Автор: Чудесенко В.Ф.
Теги: анализ высшая математика математика учебное пособие для вузов
ISBN: 5-06-003065-2
Год: 1999
Текст
В.Ф. ЧУДЕСЕНКО
СБОРНИК
ЗАДАНИЙ
ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ
КУРСАМ
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
I
ОВЫЕ
РАСЧЕТЫ
Издание второе,
переработанное
Москва
«Высшая школа»
1999
УДК 517
ББК 22.11
4 84
Рекомендовано
Министерством общего и профессионального
образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению «Математика»
Рецензент — канд. физ.-мат. наук А. С. Поспелов
ISBN 5-06-003065-2
© В. Ф. Чудесенко, 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
Активная самостоятельная работа студентов — залог успеш-
ного овладения изучаемым курсом. Одной из форм активизации
учебного процесса по математике служит система типовых рас-
четов (ТР). Применение системы ТР рекомендовано действующей
программой по высшей математике для инженерно-технических
специальностей вузов.
Основой системы ТР является индивидуализация заданий.
Задачи — расчетные задания, входящие в настоящий сборник,
представлены каждая 31 вариантом, что позволяет предложить
каждому студенту учебной группы индивидуальное зада-
ние. Помимо задач типовые расчеты содержат теоретические
вопросы и теоретические упражнения, общие для всех студентов.
Расчетные задания сопровождаются ссылками на справочный
материал, в котором содержатся необходимые теоретические
сведения и примеры решения некоторых задач.
Система ТР не исключает традиционных текущих заданий.
Поскольку не все разделы спецкурсов отражены в книге в равной
мере, важно, чтобы ТР и текущие домашние задания дополняли
друг друга.
Расчетные задания выполняются частями по мере продвиже-
ния в изучении курса. Теоретические вопросы прорабатываются
по лекционному материалу и обсуждаются на аудиторных заня-
тиях. Теоретические упражнения и задачи решаются студентами
самостоятельно и сдаются на проверку в указанные преподава-
телем сроки. Решение каждой задачи приводится на отдельном
листе стандартного формата. Неверно решенные примеры воз-
вращаются на доработку с указанием характера ошибки. В специ-
альном журнале преподаватель фиксирует сданные на проверку,
а также зачтенные задачи и упражнения.
Защита ТР осуществляется в письменной форме по спе-
циальным билетам в часы занятий. Во время защиты проверяется
умение студента правильно отвечать на теоретические вопросы,
пояснять решение теоретических упражнений и задач, решать
задачи аналогичного типа. Как правило, защита занимает
один учебный час. Срок защиты устанавливается учебным
графиком. Повторная защита проводится вне сетки расписания
з
в письменной форме или путем собеседования (по усмотрению
преподавателя). Промежуток времени до повторной защиты не
должен превышать одной недели.
Каждый из предлагаемых в настоящей книге ТР обеспечивает
семестровый спецкурс. В том случае, когда соответствующий
раздел излагается в меньшем объеме, ТР подлежит сокращению.
Предлагаемые ТР составлены на кафедре высшей математики
Московского энергетического института.
Автор благодарен коллегам за предоставленные материалы.
Автор
1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1.1. Извлечение корня. Корень п-й степени из комплексного числа z имеет
п различны* значений, которые находятся по формуле
\/z—\/|z| ^cos ------+isin —---\ p—argz, fc—О,1,л—1, z#0.
\ п п /
1.2. Элементарные функцш комплексного перемеаюго. Значения показатель-
ной функции комплексного переменного z—х-Ну вычисляются по формуле
с (cosy+isiny). (1)
Показательная функция с обладает следующими свойствами:
*1+*2 XI Х2
С ВС с ,
где Z] и Z2 — любые комплексные числа;
х+2яН х _ л , х
е —е , к—О, ±1,т. е. е
является периодической функцией с основным периодом 2га'.
Тригонометрические функции sinz и cosz выражаются через показательную:
iz —iz U —iz
е —е е -he
sinz--------, cosz--------.
2i 2
Функции w-sinz и w-cosz— периодические с действительным периодом 2я
и имеют только действительные нули z—Ьс и z—я/2-h Ля (JI—О, ±1,
±2,...) соответственно.
Функции tgz и ctgz определяются равенствами
sinz cosz
tgz—----, ctgz-----.
cosz sinz
Для тригонометрических функц ий комплексного переменного остаются в си-
ле все известные формулы тригонометрии.
Гиперболические функции shz, chz, thz, cthz определяются равенствами
е*—е * е*+е * shz chz
sh Ze-------chz--------, thz——, cth——.
2 2 chz shz
Имеют место тождества shz——ism iz, ch z - cos iz.
Логарифмическая функция Lnz, где z#0, определяется как функция, обратная
показательной, причем
5
Lnz—Ь |z|+iArgz»ln |z| 4-i (argz+2itfc), fc»O, ±1, ±2»...
Значение функции, которое получается при fc»0, называется главным значени-
ем и обозначается
inz~ln |z|+iargz.
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
Ln (ziz^-’Lnii+Lnzj, Ln
Lnzi-Lnzi,
Л л t i
Lnz ®«Lnz+2nJb'( i-0, ±1, ±2,...» Ln vz“~ Lnz.
n
Функции Arcsinz, Arccosz, Arctgz, Arcctgz определяются как обратные к фун-
кциям sinz, cosz, tgz, ctgz соответственно. Так, если z—cosw, то w называется
арккосинусом числа z и обозначается w» Arccosz. Все эти функции являются
многозначными и выражаются через логарифмическую:
Arcsinz» —/Ln (iz+^/l—z2), Arccosz»— /Ln (z+^/z2-!),
i 1+iz i z—i
Arctgz» — Ln------, Arcctgz»- Ln--- •
2 1-iz 2 z+<
Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются
теми же символами со строчной буквы (arcsinz, arccosz, arctgz, arcctgz); они
называются главными значениями.
а
Общая степенная функция z , где а — любое комплексное число, опреде-
ляется соотношением
« а Lnz
z »е , z^O.
_ _ « «lnz
Эта функция многозначная; значение z «е называется главным значением.
Общая показательная функция w*=a , определяется равенством
z zLna
а »е
w . z zha
Главное значение этой функции а »е
1.3. Кривые на комплексно* плоскости. Уравнение вида z»z (О—х (О+гу (О
определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения кото-
рой имеют вид
(<)> У~У (О-
Исключением параметра t из этих уравнений получаем уравнение кривой в виде
F(x,^)-O.
1.4. Дпффгрги|ированне функций комплексного перемемюго, условия Коши—
Римана. Пусть функция (z) определена в некоторой области G комплексного
переменного z. Пусть точки z и z+Az принадлежат области G. Введем обозначе-
ния Aw«/(z+Az)—/(z), Az=Ах-Ь/Ay.
Функция w~f (z) называется дифференцируемой в точке zeG, если отношение
Aw
— имеет конечный предел при Az-*0. Этот предел называется производной
bz
(dw\ Aw
или — (z)« lim —.
dzj Az-»o Az
6
Пусть z~x+fy, (z)«m (x, y)+fv (x, у), тогда в каждой точке дифферен-
цируемое™ функции / (z) выполняются соотношения
ди дч ди дч
дх ду ду дх
называемые условиями Коши—Римана.
Обратно, если в некоторой точке (х, у) выполняются условия Коши—Римана
и, кроме того, функции и~и (х, у) и v«v (х, у) дифференцируемы как функции
двух действительных переменных, то функция /(z)«u-hiv является дифферен-
цируемой в точке z—x+fy как функция комплексного переменного z.
Функция w~f (z) называется аналитической в данной точке если она диф-
ференцируема как в самой точке z, так и в некоторой ее окрестности. Функция
w—f (2) называется аналитической в области G, если она аналитична в каждой
точке zaG.
Производная аналитической функции вычисляется по формулам
ди дч дч ди ди ди дч дч
f (z)«— -hi — ---i—------i — -hi —.
дх дх ду ду дх ду ду дх
Пользуясь условиями Кении—Римана, можно восстановить аналитическую
функцию v»/(z), если известна ее действительная часть и** и (х, у) или мнимая
часть v«v (х, у) и, кроме того, задано значение f (z0) функции в некоторой точке
zb> Для аналитичности f (z) необходимо, чтобы и (х, у) и v (х, у) были гармоничес-
кими функциями, т. е. Au—Av—0.
Пусть, например, u«e cosy,/(0)«1. Определить аналитическую функцию
/(*)-
В силу условий (2) имеем
дч ди х
(3)
ду дх
дч ди х
—-е siny. (4)
дх ду
Интегрируя уравнение (4) по переменной х, находим мнимую часть
v«e*siny+C(y). (5)
Слагаемое С (у) представляет собой постоянную (относительно х) интегрирова-
ния. Дифференцируя (5) по у и сопоставляя результат с (3), получаем С* (у)—О,
откуда С (у)«С. Таким образом, имеем
v«e*siny-hC H/(z)»y-hiv««eX (cosу+isiny)-hC;
с учетом формулы (1)—/(z)-e*+C. Учтем дополнительное условие /(0)-1,
откуда С-=0; игак,/(я)«еХ.
15. Интегрирование функций комплексного переменного. Пусть однозначная
функция w~f (z) определена и непрерывна в области G, а Г — кусочно-гладкая
кривая, лежащая в G; z~x+iy, /(z)«u-hrv, где (х, у), v—v (х, у) — дейст-
вительные функции переменных хну. Вычисление интеграла от функции (z)
комплексного переменного z сводится к вычислению криволинейных интегралов
по координатам:
f/(z) dz—Jwdx—vdy+i J vdx+iidy.
г г г
7
Если кривая Г задана параметрическими уравнениями х*х (0» у**у (О, а на-
чальная и конечная точки дуги соответствуют значениям /®« и t**P, то
А
f /(z) dz-f f[z (01 z' (I) dt, где z (f)-x (t)+iy (t).
