В.Ф.ЧУДЕСЕНКО
СБОРНИК
ЗАДАНИЙ
ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ
КУРСАМ
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ

В, Ф. ЧУДЕСЕНКО
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ КУРСАМ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
(Типовые расчеты)
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших
технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1983

ББК 22.11
484
УДК 51
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук Б. Ю. Стернин и кафедра общей ма«
тематики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова (зав. кафедрой проф.
В. А. Ильин)
Чудесенко В. Ф.
484 Сборник заданий по специальным курсам высшей мате-
математики (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов.—
М.: Высш. школа, 1983.— 112 с.
25 к.
Пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу выс-
высшей математики. Оно содержит типовые расчеты по теории функций комплекс-
комплексного переменного, операционному исчислению, уравнениям математической
физики, теории вероятностей и математической статистике. Задачи представ-
представлены 31 вариантом. Типовые расчеты содержат также теоретические вопросы,
упражнения и справочный материал.
„1702000000—160 ББК 22.11
001@1)—83 °'-~™ 5Н
Валерий Федорович Чудесенко
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ КУРСАМ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
(типовые расчеты)
Зав. редакцией Е. С. Гридасова
Редактор А. И. Селиверстова
Младшие редакторы С. А. Доровских, Н. П. Майкова
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор Ю. А. Хорева
Корректор Р. К. Косинова
и Б № 3933
Изд. № ФМ-734. Сдано в набор 01.11.82. Подп. в печать 22.02.83. Формат 60x907*.
Бум. кн.-журн. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем Х^^ейг^еч. л.
7,25 усЛ. кр.-отт. 7,03 уч.-изд. л. Тираж 60 000 экз. Зак. № 652. Цена 2^ш£_£__а
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ^яГ,^а^29/14
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного 3.
производственно-техническое объединение «Печатный Двор: -
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по
графии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, 4i
® Издательство «В

ПРЕДИСЛОВИЕ
Активная самостоятельная работа студентов — залог успешно-
успешного овладения изучаемым курсом. Одной из форм активизации
учебного процесса по математике служит система типовых расче-
расчетов (ТР). Применение системы ТР рекомендовано действующей
программой по высшей математике для инженерно-технических
специальностей вузов, утвержденной Минвузом СССР в 1979 г.
Основой системы ТР является индивидуализация заданий. Зада-
Задачи — расчетные задания, входящие в настоящий сборник, пред-
представлены каждая 31 вариантом, что позволяет предложить каж-
каждому студенту учебной группы индивидуальное зада-
задание. Помимо задач типовые расчеты содержат теоретические
вопросы и теоретические упражнения, общие для веех студентов.
Расчетные задания сопровождаются ссылками на справочный
материал, в котором содержатся необходимые теоретические
сведения и примеры решения некоторых задач.
Система ТР не исключает традиционных текущих заданий.
Поскольку не все разделы спецкурсов отражены в книге в равной
мере, важно, чтобы ТР и текущие домашние задания дополняли
ДРУГ Друга.
Расчетные задания выполняются частями по мере продвижения
в изучении курса. Теоретические вопросы прорабатываются по
лекционному материалу и обсуждаются на аудиторных занятиях.
Теоретические упражнения и задачи решаются студентами само-
самостоятельно и сдаются на проверку в указанные преподавателем
сроки. Решение каждой задачи приводится на отдельном листе
стандартного формата. Неверно решенные примеры возвращаются
на доработку с указанием характера ошибки. В специальном
журнале преподаватель фиксирует сданные на проверку, а также
зачтенные задачи и упражнения.
Защита ТР осуществляется в письменной форме по специаль-
специальным билетам в часы занятий. Во время защиты проверяется умение
студента правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять
решение теоретических упражнений и задач, решать задачи ана-
аналогичного типа. Как правило, защита занимает один учебный час
Срок защиты устанавливается учебным графиком. Повторная
защита проводится вне сетки расписания в письменной форме или
путем собеседования (по усмотрению преподавателя). Промежуток
времени до повторной защиты не должен превышать одной
недели.

Каждый из предлагаемых в настоящей книге ТР обеспечивает
семестровый спецкурс. В том случае, когда соответствующий
раздел излагается в меньшем объеме, ТР подлежит сокращению.
Предлагаемые ТР составлены на кафедре высшей математики
Московского энергетического института (заведующий кафедрой
проф. С. И. Похожаев). Существенный вклад в их разработку
принадлежит В. Н. Агееву, И. Ф. Бывшевой, А. П. Васину,
В. В. Жаринову, А. И. Кириллову, Ю. Н. Киселеву, Л. А. Куз-
Кузнецову, Н. К. Нарышкиной, В. П. Пикулину, Р. Ф. Салихджа-
нову, А. Г. Черных. Материалы раздела III подготовил И. М. Пет-
рушко.
Автор благодарен коллегам за предоставленные материалы,
рецензентам за полезные замечания, С. И. Похожаеву за внима-
внимание к работе над сборником и содействие в его подготовке.
Книга представляет собой первую попытку обеспечить учебным
пособием систему типовых расчетов по специальным курсам выс-
высшей математики. Все замечания и советы будут приняты с благо-
благодарностью.
Автор

J. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1.1. Извлечение корня. Корень п-й степени из комплексного числа г имеет
п различных значений, которые находятся по формуле
у z = y \z\ fcos^ Msin^—J, <P=argz, fc=0, 1, .... n—1.
1.2. Элементарные функции комплексного переменного. Значения показа-
показательной функции комплексного переменного z — x + iy вычисляются по формуле
& = е* (cos y+i sin у). A)
Показательная функция е* обладает следующими свойствами:
где zx и z2 —любые комплексные числа;
ez+2jtki==ezt ^==0, ±1, ..., т. е. е*
является периодической функцией с основным периодом 2ni.
Тригонометрические функции sin z и cos z выражаются через показательную:
е*г_ e-iz
SinZ = 2i » cosz==2
Функции t£>=sinz и a;=cosz —периодические с действительным периодом 2л
и имеют только действительные нули z = kn и z = Jt/2 + /t;n (/г=0, ±1, zt2, ...)
соответственно.
Функции tgz и ctgz определяются равенствами
, sin z , cos z
^г ctgz
Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются
в силе все известные формулы тригонометрии,
Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z определяются равенствами
._ shz ,. ch г
thz cth
Имеют место тождества sh z =— i sin izt ch z=cos iz.
Логарифмическая функция Lnz, где z=^0, определяется как функция,
обратная показательной, причем
Значение функции, которое получается при k = 0, называется главным
значением и обозначается
lnz=ln |z| + f arg*,

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
Ln (z^) = Ln zx + Ln z2, Ln (— ) = Ln zx — Ln z2,
\Z2/
fc=0, dtl, +2, ..., Ln y^z = ~ Ln z.
Функции Arcsin z, Arccos z, Arctg 2, Arcctg 2 определяются как обратные
к функциям sin z, cosz, tgz, ctgz соответственно, Так, если z=cosw, то w
называется арккосинусом числа г и обозначается w=Arccos z. Все эти функции
являются многозначными и выражаются через логарифмическую:
Arcsin z=— i Ln (iz+)/"l — z2), Arccos z=— 1 Ln (z+)/"z2—l),
z—-i
—.
Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются
теми же символами со строчной буквы (arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z); они
называются главными значениями.
Общая степенная функция хю—&% где а—любое комплексное число, опре-
определяется соотношением
Эта функция многозначная; значение za = ealn2r называется главным значением,
Общая показательная функция w=az, аФО определяется равенством
Главное значение этой функции а* = ег1па.
1.3. Кривые на комплексной плоскости. Уравнение вида 2 = 2@ = я@ + iy(t)
определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения
которой имеют вид
Исключением параметра t из этих уравнений получаем уравнение кривой
в виде F(xt у) = 0.
1.4. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия
Коши — Римана. Пусть функция ш=/(г) определена в некоторой области G
комплексного переменного z, Пусть точки z и г+Дг принадлежат области G.
Введем обозначения Aa>=/(z+Az)—/ (z), Дг=Дл:+1 Ay.
Функция w=f(z), называется дифференцируемой в точке z ^G, если отно-
отношение — имеет конечный предел при Дг -* 0. Этот предел называется произ-
производной функции w=f(z) и обозначается f (z) (или ~r-), /' (z)= lim -r- .
Пусть z = x + iyt w=f (z) = u(x, y) + iv(x, у), тогда в каждой точке диф-
ференцируемости функции f(z) выполняются соотношения
ди __ ди ди __ dv
di~di/> Щ-~~дх* B)
называемые условиями Коши — Римана,
Обратно, если в некоторой точке (х, у) выполняются условия Коши — Римана
и, кроме того, функции и = и(х, у) и v = v(x, у) дифференцируемы как функции
двух действительных переменных, то функция / (z) = u + iv является дифферен-
дифференцируемой в точке z=x+iy как функция комплексного переменного z.
Функция w=f(z) называется аналитической в данной точке z, если она
дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой ее окрестности.
Функция ш=/(г) называется аналитической в области G, если она аналитична
в каждой точке z eG.
6

Производная аналитической функции вычисляется по формулам
f t \ — ди_±- • dv __ dv . ди _ди . ди dv . dv
Г {Z)-di + l di~ dy~l di,-frc~l Щ = Щ + 1 дх~'
Пользуясь условиями Коши—Римана, можно восстановить аналитическую
функцию w=f(z)f если известна ее действительная часть и = и(х, у) или
мнимая часть v = v(xt у) и, кроме того, задано значение /(г0) функции
в некоторой точке г0.
Пусть, например, M=e*cos#, /@) = 1. Определить аналитическую фуня-
цию f(z).
В силу условий B) имеем
dv ди
*«*У C)
dv ди „ . ...
_ = __ = е^шУ. D)
Интегрируя уравнение D) по переменной х, находим мнимую часть
E)
Слагаемое С (у) представляет собой постоянную (относительно х) интегрирова-
интегрирования. Дифференцируя E) по у и сопоставляя результат с C), получаем С'(у) = 0§
откуда С (у) = С. Таким образом, имеем
v = ex siny+C и f (z) = u+iv = ex(cosу+i
с учетом формулы A)— /(z) = e2 + C. Учтем дополнительное условие / @) = 1 „
откуда С = 0; итак, f(z) = ez.
1.5. Интегрирование функций комплексного переменного. Пусть однозначная
функция w = f(z) определена и непрерывна в области G, а Г —кусочно-гладкая
кривая, лежащая в G; z = x+iy, f(z) = u + iv, где и = и(х, у), v = v(x, #) —
действительные функции переменных х и у. Вычисление интеграла от функции
w = f(z) комплексного переменного z сводится к вычислению криволинейных
интегралов по координатам:
j/(z) dz= §u dx—v dy+i J v dx + и dy.
Если кривая Г задана параметрическими уравнениями x=x(t), y~y(t)t
а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t = a, и ? = Р, то
5/B) dz= J
f[z{t)]z'(t)dt, где z(t)=x(t)+iy(t).
Если w—f B) — аналитическая функция в односвязной области G, то интег-
интеграл не зависит от пути интегрирования (зависит только от начальной и
конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула
Ньютона — Лейбница
где Ф (г) — какая-либо первообразная для функции f (z)f т. е, Ф' (z)=f(z)
в области G.
Если функция w = f(z) является аналитической в области G, ограниченной
кусочно-гладким замкнутым контуром Г, и на самом контуре, то
& f (z) dz=0 (теорема Коши)
г

и для любой внутренней точки z0^ G
/(z0) = — rt> '__' dz (интегральная формула Коши)*
г
1.6. Ряд Лорана. Функция w = f(z), однозначная и аналитическая в кольце
р<|г — zo)</?, разлагается в этом кольце в ряд Лорана
со —1 оо
/ (z) = у- j С^ B — Zq)^ = f k Cfc (Z — %о)^ ~Ь ^j C^ (Z — Zq)^, F)
fe = — oo fe=—oo /fe = O
коэффициенты находятся по формулам
Здесь Г—произвольная окружность с центром в точке г0, лежащая внутри
заданного кольца. Разложение в ряд Лорана единственно.
В формуле F) ряды
—1 оо
2] Ck(Z-Z0)b и 2
называются соответственно главной частью ряда Лорана и правильной частью
ряда Лорана.
На практике для нахождения коэффициентов Сд,, если это возможно,
используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора.
Для примера разложим в ряд Лорана с центром в точке zo = O функцию
Функция z3e^ аналитична в кольце 0<|zj<oo, следовательно, раз-
разложима в нем в ряд Лорана. Воспользуемся разложением показательной
функции в ряд Тейлора в окрестности точки £о = О-
и положим £=l/z, тогда
В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции / (z) по
степеням г является рядом Лорана для функции f(z) = z*e1/z в кольце
0< |z|<oo.
1.7. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.
Точка z0 называется изолированной особой точкой функции w = f(z), если /(z)-~
однозначная и аналитическая функция в круговом кольце 0 < | z — z0 | < 6, кроме
самой точки z0.
Функцию w = f(z) в окрестности точки z0 можно разложить в ряд Лора-
Лорана F), сходящийся в кольце 0< | z—zo|<6. При этом возможны три раз-
различных случая, когда ряд Лорана: 1) не содержит членов с отрицательными
оо
степенями разности z — zOi т. е. /(z)= 2 Ck(z—z0)k. В этом случае z0 назы-
вается устранимой особой точкой функции w — f(z)\ 2) содержит конечное
чиело членов с отрицательными степенями разности (z — z0), т. е» / (z) =
8

= 2 Ck(z—Zo)k, причем С_пф0. В этом случае zo называется полюсом
порядка п функции o;=/(z); 3) содержит бесконечное число членов с отрица-
оо
тельными степенями разности z—z0, т. е. /(z)= ^ Ck(z — z0)k. В зтом
k=— оо
случае z0 называется существенно особой точкой функции w=f(z).
При определении характера изолированной особой точки используются
следующие утверждения.
1. Для того чтобы точка z0 являлась устранимой особой точкой аналити-
аналитической функции w—f(z)y необходимо и достаточно существование предела
lim /(г) = С0, причем | Со | < оо.
2. Для того чтобы точка z0 являлась полюсом аналитической функции
w=f(z), необходимо и достаточно существование предела lim /(z) = co.
2'. Для того чтобы точка z0 являлась полюсом порядка п аналитической
функции /(z), необходимо и достаточно, чтобы функцию f(z) можно было
представить в виде / (z) = ф (z)/(z — zo)nt где Ф(г) — функция аналитическая
в точке z0, причем ф (z0) ф 0.
2"» Пусть z0—-изолированная особая точка функции f(z)==X (z)/^i (z), где
!k(z) и \i (z)—- функции аналитические в точке z0.
Если числитель X(z) и все производные до k—\ порядка включительно
в точке z0 равны нулю, %<k) (z0) Ф 0, знаменатель \i (z) и все производные до
/—1 порядка включительно также равны нулю в точке z0, [iU) (z0) Ф 0, то при
l>k точка z0 является полюсом порядка п = 1—k аналитической функции / (z).
(Если l^k, то точка z0 является устранимой особой точкой аналитической
функции /(z).) В частном случае, при &=0, 1—\ имеем: если Х(го)Ф0,
|i(zo) = O, \1'(го)ФО, то z0 —полюс первого порядка функции /(z).
3. Пусть при z-*z0 аналитическая функция w=f(z) не имеет пределов
ни конечного, ни бесконечного. Это условие является необходимым и доста-
достаточным для того, чтобы точка z0 была существенно особой точкой функции
1.8. Вычеты. Пусть z0 —изолированная особая точка функции w = f{z).
Вычетом функции f (z) в точке z0 называется число, обозначаемое евдаведом
res2 f(z) и определяемое равенством
(г) 6г (8)
(другие обозначения: res/(z0), res[/(z), z0]). Замкнутый контур интегрирования 7
лежит в области аналитичности функции /(z) и не содержит внутри других
особых точек функции /(z), кроме z0.
Сопоставление формул G) и (8) показывает, что вычет функции равен
коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении / {z)
в окрестности точки z0:
res2o/(z) = C_x, (9)
Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Вычет функции /(г) в полюсе n-го порядка вычисляется по формуле
при п=1
Если функция w = f(z) в окрестности точки г0 представляется как частное
двух аналитических функций, f(z) = X (z)/\i (z), причем Х(го)ФО1 ц (z0) = 0,

(в эргом случае Zq—полюс первого порядка функции /(г)), то
Если точка гь есть существенно особая точка функции w=f(z), то вычет
вычисляется по формуле (9).
Основная теорема Коши о вычетах. Если функция w=f(z) является ана-
аналитической на границе Г области G и всюду внутри области, за исключением
конечного числа особых точек zu z2, ..., zm то
1.9. Вычисление несобственных интегралов от рациональных функций.
Пусть R (л:) —рациональная функция, R (x)^=Pk(x)/Ql(x)t где Pk (x) и Qi(x) ■—
многочлены степеней k и / соответственно. Если R (х) непрерывна на всей дей-
действительной оси и l^k + 2, т. е. степень знаменателя, по крайней мере, на
две единицы больше степени числителя, то
+ 00
I R(x)dx=2m%resZrnR{z)M
— оо т
здесь сумма вычетов функции R (z) — Pk(z)/Qi(z) берется по всем полюсам zm%
расположенным в верхней полуплоскости Im z > 0.
1.10. Вычисление несобственных интегралов специального вида. Пусть
R (х) — рациональная функция, R (x)~Pk (x)/Qi (х), где Р^ (х) и Qi (x)—много-
(x)—многочлены степеней k и I соответственно. Если R (х) непрерывна на всей действи-
действительной оси и l^k-\-\ (т, е. R (х) — правильная рациональная дробь), то
J R (x) cos Xx dx = Re Bni 2 res^ # (z) е'И,
— оо ( m J
+ 00
\ R (x) sin Ял: d* = Im J2ni V res^m tf (z) е'Ц, Я, > О,
— 00 I m )
где сумма вычетов функции R (z) ё^г берется по всем полюсам zmf располо-
расположенным в верхней полуплоскости Imz;>0.
1.11. Вычисление определенных интегралов специального вида. Пусть
R — рациональная функция cos£ и sin t, непрерывная внутри промежутка инте-
интегрирования. Полагаем z=elY, тогда
cost-~(z4-—\ smt-~(z——) dt ~ •
имеем
2J8
R(cost, sint)dt— & F(z)dz% A1)
1*1=1
где путь интегрирования — окружность единичного радиуса с центром в начале
координат. Контурный интеграл в правой части равенства A1) вычисляется
по формуле A0), где сумма вычетов функции F (г) берется по всем особым
точкам, лежащим в области | г\ < 1.
1.12. Преобразование Лапласа. Функцией-оригиналом называется функ-
функция f(t) действительного аргумента /, удовлетворяющая условиям: 1) f(t) инте-
интегрируема на любом конечном интервале оси t\ 2) для всех отрицательных t
f(£) = 0; 3) f(f) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. сущест-
существуют такие постоянные М и а0, что для всех t \ f (t) |
10

Изображением функции f (t) no Лапласу называется функция F (р) ком-
комплексного переменного p = a+ix, определяемая равенством
обозначение: / (t) .=*F (p).
Для любой функции-оригинала / (t) изображение F (р) определено в полу-
полуплоскости Rep>a0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Свойства
1°. Линейность: для любых комплексных постоянных Сх и С%
Q/i @ + CJ2 @ .=' С^г (р) + C2F2 (p).
2°. Формула подобия: для любого постоянного © > О
ш
3°. Дифференцирование оригинала: если функции /(/), /' (/), ..., /(/г) (О
являются функциями-оригиналами, то
рп-ц (о)—рл-*/' @) —... —/«я-1> @).
Величина /(Л) @), А;=0, 1, ..., л—1, понимается как Hm flk) (t).
4°. Дифференцирование изображения: F' (p).='—tf(t).
5°. Интегрирование оригинала: i / (x) dx g=* .
6°. Интегрирование изображения: если ^-~- является функцией-оригина-
функцией-оригиналом, то
7°. Формула смещения: для любого комплексного X
8°. Формула запаздывания: / (t — т) ^e~PxF (p), х>0.
9°. Формула умножения изображений:
fi (P) J7, (Р) -.} h (т) /, (/-т) dr. A2)
Интеграл в A2) называется сверткой функций f\{i) и /2 @ и обозначается
символом /х * /2-
Отыскание оригинала по изображению
Для нахождения оригинала / (() по известному изображению F (р) наиболее
широко применяются следующие приемы:
11

1) если F (р) есть правильная рациональная дробь, то ее разлагают на
сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби, исполь-
используя свойства 1°—9° преобразования Лапласа;
2) используют формулу разложения, согласно которой при некоторых
достаточно общих условиях оригиналом для F (р) служит функция
где сумма вычетов берется по всем особым точкам pk функции F (р).
1.13. Формулы соответствия. Широко применяются следующие табличные
соотношения:
1 •== 1/р; eat = \/(р—a); sin (at *==, со/(р2 + со2); cos at *=. р/(р! + со2);
shcor—.со/(р3—со2); chco^'=,p/(p2—со2); tn'■=..n\/pn+1.
Левые части операционных соотношений предполагаются домноженными
на функцию т)(/)=< которая для сокращения записи, как правило,
опускается.
1.14. Изображение кусочно-линейной функции. Примерный вид графика
кусочно-линейной (полигональной) функции представлен на рис. 1. Введем
следующие обозначения:
т^ —точки разрыва функций f (t) или /' (t);
ak = ak—bk — скачки функций в узлах «стыка»;
ftfr = tgYfc —tg6fr — скачки производной f (t) в узлах «стыка».
Изображение полигональной функции имеет вид
1Л5. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных урав-
уравнений. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным мето-
методом предполагает три этапа: 1) переход от исходных функций к их изображе-
изображениям по Лапласу, при этом дифференциальное уравнение преобразуется в алгеб-
алгебраическое относительно изображения искомой функции; 2) решение получен-
полученного алгебраического уравнения; 3) получение искомого решения по его изобра-
изображению.
рис. 1.
Решим задачу Коши для дифференциального уравнения
*'-*=1 A3)
при начальном условии я@) = 1.
Операционный метод решения такой задачи состоит в том, что искомую
функцию и правую часть дифференциального уравнения считаем оригиналами
и переходим от уравнения, связывающего оригиналы, к уравнению, связы-
связывающему их изображения. Для этого воспользуемся формулой дифференци-
12

рования оригинала
Применяя свойство линейности, перейдем в уравнении A3) от оригиналов
к изображениям:
Решим полученное уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение
относительно неизвестного изображения X (р):
Осталось по известному изображению X (р) найти соответствующий ему
оригинал х (t). Используя свойство линейности преобразования Лапласа и таб-
табличные операционные соотношения (см. п. 1.13), получаем x(t) = 2e( — 1. Это
и есть искомое решение задачи Коши.
Аналогично решаются системы линейных дифференциальных уравнений.
1.16. Формула Дюамеля. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
я-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Н)
при нулевых начальных условиях
х @) = х' @) =... = *<л-1> @) = 0. A5)
(Заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно
свести к задаче с нулевыми условиями.)
Допустим, что известно решение уравнения L{x(t)} = \ (с той же левой
частью и правой частью, равной единице) при условиях A5). Обозначим его
хх (t). Тогда решение x(t) задачи A4) —A5) можно выразить через хх (t) и / (/)
с помощью одной из формул:
t t
x @=/ @) *i « + $/' (т) *i (/-T) dx, x @=/ @)хг @ +J/' (^-x) хг (т) dx.
Каждое из этих выражений называют формулой (или интегралом) Дюамеля.
Метод решения дифференциальных уравнений, основанный на формуле
Дюамеля, применяют, как правило, в тех случаях, когда возникают трудности
при нахождении изображения F (р) правой части f (t) уравнения A4), а также
при необходимости многократного решения задачи A4) —A5) для различных
функций f (f).
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Комплексные числа, действия над ними.
2. Показательная и логарифмическая функции комплексного
переменного. Формулы Эйлера.
3. Степенная функция. Тригонометрические и гиперболические
функции.
4. Производная функции комплексного переменного. Условия
Коши —Римана. Понятие аналитической функции.
5. Геометрический смысл модуля и аргумента производней
функции комплексного переменного. Понятие о конформном ото-
отображении.
13

6. Интеграл от функции комплексного переменного, его
свойства,
7. Теорема Коши для одно- и многосвязных областей. Фор-
Формула Ньютона — Лейбница.
8. Интегральная формула Коши.
9. Существование производных всех порядков у аналитиче-
аналитической функции.
10. Ряд Тейлора. Теорема о разложимости аналитической
функции в ряд Тейлора.
11. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана,
12. Классификация изолированных особых точек.
13. Вычеты. Вычисление вычетов.
14. Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление контур-
контурных интегралов.
15. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.
Лемма Жор дана.
16. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существова-
Существование и аналитичность преобразования Лапласа. Поведение изобра-
изображения в бесконечности.
17. Свойства преобразования Лапласа: свойство линейности,
теорема подобия, теорема затухания (смещения), теорема запаз-
запаздывания.
18. Дифференцирование оригинала и изображения.
19. Интегрирование оригинала и изображения.
20. Методы отыскания оригинала по заданному изображению.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать равенство
. п+1 _ . пл
sin —~- б sin -=- б
sin G+ sin 28+.. .-f sin n6 = -—^——, Ъф2пп, n = 0,±lt...
sin~2
Указание. Рассмотреть геометрическую прогрессию е'9, е'*9, ..., е*л9.
2. Доказать, что в полярных координатах rf ф условия
тг о ди I dv dv 1 ди
Коши-Римана имеют вид Тг = т^; Тг = - у ^.
3. Доказать, что функция до = (г| нигде не дифференцируема.
4. Пусть функция и (я, у) гармоническая в некоторой области
G, т. е. Ди = 0 в любой точке (x,y)^G. Для каких «/» сложная
функция/[а(а:, у)] будет также гармонической в области G?
5. Пусть функция / (г) — аналитическая в круге | z \ ^ R и М ==»
=з max |/(г)|. Для всех внутренних точек круга \z\<R дока-
зать неравенство
MR t 9
14

