Текст
                    СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
С контрольными работами
Ряды и интегралы
Векторный
и комплексный анализ
Дифференциальные уравнения
Теория вероятностей
Операционное исчисление

К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А.Шевченко Под редакцией С. Н. Федина СБОРНИК ЗАДАЧ_ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ С контрольными работами Ряды и интегралы_______________ Векторный и комплексный анализ Дифференциальные уравнения Теория вероятностей 2 Операционное исчисление курс 6-е издание МОСКВА АЙРИС ПРЕСС 2007
УДК 517(075.8) ББК 22.1я73-4 С23 Авторы: Лунгу Константин Никитович Норин Владимир Павлович Письменный Дмитрий Трофимович Шевченко Юрий Алексеевич Куланин Евгений Дмитриевич Серийное оформление А. М. Драгового Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу С23 и др.; под ред. С. Н. Федина. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2007. — 592 с.: ил. — (Высшее образование). ISBN 978-5-8112-2948-2 Книга является второй частью вышедшего ранее и выдержавшего не- сколько изданий «Сборника задач по высшей математике». Сборник со- держит три с лишним тысячи задач по высшей математике, охватывая материал, обычно изучаемый во II-IV семестрах технических вузов. По сути, эта книга — удобный самоучитель, который позволит сту- денту быстро и эффективно подготовиться к экзаменационной сессии. Этому способствуют необходимые теоретические пояснения ко всем разде- лам сборника, детально разобранные типовые задачи, изрядное количе- ство разнообразных заданий различных уровней сложности для самосто- ятельного решения, а также наличие контрольных работ, устных задач и «качественных» вопросов. Книга будет полезна студентам младших курсов и преподавателям вузов для проведения семинарских занятий. ББК 22.1я73-4 УДК 517(075.8) ISBN 978-5-8112-2948-2 © ООО «Издательство «АЙРИС-пресс», 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................................................. 5 Глава 1. РЯДЫ § 1. Понятие ряда. Ряды с положительными членами............ 7 §2. Знакопеременные ряды.................................. 21 § 3. Степенные ряды........................................ 32 § 4. Ряды Фурье............................................ 42 Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 1. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными.... 52 §2. Однородные дифференциальные уравнения................. 64 § 3. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли................ 68 § 4. Уравнения в полных дифференциалах..................... 74 § 5. Уравнения Лагранжа и Клеро............................ 78 Контрольная работа......................................... 80 § 6. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.. 82 § 7. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка...... 94 §8. Интегрирование систем дифференциальных уравнений..... 113 Контрольная работа........................................ 124 Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ §1. Двойной интеграл. Свойства и методы вычисления....... 127 § 2. Замена переменных в двойном интеграле................ 143 § 3. Применения двойного интеграла........................ 153 § 4. Тройной интеграл. Свойства, вычисление, применение... 168 Контрольная работа........................................ 184 Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Криволинейный интеграл первого рода................. 187 § 2. Криволинейный интеграл второго рода................. 200 § 3. Поверхностный интеграл............................... 218 Контрольная работа........................................ 231 Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ § 1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии........................................... 235 §2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. 242 § 3. Поток векторного поля................................ 247 § 4. Циркуляция векторного поля........................... 257 § 5. Потенциальные и соленоидальные поля............... 264 Глава 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 1. Элементы комбинаторики............................... 271 § 2. Случайные события. Действия над событиями............ 281 3
§ 3. Вероятность случайного события......................... 291 § 4. Условная вероятность................................... 302 §5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса............. 313 § 6. Схема испытаний Бернулли............................... 321 § 7. Приближенные формулы в схеме Бернулли.................. 326 Контрольная работа.......................................... 333 § 8. Дискретные случайные величины.......................... 338 § 9. Непрерывные случайные величины......................... 347 § 10. Числовые характеристики случайных величин............. 357 § 11. Важнейшие распределения случайных величин............. 370 § 12. Системы случайных величин............................. 385 § 13. Функции случайных величин............................. 410 § 14. Предельные теоремы теории вероятностей................ 428 Глава 7. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Основные элементарные функции комплексного переменного. 439 § 2. Аналитические функции.................................. 444 § 3. Интегрирование функций комплексного переменного........ 453 § 4. Ряды Лорана. Изолированные особые точки................ 465 § 5. Вычеты................................................. 477 Контрольная работа.......................................... 484 Глава 8. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Оригинал изображения. Преобразование Лапласа. Нахождение изображений..................................... 487 §2. Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению.... 497 § 3. Приложения операционного исчисления.................... 509 Контрольная работа.......................................... 519 Ответы...................................................... 522 Приложения.................................................. 589
ПРЕДИСЛОВИЕ Предисловие для студента Привет! Тебе здорово повезло. Эта книга как раз то, что тебе нужно. По- суди сам: • это не просто задачник, а еще и самоучитель — по нему можно научиться решать задачи даже без преподавателя; • эта книга поможет тебе подготовиться не только к зачету, но и к экзамену — ты найдешь в ней не только необходимые определения и теоремы по каждой теме (и все это кратко, без утомительных коммента- риев), но и типичные задачки и вопросы, которые даются на экзамене; • ты найдешь здесь задачи любого уровня сложности — от простых до таких, которые удовлетворят даже самых продвинутых в твоей группе; • прочитав подробно разобранные примеры, ты без проблем раз- берешься с любым типом задач. В общем, с этой книгой не пропадешь! Имей в виду, что у этого задачника есть еще и первый том. Удачи тебе на сессии! Предисловие для преподавателя Первая часть этой книги («Сборник задач по высшей математике. 1 курс») была очень хорошо принята читателями и к настоящему времени выдержат ла несколько переизданий. В данном сборнике задач, охватывающем тради- ционный курс высшей математики в объеме второго курса технического вуза, сохранены все принципиальные особенности первого тома. Каждая новая тема предваряется необходимыми теоретическими поясне- ниями, включающими важнейшие определения и теоремы. Затем идет блок за- дач на эту тему, по объему и структуре соответствующий стандартному семина- ру по высшей математике: сначала подробно разбираются 1-2 типовые задачи на тот или иной прием, после чего предлагается 3-6 аналогичных задач на его закрепление. Затем точно так же осваивается другой стандартный навык при решении задач на данную тему и так далее. В конце каждого раздела помещен существенно ббльший по объему блок задач для самостоятельной работы сту- дентов дома (именно отсюда преподаватель может брать задачи для домашних заданий). Кроме того, в особый пункт, завершающий любую изучаемую тему, включены задачи повышенной сложности и «качественные» вопросы, обычно предлагаемые на экзаменах по высшей математике. Дополнительное удобство Для преподавателей представляют контрольные работы в каждой главе книги. Таким образом, данный сборник задач будет несомненно полезен препода- вателям для проведения практических занятий (есть теория, есть разобранные примеры, есть задания для семинара и на дом) и студентам для самостоятель- ной работы, в качестве самоучителя. В сборнике свыше трех тысяч задач, и практически ко всем из них даны ответы или подробные решения и указания. 5
Книга написана преподавателями нескольких различных московских ву- зов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со сту- дентами. При этом главы 3, 4 и §§ 6-8 главы 2 написаны Лунгу К.Н.; главы 5 и 8 — Нориным В. П.; глава 6 и §§ 1-5 главы 2 — Письменным Д. Т.; главы 1 и 7 — Шевченко Ю. А.; Куланин Е. Д. написал § 4 главы 1. Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу: 141103, Моск, обл., г. Щел- ково-3, а/я 140; или по адресам электронной почты: chislovo@yandex.ru или editor@airis.ru (обязательно указать тему: «Задачник»). Авторы Авторы и издательство благодарят преподавателя математики Пайкову Л. И. из Днепропетровска (Украина) за ценные замечания, которые были учтены в данном издании. Принятые обозначения определение Q начало решения задачи • конец решения задачи N множество натуральных чисел Z множество целых чисел R множество действительных чисел R2 действительная плоскость R3 действительное трехмерное пространство С множество комплексных чисел U объединение множеств Г1 пересечение множеств А С. В А — подмножество множества В (А В) АС В А — подмножество множества В V любой, для любого = тождественно равен sign (х) знак числа х
Глава 1. РЯДЫ □ § 1. ПОНЯТИЕ РЯДА. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Ряд. Сходимость ряда. Сумма ряда Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных) Д1, Д2,ДЗ, • • • , Дм,• • • Числовым рядом называется выражение вида Д1 4- Д2 4- дз 4-... 4- Дп 4-... оо Сокращенно ряд обозначают следующим образом: ап- При этом числа п=1 Д1, Д2, Дз, • • •, Дп, • • • называются членами ряда, а число дп — общим членом ряда. Суммы вида Si = дх, S2 = Д1 4" Д2, • • •, Sn = Дх 4" Д2 4" Дз 4-... 4- Дп, • • • называются частичными суммами ряда. Числовой ряд называется сходящим- ся, если существует конечный предел последовательности {Sn} его частичных сумм: S = lim Sn. n—>00 В этом случае указанный предел называется суммой ряда. Если lim Sn не существует или равен бесконечности, то числовой ряд на- п—>оо зывается расходящимся и суммы не имеет. Простейшие свойства рядов. Необходимый признак сходимости Теорема 1.1. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд также сходится. Таким образом, сходимость ряда не меняется при отбрасывании любого конечного числа его членов. 7
оо Теорема 1.2. Пусть ряд 52 ап сходится, и его сумма равна S. Тогда ряд П = 1 оо 52 otan = aai 4- ааъ 4-... 4- аап 4-..где а — произвольное число, также П = 1 сходится, причем его сумма равна aS. оо оо Теорема 1.3. Пусть ряды 52 ап и 52 сходятся, и их суммы, соответствен- ных п=1 оо но, равны Si и S%. Тогда ряд 52 (ап 4- bn) = (ах 4- bx) 4- (аг 4- 62) 4-... также П = 1 сходится, причем его сумма равна Si 4-£2- Необходимый признак сходимости Если ряд 52 ап сходится, то общий член ряда ап стремится к нулю при п=Х п —> оо, т. е.: lim ап = 0. Таким образом, если lim ап / 0, то ряд 52 Лп расходится. п~>о° П=1 Ряд а 4- aq 4- aq2 4-... 4-agn"x 4-..., составленный из членов бесконечной гео- метрической прогрессии со знаменателем q и первым членом а / 0, называется геометрическим рядом. Если |g| 1, то геометрический ряд расходится, если |g| < 1 — сходится (при этом его сумма S находится по формуле S = 2.-)- 111 00 1 Ряд 14-^4-^4-...4- — 4-..., или, что то же самое, 52 й? называется гар- моническим. Гармонический ряд расходится. Ряд 14-77^4-77^4-...4--—-4-..., 2 3 71 где р > 0, называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при р > 1 и расхо- дится при 0 < р 1. Частным случаем ряда Дирихле (при р = 1) является гармонический ряд. Признаки сходимости рядов с положительными членами 1-й признак сравнения оо оо Пусть 52 an И 52 Ьп — ряды с положительными членами, причем ап Ьп п=1 П=1 для всех номеров п, начиная с некоторого. Тогда: оо оо 1) если ряд 52 Ьп сходится, ТО СХОДИТСЯ И ряд 52 ап\ П=1 П=1 оо оо 2) если ряд 52 ап расходится, то расходится и ряд 52 bn- П=1 П=1 8
2-й признак сравнения оо оо Пусть 52 ап и 52 — рады с положительными членами, причем суще п = 1 П = 1 ствует конечный и отличный от нуля предел lim п—>оо 0п оо оо Тогда ряды 52 ап И 52 сходятся или расходятся одновременно. П=1 п = 1 При использовании 1-го или 2-го признака сравнения, как правило, срав- нивают исходный ряд с соответствующим рядом Дирихле. При этом часто ис- пользуют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей (при п —> оо): sin 1 ~ tg i ~ arcsin J ~ arctg 1 ~ In (1 + ±) ~ ± Признак Даламбера оо Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, и существует конечный п—1 предел |. an+i _ 11Ш — = I. п->оо ип Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится. Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требу- ется исследовать ряд с помощью других методов. Признак Коши оо Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, и существует конечный п=1 предел lim = I- п—>оо Тогда, если I < 1, то данный ряд сходится; если же I > 1, то — расходится. Если I = 1, то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требу- ется исследовать ряд с помощью других методов. Интегральный признак сходимости оо Пусть 52 ап — ряд с положительными членами, для которого существует п=1 положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1, +оо) функция f(x) такая, что /(n) = an, п = 1,2,... 4-оо оо /* Тогда ряд 52 ап и несобственный интеграл / f(x) dx сходятся или рас- n=l J 1 ходится одновременно. 9
1.1.1. Для каждого ряда написать формулу частичной суммы Sny. найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п—>оо сделать вывод о сходимости или расходимости ряда: а) 14-2 + 3-1-... + п + ...; б) + . . • Н---------------. . + . . . . 1'2 2'0 3*4 п(п + 1) Q а) Так как члены ряда 1 + 2 + 3 + ... + п + ... представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1, и разностью, равной 1, то по формуле для суммы первых п членов арифметической прогрессии получим: 1 _ 1 + п п — 2 • n; lim Sn = +оо; ряд п—>оо 2 Отсюда lim Sn = lim - • п = lim i(n + n2) = +oo. Следователь- n—>oo n—>oo 2 n—>oo 2 но, ряд расходится. Таким образом Sn : расходится. б) Так как * = 1------, то ’ п(п +1) п п + 1’ Sn = 1-2 + 2 • 3 + 3-4 + " + 1 п(п +1) = 1-1 + 1_1 + 1_ 1 2 2 3 3 4 1 п —1 п^ п = 1 + 0 + 0 + ... + 0--+т = 1-J п + 1 п + Отсюда lim Sn = lim (1--------) = 1. Значит, ряд сходится, и его п—>оо п—>оо X П + 1 / сумма равна 1. Окончательно: Sn = 1------7-7; lim Sn = 1; ряд сходится. • 71+1 п—>оо Для каждого ряда в задачах 1.1.2-1.1.8: 1) написать формулу частичной суммы Sn; 2) найти lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п—>оо 3) сделать вывод о сходимости или расходимости ряда. 1.1.2. 1-1 + 1-1 + ... + (-1)п-1 +... 1.1.3. 1+ 3 4-5 + ... + (2п — 1) + ... 1.1.4. 2-4 + 6- 84-...+ (-l)n+1 •2п + ... 1.1.5. 1 + 2 + 4 + ... + 2П-1 + ... 1.1.7. У -------i-------- n+(2n-l)(2n + l) 1.1.8. In 2 + In + In + ... + In ^1 4-1^ + .... 10
1.1.9. Найти предел при п -> оо общего члена ряда ап. Если lim ап п—>оо 0, то, применяя необходимый признак сходимости, устано- вить, что ряд расходится, оо П + 1 2п + Г п2 п3 + 2 Q а) Найдем предел общего члена ряда: n=l оо оо п?1 ln(n + 1) ’ п + 2 lim ап = lim Jit I = n^oo n^oo 2П -И 1 ^Разделим числитель и знаменатель дроби на nj 1 + 1 lim (1 + = Шп = ---Ц ^°°2+i lim (2 + 1) I/O, значит, ряд расходится- n-^оо \ / Итак, lim ап = ряд расходится. п—>оо 2 б) Так как при п —> оо имеем (п + 2) —> оо и ln(n + 1) —> оо, то для нахождения предела lim ап воспользуемся правилом Лопиталя: ' п—юо г х + 2 г (ж + 2) lim —-------— = hm ---------------- Я->ОО 1п(ж + 1) ж->оо (1п(ж + 1)) = lim —|— = lim (х + 1) = оо. 1 я->оо (я + 1) Отсюда следует, что lim ап = lim п—>оо п—>оо п + 2 , z „. = оо ф 0, и ряд расходится. 1п(п +1) в) Найдем предел общего члена ряда: 2 lim ап = lim —— п—^оо “ " П->ОО п3 + 2 ^Разделим числитель и знаменатель на п3 = lim , ' Г , = lim —L- п->оо (п6 + 2) : ТГ5 n->oo 1 + _£. п3 п2 : п3 ' М « - 0 - П m (1 + 4) 1 >оо У П6 / Так как Диться. На самом деле, данный ряд, как будет показано ниже, расходится, °Днако, используя только необходимый признак сходимости, доказать этого нельзя. Таким образом, lim ап = 0; ряд может сходиться или расходиться. п—>оо lim ап = 0, то данный ряд может сходиться, а может и расхо- п—>оо 11
В задачах 1.1.10-1.1.17 найти предел при п —> оо общего члена ряда ап. Если lim ап 0, то, применяя необходимый признак сходимости, п—>оо установить, что ряд расходится. 1.1.10. п + 2 пЪ2п-3’ 1.1.11. п2 +1 n=i (п + 2)3' 1.1.12. ОО кп у ——. п=1 п + 1 1.1.13. + п2 + 1 1.1.14. оо -< Е sin тг 1.1.15. ~ (-1)"-1 -п п=1 п п=1 1п(п + 1) 1.1.16. ОО 1 „51 (2 + (-W 1.1.17. £(1+Ю”. п=1 х ' 1.1.18. Применяя 1-й признак сравнения, исследовать на сходимость 2 + sinn ряд Е п п=1 Q Так как sinn -1, то 2 + sinn 1, откуда — п Jr. Ряд V 1г It It I ь П=1 2 + sin п ж расходится, значит, расходится и больший ряд >, ---------. • п=1 Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Ука- зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд. 1.1.21. 1.1.20. g5” + 1 П=1 оо 1.1.22. У ----------. £1(п + 1)! 2П 1 1.1.19. 1.1.23. 2= п/п + 2 n=i Vn6 + 2п - 2 °° arctg п + 1 2-м ^2 п=1 П оо 1 Ш П 71=1 у/п Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравне- ния. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд. а) у п + 2 ' п= 1 п2 + п + 1 х 1 I п+1 в) Е 77=14-п- О а) Числитель и знаменатель дроби п + — неограниченно растут п2 + п + 1 при п —> оо. Скорость роста числителя (п+2) определяется слагаемым п, т.е. числитель «растет как п» при п —> оо. Более строго: lim = 1? п—>оо что также можно записать в следующем виде: п + 2~п, п—>оо (т. е. по- следовательности п + 2 и п эквивалентны при п —> оо). Аналогично, ско- рость роста знаменателя (n2 +n+1) определяется слагаемым п2, т. е. зна- 2 п п2 + п +1 1 менатель «растет как п» при п -+ оо. Более строго: hm -----= 1, п—too что также можно записать в виде: n2 + n + l~n2,n—>оо (последова- 12
тельности п2 + n + 1 и п2 эквивалентны при п оо). ___ (п + 2) ~ п п 1 Таким образом, —г----------------- ~ В других обозначениях: (п2 + п + 1) ~ п2 п2 п r ( п + 2 1\ п2+2п lim —---------- : 77 = lim —-------- = "-►oo\n2+n + l "у "-юоп^+п + 1 „ (п2 + 2п) : п2 1пп —-------------- = lim "-►оо (п2 + п 4-1) : п2 1 2 п п—>оо 1 I 1 I _1_ + П + П2 00 1 Так как ряд 52 77 расходится, то расходится и исходный ряд. П=1 б) Учитывая, что и числитель и знаменатель дроби ---не- ’ Vn6+2n-2 ограниченно растут при п -> оо, запишем дробь, составленную из экви- валентных им выражений: г- /—3 Пу/П + 2 Пу/П _ 712 _ 1 л/п6 + 2п - 2 у/п? П3 п| □° । Так как ряд 52 “ сходится, то сходится и исходный ряд. 71=1 п2 в) Так как In п + 1 = In (1 + ~ (п -> оо), то In п + 1 ~ ' ' 'у П 111 о° 1 ~ “77= • г; = -г- (п —> оо). Ряд 52 Т сходится, значит, сходится и п! П=1п1 исходный ряд. • Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Ука- зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд. 1.1.24. ОО Е 71=1 п 4- 5 п2 - 2 1.1.25. ? 2~п ^1 п3 + п - 1 1.1.26. ОО Е П=1 п2 4- 2 Зп 4-1 1.1.27. 00 1 Г --— п=1 у/п2 4- 3 1.1.28. оо Е п - 1 1.1.29. g у/п+ ^/п П=1 \/п3 4- Зп - 1 n=i п 4- 1.1.30. оо Е Ы 2^1). 1.1.31. ОО 1 52 arcsin2 — П=1 \ п2 J п=1 у/п 1.1.32. оо Е Г~ • 7Г у/п • sm —. 1.1.33. ОО л E«5-tg34- П=1 п2 п=1 п2 1.1.34. оо Е П=1 2П4-3 5"+ 2' 13
00 б) Е \ л Т)' П=1 'Ь- 1.1.35. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Далам- бера: Q а) Преобразуем выражение : Дп+1 = (»+ I)5 . п5 = (»+ I)5 з»+1 = 1 / п5 ап з(п+1)4-1 * 3П+1 П5 3^4-2 3 \ п/ Так как —> 0 при п —> оо, то fl + —> 0 и fl + —> 0 при п —> оо. Значит, lim = 1 lim (1 + 1) = I < 1, п->оо ип О п->оо \ ,Ь/ О и исходный ряд сходится по признаку Даламбера. б) Поскольку вп+1 = (» + l)n+1 . Пп _ (” + l)n+1 п! = °n (п + 1)! ' п! пп (п + 1)! (п + 1)п • (n + 1) l-23-...n = /П + 1\П = Л 1\п Пп ’ 12-3-...п(п + 1) \ п ) \ ТО lim Q™+1 = lim fl + JH =е>1 (2-й замечательный предел), п—>оо ап п->оо \ п/ и, значит, исходный ряд расходится. Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать Qn+1 0>п lim п—>оо 1.1.36. оо on оо п3 Е ^2- 1.1.37. Е п=1 п П=1 ° 1.1.38. у 32 11 м г п=1 п! • ’ ’ „51 (2п)!’ 1.1.40. пп 1 л 1-4-... (Зп-2) n?in!2n' Si п!2" 1.1.42. °о 1 • 3 • 5 • . • (2п - 1) п+12-712-...-(5п-3)’ 1.1.43. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши: v S / П + 2 \3та+1 Л _ IV2 а)„5Д2п+1) • б)п51 V1 ’ Q а) Учитывая, что Зп+ 1 / п + 2\ п \2п + 1) ( п+ 2 \3+п \2п + 1) 14
a lim ” i и lim (з + 1) = 3, получим n—>oo Zn + 1 Z n->oo \ *4 lim у^=Пт(А±А)8+" = (1)3 = 1<1. n->oo п->оо\2п + 1/ \ZJ о Исходный ряд сходится по признаку Коши. /-------------------------------^2* J П2 j б) Так как = у п • (1 - = пп • (1 - 1) " = пп • (1 - 1) , — ( 1 \ п то остается найти пределы lim п п и lim 11 — — ] . П~Ь<Х) П—>ОО \ J 1 1 1 1) Поскольку пп = е1п1<пП\ где ln(nn) = Inn, то по правилу Лопи- таля 1 lim 1S£= lim ^-= lim |=0, n—>оо п—>оо (ТЪ) п—>оо 1 - -1 откуда lim пп = lim еп lnn = е° — 1. п—>оо п—>оо 2) Так как lim (1 + zr) = еа (следствие из 2-го замечательного пре- п—>ОО Х n'b дела), то lim fl — = е-1. Отсюда п—>оо \ 1Ь/ 1 / 1\™ I / 1\tt 1__1 lim Ч/Оп — lim nn•(1 — — ) = lim nn • lim 11- — ) = e = - < 1, n—>OO____________________________________________________71—HX) \ J n—¥OO П—>OO \ J c и, значит, исходный ряд сходится. • Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши. Указать lim . n—too 1.1.44. 1.1.46. 1.1.48. 1.1.50. оо Е П=1 1.1.45. °° / £ n=l v п- 1 \п 2п + 1/ ’ оо Е 71=1 /2п —1\2 \Зп + 1/ ’ 1.1.47. ОО z н n=l v п_ !чп(п-1) п + 1/ ОО Е 71=1 (arcsinl) П. 1.1.49. П.М8 3 /Зп + 2\” ' \2п + 1/ ’ ОО Исследовать на сходимость ряд 71=2 1 nlnn , применяя интеграль- ный признак. Указать первообразную для функции /(ж) 4-оо и J f(x)dx. а Q Так как ап = —р—, то f(x) = —р—. Проверим применимость ин- п 1п п х 1п х тегрального признака Коши. Очевидно, что функция f(x) непрерывна и принимает только положительные значения на промежутке (2,+оо). Убедимся, что f(x) монотонно убывает на этом промежутке. 15
Пусть 2 < a?i < я2. Тогда 1ПЯ1 < 1пя2 и Я1 1пЯ1 < я21пя2, откуда /(*i) = —jl— > —jl— = f(x2). Я11ПЯ1 я21пя2 Итак, функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убыва- ет на промежутке (2, +оо), значит, для использования данного ряда на сходимость можно применять интегральный признак сходимости. Найдем неопределенный интеграл j f(x) dx: Г dx _ Г d(lnx) _ г _ in in х + 0 J xinx J In х J Первообразной для функции f(x) является, например, функция Ininх. 4-оо Вычисляя несобственный интеграл , получим 4-оо М Г dx _ 1;_ f_dx_ J X In X 2 2 I “1-- ~ 1™ J ЯШЯ M->+oo 2 lim (In In M — In In 2) = +oo. —— расходится, то расходится и ятя ряд Е 2 • тёг In п Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука- 4-оо зать первообразную для функции f(x) и j f(x) dx. а ОО i 1.1.51. У —i n=2 nv 11 oo 1.1.53. У--------------.------- n=l (n + 1) ln2(n + 1) 1.1.52. 1.1.54. oo у -----------------. (n 4-1) ln(n + 1) □° 4 52 > o* n=l ,L 1 1 Исследовать ряд на сходимость. Указать применяемые признаки. До- полнительно указать: 1) для необходимого признака — lim ап; п—>оо 2) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд; 3) для признака Даламбера — lim Q^-+1; 4) для признака Коши — lim Ч/а^; п—>оо I» 5) для интегрального признака — первообразную для f(x) и f(x)dx. а 1 1 55 2п + 3 1Л-55* ^Зп-2- oo „2 1-1.56. E 16
1.1.57. ОО Е П=1 оо Зп + 1 2П - Г п2 1.1.59. Е (!-я) П=1 1.1.61. оо Е п=2 п+1 1.1.63. оо Е П=1 /2п — 1 \5п + 2 Зп—2 1.1.65. оо Е tg-7=- П=1 Пу/п 1.1.67. оо Е Зтап3 П • П=1 52 1.1.69. оо Е П=1 /Зп + 1 \2п + 1 ^п+1 1.1.58. 1.1.60. 1.1.62. 1.1.64. 1.1.66. 1.1.68. 1.1.70. 00 i п=1 уП 4“ 2 Elnfe1 П=1 \ П л/inn □° ч ^2 1ПП 1 • 4 •... • (Зп - 2) п! Дополнительные задачи Для каждого ряда: а) написать формулу n-Й частичной суммы Sn; б) найти предел lim Sn или доказать, что этот предел не существует; п—>оо в) сделать вывод о сходимости или расходимости ряда. 1.1.71. 21 = 1 + 1 + 1 + ...4-1 + ... П=1 1.1.72. 2(-п) = -1-2-3-...-п-... П=1 1.1.73. 2 (“1)п • (2п - 1) = -1 + 3 - 5 + 7 - ... + (-1)” • (2п - 1) +... 1.1.74. 21^- = 1 + 1 + ± + ... + ^ + ... „|1 5”-1 1+5 + 52+ 5"-1 1.1.75. 2 (! + (-1)П-|) = 2 + 3 + 2 + 3 + ... + 2 + 3 + ... 1 1 76 V _2п±1_ = 3 , 7 , , 2п + 1 п=Ш2(п + 1)2 I2 • 22 32-42 п2(п + 1)2 Найти предел общего члена ряда ап. Если lim ап 0, то, применяя П-+ОО необходимый признак сходимости, установить, что ряд расходится. 1.1.77. ОО Е п=1 п Зп - Г 1.1.78. . Зп - 1 £,1П2„ + 3' 1.1.79. оо Е п=1 cos-^. п2 1.1.80. . п 4-1 п=1 П — О 1.1.81. 00 Е п=1 (~1)п+1 n+Vio’ 1.1.82. 2п 2^ ОП • п=1 3 17
1.1.83. у 2п п=1 у/п? + 1' оо 1.1.84. £ П=1 п + 3 Зп2 - 1 Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Ука- зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд. 1.1.85. 1.1.87. 00 1.1.86. £ п=1 1 п-Зп’ ОО 1.1.88. £ п=1 2п—1 5" + Г Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Ука- зать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд. 1.1.89. ОО Е п=1 2 -|- п п2 — 3 1.1.91. оо Е п3 + Зп2 - 2 п=1 2п + 5 - п5 1.1.93. оо Е п=1 2 4- Зу/п 2п - 5 1.1.95. оо Е п=1 1.1.97. оо Е , п2 + 4 nln , . п=1 п2 + 3 оо КП 1.1.99. Е п=1 0 2п + п* 1.1.90. 1.1.92. 1.1.94. 1.1.96. 1.1.98. 2п + 3 п^13п-2’ ОО « Е arctg3 -тух. п=1 V™ Е n4-sin2^. п=1 п3 Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать 1. ®п4-1 111И -д—. п—>оо ип 1.1.100. ОО Е п=1 п7 п * 52 l.i.ioi. £ п=1 зп+1 2п • п4 ’ 1.1.102. оо Е 71=1 ^3 п п! ’ 1.1.ЮЗ. Е п=1 (п + 1)! 5п ‘ 1.1.104. ОО Е 71=1 п!Зп пп 1.1.105. Е п=1 1 • 3 • 5 •... • (2п - 1) п2 -Зп 1.1.106. ОО Е 2-5-8-.. .. • (Зп - 1) 71=1 1-5-9-.. ,. • (4п - 3) ’ Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши. Указать lim ШГ- п—>оо v оо Ч / i \ п2 ХЛЛОГ. Е х (1 +1) . 1.1.108. V Гп + 1\п-г ^ДЗп-1) 18
0° / „ \2п+1 1ЛЛ09- S (зЛт) 00 / /гэ \ п2 1ЛЛ1°- £та)' £ * (зитт) 1.1.113. 2 п=2 00 1 1.1.115. £ -1—Ц—. ^2 п 1П П 1П1П П Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Ука- 4-оо зать первообразную для функции f(x) и J f(x) dx. а оо £ (2п 4-1) 1п(2п 4-1) 1.1.116. f ——J--—. п=2 nlnn(lnlnn)z 1 с которым В задачах 1.1.117-1.1.131 исследовать ряд на сходимость и указать при- меняемые признаки. Дополнительно указать: 1) для необходимого признака — lim ап; п—>оо 2) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, сравнивается данный ряд; 3) для признака Даламбера — lim Q™+- ; п—>оо ап 4) для признака Коши — lim Ч/а^; п—>оо v 5) для интегрального признака — первообразную для f(x) и У f(x)dx. а 1.1.117. £ 2.п4~^. п=1 п(п + 2) 2 11 л19' 1^(1 + й)”' 1.1.121. £1п(^Цр\ п=1 \ п2 J ill oq 2п 4“ 1 1.1.123. 23 cos 71=1 оо 1.1.125. £ 71=1 1.1.127. 2 71=1 оо Зп + 2‘ (Зп)! (п!)323п 1 (Зп - 1) 1п(3п - 1) ’ г- /5п-3\”+1 'Mta+J 1.1.131. fsin?2-±-l. п=1 пл Зп 1.1.118. £ . n=i n!2n+1 00 1 1.1.120. £ п=2 П1П П 1.1.122. £ 71=1 оо 1.1.124. £ 71=1 оо 1.1.126. £ 71=1 оо 2 + (-1)п п 1 пп‘ 3-5-...-(2п + 1) 2 • 5 •... • (Зп - 1) 1.1.128. £ ^=. п=1 V ОО -J 1.1.130. £ ------— 72=1 Зп П 19
Контрольные вопросы и более сложные задания оо 1.1.132. Можно ли утверждать, что ряд У\ап сходится, если liman = 0? п=1 п->оо оо 1.1.133. Является ли необходимым для сходимости ряда 52 ап усло- вие: 71=1 a) lim ап 0 2; п—>оо б) не все члены ряда — числа ап — равны 2; в) lim ап 0 0; п—>оо г) не все члены ряда — числа ап — равны 0 ? 1.1.134. Верно ли, что а) если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены; б) если частичные суммы ряда ограничены, то ряд сходится ? 1.1.135. Существует ли ряд, который а) по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши — расходится; б) по признаку Коши сходится, а по признаку Даламбера — расходится; в) по признаку Даламбера расходится, а по интегральному признаку — сходится ? оо 1.1.136. Что можно сказать о сходимости ряда 52 (ап + Ьп), если п=1 оо оо а) ряды 52 ап И 52 Ьп сходятся; п=1 П=1 оо оо б) ряды 52 ап и 52 Ьп расходятся; п=1 П=1 оо оо в) ряд 52 ап сходится, а ряд 52 Ьп расходится? п=1 п=1 оо 1.1.137. Из того, что ряд 52 (ап + Ьп) сходится, следует ли, что П=1 оо оо а) оба ряда 52 ап и 52 Ьп сходятся; п=1 П=1 оо оо б) оба ряда 52 °п и 52 bn расходятся; п=1 п—1 оо оо в) один из рядов 52 ап и 52 bn сходится, а другой — расхо- П=1 П=1 дится ? 1.1.138. Исследовать на сходимость ряд 52 ---- п=1 оо епп| 1.1.139. Исследовать на сходимость ряд >2 —тг- п=1 п 20
оо 1.1.140. Исследовать на сходимость ряд ^2 °п5 где п=1 к = 1,2,... ап — ок—1 V-, n = 2fc — 1; 4*-i’ ’ ок—1 п = 2к, ^к 1 а) по признаку Даламбера; б) по признаку Коши. 1.1.141. Привести пример двух рядов оо 52 (ап + Ьп) сходится, а ряд 52 (оп - Ьп) расходится. 71=1 П=1 ^71 1.1.142. Докажите, что lim -—— = 0, исследовав на сходимость ряд оо пп п->°° (п!)2 оо И Ьп, ДЛЯ которых ряд п=1 оо 52 °п П=1 оо П=1(п!)2* (п!)п 1.1.143. Вычислите предел: lim — п—>оо §2. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Знакочередующиеся ряды Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. Таким образом, знакочередующийся ряд — это ряд вида <ii — аг 4- аз — а4 4-... 4- (—1)п^"1ап 4- • • • = 1)п^"1ап, (2.1) П = 1 или —ai 4- <12 аз 4- ап 4-... 4- (—l)n<in 4- • • • = ^^(—1)п<1п, (2-2) П = 1 где все ап — положительные действительные числа (ап > 0, п = 1,2,...). Признак Лейбница Пусть дан знакочередующийся ряд (вида (2.1) или (2.2)). Если выполнены два условия: 1) ai >а2 > аз > • • • > ап > ... (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают); 2) lim ап = 0 (общий член ряда стремится к нулю при п оо), п—>оо то ряд СХОДИТСЯ. Ряд, содержащий и положительные и отрицательные члены, называется знакопеременным. В частности, всякий знакочередующийся ряд является зна- копеременным. 21
oo Теорема 1.4. Пусть дан знакопеременный ряд 52 где ап — произволь- п=1 оо ные числа (действительные или комплексные). Если ряд 52 1ап|, составлен- 71 = 1 ОО ный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд 52 ап также п=1 СХОДИТСЯ. оо В этом случае знакопеременный ряд 52 ап называется абсолютно сходя- щимся. n=1 оо оо Если же знакопеременный ряд 52 ап сходится, а ряд 52 1а™| расходится, оо п=1 71 = 1 то данный ряд ап называется условно сходящимся. п=1 оо оо Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда 52 ап к ряду 52 1ап | 71 = 1 71 = 1 можно применять все признаки, используемые при исследовании рядов с по- ложительными членами, оо оо Из расходимости ряда 52 1ап| расходимость ряда 52 ап, вообще говоря, 71=1 ОО 71 = 1 не следует. Однако, если, применяя к ряду 52 1ап| признак Даламбера (или 71 = 1 признак Коши), получаем предел lim = I > 1 (или lim Ч/|ап| = I > 1), п—>оо | ип I п->оо оо оо то в этом случае оба ряда — 52 1а^| и 52 ап — расходятся. 71 = 1 71=1 Пусть {ап} — последовательность комплексных чисел ап = Ьп 4- icn, где оо Ьп и сп — действительные числа для любого п = 1,2,... Ряд 52 ап (т-е- РЯД 71 = 1 ОО 52(fin 4- icn)) сходится тогда и только тогда, когда сходятся два ряда — 52 Ьп ОО ОО ОО ОО П=1 и 52 Сп, причем в этом случае 52 ап = 12 Ьп 4- г 52 сп • 71 = 1 71 = 1 71=1 71=1 оо | 1.2.1. Исследовать на сходимость ряд 52(“1)П7Г7=-------• П=1 2у/п - 1 оо Q 1. Исследуем на сходимость ряд 52 ап из абсолютных величин чле- п=1 нов данного ряда: оо оо п=1 П=1 * 00 1 1 Сравним этот ряд с рядом 52 —Так как 2у/п—1 < 2у/п, то —---------> n=i 2 ул 2уТь ~~ 1 1 оо 1 > —-= для всех п. Ряд 52 —7= расходится, так как расходится ряд 2у/п п=1 2у/п 52 —т=. (как ряд Дирихле 52 ПРИ Р = й < 1)- Значит, по 1-му при- п=1 у/п п=1п 2 22
oo 1 знаку сравнения расходится и ряд —7=----• П=1 2 у/п - 1 Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. 2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница. а) Проверим, выполняется ли неравенство ап > an+i для абсолютных величин членов данного ряда: ~ _ 1 1 ап — п ✓— 1 л — an+l- 2-^п I 2\/n 4~ I — I Данное неравенство эквивалентно неравенству 2 у/п — I < 2у/п 4-1 — I, которое верно для любого п = 1,2,... Значит, ап > an+i для всех номеров п = 1,2,... б) Найдем предел общего члена ряда: lim ап = lim —г!----------------------= 0. п->оо п->оо 2у/п 4- 1 Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится. Однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно. • оо 1.2.2. Исследовать на сходимость ряд V ----;—. 2п - In п оо Q 1. Исследуем ряд ^2 ап из абсолютных величин членов данного ряда: п=1 ОО ОО 1 1 1 1 52 а” = 52 2n-lnn = 2 + 4 —1п2 + 6 —1пЗ + ‘‘ П=1 п=1 Применяя 2-й признак сравнения, сравним этот ряд с расходящимся оо | гармоническим рядом п : п=1 lim (-—Ц= lira ---------1— = 1/0. п—>оо\2п~ ШП п/ пчооп Inn 2 z п оо Следовательно, знакопостоянный ряд ^2 ап расходится, а значит, ис- п=1 оо ходный ряд £ (-1)пап не является абсолютно сходящимся. 71=1 2. Теперь выясним, является ли данный знакопеременный ряд схо- дящимся, используя признак Лейбница. а) Проверим, выполняется ли неравенство ап > an+i для всех номе- ров п, начиная с некоторого: °n 2n - In п > 2(п 4-1) - 1п(п 4-1) °n+1 ’ 23
Запишем последовательность неравенств, эквивалентных данному: 2п — Inn < 2(п 4-1) — 1п(п 4-1); 1п(п 4-1) - Inn < 2(п 4-1) — 2п; 1 п 4- 1 9 1п ~п~ <2; 1 < In е = 1 < 2 для любого п = 1,2,... Значит, неравенство ап > an+i выполняется для всех п = 1,2,... б) Найдем предел общего члена ряда: 1 п 1 п 1 = Q = 0. lim ап = lira ---------:— = lim -----------:— n—>оо п—>оо 2П — Ш П n—>oo Zn — ш П П = lim ----- — - к п—>оо 9 1ПП Z z п выполнены ОО ( — I)71-1"1 Итак, для данного знакочередующегося ряда У} ----;— п=1 "71 1п П оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, этот ряд схо- дится. Из этого и из того, что ряд не является абсолютно сходящимся, окончательно следует, что ряд сходится условно. • оо 1.2.3. Исследовать на сходимость ряд 1)п-1 —. п=1 оо Q Исследуем на сходимость ряд ^2 ап из абсолютных величин членов п=1 данного ряда, т. е. ряд: 1 3’ П=1 используя признак Даламбера. Для этого сначала преобразуем выраже- ^п+1 ние -д —: ип Qn+1 _ п 4-1 . n _ п 4-1 Зп _ Л . 3П+1 ‘3^ n 3n+l V “Г Найдем предел этого выражения: lim = lim (1 + И • | | < п->оо ип п—>оо \ 6 о оо п По признаку Даламбера отсюда следует, что ряд on сходится, а зна- П=1 6 чит, исходный ряд сходится абсолютно. • оо I 1.2.4. Исследовать на сходимость ряд J2 (“1)п 8*п ~г п=1 оо оо 1 Q Рассмотрим ряд £2 8*п из модулей членов данного ряда, т. е. (так п=1 П как 0 < —т- < 1, и следовательно, sin Дг > 0 для всех п = 1,2,...): п2 п2 оо 24
Воспользуемся 2-м признаком сравнения, для чего сравним этот ряд с 00 1 1 рядом 22 ”о- Обозначив t = — и учитывая, что t —> 0 при п -4 оо, п=1 п2 п2 имеем: lim (sin] = lim—— = 1 (1-й замечательный предел), п—>оо у П2 П2 / t—>0 I ОО 1 ОО 1 Так как ряд 23 ~сходится как ряд Дирихле 23 “п ПРИ р = 2 > 1, то п=1 п2 п=1 пР оо । сходится и ряд 22 sin—. Отсюда следует, что исходный ряд сходится п=1 п2 абсолютно. • 1.2.5. Исследовать на сходимость ряд 1Чп+11-4-7-...-(Зп-2) 3 • 5 • 7 •... • (2n + 1) ’ n=l оо Q Рассмотрим ряд 22 ап из абсолютных величин членов данного ряда, П=1 т.е. ряд: 1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2) 3 • 5 • 7 •... • (2п 4-1) ‘ Для ответа на вопрос о сходимости полученного ряда применим при- знак Даламбера: an+i = 1-4.7-...-(Зп-2)(3(п + 1)-2) 1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2) = 3n + 1 3 • 5 • 7 •... • (2п 4- 1)(2(п 4-1) 4-1) * 3 • 5 • 7 •... • (2п 4-1) 2п + 3’ Отсюда । lim ^±1 = lim я ~ lim = I > 1ф п—>00 ип п—>оо 2П -г о п—>00 О 1 о 2 Z 4" п оо оо Но это значит, что ряд 23 ап расходится, т. е. ряд 23 (“l)n+lfln не явля- ется абсолютно сходящимся. Однако полученный результат lim -gj— = = ^ > 1 | позволяет сделать более сильное утверждение. Так как > > 1 для всех номеров п, начиная с некоторого, то ап 0 (п -> оо), и стало быть (так как не выполняется необходимый признак сходимости), оо исходный ряд 23 (“l)n+lfln расходится. • П=1 00 п2 + 1 1.2.6. Исследовать на сходимость ряд 22 —“• Q Нетрудно показать, что для данного ряда не выполнен необходимый признак сходимости. В самом деле: 1 4-Х г V Т? 4“ 1 г 712 1 / л hm ап = hm ——- = lim ---------= 7 / 0. п—>ОО П-4ОО — 2 п—>ОО 5 2 О п2 Следовательно, ряд расходится. 25
Доказать, что ряд сходится условно: оо (_1)п-1 1-2-7. £ г 7 - 1.2.8. n=l ln(n + 1) оо (-1)” 1.2.9. £ -----v / 1.2.10. п=2 П 1П П\/1П 1П П °о (~1)»(2п+1) п=1 п(п + 2) Е (-1)”+1-^— п=1 2п — у/п Доказать, что ряд сходится абсолютно: 1.2.11. ОО -1 1.2.12. ОО Е 71=1 (-1)" (Зп - 2)! 1.2.13. £ (-i)”+1 -А-- 71=1 п In п 1.2.14. п=1 ’ 3-5-7-...- (2п +1)' Доказать, что ряд расходится: 1.2.15. Е(-1)п-п. П=1 1.2.16. ОО Е( 71=1 _i)n+iLZ?: ' ’ 5-8-.. . • (4п - 1) . • (Зп + 2) ’ 1.2.17. ОО Е( 71=1 _ 1 Ап ~ 1 ' } 5 + 2п2’ 1.2.18. 71=1 х / Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. До- полнительно указать: 1) для необходимого признака — lim ап; п—>оо 2) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд; 3) для признака Даламбера — lim °™+1; п—>оо ип 4) для признака Коши — lim V|an|. 71—>оо 1.2.19. 1.2.21. 1.2.23. 1.2.25. 1.2.27. E(-i)"-1 71=1 (2п)! 4nn! ’ !.2.20. £(-1г|±1 1.2.22. оо _• „ 1.2.24. Е (-1)п§^. п=1 и 1.2.26. Е(-1)п1п2- 71=1 26
1.2.28. Исследовать на сходимость ряд V ---- п=1 п’2 оо Q Применим к ряду ^2 |°п| из абсолютных величин членов данного П=1 ряда признак Даламбера: К+11 = 1(3-нг+Ч . |(3 + »)П| = |an| (n4-l)-2n+1 п-2п (3 + i)n+1 П2п _ |3 + »| п (3 + г)п (п 4-1)2”+1 2 ' п + 1 ’ откуда Um m = в™ .-У = !i±i! = = 4° > 1. n—>oo I fln | n->oo \ 2 n 4-1J 2 2 2 Следовательно, |“5~| > 1 для всех номеров n, начиная с некоторого, откуда lim an 0 0, и значит, исходный ряд расходится. * п—>оо 1.2.29. Исследовать на сходимость ряд ( /о ~ \ —-) • п=1 \ (2 + 7)71 + 1 / оо Q Применим к ряду ^2 |°п| из абсолютных величин членов данного п=1 ряда признак Коши. Сначала преобразуем выражение \/|ап|: vki = / / \ п п 11 I 77 4“ 3z \ у I \ (2 4- г)п + 1) п 4- Зг (2 + i)n 4- 1 |п 4- Зг| |(2п + 1) 4- гп\ ,______ /-------------------- 1 . 9 Vn2 + З2 / п2 + 9 + п2 У(2п 4-1)2 4- п2 у 5”2 + 4п + 1 V + « + i Отсюда оо Таким образом, ряд 1°п| сходится, т. е. исходный ряд сходится абсо- п=1 ЛЮТНО. оо лп 1.2.30. Исследовать на сходимость ряд 2S "F* п=1 \/71 in \/п Q 1. Поскольку 1 — = —то ряд, составленный из абсолют- п у/п ных величин членов данного ряда, имеет вид £3 ”7=- Полученный ряд п=1 \/71 27
00 1 1 расходится как ряд Дирихле У* — при р = н < 1. Значит, исходный n=iпР 2 ряд не является абсолютно сходящимся. 2. Запишем члены данного ряда в алгебраической форме, т. е. в виде bn + icn*. _ ____1_____i_, 1 . i______1____i_. 1 .______ 1 Vi y/4 x/5 Vi V7 V8 = (o + o+ f—5= + oZ) + (o- 4=) + (~7= + o?) + (о + Ц=) + \ a/2 ) \ Vi) \a/4 ) \ Vi) + (—7=+0z) + (0--4= ) + (Ц=+Ог) + ... \ Vi ) \ Vi) \Vi ) oo oo Составим два ряда bn и ^cn соответственно из действительных и П=1 71=1 мнимых частей членов последнего ряда: оо Так как добавление (и удаление) произвольного числа членов ряда, рав- ных нулю, не влияет на его сходимость, получим два ряда: оо —7= + Ц=-4= + 4= + -- - + (-1)”-^= +... = У2(- Vi V* Vi Vi V^n п> oo z--*= + 4=-4= + -- - + (-i)n-1 . 1 +... = «• V(-i)n-1c;. Vi Vi Vi V^l oo oo Для знакочередующихся рядов ^2 (-l)n&n и 13 (“l)n~lcn выполняются n=l n=l оба условия признака Лейбница, так как при всех п = 1,2,3,... справед- ливы соотношения Ьп+1 = —===== < -у= = Ь'п и lim b'n = lim -7= = 0, ^/2(п +1) V%n п~>00 п-+о° V%n cn+i = 7 1—= = - < 1 = с' и lim с'п = 0. ^2(п +1) -1 \/2п + 1 х/2п-1 ОО оо Значит, ряды $3 (-l)nb'n и $3 сходятся, т.е. сходятся ряды П=1 П=1 ОО ОО ОО «п ОО 00 52 Ьп и 52 сп- Отсюда следует, что ряд 52 - 12 + г 52 сп схо- п=1 П=1 п=1 У72, п=1 71=1 дится. Поскольку в пункте 1 задачи установлено, что исходный ряд не является абсолютно сходящимся, значит, он сходится условно. • 28
Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки. До- полнительно указать: 1) для необходимого признака — lim ап; п—>оо 2) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд; 3) для признака Даламбера — lim "™+1; п—>ОО 4) для признака Коши — lim \/|ап|. п—>оо 1.2.31. ОО Е п=1 оо п 2п 4- iy/n 1 1.2.33. Е 1 п=1 п(2 + г)" 1.2.35. оо Е п=1 / 2п + г \п \Зш-2/ 1.2.37. оо Е cos п 4- г sin п о п=1 П Х.2.32. £(^)’ ОО -2п 1.2.34. £ . п=1 у/п 1.2.36. £ п=1 4 2 7 Дополнительные задачи Доказать, что ряд сходится условно: 1.2.39. 1.2.41. у (—1)п---- 1 n=i п Vln п+ 2 Е (-i)n+1 П=1 п + 3 п2 + 4’ Доказать, что ряд сходится абсолютно: 1.2.42. £ (_1)« — n=i ’ 1 • 3 • 5 •... • (2п -1)’ 1.2.43. f (_1)п+Че 1 72—1 П'у П 1.2.44. Е (-1)пзп п=1 / п \ И2 (п + 1) 1.2.45. g(_1)n-ic^n п=1 2 Доказать, что ряд расходится: оо оо п! 2п2 1.2.46. Е (-1)П1п(п + 1). п=1 1.2.47. Е (-1)п-1 п=1 1.2.48. о° ч /п + 1\"(п-1) 1.2.49. оо E(-i)nin 71=1 п 4“ 3 2п + Г 29
Исследовать ряд на сходимость: 1.2.50. 1.2.51. ОО Е 71=1 (—1)п~хп (2п + 1)-Зп 1.2.52. 1.2.53. ОО Е' п=1 оп2 нг1^- 1.2.54. ( 1^+1 Зп > п(п 4~ 1) * 1.2.55. оо Ei 71=1 (-1)"^ 1.2.56. у (-1)п-1 1.2.57. ОО Г (- 1)пп2 п=1 п(2 + 1пп)3 71=1 Пу/п + Зп 1.2.58. п=1 1.2.59. ОО Е 71=1 /г(п + 2г)\п \ Зп ) 1.2.60. °° п(2 + г)п 1.2.61. ОО i 4- (-1)п • п 2_> пп п=1 ° Е 71=1 п2 1.2.62. оо п(1 + г)п 1.2.63. ОО Е 1 п=1 3” • 71=1 (п + i)y/n 1.2.64. ОО -п ^2 ~п • п=1 1.2.65. ОО Е 71=1 eosin Зп ’ 1.2.66. оо Е -ГТ~- п=1 v П “Ь 2П 2) Контрольные вопросы и более сложные задания 1.2.67. 1.2.68. 1.2.69. ОО Исследовать на сходимость ряд 52 (“!)’ п=1 1.2.70. 1.2.71. Верно ли, что а) если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно; б) если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно? оо п2 + п Исследовать на сходимость ряд (—1) 2 • shn \/ ch2 п + 1 оо Верно ли, что если знакопеременный ряд 52 (“1)п°п сходится, то ап —> 0 (п —> оо) монотонно? 71=1 Верно ли для знакопеременного ряда, что а) если последовательность ап монотонна, то ряд 52 • (—1)п сходится; n=1 б) если ап -> 0 (п -> оо), то ряд 52 (“ 1)п°п сходится; П=1 оо в) если ап —> 0 (п —> оо) монотонно, то ряд 52 (“1)п°п сходится условно; n=1 г) если ап -> 0 (п -> оо) монотонно, то ряд 52 (“1)п°п схо- дится. n=1 30
1.2.72. Доказать для знакопеременных рядов следующие утвержде- ния: а) ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходят- ся два ряда — ряд из положительных членов и ряд из отрица- тельных членов; б) если ряд сходится условно, то расходятся два ряда — ряд из положительных членов и ряд из отрицательных членов; в) если один из двух рядов (с положительными членами и от- рицательными членами) сходится, а другой — расходится, то исходный ряд расходится. оо 1.2.73. Если ряд 52 ап сходится условно, что можно сказать о сходи- п=1 мости ряда из его положительных членов ? 1.2.74. Исследовать ряд на сходимость: { — Jr, п — четное; п 1 —п — нечетное. п —г-г, n = 2fc-l; 2fc-i • n^2k. 32Л-1 ’ A 1 1 , 1 1,1 1, „ 1 „ 1 B)1~3 + 3“^ + 5“^ + -- -’ °2*-1 - 2fc^l „ч 1 , , 1 1 , 1 1 , „ 1 1 r) 3"1+7~5 + U_9 + -- ’°2fe-12 = 4fc^l’O2fc = "F^3' Д) -----------7^--1---7^----7^----b. • •, d2fc-l = , 1 , л/2-l л/2 + l 5/3-1 x/3 + 1 л/fcTl -1 “2fe = ~5/FFl + l‘ OO 1.2.75. Доказать, что если ряд 52 ап сходится абсолютно, то ряд п + 1 n=1 > , —-—ап сходится абсолютно. п=1 оо оо 1.2.76. Доказать, что если ряды 52 ап и 52 сходятся абсолютно, оо п=1 п=1 ТО ряд 52 апЬп сходится абсолютно. П=1 1.2.77. Доказать, что если ряд сходится абсолютно, то и ряд, полу- ченный из исходного с помощью произвольной перестановки его членов, также сходится абсолютно, причем к той же сум- ме, что и исходный ряд. 1.2.78. Теорема Римана. Доказать, что если ряд сходится условно, то существует такая перестановка его членов, что полученный ряд сходится к любому наперед заданному числу или расхо- дится заданным образом (к -Foo, к —оо или к оо). 31
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Выражение вида clq + aix + аъх2 4-... 4- апхп 4-. • •, (3-1) где ао, ai, аг,...,ап,... — постоянные числа (действительные или комплекс- ные), а и — переменная величина (также действительная или комплексная), называется степенным рядом. Числа ао, <и, аг,..., ап,... называются коэф- фициентами степенного ряда. Сокращенно степенной ряд обозначают так: 52 апХп. п=0 Будем называть степенной ряд действительным (соответственно, комп- лексным) степенным рядом, если его коэффициенты — действительные (соот- ветственно, комплексные) числа, а переменная х принимает действительные (соответственно, комплексные) значения. Часто рассматривают степенные ряды более общего вида ап(я — а)п = ао 4- ai(x — а) 4- аг(ж — а)2 4-... 4- ап(х — а)п 4-..., (3.2) п=0 частным случаем которых при a = 0 являются обычные степенные ряды (3.1). С другой стороны, каждый степенной ряд вида (3.2) с помощью замены перв- ое менной у = х — а сводится к ряду 52 апХп вида (3.1). п=0 Придавая переменной х в степенном ряде конкретное числовое значение х = xq, получим числовой ряд, который сходится или расходится. Множество всех тех значений переменной, при которых данный степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. При х = 0 (соответственно, при х = а) всякий степенной ряд вида (3.1) (соответственно, вида (3.2)) сходится, поэтому область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку. оо Теорема 1.5 (Абеля). Если степенной ряд 52 апХп сходится в точке xq, то п=0 он абсолютно сходится в каждой точке х, для которой |я| < |яо|. оо Следствие 1.1. Если степенной ряд 52 апХп расходится при некотором зна- п=0 чении х = Xi, то он расходится и при всех значениях х, для которых |я| > |xi|. Интервалом сходимости действительного степенного ряда вида (3.1) (со- ответственно, вида (3.2)) называется такой интервал (—R,R) (соответственно, (ao — R,ao 4- R)), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой 32
точке, лежащей вне отрезка [—К, R] (соответственно, [#о—R, а?о+Л]), ряд расхо- дится. На границах интервала сходимости, т. е. в точках х = (соответствен- но, в точках х = xq ± R), ряд может как сходиться, так и расходиться. Число R называется радиусом сходимости действительного степенного ряда. В частности, R может равняться нулю — в этом случае область сходимости ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, яо), или +оо — в этом случае областью сходимости является вся числовая прямая (такой ряд называется еще всюду сходящимся). Кругом сходимости комплексного степенного ряда вида (3.1) (соответ- ственно, вида (3.2)) называется такой открытый круг |я| < R (соответственно, |я — а| < R), что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне замкнутого круга |я| R (соответственно, вне замкнутого круга |я — а| R), ряд расходится. В граничных точках круга сходимости — т. е. на окружности |я| = R (со- ответственно, |z — а| = R) — ряд может как сходиться, так и расходиться. Число R называется радиусом сходимости комплексного степенного ряда. В частности, R может быть равно 0 — в этом случае вся область сходимости ряда состоит из одной точки 0 (соответственно, а), или +оо — в этом случае областью сходимости является вся комплексная плоскость С. Интервал и круг сходимости ряда, как правило, определяют с помощью признака Даламбера или признака Коши, примененных к знакоположитель- ному ряду У^ [апхп| (соответственно, У^ |ап(ж — а)п|), п=0 п=0 составленному из абсолютных величин членов исходного степенного ряда. Для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда применяются так- же формулы: 7? = lim 1-^-1 и R =--------Ц= "-ЮО I On+1 I lim п п—>оо в тех случаях, когда указанные пределы существуют. °° nl(x — 3)п-1 1.3.1. Найти область сходимости ряда 2Z -----Т7---- п=1 2 О Применим признак Даламбера. Поскольку Iап+1I I “п I (п + 1)!(ж - 3)(п+1)-1 п!(ж - З)”-1 2(n+i)+i ’ 2n+1 то lim |^^|= Нт 2 3' • (n + 1) = г—>оо | ип | п->оо 2 -Foo при х — 3 0 0, х ф 3, О при х — 3 = 0, х = 3. 2 Сборник задач по высшей математике. 2 курс 33
Таким образом, ряд сходится (абсолютно) только при х = 3, в остальных, точках числовой прямой ряд расходится. * оо Зп-1(я+ 1)п 1.3.2. Найти область сходимости ряда V -----------. п=1 п Q Воспользуемся признаком Коши: lim п—>оо 'Ж! = lim n->oo 31 — ~ = |я + 1| lim —-— = |ж-|-1|-0 = 0<1 при всех х € (—00, -Foo), п—>00 Следовательно, ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой пря- мой (—оо,+оо). • оо 1.3.3. Найти область сходимости ряда 52 хП- П=1 Q Применим признак Даламбера: lim I a™+11 — lim n—>OO I Un I n—>oo a?n+1 xn = lim lad = |a?|. 71—>OO (Этот же результат можно получить, применяя признак Коши: lim \/|aJ = lim x/lxnl = lim Ы = Ы.) Отсюда следует, что при п—>оо п—>оо п->оо |ж| < 1 (т. е. при х € (—1,1)) ряд сходится абсолютно, при |ж| > 1 расхо- дится. Таким образом, интервал (—1,1) — интервал сходимости данного ряда. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках этого интервала, т. е. в точках х = — 1 и х — 1. При х = — 1 получим знакочередующийся ряд 22(-1)п = -1 + 1 - 1 + 1 - ... + (-1)” 4-... П=1 Этот ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости (ап 0 при п —> оо). При х = 1 получим ряд 52 г = 1+1 + 1 + ... + 1+... П=1 Этот ряд расходится по той же причине, так как lim ап = lim 1 = 10 0. п—>00 п—>оо Итак, область сходимости данного ряда — интервал (—1,1). 1.3.4. ОО Найти область сходимости ряда 52 п=1 (ж - 2)n+1 Зп(п + 2) ’ 34
Q 1. Применим признак Даламбера. Учитывая, что Qn+1I _ (х - 2)(n+1)+1 (а; - 2)w+1 On 1 3n+1(n + l + 2) ’ 3"(n + 2) (д. _ 2)n+2 3n n + 2 = |a? — 2| n + 2 (х - 2)"+1 3n+! n + 3 - 3 n + 3’ получим lim |^±1| = lim . lim n—>oo I Un I n—>oo и Tl + о и n—>oo Tl + о о Отсюда — 21 х — 2 —< 1 О -1 < <Ю-3<х-2<Зо-1<х<5. о О Итак, при х € (—1,5) ряд сходится абсолютно, а при х [—1,5] — расхо- дится. Значит, (—1,5) — интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала, т. е. в точках х = — 1 и я = 5. 2. При х = 5 получим ряд ОО / ►* л \ yj ж 1 оо . ОО ул (5 - 2)п+ _ ул 3"+1 _ ул 3 4 Зп(п + 2) “ Зп(п + 2) П + 2' n=l v 7 п=1 4 7 п=1 Применяя 2-й признак сравнения, сравниваем этот ряд с гармоническим °о рядом 52 п: П=1 lim = Пт = lim —Ц- =3/0. п—>оо \П 4- 2 п/ п—>оо TL + 2 п—>оо i । 2 “Г П °О ч Поскольку ряд 52 п расходится, а полученный предел не равен нулю, п=0 оо о то ряд 52 —расходится. п=0 П + 2 3. При х = — 1 получим ряд ~ (_i_2)n+1 = - (-ЗГ+1 = (-ir+1-з"*1 = 3 £1 Зп(п + 2) £.3”(п + 2) 3”(п + 2) > п + 2- ОО О Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд 52 —ЗГо? п=о п + 2 составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится (см. пункт 2). Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя признак Лейбница. а) Очевидно, неравенство _ 3 3 йп~ п + 2 > (п + 1) + 2" °п+1 выполнено для всех п = 1,2,... 35
