — Зг.	•
7.2.18.	Найти множество точек, в которых функция и(х,у) = ех cosy
удовлетворяет условию Ди = 0. Определить, существует ли
аналитическая в некоторой области D функция /(z) (z=x+w),
для которой Re / = и. Если такая функция /(z) существует, то
найти ее.
Q 1. Найдем частные производные:
(е* cos у) = ех cos у,	(е* cos у) = -ех sin у,
дх дх' ’	ду ду' '
й =	= ^сО82/, й = ^-(-e*cosy) = ~eX(X>sy-
дх* ох '	ду оу
Следовательно,
Ди =	= ех cos у - ех cos у = 0 У(я, у) е IR2.
дх* ду*
450

Таким образом, функция и (ж, у) гармоническая в плоскости С, и значит,
существует такая аналитическая в С функция f(z), что /(г) = f(x+iy) =
= и(х,у) + iv(x,y).
2.	Найдем мнимую часть v(x,y). Первое из условий Коши-Римана
\	ди	dv	х
(2.1)	дает равенство — = — = e^cos^/, откуда возможно определить
v	ох	оу
функцию v(x, у) с точностью до слагаемого ip(x) — функции, зависящей
только от х и не зависящей от 2/, — следующим образом:
v(x, У) = У dy + <^(я) = J ех cos у dy + ip(x) = ех sin у + <^(ж).
Так как по второму из условий (2.1) имеем
B=_§=_(_e*sin2')=eXsin2/’
то
(е® sin у + <^(ж)) = ех sin у,
~^(exsiny) + ^(^)) = exsiny + (p'(x) = exsiny.
Следовательно, ip'(x) = 0, откуда ф(у) = С, где С е R. Значит, v(x,y) =
= ех sin у + С, и
/(z) = f(x + ^/) = и(х> У) + w(#, У) = е* cos у + i(ex sin у + С) =
= ех (cos у + i sin у) + iC = ez + iC.
7.2.19.	Выяснить, будет ли скалярное поле v(x,y) = СОуХ гармониче-
ским (см. с. 243). Существует ли аналитическая в некоторой
области D функция /(г) (г = ж + iv), для которой Im/ = у?
Если такая функция /(г) существует, то найти ее.
Q Найдем частные производные:
dv^ = _д_ ( cos х \ _ sin ж
дх дх \ У ) ~ У
d2v _ cosx
дх2 У
dv _ д_ (соэж\ _ cosx
cty дух У / у2 ’
d2v _ 2 cos ж
дз/2 у3
Следовательно,
— д2у । d2v _ cos ж
дх2 ду2 у
2 COS Ж _ COS Ж /о „,2\
з з У )*
2/ У
Отсюда видно, что Av = 0 при у = ±у/2 или при ж = +?rfc, к € Z, у ± 0.
Множество всех точек, в которых Av = 0, не образует никакой обла-
сти в IR2, и значит, не существует никакой аналитической функции
Яг) = /(ж -I- гу) с мнимой частью и(ж, у).	•
451

Найти множество точек, в которых функция и(х,у) (или v(x,y)) явля-
ется гармонической. Выяснить, существует ли аналитическая в неко-
торой области D функция f(z) (z = х + iy), для которой Ref — u (со-
ответственно Im/ = v). Если такая функция f(z) существует, то
найти ее.
7.2.20.	и(ж,2/) = х.	7.2.21.	v(x,2/) = y2 — x2 - 2.
7.2.22.	v(x,y) = -i.	7.2.23.	v(x, y) = Sxy2 - x3 + 7y.
7.2.24.	и(х, у) = cos у ch х.	7.2.25.	u(x,y) = ex ch y.
7.2.26.	V(x,y)= x . X2 + у2	7.2.27.	v(x,y) = -cos2xsh2y+3x.
7.2.28.	u(x,y) = ln(x2 + y2).	7.2.29.	v(x,y) = arctg| + 2y.
Дополнительные задания
Для данной функции f(z) указать точки, в которых существует про-
изводная f'(z), и найти производную в этих точках:
7.2.30.	f(z) = Imz.	7.2.31.	/(-*)	= |-
7.2.32.	f(z) = 1п(гг).	7.2.33.	f(z)	=
7.2.34.	/(г) = е3г.	7.2.35.	f(z)	= ishz.
7.2.36.	Доказать, что не существует аналитической на всей плоскости
С функции, для которой функция х2 — у являлась бы мнимой
частью.
Найти множество точек, в которых функция и(х,у) является гармо-
нической. Найти аналитическую на этом множестве функцию f(z) =
= f(x + iy), для которой функция и(х,у) будет являться действитель-
ной частью. Указать соответствующую мнимую часть v(x,y).
7.2.37.
7.2.39.
7.2.40.
и(х, у) = у + х2 - у2 + 1. 7.2.38.
/	\	У	99
и(х, у) = ----- ----- + х2 -у2.
2(ж2 + у2)
= Д , 2\2'
(х2 + у2)2
и(х,у)=е у cos х — х.
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.2.41.	Может ли функция быть дифференцируемой в точке zq и не
быть аналитической в этой точке?
7.2.42.	Может ли функция быть аналитической только в одной точке?
7.2.43.	Может ли функция, аналитическая в области, быть:
а)	суммой двух функций, не аналитических в этой области;
452

б)	произведением двух функций, не аналитических в этой обла-
сти;
в)	частным двух функций, не аналитических в этой области;
г)	суммой аналитической и не аналитической в этой области
функций;
д)	произведением ненулевой аналитической и не аналитиче-
ской в этой области функций?
7.2.44.	Верно ли, что функция /(г) аналитическая в области D, если
Re/(г) и Im/(г) — функции, гармонические в этой области?
7.2.45.	Что можно сказать о двух аналитических в односвязной обла-
сти функциях, если их действительные части:
а) совпадают;
б)	отличаются на постоянное слагаемое;
в)	отличаются на постоянный множитель?
7.2.46.	Доказать, что для дифференцируемой функции f(z):
а) ^(Re/Ы) = l/'Ы; б) ^(Im/W) =
7.2.47.	Доказать, что уравнение Лапласа может быть записано в сле-
дующей форме:
dzdz О'
§3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-глад-
кая кривая /, на которой определена функция f(z)- Разобьем эту кривую на п
частей (zk-i, Zk) точками го, . • •, зп, пронумерованными в направлении от
zq — начальной точки кривой I, до zn — конечной точки /, и на каждой части
выберем какую-нибудь точку Ск (А: = 1,2,..., п). Интегралом от функции f(z)
по кривой I называется предел:
I lim I	- zk-i) = [f(z)dz,	(3.1)
max Izfc-zfc-x |->0	*	J
если этот предел существует и не зависит от выбора промежуточных точек Zk
И Cfc.	<=
Если функция f(x) непрерывна на кривой Z, то интеграл (3.1) существует.
Если z = х + iy и f(z) = и(х, у) 4- w(ff, у), то
jf(jz)dz =	iv(x,y)) d(xiy) = j\u(x,y) + iv(x,y))(dx + idy) =
i	i	i
= f(u(x,y)dx— v(x,y)dy)+i j\v(x,y)dx + u(X)y)dy\ (3.2)
i	i
453

т.е. интеграл (3.1) может быть записан в виде суммы двух криволинейных
интегралов 2-го рода.
Если кривая I задана уравнением у = у(х) или парой параметрических
уравнений у = y(t), х = x(t), то в формулах (3.2) можно записать
dy = dy(x) = у'(х) dx
или, соответственно,
dx = dx(t) = x(t) dt, dy = dy(t) = y'(t) dt.
Довольно часто в качестве параметра t выбирается угол = argz.
Функция F(z) называется первообразной функции f(jz) в области D, если
F(z) дифференцируема в этой области, и F'(z) = f(z) Vz е D.
Теорема 7.2. Пусть функция f(z) аналитическая водносвязной области D, а
I — некоторая кривая (с начальной точкой z\ и конечной точкой 22), целиком
лежащая в D. Тогда
1)	существует первообразная F(z) для f(z) в D, и для интеграла / f(z) dz
верна формула Ньютона-Лейбница:	/
y7(z)dz = F(z2)-F(zi),	(3.3)
I
т.е. этот интеграл не зависит от вида кривой I, а зависит от начальной и
конечной точек z\ и z<i\
2)	если I — замкнутая кривая, то верна теорема Коши:
dz = Q	(3.4)
(через у обозначается интеграл по замкнутой кривой I);
I
3)	если точка zo лежит внутри замкнутой кривой то верна интегральная
формула Коши:	}
Л»)=2Й f	<’-6>
I
и
f n=1'2' - м
(обход кривой I совершается против часовой стрелки).
7.3.1.	Вычислить интеграл J = JlmzdZ) где I:
I
а)	отрезок прямой от точки 0 до точки 1 + 2г;
б)	дуга параболы у = 2х2 от точки 0 до точки 1 + 2г.
454

Q a) Так как I — отрезок прямой у = 2х (рис. 103) и Im z — 3/, то
11 11
J2xdx + J2х 2idx = 2 f xdx + 4i Jx dx =
00	00
2 ii
= (2 + 4i) • %- = (1 4- 2i) • (l2 - 02) = 1 + 2г.
2 Io
Puc. 103
Puc. 104
б) Так как для всех точек I имеем у = 2ж2, то (рис. 104)
1 1
J — Jу d(x + iy) = j2х2 d(x + i • 2х2) = J2х2 (dx + 2г d(#2)) =
I	о	о
1 11
= J2x2(dx + 2г • 2x dx) = 2 Jx2 dx + 8г Jx3 dx =
0	00
= 2 •	+ 8г • ^l1 = |(1 - 0) + 2г(1 - 0) = | + 2г.
o Io 4 lo о	о
Этот пример показывает, что если I — кривая в области D с началь-
ной точкой zi и конечной точкой zz, a f(z) не аналитическая функция в
.О, то интеграл	г
]f(z)dz,
I
вообще говоря, зависит не только от точек z\ и ^2, а также и от вида
кривой I.	9
7.3.2.	Вычислить интеграл
J = j\iz + z2)dz,
i
где I — часть окружности \z\ = 2, argz €	•
Q Так как для всех точек I выполняется равенство г = \z\ = 2 (рис. 105),
то
z = rei<p = 2е^, z = 2е"^, z2 = (2ei(p)2 = 4е^,
455

dz = d(2ez<p) = 2iez<p dp, p — arg г €	7r] .
Отсюда получаем:
J= J(i-2e~^ + 4e2i^2ieivd^p = j\i2 • 4е~^+^ + 8ie2<*,+<*’) dp =
7Г	7Г
2	2
= у* (-4 + 8ге3г<р) dp = -4 J dp + 8г J e3z(p dp = -4<p| + 8г •	1 =
7Г	7Г	7Г	2	2
2	2	2
= -4 (tt - £) + |(e3i’-e3i2 ) = -4-£+|(-l-(-i)) = -2tt-|+|i.	<
\ z / о	z о	oo
Puc. 105
Puc. 106
7.3.3.	Вычислить интеграл
J = J sin zdz,
i
где I — отрезок прямой от точки 0 до точки гг + гтг.
Q Так как всюду на I имеем у = х (рис. 106), a sin z=sin х ch у+i cos x sh у
(см. задачу 7.1.1), то
J = J(sin x ch у + i cos x sh y) d(x + iy) =
i
7Г	7Г
= f(sinxchx + icosxshx)d(x + ix) = J(sinxchx — cosxshx) dx+
o	о
7Г
+ i J (sin x ch x + costfshx) dx = (Ji - J2) + i(Ji + J2),
0
где
Ji = у sin я ch я cfcr; J2 = Jcosxshxdx.
о	0
Применяя дважды формулу интегрирования по частям и учитывая, что
d(sinx) = cos я eta, d(cosx) = — sinxdx, d(shx) = ch^cfcr, d(chx) = sh^efcr,
найдем Ji и
456

Ji = J sinxd(shx) = sinxshx^ — J shxd(sinx) =
о	о
7Г	7Г
= sin 7Г sh 7Г — sin 0 sh 0 — J shx cos xdx = 0 — J cos x d(ch x) =
о	о
7Г	к
J ch x d(cos x) ] = —(cos tv ch tv — cos 0 ch 0)+
o	7
7Г	7Г
+ уch:r(— sinx) dx = -(-1 • ch7r - 1 • 1) — jsinxchxdx =
о	о
= ch7r + 1 - Ji,
откуда 2Ji = ch7r + 1, следовательно, Ji = ^(ch7r + 1).
Аналогично получаем
J2 = fcosxd(chx) = cosa;cha:| — fchxd(cosx) =
0	°	0
= cos tv ch tv — cos 0 ch 0 + jch x sin x dx = — ch tv — 1 + J sin x d(sh x) =
о	0
= — ch?r — 1 + sin£sh:r| — у sh x d(sin x) =
0
= — ch?r — 1 + (sin7rsh7r — sinOshO) — J shxcosxdx — — ch?r — 1 — J2,
0
откуда 2J2 = -(ch7r + 1), т.е. J2 = -|(ch7r + 1) = - Ji.
Итак,
J = Jsinzdz = (Ji — J2) + i(Ji + J2) = 2Ji + i • 0 = di7r + 1.
7.3.4.	Вычислить интеграл
где:
a)	I — окружность \z\ = 1, arg г 6 [0,2тг] (точка z совершает
полный оборот по окружности |z| = 1);
б)	I — окружность \z\ = 1, arg г € [0,4тг] (точка z совершает
два полных оборота по окружности \z\ = 1).
Ci Так как для всех точек I выполняется равенствог = |г| = 1 (рис. 107),
то ь
z = гег<р = ег<р, zk = егк<р, dz = d(el<p) = iel(p dip.
457

Рис. 107
а)	Вычислим интеграл при р = arg z € [0,2тг]:

27Г	27Г
f eiklfi  ieiv dp = i jе^к+1^ dp =
i jeQ dip = iip\ = 2тгг, при fc + 1 = О, т.е. к = —1;
о
ez(fc+l)y> I	_	1	/ i(fc+l)-27T _ ez(fc+l) O\ __ Q ПрИ fc -I- 1 ^4 0.
i(k + 1) Io fc+1 V	7
Итак,
Jfa = 2тгг (в случае к = —1), и J zk dz = 0 (при к / —1),
i	I
в частности,
Jzdz = fz’dz = fz‘°dz = f^dz = J^dz = f^dz=O.
I	I	I	I	I	I
б)	Вычислим интеграл при ip = arg г e [0,4тг]:
J = Jeik,p • ieiv dtp = i jei(fc+1)*’ dp =
о	о
i je°d<p = i<p\ = 4тгг, при к = — 1;
gi(M4)^|47r	—j—	i(fc+l).4ir _ ei(fc+l)-O\ = q
при к —1.
Таким образом, для такой кривой I получим
Jfa — 4тгг (в случае к = -1) и jzk dz = 0 (при к -1).
458

7.3.5.	Используя аналитичность подынтегральной функции, вычис-
лить интеграл	-
/ sinzcte,
I
где I — отрезок прямой от точки О до точки тг + гтг.
ф Функция sin z — аналитическая на всей комплексной плоскости С, а
функция (— cos г), очевидно, является первообразной для sin г в С, сле-
довательно,
•	|7Г+г7Г
sinzdz = (— cos г) = — (cos(?r + гтг) — cosO) =
Io
[т. к. cos(# 4- iy) = cos x ch у — i sin x sh y]
= — (C0S7rch7T — 2Sin7rsh7T — 1) = — (— ch?r — 1) = ch7T 4-1
(сравните с задачей 7.3.3).
7.3.6.	Вычислить интеграл
f z2dz
J z + i
i
по замкнутой кривой /, используя формулы (3.4), (3.5) или (3.6)
(обход кривой осуществляется против часовой стрелки).
a) I: |z| =	б) I: \z + i| = 1.
а)	Так как функция
zz
z + i
аналитична на всей комплексной плоскости С, кроме точки —г, которая
не лежит внутри окружности \z\ = - и на этой окружности, то по теореме
Коши (3.4) получим:
/ ^=0.
J z + г
Н=2
б)	Так как функция /(г) = z2 аналитична на всей комплексной плос-
кости С, и точка zq = —i лежит внутри окружности \z 4- г| = 1, то по
интегральной формуле Коши (3.5) получим:
f(z0 = -г) - тук [ -2—. dz,
2т J z+i
|г+г|=1
откуда
2
 z .dz = 2т • /(го = —г) = 2ттг • (—г)2 = 2ттг • (—1) = — 2т. •
z ।
|^+г|=1
7.3.7. Вычислить интеграл
/ dz
У (г 4- 2)3г
459

по замкнутой кривой /, используя формулы (3.4)-(3.6) (обход
кривой осуществляется против часовой стрелки).
а)	I: |z — 2| = 1;	б) I: |z| = 1;
Q а) Так как подынтегральная функция -—*	аналитична на всей
(z + 2)3z
комплексной плоскости С, за исключением точек (—2) и 0, которые не
лежат внутри окружности |г — 2| = 1 и на этой окружности, то по теореме
Коши получим:
б)	Так как функция f(z) =	аналитическая на всей комплекс-
ной плоскости С, за исключением точки (—2), которая не лежит внутри
окружности |г| = 1 и на этой окружности, а точка zo = 0 лежит внутри
этой окружности, то по интегральной формуле Коши получим:
И=1
откуда
[ —= 2тгс • /(zo = 0) = 2тгг • 	= 2тг» • |
/ х (z + 2)3z J V ’	(0 + 2)3	8	4
в)	Так как функция /(z) = j аналитична на всей комплексной
плоскости С, за исключением нулевой точки, которая не лежит внутри
окружности |z + 2| — 1 и на этой окружности, а точка zo = —2 лежит
внутри этой окружности, то по формуле (3.6) получим:
/"(zo = -2) = ^t	/ , * ,~dz,
к	2т	J	(z + 2)3
|*+2|=1 v 7
откуда
Вычислить интегралы:
7.3.8.	^Rezdz, где I — отрезок прямой от точки z\ — 0 до точки
I
z2 — г.
460

7.3.9.	J^mz dz’ где:
i
a)	I — отрезок прямой от точки z\ = 2 до точки Z2 = 3;
б)	I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки z? = 1 + г;
в)	I — дуга параболы у = х2 от точки zi = 0 до точки z? = 1 +г.
7.3.10.	J(z + z) dz, где:
i
a)	I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки z? = — 1 + г;
б)	I — дуга параболы у = х2 от точки zi = 0 до точки z% = — 1 + i.
7.3.11.	у|г| dz, где:
i
a)	I — дуга окружности |г| = 1 от точки zi = 1 до точки
Z2 = -1;
б)	I — отрезок прямой от точки zi = 1 до точки Z2 = —1;
в)	I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки z2 = 2 — 2г.
7.3.12.	угде I — дуга окружности |г| = 2 от точки zi = 2 до точки
I
Z2 = 2е27гг.
7.3.13.	J\z\2dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки
I
z2 = л/2ег4.
7.3.14.	J(z2 - z) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки
I
z2 = г.
7.3.15.	J(2i — z) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки
I
z2 = 1 + г.
7.3.16.	уRe(z2 - z) dz, где I — дуга параболы у = 2х2 от точки zi = О
i
до точки Z2 = 1 + 2г.
7.3.17.	iz2 + 2г) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки
I
z2 = 1+ г.
7.3.18.	J(z2 — 3iz) dz, где I — отрезок прямой от точки z\ = 1 до точки
I
Z2 = г.
7.3.19.	j\z3 — 1) dz, где I — отрезок прямой от точки Z\ = 0 до точки
I
Z2 = 1 + г.
7.3.20.	у*(гг3 + 3) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 1 до точки
I
z2 = i.
461

7.3.21.	j ez dz, где I — отрезок прямой от точки zi = i до точки Z2 =
i
= 1 + г.
z
7.3.22.	уez dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки
k=f i.
7.3.23.	уsin zdz, где I — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки
I
Z2 = i.
7.3.24.	уchzdz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки
I
Z2 = 7Г — 7TZ.
Используя аналитичность подынтегральной функции, вычислить ин-
тегралы:
7.3.25.	у(iz3 + 3)dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 1 до точки
I
Z2 = i (см. также задачу 7.3.20).
7.3.26.	уchzdz, где I — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки
I
г2 = тг — тгг (см. также задачу 7.3.24).
z3 dz, где I — часть эллипса	= 1 от точки zi = 2г до
У
I
точки Z2 = — 3 (обход осуществляется против часовой стрелки).
Дополнительные задания
Вычислить интегралы:
7.3.28.	f(z - z) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = до точки
I
Z2 = 2гг.
7.3.29.	J\z\dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки Z2 =
I
= 3 + 2г.
7.3.30.	уz\z\dz, где I — дуга окружности |г| = 1 от точки z± = 1 до
I
точки Z2 = е27гг.
7.3.31.	J\z\2dz, где I — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки
i
г2 = л/3 + г.
462

7.3.32.	y(zz2 + z) dz, где I — отрезок прямой от точки zi = i до точки i Z2 = 1.
7.3.33.	J Re z • Im(z2) dz, где I — дуга параболы у = 2x3 от точки zi = 0 i до точки z2 = 1 + 2г.
7.3.34.	Jhnzdz, где 1 — дуга окружности |г| = 3 от точки zi = 3 до 1 точки z2 = Зе27гг.
7.3.35.	Jez dz, где 1 — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки 1 Z2 — 7Г + 7Г2.
7.3.36.	УRe(sin г) cos z dz, где I — отрезок прямой от точки z\ = (тг—г) 1 ДО ТОЧКИ Z2 = i(7T + г).
7.3.37.	Уzsin2zdz, где 1 — отрезок прямой от точки zi = 3 до точки 1 z2 = 1 + г (функция z sin 2z аналитична в С).
Вычислить интегралы по замкнутой кривой^ используя формулы (3.4),
(3.5) или (3.6) (обход кривой осуществляется против часовой стрелки).
/sin z • sin(z - 1) ,
--------7---------dz.
z(z - 1)
и=2
a) I: |z| = 1;
в) I: \z + 7гг| = 1.
’-3-40- /ргг?-
I
а) I: И =
в) I: |г+1| = j.
7.3.41.
J z + 1
I
a) I-- kl = j;
7.3.42.	<t*^-dz.
J Z — 7Г
I
a)	I: \z — 7г| = 1;
б)	I: \z — 7гг| = 1;
б) I: \z- 1| =
б) I: |z| = 2.
б) I: |z| = 1.
463

7.3ЛЗ. j .
a) 1-- M =
7.3.44.	fsm^dz
I
a) I: |z| = 1;
7.3.45.	/зпцск
J z3
I
a) I: |z| = 1;
7.3.46.	f-£-
I
a) I: \z — 1| = 1;
в) l: И = 1
7.3.47.	/ 2dz
j (z2 + I)3
a) I: |z — i| = 1;
в) к И = 1
7'3'48' /u + w-tr
a) I: \z - 1| = 1;
B)	I: |Z| =
б) I: |z| = 2.
6) I: l*-l| = |-
6) Z: k-l| = |-
б) I: |z + l| = 1;
б) I: \z + г| = 1;
б) I: \z + 1| = 1;
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.3.49.	Пусть li — дуга некоторой кривой I с начальной точкой zi и
конечной точкой Z2, a I2 — дуга той же кривой с начальной
точкой Z2 и конечной точкой zi (множества точек на li и I2
совпадают). Что можно сказать об интегралах
jf(z)dz и fftzjdz'?
li	I2
7.3.50.	Что можно сказать об интеграле
jRef(z) dz,
i
где I — отрезок на мнимой оси, а функция /(г) непрерывна на
этом отрезке?
7.3.51.	Если	г
j>f(z)dz = 0,
I
464

следует ли из этого, что /(г) — аналитическая функция внутри
замкнутой кривой I 7
7.3.52.	Доказать равенство:
Уotf(z) dz = а I/(г) dz.
I	I
7.3.53.	Вычислить j ctgzdz.
M=i
7.3.54.	Верно ли, что для любой функции /(г) и любой кривой I вы-
полняется неравенство:
a) f\f(z)\dz^O;	б) //2(/МО0?
i	I
7.3.55.	Верно ли равенство
+	= fff(z)dz + 2 JЛ(г)/2(^) dz + Jf^^dz?
i	ill
§4. РЯДЫ ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ
ТОЧКИ
Рядом Лорана называется ряд вида
+°° с с
52 Сп(г-го)” = • • •+ „ С~к ч>+- •	+со+с1(г-го)+.. .+cn(z-zo)n+...,
п^оо	(•*- *<>)* г ~ *о
(4.1)
где zq — фиксированная точка комплексной плоскости С, а сп (коэффициенты
ряда Лорана) — заданные комплексные числа.
Ряд Лорана представляет собой сумму двух рядов: ряда
-1
/ чп	С—1	С—2	С— п	/,
52 Cn(z-zo) =	+  ----^ + --- + т;—“уГ + •••	(4-2)
„ГГ'оо	z 0 (г “	~ г«)
и ряда
+оо
57 сп(* - ^о)П = Со + Ci(z - Zo) + c2(z - Zq)2 + ... + cn(z - Zo)n + ....	(4.3)
n=0
Ряд Лорана называется сходящимся в некоторой точке z Е С, если в этой
точке сходятся оба этих ряда (т. е. ряды (4.2) и (4.3)), при этом сумма ряда (4.1)
по определению равна сумме двух слагаемых — суммы ряда (4.2) и суммы
Ряда (4.3).
465

Теорема 7.3 (Лоран). Если функция f(z) аналитична в кольце 0 г <
< \z — zo| < R, то в этом кольце она представима сходящимся рядом Лорана
+оо
/(*) = Е c„(z-z0)n,
п=—оо
причем это представление единственно; коэффициенты сп однозначным обра-
зом определяются равенствами
e._-L	[ М“ r<p<R, „_0,±1,±2,...
2тгг J (z_ г0)”+1 ’ F	’
\z-zQ\=p
Иногда ряд Лорана, сходящийся к функции f(z) в некотором кольце 0
г < \z — zo| < К, называется рядом Лорана для f(z) в точке zq.
Если функция f(z) аналитична в круге \z — zo| < К, то разложение f(z) в
ряд Лорана в этом круге представляет собой разложение f(z) в ряд, называе-
мый рядом Тейлора — в этом разложении отсутствуют слагаемые, содержащие
отрицательные степени (z — zq):
+оо
/Cz) =	- го)п = со +Ci(z - г0) + с2(г - г0)2 + ... + сп(г - г0)п + ...
п=0
Пусть однозначная функция f(z) аналитична в некоторой проколотой
окрестности точки zq / сю (т.е. в некотором кольце 0 < \z — zo| < К), но
не аналитична в точке zq. В этом случае точка zq называется изолированной
особой точкой (однозначного характера) для функции f(z).
Аналогично, бесконечно удаленная точка (обозначается значком сю) на-
зывается изолированной особой точкой для функции /(z), если /(z) — одно-
значная аналитическая функция в некотором кольце г < |z — zo| < +сю (zo —
некоторая точка плоскости С).
Далее в этом параграфе будем рассматривать только однозначные функ-
ции.
Главной частью ряда Лорана в окрестности изолированной особой точки
(конечной или бесконечной) называется сумма всех тех и только тех членов
ряда Лорана, которые стремятся к бесконечности при стремлении z к особой
точке (т.е. ряд (4.2) в случае zo / оо). Правильной частью ряда Лорана на-
зывается сумма всех остальных членов ряда (т.е. ряд (4.3) в случае zo / оо).
Таким образом:
1) в окрестности особой точки zo /оо:
— 1	4-оо
f(z) = сп(г - г0)п +с0 + У^сп(г - г0)п;
п=— ОО	П=1
главная часть	правильная часть
466

2) в окрестности бесконечно удаленной особой точки оо:
— 1	+оо
f(z) = У Сп(-? - -?р)п + с0 + У cn(z - zp)n;
п=—ОО	П=1
правильная часть	главная часть
(zo — некоторая точка плоскости С).
Изолированная особая точка zq (конечная или бесконечная) функции f(z)
называется
1)	устранимой особой точкой, если существует конечный предел lim f(z);
Z-^ZQ
2)	полюсом, если lim /(z) = оо;
Z->ZQ
3)	существенно особой точкой, если предел lim /(z) не существует.
Изолированная особая точка (конечная или бесконечная) является устра-
нимой особой точкой для функции /(z) тогда и только тогда, когда главная
часть ряда Лорана функции /(z) в окрестности особой точки равна нулю (т. е.
равны нулю все коэффициенты сп главной части), т.е.:
1) для особой точки zo / оо:
+оо
/(z) = 5? Сп(г _ 2°)" = Со + ci(z - Zo) +Сг(а - z0)2 + ...;
n=0
2) для бесконечно удаленной особой точки оо:
о
/(«)= 52 с"(г - г°)п = с° +	+ ( с~2 + • • •
nf^oo	z z° — zo)2
(zo — некоторая точка плоскости С).
Изолированная особая точка zo является устранимой особой точкой для
функции /(z) в том и только в том случае, когда эта функция аналитическая и
ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки zo (т. е. в некотором
кольце 0 < |z — zo| < R).
Изолированная особая точка является полюсом функции /(z) тогда и толь-
ко тогда, когда главная часть ряда Лорана функции /(z) в окрестности этой
точки содержит конечное (отличное от нуля) число ненулевых членов, т.е.:
1) для особой точки zo / сю:
j-oo
2) для бесконечно удаленной особой точки оо:
-1
/(z) = У? c^z ~	+ Со + ci(z - Zo) + .. .cm-i(z - Zo)m-1 +cm(z - Zo)m
n=—oo
(zo — некоторая точка плоскости С).
467

Число т (наибольшая из степеней слагаемых в главной части ряда Лора-
на) называется порядком полюса.	4=
Точка zo / оо является полюсом m-го порядка (или порядка тп) функции
/(z) тогда и только тогда, когда функция /(z) представима в виде частного
/(*) =
(z - z0)m ’
где функция (p(z) аналитична в точке zo, y>(zo) / 0.
Если точка zo — полюс порядка т функции f(z), то zo— нуль кратности
т функции Кроме того, точка zo— полюс порядка т функции f(z)9 если
lim (z - z0)m/(z) = С / 0.
Z~*ZQ
Бесконечно удаленная точка оо является полюсом m-го порядка функции
/(z) тогда и только тогда, когда функция /(z) представима в виде произведе-
ния
/(z) = ^(z)(z-z0)rn,
где функция y>(z) аналитична в бесконечно удаленной точке оо, <^(оо) / 0.
Изолированная особая точка zo является существенно особой точкой функ-
ции /(z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции /(z) в
окрестности точки zo содержит бесконечное число ненулевых членов с отрица-
тельными степенями (z — zo) (для особой точки zo / оо) или с положительными
степенями (z — zo) (для бесконечно удаленной точки оо).
7.4.1.	Найти разложение функции Дг sinz в ряд Лорана
z2,
а)	в особой точке zq = 0; б) в особой точке оо.
Указать главную и правильную части ряда и его область схо-
димости.
Q а) Воспользуемся известным разложением функции
sinz
(-у
(2п +1)!
в ряд (Тейлора) в области 0	|z| < +оо, т.е. во всей комплексной плос-
кости С:
-4 sin z =
z1
главная часть
2- +	. -V' (-1)П 2n-1
3! + 5!^7!+^0(2n + l)!Z ’
правильная часть
Область сходимости ряда — вся комплексная плоскость С за исключе-
нием точки z = 0, т.е. кольцо 0 < |z| < +оо.
468

б)	Для разложения в ряд Лорана в бесконечно удаленной точки сде-
лаем замену t = j и будем искать разложение в точке to = 0:
откуда
4т sin г =
zz
^sinl = t2 ( 1 - 1.1	1 - ... +	______3- +	1 =
t 1 \t 3! t3 5! t5 (2n + l)! t2n^ J
± l.± 1_	(~1)n	1
3!' t 5!' t3 ’	(2n + l)! \2”-15
г . г3 _ г5 ,	_ V4 (-1)П 2n-i
3!_5!_ZL—; ~^(2n + 1)!
правильная часть	главная часть
Область сходимости ряда— кольцо 0 < |г| < +оо.
Как видим, в случае, когда разложение в ряд Лорана по степеням z
сходится в кольце 0 < |г| < +оо, оно является одновременно разложени-
ем и в точке zq = 0, и в точке оо.	•
7.4.2.	Найти разложение функции — в ряд Лорана по степеням
о — z
(г — 1) в окрестности точки го = 1. Указать главную и правиль-
ную части ряда и его область сходимости.
Q Сначала выделим выражение (г — 1) в знаменателе дроби :
1 = .1 = 1 = 1 1
3-г	2 — {z — 1)	2
Теперь воспользуемся разложением дроби
оо
rh=5>"	<4-4’
п=0
в бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
q = z в той области, где z — «мало» (т. е. в открытом круге q = | z | < 1).
В силу вышесказанного, дробь
1
представима в виде ряда Лорана, сходящегося в области, где |д| =
«мало», т.е. в открытом круге —— < 1, или 1г ~ 1| < 2-
Отсюда
1 z - 1	(z - 1)"	(г - 1)п
- 2 + 2-2 + ' • • + 2п+1 +--------2п+1 ’
✓	п=0
правильная часть
Область сходимости — открытый круг |г — 1| < 2.
469

7.4.3.	Найти разложение функции —-------- в ряд Лорана в особой
г(3 — z)
точке zq = 0. Указать главную и правильную части ряда и его
область сходимости.
Q Предварительно представим данную дробь в виде суммы двух про-
стейших дробей
2	= А В
г(З-г)	z	3 — z‘
Найдем числа А и В:
2	_ -4(3 - z) + Bz
z(3 — z) z(3 - z)
следовательно, 0 • z + 2 = (B — A)z + ЗА, откуда
0 = B- A,
' 2 = ЗА,
т. e. A = В = |.
„	2	2/3	2/3
Итак, —---- = -z- +	.
z(3 - z) z 3 - z
^2/3
Так как дробь уже представлена в виде суммы (состоящей из
одного слагаемого) членов вида cnzn, то остается найти разложение дро-
2/3
би . Для этого воспользуемся разложением (4.4) (в круге |z| < 1) и
о Z
получим:
2/3 _	2/3
3~г~3(1-з)
з2 з3 з4 + + зп+2 +”'
Этот ряд (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) сходится
при |д| = |^| < 1, т.е.в открытом круге ||| < 1, или |г| < 3.
Теперь запишем ряд Лорана для исходной дроби:
Область сходимости этого ряда — кольцо 0 < |z| < 3. Первое слагаемое,
2/3
——, является главной частью ряда, оставшаяся часть ряда — правиль-
ной.	•
2
7.4.4. Найти разложение функции —--------- в ряд Лорана в окрестно-
z(3 - z)
сти бесконечно удаленной точки. Указать главную и правиль-
ную части ряда и его область сходимости.
470

_ 2/3
“ z
Q ’Мы уже знаем (задача 7.4.3), что
2
z(3 - z)
2/3
3-z
. Запишем
разложение функции
2/3
3-z
в бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию в области, в которой z — «велико», т. е. - — «мало»:
2 _	_ 2 -3 _	_ 2 • Зп~2
3* z2 z* ” ’ *п
Этот ряд сходится при | || < 1, т. е. в области |z| >3.
Теперь запишем разложение в ряд Лорана для исходной дроби:
2	2/3 _ 2_	_ 2_	2-3	_	_ 2 • Зп~2	_
z(3-z)	z 3z z2	z3 ••• zn
n	oo	—2
_	2	2-3	2 • 3n~2	_	9\ on-2 1 _ V- 2 ~n
~2	zn	zn 2^/ on+2'Z *
n=2	n=-oo
Область сходимости этого ряда — кольцо \z\ > 3.
Найти разложение функции в ряд Лорана в точке zq по степеням z — zq.
Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
7.4.5.	I COS 2, a) zo = 0;	6) Zo		= oo.
7.4.6.	z sin 2, a) zq = 0;	6)	Zo	= oo.
7.4.7.	i ez +1, a) zq = -1;	6)	Zo	= 00.
7.4.8.	3z + 4 e z +1 , a) z0 = -1;	6)	Zo	= 00.
7.4.9.	sin(2 + z), a) z0 = 0;	6)	Zo	= 00.
7.4.10. 7.4.11.	3z +10	o cos , □. Q > zo = 3- z + о 2 z — 1’ a) zo = 1;	6)	Zo	= 00.
7.4.12.	3 + 2г (z 4-i)2 ’ a) z0 = -i;	6)	Zo	= 00.
7.4.13.	-^-T, Zo = 1.	7.4.14.		z + 2i y z	v г» i Zq	1 •
	z - 1’			(z-1)2’
471

7.4.15.
7.4.16.
7.4.17.
7.4.19.
zo = 1.
2
2 + г’
a) z0 = 0;
z2
rh’20=-L
z —2
6)
7.4.18.
Zo = 00.
г + 2
г-3’ 0 L
7.4.20.
(z —l)(z + 2)’
a) z0 = 1;
1
6)
7.4.21.
zo = -2.
z — 2	_ .
(z — l)(z + 2) ’ 2° —	•
: —Цт и определить их тип,
Z Z
(z — l)(z + 2) ’ 2° L
Найти все особые точки функции
для полюса найти его порядок.
Q Особыми ТОЧКаМИ фуНКЦИИ ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ Z1 = 2 И 22 = оо.
Способ 1.
а) Так как lim (г — 2) = О, то lim —— оо, значит, точка z\ — 2
является полюсом.
Определим порядок этого полюса, для чего найдем предел
lim /(z) • (z - 2)1 = lim = lim 1 = 1 / 0.
z->2^V 7 4	7	z-42 2-2	z—>2	7
7.4.22.
Значит, порядок полюса равен 1.
б) Так как lim —= 0, то точка 22 = 00 является устранимой
z—>оо 2 — 2
особой точкой.
Способ 2.
Разложим функцию /(2) =----= в ряд Лорана по степеням (2 — 2):
2	2
^2 = 1 * (^ ~ 2)-1 — это и есть разложение (состоящее из одного
слагаемого) в ряд Лорана по степеням (2 — 2), сходящееся в области
О < \z - 2| < -Foo.
а)	Так как это разложение содержит конечное число слагаемых (а
именно, одно слагаемое) с отрицательными степенями (2 — 2), то точка
21 = 2 является полюсом. Так как наибольшая степень слагаемых вида
Ш"
в разложении равна 1, то порядок полюса равен 1.
б)	Поскольку разложение функции в ряд Лорана по степеням (2 — 2),
сходящееся в окрестности точки 22 = оо, не содержит положительных
степеней вида (z — 2)п, то точка 22 является устранимой особой точ-
кой.	•
7.4.23. Найти все особые точки функции
2 + 2
(22-4)(2-2)2
и определить их тип, для полюса найти его порядок.
472

Q Так как
2-1-2	__ 2-1-2	__ 2-1-2
(z2 - 4)(z - 2)2 (z + 2)(z - 2)(z - 2)2 (z + 2)(z - 2)3 ’
то особыми точками функции являются точки z\ = —2, z% = 2, z% = oo.
а) Поскольку существует конечный предел
Г	z + 2	= Г 1=	1	=	1 ±
г-Ц-2) (z + 2)(z — 2)3	-(-2)(и- 2)3	(—2 — 2)3	64	°0’
то точка z\ — — 2 является устранимой особой точкой.
б)	Так как lim (z — 2) — 0, то
z-^(-2)
Г	2 + 2	г 1
lim ----—-------— — lim ------7 — оо.
г->2 (Z + 2)(z - 2)3	2—>2 (z - 2)3
Следовательно, точка 22 = 2 является полюсом.
Определим порядок этого полюса. Очевидно,
lim f(z) • (z - 2)3 = lim-------—- • (z - 2)3 = lim 1 = 1 / 0.
z->2	7 4	7 z—>2 (z - 2)3
Таким образом, точка z? = 2 является полюсом 3-го порядка.
в)	В силу того, что
lim ----------------z 4-2---- _	----1— _ q,
Z->OO (z -I- 2)(z - 2)3	2^00 (z - 2)3
точка 2з = oo является устранимой особой точкой.	•
7.4.24.	Найти все особые точки функции sin —и определить их тип,
z — 2
для полюса найти его порядок.
Q Особыми точками функции ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ 21 — 2 И 22 — оо.
Способ 1.
а)	Так как lim (2 — 2) = 0, то lim —"Цт = оо, и значит,
7	z->2V	7	z—>2 2-2
lim (sin ——
z—>2 \	2-27
не существует. Отсюда следует, что точка 21 = 2 является существенно
собой точкой.
б)	Поскольку lim —Цг = 0, то
z—>оо 2 — 2
lim
z—>00
sin
2-2
)=°,
следовательно, точка 22 = оо является устранимой особой точкой.
Способ 2.
Разложим функцию /(2) = sin —в ряд Лорана по степеням (2 — 2):
2	2
=	1___1—+1_____+-Ы2____________1___+...
2-2	2-2 3! (2-2)3 5! (z-2)5	(2п + 1)! (2 - 2)2n+1
Область сходимости этого ряда — кольцо 0 < |2 — 2| < Ч-оо.
473