6. Числа Ап, определяемые условиями Ао = 1, Аг = 1, Ап+2 —
Л + Л /г = 0, 1, ..., называются числами Фибоначчи. До-
оо
казать, что в некоторой области У Апгп = 1д2_ 2. Определить
/1 = 0
область сходимости ряда.
7. Доказать, что для четной функции /(г) имеет место равен-
равенство reszj(z) = — res_zJ(z), а для нечетной функции — равенство
res2o/(z)==res_2o/(z).
8. Функции /(г) и ф(«г) в точке z = z0 имеют полюс соответ-
соответственно порядка тип. Что можно сказать о характере особой
точки г = г0 для функций: а) /(г)<р(г); б) f(z)/<p(z); в) f(z) + y(z)?
9. Функции /(г) и g(г) — аналитические в точке г0, причем
f(zo)=£O9 g(zo) = g' (го) = О, ^"(^^О. Найти вычет функции
Ф (г) =/(*)/# (г) в точке г0.
10. Являются ли оригиналами функция /(£) = r)(/)sine/2 и ее
производная /' (/)? Здесь
11. Используя теорему умножения изображений, найти реше-
ние интегрального уравнения § г/ (т) cos (t — т) dt = 1 — cos t.
о
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Найти все значения корня (см. п. 1.1).
1.1. У=\. 1.2.
Ь4. {гг. i.5. |a. i.e.
1.7. {Л=Г. 1.8. {^Г7. 1.9.
1Л0. Yl+l^. i.ii. У5. 1.12.
1.15.
1.13. {Об. 1.14. |/"z±gVl
1.16. V1^- 1-17. т^—1/16.
1.19. -J/T/S". 1.20. VijS.
1.22. |/_8 —/8^3. 1.23. {/"=1/8.
1.25. >^—128+П281^3. 1.26. у^27.
1.28. |Л_ 128-П28/3. 1.29. fT/27.
1.31. >Л=^27.
15

Задача 2. Представить в алгебраической форме (см. п. 1.2).
2.1. sin(Jt/4 + 2i). 2.2. cos (я/6+2/), 2.3. Ln6.
2.4. shB + m/4). 2.5. спB+щ-/2). 2.6. Ln(l+0-
2.7. sin(^/3 + i). 2.8. cos(K/4+i)- 2.9. Ln(]/+i)-
2.10. sh(\+ni/2). 2.11. ch(l-Jti). 2.12. Ln(l+V3i).
2.13. Ln(—1+0. 2.14. cos(k/4 —20. 2.15. sin (я/2 — 5*).
2.16. shC + Jti/6). 2.17. ch(l+m/3). 2.18. Ln(—1— i).
2.19. sin(jt/6 — 30- 2.20. cos(jt/3 + 30. 2.21. Ln(l—0-
2.22. sh(l—ш/3). 2.23. chB —m/6). 2.24. 14
2.25. sin(Jt/3 —20- 2.26. cos (я/6 — i). 2.27. i3*.
2.28. shB —ш). 2.29. (— if К 2.30. (— \)**.
2.31. chC + m/4).
Задача 3. Представить в алгебраической форме (см. п. 1.2).
3.1. (__1 + ;|/"з)-3£. 3.2. Arcsin4. 3.3. Arch (—2).
3.4. Arctg (~^°Ч. 3.5. Arcth (^V 3.6.
3.7. Arth (--т-г 3 . 3.8. cosf-^-n. 3.9. sh(l-^t].
З.Ю. (—1— i)ti. 3.11. sin(K/4 + 0- 3.12. Arch C0-
3.13. Arctg (Ц^-). 3.14. Arcth(8 + ^^J. 3.15. Arctg
3.16.
3.19. Arccos(—5). 3.20. Arsh(—Щ.
i- 3.23. ш=е*~
z
8+2jrf „_ ,_4+2^
3.22. cd=siny 3.23. ш =
при 2~
3.25. Arth C47y3). 3.26. Arcth (i±^-). 3.27. w=ch ta
\ ' I \ * / при 2=JX/4+2f.
3.28. Arctg Г ^ у j. 3.29. Arccos(-30. 3.30. D-301
3.31. (—12 + 50"£.
Задача 4. Вычертить область, заданную неравенствами.
4.1. \г—1|^1, |z+l|>2. 4.2.
4.3. |z —1|^2, Rez>l. 4.4.
4.5. |z+l |<1, |z—i\^l. 4.6.
4.7. |z-
4.8. |z-
4.9. |Z —2 —
4.10. |z —1 —

4.11. [z + i|<2, 0<Rez^l. 4.12. \z — i
4.13. \z— i |^2, 0<Im2<2. 4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25. zz < 2, Re z^l, Imz> — 1. 4.26.
4.27. \<zz <2, Re2>0, 0^1тг^1.
«.28. | z— 1 | < 1, arg 2^ я/4, arg B—1) > я/4.
4.29. | 2—i I < 1, arg 2 ^я/4, arg B+1 — i) ^ я/4.
4.31. | Re z |<cl, I Imz|<2.
Задача 5. Определить вид кривой (см. п. 1.3)
l, 0<argz<n/4.
zj^l, argB+i)>Jl/4.
<|z —1|^2, Imz^O, Rez<I.
^|z —1|<2, Rez^O, Imz>l.
z|<2, Rez^l, aгgz<я/4.
z|>l, —Klmz^l, 0<Rez^2.
z— 1 ] > 1, —1 ^ Im г < 0, 0 ^ Re z < 3.
—я/4.
Re2<l, Imz>— 1.
5.1. 2
5.3. г
5.5. 2 =
5.7. 2=3 cosec /+*3 ctg *.
5.9. г=ctg t —1*2 cosec t.
5.11. 2
5.13. 2
5.15. 2= 2
5.2.
5.4.
5.6.
5.8.
5.10.
5.12.
5.14.
z = 2sec/ — i*3tg^.
= 4 igt—i3sect.
г = — 4tg/ — i*2sec/.
г = 4 cosec t—i2 ctg t.
z = — ctg * + i3 cosec U
z = 2ch3/ —i*3sh3/.
5.17. 2 = t
5.19. z = i
5.21. z = — 2e'7 + -4re
5.18. z
sh^
1
2e'Y
5.20. z = 3e*7 — -
5.22. z=2e2'7—
5.25. z =
5.27. z
5.29. z
5.31. 2
5.24. z=-
lii + j^
.B-40.
5.26. z=
A+t
i
. 5.28. z =
5.30. z = /—
17

Задача 6. Восстановить аналитическую в окрестности точки
z0 функцию /(г) по известной действительной части и(х, у) или
мнимой v (х9 у) и значению f(z0) (см. п. 1.4).
6.1. ы = *2—у2 + х, /@)=0. 6.2. ы=л;3—
6.3. v=ex(ycosy+xsiny), /@) = 0.
6.4. и = х*-у*-2у, /@) = 0. 6.5. M==
^ 6.7. th=
6.8. i>=e*cos0, /@)=l+t\ 6.9. pg-
6.10. i,ep _.-£_, /A)=2. 6.11. tt =
6.12. и=у—2ху, /@) = 0. 6.13. v=x*—
6.14. w=*2—£2—2*+1, /@)=!. 6.15. v=3x2y—y*—y, /@) = 0.
6.16. 0=2xp+pf /@) = 0. 6.17. ^=3^—^, /@) = 1.
6.18. «=е^(^со81/ —г/sint/), /@) = 0.
6.19. 0=2*0+2*, /@) = 0. 6.20. w=l — si
6.21. v=*^pldn9t /@)=2. 6.22. c,= l_—2-,
6.23. «=e-i/cosJC+^, /@) = b 6.24. D=e
625 u=
6.27. у=л:2—«/2—x, /@) = 0, 6.28. и = —2ху — 2у, f @) = i.
6.29. v=2xy—2yt /@)=l. 6.30. w=^—3^2-л:, /@) = 0.
6.31. 1>=2л/ + *, /@) = 0.
Задача 7. Вычислить интеграл от функции комплексного
переменного по данной кривой (см. п. 1.5)
7.1. \ 2»dzj
АВ
7.2. 5
7.3.
J Imzsdz; АВ — отрезок прямой, гЛ = 0, 2^ =
7.4. \ B2 + 7z+l)dz; А В — отрезок прямой, гЛ=1, 25 = 1— f.
7.5. t |2|dz; ABC — ломаная,
ЛВС
7.6. \ A2z5 + 4z3+l)d2; >4Б — отрезок прямой, z, = l, Zd = /
7.7. t z2dzi АВ — отрезок прямой, гл = 0, zB — \ + i.
АВ
7.8. t 23e24d2; ABC — ломаная, гЛ = /, г^= 1, гс = 0.
38

7.9. \ Re~dz; AB:{\ z| = l, Imz^O}, #C —отрезок, zR = l, zr=2.
Л5С
7.10. f (z2+cos z) dz; ЛЯС — ломаная, zA = 0, гя = 1, z^ = l%
АЪС ABC
7.11. I ydz; L —граница области: {1<|г|<2, Rez>0}.
7.12. J (chz+cos/z); Л5С —ломаная, гд = 0, zB = —lt zc=/a
лес
7.13. $|z|2dz; L:{|z|=4,
7.14. J
7.15. J|
7.16. J
7.17. ^zRez2dz; L : {| г | = /?;
7.18. ^ (z2+l)dz; Л5С —ломаная, гл = 0, z^ = —
7.19. ^ e'2'2Imzdz; AB — отрезок прямой, zA = l+i, z^=0.
7.20. f(sin«z+2)dz; L:{|z| = l, Rez^O},
7.21. ^ zRez2dz; Л5 — отрезок прямой, г
7.22. f Bz + l)dz; Л5 : {y=*»f гл = 0, zB
AB
7.23. f zzdz; АВ:{\г\ = \9 Rez^O, Imz^O},
ВС — отрезок, гв — \, zc=0.
7.24. $(cos*z + 3z2)dz; L: {| г | = 1,
7.25. ^ | z | d-г; L : {| z | = |/~2
^
7.26. f (z9 + l)dz; Л5С —ломаная, гл=0, гв=
ABC
7.27.^ J -zAz.
7.28. J (sinz+z5)dz; ABC — ломаная, гА = 0, гв=1, zc = 2£.
7.29. S z Im z2 dz; AB — отрезок прямой, 2Л = 0, г5 = 1 +/.
7.30. 5B3 + sinz)dz; L : {| z | = 1,
7.31. \z\z\te\ L:{|z| = l
19

Задача 8. Найти все лорановские разложения данной функ-
функции по степеням z (см. п. 1.6).
2-2 2-4 ЛО Зг—18
2z3+z2—г * 24+Z3_2z2'
2z-16 _ 5г-50
8.1.
8.4.
8.7.
8.10.
8.13.
8.16.
8.19.
8.22.
8.25.
8.28.
8.31. =
7z-98
—49г #
5z-100
13z-338
2гз+12г2-169г
8г —256
—128z2
32+18
9г+3г2—2г3 '
3z + 36
6z+144
8.2.
8.5.
8.8.
8.11.
. 8.14.
8.17.
8.20.
8.23.
8.26.
8.29.
4z-64
цг_242
z2—121z
7z- 196
8.3. -
8.6.
8.9.
8.12.
8.15.
+ — 9z '
3z—36
— 18Z2'
6г~144
г3 — 72z2 *
152 — 450
2 —2252 е
8.18. 7
2 + 4
2z+16
8.21. ;
52 + 50
7z+98
49z+7z2—2z3
Sz+lOO
5022+5z3—г*
13z+338
169z+13z2—2
8.24. —
25г+5г2—
42 + 64
8.27.
8.30.
112 + 242
1212 + 1122 —2гз#
72+196
152+450
2252+1522—223-
Задача 9. Найти все лорановские разложения данной функ-
функции по степеням г — г0 (см. п. 1.6).
О О __?"Ы _ » О 07
9-3' г-^Т) • * —3-Я.
г, 1
9.5.
9.7.
г-1
2B+1)' <°-
9Л1-
9.15.
, 26 = —3 + 1.
9.8.
9.12.
9.14.
9.16.
2—1
2B+1) '
г—1
2B+1)
о = ~2—3/.
2 + 3
22+1 •
2
9.17. 4
2 + 2 ,
' (г-\)B+ЗУ<
= —2 + 2t\ 9.18. 4
2 + 2
B-1) B + 3)
, 20=l-3l.
20

9.19. 4-
9.21. 4-
9.23. 4-
9.25.
9.27.
9.29.
9.31.
2+2
B-1)B + ЗГ
2—2
B+1) B-3)'
2-2
B+1) B-3)'
22
22 + 4 ' '0 =
22
i2ZT' Z0 =
22
= —3-f. 9.20.4-
=—1—2*. 9.22. 4-
= 2— 2/, 9.24.4-
•3i, 9.26.
9.28.
3*. 9.30.
2 + 2
r-l)B+3)'
2 — 2
2 — 2
B+1) B-3)'
22
22 + 4 ' *0 =
22
22 + 4 ' Z°'~
2z
г2 —4
22-4 '
Задача 10. Данную функцию разложить в ряд Лорана
в окрестности точки г0 (см. п. 1.6).
10.1. 2COS-—к", 20 = 2.
10.3.
10.5. COS :, Zo=t.
2 *~~ I
10-7-
10.2. sin
10.4. sin
10.6. si
2—1
22 — 2
2 + 2 '
52
, 20=1.
10.8. 2 COS
32
10.9. 2 sin
z-\>
20==
10.11. 22S
10.13. cos
2
22 — 42
B-2)*'
2
10.10. B — 3)COSJt-
10.12. 2 cos Z
B=-a.
10.15. sin—^, го=3.
2 "~~ О
10.17. e2~3f 2o==c
2 — 42
10.14. sin ^±4, zo-t\
10.16. zez~2t zo = 2.
22
10.18. sin
2-4'
42—222
10.10. sin
B-2J'
я
10.20. e^-D2f 2T0= 1-
10.21. 2eu~a
10.23. 2 sin я -
= 0.
10.25.
, 20=0.
10.22.
10.24.
10.26.
, 20=l.
p, 20=l.
21

10.27. г cos
z—V
10.29. 2cos-
:, Zo= 5.
10.28. г sin я |—-, z0 = 2.
10.30. ге2-4. го=4.
10.31. г sin
nz
' z — a
, го= а.
Задача 11. Определить тип особой точки 2 = 0 для данной
функции (см. п. 1.7).
11.1.
11 Л
11.7.
11.10.
11.13.
11.16.
11 19
11.22.
11.25.
11.28.
11.31.
e9*— 1
sin z—z + z3y6"
COS 72—1
. 6
г sm -p ,
COS22 —1
Shz — 2 — 2^/6"
2*COS 52.
ch2z-l
Sh2 —2 —23У6'
sin 23—z3
e*—1—2'
sin 62—6z
Sh2—2 —23/6#
sh 42—42
e2 —1—2"
sin z*—z*
Sh2 —2 —23/6#
(e*_ !)/(**-
11.2.
11 ^
11.8.
11.11.
11.14.
11.17.
11 20
11.23.
11.26.
11.29.
I-*).
sh6z —62
chz-l-22/2e
SU12 —Z + 23/6"
лб^ 1
Ch2 —1—22/2'
cos 3z — 1
SinZ—2 + 23/6#
e23
chz—1—22/2'
COS23—1
Sin 2 — 2 + 23/6*
ztm 23 .
ch3z-l
Sin 2 — 2+23y6#
2
11.3.
11 6
11.9.
11.12.
11.15.
11.18.
11 91
11.24.
11.27.
11.30.
sin 8z — 62
COSZ—l+22/2'
ch5z-l
sinz2—22
cosz—1+г2/2"
sin 4г—4г
e^-l-z"
sh 2z — 2z
cosz—1+22/2*
ze4'23.
COSZ— l+22/2'
cos 52—1
chz—1—z'2/2'
e24-l
COSZ—1 +22/2
cos z*/2
chz—1—z2/2#
Задача 12. Для данной функции найти изолированные особые
точки и определить их тип (см. п. 1.7),
12.1. e1/2/sin A/z). 12.2. 1/cosz.
12-4. 2tgze1/2. 12.5. **~
(z + ji) sin-^z
12.7.
12.10.
12.13.
23(Z+1J'
1
12.3. tg22.
12.6. л ?
2 Sin2 2
1
12.8. tg
12.11. ctgJiz.
sin32 — 3 sin 2
12.9. ctg —.
sin z2'
12.14.
2 (sin 2 — г)
12.12.
12.15.
SHI JX2
22

12.16.
12.19.
12.22.
12.25.
12.28.
12.31.
sin nz"
J/z
sin
sin3 2
12.17. thz.
12.23.
12.18.
12.21.
sin 2
23A — COS 2)'
22
B2—4JCOS
1
z—2
COSyZ
2(i— COS 2)'
cos nz
12.26. ctg~- — "V
12.24. -
12.27.
sin jtz
12.29.
sin 32
2A—COS 2)'
9 4ft 22:~sin22:
Задача 13. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
13.1.
13.3.
13.5.
13.7.
13.9.
dz
2B2+1)*
d2
| 2-Л =3/2
£> **.
J sinz
z — 3 i = 1 /2
2— 1 I =3
smz
2B + 1J
2-1/4 1 = 1/3
sin 32 + 2
3.11. &
12 — 31 =1
dz.
13.13.
sin 3zi
| z-l|=3/2
13.19.
13.21.
sin2 2 — 3
dz.
13.2.
13.4.
13.6.
§.
2d2
1*1 =
\2 — 3/2 1 = 2
2J-sin_2
t 2B+20
z (sin 2 + 2)
sin 2
62.
13.8, &
22 [2-1 '
sin 2
dz.
dz. 13.10.
|Z —3/2(=2
sin nz
13.14.
| г —1/2 | = 1
С COS2 2+1
dz.
13.16.
■»»•
13.20.
!3-22-
г —2|=3
T —6 I =1
ln(e + 2)
dz.
23

13.23. (Y) ■ gfagz d*' 13#24#
I* —1|=2 }2l=2
13.25. (?) ,2ОB + Я) xd2. 13.26. (?)
J Sin 32 B-Я) ^
sin* -dz.
12-3/2 | «1
13.27. А) l*.T ' dz. 13.28.
iSin2 T 2 COS 2
13.29. & fg*. .3.30. § 4^-d,
5 }2~3/2J=:2 Sin у B —Д)
mi. * 22+1
Задача 14. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
14.1. (b COS1 ldz. 14.2. & i-y^L d2.
,4.3. ф l_Hid2. 14.4. ф r^^-d2.
J 2 Л 1— COS 2
1*1=3
„ - С sin
14.4. ф ^
2-2
Jt I—22+322+423 , %.a P 1—COS 22,
14.5. A) ^ a ^— dz. 14.6. <b — dz.
|2|=2
1 — sin —
11.7. <fc ^"~" "r"d2. 14.8. A) r-Idz.
14.8. §
,4.9. d) -^3=^d2. 14.10. 5) 3-~2l+424d2.
14.11. (?)
11
2-=glid2. 14.12.
1*1=2
,4.13. 4) 425~y+1dz. 14.14. & ^=^dz.
n4D t C0Sf2—1 ,
14.16. ф —d2.
2+C°S2d2.
14.18. (?) -
23
1*1=3
t» лл л. 2 — sin 2 ,
14.20. ф d2.
24
2 |2|=2
,4.21. § C°S2;-1dz. 14.22. § 2 + 3g-5*4d2.
|2|=3 1*1 = 1/2
24

14.23. (?)
гег— 2-1
23
dz.
14.25.
1*1 = 1/2
226
14.27.
§ -
= 1"
f
1*1 = 1/3
223
d2.
dz.
14.24. ф 2«sin~
1*1=2
14.26.
14.29. ф *=*«&
1*1 = 1/3
22
1*1 = 1
14.28. & z3cos—i
1*1=2
14.30.
1*1 = 3
•dz.
С 22e1/22—1
14.31. & LL_—l бг.
Задача 15. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
15.1.
15.3.
15.5o
15.7.
15.9o
15.11.
15.13.
15.15c
0.2
ЗЛ2—Sin3JI2
22 —
dz. 15.2.
COS32— 1+922/2
|2
Бп2л2— 2л2
dz.
15.4. &
Ch3z-1-
•62.
dz.
z sh2 Aiz
),5
—.C . Z dz.
z sin 4л2
sh32 — sin 32
z3 sh 2z
3
^dz.
15.6.
15.8.
—cos 7г
0,4
dz.
0.1
ch2 —cos3z
z2 sin 5л2
dz.
dz.
ew — 1 — sin Az
23 sh 16л 2
1*1 = 1
62 —sin 62
г2 sh2 22
dz.
1*1 = 1
15.10. &
|2|=0,05
15.12. § «4I-1+W
dz.
dz.
-dz.
15.14.
-dz.
|2} = 1
sh2 лг
:dz.
|*|=0.9
\ . : dz.
15.16.
15.18.
l2|=C,5
бг __ cos 82
2 sh 42.
dz.
1*1 = 1
1*1=0.5
ch 32 — cos Aiz
' sin 52
dz.
15.19.
sh32— sin 3z .
r—: : QZ.
1*1=2
15.20. &
1*1=0.5
P — 1 — sin 5z
e2 sh 52
dz.

|г|=2
,5.23. £
15.24.
1*1=0,4 Jj=0,3
*p. «^ £ e5*—ch62, -roo £ ch 22—cos 22,
15.27. (p : dz. 15.28. ф _ . .— da.
j z sin яг J z2 sm 8z
|г|=0,5 |2|=0,2
J5.29. 4> —— d2. 15.ЗЭ. ft) ' 1 Л da.
^3shy \z 1=0,3
Задача 16. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
D sin л nz- . \ dz.
B—2 + tJ B — 4 + 0 enz/2+i/
С I TXe • 2 cos яг/5
б|=2
J \е t B — 2 — 0а(г — 4 — i)
2—t| =3
£ / u I 2
16.4. ^ "*
16.5. ft) I ^^ r+-i;J )<й.
«) \B—2—2iJ (z—4 — 2t) e -I-1 /
12—2t 1 = 2
S.6. §
(
|*+«l2 e +f' (
I6.7. ф I „L" + =—^ <b.
|2 + «l=2Ve +' (*-1+Ю*(г-3+50/

,6.9. £ ( ^ш n V
Т М1702C70 ^2+f/
2 Мг-1-702(г-3-70 e^2+f/
I . 1
«■°TP
KZ
|2-1|=2
|2-2|=2
16.15. d) —-£ ^—^ Idz.
еЯ2/2—i B— 1 +7tJ (z—3 + 70 /
(niz
—4 CT
|«+3»l-a (г-1+302 (г-З+ЗО
16.17. <b l~— —\ . —^Z7/d2-
.о JC / 1 iOchniz/5 \.
|dz.
16.20.
|2-5|=2
§
5
16.21. ф I ! I
dz.
|2-6|=2

-w L
+* (z~l -6°2 (г-з~б()'
/■ . 2 4 cos яг/4
гch 1-T + B_4JB_
2 ^e +*
.... С / . 2 4 cos яг/4 \
16.24. <^> гch 1-T + B4JB2)j «b.
j 2— 5 j=2
16.25.
|2 —4|=2
16.27.
+1 B-
,„ „. С / 1 , 4 ch Я12/2 \ ,
,6.28. ^ гсоз^^Ч- г_2B d*.
131 2
16.29. $ (^l
г — 2|=2
(fi h я^ \
,,,-.. . еяг/2 + 1 B-2+2(J(г-4-20/
Задача 17. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11).
2л
(• At
17.1.
С Я 172 С
J 2+/ЗяпГ ' J
2+/3sin/# *' J 4+/l5sin/
17.3. \ % . 17.4. f % .
J 5 + 2/6 sin/ J 6 + /35sin/
2л 2я
17.5. V 2L # 17.6.
о о 5~4sin^
J 5-3 sin/ * ' ' J 8—3/7 sin/ #
2Л 2л
17.9. f ^ ., 17.Ю. f 7=-rr-
^ 9 —4/5 sin/ J 4 —/7sm/
28

17.11.
17.13.
2л
I
2Л
i
Гл
dt
3—/5sin/ #
d/
4—2|/3sin/ '
17.12.
17.14.
2a
\
2Л
J
0
2л
dt
3—2/2sin/ '
d/
5—/21 sin/ "
,7.,5.? * . 17.16.f *_.
J 6-4|/2sin/ J 8—2/15 sin/
2Л 2Л
,7.,7. ( —* . ,7.18. f -* .
J /3sin/~2 J /15 sin/—4
2Л 2Л
I7.M. ( —=-* . 17.20. f —* .
J 2 /6 sin / — 5 J /35 sin /—6
2Л 2Я
ПЛ. {-уЛ . 17.22. С *
J 4/3 sin/—7 J
_ /3 sin/—7 J 4sin/+5
Гл 2л
17.23. £ # 17.24. f -=r-^ ~.
^ 3sin/ + 5 J 3/7 sin /+8
2л 2л
,7.25. i*L . 17.26. f d'
4/5sin/ + 9* # # J /7sin/+4e
2Л 2Л
17.27. f ^ , ,7.28. f _«
J /5sin/ + 3 J 2/2 sin/+3
о о
2л 2Л
l7-29-|2^sL+4- 17-3°- | /21 sin/+5 *
2Л
„м. i « .
J 4/2 sin/-4-6
Задача 18. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11).
2л 2л
|81 f 6t 182 f d/
" J (l-|-/l07Ucos/J# '# J (/5-4-cos/J #
2л 2л
d/ ,о„ f d^
(l+>/6/7cos/)
2
2л
18.5. ;._„, ™ tf. 18.6.
C /2 + 2 /3 costJ * ' ' J D+cos /J #
29

2jb
,«.,.1
18.11.
dt
D+3 cos/J
dt
2 '
о
2я
COS/)'
d/
C + |/5cos/J #
dt
cos/J
2jt
18.15. i -
d/
0
2ЛЗ
18.19.
dt
C+cos/)a
2я
18.21.
2л
18.23. f -
6t
(j/13+2 1/3 cos/J'
2JTJ
cos tf '
18
2tb
.27. Г
о
о
2Я
18.29.
18.31.
(Kl0+3cos/J '
dt
cos/J'
d/
2jtj
18.8. f
18.10.
18.12.
*
D + |/7cos/J
2л
f
18.14.
2Я
cos/)
2я
18.18.
2jtj
2Я
18 22
2я
,8.24. С
B+cosO2
2Я
2Я
18 OR С
15.25. I -
2Л
,8.30.
cos/J #
Задача 19. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.9).