б) Кроме того, lim ап = lim —— = 0. п—>оо п—>оо П + 2 ОО о Итак, для знакочередующегося ряда $2 (—l)n+1—т-х выполнены оба п=о п 4- 2 условия, содержащиеся в признаке Лейбница, значит, данный ряд схо- дится. Так как он не является абсолютно сходящимся, то ряд сходится условно. Окончательно получим, область сходимости исходного ряда — промежуток [—1,5). • ОО (% + 5)п 1.3.5. Найти область сходимости ряда 52 -------—. п=2 Зп+1П 1П3 П Q 1. Применим признак Даламбера. Так как I Дп+1 I _ _____(д + 5)n+1_______ (ж + 5)п _ | ап I з(п+1)+1(п + 1)1пЗ(п + 1) ' Зп+1п1пзп (д + 5)w+1 зп+i п 1пзп |д + 5| п 1пз п (д + 5)п ’ Зп+2 ’ п + 1 ' 1пЗ(п + 1) 3 п + 1 1п3(п + 1)’ ТО Вш 12=±L| = hm (. -Jsi-'l = n->oo I un | n->oo l о П + 1 In (n -|- 1) J l® + 5| Iim n ]. ln3n l* + 5| |д + 5| = —z— • lim ——r • lim —-------------= —5— 11 = —-—. O n—>oo П 4“ 1 n—>oo Jnd(n + 1) (При вычислении последнего предела воспользовались равенствами ✓ \ 3 г 13 fan 1п3п = lim ( Inn А = lim fan п—>оо In (n + 1) n—>oo \ln(n + 1) / |_n->oo ln(n + 1) J и, далее, правилом Лопиталя.) Найдем интервал сходимости |ж 4“ 5| 1 ж 4” 5 -I q / _l / q *v. q л» о q <1 1 < q <1 о < x 4~ о < о о < х < 2. о о Итак, при х € (—8, —2) ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда в точках х = — 8 и х = —2. 2. При х = — 8 получим ряд ~ (8 + 5)” = « (-3)» = Зп = ~ (-1)" 3n+1n In3 п 3n+1n In3 п 3n+1n In3 п Зп In3 п п=2 п=& П=4 п=2 Исследуем этот ряд на сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: оо Е п=2 1 Зп 1п3 п 36
Применим интегральный признак. Так как ап =----Ц—, то Зп In3 п 1 Зя In3 х Очевидно, что /(ж) монотонно убывает на промежутке [2, -Foo), т. е. V®i > х2 > 2 => /(®х) = -—-Ц— < -—-Ц— = /(®2). 3#1 in Xi 3#2 In Х2 Так как функция /(ж) положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке [2, +оо), то для исследования данного ряда на сходимость можно применить интегральный признак. Сначала найдем неопределенный интеграл = 1 (-1) Отсюда 4-oo 4-oo M [f(x)dx = f-^~= lim = j j 3®ln3® M-H-oo J 3a;In3® + C = —L-2~ + C. 6 In2 X 1 6 In2 2 4-oo Так как несобственный интеграл f —— сходится, то сходится и ряд J 3®1п3® ОО 1 оо ( —1)п 52 ----5—, а значит, ряд 52 ---ё— сходится абсолютно. п=2 Зп In п п=2 Зп In3 п 3. При х = — 2 получим ряд у* (—2 + 5)” ~ 3n ~ j 3n+1n In3 п 3n+1n In3 п In3 п Этот ряд сходится абсолютно (см. пункт 2). Таким образом, область сходимости исходного ряда — промежуток [-8,-2]. • 1.3.6. Найти круг сходимости комплексного степенного ряда ^4 (2t)n+1(z + 3i)w (\/7 —Зг)п 37
Применим признак Коши: lim 4/lan| - lim n n—>oo n—>oo (2г)п+1(г + 3г)п \ (л/7-Зг-) lim |2г|1+п -----------= |г + 3г| • |х/7-Зг| ,п = lim \z + ЗгI • ——----- n-юо |л/7-Зг| |2г| |г + Зг|-2 2 1^-Зг| У(х/7)2 + (-3) |z + Зг| • 2 _ |z + Зг| 4 2 Найдем круг сходимости ряда: \z + Зг| 2 Итак, в круге |z + Зг| < 2 степенной ряд сходится абсолютно. Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. До- полнительно указать: 1) для необходимого признака — lim ап; п—>оо 2) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд; 3) для признака Даламбера — lim a^rl~1; П—>ОО ип 4) для признака Коши — lim Ч/а^; . ~ n—>оо v f 5) для интегрального признака — первообразную для f(x) и / f(x)dx. а В задачах 1.3.7-1.3.14 для определения интервала сходимости исполь- зовать признак Даламбера. В задачах 1.3.15-1.3.20 для определения ин- тервала сходимости использовать признак Коши. 1.3.7. 2 1.3.8. °° (х — 2)” 1 п=1 п! П=1 (п + 1)! ОО оо 1.3.9. 52 nlxn. 1.3.10. 52(п + '2)!(ж + 1)п. п=1 П=1 1.3.11. оо 52 ^п- 1.3.12. ~ (3 - х)2п 7 > г~ П=1 n=l V 00 ~П °О d 1.3.13. •£_ 'Ц п ' п=1 1.3.14. „^1 } п + 1 оо ОО 1.3.15. 52 Ппхп. 1.3.16. £ п"+1(а: —3)". П=1 п=1 1.3.17. х^_ п=1 пП 1.3.18. °° (ж + 2)п+1 (п +1)" ’ 1.3.19. 1.3.20. £(^)” <*->”+' 38
1.3.21. ОО Е П=1 (д - 3)п 3n+i 1.3.22. ОО Е П=1 (2д)п ?/п 1.3.23. оо Е П=1 Х2п2 пп 1.3.24. П=1 1.3.25. оо Е 1.3.26. оо Е 'го 1 to 3 1 to П=1 П=1 1.3.27. оо Е П=1 (д + 1)п nlnn 1.3.28. оо Е1 П=1 1 ’ п + 2 оо (х -1- 1)п 1.3.30. оо хп(п-1) 1.3.29. Е П=1 Е П=1 п!2п ‘ 1.3.31. оо Е П=1 х2п 1 4пп In2 п 1.3.32. оо Е П=1 (х + 2)2”-1 Зп 1.3.33. оо Е П=1 т” (-*>”• 1.3.34. оо Е П=1 (2п)!(д 4- 7)n+1 3n-i 1.3.35. оо г (2 - х)п 1.3.36. оо г (д - 3)п П=1 2п+1(п + 2)п~1 Z—/ п=1 (2п + 1)!‘ 1.3.37. £(п4-1)п(6-д)п+1 -2”- -1 n=l Найти круг сходимости ряда. Указать применяемые признаки. 1.3.38. ОО Е П=1 n!(z — i)n. 1.3.39. oo E n=l (z 4- 2i)2n n2 1.3.40. оо Е П=1 (z - 2i)n пп 1.3.41. oo E n=l оо ~n 1.3.42. Е П=1 z nin‘ Дополнительные задания Найти область сходимости ряда. Указать применяемые признаки. До- полнительно указать: 1) для необходимого признака — lim ап; п—>оо 2) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд; 3) для признака Даламбера — lim Q^+1 • n—>оо un 4) для признака Коши — lim Ч/а^; n->oo v 5) для интегрального признака — первообразную для f(x) и / /(ж) dx. а В задачах 1.3.43-1.3.46 для определения интервала сходимости исполь- зовать признак Даламбера. 39
В задачах 1.3.47-1.3.49 для определения интервала сходимости исполь- зовать признак Коши. 1.3.43. ~ (а; - 2)п п=1 п2 1.3.44. °° (За:)5" п^12п-Г 1.3.45. п!жп+1 on—1 п=1 & 1.3.46. ОО 3п-1д.п+2 п=1 п\ 1.3.47. °° 2п(2ж 4-3)п-1 2-/ ~~ п п=1 п 1.3.48. °° пп(х + 1)п+1 п=1 З”"1 00 хуП2 1.3.49. X п=1 71 Контрольные вопросы и более сложные задания 1.3.50. Может ли интервал сходимости ряда 52 быть таким: а) (-2;0); б) (0; 2); в) (—3; 1); г) (-оо;оо); Д) (-3;3). ОО 1.3.51. Известно, что ряд 52 an(# — 3)п в точке х = 2 расходится. Что П=1 можно сказать о сходимости ряда в точке: а) х = 5; б) х = 3,5; в) х = 4. оо 1.3.52. Известно, что ряд 52 ап(я — 3)п в точке х = 2 сходится абсо- п=1 лютно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке: а) х = 5; б) х = 3,5; в) х = 4. оо 1.3.53. Известно, что ряд 52 an(z — (1 4- i))п в точке z = г сходится П=1 условно. Что можно сказать о сходимости ряда в точке: a) z = 1; б) z = 0; 1.3.54. Существует ли степенной ряд, для которого верно следующее утверждение: а) на обоих концах интервала сходимости ряд расходится; б) на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, а на другом — сходится абсолютно; в) на обоих концах интервала сходимости ряд сходится абсо- лютно; г) на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, а на другом — расходится; д) на одном конце интервала сходимости ряд сходиться абсо- лютно, а на другом — расходится. 40
OO / 1 \ n2 1.3.55. Найти область сходимости ряда Ц + п) ~ 1)п- п=1 ' ' 1.3.56. Степенный ряд сходится условно в точках z\ = 3 + 2г и Z2 = = — 1-г. Что можно сказать о сходимости ряда в других точках комплексной плоскости? КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Исследовать ряды на сходимость: а) Е n3tg2 А; п—1 П в)£т; П~ (~1)пп! п=1 2 • 5 • 8 •... • (Зп — 1) ’ V п! • п=13"+2’ °о ! V -------1___; п=2 nlnnln(lnn) ’ °® 2г + (-1)пп 2^ Z2 * п=1 П °© (2 — х)п 2. Найти область сходимости ряда Е ----- п=1 п + 1 ОО 3. Найти круг сходимости ряда П=1 (z - 2г)п Зп Вариант 2 1. Исследовать ряды на сходимость: °® arcctg(n + 3) оо (_пп д) E-Y> п=1 П “г "у п 00 / 3/1 4-1 \ п 2. Найти область сходимости ряда ^2 (я + 1)п ( —б ) • п=1 \ бп / оо 3. Найти круг сходимости ряда П=1 (z + i)n 2n+1 41
Вариант 3 1. Исследовать ряды на сходимость: д) Е (-l)n+1 sin—; п=1 Пу/п оо ( —1)пд;п 2. Найти область сходимости ряда 52 ---—z— п=1 п + 2 оо ____i)2n 3. Найти круг сходимости ряда 52 ----ЗП— п=1 п +1 Вариант 4 1. Исследовать ряды на сходимость: 00 (-1)п+1(п + 1) П=1 п2 + Зп 3 • 5 • 7 •... • (2n + 1) 2 • 5 • 8 •... • (Зп — 1) ’ ________1________. (2п + 1)0п(2п + 1)’ п(г + 1)п 3 4- i 2. Найти область сходимости ряда (z + 2г)п+1 оо 3. Найти круг сходимости ряда 52 п=1 §4 . РЯДЫ ФУРЬЕ Ряды Фурье Пусть функция f(x) — интегрируемая и периодическая с периодом 2тг. Ко- эффициентами Фурье функции f(x) называются числа ао, <и, , Gn, • • • > bo, bi, 62, .. •, bn, •.., которые находятся по формулам 7Г ao = i ff(x)dx> (41) — 7Г 7Г ап = If(x) cos nxdx, (n=l,2,...), (4.2) 42
7Г bn = У f(x) sin пх dx, (n = l,2,...). (4.3) — 7Г Рядом Фурье функции f(x) называется ряд оо + У^(ап cos пх + Ьп sin пх). п=1 Условия сходимости ряда Фурье Ряд Фурье интегрируемой функции f(x) может либо расходиться, либо сходиться, причем как к функции f(x), так и к функции, отличной от нее. Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком Дирихле. Теорема 1.6 (Дирихле). Если функция f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке [—тг, тг] и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на [—тг, тг], то ряд Фурье функции f(x) сходится для любых х из [—тг, тг] и его сумма равна: 1) f(x) для всех точек непрерывности х из интервала (—тг,тг); 2) ^(/(^о — 0) + /(жо + 0)) для всех точек разрыва х$\ 3) ^(/(—тг + 0) + /(тг — 0)) при х = —тг и х = тг. Ряд Фурье для четных и нечетных функций Пусть f(x) — четная функция (/(—ж) = /(ж), Vz € [—тг, тг]). Тогда Ъп = 0 (п = 1,2,...), и, следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам: оо /(ж) = у- + ап cosnx, п=1 7Г 7Г где ао = J f(x)dx, ап = f(x) cosnxdx, (n=l,2,...). (4.4) о о Аналогично нечетная функция f(x) (т. е. f(—x) = —f(x), Чх € [—тг, тг]) разла- гается в ряд Фурье по синусам: оо = Ъп sin пх, п=1 7Г где Ьп = J f(x) sin пх dx, (n = 1,2,...). (4.5) о 43
Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке Пусть f(x) — периодическая с периодом 21 функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле на интервале (—/,/)• Тогда ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид оо f(x) = у + 52 (°n cos + bn sin у^) , П=1 где I ао = у У dx, -i i i an = j [ f(x) cos dx, 6n = | [ f(x)sin^dx (n = l,2,...). V J I I J I -I -I Ряд Фурье четной функции f(x) содержит только свободный член и коси- нусы оо ,/ \ ао . птгх /(®) = у + > , On COS yr, n=l где i i ао = у У f(x) dx, an = о о Нечетная функция f(x) разлагается в ряд Фурье по синусам оо /(x) = 526nsm^, (4.6) П=1 где i Ьп = j у/(x)sin^ dx (n=l,2,...). (4.7) О I Jf(x)cos^dx (n = 1,2,...). 1.4.1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 1, заданную на интер- вале (-7г,тг). Q Функция четная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по косинусам, а коэффициенты ап можно найти по формулам (4.4): <» = i / =IА = 1|0’ = 1-’=2. О о 7Г 7Г ап = f(x) cosnxdx = cosnxdx = sinna:^ = о о = ^(sin7rn - sinO) = ^(0 - 0) = 0. 44
Итак, а0 = 2, ап = 0 (п = 1,2,...). Таким образом, в данном слу- чае ряд Фурье состоит из единственного ненулевого слагаемого, равного во 2 .м. *1 1 — = н = 1, и разложение имеет тривиальный вид: 1 = 1. • hi Разложить в ряд Фурье данные функции, заданные на интервале (—7Г,7Г).’ 1.4.2. f(x) = cos2 х. 1.4.3. f(x) = sin2 x. 1.4.4. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = < л < х <0, [ 1, 0 < х < 7Г. Q Функция нечетная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по синусам. Находим коэффициенты Ьп по формулам (4.5): :У f(x) sin nxdx = sinnx dx = -cos= о о -^(cosTrn - COSO) = -^((-1)" - 1) = ^(1 - (-1)") = О, 4 Тг(2& — 1) ’ п = 2fc, k = 1,2,... п = 2к - 1, ’ ’ Окончательно получаем _ 4 sin(2fc ~ l)ff _ 4 ( sin a: , sin 3x , sin 5x , j 7г2^ 2к - 1 -7Г1 1 3 + 5 + -J- k=l \ / Положим в этом равенстве х = Тогда 1 _ 4 (sinf . sin37r2 sin57r2 . А_4Л1.1_ \ 7Г I 1 + 3 + 5 f зт5 - откуда j = 1 - | | + (-l)fc+1o * + ..., т.е. мы получили 4 о О ZK — 1 разложение в бесконечный ряд числа Впервые это разложение было открыто знаменитым немецким математиком и философом Лейбницем (1646-1716). • {3, -я < х < О, -3, 0 < х < 7Г. 1.4.6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х. Q Функция нечетная, поэтому ап = 0 (п = 0,1,2,...). Осталось опреде- лить коэффициенты Ьп по формуле (4.5), т.е. 7Г bn = х sin nxdx. о 45
Для вычисления последнего интеграла применим метод интегрироваг ния по частям. Положим и = х, dv = sinnxdx. Тогда du = dx, v = = у sinnxdx = — cos па;, откуда 7Г 7Г Ух sinnxdx = -^х cos пх\ + 1 уcosпх&х = о о = -i(7TCOS7rn - 0) + -^sinm;|0 = -£(-l)n = £(-l)n+1. Окончательно получаем bn = % • ^(—l)n+1 = ^(—l)n+1, стало быть, _ х _ l)n+1 sin па; _ (sin а; _ sin 2х । sin За; _ sin 4у । п=1 Подставив значение х = в это равенство, придем к уже встречав- шемуся нам в задаче 1.4.4 ряду Лейбница 7T_gfSinf 8Ш7Г . 81ПТ 2 \ 1 2 3 4 3 + 5 1 J 2k-1 sin27r . \ тжтт„ —z------1-... I, или 4 J 1 Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале (—тг, тг)г 1.4.7. 1.4.9. fix') = 1 - 2х. 1.4.8. f(x) = ±х - 3. £ Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = < —7Г < х < 0, 0 < X < 7Г. Q Функция общего вида, поэтому коэффициенты Фурье находим пс формулам (4.1)—(4.3): v /I О 17Г ао = |/f(x) dx=±f2dx + |/(-4) dx = |х| - |х|о = 2 - 4 = -2, — 7Г — 7Г О 7Г О 7Г ап = i у f(x) cos пх dx = J 2 cos пх dx + j\—4) cos пх dx = — 7Г — 7Г О _ 2 sin па: 1° 4 sip па: Г _ п п |_ж тг п |0 и> 7Г О 7Г bn = J f(x) sin пх dx = у 2 sinпх dx 4- (-4) sinnx dx = — 7Г — 7Г 0 = - cos 4°^ + A cosna;|o = "Au - (-1)") + A((-!)n - !) = 46
о, _ 12 7ГП’ п = 2fc, п = 2к — 1, (fc = l,2,...). В итоге имеем г/ \ ао i 12 sin(2fc — 1)ж /(x) = ~2 52 sm nx = “1 тГ 52 2fc — 1 n=l k—1 Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале (—тг,тг): Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале [—7г;тф 1.4.12. 1.4.14. f(x)=x2. 1.4.13. f(x) = \x\. Используя разложение из задачи 1.4.12, вычислить сумму ряда °о п=1 и 1.4.15. При помощи разложения из задачи 1.4.13, найти сумму ряда °о 1 Si (2k —I)2 На интервале (—7г,тг) разложить в ряд Фурье следующие функции: 1.4.16. 1.4.17. f(x) = 1 - ||х|. f(x) = sin ax (a — не целое число). 1.4.18. л/ ч “Я, “7Г < х < 0, f(*) = п А 0, 0 < X < 7Г. 1.4.19. С помощью разложения из задачи 1.4.18, найти сумму ряда 1 + о + о + •••+ , >2 +•••• З2 52 (2k -1)2 1.4.20. Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, тг] функцию х, 0 х < /(®) = 7Г . 7Г - X, 2 X я. Q Продолжим функцию на отрезок [—тг,О] нечетным образом (рис. 1). Тогда полученная функция нечетная и ее ряд Фурье содержит только 47
синусы. Найдем коэффициенты bn (n = 1,2,...): 7Г 7Г 2 тг ьп = f(x) sin пх dx = у х sin пх dx + (тг — х) sin пх dx = о О ZL 2 7Г тг 2 \ тг 7Г a; cos па; | 2 1 у* cosnxdxj + - л f sinnxdx ~ J xsinnxdx = О ' IL IL 2 2 cos^n 2sin^n ~П~+ 7ГП2 7Г COS 2n 2cos7rn , cos 2n , 2 cos тгп n n n 2sin^n 2sin^n 4sin^n 7ГП2 7ГП2 7ГП2 cos ^n n {o, 4(-l)*+1 7T(2fc - l)2 ’ n = 2fc, n = 2k - 1. _ < r/ x 4 (-l)fc+1 sin(2fc - l)z Таким образом, /(rr) = | . k=i (2fc - l)z При x = j имеем j = (1+^+^+.. •+(2fcl1)2+-• ) ’ откуда еще 11 1 2 раз находим, что сумма ряда Ц~4~+... + -------т-+... равна • З2 52 (2к -1)2 о 1.4.21. Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) следу- ющие функции а)Ж) = я; б) f(x) = l-£ 1.4.22. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] функцию /(-) = I - f- 48
Рис. 2 Q Продолжим данную функцию на отрезок [-тг,О] четным образом (рис. 2). В результате получится четная функция, ряд Фурье которой со- стоит только из косинусов. Вычислим коэффициенты ап (п = 0,1,2,...) по формулам (4.4): ao = *J 0 о _ 2 (тг _ а:2 \ Г _ 2 (тг2 _ тг2\ _ п “ тг I 4х 4 J |0 “ тг I 4 4 J ’ cos пх dx = ап = cosnxdx ~ о о = ycosnxdx - I Jxcosnxdx = - Ж8япПа:|о + ^fif^nnxdx = 0 0 0 = ^(sinTrn - sinO) - (тгsin7гп - 0 • sinO) - C0S-1 = 2n' 7ГП яп2 |0 i i fO, n = 2fc, = “i(C0S7rn “ cos°) = it1 “ (-i)n) = 5 2 n - 2fc - 1 7ГП 7ГП П — ZK — L. 7Г7Г Итак, f(x) = | Е к=1 тг = 2 1 4 cos(2fc — I)# —-------у-. Положим в этой формуле х = 0. Тогда \£К J. ) 00 1 11 тг2 ?0”уда£(5гл? = 1 + ? + ? + --= 8-'™ совпадает с найденным ранее значением для суммы этого ряда. • 1.4.23. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, тг] следую- щие функции a) f(x) = -х; б) /(х) = ±х - 1; в) /(®) = -я2; г) f(x) = j®2 + 3- 1.4.24. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х на интервале (-3,3). 49
Q Функция нечетная и поэтому разлагается в ряд Фурье по синусам (формулы (4.6)-(4.7)). В нашем случае f(x) = х, I = 3, следовательно, з Ьп — з / х sin з dx — о [u = х, dv = sin , du = dx, v = J sin dx = - cos j 2 П7га;|3 , 2 f птгх > 6 . 2-3 • П7га;|3 -“ТГП®008 3 Io + 7ГП /cos 3 dx~ 7rnCOS7rn+ sin 3 Io - = -ят(-1)" + - ™0) = Si(-1)”+1- Итак, n ~ (-l)n+1 sin /sin sin sin 2^ \ f( \ _ 6 2___'________3_ = 6 (_____3________3_ . ______\ J{X) — X к 2^ n 7ГI 1 2^3 n=l ' ' Разложить в ряд Фурье данные функции на указанных промежутках: 1.4.25. f(x) =х, (-2,2). 1.4.27. /(ж) = |®|, (-2,2). 1.4.29. /(ж) = яг2, (—3,3). 1.4.26. 1.4.28. 1.4.30. f(x)=x, /(®) = |хг|, (—4, 4)- f(x) = x\ (-Ц). Дополнительные задания Разложить в ряд Фурье данные функции на интервале (—тг,7г)г 1.4.31. <•/ \ 1 9, -7Г < х < 0, _ Л ,z ч I а, -7Г < х < 0, 1 5, 0 < X < 7Г. 1 О, 0 < X < 7Г. 1.4.33. 1.4.34. /(*) = f - |х|. /(я:) = cosax (а — не целое число). [^(у + я:), -тг < х < 0, 1.4.35. ~]2а (к \ п < 1.4.36. ft \ /°> -7Г < х < 0’ "Х> =1 п х, 0 х < тг. 1.4.37. При помощи разложения из задачи 1.4.35 вычислите сумму ря- Да 1 + 2 + 2 + ... + 2 4-... З2 52 (2k -1)2 50
1.4.38. Используя разложение задачи 1.4.36, найдите сумму ряда а)1+£+£+"+(^Ъ?+- б) 1- | + |- | + | - •• (Рад Лейбница). 1.4.39. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию ж, О /w= о, 5 2’ Разложить в ряд Фурье на интервале (—1,1) следующие функции: 1.4.40. f(x) = х. 1.4.41. f(x) = |ш|. 1.4.42. f(x)=x2. Более сложные задания 1.4.43. Разложить в ряд Фурье на интервале (—тг,тг) функцию /(х) = ех. 1.4.44. Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0, тг) функ- цию a) f(x) = ш2; б) /(х) = cosax, где а — целое число. 1.4.45. Разложить в ряд Фурье по косинусам на интервале (0, тг) функ- цию f(x) = sin ах, где а — целое число. 1.4.46. Разложить функцию f(x) = х2 в ряд Фурье по синусам на от- резке [0, i j . 1.4.47. Разложить в ряд Фурье на отрезке [0,3] функцию {х, 0 х 1; 1, 1 < х < 2; 3 — х, 2 х 3. 1.4.48. Разложить функцию f(x) = ех в ряд Фурье на интервале [—I, I].
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА □ § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Уравнение F(x,y,y’) = 0, (1.1) связывающее между собой независимую переменную, искомую (неизвестную) функцию у(х) и ее производную у'(х) называется дифференциальным уравне- нием первого порядка. Если уравнение (1.1) можно записать в виде у1 = /(х^у), то говорят, что оно разрешимо относительно производной. Это уравнение иногда записывают в виде dy = f(x, у) dx или, более общо, Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = Q (дифференциальная форма). Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого по- рядка называется любая функция у = <^(д?), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функции у = ip(x) в этом случае называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений данного диф- ференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого поряд- ка (1.1), удовлетворяющего заданному начальному условию у(хо) = Уо, назы- вается задачей Коши. Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интеграль- ную кривую уравнения (1.1), проходящую через точку Mq(xq, уо). Общим решением уравнения (1.1) называется такая функция У = ^,С), (1.2) где С — произвольная постоянная, что: 1) при любом конкретном значении С она является решением этого урав- нения; 2) для любого допустимого начального условия у(хо) = уо найдется такое значение постоянной С = Со, что <^(д?о, Со) = уо- В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения при- ходится записывать в неявном виде: Ф(я?,з/, С) = 0. Тогда соотношение Ф(я, 2/, С) = 0 называется общим интегралом этого уравнения. Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семей- ство интегральных кривых на плоскости Оху. 52
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка на- зывается функция у = ^(д?,С0), получаемая из общего решения (1.2) при конкретном значении постоянной С = С0. Частным интегралом уравнения (1.1) называется равенство Ф(я?,2/, Со) = = 0, полученное из общего интеграла при фиксированном значении С. Теорема 2.11. Пусть в дифференциальном уравнении у' = f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная fy(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху. Тогда для любой точки М(я?о,?/о) € D существует и притом единственное решение у = у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начально- му условию у(хо) = 2/0- В каждой точке (а?о,З/о) € D число /(д?о,?/о) выражает угловой коэффици- ент касательной к кривой у = у(х). Поэтому каждой точке области D уравне- ние 2/' = f(x,y) ставит в соответствие некоторое направление — геометрически его можно изобразить черточкой (стрелкой), проходящей через эту точку. Тем самым уравнение у1 = /(х^у), (х,у) € D определяет поле направлений на плос- кости. Множество точек (я, у) € В, в которых у' = к, где к — постоянная, или, что то же самое, f(x,y) = к (линия уровня функции /(я, 2/))> называется изоклиной дифференциального уравнения. В точках изоклины направление поля одина- ково, т. е. направления касательных в точках изоклины (или соответствующие черточки) параллельны. Придавая к близкие числовые значения, можно построить достаточную густую сеть изоклин, а с их помощью — приближенно нарисовать вид инте- гральных кривых, т.е. решений дифференциального уравнения. Этот метод, метод изоклин, или графический (геометрический) метод решения дифферен- циальных уравнений, особенно ценен в том случае, когда решение, общее или частное, уравнения не выражается в элементарных функциях — интеграл не берется. Некоторые дифференциальные уравнения могут иметь такие решения, ко- торые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной посто- янной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми. Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения. Уравнение вида Pi(х) • Qi(2/) dx + Р2(х) • Q2(?z) dy = 0 (1.3) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. 1 Теорема существования и единственности решения дифференциального уравне- ния первого порядка. 53
Уравнение (1.3) путем деления на произведение Qi(y) • Р2(х) приводится к уравнению с разделенными переменными рЛх) . , QAy) , __ pi(x) Qi(y) У (1-4) (коэффициент при dx зависит только от х, а при dy — только от у). Общий интеграл полученного уравнения находится почленным интегриро- ванием: fpdx), , rQz(y), „ J ^dx + J = Заметим, что уравнению (1.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на Qi(y) • -FH#), т. е. получаемые из уравнения Q\(y) • Р2(х) = 0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (1.3). Уравнение у' = f\(x) • /2(3/) сводится к уравнению (1.4). Для этого доста- , dy точно положить у = — и разделить переменные. dx 2.1.1. Показать, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения. а) у = (х + С)ех, у' -у = ех; б) у = ху2 dx-dy = 0; X в) х2 - ху + у2 = С, (х - 2у)у' - 2х + у = Q. Q а) Находим производную данной функции: у' = ех + (х + С)ех. Теперь подставим значения у и у1 в заданное уравнение: ех Л\х+С)ех — (х+С)ех = = ех. Получили тождество ех=ех. Следовательно, функция у = (х + С)ех является решением уравнения у' — у = ех. б) Сначала находим dy: dy = (— dx = • dx. Подставив значения \ х2 J х х6 / \ 2 4 у и dy в данное уравнение, получим тождество: х-1 —- 1 dx--dx = 0, \ х2 J х6 2 т. е. 0 = 0. Значит, функция у = —- — действительно решение исходного х2 уравнения. в) Найдем производную неявной функции, для чего продифференци- руем обе части уравнения х2 — ху+у2 = С по х: 2х—у—ху,+2уу' = 0, отку- да у' = , х 2у. Подставим полученное выражение для у' в данное X у___ дифференциальное уравнение: (х — 2у) • ---2х + у = 0. Уравнение х обращается в тождество, т. е. функция х2 — ху + у2 = С является инте- гралом исходного уравнения. • 2.1.2. Показать, что заданные функции являются решениями соот- ветствующих дифференциальных уравнений: а) у = In cos х, у1 = — tg х; 54
2.1.3. б) х2 + 2ху = С, (х + у) dx + xdy = 0; в) у = С • sin ш, у1 tg х — у — 0; г) у = Се-3®, у' 4- Зу = 0; д) у - х = Сеу, (х-у + \)у' = 1; е) у = Сех , dy — Зх2у dx = 0. Проверить, являются ли решениями данных дифференциаль- ных уравнений указанные функции: а,9=з(ГЛ)'^ = зЛ б) v = | (1 — е~~а ), + bv — с = 0; в) У = 3 — е-®2, ху' + 2у = е-®2; г) х2 4- t2 - 2t = С, х +1 = 1. Решить задачу Коши: а) у' = sin5a:, у = 1; б) = 3, х = 1 при t = —1. \ / at О а) Проинтегрируем обе части уравнения: 2.1.4. у = у sin dx — — | cos + С. Теперь найдем частное решение уравнения. Подставив х = и у = 1 в найденное решение, получим искомое значение С: 1 = — cos + С, откуда С = 1. Таким образом решением задачи Коши является функция у = —| cos 5а: + 1. о б) Интегрируя, находим: а: = 3£ + С, откуда, с учетом начального условия, имеем: 1 = 3 • (—1) + С, С = 4. Искомое частное решение есть функция а: = 3£ + 4. • 2.1.5. Решить задачу Коши: а) у' = 2а: + 1, у(2) = 5; б) у' = е~3х, у(0) = |. О 2.1.6. Составить дифференциальное уравнение по заданному семей- ству интегральных кривых: а) у — Сх3; б) семейство парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью абсцисс. Q а) Продифференцировав по х равенство у = Сх3, получим: у' = ЗСх2. У Кроме того, очевидно, С = —. Подставляя это выражение для С в хА равенство у' = ЗСх2, получаем искомое дифференциальное уравнение: у1 = 3 • • х2, т. е. ху1 = Зу. х6 б) Заданное в условии семейство парабол определяется уравнением у2 = Сх. Отсюда 2у • у' = С. Исключив из равенств у2 = Сх и2у - у' = С параметр С, получим дифференциальное уравнение 2ху' — у = 0. • 55
2.1.7. Изобразить семейство интегральных кривых дифференциаль- ного уравнения: а) у' = 3; б) у' = |. 2.1.8. Составить дифференциальные уравнения заданных семейств интегральных кривых: а) у = у; б) а:3 = С(х2 - у2). 2.1.9. Составить дифференциальное уравнение: а) процесса изменения температуры тела в среде с температу- рой to, если скорость изменения температуры пропорциональна разности температур тела и среды; б) процесса изменения численности населения страны, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его числен- ности. Q а) Обозначим через T(t) температуру тела в момент времени t. Ско- рость изменения температуры тела равна . Разность температур тела at и среды равна Т — to. Тогда дифференциальное уравнение процесса со- гласно условию задачи будет таким: — = —к(Т — to), где к > 0 — коэффициент пропорциональности. Если Т — to > 0, то скорость измене- ния температуры отрицательна, т. е. что температура тела понижается; если Т — to < 0, то скорость положительна — тело нагревается. б) Обозначим численность населения страны в момент времени t че- рез N(t). Тогда дифференциальное уравнение процесса изменения чи- сленности населения будет таким = fc/V, где к > 0 — коэффициент at пропорциональности. • 2.1.10. Составить дифференциальное уравнение изменения скорости при замедленном прямолинейном движении тела массы то под действием силы сопротивления среды, пропорциональной ква- драту скорости (fc — коэффициент пропорциональности). Ис- пользовать второй закон Ньютона. 2.1.11. Составить дифференциальное уравнение изменения массы ра- дия в зависимости от времени («радиоактивный распад»), счи- тая, что скорость распада радия прямо пропорциональна (ко- эффициент к > 0) его количеству в каждый момент времени. 2.1.12. Дано дифференциальное уравнение у' = х2. Построить поле направлений. Методом изоклин построить приближенно гра- фики интегральных кривых. Сравнить их с точными инте- гральными кривыми. Q Имеем f(x,y) = ш2, fy(x,y) = 0. Условия теоремы существования и единственности выполняются во всех точках плоскости Оху. Через ка- ждую точку проходит единственная интегральная кривая и различные интегральные кривые не пересекаются. 56
Рис. 4 Рис. 3 При х = 0 и любом ?/ € (—оо, +оо) имеем у' = 0, т. е. во всех точках оси Оу поле горизонтально (рис. 3). При х = 1 и любом у G (—оо, +оо) имеем у' = 1 (поле образует угол 45° с осью Ох), при х = 1 поле также образует с осью Ох угол 45°. Поле симметрично относительно оси Ох. Построим теперь интегральные кривые, которые в каждой точке касаются «поля». Полученные кривые напоминают кубические параболы (рис. 4). Точные интегральные кривые имеют вид у = + С. • о Для следующих дифференциальных уравнений построить поле направ- лений и приближенным образом построить некоторые интегральные кривые 2.1.13. у1 = -х + у. 2.1.14. у‘=х-1. 2.1.15. Решить уравнение (х — xy2)dx + (у — yx2)dy = 0. Имеет ли оно особые решения? Q Преобразовывая, запишем данное уравнение в виде (1.3): ш(1 — y2)dx + ?/(1 — x2)dy = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на (1 — 2/2)(1 — я2). Получим уравнение с разделенными пе- 57
ременными х , У -1 о + 1 2 1 — X2 1 — у2 Интегрируя обе части уравнения, имеем: dy = 0. — i 1П |1 — Х2| — | ln|l — J/2| = —| 1П |С|, С^О Z Z Z (произвольную постоянную здесь удобно записать именно так: — i In |С|), т.е. (1 — я2)(1 — у2) = С, где С 0; это возможно, так In|С| может при- нимать любые действительные значения. Получили общий интеграл ис- ходного уравнения. При делении на (1 — ?/2)(1 — х2) мы могли потерять решения у = 1, у = — 1, а; = 1, а; = — 1, но они содержатся в общем инте- грале, если подставить дополнительное значение С = 0. Таким образом, особых решений данное уравнение не имеет. • Решить дифференциальные уравнения: 2.1.16. (1 4- у) dx - (1 — х) dy = 0. 2.1.17. \/1 — у2 dx + уу/1 — х2 dy = 0. 2.1.18. хуу' = 1 - х2. 2.1.19. у'(1 + у) = xysinx. 2.1.20. еу(1 + у') = 1. 2.1.21. у' - ху2 = 0. 2.1.22. Найти частное решение уравнения ydx + clgxdy = 0, у\ _тг= — 1. 1Ж-3 Q Это уравнение имеет вид (1.3). Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение заданного уравнения: tgxdx+^dy = 0, Jtgxdx + у Y =ln|C'i|, Ci 0 0, откуда In |?/| — In I cosa;| = In |Ci|, |?/| = |Ci cosa;|, т.е. у = ±C1 COST, ИЛИ у = C COS Ж (положили С = ±С1). Подставляя в найденное общее решение у = — 1 и я = (используем о начальное условие), находим постоянную С. А именно: -l = Ccos£, С =—2. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: у = — 2 cos я. • Найти частные решения дифференциальных уравнений: 2.1.23. 2^/ydx - dy = 0, 2/(0) = 1. 2.1.24. у' = 8^/у, 2/(0) = 4. 2.1.25. у' sin# — у In у = 0, у = 1. 2.1.26. (1 + у2) dx + (1 + х2) dy = 0,2/(1) = 2. 2.1.27. Определить численность населения России через 20 лет, счи- тая, что скорость прироста населения пропорциональна его на- личному количеству, и зная, что население России в 2000 году 58
составляло 145 млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен а%. (Вычислить при а = 2%, а = —1%.) ф Обозначим численность населения России в момент времени t через N = N(t). Дифференциальное уравнение исследуемого процесса (ско- рость «прироста» численности населения) имеет вид = kN, где к > 0 — коэффициент пропорциональности (см. задачу 2.1.9). Отсюда находим, что = кdt, откуда In |7V| — In |С| = kt, т. е. |ln | = kt, т. е., учитывая, что N > 0, имеем N = Cekt — общее решение уравнения. Со- гласно условию задачи N = 145 при t = 0. Находим частное решение: 145 = Се°, т. е. С = 145, N = 145ен. Найдем значение коэффициента к, зная, что в конце 2000 года, т. е. при t = 1, население России рав- но N = 145 + • 145 млн человек: 145 -I- • 145 = 145е*. Отсюда ек = 1 -I- т.е. к = In (1 -F Равенство N = 145ekt теперь можно переписать так: N = 145 (1 -I- • Таким образом через 20 лет числен- ность населения составит: при а = 2%: N = 145 • (1,О2)20 « 215 (млн человек); при а = —1%: N = 145 • (О,99)20 «119 (млн человек). 2.1.28. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движе- ния, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 м, а за 3 секунды — 40 м? 2.1.29. Известно, что тело охлаждается в течение 15 мин от 100° до 80°. Через сколько минут температура тела понизится до 40°, если температура окружающей среды составляет 10°? (Ско- рость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, см. задачу 2.1.9.) Дополнительные задачи 2.1.30. В заданном семействе кривых найти линию, удовлетворяющую начальному условию: а) у(1 - Сх) = 1, у(2) = j ; б) у2 - х2 = С, у(0) = 1. 2.1.31. Убедиться, что заданная функция является решением соответ- ствующего дифференциального уравнения: — dx, ху' — у — хех-, б) 1п(4ш-|-82/-|-5)+82/—4х = С, (x+2y + l)dx — (2x+4y + 3)dy = 0. 2.1.32. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых, для которых отрезок любой касательной, заключецный между координатными осями, делится пополам в точке касания. (Ис- пользовать геометрический смысл производной). 59
2.1.33. Решить дифференциальное уравнение: а) = 2cosa:; б) sin?/' = 1. 2.1.34. При каком значении С заданная функция является решением данного уравнения: a) s = Ct + 4, s' = —1; б) у = ш3, у1 = Сх2. 2.1.35. Написать уравнение геометрического места точек (ш, ?/), являю- щихся точками максимума или минимума решений уравнения у' = f(x, у). 2.1.36. Как доказать, что ху -4-ln = С есть общий интеграл уравнения х(1 + ху)у' = у(1 - ху)? 2.1.37. Зная, что у = С1п х является общим решением уравнения ху1In а: = у, найти интегральную кривую, проходящую через точку М(е, 1). 2.1.38. Какая из функций: У-ех, у — 2, у-],, у-у/Щх + 1) Ju | 1 является решением дифференциального уравнения ydy= ,dx ? у у 2(х + 1) 2.1.39. Решить уравнения: а) 2у' = 0; б) у' = х\ в) у1 = у. 2.1.40. Какие из приведенных уравнений являются уравнениями с раз- деляющимися переменными? а) 2/' = Зу — 1; 6) xdy + у dx = у2 dx\ в) (1 - х2)у' -1- ху = 1; г) ху' + у = cosy; д) у' = (х + у)2-, е)у' + х2у = ех; ж) у' — ху2 = 2ху; з) е~у ^1 4- = 1; и) х2у' — 1 = cos 2у; к) у = хеу . Решить дифференциальные уравнения: 2.1.41. (у/ху + у/х)у' -у = 0. 2.1.42. у' — 3^-3/ 2.1.43. у х -1-1 2.1.44. ds + s tg t dt = 0. 2.1.45. < + е* = о. 2.1.46. X + xy + y'(y + xy) = 0. 2.1.47. у' + у = 5. 2.1.48. v' — 4tv = 0. 2.1.49. dy — у cos2 х dx = 0. 2.1.50. y' . x - у . x + у = sin 2 sin 2 2.1.51. (e* + l)ejy+ е*(1+е!() = 0. 2.1.52. / . х sin x _ q у ~ у cos у 60
2.1.53. у' = cos(2/ — х). (Положить у — х = t.) 2.1.54. (ху + х)^- = 1. dy 2.1.55. 6xdx -&ydy - 2x2ydy + Зху2 dx = 0. 2.1.56. х2 dy + {у - a) dx = 0. 2.1.57. у1 tgx-y = a. 2.1.58. з/'cosx - (3/ +l)sinx = 0. 2.1.59. y' - 2yctgx = ctgx. 2.1.60. = 1 + 2.1.61. = 2.1.62. у' = У/П У . 2.1.63. 2x + 2xy2 + V^x^y' = 0. y/x +1 Найти частные решения дифференциальных уравнений: 2.1.64. x2dy-y2dx = 0,y(^ = |. 2.1.65. 1 + у2 = хуу', у(2) = 1. 2.1.66. (х + ху2) dx + (а:2у — у) dy = 0, у(0) = 1. 2.1.67. у'(х2 - 2) = 2ху, у(2) - 2. 2.1.68. cos х sin ydy = cos у sin x dx, у (тг) = тг. 2.1.69. у' = 1,5 tyy, У(-$ = L 2.1.70. у' = 2х+у + 2х~у, у(0) = 0. 2.1.71. ху' - = 0, у(е) = 1. In X 2.1.72. у1 sinx - (2у + 1) cosx = 0, у = 1. 2.1.73. (е® + 8) dy - уех dx = 0, 2/(0) = 1. 2.1.74. Найти кривую, проходящую через точку А(2,16), зная, что уг- ловой коэффициент касательной в любой точке кривой: а) в три раза больше углового коэффициента прямой, соединя- ющей эту же точку с началом координат, б) равен квадрату ординаты этой точки. 2.1.75. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(4,1), для которой: а) отрезок любой касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам; б) отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат. 2.1.76. Подкасательной кривой у = f(x) в точке М называется про- екция АР на ось Ох отрезка AM касательной к этой кривой, где А точка пересечения касательной с осью Ох (рис. 5) Най- ти семейство кривых, у которых подкасательная имеет длину, равную 2. 2.1.77. Найти кривую, проходящую через точку А(1,1), для которой площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, равна 1. 61
2.1.78. Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее, длины ее отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс) и подкасательной в любой ее точке равна произ- ведению координат точки касания. 2.1.79. Скорость распада радия пропорциональна наличной его массе. Определить, через сколько лет от 1 кг радия останется 0,7 кг, если известно, что период полураспада радия (время, за кото- рое масса радия уменьшается вдвое) равен 1590 лет. 2.1.80. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматривае- мый момент времени t. Количество бактерий за 4 часа утрои- лось. Найти зависимость количества бактерий от времени, если при t = 0 их было а. 2.1.81. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 20 км/час. Через одну минуту после выключения двигателя ее скорость уменьшилась до 2 км/час. Определить скорость лодки через две минуты после остановки двигателя, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. 2.1.82. Металлическая болванка, нагретая до 420°С, охлаждается в воздухе, температура которого 20°С. Через 15 минут после на- чала охлаждения температура детали понизилась до 120°С. Определить температуру болванки через 30 минут охлажде- ния, считая, что скорость охлаждения пропорциональна раз- ности между температурой тела и температурой воздуха. 2.1.83. При брожении скорость прироста действующего фермента про- порциональна его количеству. Через t± часов после начала брожения масса фермента составила т\ г, а через t2. часов (^2 > й) — т2 г (m2 > mi). Какова была первоначальная масса фермента? 2.1.84. Вращающийся в жидкости диск замедляет свое движение под действием силы трения, пропорциональной угловой скорости 62
вращения w. Известно, что диск, начавший вращаться со скоро- стью 18 об/с, по истечении 45 с вращается со скоростью 6 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск по истече- нии 90 с после начала замедления? В какой момент времени w будет равняться 1 об/с? Контрольные вопросы и более сложные задачи 2.1.85. Могут ли интегральные кривые дифференциального уравне- ния у1 = f(x) пересекаться? 2.1.86. Можно ли множество всех решений уравнения у' = у предста- вить в виде: а) у = Сех; У = С±ех + С2; в) у = \[Сех\ г) у = sin (7 • ех, д) У = ех+с; е) у = ех? С/ 2.1.87. В резервуаре находится 80 л раствора, содержащего 8 кг со- ли. Каждую минуту в него вливается 4 л воды и вытекает 4 л раствора, при этом концентрация соли поддерживается рав- номерной (путем перемешивания). Сколько соли останется в резервуаре через 40 минут? 2.1.88. Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие опре- деляется формулой v = Qfiy/2gh, где h — высота столба жид- кости над отверстием, д — ускорение свободного падения (д ~ « 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из а) заполненного полусферического котла диаметра 2 м через круглое отверстие на дне 0,1 м; б) цилиндрического бака радиуса R = 0,5 м и высотой Н = 2 м через круглое отверстие в дне радиуса г = 0,02 м. 2.1.89. Тело движется по прямой со скоростью, обратно пропорцио- нальной пройденному пути. В начальный момент тело имело скорость vq = 15 м/с и находилось на расстоянии 4 м от начала отсчета пути. Определить скорость тела через 8 с после начала движения. 2.1.90. Судно водоизмещением 10000 тонн движется прямолинейно со скоростью 10 м/с. Сопротивление воды пропорционально ква- драту скорости судна и равно 20000 Н при скорости 1м/с. Ка- кое расстояние пройдет судно после выключения двигателя, прежде чем его скорость уменьшится до 2 м/с? 2.1.91. Решить уравнение 2 ch у dx = (у/х -F 1 -F \/х — 1) dy. 2.1.92. Решить уравнения: а) у1 = у sin ж2; б) (2х — y)dx + (4ж — 2у -I- 3) dy = 0 (положить 2х — у = ty ч . cos у — sin у — 1 в) У =--------•---- cos х — sin х + 1 63
г) ^/1 - y2dx + л/1 - x2dy = 0,2/(0) = 1; д) у' = Зх — 2у + 1 (положить Зх — у + 1 = t); е) у1 = cos(2/ — х). §2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Функция f(x,y) называется однородной функцией степени п, где п-целое, если при любом а имеет место тождество f(ax,ay) = ап f(x, у). В частности, функция /(ж, у) — однородная нулевой степени, если f(ax,ay) = f(x,y). Дифференциальное уравнение вида Р(х, у) dx 4- Q(x, y)dy = 0 (2.1) называется однородным, если Р(х,у) и Q(x,y) — однородные функции одина- ковой степени. Уравнение (2.1) может быть приведено к виду У = / (|) • (2-2) Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися пе- ременными при помощи замены переменной У — = и т. е. у = их, где и = и(х) — новая неизвестная функция (можно также применять подста- новку | = и). О лг , ах + by + с Замечание. Уравнение вида у =----------приводится к однородному aix + biy + ci с помощью замен ж = ц 4- а, у = v + /3, где а и /3 — числа, которые подбирают соответствующим образом (см. задачу 2.2.5). Этот же прием используется при , ( ax + by + с \ решении уравнений вида у = f \ --------- I. \aix + biy + a J 2.2.1. Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения: 2 2 а) (у2 + ху) dx — х2 dy = 0; б) у' = ——у(-1) = 1; X х , %- ~ в) ху —у + хех = 0. О а) Заданное уравнение имеет вид (2.1). Коэффициенты при dx и dy, т. е. Р(х, у) = у2 +ху и Q(x, у) = —х2, являются однородными функциями одной и той же степени (второй). Действительно, Р(ах,ау) = (ау)2 + (ах • ay) = а2(у2 -I- ху) = а2Р(х,у), 64
2 у X' т.е. Полагая Q(ax,ay) = -(аж)2 = а2(—ж2) = а2ф(я,з/), п = 2. Следовательно, данное уравнение однородное. Положим у = их. Тогда dy = х du + и dx, и данное уравнение принимает вид (и2ж2 4- х2и) dx — х2(х du + и dx) = 0. После упрощений получим: и2 dx - х du = 0 или = 0. х и2 Интегрируя последнее уравнение, получим In |ж| + = С. Вспоминая, что и = находим общий интеграл исходного уравнения: In |я| 4- = С. Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (2.2): 2 । 2dy п dy у2+ху , (у\ у+ху~х^=^ те- = или У=Ы Полагая у = их, находим далее у1 = и'х 4- и и т. д. (см. б)). (у X 2 у — ] -%. у = их, находим: у' = и'х 4- и. Подставим значения у и у' в данное урав- нение: и'х 4- и = и2 — и. Преобразовывая, получим уравнение с разделя- ющимися переменными: • х = и2 — 2и. Разделяя переменные и инте- dx грируя, имеем: J ^^и = / откУДа = 1пИ + |1п1С'1Ь т.е. ц 21 = |<71|ж2. Подставляя и = получаем \ —| = |С1 |ж2, У %Х = ±С1Я2, или У = Сх2, где С = ±Ci. Теперь найдем У У значение постоянной С, используя начальное условие: —j— = С • 1, т.е. С = 3. Отсюда: ^Х = Зя2, т.е. 2/(Зя2 — 1) = — 2х, откуда окончательно: 2х у = -——- — частное решение заданного уравнения. в) Преобразуем уравнение к виду (2.2): у' — ^4-е® =0. Сделав подста- новку = и, т. е. у = их, получим и'х+и—и+еи = 0, или ^4-^г = 0. Ин- v х 7 С' X тегрируя, имеем: J е~и du = - J т. е. —еи = — In |я| - In |С|, С 0. От- сюда In|(7x| = е~и, т.е. —и = Inin|Cx|, С 0. Учитывая, что и = по- лучаем общее решение заданного уравнения у = —я In In |(7x|, С 0. • т.е. Решить уравнения: 2.2.2. 2.2.4. у dx 4- (я 4- у) dy = 0. 2.2.3. ху' = y + a;sin|, у(1) = 65 у1 = ху + у2 2х2 4- ху 3 Сборник задач по высшей математике. 2 курс
2.2.5. Привести дифференциальное уравнение (2/ 4- 2) dx - (2х 4- у 4- 6) dy = О к однородному. Q Положив х = и + а, у = v + /3, получаем (v 4- /3 4- 2) du - (2и 4- 2а 4- v 4- f3 4- 6) dv = О, т. е. (v 4- (/? 4- 2)) du — (2и 4- v 4- (2а 4- /3 4- 6)) dv = 0. Подберем а и 0 так, чтобы ( £ + 2 = 0, t 2а+ /3 + 6 = 0. Решая систему, находим, а = —2, /? = —2. Тогда исходное уравнение принимает вид (2.1): v dv — (2u + v)dv = 0, т. e. является однородным, что и требовалось. * 2.2.6. Решить уравнение, сведя его к однородному: (2х — 2)dy = (x + 2y — 3) dx. 2.2.7. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1,1), у ко- торой подкасательная (см. задачу 2.1.76) равна сумме коорди- нат точки касания. Q На рис. 6 отрезок ВС является подкасательной. Касательная к ис- комой кривой у = f(x) проведена в точке М(х,у). Так как по усло- вию ВС = х 4- у, то из прямоугольного треугольника МСВ находим: tga = —у—, т.е. у' = х + у у ренциальное уравнение. Полагая у = их, откуда у1 = и'х 4- и, имеем / । их их 4- и = —;-----, т.е. х 4- их' 1 4~ и dx —— = — — . Интегрируя полученное уравнение, имеем и2 х У ——. Решим полученное однородное диффе- ж 4- 2/ I и гх du —и2 и х = з—-----и. Отсюда — х = ——, или 14- и dx 14- и ln|u| — i = — 1п|®| — 1п|С|, С 0, т. е. = In ICxul или у = In |С2/|, С 0. Подставляя х = 1, у = 1 и« у (по условию кривая проходит через точку А(1,1)), находим конкретное 66
значение С: 1 = In |(7|, С = ±е. Таким образом, искомой кривой является линия, определяемая уравнением х = 3/In \еу\. • 2.2.8. Найти семейство линий, касательные к которым отсекают от оси абсцисс отрезки, равные ординате точки касания. 2.2.9. Найти кривую, проходящую через точку А(1,1), у которой рас- стояние любой касательной от начала координат равно абсцис- се точки касания. Дополнительные задачи Решить дифференциальные уравнения: 2.2.10. ху' =у + у/х2+у2. 2.2.11. = 2.2.12. у = ху1 — хех. 2.2.13. ху1 — y(kiy — Inх) = 0. 2.2.14. 2.2.16. у' = У + 2у/ху 2.2.15. ss' — 2s + t = 0. х2 + у2 = 2хуу'. 2.2.17. у/у(2у/х-у/у) dx+x dy = 0. 2.2.18. У'-х-у- 2.2.19. !/'cos|-|cos| + l-0. 2.2.20. xy' + xtg^-y. 2.2.21. - ^(1 +In у-In ж) =0. 2.2.22. 2.2.24. 2.2.25. 2.2.26. (За;2 - y2)y' = 2xy. 2.2.23. y' - 1 = 4 + y(l) = 0. (2a;3y — y4)dx + (2xy3 — a;4) dy = 0. x dy = (x + y) dx, y(l) = 0. y2 + x2y' = xyy', y(l) = 1. 2.2.27. (у' - I) arctg I = У (|) =0- 2.2.28. 2.2.29. 2.2.30. 2.2.31. 2.2.32. 2.2.33. 2.2.34. 2.2.35. , x + y xy' у = (x + y )]n x . y(x2 + y2)dx - x3 dy = 0. (a;2 + y2 + xy) dx - x2 dy = 0. x2y' + xy - x2 - y2 = 0, y(l) = 0. x2 - 3y2 + 2xyy' — 0, y(-2) = 2. У — xy' = 2(a; + yy'), y(l) = 0. у' = llnL y(i) = e- Найти кривую, проходящую через точку А(1,0), если извест- но, что треугольник, образованный осью ординат, касательной к кривой в произвольной ее точке и радиус-вектором точки ка- сания, равнобедренный; основанием его является отрезок каса- тельной от точки касания до оси ординат. 2.2.36. Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кри- вой, равен абсциссе точки касания. 67
2.2.37. Найти кривую, проходящую через точку А(3,0), если известно, „ ,, м х + у что угловой коэффициент касательной равен —-—. 2.2.38. Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке кото- рых равна среднему арифметическому координат точки каса- ния. Более сложные задачи 2.2.39. Решить уравнение, сведя его к однородному: , _ Зх - 4у - 2 ч _ х + у - 2 а) У ~ За; - 4у - 3’ У ~ Зх - у - 2’ 2.2.40. Решить уравнение х3(у' — х) = у2, (Сделать замену у = ит. Число т подобрать так, чтобы привести уравнение к однород- ному.) 2.2.41. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: v ¥>(<) ,___________________________ а) у' = I + —Т-Т-; б) ху' = 4у/2х2 + у2 + у; Л© в) W = +101 +10- 2.2.42. Задача о прожекторе. Найти форму зеркала, отражающего все лучи, исходящие из одной точки, параллельно заданному на- правлению. (Рассмотреть сечение зеркала плоскостью Оху, ис- точник лучей (света) поместить в начале координат, ось Ох направить параллельно отраженным лучам.) 2.2.43. При каких а и р уравнение у' = 2ха 4- Зу& приводится к од- нородному с помощью замены у = ит? (См. указание к зада- че 2.2.40.) §3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ Дифференциальное уравнение вида У +р(х)у = д(х), (3.1) где р(х) и д(х) — непрерывные функции (в частности — постоянные), называ- ется линейным уравнением первого порядка. Уравнение х'+р(у)х = д(у) (3.2) является линейным относительно х и х'. Если д(х) = 0, то уравнение (3.1) принимает вид у' +р(х)у = 0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися перемен- ными. В случае д(х) 0 уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением. 68
Решение уравнения (3.1) ищется в виде у = uv, где и = и(х) и v = v(x) — неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из этих функций (например, v(x)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), то- гда вторая определится из уравнения (3.1). В обоих случаях они находятся из уравнений с разделяющимися переменными (см. задачу 2.3.1 а)). Кроме того, уравнение (3.1) можно решить методом вариации произволь- ной постоянной (метод Лагранжа); в этом случае его общее решение ищется в виде С(х)е~ fp(x^dx (см. задачу 2.3.1 а)). Уравнение вида у + р(х)у = д(х)уП) где п G R, п / 0, п / 1, а р(х) и д(х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y~n+1. Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помо- щью подстановки у = uv (т. е. методом Бернулли) или применив метод вариа- ции произвольной постоянной (метод Лагранжа). 2.3.1. Решить дифференциальные уравнения: Л)у'+1ёХ.у=^- б)у' = ^_. X -Г у в) ху1 — 4у = х2у/у. Q а) Данное уравнение имеет вид (3.1) и, стало быть, является линей- ным. Здесь р(х) = tgx, д(х) = СОдд.. Решим уравнение двумя способами. Метод Бернулли Полагаем у = uv, где и = и(х), v = v(x) — некоторые функции от х, тогда у1 = u'v + uv'. Данное уравнение принимает вид: u'v + uv1 + tgzuv = VVJD db или и' v + и(у' + v tg ж) = (±2. (3.3) Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разде- ляющимися переменными v1 + vtgx = 0. Отсюда + vtgx = 0, т.е. dx -у- 4- tgxdx = 0, In|v| — In | cosx| = In |(7|, С 0, откуда v = Ccosx, C 0. Поскольку нам достаточно какого-нибудь одного ненулевого ре- шения уравнения, то возьмем v = cos х (положили (7 = 1). Подставляя v = cos х в уравнение (3.3), получим второе дифференциальное уравне- ние с разделяющимися переменными, из которого найдем функцию и(х): и1 cosх = 1 т.е. du = , и, следовательно и = tgz + С. Таким cosx cos2 х образом, у = uv = (tg х -I- С) cos х или у = С cos х + sin х — общее решение исходного уравнения. 69
