Текст
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук Б. Ю. Стернин тематики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова В. А. Ильин) и кафедра общей ма-(зав. кафедрой проф. Чудесенко В. Ф. 484 Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты): Учеб, пособие для втузов.— М.: Высш, школа, 1983. — 112 с. 25 к. Пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу высшей математики. Оно содержит типовые расчеты по теории функций комплексного переменного, операционному исчислению, уравнениям математической физики, теории вероятностей и математической статистике. Задачи представлены 31 вариантом. Типовые расчеты содержат также теоретические вопросы, упражнения и справочный материал. 1702000000—160 001(01)—83 57-83 ББК 22.11 514 Валерий Федорович Чудесенко СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ КУРСАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (типовые расчеты) Зав. редакцией Е. С. Гридасова Редактор А. И. Селиверстова Младшие редакторы С. А. Доровских, Н. П. Майкова Художественный редактор В. И. Пономаренко Технический редактор Ю. А. Хорева Корректор Р, К. Косинова ив № 3933 Изд. № ФМ-734. Сдано в набор 01.11.82. Подп. в печать 22.02.83. Формат 60Х901А6. Бум. кн.-журн. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 7 усл. печ. л. 7,25 усЛ. кр.-отт. 7,03 уч.-изд. л. Тираж 60 000 экз. Зак. № 652. Цена 25 коп. Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14 Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский просп., 15. @ Издательство «Высшая школа», 1983 ПРЕДИСЛОВИЕ Активная самостоятельная работа студентов — залог успешного овладения изучаемым курсом. Одной из форм активизации учебного процесса по математике служит система типовых расчетов (ТР). Применение системы ТР рекомендовано действующей программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов, утвержденной Минвузом СССР в 1979 г. Основой системы ТР является индивидуализация заданий. Задачи — расчетные задания, входящие в настоящий сборник, представлены каждая 31 вариантом, что позволяет предложить каждому студенту учебной группы индивидуальное задание. Помимо задач типовые расчеты содержат теоретические вопросы и теоретические упражнения, общие для всех студентов. Расчетные задания сопровождаются ссылками на справочный материал, в котором содержатся необходимые теоретические сведения и примеры решения некоторых задач. Система ТР не исключает традиционных текущих заданий. Поскольку не все разделы спецкурсов отражены в книге в равной мере, важно, чтобы ТР и текущие домашние задания дополняли друг друга. Расчетные задания выполняются частями по мере продвижения в изучении курса. Теоретические вопросы прорабатываются по лекционному материалу и обсуждаются на аудиторных занятиях. Теоретические упражнения и задачи решаются студентами самостоятельно и сдаются на проверку в указанные преподавателем сроки. Решение каждой задачи приводится на отдельном листе стандартного формата. Неверно решенные примеры возвращаются на доработку с указанием характера ошибки. В специальном журнале преподаватель фиксирует сданные на проверку, а также зачтенные задачи и упражнения. Защита ТР осуществляется в письменной форме по специальным билетам в часы занятий. Во время защиты проверяется умение студента правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять решение теоретических упражнений и задач, решать задачи аналогичного типа. Как правило, защита занимает один учебный час. Срок защиты устанавливается учебным графиком. Повторная защита проводится вне сетки расписания в письменной форме или путем собеседования (по усмотрению преподавателя). Промежуток Бремени до повторной защиты не должен превышать одной недели. Каждый из предлагаемых в настоящей книге ТР обеспечивает семестровый спецкурс. В том случае, когда соответствующий раздел излагается в меньшем объеме, ТР подлежит сокращению. Предлагаемые ТР составлены на кафедре высшей математики Московского энергетического института (заведующий кафедрой проф. С. И. Похожаев). Существенный вклад в их разработку принадлежит В. Н. Агееву, И. Ф. Бывшевой, А. П. • Васину, В. В. Жаринову, А. И. Кириллову, Ю. Н. Киселеву, Л. А. Кузнецову, Н. К. Нарышкиной, В. П. Пикулину, Р. Ф. Салихджа-нову, А. Г. Черных. Материалы раздела III подготовил И. М. Петру шко. Автор благодарен коллегам за предоставленные материалы, рецензентам за полезные замечания, С. И. Похожаеву за внимание к работе над сборником и содействие в его подготовке. Книга представляет собой первую попытку обеспечить учебным пособием систему типовых расчетов по специальным курсам высшей математики. Все замечания и советы будут приняты с благодарностью. Автор 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 1Л. Извлечение корня. Корень п-й степени из комплексного числа г имеет л различных значений, которые находятся по формуле пг- пг—~( ф + 2л£ , . . (р4-2л&\ • л 1 1 z = у | z | I cos —--pism--------I, qp=argz, &=0, 1,..., n—1, \ tl tl J 1.2J Элементарные функции комплексного переменного. Значения показательной функции комплексного переменного z = x-\-iy вычисляются по формуле е2 = ех (cos у i sin у}, 0) Показательная функция е2 обладает следующими свойствами: е21е21 е2% где Zi и г2 — любые комплексные числа; е2+2Л/г'' — ег k=o ч-i . т. e. eg r J - r J является периодической функцией с основным периодом 2ш. Тригонометрические функции sin z и cos z выражаются через показательную: ^iz g-iz ^iz _L_ Q—iz sin z =---. cos z =-----------x---. Функции E/=sinz и cos z — периодические с действительным периодом 2л; и имеют только действительные нули г = йл и г = л/2-|-&гс (k = 0t ztl, zt2, •••) соответственно. Функции tgz и ctgz определяются равенствами , sm z tg z=------ s cos z ctgz = cos z sin z * Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе все известные формулы тригонометрии, Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z определяются равенствами Имеют место тождества sh z = — i sin iz, ch z = cos tz. Логарифмическая функция Ln z, где z =/= 0, определяется как функция, обратная показательной, причем £ne=tn |e| + i Argz=!n | z|4-Z (argz+2n^), fc=0, ±1, ±2, ... Значение функции, которое получается при &=(), называется главным значением и обозначается lnz=ln [z |+f argta = LnZj — Ln z2 Логарифмическая функция обладает следующими свойствами: Ln (zxz2) = Ln zx + Ln г2, Ln ( \ Z2 Ln гп = п Ln г + 2nki, k = 0, +1, +2, ..., Ln Ln z. Функции Arc sin г, Arccosz, Arctgz, Arcctgz определяются как обоап'^ые к функциям sin z, cog z, tgz, ctg-2 соответстэенн©. Так, если 2=cosw, ю w называется арккосинусом числа z и обозначается ar= Arccosz. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую: Arcsin г = — i Ln (iz-j-У^ 1 — z2), Arccosz =— £ Ln (z + V^z2 — 1), . , „ i T 1 + iz , , i , z — i Arctg г = — -- Ln -T-L-, Arcctgz=vLn——. 2 i — а л z-\-t Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются геми же символами со строчной букам (arcsin z, arccoez, arctgz, arcctgz); они называются главными значениями. Общая степенная функция w=&, где а—любое комплексное число, определяется соотношением z“=e“Ln2, 2=^0. Эта функция многозначная; значение а“=еаГпг называется главным значением. Общая показательная функция а1=аг, я О переделяется равенством a* = e*Ln“ Главное значение этой функции аг = ег1п,“. 1.3. Кривые на комплексной плоскости. Уравнение вида 2 = z(t) = x(t)-\-itj(t) определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которой имеют вид к=х(О. У=»<& Исключением параметра if из этих уравнений получаем уравнение кривой в виде F (х, р) = 0. 1.4. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия Коши — Римана. Пусть- функция w — f (z)- определена- в некоторой области G комплексного переменного г. Пусть точки г и z-J-Az принадлежат области б Введем обозначения Дш = / (z + Да) — /(z), Дг = Дх-|-£ Ду. Функция w — называется дифференцируемой в вилке гей, если апне шение имеет конечный предел при Дг-*О. Этот предел называется произ- водной функции w = f(2) и обозначается f (z) или -т-)» / (г) = hm . \ <“/ Ла —О AZ Пусть г = х+£р, w = f (г) = и (х, tA + tcfx, у\ тогда в каждой точке дифференцируемости функции f (z) выполняются соотношения ди _ди ди _ ди дх~ ду’ ду~ дх’ называемые условиями Коши — Римана. Обратно, если в некоторой точке (х, у) выполняются условия Коши — Риман । и, кроме того, функции и = и(х, у) и v = v(x,y) дифференцируемы как функии'., двух действительных переменных, то функция f(2) = u-\~iv является дифференцируемой в точке z = x-J-iy как функция комплексного переменного z. Функция w = f(z) называется аналитической в данной точке 2, если oh.i дифференцируема как в самой точке г, так и в некоторой ее окрестности. Функция w = f(z') называется аналитической в области G, если она аналшаичнл в каждой точке 2 е G. Производная аналитической функции вычисляется по формулам и . . ди . . dv dv .ди ди .ди dv , . dv ' дх дх ду ду дх ду ду 1 дх Пользуясь условиями Коши—Римана, можно восстановить аналитическую функцию w—f(z), если известна ее действительная часть и = и(х, у) или мнимая часть v = v(x, у) и, кроме того, задано значение /(z0) функции в некоторой точке z0. Пусть, например, и=^х cosyt f (0) = 1. Определить аналитическую фупх« цию /(г). В силу условий (2) имеем dv ди ду = дх = г со^> (3) ~ = е* sin у. (4) дх ду я ' Интегрируя уравнение (4) по переменной х, находим мнимую часть v = ex smi/ + C(y). (5) Слагаемое С (у) представляет собой постоянную {относительно х) интегрирова< ния Дифференцируя (5) по у и сопоставляя результат с (3), получаем С' (у) = 01 откуда С(у) = С. Таким образом, имеем v == ех sin у + С и f (г) = и -|-iv = е* (cos у -J- i sin у) + С] с учетом формулы (1)— / (z) = ег-}-С. Учтем дополнительное условие / (0) = 1, откуда С = 0; итак, /(?) = ег. 1.5. Интегрирование функций комплексного переменного. Пусть однозначная функция ш = /(г) определена и непрерывна в области G, а Г — кусочно-гладкая кривая, лежащая в G; z = x-{-iy, = гдеи = и(х, у), v=v(x, у) — действительные функции переменных х и у. Вычисление интеграла от функции ау = /(г) комплексного переменного г сводится к вычислению криволинейных! интегралов по координатам: j/(z)dz= Jud* — н dy +1 jydx-J-ud^. г г г Если кривая Г задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(flt а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t = a. и / = $, то р J f (z) dz = j f [z (0] z' (0 di, где z (/) =x (t) -j-iy (t). Г a Ести u> — f (z) — аналитическая функция в односвязиой области G, то интег< рал не зависит от пути интегрирования (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Номпола — Лейбница Zi j / (г) d2-®(zs)-®(Zi)s где О (z)—какая-либо первообразная для функции / (z), т. е, Ф'(г)=/(г) в об пасти G. Ести функция aa = /(z) является аналитической в области G, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром Г, и на самом контуре, то ^/(z)dz.= 0 (теорема Коши) г и для любой внутренней точки zoe G /(z°) = 2^ (j> dz (интегральная формула Коши). г 1.6. Ряд Лорана. Функция к/=/(?), однозначная и аналитическая в кольце р< |,z—z01 < R, разлагается в этом кольце в ряд Лорана f(2)= 2 Ck(2-20)»= 2 Ch(Z-20)»+ J] C*(z —Zo)*, (6) k = —oo Л = ~со k = 0 коэффициенты находятся по формулам с.-Д (£ Дk=0, ±1, ±2, ... (7) , —2ni J (z —z0)ft+1 ' '' Г Здесь Г—произвольная окружность с центром в точке z0, лежащая внутри ваданного кольца. Разложение в ряд Лорана единственно. В формуле (6) ряды 2 Cfe(z-z0)* и 2 ^fe(z-zo)* ‘ fe = —oo k=o называются соответственно главной частью ряда Лорана и правильной частью ряда Лорана. На практике для нахождения коэффициентов С*, если это возможно, используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Для примера разложим в ряд Лорана с центром в точке zo = O функцию /(z) = z3e1^. Функция z’e1^ аналитична в кольце 0<|z|<oo, следовательно, разложима в нем в ряд Лорана. Воспользуемся разложением показательной функции в ряд Тейлора в окрестности точки £о=О; eE=l+?+f^+... + g + ... и положим g=l/z, тогда «2’“*(|+т + я + '-' + як+---) = = z3+z2+ 21 + 31+г4Т +•••+ В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции / (г) по степеням г является рядом Лорана для функции /(z) = z3e1^ в кольце 0< \г | < со. 1.7. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции w=f(z), если f (г) — однозначная и аналитическая функция в круговом кольце 0 < | z —г0 | < б, кроме самой точки г0 Функцию ш=/(г) в окрестности точки г0 можно разложить в ряд Лорана (6), сходящийся в кольце 0<|z—z0|<6. При этом возможны три различных случая, когда ряд Лорана: 1) не содержит членов с отрицательными оо степенями разности z — г0, т. е. /(z) = 2 Ch(z—z0)k, В этом случае z0 назы-fe = O вается' устранимой особой точкой функции a/=/(z); 2) содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности (г—Zo), т, е, / (?) = co = V Ck(z—20)fe, причем C_n=#0. В этом случае z0 называется, цолюсрл» k --^п порядка п функции w=/(z); 3) содержит бесконечное число членов с отрица-00 тельными степенями разности г— г0, т. е. f(z} = С* (z — z0)k. В этом fe =—00 случае г0 называется существенно особой точкой функции а?=/(г). При определении характера изолированной особой точки используются следующие утверждения 1. Для того чтобы точка г0 являлась устранимой особой точкой аналитической функции ш=/(г), необходимо и достаточно существование предела lim /(г) = С0, причем I Со | < оо. г-> 2. Для того чтобы точка г0 являлась полюсом аналитической функций' w=f(z), необходимо и достаточно существование предела lim /(z) = oo. 2-»г0 2'. Для того чтобы точка z0 являлась полюсом порядка п аналитической функции f (г), необходимо и достаточно, чтобы функцию / (?) можно было представить в виде /(z) = <p(z)/(z —г0)га, где <р (z)—функция аналитическая в точке z0, причем ф (z0) Ф 0. 2", Пусть г0 — изолированная особая точка функции /(г) = Х (г)/р. (г), где, Pi (z) и р. (г)—функции аналитические в точке z0. Если числитель Х(г) и все производные до k— 1 порядка включительно в точке г0 равны нулю, Л.'*’ (z0) 0, знаменатель р. (г) и все производные до I—1 порядка включительно также равны нулю в точке z0, p'Z) (г0) =£ 0, то при I > k точка г0 является полюсом порядка я = / — k аналитической функции / (г). (Если l^k, то точка z0 является устранимой особой точкой аналитической функции f(z).) В частном случае, при й=0, 1=1 имеем: если Л.(го)#=О, p,(zo) = 0, p'(zo)#=0, то г,, —полюс первого порядка функции /(г) 3. Пусть при г-»-г0 аналитическая функция w=f(z) не имеет пределев ни конечного, ни бесконечного. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы точка га была существенно особой точкой функции и»— 1.8. Вычеты. Пусть г0 — изолированная особая точка функции au = /(z). Вычетом функции f(z) в точке z0 называется число, обозначаемое символом rcs_,o f (z) и определяемое равенством res20 / (г) = 2-xZ f (г) с1г (8) v (другие обозначения: res/(z0), res [f(z), z0]). Замкнутый контур интегрирования у лежит в области аналитичности функции f (г) и не содержит внутри других особых точек функции / (г), кроме z0. Сопоставление формул (7) и (8) показывает, что вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении /(z) в окрестности точки za: res2J(z)=C_i. (9) Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Вычет функции / (z) в полюсе n-го порядка вычисляется но .формуле 1 d”-1 res^ f <г> = ® <г- го)Ч; при n = l «Sz4/(Z)= lim U (2) (z-го)1-г-?» Если функция ai=/(z) в окрестности точки г0 представляется как частное двух аналитических функций, / (z) = X (г)/ц (г), причем ‘k(zil)^Ol p(zo) = O, (zo)^0 (в этом случае г0 —полюс первого порядка функции /(?)), то res2o/(z)=l(zo)/^' (z0). Если точка Zq есть существенно особая точка функции w=/(z), то вычет вычисляется по формуле (9). Основная теорема Коши о вычетах. Если функция w = f (г) является аналитической на границе Г области G и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек zit z2, , гп, то ф/ (г) dz = 2ra Гезг* / (г)- 0°) Г k = l 1.9. Вычисление несобственных интегралов от рациональных функций. Пусть R (х) — рациональная функция, R {x} = Pk(x}/Ql(x), где Pk (х) и Qi (х) — многочлены степеней k и I соответственно. Если R (х) непрерывна на всей действительной оси и /3=^ + 2, т. е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то +.00 \ R (х) dx = 2га res2m R <z)< — оо т здесь сумма вычетов функции R (г) = Рк (i)/Qi (г) берется по всем полюсам zm, расположенным в верхней полуплоскости Im г > 0. 1.10. Вычисление несобственных интегралов специального’ вида. Пусть R (х) — рациональная функция, R (х) = Рк (x)/Qi(x), где Рк (х) и Qi (х)—многочлены степеней k и I соответственно. Если R (х) непрерывна на всей действительной оси и I k-ф-1 (т, е. R (х) — правильная рациональная дробь), то R (х) cos Ах dx= Re/2ra V ггз2т R (г) с'7-2), А>0„ — со ( т J + со R (х) sin Кх dx= Im (2ш У res^ R (2) e'M, 1 > 0, — co [ tn J где сумма вычетов функции R (z) e'7-2 берется по всем полюсам zm, располо женным в верхней полуплоскости Imz>0. 1.11. Вычисление определенных интегралов специального вида. Пусть R — рациональная функция cos t и sin t, непрерывная внутри промежутка интегрирования. Полагаем z = c'‘, тогда , 1 ( , 1 \ • , 1 ( 1 \ ., dz cos t = -a- z --, sin t = ,-гг z----, di? = — - • 2 \ 1 z / ’ It \ z }' tz‘ имеем 2 л J R(cos/, sin t) at — ф F (z) dz( (li) 0 |z|=l где путь интегрирования—окружность единичного радиуса с центром в начата координат. Контурный интеграл в правой части равенства (11) вычисляется по формуле (10), где сумма вычетов функции F (z) берется по всем особым точкам, лежащим в области | z| < 1. 1.12. Преобразование Лапласа. Функцией-оригиналом, называется функция j (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям: 1) f (/) интегрируема на любом конечном интервале оси t; 2) для всех отрицательных i /(0 = 0; 3) f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М ц о0, что для всех t j / (f); < Ме^. Изображением функции f (Z) по Лапласу называется функция F (р) комплексного переменного p = a~i-iT, определяемая равенством f (P) = f е-Р7(0<к; у обозначение: / (/).=F (р). Для любой функции-оригинала / (/) изображение F (р) определено в попу-плоскости Rep>cra и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Свойства 1°. Линейность: для любых комплексных постоянных Cj и Ct Cyfi (0 CrFi (p) +C2P2 (p). 2°. Формула подобия: для любого постоянного и > О <0 \ <0 / 3°. Дифференцирование оригинала: если функции f(t), f (Г), .... /<я’(О являются функциями-оригиналами, то f (t)^pF(p)-f(O), Г(1) = рЛ (p)-pf(O)-f' (0), /<«' (0 = р«Д(р)_р«-Д (0)-p«-2f (0)(0). Величина /<к* (0), k=0, 1, п — 1, понимается как lim /'*’(/). /^ + о 4°. Дифференцирование изображения: F' — (t). 5°. Интегрирование оригинала: J f (т) с!т . 6°. Интегрирование изображения: если является функцией-оригина- лом, то СО J F(P) ^Ре-еШ, р 7°. Формула смещения: для любого комплексного X /(0 e-W = f (Р + Х). 8°. Формула запаздывания: f (I— т) =e~PxF (р), т>0. 9°. Формула умножения изображений: t Fi(p)F2(p)=. pi(T)/2(/-T)dT. (12) о Интеграл в (12) называется ссерткой функций Д (/) и (/) и обозначается символом /1 * f2. Отыскание оригинала по изображению Для нахождения оригинала f (t) по известному изображению F (р) наиболее широко применяются следующие приемы: 1) если F (р) есть правильная рациональная дробь, то ее разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби, исполь зуя свойства 1°—9° преобразования Лапласа; 2) используют формулу разложения, согласно которой при некоторые достаточно общих условиях оригиналом для F (р) служит функция /(0=2 respft [F(p) е₽0, k где сумма вычетов берется по всем особым точкам pk функции F (р). 1.13. Формулы соответствия. Широко применяются следующие табличные сэотнльеп1- л 1 —, 1/р; са! 1/(р — a); sin at •== со/(р3 +«'); cos at •= р/(р2 + со2); slico/=. со/(р2—со2); ch = р/(Р2 — со-); /« =. п!/рл+1, Левые части операционных соотношений предполагаются домножениыми ( 1, t^O, на функцию г] (0=| q <<о К0Т0Рая Л7”1 сокращения записи, как правите, опускается. 1 1.14. Изображение кусочно-линейной функции. Примерный вид графика кусочно-линейной (полигональной) функции представлен на рис. 1, Вве (ем следующие обозначения. , Тд, — точки разрыва функций /(/) или f (f); a,k = ak—Ьк — скачки функций в узлах «стыка»; 3fe = tgY*^tg6i. —скачки производной f (t) в узлах «стыках. Изображение полигональной функции имеет вид k 1.15. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным мето-оом предполагает три этапа: 1) переход от исходных функций к их изображениям по Лап часу, при этом дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое относительно изображения искомой функции; 2) решение полученною алгебраического уравнения; 3) получение искомого решения по его изображению. рис. 1. Решим гйдачу Коши для дифференциального уравнения х'— х = 1 (13) при начальном условии х (0) = 1. Операционный метод решения такой задачи состоит в том, что искомую функцию и правую часть дифференциального уравнения считаем оригиналами и 'переходим от уравнения, связывающего оригиналы, к уравнению, связывающему их изображения. Для этого воспользуемся формулой дифференци- рования оригинала *' (0 = рХ (р)—х (0)=рХ (р)-1. Применяя свойство линейности, перейдем в уравнении (13) от оригиналов к изображениям: [рХ(р)-1]-Х(р)=1/р. Решим полученное уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения X (р): Х(р)=2Цр— 1)— 1/р. Осталось по известному изображению X (р) найти соответствующий ему оригинал x(t). Используя свойство линейности преобразования Лапласа н табличные операционные соотношения (см. п. 1.13), получаем х (i) = 2e‘ — 1. Это и есть искомое решение задачи Коши. Аналогично решаются системы линейных дифференциальных уравнений. 1.16. Формула Дюамеля. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение п-го порядка о постоянными коэффициентами: L{x(t)} = aox'n> (Z) + a^"«-i> (04-.- + V (П=/(О (14) при нулевых начальных условиях х (0) = х' (0) =... = *<«-!> (0)=0. (15) (Заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.) Допустим, что известно решение уравнения L {х (/)} = 1 (с той же левой частью и правой частью, равной единице) при условиях (15). Обозначим его хг (Z). Тогда решение х(1) задачи (14) —(15) можно выразить через xt (/) и /(/) с помощью одной из формул: t t X (/) = j х[ (х) f (t — х) dx, х (/) = J х{ — (х) dx, о о i / x(t)=f (O)Xi(t)+\f (x) xx (i—x) dx, х(0=/(0)Х1(0+\’/' (/—x) Xi (x) dx. 0 ’0 Каждое из этих выражений называют формулой (или интегралом) Дюамеля. Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на формуле Дюамеля, применяют, как правило, в тех случаях, когда возникают трудности при нахождении изображения F (р) правой части f (t) уравнения (14), а также при необходимости многократного решения задачи (14) — (15) для различных функций f (t). ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Комплексные числа, действия над ними. 2. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Формулы Эйлера. 3. Степенная функция. Тригонометрические и гиперболические функции. 4. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана. Понятие аналитической функции. 5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Понятие о конформном отображении. 6. Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства, 7. Теорема Коши для одно- и многосвязных областей. Формула Ньютона — Лейбница. 8. Интегральная формула Коши. 9. Существование производных всех порядков у аналитической функции. 10. Ряд Тейлора. Теорема о разложимости аналитической функции в ряд Тейлора. 11. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана. 12. Классификация изолированных особых точек. 13. Вычеты. Вычисление вычетов. 14. Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление контурных интегралов. 15. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана. 16. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существование и аналитичность преобразования Лапласа. Поведение изображения в бесконечности. 17. Свойства преобразования Лапласа: свойство линейности, теорема подобия, теорема затухания (смещения), теорема запаздывания. 18. Дифференцирование оригинала и изображения. 19. Интегрирование оригинала и изображения. 20. Методы отыскания оригинала по заданному изображению. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Доказать равенство sin п-^ * 6 sin ~ 0 sin 04-sin 29-j-..sin n = 0, ±1,... siny Указание. Рассмотреть геометрическую прогрессию с1'0, е‘!0, .... е!,!в. 2. Доказать, что в полярных координатах г, <р условия „ ди I ди до 1 ди Коши - Римана имеют вид . 3. Доказать, что функция ш = |г| нигде не дифференцируема. 4. Пусть функция и(х, у) гармоническая в некоторой области G, т. е. Ди = 0 в любой точке (x,y)^G. Для каких ф сложная функция/ [и (х, у)] будет также гармонической в области G? 5. Пусть функция / (z) — аналитическая в круге | 21 R и М =□ = max |/(2)|. Для всех внутренних точек круга |z|<ZR дока- I 2 । =« зать неравенство MR (R-! 2 !)«+!> n=i, 2, 6. Числа А„, определяемые условиями Аа= 1, Ai=l, Ап+2 == <=AnA-An+lt п = 0, 1,..., называются числами Фибоначчи. До- СО казать, что в некоторой области Anzn = t ' ОпРеДелить п = 0 область сходимости ряда. 7. Доказать, что для четной функции /(2) имеет место равенство res2o/(z) =— res_Zj(z), а для нечетной функции — равенство res2J(z) = res_2J(z). 8. Функции f(z) и <р(г) в точке г = г0 имеют полюс соответственно порядка тип. Что можно сказать о характере особой точки z = zQ для функций: a) /(z)<p(z); б) /(z)/cp(z); в) f (г) + <р (г)? 9. Функции f(z) и g (г) — аналитические в точке z0, причем f(2o)=#=O, g (г0) = g' (20) = 0, g"(zo)7O. Найти вычет функции <p(2) = f(2)/g(z) в точке г0. 10. Являются ли оригиналами функция /(/) = г|(0sine'2 и ее производная /' (0? Здесь 1, /^0, о, /<0. <1(0 = 11. Используя теорему умножения изображений, найти реше-t ние интегрального уравнения $ у (т) cos (t — т) dr = 1 — cos t. о РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ Зад ача 1. Найти все значения корня (см. п. 1.1). 1.1. 7—1. 1.2. ]/ -1 +г]/3. 1.3. 71. 1.4. 8/^-у 1 . 15 КТ 16 i/-1-'/3 1.5. У !• l.b. у 2 1.7. 7=т. 1.8. 7=7. 1.9. 1.10. 1/ 1 -н Из И 32 ’ 1.Н. 78- 1-12. Тег. 1.13. 716. 1.14. ]/^3. 1.15. 7=8. 1.16. /=8Г. 1.17. К—V16. 1.18. 7—8 + 18 КЗ- 1.19. 7178. 1 1.20. 7Г/8. 1.21. 7716. 1.22. |/—8-i8 КЗ. 1.23. 7—1/8- 1.24. 7—1/8. 1.25. У —128+ <128 КЗ. 1.26. у 27. 1.27-71/256, 1.28. 7 — 128 — 1128 КЗ- 1.29. j/^727. 1.30. 7256- 1.31. у — i27. Задача 2. Представить в. алгебраической форме (см. п. 1.2) 2.1. sin (л/4-|-2|). 2.4. sh (2+Л4/4). 2.7. sin(n/3+Z). 2.10. sh (1+Я4/2). 2.13. Ln (—1+0. 2.16. sh(3 + ra/6). 2.19. sin (л/6— 34). 2.22. sh(l — Л4/3). 2.25. sin (Л/3 — 2Z). 2.28. sh(2—П4). 2.31. ch'3+ra/4). 2.2. cos (31/6+24), 2.5. ch (2+314/2). 2.8. cos (31/4+4‘). 2.11. ch (1 —яг). 2.14. соз(я/4 —2i). 2.17. ch (1 + зтг/З). 2.20. cos (ЗТ/3+3Z). 2.23. ch (2—314/6). 2.26. cos (31/6 —4). 2.29. (—1)5'. 2.3. Ln 6. 2.6. Ln (1+0. 2.9. Ln(j/3+4’). 2.12. Ln(l+/3Z). 2.15. sin (31/2 — 54). 2.18. Ln (-1-4). 2.21. Ln (1—4). 2.24. 14 2.27. pi. 2.30. (—1)4 Задача 3. Представить в алгебраической форме (см. п. 1.2). 3.1. (_i+t/3)-=“. 3.2. Arcsin 4. 3.3. Arch (—2). 3.4. , t /_2/3 + 3i\ Arctg ( —1. , 3.5. 3.6. Arcctg . 3.7. , . .. /з+ауз\ Arth ——~— 1. у о j 3.8. / л ,\ COS [-g-—I j . 3.9. sh^l-ylj. 3.10. (-1-4)+ 3.11. sin (jt/4+Z). 3.12. Arch (3(). 3.13. Л 4- / 3 4" 4/ \ Arctg 3.14. . 4./8+43Кз\ Arcthl 7 —1. 3.15. Arctg 3.16. . ../4-34 \ Arth —. \ 0 / 3.17. , . /—2]/3+34’\ Arctgl—1 . 3.18. Arcth (3.=±2 .^g 3.19. Arccos (—5). 3.20. Arsh (—4(). 3.21. (— УЗ+Z)"®. 3.22. . i о = sin — г 3.23. E)=e2 , (2/3+3Z' 3.24. Arcctg! r 7 '— 8 + 2яг ПрИ 2 —3i2 + 16 ‘ 4+2зт4 при г=—, , н л2+4 3.25. 3.28. 3.31. Arth I---7----} . . (3]ЛЗ + 84 Arctg I 7-— (—12 + 50+ 3.26. Arcth 3.29. Arccos (—30. 3.27. a>=ch iz при z=3t/4+2Z. 3.30. (4-3Z)'. Задача 4. Вычертить область, заданную неравенствами. 4.1. [г —l|s=l, |z+l|>2. 4.2. |г+4|>1, |г|<2. 4.3. |z-i|=^2, Rez>l. 4.4. |z + l|=sl, | z+г | < I. 4.5. |г+1|<1, |z—i|sgl. 4.6. |z+t|^2, |z-Z|>2. 4.7. | z— 1— Z | 1, Imz> I, Rez/s: I. 4.8. | z— 1 +i | 1, Rez < 1, Imzsg— I. 4.9. |z — 2 — 41=^2, Rez^3, Imz<l. 4.10. |z—1-4 | Sal, 0s£Rez<2, 0<Imzs=2. 4.11. |z+i|<2, 0<Re231. 4.12. | z—/|з1, 0<агрг<я/4. 4.13. \z—i\^2, 0<Imz<2. 4.14. |z+t|>l, — rt/4 3 arg г < 0. 4.15. [г— 1— Z | < 1, |argz|3n/4. 4.16. | z | < 2, — n/4sgarg(2— 1)3 n/4. 4.17. \г‘ 3 1, arg (z+t) >я/4. 4.18. 1<[Z—l |sg2, Im 2 3:0, Re2<I. 4.19. 1з|г—i|<2, RezgO, Tmz>l. 4.20. | 21 <2, Re z 3:1, arg2<n/4. 4.21. | г | > 1, —1 < Im г-g 1, 0 < Re г 3 2. 4.22. | г— 1 | > 1, — 1 3 Im г <0, 0 3 Rez < 3. 4.23. |z+r| < 1, —3rt/4 3arg2 3—rt/4. 4.24. |z—i[3 1, — rt/2 < arg (z—i) < rt/4. 4.25. es<2, Rez3 1, Imz>— 1. 4.26. zzg2, Rez<l, Imz>—I. 4.27. l<zz<2, Rez>0, Oglmzgl. 4.28. | z— 1 j<l, arg г 3 n/4, arg (z—1) > n/4. 4.29. [г—Z J < 1, arg2 3:n/4, arg (?+1 — t) 3 n/4. 4.30. | z-2 — i | 31, 13Rez<3, 0<Imz<r3. 4.31. [Re z [3 1, [Imz[<2. Задача 5. Определить вид кривой (см. п. 1.3) 5.1. z=3 sec/4-/2 tg t. 5.2. z = 2 sec/—/3 tgi. 5.3. t—— sec/4-13 tg t. 5.4. z = 4 tg /—/3 sec/. 5.5. z=3 tg/-{- /4 sec/. 5.6. 2 = —4 tg/ — /2 sec/. 5.7. z=3 cosec /+ t’3 ctg t. 5.8. z=4 cosec /—/2 ctg /. 5.9. z=ctg t—i 2 cosec t. 5.10. z = — ctg / + !3 cosec /. 5.11. z=3 ch 2/ + 12 sh 2/. 5.12. г = 2 ch3/—/3 sh 3/. 5.13. г = 5 sh 4t /4 ch 4/. 5.14. z = — 4 sh5/ —15 ch 5/. 5.15. 9 2-cli2,+t-4th2C 5.16. z=—^__|_Z2 th 4/. ch 4/ 5.17. ’=th5/ + -^_. ch 5/ 5.18. z = -J-- — i cth/0 sh / 5.19. 5.20. z=3e‘7 2ег/ 2e'7 ‘ 5.21. z = -2e» + ^-o elZ 5.22. г=2е2'7 5.23. 5.24. t— 14-iZ 2 fP-D ‘ 5.25. > «I- 5.26. 2±/ £±£ 2-/1 1-/’ 5.27. г=/2 + 4/ + 20-/(/3 + 4/ + 4). 5.28. z=/a+2/+5+i (/«+2/+1). 5.29. z = 2/- + 2/4-l-r (f24-Z + 4). 5.30. z = Z —2-{-Z (Za —4/-J-5). ' 5.31. ? = /2-2/4-3 + г (t1—2/4-1). Задача 6. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по известной действительной части и (х, у) или мнимой и(х, у) и значению f (г0) (см. п. 1.4). 6.1. и = х2-у2 + х, )(0)=0. 6.2. 6.3. v=e-v (у cos г/ + х sin у), ) (0) = 0. 6.4. и = х2 —у1 — 2у, )(0) = 0. 6-6' “ = 6.8. v=ex cos у, f (0)=1 4-i. 6Л0- /0)=2. 6.12. и=у—2ху, f (0) = 0. и — х3— Зху4-1, /(0) = 1. 6.5. ц=е ~ cosy, j (0) = 2. 6.7. и=е_У sin x-f-y, )(0) = 1. 6.9. v= — ——i-— , f (0) = 1. (x+l)2+iT 6.11. u = e~wcosx, /(0) = l. 6.13. v=x2 —t/-’4-2x4-1, f(0) = i. 6.14. u=x2-y2 — 2x4-1, f(0)=l. 6.16. v=2xy +y, f(fl) = 0. 6.15. v=3x2y—y3—y, /(0)=0. 6.17. v=3x2y-y\ /(0)=l. 6.18. u = cx (xcosy—y tiny), /(0) = 0. 6.19. v=2xy 4-2x, f (0) = 0. cAX________ 1 6‘21, t’=—ZJ—f(°) = 2- 6.23. u = e~y cos x-J-x, f(0) = I. 6.27. v=x2—y2— x, )(0)=01 6.29. v=2xy — 2y, f(0) = l. 6.31. v—2xy-\-x, f(0) = 0. 6.20. «=1 — siny-ev, /(0) = 6.22. u=l---JL-,, f(l) = i4-j. x24-y2 6.24. v=e~^sinx, /(0) = l. 6.26. u=x/(x2-i-yi)+x, f(l)=2. 6.28. u = —2xy—2y, f (0) = i. 6.30. u=x3 — 3xy2—x, f(0)=0. Задача 7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой (см. п. 1.5) 7.1. z2 dz; АВ .{у=х2; зл=0, zB=\+i}. АВ 7.2. $ (24-1)е2 dz; L-. {|z' = l, RezssO}. 7.3. Imz3dz; АВ — отрезок прямой, zA — 0, zB = 2-)-2i. АВ 7.4. (z24-7z-|- 1) dz; АВ — отрезок прямой, zA = l,zB — l—i< АВ 7.5. Jj \z\dz- АВС — ломаная, zA=0, гв =-14-й 2с=14-г. АВС 7.6. j (12z^4-4z34- 1) dz; АВ — отрезок прямой, zA=l, zB = i. АВ 7.7. ? z2 dz; АВ — отрезок прямой, гл = 0, zB=14-«. АВ 7.8. f z3e2‘ dz; ABC — ломаная, zA = i, z£=l, гс = ^-ABC 7.9. j Reydz; AB: {j z| = l, Imz^O}, ВС — отрезок, гд=1, ?c = 2, ABC 7.10. f (z2+cosz)dz; ЛВС —ломаная, z,=0, z„=l, zr =/. ABC ABC 7.11. | ydz; L — граница области: {1 < | z | < 2, Rez>0}, L 7.12. (chz+coeiz); ЛВС —ломаная, z4 = 0, zfl = —1, zc=i, ABC 7.13. | г | zdz; L : {j г j=4, Rez>:0}. L 7.14. Ij(chz + z)dz; L : {lz| = l, ImzsgO}. L 7.15. | z | Re z2 dz; L : f гj = R, Imz^aO}. L 7.16. j (3z2 + 2z)dz; АВ:{у = х3, z4=0, гд=1-Н'}. лв 7.17. ^zRez2dz; L:{|z|=R; Imz5=0}, 7.18. (z24-l)dz; ЛВС—ломаная, z4=0, гд = —1+», гс = г. АВС 7.19. С el2l2Imzdz; АВ—отрезок прямой, z4=l-|-i, гд=0. АВ 7.20. (sin tz+г) dz; L : {j г | = 1, Re z >=0}, 7.21. (j zRez2dz; AB —отрезок прямой, zA=Q, гд=1+2/, AB 7.22. (2?4-l)dz; AB:{y=x3, гд=0, zs=l+i}, A'B 7.23. zz dz; AB:{[Z[ = 1, Rez>-0, Im г3=0}, ABC ВС —отрезок, zfl=l, zc=0, 7.24. 'j (cos»z + 3z2) dz; L:{lz| = l, Imz^O}. L 7.25. j j z ; dz; L : {; z | =1^2, 3n/4 arg z 5л/4}. L 7.26. (z9 + l)dz; ABC — ломаная, гл=0, zs=l-(-i, zc = i. ABc 7.27. ~ J 2 dz. |2| = B 7.28. (sin z-|-z5) dz; ABC —ломаная, гд —0> гд=1> zc = 2i. A~BC 7.29. zlmz2dz; ЛВ — отрезок прямой, ?д = 0. Zfl=l-H. AB 7.30. j (z‘ + sin z) dz; L:{'z' = l, Rez>=0}. L 7.31. (z|z|dz; L : {i г j = 1, Im z^O}. Задача 8. Найти все лорановские разложения данной функ- ции по степеням 2 (см. п. 1.6). г-2 „ „ 2— 4 Зг—18 8.3. 2г3+г2—г ’ г4+г3—2г2' 2z3 + 3z2—9г ‘ 2г-16 о с 5г—50 Зг—36 Я А * ’ z4 + 2z3—8г2 * 2z3+5za—25z" 24+Зг3—18za* „„ 7г —98 о s 42-64 Я Q 9г — 162 2г3 + 7га —49г ' " г4+4г3—32га ' 2Z3+922—81г' 810 5г-100 z« + 5z3—50г'2 • Пг-242 2г3+11г2—121г ' 8.12. 6г—144 24 + 6г3—72г2 * 13г —338 с 14 7г~196 О 1 с 15г-450 2г3+12г2—169г” г*+7г3—98za * о. 10. 2г3+15г2-2252 * 8.16. 8г~-256 J 8.17. ^±2—. 8.18. г + 4 г4 + 8г3— 128га 1 z+z2 —2г3 ' 2г2 + г3— z4 8 19 Зг+18 8 20 2г+16 Я 91 5z+50 9г+3га —2г3 ‘ 8z2+2z3—21 * 0.41« 25г +5г2—2z3' 8 22 3г+36 8 23 7г+98 Я 9Л 4г+ 64 °-- ^Н-Зг3—г4* 49z+7z2-2z3‘ 32га + 4г3 — г4' 8 25 9г+162 8 26 52+100 Я 97 Иг+ 242 ’ 81Z+9Z2 — 2г3 ' ' 50z2+5z3 —г4 ' О>£ 4 • 121г+Иг2 —2г3' 8 28 62+144 о оо 13z+338 Я ЧП 7г+196 °' 72г2+ 6г3 — z4 ' 169г+13г2 —2z3 ‘ 0«Ои. 98z2 + 7z3—г4' 15г + 450 225г + 15г2—2z3* Задач а 9. Найти все лорановские разложения данной функ- ции по степеням z — г0 (см. п. l.b). 9Л 2(2—1)’ г“-1+2/' ’3- Лг-1)' 3 9-5, z(z+l)’ 9'7, г (г+1)’ г°~ 1+2‘* 9-9- -Йт. га = 2+», 9.11. г0 = -2+3»1 9.13. , г0 = 2 + 1. 9-15- -йт- г«=-3+*'- 9Л7- 4 ‘ (2-1) (г + 3)’2° 9-2' 3(2-1). г«-2 9А 2(г_1) > г«~ 2+‘- 9-6- 2(2+1)’ Z°“2 U 9‘8, г (г+1)’ г°- 2 Зи 9ЛО-ЙТ' го=3~'< 9Л2-Йт’ гв = -2-2‘‘- 9.14. , гв-1 21. ЭЛб-йи’ го = ~3 —21. ’ -2+2I.S.18. 4.(г_г+г2+3), ,.1 ’3>. 9.19. 4- —£+JL__ 2 _ п -(г—1)(г + 3)’ г° ь 9.21.4- LzJL_ , _ J 91- (г 4-1) (г — з) • го 1 — 21. 9.23. 4 • _ 9 9, (г+1)(г— 3)’ г°~ 2~2t' “=• гь—1-». 9'27' ^2+31. 9-29-ТО-. г«=-1+з/. 9-3,-1гВт. го=з—2/, 9л,'<г-1^+3). 2+1- «•9-(г+г1)(г2_3). 9-24,4 (г+1) (г-3) ’ г° « г^4 3+2‘- 9-28-^Т> г0 = 3 + 2ь 9-30. F=T> го = 2+2й Задача 10. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 (см. п. 1.6). 10.1. zcos-^-^-g, г0 = 2. 10.2. sin—г0—1. г—1 ' и 10.3. гег/(г“5), г0 = 5. 10.4. sin г0 = -2. 10.5. cos , г0 = i. 10.6. sin-г0 = 2«. ,л_ . Зг — i i 10-7- s,n++7- 2"=~з - 10.8. ^cos^^, г0 = 1. 10.9. г sin г -г । > ?о= 1. 10.10. (г — 3) cos л '^"—, г0 = 0. 10.11. г2 sin л —у-, Zo=0« 10.12. г cos-г—- га=-2/, Z -р Zi Z2 —42 10.13. cos - 2q= 2. (г-2)2’ 10.14. sin?i£ 2Q^i. 2 — 1 * и 10.15. sin-Ц, ?0=3. 1 10.16. zo^t г0 = 2. 10.17. c7^, г0 = 3. 2? 10.18. sin т» г0=4. г — 41 4 10.19. sin -- ~-|Z,, г0=2. 4г —2г^ 10.20. е<г-*»\ г0= 1. я яг 10.21. геи~а)а, г0 = а. 2 I 2 10.23. г sin л -у-, г = 0. 10.22. гег-", г0 = л. 10.24. г cos л , г0= 1. 10.25. г2 sin , г0=0. г 10.26. г siu^—-Ср, г0=1. 10.27. 2cos—?0=3. 2 О 2 10.29. zcos-=, 20= 5. z — 5 10.31. zsm--, z0=a. z — a’ u 2 ~ 1 10.28. 2 sin л -—2 > 2o — 10.30. ze2^. z0=4. Задача 11. Определить тип особой точки 2 = 0 для данной функции (см. п. 1.7). е9г — 1 11 1 11.2. z3e7/2\ 113 Sin8z-bz sin z — г + г3;б ‘ 11 cosz-l+z2,2- .. . cos7z—1 ... sh 6z — 6z ,. „ ch 5z — 1 11.6. — ; . e2— 1 —z shz—z—г3/6 ' chz —1—z2/2‘ e2—1 _ „ sin z2— 22 11.7. 2 sin-5-., 2Z 11 8 11 Q sinz — z+z3/6’ cos z —1 +z2/2 .. cosz2— 1 .. e52 — 1 sin 4z—4z 11.10. Г7Т. 11.11. : — . 11.12. . sh z — z — zJ/6 chz —1 —z2/2 e2—1—z 5 _ , . . COS 3z — 1 .. sh 2z — 2г 11.13. z4cos — 11.14, — —. Ц.15 . , \ . z2 sinz —z4-23/6 cos z — 1 4-z2,2 11.16. —SL2!.-1 e2’ 11.17.-r T 5=. 11.18. ze4/2\ sh z —z —z3/6 ch z— 1 —z2/2 .. sinz3— z3 .. cosz3— 1 .. e72—1 11.19. — ; . 11.20. -7— ^-=. e2 — 1 —z sm z —z+z3/6 cosz — 1 +z2;2 11.22. Q 11.23. г sin —. H.24. -,COS5,2-1 sh z — z—zJ/6 Z3 chz— 1 — z-/2 .. sh 4z — 4z .. „„ ch 3z— 1 - л- e24 — 1 11.25. ——= . 11 • 26. ——, 11.27. -— , —- e2 —1—z sin z—z 4-z3/6 cos z — 1 +z2/2 11.28. -^Пг4~г* 9 11.29. 2cos-T• 11.30. —CClSf/?, . sh z—z —z3/6 23 chz — 1 — z1/2 11.31. (ег5-1)/(ег-1 -z). Задача 12. Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип (см. и. 1.7). 12.1. eI/2/sin (1/z). 12.2. l/cosz. 12.3. tg2z. 12 4. — 1 12 5 12 6 Z--P 1 ^ig^e • z3(z+l)2* • (z- iy- (z2 + 4) (z+n) sin^-z 1 1 12.7. z sin2 z 12.8. tgy. 12.9. ctgy. 12.10. 1 e2+ 1 * 12.11. ctgnz. 12 12. Sin'^ 1 (2- 1)3‘ 12.13. 1 , sin 3z —3 sin z 12.14. — — , 12.15. -Д-r - 1 . sin z2 г (sm z — z) e2 — 1 z 12.16. 12.19. Sin Л2 ‘ et/2 (e2-l)(l-z)3‘ 12.(7. 12.20. th г. 1 , . 1 -— H-Sin V z- Z2 12.22. , . 1 z- sin —. г sin3 г 12.25. —j--------- г(1 — cos г) cos nz (4z2 — 1) (г2 + 1) 12.31. z1— 1 12.28. 12.18. 12.21. Л COS 7^ 2 12.23. z2—1 • 12.24. 12.26. . 1 ’ ctg 7. ° z z- 12.27. 12.29. sin 3z 12.30. sin яг (г3^!)2' sin Зг2 1/г г (г3 +1) 2z — sin 2г Задача 13. Вычислить интеграл (см. sin г z3(l— coszj z2 (za-4)’-cos^-^ п. 1.7; 1.8). 13.1. £ dz J г(г2+1)' 1 г 1 = 1/2 13 2 (?> 2dz 13'2, J z2(z-1)' I г -1 - i | = 5/4 13.3. z(z2+4)° | г -11 = 3/2 . C 2 H-sin z . 13.4. ф . , dz. J z(z + 2i) |21=1 13.5. C e2 dz J sinz* |г-31 = 1/2 13.6. 4 2(Sin3 + 2)-dz. J sin z | 2 —3/21=2 13.7. С ге’ j Ф -— dz. J sin z |z- 1, =3 , „ „ £ 2z I z — 1 I . 13.8. ф —+ L dz. J sin z [2 — 3/2 [=2 13.9. & гй+йог. 3 sin 2л? | 2-1/4 1 = 1/3 13.10. <£ 1-2(z ~t) dz. J sin nz |3-1/2|=1 13.11. C sin 3z + 2 J , г2(г-л) 31 |z-3| = l 13.12. & e/+1 dz. J z(z-l) | г —1/2 j = I 13.13. £ e-; + 2 , ф : dZ. J sin 3z: | 2 1 = l 13.14. $ ^±ldz. J Z2 — Л2 |z-2| =3 13.15. $ J Sin 2 j2 —1 ! =3/2 13.16. (£ ^^i|dz. J z2—4 л2 |2-6|=1 13.17. £ Ili+ldz. j 4z2-j-nz 12-1-1, = 1/2 13.18. £) ^t-3<z. J 2z2-|-nz |z+3/2; = i 13.19. C sin3 z — 3 , $ г2+2лг d2’ i2+i| = 2 13.20. £ _ln (e + z) d2. 121=1/4 г sin (z+^-y 13.21. e ,£+z + 3_fe J Sinz(n+z) |г|=Л/2 13.22. £ < dz. J sin2z(z —л) |Z! = 1 13.23. С г(г 4-п) ф -------X--02. j sm 2г 12-11=2 $ 13.25. г(г+я) л sin3z(z — л) 13.27. 13.29. 13.31. |z —л| = (га + л)'2 . —:--------02. I sm 2 С C0S2 2 J г sin г |г—л| = 2 13.24. + j г2 + лг |2|=2 13.26. £> ----------------- dz. J , . / . 11 \ )2 —3/2) = 2 г(г —Л) ( 2 + 2 I 13.28. £ “211 dz. J г cos 2 1*1=2 13.30. ф г3 + sin 2г |2 —3/2| = 2 Sin у (2 — л) dz. $ —i±J_. |2-i|=2 (22 + 4)sin4 О Задача 14. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8). 14.1. £ £^ldz. |г| = 1 14.3. £ ^±Ldz. J г J 2 ) =3 н.5. £> L-a+y+* J 222 I 2 | = 1/3 М.2. $ |г | = 1/2 .. . С Sin г3 , 14.4. ф dz. j 1 — cos г |г|=2 -dz. 14.6. £ 1—dz. |2J=2 dz. ,..7. « 121=1 р 1 — sin — 14.8. ф -dz. J 2 1 г 1 =3 14.9. $ ^=-^г. 1 г I = 1/2 И.<1. § 1 2 1 =2 м.13. § <?-y+i fc /21 = 1/3 14.10. $ 3-2z + 4z2 J 23 1 2 | = 1/3 H.12. § E=^±lto |2| = 1 14.Н. § ^dz. |2|=1 ,, С COS 12— 1 , 14.15. ф —d2. |2|=1 М.,7. § |2 |=1/3 14.19. $ Zl-|,+52dz< |2| = 1/2 14.21. С—1 dz. 1г 1=3 Uic £ COS 12 — 1 , 14.16. (t —— dz. |z| = l 14.18. § Z±^dz. 12)=3 14.20. 2~Jnz dz. |2|=2 14.22. $ 2_±3|522f! 1г| = 1/2 dz. 1 14.23. X) ge- *—1 dz. lzl = l H.25. $ ^dz. 121 = 1/2 м.я. § J^dz. . j2| = l/3 14.29. J ^~;inZd2. J Z2 |2| = l/3 14.31. <£ )г|=1 14.24. z2 sin ~ dz. |z|=2 14.26. § ^_Lldz. 121=1 14.28. z3 cos ~ dz. |2|=2 14.30. £ —+9Sf~2 dz. j 2z5 I* 1=3 Задача 15. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8). 15.1. С Зяг— sin3«z J z2-sh2n2z °2, |2 | = 0,2 15.2. £ cos3z— 1 4-9z2/2, Ф .. . 9 dz. ]Z|<1 z4shTz 15.3. £ sh2nz—2яг, ? „ |z|=0,5 Z2Sin2-^- 15.4. e ]z|i2 z’siny 15.5. £ e22—1 —2z, <J> zshMiz dZ- ) 21=0.5 15.6. £ e^-cos7zd2_ J 2 sh 2лг 12 1 = 0.4 15.7. С e82 ch 4z & j 2 sin 4лг |2| = 0.2 15.8. £ chz — cos 3z , J z2 sin 5лг d2‘ |2 |=0.Г 15.9. £ sh 3z—sin 3z . J z3 sh 2z 21 ;zj=i 15.10. £ e” — 1 — sin 4z , j z3sh 16лг \г |=0.05 15.11. £ 6?z_^dz. J г2 sh2 2г |2| = 1 15.12. C cosdz-l+Sz2^ ]г|=2 *4shy 15.13. £ shnz— nz , ф dz. |z|=6 Z’sin2™ 15.14. £ ch4z—8z2—1 , '? , Sz & |.l = l z*sm-3- 15.15. £ «з»_]_32 j sb2 лг |2 1=0.9 15.16. C ee^-cosjz^ J z sh 4z. )2) = 0.5 15.17. £ e’2 — ch 5z , ф ——dz. J z sin 2iz )2| =1 15.18. £ ch 3z—cos 4iz , ф г—? dz. J г2 sm 5z 12J =0.5 15.19. £ sh 3z — sin 3z J zJ sh — iz |z|=2 15.20. £ eJt — 1 — sin 5z , ф j-r-r- dz. j z2 sh 5z 1г| = 0.5 14.23. £ ge- *—1 dz. lzl = l „.2S. $ 12 I =1/2 H.27. § . JZ| = l/3 14.29. J 22 1*1 = 1/3 14.31. <£ ^е'.-г~1<12. )г| = 1 14.24. z2 sin ~ dz. |2|=2 14.26. $ ^dz. 121=1 14.28. z3 cos ~ dz. |2|=2 14.30. £ —+9Sf~2 dz. j 2z5 |2|=3 Задача 15. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8). 15.1. С Зяг— sin Зяг J z2-sh2n2z °2, |г 1=0,2 15.2. £ cos3z— 1 4-9z2/2 , Ф .. . 9 d«. ]Z|<1 z4shTz 15.3. £ sh2nz— 2яг, |г|=0,5 Z2sm2-^- 15.4. e JZ|i2 z’siny 15.5. £ е22—1 —2z, <J> zshMtz dZ- )z[=0.5 15.6. e e^-coS-7zd2_ J 2 sh 2nz 12 1 = 0.4 15.7. С e82 ch 4z & j z sin 4nz |z| =0.2 15.8. C sy-cos 3zdg. j z2 sm 5лг |2 |=0.Г 15.9. £ sh3z— sin3z, z3sh2z dg- lz;=i 15.10. £ e” — 1 — sin 4z , j z3sh 16nz \г |=0.05 15.11. £ 6J^_|^d2. J г2 sh2 2z 12| = 1 15.12. C co^z-l+Sz2^ ]Z|=2 *4shy 15.13. £ shnz — nz , ф dz. |Z|=6 Z’sin2™ 15.14. £ ch4z—8z2—1 , '? , . Sz & |.l = l z*sm-3- 15.15. £ «з»_]_32 j sb2 лг |z 1=0.9 15.16. C ee^-cosjz^ J z sh 4z. )2) = 0.5 15.17. £ e’2 — ch 5z , ф —dz. J z sin 2iz )Z| =1 15.18. £ ch 3z—cos 4iz , ф dz. J г2 sm 5z 12J =0.5 15.19. C sh 3z — sin 3z J zJ sh — iz |z|=2 15.20. £ eJt — 1 — sin 5z , ф j-r-r- dz. j z2 sh 5z 1г| = 0.5 15.21, £ sin Зг — 3z J z2sh2tz |г|=2 15.22. cos 2г—1 +2г2 J . i. лг |z)=2 & Shy 15.23. 15.25. 15.27. К.29. 15.31. £ sh2z —2г, ф ----------— Аз. |г | = 5 Z2 Sin2 у £ е2г —1 —2г, У г sh2 2лг d2‘ ] г J = 0,4 С &г — ch Gz J z sin лг | г I = 0,5 £ sh 12 — sin iz , ф -----------— Аг. |г|=4 г3 shy е е^-созЭг^ j zshniz ]г|=0,5 15.24. 15.26, 15.28. 15.30. Задача 16. Вычислить интеграл (см. 16.1. , . лг 4 sin —yr 4—2i |г+11=зХ(2-2+(')2(г~4+£') 16.2. 2 cos лг/5 (z+5)2(z+3) 16.3. )г-1|=з'е' 16.4. 16.5. £ ch2z —1—2z2 9 „ . -di- 1.1 = 1 г4 sin у £ е4г — 1 — sin 4г , z2 sh 8 iz J г) =0.3 C ch2z-coS2zd3| J z2 sm 8г I z I =0.2 £ c32 — I — sin 3г J г^зйЗлг 1г) =0,3 п. 1.7; 1.8). I dz. nt I en?/2+i / Аг. Л 1 2511 Т+2? (г —2 —i)2 (г —4 —/) 2 sin (згг/2) г + 2 (г+ I)2 (г- 1) _ лг 2сО32 + 2? Ji=2 \(2_2-2i)2(z-4-2/) dz. —^7---- d3- e;u - + l / J к 1г + 61 = 2 к л 1 16.6. I г + 31 = 2 ' i 4 sh (ntz/4) \ г + З" (z-|-2)2z / d3. 16,7. Sch-p^r 1 — 51 C I mi .,£5,, „ \елг/2+« ‘ (г-1+51)2(г-З + 5/) I 2 + I = 2 dz. 16.8, & (, cos 1 . 2 sin <лг/6) z+4 (г + 3)2(г+1) + + 4j=2 16.9. n • n'tZ 2sin 2 + 14t Л , dz. „ 7^1 0 XZ-1-7/)2 (z-3-71) e^2+f |2 — Il | =2 16.10. £ / . 1 Ф z sin —r J \ z + |z + 5| = 2 2 ch (ntz/4) (z + 4)42 + 2) 16.11. nt 2созТ+зГ елг/2 + z T (2 _! _ 3l-)2 (2 _ 3 _ 30 ) dz‘ 16.12. ]Z-i|=2 ' 2 \ г_! _2crenz/2_ \d T(z-2)4z-4)/ 16.13. r, • Л2 2 5,11 2—21 3nt I « ------j dz. 1г+?|=2 V (г-Ч-ОЧг-З+О e"^2 + i/ l*T * I 16.14. f I , 3 , 2 cos П2/3 ? 2ch7=2+-(l=3F<s=s) 12-21=2 16.15. nt enz/2 _ о i. niz 8 ch-j—— 1 —7t (z — 14-7i)a(2—3+71) dz. 16.16. 2 sin nz/8 16.17. 16.18. (2Sh Z-3 (2 —4)2(Z —6) \z — 31 — 2 . u Я1’г 4sh2=6F л H .г+Я.-оЧг-^ЗО2 (г-3+30 епг72 —1/ г' j Z -f* Л I — z I z-4 |=2 1 2 COS------r 2 — 4 10chntz/5 \ (z —5)2(z —7)/ dZ- 16.19. С I J \ „nz/2 | 2 — 5i ! = 2 2costSt --------------- d2. (z— 1 —5t)2 (z —3— 51) / 16.20. Ф 2 sin------------ J \ z — 5 l>-5 ! = 2 2 sh ni2/12 \ . (2_6)2(z-8) J d2' 16.21. 2 16.22. 1г —o|=2 . . Л2 4sm2 + 2i ni (Z-l-t)4z-3-t) ' е"г/2_7/ 2 ch nt zy5' (2-5?(2-3)/d2, 16.23. л о i. niZ 2 ch 14-61 16.24. 16.25. 16.26. 16.27. 16.28. 16.29. 16.30. 16.31. | z — Ы | = 2 |z --------—-------------------------------- dz. епг/2-|_1 (г_1_602 (г — З — б,)/ . 2 4cosnz/4 z-5 + (z—4)2(z—2) 2sh2^ л» I \(г-14-602(z-34-6i) ‘ I < “Г СЧ I — Z 12-41=2 |z + 2( | = 2 - 1 2 sin nz/6 \ , (z-w-nrr2- Л . nz 4cos-T=2F (z-14-202 (z-34-2t) С ( 1 , 4 ch niz/2 ? (г cos Т^З + z (г—2)2 12-31=2 n nZ 2sffl2 + 4i dz. —I dz |2_27|=2\(2-1-2ir(z-3-2i) еп2/24-1/ Z' <J> ^sln^2 I 2 —2 , = 2 2 sh niz/2 (г-1)2 (24-1) dz. n C I. 6ch-2=2i |z + 2i| = 3 (z—2 4-202(2 — 4 — 20 dz. Задача 17. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11). 2Л 17.1. 2п С df J 2 4 УЗ sin t 2л 17.2. At f d< J 44-/l5sini 2л 1/«и» 1 • J 54-2 Кб sin t 2Л 17.5. 0 2m df 74-4 |/3 sin i ' di 17.4. 17.6. с____ J 64-K35sin^ 2л С d< J 5 — 4 sin i о 2л 17.9. ю 2л 5 — 3 sin t 17.8. di! At 9 — 4V5sin< ’ 17.10, J 8—3 У 7 sini 2л (• di! J 4 — Y 7 sin t 2л 17 11 dt 2л 17 12 , dt 0 3-/5 sin/ * 0 3—2/2 sin/ 2л 17.13. j 0 d/ 2Л 17.14. J 0 dt 4—2/3 sin/ ’ 5—/21 sin/ ’ 17.15. J 0 df 2л I7.K. J 0 d/ 6—4 /2 sin/ 8-2/15 sin/’ 2Л 17.17. $ 0 df 2л 17.18. j 0 di 1^3 sin t — 2 /15 sin/—4 2л 17.19; 0 dt 2л 17.20. J 0 dt 2 /6 sin t—5 ’ / 35 sin /—6 2л 17.21. $ 0 dt 2Л 17.22. 0 d/ 4/3 sin/—7 ' 4 sin /4-5 2л 17.23. J (о d/ 2л 17.24. ( .0 d/ 3 sin/+5 3 /7 sin /4-8 2л 17.25. f 0 dt 2л 17.26. J 0 d/ 4 [/ 5 sin /4- 9 /7 sin/4-4 ’ 2 л 17.27. J о d/ 2л 17.28. J 0 d/ /5 sin I +3 2 /2 sin /4-3- 2л 17.29. j 0 dt 2л 17.30. 0 dt 2 /3 sin/4-4 ' /21 sin/4-5 2л 17.31. о dt 4/2 sin 14- 6 Задача 18. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11). 18.1. 2Л dt ]g,2. 2Л d/ 0 (14-/10/11 cos/)2 * (/5 4-cos /)2 18.3. 2л d/ 18.4. 2Л d/ *0 (14-P 6/7 cos /)2 ' (2/34-/llcos/)2 ' 18.5. 2л dt 18.6. 2л dt (3/24-2 J/3 cos/)2 ' 0 (4 4-cos // ’ 2л c dt 2л 188 f d/ J (4 + 3 cos/)2' ' ' J (И5 + /3cos/)2 ’ 2л 2л (* d/ 18 10 1 J (1/7 + 2 cos/)2 ‘ J (4+ у 7cos/)2 ' 2л 2л 18 11 dt 18 12 i d“ ' ’ J (3+(/5cos/)2 ’ (3 + 2|/2cos/)2 ' 2л 2Л 18 13 d' 18 14 f d^ J (2/2 +/7cos/)2 ' J (Иб+cos/)2* 2л 2л 18 15 d/ 18 16 f d^ ' ' J (/6 + /5COS /)2 ' ' J (H7 + |/5cos/)2 ’ 2л 2л 18 17 f 'd/ 18 18 At ' ’ J (j/4 + cos/)2 ' (И5 +2 cos /)2 2л 1 2л 18 14 f d^ 18 20 f d^ ’ J (3+cos/)*’ ,3,2U- J (И7 + H2cos/)2 ’ 2л 2л C d/ 18 21 V 18 22 t ' ' •] (|/3+cos/)2 ' ‘ ' J (2+1/3 cosr)2 ' 2л 2л (• d/ C 18 23 i 18 24. 1 J (|/ 13+2/3cos/)2 ' (2 + cos/)2’ 2л 2л . C dt . (‘ d/ 18 25 I 18 2fi I J (3 + 2 cos/)2' I j>e « J (2+cos/)2 0 0 2л 2Л 18 27 i d^ 18 28 f d^ - ' .J (1/10+3 cos/)2 ' ' J (ИЗ+)/2соэ )“ ' 2л 2л 18 9Q i 18.30 f & 8'“ ,J (|/7+ ИЗ cos/)2 ' $ (/7 + cos/)2 ’ 2Л 0 d/ * ' J (И5+ И 2 cos/)2 ' Задача 19. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.9) 4*00 19-1- dx< J Л4+10x2 + 9 + » 19’“ J (x2 + 4)2 d'V' — co --00 4-00 10 Q 1 dx 4-00 19 4 _ dr ' ' ' 3 (*4+D2' (x24-4)2(x24- 16) ' — 00 — GO 4-00 4-co 10 i dx dx ''J (ЛЗ-Х+1Г 19 6 J - (x2 4-4) (x2 4-9)2 • — co — co 4-oo 4-oo dx dx IQ 7 1 19.8. у J x4+10x24-9' (x24-9) (x2 4-4)2 ’ — 00 —co 4-co 4-co 19.9. у - x2 dx 19.10. dx (x2+3)2 • (x24-2) (x2-i-3)2 ' — 00 — CO 4-00 4- co ».,1. j dx 19.12. x24-l . (X2+9)(x2+l)2 • [(x24-x-H)2 U- 4 —co — CO 4-co 4-co 19.13. x«+l , * !—dx. 19.14. у • —~ dx. (x24-4x+13)2 (X2 4-5)2 ’ — 00 — O0 4-co 4-00 19.15. У dx 19.16. у - x«4-5 (x2+ I)2 (x2 + 4) • x«4-5x24-6 ' — CO — CO 4- CO 4-00 dx to 1я V *2 + 3 dx ja 17 у (l+x2)2 ’ (X2-10x4-29)2 — 00 — co 4-co 4-00 19.19. dx 19.20. у dx (x2+l)2(x2 + 5)2 * x*4-7x24-12 ’ — co — co 4-co 4-00 19.21. у ,Jf2 + 4 Л 19.22. dx (x2 + 9)2 ' (x24-1)5 ' — co — CO 4-co 4-00 19.23. j dx (x24-2)2 (x2+ IO)2' 19.24. x2-l (x24-8x4-17)2 — CO — CO 4~ co 4-00 19.25. у x24-I0 , 19.26. у dx (x2 + 4)2 ’ (x24-l)i * — co — CO 4-co 4- co dx IQ 94 I x24-2 13 27 J (x2 + 3)2 (x2+ 15/2 * x«4-7x-’4-12 — co — co 4-co 4-co 19 29 dx IQ ЯП I — 00 (x2-10x4-29)2 ' — co (X2+ll)2 dX- 19 31 V d* J (x2+1P(*2 + 16) * — 00 Задача 20. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.10). 20.1. F *sin3x d., 20 , F (X—1) Sinx J (x2 + 4)2 dX‘ 20-2- J (x2+9)2 d*- 0 —QO OO OO 20.3. (• cos 2x -n . f x2 cos x , J (x2+ipdX- 20A- J (x2+l)2dr* —00 —oo ; 20.5. “ z. , n „ ?? x sin dx ( (*+ В cosx 20 6 f 2 . J x»+5x2 + 6 “ ’ J (x2+1)(x*+9) * — OO — QO 20.7. у f (X2 + 3) cos 2x „ 9ПЯ F ^-2>cos 2 J J x*+3x2+2 d*’ 20’ ’ J (x2 + l)2 d*’ — 90 —QO OO t OO 20.9. f (X2 — X) sin X ЯЛ «Л f XCOSX , 1 - , nA- dx, 20.10. 1 —5 й r-rrdx. J x4+9x2 + 20 J x2—2x + 17 — OO —QO OO OO 20.11. Г x sin 2x —sinx . P cos5xdx J (x2 + 4)3 dX’ “U1“' J (r2+l)2(x3 + 4) * — 0O —OO OO OO 20.13. (* x2 sin x , (x+l)sin2x , 1 —г,—g—9 TTdx. 20.14. 1 - -' ? <—Tn—dx. J x4+5x24-4 J x2+ 2x4-2 —CO — OO OO OO 20.15. C xsinx . „„.„С cos2x , J (x2+i)2<k- 20Л6- J / , 1^* —co 0 4 / OO OO 20.17. C cos x dx 20 ts f cos x dx j (x2 + l)3 ’ J (x2 +16) (x3+9) OO OO 20.19. C x sin x dx ?n 2ft f x cos x J x2—2x + 10 ’ J x2—2x + 10 * — OO —QO 20.21. j£ FXSinT . „_9 V sin 2x , J xa+4 dj"* 2°"‘" J (x2-x+1)2 ’ 0 —00 00 00 20.23. £ sin 2x dx f (x2 + 5x) sinx J (X2-X^ip • -и-ъ J ^+10x4-+9 1 —00 —00 ‘ co Г х2 cos х dx J x*-M0x2 + 9 * —co 00 Г (x3+l)cosx J х1 + 5л;2 + 4 00 20.27. '(x3-V-1) sin x х*+5х24-4* dx. 20.2S. J — 00 20.29. F (x*+x)sinx J x4-|-13x--[-36 u ' —co 20.30. (x2 + x)cosx x'+13^ + 36 x 20.31. —CO cos 3x—cos 2x (х2 + 1Г dx. Задача 21. Поданному жение (см. п. 1.12; 1.14). графику оригинала найти изобра- 21.ZL fit) о a. 2a За 4a i по заданному изображению Задача 22. Найти оригинал (см. n. 1.12). 22.1. 4P + 5 22.2. P (P-2) (p2+4p + 5)' (p+1) (p2+p + 1) 22.3. 2p 22.4. 1 (p2+4p + 8)4- P(P2+1)2‘ 22.5. p + 3 22.6. p PJ + 2p- + 3p‘ (p +1) (P2 + 4p + 5) ' 6 4 22.7. 22.8. pJ —8 P3+8 22.9. 1 22.10. P+4 P^ + P3’ P2 + 4p+5‘ 22.11. p 22.12. p + 5 _ (p- + l)(P2 + 4)‘ (p+l)(p’—2p + 5)- 22.13. 1 22.14. 3p + 2 PJ + P2 + P ‘ (p +1) (p2 + 4p+5) ' 22.15. 1 22.16. 1 P (P3 + 1) P3 (p’- —4) 22.17. P 22.18. 1 (P2 + l)(P2-2) ' p3 — 1 22.19. e~ p/2 (P2 + 1) (P2+ 2) ’ 22.20. 5 (P -1) (p2 + 4p + 5)‘ 22.21. 5p 22.22. 1 (p + 2) (p2 —2p-p2)* (p-2) (pa4-2p-f-3) * 22.23. P 22.24. 1—P (P2 + 4p + 8)2 p(p2+3p+3)' 22.25. 2p + l (p + 1) (P2 + 2p + 3) 22.26 2-3p • (p-2)(p2-4p4-5) 22.27. 2p + 3 22.28. 2 —P (p_l)(p2_p + l)- p3 —2p24-5p ‘ 22.29. 2 (p + 1) (p’2 + 2p+ 2) * 22.30. _____2-P (p—l)(p2 —4p4-5j* 22.31. 3p —2 (p-W-Gp+lO)- Задача 23. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям г/(0) = 0, г/'(0) = 0 (см. п. 1.12; 1.15; 1.16). 23.1. y" — y=tht, 23.3. у" — 2у' +у = -г—-j. 1 -f- г 23.5. у" — y = th2t. 23.2. «--/-jAp. 23.4. if — 2у' + 2у = 2ef cos t. 23.3. /-2-^.. 23.7. у"-У'=-^. 23.8. у"-2у'+у^-г^1. 23-9. 23.Н.1/'' У 1+chr 2е2£ 23.13. у«-Ау' + 4у = ^. Q~t 23.17. «/' + 2//+!/=^-^. 23.19. . 23.21. /+2у'Ч-1/=гфт. 23.23. у"—у = ^Д. а а ch21 23.25. у"+2г/' -}-у—j _u/2* 23.27. у" + 2У'+1/ = ^л. 23.29. у"+2у' = ~. 23.31. у +4г/ -j-4y ц_|_2/)2' 23.l0.9'-2i,'=j<. 23.12. у’ + у'^^. 2Ш ’•-4»=372? 23.16. у' + у'^^. 23.18. р'=7 ^77Г^. (1+е//2)2 23.20.," 1/'-^^. pit 23.22. У"-У'=^. 23.21. 9-+9. (1+%.)1, 23.26. ,"-2,'+,=^. 23.28. у"-4, = th2 21. 23.30. „•+»-(, Задача 24. Операционным методом решить задачу Коши (см. п. 1.12; 1.15). 24.1. у" + у = 6е~(, !/(0)=3, у' (0)=1. 24.3. y" + y’ = t*+2t, ,(0) = 0. У' (0) = —2. 24.5. {/" + ,'+ ?/ = 7е^, {/(0)=1. У' (0) = 4- 24.7. у" — 9, = sin t — cos t, l/(0) = -3, у' (0) = 2. 24.9. 2у" — у' = sin 3/, У (0) = 2. у' (0)= 1. 24,11. = sh t, ,(0) = 2. у' (0)=1. 24.13. у"—Зу'+-2у=е‘, ,(0) = 1, У' (0)=0. 24.2. iT-y’ = t\ 1/(0) = О, у' (0)=1. 24.4. у" — ,=cos 3/, Л(0)=1, У' (0)=1. 24.6. j/'+s,'_2&=-2(/+1), 1/(0)= 1, у' (0)=1. 24.8. у” + 2у' = 2 + ez, 1/(0)= 1, У' (0) = 2. 24.10. i/' + 2,' = sin 1/2, 1/(0) = —2, у' (0)=4. 24.12. у" + 4у' + 29(/ = е~"-\ р (0)=0, у' (0) = 1. 24.14. 2," + 3,'+, = Зе£, j/(0) = 0, у' (0)=1. 24.15. «/’ — 2у'3y = 2t, 1/(0)= 1, У' (0)= 1. 24.16. tf-4-4y= sin 2/, 1/(0) = 0, /(0)=1. , 24.17. 2у"+5/ = 29cost, 24.18. tf+y'+y = P+t, !/(0) = -1, у' (0)=0. 1/(0)= 1, у' (0) = -3. 24.19. у”+4у = 8 sin 2t, 24.20. у"-у'-бу = 2, 1/(0) = 3, у' (0)=—1, !/(0)=1. У' (0) = 0. 24.21. у" + 4// = 4е2/ + 4<2, 24.22. 1Г + 4у'+4у = Р&1, 1/(0)= 1, У' (0) = 2. 1/(0)= 1, 1/'(0) = 2. 24.23. —3(/' + 21/=12е'-1', 24.24 </"4-41/=3 sin /+10 cos 3/t i/(0) = 2, у' (0) = 6. H(0) = -2, у' (0) = 3. 24.25. у"4-2у’ + 10// = 2е~-' cos 3t, 24.26. у”-4-Зу' — 10у = 47 cos 3t — sin 3/, у(0) = 5, t/' (0) = 1. у(0) = 3, у' (0) = -1. 24.27. у“+у'-2у = е-‘, 24.28. i/"-2i/' = e4/2 + ^ —3). V(0) = -l, 1/'(0)=0. У (0) = 2, /(0) = 2. 24.29. у"+у = 2 cos t. 24.30. if—у=4 sin Z-j-5 cos 2tt V(0) = 0, у' (0) = 1. у(0) = -1, у' (0) = -2. 24.31. у” — Зу' + 2у = 2е* cos , У (0) = 1, 1/'(0) = 0- Задача 25. (см. п. 1.12; 1.15). Варианты 1—8 Частица массы т движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы F = — kx, пропорциональной смещению х и направленной в противоположную сторону, и силы сопротивления R = rv. В момент 1 = 0 частица находится на расстоянии х(, от положения равновесия и обладает скоростью г/0. Найти закон движения x = x(t) частицы. 25.1. k = tn, г —2т, хй= 1 м, оо=0. 25.2. k = m, г = 2т, х0=1 м, о0 = 1 м/с. 25.3. k = 5m, г = 2т, х0 = 1 м, о0 = 0. 25.4. k = 5m, г = 2т, х0=1 м, о0 = 1 м/с. 25.5. k = 5m, г —4т, х0 = 2 м, v0 = 1 м/с. 25-6. k=5m, г = 4т, х0=1 м, ио=0. 25.7. /г = 3т, г = 2т, х0=1 м, о0 = 0. 25.8. k = 3m, г = 2т, х0=1 м, о0=1 м/с. Варианты 9—16 Материальная точка массы т движется прямолинейно, отталкиваясь от начала координат с силой F = kx, пропорциональной расстоянию. На точку действует сила сопротивления среды R = rv, пропорциональная скорости v. При / = 0 расстояние точки от начала координат х0, а скорость ц0. Найтн закон движения х = = %(/) материальной точки. 25.9. k = 2m, г = т, . 25.10. k = 2m, г — т, : 25.11. k = 3m, г=2т, 25.12. k = 3m, г = 2т, 25.13. А = 4т, г = 3т, 25.14. k=4m, г = 3т, 25.15. k = 3m, г = 4т, 25.16. k = 5m, г = 4т, с0= 1 м, го = О. :0=1 м, г>0 = 1 м/с. х0= 1 м, v0= 1 м/с. х0= 1 м, f0 = 2 м/с. х0 = 2 м, ио = О. х0 = 1 м, il0=l м/с. х0 = 1 м, vg = 1 м/с. х0=1 м, с>0=2м/с. Варианты 17—24 Материальная точка массы т совершает прямолинейное колебание по оси Ох под действием восстанавливающей силы F=—kx, пропорциональной расстоянию х от начала координат и направленной к началу координат, и возмущающей силы /= A cos/. Найти закон движения x = x(t) точки, если в начальный момент времени х (0) = х0, v (0) = v0. 25.17. k = m, А —2т, хо = 0, Цу₽=0. 25.18. k — m, А = т, x(t=0, v0=l м/с. 25.19. k=m, А=2т, х0 = 1 м, ео = О. 25.20. k = m, А — т, х0=1 м, t'0 = 0,5 м/с. 25.21. А = 9т, А=8т, х0 = 1 м, со = 0. 25.22. k = 9m, А = 4т, хо=О, е0 = 0. 25.23. k = 9m, А=8т, хо = О, v0 = 3 м/с. 25.24. fe=9m, А = т, х0=1/8 м, v0 = 3m/c. Варианты 25—31 25.26. k=~, v0 = 5 м/с. О 25.28. k = m, vB = 7 м/с. 25.30. A = 0,lm, с0 = 1 м/с. На материальную точку массы т действует сила сопротивления R = kv, пропорциональная скорости v. Какое расстояние пройдет точка за неограниченное время, если ей сообщена начальная скорость и0? 25.25. k = 2m, t>0= 10 м/с. 25.27. й = 3т, t>0 = 6 м/с. 25.29. k = m/2, v0 = 6 м/с. 25.31. А = 10от, f0=l м/с. Задача 26. Решить (см. п. 1.12; 1.15). систему дифференциальных уравнений 26.1. х = х Зу 2, у = х — у+1; х (0)^-1, {/(0) = 2. х = — x-p3(/ + lf y = x-|-i/; х(0)=1, j/(0) = 2. 26.3. ( x = x-j-4y, ( у=2х — 1/4-9; х(0) = 1, у(0) = 0. 26.4. J х — х 4- 2.у 4-1 к 1 у = 4х—у, х(0) = 0, </(0) = 1. 26.5. ( х = 2x4-51/, ( у = х —21/4-2; х(0)=1, у(0) = 1. 26.6. f х= 2х4-Зу4-1 ( 1 у = х4-21/4-1; х(0)=0, у(0)=2. 26.7. Г X — Зх —)- у, 1 У = — 5х — 31/4-2; х(0) = 2, у(0) = 0. 26.8. J х = —Зх —4{/4-1( ( у = 2х4-31/; х(0) = 0, 1/(0) = 2. 26.9. ( х = —2x4-61/4-1, ( у = 2х4-2 ' х(0) = 0, у (0)=1. 26.10. ( x = 2x4-3i/4-ls ( у = 4х — 2у; *(0) = -1, 1/(0)=0 26.11. J x = x-j-2y, 1 У = 2х 4- у -f- 1 х(0) = 0, у(0) = 5. 26.12. ( х = 2х — 2у, ( у = —4х; х(0) = 3, j/(0) = l. 26.13. ( х = — х — 2у -f-1 3 , У = — ’2 *+у; *(0)=1, у(0) = 0. 26.14. ( х = 3x4-51/4-2,, 1 У=5х 4- у 4- И х (0) = 0, 1/(0) =2. 26.15. Г x = 3x-j-2y, .5 1 У = ~2-х —у + 2; х(0)=0, у(0) = 1. 26.16. ( x = 2i/4-l< ( у = 2х4-3; х(0) = — 1, 1/(0) =0. 26.17. f х = 2х4-8у4-1, L y~3x-j-4y; х(0) = 2, у(0) = 1. 26.18. J x = 2x4-2i/4-2, 1 У = 4«/4-1; х(0) = 0, у(0) = 1. 26.19. ' х = х-4~у, ' у = 4х4-y-f- 1; х(0) = 1, у(0)=0. 26.20. 1 ^ = « — 21/4-1. 1 У — —Зх; х(0) = 0к у (0) = 1. 26.21. • х = Зу-}-2, у = х + 2у; х(0) = —1, у(0) = 1. 26.22. J х=х 4- 4у 4-1, X у = 2х 4- 31/; х(0) = 0, у (0) = 1. 26.23. ' х = 2у, y = 2x-|-3i/4-l; х(0) = 2, у(0) = 1. 26.24. ( х = —2Х4-1/4-2, ( у = Зх; х(0) = 1, 1/(0) =0. 26.25. < x = 4x-f-3, У ~~ х4—2w, х(0) = -1, t/(0)=0. 26.26. Г х = у4-3, 1 У= x-j-2; х(0) = 1, 1/(0)=0. 26.27. ! х = х 4- Зу -f- 3, У ~ X у 4- 1; х(0)=0, </(0) = 1. 26.28. 1 х = — 1 у=х4-у4-1; х(0)=0, у (0) = 1. 26.29. х = 3г/, у = 3х4-1; х(0) = 2, y(0)=0. 26.30. ( х = х-[-Зу, 1 у=х—у, *(0) = 1. У(0) = 0. 26.31. * = — 2х + у, I/ = Зх; х(0) = 0, у (0) = 1. Задача 27. Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при отображении с помощью Функции w = f{z). 27.1. w=ez; прямые х = С, у = С. 27.2. ш=е-; полоса а <«/<(}, 0 =g а •< (5 ==£ 2л. 27.3. к/==е-’; прямые y — kx-\-b. 21А. w—&\ полоса между у=х и у — х-\-2л. 27.5. гг'==е-; полуполоса х<0, 0 <«/<<%:=£ 2л. 27.6. ю==е-; полу полоса х>0, 0<«/<asg2n. |__2 27-7. го= —:—; область D : {I 2 I < 1, Imz > Ok 1 _|_2> 4 1 ' 27.8. ro = lnz; полярная сетка | г | = R, arg 2 = 6. 27.9. ш = 1п2; угол 0 с arg г < а=с2л. 27.10. ш=1п2; сектор [г |< 1, 0 < argz < а 2л. 27.11. И) = 1пг; кольцо г\ < | г | < гг с разрезом по отрезку [г,, г2]. 27.12. ш = со8 2; прямоугольная сетка х = С, у —С. 27.13. ак==созг; полуполоса 0 < х < л, у <_ 0. 27.14. m = cosz; полуполоса 0<х<л/2, у >- 0. 27.15. u» = cos2; полуполоса — л/2<х<л/2, г/Ь>0. 27.16. w~cosz; полоса 0<х<л. 27.17. tt) = cos2; прямоугольник 0<х<л, —h <у < h, h > 0. 27.18. to = arcsinz; верхняя полуплоскость. 27.19. m = arcsinz; первый квадрант. 27.20. ш = сЬ г; прямоугольная сетка х = С, у = С. 27.21. w = chz; полоса 0<г/<л. 27.22. tt) = chz; полу полоса х > 0, 0 < у < л. 27.23. u) = Arshz первый квадрант. 27.24. tt) = tgz; полуполоса 0<х<л, у>0. 27.25. w—tgz; полоса 0<х<л. 27.26. tt) = tgz; полоса 0<х<л/4. 27.27. m = tgz; полоса —л/4 < х < л/4. 27.28. w~ cth г; полуполоса 0 < у < л х>0. 27.29. m = cthz; полоса 0 < у < я. z 3 11 i 27.30. = —", полуплоскость Rez<l. о 27.31. w — -—j ; область D : {1 < | г | < 2}. II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 2.1. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение Р(А) = т/п числа равновозможных случаев т, благоприятствующих событию А к общему числу п равновозможных случаев. 2.2 Комбинаторные формулы. Допустим, что требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить /г, способами, второе — п2 способами, третье — п3 способами и так до k-ro действия, которое можно выполнить пк способами, то все k действий вместе могут быть выполнены nixn2xn3x--.xn/l способами, в этом заключается основной принцип комбинаторики (правило умножения). Пусть Q — множество из п элементов. Произвольное ^-элементное подмножество множества из п элементов называется сочетанием из п элементов по k. Порядок элементов в подмножестве не существен. Число й-элементных подмножеств множества из п элементов обозначают С*. Например, если й = {а, Ь, с}, тогда {а}, {£>}, {<?} — все возможные сочетания из 3 по 1 (следовательно, С1, = 3); {а, Ь), {а, с}, {Ь, с), — все возможные сочетания из 3 по 2 (таким образом, СА = 3). Число сочетаний из п элементов по k находится с помощью формулы * п(п— 1)... (и — й+1) _ п! п~~ й! й!(п—й)1‘ Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (помер элемента) от 1 до п (п — число элементов множества) так, что различным элементам соответствуют различные числа. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т. е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества. Например, перестановки множества й = {а, Ь, с} имеют вид {а, Ь, с}, {а, с, Ь}, {Ь, а, с), {6, с, а}, {<?, а, &}, {с, Ь, а}. Число перестановок Рп множества, содержащего п элементов, определяется по формуле Рп = п\ Рассмотрим теперь упорядоченные подмножества данного множества й. Само множество й считаем неупорядоченным, поэтому каждое его подмножество может быть упорядочено каким-либо возможным способом. Число всех ft-элементных подмножеств множества й равно С*. Каждое такое подмножество можно упорядочить Й1 способами. Таким образом получим все упорядоченные й-элементные подмножества множества й. Число упорядоченных й-эле-ментов подмножеств множества, состоящего из п элементов, обозначается через А", Л* = й!С* = п(п-1)...(п-й-|-1). Упорядоченные й-элементные подмножества множества из п элементов называются размещениями из п элементов по й. Различные размещения из п по й отличаются либо элементами, либо их порядком. т Пусть ki, k.2, ... , km—целые неотрицательные числа, причем k2 — n. 1~У\. Представим множество А из п элементов в виде суммы т множеств А2, А2, ... ... , Ат, содержащих соответственно k2, k?, ..., km элементов. Обозначим число различных способов такого разбиения на группы через Сп (k2, k2, km). Оно определяется по формуле д | Cn{kt, k2, ...,km) = Лт[. Приведем еще одну комбинаторную схему, часто встречающуюся при рещении задач: n-элементное множество А является суммой множеств Alt А2, ... /к \ .... Л/,, число элементов которых равно соответственно пь n2, ...,nu У] , V — I ' В — m-элементное подмножество множества А, содержащее т2 элементов из / fe \ тг из Л2, ..., т1г элементов из Л* т2 = т\. Число способов, кото-V = 1 / рычи можно выбрать такое множество В из А (множества неупорядоченные), в силу основного принципа комбинаторики равно С„ хСи2Х...ХСп k. "1 nk 2.3. Геометрическое определение вероятности. Допустим, что в результате опыта в некоторой области Й наудачу появляется точка <в. Требуется определить вероятность Р (А) того, что ш е А, где А — область, принадлежащая й, А а: й. По определению полагают Р (А) = т (А)/т (Й), где т(А) и т (Й) — мера области Л и области Й. Под мерой будем понимать длину, площадь, объем в одно-, двух- и трехмерном случаях соответственно. 2.4. Теорема сложения и формула умножения вероятностей. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называется число Р (А/В), определяемое по формуле Р (А/В) — Р (АВ)/Р (В), Р(В)^0. Из данного определения вытекает формула умножения вероятностей Р (АВ) = Р (Л) Р (В/А) = Р (В) Р (А/В) для двух событий, которая допускает следующее обобщение для п событий: /’(Л1л2... Л„) = Р(Л1)Р(Л2/Л1)Р(Л3/Л1Л2)...Р(Л„/Л1, Л2, .... А„^). События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение Р(АВ) = Р(А)Р(В). Теорема. Для любых событий А и В имеет место формула Р (Л+В) = р (Л) + Р (В) — Р (ЛВ)5 для п событий—формула I п \ п р' S а- = 3 р (Л-) - S р (АЛ) + = 1 / i — 1 1 i < / п + 2 Р(л/Л/Л*)-... + (-1Г+1Р(Л142...Л,г). J i < / < k п 2.5. Формула полной вероятности, формулы Байеса. Набор событий Н2, Нг, ..., Нп называется полной группой попарно несовместных событий, если ^i+^2+-”+^n = ^ И i, /=1, 2.....n, i =r= i, где Q— достоверное событие; 0 — невозможное событие. Теорема 1. Если Hit Н2, .... Нп—полная группа попарно несовместных событий, причем Р (Я,) О, 1=1, 2, п, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности) Р(А)=^ P(Hi)P(A/Hi). 1=1 Теорема 2. В условиях теоремы 1 для любого события Л, таного, что Р (Л) 0, справедливы формулы Байеса Р (Нк/А)=~^Нк)Р k=\, 2.......п. J] Р (Нй Р (A/Ht) i = i 2.6. Схема независимых испытаний. Пусть вероятность появления события А при единичном испытании равна р. Опыт повторяется п раз, т. е. осуществляется серия из п независимых испытаний. Вероятность Рп (т) того, что в результате этих п опытов событие А произойдет т раз (наступит т успехов), определяется по формуле Бернулли Pn(m) = C’*pmq'l-m, т = 0, 1, 2, ..., п, (1) где <7=1 — р—вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании. Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей. Значение т=т0, при котором вероятность (1) принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом успехов. Если (п +1) р — дробное число, то тй принимает единственное значение т0 = [(« +1) р], где —символ целой части числа. Если величина (га4-1) р — дробная, то т0 принимает два значения + — 1 и mi2l = (n + l)р. Рассмотрим теперь случай, когда в результате каждого из п независимых испытаний может произойти одно из k попарно несовместных событий Alt А2, ... ..., Ак с вероятностями р1г р2...рк соответственно (рх+Рг + .-. + р*. = 1). Обозначим через и, число тех испытаний, в которых произошло событие А,, 1 = 1, 2, ..., k. Тогда вероятность mt наступлений события А1( т2, наступлений события А,, ..., тк, наступлений события Ак, причем ffli+m24-...+ »!/,= = п, определяется равенством п / , м! т, т, т,, Р’Лт" тг......т^тА т21...тк1 • Это полиномиальное распределение вероятностей; при т = 2 оно превращается в биномиальное. При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы: Рп (т) & <р (х), (2) У«Р<7 т—пр . . 1 _г2/2- где х = —-=-, <₽(-'<) = —— е ' , \ пру 2л PnUiS^1^—- (Х2)-Ф (х2), (3) \ V npq ; где Ф(х) = —1= С e~tlri dt; (4) Р„ (т) «а ~ е-а, а=пр; (5) fe3 Рп m<k2)~~, 2 ^а- ' (6) m = fet Формула (2) основана на локальной теореме Муавра —Ла. таса, (3) —на интегральной теореме Муавра — Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа {формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq > 9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)]. Замечание 1. Пр иближенные формулы (3) и (6) остаются в силе и в том случае, когда входящие в них неравенства являются строгими. Замечание 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I — IV соответственно (см. приложение). 2.7. Законы распределения н числовые характеристики случайных величин. Случайной величиной § называется функция д = |(<а), определенная на пространстве элементарных событий О. Это определение является точным в случае дискретного пространства элементарных событий О. В общем случае на функцию £ (со) накладывается требование измеримости. Функцией распределения случайной величины £ называется функция F (х) = Р {1<х}, — сосхссо Иными словами, значение функции распределения F (х)—случайной величины — есть вероятность того, что £ принимает значение меньшее, чем х. Случайная величина g называется дискретной, если существует конечное или счетное множество чисел х,, х2, ...,хк,... (без предельных точек), таких, что Р (l = xk) = ph>0, 6=1, 2, ...; 2 Р/;=1. = 1 Совокупность значений x!t и соответствующих вероятностей р^ называется распределением дискретной случайной величины. Примеры дискретных распределений 1. Биномиальное распределение Р (g = 6)= С„ (1—p)n-fe, 0 < р < 1, 6=0, 1, 2....П. 2. Распределение Пуассона (jk Р (£ = £)=±_е-« а>0, 6 = 0, 1, 2, ... 3. Геометрическое распределение Р (£ = £) = p(i_p)fc-i, 0 < р < 1, 6=1, 2, ... 4. Гипергеометрическое распределение Р(5 = 6) = С^С"-%/С”, 6 = 0, 1, 2....min (Я п). Случайная величина Е, называется непрерывной случайной величиной, если ее функция распределения представима в виде ?(*) = j p(x)dx, (7) —00 где р (х) — некоторая неотрицательная функция. Подынтегральная функция р (х) в формуле (7) называется плотностью 4-00 распределения случайной величины g, j p(x)dx=l. —00 Примеры непрерывных распределений 1. Равномерное распределение т----, х е [а, 61, р(х) = -! 6 — а —оэ < а < 6 <-]-оо. to, хе [а, 6], 2. Нормальное распределение (с параметрами (а, о)) р(х) =—L_ е—<х —а)г/(2а2)> —со<а<-|-со, о > 0. )/2л о 3. Показательное распределение , , Г Хе-Ч х>0, р{-х!-\ О, Х:<0, Z>0. 4. Распределение Коши р(Х) = л(1ф-х2) • Из формулы (7) следует, что в любой точке непрерывности р (х) имеет место равенство р (x) = f' (х). Математическим ожиданием дискретной случайной величины £ называется число M*=l>fePA. (8) k Если случайная величина принимает счетное множество значений, то требуется абсолютная сходимость ряда (8). Если ряд не сходится абсолютно, то говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины £ называется -f- оо число М£= j хр (х) dx, если интеграл абсолютно сходится, — 00 Дисперсией Dg случайной величины £ называется математическое ожидание случайной величины (£—ME)2: о^=ма-ма2. Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле D^=5(xfe-Ma2pSl k для непрерывной —по формуле D£ = +1j (х-М£)2Р(*)Ч — 00 Вероятность того, что случайная величина £ принимает значение в заданном числовом промежутке, вычисляется по одной из формул: хз P{Xi^^<x2} = F(x2)-F(xl), P{xts=g<x2}= p(x)dx. Xl Двумерные случайные величины Распределение двух случайных величин ; и т], или двумерной случайной величины (g, т}), не исчерпывается распределением каждой из них, так как при этом не учитывается зависимость, которая может существовать между ними. Функция распределения F (х, у) двумерной случайной величины (g, Т|) определяется как вероятность совместного выполнения неравенств g<x и г] < у. F (х, у) = РЦ<х, х и Если F (%, у) представима в виде F (х, t/) = j р (х, у) dx dy, где — ОО —*00 р (х, р) —некоторая неотрицательная функция, то двумерную случайную величину (Е, Г|) называют непрерывной, функцию р(х, у) — плотностью распределения двумерной случайной величины (g, q). Пло;ность распределения р^ (х) случайной величины £ выражается через + °° совместную плотность р (х, у) следующим образом: рЕ(х)= р (х, у) dy. — со Аналогично для плотности распределения случайной величины т| имеем 4-о° ₽п(У)= $ Р(х, У) dx- В отличие от совместной плотности распределения р (х, у) одномерные плотности р^ (х) и р,. (у) называют маргинальными. Случайные величины g и т) называются независимыми, если их совместная функция распределения F (х, у) при любых значениях аргументов х, у равна произведению маргинальных функций распределения Fj (х) случайной величины g и F,t (у) случайной величины т): F(x, p) = FE(x)Ft1(!/). Пусть (g, т]) —непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения р (х, у). Тогда для независимости g и ц необходимо и достаточно, чтобы совместная плотность р (х, у) распадалась в произведение маргинальных плотностей (х) и рп (у): Р(х, у) = РЕ (X)pn(jr). Коэффициен-т корреляции Величина M[(g —МЕ)(т]— Мт])] называется ковариацией случайных величин g и 1], cov (g, i]). Если (g, т|) — непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения р (х, у), то cov(g, iy) = j j (х—Mg) (у—Мт))р(х, j/)dxdg. — ОО —ОО Величина r = cov(g, называется коэффициентом корреляции случайных величии g и 1]. Свойства коэффициента корреляции 1°. Модуль коэффициента корреляции не превосходит единицы, | г j 1. 2°. Если g и т| независимые случайные величины, то г = 0. Обратное неверно: из условия г = 0 (некоррелированность случайных величин g и т)) не следует независимость с u I]. 3°. Если £ и т) связаны линейной зависимостью, то , г ] = 1. Свойства математического ожидания и дисперсии 1°. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т. е. Мс=с, с = const. 2°. Математическое ожидание суммы случайных, величин равно сумме их математических ожиданий, т. е. М (£+т]) = М£ + Мт] (предполагается, что М; и ЛЬ существуют). 3°. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е. M(gi]) = Mg- Mi] (предполагается, что ЛП и Mn существуют). 4°. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е. Dc~Q, c = const. 5°. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т. е. D (g-|~T)) = Dg-|-DT] (предполагается, что Dt и существуют!. 2.8. Характеристические функции. Характеристической функцией случайной величины с, называется математическое ожидание слуюйнэй величины е‘'^, <р(/) = Ме175, t — вещественный параметр. Для дискретной случайной величины и для непрерывной соответственно имеем: = ф(0= j еДхр{х)дх. k —оо Плотность распределения р (х) случайной величины с выражается через характеристическую функцию <р (i) с помощью обратного преобразования Фур^е р w= Свойства характеристических функций 1°. Характеристическая функция <р {t) случайной величины g определена для любого t е (— со, -|- оо), причем | Ф (О I «£ 1, ф (0) = 1. 2°. При изменении знака аргумента значение характеристической функции изменяется на комплексно-сопряженное-, <р(—/) = ф(/), —oo с t с-]-со. 3°. Если случайные величины связаны соотношением g2 = Ag1-(-(>, то Ф£1 Ю = е^йф^(И)- 4°. Если ( и и—независимые случайные величины, то ЯЧтт1(0 = ф£(0 Фп (О- 5°. Если существует Mg, то Mg = <p'(O)/i; если существует Dg, то Dg -= -ф"(О) + [ф' (О)Р. 6°. Соответствие между множеством функций распределения и множеством характеристических функций, устанавливаемое формулой <]:(/) =сМе“'Ц является взаимно однозначным {теорема единственности) и непрерывным {предельная теорема Леви). 2.9. Законы распределения функций случайных аргументов. Рассмотри-! непрерывную случайную величину g с плотностью распре (еления р-.{х) и другую случайную величину т|, связанную с ней функциональной зависимостью 0 = Ф© Функция распределения Fn{y) случайной величины г) выражается через плотность распределения р^ (х) случайного аргумента Л1(У) = 5 $ PjWdx. (9) k &k(y) где Д/, (у) — интервалы, в которых выполняется неравенство ф(х)<у. Суммирование в формуле (9) распространяется на все указанные интервалы. Границы интервалов Да (у) зависят от у и при заданном конкретном виде функции _у = Ф(х) могут быть выражены как явные функции у. Плотность распределения рп(у) случайной величины г] (если она существует) получается путем дифференцирования функции распределения: Рт1(У)=/7'а(У). (Ю) В простейшем случае монотонной функции т) = <р© использование формул (9) и (10) приводит к выражению Рр (У) = Рь 1Ф (у)11Ф' (У) I, где ф (у) —функция, обратная функции у = ф(х). Рассмотрим отдельно случай, когда функция распределения ГТ1(у) имеет точки разрыва у1г у2, ... , уп со скачками ри р2, ..., рп. Это означает существование значений случайной величины ц (совпадающих с точками разрыва Уь Уъ , Уп)> которым соответствуют ненулевые вероятности ръ р2, , рп. В данном случае плотность распределения вероятностей в точках уи у2, ..., уп обращается в бесконечность. Математическая идеализация указанного явления опирается на использование дельта-функции 6 (у), которая не является функцией в обычном понимании, а представляет собой так называемую обобщенную функцию. Будем рассматривать 6 (у) как производную функции единичного скачка В классическом анализе функция 1| (у) не дифференцируем-а в точке у=0, однако в теории обобщенных функций это ограничение снимается; таким образом, б(У)=П’(У)- (И) Представим функцию РГ[(у) в виде Fx\(y} = Fy(y)-F 2 №П(У-№).: fe=i где Г,। (у) —непрерывная («сомкнутая») функция. Согласно формулам (10) и (11) получаем Рц(У)=Рц(У) + S Р^(у-уА), где /5л(у)=?ч(у). fe=l Пусть теперь (£ь g2), (ijj, г]2) — двумерные случайные величины, причем •)1=№Ь), ^=h (Ь, &). (12) где функции ft и /2 предполагаются непрерывно дифференцируемыми и отображение (12) —взаимно однозначным, т. е. существуют функции <рх и <р2, такие, что £1 = Ф1(П1, Чг). Й2 = Ф’(Т11. Ча)- Тогда плотность распределения pr)(yt, у2) двухмерной случайной величины (т),, г]2) выразится через плотность распределения pj (хх, х2) случайной величины (g2, g2): Pt) (Уп У1) = Ръ, 1Ф1 (Уп Ун), фг (Уь Уг)] | I I = Оф1 дуг ду2 дф2 дф2 2.10. Числовые характеристики функций случайных величин. Пусть случайная величина г| = <р (g) есть функция случайной величины g. Если требуется определить лишь числовые характеристики случайной величины т), нет необходимости находить ее закон распределения. Числовые характеристики выражаются через закон распределения случайного аргумента g. Так, если g имеет плотность распределения р± (х), то математическое ожидание Мц и дисперсия Di] равны соответственно 4-оз -f-оэ Мц = <Р (*) Pj (*) дх, Drj= j [ср (x) — Mr]]2 Pi (x) dx. —oo —co 2.11. Закон больших чисел. Под законом больших чисел понимают ряд теорем, объединенных идеей устойчивости средних результатов при большом числе испытаний. Теорема Чебышева. Пусть случайные величины ^i, •••• попарю независимы и Dg;sgc, i=l, 2, ..., где с —некоторая постоянная. Тогда при любом е > 0 выполняется предельное соотношение Теорема Маркова. Пусть случайные величины gb g2, ..., g„, ... удовлетво-/ п \ ряют условию -tdI 1->0 при п-»оо. Тогда при любом е > 0 выполняется 4 = 1 ' предельное соотношение (13). Теорема Бернулли. Пусть т — число успехов в п независимых испытаниях, р — вероятность успеха в каждом испытании. Тогда при любом е>0 . n fl т . lim Р <1------р < е) = 1. п-*оо U П | J Доказательство этих теорем основано на неравенстве Чебышева Р {| g—Mg ' -сD|/c-, справедливом при любом е>0 для любой случайной величины g, имеющей конечное математическое ожидание Mg и конечную дисперсию Dg. 2.12. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных слагаемых. Пусть gt, g2, ... — независимые одинаково распреде- ленные случайные величины, имеющие математические ожидания Mg,- = a н дисперсии Dgt = o2. Тогда при п->оо функция распределения нормированной п суммы чл = У (gj — а)/а\Тп сходится к функции распределения нормальной i = i случайной величины с параметрами (0,1), т. е. при любом х Р{7]„<Х}_ 1 /2л ~ V <12. е Отсюда пол}’чается приближенная формула р {*! < Пл < х2} йэ Ф (хг) - ф (xj, справедливая при достаточно больших п. Она выражает вероятность выполнения неравенства xt < г]л < х2 через интеграл вероятности (4) (см. табл. II в приложении). 2.13. Точечные оценки параметров распределения. Выборкой называется п-мерная случайная величина (Xlt Х2.......Хп) с независимыми одинаково распределенными компонентами X,, i = l, 2.....п. Число п называется объе- мом выборки. Любая функция h = h(X1, Хг, Хп) выборочных значений называется статистикой. Пусть а —неизвестный параметр распределения случайной величины £ Статистика а* = а* (Хь Х2, ... , Х„), (14) используемая в приближенном равенстве с?са’, называется оценкой (точечной оценкой') неизвестного параметра по выборке, Классификация оценок Желательно, чтобы оценка (14) не давала систематического завышения или занижения результатов, т. е. чтобы Ма* (Хъ Х2, ..., Хл) = а. Оценка а*, обладающая указанным свойством, называется несмещенной. В противном случае она называется смещенной. Если при п -> оо оценка а* сходится по вероятности к истинному значению параметра а: а’ (Х}, Хг, .... Хл)Ма, то оценка а* называется состоятельной. Состоятельность означает, что с ростом объема выборки качество оценки улучшается. Если оценки сф и сф удовлетворяют неравенству М (а* — а)2 <M(<zf — и)2, то оценка аф называется более эффективной, чем а*. Если существует оценка а’ более эффективная, чем любая другая, то она называется эффективной. Методы получения оценок 1. Метод моментов. Пусть 5 — непрерывная случайная величина с плотностью распределения р (х, а), зависят~й от одномерного неизвестного параметра а. Тогда математическое ожидание является функцией а: -f-оо М£ = j хр (х, а) dx=pt(a), —00 п Выборочное среднее Х = — X, принимает значение, близкое к М£. Это i = i позволяет записать уравнение для определения неизвестного параметра а: Pi (а) = Х. Метод моментов аналогичным образом применяется к дискретным случайным величинам. 2. Метод максимального правдоподобия. Пусть £ —дискретная случайная величина с распределением ^(g = fl/)=Pi(a), i=l. 2, ..., k, где о, —возможные значения случайной величины р,-(а) — соответствующие k вероятности, зависящие от неизвестного параметра а, причем У р,(а)=1 i=i при любом допустимом значении а. Множество значений а,- случайной величины £ может быть не только конечным, но и счетным. Если среди наблюдаемых выборочных значений (хь х2, ... , хп) число at встречается п, раз ((=1, 2, ..., k), то для вероятности L (хь х2, ..., хп; а) получения данной выборки имеем выражение £(хь хг, .... х„; a) = Pi1(a)p"2(a)...p^(a). (15) Функция (15) параметра а называется функцией правдоподобия, а величина а*, при которой функция L(xlt х2, ..., хп; а) достигает максимума,— оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра а. Для непрерывной случайной величины § с плотностью распределения р (х, а), зависящей от неизвестного параметра а, метод максимального правдоподобия остается в силе. Отличие состоит в том, что теперь функция правдоподобия L(xr, х2, ..., хп\ а) = р(х1, а) р (х2, а.)...р(хп, а) выражается не через вероятность получения данной выборки, а через плотность распределения га-мерной случайной величины (Хъ Х2, •••, Хп,), зависящую от параметра а. При этом а служит аргументом, значения xlt х2, ..., хп, считаются фиксированными. 2.14. Доверительные интервалы. Кроме точечных оценок используются так называемые доверительные интервалы: указывается не одна точка а* (Хь Х2, ... ... , Х„), а интервал (а, а), к которому с заданной вероятностью принадлежит истинное значение параметра а, Р (а < а < й) = <^. (1G) Число 0 < < 1 называется доверительной вероятностью и характе- ризует надежность полученной оценки: чем ближе SP к единице, тем надежнее оценка (обычно выбирают <^ = 0,9; 0,95 или 0,99). Величины а и а называются доверительными границами. Они являются функциями выборочных значений a = cz(X1, Х2, ..., Хп), a — a(Xi, Х2...Хя) и, следовательно, являются случайными величинами. Интервал (а, а) со случайными границами a— a(Xi, Х2, , Хп), сс = — a (Хъ Х2,..., Х„), которые при любом допустимом значении а удовлетворяют соотношению (16), называется доверительным интервалом для неизвестного параметра а. Примеры доверительных интервалов 1. Доверительный интервал для математического ожидания а нормальной случайной величины при известной дисперсии о3 имеет вид X — < а < + К? • У п У п п Здесь X — - Xi, величина и^, определяется по заданной доверительной i = l вероятности с помощью табл. V (см приложение). 2. Доверительный интервал для математического ожидания а нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии о3 имеет вид л1* _ п* X-U -y~<za<X + tj. Уп Уп где оценка <у* вычисляется по формуле (14 1 = 1 а величина f j, определяется по заданной доверительной вероятности и объему выборки п с помощью табл. VI (см. приложение). 3. Доверительный интервал для дисперсии о3 нормальной случайной величины имеет вид (га — 1) ст*2 а2 < (л — 1) ст*2 где п — объем выборки; а*—оценка величины а, определяемая формулой (17); X?i) « ХГз)— корпи уравнений 4-00 1 — С 1 — Ф pn_i(*)dx=—-—, Pn_i(x)dx=—-—, (18) в которых подынтегральная функция рп_А (х) представляет собой плотность распределения хи-квадрат с п—1 степенями свободы. Уравнения (18) при заданной доверительной вероятности сТ5 решаются с помощью табл. VII (см. приложение). При определении входами этой I -I таблицы служат v = n— 1 и а = -^—( При определении — v=n—1; а = 1-^ 2 ' 4. Пусть п— число независимых испытаний, т — число наступлений события А, р —вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании. Рассмотрим случай, когда п достаточно велико, а значение р не слишком близко к нулю или к единице так, что можно воспользоваться асимптотикой Муавра—Лапласа (см, п. 2.6). При этом доверительный интервал для р имеет вид т т + и~Т. ’ U&. определяется по заданной доверительной вероятности с помощью табл. V (см. приложение). Рассмотрим отдельно случай т = 0. При этом нижняя доверительная граница равна нулю, верхняя 1—^/1— Аналогично, при т = п нижняя и верхняя доверительные границы равны соответственно ,/1—и единице. 2.15. Статистическая проверка гипотез. Случайная величина X, которая служит для статистической проверки гипотезы, называется критерием. Иногда термином критерий обозначают ие только случайную величину X, но и все правило проверки в целом. При этом X называют статистикой критерия. Проверка гипотезы состоит в том, что если наблюдаемое значение критерия принадлежит некоторому определенному множеству S, т. е. наступает событие {X <= S}, то основная гипотеза Но отвергается. Множество S, такое, что при наступлении события {XeS) основная гипотеза Но отвергается, называется критическим множеством (для гипотезы Но). Событие {X е S}, состоящее в том, что основная гипотеза Но отвергается, когда она является истинной, называется ошибкой первого рода. Событие {X 6= S}, состоящее в том, что основная гипотеза Но не отвергается, когда верна одна из альтернативных гипотез Нх, называется ошибкой второго рода_ Вероятности Р( и Рп ошибок первого и второго рода вычисляются в предположениях о справедливости различных гипотез — основной Но и альтернативной Нх соответственно: Pj = Ph е S), Рц = Рн (X е S). О л Вероятность ошибки второго рода, а также вероятность Рн (Хе$) = 1-Рн (хё$) (19) л Л противоположного события связаны с конкретной альтернативной гипотезой Нх, т. е. могут зависеть от некоторого параметра 1. Функция (19) параметра X, равная вероятности отвергнуть гипотезу Но, если верна гипотеза Н;, называется функцией мощности критерия. Правило статистической проверки гипотезы 1. Задаются малым числом а>0, называемым уровнем значимости, критерия-, обычно а = 0,05; 0,01 или 0,001. Чем более опасными признаются ошибки первого рода, тем меньшее значение а должно быть выбрано. 2, Определяют критическое множество S из условия выполнения неравенства pi=ph„(x S)=£a. (20) 3. Условием (20) критическое множество определяется неоднозначно. Выбирают ту из возможностей, которая обеспечивает минимум вероятности ошибки второго рода, или, что то же самое, максимум мощности критерия. 4. Производят опыт и получают наблюдаемое значение критерия. Если при этом наступает событие {X s S}, то основная гипотеза Но отвергается. В противном случае считается, что Но не противоречит опытным данным. Результат проверки гипотезы выражается словами: гипотеза Но отвергается (не отйергается) на уровне значимости а. 2. 16. Критерий согласия %2. Критерии, которые служат для проверки гййотезы о законе распределения случайной величины, называются критериями согласия. Пусть основная гипотеза Но состоит в том, что функция распределения случайной величины £ есть вполне определенная функция F (х). Разобьем числовую ось на г промежутков (разрядов). (—со = й0, at), [at, а2), .... аЛ = +оо), где а, < а2 <... < аг~Л. При справедливой гипотезе Но i-му разряду й; соответствует вероятность p; = F(fl;)-F(a;_i), f=l,2, .... г. Из п выборочных значений (Xj, Х2, ... , Хя) случайной величины g в i-й раз-/ г ' ряд а,) попадает случайное число т,- значений У т; = п). Тогда отно-'i = i / шеиие mi/п представляет собой частоту попадания выборочных значений в i-й разряд. Близость частот mjn к вероятностям рг свидетельствует в пользу основной гипотезы Но, заметные различия отвергают гипотезу Но. Случайная величина ‘2i> 1=1 1=1 характеризует согласованность гипотезы Но с опытными данными. Критерий х3 применяется в соответствии с общим правилом статистической проверки гипотез. При этом наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле (21), критическое множество выбирается в виде полубесконечного интервала (Ха* +°°)> № величина Хд находится с помощью табл, VII (см. приложение). Входами таблицы служат величина v = r— 1 и уровень значимости а. Если выполняется соотношение х2 > х^, то говорят, что гипотеза Но отвер. гается на уровне значимости а. В противном случае она не противоречит опытным данным. Замечание 1. Число выборочных значений пг,-, 1 = 1, 2, ... , г в каждом разряде должно быть не менее 5—10, Если это условие не выполняется, рекомендуется объединять разряды. Замечание 2. Критерий согласия х2 применим не только в случае, когда гипотетическая функция распределения F (х) случайной величины £ полностью определена. Если она зависит от I неизвестных параметров, т. е. имеет вид F (х; tz2, ..., се/), и параметры alt а2, ..., щ оцениваются по выборке методом максимального правдоподобия (см. п. 2.13), то критерий согласия остается в силе, только входом в табл. VII служит величина v = = г-/-1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. События. Правила действий над событиями. 2. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. Аксиомы Колмогорова. 3. Теорема сложения вероятностей. 4. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Попарная независимость событий и независимость в совокупности. 5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. 6. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. 7. Локальная теорема Муавра —Лапласа (без доказательства). 8. Формула Пуассона как асимптотическая для формулы Бернулли. 9. Случайная величина. Функция распределения одномерной случайной величины, ее свойства. 10. Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые характеристики. 11. Понятие многомерной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины. Свойства. 12. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Коэффициент корреляции. 13. Свойства математического ожидания и дисперсии. 14. Характеристическая функция случайной величины. Свойства. 15. Функциональное преобразование случайных величин. 16. Композиция законов распределения случайных величин. 17. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных слагаемых. 18. Закон больших чисел. Теоремы Чебышева, Маркова, Бернулли. 19. Точечные оценки параметров распределения. Свойства оценок. Методы получения оценок. 20. Доверительная вероятность. Доверительный интервал. Примеры построения доверительных интервалов. 21. Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Привести примеры противоположных случайных событий. 2. Привести примеры несовместных (совместных) событий. 3. Привести примеры зависимых и независимых событий. 4. Доказать соотношения между событиями: а) (А + В)С~АС + ВС, б) АВ+С=(А + С)(В + С), в) А+В= ^АВ, г) АВ — А + В, д) если С = А— В и В cz А, то А = В-)-С. 5. Доказать неравенство Р (А -\-В) ^~Р (А)-\-Р (В). 6. Доказать, что функция распределения случайной величины есть функция неубывающая. 7. Дано: tn — число успехов в серии из п независимых испытаний, р — вероятность успеха в одном испытании, q=l — р и £ = (т — пр)1]/ npq. Определить М£, D£. 8. Каково соотношение между ошибками первого и второго рода при статистической проверке гипотез? 9. Пусть а!<а2- Основная гипотеза Но отвергается на уровне значимости at(a2). Следует ли отсюда, что она будет отвергнута на уровне значимости а2 («1)? 10. Показать, что выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания. 11. Найти оценку максимального правдоподобия для вероятности р наступления события в схеме независимых испытаний Бернулли по известной частоте наступления этого события. Будет ли эта оценка несмещенной и состоятельной? 12. В серии из п опытов событие А наступило т раз. Найти доверительный интервал для вероятности наступления события А, соответствующий доверительной вероятности РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ (Исходные данные к задачам см. в конце главы) Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит А; в) произведение числа очков делится на N. (См. п. 2.1 и исходные данные.) Задача 2. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий t-го сорта равно n,-, i = 1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них mi первосортных, т2> т3 и т4 второго, третьего и четвертого / 4 \ сорта соответственно У т, = т). (См. п. 2.1; 2.2 и исходные / данные.) Задача 3. 'Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них I выигрышных. (См. п. 2.1; 2.2 и исходные данные.) Задача 4. В лифт ^-этажного дома сели п пассажиров (/г<&). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже. (См. п. 2.1, 2.2 и исходные данные.) Задача 5. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/fe. (См. п. 2.3 и исходные данные.) 3 а д а ч а (62 Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от Ух до Т2. Одно из событий длится 10 мин., другое — t мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются». (См. п. 2.3 и исходные данные.) Задача 7. В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны Si и S2. (См. п. 2.3 и исходные данные.) Задача 8. В двух партиях kr и доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное? (См. п. 2.4 и исходные данные.) Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1( вторым — р2. Первый сделал щ, второй — /г2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена. (См. п. 2.4 и исходные данные.) Задача 10. Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок А, второй — В, третий — А и т. д. 1. Найти вероятность указанного ниже события. Варианты 1—8. Выиграл А до k-ro броска. Варианты 9—15. Выиграл А не позднее k-ro броска. Варианты 16—23. Выиграл В до k-ro броска. Варианты 24—31. Выиграл В не позднее k-ro броска. 2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре? (См. п. 2.4 и исходные данные.) Задача 11. Урна содержит М занумерованных шаров с номерами от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события: А — номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, ... М; В — хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения; С — нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения. Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при М-+оо (См. п. 2.4 и исходные данные.) Задача 12. Из 1000 ламп п, принадлежат i-й партии, з i=l, 2, 3, 2 ц;=1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в i=i третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная. (См. п. 2.5 и исходные данные.) Задача 13. В первой урне A/j белых и Мк черных шаров, во второй Л/2 белых и Мг черных. Из первой во вторую переложено К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Опре делить вероятность того, что выбранный из второй урны шар — белый. (См. п. 2.5 и исходные данные.) Задача 14. В альбоме k чистых и I гашеных марок. Из них наудачу извлекаются т марок (среди которых могут быть и чистые и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается п марок. Определить вероятность того, что все п марок чистые. (См. п. 2.5 и исходные данные.) Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет изделий (i = l, 2, 3). Среди изделий i-ro завода /г,% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено /-м заводом. (См. п. 2.5 и исходные данные.) Задача 16. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает п раз. Определить вероятность того, что цифра выпадает т раз. (См. п. 2.6 и исходные данные.) Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна р. Куплено п билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. (См. п. 2.6 и исходные данные.) Задача 18. На каждый лотерейный билет с вероятностью рг может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью /ь — мелкий выигрыш и с вероятностью ра билет может оказаться без выиг-з рыша, У, Pi=l. Куплено п билетов. Определить вероятность по-i=i лучения пг крупных выигрышей и «2 мелких. (См. п. 2.6 и исходные данные.) Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность т «сбоев» (См. п. 2.6 и исходные данные.) Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из п независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству. Варианты 1—И: ki-^in^k2. Варианты 12—21: k2 т. Варианты 22—31: т sg k2. (См. п. 2.6 и исходные данные.) Задача 21. Дана плотность распределения р(х) случайной величины Найти параметр у, математическое ожидание Ml,, дисперсию DI,, функцию распределения случайной величины вероятность выполнения неравенства xi<£<x2. (См. п. 2.7 и исходные данные). Варианты 1—8: p(x) = f у—а’ ( 0, хё=[а, /?]. Варианты 9-16: PW = |O> х-[?( b] f у, xe[a, &], Варианты 17-24: p(x) = |0> x~[a. b] а, х е -д—, —j— > 0, хё|^,г±1]. Варианты 25—31: p(x) = Задача 22. Плотность распределения вероятностей случайной величины g имеет вид p(x) = yea*! + i-r+£. Найти: у, математическое ожидание Mg, дисперсию Dg, функцию распределения случайной величины g, вероятность выполнения неравенства JQC <g<x2. (См. п. 2.7 и исходные данные.) Задача 23. По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию <р(^), математическое ожидание Mg, дисперсию Dg случайной величины g. (См. п. 2.7; 2.8 и исходные данные.) Варианты 1 — 10. Биномиальный закон: P^ = k) = Cknpk(l-p)n-k, 0<р<1, fe = 0, Варианты 11—20. Закон Паскаля: = = л>0, 6 = 0, 1,2,... Варианты 21—31. Закон Пуассона: P(^ = /i) = Je-a, а>0, fc^O, 1, 2... Задача 24. Зная закон распределения случайной величины g, найти характеристическую функцию <р(£) и в вариантах 1 — 20 математическое ожидание Mg и дисперсию Dg случайной величины g. (См. п. 2.7; 2.8 и исходные данные.) Варианты 1—10. Случайная величина g распределена равномерно на отрезке [а, Ь]. Варианты 11—20. Случайная величина g имеет плотность распределения ( гДТД Х>0, р(х) = < Г(И (а>0,Ь>0). I 0, х=с0 Варианты 21—31. Случайная величина g распределена по нормальному закону с параметрами Mg = a и Dg = &. Задача 25. Дана плотность распределения р^(х) случайной величины g. Найти плотность распределения pn(z/), математическое ожидание Мт] и дисперсию Dt] случайной величины т], которая представляет собой площадь одной из указанных ниже геометрических фигур. Варианты 1—15: ( l/(b — a), х е Га, fel, Р&(Х) = \О, х^[а, Ь]; в вариантах 1—5 т] — площадь равностороннего треугольника со стороной в вариантах 6—10 т] — площадь круга радиуса в вариантах 11—15 ц —площадь квадрата со стороной Варианты 16—31: Pi (*) = 2 (х — а) (Ь-а? ’ 0, х [а, Ь], хе=[а, 6]’. в вариантах 16—20 т] — площадь равностороннего треугольника со стороной £, в вариантах 21—25 т] —площадь круга радиуса %, в вариантах 26—31 т] — площадь квадрата со стороной g. (См. п. 2.9; 2.10 и исходные данные.) Задача 26. Случайная величина £ имеет плотность распределения р^(х), указанную в задаче 25. Другая случайная величина т] связана с £ функциональной- зависимостью т] = 2Е”1 + 1. Определить математическое ожидание Мт] и дисперсию Dr] случайной величины т]. (См. п. 2.10 и исходные данные.) Задача 27. Случайная величина £ имеет плотность распределения вероятностей р^(х). Найти плотность распределения вероятностей pr](z/) случайной величины т] = <р(£). (См. п. 2.9 и исходные данные.) Задача 28. По заданной плотности распределения pL (х) случайной величины определить функцию распределения случайной величины £2 = <Р (£i)- Функция ^2 = ф(51) задана графически. Построить график функции распределения и, используя дельтафункцию, найти выражение для плотности распределения р2 (р) случайной величины £г. Варианты 1—6: ( 1/2, Pi W = | 0> хе[-1, 1], хё[-1, 1]. Варианты 7—15: p1(x) = -Le-^/2. r v ’ /2л Варианты 16—23: pi (х) =у е-1*1. Варианты 24—31: pi (х) = . J L 1 । Л I (См. п. 2.9 и исходные данные.) Задача 29. По заданной плотности распределения р?(хь х2) двумерной случайной величины (£lt с>) найти плотность распределения pn((/i, р2) двумерной случайной величины (т)!, Ла), свя-занной взаимно однозначно с (£г, &>) указанными ниже соотношениями. Варианты 1—15: 2 \a2 * й2/ < / к I p£(Xi, Х2) = ъ—-г& х» if 2лаЬ gt = arji cos нт]2, ^ = &>]! sin пт]2, Os£t]1<oo, 0^т]2<^-. Варианты 16—31: , .__ ab Pi(xlt х2)-л2(х^а2) (Х2+Ь2); Bt = atgniii, &i = btgni(]2, hil<£, |П2|<^« (См. п. 2.9 и исходные данные.) Задача 30. Двумерная случайная величина (5, т)) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС, т. е. J 1/S, если (х, у) <= АВС, р(.х> у) — | q, если уу^двс, где S — площадь А АВС. Определить маргинальные плотности распределения (х) и рп (у) случайных величин g и т), математические ожидания Mg, Мт], дисперсии Dg, Dr], коэффициент корреляции г. Являются ли случайные величины g и т] независимыми? (См. п. 2.1.9; в исходных данных указаны декартовы координаты вершин А АВС). Задача 31. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина g отклонится от своего математического ожидания Mg менее чем на Na, где a = ]/Dg — среднее квадратическое отклонение случайной величины g; N— номер варианта. (См. п. 2.11.) Задача 32. Случайная величина gt- с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений: i“ или — 1а. Выяснить, удовлетворяет ли последовательность gn g2, ..., g,-,... попарно независимых случайных величин закону больших чисел lim Р п—>оо е>0. Решить задачу для двух значений параметра а: а2 и а*. (См. п. 2.11 и исходные данные.) Задача 33. На отрезке [0, а] случайным образом выбраны п чисел, точнее, рассматриваются п независимых случайных величин gi, go, ..., g4, равномерно распределенных на отрезке [0, а]. Найти вероятность того, что их сумма заключена между х2 ( п и х2, т. е. Р<х1< У, g, <x2k (См. п. 2.12 и исходные данные.) I (=1 / Задача 34. Известно, что случайная величина | имеет распределение Пуассона Р (£, = т) = ~ е~а, неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки (хх, х2, .... х8) значение оценки а* неизвестного параметра а. Варианты 1—15. Метод моментов. Варианты 16—31. Метод максимального правдоподобия. (См. п. 2.13 и исходные данные.) Задача 35. Известно, что случайная величина £ имеет биномиальное распределение Р (& = т) = С„рт (1 — р)п~т, неизвестным является параметр р. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки (хх, х2, ... ..., xg) значение оценки р* неизвестного параметра р. Варианты 1—15. Метод максимального правдоподобия. Варианты 16—31. Метод моментов. (См. п. 2.13 и исходные данные.) Задача 36. Случайная величина £ имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией о2. По выборке (хх, х2> • > -М объема п вычис-п лено выборочное среднее ~ xt = a*. Определить доверительный 1 = 1 интервал для неизвестного параметра распределения а, отвечающий заданной доверительной вероятности аР. (См. п. 2.14 и исходные данные.) Задача 37. Случайная величина S имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией о2. По выборке (Xi, х2, ..., хп) объема п вычислены оценки п (°г)*=^2>-а*)2 w 1=1 неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания а, отвечающий доверительной вероятности е?. (См. п. 2.14 и исходные данные.) Задача 38. В результате п опытов получена несмещенная оценка (22) для дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности 5s. (См. п. 2.16 и исходные данные.) Задача 39. В серии из п выстрелов по мишени наблюдалось т попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности р попадания в мишень при доверительной вероятности е? = 0,95. (См. п. 2.16 и исходные данные.) Задача 40. В серии из п опытов событие А не наступило ни разу. Определить число опытов п, при котором верхняя дове рительная граница для вероятности Р(А) равна заданному числу pt. Доверительную вероятность принять равной 0,95. (См. п. 2.16 и исходные данные.) Задача 41. Для контроля взяты 200 узлов, собранных на ученическом конвейере. Число узлов гщ, при сборке которых пропущено i операций, сведено в таблицу: 1 10 1 2 3 4 5 6 7 1 41 62 45 22 16 8 4 2 Всего 200 Согласуются ли полученные результаты с распределением Пуассона (£== i) = е~“, где £ —случайное число пропущенных операций^ по критерию %2 при уровне значимости а? Решить задачу для заданного значения параметра а и для случая, когда параметр а оценивается по выборке. (См. п. 2.15; 2.16 и исходные данные.) Исходные данные к расчетным заданиям (В первой горизонтальной строке указаны номера задач, в левом столбце — номера вариантов) № 1 2 3 4 s N rtt rt2 «3 «4 mx ги2 m3 m4 rt m k k rt k 1 3 1 2 3 4 1 1 2 3 10 2 4 6 6 4 4 2 4 2 2 4 2 1 1 1 2 10 2 3 6 7 4 5 3 5 2 3 4 1 1 2 3 1 10 3 5 7 8 5 6 4 6 1 4 2 3 1 2 1 2 10 3 5 6 9 5 5 5 7 4 2 2 2 3 1 2 1 11 2 5 7 10 6 6 6 8 3 2 3 2 2 I 3 1 li 3 4 8 ll 4 7 7 9 5 1 2 2 3 1 1 1 п 3 5 1 12 4 6 8 10 2 5 2 1 1 3 1 1 12 3 8 5 13 3 7 9 3 4 2 3 2 2 1 2 1 12 2 8 3 14 3 8 10 4 3 3 4 1 2 1 2 1 12 2 5 4 13 4 7 11 5 2 3 3 3 1 2 3 1 9 2 4 6 12 3 8 12 6 1 а 4 . 3 . 1 2 2 1 5 3 5 6 11 3 5 13 7 2 3 4 2 1 2 3 1 9 2 3 7 10 4 6 14 8 1 2 3 5 1 1 2 3 8 2 4 5 9 4 7 15 9 2 3 4 2 1 2 2 1 8 "2 5 4 8 3 8 16 10 3 2 2 4 2 1 1 1 8 3 4 5 7 3 9 17 11 4 3 2 3 2 1 2 1 10 4 6 5 6 4 8 18 12 3 3 4 2 2 1 2 2 10 5 7 7 7. 4 7 49 13 2 4 5 1 2 2 а 1 10 4 6 7 8 & 6 20 14 "3 4 3 2 2 2 3 2 T2' 4 8 В 5 5 21 15 2 5 2 3 1 3 1 2 8 2 3 4 10 6 4 22 16 4 4 2 2 2 2 2 1 8 2 3 5 11 4 4 23 17 2 7 2 1 2 1 5 2 1 8 2 4 3 12 4 5 24 18 3 1 6 2 I 3 1 8 3 5 4 13 3 6 25 19 2 2 2 3 1 1 1 2 8 1 4 9 14 3 7 26 20 1 3 3 2 1 3 1 1 9 2 3 5 12 3 8 П р о д о л ж е I и е № 6 7 8 9 10 т*’ ^*1 * 2 t к Si зг fet *2 Pl Pi "•< k 1 900 1000 10 и 2,25 3,52 71 47 0,61 0,55 2 3 4 2 900 1100 20 12 2,37 3,52 78 39 0,62 0,54 3 2 5 3 1000 1100 10 13 2,49 3,52 87 31 0,63 0,53 2 3 6 4 1000 1200 20 14 2,55 1,57 72 46 0,64 0,52 3 2 7 5 1100 1200 15 11 2,27 5,57 79 38 0,65 0,51 2 3 8 6 1100 1300 15 12 2,39 5,57 86 32 0,66 0,49 3 2 9 7 900 930 10 13 2,51 1,57 73 45 0,67 0,48 2 3 10 8 900 ИЗО 20 14 2,57 3,52 81 37 0,68 0,47 3 2 11 9 1000 1030 15 11 2,29 3,52 85 33 0,69 0,46 2 3 4 10 1000 ИЗО 15 12 2,41 3,52 74 44 0,71 0,45 3 2 5 11 1100 изо 5 13 2,53 3,52 82 36 0,72 0,44 2 3 6 12 1100 1230 5 14 2,59 5,57 84 34 0,73 0,43 3 2 7 13 1200 1300 5 15 2,5 8,7 75 43 0,74 0,42 2 3 8 14 1200 1230 10 16 2,6 8,5 83 35 0,75 •0,41 3 2 9 15 1200 1330 5 11 2,2 3,5 76 42 0,76 0,39 2 3 10 16 1300 1400 10 12 2,4 3,5 77 41 0,77 0,38 3 2 12 17 1800 1900 10 13 2,5 3,5 47 71 0,78 0,37 2 3 5 18 1800 2000 20 14 2,6 1,8 39 78 0,39 0,45 3 2 6 19 1700 1800 10 15 2,7 7,9 31 87 0,38 0,46 2 3 7 20 1700 1900 20 16 2,7 8,2 72 46 0,37 0,47 3 2 8 21 1900 2000 15 И 2,3 3,5 38 79 0,36 0,48 2 3 9 22 1900 2100 15 12 2,4 3,5 32 86 0,35 0,49 3 2 10 23 1700 1730 10 13 2,5 3,5 73 45 0,34 0,51 2 3 11 24 1700 1830 20 14 2,6 5,6 81 37 0,33 0,52 3 2 4 25 1600 1630 15 15 2,5 8,7 33 85 0,32 0,53 2 3 5 26 1600 1730 15 И 2,3 5,6 44 74 0,31 0,54 3 2 6 27 . 1700 1730 5 12 2,4 5,6 36 82 0,29 0,55 2 3 7 28 1700 1830 5 13 2,5 3,5 84 34 0,28 0,56 3 2 8 29 1600 1700 5 14 2,6 5,6 75 43 0,27 0,57 2 3 9 30 1600 1630 10 15 2,7 7,9 83 35 0,26 0,58 3 2 10 31 1600 1730 5 12 2,25 3,52 76 42 0,25 0,59 2 3 11 Здесь две последние цифры означают минуты. Продолжение № 11 12 13 14 15 м «1 п2 Nt Mt N„ м. К k I т п т3 «1 л2 Лэ / 1 12 100 250 4 1 2 5 3 8 10 3 2 50 30 20 70 80 90 1 2 8 430 180 7 3 5 1 4 7 6 2 3 50 30 20 70 80 90 2 3 5 170 540 2 3 5 4 1 6 8 3 1 50 30 20 70 80 90 3 4 И 520 390 8 2 3 2 5 12 5 3 2 60 20 20 70 80 90 1 5 7 360 600 6 4 1 7 2 13 11 2 4 60 20 20 70 80 90 2 6 10 700 90 3 2 4 4 2 11 8 2 5 60 20 20 70 80 90 3 7 6 240 610 5 5 4 10 6 12 7 2 4 40 30 30 80 80 90 1 8 9 80 710 13 12 4 6 10 9 6 2 3 40 30 30 80 80 90 2 9 3 630 230 1 9 3 3 4 10 7 4 1 40 30 30 80 80 90 3 10 8 500 320 3 7 5 2 3 11 7 4 4 40 20 40 90 90 80 1 It 5 810 70 4 6 7 8 5 13 8 5 2 40 20 40 90 90 80 2 12 10 450 280 2 3 7 1 2 8- 7 3 3 40 20 40 90 90 80 3 13 6 270 640 2 2 3 1 1 12 10 4 2 70 20 10 70 80 90 1 14 9 380 470 2 8 3 1 6 9 6 1 3 70 20 10 70 80 90 2 15 4 640 80 6 4 3 3 4 6 8 3 2 70 20 10 70 80 90 3 16 7 160 570 5 5 4 3 3 14 13 3 3 60 10 30 80 90 80 1 17 5 590 200 25 3 25 2 19 11 10 4 5 60 10 30 80 90 80 2 18 11 620 190 20 1 40 7 15 7 5 2 2 60 10 30 80 90 80 3 19 9 730 100 20 . 4 25 5 7 15 9 4 3 50 20 30 90 80 90 1 20 6 540 200 50 8 20 6 42 8 10 3 3 50 20 30 90 80 90 2 21 12 90 690 40 8 10 2 35 12 5 2 2 50 20 30 90 80 90 3 22 8 220 550 25 2 20 4 12 14 11 3 5 30 30 40 70 70 80 1 23 10 290 700 20 1 40 5 15 6 7 2 2 30 30 40 70 70 80 2 24 7 350 440 25 2 25 6 15 13 9 4 4 30 30 40 70 70 80 3 25 3 470 360 10 3 50 И 7 9 6 3 3 20 40 40 90 70 80 1 26 6 680 230 20 1 20 4 15 11 10 2 5 20 40 40 90 70 80 2 27 9 710 160 25 3 25 7 17 7 8 4 3 20 40 40 90 70 80 3 28 4 180 270 40 5 50 8 12 12 11 5 4 10 50 40 70 90 80 1 29 7 260 620 40 8 20 4 27 8 3 2 2 10 50 40 70 90 80 2 30 5 650 140 25 3 40 2 14 6 6 1 2 10 50 40 70 90 80 3 31 8 230 480 20 1 50 6 11 10 8 3 3 20 30 50 70 70 90 1 Продолжение № 16 17 18 19 п т Р п п Pi tn п р 1 3 2 0,3 10 15 1 2 0,1 0,2 7 1000 0,002 2 7 3 0,3 14 15 2 1 0,15 0,15 7 1000 0,003 3 4 7 0,3 13 15 2 2 0,15 0,15 7 1000 0,004 4 4 3 0,3 12 15 1 1 0,1 0,15 7 1000 0,005 5 3 6 0,3 11 15 3 2 0,2 0,25 7 1000 0,006 6 6 5 0,3 15 15 2 2 0,15 0,2 7 1000 0,007 7 3 5 0,4 11 15 3 1 0,2 0,15 7 1000 0,008 8 8 3 0,4 13 15 1 2 0,13 0,17 7 юоо 0,009 9 6 4 0,4 14 15 2 1 0,14 0,16 7 1000 0,01 10 4 5 0,4 10 15 1 3 0,16 0,24 7 1000 0,011 11 2 7 0,4 12 15 3 2 0,17 0,23 8 200 0,01 12 5 4 0,4 15 15 3 1 0,18 0,12 8 300 0,01 13 8 6 0,5 12 15 3 1 0,19 0,11 8 200 0,02 14 2 6 0,4 12 15 3 3 0,2 0,26 8 500 0,01 15 2 3 0,5 11 14 1 3 0,09 0,21 8 300 0,02 16 4 2 0,5 13 14 1 4 0,1 0,21 8 700 0,01 17 7 6 0,5 14 14 2 2 0,11 0,2 8 400 0,02 18 5 3 0,5 15 14 2 4 0,12 0,2 8 900 0,01 19 4 6 0,6 13 14 3 3 0,15 0,2 8 500 0,02 20 8 5 0,6 11 14 2 3 0,2 0,2 8 1000 0,011 21 6 3 0,6 12 14 3 4 0,3 0,2 9 500 0,004 22 5 2 0,6 10 14 2 3 0,1 0,2 9 600 0,005 23 3 7 0,6 15 1 1 3 4 0,2 0,25 9 400 0,01 24 6 8 0,6 14 1 1 5 4 0,25 0,35 9 500 0,01 25 5 6 0,7 14 14 4 4 0,21 0,39 9 600 0,01 26 7 4 0,7 10 14 4 3 0,1 0,3 9 1000 0,007 27 5 7 0,7 15 14 2 2 0,25 0,35 9 1000 0,008 28 6 2 0,7 И 14 1 2 0,1 0,15 9 1000 0,009 29 7 5 0,7 12 14 1 1 0,05 0,15 9 1000 0,01 30 8 4 0,7 13 14 1 2 0,1 0,1 9 1000 0,011 31 7 2 0,3 13 14 2 2 0,05 0,05 9 юоо 0,012 Продолжение 20 21 22 № п р kt k, а ь Ч а ь С *1 х2 1 100 0,8 80 90 2,5 4 3 3,3 —2 8 —2 1 3 2 100 0,8 85 95 1,5 3 2 2,6 —2 4/3 —2/3 1/3 2/3 3 100 0,8 70 95 1,5 2,5 2 2,3 —2 —8 2 -3/2 — 1 4 100 0,7 83 93 1 3,5 2 2,8 —4 6 2 0 3/4 5 100 0,7 50 60 —1 2 -0,7 1,1 —3 3 —2 1/2 3/2 6 100 0,7 65 75 —2 1 —1,5 0,3 —4 -6 —2 —3/4 1/4 7 100 0,7 70 80 —3 5 —2 2 —3 —3 2 -1/2 3/2 8 100 0,6 40 50 -1,5 2,5 — 1 0 —3 —4 2 1/3 4/3 9 100 0,75 65 80 1 1,8 1,3 1,6 —2 —4/3 2/3 -1/3 2/3 10 100 0,75 70 85 1 2,4 1,5 2 —3 4 —2 -1/3 5/3 11 100 0,75 68 78 2 3,5 2,5 3 —2 8 0 1 3 12 100 0,7 60 — 2 2,8 2,1 2,5 -2 4/3 0 1/3 2/3' 13 100 0,7 70 — 1 2,8 — 1 3 —2 —8 0 —3/2 —1 14 100 0,7 80 — 1 2,6 1,5 3 —4 6 0 0 3/4 15 100 0,6 65 — 2 3 1 3 —3 3 0 1/2 3/2 16 100 0,6 75 — 2 4,8 4,5 5 —4 —6 0 -3/4 1/1 17 100 0,6 50 — —4 —2 -1 0 —3 -3 0 -1/2 3/2 18 100 0,8 70 — —3 —1 —2 0 —3 —4 0 1/3 4/3 19 100 0,8 80 — 2 4 0 3 —2 -4/3 0 -1/3 2/3 20 100 0,8 90 — 1 3 0 2 —3 4 0 -1/3 5/3 21 100 0,8? 95 — 1 1,5 0 0,5 —2 8 —1 1 3 22 100 0,3 — 20 —1 1,5 0 1 —4 6 1 0 3/4 23 100 0,3 — 30 —1,5 — 1 —1 2 —2 —8 1 —3/2 -1 24 100 0,3 — 40 —1,5 1 —1 1 —4 —6 —1 -3/4 1/4 25 200 0,4 — 80 0,5 1 0 3 ~~й» 3 —1 1/2 3/2 26 200 0,4 — 90 0,2 2 0 4 —3 — 4 1 1/3 4/3 27 200 0,4 — 100 0,5 3 0 0,5 —3 —3 1 -1/2 3/2 28 300 0,8 — 250 0,4 4 1 5 —3 4 —1 -1/3 5/3 29 400 0,6 — 270 1/4 1 0 3 —2 —4/3 1/3 -1/3 2/3 30 400 0,7 — 290 0,02 2 0 3 —2 4/3 -1/3 1/3 2/3 31 400 0,8 — 300 0,05 4 0 10 — 1 2 3 -1/3 4/3 П р о д о л ж е н и е № 23 24 25, 26 '4 р а а ь а h т 1 5 0,37 — —3 5 0 2 4 2 14 0,28 — 2 4 1 2 3 3 6 0,53 — — / —2 2 3 2 4 9 0,46 — —4 3 2 4 5 5 7 0,18 — -1 6 3 5 4 6 3 0,67 — —5 I 0 2 3 7 8 0,32 — —2 3 1 3 2 8 10 0,87 — —6 —2 2 4 3 9 4 0,25 — 4 7 3 5 4 10 12 0,41 — 1 8 4 6 2 11 — — 0,68 2,7 6 0 2 5 12 — — 0,35 3,8 13 1 2 4 13 — — 0,21 4,5 8 2 3 3 14 — — 0,89 2,0 5 2 4 5 15 — 0,72 6,1 9 3 5 4 16 — — 0,43 1,8 4 0 2 4 17 — — 0,17 5,7 11 1 3 3 18 — — 0,95 2,9 7 2 ' 4 2 19 — — 0,38 1,1 3 3 5 4 20 — — 0,63 4,3 10 4 6 3 21 — — 0,026 3,7 1,1 0 2 4 22 — — 0,38 4,5 2,0 1 2 5 23 — — 0,033 2,8 1,3 3 4 6 24 — — 0,218 5,0 3,5 2 4 5 25 — — 0,65 4,7 1,9 3 5 4 26 — — 0,816 6,4 2,8 3 4 3 27 — — 0,74 6,1 1,7 0 2 4 28 — — 0,015 5,3 1,4 1 3 5 29 — — 0,671 7,2 4,1 2 4 4 30 — — 0,324 3,9 1,2 4 5 з 31 — — 0,57 2,7 1,5 4 6 2 3* Исходные данные к задаче 27 № П = <Р (6) 27.1 1 л (1 -f-X2) П=1^1 27.3 fl / л л \ л ’ х е (“ У’ 1)’ 1 - ( я л\ °- 2’ 2-) П=1 g 1 27.5 X1 е 2 )Л2л r.= I & 1 27.7 2 . / л я \ — COS2 Л, Х<= — п-, , я \ 2*2/ л • / Л. Я \ °’ TS(--2’2) Tl = l 5 1 27.9 1 л ch х Г] =! V Продолжение № Pt <*> П = <Р (£) 27.2 2 , / л л \ — cos3 х, хе--, --), л \ 2 2 л / л л \ °’ Ге(~2-’У) т)=е~^‘ 27.4 1 л ch х г]=е~£' 27.6 1 и, (1 4-х2) П = £2 27.8 /1 / л л \ —, у)» „ - / Я л\ °- хе(- 2 ’ у) n=V 27.10 1 ’ Т е / 2 л г,=Ча ОУ № п = <₽ (£) 27.11 1 Л (1 +х2) т] —е * 27.13 /1 /пл. ¥ (= { — л ’ \ 2 ’ 2 ,) ’ 0, хе[-р ^2 11 = е а 27.15 е 2 У 2л —^2 т]==е ъ 27.17 1 л(1+*2) г] = 2^ 4~ 3 27.19 X2 1 ~ 2 , е У 2л т] = 2? + 3 27.21 , 2 „ / я я\ n~cos х’ 2 )’ л — / Л \ 0, т] = 2£ + 3 Продолжение № (-С и = <р (6) 27.12 2 9 / л л \ ч COS2 X, ^-1, _ — / Л л \ °- 27.14 1 л ch х П = 52 27.16 1 / Я Л \ л ’ 2’ ~2)> - / л я\ ° XS(-2’ 2/ 1 —2g + 3 27.18 1 л ch х i; = 4Е + 5 27.20 1 л (1 Ц-х2) П = 6£ + 4 27.22 fl / л л \ д’ хе(~¥* ¥/’ п — / л л \ °’ хе(“2> т) ri = 6£+4 № PE w n = q> <F,; 27.23 1 л ch х >. = 25+3 27.25 1 л (14- г2) n = 4E + 5 27.27 |СМ U jCM ICM К V V к Ц - Гк о-' T) = 4t, + 5 27.29 X- 1 ~ T ' e к 2 л H = 4?.4-5 27.31 К |oi g loi £ 1СЧ £ 'Сч Ш IU CO —- 8 oj ri q = 4t-j-5 Продолжение № n = <P (£' 27.24 1 2 - e V 2л q = 6£ + 4 27.26 2 / л л \ - COS2 X. X e — , , - - I \ 2 2 ] Л — / Л Л \ °- Xe(-2“’2-) l| = 6E; + 4 27.28 1 л ch x >l = bt+4 27.30 K~ i ~ t - -^=r e к 2л Продолжение Исходные данные к задаче 28. График функции |2 = <р(^1). 28.4. . 