4-co
— со -co
+00 ^ 4-00
19.5.
— CO —CO
+00
19.7. i ,.?*„. 19.8. f dt
— О
1
—оо —со
+ CO 4"°°
19.9. J {x2+3f . 19.10. J
— CO —CO
4-co +co
19.11. f /x24.9wx2-L.n2 ' 19Л2- \
— CO —OO
4-00 4-°°
19.13. V tJXl dx 19.14. I
J (x2+4x+13J " J
— 00 —00
4-00 +00
19Л5< $ (^+1)^+4)- 19Л6> f - —" g ^^
— OO —CO
4-00 4-00
— CO —CO
4-co 4-00
19.19. i ^ 2 . 19.20. f
— CO —CO
— CO —CO
+ 00 4.00
I9-23- f rx2-i-ptf^-L.ПУ 19-24- ^ ,-.0r;~:„„dr.
— CO —CO
+ co 4-00
19.25. f Ла^у dx' 19-26- ^ '
— CO —CO
+ 00 4-co
19'27- J (x»+3y%+15y 19-28- S - --' - **.
— CO —CO
4-00 4-00
— 10x + 29J
— CO
31
19-29. \ ,... .Г , яп.. . 19.30. J

+ 00
19.31.
dx
(Jt2+1J(*2 +
Задача 20. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.10).
sin Зх
dx.
20.3.
oo
J
— 00
oo
cos 2л:
d*.
20.5.
1
oo
— 9
OO
(л:+1) cos л:
00
oo
— 90
OO
-^ sin
—oo
oo
20.11.
20.13.
— 00
oo
J-
— 00
oo
: sin 2л:-— sin x
(* + 4K
л:3 sin x
■d*.
20.15.
x sin x
дх.
— 00
oo
20.17.
20.19.
20.21.
cos л: Aл:
л* sin л: dx
2л:+10 *
*sinT
CM
rv лл С sin'
3.23. 1 -т-^—
32
20.2. J
(jg—1) siting .
\v~~dx<
—oo
oo
20.6.
20.8.
x sin |
3 —2) COS
— 00
oo
f1 £.
-0
oo
f
a: cos л;
— 00
oo
20.12.
cos 5л: с!л:
— 00
oo
sin 2л:
— 00
ОЭ
20.16.
20.18.
cos л:
20.20.
С лгсс
jf cos x dx
— 00
+ 00
2л:+10 *
20.22.
20.24.
o
J
—oo

20.25,
x2 cos x dx
— 00
oo
—oo
cos 2x—cos x
—oo
oo
20.29.
siax
—oo
oo
d*.
20.30.
■I
— 0
oo
„ J
— 0
oo
J
-c
oa
.3, I
Задача 21. По данному графику оригинала найти изобра-
изображение (см. п. 1.12; 1.14).
—oo
oo
00
I
—о
oo
,28. J
-0
00
J
(*3+Qcos*
dx.
djc.
dx.
21.1.
'а^га
21Л.
212.
2U.
Ш
л 2а За
-2
1 г
J 4
За ъ
1
%
s
a
2a
s
3a t
21.7.
№
1
й za за. t
21 Ж
Ш
J 2*
21.8.
2Г.11\
za за
ж
За
219.
7
2112.
7
L
а 2а зц tut t
33

21.13.
1
2a. За
21.П.
fan
t о
\2a
21.15.
W)\
1
Za ia
2b
-Ъ
-2b
a1 2a
21.17,
t(i)\
I
2118.
Щ
Hi
-2b
a 2a
21.19.
№)
~2{T\. \3a
21.20.
f(t)i
_L
Sir
a] ZaS^TJ
21.21.
-J
a\ 2a\ 3a t
2122
1
15"
21.23.
flt)i
a 2a 3a
21.24.
zzL
21.25.
tttj
0
-b
-?b
i
2 2a 3a
t
21.23.
1
a 2a
212
7
1 о
-1
7
a 2a/ \3a
4
21.28.
-/
fa 2a3d^
21.29.
2b
Tl
\a 2a 3a
21.30.
ffi) I
a 2a\ 3aV
21.31.
HT™
a Za 3a ka
34

Задача 22. Найти оригинал по заданному изображению
(см. п. 1.12).
22.1. ,_ J^+5^ , .;. 22.2.
22.3. —2—~ . 22.4.
22.5. о Л+о3, п . 22.6.
22.7. -.—s. 22.8.
22.9. -Л-;. 22.10.
22.11. ,_. , ^ , ,ч. 22.12.
22.13. *о , „ . 22.14.
22.15. —-~-т-^. 22.16.
22.17. —2—р-~2 • 22.18.
р-Р/2
* "'« 22.20.
22.19.
22.21. v , ^ч , \Р п , оч . 22.22.
22.23. —2 з". 22.24.
22.25. , П2Д"^.12 13)' 22#26*
22.27. *р + о ^ 22.28.
22.29. ,,, , 1Ч ,Jt о. , о;. 22.30.
22.31.
(РН
4
Р3-
i
Р2-
(Р-
(Р4
Р3(/
1
(р —
(р —
Pip
1
р
Р + 4
Р+5
(-1) (/?2 — 2р + 5)
Зр + 2
1
5
1
2 — Зр
2-р
2Р7-Рр
Задача 23. Найти решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее условиям у@) = 0, г/'@) = 0 (см. п. 1.12; 1.15;
1.16).
23.1. y"-y = tht. 23.2. ^-0'=*-
23.3. y" — 2y'+y=YJ~P' 23#4' Уп—2Уг + 2У=е<
23.5. / — £/ = th- f. 23.6. у" — у = -г-т.
35

23.7. i/" —*/'=-
23.9. y"+y' =
23.11. yn — y=-
23.13. / —
23.15. tf-y=
23.17.
23.19.
23.21.
23.23.
23.25.
23.27.
23.29.
23.31.
23.8. t/' — i
23.10. / — 2y' =-
23.12.
"/+Г
23.14. /-4* =
23.16.
l-|-ef#
1
ch3 /"
23.18. 2y" — y' =
23.20. / —^ =
23.22. / — r/' =
23.24. / +
23.26. / —2r/4
23.28. */" — 4r/ =
23.30.
1
A+eO2'
"A+2/J'
Задача 24. Операционным методом решить задачу Кош
(см. п. 1Л% 1.15).
24.1. «/"+#=6е~',
24.3.
24.5.
24.7. у" — 9у= sin * — cos ff
y@) = -3f ^@) = 2-
24.9. 2/ —^ = sin
24.2. у" — у'
0, </'(<>)= I-
1/@)= 1, y'@)=l.
24.11. t/'+y=shtf
r/@) = 2, ^@) =
24.13. /-3y' + 2y = e'f
24.4. y" — y=
24.6.
24.8.
24.10.
24.12.
24.14.
36

24.15. t/r — 2yf — 3y = 2tt 24.16. yn+4y = sin 2t9
</@)=l, y'@) = \. 0@) = 0. y'(O) = I.
24.17. 2/+5*/' = 29cos/, 24.18.
у@) = -1, *,' @)=0.
24.19. / + 4#=8sin2£, 24.20. tf — y'— 6# = 2,
24.21. / + 4*/ = 4e2/ + 4f2, 24.22. #" + 4#' + 4*/ =
24.23. /-3/ + 2г/=12ез^ 24.24 r/" + 4r/=3 sin
у @) = 2, у' @) = 6. у @) = -2, у' @) = 3.
24.25. / + 2r/' + 10r/=2e-'cos3^ 24.26. уГ+ 2>у'— \0у = 47 cos3^ — sin
24.27. tf + y' — 2y = e-tf 24.28. у"^2уг =
24.29. / + r/ = 2cos/, 24.30. / —1/ = 4 sin / + 5cos 2/„
r/@) = 0, у'@) = Ь
24.31. /-3r/' + 2r/ = 2e^cos
Задача 25. (см. п. 1.12; 1.15).
Варианты 1—8
Частица массы т движется прямолинейно под действием вос-
восстанавливающей силы F = >—kx, пропорциональной смещению х
и направленной в противоположную сторону, и силы сопротив-
сопротивления R = rv. В момент £ = 0 частица находится на расстоянии xQ
от положения равновесия и обладает скоростью v0. Найти закон
движения x — x(t) частицы.
Варианты 9—16
Материальная точка массы т движется прямолинейно, оттал-
отталкиваясь от начала координат с силой F = kx, пропорциональной
расстоянию. На точку действует сила сопротивления среды R = rv9
пропорциональная скорости v. При t = 0 расстояние точки от
37

начала координат х0, а скорость vQ. Найти закон движения х =
^x(t) материальной точки.
0 — 0.
= 1 м/с«
уо=1 м/с.
==1 м/с.
25.9. k=2mt r = m, x
25.10. k=2mt r = m, x
25.11. & = 3m, r = 2m,
25.12. A: = 3m, r = 2m,
25.13. k = 4t7it r = 3/72,
25.14. /j = 4m, r = 3/7i,
25.15. /j=5m, r = 4m,
25.16. k — Ът, r = 4m,
o=l м,
o=l м,
*0=l M,
л:0=1 м,
Л0 = «ci M,
л:0=1 м,
л о ■— 1 M,
Xq — 1 M«
Варианты 17—24
Материальная точка массы т совершает прямолинейное коле-
колебание по оси Ох под действием восстанавливающей силы F=— kxy
пропорциональной расстоянию х от начала координат и направ-
направленной к началу координат, и возмущающей силы /=Лсоб^.
Найти закон движения x = x(t) точки, если в начальный момент
времени х@) = х0, v@) = v0.
25.17. k=mf А = 2т, *0 = °» vo~O.
25.18. k = m, А = тг хо~О, о0=1 м/с.
25.19. k = m, А =2/?г, ^0=! Mt »0 = 0.
25.20. k = m, А =/71, *о=1 м, оо==0,5 м/с.
25.21. Л=9/72А Л=8т, дг0 = 1 м, уо=0.
25.22. fe=9m, Л = 4т, дго=О, уо=0.
25.23. fe=9mf Л = 8т, лго = 0, уо = 3 м/с.
25.24. k = 9ml A~mt #0=1/8 м, уо
Варианты 25—31
На материальную точку массы т действует сила сопротив-
сопротивления R = kv, пропорциональная скорости v. Какое расстояние
пройдет точка за неограниченное время, если ей сообщена началь-
начальная СКОРОСТЬ 1>о?
25.25. k=2ml i>0=10 м/с. 25.26. & = -у , vo = S м/с.
25.27. A: = 3m, vo = 6 м/с. 25.28. fc = m, уо = 7 м/с-
25.29. fc = m/2, cro = 6 м/с. 25.30. fe = 0,lm, уо=1 м/с-
Т5.31. fe = 10m, cro = 1 м/с.
Задача 26. Решить систему дифференциальных уравнений
(см. п. 1.12; 1.15).
26 1 /* = * + 3? + 2- 26 2
)=lt 0@) = 2.
38

26.5. | X-Z.2*^2t +2- 26'6' { *^j
*@)=l, r/ @/= 1. *@) = 0,~*/@)=2.
26.7. { * = 3* + #» ^ 26.8.
*@) = 2, #@) = b.
26.9. [*zz*:7:*^" 26.Ю.
__ y = 4x — 2y;
26.11. j * = Z + 2y.\ *. 26.12.
)==5. Jt@)=3,
26.13. t . 3 , ' 26.14.
y = 3x + y+l;
л:@) = 0, у@) = 2
26.15. <^ . 5 „ „ , ft. 26.16.
26.17. < ГГТ7ТД| 26.18.
26.19. i *-:?r. . ,. 26.20.
6.17. | ^~
6.19. | X.Za+J!' i i-
5.21. | ^
8-23- {JrS'.
26.21. -! ."^Vg . 26.22.
) = -Г, (/ @) = 1.
«■28. <,:•'. - 26.24. iw_^
26.25. | *^*+2u- 26#26# { *=l
jt@) = —V, 0(O) = O.
26.27. | *I*lf^3' 26.28.
JC@)=0, £/ F) == 1.
26.29. | Х=2^УХ\Х. 26.30.
x@) = 2, f/@)==0. ~*@) = Г,
28.31. | л Зд:.

Задача 27. Выяснить, во что преобразуется геометрическая
фигура при отображении с помощью Функции w = f(z).
27.1. w = ez; прямые х = С, у = С.
27.2. ш = ег; полоса а<г/<Р, 0^а<Р^2я.
27.3. w=.ez\ прямые y~kx-\-b.
21 Л. w = ez; полоса между у — х и у = х-\-2п.
27.5. w=ez; полуполоса *<0, 0 <«/< а ^ 2я.
27.6. w=ez\ полуполоса * > О, 0 < «/ < а =^2я.
27.7. w==iTzrr'f область D:{|z|<l, Imz>0}.
27.8. a;=lnz; полярная сетка \z\ = R, argz = 6.
27.9. w = In z; угол 0 < arg z < a ^ 2зх.
27.10. o;=lnz; сектор |z|<l, 0 < argz < a ==c 2n.
27.11. w = \nz; кольцо гг < | z | < г2 с разрезом по отрезку [гь га1.
27.12. o; = cosz; прямоугольная сетка д: = С, у —С.
27.13. o; = cosz; полуполоса 0<д:<я, г/<0.
27.14. o; = cosz; полуполоса (Хжя/2, г/>0.
27.15. o; = cosz; полуполоса — я/2 < л; < я/2, ^>0.
27.16. o; = cosz; полоса 0<д:<я.
27.17. o; = cosz; прямоугольник 0<х<я, —h<.y<.ht
27.18. o; = arcsinz; верхняя полуплоскость.
27.19. o; = arcsinz; первый квадрант.
27.20. o; = chz; прямоугольная сетка х=С, у=С.
27.21. o;=chz; полоса 0<г/<я.
27.22. o;=chz; полуполоса д:>0, 0<г/<я.
27.23. w = Arshz первый квадрант.
27.24. w = tgz; полуполоса 0<д:<я,
27.25. a; = tgz; полоса 0<д:<я.
27.26. w = tg z; полоса 0 < д: < я/4.
27.27. o; = tg z; полоса — я/4 < х < я/4.
27.28. o; = cthz; полуполоса 0<г/<я
27.29. o; = cthz; полоса
27.30. до = — , . ; полуплоскость Rez<l.
27.31. w = j^; область D:{K|z|<2}.
40

II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
2.1. Классическое определение вероятности. Вероятностью события Л назьн
вается отношение
числа равновозможных случаев т, благоприятствующих событию Л к общему
числу п равновозможных случаев.
2.2 Комбинаторные формулы. Допустим, что требуется выполнить одно
за другим к действий. Если первое действие можно выполнить nt способами,
второе — щ способами, третье — п3 способами и так до /е-го действия, которое
можно выполнить nk способами, то все к действий вместе могут быть выполне-
выполнены n1xn2xn3x...Xnk способами, в этом заключается основной принцип ком-
комбинаторики (правило умножения).
Пусть Q — множество из п элементов. Произвольное ^-элементное подмно-
подмножество множества из п элементов называется сочетанием из п элементов по k.
Порядок элементов в подмножестве не существен. Число ^-элементных подмно-
подмножеств множества из п элементов обозначают С^.
Например, если Q = {a, by с}, тогда {а}, {&}, {с}—все возможные соче-
сочетания из 3 по 1 (следовательно, Q = 3); {a, b}, {а, с}, {Ь, с},—все возмож-
возможные сочетания из 3 по 2 (таким образом, С« = 3).
Число сочетаний из п элементов по к находится с помощью формулы
k n(n—\)...(n — k+\) п\
k\ k\(n — k)\'
Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого мно-
множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до п
(п — число элементов множества) так, что различным элементам соответствуют
различные числа.
Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком
элементов (т. е. могут быть получены из того же самого множества), назы-
называются перестановками этого множества.
Например, перестановки множества Q = {a, bt с} имеют вид
{а, Ьу с], {а, с, b}, {bt а, с],
{Ь, с, а}, {с, а, Ь}, {с, Ьу а}.
Число перестановок Рп множества, содержащего п элементов, определя-
определяется по формуле Рп — п\
Рассмотрим теперь упорядоченные подмножества данного множества Q.
Само множество Q считаем неупорядоченным, поэтому каждое его подмноже-
подмножество может быть упорядочено каким-либо возможным способом. Число всех
^-элементных подмножеств множества Q равно С^. Каждое такое подмноже-
подмножество можно упорядочить k\ способами. Таким образом получим все упорядо-
упорядоченные /е-элементные подмножества множества Q. Число упорядоченных ^-эле-
^-элементов подмножеств множества, состоящего из п элементов, обозначается
через Akny
k k
Упорядоченные ^-элементные подмножества множества из п элементов назы-
называются размещениями из п элементов по k. Различные размещения из п по k
отличаются либо элементами, либо их порядком.
41

m
Пусть &i, k2, ..., km — целые неотрицательные числа, причем J] ^ = /1.
Представим множество Л из л элементов в виде суммы т множеств Аъ А%, ...
... , Ат, содержащих соответственно къ к^, ..., km элементов. Обозначим число
различных способов такого разбиения на группы через Сп (kLt к2щ ... ь km).
Оно определяется по формуле
u k2, ...,*т)=
Приведем еще одну комбинаторную схему, часто встречающуюся при
решении задач: я-элементное множество А является суммой множеств Аъ A2t ...
..., Л&, число элементов которых равно соответственно пх, пъ ..., nk
V /
В—/п-элементное подмножество множества Л, содержащее /л, элементов из
/ h \
Аъ т2 из Л2, ..., т^ элементов из Л^ У] m/ = m). Число способов, кото-
\i i /
\ /
рыми можно выбрать такое множество В из Л (множества неупорядоченные),
в силу основного принципа комбинаторики равно
2.3. Геометрическое определение вероятности. Допустим, что в результате
опыта в некоторой области Q наудачу появляется точка со. Требуется опреде-
определить вероятность Р (Л) того, что со е Л, где Л — область, принадлежащая Q,
A d Q. По определению полагают Р (А) = т(А)/т (Q), где /та (Л) и т (Q) —
мера области А и области Q. Под мерой будем понимать длину, площадь,
объем в одно-, двух- и трехмерном случаях соответственно.
2.4. Теорема сложения и формула умножения вероятностей. Условной
вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называется
число Р (А/В), определяемое по формуле
Р (А/В) = Р (АВ)/Р (В), Р (В) Ф 0.
Из данного определения вытекает формула умножения вероятностей
р (АВ) = Р(А)Р (В/А) = Р(В)Р (А/В)
для двух событий, которая допускает следующее обобщение для п событий:
P(A1A2...An) = P(A1)P(A2/Al)P(A3/AlA2)...P(An/Al, Л2, ..., An_t).
События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение
Р(АВ)^Р(А)Р(В).
Теорема. Для любых событий А и В имеет место формула
Р (Л+В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ);
для п событий — формула
р (S А= S р и*>- 23
\£ 1 I i i Ki
2.5. Формула полной вероятности, формулы Байеса. Набор событий
#i, #2, ••• i tin называется полной группой попарно несовместных собшпий,
42

если
Я1 + Яя + ... + Яя = О и #,///=0, i, /=1, 2, ..., л, f^/,
где Q — достоверное событие; ф — невозможное событие.
Теорема 1. Если Н1у #2, ..., Нп—полная группа попарно несовместных
событий, причем Р(Нг)ф§, * = 1, 2, ..., л, то для любого события А имеет
место равенство (формула полной вероятности)
Р(Л) = 2 Р (H-i P (A/Hi).
Теорема 2. В условиях теоремы 1 для любого события А, такого, что
Р (А)Ф0, справедливы формулы Байеса
> , *=1, 2, ..., я.
2J Р (Ht) P (A/Hi)
2.6. Схема независимых испытаний. Пусть вероятность появления собы-
события Л при единичном испытании равна р. Опыт повторяется п раз, т. е.
осуществляется серия из п независимых испытаний. Вероятность Рп (т) того,
что в результате этих п опытов событие А произойдет т раз (наступит т
успехов), определяется по формуле Бернулли
Pn(m) = C™pmqn-m, m = 0, I, 2, ..., n, A)
где q—\—p—вероятность наступления противоположного события А при еди-
единичном испытании.
Совокупность чисел, определяемых формулой A), называется биномиаль-
биномиальным распределением вероятностей.
Значение m = m0, при котором вероятность A) принимает наибольшее зна-
значение, называется наивероятнейшим числом успехов.
Если (п+\)р — дробное число, то т0 принимает единственное значение
где [...] — символ целой части числа. Если величина (п-\-\)р — дробная, то т0
принимает два значения
—1 и т^ =
Рассмотрим теперь случай, когда в результате каждого из п независимых
испытаний может произойти одно из k попарно несовместных событий Аъ А2, ...
..., Аи с вероятностями ри р2, ... , pk соответственно (Pi + p2 + --- + P& = !)•
Обозначим через m-t число тех испытаний, в которых произошло событие Ai,
t = l, 2, ..., k. Тогда вероятность т1 наступлений события Аъ т2, наступле-
наступлений события А?, ..., /л*,, наступлений события Л^, причем тх + т2 +... + тл =
«= nt определяется равенством
Это полиномиальное распределение вероятностей; при /л = 2 оно превращается
в биномиальное.
При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального
распределения применяют следующие приближенные формулы:
Pn(m)G*L=r
Vnpq
т — пр . . 1 v2/o.
где * = 4 ф(л) = =е л/2
B)
=^:*£*2) = Ф (*)-«>(*,), C)
43

где
Pn(m)**j^er"t a = np; E)
2пТП
ж e"e- F)
m = ki
Формула B) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, C) — на
интегральной теореме Муавра —Лапласа, E) и F) —на формуле Пуассона.
Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы B) и C)] рекомендуется применять
в случае, когда npq > 9. В противном случае более точные результаты дает
асимптотика Пуассона [формулы E) и F)].
Замечание 1. Приближенные формулы C) и F) остаются в силе и в том
случае, когда входящие в них неравенства являются строгими.
Замечание 2. Вычисления по формулам B), C), E), F) выполняются
с использованием таблиц I—-IV соответственно (см. приложение).
2.7. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин.
Случайной величиной g называется функция £ = £ (со), определенная на простран-
пространстве элементарных событий Q.
Это определение является точным в случае дискретного пространства
элементарных событий Q. В общем случае на функцию Н, (со) накладывается
требование измеримости.
Функцией распределения случайной величины £ называется функция
F (х) = Р{1<х}> — оо<*<оо
Иными словами, значение функции распределения F (а:)—-случайной вели-
величины £ — есть вероятность того, что £ принимает значение меньшее, чем х.
Случайная величина £ называется дискретной, если существует конечное
или счетное множество чисел хъ хъ ..., xki ... (без предельных точек), таких,
что
/4£ = **) = Pfe>0, *=1, 2, ...; § pfe=l.
к ===-1
Совокупность значений х^ и соответствующих вероятностей р^ называется
распределением дискретной случайной величины.
Примеры дискретных распределений
1. Биномиальное распределение
Р & = k) = Cknpk A-рГЛ 0<р <1, Л = 0, 1, 2 п.
2. Распределение Пуассона
Р (£ = *) = Je-<\ a>0, Л = 0, 1, 2, ...
3. Геометрическое распределение
P{l = k)=p{\-p)k-\ 0<р<1, k=\, 2, ...
4. Гипергеометрическое распределение
P(t = k) = CkMCnNZ.kM/CnNt Л = 0, 1, 2, .... min(M. n).
44

Случайная величина £ называется непрерывной случайной величиной, если
ее функция распределения представила в виде
/■(.«)= I p(x)dx, G)
—СО
где р (х) — некоторая неотрицательная функция*
Подынтегральная функция р (х) в формуле G) называется плотностью
-И»
распределения случайной величины g, J р(хNх=\.
—со
Примеры непрерывных распределений
1. Равномерное распределение
— a- — co<a
I 0, «I[fl,4t
2. Нормальное распределение (с параметрами (a, a))
p (*) = r___ ■ e~~ix~~aJA2a2) ^oo<a<+oo, a>0.
/2я a
3. Показательное распределение
0,
4. Распределение Коши
Из формулы G) следует, что в любой точке непрерывности р (х) имеет место
равенство р (x) = Ff (x).
Математическим ожиданием дискретной случайной величины g называется
число
Если случайная величина принимает счетное множество значений, то
требуется абсолютная сходимость ряда (8). Если ряд не сходится абсолютно,
то говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания.
Математическим ожиданием непрерывной елучайной величины g называется
+
число Щ= § xp(x)dx, если интеграл абсолютно сходится,
— со
Дисперсией D£ случайной величины g называется математическое ожидание
случайной величины (£—М£J:
Dg=M(g — MgJ.
Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле
k
для непрерывной —по формуле
+ 0О

Вероятность того, что случайная величина | принимает значение в задан-
заданном числовом промежутке, вычисляется по одной из формул:
= F(x2)-F(xj, P{Xi^l<x2}= ] p(x)dx.
Двумерные случайные величины
Распределение двух случайных величин £ и т), или двумерной случайной
величины (£, ц), не исчерпывается распределением каждой из них, так как
при этом не учитывается зависимость, которая может существовать между ними.
Функция распределения F (х, у) двумерной случайной величины (g, Ц) опре-
определяется как вероятность совместного выполнения неравенств g<* и г\<.у:
F(x, y) = P{l<x, ц<у}.
х у
Если F (х, у) представима в виде F (x, y)= j j p (x, y)dxdy, где
— оо —оо
Р{х* «/) —некоторая неотрицательная функция, то двумерную случайную
величину (£, ц) называют непрерывной, функцию р (х, у) —плотностью рас-
распределения двумерной случайной величины (g, т|).
Плотность распределения р^ (х) случайной величины £ выражается через
совместную плотность р(х, у) следующим образом: pt(x)= V p (х, у) Ад.
— оо
Аналогично для плотности распределения случайной величины т] имеем
-foo
Pi,@)= ) Р(*> УNх-
— оо
В отличие от совместной плотности распределения р (*, у) одномерные
плотности /?£. (х) и рл (у) называют маргинальными.
Случайные величины g и г\ называются независимыми, если их совместная
функция распределения F (х, у) при любых значениях аргументов х, у равна
произведению маргинальных функций распределения F%(x) случайной величины
Е и /^ (у) случайной величины ц:
Пусть (g, ^ — непрерывная двумерная случайная величина с плотностью
распределения р (х, у). Тогда для независимости g и ц необходимо и доста-
достаточно, чтобы совместная плотность р (х, у) распадалась в произведение марги-
маргинальных плотностей /?£ (я) и рц(у):
Р{х9 У) =
Коэффициент корреляции
Величина М [(g — Щ) (т] — Мц)] называется ковариацией случайных вели-
величин g и т], cov (g, г]). Если (£, ri) —непрерывная двумерная случайная вели-
величина с плотностью распределения р (х, у), то
cov (g, г])== J J (д:—Mg) (у—Жц) р (х> y)dxdg.
— оо —оо
Величина r = cov(g, Tl)/]/DgDn называется коэффициентом корреляции
случайных величин g и т|.
Свойства коэффициента корреляции
1°. Модуль коэффициента корреляции не превосходит единицы, | г \ ^ 1
2е. Если g и ц независимые случайные величины, то г = 0,
46