Г a
Если (z) — аналитическая функция в односвязной области G, то интег-
рал не зависит от пути интегрирования (зависит только от начальной и конечной
точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньюто-
на—Лейбница
>2
1/(а)<к-Ф(х2)-Ф(*1),
*1
где Ф (z) — какая-либо первообразная для функции f (z), т. е. Ф' (z)«/ (z) в об-
ласти G.
Если функция w®/(z) является аналитической в односвязной области G,
ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром Г, и на самом контуре, то
f (z) dz«=0 (теорема Коши)
г
и для любой внутренней точки z$eG
1 f/W
/’(*о)а®— у-----й2 (интегральная формула Коши).
2ш * z-Zq
Направление интегрирования считается положительным.
1.6. Рад Лорана. Функция w^f(z)9 однозначная и аналитическая в кольце
p<|z—zo| <Я, разлагается в этом кольце в ряд Лорана
00 к к 00 к
Е C*(z-zo) “ Е (*-*o) + Е с* (z-zo), (6)
к»—со к—-со jt-0
коэффициенты находятся по формулам
1 Г /(z)dz
С*— Ф-^---------, *«0, ±1, ±2,...
2nil, Д+1
г (z-z0)
Здесь Г — произвольная окружность с центром в точке zo, лежащая
заданного кольца. Разложение в ряд Лорана единственно.
В формуле (6) ряды
—1 со
£ Q(z-z0)*h £ Cfc(z-z0)*
*--a> *-0
(7)
внутри
называются соответственно главной частью ряда Лорана и правильной частью
ряда Лорана.
На [фактике для нахождения коэффициентов С*, если это возможно, исполь-
зуют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора.
Для примера разложим в рад Лорана с центром в точке zq=0 функцию
Функция z3e аналитична в кольце 0<|z|<оо, следовательно, разложима
8
в кем в ряд Лорана. Воспользуемся разложением показательной функции в ряд
Гейлора в окрестности точки СожО:
и положим 1/z, тогда
/(z)=z3
В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции f(z) по
степеням z является рядом Лорана для функции f (z)*z3e1^ в кольце 0 < |z| < ео.
1.7. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Точка
го называется изолированной особой точкой функции (z), если f (z) — одно-
ыачная и аналитическая функция в круговом кольце O<|z~zo|<<5, ^Р^ме самой
точки Zq.
Функцию (z) в окрестности точки zo можно разложить в ряд Лорана (6),
сходящийся в кольце 0 < |z—zq| < б. При этом возможны три различных случая,
м(*гда ряд Лорана: 1) не содержит членов с отрицательными степенями разности
00 к
т -2о, т. е. f (z)— £ Q (z—zq) • В этом случае zq называется устранимой особой
точкой функции w^f (z); 2) содержит конечное число членов с отрицательными
* к
степенями разности (z—zo), т. е. f (z)** £ С* (z—zo) > причем С_и^0. В этом
случае zo называется полюсом порядка л функции w**f (z); 3) содержит бесконеч-
ное число членов с отрицательными степенями разности z—zo, т. е. /(?)—
£ к
* X Q (z~z0) . В этом случае Zq называется существенно особой точкой
функции (z).
При определении характера изолированной особой точки используются сле-
дующие утверждения.
1. Для того чтобы точка zo являлась устранимой особой точкой аналитичес-
кой функции w»/ (z), необходимо и достаточно существование предела
lim f (z)« Со, причем |Col < оо.
’ *20
2. Для того чтобы точка zo являлась полюсом аналитической функции
* ~ f (z), необходимо и достаточно существование предела lim /(z)«oo.
z-»Z0
2. Для того чтобы точка z0 являлась полюсом порядка п яяе^ятческсй
функции /(z), необходимо и достаточно, чтобы функцию /(z) можно было
представить в виде/(z) « ф (z)/(z—z0) , где ф (z) — функция аналитическая в точке
70, причем ф (zq)#O.
2". Пусть zq — изолированная особая точка функции /(z)«2 (я)/д (z), где
А (?) и д (z) — функции аналитические в точке z0.
Если числитель 2 (z) и все производные до к~ 1 порядка включительно
» точке zq равны нулю, 2^ (zo)^O, знаменатель р (z) я все производные до /—1
порядка включительно также равны нулю в точке zq, р* (z0)#0, то при 1>к точка
9
Zq является полюсом порядка п=1—к аналитической функции f (z). (Если 1^к, то
точка zq является устранимой особой точкой аналитической функции f(z).) В ча-
стном случае, при £=0, /==1 имеем: если Л (20)#0, д (zo)=O, д' (20)#0, то z0—
полюс первого порядка функции f (z).
3. Пусть при 2->2о аналитическая функция w=/(z) не имеет пределов ни
конечного, ни бесконечного. Это условие является необходимым и достаточным
для того, чтобы точка zq была существенно особой точкой функции w=f (z).
1.8. Вычеты. Пусть zq — изолированная особая точка функции w—f (z). Выче-
том функции f (z) в точке zq называется число, обозначаемое символом res20/ (z)
и определяемое равенством
resq)/(*)=^.f/(*)dz , (8)
(другие обозначения: res f (zq), res \f (z), zq]). Замкнутый контур интегрирования
у лежит в области аналитичности функции /(z) и не содержит внутри других
особых точек функции f (z), кроме z0, направление интегрирования положитель-
ное.
Сопоставление формул (7) и (8) показывает, что вычет функции равен коэф-
фициенту при минус первой степени в лорановском разложении /(z) в окрестно-
сти точки Zq!
resI0/(z)=C_i. (9)
Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Вычет функции f (z) в полюсе л-го порядка вычисляется по формуле
resZ0/(z)=—Hm — VW (*-*<Л
(п — 1)! z—*хо dz
при л=1
reSz07(*)e 11111 VW
z->zo
Если функция w=/ (z) в окрестности точки zq представляется как частное двух
аналитических функций, f (z)=2 (х)/д (z), причем 2 (zo)#O, р (zo)=O, д' (zo)#O (в
этом случае zq — полюс первого порядка функции f (z)), то
resZ0/(z)=2 (zo)/p' (z0).
Если точка zq есть существенно особая точка функции w=f(z), то вычет
вычисляется по формуле (9).
Основная теорема Копи о вычетах. Если функция w=f (z) является аналити-
ческой на границе Г области G и всюду внутри области, за исключением конечного
числа особых точек zy Z2, z№ то
$f(z)dz-2ni £ resIJt/(z). (10)
г *-i
1.9. Вычисление несобственных интегралов от рацаональных функций. Пусть
R (х) — рациональная функция, R (х)=Р* (x)IQi W> где Р^ (х) и б/ (х) — много-
члены степеней k u l соответственно. Если Я (х) непрерывна на всей действитель-
ной оси и Z>fc+2, т. е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы
больше степени числителя, то
+ оо
J Л (х) dx=2Tr/resXm Л (z),
—оо т
10
1Д(Ч i. сумма вычетов функции R (z)—Pk (z)/Qi (z) берется по всем полюсам zm,
расположенным в верхней полуплоскости Im z>0.
1.10. Вычисление несобственных интегралов специального вида. Пусть R (х) —
рациональная функция, R (х)=Рк (x))Qi (х), где Рк (х) и Qi(x) — многочлены
и । ci юней к и I соответственно. Вели R (х) непрерывна на всей действительной оси
Н 1л к 4-1 (т. е. R (х) — правильная рациональная дробь), то
+ о° г
f R (х) cos Лх dx=Re < 2ni £ resZm R (z) e >, Л>0,
— oo ** m
+ c° Г
f R (x) sin Лх dx=Im <2ni £ resZm R (z) e >, Л>0,
— oo m '
|дс сумма вычетов функции R (z) e’^ берется по всем полюсам zw, расположен-
ным в верхней полуплоскости Im z>0.
1.11. Вычисление определенных интегралов специального вида. Пусть R ^ ра-
циональная функция cos t и sin t, непрерывная внутри промежутка интегрирова-
И
нин. Полагаем z=e , тогда
1 / 1\ 1 / 1\ dz
cos /=- I z+~ ), sin t=— I z— I, d/=—;
2 \ z) 2i \ zj iz
имеем
R (cos t, sin t) d/= £ F (z) dz,
И»1
i де путь интегрирования — окружность единичного радиуса с центром в начале
координат. Контурный интеграл в правой части равенства (11) вычисляется по
формуле (10), где сумма вычетов функции F (z) берется по всем особым точкам,
лежащим в области |z| < 1.
1.12. Преобразование Лапласа. Функцией-оригиналом называется функция f (О
действительного аргумента /, удовлетворяющая условиям: 1) f (/) интегрируема
на любом конечном интервале оси Г, 2) /(0=0 для всех отрицательных t; 3) f(t)
возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоян-
ные М и (То, что If (01 <Ме 0 для всех t.
Изображением функции f (0 по Лапласу называется функция F (р) комплекс-
ною переменного р=ет-н'т, определяемая равенством
F(P1=1
О
обозначение: f(t)£F (р).
Для любой функции-оригинала f (/) изображение F (р) определено в полупло-
скости Re р> сто и по крайней мере в этой полуплоскости является аналитической
функцией.
I
Свойства
1°. Линейность: для любых комплексных постоянных Q и С2
Qfi (О + СгЛ (t^QF, (p)+C2F2 (р).
И
2°. Формула подобия: ддк любого постоянного ш>0
/И)-- f(-\
СО \coj
3°. Дифференцирование оригинала: если функции (г),...(Z) являют-
ся функциями-оригиналами, то
f(t)^pF(p)-f^),
(‘)=p"f (р)-рЯ lf(0)-pn 2f’°(0).
Величина (OX fc=O, 1,..., л—1, понимается как lim (z).
t~*+0
4°. Дифференцирование изображения: F’ (p)£—tf (t).