28.5, ~-2 *2 Продолжение 28.31. Продолжение Исходные данные к расчетным заданиям № 29 30 32 33 а b п ХА У А х в У в хс УС % аа а п *1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 — 1 -1 0,1 1/3 108 17 20 2 2 1 2 0 0 —1 1 1 1 —2 0,2 1/4 162 22 26 3 3 2 3 0 0 —1 1 — 1 —1 —3 0,3 1/5 300 28 33 4 2 3 2 0 0 —1 — 1 1 —1 —4 0,4 1/6 432 35 38 5 4 2 4 0 0 2 2 2 —2 —0,5 0,05 1/7 584 40 44 6 2 4 2 0 0 —2 2 2 2 -1,5 0,15 1/8 768 46 51 7 3 4 2 0 0 —2 2 —2 —2 —2,5 0,06 1/9 972 53 56 8 4 3 2 0 0 —2 —2 2 —2 -3,5 0,07 1/10 1200 58 62 9 5 1 2 1 1 1 —1 0 0 _5 0,08 1/11 1452 64 69 Ю 5 2 5 -1 1 1 1 0 0 —6 0,25 1/12 1728 71 74 И 5 3 4 —1 1 -1 -1 0 0 —7 0,26 1/13 2028 76 80 12 3 5 2 -1 -1 1 -1 0 0 0 0,27 2/3 108 34 40 13 2 2 3 2 2 2 —2 0 0 —4,5 0,01 1/2 162 44 52 14 3 7 3 —2 2 2 2 0 0 —5,5 0,02 2/5 300 56 66 15 7 4 2 —2 2 —2 —2 0 0 -6,5 0,03 2/7 584 80 88 16 4 5 1 —2 —2 2 —2 0 0 -7,5 0,04 2/9 972 106 112 17 1 2 1 —1 0 0 1 0 — 1 —9 0,06 2/11 1454 128 138 18 2 1 2 -1 0 0 2 0 —2 0 0,09 2/13 2028 152 160 19 3 2 3 -1 0 0 —1 0 1 -11 0,31 1 108 51 60 20 2 3 2 — 1 0 0 —2 0 2 -12 0,32 3/4 162 66 78 21 4 2 4 -1 0 1 1 1 —1 —8,5 0,33 3/5 300 74 99 22 2 4 2 —1 0 1 2 1 —2 —9,5 0,34 3/7 584 120 152 23 3 4 2 —1 0 1 — 1 1 1 —10,5 0,36 3/8 768 138 153 24 4 3 2 —1 0 1 —2 1 2 — 11,5 0,37 3/10 1200 174 186 25 5 1 2 0 —1 —1 0 1 0 -13 0,49 3/11 1452 192 207 26 5 2 5 0 —1 —2 0 2 0 —14 0,48 3/13 2028 228 240 27 5 3 4 0 —1 1 0 — 1 0 — 15 0,47 1/14 584 20 22 28 3 5 2 0 —1 2 0 —2 0 — 16 0,46 1/20 1200 29 31 29 2 2 3 0 0 1 1 1 —1 —1,4 0,44- 1/26 2028 38 40 30 3 7 3 0 0 — 1 1 1 1 -1,6 0,43 2 108 102 120 31 7 4 2 0 0 —1 -1 1 —1 —1,8 0,42 3/2 162 132 156 Продолжение № 34, 35 36 X, Хг Х3 х4 Х6 Х6 х-< п а* 't G- 3* 1 52 48 49 49 52 50 47 48 65 но 150 100 0,95 2 117 131 128 118 125 135 123 119 150 но 130 100 0,94 3 32 37 33 35 27 36 35 34 50 110 110 100 0,93 4 101 98 из 117 98 93 105 103 140 по 90 100 0,92 5 27 34 26 33 33 36 28 30 50 120 150 144 0,95 6 81 97 75 79 85 81 78 73 100 120 130 144 0,94 7 19 13 10 11 20 22 15 14 30 120 НО 144 0,93 8 73 75 69 74 73 77 68 70 но 120 90 144 0,92 9 43 39 41 45 36 42 41 37 70 НО 150 100 0,94 10 5 12 8 15 4 3 7 6 25 НО 130 100 0,93 Продолжение 34, 35 36 Д 9 х3 *4 хъ Хе Xi Хе п а* п а2 5“ 11 25 41 36 34 31 40 15 22 60 110 ПО 100 0.92 12 40 31 65 56 71 54 36 47 100 110 90 100 0,95 13 36 70 63 58 93 81 25 38 по 120 150 144 0,94 14 18 16 23 14 11 15 27 10 40 120 130 144 0.93 15 3.5 28 16 45 22 14 39 27 60 120 ПО 144 0,92 16 25 35 39 41 32 34 28 27 50 120 90 144 0,95 17 67 73 85 63 56 94 55 66 130 ПО 150 100 0.93 18 35 41 30 36 38 42 35 32 80 110 130 100 0,92 19 107 152 155 161 166 157 158 162 300 ПО ПО 100 0,95 20 25 34 12 36 18 33 16 17 50 110 90 100 0,94 21 18 37 45 33 27 36 19 40 70 120 150 144 0,93 22 98 79 83 85 91 81 86 84 100 120 130 144 0,92 23 45 78 83 66 62 71 73 50 90 120 ПО 144 0,95 24 14 13 17 15 20 25 13 22 45 120 90 144 0,94 25 35 53 43 35 34 44 37 30 60 ПО 150 100 0,92 26 35 45 74 77 85 86 89 62 150 ПО 130 100 0,95 27 11 15 17 20 15 13 17 11 30 ПО НО 100 0.94 28 33 12 15 17 25 20 28 17 40 110 90 100 0,93 29 21 11 28 12 13 15 22 19 50 120 150 144 0,92 30 83 94 74 77 85 89 80 81 100 120 130 144 0,95 31 14 12 9 8 15 7 11 8 30 120 НО 144 0,94 Продолжение № 37 38 39 40 41 а* а4* п S' п а4* 5“ п т Рг а а 1 2,1 0,5 31 0,8 14 45 0,98 30 10 0,01 1,70 0,002 2 2,1 0,5 28 0,9 15 1,5 0,98 30 11 0,02 1,71 1,72 0,01 3 2,1 0,5 26 0,95 10 18 0,8 30 12 0,03 0,005 4 2,1 0,5 24 0,98 9 0,2 0,98 30 13 0,04 1,73 0,01 5 1,7 0,8 31 0,8 12 25 0,96 30 14 0,05 1,74 0,05 6 1,7 0,8 28 0,9 17 16 0,96 30 15 0,06 1,75 0,005 7 1,7- 0,8 26 0,95 12 42 0,8 30 16 0,07 1,76 0,02 8 1.7 0,8 24 0,98 13 10 0,96 30 17 0,08 1,77 0,002 9 2,1 0,5 31 0,9 25 50 0.8 30 18 0,09 1,78 0,01 10 2,1 0,5 28 0,95 12 8 0.9 30 19 0,011 1,79 0,2 И 2,1 0,5 26 0,98 10 14 0,98 31 8 0,012 1,80 0,05 12 2,1 0,5 24 0,8 22 30 0,9 32 8 0,013 1,81 0,01 13 1,7 0,8 31 0,9 23 8 0,8 33 8 0,014 1,82 0,02 14 1,7 0,8 28 0,95 7 15 0,96 34 8 0,015 1.83 0,002 15 1,7 0,8 26 0,98 11 12 0,98 35 8 0,016 1,84 0.1 16 1,7 0,8 24 0,8 11 56 0,8 36 8 0,017 1.85 0,01 17 2,1 0,5 31 0,95 14 14 0,8 37 8 0,018 1,86 0,02 18 2,1 0,5 28 С,98 21 20 0,96 38 8 0,019 1,87 0,01 19 2,1 0,5 26 0,8 8 3,5 0,98 39 8 0,02 1,88 0,005 20 2,1 0,5 24 0,9 27 5 0,96 40 8 0,021 1,89 0,02 Продолжение № 37 38 39 40 41 а* <52* п Р п СУ2* & п т Pi а а 21 1,7 0,8 31 0,95 19 40 0,9 31 14 0,022 1,90 0,1 22 1,7 0,8 28 0,98 20 36 0,9 32 15 0,023 1,76 0,005 23 1,7 0,8 26 0.8 17 24 0,96 33 16 0,024 1,77 0,05 21 1,7 0,8 24 0,9 26 32 0,9 34 17 0,025 1,78 0,02 25 2,1 0,5 31 0,98 24 31 0,98 35 18 0,026 1,79 0,01 26 2,1 0,5 28 0,8 9 36 0,96 36 19 0,027 1,80 0,02 27 2,1 0,5 ' 26 0,9 16 4 0,8 37 20 0,028 1,81 0,05 28 2,1 0,5 24 0,93 15 54 0,8 38 . 21 0,029 1,82 0.01 29 1,7 0,8 31 0,98 14 32 0,9 39 22 0,03 1,83 0,05 30 1,7 0,8 28 0,8 18 48 0,96 40 23 0,031 1,84 0,02 31 1,7 0,8 26 0,9 16 64 0,98 41 24 0,032 1,85 0,05 III. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 3.1. Задача Штурма — Лиувилля. Рассмотрим краевую задачу ^х(К £H4^ + ^P(x)v = 0, (1) «!//(а) + а2/ (а) = 0, (й) = 0 (2) Здесь К (х) <= С1 [о, 6], К (х) Зг /<0 > 0, q (х)^С[а, й], q (х)Э=0, р(х) = С(а, Ь], р (х) > О, параметры ab а2> Pi. Зз удовлетворяют условиям aj' + a£#=0, Pi +3'5#= 0 Требуется найти такие значения параметра а, при которых существуют отличные от тождественного нуля (нетривиальные) решения дифференциального уравнения (1)., удовлетворяющие краевым условиям (2). Те значения параметра X, при которых существуют-нетривиальные решения задачи (1) — (2), называются собственными значениями этой краевой задачи, а соответствующие им нетривиальные решения— собственными, функциями С в о й с 1 в а собственных з н а ч е н и >1 и собственных функций 1° Существует счетное множество собственных значений Xi < Х2 < ... < < ..., оо при п -н- со. которым соответствуют собственные функции Ух (Ч, </2 (х), ... , уп (х), ... 2J. Собственные функции на отрезке [а, й], отвечающие разным значениям параметра 1. ортогональны с весом р (х): f. j р (X) уп IX) ут (х) dx = 0, п #= т 3°. Теорема Стеклова. Всякая функция j (х), удовлетворяющая краевым условиям (2) и имеющая непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям уп\ h oo j p (x) f (x) yn (x) dx (x) СпУп (^), Cn — • " = I J' p (x) y* (x) dx a Для примера решим следующую задачу. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения у = у (х) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям: у" + \у = 0, хе[1, 2|, (3) у(1) = /(2) = 3. (4) Рассмотрим три случая 1) Х< J. Общее решение уравнения (3) имеет вид у = С) sh К— X (х— 1)4-С, ch V — X (х— 1). Из условия i/(l) = 0 находим С3 = 0, у (х) = С1 sh У4— X (х— 1). Из условия (/' (2) — 0 получаем Ct = 0, т. е. у (х) = 0; 2) Х = 0. Общее решение уравнения (3) имеет вид у (х) = С1х-\-С2. Условия (4) приводят к тому, что С1 = С2 = 0, т. е. у(х)^0; 3) X > 0. Общее решение уравнения (3) имеет вид у (x) = Cj sin КX (х— 1)+С2 cos КX (х— 1), Из условия у(1) = 0 получаем С2 = Э; у (х) = С! sin Кх (х—1). Условие у' (2) = 0 приводит к уравнению Cj Их cos ргХ = О. Так как Их=4=0 и С, =£ 0, то созИХ = 0, откуда получаем: Их = л/2+гш, п = 0, 1, 2, таким образом, собственные значения задачи (3) —(4) равны X„ = (n/2-f-nn)2, n = 0, 1, 2, собственные функции — y„ = sin (л/2-)-л«) (х—1), п — 0, 1, 2, ... 3.2. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка н случае двух независимых переменных. Общее линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид + 2“i2“x„ + a2?uyv + аих + buv + си = /, (5) где а1ь а12, а22, а, Ь, с, / — заданные функции переменных х, у. Оно принадлежит к эллиптическому типу в точке (х, у), если af2 — апа22 < 0; принадлежит к гиперболическому типу в точке (х, у), если ai2— аиа22 > 0, и принадлежит к параболическому типу в точке (х, у), если afj — ацО22 = 0. Уравнение au dr/2 — 2а13 dy dx4-a22 dx2 = " (6) называется уравнением характеристик, для уравнения (5), а кривые, определяемые соотношением <р (х, у) = С, где (р —решение уравнения (6), называются характеристиками уравнения (5) Уравнение (6) эквивалентно двум уравнениям оп dr/—(a12 + /af2—апа22) dx = 0, (7) nlt dy — (a12- V a-i2 — aua22) dx = 0 (8) Для уравнения гиперболического типа общие интегралы <р (х, (/) = <?/ и ф(х, у) = С2 уравнений (7) и (8) вещественны и различны; они определяют два различных семейства вещественных характеристик уравнения (5) Замена | = ф(х у), т] = ф (х, у) приводит уравнение (5) к каноническому виду “Еп + а1и5 + + Vi" = |51 (s- Л) Если уравнение принадлежит к параболическому типу, то уравнения (7) и (8) совпадают, общий интеграл ф (х, у) = С определяет одно семейство вещественных характеристик уравнения (5) Замена £ = ф(х, у), т] = ф(х, ь), где ’) (х, у) — произвольная, дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию D (g, t])/D (х, у) о в рассматриваемой области, приводит уравнение к каноническому виду Wnn 4--4--ь V2w == 6а (5, Г)). Для уравнения эллиптического типа общие интегралы уравнений (7) и (8) являются комплексно-сопряженными. Они определяют два семейства мнимых характеристик Пусть tp (х, у)-Нф(х, у) = С — общий интеграл уравнения (7). Тогда замена | = ф(х, у), t| = 4(x, у) приводит уравнение (5) к следующему каноническому виду: + а3цЕ + Р3иТ1-|-у3ц = 6, (g, г]). Замечание. В некоторых случаях каноническое уравнение позволяет без груда найти общее решение заданного уравнения. Например, уравнение ихх— 7uXIJ-\-Uyy-\-ux— ии = 0 заменой |=х-|-ц, т]==г/ приводится к каноническому виду а,1Г1 —1^=0 Его общее решение задается <|ормулой «(S, n) = C’1©e” + C,(g), следовательно, общее решение данного уравнения может быть записано в виде ч(х, (/) = С\ (х + 0 ег/-ЬС, (х + у), где С, (х), С2(х) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции 3.3. Метод разделения переменных. Рассмотрим применение этого метода к решению уравнений различных типов Эллиптические уравнения где ная А. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R: Ди = 0, и |г = А = т (ф), д^и Дм =-s-j + , (г, ф) — полярные координаты точки (х, у); f (ф)—задан- функция. В полярных координатах (г, ф) уравнение Лапласа имеет вид ££/ ди\ I &и_п г дг \ дг/ ' 5ф2— Решения этого уравнения будем искать в виде и (г, ф) = Р (г) Ф (ф). Подставляя выражение (10) в (9), получим /W" -L г/?' ф" Ф (r*R + rR') = - РФ", или - 1\ Ф (9) (10) Из последнего соотношения для нахождения функций Ф (ф) и R (г) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения ф"-|-ХФ = 0, r2R"-prR' — XR = O, X = const, (12) Из очевидного равенства и (г, ф + 2л) = и(г, ф) следует, что Ф (ф + 2л) = Ф(ср), из уравнения (11) находим'к = п2 и Ф„ (ф) = Лп cos ггц> 4-Вл sin пер, п = 0, 1, 2, ... Общее решение уравнения (12) имеет вид /?о (r) = Cn + D0 In г при л = 0; Rn (r^Cnrn + Dnr~n при п > 0. В силу ограниченности решения и (г, ср) в центре кр>га имеем | R (0) , < С, т. е Ro(r) = Co при п = 0, R„(r) = C„r'‘ при п=\, 2, ... Решение задачи Дирихле ищется в виде “(г, <Р)=Л0+ У (Ап cos ыр-}-Вп sin пф) гп, п = 1 где коэффициенты До, Ап, Вп, п = \, 2, ..., определяются по формулам-2л 2л 2л 2 f 1 С 1 с Ло=— t /(V)d<p. Ап ~^д7г I (ф) cos шр dcp, в„ = — р (ср) sin nep dip О О О Замечание Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ищется в виде и(г, (p) = C0 + D0 lnzr + {(ЛлГ" + т^)созпф + f Впгп 4- ) sin ntp|. п = I Коэффициенты определяются из граничных условий. Б. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре радиуса R: £ш = 0, и |r = R=f ftp, 0). •-> л &и , । d'Ri Здесь ли — 4- , (г, <p, 6) —сферические координаты точки (х, у, г); / (ср, 6) —заданная функция Частные решения уравнения Лапласа, записанного в сферических координатах 1 ( 2 (М . 1 > 1 $_( Зи \ г3 dr \ dr j ' г1 sin2 Ч Зф2 с3 sin 0 36 \ S'n 30 / — (13) будем искать в виде и (г, ср, 6) = R (г) X (tp, 6) Подставляя их в (13), получаем уравнения г2/?" + 2г/?'-М? = 0, (14) sin2 6 Зф2 sin 6 36 [ 30 | v ‘ Будем искать решения уравнения (15) в виде X (ф, 0) = Ф (ср) ф (6). С учетом соотношения Х(ф4~2л, 0) = Х(ф, 0) получаем ф" + рф = 0, Ф (ф + 2л) = ф(ф), (16) та®(”"т) + ('-«)’’-0' "7< Из (16) имеем р = £3, k = 0, 1, ... и Ф* (Ф) = Ak cos /гф + ВЛ sin Аф, k = Q, I, 2, ... Полагая в (17) £ = cos0 и обозначая V (0) = У (cos 9) = У (g), получаем d Гп .2. ИУ1 / k1 \ v . d£L 6 d2j + (X 1_^)У=0 Это уравнение имеет ограниченные на отрезке [—1, 1] решения тогда и только тогда, когда Х = п(п-|-1), и этими решениями являются функции Рп ® = где Рп (£), n = 0, 1, 2, ...— полиномы Лежандра; 1 dn г © = 27мГ l(V “ 1)Я’’ J Рп (5) Рт ® d| = Таким образом мы находим частные решения уравнения (15): п Х„(<р, 6) = ЯоРя (cos 6)4- У, (Ak cos Лф4-3& sin Лер) Р* (cos 9) *=1 О, ш=#п, 2 О—гт , т = п. 2л 4- 1 и общее решение уравнения (14) при ). = п(пт1), 0 k п: Rn(r) = Cnm + Dnlr'^. Следовательно, искомые частные решения уравнения (13) могут быть представлены в виде ип(г, <р, 9) = (Спгя + Оп/г«+1)Хп(ф, В). Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре следует искать в виде со п и (г, <р, В)= У г71 АйпРп (cos 8)4- У (4*„cos£<p+Sftnsinfep)P*(cosS) , п =0 k = 1 где Аоп, п = 0, 1, 2, Акп, Вкп, k=l, 2...... л = 1, 2, .... определяются через коэффициенты разложения функции f (ф, 9): /(<₽, S)= У АОпРп (cos 8)4- У (Д^С08Л<р4-5йл 81п Лф) Р* (cos 6) . П =0 k =а 1 Замечание 1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаровом слое следует искать в виде 03 U (Г, ф, 9)== гП гс=0 п АОпР (cos 9)+ J] (Akn cos /гф + В^ sin kq>) Р* (cos 6) fe= 1 + oo n + У г-"-1 CanPn (cos 0) 4- У (Скп cos Лф4- Dkn sin /«₽) P* (cos 0) n - 0 k —I Коэффициенты определяются из граничных условий. Если граничные функции не зависят от угла <р, т. е. f (<р, 8) = f (6), ОО то соответствующие формулы упрощаются: и (г, 6)= У Anr'lPn (cos 9) — п«= О л в случае шара, где Ап = f (6) рп (cos 6) sin 6 d0; о со со “(г, 6) = У AnrnPn (cos 0)4- У Спг~11~1Рп (cos 6) — в случае шарового слоя, п—0 п—0 Коэффициенты определяются из граничных условий. Замечание 2. Метод разделения переменных, примененный к уравнению Гельмгольца &.и-\-си — 0 в шаре, приводит к решению уравнения d’ R , 2 d /? d г2 + г d г + с Я («+1)\ Г2 ) которое заменой R = Y/}fr сводится к уравнению Бесселя Замечание 3. Уравнение Пуассона &u—f заменой ц = и— ий, где иа—частное решение уравнения Пуассона, сводится к уравнению Лапласа Дп = 0 Гиперболические уравнения А. Первая смешанная задача для волнового уравнения в области Qx(0, Т), х = (хъ х2, ... , хп) е Q, t <= (О, Г): и^ = ааДи, (18) ц (х, 0) = uo(x), 0) = «,(х), (19) u Jacxto. Т) = 0- *2°) Здесь символом dQ обозначена граница области Q. Сначала ищем частные решения уравнения (18), отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие условиям (20) в виде и(х, t)=T(t)V(x). (21) Подставляя выражение (21) в (18), получаем ?" + а'2Х? = 0, (22) ДУ 4-XV = О, Х = const. Таким образом получена задача Штурма—Лиувилля ДУ4-ХУ = 0, vido = o Решая ее, находим собственные значения Хл и собственные функции Vn (х). Общее решение уравнения (22) найдем, подставляя в него Хл вместо X: Тп (П = Ап cos Хл at А- В„ sin К Ki at- Искомое решение задачи (18).— (20) имеет вид и (х, 0=2 (Ап cos КХд а/+ Вп sin /Хд at) Vn (х), П я= 1 j иа (х) Уд (X) dx \ u, (х) Уд (х) dx д — 2_______________. д _ ‘ 2_____________________ j V3 (х) dx ’ n \/Кпа jv^(x)dx 4> Q Б. Первая смешанная задача для волнового уравнения на отрезке [0, utt = a2u.xxi и (х, 0) = и0(х), и, (х, 0) = и1(х), и (0, 0=0, u (1, 0 = 0- Е е решение и (х, /) находится в виде ОО . Л V / 4 ппа j , г, ма Л . ЯП , и (х, < Д„ cos —— t -f- Вп sm -j- /1 sm х, /i = t о 1 2 где А„ = \ но (х) sin xdx; Вп = — \ (ц (х) sin xdx, n=l, 2, ... С j w will 1 C о 0 6, Смешанная задача для волнового уравнения в прямоугольнике {0, /; 0, «tjt и и ~а~ (1!хх + a,/tj), и(х, у, О) — ио(х, у), у, В)=и{(х, у), и (0, у, — у, i) — u(x, 0, /) = и(х, in, /)=0. Решение задачи находится по формуле «(х, у, !) = У [Дл,гсоз ла/п2/Р+ k2,/m-t + П =1 If =1 + Bnk sin ла ]'пг/Р ф-k’/ufl t ] sin x sin ' - у, t nt 2 2 С C rut где z \ M*. {0 sin - x • sin — у dx di/; n, *=), 2, .... 6 G 7 »n о 4 C f , . . ян . Bfll!^— г-Г,- \ \ til (x, y) sin - - x sm -Ty dx dy, n, k^\, 2, ... ла |/ n-m2+ /г-t8 о J 1 m Г.- Первая смешанная задача дм волнового уравнения в круге (случай осе. вой симметрии): „ fd-ti I ди 1 д~и\ п • ««=«'1^+-; ,t(r' (f' 0) = "a(r>’ И/ (г, ф, О) = по(г), ti \r_R-=0. Решение этой задачи имеет вид ОО и (г, ф, ОS и (г, V) = У [ А„ cos / + Вп sin Л Jo , . К К j \ к ! п — 1 где Р(, щ, .... |tn, ... — положительные корпи уравнения Jo (ft) =0 (/0 (х) — Функция Бесселя первого рода нулевого порядка), о О, к^п, k = a, d /dv(x)\ dx \ xv У (x' Jy (X)) = XVJV_! (X), Л (х)—функция Бесселя первого рода v-ro порядка. Коэффициенты Ап и Вп определяются по формулам R А»^-^-(ил rj<> ОтАи“(г)дг> "=1» 2> •••• l<J1 (Мл) j \ к j t R (р„) J rJ° (V)"* «dr, «=1, 2, ... О Параболические уравнения А. Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности на отрезке 10, /]: ut = a^uxx, и (х, О) = ио(х), tz(O, 0 = 0, и (/, 0 = 0. Применяя метод разделения переменных, решение задачи находим в виде оо __ 'ппа\2 и (х, 0=2 Лле ' 1 ' sin ~ х, Я = 1 1 . 2 С , , . tin , „ где А„ = ( \ иь (х) sin - х dx, n = i, 2, ... о Б. Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности в круге радиуса R (случай осевой симметрии)-. ди _ (д-и 1 ди 1 дРи\ . . п It ~ \+ 7" 57 + 7> dift ’ U Г ’ “ "R “ °' Решение задачи находится по формуле 2 а ОО С / и (г, <f, t) = и (г, 0=2 Л"е Ju(^) - Л = 1 /? где Л(НЛ)=О, л = 1, 2, .... Ап = -^1ТГ-~ I ru() (г) Jo №~\&-К J1(Ил) J \ ^ / О 3.4. Задача Коши для нестационарных уравнений. Задача Коши для гиперболического уравнения ставится следующим образом: иа—а2Ди = 0, и|<_0=иэ(х), иЛ-о = “1 W- Здесь х = (%1, х,, ..., х„) е R72. Решение этой задачи выражается при п = 2 формулой Пуассона: и^х' ^ЪГа «1Й) „ l/o'-r— jx-L1 B ~ 2ло dt при n = 3 —формулой Кирхгофа: и(х’0=ет S ^^dsi+^dt \x — 5 । =a! al U° (It; Щ (1) dsj . at J t Решение задачи Кошм для параболическом уравнения ut = a2\u, u\t^ = uil(x), х = (х1г х2, .... хл) выражается формулой Пуассона и(х,1) = --L— ?u0(-)e ia4 dj. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка в случае двух переменных. Характеристики. 2. Основные уравнения. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи. 3. Понятие корректной задачи. Корректность постановок основных задач математической физики. Пример Адамара. 4. Задача Коши для волнового уравнения. Формулы Далам-бера, Пуассона, Кирхгофа. Принцип Гюйгенса. 5. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения. Принцип Дюамеля. 6. Уравнения Лапласа и Пуассона. Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций. 7. Функция Грина. Функция Грина для круга и для шара. 8. Применение функция Грина к решению краевых задач. 9. Уравнение параболического типа. Принцип максимума. 10. Метод разделения переменных решения краевых задач. Задача Штурма — Лиувилля. 11. Метод разделения переменных решения смешанных задач. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти статический прогиб струны, закрепленной на концах, под действием непрерывно распределенной нагрузки. 2. Доказать, что уравнение с постоянными коэффициентами Ujcy-^-aux-^bu^-i-cu = 0 заменой и (х, у) = и{х, y)erbx~atJ приводится к виду vxy 4- (с — ab) v = 0. 3. Доказать, что общее решение уравнения иху — --у'и* + 4- иу — 0 имеет вид и(х, у) = С- , где Сг(х) и С2(</) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. 4. Пусть функция и (х, /) является решением задачи Коши ult = a'1Au, u\t_0 = (p(x), и{ |^о = 0. t Доказать, что функция v (х, /) = и (х, т)бт является решением о задачи Коши п« = а2Ду, п|/_о = 0. аЛ-о^фС*)- 5. Доказать, что функция u (х, t, tn) при каждом 10^0 является решением задачи Коши = u\i=ta — f (х, t0) тогда и только t тогда, когда функция v (х, t, to) — ^u(x, t, т) dr при каждом 4,3^0 является решением задачи Коши: vt = c?vxx-\-f(xt t), = = 0. До 6. Доказать, что задача Гурса i/) = 0, х>0, у>0, м|л-о = g(y), /(0)^£(0) имеет единственное решение и(х, у) — f(x) 4-g(y) — f (0). 7. Доказать, что для решений уравнения иа = агихх в области {0<х</, />0} при граничных условиях и (0, 1) = и{1, /) —0 функция £ (i) = 4 У 1и1 (х> 0 + й2“* (х> 0] dx о сохраняет постоянное значение для всех (>0 (закон сохранения анергии). 8. Построить функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве z>0. 9. Доказать, что для любой гармонической в области D функции и (х) класса С1 (D) имеет место равенство ds — 0, где OD г— нор^галь к 3D. 10. Используя разложение по параметру u(x, tj — u^Xy 0 + 4- 8«i (х, получить решение с точностью до е1 задачи Коши: = а2ихх + ес (х, t)u, и^_о = ф(х), ис = ф (х). РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ Задача 1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения у = у(х) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма — Лиувилля, см. п. 3.1). у y"+Zy=0, 1 s=x=<2, I у(1)=у' (2) = 0. ( y’ + ^y = 0, n/2^xs=:x, I У (л/2) = у' (л) = 0. ( У'' + ^У = О> 1/2 ^х^1, I У (1/2) = у' (1) =0. ( у" + ?.у = 0, л - х : 2л, I У (л) = у' (2л) = 0. у !/" + 1у = 0, 1 х ==£ 3/2, I у(1) = у'(3/2)=0. у у" -|- ?.у — 0, я/2 < х =: Зл/1 I у(л/2) = у' (Зя/2) = 0. 2 f У" + ^У-=0, 3;2^Х<2, 1 ^(3/2):=^' (2)=0. . л 1 У’Ч ^У = 0, л.'4 i х <_ л 2, 1.4. < I у(л/4) = у' (л/2)=0. J 6 I У" + ?^ = 0- 3/4 х л 1, I У(3/4) = у’ (1)=0. Ig ( У’+ ^У = 0, л/2 х =5 31/J, I у (л/2)ч=у'(Зл/4)==0. 1 10. | + = 1/4 1,2, ’ I у(1/4)-=у’(1/2)=0. 1 12 / !/" + ^ = 0, 3/4*£Хй55у4, I У (3/4) <= у' (5/4) = 0. ( у"А-1.у=Л, l/2^x^3/2, I V(l/2) = </' (3/2)=0. ( if+ly=°, л -£ x Зл/2, l /.'('0 = / (Зл/2).= 0. , / {/'+>-</ = 0, 1 ^X:<2, ‘ I !/'(!) = </ (2)=0. ( y"-|-).u=O. п^-йхС-я, 1 19. ' l/(л,'2) = !/(л) = 0. 121 i ^ + ^ = 0- 1 2 'x = ’• “ ‘ I j/'(I/2) = y(l) = 0. 1 23. ( + ? У = °’ ” X 2Л’ l У' (л) = </(2л) = 0. 12. f у'+?-У = О, l=£x^3/2, " l У' (!) = </ (3/2) = 0. 1 27 / = О’ я,/2 x Зл/2, ‘27’ l У' (л/2) = У (Зл/2) = 0. I 29 J У"+ ~‘'У =°’ Я X ii£ ЗЛ//2, l У' (л) = 1/(Зл/2) = 0. P"4-?.{/=0, lz2^.t-.<3/2, ' I y'(l/2)=//(3/2)^0. 1 14 { У” + Ъу=0, л/2^х.«=5л/4, t у (л/2) = у’(5л/4) = 0. । jg f У"~Ь^У — ^1 Зл/4 x _•< 5л/2/ 1 //(3.1/4)=//' (5л/2) = 0. 1 18 / г/" + ;-У==0’ 3,2^2. I у'(3/2) = у (2) = 0. 1 20 У" + = °’ Я/4 Х Л/2, ' I У' (л/4) = у(л/2) = 0. 1 2, ( У" + '-У=0, 3/4 s= х 1, I /(3/4) = !/ (1)=0. 1 24 / У” + 1у= °’ Я/2 Х ЗЛ/4, I у' (л/2) = 1/(Зл,/4)=О. 126 f У" + ^У^=°> ‘ I /(1/4)=Р(1/2)=0. 1 28 / У" + ХУ = °’ 3/4 Х 5/4’ ’ I / (3/4) = г/(5/4) = 0. 1 30 / ^' + ^ = 0> л/2&:Л- - 5л/2, I / (л/2) = !/(5л/2) = 0. Задача 2. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду (см. п. 3.2). 2.1. «ЛА+2(,Л(/—«л- + И</ = 0. 2.2- ихх+Alt ху -\-AUyy- ил — 2ау=0. 2.3. ихх — 2uXIJ -j- Ну,, -|- 2их—2и.у=0. 2.4. tixx + GuXy -f- 9tiyy+ux -f~ 3tiy == 0. 2.5. uxx — QtiXy -[- Stiyy — 2ux + 6tty 0. 2.6. 4xxA^^lixy~r^i;ij 3tlx 3tty — 0. 2Л. uxx—4fiJrj/4*4u;zy 4-3h.v — Qiiy =0. 2.8. 9tixx+GuXy + Uyy ~ Qttx — 3tty = 0. 2.9. uxx + &tixy + 1 6hw/ - иv — Atty = 0. 2.10. itxx-—2uXy-j-ityy4UaAtty 0. 2.11. 16/Za.v 4~3tixу-{- tiyy 8ux 2ii,;-- 0. 2.12. Atixx + AuXy + uby-t- 8ux + Auy = 0. 2.13. tixx — 8uXy -J- 1 Gtiyy + 3tix — 12uу = 0. 2.14. 9«Ax-i-6('v,rk''4j— 12«a: — Aity — O. 2.15. 16w.VA-4-8uxv4 iiyy— 16ux4"4u^=0. 