Обратное неверно: из условия г=0 (некоррелированность случайных вели-
величин \ и г[) не следует независимость £ и г\.
$°. Если £ м rj связаны линейной зависимостью, то \ г | = 1.
Свойства математического ожидания и дисперсии
1°. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т. е.
Мс=с, с = const.
2°. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их
математических ожиданий, т. е, М(£ + т])=М|+Мг| (предполагается, что Щ
и Мд существуют).
3°. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин
равно произведению их математических ожиданий, т. е. М (|rj) = М| • Mr] (пред-
(предполагается, что Щ и РАц существуют).
4°. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е. Dc=0, с=const.
5°. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их
дисперсий, т. е. D (£+T)) = D£ + Dri (предполагается, что D| и D^ существуют).
2.8. Характеристические функции. Характеристической функцией q>{t)
случайной величины £ называется математическое ожидание случайной вели-
величины е'*\
ф (t) = Ме»^, t—вещественный параметр.
Для дискретной случайной величины и для непрерывной соответственно
-foo
2>'%*, <р@= $ e*'*p(*)d*.
k —со
Плотность распределения р (х) случайной величины g выражается через
характеристическую функцию ф (t) с помощью обратного преобразования Фурье
Свойства характеристических функций
1°. Характеристическая функция q>(t) случайной величины £ определена
для любого t е (— оо, -f оо), причем \ ф (/) | ^ 1, ф @) = 1.
2°. Яри изменении знака аргумента значение характеристической функции
изменяется на комплексно-сопряженное', ф(—/) = ф(/), —оо<с/<: + оо.
3°. Если случайные величины связаны соотношением £2 = &Si + &. то
@ ^(«)
|1
4°. Если % и %\—независимые случайные величины, то
5°. Если существует Nl£, то М£ = ф'@)/i; если существует D£, то DH =
/;(О) + ['(О)]2
Ф() + [Ф()]
6°. Соответствие между множеством функций распределения и множеством
характеристических функций, устанавливаемое формулой ф (/) = Met7£, является
взаимно однозначным (теорема единственности) и непрерывным (предельная
теорема Леей).
2.9. Законы распределения функций случайных аргументов. Рассмотрим
непрерывную случайную величину £ с плотностью распределения р^ (х) и дру-
другую случайную величину г\, связанную с ней функциональной зависимостью
Ч = Ф(!)' Функция распределения F^(y) случайной величины ц выражается
47

через плотность распределения р^(х) случайного аргумента
я
где А и (у) — интервалы, в которых выполняется неравенство Ф (#)<#• Сумми-
Суммирование в формуле (9) распространяется на все указанные интервалы. Границы
интервалов А^, (у) зависят от д и при заданном конкретном виде функции
г/ = ф(х) могут быть выражены кан явные функции у.
Плотность распределения рл (у) случайной величины г| (если она сущест-
существует) получается путем дифференцирования функции распределения:
В простейшем случае монотонной функции т] = ф (g) использование формул
(9) и A0) приводит к выражению
где г|? (у)—функция, обратная функции £ = ф()
Рассмотрим отдельно случай, когда функция распределения F^ (у) имеет
точки разрыва у^ у2) ..., уп со скачками ръ р2, ..., Рп- Это означает суще-
существование значений случайной величины ц (совпадающих с точками разрыва
У и У** •••> Уп)* которым соответствуют ненулевые вероятности ръ р2, ..., рп.
В данном случае плотность распределения вероятностей в точках уи у2, ..., уп
обращается в бесконечность.
Математическая идеализация указанного явления опирается на использо<
вание дельта-функции б (у), которая не является функцией в обычном пони-
понимании, а представляет собой так называемую обобщенную функцию. Будем
рассматривать 6 (у) как производную функции единичного скачка
В классическом анализе функция щ (у) не дифференцируема в точке # = 0,
однако в теории обобщенных функций это ограничение снимается; таким образом,
6(У) = Ч'(У). (ID
Представим функцию F^ (у) в виде
где /^(^ — непрерывная («сомкнутая») функция.
Согласно формулам A0) и A1) получаем
Пусть теперь (£lf g2). Di. ^—двумерные случайные величины, причем
ш-/1(Ь. Ы, m=frFi. Ы. A2)
где функции ft и f2 предполагаются непрерывно дифференцируемыми и ото-
отображение A2) —взаимно однозначным^ т. е. существуют функции фх и ф2,
такие, что £i = cpi(%, <П2). 5§=ф2(%. Пг). Тогда плотность распределения
Рх\(Уъ Уъ) двухмерной случайной величины (%, ц2) выразится через плотность
распределения р^ (xlt x2) случайной величины (gi, I2)'.

2.10. Числовые характеристики функций случайных величин. Пусть слу-
случайная величина т] = Ф(£) есть функция случайной величины g. Если требуется
определить лишь числовые характеристики случайной величины rj, нет необ-
необходимости находить ее закон распределения. Числовые характеристики выра-
выражаются через закон распределения случайного аргумента g. Так, если g имеет
плотность распределения р% (х), то математическое ожидание Mrj и дисперсия
Dr) равны соответственно
Мт]= $ Ф (*) Р£ (*) d*( Dr)== ^
2.11. Закон больших чисел. Под законом больших чисел понимают ряд
теорем, объединенных идеей устойчивости средних результатов при большом
числе испытаний.
Теорема Чебышева. Пусть случайные величины gt, g2, •••» £л» ••• попарно
независимы и D^=ecc, i = l, 2, ..., где с—некоторая постоянная, Тогда при
любом е >> О выполняется предельное соотношение
lim P<
>
Теорема Маркова. Пусть случайные величины glt g2, ..., gw> ... ддовлетво-
(п v
/.Ъ J-^0 при п->оо. Гог^а при любом 8>0 выполняется
1 = 1 /
предельное соотношение A3).
Теорема Бернулли. Пусть т—чцсло успехов в п независимых испытаниях,
р—вероятность успеха в каждом испытании. Тогда при любом г >> О
Доказательство этих теорем основано на неравенстве Чебышева
Р{|£ —Mgj^se}^ D£/82, справедливом при любом е > 0 для любой случай-
случайной величины g, имеющей конечное математическое ожидание М£ и конечную
дисперсию Dg.
2.12. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слу-
случайных слагаемых. Пусть gb g2, ..., gw, ... — независимые одинаково распреде-
распределенные случайные величины, имеющие математические ожидания Mgr- = a
и дисперсии D£; = g2. Тогда при п-*оо функция распределения нормированной
п
суммы цп = 2 (£*— a)Jo1\/rn сходится к функции распределения нормальной
i = i
случайной величины с параметрами @,1), т. е. при любом х
Отсюда получается приближенная формула
Р {*i < Чп < х2} я* Ф (х2) - Ф (jcj,
справедливая при достаточно больших п. Она выражает вероятность выполне-
выполнения неравенства х1<цп<.х2 через интеграл вероятности D) (см. табл. II
в приложении).
2.13. Точечные оценки параметров распределения. Выборкой называется
п-мерная случайная величина (Хи Х2, ..., Хп) с независимыми одинаково
распределенными компонентами Xj, i==l, 2t ... t п. Число п называется объе-
объемом выборки*
49

Любая функция h=h(X1, Х2, ... , Хп) выборочных значений называется
статистикой.
Пусть а — неизвестный параметр распределения случайной величины £
Статистика
а* = а*(Хь *2, "., Хп\ A4)
используемая в приближенном равенстве а&&а*, называется оценкой (точечной
оценкой) неизвестного параметра по выборке,
Классификация оценок
Желательно, чтобы оценка A4) не давала систематического завышения
или занижения результатов, т. е. чтобы Ma* (Xlt X2, ..., Хп) — а.
Оценка а*, обладающая указанным свойством, называется несмещенной.
В противном случае она называется смещенной.
Если при п -> оо оценка а* сходится по вероятности к истинному зна-
значению параметра ос:
то оценка а* называется состоятельной.
Состоятельность означает, что с ростом объема выборки качество оценки
улучшается.
Если оценки а? и а| удовлетворяют неравенству М (af — аJ < M(af — аJ,
то оценка af называется более эффективной, чем af. Если существует оценка
а* более эффективная, чем любая другая, то она называется эффективной.
Методы получения оценок
1. Метод моментов. Пусть £ — непрерывная случайная величина с плот-
костью распределения р (х, а), зависящей от одномерного неизвестного пара-
параметра а. Тогда математическое ожидание Щ является функцией а:
= ) хр(х,
—
— 1
Х
—оо
п
— 1 VI
Выборочное среднее Х=— У. Х% принимает значение, близкое к Щ. Это
i = \
позволяет записать уравнение для определения неизвестного параметра а:
\1г(а) = Х.
Метод моментов аналогичным образом применяется к дискретным случай-
случайным величинам.
2. Метод максимального правдоподобия. Пусть g — дискретная случайная
величина с распределением
P(l = Cii) = Pi(CL), t=l, 2,..., ft,
где fl^ — возможные значения случайной величины £; рь (а) — соответствующие
k
вероятности, зависящие от неизвестного параметра а, причем 'S] pt-(a)=l
при любом допустимом значении а. Множество значений а^ случайной вели-
величины | может быть не только конечным, но и счетным.
Если среди наблюдаемых выборочных значений (хь лг2, ... , хп) число аг
встречается щ раз (i = l, 2, ... , k), то для вероятности L \хи х2, ..., хп\ а)
получения данной выборки имеем выражение
L (хъ х2, ..., хп\ а) = р (а) рп^ (а)... р}ь (а). A5)
50

Функция A5) параметра а называется функцией правдоподобия, а вели-
величина а*, при которой функция L(xu х2, ..., хп; а) достигает максимума^ —
оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра а.
Для непрерывной случайной величины | с плотностью распределения
р(#, а), зависящей от неизвестного параметра а, метод максимального правдо-
правдоподобия остается в силе. Отличие состоит в том, что теперь функция правдо-
правдоподобия L (хи х2, ..., хп; а) =/?(*!, а) р (х2, а)...р(хп, а) выражается не
через вероятность получения данной выборки, а через плотность распределе-
распределения я-мерной случайной величины (Хи Хъ ..., Хау)у зависящую от пара-
параметра а. При этом а служит аргументом, значения хъ х2, ..., хПУ считаются
фиксированными.
2.14. Доверительные интервалы. Кроме точечных оценок используются таи
называемые доверительные интервалы: указывается не одна точка а* (Хь Х2, ...
..., Хп), а интервал (а, а), к которому с заданной вероятностью принадлежит
истинное значение параметра а,
Р(а<а<а) = &. A6)
Число с7\ 0 < с?5 < 1 называется доверительной вероятностью и характе-
характеризует надежность полученной оценки: чем ближе $> к единице, тем надежнее
оценка (обычно выбирают <^ = 0,9; 0,95 или 0,99).
Величины а и а называются доверительными границами. Они являются
функциями выборочных значений a = a(Xi, Х2у ..., Хп), а = а(Х*, Хь •••# Хп)
и, следовательно, являются случайными величинами.
Интервал (а, а) со случайными границами а= a(X"i, X2, ..., Хп)> а =
= a (Xi, X2,..., Хп), которые при любом допустимом значении а удовлетворяют
соотношению A6), называется доверительным интервалом для неизвестного па-
раметра а.
Примеры доверительных интервалов
1. Доверительный интервал для математического ожидания а нормальной
случайной величины при известной дисперсии а2 имеет вид
п
Здесь Я=-- 2, Хп величина и^ определяется по заданной доверительной
i = i
вероятности ^ с помощью табл. V (см. приложение).
2. Доверительный интервал для математического ожидания а нормальной
случайной величины при неизвестной дисперсии а2 имеет вид
где оценка а* вычисляется по формуле
1
1=1
а величина t^ определяется по заданной доверительной вероятности $* и объему
выборки п с помощью табл. VI (см. приложение).
3. Доверительный интервал для дисперсии а2 нормальной случайной вели-
величины имеет вид
чины имеет вид
(n--l)q*2
»
51

где п — объем выборки; а*—оценка величины а, определяемая формулой A7);
Хи) и xfaj — корни уравнений
%11
V
0
I — 9s
—f-t A8)
в которых подынтегральная функция рп_ч (х) представляет собой плотность
распределения хи-квадрат с п—1 степенями свободы.
Уравнения A8) при заданной доверительной вероятности $> решаются
с помощью табл. VII (см. приложение). При определении %fA) входами этой
таблицы служат v=n — 1 и а = -~^—, при определении %?2) — v = n—1; сс =
2 *
4. Пусть п — число независимых испытаний, т — число наступлений собы-
события А, р — вероятность наступления события А в каждом отдельном испыта-
испытании. Рассмотрим случай, когда п достаточно велико, а значение р не слишком
близко к нулю или к единице так, что можно воспользоваться асимптотикой
Муавра — Лапласа (см, п. 2.6). При этом доверительный интервал для р имеет
вид
т т-\-и^
n + uip <Р< п + и*, '
и«р определяется по заданной доверительной вероятности ffi с помощью табл. V
(см. приложение).
Рассмотрим отдельно случай т = 0. При этом нижняя доверительная гра-
граница равна нулю, верхняя 1—-/"l—о?5. Аналогично, при т = п нижняя и верх-
верх/
няя доверительные границы равны соответственно y/l— eT5 и единице.
2.15. Статистическая проверка гипотез. Случайная величина X, которая
служит для статистической проверки гипотезы, называется критерием. Иногда
термином критерий обозначают не только случайную величину X, но и все
правило проверки в целом. При этом X называют статистикой критерия.
Проверка гипотезы состоит в том, что если наблюдаемое значение крите-
критерия принадлежит некоторому определенному множеству 5, т. е. наступает
событие (XgS), то основная гипотеза Но отвергается.
Множество 5, такое, что при наступлении события {XeS} основная
гипотеза Но отвергается, называется критическим множеством (для гипо-
гипотезы Но).
Событие {X е 5}, состоящее в том, что основная гипотеза Но отвергается,
когда она является истинной, называется ошибкой первого рода. Событие
{Х €= S}, состоящее в том, что основная гипотеза Но не отвергается, когда
верна одна из альтернативных гипотез Н^, называется ошибкой второго рода„
Вероятности Pj и Ри ошибок первого и второго рода вычисляются в пред-
предположениях о справедливости различных гипотез —основной Но и альтернатив-
альтернативной Н^ соответственно:
PI = PH (Xe=S), Ри = РИ (XgS).
О А
Вероятность ошибки второго рода, а также вероятность
Рн (X<=S) = 1-PH (Хё5) A9)
А А
противоположного события связаны с конкретной альтернативной гипотезой Н>,
т, е. могут зависеть от некоторого параметра X.
Функция A9) параметра X, равная вероятности отвергнуть гипотезу Но,
если верна гипотеза НА, называется функцией мощности критерия,
52

Правило статистической проверки гипотезы
1. Задаются малым числом а > О, называемым уровнем значимости Крите*
рия\ обычно а=0,05; 0,01 или 0,001. Чем более опасными признаются ошибки
первого рода, тем меньшее значение а должно быть выбрано.
2. Определяют критическое множество S из условия выполнения неравен-
неравенства
Р1=рнв(^е5)^а- B0)
3. Условием B0) критическое множество определяется неоднозначно. Выби-
Выбирают ту из возможностей, которая обеспечивает минимум вероятности ошибки
второго рода, или, что то же самое, максимум мощности критерия.
4. Производят опыт и получают наблюдаемое значение критерия. Если
при этом наступает событие {X е 5}, то основная гипотеза Но отвергается.
В противном случае считается, что Но не противоречит опытным данным. Ре-
Результат проверки гипотезы выражается словами: гипотеза Но отвергается (не
отвергается) на уровне значимости а.
2,16. Критерий согласия %2. Критерии, которые служат для проверки
гипотезы о законе распределения случайной величины, называются критериями
согласия. Пусть основная гипотеза Но состоит в том, что функция распределе-
распределения случайной величины £ есть вполне определенная функция F (х).
Разобьем числовую ось на г промежутков (разрядов).
гдг ai < а2 < ... <ar_i. При справедливой гипотезе Но i-му разряду [а/_ь ai
соответствует вероятность
Pi = F{<4)-F(<4-d* f=l, 2, ..., г.
Из п выборочных значений {Xlt Х2, ..., Хп) случайной величины £ в i-й раз-
I г \
ряд [я;_1, Я;) попадает случайное число mi значений ^] /я; = п). Тогда отно-
V /
V /
шение mi/a представляет собой частоту попадания выборочных значений в 1-й
разряд. Близость частот т^п к вероятностям pt свидетельствует в пользу основ-
основной гипотезы Но, заметные различия отвергают гипотезу Но.
Случайная величина
характеризует согласованность гипотезы Но с опытными данными. Критерий %*
применяется в соответствии с общим правилом статистической проверки гипо*
тез. При этом наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле B1),
критическое множество выбирается в виде полубесконечного интервала
(Ха* +°°)> где величина %« находится с помощью табл. VII (см. приложение).
Входами таблицы служат величина v=r — 1 и уровень значимости а.
Если выполняется соотношение %2 > х^> т0 говорят, что гипотеза Но отвер-
отвергается на уровне значимости а. В противном случае она не противоречит опыт-
опытным данным.
Замечание 1. Число выборочных значений т^ I = lf 2,... т г в каждом
разряде должно быть не менее 5—10. Если это условие не выполняется, реко-
рекомендуется объединять разряды.
Замечание 2. Критерий согласия у? применим не только в случае,
когда гипотетическая функция распределения F (х) случайной величины £
полностью определена. Если она зависит от I неизвестных параметров, т. е.
имеет вид F (x; alf a2t ..., а/), и параметры аь а^, ...¥ щ оцениваются по
выборке методом максимального правдоподобия (см. п. 2.13), то критерий
согласия остается в силег только входом в табл. VII служит величина v =
= /-—/ — 1.
53

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. События. Правила действий над событиями.
2. Классическое, геометрическое и статистическое определения
вероятности. Аксиомы Колмогорова.
3. Теорема сложения вероятностей.
4. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.
Попарная независимость событий и независимость в совокупности.
5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
6. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.
7. Локальная теорема Муавра — Лапласа (без доказательства).
8. Формула Пуассона как асимптотическая для формулы Бер-
Бернулли.
9. Случайная величина. Функция распределения одномерной
случайной величины, ее свойства.
10. Дискретные и непрерывные случайные величины. Число-
Числовые характеристики.
11. Понятие многомерной случайной величины. Функция рас-
распределения и плотность распределения вероятностей двумерной
случайной величины. Свойства.
12. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
Коэффициент корреляции.
13. Свойства математического ожидания и дисперсии.
14. Характеристическая функция случайной величины. Свой-
Свойства.
15. Функциональное преобразование случайных величин.
16. Композиция законов распределения случайных величин.
17. Центральная предельная теорема для одинаково распре-
распределенных случайных слагаемых.
18. Закон больших чисел. Теоремы Чебышева, Маркова, Бер-
Бернулли.
19. Точечные оценки параметров распределения. Свойства оце-
оценок. Методы получения оценок.
20. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.
Примеры построения доверительных интервалов.
21. Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Привести примеры противоположных случайных событий.
2. Привести примеры несовместных (совместных) событий.
3. Привести примеры зависимых и независимых событий.
4. Доказать соотношения между событиями:
а) (А + Б)С==АС+ВС, б) АВ+С=(А + С)(В + С), в) 1
*=АБ, г) АВ = А + Б, д) если С = А-В и ВсЛ, то А=
5. Доказать неравенство Р (А + В) ^ Р (А) + Р (В).
6. Доказать, что функция распределения случайной величины
есть функция неубывающая.
54

7. Дано: т — число успехов в серии из п независимых испы-
испытаний, р — вероятность успеха в одном испытании, q=l—p и
l = (m — np)/]/rnpq. Определить М£, D£.
8. Каково соотношение между ошибками первого и второго
рода при статистической проверке гипотез?
9. Пусть ос1<ос2. Основная гипотеза Но отвергается на уров-
уровне значимости at(a2). Следует ли отсюда, что она будет отвергну-
отвергнута на уровне значимости а2 (oci)?
10. Показать, что выборочное среднее является несмещенной
и состоятельной оценкой математического ожидания.
11. Найти оценку максимального правдоподобия для вероят-
вероятности р наступления события в схеме независимых испытаний
Бернулли по известной частоте наступления этого события. Будет
ли эта оценка несмещенной и состоятельной?
12. В серии из п опытов событие А наступило т раз. Найти
доверительный интервал для вероятности наступления события Л,
соответствующий доверительной вероятности $Р.
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
(Исходные данные к задачам см. в конце главы)
Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить
вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N',
б) произведение числа очков не превосходит N; в) произведение числа
очков делится на N. (См. п. 2.1 и исходные данные.)
Задача 2. Имеются изделия четырех сортов, причем число
изделий t-ro сорта равно nit i = l, 2, 3, 4. Для контроля науда-
наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди
них тх первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого
сорта соответственно B m/ = m]. (См. п. 2.1; 2.2 и исходные
данные.)
Задача 3. Среди п лотерейных билетов k выигрышных.
Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что
среди них / выигрышных. (См. п. 2.1; 2.2 и исходные данные.)
Задача 4. В лифтй-этажногодома сели п пассажиров (n<ck).
Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью
может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить
вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по
крайней мере, двое сошли на одном этаже. (См. п. 2.1, 2.2 и
исходные данные.)
Задача 5. В отрезке единичной длины наудачу появляется
точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до
концов отрезка превосходит величину l/k. (См. п. 2.3 и исход-
исходные данные.)
Задача 6. Моменты начала двух событий наудачу распреде-
распределены в промежутке времени от Тх до Г2. Одно из событий длится
55

10 мин., другое — t мин. Определить вероятность того, что:
а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
(См. п. 2.3 и исходные данные.)
Задача 7. В круге радиуса jR наудачу появляется точка.
Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух
непересекающихся фигур, площади которых равны Si и S2. (См.
п. 2.3 и исходные данные.)
Задача 8. В двух партиях k\ и k2% доброкачественных
изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию
из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доб-
доброкачественное и одно бракованное? (См. п. 2.4 и исходные дан-
данные.)
Задача 9. Вероятность того, что цель поражена при одном
выстреле первым стрелком рь вторым — р2. Первый сделал пъ
второй — п2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель
не поражена. (См. п. 2.4 и исходные данные.)
Задача 10. Два игрока А и В поочередно бросают монету.
Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый
бросок делает игрок Л, второй — В, третий — А и т. д.
1. Найти вероятность указанного ниже события.
Варианты 1—8. Выиграл А до &-го броска.
Варианты 9—15. Выиграл А не позднее &-го броска.
Варианты 16—23. Выиграл В до &-го броска.
Варианты 24—31. Выиграл В не позднее &-го броска.
2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при
сколь угодно длительной игре? (См. п. 2.4 и исходные данные.)
Задача 11. Урна содержит М занумерованных шаров с но-
номерами от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения.
Рассматриваются следующие события:
А — номера шаров в порядке поступления образуют последо-
последовательность 1, 2, ... М;
В — хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый
номер извлечения;
С — нет ни одного совпадения номера шара и порядковое
номера извлечения.
Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные
значения вероятностей при AI-^-oo (См. п. 2.4 и исходные дан-
данные.)
Задача 12. Из 1000 ламп щ принадлежат i-й партии
з
1 = 1, 2, 3, 2 я» =1000. В первой партии 6%, во второй 5%, i
третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа
Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная
(См. п. 2.5 и исходные данные.)
Задача 13. В первой урне Nx белых и Мг черных шаров
во второй N2 белых и М2 черных. Из первой во вторую перело
жено К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Опре
56

делить вероятность того, что выбранный из второй урны шар —
белый. (См. п. 2.5 и исходные данные.)
Задача 14. В альбоме k чистых и / гашеных марок. Из них
наудачу извлекаются т марок (среди которых могут быть и чис-
чистые и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в
альбом. После этого вновь наудачу извлекается п марок. Опре-
Определить вероятность того, что все п марок чистые. (См. п. 2.5 и
исходные данные.)
Задача 15. В магазин поступают однотипные изделия с трех
заводов, причем i-й завод поставляет ть% изделий (i=l, 2, 3).
Среди изделий i'-го завода я,-% первосортных. Куплено одно из-
изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того,
что купленное изделие выпущено /-м заводом. (См. п. 2.5 и
исходные данные.)
Задача 16. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпа-
выпадает п раз. Определить вероятность того, что цифра выпадает
т раз. (См. п. 2.6 и исходные данные.)
Задача 17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет
равна р. Куплено п билетов. Найти наивероятнейшее число
выигравших билетов и соответствующую вероятность. (См. п. 2.6
и исходные данные.)
Задача 18. На каждый лотерейный билет с вероятностью рг
может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2 — мелкий
выигрыш и с вероятностью ps билет может оказаться без выиг-
з
рыша, 2 pi=l. Куплено п билетов. Определить вероятность по-
получения пг крупных выигрышей и п2 мелких. (См. п. 2.6 и ис-
исходные данные.)
Задача 19. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции
при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить
вероятность т «сбоев» (См. п. 2.6 и исходные данные.)
Задача 20. Вероятность наступления некоторого события в
каждом из п независимых испытаний равна р. Определить вероят-
вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет
следующему неравенству.
Варианты 1—11: k1^m^k2o
Варианты 12—21: kx^tn.
Варианты 22—31: т^k2.
(См. п. 2.6 и исходные данные.)
Задача 21. Дана плотность распределения р(х) случайной
величины £. Найти параметр у, математическое ожидание Mi,,
дисперсию Z)g, функцию распределения случайной величины |,
вероятность выполнения неравенства #i<£<#2- (См. п. 2.7 и
исходные данные).
Варианты 1—8: р(х) = 1 Т^' ХЕБ\а> ЬЪ
[ 0, хШ[а, Ь].
67

Варианты 9-16: Р(*> = | 0, хЩ?, Ч.
[a, b],
Варианты 17—24: />(*) = { ^ —r ^
a, ^e[-2"-» ~T~y
Варианты 25—31: p(x) = { гб—л
I 0, xe
Задача 22. Плотность распределения вероятностей случай-
случайной величины | имеет вид р(л;) = уеа*2 + Ьл;+с. Найти: у, матема-
математическое ожидание Mg, дисперсию D£, функцию распределения
случайной величины g, вероятность выполнения неравенства хх<.
<1<х2. (См. п. 2.7 и исходные данные.)
Задача 23. По данному закону распределения случайной
величины найти характеристическую функцию ф(£), математичес-
математическое ожидание Mg, дисперсию D£ случайной величины £. (См. п. 2.7;
2.8 и исходные данные.)
Варианты 1 — 10. Биномиальный закон:
Варианты 11—20. Закон Паскаля:
^. а>0, ft = 0tlt2f...
Варианты 21—31. Закон Пуассона:
P(g = fe) = ^e-«, a>0, fe = 0t 1,2...
Задача 24. Зная закон распределения случайной величины £,
найти характеристическую функцию ср(/) и в вариантах 1—20
математическое ожидание М^ и дисперсию D£ случайной величи-
величины g. (См. п. 2.7; 2.8 и исходные данные.)
Варианты 1—10. Случайная величина g распределена рав-
равномерно на отрезке [а, Ь].
Варианты 11—20. Случайная величина g имеет плотность
распределения
p{x)z=)r(b) (a>0fb>0).
10, 0
Варианты 21—31. Случайная величина g распределена по
нормальному закону с параметрами М£ = а и Dg = 6.
Задача 25. Дана плотность распределения р%(х) случайной
величины g. Найти плотность распределения рц(у), математи-
математическое ожидание Мт| и дисперсию Drj случайной величины -q,
которая представляет собой площадь одной из указанных ниже
геометрических фигур.
58