A f
5°. Интегрирование оригинала: I f (t) dr ==-.
J P
0 f(t)
6°. Интегрирование изображения: если-- является функцией-оригиналом,
t
то
со
I F (р) dp==-.
J t
p
1°. Формула смещения: для любого комплексного Л
/(ОеЛ^СР+А).
8°. Формула запаздывания: f яF(p), т>0.
9°. Формула умножения изображений:
t
Л (₽) Ъ (р)=|/1 «Л (<-*) dr. (12)
о
Интеграл в (12) называется сверткой функций f\ (/) и /2 (0 и обозначается симво-
лом Л */2-
Отысканне оригинала но изображению
Для нахождения оригинала f (/) по известному изображению F (р) наиболее
широко применяются следующие приемы:
1) если аналитически продолженная в полуплоскость Кер<гт0 функция F (р)
есть правильная рациональная дробь, то ее разлагают на сумму простых дробей
и находят оригиналы для каждой простой дроби, используя свойства 1°—9°
преобразования Лапласа;
2) используют формулу разложения, согласно которой при некоторых до-
статочно общих условиях оригиналом для F (р) служит функция
12
/(/)=£ res,, IF О) A
к
i дс сумма вычетов берется по всем особым точкам р^ функции F (р).
1.13. Формулы соответствия. Широко применяются следующие табличные
cool ношения:
1 = 1/р; eaf=l/(p—a); sinсоГ=со/(р24-со2); cos со/=р/(р2+со2);
shcor=co/(p2—co2); chcor=p/(p2—со2); t .
Левые части операционных соотношении предполагаются домноженными
[1, />0,
им функцию ц (0 = 5 которая для сокращения записи, как правило, опу-
(0, /<0,
смается.
1.14. Изображение кусочно-линейной функции. Примерный вид графика кусоч-
но-линейной (полигональной) функции представлен на рис. 1. Введем следующие
обозначения:
— точки разрыва функций/(г) или/7 (0;
^—a^—bk — скачки функций в узлах «стыка»;
— скачки производной f (/) в узлах «стыка».
Изображение полигональной функции имеет вид
* V
1.15. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом пред-
полагает три этапа: 1) переход от исходных функций к их изображениям по
Лапласу, при этом дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое
о I носительно изображения искомой функции; 2) решение полученного алгебра-
ического уравнения; 3) получение искомого решения по его изображению.
Решим задачу Коши для дифференциального уравнения
(13)
при начальном условии х (0) = 1.
Операционный метод решения такой задачи состоит в том, что искомую
функцию и правую часть дифференциального уравнения считаем оригиналами
и переходим от уравнения, связывающего оригиналы, к уравнению, связывающе-
му их изображения. Для этого воспользуемся формулой дифференцирования
оригинала
*’ (0=рЛГ(р)-х(0)=рУ(р)-1.
13
Применяя свойство линейности, перейдем в уравнении (13) от оригиналов к изоб-
ражениям:
Решим полученное уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение
относительно неизвестного изображения X (р):
Осталось по известному изображению X (р) найти соответствующий ему
оригинал х (t). Используя свойство линейности преобразования Лапласа и таб-
личные операционные соотношения (см. п. 1.13), получаем х(/)«2е—1. Это
и есть искомое решение задачи Коши.
Аналогично решаются системы линейных дифференциальных уравнений.
1.16. Формула Дюамеля. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
л-го порядка с постоянными коэффициентами:
Ь{х(О}“Ло*(л)(О+в1*" ° W+ -+«.*(') =7(0 О*)
при нулевых начальных условиях
х (0)—х' (О)-...»?"1’ (0)=0. (15)
(Заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно
свести к задаче с нулевыми условиями.)
Допустим, что известно решение уравнения L {х (/))= 1 (с той же левой
частью и правой частью, равной единице) при условиях (15). Обозначим его jq (0-
Тогда решение х (г) задачи (14)—(15) можно выразить через х\ (г) и/(0 с помо-
щью одной из формул:
t t
х (0-f Х1 dr, x (0-f x't (<-t)/(t) dr,
о 0
t t
x (i)-f(0) Xi (0+fГ (t) Xi (<-t) dr, x (0-7(0) x1 (0+(<-r) xt (r) dr.
0 0
Каждое из этих выражений называют формулой (или интегралом) Дюамеля.
Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на формуле Дю-
амеля, применяют, как правило, в тех случаях, когда возникают трудности при
нахождении изображения F (р) правой части / (0 уравнения (14), а также при
необходимости многократного решения задачи (14)—(15) для различных функций
/(0-
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Комплексные числа, действия над ними.
2. Показательная и логарифмическая функции комплексного
переменного. Формулы Эйлера.
3. Степенная функция. Тригонометрические и гиперболичес-
кие функции.
4. Производная функции комплексного переменного. Условия
Коши—Римана. Понятие аналитической функции.
5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
14
функции комплексного переменного. Понятие о конформном
отображении.
б. Интеграл от функции комплексного переменного, его свой-
ства.
7. Теорема Коши для одно- и многосвязных областей. Фор-
мула Ньютона—Лейбница.
8. Интегральная формула Коши^
9. Существование производных всех порядков у аналитичес-
кой функции.
10. Ряд Тейлора. Теорема о разложимости аналитической
функции в ряд Тейлора.
11. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана.
12. Классификация изолированных особых точек.
13. Вычеты. Вычисление вычетов.
14. Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление контур-
ных интегралов.
15. Вычисление несобственных интегралов с помощью выче-
тов. Лемма Жордана.
16. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существо-
вание и аналитичность преобразования Лапласа. Поведение изоб-
ражения в бесконечности.
17. Свойства преобразования Лапласа: свойство линейности,
теорема подобия, теорема затухания (смещения), теорема запаз-
дывания.
18. Дифференцирование оригинала и изображения.
19. Интегрирование оригинала и изображения.
20. Методы отыскания оригинала по заданному изображе-
нию.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать равенство
л+1 л
sin---Osin- 0
2 2
sin 0+sin20+...+sinn0=-----------, 0#2ял, n=Q, ±1, ...
0
sin-
2
Указание. Рассмотреть геометрическую прогрессию е*, е*2*,..., е**.
2. Доказать, что в полярных координатах г, <р условия Ко-
_ ди 1 0v 0v 1 ди
ши—Римана имеют вид —=------; —=----.
dr г д<р dr г д<р
3. Доказать, что функция w=|х| нигде не дифференцируема.
4. Пусть функция и (х, у) гармоническая в некоторой области
15
G, т. e. Ди=О в любой точке (х, y)eG. Для каких «/» сложная
функция f[u (х, у)] будет также гармонической в области G?
5. Пусть функция /(z)— аналитическая в круге |г|<Л и
Л/=тах /(z)|. Для всех внутренних точек круга доказать
неравенство
UR , „-1,2,....
* (л-И)"+‘
б. Числа А„ определяемые условиями Ло=1, Л = 1, Л>+2=
=Л„+Ля+1, л=0, 1, ..., называются числами Фибоначчи. Дока-
СО j
зать, что в некоторой области У Л,г"=------Определить об-
„-0 1-z—z2
ласть сходимости ряда.
7. Доказать, что для четной функции f (z) имеет место равен-
ство гевцУ (z)= а для нечетной функции — равенство
iesJg/(z)=res_4/(z).
8. Функции/(z) и ф (z) в точке z=z0 имеют полюс соответст-
венно порядка т и п. Что можно сказать о характере особой
точки z=Zo для функций: a) f (z) q> (z); 6) f (z)l<p (z); в) /(z)+
+Ф (z)?
9. Функции f(z) и g (z) — аналитические в точке zo, причем
/(ze)#0, g (z0)=g' (zo)=O, g* (zo)#O. Найти вычет функции ф (z)=
(z)/g (z) в точке zb.
10. Являются ли оригиналами функция f(t)—q (t) sine и ее
производная/' (/)? Здесь
fl, ^>0,
(0, /<0.
11. Используя теорему умножения изображений, найти реше-
I
ине интегрального уравнения f у (т) cos (/—т) dt= 1 — cos t.
о
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Найти все значения корня (см. п. 1.1).
1.1. V-1- х /-i+h/з 1Л. * / —. V 2 1Л. »Vi-
1.4 1Л V1- , l—l—ty/з 1.4 4 / —. V 2
1.7. \Л1. 1Л ^J-i. 1A V-ie.
16
1.1Х \J\6.
1.16. V-S'-
1.19. *5/1/8.
131 *^/-8-185/3.
135. ♦У-128 4-fl28V3.
138. *^/-128-13285/3.
131. *5/—127.
Задача 2. Представить в алгебраической форме (см. п. 1.2).
1.11. ’5/8. 1.12.
, /-1-й/з 1.14. * / 1.15. ’5/-8.
V 32
1.17. *5/-1/16. 1.18. *-^-8+185/3.
1.20. 1.21. Vui6.
1.23. *5/-1/8. 1.24. ’5/-1/8.
IM. *5/27. 1.27. *5/1/256.
1J9. S5/i/27. 130. *5/256.
2.1. sin (я/4+21). 23. cos (я/6+20* 23. Ln 6.
14. sh (2+w/4). 23. ch (2+Я//2). 24. Ln(l+i).
17. sin (x/3+0. 23. cos (я/4+О. 2J>. Ln(5/3+a
2.10. sh (1 +ni/2). Xll. ch(l- ш). 11X Ln (1+5/ЗО.
2.13. La (-1+1). X14. cos (я/4-20. 2.15. sin (я/2-51).
116. sh(3+ni/6). X17. ch(l+xf/3). xia Ln (-1-0.
2.19. tin (n/6-30. X20. cos (я/3+ЗО. 231. Ln (1-1).
121 sh (l-iu/3). X23. ch (2-Я1/6). 234. 1”.
125. sm (x/3-21). 2M. cos (я/6-О. 237.
2Л8. th (2-Я1). 2391 (-1)S. 230. (-I)**.