Метод Лагранжа Найдем сначала общее решение соответствующего однородного урав- dy нения у + tgz • у = 0, т. е. — = — tgz • у. Разделяя переменные, имеем ^ = -tgxdx, In |2/| = In I cosx| + In |C|, C 0, т. e. у = C cos x. Общее решение заданного уравнения ищем в виде у = = С (ж) cos х (букву С заменили неизвестной функцией С(х)). Подставляя у и у1 = С'(х) cos х — С(х) sin х в данное уравнение, получим С1 (ж) cosx - С(х) sinx + tgxC(x) cosx = т.е. 1 C'(z)cosz=cosz (второе и третье слагаемые взаимно уничтожились). Отсюда dC(x) = С(х) = tga: + С. их COSZ X COSZ X Следовательно, общее решение заданного уравнения есть у = (tgx + С) cos х, т.е. у = С cos х + sin ж, как и в первом случае. б) Данное уравнение не является линейным относительно у и у1, но является таковым относительно х и х'. Учитывая, что у' = -j, приведем х уравнение к виду (3.2): /1 V / х + у2 , 1 У = — =------т.е. х=—т—, или х -т х = у. х х + у2 У У Решая методом Бернулли, полагаем х = uv, где и = и(у), v = v(y) — функции от 2/. Тогда х1 = u‘v + uv’ и u'v + uv1 — uv = у, ИЛИ 1 u'v + u(v' - v) = у. (3.4) Решаем уравнение с разделяющимися переменными v1 — i v = 0: т.е. = откуда In (v| = In |Су|, C/0. Выбирая одно из возможных решений (самое простое), имеем: v = у. Подставляя v = у в уравнение (3.4), получим и'у = 2/, т.е. у1 = 1, и, значит, и = у + С. Следовательно, х = uv = (2/ + С)у = у2 + Су, т. е. х = у2 + Су — общее решение заданного уравнения; у = 0 — особое решение. 70
в) Уравнение приводится к виду (3.2), т.е. это уравнение Бернулли: у1 — j у = х^у. Снова полагаем у = uv. Получаем уравнение / / 4 /— и V + UV — — UV = Xy/UV или u'v + u(v' — = Xy/uv. Решаем первое уравнение v' — j v = О, разделяя переменные: = ^dx, т.е. In|v| = 4In|ж| + С. Выбирая про- стейшее решение (при С = 0), находим v — х4. Решаем второе уравнение с разделяющимися переменными: и'х4 = Ху/й • ж2 *, т.е. отку- у/и х да 2у/й = 1п|ж| + 1п|С|, С / 0. Таким образом, и = ^1п2 |жС|, С / 0, и, следовательно, у = uv = ^ж41п2 |жС|, где С 0, — общее решение заданного уравнения, у = 0 — особое решение. • Решить уравнения: 2.3.2. у'-2ху = ех\ 2.3.3. ху' + у - Зя2 = 0. 2.3.4. у2 dx + (х + 2) dy = 0. 2.3.5. (х + 1)у' — 2у = у2(х + I)5. 2.3.6. Найти кривую, проходящую через точку Р(1,0) и такую, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсцис- се точки касания. Q Пусть АС — касательная к искомой кривой в точке М(х, у) (рис. 7). Согласно условию OB = х = ОА. Найдем ординату точки А, положив X = 0 в уравнении касательной Y — у = у'(Х — ж), где Y = О А. Име- ем: Y — у = —у'х, т.е. Y = у — у'х. Таким образом, получили линейное уравнение х = у — у'х, или у' — ^у = —1. Положив у = uv, решим его методом Бернулли: u'v + uv' — = —1, т.е. uv' + v (и' — — —1. Находим ц: — % = 0 и = х. Находим v, подставляя и: ах х их 1 I (j I xv' = — 1, или v' = — — , откуда v — — 1п|ж| + In |С|, т.е. v = In I— , где С 0. Итак, у = х 1п||, где С / 0 — уравнение семейства интеграль- ных кривых. Выделим среди них одну кривую, проходящую через точку 71
Р(1,0): 0=1- In |С|, а значит, С = ±1. Следовательно, у = ж In—, т.е. |ж| у = — ж In |ж| — уравнение искомой кривой. • 2.3.7. Найти кривую, проходящую через точку 0(0,0), зная, что угло- вой коэффициент в любой ее точке равен сумме координат этой точки. Дополнительные задачи Решить дифференциальные уравнения: 2.3.8. у' + 2у = 3еа:. 2.3.9. (1 + x2)y’ + 2xy = Зж2. 2.3.10. 2(х + у4)у' -у = 0. 2.3.11. у2 dx + (xy -l)dy = 0. 2.3.12. ху1 + у = У— In ж. 2.3.13. 2/' + 2xy = 2xy3. 2.3.14. у’ + у cos х = sin 2х. 2.3.15. x^ + y = 4x3. 2.3.16. у'е*2 - (хе*2 - у2)у = 0. 2.3.17. x3y2yf + x2y3 = 1. 2.3.18. у'х3 sin у — ху' 4- 2у = 0. 2.3.19. y' -y = (x + i)e*- 2.3.20. У1 + . Х 2У = 2' 2.3.21. 1-х2 1 У x x У ^=tg2‘ 2.3.22. ху’ — у — х3 = 0, ?/(2) = 4. 2.3.23. у' sinx — ycosx = 1, у (^0 = 2.3.24. 2у2 dx + (х + ey)dy = 0, у(е) = 1. 2.3.25. у' ~^у = -у\ yW = -1- 2.3.26. х cos2 х у1 + 2у cos2 х = 2ху/у. 2.3.27. у dx + (4 In ?/ — 2х — у) dy = 0. 2.3.28. (2/' + у)(х2 + 1) = е~х, 2/(0) = 1. 2.3.29. s' — ssintf = 2sin2£, s(0) = 1. 2.3.30. ipr1 + r - e* = 0, r(a) = 2a. 2.3.31. dx + (xy - 2/3) dy = 0, 2/(-1) = 0. 2.3.32. y' + = 3x2 y/y3, 2/(1) = 1- 2.3.33. Пусть у\ и у2 — два различных решения уравнения у' +р(х)у = = д(х). При каком соотношении между постоянными Ci и С2 функция у = Ciyi + С2У2 будет решением данного уравнения? 2.3.34. Материальная точка массой т погружается с нулевой началь- ной скоростью в жидкость. На нее действует сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости по- гружения (коэффициент пропорциональности к). Найти зави- симость скорости движения точки от времени. 2.3.35. Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), касательная к которой в произвольной ее точке отсекает на оси ординат отрезок, равный квадрату ординаты точки касания. 72
2.3.36. Сила тока I в электрической цепи с сопротивлением Я, ко- эффициентом индуктивности L и электродвижущей силой Е удовлетворяет дифференциальному уравнению L + RI = Е. dt Найти зависимость силы тока I = I(t) от времени, если: а) Е изменяется по закону Е = kt и 7(0) = 0 (L, Я, к — посто- янные), к — коэффициент пропорциональности; б) Е изменяется по закону Е = Asinurt и /(0) = 0 (L, Я, А, ш — постоянные). Контрольные вопросы и более сложные задачи 2.3.37. Найти общее решение уравнения у' + yip'(x) — у?(ж)у?'(ж) = 0, где — заданная функция. 2.3.38. Решить уравнения: х а) ху' — хеу +2 = 0; б) у(х) = Jy(t) dt + х + 1. о Решить дифференциальные уравнения: 2.3.39. у1 - 2ху = 1 - 2ж2, у(0) = 2. 2.3.40. ух' + 2х = ?/(0) = тг. cos2 у 2.3.41. у' cosy + sin= х. 2.3.42. dx + (2ж + sin 2у - 2 cos2 у) dy = 0, у(-1) = 0. 2.3.43. (64т/3 - х)у‘ - 2у = 0. 2.3.44. у' + ху = еху2, 2/(0) = 2. 2.3.45. Найти кривые, у которых площадь треугольника, образованно- го осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки каса- ния, постоянна и равна 4. 2.3.46. Кривая у = /(ж) проходит через точку 0(0,0). Найти ее урав- нение, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси абсцисс лежит на параболе у2 = х. Указание. Середина С отрезка нормали имеет координаты (* + I УУ'> |) • 2.3.47. Найти такие функции р(х) и gix), чтобы решениями уравнения у' +р(х)у = д(х) являлись функции 2/ = 1и?/ = ж3 + 1. 2.3.48. Можно ли решать уравнение у' = у с помощью подстановки у — uv? 2.3.49. Может ли решение уравнения уг = у (у 0) иметь точки ми- нимума? 2.3.50. Для какой кривой касательная в каждой ее точке перпендику- лярна радиус-вектору точки касания? 73
§4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Дифференциальное уравнение Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = О (4.1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е. dU(x, у) = ^dx+^dy = Р(х, у) dx + Q(x, у) dy. (4.2) ох оу Уравнение (4.1) с учетом (4.2) можно записать в виде dU(x,y) = 0, поэтому его общий интеграл имеет вид и(х,у) = а Для того, чтобы уравнение (4.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие dP = dQ ду дх Функция U(x,y) может быть найдена из системы уравнений ^=Р(х,у), <^-=Q(x,y) ох оу либо по формуле х У U(x,y) = Jp(x,y)dx+ jQ(x0,y)dy, ®0 УО (4-3) (4.4) где (хо^уо) — некоторая фиксированная точка из области непрерывности функций Р(х,у), Q(x,y) и их частных производных. Замечание. Если условие (4.3) не выполняется для уравнения (4.1), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умно- жением на некоторую функцию t(x,y) = t, называемую «интегрирующим мно- жителем». Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: если t = t(x) или t = t(y\, в первом случае дР &Q г ду дх t(x) = е^ Q dx дР dQ ду дх причем выражение ---—---должно зависеть только от х; во втором случае 9Q дР Г дх ду , t(y) = eJ р dy причем подынтегральное выражение должно зависеть только от у. 74
т. е. 2.4.1. Решить уравнение e®+?/+sin у+у' (еу+х+х cosy) = 0, у (In 2) = 0. Ci Запишем уравнение в дифференциальной форме (ех + у + sin у) dx + (еу + х + х cos у) dy = 0. Здесь Р(ж, у) = ех + у + sin ?/, Q(x, у) = еу + х + х cos у. Проверим выпол- нение условия (4.3): дР . dQ . ЭР &Q ^- = l + cos?/, -~- = l + cos?/, т.е. оу ох оу ох и, значит, условие (4.3) выполняется. Следовательно, данное дифферен- циальное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию U, используя равенства — ех + у + sin у и = еу + х + х cos у. Интегрируя первое равенство по х (считаем у постоянным), находим U(x,y) = j\ex + у + sin?/) dx = ех + ух + ж sin?/ + </?(?/), где (/?(?/) — произвольная дифференцируемая (по у) функция. Найдем <р(у)- Продифференцировав полученное равенство по у и учитывая второе / СкТТ \ равенство ( -7— = еу + х + х cos у 1, получаем \ оу J f^TT = х + х cos у + <£>'(?/) = еу + х + х cos ?/, откуда <р'(у) = еу, т.е. <р(у) = еу + С\. Следовательно, U(ж, у) = ех + ху + х sin у + еу + Ci. Общим интегралом является соотношение ех + ху + х sin у + еу + Ci = С2 или ех + ху + х sin у + еу = С, где С = С2 — С{. Найдем частный инте- грал уравнения, для чего подставим начальное условие у = 0, х = In 2 в общий интеграл: 2 + 0 + 0 + 1 = С, откуда С = 3. Таким образом, ех + ху + х sin у -|- еу = 3 — искомый частный интеграл. • 2.4.2. Решить уравнение j dx + (З?/2 + In х) dy = 0. Ci В данном случае Р(х,у) = |, Q(x,y) = 3?/2 + 1пя, а <ЭР dQ -77— = -7—. Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах оу ох И, значит, имеет вид dU(x.y) = 0, где = Зу2 + In х. Отсюда ох х оу U(x,y) = J 7j;dx, т.е. U(x,y) = ?/1пж + ср(у). (Функцию U(x,y) можно находить и из второго равенства, интегрируя его по у: U(x,y) = J(Зу2 + In ж) dy + <^(ж).) Тогда = (?/1пж + <р(у))'у = = 1пж + (рг(у). Отсюда З?/2 + In я = In я + <£>'(?/), <р'(у) = Зу2 и, стало быть, т. е. т. е. 75
(р(у) = У3+С1- Следовательно, U{x,у) = y\nx+y3+Ci, aykix+y3 — С — общий интеграл исходного уравнения. Замечание. Найдем функцию U(х,у), используя формулу (4.4). По- ложим xq = 1, уо = 0, тогда точка (1,0) принадлежит области непрерыв- ности D = {{х,у\. х > 0}. Имеем: X у U(x,y) = f^dx + j\ty2 + lnl)dy, 1 о откуда U(x,y) = у\пх + у3. Следовательно, ?/1пж + у3 = С — общий интеграл уравнения. * Решить уравнения: 2.4.3. (2х - у) dx - xdy = 0. 2.4.4. е у dx + (2 - хе y)dy = O. 2.4.5. Найти интегрирующий множитель и решить уравнение (еу + sin х) dx + cos х dy = 0. О Здесь = еу = — sinх, т.е. и, значит, уравнение не оу ох оу ох является уравнением в полных дифференциалах. Так как отношение 0Q _ дР дх ду _ — sin ж — еу _ Р ~ еу + sin х ~ не зависит от ж, то интегрирующий множитель может быть найден по формуле , _ , (см. замечание на с. 74): Умножая исходное уравнение на t = е~у, получаем уравнение в полных дифференциалах: (1 + е 27 sin я) eta: + е у cos xdy = 0 (так как Ру = —e~ysinx = е~у(— sinx) = Q'x}. Решаем его (без поясне- ний): а) = 1 + е~у sin х, = е~у cos ж; ох оу б) {/(ж, у) = j(1 + е~у sin х) dx = х — е~у cos х + <£>(?/); в) = е~у cosx + <^'(?/), откуда e-2,cosa: -I- <//(?/) = e~ycosx, т.е. ¥’,(у) = 0> ¥’(!/) = Ci; г) U(x,y) = х — е~у cosх + Ci. Таким образом х — е~у cosx = С — общий интеграл уравнения. • 2.4.6. Найти интегрирующий множитель и решить уравнение (ж2 — sin2 у) dx + х sin 2у dy = 0. 76
Дополнительные задания Решить уравнения: 2.4.7. 2.4.8. 2.4.9. (Зя - 5я22/2) dx + (З?/2 - х3у) dy = 0. (х cos 2у — 3)dx — х2 sin 2у dy = 0. (2я + уеху) dx + (1 + хеху) dy = 0, 2/(0) = 1. 2.4.10. ( 1 Х - + У + (я Н—, -У )dy = 0, y(V*2) = \у/х2 + у2 / \ уа:2+з/2/ 2.4.11. 2.4.12. (ж2 + 2ху + 1) dx + (я2 + у2 — l)dy = 0. вш(я + 2/) dx + х сов(я + у) (dx + dy) = 0. 2.4.13. 2.4.14. 2.4.15. 2.4.16. (Зя2 + Зя2 In 2/) dx - ^2y - dy = 0. Зя22/ + sin я = (cos у — x3)y'. (Зя2 + у2 + 2/) dx + (2я2/ + я + ey) dy = 0, 2/(0) = 0. (я2 + 2я2/) dx + (я2 - у2) dy = 0, 2/(1) = -1- 2.4.17. (я - 2/) </я + (я + у) dy _ X2 + у2 2.4.18. (zx - 1 - dx - (Zy - Tj^dy = 0. 2.4.19. (2ir + ev^dx + (1 - ей dy = 0. 2.4.20. (у sin у - -2 cos х + dx + (jcosa--^2siny + ^)dy = Q- Контрольные вопросы и более сложные задачи Решить уравнения: 2.4.21. (sin у + у sin я + j) dx + (я cos у — cos я + dy = 0. 2.4.22. 2.4.23. xey2 dx + (x2yey2 + tg2 y) dy = 0. (я ch у + sh я) dy + (2/ ch я + sh y) dx = 0. Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида t = = t(x) или t = t(y): 2.4.24. 2.4.25. 2.4.26. y2 dx + xydy — dy = 0. (1 + Зя2 sin y)dx — x ctg у dy = 0. Найти условия, при которых уравнение Р(я, 2/) dx + <Э(я, у) dy = 0 допускает интегрирующий множитель вида t = /(я + у). 2.4.27. Найти общие интегралы дифференциальных уравнений: а) я dx + у dy = 0; б) я dy + у dx = 0. 77
2.4.28. Определить тип дифференциальных уравнений: а) (1 - х2)у' + ху - 3 = 0; в) (я + у - 1) dx + (я + еу) dy; д) У = ху1 + у'\пу; ж) у'(х2 - 4) = 3; и) я dx + (я + у) dy = 0; л) у2 dx — (2ху + 3)dy = 0; ч / %ХУ н) У = ~2----2’ х2 — у2 п) у' - 2у/у\пх = 0; с) ху' — Зу + х4у2 = 0; У) У1 = 7Х~У; X dy у , х) Т" = т + dx х ч) y'tgy = У, б) (у + ху2) dx — xdy = 0; г) Зу' -2у = е) 2х2 dx — (х% + у2) dy = 0; з) 2х + Зя2?/ + (я3 - Зу2)у' = 0; к) у(х — y)dx = я2 dy, м) \/17 - 4я - 2я? dy - dx = 0; о) (я3 + у)х' + я — у = 0; р) х(у' - у) =ех- т) ху' = 2(у - у/ху)\ ф) (у2 + 2у + х2)у' + 2я = 0; ^^dx + y±^d^Bi у6 у э) (я + у - 2) dx + (я -у + 4) dy = 0; ю) xdy — уdx — д/я2 + р2dx = 0; я) dx = (sin у + 3 cos у + Зя) dy. §5. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка приходится ре- шать методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся уравнение Лагранжа у = х<р(у) + ф(у) (5.1) и уравнение Клеро у = ху +’ф(у1'), (5-2) где (р и — известные функции от у'. Уравнение (5.1) интегрируется следующим образом: обозначая р = у', запи- шем уравнение в виде у = х<р(р) + ^(р). Дифференцируя полученное уравнение по х, имеем Р = ф(р) + (*¥>'(?) + J откуда получим (р — <р(р))^~ = хр’(р) + t//(p) — линейное уравнение относи- сь тельно х и . Если его решение будет х = /(р, С), то общее решение уравне- ар ния (5.1) записывается в виде я = /(р,С), у = хр(р) -I- ^(р) = /(р, с)р(р) + ^(р). Уравнение (5.1) может иметь особое решение, вида у = <р(ро)я + ^(ро), где ро — корень уравнения р = <р(р). 78
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при </?(?/) = У - Его общее решение имеет вид у = Cx+ty^C), особое решение получа- ется путем исключения параметра р из уравнений у = рх + ^(р) и х = —i//(p). 2.5.1. Решить уравнение: у = ху' — у'2. Q Уравнение имеет вид (5.2), т. е. это уравнение Клеро. Положим у' = р. Тогда заданное уравнение принимает вид у=рх-р2. (5.3) Продифференцировав его по ж, имеем: у' = р'х+р—2рр', т. е. р'(х—2р)+р = = р, или р'(х — 2р) = 0. Если р' = 0, то р = С и, значит, общее решение данного уравнения есть у = Сх — С2 (см. уравнение 5.3). Если х — 2р = 0, т. е. х = 2р, то получаем у = 2рр - р2, т. е. у = р2. Особое решение задан- {х = 2р, тт / х \ о Исключая параметр р (р = — , находим у = рJ. \ 2 / х2 особое решение уравнения в явном виде у = — . 9 Решить уравнения: 2.5.2. у = ху1 + у' - (р')2- 2.5.3. у = ху' - З(р')3- 2.5.4. Решить уравнение Лагранжа: у = ж(1 + у'} + (у'}2- Q Положим у' = р. Тогда имеем у = ж(1 +р) +р2. Дифференцируя по х, приходим к уравнению у' = (1 +р) + хр' + 2рр', откуда (х + 2р)р' + 1 = = 0, т.е. (х + 2р)з^ = —1. Отсюда х + 2р = — з^, т.е. х* + х = —2р — ах ар линейное относительно х и х' уравнение. Решим его методом Бернулли. Полагая х = uv, получаем u'v + uv' + uv = —2р, т. е. u'v + u(v' + v) = —2р. Находим v, приравнивая скобку к нулю и разделяя переменные: v' + v = — 0, = —v, 3^ = —dp, In Ivl = — p + С. Выбираем простейшее решение: ар и v = е~р. Тогда: и'е~р = —2р, т.е. и' = —2рер. Отсюда и = -2 Jрер dp = = — 2(рер—ер)+С, и, значит, и = — 2рер+2ер+С. Следовательно, х = uv = — е~р(-2рер + 2ер + С) =2- 2р + Се~р. Учитывая, что у = ж(1 +р) + р2, получим у = (2 - 2р + Се“р)(1 +р) +р2. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид (в параметрической форме) х = 2 - 2р + Се~р, у = (2 — 2р + С'е_р)(1 +р) +р2; особого решения нет. Решить уравнения: 2.5.5. у = х(у')2 + (у')2. 9 к R ХУ X 2.S.6. у = - - 79
2.5.7. Решить уравнение: уу/у9 — 1 = 2 — у'. Q Разрешим заданное уравнение относительно у, а затем положим у' = = р, тогда получим Далее, так как у’ = dy dx 2-Р \/р-^ (5.4) откуда, после интегрирования, получим х = -=!= +С. (5.5) Vp-i Исключив параметр р из уравнения (5.5), находим = х — С, т.е. Vp-1 р = 1+-—-—-г. Найденное выражение для р подставим в равенство (5.4): (Of ----- — общее решение исходного уравнения. Дополнительные задачи Решить уравнения: 2.5.8. 2.5.10. 2.5.12. 2.5.14. 2.5.15. У = х/1 — у'2 3 4- у'- 2уу’ - х(у'2 + 4) = 0. У1 + У - ху'2 = 0. ху' ~У = In у'. Построить интегральные кривые уравнения у = у'х + -V У 2.5.9. 2.5.11. 2.5.13. у' = \п(ху' - у). у = у'2еу'. у = ху' + у' + у/у>. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Решить дифференциальные уравнения: а) х2 dy + ydx = 0, у(1) = е; б) у' = —= 1 + vх 2. Решить уравнение: у'(2х — у) = х + 2у. 3. Решить уравнение: (х + у)у' — 1 = 0. 80
4. Решить уравнение: (у3 4- cosx) dx 4- (еу 4- Зх?/2) dy = 0. 5. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радия. Через сколько времени останется 1% от его первоначального количества, если скорость распада радия пропорциональна его количеству в рассматрива- емый момент? Вариант 2 1. Решить дифференциальные уравнения: 1 4- а) у2у' + 2я - 1 = 0; б) у' = ---у(0) = 1. 14-х 2. Решить уравнение: ху1 — у = 2у/х2 4- у2. 3. Решить уравнение: Зу' — 2у = х3у~2. 4. Решить уравнение: — Х + dy = 0. у У 5. Автомобиль движется прямолинейно со скоростью 30 м/с. За какое время и на каком расстоянии он будет остановлен тормозами, если со- противление движению после начала торможения равно 0,3 его веса (д = = 10 м/с2)? Вариант 3 1. Решить дифференциальные уравнения: a) ydx 4- ctgxdy = 0, у = “2; б) у'2х~у 4- 32х~у = 0. 2. Решить уравнение: ydx = (х — y/ху) dy. 3. Решить уравнение: у1 — = ех(х 4-1). . „ / 1 Зу2 \ , 2у , 4. Решить уравнение: 4---т- ] dx = — dy. \х2 х4 / хл 5. Тело массы т падает вертикально вниз под действием силы тяжести и тормозящей силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности к). Найти закон изменения скоро- сти v падения тела, если в момент времени t = v = vq = 0. Вариант 4 1. Решить дифференциальные уравнения: а) (1 4- у2) dx — у/х dy = 0; б) у1 4- у cos х = cos х, 2/(0) = 2. 81
2. Решить уравнение: Зя2?/' = у2 + 8ху + 4я2. 3. Решить уравнение: ху1 + у = ху2. 4. Решить уравнение: (sin 2х — 2 cos(# + у)) dx — 2 cos(# + у) dy = 0. 5. Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произ- ведению скорости движения v на время t. Установить зависимость между скоростью и временем, если при t = 0 v = vq. Вариант 5 1. Решить дифференциальные уравнения: а) у' + У + 7 = 0; б) (y/ху + у/х) dy = у dx, у(0) = 1. ху1 — у у 2. Решить уравнение: —— = ctg . 3. Решить уравнение: ху1 — х2 sin х = у. 4. Решить уравнение: (5rrj/2 — х3) dx + (5x2g/ — y)dy = 0. 5. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 минут понижает- ся от 100° до 60°. Температура воздуха 20°. Через сколько времени от начала охлаждения температура хлеба будет 30°? (Указание: скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и среды.) §6 . ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности Уравнение F(x,y,y',y”) = 0, (6.1) связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию у(х), а также ее первые две производные у' (х) и у"(х), называется дифферен- циальным уравнением второго порядка. Если уравнение (6.1) можно записать в виде у” = f(x,y,y'), (6.2) то говорят, что оно разрешено относительно второй производной. Мы будем иметь дело только с такими уравнениями. Задача отыскания решения уравнения (6.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям у(хо) = уо, у'(хо) = у'^, где xq, уо, у'о — некоторые числа, называется задачей Коши. & 82
Решением уравнения (6.2) называется всякая функция у = <р(х\ которая при подстановке вместе с у' и у” в это уравнение обращает его в тождество. График функции у = <р(х) в этом случае называется интегральной кривой. Общим решением уравнения (6.2) называется функция у = y>(a?,Ci, Сг), зависящая от двух произвольных постоянных Ci и С2 и такая, что: 1) она является решением этого уравнения при любых конкретных значе- ниях (71 и С2; 2) при любых допустимых начальных условиях УМ = yQ, у(хо) = y'Q (6.3) можно подобрать такие значения (7? и (7° постоянных, что функция у = <р(Х) (7?, С2) будет удовлетворять этим начальным условиям. Любая функция у = (р(х, (7°, С§), получающаяся из общего решения урав- нения (6.2) при конкретных значениях постоянных (71 и С2, называется част- ным решением этого уравнения. Для дифференциального уравнения второго порядка (6.2) имеет место тео- рема существования и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме для уравнений первого порядка. Теорема 2.2. Если функция f(x,y,y') и ее частные производные fy(x,y,yr) и ?у,(х,у,у') непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами (^о, 2/о, 2/о)» т0 существует и притом единственное решение у = у(х) уравнения (6.2), удовлетворяющее начальным условиям у(хо) = уо, у'(хо) = Уо- Общий интеграл Ф(я,?/,(7i,С2) = 0 или общее решение у = <^(ж,(7i,С2) уравнения (6.2) представляет собой семейство кривых, зависящих от двух про- извольных постоянных (71 и С2. Задача Коши в таком случае состоит в опреде- лении интегральной кривой у = у(х), проходящей через данную точку (яо, Уо) и имеющей данный угловой коэффициент yfQ касательной t (данное направление в данной точке (рис. 8)), т.е. у'(хо) = у'о = tga. 83
Понижение порядка дифференциальных уравнений В некоторых частных случаях удается понизить порядок дифференциаль- ного уравнения второго порядка. Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению пер- вого порядка одного из изученных ранее типов. Рассмотрим наиболее типичные случаи. Уравнения вида у" = /(х) Интегрированием обеих частей уравнения у" = f(x) оно приводится к урав- нению первого порядка У = J f(x) dx = F(x) + Повторно интегрируя полученное равенство, находим общее решение исходного уравнения: у = j (F(x) + Ci)dx + С2- Дифференциальные уравнения F(xiy,iy,t) = 0, явно не содержащие искомой функции у Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой у' = р, у” = = р'. Другими словами, данное уравнение равносильно системе дифференци- альных уравнений первого порядка у' = Р, F(x,p,p') = 0. Дифференциальные уравнения F(y^y^yn) = 0У явно не содержащие независимой переменной х Уравнения такого вида допускают понижение порядка подстановкой у' = = р = р(у) (формальное отсутствие аргумента х позволяет считать неизвест- ную функцию р функцией аргумента р), откуда: у” = (р(у)У = р'(у) • у'(х) = = р' • р. Таким образом, уравнение F(p,p,,p") = 0 равносильно системе у' = Р, F(y,p,p-p1') = 0. Если функция F является однородной функцией степени к относительно переменных р, у' и р", т.е. F(x,ty,ty',ty") = tk • F(x,y,yf ,у”У то дифференци- альное уравнение F(x,y,yr,у") = 0 допускает понижение порядка подстанов- кой У _ efp(x)dx^ где р(х) — новая неизвестная функция. 84
Интегрирование дифференциальных уравнений порядка выше второго Приемы, описанные в предыдущем пункте, можно распространить на урав- нения более высоких порядков. Общее решение простейшего дифференциального уравнения n-го порядка ^(п) _ Дд.) находится n-кратным интегрированием функции f(x) и содержит п произвольных постоянных. Дифференциальное уравнение вида F(x, у^к\ у^к+1\ . •., у^) = 0, не содер- жащее в явном виде искомой функции у, допускает понижение порядка под- становкой у^ = р. Другими словами, данное уравнение равносильно системе 1у —р, (FCr,p,p',...,p(n-fc)) =0. Дифференциальное уравнение вида F(p, р', р",..., р^п^) = 0, не содержа- щее явно аргумент я, допускает понижение порядка на единицу подстановкой у' = р = р(р). При этом (по правилу дифференцирования сложной функции): dp dp dy , = — = — • — = р • р dx dy dx У у" = н71^р'р^'^ = ^"p + (p)2)*’ dy dx и т. д. 2.6.1. Найти общее решение дифференциального уравнения р" = ——- + х — sin х. 1 + яг Q Интегрируя, получим у1 = [ ( ——т + х - sin а? ) dx = arctgx + + cos# + Сд. J \ 1 + xz J * Повторное интегрирование (J axctgxdx надо брать по частям: arctg# = = и, du = —v = х, dx = dv) приводит к ответу: 1 +xz У = J ^arctg х + + cos х + Сд^ dx = = zarctgz + | ln(l + я2) + ^- + sin# + C±x + C2. • о Найти общие решения данных дифференциальных уравнений: 2.6.2. р" = sin 4# + 2х — 3. 2.6.3. р" = е5х + cosх - 2я3. 2.6.4. р" = хех* + 3~х. 2.6.5. р" = 4cos4 х + 2 sin2 + у/х + 2. 85
2.6.6. Найти частное решение данного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющее заданным начальным условиям: у” = (е2х + зшЗя)я, ?/(0) = 1, 2/'(0) = 1. Q Сначала находим общее решение. Интегрируя по частям, находим у1 = J (е2х + зтЗя)яб?я = х = и, du = dx (е2х + sin Зя) dx = dv, v = ±e2x — | cos Зя — x (±e2x — | cos3x\ - ±e2x + i sinЗя + Ci. (6.4) Повторное интегрирование по частям (проделайте нужные вычисления) приводит к общему решению: у = х (%е2х - ± sin Зя) - ~е2х — cos Зя + С1Я + Сг- (6.5) В равенствах (6.4) и (6.5) подставим я = 0, у’ = 1, у = 1, откуда получаем систему уравнений относительно неизвестных констант С\ и С^'. /1 = -1 + с,, Гс, = |, ' 1 = -1--2- + С |С =ИЗ I1 4 27 + °2’ 108' Найденные значения постоянных подставляем в общее решение (6.5). По- лучаем искомое частное решение (1 „2х 1 ОлЛ 1 „2х 2 о— । 5_ । 143 а g sin Зяj ^е cos Зя -I- ^я Ч- ® Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовле- творяющие заданным начальным условиям: 2.6.7. у” = (я2 + 7я + 9)еж, 2/(0) = 1, у'(0) = 4. 2.6.8. у” — 2(2я2 + 2я - 5) соз2я - 4(2я + 1) зш2я, у = 0, у'(0) = 0. 2.6.9. у" = + 2 cos я — я sin я, 2/(1) = 1, 2/'(1) = 0. 2.6.10. у” = (4я3 + 10я2 + 2я + 2)е2:Е + 6 sin Зя + 9ясозЗя, 2/(0) = 1, 2/(0)' = 1. 2.6.11. Решить дифференциальное уравнение у” — у' ctgx = 2язшя. Найти также частное решение, если у = 1, у' = 0 при я = ^. Q Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию у, т. е. имеет вид F(x, у1, у") = 0. Положим у1 = р, тогда у" = р'. Получаем дифференциальное уравнение первого порядка р' — р ctg я = 2я sin я — линейное относительно неизвестной функции р = р(х). Общее решение этого уравнения найдем подстановкой р = и • v, р' = u’v + uv1. Получаем: u'v + uv1 — uv ctg я = 2я sin я О v' — г;^я = 0, u'v = 2язшя. 86
Из первого уравнения находим In |v| = In | sin z|, т. е. v = sin х. Подставляя во второе уравнение, получим и' = 2я, откуда и = x2+Ci. Следовательно, р = uv = (х2 +С1) sin х, т. е. у1 = (х2 + Ci) sin х. Интегрируя это равенство, найдем общее решение исходного уравнения у = — (х2 + Ci) cos х + 2# sin я + 2 cos х + С2. Подставляя в два последних равенства начальные условия х = , у = 1, у' = 0, получаем и 1- (я2 Vz . 7Г V^_|_9 л. С °“1<16+С17^_ и 1 “ 16 + C1) Т + 2 ~2~ + 2 Т" + °2' Найденные значения Ci = — 77г и С2 — 1--т- (5 + 2) подставляем в 1о 2 \ 2 ) общее решение. Отсюда искомое частное решение уч = 2a:sinT + 1 — д^у/2 — (х2 — — 2 J cost. • Следующие дифференциальные уравнения решить подстановкой у' = р: 2.6.12. 2.6.14. 2.6.16. 2.6.18. 2.6.20. 2.6.21. = 0. 2.6.13. 2.6.15. 2.6.17. 2.6.19. {х + 1)у" = у' - 1. у" + у' tg т — sin 2х — 0. ху'Чпх = у'. ху" + у' + х = 0. У" ~ %у' = 2х3. х3у" + х2уг -1 = 0. ху” ~У' — х2ех. y"tgx -у' -1 = 0. (1 + х2)у" + 2хуг - х3 Найти общее решение дифференциального уравнения у" tgy = = 2(у1)2. Найти также частное решение, удовлетворяющее на- чальным условиям 2/(1) = 3/(1) = —2. Q Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде ар- гумента х, т.е. имеет вид F(y,y',y") = 0. Примем в качестве независимой переменной у и выполним замену у' = р = р(у). Тогда у” = р • р', а ис- ходное уравнение принимает вид: р • р’ tg 2/ = 2р2. Если р = 0, то у1 = 0, т. е. у = С. После сокращения на р 0 решим дифференциальное урав- нение первого порядка р' tg у = 2р. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его стандартным образом: Р sin у т.е. In |р| = 2In | sin2/| + In |Ci|, Ci 0, откуда p = Cisin22/ (заметим, что найденное ранее решение р = 0 содержится в полученном выраже- нии — достаточно положить Ci =0). Заменим р на у1 и решим урав- нение у' = Ci sin2 у, которое также является уравнением с разделяющи- dv мися переменными: —— = Ci dx, или — ctg2/ = Cix + 62- Получили sin2 у общее решение исходного уравнения в неявном виде. Подставим в него 87
и в выражение для у1 значения ж = 1, у = и у' = —2. Из равенства —2 = Ci sin2 находим Ci = —4, а из равенства — ctg = Ci + С2, учи- тывая, что Ci = —4, находим С% = 3. Подставляя полученные значения констант в общее решение, которое запишем в виде у = arcctg(—Cix—62), находим требуемое частное решение уч = arcctg(4# — 3). • 2.6.22. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 +2/2/V = (1 + (2/')2У, удовлетворяющее начальным условиям 2/(0) = $/'(0) = 1. Q Подстановка у' = р = р(у) и у" = р р' приводит данное уравне- ние к виду (1 + ру)р - р' = (1 + р2)р, откуда р = 0, т. е. у = С, или 1 + р2 р' = . Полученное дифференциальное уравнение не относится к уравнениям первого порядка известного нам типа. Перепишем его в виде 1 _|_ ру 1 у' = ---учитывая, что р' = —. Получим линейное (относительно у 1 + р2 У и у') дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно ре- шить подстановкой у = uv. Его общее решение имеет вид (найдите его самостоятельно) у = л/1+р2( Р „ + С1 ) . xyi + p2 / Теперь остается решить дифференциальное уравнение первого порядка s = (-7== + с, \у1 + (у')2 не разрешенное относительно производной у1. Но в общем виде решить его достаточно хлопотно. Однако, так как нам нужно найти частное ре- шение исходного уравнения, то воспользуемся начальными условиями для определения постоянной Ci, полагая в последнем равенстве у = 1 и у' = 1. Приходим к равенству \л/2 / из которого Ci = 0. Тем самым, нам достаточно решить уравнение у = у1, откуда у = Сех. Полагая здесь х = 0, у = 1, находим С = 1. Таким образом уч = ех — искомое частное решение. • Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений, а там, где указаны начальные условия, найти соответствующее частное реше- ние: 2.6.23. у"у3 = 1. 2.6.24. уу" - О/')2 -1=0. 2.6.25. 1 + (j/')2 - W' = 0. 2.6.26. 2yy" - 3(j/')2 = 4y2. 2.6.27. у" = 2/'(1 + (у')2)- 2.6.28. у" = у’ In у’, у(0) = 0, j/'(0) = 1. 88
2.6.29. у" + у'у/(у')2 - 1 = 0, 2/(тг) = О, у'(тг) = -1. 2.6.30. Зу'у" = 2у, у(0) = у'(0) = 1. 2.6.31. у" = 2у3, у(0) = 0, у'(0) = 1. 2.6.32. Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго по- рядка ху'(уу" - (у')2) = у(у')2 + х4у3. Q Перепишем уравнение в виде ху'(уу" - (у')2) - у(у')2 - Х4У3 = О, после чего обозначим через F(x,y,y' ,у") левую часть полученного равен- ства. Если заменить 2/, у', у" на ty, ty', ty", соответственно, то приходим к равенству = t3[xy'(yy" - (у1)2) - у(у')2 - xr4y3] = t3F(x,y,y',y"). Это означает, что функция F — однородная (третьей степени, к = 3) и в таком случае соответствующее уравнение допускает понижение порядка подстановкой у = eJpdx, где р = р(х) — неизвестная функция от х. Отсюда у1 = peJpdx, у" = (pl +p2)eJpdx. После соответствующих замен и сокращения на e3fpdx 0 приходим к дифференциальному уравнению первого порядка относительно р I . „4 „„„ Л Р . X3 ХР\Р + Р — Р ) = Р +х , или р = - + — (при этом мы теряем решение у = 0, которое потом надо добавить к отве- ту). Получили уравнение Бернулли, которое можно решить (предлагаем сделать это самостоятельно) подстановкой р = uv. Его общее решение имеет вид /------ р = хух2 + Ci. Поскольку у = eJpdx, то находим сначала Jpdx = Jх\/х2 -I- Ci dx = |\/(я2 + Ci)3 + С2, а затем и общее решение исходного дифференциального уравнения (за вычетом частного решения у = 0) имеет вид J/ = elv'(l2+C1)3+c'2, или у = С3 elv/(l2+C1)3, С3 > 0. Учитывая, что при Сз = 0 как раз получается потерянное частное решение у = 0, приходим к окончательному ответу: у = Сз • ез‘\А:с2+с'2)3? С3 0. • Решить дифференциальные уравнения: 2.6.33. х2уу" = (у- ху’)2. 2.6.34. 2уу" - 3(2/')2 = 4з/2. 2.6.35. Найти частное решение дифференциального уравнения третье- го порядка у'" — 16 cos3 2х + ех — 1, удовлетворяющее началь- ным условиям ?/(0) = — 1, 2/'(0) = ", y"(fi) = 3. 89
Q Это простейшее дифференциальное уравнение решается трехкрат- ным интегрированием правой части. Сначала понизим степень косинуса: 16 cos3 2х = 8(1 + cos 4ж) cos 2х = 8 cos 2х + 4 • (2 cos 4х cos 2х) = = 8 cos 2х + 4 • (cos 2х + cos 6х) = 12 cos 2х + 4 cos 6х. После первого интегрирования получаем у" = 6 sin 2х + | sin 6х + ех — х + Ci, (6.6) о после второго у' = -3cos2z - cos6z + ех - + Cix + С2, (6.7) а после третьего — общее решение у = sin2£ - sin6# + е® - ^- + Ci~y + С2х + С3. (6.8) Подставляя в (6.6)-(6.8) значения х = 0, у = — 1, у' = — у” = 3, получим соответственно: 3 = 1 + Ci, — i = — 3 — + 1 + С2, —1 = 1 + <73, У У откуда Ci =2, С2 = 2, <73 = —2. Подставляя эти значения в выражение для у, получаем требуемое частное решение уч = - sin 2х — ^7 sin6x + ех - + х2 + 2х - 2. • 2 54 о Замечание. Произведения произвольных постоянных на конкретные числа также можно считать произвольными постоянными. Например, ______________________ 0 д.2 в (6.8) можно писать Ci#2 вместо ——. Решить следующие дифференциальные уравнения высших порядков, а там, где имеются начальные условия, найти соответствующие част- ные решения: 2.6.36. /v = cos2x. 2.6.37. у^=еЬх. 2.6.38. у'" = 6х2. 2.6.39. у1" = 4 cos3 х - х. 2.6.40. у'" = cos х cos 2х cos 5х. 2.6.41. у"’ = х2 + Зх - 1, 2/(0) = 1,2/'(0) = 2, j/"(0) = 3. 2.6.42. yv = sin 2/(0) = 2/'(0) = 1, 2/"(0) = 8, 2/"'(0) = 6, yIV(0) = -2. 2.6.43. у'" = !/(0) = 0, 2/(0) = 2, 2/"(0) = -|. 2.6.44. Решить дифференциальное уравнение четвертого порядка 22//v = 3 Q Это уравнение имеет вид F(x, у"', yIV) = 0, поэтому его порядок мож- но снизить на три единицы при помощи замены ут = р, yIV = р'. При- ходим к уравнению 2р' = 3 %/р. Рассмотрим два случая: 1) если р = 0, 90
т е> у,п = 0 то у = Стх2 4- С2Х + С*з — не общее решение; 2) если р 0 О, то = dx. Отсюда получаем рз = х 4- Ст, или у"' = ±(я 4- Ci)3/2. 3 ур Последовательные интегрирования дают у" = ±|(х + С'1)2+С'2) о у' = + (71)2 4- С2Х 4- (7з, У = ±^х + С1)1+С2х2 + С3х + С4. Таким образом, общее решение имеет вид у = + + С2х2 + С3х + С4, uld к которому присоединим полученное ранее не общее решение у = С±х2 4- 4- С2Х 4- (7з. ® Решить данные дифференциальные уравнения высших порядков: х4у'" + 2zV = 1. у"' 4- у” tg х = sin 2х. yIV - 2(у"' - 1) ctgx = 0. 2.6.45. 2.6.47. 2.6.49. 2.6.51. (1 4- х2)ут 4- 2ху" = х3. 2.6.46. x4yIV + 2х3у'" = 1. 2.6.48. ху'" - у” = х2ех. 2.6.50. Найти частное решение дифференциального уравнения in „н । 2 о л ху ~ У + х — 2 = 0, удовлетворяющее начальным условиям р(1) = 2, ?/'(1) = “, 2/"(1) = -3. Q Данное уравнение имеет вид F(x, ?/", у'") = 0, т. е. не содержит явно у и у'. Поэтому положим у" = р, у'" = р'. Получаем линейное относительно неизвестной функции р = р(х) уравнение р'_Р = 1 Р X X — х. Его общее решение имеет вид (проверьте!) р = х (Ст — х — Нам оста- ется решить простейшее дифференциальное уравнение у" = С\х — х2 — 2. Подставив из начальных условий х = 1, у" = —3, находим Ст = 0. Инте- з грируя получающееся равенство у" = —х2 — 2, имеем у' = — 2х 4- С*2- о Снова подставляя начальные условия х = 1, у' = — находим С2 = 2. о 3 4 Значит, у' = — — 2х 4- 2. Отсюда у = — — х2 4- 2х 4- (7з. Наконец, 1 13 учитывая, что р(1) = 2, т. е. 2 = -тк -14-24- (7з, получим (7з = тк, и, 1.Л L/i т4 9 13 — следовательно, уч = - - х2 4- 2х 4- ® 2.6.52. Решить дифференциальное уравнение у"(1 4- 2In?/') = 1. 91
Q В этом уравнении явно отсутствуют и аргумент ж, и искомая функ- ция. Поэтому его можно отнести и к типу F(y, у', у”) = 0, а, значит, можно положить у' = р = р(у), у” = р р', и к типу F(x,y',y") = 0, а, значит, можно положить у1 = р = р(х), у" = р1. 1) В первом случае приходим к уравнению рр'(1 + 21np) = 1. Здесь , dp . р = —, а уравнение после разделения переменных может быть записано dy в виде р(1 + 21np) dp = dy. Отсюда Jр(1 + 21np) dp = f dy, т.е. (после интегрирования по частям) р21пр = у + C*i, или (у’)2 \пу’ = у + С\. По- лучили уравнение, не разрешенное относительно у’ (и не разрешенное относительно у1). Его проинтегрировать нельзя. 2) Во втором случае приходим к уравнению р'(1 + 21np) = 1. Здесь di) р' = —, а уравнение может быть записано в виде dp(l+2 lnp) = dx. Отсю- да y\l + 21np) dp = j dx, t. e. 2plnp-p = я + С*2, или 2y' In у' - у' = x + C2. Это уравнение также нельзя проинтегрировать. 3) Результаты предыдущих действий можно объединить и получить параметрическую форму общего решения исходного уравнения. Поло- жим у1 = t. Тогда у + Ci = t2 In t, х + С2 = In t — t — общее решение данного уравнения в параметрической форме. Решить дифференциальные уравнения: 2.6.53. (z/")2 + (2/'")2 = 1- 2.6.54. у'у"' = Цу")2. 2.6.55. ху"' + у" = х + 1. 2.6.56. \у")2 - 2у,уп + 3 = 0. 2.6.57. (у")2-у'Г= 2.6.58. у'" = Зуу', у(0) = j/'(0) = 1, j/"(0) = 2.6.59. у" + 2у" In у' = 1, з/(0) = 1,3/' (0) = -1. 2.6.60. у"'у2 - Зуу'у" + 2(з/')3 + %(уу" - (у1)2) = 4- X 92
Дополнительные задания Решить дифференциальные уравнения: 2.6.61. (1 + Х2)У" + (j/')2 + 1 = 0. 2.6.62. 2.6.63. 2.6.64. ху" = у'In у-. ху'" 4- у" = 1 4- х. (1 4- х2)у" - 2ху' = 0, 2/(0) = 0, у'(0) = 3. 2.6.65. 2/"(1 + 1пя) + ^- = 2 + Inz, у(1) = j/'(l) = 1. 2.6.66. 2/" = ^l+ln^,2/(l) = l у'(1) = 1. 2.6.67. 2.6.68. 2.6.69. 2.6.70. 2.6.71. 2.6.72. 2.6.73. уу" + (у')2 - (у')3 In у = 0. у'" = (у")3. (ж 4- 1)у" - (ж 4- 2)у' 4- х 4- 2 = 0. Зу'у" = у + (у')3 + 1, у(0) = -2,2/'(0) = 0. У2 + (у')2 ~ 2УУ" = 0, у(0) = у'(0) = 1. 2уу" - 3(i/')2 = 4t/2, 2/(0) = 1, у'(О') = 0. у' = х(у")2 4- (у")2. Контрольные вопросы и более сложные задания 2.6.74. Почему общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит ровно две постоянные? Какую роль играют они в структуре общего решения? 2.6.75. Могут ли через точку (яо,?/о) плоскости Оху проходить пять различных частных решений дифференциального уравнения третьего порядка? второго порядка? Решить дифференциальные уравнения: 2.6.76. 2.6;77. 2.6.78. 2.6.79. 2.6.80. 2.6.81. 2.6.82. у'"(1 + (у')2)-3у'(у")2=о. 2уу" + (у")2 + (У')4 = 0. уу" + (у')2 = у2 Ьу. уу" = (у')2 + у'\/у2 + (у')2- 1 + (у')2 = 2уу", у(1) = у'(1) = 1- у' = ху" + у" - (у")2. 2.6.83. х(у')2у" = (у')2 +1^4- О 2.6.84. V1 - Х2у" 4- у/1 - (у1)2 = 0. 93
§7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА Предварительные сведения Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида у” + р(х)у' + q(x)y = f(x), (7.1) где функции р(х), q(x) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [а, Ь]. При этих условиях существует единственное решение уравнения (7.1), удо- влетворяющее заданным начальным условиям: у(хо) = ?/о, у'(хо) = Уо при хо Е [а, 6]. Функция f(x) называется правой частью уравнения (7.1), а соответству- ющее уравнение называется также линейным дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью. При f(x) = 0 приходим к линейному одно- родному дифференциальному уравнению второго порядка (или уравнению без правой части) у" -I- р(х)у' + q(x)y = 0. (7.2) Линейно независимые функции Функции yi(x) и у2(х) называются линейно независимыми на отрезке [а, Ь], если тождество С1У1(х) + С2у2(х) = 0, хе [а,Ь], (7.3) имеет место тогда и только тогда, когда Ci = С2 = 0. Если же существуют такие числа Ci и С2, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для всех х е [а,Ь] имеет место тождество (7.3), то функции yi(x) и у2(х) называются линейно зависимыми на отрезке [а, 6]. Данные определения равносильны следующим: функции т/i(х) и у2(х) называются линейно независимыми (зависимыми) на отрезке [а,Ь], если У1(х) (yi(x) _ \ —— const I —— = const J , х е [а, о\. У2\Х) \У2(Х) ) О линейной зависимости или независимости функций yi(x) и у2(х) можно судить по определителю W[yi,y2] = У1(х) У1(х) У2(х) У2(х) который называется определителем Вронского (или просто вронскианом). Теорема 2.3. Если yi(x) и у2(х) линейно зависимы на отрезке [а,Ь], то W[yi,y2] = 0 для всех х из [а, Ь]. 94
Теорема 2.4. Если yi(x) и у2(х) линейно независимые на отрезке [а,Ь] ре- шения дифференциального уравнения (7.2), то определитель Вронского этих функций отличен от нуля во всех точках отрезка [а, Ь]. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения Теорема 2.5. Общее решение уоо линейного однородного дифференциально- го уравнения (7.2) имеет вид Уоо = С1У1(х) -I- С2У2(х), где yi(х), у2(х) — линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом, для того, чтобы получить общее решение однородного уравнения (7.2), достаточно найти любые два линейно независимых частных решения этого уравнения (в этом случае говорят, что они образуют фундамен- тальную систему решений уравнения (7.2)). В некоторых случаях удается тем или иным способом найти только одно частное решение yi(x). Тогда другое частное решение У2(х) можно найти по формуле х — fp(x)dx dx, уг(х) = 2/1(х) • / -57— • ехр где хо G [а,Ь]. Оба решения yi(x) и у2(х) при этом линейно независимы. Теорема 2.6. Общее решение уоп линейного неоднородного дифференциаль- ного уравнения (7.1) представляется в виде суммы Уон — Уоо “1" З/ч, где уоо — общее решение соответствующего однородного уравнения (7.2), а 2/ч — некоторое частное решение неоднородного уравнения (7.1). Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами у" + РУ + qy = Q. (7.4) Квадратное уравнение fc2+pfc + g = 0 (7.5) называется характеристическим уравнением для уравнения (7.4). 95
Для составления общего решения уоо дифференциального уравнения (7.4) необходимо найти корни ki и &2 соответствующего характеристического урав- нения (7.5) и применить следующую теорему: Теорема 2.7. Пусть fci и — корни характеристического уравнения для уравнения (7.4). Тогда общее решение уравнения (7.4) находится по одной из следующих трех формул: 1) Если ki и &2 — действительные и ki / к2, то yoo = CieklX+C2ek2X-, 2) если ki = к2, то Уоо = ек1Х(С1+С2хУ, 3) если &i,2 = а ±/Зг — комплексно-сопряженные корни, то Уоо = eax(Ci cos/Зх -I- Сг sin/Зя). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами Поскольку общее решение уоо линейного однородного уравнения (7.4) лег- ко находится по теореме 2.7, то в силу теоремы 2.6 для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения у" +ру' + qy = f(x) (7.6) остается найти какое-нибудь одно его частное решение уч. В тех случаях, когда правая часть f(x) имеет специальный вид, частное решение уч неоднородно- го уравнения находится методом неопределенных коэффициентов. Этот метод называется также методом подбора частного решения неоднородного уравне- ния и сводится к следующим двум случаям. Случай 1. /(я) = eaa:Pn(#), где Рп(х) — многочлен степени п. а) Если а не является корнем уравнения (7.5), то частное решение уч мож- но искать в виде Уч = eaxQn(x), где Qn(x) — многочлен степени п с неизвестными коэффициентами. б) Если а — корень уравнения (7.5) кратности к, то частное решение у^ можно искать в виде Ун = xkeaxQn(x). В частности, если /(я) = Рп(х), т. е. а = 0, то у^ имеется в виде у^ = Qn(x) (если а = 0 не является корнем характеристического уравнения) или в ви- де уч = хк • Qn(x) (если а = 0 — корень кратности к характеристического уравнения). 96
Случай 2. f(x) = еах[Рп(х) cos/Зх A Qm(x) sin/Зх], где Рп(х) и Qm(x) — многочлены степени п и т, соответственно. Положим N = max(n, т). а) Если а ± /3i не являются корнями уравнения (7.5), то • уч = еах[Ри(х) cos/Зх A Qn(x) sin/Зх]. б) Если а± /3i — корни уравнения (7.5) кратности к, то уч = xkeax[PN(x)cos/3x + QN(x)sin/3x]. В частности, если f(x) = a cos fix + 5 sin/fa, т. e. a = m = n = 0, то частное решение ищется в виде уч = A cos /Зх А В sin /Зх (если числа ±/3i не являются корнями характеристического уравнения) или в виде уч = (A cos fix А В sin /Зх)-х (если числа A/3i — корни характеристического уравнения). Теорема 2.8. Если уЧ1 и уЧ2 — частные решения соответственно уравнений у” Ару A qy = /i(u) и у” Ару A qy = /2(я), то функция ?/ч = т/ч1 + ?/ч2 — частное решение уравнения у” Ару A qy = /i(z) + f2(x). Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения неоднородного уравнения В общем случае, в том числе тогда, когда правая часть ЛНДУ имеет вид, не предусмотренный предыдущим пунктом, для отыскания частного решения используют метод вариации (т. е. изменения) произвольных постоянных (или метод Лагранжа). Суть его в следующем. Пусть yi(x) и у2(х) — фундамен- тальная система решений однородного уравнения (7.4). Тогда частное решение можно представить в виде У = Ci(x)yi АС2(х)у2, где функции Ci (х) и С2 находятся из системы дифференциальных уравнений fCij/i + С2у2 = 0, АС2У2 = f(x). Разумеется, метод вариации произвольных постоянных можно применять и в случае, когда правая часть ЛНДУ имеет вид, рассмотренный в предыдущем пункте. 4 Сборник задач по высшей математике. 2 курс 97
Уравнение Эйлера Дифференциальное уравнение второго порядка вида х2у" + рху +qy = О называется уравнением Эйлера. Подстановкой у = е* оно сводится к ЛОДУ с постоянными коэффициен- тами. Обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка (ах 4- b)2y 4- р(ах 4- b)y' 4- qy = О приводится к ЛОДУ с постоянными коэффициентами подстановкой ах+b = е*. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка п 2 у{п) 4- ai7/(n-1) 4- а2у(п~2) 4-... 4- an-iy' 4- апу = f(x) решаются аналогично уравнениям второго порядка, опираясь на соответству- ющие определения и теоремы. В частности: 1. Система функций yi = yi(x), у2 = У2(х), ..., уп = Уп(х) называется линейно зависимой на отрезке [а,Ь], если существуют постоянные Ci, С2г ..., Сп, не все равные нулю такие, что имеет место тождество Ciyi 4- С2у2 4-... 4- СпУп =0, х € [а, Ь]. Если же это тождество имеет место только при Ci = С2 = ... = Сп = 0, то данные функции линейно независимы на отрезке [а,Ь]. Вронскиан системы функций j/i, у2, ..., уп имеет вид yi У1 У2 У2 Уп Уп Ж(х) = W[yi,y2,---,yn] = (п-1) У1 У2 (п— 1) Уп ' 2. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному диффе- ренциальному уравнению n-го порядка ?/(n) 4- ai7/(n-1) -I-... -F an-iy -I- апу = 0, (7.7) имеет вид к + aik ... -|- an-ik 4- ап = 0. (7*8) 98
Теоремы 2.3-2.6, сформулированные для уравнений второго порядка, также имеют место и при любом п > 2. 3. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейно- го дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффици- ентами у'” + РУ" + qy' +гу = /(х) (7.9) состоит в следующем: общее решение уравнения (7.9) имеет вид у = С1(х)у! -|- С2(х)у2 4- Сз(х)уз, где i/i, 2/2, уз — фундаментальная система решений однородного уравнения У +ру +qy +гу = а функции С1(ж), Съ^х), Сз(х) — находятся из системы дифференциальных уравнений первого порядка {С1У1 4- С2У2 4- С'зуз = О, С1У1 4- С2У2 4- С'зУз = О, С1У1 С2У2 + С3У3 = f(x). 2.7.1. Установить линейную зависимость или независимость данных пар функций на областях их определения. а) ж, cos X] б) х, 2х; в) tgx, ctg х. Q а) Функции yi(x) = х и у2(х) = cosх определены на всей прямой, т.е. при х Е (—оо, +оо). Тождество С±х 4- С2 cos х = 0 имеет место только при Ci = С2 = 0. В самом деле, если предположить противное, т.е. что это тождество имеет место, например, при С2 / 0, то после его дифференци- рования получим новое тождество — С2 sinrr = О, откуда sin х = <>2 х е (—оо,+оо), что неверно. Если же предположить, что С2 = 0, то получим С\Х = 0, что также невозможно при С± 0 0. Таким образом, тождество С\х 4- C^cosx = 0 имеет место только при С\ = С2 = 0, и, стало быть, функции х и cos х линейно независимы на действительной прямой. Заметим, что const и со^ж const, т.е. функции х и cosх Удовлетворяют и другому определению линейной независимости. б) Имеем = 2 при х 0 0 (тождество можно доопределить по не- прерывности и при х = 0), поэтому функции yi = 2х и у2 = х — линейно зависимы. в) Ввиду периодичности функций у± = tgx и У2 = ctg х с периодом Т = тг достаточно установить их линейную независимость в интервале х е (0,тг) (* 0 ?)• Имеем = tg2 х £ const х € (0,тг), \ 2 / У2 Ctg X COS х 99
х / Таким образом, функции tg# и ctgz линейно независимы в обла- сти их определения (х 0 п • п Е z). * Установить, какие из следующих пар функций линейно независимы, q какие — линейно зависимы: 2.7.2. arcsinx и arccosx. 2.7.3. sin x, sin2x. 2.7.4. ех, е®2. 2.7.5. 1, X. 2.7.6. • • 2 sin х, sin X. 2.7.7. sinxcosx, sin2x. 2.7.8. 1 - cos2x, sin2 x. 2.7.9. 1 4- cos2x, cos2 x. 2.7.10. Даны функции у\ = ех, у2 = е~2х. Составить однородное диф- ференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко- эффициентами, общее решение которого имеет вид уоо = Ciex + С2е~2х. Q Заметим сначала, что данные функции линейно независимы на всей прямой, так как = е3х const. Пусть у = С\ех 4- — i/2 С~^х общее решение некоторого ЛОДУ второго порядка. Тогда у' = Схех -2С2е~2х, у" = С±ех +4С2е~2х. Разрешим эту систему относительно постоянных Ci и С2. Вычитая первое уравнение из второго, получаем ЪС2е~2х = у" — у'. Отсюда С'2 = |(!/"-№. Теперь первое уравнение, домноженное на 2, прибавим ко второму: 2у'+ у" = 3Ciex. Отсюда Ci = ^(2уг 4- у”)е~х. Полученные выражения для С± и С2 под- ставим в выражение для у: y = h2yf + y") + ky"-y'), о и т. е. у" 4- у1 - 2у = 0. В итоге мы получили дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции yi — ех, у2 = е~2х. Поскольку решения yi = ех и у2 = е~2х этого уравнения линейно независимы, то в силу теоремы 2.5 функция уоо = С\ех 4- С2е~2х — дей- ствительно его общее решение. Отсюда следует, что это и есть искомое дифференциальное уравнение. • юо
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, для которого данные функ- ции составляют фундаментальную систему решений, предварительно проверив, что данные функции линейно независимы: 2.7.11. sinx, cos а?. 2.7.12. е~х, ех. 2.7.13. 1, х. 2.7.14. хех, ех. 2.7.15. е2х, ех. 2.7.16. е2х, хе2х. 2.7.17. sin2x, cos2x. 2.7.18. Найти общее решение уравнения 2у” — Зу' + у = 0. Q Составим характеристическое уравнение: 2k1 2 — 3fc + 1 = 0. По его корням fci = 1 и А?2 = составим общее решение данного однородного уравнения, согласно теореме 2.8: у00 = + С2е^х. • Найти общие решения уравнений: 2.7.19. у" - Зу' + бу = 0. 2.7.20. 2у" + бу' - 7у = 0. 2.7.21. у" + 4?/' - Зу = 0. 2.7.22. Зу" + у' -2у = 0. 2.7.23. у" + 25?/' = 0. 2.7.24. 4?/" - 9?/' = 0. 2.7.25. Найти общее решение уравнения 4?/" + 4?/' + у = 0. Q Характеристическое уравнение 4fc2 + 4fc +1 = 0 имеет два одинаковых корня fci = k2 = — 1. В таком случае (см. теорему 2.8) & 1 1 Уоо=С1е 2® +С2а:е 2®, или Уоо = (С*! + С2Я)е 2®. Найти общие решения уравнений: 2.7.26. у" — бу'4-9у = 0. 2.7.27. у" - 4у'4-4у = 0. 2.7.28. 4у" — 12у'4-9у = 0. 2.7.29. 9у" 4-12у'4-4у = 0. 2.7.30. Найти общее решение уравнения 2у" + у' + Зу = 0. О Характеристическое уравнение 2fc2 4- к 4- 3 = 0 имеет комплексные (комплексно-сопряженные) корни: , -1±ч/23г fci,2 =--4-----• В этом случае общее решение уравнения имеет вид Уоо — V23 ~ . V23 \ _i Ci cos —4—я 4- С2 sm —4—я I е 4 . Найти общие решения уравнений: 2.7.31. у" + 4у = 0. 2.7.33. у" 4-у'4-у = 0. 2.7.32. 2.7.34. 101 4у" 4- 9у = 0. у" - у' 4- бу = 0.