2.16. «хл-4-10</Д !,4-25«й|/4-нл.4-5М(/ = 0. 2-17. uxx 2ttXy 4- iiyy 4~ 5ил- 4" 3tiy ~ 0. 2.18. г(л-л---10«л-иЧ-25//,/г/-г2пА-— Юк,,=0. 2.19. 4ихх — 4tixy + Uyy — 1 Ou.v + 5uy = 0. 2.20. 25uxx — 10uxy + Uyy— l5ux-t-3tiy=O. 2.21. uxx + &uxy + 9u,,y + 5ux + 15uy = 0. 2.22. 25uxx 4-1 OuxtJ 4- Uyy + 20ux 4- Aliy = 0. 2.23. uxx 4- 8ил.у 4-16uyy 4- 5u.v 4- 20uy = 0. 2.24. uxx — IOuAy4- 25uyy4-5ил. — 25Uy = 0. 2.25. uxx 4- 12uxy + 3Guyy 4* ux 4- 6uy = 0. 2.26. uxx — 2uxy4- ида 4- 6uA —6uy=0. 2.27. uxx — 12u.Vy4-36Uyy4-2uv—]2uy = 0. 2.28. 36uAA- 4- 12uXy 4- “yy 4~ 18uA 4- 3Uy=0. 2.29. uxr 4- 14ил.у 4- 49uw 4-2ua. 4- 2.30. 36uxx 12uXy 4* Uyy 4* - 2.31. 49uxx—14uVy4-Uyy4-14ux-Задача 3. Найти общее < каноническому виду (см. п. 3-1. 4илл-4-8иАу 4*3uyy = 0. 3.3. 3ttxx-[-4uXy-}-Uyij = 0. 3.5. 16uVA-4“ IS^.ty 4*3uyy=0. 3.7. 25uxx + 20uXy + 3uyy=0. 3.9. 12uA.v4-8uAy4'Uyy = 0. 3.11. 64uAA4-32uA.y4-3uyy = 0. 3.13. uxx-[~3iiXy-}-2iiyy = O. 3.15. uav4" 12uVy4"27«yy = 0. 3-17. uAx + 20uAy4'75uyy=0. 3.19. иv.v 4- 23uxy 4- 147uljtj = 0. 3.21. u_fA 4* 36uAy 4~243uyy = 0. 3.23. 3uxx 4~ 32uA-y4- 64uyy — 0. 3.25. 48uAA 4~ 4~ Uyy == 3.27. 108uAA.4-24uAy4-Uyy = 0. 3.29. 192uA.,r4-32uAy4-Uyy = 0. 3.31. 2uxx 4“ 5uA-y — 3ttyy = 0. Задача 4. Решить задачу в круге (см. п. 3.3). 4.1. Ли = 0, 0г£л<1, “ г-1 = ф2 + Ф + 1 4.3. Ди = 0, О г < 1, и ^! = 2ф24-3ф 4*5. 4.5. Ли = 0, 0 < г < 3, U Г_3= ф". 4.7. Ди = 0, 0 sg г < 4, и |л_1 = 5ф24-2ф4-2. 3«у = 0. 2uy = 0. решение уравнения, приведя его 1.2). 3.2. 3wxx “Ь ^ху + ^с1уу = О* 3.4. ^-* + 4^^ +31^ = 0. 3.6. Зихх + + 1 QulJy - 0. 3.8. иХх 4*8£гл:у+ 12“уу — 0. 3.10. 49uA-A-4*28иАу 4" Зи.7у = 0. 3.12. Зихх 4“20uA-y 4"~5uyy = 0. 3.14. 2ихх-\-ЗиХу-\~иуу = 0. 3.16. ихх 4- 16иАу 4- 48иуу = 0. 3.18. uAV4'24i/.Vy 4* 108uVy = 0. 3.20. ихх 4-32uVy 4- )92uyy = 0. 3.22. 3uAA-4-28uA.y 4-49Uyy = 0. 3.24. 27uaa 4- 12иАу 4~1гуу — О- 3.26. 75uxx 4-20uA-y ~\~iiyy = 0. 3.28. 147uA. v 4-28«Vy 4-Uyy = 0. 3.30. 4uAr4-3uVy—Uy.y = 0. Дирихле для уравнения Лапласа 4.2. Au=;0, О<Л<2, U |Л_2 = Ф2 —ф- 4.4. Au = 0, 0 -g г < 2, и |Г*2 —ф24*5ф4-7. 4.6. Ди —0, Osgr<l, и 1Г_1 = 3<р2 4~ Ф + 2. 4.8. Ди = 0, 0s=r<2, и )/-^2 ~ ^ф2 "Ь Зф 4- ]. 4.9. Ди = О, 0 < г < 1, " |г-1 = Ф2- 4.11. Ди = О, О г <_ 1, и к-i = 2фг— 5ф— 2. 4.13. Ди = О, 0 < г < 2, и ir_2 — 5<Р2 — 2<р +1. 4.15. Д«+0. О г < 3, и\г-я=~ ф24-3<р. 4.17. Ди=О, О у г <2, и |г-2 = ф2 —Зф + 4. 4.19. Ди = О, 0<г<2, и >.2= 10ф2—2ф — 1. 4.21. Ди = О, Osxr < 1, и ] г 1 — — Зф2 4~ 5ф — 2. 4.23. Ди = О, О г < 4, и к4 = фг-ф. 4.25. Д«=О, 0gr<2, и = — Зф1"'— Зф+1. 4.27. Ди = О, 0gr<2, и !г_з = 5ф2 —ф + л. 4.29. Ди = О, 0gr<2, и ir—г ~ 6ф“ Зф + 1. 4.31. Ди —О, O.gr< 3, и г .п =— ф2 4*2лф. 4.10. Ди = О, 0sgr<2, U |г_2 = 3ф2*— ф— 1. 4.12. Ди = О, 0sgr<2, и |>-=2== 4ф2 — Зф 4~ 1. 4.14. Ди=О, 0 :g г < 2, U )г*.2 = ф2— 5ф. 4.16. Ди = О, O.gr<3, к|г-з = — 2ф2 + 7. 4.18. Ди = О, 0<гг<[, м >-1 = ф2 + 7ф —i. 4.20. Ди = О, 0gr<l, Uy^i —6ф 5ф 4 3- ’ 4.22. 1Ди = 0, Osgr <3, “ М = Ф2 + 2Ф. 4.24. Ди = О, Oigr<l, и !г-1 = Зф2Ц-2ф —2. 4.26. Ди = О, Osgr < 1, и |г_1=— фЗ-ф-ф — л. 4.28. Ди = О, Os;r< 1, 11 Ir-i = — 6ф2 4- ф — 2. 4.30. Ди = О, 0sgr<4, и |гм=ф- — 4фЦ-2. - Задача 5. Решить краевую задачу для уравнения Пуассона кольце (см. п. 3.3). 5.1. х2 — w2 “i-v + uuu =—r —, 1 С г <2, «!г-1 = о. ~\ =0. ‘ дг [г = 2 5.2. д;2 у- ихх + = -у—1/2 -g Л SS 1 и\ =0,^-1 =1. г~ л г дг |г= 1 5.3. ]/х2 + {/2' ' :Г^‘ u(r_t=l, ~\ =0. ' дг |г = 2 . х"— у'- . 5.4. илл | и;,(, У х2 4- у2 । , ди 1 . « №1. -S- =Ь дг \г~ 2 Г2____f,2 5.5. u^+u 1/2 г <1, 5.6. 5.7. i . du , U ,_>л= I, -5- =1. Г- 7« » dr Ir=i v2_o2 Uxx -\-Uyy —У 1/2 J F*2+ya =24-l =o-dr |r=i Х2~У2 , 1й l/^+y2' =0,^1 =2. dr |r=2 . r. du I «>Л = 2, =0. dr |r=2 v2_1Д Uxx -YUyy-^ 1 /2 <: Г £ 1 V x2-\-y2 u 0,^1 =0. ^-7i dr |r=l X2—y2 «1 2, 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. и 'r_i Uxx + Uyy "“+“»»-7?T7.'1/2 i , ди I . 4=>/2~ ’• 57|r=1-0-x*-y* , 1/2 Vx2+y2' = 0. =2. dr |r=l /x34-ya’ (i v.v + Uyy u\ 11XX + Uyy и I = 1,^1 =0. dr |r—з 5- • “*• ил-х + иyy = T 1 a -"' 3. 17х2+У2 5Л5. . du . U =1. dr |а=з , Хг — Уг Uxx + Uyy = ; Vx2-^y2 ulz-! = l, |r=3=2- х-~ у2 5.16. 1 =£/ ^3* I n du . И Г-1-2, Qr ^g-1- 5.17. «x<+«w=^X=, 1<7 Г34 = 2. u'r.i x2-y3 t 5.18. и«+«И=7т’ 2. 1 -2 d-l =1. u’r.i-2' gr |r=2 x2— i/a i - r-9 5.13. + " * ?“| =2. r*L dr |r—2 5.20. z<(,v + == ' /~~~. 1 ~^-r ' 2, |/x3+^ u 1,^2, J'| =2. dr ]/=2 1*2____/|2 0.21. tlxx 4- Ut у = , . . Г, 1 /2 -Ъ; r -^, 1 <3wl dr |/=i 5.22. «,vv4-«yy = ~^. l'2^r< , _ 9 du 1 U r^>/2-~2’ ~dr |r= 5.23. 1/2 ^. >, «1=3,^- =2. ,r~ dr r=l 1/2 — f/2 s.94. ».„.-l-H.1., = -A—, 1/2 ' 1, 1. fl ul x!1 — tft 5.25. «!r-i 1. 3. 5.26. uxx ~Ь °yy — ^/2 £ r 2 «1^=0, J| =o. ,r~ 'г or |r=2 v2 - i/2 w“+"w = ^==- 3/2-<^2, tl1 =o,j| => dr |r=2 5.23. Uxx+i‘yy 1 ;'r 3, и । = 2 ~1 -3 ’ dr |r=3“ 5.29. Ы1 5.30. I 1 ди I и r-f = 1. Л = 0. ' г ОГ |r= * „ , „ x- — y‘‘ 5.31. uxx^uyy-b (-',.1 = 3, J| = 2. r ’dr |r=3 _ *г-УП- 3/ = i,J| =’ dr (r = 2 «I. Задача 6. Решить задачу для уравнения Пуассона в шаровом слое (см. п. 3.3). 6.1. uxx-j-uUy + ti^, = xz, 1 <г<2, tl |r_1 = 0, U |r_2 = 0- 6-3. tlxx + tlyy + u2z = XZ, 1 sgr <2, //7-1=1, u|r_2 = 0- 6-5. Игх + ицу + игг = Х2, 1 <Г <2, «7-1 = 1, 4jr_o=2. 6.7. uiS4-и,», + u_._, = xz, 1 < r < 2, u >.( = 2, и 7—2 = 2. 6.9. uxx4-iiyy -\-игг ==xzr 1/2 </-<1, (ilr=i/, = 0. M 7-1== “ 1. 6.11. -|-u17 + u„ = xz, l/2<r<l, 4=</,= l> 6.13. и -|— tl ,}fj -f- := x%i 1 /2 r c 1, ur = </!=-1- »r-l = °- 6.15. tluc + llyu + Uzz^XZ, 1/2<г<1, и |r = 1 =1, и —1 6.17. tixx + Чу, 4~ Uzz = xz, l/2<r<l, (*lr = >/,== 1> tt \r-l~ 2. 6.2. Uxr+Uyy + Uzz = x", 1^a^2, и 'r_1 =0, и r.«= 1. 6.4. uix + tiyv + ti2z^xz, 1 <r<2. « 'r_( = l, tl |r_o=l. 6.6. uxx Uy у 4- u22 = xz, 1 < r < 2, и 'r^~2, и lr_2= 1. 6.8. u^Jriiyll-[-Uzz = X2t l<r<2, и r_i = 3, U 'r_2 = l. 6-10. Uxx+uyy + ttz^xz, 1у2<г<1, “ r-*/. = 1’ <-i=°- 6.12. u^-\rUy,l-\-uZz = xz, 1/2<л<1, "/ = i/, = 0, и lr_1=0. 6.14. uXK+Uyy + u2z = xz, 1/2 </-<1.1 u 'г = 1/г= — 1, It —1. 6.16. uxx 4- iiyy + iizz = xz, 1/2 <r<l. г,г = 1/.= — 1, U 7-1=1 6.18. uxv 4- ttyy 4-и-? = хг, 2 <r<3, и 7-2=0, « r.3 = 0. 6.19. ux t + Uyy 4- иг~ — хг, 2 < г < 3, u 7-2=0. u’z_3= —1. 6.21. “лл-4-“,(7 + “гг = -*г. 2 С г < 3, и 7-2—1. и 7-э—3. 6.23. ихх-^и{/у + и:: = хг, 2<г<3, и л—'2=~0, и z—;; ~4. 6.25. ихх-}-Uyy-j- и,, = кг, 2 < г < 3, и 7-2 = 1, и 7-з = — 2- 6.27. икх + и,/у-{-11:, = хг, и 7-1 = 0. и 7_з = 1 • I <г<3, 6.29. uxx-^i/yy-j-u,~ = xz, 1 < г < 3, « 7-i=—1. и 7-з = 1- 6.31. ихх +«w+игг — х2, 1 <_ г < 3, 117-1 = 2, и Г-з=1. 6.20. ихх 4-иуу4-иг, = лг, 2 < г < 3, и 7-2=— 1, и 7-3 = °- 6.22. uxx-}-Uyy-\-u2j! = x2, 2<zr<3, и 7-2 = 1, и 7-э= — з. 6.21. ихх-]-иуу-]-и£2=хг, 2<г<3, и 7-2 = 2, и 7-3 = °- 6.26. uxx-\-Uyy -j-Uzz — xz, 1 < г 3, « 7-1=1. и 7.3=1. 6.28. ихх + иУу + игг=хг, 1 < г < 3, “7-1=1. u7_a = 0. 6.30. uxx + Uyy+uZ2 = xz, \<Zr<3, u 7-1 = 1, “ 7-з= _ !• Задача 7. Найти функцию, удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца и принимающую на границе круга заданные значения (см. п. 3.3). 7.1. ЛиЯ!и=0, 0<<|, и 7-1 = 25 sin4 <р. 7.3. Ди4-^и=0, 0 <л<2, и 'г_2=23 sin3 <р. 7.5. Au4-^u = 0, 0<г<20, u 7-20 = 21 sin3 ф. 7.7. Д«4-^«=0, 0 <л<4, и 7-4= 19 sin3 <р. 7.9. Ди4-й2и = 0, Ogg г <3,5, и 7-э,5= 17 sin3 ф. '7-11. Д«4-^и=0, 0<г<5, и 7-5= 13 sin3 ф. 7.13. Ди4-£2и = О, 0<г<6, и 7-6= 13 sin3 <р. 7.15. Д«4-^и = 0, Oij;r<7, и 7-7= 1 1 sin3 <р. 7.17. Ди4-^и=0, 0<г<8, и 7-е = 9 sin3 q>. 7.19. Ап+ &*« = 0, 0<г<9, и 7-9 = 7 sin3 <р. 7.21. Ди4-^и=0, Ogir< 10, u 7-ю = 5 sin3 <p.' 7.23. Au4-ta/ = 0, 0<л<11, и 7-н = 3 sin3 ф. 7-25. Au4-A2ti = 0, 0 < r < 12, u 7-12= sin3 ф. 7.2. Ли 4- k2u = 0, 0 г < 1,5, И 7-1,5 = 24 5Ю3ф. 7.4. Ди4-^и = 0, 0 < г <2,5, и 7-2,5 = 22 $т3ф. 7.6. Ди4-£2и = 0, 0<г<3, и 7_3 = 20 sin3 ф. 7.8. ДО 4-&2“ = 0> 0 г < 15, и 7-15= 18 81П3ф. 7.10. Ди4-^и=.О, 0<г<4,5, и 7-4,5=16 sin3 ф. 7.12. Ди4-^и = 0, 0 < г <5,5, и 7-5,5= 14 sin3 ф. 7.14. Ди4-^2“ = 0, 0 < г <6,5, « 7-5,5=12 sin3 ф. 7.16. Ди-|-^2и = 0, 0 < г <7,5, и 7-7,5= 1° «т3ф. 7.18. Ди4-А2и = 0, 0 < г <8,5, и 7-8,5 = 8 sin Зф. 7.20. Ди + ^и = О, 0«<9,5, и 7-9,5=6 sin3 ф. 7.22. Ди4-А7и = 0, 0 sg г <10,5, “7-10,5 = 4 sin3 ф. 7.24. Ди4-£2и = 0, 0<л< 11,5, “ 7-и,5 = 2 sin3 ф. 7.26. Ди4-й2и = 0, 0sgr< 12,5, “ 7-12,5 = 6 Sin3 ф. 7.27. \u+^-u=Q, Osgz<13, u |л-)з = 5 sin3 ф. 7.29. A(z-H2u=0, Оч=г<14, и |r ,14 =. 3 sin-'1 <p. 7.31. Д1г4-/е2и==о, 0 <r<lG, 7.28. Ди+А«и=О, 0:=<r<13,5, « kis,B=4sin3 <p. 7.30. Ли-\-№и =0, 0.<л < 14,5, и ‘,r-n,i—2 ^не- U ^.16=8Ш3ф. удовлетворяющую внутри шара Задача 8. Найти функцию, удовлетворяющую внутри шара уравнению Гельмгольца и принимающую па границе шара заданное значение (см. п. 3.3). Ла и = 0, 0 ^ / < л/2, dz/ I т =cosO. dr \r^n(2 Azz + zz = O, 0:<Л<З.Л/2, du I ---- =cos6.- or b=3nZ2 A/z-}-4iz = 0, 0<л<л/4, du I - = cos 9. or r = !IM 8.1. 8.3. 8.5. 8.7. dzz I - = cos 6, or |г=Зя/2 Au-f-9zz = 0, 0 с r < л ,'6, d« | . 1 = cos 0. dr |r=rt/6 Au+9zz = 0, 0sgr<n/2, du I . 4- = COS0, dr |, =л/2 8.13. Au + 16z/ = 0, 0<г<л/8, dzz1 . 5- = COS e. dr |r=n/s Au-j-16zz = 0, 0-.<r<3n/8, du I = cos 0. dr |r = 3n/8 Azz + 25zz = 0, Ocrcn/lO, dzz I = COS0. dr p = n/io Ли -J-25zz = 0, 0-< r < Зл/10, du I . , = cos 6. Or =зл/|о 8.21. Azz-|-36i/=0, 0 r du | . T- = cos 6. dr , =n/i2 8.9. 8.11. 8.15. 8.17. 8.19. л/12, 8’3. Azz-j-36zz=0, 0:?Г<Л/(, du dr I = cos 0. I' = Я/Ч 8.2. 8.4. 8.6. 8.8 Ли + и = 0, 0 sgr < л, du I п X- =cos6. dr |г=я Au-}-u = 0, 0sgr<2T, <?zz | 0 = cos0. dr |г=2л Azz-|-4iz=0, O=zgr < л/2, dzz I —- = COS0. dr г=л/2 dzz = cos 0. or |r=n 8.10. Azz-}-9zz=0, 0^г<л/3, du I = cos 6. dr p=n/3 8.12. Azz-}-9zz = 0, 0г£г<2л/3, du I o - - = cos 0. dr \r=2n!3 8.14. Azz + 16zz = 0, 0 л=г<я/4, dzz I o -Д- = cos 0. dr |г=л/4 Azz + 16u=0, 0<=r<n/2, du 1 „ _ = cos 8. dr Azz-{-25zz = 0, 0~<г<л/5, du I , = cos 0. dr |r=n/S A«-pl5zz=0, 0 <-/ < 2л/5, du I 0 - — cos 0. dr |r=2n/5 8.22. Azz + 36zz = 0, 0е£г<л/6, du 1 . -j- =COS0. dr |/-=л/б 8.16. 8.18. 8.20. 8.24. Azz-}-36zz=0, 0^л< л ft, ди I dr |r=«/s = cos 0. 8.25. &ti -|- 49u = 0, 0 ^ r < n/7, du | . 3 - = cos 9. dr |, =л/7 8.27. Ди-|-4и = 0, 0s=ir<3.4/4, du I . =cos6. or |,=ЗЯ/4 8.29. Au-[-9u=0, 0dr<Jt, du I я , - — cos 9. or |r=n 8.31. A«+25u = 0, 0-с;л<л, 8.26. Au-]~49u—0, O^r <2л/7, du I „ - = cos6. or \r=2nll 8.28. Azi + u = 0, 0=cr<3n, du I e —- = cos 9. or |r=3n 8.30. Ди-}-16и = 0, 0=s;r-<?T, du I -- =cos6. dr |r=„ Задача 9. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке. 9.1. u/t=uxx, 0 <х < 1, 0 < t < со, и(х, 0) = х(х —1), ut(x, 0) = 0, и (О, /) = 0, и (1, 0=0. 9.2. utt = ихх, 0 < х < 3/2, 0 < / < со, и (х, 0)^х(х-’/5), щ (х, 0) = 0, и (0, l) = 0, и(3/2, 0 = 0. 9.3. uti = 9tixx, 0 < х < 3, 0</<со, и (х, 0) = х(х —3), ut(x, 0) = 0, и (0, t)=0, и (3, 0 = 0. 9.4. uZz = 4uvv, 0<х<2, 0</<со, и (х, 0) = X (X - 2), ut (х, 0) = О, и (0, t)^0, и(2, 0 = 0. 9.5. ии — 1/4ихх, 0 < х < V2, 0 < / < со, и (х, 0)=х (х— V»), ut(x, 0) = О, а (О, 0=0, u (*/e. 0 = 0. 9.6. иц — 4ихх, 0<х< 1, 0 < t < со, и(х, 0) = х(х—1), ие (х, 0) = 0, и (0, 0 = 0, и (1, 0 = 0. 9.7. я«=4/9«хх. О < х < 2/з> 0 < t < оо, и (х, 0) = х (х —2/3), ut(x, 0)=0, и (0, 0 = 0, и (2/3, 0=0. 9.8. ut( = 4ихх, 0 < х < Va. О < t < т, и (х, 0) = х (х—V,), ut (х, 0) = О, и (0, 0 = 0, и (4z, 0 = 0. 9.9. ur/~uxx, 0<х<2, 0<_t ст, и (х, 0) = х (х—2), ut (х, 0) — О, 11(0, 0 = 0, и (2, 0 = 0. 9.10. utc=lGitxx, 0<х<3, OctCao, и(х, 0) = х(х—3), щ (х, 0) = 0, и(0, 0=0, и (3, 0=0. 9.11. и^ = \6ихх, 0<х<2, 0</<со, и(х, 0) = х(х —2), ис (х, 0) = 0, и (0, 0 = 0, и(2, 0 = 0. 9.12. utt = 3tixx, 0 < х < 1, 0 < t с со, и (х, 0) = х(х—1), ut(x, 0) = 0, и (0, t)==0, u(l, 0 = 0. 0=0 *7c)w *о=О ‘о)« ‘0 = (0 -*)''« ‘(7с — х) 1’ = (о ‘х) П •со > / > 0 ‘»/Е > х > о ‘vxnt/г — ”п -6Z‘6 •o=U *i) ” *о=(? ‘о)» ‘0=(0 ‘x)'n 'U —х)* = (о '*)" со >; > 0 ‘ l > X > о ‘Ддгя«/» = »п 'К’6 *0 = 0 *£)» ‘0 = 0 ‘о)« ‘0 = (0 ’Х)’п *(£— х)х = (о *х) п •со>;>о ie>x>o ,xxni,\=»п -дг-в о=0 ‘г);> ‘о=О ‘о)” '0 = (0 'х)>п ‘(з —х)х = (о ‘хУч •co>j>o ‘g>x>0 'xxr>G = >ln -эг-6 ‘о=О ‘70” *о=О ‘о)» ‘0=(0 ‘х)7« ‘(7i~ х)х = (о ‘х)” ‘со > ; > о ‘7t > X > о *А'Х»6 = л’> ’£3‘6 ’0 = 0 ’€>” *0 = 0 ‘0)” *0 = (0 ‘х)7п ‘(е~ х)х = (о **)” •со > ) > о ‘g > X > о ‘ххп^1в—)>п -^-8 ‘0 = 0 ‘1)п *0 = 0 *0)’? ’0=(0 'х)?п ‘(l—x)x — (o 'х) п •со>/>0 • I >х>о ixxne/i=,гп -ег‘в ’0 = 0 ‘7с)” *о = (/ ‘о)” ‘0 = (0 *х)г” ‘0/с —х)х = (О ‘х)п co>;>q ‘г/е>х>о ‘•vvnt’/e = f>u -gg-g ‘0=0 ‘С) ” ‘0=0 ‘О) ” *0=(0 ‘х)7" ‘(С —x).v = (o ‘х)п 'о?>?>0 *3>х>о ‘v-vns/t, = ^ |g-e •о=О ‘От) п ‘о = О ‘О)” ‘0 = (0 'х]>п ‘(c7i —х)х=(о ‘х)п ‘№>;>0 ‘-7г>х>о ‘ххп = »п -ое-б ’0 = 0 ‘I) » ‘0 = 0 ‘О) ” ‘0 = (0 ’х) ‘(1— х)х = (0 ‘х)?1 •со > } > о ‘ I > х > о ‘xxritlt = >‘n -eve •о=О ‘г)” ‘о=О ‘о)” ‘0=(0 ‘х)7" ‘(3—х)х = (о ‘x)i ‘сс > f > о ‘з > х > о ‘глп’7т = -«Гб •о=(; ‘е)я ‘о=О ‘о)и о = (о ‘х)71 ‘(е-х)х = (о ‘х)п •сс>;>0 е>х>0 ,хх11\, = »п -Ц’б о=О ’7с)« ‘о=О ‘о)” ‘о=(о ‘Х)'п ‘(7s — х)х = (0 'х)п 'сс > 7> о ‘7c>x>0 ‘xxne = 'in -see о=О ‘i)« ‘о=(/ ‘о)1’ ‘0=(0 *х)7? ‘(I—х)х—(о *х)?’ ’СС > I > 0 ‘! > X > о ‘Х*И91 = ‘Sl’6 •0 = (; *g)n ‘о=0 ‘0)” ‘0 = (0 *Х)7» ‘(е—х)х = (о ‘Х)г> сс >} > о ‘£ > X > о ••vxn = Wn ‘Н'б •о=О *7г)л *о=О ‘о)« ‘о = (о 'Х)7« ‘(71 — х)х = (о ‘х)п •со>/>0 ‘7r>x>o '-vM/i = ^ ‘£Г6 9.30. И//=’/gt** v. 0 < х < 2, 0 <Ci <оо, и (х, О) — х(х — 2), ut(x, 0) = 0, и (О, 0 = 0, и (2, 0 = 0. 9.31. и/г«=в/4илл. 0<х<1, 0</<оо, и (х, 0) = х(х—1), иг(х, 0) = 0, и (0, 0 = 0, и(1, 0 = 0. Задача 10. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике (см. п. 3.3). 10.1. и,/ = Дн, 4 '/-о = qJ4 (2 - х) (3 - у), ut >/_0=О, 4 ',Х-0 = 4у.о = 4 X~2 = U '</«3 = 0. 10.2. u// = 4Au, и l/.o = xy(3 — x) (4 — y), ut\t^=Q, U | V 0 = u 'y-o = U X,3 = u 1 IJ-l =0. 10.3. u,; = 9A«, U '/_o = xy(4 — x) (5 — у), ut't_o = O, 4 M = “ ' у ~o = u lx-i = !1 lI/-5=0- 10.4. uw=lGA«, u |/-o=xy(5 — x)(6 — y), 4/'/.0 = 0, « ,Л-0 = “ '</,0=4 V«5=U |j/«e = O. 10.5. U// = 25Au, u |/_o=xy (6 — x) (2 — y), ue iz_0 — 0, «U=ulJI 0=4 '.v.S=W 'y.2 = 0. 10.6. u,/ = 4A«, «7 o=xy (2 — x) (4 — y), 4/j/_0=0, 4 \,o = u |y-0 — 4 jj;_2 = 4 '</«4=0. 10.7. utf = 9A«, 4 !/«o = xy (3 —x) (5 — y), ut ;/_o = O, 4 L 0=4 lu«0=4 A--a=:< lu-5=0. 10.8. u/z = 16Au, 4 \t-o=xy (4 — X) (6 — y), tl lx- 0 = 4 Iy_0 = и 'л._4 = U = 0. 10.9. z/// = 25A«, 4 1<_о = ху(5 — x) (2 — у}, ut '/ o = 0, 4 |л_О=4 ly_o = U 'v«-, = M 1/ 2=0. 10.10. ыл<=Ли, 4.^o=xy(6-x)(3-y), U/l^o = O, 4 ,t-0= и 'y-0 = 4 Л-fl = 4 'y«3 = 0. 10.11. u(/ = 9Au, 4 ко = *У(2-x) (5 — y), 4Z/0 = 0, 4 l.v-0 = 4 |y_o= 4 |.v_2 = 4 y_5 — 0. 10.12. u„= 16Au, « ko=xy (3 — x) (G — y), ut !/_0 = 0, 4 x«0=4 ',y_o = 4 |.v_3=4 |y_o = O. 10.13. u// = 25Am, u^0=xy(4-x)(2-y), u/i/_o = 0, 4 x^o=4'y-o=4 x-4=4 y_2—0. 10.14. i/// = A«, 1/lI.0=x</(5 —x) (3 —1/), 4/l/_o=°. 4 |v-O= 4 |j/_o= 4 1л-5= 4 |y-3 = 0. 1-}.15. iifj — 4Su, и I/-0 = Ху (6 — х) (4 — у), ut I/.о=О, w !.v«o = u !|/-о = « :л.с = и ^i/-i=O. 10.16. zz,r=16Aiz, и \!.й-=ху (2 —х) (6 — у}, ut !/_0=°> ,,|v-o==,( 'а о~и l.t-2=B ц/.в = О- 10.17. i;zz = 25Au, и It о = ^(3—х) (2 — у), (;/1ло = О, <1|л-.о=--к '</..0 = “ )v-3=« ',</-2=0. 10.18. иц — Ьи, «1/_о = ад(4 — х)(3 — у), tif'y.c^O, И |.v О = 4 '//—О ~ “ ,'.V-4 = й 'у. з = О* 10.19. iz/Z = 4Au, 11 '|Мо = ху (5 — х) (4 — у), щ '/Х)=0, и |.V«,O=K !p-0 = ,i 'j;-5=w ,у-1~^‘ 10.20. м// = 9Л«, н ко = *У(6 — x) (5—у), 4 l.v. 0 — w IУ 0 = U |.V .8 = 11 y«o = 0- 10.21. ult — 2a&u, и \r-j)=xy(2 — x) (2 — y), Utl/.o = 0, U = M |y^0 = w 'x=2—u '(/—2—0. 10.22. ttH=7ui, и p= xy (3 — x) (3 - y), ut |t .0 — 0, 11 |.v o~u ly~o = u ;.v-3 = u ii/~3 = 0. 10.23. ftZ/ = 4Au, «'|t-0=ry(4 — x)(4 —!/), ut't o=O, W f.V-O = ^ ,1/^0 J->4 = 0. 10.24. utt = 9A«> u\t 0-=xy (5 — x)(o — y), (tt|t.o = O, li |.< o = w i!/*o = u >.5=^ y-.5 = 0. 10.25. ti/f— 16Au, U t-0 = xi/(6 — x)(6 — y), Ut^—O, << .t-o=u l//-o=u ;.v-c=11 y*6=o. 10.26. utf = \44\u, u\t^ = xy(2 — x)(7 — y}, ut\i_a = O, w |л'-о==и ty-ti = K rv^2 = U у .7=0. 10-27. uft=--121 Ah, u\t_0 = xy(2> — x)(G— y), ui't o = 0, и i-V-0 = tl I (/-О =^ |л-3 = и ,y-G =0. 10.28. Utt=100Au, u'it o = .vjt (4 —Л-) (5 —!/), «t't o = 0> u \„o — и Ip о = M \x—i — u p.6 = 0. 10.29. u/z = 81 A«, и 7.o=-xy (3 —x)(4- i/), Htl/-o = O, U |.V 0 = " \y 0 = “ 'x^=U У 4 = °- 10.30. iin^Glku, u\i 0 = xy(6-x)(3-y), ui'/.o = 0, и |x 0 = 4 ly-o = 4 .X-6 = 4 у 3 = 0. 10.31. uZt = 49Azz, « \t^o = xy (7 — x) (2 — y], zzt’t.o = 0, п |л- о = ч y-o = tt ,x-? = u |V-2 = 0. Задача 11. Решить первую смешанную задачу для полно вою уравнения в круге (см. п. 3.3). tt.l. и/{=Аи, 0<25, 0 < t < оо, и( {г, 0) = 0, и (25, () = 0. 11.2. uzz = 2Au, 0 <г < 24, 0 < t < оэ, Ip til (г, °) = 0, и (24, 0 = 0. 11.3. иц = 3\и, 0^r<23, 0</<оо, и, (г, 0) = 0, и (23, 0 = 0. 11.4. Чц — 4\и, 0 sgr < 22, 0 < t < оо, . m If. /г VI «('. °)=8Т-\22)]’ и, (г, 0) = 0, и (22, 0 = 0. 11.5. uzz = 5Au, 0=gг <21, 0</<со, “ <' °>= У I1 -• У1' «Дг, 0) = 0, и (21, 0 = 0. 11.6. uzz = GA«, 0 <> < 20, 0 < / < оо, и (г, 0)= g [l~], и, (г, 0)=0, и (20, 0=0, 11.7. «zZ = 7A«, 0«<19, 0</<оо, itf(r, 0)=0, и (19, 0=0. 11.8. uzz=8Am, 0<г < 18, 0 </ <оо, “(G 0)= И'ЧгаЛ' и, (г, 0)=0, £1(18, 0=0. 11,9. uzz=9Au, 0<г< 17, 0</<оо, к(/, 0)= 8 [^1 ttt(r, 0) = 0, и (17, 0 = 0. 11.10. uzz= 10А», 0sgr<16, 0 </<00, “<' с,= И'~(ге)°|' ut(r, 0)=0, и (16, 0=0. 11.11. иц= 11 Ан, 0 < 15, 0 < t < 00, “<'•»>-8 M1V ' ut(f, 0) = 0, w(15, 0=0. 11.12. ££ZZ=12Au, 0 <14, 0</ <00, “<' °>" 8 |1 'У I' tii(r, 0) = 0, и (14, 0 = 0. 11.13. м,,= 13Ди, 0^/<13, 0</<со, uz(r, 0) = 0, и (13, 0 = 0. 11.14. иГ(=14Д;у, 0=gr<12, 0</<со, “<'• S-['-(гаЛ-ut(r, 0) = 0, и (12, 0=0. 11.15. u/z = 15A«, 0sgг < 11, 0</<со, “<'• »>Ч ['-(ri)T и, (г, 0) = 0, и (11, 0 = 0. 11.16. utt= 16Дм, 0 =gr < 10, 0 < t < со, «•'oi-H'-Gsi ut(r, 0)=0, и (10, 0=0. 11.17. и^=17Ли, 0^г<9, 0<(<со, -О-и((г, 0) = 0, Ц(9, 0 = 0. 11.18. и«=18Ди, 0sgr<8, 0<1<сош ut (г, 0)=0, и (8, 0 = 0. 11.19. и„=19Ди, 0sjr<7, 0<(<cot ut(r, 0) = 0, и (7, 0 = 0. 11.20. u/z=20Au, <6, 0 <1 <ао, "<'•»)-И1-({-)’] и, (г, 0) = 0, и(6, 0 = 0. 11.21. u^ = 21Am, 0;gr<5, 0</<со, ut(r, 0) = 0, и (5, 0 = 0. 11.22. u,/ = 22Au, 0sJr<4, 0 < t < со, Ui(r, 0)=0, Ы (4, 0 = 0. 11.23. u/z = 23A(i, 0siA<3, 0<f<co, “<'.»)=И'-(тЛ> ut (г, 0) = 0, и (3, 0=0. 11.24. uzz = 24Au, 0=grr<2, 0</<оо, И1-(?)’]• ut 0> 0) = 0, и (2, о=о. 11.25. uz/ = 25Au, 0 г < 1, 0 < / <со, и (г, 0)=1 [1-/=], и, (г, 0) = 0, и (1, 0 = 0. U.26. utt = \u, 0^'. r<6, 0</<оэ, «/(z, 0) = 0, и (6, 0=0. 11.27. ult = iSu, 0s=r<5, 0</<oo, «<' o>4['-W’L ut (r, 0) = 0, a (5, Z) = 0. 11.28. Uft — 9&u, 0^r<4, 0</<oo, m.o>=8L[>-(t)T Uf (Л O)=O, и (4, O = °- 11.29. u//=16Au, 0sgr<3, 0 < t <_ co, «<-»>=Н'-Ш Ut(r, 0) = 0, «(3, 0=0. 11.30. u^ = 25Au, 0-<r<2, 0</<oo, “"o’-M’-O-ut{r, 0) = 0, и (2, 0=0. 11.31. u»/ = 36Ah, 0 < rd, 0 < t < co, 0)=18-li-H. «/ 0) = 0, и (1, o = o. Задача 12. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке (см. п. 3.3). 12.1. Uf= 16«t.v, 0<х<3, t>0, ( x®/3, 0< xs=3/2, и (X, 0)=U ' „ „ 1 I 3-x, 3/2<xsg3. «(0, o=«(3, 0=0, 12.2. и^ — ихх, 0 < x < 2, />0, f x2, o ; x 1, "<'”“{2-,. 1<«в2, u(0. 0 = “(2. 0 = 0- 12.3. ut = 25uxx, 0 < x < 5, t > 0, / M f 2*2/5- 0 x 6/2’ v t 5 — x, 5/, < №^5, и (fl, t) = u(5, 0 = 0. 12.4. ut = \buxx, 0 < x < 4, t > 0, f x2/2, 0 x 2, «(x, 0) = ( ‘ ’ V I 4 — x, 2 <X;<4, ti(fl, f)=u (4, 0 = 0. 12.5. и/=4иЛ.*-, 0<x<5, l>0, , „ [ 2№/5, 0 < x < 5/2. и (x, 0) = ( _ c . 1 5 — x, .6/2<xsg5, и (0, 0 = ч (5, 0 = 0. 12.6. 0<x<3, />0, ( 2x^/3, О^х^/г, и(0, 0=« (3, 0=0- 12.17. tit = 9uxx, 0 < x < 4, t > 0, f x2/2, 0s£x^2, U(X’ °H4-x,2<x -<4, «(О, o = «(4. O=o. 12.7. ut = 25uaa-, 0 < x < 8, t > 0, 12.18. ut=uxx, 0<x<10, />0, 4 ( x2/4, 0 i X-i 4, a (x, O)=< „ I 8 —x, 4 < xsg8( f x2/5, 0 < x -< 5, "(*'<”=t IO-X,S<«IO. //(0, 0 = и(8, 0 = 0. u(0, 0 = и<Ю. 0 = 0. 12.8. ut=9uxx, 0<x<2, />0, 12.19. м/ = 4илл, 0<x<2, t>0, „ ( x\ O.iXsil, и (x, 0) = { v I 2 —x, 1 <x<2, oi 4 V V/ -о c- 1 X СЧ "T" o' 3 и (0, 0 = »(2, 0=0. u(0, 0 = «(2> 0 = 0. 12.9. U[ = \Quxx, 0 < x < 1, i > 0, 12.20. ut — 16и v v, 0 < x < 8, t > 0, , ( 2x2, 0<;x<;72, f x2/4, o-;x Л4, и (x, 0)=( „ o I 8 —x, 4<x <8, и (P, 0=«0. 0=0. u(0, 0 = «(8, 0=0. 12.10. ut = 4uxx, 0<x<4, />0, 12.21. ut = uxx, 0 < x < 1, t > 0, ( x2/2, 0 x =< 2, и (x, 0) = { v ' I 4 —x, 2<х=<4, ( 2x2, 0s£x<1/2, u(X, 0) = : , i 1 —X, Va < x < lt t/(0, 0 = u(4, 0=0. «(0, о=и (1. 0=0. 12.11. Ut — 9uxx, 0 < x < 10, / > 0, 12.22. u2=25mxv. 0<x<4, <>0, , , ( x2/5, 0<x<5, u(x, 0) —| 10_X) 5<Xsgio, ( x2/2, 0«=x <2, и (x, 0) — < I 4 —x, 2cix <;4, u (0, 0 = a(10, o = o. u(0, t) = u (4, 0 = 0. 12.12. zzf=25uVAr, 0<x<9, />0, 12.23. U; = 16илх, 0 < X < 6, t > 0, , m Г 2x2/9, O^xsg’O, и (x, 0) = < 1 ’ 1 9 —x, 9/3<x^9,. ( x2/3, 0 c X i 3, w(0, 0 = «(9, 0=0. 0(0, 0 = 0(6, 0 = 0. 12.13. Щ = 9и v.v, 0 < x < 3, t > 0, 12.24. ttt = 4млл-, 0 < x < 1, t > 0, ( 2x2/3, O^Xsg’/j, и (x, 0) = < „ ( 3 —X, 3/2 <X:<3, ( 2x2, 0^х^*/г, u(x, 0) = { , ' I 1 —x, ’/2<.r.'. 1» «(0, 0 = u(3, 0=0. .. u(0, o = «(i. 0 = 0. 12.14. Ut = uxx, 0 < x < 5, t > 0, 12.25. ut — 4uKX, 0 < x < 5, t > 0, ( 2x2/5, 0==xs=?/2, и (x, 0) = { I 5—x, ”',<x<5, ( 2x2/5, 0^x^s/2, и (0, 0 = и (5, 0 = 0. u (0, t) — u (5t 0 = 0. 12.15. и; = 4ихх, 0<x<7, />0, 12.26. ut = 23uxx, 0 < x < 6, t > 0, , m ( 2x2^’ Os£xs=r/2, и (x, 0) = { „ I 7 —x, ’/2<xsg7, ( x2/3, 0s=Xsg3, u(x, 0)=< 1 „ ’ 1 6 — x, 3 < x Si 6, и (0, t) = u (7, 0=0. U (0, 0 = 22(6. 0 = 0. 12.16. ut=25uxx, 0 < x < 1, t > 0, 12.27. zzz == uxx, 0 < x < 12, t > 0, / лч f 2x2> О-'^^’/г. /.<«*=!. , _ ( x2/6, 0<xsi6, и (x, 0) = < I 12—x, 6<xs=12, u(0, o=«(i. 0=0. «(0, 0 = 22(12, 0 = 0. 12.28. И/==16«АЛ, 0<x<2, t>0. и (x, 0) = A'2, 1, 2—x, 1 <x^2, «(0, i) = u(2, 0 = 0. 12.29. u( = 4ttxx, Q<zx <6, />0, и (x, 0) = «(0, /) = « (6, 0 = 0. x2/3, О^х^З, 6 —X, 3<Л-г<6, 12.30. «z = 36zzvx, 0<x<3, />0, и (x, 0)= X2/3, 0<X<3/,, 3 — x, 3/2 < x ьД 3, «(О. o=“(3, o=o. 12.31. ttt=9tixx, 0<x<8, />0, , ™ ( x2/4, 0-<x-<;4, u(x, 0) = { ' K I 8—x, 4<x<8, ti(0, 0 = «(8, 0 = 0, Задача 13. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в круге (см. п. 3.3). 13.1. zzz=16A«, 0йСг<5, Z>0, zi(r, 0)=25 — г2, «(5, 0=0. 13.3. zzz = Azz, 0 :'Tr <7, />0, и (г, 0) = 49 — г2, и (7, 0 = 0. 13.5. z/z-= 9Д«, 0?£г<8, i > 0, и(г, 0) = 64 —г2, и (8, 0=0. 13.7. 0.<r< 1, 2 > О, и {г, 0)=1 — г2, «(1, 0 = 0. 13.9, zzz = 5Azz, 0sCr<4, />0, и (г, 0)=16—г2, и (4, 0 = 0. 13.11. «z=10Azz, 0<л<2, / > 0. и(г, 0) = 4 —г2, и (2, 0 = 0. 13.13. zz,=GAzz, 0s=r<6, Z>0, а (г, 0)=36 — г2, «(6, 0=0. 13.15. zzz = 7A«, 0<л<5, t > О, и (г, 0)=25—г2, и (5, 0 = 0. 13.17. и, = Ьи, 0-<г<1, />0, и (г, 0) = 1—г2, и (1, 0 = 0. 13.19. z/z = 9A«, 0===r<3, Z>0, и (г, 0) = 9—А и(3, 0 = 0. 