231. ch(3+»/4).
Задача 3. Представить в алгебраической форме (см. п. 1.2).
3.1. Arstg
1-Ц5/3-1)
5/3+1+!
X2. Arcsin 4.
33. Arch (-2).
/-25/3+ЗЛ
3.4. Arctg I------1.
\ 3 J
/3+Оу/3\
Х7. Arth I —I.
\ 3 J
/ Л
3.10. Arctg I —- 1.
/3+4Л
XIX Arctg Гу-I
/3-4Л
33. Arcth I--I.
\ 5 J
33. Arcsin
ЗЖ Arcctg
17
3J. Arcsin —.
8
Xll. Arctg (2-i). 3.1X Arch (30-
/8+йц/з\ /хУз-«Л
3.14. Arcth I—j. 3.15. Arctg I ~^y—1
17
/4-ЗЛ
ЗЛ4. Arthl---).
\ 5 J
3.19. Arccoe (—5).
-9+i
ЗЛ2. Arctg y-y.
/3+£Ц/3\
125. Arth (—I.
fiJi+8Л
331 Arctg I-----j.
331. Arctg 1.
Задача 4. Вычерт
/-гУз+
117. Arctg —2L—_
\ 1
120. Arsh (-40-
/ 5Л
3.23. Arctg I - -1.
/4+ЗЛ
3M. Arcth (--- .
\ 5 J
3J9. Arccoe (-30-
область, заданнук
j. зла Arcth
1-1/3
331. Arcan------.
2_
/2^3+
3.24 Arcctg f-—
ЗОЛ. Arcan(—1).
330. Arcsin 1.
неравенствами.
4.1 |z-l|<l, |x+l|>2. 43. k+4>l. kl<2-
43. |z—i|<X Re z>l. 44. |z+l|>l, |z+fl<l.
43. |z+i|<i, k-Hi- k+HX k-l>2.
17. k-l-fl<l>bnz>l, Rex>l.
4Л к-1+4>1, Rez<l,Imz<—1.
4.1 k-2-4<2,Rez>3, Imz<l.
4.10. k-l-4>l,0<Rez<2,0<Imz<2.
4.11. k+4<2,0<Re z<l. 4.12. k~4<h 0<argz<x/4.
4.13. k~4<2,O<Imz<l 4.14. k+4>l> -x/4<argz<0.
4. 15. k-l-j|<l, |argz|<*/4.
4. M. |z|<2, -x/4<arg (x-l)<x/4.
4. 17. |z|<l. «в(х+0>«/4.
4. 11 l<k-l|<2»Im z>0, Rez<l.
4. 19. l<k~4<2> Rez<0, hnz>l.
430. |z|<2, Rez>l, arg z<x/4.
431. |z|>l.-1 <Im z<l, 0<Re z<2.
432. k-l|>l, -Kim z<0,0<Re z<3.
433. k+4<l> -3x/4<atgz<-x/4.
424. |z—4<1> -x/2<arg (z—0<x/4.
425. zz<2,Rez<l,Imz>-l. 434. zz<2, Re z<l, Im z> — 1.
437. 1 <zz<2, Re z>0,0<Imz<l.
42R |z—1|<I> “в Kx/4, arg (z—l)>x/4.
439. k—4<1, arg r>x/4, arg (z+1— 0<x/4.
430. k-2-i|>l, l<Rez<3,0<Imz<3.
431. |Rez|<l, |Imz|<2.
18
Задача 5. Определить вид кривой (см. п. 1.3).
5.1. z®3sec r+ntg г.
53. z«-sec/+i3tg/.
53. z®3tgr+f4secr.
5.7. z®3cosec/+Bctgr.
53. z®ctgf—Bcosecr.
5.11. z®3ch2r+i2sh2/.
5.13. z»5sh4r+$4ch4/.
2
5.15. z®----h>4th2/.
ch2f
5i
5.17. z=th5f+---.
ch 5/
и 1
5.19. z=2e +—.
2e‘Z
и 1
521. z=-2e +-.
и
e
52. z«2sec /—Btg/.
5.4. z«4tgr—В sec/.
53. z® — 4tg/—i2sect
53. z«4 cosec/—/2ctg/.
5.10. z® —ctg/+Bcosec/.
5.12. z«2ch3/-Bsh3/.
5Л4. z= —4 sh 5/—z’5 ch 5/.
4
5.16. z®----H"2th4t.
ch4r
1
5.13. z=——fcthr.
sh/
it 1
520. z=3e-------.
~ й
2it 1
522. z«2e ——.
2Й
e
/-l+i7
z®-------.
/(/-1)
1+/ /
525. z®---+----(2—40-
1-/ 1-/
527. z«/2+4/+20-i(/2+4/+4).
529. z=2/2+2/+1—i (f2 + /+4).
531. z®/2—2/+3+/(r2—2/+1).
526.
2+/ 1+/
z=---+ i---.
2—/ 1-/
528. z«/2 + 2/+5+j(/2+2/+1).
530. z«/-2+i (/2-4/+5).
Задача 6. Проверить, что и (v) является действительной
(мнимой) частью аналитической функции. Восстановить аналити-
ческую в окрестности точки z0 функцию f (z) по известной дейст-
вительной части и (х, у) или мнимой v (х, у) и значению f (z0) (см.
п. 1.4).
6.1. u=x2—у2+х,/(0)=0.
63. v«e* (ycosy+xsiTiy),/(0)=0.
6.4. и « х2 —у2—2у, f (0)=0.
,/(1)=1+/.
х2+у2
63. v«e*cosy,/(0)® 1+/.
62. м=х3-Зху2 + 1,/(0)=1.
2х . е +1
63. в® cos у, /(0)® 2.
е
6.7. v=e Jsmx+y,/(0)®l.
63. v=- -,/(0)-l.
(x+l)2+j>J
19
6.10. у 6.11. м«е Jcosx,/(0)«1.
x2+y2
6.12. n«y-2xy,/(0)«0. 6.13. v-x*~y*+2x+l,/(P)~£
6.14. м « x2 —y2 — 2x 4-1, f (0) «1. 6.15. v « 3x2y—y2 — yt f (0)« 0.
6.16. v-2xy+y,/(0)-0. 6.17. v -3x2y-y\ J (0)«1.
6.13. ii—e* (xcosy—ysiny),/(0)e0-
6.19. v-2xy+2x,/(0)»0. 630. u—1 — sin у • e* f (0)=1 -hi.
631. 2x , e —1 632. у V —1 f^n = 1x/
№ “ ШП.У, J X e V«l— 2,JU/el-hl. x2+y2
6.23. и-е *cosx+x,/(0)«l. 634. v«e Jsmx,/(0)«l.
635. x+1 636. m«x/(x2+^3)+x,/(1)"2.
... vO *• (x+l)2+^2
637. №X2— y2— x,/(0)»»0. 638. и «—2xy—2y, f (0)«/.
639. v-2x^-2y,/(0)-l. 630. u«x3—Злу2—xtf (0)«0.
631. v«2xy+x,/(0)-0Z
Задача 7. Вычислить интеграл от функции комплексного пере-
менного по данной кривой (см. п. 1.5).
7.1. f z2dz; ЛЭ:{у«х2; z^-O, z>«l+i}.
73. J (z+l)eXdz;L:{|z|-l,Rez>0).
L
73. J Imz3dz; ЛЭ —- отрезок юрямой, z^O, zj-2+21.
лв
7.4. J (z2+7z+l)dz; АВ~ отрезок прямой, 1-1.
лв
73. J |z| dz; ABC — ломаная, z^-O, z>--l+i, zc«l+i.
ABC
7.6. f (12z5 +4z3+1) dz; AB — отрезок прямой, zA«1, zj~i'.
AB
7.7. f z2 dz; AB— отрезок прямой, z^«0, zj«l+Z.
AB
73. J z3e dz; ABC — ломаная, zA»i, z&» 1, zc«0.
ABC
20
13. J Re - dz; AB: {|z|«1, Imz>0}, BC — отрезок, zj«=l, zc**2-
ABC
7.10. f (z3+coez) dz; ЛИС— ломаная, z^—O, z>«l, zc”*i-
ABC
fz
7.11. I - dz; L — граница области: {1 <|z|<2, Rez>0}.
J *
L
7.12. J (chz4-cosiz); ABC — ломаная, z/«0, zj— — 1, zc«/.
ABC
7.13. f |z| zdz; L: {|z| -4, Rez>0}.
L
7.14. f (diz+z) dz; L: {|z| = 1, Imz<0}.
L
7.15. f Jz| Rez3dz; L:{|z|-R, Imz>0}.
L
7.16. f (3z3-h2z)dz; ^R:{y-x3,zx-0,zj|-l+i}.
AB
7.17. J zRez3dz; L:{|z|«R; Imz>0}.
L
7.18. f (z3+1) dz; ABC — ломаная, zx«0, z>« — 1 +i, zc~i.
ABC
7.19. J eW lmzdz;AB—отрезок прямой, zx«l 4-i, z>«0.
AB
7JO. f (siniz+z)dz; £:{|z|M> Rez>0}.
L
7.21. f zRez3d^ AB — отрезок прямой, zA«0, z>« 1+2/.
AB
7J2. f (2z+l)dr, ^R:{y«x3,Zx-0,Zj|-:l+i}.
AB
7J3. J zzdz; Л£:{|я|«1, Rez>0, Imz>0}.
ABC BC — отрезок, z>* 1, zc-0.
7J4. f (cosiz+3z2)dz; L:{|z|-1, Imz>0}.
L
21
7JS. f И dr, L:{|x|-V2> 3*/4<argz<5«/4}.
L
7M. f (z9+l)dr,ABC—ломаная, z^-O, z$«l-H’, zc~i-
ABC
1 f -
7J7. - zdz.
21 J
Й-А
7M. J (smz+z5) dz; ABC — ломаная, z^®0, zj« 1, zc«2i.