2.7.35. 2у" — Зу'+ 5у = 0. 2.7.36. 5у" - Зу'+ 2у = 0. 2.7.37. Найти частное решение уравнения Зу"+7у'+4у = 0, удовлетво- 9 ряющее заданным начальным условиям т/(0) = 1, у'(0) = — Q Характеристическое уравнение 3fc2 + 7fc+4 = 0 имеет корни fci = — 1 и А?2 = — q . Следовательно, общее решение имеет вид у00 = С\ е~х + С^е з х. о 4 _ — Находим у'оо = —С\е~х — зж. Подставляя в последних двух равен- ствах ж = 0, у = 1, у1 = — д, получаем систему уравнений относительно Cl И С*2- (Ci + С2 = 1, J Ci = 2, = =*1с2 = -1. х U Ох Найденные константы подставляем в выражение для общего решения. Получаем искомое частное решение уч = 2е~х - е~^х. • Найти частные решения данных дифференциальных уравнений, удовле- творяющие заданным начальным условиям: 2.7.38. у" - 4т/' + Зу = 0, 2/(0) = 6, у1 (0) = 10. 2.7.39. у" + 4?/' = 0,2/(0) = 7, 2/'(0) = 8. 2.7.40. 2/" - 6?/' + 9у = 0, 2/(0) = 0, у'(0) = 2. 2.7.41. 42/" + 42/' + у = 0, 2/(0) = 2, 2/'(0) = 0. 2.7.42. у" - 42/' + 32/ = 0, 2/(0) = 6,2/'(0) = Ю. 2.7.43. Найти общее решение уравнения у"—7у' = 5хех, подбирая част- ное решение методом неопределенных коэффициентов. Q Характеристическое уравнение к2 — 7k = 0 имеет два действительных корня fci = 0 и А?2 = 7, поэтому общее решение однородного уравнения у" — 7yf = 0 имеет вид у00 = Ci + С2в7х. Правая часть неоднородного уравнения имеет вид /(ж) = Pi(x)ekx, где Pi(х) = 5х — многочлен пер- вой степени, а к = 1 — не является корнем характеристического урав- нения. Значит, частное решение ищем в таком же виде: уч = (Ах + В)ех (Ах + В = Qi(x) — многочлен первой степени с неизвестными коэффи- циентами). Для определения коэффициентов А и В находим у'ч = Аех + (Ах + В)ех = (А + Ах + В)ех, у'' = (2А + Ах + В)ех, после чего подставляем выражения для уч, у'ч и у" в исходное диффе- ренциальное уравнение: (2А + Ах + В)ех - 7(А + Ах + В}ех = Ьхех. После сокращения обеих частей на ех и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях х в левой и правой части полученного 102
равенства приходим к системе уравнений относительно неизвестных А иВ: х: А — 7А = 5, f-6A = 5, х° : 2А + В - 7А - 7В = 0, Т в’ (-5А - 6В = 0. К QK / К 25\ Отсюда А = В = кг, а уч = I-%х + »£ I е®. Теперь в силу теоре- О оо \ о оо / мы 2.6 общее решение исходного уравнения имеет вид Уон=С1+С2е7®+(-|а:+||)е®. • Найти общие решения уравнений, находя их частные решения методом неопределенных коэффициентов: у" - Зу’ + 2у = 10е~х. у" - Зу' + 2у = 2х3 - 30. у” + 4у' - 5у = 1. Найти общее решение уравнения yff + бу1 + 9у = (х — 2)е~3х у" - бу' + 9у = 2х2 - х + 3. у" - 2у' + 2у = 2х. 2у" ~ У' ~ У = 4гге2®. 2.7.44. 2.7.46. 2.7.48. 2.7.50. Q Характеристическое уравнение fc2 + 6fc + 9 = 0 имеет корень k = — 3 кратности 2, откуда у00 = (Ci + Czx)e~3x. Правая часть исходного урав- нения имеет вид Pi(x)eax, где Р±(ж) = х — 2— многочлен первой сте- пени, а а = —3 — корень кратности 2 характеристического уравне- ния. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде уч = x2Qi(x)e~3x, т.е. уч = (Ах + В)х2е~3х. Дальнейшие вычисления оформим следующим образом. Расположим уч, у'ч, у”, в столбик, слева от них запишем соответствующие коэффициенты исходного дифференци- ального уравнения, после чего составим систему уравнений относительно А и В, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х левой и правой частей полученного равенства (при этом е~3х можно сократить) 9 У = (Ах3 + Вх2)е 6 1 В приведенных выражениях одинаковыми линиями подчеркнуты подоб- ные члены. х3 : 94 - 184 + 94 = 0, х2 : 9В + 184 - 18В - 184 + 9В = 0, х1 : 12В + 64- 12В = 1, xQ : 2В = -2. 2.7.45. 2.7.47. 2.7.49. ,—Зх у' = (ЗАх2 ТТВх - ЗАх3 - ЗВх2}е~3х у” = (9Ах3 - 18Ах2 + 9Bz2 + 6Аг - 12Вх + 2В)е~3® 0 = 0, 0 = 0, А-1 А~ 6’ В = -1. Заметим, что получили систему из четырех уравнений с двумя неизвест- ными, при этом два уравнения тривиальны. Это признак правильности составления системы. Таким образом, уч = ж2е 3®, откуда общее решение Уон = (Ci + С2х)е Зх Л-3® 103
Найти общие решения уравнений: 2.7.51. у" + Зу' -4у = (х + 1)е®. 2.7.52. у" -2у' + у = (х + 1)е®. 2.7.53. у" + 2у' + у = (х + 3)е"ж. 2.7.54. 2у" + Зу' + у = (1 - 2х)е~х. 2.7.55. у" + Зу' + 2у = (1 - 4х)е~2х. 2.7.56. у" + 4у' + Ау = (1 - 4х)е~2х. 2.7.57. Решить уравнение у" 4- Зу' + 2у = (2х 4- 3) sin х 4- cos х. Q Решая характеристическое уравнение fc2+3fc+2 = 0, находим к± = —1, &2 = —2, откуда у00 = С\е~х 4- С2е~2х. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде уч = (Ах 4- В) sin х 4- (Сх 4- D) cos х. Так как неизвестные многочлены Pn(x) = Ах + В и Qn(x) = Сх + D должны иметь степень N = max(m,n), где т = 1 — степень многочлена Pi(x) = 2х 4- 3, п = 0 — степень многочлена Qq(x) = 1 (см. случай 2а на с. 97 при 7 = 0; мы специально поменяли местами Р(х) и Q(x\ чтобы показать, что это не влияет на структуру уч). Далее 2 уч = (Ах 4- В) sin х 4- (Сх 4- D) cos ж, 3 у'ч = A sin х 4- (Ах 4- В) cos х + С cos х — (Сх 4- В) sin ж, 1 у'ч = 2A cos х — (Ах 4- В) sin х — 2С sin х — (Сх + В) cos х. Теперь приравниваем коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях соответствующего уравнения: х sin х : sin х : х cos х : cos x : 2A - ЗС - A = 2, 2B + ЗА - 3D - В - 2С = 3, 2С + ЗА - С = 0, 2В + ЗВ + ЗС + 2А-В = 1, ГА-ЗС = 2, ЗА + В - 2С - 3D = 3 ЗА + С = 0, к2А + ЗВ + ЗС + В = 1 1 3 Из первого и третьего уравнений находим: А = -=, С = — Из второ- 21 го и четвертого, с учетом полученных коэффициентов, имеем: В = 3 В = — не- Таким образом, Уон = sinx - cosa; 4-Ge W+C2e 2®. \О 2о/ \О 2о/ Решить уравнения: 2.7.58. у" - 7у' + 6у = sin х. 2.7.59. 2у" + Зу' = 29 cos х. 2.7.60. у" -4у = е2х sin2x. 2.7.61. у" - 2у' -8у= -8cos2x. 2.7.62. у" -I- 4у' 4- 4у = (2х 4- 3) sin х 4- cos х. 2.7.63. у" — 2у = 2x(cosx - sinx)ex. 2.7.64. Решить уравнение у" 4-16?/ = Зх sin 4х 4- cos 4х. 104
Q Корни характеристического уравнения fc2+16 = 0 мнимые: fci,2 = ±4г. С ДРУг°й стороны, правая часть неоднородного уравнения имеет вид f(x) = еОж(Ро(^) cos4x 4- Qi(x) sin4x). Значит, а ± /3i = ±4i — корни характеристического уравнения, поэтому (см. случай 26, с. 97). уч = х [(Аж 4- В) cos 4ж 4- (Сх 4- В) sin 4ж]. Имеем: 16 уч = (Ах2 4- Вх) cos 4ж 4- (Сх2 4- Dx) sin 4ж, О у'ч = (2Ах 4- В) cos 4ж - 4( Ах2 4- Вх) sin 4ж + (2Сх + D) sin 4ж + -F 4(Сж2 4- Dx) cos 4х, 1 у" = 2 A cos 4х - 9>(2Ах 4- В) sin 4х - 16(Ах2 4- Вх) cos 4х + 4- 2С sin 4х 4- 8(2Сж 4- D) cos 4х — 16(Сх2 4- Dx) sin 4х. Отсюда х2 cos 4х : 16А - 16А = О, х cos 4х : 16В - 16В 4-160 = О, cos4x: 2А4-8Р = 1, x2sin4x: 160-160 = 0, х sin 4х : 16Р - 16А - 16Р = 3, sin 4х : -8В 4- 20 = 0. откуда А = В = С = О, D = 16 64 Таким образом, Уон = Oi cos 4х 4- О2 sin 4х - -^х2 cos 4х 4- Ц sin 4х. 16 64 '0 = 0, 2А + 8Р = 1, -16А = 3, ^-8В + 2О = 0, Решить уравнения: 2.7.65. у" 4- 25?/ = cos 5ж. 2.7.67. у" + у = х sin х. 2.7.69. у" — 2у‘ 4- 5у = ех cos 2х. 2.7.66. у" 4- у = 2xcosx 4- sin ж. 2.7.68. у" + 9у = |isin3x-xcos3x. 3 л 2.7.70. 5у" - бу' + 5у = е$х sin о 2.7.71. Решить уравнение у” — 2у' 4- бу = хех cos 2х 4- х2 — х 4- 2. Q Общее решение соответствующего однородного уравнения у” — 2у' + бу = О имеет вид (проверьте!) у00 = (Oi cos2x 4- О2 8т2х)еж. Данное дифферен- циальное уравнение представим в виде совокупности двух уравнений: 'у" — 2у' 4- 5у = хех cos2x, .у" - 2у' 4- Ьу = х2 - х 4- 2. Частное решение первого уравнения находим в виде 2/Ч1 = ж[(Аг 4- В) cos 2х 4- (Сх 4- D) sin 2х]ех, так как а ± Pi = 1 ± 2г — корень характеристического уравнения к2 - 2к + 5 = 0, к = 1 ± 2г. 105
Соответствующие вычисления, которые предлагаем выполнить самосто- ятельно, дают ^41 = Х COS2X + |#sin2a/| ех. Частное решение второго уравнения находим в виде уЧ2 = Ах2 + Вх + С. Аналогично находим ?/ч 2 = I#2 — тгЬ# + tkU Общее решение исходного уравнения имеет вид уон = Уоо + Уч1 + Уч2, т.е. Уон = (Ci cos 2т + С2 sin 2т)е®+ + х (cos 2т + \ 1о 1 ^х । 1 _2 1 _ । Зо gTsin2Tje + -=х ~25а:+125- • Решить уравнения (данные уравнения, согласно правым частям, пред- лагаем целесообразным образом представить в виде совокупности более простых): 2.7.72. у" - 2у' + у = х2 - х + 3 + х cos х. 2.7.73. у" + бу' + бу = (х - 2)е"3® + х2 + 2х - 3. 2.7.74. у" + бу' + 10?/ = (ж + 6) cos Зя - (1&г + 6) sin Зя + 2хе~3х cosx. 2.7.75. у" + 9у = е~3х(х - 2) + 14 + 63ж2. 2.7.76. у" -2у' + у = sinx + ±ех - ±е~х. & и е2х 2.7.77. Решить уравнение у" — у' = ........ д/1 — е2х Q Общее решение однородного уравнения у" — у' = 0 имеет вид у00 = е2х = Ci + Съех. Правая часть /(ж) = —-------неоднородного уравнения не \/1 - е2х позволяет найти частное решение уч методом подбора (или неопределен- ных коэффициентов), поэтому воспользуемся методом вариации произ- вольных постоянных: Уч = С^х^у! +С2(х)у2, где yi = 1, у2 = ех — фундаментальная система решений однородно- го уравнения, a Ci(x) и С2(х) — решения системы дифференциальных уравнений С[у\ + С'2У2 — О, С^+«=Ж», т.е. < С[ • 1 + ех = О, 4,2® с:»+с5"- = ет- Из второго уравнения находим /ех ——= dx \/1 — е2х ех С2 = , откуда после интегри- >/1 - е2х = arcsine® (константу интегрирования 106
полагаем равной нулю). Из первого уравнения системы получим С{ = — -С<>ех =------ ---, т.е., интегрируя, \/1 — е2х с'м = Ч^=в = '/'^- Тем самым, частное решение имеет вид Уч = С\(х) • 1 + С2{х)ех = \/1 — е2х + ех arcsine®, а общее решение Уон = С\ + С2Х + - е2ж + ех arcsine®. • Решить уравнения, используя метод вариации постоянных: 2.7.78. у"-у 2.7.80. у" -бу' + 9у = ^. 2.7.82. у" + у + ctg2 х = 0. 2.7.84. у"-2у' + у=^— х2 +1 2.7.79. у"-2у' + у = ^. 2.7.81. у" + 4у = —^г—. COS^ X 2.7.83. у" — у' — e2xVl-e2x. 2.7.85. Найти частное решение уравнения у" — 2у' — у = 6хех, удовле- творяющее заданным начальным условиям: у(0) = 2, у’(0) = —5. Q Запишем уравнение без правой части у" — 2у' — у = 0. Его характери- стическое уравнение имеет вид к2 — 2k — 1 = 0, откуда fci,2 = 1 ± л/2, т. е. Уоо = Cie^~^x + С2е^1+^Х. Частное решение неоднородного уравнения найдем методом подбора: -1 уч = (Ах -I- В)ех —2 у'ч = (Ах + В + А)ех 1 у'± = (Ах + 2А + В)ех х : xQ : -4-24 + 4 = 6, -В - 2В - 24 + 24 + В = 0. Следовательно, 4 = —3, В = 0 и уч = — Зхех. Отсюда Уон = С1е^-^х + С2е<1+^® - Зхех. Полученное выражение продифференцируем, а затем в уон и у'он подста- вим х = 0, у = 1, у' = 1 из начальных условий и из получающейся системы определим значения констант С± и С2. Имеем: у'о„ = (1 - + (1 + V2)C2e<1+^x - Зе® - Зхех, а соответствующая система, о которой говорили выше, имеет вид: {Ci + С2 = 2 (заменили х = 0, уон = 2), (1 - VtyCi + (1 + V^)C2 - 3 = -5 (заменили х = 0, у’он = -5). Первое уравнение, домноженное на — (1 + Vty, прибавим ко второму: -2V2C! = -4 - 2>/2, Cr = 2v/2 + 4 = 1 + \/2. 2>/2 107
Далее С2 = 1 — Ci = 1 — у/2. Искомое частное решение имеет вид у = (1 + V2)e{1-^x + (1 - v/2)e(1+v7)a: - Зхех. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным на- чальным условиям: 2.7.86. у" + у = 4хех, у(0) = -2, у'(0) = 0. 2.7.87. у" + у = 4 sin я, у(0) = 1, у'(0) = 2. 2.7.88. у" - 2у' — Зу = eix, у(0) = у'(0) = 2.7.89. у" + 2у' - Зу = 48а;2е:’, у(0) = 1, у'(0) = 2.7.90. у" + 4у' + 4у = 32а;е2*, у(0) = -1, у'(0) = 1. 2.7.91. у" - у = 2ех - х2, у(0) = 2, у'(0) = 1. 2.7.92. у" + Зу' + 2у = 2sinЗх + 6созЗх, у(0) = у'(0) = 0. 2.7.93. у" + 9у = бсозЗгг, у(0) = 1, у'(0) = 3. 2.7.94. у" -у' = у(0) = 1, у'(0) = 2. 2.7.95. 4у" + у = ctg у(тг) = 3, у'(тг) = |. 2.7.96. Найти общее решение уравнения Эйлера х2у" + 2ху' + у = 0. Q Положим х = е*, откуда t = In х. Тогда неизвестная функция у = у(х) становится сложной функцией аргумента t: у = у(е*). Следовательно, dy , = dy_= dL = dye-t dx dx dt dt у" ^ye-t _ e-t^y\e-t_ dt2e dt r - e~2t e2t Исходное дифференциальное уравнение принимает вид e-2t + 2е* ^е~* + у = 0, at т.е. + +У = °’ или У” + У' + У = °, dt2 dt где у = y(t). Общее решение полученного линейного уравнения с посто- янными коэффициентами находим стандартным образом: / \/3 у/3 \ Уоо = е 2 I Ci cos ^-t + С2 sin ^-t 1 . Остается вернуться к переменной х, используя замену t = In ж. Получаем 1 ( л/3 73 \ Уоо = — I Ci cos ^5- In я + С2 sin In x ) . • x/X \ J 108
решить уравнения: 2.7.97. х2у" + 2ху' - бу = 0. 2.7.98. х2у" + Зху' + у = 0. 2.7.99. ху" + у' = 0. 2.7.100. Решить обобщенное дифференциальное уравнение Эйлера (За; - 2)2у" - 2(3х - 2)у' + бу = 0. Q Положим За; — 2 = е*, откуда t = 1п(3а; — 2). Тогда х = 1(е‘ + 2), — Iе*» тг’ = 3e-t. Далее at dx Ух = У'г*х = Зе“‘ • у"2 = (Зе~‘у{)' • *' = 3(—e-t • y't + е-‘ • у^3е~* = - у'). Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: 9(?//2 - y't) - 6y't + бу = 0, т. е. 9у" - 15у' + бу = 0, у = y(t). Корни соответствующего характеристического уравнения 9fc2 — 15fc + 6 = = 0, т.е. 3fc2 — 5fc + 2 = О равны fci = 1, fc2 = i, поэтому о ?/оо(£) = (Де Н-С^ез . После замены t = In (Зя — 2) и преобразований получим окончательно Уоо(х) = (Д (Зя - 2) + С2 V(3^-2)2. • Решить уравнения: 2.7.101. (2я + 1)V - 2(2я + 1)у' + 4у = 0. 2.7.102. х2у" + ху' + у = 0. 2.7.103. яV - ху' - Зу = 0. 2.7.104. х2у" + 4яу' + 2у = 0. Дополнительные задания Доказать линейную независимость данных функций на их области определения, найти определитель Вронского: 2.7.105. я, ех,е~х. 2.7.106. я, хех, хе~х. 2.7.107. arctgx, arctg2x, arctg3x. 2.7.108. 1, я, я2, , яп. 2.7.109. eklX, ек2Х, екзХ (fci, А?2, кз — различные действительные числа). 2.7.110. ' ех, е2х, е3х, ..., епх. 2.7.111. cos я, соз2я, ..., созпя, я е [0,2тг]. Доказать линейную зависимость данных функций и найти определи- тель Вронского: 2.7.112. 1, агсзшя, агссозя, я 6 [—1,1]. 109
2.7.113. тг, arctg2#, arcctg2#, x € (—oo,+oo). 2.7.114. sin2#, cos2#, cos2#, sin2#, x € (—oo,+oo). 2.7.115. sin 3a, sin a, sin3 a, 1, a € (—oo,+oo). 2.7.116. cos a, cos3 a, cos 3a, 5, a 6 (—oo,+oo). 2.7.117. In#, In#2, In2#, In3#, # e (0, -Foo). 2.7.118. ex, ex sin2 #, ex cos2 #, e~2x, x 6 (-oo, +oo). Показать, что не существует линейного однородного дифференциаль- ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, для которого данная система функций является фундаментальной: 2.7.119. sin#, sin2#. 2.7.121. X, 2.7.123. e®,sin#. 2.7.120. cos#, cos2#. 2.7.122. #2, j. 2.7.124. e®, cos#. 2.7.125. #, sin#. 2.7.126. #, cos#. 2.7.127. #, #2, sin#. 2.7.128. ex, e~x, cos#. 2.7.129. #, #2, cos#. 2.7.130. #, ex, sin#. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение с посто- янными коэффициентами, фундаментальная система решений которо- го имеет вид: 2.7.131. е2х, е~3х, ех. 2.7.133. cos 2#, sin 2#, е х. 2.7.135. ех, хех, х2ех, е3х. 2.7.132. 1, ех, е3х. 2.7.134. ех, хех, sin#, cos#. 2.7.136. ех, хех, sin3#, cos3#. Составить линейное дифференциальное уравнение с переменными коэф- фициентами по данному общему решению: 2.7.137. у = С1Х + ^. 2.7.138. у = С^х + 2) + —. #2 г (# + 2)3 2.7.139. у = Ci#2 + С2#4 + С3. 2.7.140. у = + 2х. 2.7.141. y = C1+(72(#+l)6 + Сз (# +1) 2.7.142. у = (Ci eosin# + С2 sin In#)# + #ln#. 2.7.143. у = #(Ci + C2In# + In2#). 2.7.144. у = Cix + C2#2 + 1 + (#2 + 2#)In#. Решить уравнения: 2.7.145. y" — 4y' + 3y = 0. 2.7.146. y" + 4y' + 29y = 0. 2.7.147. 9y" + 6y' = 0. 2.7.148. 4y" + 12y' + 9y = 0. 2.7.149. 5y" + y = 0. 2.7.150. 5y" + y' = 0. 2.7.151. y"1 - 2y" - 3y' = 0. 2.7.152. y'" + 4y" + 13y' = 0. 2.7.153. y'" + 2y" + y' = 0. 2.7.154. y'" + 2y" - y' - 2y = 0. 2.7.155. yIV - 16y = 0. 2.7.156. yIV + y = 0. 110
2.7.157. 2у'" 4- 9у" + 17у' 4- 14у = 0. 2.7.158. yIV+y" = 0. решить уравнения, а там, где есть начальные условия, найти соот- ветствующее частное решение: 2.7.159. у" + у' = (ж 4- ех - 2х - 2. 2.7.160. у" + у' — (1 - 4ж)е-2а:. 2.7.161. у" 4- у' = Зе-2® sinх. 2.7.162. у" +у' = (2х + 3) sin а: + cos а:. 2.7.163. у" - 2у' + у = sin х + е~х. 2.7.164. у'" + у" = 12а:2. 2.7.165. у'" -Зу" + 8у' -4у = е2х. 2.7.166. у" - Зу' + 2у = (а:2 4- а:)е3а:. 2.7.167. у" - 2у' 4- Зу = е~х cosх. 2.7.168. у" 4- у' = cos2 х + ех 4- х2. 2.7.169. у" 4- 4у = х sin2 х. 2.7.170. у" + 4у = X COS X. 2.7.171. у" - 2у' + 10т/ = | cos Зя + 2 sin Зя. 2.7.172. у” — Зу’ + 2у = sin я sin 2я. 2.7.173. у” - 4у’ + 5у = (4я + 22) sin Зя - (28я + 84) cos Зя. 2.7.174. у" - 4у' + 5у = 2х2ех, 2/(0) = 2, ?/'(0) = 3. 2.7.175. у"-бу' + 9у = х2-х + 3, у(0) = у'(0) = 2.7.176. у" + 4у = 4(sin2a: 4- cos2а:), у(тг) = тг, у'(л-) = 2тг. 2.7.177. у” — 2у' + 2у = 4ех cosx, у(я) = тге”, у'(тг) = ё". 2.7.178. у" - 2у' 4- 10у = 10а:2 4- 18а: + 6, у(0) = 1, у'(0) = 3,2. з 2.7.179. 4у" 4- 16у' 4- 15у = 4е“2а;, у(0) = 3, у'(0) = -5,5. 2.7.180. у" - 2у' = ех(х2 + х - 3), у(0) = 0, у'(О) = 2. 2.7.181. у" +у = ctga:. 2.7.182. у" + 2у' + у = ^. 2.7.183. у"+у— 2.7.184. у" - 2у = 4х2ех2. 2.7.185. - в» = 4А-’. 2-Т-186. у" + у = Контрольные вопросы и более сложные задания 2.7.187. Привести пример функций yi(x) и yz(x), которые линейно за- висимы на одном отрезке и линейно независимы на другом. 2.7.188. Доказать, что если два частных решения линейного однородно- го дифференциального уравнения второго порядка имеют экс- тремумы в одной и той же точке, то они линейно зависимы. 2.7.189. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты р и q уравнения у” + ру’ + qy = 0, чтобы все его частные решения были ограниченными. 111
2.7.190. Построить две дифференцируемые линейно независимые функции на отрезке [а, Ь], для которых их определитель Врон- ского равен нулю тождественно. 2.7.191. На отрезке [а, Ь] построить три линейно независимые функ- ции, для которых определитель Вронского равен нулю тож- дественно. Доказать линейную зависимость функций на их области определения: 2.7.192. sin4 х, cos 4а;, cos 2а;, 1. 2.7.193. cos4 a;, cos 4a;, cos 2a;, 1. 2.7.194. Ina;, Ina;2, Ina;3, In2 a;, In3 a;. 2.7.195. sin a;, sin (a; - , sin (x + . 2.7.196. Зная фундаментальную систему решений еж, cos a;, sin а; ли- нейного однородного уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ?/(0) = 3, т/'(0) = 4 и 2/"(0) = -1. 2.7.197. Функции ех, е2ж, е3х образуют фундаментальную систему ре- шений линейного однородного дифференциального уравнения. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным услови- ям 7/(0) = 6, 2/'(0) = 14, у"(0) = 36. 2.7.198. Проверив, что 2/1 = ех и 2/2 = х образуют фундаментальную систему решений уравнения у” — 3,Х'^У1 + х~ = на^ти общее решение уравнения (а; — 1)2/" — ху1 4- у = (х — I)2. 2.7.199. Проверив, что 2/1 = cos х и 2/2 = х cos х образуют фундаменталь- ную систему решений уравнения у”+2 tga>2/' + (2 tg2 х+1)у = 0, найти общее решение уравнения ctga;*2/,,4-22/,4-(2 tga;+ctga;)2/ = = cos2 х. 2.7.200. Найти общее решение уравнения 4yIV 4- 4у” 4- у = 0. Найти общие решения уравнений: 2.7.201. yv + 8у'" 4-162/' = 0. 2.7.202. yv - 6yIV + 9у"' = 0. 2.7.203. yrv - 8у" 4-162/ = 0. 2.7.204. у" + 42/' + 42/ = е~2х In х. 2.7.205. yVI - 2yv + 32//v - 42/"' + З2/" - 2у' + у = 0. Найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным усло- виям: 2.7.206. 2/"' ~У' = -Ъх, 2/(0) = 0, 2/'(0) = 1, 2/"(0) = 2. 2.7.207. yIV -у = 8еж, 2/(0) = -1, 2/'(0) = 0, 2/"(0) = 1, 2/"'(0) = 0. 2.7.208. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения у" — у = 0, касающуюся в точке 0(0,0) прямой у = х. 2.7.209. Найти интегральную кривую уравнения у" — 4у' 4- Зу = 0, ка- сающуюся в точке Mq(0, 2) прямой у = х 4- 2. 112
Решить уравнения Эйлера: 2.7.210. х2у" 4- ху' — у = 0. 2.7.211. х2ут — Зху" 4- Зу1 = 0. 2.7.212. (х + 2)2у" + 3(х 4- 2)у' - Зу = 0. 2.7.213. х2у'" = 2у'. §8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Системой дифференциальных уравнений называется совокупность диффе- ренциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую перемен- ную, искомые функции и их переменные. Нормальная система дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных от- носительно производной, т. е. система вида У1 = fi(x,yi,y2,...,yn), У2 = f2(x,yl,y2,...,yn), /О1. Уп = fn(x,yi,y2, ...,Уп), где х — независимая переменная, a j/i(a?), 2/2(2?),..., уп(х) — неизвестные функ- ции от ж, называется нормальной системой. Решить эту систему означает найти функции yi(x), 2/2(2?),..., j/n(2?), удо- влетворяющие системе (8.1) и данным начальным условиям: 2/1 (2?о) = 2/10, 2/2(я?о) = 2/20, . . . , 2/п(2?о) = 2/п0. Нормальную систему можно привести к одному уравнению порядка п (или меньше) относительно одной неизвестной функции, скажем j/i, при помощи следующего алгоритма, называемого метод исключения. Дифференцируем первое уравнение системы по переменной х: 2/1 = (/1)х + (/1 )vi • У1 + (/1)'1/2 • 2/2 4-... 4- (/1)'^ • Уп- Производные у[, 2/2, • • • ? 2/п в правой части этого равенства заменим их выра- жениями из системы (8.1). Получим уравнение 2/i =F2(2?,2/i,2/2,...,2/n). Это равенство дифференцируем по переменной х: У1 = (^2)® 4- (Гг)^ • 2/1 4- (Г2)у2 • 2/2 4-... 4- {F2)yn • уп- Производные ?/i, 2/2, • • •, Уп в правой части этого равенства заменим их выра- жениями, заданными системой (8.1). Получим еще одно уравнение у” = Рз(з?, 2/1,2/2, • • •, 2/п). 113
Это уравнение дифференцируем по переменной х и так далее до тех пор, пока не придем к уравнению ^n) = Fn(x,yi,y2,...,yn). Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединим в одну систему, к которой присоединим первое уравнение системы (8.1): y'l = fi(x,yi,y2,...,yn) у" = F2(x,yi,y2,... ,уп), у'" = F3(x,yi,y2,...,yn), (8-2) У1П) = Fn(x,yi,y2,...,yn). Первые п — 1 уравнений системы (8.2) разрешим относительно переменных 2/2, 2/з, • • •, 2/п, выражая их через переменные х и 2/1, а также производные j/J, 2/Г,..., у[п~1)- Полученные выражения подставим в последнее уравнение си- стемы (8.2). В итоге придем к дифференциальному уравнению порядка п от- носительно одной неизвестной функции yi. Из общего решения этого уравнения можно получить общее решение си- стемы (8.1) или требуемое частное решение. Заметим, что порядок последнего уравнения может быть меньше, чем п, если при его получении были использо- ваны не все уравнения системы (8.1). Поиск интегрируемых комбинаций Интегрирование системы (8.1) существенно облегчается, если эта систе- ма допускает интегрируемые комбинации дифференциальных уравнений. Под интегрируемой комбинацией подразумевается дифференциальное уравнение, получаемое из уравнений системы (8.1) с помощью определенных преобразо- ваний, но уже легко интегрирующееся. Примером интегрируемой комбинацией является уравнение вида <7Ф(ят, 2/1,2/2, -.., 2/п) = 0. Возможно, что заменой переменных удастся получить дифференциальное уравнение известного типа, решение которого не представляет труда. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Для решения нормальной системы линейных однородных дифференциаль- ных уравнений вида У1 = «112/1 + «122/2 + ... + «1п2/п, 2/2 = «212/1 + «222/2 4- ... 4- «2п2/п, (8-3) Уп — 0>п1У1 4- «П22/2 4- ... 4- «пп2/п 114
удобно воспользоваться методами линейной алгебры, а конкретнее, методом собственных векторов. Добавим, что общее решение однородной линейной системы представля- ет собой линейную комбинацию фундаментальной системы решений, а общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствую- щего решения однородной системы и одного частного решения неоднородной системы. 2.8.1. Решить систему дифференциальных уравнений: {х' = — 2х — 2у — 4г, у' = —2х + у - 2z, z' = 5х + 2у + 7z. О В данной системе x,y,z — неизвестные функции, а независимая пе- ременная t — их аргумент. Дифференцируем первое уравнение системы по t: х" = -2а/ - 2у' - 4z' Вместо у1 и z1 подставим их выражения из второго и третьего уравнений системы. Получаем х" = —2а/ — 2(—2х + у — 2z) — 4(5# -I- 2у + 7z), откуда х" = —2а/ - 16а: - Ют/ - 24z. Полученное уравнение дифференцируем по t, а вместо у’ и z' опять подставим выражения из тех же уравнений системы х"' = —2х" - 16а/ - 10у' - 24г' = = —2а/' - 16а/ - 10(-2х + у - 2z) - 24(5а: + 2у + 7z), х"' = —2х" - 16а/ - 100а: - 58а: - 148z. Составим новую систему: {xf = —2х — 2у — 4z, х" = —2а/ - 16а: - Wy - 24z, (8.4) х'" = —2а/' - 16а/ - 100ж - 58з/ - 148z. Система состоит из первого уравнения исходной системы и двух уравне- ний, полученных последовательным дифференцированием. Из этой системы исключим неизвестные у и z. Для этого проще все- го использовать первые два уравнения системы (8.4), из которых, после преобразований (рассматривая —6а/ 4- х" и —Ьх' -I- а/'), находим Ъ = х"-*х' + 4х, (85) 4z = —х" 4- За/ — 6а: 115
и эти выражения подставим в третье уравнение системы: хш = -2х" - 16а/ - 100а: - 29(а/' - 4х' 4- 4а:) - 37(-а/' 4- За/ - 6а:). После приведения подобных слагаемых получаем одно уравнение третье- го порядка (однородное с постоянными коэффициентами) относительно неизвестной функции х = x(t): х'" — бх" 4- На/ — 6а: = 0. Корнями его характеристического уравнения к3 — бк2 4-llfc — 6 = 0 явля- ются числа fci = 1, &2 = 2, &з = 3. Следовательно, общее решение послед- него уравнения имеет вид хоо = 4- 4- Сзе3*. Теперь надо получить значение для уоо и zoo. Это легко сделать, имея в виду систему (8.5), содержащую 2у и 4z, выраженные через а:, х' и х". Поэтому сначала находим х'оо = Сге* + 2C2e2t + 3C3e3t, ®"0 = Cie‘ + 4C2e2t +9C3e3f. Остается сделать соответствующие подстановки: у = ±(ж" - 4®' + 4®) = | (Cie* + 4C2e2t + 9C3e3t - 4Cie‘ - 8C2e2t- - 12C3e3t + 4Cie‘ + 4C2e2t + 4C3e3t), откуда Аналогично, zQQ чательно, Уоо = 4- |Сзе3*. = z(~a:oo - За:оо - 62:00) = -Cie‘ - C2e2t - |c3e3t. Окон- 'хоо = Суе1 + C2e2t + C3e3t, < Уоо = ^Cie* + |c3e3t, • Zoo = -Cie* - C2e2t - |c3e3t. 2.8.2. Решить систему < x' +y‘ ~y = e*, при данных начальных 2x 4- у1 4- 2y = cost условиях tQ = 0, a:0 = yQ = О Сначала приводим систему к нормальному виду, т. е. к виду, разре- шенному относительно производных х' = —Зу 4- cost — ef, у' = 4у — cost 4- 2е*. Далее действуем по схеме, примененной при решении предыдущего при- мера. 116
Первое уравнение дифференцируем по t, после чего вместо у’ подста- вим выражение из второго уравнения новой системы х" = -Зу1 - sin t - е* = —3(4т/ — cos t 4- 2ef) — sin t — e*, t. e. x" = —12 у -I- 3 cos t — 7ef — sin t. Из этого уравнения и первого уравнения исходной системы составим систему = + (8.S) \х" = — 12у 4- 3cost — 7ef — sint, из которой исключим у (первое уравнение, умноженное на (—4) прибавим ко второму): х — 4х — — cos t — Зе — sin t Полученное неоднородное уравнение второго порядка с постоянны- ми коэффициентами решается стандартным способом подбора частного решения. А именно (в сокращенном изложении): х" - 4х' = 0 => к2 - 4fc = 0 => fci = 0, к2 = 4 => хоо = С\ 4- C2e4f; О хч = Ае* 4- В cost 4- Csint ef : —ЗА = —3 ^”^3 -4 х'ч = Ле* — Bsinf 4- Ccost => cost: —4C—B = —1 = ~17’ 1 x" = Ae* — В cost — Csint sint: 4B — C = — 1 /7 —— “ 17’ Отсюда x4 = e* — cos 14- yy sin t. Окончательно, Яон = xoo + x4=Ct+ C2e4t 4- e* - cos t 4- yy sin t. Другую функцию уон можно найти двумя способами. а) Из второго уравнения системы (8.6) находим у = --^(х" — 3cost 4- 7е* 4- sint). Подставляя сюда найденное выражения для х"н, находим уон- б) Из первого уравнения нормальной системы имеем у = |(-ж' 4- cost - ef). о Отсюда, учитывая, что х' = (Ci +C2e4t + е* - cost + уу sin t)' = 4C2e4t 4-е* 4- sin 14- cost, получим Уон = I (-4C2e4t - e1 - sint - cost + cost - e‘) , т.е. yOH = -sint 4- cost — |e‘. 117
Таким образом, общее решение системы имеет вид Тон = C'i+ C2e4t + е‘ - cost + y^sint Уон = -- |e‘ + cost - siat- Подставляя начальные условия x = у = ± и t = О, определим константы Ci и С^: ГС1 + й + 1-А = -А, fc. = -l, l_4r _2 , 4__4_ |г -_1 3°2 3 + 17 17 2' Итак, частные решения, удовлетворяющие начальным условиям, имеют вид Г 1 1 q с х = - ±e4t 4-е* - cost 4- p=sint, < 9 2 1 17 • У = |e4t - + ^ cost - уу sint. Замечание. Далее будем заменять 2гон на х, уои на у и т. д. Решить данные системы дифференциальных уравнений: 2.8.3. 2.8.4. 2.8.5. 2.8.7. 2.8.9. X* = у + Z, у1 = Зх 4- г, z' = Зх 4- у. х* = Зх — 2у, у' = 2х- у, х(0) = 1, 7/(0) = 2. х' 4- Зх 4- у = е* < у' — х — Зу = e2t. 4х‘ — у1 = sint — Зх, х' = cos t — у. {х1 = х — 2у — z, у' = -х + у + Z, Z1 = X — Z. 2.8.6. 2.8.8. 2.8.10. {х1 = —х + у + Z, у' = X - у + Z, z' = X + у — Z. !х' = 2х + у, у' = Зт + 4у. < х' = у, у' = х + е1 + е~ь. к 2.8.11. Решить систему уравнений < ’ [2/ = х. Q Почленное сложение этих равенств приводит к интегрируемой ком- d(x 4- 2/) бинации: х’ 4- у — х 4- 2/» т.е. х = dt. Отсюда находим х 4- у = Cie*. Аналогичную комбинацию получаем вычитанием уравнений исход- ной системы d(a; — 2/) х —у = —(х — у), откуда х — у = т.е. х — у = Сге . 118
Остается почленно сложить и вычесть полученные равенства: _ Cl t , Сг _t %оо — 2 е + 2 е Ci t -t Уоо = - -^е fx' = у -Z, 2.8.12. Решить систему у' = z — я,. z’ = х — у. Q Сложив почленно все три уравнения, получим интегральное выраже- ние d(x + у + z) = 0, т.е. х + у + z = Ci. Умножим первое уравнение на х, второе на у, третье на z и полу- ченные результаты сложим почленно. Получим другую интегрируемую комбинацию х^ + y~dt + Z^dt = °’ Т’е’ + 2/2 + = °’ откУда х2 + у2 + z2 = С2. Эти два соотношения уже можно использовать для того, чтобы из исход- ной системы получить одно дифференциальное уравнение относитель- но одной неизвестной функции. Но мы попробуем использовать только первое соотношение, из которого имеем z = Ci — х — у. Подставим это выражение для z в первые два уравнения: х' = 2у — Ci + я, у' = -2x-y + Ci. Дифференцируя первое уравнение по t, подставим затем выражение для у' из второго уравнения: х” = 2у' + х' = —4х — 2у + 2Ci + х'. А теперь из полученной системы х' — х -I- 2у — Ci , х" = х* - ^х -2у + 2Ci к исключаем у — получим х” + Зя = Ci, откуда х = С2 cos Vst -I- Сз sin y/St + |Ci. о Из уравнения xf = 2у — Ci + х находим у = (я' — я + Ci), т. е. У = ^л/3(?з — COS — 2 + С3) sin y/St -I- дС*1. Наконец, z = Ci — я — т/, т. е. z = — ^л/ЗС?з 4- С?2^ cos л/з^ + (^С2 — sin л/З^ + 119
Решить системы уравнений: 2.8.13. 2.8.15. 2.8.16. ' dx _ 1 dt 2/’ dy _ 1 .dt x' (dx = y^_ J dt x’ | dy _ a:2 t dt ~ У f dy __ z — 1 J dx ~ 1 | dz _ 1 {dx у — x' 2.8.14. 3/(0) = -1, z(0) = 1. 'dy _________ di {z -у)2' az _ . dx У___ -у)2' z 2.8.17. У = ~z> Решить систему z2 где у = y(t), z = z(t). lz' = ~y> Q Продифференцируем первое уравнение: у" = —z'. Подставив z' из z2 второго уравнения системы, получаем у" = — —. Поскольку из пер- вого уравнения (у1)2 = z2, приходим к уравнению относительно одной -(г/')2 функции: у" = —-—, или уу" -I- (т/)2 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (уу'У = 0, откуда уу1 = С±. Разделяя переменные, получим ydy = Ci dt, откуда = Cit + С2, т.е. у = ±5/2(61* + С2). Функцию z находим из первого уравнения исходной системы: 2-/2(Ci* + С2) И окончательно, У = ±\/2(Ci* + C2), • 2/6*1* + C2 !x' = 2x + 3v, y=6x- y. О Данную систему решим матричным способом, используя собственные числа и собственные векторы матрицы правой части системы. Обозначим через /п о \ матрицу системы. Составим характеристическое уравнение det (Л — кЕ) = 0, т.е. 2-к 3 6 -1-fc Приходим к уравнению к2 — к — 20 = 0 с корнями fci = —4, fc2 = 5. 120
Находим собственные векторы. При к = — 4 имеем: 6С1 + ЗС2 = О, Ci = 1, С2 = —2 и собственный вектор имеет вид ( . При к = 5 имеем: -ЗС1 +ЗС2 = 0, Ci = 1, С2 = 1, собственный вектор /С2\ имеет вид I @. Составляем общее решение системы (х\ _ ( сг \ к1Х (С2\ к2Х _ ( С^х + С2ек*х \ \у) ~ \-2Ci) \<?2/ “ V-2C1C*11 + С2ек*х) ’ х = Ci е~4® + С2е&х, у = —2(7ie-4® + С2е5х. {X1 — X + у, у' = —X + у — Z, z' = 3у + z. Q Матрица системы имеет вид / i 1 0 \ А= 1-1 1 -1 I . \ ° 3 1 / Отсюда характеристическое уравнение 1-к 1 О -1 1-к -1 = 0 О 3 1-к с характеристическими числами ki = 1, к2 = 1 + 2г, кз = 1 — 2г. Собственный вектор, отвечающий собственному числу fci = 1, полу- чаем из системы ( „ „ I -(71 - С3 = 0, 1 ЗС2 = 0, Ci € ]R, вектор / 1 \ V2 0 представляет собой нормированный (единичный) вектор отвечающий собственному числу fci = 1 (хотя переходить к единичным векторам не- обязательно). 121
Собственному числу Лт2 = 1 + 2г отвечает комплексный собственный вектор, получаемый из системы —2гС1 Н- С2 = О, < — Ci — 2гС2 — Сз = О, ЗС2 - 2гСз = О [<?! = 1, \ С2 — 2г, [с3=3 или 3 \л/б/ С*2 G IL Аналогично для fc3 = 1 — 2г: имеем 2гС1 Н- С2 — О, < “Ci + 2гС2 — Сз — О, ЗС2 - 2гСз = о или Е IR. Общее решение системы можно записать в виде \75/ Ci е4 С3 • е^*. О v/§/ Осталось покоординатно взять от правой части действительную часть: х = -^е4 + -^=е4 cos 2t + Ц=Сзе4 cos 2t, ч/2 ч/б V6 < у = ^^-е4 sin 2t - ^^е4 sin 2t, ч/б ч/б z = —|=Cie4 + -^=Сге4 cos2t + -^Сзв4со8 2£. ч/б ч/б ч/б Решить системы уравнений (все функции аргумента t): 2.8.20. х" = у, у" = х. 2.8.21. dy Tt=xy' dz dy Л + Л =2 + l»' 2.8.22. х' = X — у + Z, <у' = X + у - Z, z' = -у + 2z. 122
Дополнительные задания решить системы уравнений: ’ dy. = 1-1 f (ty 2.8.23. dx Z 2.8.24. < dx yz^ dz = 1 dz _ x I dx у - X dx 3/z- ' dx __ x-y ' dy_ dt z — t' 2.8.25. < dx = sin x — 2y — z, 2.8.26. < dy _ X-y dz < dx = cos x 4- Ay + 2z. dt dz ~ z — t' » dt = x-y + 1. О Я Q7 dz dy _ dz l + \ CM 1 r—1 1 1 H 1 Контрольные вопросы и более сложные задачи 2.8.28. Есть ли разница в записи собственных векторов матрицы в об- щем виде или в нормированном виде? Решить системы уравнений: 2.8.32. 2.8.29. 2.8.31. r dx = За; — у 4- z, . ..a dt dx = У- . dy dt = — x 4- by — z, 2.8.30. < dt dy ®2’ = dz . dt f dx At = x - у 4- 3z. = 3z + by, k dt y2 CLl * dy dt при = —2x — 8y, условии a;(0) = = 2, J/(0) = 5. ' dx _ dt dy = . dt —2x — Ay + 1 4- 4f, -x + y + |t2. 2.8.33. x' = 3x 4- Ay + 2z, < у’ = X 4- Ay 4- z, kz' = Ax + 6y + 5z. 2.8.34. 2.8.35. = 2x + у - 2z - t + 2, dt , dV 1 л'1"1' ^=x + y-z-t + l. dt _ dx _ ^3/ t2_x2_y2 2tx 2ty' 123
2.8.36. t • dy = (tx + ty 4- 2x - t) dt, t- dx = (t - 2x) dt. к КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Найти общее решение дифференциального уравнения (1 -I- х2)у" + 2ху' = 7х3. 2. Решить задачу Коши: у" у3 = 4/-0,25, у(0) = -1=, у'(0) = ^. V " 3. Найти общее решение дифференциального уравнения у" - 3j/' + 2у = (4а + 9)е2ж. 4. Найти общее решение дифференциального уравнения у" -I- Зу1 + 13з/ = е"3® sin 2х. 5. Найти решение задачи Коши: ’" + 4’ = S^' Hl) = 2’ »'(i)=,r- 6. Решить систему дифференциальных уравнений х' = х + 2/ + Зе*, у' = 2х - у + cos 2t. к Вариант 2 1. Найти общее решение дифференциального уравнения х4у" +х3 у' = 10. 2. Решить задачу Коши: у"у3+4 = 0, у(1) = 2, 2/"(1) = 2. 3. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + Зу1 + 2у = (1 — 2х)е~х. 4. Найти общее решение дифференциального уравнения у" -I- 4т/ - Зу = 2х3е~2я: sin За:. 5. Найти решение задачи Коши: у"-3у' + 2у = -1- у(0) = 1 + 8 In 2, у'= 7 In 4. о + е 6. Решить систему дифференциальных уравнений < х1 = 2х -I- Зу - е*, у1 = х - Зу - sin 2t. 124
Вариант 3 1. Найти общее решение дифференциального уравнения (х2 + 1) • у" + 2ху' = х(х2 + 1). 2. Решить задачу Коши: у" - 8 sin3 ycos у, у(1) = у'(1) = 1. 3. Найти общее решение дифференциального уравнения у"-2у'-Зу = (8х + ^е~х. 4. Найти общее решение дифференциального уравнения у" - 8у‘ -9у = (2х + l)e4® sin 5х. 5. Найти решение задачи Коши: л-За; ^~3^ = Л —з»’ 2/(0) = In 4, j/'(0) = 31п4 - 1. 3 + е лх 6. Решить систему дифференциальных уравнений {х1 = Зх - 2у + e-t, у' = 5а: + бу — 3 sin t. Вариант 4 1. Найти общее решение дифференциального уравнения х у +х у =д. 2. Решить задачу Коши: у" = 50 sin3 у cosy, у(1) = у'(1) = 5. 3. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 2у’ - Зу = (х2 + 2х- 3)е®. 4. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 4у‘ + 8у = (х + 2)е~2х cos За:. 5. Найти решение задачи Коши: у" + 3у' + 2у = —^, у(0) = 0, 2/'(0)=0. j. I ze 6. Найти общее решение линейной системы дифференциальных уравне- ний у1 + 2х - Зу - Зе2* = 0, а:' + а: + 4$/ + cos f = 0. 125
Вариант 5 1. Найти общее решение дифференциального уравнения (1 -F х2)у" -I- 2ху' = х3 +х. 2. Решить задачу Коши: у" = 16зД 3/(4) = 1, у1 (4) = 4. 3. Найти общее решение дифференциального уравнения у" — + 4у = (2х2 — Зх + 2)е2ж. 4. Найти общее решение дифференциального уравнения у" - 2у‘ + Зу — (2х - 3)ех cos 2х. 5. Найти решение задачи Коши: у"-У = ТТ^’ у(0) = 31пЗ, у'(0) = 21пЗ — 1. J. “Г 6. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений х1 + у1 + 2х - Зу - е* = О, 2х' — Зу' + х — 2у + cost = 0.
Глава 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ □ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Определение и геометрический смысл двойного интеграла Пусть D — некоторая замкнутая область в плоскости Оху, на которой определена непрерывная функция двух переменных z = f(x,y). Разобьем об- ласть D на п «элементарных областей» Dt (г = 1,п), площади которых обо- значим соответственно через AS,. Теперь в каждой области Di выберем про- извольную точку Mi(xi,yi) (рис. 9), после чего составим сумму п Оп = 52 f(Xi, i=l которая называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D. Рис. 9 Обозначим через d наибольший из диаметров областей Di. Тогда стремле- ние d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на «элемен- тарные области» Di (и, как следствие, стремление п к оо). Если существует конечный предел интегральных сумм ап при d —> 0, не зависящий от разбиения на области Di и выбора точек Mi, то этот предел называется двойным интегралом функции f(x,y) по области D и обозначается УУ f(x,y)dS или уу f(x,y)dxdy. D D 127
В этом случае говорят, что функция f(x,y) интегрируема на области D. При этом функция f(x,y) называется подынтегральной функцией, а область D — областью интегрирования. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то она интегрируема. Теорема 3.1. Если f(x,y) 0 и непрерывна в области D, то интеграл f(x,у) dS D выражает объем тела, ограниченного снизу областью D, сверху — поверхно- стью z = f(x,y), а с боков — цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 10). В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла. В частности, если f(x,y) = 1, то jj f(x,y)dS равен площади области D: D S(D) = ff dS = jJ dxdy. D D Свойства Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. 128
1. Линейность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области D, to УУ (a • f(x, y)±&' g(x, y)) dxdy = a JJ f(x, y) dxdy + @ у) dxdy D D D (а и fl — постоянные числа). В частности, УУ af(x,y) dxdy = a J J f(x,y) dxdy, D т. е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла. 2. Монотонность. Если функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны на области D и всюду в этой области f(x,y) д(х,у), то У[ f(x, у) dxdy < JJ д(х, у) dxdy. D D Таким образом, неравенства можно почленно интегрировать. В частности, если т f(x,y) ЛГ, V(x,y) 6 D , то т S УУ /(ж, у) dxdy ^M‘S, D где S = S(D) — площадь области D. Данные неравенства называются оценкой интеграла. Еще одно следствие: если f(x,y) 0 на области Z>, то fix,у) dxdy 0. D 3. Теорема о среднем значении. Теорема 3.2. Если функция f(x,y) непрерывна на области D, то существует точка Мо(хо,уо) 6 D такая, что У[ fix, у) dxdy = /(®0, !/о) S, или fix, у) dxdy = f(x0, уо). D D При этом значение /(яо,?/о), т.е. число i// f(x,y>dxdy’ D называется интегральным средним значением функции f(x,y) в области D. 4. Аддитивность. Если область D представляется в виде объединения двух областей Di и Z>2 без общих внутренних точек, то f(x, у) dxdy = f(x,y)dxdy+ Ц f(x,y)dxdy. D Di Dq 5 Сборник задач по высшей математике. 2 курс 129
5. Для любой функции f(x,y), непрерывной на области, D имеет место неравенство УУ f(x,y)dxdy < уу\f(x,y)\dxdy. Вычисление двойного интеграла Предположим, что область D можно задать в виде системы неравенств: У1 (z) О У2<х)- Геометрически это означает, что каждая вертикальная прямая х = хо (а < хо < Ь) пересекает границу области D только в двух точках Mi и М2 (рис. 11), которые называются соответственно точкой входа и точкой выхода. Тогда Ь У2^х) ff f(x,y)dxdy - f dx У f(x,y)dy. D У1(х) Рис. 11 Рис. 12 Если же область D (рис. 12) можно задать в виде системы неравенств: то d х2(у) f(x,y)dxdy = У dy У f(x,y)dx. D c Xi(y) Интегралы, стоящие в правых частях приведенных равенств, называют- ся повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядком интегрирования. Интеграл, содержащий функцию /(ж, у), называется внутрен- ним, другой — внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком 130
дифференциала, принимается постоянной. Затем вычисляется внешний инте- грал (таким образом, интегрирование в повторном интеграле идет справа на- лево) . Каждый из них вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница, как определенный интеграл. Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на ко- нечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координат- ным осям (см. рис. 13). При вычислении двойных интегралов по таким обла- стям следует применить свойство аддитивности (свойство 4). Рис. 13 Рис. Ц 3.1.1. Оценить интеграл JJ(я + У - 5) dxdy, D где область интегрирования D — это круг х2 + у2 16. Q Необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y) = х + у — 5 на круге х2 + у2 16 и применить оценку из свойства 2. Функция z = х + у принимает значение 0 на прямой х + у = 0. На прямых х + у = С, параллельных прямой х + у = 0, функция z принимает значе- ние С. Следовательно, функция z = х + у (а значит, и функция /(ж, у)) принимает на круге максимальное значение в точке М (2д/2,2д/2) (см. рис. 14) и минимальное значение — в точке N(—2y/2,—2y/2). При этом имеем f(M) = 4\/2 — 5 и f(N) = —4д/2 —5. Поскольку площадь круга рав- на 7гЯ2 = 16тг, то согласно свойству 2 двойного интеграла (т = —4д/2 — 5 и М = 4\/2 — 5), получаем —16тг(4\/2 + 5) < УУ(ж + У ~ 5) dxdy < 16тг(4\/2 — 5). • D 131
3.1.2. Оценить интеграл (4ж2 + у2 - 2) dxdy, D где область интегрирования D — круг х2 + у2 16. Q Так как 4ж2 + у2 — 2 0, то оценка снизу 4ж2 + у2 - 2 -2, У(ж, у) е е R2 очевидна. Поэтому можно принять т = — 2 = /(0,0), где f(x,y) = = 4ж2 +у2 — 2. Чтобы вычислить М = шах /(ж,у), воспользуемся пара- (a?,3/)G£> метрическими уравнениями окружности: х = 4cost, у = 4sint, t 6 [0,2тг]. Тогда при любом t /(4 cos t, 4 sin t) = 64 cos21 + 16 sin21 — 2 = = 16(sin21 + cos2 t) + 48 cos2 t - 2 = 48 cos2 t + 14 < 62, т. к. cos2t 1. Вместе с этим f(x,y) принимает значение M = 62 при t = 0, т. е. М = /(4,0) = 62. Отсюда, учитывая, что площадь S круга ж2 + у2 16 равна 16тг, получаем оценку -32тг < уу (4ж2 + у2 - 2) dxdy < 992тг. • D Оценить интегралы: 3.1.3. Ц(х + у + 1) dxdy, где D — круг х2 + у2 4. D 3.1.4. f f cos —— dxdy, где D — эллипс + у2 < 1. Я х2 + Зу2 + 2 3 3.1.5. fj\x + xy — x2— у2) dxdy, где D — прямоугольник 0 х 1, D 0 0^2. 3.1.6. JJ(ж2 - у2) dxdy, где D — круг х2 + у2 < 2х. D 7 х2 3.1.7. Вычислить повторный интеграл I = J dx J dy. о о Q Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона-Лейб- ница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего ин- теграла. о х 7 о 3 Зх ч 3.1.8. Вычислить повторный интеграл I = J dx ^dy. 1 х 132
Q Множитель (он не зависит от у, поэтому может считаться постоян- ным для внутреннего интеграла) можно вынести за знак интеграла, т. е. перенести во внешний интеграл: 3 Зх 3 / 9 о \ 3 3 _ о M=/^(H9=2/^8x2=Vidi=4-yir16' la? 1 4 7 1 1 Вычислить повторные интегралы: а \/х 3.1.9. J dx J dy. о о 2 1 3.1.11. J dy J(ж2 + 2у) dx. о о з 5 3.1.13. J dy J (x + 2y)dx. -3 j/2-4 2 In у 3.1.10. J dy J ex dx. 1 о 4 2 3.1.12. J dx j\x + y)~2dy. 3 1 3.1.14. Вычислить двойной интеграл I = / / —-—- dxdy, где D — пря- 1 + Г моугольник O^i/^l. Q Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирова- ния известны, поэтому 2 1 1 = fx2dx. /•_^_ = ^|2.arctgJ1=|.5 = ^. J J 1 + v2 з Io 3 4 3 О О y Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от Друга определенных интегралов, поскольку результат вычисления вну- треннего интеграла есть число. • 3.1.15. Вычислить двойной интеграл I = Г [-у dxdy— где р — (1 + х2 + у2}3/2 квадрат 0^ж^1, 0^27^1. Q Данный двойной интеграл можно представить в виде повторного дву- мя способами: rdxf—„л„ Ldy г— / I (1 + ®2 + у2)3/2 J J (1 + X2 + у2)3/2 Визуальное наблюдение показывает, что проще брать первый интеграл, так как его внутренний интеграл легко сводится к табличному. Таким 133
образом, считаем первый интеграл: I = }dxh Ф+*2+*/2) _ }( i ру J J 2 (1 + ж2 + у2)3/2 J\ ^/1 + ж2 + 2/2 10/ = [ ( 1-------1 ) dx = Г1п(яг + л/1 + ж2) - 1п(ж + у/2 + ж2)11 = J кх/ГТж2 у/2 + хЧ L Jlo = ln(l + x/2)-ln(l + \/3) + lnv^ = ln^^. • Вычислить двойной интеграл по данной области D: 3.1.16. уxydxdy, где D: 0 < х < 1, 0 < у < 2. D 3.1.17. [f , где D: 0 х 1, 0 у 1. Л O + 2/4-1)2 3.1.18. [ [ Х^Х<^У , где D: 0 ж 2, ж у ху/3. {/ х2 + у2 3.1.19. [[ где £>: 1 ж 3, 2 у 5. Л (ж + 2у)2 3.1.20. Вычислить интеграл I = ff Х^Х^У , где область D — парабо- х2 + у2 лический сегмент, ограниченный параболой у = ^х2 и прямой у = х. Q Изобразим область интегрирования D (рис. 15). Так как прямая у = х и парабола у = ^х2 пересекаются в точках 0(0,0) и А(2,2), то область [0 0^2, D определяется системой неравенств < х2 Рис. 15 134
Теперь вычислим искомый интеграл I: i = fxdx f ^-- = О д.2 У 0 4 2 2 2 = у (arctg 1 - arctg |) О 2 2 dx = J dx — J arctg ^dx = о о ^(laretgl-lh^ + ^j) |’= 1-2-I + 1»2 = 1„2 (интеграл J arctg dx был найден интегрированием по частям). Вычислить интегралы: 3.1.21. уу(4 — х2 — у2) dxdy, где область D ограничена линиями х = О, D у = 0, х = 1, у = 1,5. 3.1.22. уу(3 — х — у) dxdy, где D — круг х2 + у2 < 1. D 3.1.23. уУ xydxdy, где D — круг (ж — I)2 + (у — I)2 1. D 3.1.24. уу у/х2 +у2dxdy, где D — круг х2 + у2 — 2ах < 0. D 3.1.25. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 6 3+712+4®-х2 J dx J f(x,y)dy. -2 3-712+4ж-я2 Ci Учитывая пределы интегрирования, представим область D в виде системы неравенств -2 6, 3 - >/12 + 4х-х2 < у < 3 + а/12 + 4ж - х2. Графики функций у\ = 3 — а/12 + 4х — х2 и у2 = 3 + д/12 + 4х — х2 представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю полуокружно- сти окружности (у — З)2 = 12 + 4х — х2, или (ж — 2)2 + (у — З)2 = 16. Таким образом, область интегрирования D — круг радиуса 4 с центром в точке (2,3) (рис. 16). Зададим этот круг другой системой неравенств. Если спроектировать его на ось Оу, то получим отрезок [—1,7], откуда имеем первое неравенство — 1 у 7. Выразив далее х из уравнения окружности, получим соответственно уравнения левой и правой полу- окружностей xi = 2 — 06 — (у — З)2 и я?2 = 2 + 06 — (у - З)2. Теперь 135
область D можно записать так: D : -1 <У < 7, 2 - ^/16 - (у - З)2 х 2 + ^/16 - (у - З)2. Таким образом, после замены порядка интегрирования исходный повтор- ный интеграл можно записать в виде 7 2+-^/16 —(у—З)2 J dy j f(x,y)dx. -1 2-/16-(»-3)’ Рис. 16 Рис. 17 у/2 У2/2 3.1.26. Изменить порядок интегрирования J dy J f(x,y)dx. -у/2 2/2-1 Q При разборе этого примера используем другой подход. Область ин- тегрирования D задается системой неравенств д/2 у ^ч/2, Геометрически это означает следующее: каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки отрезка [—\/2, л/2] оси Оу, пересекает сначала (при движении слева направо) параболу х = у2 — 1 (назовем ее линией входа в D), а затем параболу х = -% (назовем ее линией выхода из D) — см. рис. 17. При перемене порядка интегрирования нужно спроектировать область интегрирования D на другую ось (ось Ох) и обнаружить линии входа и выхода при движении снизу вверх вдоль вертикальных прямых. 136
2 Параболы х = ^-их = у2 — 1 пересекаются в точках В(1, — у/2) и £ у2 С(1, \/2) (действительно, приравнивая уравнения парабол, имеем = ~у2-1&у2 = 2& у = ±д/2). Таким образом, проекция области D на ось Ох — отрезок [—1,1]. Из рисунка видно, что на участке х е [—1,0] точки входа и выхода расположены на ветвях одной параболы, а на участке х 6 [0,1] — на ветвях разных парабол. Сначала определим ветви у2 этих парабол, решая относительно у уравнения х = у2 — 1 и ж = у на соответствующих участках. Получаем: у = ±^х + 1 и у = ±х/2х, х 0. Первое равенство соответствует дугам АС (знак «плюс») и АВ (знак «минус»), второе — дугам ОС и ОВ (рис. 17). Тем самым, область D разбивается на три отдельные области Di, Z>2 и Вз, т. е. D = Di UB2UB3, где Di : D2: D3: Исходный интеграл напишем в виде двойного 72 У2/2 j dy J f{x, y)dx = f(x, y) dxdy, -y/2 2/2-l d и применяя свойство адаптивности двойного интеграла, запишем ответ о л/я+1 f [ у) dxdy = J dx j f(x, y) dy+ D -1 -y/x+T 1 — y/2x 1 y/x+1 + j dx j f(x,y)dy + J dx J f(x,y)dy. • o -y/x+1 о хЛж Изменить порядок интегрирования: 3 3-2/ 1 2-2/ 3.1.27. у dy у f{x,y)dx. 3.1.28. J dy J f(x,y)dx. 0 0 0 2/ 0 3 3 3 3.1.29. у dx у f(x,y)dy + J dx J f(x,y)dy. —3 — x 0 x О V1-»2 72/2 x/1-»2 3.1.30. J dy у f(x,y)dx+ у dy J f(x,y)dx. 72/2 -У 0 у 137
3.1.31. Вычислить интегральное среднее значение функции z — 12 — — 2х — Зу в области D, ограниченной прямыми 12 — 2х — Зу = О, ж = 0, у = 0. Q Область D — треугольник О АВ, где 0(0,0), А(6,0), В(0,4) — рис. 18. Рис. 18 По определению интегральное среднее значение функции z(x,y) в области D равно JJ z(x,y)dxdy, где S — площадь области D (свой- ство 3). d Площадь S вычисляем по формуле площади прямоугольного тре- угольника: S = |ОА| • \ОВ\ = 12. Остается вычислить интеграл по обла- сти D, которую можно задать неравенствами 0 ж 6, 0^27^4 — ^х. Имеем . 2 6 4_зж УУ (12 — 2х - Зу) dxdy = J dx J (12 - 2х — Зу) dy = D оо 6 4-- J dx (12y - 2xy - ^y2) |o 3 0 12 — 2a? 3 dx = 0 6 о 6 Г = / -1( 0 L 3 /12 —2х\2 < 3 , ) dx = 3 2 = /1(12-2^ = о 48 Таким образом, искомое интегральное среднее равно т.е. 4. Вычислить интегральные средние значения данных функций в указан- ных областях: 3.1.32. f(x,y) = 2х + у, D — треугольник О АВ с вершинами 0(0,0), А(0,3), В(3,0). 3.1.33. f(x,y) = х + бу, D — треугольник, ограниченный прямыми у = х, у = Зх, х = 1. 138
3.1.34. f(x,y) = y/R2 — x2 — у2, D — круг x2 + у2 R2. 3.1.35. f(x, y) = x3y2, D — круг x2 + у2 R2 Дополнительные задания Оценить интегралы: 3.1.36. 3.1.37. 3.1.38. 3.1.39. С С . х + у + 10 / / sin -5----5—- dxdy. J J x2 + y2 + 5 а?2+з/2^4 УУ xy(x + y) dxdy. О^а^З 0^3 if (я2 + 3/2 “ 2лА2 +y2) dxdy. 0^a?^2 O^2/^2 УУ (ж2 + у2 — 4x - 4y + 10) dxdy. (a?-l)2+4(2Z-2)2^4 Определить знак данных интегралов: 3.1.40. уу 1п(ж2 + у2) dxdy. 3.1.41. JJ у/1 — х2 — у2 dxdy. |а?| + |2/|^1 a?2+j/2^4 ЗЛ.42. ff arcsin(x + у) dxdy. Двойной интеграл jj f(x,y) dxdy по заданной области представить в D виде повторного двумя способами. Сделать чертеж, области интегри- рования: 3.1.43. D ограничена линиями у = 0, х = 5, у = х. 3.1.44. D — треугольник с вершинами в точках А(—1,—1), В(1,3), (7(2,-4). 3.1.45. D — параллелограмм ABCD с вершинами А(—3,1), В(2,1), <7(6,4), Г>(1,4). 3.1.46. D — круг (ж — 2)2 + (у — З)2 4. 3.1.47. D ограничена линиями у = ж2, х = у2. 3.1.48. D ограничена линиями у = ж3, х + у = 10, х — у = 4, у = 0. Изменить порядок интегрирования: 2 2х 2 \/2х—х2 3.1.49. У dx [ f dy. 3.1.50. / dx J / fdy. 0 J X 1 J 2—х 139
3.1.51. 3.1.53. 3.1.55. J dx f f dy. 0 a?3 1 1-x2 J dx J f dy. ~1 —x/1—a?2 4 12a? J dx f f dy. О 3a:2 3.1.52. e In a? J dx j f dy. i о 3.1.59. 3.1.61. 3.1.57. a \/a2—x2 I dx J f dy. 0 a2-a?2 2a a \/2ax—x^ J dx j f dy. a/2 0 3.1.54. 3.1.56. 3.1.58. 3.1.60. 2tt sin x Jdx j f dy. 0 0 2a V^ax Jdx J f dy. 0 \/2ax—x2 1 1-2/ J dy J f dx. 0 -V1-»2 Вычислить двойные интегралы: 3.1.62. J[ xsin(x + у) dxdy, если D: 0 < x < тг, 0 < у < D 3.1.63. J{ x2y cos(a?2/2) dxdy, если D: 0 < x < , 0 < у < 2. D 3.1.64. Jf(ж3+з/3) dxdy, где D ограничена линиями x—2y = 0, x—у = 0, D x = 4. 3.1.65. f f dxdy, где D ограничена линиями x = 0, у = 0, x = 1, JDJ (* + 2/)3 У = 1- 3.1.66. J J y2 sinx dxdy, где D ограничена линиями x = 0, у = 0, x = тг, D у = 1 + cos x. 3.1.67. J J y2 sin2 x dxdy, где D ограничена линиями x = —у = 0, D x = ^, у = 3cosx. 3.1.68. yy (x + y3)dS. l^a?^2 O^2/^2 3.1.69. /f ^2 dxdyi где ограничена линиями x = 2, у = x, у = d У 140
3.1.70. yy xydxdy, где D — треугольник АВС с вершинами; А(0,0), D В(1,0), С(0,1). 3.1.71. уу у dxdy, где D ограничена линиями у = 0, у = \/х, у + х = 2. D Найти интегральное среднее значение данной функции f(x,y) в указан- ной области D: 3.1.72. f(x,y) = ех+у] D — квадрат 0 я 1, 0 3/ 1. 3.1.73. f(x,y) = sin2 а; • sin2 у; D — квадрат 0 я тг, 0 з/ тг. 3.1.74. f(x,y) = х2 + 2у2 + ху, область D ограничена линиями х = О, у = 0, x + y = 1. 3.1.75. f(x, у) = соз(ят+з/); область D ограничена линиями х = 0, у = тг, У = х. Контрольные вопросы и более сложные задания 3.1.76. Привести примеры функции f(x,y), для которой формула из теоремы о среднем значении верна для любой точки из области D. 3.1.77. Почему в определении двойного интеграла условие d -4 0 не- льзя заменить условием п -> оо? 3.1.78. Как можно с помощью двойного интеграла выразить объем те- ла, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), а снизу — поверхностью z = g(x,y), заданных на одной и той же обла- сти D? [Функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны и f(x,y) д(х,у) ЫеО]. Изменить порядок интегрирования: 2 3.1.79. у dx -2 1 3.1.80. у dx о 4 3.1.81. у dx о о 3.1.82. fdy -2 74^ / fdy. 2 У fdy + уdx о 1 л/4я—я2 / fdy. — X 1/+1 7Г У fdx + у dy -1 о 1 —^/4х—3 / fdy. о cos у У fdx. -1 141