а)	Полученное разложение, сходящееся в проколотой окрестности
точки z\ = 2, содержит бесконечное число слагаемых с отрицательны-
ми степенями (z — 2), поэтому точка z\ является существенно особой
точкой.
б)	Так как это разложение, сходящееся в окрестности точки z2 = оо,
не содержит слагаемых с положительными степенями (z — 2), то точка
Z2 является устранимой особой точкой.	*
7.4.25.	Найти все особые точки функции - и определить их тип,
для полюса найти его порядок.
Q Особыми точками функции являются все точки, в которых cos z — О,
т. е. точки Zk = ту + 7rfc (fc = 0, ±1, ±2,...), и точка z — оо.
а)	Так как lim cos z — 0, то
z->zk=2 +лк
lim = оо, к = 0, ±1, ±2,...;
Z->Zfc
значит, каждая точка z* = ^ + 7rfc является полюсом.
Определим порядок каждого полюса. Найдем предел
\z “ (f +7rfc)] \t = z - - лк & z = t + + лк,
11ГП —___-_______---------------------------------------
cosz [	z^|+7rfc^t^0
= lim------------г : lim------rri---=------Цттт lim —
cos (t + f + vrfc) (-l)fc+1 sin* (-1)*+1 ‘-° smi
=----Ц—7 00 (fc = 0, ±1, ±2,...).
Следовательно, каждая из точек Zk = +?rfc (fc = 0, ±1, ±2,...) является
полюсом 1-го порядка.
б)	Точка z = оо является предельной для последовательности полю-
сов — точек Zk — +7rfc, следовательно, z = оо не является изолирован-
ной особой точкой.	•
Найти все особые точки функции f(z) и определить их тип, для полюса
найти его порядок.
7.4.26.	/( \ z2 — 4 = г — 1'	7.4.27.	= йг	
7.4.28.	/<2> = Лг	7.4.29.		
			J \Z) ~ (z - l)(z	4-2)2
7.4.30.	/(2) = sh22I_i.	7.4.31.	/(z) = el.	
7.4.32.	™ = st?	7.4.33.	-zx	1 — COS z '<*> = z„	• (z5 + 3).
7.4.34.	/(Z) = 1 + z2 C°S z' J- т ~	7.4.35.	~ {z2 - 4)2	sh — z - 1
474

7.4.36. 7.4.38.	/(г) = ^Д	7.4.37. /(z)-z3ctg Д г /(z) = e-k
Дополнительные задания
Найти разложение функции f(z) в ряд Лорана в точке zq по степеням
z — Zq. Указать главную и правильную части ряда и его область сходи-
мости.
7.4.39.	= 4eZ> zz a) Zq — 0,	б) Zq = СЮ.
7.4.40.	f(z) = zez - i , Zq = i.
7.4.41.	/И = (г + 2)^тгг(+^+5.г1, = -2.
7.4.42.	/(*) = a) Zq = 2,	6) Zq = OO.
7.4.43.	/(*) =	= -2г- (z + 2i)6
7.4.44.	\	2 + 3г /W = z + i_(-2“ = ^
7.4.45.	/W = (z_i)(z + 2)-* = ”•
7.4.46.	
Найти все особые точки функции f(z), определить их тип, для полюса
найти его порядок.
7.4.47.	7-4-48- /И=(г-Хз)>-
7.4.49.	/(z) = cos + .	7.4.50. /(z) = e~z . z z
7.4.51.	f(z) = tgz.	7.4.52. /(z) = JL--|.
Контрольные вопросы и более сложные задания
7.4.53.	Может ли разложение некоторой функции в ряд Лорана содер- жать: а)	конечное число слагаемых с отрицательными степенями (z - Zo); б)	конечное число слагаемых с положительными степенями (z - Zo);
475

в)	бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями
(г - *о);
г)	бесконечное число слагаемых с положительными степенями
(г - Zq) ?
7.4.54.	Пусть zq / оо — изолированная особая точка функции f(z).
Определить тип этой особой точки, если разложение функции
f(z) в ряд Лорана в окрестности zq содержит:
а)	конечное число слагаемых с положительными степенями
(z — zq) и конечное (/ 0) число слагаемых с отрицательными
степенями (z — zq);
б)	бесконечное число слагаемых с положительными степеня-
ми (z — zq) и бесконечное число слагаемых с отрицательными
степенями (z — zq);
в)	только бесконечное число слагаемых с положительными
степенями (z — zq).
7.4.55.	Пусть сп (п = 0, ±1,±2,...) — коэффициенты разложения в
ряд Лорана функции
+оо
/(2) = 52 Cn(z-Zo)n.
п=—оо
7.4.56.
7.4.57.
7.4.58.
Найти коэффициенты с'п разложения в ряд Лорана функции:
а) (z - z0)/(z);	б) (z - z0)3/(z);
в)	—”—/(2);
г)-	--(т — натуральное число).
Найти множество точек, в которых сходится ряд Лорана:
+°° ~П	+°°
а) Е зтгтт;	б) Е ;
п=— ОО	I 1	п= — ОО П “Г 1
+оо
в) £ 2nZn.
п=—оо
Указать тип особой точки zq для функции f(z) + g(z), если
точка zq является:
а)	устранимой особой точкой для f(z) и устранимой особой
точкой для g(z)]
б)	устранимой особой точкой для f(z) и полюсом для g(z);
в)	устранимой особой точкой для f(z) и существенно особой
точкой для g(z);
г)	полюсом для f(z) и существенно особой точкой для g(z);
д)	полюсом n-го порядка для f(z) и полюсом m-го порядка
для g(z).
Может ли точка zq быть особой точкой указанных типов для
данных функций:
а)	полюсом для f(z) и полюсом для (z — zq)/(z);
476

7.4.59.
7.4.60.
7.4.61.
7.4.62.
7.4.63.
7.4.64.
б)	полюсом для /(г) и устранимой особой точкой
для (г - г0)/(г);
в)	полюсом для /(г) и существенно особой точкой
для (г - г0)/(г);
г)	существенно особой точкой для /(г) и существенно особой
точкой для (г — ZQ)f(z)-,
д)	устранимой особой точкой для /(г) и устранимой особой
точкой для 2 /(г);
е)	устранимой особой точкой для /(г) и полюсом
Для
ж)	устранимой особой точкой для /(г) и существенно особой
точкой для z z f(z) ?
Пусть точка zq является полюсом к-го порядка для функции
f(z). Указать тип особой точки zq для функции:
а) (* - г0)/(г);	б) (z - z0)3/(z);
в)	Г)
z zo	(г — zqY
Определить тип особой точки zq = 0 для функции z * —4—.
G 1 sin г
Определить тип особой точки zq = для функции
Пусть zq — изолированная особая точка функции f(z). Дока-
зать, что если /(г) ограничена в окрестности точки го, то zq —
устранимая особая точка для f(z).
Пусть zq — изолированная особая точка функции f(z). Дока-
зать, что если
< ст
(т — натуральное число) в некоторой окрестности точки zq,
то zq — либо устранимая особая точка, либо полюс для функ-
ции f(z).
Доказать, что функция аналитическая во всей конечной ком-
плексной плоскости и имеющая в точке го = оо полюс порядка
п, является многочленом степени п.
§5. ВЫЧЕТЫ
Пусть функция /(г) аналитична в некоторой проколотой окрестности U
конечной точки zq. Вычетом функции f(z) в точке го называется число
res f(z) =-^ f f(z) dz =	f f(z) dz,
zq	гтгг J	гтгг J
7	|z-zol=P
477

где 7 — некоторый замкнутый контур, целиком лежащий в U и содержащий
внутри точку zo, a \z — zo| = Р — окружность с центром в точке zq достаточ-
но малого радиуса р, целиком лежащая в U. Обход контура 7 и окружности
производится против часовой стрелки.
Значения обоих приведенных интегралов при указанных условиях совпа-
дают.
Если функция /(z) разложена в ряд Лорана в окрестности точки zq:
_/ .	С— k	С—2 С—1	z .	/
f(z) = +--------+... + ----------T2 + z----+co + ci(z-zo)   - + Cn(z-Zo)
(z - Zo)” <Z - zo)2 z-zo
(5.1)
to res /(z) = c-i.
zo
Пусть функция /(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности U
бесконечно удаленной точки оо. Вычетом функции f(z) в точке оо называется
число
res f(z) = ^~{ [ f(z) dz=-±- [ /(«) dz,
00	zttz J	2тгг J
7	\z\=p
где 7 — некоторый замкнутый контур, a |z| = р — окружность достаточно
большого радиуса, целиком лежащая в U. Обход контура и окружности про-
изводится по часовой стрелке.
Значения обоих приведенных интегралов при указанных условиях совпа-
дают.
Если разложение (5.1) сходится в некоторой окрестности точки оо, то
res/(z) = -c-i.
оо
Теорема 7.4. Если функция /(z) аналитична на всей комплексной плоскости
С, за исключением изолированных особых точек zi,Z2,.. .zn, то
п
resf(z) = -Vres/(z).
00
Если функция /(z) аналитична в точке zo или если zo — устранимая особая
точка для f(z), то
res/(z) = 0.
zo
Теорема 7.5. Если точка zo — полюс fc-ro порядка (k > 1) для функции
/(«). то
res /(z) =
zo
1	d*"1 [/(*)(* ~ *о)*]
(к — 1)! z->z0 dzk~x
478

Если ZQ — полюс 1-го порядка для функции f(z), то
res/(z) = lim [f(z)(z - z0)l,
zq	z—>zq
а если еще известно, что функция /(г) представима в виде /(г) =	, где
v\z)
функции <p(z) и — аналитические в точке zq, ф(го) = 0, ф'(хо) 0, то
res f(z) =
z0
¥>(*<>)
’/’'(«о)'
Часто при вычислении интегралов от функций комплексного переменного
применяют следующую теорему.
Теорема 7.6 (Основная теорема о вычетах). Пусть функция f(z) — анали-
тическая в односвязной области D за исключением некоторых изолирован-
ных особых точек; I — простая замкнутая кривая, целиком лежащая в D и
не проходящая через особые точки функции f(z). Тогда
J> dz = 2тп • res f(z),
i	fc=i
где zi, Z2, • • •, Zk — особые точки функции f(z), находящиеся внутри I.
7.5.1.	Найти вычеты функции
f(z\ =-------------------------------------
(z + 2i)2(z —1)
во всех особых точках и определить их тип, найти вычет в бес-
конечно удаленной точке.
Q Особыми точками функции f(z), очевидно, являются следующие
точки:
—2г — полюс 2-го порядка,
1 — полюс 1-го порядка.
Найдем вычет в точке —2г:
г/ ч 1. Гг/ w / л.чч2-|'	1.	Г(2 +l)(z + 2i)2]'
res f(z) = hm \f(z}(z - (-2г))21 = hm ---------—-------- =
—2г V 7 z—^—2i v A v " J	z—>—2г [(Z + 2i)2(z - 1) J
Zz + 1\'	..	l-(z-l)-l-(z + l)	—2
= hm I-------7 ) = hm --------------7------= hm ---------— =
z->-2i\Z — 1/	z—>-2г	(2: — I)2	z->-2i (z — I)2
= ~2 = ~2 = 2 = 2
(-2г-I)2	(1 + 2г)2	1 + 4г-4	3-4г’
479

упрощая это выражение, получим
2 =	2(3 + 4г)	= 6 +8г = 6 +8г
3 —4г (3 —4г)(3 + 4г)	9 + 16	25 '
Итак, r«/(z) =
Найдем вычет в точке 1, записав функцию f(z) в виде
z +1
/(*) = = ^-1 ' ГДе = °’ = 1 °’
тогда
res/(z) =
¥>(*) I
lz=l
г + 1
(г + 2г)2 I = z + 1 I
1 lz=l (z + 2г)21г=1
=	2	=	2	= 6 +8г
(1 + 2г)2	—3 + 4г 25 '
Найдем вычет в бесконечно удаленной точке:
r^Z(z) = -(rTJ(z) +res/(z)) = -	=0.	•
7.5.2.	Найти вычеты функции /(г) = S1^z во всех особых точках,
определить их тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
Q Особой точкой данной функции, очевидно, является точка z — 0. Так
как существует конечный предел
lim j(z \ = lim S1^z = 1 (1-й замечательный предел),
z—>Z0	z—>Z0 *
то 0 — устранимая особая точка и, значит,
res f(z) = 0.
Отсюда в силу теоремы 7.4 получим
Tesf(z) = — res/(z) = 0.
оо	О
7.5.3.	Найти вычеты функции
во всех особых точках, определить их тип, найти вычет в бес-
конечно удаленной точке.
Q Особой точкой данной функции, очевидно, является точка z —
Так как
lim
7Г
480

то не является существенно особой точкой или полюсом порядка выше
1-го и, стало быть, может быть либо устранимой особой точкой, либо
полюсом 1-го порядка. Найдем предел
lim /(z) (z - I) = lim , COS2 • (z - I) = lim n/ncosz , =
2/J	2_>j(2z-7r)2 К 2) Z^2(2z-if)
[неопределенность вида воспользуемся правилом Лопиталя]
lim (COS 2)'	lim -SinZ	Sin 2	1
z^f (2(2z-%))'	z-f 4	4	4
Отсюда следует, что точка является полюсом 1-го порядка и
Л
res/(z)= lim [/(z) (z - j)] = -
2	z->2
Следовательно,	1
res f(z) = - res f(z) = .	•
2
7.5.4.	Найти вычеты функции f(z) = z4ez во всех особых точках,
определить их тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
Q Особой точкой данной функции, очевидно, является точка z = 0.
Определим тип этой особой точки с помощью разложения в ряд Лорана
по степеням z\
1 °°
/(z) = Z4e7 =z4.£^=z4+z3 + lz2 + lz + ± + l| + 14r + ...
n=0
Данный ряд сходится в кольце 0 < |z| < оо и содержит бесконечное
число членов с отрицательными степенями z. Следовательно, точка 0 —
существенно особая точка функции f(z). Коэффициент c_i при равен
й = По1 значит’	.
T/W = i20-
Так как полученный ряд сходится в окрестности бесконечно удаленной
ТОЧКИ, И С-i = то
r®s^z) = -res/(z) = -I|o.	•
Найти вычеты данных функций во всех особых точках и определить их
тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
7.S.5.	№1 = ^.	7.5.8.	=
7.5.7.	/И=^.	7.5.8.	/М = ^.
16 Сборник задач по высшей математике. 2 курс	481

7 к n	flz) = g2z	7 К 1(1		_	ch г
1 .O.«7.	(2iz — I)2	 .о. ли.		(z-l)3'
7 к 11	f(z\ —	z — 1	7.5.12.	f(z}			z	
(.0.11.	(z + l)(z —2г)’			(z + 3i)(z + 2)2
7.5.13.	f(Z) = cosz I()	Z2(3z — 7г)	7.5.14.		= 1 ^3 	 ^5
7.5.15.	z3(z2 —9)2	7.5.16.	/(^)		 cos г z _ ZE* Z 2
7.5.17.	ft*) =	7.5.18.	Hz)	_ 1 — cos z z^
7.5.19.	= COS Z ’	7.5.20.		— z sinz ’
7.5.21.	/(z) = ez.	7.5.22.		= ZCOS J.
7.5.23.	Используя основную теорему о вычетах			, вычислить интеграл
	ф —	г, где 1 — окружность |z| = J zb — Z6 1		1 ’ 2’	
Q Особыми точками функции f(z		) = ^		Ч/	,ч/	явля-
		Z5 -	z3	z3(z - l)(z + 1)
ЮТСЯ ТОЧКИ 0, —1, 1. Из НИХ внутри кривой 1 (внутри окружности |z| = 7г),				
очевидно	, находится только точка zi = 0. Значит,			
j> dz = 2m • res f(z).
i
Точка zi = 0 является полюсом 3-го порядка. Найдем вычет в этой
точке:
res /(z) = lim (/(z) • (z - О)3)" = ± lim (	1	• z3^ =
0	2! z->0	2 z->0 \Z6\2T — 1)	/
/	\ n	/ Л \ I
1 I 1	\	1	(	—2z \
= к hm -5—-	= к lim ———	=
2 z->o \z2 — 1/	2 z->o \(z2 — 1)2/
1	—2(z2 — I)2 — 2(z2 — 1) • 2z • (—2z)	1
= 2 I1?»-------------------------------= 2 ' <“2> = -L
Итак,
• z'
dz ~ = 2т • res	—- = 2т • (-1) = -2т.	•
Z5 - Z3	О z5 -z3
7.5.24. Используя основную теорему о вычетах, вычислить интеграл
/---------------*-------- dz, где I — окружность |z| = 3.
i (z + ziy{z - 1)
Q Функция f(z) = -------а--"--- аналитическая во всей комплексной
(z + г) 2(г-1)
плоскости за исключением точек z± = — 21 и Z2 — 1, которые лежат вну-
три окружности |z| = 3. Значит,
^f(z)dz = 2т (res/(z) + res/(z) J .
482

Так как
res /(г) = res /(z) =	, res /(z) = res /(z) =
z\	—2г	20	Z4,	1	20
(см. задачу 7.5.1), то
<f i Z-\2^—n dz = 2™ (re,s Kz>> + r?s f(z>)) =
J (Z + Zl)^(z - 1)	\-2»	1	/
„ ./6 +8г	6 + 8г\ n	ж
= 2" (“25---------гН = °'	*
Вычислить интегралы no заданному контуру l, используя основную те-
орему о вычетах:
7-5-25-
а) Г. \z — 1| = 1;
в) I: |z| = 3.
7.5.26.	/ cos* dz, Г. |z| = гг.
J (2z - гг)2 11
б) I: |z + 2| = 1;
Дополнительные задания
Найти вычеты данных функций во всех особых точках, определить их
тип, найти вычет в бесконечно удаленной точке.
7.5.27.	/(*) =	sin2z z -	7.5.28.	/W =	cos 3z
					(2z + гг):
7.5.29.	/(*) =	z sin 2z	7.5.30.	/W =	cos 3z
		(z + гтг)3 ’			
					(z + 2)5
7.5.31.	/(*) =	e~2*	7.5.32.	/W =	1
		z2(z -4г)’			(l-z2):
7.5.33.	/(*) =	z	n с Ы	7.5.34.	* / \	ez — \
		(z - l)n		/(«) =	z3
7.5.35.	/(*) =	Ctg2 Z.	7.5.36.	/(«) =	z3 sin
Вычислить интегралы по заданному контуру I, используя основную
теорему о вычетах:
7.5.37.	/ dz
j z(z + 2)3
a) I: |z| = 1;
7.5.38.	/---------------x,
j (z + l)3(z - I)2
a) I: \z + 1| = 1;
в) I: |z| = 3.
б) I: |z| = 3.
б) I: |z - 1| = 1;
483

7.5.39.
i
a) I: \z - 2| = 1;	б) I: |z| = 1.
7.5.40.	^z4ez dz, I: |z| = 2.
i
Контрольные вопросы и более сложные задачи
7.5.41.	Может ли у функции f(z) в изолированной особой точке:
а) быть вычет (ровно один); б) не быть ни одного вычета;
в) быть более одного вычета?
7.5.42.	Пусть res f(z) = 0. Верно ли, что
zo
j> f(z) dz = 0
\z—zq\=R
для любого R > 0?
7.5.43.	Пусть res f(z) = 0. Верно ли, что точка zq не является полюсом
Zo
1-го порядка функции f(z)?
7.5.44.	Доказать, что res(/ + g)(z) = res/(z) + res#(z), если все три
Zq	Zq	Zq
вычета существуют.
7.5.45.	Доказать, что если /(г) — нечетная функция, то res/(z) =
Zo
= — res f(z), если хотя бы один из вычетов существует.
— Zq
7.5.46.	Вычислить	~
res----
0 ch z — 1 —
7.5.47.	Вычислить вычеты функции
\	к 1 + z8
f (z) = cos z • ch z •  A--
V 7	z4(z4 + 1)
во всех особых точках и в бесконечно удаленной точке оо.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Найти значение функции /(г) — cos3z в точке ^г. Указать точки, в
которых существует производная f'(z).
2.	Определить, может ли функция еу sin х+х быть действительной частью
аналитической функции /(z) ? Если да, то найти f(z).
3.	Вычислить ^Re(z2) dz, где I — дуга параболы у = 2х2 от точки z± = О
i
до точки Z2 = 1 + 2г.
484

4.	Найти разложение функции —в ряд Лорана в точке zq = 1. Ука-
z — о
зать главную и правильную части ряда и область его сходимости.
5.	Найти все особые точки функции —7—sin—определить их тип,
z + 1 z — 1
для полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в
бесконечно удаленной точке.
Вариант 2
1.	Найти значение функции f(z) = ch z в точке 2 + тгг. Указать точки, в
которых существует производная f(z).
2.	Определить, может ли функция cosrrsh^/ — 2у быть мнимой частью
аналитической функции /(z) ? Если да, то найти f(z).
3.	Вычислить j>(2z + l)zdz, где I — дуга окружности |z| = 1 от точки
I
= 1 = ег'° до точки Z2 = — 1 = ег 7Г.
Найти разложение функции cos(z — 1) в ряд Лорана в точке zq = 0.
Указать главную и правильную части ряда и область его сходимости.
5. Найти все особые точки функции
Zi
4.
СЗ + 1,
z-1
определить их тип, для полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех
особых точках и в бесконечно удаленной точке.
Вариант 3
9
1.	Найти значение функции f(z) = - в точке 1 — г. Указать точки, в
которых существует производная f'(z).
2.	Определить, может ли функция e“®cos2/ + 2х быть действительной
частью аналитической функции f(z) *! Если да, то найти f(z).
3.	Вычислить <£\z\dz, где I — отрезок прямой от точки zi = 0 до точки
I
Z2 = 3 — 2г.
9
4.	Найти разложение функции —-—г в ряд Лорана в точке Zq = 2. Ука-
z + 1
зать главную и правильную части ряда и область его сходимости.
5.	Найти все особые точки функции cos определить их тип, для
z + 1	*
полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в
бесконечно удаленной точке.
485

Вариант 4
1.	Найти значение функции f(z) = shiz в точке —i. Указать точки, в
которых существует производная
2.	Определить, может ли функция cos у ch х — у быть мнимой частью ана-
литической функции f(z) 1 Если да, то найти f(z).
3.	ВЫЧИСЛИТЬ	Г г/7г
где I — дуга окружности |z| = 1 от точки = 1 = ег'° до точки z% = — i =
4.	Найти разложение функции sin(2 - z) в ряд Лорана в точке zq = 0.
Указать главную и правильную части ряда и область его сходимости.
% _i_ 1	1
5.	Найти все особые точки функции -------sh-, определить их тип, для
z — 1	"
полюса найти его порядок. Найти вычеты во всех особых точках и в
бесконечно удаленной точке.

Глава 8. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
□
§ 1.	ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЛАПЛАСА. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Оригинал и преобразование Лапласа
Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного называет-
ся оригиналом, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1.	/(t) = 0 для всех t < 0;
2.	/(t) — абсолютно интегрируема6 на любом отрезке [0, а] положительной
полуоси;
3.	существуют действительные числа М > 0, io 0 и s такие, что |/(t)| <
< Mest при всех t > to 0.
Простейшим оригиналом является функция Хевисайда, определяемая сле-
дующим образом:
x(0 = |i’ ПРИ‘>°’
II, при t 0.
Если функция <p(t) удовлетворяет условиям 2 и 3, то функция /(t) = <p(t) -x(t)
удовлетворяет и условию 1, т. е. является оригиналом. Ради упрощения записи
в дальнейшем, за небольшим исключением, будем писать /(t) вместо /(t) х(^):
Пусть /(t) — оригинал, а р = а + гр — комплексное число. Изображением
оригинала /(t) называется функция F(p), определяемая равенством:
оо
F(p) =
О
Функция F(p) называется также преобразованием Лапласа от функции /(t).
Можно показать, что несобственный интеграл в определении изображения
сходится для значений р, удовлетворяющих условию Rep > s, а определяемая
им функция F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Rep > s.
Тот факт, что функция F(p) является изображением оригинала /(t), обо-
значают так: /(t) F(p) или F(p) = L{f(t)}.
Разным оригиналам соответствуют разные изображения, точнее имеет ме-
сто следующая
Теорема 8.1 (единственности изображения). Если оригиналы /(t) и g(t)
непрерывны и имеют одинаковое изображение F(p), то эти функции совпа-
дают.
6Точнее: интеграл должен существовать хотя бы в несобственном смысле.
487

Свойства преобразования Лапласа
В дальнейшем всюду, если не оговорено противное, f(t) обозначает некий
оригинал. Изображение оригинала обозначается той же буквой, только заглав-
ной, например: f(t) F(p), <72(2)	С?2(р) и т. д. Важнейшие свойства преобра-
зования Лапласа отражены в следующих восьми теоремах.
Теорема 8.2 (свойство линейности). Для произвольных комплексных по-
стоянных а и р справедливо соотношение: a- f (i) + р • g(t) -т» aF(p) + pG(p).
Теорема 8.3 (подобия). Для любого действительного г > 0 справедливо со-
отношение: f(r • t) = i • F 0Q •
Теорема 8.4 (смещения). Для любого комплексного числа ро имеет место
соотношение: epot • f(t) -т» F(p — po).
Теорему смещения (изображения) называют иногда теоремой сдвига (изо-
бражения).
Теорема 8.5 (запаздывания). Для любого действительного положительно-
го числа т имеет место соотношение: f(t — т) -т» е~рт • F(p).
Теорему запаздывания (оригинала) реже называют теоремой смещения
или сдвига оригинала.
Следует отметить, что при применении теоремы запаздывания нужно по-
мнить, что по нашему соглашению под функцией-оригиналом f(t) понимается
функция f(t) • х(^); поэтому под функцией f(t — т) следует понимать функцию
f(t — т) • x(t — т), а не /(£ — т) • х(^)- При использовании этой теоремы уместно
не использовать сокращенную запись для оригинала и приписывать функцию
Хевисайда в качестве сомножителя. Теорему запаздывания часто используют
для нахождения изображений периодических функций.
Теорема 8.6 (о дифференцировании оригинала). Если функция f(t) и ее
производные являются оригиналами и f(t) F(p), то
/'(t) pF(p) - /(0),
p2F(p)-p/(0)-/'(0),
/(n)(t) -9- pnF(p) -pn’7(0) -Pn"2/'(O) - ... -p/(n"2)(0) - /(n-1)(0);
при этом под /^(0) понимается lim	к = 1,2,... , n — 1.
488

Эти формулы заметно упрощаются, если /(0) = /'(0) = ... = /(п ^(О) = 0.
В этом случае:
/'(0 рГ(р), /"(0	р2г(р), ..., Г (t) pnF(p).
Теорема 8.7 (о дифференцировании изображения). Если f(t) -т» F(p) то
—tf(t) -т» F'(p). В более общем случае: (—l)ntnf(t) -т» F(n)(p).
Из этой теоремы, в частности, получаем: t -н- t2 -Н-	., tn -н-	.
р2	р6	рп+1
Теорема 8.8 (об интегрировании оригинала). Если /(f) -4- F(p)t то
о
Теорема 8.9 (об интегрировании изображения). Если /(f) -4- F(p) и ин-
7	/(*)	7
теграл / F(p) dp является сходящимся, то ----/ F(p)dp.
р	р
Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала демонстриру-
ют тот факт, что операции дифференцирования и интегрирования оригиналов
сводятся соответственно к операциям умножения и деления на р их изображе-
ний.
В заключение приведем таблицу изображений некоторых основных функ-
ций (ниже подразумевается, что а и /3 — комплексные числа, п — натураль-
ное):
№		F(p)	№	f(t)	F(P)
I	1	1 p	VII	eat sin pt	P (p-a)2+p2
II	eat	1 p — a	VIII	eat cos pt	(p-a) (p-^2+P2
III	tn	n! pn+i	IX	t • sin pt	ZpP (p2+P2)2
IV	tneat	n! (p-«)n+1	X	t • cos pt	P2-P2 (p2 + P2)2
V	sin pt	P p2+P2	XI	sh pt	CM 1 CM
VI	cos pt	p P2+P2	XII	ch pt	p /Э2 P -P
489

8.1.1.	Проверить, какие из следующих функций являются оригина-
лами, а какие — нет.
a)	f(t) = 2e3t • cos 2t  *(t);	6) f(t) = | • x(t);
fo, t<0,
в) /(t) = e‘2 • x(<);	r) /(t) = < 1, 0 t < 2,
(t, t 2.
Q а) Условие 1 в определении оригинала, очевидно, выполнено. Далее,
при t 0 функция /(f) — непрерывна, а следовательно и абсолютно
интегрируема на любом отрезке [0, а]. Значит, условие 2 также выполня-
ется. Наконец, |2e3f cos2f| С 2e3f, и в качестве констант М и з в условии
3 определения оригинала можно выбрать любое М > 2 и з = 3. Следова-
тельно, /(f) является оригиналом.
б)	/(f) не является оригиналом, поскольку интеграл
расходится, а следовательно, не выполнено условие 2 определения ори-
гинала.
в)	/(f) не является оригиналом, поскольку неравенство е1 < Mest
не может выполняться ни при каких з для всех f > 0, т. к.
ре
lim ------
t^oQ Mest
= lim s)
t->oo M
00.
Отсюда следует, что для любого з выполнено неравенство е*2 > Mest,
начиная с некоторого значения f (иными словами, функция е* растет
быстрее любой функции Mest).
г)	Условие 1, очевидно, выполнено. При f О функция непрерывна
всюду, кроме точки f = 1, в которой она имеет разрыв 1-го рода. Следо-
вательно, /(f) — интегрируема на любом отрезке [0,а]. Т. к. |/(f)| С е*,
то и условие 3 тоже выполнено. Следовательно, /(f) — оригинал. •
Проверить являются ли оригиналами следующие функции:
8.1.2.	/W = 3f •*(*).	8.1.3.	/(i)=i3-x(0-
8.1.4.	/(t) = ezt  x(t).	8.1.5.	
8.1.6.		8.1.7.	/(i) =lnt-x(i)-
8.1.8.	/(*) = tgt-xW-	8.1.9.	
8.1.10.	f(t) =sint-x(< + l)-	8.1.11.	/(t) = |-x(i-i).
8.1.12.	f(t) = eit2 •*(*).	8.1.13.	
В дальнейшем вместо /(f) *x(f) мы, как правило, будем просто писать
/(*)•
490

8.1.14. Найти изображение функции f(t) = e^3+^f, используя преобра-
зование Лапласа.
Q f(t) является оригиналом. Так как |е^3+г^| < Me3t для М > 1, то
изображение F(p) этой функции будет определено и аналитично в полу-
плоскости Rep > 3. Далее, находим
/(<)-» F(p) = J e(3+i)te~ptdt = Jе-(р-3-1){ dt =
О	о
= _ lim _____-___е-(Р-3-*)«|К = ----1----
К^оор-(3 + г)	Io р —(3 + г)
Явно используя преобразования Лапласа, найти изображения следую-
щих оригиналов:
8.1.15.
8.1.17.
8.1.19.
8.1.21.
/W = 2.
f(t) = cos4t.
J1’ te[0,i],
(о, г£[о,1].
/(t) = ef • x(t - 1).
8.1.16.
8.1.18.
8.1.20.
/(i) = e2f.
/W = t
't,
f(t) = 1,
0,
t e [0,1],
t e (1,2],
t<£ [0,2].
8.1.22. Используя таблицу изображений и свойство линейности пре-
образования Лапласа, найти изображения следующих ориги-
налов:
а) /(0 = 2 +t3 + tcos2t; б) f(t) = 3f;
в)	f(t) = cos2 t;	г) f(t) = sin2tcos3t;
д) f(t) = et+5.
Q а) По таблице находим:
1 + ± (I), t3 = 4 (III), tcos2t	(X)-
p	p4 p4	(p2 + 4)2
Следовательно, по свойству линейности (теорема 1) преобразования Ла-
пласа получим: 2 +t3 +1 cos 2t = 2 • 1 +t3 +1 cos 2t i + Д- + -Д-
p p4 (p2 + 4)2
б) Поскольку 3f = efln3, to 3f -j» -—(II).
в) Используя известную тригонометрическую формулу понижения
степени, имеем:
2 .	1 + cos 2t 1	, 1 п,
cos t =-----------= к • 1 + к cos 2t
T. к. 1	± (I), a cos2t
——- (VI), то по свойству линейности пре-
1 P
образования Лапласа получаем: cos21 -я — +	2 + 4) •
491

г)	Преобразуем оригинал /(t): sin2tcos3t = ^(sin5t — sint). Тогда,
используя формулу V таблицы и свойство линейности преобразования
1/5	I \
Лапласа, получаем: sin2tcos3t -4- к —---------- .
J	2 Vp2 + 52 р2 + 1/
д)	Т. к. ef+5 = e5ef и ef -j» —^-7 (II), то ef+5 = е5—г.	•
р — 1	р — 1
Используя таблицу изображений, найти изображения оригиналов:
8.1.23.	f(t) = Зе f + efcos3t	8.1.24.	/(«)	= 4sh2t -12.
8.1.25.	f(t) = te2t - sin3t	8.1.26.	/(«)	= 2^ + 1’
8.1.27.	f(t) = tet~1 +t2ef"2.	8.1.28.	/(«)	= sin31,
8.1.29.	f(t) = cost cos 3t	8.1.30.	/(«)	= sin sin 2t — t sin t.
8.1.31. /(t) = ef cos2t.
8.1.32.	Используя теорему изображения, найти изображение оригина-
ла f(t) = e3t cht.
о
Q По формуле XII таблицы изображений имеем: ch t -t> —---. Отсюда
по теореме смещения (ро = 3) получаем:	р — 1
e3t ch t -г>
Р-3
(р-з)2-Г
Найти изображения оригиналов, используя теорему смещения:
8.1.33.	f(t) = te2t cos 3t	8.1.34.	/(t) = e* sh 2t.
8.1.35.	f(t) = e4t cos2t.	8.1.36.	f(t) = te^ sin 2t.
8.1.37.	Найти изображение функции g(t) = cos(t — 2)x(t — 2).
Q Рассмотрим функцию f(t) = cost • x(0- Тогда
p(t) = f(t - 2) = cos(t - 2) • x(t ~ 2).
p
Для оригинала f(t) имеем: f(t) —----- (VI). Тогда по теореме запаз-
p + 1
дывания оригинала получим: g(t) = f(t — 2) -t> e~2p • 2	.	•
Найти изображение следующих функций:
8.1.38.	(t - З)3 • x(t ~ 3).	8.1.39. e2t"4 • xtt ~ 2).
8.1.40.	ch(2t-l)X(t-|).
8.1.41.	(t - J) sin(3t - тг) • x (t - J).
8.1.42.	Найти изображения функций, заданных графически:
а)	график функции f(t) приведен на рис. 108;
б)	график функции f(t) приведен на рис. 109.
Q а) Изображение функции f(t) можно, конечно, найти непосредствен-
но, применив преобразование Лапласа. Однако проще представить ее в
492

Рис. 108
Рис. 109
виде /(t) = х(0 ~ x(t — 1)- По таблице x(i) -я (I). Отсюда по тео-
реме запаздывания оригинала имеем — 1)	^Г' Следовательно,
/(*)	| - ^р-;
б) Представим функцию /(£) в виде:
/(О = t • *(*) - (t - 1). x(t - 1) - x(t - 2).
По таблице находим g(t) = t-x(i) (III) и x(t) Далее, согласно
pz	P
теореме запаздывания оригинала, получаем:
g(t - 1) = (t - 1) • X(t - 1) + и X(t - 2) -H-
Окончательно имеем: f(t) -t>	— e P.	•
Найти изображения оригиналов, заданных графически:
8.1.43.	График функции /(£) приведен на рис. ПО.
Рис. 111
Рис. ПО
8.1.44.
8.1.45.
График функции f(t) приведен на рис. 111.
f(t\ _ /sin*> tG[O,7r],
/W (0,	t^[0,7r].
рис. 112.
График функции f(t) приведен на
493

Рис. 112	Рис. 113
8.1.46.	График функции f(t) приведен на рис. 113.
оо
8.1.47.	Найти изображение функции, заданной рядом:	“ п)-
п=0
8.1.48.	Найти изображение периодической функции f(t) = {t} (здесь
{£} — дробная часть числа t).
Q Функция f(t) — периодическая с периодом Т = 1. На отрезке [0,1]
она задается равенством f(t) = t. Рассмотрим функцию
’ [о, it [0,1].
Ее можно записать также в виде = t • x(t) — (t — l)x(£ — 1) — x(£ — 1)-
Тогда ее изображением будет функция Ф(р) = Д, —	Функция
pz pz Р
f(t) может быть представлена в виде ряда
оо
ло = 22 ¥»(« - п),
п=0
а ее изображением (по теореме запаздывания оригинала) будет функция
оо
F(p) = 52 е~рп ‘ Ф(р)- Полученный ряд представляет собой бесконечно
п=0
убывающую (при р > 0) геометрическую прогрессию; и потому
F(P) = *(Р)(1+е-+е-+...) =	(X - С) =
ер (1 — е~р — ре~р) ер — 1 — р _
= ер — 1 р = р2(ер-1)'
Найти изображения периодических функций:
8.1.49.
8.1.50.
8.1.51.
8.1.52.
/(t) = |sint|.
Функция f(t) задана графиком, который приведен на рис. 114.
Функция /(£) задана графиком, который приведен на рис. 115.
Найти изображение функции f(t) = t2 sin t.
Q По таблице изображений имеем:
sint-> 1
р2 + 1
494

Рис. 1Ц
Рис. 115
Отсюда по теореме о дифференцировании изображения получим:
t2sint-r> (.
\р2 + 1/
Находим
/ 1 V _	— 2р / 1	/ — 2р У _ 6р2 — 2
\р2 + 1/	(р2 + I)2	\р2 + 1/	\(р2 + 1)2/	(р2 + I)3
6р2 — 2
Окончательно, t2 • sint -t» —-----.
(р2 +1)3
Найти изображения функций, используя теорему о дифференцировании
изображения:
8.1.53.	f(t) = t2 cos2t	8.1.54. f(t) = t3 sint
8.1.55.	fit) = tsh3t.	8.1.56. fit) = tch2t.
8.1.57.	f(t) = tel sin t.
1 _ et
8.1.58.	Найти изображение функции f(t) = —-—.
Q По таблице изображений найдем изображение функции
¥’(0 = 1-е‘^
Тогда по теореме об интегрировании изображения имеем:
t °°/	\
/«) =	/(1 - ^1) dp = [lop - W - 1» I” =
Найти изображения следующих оригиналов:
8.1.59.	/(t) =	8.1.60. /(t) = - ~у---
8.1.61.	/(t) =	8.1.62. f(t) = COs3*-'
495

t
8.1.63.	Найти изображение функции f(t) = Jтет dr.
о
Q Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изобра-
жений. Однако проще в данном случае воспользоваться теоремой об ин-
тегрировании оригинала. Действительно, имеем: tel -j» ---—Тогда
(р-1)2
по теореме об интегрировании оригинала получим:
t
[тет dr -------—- : р =-----—-.	•
/	(р-1)2 Р р(р-1)2
Не вычисляя интегралы, найти изображения следующих функций:
8.1.64.
8.1.66.
8.1.68.
t
Jг sin 2т dr.
о
t
Jт2е2т dr.
о
t
Jтет sin 2т dr.
о
8.1.65.
8.1.67.
t
J т cos Зт dr.
о
t
У т cos2 т dr.
о
Дополнительные задания
В следующих задачах найти изображения оригиналов:
8.1.69. 8.1.71.	ло /(<)		3_ _ 2t 5‘ 3r te2t cos 3t.	8.1.70. 8.1.72.	/(t) = sin2tcos4t /(t) = e“f sin21.
8.1.73.	/(t)	=	tx(t -1)-	8.1.74.	f it) = sin(2t - 4)x(t - 2).
8.1.75.	/(t)	=	t2 cos t.	8.1.76.	f(t) = t2 sh2t
8.1.77.		=	t34f.	8.1.78.	_ sin 3t — sin t t
8.1.79.		—	e* - e2t t ’ t	8.1.80.	f(t) = Jrsin2 2rdr. 0 t
8.1.81. 8.1.83.	/w /(«)	—	Jr3eT dr, 0 '1,	*G[0,1], < 2-t, t e (1,2], k0,	t£[0,2].	8.1.82.	f(t) = Jre3T cos 4т dr. 0
Найти изображения периодических функций:
8.1.84. f(t) = |cost|.
8.1.85.	/(t) = arcsin(sint).
496

oo
8.1.86.	f(t)= E(-l)n-%(t-n).
n=0
8.1.87.	f(t) — периодическая функция с периодом Т = 1 и на проме-
жутке [0,1) заданная равенством f(t) = t2.
Более сложные задачи
8.1.88.	Может ли функция F(p) = -Д— быть изображением некоторо-
го	sin р
го оригинала:
8.1.89.	Если f(t) — оригинал, то будет ли оригиналом функция:
t
1)	2)/'(<)•
О
8.1.90.	Если f(t) и g(t) — оригиналы, то является ли оригиналом
функция /(t)p(t)?
8.1.91.	Показать, что если f(t) — периодическая функция, являющая-
ся оригиналом, то ее изображение F(p) определено в полуплос-
кости Rep > 0.
8.1.92.	Доказать, что если f(t) -я F(p), то
S
F(p) —
о
§2. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА
ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
Сверткой функций f(t) и g(t) (обозначение f(t)*g(t)) называется функция
t
У f(r)g(t - т) dr.
О
Операция свертывания функций обладает свойством коммутативности:
t	t
f(t) * g(t) = g(t) * f(t), t. e. Jf(r)g(t -r)dr = Jg(r)f(t - r) dr.
0	0
Теорема 8.10 (об умножении изображений, или теорема о свертке).
Пусть f(t) и g(t) — оригиналы, a F(p) и G(p)t соответственно, их изображе-
ния. Тогда f(t) * g(t) -г> F(p) • G(p).
Таким образом, изображение свертки двух оригиналов есть произведение
их изображений.
497