лэс
7.29. f z Imz3 dz; AB — отрезок прямой, zA«0, z^= 1 +i.
AB
730. J(za+sinz)dz;L:{|z|-l,Rez>0}.
L
731. f z|z|dr,£:{|z|-l,Imz>0}.
L
Задача 8. Найти все лорановские разложения данной функ-
ции по степеням z (см. п. 1.6).
z-2 z-4 8.1. — —. 8Л —— 2z3+z2-z z*+z3-2z2 2z—16 5z—50 8.4. . z*+2z3-8z2 2z3+5z2-25z 7z—98 4z—64 2z3+7z2—49z z*+4z3-32z2 5z—100 llz—242 8.10. — 8.11. — . z*+5z3-50z2 2z3+llz2-121z 13z—338 7z—196 8.13. — . 8.14. — 2z3+13z2-169z z*+7z3-98z2 3z—18 8-3. — . 2z3+3z2-9z 3z—36 z4+3z3— 18z3 9z-162 3 9 2 2z3+9z2-81z 6z-144 8.12. z*+6z3—72z2 15z-450 8.15. . 2z3 + 15z3 -225z
8z—256 z+2 8.16. ; ;• 8-17- ;• z*+8z3-128z2 z+z2-2z3 3z+18 2z+16 3.19. 3jo. — 9z4-3z2—2z3 8z*+2z3—z* 3z-h36 7z+98 8J2. ;—8ДЗ. 18z2+3z3-z* 49z+7z2-2z3 9z+162 5z+100 8.25. -. 8J6. — 81z+9z2-2z3 50z2+5z3-z* z+4 8.18. — . 2z2+z3-z* 5z+50 8.21. . 25z+5z2-2z3 4z+64 8.24. 32z2+4z3—z4 llz+242 8.27. . 121z+llz2-2z3
22
6z+144 13z+338 7z+196
8Д8.------------. 8J9.-------------. 830.-----------.
72za+6z’-z* 169z+13z2-2z* 98za+7z*-z*
15z+450
831.------------.
225z+15za-2za
Задача 9. Найти все лорановские разложения данной функ
ции по степеням z—z0 (см. п. 1.6).
Z+1 9.1. ——- zb-1+2/. z(z-l) 93. , z0-2-3/. z(z-l)
z+1 93. ,26--3-2/. z(z-l) z+1 9.4. , zo--2+/. z(z-l)
Z—1 95. , zj>-1+3/. z(z+l) z—1 9.6. , zq—2—/. z(z+l)
2-1 9.7.——zb--1+2/. z(z+l) z—1 9.8. , zo--2-3/. z(z+l)
z+3 9Э. ——,zg—2+/. z2-l z+3 9.10. ——,zo“3-/. za-l
Z+3 9.11. ——, Zb--2+34 Z2—1 z+3 9.12. ——,26--2-2|-. z2-l
9.13. , zb—2+/. z2 + l 9.14. ,z0-l-2/. z’+l
9.15. , Zb——3+/. za+l ' 9.14. ——, Z0--3-2/. z2+l
2+2 9.17. 4- , Zq——2+2/. (z—l)(z+3) z+2 9.18. 4- , z0—1—3/. (z—l)(z+3)
z+2 9.19. 4- , Z0--3-/. (z—l)(z+3) z+2 9J0. 4- , Zq——2 + 1. (z-l)(z+3)’^
z—2 931. 4 , zo--l-2£ (z+l)(z—3) z—2 9JX 4 zo—3+i, (z+l)(z—3)
z-2 933. 4- , 26-2-2/. (z+l)(z—3) z-2 934. 4* , zo--2-i. (z+l)(z—3)
2z 935. —,26--1-3/. za+4 2z 9.26. , Zq——3+2i z2+4
2z 9.27. ——, Zb—2+3/. za+4 2z 9M. ~—,26-3+2/. za+4
23
2z
929. ——,z0«-l+3i.
z2-4
2z
930. ——tzo*2+2L
z2-4
2z
931. ~—,z0«3-2i.
z2—4
Задача 10. Данную функцию разложить в ряд Лорана
в окрестности точки z0 (см. п. 1.6).
1
10.1. zcos--, zo»2.
z—2
z
102. sin---, zoel.
z—1
103. Z0-5.
2z-7
10.4. sin---, zo« —2.
z+2
3z
103. cos---, Z6«i.
Z-l
5z
10.6. sin---, zo«2i.
z-2i
3z-i i
10.7. sin---, zn« —.
3z+i 3
3z
10.8. zcos---, zo«l.
z—1
z
103. zsin---, Zo»l.
z— 1
z-3
10.10. (z-3) cos я---, zo«O.
z
10.11. z2sin я--, zo“0.
z
z2—4z
10.13. cos-------z0«2.
z
10.12. zcos-----, zq« -24
z4-2i
10.14. sin •—»z$**i.
10.15. sin —, zfc-3.
z—3
10.16. ze 2, ц*2.
10.17. eX"’, zo-3.
2z
10.18. sin----, zo«4.
z-4
4z-2za
z2—4z
10.19. sin----Zo-2.
(2-3)2
10J0. e(x °’, Zb-l-
(z—«)a
1021. ze , zo-n.
1022. ze , zq~k.
z+2
1023. гвтя----, z«0.
z
z+3
1025. z2sin---, 2o«O.
z
24
z
1037. zcos---, zh«3.
z-3
z
1039. zcos---, zh«5.
z-5
z—1
1038. zsinя-----, zn>e2.
z—2
z
1030. ze*"*, z0-4.
1031. zsin---, zo*a.
z—a
Задача 11. Определить тип особой функции (см. п. 1.7). точки z=0 для данной
9z , е —1 11.1. . з sinz—z+z /6 11.2. sm8z— 6z 113. —. cosz—l+z2/2
cos7z—1 114. —. shz—z-z3/6 sh6z—6z 113. —. chz-l-z1# ch5z—1 11.6. . ex—1—z
6 11.7. zsin-—. z2 e*-l 113. —. sinz—z+z3/6 sinz2-z2 113. —. cosz—1+z2/2
COST2— 1 11.10. —. shz—z—z3/6 & . e -1 11.11. —. chz—1—z*/2 sin4z—4z 11.12. . ex—1—z
л 5 11.13. z*cos —. z2 cos3z— 1 11 14 sh2z—2z 11.15. —. cosz—1+z2/2
11.14. 1 . sinz—z+z/6
ch2z—1 11.16. —. shz—z—z3/6 zs e 11.17. —. chz—1—z2/2 4/z* 11.18. ze 1 .
sinz3—z3 11.19. . eX—1—z cosz3—1 1130. —. sinz—z+z3/6 7z , e —1 1131. —. cosz—l+z2/2
sin6z— 6z 1132. —. shz—z—z3/6 3 1133. zsin —. z3 cos5z—1
chz—lL—z^p,
sh4z—4z 1135. . ex—1—z ch3z—1 1136. —. sinz—z+z3/6 ex*-l 1137. cosz—l+z2/2
sinz*—z* 1138. —. shz—z—z3/6 2 1139. zcos—. z3 cosz*/2 1130. chz—i—z1/!
1131. (/’-!)/(/-1-z).
25
Задача 12. Для данной функции найти изолированные осо-
бые точки и определить их тип (см. п. 1.7).
1X1. e1Zl/»n (1/z). 1XX 1/cmz. 1X3. tg’z.
l/s e*-l z24-1
114. ztgze . 123. ;• Ill
z3(z+l)2 1 [z~/)2(z2+4)‘
я (z+я) sin-z
2 1 1
П-7. • 111 tg- 119. < 3tg-
zsnrz z z
1 sinitz
1110. . 1111. CtgKZ. 1111
e'+l (z-l)»‘
1 sm3z~3smz 1 1
1113. 1114. . 1115.
stnz2 z (anz—z) e*-l z
/-1 sinz
1114. . 1117. thz. 1118.
smxz zs (1—cosz)
1/X e 1 1 z2
1119. . 1120. —+sin--. 1121.
(e‘-l)(l-z)a z2 z2 n cos - z 1 (z2—4) cos z~2
. 1 2 sinxz
1X2X zasin-. 1123. — . 1124.
z z*-l (z’-l)2-
fill3* 11 sin3z2 i/z
1125. . 1X2*. ctg 1127. , e •
Z (1 — COSZ) z za z (z3+1)
COSKZ sin3z 2z~sm2z
1128. —- . 1129. . 1130.
(4za-l)(za+l) z (1— cosz) z2(za+l)’
sinxz i/z
1131. e '.
z4-l
Задач* 13. Вычислить интеграл (см.
13.1. W?i/2*(zi + ’> 13.1
133. £ ** 13.4.
^7-3/2 Z(z2+< x ®z<k
133. lx-31-1/2 “Z 133.
п. 1.7; 1.8).
£ Mz
|z—1-4—5/4 ** (*“’*)
е 2+mz
Ф -------dz.
wLz(z+a)
fz (sinz+2)
—;-------'
iz-jffl-2 anz
26
13.7. $ -^-dz.
lx-ll-3 an*
13Э. f ^dz.
k-1/41-1/3 ап2л*
an f
k-3|«i 2 (2~я)
13.13. j ^-±^dz
w_i sin3z/
13.15. j ^dz.
tz-11-3/2 an*
lie. j ^Mdz.
|z-3/2|-2 «“*
1110. f ~^<b.
|z-l/2|-I ®n<*
1112. & -^-dz.
|z~ 1/21-1 Z(Z~D
13.,7. f
k+i|-i/24z
13.1,. f
l*-H|—2 2 +2wz
Ш1. f ^Ldz.
И-я/2 anzfa+z)
1121 j
k-H-2 sin2z
1X25. | - z(z+*>
к-зд-i «in3z(z-n)
1307. f
1-.^ f COSJZ
13.29. Ф —-----J2.