Варианты 1—15:
> — а), х<=[а, Ь],
хШ[а, &];
в вариантах 1—5 т] —площадь равностороннего треугольника со
стороной g, в вариантах 6—10 tj — площадь круга радиуса g,
в вариантах 11—15 г] —площадь квадрата со стороной g.
Варианты 16—31:
0, хШ[а, &];
в вариантах 16—20 т| — площадь равностороннего треугольника
со стороной |, в вариантах 21—25 т) — площадь круга радиуса g,
в вариантах 26—31 т) — площадь квадрата со стороной g.
(См. п. 2.9; 2.10 и исходные данные.)
Задача 26. Случайная величина g имеет плотность распре-
распределения р%(х), указанную в задаче 25. Другая случайная вели-
величина ц связана g g функциональной зависимостью r\ = 2gm + 1.
Определить математическое ожидание Мц и дисперсию Вц слу-
случайной величины г]. (См. п. 2.10 и исходные данные.)
Задача 27. Случайная величина g имеет плотность распре-
распределения вероятностей р%(х). Найти плотность распределения ве-
вероятностей рг\(у) случайной величины r} = (p(g). (См. п. 2.9 и
исходные данные.)
Задача 28. По заданной плотности распределения рх (х) слу-
случайной величины gx определить функцию распределения случай-
случайной величины £a = 4>(gi). Функция £2 = <p(gi) задана графически.
Построить график функции распределения и, используя дельта-
функцию, найти выражение для плотности распределения р2 (у)
случайной величины g2#
Варианты 1—6:
1/2, я e[-lf 1],
Варианты 7—15:
Варианты 24—31: рх (х)=
Варианты 16—23: рг(х) = ~-е-'*1.
(См. п. 2.9 и исходные данные.)
Задача 29. По заданной плотности распределения р%(хъ х2)
двумерной случайной величины (£i, |2) найти плотность распре-
распределения /?T](*/i, у2) двумерной случайной величины (t|i, t]2), свя-
связанной взаимно однозначно с (£ь 12) указанными ниже соотно-
соотношениями.
69

Варианты 1—15:
Варианты 16—31:
vab
(См. п. 2.9 и исходные данные.)
Задача 30. Двумерная случайная величина (|, rj) имеет
равномерное распределение вероятностей в треугольной области
ABC, т. е.
( 1/S, если (jc, j/) g ЛВС,
. У) = | Of если (JC> у)
где S —площадь /\АВС. Определить маргинальные плотности
распределения р%{х) и Рг\{у) случайных величин | и т], матема-
математические ожидания М|, Мг|, дисперсии D^, Dr], коэффициент кор-
корреляции г. Являются ли случайные величины £ и т) независи-
независимыми? (См. п. 2.1.9; в исходных данных указаны декартовы
координаты вершин Д ЛВС).
Задача 31. Используя неравенство Чебышева, оценить ве-
вероятность того, что случайная величина | отклонится от своего
математического ожидания М£ менее чем на No, где a = ]/rD£ —
среднее квадратическое отклонение случайной величины g; N —
номер варианта. (См. п. 2.11.)
Задача 32. Случайная величина & с одинаковой вероят-
вероятностью может принимать одно из двух значений: ia или — ia.
Выяснить, удовлетворяет ли последовательность £ь |2> •••» £*»•••
попарно независимых случайных величин закону больших чисел
lim P
= 1, в>0.
Решить задачу для двух значений параметра а: ах и 0%. (См.
п. 2.11 и исходные данные.)
Задача 33. На отрезке [0, а] случайным образом выбраны
п чисел, точнее, рассматриваются п независимых случайных ве-
величин £i, £2» •••, In, равномерно распределенных на отрезке
[О, а]. Найти вероятность того, что их сумма заключена между xt
и л;2, т. е. Pu1<2 £;<*2Г. (См. п. 2.12 и исходные данные.)
60

Задача 34. Известно, что случайная величина £ имеет рас-
распределение Пуассона Р(Е> = т) = ~е-а, неизвестным является па-
параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных
оценок, найти по реализации выборки (хъ х2, ..., х8) значение
оценки а* неизвестного параметра а.
Варианты 1—15. Метод моментов.
Варианты 16—31. Метод максимального правдоподобия.
(См. п. 2.13 и исходные данные.)
Задача 35. Известно, что случайная величина £ имеет бино-
биномиальное распределение Р (£ = т) = С™рт A — р)п-т> неизвестным
является параметр р. Используя указанный ниже метод получе-
получения точечных оценок, найти по реализации выборки (хь х2, ...
..., х8) значение оценки р* неизвестного параметра р.
Варианты 1—15. Метод максимального правдоподобия.
Варианты 16—31. Метод моментов.
(См. п. 2.13 и исходные данные.)
Задача 36. Случайная величина I имеет нормальное рас-
распределение с неизвестным математическим ожиданием а и извест-
известной дисперсией а2. По выборке (#i, х2, ..., хп) объема п вычис-
п
лено выборочное среднее — У лг,= а*. Определить доверительный
t=i
интервал для неизвестного параметра распределения а, отвечаю-
отвечающий заданной доверительной вероятности &>. (См. п. 2.14 и исход-
исходные данные.)
Задача 37. Случайная величина | имеет нормальное распре-
распределение с неизвестными математическим ожиданием а и диспер-
дисперсией о2. По выборке (хи х2> ..., хп) объема п вычислены оценки
—±
B2)
неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для ма-
математического ожидания а, отвечающий доверительной вероятно-
вероятности £Р. (См. п. 2.14 и исходные данные.)
Задача 38. В результате п опытов получена несмещенная
оценка B2) для дисперсии нормальной случайной величины. Найти
доверительный интервал для дисперсии при доверительной веро-
вероятности е?\ (См. п. 2.16 и исходные данные.)
Задача 39. В серии из п выстрелов по мишени наблюдалось
т попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности р
попадания в мишень при доверительной вероятности е^ = 0,95.
(См. п. 2.16 и исходные данные.)
Задача 40. В серии из п опытов событие А не наступило
ни разу. Определить число опытов я, при котором верхняя дове-
61

рительная граница для вероятности Р (А) равна заданному числу
pi. Доверительную вероятность принять равной 0,95. (См. п. 2.16
и исходные данные.)
Задача 41. Для контроля взяты 200 узлов, собранных на
ученическом конвейере. Число узлов mh при сборке которых
пропущено i операций, сведено в таблицу:
i
till
0
41
1
62
2
45
3
22
4
16
5
8
6
4
7
2
Всего 200
Согласуются ли полученные результаты с распределением Пу-
Пуассона (Р (§ = i) = ур е"*, где g — случайное число пропущенных
операций] по критерию ^2 при уровне значимости а? Решить за-
задачу для заданного значения параметра а и для случая, когда
параметр а оценивается по выборке. (См. п. 2.15; 2.16 и исход-
исходные данные.)
Исходные данные к расчетным заданиям
(В первой горизонтальной строке указаны номера задач,
в левом столбце—номера вариантов)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
1
N
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
п.
1
2
2
1
4
3
5
2
4
3
2
1
2
1
2
3
4
3
2
3
2
4
2
3
2
1
п.
2
2
3
4
2
2
1
5
2
3
3
3
3
2
3
2
3
3
4
4
5
4
7
1
2
3
3
4
4
2
2
3
2
2
3
4
3
4
4
3
4
2
2
4
5
3
2
2
2
6
2
3
4
2
1
3
2
2
2
1
2
1
3
3
2
5
2
4
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
2
пн
1
1
1
1
3
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
т2
1
1
2
2
1
1
1
3
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
3
2
5
1
1
3
2
1
3
1
2
3
1
1
2
2
3
2
3
2
2
1
2
2
3
3
1
2
2
3
1
1
3
2
1
2
;
г
г
>
1
2
J
а
я
10
10
10
10
11
11
11
12
12
12
9
9
9
8
8
8
10
10
10
12
8
8
8
8
8
9
2
2
3
3
2
3
3
3
2
2
2
3
2
2
2
3
4
5
4
4
2
2
2
3
1
2
т
4
3
5
5
5
4
5
8
8
5
4
5
3
4
5
4
6
7
6
8
3
3
4
5
4
3
/г
6
6
7
6
7
8
7
5
3
4
6
6
7
5
4
5
5
7
7
6
4
5
3
4
2
5
4
/г
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13
12
11
10
9
8
7
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12
п
4
4
5
5
6
4
4
3
3
4
3
3
4
4
3
3
4
4
5
5
6
4
4
3
3
3
5
к
4
5
6
5
6
7
6
7
8
7
8
5
6
7
g
9
8
7
6
5
4
4
5
6
7
8
62

27
28
29
30
31
l
N
3
4
5
6
8
2
nt
1
2
3
3
2
4
3
1
2
3
n3
2
1
2
3
1
«4
2
3
3
1
3
0
1
0
2
2
m2
2
2
1
2
1
m3
1
0
1
2
0
m4
1
1
2
0
2
n
9
9
9
9
9
3
2
4
3
2
Продолже
3
m
4
6
5
5
3
k
4
3
5
4
6
4
11
10
9
8
7
3
4
4
3
3
л ие
5
k
9
10
9
8
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
6
тГ
900
900
1000
1000
1100
1100
900
900
1000
1000
1100
1100
1200
1200
1200
1300
1800
1800
1700
1700
1900
1900
1700
1700
1600
1600
1700
1700
1600
1600
1600
tV
1000
1100
1100
1200
1200
1300
930
ИЗО
1030
ИЗО
изо
1230
1300
1230
1330
1400
1900
2000
1800
1900
2000
2100
1730
1830
1630
1730
1730
1830
1700
1630
1730
t
10
20
10
20
15
15
10
20
15
15
5
5
5
10
5
10
10
20
10
20
15
15
10
20
15
15
5
5
5
10
5
7
R
11
12
13
14
11
12
13
14
11
12
13
14
15
16
11
12
13
14
15
16
11
12
13
14
15
11
12
13
14
15
12
St
2,25
2,37
2,49
2,55
2,27
2,39
2,51
2,57
2,29
2,41
2,53
2,59
2,5
2,6
2,2
2,4
2,5
2,6
2,7
2,7
2,3
2,4
2,5
2,6
2,5
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,25
s2
3,52
3,52
3,52
1,57
5,57
5,57
1,57
3,52
3,52
3,52
3,52
5,57
8,7
8,5
3,5
3,5
3,5
1,8
7,9
8,2
3,5
3,5
3,5
5,6
8,7
5,6
5,6
3,5
5,6
7,9
3,52
71
78
87
72
79
86
73
81
85
74
82
84
75
83
76
77
47
39
31
72
38
32
73
81
33
44
36
84
75
83
76
8
ki
47
39
31
46
38
32
45
37
33
44
36
34
43
35
42
41
71
78
87
46
79
86
45
37
85
74
82
34
43
35
42
Продол же
9
Pi
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,39
0,38
0,37
0,36
0,35
0,34
0,33
0,32
0,31
0,29
0,28
0,27
0,26
0,25
Pt
0,55
0,54
0,53
0,52
0,51
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,44
0,43
0,42
0,41
0,39
0,38
0,37
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
nt
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
н ие
10
k
4
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
12
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
11
*) Здесь две последние цифры означают минутш.
63

Ni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
ii
м
12
8
5
11
7
10
б
9
3
8
5
10
б
9
4
7
5
11
9
6
12
8
10
7
3
б
9
4
7
5
8
12
nt
100
430
170
520
360
700
240
80
630
500
810
450
270
380
640
160
590
620
730
540
90
220
290
350
470
680
710
180
260
650
230
250
180
540
390
600
90
610
710
230
320
70
280
640
470
80
570
200
190
100
200
690
550
700
440
360
230
160
270
620
140
480
13
Nt
4
7
2
8
6
3
5
13
1
3
4
2
2
2
6
5
25
20
20
50
40
25
20
25
10
20
25
40
40
25
20
1
3
3
2
4
2
5
12
9
7
6
3
2
8
4
5
3
1
4
8
8
2
1
2
3
1
3
5
8
3
1
AT.
2
5
5
3
1
4
4
4
3
5
7
7
3
3
3
4
25
40
25
20
10
20
40
25
50
20
25
50
20
40
50
ль
5
1
4
2
7
4
10
6
3
2
8
1
1
1
3
3
2
7
5
6
2
4
5
6
11
4
7
8
4
2
6
К
3
4
1
5
2
2
6
10
4
3
5
2
1
6
4
3
19
15
7
42
35
12
15
15
7
15
17
12
27
14
11
14
к
8
7
б
12
13
11
12
9
10
11
13
8
12
9
6
14
11
7
15
8
12
14
6
13
9
11
7
12
8
6
10
г
10
б
8
5
11
8
7
6
7
7
8
7
10
6
8
13
10
5
9
10
5
11
7
9
6
10
8
11
3
6
8
т
3
2
3
3
2
2
2
2
4
4
5
3
4
1
3
3
4
2
4
3
2
3
2
4
3
2
4
5
2
1
3
п
2
3
1
2
4
5
4
3
1
4
2
3
2
3
2
3
5
2
3
3
2
5
2
4
3
5
3
4
2
2
3
]
Продолжен
ие
15
mt
50
50
50
60
60
60
40
40
40
40
40
40
70
70
70
60
60
60
50
50
50
30
30
30
20
20
20
10
10
10
20
т%
30
30
30
20
20
20
30
30
30
20
20
20
20
20
20
10
10
10
20
20
20
30
30
30
40
40
40
50
50
50
30
20
20
20
20
20
20
30
30
30
40
40
40
10
10
10
30
30
30
30
30
30
40
40
40
40
40
40
40
40
40
50
Tit
70
70
70
70
70
70
80
80
80
90
90
90
70
70
70
80
80
80
90
90
90
70
70
70
90
90
90
70
70
70
70
ni
80
80
80
80
80
80
80
80
80
90
90
90
80
80
80
90
90
90
80
80
80
70
70
70
70
70
70
90
90
90
70
90
90
90
90
90
90
90
90
90
80
80
80
90
90
90
80
80
80
90
90
90
80
80
80
80
80
80
80
80
80
90
/
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
I
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
l
n
3
7
4
4
3
6
3
8
6
4
2
5
8
2
2
4
7
5
4
8
6
5
3
6
5
7
5
6
7
8
7
6
tn
2
3
7
3
6
r>
5
3
4
5
7
4
6
6
3
2
6
3
6
5
3
2
7
8
6
4
7
2
5
4
2
n
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,5
0,4
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,3
n
10
14
13
12
11
15
11
13
14
10
12
15
12
12
11
13
14
15
13
11
12
10
15
14
14
10
15
11
12
13
13
18
n
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
rii.
I
2
2
1
3
2
3
1
2
1
3
3
3
3
1
1
2
2
3
2
3
2
3
5
4
4
2
i
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
3
2
1
1
3
3
4
2
4
3
3
4
3
4
4
4
3
2
2
1
2
2
0,1
0,15
0,15
0,1
0,2
0,15
0,2
0,13
0,14
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,09
0,1
0,11
0,12
0,15
0,2
0,3
0,1
0,2
0,25
0,21
0,1
0,25
0,1
0,05
0,1
0,05
Pi
0,2
0,15
0,15
0,15
0,25
0,2
0,15
0,17
0,16
0,24
0,23
0,12
0,11
0,26
0,21
0,21
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,25
0,35
0,39
0,3
0,35
0,15
0,15
0,1
0,05
Продол»
:ение
19
m
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
n
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
200
300
200
500
300
700
400
900
500
1000
500
600
400
500
600
1000
1000
1000
1000
1000
1000
p
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0,011
0,01
0,01
0,02
0,01
0,02
0,01
0,02
0,01
0,02
0,011
0,004
0,005
0,01
0,01
0,01
0,007
0,008
0,jC09
0,01
0,011
0,012
65

Продолжение
»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
20
п
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
300
400
400
400
р
0,8
0,8
0,8
0,7
0,7
0,7
0,7
0,6
0,75
0,75
0,75
0,7
0,7
0,7
0,6
0,6
0,6
0,8
0,8
0,8
0,8
0,3
0,3
0,3
0,4
0,4
0,4
0,8
0,6
0,7
0,8
80
85
70
83
50
65
70
40
65
70
68
60
70
80
65
75
50
70
80
90
95
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
ft,
90
95
95
93
60
75
80
50
80
85
78
—
—
—
—
—
20
30
40
80
90
100
250
270
290
300
а
2,5
1,5
1,5
1
—1
—2
—3
-1,5
1
1
2
2
1
1
2
2
—4
—3
2
1
1
-1
—1,5
-1,5
0,5
0,2
0,5
0,4
1/4
0,02
0,05
21
Ь
4
3
2,5
3,5
2
1
5
2,5
1,8
2,4
3,5
2,8
2,8
2,6
3
4,8
2
— 1
4
3
1,5
1,5
— 1
1
1
2
3
4
1
2
4
хх
3
2
2
2
—0,7
—1,5
—2
-1
1,3
1,5
2,5
2,1
— 1
1,5
1
4,5
— 1
—2
0
0
0
0
-1
— 1
0
0
0
1
0
0
0
3,3
2,6
2,3
2,8
1,1
0,3
2
0
1,6
2
3
2,5
3
3
3
5
0
0
3
2
0,5
1
9
1
3
4
0,5
5
3
3
10
22
а
—2
—2
—2
—4
—3
—4
—3
-3
—2
—3
—2
—2
-2
—4
—3
-4
—3
—3
-2
—3
—2
-4
—2
4
—3
—3
—3
—3
2
—2
— 1
ь
8
4/3
—8
6
.3
—6
—3
4
-4/3
4
8
4/3
-8
6
3
—6
-3
4
-4/3
4
8
6
—8
—6
3
4
—3
4
-4/3
4/3
2
с
2
—2/3
2
2
—2
—2
2
2
2/3
—2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—1
1
1
-1
—1
1
1
-1
1/3
-1/3
3
хг
1
1/3
—3/2
0
1/2
-3/4
-1/2
1/3
-1/3
-1/3
1
1/3
—3/2
0
1/2
-3/4
-1/2
1/3
-1/3
-1/3
1
0
-3/2
—3/4
1/2
1/3
-1/2
-1/3
-1/3
1/3
-1/3
3
2/3
— 1
3/4
3/2
1/4
3/2
4/3
2/3
5/3
3
2/3
j
3/4
3/2
1/4
3/2
4/3
2/3
5/3
3
3/4
1
1/4
3/2
4/3
3/2
5/3
2/3
2/3
4/3
66

Продолжение
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
23
п
5
14
6
9
7
3
8
10
4
12
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
р
0,37
0,28
0,53
0,46
0,18
0,67
0,32
0,87
0,25
0,41
—
—
—
-
-
—
—
—
—
—
—
—
а
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,68
0,35
0,21
0,89
0,72
0,43
0,17
0,95
0,38
0,63
0,026
0,38
0,033
0,218
0,65
0,816
0,74
0,015
0,671
0,324
0,57
24
а
—3
2
у
—4
—1
-5
—2
—6
4
1
2,7
3,8
4,5
2,0
6,1
1,8
5,7
2.9
1,1
4,3
3,7
4,5
2,8
5,0
4,7
6,4
6,1
5,3
7,2
3,9
2,7
b
5
4
—2
3
6
1
3
—2
7
8
6
13
8
5
9
4
11
7
3
10
1,1
2,0
1,3
3,5
1,9
2,8
1,7
1,4
4,1
1,2
1,5
25, 26
а
0
1
2
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
2
3
0
1
2
3
4
0
1
3
2
3
3
0
1
2
3
4
6
2
2
3
4
5
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
2
3
4
5
6
2
2
4
4
5
4
2
3
4
5
6
m
4
3
2
5
4
3
2
3
4
2
5
4
3
5
4
4
3
2
4
3
4
5
6
5
4
3
4
5
4
3
2
67

Продолжение
Исходные данные к задаче 27
№
27.1
27.3
27.5
27.7
27.9
i
л
0, х
— COS2 X,
л
о,
Ру. (X)
1
-К
е
/to
1
я. сЬх
п\
9 2 )'
л \
» "о" 1
л я \
^ * 2 /?
л л \
2"* У/
П =
ti —
,«>
III
II
,.,
27.2
27.4
27.6
27.8
27.10
су
[ — COS2*,
1
л' Л
0, х
V
-(-
1
nch*
1
1A+)
-1
( — С
я я\
2 э Ууэ
я я \
У /
я\
•т>
Л = Ф (|)
Л —е S
! 9

5:
к
CD
4
О
о
Си
а
©•
II
"Z.
©•
||
ST
т
•-—
СМ Й
см
1 1
Ш |Ш
8 о
CN р?
а
27.
+
см
О
27.
\
\
р"
Й
(N й
см
й
с^ е|см
IT "
ш
—ч
со
R
00
см
Й jcs
ш
1
„—
2
27.
0)
1
ю
'"I
Й
^—
—v.
Й
СМ
!Ш
о
Й
||_
о
й
00
27.
со
"f"
СМ
II
+
1_
i
^_
о
27.
со
"Ь
JJJ)
II
СМ
R
1
1
.
см
й |см й 1см
Ш | Ш
S3
27.
00
"f"
СМ
II
s-—'
см к |см
сч й
см
1 I
Ъ о
см
v.-,,. —/
^1
см
69

ас
ч
о
о
о.
С
©■
К
р
8-
II
р
—
1
1 <и
—'
см
О1
Й
00
'о
е
а
Й
1
К |<N К
« 1см е
—>
см
1
с*
§ о
со
Й
I
|
+
Й
4
|[
43
О
й'
1
^—
см К |см
>1Г 1Ш
* „
й
й
||
1 ^
—
см
О
со
й
ю
II
ъ|«
1
см
Й
л
1
% о
со
Й
70

Пр одолжение
Исходные данные к задаче 28. График функции g2 = ф (gx).
28.1.
28.2.
28.3.
Ж 4.
-1
2U.
28.9.
м
28.12.
28.13.
28,15.
71

Продолжение
28.16.
28.17.
V
28.18.
-г о
-z
28. W.
28.20.
-1/3 0
28.21.
О 1
-1
-1 0
5*\ 5,
28.27.
-/
4
0
1?
1
-/ 0
28.30.
sO ~2
■i
Si
28.31
72

^JOOtOCOJ'— СП
ел со со со —* -j ■— to --J to
— CO--J —
tocDCnco
— 4^ --J — -vJCO>- CO — 4^
СЛ СЛ 4^ — CO CO --J СЛ СО С©
CO Ю Ю tO СЛ
Сос^сю
^JtOOOCcCDCOCO
CO tO --J tO —' O) CO Oi O
OOi
i О
JOiJtC
--J—- OO СЯ OO OO
О CO >-
co^co
£f.
_ -sj — соосл^слсяа
»оооооооосл
— — tO tO tO tO ►— '— — —
cocococococococococo
CO^tOCC^OitOC^O
о
За
о
I м 1
1 м m
-сосососо —•—— — с
мм
ооо *-*-*-►-<
? со со — — — — с
5 О ООО
М М I I II I II I
_ *— _>tO—СО—*— — — ~ ООООСОСОСОСО — >—"— .—СОСОСОСО—'•—•—•—
\ П П П Гм
---оооою- со —со — со —госососо —
П I
— сососого*— — — —
— — — со — со*- — — — — с
I II II II I II II I ММ
II I II I II
; ■ _ 'i^-о 4^ со со —
со to ■— <—* ^
Oi о to о со со ел с
СОООС004>ООСОС
to — — —
2COCOtOOtOC04^COOCOC
CO — ►— •— •—
ЮСО^СЮ
CO tO »—'i—'i—'
^оооелес

gcOOO^O>W4*WW~OCOOO^OC^CON>~
EOtOtOtO'—'>—'•—1|—'tOtOtOEO'—' — —' >—' tO tO tO CO
"ел "ел "ел "ел Ъо "оо Ъо "оо "ел "ел "ел "ел "оо Ъо "оо Ъо "ел "ел "ел "ел
4^000 — 4^000 — 4^000 — 4^0500 — 4^000 —
ОООООООООООООООООООО
СОООСОСОООСОСОСОООСОСОСОСОСОСОООСОСОСООО
00 СП 00 О' 00 СЛ 00 СП 00 О»
to to — — — toto — — to — — — — *—*—.—
•—■j оо ►—* 4^-p—' *—* --4 со to o> со ел со to *~vj to со о> ел 4^»
to — ел — — со— ел —4s- —to — 4*>
Cn^CO O4^OrOO»00O4^00OOtO0i СЛ О 00^— СЛ
"ел "to ел
оооооооооооооооооооо
"СОСОСОООООСОСОООСОСОСОООСОООСОСОСОООСОСО
ОООО ООО 00 О5 O5Oi00 0COO
4^- Со со Со со со со со со со Со со со Со со со со со со со
ОС000~^О)СЛ4^С0Ю'— ОООООООООО
оооооооооооооооооооосооо^оел^сою —о
оооооооооооооооооооо
оооооооооооооооооооо
1— COOO^JOO»4^COtO —
ОООООООООООООООООООО^^^^^—1—1-^-^-J
СОСО^ОСЛ4^СОСО— ОСООО^О>СЛ4^СОЮ — О
оооооооооооооооооооо
о о о о о —"о"о"о о То о"о"о о"о ооо о
со о — to'— о to — ел — оюоел — о — о
ел to to ел ел to
*
ч
a
Q
ч
3
3
о
•
8
ш
о
— ©<0
— ©<000J001rfbCOtO —
— О
ЮСО — COCO'— 4vCO —
'— СО '— 0^0"i4^.Cn0000
-^ tO — J4^ —
^ооел14со^
— ёлСОС»СО —
гоелоелсоо5
tOOOiCO
Ссеа
aicoairfxi^ —
— CDCO — СЛ^
ь— OO '— tO*— OOCOtOOCOtO-— CDCoCnCOtO — CO^^CO
слелсоспспел^ою — ^^oocDoooitotoi— со ■— ^—
— OOtOtO — OOCO"— -^00 — ^— cJicoCntOCOtOtOCO —
ОКЭ00ЧСОЧС0СОСООH0Сяи100С0ЧСлаСЛ
coCntOC
Сяи100С
— — OJ
COtOOlOO^ — OCOOtOtO- C04^tO
tototo —— — — totoroto —— — — totototo ——
i— со ел со — со ел со '— со ел со — со ел со ■— сослео —
O> O> O O> O> СЭ O> O CO CO O O O CO CO O O CO O O
ел
> <O
со ел со — со ел со ■— сосл
CO O> O> O> CO CO w O> O> CO
cococococococococococococococococococococo
4^eл^^co4^eлt04etoc4ctoceлtoc4cпto