13.21. (/Z = 36A«, 0й7л<7, Z > О, и (г, 0) = 49—г2, и (7, 0 = 0. 13.23. zzz = Azz, 0sgr<4, Z > О, и (г, 0)=16 — г2, и (4, 0=0. 13.2. mz=25Am, 0s£r<3, t>0t и (г, 0) = 9-Л и(3, 0=0. 13.4. z/z=10Au, 0s=r< 1, Z>0, u(r, 0)=l-r-, u(l, 0=0. 13.6. —25Au, 0^r<2, Z>0, u(r, 0) = 4—r2, «(2,0=0. 13.8. z/z==3A«, 0г$г<3, />0, W(r; 0)=9—r2, u(3, 0=0. 13.10. «z = Azz, 0^r<5, Z>0, u(r, 0) = 25— г2, и (5, 0=0. 13.12. zzz = 25A«, 0^r<4, t>0, u(r, 0)=16-r2, «(4, 0=0. 13.14. uz = 4A«, 0<Гг<1, Z>0, u« O)=l — r2, «(1, o=o. 13.16. zzz=10A«, 0;<r <7, Z>0, u(r, 0) = 49—fi, u(7, 0 = 0. 13.18. «Z = A«, 0 <r<2, />0, u(r, 0) = 4 — r2, u(2, i)^0. 13.20. hz = 2A«, 0sSr<4, />0, u(r, 0)=16—г2, и (4, 0=0. 13.22. zzz=4A«, 0sgr<2, Z>0, U(r, 0)=4— Л «(2, 0=0. 13.2'!. «z = 25Azz, 0^r<5, Z>0, tt(r, 0) = 25-r2, « (5, 0 = 0. 13.25. Ы/==2Л“, 0-'V <3, />0, и(г, 0)=9—л2, “(3, /) = 0. 13.27. “, = 5A“, 0sgr<l, />0, И(Г, о) = 1-л и (1, o=o. 13.29. “/ = 6Au, 0 ==£/< 7, />0, u(r, 0) = 49—л2, и (I, 0 = 0. 13.31. «/=7Atz, 0 5gr<4, t > 0, u(r, 0)=16—г2, и (4, 0 = 0, 13.26. ut=Z\u, 0-gr<6, />0, u(r, 0)=36 —r2, “(6, 0 = 0. 13.28. uf=9Au, 0sSr<2, />0, u(r, 0) = 4 —г2, и (2, 0 = 0. 13.30. “Z = 4A“, 0<r<8, Z>0, u(r, 0)=G4-r2, u(fi, 0 = 0. Задача 14. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для волнового уравнения на плоскости (см. п. 3.4). 14.1. “/, = а2 (“Д-А+ и 7-о = 0, Ui 7-о = (х+1/)2. 14.3. utt = a2(uxx-\-u,lll), «7-о=О, ut 7_0 = (2х+у)2. 14.5. ин = а2(ихх + иуу), «7-о=0, «/7-o=(2x-i/)2. 14-7. iifi = a2 (ихх-\-Uyy), «7-0=0, ut 7_о = (3х + у)2. 14.9. utt = a2 (uxx + Uyy), u'i-o—O, ut 7-o = (2^+3y)2. 14.11. “zz = а2 (“Л-Л «7-о=О, ut 7-o= (Зх-f- 4y)2. 14.13. utt=a2 (uxx + Uyy), “7-0 = 0, Uf 7-o= (5^+Оу)2. 14.15. Uft = a“ (uxx-{-Uyy), “ 7-o=0, U( !/-o=(6x-|-7i/)2. 14.17. Ut, = a2 (uxx + Uyy), “ /-о = Зх2 + 4y2, “,7_o=0. 14.19. ult = a2(uxx + uyy), и z-o=4x2+5i/2, ut |/_o=O. 14.21. “Zr = a2(“.v.v + “,z,z), “ 7-o = 5x2 + Gy2, ut 7-o = 0. 14.23. utt = a2{uxx-\-Uy^, u 7_o = 6x2+7(/2, “/7_o = 0. 14.25. Uft = a2 (uxx-)-Uyy), “7-o=x2+iA 7-o=0- 14.27. utt = a2(uxx + Uyy), “ 7-o = 2x? + i/>, “/7-0 = 0. 14.29. iitt = a2(uxx + uyy), “7-o = </2 —x2, “/7-o = 0- 14.31. “// = a2(“v.v + “vv), “7-o = 3x2 + z/2. “/7-o = O. 14.2. и(1—а2(ихх + иуу), “7-o = 0, “/7-o = (* — If)2- 14.4. «// = a2 (“A-v- +“.w), “7-o=0, “/7_0 = (х4-2|/)2. 14.6. utt = a2(uxx + uyy), “7-o = O, «/7-o = (x-2{/)2. 14.8. «// = a2(“x.vH-“yj,), “ 7-o=O, ut 7_o = (x — 3i/)2. 14.10. “?/ = “2 (“v.v+ “////>, «7-o = O, ut ,/_o=(2x — 3y;2. 14.12. «//= (“л'х “b “ 7-o=0, “/ 7_o=(3x-4#. 14.14. “// = a2 (“vv + Uyy). “!/-o=0, u( 7_0=(5x — Gy)2. 14.16. utt=a2(uxx + uyy)t « 7-o = O, u( 7_0 = (6x — 7y)2- 14.18. utt = a2(uxx + uyy), “ 7— o = 3x2—4j/2, “/ < /_o=O. 14.20. utt = a2(uxx+uyy), u 't.u = 4x2~5y2, “/7-o=O- 14.22. “/( = a2(“.x.v + “w), “ 7-o = 5x2 — 6iA “z 7.a=0. 14.24. Utt = a2(uxx-)-ttyy), и 7-o = 6x2 — 7y2, ut 7-0 = 0. 14.26. иц = а2 (uxx + ityy), « 7-u = x2 — y2, ut 7_o=O. 14.28. “//= “2 (“x.v-j-«yy)> “ 7-o = x2 + 2i/2, ut 7-o=0- 14.30. Utt = “2 (“x.v + Uyy), и 7-o = 3x2 + 2y2, “/ 7-o = 0. Задача 15. Используя формулу Кирхгофа, найти решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве (см. п. 3.4). 15.1. — -hUyy-j-u^ «7-о, Ч('^-о = (х~!/ + г)-2. 15.2. иа - 2 (ихх + iiyy + иг2), u't^=V, и^^^х—Чу-^г)2. 15.3. «// = 3 (“.w4-«y(/4-«zz)> «7-о = °, “i М=74*!1**4;- 1г.1. t:tt = 4 (lixx-j-U/fy + «.2), «|/_о = 0, U( \t-o = (x+y— 2г)2. 15.5. tiff = 5 (ttxx -}-Uyij + uzz)< “7-о = 0. ut |/_о = (2х + «/ + г)2- 15.6. “z< = G((/.„ + “yy-r“«2), “7-о=О, tif 7-о = (2х4-</4*2г)г. 15.7. “// = 7 («л-л-4-Uy,y-F-Игг), “7-o = O, tif 7-.o = (х4*У4*3г)2. 15.8* tiff = 8 (y^xjt ^yy ”1” “7-0 = 0, u( |/_0 = (x4-2t/4*3z)2. 15.9. uft = 9(uxx + uyy + u^), 11 ,/-o = 0, tif 7-о = (2x4* 31/4* 4г)2. 15.10. Uy— 10 (“a-a 4* “yy 4*«zz)» “7-o=O, ut 7-o = (3x4*21/ 4* 4г)2. 15.11. “//= 11 (“x.v4~ilyy4*«zz)> “7-o = 0, Uf 7-o = (2x4*41/4- 3г)2. 15.12. Uf/= 12 («A-A-4*“vy + «zz)> “7-o = O, iif 7-o = (4x4*21/4-3г)2. 15.13. tiff = 13 (“a-.v 4* “yy 4* “zz)> “ 7-o = O, ut 7_o = (4x4*3i/4*2z)*. 15.14. llff— 14 (“A'A-4*“yy4*“zz). «7-o = O, tif 7-o= (3x4*41/4*2г)2. 15.15. Uft= 15 (“a'a 4* “yy 4* “zz)> “7-o = 0, tif 7-o = (5x4*4i/4'3z)2. 15.16. iift = 10 (“а-а-4*«уу 4* “-’-3, “7-o=0, iif 7_o = (3x4* 4y 4- 5г)2. 15.17. «//= 15 (“aa4*«уу4*«г-), «7-o = x2 — !/24'2', «/ 7-o = °. 15.18. Uft= 14 («A-v4-“yy4-«zz)> «7-o = x2—2i/24*z2, «/7-o=O. 15.19. “/< = 13 (“aa 4" «уу 4" “ 7-o=x24-l/2—г2> “/7-0=°- 15.20. (<//=12 («A-x4*«yy4-“zz)> “ 7-o — x" 4*y"—2г2, «/j/-o = 0* 15.21. u/i = 11 (tlxx~\~Uyy + «/,-), и\(.0 = Ж+у* + 2г\ u/|/„o = 0. 15.22. иц = 10(ихх~\~иуу-\-игг), и |/_o=2№-bi/2z2, ut |z_o = 0. 15.23. Uft=-Q (uxx “b Uyy “Ь ^zz)l и b-o=A'2 + '/2-b322. 44/|/_o = O. 15.24. иц = 8 (uxx ~b Uyy-\~ Uzz)t и I/_o=& *b 2i/2 -b 3z2, Uf |/_o = 0. lo.25. «// = 7 (uxx-\-Uyy-\-Uzz)i и li-o—З.Г2 + 2i/2 ~b z2, Uf |/_o=0. 15.26. 44// = 6 (uxx + uyy + uzz)> и */_о=3x2 -b y2 + 2z2, ut |/_o=0. 15.27. 14/1 = 5 (uxx-\-uyy~\-uzz)> 44 !/.0 = 2X2-}-4/2-b3Z2, 44/ |/-o=O. 15.28. utt = i (iixx + iiyy + u-z), и !/«o = 2x2-|-3i/2-|-z2, И/ l/.o = O. 15.29. utt = 3 (uxx -b Uyy 4-14гг)> 44 I/*.» = 3x2 + 4l/2 -f- 5z2, 14/ J/_0 = 0. 15.30. u// = 2 (uxx + Uyy + игг), u\t^ = 4x^ + 5y^+3z\ ut<t^ = 0, 15.31. U^ = Uxx-i-UyV-l-Uzz, и 7_o = 5x2 + 3i/2 + 4г2. ut!/, q = 0. Задача 16. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (см. п. 3.4), 46.1. 44/ — ихх, — р— Л-2-1-Х 44 14-0 — е • 16.2. W/ — 2u xxt U ^o = e“‘J£S. 16.3. ut = 3uxx, U '/_0 = e~2x’. 16.4. I4/ = 4«vv, 2л.-’ ]-Л-44 7 0 = с • 16.5. , —2 v2 — t ^ko=e 16.6. U/=644xa., ,, L _p— X-— X u — e 16.7. 4,-/ = 744л.л, и^0 = е-2^ + 2\ 16.8. = Rttxx, U ’/..o = e~3'3. 16.9. ut = 9u v.v, a 7 0 = e-3vS 1 \ 16.10. U/ = 10Ur.v, ,. i n—2х2 — 2х W /«о — С • 16.11. Uf = 11Ил*х» „ ' 3x2 — x U t^o==Q 16.12. /4 '/_0=е_4л:2. 16.13. м. I а—З-t2 2л* и 1мо = е 1 16.14. Uf=z\4uXx, 44|/_o = e-^+\ 16.15. 44/= 1544.VA., 44 !/„o = e“3x'“ 2v< 16.16. 44,= 16ux.v, ,, J. _ 4хг — 2х 44 ;/-0 — е 16.17. 44/= 1544.1-.Г, 44 1/_0 = е-г2 + 2л;. 16.18. 44,= 14t4xv, u 16.19. 44/ = 1344A..V, ц,/„0 = е-2А'г + 4\ 16.20. M/ = 12i4a.a, 44|/_0=e-v2-2v. 16.21. U/=1144.v.v, 44 '/_о = е~31'2 — 3jc. 16.22. 44/ = 10«хА, ,, । 2v2 — 4х «4 J/-0 —е 16.23. 44/ = 9wrx, lt ,_0=e-*2 + 4 16.24. 44/ = 8uAAi 44'/.o = e-x:-5\ 16.25. <4/=O4a..v, uU = e-^ + 2*. 16.26. 44/ =6UA-V. ,, ' — №4x2 — x 44 /д)=е 16.27. 44/ = 5/4a*x, 44 ^-^e-3'1*-6*. 16.28. 4c = iUxx, f. I e—3x2 4- W |/^0 — c • 16.29. 44/ = 3|4aa-, ‘ — o-4x2-6.v "A0 = e 16.30. I4/ = 244vv> ,4 i/-0 = e'~4'2'b8’(. 16.31. Ui = UXXt ub = e-4t2-‘JC. ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица I Y2 Таблица значений функции <р(л)=г=—!— е 2 [' 2 л X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 <951 3945 : 939 19.12 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3833 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 371'9 3726 3712 3697 0.4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3,89 3572 35.' 5 3'38 0,5 3521 35C3 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 ЗОН 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 0036 0989 4973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 04'9 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0334 (332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0181 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 ОНО 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 СОЯ 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0938 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 О: 30 6029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0514 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 ООН ООН 0010 0010 0010 000'9 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003, 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0J02 0002 0001 0001 Таблица II z« 1 / 2 Табяяда значений функции Ф (х) = z-____: i е az о X. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,00000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586 0,1 03983 04380 04776 •05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535 0,2 07926 08317 08706 09095 09483 69871 10257 10642 11026 11409 0,3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173 0,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793 0,5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240 0,6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490 0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524 0,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31С57 31327 0,9 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891 1,0 34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214 1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 1,2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147 1,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 41774 1,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189 1,5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408 1,6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449 1,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327 1,8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062 1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670 2,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169 2,1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574 2,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899 2,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158 2.4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361 2,5 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520 2.6 49534 49547 49560 49573 '19585 49598 49609 49621 49632 49643 2,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736 2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807 2,9 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49861 3,0 0,49865 3,1 49903 3,2 49931 з,з 49952 3,4 49966 3,5 4,0 4,5 5,0 49977 499968 499997 49999997 3,6 49984 3,7 49989 3,8 49993 3,9 49995 Таблица III Значения функции (распределение Пуассона) ^Х. а tn х. о,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0,30327 2 0,00452 0,01638 0,03334 0,05363 0,07582 3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01264 4 0,00006 0J00025 0,00072 0,00158 5 0,00002 0,00006 0,00016 6 0,00001 а tn ^Х. 0,6 0.7 ОД 0,9 0 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 1 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 2 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 3 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940 4 0,00295 0,00497 0,00767 0,01112 5 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200 6 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030 7 0,00001 0,00002 0,00004 ^Х\ а т ^Х. 1,0 2,0 3.0 4,0 5,0 0 0,36788 0,13534 0,04979 0,01832 0,00674 1 0,36788 0,27067 0,14936 0,07326 0,03369 2 0,18394 0,27067 0,22404 0,14653 0,08422 3 0,06131 0,18045 0,22404 0,19537 0,14037 4 0,01533 0,09022 0,16803 0,19537 0,17547 5 0,00307 0,03609 0.10082 0.15629 0,17547 6 0,00051 0,01203 0,05041 0,10419 0,14622 7 0,00007 0,00344 0,02160 0,05954 0,10445 8 0,00001 0,00086 0,00810 0,02977 0,06528 9 0,00019 0,00270 0,01323 0,03627 10 0,00004 0,00081 0,00529 0,01813 11 0,00001 0.00022 0,00193 0,00824 12 0.00006 0,00064 0,00343 13 0,00001 0,00020 0,00132 14 0,00006 0,00047 15 0,00002 0,00016 16 0,00005 17 0,00001 Таблица IV Таблица значений функции k VI И1Т~ т-0 X. а ft 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0.6 0 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812 1 0,995321 0,982477 0,963063 0,938448 0,909796 0,878099 2 0,999845 0,998852 0,996400 0,992074 0,985612 0.976885 3 0,999996 0,999913 0,999734 0,999224 0,998248 0,996642 4 1,000000 0,999998 0,999981 0,999939 0,999828 0,999606 5 1.000000 1,000000 0,999999 0,999996 0,999986 0,999962 6 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999997 7 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 X. а fe X. 0.7 0,8 0,9 1,0 2,0 3.0 0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367879 0,135335 0,049787 I 0,844195 0,808792 0,772483 0,735759 0,406006 0,199148 2 0,965858 0.952577 0,937144 0,919699 0,676677 0,423190 3 0,994246 0,996920 0,986542 0,981012 0,857124 0,647232 4 0,999214 0,998389 0,997657 0,996340 0,947348 0,815263 5 0,999909 0,999816 0,999658 0,999406 0,983437 0,916082 6 0,999990 0,999980 0,999958 0,999917 0,995467 0,966491 7 0,999998 0.999999 0,999997 0,999990 0,998904 0,988095 8 1,000000 1,000000 1,000000 0,999999 0,999763 0,996196 9 1,000000 0,999954 0,998897 10 0,999992 0,999707 11 0,999999 0,999928 12 1,000000 0,999983 13 0,999996 14 0,999999 15 ’ 1,000000 \ d *? X. 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 1 0,091379 0,040428 0,017352 0,007295 0,003019 0,001234 2 0,238105 0,124652 0,061970 0,029636 0,013754 0,006232 3 0,433472 0,265026 0,151205 0,081765 0,042380 0,021228 4 0,628839 0,440493 0,285058 0,172991 0,099632 0,054963 5 0,785132 0,615960 0,445681 0,300708 0,191236 0,115690 6 0,889326 0,762183 0,606304 0,449711 0,313374 0,206780 Продолжение тиол- IV X, а k X. 4.0 5,0 в.о 7,0 8,0 9,0 ‘ 7 0,948866 0,866628 0,743981 0,598714 0,452961 0,323896 8 0,978636 0,931806 0,847239 0,729091 0,592548 0,455652 9 0,991867 0,968172 0,916077 0,830496 0,716625 0,587840 10 0,997159 0,986305 0,957380 0,901479 0,815887 0,705988 11 0,999084 0,991547 0,979909 0,946650 0,888077 0,803008 12 0.999726 0,997981 0,991173 0,973300 0,936204 0,875773 13 0,999923 0,999202 0.996372 0,987188 0,965820 0,926149 14 0,999979 0,999774 0,998600 0,994282 0.982744 0,958533 15 0,999994 0,999931 0,999491 0,997593 0,991770 0,977964 16 0,999998 0,999980 0,999825 0,999041 0,996283 0,988894 17 0,999999 0,999994 0,999943 0,999637 0,998107 0,994680 18 0,999999 0,999998 0,999982 0,999869 0,999351 0,997573 19 0,999999 0,999999 0,999994 0,999955 0,999748 0,998943 20 1,000000 0,999999 0.999998 0,999985 0,999907 0,999560 21 1,000000 0,999999 0,999995 0,999967 0,999824 22 0,999999 0,999998 0,999989 0,999932 23 1,000000 0,999999 0,999997 0,999974 24 0,999999 0,999999 0,999990 25 1,000000 0,099999 0,999996 26 1,000000 0,999998 27 0,999999 28 1,000000 Таблица V Значения иу, удовлетворяющие равенству 2Ф(«^,) = 55 0,9 0,95 0,98 0,99 0,998 1,645 1,960 2,326 2,576 3,69 Таблица VI Значения /у., удовлетворяющие равенству 2 j S„_l(x') dx = [^, о где Sra_j(х) — плотность распределения Стьюдента с п — 1 степенями свободы 0,9 0,95 0,98 0,99 5 2,015 2,571 3,365 4,1.32 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,812 2,228 2,761 3,109 12 1,782 2,179 2,681 3.055 14 1,761 2,145 2,6'24 2,977 16 1,746 2,120 2,583 2,921 18 1,734 2,101 2,552 2,878 20 1,725 2,086 2,528 2,845 22 1,717 2,074 2,508 2,819 30 1,697 2,042 2,457 2,733 со 1,645 1,960 2,326 2,576 Таблицу VII Значения Ха> удовлетворяющие равенству pv(x)dx = a, где pv (х) — плотность хи-квадрат Ха распределения с v степенями свободы а V X. 0.99 0.98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0.20 0,10 0,05 0,02 0,01 ! 1,1 0.001 0,000 0 020 0,115 0,297 ода 0,872 . 0 001 0.040 0 185 0 004 0,016 0 064 0,148 0,455 1.074 1,642 2,71 3,84 5,41 6,64 10,83 2 3 0J03 0 352 0,211 0,584 0.446 1,005 0,713 1,424 1,386 2.37 2.41 3,66 3.22 4,64 4,60 6.25 5 99 7,82 7,82 9,84 9,21 11,34 13,82 J6.27 0 429 0'711 1,064 1,649 2.20 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 11.67 |8,46 5 6 0*752 1 134 1*145 1,635 1,610 2,20 2.34 3,07 3.00 3,83 4,35 5,35 6,06 7,23 7,29 8,56 9,24 10.64 11,07 12.39 13,39 15,03 15,09 16,81 30,5 22,5 1.564 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,3 2,03 2,73 3,49 4,69 5,53 7.34 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,1 26,1 2,53 3 32 4,17 5,38 6.39 8.34 10,66 12,24 14,68 16.92 19,68 2|,7 ‘47,9 3 06 3^94 4,86 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 21.2 29,6 И 12 13 14 15 16 17 13 19 20 21 22 23 24 23 26 27 28 29 30 3^05 3.57 3.61 4,18 4 76 4,58 5,23 5 89 5,58 6.30 7,04 6,99 7.81 8,63 8,15 9,03 9,93 10.34 11,34 12,34 12.90 14,01 15,12 14,63 15,81 16,98 17,28 18,55 19,81 19,68 21,0 22.4 22.6 24,1 25,5 24,7 26,2 27,7 31,3 32,9 34,6 4.66 5,23 5.81 6,41 7.02 7.63 8,26 8,90 9,51 10.20 10,86 11,52 12,20 12.88 13,56 14,26 14,95 5,37 5,98 6.61 7,26 7,91 8,57 9.24 9.92 10,60 11.29 11,99 12.70 13,41 14.12 14.85 15,57 16,31 6,57 7,26 7.96 8,67 9,39 10,11 10,85 11.59 12,34 13,09 13.85 14,61 15,38 16,15 16.93 17,71 18,49 7,79 8,55 9,31 10,08 10,86 11.55 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,6 9,47 10,31 11,15 12,00 12,86 13,72 14,58 15,44 16,31 17,19 18,06 18,94 19,82 20,7 21.6 22,5 23,4 10,82 11,72 12.62 13,53 14,44 15,35 16.27 17,18 18,10 19,02 19,94 20,9 21,8 22:7 23,6 24,6 25,5 13,34 14,34 15,34 16,34 17.34 18,34 19,34 20,3 21.3 22.3 23,3 24,3 25,3 26,3 27,3 28,3 29,3 16,22 17,32 18,42 19,51 20,6 21,7 22,8 23,9 24,9 26,0 27,1 28,2 29,2 30.3 31,4 32.5 33.5 18,15 19,31 20,5 21,6 22,8 23,9 25.0 26,2 27,3 28,4 29,6 30,7 31,8 32.9 34,0 35,1 36,2 21,1 22,3 23,5 24,8 26.0 27.2 28,4 29,6 30,8 32.0 33.2 34,4 35,6 36.7 37,9 39,1 40.3 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31.4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38.9 40.1 41,3 42.6 43,8 26,9 28.3 29,6 31,0 32.3 33.7 35,0 36.3 37,7 39.0 40.3 41,7 42.9 44,1 45,4 46.7 48,0 29,1 30.6 32,0 37,4 34.8 36,2 37,6 38,9 40,3 41.6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49.6 50,9 36,1 37,7 39,3 40,8 42,3 43,8 45,3 46,8 48,3 49,7 51,2 52,6 54.1 55,5 56,9 58,3 69,7 ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., 1968. 2. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М., 1972. 3. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. М., 1960. 4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи н упражнения). М., 1973. 5. Волков некий Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И- Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., 1975. 6. Гнхман И. И., Скороход А. В-, Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев, 1979. 7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1975. 8. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностен. М., 1969. 9. Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей н математической статистике. Л., 1967. 10. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей н математическая статистика. М., 1982. 11. Крамер Г. Математические методы статистики. М-, 1975. 12. Краснов М- Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И, Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения). М., 1971. 13. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., 1966. 14. Мешалкии Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей. М., 1963. 15. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1979. 16. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова- М., 1965. 17. Сборник задач по уравнениям математической физики. / В. С. Владимиров, В. П. Михайлов, А. А. Вашарин и др.; Под ред. В. С. Владимирова. М., 1974. 18. Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей. М., 1980. 19. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1972. 20. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. М., 1972. 21. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М., 1982. 22. Шостак Р. Я. Операционное исчисление (краткий курс). М., 1972. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 I. Теории функций комплексного переменного и операционное исчисление . . . Справочный материал ................................................... 5 1.1. Извлечение корня (5). 1.2. Элементарные функции комплексного переменного (5), 1.3. Кривые на комплексной плоскости (6). 1.4. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия Коши—Римана (6). 1.5. Интегрирование функций комплексного переменного (7). 1.6. Ряд Лорана (8). 1.7. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции (8). 1.8. Вычеты (9). 1.9. Вычисление несобственных интегралов от рациональных функций (10). 1.10. Вычисление несобственных интегралов специального вида (10). 1.11. Вычисление определенных интегралов специального вида (10). 1.12. Преобразование Лапласа (10). 1.13, Формулы соответствия (12). 1.14. Изображение кусочно-линейной функции (12). 1.15. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (12). 1.16 Формула Дюамеля (13). Теоретические вопросы.................................................. Теоретические упражнения............................................... Расчетные задания ..................................................... 13 14 15 II. Теория вероятностей и математическая статистика....................... 41 Справочный материал...................................................... 41 2.1. Классическое определение вероятности (41). 2.2. Комбинаторные формулы (41). 2.3. Геометрическое определение вероятности (42). 2.4. Теорема сложения и формула умножения вероятностей (42). 2.5. Формула полной вероятности, формулы Байеса (42). 2.6 Схема независимых испытаний (43). 2.7. Законы распределения н числовые характеристики случайных величин (44). 2.8. Характеристические функции (47). 2.9. Законы распределения функций случайных аргументов (47). 2.10. Числовые характеристики функций случайных еелнчин (49). 2.11. Закон больших чисел (49). 2.12. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных слагаемых (49). 2.13. Точеч-. jiMO оценки параметров распределения (49). 2.14. Доверительные интервалы (51). 2.15. Статистическая проверка гипотез (52). 2.16. Критерий согласия X2 (53). Теоретические вопросы ............................................... jp Теоретические упражнении................................................. 54 Расчетные задания . ................................................ 55 111. Уравнения математической физики....................................... 75 Справочный материал...................................................... 75 3.1. Задача Штурма ~ Лнувилля (75). 3.2. Приведение к каноническому виду линейных «равнений с частными производными второю порядка в случае двух независимых переменных (76). 3.3. Метод разделения переменных (77). 3.4. За-ддч-ч Коши для нестационарных уравнений (82) Теоретические вопросы............................................... 83 Теоретические упражнения................................................ 83 Расчетные задания ...................................................... 84 Пр'поженяе............................................................... 105 1 (105). Таблица 11 (106). Таблица 111 (107). Таблица IV (108). Таблица V (109). Таблица VI (109). Таблица VII (110) Псиот&зоваивая литература ...............................».............. Н(