,33,. j
3
к-21-э x ~n
i3.it. i ‘!^л,
13.18. j
k+3/2|-l 22
1300. f
W—1/4 . / л\
m ' zsmfz+-}
\ V
1311 j -.-^L-dz.
w_] sin2z(z-x)
.зле f
И-2 * +«Z
130С. f ----------*£------
\ 3/
fsin^z
------- Av
w.2*cosz
1130. i
|1-эд-2 т^(г-к)
Задача 14. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
14.1. £ —sz ~?dz. X 2-*4+3zs
*•* г |Л 4*Э
27
Э
f cos iz— 1
14.15. | -------—dz.
И-l x
f 1—2z*+3z*
14.17. | j------------dz.
M-i/Э X
f3-2z+4z*
-------------dz.
И-1/э
t 2zs+3zJ-2
14J0. $
И-з a
28
Задача 15. Вычислить интеграл (см. и. 1.7; 1.8).
В.1. f bi 4 S*-1**1^ ДО — 1 4 . W Z48h - Z 4
111 1 и-в>5х’япа — 3 BA f Id-2 4 . z4sm — 8
15.5. j -"^dz. м4$zA 4fe 8х f е ch4z 15.7. ф dz. М-0.2 Z8to4« BA j И-ОЛ Z8h2» Bl. f W_O,1 z2tm5nz
вл. 4 -,*’3—‘^a, A *’A2z <8 « «см Xе -l-an4z 15.10. ф — dz. 14-0,05 z shl6rcz
Г 6z-m6z 15.11. ф — dz. w_, z*sha2z B.11 f И-2 z*A- 3
IS.11 f «’zW- 6 Ш 4 ^-^-‘a. 14-1 4. & w z*sm — 3
15.15. j —~'~3Zdz. И-03 **** 7i . Xе ~di5z 15.17. ♦ dz. и_! zsmliz fir Xе -cos8^ 15.14. Ф dj H-<u «Ы* 1* 1. X di3z-cos4fc !5.M. ф ———dz. w_OiJ z2sm5z
x sh3z-sin3z 15.19. ф —— dz. И-2 ^Л-iz Sr X e -l-«ni5z 15.20. ф dz.
вл. i Л “ B11 4 ^^zlii’a,. w-2 z*«h- 3
BIX f 2!=**. И-5 z’sin’- 3 X «b2z-l-2za 15J4. Ф dz W11 4. 2«z H z*sm — 3
29
г e2*—1—2z
1535. Ф ---------dz.
И-M 2sh 2nz
4z - A
fe — 1—sin4z
-----------dz.
И-ад 1 Л8“
5z < ,
f e —ch6z
1537. Ф -----------dz.
W.0,5 ZSb,tZ
f sh/z—siniz
1539. j -----------dz.
*"< z*sh-
3
2z
C e — cos9z
1531. Ф -----------dz.
W-0,5 ZShw/2
fch2z—cos2z
—------------dz.
W-0,2 J1 state
fe — 1—sin3z
--------------dz.
ui-0,3 z ЛЗяг
Задача 16. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
П2
(4 sin------ \
4—2/ ni \
(z-2+i)2 (z-4+i)+e«/2+J
t ( х+6 2cosnz/5
16Л. ♦ | ze н----------------
U-2 к (2+5)2(z+3),
из.
е / 1 2sin (wz/2)
Ф I zch-----------------
кД.2\ z+2 (z+lHz-U
165.
nz
(2cos-----
2+2/ п
(г-2-22У(г-4-ад+7^
' / 4sh (niz/4)\
zsh-----------------— I dz.
k z+3 (z+2)2 z J
16.7.
niz
(8ch-------- '
ni 1 —5/
^.+(z-l+52^(2-3+52)
f( 1 2sin (яг/6) \
I zcos---+-------------) dz.
l2+4l-2\ z+4 (z+3)2(z+1)/
30
1бл
16.10.
X / 1 2ch (яй/4) '
♦ I zsin------4--------------
kJ-Л *+5 (J+4)2 О+2Х
16.11.
ni
2 cos----
1+3/
16.12.
16.13.
к-з<-2 \е
2
1 2cosnz/2
+(z«2)a 0—4),
nz
2sin----
2-2/
k-H-2
Зя/
U-2Vz-1+I>2(*-3+0 Л
16.14.
16.15.
3 2cos«z/3 \
I zch---1------— I dz.
IZ-2J-A z~2
JUZ
(8 ch--------------
ni 1-7/
^~O~l+702 0-3+7$
16.16.
16.17.
Г ✓ 1 2sinnz/8 ’
Ф I zsh---—----------
кД.2\ z~3 0-4)^(z-6),
7UZ
(4$h--------
2—6/
---------------------
0-1+302 О-3+зо
dz.
16.18.
16.19.
f 1 10 ch juz/5 \
zcos---4----------—---1 dz.
k 0-5)2 0-7)/
nz
(2cos--------- \
ni 1+5/ ।
----.4----------- Ijj
(l-l-50’(z-3-50/
1W0- j fzm—+—Фя&/12 Lz.
к-Я-2 ' z~“3 0—Q2 0—8)/
.31
KZ
4sm----
2+2/
ni
(z-l-01(z-3-i)+ «Д
e — I/
1602. j / »-< Zdinfc/s '
lx-4-2 \ (z-5)1 (t-3)
itiz
2ch------
1+6/
MO3. 4 .
Iz-4-2 Ke^+l (2-3-60
' 2 4coenz/4 ’
zch-----p-----------
. z-5 (z-4)’(z-21
Kiz
(2Л--------
2—12/______x£
(z-1 + 602 (z-3 + 60+ Ж/2 ,
' 1 2smrc/6 \
zsh----1-----------I dz.
w z—4 (z-J^Cz-l)/
4 cos----
1—2/
16Л7. 4 I ——+_____________- - i .
lx+i-2 \e”/2+i ^~l+2if(z-3+2i)J ’
f 1 4chiuz/2'
zcos-----4----------
. z—3 z (z-2)*,
KZ
2sin------
24-4/
162». 4 (____________f-tr_________’
lr-i-2 V (2— 1 — 20a (z-3-20 «Д
' i 2ihx&/2 \
Zfln---------Z-----I dz-
k z-2 (z-l^Cz+l)/
1431. $
U+4-э
niz
6ch---- \
2-2/ \
-----------------jdj
(z-2+201 (z-4-2i) J
32
Задача 17. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11).
2я f dr 17 1 I 2я f dr 17 7 I
l/.l. 1 — 1/мЬ. 1 •—
J г+^/Запг J 4+vl5sint
0 0
2x 2я
f dr f dr
17 *1 I 17 A I
A/«3. 1 — 1 / .4» I —— в
J 5+2^/бяпг J 6+^/35smt
0 0
2к 2»
Г dr Г dr
17 < I 17 < I
А/.Э. I — , , 1/.O. 1
J 7+45/ЗЯПГ J 5—4sint
0 0
2x 2k
Г dr Г dr
17 7 I 17 О 1
A/./. I . l/Л. I — .
J 5—3sinr J 8-3>/7«m<
0 0
2k 2k
f dr Г dr
17 0 1 17 1A 1
А/Лг. 1 “ 17.1U. I — 1 .
J 9-4V5 sin r J 4—5/7 sin r
0 0
2ж 2k
f dr f dr
1*7 11 1 1*F 17 1
17.11. I - 17 «12» 1 —-
J 3—5/5 sin r J 3-25/2sinr
0 0
2» 2k
f dr f dr
17 l-i I 17 1,4 I
A/.A3. I j- 1/.14. I x:
J 4—2v3sinr J 5—5/2IЙПГ
0 0
2* 2k
f dr f dr
17 1« I _____ 17 1< I
A / .13. I — 1/.1O. I -x:
J 6-4v2smr J 8—2^/15 sin r
0 0
2ж 2k
f dr f dr
17 17 1 17 1ft 1
A/.A/. I — 1 Z.1O. I 1 -xx
J V3s*n/-2 J ^/iSsmr—4
0 0
2k 2k
f dr f dr
17 IQ I 17 ТА 1
1/.1У. 1 — 1/^U. I —
J 2v6sinr-5 J 5/35 sin r—6
0 0
2k 2k
f dr f dr
17 71 1 17 77 1
A/.4A. I — 1/JU. I
J 45/3sinr-7 0 J 4sinr+5 0
2-229
33
2* f to 17 77 1 - 2k Г dr 17 74 1
JL / мто I —
J 3 sin Г+5 J 3v7smt+8
0 0
2я 2k
Г d* f to
17 7< 1 17 IX I
I . Л/eJaW» I
J 4vSemr+9 J ^/7sm/4-4
0 0
2я 2k
f dr f to
17 7*1 1 17 7ft 1
l/a^O. I —
«* 2^2 sin Г+3
0 0
2k 2k
f ** f dr
"14 4Л 1 17 TA I
Д/мСЗР. I — д/«эи. I ——
J 2>/Зипг+4 J >/21 sin Г+5
0 0
2k
f dr
1731. —= .
J 4^/2 sin r+6 A
Задача 18. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11).
2* 2k
/ f dr f to
lft/1 1 1ft 7 I
ДВаД. I . ДОеА. I —
J (1+VlO/llcosr)2 J (v5+cosr)*
0 0
2k 2k
Г dr f dr
111 1 1ft A I
ДОмЭа I -2XX1" ". 1оЛ. 1 j=‘
J (l+Vd^cotO* J (2V3+V11CO»02
0 0
2x 2x
f to f <*'
1ft < I 1ft I
ДОаЗа I — — JLOeVe 1 •
J (3y/2+2y/3co»if J (4+coef)
0 0
2к 2k
f to f dr
1ft ft 1
loxla I — —
J (4+Зсовг)2 J (V5+V3co8 0*
0 0
2x 2k
f dr f dr
1ft ft 1 1ft 1ft I
ДО.Ди. 1 — .