Продолжение
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
а*
1,7
1,7
1,7
1,7
2,1
2,1
2,1
2,1
1,7
1,7
Ь7
37
аг*
0,8
0,8
0,8
0,8
0,5
0,5
0,5
0,5
0,8
0,8
0,8
п
31
28
26
24
31
28
26
24
31
28
26
р
0,95
0,98
0,8
0,9
0,98
0,8
0,9
0,95
0,98
0,8
0,9
38
п
19
20
17
26
24
9
16
15
14
18
16
а8*
40
36
24
32
31
36
4
54
32
48
64
0,9
0,9
0,96
0,9
0,98
0,96
0,8
0,8
0,9
0,96
0,98
39
п
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
т
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
40
Pi
0,022
0,023
0,024
0,025
0,026
0,027
0,028
0,029
0,03
0,031
0,032
41
а
1,90
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
а
0,1
0,005
0,05
0,02
0,01
0,02
0,05
0,01
0,05
0,02
0,05
III. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
3.1. Задача Штурма — Лиувилля. Рассмотрим краевую задачу
й {К
(к
к) -<И
(а) = 0,
(b) = 0
0)
B)
Здесь /( (х) €= С1 [я, Ь], К (х)^К0>0, q(x)e=C[a, b], </(*J*0, р(х)<=С[а, Ь],
р (х) > 0, параметры аь а2, Pi, p2 удовлетворяют условиям af-f-^i^O,
Pi+P|¥=O. Требуется найти такие значения параметра а, при которых суще-
существуют отличные от тождественного нуля (нетривиальные) решения дифферен-
дифференциального уравнения A), удовлетворяющие краевым условиям B).
Те значения параметра А,, при которых существуют нетривиальные решения
задачи A) — B), называются собственными значениями этой краевой задачи,
а соответствующие им нетривиальные решения—собственными функциями
Свойства собственных значений и собственных функций
1° Существует счетное множество собственных значений
А,! < Х2 < ... < Хп < ..., кп-+оэ при л-*-оо,
которым соответствуют собственны* функции
У\(х), У*{х), •••, Уп (*), •••
2°. Собственные функции на отрезке [a, b], отвечающие разным значениям
параметра А,, ортогональны с весом р (х):
0, пфт.
3°. Теорема Стеклова. Всякая функция f (x), удовлетворяющая краевым
условиям B) и имеющая непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную
вторую производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
75

по собственным функциям уп:
n = 1 lp(x)y*{x)dx
Для примера решим следующую задачу. Найти в указанной области
отличные от тождественного нуля решения у = у (х) дифференциального урав-
уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям:
= 0, хе=[1, 2], C)
B) = 0. D)
Рассмотрим три случая 1) ^<0. Общее решение уравнения C) имеет вид
y^d sh V^l (лг—1)-ЬСя ch V^X (x — l).
Из условия ^A) = 0 находим С3 = 0, у (х) = Сг sh У — k (x—l).
Из условия f/'B) = 0 получаем Сг —0, т. е. у(х)~0;
2) А, = 0. Общее решение уравнения C) имеет вид // (х) = Сг х + С2.
Условия D) приводят к тому, что С1==С2 = 0, т. е. у(х) = 0;
3) X >> 0. Общее решение уравнения C) имеет вид
у(х) = Сг sin "Kfc (a:—1) + C2cosK^ (х— 1).
Из условия f/(l) = 0 получаем C2 = 0; f/ (*) = Ct sin K^ (x— 1). Условие
f/B) = 0 приводит к уравнению Сг У'К cos ]/"^==0. Так как УкФО и d =И= 0,
то cos]/\ = 0, откуда получаем: у Х = п/2-{-пп, я=0, 1, 2, ...; таким образом,
собственные значения задачи C) — D) ранны
/2 = 0, 1, 2, ...>
собственные функции —
ул = sin (л/2-1-лл) (х—1), лг = 0, 1, 2, ...
3.2. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными
производными второго порядка в случае двух независимых переменных. Общее
линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя неза-
независимыми переменными имеет вид
Он"** + 2«12«л-{у + ^Чуу + аих + Ьии + си = f, E)
где а1Ь а12, а22» а> ^> с» / — заданные функции переменных х, у. Оно принад-
принадлежит к эллиптическому типу в точке (х, у), если af2 —апаа2 <0;
принадлежит к гиперболическому типу в точке (х, у), если
ai2 — ana22 > 0, и принадлежит к параболическому типу в точке (х, у),
если afj —aua22 = 0.
Уравнение
atl dya — 2а12 d^ dx + a22 6x2« 0 F)
называется уравнением характеристик для уравнения E), а кривые, опреде-
определяемые соотношением <р (я, у) = С, где ф — решение уравнения F), называются
характеристиками уравнения E).
Уравнение F) эквивалентно двум уравнениям
ап dy — (а12 + l^af2 —апа22) dx==0, G)
an dr/ —(a12 —/af2 —аца22) d* = 0. (8)
Для уравнения гиперболического типа общие интегралы ф (х, у)и=.Сх и
, y) = C2 уравнений G) и (8) вещественны и различны; они определяют два
76

различных семейства вещественных характерисгик уравнения E). Замена
| = ф(хч у)у rj = \|)(*, у) приводит уравнение E) к каноническому виду
Если уравнение принадлежит к параболическому типу, то уравнения G)
и (8) совпадают, общий интеграл ф (а:, у) —С определяет одно семейство веще-
вещественных характеристик уравнения E). Замена | = ф(*, у)у г] = г|)(л:, у), где
ty(x, */) — произвольная, дважды непрерывно дифференцируемая функция,
удовлетворяющая условию D (|, r\)/D (х, у)Ф0 в рассматриваемой области,
приводит уравнение к каноническому виду
"nTl + O2"S+P2"T» + V2«eME« Л)-
Для уравнения эллиптического типа общие интегралы уравнений G) и (8)
являются комплексно-сопряженными. Они определяют два семейства мнимых
характеристик
Пусть ф (х, ч) + Щ(х, f/) = C —общий интеграл уравнения G). Тогда замена
£ = Ф(я, у), г| = ф(х, у) приводит уравнение E) к следующему каноническому
виду:
41 + "тт + аз^£ + Рв«п + Vs« = ^8 F. Л)-
Замечание. В некоторых случаях каноническое уравнение позволяет
без груда найти общее решение заданного уравнения.
Например, уравнение ихх — 2иХу + иуу + их — w^ = 0 заменой £ = # + #,
г\==у приводится к каноническому виду ^Т)л — иГ] = 0, Его общее решение
задается формулой
«(I, n)-Ci(S)e4 + C,(|),
следовательно, общее решение данного уравнения может быть записано в виде
ч(х у) С{х + у)еУ + С(х + у)
где Ci(x), C2{x) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции
3.3. Метод разделения переменных. Рассмотрим применение этого метода
к решению уравнений различных типов.
Эллиптические уравнения
А. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R:
Да = 0, и|г=г/? —*(Ф),
д2и , д*и ч , ч
где Д^ = -g-2 + jy, (г, ф)—-полярные координаты точки (X, у); /(ф)-задан-
ная функция.
В полярных координатах (г, ф) уравнение Лапласа имеет вид
1 д_( ди
У дг\Г дг
Решения этого уравнения будем искать в виде
и (г, ф)«/?(/-)Ф(ф). A01
Подставляя выражение A0) в (9), получим
= — %-.
И Ф
Из последнего соотношения для нахождения функций Ф (ф) и R (г) получаем
обыкновенные дифференциальные уравнения
О, (Ц)
, Ь = const. A2)
77

Из очевидного равенства и (г, ср + 2л) = и(г, ф) следует, что Ф(ф + 2я) =
= Ф(Ф); из уравнения A1) находим 1 = д2 и
фп (ф) = Ап cos mp-f Вп sin rap, я = 0, 1, 2, ...
Общее решение уравнения A2) имеет вид
nr при д = 0; Rn{r) = Cnr" + Dnr-n при л
В силу ограниченности решения и (г, ф) в центре круга имеем
т. е
/?0(г) = С0 при я = 0, /?n(r) = (V* при п = 1, 2, ...
Решение задачи Дирихле ищется в виде
оо
и (г, ф) = Л04- 2 (^« cosmp + ВЛ sin mp) гЛ,
где коэффициенты Ло, Лп, 5„, л=1, 2, ..., определяются по формулам:
2л 2л 2л
Ло= ~ J / (Ф) с!ф, Ап = ^-п J / (ф) cos пф ёф, Бл = ^ J / (Ф) sin mp dcp.
0 0 0
Замечание Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце
ищется в виде
со
Коэффициенты определяются из граничных условий.
В. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре радиуса Ri
Aw = 0, и|лв/?«/(ф, 6).
о . д2и , <^2w . д2и t
Здесь Д^ = -^-g 4" з~2 4" з~2 » (г» Ф» в) — сферические координаты точки (х, у, г);
/(ф, б) —заданная функция.
Частные решения уравнения Лапласа, записанного в сферических коорди-
координатах
1 д f
д f 2ди\ , 1 д2и
будем искать в виде и (г, ф, b) = R (г) X (ф, 6) Подставляя их в A3), получаем
уравнения
r*R" + 2rR' — XR = 0, A4)
Будем искать решения уравнения A5) в виде X (ф, 0) = Ф (ф) Ч? (б). С учетом
соотношения X (ф + 2я, б) = Х (ф, б) получаем
A6)
Из A6) имеем \i = k2, /е = 0, 1, ,.. и
фл (ф) = Л/г cosky + Bk sin /ефг /е==0; 1, 2, ...
78

Полагая в A7) £ = cosG и обозначая W (б) = К (cos б)=»К (|), получаем
Это уравнение имеет ограниченные на отрезке [—1, 1] решения тогда и
только тогда, когда Я = я(я+1), и этими решениями являются функции
где Рп (I). « = 0, 1, 2, ... — полиномы Лежандра;
Id» J (Q,
Таким образом мы находим частные решения уравнения A5):
п
Хл(ф, е)-Л0Рп (COS 6)+2
и общее решение уравнения A4) при ^
Следовательно, искомые частные решения уравнения A3) могут быть
представлены в виде
ип(г, Ф, Q) = (Cnrn + Dn/rn+i)Xn(<p, 6).
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре следует искать
в виде
Г п
"С. ф, в)= 2] и
где АОп, л = 0, 1, 2, ...; Л^, БЛл, Л=1, 2, ... , д, д==1, 2, ..., определяются
через коэффициенты разложения функции / (ф, б):
оо Г п
/(Ф, б)= I] Л0лЯл(со8 8)+ 21 (ЛЛлсозЛф + ВЛл sin Лф) Я* (сое в)
/г=0[ fe = l
Замечание 1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в ша-
шаровом слое следует искать в виде
и (г, Ф, 6)= 2 гП
n 1
1 (cos 6) + 21 (Akn cos £ф + Bkn sin kq>) Pkn (cos 6) +
к = I J
оо Г n 1
+ 2] /"-/I~1 СОгЛ (COS 6) + 21 {Ckn COS ^ф + ^Лп sin Лф) Я^ (COS 6) .
Коэффициенты определяются из граничных условий.
Если граничные функции не зависят от угла ф, т. е. / (ф, б) = / F),
оо
то соответствующие формулы упрощаются: и (г, б)== 2] AnrnPn (cos д) —
л
в случае шара, где Ап — —~^— \ f (б) Рп (cos б) sin б d6;
с
u{rt 6)= 21 AnrnPn (cos б) + 2] Cnr~n-xPn (cos д) —в случае шарового слоя.
79

Коэффициенты определяются из граничных условий.
Замечание 2. Метод разделения переменных, примененный к уравне-
уравнению Гельмгольца Д^ + о/ = 0 в шаре, приводит к решению уравнения
я(д+1)
—
которое заменой /? = K/|/V сводится к уравнению Бесселя
Г dr Г \ Г2 У
Замечание 3. Уравнение Пуассона Ди=/ заменой у = и — w0, где
-частное решение уравнения Пуассона, сводится к уравнению Лапласа
Гиперболические уравнения
А. Первая смешанная задача для волнового уравнения в области Qx@, Г),
, 0) —ио(дг), и/(л, 0) = ^(*), A9)
пв0- B0)
Здесь символом dQ обозначена граница области Q. Сначала ищем частные
решения уравнения A8),- отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие
условиям B0) в виде
и(х, t) = T(t)V{x). B1)
Подставляя выражение B1) в A8), получаем
0, B2)
А, = const.
Таким образом получена задача Штурма—Лиувилля
ДУ + W — O, V\dQ=0
Решая ее, находим собственные значения Хп и собственные функции Vп (х).
Общее решение уравнения B2) найдем, подставляя в него Хп вместо к:
Тп @== Ап cos VK at Л- Вп sin J/% at.
Искомое решение задачи A8) — B0) имеет вид
U (ДС, 0=2 ^п C0S У
J, (дс) Vn (x) dx
J
Q Q
Б. Первая смешанная задача для волнового уравнения на отрезке [0, /]:
80

Ее решение // (х, t) находится в виде
оо
vi / . Tina . , n . Tina Л . пп
и (.г, о = 2^\ Апcos ~т~ + "sin "Т )sm T **
j /
где Ап = J ^ «о (*) sin у xd*; #„ = — V ых (х) sin ~~ xcIa:, я= 1, 2, ...
о б
В. Смешанная задача для волнового уравнения в прямоугольнике [0, /; 0, т\\
ti(x, у, О) = ио(х, у)у и/(х, у, Q) = ttl(xt y)t
«(О, у, t) — u(l, у, /) = «(^. °> О = «(^. w» 0 =
Решение задачи находится по формуле
ш оо
« U% ^ 0 = 5] 2 Г^дл cos да К«3/гз + Ла/m2 /
1 я/г nk
-f- В „и sin ли ] /г2//2 -f- #7ma ^ I sin -г х• sin — у,
I tn
1 т
2 2 f р ч . л/г . я^ . , , , о
Где Л/?/. = #— V \ г/0 (а*, //) sin —r .v • sin — ydxdtf, «, ^=1, 2, ...t
/ m J J " / m
о о
/ m
\ tli (x> У) sin -у лг sin —y&x&y, n, k~ 1, 2, ...
Г. Первая смешанная задача для волнового уравнения в круге (случай осе-
осевой симметрии):
о fdhi , 1 да . 1 д~и\ ,
^"(б^ + т dr + ^W4' u(r* ф>
Решение этой задачи имеет вид
где jub (Li2 ця, ... — положительные корни уравнения yo(jii) —О (/о (jc) —
ф\шщия Ьесселя первого рода нулевого порядка),
dx \ atv у atv J d^v
/v{x)—функция Бесселя первого рода v-го порядка.
Коэффициенты Ап и Вп определяются по формулам
R
81

Параболические уравнения
А. Первая слушанная вадача для уравнения теплопроводности на отрезке
Щ = а2иХХ1 и (*, 0) = uQ (х), и @, t) = 0, и (/, /) =* 0.
Применяя метод разделения переменных, решение задачи находим в виде
__ /яяо\2
I
2 Г , ч . ля ,
где Ап~ -.- \ ио(х) sm-Txdx, /i=l, 2, ...
1 $ 1
Б. Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности в круге
радиуса R (случай осевой симметрии):
ди _ 2 (дЧ , 1 ди . 1 й
Решение задачи находится по формуле
где УоОая) = 0, /1-1, 2, ..., дЛ =
_2_ J
о
3.4. Задача Коши для нестационарных уравнений. Задача Коши для
еиперболического уравнения ставится следующим образом:
ии — а2Ди = 0, и I,_о=и0 (х), щ \tmA = ut (x).
Здесь x = (xlt х2, ..., дгя) е R*. Решение этой задачи выражается при п = 2
формулой Пуассона:
+ JL1 С
2лв* lXJ!<a!
при п = 3 —формулой Кирхгофа:
1 f 1
Решение задачи Коши для параболического уравнения
Ut^a*Aut и|*.о = Ио(*). ^ = (^ь ^2, •••.
выражается формулой Пуассона

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Классйфшсация уравнений с частными производными вто-
второго порядка в случае двух переменных. Характеристики.
2. Основные уравнения. Постановка основных задач: задача
Коши, краевые задачи, смешанные задачи.
3. Понятие корректной задачи. Корректность постановок
основных задач математической физики. Пример Адамара.
4. Задача Коши для волнового уравнения. Формулы Далам-
бера, Пуассона, Кирхгофа. Принцип Гюйгенса.
5. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения.
Принцип Дюамеля.
6. Уравнения Лапласа и Пуассона. Формулы Грина. Основ-
Основные свойства гармонических функций.
7. Функция Грина. Функция Грина для круга и для шара,
8. Применение функции Грина к решению краевых задач.
9. Уравнение параболического типа. Принцип максимума.
10. Метод разделения переменных решения краевых задач.
Задача Штурма — Лиувилля.
11. Метод разделения переменных решения смешанных задач.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти статический прогиб струны, закрепленной на кон-
концах, под действием непрерывно распределенной нагрузки.
2. Доказать, что уравнение с постоянными коэффициентами
uxy-\-aux-\-bUy-\-cu~Q заменой и{х, y) = v(x, у)е-Ьх~ау приводится
к виду vxy + {c — ab)v = 0.
3. Доказать, что общее решение уравнения иху— их +
х у
+ T3FиУ = ° имеет ВИД «(*• y) = Cl(XltCu2{y)> где Сг(х) и С,(у)-
л у л у
произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
4. Пусть функция и(ху t) является решением задачи Коши
utt = а2 Ди, и |,_0 = Ф (*)» Щ |*-о = 0.
t
Доказать, что функция v (xt t) = ^u(x, t)dt является решением
о
задачи Коши vtt = a2 &v, t/[^0 = 0, ^|^-о = ф(^)«
5. Доказать, что функция и(х, t> t0) при каждом to^O является
решением задачи Коши щ = а2иХХ1 u\t=to = f(x, t0) тогда и только
t
тогда, когда функция v(xt tt to) = ^u{x, t, t)dx при каждом
to
to^O является решением задачи Коши:
, t), ок=/# = 0.
83

6. Доказать, что задача Гурса
(х, #) = 0t x>0, у>0,
имеет единственное решение и (х, y) — f (х) + g (у) — f @).
7. Доказать, что для решений уравнения иц = а2ихх в области
{0<x</, t>0\ при граничных условиях и @, t) = u(l, *) = 0
функция
сохраняет постоянное значение для всех />0 (закон сохранения
энергии).
8. Построить функцию Грина задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в полупространстве z!>0.
9. Доказать, что для любой гармонической в области D функ-
функции и(х) класса Cl(D) имеет место равенство \ J-ds —0, где
vD
v — нормаль к 3D.
10. Используя разложение по параметру и(х, /) = ио(#, /) -f-
-f- ewi(дг, 0 + ..., получить решение с точностью до е2 задачи
Коши:
ии - a2t/A4V + ее (х, t) и, и !iM) = ф (х)у щ \^0 - $ (х).
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача 1. Найти в указанной области отличные от тожде-
тождественного нуля решения у = у(х) дифференциального уравнения,
удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма —
Лиувилля, см. п. 3.1).
f jT + ty = O, 1<jc^2, f / + Xy = O, 3/2:^
U(l) = y'B) = 0. "' UC/2) = y'B) = 0.
j з f / + ^ 0, я/2^х^л,
Г «Г + ^ = 0, 1/2^*^1,
Г «Г + ^ = 0, 1/2^*^1, Г */'-Ил/ = 0, 3/4^x^1,
\y(l/2) = y'(l) = 0. '# lyC/4)=y'(l)=0.
( ^ + Яу = О, я^д:^2л, ^ 8 Г f/" + ^ = 0, л/2^д: ^Зл/4,
l у(я) = у'Bя) = 0. '' и(д/2) = ^(Зд/4)-0.
Г / + ^ = 0, 1 ^л:^3/2, io Г y" + ty = 0f 1/4 ^дс^ 1/2,
\УA) = У'C/2) = О. * 1уA/4) = ^A/2) = 0.
1 I ^ + ^ = 0' я/2^*^Зл/2, | J2 Г ^ + Яу = О, 3/4 ^дс^ 5/4,
' \B) '(З/2) 0. ' в I// C/4) -{/'E/4) = 0.
Б4

С iT + ty = O, 1/2^x^3/2, Г / + Xf/ = O, я/2^дс^5
' 1 fif A/2) = ^' C/2) = 0. ' * l у (я/2) = у' Eя/4)=О.
Г |Л + >.У = О, жх^Зл/2, j
' ° I /у (л) = */' (Зл/2) = 0. U (Зя/4) = у' Eя/2) = 0.
/ / +>.У = 0, 1 ^х*г2, Г
' U'(D B) 0 ' '
j / «/ + >-У = 0, л/2^*^л, f ^ J г/ + ^-0, я/4 ^*^ л/2,
I '(/2)
123 p + ^0' л^*^2л> 124
•*" * \ у' (л) = 1^Bл) = 0. '
lr f^ + ^^O, 1^*<3/2,
'*" 1у'A> = У<3/2) = 0. ' '
I 27 / ^ + }'У = °» ^ ^ х ^ Зя'/2' ! 28 / У" + ^ = °* 3/4 ^ '^ ^ 5/4f
* ' U' (л/2) -1/ (Зл/2) - 0. #" ' I !/' C/4) = у E/1) - 0.
' \у' (л) -1/ (Зл/2) -0. '° ' U' (л/2) == г/ Eл/2) =, 0.
' *
Задача 2. Найти общее решение уравнения, приведя его
к каноническому виду (см. п. 3.2).
2.1. ахх + 2иху — иУу + их + и у = 0.
2.2. wxv + 4//.Vi, + \tiyy ~ их — 2иу = 0.
2.3. и¥.v - 2и V|/ + Ul/1/ + 2w v - 2w^ - 0.
2.4. « c.v + 6a V!/ + 9iivy + ux + 3uy = 0.
2.5. «A..v — Quxv + 9w^ — 2«v + 6//^ == 0.
2.6. uxx + 2 е/д.^ + ww - 3w.v—Ztiy = 0,
2.7. «v.v — 4uxy + 4m^ + 3tfjt — 6uy = 0.
2.8. 9«xv + 6«^ + «^ - 9ux - 3//iy - 0.
2.9. uxx + 8uXy+ I6iiyy-- //.v —4«,7 = О.
2.10. « ^ — 2m. Vi/ + и у у + 4« v ™ 4*/j, == 0.
2.11. 16«xv + 8tixy + «^ - 8« v - 2«i7 - 0.
2.12. 4axx + 4//^ + r/,,7/ 4" 8w.v + 4w^ - 0.
2.13. uxx — 8uX!/+ \6ttyy + 3ux—\2Uy = 0.
2Л4. 9uxx + GuXy + ity.j - 12иv - 4iiy = 0.
2.13. 16«xv + 8«,v// + w^ — 16и v + 4tiy = 0.
2.16. uxx + 10«Vj/ + 25ы^ + «.v + 5fiу = 0,
2.17. «^ + 2/^ + r///;/ + Sux + buy = 0.
2.18. « ^ - 10w.Vi, + Нмуу + 2ил- - 1 Oily = 0.
85

2.19. 4uxx - 4uxy + uyy—\ Oux + 5tiy = 0.
2,20.
2.21.
2.22. 25*/** + \0uXy + uyy + 20ux + 4uy = 0.
2.24. и**- 10^ + 25^+5^-25^ = 0.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
2.31.
Задача З. Найти общее решение уравнения, приведя его
к каноническому виду (см. п. 3.2).
3.1. 4ихх + 8иху + Зиуу = 0. 3.2. 3uxx + 8uxy + 4uyy=*0.
3.3. 3uxx-\-4uxy + uyy=z0. 3.4. ихх + 4иХу + Зиуу = 0.
3.5. Шхх+\6иХу + Зиуу=*0. 3.6.
3.7. 25«v.v + 20иху + Зиуу = 0. 3.8.
3.9. 12«/^ + 8m.V(/ + "^ = 0- 3'W*
3.11. 64wx^ + 32«Vi/+3wiy!/ = 0. 3.12.
3.13. м^ +3^ + 2^ = 0. 3.14.
3.15. uxx+ \2uXy + 27uyy = 0. 3.16.
3.17. uXx + 20uXy + 75Uyy — 0. 3.18.
3.19. uxx + 28uXy+\47utJy — 0. 3.20. ал-л
3.21. uxx + 36uxy + 243uyy = 0. 3.22. Зил-Л--
3.23. 3tixx + 32uxy + 64uyy = 0. 3.24. 27«/^+12иж^ + н^ = 0.
3.25. 481/^+16^ + 1/^ = 0. 3.26. 75uxx+2Ouxy + Uyy = O.
3.27. 108«/^ +24^ + ^ = 0. 3.28. \47ихх + 28иху-\-иуу = 0.
3.29. 1921/^ + 32^ + 1/^ = 0. 3.30. 4«^ + 3aV|/ — «^ = 0.
Задача 4. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа
в круге (см. п. 3.3).
4.3. Ди = 0,
4.5. Да = 0,
4J. Да-0,

4.9, Аи
= 0
М |л-1 =
4.11. Д& = 0,
4.13. Ди^О,
4.15. Ди-fO,
4.17. Aw — O,
4.19. Дм = О,
«|r-2 =
4.21. A« = 0,
4.23. Att=Of
/•-4 =
4.25. Дн=О?
4.27. Ам = О,
4.29. Aw = O,
4.31. A/
0 ^ г < 1,
Ф2.
2qj2—5ф — 2.
0^ r <. 2,
0 ^ /■ <C 3,
—— ф^-|-Зф.
0 t<r < 2,
Юф2 —2ф —1.
0<r< 1,
— Зф2 + 5ф — 2.
ф2 —ф.
0^:r<2,
— 4ф^ — Зф + l.
0 ^ г < 2,
4.10. A« = 0
4.12. Да=0,
4.14. Ам = 0,
4.16. Aw = 0,
4.18. A« = 0,
4.20. A«==0,
" ki =
4.22. Аа = 0,
« Ir-s =
4.24. A« = 0,
а \Гш.1 =
4.26. Aw = 0,
W !/•«! =
4.28. Aw = 0,
4.30. Аа = 0,
0 ^ r <z 2,
Зф^ — ф — |.
0^r<2,
4ф2^-Зф-Н-
°2^5<2'
6ф2^-5ф + 3.
0 ^ r < 3,
Ф2 + 2ф.
0 ^ г <С i,
Зф2-|-2ф — 2.
°f 2<lf 2
°Ar<4>2
Задача 5. Решить краевую задачу для уравнения Пуассона
в кольце (см. п. 3.3).
5.1.
5.2.
ди_
дг
г=2
= 0.
Wl =0, ~ =1.
5.3. и^ -f и у у = Т*ГУ* «> ! ^ r ^ 2*
5.4, и vje -f uuu =:
^w
5.5. ttxx
== I.
:, 1/2^Г^1,