Отыскание оригиналов по изображениям
Для нахождения оригиналов по заданным изображениям можно использо-
вать несколько приемов.
Первый состоит в том, что изображение —— представляется в виде сум-
К(р)
мы элементарных дробей, являющихся изображениями простых оригиналов.
После чего, используя таблицу оригиналов и свойство линейности преобразо-
вания Лапласа, находят оригинал, соответствующий исходной дроби.
Второй способ состоит в том, что дробь представляется в виде произве-
дения дробей, являющихся изображениями некоторых функций, после чего
применяется теорема о свертке.
Третий способ основан на следующей теореме (приведем ее в несколько
ослабленном варианте):
Теорема 8.11 (о разложении7). Пусть функция F(p) = представляет
К(р)
собой правильную рациональную дробь, имеющую полюсы в точках рк, где
к = 1,2,... , п. Тогда оригиналом для нее служит функция
/(i) = 52r^(F(p)e’,t)>
Рк
где сумма берется по всем полюсам.
г)
8.2.1. Найти оригиналы следующих изображений:
a) F(p) = 4;
Р
в) F(p) = ---;
7	7	р2- 6р+13
Г)
™=(^-
Q а) По таблице изображений имеем: t2 -^ = Поэтому, преобра-
р6 р6
7	7 2
зуя F(p), получим - = Отсюда по свойству линейности преобра-
р6	* р6
зования Лапласа находим оригинал для F(p): -4 = Z •
р6 & р6 £
б) Преобразуем F(p) таким образом, чтобы можно было воспользо-
ваться таблицей изображений:
4________3	= 1 .	3!	_ 3.	1
(р + 1)4	(р-1)2	3! (р+1)4	(Р-1)2
7Зачастую эту теорему называют также второй теоремой разложения (поскольку
есть еще и первая теорема разложения).
498

Функция -———7 является изображением оригинала е 4 -t3, а -——
(р +1)	(р -1)
изображением оригинала • t. Таким образом, окончательно имеем:
F(p) +- |е-< • t3 - Зе‘ • t.
О
в) Преобразуем дробь, выделив полный квадрат в знаменателе:
4 4 4	_ о 2
F(p} ------2------=-----2------------2-----= 2-------------.
W р2- 6р + 13	(р-3)2+4 (р —3)2+22 (р —3)2 + 22
Последняя дробь является изображением функции e3t sin 2t. Тогда по
свойству линейности преобразования Лапласа получаем
----^5-----+- 2e3t sin 2t.
(р-3)2+4
г) Действуем аналогично пункту в):
F(v) = Зр~1	=	3Р~1
{Р р2 + 4р + 29 (р + 2)2 + 25
Покажем, что последняя дробь есть линейная комбинация изображений
функций e~2t sin5t и e~2t cos5t Действительно,
Зр-1 = 3(р + 2)~ 7 =	3(р + 2)________7	=
(р + 2)2 + 25 ~ (р + 2)2 + 25 ~ (р + 2)2 + 25 (р + 2)2+25 “
= 3 • р + 2	_ 1.	5
(р + 2)2+ 25	5 (р + 2)2+ 25’
Следовательно, согласно таблице изображений и свойству линейности
преобразования Лапласа, находим оригинал:
F(p) = 3 • -——-----------------------е- 3e“2f cos5t - Ze“2f sin5t
(p + 2)2+25	5 (p + 2)2+25	5
д) По таблице изображений находим сначала оригинал f(t) для
функции------—А именно:
(р-2)3
-------= — ---—---+- —e2^t2 = f(t}.
(р - 2)3	2 (р _ 2)3 ’ 2
Применив теорему запаздывания оригинала, имеем:
(р - 2)3	2
(напоминаем, что под функцией ^e2tt2 мы понимаем функцию
Zi
|e2tt2x(i)).
499

Найти оригиналы для следующих изображений:
8 2 2	F(p) =	3 + .5. + _U P p3 Р+Г	8.2.3.	F(p) =	4	8
					(P + 3)5 (p - 4)4
8.2.4.	F(p) =	3p+l	8.2.5.	F(p) =	5p-3 9	л *
		p2 + 9			p2 — 4
8.2.6.	F(p) =	P	8.2.7.	F(p) =	3-4p
					p2 + 4p + 8
		p2 + 2p + 2 ’			
8.2.8.	F(p) =	3e~p	8.2.9.	F(p) =	e-p +e-2p
		p + 3’			(p-2)2 ‘
8.2.10.	F(p) =	4e~3p	8.2.11.		(e~p - 3e~4p)p
				r (p) =	
		p2 4- 6p 4- 10			p2 4- Юр 4- 29
8.2.12. Найти оригиналы следующих изображений:
r)f(p)=ra-
Q а) В этом случае можно поступить так же, как в решении задачи
8.2.1. пункт в), а именно:
2	=	2	=2
р(р+1) Р2+Р
Отсюда по таблице изображений получаем:
. 2	+- 4e“t sh | = 4е~1 • е2 ~е 2 = 2 - 2е~*.
р(р+1)	2	2
Однако можно найти оригинал и по-другому. Сначала представим
о
дробь :-----— в виде суммы простейших дробей
р(р+ 1)
2	= А В
р(р 4-1) Р Р + Г
Затем с помощью стандартной процедуры находим коэффициенты А и
В: имеем равенство 2 = А(р 4- 1) 4- Вр, которое справедливо для всех
значений р. Полагая р=—1ир = 0, получаем два соотношения 2 = — В
и 2 = А, из которых находим А = 2, В = —2. Отсюда
2	= 2____2
р(р + 1) Р Р - 1 *
п
Теперь по таблице изображений находим: —---- «4- 2 — 2e“f.
р(р+1)
б) Представим дробь в виде суммы простейших дробей
1	= А В Ср + Р
р(р-1)(р2 4-1) Р Р“1 р2 + 1
500

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивал
числители обеих дробей, получаем равенство:
1 = А(р - 1)(р2 + 1) + Вр(р2 + 1) + (Ср + Т>)р(р - 1).
Подставляя подходящие значения р, приходим к системе:
р = 0	:	1 = —А
р = 1	:	1 = 2В
р = -1	:	1 = -4А	— 2B — 2C + 2D
р = 2	:	1 = 54 +	10В + 4С + 2D
Вместо полученных уравнений можно составить другие уравнения, при-
равнивая, например, коэффициенты при одинаковых степенях многочле-
нов, стоящих в обеих частях равенства. Так, сравнение коэффициентов
при р3 приводит к равенству: 0 = А + В + С, что дает возможность по-
лучить более простую систему уравнений:
'А = -1,
2В = 1,
' А + В + С = 0,
-4A-2B-2C + 2D = 1,
откуда А = —1, В = i С = D = —Таким образом,
1	= _1 , 1. 1	, 1 р-1 =
р(р — 1)(р2 + 1) Р 2 р — 1	2 р2 + 1
= _1 , 1 * 1 । 1 р 1 1
Р 2р-1‘1’2’р2 + 1	2р2 + 1’
Следовательно,
1
р(р-1)(р2 + 1)
—1 + cos t - | sin t.
£ £ £
в) Запишем F(p) в виде:
P _	(p-l) + l	_	1	1	=	1	1	2
(p-З)3	(p-i)3	(p-i)2	(p-i)3	(p-i)2	2(p-l)3’
По таблице изображений находим: -—tel + lt2e4.
(р-1)3	2
г) Представим F(p) в виде линейной комбинации дробей
1 Р	2р Р2 -1
р2 + 1 ’ р2 + 1 ’	(р2 + I)2 ’	(р2 + I)2 ’
являющихся изображениями функций sinf, cosf, fsinf, tcost соответ-
ственно. Таким образом, ищем разложение дроби в виде:
1	_ А , Bp 2Ср D(p2 -1)
(р2 + I)2 р2 + 1 р2 + 1	(р2 + I)2	(р2 + I)2
501

Используя приемы, изложенные выше, находим
А=1 В = С = 0, D = -±
Следовательно,
2	1
(р2+1)2 =	" i^ + i)2	" i*cost
По заданным изображениям найти оригиналы:
8.2.13. 8.2.15. 8.2.17. 8.2.19. 8.2.21. 8.2.23.	F(p) = F(p) = F(p) = F(p) = F(p) = F(p) = F(p) = F(p) = F(p) = Найти a) /(«)	p + 2	8.2.14. 8.2.16. 8.2.18. 8.2.20. 8.2.22. 8.2.24. 8.2.26. 8.2.28. fi *> QO	F(p) F&) F(p) F(p) F(p) F(p) F(p) F(p)	_	3p-4
		p3 2p + l P2 -P 2p3 + p2 + 2p — 1 p4-l p3 + p2 - 1			1 II II 1 “1	“1	1 1 1 4> 1 1 + “g5 05	1 СЛ .	№ S	✓
		p4 - p3 p2			p3 - 2p2 + 5p _ p3 + 2P2 + 4p + 2
		(p + 3)4’ 1			p4 + 5p2 + 4 _ p2 — 2p — 1
8.2.25. 8.2.27. 8.2.29. 8.2.31.		(p—l)2(p + 2) p2 - p + 1			p3 - 3p2 4- 3p - 1 _ 2p3 — p2 + 4p — 4
		(p2-l)2’ (P+1)2 (P2 +1)2 ’ (2p2 - 5)e-3p			p4 — 8p2 + 16 _ 2p3 - 2p2 - 2 " (p2 —2p + 2)2 _ p2e p
		p4 — 5p2 + 4 свертку функций = ef, g(t) = t;	’ ’ ’	(P + 2)5’ f(t) и g(t)n ее изображение: 6) f(t) = cost, g(t) = e2t.		
Q а) Первый способ.
Найдем по таблице изображения функций:
е* -^—7,
Р- 1
Тогда по теореме о свертке получаем:
11
1
р2’
1
p-lp2 р2(р-1)
Итак, изображение свертки нами найдено. Теперь найдем саму свертку.
Для этого методом неопределенных коэффициентов представим дробь
—г1 ' г в виде:
р2(р- 1)
1 = 1___________1 _ 1
р2(р — 1)	р—1 Р р2
502

Наконец, по таблице изображений находим свертку функций et и t:
е* *t — 1 — t.
Второй способ.
Вычислим свертку функций, пользуясь определением:
t
е* *t = fеТ^ ~
о
Интегрируем по частям:
t	t	t 1
jeT(t — r)dr = J(t — т) deT = (t — т)ет| — JeT d(t — t) =
oo	о
=—t + j'eT dr =—t + eT\ =— t + el — 1.
о
Следовательно, e**t = e* — t — 1. Теперь по таблице изображений находим
изображение свертки:
et*t^ J__ 1 =_____________1_
р-1 р2 р р2(р-1)‘
б)	В этом случае проще использовать первый способ из пункта а),
поскольку при непосредственном вычислении свертки потребуется дву-
кратное интегрирование по частям. Поэтому найдем сначала изображе-
ние свертки. Имеем: fit) = cost
=	Тогда
^2 + 1 р	2	(р2 + 1)(р_2)-
Последняя дробь может быть представлена в виде суммы простейших
дробей. Опуская технические детали, получаем:
_2_, 1	2
Р	§Р' 5	5	2 Р 11	21
(р2 + 1)(р — 2) р2 + 1 ~*~р-2	5р2 + 1	5р2 + 1 5р - 2
По таблице изображений находим теперь саму свертку:
cost * e2t = — | cost + | sint -I- ^e2t.	•
и	О	О
Найти свертку функций, используя определение:
8.2.32. f(t) = 1, g{t) = 2.
8.2.34. fit) = sint, git) = cost.
8.2.36. fit) = cost, git) = t.
8.2.33. fit) = 1, git) = t.
8.2.35. fit) = e\ git) = e2t
503

Найти изображение сверток функций, пользуясь теоремой о свертке:
8.2.37.	/(f) = sinf, g(t) = sin2f.	8.2.38. /(f) = e3t, g(f) = t2.
8.2.39.	/(f) = cosf, #(f) = f3.	8.2.40. /(f) = shf, #(f) = chf.
В следующих задачах найти свертку функций f(t) и g(t) и ее изображе-
ние:
8.2.41.	7(t) = 1, p(t) = е*.	8.2.42.	/(f) = e3t, g(t) = e5f.
8.2.43.	f(t) = g(t) = sinf.	8.2.44.	/(f) = f2, g({) = C0s2f.
8.2.45.	/(t) = t, g(t) = te1.	8.2.46.	/(f) = sinf, g(t) = sinf.
8.2.47.	f(t) = t, g(t) = tsint.		
8.2.48.	Найти свертку функций x(t) и x(t — 1).
8.2.49.	Пусть /(f) = elx(f). Найти свертку функций /(f — 1) и /(f — 2).
8.2.50.	Пользуясь теоремой о свертке, найти оригинал изображения
F(p) = , 2*\ 2-
(р +1)2
О Представим F(p) в виде произведения
F(p) =
1 Р
р2 + lp2 + 1
Функции —---- и —--- являются изображениями функций sinf и cosf
р 4- 1 р + 1
соответственно. По теореме о свертке имеем:
р
———	sin f * cos f.
(p2 +1)2
Осталось найти свертку функций sinf и cosf:
t	t
sin f * cos f = J sin r cos(f - t) dr = J | [sin f + sin(2r — f)] dr =
о	о
1/	1	\ p I /	1	I \ I
= - I г sin f — cos(2r — f) I = - I f sin f — - cos f 4- - cos f) =	sin f.
2 \	2	/ Io 2 \	2	2/2
Таким образом,	D 1
—z——т	if sin L
(p2 +1)2	2
p
Заметим, что оригинал для —--— можно было найти иначе, восполь-
(р2 +1)2
зовавшись таблицей изображений.	•
Найти оригиналы изображений, пользуясь теоремой о свертке:
8-2-51-
8-2'53'
8'2'52' F<P)=(?W
504

8.2.55. Вычислить интегралы:
t	i
a) Jet~x sinxdx,	б) fe^xdx;
о	о
t
в) Je~x cosxdx.
о
о а) Интеграл
Уе*~х sinxdx
о
представляет собой свертку функций sinf и е*. Ее изображением согласно
теореме о свертке будет функция
F(r)\ = 1	1 = I ( 1 _ Р _ 1
р2 + 1Р — 1	2 у р — 1 р2 _|_ 1 р2 _|_ j у
Оригиналом этого изображения служит функция
/(t) = 1	- cost - sinf).
Следовательно,
t
Jel~x sin x dx = | (e* — cos t - sin t).
о
б) Рассмотрим функцию
t
f(t) = jel~xxdx.
о
Она представляет собой свертку функций t и е*. Имеем
t * et ч»
1 1 = 1__________1 _ 1
р2 р - 1 р - 1 Р р2'
По таблице находим:
1___1
р-1	Р
- 4 ** е‘ - 1 - t.
Р
Таким образом, f(t) = t * е* = е* — 1 - t. Поскольку
в) Преобразуем интеграл:
t	t	t
Уе~х cos х dx = e~l • ef Je~x cos xdx = e-t Jel~x cos x dx.
о	oo
505

Очевидно,
t
(e*~x cos x dx = cos t*e*.
о
Его изображением будет функция
щения изображения имеем:
t
-t f t-x J	p+ 1
e e cos x dx -+ ---------z---
J	(p+l)2+l
P Im
2 + 1 • -—p Тогда по теореме сме-
р+1
1 ____________________
(p + 1) - 1	(p2 + 2p + 2)p
= i Г i . i_____________p+i
2[p (p+l)2 + l (p+l)2 + l.‘
Оригиналом последнего выражения служит функция
| (1 + e-t sin t — e~l cos t).
Следовательно,
t
е~ь Jе*~х cos х dx = (1 + e-t sin t — e-t cos t),
о
откуда окончательно получаем:
t
Je~x cos x dx = i (1 + e-t sin t - e~l cos t).
о
8.2.57.
cos 2х dx.
8.2.59.	Jx(n — x) sin(7r — x) dx.
о
t
о
6>
Вычислить интегралы:
t
8.2.56.	Jsin t • sin(f — t) dr.
о
7Г
r	— —
8.2.58. /sinx-e2 x dx.
о
8.2.60.	С помощью теоремы о разложении найти оригиналы следую-
щих изображений:
а)=(р-1)1(р+1);
Q а) Функция F(p) имеет полюсы первого порядка: pi = 1 и р2• = — 1-
Тогда по теореме о разложении оригиналом для F(p) служит функций
/(f) = res F(p) • ер' + res F(p) • ept. Вычислим вычеты:
p=i	p=—i
ept	г ept
res 7--7T7---= 11111 —ГТ = Т’
P=1 (р - 1)(р+ 1) р-ир+1 2
ept	г ept е~1
res 7--7V7---7Т = 11111 -7 -----
P=-i (р- 1)(р+ 1) p->-ip-l 2
506

Следовательно, f(t) = (ef — е f) = sht
б)	Функция
F(P) = (р-1)/(р+1)2’
поэтому значения р± = 1 и р2 = — 1 являются полюсами второго порядка
функции F(p). Находим вычеты функции F(p) • ept:
г₽ч ePtP	_ lim d Г
J?1(p2_l)2 wldp[(p+l)2.
eptp	d Г pept
res ------777 = llm	7---777
P=-i (p2 - I)2 p^-i dp (p- I)2
tel
4 ’
te~l
4 ’
Следовательно, F(p) -e- f(t) =	= ^tsht
в)	Функция
F(v) =---1----------------------
p(p2 + 4) p(p- 2г)(р + 2г)
имеет полюсы первого порядка р± = 0, р2 = Рз = —М- Тогда
res F(p) • ept = lim
p=o	p->ip2 + 4	4
res F(p) • ept = lim z . = -|е2г* = -|(cos2£ + zsin2t),
p=2i v 7	р->2г p(p + 2г)	8	8V	7
res F(p)-ept= lim ——=-|e“2zf =-|(cos2f - zsin2t).
p=-2i	p^-2ip(p-2i)	8	8V	7
Следовательно,
F(p) <-j- f(t) = | - |(cos2f + zsin2f) - |(cos2£ - zsin2f) =
4 о	о
= | - |cos2t = |(1 - cos2t) =	-.	•
44 4V '2
С помощью теоремы о разложении найти оригиналы следующих изо-
бражений:
8.2.61.	F(p) =-----------------.
W (р-1)(р-2)(р-3)
8.2.62.	F(p) =--------р + 2 ------.
(р+1)(р-2)(р2 + 4)
8.2.63.	F(p)= Р .	8.2.64. F(p)=	*---
(р +1)	(р -4)(р-1)
8.2.65.	F(p) = —------.
(Р - Р)(Р - 5р + 6)
8.2.66.	F(p) =
507

Дополнительные задачи
Найти оригиналы следующих изображений:
8.2.67.	5 +А +	Р	 Р р* р2 + 2р + 5
8.2.69. 8.2.71.	р2 + 4р — 1
	(р2 + 1)2  4р3 — 2р2 + р — 2
	р3(р2 +1)
8.2.73. 8.2.75.	Зр2 - 6р + 7 (р2 - 2р + 5)2 р е 2
	р(р - 3) ’
8.2.68.	-р2 + Зр - 3
	(р—1)2(р —2) —р4 + р3 — Зр2 — 1
	
8.2.70.	
	(р2 + 1)2Р2
8.2.72.	2е~3р р4 - 1’
8.2.74.	(е~р + 2е-2р).
р2 + 1 v	’
Найти свертку следующих функций:
8.2.76.	/(t) = t, g(t) = t.	8.2.77.	/(f) = 3, g(t) = e‘.
8.2.78.	f(t) = e4, g(t) = e*.	8.2.79.	/(t) = sin3t, g(t) = sin2f.
8.2.80.	fit) = t2, g(t) = te4.
8.2.81.	Найти свертку функций t • x(t) и (t — l)x(t — !)•
8.2.82. Найти свертку функций
sin(f_|)x(f_|) и sin(t-|)X(t-|).
Контрольные вопросы и более сложные задания
8.2.83.	Доказать, что если на отрезке [0, to] оригиналы f(t) и g(t) равны
нулю, то свертка f(t) * g(t) равна нулю на отрезке [0,2fo]«
8.2.84.	Верно ли, что если f(t) * g(t) = 0, то:
а)	одна из функций тождественно равна нулю;
б)	в каждой точке одна из функций обращается в нуль?
8.2.85.	Доказать свойство коммутативности свертки:
f(t)*g(t) =g(t)*f(t).
8.2.86.	Можно ли по свертке однозначно восстановить свертываемые
функции?
8.2.87.	Зная, что 1 * f(t) = sinf, найти функцию /(f).
8.2.88.	Найти оригинал изображения
8.2.89.	Найти оригинал изображения
F-^ = (р2 + 1)(1-е~*р)'
508

§3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Решение задачи Коши для линейных
дифференциальных уравнений
Методы операционного исчисления удобно применять при решении неко-
торых дифференциальных уравнений.
Пусть задано дифференциальное уравнение (например, 2-го порядка) с
постоянными коэффициентами: aox"(t) + aix'(t) + a2x(t) = /(t), где ao, ai,
а2 = const. Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее на-
чальным условиям: ж(0) = si, ж'(0) = жг. Используя операционное исчисле-
ние, это решение находят следующим образом. Предположим, что правая часть
данного уравнения является оригиналом. Тогда и решение x(t) этого уравне-
ния, удовлетворяющее заданным начальным условиям, также будет оригина-
лом. Пусть x(t) -н- Х(р). Используя теорему о дифференцировании оригинала,
находим изображения производных, входящих в уравнение. В нашем случае:
a/(t) рХ(р) — ж(0) и x"(t) р2Х(р) — рж(О) — я/(0)- Далее, находим изо-
бражение функции /(£)-*» F(p)- Наконец, применяя преобразование Лапласа
к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности преобразования
Лапласа, получаем операторное уравнение:
а0 (р2Х(р) —рх(О) - х'(0)) + ai(pX(p) - х(0)) + а2Х(р) = F(p).
Операторное уравнение (другое название — изображающее уравнение) явля-
ется линейным уравнением относительно неизвестной функции Х(р). Решая
его, находим Х(р) и, наконец, по Х(р) восстанавливаем оригинал x(t).
Иногда методы операционного исчисления позволяют найти решение ли-
нейного уравнения с переменными коэффициентами. Это возможно, например,
в случае, если функции ao(t), ai(t), аг(£) — многочлены, обычно не старше пер-
вой степени. Однако нахождение решения в этом случае сложнее, поскольку
бывает затруднительно восстанавливать оригинал по найденному изображе-
нию (см. пример 3.42).
Решение интегральных уравнений
Интегральными уравнениями называются такие уравнения, в которых не-
известная функция x(t) стоит под знаком интеграла.
В некоторых случаях такие уравнения тоже могут быть решены средствами
операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравне-
ния Вольтерра первого и второго рода, т. е. соответственно уравнения
t	t
Jk(t — t)x(t) dr = f(t) и x(t) = f(t) -F jk(t — t)x(t) dr.
о	о
Пусть, например, дано интегральное уравнение Вольтерра второго рода:
t
x(t) = f(t) -I- fk(t — r)x(r)dr.
о
509

В этом случае интеграл представляет собой свертку функций k(t) и x(t). Пред-
полагая, что x(t) Х(р), k(t) -4- Ф(р) и f(t) F(p), применим преобразова-
ние Лапласа к обеим частям уравнения. Пользуясь линейностью преобразова-
ния Лапласа и теоремой о свертке, получим операторное уравнение:
Х(р) = Г(р) + Ф(р)Х(р),
откуда находится неизвестная функция Х(р), а затем и соответствующий ей
оригинал.
Аналогично решаются уравнения Вольтерра первого рода:
t
Jk(t - r)x(r)dr = f(t).
о
8.3.1.	Найти частное решение дифференциального уравнения, удо-
влетворяющее начальным условиям:
а)	х' - х = 1, ж(0) = -1;
б)	х" - 2х' + 2x = 2t-2, х(0) = х'(0) = 0;
в)	х,п - х" = 4е2*, я(0) = 1, х'(0) = 2, я"(0) = 4.
Q а) Пусть функция x(t) имеет изображение Х(р), т.е. x(t) Х(р).
Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим изображение
x'(i): x'(t) рХ(р) - х(0) = рХ(р) + 1.
Изображением функции 1 является Таким образом, применяя пре-
образование Лапласа к обеим частям уравнения, приходим к оператор-
ному уравнению вида: рХ (р) +1 — X (р) = i. Отсюда находим X (р) = — .
Следовательно, f(t) = —1.
б) Пусть x(t) Х(р). По теореме о дифференцировании оригинала
получаем изображения производных функции x(t):
x\t) рХ(р) - х(0) = рХ(р),
р2Х(р) —рх(0) — х'(0) =р2Х(р).
Так как
2t-2^ 2	2_2(1~P)
то приходим к операторному уравнению
р2Х(р) - 2рХ(р) + 2Х(р) =
р
из которого находим изображение X (р) частного решения дифференцй-
ального уравнения:
х(. = 2(1 ~р)
р2^ -2р+2)
510

Методом неопределенных коэффициентов находим разложение этой дро-
би в виде суммы дробей, являющихся оригиналами элементарных функ-
ций (см. § 2 этой главы):
2(1 -Р)	= 1 _	1	= J_ _	1
р2(р2 - 2р + 2) Р р2 - 2р + 2 р2 (р - I)2 + 1
Следовательно, Х(р) «т- t — sintf • е*.
в) Пусть x(t) Х(р). Тогда
#"(£) = р2Х(р) — px(G) - д/(0) = р2Х(р) -р-2,
x"'(t) = р3Х(р) - р2х(0) - рх'(О) - х"(0) = р3Х(р) - р2 - 2р - 4.
Изображением правой части уравнения будет функций —. Отсюда
р — 2
получаем операторное уравнение
р3Х(р) - р2 - 2р - 4 - р2Х(р) + р + 2 = —Ц.
р z
Решив его относительно функции Х(р), получим Х(р) = —Цг и, следо-
р — 2
вательно, x(t) = e2t.	•
8.3.2.	Найти общее решение уравнения х" —2х' + х = е*.
Q Выберем произвольные начальные условия задачи Коши. Пусть
я(О) = ci и дг'(О) = с2. Пусть теперь x(t) Х(р). Тогда
x'(t) -т» рХ(р) - а и x"(t) -т» р2Х(р) - cip - с2.
Так как е* -г> —,
р-Г
вид
р2Х(р) - cip - с2 - 2рХ(р) + 2ci + Х(р) =
Находим отсюда Х(р):
। С2 Cl	1
ri ~ —I+	+
Следовательно, решением дифференциального
функция	..
x(t) =	+ с21ег + ^t2el
то соответствующее операторное уравнение имеет
1
Р- 1*
уравнения будет
(здесь с2 = с2 - ci).
Средствами операторного исчисления решить линейные (однородные и
пеоднородные) дифференциальные уравнения (всюду х =
8.3.3.	xf + Зх = 0, я(0) = 2.
8.3.4.	х1 — 4х = 1 — 4^, я(0) = 1.
8.3.5.	х1 + х = 2 cos t, я(0) = 0.
8.3.6.	х" + 4дг' — Зх = 0, я(0) = 3,	ж'(0) =	—3.
8.3.7.	х" - 6х' + 9х = 0, ж(0) = 1,	а/(0) =	2.
511

8.3.8.	х" + 4х = 0, х(О) = 1, х'(О) = 6.
8.3.9.	х" + х'-2х=1, х(О) = О, а;'(О) = -2.
8.3.10.	х" — За;' +	10а; = 9sint — 3cost, а;(0) = 0, а;'(0) = — 2.
8.3.11.	х" - 4а;' 4-	4а;	= 4t,	а;(0) = 4, а;'(0) = 7.
8.3.12.	х" + 2х' + x = t + 2, а;(0) = 0, а;'(0) = 2.
8.3.13.	х" - 2а;' +	5а;	= 1 -	t, ж(0) = а;'(0) = 0.
8.3.14.	х" - 2х' +	2а;	= 1,	ж(0) = т'(0) = 0.
8.3.15.	х" -х' = е4, х(0) = а;'(0) = 4.
8.3.16.	х" 4- х = 1, а;(0) = -1, а/(0) = 0.
8.3.17.	х" — х = sint, т(0) = —1, т'(О) = 0.
8.3.18.	x"-x = 2sht, ж(О) = 0, ж'(0) = 1.
8.3.19.	x" + 2x' + x = t, х(0) = т'(0) = 0.
8.3.20.	х" 4- 2х' 4- 10а; = sin3t 4- 6cos3t, х(0) = а;'(0) = 1.
8.3.21.	а;'"4-а;" = 0, а;(0) = 2, а/(0) = а;"(0) = 1.
8.3.22.	х'" 4- х' = 0, ж(0) = 1, т'(0) = 2, т"(0) = 3.
8.3.23.	х'" - За;" 4- За;' - х = 0, а;(0) = 1, а;'(0) = а;"(0) = 0.
8.3.24.	xIV - х" = 0, а;(0) = а/(0) = а;"(0) = 0, т"'(0) = 2.
8.3.25.	х'" - х" = —2е4 sint, а;(0) = 1, а;'(0) = 1, а;"(0) = 2.
8.3.26.	х'" - х' = cos t, х(0) = т'(0) = т"(0) = 0.
8.3.27.	х'" 4- 2т" - За;' = 4е‘, т(0) = х'(0) = а/'(0) = 0.
8.3.28.	xIV-x = t3, т(0) = 3, т'(0) = 1, т"(0) = 3, т"'(0) = 1.
8.3.29.	xIV - 2х" 4- х = 4tsint — 8cost, т(0) = 1, т'(0) = 2, т"(0) = 1,
т"'(0) = 4.
8.3.30.	xIV-x" = l, т(0) = т'(0) = т"(0) = т"'(0) = 0.
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
8.3.31.	х"-х = 0.	8.3.32. х" 4- 2х' 4- х = 1.
8.3.33.	х" 4-а;' - 2а; = Зе4. 8.3.34. х" - 2х' 4- 5а; = 5t2 4-1.
8.3.35.	х"' 4-х' = 2.
8.3.36.	Решить задачу Коши
х" 4- х = /(t),
а;(0) = а;'(0) = О,
где /(t) задана графически (рис. 116).
О Пусть x(t) -4- X(jpi). Тогда x"(t) fPXfj)). Найдем изображение
функции /(t). Это можно сделать, или применив преобразование Лапла-
са к оригиналу /(t), или воспользовавшись теоремой запаздывания ори-
гинала.
Применим второй вариант. Функция /(t) может быть записана в виде:
/(*) = Х(«) - 2x(t - 1) + x(t - 2).
Тогда

/(О
Рис. 116
Рис. 117

Запишем теперь операторное уравнение:
Находим из него неизвестное изображение X (р):
Методом неопределенных коэффициентов (или же используя теорему
о свертке) находим разложение дроби ——---- в сумму дробей
р(р2 +1)
1 _ р
р р2 + г
Следовательно,

Еще раз используя теорему запаздывания, находим искомый оригинал
f(f) изображения Х(р):
f(f) = (1 - cos t)x(t) - 2(1 - cos(i - l))x(t - 1) + (1 - cos(t - 2))x(i - 2). •
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
8.3.37.	х1 + х = x(t - 1), я(0) = 0.
8.3.38.	х” — х' = f(t), я(0) = ж'(О), функция f(t) задана графиком
(рис. 117).
8.3.39.	х” + х1 = f(t),	ж(0) = 1, ж'(О) = 0, функция f(t) задана
графиком (рис. 118).
8.3.40.	х"+4х = f(t), ж(0) = ж'(О) = 0, функция f(t) задана графиком
(рис. 119).
8.3.41.	х” — х = f(t), ж(0) = д/(0) = 0, функция f(t) задана графиком
(рис. 120).
П Сборник задач по высшей математике. 2 курс

Рис. 118	Рис. 119
8.3.42.	Найти решение задачи Коши tx" + tx' — х = 0,	а;(0) = О,
х'(О) = 1.
Q Пусть x(t) о Х(р). Тогда
x'(t) -т» рХ(р),
x"(t) = р2Х(р) — х'^О) = р2Х(р) — 1.
Цалее, по теореме о дифференцировании изображения находим изобра-
жения функций tx'(t) и tx”(t):
tx'^t) + -^(рХ(р)) = -Х(р)-рХ'(р),
tx"(t) (р2Х(р) - 1) = —2рХ(р) — р2Х'(р).
Следовательно, операторное уравнение примет вид:
—2рХ(р) - р2Х'(р) - Х(р) - рХ'(р) - Х(р) = О,
(р2 + р)Х'(р) + 2(р + 1)Х(р) = О,
откуда
рХ'(р) + 2Х(р) = 0.
В данном случае операторное уравнение представляет собой дифферен-
циальное уравнение. Однако порядок его ниже, чем порядок исходного
уравнения. Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя обе ча-
сти полученного равенства, имеем:
=	откуда In X = -21пр + 1пС, т.е. Х(р) =-^
X	Р	pz
514

Оригиналом для этой функции служит функция x(f) = С • t. Исполь-
зуя начальное условие я/(0) = 1, находим С = 1. Окончательно имеем
=t.	•
Найти частные решения дифференциальных уравнений средствами опе-
рационного исчисления:
8.3.43.	tx" - Зх1 = 0, ят(О) = 2, х'(0) = 0.
8.3.44.	^" + 2^=0, дг(О) = 1, ж'(0) = 0.
8.3.45.	tx" + tx1 + х = 0, х(0) = 0, х'(0) = 1.
8.3.46.	Решить систему линейных уравнений
Х'У,У 2е\' а:(0) = у(0) = 1.
у + х = 2ег,
к
Q Пусть x(t) Х(р) и y(t) -г> У(р). Учитывая, что ег	—у, полу-
чаем операторную (или изображающую) систему линейных относительно
функций X (р) и Y (р) уравнений
рХ(р)-1 + У(р) = -11)
* рУ(р)-1 + Х(р) = ^р
рХ(р) + У(р) = £±|,
Х(р)+рУ(р) = £±|.
Решая эту систему, получим X (р) = Y (р) = ~	• По таблице изображе-
ний находим теперь x(t) = е* и y(t) = еУ	•
Решить системы уравнений:
8.3.47. <	х1 у	0	*(0) + х = 0,	= 1, у(0) = -1.
8.3.48. <	х'	— За: — 4у = 0,	а:(0) = у(0) - 1.
	У	— 4х + Зу = 0,	
8.3.49. <	х'	+ х - у = 2,	а;(0) = 0, у(0) = -1.
	1У	+ х + у = 2t,	
	’ х'	+ у + z = 0,	
8.3.50.	<	у'	+ х + z = 0,	а;(0) = 1, у(0) = 0, z(0) = -1.
	z'	+ х + у = 0,	
	[ х’	+ у = t,	
8.3.51.	у'	+ z = t2 + 1,	ж(0) = 1, у(0) = z(0) = 0.
		+ х = 2t+ 1,	
8.3.52. <	х'‘	' - 2у' - х = 0,	,	ж(0) = 0, а:'(0) = у(0) = 1.
	[у	+ х — х — у =	е ,
515

а;(0) = ж'(0) = 1, г/(0) =
t
l(t — r)x(r) dr = sint
8 3 53	12х" ~х' + Qx~ У" -У1 ~Sy = ®,
|2д/' + хг + 7х - у” + у1 - 5у = 0,
= у'(0)=0.
8.3.54.	Решить интегральные уравнения:
t
a)	Jе1~тх(т) dr = t;	б)
о	о
О а) Интеграл, стоящий в левой части уравнения, представляет собой
свертку функций ег Пусть x(t) X (р). Тогда по теореме о свертке
получим изображение интеграла
t
Jе*~тх(т) dr = е* * x(t)	jX(p).
о
Составим теперь операторное уравнение:
-^j-X(p) = 4, откуда Х(р) =	= | - 4-
р — 1	pz р pz
Следовательно, x(f) = 1 — t
б)	Пусть x(t) Х(р). По таблице изображений находим
\ и sint-r> * .
р2	р2 + 1
По теореме о свертке получим изображение интеграла:
t
P
о
Составляем операторное уравнение
X(p) - -lx(p) = -jl-.
p2	p2 +1
Решая его относительно функции Х(р), находим
Х(п\ = Р2 =к( 1	.	1 А
(р2 - 1)(р2 + 1)	2 Ур2 - 1 р2 + 1/
Находя оригинал для функции Х(р), получаем решение исходного инте-
грального уравнения x(t) = i(sht + sint).	•
А
Решить
8.3.55.
8.3.56.
интегральные уравнения:
t
Jе*~тх(т) dr = sint
о
t
J cos r • x(t — r)dr = sin t
о
516

t
8.3.57.	Jcos(t —	dr = t2.
о
t
8.3.58.	Je2^~u^x(u) du = t2e*.
о
t
8.3.59.	J\t — t)x(t) dr — x(t) = — cos t.
о
t
8.3.60.	x(t) = £е*~тх(т) dr + cost
о
t
8.3.61.	J(t - t)2x(t) dr — 2x(t) + 2ef = 0.
о
t
8.3.62.	x(t) — 2 J[(t — u) — sin(tf — u)] x(u) du = t.
о
t
8.3.63.	y*(l - 2(t - r))x(r) dr - x(t) = 2(1-Ft — e*).
о
t
8.3.64.	x(t) = 1 + J(t - u)3x(u) du.
о
t
8.3.65.	j sh(t — t)i(t) dr + x(t) = t.
0
t	t
8.3.66.	fx(u)du + J\t — u)ar(u) du + x(t) = t.
о	о
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения средствами операционного исчи-
сления:
8.3.67.	х"	+ Ъх' = е\	ж(0) = 0, х'(0) = —1.
8.3.68.	х"	- 4а/ + х =	1 - 2ef, ж(0) = 2, а:'(0) = 1.
8.3.69.	х"	+ 2х' + x =	t2, ®(0) = 1, а/(0) = 0.
8.3.70.	х"	+ х = cost,	х(0) = —1, гг'(О) = 1.
8.3.71.	х"'-х' + 3х = 12 + 3sint-2cost, я(0) = 4, а/(0) = 1, а;"(0) = 0.
8.3.72.	х" + х = 1, а;(0) = -1, а/(0) = 0.
8.3.73.	х"-х' = 1е*, ®(0) = а/(0) = 0.
8.3.74.	х"1 - 2х" + х' = 4, ж(0) = 1, а/(0) = 2, х"(0) = -2.
8.3.75.	х'" + х’ = e2t, я(0) = а;'(0) = а:"(0) = 0.
8.3.76.	xIV - х = 1, ®(0) = 0, а/(0) = 3, ®"(0) = -1, ж"'(0) = 1.
8.3.77.	х'" + х = 1, ®(0) = 2г'(0) = ®"(0) = 0.
517