J (V7+2CO8 01 J (4+V7coer)a
0 0
2k 2k
f dr f dr
1ft 11 1 1ft IT 1
ДОаДДм I — .
J (3+Vs«*<)2 0 J (i+ly/lCCttf 4
34
2я f 2я Г dr
1В11 I 1* 14
10.14.
J (2^2+V? сое г)2 J (V^+coer)2
0 0
2x 2x
f dr c dr
1® К I 1ft 1£
10.10.
J G/e+^/Seosr)2 J (V7+V5coer)2
0 0
2x 2я
f dr f d/
IQ Q«7 1 1ft ю
lo. 17. I — 10.10.
J (v^+cosr)3 J g/5+2cos»)2’
0 0
2x 2k
f d< Г dr
1ft in I 1ft 9Л
10.17. I 1O.4U.
J (3+cosr)2 J (Vt+a/Zcos Г)2
0 0
2x 2ж
f dr f d/
I® *M I 1ft
1<к£1. 1 — 1O.44.
J (>/3+cos f)1 J (2 4-V3 cos 02
0 0
2x 2k
Г dr Г dr
is 9*1 I 1ft 94
lOufaJ. I - _j 1O.44.
J (V13+2\/з COS t? J (2+cos r)2
0 0
2k 2k
f dr Г dr
1ft *>< I 1ft 9£
1о«£э. I IOmZO.
J (3+2cosr)2 J (2+cos 02
0 0
2k 2ж
f dr f dt
1ft 99 1 1ft 9ft
loJCZ. I -— lo»4o.
J (VlO+Зсовг)2 J (V3+V2COS/)2
0 0
2k 2*
f dr r dt
1ft 90 1 1ft 9А
1О^Ь7. 1 — — lo«JU.
J (V7+V3cosr)2 J g/7+cos r)a
0 0
2x
f dr
1831. —= = .
J (V5+a/2cos02 n
Задача 19. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.9).
+ оо + 00
Г х2-х+2 f X— 1
19.1. dx. 19.2. 1 — (Jjf
J х*+10х2+9 —оо J (x2+4)2 -oo
35
+oo f dx IO a I
J (X4+1)3
-co
+co
f dx
IO < 1
J (x2—x+l)2
—co
+oo
Г dx
J x*+10x2+9
-00 + oo
f x2dx
19Э. —;•
J (x2+3)2
-00
+ 00
f dx
Ю11 1
J (x2+9)(x2+l)2
-co
+oo
f x2+l
19.13. — - dx.
J (x2+4x+13)2
— 00
+oo
f dx
I01< 1
JLM3» I
J (x2*!)2 (x2+4)
-co
+ 00
f dx
19.17. —.
J (1+x2)3
— 00
+ 00
f dx
io io 1
17.17» I .
J (x2+l)2 (x2+5)2
— 00
+ oo
f x2+4
1931. — - dx.
J (x2+9)2
— 00
+ 00
f dx
IO 'Tl 1
IjFaJpJ. 1 _ _ _ _•
J (x’+Z)2 (x’ + lO)2 -co
+ 00
f d*
J (x2+4)2 (x2+16)‘
-00 + 00
Г dx
1Q &
17.0.
J (xa+4) (x2+9)2'
-00
+ oo
Г dx /
IO ft
дол.
J (x2+9) (x2+4/
-00
+ 00
10 1ft
17.lv.
J (x2+2) (x2+3)2'
-00
+ 00
f x2 + l
19.12. I , , dx.
J (x2+x+l)2
-00
+ 00
f x%
19.14. 1 —j d*-
J (x2+5)2
-00
+ 00
f x2+5
19.16. 1 — — <lx.
J x*+5x2+6
-00
+ 00
f x2+3
io io 1 - Я V
17.10. 1л л OX.
J (x2-10x+29)2
-co
+a>
f d*
1930.
J x*+7x2 + 12
-co
+ 00
f d*
1932.
J (Xa + l)s
— 00
+ oo
f X2—1
1934. 1 — djf
J (x2+8x+17)2
—co
36
1935.
x2+10
-------Jjf
(x*+4)*
1936.
1937.
J (x* + 3)*(x2+15)r
— 00
1938.
1939.
dx
(х2—10х+29)2
1930.
1931.
(х24-1Г (х2 + 16)
Задача 20. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.10).
20.1. 00 f хопЗх I - , dx. J (х2+4)2 202. 00 f (x—l)sinx 1 * * dx. J (x2+9)2
203. 203. 0 00 f cos2x I — - .. J (x’+l)2 — 00 00 f (x+1) cosx J x4+5x2+6 -00 00 f (x*+3)coe2x 204. 206. 200 20.10. 2012. 2014. — 00 00 f X2COSX 1 - * dx. J (x2 + l)2 “°0 X 00 x sin-dx f 2
20.7. 203. 20.11. 20.13. J (x2+l)(x2+9)‘ — 00 “ (x*—2)coe- 1
J x*+3*2+2 -00 00 f (x2—x)sinx I dx. J x4+9x2+20 -00 oo f xan2x-smx 1 . . dx. J (x2+4/ — 00 00 f хэ smx I . , dx. J x4+5x2+4 -00 I _ ox. J (x’ + l)2 -00 00 f X cosx
J x2—2x+17 ‘ — 00 00 Г coe5xdx
J (x2+l)2 (xa+4)’ — 00 00 f (х+1)ш2х I dx. J x24-2x4-2 — 00
37
20.15.
x sinx
(x2*!)2
20.16.
Г coex
J (?+l)3'
f xsinx dx
20.19. ----------.
J x2—2x+10
x
00 x яп-
Г 2
2031. —-----dx.
J x2+4
xcosx dx
x2—2x+10
I —--------- dx.
J (x2-x+1)2
2035.
2037.
2039.
2031.
sin2xdx
(x2—x+l)2*
x2cosxdx
x4+10x2+9
(x3 + l)sinx
x4+5x2+4
(x2+x) sinx
x4+13x2+36
cos3x—cos2x
(x’+l)* ***
2034.
2036.
2038.
2030.
co
f (x3+5x)sinx
I —----------dx.
J x4+10x2+9
— 00
00
f (x3 + l)cosx
I -----------Jj.
J x4+5x2+4
f cos2x—cosx
I ----;---;— dx.
J (x2+l)2
-oo
oo
f (x2+x)cosx
I --
J x4+13x2+36
-oo
Задача 21. По данному графику оригинала найти изображе-
ние (см. п. 1.12; 1.14).
211.
38
39
^Задача 22. Найти оригинал по заданному изображению (см.
211.
О-2)О*+4р+5)
2д
из.----_-----
О2+4/+8)2
р+Ъ
22Л.---------.
рэ+2>*+Зр
211-------~.
O+D 02+/>+1)
1
214.--------.
/>02 + 1)>
Р
216.
0+1) О*+4р+5)
4
218. .
р3+8
/J+4
2110. .
р*+4р+5
2111.------------.
О*+1) 0а+4)
2111-------------.
0+1) О2-2д+5)
40
2X13. ••г - .
р +р +р
1
22.15.--------.
Р(Р +1)
р
22.17. —-----------.
(ра+1) (р2—2)
е’"2
2119.--------.
(р3+1)(р2+2)
5р
2X25.
________________
’ (р+2) (р1—2Jp+2)'
Р
22^3- —;------;•
(р2+4р+8)2
2р+1
(р+1) (ра+2р+3)"
2р+3
2X27.--------------.
(Р-D (р2~Р+1)
2
2X29.--------------.
(р+1) (р2+2р+2)
Зр-2
2X31.----------------.
(p-1) (p2-6p+10)
Зр+2
22.14.---------.
(р+1) (р3+4р+5)
1
2116. —— ------.
Р3 (Ра-4)
1
2118. ——.
р’-1
5
2120.---------------.
(p-1) (p*+4p+5)
1
2232.--------------.
(р-2) (р3+2р+3)
1—р
22.24. -----------.
р(р3+3р+3)
2-Зр
22.26. -----------.
(р—2) (р3-4р+5)
2-р
22Л. —---------.
р’-2ра+5р
2-р
2X30.---------------.
(р— 1) (р2—4>+5)
Задача 23. Найти решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее условиям у (0)=0, у (0)=0 (см. п. 1.12; 1.15;
1.16).
23.1. у"— _y=th г.
1
23.X Х-У----------•
233. y*—2y'+y————.
23.4. у*-2У+2у«2е cos/.
23.5. j*— y=th2/.
Cu t
е
23Л у*-2/+^«---.
е
23.10. .
chr
41
1
2X11 /*+/•----.
1+e
2114. >*-4y
1
ch’2/
23Л7.
23.». у—У—
art
2321. y’+2y'+y^—~.
ahi
t
2114. y'+y'--.
1+e*
t
2z_y----'
O+e^)*
21
2120 y*-y'~—-.
(l+e)a
2/
e
2121 ---.
2+e
t
2124. y'+y'-~—.
(1+e)3
t
2XM >'-2/+y——.
ch2r
23J& y'-4y-th22/.
1
23Л.>у'+У---------.
(l+e)3
-2/
e
2331. >*4-4/+4y--------
(1+2/)3
Задача 24. Операционным методом решить задачу Коши
(см. п. 1.12; 1.15).
24.1. у*+уш6е *, 242.
У (0)-з, у (0)-1. У (0)-0, У (0)-1.
243. у+у-»*+2/,
у(О)-О,У(О)—2.
244. у*—ушco>3t,
у(0)-1,У(0)-1.