Представить в виде повторных двойной интеграл ff f(x, у) dxdy, D 3.1.83. 3.1.84. 3.1.85. 3.1.86. если область D ограничена линиями: У = -х2 + 3х, у = у = 1 4- sin х, у = —1, х = 0, х = 2тг. х2 4- у2 = 2а2, х2 = ау (а > 0). х2 4- у2 = ах, х2 +у2 = 2ах, у = 0 (а > 0). Вычислить интегралы: 3.1.87. ff (х + У) dxdy, D ограничена линиями х = 0, у = х2 4- 2х — 3, D 2у = Зх. 3.1.88. // xydxdy. 3.1.89. ff (2х2у - ху2) dxdy. (®-2)2+j/2^1 0Са<1 3/^0 ff \ dxdy, D ограничена линиями у = ^х, у = у/х, х = 1. D Х г г dxdy J J Л /л2 z»»2 7/2 3.1.90. 3.1.91. /у я2+3/2^а2 3.1.92. ff (х2 + 2/) dxdy, D ограничена линиями х — 2у = 0, 2х — у = О, D ху = 2. Оценить интегралы: 3.1.93. // (ж2 4- 4j/2 4-10) dxdy. я2+з/2^9 3.1.94. ff (х2 + у2) dxdy. 3.1.95. 3|x|+4|3Z|^12 3.1.98. fj (1 - х2 - у2) dxdy. (x-l)2+(3/-l)2^l ff (х + у + ху) dxdy. 1<х^2 2^з/^3 Почему данные двойные интегралы зависят от порядка интегрирова- ния? 3.1.97. е у2 dxdy. У3 J O^a^l (k^l 142
г г х2 — И2 3.1.98. // dxdy. J J (х* + VZY О^з/^1 3.1.99. Оценить сверху интеграл I = (х 4- ху — х2 — у2) dxdy. О^.х^.1 О^з/^2 §2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ Рассмотрим двойной интеграл У[f(x, у) dxdy D в прямоугольных координатах (х, у}. Предположим, что переменные х и у явля- ются функциями двух переменных и и v, т. е. х = х(и, v), у = у (и, v), и эти функ- ции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по и и v в некоторой замкнутой области G плоскости Ouv. Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D. Тогда имеет место равенство УУf(x,y)dxdy = jjf[x(U) v\y(U) v)] • |J(u, v)\dudv, где D G J = J(u, v) = dx du dy du dx dv dy dv называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определи- тель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически | J(u, v)| dudv выражает элемент площади в области G, а 1^(п, г>)| — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D. Координаты (u, v) называются криволинейными координатами точки (ж, ?/), поскольку уравнения ж(и, v) = const и y(u,v) = const представляют не- которые линии, вообще говоря, кривые, в области G. Интеграл У/[я(ц, t>),?/(u,t;)] • |J(u, г>)| dudv G называется двойным интегралом в криволинейных координатах. Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (г, <р). Они связаны с прямоугольными ко- 143
ординатами формулами х = г cosy?, у = г sin у? (г 0, 0 у? < 2тг). Якобиан преобразования в этом случае равен дх дх -z \ ^у? _ cosy? —г sin у? _ ' ’ ду ду ~ sin у? г cos у? “ ’ дг dip a dxdy = г drdip — элемент площади в полярных координатах. При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам Jf f(x, у) dxdy = уу/(г cos у?, г sin <р) г drdip, D G К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, ко- гда область интегрирования круг или часть круга. Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат. 3.2.1. Вычислить двойной интеграл УУ (2а: + у) dxdy D по области ограниченной прямыми у = 2х — 3, у = 2ж + 5, у = —х 4- 7, у = —х — 1. Q Область D — параллелограмм АВС К (рис. 19 а). Хотя подынте- гральная функция и область интегрирования просты, вычисление данно- го интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убе- дитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде у — 2х = —3, у — 2х = 5, у + х = 7иу + х= —1, перейдем к новым координатам, для чего обозначим Имеем и = у - 2х, v = у 4- х, откуда дх дх _ 1 ди dv _ 3 ду_ ду 1 ди dv 3 1 3’ т.е. |J| = В новой системе координат (u,v) область G ограничена прямыми и = —3, и = 5, v = —1, v = 7, т.е. представляет собой прямо- угольник (рис. 19 6), а подынтегральная функция равна 2i + s = 2(_| + ^ + (| + ^=_| + 4„. 144
Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобра- зует параллелограмм АВС К в прямоугольник А1В1С1К1, вторая си- стема — наоборот, преобразует прямоугольник А1В1С1К1 в параллело- грамм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому J < 0. Переходим к вычислениям: 5 7 JJ (2x+y)dxdy = JJ | J du j\-u+4v)dv = АВСК AtBtCtKt -з -1 5 7 5 = ф fdu(-uv + 2v2)| 1= i y*[(-7u + 98) - (u + 2)]du = -3 -3 5 l(-4u2 + 96u)|5 =Z§4. 9 1-3 9 3.2.2. Вычислить УУ xydxdy, D где D — область, ограниченная кривыми у2 = 4х, у2 = 9ж, ху = 1, ху = 5. Q Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить преде- лы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по пря- моугольнику. Введем новые переменные и и v при помощи равенств у2 = их, ху = и. Выразим отсюда переменные х и у через и и и: х = У = %/uv- 145
Находим якобиан полученного преобразования J(u, v) oil %и~з о 1 1 _2 •V з о 1 3u’ откуда, с учетом того, что х > 0 на области Р, а значит, и = > О, имеем |J(u,v)| = Таким образом, исходный интеграл в плоскости Ouv имеет вид // • ^dudv = I ff£dudv- G G Граница области G описывается линиями и = 4 (так как одна из фор- мул преобразования имеет вид у2 = их, то линии у2 = 4т в плоскости Оху соответствует линия и = 4 в плоскости Ouv), и = 9, v = 1, v = 5 (рис. 20 6). Поэтому область G имеет вид 4 и 9, 1 v 5 (т. е. предста- вляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще: 95 О I = l//^dudv = lf = ilnuL’y|i=81n2- • G 4 1 Выбирая подходящие замены переменных, вычислить двойные интегра- лы, заданные в прямоугольных координатах: 3.2.3. 3.2.4. //где D ограничена линиями у = — |я+5, у = х-1-1, D 1 7 у = х - 3, у = -^х 4- д. Уdxdy, где D — параллелограмм со сторонами на прямых D у = х, у = х + 3, у = —2х 4-1, у = —2т 4- 5. 146
3.2.5. 3.2.6. 3.2.7. УУ у/xydxdy, где D ограничена кривыми у2 = ах, у2 = Ьх, D ху = р, ху = q (0 < а < 6, О <р < q). JJ(х + у) dxdy, где D ограничена прямыми х + у = 4, х + у = 12 D и параболой у2 = 2х. Вычислить интеграл I х2 — у2 dxdy, D где D — круг х2 4- у2 2ах. Q Строим круг х2 +у2 2ах радиуса а с центром в точке (а, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной у (т. е. f(x, —у) = = /(я, ?/))> а область интегрирования симметрична относительно оси Ох. Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить: 2 ууу/4а2 - х2 - у2 dxdy. D/2 Рис. 21 Переходим к полярным координатам х = rcosp, у = rsin<^. Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим по- лярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. То- гда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств 0 г 2а cosq>, подынтегральная функция примет вид \/4а2 — г2, a dxdy = г dr dip. Таким образом, 7г/2 2а cos (р 1 = 2 j dp J у/4а2 - г2 • г dr = о о 7г/2 2а cos <р = 2 У dp у* у/4а2 - г2 • d(4a2 - г2) = о о тг/2 7 о \ 147
тг/2 о - 16„з тг/2 -I № о [a2 sin2 р) 2 = усГ <p|oZ + /(1 - cos2 <р) d(cos<p) = ya3 (f “ |) • cos2 p) 2 - (4a2) 2 j dp = тг/2 I dp = | у (8a3 - 8a3 sin3 p) dp = о о Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы: 3.2.8. 3.2.9. х2 — у2 dxdy. ®2+j/2^a2 3.2.10. 2^®2+1/2^4тг2 a Va2—x2 Вычислить повторный интеграл I = J dx J е®2 4-2,2 dy. о о Q Сначала преобразуем повторный интеграл в двойной: 3.2.11. I = JJ еХ +у dxdy, где D: D х\ Рис. 22 Область интегрирования представляет собой четверть круга (рис. 22 a), поэтому удобно перейти к полярным координатам (г, р). По- лярную систему координат изобразим также в виде прямоугольной (рис. 22 6). Тогда область G в системе координат Огр определяется си- стемой неравенств J 2 [О г С а, т.е. G — прямоугольник. Учтем также, что подынтегральная функция имеет вид er2(cos2^+sm2^) — е7*2. Следовательно, я/2 а I = JJ er*r drdp = J dp J er\dr = -|er21 = ^(efl2 - 1). • g oo 148
Вычислить интегралы, переходя к полярным координатам: а у/а2—у2 3.2.12. J dy J у/а2 — у2 — х2 dx. ° ^ау—у2 3.2.13. уд/я2 4- ?/2 — 9dxdy, D — кольцо, ограниченное окружностя- D ми х2 4- у2 = 9 и х2 -I- у2 = 25. а у/а2-у2 3.2.14. J dy J у/а2 - х2 - у2 dx. о о 3.2.15. ff(x2 + У2) dxdy, где область D ограничена окружностями D х2 +у2 = ах, х2 + у2 = 2ах и осью Ох (у 0). 3.2.16. Вычислить I = ff xVx2 + У2 dxdy, D где D — область, ограниченная лемнискатой (х2 -I- у2)2 = а2(х2 - у2), х 0. а Рис. 23 Q Заменяя х на г cos ip, а у rsin<£, получим на уравнение лемниска- ты (рис. 23) в полярных координатах г = ay/cos 2ip (cos2<^ 0 при Подынтегральная функция равна г2 cosip. В силу сим- метрии лемнискаты относительно оси Ох и четности подынтегральной функции относительно переменной у можно записать: 4 а у/cos 2(р 4 I = 2 JJ г2 cos <£• г dr dip = 2 f cos ip dip J r3 dr = ±a4 J cos2 2ip-cos ip dip = p ooo 2 7Г 7Г 4 4 4 4 = IT / (1 ~ si1*2 ^)2 d(sin= f (1-4sin2 ip 4- 4sin4 ip) d(sinip) = о о a4 ( • 4«з । 4 • 5 \ 14 2\/2 4 = y(sin^-3Sm ^+5Sm ^1о = -ТГа- * 149
Вычислить интегралы, переходя к полярным координатам: 3.2.17. уУ у/а2 — х2 — у2 dxdy, где D — полукруг х2 4- у2 С а2, у 0. D а у/а2—х2 3.2.18. у dx у у/х2 + у2 dy. о о 3.2.19. уУ у/а2 — х2 — у2 dxdy, где D ограничена лемнискатой D (ж2 + у2)2 = а2(х2 -у2), D 1 X2 у2 1 1 п 1----------- dxdy, где D — внутренность эллипса а2 Ь2 В следующих двойных интегралах расставить пределы интегрирования, применяя прямоугольные и полярные системы координат: 3.2.21. уу f(x, у) dxdy, где D ограничена окружностями х2 4- у2 = 4а?, D х2 4- у2 = 8х и прямыми у = х и у = 2х. 3.2.22. уу f(x, у) dxdy, где D ограничена прямыми у = 0, х = 1, у = х. D Дополнительные задания Вычислить двойные интегралы: 3.2.23. уу(ж2 + у2) dxdy, где D ограничена кривыми у = х, х -I- у = 2а, D х = 0. 3.2.24. уу y/ху — у2 dxdy, где D — трапеция с вершинами 4(1,1), В(5,1), С(10,2), К(2,2). 3.2.25. уу xydxdy, где D ограничена кривыми х -I- у = 2, х2 4- у2 = 2у D 3.2.26. уу(ж 4- 2у) dxdy, где D ограничена кривыми у = х2, у = у/х. D 150
Данные интегралы вычислить, переходя к полярным координатам: 3.2.27. ff \/9 - x2 — y2 dxdy, где D ограничена кривыми у = x, у = D = х/Зж, x2 + у2 = 9. 3.2.28. f[(х2 dxd^ где & ограничена окружностью х2 +у2 = 2Rx. 3.2.29. f[ dxdy, где D ограничена линией (х2 + у2)2 = 2ах3. 3.2.30. D ff \/R2 — х2 — у2 dxdy, где D — круг х2 + у2 Rx. Г) 3.2.31. и ff у dxdy, где D — полукруг (х — а)2 + у2 а2, у 0. ГЛ 3.2.32. и //^2 + dxdy> где & — КРУГ я2 + 0/ + 2)2 < 4. Г) 3.2.33. и ff arctg dxdy, где D — четверть круга х2 + у2 1, х 0, D у^0. 3.2.34. f[ dxdy, где D ограничена лемнискатой (х2 + у2)2 = 2а2ху. D Контрольные вопросы и более сложные задания * 3.2.35. Что выражает знак якобиана преобразования координат? 3.2.36. Почему при преобразовании координат в двойном интеграле необходима взаимная однозначность этого преобразования? 3.2.37. Почему функции х = x(u,v), у = y(u,v) используемые при замене переменных в двойном интеграле должны быть диффе- ренцируемыми (при (u,v) G G)? 3.2.38. Можно ли выполнить такое преобразование, чтобы соответ- ствующим интегралом вычислить длину кривой? 3.2.39. При составлении повторного интеграла получилась запись х Зх2 j dx у f(x,y)dy. а 2х—у Какой области D может соответствовать этот интеграл? В данных двойных интегралах перейти к полярным координатам и рас- ставить пределы интегрирования: 3.2.40. ff dxdy, D — круг x2 + у2 ax. D 151
3.2.41. у/(ж, у) dxdy, область D — общая часть кругов х2 + у2 ах, D х2 +у2 Ьх. 3.2.42. J{ dxdy, область D ограничена прямыми у = —х, у = х, D У = 1- В данных интегралах произвести указанную замену переменных и рас- ставить пределы интегрирования: b 0Х 3.2.43. У dx Jf(x, у) dy (а > 0, а > 0), если и = х, v = а ах 1 1 3.2.44. j dx f f(x, у) dy, если u = x + y,v = x — у. 0 0 3.2.45. f [ dxdy, W D — область, ограниченная кривой D (x2 + = x2y, если x = r cos <p, у = VSr sin <p. 3.2.46. f [ dxdy, гДе D ограничена параболами у = ax2, у = by2 D и гиперболами xy = p, xy = q, если у = их2, xy = v (0 < a < b, 0<p<q). 3.2.47. Преобразовать с помощью подстановок x = ar cos <p, у = br sin ip интеграл [ff(R2 - dxdy, J J \ a2 b2 J D x 7 где D — лежащая в первой четверти часть эллиптического кольца о 1^ + ^4. " а2 Ь2 " Перейти к полярным координатам (г, tp) и расставить пределы инте- грирования в том и в другом порядке в данных интегралах: 3.2.48. 11 1 У dx У f(x,y)dy. 3.2.49. J dx J f(x,y)dy. 00 0 1-х 3.2.50. ! dx J f(y/x2+y2)dy. 0 x 152
3.2.51. В двойном интеграле J[ у) dxdy, D где область D ограничена кривыми у/х + y/у = у/d, х = 0, у = О, сделать замену переменных х = u cos4 v, у = и sin4 v. Интеграл привести к повторному. 3.2.52. Вычислить /у / / dxdy, D х2 У2 х У где D ограничена кривой —- + — = т + т. a b п, к 3.2.53. Вычислить /•/• / / dxdy, D где D ограничена кривыми = 1, х = 0, у = 0. 3.2.54. Вычислить УУ г2 |sin (^ + j) “ г| D где D — прямоугольник 0^г^1,0^<£^2тг. §3. ПРИМЕНЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и физических задач: вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объ- емов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т. д. Вычисление геометрических величин 1. Если D — ограниченная область плоскости Оху, то ее площадь S вы- числяется по формуле S = S(D) = JJdxdy. D 2. Пусть z = f(x,y) — неотрицательная, непрерывная функция в замкну- той области D. Если V — тело, ограниченное сверху поверхностью z — f(x,y), снизу — областью D, а сбоку — соответствующей цилиндрической поверх- ностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей, совпадающей с границей области D, то объем этого тела равен v = ff f(x,y)dxdy. D 3. Пусть V — тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, у), снизу — поверхностью z = д(х,у), причем проекцией обеих поверхностей на плоскость 153
Оху служит область D, в которой функции f(x,y) и д(х,у) непрерывны (и f(x,y) д(х,уУ), то объем этого тела равен V = jj<f(x’ S') - 9(х’ S')) dxdy- D 4. Пусть поверхность задана уравнением z = f(x,y), (х,у) 6 О, где функ- ция f(x,y), а также ее частные производные первого порядка, непрерывны в области D. Тогда ее площадь S вычисляется по формуле 5 = ууу 1 + Л2 (я, у) + fv4x, у) dxdy. D Приняты также обозначения: f'x (х,у) = р, fy(x,y) = q. В таком случае, S = jjy/1 + Р2 + <72 dxdy. D Вычисление физических и механических величин Предположим, что плоская пластина D имеет поверхностную плотность распределения масс р(х,у) непрерывную в D. Тогда масса т = m(D) этой пластины вычисляется по формуле m = ffp(x,y) dxdy D (физический смысл двойного интеграла). Моменты инерции Jx, Jy и Jo плоской материальной пластины D с поверх- ностной плотностью р(х,у) относительно координатных осей Ох, Оу и начала координат 0(0,0) соответственно вычисляются по формулам: Jx = ff У2р(х, у) dxdy; Jy = J J x2 p(x, у) dxdy; D D Jo = Jx+Jy = ff(x2 + y2)p(x, y) dxdy. D В случае однородной пластины (р = 1) эти формулы принимают более простой вид: Jx = ffy2 dxdy, Jy = ffx2 dxdy, Jo = ff(x2 4- y2) dxdy. D D D Координаты центра тяжести материальной пластины D с плотностью р(х, у) вычисляются по формулам Му _ Мх Хс т ’ Ус т 1 154
где Му = JJхр(х, у) dxdy, Мх = JJур(х, у) dxdy — D D статические моменты пластины D относительно осей Ох и Оу соответственно, а тп — ее масса. В случае однородной пластины соответственно имеем: JJx dxdy jУу dxdy _ D______ _ D____________ JУ dxdy JУ dxdy D D 3.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = 2х и У = х. Q Имеем S = JJ dxdy. Направление, или порядок, интегрирования вы- D берем так, как указано на чертеже (рис. 24). Рис. 24 Сначала определим координаты точки А: у2 = 2х п < => х = 2х => xi = 0, 2/1 = 0 и Х2 = 2, у2 = 2. у = х, Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом, 2 3.3.2. Вычислить площадь параболического сегмента АО В, ограни- ченного дугой ВО А параболы у = ах2 и отрезком В А, соеди- няющим точки В(—1,2) и А(1,2). 155
Q Ясно, что уравнение параболы имеет вид у = 2х2 (з/(-1) = 3/(1) = 2). Фигура 7?, площадь которой надо вычислить, ограничена снизу парабо- лой у = 2ж2, а сверху — прямой у = 2. Следовательно, 1 1 2 2х2 D О л ( х3\ |х_ 8 41 х « 1 — и • \ о / 1о о 3.3.3. Вычислить площадь петли кривой х2 , У?\2 = а2 Ь2) с2 ’ Q Под петлей будем подразумевать область, ограниченную данной кри- вой и расположенную в первой четверти (х 0, у 0). Воспользуемся обобщенными полярными координатами: х = а • г cos </?, у = b • г sin </?. В таком случае, якобиан преобразования равен дх дх дг др ду ду dr др) a cos ip —ar sin ip b sin ip br cos ip Кривая в полярных координатах имеет вид 2 2 , 2 • 2 \2 2abr2 sin cos (г COS ip + Г Sin ip) = -------------, с2 , 2ч2 abr2 • 2sin^cos</j y/ab , . n o т.е. (r2)2 = -------—---откуда r = —— ysin2(£. Внутренность пе- тли, т.е. область интегрирования D в прямоугольных координатах, за- дается неравенством + <^У \а2 Ъ2) " <? ' В полярных координатах соответствующая область интегрирования G определяется неравенством 0 г -^p^siri 2<^, при этом sin 2р 0, т. е. 0 ip . Таким образом, S = ff dxdv = ff a^r = D G 7V TV 2 2 = ^/|Sin2^=^/si„2^=(g2. • 0 0 156
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми: 3.3.4. 3.3.5. 3.3.6. 3.3.7. 3.3.8. 3.3.9. 3.3.10. 3.3.11. 3.3.12. х = 0, у = |т, у = 4 - (х - I)2. ху = 4, х + у — 5 = 0. у/х + Jy = \/а, х + у = а. х2 +yi = ах, у2 = 2ах, х = 2а, у 0. у2 = 10а: + 25, у2 = —6а: + 9. х2 + у2 = 2а:, х2 + у2 = 4а:, у = х, у = 0. (а:2 + у2) = 2ах3, а > 0. х2 + у2 + 2у = 0, у = -1, у = -х. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (4а: — 7у + 8)2 + (За: + 8у - 9)2 = 64. Q Вычисления по формуле S = уу dxdy неприемлемы ввиду сложности пределов интегрирования. Произведем замену переменных по формулам 4а: - 7у + 8 = и За: + 8у - 9 = и, откуда х = ^j(8u + 7v + 1) ОО у - Х(-Зи + 4и + 60). ОО ттг>м дх-IL дх_7_ду_ __3_ ду _ 4 При этом ди 53, Qv 53,5u 53, dv 53 т.е. дх дх ди ди ду ду ди ди 8 53 3 53 7 53 4 53 _ _1_ 53' В плоскости координат (и, и) соответствующая линия имеет вид и2+и2 = = 64, т. е представляет собой окружность, а область G — круг и2+и2 64 с площадью S(G) = 64тг. Используя соответствующие формулы, полу- чаем S = ffdxdy = Jdudu = Jf ±dudu=±S(G) = ^-. • D G G Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми: 3.3.13. 3.3.14. 3.3.15. (а: + у - I)2 (а: - у + З)2 4 9 (2а: + Зу - 5)2 (За: - 2у + I)2 16 + 25 Ъ Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1 + cos</>), r = acos</j, (а > 0). 157
Рис. 25 Q Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся фор- мулой площади в полярных координатах S = JJ г drdip. G Первая функция г = а(1 + cos</?) определена при ip 6 [—7г,тг], а вто- рая г = a cos ip — при ip € так как ПРИ прочих значениях ip получается г < 0. Соответствующая область имеет вид, изображенный на рис. 25. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси мож- но ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить. Имеем 2 S = 2 J dip о a(l+cos <р) a cos a(l+cos <p) J r dr = о 2 2 я- = а2 у (1 + 2 cos ip) dip + a2 J (1 + 2 cos ip + cos2 ip) dip = 0 ZL 2 = а2 2 7Г 7Г J (1 + 2 cosy?) dp + J (1 + 2cosp) dp + J cos2 pdp = .0 Z Z 2 2 7/-. n \ j 7 (1 + cos2y>) I (1 + 2 cos p) dp + I ----------£------- dp -0 z 2 5 2 = ^7ra . 4 = а2 Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми: 3.3.16. 3.3.17. 3.3.18. /ж2 idV = _ у! 4 9 J 4 9 • (у - ж)2 + X2 = 1. ж3 + у3 = 2ху, х 0, у 0. 158
3.3.19. х2 + у2 = 2ах, х2 + у2 = 2&г, у = 0, у = ж, О < а < Ь. х2 У2 3.3.20. + 77 = 1. а2 1г 3.3.21. ху = а2, ху = Ь2, у = т, у = п (а > Ь; т > п). 3.3.22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями у = у/х, у = 2у/х, х + z = 4, z = 0. Q Первые два уравнения изображают параболические цилиндры с вер- тикальной образующей, третье,т.е. х + z = 4 — уравнение наклонной плоскости, а уравнение z = 0 — плоскость Оху. Соответствующее тело изображено на рис. 26; сверху его ограничивает поверхность z — 4 — х. Рис. 26 Рис. 27 Объем тела вычислим по формуле JJ(4 — х) dxdy, D V где область D изображена на рис. 27. Имеем 4 2->/х 4 2у/х У = У*(4 - x)dx у dy = у(4 - х) dxy\ = о 7® 0 = [ (4 - х)у/х dx = (4- %х% - | = W. • J у о О J 10 0 ' 3.3.23. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 0, z = 2 - у, у = X2. Q Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 28. В си- лу симметрии тела (клина) относительно плоскости Oyz, вычислим объ- ем половины тела и результат удвоим. Координаты точек А и В удовле- творяют системе уравнений у = х2 и у = 2, откуда А(\/2,2), В(—\/2,2). 159
Рис. 28 Следовательно, 2 2 V = JJ(2 - у) dxdy = 2 J(2 -y)dy Jdx = 2 J (2- y)y/y dy = D ООО / 9 3 q 5 = 2\2 ±y2 -jy2 2 32>/2 o“ 15 ’ Вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями: 3.3.24. z = 0, z = 3-x2-y2. 3.3.25. х = 0, у — 0, z = 0, у = 4, z + х2 + у2 = 1. 3.3.26. а: = 0, у = 0, z = 0, | + | + ^ = 1- 3.3.27. х = 0, у = 0, z = 0, х = у2 + г2, у + z = 1. 3.3.28. az = у2, х2 +у2 = г2, z — 0. 3.3.29. z = х2 + у2, у = х2, у = 1, z = 0. 3.3.30. х + у + z = а, Зх + у = а, Зх + 2у = 2а, у = 0, z = 0. 3.3.31. 4 + 4 = 1, У = их> у = °>z = °- а2 с2 и 3.3.32. Вычислить площадь поверхности сферы х2 + у2 + z2 = R2. Q Сфера симметрична относительно координатных плоскостей, поэто- му ограничимся вычислением площади поверхности той ее части, что расположена в первом октанте, а результат умножим на 8. Запишем по- верхность верхней полусферы явно, т.е. в виде z = y/R2 — х2 — у2, и воспользуемся соответствующей формулой. Имеем: z1 =_____х . _ z' =____________- У - х у/R2 - х2 - у2 У y/R2 - х2 - у2 \I1 + Z'x+Z’j = 1 + х2 + у2 = R R2 -х2 ~ у2 R2 -х2 - у2 y/R2 _х2 _у2 160
Переходя к полярным координатам х = г cos </?, у = г sin найдем иско- вую площадь (заметим, что здесь мы имеем дело со сходящимся несоб- ственным интегралом) £ R S = 8 [[ R -rdrdy = 8R (dtp f , rdr = JJ y/R2 - r2 J J y/R2 - r2 = 8Л • J 2 (-VR2 - г2)|Л= 4тгЯ2. • Io Io 3.3.33. Вычислить площадь S части поверхности параболоида z = ху, принадлежащей цилиндру х2 -I- у2 Я2. Q Поскольку z'x = у, z'y = х, 1 + + zy2 = у/1 + х2 + у2, то, переходя к полярным координатам, имеем: S= JJ \/1 + х2 + у2 dxdy = JJr\/l + г2 drdip = x2+y2^R2 r^R 2тг R 3 = fdp fy/T^-y(l + r2) = ^-[(l + R2)2-1]. • о 0 3.3.34. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 -I-?/2 = Я2, заключенной между плоскостями z = 0 и z = рх, р > 0. Q Поверхность цилиндра не может быть записана явной формулой z = = г (#>?/)> поэтому формула S = УД/1 + 42 + z'y dxdy D неприменима. Выразим в таком случае поверхность цилиндра (рис. 29) явно в виде у = ±\//?2 — х2 и воспользуемся формулой S = ff\/1 + y'x2+ y'z dxdz, D где D — область, ограниченная прямыми z = рх, z — 0, х = R (рис. 30) в плоскости Oxz. Имея в виду знак ± перед радикалом, вычислим площадь 6 Сборник задач по высшей математике. 2 курс 161
половины поверхности, т.е. описываемой уравнением z — \/R2 — ж2, а результат удвоим. Имеем у'х = ~y'z = ^ ^ + У*+У? = = Следовательно, S = 2 [[dxdz = 2R [ _ dx [dz = JjJ \/R2 — х2 J \/R2 — х2 J R |Я = 2pR 2 dx = -2pfl(-\/fl2-a;2)|o = 2pR2. • 3.3.35. Найти площадь части поверхности z2 -I- (ж cos a -I- 3/sina) = r2 содержащейся в первом октанте. х У z 3.3.36. Найти площадь части плоскости — + - + - = 1, заключенной и Ь с между координатными плоскостями. 3.3.37. Найти площадь части поверхности параболоида у2 -I- z2 — 4аж, отсекаемой цилиндром у2 = ах и плоскостью х = За. 3.3.38. Найти площадь части поверхности параболоида 2z = х2 -I- у2, «вырезанного» цилиндром (ж2 + з/2)2 = х2 — у2. 3.3.39. Вычислить площадь той части конуса х2 -I- у2 — z2 — 0, ко- торая лежит над плоскостью z — 0 и отсечена плоскостью г = 72(| + 1). 3.3.40. Вычислить площадь части поверхности гиперболического па- раболоида 2z — х2 — у2, «вырезанной» плоскостями х — у = ±1, х + у = ±1. 3.3.41. Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в на- чале координат, если поверхностная плотность материала пла- стины в точке М(х,у) равна р(х,у) = к\/х2 -I-у2, где к > 0 — фиксированное число. Q Переходя от декартовых координат к полярным, имеем т = JJр(х, у) dxdy = Ц к\/х2 +у2dxdy = D х2+з/2^н2 | R = 4к [dtp j г2 dr = • О о 3.3.42. Найти массу круглой пластины D (х2+у2 1) с поверхностной плотностью р(х, у) = 3 — х — у. Q Имеем: 1 у/Т^Х^ т= JJ (3 - х -у) dxdy = j dx j (3 - x -y)dy = X2+y2^l -1 162
—5- 1 t__dx = J2(3 - x)\/l — x2 dx = x -i = J6\/l — x2 dx — 2 Jx\/l - x2 dx. -i -i Последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно началу координат отрезку. Поэтому, делая подстановку х = sin t, получим 1 ________ 2 __________ 2 m= J 6\/l — x2 dx = 6 J Vl — sin21 cos tdt = 6 Jcos2tdt = — 1 _ — _2L 2 2 7Г 2 = 3 /*(1 + cos 2t) dt = Зтг. • “2 3.3.43. Найти моменты инерции квадратной пластины 0 х а, О у а относительно осей координат и начала коорди- нат, если плотность пластины пропорциональна ординате точ- ки пластины с коэффициентом к. Q Вычисления производим по соответствующим формулам этого пара- графа учитывая, что р(х, у) = ху: 1) Jx = Ц ку у2 dxdy = к Idx jy3 dy = О О 2) Jy = II ку х2 dxdy = к jх2 dx Iу dy = . О^х^а О О 3) Jo = Jx + Jy = Найти массу пластины D с поверхностной плотностью р(х,у): 3.3.44. D: 0 < х < 1, 0 < у < 2; р(х, у) = ху. 3.3.45. D: 0 < х < 1, 0 < у < 1; р(х,у) = ——-. 1 + у2 3.3.46. D: 0 х 1, 0 у 2; р(х,у) = х2уеху. 3.3.47. D ограничена кривыми х2+у2 = ах, х2+у2 = 2ах, у = 0 (у > 0); р(х,у) =х2 -I- у2. 3.3.48. D ограничена лемнискатой (х2 -I- у2)2 = а2(х2 — у2), (х 0); р(х,у) = х\/х2 -I- у2. 163
3.3.49. D задана неравенствами х 0, у О, x+y 1, р(х, у) = e^+j/)2t 3.3.50. D ограничена кривыми х2 = ay, х2 -I- у2 = 2а2, у = 0 (х > О, а > 0), р(ж, у) = к. 3.3.51. Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной па- раболой ау = х2 и прямой х -I- у = 2а, если плотность пластины постоянна и равна ро. Q Сделаем чертеж (рис. 31). Находим абсциссы точек А и В пересе- х2 чения прямой х -I- у = 2а и параболы у = —. Из системы уравнений х -I- у = 2а < 2 находим Xi = — 2а и а?2 = а. __ X Рис. 31 1) Масса пластины D равна а т = m(D) = JJpQ dxdy = ро J dx D —2a 2) Вычислим статические моменты пластины относительно коорди- натных осей а /dx —2а 2а—х У ydy = х2 а а г а = |ро / (2а-х)2-^- -2а L dx = ^rpoa3. о 164
a 2a—x My = Po JJx dxdy = ро У xdx fa D -2a .,2 a a / n x /* । 372 i j 9 ч = po J 12a — x—— jxdx = —-apo. —2a 4 7 3) Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам _ Му_ _ _а _ Мх _ 8 Хс т 2’ т 5а* Ответ: Mq (-#, fY). \ 2 о / Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями: 3.3.52. у = х2, у = 0, х = 4. 3.3.53. у2 = ах, у = х. 3.3.54. х2 + у2 = R2, у = 0. 3.3.55. х%+у%=а1. Дополнительные задания Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: 3.3.56. 3.3.58. 3.3.60. 3.3.61. 3.3.62. 3.3.63. у = х2 + 4х, у = х + 4. 3.3.57. а2у2 = х2(а2 — х2). 7/2 —--------- = 1, х = 2а. 3.3.59. х2 = 2ру, у2 = 2рх. a2, Ь2 + l/у = —a a. (x — a)2 + y2 = a2, x2 + (?/ - a)2 = a2. x2 -I- у2 = 7?2, x2 -I- y2 - 2Ry = 0, x = 0. (x - 2y + 3)2 + (3z + 4y - I)2 = 100. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 3.3.64. z = 4х2 -1- 2у2 + 1, z — 1, х 4- у = 3, х = 0, у = 0. 3.3.65. 3.3.66. _ х2 . У2 _ z ~ 2 + к2 1 % ~ С’ а2 Ь2 Зх - 2у = 0, 8х - у = 0, 2х 4- Зу - 13 = 0, 2х 4- Зу - 26 = 0, 17# 4-16?/ - 13z = 0, z — 0. 3.3.67. 3.3.68. 3.3.69. 6z - 9у 4- 5z = 0, Зх - 2у = 0, 4х - у = 0, х 4- у - 5 = 0, z = 0. z — 4 - х2, у = 5, у = 0, z = 0. z = а2 — х2, х + у — а, у — 2х, у = 0, z = 0. 3.3.70. 3.3.71. г! + ^ + ^ = 1. а2 Ь2 с2 Плоская пластина D представляет треугольник АВС с верши- нами 4(1,1), В(2,2), С(3,1). Плотность распределения масс в каждой точке равна ординате этой точки. Определить а) массу пластины; 165
б) статические моменты пластины относительно координатных осей; в) координаты центра тяжести пластины. 3.3.72. Найти массу пластины, ограниченной кривыми у = ж2, у = у/х, если ее плотность равна р(х, у) = х + 2у. 3.3.73. Найти моменты инерции треугольника АВС с вершинами А(0,1), В(1,2), С(2,1) относительно координатных осей и на- чала координат, если плотность треугольника постоянна и рав- на С. 3.3.74. Найти центр тяжести квадрата 0 ж 2, 0 з/ 2 с плотно- стью р(ж, у) = х + у. 3.3.75. Найти площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 = R2, за- ключенной между плоскостями z = тх и z — пх (т > п > 0). 3.3.76. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 + з/2 = ах, вырезанной из него сферой х2 + у2 + z2 — а2. 3.3.77. Вычислить площадь части поверхности шара х2 + у2 -I- z2 = а2, х2 У2 вырезанной поверхностью — + — = 1. а2 Ь2 3.3.78. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 -I- cos</?). 3.3.79. Найти массу круглой пластины радиуса R, если плотность ее пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна а на краю пластины. 3.3.80. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу од- нородной фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos</?) 0 тг и полярной осью. 3.3.81. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, огра- ниченной кривыми у = х и у2 = ах. 3.3.82. Найти массу прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, если его плотность равна расстоянию точки от катета Ъ. 3.3.83. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу одно- родной фигуры, ограниченной синусоидой у = sin ж и прямой О А, проходящей через начало координат и вершину А синусоиды (х 0). 3.3.84. Вычислить моменты инерции относительно координатных осей треугольника с вершинами в точках А(2,2), В(0,2), С(2,0). Контрольные вопросы и более сложные задания Найти площади фигур, ограниченных кривыми: 3.3.85. х2 = ау, х2 = by, у2 = ах, у2 = fix, а < Ь, а < /3. 3.3.86. у2 = ах, у2 = Ьх, ху = а, ху = /3 (0 < а < Ь, 0 < а < /3). 166
3.3.87. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой rcosc/? = 1 и окружностью г = 2 (фигура не содержит полюса). 3.3.88. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а(1—cos ср) и г = а (вне кардиоиды). 3.3.89. Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного параболой (f + = а “ f и осью Вычислить объем тел, ограниченных поверхностями: 3.3.90. 2az = х2 + у2, х2 + у2 + z2 = За2 (внутри параболоида). 3.3.91. х2 + у2 = 2ах, х2 +у2 = z2, z — 0. 3.3.92. В каком отношении гиперболоид х2 + у2 — z2 — а2 делит объем шара х2 -I- у2 -I- z2 За2? 3.3.93. 2az = х2 + у2, х2 -I- у2 — z2 — a2, z = 0. 3.3.94. Найти объем тела, заключенного между конусом 2(ж2 -I- у2) - z2 = 0 и гиперболоидом х2 + у2 — z2 — — а2. 3.3.95. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 -I-?/2 = 2ах, содержащейся между плоскостью Оху и конусом 2 . „,2 2 _ п х + у — z = U. 3.3.96. Найти площадь части конуса z = \/х2 + у2, «вырезанной» ци- линдром (х2 + у2)2 = а(х2 - у2). 3.3.97. Вычислить площадь части поверхности параболоида х2 -I- z2 — — 2ах, содержащейся между цилиндром у = ах и плоскостью х = а. 3.3.98. Найти моменты инерции однородного треугольника, ограни- ченного прямыми х + у = 1, х + 2у — 2, у = 0, относительно координатных осей. 3.3.99. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos</?), относительно осей Ох, Оу и от- носительно полюса. 3.3.100. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограниченной эл- липсом _ о ^ + ^ = 1 а2 Ь2 ’ относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат. 3.3.101. Найти момент инерции области, ограниченной лемнискатой г2 = a2 cos2</?, относительно полюса. 3.3.102. Найти статический момент однородного полукруга радиуса R, лежащего в плоскости Оху, относительно диаметра. 167
§4. тройной интеграл, свойства, ВЫЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕНЕНИЕ Определение тройного интеграла Определение тройного интеграла аналогично определению двойного инте- грала. Пусть в пространственной области V 6 R3 определена и непрерывна функция трех переменных и = /(#, ?/, г). Разбиение области V на п произволь- ных областей Avi, Дуг, ..., Avn с объемами Дгп, Avn и выбор в каждой области Avi произвольной точки Mi позволяют строить интегральную сумму вида г=1 Тогда существует предел интегральных сумм тп при условии стремления к нулю наибольшего из диаметров областей AVJ. Этот предел, не зависящий от способа разбиения области V на области A Vi и выбора точек Mi, называется тройным интегралом и обозначается символом /[/ dv и V V Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойно- го интеграла (линейность, аддитивность, оценка интеграла, свойство среднего). /77/(:г, У, z) dxdydz. Вычисление тройного интеграла Предположим, что функция трех переменных f(x,y,z) определена и не- прерывна в пространственной области V, которая ограничена сверху поверх- ностью z = Z2(x,y), а снизу — поверхностью z = zif^y), где функции zi(x,y) и Z2(x,y) определены и непрерывны в области D 6 Оху (рис. 32). Тогда вы- числение тройного интеграла сводится к последовательному (справа налево) вычислению определенного интеграла по переменной z (переменные х и у счи- таются при этом константами) и двойного интеграла от того, что получится, по области D. V D Zi(xty) В частности, если область V представляет собой прямоугольный паралле- лепипед, определяемый неравенствами с у d, т z п, то тройной интеграл сводится к трем определенным интегралам: b d п Jj*f У, z) dxdydz = Jdx Jdy J f(x, y, z) dz. V a c m Естественно, можно выбирать другой порядок интегрирования. 168
z = z2(x,y) Рис. 32 Рис. 33 Замена переменных в тройном интеграле Цилиндрические координаты Цилиндрические координаты г, у?, z (рис. 33) представляют собой обобще- ние полярных координат на плоскости и связаны с прямоугольными коорди- натами х, ?/, z формулами х = г cos у?, у = г sin у?, z = z. Переход к тройному интегралу в цилиндрических координатах осуществляется по формуле JJJf(x, у, z) dxdydz = JJJ f(r cos у?, r sin y?, z)r drdipdz. v В частности, если положить в этом равенстве f(x,y,z) = 1, то получим фор- мулу для объема тела в цилиндрических координатах: V = JJJrdrdtpdz. v Сферические координаты Сферические координаты г, в, <р связаны с прямоугольными координатами 3/, z при помощи формул (рис. 34) х = г sin <р cos 0, < у = г sin tp sin 0, Z = г cosy?. 169
Рис. 34 В общем случае переменные г, 0, <р изменяются в пределах г 6 [0, +оо), у? 6 6 [0, тг], 6 6 [0; 2тг). Формула перехода к сферическим координатам имеет вид z) dxdydz = JJJf(r sin <p cos 0, r sin (£> sin 0, r cos 0)r2 sin <p drdOdip. Положив f(x,y,z) = 1, получим формулу для объема тела в сферических ко- ординатах: v = JJ{г2 sin ср drd0d(p. Приложения тройного интеграла 1. Объем v тела V находится по формуле: v = JJJ dxdydz. 2. Масса т тела V с данной плотностью p(x,y,z), где функция p(x,y,z) непрерывна, вычисляется по формуле т = jjJр(х, у, z) dxdydz. 3. Статические моменты Мху, Mxz, Myz тела V относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны Мху = JJJzp(x, у, z) dxdydz, Mxz = JJJyp(x, Уч z) dxdydz, хр(х, т/, z) dxdydz, где р = р(х, у, z) — плотность тела V. 170
4. Координаты центра тяжести тела V с массой т определяются по фор- мулам Myz MXz МХу Хс ~ т ’ Ус ~ т ’ Zc ~ т ’ или, более подробно: Хс = УУ[хр(х, у, z) dxdydz, ус = Т fffур(х, у, z) dxdydz, v v гс = m fffZP(X' V’ z>> dxdVdz- В частности, если p = po (тело однородно), эти формулы упрощаются: хс = | fff х dxdydz, ус = | fff у dxdydz, zc = | fff z dxdydz, где v — объем тела V. 5. Моменты инерции тела V с плотностью р(ж, ?/, z) относительно коорди- натных плоскостей вычисляются по формулам Jxy = JJJz2p(x,y,z)dv, Jyz = JJJx2p(xy у, z) dv, Jxz= fffy2p(x,y,z)dv. Моменты инерции Jx, Jy и Jz тела V относительно координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно находятся по формулам Jx = + z2}p(x,y,z)dv, Jy = Hl(x2^z2)p(x,y,z)dv, V V jz= ffj(x2 + y2)p(x,y,z)dv. 3.4.1. Вычислить тройной интеграл JJJ x2yz dxdydz, v где V — область, ограниченная плоскостями х = 0, у = 0, z = О, х + у + z — 1. Q Область V (рис. 35) достаточно просто устроена, поэтому данный тройной интеграл можно вычислить, используя произвольный порядок интегрирования. Традиционно проектируют область V на плоскость Оху, принимая полученную проекцию в качестве области D (на рис. D — треугольник АОВ). Прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу V в Двух точках. Аппликата первой точки равна нулю (точка входа лежит 171
Рис. 35 на плоскости Оху, т. е. z = 0), аппликата второй точки равна z — 1 — х — у (поскольку точка выхода из области V лежит на плоскости z = 1 — х — у)., Таким образом, 1-х-у J' — Щ х2уz dxdydz = Ц х2у dxdy zdz = - Ц х2у(1 — х — у)2 dxdy. V D О D Двойной интеграл приводим к повторному известным уже способом, по- этому детали опускаем. 1 1-х J =1 J x2dx у у(1 - х - у)2 dy = О' о 1 1-х = 1 J х2 dx f у(1 + х2+у2-2x-2y + 2xy)dy = ... =• О о Вычислить следующие тройные интегралы в прямоугольных координа- тах: 3.4.2. 3.4.3. 3.4.4. 3.4.5. 3.4.6. Щ dxdydz, где V — куб, ограниченный плоскостями v х — 0, х = 1, у = 0, у — 1, z = 0, z = 1. ЩО- ~ y)xz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, v у = 0, z = 0,x + y + z = l. HI x2y2z dxdydz, где V — параллелепипед, ограниченный v плоскостями х = 1, х = 3, у = 0, у = 2, z = 2, z = 5. HI -—* где ограничена координатными плос- костями и плоскостью х + у + z = 1. HI х dxdxdz, где V ограничена цилиндром х2 -I- у2 = 1 и плос- v костями z = 0 и z = 3. 172
3.4.7. 3.4.8. /// XVZ dxdxdz^ где ограничена координатными плоскостя- v ми, сферой х2 + у2 + z2 = 1 и расположена в первом октанте. Вычислить тройной интеграл ///(ж2 *" 2/2) dxdydz, если V ограничена плоскостью z = 2 и параболоидом 2z = Рис. 36 Q Область V ограничена сверху плоскостью z — 2, а снизу параболо- ~|“ у2 идом z — —2— (рис. 36). Переходим к цилиндрическим координатам ж = г cosy?, у = г sin у?, z = z. При этом подынтегральная функция пре- образуется к виду х2 -I- у2 = г2 cos2 у? + г2 sin2 у? = г2. Таким образом, 2тг 2 2 J = ffj\x2 + У2) dxdydz = Щ r3drdpdz = f dip f г3 dr v v о о p2 2 2 2 47 О 2 о з я». 16^ А Г dr — -Z-7T. “ о Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить данные тройные интегралы: 3.4.9. ууу dxdydz, где V — ограничена сферой х2 + у2 + z2 = 2Rz, v конусом х2 + у2 = z2 и содержит точку (О, О, Л). 173
2 х/2® —®2 а 3.4.10. J dx J dy J z\/x2 + у2 dz, преобразовав сначала к тройно- ооо му интегралу. 2г \/2гх—х2 \/4г2-х2-у2 3.4.11. J dx J dy J dz, приведя сначала к тройному 0 х/—2га;—я2 0 интегралу. 3.4.12. Вычислить повторный интеграл 1 у/1-х2-у2 f dx j dy f (я2 + У2 + ^2) dz. оо о Q Преобразуем повторный интеграл в тройной //У (я2 + З/2 + ^2) dxdydz, v для чего, исследуя пределы интегрирования в повторном интеграле, вос- становим область интегрирования V. Она ограничена снизу плоскостью z — 0, т. е. плоскостью Оху, а сверху — поверхностью z = д/i — х2 — у2, т.е. верхней частью сферы х2 + у2 + z2 — 1. Область D лежит в плос- кости Оху и ограничена снизу прямой у = 0 (осью Ох) и сверху линией у = \/1 — я2, т.е. верхней полуокружностью х2 + у2 = 1. Наконец, про- екция D на ось Ох — это отрезок [0,1]. По названным поверхностям построим чертеж области V (рис. 37), а по соответствующим линиям — область D (рис. 38). Рис. 37 Рис. 38 Исходя из вида подынтегральной функции и вида области интегриро- вания, делаем вывод о целесообразности перехода к сферическим коор- динатам: х = г sin р cos в, у = г sin р sin в, z = г cos у?. При этом dxdydz = = г2 sin р drdpdQ, O^r^l, Подынтегральная 174
функция равна х2 + у2 + z2 = г2 (sin2 cos2 в + sin2 <р sin2 в + cos2 у?) = — г2(sin2 <р + cos2 (р) = г2. Таким образом, 2 2 1 J = f/f + У2 + dxdydz — jsintpdO jdip J r4 dr = Вычислить повторные интегралы: 3.4.13. 3.4.15. 3.4.17. 1 х 2(л2+2/2) dz. X2 Х2+у2 у/а2—х2 у/х2+у2 dy J dz. X2 + у2 а a+\Ja2-p2 dz. р 1 1-х х+у 3.4.14. J dx f dy J dz. О 0 ху 3.4.16. О 7Г 2 fd<p I pdp j О о у/а2—х2 J dz. о 3.4.18. Вычислить объем тела ограниченного сферой х2 + у2 + z2 = 22 и поверхностью параболоида 9z = х2 + у2. Тело V расположено над плоскостью Оху между полусферой з2 = = у/22 — х2 — у2 и параболоидом z\ = ±(х2 + у2) (рис. 39). Рис. 39 О а а о а о Объем v тела V вычислим по формуле V = /// dxdydZ' 175
Из симметрии тела V относительно плоскостей Оху и Oyz заключаем, что удобно перейти к цилиндрическим координатам х = rcos<p, у = = rsin<p, z = z и вычислить объем четвертой части V, а результат умно- жить на 4. Z2 v = 4 JJJ г drdipdz = 4 JJ г dr dip Jdz = К D zi = 4 J J r dr dip Г \/22 - r2 - D V r drdip. Для дальнейших вычислений надо найти область D — проекцию на плос- кость Оху пространственной области V. Для этого решим систему р= 22, !#.г, + 9г = 22=!.г = 2>г=_11. [я2 -I-2/2 = 9z Подставляя z = 2 (z = —11 не подходит, т. к. z 0) во второе уравне- ние системы, найдем, что сфера и параболоид пересекаются в плоскости z = 2 по окружности х2 + у2 = 18. Следовательно, область D это че- тверть круга х2 + у2 18 (х 0, у 0), или, в полярных координатах: 0 г \/18, 0 ip Таким образом, Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 3.4.19. z = х2 + у2, z = 2(я2 + 2/2), у = х, у = х2. 3.4.20. z = у/х2 4- у2, 3z = х2 + у2. 3.4.21. ±az = 16 - х2 — у2, z = 4 - х — у, х = 0, у = 0, z = 0. 3 4 22 — + — — — 1 — -к — — z 3.4.22. 4 + 9 + 4- 4 + 9 - z- 3.4.23. Вычислить координаты центра тяжести верхней половины ша- ра радиуса R с центром в начале координат при условии, что его плотность постоянна и равна ро- Q Сделаем сначала рисунок (рис. 40). Воспользуемся формулами яс = | JJJ х dxdydz, Ус = JJJ У dxdydz, zc = | JJJ z dxdydz, v v v 176
Рис. 40 9_оЗ где v = —з--объем полушара. Подынтегральные функции х и у в числителях первых двух дробей нечетные, а область интегрирования V симметрична относительно соот- ветствующих плоскостей у = 0 и х = 0. Поэтому хс — ус = 0. К этому же выводу приходим, исходя из определения хс и ус и симметрии тела относительно координатных плоскостей Oyz и Oxz. Остается вычислить /// zdxdydz' v Для этого переходим к сферическим координатам так же, как в приме- ре 3.4.12. Получаем fffZ dxdydz = fff г cos <р • г2 sin <р drdOdcp = v v 7Г 2 2тгН / К 4I.W- о 7гЯ4 ~ = ЗЯ -7гК3 8 “ 3 Вычислить координаты центра тяжести тела, параболоидом 4х = у2 + z2 и плоскостью х = 2. Вычислить координаты центра тяжести тела, КОНУСОМ £ у± = 9 + 16 ~ 25 И ПЛОСКОСТЬЮ z = 5. Вычислить координаты центра тяжести тела, параболоидом z — х2 + у2, плоскостью х + у = 5 и коорди- натными плоскостями. Следовательно, хс = 0, ус = 0, zc = [ff z dxdydz = и J J J г>1ГКГ о v ограниченного 3.4.24. 3.4.25. 3.4.26. ограниченного ограниченного 177
3.4.27. Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного ЭЛЛИПСОИДОМ 2 2 2 «г । У । z ___ 64“^ 49 36 и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0 (х 0, у О, z 0). 3.4.28. Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра ради- уса 4 и высоты 6 относительно диаметра сечения, проходящего через центр симметрии цилиндра; плотность цилиндра посто- янна и равна ро- Рис. 41 Q Введем прямоугольную систему координат Oxyz так, как обозначено на рис. 41: ось цилиндра расположена на оси Oz, среднее сечение цилин- дра лежит в плоскости Оху. Тогда задача сводится к вычислению Jx — момента инерции цилиндра относительно оси Ох. Используем формулу Л = ///(у2 + -2)Р0 dv, v где V — цилиндр: х2 -I- у2 16, — 3 z 3. Перейдем к цилиндрическим координатам: х = г cos <р, у = г sin <р, z — z, dxdydz = г drdpdz, 0 <р 2тг, 0 С г 4, — 3 z 3. Отсюда у2 + z2 — т2 sin2 р + z2 и, стало быть, 27г 3 4 Jx = Ро J dp f dz j (r2 sin2 p + z2)r dr = 0 -3 0 27 f /r4 2 Z2r2\ I4 = Po J dp J dz I у sin p + 1 | = 0 -3 x 7 271-3 27Г i- -j = Po jdp j(64;sin2 p + 8z2)dz = pq J dp 32(1 — cos 2<р)з + ^|- | 0-3 о L J 8г3 |3 _ 178
27Г / • о = 48ро У [4(1 - cos 2р) + 3] dip = 48ро (7р - о 4 Попробуйте взять интеграл в другом порядке: 27Г 4 3 Ро Jdp J г dr J(г2 sin2 р + z2) dz. оо -з 2тг = 672ро?г- о 3.4.29. Вычислить момент инерции прямого цилиндра, высота которо- го равна Н и радиус основания Л, относительно оси, содержа- щей диаметр основания цилиндра. 3.4.30. Найти момент инерции круглого конуса, высота которого равна Н, а радиус основания Л, относительно диаметра основания. 3.4.31. Найти моменты инерции относительно координатных плоско- стей тела, ограниченного плоскостями ^ + ^ + ^,# = 0, $/ = 0, z = 0. 3.4.32. Вычислить объем v и массу т тела V, ограниченного конусом х2 -|- у2 = z2 и плоскостью z = 1, если его плотность p(x,y,z) пропорциональна координате z с коэффициентом пропорцио- нальности fc, к > 0. Рис. 4% Q Требуемые величины вычислим в цилиндрических координатах: х = = г cos у?, у = г sin у?, z = г, dxdydz = г drdipdz, 0 р 2тг, 0 z 1, О г 1 (рис. 42): 27Г 1 1 = ///dxdydZ = /d(^ dr Jdz = р V О О г |27Г i /т2 „3\ |1 „ |„ /(1-г)г* = 2^у-у) |о= j; о 2тг 1 1 27Г 1 2 1 т = к JdpJrdrfzdz = k-p\ J 1 г dr = тгк j 0 0 г 0 0 179
3.4.33. Вычислить массу прямоугольного параллелепипеда 0 х а, О^З/^Ь, если плотность в точке (ж, у, z) пропорци- ональна сумме координат этой точки. 3.4.34. Определить массу шара радиуса R, плотность которого пропор- циональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы от центра плотность равна двум. 3.4.35. Найти массу тела, ограниченного поверхностями z = h и 2.2 2 Xz + у= z£, если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки. 3.4.36. Найти массу сферического слоя между сферами x2+2/2+z2 = а2 и х2 + у2 + z2 = 4а2, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат. Дополнительные задания Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 3.4.37. 3.4.38. 3.4.39. 3.4.40. 3.4.41. 3.4.42. 3.4.43. 3.4.44. 3.4.45. 3.4.46. 3.4.47. 3.4.48. z = х + у, z = ху, х + у = 1, х = 0, у = 0. х2 + z2 = а2, х + у = ±а, х — у = ±а. az = х2 + у2, z = у/х2 + у2, а > 0. (х2 +у2 + z2)2 = 2az, X2 + у2 = Z2. х = 0, у = 0, z = 0, 2х — Зу - 12 = 0, 2z = у2. х2 +у2 = R2, z — г = 0 (О 0). а2 z = 4-2/2, у = у, z = 0. z = - х2 - у2, z = у/х^Ту2. 2 = У4 ~ г ~ » >'- = у -255-. z = д/64 - х2 — у2, х2 +у2 60, z — \. х2 + у2 = у, х2 + у2 = 4у, Z = у/х2 + у2, Z = 0. х2 + у2 = 18, х = y/Зу, z = ур, х = 0, z = 0. Вычислить повторные интегралы: 3.4.49. 3.4.50. х/3-z2 у/1-х2-у2 J dy у dz. О s2 + i,2 ______ 3 \/4—22 2 У dy У (г2 + у2) dx. -\/4-z2 Z2 + у2 2 180
а h 3.4.51. Jdy f с1г У y/y2 + z2dx. ~а 4(У2+*2) а R \/R2-x2 y/R2—x2—y2 3.4.52. У dx f dy У \/zdz. —R -^Ri-Xi о Вычислить тройные интегралы: 3.4.53. fffz>/x2+y2 dxdydz, где область V задана неравенствами V 0 ж 2, 0 з/ л/2ж - х2, 0 z а. 3.4.54. ///XVz2 dxdydz, где V лежит в I-м октанте и ограничена еди- V ничной сферой я2 + з/2 + z2 = 1 и координатными плоскостями х = 0, у = 0, z = 0. 3.4.55. УУУ2з/2ежз/ dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 1, V у = х, z = 0, z = 1. 3.4.56. JJJx dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 1, у = 0, V у = 10ж, z = 0 и параболоидом z = ху. 3.4.57. JJJx2zsin(xyz) dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, V х = 2, у = 0, у = я z = 0, z = 1. 3.4.58. fff&y2zexyz dxdydz, где V ограничена плоскостями х = —1, V х = 0, у = 0, у = 2, z = 0, z = 1. 3.4.59. “1" У “1" г) dxdydz, где V задана неравенствами 0 х а, V О^з/^Ь, 3.4.60. УУУpsin0 dpdipdf), где V задана неравенствами 0 ip V Л 3.4.61. ! х dxdydz, где V ограничена плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, V у = h, х + z = а. 3.4.62. fff dxdydz у 0Граничена плоскостями z = 0, v (1+3 + J + f) z = 8 (1 - | - 1), x = 0, у = 0. 181
Вычислить массы однородных тел, ограниченных поверхностями: 3.4.63. 3.4.64. 3.4.65. х2 + у2 + 4z2 — 1. х + у + z = а, х + у + z = 2а, х + у = z, х + у = 2z. у2 — 4а2 - Зая, у2 = ах, z = ±Л. 3.4.66. е II н н|Ь CN II Ml Q + , ^1 Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями: 3.4.67. Плоскостями х = 0, у = 0, z — 0, 2х + Зу — 12 — 0 и цилиндром z - У— 3.4.68. 2 ' Плоскостями z — 0, х + z — 6 и цилиндрами z — у/х и z — 2>/х. 3.4.69. X2 “I- 7/2 Сферой х2 + у2 + z2 = За2 и параболоидом z = —~ (над za ним). 3.4.70. Сферой х2 + у2 + z2 = R2 и конусом ztga = у/х2 + у2, tga > 0 (над конусом). Найти моменты инерции однородных тел с данной массой М: 3.4.71. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь, с относитель- но каждого из ребер и относительно своего центра тяжести. 3.4.72. 3.4.73. Шара радиуса R относительно прямой, касательной к шару. Эллипсоида а2 Ь2 с2 относительно каждой из трех своих осей. 3.4.74. Найти статические моменты относительно координатных плос- костей и координаты центра тяжести однородного тела, огра- ниченного параболоидом z — 3 — х2 — у2 и плоскостью z = 0. Контрольные вопросы и более сложные задания Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 3.4.75. Плоскостями х = 0, х + у = 2, х — у = 2 и цилиндрами z = 1п(ж + 2) и z = 1п(6 — х). 3.4.76. 3.4.77. 3.4.78. 3.4.79. 3.4.80. 3.4.81. Плоскостью z — х + у и параболоидом z = х2 + у2. Плоскостью 2х + z — 2 и параболоидом (х — I)2 + у2 = z. (х2 4- у2 4- z2)2 = а2(х2 + у2 - z2). (х2 4- у2 4- г2)3 = Зху. Сферой х2 4- у2 4- z2 — 4 и параболоидом х2 4- у2 = 3z. (х2 4- у2 4- z2)2 = axyz. 182
Вычислить тройные интегралы: 3.4.82. ///У2^еХУ ~ е ХУ^ V ограничена поверхностями х = 0, V у = —2, у = 4х, z — 0, z — 2. 3.4.83. z2}dxdydz^ ограничена плоскостями х = 0, у = 0, V z = 0, х + у = 1, z = x + y. 3.4.84. ///хУ2г3 dx(tydzi V ограничена 3.4.85. у ///(?+?+£) 4+$«1- 3.4.86. /,/ dxdydz V: 4V + 1. 1 + у/ (х2 + у2 + Z2)3 3.4.87. 3.4.88. 3.4.89. 3.4.90. (х2 + у2 + z2)2 = а3х. (х2 + у2 + z2)2 = a2z4. (х2 4- у2 4- z2)3 = а2(х2 4- у2)2. (х2 4- у2)2 4- г4 = a3z. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей од- нородных тел, ограниченных поверхностями: 3.4.91. © |Н кэ| КЗ + О- |<с? КЗ 1 КЗ II ©|N ©|Н + 0-1^ II ©|N V О о* V о сь V о '—' 3.4.92. © |Н КЗ | КЗ + О- кз | КЗ + О 1*9 КЗ 1 кз II 1—1 © |Н КЗ I КЗ + о- 1<с2 КЗ 1 КЗ II ©|Н V О '—' 3.4.93. Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями у — A-ж2, z — 0, z — т(Ь — у) az о (a>0,b>0,h> 0). 3.4.94. Найти момент инерции относительно оси Oz однородного тела, ограниченного поверхностями z = Az (у2 — х2), z — 0, у = ±а. а2 Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями: 3.4.95. © |Н КЗ | КЗ + о- |<се II СЬ IN кз| КЗ N II © 3.4.96. 3.4.97. х2 4- у2 = z, х 4- у = а, х = 0, у = 0, z = 0. Найти момент инерции части параболоида у2 4- z2 = 2сх, отсе- ченной плоскостью х = с, относительно оси Ох (массу прини- мать, равной единице). 183
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Изменить порядок интегрирования 1 тг—arcsinj/ fdy f f(x,y)dx. 0 arcsin у 2. Найти массу треугольника О АВ, если 0(0,0), А(1, — 1), В(1,1), а плот- ность равна р(ж, у) = \/х2 — у2. 3. Найти объем тела, ограниченного плоскостью Оху, цилиндром х2 + у2 = 4 х и сферой х2 + у2 + z2 — 16 (внутреннего по отношению к цилиндру). 4. Найти площадь поверхности z = , расположенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2. 5. Вычислить тройной интеграл //А*' V где V — область, ограниченная поверхностями х = 1, у = 0, у = 10ж, z = 0, z = ху. Вариант 2 1. Вычислить двойной интеграл D ’ если область D ограничена линиями у = 0, у = ^у/а2 — х2. 2. Вычислить интеграл JJr2 sin ip • г drdp, D где область D ограничена линиями г = R, г = 2R sin р. 3. Вычислить массу плоской фигуры, ограниченной лемнискатой (х2 + у2)2 = а2(х2 - у2), если ее плотность равна р(х,у) = ху/х2 + у2. 4. Найти моменты инерции однородного треугольника, ограниченного прямыми х + у = 2, 2х + у = 4, х = 0, относительно координатных осей. 5. Вычислить тройной интеграл JJ[Ху2еХУХ dxdydz^ v где V — тело, ограниченное поверхностями х = 0, х = 2, у = 0, у = 3, z = 1, z = 5. 184
Вариант 3 1. Вычислить интеграл JJr3 drdip, D если область D ограничена лемнискатой г2 = a2 cos 2р и лучами р = О, 7Г ^=4- 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле о Va “2/ а 2а J f(x,y)dx + Jdy I yL 0 a+y/a2-y2 2а 2а 2а fdy jf(x,y)dx. 0 £ 2а 3. Найти массу пластины D: (х — З)2 + у2 1, х 3, если ее плотность в точке (ж, у) равна |j/|. 4. Вычислить тройной интеграл УУУ у2х cos xyz dxdydz, v если D — тело, ограниченное поверхностями х = 1, х = 2, у = 1, у = 3, z = 1, z = 4. 5. Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями ж = 0,?/ = 0,г = 0, х + у 4- z = 1, если плотность в точке (х, у, z) равна 3 ,43- (1 + х + у + г)л Вариант 4 1. Вычислить интеграл -- г3 drdp, D если D имеет вид 0 р 2тг, 0 г . ysin4 р 4- cos4 р 2. Вычислить площадь части поверхности сферы х2 4- у2 4- z2 = 81, за- ключенную между плоскостями у = — 5 и 2/ = 5. 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (ж + у - З)2 + (2х - Зу + 5)2 = 49. 4. Вычислить тройной интеграл Ш, V 1+£+<+4 185
х У z если тело V ограничено поверхностями я = 0, у = 0, = 0 и+ = 1. Z О 4 5. Вычислить тройной интеграл yyy63(i + 27y)dv, V где тело V ограничено поверхностями у = х, у = 0, х = 1, z = 0, z = ху.