8.3.78.	х' — х = f(t), я(0) = 0, функция f(t) задана графиком (см.
рис. 121).
Найти общие решения дифференциальных уравнений средствами опера-
ционного исчисления:
8.3.79.	х" - 4а/ = t.	8.3.80. х" + 2дг' + х = t2 + 5t + 4.
8.3.81.	х" + x = 2cost	8.3.82. хт - х" = е*.
8.3.83.	xIV — 8х" + 16а: = cost.
Решить интегральные и интегро-дифференциальные уравнения:
8.3.84.	t	t Уch(£ - и)х(и) du = sht. 8.3.85. Jchu • x(t — u) du = t. 0	0 t
8.3.86.	f x(r)x(t — r)dr = i sin t — cos t. J	& 0
8.3.87.	t x(t) —t= J(t — t)2x(t) dr. 0
8.3.88.	t Jcos(t — u)x(u) du — x(t) + 1 + ^ = 0. 0
8.3.89.	t 2x(t) — 2 = у sin 2(t — t)x(t) dr. 0
8.3.90.	t дг'(^) + J x(r}dr = 1, #(0) = 0. 0
8.3.91.	t x'(t) + J(t — r)x(r) dr = 1 + t, #(0) = 0. 0
Решить системы дифференциальных уравнений:
8.3.92.
х' — 2х + у = 3 — 2t,	/л. л
, , , 0 Л , .	®(0) = о, 1/(0) = 2.
у' 4- х + 2у = 4 +1,
518

8.3.93.
8.3.94.
8.3.95.
8.3.96.
8.3.97.
x' + x-y = sint,
| у'+ 2а: = sin/,	®(0) = 0, у(0) = 1.
, x" + »' - x = 4 - I2,	=	=
x—2y + 2x = 2t2,
' x' - у + z = 0,
< y‘ - z - x = -1,	x(0) = 1, 7/(0) = 2, z(0) = 1.
z1 — x + у = 1,
{x1 = 2x - у + г,
у' = x + z,	x(fi) = 2/(0) = 1, г(0) = 0.
z1 = —Зх + у - 2г,
' X1 + y + z = 2e* + 3,
< y' + x + z — 2ef + 2,	ж(0) = 1, 2/(0) = 3, г(0) = 1.
г' + x + у = 2е* +1,
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Найти изображения следующих оригиналов:
a) /(t) = t cos21;	6) /(t) = 1 ~ е3*.
2.	Найти изображение периодической функции с периодом Т = 1, задан-
ной на отрезке [0,1] равенством f(t) = 1 — t.
3.	Найти оригиналы по следующим изображениям:
а)	б) = (X<
4.	Решить дифференциальное уравнение х" + х' — 2х = е*, ж(0) = 1,
ж'(0) =0.
t
5.	Решить интегральное уравнение x(t) = у +	~	dT-
о
Вариант 2
1.	Найти изображения следующих оригиналов:
а) j(t) = Г sin 2*;	б) f(t) =-------7-•
с
2.	Найти свертку и ее изображение для функций f(t) = t2, g(t} = sint
519

3.	Найти оригиналы по следующим изображениям:
4.	Решить систему дифференциальных уравнений
Р + -» = «.	1(0) = 9(0) = 0.
2/ +# + ?/ = 0,
t
5.	Решить интегральное уравнение x(t) = sht — Jch(t — т)я(т) dr.
о
Вариант 3
1.	Найти изображения следующих оригиналов:
a)	f(t) = tch4t;
б)	функция f(t) задана графически (рис. 122).
2.	Найти свертку и ее изображение для функций f(t) = e2t, g(f) = cos2t.
3.	Найти оригиналы по следующим изображениям:
4.	Решить дифференциальное уравнение х" + 4я = е*, ж(0) = ж'(0) = 0.
t
5.	Решить интегральное уравнение x(t) —t = jsin(t — и) • x(u) du.
Рис. 123
Рис. 122
Вариант 4
1.	Найти изображения следующих оригиналов:
a)	f(t) = tsin2 3t;
б)	функция f(t) задана графически (рис. 123).
2.	Найти свертку и ее изображение для функций f(t) = cost, g(t) = cos3t.
520

3.	Найти оригиналы по следующим изображениям:
>'»	•> -» ЙВ
4.	Решить систему дифференциальных уравнений
х' - Зу = О,
у1 + х - 2у = О,
х(0) = 2/(0) = 0.
t
5.	Решить интегральное уравнение Jе*~их(и) du = te2t.
о

ОТВЕТЫ
Глава 1. Ряды
§ 1. Понятие ряда. Ряды с положительными членами
1.1.6. S,
1.1.2. Sn = 0 — при четном n; Sn = 1 — при нечетном п; lim Sn не
п—>оо
существует; ряд расходится. 1.1.3. Sn = п2; lim Sn = +оо; ряд расходится,
п—>оо
1.1.4. Sn = {2к + 2 при п = 2к + 1; — 2к при п = 2к}; lim Sn = оо; ряд
п—>оо
расходится. 1.1.5. Sn = 2П — 1; lim Sn = +оо; ряд расходится,
п—>оо
7^); lim Sn = ряд сходится.
2 / п—>оо	О
n~ tv); lim = I; ряд сходится. 1.1.8. Sn = ln(n + 1);
2n + 1 / n—>oo	2
lim Sn = +oo; ряд расходится. 1.1.10. lim an = i; ряд расходится.
n—>oo	n—>oo	2
1.1.11. lim an = 0. 1.1.12. lim an = oo; ряд расходится. 1.1.13. lim an = ?;
n—>oo	n—>oo	n—>oo	2
ряд расходится. 1.1.14. lim an = 0. 1.1.15. lim an = oo; ряд расходится,
n—>oo	n—>oo
1.1.16. lim an не существует; ряд расходится. 1.1.17. lim ап = е3; ряд
2 '	/5\п
расходится. 1.1.19. Сходится; --—. 1.1.20. Расходится; I- I .
п2
1.1.21. Расходится; -1=. 1.1.22. Сходится; Дг. 1.1.24. Расходится;
у/п	п2	71
1	п	1
1.1.25. Сходится;--1.1.26.	Расходится; —.	1.1.27. Расходится;	—.
п2
1.1.28. Расходится; 1.1.29. Сходится; 1.1.30. Сходится; -Дг-
•= —
П2	Пб
11	8
1.1.31. Расходится; —. 1.1.32. Сходится; ——. 1.1.33. Расходится; —.
п2
1.1.34. Сходится; . 1.1.36. Расходится; 2. 1.1.37. Сходится;
1.1.38. Сходится; 0. 1.1.39. Сходится; i. 1.1.40. Расходится;
3	2
1.1.41. Расходится; 1.1.42. Сходится; 1.1.44. Расходится; е.
2	о
1	Г2	1
1.1.45.	Сходится; 1.1.46. Сходится; а/-. 1.1.47. Сходится; —.
2	у о	е2
1.1.48.	Сходится; 0. 1.1.49. Расходится; 1.1.51. Расходится; 2 Vina;; +00.
1.1.52. Расходится; lnln(a; + 1); +оо. 1.1.53. Сходится; —
ln(a; + 1) m2
1	1	хр~г
1.1.54. При р > 1 сходится; —--—р При Р < 1 расходится; -—
522
1

-l-oo. При р = 1 расходится; In х\ +оо. 1.1.55. Расходится; необходимый
признак; 1.1.56. Сходится; признак Даламбера; 1.1.57. Расходится; 1-й
о	о
(3 \ п	1
- j . 1.1.58. Расходится; 2-й признак сравнения; —р.
пЗ
1.1.59. Сходится; признак Коши; 1.1.60. Сходится; 2-й признак сравнения;
1	ч
—. 1.1.61. Расходится; необходимый признак; е . 1.1.62. Расходится;
п3
3	2	о
интегральный признак; ^(1па:)3; +оо. 1.1.63. Сходится; признак Коши;
2	12Э
1.1.64. Расходится; 2-й признак сравнения; 1.1.65. Сходится; 2-й признак
сравнения; 1.1.66. Расходится; необходимый признак; +оо.
п2
3
1.1.67. Расходится; признак Даламбера; —1.1.68. Расходится; 1-й признак
v5
1	3
сравнения; —. 1.1.69. Расходится; признак Коши; 1.1.70. Расходится;
2
признак Даламбера; 3. 1.1.71. Sn = n; lim Sn = +оо; ряд расходится,
п—>оо
1 TL
1.1.72. Sn =-т,— • n; lim Sn = —оо; ряд расходится. 1.1.73. Sn = (—1)п • п;
2	п—>оо
lim Sn = оо; ряд расходится. 1.1.74. Sn = т fl — Л-); lim Sn = т; ряд
п->оо	4\	5 / n->oo	4
сходится. 1.1.75. Sn = {5к при п = 2к] 5к + 2 при п = 2к + 1}; lim Sn = +оо;
п—>оо
ряд расходится. 1.1.76. Sn = 1--—г; lim Sn = 1; ряд сходится.
(n + I)2 п-»°°
1	3
1.1.77.	lim ап = -; ряд расходится. 1.1.78. lim ап = In ряд расходится.
П—>ОО	О	п—>оо	2
1.1.79.	lim ап = 1; ряд расходится. 1.1.80. lim ап = ?; ряд расходится,
п—>оо	п—>оо	2
1.1.81.	lim ап не существует; ряд расходится. 1.1.82. lim ап = 0.
п—>оо	п—>оо
1.1.83.	lim ап — 2; ряд расходится. 1.1.84. lim ап = 0. 1.1.85. Расходится;
п—>оо	п—>оо
тт~. 1.1.86. Сходится; 1.1.87. Расходится; ± 1.1.88. Сходится; ff) .
2п	3	п	\5/
12	1
1.1.89.	Расходится; —. 1.1.90. Расходится; -. 1.1.91. Сходится;-
п2
13	1
1.1.92.	Сходится; —. 1.1.93. Расходится; —1.1.94. Расходится; —.
п2	2у/п	п
2	11
1.1.95.	Расходится; —. 1.1.96. Расходится; —. 1.1.97. Расходится; —.
f V	f1	И
1.1.98.	Сходится; 1.1.99. Расходится; . 1.1.100. Сходится; Ц=.
п2	V2/	^/5
О
1.1.101.	Расходится; 1.1.102. Сходится; 0. 1.1.103. Расходится; +оо.
3	3
1.1.104.	Расходится; 1.1.105. Расходится; +оо. 1.1.106. Сходится;
е	4
1.1.107.	Расходится; 1.1.108. Сходится; 1.1.109. Сходится;
2	о	У
1.1.110.	Сходится; 0. 1.1.111. Сходится; 1.1.112. Сходится; |.
е	о
523

1.1.113.	Расходится; i In2 х\ +оо. 1.1.114. Расходится; i lnln(2rr + 1); +оо.
Z	Z
1.1.115.	Расходится; In In In х\ +оо. 1.1.116. Сходится; — —£—; 1	.
In In х In In 2
о
1.1.117.	Расходится; 2-й признак сравнения; —. 1.1.118. Сходится; признак
Даламбера; 0. 1.1.119. Сходится; признак Коши; 1.1.120. Сходится;
О
интегральный признак; —	1.1.121. Сходится; 2-й признак
In гг In 2
3	1
сравнения; —. 1.1.122. Расходится; 1-й признак сравнения; —.
п	п
2
1.1.123.	Расходится; необходимый признак; cos-. 1.1.124. Сходится;
о
27
признак Коши; 0. 1.1.125. Расходится; признак Даламбера; —.
о
1.1.126.	Расходится; признак Даламбера; 1.1.127. Расходится;
О
интегральный признак; ^1п1п(3гг — 1); +оо. 1.1.128. Расходится;
о
к
необходимый признак; 2. 1.1.129. Расходится; признак Коши;
О
1.1.130.	Расходится; 2-й признак сравнения; 1.1.131. Сходится; 2-й
Зп
2
признак сравнения; —. 1.1.132. Нет. 1.1.133. а) Да; б) да; в) нет; г) нет.
п2
1.1.134.	а) Да; б) нет. 1.1.135. а) Нет; б) нет; в) нет. 1.1.136. а) Сходится.
б) может сходиться, а может расходится; в) расходится. 1.1.137. а) Нет;
б) нет; в) нет. 1.1.138. Расходится; 2-й признак сравнения;
1.1.139. Расходится; Дп * > 1. 1.1.140. а) Признак Даламбера не
dn
о
применим, б) Сходится; -. 1.1.141. ап = —Ъп = 2 + (—1)п. 1.1.142. Признак
оо
Даламбера; 0. 1.1.143. 0. Указание. Исследовать ряд 52 -$”•
П=1
§ 2. Знакопеременные ряды
1	2
1.2.7. 1-й признак сравнения; . 1.2.8. 2-й признак сравнения; —.
1.2.9. Интегральный признак; 2\/lnInn; +оо. 1.2.10. 2-й признак сравнения;
77-. 1.2.11. 2-й признак сравнения; 1.2.12. Признак Даламбера; 0.
2п	п2
1.2.13. Интегральный признак; — 7^—; 7-^7-. 1.2.14. Признак Даламбера; i
In n In 2	2
1.2.15. Необходимый признак; +оо. 1.2.16. Признак Даламбера;
О
3	е
1.2.17. Необходимый признак; 1.2.18. Признак Коши; 1.2.19. Сходите;
абсолютно; 2-й признак сравнения; . 1.2.20. Расходится; необходимый
признак; 1. 1.2.21. Расходится; признак Даламбера; +оо. 1.2.22. Сходится
условно; 2-й признак сравнения; —. 1.2.23. Сходится абсолютно; признак
524

Коши; In 2. 1.2.24. Сходится абсолютно; 1-й признак сравнения;
п
1.2.25.	Сходится условно; интегральный признак; 2\/1п п; +оо.
1.2.26.	Расходится; необходимый признак; In 2. 1.2.27. Сходится абсолютно;
признак Даламбера; 1.2.31. Расходится; необходимый признак; i
2	2
1.2.32.	Сходится абсолютно; признак Коши; —-— = —. 1.2.33. Сходится
<5	<5
абсолютно; признак Даламбера; -—-—- =	1.2.34. Сходится условно; 2-й
|2 + г| Уб
признак сравнения; -1=. 1.2.35. Сходится абсолютно; признак Коши;
у/п
2	2	3 —г vlO
—• =	1.2.36. Расходится; признак Коши; —-— = ——. 1.2.37. Сходится
|3г|	3	2	2
абсолютно; 2-й признак сравнения; 4т- 1.2.38. 2-й признак сравнения;
п	у/п
3	2
1.2.39. Интегральный признак; -(Inn+ 2)3. 1.2.40. 1-й признак сравнения;
1.2.41. 2-й признак сравнения; 4- 1.2.42. Признак Даламбера;
уп	п	2.
1	3
1.2.43. 2-й признак сходимости; —. 1.2.44. Признак Коши; 1.2.45. 1-й
П2
признак сравнения; 1.2.46. Необходимый признак; +оо. 1.2.47. Признак
Даламбера; +оо. 1.2.48. Признак Коши; е2. 1.2.49. Необходимый признак;
In 1.2.50. Расходится; необходимый признак; у 1.2.51. Сходится
2	2
абсолютно; признак Даламбера; 1.2.52. Сходится абсолютно; 2-й признак
о
сравнения; —. 1.2.53. Расходится; признак Коши; +оо. 1.2.54. Сходится
Зпуп
3
условно; 2-й признак сравнения; —. 1.2.55. Сходится абсолютно; 1-й признак
сравнения; 1.2.56. Сходится абсолютно; интегральный признак;
(2 + lnn)“2 1
------------;	1.2.57. Расходится; необходимый признак; +оо.
2 о
1.2.58. Сходится условно; 1-й признак; у 1.2.59. Сходится абсолютно,
признак Коши; 1.2.60. Расходится; признак Даламбера;	.
о	3 о
1.2.61. Сходится условно; 2-й признак сравнения; i. 1.2.62. Сходится
абсолютно; признак Даламбера; —-— = -у. 1.2.63. Сходится абсолютно;
о	О
2-й признак сравнения; -у. 1.2.64. Сходится условно; 2-й признак
п2
1	е
сравнения; —. 1.2.65. Сходится абсолютно; признак Коши;
о
1.2.66. Расходится; необходимый признак; 4. 1.2.67. а) Нет; б) да.
525

1.2.68. Сходится абсолютно; признак Даламбера; i. 1.2.69. Расходится;
необходимый признак; |an| = 1. 1.2.70. Нет. 1.2.71. а) Нет; б) нет; в) нет;
г) да. 1.2.73. Расходится (см. задачу 1.2.726). 1.2.74. а) Расходится.
б) Сходится абсолютно, в) Расходится, г) Сходится условно, д) Сходится
условно. 1.2.75. Указание. 1	2. 1.2.76. Указание. 2апЪп «п +&п-
§ 3.	Степенные ряды
1.3.7.	(—оо,+оо); 0. 1.3.8. (—оо,+оо); 0. 1.3.9. {0}; +оо при х 0.
1.3.10.	{—1}; +оо при х —1. 1.3.11. (—1,1); |®|. При х = — 1 ряд расходится;
необходимый признак; +оо. При х = 1 ряд расходится; необходимый признак;
-|-оо. 1.3.12* (2,4); (3 — х)2. При х = 2 и х = 4 ряд расходится; 2-й признак
сравнения; 1.3.13. [—1,1); |я|. При х = — 1 ряд сходится условно; 2-й
у/п
признак сравнения; признак Лейбница. При х = 1 ряд расходится; 2-й
признак сравнения; 1.3.14. (—1,1]; |я;|. При х = — 1 ряд расходится; 2-й
признак сравнения; При х = 1 ряд сходится условно; 2-й признак
сравнения; признак Лейбница. 1.3.15. {0}; 0 при х = 0; +оо при х 0.
1.3.16. {3}; 0 при х = 3; +оо при х 3. 1.3.17. (—оо, +оо); 0 при
х 6 (—оо,-|-оо). 1.3.18. (—оо,-|-оо); 0 при х 6 (—оо,+оо). 1.3.19. (—1,1); х2.
При х = — 1 и при х = 1 ряд расходится; необходимый признак; е.
(Х-2)2	г-	г-
1.3.20.	(2 — у2,2 + v2); ------. При х = 2 — у2 и при х = 2 4- у2 ряд
расходится; необходимый признак; \/2е. 1.3.21. (0,6); признак Даламбера;
|а; — 3|
—-—. При х = 0 ряд расходится; необходимый признак; lim ап не
О	п—>оо
существует. При х = 6 ряд расходится; необходимый признак; i
о
1.3.22.	признак Даламбера; 2|ж|. При х = — ряд сходится условно;
2-й признак сравнения; —признак Лейбница. При х = | ряд расходится;
Vn	2
2-й признак сравнения; 1.3.23. [—1,1]; признак Коши; 0 при |а;|	1; +оо
Vn
при |а;| > 1. При х = ±1 ряд сходится абсолютно; признак Коши; 0.
1.3.24.	[1,3]; признак Даламбера; |а? — 2|2. При х = 1 и при х = 3 ряд сходится
условно; 2-й признак сравнения; признак Лейбница. 1.3.25. (—1,1);
признак Коши; |я|4. При х = ±1 ряд расходится; необходимый признак; е.
1.3.26. (1,3); признак Даламбера; (2 — х)2. При х = 1 и при х = 3 ряд
расходится; 2-й признак сравнения; 1.3.27. [—2,0); признак Даламбера;
|я + 1|. При х = — 2 ряд сходится условно; интегральный признак; Inina;; +оо;
признак Лейбница. При х = 0 ряд расходится; интегральный признак; In In х;
-hoo. 1.3.28. (—1,1]; признак Даламбера; |гг|. При х = — 1 ряд расходится; 2-й
526

признак сравнения; i. При х = 1 ряд сходится условно; 2-й признак
1	-|- 11
сравнения; —; признак Лейбница. 1.3.29. [—3,1]; признак Даламбера; —-—.
При х = — 3 и при х = 1 ряд сходится абсолютно; 2-й признак сравнения; Дг.
п
1.3.30. [—1,1]; признак Даламбера; 0 при х G [—1,1]; +оо; при |я| > 1. При
х = ±1 ряд сходится абсолютно; 1-й признак сравнения; 1.3.31. [—2,2];
х2
признак Даламбера; —. При х = ±2 ряд сходится абсолютно, интегральный
признак; — —i—; —i—. 1.3.32. (—2 — \/3, —2 + л/З); признак Даламбера;
21п х 2 m х
|я + 2|2	/-
-------. При х = — 2 — уЗи при х = —2 + уЗ ряд расходится; необходимый
«5
признак; 1.3.33. (—2,0); признак Коши; |я + 1|. При х = — 2 ряд
V 3
расходится; необходимый признак; lim ап не существует. При х = 0 ряд
п—>оо
расходится; необходимый признак; у/ё. 1.3.34. {—7}; признак Даламбера; +оо
при х —7. 1.3.35. (—оо,+оо); признак Коши; 0 при всех х G (—оо,+оо).
1.3.36. (—оо,+оо); признак Даламбера; 0 при всех х G (—оо,+оо). 1.3.37. {6};
признак Коши; 0 при х = 6; +оо при х 6. 1.3.38. {г}; признак Даламбера;
+оо при z i. 1.3.39. \z + 2г| < 1; признак Даламбера; \z + 2г|2. 1.3.40. С;
признак Коши; 0 при всех z G С. 1.3.41. |z — г| < 3; признак Коши; —-—.
«5
1.3.42. |z| < 1; признак Даламбера; |z|. 1.3.43. [1,3]; |я — 2|. При х = 1 и при
х = 3 ряд сходится абсолютно; 2-й признак сравнения; -Дт. 1.3.44. Г—1,
п2	L 3 3/
ЗЗ * 5 |ж|5- При х = — i ряд сходится условно, 2-й признак сравнения; i; признак
о	71
Лейбница. При х = i ряд расходится; 2-й признак сравнения; 1.3.45. {0};
0 при х = 0; +оо при х 0 0. 1.3.46. (—оо, +оо); 0 при всех х G (—оо, +оо).
1.3.47. (—оо,-|-оо); 0 при всех х е (—оо,+оо). 1.3.48. {—1}; 0 при х = —1; +оо
при х 0 —1. 1.3.49. [—1,1]; 0 при |я|	1; +оо при |я| > 1. При х = ±1 ряд
сходится абсолютно; признак Коши; 0. 1.3.50. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да;
д) да. 1.3.51. а) Расходится, б) Ничего, в) Ничего. 1.3.52. а) Ничего.
б) Сходится абсолютно, в) Ничего. 1.3.53. а) Ничего, б) Расходится.
в) Сходится абсолютно. 1.3.54. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.
1.3.55. (1 —	1 + i). При х = 1 ± i ряд расходится; необходимый признак;
1.3.56. В каждой точке интервала (zi;z2) ряд сходится абсолютно. В
Vе
точках прямой (zi; Z2) за исключением отрезка [zi; Z2] ряд расходится. О
сходимости в остальных точках ничего сказать нельзя.
527

§ 4. Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке
1.4.10.
1.4.12.
1.4.15.
» (—l)nsinna:	« (—l)n+1 sinna:
1  4 Л-------------• 1-4.8. -3+ Е ----------------•
П=1
sin(2fc - 1)а:	_5 , 18 sin(2fc - 1)а:
2к - 1 ’	2 + ’г 2к - 1
,_n„cos™ г 4 13 I _ 1 f Vх' 1.4.14.
п2	2	(2/г — I)2	6
тг 1 « cos (2/г - 1)а:
8	*4=1 (2/г — I)2 '
2 sin 2х , 3 sin Зх \
* k=i
2	00
V+4E
п=1
тг2
1.4.16. 1 -
о
4 17 2 sin 7га ( sin а:
I 2 п2 2 ' о2 2	-**Г
\ 1 СЬ 2 CL О CL	/
1.4.21. a) 2 E (-l)n+1^£2^; 6) £ Sln2na:
n=l	П-’
. тг 4 ££ cos(2fc — l)a:
B) — — - 4 2 (~l)nC0Snx'	4
3 n=i
2n
m 1 7Г 2 cos(2fc - l)a:
, + (a_1)2 ;
, . . + ^ + 2 £(_i)-“ae
n	о n=l	n
1 • Т1ТГХ
Sln ”2~	1	(—l)n+1 sin2nTra:
П----2~- 1.4.26. 1 E '—n--------------
n=l
(2k — 1)тга:
cos 2	1 4 28 1 - 1 V cos4(2fc- 1)тга;
(2fc — l)2	’ ‘ ’ ’8	(2fc — l)2	‘
12 £2.	1) cos ~з-	i о v£. (—l)ncos2nTr®
1.4.29. 6 + Ц E --------2 — • 1-4.30. i + 4 E —-—2--------------
7Г n=l	TL	u 7Г n=l	П
, . Q1 _	8 sin(2fc - l)z	a + b 2(a - b) °° sin(2fc - l)z
1.4.31. 7 - - E u-i • 1-4.32.	— E
1.4.33. E COs(2fe~1)a:. 1.4.34.	(J_ + acos| _
^*=1 (2/г — l)2	n \2a	1 - a2
i л ок 8a ( cos a: , cos 3a: , cos 5a: ,	\
i.4.35. —
‘•‘•“•J-wg (24_ц.
1.4.25.
1.4.27.
ae
7Г
о oo
i-4e
7Г fc=l
2k — 1
a cos 2a:
o2 rt2
2 —a
32
cos(2fc — l)a:
52
। (_i)nsinna:
n
6) j. 1.4.39. 2 £(-l)n+1^^£. 1.4.40. Ц E
n=l	n=l
. 1.4.37.	1.4.38. a)
О	о
(_l)nsinn^
П
(2k — 1)тпг
cos----------—
1.4.41. 1- 4Lf —_________L_
2	(2k-I)2
2	oo (-1)"COS^
. 1.4.42. %	E ----------—
° 7Г n=l
n2
528

1.4.43.
i + 2 E(-i)n-£F^ + 2 E(-i)	2
П + 1 n=l	П
£ + ^((-i)"-i)) sinns;
nsinnz
1.4.44. a) | £ (-l)n+1
n=l
4 oo (2k — 1) sin(2fc — 1)я
6	) cosax = — — >J ------------------ при четном a,
7	S=i a2 —(2k —I)2
cosax = — ^ 52 S*nпри нечетном a.
n k=i a2 - (2k)2
4a °© cos(2fc — 1)я
1.4.45.	sin az = — V —------------если a — четное;
я fc=ia2-(2fc-l)2’
2 , 4a cos 2kx
Slnax = ™ + V 52 2 _ , ,.2, если a — нечетное.
k—i a	yZKj
l~/(-l)n-l	(-1)"\. „
jr E I —ГЗ----------sr— I sm2n7rx-
* п=1 \ тг2п3	2n J
,)	, oo 1 - COS 2^2
1.4.47. ( - 4 E —
°	7Г n=l
a2 - (2k - l)2
1.4.46
n2
1.4.48. sh I | + 2/£(-l)n-
n=l
-cos^.
cos^
12  2 2+27rS(-l)
I + П 7Г	n=l
nsin
/2 + п2тг2
Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными
2.1.3. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 2.1.5. а) у = х2 + х — 1; б) у = 1 — i е~3х.
2.1.7. а) у = Зх + С; б) у = 2 In |я| + С. 2.1.8. а) ху' + у = 0;
б) 2хуу' = Зу2 - х2. 2.1.10. и' = - Д0и2. 2.1.11.	= -кт.
2.1.16.	(1 — я)(1 + у) = С. 2.1.17. у/1 — у2 = arcsin х + С.
2.1.18.	х2 + у2 = In Сх2. 2.1.19. у + In |?/| = sin х — х cos х + С.
2.1.20.	у = 1п(1 + Се~х). 2.1.21. у =-—2.1.23. у = (х + I)2.
С + х
2.1.24.	у = (4х + 2)2. 2.1.25. у = 1. 2.1.26.	= “3. 2.1.28. 200 м.
2.1.29.	« 66 мин. 2.1.30. а) у = —Ц-; б) у2 - х2 = 1. 2.1.32. у1 =
х + 1	х
2.1.33.	а) у = 2 sin а; + С; б) у = (^ + 2тг/г) х + С, к € Z. 2.1.34. а) С = —1;
б) С = 3. 2.1.35. f(x,y) = 0. 2.1.37. у = Ina;. 2.1.41. 2^/у + In |j/| - 2-уД = С,
y = Q. 2.1.42. j/= log3(C + З1). 2.1.43. у = -1 + С(а; + 1). 2.1.44. s = Ccost
_2
2.1.45.	“ e-v(j/ + 1) = С. 2.1.46. х + у = ln(C(a; + 1)(у + 1)), у = -1.
о	2х + sin 2х
2.1.47.	у = 5 + Се~х. 2.1.48. v = Ce2t . 2.1.49. у = Се 4
529

2.1.50.	In |tg || = C - 2sin|. 2.1.51. (1 + e*)(l + ey) = C.
у — x
2.1.52.	у sin у — x cos x + cos у + sin x = C. 2.1.53. ctg — = x + C.
x2	л/(3 + ®2)3	1
2.1.54.	у = Се 2 - 1. 2.1.55.	= C. 2.1.56. у = a + Cex.
2 + y2
2.1.57.	у = Csin® - a. 2.1.58. у =	- 1. 2.1.59. у = Csin2 x -
2.1.60.	у = 1 + С %	j,. 2.1.61. у — x + С = Ina;2 + In |j/|.
2.1.62.	4^/x + l + -4- = С, у = 1. 2.1.63. 2y/2 - x2 - arctgu = C.
in2 у
2.1.64.	у = —v-г. 2.1.65. ®2 - 2y2 = 2. 2.1.66. 1 +y2 = —
X + 1	1 - x2
2.1.67.	у = x2 — 2. 2.1.68. у = x, у = 2тг — х. 2.1.69. у2 = (х + З)3.
2.1.70.	2х -arctg2» = 1 -	2.1.71. у = 1п®. 2.1.72. 2у + 1 = 4sin2 х.
2.1.73.	у = ^±4 2.1.74. а) у = 2®3; б) у = -	16	2.1.75. а) у =
i7	102/ ОО
б)	\/х = 2у. 2.1.76. у = Се 2.2.1.77. у =	— или у = -т-г—•
<j X	1 “г X
п	t
2.1.78.	у = С + In |®2 - 1|. 2.1.79. и 817 лет. 2.1.80. N = а • 3?.
t - h
2.1.81.	0,2 км/час. 2.1.82. 45°С. 2.1.83. ® = mi •	‘2 - 41 г.
2.1.84.	2 об/с; « 118 с. 2.1.87. и 1,08 кг. 2.1.88. а) и 35 с; б) и 11 мин.
(Подсчитав количество жидкости, вытекшей из сосуда за время Ai двумя
способами, получим уравнение: — S(h) dh = v(h) dt • S, где S — площадь
отверстия, S(h) — площадь поперечного сечения сосуда, h — уровень
15
жидкости, v(h) — скорость ее истечения, t — время.) 2.1.89. — м/с.
2.1.90.	200; v = -7—^----. 2.1.91. у = Intg (с + |х/(а: + I)3 -
^t + 0,1	V	6	7
х> 1. 2.1.92. a) y = Ce^sinx2dx; б) 5х + 10?/ + С = 31п|10а: - Ьу + 6|;
в) tg | = С (tg | + 1) (1 - tg	; г) у = 1, у = -1, жд/1 — з/2 + уу/1 - х2 =
д) 4у — 6х + 1 = Се-2х; е) ctg = а? + С, у — х = 2тг/с, к G Z.
§	2. Однородные дифференциальные уравнения
2.2.2.	у2 + 2ху = С. 2.2.3. у2ех = Сх. 2.2.4. у = 2a:arctga:.
<Т» ____________ 1
2.2.6.	у = 1 + In|С(® - 1)|, С #0. 2.2.8. х + у\ъСу = 0.
2.2.9.	(® - I)2 + у2 = 1. 2.2.10. у=О^--^~. 2.2.11. у2 = 2х2 In g.
2.2.12.	е~х +1пСа: = 0. 2.2.13. у = хеСх+1. 2.2.14. у = х\п2 Сх.
2.2.15.	= In C(s - t). 2.2.16. х2 - у2 = Сх. 2.2.17. у = х In2
530

2.2.18.	arctg | = \nCy/x2+y*. 2.2.19. sin | + Inz = C. 2.2.20. я sin | = C.
2.2.21.	у = xeCx. 2.2.22. y2 - x2 = Cy3. 2.2.23. Л =
2.2.24.	x3 + y3 = Cxy. 2.2.25. у = x In x. 2.2.26. у = x In ey.
	X2
2.2.27.	1п2д/х2 + у2 = | arctg |. 2.2.28. In = Cx- 2.2.29. xe2V2 = C.
2.2.30.	у = rrtg(lnCir). 2.2.31. у = x — . -- . 2.2.32. у = —x.
In ex
2.2.33.	ln(rr2 + y2) + arctg = 0. 2.2.34. у = ex. 2.2.35. у + y/x2 + y2 = 1.
2.2.36.	у = 2x -x\nx. 2.2.37. у = ж In 2.2.38. (x - y)2 = Cy.
о
2 a? — 2
2.2.39. a) x — у + C = In |3rc — 4y + 11; б) (у — x)e У ~x = С, у = x.
2.2.40. x2 = (x2 — y) In Сх, у = x2. 2.2.41. a) Cx =	;
б) у + y/2x2 + у2 = Cx5] в) У = (jx. 2.2.42. y2 = 2Cx -|- С2, кривые
у 4" DX
(сечения) — параболы, поверхность зеркала — параболоид вращения.
2.2.43.	а - /3 = а/3.
§ 3. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли
2	о	—
2.3.2.	у = (х + С)ех . 2.3.3. у = х2 +	2.3.4. х = СеУ - 2, у = 0.
2.3.5.	у = 7('Х + 1>)	2.3.7. у = ех - х - 1. 2.3.8. у = Се~2х + ех.
С — (х + 1)г
2.3.9.	у = Х\+С. 2.3.10. х = у4 + Су2, у = 0. 2.3.11. х =	У = °-
2.3.12.	у = ;----%----2.3.13. у =  -	, у = 0.
In х -|- Сх 4-1	\JCe2x2 4-1
2.3.14.	у = Се-sin* + 2 sin а:-2. 2.3.15. у = х3 + %. 2.3.16. у2(2х + С) = е*2,
У = 0. 2.3.17. у = ^3х ±С-. 2.3.18. х2 =	, у = 0.
х	С - cosy
/	2 \
2.3.19.	у = ех (С4-In #4-^-1. 2.3.20. у = \/1 — х2(2 arcsinrc 4- С).
2.3.21.	у = (х 4- С) tg 2.3.22. у = | я3. 2.3.23. у = 2sinrc - cos#.
2.3.24.	г = Л 2.3.25. , =	2.3.23. 5 = (д«8lncosg\2	= „
х2 - 3	\	х	/
2.3.27.	х = Су2 + In у2 — у + 1, у = 0. 2.3.28. у = е~х(1 + arctg х).
2.3.29.	у = 4 - 4cost + e1-cost. 2.3.30. г =
2.3.31.	х = у2 - 2 + е“ . 2.3.32. У = 4 (-
у 14 J
у= -1 (3v/^L—• 2.3.33. Cl + С2 = 1. 2.3.34. v= ^(1
х2 \	/	л
531

2.3.35.	у =	— гипербола. 2.3.36. а) I =	(е~ L 1 - 1Y
2х — 1	R	R2 \	/
А (	-—Л
б) I = — ---—- I R sin wt — wL cos wt -I- cube L ).
r2+w2l2 \	7
2.3.37.	у = Ce-*’**) + ip(x) — 1. 2.3.38. a) ey = ,	, обозначить e* = z;
x2 -I- Cx
6) ?/ = 2ex — 1, продифференцировать, сделать проверку=Ф- С = 2.
2.3.39.	у = х -I- 2ех2. 2.3.40. х = (tg у + i In | cos y\j .
2.3.41.	sin?/ = Ce~x -I- x — 1, подстановка sin?/ = z. 2.3.42. x = cos2 у — 2e~2y.
2.3.43.	x = ^-y3 + -£=, у = 0. 2.3.44. у = 2e~x. 2.3.45. xy = 4 + Cy2.
7 у/У
2.3.46.	y2 = 4x + 4(1 - ex). 2.3.47.	2.3.49. Нет. 2.3.50. x2 + y2 = R2.
§ 4.	Уравнения в полных дифференциалах
2.4.3.	х2 — ху = С. 2.4.4. е~ух + 2у = С. 2.4.6. х2 + sin2 у = Сх, t(x) = 4».
х
2.4.7.	| х2 - j х3у2 + у3 = С. 2.4.8. cos 2у - Зх = С. 2.4.9. х2 + у + еху = 2.
2.4.10.	у/х2 -I- у2 -|- ху = 4. 2.4.11. х3 + у3 + Зге2?/ + Зх — Зу = С.
2.4.12.	х sin(a: + у) = С. 2.4.13. х3 + х3 In у — у2 = С.
2.4.14.	х3у — cos х — siny = С. 2.4.15. х3 + ху2 + ху + еу = 1.
2.4.16.	х3 + Заг2з/ - у3 + 1 = 0. 2.4.17. 11п(®2 + у2) - arctg | = С.
и	—
2.4.18.	х2 — х -I-	— у2 = С. 2.4.19. х2 + уеУ = С.
2.4.20.	sin — cos £ + х — i = С. 2.4.21. xsiny — уcosx + Inху = С.
х У У
гг2 2
2.4.22.	у- еу +tgy — у = С. 2.4.23. у sh х + х sh у = С. 2.4.24. ху — In у = С,
9Q дР
t(p) =	2.4.25.	--1- х3 = С, t = Л • 2.4.26.	должно быть
У	sin?/	sin?/	Р — Q
функцией от х -I- у. 2.4.27. а) х2 + у2 = С; б) ху = С, т. к. d(xy) = 0.
§ 5.	Уравнения Лагранжа и Клеро
2.5.2.	у = Сх + С — С2, у =	. 2.5.3. у = Сх — ЗС3, особое решение
О	. ,	. о
9у ± 2# 2 =0. 2.5.5. у = (у/х + 1 + С) , у = 0. 2.5.6. у =
х2-С2
2С
I х = lnp — arcsinp + С,
’)»=₽ + \/1 -Р2-
2.5.9. у = Сх — ес, у = rclnrc — х.
2.5.10.	у = Сх2 + т?, у = ±2х. 2.5.11.	(р+1)е₽ + С, y = Q
и	I у = ре.
532

{у = хр2 - р,
р-1пр + С 2.5.13. у = Сх + С + VC, у =
’ =	(р-1)"		4(1+11
2.5.14.	у = Сх — In С, у = In ж + 1. 2.5.15. у = Сх 4- у2 = 4гг.
С
§ 6.	Интегрирование дифференциальных уравнений высших
порядков
1	7*3	Ч'Г2
2.6.2.	у = sin4x + %- -	+ Cix + С2.
10	о	2
2.6.3.	у = ^е5х - cos х - ~xs + Cix + С2.
2D	1U
2.6.4.	у = | f е*2 dx +	+ Си + С2.
2 J	In2 3
2.6.5.	у = |х2 -	+ cosx + ^</(х + 2)5 + Cix + С2.
2.6.7.	?/ = (гс2 4- Зге 4- 1)ех + Cix + £2, уч = (гс2 + Зге + 1)ех.
2.6.8.	у = (гс2 + х — 2) cos 2гс + Cix -h £2, Уч = (гс2 + х — 2) cos 2гс — гс + 2.
2.6.9.	?/ = (гс + 3) Inrc + resinre + Cix + £2,
уч = (гс 4- 3) In гс 4- гс sin гс — (4 4- sin 1 + cos 1 )гс 4- 5 4- cos 1.
2.6.10.	у = (гс3 -I- гс2 — 2гс -|- 1)е2х — гс cos Зге 4- Cix + £2,
уч = (гс3 4- гс2 — 2гс 4- 1)е2х — гс cos Зге 4- 2х. 2.6.12. у =	4- £irr3 4- £2.
э
2.6.13.	у = Ci(x + I)2 + х + С2. 2.6.14. у = 1 + Ci 1пх + С2.
2.6.15.	у = Ci sin я — х — 1 sin 2а: + С2. 2.6.16. у = (х — 1)е* + Cix2 + С2.
2.6.17.	С1гс(1пгс — 1) 4- £2. 2.6.18. у = —х — Ci cosrr 4- £2-
2.6.19.	у =	+ Ci 1пх + С2. 2.6.20. у =	| + Ci aretgx + С2.
z-i / х 4~ &2	_ я? 4~ С2
2.6.23.	Ciy2 - 1 = (Cirr + C2)2. 2.6.24. у = 1е + е
2.6.25.	(гс — Ci)2 = 4С2^у — Съ\ 2.6.26. ?/cos2(rc 4- £1) = £2.
2.6.27.	у = ±arcsinex+C1 4- £2 и у = С. 2.6.28. у = гс.
2.6.29.	у = In |tg (j + 2) |. 2.6.30. у = (j + 1)3. 2.6.31. у =
С1
2.6.33.	у = Съхе х . 2.6.34. у • cos2(rr 4- £1) = £2.
2.6.36.	у = cos 2гс 4- £1 гг3 4- С2Х2 4- Сзх 4- £4-
2.6.37.	у =	4" £1гс8 4" С2Х7 4~ •. • 4~ С&х 4- Сд.
г
2.6.38.	“I" £i^2 “Ь С2Х 4" £з-
2.6.39.	у =	+ 3sinx -	+ Cix2 + С2х + С3.
2.6.40.	у = — -1- (sin 8х + sin 6х + 1 sin 4х + sin гх') + Cix2 + С2х + Сз.