42
243. у*+у'+у—7е , у(0)-1, УСО-4. 247. у*—9у—sin/—сое/, У(0)-~3, у'(0)-2. 243. 2у"~у’—sin3/, У СО-2, у'СО-1. 24.11. у*+у—sh/, у (0)-2, у' ©-I. 24.13. у'—3y'+2y*tе, У «0-1. у'(0)-0. 24.15. у*—2у'—Зу—2t, у(0)-1, / да-1. 24.17. 2у’+5у'—29 cos/, у(0)--1, у' (0)-0. 24.19. у*+4у 8 sin 2/, У(0)-3, у' (0)--1. 2421. у*+4уш 4e2>+4ti, У (0)-1, у СО-2. 2423. у"—Зу'+2у— 12е3*, У СО-2, у'СО-6. 2425. у*+2у'+10у—2е 'cos3/, у(0)-5,у'(0)-1. 2427. у'+у'—2у—е \ у(0)--1, у'(0)-0. 2429. y*+yt*2cos/, у СО-0, У' (0)-1. 2431. 3j'+2j>—2e'cos у СО-1. /СО-0. 24Л /+/—2>— — 2(/+1), у(0)-1, У(Р)-1. 24& /+2/—2+е, у(Р)-1,/СО-2. 24.10. У+2У—tint/2, у(0) 2, У(0)-4. 2412. У+4У+29у—е у(0)-0, У(0)-1. 2414 2/4-ЗУ+у-Зе*, у(0)-0, усо-1. 2416. /+4у—sin2/, .у (0)—0, У (0)—1. 2418. у*+у'+у^12+1г jr(0)-i, УС0--3. 2420. /—/—бу—2, У (0)-1, У СО-0. 2422. у+4у+4,у—Ре2*, ,со-1, УСО-2. 2424 y+4y-3sinr+10cos3r, у(0) 2, у' СО-3. 2426. у'+З/—10у—47cos3/—sin3/, у СО-3,/СО—1. 2428. у'-2У-е (га+/-3), у (0)—2, у'(0)—2. МЗО. 4 яп Г4-5cos 2г, НО) 1, /(0)=-2. 43
Задача 25 (см. п. 1.12; 1.15).
Варшипы 1—8
Частица массы т движется прямолинейно под действием
восстанавливающей силы F= —кх, пропорциональной смещению
х и направленной в противоположную сторону, и силы сопротив-
ления R=rv. В момент /=0 частица находится на расстоянии
Xg от положения равновесия и обладает скоростью v0. Найти
закон движения х=х (/) частицы.
25.1. k—ж, г—2ли, 1 м, Чв*О.
25Л fc—m, r—2m, Xg—1 м, vg—1 м/с.
253. к—5т, г»2т, х0—1 м, Vg~0.
25А k—5m, г-2ж, xg— 1 м, vg—1 м/с.
253. к—5т,г—4т, xg—2 м, v0—l м/с.
254. к—5т, r«4m, xg—1 м, vg—0.
25.7. к—Згя, г—2ж, хд—1 м, vg—0.
253. к—Зт, г—2т, xg— 1 м, vg—1 м/с.
Варианты 9—16
Материальная точка массы т движется прямолинейно, оттал-
киваясь от начала координат с силой F=kx, пропорциональной
расстоянию. На точку действует сила сопротивления среды
R=rv, пропорциональная скорости v. При 1=0 расстояние точки
от начала координат Xg, а скорость v0. Найти закон движения
х=х (/) материальной точки.
253. t- 2т, г—т, ла—1 м, vg—0.
25.10. k—2m, r—m, Xg—1 м, v0—l м/с.
25.11. k—Зж, Г—2ж, Xg—1 M,Vg—1 м/с.
25.12. k—3m, r—2m, Xg—1 m, v0—2 м/с.
25.13. k—4m, r»3m, xg—2 m, vg—0.
25.14. r—3»j, xg—1 m,v0—1 м/с.
25.15. k—5/n, r—4m, xg—1 m,v0—1 м/с.
25.16. k^5m, r—4m, x0—l m, vg—2 м/с.
Варианты 17—24
Материальная точка массы т совершает прямолинейное коле-
бание по оси Ох под действием восстанавливающей силы
F= —кх, пропорциональной расстоянию х от начала координат
и направленной к началу координат, и возмущающей силы
44
f=Acos t. Найти закон движения х=х (0 точки, если в начальный
момент времени х (О)=хо, v (O)=vo.
25.17. к—т, А—2т, xq—0, vo—O.
25.1а к»т, А—т, х0“0, v0—1 м/с.
25.19. к»т,А-2т, хо-1 м, vo*O.
25.20. к~т, А—т, хо-1 m.vq—0,5 м/с.
25.21. lr-9/и, А—$т, xq»1 м, vo—0.
25.22. к»9т, А»4т, хо~О, vo-O.
25.23. к»9т, A—ton, хо~О, vq—З м/с.
25.24. к—9т, А»т, xq—I/Z м, v0«3 м/с.
Варианты 25—31
На материальную точку массы т действует сила сопротивле-
ния R=kv, пропорциональная скорости v. Какое расстояние
пройдет точка за неограниченное время, если ей сообщена на-
чальная скорость Vo?
т
25.25. к—2т, v0«10 м/с.
25.27. к~3т, v0*6 м/с.
2539. к-т/2, v0-6 м/с.
2531. Jt-lOpi, у0-1 м/с.
25.26. fc--,v0-5 м/с.
3
25.28. k—m,VQ—7 м/с.
25.30. v0-l м/с.
Задача 26. Решить систему дифференциальных уравнений
(см. п. 1.12; 1.15).
26.1. (х-х+Зу+2, (х^-х+Зу+1, (у—х—у+1; ' х(0)—1,у(0)-2. х(0)—1, у(0)-1
263. 26.4. Р"+2?+1' 1>«2х— у+9; 0—4х—у, х (0)-1, у (0)-0. х (0)-0, у (0)-1.
263. (х>«2х+5у, fx——2x+5j<+1, \у~х—2у+2; Vw*+2y+l; х (0)-1, у (0)-1. х (0)-0, у (0)-2.
26.7. fx-Зх+ь (х-- Зх-4у+1, (j--5x-3y+2; lj“2x+3.K х (0-2, у (0)-0. х (0)-0, у (0)-2.
45
20. Р--2х+6>+1, О’-2х+2</ M1Q. Ji-2x+3j+l, (_У“4х— 2у:
х(0)-0, j>(0)-1.
МП. (х-х+2у, V-2x+y+l; 24.1Х |х-2х-2у, U’w—4х;
х (0)-0, у (0)-5. х (0)-3, у (0)-1.
MIX (х"-х-2у+1, Ц’-— х+и *(0)"1, У (0)-0. (х-3х+2у, 26.14. Гх-Зх+5у+2» 1у-Зх+^+1; х (о)-о, у (о)-г Гх«2у+1,
MIX 26.16.
О'-- х-у+2; Ь-ЗХ+З;
х(0)-0, >-(O)wl. х(0)--1, у(О)«о.
МП. < Гх-2х+8у+1, Ц’“Зх+4^ 26.18. J \х-2х+2у+2, [>"4у+1;
*(0)-2, ?(0)-1. х (0)-0, у (0)-1.
MIX J fx-x+>, у-4х+у+1; 2&20. | Х“Х-2у+1, Зх;
х (0)"1, у (0)-0.
2421. f-3j,+2-
(j-x+2^
х(0)--1, у(0)-1.
2422. 1*-2*
U’-2x+3y+l;
х (0)-2, j (0)-1.
2422. Р~Ь+3-
(>-х+2к
х(0)--1, >(0)-0.
24». ?"+3'+’.
U’«x->+l;
х(0)-0, j(O)-l.
* (0)-0, у (0)-1.
(х-х+4у+1,
(j-2x+3y;
х(0)-0, у(0)-1.
fx~-2x+y+2,
Lf-Зх;
х(0)-1. у(0)-0.
'х-у+3,
26J8.
х(0)-1, (0)-0.
х (0)-0, у (0)-1.
46
2631.
х(0)-2»у(0)-0.
х(0)-1, у (0)-0.
у-Зх,
хф)-О, у (0)-1.
Задача 27. Выяснить, во что преобразуется геометрическая
фигура при отображении с помощью функции н»=/(z).
27.1. ; прямые х—С, у-С.
273. w—e ; полоса а<у<0, 0<а<Д<2я.
273. w«e*; прямые y~kx+b.
27.4. w«ez; полоса между у»х я у«х+2я.
273. w—е*; полуполоса х<0, 0<у<а<2я.
274. w»eZ; полуполоса х>0, 0<у<а<2я.
27.7. w— ; область D: {|z|<l, Imz>0}.
1+z
273. w—lnz; полярная сетка |z| - Я, argz—fl.
273. w—lnz; угол 0<argz<a<2ic.
27.10. w—lnz; сектор |z|<l, 0<argz<a<2x.
27.11. w»lnz; кольцо rj < |z| <г2 c разрезом по отрезку (и, rj.
27.1X w—cosz; прямоугольная сетка x—C,y^C.
27.13. w—cosz; полуполоса 0<х<я, y<0.
27.14. w—cosz; полуполоса 0<х<я/2, y>0.
27.15. m>«co8z; полуполоса —я/2<х<я/2, y>0.
27.16. w—cosz; полоса 0<x<*.
27.17. w*cosz; прямоугольник 0<х<я» — h<y<h, Л>0.
27.18. w—arcsin z; верхняя полуплоскость.
27.19. arcsin z; первый квадрант.
2730. w—chz; прямоугольная сетка х«С, у—С.
2731. w-chz; полоса 0<у<я.
2732. M>«chz; полуполоса х>0, 0<у<я.
2733. w—Arshz; первый квадрант.
2734. w-tgz; полуполоса 0<х<я> у>0.
2735. w—tgz; полоса 0<х<я.
2736. w—tgz; полоса 0<х<я/4.
2737. w«tgz; полоса — я/4<х<я/4.
2738. w—cthz; полуполоса 0<у<я, х>0.
2739. w—cthz; полоса 0<у<я.
z-3+f
2730. полуплоскость Rezcl.
2
2731. w-----; область D:{l<|z|<2}.
z-1
47