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ □ §1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА Определение криволинейного интеграла первого рода Пусть в каждой точке гладкой кривой L = АВ в плоскости Оху задана непрерывная функция двух переменных f(x,y). Произвольно разобьем кривую L на п частей точками А = Mq, Mi, М2,..., Мп = В. Затем на каждой из полученных частей Л57—1 выберем любую точку М^х^Щ) и составим сумму Sn = f(xii У^^г, г=1 где Д/j = Mi-iMi — длина дуги Полученная сумма называется ин- тегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданной на кривой L. Обозначим через d наибольшую из длин дуг (таким образом, d = = тахД/г). Если при d —> 0 существует предел интегральных сумм Sn (не г зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек Mi), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается jf(x,y)dl или У f(x,y)dl. L АВ Можно доказать, что если функция f(x,y) непрерывна, то криволинейный интеграл jf(x,y)dl L существует. Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, ана- логичными соответствующим свойствам определенного интеграла (аддитив- ность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Однако есть отличие: У f(x, у) dl = f f(x, у) dl, АВ BA т- е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления инте- грирования. Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычисле- нию определенного интеграла. А именно: 187
1. Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией у = = у(х), х G [а, Ь], то ь У f(x,y)dl = J f(x,y(x\)y/l + (y'(x))2dx, L a при этом выражение dl = у/1 4- (у'(х))2 dx называется дифференциалом длины дуги. 2. Если кривая L задана параметрически, т. е. в виде х = x(t)y у = y(t), где x(t), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке [а, /3], то 0 ff(x, у) dl = jf(x(t), y(t))y/(x'(t))2 + (y'(t))2dt. L a Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: х = x(t), у — y(t\ z = z(t), t € [аг, /3]. В этом случае, если f(x,yyz) — непрерывная функция вдоль кривой L, то 3 р(х, у, z) dl = jf[x(t), y(t),z(t)]V(x'(0)2 + (у'(*))2 + (г'(*))2<й- L а 3. Если плоская кривая L задана полярным уравнением г = г(<£>), <р € [а, /3], то 0 У) = У?(г cos г sin ^)л/г2 4- г'2 dip. L а Приложения криволинейного интеграла первого рода 1. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный ин- теграл fdl L равен длине S кривой L, т. е. Уdl = S. L 2. Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z = f(x,y) 0. Тогда можно постро- ить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, парал- лельной оси Oz и заключенной между L и поверхностью z = f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле S= Jf(x,y)dl. L 188
3. Если L = АВ — материальная кривая с плотностью, равной р = р(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле т = ур(х,у) dl АВ (физический смысл криволинейного интеграла первого рода). 4. Статические моменты материальной кривой L относительно координат- ных осей Ох и Оу соответственно равны Мх = У yp(x,y)dl, Му = J xp(x,y)dl, L L ( \ П Г Му Мх где р(х,у) — плотность распределения кривой L, а хс = ус = — координаты центра тяжести (центра масс) кривой L. 5. Интегралы Jx = У у2 р(х, у) dl, Jy = У х2р(х, у) dl, Jq = j\x2 + y2)p(x,y)dl L L L выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью р(х, у) относи- тельно осей Ох, Оу и начала координат соответственно. 4.1.1. Вычислить криволинейный интеграл />• L где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (2,2) и (8,4). Q Найдем дифференциал дуги dl для кривой у = \flx. Имеем 2/' = -^, dZ = yi + (y'^dx = Jl + ±dx. y2x V Следовательно, данный интеграл равен g — — J У J V 2x J 2x L 2 v 8 _ 18 = 1 [Vl + 2idx= J-1(1 +2a:)3/2 = |(17х/17-5л/б). • Z J Z О |2 О 2 4.1.2. Вычислить криволинейный интеграл f(x2 + у3) dl, L где L — контур треугольника ABO с вершинами А(1,0), В(0,1), 0(0,0) (рис. 43). 189
Q Поскольку j\x2 + y3)dl = j\x2+y3)dl + j\x2+y3)dl+ j\x2+y3)dl, L AB BO OA то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и О А: Рис. 43 1) (АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у = 1 — х, то dl = ^/1 + О/')2 dx = V%dx. Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим 1 j\x2 + у3) dl = у [ж2 4- (1 — ж)3] V2dx = ав о 2) (ВО): рассуждая аналогично, находим я = 0, 0 1, dl = dy, откуда х f (®2 + у3) dl = jy3dy= ВО о 3) (ОА): у = 0, 0 х 1, dl — dx. У(х2 4- у3) dl = Jх2 dx = ОА о 4) Окончательно 7\/2 1 1 = 7y/2-b7 = 7(л/2 + 1) 12 + 4 + 3 12 12 4.1.3. L Вычислить криволинейный интеграл jVx2 + У2 dl, L где L — окружность х2 4- у2 = ах (а > 0). 190
Q Введем полярные координаты х — г cos <р, у = г sin ip. Тогда, посколь- ку х2 4- у2 = г2, уравнение окружности примет вид г2 = ar cos <р, т.е. г = acos<£, а дифференциал дуги dl = у/г2 + г2 dip = yj a2 cos2 ip + a2 sin2 ip dip = a dip. При этом ip e — к, к • Следовательно, L Za J 7Г 2 j\/x2 + y2 dl = a у acosipdip = 2a2. • L 2 4.1.4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными У(5z — 2у/х2 4- у2) dl, L где L — дуга кривой, заданной параметрически х = tcost, у = tfsintf, z = t, 0 t тг. Q Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции: 5z — 2у/х2 4- у2 = 5t — 2yjt2(cos21 + sin2 t) = 3t. Теперь выразим через t дифференциал dl: dl = у/(х'У2 4- (у'}2 4- (z')2dt = у/(cost — tfsintf)2 4- (sintf 4- tfcostf)2 4- left = = yj(cos2 — 2£ sin £ cos £ 4- £2 sin2t) 4- (sin2 £ 4- 2£ sin t cos £ 4- £2 cos2 £) 4- 1 eft = = yj (cos214- sin21) 4-12 (sin214- cos2 £) 4-1 = х/2+Т2 eft. Таким образом, f (5z - 2y/x2 + J/2) dl = + t2dt= J+ t2d(2 + t2) = L 0 0 = (2 +12)3/21’= x/(2 + тг2)з - 2л/2. • Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода: 4.1.5. Jxydl, где L — контур квадрата |ж| 4- |з/| = а. L 4.1.6. f — , где L — отрезок О А и 0(0,0), А(1,2). 191
4.1.7. А-т-, где L — отрезок АВ, Л(2,4), В(1,3). J х -г у L 4.1.8. А-т-, где L — отрезок MN, М(0, -2), ЛГ(4,0). Jх У L 4.1.9. Jу2 dl, L — дуга циклоиды х = a(t — sin2), у = а(1 — cos2) L О t 2тг. 4.1.10. J (х2 +з/2 + z2) dl, L — дуга цепной линии х = a cost, у = asint L z = bt, 0 t 2тг. 4.1.11. j\х + у) dl, L — правый лепесток лемнискаты г2 = a2 cos 2ср. L 4.1.12. J(x2 4- y2)n dl, L — окружность x2 4- y2 = a2. L 4.1.13. Jxydl, L — четверть эллипса 4- = 1, x 0, у 0. L 4.1.14. Jydl,L — дуга параболы у2 = 2px, отсеченная параболой L х2 = 2ру. 4.1.15. Вычислить площадь части боковой поверхности кругового ци- линдра х2 4- у2 = R2, ограниченной снизу плоскостью Оху, а х2 сверху поверхностью f(x, у) = R + R Q Искомая площадь вычисляется по формуле где L — окружность х2 4- у2 = R2. Поверхность цилиндра и поверхность 2 f(x,y) = R + симметричны относительно координатных плоскостей R Oxz и Oyz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях у 0, х 0, т.е. вычислить четверть искомой площади и результат умножить на 4. Имеем у = y/R2 — х2, y/R2 - х2' Следовательно, «/ 2\ 5 = 4 /(Я + ^1 J X it ) о ' Rdx VR2 - х2 f R2 + х2 [y/R2-x2 dx. 192
Получили определенный интеграл, который берем подстановкой х = Bsin<£>, откуда dx = Rcosipdp, 0 р у/R2 — х2 = Rcosp. f R2 + (flsin<p)2 J 2 2 • 2 \J 5 = 4/-----=------------ R cos <pdip = 4 I (R2 + R2 sin2 w) dip = J R, cos ip J о о 7Г = 4Я2 Д1 + 1~c2os2^’^ dip = SitR2. • o' 7 4.1.16. Найти массу четверти эллипса £ + v- = l, а2 Ь2 ’ расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэф- фициентом к. Q Поскольку р(ж,2/) = ку, имеем L L — четверть эллипса 7*2 у2 ^ + ^ = 1, у^О. а2 Ь2 Переходим к параметрическим координатам эллипса х = a cost, у = = 6sint. Напомним, что с = у/а2 — Ь2 — фокусное расстояние эллипса, а g = е — эксцентриситет эллипса. Находим dl = у/(х')2 + (у')2 dt = у/a2 sin2t + Ь2 cos21 dt = = \Д2(1 - cos21) 4- b2 cos21 = y/a2 — (a2 — b2) cos21 dt = = 4 a2 (1 — -—• cos21) = ay/1 - e2 cos21 dt. у \ a2 J Переходим к вычислению массы 7Г 7Г 2 _________ 2 т = kab J sin ty/1 - е2 cos21 dt = —(e cos t)2 d(e cost), о о Воспользуемся формулой J y/1 — и2 du = i(u\/l — u2+ arcsinu), Сборник задач по высшей математике. 2 курс 193
где и = е cos t. Получаем т = — | Ге cos ty/l - е* 2 cos21 + arcsin(s cos t)l I 2 = e 2 L J Io _ _ bob Г_£^/1 _ £2 _ arcsine]. 2s L J ,r y/a2 - b2 Гл---у b Учитывая, что e =------g---, vl — £ = , получим окончательно ka2b ( b /~Ъ । ot.rwjn ^a2 ~b2\ м 2y/a2 - b2 \a2 a J 4.1.17. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной ду- ги циклоиды х = a(t — sint), у = а(1 — cost), 0 t 2тг. тт Мх Имеем хс = ус = где т = J dl, Му = Jxdl, Мх = Уу dl. L L L Находим х1, у' и dl по отдельности: х' = а(1 — cost), у' = asint, dl = д/а2(1 — 2cost 4- cos21) 4- a2 sin2 tdt = = ал/l - 2cost 4- (cos21 4- sin21) = a\/2(l - cost) = = a\ 2 • 2 sin2 = 2asin Следовательно, 27T 2k [ sin 77 dt = -4a cos I = 8a. J 2 2 Io о Puc. 44 Из рис. 44 видно, что циклоида симметрична относительно прямой х = ла, поэтому хс = ла. Таким образом, Му можно не вычислять, хотя, учитывая равенство ,, с т 1 194
можно предположить, что Му = 8тга2. Предлагаем самостоятельно полу- чить этот результат. Вычислим теперь Мх: 2тг Мх = Jу dl = fa(l - cos t) • 2a sin ^dt = 2a2 L 0 2тг [ 2 sin2 • a sin dt = J £ £ 0 2тг = 4a2 J sin3 ^dt = -8a2 2тг /(l-cos2 2) (cos 2) - 0 = -8a2 (cos 5 - I cos3 I = ^a2. \ 2 3 2/ Io 3 Окончательно получаем: m = 8a, Mx = ^a2, My = 8тга2, xc = яа, yc = ^a. • о о 4.1.18. Найти координаты центра тяжести дуги однородной кривой у = ach| от точки А(0,а) до точки B(b,h). 4.1.19. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды х = a(t - sint), у = a(l - cost), 0 t тг. 4.1.20. Найти моменты инерции относительно координатных осей и на- чала координат четверти окружности х2 -Ьз/2 = а2, х 0, у 0. Плотность распределения масс дуги постоянна и равна к. Q Данная кривая (четверть окружности) симметрична относительно биссектрисы у = х первого координатного угла. Отсюда заключаем, что Jx и Jy одинаковы, т. е. Jx — Jy — jУ2 dl = У х2 dl. L L Переходя к параметрическим уравнениям окружности х = a cost, у = = asint, 0 t откуда dl = adt, получаем Iх2 dl = a3 fcos2tdt = ^ /(l + cos2f)dt = ^(i+^) |J= L 0 0 Таким образом Jx = Jy = Jq = Jx 4- Jy = £2-. • 4.1.21. Вычислить массу четверти эллипса х = 5cost, у = 4sint, рас- положенную в первой четверти, если ее линейная плотность р равна у. 4.1.22. Найти массу контура эллипса ^ + ^ = 1, а2 Ь2 ’ если его линейная плотность в каждой точке М(х,у) равна |з/|. 195
4.1.23. Найти массу первого витка винтовой линии х = a cost, у = = a sin t, z = bt, если плотность в каждой точке равна радиусу- вектору этой точки. 4.1.24. Найти момент инерции относительно оси Oz первого витка вин- товой линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt. Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью Оху, а сверху поверхностью z = f(x,y), при условии, что известна направляющая L этой цилиндрической поверхности: 4.1.25. 4.1.26. f(x,y) = y/2x — 4x2, y2 = 2x. f(x,y) = x2 + y2 = R2- 4.1.27. f(x,y) = 2 - у/х, у2 = |(a; - l)3. 4.1.28. 4.1.29. f(x,y) = x, у = |ж2 (x € [0,4]). Вычислить массу контура прямоугольника со сторонами, ле- жащими на прямых х = 0, х = 4, у = 0, у = 2, если р(х, у) = ху. 4.1.30. Вычислить массу дуги параболы у2 = 2х, заключенной между точками 0(0,0) и А(1, у/2), если р(х,у) = ху. С помощью криволинейного интеграла I рода вычислить длины заданных дуг: 4.1.31. 4.1.33. ау2 = х3, 0 х 5а. 4.1.32. г = a sin3 п X X о у = ^(еа+е а),0<ж^4. 4.1.34. у = 1 — In cos а:, 0 С х С помощью криволинейного интеграла I рода найти координаты центра тяжести кривых: 4.1.35. 4.1.37. 2 2 2 у2 = ах3 — х4. 4.1.36. хз + уз = аз, у 0. у/х 4- y/у = \/а (0 х а). 4.1.38. п — — — У = т;(еа + е °), ~а х а. Дополнительные задания Вычислить данные интегралы I рода: 4.1.39. fу/х2 + у2 dl, где L задана уравнениями х = a(cost 4-1 sin t), L у = a(sint — tcost), 0 t 2тг. 4.1.40. [ —z—где L — первый виток винтовой линии J ж2 + у2 + z2 х = a cost, у = asint, z = bt, 0 t 2тг. 196
4.1.41. J\ x + z)dl, где L — дуга пространственной кривой, заданной L 0/2 параметрически х = t, у = —=, z = t , 0 t 1. 4.1.42. Найти длину дуги конической винтовой линии х = aefcost, у = ae*sint, z = ае*, заключенной между точками 0(0,0,0) и А(а,0,а). 4.1.43. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограни- ченной кардиоидой г = а(1 4- cos<£>). 4.1.44. Найти декартовы координаты центра тяжести дуги логариф- мической спирали г = ае* от <^i = до <^2 = тг- 4.1.45. Вычислить г J |х 4- у\dl, L где L — контур треугольника АВС с вершинами А(0,0), В(1,0), 0(0,1). 4.1.46. Вычислить интеграл j\/2y2 4- z2 dl, если L — окружность L х2 +у2 + z2 = а2, х = у. 4.1.47. Вычислить площадь боковой поверхности параболического ци- линдра у = х2, ограниченного плоскостями z = 0, z = 2х, х = О, х = 1. 4.1.48. Вычислить массу кривой х = 1п(1 4- t2), у = 2arctgt — t на участке от t = 0 до t = 1, если ее линейная плотность равна р(х,у) = е~ху. 4.1.49. Вычислить массу четвертой части эллипса х2 У2 ^ + ^2=1, х^О, у^О, а2 Ь2 если линейная плотность р(х,у) = ху. а — — — 4.1.50. Вычислить массу всей цепной линии у = -(еа + е а), если ее I 2 линейная плотность р(х,у) = —. У 4.1.51. Вычислить /• J(x-y) dl, L где L: х2 4- у2 = ах. 4.1.542. Вычислить r ,------- / х\/х2 — у2 dl, L где L — линия, заданная уравнением (х2 4- у2)2 = а2(х2 — у2), х 0 (половина лемнискаты). 197
4.1.53. Вычислить г у / arctg dl, L где L — часть спирали Архимеда г = 2<р, заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат. Контрольные вопросы и более сложные задания 4.1.54. Вычислить г 4 4 /(#3 4- уз) dl, L 222 где L — дуга астроиды ж з 4- уз = аз, лежащая в первой че- тверти. 4.1.55. Вычислить г У |у| dl, L где L — дуга лемнискаты (ж2 4- у2)2 = а2(х2 — у2), х 0. 4.1.56. Вычислить г ------ jVx2 + У2 dl, L где L — полуокружность х2 4- у2 = ах, у 0. 4.1.57. Найти длину пространственной кривой . х 1 4 - х у = arcsin -г, z = In -7—— ” 4 4 4-х 4.1.58. 4.1.59. 4.1.60. 4.1.61. от точки 0(0,0,0) до точки А(2,3,4). Вычислить г где L — коническая винтовая линия х = t cos t, у = t sin t, z — t, at3 = заключен- о если ее линейная Найти массу дуги параболы у2 = 2рх, заключенной между / п \ точками 0(0,0) и если ее линейная плотность рав- на р(х,у) = у. at2 Найти массу дуги кривой х — at, у = -х-, z ной между точками 0(0,0,0) и Al а, %, 1, \ о у плотность равна р(х, у) = Вычислить г / xyzdl, 7?2 где L — четверть окружности х2 4- у2 + z2 = R2, х2 4- у2 = z 0, лежащая в первом октанте. 198
Согласно закону Био-Савара элемент тока действует на магнитную массу m с силой . и» mJ SIH Q dl г2 где J — ток, dl — элемент длины проводника, г — расстояние от элемента тока до магнитной массы, а — угол между направлением прямой, соединяю- щей магнитную массу и элемент тока, и направлением самого элемента тока. Эта сила F направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса, направление силы определяется по правилу буравчика. Опираясь на закон Био-Савара, решить следующие задачи: 4.1.62. Найти силу, с которой ток J в бесконечном прямолинейном проводнике действует на точечную магнитную массу т, нахо- дящуюся от проводника на расстоянии а. 4.1.63. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток J. С какой силой этот ток действует на точечную магнит- ную массу т, находящуюся в центре квадрата? 4.1.64. С какой силой ток J, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восстановленном в центре круга на расстоянии h от этого круга? 4.1.65. С какой силой ток J, текущий по замкнутому эллиптическому контуру, действует на точечную магнитную массу т, находя- щуюся в фокусе эллипса? 4.1.66. С какой силой ток J, текущий по бесконечному параболиче- скому контуру, действует на точечную магнитную массу т, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фокуса равно Вычислить площадь цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью Оху, сверху данной поверхностью z = f(x,y), при условии, что направляющая задана кривой L: 4.1.67. f(x,y) = ху, L — четверть эллипса ^+^ = 1, а2 62 ’ лежащая в первой четверти (х 0, у 0). 4.1.68. f(x,y) = у, L — участок параболы у2 = 2рх от начала координат до точки (хо,Уо)- 4.1.69. f(x,y) = х2 + у2, L — прямолинейный отрезок, соединяющий точки А(а, а) и В(Ь,Ь). 199
4.1.70. f(x,y) = ye~x, L — участок кривой х = ln(l + t2), у = 2arctgt - t + 3, заданной параметрически, между точками, соответствующими t = 0 и t = 1. 4.1.71. f(x,y) = jj, L — дуга параболы у = 2ж, лежащая между точ- ками (1, Л) и (2,2). 4.1.72. f(x,y) = у3, L — арка циклоиды х = a(t - sint), у = а(1 - cos£), 0 t 2тг. §2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА Определение криволинейного интеграла второго рода Пусть L = АВ — гладкая кривая, а Р(ж, у) — некоторая функция, опре- деленная в точках кривой L. Разобьем кривую L на п произвольных частей точками А = Mo, Mi, М2,..., Мп = В. Далее на каждой из полученных дуг выберем произвольную точку Mi(xi, yj, после чего составим про- изведение Р(жг,^) До:» значения функции Р(х,у) в точке Mi на проекцию Дж» = яч+1 — Xi этой дуги на ось Ох. Складывая все такие произведения, по- лучим сумму п 8п,х — P(Xjj i=0 которая называется интегральной суммой второго рода для функции Р(ж, у) по координате х. Пусть теперь d — наибольшая из длин дуг Если функция Р(ж, у) непрерывна в точках кривой L, то при d —> 0 существует предел интегральных сумм Sn,x, не зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек Mi. Этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по координате х и обозначается JР(х,у) dx. L Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода по коор- динате ?/, который обозначается У Q(x,y)dy, L rneQ(x,y) — непрерывная функция. Сумма криволинейных интегралов У Р(ж, у) dx и у Q(x, у) dy L L 200
называется полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается f Р(х, у) dx + Q(x, у) dy. & L Криволинейные интегралы второго рода называются также криволиней- ными интегралами по координатам. Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности, УР(х, у) dx + Q(x, y)dy = — JP(x, у) dx + Q(x, y) dy, BA AB т. e. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направ- ления интегрирования. Вычисление криволинейных интегралов второго рода Предположим, что кривая L задана в явном виде непрерывно дифферен- цируемой функцией у = з/(ж), х 6 [а,Ь]. Тогда ь Ур(х, у) dx + Q(x, y)dy = J[P(z, y(x)) + Q(x, y(x))y'(x)] dx. L a Если L задается параметрическими функциями x = x(t), у = y(t), t 6 [a, /5], TO 0 /P(x,y)dx + Q(x,y)dy = J[P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)] dt. L a Это равенство можно распространить и на пространственный случай (аргумен- ты (x,y,z) функций Р, Q, R для краткости опускаем): 0 JPdx + Qdy + Rdz = j(P • x (t) -I- Q • y(t) + R • z(t)) dt, L a где (x, y,z),x = x(t), у = y(t), z = z(t) — параметрические уравнения кривой L. Приложения криволинейного интеграла второго рода Интеграл J Pdx + Qdy L можно представить в виде скалярного произведения векторов F = Pi + Qj и ds = idx + jdy: fpdx + Qdy= уF(:r, у) • ds. L L 201
В таком случае F ds L выражает работу переменной силы F = Pi+Qj при перемещении материальной точки М = М(ж, у) вдоль кривой L = АВ от точки А до точки В. При А = В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный инте- грал по замкнутой кривой обозначается так: Pdx + Q dy. В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла. Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой L = dD (dD — обозначение границы области £)), а в области D и на ее границе dD функции Р(ж, у) и Q(rr, у) непрерывны вместе со своими частными производными. Теорема 4.1. Пусть Aw В — произвольные точки области D, АтВ и АпВ — два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 45). Тогда следующие условия равносильны: L = (условие гРина)- 2. J Pdx + Qdy= J Pdx + Qdy (криволинейный интеграл не зависит АтВ АпВ от пути интегрирования). 3. J Рdx + Qdy = 0 (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю). АпВтА 4. Pdx A Qdy = dU (выражение Pdx A Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции U = U(x,y)). Рис. 45 В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей тео- ремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (яо, з/о) и (хi,3/i) из области £>, можно вычислить при помощи формулы Ньютона- 202
Лейбница [ Pdx + Qdy = U(x,y)\ 1,3/1 = U(xi,yi) - U(xo,yo), J l(zo,3/o) (®0,3/0 ) где U(x,y) — некоторая первообразная для Pdx + Qdy. С другой стороны, первообразная U(x,y) выражения Pdx + Qdy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла (®,з/) U{x,y) = J Pdx-]-Qdy. (zo,3/o) В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(x,y), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу fpdx + Qdy = dxdy. dD D Здесь предполагается, что обход границы dD области D в криволинейном ин- теграле $Pdx + Qdy dD совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки. Заметим, что площадь S = S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второго рода: S = $xdy — ydx dD (эта формула получается из формулы Грина с Р = — Q = ^3/)- 4.2.1. Даны функции Р(х, у) = Sx + 4у + 2, Q(x, у) = Sy + 2 и точки А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл J (&г + Ау + 2) dx + (Sy + 2) dy, L где: 1) L — отрезок ОА- 2) L — ломаная ОБА-, 3) L — ломаная ОСА', 4) L — парабола, симметричная относительно оси Оу и прохо- дящая через точки О и А; 5) проверить выполнимость условия Грина. 203
Q Пути интегрирования, соответствующие п. п. 1)-4), изображены на рис. 46. Рис. 46 1) Отрезок О А может быть записан в виде: у = 2ж, х 6 [0,3]. Тогда dy = 2 dx и з f Pdx + Qdy = J[(8# + 4 • 2x + 2) dx + (8 • 2x + 2) • 2 dx] = oa о f |3 = /(48x + 6) dx = (24x2 + 6x) = 234. о 2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОБ и В А. Тогда: а) ОБ: здесь у = 0, 0 х 3, т. е. dy = 0, откуда 3 з J fix 4- Ay + 2) dx + fiy + 2)dy = J(fix + 2) dx = (4x2 + 2x) |^= 42. OB о 6) BA: x = 3, 0 у 6, t. e. dx = 0, и 6 |6 J fix + Ay + 2) dx + fiy + 2)dy = Jfiy + 2)dy = (4?/2 + 2y) |^= 156. ba о Таким образом, J fix + 4г/ + 2) dx + fiy + 2) dy = 42 + 156 = 198. OBA 3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему. 204
а) ОС: x = 0, (т.е. dx = О), О у 6, откуда 6 J (&г + Ау + 2) dx + {Sy + 2) dy = J{Sy + 2) dy = 156. ос о б) С А: О х 3, у = 6, dy = О, следовательно, з J(&г 4- Ау + 2) dx + {Sy + 2)dy = J{Sx + 26) dx = 114. са о Окончательно У (8а; + 4у + 2) dx + (8j/ + 2) dy = 114 + 156 = 270. ОСА 4) Подставив координаты точки Л(3; 6) в равенство у = ах2 найдем 2д.2 а уравнение данной параболы у = При этом 0^я^Зи(й/= -zxdx, о о откуда (путь О А по параболе обозначим ) J (&г 4- Ау + 2) dx + {Sy + 2)dy = о 3 г / \ / \1 ОА = [ [8х + ^- + 2] dx + [ + 2) %xdx = J \ О / \ о /О 0 L \ / \ / J 3 q = [(угх3 + |а;2 + ^х + 2) dx= f^a;4 + |®3 + ^ш2 + 2а/) = 222. J \ У о о / \ 9 У 3 /10 о 5) Имеем = |-(8х + 4у + 2) = 4, = ^-(8j/ + 2) = 0, оу оу ох ох т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный ин- теграл второго рода зависит от пути интегрирования. • 4.2.2. Даны функции Р{х,у) = у 4- 3, Q{x,y) = Sx 4- 7у 4- 6 и точки Л(9,4), В(9,0), (7(0,4). Вычислить криволинейный интеграл j\y + 3)dx + {Sx 4- 7у 4- 6) dy, L где: 1) L — отрезок О А; 2) L — ломаная ОБА; 3) L — ломаная ОСА- 4)L — парабола, соединяющая точки 0(0,0) и А(9,4) и сим- метричная относительно оси Оу. 5) Проверить выполнение условия Грина. 205
4.2.3. Вычислить J (Ay + 4) dx + (Зх + Зу + 4) dy L по разным путям, соединяющим точки 0(0,0), А(2,6), В(2,0) 0(0,6): 1) L = OA; 2) L = OCA; 3) L = OBA; 4) L — дуга параболы у = 4.2.4. Вычислить интеграл J2ху dx — х2 dy, L взятый вдоль различных путей, соединяющих точки 0(0,0) А(2,1), В(2,0), 0(0,1): 1) L — отрезок О А; 2) L — парабола с осью симметрии Оу, проходящая через О и А; 3) L — парабола, проходящая через О и А с осью симметрии Ох; 4) L — ломаная ОВА; 5) L — ломаная ОСА. 4.2.5. Вычислить интеграл Jу2 dx + х2 dy, L х2 У2 где L — верхняя половина эллипса — + — = 1, пробегаемая по ходу часовой стрелки. а ° Q Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х = a cos t, у = bsint, t € [0, тг], т.е. dx = — a sin tdt, dy = b cos tdt. Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от тг до 0), получаем о J у2 dx + х2 dy = у(—b2 sin21 • a sin t + a2 cos21 • b cos t) dt = L 7Г 7Г 7Г = Jab2 sin2 t • sintdt — ja2bcos2 t • costdt = о 0 = -ab2 y*(l - cos21) d(cos t) - ab2 J(1 - sin2 t) d(sin t) = о 0 12 { . COS3 t \ Iя’ 21 I • . sin3 £ \ Iя’ 4 12 A = —ab ( cost---z— I —a b sint-----«— = -^ab . • \ 3 J Io \ o/lo3 206
4.2.6. Вычислить ' 4.2.7. 4.2.8. х2 dy — у2 dx 5 5 ’ L ЖЗ +уЗ где L — дуга кривой х = Я cos3t, у = 7? sin3 t, пробегаемая от точки А(7?, 0) к 72(0,7?). Вычислить /• / xydx, L где L — дуга синусоиды у = sin х от точки (0,0) до точки (тг, 0). Вычислить г 4.2.9. L где L — отрезок прямой = 1 от точки А(а, 0) до точки В(0,Ь). Вычислить 4.2.10. х2 У2 вдоль эллипса — Ч—- = 1, пробегаемого в положительном а2 Ь2 направлении (против часовой стрелки). Вычислить по дуге винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z — Ы при изме- . нении t от 0 до 2тг. Ci Сначала найдем дифференциалы переменных: dx = —a sin t dt, dy = = a cos t dt, dz = b dt. Выразим подынтегральное выражение через t, сводя исходный интеграл к определенному: 2тг f yzdx + xz dy + xydz = J (—a2bt sin21 + a2bt cos21 + ba2 sin t cos t) dt = L 0 = a?b J (tcos2t + si^2f) = 0 = o2Jrsi^|2’_l /sin2tdt-^n=0. • V 2 Io 2 J 4 Io J о 4.2.11. Вычислить p xdy — у dx, L где линия L — задана уравнениями x = 2^/5 cos3t, у = 4^/5 sin3t, te [0,27г]. 207
4.2.12. Вычислить r _ f(x2+y2)3dx L вдоль окружности x2 + у2 = 5, пробегаемой в положительном направлении. 4.2.13. Вычислить У (х2 - 2ху2 + 3) dx + (у2 - 2х2у + 3) dy, L где L — дуга параболы у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и А(2,8). 4.2.14. Вычислить /• ydx + zdy + xdz, L где L — виток винтовой линии х = a cost, у = asint, z = bt, О t 2тг, пробегаемый в направлении убывания параметра. 4.2.15. Показать, что интеграл (10,10) У (х + у) dx + (х - у) dy (о,о) не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и (10,10), и вычислить его. Q Проверим условие Грина. Положим P = x + y,Q = x — у. Тогда 3Q = с?Р =1 дх ду ’ и, значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегри- рования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегри- рования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки 0(0,0) и В(10,10). Отрезок ОВ можно задать так: у = х, х Е [0,10]. При этом dy = dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу (ю,ю) 10 .10 J (х + у) dx + (х — у) dy = j (х + х) dx = х2\ = 100. • (о,о) о Проверить, что данные криволинейные интегралы не зависят от пути интегрирования и вычислить их: (и) 4.2.16. у (Зж2 - Зу) dx + (Зу2 - За;) dy. (0,0) (2,0) 4.2.17. J (Зх2 + бху2) dx + (6х2у + 4у3) dy. (i,i) 208
2,3 4.2.18. J (x3 - Зху2 + 2) dx - (Зх2?/ — у2) dy. (0,0) 4.2.19. Вычислить криволинейный интеграл j\x 4-1) dx 4- xyz dy 4- y2z dz, L где L — отрезок, соединяющий точку (7(2,3, — 1) с точкой 79(3, —2,0). Q Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя урав- нения прямой, проходящей через две точки: x-2_3/“3_z4-1 1 “ -5 “ 1 * Отсюда х = 2 4-1, у = 3 — 5t, z = — 14-1, t G [0,1]. Далее, находим dx = dt, dy = —5 dt, dz = dt, подставляем все нужные выражения в данный инте- грал, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл: 1 J = y[(3 + t)dt-5(2 + t)(3-5t)(-l + t)dt + (3-5t)2(-l + t)^] = о 1 = y(24-25t-45t2 + 50t3)dt = 9. • о 4.2.20. Вычислить криволинейный интеграл Jxydx — у dy L вдоль кривой L = CD, соединяющей точки (7(4,0) и 79(0,2), если: 1) CD — отрезок прямой; 2) CD — парабола, симметричная относительно оси Ох; 3) CD — парабола, симметричная относительно оси Оу; 4) CD — дуга эллипса с центром в начале координат. Вычислить простейшим образом данные интегралы от полных диффе- ренциалов: (2,3) 4.2.21. J xdy + ydx. (-1,2) (14) 4.2.23. J (х 4- 2/)(dx 4- dy). (о,о) 4.2.22. 4.2.24. (3,4) J xdx + ydy. (0,1) (2,1) Л J /ydx — xdy У2 (1,2) У 209
4.2.25. Проверить, является ли выражение (Зх2?/ + dx + ( х3 - ] dy \ У/ \ у2 J полным дифференциалом некоторой функции U(x, у) и если да, то найти эту функцию. Q Обозначим Р = Зх2у + Q = х3 - Тогда У У §£ = 3^-А, ^ = 3^-1 оу у2 дх у2 Таким образом, условие Грина ( -7— = -7— ) имеет место при у 0. уду дх) Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некото- рой функции С7(гс, ?/), которая может быть найдена как криволинейный интеграл , ч У (Зх2у 4- dx + ( х3 - J dy, (so,3/0) где (а?о5 З/о) — произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не ле- жащая на оси Ох (так как уо / 0). Положим (xq, уо) = (0,1), а в качестве пути интегрирования выберем путь L = АВС, изображенный на рис. 47. Тогда сокращенно можно написать (s,3/) U(x,y) = j = j = j+ j. (so,3/o) ABC AB BC Puc. 47 Имеем: 1) (AB): у — 1, т.e. dy = 0 и J (Зя2у + dx 4- (x3 AB ' V (®.l) ) dy = f (3x2 4- l)dx = x3 + x. (0,1) 210
2) (ВС): х— фиксировано, следовательно, dx = 0, откуда 3) Таким образом, С7(ж, у) = х3 + х + х3у + - х3 - х = х3у + Проверка показывает, что действительно, dU = d (х3у + dx + (х3 Найдя первообразные данных подынтегральных выражений вычислить криволинейные интегралы: (3,0) 4.2.26. J (х4 + 4од3) dx + (6я2у2 — 5$/4) dy. (-2,-1) (1,0) Л Л 4.2.27. / (».-ц <1“’) (3,1)/ Л X > 4.2.28. [ (» +ЭД (1 + „ ± 0). (/> <1 + »> (12,5)/ \ / Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых: 4.2.30. J(y — z)dx + (z — х) dy + (х — у) dz, где L — виток винтовой L линии х = a cost, у = asint, z = bt, 0 t 2тг. 4.2.31. (^ydx + zdy + x dz, где L — окружность, заданная формулами L х = R cos a cos t, у = R cos a sin t, z = R sin a (a = const). Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов (предварительно найдя первообразную): (6,4,8) 4.2.32. у х dx + у dy — z dz. 4.2.33. (1,0,-3) (а,6,с) J yzdx + xz dy + ху dz. (МЛ) 211
(3.4,5) , , , 4 2 34 Г xdx + ydy + zdz (0,6,0) х/^ + У2*^ 4.2.35. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный ин- теграл х2 + у2 dx + у [ху + 1п(я + \/х2 + у2)] dy L в двойной и с его помощью вычислить интеграл по контуру прямоугольника ABCD (рис. 48), где А(1,1), В(7,1), С(7,4), Р(1,4). Рис. 48 Q Имеем Р = у/х2 + j/2, Q = у(ху + 1п(х + \/х2 + у2)), откуда 9Q дх 1 X + \/х2 + у2 дР = У ду \/х2 + у2 ^._дР=у2+ У _ У = 2 дх ду yjx? + у2 \/Х± + у2 Таким образом, в силу формулы Грина данный криволинейный интеграл равен двойному интегралу от у2 по прямоугольнику ABCD, т.е. L ABCD х ' 7 4 dxdy = уу у2 dxdy = Jdx jу2 dy = ABCD 1 1 4.2.36. Применяя формулу Грина, вычислить У 2(х2 + у2) dx + {х + у)2 dy, L 212
где L — контур ДАВС, пробегаемый в положительном направ- лении, и А(1,1), В(2,2), С(1,3). Полученный результат про- верить непосредственным вычислением криволинейного инте- грала. Найти функции по данным полным дифференциалам: 4.2.37. dU = х2 dx + у2 dy. 4.2.38. dU = 4(я2 - y2)(xdx - ydy). 4.2.39. du=^ + Wx + „dy (® + y)2 4.2.40. dU = ^^dx-^ZHdy. y^Jx2 + у2 у2\Хж2 + у2 4.2.41. dU = ( * ~ \ dx + (;-y . - y2>) dy. \(.У ~ ХГ J \{y~xr J Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы: /х dy -|- у dx _ z ^\9 / — --------—, где L — окружность (х — 1)^ + (у — 1)^ = 1, про- х2 + у2 бегаемая против хода часовой стрелки. /* _,2 7/2 4.2.43. ф(ху + у + x)dx + (ух — у + x)dy, L — эллипс = 1. J а2 Ь2 Jb 4.2.44. <j>(xy + x + y)dx + (ху + х — у) dy, L — окружность х2 + у2 = ах. L 4.2.45. <1>(2х + Зу) dx + (Зх — 4у) dy, где L состоит из дуги параболы L у = ах2, соединяющей точки 0(0,0) и А(2,4), и отрезка прямой, соединяющей эти точки. 4.2.46. ^(х4 + 4од3) dx + (6ат2з/2 — 5$/4) dy, где L — дуга верхней по- L 2 л»2 ловины гиперболы ---------- = 1 от точки А(—а, \/2Ь) до точки а2 Ь2 В(а, \/2Ь) и отрезка прямой, соединяющей эти точки. 4.2.47. Вычислить площадь эллипса при помощи криволинейного ин- теграла. 2 т/2 Q Запишем эллипс —- = 1 в параметрической форме х = a cost, а2 Ь2 У = bsint, 0 t 2тг, после чего воспользуемся формулой для площади 213
области D 2тг S = <j>xdy - ydx = - f(acost • bcost + bsint • asint) dt = dD О 27Г = - Jabdt = nab. Ф о Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми: 4.2.48. Астроидой х = a cos31, у = а sin3t. 4.2.49. Кардиоидой х = а(2 cost — cos2t), у = а(2sint — sin2t). 4.2.50. Петлей декартова листа ж3 + у3 — Заху = 0 (а > 0). 4.2.51. Кривой (х + 2/)3 = аху. 4.2.52. Петлей (х + у)* = х2у. 4.2.53. Лемнискатой Бернулли (х2 + у2)2 = 2а2(х2 - у2). 4.2.54. Петлей линии (у/х + у^)12 = ху. 4.2.55. Вычислить работу силового поля F = yi — xj при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса ^ + ^ = 1 а2 Ь2 из точки С(а, 0) в точку В(—а, 0). Работа А силового поля F = Pi + Qj при перемещении материальной точки М вдоль линии СВ равна J Pdx + Qdy. св Запишем дугу эллипса СВ в параметрической форме: х = a cost, у = = bsint, t Е [0,7г]. Тогда dx = — asintdt, dy = bcostdt и 7Г 7Г А = у ydx — xdy — у (—ab sin2 t - ab cos2 t) dt = —ab j dt = nab. • св о о 4.2.56. Дана переменная сила F = — yi + (Зу — 8x)j. Вычислить работу этой силы при перемещении материальной точки вдоль конту- ра прямоугольника с вершинами Л(9,4), В(—9,4), С(—9, — 4), Г>(9,-4). 4.2.57. Найти работу силы F = — yi + (Зу — 8x)j при перемещении ма- териальной точки вдоль эллипса £ + у! = 1. 81 16. 4.2*58 . Найти работу силы F = — 4yi+(4y—3x)j при перемещении мате- риальной точки вдоль прямоугольника с вершинами Л(2, — 6), В(2,6), С(—2,6), Г>(-2,-6). 4.2.59. Найти работу силы F = —4j/i + (4у — 3x)j вдоль эллипса ^ + ^ = 1 4 + 36 214
Дополнительные задания 4.2.60. Даны точки А(2,2), В(2,0), С(0,2). Вычислить J (2х + 3) dx + (х + 7у + 1) dy, L где a) L = OA-, б) L = OBA-, в) L = OC; г) L = OCA-, д) L — парабола, симметричная оси Оу и соединяющая точки О и А. 4.2.61. Даны точки А(9,0,0), В(9,4,0), С(9,9,9). Вычислить J dx + (3z + 8) dy + (7z + 6) dz, L где a) L = AC-, 6) L = OABC. 4.2.62. Даны точки A(—2, —2), B(—2,0), C(0, —2). Вычислить j\y + 4)dx + (3a: + 3y) dy, L где a) L = OA; 6) L = OCA; в) L = OB A; r) L — дуга параболы О A. 4.2.63. Даны точки А(2,0,0), В(2,2,0), С(2,2,2). Вычислить j 4 dx + (4z + 3) dy + (За; + 4) dz, L где a) L = AC; 6) L = OBC. 4.2.64. Вычислить J (%x2y + y) dx + (x — 2y2) dy, где ABC — контур ABC треугольника ABC с вершинами A(0,0), B(l,0), C(0,1). 4.2.65. Вычислить ydx — xdy, L 4.2.66. x2 У2 где L — эллипс — 4—- = 1, пробегаемый в положительном а2 Ъ2 направлении. Вычислить [ xdx _ ydy J x2 +y2 x2 + y2 L по окружности с центром в начале координат. 215
4.2.67. Вычислить у dx + xdy я2 + у2 4.2.68. 4.2.69. по отрезку прямой у = х от точки х = 1 до точки х = 2. Вычислить - xdy — у dx L по петле декартова листа х = , у = —. 1 +13 1 +13 Вычислить - xdy — у dx, L где L — арка циклоиды х = a(t — sint), у = а(1 — cost), 0 t 2тг. Найти функции по их полным дифференциалам: 4.2.70. dU = ydx + х dy. 4.2.71. dU = (cos я + Зят2з/) dx + (я3 — у2) dy. 4.2.72. dU = х dx + У dy. у/х2 +у2 у/х2 + у2 4.2.73. dU = (2х + у + z) dx + (х + 2у + z) dy + (х + у + 2z) dz. 4.2.74. dU = (Зя2 + 2у2 + 3z) dx + (4ху + 2у — z)dy + (Зя — у — 2) dz. 4.2.75. dU = (2xyz — 3y2z + Sxy2 + 2) dx + (x2z — 6xyz -I- 8x2y + 1) dy+ +(я2?/ - Зху2 + 3) dz. 4.2.76. dU= dx + (1“Л) <*У+ dz- x2 / \z У2 / \ z2 / 4.2.77. Вычислить работу силы F = я^/i + (я + j/)j при перемещении точки из начала координат в точку А(1,1): а) по прямой; б) по параболе у = я2. 4.2.78. В каждой точке эллипса я = a cost, у = bsint приложена сила F = —я! — у]. а) Вычислить работу силы F при перемещении точки вдоль дуги эллипса, лежащей в первой четверти. б) Вычислить работу, если точка обходит весь эллипс. Найти работу данного силового поля F при перемещении материальной точки вдоль отрезка АВ, если известны координаты концов отрезка: 4.2.79. F = (я4 + 4xy3)i + (6х2у2 - 5y2)j, А(-2, -1), В(3,0). 4'2-80' 4-2-81- F = 7£Y^i + r77vj'-4<1’1)'s(3'1)- (х + у)2 (ж + у)2 216
4.2.82. 4.2.83. 4.2.84. 4.2.85. 4.2.86. 4.2.87. F= —4= + y i+ V=^ + x i 4(0,0), B(l,l). \ y/X2 + y2 ) \ ya:2 + у2 / F = (За:2?/ - ?/3)i + (a;3 - 3a:?/2)j, A(0,0), B(l, 1). F = (v» - tts) ‘+ + ife)1 л<1'4)’B<9’1K \ О yX / у / F =-------------------rri--------------------тт-j, 4(1,1), B(2,2). (a:2 + ?/2) (arctg |) (a:2 + ?/2) (arctg |) F = + -2^j, 4(2,1), B(l,7). x2 + y2 x2 + y2 F = (у3 - бод2)! + (Зятз/2 - 6x2y + 8$/3)j, A(0,0), B(l, 1). Контрольные вопросы и более сложные задания Вычислить криволинейные интегралы II рода: 4.2.88. У dx — arctg ^dy, где От А — дуга параболы у = х2, а ОгпАпО ОпА — отрезок прямой у = х. (2,3) (3,-4) 4.2.89. У xdy + ydx. 4.2.90. J xdx + ydy. (-1,2) (0,1) 4.2.91. (1,2) Л J (6’8) J _i_ Л /• (, / 0). 4.2.92. [ Idl + *d* J X2 j л/х2 + и2 (2,1) (1,0) Vх (2,тг)/ 2 \ 4.2.93. г Л у У\^^У,У У\ Л J dx+\smx + xcosx) dy- (l.’t)v 7 4.2.94. Доказать, что если f(u) — непрерывная функция, то J f(x2 +y2)(xdx + ydy) = 0 L для любого гладкого контура L. Найти первообразную функцию по данному дифференциалу: 4.2.95. , 2х dx + 2у dy dz= 9 9* x2 +y2 4.2.96. 2ydx , 2ydy dz = n + n • a:2 sin2— arsin^ Jb Olli du Dill 4.2.97. dz = 5 [ ydx + xdy]. (x - y)2 217
4.2.98. Вычислить J (у2 — z2)dx + 2yzdy — x2 dz, L где L — кривая x — t, у = t2, z — t3, 0 t 1, пробегаемая в направлении возрастания параметра t. 4.2.99. Вычислить J(у2 - z2) dx + (z2 - х2) dy + (х2 - у2) dz, L где L — контур, который ограничивает часть сферы х2 + у2 + z2 = 1, х О, у^О, z О, пробегаемый так, что внешняя сторона сферы остается слева. 4.2.100. Доказать, что для криволинейного интеграла II рода справед- лива оценка I jp(x, у) dx + Q(x, у) dy| LM, L где L — длина кривой L, а М = шах у/Р2(х,у) + Q2(x,y). (x,y)eL 4.2.101. Оценить интеграл г ydx — xdy J (ж2 +ху + у2)2 ’ Lj где L — окружность х2 + у2 = R2. Доказать, что при R -> +оо данный интеграл стремится к нулю. §3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение и вычисление поверхностного интеграла первого рода Пусть f(x,y,z) — функция, заданная в точках некоторой гладкой поверх- ности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части Si,..., Sn с площадями Д<71,..., Д<7П и диаметрами di,..., dn соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей Si точку Mi(xi, yi, Zi), составим сумму п ^2f(xi,yi,Zi) t=i которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y,z). Если при d —> 0 (где d = max di) существует предел интегральных сумм, i который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора 218
точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается »>z) da- & s Если функция /(и, з/, z) непрерывна, то интеграл УУf(x, у, z)dcr S существует. Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично опреде- лению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного ин- теграла первого рода (линейность, аддитивность и т. д.) также аналогичны со- ответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода. Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z = = z(z,3/), причем z(x^y) непрерывна вместе со своими частными производными z'x = z'x(x,y) и z'y = z'y(x, у), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы: УУ Л®, y,z)da = JJ f(x, у, z(x, y))Jl + (4)2 + (z'y)2 dxdy. S D Если поверхность S задана параметрически в виде х = ж(ц, v), у = у (и, v), z = z(u, v), где х, у, z — непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G плоскости Ouv, то УУ/(ж, з/, z) da = УУ f[x(u, v), з/(ц, v), z(u, v)]у/EH — F2 dudv, S G где E = (t1)’ + Or)’ + (r)2' "-(?)’ + (JrY + (r)2 \ouJ \du J \ouJ \dv/ \dv J \dv/ дх дх dydy Qz Qz du dv du dv du dv Приложения поверхностного интеграла первого рода Пусть S — гладкая материальная поверхность с плотностью р = p(x^y^z). Тогда с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить: 1) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей Мху = JJzpda, Myz = JJxpda, Mxz = JJypda] s s s 2) координаты центра тяжести поверхности Муг Mxz Mxy r r х° = ^т-> = где m = Jjpdcr-, S 219
3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат Jx = /fa2 + s = jj^-^-z^pda, Jz = jj(x2 + y2)p da, s s jj(x2 + y2 + z2)pda. s Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода Площадь поверхности S можно найти по формуле JJda = im.S. s Если p(x,y,z) — поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса тп находится так: т = ffp(x,y,z) S da. Пусть S — гладкая ориентированная поверхность, на которой задана не- прерывная функция R(x,y, z), и пусть в каждой точке М поверхности опреде- лено положительное направление нормали п(М) (п(М) — непрерывная век- тор-функция). Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единич- ной нормалью п и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на ча- сти Si,..., Sn с диаметрами di,..., dn • Обозначим через ДР1,..., ДРП площади соответствующих проекций частей Si,..., Sn на плоскость Оху, а через d — максимум из чисел di,..., dn. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Mi(xi,yi,Zi), составим сумму п R(Xi, yi, Zi)&Pi, г=1 которая называется интегральной суммой второго рода для функции R(x,y,z). Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности R(x,y,z)) при d -> 0, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x, у, z) по поверхности S и обозначается УR(x, у, z) dxdy. s+ Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода УfР(х, у, z) dydz и уу R(x, у, z) dxdz S+ Q+ 220
от непрерывных функций Р(ж, у, z) и Q(x, у, z). Сумма трех указанных поверх- ностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегра- лом второго рода и обозначается JJ Р dydz + Q dxdz + R dxdy. s+ Пусть теперь поверхность S имеет явное представление z = z(x,y), (х,у) € е D С Оху. Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D Jf R(x, у, z) dxdy = J J R(x, у, z(x, у)) dxdy. S+ D Если выбрана противоположная сторона S поверхности 5, то JJ R(x, у, z) dxdy = — J J R(x, y, z(x, y)) dxdy. S- D Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы J[ Р(х9 у, z) dydz и J J Q(x, у, z) dxdz. s+ 34- Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Если а, /3, 7 — углы, образованные соответственно с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz, единичной нормалью п к выбранной стороне поверхности S, то связь поверхностных интегралов первого и второго рода выражается следующим равенством JJ Р dydz + Q dxdz + R dxdy = JJ(? cos a + Q cos 0 + R cos 7) da. s+ S Поскольку n = {cos a, cos 0, cos 7}, то поверхностный интеграл первого рода в правой части этого равенства можно записать компактно в векторной форме ffFnda’ S где F = {Р, Q, R} — векторное поле, определенное на S. Векторное поле F можно ассоциировать с полем скоростей жидкости, про- текающей через поверхность S. Тогда интеграл ffFnda S можно истолковывать механически как общее количество жидкости, протека- ющее в единицу времени через поверхность S в положительном направлении, 221
т.е. вдоль п. Поэтому этот интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность S. 4.3.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода [[—— JJ (l + x + z)3 где а — часть плоскости х 4- у 4- z = 1, заключенная в первом октанте. Q Поверхность а можно выразить явно: z = 1 — х — у, (х,у) € D, где область D — треугольник, ограниченный прямыми х = 0, у = 0 и x+y = 1 (рис. 49). При этом da = ^14- (z'x)2 4- (^)2 dxdy = y/3dxdy. Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен 14-x4-z = 14-#4-(l — я — 2/) = 2 — ?/): Вычислить поверхностные интегралы первого рода: 4.3.2. 4.3.3. da где а — часть плоскости х 4- у 4- z = 1 при условии х 0, у 0, z 0. ff(z+2x+ly) to’ где ст — часть плоскости 6x+4?/+3z = 11, а лежащая в I октанте. 222
4.3.4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода JJ(x2 + y2)dtr, (Г где а — сфера х2 4- у2 4- z2 = R2, Q В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхно- сти а и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии х 0, у 0, z 0 (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8. Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы х = Esin<pcos0, у = Esin<psin0, z = Ecoscp, учитывая, что и = 0, v = <р. Тогда \ои/ \диJ \ouJ = (—Esin ip sin в)2 4- (R sin<pcos0)2 4- 0 = R2 sin2 <р, НгЛ т +(?)2 = \ OV / \ OV / \ovJ = (Ecos<pcos0)2 4- (Ecos<psin0)2 4- (—Esincp)2 = Д2, p _дхдх . ду dy gz gz _ ди dv ди dv ди dv = (—Esin sin 0)(Д cos cos 0) 4- (Esin<pcos0)(E cos<psin0) = 0, x/EG-F2 = .R2sin<p, а область интегрирования — четверть круга х2 4- у2 Е2 (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид Д2 sin2 ip cos2 0 4- Д2 sin2 sin2 в Д2, 0 0 0 Остается выразить через параметры подынтегральную функцию f(x>y) = х2 + у2. На сфере х2 4- у2 4- z2 = Д2 имеем f(x,y) = R2 — z2 = = R2 — R2 cos2 ip = Д2(1 — cos2 ip). Таким образом данный интеграл равен 7Г 7Г 2 2 8 ! Д2(1 - cos2 ip) • Д2 sin ip dedip = —SR* J dip J(1 — cos2 ip) d(cos ip) = в oo / 4 \ 2L - 7Г / COS H 2_8p4 a — —O-tC • -x- I COS(p-5-- I — «-Ге 7Г. W Z у о у Io О 4.3.5. Вычислить поверхностный интеграл JJlx2 + y2)da, (Г где а — сфера х2 4- у2 4- z2 = R2 способом выделения однознач- ной ветви поверхности интегрирования (сферы). Этот пример 223
совпадает с примером 4.3.4, но его следует решить иным спо- собом. 4.3.6. Вычислить гг г------- /у \А2 +?/2 ds, s гдеЗ—боковая поверхность конуса ^т-4-^- —= 0 (0 z 5). а2 Ь2 с2 4.3.7. Вычислить площадь той части параболоида вращения ау = = х2 4- z2, которая находится в первом октанте и ограничена плоскостью у = 2а (а > 0). Рис. 50 Q Способ 1. Поверхность, площадь которой будем вычислять, предста- х2 z2 вим в виде у = —g—, т.е. как функцию переменных х и z. Следова- тельно, соответствующая формула для площади примет вид s = ff у/1 + (у'х)2 + (y'z)2dxdz, D где область D — проекция поверхности на плоскость Oxz (рис. 50). Па- раболоид ау = х2 4- z2 пересекается плоскостью у = 2а по окружно- сти х2 4- z2 — 2а2 радиуса а\[2. Следовательно, D — четверть круга х2 4- z2 2а2 (х 0, z 0). Определим подынтегральную функцию. Имеем = ^, si = 1 + (й)2Ш)2 = 1 + ^ + < = ^^. а а а Таким образом, n гг ______________ S = g II \/а2 + 4(я2 4- z2) dxdz. D Переходя к полярным координатам, получаем 2L г- 2 aV2 — ау/2 S=afdV / \/a2+4r2rdr = ° ’ 4^3 (°2 + 4r2)3/210 = Ц™2- О о 224
Способ 2. Поверхность параболоида представим в виде z = \/ау — х2, т.е. как функцию переменных х и у. В этом случае соответствующая формула имеет вид s = fj y/l + (z'x)* + (ztfdxdy, Г>1 где D\ — проекция поверхности на плоскость Оху. Область D± ограни- чена осью Оу, параболой х = у/ay и прямой у = 2а. Определим подынте- гральную функцию. Имеем z< =_____2____ z< ______а_____ 1 + (z< )2 . (z< \2 = 4°У + °2 х У 2^^’ {у Цау-х^ Таким образом S = 1 tody - 1 M^ydy 7^= = £>; V аУ ~х i о V аУ ~ х 2 J х/ау\о 2 2 О 1о 12 О v 4.3.8. Найти площадь части параболоида 4z = х2 4- у2, отсекаемой цилиндром у2 = z и плоскостью z = 3. 4.3.9. Вычислить поверхностный интеграл второго рода JJz dxdy 4- у dxdz 4- х dydz, где а — верхняя сторона плоскости х 4- у 4- z = 1, ограниченной координатными плоскостями. Q Интеграл будем вычислять покомпонентно, проектируя а на разные координатные плоскости (см. рис. 51). Рис. 51 8 Сборник задач по высшей математике. 2 курс 225
Вычислим J J z dxdy. Выражая явно z через x и у, сведем этот интеграл к двойному интегралу по ДО АВ. Подставляя z = 1 — х — у в подынтегральную функцию и учитывая, что: 0^а:^1,0^?/^1 — а:, получаем 1 1-х ffzdxdy = — х — у) dxdy = fdx f(l — x — y)dy = a OAB О 1 о о >21 0 L J Убедитесь, что остальные интегралы ffy dxdz и ffx dydz приводят к такому же результату. Поэтому искомый интеграл равен 3.i_i • 6 “ 2‘ Вычислить следующие интегралы второго рода: 4.3.10. ffvz dydz + xz dxdz + ХУ dxdy, где a — внешняя сторона тетра- эдра, ограниченного плоскостями х + у + z = а, х = О, У = О, z — О 4.3.11. уzdxdy, где S — внешняя сторона эллипсоида S ж2 Д2 . г2 _ а2 Ь2 с2 ’ 4.3.12. ffx2 dydz + У2 dxdz 4- z2 dxdy, где a — внешняя сторона поверх- сг ности верхней полусферы х2 4- у2 4- z2 — а2. 4.3.13. ffx3 dydz + У3 dxdz 4- z3 dxdy, где a — внешняя сторона сферы х2 4- у2 4- z2 — а2. 4.3.14. ff(x — у) dxdy + (z — х) dxdz + (у — z) dydz, где а — внешняя сг сторона конической поверхности х2 4- у2 = z2 (0 z Л). 4.3.15. Найти поток векторного поля F(a;, y,z) = ай 4- у] 4- zk через часть поверхности эллипсоида *! + 2d + ^ = i, а2 Ь2 с2 ’ лежащую в первом октанте в направлении внешней нормали. 226
Q Искомый поток равен х cos а 4- у cos /3 + z cos 7) da. Последний интеграл сводится к поверхностным интегралам второго рода JJx dydz 4- ууу dxdz 4- JJ z dxdy, Di D2 D3 где Di, D2, D3 — проекции эллипсоида на соответствующие координат- ные плоскости. Рассмотрим, например, гг / / zdxdy, d3 где z можно выразить через х и у из уравнения эллипсоида, D$ — вну- тренность четверти эллипса т2 У2 + о 0, у>0. а2 Ь2 Очевидно, что гг z dxdy d3 равен объему восьмой части эллипсоида, которая, как известно, равна | • ^тгаЬс. Аналогичные интерпретации можно дать и другим интегралам, о о поэтому исходный интеграл I рода, т.е. поток векторного поля, равен 3.1.^оЬс=^_ • 4.3.16. Найти поток вектора F = a:2i—?/2j4-^2k через поверхность тела, ограниченного сферой х2 4- у2 4- z2 — ЗЯ2, плоскостью Оху и однополостным гиперболоидом х2 4- у2 — z2 = R2. Q Имеем JJF n da = УУ^2 cos а — у2 cos /3 4- z2 cos 7) da = cr a = JJx2 cos a da - JJy2 cos/3 da 4- JJz2 cos у da. a a a На плоскости Oxz и Oyz поверхность а проектируется дважды, с обе- их сторон, к тому же поверхность а симметрична относительно этих плос- костей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми: УУ#2 cos a da = JJy2 cos /3da = 0. cr a А теперь вычислим r r z2 cos 7 da. a Поверхность а состоит из трех частей (см. рис. 52): 227
Рис. 52 а) сегмент сферы z — \]3R? — х2 — у2, для которого cos7 > 0 (внеш- няя нормаль образует с Oz острый угол); проекция этого сегмента на Оху есть круг х2 4- у2 2Я2 (сегмент сферы х2 4- у2 4- z2 — 3R2 пересекается с гиперболоидом х2 4- у2 — z2 = Я2 по линии < х2 4- у2 4- Z2 = ЗЯ2 (х2 4- У2 = 2R2 х2 + у2 - z2 = R2 z = R к окружность радиуса y/2R)\ б) сегмент параболоида проектируется на Оху в кольцо R2 х2 4-?/2 2Я2, z = х2 4- у2 — R2 (из уравнения гиперболоида); в) наконец, третья часть — это круг х2 4- у2 R2, на котором z = 0. Поэтому JJf • л da = J fz2 cos 7 da = a a = jj (3R2-x2 —y2) dxdy— (x2 +y2 — R2) dxdy = . x2+y2^2R2 R?<^x2+y2^2R2 4.3.17. 4.3.18. Предлагаем самостоятельно вычислить эти интегралы. • Найти поток вектора F = #2i4-2/2j4-z2k через поверхность тела Н /--------- — \/х2+у2 z Н в направлении внешней нормали. Найти поток вектора F = 2zi — у] через часть поверхности цилиндра х2 4- у2 = R2, х 0, у 0, 0 z Н в направлении внешней нормали. Найти поток вектора F = #2i — ?/2j 4- z2k через часть сферы х2 4- у2 4- z2 = R2, х 0, у 0, z 0 в направлении внешней 4.3.19. нормали. 228
4.3.20. Найти поток вектора F = zi 4- yi — 2zk через поверхность куба kl а, Ы a, |z| а в направлении внешней нормали. 4.3.21. Найти массу полусферы х2 4- у2 4- z2 = R2, z 0 радиуса R с поверхностной плотностью, равной у/х2 4- у2. О Имеем f, , т = 11 yxz 4- у2 da, Z = VR2-*2-V2, ^/1 + (^)2 + (^= ^д2Д2_у2 (проверьте!). Следовательно, г г \/х2 4- V2 т = / / R— - dxdy. J J \/ R2 — х2 — и2 Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, получаем „. = ff . в . • JJ y/R2 - г2 J J y/R2 - r2 2 и и 4.3.22. Найти массу поверхности куба 0 ж 1, 0 1, O^z^l, если поверхностная плотность в каждой ее точке M(x,y,z) равна р(х, y,z) = х + у + z. 4.3.23. Найти массу поверхности куба 0 я 1, 0 1, 0 z 1, если поверхностная плотность в каждой ее точке (х, у, z) равна р(х, у, Z) = xyz. 4.3.24. Определить координаты центра тяжести однородной параболи- ческой оболочки az = х2 4- у2 (0 z а). 4.3.25. Найти момент инерции части боковой поверхности конуса z — — у/х2 4- у2 (0 z Л) относительно оси Oz. 4.3.26. Вычислить г г />• а где а —часть параболоида z = х2 4- у2, которая вырезана ци- линдром (х2 4- у2) = х2 — у2. Дополнительные задания 4.3.27. Найти статические моменты однородной треугольной пластин- ки x + y + z = а, х 0, у 0, z О относительно координатных плоскостей. 4.3.28. Вычислить момент инерции относительно Ох сферической обо- лочки х2 4- у2 4- z2 = R2 (х 0). 4.3.29. Вычислить моменты инерции однородной конической оболочки X2 . У2 Z2 (г\ л х У z — b ^т-4-2^ —о = 0 (ОО^о) относительно прямой т = - = ——. а2 а2 Ь2 1 0 U 229
4.3.30. Найти координаты центра тяжести однородной поверхности z — у/а2 — х2 - у2 (х 0, ?/^0, х 4- у а). 4.3.31. Найти полярный момент инерции Iq поверхности куба |ж| а, М a, |z| а. 4.3.32. Найти моменты инерции треугольной пластины х + у 4- z — 1 (х 0, у 0, z 0) относительно координатных плоскостей. 4.3.33. Найти полярный момент инерции полной поверхности цилин- дра х2 4- у2 = Я2, 0 z < Н. 4.3.34. Вычислить площадь той части параболоида 2az = х2 4- у2, ко- торая ограничена плоскостями у = 0, z — 0, z — z — artga, а — фиксировано, 0 < а < 4.3.35. Вычислить площадь той части поверхности сферы х2 +y2+z2 = = а2, которая вырезана цилиндром х2 4- у2 = ау. 4.3.36. Вычислить площадь той части поверхности сферы х2 4-?/2 4-z2 = = а2, которая вырезана цилиндром х2 4- у2 = Ь2, b < а. Контрольные вопросы и более сложные задания 4.3.37. Найти площадь поверхности z = расположенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2. 4.3.38. Найти /• г а где а — часть поверхности 2az = х2 + z2 (а > 0), вырезанная конусом z— у/х2 4- у2. 4.3.39. Найти г г (х + У + z)da, где а — верхняя половина сферы х2 4- у2 4- z2 — а2. 4.3.40. Найти Г /7 2 2ч j JJ(x2 4- у2) da, (Г где а — граница тела, заданного неравенствами у/х2 + у2 z < 1. 4.3.41. Вычислить г г а где а — часть поверхности геликоида х = ucosv, у = usinv, z = v (fi и a, 0 v 2тг). 4.3.42. Вычислить г f о jfz где а — часть поверхности конуса х = г cos sin а, у = г sin sin а, z — г cos а (О^г^а, 2тг), а — постоянная (о < а < . 230
4.3.43. Вычислить .. (ху + yz + xz) da, or где a — часть конической поверхности z — у/х2 4- у2, вырезан- ная поверхностью х2 4- у2 = 2ах. 4.3.44. Вычислить JJх2 dydz 4- у2 dzdx 4- z2 dxdy, s где S — внешняя сторона сферы (х — а)2 4- (у — Ь)2 4- (z — с)2 = R2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Вычислить о L где L — дуга параболы у2 = 2х, заключенная между точками (1, л/2) и (2,2). 2. Вычислить г I (4у 4- 4) dx 4- (За: 4- Зу 4- 4) dy, L где L — контур треугольника х = 0, у = 0, 2х 4- Зу = б, и результат проверить при помощи формулы Грина. 3. Вычислить (1/ (з*! - з»! -1\/5)dx+G6”+dy- 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода Jfx2d3, S х2 У2 z2 где S — боковая поверхность конуса — 4—- = —,Q^z^.h. а2 а2 с2 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода y2dxdz, or & — внутренняя сторона полусферы х2 4- у2 4- z2 = R2, у 0. 231
Вариант 2 1. Вычислить г J {х + у) dl, L где L — контур треугольника АВС с вершинами .4(1,— 1), В(—3, —1), С(—3,2). 2. Вычислить массу дуги четверти эллипса ^+^ = 1, а2 Ь2 ’ расположенный в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна абсцисса этой точке, с коэффициентом т. 3. Вычислить (2,2) (бя - Зу - dx + (1Л) 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода fpdS, S где S — боковая поверхность конуса 4(ж2 4- у2) = z2, 0 z 2. 5. Вычислить поверхность интеграла второго рода Уz3dxdy, or а — внешняя поверхность плоскости х + у + z = 10, расположенная в первом октанте (х 0, у 0, z 0). -Зх + I dy. Вариант 3 1. Вычислить г п f(x2 + y2)dl, L L — окружность (х 4- а)2 4- у2 = а2, а > 0. 2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода j\x + l)dx + xyz dy 4- y2z dz, L где L — отрезок, соединяющий точку M(2, —1,3) с точкой ЛГ(7,4,11). 232
3. Вычислить (6,4) / (fil'+ rb)dx + (“гЪ+3»2) (1,1) 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода fpds- S где S — верхняя часть полусферы х2 4- у2 4- z2 = Я2, z 0. 5. Вычислить поверхность интеграла второго рода //z^dxdy, а — внутренняя сторона поверхности полусферы х2 4-т/2 4-z2 = R2, z 0. Вариант 4 1. Вычислить У (ж2 4- у2 - z) dl, L — дуга цепной линии х — a cost, у = asint, z — bt, 0 t тг. 2. При помощи криволинейного интеграла второго рода вычислить пло- щадь фигуры, ограниченной кривыми х = 8 cos3 t,y = 8 sin31, 0 t 2тг. 3. Вычислить (3,3) (1,1) 4. Вычислить площадь той части параболоида вращения z = —а(х2+у2), которая находится в пятом октанте (х 0, у 0, z 0) и ограничена плоскостью z = — 2а (а < 0). 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где а — внешняя сторона плоскости 2х 4- Зу 4- 4z = 12, расположены в первом октанте (х 0, у 0, z 0). 233
Вариант 5 1. Вычислить интеграл j\x-y)dl, L L — левый лепесток лемнискаты г = a^/cos 2<р, а > 0. 2. Вычислить работу силового поля F = (х 4- у 4- 2)i + (8х 4- 7у 4- 6)j по контуру треугольника, стороны которого лежат на прямых х = 0, у = 0, Зх 4- 2у = 6, и результат проверить при помощи формулы Грина. 3. Вычислить 1 I I о „ 2 , + 10ж2у ) dx + ( -------—- + 10я:22/ ) dy. / \а;2 + 2ху + у2 + 1 / \ (я + у)2 + 1 / 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода ffx2d3, S где S — нижняя часть полусферы х2 4- у2 4- z2 = Л2, z 0. 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода JJ(x + у) da, or где а — внутренняя сторона конической поверхности х2 4- у2 = z2, рас- положены в первом октанте (ж 0, у 0, 0 z h).