2.6.41.	2/= ^ + ^-^+С1х2 + С2х + Сз,г/ч = ^ + ^-^ + |х2 + 2а: + 1. '
2.6.42.	у = —32 cos 4- Cix4 4- C2X3 4- C3X2 4- C^x + C5,
y4 = -32 cos % 4- x3 4- x + 33. 2.6.43. у =--------—- + Cix2 + C2X + Сз,
2	(x + 2)
c, = l
2.6.45.	у = ~т^х4 - |rr2 + Ci(x arctg x - | ln(l + ж2)) + C2X 4- C3.
4o о	2
2.6.46.	-Ci In |®| - ^ + C2x + C3-
£X
2.6.47.	у = — | In |rr| — Ci (x In |rr| — 1) 4- C2X2 4- C3X 4- C4.
t2 1
2.6.48.	у = -Ci cos x 4- C2X —— 4- | cos 2x 4- C3.
2.6.49. у = Cix3 + C2x + C3 + (x - 2)e*.
2.6.50.	у = jCi sin 2x 4- jr(1 4- 2Ci)x3 4- C2X2 4- C3X 4- C4.
2.6.53.	у = — sin(rc 4- Ci) 4- C2X 4- Сз- 2.6.54. x = Ciy2 4- С2У 4- C3.
2.6.55.	у =	(x3 4- 6rr2) 4- Cix In |rc| 4- C2X 4- C3.
(x + Ci = |ln|t| + -3-
2.6.56. <	? о 4t2 t = y".
2.6.57. у = C2 (xeC1X - -±-eC1X
\	Cl
2.6.58.2/	j2)2
. 2.6.59.
4- C3. Указание. Положить у = e^pdx
я = 1 4-t(21nt — 1) x „
у = t2lnt,	У '
~ x ( q In2 x+Ci lnx+C2 J ,	„
2.6.60.	у = Сзе '2	Л Указание. Положить у = e^pd .
х
2.6.61.	?/ = (l + CfHnlz + Cil -С1Я + С2. 2.6.62. 2/ = (Ciz + Ci2)e<?i + С2.
3	2
2.6.63.	у = уз + у + CixIn |х| + С2х + Сз. 2.6.64. у = х3 + За:.
2.6.65.	у = jx2. 2.6.66. у = jx2. 2.6.67. х = Ciy2 - у\пу + С2.
2.6.68.	у = |(Ci - 2а:)3/2 + С2х + С3. 2.6.69. у = (Ciex + 1)® + С2.
О
2.6.70.	х = -|(j/ + 2)2/3. 2.6.71. у = ех. 2.6.72. у =
2	cos X
2.6.73.	у =	2	+С2’ ос°бое решение у = С.
2.6.76.	х2 + у2 + Cix + С2у + Сз = 0. 2.6.77. 2(Сц/ - 1)3/2 = SCix + С2.
2.6.78. In у = Ciex +С2е~х. 2.6.79. х = Ci +1п
У-С2
у + С2
. 2.6.80. j/=|(l + a:2).
2.6.81.	у = Ci^- 4- (Ci — С2)х 4- С2, особое решение у = (х 4-1)2 4- С.
2.6.82.	у = И 4- Ci In |я — 1| 4- С2Х 4- Сз.
534

2.6.83.	у = |(s + 1)7/3 - |Ci(s + Ci)4/3 + C2.
2.6.84.	у = C2 — i-^/1 — Cf a:2 + Q-xy/1 — x2 + |Ci arcsins.
§ 7.	Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
2.7.2.	Независимы. 2.7.3. Независимы. 2.7.4. Независимы.
2.7.5.	Независимы. 2.7.6. Независимы. 2.7.7. Зависимы. 2.7.8. Зависимы.
2.7.9.	Зависимы. 2.7.11. у" + у = 0. 2.7.12. у" - у = 0. 2.7.13. у" = 0.
2.7.14.	у" - Чу' + у = 0. 2.7.15. у” - Зу' + Чу = 0. 2.7.16. у" - 4у' + 4у = 0.
7
2.7.17.	у" + 4у = 0. 2.7.19. уоо = Cie2x + С2е3*. 2.7.20. уоо = Ciex + С2е“2
2.7.21.	j/оо = Cie(-2+'/7)l + C2e(-2“'/7)l. 2.7.22. уоо = Cie~x + СгеК
9
2.7.23.	уоо = Ci + С2е~25х. 2.7.24. уоо = Ci + С2е4*.
2.7.26.	уоо = (Ci + С2х)е3х. 2.7.27. уоо = (Ci + С2х)е2х.
2.7.28.	уоо = (Ci + С2х)е2х. 2.7.29. уоо = (Ci + С2х)е~зх.
Q	Q
2.7.31.	уоо = Ci cos 2х + Съ sin 2х. 2.7.32. уОо = Ci cos ^х + С2 sin ^х.
(	л/3	л/З \ --
2.7.33.	уоо = ( Ci cos ^-х + С2 sin -^-х 1 е 2 .
2.7.34.	уоо = (Ci cos + С2 sin e2 .
/	д/31	х/31 \ 2
2.7.35.	уоо = ( Ci cos я + С2 sin х \ е*х.
2.7.36.	уоо = (Ci cos ^х + С2 sin ^s^ еТО1. 2.7.38. уч = 4ех + 2е3*.
. . 1
2.7.39.	уч = 9 - 2е-4*. 2.7.40. уч = 2se3*. 2.7.41. уч = (Ч + х)е~2х.
2.7.42.	уч = 4ех + 2е3*. 2.7.44. уо„ = Ciex + С2е2х + |е“*.
2.7.45.	уон = (Ci + С2х)е3х + jx2 + ^х +
2.7.46.	уон = Ciex + С2е2х + х3 + |s2 + ^х - у.
2.7.47.	уон = (Ci cosa: + С2 sins)eI + х + 1. 2.7.48. уон = Ciex + С2е~5х — |
2.7.49.	уон = Cie1 + С2е~^х +	- ||) е2х.
2.7.51.	уо„ = Сгех + С2е~4х + (±х2 + ±х) ех.
2.7.52.	уон = (Ci + С2х)ех + (|х3 + |х2) ех.
2.7.53.	уон = (Ci + С2х + |s3 + |s2) ех.
2.7.54.	уон = Cie~x + C2e"f + (s2 + Зх)е~х.
2.7.55.	уон = Cie~x + С2е~2х + (2s2 + Зх)е~2х.
2.7.56.	уо„ = (Ci + С2х)е~2х + (-|s3 + |s2) е~2х.
535

2.7.58.	уОц = CieQx + С2ех 4- sin rr 4- cosrr. Указание. уч = Asinrr + В cosrr.
5
2.7.59.	Уон = Ci + Сге 2® + 5sinrr — 2 cosrr. Указание. уч = A sin х + В cos х.
2.7.60.	уон = Cie~2x + С2е2х -	sin2rr + cosrr) е2х.
Указание. уч = e2®(Asin2rr + Bcos2rr).
2.7.61.	j/он = Cie~2x + С2е4х + j cos 2х + j sin 2x
0	0
Указание. уч = A cos 2rr 4- В sin 2rr.
2.7.62.	j/он = (Ci + C2x)e~2x + (f=x + sinx - (Дх + cosx.
\ZO IZu /	\ ZO 1Z0 /
2.7.63.	yOH = Cie-^® + C2e^x + (rrsinrr 4-cosrr)ex.
Указание. y4 = [(Arr 4- B) sin rr 4- (Cx 4- D) cos rr)]e®.
2.7.65.	уон = Ci cos 5rr 4- C2 sin 5rr 4- y^rr sin 5rr.
Указание. y4 = [A cos 5rr 4- В sin 5rr]rr. 2.7.66. уОн = Ci cos rr 4- C2 sin rr 4- |rr2 sin rr.
Указание. y4 = [(Arr 4- B) cos rr 4- (Cx 4- D) sin rr]rr.
rr2	rr
2.7.67.	уон = Ci cos rr 4- C2 sin rr —— cos rr 4- т sin rr.
4	4
2.7.68.	уон = Ci cos 3rr 4- C2 sin 3rr - ||rr cos 3rr - ^rr2 sin 3rr.
2.7.69.	уон = (Ci cos 2rr 4- C2 sin 2rr)ex 4- ^ex sin 2rr.
Указание. y4 = rr(Acos2rr 4- Bsin2x)ex.
2.7.70.	уон	=	(Ci cos ^rr 4- C2 sin	^rr)	еб x - |rre5® cos ^rr.
\ о	о /	о о
2.7.72.	уон	=	(Ci 4- C2x)ex 4- rr2 4- 3rr	4- 7 — cos rr — |(rr 4-1)	sin rr.
2.7.73.	j/он	=	Cie~2x + C2e~3x +	|rr2	+ ±x - + rr f-|rr	+	1)	e~3x.
о lo lUo \ z /
2.7.74.	уон = (Ci cosrr 4- C2 sinrr)e“3a: 4- rr cos3rr 4- ^(rr cosrr 4- rr2 sinrr)e“3a:.
2.7.75.	уон = Ci cos3rr 4- C2sin3rr 4- f ^rr - e~3x 4- 7rr2.
\18	54/
2.7.76.	уон = (Ci 4- C2x)ex 4- | cosrr 4- |rr2e® - |e-®.
Z	4	о
2.7.78.	ym = Ciex + C2e~x + ±ex In ^1 -	- ln(e* - 1)).
2.7.79.	уон = Ciex 4- C2xex 4- rr(ln |rr| — 1)еж.
2.7.80.	уон = Cie3x + C2xe3x - xe3x + rre31 In |rr|.
2.7.81.	уон = Ci cos 2rr 4- C2 sin 2rr - cos 2rr In | cos rr| 4- (rr - | tg rr) sin 2rr.
2.7.82.	уон = Ci cos rr 4- C2 sin rr 4- cos rr In |tg | 4- 2.
2.7.83.	ym = Ci + C2ex + ±ex(exVl - e2x + arcsine1) - 1^/(1-e2*)’.
2.7.84.	уон = (Ci 4- C2x)ex 4- ex(rr arctg rr — In y/x2 4-1). 2.7.86. у = (2rr — 2)e®.
2.7.87.	у = cosrr 4- 4sinrr - 2rr cosrr. 2.7.88. у = 2e~x 4- 3e3x 4-
2.7.89.	у = e~3x + (4x3 - 3x2 + |x) ex. 2.7.90. у = xe~2x + (2x - l)e2,E.
536

2.7.91.	у = хех + х2 + 2. 2.7.92. у = ^е~2х + sin За: - cos3x.
2.7.93.	у = cos За: + (х + 1) sin Зх.
2.7.94.	у = (1 + ех) 1п(1 + ех) + ех(3	- In2 - х)	-	(х + 2 + In2).
2.7.95.	у = 3cos f + 3sin f + 4sin f	• In Itg fl.	2.7.97.	у =	Cix2 + C2x~3.
Z	Z	£	i Z i
2.7.98.	y=^- + C2^. 2.7.99. у = Ci + C2 Ina:.
2.7.101.	у = Ci(2x + 1) + C2(2a: + 1)ln(2a: + 1).
2.7.102.	у = Ci cos In x + C2 sin In x. 2.7.103. у =	+ (7га:3.
c c
2.7.104.	у = — 4—-. 2.7.107. Указание. Использовать идею предыдущего
х х2
примера. Если С\ arctg х + С2 arctg 2х Ч- Сз arctg Зх = 0, то
С
------- Ч------- Ч--------- = 0. 2.7.108. Указание. Если многочлен степени п
1 + х2 1 + 4а:2	1 + 9а:2
ао Ч- uix Ч-... Ч- апхп = 0 имеет более чем п Ч-1 корень, то
ао = ai = • • • = о>п — 0. 2.7.109. Указание. Если предполагать, что
aie*51® Ч- аге*52® Ч- азе*53® = 0, где, например, ai / 0, то
1 + р2^-^х + /З3е(*’-*1)х = о (02 = 21, /Зз = 21 k2 - ki + 0, кз - ki + 0), а
после дифференцирования (&2 — Лх^ге^2-*51^® Ч- (&з — A?i)^3e(fc3“fc1^® = 0.
Ясно, что если предполагать /Зг = /Зз = 0, то из предыдущего равенства
получили бы 1 = 0. Поэтому можно сказать, например, /Зг / 0. А тогда из
последнего равенства после деления на (&2 — fci^e^*52”*51)® получим
1 Ч- 7е5® = 0, а после дифференцирования получим ^6е8х = 0, что невозможно,
иначе из предыдущего опять следует 1 = 0. 2.7.110. Указание. Использовать
идею предыдущего примера, полагая е® = t.
2.7.111.	Указание. Тригонометрический многочлен степени п
ai cos х Ч- а>2 cos 2х Ч-... Ч- ап cos пх = 0 имеет на [0,2тг] не более чем 2п корней.
2.7.112.	arcsine Ч- arccosrc — ^ = 0. 2.7.113. arctg2х Ч- arcctg2rc —	= 0.
2.7.114.	cos2 х — sin2 х — cos 2х Ч- 0 • sin 2х = 0.
2.7.115.	sin За — 3 sin а Ч- 4 sin3 а 4-01 = 0.
2.7.116.	3cosa - 4 cos3 а Ч- cos За 4- 0 • 5 = 0.
2.7.118.	е® sin2 х Ч- е® cos2 х — е® Ч- 0 • е“2® = 0. 2.7.119. Указание. Составим
дифференциальное уравнение второго порядка с общим решением
У = Ci sin х 4- С2 sin 2х. Для этого из системы
Ci cos х Ч- 2С2 cos 2х = у'
—Ci sin х — 4Сг sin 2х = у"
2 sin 2х	sin х
4-п	+
cos 2х	cos х
находим
у' sin х Ч- у" cos х
_ 2yf sin 2х Ч- у" cos 2х & _
2 cos х sin 2х — sin х cos 2х ’	2(2 cos х sin 2х — sin х cos 2х)
Подставляя эти значения в выражение для ?/, приходим к
Дифференциальному уравнению второго порядка с переменными
537

коэффициентами. 2.7.121. Указание. Пусть у = Cix + —-общее решение
однородного дифференциального уравнения второго порядка. Тогда
у' = Ci -	?/" = Отсюда С2 = Ci = у' + После
х2 хл	&	&
подстановки в общее решение получаем искомое уравнение х2у" + ху' — у = О
с переменными коэффициентами (это уравнение Эйлера).
2.7.131.	Указание. Пусть у = Cie2® + С2е-3® + С3ех — общее решение
искомого ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Решая систему
{2Cie2®
4Cie2®
8Cie2®
- ЗС2е-3® + С3ех = у',
+ 9С2е-3® + С3ех = у",
- 21С2е~3х + Сзе® = у"'
	2е2х	—Зе-3® е®	
методом Крамера, находим Д =	4е2®	9е-3® е®	= -120,
	8е2®	—27е-3® е®	
	у'	-Зе-3®	ех	
Д1 =	у"	9е-3®	ех	= -Зе~2х(-12у' +8у" +4у'"),
	у'"	—27е-3®	ех	
	2е2®	у' е.х		
д2 =	4е2®	у" ех	= 2е3х(Зу' — 2у" + у'"),	
	8е2®	у'" ех		
	2е2®	-Зе-3®	у'	
Аз =	4е2®	9е-3®	У	= 6ех(—30г/' + 5г/" + 5г/'"). Найдем отсюда
	8е2®	—27е-3а	: У	///
значения С\, С2 и Сз и подставим их в выражение для у, приходим к
дифференциальному уравнению у"’ — 7уг + бу = 0. 2.7.132. у"' — 4у" + Зу' = 0.
2.7.133.	у'" + у" + 4у' + 4у = 0. 2.7.134. yIV - 2у'" + 2у" -2у' +у = 0.
2.7.135.	yIV - бу'" + 12у" - Юг/ + Зу = 0.
2.7.136.	yIV - 2у'" + 10j/" - 18г/ + 9у = 0. 2.7.137. х2у" + ху' -у = 0.
2.7.138.	(х + 2)2у" + 3(я? + 2)у' - Зу = 0. 2.7.139. х2у'" - Зху" + Зу' = 0.
2.7.140.	х2у" + 4агу' + 2у = 12яг. 2.7.141. (х + 1)2у"' - 12 г/ = 0.
2.7.142.	х2у" — ху' + 2у = х\пх. 2.7.143. х2у" — ху' + у = 2х.
2.7.144.	х2у" - 2ху' + 2у = х2 + 2х + 2. 2.7.145. уоо = Ciex + С2е3®.
„	2
2.7.146.	уоо = (С*1 cosЗх + С2sin5х)е х. 2.7.147. уОо = Ci + С2е 3х.
3	_
2.7.148.	уоо = (Ci + C2x)e~zx. 2.7.149. уоо = Ci cos + С2 sin -±-.
v5	v5
2.7.150.	уоо = Ci + C2e“f. 2.7.151. j/oo = Ci + C2e~x + C3e3x.
2.7.152.	уоо = Ci + (C2 cos3rr + Сз sin3rc)e-2x. Указание. Характеристическое
уравнение k3 + 4fc2 + 13A; = 0 имеет три корня ki = 0, k2 = 2 — Зг и кз = 2 + Зг-
2.7.153. уоо = Ci + (С2 + Сзх)е~х. 2.7.154. г/оо = Cie“2x + С2е~х + Сзех.
2.7.155.	уоо = Cie2x + С2е~2х + Сз cos 2х + Сф sin 2х. 2.7.156. уоо =
у2 /	у/2	у/2 \	/	у/2	х/2
= е 2 х I С\ cos ^z-x + С2 sin ^-х ) + е 2 х I Сз cos ^г-х + С4 sin ^-х
538

Указание. Характеристическое уравнение k4 + 1 = 0 имеет четыре корня
.     тг + 2Л7Г .	7Г .	./О
= e 4	\ А: = 0,1,2,3. Ал = е4г =
Зя- х/2	х/2	х/2	\/2	Zzl х/2	х/2
=-v+^-fc3=e4 =-¥-^-^=е4
Линейно независимыми решениями исходного однородного уравнения
 \/2	у/2	у/2
являются е % х cos -^-rr и е1 2 2 sin ~^~х, а их линейная комбинация с
произвольными постоянными составляет общее решение уравнения.
_	_5 \/зТ	731
2.7.157.	уоо = С\е 2х + Сге 4х cos х -I- Сзе 4 х sin ^-х. Указание. Соста-
вим характеристическое уравнение 2k3 + 9А:2 + 17 k + 14 = 0. Один корень
ki = — 2: —16 + 36 — 34 + 14 = 0 (обнаруживается подбором). Поскольку
2k3 -I- 9 А:2 -h 17А: + 14 = (А: + 2)(2А:2 + 5А: + 7), то другие корни: Ал,2 = —± ^/3^
Частные независимые решения соответствующего однородного
дифференциального уравнения имеют вид yi = е х, у2 = е 4 х cos v ж,
_ 5 v/зТ
уз = е 4х sin х. 2.7.158. уоо = Ci + С2Х + Ci cosx -I- C2 sinx.
Указание. Характеристическое уравнение A;4 + A:2 = 0 имеет корни Ал,2 = 0 и
кз = г, А:4 = —г. Поэтому фундаментальной системой решений однородного
уравнения являются функции yi = 1, у2 = rr, уз = cosrr, 2/4 = sinrr.
2.7.159.	ут = Ci + С2е~х + ±хех - х2.
2.7.160.	Уон = Ci + С2е~х - (ix + |) е~2х.
2.7.161.	уон = Ci + С2е~х + cosx +	sinx) е~2х.
2.7.162.	you = Ci + С2е~х — (rr + 3) cos rr — (rr — 1) sin rr.
2.7.163.	уон = (Ci + C2x)ex + |cosx + ±e~x.
2.7.164.	уон = Ci + C2x + Сзе-1 + x4 - 4x3 + 12x2.
2.7.165.	уон = Ciex + (C2 + C3x)e2* + ^x2e2x.
2.7.166.	уон = Ciex + C2e2x + (|x2 - x + 1) eix.
2.7.167.	yOH = ex(Ci cos %/2x + C2 sin \/2x) +	(5 cos x — 4 sinx).
2.7.168.	уон = v -	+ ¥ + Iе* + sin2x - cos 2* + Ci + C2e~x.
o	z z ZU	J.U
2.7.169.	уон = |rr — ^rrr cos 2rr — -^x2 sin 2rr + C\ cos 2rr + C2 sin 2rr.
о 32	16
2.7.170.	уон = cos rr -I- ^rr2 sin x + Ci cos x + C2 sin rr.
2.7.171.	уон = 4 cos 3rr + Ciex cos 3rr + Сге® sin 3rr.
О
2.7.172.	уон = cosx - sinx + cos3x + sin3x + Ciex + C2e2x.
2.7.173.	уон = (2rr + 6) sin3rr + (rr + 5) cos3rr + Cie2x cos x -I- C2e2x sinrr.
2.7.174.	у = (cosrr — 2sinrr)e2x + (rr + l)2ex.
539

2.7.175.	у = (1 - Зх)е3х + £ + £ + |.
*z ZI о
2.7.176.	у = 2тгcos 2х + | sin 2х + rc(sin 2х — cos 2я).
2.7.177.	у = —(ttcos# 4- (тг 4- 1 — 2х) sinrc)ex.
2.7.178.	ех (0,16 cos Зх + 0,28 sin Зге) + х2 + 2,2# + 0,84.
3	5
2.7.179.	?/ = (1+я)е"2х +2е"2х. 2.7.180. у = ех(ех - х2 - х + 1) - 2.
2.7.181.	2/он = Ci cos х 4- C^sinrr + sin х In |tg
2.7.182.	2/он = (Ci + C2x)e~x + xe~x In |®|.
2.7.183.	x/он = Ci cos x + C2 sin x — x cos x + sin x In | sin rr|.
2.7.184.	j/он = С1е^ + С2е~^+ед2. 2.7.185. yOH =	+ C2e~'/Sx +xex\
2.7.186.	2/oh = Ci sin ж 4- C2 cos x — \/cos2a?. 2.7.187. yi = x, y2 = |rr|.
2.7.188.	Указание. Использовать определитель Вронского.
2.7.189.	р2 - 4д < 0. 2.7.190. /1(я?) =
0 X	7Г,
тг < х	2тг;
/г(®) =
0 X	7Г,
тг < х	2тг;
[а, Ь] = [0,2тг].
Г • з
2.7.191. Д(х) =
—7Г	X	— 1
— 1 < х	тг;
/2(1) =
1	|^|тг,
-1 < х < 1;
I О	— 7Г < Т < 1
/з(х)=Г П2	[а>Ч = [-’г.-1]и[-1,1]и[1,4
[(я - 1) ,	1 < х 7Г;
2.7.192.	cos 4# — 4 cos 2х + 3 — 8 sin4 х = 0.
2.7.193.	cos 4# + 4 cos 2х 4- 3 — 8 cos4 х = 0.
2.7.194.	— 5 In х 4- In x2 4- In x3 4- 0 • In2 x + 0 • In3 x = 0, x > 0.
2.7.195.	sin “ ^) + s*n	“ Vasins = 0.
2.7.196.	y4 = e® +2 cos я+ 3 sins. 2.7.197. у = ex + 2e2x + 3e3x.
2.7.198.	x/он = Ciex 4- C2x — x2 — l. 2.7.199. у = Ci cos# + C2 я cos я — sin x cos x.
2.7.200.	у = (Ci 4- C2x) cos 4- (Сз 4- C±x) sin
v2	V2
2.7.201.	у = Ci + C2 cos 2x + C3 sin 2x 4- x(Ct cos 2x 4- C5 sin 2.r).
2.7.202.	у — Ci C2x + C3X2 + e3x(C4 Ч- Csje).
2.7.203.	у = (Ci 4- C2x)e2x 4- (C3 4- C^e~2x.
2.7.204.	у = (Ci + C2X + |а:2 Inx - |x2) e~2x.
2.7.205.	у = (Ci 4- C2x)ex 4- (C3 4- C^x)cqsx 4- (C5 4- C&x)s\ux.
2.7.206.	у = ^(ex - e~x) + x2. 2.7.207. у = cosx + 2sinx + e~x - 3ex + 2xex.
2.7.208.	у = Uex - e~x). 2.7.209. у = %ex - ±e3x. 2.7.210. у = Cix +
2.7.211.	у = Ci + C2x2 + C3x4. 2.7.212. у = 	. + C2(x + 2).
(x + 2)3
2.7.213.	у = Ci 4- C2 Ina? 4- C3X3.
540

§ 8. Интегрирование систем дифференциальных уравнений
{х = -C2e~2t + |с3е3‘,
У = Cie-* + C2e~2t + С3е3‘,
z = —Cie-* + С2е-2* + Сзе3*.
(	-ei/10_4 А
< 4	2 \ 3 3е / ’
уч = 2е* (1 - |t) .
2.8.4.
х=|е‘(2С1+С2 + 2С2е‘),
у = e*(Ci 4- Сг£);
х=С1е<-1+^*+С2е<-1-71К)'+^-е*+|е2*,
J/=(-4+^)C1e(-1+^t-(4-v/l5)C2e(-1-^‘-ie‘-^e2‘.
{х = Cie* + C2e~2t,
у = Cie* + Сзе-2*,
z = Cie* - (C2 + C3)e-2‘.
®oo = Cie * + C2e 3*,
j/oo — Cie * + 3C2e 3* + cost.
( i	f x = Ci + 3C2e2*,
2-8-8- Z с et+ 3C 2-8-9- j У = ~2C*2t + Сзе-*,
- -Cie + 3C2e .	= Ci + ae2t _ 2C3e_t
x = Cie* + C2e-* + |t(e* - e-*),
у = Cie* - C2e-* + |
2.8.10.
fC1X2 = 2t + C2,
2.8.13.	’	2.8.14.
b2 = Ci(2t + C2 .
> 2V '*
2	(Ci+C2-x)2
У =------------
2.8.15.
x2 = Cie2* + C2e 2*
y2 = Cie2* - C2e-2*
2(C2 - x)
(Ci —C2 + x)2
2(C2 - x)
I у = x — ex,
2.8.16. H
I z = e x.
z2 =
2 8 20 < X = ^ie* ^2e * + С3 coss*n
1 J/ = Cie* + C2e-* — Сз cos t — C4 sin t.
{£.
у = Cie 2 ,
z = C2ex.
'x = Cie2‘ + C2e‘ + C3te‘,
2.8.22. у = C2e* + C3(t - 2)e‘,	2.8.23.
z = Cie2t + C3(t - l)e*.
S=a’
zy2 ~ I®2 = C2.
x = ln|C3(Cit + C2)|,	, -2 =C
У = In |C3(Cit + C2)| - Ci, 2.8.27. Z У-----L’
г = (C. + 1)< + C„	+ , =
y~x+che C1X
z = C2eC1!C.
2.8.24.
_ o __ l У = Ci + C2x + 2sinx,
1 z = —2Ci — C2(2x + 1) — 3sinx — 2 cosx.
2.8.26.
541

х = Cie2t + C2e3< + C3e6t,
2.8.29. {у = C2e3t - 2C3e6t,
2.8.30.
= -С1б2‘+ C2e3t + C3e6t.
x = V Te3t + Te-3t’
У = ^y-e3t - ^e-3t-
2.8.33.
x = 5e24 - 3e-7<	jx = Ge2' + 4C2e-3< + t + t2,
у = —e2t + 6e-7‘. 2,8‘32' \y = -Cie2t + C2e-3t - |t2.
x = Cie‘ + C2e9t,
y= C3e2t + ±C2e9t,
z = -Cie* - 2C3e2t - ™C2e9t.
{x = Cie* 4- C2 sin t 4- C3 cos t,
у = t — Ciet 4- C2 cos t — C3 sin t,
z = 1 4- C2 sin t 4- C3 cos t.
2.8.35.
у = C2x,
x2 + y2 = Cix — t2.
1У = cie‘ -1
x	О
c2
t2'
Глава 3. Кратные интегралы
§ 1. Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления
3.1.3. (-2л/2 + 1)4л < I < (2л/2 + 1)4л. 3.1.4. -л%/3 < J < лл/3.
3.1.5. -8 < I < |. 3.1.6.	< I < 4л. 3.1.9. | \[о?. 3.1.10. |. 3.1.11. <|.
Указание. При вычислениях внутреннего интеграла переменную внешнего
интеграла надо считать фиксированной (постоянной):
2	2
[dy(^- + 2yx\ р= [ (1 + 2») dp = 4|. 3.1.12. In3.1.13. 50,4-
J \ О J Io J \о / о	24
о	о
3.1.16. 1. 3.1.17. 1п|. 3.1.18. ?. 3.1.19. |1пЦ. 3.1.21.	3.1.22. Зл.
о	о	2 оо	о
3.1.23. л. 3.1.24. ^а3.
У
3	3-Z
3.1.27. У dx У fdy.
О о
3.1.28
/ fdy.
з у
3.1.29. f dy f f dx.
X -у
3.1.30.
>/2/2 x	1	V1-®2
J dx J fdy+ У dx У fdy. 3.1.32. 3. 3.1.33. 12|.
О	У2/2	-y/1^2
3.1.34. Ir. 3.1.35. 0. 3.1.36. -4л < I < 4л. 3.1.37. 0 < I < 486.
M
3.1.38. 4 < I < 8(5 — 2л/2). 3.1.39. 4тг < I < 22тг. 3.1.40. Отрицательный.
542

3.1.41. Отрицательный. 3.1.42. Положительный.
5x55	1	2х+1
2	-7x4-10
3.1.43
0	0	0 у
41/4-2
3
-х-2
4	34“\/ 4х —х2
-х-2
5	24-\/б1/-1/2-5
4
3.1.45
о
3.1.47.
О х2
х
5j/ — 14
3
'У
3	1/4-4
О у2
'у
2-у/бу-у2-5
8	Ю-1/
о
з

2
У
4
2
3.1.49
о
О у/2
2	У!2
2-1/

3.1.51
о
о
'У
еУ
О
1-у2
3.1.53
1 — у2
о
27r+arcsin у
3.1.54.
о
тг — arcsin у	О
У fdx— fdy f fdx. 3.1.55.
arcsin у
тг — arcsin у
48
О
Т/з
37/12
3.1.56. f dy
0
2а
2\/2а 2а
si
4а
О
+у/а2-у2
О
У2
4а
2
3.1.57. Л
1//2
3
О
.2
О у/3
2	1//3
о
о
о
3.1.59
о
а/2
о
1/2
'2х
'З
3.1.60.
1/2 О
'г
/ 3—х2
/ fdy.
о
о
о

а\/3
2
а
2
о
а\/3
2
fdx. 3.1.62. тг-2. 3.1.63.
10
543

3.1.64.	3.1.65. 0,5. 3.1.66. |. 3.1.67. 2,4. 3.1.68. 7. 3.1.69. 2,25.
О	о
3.1.70.	Дт. 3.1.71. 22. 3.1.72. (е- I)2. 3.1.73. 0,25. 3.1.74.	3.1.75.
24	12	12	/я-2
3.1.79.
У2 у/1-2у2	1
J dy J f dx. 3.1.80. Jdy
V2 -y/^2	0
arccosx
f fdy.
x — 1
3.1.84.
27
16
2%
4
зу
f
3-y/9^^
2
1+sin x
27	3 + y/9 - 4y	9
16	2	4
f dx + Уdy	У f dx = У dx
9	3 - V9 - 4y	0
4	2
— x% 4-3x
/ fdy-
Iх
7r+arcsin(j/ — 1)
У fdx +
о
— \/ax —x2	2a
У f dy+ Jdx
— \/2ax — x2	a
0
/ fdy =
— y/2ax — x2
a+y/a2 — y2	— 2
У f dx+ J dy
a — y/a2 — y2	°
a+-y/a2 —j/2
/
f dx +
a
“2
fdy
0
о
0
3.1.87.	3.1.88. 1 3.1.89. - j. 3.1.90. Ifl. 3.1.91.	3.1.92. P.
Io	о	2	4oo	2	о
3.1.93.	40тг < I < 184тг. 3.1.94. 138,24 < I < 384. 3.1.95. 5 < I < 12.
3.1.96.	-2(д/2 + 1)тг < I < 2(v^2 — 1)тг. 3.1.97. Подынтегральная функция не
непрерывна при у = 0. 3.1.98. Подынтегральная функция не непрерывна в
точке (0,0). 3.1.99. I < %.
О
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
3.2.3.	—8. 3.2.4. 12. 3.2.5. |(q3/2 “ Р3/2)^пд- Указание. Использовать
формулы перехода к криволинейным координатам у2 = их, ху = v, т. е.
544

х = (	, у = (uv)1/3, |J| = - —, |J(u, v)| = —. Новая область
\ и J	oU	OU
интегрирования G — прямоугольник, а исходный интеграл свести к
b q
повторному I № [Jidv. 3.2.6. 54зЦ. 3.2.8. |тга3. 3.2.9. |тг.
О J	J	1о	о	о
а	р
3.2.10.	-бтг2. 3.2.12. ^а3. 3.2.13. Ц^тг. 3.2.14. ?а3. 3.2.15. ^тга4.
9	3	6	64
3.2.17.	£а3. 3.2.18. £а3. 3.2.19. (% - 8—п~-~) «3- 3-2.20. |тгаЬ.
О	о	\о У /	о
Указание. Перейти к обобщенным полярным (эллиптическим) координатам
х = ar cos <р, у = br sin <р. При этом J = abr.
arctg 2	8 cos
3.2.21.	У dip У /(г cos<p, rsinip) г dr.
7г/4	4cos</?
7Г/4	l/cos</?
f(rcos<p,rsinip)rdr. 3.2.23. ±а4. 3.2.24.
о	У
о о
3.2.25.	0,25. 3.2.26. 0,45. 3.2.27. 0,75тг. 3.2.28. 1,5тгЯ4. 3.2.29. 0,625тга2.
3.2.30.	(тг- 3.2.31. £. 3.2.32. 24тг. 3.2.33.	3.2.34. а2,
о \ о/	12	1о
7г/2 acos</?
3.2.40.	у dip у f(r cos<p, г sin ip) г dr.
— 7г/2	а
3.2.22
fe	тг
arct8 а Ь sin </?	2 а cos </?
3.2.41.	У dip У f(r cos ip, г sin ip) r dr + f dip J /(r cos <p, r sin <p) r dr.
о	‘
о
о
. Ь
arctg -
3.2.42.
37Г
4	cosec </?
f У /(rcos<p,rsin<p)rdr. S.2.43.
7Г	0
4
0
b
judu у f(u, uv)dv.
3.2.44. |
2	2-u
1	u-2
1
2
1	2-v
о о
cos ip, \/3r sin ip)r dr.
b q	ir/2 4
3.2.46.	| У v jf (	dv. 3.2.47. ab j dip Jf(VR2 ~ r2) rdr.
a p	0	1
18 Сборник задач по высшей математике. 2 курс	545

3.2.48.
7t/4	sec</?
У dtp у /(г cos <р, г sin р) г dr +
о	о
7г/2	cosec </?
/(г cos <р, г sin p)rdr =
7г/4	О
. 1
тг/2	у/2 arcsin -
J f (г cos р, г sin р) dp + Jr dr J f(r cos <p, r sin p) dp.
о	i	i
arccos —
3.2.49.
/(r cos p, r sin p) r dr
3.2.50. J dp J rf(r)dr=^ Jrf(r)dr+ J	- arccos rf(r) dr.
7г/4	0	0	r>/2
7Г/2
/ sin3 v cos3 v dv
0
0
3.2.53.	3.2.54. ^7T.
cos4v,usm4v)du. 3.2.52. (X +
’	4 Vft2 k2J
§ 3. Применение двойного интеграла
8---------
х + у-1
Указание. { „ 2
I а — У ।
*	3
3.3.16. 6. 3.3.17. | +
3.3.4. И 3.3.5.	- 81п2. 3.3.6. X 3.3.7. X -	3.3.8.
о	2	о	о 2	о
3.3.9. |тг +	3.3.10.	3.3.11. 1 + т- 3.3.13. S = Зтг.
4	8	8	2	4
= Uj	(х = U + ^V — 1,	пло
<	2	|J| = 3. 3.3.14. ^|тг.
= v, (j/ = u- *v + 2,	lby
£ 3.3.18. j. 3.3.19. ^-^(b2-a2). 3.3.20. irab.
4	3	4 v 7
3.3.21. (a2 -b2)ln^. 3.3.24.	3.3.26. ф. 3.3.27. j. 3.3.28.
v ' n	2	6	6	4a
3.3.29.	3.3.30.	3.3.31.	3.3.35. —---------.
105	18	3	sin a cos a
3.3.36. |л/а2Ь2+а2с2 + Ь2с2. 3.3.37.	3.3.38. у -
Указание. Переход к полярным координатам приводит к интегралу
7Г
4 -\/cos
У d<p у у/1 + T^rdr = | -	3.3.39. тгд/2.
о
о
3.3.40. |arctgX +	(1 + 11пЗ). 3.3.42. Зтг. 3.3.44. 1. 3.3.45.
о	2	0x4/	12
546