ди I
5.6. usx
5.7. m.v.v
^1>
= 0.
= 2.
да
дг
= 0.
r—2
5.9. %
5.10. uxx + Uyy*= Xr У\ 1/2.
= 0.
5.П. «.„,
л2— у2
i.
r=l
2
5.12. ил.л. + uyy = =~
= 0.
5.t3. «л-л-
5.14. uxx
5.15. м^ + и^ =
= 1.
/-=3
= 1.
88

5.16. „«
ди
г~* дг r=:
= 2.
= 2 -С- =1.
' or /-=2
5.19.
= 2.
аи
= 2.
= 2.
5.22.
л. +«и, = -—=£=, 1/2
\ ,.=2, JI =1.
5.23.
5ОЛ
5.25. „,v
и,~=£=.
= 2.
•^" ^ 1 /О «
,— о ( ■ ^ 1 / ^ :
= 3.
/-=2
__ 1
89

5.27. Ил-«
5.28.
5.29.
5.39-. ихх
5.31.
ди\
л?—
ди
= 0.
-1
=3.
ди
r=2
= 0.
= 2.
Задача 6. Решить задачу для уравнения Пуассона в шаро-
шаровом слое (см. п. 3.3).
6,1. их
6.2.
^ 2,
^Т^Т^^^) 1^Г^.£, u.i. uXx-\~Umj-\-Uzz~K?y J
и \r^=о, и \м =о. « l^t =о, и ;г_2 -1.
6.3. игл- + иуу + uzz = xz, 1 <г < 2, 6.4. «VJt- + Uyy + tigg = xz, 1 < г < 2,
6.5. и^ + Uyy + uzz = xz, Kr< 2, 6.6. uxx + Uyy + uzz = xz, 1<г<2щ
"f/--i=l, w|r.2 = 2. «!r-i = 2f a|r.2=l.
6.7. ax.v + Uyy + uzz-=xzt 1 < г < 2, 6.8. «^ + uyy + и,г = *г, К /■ < 2„
а 1^! == 2, и \г^2 = 2. « !^г = 3, и \г^ = 1.
6.9. ы^ + Uyy + uzz = xz, 1 /2 sc r ^ 1, 6.10. w^ + iiyy + «гг = да, 1 /2 < r < I,
«1^=1/, = 0, «1^= — 1. M|r==iA = lf й!м=0.
6.11. мЛА: + и^у + игг = xz, 1 /2 ^ r < 1, 6.12. « v,v + Uyy + «Гг = Afz, 1 /2 < r < In
U\r=t/t=l, U 1^= 1. ttr = Vi==Of И|г-! = 0.
6.13. а^ + ам + и^ = xz, 1 /2 < г < 1, 6.14. uxx + uyy + uzz = xz, 1 /2 < r < 1,
6.15. /i^ + ^ + «^ = ^, 1/2 < r < 1, 6.16. ихх + иуу+и13 = хг, 1/2 < л < 1,
6,17.
yySg
w|r=1t/t=l, «|M= -
l, 6.18. ttjCjt + ttI/!/ + «^ = ja? 2<r<3,
90

6.19. uxx + Uyy + uZ2 = xzf 2<r<3, 6.20. uxx + tiyy + uzz = x2t 2<r<3,
6.21. uxx + uyy -f uzz = xz, 2 < /- < 3r 6.22. uxx + uyy + uzz = xz, 2 < r < 3,
6.23. uxx + uyy + uzz = xz, 2<r<3, 6.24. ил-л: + %/ + ^=*г> 2<r<3,
6.25. uxx + «^ + uzz = xz, 2 < г < 3, 6.26. мл.А. + uyy + u2Z = xz, 1 < r < 3,
6.27. r/.v.v + «^ + мгг = xz, 1 < r < 3, 6.28. и^ + м^ + Mr2 = д:г, 1 < г < 3,
6.29. Wj^ + tf^ + Uaj^A*, 1<г<3, 6.30. uxx + Uyy + uzs=x2t l<r<3,
6.31. Uxx + Uyy + u2Z = xzk 1 < r < 3,
Задача 7. Найти функцию, удовлетворяющую внутри круга
уравнению Гельмгольца и принимающую на границе круга задан-
заданные значения (см. п. 3.3).
7.1. Au + k2u = 0t 0==сг< I, 7.2.
и \Гтт1 = 25 sin3 ср. и !r-i ,5 = 24 si;
7.3. А// + ^% = 0, ()=</•< 2, 7.4.
и |г_2 = 23 8т3ф.
7.5. Au-{-k2u = 0, 0^r<c20, 7.6.
и \Гат2а = 21 sin3 ф. и |г_з — 20 sin3 ф.
7.7. Ам + Л2и = 0, 0^г<4, 7.8.
7.9. Au + k2u = 0, 0^г<3,5, 7.10.
7.11. Дм + Л2и = 0, 0^г<5, 7.12.
a |r_5=15sin39.
7.13. Au + k2u = 0, 0^r<6, 7.14.
и ]r-e= 13 sin3 ф. и |Гя.в,5— 12 sin3 ф.
7.15. Aw + ^2w==0, 0^r<7, 7.16.
и |r_7=ll яп3ф.
7.17. Au + k2u = 0f 0s^r<8, 7.18.
и |r-8 = 9 sin3 ф. и |r_8>5 = 8 sin
7.19. Aw-f^2w==0, 0^r<9, 7.20. Aw + ^2w —0,
7.21. Au-}-k2u = 0, O^r<clO, 7.22.
и\ГшЛ0 = 5 sin3 (p.
7.23. Au~\-k2u=^O, 0^г<11, 7.24.
U |г„п = 3 8Ш3ф.
7.25. Ati + k2u = 0, O^r < 12. 7.26.

7.27.
7.29,
г/ |г^4-=3 sin;icp.
7.28.
7.30. Ди + #ы = 0, ()<:/•< 14,5,
« !/•—14,5 = 2 Sill3 ф.
7.31.
Задача 8. Найти функцию, удовлетворяющую внутри шара
уравнению Гельмгольца и принимающую на границе шара задан-
заданное значение (см. п. 3.3).
ди
дг
Г = 71/2
ди
дг
ди
8.1.
8.3.
8.5.
8.7.
8,9,
дг |г=я/б
8.11. Ди+9н = 0,
8ЛЗ,
ди
дг
8.17.
8.2.
8.4.
дг
= cos 9.
ди
= cos б.
= cos б.
8.6. Ди + \и = О, О ^ г < я/2,
= cos6.
8.8
ди
дг
= cos6.
аю.
ди
= cos6.
ди
дг
8.12.
= 0, 0<г<л/8, 8.14.
= cos б.
== 0, 0 ^ г <с Зл/8, 8.16.
= cos б.
= 0, 0-с г < я/10, 8.18.
= cos б.
7 = Я/4
= C0S6.
да
дг
ди
дг
= COS б.
8.19.
= cos б.
, 8.20. Ди + 15и=0, 0<$
= cos б.
• = 2л/5
ди
8.21. Д//-!-36н = 0, 0^г<я/12, 8.22. Дн+-36и==0, 0^/
ди л ди
-- =COS6. 5-
дг г—71^12 w
8.23. Дн + 36и=0,
8.24.
я/2,
= созб.
92

8.25.
ди
дг
8.27.
ди
д
8.29. ^
8.31.
8.26.
cos 0.
= cos 0.
ди
:2л/7,
г = 2Я/7
= cos0.
8.28.
ди
8.30.
= cos
or
= COS0.
)« = 0, 0^
= COS0.
Д^ + 25м = 0, 0
Л/ I
,-- =COS0.
дг (г»я
Задача 9. Решить первую смешанную задачу для волнового
уравнения на отрезке.
9.1. ute = uVx, 0<я<1, 0<
и(х, О) = дс (л:— 1), щ{х%
«(О, /) = 0, иA, 0 = 0.
9.2. uu = uXXt 0<х<3/2, 0
и (*, 0) = *(x—3/?), «//(jc,
м@, 0 = 0, и(з/2, 0 = 0.
9.3. titt — Qujcx, 0<дг<3, 0
W(^, О)=лг(дс —3), «/(дг,
w@, 0 = 0, иC, 0 = 0.
9.4. ип = 4ихх, 0<х<2,
и(х, 0) = х (л —2), М/(дг,
«@, 0 = 0, цB, 0-0.
9.5. uu^UUxx,
и @t 0 = 0, и A/2, 0 = 0.
9.6. utt = 4uxx, 0 < л- < 1, 0 < / < со,
и{х, 0)~х(х— 1), М/(*, 0) = 0,
w@, 0 = 0, и(\, 0 = 0.
9.7. utt = */9Uxx, 0<х< 2/3, 0 < / <со,
и(о! о=о, wB/3fo=o.' ""
9.8. utt = 4^л-, 0 < х < V2, 0 < ^ < со,
и(х, O) = jf(.v—1/2), И/(дг, 0) = 0,
и @, 0 = 0, и (Va, 0 = 0.
9.9. utt^tixx, 0<х<2, 0</<со,
и(д:, 0) = *(л;--2), ut (х, 0) = 0,
и @, 0 = 0, 11B, 0 = 0.
9.10. ии = 16w.VJC, 0<х<3, 0</<со,
и@] 0 = 0, и C, /)=^0.'
9.11. и//=16н*,к, 0<д:<2, 0</<со,
"@| 0 = 0, и B, /)~0^ ~
9.12. titt = $uxx, 0<*<1, 0</<со,/
«(Ь| о=о, иA, Ь=о.J

9. 13. utt = V&w Vjc. 0 < * < 1/2, 0 < t < oor
u(*f 0) = *(* —V?). M*» 0) = 0,
«@, 0-0, «(Vi, 0=0.
9.14. tift^tivc, O<*<3, 0<^<o>,
«(*, 0) = *(х-3), ы,(*. 0) = 0.
и@, /) = 0, wC, 0=0.
9.15. ttw=16H.v*, 0<*<,
и(ж, 0) = x(x — 1), /^(лг,
w(O, 0 = 0, i/(l, 0 = 0.
9.18. uu=9uxx, 0<д:<з/2> ,
u(jc? 0) = x(jc — з/2), щ(х, 0) = 0,
a@, 0 = 0, иC/2. 0 = 0.
9.17. ttW = 4MVJCf 0<A*<3. 0<^<oo,
ы(дг, 0) = дг(дг —3), «/(*, 0) = 0,
1/@, 0=0, MC, 0 = 0.
9.1S. i/^=i/4iivv, 0<*<2, 0</<оэ,
w (at, 0) = x(jc — 2), u({x, 0) = 0,
a @, 0=0, u B, 0 = 0.
9.19. ^ = i/4ttUf 0<a:<1, 0</<oo,
a (a:, 0) = *(a;— 1), ^ (xf 0) = 0,
и@, 0 = 0, мA, 0 = 0.
9.20. M//=:MVVt 0<jc<V*,
ы(др, 0) = д:(д: —V2), «/ (*,
«@, 0 = 0, a(V«, 0=0,
9.21. ^ = *AAv.v, 0<a:<2, 0
u(xf 0) = jc(x—2), ^(^,
w@, 0 = 0, «B, 0 = 0.
9.22. «// = e/4"je.v, 0<д:<з/2, ,
tt(xf 0) = x(x-3/)f tt (JCf o)==O,
«@, 0 = 0, wC/2» 0=0.
9.23. W// = Ve"vjt, 0<дг<1, 0</<оо,
ы (jc, 0) = jc(jc—1), ^(x, 0) = 0,
«@, 0=0, «(l, 0=0.
9.24. «//==»/4ttVVf 0<д;<3,
W(je, 0) = x(jc—3), m^(^,
w@, 0=0, aC, 0 = 0.
9.25. uit^9uxx, 0<д;<1/2, 0<*f<oo,
и (x, O) — x(x — V2)» u>t (jc, 0) = 0!
«@, 0 = 0, u(l/2, 0 = 0.
9.26. utf = 9uxx, 0<jc<2,
u@9 0=0, иB, 0™0.
9.27. «//==V4«jeje, 0 < x < 3,
«(x, 0) = х(д: —3), «/(x, 0) = 0,
«@. 0 = 0, wC, 0 = 0.
9.28. Uu = */9uXXt 0<*<l, 0</<oo,
a@ff 0 = 0, HI,' 0=0*' "
9.29. «^ = V4«'a*. 0 < jc < 3/?, 0 < t < 00,
2E; 0=0, uC/2,2b=o*' ""'
94

9.30. Utt^Uuxx* 0<*<2, 0</<oq
u(x, 0) = *(* —2), щ{х, 0) = 0,
W(O, 0=0, wB, 0=0.
9.31. %
%/4% ,
m(jc, 0) = x (лс— 1), к/(лг, 0) = 0,
м@, /) = 0, u{\, 0 = 0.
Задача 10. Решить первую смешанную задачу для волно-
волнового уравнения в прямоугольнике (см. п. 3.3).
10.1. ии = Ьи,
10.2.
Ю.З. и„ =
10.4. а«=
10.5. иц =
10.6. м^ =
-о = ^ D — Jf) E—у),
=16Аи,
o = ^E — л:) F — t/),
_o = w !i/<o = " !.v«5 = w
= 2ЪАи,
Lo = ^ F — x) B — */),
4Лм,
= *0 B ~ ^) D — У).
| U
!^о = 0,
=5=0.
e = 0.
!^o = 0,
2 = 0.
/-o == 0,
10.7. и
г/ = 9Л^
и\х~1ъ = 1
10.8. м^=16Д
10.9. иг/ = 25Д
U |лг»о = b
10.10. и// = Дм,
10.11. м,, = 9Дм
10.12. и,
10.13. ^/==25Д*
w ^„о '= ху
и л-_0 = и
10.14. и,.
— Аи
у E — я) B — у), и
f-jnf-y)'j
/ C —л:)F —i/), и
i (А. v^ /*? , ц\ ii
\* — **) V "^^У)* i
i -0
у»2==0.
/«з =:= 0*
t i^-o — O,
^ |/-о ~ 0,
95

4}. 15. и^ =
.о = и ;^o = и U-6 = w |^4 = 0.
10.16. ы^=
= *#B ~ -v) F — у), щ \и о = 0,
ЮЛ 7. ы„ =
10.18. Uff = ,\u.
10.19. ex//= 4At
10.20. ы/, = 9Д1,
10,21. «// = 25Д
10.22. а// = Ди,
10.23, «// = 4Дг/
10.24. ы,/ = 9Ди
:«/E — x) D — i/)t t
J(G-*)E-y)f «
f/ C —a:) C — у), и
yD — x)D~-y)y и
у(о—х)(Ь-~у), и
vV-o=o«
..5=0.
^ = 0*. '
, 0
10.25. г^/=
10.26, а^ =
10.27, м//=121Д«,
« i/«o = ^ C — *) F — г
! i U
10.28. М/^ЮОДи,
10.29, а//= 81 Дм,
w !Л1ь0 ==^E — х) D —
U !
10.30. и// = 64Ди,
i(
10.31. м^ = 49Ди,
\
у),

Задача 11. Решить первую смешанную задачу для волно-
волнового уравнения в круге (см. п. 3.3).
11.1. н# = Ды,
[(
ut(r, 0)=0, и B5,
11.2. «// = 2Дм, 0^г<24, 0</<оэ,
МЛ
МЛ
«,(/-, 0) = 0, w B4, 0 = 0.
11.3. ы^ = ЗДм, 0^г<2
tt/(r, 0) = 0, и B3, 0 = 0.
11.4. и// = 4Д«,
H(j]
W/(r, 0) = 0, a B2, 0 = 0-
11.5. a// = 5At/, 0^л<21, 0</<оэ,
0, и B1, /)==0.
0, 0</<оо,
f^)]
«/(Л 0) = 0, «B0, 0 = 0.
11.7. «^=7Д«, 0<са < 19, 0</<оо»
W/(r, 0) = 0, wA9, /)*=0.
11.8. ^«вДи,
[(Л
tt/(r, 0) = 0, и A8, 0 = 0.
11,9. ^ = 9Aa, 0^r<17, 0</<оа,
VJ[(^]
[(^]
«r(r, 0) = 0, и A7, 0 = 0.
11.10. «/f=
«/(^. О)==о, «A6, о==о.
11.11. и^=11Ди, 0^а-<15, 0
(rf 0) = 0, a A5, 0 = 0.
11.12. «,/=:12Ди, 0^г<14, 0</<оо,
Ц(Г1
Ц(Г1
ut(r, 0)=0, «A4, 0 = 0.
97

11.13. иц=Ши, 0^г<13, 0</<оо|
[(j]
ut(r% 0) = 0, wA3, 0 = 0.
11.14. н^=14Ди, 0^r<12, 0</<ooi
M'. 0) = 0, «A2, 0=0.
11.15. u,,= 15Au, O=s=/-<11, 0</<oo,
Ч[(Л
[(Л
W/(r, 0) = 0, a A1, /) = 0.
11.16. w^=16A«, 0^r<10, 0</<co1
ut(r, 0) = 0, uA0, /) = 0.
11.17. 1/^=17^, 0^r<9, 0</<cx?f
[()a]
[()
ut(rt 0) = 0, м(9, 0 = 0.
11.18. и^=18Ды,
11.19. и,,= 19Ди, 0^r<7, 0<<<oc,
H()]
H()]
«/С. 0)=0. "G, 0=0.
11.20. ы,, =
[(J]
ut(r, 0)=0, «F, 0=0.
11.21. u/f =
[(Л
ut(r, 0) = 0, a E, 0 = 0.
11.22. м„ =
Ц(Л
M/(r, 0) = 0, a D, 0 = 0.
11.23. w^==23Aw, 0<cr<3, 0</<cot
«Cr. P>-^-[i-(-5-)"].
W/(r, 0) = 0, иC, 0 = 0.
11.24. ^/ =
[()]
Л 0) = 0, uB, 0=0.
11.25. a/r = 25A«, O^r<l, 0</<oot
щ{гг 0) = 0, ^A, 0 = 0.
98

U.26, и^ =
tit {г, 0)==0, «F, 0=0.
11.27. ы„=4Д«, 05gr<5, 0</<oo,
|[(J]
[()]
а, (г, 0) = 0, а E, 0 = 0.
11.28. ы#=9Ди,
11.29. мл = 1, ^,
ut(r, 0) = 0, wC, 0 = 0-
11.30. utt = 25\u,
Л 0) = 0, «B, 0 = 0.
11.31. %/ = 36Д£/, 0^г<1, 0
[i—r«]t
мA, 0 = 0.
и (rt 0) = ~
Задача 12. Найти решение первой смешанной задачи для
уравнения теплопроводности на отрезке (см. п. 3.3).
12.1. ut=\6uVVt
и @, 0 = "C, 0=0.
12.2. щ = «jfjf, 0 < * < 2, f > О,
x2t
и @, t) = uBt 0 = 0.
12.3. ut = 25«^лг» 0 < я < 5, £ > О,
и @, 0 = «E, 0 = 0.
12.4. ut = 16^A., 0 < л: < 4, t > 0,
1-х, 2<*^4,
W(O, 0 = «D, 0 = 0.
12.5, Uf = 4w^.v,
•«--{ Г;,

12.6. ut — uxx% 0<*<3, t>0,
ulx o)-
tt@, o = mC, 0=0.
12.7. Щ = 25wAU., 0 < л: < 8, f > 0,
12.17. ut = 9uxx, 0<x<4,
w@, 0 = «D,
12.18. ut^uxib
Г ^2/5, 0 ^ x ^ 5,
"^0) = \
= 0.
12.8. щ =
«@, /) = n(
12.9. w/ = 16uvu., 0
12.10.
и@, 0 = uD, 0 = 0.
12.11. ue — 9uxx,
«(О, о=«(Ю, O=o.
12.19. ut = 4uxx, 0<-v<2, t>0,
, \<x<2%
tt(i, 0=0.
0<a:<4, t>Ot
«@,
12.2». и,= 1
12.21. ut =
12.22. tit — 25uXX9
= «B, 0 = 0.
ил.л., 0<х<8,
jc*/4, 0 ==£*:== 4
~«(8. 0=0.
)-*, 5<x^10,
«@, o = w(io, 0=0. «@, o = «D, 0=0.
12.12. щ = 25uxx, 0 < x < 9, ^ > 0, 12.23. И/ = \6uxx, 0 < л: < 6, / > 0,
w@, 0 = ^(9, 0 = 0. «@, 9 = «F, 0 = 0.
12.13. ut~9uXXt 0<д:<3, t > 0, 12.24. Uj~4uXX9 0<л;<1,
^/3, 0^л:^з/2| ' Г2**,
w@, /) = ttC, 0 = 0.
12.14.
«(o, 0 = ^E, O=o.
12.15. ut = 4uxx, 0<л:<7,
«(О, 0=«A, 0=0.
12.25. U[=9uxx, 0<*<5, (
( 2л'2,5, 0 ^£ л:
«(О, 0 = «E, 0=0.
12.26. щ — 2Ъихх
m@, 0 = "G, 0 = 0.
12.16. ut = 2buX
:7, ^ b —x,
m@, 0 = wF, 0 = 0.
0, 12.27. ut^uXXi
«@, 0 = «(l. 0=0.
«(О, 0==«A2, 0 = 0.
100

12,28. и,= 16ил.л., 0<x<2,
«(О, 0 = «B, 0 = 0.
12.29. W/ = 4«vv, 0<*<6, /;
(^3,0^,,
1 * \ 6-*, 3<л;
«(о, /)=«Ff o=o.
12.30. W/ = 36«XVl 0<#<3,
'«*'0)=U-*,=73
«@, o=«C, o=o.
12.31. ut — 9uXXt 0<лг<8,
:4,
«@, 0 = «(8, 0 = 0.
Задача 13. Найти решение первой смешанной задачи для
уравнения теплопроводности в круге (см. п. 3.3)»
13.1. w/=lGAwf 0^г<5, />0, 13.2, н,=:25Ди, 0 =
и(г% 0) = 25 —г2, «(г, 0) = 9~/
и (о, 0 = 0. «C, 0 = °-
13.3. «/^==Ди, 0<сл<7, />0, 13.4. н,= 10Дм, 0,
«(г, 0)-:49-/'2> и G, 0 = 0. и(г9 0)»1— Л «A, 0=0.
13.5. «/ = 9Дм, 0,<г<8, />0? 13.6. ы/ = 25Дг/, 0^^<2, />0э
«(г, 0)=-G4~~r2, и (8, 0 = 0. w(r>0)-:4-r2, мB,/)=0.
13,7. «/=:1СДг/, 0<г<1, />0, 13.8. ^ = ЗДи, 0^/-<3,/>0,
«(г, 0)=1—/*, г/A, 0 = 0. и (г, 0) = 9—Л аC, /) = 0.
13.9. w/ = 5A«t 0<^r<4, />0, 13.10. «/ = Да, 0^г<5, />0,
(/(г, 0)-!G<-r2r «D, 0 = 0. и (г, 0) = 25—/■«, «E, 0=0.
13.11. «^^ЮДи, 0,<г<2, ^>0, 13.12. i/,=:25A«, 0^г<4,
и (г, 0)^4 — г2, f/ B, 0 = 0. «(г, 0)= 16 — г2, wDt
13.13. и, = 6Д«, 0^г<6, />0, 13.14. м, = 4Ды# 0^
«(г, 0)«36—г2, м F, 0 = 0. w(r, 0)=l~r2, w(l, 0 = 0.
13.15. г// = 7Д«, 0^г<5, />0, 13.16. 1/^=10Дм, 0^г<7, ^>0,
«(г, 0) = 25 —г2, «E, 0 = 0, и (г, 0) = 49~-г2, wG, 0=0,
13.17. г//^=Д(/, 0^г<1, />0, 13.18. ^ ==Ди, 0^г<2, />0,
м(г, 0)-1-/-2, «A, 0 = 0, и (г, 0) = 4—г2, и B, 0=0.
13.19. «,=*9Д/л О^КЗ, />0, 13.20. и/ = 2Ди, 0^r<4, />0f
и (г, 0) = 9-/2, «C, 0 = 0. а (г, 0)= 16—г2, «D, 0=0.
13.21. м* = 36Д«, 0^г<7, />0, 13.22. а/=4Да, 0^г<2, ^>0,
и (г, 0) = 49—Л и G, 0 = 0. а (г, 0) = 4—Л w B, 0=0.
13.23. «// = Ди, 0^г<4, *>0, 13.21. w/ = 25Aw, 0^r<5, ^>0,
W(r, 0) = lG-r2, uD, 0 = 0. а (г, 0)=:25-л2, и E, 0=0.
101

13.25. Ut = 2Au, 0^л<3, />0, 13.26. и,= ЗАа, 0^/<6, *>0,
w(r, 0)=9--/2, i/C, 0 = 0. и(г, 0) = 36—Л и F, ^ = 0,
13.27. м/ = 5Дм, 0^г<1, />0, 13.28. и/^ЭДи, 0^г<2, *>0,
и (г, 0)= I—/, иA, 0 = 0. и (г, 0) = 4-f2, мB, 0 = 0.
13.29. и^бДи, 0^г<7, *>0, 13.30. и,= 4Д|/, 0^г<8, />0,
и (г, 0) = 49-/-2, ыG, 0 = 0. и (г, 0) = 64-г2, и (8, 0 = 0.
13.31. м, = 7Ды, 0^г<4, *>0,
и (г, 0)= 16—л2, а D, 0 = °-
Задача 14. Используя формулу Пуассона, найти решение
задачи Коши для волнового уравнения на плоскости (см. п. 3.4).
14.1. ии = оГ-(иХх-\
" /„о —и» "/;<
14.3. щ, = аЦихх-\
"j/=-o = O, W/(
14.5. utl = a*(uxx-\
"!/-о=О, u/|/
14.7. utt=*a*(uxx-
и ,/—о — и» w/
14.9. utt = a?(uXx-\
и ^„о==О, w^
14.11. ип = а*(ихх-
-о=О, ^
14.13. ин = &(ихх-
П , Л / j .
U /«о —v» "/
14.15. t/rf = a2(«^H
«1 ! , Г) /у
и /-.О —и» w/
14.17. ип = сР(ихх-
w /-0 — &л П^
14.19. ^ = a2("^v-
|/!/.о = 4дс2 +
14.21. utt = &(uxx-
-о=5^2 +
14.23. utt = a*{tixx-
и j/~o — DA; л~
14.25. utt = a*(uxx-
«!м = ^+£
14.27. и„ = с&(ихх-
и |м = 2д?+
14.29. utt = a2(uxx-
ii ' ^ - «*2 i
" ;/-o — 1/ —;
14.31. uit = a*(uxx-
u7.0 = 3a:2 +
Ю2
- "y/y), 14.2. w/r = a2 (axv + u^),
^-0 — l^tl/) • " i/*0 —U» "/ /~O—1Л Fi •
- Uyy), 14.4. «/r = а2 (£/л.л. + м/;/у),
(■-0—VZA; i У) * u /-0 — u» "/,/-0 — lAT"i/J "
- "i/i/)* 14.6. w/f == a2 (uxx + "i/r/)»
,0=:B^-t/J# -o=O, ^ |/.o = (*-2y)«.
f"i/t/), 14.8. uu=a*(uxx + uyy)9
1. Иу-{-/Л2 #i 1, О г/, •■ /у .Я1ЛЯ
i/-o—\уХ-гУ) • " /«о —и» "/ /-о—1* ^У) •
У-иуу), 14.10. ип = а*(ихх + иУу),
1 /9у-1_ЯМ2 у j i n »y v *9v Ч»Л*
./-о — 1**т^ • " |/-о — и» "/ /-о—\z<*—&У)9
\-ицу\ 14.12. w^ = а2 (ихх + "f/f/)»
7-o=C* + 4t/J. w i/eO==of «/ V-o=Cx—4*/)»-
\-иуу), 14.14. ип = а*(ихх + иуу).
,/-0—\ол ПГ Ui/J • И ;/_o — u, ut /-0 — \^л — ui// '
h "^), 14.16. utt = а2 (,7Л-Л. + w^)f
!/-o — v0*^"'»/; • " i/~o — u» "/ \t~o—\®x— 'У)
VUyy)t 14.18. UH=*cP(uxx + uyy)f
,A.t& iij_\j П // ' j 4v2 J.r/2. f/j ! . П
^tf * Щ ,7—0 — u# " i/-0 — &x —*y , И/ J f,o — u<
f Uyy). 14.20. a« = a2 (uxx + uyy\
■5f/2, "/ |/-o=O. и 7^о = 4л:2-5/, М/ 7^=0.
f tty9)t 14.22. tt// = а2 (и.™ + «^),
■ б!/2, «/ s7-o = 0. и !/_« - 5jt2 - 6t^2, щ 7,0 = 0.
f Uyy), 14.24. н„ = a2 (ttxx + uyy),
7,»2 /*, I, Л *; 1 fiv9 7#i2 »i 1 П
;1/ * "/j/-o — u* wjm = w—'У » "/7-o — u-
f"^), 14.26. иг/ = а2(«хл. + ^),
/2» "/ 7-0 = 0. И |,_o = Jf*-02f ^ 7.0-0.
¥uyy), 14.28. Uit = cP(uxx + Uyy),
•У\ Щ 7»o = 0. u !/.Q=^ + 2y2, ur 7-0=0-
f*W. 14.30. utt = a*(uxx + Uyy),
/2 ii \. П ## ( Qv2 i_Ofi2 </ ! П
c» "/ I/-0 — U« " ,/-0 = ^+^1/ » "/7-0 = U*
f "ryy),
■i/2, "/7-o=o.