Глава 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ □ В этой главе все рассматриваемые функции будут предполагаться диффе- ренцируемыми достаточное число раз. § 1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПОВЕРХНОСТЬ УРОВНЯ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ Скалярное поле Функция U(r) = U(x,y,z), где г = ж-i + y- j + z- k — радиус-вектор произвольной точки пространства R3, называется скалярным полем. Скалярное поле можно рассматривать как обыкновенную функцию U = = U(x,y, z) трех переменных. Наряду с определенными выше скалярными полями рассматривают также плоские скалярные поля, т. е. функции U = U(r) = U(x, у), где г = х • i -I- у • j — радиус-вектор произвольной точки плоскости. Поверхностью уровня скалярного поля U = U(x,y, z) называется множе- ство точек пространства R3, удовлетворяющих уравнению U(x,y, z) = с, где с — произвольная постоянная. Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля U = U(x,y). Понятие поверхности уровня и линии уровня скалярного поля тождествен- ны понятиям, соответственно, поверхности уровня функции U = U(x,y, z) трех переменных и линии уровня функции U = U(x,y) двух переменных. Векторное поле Вектор-функция F(r) = Р(я, ?/, z) • i + Q(x, у, z) • j + R(x, y,zyk называется векторным полем. Вектор-функция F(r) = P(x, y) • i -I- Q(z, y) • j, где г = x • i -I- у • j, называется плоским векторным полем. Линии г(£) = (#(£),?/(£), z(£)), касательные к которым в каждой их точке со- впадают с направлением векторного поля F(P, Q,P), называются векторными линиями этого ПОЛЯ. Аналогичным образом определяется понятие векторных линий плоского векторного поля. 235
Векторные линии векторного поля F(P, Q,R) могут быть найдены из си- стемы дифференциальных уравнений: ' Л = = R(X'V'Z} или из системы, записанной в симметрической форме: dx _ dy _ dz Р “ Q “ R' Векторные линии поля называют также силовыми линиями или линиями тока. Г радиент Градиентом скалярного поля U = U(x,y, z) называется векторное поле gradi7=^.i+^j+^k = ^i + t/;j + t/:-k. дх ду dz у Градиент скалярного поля в каждой точке перпендикулярен поверхностям уровня этого скалярного поля. Кроме того, градиент скалярного поля U пока- зывает направление наибольшего роста функции U = U(x,y, z). Величиной градиента называют скалярное поле IgradtTI = д/(^)2 + (^)2 + (^)2- 5.1.1. Найти величину и направление градиента скалярного поля U = = х2 — у2 4- yz — х в точке А(1,0, —1). Q Находим частные производные функции U: Ufx = 2x-1, U'y = —2y + z, U'z=y. Таким образом, grad U = (2х — 1) • i + (—2у 4- z) • j 4- у • к. Подставляя в последнее равенство координаты точки А, получим: grad U(A) = i — j = (1,-1,0). Величина градиента при этом будет |grad 17(A) | = >/12 + (-1)2 + О2 = >/2. • Найти градиент скалярного поля U(te,y,z): 5.1.2. U = xyz. 5.1.3. U = x2+y2-z2. 5.1.4. U = еху — yz2. 5.1.5. U = 1п(ж2 4- у2 4- z2). 236
Найти градиент скалярного поля U(x,y,z) в точке А(а?о,?/о,^о)* 5.1.6. U = За;2 — ху3 + xz — z2, 4(1,2,3). 5.1.7. U = zsin(a: - у), А ^,1). 5.1.8. U = ^^-, А(2,0,1). 5.1.9. U = arctg(x 4-22/4- z2), 4(1,1,0). 5.1.10. В каких точках градиент скалярного поля U = ху 4- 2z — z2: а) коллинеарен вектору а(1, —1,2); б) перпендикулярен оси Ох; в) перпендикулярен плоскости 2х + у + z = 1? Q Вычислим градиент поля: grad 17 = у • i 4- х • j 4- (2 - 2z) • k = (2/, я, 2 - 2z). а) Для ответа на этот вопрос напишем условие коллинеарности век- торов grad 17 и а: У _ х = х = У = z-1 1-1 2 —11 -1 * Это уравнение прямой, проходящей через точку A/q(0,0, 1) с направляю- щим вектором /(—1,1,-1). б) 1(1,0,0) — направляющий вектор оси Ох, Условием перпендику- лярности векторов grad 17 и а является равенство нулю их скалярного произведения: grad U • i = 0 О у = 0. Уравнение у = 0 задает плоскость Oxz, Во всех точках этой плоскости grad U перпендикулярен оси Ох. в) Поскольку grad U перпендикулярен плоскости 2x+y + z = 1, то он коллинеарен ее нормальному вектору n(2,1,1), т. е. должны выполняться равенства у _ 2г _ j 2 1 12 4 -1 ' Следовательно, grad 17 перпендикулярен исходной плоскости в точках прямой, проходящей через точку A/q (0,0,1) с направляющим вектором €(2,4,-1). • 5.1.11. В каких точках плоскости IR2 градиент плоского скалярного поля U = - ж 4- |i/2 перпендикулярен радиусу-вектору г = х • i 4- у • j ? 5.1.12. Найти угол между градиентами поля U = —- в точках У2 + я2 4(3,0,1) иВ(1,—1,0). 5.1.13. В каких точках градиент скалярного поля 17 = г2 (г = х • i 4- у • j 4- z • к, г = |г|) : а) параллелен оси Ох; б) перпендикулярен оси Ох; в) параллелен плоскости х — у 4- z = 3; г) перпендикулярен плоскости х — Зу 4- 2z — 1 = 0; д) равен 0; е) имеет величину, равную 4? 237
5.1.14. Найти линии уровня плоских скалярных полей: a) U = ху; б) U = г2, где г = х • i + у • j, г = |г|; в) U = arcsin(x 4- у). 5.1.15. Найти поверхности уровня скалярных полей: a) U = г, где r = x- i + 3/-j + z- kHr = |г|; б) U = x2+y2; х2 И- у2 в) и = arctg-5—. zi 5.1.16. Найти поверхности уровня скалярного поля U = f(r), где г = = a;-i4-3/-j4-z-kHr = |г|, функция f(t) определена для всех t 0 и: а) /W — монотонна; б) f(t) — не монотонна. 5.1.17. Найти векторные линии векторного поля F(P, Q, R): a) F(3,1,2); б) F(y,x,z); в) F(z — у,х — z,y — х). Q а) Составим нормальную систему дифференциальных уравнений, определяющую векторные линии поля: r dx _ о dt • £=*• dz _ су {dt Ее решениями будут прямые линии, задаваемые в параметрической фор- ме системой уравнений: | х = 3t 4-Жо, \ У = * + З/о, [2 = 2t 4- zq, (я0, Уо, zq — произвольные постоянные). Таким образом, векторными линиями будут прямые с направляющим вектором €(3,1,2). б) В этом случае можно поступить так же, как в пункте а), составив систему линейных однородных дифференциальных уравнений и решив ее (см. § 7, глава 2). Однако векторные линии находятся проще с помощью метода составления интегрируемых комбинаций. Проиллюстрируем его в этом (и в следующем) пункте. Запишем уравнения векторных линий в виде системы dx _ dy _ dz у х z * Равенство 4г — образует первую интегрируемую комбинацию. Это у я уравнение легко решается методом разделения переменных: xdx = у dy, 238
откуда х2 = у2 4- С\. Для получения еще одной интегрируемой комбина- ции используют обычно известное свойство пропорции: Qi О>2 ^3 fcitli + ^2^2 4" кза3 bi 62 Ь3 fcibi 4- ^2^2 4" к3Ь3 причем множители ki подбирают так, чтобы в числителе образовался дифференциал знаменателя или чтобы в знаменателе получался нуль, а в числителе — полный дифференциал. В нашем случае, складывая числители и знаменатели первых двух дробей (здесь к± = fc2 = 1, к3 = 0), получим следующую интегрируемую комбинацию d(x + у) = dz x + y 2 • Интегрируя данное равенство, получаем х + у = C2Z. Таким образом, векторные линии задаются системой (х2 - у2 = Ci, [я + у = C2z, т. е. являются линиями пересечения гиперболических цилиндров х2 — у2 = = Ci с плоскостями х 4- у — C2Z = 0. в) Запишем, как и в пункте б), уравнения векторных линий поля в симметрической форме: dx _ dy _ dz z — у x — z у — x' Составим первую интегрируемую комбинацию: dx _ dy _ dz ____________dx + dy + dz______ d(x + y + z) z-y~x-z~y-x~(z-y) + (x-z) + (y-x)~ 0 Чтобы последнее отношение равнялось предыдущим, необходимо, чтобы выполнялось d(x 4- у 4- z) = 0, т. е. х 4- у 4- z — С. Вторая интегрируемая комбинация может быть получена следующим образом: dx _ dy _ dz _ z — у x — z у — x _ xdx + ydy + zdz + + z 0 x(z -y)+ y(x - z) 4- z(y - x) 0 Следовательно, d Q(#2 + У2 + z2)j = 0, t. e. x2+y2+z2 = R2. Таким обра- зом, векторные линии получаются как пересечение плоскостей х 4- у 4- z — = С со сферами х2 4- у2 4- z2 — R2 и, следовательно, являются окружно- х У z стями с центрами на прямой у = у = у и расположенные в плоскостях, отсекающих на осях координат равные отрезки. • 239
Найти векторные линии плоских векторных полей: 5.1.18. F = х • i -I- у • j. 5.1.19. F = у • i -I- х • j. 5.1.20. F = (2/,-x). Найти векторные линии пространственных векторных полей: 5.1.21. F = a- i + b- j + c-k, где а, Ь, с — константы. 5.1.22. F = (з/ + z) • i + (я + z) • j + (я + ?/) • к. 5.1.23. F(-?/,ж, а), где а — константа. 5.1.24. Доказать, что grad (и • v) = и • grad v -I- v • grad и. Q По определению градиента скалярного поля имеем: grad (и • v) = ((uv)s, (uv)y, (uv)'z). Используя правило дифференцирования произведения функций, а также правила сложения векторов и умножения их на число в координатной форме, получаем: 5.1.25. grad (и • v) = (u'xv + uvx,uyv + uvy, u'zv + uvz) = = (u'xv,u'yv,u'zv) + (uvx,uvy,uv'z) = v • (u'x,uy,uz) + и • (vx,vy,vz) = = и • grad v 4- v • grad u. • Докажите свойства градиента скалярного поля: a) grad (U + С) = grad 17, где С — константа; б) grad (С • U) = С • grad 17, где С — константа; в) grad (Ц) = -^-(v • grad и — и • gradv). и v2 Докажите равенство grad (<p(u)) = <p'(u) • gradu. Найти grad (и • y?(u)). Q r Or Доказать, что grad f(u, v) = • grad и 4- • gradv. 5.1.26. 5.1.27. 5.1.28. В следующих задачах r = xi4-?/j4-zk и г = |r|. 5.1.29. Вычислить grad г. __________ Q Найдем длину вектора г: г = |г| = у/х2 4- 2/2 4- z2. Далее находим частные производные функции г: f ______х_________ х I ________У______ У у/х2 + у2 + z2 г’ У у/х2 + у2 + z2 г’ / _ z _ z Т — • — —. z ЛТ7—77—9 Т у/х2 4- у2 4- z2 Следовательно, градиентом скалярного поля г будет векторное поле gradr = (7,7,7) = |(®,2/,г) = 7. • 5.1.30. Доказать, что gradr2 = 2г. 240
5.1.31. Найти grad/(г). 5.1.32. Найти grad (с • г), где с — фиксированный вектор. 5.1.33. Найти производную поля U = г в направлении вектора г. Q Как известно, производная по направлению единичного вектора I функции U = Щх, j/, z) может быть найдена по формуле: = grad U -I. ot г Находим градиент скалярного поля U: grad U = grad г = - (см. зада- чу 5.1.29). Единичным вектором, имеющим то же направление, что и вектор г, будет вектор t = = £. Тогда 11*1 ' ^ = gradC7 /=I .£ = l(r.r) = d = i. • 5.1.34. Найти производную поля U = - в направлении градиента ска- лярного поля v = г. Дополнительные задания 5.1.35. Найти поверхности уровня скалярного поля 5.1.36. Найти поверхности уровня скалярного поля U = ех2+у2. 5.1.37. Показать, что для скалярного поля U = х2 + у2 + z2 векторные поля gradCZ и grad |grad {71 коллинеарны. 5.1.38. Найти угол между градиентами скалярных полей U = xyz и V = yz 4- zx 4- ху в точке Мо(1, —1,2). 5.1.39. В каких точках пространства градиенты скалярных полей U = = х2 4- у2 4- z2 и V = х2 — у2 4- z2 перпендикулярны? 5.1.40. Найти поверхности уровня скалярного поля |gradt7|, где ска- лярное поле U задано равенством U = ху + yz + zx. 5.1.41. Доказать, что линии уровня плоских скалярных полей U = ху и V = х2 — у2 перпендикулярны в каждой точке плоскости, кроме начала координат. 5.1.42. Найти векторные линии поля F = yz • i 4- xz • j 4- ху • k. 5.1.43. Найти векторные линии поля F = г, где r = x*i4-3pj4-z-k. 5.1.44. Найти г х grad г, где г = |r|, ar = x- i4-jrj4-z-k. Контрольные вопросы и более сложные задания 5.1.45. Могут ли разные скалярные поля обладать одним и тем же набором поверхностей уровня? 5.1.46. Верно ли, что если поверхности уровня у скалярных полей U и V одинаковы, то эти поля удовлетворяют условию U — V = const ? 241
5.1.47. Могут ли разные поверхности уровня скалярного поля U пере-.1 секаться? * 5.1.48. Может ли у разных векторных полей быть один и тот же набсф векторных линий? 5.1.49. Привести пример двух пространственных скалярных полей, у которых поверхности уровня ортогональны в каждой точке пространства. 5.1.50. Вдоль каких линий градиент скалярного поля U = xy + yz + zx сохраняет свое направление? 5.1.51. Найти силовые линии векторного поля F(nz — ly, lx — mz, ту — пх). 5.1.52. Найти производную скалярного поля U в направлении гради- ента скалярного поля V. 5.1.53. Какова связь между поверхностями уровня скалярного поля U и векторными линиями grad U. 5.1.54. Верно ли, что если линия, уравнение которой х2 + у2 = 1, явля- ется линией уровня некоторого скалярного поля С7, то линия х2 4- у2 = 2 тоже является линией уровня того же скалярного поля? §2. ДИВЕРГЕНЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА Дивергенция и ротор Дивергенцией {расходимостью) векторного поля F(P, Q^R) называется скалярное поле, определяемое равенством divF= + + =р'х +Q'v + B!z. «5 дх ду dz у Ротором векторного поля F(P, Q^R) называется векторное поле, опреде- ляемое следующим образом: rotF=f™ЭД_а£\ д, . \ду dz dz дх дх ду) у у Для удобства запоминания ротора принята формальная запись: » j к А А А дх ду dz ’ Р Q R где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понима- ется как взятие соответствующей частной производной этой функции. 242
Физический смысл ротора2: если вектор-функция v является полем скоро- стей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, то с точностью до числового множителя ротор векторного поля v представляет собой мгно- венную угловую скорость w этого вращения: w = ^rot v. Ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля. Оператор Гамильтона Оператор Гамильтона или оператор V (набла) определяется формулой V = Ai + Aj + А - dx dy*dz Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формаль- ной точки зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координа- д д д тами дх' ду' dz' VC7 = (— — — \дх' ду' dz . тр — f д д д \ — \дх'ду'dz) ill dx'dy'dz ас/• . ас/• . ас/k дх + ду* dz ’ _ дР_ , dQ QR ' dx dy dz' » j k э = А д д дх ду dz Р Q R V х F = Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей: VU = grad U, V • F = div F, V х F = rot F. Оператор Лапласа Оператор Лапласа (обозначаемый V2 = V • V или Д) определяется фор- мулой ^Д + £. + £_. дх2 ду2 dz2 Применение этого оператора к скалярным и векторным полям определя- ется равенствами: ^u^u=(dL+dL+dr\u=^u + ^u + ^Uy \дх2 ду2 dz2) дх2 ду2 dz2 AF = V2F = V2(Pi + Qi + Як) = (V2P)i + (V2Q)j + (V2K)k. Скалярное поле U(x,y, z) называется гармоническим, если ДС/ = 0. 2 О физическом смысле дивергенции будет сказано в следующем параграфе. 243
5.2.1. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F = жз/2 -i-3/z-j + z2 - к. По определению, divF = Р^ -I- Qy + R'z. В нашем случае Р = ху\ Q = -yz, R = z2. Отсюда находим Рх = у2, Qy = -г, Rz = 2z. Следова- тельно, div F = у2 — z 4- 2z = у2 4- z. Вычислим ротор поля F: rot F = д дх = (0 4- y)i 4- (0 - 0)j 4- (0 - 2arj/)k = (3/, 0, -2xy). • Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F: 5.2.2. F = с, где с — постоянный вектор. 5.2.3. F = г, где r = x- i4-j/-j4-z-k. 5.2.4. F(yz,xz,xy). 5.2.5. F Q(j/2 +s2),|(z2 + x2),±(x2 + j/2))- 5.2.6. F = x2y • i 4- y2z • j 4- z2x • k. 5.2.7. Вычислить дивергенцию и ротор градиента скалярного поля U = U(x,y,z). 5.2.8. Вычислить div £, где r(x,3/,z) и г = |г|. ф £ = yi4-^j4-|k. Найдем р' = (—V = г ХГх — Х {г)х г2 2 f — ----—----- 2 _ Г - х(у/Х2 +у2 + Z2)'x _ у/х2 + У2 + Z2) _ г- %- _ г2 _д2 у.2 ^2 ^2 ^,3 Аналогично находим с;=(ю;=^ " Следовательно, .. г _ г2 - х2 г2 - у2 г2 - z2 _ Зг2 - т2 _ 2 ф V м Q I Q I Q ““ Q ПЛ * • р<3 рО рО I 5.2.9. Вычислить div(r • г). 5.2.10. Вычислить div(/(r) • г). 5.2.11. Доказать равенство div(/ • F) = grad f • F 4- f • div F. ф Пусть F = P i + Q j + R k. Тогда f F = f P • i 4- f Q • j 4- f • Я к и div(/. F) = (/P)' + (/(?)' + m’z = (fx . P + f. Pi) + (fy . Q + f. Qfy)+ 244
в первой скобке стоит скалярное произведение градиента скалярного по- ля f на вектор F, а во второй — дивергенция векторного поля F. Таким образом, div(/ • F) = grad f • F 4- f • div F. • 5.2.12. Доказать свойства линейности дивергенции: a) div(Fi -I- F2) = div Fi 4- divF2j 6) div(c • F) = c • div F, где c — константа. 5.2.13. Доказать равенство: div(C7 - с) = grad U с, где c — постоянный вектор. 5.2.14. Вычислить div(C7 • grad V). 5.2.15. Доказать равенство div(Fi x F2) = F2 • rot Fi — Fi • rot F2. 5.2.16. Доказать свойства линейности ротора: a) rot (Fi 4- F2) = rot Fi 4- rot F2; 6) rot (c • F) = c • rot F, где c — произвольная постоянная. 5.2.17. Доказать, что rot (/ • F) = f • rot F 4- grad f x F. ф Пусть F = P • i 4- Q • j 4-7? • k. Тогда /F = /Pi4-/Qj4-//?k. Найдем rot (/ • F): rot(/ • F) = i d dx fP dy dz fQ fR =tm'y - (/<?)'] - лот' - (/p)']+кт - m'y] = = i[fyR + fR'y — f'zQ — fQ'z] - j[/' R + fR'x - fzP - /P']+ + k[/'Q + fQ'x - fyP - fP>y] = - Q'z) - j(fi' - P') + k(Q' - p;)]+ + m -mr - m+к(л<? - /;р)] = 5.2.18. Доказать, что div(rotF) = 0. 5.2.19. Вычислить ротор векторного поля F = г с, где с — постоянный вектор, аг — модуль радиуса-вектора г. 5.2.20. Для векторного поля F(xy, yz, zx) вычислить rot (rot F). 5.2.21. Найти grad (div F), если F(xyz2,xy - z,zx2). 5.2.22. Записать с помощью оператора набла V векторные поля: a) grad (div F); б) rot (grad U). Q а) Дивергенция векторного поля F с помощью оператора V записы- вается так: V • F. Градиент скалярного поля U через оператор V выра- жается следующим образом: VC7. Следовательно, grad (div F) = V(div F) = V(V • F). б) Ротор векторного поля F с использованием оператора V записы- вается следующим образом: V х F. Следовательно, rot (grad U) = V х (grad U) = V x (VC7). • 245
5.2.23. Записать с помощью оператора Гамильтона следующие выра- жения: a) div(gradC); б) div(rotF); в) rot (rot F); г) rot (grad (divF)). 5.2.24. Доказать следующие равенства: a) V x (VC) = 0; б) V • (V x F) = 0; в) V • (VC) = V2C = AC. 5.2.25. Доказать свойства линейности оператора Гамильтона: a) V(CiCi + C2U2) = Сг • VCi + С2 • VC2; б) V • (C1F1 + C2F2) = Ci(V • Fi) + C2(V • F2); в) V x (CiFi + C2F2) = Ci(V x Fi) + C2(V x F2), где Ci, C2 — произвольные постоянные, Ci, C2 — скалярные поля, a Fi, F2 — векторные поля. 5.2.26. Доказать равенства (С, V — скалярные поля, F, Fi и F2 — векторные поля): a) V(C • V) = CVV 4- VVC; б) V(C • F) = C(V • F) + (VC) • F; в) V(Fi x F2) = F2 • (V x Fi) + Fi • (V x F2); г) V x (CF) = C(V x F) 4- (VC) x F. Дополнительные задания Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля Fr 5.2.27. F = j/-i4-2-j4-x-k. 5.2.28. F = ху • i 4- yz • j 4- zx • k. 5.2.29. F = (a;3 + y2 + z) • i + (j/3 + z2 + x) • j + (г3 + x2 + j/) • k. 5.2.30. F = ^-i + ^-j + ^-k. •ъ У 5.2.31. Найти угол между роторами векторных полей Fi (х2у, y2z, z2x) и F2(z,x,3/) в точке Л/о(1,1,1). 5.2.32. Найти длину ротора векторного поля F(# - z2,yz,x2 4- у2) в точке ЛГ(1,2, —1). 5.2.33. В каких точках пространства ротор векторного поля F(y2 + z2, z2 + х2, х2 + у2) перпендикулярен оси 0x1 5.2.34. В каких точках пространства ротор векторного поля F(x2y,y2z,z2x) перпендикулярен плоскости х 4- у 4- z = 2? 5.2.35. В каких точках пространства роторы векторных полей F^xy.yz.zx) и F2(z,x,y) коллинеарны? 246
В следующих задачах г = х • i + у j + z к иг = | г |: 5.2.36. Вычислить div (с х г), где с — постоянный вектор. 5.2.37. Вычислить divb(r • а), где а и b — постоянные векторы. 5.2.38. Вычислить divr(r • а), где а — постоянный вектор. 5.2.39. Вычислить rot (с х г), где с — постоянный вектор. 5.2.40. Вычислить rotr(r • а), где а — постоянный вектор. 5.2.41. Вычислить rotb(r • а), где а и b — постоянные векторы. 5.2.42. Доказать свойства оператора Лапласа: а) Д(С1СЛ + С2С/2) = CiДС/1 + С2ДС72; б) Д(С/! • С/2) = Щ • ДС/2 + 2(VC71) • (VC/2) + U2 • ДГь Контрольные вопросы и более сложные задания В следующих задачах г = х -i + y • j + z • к и г = |г| : 5.2.43. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F = /(г) • с, где с — постоянный вектор. 5.2.44. Доказать, что если div(/(r) • г) = 0, то /(г) = г6 5.2.45. Вычислить div (grad /(г)). Какова должна быть функция /(г), чтобы div(grad/(r)) = 0. 5.2.46. Вычислить rot [с х /(г) • г], где с — постоянный вектор. 5.2.47. Доказать равенство: grad (div F) = V2F + Vx(VxF). 5.2.48. Доказать равенство: rot (rotF) = V(V • F) - V2F. 5.2.49. Векторное поле F задано равенством: F = c-ln г, где r — модуль радиуса-вектора точки. Найти VF, V х F и V2F. § 3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть в области Q С R3 задано некоторое векторное поле F = Pi+Qj 4- Rk, где Р(я, ?/, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) — непрерывно дифференцируемые в области Q функции. Пусть S С Q — гладкая ориентируемая поверхность, на которой выбрана определенная сторона, задаваемая единичной нормалью n(cos a, cos /3, cos 7) к этой поверхности. Потоком векторного поля F через поверхность S в направлении единичной нормали п называют поверхностный интеграл первого рода: П = JjFndS = jj(Pcosa + Qcos/3 + Rcosу) dS. (3.1) s s Если обозначить через Fn проекцию вектора F на направление вектора п, то, учитывая, что имеет место равенство F • n = |F| • |n| cos 92 = |F| • cos 92 = Fn (где ip — угол между векторами F и п), формулу для вычисления потока можно записать в форме, которая не зависит от выбора системы координат: П = JfFndS. S 247
Поверхностный интеграл первого рода в формуле (3.1) связан с поверхностным интегралом второго рода равенством: П = cos а + Q cos /3 + R cos 7) dS = J J P dydz + Q dzdx + Rdxdxy, (3.2) S (S.n) которое дает еще один способ вычисления потока. Физический смысл потока: если вектор-функция F есть поле скоростей текущей жидкости, то поток П этого векторного поля через поверхность S равен общему количеству жидкости, протекающей через S за единицу времени. Используя понятие потока, можно понять физический смысл потока (см. также задачу 5.3.39). Дивергенция векторного поля F в точке М есть предел отношения потока поля через сферу S достаточно малого радиуса, окружаю- щую точку М, к объему V шара, ограниченного этой сферой, при стремлении диаметра d шара к нулю: divF = lim ± J^Fn -dS s Формула Гаусса-Остроградского Теорема 5.1 (Остроградский). Пусть S — замкнутая гладкая ориентируе- мая поверхность, являющаяся границей тела V и n(cosa, cos/3, cos7) — еди- ничная внешняя нормаль к S. Пусть векторное поле F(P, Q, R) — непрерывно дифференцируемо на S и в V. Тогда J'^Pcosa + Qcos/3 + Rcosy)dS = J‘J‘f+ |j) dV. (3.3) s v V ' Выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части равенства (3.3), представляет собой дивергенцию векторного поля F, интеграл, стоящий слева, представляет собой поток векторного поля F через поверхность S в направле- нии внешней нормали. Поэтому формула (3.3) может быть переписана в виде: ffp-ndS S -ш divFdV. v Если использовать оператор Гамильтона, то формула Гаусса-Остроградского (3.3) может быть записана в следующей форме: //г S V Формулу Гаусса-Остроградского часто применяют для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность S. Однако следует иметь в ви- ду, что для применения этой формулы необходимо, чтобы векторное поле бы- ло непрерывно дифференцируемым внутри поверхности S. Это условие всегда 248
будет выполнено, если область Q, в которой рассматривается поверхность S, пространственно односвязная: Область Q С R3 называется пространственно односвязной, если из того, что замкнутая поверхность S лежит в Q, следует, что тело V, границей кото- рого является поверхность S, тоже лежит в Q. 5.3.1. Вычислить поток векторного поля F(P, Q, R) через поверхность S в сторону, определяемую вектором единичной нормали п к поверхности S, если: a) F(4, —5,2), a S — часть плоскости я 4- 2т/ 4- 3z = 6, располо- женная в октанте х 0, у 0, z 0, л образует острый угол с осью Oz\ б) F(0, у, 0), S — часть плоскости 1 — х + у — z = 0, располо- женная в октанте х 0, у 0, z 0, а л образует острый угол с осью Oz\ в) F(l, 1, z), S — часть параболоида z = х2 4- у2, удовлетворя- ющая условию z 1, а л — внешняя нормаль к параболоиду. Q а) Хорошо известно, что нормальным вектором к плоскости являет- ся вектор, координаты которого суть коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости. В нашем случае — это вектор т(1,2,3). Посколь- ку m F = 1-44-2 - (—5) 4-3• 2 = 0, то нормаль пт к плоскости, (а, значит, и единичная нормаль л к этой плоскости) перпендикулярна векторному полю. Но тогда ljF-ndS = fjodS = O. s s б) Вычислим поток векторного поля с помощью поверхностного ин- теграла II рода (формула (3.2)) П = УУ Р dydz 4- Q dzdx 4- R dxdxy (S,n) (S,n) (в нашем случае P = R = 0, Q = у). Для вычисления последнего инте- грала изобразим на чертеже поверхность S (рис. 53) и ее проекцию Dxz на плоскость Oxz (рис. 54) Нормаль л к плоскости 1 — х + у — z = 0, образующая острый угол с осью Oz, образует тупой угол с осью Оу (это очевидно из чертежа; однако несложно показать, что нужную сторону поверхности S задает единичная нормаль л ( —^=, |; здесь cos7 > 0, а cos/З < 0, следовательно, \V3 V3 V3/ п образует острый угол с осью Oz и тупой — с осью Оу). Поэтому при сведении поверхностного интеграла к двойному по области Dxz перед 249
Рис. 53 Рис. 54 двойным интегралом необходимо поставить знак минус: в) Изобразим поверхность S вместе с требуемой в условии задачи нормалью на рис. 55. Из геометрических соображений понятно, что единичная нормаль п (т. к. она — внешняя нормаль) образует тупой угол с осью Oz. Также ясно, что она образует острый угол с осью Ох в тех точках, где х 0 и тупой — в тех, где х < 0. Аналогично, л образует острый (тупой) угол с осью Оу в точках, где выполняется неравенство у > 0 (у < 0). Для вычисления потока векторного поля напишем интеграл II рода: П = Ц Р dydz 4- Q dzdx -I- R dxdy = J J dydz 4- dzdx 4- z dxdy = (S,n) (S,n) = //*г+ IJdzdz+ !Szdzdv- (S,n) (S,n) (S,n) Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Для вычисления инте- грала // dydz (S,n) 250
разобьем поверхность S на две части: Si и S2 плоскостью Ozy (Si отве- чает той части параболоида, где х 0). Необходимость разбиения про- диктована, как уже отмечалось выше, тем фактором, что нормаль п на Si образует острый угол с осью Ох (т.е. cos а > 0), а на S2 — тупой. Проекцией и Si и S2 на плоскость Ozy является одна и та же область DZy, показанная на рис. 56. Следовательно, У*dydz + dydz = JJdydz — J J dydz = 0. (Sun) (S2,n) Dzy DZy Puc. 55 Puc. 56 Осталось вычислить Знак минус перед вторым двойным интегралом поставлен постольку, по- скольку на S2 нормаль образует тупой угол с осью Ох (или, что то же самое, cos а < 0). Из соображений симметрии понятно, что и Jу dzdx — 0. (S,n) JУ zdxdy. (5,n) Как отмечено выше, cos 7 < 0. Поэтому имеем: JJ z dxdy = - JJ (х2 + у2) dxdy, (S,n) Dxy где Dxy — проекция поверхности S на плоскость хОу (она изображена на рис. 57). Для вычисления последнего интеграла перейдем к полярным координатам: 27Г 1 - JJ(x2 + У2) dxdy = - JJ р2 • pdpdtp = - J dp Jp3dp= Dxy D'ptp 0 0 251
Рис. 57 Таким образом, поток векторного поля равен — • & Вычислить поток векторного поля F(P,Q,R) через поверхность S в сторону, определяемую нормалью п к поверхности S, если: 5.3.2. F(2, —1,1), S — квадрат: 0 ж 1, z = 1, нормаль п направлена вверх. 5.3.3. F(—y,x,z), S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, заключенная ме- жду плоскостями 2 = 0иг=1)П — внешняя нормаль. 5.3.4. F(x, у, 0), S — часть плоскости у + z = 1, расположенная в первом октанте между плоскостями х = 0их = 1,п образует острый угол с осью Оу. 5.3.5. F(x, y,z), S — полусфера х2 + у2 + z2 = R2, расположенная в полупространстве z 0, п образует острый угол с осью Oz. 5.3.6. Р(у — z,z — х,х — у), S — часть конуса z2 = х2+у2, заключенная между плоскостями г = 0иг = 2,п образует тупой угол с осью Oz. 5.3.7. F(l,0,0), S — поверхность пирамиды, ограниченной плоско- стями х + у + z = 1, х = 0, «/ = 0, г = 0. 5.3.8. F(x«/, yz, xz), S — часть сферы x2+y2+z2 = Я2, расположенная в первом октанте, п — внешняя нормаль к сфере. 5.3.9. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского вычислить поток векторного F поля через замкнутую поверхность S в направле- нии внешней нормали: a) F = х2 • i + у2 • j + z2 • k, S — поверхность куба 0 х а, 0 у а, 0 z а; б) F(x(z — у),у(х — z),z(y — ж)), S — произвольная замкнутая поверхность. Q а) Вычислим дивергенцию поля: div F = (x2)J. + (у2)'у + (г2)' = 2(ж + у + z). Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, вычислим поток 252
векторного поля: П = JJf • ndS = уууdivFdV = 2 JJJ(X + У + я) dxdydz = SV V a a a = 2 fdx jdy j\x + y + z)dz = 3a4. 0 0 0 Промежуточные вычисления, в силу их очевидности, опущены. б) Пусть V — тело, ограниченное поверхностью S. Тогда П = yyydivFdV. v Но div F = \x(z - y)]'x + \y(x - zfly + [z(y - xflz = (z - y) + (ж - z) + («/ - x) = 0. Следовательно, и поток равен 0. • 5.3.10. Доказать, что поток постоянного векторного поля F = с через любую замкнутую поверхность равен 0. 5.3.11. Докажите, пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, что поток радиуса-вектора г через любую замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен утроенному объему те- ла, ограниченного этой поверхностью. В задачах 5.3.12-5.3.14 вычислить поток векторного поля F через за- мкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если: 5.3.12. F(x,z,«/), S — полная поверхность цилиндра х2 + у2 = R2, z = 0, z = Н. 5.3.13. F = #z • i + я/2 • j + я • k, S — полная поверхность призмы, ограниченной плоскостями х + у = 1, х = 0, «/ = 0, z = 0, z = 1. 5.3.14. F = (у2 — z) • i + xy • j — (y + x) • k, S — полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0. 5.3.15. Используя задачу 5.3.11, найти поток радиуса-вектора г через полную поверхность пирамиды ABCD с вершинами в точках А(-1,0,0), В(1,1,0), С(1, -1,0), D(0,2,3). 5.3.16. Найти поток градиента скалярного поля U = х2 +у2 + z2 через поверхность уровня U = 1 этого скалярного поля в направле- нии внешней нормали. 5.3.17. Найти поток ротора векторного поля F(yz,zx,xy) через сферу х2 + У2 + z2 = 4 в направлении внешней нормали. 5.3.18. Найти поток векторного поля F(x — 1, у + 3, z) через боковую поверхность конуса z2 = х2 + у2, заключенную между плоско- стями z — 0 и z = 1 в направлении внешней нормали. Рассмотрим тело V, границей которого служит коническая поверх- ность z2 = х2 + у2 (Si) и плоскость z = 1 (S2) (см. рис. 58). 253
Рис. 58 На поверхности S = Si US2, являющейся объединением поверхностей Si и S2, возьмем внешнюю нормаль п. Поток П через поверхность S скла- дывается из потоков П1 и П2 через поверхности Si и S2 соответственно. Следовательно, интересующий нас поток может быть найден как раз- ность потоков: П1 = П — П2. Поток П может быть найден по формуле Гаусса-Остроградского: n = //F.„<iS = ///divFdV = 3///dV. SV V Последний интеграл представляет собой объем тела V. Тело представля- ет собой конус с высотой h = 1 и радиусом основания R = 1. По извест- ной из элементарной математики формуле, его объем равен |тгй2Л = |тг. 1 6 6 Отсюда П = 3-^7г = 7г. Поток П2 (через плоскость z — 1) может быть вычислен довольно просто. Внешней единичной нормалью к плоскости является вектор л(0,0,1). Поэтому п2 = tfFndS = ffzds. S2 S2 Поскольку z — 1 на S2, а элемент площади (dS) равен элементу площади ее проекции на плоскость Оху (dxdy), то последний интеграл сводится к двойному: // dxdy, Dxy где Dxy — круг с центром в начале координат и радиуса 1. Этот интеграл выражает площадь этого круга, которая равна тг. Следовательно, иско- мый поток через коническую поверхность равен Щ = П — П2 = тг — тг = = 0. • 254
Найти поток векторного поля F через незамкнутую поверхность S в направлении нормали п, используя формулу Гаусса-Остроградского: 5.3.19. F(l, 2,3), S — боковая поверхность конуса, осью которого слу- жит ось Oz, вершина находится в точке M(h, 0,0), а основа- ние — круг радиуса R, лежащий в плоскости Оху. 5.3.20. F(rc3,?/3,0), S — верхняя часть сферы х2 -I- у2 + z2 = 1, распо- ложенная выше плоскости Оху, п образует острый угол с осью Oz. 5.3.21. F(2x, — у, z), S — боковая поверхность цилиндра х2 + у2 = R2, расположенного между плоскостями z — 0 и z = Н, п — внеш- няя нормаль. 5.3.22. F = zi 4- yk, S — часть поверхности параболического цилиндра z = 1 — х2, отсеченная плоскостями у = 0, у = 1, z = 0, п — нормаль, образующая острый угол с осью Oz. 5.3.23. F = (у — l)i + j — yk, S — часть цилиндра х2 + у2 = 1, располо- женная между плоскостями z = 0nx + y + z = 5,n — внешняя нормаль. 5.3.24. Найти поток градиента скалярного поля U = х2 + yz через часть сферы х2 + у2 + z2 = R2, у 0 в направлении единичной нормали, образующей острый угол с осью Оу. Дополнительные задания Вычислить поток векторного поля F через поверхность S в сторону, определяемую единичной нормалью п к поверхности S: 5.3.25. F = Xi — zj + t/2k, S — прямоугольник: 0 я 2, 0 1, нормаль л направлена вверх. 5.3.26. F = x2i — 2xt/j + zk, S — сфера: (x — I)2 + (у — 2)2 + (z — 3)2 = 9, n — внешняя нормаль. 5.3.27. F = (1 — yz)i + (1 + xz)j + 2(x + y)k, S — часть параболоида z = x2 + у2, заключенная между плоскостями z — 0, z — 1, n — нормаль, образующая тупой угол с осью Oz. 5.3.28. F — zi + (1 — z)j + xyk, S — часть плоскости x + у = 1, огра- ниченная плоскостями z = 0, z = 1, х = 0, у = 0, п — нормаль, образующая острый угол с осью Ох. 5.3.29. F(0,0, z), S — часть конуса z2 = х2 + у2, заключенная между плоскостями z = 0, z = 1, п — нормаль, образующая тупой угол с осью Oz. 5.3.30. F(x2, у2, z2), S — боковая поверхность цилиндра, заключенная между плоскостями z = 0, z = 2, n — внешняя нормаль. 5.3.31. Найти поток радиуса-вектора г через боковую поверхность пирамиды, вершина которой находится в точке А(4,5,3), а 255
основанием служит четырехугольник с вершинами В(0,0,0), С(1,1,0), В(3, -1,0), Е(2, —2,0). 5.3.32. Найти поток векторного поля F(yz,x + 2yz,z2 — z) через поверх- ность параллелепипеда, построенного на векторах ОА, ОВ и ОС, где 0(0,0,0), 4(1, -2,1), В(3,2,1), С(1,0,-1). Контрольные вопросы и более сложные задания 5.3.33. Показать, что поток градиента скалярного поля 17, являющего- ся гармонической функцией (т. е. удовлетворяющей уравнению ДО = 0) через любую замкнутую поверхность равен 0. 5.3.34. Показать, что поток grad (с • г), где г — радиус-вектор, а с — фиксированный вектор, через произвольную замкнутую поверхность равен 0. 5.3.35. Найти поток поля с х г через поверхность сферы x2+y2+z2=R2 в направлении внешней нормали. 5.3.36. Отрезок кривой z = y/у, лежащий в плоскости Ozy между точ- ками 0(0,0,0) и 4(0,1,1), вращаясь вокруг оси Oz образует поверхность S. Найти поток векторного поля F(y,x,z — 1) че- рез поверхность S в направлении внешней нормали. 5.3.37. Найти поток векторного поля F(x3,f/3,z3) через сферу: а) х2 + у2 + z2 = Я2; б) х2 — х + у2 + z2 — 0 в направлении внешней нормали. Z д»з з \ 5.3.38. Найти поток векторного поля F I ——-, —- I через поверх- \ о О иО оС / ность эллипсоида х2 .У2 . г2 _ -I а2 Ь2 с2 в направлении внешней нормали. 5.3.39. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского доказать фор- мулу: где V£ — шар с центром в точке М, a S£ — ограничивающая его сфера, | V£ | — объем этого шара. Используя этот факт показать, что дивергенция не зависит от выбора прямоугольной системы координат. 5.3.40. Пусть U — дважды непрерывно дифференцируемое скалярное поле в пространственно односвязной области Q. Пусть тело V йТТ вместе со своей границей S лежит в Я, а — производная 256
поля U в направлении внешней нормали к поверхности S. До- казать, что (теорема Гаусса). V S 5.3.41. Пусть U, V — дважды непрерывно дифференцируемые ска- лярные поля в пространственно односвязной области Q. Пусть тело V вместе со своей границей S лежит в Я, а и — on on производные полей U и V в направлении внешней нормали к поверхности S. Доказать, что: а> f/u^ds=/№и'2 dv+f/Ju- ™dv' S V V dU dV VdS = f/f S V /\U U AV V dV. §4. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть F = Pi + Qj + Rk — векторное поле, заданное в некоторой области Q С R3, и функции Р(х, у, z), Q(x,y, z), R(x,y,z) — непрерывно дифференци- руемы в области Q. Пусть L — гладкая кривая, расположенная в области Q. Криволинейный интеграл А= fPdr= Jpdx + Qdy + Rdz (4.1) L L называется работой векторного поля F вдоль кривой L. В случае, если L — замкнутая кривая, то криволинейный интеграл (4.1) называется циркуляцией векторного поля F вдоль кривой L. Таким образом, циркуляция поля F равна: Ц = • dr = <j)Pdx + Qdy + Rdz. L L В случае, когда векторное поле F(P, Q) — плоское, его циркуляция вдоль за- мкнутой кривой L задается интегралом: Ц = $ Pdx + Qdy. L 9 Сборник задач по высшей математике. 2 курс 257
Формула Стокса Теорема 5.2 (Стокс). Пусть S — гладкая ориентируемая поверхность, a L — замкнутая гладкая кривая, являющаяся границей поверхности S. Пусть n(cosa, cos/3, cos7) — единичная нормаль к поверхности S, задающая одну из ее сторон. Пусть векторное поле F(P,Q,R) — непрерывно дифференци- руемо на S и L. Тогда j> Р dx+Q dy+R dz= _ff\(dR &Q\ tfdP dR\ ~ (dQ др\ 1 JJ \dy dz)C0Sa+\dz dx)C0S$+\dx dy)™*'1 dS~ s - <42) J J уду dz J \dz dx J ydx dy J (5,n) причем направление обхода контура L выбрано так, что при взгляде с конца вектора п оно происходит против часовой стрелки. Левый интеграл в формуле (4.2) представляет собой циркуляцию вектор- ного поля F вдоль контура L, а правый — поток ротора этого поля через по- верхность S. Поэтому формулу Стокса удобно записывать в векторной форме: ^F-dr= JJrotFndS = JJ(rot F)n dS, l s s т. e. поток ротора векторного поля F через ориентированную поверхность S ра- вен циркуляции поля F вдоль контура L этой поверхности (проходимого в по- ложительном направлении). Используя оператор Гамильтона, формулу Стокса можно записать в виде: ^F dr = xF)-ndS. L S В случае, когда векторное поле F(F, Q) — плоское, формула Стокса принимает вид формулы Грина: fpdx + Qdy = ff dxdy. Формулу Стокса часто применяют для вычисления циркуляции векторного поля. Однако следует помнить, что для того, чтобы можно было применить формулу Стокса к контуру L С Q, необходимо, чтобы нашлась поверхность S, целиком лежащая в Q, границей которой был бы контур L. Область Q, обладающая таким свойством, называется поверхностно од- носвязной областью. Более точно, область Q С R3 называется поверхностно односвязной) если для любого замкнутого контура L С Q найдется поверхность S С Q, границей которого является контур L. 258
5.4.1. Найти работу плоского векторного поля F(P, Q) вдоль кри- вой L: a) F(x2,«/x), L — часть параболы у = х2, концевыми точками которой служат точки А(0,0) и В(2,4); б) F(t/,x), L — арка циклоиды х = t — sintf, у = 1 — costf, 0 2тг. Q а) Вычислим работу поля, применяя формулу (4.1): А = f х2 dx + ух dy L (т. к. поле плоское, то R = 0). Поскольку вдоль кривой L переменные связаны равенством у = х2, то dy = 2xdx, и криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу: 22 2 А = [х2 dx + х2 • х • 2xdx = f(x2 + 2я4) dx = (I = J J \3 о / 1о 15 о о б) Находим dx = (1 - costf) dt и dy = sin tdt. Тогда 27Г A = J ydx + xdy = y*[(l — cost)(l — costf) + (t — sin J) sint] dt = l о 27Г 27Г = У [l-2cos£ + cos2 t + t sin sin2 £] dt = j [l — 2cost + cos2t + tsint\dt = 0 0 о / 1 \ l27r = it — 2sin£ + - sin 22 — t cost + sin* — 0. • \ 1 /Io 5.4.2. Найти работу векторного поля F(x, у, z) вдоль линии L, являю- щейся пересечением параболического цилиндра z = у2 с плос- костью z + х = 1 от точки А(0,1,1) до точки В(1,0,0). Q Зададим линию L параметрически: положив у = t, получим z = t2, а ж = 1 — z = 1 — t2. Тогда dx = —2tdt, dy = dt, dz = 2tdt. Точке A соответствует значение параметра t = 1, а точке В — значение t = 0. Таким образом, о о 1 у(1 - t2) • (-2t) dt + tdt + t2 • 2t dt = ') dl = y(4i3 - I) dl = (l* - y) |°= ' =°-(*4) = 4 Найти работу плоского векторного поля F = Pi + Qj вдоль кривой L: 5.4.3. F = — + ij, L — часть окружности х2 + у2 = R2, лежащая в у I четверти и пробегаемая против часовой стрелки. 259
5.4.4. F = —xi+f/j, L задана параметрически уравнениями x = л/cost, у = д/sint, 0 t 5.4.5. F = 3«/i + xj, L — ломаная ABC, где A(0,0), B(l, 1), C(2,4). Найти работу пространственного векторного поля F(P,Q,R) вдоль кривой L: 5.4.6. F(x, 2у, — z), L — отрезок АВ прямой, задаваемой уравнениями = I = Чг’ где Л(1’ °’-1)’ в(3’11 -2)- 5.4.7. F(x,y, 1), L — первый виток винтовой линии, заданной па- раметрически уравнениями х = Я cost, у = Rsint, z — at, 0 t 27г. 5.4.8. F(z, l,2t/), L — часть окружности х = cost, у = sint, z — 1, ti = 0, t2 = |. 5.4.9. Найти работу градиента скалярного поля U = xyz вдоль от- резка прямой АВ, где А(1,2,3), В(3,-2,3). 5.4.10. Найти работу ротора векторного поля F(y,z,x) вдоль кониче- ской спирали х = tcost, у = t sin t, z = t, 0 t 2тг. 5.4.11. Найти циркуляцию плоского векторного поля F(P, Q) по за- мкнутой кривой L в положительном направлении: a) F(—у,х), L — окружность, задаваемая уравнением х2 + (у + 1)2 = R2; б) F(2t/, х), L — контур треугольника АВС, где А(0,0), В(1,0), <7(1,1). Q а) Запишем параметрические уравнения окружности: х = Л cost, у = Rsint — 1, 0 t 2тг. Находим dx = —Rsintdt, dy = Rcostdt. Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна: 2тг Ц = ^F • dr = j> —ydx + xdy = j [(.Rsint — l)Rsint + R2 cos21] dt = l l о 27 о о 127Г о = / (R2 — Rsint)dt = (R2t + Rcost) =2ttR. о б) Первый способ. Контур L есть объединение отрезков АВ, ВС и С А. Поэтому циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна: Ц= yFdr= Jvdr+ yFdr+ f?dr. L AB ВС CA Вычислим каждый из интегралов. Вдоль отрезка АВ имеем у = 0 и, стало быть, dy = 0. Следовательно, J F • dr = у 2у dx + х dy = 0. АВ АВ 260
Вдоль отрезка ВС имеем х = 1 и dx = 0. Поэтому 1 J F • dr — J 2ydx + xdy = J dy = 1. вс вс о Наконец, вдоль отрезка С А имеем у = х и dy = dx. Следовательно, J F-dr= J 2ydx + xdy = Jixdx = = “|- CA CA 1 Таким образом, циркуляция поля F вдоль контура L будет равна: Ц = - о + 1 _ 3 _ _1 2 2 Второй способ. Вычислим циркуляцию, применив формулу Грина: Ц= fPdx + Qdy^ff^-^ dxdy, где областью D является треугольник АВС. В нашем случае Р = 2у, Q = х. Следовательно, = 1, а = 2. Тогда циркуляция поля F ох оу вдоль L равна 1 х 1 х 1 2 х Ц = УУ(1 - 2)dxdy = - Jdx Jdy = - Jy^dx = - Jxdx = ~y|0= D 0 0 0 0 Найти циркуляцию плоского векторного поля F(p,Q) вдоль кривой L (на- правление обхода — положительное): 5.4.12. F(j/2,2ху), L — произвольный замкнутый контур. 5.4.13. F(?/, -ж), L — окружность х2 + у2 = R2. 5.4.14. F(?/, -ж), L — окружность (ж - I)2 + (у + I)2 = R2. 5.4.15. F(2rr — ху2, —2ху), L — ломаная АВА, где А(0,0), В(1,1), кри- вая АВ — кусок параболы у = х2, а В А — отрезок прямой. 5.4.16. Р(ху, 1), L — граница квадрата 5.4.17. Вычислить циркуляцию пространственного векторного поля F = — Xi + х] + yk вдоль эллипса L, получающегося пересе- чением цилиндра х2 + у2 = 1 с плоскостью х + у + z = 1 (при взгляде с положительного направления оси Oz обход контура L совершается против часовой стрелки). Первый способ. Запишем параметрические уравнения эллипса: х = cosi, у = sini, z — = 1 — cos t — sin t. При изменении параметра t от 0 до 2тг получаем требу- 261
емое направление обхода контура L. Вычислим теперь циркуляцию: Ц = <j)F • dr = ^Pdx + Qdy + Rdz = ^—xdx + xdy + ydz = L L L 2тг 2тг sin f) + cos t • cos t + sin t(sin t — cos t)] dt = J dt = 2тг. о 0 Второй способ. Вычислим циркуляцию, применив формулу Стокса, причем в качестве поверхности S, ограничиваемой кривой L, выберем часть плоскости х + + у + z — 1, лежащей внутри цилиндра х2 + у2 = 1. Единичную нормаль к плоскости выберем так, чтобы, глядя с ее конца, направление обхода контура L проходило против часовой стрелки. Такой единичной норма- лью будет вектор п ( -Д=, -4= ). По формуле Стокса имеем: \л/3 л/3 л/3/ rot F • n dS = L = ff [(Ai - Q'z) cos a + (P'z - R'x) cos p + {Q'x - P'J cos 7] dS = s = (1-0) ^ + (0-0).^ + (1-0)-^= dS= ^dS. L Vo Vo VoJ у Vo Вычисление последнего интеграла сведем к вычислению двойного инте- грала по области Dxy, являющейся проекцией поверхности S на плос- кость Оху. Этой областью будет круг х2 + у2 1. Поскольку dS = _ dxdy _ то окончательно получаем: | cos7| Ц = ff-y=dS = Jf2dxdy = 2 ff dxdy = 2S(Dxy) = 2тг. • Найти циркуляцию векторного поля F(P,Q,R) вдоль замкнутого кон- тура L: 5.4.18. F(rr2,?/2, z2), L — окружность, параметрические уравнения ко- торой: х = cost, у = sintf, z = 1, направление обхода — в сто- рону увеличения параметра t. 5.4.19. F(y + z,z + х,х + у), L — окружность, получающаяся пересе- чением сферы х2 + у2 + z2 = В? и плоскости х + у + z — 0, направление обхода— против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Oz. 5.4.20. F(rr — у, у — z, z — х), L — контур треугольника АВС, А(1,0,0), В(1,1,0), С(1,0,1). 262
5.4.21. 5.4.22. 5.4.23. При F |------—,—-—,0 \ x2 + y2 x2 + y2 J a) L — окружность: x = cost, у = sint, z = h; направление обхода — в сторону увеличения параметра; б) L — окружность: х = cost+2, у = sint-|-2, z = Л; направление обхода — в сторону увеличения параметра. F(rr — 2у — z, х — z, у + х), L — контур треугольника АВС, где 4(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1). Найти поток ротора векторного поля V(y,z,x) через поверх- ность параболоида z — 4 — х2 — у2, расположенную выше плос- кости Оху в направлении нормали, у которой cos 7 > 0. решении данной задачи имеет смысл воспользоваться теоре- мой Стокса, поскольку вычисление потока, проведенное непосредствен- но, сложнее, нежели вычисление циркуляции по границе поверхности. Границей параболоида является окружность L, лежащая в плоскости хОу, параметрические уравнения которой: х = 2 cost, у = 2sint, z — 0. Таким образом, П — JJrot F • n dS = ^F • dr — j>y dx + zdy + xdz = S L L 2тг 2tt 27r = J 2 sin t(-2 sin t) dt = J ^(l-cos2t) dt = -2 (t - |sin2t) | =-4тг. о о Замечание. Если в аналогичных задачах вычисление циркуляции за- труднительно, то можно вновь воспользоваться теоремой Стокса, рас- смотрев другую, более простую поверхность, которую ограничивает дан- ный контур. В нашем случае — это мог быть круг в плоскости Оху: ж2 4- у2 < 4. • 5.4.24. Найти поток ротора векторного поля F(xz2,y2z,z + у) через часть поверхности конуса (z — I)2 = х2 + у2, расположенную между плоскостями z = 0 и z = 1 в направлении внешней нор- мали. 5.4.25. Найти поток ротора векторного поля F(z, х, у) через часть сфе- ры х2 + у2 + z2 — 1 (z 0) в направлении внешней нормали. 5.4.26. Тело вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности единичного радиуса, центр которой лежит на оси вращения, а плоскость, в которой лежит окружность, перпен- дикулярна оси Oz, в направлении оси вращения. Дополнительные задания 5.4.27. Найти циркуляцию векторного поля F = 3/i+2rrj вдоль ломаной АВС, где 4(1,1), В(4,2), С(0,4). 263
5.4.28. Найти циркуляцию векторного поля F(—у, х) вдоль кардиоиды х = 2cosi — cos 22, у = 2 sin t — sin 22 в сторону увеличения, параметра. ; 5.4.29. Показать, что циркуляция радиуса-вектора г вдоль любого за- мкнутого контура равна 0. 5.4.30. Найти циркуляцию векторного поля F(—у,х, 1) а) вдоль окружности (ж - З)2 + у2 = 1, z = 1; б) вдоль окружности х2 + z2 — 1, у = 0. 5.4.31. Показать, что циркуляция постоянного векторного поля F = с вдоль любой гладкой замкнутой линии L равна 0. 5.4.32. Найти циркуляцию векторного поля F(z,2,1) вдоль ломаной АВС, где 4(1,3,2), В(0,0,1), С(-1, -1,1). 5.4.33. Найти циркуляцию векторного поля F = (z + 2х - 3j/)i + (ж + у - 2z)j + ук вдоль контура треугольника АВС, где 4(2,0,0), В(0,3,0), С(0,0,1). 5.4.34. Найти циркуляцию градиента скалярного поля U = х3у2z вдоль эллипса: х2 + у2 = 1, х + z — 3. Контрольные вопросы и более сложные задания 5.4.35. Привести примеры области П: а) являющейся пространственно односвязной, но не поверх- ностно односвязной; б) являющейся поверхностно односвязной, но не пространст- венно односвязной; в) не являющейся ни поверхностно, ни пространственно одно- связной. 5.4.36. Верно ли, что если в области П ротор векторного поля F равен 0, то циркуляция этого векторного поля F по любому замкну- тому контуру L, расположенному в П равна 0? 5.4.37. Верно ли, что потоки ротора векторного поля F через две раз- ные поверхности Si и S2, имеющие одну и ту же границу L совпадают? §5. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И СОЛЕНОЙ ДАЛ ЬНЫЕ ПОЛЯ Векторное поле F называется потенциальным, если оно является гради- ентом некоторого скалярного поля U, т. е. F = grad U = VC7. В случае, если поле F(P, Q,R) потенциально, выполняются равенства Р- n-QV дх' 4 ду' dz' 264
что равносильно тому, что выражение Р dx 4- Q dy 4- R dz = dU является пол- ным дифференциалом некоторой функции Ufay^z). Эта функция называется потенциалом векторного поля F. Теорема 5.33. Пусть область Q поверхностно односвязна и функции Р, Q, R — непрерывно дифференцируемы в Q. Тогда векторное поле F(P, Q,R) потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства: 3Q = дР dR = OQ dP = dR дх ду ’ ду dz' dz дх' Приведенная теорема фактически утверждает, что векторное поле F потен- циально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т. е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл Р dx + Q dy + Rdz АВ не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области Q (в пред- положении, естественно, что Q— поверхностно односвязная), а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е. F • dr = 0. L Если поле F потенциально, то его потенциал U может быть найден путем решения системы уравнений с частными производными: U'x =Р, U'y= Q, U'z = R. Также можно найти потенциал U непосредственным интегрированием по не- которому пути MqM: U = J Рdx 4- Qdy 4- Rdz. мом При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь MqM выбирают в виде ломаной М0М1М2М, вдоль каждого из звеньев которой из- меняется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы: U = У P(x,yo,zo)dx + У Q(x,y, zo)dy+ J R(x,y,z)dz, 3Терема о необходимом и достаточном условии потенциальности векторного поля. 265
где каждый из интегралов — суть обычный определенный интеграл по соот- ветствующей переменной, а остальные переменные (индексированные и неин- дексированные) играют роль констант. Если потенциал векторного поля F известен, то У Р dx + Qdy + Rdz = JdU = U(B)-U(A). AB AB Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т. е. F = rot А = V х А. Поле А называется векторным потенциалом поля F. Теорема 5.44. Пусть область Q пространственно односвязна и координаты Р, Q, R векторного поля непрерывно дифференцируемы в Q. Тогда векторное поле F(P, Q,R) соленоидально в том и только в том случае, когда divF № + ЭД + ав=0 ох ду dz в каждой точке области Q. Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. 5.5.1. Показать, что поле F(2rr + yz)\ + xz\ + (ху + 2z)k потенциально и найти его потенциал. Q Покажем, что rot F = 0. rot F = (Ry - Q'z)i + (P' - R'x)j + (Qx - P')k = = (x - rr)i + (y - y)i + (z - z)k = 0. Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал U(x,y,z) поля F двумя разными способами. I способ. Составим систему уравнений с частными производными: {Ux = 2х + yz, Uy = xz, Uz=xy + 2z. Интегрируя первое уравнение по х, получаем: U = J(2х + yz) dx = х2 + xyz + ip(y, z) (здесь роль константы интегрирования играет любая функция ip(y, z), ибо ее частная производная по х равна нулю). Далее, дифференцируя 4Теорема о необходимом и достаточном условии соленоидальности поля. 266
полученную функцию U по переменной у и используя второе равенство системы, получаем уравнение xz + ip'y(y, z) — xz, откуда z) = 0. Ин- тегрируя полученное уравнение по переменной у, получим </?(?/, z) = ^(z). Подставляя найденное значение функции </>(?/, z) в функцию U, прихо- дим к равенству: U = х2 + xyz + ip(y,z) = х2 + xyz + 'ф(г). Наконец, дифференцируя функцию U по переменной z и используя последнее ра- венство системы, получаем: ху + ^'(z) = ху + 2z, откуда 'ф'(г) = 2z, т.е. i/>(z) = z2 + С. Таким образом, приходим к окончательному виду потен- циала: U = х2 + xyz + z2 + С. II способ. Вычислим потенциал непосредственным интегрированием. Фиксируя точку Мо(жо?3/о?^о)5 рассмотрим произвольную точку M(rr,2/,z). Тогда U(x,y,z) = U(M) = у Pdx + Qdy + Rdz. мом Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от фор- мы пути) выберем в виде ломаной MqMiM2M, где отрезок MqM± па- раллелен оси Ох, отрезок М±М2 — оси Оу, а отрезок М2М — оси Oz. Вдоль MqMi имеем у = уо и z = zq, а, следовательно, dy = dz = 0, вдоль М±М2 уже х — постоянно и z — zq, откуда dx = dz = 0, а вдоль М2М обе переменные, хну — постоянны, а, значит, dx = dy = 0. Тогда X у Z и(М)— у (2х + yozo) dx + Jxzody+ f(xy + 2z)dz = Xo Уо Z0 / 2 J® \y / 2\|Z = (x +3/oZo#) +^o +(xyz + z)\ = 1яо I Уо Izo = (ж2 + yoZQX - £Tq - yoZQXo) + (xyzQ - xyQzQ) + (xyz + z2 - xyzQ - Z2) = = x2 + xyz + z2 - (Xq + XoyoZQ + Zq) = x2 + xyz + z2 + C. • Являются ли следующие векторные поля потенциальными? 5.5.2. F = г. 5.5.4. F(rr2, — y2,xz). 5.5.6. F = т/2(1 — z)i + 2xy(l 5.5.3. F = xi + t/rrj + zyk. 5.5.5. F = xyi — zj + xk. ~ z)j - (xy2 - 3z2)k. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы: 5.5.7. F = rr2i + у2 у + z2k. 5.5.8. F = yzi + rrzj + yxk. 5.5.9. F(z — 2x, z — 2y,x + y). 5.5.10. F(t/2z3,2xyz3 + z2,3xy2z2 + 2yz + 1). 5.5.11. Показать, что плоское поле F(2ху3 + 2ху sin(x22/), Зх2у2 + х2 sin(x2y)) потенциально, и найти его потенциал. 267
5.5.12. Не используя теорему 5.3 показать, что ротор потенциального поля равен нулю. 5.5.13. Непосредственным вычислением показать, что циркуляция гладкого потенциального поля F вдоль любой замкнутой кри- вой L равна 0. 5.5.14. Найти циркуляцию векторного поля F(f/z2, xz2, 2xyz) вдоль эл- липса: х2 + у2 = 4, х + 2у + 3z = 6. 5.5.15. Найти циркуляцию векторного поля F(3x2y2z,2x3yz,x3y2) вдоль контура АВС, где 4(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1). 5.5.16. Вычислить работу силового поля F(yz,xz,yx) вдоль одного витка винтовой линии х = cost, у = sini, z — t (0 С t 2тг). Q При t = 0 получим начальную точку кривой М±(1,0,0), при t = 2тг — конечную точку Л/2(1,0,2тг). Так как векторное поле потенциально (см. задачу 5.5.8), то работа силового поля не зависит от формы пути. Поэто- му выберем в качестве пути M±Mz прямолинейный отрезок. Вдоль него х = 1, у = 0, dx = dy = 0, и, следовательно, работа 2тг 4 = J yzdx + xz dy + yxdz = J 0dz = 0. A/i Л^2 о Другим способом работу можно было бы найти как разность потенци- алов в точках Mz и . Для этого находим сначала потенциал U = xyz (см. задачу 5.5.8). Тогда 4 = U (М2) - U (Mi) = 1- 0-2тг-1-0-0 = 0. • 5.5.17. Вычислить работу векторного поля F(z3 — у3, — 3xy2,3xz2) от точки 4(1,1,1) до точки В(2,0,1). 5.5.18. Вычислить работу векторного поля F(?/ + 2xz2,x — 2y,2x2z) вдоль полуокружности большого радиуса сферы (1 + х)2 + у2 + z2 = 1 от точки 4(—1,1,0) до точки В(—1, —1,0). Является ли векторное поле F соленоидальным? 5.5.19. V(xy, —у — x,z — zy). 5.5.20. ¥(x2yz, 2xyz, —z2(xy + ж)). 5.5.21. F = (у2 + z2)i - (xy + z3)j + (y2 + zrr)k. 5.5.22. F = (x2yz — rr3)i + 2/rr3j + (x2z — y)k. 5.5.23. Является ли пространственное векторное поле г х с (где с — постоянный ненулевой вектор): а) потенциальным; б) соленоидальным? 5.5.24. Является ли пространственное векторное поле F = ± • г: а) потенциальным; б) соленоидальным? 5.5.25. Вычислить поток векторного поля F(ху2 — z, —ху + z,zx — zy2) через поверхность эллипсоида ж2 , 2/2 z2 _ 1 а2 Ь2 с2 в направлении внешней нормали. 268
Дополнительные задания Являются ли следующие поля потенциальными? 5.5.26. F = (yz2 — l)i + rrz2j + 2x?/zk. 5.5.27. F = (x2 + у - z)i + (xy — xz)j + rr2zk. 5.5.28. F = cos(2?/ + 3z)i — 2y sin(2y + 3z)j + 3z sin(2y + 3z)k. 5.5.29. Показать, что векторное поле F(yz(2x + у + z), xz(x + 2y + z),xy(x + у + 2z)) потенциально, и найти его потенциал. 5.5.30. Показать, что векторное поле F = (бху - 2x)i + (Зя2 - 2z)j + (1 - 2j/)k потенциально, и найти его потенциал. Являются ли следующие поля соленоидальными? 5.5.31. F = (х2 - yz + 2)i - 2rr?/j + (ух3 — l)k. 5.5.32. F(xy — yz + xz)\ + (yz — xz + xy)] + (xz — xy + yz)k. 5.5.33. F(rr2?/, y2z — y2x, xy - yz2). Вычислить работу векторного поля F от точки А до точки В: 5.5.34. F(3rr2,2т/, 1), 4(1,2,-1), В(0,1,1). 5.5.35. F(f/2 + 2xz, z2 + 2ху, х2 + 2yz), 4(0,0,0), B(l, -1,1). 5.5.36. F = г • г, где г — радиус-вектор точки, а г = |г|, 4(0,0,0), В(6,2,3). 5.5.37. F = 4г2 • г, где г — радиус-вектор точки и г = |г|, 4(0,3,4), £(3,4,0). 5.5.38. Показать, что если векторные поля Fi, F2 потенциальны и с — число, T0F1+F2 ис-Fi — также потенциальные векторные поля. 5.5.39. Показать, что если векторные поля Fi и F2 соленоидальны, то ci • Fi + с2 • F2 — соленоидальное векторное поле (ci и С2 — некоторые константы). Контрольные вопросы и более сложные задания 5.5.40. Привести пример векторного поля: а) потенциального и соленоидального; б) потенциального, но не соленоидального; в) не потенциального, но соленоидального; г) не потенциального и не соленоидального. 5.5.41. Показать, что потенциал U потенциального и соленоидального поля F удовлетворяет уравнению Лапласа: ДС7 = 0. 269
5.5.42. Показать, что если векторное поле F = где г = rri+3/j+zk и г = |г|, соленоидально, то /(г) = Д-. г6 5.5.43. Будет ли пространственное поле F=r-(cxr), где r=rri+?/j+zk, г=|г| ис — постоянный вектор, соленоидальным? 5.5.44. Показать, что пространственное поле F = /(г) • г, где r(x,y,z) и г = |г|, потенциально и найти его потенциал. 5.5.45. Показать, что если векторное поле F потенциально, то вектор- ное поле с х F (где с — постоянный вектор) является солено- идальным. Верно ли обратное? 5.5.46. Верно ли, что векторное произведение потенциальных полей потенциально? 5.5.47. Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей соленоидально? 5.5.48. Показать, что векторное произведение потенциальных полей — соленоидальное векторное поле. 5.5.49. Верно ли, что векторное произведение соленоидальных по- лей — потенциальное векторное поле?