3.3.56.	3.3.57. |а2. 3.3.58. ab[2^ - ln(2 + v^)].
3157Г/	6	3
3.3.46. 2. 3.3.47. ffira4. 3.3.48. ^а4. 3.3.49. ЦЛ
64	15	2
Указание. Использовать замену переменных х = tt(l — t>), у = uv.
3.3.50. ^(Зтг-2). 3.3.52. Мо(3;4,8). 3.3.53. Мо (^*,£1 3.3.54. Мо (о,
3.3.55.	Мо (О,
3.3.59.	|р2. 3.3.60.	3.3.61. а2 (? - 11 3.3.62. |я2 (% -
о	5	\ 2	/	2 \о 2 /
3.3.63.	Ютг. 3.3.64. 45. 3.3.65.	3.3.66. 49^. 3.3.67. 7,5. 3.3.68.
Z	z4	о
3.3.69.	^га4. 3.3.70. habc. 3.3.71. a) б) |, в) хс = 2, ус =
3.3.72.	3.3.73. §С, ^С, ^С. 3.3.74. т = 8,Мх = Му = ^,
хс = Ус = ^- 3.3.75. 4(т — ri)R2. 3.3.76. 4а2. 3.3.77. 8а2 arcsin f.
3.3.78.	хс = |а, ус = 0. 3.3.79. ^тгаЯ2. 3.3.80. Мх = |а3, Му = |тга3.
3.3.81.	хс = 1а, ус = %. 3.3.82.	3.3.83. Мх = £, Му = 1 -
О	Z	О	Z4	xz
3.3.84.	Jx =4, Jy= 4. 3.3.85. |(Ь - а)(/3 - а). 3.3.86.	- а) In
о	о	и
3.3.87.	— у/З. 3.3.88. ^а2(8 —7г). 3.3.89. Указание. Заменить
О	4	1Z
£ + 7 — и, =	3-3.90.	(6л/3 - 5). 3.3.91. ^а3. 3.3.92. 3v^~2.
u b и и	о	У	2
3.3.93.	3.3.94. |тга3(л/2 - 1). 3.3.95. 8а2. 3.3.96. а2\/2.
О	о
3.3.97. |тга2(3%/3- 1). 3.3.98. Jx = ±-, Jy = 1-. 3.3.99. Jx = Цтга4,
О	XZ	XZ	OZ
т ___ 49 _„4 т __ 35 _„4 п о 1 пп т ___ ттаЪ т _____ тга Ъ т _ тгаЬ /^2  г,2\
J у —	э *А) — - л тго • 3«о«1и0« Jx — д , Jy — д , Jq — д \О> । )•
OZ	ХО	4	4	те
3.3.101. 2^. 3.3.102.
О	о
§ 4. Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение
3.4.2. |.	3.4.3. 777.	3.4.4. 242 j.	3.4.5. i	In (2 - fl	3.4.6. 0. 3.4.7. ±
2	144	3	2	\	8/	48
3.4.9. тгЯ3. 3.4.10. |а2. 3.4.11. f г3 - fl 3.4.13.	3.4.14.
9	о \ о/	35	24
3.4.15.	3.4.16. (3?Г ,п4)а . 3.4.17.	3.4.19.	3.4.20. |(Зтг-4).
о	12	4	35	о
3.4.21. 4,5а2тг. 3.4.22. Д^(3 - -Уб). 3.4.24. Мо
Z	\ о
,о,о). 3.4.25. Мо (0,0,^).
3.4.26. Мо (2,2, ^1 3.4.27. Мо (з,	|1 3.4.29. ^^^(ЗЯ2 + 4Я2).
\ О /	\ о 4/	XZ
3.4.30. ^^(2Я2 + ЗЯ2). 3.4.31. 1ху = 25; Iyz = 9; Ixz = 16.
3.4.33. ^^(а + b + c). 3.4.34. 162тг. 3.4.35.	3.4.36. |(3%/3 - 1).
Z	4	О
547

3.4.37.	3.4.38. |(3тг- 4)а2. 3.4.39.	3.4.40.	3.4.41. 16.
24	о	о	о
4Z?5	4
3.4.42.	3.4.43. 123.4.44. Зтг. 3.4.45. 5тг. 3.4.46. 276тг. 3.4.47. 28.
15а3	21
3.4.48. 18. 3.4.49. ^тг. 3.4.50. ^тг. 3.4.51. ^ah. 3.4.52.	
24	3	15	21
3.4.53. |а2. 3.4.54.	3.4.55. е - 2. 3.4.56. 10. 3.4.57. 2. 3.4.58. 5 - е-4.
У	1U5
3.4.59.	|асЬ(а + Ы-с). 3.4.60. тг. 3.4.61.	3.4.62. 2. 3.4.63.
Z	о	о
3.4.64.	3.4.65. ^a2h. 3.4.66. тгаЬс. 3.4.67. Мо (f,
оо4	У	\5 5 5/
3.4.68.	Мо (у.Цу^у). 3.4.69. Мо (о, 0, ||(6%/3 + 5)}.
3.4.70.	Мо (о,0, |fl(l + cosa)}. 3.4.71. у-(52 + с2), у(а2 + с2), у(а2+Ь2),
М (а2 + 62 + с2) 3 4 72 1МД2 з 4 73 м (Ь2 + с2)1 М (а2 + с2)) М (а2 + fy
12	О	ООО
3.4.74.	Мхг = Муг = 0, Мху = т =	Мо(0,0,1). 3.4.75. 4(4 - 31п3).
3.4.76.	3.4.77.	3.4.78.	3.4.79. 1. 3.4.80. ^тг, ^тг. 3.4.81. £.
о	2	4^2	"	о 2	оои
3.4.82.	е2 — е-2 — 2. 3.4.83.	3.4.84.	3.4.85. (X + ^? + 4Y
15	оо4	15	\р2 ц т /
3.4.86.	^1п2. 3.4.87. |тга3. 3.4.88. ^-тга3. 3.4.89. т^-тга3. 3.4.90.
о	о	21	1U5	о
3.4.91.	Jxy = ^ттаЬс3, Jxz = ^7га63с, Jyz = ^na3bc.
Zoo
3.4.92.	Jxy - ^^(15тг - 16), Jyz = ^г(Ю5тг - 92),
zzo	ю/о
Jxz = ^г(Ю5тг - 272). 3.4.93. ^abh (f +	3.4.94. ^ha4.
10(0	zi \ о 0 J	10
3.4.95.	Mo (o, 0, |c). 3.4.96. Mo (|a, ja, ^a2\ 3.4.97. 55
\4/	\55oU/	o5
Глава 4. Криволинейные и поверхностные интегралы
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода
4.1.5. 0. 4.1.6. In  J-3. 4.1<7. -^1п|. 4.1.8. л/51п2. 4.1.9. ^а3.
2	2	2	15
4.1.10. у \/а2 + 52(3а2 + 4тг2Ь2). 4.1.11. а2у/2. 4.1.12. 2тга2п+1.
ab(a2 + ab 4- Ь2)	п2 /-	/ь _ а
4.1.13.	\	4.1.14. ^-(5^-1). 4.1.18. xQ =b-aJ*—
3(а + о)	о	у п + а
» = 5 + 57i=5=S'» = т•	= т 4Л И-8 + Т1
4.1.22. 2b (b-l— --arcsin —- - -Л.
\	^а2 - b2	а )
548

1 оо /"У . 1.9 ( I \ А	i а2 1 2тг6 + \/а2 + 4тг62\
4.1.23. уа2 + 62 I тгуа2 4- 4тг62 + — In------------------ ).
у	2d	и )
4.1.24.	2тга2л/а2 + Ь2- 4.1.25. |. 4.1.26. Я2. 4.1.27. у. 4.1.28. ||(1(Л/1б- 1).
4.1.29.	24. 4.1.30. |(3\/3 - 1). 4.1.31.	4.1.32. |тга. 4.1.33. £(еа -е~а).
4.1.34.	1п(1 + л/2). 4.1.35. (у,о). 4.1.36. (о, у). 4.1.37.
4.1.38.	( 0,ае4 +^2—-	4.1.39. ^[(1+4тг2)2 -11.
у 4е(е — 1) у	4
4.1.40.	^а2 * Ь2 arctg 4.1.41. ^(56л/7 - 1). 4.1.42. ау/3. 4.1.43.
ао	а	54	\ о /
л л лл	а 2е27Г + ё* а е2* — 2е7Г а ч лк. л i л л лл о 2
4.1.44.	хс = — •=•----ус =	. 4.1.45. 1 + у2. 4.1.46. 2тга .
е" -е2	е* -е2
4.1.4Г.	1(^-1). 4.4.48.	- li?. 4.1.49.	~ « »»• I
4.1.51.	4.1.52. 2а3?^. 4.1.53.	[(Я2 + 4)3/2 - 8]. 4.1.54. al.
4.1.55.	а2(2 — у/2). 4.1.56. а2. 4.1.57. 6. 4.1.58. | [(тг2 + 2) 1 -2у/2].
U
4.1.59.	р2(2л/2-1). 4.1.60. § Г(3л/3 - 1) + | In 3 + _2%/3
о	2 о
Я4л/3
32 ’
4.1.61.
4.1.62.	4.1.63. Smp^. 4.1.64.	при R = hy/2.
а	а	(й2 + Я2)3/2
4.1.65.	^7ГТ^а ? Где а и b — полуоси эллипса. 4.1.66.	.
Л 1	"Ь	V	С f b Г~Ъ-------2 1 /®	Ъ }х
4.1.67.	—-------;-----. Указание. S = I х • а2 — х2 - — \ -----------dx
о a+b	J а	аV а -х
о	’
4.1.68.	^-(л/(р2 + ^)3-р3). 4.1.69. ^?(Ь3-а3).4.1.70. ^-^1п2+^.
Op	О	-LU £
4.1.71.	|(5\/5 - 373). 4.1.72. ^а2.
О	15
§ 2. Криволинейный интеграл второго рода
4.2.2. 1) 269; 2) 395; 3) 143; 4) 311; 5) не выполняется. 4.2.3. 1) 128;
2) 134; 3) 122; 4) 126. 4.2.4. 1)	2) 0; 3)	4) -4; 5) 4.
о	5
4.2.6. —	4.2.7. тг. 4.2.8.	4.2.9. тг(а2 - Ь2). 4.2.11. ЗОтг.
4.2.12. 250тг\/5. 4.2.13. -Ц^. 4.2.14. тга2. 4.2.16. -1. 4.2.17. 3. 4.2.18. -37.
О
4.2.20. 1)	2) 10; 3) -10; 4) — Указание. 2) х = 4 — у2\
о	о
3)
У = 2 - |®2; 4)
О
х = 4cost, у = 2sint, t € [б,	4.2.21. 8. 4.2.22.
12.
549

4.2.23. 2. 4.2.24. |. 4.2.26. 62. 4.2.27. 1. 4.2.28. i + 1п2. 4.2.29. 56.
4.2.30. 2тга(а + Ь). 4.2.31. -тгЛ2соза. 4.2.32. -2. 4.2.33. abc- 1. 4.2.34. 5у/2.
4.2.36. -4.2.37. Х . 4.2.38. (a:2 - у2)2. 4.2.39. In lx + u|--------.
3	3	x 4- у
у/х2 4- у2 4-1	t > У х2 У3
4.2.40. -------. 4.2.41. In |x - y\ +	“ q • 4-2-42- 0- 42-43. 0.
У	X у 2i о
4.2.44.	4.2.45. -4. 4.2.46.	4.2.48. |тга2. 4.2.49. бтга2.
О	5	8
О	2	-j
4.2.50. £а2. Указание. Положить у = tx. 4.2.51. —. 4.2.52. 7-77-. 4.2.53. 2а2.
2	bU	21U
Указание. Положить у = ztgL 4.2.54. —. Указание. Положить у = xt2.
3U
4.2.56.	1008. 4.2.57. 252тг. 4.2.58. 48. 4.2.59. 12тг. 4.2.60. а) 28; б) 30;
в)	16; г) 26; д) 2в|. 4.2.61. а) 814,5; б) 702. 4.2.62. а) б) 2; в) 10;
г)	-1э|. 4.2.63. а) 28; б) 22. 4.2.64. 0. 4.2.65. 2тгаЬ. 4.2.66. 0. 4.2.67. In2.
4.2.68.	За2. 4.2.69. -бтга2. 4.2.70. U = ху +С. ________
4.2.71.	U = xsy — iy3 + sinx + С. 4.2.72. U = у/х2 + у2 + С.
4.2.73.	U = х2 + у2 + z2 + ху + xz + yz + С.
4.2.74.	U = х3 + 2ху2 + 3xz + у2 — yz — 2z + С.
4.2.75.	U = x2yz - 3xy2z + 4x2j/2 + 2х + у + 3z + С. 4.2.76. U = % + К + %+С.
у *	*
4.2.77.	а) |; б) 4.2.78. а) ~ ; б) 0. 4.2.79. 62. 4.2.80. 1.
4.2.81.	i +1п2. 4.2.82. 1 + у/2. 4.2.83. 0. 4.2.84. 73у. 4.2.85. 0.
4.2.86.	In 10. 4.2.87. 0. 4.2.88. 1 - j. 4.2.89. 8. 4.2.90. 12. 4.2.91. -|.
4.2.92.	9. 4.2.93. тг + 1. 4.2.95. 1п(х2 + у2) + С. 4.2.96. Intg | + С.
4.2.97.	2ж + 3у + С. 4.2.98.	4.2.99. -4.
х - у	35
§ 3. Поверхностный интеграл
4.3.2. у/3 (in 2 - i). 4.3.3. 4>/бТ. 4.3.6.	4.3.8. И2^. 4.3.10. 0.
\	2 /	3	У
4.3.11. $abc. 4.3.12.	4.3.13. ^тга8. 4.3.14. 0. 4.3.16. £тгЛ4.
3	2	5	2
4.3.17. 7гДоЯ. 4.3.18. 'lrRAH. 4.3.19.	4.3.20. 0. 4.3.22. 9. 4.3.23. 7.
3	4	8	4
4.3.24.	4.3.25. ^-h4. 4.3.26. £ - 77г. 4.3.27.
10(5л/5 - 1)	2	9	12	2л/3
4	4	7га(3а2 + 2Ь2)у/а2 + Ь2	а
4.3.28. |тгЯ4. 4.3.29. —---------. 4.3.30. хс = ус =
3	12	2^2
Гс = ^(у/2 + 1). 4.3.31. 40а2. 4.3.32.	4.3.33. nR (r(R + Я)2 + |я3).
550

2
4.3.34. ^(2^2-1). 4.3.35. 2а2(тг - 2). 4.3.36. 4атг(а - у/а2 - Ь2).
4.3.37.	(2д/2 — 1). 4.3.38.	4.3.39. 0. 4.3.40. £(1 + л/2).
О	2	2
4.3.41. тг2(а\/1 4- а2 4- 1па + л/1 4- а2). 4.3.42. а4 sin2 а cos2 а. 4.3.43.
z	1о
4.3.44. |тгЯ3(а + Ь + с).
О
Глава 5. Теория поля
§ 1.	Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные
линии
5.1.5.
5.1.2.	(yz,xzjxy). 5.1.3. (2x,2y,—2z). 5.1.4. (уеху, хеху — z2 ,—2yz).
----------2’	----7’ —~2-----2 У 516’ С1’ -12’ ~5)
X2 + у2 + z2 х2 + у + Z2 х2 + у +z2J
5.1.7.	5.1.8. (1,1,-2). 5.1.9. |,оУ 5.1.11. В точках
1 I J	\ 1U О /
окружности: (х —	4- у2 = j. 5.1.12. у = arccos 5.1.13. а) На оси Ох;
б)	на плоскости yOz; в) на плоскости х — ?/ 4- г = 0; г) в точках прямой,
проходящей через начало координат с направляющим вектором /(1, —3,2);
д) в точке 0(0,0,0); е) в точках сферы х2 4- у2 4- z2 = 4.
к
5.1.14.	а) Равнобочные гиперболы у = —, кроме того, объединение двух
координатных осей, образующих отдельную линию уровня; б) окружности
х2 4- у2 = К2; в) прямые х 4- у = С, причем |С|	1.
5.1.15.	а) Концентрические сферы с центром в начале координат; б) ось Oz
и круговые цилиндры с осью симметрии— осью аппликат; в) ось Oz без
2 у2
точки 0(0,0,0) и круговые конусы \ 4—т = z2 без точек 0(0,0,0).
с2 с2
5.1.16.	а) Сферы х2 4- у2 4- z2 = К2; б) поверхность уровня — это
объединение сфер х2 4- у2 4- z2 = R2, х2 4- у2 4- z2 = R%, ..., где {Ri} —
множество корней уравнения f(t) = с при фиксированном с. 5.1.18. у = Сх.
5.1.19.	х2 — у2 = С. 5.1.20. х2 4- у2 = С. 5.1.21. Прямые с направляющим
вектором £(а, Ь, с). 5.1.22. Прямые, получающиеся при пересечении
плоскостей х — у = Ci (у — z) с плоскостями х — у = Cq(z — х).
Указание. Интегрируемые комбинации имеют вид:
d(x — у) d(y — z) d(z — х)
----------------= --------. 5.1.23. Винтовые линии, параметрические
у — X Z — у х — Z
х = Ci cos t 4- С2 sin i,
Уравнения которых у = Ci sin t — C2 cos i,
Указание. Составьте и решите
z = at 4- C3.
нормальную систему дифференциальных уравнений.
5.1.27.	(и • <р'(и) 4- <^(и)) • grad и. 5.1.31. /'(г) • £. 5.1.32. с.
551

5.1.34.	= — 4?- Указание. Используйте задачу 5.1.31. 5.1.35. Эллипсоиды
ut г2
2	У2	2
—- Ч----- Ч---- = 1 (t > 0) и точка 0(0,0,0). 5.1.36. Цилиндры х2 Ч- у2 = R2 •
ta2	tb	tc2
5.1.38.	arccos —5.1.39. В точках, лежащих на конусе х2 = у2 Ч- z2.
Зл/10
5.1.40.	Сферы х2 Ч- у2 Ч- z2 = R2. 5.1.41. Указание. Рассмотрите градиенты
этих полей. 5.1.42. Линии пересечения гиперболических цилиндров:
х2 — у2 = ci и х2 — z2 = (?2. 5.1.43. Прямые, общие уравнения которых:
I х СуУ'* 5.1.44. О. 5.1.45. Да. Например, если U = V Ч- С. 5.1.46. Нет.
(у = C2Z.
Например, у полей U = х2 Ч- у2 Ч- z2 и V = Ч- г/2 Ч- один и тот же набор
поверхностей уровня. 5.1.47. Нет. 5.1.48. Да. Например, если Fi = С • F2, где
С — константа. 5.1.49. Например, U = х Ч- у Ч- z и V = х + у — 2z.
5.1.50.	Вдоль лучей, исходящих из начала координат. 5.1.51. Пересечение
плоскостей тх Ч- пу Ч- lz = С\ со сферами х2 Ч- у2 Ч- z2 = С2.
Указание. Интегрируемыми комбинациями являются т dx Ч- п dy Ч-1 dz = 0 и
х dx Ч- у dy Ч- z dz = 0. 5.1.52.  -Ц—- • grad U • grad V. 5.1.53. Они
|grad V|
перпендикулярны в точках их пересечения. 5.1.54. Нет.
§ 2.	Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
5.2.2.	divF = 0, rotF = О. 5.2.3. divF = 3, rotF = О. 5.2.4. divF = О,
rot F = О. 5.2.5. div F = 0, rot F = (у — z)i 4- (z — a;)j 4- (x — y)k.
5.2.6.	div F = 2(xy + yz + xy), rot F = — y2 • i — z2 • j — x2 • k.
5.2.7.	div grad U = U"x + U”y + Uzz = Atf, rot grad (7 = 0. 5.2.9. 4r.
5.2.10.	3/(r) 4- r • f'(r). 5.2.14. div((7 • grad V) = grad U • grad V 4- U • AV.
5.2.19.	|(r x c). 5.2.20. (-1, -1, -1). 5.2.21. (2a: + 1, z2,2yz).
5.2.28.	a) V • (V(7); б) V • (V x F); в) V x (V x F); г) V x (V(V • F)).
5.2.24.	Указание. Воспользуйтесь результатами задач 5.2.7 и 5.2.18.
5.2.25.	Указание. Сравните с задачами 5.1.25, 5.2.12, 5.2.16.
5.2.26.	Указание. Сравните с уже доказанными свойствами градиента
скалярного поля и дивергенции и ротора векторного поля. 5.2.27. divF = О,
rot F = — i — j — k. 5.2.28. div F = x 4- у 4- z, rot F = —y • i — z • j — x • k.
5.2.29.	div F = 3(я2 Ч- у2 4- z2), rot F = (1 — 2z) • i 4- (1 — 2x) • j — (1 — 2y) • k.
5.2.30.	divF = -(^ + ^| + ^\
у z J
rot F = ^(y - z) • i + ^(z - x) • j - ^y(x - y) • k. 5.2.31. тг. 5.2.32. 2.
5.2.33.	На плоскости z = y. 5.2.34. Вдоль прямых, проходящих через начало
координат, с направляющими векторами (1,1,1), (1, —1,1), (1,1, —1) и
(1, —1, —1). 5.2.35. Вдоль прямой, проходящей через начало координат, с
направляющим вектором /(1,1,1). 5.2.36. 0. 5.2.37. а • Ь. 5.2.38. 4г • а.
/'(г)
5.2.39.	2с. 5.2.40. а х г. 5.2.41. а х Ь. 5.2.43. divF = (г с),
552

rotF = —^-(г x с). 5.2.44. Указание. Воспользуйтесь задачей 5.2.10.
5.2.45.	/"(г) + I • /'(г); /(г) = С2 -
5.2.46.	2/(г) • с + Ц-Нс • (г • г) - г(с • г)]. 5.2.49. VF = 4(г • с);
т
V х F = ±(г х с); V2F = -1С.
т	г
§ 3.	Поток векторного поля
5.3.2.	1. 5.3.3. 0. 5.3.4. 1. 5.3.5. 2тгЯ3. 5.3.6. 0. 5.3.7. 0. 5.3.8.
2	10
5.3.12.	ttR2H. 5.3.13.	5.3.14.	5.3.15. 2. 5.3.16. 8тг. 5.3.17. 0.
12	24
5.3.19.	—ЗтгК2. 5.3.20.	Указание. При вычислении тройного интеграла
5
перейти к сферическим координатам. 5.3.21. tvR2H. 5.3.22. —1. 5.3.23. 0.
5.3.24.	—тг/?3. 5.3.25.	5.3.26. Збтг. 5.3.27. 0. Указание. Показать, что
О	о
F п = 0. 5.3.28. у/2. 5.3.29.	5.3.30. 0. 5.3.31. 12. 5.3.32. -12. 5.3.35. 0.
О
5.3.36.	5.3.37. а) ^^К2; б) Указание. Воспользоваться формулой
О	0	0
Гаусса-Остроградского. 5.3.38. 0,8тга5с. Указание. Воспользоваться
формулой Гаусса-Остроградского; перейти к эллиптическим координатам.
ЛГ г
5.3.40.	Указание. Воспользуйтесь равенством = grad U • п и формулой
Гаусса-Остроградского. 5.3.41. Указание. Воспользоваться формулой
Гаусса-Остроградского и задачей 5.2.11.
§ 4. Циркуляция векторного поля
5.4.3.	тг. 5.4.4. 1. 5.4.5. 24. 5.4.6. j. 5.4.7. 2тга. 5.4.8. 0. 5.4.9. -24.
5.4.10.	4тг. 5.4.12. 0. 5.4.13. -2тгЯ2. 5.4.14. -2тгЯ2. 5.4.15. -^. 5.4.16.
5.4.18.	0. 5.4.19. 0. 5.4.20. |. 5.4.21. а) 2тг; 6) 0. 5.4.22. |. 5.4.24. 0.
Указание. Вычисление потока свести к вычислению потока через круг
х2 4- у2 1, расположенный в плоскости хОу. 5.4.25. тг. 5.4.26. 2о>тг.
5.4.27.	5. 5.4.28. 12тг. 5.4.30. а) 2тг или —2тг в зависимости от направления;
х/б	qr
б)	0. 5.4.32. ——. 5.4.33.	5.4.34. 0. Указание. Воспользуйтесь
задачей 5.2.7 5.4.35. а) Внутренность тора; б) шар без внутренней точки;
в)	внутренность тора без внутренней точки. 5.4.36. Нет, это верно, только
если Q — поверхностно односвязная область (см. задачу 5.4.21 а).
5.4.37. Нет, они могут отличаться знаком, даже если поле F непрерывно
дифференцируемо.
553

§ 5. Потенциальные и соленоидальные поля
5.5.2.	Да. 5.5.3. Нет. 5.5.4. Нет. 5.5.5. Нет. 5.5.6. Да.
5.5.7.	U = 1(а:3 + у3 + z3) + С. 5.5.8. U = xyz + С.
5.5.9.	U = zx + yz — х2 — у2 + С. 5.5.10. U = xy2z3 4- yz2 + z + С.
5.5.11.	U = х2у3 — cos(a;22/) 4- С. 5.5.13. Указание. Воспользуйтесь
задачей 5.5.12 и теоремой Стокса. 5.5.14. 0. 5.5.15. 0. 5.5.17. 8. 5.5.18. 2.
5.5.19.	Да. 5.5.20. Да. 5.5.21. Да. 5.5.22. Нет. 5.5.23. а) Нет; б) да.
5.5.24. а) Да; б) нет. 5.5.25. 0. 5.5.26. Да. 5.5.27. Нет. 5.5.28. Нет.
5.5.29.	U = x2yz 4- xy2z 4- xyz2 4- С. 5.5.30. U = Зх2у — 2yz — х2 4- z.
5.5.31.	Да. 5.5.32. Нет. 5.5.33. Да. 5.5.34. -2. 5.5.35. 1. 5.5.36.
5.5.37.	0. 5.5.40. a) F(l, 1,1) = grad (х 4- у 4- z) = rot (z, х, ?/); б) F(x,y, z);
г
в) F(z,a;,2/); г) F(ar,z,O). 5.5.43. Да. 5.5.44. U = Jf(r)rdr.
Г0
Указание. Воспользуйтесь задачей 5.1.31 и получите уравнение U' = г • f(r).
5.5.45. Обратное не верно, с(1,0, —1), F(z,a;,?/); F— не потенциально, но
с х F = xi — (z 4- ?/)j 4- xk — соленоидально. 5.5.46. Нет; этому условию не
удовлетворяют поля Fi = г и F2(l, 1,1). 5.5.47. Нет; этому условию не
удовлетворяют поля Fi(l, 1,1) и Fziz^y). 5.5.49. Нет; рассмотрите
Fi(z,ж, j/), F2(l, 1,1).
Глава 6. Теория вероятностей
§ 1.	Элементы комбинаторики
6.1.3.	3360. 6.1.4. 372. 6.1.5. 216. 6.1.6. 84. 6.1.7. 12. 6.1.8. 34. 6.1.11. 27 216.
6.1.12. 60. 6.1.13. 32 760. 6.1.16. 5040; 210. 6.1.17. 48; 72. 6.1.18. а) 720;
б)	60; в) 6; г) 3. 6.1.19. 576. 6.1.23. 35. 6.1.24. 8. 6.1.25. а) 21; б) 4620;
в) 420; г) 792. 6.1.26. 255. 6.1.27. 25 225 200. 6.1.28. 1260. 6.1.33. 512.
6.1.34. 729. 6.1.35. 126; 6; 15. 6.1.36. 56. 6.1.37. 1260. 6.1.38. 420; 210.
6.1.39. 6561. 6.1.40. а) 24; б) 60. 6.1.41. 112 500. 6.1.42. 380. 6.1.43. 729.
6.1.44. а) 48; б) 100; в) 60; г) 12. 6.1.45. 172 800. 6.1.46. 18. 6.1.47. 2520.
6.1.48.	1036800. 6.1.49. 70560. 6.1.50. 125. 6.1.51. 371. 6.1.52.
(9!)4
6.1.53. 96. 6.1.54. 7920. 6.1.55. 240. 6.1.56. 572. 6.1.57. 729. 6.1.58. 11880.
6.1.59. а) 7; б) 462. 6.1.60. 277200. 6.1.61. 96. 6.1.62. 12348. 6.1.63. 62; 20.
6.1.64. 570. 6.1.65. 512. 6.1.66. 30. 6.1.67. 28800. 6.1.68. 190. 6.1.69. 15368.
6.1.70. 19. 6.1.71. 512. 6.1.72. „ 15J—г. 6.1.73. 46080. 6.1.74. 126.
29 • З3 • 53
§ 2.	Случайные события. Действия над событиями
6.2.3.	П = {1,2,3,4,5,6}; Ai = {2,4,6}; А2 = {4, 5,6}; А3 = {0}.
6.2.4.	a) Q = {П,Н,В}; б) Q = {ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР, РРР, РРГ, РГР, РГГ};
554

в) Q = {п : 0 п N, nE Z},N — число студентов в группе.
6.2.5.	Несовместимые: Аз и А4, А5 и Aq; совместимые: Ai и А2, А7 и As.
6.2.6.	а) Да; б) нет; в) да; г) да. 6.2.9. а) Желтая или белая роза;
б) красная или желтая роза; в) 0; г) белая роза; д) любой цветок; е) белая
роза. 6.2.10. a) Ai • А2 • A3; б)
АрА2-Аз+АрА2-Аз+АрА2-Аз+А1 -А2-Аз+А1 -А2-Аз+АрА2-Аз+АрА2-Аз =
= Ai + А2 + A3 = Ai + А2 + A3 — AiА2А3 = Ai • А2 • Аз.
6.2.11. а) А + В = {1,2,3,4,5,..., 12} = Q; б) А • D = {1,3,5};
в) C — D = {1,2,3,4,5,6}; г) ТГВ - С = {1,2,3};
д) AD = {1,2,3,4,5,6,8,10,12}; е) А -_В = 0. 6.2.12. а) АВС; б) АВС;
в) А + В + С; г) АВ + АС + ВС = АВС + АВС + АВС + АВС;
д) АВС + АВС + АВС; е) АВС; ж) АВС = А + В + С = АВС + АВС +
+ АВС + АВС + АВС + АВС + АВС = А + В + С - АВС. 6.2.13. a) D; б) С;
в) 0; г) 0. 6.2.14. а) {3,4}; б) {2, 5}; в) {5}. 6.2.15. В = Ai + А2 + А3;
В = Ai • А2 • A3. 6.2.16. В = Ai • А2 • Аз; В = Ai 4- А2 + A3. 6.2.20. А • В.
6.2.21. А + А • В + А + В = ... = Q; А • АВ = 0; А • (А + В) = 0;
А • В • (А + В) = 0. 6.2.22. а) 0; б) А + В; в) Q. 6.2.24. А; В; В + С.
6.2.25. а) неверно; б) верно; в) неверно. 6.2.26. нет. 6.2.27. а) да, если
А = 0, В = Q; б) нет. 6.2.28. a) Q = {Г, РГ, РРГ, РРР};
б) Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, Р, Г}. 6.2.29. Q = {(01,02,03,04)}, где о» принимает
любое значение из множества {0,1,2,..., 9}; пространство Q содержит
А10 = 104 = 1000 элементов.
6.2.30. a) Q = {12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43}; б) Q = {3,4,5,6,7}.
6.2.31. а) невыигрыш; б) все промахи; в) хотя бы один промах; г) более двух
попаданий; д) не старше. 6.2.32. a) Y; б) X + Y + Z. 6.2.35. а) 0; б) А + В;
в) АВ + АС + ВС. 6.2.37. а) А = Ai • А3 + А2 • А4;
б) А = Ai(A2 + A3) + (А4 + А5), А = (Ai + А2Аз) • А4 • А5.
6.2.39. Qi = {6, 7, ..., 10, В, Д, К, Т}, Q2 = {П, Ч, Т, Б}, Q3 = {К, К},
О2 = {cui,a>2}..., где В — валет, Д — дама,...; П — пики, Ч — черви,...;
К — картинка; cvi — красной масти, Ш2 — черной масти. 6.2.40. 8 (0 € Q).
6.2.41. 8; А = {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ}; В = {ГГР, ГРГ, РГГ}. 6.2.42. а) Нет;
б)	да; в) нет. 6.2.43. а) А С В • С; б) В С А, С С А.
6.2.44.	В = Ai • (А2 + A3 + А4) • А5; В = Ai + А2А3А4 + А5.
6.2.45.	В = (Ai + А4) • Аз • (А2 + А5). 6.2.47. а) X = А; б) X = С.
6.2.48.	а) верно, если А = Q; б) верно, если А = 0; в) А = В. 6.2.49. АВ = 0.
§ 3. Вероятность случайного события
6.3.4.	.)	6) j; в) А; г) Ц. 0.3.5. 1 1<Г‘. 0.3.0. А. 0.3.7.
6.3.8.	а) б) 6.3.9.	6.3.10. « 0,21 • 10~2; « 0,39. 6.3.11. а) « 0,41;
’ 4 ' 28	2
Ч а 0,44; в) « 0,14. 0.3.12. .)	6) в) 0.3.13. ±. 0.3.17. 1 - ±.
555

6.3.18.	« 0,41. 6.3.19.	6.3.20.	6.3.21. « 0,1. 6.3.22. 0,6. 6.3.23. w 0,37.
У	О
6.3.30.	6. 6.3.31. и 0,33. 6.3.32. a) « 0,0002; б) ~ 0,69; в) « 0,21. 6.3.33. |.
6.3.34.	» 0,21. 6.3.35. a) 6) A. 6.3.36. a) 0,125; 6) 0,875.
6.3.37.	a) 36530 335! > 6) 36529 , в) Зб5зо , r) 0, Д) e) •
6.3.38.	« 0,94. 6.3.39. a) ~ 0,13; 6) « 0. 6.3.40. |. 6.3.41. z 1
o	n(n — 1)
6.3.42.	6.3.43. » 0,077. 6.3.44. a) » 0,02; б) и 0,35. 6.3.45.
л л 21 л о * —	\	49 .	26 л q aq \	1	992 . >-\	1	128
6.3.46.	19Q. 6.3.47. ) 1140 , 6) g5- 6.3. 8. a) 58905, 19635>6) 6561 > 2187’
6.3.49.	0,64. 6.3.50. « 0,6. 6.3.51. Л- 6.3.52.	6.3.53. 0 при r
lb	32	d
1 -	при О < г <	6.3.54. i 6.3.56. « 0,015. 6.3.57.
aJ	6	4	2 • п
6.3.58.	^-4. 6.3.59. » 0,0001. 6.3.60. и 0,2. 6.3.61.	6.3.62. |.
2 • п	4	6
6.3.63. и 0,03. 6.3.64. <
при 0 < а 1;
\/а2 — 1 + а2 — arccos , при 1 < а а/2;
1, при а > у/2.
6.3.65.	6.3.66. Цг. 6.3.67. 0,25. 6.3.68.	6.3.69. 0,6.
1152	тгь	2
§ 4. Условная вероятность
6.4.2.	6.4.3.
10
0. 6.4.4. |. 6.4.5. |. 6.4.8. а) да; б) нет. 6.4.9. нет.
2 (	О	О
6.4.10. Указание. Использовать формулы А = АВ 4- АВ;
А = А(В + В) = АВ + АВ. 6.4.11. P(Ai) = Р(А2) = Р(А2 | Л1) =
P(Ai • А2) = ( —j P(Ai I А2) = —зависимы, совместимы.
\оА b/	оАо
6.4.14. « 0,69. 6.4.15. jig. 6.4.16. « 0,11. 6.4.17. 0,79. 6.4.21. а) 0,48;
б) 0,32; в) 0,44; г) 0,92. 6.4.22.	6.4.23. |. 6.4.24. 0,999. 6.4.25. 0,127.
11	о
6.4.26. а) » 0,33; б) » 1. 6.4.27. а) 0,25; б) 0,9744. 6.4.28. 0,5. 6.4.29. |; |.
6.4.30. |. 6.4.31. да. 6.4.32. 0; |. 6.4.33. |. 6.4.34. и 0,98. 6.4.35. и 0,47.
6.4.36. » 0,43. 6.4.37. а) 0,375; б) 0,46; в) 0,18. 6.4.38. а) » 0,77; б) » 0,99.
6.4.39. а) и 0,19; б) » 0,56; в) « 0,70. 6.4.40. 0,1924. 6.4.41. а) « 0,28;
б) » 0,011. 6.4.42. а) б) 6.4.43. Без возвращения: a) * , б) 0; с
и 11	DU4U
возвращением: а) 10“4, б) 10“4. 6.4.44. 0,8. 6.4.45. а) 1; б) 1; в) 1.
556

6.4.46. a) » 0,86; б) « 0,13. 6.4.47. n > 9. 6.4.48. a) 6)
12o	12o
6.4.49.	a) 18Q; 6) 36Q; в) 36().
6.4.50.	He найдет. 6.4.51. 0,82. 6.4.52. 0,625.
6.4.54.	He всегда. 6.4.55. a) 6) |. 6.4.56. а) да; б) да. 6.4.58. a)
б) Л- 6.4.59.	6.4.60. 0,5. 6.4.62. Зависимы. 6.4.63. n
63	12	Ig(l-p)
q
6.4.64.	6.4.65. 1- (рб(1 - QiQ2)(l - Q3Q4) + Q5(piP3+P2P4-Р1Р2Р3Р4)).
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
6.5.3.	6.5.4. Pi = 0,8 = Р2. 6.5.5. ||. 6.5.6. 0,6448. 6.5.7. 0,915. 6.5.10. |.
6.5.11.	» 0,997; » 0,9998. 6.5.12. 0,48. 6.5.13. Л- 6.5.14. 0,108; % « 0,44.
3U5	11	У
6.5.15. а) и 0,54; б) Д » 0,46. 6.5.16.	6.5.17. « 0,5; « 0,009.
13	13	(
6.5.18.	0,3. 6.5.19.	6.5.20. |. 6.5.21. 0,8402. 6.5.22. |i. 6.5.23. 0,334.
12 000	а	’	84
6.5.24.	0,16. 6.5.25. 0,946. 6.5.26. 0,7pi +0,Зр2. 6.5.27. 0,0445.
6.5.28.	А. » 0,53. 6.5.29. « 0,59. 6.5.30. « 0,230. 6.5.31. Первая. 6.5.32.
15	1о
6.5.33.	а) 0,41; б) 0,619. 6.5.34.	6.5.35. 0,043. 6.5.36.	№ 0,817.
OU	OU
6.5.37.	а) б) 6.5.38. « 0,07. 6.5.39.	+ 7-^— + 7-^-) •
7 495	7 55	\ 1 + ci 1 + с2 1 + сз / 3
§ 6. Схема испытаний Бернулли
6.6.4.	0,027; 0,189; 0,441; 0,343. 6.6.5. « 0,055. 6.6.6. 7. 6.6.7. « 0,528.
6.6.8.	« 0,64. 6.6.9. ||. 6.6.10. а) « 0,324; б) 4. 6.6.11. а) « 0,007; б) 1;
в) и 0,41. 6.6.12. а) и 0,383; б) « 0,853. 6.6.13. а) одну из двух; б) не менее
четырех из восьми. 6.6.14. 29. 6.6.15.
и 0,20. 6.6.16. а) 4т; 6)
З11
» 0,181.
6.6.17.	и 0,121. 6.6.18. а) « 0,430; б) » 0,149. 6.6.19. а) « 0,32; б) « 0,394;
в) « 0,168. 6.6.20. « 0,902. 6.6.21. и 0,038. 6.6.22. « 0,08. 6.6.23. » 0,35.
6.6.24.	29 п 35. 6.6.25. а) « 0,35; б) « 0,05.
6.6.26.	(n-m + 1) -рт • qn~m. 6.6.27. а) б) |. 6.6.28.	-С£п_т.
6.6.29.	|;	6.6.30. 0,135. 6.6.31. « 0,001.
3 У
§ 7. Приближенные формулы в схеме Бернулли
6.7.3. а) и 0,168; б) » 0,423 (е~3 и 0,0498). 6.7.4. а) « 0,162; б) и 0,998
(е~6 и 0,0025). 6.7.5. а) » 0,09; б) и 0,270; в) е~2 « 0,135. 6.7.6. а) « 0,784;
б) » 0,342 (е-4 ss 0,0183). 6.7.9. 10 из 80. 6.7.10. « 0,016. 6.7.11. « 0,023.
6.7.12. « 0,056. 6.7.15. а) « 0,002; б) « 0,5. 6.7.16. « 0,91. 6.7.17. 133.
557

6.7.18. « 0,993. 6.7.19. « 0,865. 6.7.20. и 0,762. 6.7.21. а) и 3,8 • 10-5;
6) и 0,865. 6.7.22. » 0,012 (е~3 и 0,0498). 6.7.23. и 0,95. 6.7.24. а) и 0,097;
б) « 0,76. 6.7.25. и 0,001. 6.7.26. и 0,944. 6.7.27. а) « 0,025; б) « 0,206.
6.7.28. а) и 0,019; б) « 1; в) « 0,938. 6.7.29. 15 т 45. 6.7.30. и 0,0029;
» 0,0031; » 0,00012. 6.7.31. « 0,503. 6.7.32. да. 6.7.33. п > 29. 6.7.34. 82.
6.7.35. 392. 6.7.36. а) 207 т < 273; б) 753.
§ 8. Дискретные случайные величины
{0,
0,25,
0,75,
1,
х О,
О < х 1,
1 < х 2,
2 < х.
6.8.15. а
Уг	0	1	3	5
Pi	0,25	0,50	0,20	0,05
6.8.17.
Zi	2	3	4
Pi	0,12	0,46	0,42
Wi	0	2	3
Pi	0,30	0,28	0,42
558

6SS
Z‘O 
ZI‘O	^‘0	K‘O	гг‘о	80‘0	
0	I-	z-	£-	f—	
08'8'9
Vo = {(г = x) I (s < л + x)W (я
: 8г‘о = {s < л + x}d!
ог‘о	80‘0	^‘0	8l‘O	8Г0	
L	9	9		£	ffi+ tx
(9
08‘0	80‘0	O£‘O	t^‘O	8l‘O	rd
ZI	8	9		Z	rz
(в '68'8'9
‘I
sz‘o
S8‘0
‘0
> = (*) d
I	z	I	rd
Z	I	0	rx
'88'8'9
(9 '6T'8'9 8‘0 (9 -90*0 = 3 (» '8T'8'9 Ц = {(Z < Z) I V > Z)}d

6.8.32.
Xi	2	3	4	5		N	
Pi	р2	2р29	3pV	4р2д3		(N - 1)р2д"-2	
6.8.34. Все, кроме 6n-
qN +NpqN~1
6.8.33.
Zi	1	2	3
Pi	0,3	0,5	0,2
6.8.35. а) с = 2; б) 6.8.36. а) Нет; б) нет; в) нет, г) да; д) да; е) нет.
6.8.37. Нет. 6.8.38. Нет. 6.8.39.
yi	0	V2 2	1
Pi	1 e*	1	1
		ND № 1	CM 1
§ 9. Непрерывные случайные величины
6.9.2. к = b = j. 6.9.3. а) а = с = 1;
и и О
' f-|sina:, х € [-тг,0];	1
б) f&) ~ \ 2	в) pi = -; рг = 0.
[0,	в остальных случаях;	*
6.9.4. А = 4, В = 16; Р(С) » 0,118. 6.9.8. b =
v 7	841
10, х < 0,
<5,8, а) » 0,324; б) » 0,676. 6.9.9. а =
841
1,	5,8 х;
F(x) = | arctg е®, х € R. 6.9.10. а) |;
(О,	х -2,
i + i arcsin -2 < х < 2, в) р = |. 6.9.11. Вероятнее в
1,	х > 2;
560

10,
0,5# + 0,5,
# —3
6 ’
0,
6.9.14. a) f(x) = {З 1П3,
(о,
0,125#,
0,5,
0,5# - 2,
1,
при х 0,	2
при х > 0;	3
6.9.16. a) a = 1,6 = 0;
I cos
6) f(x) = {
I0,
6.9.18. a) a = |,6 = |; 6) f(x) =----------—— , x G R. 6.9.19.	6.9.20. A = 1,
2	7r(4 + # )
_3_.
40’
в) p = 0,5. 6.9.17. a) 1; в)
F(x) =
0,	x < 0,
1 — e-a:(# + l), ar^O.
0,	x < —4,
3
5
3
5 * 20
1,
3#2
80 ’
6.9.22. F(x) = <
0,
1 _
5
1,
#2
4 1
x2
4 ’
6.9.21. A =
< x 0,
<5 Л P = Ik- 6.9.23. Нет. 6.9.24. а) Да;
, x < 4	80	'
4
/5
2

2
б) нет; в) нет; г) нет; д) да. 6.9.25. a)a = i,6=i,c=l;
f 1
б) f(x) = 2
x
6.9.28. p и 0,816;
6.9.26. а) а = -1, b = 4,
(^0,	в остальных случаях.
с = -3; б) Р(А) = 0, Р(В) = 1, Р(В) = |. 6.9.27. А =
7	(1-0,5е-Ла:
(°,
Я1) = Зя:5 -2х3
15
Сборник <а.ы*1 но высшей математике. 2 курс
561

X
6.9.29. F(x) = ( —1—
J Зч/2?
_ (* + 2)	-i	/ x 4- 2 \
• e 18	dt = | + Фо ( з ) > где
Фо (я) = -4= [ е~ 2 dz. 6.9.30. А = 1; F(x) =
V2wJ
О
а? < —1,
-1 < х О,
О < х < 1,
1 < т;
н
§ 10. Числовые характеристики случайных величин
6.10.3.	i- 6.10.4. 1,3; 2,5; 0,81; 0,9. 6.10.5. 1,8; 0,6л/2.
24 24 576	24	8
6.10.6. 7. 6.10.9. 77. 6.10.10. а; 6.10.11. 0,5. 6.10.12. Р{Х = 3} = 0,3;
х/п
Р{Х = 2} = 0,1. 6.10.13. ai = 3; а2 = 10; а3 = 35,4; а4 = 130; щ = 0; ц2 = 1;
дз = -0,6; ц4 = 2,2. 6.10.15. |;	6.10.16. |; Х; |. 6.10.17. |; 1.
6.10.18. 0; 50; 5%/2. 6.10.19. ?;	- 2. 6.10.21. 0; 0; 10,25 = -a; z0,5 = 0;
2 4
so,75 = а. 6.10.22. М(Х) =	» 2,57; М0(Х) = 3; Ме(Х) = № » 2,60.
6.10.23. 2; </4; |
л/2. 6.10.24.
Xi	-1	5
Pi	0,4	0,6
6.10.25. 2,5; 1,25.
6.10.26. 1-Х 14|к- 6.10.27. 0,75; 0,4375; » 0,66. 6.10.28. а) 0,7 и 0,21;
49 2500	'
б) 6,0475 и » 2,46. 6.10.29. 1,73; 3,109; 0,1161; » 1,353. 6.10.30. |тг; ^g+2.
6.10.31. 3,3; 1,82; 0,45; 1,5876. 6.10.32. 0,32. 6.10.33.
X i	-3	-1	1	3
Pi	1 8	3 8	3 8	1 8
М(Х) = 0; D(X) = 3. 6.10.34. А = -0,6; Е = -0,8. 6.10.35. а4 = М(Х) = 3,
а2 = М(Х2) = ^, аз = М(Х3) = D(X) = |. 6.10.36. 7 = 2; 1; |.
6.10.37.	6.10.38.	|;	6.10.39. а) б) X; в) -1-.
Z IZ z	2 4	4	о io 3v2
6.10.40. а) -Х-; б) Ц-; в) 0. 6.10.41. а) 2; б) 2; в) у/2. 6.10.42. а) 0; б) 0;
in 3	In2 3
б) 0; г) 0. 6.10.43. 0; 0. 6.10.44. 5;	5; 2,5; 5; 7,5. 6.10.45. 4. 6.10.46. 0,601;
О
» 0,432; 0; и 0,724. 6.10.47. 6,16; 11,3344; 292,69; -0,722. 6.10.48. |.
6.10.49. пр; npq. 6.10.53. дг = Q2 — а?; Дз =	— 3qiQ2 + 2а?;
д4 = а4 - 4аю3 + 6а?а2 - За?. 6.10.54. М(Х) = a; D(X) = 2а2. 6.10.55.	0;
562

1. 6.10.56. M(X) ss 1,88; а2 » 3,55; Д1 = 0; д2 = 0,02. 6.10.57. А = у;
М(Х) = D(X) = ss 3,40. 6.10.58. Не существует.
У	о!
§11. Важнейшие распределения случайных величин
6.11.2. 2; 1,8. 6.11.3. 0,63. 6.11.4. 200. 6.11.6. 0,324; 0,569. 6.11.7. 2; » 0,323.
6.11.8. 4; « 0,433; е"4 « 0,0183. 6.11.10. а) М(Х) = 3,439; б) М(Х) = 10.
6.11.11. 2,8525; « 0,225. 6.11.12. » 0,08. 6.11.15. 0,4.
!0, х < —1,
6.11.17. а) /
6
1,	5 < х.
*€[4,7],
о, [4,7];
</з	(1
б) 5,5; в) 0,27. 6.11.18. /(ж) = 8’
2	(О,
а:е[ 2,6Ь М(Х) = 2, D(X) =
х^[-2,6];	3
6.11.20.	F(t) = 1 - e-0,2t; М(Т) = 5; D(T) = 25; ss 0,451.
6.11.21.	F(x) = J °’	Ж<°’ a(X) = |; p ss 0,77. 6.11.22. 333|;
11 —e-0’4, OO;	3’
ss 0,30. 6.11.23. ss 0,95. 6.11.26. ss 0,067. 6.11.27. C ss 0,4578; M(X) = - j;
D(X) = |; F(x) = 0,5 + Фо (tx + |); p = 0,4772. 6.11.28. 64.
6.11.29.	F(®) = 0,5 + Фо (Ж ^0175); P = 0,029. 6.11.30. 4,2; 1,26. 6.11.31. 8.
6.11.32.	288; |. 6.11.33. 2; ss 1,37. 6.11.34. 40; 8. 6.11.35. 2,1; ss 0,79.
6.11.36.	4,3. 6.11.37. 2; и 1,41. 6.11.38. 2. 6.11.39. a) 2; 2; 6) ss 3,8 10-5.
6.11.40.	a) ss 2,5 • IO-3; 6) ss 0,017. 6.11.41. 0,0384. 6.11.42. 3,3616.
6.11.43.	||. 6.11.44. a) 10, 90, ss 9,49; 6) 0,271.
6.11.45. f(x) = J 30
0
при x 6 [0;30],
при x [0;30];
4
F<’>= Sr
Д,
x C 0,
0 < x 30,
30 < x ;
M(X) = 15; D(X) = 75, p = 0,4. 6.11.46. M(XY) = 1; D(XY) = |. 6.11.47. a;
6.11.48. a) 0,4; 6) 0,4; в) 0,05. 6.11.49. A = 4; M(X) = 0,25;
D(X) = 0,0625; p « 0,632. 6.11.50. M(X) = 0,2; p ss 0,98.
6.11.51. p = 0,1084 ss 0,19 (A = 0,0029). 6.11.52. a) ss 0,4065; 6) ss 0,4637;
в) ss 0,5935. 6.11.53. a) 196 и 14; 6) ss 0,51. 6.11.54. 31,5. 6.11.55. » 0,805.
6.11.56. ss 0,954. 6.11.57. M(X) ss 12; D(X) ss 16. 6.11.58. a) ss 0,159;
6) ss 0,136; в) ss 0,683. 6.11.59. ss 19,7%. 6.11.60. 7,2 • 10-5.
611-61- A=^E= 6-11,62- M = p; D
6.11.66. M(X) = 5. 6.11.68. Д4 = (bg0°) ; E(X) = -1,2. 6.11.69. a) p* =
563

р4 = -I; б) А(Х) = 2; Е(Х) = 6. 6.11.71. 4. 6.11.72. р2 = а2; д3 = 0;
А
/14 = За4. 6.11.73. а, а. 6.11.74. F(x) = 0,5 + Фо •
6.11.75. а) а » 0,4292; б) 1,1842. 6.11.76. р = 0,6826. 6.11.77. а = 15,39,
а = 3,26. 6.11.78. —7.
§ 12. Системы случайных величин
6.12.2. а) 0,2; б)
X i	1	2	3
Pi	0,35	0,29	0,36
yi	1	2	3	4
Pi	0,25	0,25	0,20	0,30
!0,	х	0,
0,3	0	<	х	1,
1,	1	<	х.
б) F(x,y) = 1
при		0<2/^ 1	у > 1
x < 0	0	0	0
0 < x 1	0	0,12	0,30
1 < X	0	0,40	1
в) 0,72.
6.12.4.
X\y	0	1
0	0	0,25
1	0,75	0

при	y^O	0 < у sj 1	1 < у
x < 0	0	0	0
0 < x 1	0	0	0,25
1 < X	0	0,75	1
6.12.6
Xi	1	2	2,5
Pi	1 6	1 6	2 3
Pi	1	1,5	2	к ; независимы; 6.12.7. Зависимы, о
Pi	1 2	1 4	1 4	
X\Y	8	9	10
8	0,02	0,03	0,05
9	0,06	0,09	0,15
10	0,12	0,18	0,30
Х\У	У ^8	8<?/^9	9 < у 10	ю < у
х 8	0	0	0	0
8 < х 9	0	0,02	0,05	0,10
9 < х 10	0	0,08	0,20	0,40
10 < х	0	0,20	0,50	1
6.12.10. а)	yi	-2	-1	0	1	;б)	Xi	-1	0	1
	Px=-i	1 7	2 7	3 7	1 7		Ру=-2	1 3	2 3	0
а)
Xi	-1	0	1
Px=Q	3 4	1 4	0
6.12.11.
yi	10	20	30
Px=100	1 4	1 8	5 8
564

б)
Xi	50	100
Py=20	6 7	1 7
; они зависимы. 6.12.13. 0,7; 0,6; 0,21; 0,24; а 0,46;
я 0,49. 6.12.14. 1|;	^i. 6.12.16. а) 0,52; б) 1|; в) 0,58; г) 0,9.
о о4 о	оэ
в-ОЛТ. -1, -1;	8.12.19. 0; 0. 9.12.20. -1; -X; X. §; £.
7-\/205 Л1С й	х /_ч_ J12x(l-x)I 2, х е [0,1],
~765T » 0,15. 6.12.23. а) с - 24, б) /х(х) - |Q	,
/2(2/) = (^(1-г/)2’	;в)Г1(х)=|зх4-8х3 + 6х2, 0<х^
1°’	Ь, 1 < х;
0,	у О,
F2(y) = < Зу4- Зу3 + Gy2, 0 < у 1, г) 6.12.24. а) с = -Ь
б) F(x,y) = (| + | arctg
; в) /Л®) = -
7Г'
v3	r
/2(?/) =------—; г) -. 6.12.26. Зависимы.
7г(3 + у2)	»
fi9p-<3a:+4^ т > О
6.12.28. а) /(«,») = J	’
10,	х < 0,
«чп/ Ч Г (1 — е-3х) (1 — е-4»), ®>0,
б )F(x,y) = l\	п h
10,	х < 0,
( чу
6.12.30. /(у |х)= •{ (1-х)2’
(о,
{2х
(1-1/)2’
о,
в остальных случаях;
остальных случаях.
6.12.31. /1(ж) =
1 — х,
0,
0 у 1,
в

1
1
{J-, 0<у^1,
0,	0 > у, у >
f(y I X) = < _1_
I 1 — X
(°,
зависимы. 6.12.34. а) 0; б) i; в) 0. 6.12.35. с = 24; а) |; |; б) ±; ±;
3	6 18	оо 2о 2о
в) г) 6.12.36. a) txy = -0,2; б) f^x) =	f2(y) =
IО	О	Z	Z
I у) = 1(1 - ХУ3) = /(у I х)-, в) M(Y I X = х) = -к.
Z	о
565

6.12.37. a)
AiAse-*11-*2”,
О,
х О, у О,
О)
х < 0, у < 0;
М(У) = -к 6.12.38. а)
Аг
x\y	0	1
0	0,02	0,18
1	0,08	0,72
в) М(Х) =
Л1 + Л2	Л1
Xi	0	1
Pi	0,2	0,8
6.12.46. М(Х) = 70, М(У) = 21,5; D(X) = 600, D(Y) = 62,75; а(Х) и 24,5,
<т(У) » 7,92. 6.12.47. 0. 6.12.48. Kxy = 45; rXY и 0,23. 6.12.49. D = 0,02;
зависимы; Af(X) = 1,95; М(У) = 5,4; D(X) = 0,5675; Р(У) = 0,84;
а(Х) и 0,75; а(У) « 0,92; Kxy = 0,08; гХу я 0,12. 6.12.50. а) с =
1	1	3 — х/3 ’
б) fi(x) = |(sinx + cos®), fi(y) = |(sinj( + cosj,); в) —— » 0,32. ’
...	,	f ,	внутри эллипса,
6.12.51. a) f(x,y) = M2ir’
lO, вне эллипса;
( _L . ^/16 - x2,
6)/i(x) = < 8тг
(о,
«Н.П,	=	”e["3'31'
x £ [-4,4];	(o,	S/£[-3,3];
566

в) Р(А) =	6.12.52. а) с = 1;
07Г
б)Г(х,г/) = Ь1 е ”)(1 е 1)1	в) Р(Л) = О; Р(В) » 0,2.
[О,	гг < О, ?/< О;
—2 < х О,
6.12.53.	а) с = |; б) Щх) = j 2 - 2х 0 < х
[О, х < —2,а? > 1;
	ci 1 V/ н o'
в) Fx (х) = <	<Ц^.	-2<.<0, Г)1 Ц	' з’ l-i(l-T)2, 0 < X 1, О 1,	1 < Х\
6.12.54.	a) fi(x) = fx(x) = Р + 2’	,
(О, х £[О,1].
f2(y) = fY{y) = Р + I’ V \ [°’	; б) j. Нет. 6.12.55. с =
(0, у £[0,1].	3	3
Л(х) = £L(1 -т15), 0 х 1; f2(y) = Цу4 У е [-1-01;
1U	о
/(* I у) = (2ху 3 вР’ 6.12.56. /(x|3/) = —4=, у е(-3;3);
(О, вне D.	8д/9 — у2
Ку | х) = , 2 х е (-4;4). 6.12.57. fr{x) = Ч=е~; Ыу) = ~j=e~4v2-,
3\/16 - х2	у/2к
Ку I = 2^е-^-4^-81,2; /(а. | у) _ _±=e-x*-ixy-4V2
V7T	V71’
6.12.58.	а) М(Х) = M(Y) = |; б) D(X) = D(Y) = ^(тг2 +8тг - 32);
в) Kxy = 81Г ~ *j? ~	» -0,05; г) ~ 16 ~ *2 и -0,25. 6.12.59. a) rXY = 0
16	тг2 + 8тг - 32
(М(Х) = 0, М(У) = -|);
'30а:2(а: + 1)3,
б) fi(x) = - -30х2(х - I)3,
0,
х€(-1;0),
а: € (0; 1),
в остальных случаях;
в) f(y I я) =
' Зу2
(х + 1)3’
< Зу2
(т-1)3’
. о,
-1 < х < 0, -1 < у < 0;
0 < х < 1, -1 < у < 0,
вне области D.
567

6.12.60. F(x,y) :
при	У ^-2	-2 < у 0	0 < у 4	4 < у
х 10	0	0	0	0
0 < х 10	0	0,15	0,20	0,20
10 < х 20	0	0,25	0,50	0,60
20 < х	0	0,30	0,65	1
Ш ’ в) rxY = -1-
6.12.62. а) 0; б) 16. 6.12.63. rXY

0,
sin х sin 2/,
2’
7Г
2’
6.12.64. a) F(x,y) =
sin ж,
sin?/,
1,
2’ y 2’
7Г m . 7Г
2’ X> 2’
7Г . 7Г
2’ y> 2’
I cos a?, x G
6) fx{x) = <
I 0, X $
.	5-2л/2
в) P =------
w 0,72.
le-®-» x
6.12.65. a) f(x,y) = <
10, x
6) p = F(l,l) « 0,40.
3
x G
4	(о,
в остальных случаях.
rl
6.12.67. a) f(x,y) = < 2’
(°,
(x,y) e d,
(x,y) <£D-,
6) fx(x) = • 1 - x,
.0,
—1 < x < 0,
0 < x < 1,
x > 1, x < —1;
11 + 2/, -1 < у < 0,
1 — ?/, 0 < у < 1, X и Y зависимы. 6.12.68. a > 0, с > 0, b —
0, у < -1, у > 1;
1 х2 + у2
любое. 6.12.69. а) /(х^у) = тг-е” 2	; б) е“2 — е-4,5 » 0,12.
2тг
6.12.70. -1 - \/3. 6.12.71. г = 0.
568

§ 13. Функции случайных величин
Г>(У) = 20 - 2тг2. 6.13.7. д(у) = f(ev)ev-, G(y) = F(ev)
6.13.8. р(г,) = Р(2-у)2’	6.13.9. Fy(y) = L,
(О, И [1,2].	L
?/^О,
О <2/^ 1,
1, О <2/^1,
О, в остальных случаях.
6ЛЗ.Ю. .)»(,)=
0,	2/ [4тг; 16tt];
2
6.13.13. а)
6.13.11. М(У) = 8,5; £>(У) = д(у) = |
Zli	1	4	5	8	10	13
Pi	0,20	0,30	0,15	0,20	0,10	0,05
б)
Z2i	0	1	3	4	5	8
Pi	0,20	0,20	0,15	0,30	0,05	0,10
Z3i	1	4	\/17	4\/2	y/82	\/97
Pi	0,20	0,30	0,15	0,20	0,10	0,05
6.13.14.
Zi	2	3		m	
Pi	0,72	2 • 0,72 • 0,3		(m - 1)  0,72 • 0,3m-2	
6.13.16. Fz(z) =
О,
(* + 1)2
2	’
—z2 + Iz + 1
2
1,
О,
fz(z) =
Л ~ z,
fz(z) - J®’
6.13.17. Fz(z) =
О,
2z — z2,
1,
569

6.13.19. fx+y{z) =
О,
^’1
1 4Z’
z < 0, z > 4,
0 < z 2,
2 < z < 4.
6.13.20. /x+y(z) = -Л=е“Т;
2 у/It
M(Z) = 0; D(Z) =2; X + Y = Z ~ 2V(0; У2).
10,
z^
2 ’
1 -
1,
(2-
z <0, z > 2,
0 < z < 1,
1 О < 2.
z C 0,
0 < z 1,	[°’
г)2	/z(z) = < Z,
> 1 < z C 2,	[2 — z,
2 < z;
(0,	z 0,
0,5  (1 — e-0'3z),	0 < z < 2,
0,5 • (e0,s — l)e-0,3z, 2 0-
Указание. f(z) = J0,3e 0,31 • fa(z — x)dx,
0
6.13.24. a)
X i	-1	0	2
Pi	0,45	0,36	0,19
Уг	-2	-1	0	1
Pi	0,1	0,4	0,4	0,1
6)
Zi	-8	2	7
Pi	0,19	0,36	0,45
Wi	0	1	2	9
Pi	0,1	0,4	0,4	0,1
; в) M(Z) = 2,35;
1
6)p(»)=(n'
I О, у t
D(Z) » 30,13; M(W) = 2,1; P(W) = 5,69.6.13.25. M(X) и 1,42; D(Y) » 0,78.
f 2------------------------7, y€(-l;l),
6.13.26. a) g(y) = { tt^/I - y2	6) M(Y) = 0; D(Y) = 1
[О,
6.13.27. a) FY(y) = 1 - 1 arctg (1 - y); fY(y) = ——--------
2	тг(1 4- (1 — y) )
6) Fr(») = j + j arctg fY(y) =-----------£---j-; (1
3tt(j/3 +j(3)
о,„ло \	у e [3 - Зя-; 3 + Зтг],
6.13.28. a) g(y) = < бтг
[О, в остальных случаях;
(1
Tn/V-lny’
О,
_ 7Г2
У e (e 4,1),
7Г2
y^(e 4,1).
6.13.29. a) g(y) = f(-y), у e R; 6) g(y) = f(y - 10), у 6 R;
в) 9(y) =	 U(s/V) + /(-^)), У > 0;
{sec2 v •/(tg w), w G f— ?;
/ £	6.13.30. a) FY(y) = Fx (—2~
°’	2’2/’	V 7
6) Fy(?/) = 1 - Fx(-ln?/), у > 0; в) Fy(y) = Fx( %/y)-
1
6.13.31. a) g(y) = -J— e	,y
y2V2^
570

/ (y + i)2 (y — i)2 \
7= I e 2	4-e	2	, у > 0,
О,
(y-i)2	fi	v e Г0,41,
в) g(y) = —y=e~	50	)2Z E R. 6.13.32. fY(y) = < 4	’
5\/2^	(0,	y^ 0,4 ,
0,
1
FY(y)={±y, 0<г/^4, М(У) = 2;Р(У) = |;/Дг) =
4 < ?/;
Fz{z) =
4'
1,
0,
Z,
1,
1, *6 [0,1],
О, z(f. [0,1];
Указание. Fz(z) и fz(z) можно найти так:
Способ 1. Fz(z) = P{Z <z} = P{|X - 1| < z} = P{1 - z < X < z + 1}; если
l + z
z 0, to Fz(z) = 0; если 0 < z 1, to Fz{z) — J ^dt = z\ если z > 1, to
О	2	1+z	| О,
Fz(z) = JQdt + j^dt + JQdt = 1. Итак, Fz(z) = < z,
2 (1,
о
(0,
1,
o,
Способ 2.
Fz(z) = P{Z < z} = P{1 — z < X < z + 1} = P{X < z + 1} - P{X < 1 - z} =
= Fx(l + ^)-Fx(l-^).
10,
I
o,
x < 0,
0 x 2, и
2 < x
Fx(x) =
Fz(z) = .
0,
x — a
b — a'
1,
a < x 5,
b < x
(0, x 0,
0 < x 2, Поэтому
1,	2 < x.
z 0,
0 < z 1, и дифференцируя Fz(^),
1 < z;
находим fz(z)-
Способ 3. Найдем сначала fz(z). Имеем: xi = 'ipi(z) = 1 + z, 0 z 1 и
ж2 = ^)i{z) = 1 — z, 0 z 1; Irc'il = k'2| = 1; поэтому
571

2
fz(z)= Y, f (^i(z)) •
= 1.14-1
2	2
1, ?e[o, i],
следовательно,
0, z £[0,1];
О,
z,
1,
6.13.33.
Xi +yi	16	17	18	19	20
Pi	0,02	0,09	0,26	0,33	0,30
6.13.35. fz(z) = <
(0,
2* 6 *
1-3t "et3’
1
тг’
1/	. , 14
О,
0<*s£l, /T(t) = J —3—>
О <t 1,
1
3t3 ’
0,
(1е-Ь
6.13.36. fz(z) = < 2
I0’
6z’
2 + z
“б”’
l-£,
3>z
6.13.37. Fz(z) =
в остальных случаях.
/	Г 0,	z
Fz(z) = < z
(1 -e~2, z
1
6г2’
=£2, ы*)=<|,
2
Зг2 ’
>0.
них была меньше z. Fz(z) = <^ ’
6.13.38. Fxy(S) = S(1 — InS); /xy(S) = -lnS,0 < S < 1.
6.13.39. Fz(z) = P{max{X, У} < z} = P{X < z,Y < z}, т. e. чтобы
максимальная из величин X, У была меньше z, необходимо, чтобы каждая
(~2 z €[0,1],	Z €[0,1],
z £[0,1]; fz(Z) ~ 1 0, z £[0,1].
6.13.40. fz(z) = <
О,
z2 — 2z
8	’
2г — 3
8 ’
5 + 4г — г2
8
О,
Указание. f(z) =	 fz(z —
о
572

10,
AiАг / -a2* _
Ai — Аг 6	b
z 0,
z > 0.
Указание. f(z) — [Aie X1Z • Аге X2^z dx, 5	.
J	I х U
о
Г О I2 • е~o,iz >> л
6.13.42. a) M(Z) = 20. Указание. f(z) = < $	'	<
!z,
2 — z,
О,
О < z 1,
1 < z 2,
в остальных случаях.
6.13.43. М(У) = ка + 6; а(У) = \к\а. 6.13.44. fY(y) =
'2
3’
< 1
3’
о,
1 < У К 2;
У < о, у > 2.
(г (+	_F (_^ + 9А
6.13.45. FY(y) = J х \ 4 / х\ 4 У
(о,
У > -9,
У ^-9;
- , .	Г1-Гх('|1п|'),
Fz(z) = <	\3 z)
[0,
{2
<У - 6)2 ’
о,
6.13.47. а) Нет, б) да.
6.13.48. Fz(z} =
z О,
О < z тг,
ТГ < z\
Z	О,
О	z	тг,
ТГ < Z.
{_£
z-e 2
О,
z > 0, (распределение Рэлея);
г^О,
Fz{z) =
6.13.50. /(z) = <
z —2,2 > 2,
-2 < z О,
О < z 2;
{О,	z -2,
1(г + 2)’,	-2<.<0,
2—i(2 —z)2, 0 < z 2,
О
1,	2 < z.
573

6.13.51. fz(z) =
О,
z
24’
1
8’
11 -z
24 ’
2^0,	z > 11,
0 <	z	3,
3 <	z	8,
8 <	z	11.
§ 14. Предельные теоремы теории вероятностей
6.14.2. р >	6.14.3. 0,7; р > 0,33. 6.14.5. а) р > 0; б) р > | и 0,89;
в) р >	« 0,99. 6.14.6. а) р = 1 - е-6; б) р > g. 6.14.7. Р > ||f| « 0,97.
6.14.8. р < 0,1584. 6.14.9. р > |. 6.14.10. а) р 0,8; б) р 0,25.
6.14.12. р 0,71. 6.14.13. р > я 0,6. 6.14.14. р > 0,9808. 6.14.16. р > |.
6.14.17. а) нет; б) да; в) нет. 6.14.18. п 320. 6.14.20. р « 0,9474.
(у - 60)2
6.14.21. /у (у) я —е~ 8	; Р(А) я 0,971. 6.14.22. а) р я 0,499;
2  у2тг
б) р я 0,841. 6.14.23. (-0,0251; 0,0251). 6.14.24. а) Р{Х > 30}
б) Р{|Х - 20| < 8} 0,74. 6.14.25. р > 0,75; Р{|X - 50| < 10} я 0,954.
6.14.26. Р > L Р = Й- 6.14.27. р 6.14.28. Р(Л) g; Р(В) > |.
У ОО	10	10	и
6.14.29. а) р > 0,936; б) р >	6.14.30. р > |. 6.14.31. а) п > 250;
б) п 1250. 6.14.32. Р{0 < X < 6} > |. 6.14.33. п 300. 6.14.34. Да.
6.14.35. а) р я 0,326; б) р я 1. 6.14.36. р я 0,89. 6.14.37. р я 0,847.
6.14.38. п 761. 6.14.39. р я 0,034. 6.14.40. р > |; а) я 0,982; б) 1;
в) я 0,997. 6.14.41. а) Р{Х 400}	|; б) Р{|Х - 350| < 25} >
6.14.42. п 200. 6.14.43. р > 0,5. 6.14.44. Да. 6.14.46. 0,5.
6.14.47. Неограниченно возрастает.
Глава 7. Теория функций комплексного переменного
§ 1. Основные элементарные функции комплексного переменного
7.1.2. и = v = у. 7.1.3. и = —у, v = х. 7.1.4. и = х2 — у2, v = —2ху.
7.1.5. и = х2 — у2 — 2х, v = 2ху — 2у + 1. 7.1.6. и = х3 — Зху2, v = Зге2?/ — у3.
7.1.7. и = х, v = у. 7.1.8. и = 2х, v = 0. 7.1.9. и =	+ ~ 1
х2 + (у - I)2
X - у +1	х2-у2	-2ху
V 2 । I -|\2 ’ ^‘1.10. U I 2 , 2\2 ’ V	/ 2 , 2\2 ’
х +(у-1)	(xz + yzy	(х'+у'У
574

7.1.11.	и = х-—-, v = у Ч—7.1.12. и = ех cosy, v = — ех siny.
х2 + у2	х2 + у2
7.1.13.	и = еу cosx, v = —еу sin#. 7.1.14. и = shzcos?/, v = chхsin?/.
7.1.15.	и = sin 2х ch 2у, v = — cos 2x sh 2y. 7.1.16. и = cos x ch y, v = — sin x sin y.
!У	r.
arctg -	при x > 0,
У
sign(?/) • тг + arctg - при x < 0,
sign(y) •	при 1 = 0,
v = | ln(o:2 + y2). 7.1.18. и = 1п(т2 + y2), v = 2argz (см. ответ предыдущей
задачи). 7.1.19. и = shzcos(?/ + 1), v = chasing + 1). 7.1.21. |/(з)| = г,
Arg f(z) = <£ + 2тгА;, к 6 Z. 7.1.22. |/(з)| = 1, Arg f(z) = ip + 2?rfc, к 6 Z.
7.1.23.	\f(z)\ = r3, Arg/(z) = 3p + 2nk, kEL 7.1.24. \f(z)\ = rn,
Arg f(z) = np + 2?rfc, к 6 Z. 7.1.25. |/(з)| = Arg f(z) = — 5<p + 2тг&, к 6 Z.
7.1.28.	f(z) = iz. 7.1.29. f(z) = z2. 7.1.30. f(z) = j.
7.1.31.	/(z) = cosz = ch iz. 7.1.35. f(zi) = f(zz) = —1 — 17г.
7.1.36.	/(zi) = 0,5 - 2,5г, /(z2) = 0.
. 7Г	_	—	л /О	л/2
7.1.37.	f(zt) = el4 = cos + г sin = — + i^-,
f(z2) = ег2 = cos + isin ? = г.
7.1.38.	/(zi) = e-<5 = cos(-|)+»sm(-1)= | + г^,
f(z2) = 2е~г 4 = 2 (cos — i sin = \/2 + i\/2.
7.1.39.	/C?i)	= e • cos 1 — i • e • sin 1, f(z2) = 2. 7.1.40.	f(zi) = 0, f(z2)	= г|.
7.1.41.	/(^i)	= -i j, f(z2) =	7.1.42. f(Z1) = chi,	f(z2) = сЬ2тг.
7.1.43.	и = —2xy, v = x2 — y2.	7.1.44. и = x — Зху2 —	1, v = —Зге2?/ +	у3 + 2.
7.1.45.	« =	v = -2I9.	7.1.46. « = »<»+)+	»<»-'),
x2 + (y - I)2
v = • <	• 7.1.47. и = Xy/(x - I)2 +y2, V = У\/(х - l)2 + y2.
x2 + (y- l)2
7.1.48.	и = — sinzsh(?/ + 1), v = coszch(?/ + 1).
7.1.49.	и = —sh(2xy) • cos(z2 — y2), v = ch(2z?/) sin(z2 — y2).
7.1.50.	и = e»2 + у2 cos , У o, v = -e«2 + У2 sin , У ,.
X2 + у2	x + у2
sh 2у
ch 2у + cos 2х ’
7.1.51. и =
sin 2д?
ch 2у + cos 2х
7.1.52. \f(z)\ = ar,
Arg f(z) = <p + 2irk, к E Z. 7.1.53. |/(г)| = pr, Arg f(z) = p + 0 + 2?rfc, к 6 Z.
7.1.54.	|/(z)| = 4, Arg/(z) = -n<p + 2nk, keZ. 7.1.55. /(z) = ±
T	z
7.1.56.	/(z) = (z)3. 7.1.57. /(z) = |+г. 7.1.58. 0,4 - 0,2г. 7.1.59. 6 - 8г.
7.1.60.	Jj. 7.1.61. 2sh2. 7.1.62. cos2sh2 + г sin 2 ch 2. 7.1.63. а) Да; б) да;
575

в) нет; г) да. 7.1.64. Да. 7.1.65. z = тг&, к Е Z. 7.1.66. Да, например,
z = г In2. 7.1.67. Да. Рассмотреть lim sin(i?/). 7.1.68. Imz =	4- 7rfc, к Е Z.
7.1.69. а) Нет (f(z) = z и f(z) = z); б) да (f(z) = z).
§ 2. Аналитические функции
7.2.5.	f'(z) не существует Vz Е С. 7.2.6. f'(z) = 1, Vz Е С.
7.2.7.	f'(z) = 2iz -3,^zE С. 7.2.8. f'(z) = 0, при z = 0; f'(z) не существует
при г / 0. 7.2.9. /'(г) = 6г5, Уг € С. 7.2.10. /'(г) = У« / 0.
Z
7.2.11.	/'(г) = Уг / 0. 7.2.12. /'(г) = |, Уг / 0. 7.2.13. /'(г) = вЬг,
Vz Е С. 7.2.14. /'(z) = 0, при z =	+ лк, к Е N; /'(z) не существует в
остальных точках. 7.2.15. /'(z) = cos(z + 2г), Vz Е С. 7.2.16. /'(z) = —isin(iz),
Vz Е С. 7.2.20. Ди = 0, V(z, у) ЕЙ2; v(x, у) = у + С; /(z) = z + гС, С Е R.
7.2.21.	Ди = 0, Ч(х,у) € R2; и(х,у) = 2ху 4- С; /(z) = —iz2 — 2г 4- С, С Е R.
7.2.22.	Ди / 0, V(x,y) Е R2; аналитической функции /(z) = f(x 4- iy) не
существует. 7.2.23. Ди = 0, V(z,j/) Е R2; и(х,у) = 3#2j/ — у3 4- 7х 4- С;
/(z) = — iz3 4- Iz 4- С, С Е R. 7.2.24. Ди = 0, V(z, у) Е R2; и = shх sin у 4- С;
f(z) = chz 4- гС, С Е R. 7.2.25. Ди / 0, V(x,y) Е R2; аналитической функции
f(z) = f(x 4- iy) не существует. 7.2.26. Ди = 0, V(#,?/) Е R2 \ {(0,0)};
и = ,У , + С; /(г) = i + С, С € R. 7.2.27. Av = 0, У(х, у) € R2;
х2 + у2	z
и = — sin 2х ch 2у — Зу; f(z) = — sin 2z 4- 3iz 4- С, С Е R. 7.2.28. Ди = О,
V(i,у) € R2 \ {(0,0)}; v = 2 arctg | + С; /(г) = 1п(г2) + iC, С € R.
7.2.29.	Av = О, V0, у) € R2 (у / 0); и =	1п(а:2 + j/2) + 2х +С;
f(z) = — ln(iz) 4- 2z 4- С, С Е R. 7.2.30. f'(z) не существует Vz Е С.
7.2.31.	ff(z) не существует Vz Е С. 7.2.32. f'(z) = j, Vz / 0. 7.2.33. f'(z) не
существует Vz Е С. 7.2.34. f'(z) = 3e3z, Vz E C. 7.2.35. f’(z) = 0 при
z = г 4- лк^ , (к E Z); f'(z) не существует в остальных точках.
7.2.37.	Ди = О, V(#, у) Е R2; и(я, у) = 2ху — х 4- С; f(z) = z2 — iz 4-1 4- гС,
С Е R. 7.2.38. Ди = 0, V(z, у) Е R2; v(x, у) = е~у sin х — у 4- С;
/(z) = eiz - z 4- iC, С Е R. 7.2.39. Ди = 0, V(x, у) Е R2 \ {(0,0)};
v(x,У) =	9; + Ъсу + С; f(z) =	+ z2 + iC, С Е R. 7.2.40. Ди = О,
2(я 4-j/ )	.
У^,») € R2 \ {(0,0)}; v(x,i/) =	+ С; /(г) =	+ гС, С € R.
(Ж2 + У2)2	Z2
7.2.41. Да. 7.2.42. Нет. 7.2.43. а) да; б) да; в) да; г) нет, д) нет. 7.2.44. Нет.
7.2.45. а) /1 = /2 + Сг; б) /1 = /2 4- С 4- Di; в) = Cf2 4- Di (C,D Е R).
576

§	3. Интегрирование функций комплексного переменного
7.3.8.	0. 7.3.9. а) 0; б) 0,5(1 + г); в) | + ±i. 7.3.10. а) 1 - г; б) 1 - %i.
о Z	о
7.3.11.	а) —2; б) 0; в) 2\/2(1 - г)- 7.3.12. 2гтг. 7.3.13. |(1 + г). 7.3.14.
о	О
7.3.15.	—2 + г. 7.3.16.	- Зг. 7.3.17. Й 7.3.18.	+ |г.
oU	о о	о о
7.3.19.	—2 - г. 7.3.20. -3 + Зг.
7.3.21. cos 1 + sin 1 — е • sin 1 + i(sin 1 — cos 1 + e • cos 1). 7.3.22. 1 —	+ i.
7.3.23.	г(1 — shl). 7.3.24. -shir. 7.3.27. y. 7.3.28. 0. 7.3.29. ^(3 + 2г).
7.3.30.	0. 7.3.31. |(v/3 + i). 7.3.32. |	7.3.33. | + 3г. 7.3.34. -9гг.
о	о о	7
7.3.35.	— (е* + l)i. 7.3.36. i(sin2ch2 — 2cos2ch2 — 2sin2sh2 — sin6+ 6cos6) +
+ ^(cos2sh2 — 2 cos2 ch2 + 2sin 2sh2). 7.3.38. 0. 7.3.40. a) —2тгг; б) —гтг;
в) —гтг. 7.3.41. а) 0; б) -2ггг. 7.3.42. а) -2гтг; б) 0. 7.3.43. а) 0; б) 2гтг.
7.3.44. а) 0; б) 0. 7.3.45. а) 0; б) 0. 7.3.46. а) гтг; б) -гтг; в) 0. 7.3.47. а) |тг;
О
3	3	3
б) — ^тг; в) 0. 7.3.48. а) £тгг; б) — ^ггг; в) 0. 7.3.49. Интегралы существуют
о	о	о
или не существуют одновременно
- />«
jf(z)dz =
dz. 7.3.50. Значение
интеграла — чисто мнимое число или 0. 7.3.51. Нет. 7.3.53. 2ггг.
7.3.54.	а) нет. б) нет. 7.3.55. Да.
§	4. Ряды Лорана. Изолированные особые точки
1	*	*3	+оо	(-Пп	л	,
7.4.5. а) } ~ %	~	= Е ” > 0 < 1г1 < +00 (весь ряд есть
г!	4!	п=0	(2п)!
1	У	Г1 * 3 * *	+°°	( — 1)П о г
главная часть); б) - — — + —г — ... = 52 —TTz2n 1 > 0 < И < +оо (весь ря,
z	2!	4!	п=о	(2п)!
4	z6 7	+°° (-l)n+1
есть правильная часть). 7.4.6. а) г2 - ^ + 77 — ... = V 7------?г2п,
3!	5!	П=1 (2п — 1)!
О < |г| < +оо (весь ряд есть правильная часть);
-------— г2п, 0 < |г| < +оо (весь ряд есть главная
(2п — 1)!
гг\ ~2	Z । Z
6)Z " 3! + 5! "
часть).
7.4.7. а) 1 +
' z +1
= Е
0	1
Z 77+г + 1)П’
= -ОО \п)‘
-----1-... — главная
— + •••= Е тг —
П= _
1
1 _______ __ __ ____________=
2!	(^ + I)2	п^Ьп!’(^ + 1Г
0 < \z -|-11 < 4-оо (1 — правильная часть, ——-г- +	•	-
г + 1	2! (г + 1)2
часть);
б)1+^-+1.	1	+... = g±.	1	=
7 + г + 1 + 2! (г + 1)2 +оп! (г + 1)"
577
z + 1
0	1
Е Н+г + 1)п>
= -оо ( П)-

О < \z 4-11 < 4-oo (весь ряд есть правильная часть).
X q е3 е3 1	е3 1	+2? ж,3	1
7-4-8-а)' +тЪ+5!	-+^ (^ir+--„£г (Г^г =
0 е3
=	7---м (z + 1)п,0<|г + 1|< +оо (весь ряд есть правильная часть);
п= — оо \п)-
бч „з , е3 £	1	1	= V?	1	=
' г + 1 ^2! (г + 1)2 п! (г + 1)"	' „е0 n! ’ (z + 1)"
О
= Е
п= — оо
---—(z 4- 1)п, 0 < \z 4-1| < 4-оо (весь ряд есть правильная часть),
(-п)!
7.4.9.	a) sin2 + cos2 • z - ^z2 - ^z3 + ... + ЦГ*™? • г2" +
2!	3!	(2п)!
(-I)ncos2	2_,1	+2? _ .	(-I)nsin2
——— • z	+ •••=£ Ckzk, (С2п = —, П = 0,1,2,..
(2п 4-1)!	k=o	(2п)!
(—l)ncos2	ч
n+i =	----7Т7”»	= 0,1, 2,...), О < |г| < 4-оо (весь ряд есть правильная
(2п 4-1)!
часть); 6) sin2 + cos2  z - ^z2 - ^z3 + ... + (-~1(^П2
(—l)ncos2	2_,1	+2? _ .	(—l)nsin2
+ \Ani • z + • • • = E CkZk, C2„ =	7 ,	, n = 0,1,2,..
(2п4-1)!	k=o	(2n)!
(—l)n cos 2
С2П+1 = —, n = 0,1,2,...), О < |z| < -Foo (весь ряд есть правильная
(2п 4-1)!
часть). 7.4.10. cos3 4- sin3 •	— C°S.
Z ~г о 2\
(—l)ncos3 1	(—l)nsin3
''' +	(2п)!	‘ (г + 3)2п + (2п + 1)!
(—l)ncos3	.
(С“ -	"=°' *•2’   с“+1 = Шот ” - °'112' •  ’
2
О < \z 4- 3| < 4-оо (весь ряд есть правильная часть). 7.4.11. а) -—- (весь ряд
1
(г + 3)2
1
(z + 3)2n+1
(—l)nsin3
• z2n
sin3 1
3! (z + 3)3
-f-OO	4
+ "'~k^oCk (z + 3)fc
2
есть главная часть); б) -—- (весь ряд есть правильная часть).
х л-х 3 + 2г /
7.4.12.	а) -------- (весь ряд есть главная часть); б) ------- (весь ряд есть
(z 4- г)
1	, 14-2г f
_ 1)2 (весь ряд есть
правильная часть). 7.4.13. 1 +	7.4.14.	+
главная часть). 7.4.15. При 0 {z — 1| < 1:
п	+°°
1 - (z - 1) + (z - I)2 - ... + (-l)"(z - 1)" + ... = £ (-l)n(z - 1)п (весь ряд
п=0
есть правильная часть), при 1 < |г — 1| < 4-оо:
1 _ 1 1 _ = (-1)11-1
г-1	(z-1)2	(z-1)3	” n=l(z-l)n
Е (-1)
i)n.
7.4.16.	а) При 0	|z| < 1: -2г + 2z + 2гг2 - ... -2in+1zn + ...= £ (-2)in+1zn
n=0
578

(весь ряд есть правильная часть), при 1 < |з| < +оо:
2 _ 2г _ 2. .	. (-i)”"1-з-г"-1	= +2? (-i)-M.r1 =
Z z2 z3	Zn	n=l	Zn
-I (—l)n-1  2
= E ----------г"; б) при 1 < |г| <+oo:
n= —OO I
2 _ 2г _ 2. ,	, (-IP-1^-^1	= +~ (-I)”-1 • 2 • гп~х =
Z 2 з	~n	i"--‘	2^	~n
ZZ	Z	n=i	z
-i (—l)n-1 • 2
= 52 ---------- *n (весь ряд есть правильная часть). 7.4.17. При
п= — оо I
0^ |г + 1| <2:
4Ф+1ь£<'+1),--.-^(«+1)"-.-=4Ф+1>+£^'а”
(весь ряд есть правильная часть); при 2 < |г + 1| < +оо:
1	9	гъп — 1
<а + 1>+7ТТ + (ГГ1? + --+(7Лг+- =
= (г + 1) + £ -^C?+l)n + (z+l). 7.4.18. ПриО^ |г-1| <2:
п= —ОО 2
(весь ряд есть правильная часть); при 2 < |z — 1| < +оо:
1+-5-+-5..-2 .+...+ 5 .У-
+ г-1 + (г_1)2+	+ (г-1)
= Е -^(z-lf + l. 7.4.19. а) При 0 < |г — 1| < 3:
п= —оо 2

_1 1
3 г —1
= _1 _
3 ’ г-1
4(-1)
Зп+2
4 _ А
9 З3
— 1 Е -^п+Г'^ - 1)П; п₽и 3 < |г - 1| < +оо:
4	+ 4-3 +	+
(г-1)2	(г-1)3
1 +оо (-1)п-1.4 • З"-2 _
~	+ п?2 (ГЛг “ ,
б) При 0 < fz + 2| < 3:
Г7Т2Ч + ^ + 2)+-- + ^(г + 2)П + -
1
(-1)"-1 • 4 • З"-2
(г - 1)”
4(-1)
Зп+2
• (г — 1)п + (г — I)-1;
= - •	+ Е ——(z + 2)n-,
3 г + 2+п^оЗп+2^
11	Ч	on—2
1 4-оо пп —2	—2	-г
=	+ S-сЬг “.А+2)"+ (г+2) 7-4-20-Пр"
1 о 7	2п+1__1
О |z| < 1: | 4- ^z + ^z2 4-... 4-—zn (весь РЯД есть правильная часть);
1
z — 1
579

при 1 < \z\ < 2:
_1__1___L _	_1_£_	z4	,,x	n .	(-1)	n.
z z2	z3 ••• 2 4 ”	2n+1	'	'rZ^2n+1	’
n=—oo	n=0
при 2 < |z| <+oo: ± + 4 + ± + ... + (2»-*-1).Х + ... = ^(2п-1-1).± =
Z Z Z	Z	n=2	Z
~ 2 / -I	\ -1
= E L^r-l pr-7.4.21. При O^|^ + 1|<1:
n=—oo \2	/ z
|-||(z + 1) + ||(^ + 1)2 + ...+ ^+4.(-ir).l.(2 + 1)n + ...=
4-oo 1 / 1	\
= 12 о ( —TT + (—l)n • 4 ) • (z + l)n, (весь ряд есть правильная часть); при
п=о * \2П+	/
+ з’Гм + зИ + ^(* + 1) + --- + Г^(* + 1)п + --- =
= Е |-(-ir-1-(* + 1)n+ £ —1гй(* + 1)п;при
2 < \z + 1| < +оо:
Ч-оо	— 1	z	\
= Е|(4-(-1)П’1-2П’1)-7-ТУр = Е Ц4-(-1)П-1-^н)-^ + 1)’г-
П = 1	'	'	п= —ОО '	Z /
7.4.26. 2 — устранимая особая точка; оо — полюс 1-го порядка. 7.4.27. 2г —
устранимая особая точка; оо — полюс 1-го порядка. 7.4.28. —г — полюс 1-го
порядка; оо — устранимая особая точка. 7.4.29. 1 — полюс 1-го порядка;
—2 — полюс 2-го порядка; оо — устранимая особая точка. 7.4.30. 1 —
существенно особая точка; —1 — существенно особая точка; оо — устранимая
особая точка. 7.4.31. О — существенно особая точка; оо — устранимая особая
точка. 7.4.32. О — устранимая особая точка; тг& — полюс 1-го порядка,
(к = ±1, ±2,...); оо — неизолированная особая точка. 7.4.33. О — полюс 3-го
порядка; оо — существенно особая точка; Указание. Рассмотреть две
последовательности точек = 2тг&, к = 1,2,...} и
{z^ = тг + 2тг&, к = 1,2,...}. 7.4.34. г — полюс 1-го порядка; —г — полюс
1-го порядка; 0 — существенно особая точка; оо — устранимая особая точка.
7.4.35. 2 — полюс 2-го порядка; —2 — полюс 2-го порядка; 1 — существенно
особая точка; оо — устранимая особая точка. 7.4.36. О — устранимая особая
точка; оо — существенно особая точка. 7.4.37. —1 — существенно особая
точка; — 1 — полюс 1-го порядка, (к = 0, ±1, ±2,...); оо — полюс 4-го
порядка. 7.4.38. О — существенно особая точка; оо — существенно особая
580

точка. 7.4.39. а) При 0 < |z| < +оо:
1	1	1	1	1	1	+ <*>	1
7 + г + 2! + з!2+4!2 +••• + (п + 2)!+ ’ ’ ’ =	2 (n + Z)'2"’ 6) П₽И
0<М<+”:? + Ь|4' + Яг" + '  + ^2”+'’Х (^Ж"'
7.4.40. При 0 < \z — г| < +оо:
• • •+ (oTTij!+ й) ’ (TTi) + ’ ’ ’+ (I+ 2i) ’	+ S + 0 ’ гЬ +
+ (1 + г) + (z — г) = 52 ( 7—ГТй	’ 7—+ (г — *)•
п=1\(п + 1)! n\J (z — г)
7.4.41. При 0 < \z + 2| < +оо:
(-1)п	1	(-l)n .	1
” (2п + 1)! 'C0S1’ (z + 2)4п + (2л)! ‘Sml' (2 + 2)4n"2 + ' ’'
+ ~ cos 1 • -—1 • sin 1 • -——- - —? • sin 1 • -——— +cos 1 + sin 1 • (z + 2)2 =
5!	(* + 2)8 4! (z + 2)6 2! (z + 2)2
+o°
= V Ck --------r + cos 1 + sin 1 • (z + 2)2,
(z + 2)fc
(-1)”	(-1)”
(Gn = 7n—7T\7 cos 1, n = 1, 2,..Сдп-2 = /n ,, sin 1, n = 1,2,..Сгп+i = 0,
(2n + 1)!	(2n)I
n = 0,1,2,.. .)• 7.4.42. а) При 0 < |z — 2| < +oo: 1 + jty; б) при
0 < \z - 2| < +oo: 1 +	• 7.4.43. При 0 < \z + 2г| < +oo:
-----—r-----r. 7.4.44. При 0 < Iz - г| < 1:
(z + 2г)2 (z + 2i)3	P	1	1
(2 + 3г) - (2 + Зг)(г - г) + (2 + Зг)(г - г)2 + ... + (- 1)п(2 + Зг)(г - г)” + • • • =
+оо
= 52 (“1)п(2 + Зг)(^ “ «)п; ПРИ 1 < |г - г| < +оо:
2 + Зг _ 2 + Зг 2 + Зг	+ Зг)	= +2?	+ Зг) =
г-г (z-i)2	(2_г-)3+---	(z-г)"	n=i (г - г)п
-1
= 52 (—l)n-1(2 + 3i)(z — i)n (весь ряд есть главная часть). 7.4.45. При
п= —оо
2<|z|<+oo:... + l(l + (-l)n2n-1).-L + ... + 4-± + ± =
°	z	z Z Z
= Е l(l + (-l)n-2n-1)-lzn= Е i.(l + H^)zn (весь ряд есть
п=2 6	п=-оо \	2	/
главная часть). 7.4.46. При 0 \z — г| < х/2: 1
_________i—\ + 1____1_	1
3\г + 2	г-1/	3^ (г + 2)2 (г -1)2
581

1 ( (—l)n-4 , (-l)n+1 V ,чп,
3^(г + 2Г+1 (i-ip+J^ г)
^1 ( (-1Г-4	(~l)n+1 \
^оз^ + 2)"+1 + (*-1)п+1,/ г)
(весь ряд есть главная часть); при \/2 \z — г| < \/5:
(-1)п(»-!)»-!	1	(г-1)2	1______1_____1	1
3	(z-г)”	’	3	(z_,)3 (г_,)2	3 z-i +
.4	1___4	1
3 г + 2 3 (j + 2)2
(2 i) + i(i + 2)3{Z *)2 + •• + 1(г + 2)’
(-!)"(»-I)""1	1	, +^4 (-If , _
Ь 3	(*-*)” n^o3 (* + 2)n+1(Z }
=	(-1)"	,	.г,^4 (-1)" ,	-Г.
„“o3(i-l)n+1	£-0 3 (i + 2)п+1(
при у/5 < \z — г| < +оо:
.. .+1[4 (-1)—1(г+2)—1+(-1)п(г-1)п-1]-—-+.. ,_(3+i).-J--+-J-. =
о	(z — г)	(Z — iy z — i
4-(-If1	(-1)"
(г + 2)n+1 (г - l)n+1
7.4.47. —2 — полюс 1-го порядка; оо — устранимая особая точка. 7.4.48. г —
полюс 2-го порядка; —3 — полюс 3-го порядка. 7.4.49. 2 — существенно
особая точка; оо — существенно особая точка. 7.4.50. оо — существенно
особая точка. 7.4.51.	+ тг& — полюс 1-го порядка (к = 0, ±1, ±2,...); оо —
неизолированная особая точка. 7.4.52. О — устранимая особая точка; тгк —
полюс 1-го порядка (к = 0, ±1, ±2,...); оо — неизолированная особая точка..
7.4.53. а) да; б) да; в) да; г) да. 7.4.54. а) полюс; б) существенно особая
точка; в) устранимая особая точка. 7.4.55. а) с'п = сп-Г, б) с'п = сп-з;
в) с'п = Сп+и г) с'п = Сп+тп- 7.4.56. а) 1 < \z\ < 3; б) \z\ = 1; в) 0.
7.4.57. а) устранимая особая точка; б) полюс; в) существенно особая точка;
г) существенно особая точка; д) полюс порядка max(n;m). 7.4.58. а) да;
б) да; в) нет; г) да; д) да; е) да; ж) нет. 7.4.59. а) полюс (& — 1)-го порядка
582

при к 1, устранимая особая точка при к = 1; б) полюс (к — 3)-го порядка
при к > 3, устранимая особая точка при к 3; в) полюс (к + 1)-го порядка;
г) полюс (к 4- 5)-го порядка. 7.4.60. Устранимая особая точка.
7.4.61. Устранимая особая точка. 7.4.62. Указание. Рассмотреть функцию
(z — zo)f(z). 7.4.63. Указание. Рассмотреть функцию (z — zo)7n+1 • f(z).
7.4.64. Указание. Рассмотреть разложение функции в ряд Лорана в
окрестности точки zo = оо.
§ 5. Вычеты
7.5.5.	2 — полюс 1-го порядка, res f(z) = 3; res f(z) = —3. 7.5.6. тгг — полюс
2	оо
1-го порядка, res f(z) = —1; res f(z) = 1. 7.5.7. i — полюс 1-го порядка,
тгг	оо	2
res f(z) = — ^ (ch i 4- з); res f(z) = (ch 4- з\ 7.5.8. —i — полюс 2-го
1_	2 \	2	/ oo	2 \	2	/
2
порядка, res f(z) = —2г; res f(z) = 2г. 7.5.9. — — полюс 2-ro порядка,
— i	oo	2
— ^е-г = i(isinl — cosl); resf(z) = ^е-г = ^(cosl — isinl).
2	2	oo	2	2
res f(z)
“2
7.5.10.
7.5.11.
1 + 2г 5
; resf(z) = —1. 7.5.12. —Зг — полюс 1-го
О оо
36 4- 15г о	о
= ——; —2 — полюс 2-го порядка,
169
1 — полюс 3-ro порядка, res f(z) = ch 1; res f(z) = — ch 1.
1	2 oo	2
1	1	£ / \	2	2 4г л.	1
—1 — полюс 1-го порядка, res f(z) = 1	= —-—; 2г — полюс 1-ro
ч 2г — 1	3 4- 4г
порядка, res f(z) =	=------
порядка, res /(2) =
36 4- 15г’
res f(z) =--—; res f(z) = 0. 7.5.13. О — полюс 2-го порядка,
-2	169 оо
о	о
resf(z) =----]	— полюс 1-го порядка, res f(z) = res f(z) = —-.
0	тг о	f 00 2тГ
7.5.14.	О — полюс 3-го порядка, res/(z) = 1; 1 — полюс 1-го порядка,
res f(z) = — i; —1 — полюс 1-го порядка, res/(z) = res/(z) = —1.
12	—1	2 оо
2
7.5.15.	О — полюс 3-го порядка, res/(z) =	3 — полюс 2-го порядка,
res/(z) =	-3 — полюс 2-го порядка, res/(z) = res/(z) = 0.
7.5.16.	J — устранимая особая точка, res f(z) = res/(z) = 0. 7.5.17. О —
2	IE	оо
2
полюс 1-го порядка, res f(z) = 1; res f(z) = —1. 7.5.18. О — полюс 2-го
О	оо
порядка, res f(z) = res f(z) = 0. 7.5.19.	4- 2тгк — полюсы 1-го порядка,
О	оо	2
res f(z) = — 1 (к G Z); — ? 4- 2тгк — полюсы 1-го порядка, res f(z) = 1
^+2тгк	2	~^+2тгк
(к G Z); оо — неизолированная особая точка. 7.5.20. О — устранимая особая
583

точка, res f(z) = 0; irk — полюсы 1-го порядка,
л/ .	|тг&, к — четное, ..
res f(z) = <	(к	оо — неизолированная особая
7rfc	— тг&, к — нечетное,
точка. 7.5.21. О — существенно особая точка, res f(z) = 1; res f(z) = —1.
О	oo
7.5.22. О — существенно особая точка, res f(z) = — i; res f(z) = i
о	2 oo	2
7.5.25. a) б) в) 0. 7.5.26.	7.5.27.	— полюс 1-го порядка,
О	О	Z	L
res f(z) = sin(Tri) = ish7r; res f(z) = —ishTr. 7.5.28. — 77 — полюс 2-го порядка,
тг.	oo	2
2г
3	3
res f(z) = res f(z) =	7.5.29. — iri — полюс 3-го порядка,
тг	4 оо	4
~ 2
res f(z) = 2cos(27ri) — 2ггг sin(27ri) = 2ch2?r — 27rsh27r;
— 7гг
res»f(z) = 27rsh27r — 2 ch 2гг. 7.5.30. —2 — полюс 5-го порядка,
oo
27	27
res f(z) = -—cos6; res f(z) = — -—cos 6. 7.5.31. 0 — полюс 2-го порядка,
— 2	о	oo	О
res f(z) = 1 д Si; 4г — полюс 1-го порядка, res f(z) = —
О	10	4г	10
res f(z) = ^(е-8г + 8г — 1). 7.5.32. 1 — полюс 3-ro порядка, res f(z) =
о
—1 — полюс 3-го порядка, res f(z) = — —; res f(z) = 0. 7.5.33. 1 — полюс n-го
-1	10 oo
___12*
порядка, res f(z) = < ’	’ ’ res f(z) = —2. 7.5.34. 0 — полюс 2-го
i [0, n = 3,4,5,оо
порядка, res f(z) = i; res f(z) = — i 7.5.35. kir — полюсы 2-го порядка,
о	2 оо	2
res f(z) = res/(z) = 0 (к G Z). 7.5.36. О — существенно особая точка,
ктг	оо
resf(z) = resf(z) = 0. 7.5.37. а) б) 0. 7.5.38. а) б) в) 0.
О	оо	4	о	о
7.5.39. а) 0; б) 0. 7.5.40.	7.5.41. а) да; б) нет, в) нет. 7.5.42. Нет.
7.5.43. Да. 7.5.46. —f. 7.5.47. res f(z) = res/(z) = 0;
О	0	оо
, г-	2fc + l .
res/(z) = — -г-(cos \/2 + ch \/2), где Zk = е 4 к = 0,1,2,3.
Глава 8. Операционное исчисление
§ 1. Оригинал изображения. Преобразование Лапласа. Нахождение
изображений
8.1.2. Да. 8.1.3. Да. 8.1.4. Да. 8.1.5. Да. 8.1.6. Нет. 8.1.7. Да. 8.1.8. Нет.
8.1.9. Да. 8.1.10. Нет. 8.1.11. Да. 8.1.12. Да. 8.1.13. Нет. 8.1.15.
8.1.16. -Av 8.1.17.	—. 8.1.18. А 8.1.19. | - |е-₽.
р-2	р2 + 16	р2	р р
584

p-1
8.1.20. A. _ ±e-p _ le-2p. 8.1.21.	8.1.23.
p2 p2 p	P-1	P+1 (p —1)2+9
8------?- a . ok ___I________3--- 8.1.26. -------1- i
(p-2)2	(p2+9	p + ln2^P-
6
(p2 + l)(p2 + 9)
1
8Л.24.
p — 4
1
8.1.25.
P3
8.1.27.
2
8.1.29.
8.1.31.
e(p—l)2	e2(p—I)3
P P
p2 + 16.
p2 - 2p + 3
1 _____________
2 .p2 + 4
8.1.35.
(p-l)(p2 — 2p + 5)
(p - 4)2 + 2
8.1.39.
8.1.44.
8.1.49.
8.1.53.
8.1.57.
8.1.62.
. 8.1.28.
. 8.1.30.
. 8.1.33.
--------,	. 8.1.36.
(p — 4)[(p — 4)2 + 4]
_p
pe 2
~. 8.1.41.
p2 — 4
i(l- e-p)2. 8.1.45.
p2	p2 +1
p-2P
-—t. 8.1.40.
p-2
_ P_______________
2 Lp2 +4 p2 + 36.
(p —2)2 —9
—-----------x. 8.1.34.
[(p-2)2 + 9]2
4(P +1)
[<P + l)2 + 4]2
P
. 8.1.38.
2p____
_L 1\2
2
(P-1)2-1
6e~3p
P4
6f- V8.1.43. j (2 - e~v - e~2₽).
(p2 + 9)2	p V	’
'	e~P _ e-2₽
8.1.46. ------. 8.1.47. —-----------.
p2	P(1 - e₽)
1
-ря	(ep + 1)2	1 _ e-p
----. 8.1.50.	8.1.51. ~.
-₽7Г	p(e2p -1)	p2(l + e-₽)
2P3 ~ 24P о . e4 24P(P2 ~ !) g 1 6P a 1 кй P2+4
(p2 + 4)3 ’ ‘ ‘	’ (p2 + I)4	*	‘ (p2 - 9)2 ‘ ‘ ‘	' (p2 - 4)2 ’
7 2 2'7~2;г2- 8Л-59- ? - arctgp- 8Л-60-ln ^Pp+1- 8Л-61-ln ^2-
(p2 - 2p + 2)2	2	p	P-*
lln^^-8-!-84.
2 p2 + 9
p2 —4
1
4
(p2+4)2
. 8.1.65.
p2 - 9
p(p2 + 9)2
. 8.1.66. ----—r.
p(p - 2)3
1 __________
P3 p(p2 +4)2_
___3_________2
p + In 5 (p + In 3)2
(p—2)2—9
[(p - 2)2 +9]2
e~p (4 +_____81-74-
Vp PJ
--------7. 8.1.78. arctgp —arctg 8.1.79. In-—7.
(p-ln4)4	6	63	p-1
8 1 80 1	P2-16 o.o. 3! o , ao P2 - 6p -J7
‘ 2p3
8.1.67.
8.1.69.
8.1.71.
8.1.73.
8.1.77.
8.1.83.
8.1.85.
1
2
. 8.1.68.
p(p2 - 2p + 5)2
3_____________
(p-l)2 + 36	(p-l)2 + 4
. 8.1.70.
. 8.1.72.
1
1__________P+ 1
2(p + l) 2(p2 + 2p + 5)
2e~2p „ .	2P3 ~ 6p	12p2 + 16
p2 + 4' ‘	‘ (p2 + I)3 ’ ‘	(p2 - 4)3 '
,	8.1.81.
2(p2 + 16)2
3!
я - 8.1.82. —-------------
p(p - l)4	p(p - 6p + 25)2
1
=-. 8.1.84.
1 - e~p + e~2p
1	, 2e2p
p2 + 1 Г e^-l
„	Зя- я-
егяР _ 2g^-p + 2eaP _ 1
р2(е2кр _ г)
1 e
’ P(e₽ - 1) ’
8.1.87.
2ep-2-2p-p2
p3(ep-l)
585

8.1.88.	Нет, т. к. F(p) имеет полюсы в точках р = тгп, п € Z и, следовательнс
не может быть аналитической в полуплоскости Rep > s для всех з.
8.1.89.	1) да; 2) необязательно. 8.1.90. Не обязательно; например,
f(t) = g(t) = -у: — оригиналы, a f(t)g(t) = т — нет.
\/i	*
§ 2. Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению
8.2.2.	3+ к*2 + 7e-t. 8.2.3. le~3ti4 - je4ft3. 8.2.4. 3 cos 3t + j sin 3t.
2	О	о	о
8.2.5.	5ch2t — |sh2t. 8.2.6. e-t(cost — sint). 8.2.7. e-2< sin2t — 4cos2t).
8.2.8.	Зе-3(<-1)х(* - 1)- 8.2.9. (t - l)e2t~2x(t - 1) + (t - 2)e2<-4x(t - 2).
8.2.10.	4e9-3t sin(t - 3)x(t - 3).
8.2.11.	e5-5< [cos2(t - 1) - | sin2(t - 1)] x(t - 1) -
_3e2°-5t £cos2(t — 4) - |sin2(t-4)] x(t-4). 8.2.13. t + t2. 8.2.14. e‘ +2e2t.
8.2.15.	3e‘ - 1. 8.2.16. te‘ - t. 8.2.17. e‘ +	+ sint. 8.2.18. 1 + 2e-2f + 3e3f
8.2.19.	|t2+t + e‘. 8.2.20. 1 +e‘sin 2t + 2e‘cos 2t.
8.2.21.	te-3f - 3t2e-3< + |i3e~3t. 8.2.22. cost + sin2t.
8.2.23.	|(e-2< - e‘ + 3te‘). 8.2.24. e‘(l - t2). 8.2.25. |te‘ + |te“‘.
8.2.26.	e2t + te2t + e~2t - 2ie~2t. 8.2.27. tsint + sint.
8.2.28.	e‘(sint + 2cost + 3tcost). 8.2.29. [sh(t — 3) + sh(2t — 6)] xtt ~ 3).
8.2.30.	|(t - l)2e2-2t [3 - 4(t - 1) + (t - I)2] x(t ~ 1)- 8.2.32. 2t. 8.2.33. |t2.
8.2.34.	tsint. 8.2.35. e2t - e‘. 8.2.36. 1 - cost. 8.2.37.	----.
(p2 + l)(p2+4)
8.2.38.	—j. 8.2.39.	-----. 8.2.40. -r--------. 8.2.41. e‘ - 1;
p4 - 3p3	p3(p2 + 1)	p4 - 2p2 + 1
-jJ—. 8.2.42. | (est - e3<); ----1---8.2.43. | (e‘ - cost - sint);
p2 -p	2	(p-3)(p-5)	2
-------Ц------. 8.2.44. I (1 + 2t - 2t2 - cos2t - sin2t); ~ \ 
(p-l)(p2 + l)	4'	>' p® + 4p3
8.2.45.	2 +1 - 2e‘ + te‘; ,z 1	8.2.46. |sint - |tcost; z
p2(p-l)2	2	2 (p +1)
8.2.47.	2 - 2cost - tsint; —8.2.48. (t - l)*(t - 1).
’p(p2 + l)2
8.2.49.	(t - 3)ef-3x(t - 3). 8.2.51. sin2t - jtcos2t. 8.2.52. | (sint + tcost
±0	о	2
8.2.53.	ie*(sint — tcost). 8.2.54. ^(3sint — sin3t). 8.2.56. |(sint — tcost).
8.2.57.	| (l + 2t-2t2 — cos 2t sin 2t). 8.2.58. | (e? -1). 8.2.59. 4.
8.2.61.	- e2t + |e3t. 8.2.62. |е2< - -^e-t - cos2t - | sin2t.
2	2	o 15 1U	о
586

;3<4> -1] X
8.2.63.	jtsint. 8.2.64. ± (е"2< + Зе2‘ - 4е‘). 8.2.65. | (4e3t - 9е2< + 6е‘ - 1).
8.2.66.	|(sht - cost). 8.2.67. 5 4- |t3 4-e-t cos2t - |е-< sin2t. 8.2.68. te‘ - e2i
8.2.69.	t(cost + 2 sint). 8.2.70. tcost — t. 8.2.71. t — t2 4- 3sint.
8.2.72.	[sh(t - 3) - sin(t - 3)]x(t - 3). 8.2.73. e‘(tcos2t + sin2t).
8.2.74.	cos(t - 1) • x(t - 1) + cos(t - 2)x(i - 2). 8.2.75. | e'
О
8.2.76.	|t3. 8.2.77. 3(e‘ - 1). 8.2.78. te*. 8.2.79. |(sin2t - sin3t).
О	Э
8.2.80.	6 + 4t+t2 -6e‘ +2te‘. 8.2.81. |(t — l)3 • %(t — 1).
О
8.2.82.	j (sin (t-f)-(t- cos (t - f)) • x (t - f)-8-2.84. а) нет;
б) нет. 8.2.86. Нет. Например, 1 * t2 = 2t * t. 8.2.87. cost 8.2.88. J2 sint
_ _ __	fsint, 2kir < t (2k 4- 1)тг,
8.2.89.	f(t) = <	Указание. Представить дробь
10,	в остальных случаях.
-—— в виде геометрической прогрессии.
§	3. Приложения операционного исчисления
8.3.3.	2e-3t. 8.3.4. e4f +1. 8.3.5. sint + cost - e“‘. 8.3.6. 2e‘ +e-5t.
8.3.7.	e3t - ie3t. 8.3.8. 3sin2t + cos2t. 8.3.9. e-2t -	8.3.10. e2i - e5t 4- sint.
8.3.11.	3e2< +1 + 1. 8.3.12. te“( +1. 8.3.13. £ - |t - ^e‘ cos 2t 4- ^e‘ sin 2t.
2d u 2d	2d
8.3.14.	| (1-e‘cost+ e‘sint). 8.3.15.tef4-3e‘4-l. 8.3.16. l-2cost.
8.3.17.	-|e‘ -	| sint. 8.3.18. tcht. 8.3.19. te-< 4-2e-< 4-1 - 2.
4	4	2
8.3.20.	e-f cos 3t — e-f sin 3t 4- sin 3t 8.3.21. 1 4- 2t 4- e-f.
8.3.22.	4 + 2sint - 3cost. 8.3.23. e‘ - te‘ + lt2e‘. 8.3.24. e‘ - e~* - 2t.
8.3.25.	1 4-e‘sint. 8.3.26. |e‘ - |e-t - | sint. 8.3.27. te‘ + $ - ^e( - tU"3<-
4	4	2	3	4	12
8.3.28.	3e‘ -2sint-t3. 8.3.29. e‘ + te“‘+ tsint. 8.3.30. chi - |t2 - 1.
8.3.31.	cie‘ + С2в *. 8.3.32. cie + C2te *4-1. 8.3.33. cie^ + С2в 2* 4- te^.
8.3.34.	e‘(ci cost 4- сг sint) 4-12 4-1. 8.3.35. ci 4- сг sint 4- сз cost 4- 2t.
8.3.37.	x(t - 1) - e'-'xtt ~ I)-
8.3.38.	(e‘ - 1 -12) X(t) - (e4-1 - 1 - (t - l)2) X(t - 1).
8.3.39.	x(t) + X(t - 1) - cos(t - l)x(t - 1). 8.3.40.
|sin2t) X(t) “
- (2* - 2 - sin(2t - 2))*(t - 1) + (t - 2 - | sin(2t - 4)) *(t - 2) •
8.3.41.	(sht - t)y(t) - (sh(t - 1) - t + l)*(t - 1). 8.3.43. 2 +t4. 8.3.44. 1.
8.3.45.	te~*. 8.3.47. x(t) = el, y(t) = -e*. 8.3.48. x(t) = §е5< - |e~5t,
□ □
j/(t) = |e5< + je-5t. 8.3.49. x(t) = t, y(t) = t - 1. 8.3.50. x(t) = e(, y(t) = 0,
□ □
587

z(t) = —e*. 8.3.51. x(t) = 1, y(t) = t, z(t) = t2. 8.3.52. x(t) = te‘, y(t) = e*.
8.3.53.	x(t) = i (e‘ + 2 cos 2t + sin 2t), y(t) =	(e* — cos 2t — i sin 2t).
8.3.55.	x(t) = cost - sint. 8.3.56. x(t) = 1. 8.3.57. x(t) = 2t + |t3.
«3
8.3.58.	x(t) = 2te‘ +t2e‘. 8.3.59. x(t) = |(cost + cht).
8.3.60.	x(t) = fe2t + | cost + |sint.
D D	D
8.3.61.	x(t) = Ite*--^=e-l sin 8.3.62. x(t) = |sht + -J— sin(t4/2).
3	3V3	\ 2 /	3	3V2
8.3.63.	x(t) = e*. 8.3.64. x(t) = |(chrr + cosx). 8.3.65. x(t) = x —
8.3.66.	x(t) = sin ^t. 8.3.67. x(t) = |е‘ + Ae-3t - i-
v3	4	±2	«3
8.3.68.	x(t) = e‘ + 1. 8.3.69. x(t) = t2 - 4t + 6 - 5e-< - te-<.
8.3.70.	x(t) = ^tsint — cost + sint. 8.3.71. x(t) = 4 + sint.
.2
8.3.72.	x(t) = 1 - 2cost. 8.3.73. x(t) = e* - te* + ye‘ - 1.
8.3.74.	x(t) = 4t + 3 - 2e‘. 8.3.75. x(t) = | cost - | sint + -U2< - |.
О	о	1U 2
8.3.76.	x(t) = cost + sint + e‘ - e~* - 1. 8.3.77. x(t) = 1 - |e-< - |el cos ^t.
«3	<3	2
8.3.78.	x(t) = t + (t - l)x(t - 1)- 8.3.79. x(t) = a + c2e4t - |t2 - ±t.
8.3.80.	x(t) = cie-f + C2^e-f 4-t2 + t. 8.3.81. x(t) = ci sint + C2 cost + tsint
8.3.82. x(t) = ci + C2t + сзе* + te*.
8.3.83.	x(t) = (ci + C2t)e2t + (сз + cit)e~2t + cost. 8.3.84. x(t) = 1.
20
8.3.85.	s(t) = 1 - y. 8.3.86. ®(t) = ±sint.
8.3.87.	x(t) = i (e* — e~2 cos -^t + \/3e_ 2 sin ^t) •
8.3.88.	x(t) = 2 +1 - el (cos ^t - %/3sin ^t\ 8.3.89. x(t) = |(4 - cost\/3).
\	2	2 j	«3
*> 1	\/3
8.3.90.	x(t) = sint. 8.3.91. x(i) = -^2 sin ^t. 8.3.92. ®(t) --1, y(t) = 2.
V3 2
8.3.93.	x(t) = sint, y(t) = cost. 8.3.94. x(t) = t2 — 1, y(t) = t — 1.
8.3.95.	x(t) = y(t) = e‘ + 1, z(t) = 1. 8.3.96. x(t) = 2 - e-t, j/(t) = 2 - e-t,
z(t) = 2e-t - 2. 8.3.97. x(t) = e‘, y(t) = 2e‘ + 1, z(t) = 2 - e‘.

ПРИЛОЖЕНИЯ
1	-х
Приложение 1. Значение функции <р(х) = —= е 2 .
у2тг
X	о	1	2	JJ	4 I	5	6	7	8	9
	Сотые доли х									
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3721	3605	3588	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3411	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	ЗОИ	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1827	1804	1781	1759	1736
1,3	1714	1692	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1540	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1181	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0941	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
				Десятые доли			X			
2,	0540	0440	0355	0283	0224	0175	0136	0104	0079	0060
3,	0044	0033	0024	0017	0012	0009	0006	0004	0030	0020
589

1 r - —
Приложение 2. Значение функции Фо (я) = —= е z dt.
_____________________________ v^o
X	о	1	2	з	4|	5|	6 1	7 1	8 1	9
				Сотые доли .			X			
0,0	0,0000	0040	0080	0112	0160	0199	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0754
0,2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2258	2291	2324	2357	2389	2422	2454	2486	2518	2549
0,7	2580	2612	2642	2673	2704	2734	2764	2794	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967	2996	3023	3051	3079	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1,0	3413	3438	3461	3485	3508	3531	3553	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3686	3708	3729	3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3849	3869	3888	3907	3925	3944	3962	3980	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4177
1,4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4430	4441
1,6	4452	4463	4474	4485	4495	4505	4515	4525	4535	4545
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4633
1,8	4641	4649	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4700	4706
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4762	4767
	Десятые доли х									
2,	4773	4821	4861	4893	4918	4938	4953	4965	4974	4981
3,	4987	4990	4993	4995	4997	4998	4998	4999	4999	50008

По вопросам оптовых закупок обращаться:
тел./факс: (495) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru
Адрес: Москва, пр. Мира, 104
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги
с II00 до 1730, кроме субботы, воскресенья,
в киоске по адресу: пр. Мира, д. 106, тел. (495) 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «АЙРИС-пресс» приглашает к сотрудничеству
авторов образовательной и развивающей литературы.
По всем вопросам обращаться
по тел.: (495) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
2 курс
Ведущий редактор В. В. Черноруцкий
Художественный редактор, оформление А. М.Драговой
Иллюстрации Н. Г. Рысьева» А. Ю. Терская
Технический редактор С. С. Коломеец
Компьютерная верстка Е. Г. Иванов
Корректор 3. А. Тихонова
Подписано в печать 28.10.07. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Печ. л. 37. Усл.-печ. л. 37. Тираж 5000 экз. Заказ № 3270.
ООО «Издательство «АЙРИС-пресс»
113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.
ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени
полиграфкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР».
170040, г. Тверь, пр. 50 лет Октября, 46.
£

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий
студентов, изучающих в том или ином объеме высшую мате-
матику, и содержит необходимый материал по темам, которые
обычно изучаются на втором году обучения в вузе. В пособие
также включены дополнительные главы, необходимые при
изучении специальных курсов - двойные, тройные, криволи-
нейные и поверхностные интегралы, ряды (от числовых до
рядов Фурье), дифференциальные уравнения, а также элемен-
ты теории поля и теории функций комплексного переменно-
го, основы операционного исчисления.
Изложение теоретического материала по всем темам сопро-
вождается рассмотрением большого количества примеров и
задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Аирис^

Книга охватывает материал, преимущественно
изучаемый на 2-м курсе технических вузов.
В ней содержится несколько тысяч задач
по высшей математике.
Необходимые теоретические
сведения по всем разделам вместе
с детально разобранными типовыми задачами
позволят даже слабому студенту освоить
азы этой непростой науки.
Вместе с тем в этом сборнике немало
интересных и сложных задач
для продвинутых студентов.
А наличие «качественных» вопросов
к экзамену, контрольных работ
и устных заданий делает
эту книгу бесценной не только
для студентов, но и для преподавателей.
Неслучайно в последние годы этот
сборник задач прочно вошел в учебный
процесс и занял место на полках библиотек
многих технических вузов.
АЙРИС ПРЕСС