Задача 15. Используя формулу Кирхгофа, найти решение
задачи Коши для волнового уравнения в пространстве (см. п. 3.4),
15.1. tiff = ихх + иуу + агг%
15.2. ы„ = 2 (иЛ.Л. + «^ + uzs),
и 't-* = 0, и, !^0 = (л: - 2у + г
15.3. ы„-=3 («^v + «^ + w«)t
15.4. ^/ = 4 ("сл- + «
« |/„о = О. ^ !/-
15.5, и// = 5 (ихх + w
15.7. «// == 7 (wAU. + и^ + игг),
уу + игг),
== 0, щ |^ = B* + 4у + Зг)«.
15.9. W// = 9 (илл:
«!^ = 0,
15.10. ux=lO(ux
15.11. W// = 11 («л.д. + и
15.12. «^ = 12 («^ + W(/|/
15.13. ип*=13(иХх + иуу
15.14. ^/ = 14 (wA._v + wpl/
«|w = 0f ut\f^
15.15. к/Г = 15 (н*А. + и^
15.16. «//-=16 (Ma-jc + «^
15.17. «^ = 15 (ы** + w^ + w^),
15.18. a//= 14 {uxx + tiyy + Ugg)t
u\uo = x2- 2y2 + z\ Щ \иъ == О.
15.13. и# *=
15.20. м«= 12 (tt^ + tt^ + n^).
103

15.21. iiti=\\(uxx + uyy + uzz\
15.22. ии=
u\Uo
15.23. utt =
15.24. и*/= 8 (и*
15.25. tiu =
15.26. Utt^
и ;^o = 3*2 + </2 + 222, w,1^0 = 0.
15.27. utt = 5 (%u. + uyy + игг),
м |^o = 2л:2 +1/2
15.28. м// = 4(^д; + и
15.29. utt = 3 («,v v + w^ + «гг),
и |^0 = Зл;2 + 4j/* + 522, м^ f^0 = 0.
15.30. ин = 2(ихх + иуу + игг),
и !^ = 5^- + 3^/2 + 4г2, и/ J^o == 0.
Задача 16. Используя формулу Пуассона, найти решение
задачи Коши для уравнения теплопроводности (см. п. 3.4).
16.1. uf = uXX9 e 16.2. м/^гы^, ^ 16.3. м/ = 3и^% ^
u£=^4uXXi 16.5. «/ = 5«v.vt ^.6. ut = 6uXXi
16.7. ut = 7uvv, 16.8. ut = Suxv> 16.9. w, = 9wv
16.10. ut=*\0uVV9 16.11. tt/=ll«ViV, 16.12. tt/S=12tt
16.13. «/==13^^, 16.14. W/=14«v^f 16.15. к/=15м
3' + 2 42+
16.16. t// = 16Mvje, 16.17. M/=15wvvi 16.18.
16.19. «,= 1311^, 16.20. ut=\2uXXt 16.21.
и |,.0 = e~2^ + 4*. ti l^o-e-^-2*.
16.22. m,= 10m™;, 16.23. //f = 9«iVVf 16.24.
и i^^e-2*8-4*. i/ !^0 = e-*' + ^.
16.25. ut — 7uKX, 16.26. m/ = 6ma.v> 16.27.
16.28. «f = 4«xx, 16.29. H/ = 3KVVf 16.30.
16.31. ut = uxx,
104

со ос -*j ог от ^ со to — o-
§88888888$
C^ <C^ ^^ ^^ ^^j <^^ ^^ ^^^ ^^ ^O*^
^W1 ^^ <^^ l**^ £^ (^^ ^^ f^ ^^} <^^
lOCorf^CXOOtO^JCOtOCO
OOf>
OOO
*— tO CO й^
э to ci to — to
> CO н
oqo
JOOO^
- ь- to cc
— 05 tO C^
5OO
5OO
^ t
ОС
tc
goooo
OOOO
•—* — tO Ю CO
jooiooooo
о ос
b2J
) О ^— — Ю tO CO
i •<! О rf^ О ^J "^1
SSS8S
■_-> —.• »—i f^ CO
Orf^COOiCi
1ШВВ2
,_ .,, ,. - _> pp
cooo-siciOT^cotO'—o соос^схсл^согО'1—»o ^co oo'-^j'oi'oi'rf^.'co'to"»—'о
CO CO CO C5 CD CO CO CO CO CO CO CO C> •~— •~— •"^ I"—* •»* tO To tO tO CC CC Cc CC CC Cc CO Cc
OOOOOOOOOO OOO — — ►— i— — tON3 tOtOCOCoCOCoCoCoCoCo
00*^1— tO»—CO*>J-^1'—*CO rf^ От СЛ tO Ci ОЭ — CO СЛ Oi "^4^— tOCOOOtOtOOT-CO
0000000000 OOQ»—•— — -^»—'tOtO tOtOCCCoCoCOCOCoOsCc
01 "^.1 CO tO Oi — -^1 CO tO — CO C5 О -J Oi СЛ Cb CO CO ->■! — Ot-JCOOOO«COCOC7500
CX Or CO CO "~vl Co O1 t£» tO CO tO ^~* CO 4^ ""'J CX CO СЛ l~-* *•* CO CO CO IO Oi CO CO rf^- '~- CO
OOOOOOOOOO OOO — •— — — — tO tO N3tOCcCcC0CcC0CcC0(
CZ^ vl^ C!^ **"* *■•■** tO ГО CO eP^ CJ^ C5^ ""^ OO \^ t^O »^^ ^7i ОС *■■* CO O^ OO
OOOOOOOOOO QOO — — *—' — — tO tO tOtOC0C0C0C0C0C0''*C0
CO •—* CC tO 00 CO 00 О i tf^ 00 00 4^ 00 C^ CO O1 CX CO Co CO O1 CO 4^»- t~~k 00 ►— O' CX •— O5
OOOOOOOOOO OOO — — •— — —'tO tO tOhOCoCoCOCOCOCoO^CtJ
OOO"--11—' ■—*tOCoCO^ От^-JOOOtOCOCXOOOtO O'^JOtOkp^CX-^JCCCOCO
^iC^CO — О1СООЧ — CO00 COtOCTitOOCOOtOOTCO kU 00 — CC tO О *Л О5 ^ X
««^ь CO **~* CO i-Tv 00 tO **^J CX 00 CX **~~ \jj CO ^"^ )^** ^ (^^ c^i f ^ ?—• f1^. ц-«^ ^^ ^O O^ tO *^J О' ^J^
OOOOOOOOOO OOO^1—* — ►—'—'tO tO tOtOtOCoCOCOCOCO*i*yO
O*^J00CX»— 4xCXO"^100 Jx-^OOCXtOi^tO^CXOT CXCXCOCOOCOCO-JCOtO
i^C75O0i—'4i».OOi^.O**JCX -*v} CO CC 00 Oi О' CX CC — O'l CO CC O) 00 О *-J Ю «i*. ;c Э0
QOOlCXCO—JCO'—"COCOQO Co4^COCOCOrf^'— •—* t О •—•' tOtOCX-*J1—tOCX*^tOO
iOOOOOOO OOO"^""--• — «—<-—' — tO tOtOtOCoCoCOCoCoCoCO
5>«- p— »-— tOtJCO*fefc Oi CX 00 CO —* CO ОТ -^1 CO tO wU.-vJCO^-'CoO'^JOOCOO
j «— QQ f^ э—• oo CO СЛ »£*■ CO ОС CO ""J OO CO CO CX tO O^ t О O"i От "-J
^ooooooo oooo*— — — *—>— ro tototococococococ:co
> „ w. — fO fy CO *>. СЛСХ00СО — CO От-vlCOJO ^ C5 CO — u, Oi Cft OO Ф w>
1 О W ОС Ю CO CX Л. От CX О O"i tO ~ —-CO СЛ» О lis» OO TO i**. О"» CO CO Г О — -4
У tt ^ LX 2Г У.' — w SU V _ . ^ -.. — 5Г X. а-Г ^ ОЧ О *»■ Ю 00 --J СЛ 00 СО
I
1
I
S
-в
Э
s

Таблица II
1 г
Таблица значений функции Ф(х) — — t e
X
0,0
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
U3
1,4
1,5
1,6
1.7
1,8
1,9
2Д)
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5 ;
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0
0,00000
03983
07926
11791
15542
19146
22575
25804
28814
31594
34134
36433
38493
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534
49653
49744
49813
0,49865
49977
1
00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
29103
31859
34375
36650
38686
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48257
48645
48956
49202
49396
49547
49664
49752
49819
499968
499997
49999997
2
00798
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
40658
42220
43574
44738
45728
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560
49674
49760
49825
3,1
3,6
3
01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
34850
37076
39065
40824
42364
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48713
49010
49245
49430
49573
49683
49767
49831
49903
49984
4
01595
05567
09483
13307
17003
20540
23891
27035
29955
32639
35083
37286
39251
40988
42507
43822
44950
45907
46712
47381
47932
48382
48745
49036
49266
49446
49585
49693
49774
49836
3,2
3,7
5
01994
05962
09871
13683
17364
20884
24215
27337
30234
32894
35314
37593
39435
41149
42647
43943
45053
45994
46784
47441
47982
48422
48778
49061
49286
49461
49598
49702
49781
49841
49931
49989
6
02392
06356
10257
14058
17724
21226
24537
27637
30511
33147
35543
37698
39617
41309
42786
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48461
48809
49086
49305
49477
49609
49711
49788
49846
3,3
3,8
7
02790
06749
10642
14431
18082
21566
24857
27935
30785
33398
35769
37900
39796
41466
42922
44179
45254
46164
46926
47558
48077
48500
48840
49111
49324
49492
49621
49720
49795
49851
49952
49993
8
03188
07142
11026
14803
18439
21904
25175
28230
31С57
33646
35993
38100
39973
41621
43056
44295
45352
46246
46995
47615
48124
48537
48870
49134
49343
49506
49632
49728
49801
49856
3,4
3,9
9
03586
07535
11409
15173
18793
22240
25490
28524
31327
33891
36214
38298
40147
41774
43189
44408
45449
46327
47062
47670
48169
48574
48899
49158
49361
49520
49643
49736
49807
49861
49966
49995

Таблица III
пт
it"*
Значения функции —- е~а
^\. а
т >^
0
1
2
3
4
5
6
т ^v^
0
1
2
3
4
5
6
7
^^\^ а
т N.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0,1
0,90484
0,09048
0,00452
0,00015
0,6
0,54881
: 0,32929
0,09879
0,01976
0,0029$
0,00036
0,00004
1,0
0,36788
0,36788
0,18394
0,06131
0,01533
0,00307
0,00051
0,00007
0,00001
(распределение
0,2
0,81873
0,16375
0,01638
0,00109
0,00006
0,7
0,49659
0,34761
0,12166
0,02839
0,00497
0,00070
0,00008
0,00001
2,0
0,13534
0,27067
0,27067
0,18045
0,09022
0,03609
0,01203
0,00344
0,00086
0,00019
0,00004
0,00001
Пуассона)
0.3
0,74082
0,22225
0,03334
0,00333
0,00025
0,00002
3,0
0,04979
0,14936
0,22404
0,22404
0,16803
0,10082
0,05041
0,02160
0,00810
0,00270
0,00081
0,00022
0.00006
0,00001
0,67032
0,26813
0,05363
0,00715
0,00072
0,00006
0,8
0,44933
0,35946
0,14379
0,03834
0,00767
0,00123
0,00016
0,00002
4,0
0,01832
0,07326
0,14653
0,19537
0,19537
0,15629
0,10419
0,05954
0,02977
0,01323
0,00529
0,00193
0,00064
0,00020
0,00006
0,00002
од
0,60653
0,30327
0,07582
0,01264
0,0015а
0,00016
0,00001
0,9
0,40657
0,36591
0 Л 6466
0,04940
0,01112
0,00200
0,00030
0,00004
5,0
0,00674
0,03369
0,08422
0,14037
0, Г 7547
0,17547
0 Л 4622
0 Л 0445
0,06528
0,03627
0,01813
0,00824
0,00343
0,00132
0,00047
0,00016
0,00005
0,00001
19?

Таблица IV
к
Таблица значений функции \
т\
т~0
х. а
k ^v
0
1
2
3
4
5
6
7
х. а
k >,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,1
0,904837
0,995321
0,999845
0,999996
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
0.7
0,496585
0,844195
0,965858
0,994246
0,999214
0,999909
0,999990
0,999998
lf000000
0,2
0,818731
0,982477
0,998852
0,999943
0,999998
1,000000
1,000000
1,000000
0,8
0,449,129
0,808792
0,952577
0,990920
0,998589
0,999816
0,999980
0,999999
1,000000
0,3
0,740818
0,963063
0,996400
0,999734
0,999984
0,999999
1,000000
1,000000
0,9
0,406570
0,772483
0,937144
0,986542
0,997657
0,999658
0,999958
0,999997
1,000000
0,4
0,670320
0,938448
0,992074
0,999224
0,999939
0,999996
1,000000
1,000000
1.0
0,367879
0,735759
0,919699
0,981012
0,996340
0,999406
0,999917
0,999990
0,999999
1,000000
0,5
0,606531
0,909796
0,985612
0,998248
0,999828
0,999986
0,999999
1,000000
2,0
0,135335
0,406006
0,676677
0,857124
0,947348
0,983437
0,995467
0,998904
0,999763
0,999954
0,999992
0,999999
1,000000
0,6
0,548812
0,878099
0,976885
0,996642
0,999606
0,999962
0,999997
1,000000
3,0
0,049787
0,199! Ш
0,423190
0,647232
0,815263
0,916082
0,966491
0,988095
0,996196
0,998897
0,999707
0,999928
0,999983
0,999996
0,999999
1,000000
0
1
2
3
4
5
6
0,018316
0,С91579
0,238105
0,433472
0,628839
0,785132
0,889326
5,0
0,006708
0,040428
0,124652
0,265026
0,440493
0,615960
0,762183
6,0
0,002479
0,017352
0,061970
0,151205
0,285058
0,445681
0,606304
7,0
0,000912
0,007295
0,029636
0,081765
0,172991
0,300708
0,449711
8,0
0,000335
0,003019
0,013754
0,042380
0,099632
0,191236
0,313374
9,0
0,000123
0,001234
0,006232
0,021228
0,054063
0,115690
0,206780
108

Продолжение т&6л- IV
^v a
k \.
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
4,0
0,948866
0,978636
0,991867
0,997159
0,999084
0,999726
0,999923
0,999979
0,999994
0,999998
0,999999
0,999999
0,999999
1,000000
5,0
0,866628
0,931806
0,968172
0,986305
0,994547
0,997981
0,999202
0,999774
0,999931
0,999980
0,999994
0,999998
0,999999
0,999999
1,000000
6,0
0,743981
0,847239
0,916077
0,957380
0,979909
0,991173
0,996372
0,998600
0,999491
0,999825
0,999943
0,999982
0,999994
0,999998
0,999999
0,999999
1,000000
7,0
0,598714
0,729091
0,830496
0,901479
0,946650
0,973Э00
0,987188
0,994282
0,997593
0,999041
0,999637
0,999869
0,999955
0,999985
0,999995
0,999998
0,999999
0,999999
1,000000
8,0
0,452961
0,592548
0,716625
0,815887
0,888077
0,936204
0,965820
0,982744
0,991770
0,996283
0,998407
0,999351
0,999748
0,999907
0,999967
0,999989
0,999997
0,999999
0,099999
1,000000
9,0
0,323896
0,455652
0,587840
0,705988
0,Ш(Х)8
0,875773
0,926149
0,958533
0,977964
0,988894
0,994680
0,997573
0,998943
0,9995E0
0,999824
0,999932
0,999974
0,999090
0,999996
0,999998
0,999999
1,000000
Таблица V
Значения u^t
0,9
1,645
удовлетворяющие
0,95
1,960
равенству 2
0,98
2,326
0,99
2,576
0,998
3,09
Таблица VI
Значения t^t удовлетворяющие равенству 2 ^ Sn _ i (х) d.v =
о
где Sn~\ (х) — плотность распределения
Стьюдента с /г—1 степенями свободы
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
22
30
со
0,9
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
,782
1,761
1,746
1,734
1,725
1,717
,697
1,645
0,95
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,179
2,145
2,120
2,101
2,086
2,074
2,042
1,960
0,98
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,681
2,624
2,583
2,552
2,528
2,508
2,457
2,326
0,99
4,0,12
3,707
3,499
3,355
3,250
3,109
3,055
2,977
2,921
2,878
2,845
2,819
2,750
2,576
109

О
ooq со^со t--<м со-^ю.ап со г>-
NCO* О*'О*0ОСТ)'^ЭТ *£fttQ0QCn
> cnJ со с« c^So%t
о о со -со.,0 «о *о
8
о'
5«.<» ОО О с? c[S5 ^^!П СО — «Я31 «*Э 'Л О f*5 !>. О ."^ INO СО Г» СТ> — ■<*• 1^ О
игэ г-":?} -^ ro'ifj <роо ел -^ о5 -е^ю со «э а» ^Т эт го 1Л со с-^аГо*-^ cJ^irTco"»1
— — ^-.-^^ц,сЧС1С1?ЧОЧ(?1!Г1?ОСОГОСОгОСООЭГ^|^'^^:'<'**
о
ас
СО* ift* Г-* СП —^ <
(M—оо
^л^а^го^со.о <# i^. o.ro ^> j> —^ г^ ^5 ^Л.'*' f-.гтэ »-<со '
\.П СО* ЭО* СП —^ cJ УЗ iri<DC~* ОО О*—- С^ СО ьО* СО* « " *^
,г-1—. ——«СЧПСЧСЧС^С^СЧСОООСОСОСОСОС
^COoOCrjOOlO —
СО СО O^C^tO 00^— СО lO 00 О ?*,■* СО^ОО^О С^^ 'А.*^" °Ч.~1 ^
5 со* ^1гГс--эо* стГ~1 м со ^ср с—*эо* en o*<ri со г^«л*со" i>* ст> о~
}
«о
о
а
- эо а> ^*cq со
s
o*
^ ^^^^ ^^^O CO CO CO,CO^CO CO CO CO CO, CO CO CO CO CO CO CO CO CO
о ^n ro-* in со*1>жГсг» o*|-« «2 ^^ со*с^'эо"'о1о*-*(г5 со rf хп&с^эб агГ
s
s
_ ooco^*
X О o*0*^c$co:ori«inco*c^*»oicr*o*~cNcort~^co
5Г
2
ее
at
О.
О О* ^ ^ с^ со со* т^ tf) о* со* с^ эо* oi О* ^ <^ с^ со т^ in* <x>* i^ эо* аэ а* о* ^ ^ со*"
о с* юо сос« oq-^^o
***^^4*^
co*^ooooa*o
I
o_r>- <— со " _
О* О* О*О*г-* »-1 ci c5 со со ^ ift'in co't-" с^"эо~ en o'o'r-* {N со' со" «^ ifi"co" a
ж
I
at
33
СП
Q S W ?« 55 СО <Ё СО СО СО —< 00 СО ^ 00 — СО — f^
25 о — rf h-■—«й о ю о со f— г^со^а^со^с^а^
*ОЪЪ'О* * ^ } * О *^
*м« <Г* SS СО СО -^ ч}< Ю*1Л СО Г**Г^0
* Q О) Л О -> С
i.co,?* en ь-. ^
i О*—* »-* О1 СО*
ч ^CN CN СО* СО* <
0 30 О> О О*-н CN « СО -

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного
переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., 1968.
2. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по мате-
математической физике. М., 1972.
3. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. М., 1960.
4. Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи и упраж-
упражнения). М., 1973.
5. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач
по теории функций комплексного переменного. М., 1975.
6. Гнхман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей
и математическая статистика. Киев, 1979.
7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. М., 1975.
8. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 1969.
9. Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей я
математической статистике. Л., 1967.
10. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математи-
математическая статистика. М., 1982.
11. Крамер Г. Математические методы статистики. М., 1975.
12. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплекс-
комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и
упражнения). М., 1971.
13. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехнике. М.,
1966.
14. Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей. М., 1963.
15. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. M.f
1979.
16. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова. М., 1965.
17. Сборник задач по уравнениям математической физики. /В. С. Влади-
Владимиров, В. П. Михайлов, А. А. Вашарин и др.; Под ред. В. С. Владимирова.
М., 1974.
18. Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по
теории вероятностей. М., 1980.
19. Тихонов А. Н.» Самарский А. А. Уравнения математической физики.
М., 1972.
20. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. М., 1972.
21. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М., 1982.
22. Шостак Р. Я. Операционное исчисление (краткий курс). М., 1972.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . « , , 3
I. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление ... 5
Справочный материал 5
1.1. Извлечение корня E). 1.2. Элементарные функции комплексного перемен-
переменного E). 1.3. Кривые на комплексной плоскости F). 1.4. Дифференцирование
функций комплексного переменного, условия Коши—Римана F). 1.5. Интегри-
Интегрирование функции комплексного переменного G). 1.6. Ряд Лорана ($). 1.7. Изо-
Изолированные особые точки однозначной аналитической функции (8). 1.8. Вы-
Вычеты (*>). 1.9. Вычисление несобственных интегралов от рациональных функ-
функций A0), 1.10. Вычисление несобственных интегралов специального вида A0).
1.11. Вычисление определенных интегралов специального вида A0). 1.12. Пре-
Преобразование Лапласа A0). 1.13. Формулы соответствия A2). 1.14. Изображе-
Изображение кусочно-линейной функции A2). 1.15. Задача Кошн Для обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений A2). 1.16 Формула Дюамсля A3}.
Теоретические вопросы *3
Теоретические упражнения **
Расчетные задания 15
II. Теория вероятностей и математическая статистика 41
Справочный материал 41
2.1. Классическое определение вероятности D1). 2.2. Комбинаторные фор-
формулы D1). 2.3. Геометрическое определение вероятности D2). 2.4. Теорема сложе-
сложения и формула умножения вероятностей D2). 2.5. Формула полной вероят-
вероятности, формулы Байеса D2). 2.6 Схема независимых испытаний D3). 2.7. Законы
распределения и числовые характеристики случайных величин D4). 2.8. Ха-
Характеристические функции D7). 2.9*. Законы распределения функций случай-
случайных аргументов D7). 2.10. Числовые характеристики функций случайных
величин D9). 2.11. Закон больших чисел D9). 2.12. Центральная предельная
теорема для одинаково распределенных случайных слагаемых D9). 2.13. Точеч-
Точечные оценки параметров распределения D9). 2.14. Доверительные интервалы E1).
2.15, Статистическая проверка гипотез E2). 2.16. Критерий согласия X2 E3>.
Теоретические вопросы 5t
Теоретические упражнения 54
Расчетные задания 55
III. Уравнения математической физики » 75
Справочный материал 75
3.1. Задача Штурма — Лиувилля G5). 3.2. Приведение к каноническому виду
линейных уравнений с частными производными второго порядка в случае двух
независимых переменных GG). 3.3. Метод разделения переменных G7). 3.4. За-
дача Коши для нестационарных уравнений (82)
Теоретические вопросы f 83
Теоретические упражнения 83
Расчетные задания 84
Приложение 105
Таблица I A05). Таблица II A06). Таблица 111 A07). Таблица IV A08).
Таблица V A09). Таблица VI A09). Таблица VII (ПО)
Нспочьзованнан литература 1П