Глава 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ □ § 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Во многих задачах классической теории вероятностей используется комби- наторика, т. е. раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств. Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух пра- вил — правила умножения и правила сложения. Теорема 6.1. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а) можно выбрать m способами, а второй объект (элемент Ь) — П2 способами, то оба объекта (а и Ь) в указанном порядке можно выбрать m • тц способами. Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов. Теорема 6.2. Правило сложения: если некоторый объект а можно выбрать П1 способами, а объект Ъ можно выбрать П2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (а или 6) можно выбрать П1 +п2 способами. Это правило распространяется на любое конечное число объектов. Существуют две схемы выбора т элементов из заданного множества: без возвращения, когда выбранные элементы не возвращаются в исходное множе- ство, и с возвращением, когда выбор осуществляется поэлементно с обязатель- ным возвращением отобранного элемента на каждом шаге. Схема выбора без возвращений Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов. Размещением из п элементов по к элементов (0 к п) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее к эле- ментов. Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо со- ставом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из п элементов по к обозначаются символом и вы- числяется по формуле А* = п(п - 1)(п - 2)... (п - к + 1) = 7-^, (1-1) (п — к)\ где n! = 1 • 2 • 3... п, причем 1! = 1,0! = 1. 271
Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по п элементов. Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из п элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следова- ния элементов. Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп и вычисля- ется по формуле Рп = А™ = п! (1.2) Сочетанием из п элементов по к (0 к п) называется любое подмно- жество данного множества, которое содержит к элементов. Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (т. е. отличаются только составом элементов). Число сочетаний из п элементов по к обозначается символом и вычисляется по формуле rk _ n(n - l)(n - 2)... (n - k + 1) _ W! _ A* k\ k\(n - k)\ k\ ’ ( } Для чисел C„ (они называются биномиальными коэффициентами) справед- ливы следующие тождества: Ск = Сп~к (правило симметрии), С°+С* + ... + С£ = 2п, Ск = Ск-1 + Ск-1 (правило Паскаля), С£=С% = 1. Схема выбора с возвращением Если при упорядоченной выборке к элементов из п элементы возвращают- ся обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повто- рениями. Число всех размещений с повторениями из п элементов по к обозна- чается символом Ап и вычисляется по формуле Акп = пк. (1.4) Если при выборке к элементов из п элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы мо- гут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из п элементов по к обозначается символом Сп и вычисляется по формуле <£ = С*+*-1- (1-5) Пусть в множестве из п элементов есть к различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется m раз, 2-й — пг раз, ..., &-й — пь раз, 272
причем ni +пг + .. - + пк = п. Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями. Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из п элементов обозначается символом Fn(ni, пг,..., п*.) и вычис- ляется по формуле Рп(П1,П2, • • • ,Пк) = W! —j. (1.6) Итоговая сводка формул приведена в следующей таблице. Таблица 1 (1-я строка — без повторений, 2-я строка — с повторениями) Размещения Перестановки Сочетания 1 Ак _ п! п (п - Л)! Рп =п! pfc _ п! п Щп - ку. 2 6 II 4Й g К Рп(П1,П2,...,П*.)= , 7’ i щ’ пг'-.. . п*.! (ni +п2 + .. . + п*. = п) 7 + V II 4Й g IO 6.1.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться? Q а) Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (числа вида 025, 073, ... не считаем трехзначными). Выбрав первую цифру (напри- мер, цифру 5), вторую цифру можно также выбрать четырьмя способа- ми (второй цифрой может быть любая из оставшихся 0, 2, 3, 7). Третью цифру, очевидно, можно выбрать тремя способами. Следовательно, со- гласно правилу умножения имеется 4 • 4 • 3 = 48 способов расстановки цифр, т. е. искомых трехзначных чисел будет 48 (вот некоторые из них: 509, 237, 530, 702,...). б) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначные чи- сла можно составить 4 • 5 • 5 = 100 способами (вот некоторые из них: 222, 200,332,...). • 6.1.2. Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных цифр, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9? Q По правилу умножения трехзначных чисел можно составить 5 • 4 • 3 = = 60 способами, а четырехзначных — 5 • 4 • 3 • 2 = 120 способами, столько же пятизначных чисел (5 • 4 • 3 • 2 • 1). По правилу сложения, всего можно составить 60 + 120 + 120 = 300 чисел, состоящих не менее чем из трех попарно различных цифр. • 6.1.3. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся? 273
6.1.4. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать для вручения призов двух студентов одного пола? 6.1.5. Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколь- ко имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков? 6.1.6. В цветочном киоске 7 видов цветов. Сколькими разными спо- собами можно составить букет, содержащий 3 цветка? 6.1.7. Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом, а из него в пункт С — пешком, на тракторе, на ло- шади, на лодке. Сколькими способами можно выбрать дорогу от пункта А до пункта С через В? 6.1.8. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем? 6.1.9. Составить различные размещения по два элемента из элемен- тов множества А = {3,4,5} и подсчитать их число. Q Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (3,4); (4,3); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4). Таким образом, всего их 6. Однако число размещений можно подсчитать и по формуле (1.1): Aj = 3 • 2 = 6 или Al = . 3’ , = у = 6. • 3 3 (3-2)! 1 6.1.10. Сколькими способами 3 награды (за I, II, III места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований? Q Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников соревнований из 10 м°жно _ 10! _ 7!. 8.9. ю _ Л1° " (10--3)! " 7! ” 720 способами, так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования. Этот же результат можно получить, применяя правило умножения: претендентов на главную награду (за I место) 9; на вторую — 8; на тре- тью — 7; число различных способов распределения наград равно 10-9-8 = = 720. • 6.1.11. Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? 6.1.12. Сколькими способами можно составить трехцветный полоса- тый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? 6.1.13. Из группы в 15 человек выбирают 4-х участников эстафеты 800 х 400 х 200 х 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов на этих этапах? 6.1.14. Составить различные перестановки из элементов множества А = {5;8;9}. 274
Q По формуле (1.2) число перестановок из 3-х элементов равно Рз = = 3! = 1 • 2• 3 = 6. Составляем их: (5,8,9); (5,9,8); (8,9,5); (8,5,9); (9,5,8); (9,8,5). • 6.1.15. Сколькими способами можно расставить на книжной полке де- сятитомник произведений Д. Лондона, располагая их: а) в произвольном порядке; б) так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом (в любом порядке); в) так, чтобы I, II, III тома не стояли рядом (в любом порядке). О а) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из 10 элементов: Рю = 10! = 3628800. б) Мысленно связав I, V и IX тома или положив в один пакет, полу- чим 8 «книг», т. е. 7 книг и 1 связку (или пакет) книг. Их можно расста- вить на полке Рз = 81 способами. Каждому из этих способов расстановки соответствуют Рз = 3! способов расстановки книг, находящихся в связке (I, V и IX тома по-прежнему стоят рядом, но в ином порядке). Соглас- но правилу умножения, число возможных расстановок 10 книг на полке так, чтобы 3 определенные книги (I, V и IX тома) стояли рядом, равно Р8 . р3 = 8! • 3! = 40320 • 6 = 241920. в) Искомое число способов расстановки книг, с учетом пунктов а) и б), равно Рю - Р8 • Рз = 3628800 - 241920 = 3386880. • 6.1.16. В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно раз- местить на них 7 гостей? 3 гостя? 6.1.17. Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по мате- матике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за дру- гим? Не следовали один за другим? 6.1.18. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя бук- вы в слове: а) СОЛНЦЕ; б) ТЕАТР; в) ЛИЛИ; г) SOS? 6.1.19. Сколькими способами можно упорядочить множество А = = {8,9,10,11,..., 15} так, чтобы каждое четное число имело четный номер? 6.1.20. Составить различные сочетания по два из элементов множе- ства А = {3,4,5} и подсчитать их число. Q Из трех элементов можно составить следующие три сочетания по два элемента: {3,4}; {3,5}; {4,5}. Их число можно подсчитать и по фор- муле (1.3): (?з = = 3 (или так: Cj = С2з=С'=3). 6.1.21. Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих луч- ших друзей. Сколькими способами он может выбрать пригла- шенных? — = 3; или так: 275
Q Так как для Владимира важен только состав гостей (порядок роли не играет), то число способов выбора троих гостей из 7 можно найти по формуле сочетаний (1.3): Су = 1*2*3 =35. * 6.1.22. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими спосо- бами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовых гвоздики? Q а) Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно Cf6 способами. По формуле (1.3) находим: = -у = 560. б) Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно Сд = 84 способами, а 6 гвоздик розового цвета Су = 7 способами. По правилу сложения выбрать 6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно Сд + Су = 84 + 7 = = 91 способом. в) Выбрать 4 красных гвоздики из 9 имеющихся можно Сд способами, а 3 розовых из имеющихся 7 можно Су способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения Г4 . С3 _ 9!____7! _ 5! 6 > 7 8 9.4! 5 6 7 _ 4410 спосо6ами * °9 °7 " 4! • 5! 3! • 4! — 5! • 1 • 2 • 3 • 4 4! • 1 • 2 • 3 " ° способами‘ • 6.1.23. Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две рав- ные (по количеству предметов) группы? 6.1.24. Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались между собой один раз. Сколько шах- матистов участвовало в соревновании? 6.1.25. Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жре- бию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут: а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки; в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей? 6.1.26. Сколькими способами можно разбить 9 предметов на 2 группы (выбор одной группы однозначно определяет вторую)? 6.1.27. Пять авторов должны написать задачник по математике, состо- ящий из 14 глав. Два автора напишут по 2 главы, два других — по 3 и еще один — 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами? 6.1.28. В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные? 6.1.29. Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и соче- тания с повторениями по два элемента. Q Размещения с повторениями по два элемента таковы: (2,2); (2,4); (2,5); (4,4); (4,5); (4,2); (5,5); (5,2); (5,4). 276
Их число можно вычислить и по формуле (1.4): A3 = З2 = 9. Сочетания с повторениями по два элемента таковы (в отличие от размещений здесь порядок элементов в выборке не имеет значения, т.е., например, пары (2,4) и (4,2) не различаются): {2,2}; {2,4}; {2,5}; {4,4}; {4,5}; {5,5}. Их число можно вычислить и по формуле (1.5): 77^ _ _ 4 • 3 _ ✓? а °3 — ^3+2-1 — V>4 — Y?2 ~ °’ 6.1.30. В магазине имеется 7 видов тортов. Сколькими способами мож- но составить набор, содержащий 3 торта? А если имеются 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов? Q Поскольку порядок расположения тортов в наборе не играет роли, то искомое число наборов равно числу сочетаний с повторениями из 7 элементов по 3 в каждом. По формуле (1.5) имеем С? = Сд = | * g = 84 (см. также задачу 6.1.6). Если имеется 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов, то число возможных наборов равно с\ = Сд = = 36. • 6.1.31. Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного до- ма. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах? Q Каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со 2-го по 9-й включительно. Возможными вариантами их выхода являются, например, 2-3-5-5-5 (это значит, что на 2-м этаже вышел один пассажир, на 3-м — один, а трое вышли на 5-м этаже) или 9-9-9-9-9 или 4-5-6-7-9, и т.д. Общее число выходов пассажиров, по формуле (1.4), равно А® = 85 = 32 768. Этот же результат можно получить, используя правило умножения: для 1-го пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для 2-го — тоже 8, и для 3-го — 8, и для 4-го — 8, и для 5-го — 8. Всего получается 8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 85 вариантов выхода 5-ти пассажиров. • 6.1.32. Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI? Q Вообще из трех букв можно составить Р3 = 3! = 6 различных трехбу- квенных «слов». В слове АГА буква А повторяется, а перестановка оди- наковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторе- ниями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколь- ко можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две бу- квы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных трехбуквенных «слов» 277
р о | из букв слова АГА можно составить столько: — = -j = 3. Впрочем, от- -Г2 2! вет можно получить и проще: каждое слово из букв А, Г и А однозначно определяется положением буквы Г; их всего три, поэтому и различных слов будет тоже три. Пользуясь формулой (1.6), этот результат можно получить сразу: Рз(2,1) = ^=3. По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов» при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь n = ll, ni = l, П2=4 (4 буквы S), пз = 4 (4 буквы I), = 2, поэтому Рп(1,4,4,2) - lj4!—j ---------------------- 34650- * 6.1.33. Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9 различных предметов? 6.1.34. Сколькими способами можно распределить 6 разных книг ме- жду 3 школьниками? 6.1.35. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Скольки- ми способами можно приобрести в нем 4 открытки? 4 одинако- вых открытки? 4 разных открытки? 6.1.36. Сколько различных букетов по 5 цветков в каждом можно со- ставить, если в наличии есть достаточно много цветков четырех видов? 6.1.37. У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида — другого и 4 вида — третьего. В течение девяти дней он каждый день пред- лагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства? 6.1.38. Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ? Дополнительные задания 6.1.39. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными? 6.1.40. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова а) ЛЕТО; б) ШАЛУН? 6.1.41. Сколько существует шестизначных чисел, у которых на четных местах стоят четные цифры? 6.1.42. 20 студентов обмениваются фотокарточками. Сколько фото- карточек понадобилось для этого? 6.1.43. Каждого из 6 студентов можно направить для прохождения практики на одно из трех предприятий. Сколькими различны- ми способами это можно осуществить? 278
6.1.44. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 если: а) цифры не могут повторяться; б) цифры могут повториться; в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться); г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться). 6.1.45. 4 пианиста, 5 скрипачей и 6 баянистов участвуют в конкурсе. Сколькими способами жюри может отобрать по три победителя в каждой номинации? 6.1.46. Сколькими способами можно составить трехцветный (три вер- тикальные полосы) полосатый флаг, если имеется материал красного, желтого, зеленого и черного цветов, причем извест- но, что одна из полос должна быть зеленой? 6.1.47. В классе изучается 7 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 5 различных предметов? 6.1.48. Сколькими способами можно рассадить вокруг круглого стола 6 мальчиков и 6 девочек, если каждая девочка должна сидеть между двумя мальчиками? 6.1.49. Сколькими способами можно сформировать железнодорожный состав из 9 вагонов так, чтобы 2-й и 4-й вагоны шли через один? 6.1.50. Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, ис- пользуя 5 первых букв русского алфавита? 6.1.51. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2-х женщин. Сколькими способами это можно сделать? 6.1.52. Сколькими способами можно распределить 36 игральных карт поровну между четырьмя игроками? 6.1.53. Сколько различных комбинаций из 6 карт содержат 3 дамы, 2 короля и 1 туз? 6.1.54. Из группы в 12 человек надо выбрать 2 человека для выпол- нения одной работы и 3 — для другой. Сколькими способами это можно сделать? 6.1.55. Сколько чисел, больших 100, можно записать с помощью цифр 0, 1, 3, 5, б (без повторений)? 6.1.56. В футбольной команде имеется 13 полевых игроков и 2 вра- таря. Сколькими способами можно выбрать играющий состав, состоящий из 10 игроков и 1-го вратаря? 6.1.57. Сколькими способами можно распределить б билетов в театр по трем группам первокурсников? 6.1.58. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматиче- ски отпирается, если в определенной последовательности на- жать 4 кнопки из имеющихся 12. Некто, не зная кода, стал наудачу набирать различные комбинации из 4-х цифр. Какое 279
наибольшее число попыток ему надо осуществить, чтобы дверь открылась? 6.1.59. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими спосо- бами можно приобрести в ней: а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных? 6.1.60. 12 человек прибыли в гостиницу, в которой есть один четырех- местный, два трехместных и один двухместный номера. Сколь- ко существует способов их размещения? Контрольные вопросы и более сложные задания 6.1.61. Сколькими способами можно переставить буквы слова ЗОЛО- ТО так, чтобы буквы О не стояли подряд? 6.1.62. На предприятии имеется 3 вакансии для мужчин, 2 — для жен- щин и 4 вакансии, которые могут быть заняты как мужчинами, так и женщинами. Сколькими способами могут выбрать место работы трое мужчин и две женщины? 6.1.63. Сколькими способами можно разбить на две группы 6 мальчи- ков? На две группы по 3 мальчика в каждой? 6.1>64. В четырехзначном числе пропущены (не видны) две цифры. Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры? 6.1.65. Сколькими возможными способами 3 незнакомых человека мо- гут разместиться в 8 вагонах электрички? 6.1.66. В азбуке Морзе используются два знака: точка и тире. Каждый символ (напримеру буква) кодируется определенной последова- тельностью этих знаков (например, Е = •, А = • —, Э = • • — ••)• Какое число разных символов можно закодировать не более чем четырьмя знаками азбуки? 6.1.67. Две команды, в каждой из которых по 5 спортсменов, стро- ятся в одну шеренгу. Сколькими способами можно построить шеренгу, чтобы игроки одной команды не стояли рядом? 6.1.68. 20 студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было сде- лано рукопожатий? 6.1.69. Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъ- езжающей группы, если 3 руководителя лаборатории (заведу- ющий, его заместитель и главный инженер) одновременно уез- жать не должны? 6.1.70. Сколько прямых линий можно провести через 7 точек, из ко- торых лишь 3 лежат на одной прямой? 6.1.71. Группа туристов в количестве 9 человек намеревается пойти в поход в ближайшее воскресенье. Сколько существует вари- 280
антов прихода (некоторые могут не явиться) этих туристов к месту отправления? 6.1.72. 7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются в три па- кета по 5 фруктов в каждом. Сколькими способами это можно сделать? 6.1.73. В шахматной встрече двух команд по 6 человек участники пар- тий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьев- кой. Каково число различных исходов жеребьевки? 6.1.74. Сколько чисел меньших, чем 1000000, можно написать с помо- щью цифр 8 и 9. §2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или не произойти. События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского ал- фавита А, В, С,.... Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в ре- зультате данного опыта; достоверное событие обозначается через Q. Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта; невозможное событие обозначается через 0. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными. События Ai, А2,..., Ап называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны. События Ai,A2, ... ,Ап образуют полную группу, если они попарно несо- вместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие (т. е. все события имеют равные «шансы»). Суммой событий А и В называется событие С = А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (т. е. или А, или В, или оба вместе). Произведением событий А и В называется событие С = А В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В (т. е. и А и В вместе). Разностью событий А и В называется событием С = А—В, которое проис- ходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В. 281
Событие А влечет событие В (или: А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует наступление события В; записы- вают это так: А С В. Если А С В и В С А, то события А и В называются равными] обозначается это следующим образом: А = В. Противоположным событию А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом. Множество Q = {си} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространств ом элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы си — элементарными событиями (или «элементами», «точками»). Случайным событием (или просто событием) называется любое подмно- жество множества Q, если оно конечно или счетно. Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Q, на- зываются благоприятствующими событию А. Множество Q называется достоверным событием] ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произой- дет. Пустое множество 0 называется невозможным событием] в результате опыта оно произойти не может. Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над множествами, точнее — подмножествами пространства Q. Сумма (или объединение) двух событий А С Q и В С Q (обозначается А+В или A U В) — это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из событий А и В. Произведение (или пересечение) двух событий А С Q и В С Q (обознача- ется А • В или А Г) В) — это множество, которое состоит из элементов, общих для событий А и В. Разность событий А С Q и В С Q (обозначается А — В или А \ В,) — это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят в В. «= Противоположным событию А С Q называется событие А = Q \ А; мно- жество А называют также дополнением множества А. Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый элемент события А содержится в В; обозначается А С В. 282
По определению 0 С А для любого А. События А и В называются несовместными, если их произведение (пере- сечение) есть невозможное событие, т. е. А • В = 0. Несколько событий Ai, А2,..., Ап образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события попарно не совместны, т. е. J2 А = П и А$ • Aj = 0 (г j). г=1 Полную группу, в частности, образуют события А и А (А+А = Q, А-А = 0). Операции над событиями (множествами) обладают следующими свойст- вами: 1. А -|- В = В + А, А В = В А (переместительное); 2. (А+В)-С = А-С+В-С, А В + С = (A-I-C')-(B-I-C') (распределительное); 3. (А + В) + С = А + (В + С), (А • В) • С = А • (В • С) (сочетательное); 4. А +А = А, А А = А; 5. А + Q — Q, А • Q — А; 6. A + A = Q, А -А = 0; 7. 0 = Q, Q = 0, А = А; 8. А - В = А • В; ___ _ _ 9. А + В = АВиА-В = А + В (законы де Моргана). 6.2.1. В урне находится 12 пронумерованных шаров. Опыт состоит в извлечении одного шара из урны. Требуется: 1) составить пространство элементарных событий для данного опыта; 2) указать элементарные события (исходы), благоприятству- ющие событиям: А = {появление шара с нечетным номером}, В = {появление шара с четным номером}, С = {появление ша- ра с номером большим, чем 3}, D = {появление шара с номером меньшим, чем 7}; 3) пояснить, что означают события В, С; 4) указать, какие из пар событий А, В, С, D совместны, а какие нет; 5) указать, какие из этих пар событий образуют полную груп- пу, а какие нет; 6) привести примеры невозможного и достоверного событий; 7) привести пример другого пространства элементарных собы- тий в данном опыте. Q 1) Пространство элементарных событий можно записать в виде П = = {си$}, где uji — появление шара с номером г, где i = 1,2,..., 12. Появле- ние г-го шара можно обозначить и так: Ш$, и т.д. Поэтому можно записать: П = {Ш1, Ш2, . . . , Ш12} = {cui, CJ2, • • -5^12} = {cdnii,CJin2, • • • ,^Ш12}- 283
2) Рассмотрим события А, В, С и D как подмножества пространст- ва П. Элементарные события, входящие в эти подмножества и являются благоприятствующими указанным событиям: А = {cui, cu3, CU5, CU7, gu9, cuii}, В = {й?2? ^4, ^6? ^8» ^10, tJi2}, С = {о?4, CJ5, . . . , CJ12}, D = {tUl, CU2, ^3, . . . , Сс>б}’ 3) Событие В означает, что событие В не происходит, т. е. В = {cdl, CU3, . . . , Сиц }, откуда ясно, что В = А. Событие С является противоположным событию С, поэтому С = = {сл,си2,^з}« 4) События А и В несовместны; события А и С, так же, как А и D, В и С и другие — совместны. 5) События Ап В образуют полную группу; в результате опыта про- изойдет только одно из них: или А или В. Другие пары событий (А и С, В и Р и т.д.) не образуют полную группу. Так, появление шара с номером 3 означает наступление двух событий: и А и В. 6) Событие Bi = {появление шара с номером 13} — является не- возможным событием, а событие В2 = {появление шара с номером п 12} — достоверное, т.е. Е2 = П. 7) Если в данном опыте нас интересует лишь то, что извлеченный шар имеет четный или нечетный номер, то можно считать П = {cji, с^}, где о?1 — появление шара с нечетным номером, о?2 — с четным. Другим возможным пространством для описания данного опыта мо- жет быть такое П = {сл, о>2, <^з, CJ4}, где a>i — появление шара с номером от 1 до 9 включительно, си2,^з,о?4 — появление шара с номером 10, 11,12 соответственно. Примером неправильно выбранного пространства может служить П = {о?1,сиг}, где cji — появление шара с номером меньшим, чем 10, a CJ2 — большем, чем 6. События cji и 012 не являются элемен- тарными, так как в результате опыта эти исходы могут наступить одно- временно. • 6.2.2. Указать пространства элементарных событий для следующих опытов (испытаний): а) подбрасывание двух игральных костей; б) стрельба по мишени до первого попадания; в) наблюдение за временем безотказной работы прибора. Q а) Согласно правилу умножения (см. § 1 настоящей главы) число исходов в данном опыте равно 6 • 6 = 36. Изобразим пространство эле- ментарных исходов (событий) в виде матрицы С^21 О?12 О?13 CU22 ^23 ^16^ ^26 \а?б1 ^62 ^63 • • • ^66 / где Wij означает, что на первой игральной кости выпало i очков, а на второй j (i,j = 1,6). 284
б) В данном случае пространство П теоретически бесконечно, но счет- но. Обозначая знаком «+» попадание в цель при соответствующем вы- стреле, а знаком «—» — промах, получим такое пространство элемен- тарных событий: Q = {+, —н,----н,-------н,--------н,...}. Здесь, например, событие-------h означает, что первые три выстрела были промахами, а на четвертый произошло попадание. Можно записать ПЭС и так: Q = {1,01,001,0001,...}, где 1 означает попадание в цель, 0 — промах. в) Здесь также исходов опыта (наблюдения) бесконечно много, при этом множество П несчетное: Q = {t: 0^£<оо}, где t — время безот- казной работы прибора. Понятно, что в качестве результата наблюдения может появиться любое число t 0. • 6.2.3. Игральная кость бросается 1 раз. Описать пространство эле- ментарных событий, указать элементарные события, благопри- ятствующие событиям: Ai — выпало четное число очков; А2 — выпало не менее 4 очков; Аз — выпало более 6 очков. 6.2.4. Построить пространство П для следующих испытаний: а) проводится одна игра в шахматы; б) трижды подбрасывается монета; в) подсчитывается число студентов группы, сдавших экзамены по теории вероятностей. 6.2.5. Какие из следующих пар событий являются несовместными, совместными: a) Ai = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, А? = {на кухне}; б) A3 = {попадание при одном выстреле}, А4 = {промах}; в) А5 = {выпадение герба при бросании монеты}, Ав = {выпа- дение решки}; г) А7 = {хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, А% = = {два попадания}? 6.2.6. Образуют ли полную группу следующие события: а) А3 и А4 из задачи 6.2.5; б) А7 и Ав из задачи 6.2.5; в) Bq = {ни одного попадания при трех выстрелах по мишени}, Bi = {одно попадание}, В? = {два попадания}, Вз = {три по- падания}; г) Ci = {покупатель купит товар хотя бы в одном из трех ма- газинов}, С2 = {не купит ни в одном магазине}? 6.2.7. Каждый из двух стрелков производит по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А = {первый стрелок попал в цель}, 285
событие В = {второй стрелок попал в цель}. Что означают события: а) А + В; б) А • В; в) А • В? Q Составим пространство элементарных событий данного опыта: Q = = {cuoo5tJio,cuoi,cun}, где cjqo означает: первый стрелок промахнулся и; второй промахнулся; а?ю — первый попал, второй промахнулся и т.д/ Тогда А = {(1-й стрелок попал, 2-й не попал) или (1-й стрелок попал, 2-й тоже попал)} = {ацо,и>ц}, В = {а>о1,^п}- а) Событие А + В состоит в том, что хотя бы один стрелок попал в цель. Событие (множество) А + В состоит из элементарных исходов, каждый из которых входит или в множество А, или в множество В, или в оба эти множества, т.е. А + В = {а/ю,cuoi,}• б) Событие А • В состоит в том, что оба стрелка попали в цель. Оно состоит из элементарных событий, каждое из которых входит и в мно- жество А, и в множество В. Следовательно, А • В = {о?ц}. в) Событие А • В состоит в том, что первый стрелок попал в цель, а второй — нет. Оно состоит из тех элементарных событий, каждое из которых входит и в множество А, и в множество В = {cjOo?^io}? т.е; А • В = {о?ю}- Ь 6.2.8. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие А^ = {первый студент решил задачу}, А% = {второй студент решил задачу}, Аз = {третий студент решил задачу}. Выразить через события Ai (г = 1,2,3) следу- ющие события: 1) А = {все студенты решили задачу}; 2) В = {задачу решил только первый студент}; 3) С = {задачу решил хотя бы один студент}; 4) D = {задачу решил только один студент}. Q 1) Осуществление события А означает, что произошли события Ai, А2 и A3 одновременно, т.е. имеем произведение событий: А = Ai • А2 • A3. 2) В этом случае событие Ai произошло, а события А2 и А3 не про- изошли, т. е. произошли события А2 и A3. Следовательно, В = Ai • А2 • A3. 3) Событие С означает, что произошло или событие Ai, или событие А2, или событие A3, или любые два из них, или все вместе, т.е. имеем сумму событий: С = Ai + А2 + A3. 4) Задачу решит только первый студент (Ai • А2 • A3), или только второй студент (Ai • А2 • A3), или только третий студент (Ai • А2 • A3), т. е. имеем сумму событий D = Ai • А2 • A3 + Ai • А2 • A3 + Ai • А2 • A3. • 6.2.9. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, вы- бирается один цветок. Пусть события А = {выбрана красная роза}, В = {выбранажелтая роза}, С = {выбрана белая роза}. Что означают события: 286
а) А; б) A + B; в) AC; _ г) A + B; д) A + B; e) AB + C? 6.2.10. В задаче 6.2.8 найти выражения для следующих событий: а) Е = {с задачей не справился ни один из студентов}; б) F = {задачу решило не более двух студентов}. 6.2.11. В задаче 6.2.1 выяснить, что означают следующие события: а) А + В; б) A D; в) С — D; г) А • В - С; д) AD; е) А • В. 6.2.12. Пусть А, В, С — три произвольных события. Выразить через А, В, С и их отрицания следующие события: а) произошло только событие С; б) произошли все три события; в) произошло по крайней мере одно из этих событий; г) произошло по крайней мере два события; д) произошло только два события; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий. 6.2.13. Событие С влечет событие D. Что представляют собой собы- тия: a) CiD, б) C D, в) С — D, г) В • С? 6.2.14. Пусть событие А = {экзамен сдан}, а событие В = {экзамен сдан на отлично}. В чем состоят события: а) А - В; б) ~А^В; в) А - В? 6.2.15. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на ри- сунке 59. Событие Ai = {элемент с номером i вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {схема вышла из строя (разрыв цепи)}. Выразить события В и В через события А$. Рис. 59 Рис. 60 6.2.16. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на ри- сунке 60. Событие Ai = {элемент с номером i вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить события В и В через события А$. 287
6.2.17. Упростить выражение А 4- А • В. Q A + AB = AQ4-AB = A(Q4-B) = А(В + Q) = А • Q = А, т.е.' А 4- АВ = А. Использованы свойства 5, 2, 1 операций над событиями. * 6.2.18. Пусть А, В и С — случайные события. Доказать, что А(В-С) = А В-А С. Q Пусть произвольный исход (элементарное событие) опыта си Е € А(В — С). Тогда си € А и си € (В - С), т.е. си € А, си € В, но си С. Следовательно, со € АВ и со £ АС, т. е. со € АВ — АС. Таким образом, любой исход события А (В — С) является исходом события АВ — АС, т. е. А(В —С) С АВ—АС. Аналогично доказывается, что АВ—АС С А(В—С). Отсюда следует А(В — С) = А В — А С (события А(В — С) и АВ — АС состоят из одних и тех же элементарных событий си). • 6.2.19. Доказать, что А 4-В = А4- АВ, где А и В — случайные события. Привести геометрическую интерпретацию событий. Q Используя свойства операций над событиями, получаем: A4-B = AQ + BQ = AQ4- В(А + А) = АП4-ВА + ВА = = A(fi4-B)4-AB = AQ4-AB = A4-AB. Изображая пространство П прямоугольником, элементарные собы- тия (исходы) — точками этого прямоугольника, а события — его под- множествами (такая интерпретация множеств носит название диаграмм Эйлера-Венна), получим рисунки, изображенные на рис. 61. А + В = А + АВ Рис. 61 6.2.20. Упростить выражение (А 4- В) • (А 4- В) • (А 4- В). 6.2.21. Доказать, что события А, АВ, А 4- В образуют полную группу. 6.2.22. Упростить выражения: а) А(В — ABY_____ б) АВ 4- АС 4- ВС 4- В; в) А 4" АВ 4- А 4- В. 6.2.23. Доказать справедливость законов де Моргана: а) АТВ = А • В; б) АВ = А 4- В. 6.2.24. Упростить выражения: АВ, А 4- В, А 4- В 4- С, если известно, что А С В. 288
6.2.25. Установить, какие из следующих соотношений правильны: а) А + В = А + В; б) А + В + С = АВС; в) (А + В) - С = А + (В - С). 6.2.26. Совместны ли события А и А + В? 6.2.27. Справедливы ли и в каком случае равенства а) А • В = А; б) А + В = А? Дополнительные задания 6.2.28. Построить пространство П для следующих испытаний: а) монета бросается до первого появления герба или до тех пор, пока решка выпадет три раза подряд; б) подбрасывается игральная кость, а затем монета. 6.2.29. В урне находится 10 одинаковых шаров, занумерованных чи- слами 0,1,2,..., 9. Из нее извлекаются по одному 4 шара. По- сле каждого извлечения вынутый шар возвращается обратно. Описать пространство П для этого эксперимента и найти число его элементов. 6.2.30. Из четырех карточек с номерами 1, 2, 3, 4 последовательно наудачу выбирают две. Составить пространство элементарных событий для этого опыта, если его элементами служат: а) двузначные числа, образованные извлеченными карточ- ками; б) суммы номеров, извлеченных карточек. 6.2.31. Назвать противоположные события для следующих событий: а) А = {выигрыш 1-го игрока в шахматной партии}; б) В = {произошло хотя бы одно попадание при десяти вы- стрелах}; в) С = {произошло три попадания при трех выстрелах}; г) D = {произошло не более двух попаданий при пяти выстре- лах}; д) Е = {в семейной паре муж старше жены}. 6.2.32. Упростить выражения: а) (X + У)У + Х(ХУ); б) (X - ZX) + (У - ZY) + Z. 6.2.33. Доказать тождество: а) А - В = А • В; _ б) А - В = А - АВ; в) А + В = А • В + АВ + АВ. 6.2.34. Показать, что: а) АВ = А => А С В; б) АС В => А + В = В, АВ = А. 6.2.35. Упростить выражение: а) (А + В) • (А 4- В) • (А + В) • (А + В); б) А • В; в) (А 4- В)(В 4- С)(С 4- А). Ю Сборник задач по высшей математике. 2 курс 289
6.2.36. Доказать, что: а) АВ+ В = В — А; __________ б) В = А, если АВ = 0иАВ = 0. 6.2.37. Электрическая цепь с выключателями составлена по схеме, приведенной на рисунке 62. Пусть событие Ai = {включен вы- ключатель с номером i }, i = 1,2,..., 5. а) Для схемы рис. 62 а записать через Ai событие А = {ток идет}; б) для схемы рис. 62 б записать через Ai события А и А. Рис. 62 6.2.38. Пусть А, В, С — случайные события, причем А и В несовмест- ны. Показать, что события АС и ВС также несовместны. Контрольные вопросы и более сложные задачи 6.2.39. Из колоды игральных карт (всего их 36) извлекают одну. Со- ставить не менее двух пространств элементарных событий для данного опыта. 6.2.40. Сколько событий можно составить для пространства П = {(Ji, Ш2, сиз}? 6.2.41. Подбрасываются 3 монеты. Сколько имеется равновозможных исходов данного опыта? Составить события, образующие пол- ную группу. Привести примеры событий, не образующих пол- ную группу. Указать подмножества множества Q, соответству- ющие событиям: А — выпало не более одной решки; В — вы- пало ровно два герба. 6.2.42. Известно, что события Ai и Л2 произошли, а событие Л3 не произошло. Произошли ли события: а) А± • А% + А3; б) Ai + Л2Л3; в) Ai • Л2 • А3 ? 6.2.43. Каков смысл равенств: а) А • В • С = А; б) А + В + С = А? 290
6.2.44. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 63. Пусть события Ai, i = 1,2,3,4,5, состоят в том, что одноименные элементы работают безотказно в течение време- ни Т. Событие В = {схема работает безотказно в течение вре- мени Т}. Выразить события В и В через события Ai. Рис. 63 Рис. 64 6.2.45. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 64. Событие Ai — элемент под номером г выходит из строя, г = 1,2,3,4,5. Событие В — разрыв цепи. Выразить событие В через события Ai. 6.2.46. Доказать, что А • В + С = (А + С) • (В'+ С), где А, В, С — случайные события. 6.2.47. Найти случайное событие X из равенства: а) А • X = А + X- б) А + Х + А + Х = С. 6.2.48. Справедливы ли следующие равенства: а) А + А = А; б) А • А = А; в) А + В = А • В? 6.2.49. При каком условии справедливо равенство (А + В) — В = А? 6.2.50. Доказать, что (А -I- В) — В = А — В. 6.2.51. Показать, что если В С А, то (А — В) + В = А. 6.2.52. Доказать, что А — В = 0оАСВ. §3. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Классическое определение вероятности Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте. Пусть производится опыт с п равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементар- ными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятству- ющим) ему. 291
Вероятностью события А называется отношение числа т случаев, благо- приятствующих этому событию, к общему числу п случаев. Р(А) = ^. Такое определение вероятности называется классическим. Из классического определения следуют свойства вероятности: 0 Р(А) 1; Р(0) = 0; Р(П) = 1; Р(А) = 1 - Р(А); Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А В = 0. Геометрическое определение вероятности Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бес- конечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие «гео- метрической вероятности». К этому понятию приводят задачи на подсчет ве- роятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.). Пусть пространство элементарных событий Q представляет собой неко- торую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А, содержащиеся в Q. Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из обла- сти Q, называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле где S(A) и S(Q) площади областей А и Q соответственно. Случай, когда Q представляет собой отрезок или трехмерную область, рас- сматривается аналогично. Аксиоматическое определение вероятности Пусть Q — множество всех возможных исходов некоторого опыта (экспери- мента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому со- бытию А (А — подмножество множества Q) ставится в соответствии некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причем так, что выполня- ются следующие три условия (аксиомы вероятностей): Р(А) 0; P(Q) = 1; аксиома сложения: Р \ k / k (3.1) (3.2) (3.3) если Ai-Aj = 0 (г j), т. е. вероятность суммы попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. 292
Из аксиом (3.1)-(3.3) вытекают основные свойства вероятности: 1. Р(0) = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю. 2. Р(А) 4- Р(А) = 1. 3. О Р(А) 1 для любого события А. 4. Р(А) Р(В), если А С В. 5. Р(А) = 1» если Ai = Q и Ai • Aj = 0^ i j. i=l i=l Если множество Q состоит из п равновозможных элементарных событий, (т.е. Р(ап) = Р(сиг) = ... = P(cun) = ^), то вероятность события А определя- ется по формуле классического определения вероятности Р(А) = %, где т — число случаев (элементов) ал, принадлежащих множеству А (число благоприятствующих событию А исходов), п — число элементов множества Q (число всех исходов опыта). 6.3.1. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом. 1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый. 2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный. О 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде П = {Bi, Б2, 63, Б4, Б5,4i, Ч2, Ч3, Ч4, }. Пусть событие А = {появление белого шара}, тогда А = {61,62,63,64,65}. Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классиче- скому определению вероятности Р(А) = ^ = |. 2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (6i,4i), (62,63), (63,62), (44,65) и т.д. Число всех случаев равно п = Ад = = 9 • 8 = 72. а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {по- явление двух белых шаров}, являются (Bi, 62), (61,63), (63,65), (63,61) и т.д. Число таких случаев равно т = А? = 5 • 4 = 20. Поэтому Р(В) = _ т _ 20 _ 5 п ~ 72 ” 18’ б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {по- явление хотя бы одного черного шара}, являются (Bi,4i), (Б1,Ч2), (Bi,Ч3), (Ч3,Б1), (41,Ч2), (Чз,Ч4) и т.д. Число таких случаев равно m = Ад — Al = 72 — 20 = 52 (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара (см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров ГН -I о будет черным. Отсюда Р(С) = 72 = 18’ ^тот же РезУльтат можно полу- чить иначе, т.к. С = В, то Р(С) = Р(В) = 1 - Р(Р) = 1 - • 293
6.3.2. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш. Q Сначала заметим, что число способов выбрать 3 карандаша из 12 имеющихся в наличии равно п = Cf2 = 220. а) Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно Cf способами; 3 красных из имеющихся 4 можно выбрать Cf способами; 3 зеленых из 3 зеленых — (?з способами. По правилу сложения общее число т случаев, благоприятствующих событию А = {три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета}, равно т = С35 + Cl + Cl = 15. Отсюда Р(А) = = Д. б) Пусть событие В = {три вынутых карандаша разных цветов}. Чи- сло т исходов, благоприятствующих наступлению события В, по прави- лу умножения равно т = • Cl • = 5 • 4 • 3 = 60. Поэтому Р(А) = _ т _ 60 _ п 220 11* в) Пусть событие С = {из трех выбранных карандашей 2 синих и 1 зеленый}. Выбрать 2 синих карандаша из имеющихся 5 синих можно Cj способами, а 1 зеленый из имеющихся 3 зеленых — способами. Отсюда по правилу умножения имеем: т = Cf • = 30. Поэтому Р(С) = = = 30 = _3_ е 220 22’ 6.3.3. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти веро- ятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбира- ются три карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой вы- бираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления. Q а) Из шести данных букв можно составить п = = 120 трехбу- квенных «слов» (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ, МИЛ и т. д.). Слово ЛОМ при этом появится лишь один раз, т. е. т = 1. Поэтому вероятность появле- ния слова ЛОМ (событие Л) равна Р(Л) = ^ = б) Шестибуквенные «слова» отличаются друг от друга лишь поряд- ком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т.д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, т. е. п = Pq = 6!. Очевидно, что т = 1. Тогда вероятность появления слова МОЛНИЯ (событие В) равна Р(В) “ "п = б! = 720’ ® 6.3.4. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит 7; б) на обеих костях выпадет одинаковое число очков; 294
в) произведение выпавших очков делится на 4; г) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков. 6.3.5. Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что, случайно набирая цифры, можно угадать нужный код? 6.3.6. Из букв А, С, Н, Н, А, А разрезной азбуки составляется нау- дачу слово, состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что поручится слово «АНАНАС»? 6.3.7. Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жре- бию. Какова вероятность того, что два из них, а именно А и В, будут сидеть рядом? 6.3.8. Двое друзей, А и В, стоят в очереди из 8 человек. Найти веро- ятность того, что: а) А и В стоят рядом; б) между А и В стоят два человека. 6.3.9. На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой? 6.3.10. Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность событий: А = {все извлеченные карты пиковой масти}, В = {среди этих четырех карт окажется хотя бы один король}? 6.3.11. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад вы- бранных вопросов студент знает: а) 3 вопроса; б) 2 вопроса; в) 1 вопрос. 6.3.12. Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрич- ки. Какова вероятность того, что все они: а) зайдут в один вагон; б) зайдут в вагон № 3; в) разместятся в разных вагонах? 6.3.13. 12 человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в го- стинице, в которой есть один 4-местный, два 3-местных и один 2-местный номер. Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в 2-местный номер? 6.3.14. На отрезок АВ длины а наудачу нанесена точка С. Найти веро- ятность того, что меньший из отрезков АС и СВ имеет длину, большую, чем Q Расположим отрезок АВ на числовой оси Ох так, как это изображено на рисунке 65. Пусть х — координата случайной точки С. Тогда пространство Q элементарных событий можно записать в виде Q = {ж : 0 х а}. Яс- но, что исходов опыта (нанесение точки С на отрезок АВ) бесчисленное множество и все они равновозможны. 295
А М С 0 « 6 6Q N В -И---1- а 6Q X Рис. 65 Разобьем отрезок АВ на 6 равных отрезков. Очевидно, что условие «меньший из отрезков АС и СВ имеет длину, большую, чем (событие А) будет выполнено, если точка С попадет на отрезок MN = . [^, ^]- Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события А (на рисунке 65 она заштрихована), является отрезок MN, а множеству всех исходов опыта соответствует отрезок АВ. Отсюда 4а Р(Д\ — MN _ _6_ _ 2 ф 1 } АВ а 3' w 6.3.15. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно из- бежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут? Q Обозначим через х момент времени, когда начинается выход на опас- ный участок шоссе, а через у — момент времени начала обстрела этого участка шоссе. Ясно, что 0 х 60, 0 у 60. Будем рассматривать х и у как декартовы координаты на плоскости. Тогда элементарные исходы в данном опыте (он состоит в фиксации вре- мени начала действий обеих сторон), изобразятся точками (ж, у) квадрата со стороной Т = 60, т. е. П = {(ж, у) : 0 х 60, 0 у 60}. Интересующее нас событие А = {удастся избежать налета} наступит тогда и только тогда, когда налет начнется спустя пять (или больше) ми- нут после выхода на опасный участок либо начнется за десять (и более) минут до начала преодоления участка шоссе, т. е. должно выполняться одно из условий Эти неравенства определяют благоприятствующую событию А область Л, заштрихованную на рисунке 66. Площадь области D равна S(D) = • 50 • 50 + • 55 • 55 = 2762,5; площадь квадрата П равна S(Q) = 60 • 60 = 3600. Тогда искомая вероятность равна > S(fi) 3600 288 ’ 296
Рис. 67 Рис. 66 6.3.16. Какова вероятность того, что корни уравнения х2 +рх + q = О будут действительными, если коэффициенты р и q уравнения выбираются наудачу из отрезка [0,1]? Q Будем рассматривать множество всех возможных пар чисел (р, q) как координаты точек единичного квадрата с вершинами (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) (см. рис. 67). Поэтому Q = {(р, q) : 0 < р < 1, 0 < q < 1}. Корни уравнения действительны, если выполняется неравенство р2 — 4q 0, т. е. q ^р2. Отсюда ясно, что множество точек квадрата, благоприятствующих событию А = {корни уравнения действительны}, есть область D (на рисунке 67 область D заштрихована): D = {(р,<?) : q |р2, 00^1, 0 q 1} . Искомая вероятность равна ™ = ад = 111 = £|‘= X • 1 ' S(fi) 1 I2I0 12' 6.3.17. В некоторой точке С линии АВ длины L произошел разрыв. Какова вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние не меньше 17 6.3.18. В круг радиуса г наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг пра- вильного треугольника? 6.3.19. На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = = 6 см, случайно падает монета радиуса г = 2 см. Найти веро- ятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата. 6.3.20. На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х2 Зр < Зх. 6.3.21. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и 297
равновозможно в любой промежуток времени длительностью 3 часа. Сигнализатор срабатывает, если интервал между мо- ментами поступления сигналов менее 0,15 ч. Найти вероят- ность того, что сигнализатор сработает в течение 3 часов, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу. 6.3.22. Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность того, что корабль благополучно прой- дет через заграждение? 6.3.23. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная на- удачу внутри шара точка окажется внутри куба. 6.3.24. Опираясь на аксиомы теории вероятностей, доказать следую- щие утверждения: а) Р(0) = 0; б) Р(А) = 1 - Р(А). Q а) Так как 0 + Q = Q, то Р(0 + Q) = Р(П). По аксиоме (3.3): Р(0 + П) = P(0) + P(Q), т. к. 0 • Q = 0. Итак, Р(0) + Р(П) = Р(П), откуда Р(0) = 0. б) Так как А + Л = ПиА-А = 0, то по аксиомам (3.2)-(3.3): Р(А + А) = Р(А) + Р(А) = Р(П) = 1. Отсюда Р(А) = 1 — Р(А). • 6.3.25. Доказать, что Р(А + В) = Р(А) -I- Р(В) — Р(АВ). Q Так как А+В = А+(В — А) и В = (В—А)+АВ, причем А (В—А) = 0 и (В - А) - АВ = 0, то по аксиоме сложения (3.3) находим: Р(А + В) = = Р(А) + Р(В - А) и Р(В) = Р(В - А) + Р(АВ), откуда Р(В - А) = = Р(В) - Р(АВ). Следовательно, Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). • 6.3.26. Доказать, что для любых событий А и В выполнено неравен- ство Р(А + В) Р(А) + Р(В). 6.3.27. Доказать, что для любых событий А, В и С Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)- - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС). 6.3.28. Пусть Р(А) = Р(В) = Доказать, что Р(АВ) = Р(А • В). 6.3.29. Доказать, что если A D В, то Р(А — В) = Р(А) — Р(В). Дополнительные задания 6.3.30. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероят- ностью не меньше 0,6 хотя бы один раз выпало 6 очков? 6.3.31. Из последовательности чисел 1,2,3,4,..., 600 наудачу выбира- ются два числа. Какова вероятность того, что одно из них мень- ше 126, а другое больше 126? 298
6.3.32. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши выпали на 20 билетов. Некто приобрел 5 билетов. Найти вероятности сле- дующих событий: а) выигрыш выпадет на все 5 билетов; б) выигрыш выпадет хотя бы на 1 билет; в) выигрыш выпадет на 2 билета. 6.3.33. Восемь шахматистов, среди которых три гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две команды по 4 человека. Какова ве- роятность того, что два гроссмейстера попадут в одну команду, а еще один — в другую? 6.3.34. В ящике 20 деталей, 4 из них — нестандартные. Какова вероят- ность того, что среди 6 наугад взятых деталей нестандартных не окажется? 6.3.35. Железнодорожный состав из 9 вагонов и вагона-ресторана фор- мируется произвольным образом. Какова вероятность того, что: а) вагон № 7 и вагон-ресторан расположены рядом; б) между вагоном № 7 и вагоном-рестораном окажется 5 ваго- нов? 6.3.36. Две однотипные радиостанции имеют 8 фиксированных одина- ковых частот. Какова вероятность того, что при независимом и произвольном выборе частот они окажутся настроенными на: а) одну частоту; б) разные частоты? 6.3.37. Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы роди- лись: а) в разные дни года (в году 365 дней); б) в один день года; в) 8 марта; г) в разные месяцы года; д) в сентябре; е) в разные дни сентября. 6.3.38. Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров? 6.3.39. Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото — 6 из 49», купивший один билет, угадает правильно: а) 2 номера; б) 6 номеров. 6.3.40. Какова вероятность того, что произвольно взятое трехзначное число делится на 3? 6.3.41. Натуральные числа от 1 до п расставлены случайно. Найти ве- роятность того, что числа 5, 6, 7 расположены рядом и притом в порядке возрастания. 6.3.42. На 9 одинаковых карточках написаны буквы Е, Е, Р, Р, С, С, Я, Г, И. Эти карточки выкладывают наудачу в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово РЕГРЕССИЯ? 299
6.3.43. В «Словаре русского языка» С. И. Ожегова 900 страниц. Како- ва вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 13? 6.3.44. В группе 10 юношей и 10 девушек. Для дежурства на вечере пу- тем жеребьевки выделяют 5 человек. Какова вероятность того, что в число дежурных войдут: а) 5 юношей; б) 2 юноши и 3 девушки? 6.3.45. В урне 3 белых, 6 черных и 5 синих шаров. Из нее вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся разного цвета? 6.3.46. Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в город С, если в наличие имеется 5 мест в город А, 8 — в город В и 7 — в город С? 6.3.47. 10 яблок, 3 груши и 8 лимонов раскладывают наудачу в три пакета с равным количеством фруктов. Найти вероятности со- бытий: а) в каждом пакете по 1 груше; б) в случайном выбранном пакете нет груш. 6.3.48. Из колоды в 36 карт вынимают наудачу 4 карты. Найти веро- ятности событий: А = {все карты — дамы}, В = {две карты из четырех — шестерки}. Решить задачу для схемы выбора: а) без возвращения; б) с возвращением. 6.3.49. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями? 6.3.50. Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше i? 6.3.51. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19.00 до 20.00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся? 6.3.52. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова ве- роятность того, что их сумма заключена между i и 1? 6.3.53. На паркет, составленный из правильных треугольников со сто- роной а, случайно падает монета радиуса г. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри одного из треуголь- ников. 6.3.54. Стержень длины L ломают на три части, выбирая случайным образом места разлома. Найти вероятность того, что из полу- ченных отрезков можно составить треугольник. 300
6.3.55. Задача-шутка. На дне глубокого сосуда Лежат спокойно п шаров, Поочередно их оттуда Таскают двое дураков. Сие занятье им приятно, Они таскают т минут И, взявши шар, его обратно В сосуд немедленно кладут. Ввиду условия такого Сколь вероятность велика, Что первый был глупей второго, Когда шаров он вынул fc? В.П. Скитович, 1946 г. Контрольные вопросы и более сложные задания 6.3.56. 12 предметов произвольно расставляют по трем комнатам. Ка- кова вероятность того, что в первой комнате окажется 2 пред- мета, во второй — 3, а в третьей — 7? 6.3.57. Из множества чисел {1,2,3,..., п} наудачу выбираются два чи- сла. Какова вероятность того, что второе число больше перво- го, если выбор осуществляется с возвращением? 6.3.58. п шаров произвольно раскладываются по п гнездам. Какова вероятность того, что одно гнездо окажется пустым? 6.3.59. Некто написал на листке четырехзначное число и предложил отгадать его. Какова вероятность угадывания числа с первой попытки? 6.3.60. Бросается 10 монет. Найти вероятность того, что на 4 монетах выпадет герб. 6.3.61. Какова вероятность появления герба не менее одного раза при двукратном бросании монеты? 6.3.62. Числа 1,2,3...,п расставлены в случайном порядке. Какова вероятность того, что числа 4, 5, 6 расположены в порядке воз- растания, но необязательно рядом? 6.3.63. Из 5 видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Найти вероятность того, что все отобранные открытки будут разными. 6.3.64. Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1) нау- дачу выбирается точка М(х,у). Найти вероятность события А = {(ж, у) : х 4- у2 а2, а > 0}. 6.3.65. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Моменты времени прихода обоих пароходов независимы и рав- новозможны в течение данных суток. Найти вероятность того, 301
6.3.66. 6.3.67. 6.3.68. 6.3.69. что одному из пароходов придется ожидать освобождения при- чала, если время стоянки первого парохода — 1 час, а второ- го — 2 часа. Задача Бюффона, Игла длины I бросается на плоскость, раз- графленную параллельными прямыми на полосы шириной L. Все положения центра иглы и все ее направления одинаково вероятны. Найти вероятность того, что игла пересечет какую- нибудь прямую. На окружность радиуса R наудачу поставлены три точки А, В и С. Найти вероятность того, что треугольник АВС — остро- угольный. Какой толщины должна быть монета радиуса R, чтобы веро- ятность падения на ребро была равна |? Расстояние от пункта А до пункта В пешеход проходит за 20 минут, а автобус — за 2 минуты. Интервал движения ав- тобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени от- правляется из А в В. Какова вероятность того, что его в пути догонит автобус? § 4. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Правило умножения вероятностей Пусть А и В — некоторые события, причем Р(В) > 0. Условной вероят- ностью события А при условии В (обозначается Р(А | В)) называется веро- ятностью события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность находится по формуле Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А: Из этих формул следует Теорема 6.3 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведе- ния двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: Р(АВ) = Р(А) • Р(В | А) или Р(АВ) = Р(В) • Р(А | В). Понятие условной вероятности, так же как и правило умножения веро- ятностей естественным образом обобщаются на случай произвольного числа 302
событий. А именно, в случае п событий имеем P(A1-A2-...-A„)=P(Ai)-P(A2 I А1)-Р(Аз | AM2)-...-P(An | AiA2-...-An_i). Независимые события Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, осуществилось или нет событие В. В этом случае условная вероятность события А при условии В равна без- условной вероятности события А, т. е. выполняется равенство Р(А | В) = Р(А). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А. Оба события при этом называются независимыми. Таким образом два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид: Р(АВ) = Р(А) • Р(В). Эта формула часто используется в качестве определения независимых собы- тий. События Ai, А2,..., Ап называются независимыми (или независимыми в совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий. В случае п независимых событий имеем P(Ai • А2 • А3 •... • Ап) = Р(АХ) • Р(А2) •... • Р(АП). События А1,Аг,...,Ап называются попарно-независимыми, если любые два события Ai и Aj (г 0 j) из этого набора независимы. Независимые события Ai, А2,..., Ап являются попарно-независимыми. Об- ратное, вообще говоря, неверно. Вероятность суммы совместных событий Теорема 6.4. Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения, т.е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Для трех событий А, В и С имеем: Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС). 303
В случае трех и большего числа событий для нахождения вероятности суммы S этих событий проще найти вероятность противоположного события S, а затем воспользоваться равенством P(S) = 1 — P(S). 6.4.1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало 2 очка при условии, что сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6. Q Решим задачу двумя способами. 1. Пусть событие А = {на первой кости выпало 2 очка}, событие В = {сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6}. Событие В состоит из 10 элементарных событий: в = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)}. Событие А, определяемое условием В (это значит, что исходы, благопри- ятствующие событию А, отбираются среди исходов, составляющих собы- тие В), состоит из трех элементарных исходов опыта: (2,1), (2,2), (2,3). о Поэтому искомая вероятность равна Р(А | В) = 2. Пространство элементарных событий состоит из 36 элементов: Q = = {(1,1), (1,2),..., (6,6)}. Для вычисления вероятности Р(А | В) вос- Р(АВ} пользуемся формулой Р(А | В) = • ^ак как А = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}, В = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, то АВ = {(2,1), (2,2), (2,3)}. Z? 1Л По классическому определению вероятности Р(Л) = Р(В) = йй, оо оо Р(ЛВ) = Поэтому оо 3 Р(А I В) = = 36 = _3_ ф ( 1 Р(В) 10 10’ 36 6.4.2. Из стандартного набора домино (28 штук) берется наудачу одна кость. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем (т. е. будет иметь вид 1-1, 4-4 и т. д.), если известно, что сумма очков на ной — четное число? 6.4.3. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных ко- стей хотя бы на одной выпадет 5 очков, при условии, что на всех костях выпали грани с нечетным числом очков? с четным числом очков? 6.4.4. Вероятность попадания в цель равна 0,3, а вероятность ее уни- чтожения равна 0,05. Найти вероятность того, что при попада- нии в цель она будет уничтожена. 304
6.4.5. В произвольном порядке выписываются 2 буквы И и 2 буквы С. Найти вероятность того, что обе буквы С стоят рядом, при условии, что последняя по порядку буква есть буква И. 6.4.6. Известно, что события А и В независимы. Доказать, что собы- тия А и В так же независимы. Q По условию, Р(А | В) = Р(А). А так как Р(А | В) 4- Р(А | В) = 1, то Р(А | В) = 1 - Р(А | В) = 1 - Р(А) = Р(А). Итак, Р(А | В) = Р(А), т.е. события А и В — независимы. • 6.4.7. В урне находится 4 шара: красный, синий, черный и трехцвет- ный (красно-сине-черный) шар. Из урны извлекается один шар. Исследовать на независимость события: К = {извлеченный шар имеет красный цвет}, С = {извлеченный шар имеет си- ний цвет}, Ч = {извлеченный шар имеет черный цвет}. Q Множество возможных исходов опыта таково: П = £К;С;Ч; КСЧ}, где буква К означает, что извлечен шар красного цвета, и т. д. Очевидно, что Р(К) = = Р(С) = Р(Ч) = i. Событиям К • С, К • Ч, С • Ч благоприятствует лишь один исход — это шар КСЧ (имеет все 3 цвета). Значит, Р(К • С) = ^ = Р(К) • Р(С), Р(К • Ч) = 1 = 1 • 1 = Р(К) • Р(Ч) и Р(С • Ч) = 1 = Р(С) • Р(Ч). Следовательно, события КиС, КиЧ, СиЧ независимы. Тем не менее, события К, С и Ч не являются независимыми в совокупности. Действи- тельно, Р(К • С • Ч) = 1, а Р(К) • Р(С) • Р(Ч) = 1 | • 1 = т.е. Р(К • С • Ч) / Р(К) • Р(С) • Р(Ч). • 6.4.8. Брошены три игральные кости. Событие А = {на 1-й и 2-й ко- сти выпало одинаковое число очков}, событие В = {на 2-й и 3-й кости выпало одинаковое количество очков}, событие С = {на 1-й и 3-й кости выпало одинаковое количество очков}. Будут ли события А, В и С: а) попарно независимы; б) независимы в совокупности? 6.4.9. Из колоды в 36 карт вытаскивается наудачу одна. Зависимы ли события А = {вытащен валет} и В = {вытащена карта черной масти}? 6.4.10. Доказать, что если события А и В независимы, то события В и А, А и В также независимы. 6.4.11. В урне находится а белых и b черных шаров, причем а > 2 и b > 2. Из нее извлекаются два шара по схеме выбора с воз- вращением. Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, А2 = = {второй шар — белый}. Найти P(Ai), Р(А2), P(Ai * А2), P(Ai | А2) и Р(А2 | Ai). Выяснить: являются ли события Ах и А2 независимыми? совместными? 305
6.4.12. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть вы- борки: а) без возвращения; б) с возвращением. Q Пусть событие Ai = {первый шар — белый}, событие А2 = {второй шар — белый}. Тогда событие А = {оба шара белые} наступит, если осуществится и событие Ai, и событие А2, т.е. А = Ai • А2. а) События Ai и А2 зависимы, т. к. наступление события Ai влияет на вероятность события А2 (шаров в урне останется 6, из них только 3 белых). Поэтому Р(А) = Р(Л • А2) = Р(Ах) • Р(А2 | Ах) = | • | = |. б) Если после первого извлечения шар возвращается в урну, то со- бытия Ai и А2 — независимы, откуда Р(А) = Р(Ах • А2) = Р(А,) • Р(А2) = 1 • 1 • 6.4.13. Задачу 6.3.6 решить другим способом, используя правило умно- жения вероятностей для п событий. Q Рассмотрим следующие события: А = {получится слово АНАНАС}, Ai = {первой, выбранной наудачу буквой, будет буква А}, А2 = {вто- рой — Н}, A3 = {третьей — А}, А4 = {четвертой — Н}, А5 = {пятой — А}, Аб = {шестой — С}. Тогда А = Ai • А2 • А3 • А4 • А5 • А§. Применяя правило умножения вероятностей, имеем Р(А) = P(Ai • А2 • А3 • А4 • А5 • А6) = P(AJ • Р(А2 | Л) • Р(А3 | АМ2)х х Р(А4 | AiА2А3) • Р(А5 | А1А2А3А4) • Р(Аб | А1А2А3А4А5) = _3 2 2 1 1 1_Х е 6 5 4 3 2 1 60' 6.4.14. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются три карты (без воз- врата). Какова вероятность того, что среди них не будет ни одной шестерки? 6.4.15. Среди 100 лотерейных билетов есть 10 выигрышных. Какова вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышн