/
Автор: Боум А.
Теги: физика механика квантовая механика квантовая физика
ISBN: 5-03-001311-3
Год: 1990
Текст
А. Боум
. ом*
Издательство <Мир>
Arno Bohm
Quantum Mechanics:
Foundations and
Applications
Second Edition, Revised and Enlarged
Prepared with M. Loewe
Springer-Verlag
New York Berlin Heidelberg Tokyo
1986
А. Боум
Квантовая механика
основы и приложения
Перевод с английского
А.В. Леонидова
под редакцией
В.И. Манько
Москва «Мир» 1990
ББК 22.314
Б86
УДК 530.145
Боум А.
Б86 Квантовая механика: основы и приложения: Пер. с
англ. — М.: Мир, 1990. — 720 с, ил.
ISBN 5-03-001311-3
Книга физика-теоретика из США представляет собой подробный курс квантовой ме-
механики, удачно сочетающий строгость изложения математических основ квантовой меха-
механики с подробным и глубоким обсуждением физических аспектов теории, включая вопро-
вопросы теории измерений и обсуждение ключевых экспериментов. Особое внимание уделено
анализу алгебр операторов простейших квантовомеханических систем. Может служить
учебным пособием.
Для студентов и аспирантов, изучающих квантовую механику, преподавателей и науч-
научных работников. '
1604030000 — 102
Б 39 — 90 ББК 22.314
041@1) —90
Редакция литературы по физике и астрономии
ISBN 5-03-001311-3 (русск.) © 1979, 1986 by Springer-Verlag New York Inc.
All Rights Reserved. Authorized translation ,from
English language edition published by Springer-
Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo
ISBN 0-387-13985-0 (англ.) ©перевод на русский язык, Леонидов А. В.,
1990
Учебное издание
Арно Боум
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: ОСНОВЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Заведующий редакцией профессор А. Н. Матвеев
Зам. зав. редакцией С. М. Жебровский. Ст. научный редактор Н. Л. Телеснин
Мл. научные редакторы Р. X. Зацепина, Г. Г. Сорокина, В. Н. Цлаф
Художник А. В. Лисицын. Художественные редакторы К. В. Радченко, О. Н. Адаскина
Технические редакторы Н. И. Борисова, А. 3. Давлетшина. Корректор Р. Л. Вибке
ИБ № 7101
Подписано к печати 31.05.90. Формат 60х90Иб. Бумага офсетная №1. Гарнитура тайме.
Печать офсетиая. Объем 22,50 бум. л. Усл. печ. л. 45,00. Усл. кр.-отт. 45,00.
Уч.-изд. л. 42,44. Изд. № 2/6705. Тираж 5800 экз. Зак. 461. . Цена 5 р. 90 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по печати.
Набрано в Межиздательском фотонаборном центре издательства «Мир».
129820, ГСП, Москва И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Тульская типография Государственного комитета СССР по печати.
300600, Тула, проспект им. В. И. Ленина, 109.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Нерелятивистская квантовая механика развивается более шести де-
десятилетий. Несмотря на это, понимание ее основных закономер-
закономерностей как широкими кругами неспециалистов, так и студентами,
изучающими курс квантовой механики в университетах и инженер-
инженерных институтах типа физико-технического, сталкивается с очень
большими трудностями. Эти трудности связаны с кардинальными
изменениями привычных представлений о положении и перемеще-
перемещении частицы в пространстве, с тем фактом, что невозможно изме-
измерить одновременно координату и скорость электрона, хотя для
классических объектов это сделать просто. Проблема интерпрета-
интерпретации волновой функции частицы, казалось бы достаточно устоявша-
устоявшаяся, вызывает время от времени дискуссии, особенно в связи с раз-
развитием квантовых представлений при исследовании явлений грави-
гравитации и эволюции Вселенной. Неудивительно поэтому, что, хотя
уже имеются прекрасные учебники (см., например, [1 — 4]), сбор-
сборники задач [5, 6], монографии (например, [7, 8]) по квантовой ме-
механике, существует тем не менее необходимость в учебнике, даю-
дающем как новое, более ясное освещение старых проблем квантовой
механики, так и объяснение полученных недавно результатов.
Таким учебником является выдержавшая на Западе уже два из-
издания и переведенная теперь на русский язык книга профессора Те-
Техасского университета Арно Боума. Курс квантовой механики
А. Боума содержит необходимый математический аппарат (гл. I),
причем как раз в той форме (достаточно строгой, но без лишних
математических деталей), которая необходима студентам физиче-
физических специальностей, начинающим изучать квантовую механику.
Сразу объясняются обозначения Дирака и их связь с записью вол-
волновой функции в координатном и импульсном представлениях. До-
Достоинством учебника А. Боума является то, что основные постула-
постулаты и представления квантовой механики даются на простейшем и
важнейшем примере гармонического осциллятора уже в гл. И. Та-
Такое расположение материала методически удобно как для студен-
6 Предисловие редактора перевода
тов, так и для преподавателей курса квантовой механики. В после-
последующих главах автор подробно излагает теорию атома водорода,
теорию спектров атомов и молекул, а также теорию спина электро-
электрона и связанный с этим вопрос о тонкой структуре атомных спект-
спектров. Эти традиционные темы излагаются ясно и подробно, хорошо
иллюстрируются схемами уровней энергии, рисунками и таблица-
таблицами. Следует отметить также главу о двухэлектронной системе —
атоме гелия, где подробно рассмотрен этот достаточно сложный
пример.
Несомненным достоинством книги является изложение в ней не-
неравенств Белла (чего нет в большинстве других учебников по кван-
квантовой механике). Материал главы, посвященной теории этих нера-
неравенств, скрытым переменным и парадоксу Эйнштейна — Подоль-
Подольского — Розена, безусловно поможет обогащению университетских
лекционных курсов по квантовой механике современными раздела-
разделами. Автор с несколько новых позиций излагает также теорию рас-
рассеяния, подробно останавливаясь на диаграммах Аргана, представ-
представление о которых важно для приложений в физике элементарных ча-
частиц. Рассмотренная в последней главе книги теория распада неста-
нестабильных физических систем, также освещающая трудный раздел
квантовой механики, изложена ясно и подробно. Эта глава может
служить хорошим введением в более детальную теорию нестабиль-
нестабильных квантовых систем. Следует отметить, что материал книги об-
обширен и даже подготовленный читатель найдет в ней много инте-
интересного.
Увеличивает полезность книги то, что к ее главам предложен
набор задач, иллюстрирующий важнейшие результаты и принципи-
принципиальные стороны теории, а также имеющий непосредственное отно-
отношение ко многим реальным квантовомеханическим эффектам.
Ввиду того, что книга А. Боума является одним из наиболее
полных курсов квантовой механики, уместно также упомянуть не-
некоторые проблемы, обсуждаемые в недавней литературе [8, 9], со-
созвучные материалу книги и естественно с ним связанные. В частно-
частности, речь идет об уточненном соотношении неопределенностей,
учитывающем корреляции между координатой и импульсом [9].
Еще один интересный вопрос — анализ интегралов движения, кото-
которые в картине Шредингера явно зависят от времени, т.е. о реализа-
реализации динамических симметрии квантовой механики и их теоретико-
групповом анализе. Заинтересованный читатель найдет обсуждение
этих проблем в цитированной выше литературе.
В целом книга А. Боума представляет собой подробный учебник
квантовой механики, в котором удачно сочетается строгость изло-
Предисловие редактора перевода 7
жения математических основ квантовой механики с пространным
обсуждением физических аспектов теории, и будет с благодарнос-
благодарностью встречена читателями.
В. Манько
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974.
2. Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
3. Блохинцев Д. И. Квантовая механика. — М.: Наука, 1979.
А. Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973.
5. Галицкип В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. —
М.: Наука, 1981.
6. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. — М., Мир, 1973.
7. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.:
Мир, 1968.
8. Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния
квантовых систем. — М.: Наука, 1979.
9. Додонов В. В., Манько В. И. — В кн.: Инварианты и эволюция нестационарных
квантовых систем, Труды ФИАН, т. 183. — М.: Наука, 1987.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание этой книги было написано как учебник, который
использовался в одногодичном курсе квантовой механики для сту-
студентов старших курсов. Один из рецензентов убедил меня в том,
что книга может также служить «... в принципе справочником по
нерелятивистской квантовой механике». Поэтому во втором изда-
издании добавлен некоторый материал, чтобы увеличить полезность
книги в качестве справочника. Вместе с тем, если опускать некото-
некоторые главы и разделы, книга по-прежнему может использоваться
как учебник. Изменено также изложение некоторых вопросов, ча-
часто по предложениям коллег и студентов. В результате объем содер-
содержащегося в книге материала превосходит тот, который можно из-
изучить в рамках одногодичного курса. Однако выбор материала для
одногодичного курса не представляет затруднений: для этого мож-
можно в соответствии с индивидуальным вкусом опустить изучение од-
одного или нескольких из следующих наборов глав и разделов: A.7,
XXI}, {X, XI), {XI), {II.7, XIII), {XIV.5, XV), {XIX, XX). Отме-
Отметим также, что материал разд. 1.5—1.8 не является необходимым для
того, чтобы начать изучение физики в гл. II. Проще всего, вероятно,
обойтись без гл. XI, XIII, XIX и XX; я думал исключить некоторые
из них, но у каждой из этих глав нашлись горячие сторонники сре-
среди читателей, которые посоветовали этого не делать.
Гл. I, дополненная некоторыми приложениями из других глав,
может также использоваться как отдельное введение в математиче-
математические методы квантовой механики.
Изложение в книге является замкнутым и не предполагает нали-
наличия каких-либо предварительных знаний в области квантовой меха-
механики, но это — трудная книга вследствие сжатого изложения. Она
содержит большой объем материала — больший, чем тот, кото-
который можно найти в учебниках с вдвое большим числом страниц.
Поэтому некоторое знакомство с предметом было бы очень полез-
полезно. Требуется предварительное знакомство с векторной алгеброй и
анализом. Большинство физических примеров взято из областей
атомной или молекулярной физики, поскольку именно с ними боль-
Предисловие 9
ше всего знакомы студенты на той стадии, когда они изучают
квантовую механику.
В учебниках по этому предмету, написанных полвека назад, ма-
материал и характер изложения такие же, как в первом поколении
книг по квантовой механике. Новые приложения, более глубокое
понимание и более универсальные формулировки при этом часто не
упоминаются. В этом учебнике принят другой принцип изложения.
Здесь представлена единая теоретическая формулировка, которая
стала возможной благодаря дальнейшему развитию теории, и при-
приведены примеры, взятые из недавних статей.
Изменения, внесенные во второе издание, делают материал бо-
более доступным, но общий принцип изложения не изменился. Поэто-
Поэтому уместно процитировать предисловие к первому изданию:
... в отличие от того, что можно найти в стандартных кни-
книгах, квантовая механика содержит больше чем расширенный
корпускулярно-волновой дуализм, отраженный в знакомой ма-
математике дифференциальных уравнений. «Этот последний дуа-
дуализм есть только часть более общего плюрализма» (Вигнер),
так как кроме координаты и импульса имеется много других
наблюдаемых, которые не коммутируют с координатой и им-
импульсом. Поскольку не существует принципа, утверждающего
исключительность операторов координаты и импульса, общий
формализм квантовой механики, в котором внимание, уделяе-
уделяемое конкретной переменной, определяется ее ролью в рассмат-
рассматриваемой задаче, не только более предпочтителен, но часто и
более практичен. . . Именно такой общий формализм кванто-
квантовой теории представлен здесь.
Я попытался пройти весь путь от фундаментальных предпо-
предположений до экспериментальных значений. Чтобы проделать
это в рамках ограниченного объема книги, потребовались ком-
компромиссы. На мой выбор. . . повлияло главным образом то,
что, как я думал, необходимо для современной физики, и то,
что я нашел (или не нашел) в стандартных учебниках. Подроб-
Подробное обсуждение дифференциального уравнения Шредингера в
применении к атому водорода и другим потенциалам можно
найти во многих хороших книгах1 \ С другой стороны, описа-
описание колебательных и вращательных спектров молекул редко
встречается в стандартных учебниках квантовой механики, хо-
хотя они служат простой иллюстрацией важной процедуры по-
!) Этот вопрос также обычно хорошо освещается в учебниках для студентов.
10 Предисловие
строения квантовомеханических моделей. . . . Поэтому послед-
последнему вопросу уделено значительное место, а о первом говорит-
говорится довольно кратко.
Понятие группы в явном виде не использовано в данной книге,
но читатель, знакомый с этим вопросом, заметит, что теория
групп стоит за большинством утверждений, сформулирован-
сформулированных здесь в терминах алгебр наблюдаемых.
Это книга по физике, и, хотя математика используется в
ней широко, я не пытался сделать изложение математически
строгим. . . . Если не считать математических отступлений, ко-
которые помещены в скобках вида | |, читателя даже не преду-
предупреждают об этих математических деталях.
Имеются математические отступления двух типов. В мате-
математических отступлениях первого типа дана необходимая мате-
математика, а отступления второго типа посвящены вопросам ма-
математического обоснования. . . .
Изложение квантовой механики начинается с гл. II, где наи-
наиболее существенные основные предположения (аксиомы) кван-
квантовой механики поясняются на примере гармонического осцил-
осциллятора, реализуемого двухатомной молекулой. Дальнейшие ос-
основные предположения приводятся в последующих главах по
мере развития теории. Эти основные предположения («посту-
(«постулаты») не следует понимать как математические аксиомы, из
которых можно все вывести без дальнейших рассуждений и
размышлений. Аксиоматический подход такого рода в физике,
по-видимому, невозможен. Основные предположения необходи-
необходимо рассматривать как сжатую формулировку квинтэссенции
многих экспериментальных фактов.
Книга состоит из двух легко различимых частей — гл.
II—XI и XIV—XXI, а также двух промежуточных глав XII и
XIII. В первой части изложение более элементарно, хотя речь
идет о более фундаментальных вопросах. ... Во второй части,
которая начинается с гл. XIV, рассматриваются процессы рас-
рассеяния и распада. Здесь характер изложения более сложный.
В гл. XIV приводится вывод формулы для сечения при са-
самых общих условиях. . . . Параллельно рассматриваются две
точки зрения — одна, в которой при очень общих предположе-
предположениях предполагается существование гамильтоновой временной
эволюции, и другая, основанная на использовании 5-матрицы.
Требуемая аналитичность 5-матрицы выводится из причинно-
причинности. Одна из главных особенностей изложения — единообраз-
единообразное рассмотрение дискретного и непрерывного спектров. При
этом необходимо использовать оснащенное гильбертово про-
Предисловие 11
странство, что не только приводит к математическим упроще-
упрощениям, но также делает рассмотрение более близким к физике.
Наибольшие изменения по сравнению с первым изданием внесе-
внесены в гл. 1, XIII и XXI, которые почти полностью написаны заново.
В гл. XXI обсуждается новое понятие векторов Гамова при описа-
описании распадающихся состояний. Эти векторы были предложены в
то время, когда писалось первое издание этой книги, для того что-
чтобы обеспечить требуемое единство описания квантовой механики в
целом. Изложение в гл. I пришлось расширить, чтобы дать мате-
математические сведения, необходимые в гл. XXI. Тот факт, что книга
по физике начинается с математического введения, может вызвать
неправильное впечатление. Поэтому я хочу подчеркнуть, что в кни-
книге экспериментально измеренных величин гораздо больше, чем ма-
математических теорем. Большие изменения сделаны также в гл. II,
IV, XIV, XVI, XVII и XVIII; много изменений внесено в гл. III, V,
VIII и IX. Написано заново приложение к разд. V.3, чтобы дать
простой, но типичный пример построения представлений неком-
некомпактной группы. Из-за ограниченности времени удалось пересмот-
пересмотреть не все главы. Изложение в гл. VII, X, XI и XIX изменено
лишь немного, а гл. VI, XII, XV и XX остались практически таки-
такими же, как в первом издании.
После завершения работы над вторым изданием, как и после выхо-
выхода первого издания, я хочу выразить признательность многим ли-
лицам за их помощь, поддержку и советы. Глава XIII была переписа-
переписана совместно с К. Краусом, который вместе с А. Пересом предло-
предложил также улучшения в изложении материала в гл. П. По материа-
материалу гл. XXI я воспользовался советами Л. Халфина и М. Гаделлы.
Новый вариант гл. I вырос из совместного проекта с Г. Б. Мейн-
ландом. Пересмотр первой части книги производился совместно с
М. Леве. При пересмотре второй части книги мне помогал
Дж. Морс. П. Буш читал корректуру разд. XIII. 1. Я получил много
писем, в которых указывались опечатки и неточности, предлага-
предлагались улучшения. Эти письма вдохновляли меня в утомительной ра-
работе по подготовке второго издания. Я хочу поблагодарить Р. Ска-
леттара, А. У. Климыка, Л. Фонду и Т. Мертельмейера за указа-
указание ошибок в первом издании. Многочисленные опечатки не могли
бы быть исправлены без помощи учащихся из моих групп. Я при-
признателен за поддержку со стороны фонда D.O.E. и фонда Алек-
Александра Гумбольта. Я особенно признателен М. Леве, прочитавше-
прочитавшему корректуру всей книги и внесшему многочисленные улучшения.
Если второе издание получилось лучшим, чем первое, то это глав-
главным образом благодаря ему.
ГЛАВА I
Предварительные сведения из математики
В этой главе дается введение в математический аппарат квантовой
механики. Физические вопросы в ней не обсуждаются.
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Для формулировки ньютоновской механики потребовалось развить
математический аппарат дифференциального и интегрального ис-
исчислений. Хотя некоторое представление о скорости, ускорении и
т.д. можно (особенно в некоторых случаях) получить и без исполь-
использования дифференциального исчисления, настоящий смысл этих по-
понятий в их полной общности становится ясен только после озна-
ознакомления с понятием производной. С другой стороны, абстрактные
математические определения дифференциального исчисления могут
быть освоены только при их воплощении в физической реальности.
Сегодня никто не попытается понять классическую механику, не ис-
используя дифференциальное исчисление.
Квантовая механика также имеет свой математический аппарат
(язык), развитие которого шло параллельно с развитием самой
квантовой механики и создание которого тесно связано с потребно-
потребностями квантовой физики. Это математический аппарат линейных
пространств, линейных операторов, ассоциативных алгебр и т.д.,
развившийся за это время в одну из важнейших областей матема-
математики — линейную алгебру и функциональный анализ. Хотя некото-
некоторое представление о квантовой физике можно получить и не обра-
обращаясь к ее математическому языку, точное и глубокое понимание
физических представлений недоступно тому, кто не знает этого ма-
математического языка.
Исходя из этого, мы начнем курс квантовой механики с озна-
ознакомления со словарем и грамматикой этого языка. Мы не будем
пытаться соблюдать математическую строгость, поскольку можно
общаться, пользуясь и не вполне правильным языком. Мы также
не будем сразу излагать все необходимые математические сведения,
Предварительные сведения из математики 13
и читатель не должен беспокоиться, если он не будет сразу все по-
понимать: лучший путь изучения языка — практиковаться в нем. В
этой главе даются математические сведения в объеме, лишь немно-
немного большем, чем тот, который необходим для формулировки ос-
основных физических положений. В дальнейшем, по мере развития
физических представлений, мы изучим и новые математические по-
понятия.
Прежде чем приступить к изучению математических структур,
используемых в квантовой механике, сделаем следующее замеча-
замечание. Математическая структура не является чем-то реальным —
она существует только в нашем сознании и порождена им (хотя ча-
часто и под воздействием влияний извне). Она формулируется в тер-
терминах выбранного набора объектов, снабженного набором опреде-
определяющих отношений между ними. В современной математике разли-
различают три основные структуры: алгебраическую, топологическую и
упорядочивающую. Математические соотношения, используемые
нами, являются сложными комбинациями этих трех структур. На-
Например, действительные числа обладают алгебраической структу-
структурой, задаваемой обычными законами сложения и умножения; они
обладают топологической структурой, реализующейся в понятии
обычного предельного процесса для бесконечной числовой последо-
последовательности, и они обладают упорядочивающей структурой, зада-
задаваемой соотношениями, использующими символ <.
Мы будем использовать главным образом алгебраические струк-
структуры, хотя, для того чтобы корректно разговаривать на математи-
математическом квантовомеханическом языке, существенны также топологи-
топологические структуры. Мы начнем с определения линейного пространст-
пространства, линейных операторов и дадим определение ассоциативной алге-
алгебры. Это обеспечит нам достаточные знания грамматики и словаря
данного математического языка, чтобы мы могли начать разгова-
разговаривать о физике. Затем мы дадим интуитивное описание некоторых
фундаментальных математических свойств, используемых во всей
книге. В разд. 1.4 мы опишем разложение по собственным векто-
векторам. Это разложение основано на ядерной спектральной теореме —
одном из величайших достижений математики. Мы не будем ни до-
доказывать, ни даже точно формулировать ее, а поясним ее аналоги-
аналогией с обобщенным координатным разложением в трехмерном слу-
случае. Разд. 1.5 содержит описание последовательностей и функций
как координатных представлений линейных пространств, для кото-
которых справедлива ядерная спектральная теорема. Обобщенные соб-
собственные векторы, о которых читатель должен приобрести интуи-
24 Глава I
тивное представление в разд. 1.4 и 1.5, определяются затем как не-
непрерывные функционалы в разд. 1.7 — единственном, в котором
кратко обсуждаются некоторые топологические понятия.
1.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Линейное пространство Ф есть набор элементов ф, фкх, . . ., снаб-
снабженный алгебраической структурой, обобщающей некоторые аспек-
аспекты трехмерного действительного пространства IR3. Элементы, на-
называемые также векторами, по определению подчиняются прави-
правилам, аналогичным хорошо известным свойствам векторов из про-
пространства IR3. Линейные пространства, которые мы определяем, не
являются в общем случае трехмерными, но могут иметь произ-
произвольную размерность N, часто бесконечную, и строиться над ком-
комплексными числами С вместо действительных чисел IR. Линейное
пространство определяется следующими свойствами:
а. Для любых двух элементов ф, ф е Ф определен элемент ф + ф е
е Ф (сумма ф и ф), обладающий следующими свойствами:
ф + ф = ф + ф, B.1а)
(Ф + Ф) + X = Ф + (Ф + *)■ B.16)
В Ф существует элемент 0, называемый нулевым
вектором, обладающий свойством ф + 0 = ф для B.1 в)
любого ф е Ф.
б. Для любого комплексного числа а е С и любого элемента
феФ существует элемент яфеФ, называемый произведением век-
вектора ф на число а, обладающий следующими свойствами:
Н = Ф, B.1г)
Оф = 0. B.1д)
(Нуль в левой части есть число, нуль в правой части есть нулевой
вектор из B.1 в).),
а{Ъф) = {аЬ)ф< a, be С, феФ, B.1е)
а(ф + ф) = аф + аф, ф € Ф, B.1ж)
(а + Ь)ф = аф + Ъф. B.1з)
Элемент (— 1)ф обычно обозначают —ф; используя B.1г), B.1д) и
B.1з), получаем следующий результат:
Предварительные сведения из математики 15
Приведенные соотношения между элементами Ф и комплексны-
комплексными числами определяют линейное пространство, и любой набор
объектов, обладающих этими свойствами, называется линейным
пространством. Часто такие объекты обладают и другими свойст-
свойствами помимо перечисленных.
Разумеется, векторы а, Ь, ... в трехмерном пространстве IR3
удовлетворяют приведенным соотношениям. Вместе с тем множе-
множество комплексных бесконечно дифференцируемых функций, быстро
убывающих на бесконечности, также удовлетворяет этим соотно-
соотношениям. Часто говорят, что абстрактное линейное пространство,
определенное приведенными соотношениями, реализовано другими
математическими объектами, такими как функции, если эти объек-
объекты кажутся нам более «реальными», чем «абстрактные» векторы.
Таким образом, если кто-либо лучше знаком с функциями, он мо-
может предпочесть пространству Ф его «реализацию» пространством
функций.
В физике абстрактные математические объекты реализуются
физическими объектами. Таким образом, «реализация» линейного
пространства, используемая в физике, есть его реализация не в тер-
терминах более знакомых или более интересных математических объ-
объектов, но в терминах физических объектов. В частности,,в кванто-
квантовой физике элементами пространства Ф являются математические
образы чистых физических состояний; таким образом, линейное
пространство «реализуется» физическими состояниями квантовой
системы.
Линейное пространство — это множество с очень скромной ма-
математической структурой. Мы наделим его дополнительной струк-
структурой, определив скалярное произведение. Это понятие снова явля-
является обобщением существующего в трехмерном действительном
пространстве (R3.
Линейное пространство называется пространством со скаляр-
скалярным произведением (или евклидовым пространством, или пред-
предгильбертовым пространством), если в нем определена функция
(ф, ф) двух векторов ф, ф е Ф, которая является комплексным чис-
числом и обладает следующими свойствами:
(ф, ф) > 0 и (ф, ф) = 0 только при ф = 0. B.2а)
(ф, ф) = (ф, Ф) B.26)
(черта сверху обозначает комплексное сопряжение),
(ф, аф) = а(ф, ф) B.2в)
16 Глава I
(а е С — множество комплексных чисел),
@1 + 02, Ф) = @1, Ф) + @2, ф). B.2Г)
Эта функция называется скалярным произведением элементов ф
и ф. Для обычного скалярного произведения в [R3 (а, Ь) = а • Ь ус-
условия B.2а)—B.2г) выполняются тривиально (но все числа действи-
действительные, а не комплексные).
Как и в (R3, два вектора ф и ф называются ортогональными,
если
(ф, ф) = 0. B-3)
При помощи скалярного произведения, определенного соотно-
соотношениями B.2а)—B.2г), вводится норма \\ф\\ вектора ф:
B.4)
Для любого, отличного от нуля, вектора ф всегда можно опреде-
определить вектор ф = i^/ll^ll, обладающий свойством 11^-11 = 1, который
называют нормированным вектором.
Иногда возникает необходимость рассматривать в линейном
пространстве более общее понятие, чем скалярное произведение, —
билинейную эрмитову форму.
Комплекснозначная функция Л@> ф) двух векторных аргументов
является эрмитовой формой, если для нее справедливы соотноше-
соотношения
И(ф, ф) = Цф, ф), B.56)
И(ф, аф) = аЬ(ф, ф) (а е С), B.5в)
, + ф2, ф) = Ыф„ ф) + Кф2, ф). B.5г)
Если, кроме того, h удовлетворяет соотношению
Нф, ф)>0 B.5а)
для любого вектора ф, то h называют положительной эрмитовой
формой. Положительная эрмитова форма называется положитель-
положительно определенной, если
из Л@, 0) = 0 следует 0 = 0 для любого ф. B.6)
Таким образом, для эрмитовой формы выполняются соотношения
B.26)—B.2г), но не условие B.2а) для скалярного произведения.
Предварительные сведения из математики 17
Вместе с тем положительно определенная эрмитова форма, как сле-
следует из B.6), является скалярным произведением.
Положительные эрмитовы формы, не обязательно являющиеся
скалярными произведениями, удовлетворяют неравенству Коши —
Шварца — Буняковского
\Кф,ф)\2<И(ф,фЩф,ф). B.7)
Если форма h положительно определена, равенство в B.7) имеет
место тогда и только тогда, когда ф = аф для некоторого а е С.
Множество М в линейном пространстве Ф называется подпро-
подпространством Ф, если М является линейным пространством по отно-
отношению к так же определенным операциям сложения и умножения
на число, как и для Ф, т.е. если из ф, ф е М следует, что аф е М и
ф + ф Е М.
Выражение вида ахфх + а2ф2 + . • . + апфп называется линейной
комбинацией векторов фх, ф2, . . ., фп; векторы фх, . . ., фп называ-
называют линейно зависимыми, если существуют числа ах, а2..., ап, не
равные одновременно нулю, для которых ахфх + агф2 + ...
...+ апфп = 0. Если уравнение ахфх + а2ф2 + ... + апфп = 0 выпол-
выполняется только при ах = а2 = ... = ап = 0, то векторы фх,
ф2, ..., фп называют линейно независимыми. Пространство Ф назы-
называют конечномерным, или п-мерным, если в Ф существует пине
больше чем п линейно независимых векторов. Если число линейно
независимых векторов в Ф не ограничено, пространство Ф называ-
называют бесконечномерным. Каждая система п линейно независимых
векторов в w-мерном пространстве Ф является базисом пространст-
пространства Ф.
Изоморфизмом двух алгебраических структур stf и & называ-
называется взаимно однозначное соответствие между множествами stf и
36 (т.е. любому 06J/ отвечает одно b е ^, и наоборот: а «-» Ь),
сохраняющее алгебраические операции.
Таким образом, два линейных пространства со скалярным про-
произведением Ф и Ф' являются изоморфными, если из
Фэ/«->/'еФ',
B.8)
следует
«/ + Рд«-«/' + Рд\ olJeC B.9)
(/, 0)ф = (/', £V BЛ°)
461- 2
18 Глава I
Пространства со скалярным произведением (в частности, гиль-
гильбертовы пространства), для которых выполняются условия B.9) и
B.10), называют также изометрическими. Часто имеет место слу-
случай, когда два пространства со скалярным произведением изоморф-
изоморфны как линейные пространства, т.е. между ними существует взаим-
взаимно однозначное соответствие с выполнением условия B.9), но не яв-
являются изоморфными как пространства со скалярным произведени-
произведением, т.е. не выполняется соотношение B.10).
1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Векторы в пространстве (R3 могут трансформироваться друг в
друга. Один из примеров — трансформация вращением R вектора а
в вектор /?а = Ь. По аналогии можно определить преобразования,
или линейные операторы в линейном пространстве Ф. Функция А,
А: Ф — Ф, отображающая каждый вектор ф из линейного про-
пространства Ф в вектор ф е Ф:
Аф — ф,
называется линейным оператором, если для всех ф, феФиаеС
она удовлетворяет условиям
А(ф + ф) = Аф + Аф, C.1)
А(аф) = а А ф. C.2)
Оператор А называется антилинейным, если вместо C.2) он удов-
удовлетворяет соотношению
А{аф) = а*Аф, C.3)
где а* — число, комплексно-сопряженное а.
Операции сложения двух операторов А + В, умножения опера-
оператора на комплексное число аА и умножения операторов АВ опреде-
определяются следующим образом:
(А + В)ф = Аф + Вф, (аА)ф = а(Аф), (АВ)ф = А(Вф), C.4)
для всех ф е Ф. Легко проверить, что А + В, а А и А В являются
линейными операторами, если А и В — линейные операторы.
Особый интерес представляют нулевой оператор, обозначаемый
0, и единичный, или тождественный, оператор, обозначаемый /,
определенные соотношениями
Оф = 0, 1ф = ф C.5)
Предварительные сведения из математики 19
для любого ф е Ф. Заметим, что 0 в левой части есть нулевой опе-
оператор, в то время как 0 в правой части есть нулевой вектор из
B.1в)
Для любого линейного оператора, определенного на любом ли-
линейном пространстве Ф, можно определить оператор А^ соотноше-
соотношением (Л+ф, ф) = (ф, Аф) для любых ф, феФ. Оператор А* назы-
называется оператором, сопряженным оператору А. Оператор, для ко-
которого А* = А, называется самосопряженным, или эрмитовым^.
Определение линейных операторов существенно использует ана-
аналогию со свойствами преобразований в трехмерном пространстве.
Линейные операторы в линейном пространстве Ф могут реализовы-
вать преобразования в физическом трехмерном пространстве но
могут иметь и другие физические интерпретации. В частности, в
квантовой физике им отвечают физические наблюдаемые.
Важными понятиями являются собственный вектор и собствен-
собственное значение. Симметричный тензор в трех измерениях 0 может
быть диагонализован приведением к главным осям:
О • а = 1(а)а, C.6а)
где 1(а) — собственное значение, а а — соответствующий собствен-
собственный вектор. Подобным образом можно определить собственные
значения и собственные векторы в линейном пространстве Ф. Нену-
Ненулевой вектор ф € Ф называется собственным вектором линейного
оператора А, если
Аф = Хф , где АеС; C.66)
X называется собственным значением А, отвечающим собственно-
собственному вектору ф. Для заданного оператора А может быть много
(в том числе бесконечно много) собственных векторов с различны-
различными собственными значениями. Существуют также линейные опера-
операторы на линейных пространствах, не имеющие в них ни одного
собственного вектора.
Если А — эрмитов оператор, А^ = А, то его собственные век-
векторы и собственные значения обладают следующими свойствами:
1) все собственные значения вещественны;
2) если фх и ф2 — собственные векторы А с собственными значе-
значениями X, и Х2 соответственно и если X, Ф Xj, то фх и ф2 взаимно ор-
ортогональны: (фр ф2) = 0.
0 Мы обычно будем использовать термин эрмитов оператор в тех случаях,
когда не важно различие между строго математически определенными понятиями
«самосопряженный», «существенно самосопряженный» и «симметричный».
20 Глава I
Понятие собственного значения играет важную роль в кванто-
квантовой физике: как отмечалось выше, операторы реализуют представ-
представление наблюдаемых физической системы. Собственные значения яв-
являются в этом случае числами, которые можно получить при изме-
измерении одной из этих наблюдаемых.
Оператор В называется обратным оператору А, если
ВА = АВ = /. C.7а)
Он обозначается
В = А~1. C.76)
Линейный оператор U называется унитарным, если
UW = UU* = I. C.8а)
Как следует из C.7), для унитарного оператора выполняется также
соотношение
W = U-\ C.86)
Пусть А и В — два оператора; А и В коммутируют, если
[Л, В] = АВ - В А = 0. C.9)
[А, В] называется коммутатором операторов А и В.
Множество $/ является {ассоциативной) алгеброй с единицей,
если:
а) &/— линейное пространство;
б) для каждой пары А, В е <af определено произведение АВ е $£
такое, что
(АВ)С = А(ВС), C.10а)
А(В + С) = АВ + АС, C.106)
(А + В)С = АС + ВС, C.10в)
(аА)В = А(аВ) = аАВ. (ЗЛОг)
в) существует элемент /е ja^ такой, что
1А = А1 = А C.11)
для всех А е szf.
Предварительные сведения из математики 21
Подмножество £>/х алгебры называется подалгеброй &/, если
stfx является алгеброй с теми же определениями операций сложе-
сложения, умножения на число и умножения, что и srf, т. е. из А, В е з/х
следует А + В е £flt аА е &?[ и АВ е £fr
Алгебра srf называется *-алгеброй, если на алгебре определена
*-операция (инволюция) А — А\ определенная соотношениями
г) {аА + ЬВ? = аА^ + ЬВ\
(АВУ = #Л\
(АУ =А,
V = 1,
где А, В е &/ и а, Ъ е С. Из определений суммы операторов и про-
произведения оператора на число, данных в C.4), и формального опре-
определения сопряженного оператора можно видеть, что множество
линейных операторов удовлетворяет всем четырем аксиомам
*-алгебры. Таким образом, совокупность линейных операторов на
линейном пространстве образует '-алгебру; *-подалгебра этой алге-
алгебры называется операторной *-алгеброй. Можно показать, что в
определенном смысле любую *-алгебру можно реализовать как
операторную *-алгебру в пространстве со скалярным произведени-
произведением (обобщение теоремы о реконструкции Гельфанда — Наймар-
ка — Сигала). В квантовой механике предполагается, что физиче-
физические системы описываются операторными * -алгебрами.
Набор Хх, Х2, . . ., Хп элементов ^называется набором генера-
генераторов, и говорят, что stf генерируется Xi (/ = 1, 2, . . ., п) тогда и
только тогда, когда каждый элемент из stf может быть записан в
виде
A = cl+ JjciXi + tcijXiXj + ---, (ЗЛЗ)
где с, с', с°, ... е С.
Определяющими алгебраическими соотношениями называются
соотношения между генераторами
Р(Х{) = 0, C.14)
где P(Xt) — полином с комплексными коэффициентами от п пере-
переменных Хг. Элемент В е &/:
В = Ы + X VX{ + X b»XtXj + • • -, C.15)
22 Глава I
где b, b', ... eC, равен элементу А тогда и только тогда, когда
разложение C.15) может быть приведено к виду C.13) с теми же
коэффициентами с, с', с'Л ... при использовании определяющих со-
соотношений C.14).
1.4 БАЗИСЫ И РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ
ВЕКТОРАМ
Как и в трехмерном пространстве IR3, можно ввести систему базис-
базисных векторов и в общем линейном пространстве Ф. В IR3 удобно
выбрать совокупность трех нормированных векторов
ei, e2, е3, Не/11 = 1,
ортогональных друг другу:
ere/ = bij, i, j = 1, 2, 3.
Такая ортонормированием базисная система всегда может быть
выбрана в линейном пространстве со скалярным произведением Ф.
Мы будем использовать для этих базисных векторов одно из следу-
следующих обозначений:
е1 = \ед = \», /= 1, 2, 3, .... N. D.1)
Их скалярные произведения обозначим одним из следующих спосо-
способов:
(ft, ej) ж (etlej) ж </[/> = 6и, /, у = 1, 2 D.2)
Если пространство Ф TV-мерно, то в соответствующей ортонорми-
рованной базисной системе имеется N линейно независимых векто-
векторов; N может быть бесконечно большим.
Базисная система векторов, удовлетворяющая D.2), может быть
выбрана произвольным образом, но удобно выбирать ее так, что-
чтобы математическая формулировка рассматриваемой физической за-
задачи имела бы наиболее простой вид. Например, если рассматри-
рассматривать описание твердого тела в обычном трехмерном пространстве
тензором инерции I, то удобно выбрать базисную систему е,, / =
= 1, 2, 3, такую, что
т.е. выбрать в соответствии с C.6а) собственные векторы тензо-
тензора D.
Предварительные сведения из математики 23
Подобным образом очень удобно выбрать в качестве базисной
системы для пространства физических состояний Ф собственные со-
состояния оператора А, отвечающего важной наблюдаемой рассмат-
рассматриваемой физической системы (обычно в качестве А используют
оператор энергии Н, оператор координаты Q или оператор импуль-
импульса Р). Таким образом, в качестве базисного удобно выбрать набор
векторов ejt удовлетворяющих условию
Aei = aiei, а(еС, D.3)
где а, — собственные значения А. Эти нормированные собственные
векторы часто обозначают
et = |fl,) или е{ = К>.
Символ I > с буквами ф, а или /, обозначающими вектор ф, соб-
собственное значение а или индекс собственного значения /, называет-
называется «кет»; символ < I с соответствующими буквами в нем называет-
называется «бра» [1].
В трехмерном пространстве IR3 каждый вектор V можно разло-
разложить по базисной системе векторов, являющихся собственными
векторами произвольного симметричного тензора, т.е.
v = Zе*^' где vi = ei' v D-4а)
являются значениями компонент вектора V по отношению к базису,
составленному из собственных векторов (cj симметричного тензора
D C.6а). То же самое можно доказать для любого конечномерного
линейного пространства со скалярным произведением Ф. Это озна-
означает, что для любого эрмитова оператора А в конечномерном про-
пространстве Ф существует система собственных векторов D.3)
Аех = а{е{, i = 1, 2,..., N (N конечно),
таких, что любой вектор ф е Ф можно записать в виде
Ф= £е,(е„Ф)= ЪеМф), D-46)
где комплексные числа
с, = (е„ф)з(а,|ф) D.5)
являются компонентами вектора ф по отношению к базису (е,.).
24 Глава I
Набор чисел at (являющихся действительными для эрмитова А)
называется спектром оператора А, а приведенное утверждение на-
называется спектральной теоремой для оператора А в конечномерном
пространстве. Выражение D.46) называется спектральным разло-
разложением вектора ф, или разложением ф по собственным векторам.
Для бесконечномерных пространств приведенное утверждение в
общем случае не выполняется. Более того, в квантовой физике воз-
возникают операторы, набор собственных значений которых является
непрерывным множеством или даже объединением дискретного и
непрерывного множеств.
Могло бы случиться так, что все операторы, появляющиеся в
квантовой физике, обладали бы тем свойством, что множество их
собственных значений было дискретным. Это имело бы место, ес-
если измерение любой наблюдаемой в квантовой физике давало дис-
дискретный ряд значений. В этом случае понадобилось бы только бес-
бесконечномерное обобщение соотношений D.3) и D.4). Но в физике
существуют наблюдаемые, измерение которых может дать любое
значение из непрерывного числового множества. (Например, наб-
наблюдаемые координаты и импульса могут во многих случаях прини-
принимать любое значение х в интервале — » < х < +оо.) Таким обра-
образом, необходимо не просто бесконечномерное обобщение (которое
может быть осуществлено в гильбертовом пространстве), а непре-
непрерывное бесконечномерное обобщение соотношений D.3) и D.4). В
действительности существуют пространства Ф, точнее существуют
топологии бесконечномерных линейных пространств, для которых
можно доказать справедливость обобщения конечномерного спект-
спектрального разложения для всех самосопряженных операторов, кото-
которые нужны в физике1). Это обобщение есть ядерная спектральная
теорема. Поскольку разложение по собственным векторам так важ-
важно для физики, мы будем работать только с такими пространства-
пространствами, для которых эта теорема справедлива.
Мы не можем изложить здесь соответствующую математику и
объясним разложение по собственным векторам в дискретном и не-
непрерывном случаях, пользуясь аналогией с конечномерными соот-
соотношениями D.46) или D.4а). Мы рассмотрим дискретный и непре-
непрерывный случаи по отдельности; в общем случае произвольного са-
^ Пространство Ф, сопряженное ему пространство Фх (см. разд. 1.7 и тесно свя-
связанную с этим теорию распределений) и образованный ими с гильбертовым про-
пространством Jf триплет Ф С ТсФх не были известны во время появления кванто-
квантовой механики. Возникновение этих математических структур связано с развитием
квантовой теории.
Предварительные сведения из математики 25
мосопряженного оператора в физике возникает комбинация этих
двух случаев.
Самосопряженный оператор с дискретным множеством соб-
собственных значений обозначим Я, а оператор с непрерывным мно-
множеством собственных значений обозначим Q. Тогда спектральная
теорема утверждает:
Существует набор собственных векторов I Еп) в дискретном слу-
случае и I х) в непрерывном случае:
Н\Еп) = Е„\Е„), Еп = Ео, Еи Е2, ..., D.3г)
Q\x) = х\х); - оо <т< М< + оо, D.3в)
таких, что для любого феФ имеет место разложение по этим соб-
собственным векторам:
ф= £ | £„)(£„ |ф), D.4г)
л = 0
ф = Г </х|х><х|0>, D-4в)
причем 0 = 0 тогда и только тогда, когда все его компоненты рав-
равны нулю, т. е. (Еп I 0) = 0 для всех Еп и <лг I 0> = 0 для всех л:1*.
Система собственных векторов \Еп) или 1л:>, обладающая этими
свойствами, называется полной, или базисной системой. Таким об-
образом, спектральная теорема обеспечивает существование полной
системы собственных векторов самосопряженного оператора. Вели-
Величины (£"„10) или <дс10> называются компонентами вектора ф в ба-
базисах [\Еп)\ и [!*>] соответственно. Они являются, как и в трехмер-
трехмерном случае, скалярными произведениями собственных векторов
и 0:
, 0), D.5в)
= (\Еп), 0). D.5г)
1} Простые невырожденные формы соотношений D.4в), D.4г) имеют место в
том случае, когда оператор А (// или Q) является циклическим, т. е. существует
вектор /е Ф такой, что операция Anf ш / . генерирует все пространство Ф, т. е.
любой вектор 06 Ф можно записать в виде ф = t,nf{n)c(n)' где с(л) — комплексные
числа. Вырождение спектра, возникающее при использовании нескольких квантовых
чисел, обсуждается ниже.
26 Глава I
Таким образом, величины (Еп \ф) являются бесконечномерным об-
обобщением величин Vj в D.4а) в дискретном случае, а <* I ф) — в не-
непрерывном случае
В то время как I Еп) являются обычными собственными векто-
векторами, \х) называются обобщенными собственными векторами, или
собственными кет-векторами. Хотя мы можем обращаться с ними
как с обычными собственными векторами, математически сущест-
существует важное различие между дискретными базисными векторами
I Еп) и непрерывными базисными векторами I х): векторы I Еп) ле-
лежат в пространстве Ф, а векторы I jc> лежат в пространстве Фх не-
непрерывных антилинейных функционалов на Ф. Мы определим и
объясним эти математические понятия в разд. 1.7. Здесь мы попы-
попытаемся пояснить смысл этих обобщенных собственных векторов по
аналогии с конечномерным случаем.
Набор собственных значений Еп в D.3г) называется спектром
оператора Н. Если Н имеет дискретный набор собственных значе-
значений, спектр называется дискретным. Все собственные векторы I Еп)
участвуют в разложении вектора по дискретному базису, и не су-
существует собственных векторов, имеющих дискретные собственные
значения и не входящих в разложение вектора по базису D.4г). Не-
Непрерывный набор собственных значений х, собственные векторы
для которых участвуют в обобщенном разложении по собственным
векторам D.4в), называется непрерывным спектром оператора Q.
В общем случае, а это зависит от свойств пространства Ф, существу-
существует большее количество обобщенных собственных векторов Q, т.е.
кет-векторов, для которых выполнено соотношение D.3в) и точное
определение которых дано в разд. 1.7, чем входит в разложение по
собственным векторам D.4в). Их обобщенные собственные значе-
значения мы не будем включать в определение непрерывного спектра. В
то время как дискретные собственные значения самосопряженного
оператора всегда являются действительными, обобщенные соб-
собственные значения не обязательно действительны: они могут
быть как действительными, так и комплексными, и даже в том
случае, когда они действительны, они не обязательно должны при-
принадлежать спектру, т.е. входить в интеграл D.4в). Но для самосо-
самосопряженного оператора всегда существует действительное подмно-
подмножество множества обобщенных собственных значений, для которо-
которого соответствующий набор собственных векторов является пол-
полным.
В наиболее общей форме спектральная теорема для оператора
А, представляющего физическую наблюдаемую, объединяет соот-
Предварительные сведения из математики 27
ношения D.4г) и D.4в):
ф = 2>М10> + Jdfl|fl><fl|0>, D.4д)
где суммирование проводится по дискретному спектру, а интегри-
интегрирование по непрерывному спектру А. Может случиться, что неко-
некоторые из значений а,, появляющихся в сумме, появляются также и
в интеграле. В этом случае они называются дискретными собствен-
собственными значениями в непрерывном спектре. Если это имеет место
для некоторого ак, то \ак) по-прежнему ортогонален всем \а),
включая lo^), т.е.
для
J fllfl><fll<p>-
Спектральная теорема D.46), D.4в), D.4г) или D.4д), которую
мы здесь принимаем без доказательства1), является центральным
утверждением, из которого следуют все дальнейшие результаты
этого раздела.
Чтобы убедиться, что координаты (Еп\ф) действительно явля-
являются тем, что указывает их обозначение, т.е. скалярными произве-
произведениями вектора и базисного вектора \Еп), мы вычислим скалярное
произведение D.4г) и собственного вектора I Ет). Из соотношения
D.4г) следует
Поскольку I Ет) и \Еп) являются собственными векторами одного и
того же эрмитова оператора Н, при Еп Ф Ет они должны быть ор-
ортогональны друг другу:
Для случая Еп = Ет введем нормировку
(|£„Х|£Я))= |||£„)||2 = 1. D.7")
!) Конечномерный случай D.46) легко сводится, как показано в разд. 1.5 (см. в
особенности уравнение E.17)), к задаче о числе корней полинома степени N. Соотно-
Соотношения D.4г) и D.4в) требуют гораздо более серьезной математической подготовки:
см. [2J, т. 4 и [3].
28 Глава I
Объединяя приведенные соотношения, запишем
(\Ет), \Е„)) = (Ет\Е„) = ЬЕщЕт = Ьпт\ п, т = 1, 2, ..., D.7г)
где символ Кронекера 5 определен соотношением
П
*» = ы [0 при п ф т.
Таким образом, эти собственные векторы самосопряженного опе-
оператора Н обладают свойством D.2), как и требуется для ортонор-
мированных базисных векторов. Подставляя D.7г) в D.6г), полу-
получаем
Это ожидаемое тождество D.5г).
Спектральная теорема D.4г) может быть записана в различных
формах: можно опустить произвольный вектор ф е Ф в обеих ча-
частях равенства D.4г) и получить спектральное разложение тож-
тождественного оператора 1Х):
= S \Еп)(Еп\. D.9г)
/1 = 0
Можно подействовать на обе части равенства D.4г) оператором Н:
Нф= £ Н\£„)(£„|ф)= £ Еп\£„)(£„|ф),
п=0 л=0
и затем опустить в обеих частях равенства произвольный вектор ф,
получая
л= Z£J £„)(£„!• D. Юг)
л = 0
Это тождество, связывающее оператор Н и взвешенную сумму опе-
операторов I En)(En I, называется спектральным разложением самосо-
самосопряженного оператора Н с дискретным спектром.
Можно рассмотреть скалярное произведение вектора D.4г) с
'* Величины Лп = I Еп)(Еп I являются проекционными операторами, определен-
определенными в математическом приложении на с. 83.
Предварительные сведения из математики 29
другим вектором ф е Ф, получая
(Ф, Ф)= f С*А 1 £„)(£„ 1Ф) = I (Ея\ф)*(Ея\ф). D.11г)
и = 0 п=0
В частности, если выбрать ^ = ф, то получим
11Ф112 = (Ф, Ф)= t (ФЮ(Е„\ф) = f |(£„|ф)|2. D.12г)
л = 0 л = 0
Выражение D.11 г) является аналогом формулы
для обычного скалярного произведения в пространстве IR3.
Как и для трехмерного пространства IR3, вектор ф полностью
определяется своими компонентами (Еп\ф) по отношению к задан-
заданному базису \Еп). Вместе с тем в отличие от трехмерного про-
пространства [R3, где любой набор трех вещественных чисел (xlt x2, х3)
определяет вектор х, или в отличие от TV-мерного комплексного
пространства CN, где любой набор N комплексных чисел (£,,
£2 £д,) определяет вектор х, произвольному бесконечному на-
набору комплексных чисел
не отвечает, вообще говоря, вектор в Ф. Как можно видеть из
D.12г), чтобы определить скалярное произведение, бесконечная по-
последовательность чисел, определяющих вектор, должна, как мини-
минимум, удовлетворять условию
11Ф«12<оо, D.12г')
т.е. она должна быть с суммируемым квадратом. Если, далее, воз-
возникает необходимость потребовать, чтобы каждый оператор А,
представляющий физическую наблюдаемую, был определен на всем
пространстве Ф, то все Аф должны быть хорошо определены в Ф, а
это означает, что (Аф, Аф) должно быть конечно. Выбирая А =
= HP, тер = 0, 1, 2. . . — произвольный показатель степени, по-
получаем вытекающее из этого требования условие
30 Глава I
(Нрф, Н"ф) = £ (ф|Н"|£„)(£„\Н"\ф)
" = ° D.13г)
= £ Е„2р|(£п|фI2 < х для всех р = 0, 1, 2, ... .
Таким образом, не только [(£"„10I/1 = 0, 1, 2. . .] должна быть с
суммируемым квадратом, но также и последовательность
\ЕР (Еп I 0)} должна быть с суммируемым квадратом для любого
Р = 0, 1
К счастью эти (топологические) вопросы о явлениях, происходя-
происходящих на бесконечности, не слишком важны для физики, поскольку
экспериментально измеримо лишь конечное число значений \(Еп,
0I.
Обратимся теперь к рассмотрению непрерывного спектра и про-
проведем аналогичные рассуждения для этого случая. Вычислим ска-
скалярное произведение ф с обобщенным собственным вектором \хI\
используя уравнение D.4в):
Перепишем это равенство, определив новый символ
в виде
<дс10> — компонента вектора ф вдоль направления, определяемого
базисным вектором \х), Aдс>, 0) — скалярное произведение ф и ба-
базисного вектора \х). Как это следует из D.5), две эти величины
должны быть равны друг другу. Следовательно, D.6в) имеет вид
Скалярные произведения <^10> являются функциями непрерывной
переменной у подобно тому, как произведения (Еп\ф) являются
') Точнее, если использовать понятия, введенные в разд. 1.7, мы вычисляем зна-
значение Aдг>, ф) функционала 1дг> на векторе ф е Ф; Aдг>, ф) ~ <xl</>> есть обобщение
обычного скалярного произведения.
Предварительные сведения из математики 31
функциями дискретной переменной Еп. Уравнение D.6в') утвержда-
утверждает, следовательно, что математическая величина (х\у) обладает
тем свойством, что она отображает функцию ф{у) = {у\ф) путем
ее интегрирования в ее значение в точке х: ф(х) = <xl0>. Не су-
существует «хорошей»1), даже локально интегрируемой функции, об-
обладающей этим свойством.
Подобная величина называется распределением, или обобщен-
обобщенной функцией. Распределение (х\у), определенное соотношением
D.6в') на классе разумных функций ф(х) = <дс1ф>, называется
б-функцией Дирака и обозначается по аналогии с D.7г) следующим
образом:
<x|j»> = S(x - у). D.7в)
5(дг — у) есть обобщение символа Кронекера ЬЕ„Ет> который обыч-
обычно определяется соотношением D.8), но который можно также
определить соотношением
№т\Ф)= 1^ЕтЕ„(Еп\Ф) D.6Г')
для класса бесконечных последовательностей [(Еп\ф)}. Когда мы
будем использовать функциональные последовательности б-типа в
разд. И.8, мы увидим, в каком смысле 8(х — у) можно рассматри-
рассматривать как обобщение правой части D.8).
Собственные векторы \Еп) нормированы на 1 соотношением
D.7"); обобщенные. собственные векторы \х), удовлетворяющие
соотношению D.7в), называются нормированными функциями.
Они не являются безразмерными, а имеют размерность 1/Vdim dx.
Например, если dx имеет размерность сантиметра, то <#' \х) имеет
размерность см, а \х) имеет размерность см~1/2.
Вместо обобщенных собственных векторов, нормированных на
б-функцию соотношением D.7в), можно также использовать обоб-
обобщенные собственные векторы Q с другой нормировкой. Вместо
D.4в) запишем
ф=
где U)M — собственные векторы Q:
D.3BJ
/*'
0 Определение «хорошей» функции см. на с. 34. — Прим. перев.
32 Глава I
= dfi(x)/dx — действительная неотрицательная интегрируе-
интегрируемая функция
Чтобы новые компоненты ф р[ х I ф) являлись скалярными про-
произведениями ф и новых собственных векторов \х\р, т.е. чтобы
^ D.6в/)
необходимо потребовать
ЫУ) ЛХ\У}Р = <*У <х\у> = dy 5(x - у).
Поэтому новые обобщенные собственные векторы нормированы
следующим образом:
Таким образом, если интегрирование производится с весовой функ-
функцией р(х), условие нормировки обобщенных собственных векторов
содержит множитель р~1(х).
Преобразование от одной базисной системы к другой имеет вид
\x}=\xy—L=. D.14)
Наиболее адекватный выбор функции р(х) зависит от свойств опе-
оператора Q и от соотношений между ним и остальными оператора-
операторами, участвующими в задаче1*.
Как и в случае дискретного спектра, спектральная теорема D.4в)
может быть записана в различных формах. Опуская произвольный
вектор ф, получаем разложение единицы:
'* Ядерная спектральная теорема для произвольного самосопряженного операто-
оператора на самом деле не утверждает, что имеет место соотношение D.4г), а утверждает,
что справедливо D.4в ) с мерой общего вида dn(x), и ничего не утверждает о спект-
спектральной мере dft(x), кроме утверждения о ее существовании. Вместе с тем все опе-
операторы, используемые в физике, имеют специальный вид, так что или
d(i(x) = p(x)dx, где р{х) — упоминавшаяся в тексте функция (о таких операторах
говорят, что они обладают абсолютно непрерывным спектром, для них всегда вы-
выполнимо преобразование D.14) от \х\р к 1дг>), или они обладают тем свойством,
что dn(x) = Ех.8(х - xt)dx (это операторы с дискретным спектром), или они обла-
обладают как абсолютно непрерывным, так и дискретным спектрами. Таким образом,
соотношение D.4г) имеет самую общую необходимую для физики форму.
Предварительные сведения из математики 33
/ = Jdx|x><x| = Jp(x)dx|x}pp{x|. D.9в)
Умножая обе части D.4в) на оператор Q и опуская затем произ-
произвольный вектор ф, получаем, используя D.3в), выражение
Q = Г</хх|х><х| D.10в)
которое можно назвать спектральным разложением самосопряжен-
самосопряженного оператора Q с абсолютно непрерывным спектром.
Скалярное произведение двух векторов ф, ф е Ф, как это следует
из D.4в), имеет вид
(ф,ф) =
Из соотношений (ф, ф) = (ф, ф)т и (ф, ф) = \с!х(ф\х) (х\ф) для
любых ф, ф € Ф заключаем, что для обобщенного скалярного про-
произведения имеем то же соотношение, что и для обычного скалярно-
скалярного произведения:
Используя обозначение
ф(х), <х\фУ = ф*(х),
можно переписать выражение D.Ив) в виде
(ф, ф) = (dx ф*(х)ф(х). D.11в')
В частности, если выбрать ф = ф, получаем
\\ф\\2 = (ф, ф) = jdx ф*(х)ф(х) = jdx \ф(х)\2. D.12в)
Отсюда мы видим, что компонентами вектора ф е Ф при разложе-
разложении по непрерывному базису 1х> могут быть не любые функции
Ф(х), но только такие функции, для которых существует интеграл в
161 3
34 Глава I
правой части уравнения D.12в), т.е. квадратично интегрируемые
функции1 К
Если потребовать, чтобы на всех элементах пространства Ф бы-
были хорошо определены как оператор Q, так и все его степени QP
(р = О, 1, 2. . .), то должно выполняться соотношение
\\<2РФ\\2 = (BРФ, <2РФ) = jdx х2р\ф(х)\2 < оо. D.13b)
Таким образом, \ф(х)\ должно убывать быстрее любой степени х.
Если и другие операторы также должны быть определены на всем
Ф, на компоненты (х\ф) вектора ф е Ф надо наложить дополни-
дополнительные условия. Таким образом, Ф должно быть реализовано про-
пространством, много лучшим, чем L2. Примером такой реализации Ф
является пространство Шварца S; пространство S определяется
как пространство бесконечно дифференцируемых комплекснознач-
ных функций, которые убывают вместе со своими производными
на бесконечности быстрее любой степени l/х. Такие функции мы
называем «хорошими».
Может случиться, что пространство Ф таково, что компоненты
всех векторов феФ по непрерывному базису \х), ф(х) = (х\ ф),
являются граничными значениями аналитических функций ф(г) на
комплексной плоскости или на области комплексной плоскости, на-
например на нижней полуплоскости. Тогда контур интегрирования
в D.11в') можно деформировать, получая
(ф,ф)= f ^ dx ф*(х)ф(х) =
•I -ас *
= Г Л:<<Иг><2|ф>. D.15)
Здесь <f может быть любым контуром, который получается из
контура, проходящего вдоль действительной оси, деформировани-
деформированием внутри области аналитичности, не пересекая сингулярности.
Этим определяются обобщенные собственные векторы I z) самосо-
'* Пространство со скалярным произведением, в котором скалярное произведе-
произведение реализовано интегралом D.11в'), называется пространством квадратично инте-
интегрируемых функций L2. Если пространство со скалярным произведением является
полным, то оно называется гильбертовым пространством. Поэтому пространство
со скалярным произведением называют также предгильбертовым. Другой реализа-
реализацией гильбертова пространства является пространство бесконечных последователь-
последовательностей с суммируемым квадратом (см. D.12г')).
Предварительные сведения из математики 35
пряженного оператора Q:
Q\z) = z\z> D.16)
с комплексными собственными значениями z. Эти обобщенные соб-
собственные векторы I z > могут быть также использованы в обобщен-
обобщенном разложении вектора по базису. Оно получается из D.15), если
опустить в нем произвольный вектор ^еФ:
ф = Г
D.4вв)
Таким образом, вместо использования обобщенного разложения по
обобщенным собственным векторам I х) с х е IR D.4в) в этом слу-
случае можно также использовать обобщенное базисное разложение
D.4вв) по обобщенным собственным векторам \z) с комплексными
собственными значениями г € С. Эта возможность будет использо-
использована при описании распадающихся состояний.
1.5. РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРОВ И ЛИНЕЙНЫХ
ПРОСТРАНСТВ
Мы уже упоминали о том, что компоненты любого вектора ф е Ф
по отношению к базисной системе представляют собой реализацию
пространства Ф. Трехмерный вектор х в пространстве /?3 реализу-
реализуется, таким образом, последовательностью (xlt x2, х3) своих компо-
компонент Xj = e,-x. Значения компонент зависят, разумеется, от вы-
выбранного базиса. Если взять другой базис е/, то компоненты того
же вектора х изменятся: х[ = е/*х.
В конечномерном линейном пространстве со скалярным произ-
произведением координатами являются конечные последовательности
комплексных чисел D.5). В бесконечномерном пространстве ими яв-
являются или бесконечные последовательности ф1 = (Е(\ф) ш (Лф),
которые удовлетворяют некоторым условиям — таким, как
D.12г') и D.13г), или непрерывные бесконечные последовательно-
последовательности ф(х) = <х1ф>, т.е. функции непрерывной переменной х, также
удовлетворяющие дополнительным условиям — таким, как D.12в)
и D.13в).
Как и в трехмерном случае, при изменении базиса пространства
изменяются и компоненты заданного вектора ф. Таким образом,
если в дополнение к оператору Н из D.3г) рассмотреть другой one-
36 Глава I
ратор А, имеющий, как и Н, дискретный спектр
А\а(У = а,-|а,->, at = а0, а,, а2,..., E.1)
то тот же вектор ф из D.4г) можно разложить следующим обра-
образом:
где для удобства написания положено I /> я fa,).
Если операторы А и Н не коммутируют, то компоненты <а,1ф>
и (Еп\ф) совершенно различны. Компоненты можно записать в ви-
виде матриц-столбцов
E.3)
Матрицы-столбцы можно складывать, осуществляя сложение по-
покомпонентно, их можно умножать на число, умножая на него каж-
каждую компоненту; скалярное произведение матриц-столбцов можно
определить как крайнее справа выражение в D.11 г). Пользуясь эти-
этими определениями, легко видеть, что множество матриц-столбцов
</1ф>, </1^>, </1х>» •..,/= 1, 2, 3. . ., является линейным про-
пространством со скалярным произведением С*} (см. также задачу 1).
Подобным же образом множество матриц-столбцов компонент по
базисной системе [\ЕП)\ЕП = £,, Е2, . . .), а именно (Еп\ф), (Еп\ф),
(Еп\\), . • ., является линейным пространством со скалярным про-
произведением CJw). Легко видеть, что С(°£л) и С(* изоморфны друг
другу и изоморфны пространству Ф:
Таким образом, можно определить пространство Ф, рассматри-
рассматривая множество всех бесконечных матриц-столбцов. Например, мы
Предварительные сведения из математики
37
определим С(£л) как пространство всех (Еп\ф), удовлетворяющих
D.13г) с Еп = (п + 1/2), п = 0, 1,2...; пространство Ф может
быть определено как пространство, изоморфное С*Е I). Таким об-
образом, один и тот же вектор может быть реализован совершенно
различными матрицами-столбцами.
Если векторы реализуются матрицами-столбцами, то операто-
операторы реализуются квадратными матрицами. Мы получаем матрицу,
отвечающую оператору В, следующим образом.
Вычисляем
Вф = £Я1О<1Ф> E.5)
и берем скалярное произведение этого уравнения с 1а>
E.6)
В матричных обозначениях это соотношение имеет вид
/О\Вф)\
<2\Вф)
\о\вф)
1<\\В\\)
<2|Я|2>
<3|Я|2>
E.7)
Правая часть равенства E.6) дает определение умножения квадрат-
квадратной матрицы на матрицу-столбец в правой части E.7). Таким об-
образом, мы видим, что оператор В реализуется бесконечномерной
матрицей
B~{j\B\i) =
E.8)
\
которая называется матрицей оператора В по отношению к базису
A/>1/ = 1, 2, 3.. .).
'* Пространство С(£- ) имеет естественную топологическую структуру, которую
затем наследует Ф; тогда Ф является наибольшим пространством, в котором все
операторы Нр, р = 0, 1, 2. . ., непрерывны, и его топологическая структура может
быть определена исходя из этого требования.
38 Глава I
Пусть теперь D — еще один оператор. Рассмотрим действие
D + В на базисный вектор 1/>, используя C.4):
(В + D)\i) = B\i> + D\i}.
Взяв скалярное произведение обеих частей этого уравнения с базис-
базисным вектором \j)t получаем, используя B.2г),
<J\(B + D)|i> = (j\B\i) + <J\D\i). E.9)
Таким образом, матрица суммы линейных операторов равна
сумме матриц, определенной в правой части E.9). Рассмотрим те-
теперь матричные элементы DB и используем разложение единицы
D.9г) для базиса E.1):
(j\DB\i}= £</|0|и><п|В|/>. E.10)
Записанное в матричном виде, это соотношение имеет вид
<2|DB|1> <2|DB|2> <2|DB|3>
/<2,|> <2|B,2>
<2|D|2> <2|D|3> - Д <3|B|l> <3,B,2>
E.10')
где правая часть E.10) дает определение произведения двух (беско-
(бесконечномерных) квадратных матриц.
Таким образом, при реализации пространства Ф пространством
векторов-столбцов операторы реализуются матрицами, причем
сумме двух операторов отвечает сумма их матриц, а произведению
операторов отвечает произведение их матриц.
Если в качестве базиса выбрать, как в E.1), систему собствен-
собственных векторов оператора А, то матрица оператора А в этом базисе
диагональна, так как из E.1) следует
= я,О|О = «Л, E.П)
Предварительные сведения из математики 39
или в матричном виде
«1
0
0
0
a2
0
0
0
a-,
0
0
0
0
0
0
<1И|2> <1|Л|3> •
/<2|Л|1> <2И|2> •-• \ / 0 а2 О О О \ E, г)
1<3|А|1>
Матричные элементы по отношению к базисной системе собствен-
собственных векторов А всех остальных операторов, не коммутирующих с
А, имеют ненулевые недиагональные компоненты.
Так как собственные векторы Н являются также элементами
пространства Ф, можно использовать D.4г) и разложить их по ба-
базису I/> из E.1) и наоборот:
оо
\Еп)= 1||><||£я); E.12)
;= 1
10= I \En){En\i>- E.12')
Взяв скалярное произведение этого уравнения на ф и выполняя за-
затем комплексное сопряжение, получаем
(Еп\ф)= £(£„|0<ИФ)- E.13)
i= 1
Таким образом, (Еп I /> являются матричными элементами матри-
матрицы, преобразующей бесконечнокомпонентную матрицу-столбец
E.4) в бесконечнокомпонентную матрицу-столбец E.3). Она назы-
называется матрицей перехода (или матрицей преобразования) между
двумя базисами [1/>1/ = 1, 2, . . .) и [\Еп)\п = 1, 2, . . .). Ее эле-
элементы (En I /> называются также коэффициентами перехода. Вычис-
Вычисляя скалярное произведение E.12') с \j), получаем
010 = *и = I 01 En){En|/> = I {En\jy*{En|/>. E.14')
Подобным образом получаем
(Ет\Еп) = Ьтп = Х(£„,ЮО|£„> = l(Em\jXEn\j>*. E.14)
40 Глава I
Матрица, матричные элементы которой удовлетворяют усло-
условию E.14), называется унитарной матрицей. Если, ^кроме того,
матричные элементы действительны, что иногда случается в про-
пространстве Ф (и всегда в действительном линейном пространстве),
то матрица называется ортогональной.
Если даны матричные элементы оператора А в базисе I Еп)
(Еп\А\Ет), то можно получить матричные элементы </1Л1у>, ис-
используя преобразование E.12'):
«А = W\J> =ff <i\En)(En\A\EJ(Em\j}. E.15)
п=1т=1
Говорят, что матрица перехода приводит матрицу (Еп\А\Ет) к
диагональной форме. Умножая обе части E.15) на (Er I />, сумми-
суммируя по I и используя E.14'), получаем
E.16)
т= 1
Если собственные значения ау неизвестны, то это задача на соб-
собственные значения, записанная в матричной форме. Для случая
Л^-мерного пространства (вместо бесконечномерного) это система
N линейных однородных уравнений [3] с N неизвестными (Ет \j):
I l(En\A\EJ - aSnm](Em\j) = 0. E.17)
m=l
Она имеет ненулевые решения для (Em\j) тогда и только тогда,
когда
det[(£nM|£J-^nJ =0. E.18)
Собственные значения матрицы (Еп IАI Ет) являются N решени-
решениями этой задачи. Эти решения не обязательно различны. Уравнение
E.18) есть полином степени N, а по знаменитой теореме из алге-
алгебры (см., например, [4]) каждый полином степени N имеет N кор-
корней (вообще говоря, комплексных, но для эрмитова А действитель-
действительных).
Обратимся теперь к случаю, когда базис
{|х>| -ос < х < + оо} E.19)
Предварительные сведения из математики 41
непрерывен. Тогда вектор ф реализуется непрерывной функцией не-
непрерывной переменной х вместо функции дискретной переменной,
как это было в E.3) и E.4):
</>~<х|(/)> = ф(х). E.20)
Как и в дискретном случае, пространство Ф может быть постро-
построено по его изоморфизму E.20) с пространством функций. Мы хо-
хотим рассмотреть частный случай, когда Ф — пространство векто-
векторов, компоненты которых (х\ф) являются элементами функцио-
функционального пространства S.
Собственный вектор I Еп) принадлежит пространству Ф, так что
для него Можно использовать разложение по непрерывному базису
D.4в):
|£„) = J</x|x><x|£n). E.21)
Величины (х\Еп) являются аналогами матричных элементов пе-
перехода между дискретными базисами (i\En). Они являются коэф-
коэффициентами перехода между дискретным базисом \Еп) и непрерыв-
непрерывным базисом \х) .
Для фиксированного значениях величины <л: \Еп) есть функции
дискретной переменной Еп, а для фиксированного значения Еп —
функции непрерывной переменной х. Они также возникают при вы-
вычислении скалярного произведения разложения по базису D.4г) с
вектором непрерывного базиса Ijc> :
<* \Ф>= |<х| Е„)(Еп\ ф). E.22)
Величины <х\Еп) составляют определенное множество функций из
S, которое вследствие D.3г) обладает свойством
= £„<х|£„). E.23)
Благодаря этому свойству они называются собственными функция-
функциями оператора Я. Выражение E.22), являющееся немедленным
следствием разложения по собственным векторам D.4г), называет-
называется разложением функции (х\ф) е S по собственным функциям.
Мы проиллюстрируем сказанное на хорошо известном примере.
Выберем в качестве функционального пространства подпростран-
подпространство Л: (а) с S всех функций 0(к) = <лг 10>, равных тождественно
нулю ьне области \х\ < а.
42 Глава I
Пусть оператор Q имеет непрерывный спектр { х I — а < х <
< + а). Тогда спектральное представление произвольного вектора
0 е Ф имеет вид
ф= Г \/х|.х><х|0>. E.24)
* -а
Определим самосопряженный оператор И = Р2 соотношением
<\Ф>
^рФ> E-25)
для каждой компоненты <л: |0> любого ф е Ф. Для того чтобы опе-
операторы Q, Р и любые их степени были определены в Ф, простран-
пространство компонент <л: I ф) должно быть пространством непрерывных
бесконечно дифференцируемых функций, для которых
Г
J -
2
< GO.
Имеем, далее,
<х > а\ф) = <х < -а\ф) = 0. E.26)
(Это граничное условие важно для установления самосопряженно-
самосопряженности Я, см. задачу 14.) Обозначим через \п) собственный вектор Я:
ti\n) = L \ny. w-Z/j
Мы хотим найти все собственные значения £„ и коэффициенты пе-
перехода (х\п) . Из E.25) и E.27) следует
Решения этого дифференциального уравнения, удовлетворяющие
граничным условиям E.26), имеют вид
j х 1 при п = 1, 3, 5, 7,...,
I
I E.29)
1 . (пп \ . . ,
<х |/j> = —= sin (— х I при п = 2,4, 6,... .
Собственные значения равны
Предварительные сведения из математики 43
Нормировочный множитель \/\!а в E.29) выбран так, что<л \п) =
= 1. Согласно E.24), для (п\п) имеем
л|л> =
J -а
с/х<и|х><х|и>
, (пп \ (пп \
dxcos — х cos — х = 1,
\2 / \2 /
или
<
.!->-!/_>-.(= »)-(=*)-'■ E'31б)
В последних равенствах в E.31а) и E.316) использованы свойства
интегралов от тригонометрических функций. При п' Ф п вследст-
вследствие ортогональности собственных векторов самосопряженных опе-
операторов необходимо иметь
* -
«/х<и'|х><х|л> =0. E.32)
Но это можно также получить, подставляя E.29) в E.32) и вычис-
вычисляя интегралы от тригонометрических функций. Благодаря соотно-
соотношению E.32) можно сказать, что собственные функции <л' 1х> и
(п\х) ортогональны.
Разложение по собственным функциям E.22) в этом частном
случае имеет вид
(х\ф) = ф(х)= X ancosl~x)+ X bnsin(^x) при |х| < а,
П=1,3.5 \Za I n = 2,4,6 \La I
ф(х) = 0 при |х| >0. E.33)
Для компонент вектора ф имеем
!+а
f "dxsin (^
у/а J -а \2а
= 1 f dxsin (^х)ф(х); п = 2, 4, 6, ...
у/а J - \2 }
=
1 /• + fl /итг \
= -^ dxcosl—х)ф(х);
«=1,3,5
44 Глава I
Уравнение E.33) демонстрирует разложение в ряд Фурье произ-
произвольной функции ф(х) еК (а). Компонентыап иЬп вектора ф по от-
отношению к базису \п) называются коэффициентами Фурье функции
Ф(х) = (х I ф). Поскольку E.22) является непосредственным обоб-
обобщением классического ряда Фурье E.33), соотношения E.22) и да-
даже D.4г) часто называют разложением в ряд Фурье или представле-
представлением Фурье. В общем случае собственные функции (х\Еп) не явля-
являются тригонометрическими функциями, но соотношение E.32) дол-
должно выполняться всегда, т.е. (х \Еп) всегда должны образовывать
ортогональную систему базисных функций. Хорошо известными
примерами ортогональных базисных функций являются полиномы
Эрмита, полиномы Лежандра, полином Лягерра. В частности, для
пространства S, если спектр Q есть вся действительная ось IR , адек-
адекватными базисными функциями являются полиномы Эрмита.
До сих пор мы рассматривали коэффициенты перехода между
двумя дискретными базисами (i\En) и коэффициенты перехода
между дискретным и непрерывным базисами (х\Еп). Теперь мы
сделаем еще один шаг и рассмотрим коэффициенты перехода меж-
между двумя непрерывными базисными системами. Выберем в качест-
качестве Ф пространство, реализованное как пространство S, и рассмот-
рассмотрим оператор Р, определенный соотношением (см. задачу 7)
(х\Р\ф) =i^-<x|0> для всех феФ, т.е. <x|0>eS. E.34)
Мы хотим рассмотреть уравнение E.34) также в том случае, когда
ф является собственным вектором оператора/1 (обобщая определе-
определение/1, если этот собственный вектор не лежит в Ф):
Р|р> = р|р>. E.35)
Тогда уравнение E.34) принимает вид
<х|Р|р> = р<х|р> = -/ <х|р>. E.36)
i ах
Хорошо известно, что это дифференциальное уравнение для любых
комплексных значений/? имеет решения вида
^^, ре С. E.37)
Но ни одно из этих решений не является квадратично интегрируе-
интегрируемым, так что \р) ёФ (см. задачу 9).
Мы можем разложить любой вектор ф е Ф по базису I p > соб-
Предварительные сведения из математики 45
ственных векторов Р:
ф = \ёр\р)(р\ф), E.38)
где интегрирование ведется по спектру оператора Р. Мы хотим
найти спектр Р. Он содержится в множестве обобщенных собствен-
собственных значений, эквивалентном С . Вычислим скалярное произведение
E.38) с \х) »>:
= [ dp <x|p><p|0> = -J= [dp е1
Jspectr. Р ч/2я J
1х\р\фУ E.39)
Если интегрирование пор в E.39) проводится по действительной
оси, — оо < р < +00, то из Г5.39) следует, что ф(х) = (х\ф) есть
образ Фурье функции $(р) = (р\ф). Поэтому мы хотим дать
краткую сводку свойств преобразования Фурье2).
Пусть ф(х) — элемент пространства S; тогда (обратное) преоб-
преобразование Фурье3), которое мы обозначим F~l [ф(х)] ■ Ф(р),
определено как
1
Преобразование Фурье обладает следующими свойствами:
a)F~l отображаетS на себя; это означает, что ф(р) как функция
р также принадлежит пространству S;
б) преобразование Фурье, которое мы обозначимРх[ф{р)] и ко-
которое определено формулой
Ф(х) = FX[4>(P)] = -4— f dpeixpj>{p), E.406)
также принадлежит пространству S, если ф(р) е S;
E.40b)
0 См. примечание на с. 30.
Доказательства и детали см. в работах [2], т. 2 гл. 3, или [5].
Обратным преобразованием Фурье иногда называют то, которое у нас назва-
названо прямым, и наоборот; мы можем поступать так же.
J dx
г)
46 Глава I
для любой степени п = 0, 1, 2, 3, ..., что можно также записать в
виде
E.40г)
для любой степени/? = 0, 1, 2, 3, . . ., что можно также записать в
виде
(dx ф*(х)ф(х) = (dp Ф*(Р)Ф(Р) E.40д)
где фр), ф(р) е S — фурье-образы ф(х), ф(х) е S.
Таким образом, преобразование Фурье F и обратное ему преоб-
pa3OBaHHeF-1 устанавливают два взаимно обратных изоморфизма
между пространством Шварца Sx функций от переменной х и про-
пространством ШварцаSp функций от переменной/?.
Мы можем теперь вернуться к задаче о спектре Р. Поскольку
для всех<х|0> = ф(рс) eS имеется, согласно E.406) и E.37), пред-
представление E.39), где интегрирование проводится по действительной
оси — оо < р < + оо, причем </? 10> снова является элементом S,
мы заключаем, что
спектр Р = {р\ — оо < р < оо},
т.е. действительная ось IR. Таким образом, мы нашли спектральное
разложение ф вида E.38) по базису собственных векторов Р.
Спектр Р является непрерывным, и l/?> являются обобщенными
собственными векторами (но не элементами Ф). Коэффициенты пе-
перехода между обобщенными базисами [Ijc> ] и (l/?> ] даются форму-
формулой E.37), где /? е IR и х е IR. Для заданного значения х это функции
непрерывной переменной /?, а для заданного значения /? — функции
непрерывной переменной х. Они удовлетворяют дифференциально-
дифференциальному уравнению E.36), но не являются «хорошими» функциями, т.е.
элементами функционального пространства S. Поэтому они назы-
называются обобщенными собственными функциями, или распределени-
распределениями. Меняя местами х и /? в предыдущей аргументации и используя
Предварительные сведения из математики 47
E.40а) вместо E.406), легко получить
<р|х> = __*-"«. E.41)
'2п
Следовательно, мы показали, что для этого специального вида ко-
коэффициентов перехода между двумя непрерывными бя-шсами имеет
место следующее соотношение:
<р|х> = <х|р>*. E.42)
Экспоненциальная функция — лишь один из примеров коэффи-
коэффициентов перехода между двумя непрерывными базисами. Другой
пример, который встретится во второй части книги, — сферические
функции Бесселя.
Наконец, в этом разделе мы рассмотрим реализацию операто-
операторов для случая непрерывного базиса. Это опять делается по анало-
аналогии с дискретным случаем. Чтобы получить аналог E.5), подейст-
подействуем оператором В на разложение по непрерывному базису D.4в):
Вф = \dxB\x><x\<t>). E.43)
J
Вычисляя скалярное произведение1* с базисным вектором \у) е
е{1л:>1— oo<jt<+a>}, получаем
<у\Вф) = [dx(y\B\x)<x\<j>) E.44)
— соотношение, являющееся непрерывным аналогом соотношения
E.6). Это интегральное преобразование, преобразующее функцию
(х\ф) в функцию (у\ф) = (у\Вф). Аналог матричного элемента
E.8) для непрерывного случая (у\В\х) называется ядром инте-
интегрального преобразования. Выбирая В = А и для собственного век-
вектора E.1) ф = 1/>, получаем из E.44)
f dx<y\A\x}(x\i> = ai(y\i). E.45)
Это аналог формулы E.16). Если собственные значения а( и соб-
собственные функции (у I /> неизвестны, это однородное интегральное
уравнение для определения этих собственных значений.
0 См. примечание на стр. 30.
48 Глава I
1.6. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА КАК ПРИМЕР
ОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА ФУНКЦИЙ
Рассмотрим сначала оператор Q, реализованный оператором умно-
умножения, и оператор Р, реализованный дифференциальным операто-
оператором (уравнение E.34)) на пространстве функций 5:
<дг|(?|ф> = лг<х|0>, - оо < х < + оо, F.1)
(х\Р\ф) = i ^ <л:|0>, <л:|0
/ ох
Определим также оператор Н формулой
(х\Р\ф) = i ^ <л:|0>, <л:|0> € S. F.2)
/ ох
Я='(Р2 + B2) F.3.)
и обозначим его собственные векторы через \п):
Н\п) = Е„\п). F.4)
Обозначим пространство, в котором действуют операторы Q,
Р, Н и любой элемент генерируемой ими алгебры, через Ф. Тогда
0еФ * <jcI0> eS1).
Дискретность спектра Я, отраженная в F.4), является на самом
деле следствием предположения о том, что собственные векторы
\п) оператора// лежат в пространстве Ф, или, как будет показано
ниже, что (х\п) е S.
Коэффициенты перехода между собственными векторами Q и Н
(х\п) образуют ортонормированный базис функционального про-
пространства S в смысле E.22). Наша цель — найти в явном виде
<х\п) иЕп.
Обозначим
Я = 2Еп. F.5)
Используя F.3) в F.4), получаем, учитывая также F.2) и F.1),
(х\п) = Мх\п). F.6)
J) Можно построить Ф также следующим образом (см. гл. 2). Начиная с алге-
алгебры операторов Р, Q и Н, в которой кроме F.3) выполняется также соотношение
PQ — QP = A//)/, построим пространство Ф как наибольшее пространство, в кото-
котором эта алгебра представлена алгеброй (непрерывных) операторов и в котором су-
существует по крайней мере один собственный вектор Н.
Предварительные сведения из математики 49
Таким образом, необходимо найти решения
^(д:) = <х\п) F.7)
дифференциального уравнения
ф"(х) + (\-х2Жх) = 0. F.8)
Кроме того, мы потребуем, чтобы \j/Qc) eS. Тогда они должны,
в частности, удовлетворять граничному условию
/
ф(х) — 0 быстрее, чем любой полином от l/х при* — ± оо. F.9)
Уравнение F.8) сингулярно при 1x1 — оо и при больших значе-
значениях \х I может быть приближенно записано в виде ф" — х2^ = 0 с
решениями ф ~ е ±*2/2. Исходя из этого, ищем решение в виде
= схе-*/2у(х) + сге?пуАх) F.10)
где у г и у разлагаются в степенной ряд пох:
У= f>kxk. F.11)
*=о
Второе слагаемое в F.10) быстро растет и не может отвечать эле-
элементу изЯ; следовательно, с 2 должно быть равно нулю. Подстав-
Подставляя
^ F.12)
в F.8), получаем дифференциальное уравнение
у" - 2ху' + (X - Щ> = 0, F.13)
Подставляя F.11) в F.13) и собирая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получаем соотношение
(к + 2)(к + \)ак + 2 - 2как + (Я - \)ак = 0
которое приводит к рекуррентной формуле
2к - (Я - 1)
Л F14)
Эта формула выражает коэффициенты при высших степенях в
F.11) через коэффициенты при низших степенях. Сравнивая отно-
отношение ак + 2/ак ПРИ больших к с отношениями Ък + г/Ьк в разложении
461 -4
50 Глава I
в степенной ряд функции е*2, можно показать, что функция F.11)
при условии F.14) расходится каке*2 при* — ±оо. Таким образом,
единственным способом построить решения .у (х) вида F.12), сходя-
сходящиеся желаемым образом при ±сх>, является выбор таких значений
X, при которых ряд F.11) обрывается. Мы можем добиться этого,
полагая X — 1 = 2л для п = 0, 1,2, ...; таким образом, мы видим,
что ф(х) является элементом S только тогда, когда
Л = 2и + 1 или £„ = и+ i, n = 0,l,2,.... F.15)
Решения дифференциального уравнения F.13), отвечающие соб-
собственным значениям F.15), также получают индекс п и обознача-
обозначаются у(х) = Нп(х). Таким образом, получаем семейство уравнений
Щ - 2хН'п + 2пНп = 0, л^= 0, 1,2, F.16)
которые называются дифференциальными уравнениями Эрмита.
Их решения Нп (х) называются полиномами Эрмита. Легко прове-
проверить, что полиномы, заданные формулой
Ня(х) = {-\Ге*2£-н(е-*2), F.17)
удовлетворяют уравнениям F.16). Формула F.17) называется фор-
формулой Родрига для полиномов Эрмита.
Итак, мы нашли выражение для коэффициентов перехода F.7)
<х|и) = фп(х) = -L- е-х22Нп(х). F.18)
it
Множитель Nn выбирается так, что
(л|л)= \dx(n\xXx\n)= *- (clxe-*2Hu(x)Hu(x)=\. F.19)
Ортогональность собственных векторов самосопряженного опера-
оператора Н может быть теперь записана в виде
N*Nn(n'\n) = (dxe-*2HH.(x)HH(x) = 0 прил * п' . F.20)
Второе равенство в F.20), которое получено нами как следствие ор-
ортогональности векторов \п), называется соотношением ортого-
ортогональности для полиномов Эрмита. Нормировочный множитель Nn
Предварительные сведения из математики 51
должен вычисляться с использованием специальных свойств поли-
полиномов Эрмита, определенных формулой F.17). В приложении к
данному разделу все это выполнено стандартным способом. Из
(А. 12) получаем
\Nn\2 = уПгп\2п. F.21)
Множитель Л^ и, следовательно, коэффициенты перехода в F.16)
(х \п) определены только с точностью до фазового множителя, т.е.
множителя е'а("\ равного по модулю единице, который зависит от
п. Этот множитель принято выбирать равным + 1. Таким обра-
образом, получаем
2 F.22)
ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ 1.6
Нормировочный множитель Nn в F.19) может быть вычислен
следующим образом. Рассмотрим функцию/(О = е-'2 + 21х; рас-
рассматриваемая как функция комплексной переменной t, f(t) являет-
является целой функцией и может быть разложена в ряд Тейлора по t:
X
e-'2 + 2tx:= Хи„(х)г" , \t\ < оо, (A.I)
n = 0
где коэффициенты разложения зависят от параметрах. Эти коэф-
коэффициенты задаются формулой
(А.2)
" и! dt"
Поскольку/(О является аналитической функцией при всех значени-
значениях параметрах, мы можем использовать теорему Коши, которая
утверждает, что
1 к '~ (А.З)
dt" 2ni J(z - 0"+1 '
где интегрирование проводится по контуру, окружающему точку
z = t. Применяя эту формулу к функции/(z) = e-z2+2^ и исполь-
используя (А.2), получаем при t = О
r"~~dz. (A.4)
52 Глава I
С другой стороны, мы можем использовать (А.З) для функции
f(z) = е~*2 и получить
cl" _x2 _ _л|
dx~"e' ~ 2ni J(z - x)n +
e7x' = — (b rr-TT dz, (A.5)
где контур интегрирования окружает точку z = х, которая, в част-
частности, может быть любой точкой на действительной оси.
В левой части равенства (А.5) используем теперь F.17), а в пра-
правой части проведем замену переменной интегрированиям = х — t,
dz = —dt. Тогда соотношение (А.5) принимает вид
^ A. (A.6)
где контур интегрирования окружает точку t = 0. Разделив обе ча-
части равенства нае-*2(— 1)", получаем
7TY~dt- (АЛ)
Сравнение (А.4) и (А.7) показывает, что коэффициенты в (А.1) за-
задаются формулой
а„(х) = —Н„(х),
а формула (А.1) может быть записана в виде
<>-<2 + 2" = f; -^Я„(х)Г\ \t\ < оо. (А.8)
п = 0 И!
Функция f(t) = e~'2 + 2tx называется производящей функцией для
полиномов Эрмита. Многие свойства ортогональных полиномов
легко вывести, используя их производящие функции.
Мы теперь готовы к вычислению нормировочного множителя
Nn. Используя (А.8), получаем
е~*2Н„(х)Нт(х). (А.9)
Предварительные сведения из математики 53
Левая часть уравнения (А.9) может быть записана в виде
e2s
Разлагая е*' в степенной ряд, получаем
левая часть (А.9) =
Го v! * (All)
Собирая члены при равных степенях 5и/в правых частях (А.9) и
(А. 11), получаем
dx е-х2Нп(х)Н„(х) = y/nnl 2". (А.12)
При п Ф т снова получаем F.20). Благодаря свойству F.20), а так-
также (А.12), Нп (х) называют ортонормированными на интервале
— оо < х < +оо с весовой функцией (у[жп\2п)~хе~х2.
Другим важным свойством, которое можно вывести с использо-
использованием производящей функции, являются рекуррентные соотноше-
соотношения. Чтобы получить рекуррентные соотношения для полиномов
Эрмита, продифференцируем равенство (А.8) по t:
ao 2y °° 2 °° 1
Приравнивая члены при степени tn, получаем
2хЯя(х) = Ня+Х{х) + 2пЯя_ t(x). (A.13)
Это рекуррентное соотношение может быть использовано при
последовательном вычислении полиномов Эрмита, начиная с
В гл. II нам понадобятся также некоторые свойства фурье-
образа Нп(<х), которые легко вывести с использованием производя-
производящей функции. Умножая (А.8) нае'Ух~х2/2, где -оо < у < +оо, и ин-
интегрируя пол:, получаем
= 1
* jy*-*2i2HH(x)dx.
— оо
54 Глава I
Интеграл в левой части вычисляется подстановкой т/ = х — IX и
равен (см. задачу 11)
e'2ei2yt (
(A. 15)
В правой части равенства мы используем формулу (А.8) с заменой/
на it. Тогда из (А. 14) получим
00 Ш)" °° t" Г + со . 2
v L* п\ п\У) L, \ I "
п = 0''- п = 0"-*/-оо
Сравнивая члены с одинаковыми степенями t, получаем
Ге->2'2Нн(у) = -4= f +°dx e^e-x2'2Hn{x). (A.17)
1.7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ1)
В предыдущих разделах этой главы мы излагали математический
аппарат квантовой механики с точки зрения его алгебраической
структуры. Обобщенные собственные векторы вводились по анало-
аналогии с базисными векторами в трехмерном пространстве, причем
предполагалось, что с ними можно обращаться в значительной сте-
степени так же, как и с обычными векторами. Но они являются не
векторами из пространства Ф, а непрерывными функционалами на
нем. В этом разделе мы дадим соответствующие определения и
объясним их отличие от обычных векторов.
Пусть Ф — комплексное линейное пространство. Функционал на
Ф есть отображение F из пространства в комплексные числа
С, F: Ф — С. (Для действительного пространства Ф это отображе-
отображение в действительные числа (R.) Таким образом, это аналог ком-
плекснозначной функции действительной переменной xelR, F;
(R — С, но переменной теперь является не действительное число, а
вектор ф € Ф. Если F обладает свойством
F(a</> + Рф) = a*F(<l>) + P*F{\jt) для всех 0, ф € Ф и а, 0 € С, G.1)
то F называется антилинейным функционалом. Если F обладает
^ Этот раздел при первом чтении можно опустить. В нем дается математиче-
математическая формулировка понятий, использованных в разд. 1.4 и 1.5, которая не требуется
для понимания последующих глав, кроме гл. XXI.
Предварительные сведения из математики 55
СВОЙСТВОМ
F(a0 + Рф) = aF@) + /?F(«/0, G.1а)
toF называется линейным функционалом. Если Ф является дейст-
действительным пространством, то между линейным и антилинейным
отображениями различия нет. Ниже мы будем рассматривать преи-
преимущественно антилинейные, а не линейные функционалы (заметим,
что в математической литературе обычно рассматриваются линей-
линейные функционалы).
Примером антилинейного функционала на линейном про-
пространстве является
FD>) = (ф, ф), G.2)
где ф — фиксированный элемент ф е Ф, а @, ф) — скалярное произ-
произведение ф и 0, где 0 пробегает все пространство Ф (см. задачу 12).
Исходя из этого примера, а также из того, что в общем случае мы
хотим строить функционал как обобщение скалярного произведе-
произведения, для антилинейного функционала F(<j>) будем использовать
обозначение
F(</>) = <0|F>. G.3)
Любые два антилинейных функционала/7, и F2 на линейном про-
пространстве Ф можно складывать и умножать на числа согласно пра-
правилу
(ocF, + PF2)(<J>) = ocF^) + pF2(<j>), a, /? e С, G.4')
или, используя обозначение G.3),
+ /?F2> = a<0|F1> + /K0|F2>. G.4)
Функционал aFj + f}F2, определенный в G.4), также является анти-
антилинейным функционалом на Ф (задача 13). Следовательно, множе-
множество антилинейных функционалов на линейном пространстве Ф яв-
является линейным пространством1*. Это пространство называется
'* Это утверждение аналогично утверждению, что совокупность линейных опе-
операторов на линейном пространстве образует алгебру (т.е. линейное пространство, в
котором определено умножение (элементов пространства. — Перев.)). Соотношение
G.4) аналогично первым двум соотношениям C.4).
56 Глава I
сопряженным, или дуальным пространством (точнее, алгебраиче-
алгебраически сопряженным, или алгебраически дуальным пространством) к
пространству Ф и обозначается Фх.
Пусть Ф конечномерно, dim Ф = п, и пусть еп / = 1, 2, ...,«,
составляют базис для Ф; пусть также/7 — произвольный антили-
антилинейный функционал на Ф. Обозначим через /, комплексные числа
/, = F(e,), i= 1,2,..., п. G.5)
Тогда значение функционала FHa произвольном пространстве Фэф=
= £ 1= \Ф ei > может быть записано в виде
% G'6)
Следовательно, мы имеем взаимно однозначное соответствие меж-
между множеством антилинейных функционалов на конечномерном
пространстве и последовательностью чисел (/",,/2, • • •,/„)• Исполь-
Используя эти числа, мы можем теперь определить вектор/ в Ф:
/= tftei- G.7)
Тогда правая часть G.6) есть скалярное произведение векторов ф и
/, и нами показано, что в конечномерном линейном пространстве
со скалярным произведением существует взаимно однозначное со-
соответствие между функционалами F и векторами/ € Ф:
F~f, G.8а)
такое, что значение функционала F (ф) на элементе ф € Ф задается
скалярным произведением
ПФ) = (Ф, /)• G.86)
Это показывает, что в конечномерном случае символ G.3) может
всегда быть отождествлен со скалярным произведением1).*
(</>,/). G.8в)
!) Это отождествление не является необходимым, и часто бывает полезно не
отождествлять функционалы с элементами Ф.
Предварительные сведения из математики 57
В случае, когда отождествление G.8) возможно, пространство на-
называется самодуальным и можно записать
Фх = Ф. G.8г)
Для бесконечномерных пространств со скалярным произведением
такое отождествление в общем случае невозможно. Поскольку, как
мы уже видели, скалярное произведение всегда определяет антили-
антилинейный функционал, антилинейные функционалы/^, значения кото-
которых на любом ф е Ф могут быть записаны в виде скалярного про-
произведения Fj@) = (ф,/) с фиксированным/ € Ф, мы можем ото-
отождествить с векторами/: Ff «-» /'. Тогда имеем
Фхэф. G.9)
Для понимания ситуации с функционалами на бесконечномерных
пространствах огромную роль играют топологические понятия. До
сих пор мы обсуждали только алгебраические структуры на мно-
множестве. Линейное пространство со скалярным произведением, вве-
введенное в разд. 1.2, которое мы обозначим ¥, если на нем не задано
других структур, является чисто алгебраическим понятием. Теперь
можно ввести на нем топологическую структуру. Топологическая
структура задается приданием конкретного смысла понятию сходи-
сходимости бесконечных последовательностей!).
Сходимость последовательности векторов фх, ф2, ф3, ...
..., Ф„, ... к вектору ф € Жъ гильбертовом пространстве, обозначен-
обозначенная через
ф,^ф, v->oo, G.10')
определяется как
- 0||-
0. v-oo. GЛ°)
Сходимость в пространстве Ф определяется с помощью алгебры
операторов и, следовательно, зависит от нее. Для алгебры, генери-
!) Существуют топологические пространства, для которых определения сходи-.
мости последовательности недостаточно для задания топологии. Но для про-
пространств Ф, которые мы здесь рассматриваем (с выполненной первой аксиомой счет-
ности), этого достаточно.
58 Глава I
руемой операторамиР, Q,H из F.3) и F.4), она определяется как1)
Ф„- Ф, v - °°, G.1Г)
тогда и только тогда, когда
Шр(Ф„ - 0) II - 0, v - оо для каждого/? = О, 1, 2, 3, .... G.11)
Поскольку G.11) включает (при р = 0) свойство G.10), понятно,
что из
0„ *- ф следует 0„ - ф, G.12)
но не наоборот. Сходимость (топология), определенная в G.11), на-
называется более сильной (тонкой), чем сходимость (топология),
определенная в G.10), а сходимость, определенна* в G.10), называ-
называется более слабой (грубой), чем сходимость, определенная в G.11).
Пространство^ есть пространство, содержащее кроме элементов
пространства ^ все элементы, получаемые предельным переходом
из -^-сходящихся последовательностей. Поскольку благодаря G.12)
каждая Ф-сходящаяся последовательность является также ^сходя-
^сходящейся, а обратное, вообще говоря, неверно, имеем
ФсЖ G.13)
Антилинейные функционалы, которые мы будем рассматривать в
случае бесконечномерных пространств, всегда будут непрерывными
функционалами. Антилинейный функционал непрерывен тогда и
только тогда, когда из
0,-0 следуетF@,) £ F @), * - оо, G.14)
где — обозначает сходимость для комплексных чисел2); Фх, Ж х и
т.д. всегда обозначают пространства непрерывных функционалов.
Мы можем теперь рассмотреть совокупность непрерывных ли-
линейных функционалов на Jf и на Ф.
Фх есть множество всех/7*, обладающих тем свойством, что
F*@,) £. F* @) для всех 0„ 4. 0.
Это наиболее слабая топология, или тип сходимости, при котором все эле-
элементы алгебры являются непрерывными операторами.
Последовательность с р с 2, . . .ср, . . . чиселс^еС сходится к числу с тогда и
только тогда, когда \с — с\ — 0 при v — оо.
Предварительные сведения из математики 59
Ж* есть множество всех Fr% обладающих тем свойством, что
F>\$v) ^ F* @) для всех ф„ ^ ф.
Условие, которому удовлетворяютF еЖ" х, более ограничительно,
чем то, которому удовлетворяют F е Фх, поскольку, согласно
G.12), существует большее число таких последовательностей, что
ФУ^Ф> чем таких, что ф„*-0. Следовательно,
jf* сфх. G.15)
Как упоминалось выше, бесконечномерные линейные про-
пространства не обладают, вообще говоря, свойством G.8г). Но беско-
бесконечномерное гильбертово пространство обладает следующим заме-
замечательным свойством, выраженным теоремой Рисса — Фреше. Для
каждого ^непрерывного функционала Fy существует вектор
/е Атакой, что
Р*(Ф) - <Ф\РЪ = @, Л G.16)
Таким образом, для^ можно провести, как в конечномерном слу-
случае, отождествление G.8) и получить, используя G.13) и G.15),
тройку пространств:
ФС Ж=ЖХ СФХ, G.17)
называемую тройкой Гелъфанда или оснащенным гильбертовым
пространством. Следовательно, символ < ф I F) является обобще-
обобщением скалярного произведения для таких ^€ФХ, которые не ле-
лежат в Ж
Рассмотрим теперь антилинейные непрерывные функционалы ф
на Фх и обозначим пространство всех ф через Ф х х. Для широкого
класса линейных топологических пространств Ф (называемых ре-
рефлексными) имеет место естественное взаимно однозначное соот-
соответствие между 0еФи0еФхх, задаваемое соотношением
= <ф\F). G.18)
Поскольку < 0\Е) есть обобщение (/", 0) = @,/), мы можем рас-
рассматривать функционал 0 на векторе/7 € Фх как обобщение скаляр-
скалярного произведения if, ф). Поэтому удобна запись 0(F) = <F|0>,
где/7 е Фх является теперь переменной, т.е. <F|0> есть значение
60 Глава I
функционала 0, определенного на пространстве Фх на векторе F.
При таком определении <F|0> соотношение G.18) принимает вид
G.18')
и обобщает свойство B.26) скалярного произведения.
Чтобы определить обобщенные собственные векторы, участву-
участвующие в спектральном разложении D.4в), необходимо рассмотреть
линейные операторы на Ф. Мы будем рассматривать только непре-
непрерывные на Ф операторы. По аналогии с определением непрерывно-
непрерывного функционала будем говорить, что оператор А : Ф — Ф непреры-
непрерывен тогда и только тогда, когда для любой сходящейся последова-
последовательности из
ф ф
фР-> ф следует Аф„ ->• Аф.
Таким образом, понятие непрерывности зависит, как и все тополо-
топологические понятия, от определения сходимости. Оператор, являю-
являющийся непрерывным в смысле Ф-сходимости, не обязательно явля-
является непрерывным в смысле ^-сходимости. (Многие физические
наблюдаемые не могут быть реализованы непрерывными операто-
операторами в гильбертовом пространстве Jft но реализуются непрерыв-
непрерывными операторами на Ф.)
Для любого непрерывного линейного оператора А на Ф можно
определить сопряженный оператор А* на Фх соотношением
<ф\А*\Г) = <Аф\П G.19)
Можно показать, что А х является непрерывным линейным опера-
оператором на Ф х. Гем самым построено обобщение на случай гильбер-
гильбертова пространства самосопряженного оператора, определенного со-
соотношением (см. разд. 1.3)
@, А V) = (Аф, J) для всех ф € Ф G.20)
(который в общем случае не определен для всех/ е
Если рассмотреть два оператора А и А, где А определен на
подпространстве того пространства, на котором задан А, и имеет
место свойство Аф = Аф для всех ф е подпространство, то можно
записать А С А и назвать А расширением оператора А. Для опе-
оператора А на Ф, являющегося самосопряженным и обладающего од-
Предварительные сведения из математики 61
нозначным самосопряженным1) расширением Яв^ имеем тройку
операторов:
АСА=А^САХ G.21)
на тройке пространств
ФС J^C Фх.
Функционал F на Ф называется обобщенным собственным векто-
вектором оператора А на Ф с собственным значением со тогда и только
тогда, когда
= co<0|F> для всех ф € Ф. G.22)
Обобщенный собственный вектор F обозначается также
|F> = |о)>. G.23)
Другая эквивалентная форма записи условия G.22)
Ах\и) = со|со>, G.24)
часто записывается в виде
Л|со> = со|со>. G.25)
Если F - / € Ж, то G.22) принимает вид
(Аф, f) = (ф, A*f) = и{ф, /) для всех ф € Ф, G.26)
что для самосопряженного А (поскольку Ф плотно в >Ж) эквива-
эквивалентно определению собственного вектора (см. C.66)):
Af= со/. G.27)
Следовательно, определение G.22) обобщенного собственного век-
вектора и его обобщенного собственного значения есть обобщение
1} Оператор, определенный на Ф, являющийся по определению в разд. 1.3 эрми-
эрмитовым на Ф и обладающий единственным самосопряженным расширением на %", на-
называется существенно самосопряженным.
62 Глава I
определения G.27) обычного собственного вектора и собственного
значения. Это обобщение не обязательно должно обладать всеми
свойствами, присущими обычным собственным векторам и соб-
собственным значениям. В частности, величина ш в G.22) не обязатель-
обязательно является вещественной даже для (существенно) самосопряженно-
самосопряженного оператора А.
Собственные векторы 1х>, участвующие в разложении по непре-
непрерывным собственным векторам, являются обобщенными собствен-
собственными векторами в смысле G.22). Следовательно, компонента
(х \ф> = ф(х) вектора ф е Ф вдоль базисного вектора U>, или зна-
значение функции ф в точке х, является величиной, комплексно-
сопряженной значению функционала 1*> € Фх на векторе ф е Ф:
<дг I ф> = < </> I л->*. Используя G.18), можно также сказать,
что (х\ф) есть значение функционала феФхх =Ф на векторе
<jf I еФх.
1.8. КАК БУДУТ ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ
В заключение приведем таблицу, в которой указано соответствие
между математическими объектами, описанными в главе, и физиче-
физическими величинами. Установить, пояснить и использовать это соот-
соответствие — задача последующих глав настоящей книги.
Математический объект Физическая величина
Вектор феФ (по модулю фазового мно- Чистое физическое состояние
жителя)
Линейный оператор А на Ф Физическая наблюдаемая
Собственные значения (спектр) А Значения, получаемые при измерении
наблюдаемой А
Собственный вектор IX) оператора А с Состояние, в котором измерение А дает
собственным значением X значение X, собственное состояние, свя-
связанное состояние
Обобщенный собственный вектор IX) Состояние рассеяния
оператора А с вещественным собствен-
собственным значением X
Обобщенный собственный вектор 1ш> Резонансное состояние с энергией Е и
оператора А с комплексным собствен- шириной Г
ным значением w = Е — /Г/2
Скалярное произведение (XI ф), где Амплитуда вероятности
1Х)еФ,
Предварительные сведения из математики
63
Математический объект
Физическая величина
Квадрат его модуля I (X I ф) 12
Функционал
Квадрат его модуля I <Х I ф) I2
Диагональный матричный элемент или
среднее (ф, Аф)
Матричный элемент (ф, Аф)
Квадрат его модуля 1(^, Аф)\2
Вероятность получения значения X при
измерении наблюдаемой А в физической
системе в состоянии ф
Волновая функция
Плотность вероятности получить значе-
значение X для наблюдаемой А в физической
системе в состоянии ф
Среднее значение, возникающее при из-
измерении А в состоянии ф
Амплитуда перехода
Вероятность перехода, вызванного А,
из состояния ф в состояние ф
Глава II
Основы квантовой механики.
Гармонический осциллятор
В этой главе, самой большой в книге, вводятся и затем иллюстри-
иллюстрируются, главным образом на примере гармонического осциллято-
осциллятора, три основных предположения (постулата) квантовой механики.
Хотя в текст включено несколько исторических замечаний, изложе-
изложение не следует ни историческому, ни какому-либо другому эвристи-
эвристическому способу изложения квантовой механики. Основные предпо-
предположения формулируются, объясняются и применяются на практи-
практике. В разд. II.2, II.4 вводятся основные постулаты; в разд. П.З,
II.5, II.7 они иллюстрируются на примере гармонического осцилля-
осциллятора. Разд. II.6 посвящен выводу некоторых общих следствий ос-
основных предположений; он может быть опущен при первом чте-
чтении. В разд. II.8 дано обсуждение непрерывного спектра, важное
для описания явлений рассеяния и распада во второй части книги.
Несколько замечаний в тексте главы посвящено конкретным про-
проблемам, связанным с понятиями обобщенных собственных векто-
векторов и с нашей единообразной трактовкой непрерывного и дискрет-
дискретного спектров. В разд. II.9 мы готовы к объяснению физического
смысла квантовомеханической постоянной природы Л.
II. 1. ВВЕДЕНИЕ
Физики говорят, что в мире или в каждой ограниченной его части
существует нечто, что может быть «понято»; что в природе су-
существует структура. «Понять» — значит соотнести эту структуру с
некоторой структурой в нашем сознании, структурой мысленного
образа, структурой, порожденной нашим сознанием. В физике эта
структура мысленного объекта есть математическая структура.
Тогда понять часть физического мира означает отобразить его
структуру на математическую структуру. Построить физическую
теорию означает, следовательно, построить математический образ
физической системы, под которой понимается любая ограниченная
соответствующим образом область физического мира (например,
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 65
атом, или лишь набор его подсостояний, или все атомы и молеку-
молекулы).
В области квантовой физики математическими структурами явля-
являются алгебры операторов в линейных пространствах. Это откры-
открытие, понимание фундаментальных алгебраических свойств и других
основных предположений квантовой механики было исключительно
трудным процессом, историю которого мы не хотим здесь описы-
описывать. Гораздо легче начать с основных предположений и показать,
что вытекающие из них следствия действительно описывают неко-
некоторую часть природы. Именно этот путь мы и выберем.
II.2 ПЕРВЫЙ ПОСТУЛАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
I. Физической наблюдаемой, определенной предписанием спо-
способа ее измерения, отвечает линейный оператор1* в линейном
пространстве. Математическим образом физической системы
является операторная *-алгебра в линейном пространстве со
скалярным произведением Ж Эта алгебра генерируется некото-
некоторыми фундаментальными физическими величинами, причем
умножение определяется алгебраически.
Смысл этого постулата станет понятным только после того,
как' читатель увидит его в действии в нескольких конкретных физи-
физических примерах. Этот постулат, являясь результатом долгого и
трудного процесса размышлений, есть одно из самых выдающихся
научных достижений.
Элементы алгебры — линейные операторы, представляющие
физические наблюдаемые, не должны рассматриваться как нечто
жестко заданное, такое как дифференциальные операторы, действу-
действующие на разумные функции. Скорее этот алгебраический символ
обозначает нечто, определенное только его соотношением с други-
другими такими же символами, выраженное в терминах математических
операций, в которых эти символы участвуют. Поэтому отдельно
взятый алгебраический символ бессодержателен; его свойства воз-
возникают только благодаря соотношениям между ним и всеми други-
другими символами, и чем больше (независимых) соотношений налагает-
налагается, тем более специфицированными становятся свойства математи-
математического объекта. Смысл алгебраического символа возникает в кон-
контексте использования алгебраического языка как целого.
" В гл. XIX нам придется рассмотреть также полулинейные операторы.
66 Глава II
Для иллюстрации аксиомы (постулата) I используем один из
простейших примеров — одномерный гармонический осциллятор.
Одномерный гармонический осциллятор можно определить как фи-
физическую систему, математическим образом которой является ал-
алгебра операторов, генерируемая следующими эрмитовыми операто-
операторами:
Н, отвечающим наблюдаемой энергии,
Р, отвечающим наблюдаемому импульсу,
Q, отвечающим наблюдаемому положению.
Определяющие алгебраические соотношения, которым удовлет-
удовлетворяют эти операторы, имеют вид
[Р, Q] = PQ- QP = -/, B.1а)
i
где Л, fi и со — числа, / — единичный оператор, а / = V —1. Физиче-
Физический смысл чисел ц и из определяется установлением соответствия с
классической системой; это масса и угловая частота осциллятора,
которые являются константами системы. Физический смысл уни-
универсальной постоянной Л!) обсуждается в разд. II.9.
Приведенные утверждения оправдываются тем, что в природе
существуют физические системы, над которыми можно провести
измерения, приводящие к значениям, которые можно вычислить с
использованием приведенных выше предположений. Следователь-
Следовательно, можно сказать, что эти физические системы, являющиеся всег-
всегда «идеализированными физическими системами», имеют в качест-
качестве своего математического образа упомянутую математическую
структуру. Название «гармонический осциллятор» для этой физи-
физической системы возникло из-за ее соответствия классической систе-
системе того же названия.
Классическая механическая система, называемая одномерным
гармоническим осциллятором, имеет вид, представленный на
рис. 2.1. Это две материальные точки с массами тх и т2, на кото-
которые вдоль соединяющей их линии действует сила F. Сила F про-
пропорциональна разности между расстоянием г и равновесным рас-
'' Величина 2хЛ = h называется постоянной Планка.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор
67
т2
Рис. 2.1. Модель одномерного осциллятора.
стоянием г0:
F= -к(г-г0)= -кх, B.2)
где х = г — г0. Потенциальная энергия этой системы имеет вид
V= +\kx2, B.3)
а кинетическая энергия равна
E,in = ~p2, B.4)
где мы ввели приведенную массу
V- =
и приведенный импульс
р = ц
dx
dt'
B.5)
B.6)
Следовательно, мы можем определить классический гармонический
осциллятор как систему, потенциальная энергия которой пропор-
пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия, или как
систему с полной энергией
4~
2ц
B.7)
Как хорошо известно, такая физическая система является идеализа-
идеализацией механической системы, существующей в природе и состоящей
из двух масс, соединенных пружиной (рис. 2.2). Такая система ос-
о
U
Рис. 2.2. Классический одномерный осциллятор.
68 Глава II
циллирует с угловой частотой
ш= /-. B-8)
Если, разрешив B.8) относительно к, записать выражение B.7) в
терминах со, то получим
Е ■ * + ^х*. B-9)
2ц 2
Это выражение в точности совпадает с одним из соотношений,
определяющих квантовомеханический гармонический осциллятор.
Важное различие состоит в том, что в классическом случае энергия
Е, импульс р и координата л" являются действительными числами,
в то время как в квантовомеханическом случае этим величинам от-
отвечают соответственно операторы Н, Р и Q.
Для действительных чисел а и b всегда справедливо равенство
ab — Ьа = 0; таким образом,
рх - хр = 0. B.10)
В общем случае для операторов А и В имеем АВ — ВА Ф 0, т. е.
операторы, вообще говоря, не коммутируют. Для частного случая
операторов импульса и координаты имеет место соотношение
B.1а).
Фундаментальные уравнения, подобные B.1а) и B.16), не могут
быть выведены; их справедливость можно только предположить.
Это верно не только для квантовой механики, но и для классичес-
классической физики. Так, выражение B.9) по существу следует из предполо-
предположений, восходящих к Ньютону.
Процесс выработки исходных предположений в физической тео-
теории можно описать следующим образом. Сначала изучают экспери-
экспериментальные данные в некоторой области физики, например в атом-
атомной физике. Затем пробуют построить математическую структуру,
используя которую можно вычислить численные значения, согласу-
согласующиеся с экспериментальными данными. Алгебра операторов, за-
заданная соотношениями B.1), является такой математической струк-
структурой для квантовомеханического гармонического осциллятора.
Сделать предположение B.16) нетрудно, поскольку оно получается
из соответствия с классическим выражением. Физический смысл по-
постоянных системы д и со следует из аналогии с классическим случа-
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 69
ем. Но предположение B.1а) не является столь же простым. Замена
классического соотношения B.10) квантовомеханическим соотноше-
соотношением B.1а) и как следствие понимание того, что квантовомеханиче-
ские наблюдаемые реализуются не вещественными числами, а опе-
операторами, было одним из величайших научных достижений. Соот-
Соотношение B.1а) называется (каноническим) коммутационным соот-
соотношением Гейзенберга. Физический смысл этого соотношения ста-
станет ясен после изучения его следствий в последующих разделах.
Поскольку мы не хотим излагать квантовую механику, следуя
историческому пути, мы приведем лишь краткий и неполный
набросок мотивов, приводящих к соотношению B.1а). Было
известно, что атомы испускают свет с дискретными частота-
частотами. В то время, когда происходили события, приведшие к вы-
выводу соотношения B.1а), атом представляли себе как систему
из положительно заряженного ядра очень малого радиуса и от-
отрицательно заряженных электронов, вращающихся вокруг него
на расстоянии порядка 10"8 см. Описание такой системы в
рамках классической физики приводило к дилемме. Вращаю-
Вращающийся, а следовательно, движущийся с ускорением электрон
должен излучать с непрерывной потерей им энергии и непре-
непрерывным изменением частоты испущенного излучения, пока, на-
наконец, он не упадет на ядро, причем это произойдет очень
быстро. Это противоречило экспериментальной ситуации, сви-
свидетельствовавшей о стабильности атомов, а также тому, что
частота испущенного излучения может иметь только некото-
некоторые дискретные значения (спектральные линии), которые ха-
характеризуют атом. Таким образом, классическая теория не мо-
могла описать наблюдения в атомной области при сохранении
описанной картины атома. Отказаться от картины миниатюр-
миниатюрной планетарной системы для атомов не хотели, тем более
что, заменяя гамильтониан другим классическим гамильтониа-
гамильтонианом, невозможно добиться получения только дискретных зна-
значений. Чтобы, используя гамильтониан, получать только дис-
дискретные значения, на классическую теорию были наложены до-
дополнительные условия, которые не только не дополняли ее, но
и находились с ней в противоречии. Это была так называемая
«старая квантовая теория» (Бор).
Квантовая механика родилась с появлением идеи Вернера
Гейзенберга и Макса Борна A925 г.), а также Эрвина Шредин-
гера A926 г.) интерпретировать гамильтониан как математиче-
математическую величину, которая может принимать только дискретные
70
Глава II
значения. Из анализа гармонического осциллятора Гейзенберг
и Борн и Йордан заключили, что, для того чтобы энергия при-
принимала дискретный ряд значений, импульс и координата дол-
должны выражаться матрицами1 >
Р = -I
О VI
г\ О
О у/1
О О
о
-А
о о
2 О
О у/3
3 О
, B.11)
B.12)
где 2тгЛ = И — постоянная Планка. Шредингер исходил из не-
неполной теории, принадлежащей де Бройлю, согласно которой
свободные частицы должны дифрагировать подобно свету и,
следовательно, должны описываться волновой функцией, удов-
удовлетворяющей волновому уравнению. Из этого он заключил,
что импульс должен быть дифференциальным оператором
дх
B.13)
действующим на волновую функцию. Как идея Гейзенберга,
так и идея Шредингера приводили к соотношению B.1а); вско-
вскоре после того, как обе формулировки стали известны, было по-
показано, что они представляют собой различные реализации од-
одной и той же математической конструкции, а именно линейных
операторов в линейном пространстве. Мы дадим краткое опи-
описание последующего развития событий в разд. П.52).
'* Это частное представление Р и Q как матриц операторов по отношению к не-
некоторому базису векторов в пространстве со скалярным произведением выводится в
разд. II.3.
2) В книге имеется несколько замечаний на исторические темы. Описание исто-
исторического развития см., например, в книге [6].
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 71
Квантовомеханический гармонический осциллятор является иде-
идеализацией природных микрофизических систем; например, двух-
двухатомные молекулы являются при некоторых условиях квантовоме-
ханическими гармоническими осцилляторами. Простейшая возмож-
возможная геометрическая (классическая) картина двухатомной молеку-
молекулы — два атома с массами тх и т2, соединенных друг с другом
действием упругой силы.
Между описанием на обычном повседневном языке физических
систем, идеализацией которых является классический гармониче-
гармонический осциллятор, и квантовомеханического гармонического осцил-
осциллятора имеется существенное различие. Обычный язык дает вполне
адекватное описание классических систем, например двух массив-
массивных тележек, соединенных пружиной. Вместе с тем обычный язык
непригоден для описания квантовомеханических систем. Квантово-
Квантовомеханический гармонический осциллятор наилучшим образом опи-
описывается математической структурой, заданной в B.1а), B.16).
В этом и заключается оправдание данного выше определения и
предложений, приводящих к нему.
Процедура угадывания математических соотношений, описанная
выше для гармонического осциллятора, применима для столь мно-
многих микрофизических систем, что мы сформулируем ее еще раз:
1. Рассматриваем классическую модель микрофизической систе-
системы и выражаем наблюдаемые как функции координат и импульсов.
2. Заменяем действительные числа, отвечающие значениям им-
импульса р и координаты д: в выражениях для других классических
наблюдаемых, эрмитовыми операторами Р и Q соответственно.
Операторы Р и Q удовлетворяют коммутационному соотношению
Гейзенберга, и с их помощью генерируется алгебра наблюдаемых
квантовомеханической системы.
Не все классические наблюдаемые могут быть выражены через
импульсы и координаты: например, собственный угловой момент,
или спин, волчка не выражается через импульс и координату вол-
волчка. Для таких наблюдаемых приведенная процедура установления
соответствия между классическими и квантовомеханическими наб-
наблюдаемыми должна быть обобщена. Мы можем дать не вполне
строгую формулировку этой процедуры: при переходе от матема-
математического описания классической системы к математическому опи-
описанию соответствующей квантовой системы мы заменяем числовые
величины, отвечающие классическим наблюдаемым, операторами,
отвечающими соответствующим квантовым наблюдаемым. Мате-
Математические свойства этих операторов определяются математиче-
математическими (в частности алгебраическими) соотношениями между ними.
72 Глава II
Эти соотношения между наблюдаемыми определяются соотноше-
соотношениями между классическими наблюдаемыми и некоторыми допол-
дополнительными соотношениями, уточняющими возникающую неком-
некоммутативность. Такие соотношения часто можно получить по анало-
аналогии с уже известными соотношениями для сходных величин.
Существует (например, в физике элементарных частиц) много
квантовомеханических наблюдаемых, не имеющих классических
аналогов. Определяющие соотношения для этих наблюдаемых мо-
могут быть построены только феноменологически путем сравнения
следствий из этих соотношений с экспериментальными данными.
Мы обсудим много примеров процедуры установления соот-
соответствия. Выбор соотношений редко может быть сделан единствен-
единственным образом, и окончательным оправданием определяющих соот-
соотношений, как и любых фундаментальных теоретических предполо-
предположений, является их способность согласовать теоретические предска-
предсказания с экспериментальными данными.
Представление физических наблюдаемых операторами ставит
проблему соотнесения этих математических объектов с эксперимен-
экспериментальными данными, которые являются числами. Решение этой за-
задачи дается набором дальнейших фундаментальных предположе-
предположений, или аксиом, которые дают реальную интерпретацию кванто-
квантовой механики. Мы введем эти аксиомы тогда, когда они нам по-
понадобятся.
II.3. АЛГЕБРА ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Дадим теперь математическое описание квантовомеханического
гармонического осциллятора. Чтобы определить математические
свойства алгебры гармонического осциллятора, надо узнать, как
операторы из этой алгебры действуют на векторы пространства
•Ж Чтобы это выяснить, введем новые операторы а и eft (сопря-
(сопряженный с а):
C.1)
Введем также новый оператор
N = ara, C.2)
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 73
являющийся эрмитовым. Подстановка выражений C.1) в C.2) дает
Используя соотношения B.1), получаем
N = ±H-I/. C.4)
Подобным же образом вычислим
""' = Ьк н +1L <3-5>
Таким образом, как следствие канонического коммутационного со-
соотношения B.1а) мы получаем для а и ct коммутационное соотно-
соотношение
[а, а+] = аа* - а*а = /. C.6)
Мы можем, далее, выразить оператор энергии Н через а и at и по-
получить:
Я = ficoa'a + -^ / = ha)(N + \I). C.7)
Мы хотим теперь найти собственные векторы и собственные значе-
значения операторов Н и N. Поскольку собственные векторы оператора
N являются одновременно собственными векторами оператора Н,
достаточно найти все собственные векторы оператора N.
Предположим, что в ^существует по крайней мере один соб-
собственный вектор N, и обозначим соответствующее собственное
значение через X. (Это предположение не является тривиальным,
поскольку существует много операторов, не имеющих собственных
векторов в Ж. На самом деле без этого дополнительного предполо-
предположения уравнение B.1а) противоречиво.) Пусть <рх — собственный
вектор, тогда
N(Px = кРх- C.8)
Вычислим теперь, используя уравнение C.6), Na^:
Naq>x = (afa)a<px = (аа1 - I)a<px = a(afa - 1)<рк
= a(N - I)(px = a(X - 1)ф. = (Я -
74 Глава II
Таким образом,
так что либо снрх = О, либо а<рх есть собственный вектор операто-
оператора N с собственным значением \ — 1. Предположим, что имеет
место последний случай. Тогда мы можем определить
C.10)
Повторяя проведенное вычисление с ^х _ ,, находим, что
C.11)
является либо нулевым вектором, либо собственным вектором с
собственным значением \ — 2. Мы можем продолжать таким же
образом и получить набор векторов
ср^т = атср, (т = 0,1,2,...), C.12)
являющихся собственными векторами оператора N с собственными
значениями (\ — т), пока <рх _ т Ф 0.
Подобным же образом вычислим N(tf(px) и получим
ЛГ(<1>д) = (А+ lXflVj- (ЗЛЗ)
Следовательно, vx+1 = ffVx есть либо нулевой вектор, либо соб-
собственный вектор N с собственным значением \ + 1. Легко пока-
показать, что всегда имеет место vx+i ^ ^- Предположим, что
ffVx = 0. Это означает, что
llaVj =0. C.14)
Но
HflVj2 = (aV^V*), C.15)
и по определению
(flV^ aV) = (Фа, flflVj- C-16)
Из коммутационных соотношений между а и а* имеем
(Фд, Фд) C.17)
= \\асрк\\2 + ЦфЛ2 > 0,
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 75
так как <рх Ф 0. Таким образом, <рх+1 всегда является собственным
вектором оператора N с собственным значением \ + 1. Повторяя
снова описанную процедуру, получаем последовательность векто-
векторов <рх + п (п = 0, 1, 2, ...), являющихся собственными векторами
оператора ./V с собственными значениями \ + п. Как следует из
приведенного доказательства, они никогда не равны нулю.
Найдем теперь, при каких условиях <рх_т становится нулевым
вектором. Вычисляем
(<рд_и, N(px_m) = (Я - т)((р^т, фЛ_т) = (Я - т)\\(р^т\\\
Поскольку норма всегда неотрицательна, отсюда следует, что
д-и = 1етаа (ЗЛ8)
Таким образом, последовательность собственных векторов <рх_т
должна обрываться за конечное число шагов, и должен существо-
существовать вектор <р0 такой, что
сир0 = 0.
Вектор (р0 является собственным вектором оператора N с нулевым
собственным значением, так как N<pQ = cfta<p0 = af0 = 0. Опреде-
Определим теперь нормированные векторы
фп =
Из проведенного рассмотрения мы знаем, что векторы фп являют-
являются собственными векторами оператора N с собственным значением
п и Сп выбраны так, чтобы нормировать фп. Следовательно, име-
имеем
Кфп = пфп, H0JI = 1. C.20)
76 Глава II
Коэффициенты Сп вычисляются следующим образом: из уравнений
C.20) и C.19) находим
но 1
(<"ф »ф)
так что
i2
1 = 77^
Используя уравнение C.6), получаем
1 = \сп_х\2{фп-хЛа
\С I2
111 / 1 (\
K-il
= п
следовательно, Сл должны быть выбраны так, что
nlCI2 = IC...J2. C.21)
Поскольку вектор </>0 нормирован, Со = 1, и одно из решений урав-
уравнения C.21) имеет вид
С. = Д C-22)
Существуют другие решения уравнения C.21), отличающиеся от
C.22) множителем, равным по модулю 1; мы выбираем решение
C.22).
Мы можем суммировать изложенное следующим образом. На-
Начинаем с нормированного вектора ф0 € J$f, обладающего следую-
следующим свойством:
аф0 = 0. C.23)
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 77
Затем действуем на ф0 оператором eft, получая набор собственных
векторов оператора N
Ф ^пФо, C.24)
И!
с собственными значениями п = О, 1, 2, ... . Эти собственные век-
векторы нормированы как описано выше, и они ортогональны между
собой как собственные векторы эрмитова оператора, отвечающие
различным собственным значениям (см. задачу 1.4). Следователь-
Следовательно, имеем соотношения ортогональности
(фп, фп,) = дт., C.25)
и фп образуют ортонормированную систему векторов в Ж Дейст-
Действие операторов a, eft на этой ортонормированной системе опреде-
определяется формулами
Из-за этого свойства а называется оператором уничтожения, а
eft — оператором рождения. Оба они часто называются лестничны-
лестничными операторами. Все элементы алгебры гармонического осциллято-
осциллятора, являющиеся функциями от а и eft, определены на элементах этой
ортонормированной системы. Рассмотрим совокупность векторов
^ = 1>,А. C.27)
л
где ап — комплексные числа и суммирование производится по про-
произвольно большому, по конечному набору п. Эта совокупность век-
векторов образует линейное пространство, называемое пространст-
пространством, натянутым на векторы фп. Мы будем обозначать это про-
пространство через Жшт через Ф, когда мы не учитываем детали.
ЦТочнее, пространство всех ф = Е"=оалф„, для которых
£ "=01 ап I2 < оо, будет обозначаться Ж (для гильбертова про-
пространства), а пространство всех ф, для которых
1"=01а„12(л + 1К < оо для всех р = 0, 1, 2, ..., будет обозна-
обозначаться Ф. Очевидно,
Фс^ C.28)
Преимущество Ф перед ^состоит в том, что все отвечающие наб-
78 Глава II
людаемым операторы могут быть определены на всем пространст-
пространстве Ф, но не на всем пространстве Ж Поэтому, хотя оба про-
пространства Ф и ^являются математическими обобщениями, Ф бо-
более удобно для физики. J
Так как все наблюдаемые являются функциями от о и at, а о и
cfi известны из C.26) и C.27) для всех ф, все наблюдаемые для
квантовомеханического осциллятора в принципе известны на Ф. Та-
Таким образом, задача выяснения математических свойств алгебры
гармонического оператора в основном решена.
Вычислим диагональный матричный элемент оператора энергии
Н между векторами фп для фиксированного п. Используя уравне-
уравнения C.7) и C.20), получаем
Нфп = hco(N + ±)фп = М" + М
и
(</>„, Нфп) = М</>„, Мфп) + Нсо(фп, |0J C.29)
Назовем эту величину Еп:
Еп = fiaj(n + i); C.30)
Еп являются собственными значениями оператора Н. Совокупность
всех собственных значений называется спектром оператора.
Спектр [Еп\п= 1, 2, ...} оператора Н— это энергетический
спектр гармонического осциллятора.
II.4. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ
ДАННЫМИ И КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИМИ
НАБЛЮДАЕМЫМИ
Теперь мы сформулируем фундаментальную аксиому квантовой ме-
механики, устанавливающую соответствие между оператором, отве-
отвечающим наблюдаемой, и экспериментально измеряемыми значени-
значениями этой наблюдаемой. Прежде чем это сделать, отметим некото-
некоторые фундаментальные различия экспериментальных свойств класси-
классического гармонического и квантовомеханического осцилляторов.
Рассмотрим классическую схему на рис. 2.1. Предположим, что
система не имеет собственной энергии, т. е. в ней отсутствуют ко-
колебания (она колеблется с нулевой амплитудой). В системе могут
быть возбуждены колебания, например,если в одну из масс ударяет
другое налетающее массивное тело. Осциллятор может колебаться
с произвольной амплитудой, зависящей от величины сообщенной
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 79
ему энергии, которая в свою очередь зависит от импульса налетаю-
налетающего тела. Следовательно, можно подобрать такое налетающее те-
тело, что в классическом осцилляторе возбудятся колебания с любой
желаемой энергией Е. Энергия дается формулой
Е = \ка\ D.1)
где а — амплитуда колебаний:
х(г) = a sin(cof + в0).
Если классический гармонический осциллятор реализован в виде
двух массивных тележек (см. рис. 2.2), система может быть воз-
возбуждена, например, ударом в одну из тележек третьей тележки, об-
обладающей нужным импульсом.
Для квантовомеханического гармонического осциллятора ситуа-
ситуация совершенно иная. Чтобы это увидеть, рассмотрим аналогич-
аналогичный эксперимент с микрофизической системой. Как это типично
для экспериментов с микрофизическими системами, мы имеем дело
не с одной системой, но с ансамблем систем, т. е. с набором си-
систем, являющихся в некотором смысле идентичными. Ансамбль
микрофизических гармонических осцилляторов, используемый в
описываемом эксперименте, — это газ молекул СО, а электронный
пучок служит в качестве ансамбля бесструктурных налетающих ча-
частиц.
Примечание. Необходимо помнить, что утверждение о бес-
бесструктурности физической системы не имеет универсального
смысла. Любая система при определенных условиях может
рассматриваться как бесструктурная, а при других не может.
Например, в области, в которой справедлива кинетическая тео-
теория газов, молекулы могут рассматриваться как бесструктур-
бесструктурные объекты, в то время как при более высоких энергиях они
проявляют наличие структуры. Электрон может рассматри-
рассматриваться как не имеющий «энергетической структуры» при всех
доступных в настоящее время энергиях.
Эксперименты такого типа называют экспериментами на энер-
энергетические потери; они базируются на первом эксперименте, вы-
выполненном Франком и Герцем в 1914 г.
На рис. 4.1 показана общая схема таких экспериментов. Пучок
электронов, выходящий из монохроматора') и имеющий очень ма-
'* Монохроматор — устройство, приготавливающее пучок с очень хорошо за-
заданным импульсом и, следовательно, с хорошо определенной кинетической энерги-
энергией. Анализатор — устройство того же типа, но используемое в других целях.
80
Глава II
Моно-
храматор
Ее
е
Газ
СО
е'
Анализатор
Детектор
Рис. 4.1. Схема эксперимента с потерей энергии.
лый разброс по энергиям Ее, входит в столкновительную камеру,
наполненную ансамблем молекул СО (или любых других физиче-
физических объектов, структура которых исследуется), поддерживаемым
при низкой температуре. Некоторые электроны рассеиваются в
анализатор, фокусирующий на детектор только электроны с опре-
определенной энергией Ее,. (Типичное разрешение по энергиям от 0,005
до 0,05 эВ; в конкретном эксперименте, представленном на
рис. 4.2, а, оно равно 0,06 эВ.) Энергия Ее,, селектируемая анализа-
анализатором, может меняться, так что допустимо измерять интенсив-
интенсивность / (электронный ток в детекторе) потока электронов как функ-
функции переданной энергии Е = Е — Е ,.
Монохро-
лгатор
Электронный коллектор
I ^ Электронный.
/ J у/лножитель
Анализатор
Пучок молекул
Нить
а
v | с
Напряжение развертки, В
Потери энергии, эВ
6
Рис. 4.2. а — схема двойного электростатического анализатора. Электроны испуска-
испускаются покрытой торием иридиевой нитью. Они проходят между цилиндрическими
сетками, обладая энергией порядка 2,05 эВ, ускоряются и направляются в камеру
столкновений, где встречаются с пучком молекул. Электроны, рассеянные в задан-
заданный вторым электростатическим анализатором угловой интервал, проходят между
цилиндрическими решетками с энергиями от 0 до ~ 2 эВ; они попадают через вы-
выходную щель во вторую камеру и падают на электронный умножитель.
б — энергетический спектр рассеянных электронов в СО при начальной энергии элек-
электронов 2,05 эВ.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 81
Е3
Е2 —L-
д£
£, ,—
Рис. 4.3. Диаграмма уровней энергии гармонического осциллятора.
Результат реального эксперимента, выполненного на аппарату-
аппаратуре, схематически изображенной на рис. 4.2, а, где использовались
двухатомные молекулы СО, показан на рис. 4.2,6 [7]. Мы видим
наличие максимума при передаче энергии Ео = Ее — Ее, — О, т. е.
большая часть электронного тока е не теряет энергии (упруго рас-
рассеянные электроны). Далее, мы видим относительный максимум
интенсивности для электронов, которые теряют энергию Ех
(»0,26 эВ); это означает, что значительная часть электронов, обла-
обладающих энергией Ее, неупруго передает энергию молекулам СО.
Третий пик интенсивности имеет место при передаче энергии
Е2 = 2£, и т. д. В целом рис. 4.2 показывает, что ток рассеянных
электронов е' является смесью электронов, передавших молекулам
СО одно из восьми возможных дискретных значений энергии Ео,
£",, Е2, ..., £7 при v = 0, v = 1, ..., v = 7 соответственно.
Из этого эксперимента1* мы делаем заключение, что молекулы
СО не могут возбуждаться до произвольной энергии. Допустимо
только дискретное число уровней энергии, т. е. физическая система
имеет дискретное число энергетических уровней. Эта ситуация от-
отражена на диаграмме энергетических уровней (рис. 4.3). В рассмат-
рассматриваемом частном случае осциллирующей молекулы диаграмма
уровней энергии, как можно видеть из экспериментальных резуль-
результатов на рис. 4.2,6, состоит из набора эквидистантных уровней.
Из рис. 4.2,6 видно, что это утверждение лишь приблизитель-
приблизительно верно и расстояние между энергетическими уровнями на са-
самом деле убывает с ростом энергии. Это рассогласование от-
отражает ограниченную применимость гармонического осцилля-
'* Многократным рассеянием электронов на молекулах СО можно пренебречь,
поскольку интенсивность электронного потока е и плотность молекул СО сравни-
сравнительно низки.
т -6
82 Глава II
тора как модели осциллирующей молекулы. Ниже мы обсудим
поправки к этой модели.
Сравнивая этот экспериментальный энергетический спектр с ре-
результатом уравнения C.29), мы видим, что они согласуются, если
положить Д£ = Л со для разности энергий двух соседних энергети-
энергетических уровней. Таким образом, диагональный матричный элемент
(фп, Нфп) дает возможные уровни энергии квантовомеханического
осциллятора (т. е. осциллирующей молекулы) с точностью до об-
общей постоянной. Мы интерпретируем эту ситуацию следующим об-
образом: налетающая частица (электрон) возбуждает гармонический
осциллятор (осциллирующую молекулу) до какого-то одного состо-
состояния из дискретного набора состояний, описываемых фп. Если воз-
возбуждения не происходит, гармонический осциллятор остается в ос-
основном состоянии, описываемом ф0. Если бы все электроны, про-
проходящие через газ, теряли одинаковую энергию, т. е. если бы на
экспериментальной кривой был только один пик при v = п0, то ан-
ансамбль молекул, с которыми сталкиваются электроны, описывался
бы один из фп, скажем фп . В этом случае мы бы сказали, что ан-
ансамбль молекул СО находится в чистом состоянии фп . Это часто
выражают словами «все молекулы имеют энергию Еп ». Результа-
Результаты, приведенные на рис. 4.2,6, показывают, что изучаемый ан-
ансамбль молекул (т. е. те молекулы, которые испытали столкнове-
столкновение с электронами, рассеянными на угол настройки анализатора,
который в эксперименте, иллюстрируемом рис. 4.2,6, примерно
равен 72° от направления электронного пучка) не находится в чис-
чистом состоянии, поскольку потери энергии электронами равны не
одному значению Еп , а набору значений £0, £р £2, ..., £7. Такой
ансамбль молекул находится в смешанном состоянии, или состоя-
состояние ансамбля представляет собой смесь состояний. Эта смесь мо-
может быть описана набором векторов ф0, ф1, ф2 ..., фп и совокупнос-
совокупностью чисел (относительных вероятностей) w0, wp ..., wn, ..., где w
выбирается пропорциональным высоте Ип пика, отвечающего энер-
энергии Еп, а нормировочное условие имеет вид
I н" = L D.2)
л
Таким образом, можно мысленно представлять себе ситуацию со
смешиванием как совокупность N молекул, где Nn — wnN— число
молекул с энергией Еп в ансамбле. Если бы можно было взять одну
молекулу из ансамбля, то величина wn была бы вероятностью то-
того, что эта молекула обладает энергией Еп. Но полное динамиче-
динамическое описание одного представителя микрофизической системы
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор
83
Рис. 4.4. Проекционный оператор на плоскость.
дать невозможно. Величина wn измеряется по относительной ин-
интенсивности потока электронов, потерявших энергию Еп и, следо-
следовательно, представляет собой утверждение относительно большого
числа индивидуальных представителей.
Прежде чем мы дадим точное описание смешанного состояния,
приведем альтернативное описание чистого состояния. Чтобы это
сделать, потребуются дополнительные сведения из математики, ко-
которые приводятся ниже.
[Оператор W называется положительным, если (ф, №ф) > О
для всех фе Ж Эрмитов оператор Р называется проекционным
оператором, или проектором, тогда и только тогда, когда
Р2 = Р.
Легко видеть, что множество Я- [феЖ; Рф = ф] является
подпространством Я с Ж, так как если ф, ф еЯ, а а, /3 е С, то
Р(аф + (Зф) = аРф + 0Рф = аф + 0ф, т. е. к замкнуто относи-
относительно умножения на число и сложения векторов. С другой сторо-
стороны, Я = | Рф:ф € Ж\, поэтому мы пишем Я = РЖ В качестве
примера рассмотрим трехмерное евклидово пространство Ж= IR3,
и пусть Ik — плоскость, проходящая через начало координат. Тогда
для любого х е IR3 рассмотрим в качестве Рх обычную проекцию х
на плоскость (рис. 4.4)
Два подпространства Я,, Я2 Q ^называются взаимно ортого-
ортогональными, если для каждого ф е Я, и для каждого феЯ2 имеем
@, ф) = 0. Множество Я = \Ф + ф:феЯ1 и феЯ2\ называется
прямой суммой Ях и Я2 и обозначается Я = Я, © Я2- Подобным
образом, рассматривая набор Я{, Я2, Я3, ... взаимно ортогональных
подпространств, можно образовать их прямую сумму: Я =
Для заданного проектора Р, проектирующего на подпрост-
84 Глава II
ранство Я, оператор I — Р также является проектором. [Доказа-
[Доказательство: поскольку Р2 = Р, имеем (/ — Pf — I2 — IP — PI +
+ Р2 = I — Р — (Р — Р2) = I — Р.] Следовательно, оператор
I — Р выделяет другое подпространство, которое мы обозначим
Я -1. Все векторы ъ Я1 ортогональны к векторам из Я, поскольку
если феЯифе Я1, то ф = Рфиф = A- Р)ф; используя опреде-
определение (Pt = Р и Р2 = Р) проектора, имеем (ф, ф) = (Рф,
(/ - Р)ф) = (ф, РA - Р)ф) = (ф, (Р - Р2)ф) = (ф, Оф) = 0. Так
как для любого фе ef мы можем записать ф = Рф + (/ - Р)ф,
любой проектор Р задает декомпозицию J^ на взаимно ортого-
ортогональные подпространства Jif= Я ©Я1.
Для любого ф€. Jf множество { осф: а е С} является одномер-
одномерным подпространством J$f, которое называется пространством,
порожденным ф.
Наконец, при заданном в J$f базисе | фу} определим след опера-
оператора А формулой
ТгА = £ (Фу* МУ). D.3)
Можно показать (задача 19), что ТтА не зависит от выбора орто-
нормального базиса; ТгА не обязательно должен быть конечным.
Обычно мы будем предполагать, что он конечен для всех операто-
операторов, след которых мы вычисляем. След обладает такими свойства-
свойствами:
Тт(АВ) = ЩВА). D.4а)
В общем случае
Tt(AiA2 ... Ап) = Ъ{А2Аъ ... АпАх\ D.46)
Тг((Л + B)Q = ЩАС) + Tx{BQ.l
Используем теперь эти новые математические понятия для опи-
описания гармонического осциллятора. Пусть
Яо — пространство, порожденное ф0,
Ях — пространство, порожденное фх,
Я2 — пространство, порожденное ф2,
Яп — пространство, порожденное фп,
Тогда пространство ^есть ортогональная сумма
S ®Я„ = X D.5)
п = 0
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 85
Пусть Ля (п — О, 1,2...) — проекционные операторы, проектиру-
проектирующие на пространства Яп. Тогда операторная запись разложения
D.5) имеет вид
Z Л„ = /. D.6)
п = 0
Тем самым любой вектор feJf можно записать как сумму его
компонент Anf в подпространствах Яп:
/= 1Л„/. D.7)
и = 0
Эквивалентным образом можно записать
/= 1Фп(Фп,Л= 1\Фп>Ш/Х D.8)
л=0 и=0
что в соответствии с A.4.4г) означает, что фп образуют базис. Сле-
Следовательно, Ля можно также записать в виде Ап = 1ф„><Ф„1, а
D.6) можно записать в виде
/= Ъ
п = 0
Мы часто будем обозначать проекционный оператор Л на одномер-
одномерное подпространство, порожденное единичным вектором ф, через
л = |«АХ«А1. D.Ю)
Если мы подействуем оператором Н на произвольный вектор / и
воспользуемся D.9), то, как это следует из C.29) и C.30), получим
и=0
Поскольку вектор / произволен, мы можем опустить его и запи-
записать
D.11)
л=0 и=0
Это соотношение называется спектральным разложением операто-
оператора Я. Используя понятие следа, мы можем выразить значения
86 Глава II
уровней энергии Еп — (фп, Нфп) в виде
Еп = Тг(ЯЛ„). D.12)
Доказательство. Поскольку
@ ,
получаем
Следовательно, состояние гармонического осциллятора с энергией
Еп может быть описано вместо вектора фп проекционным операто-
оператором Ап. Понятно, что математический смысл Ап и фп различен.
Оператор Ля определяет подпространство hn — AnJf —
— \ Ля/1/е ^}, которое является одномерным подпространством,
порожденным фп (одномерное подпространство часто называют
лучом). Пространство hn содержит много нормированных векто-
векторов, в частности все те векторы, которые получаются умножением
фп на фазовый множитель е'а где 0 < а < 2я\ (Множество всех
векторов вида е'аф с IIфИ = 1 называют единичным лучом.)
Обычно предполагается, что чистое состояние физической систе-
системы описывается проекционным оператором Л на одномерное под-
подпространство (или единичным лучом), а не вектором. Но часто не
только Л, но и любой вектор феЛ^называют «состоянием» или
«вектором состояния».
Результат, полученный в D.12), не является общим, поскольку
одномерный проекционный оператор Ап принадлежит к спектраль-
спектральному представлению Н. Встречаются случаи, когда наблюдаемая А
измеряется в состоянии, которому отвечает одномерный проекци-
проекционный оператор Л, не принадлежащий к спектральному представ-
представлению А (т. е. возможен случай, когда [А, А] Ф 0). Тогда «значе-
«значение» наблюдаемой А в состоянии Л обозначается через < А >Л или
просто < А > и определяется из измерений с использованием экспе-
экспериментальных устройств, определяющих наблюдаемую А. Величи-
Величину <у4> можно получить следующим образом. Проводится серия
из N измерений наблюдаемой А, т. е. либо измерение проводится
над N идентичными системами, либо проводится N измерений над
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 87
одной и той же физической системой, обеспечивая одинаковость со-
состояния системы перед каждым из измерений. Обозначим измере-
измерение в этом эксперименте значения наблюдаемой А через а0, а,, ...
..., ап, ..., и пусть Nn — число измерений, давших значение ап. Тог-
Тогда (А) есть среднее из этих измерений:
<Л> = 1^Ч D.14а)
при достаточно большом значении N (таком, что правая часть
D.14а) мало изменяется при возрастании N). Отношение
wn — Nn/N есть вероятность получения значения ап в одном изме-
измерении. Таким образом, <Л> является экспериментально определен-
определенной величиной.
Операторы А и А являются математическими величинами; А
есть математический образ наблюдаемой, а Л — математический
образ состояния. Если математический образ системы (т. е. теория
системы) известен, то можно, в частности, вычислить Тг(ЛЛ), т. е.
Тг(ЛЛ) — величина, вычисляемая в теории.
Второе фундаментальное предположение, или постулат, кванто-
квантовой теории соотносит экспериментально определяемую величину А
с теоретически вычисляемой величиной Тт(АА). Сформулируем его
здесь для случая чистого состояния.
1Г. Чистое состояние физической квантовомеханической систе-
системы характеризуется проекционным оператором Л на одномерное
подпространство Л Ж (или самим одномерным подпространством).
Среднее значение < А >, определенное в эксперименте, проведенном
над физической системой в состоянии Л, связано с величиной
Тг(АА) соотношением
= Тг(ЛЛ). D.146)
Величина 7г(А А) (а также вследствие D.146) и (А)) называется
средним значением наблюдаемой А в состоянии Л.
Для гармонического осциллятора в некотором чистом состоя-
состоянии Л„, скажем в состоянии Ах (проекционный оператор на подпро-
подпространство, порожденное фх), измерение Я всегда дает одно и то же
значение. Следовательно,
1^£„ = ^£, D.15)
Таким образом, в чистом состоянии Ах вероятность wx появления
88 Глава II
значения Ех равна wx = 1, а вероятность всех остальных значений
w. - 0.
Чистое состояние Л называется собственным состоянием наб-
наблюдаемой А, или чистым собственным состоянием А, если одно-
одномерное пространство Л ^порождено собственным вектором ф наб-
наблюдаемой А. (Это определение собственных состояний А обобще-
обобщено в разд. II.6 на случай состояний, не обязательно являющихся
чистыми, т. е. не описываемых одномерными проекционными опе-
операторами.) Следовательно, чистое состояние Л, гармонического ос-
осциллятора является также собственным состоянием наблюдаемой
//, отвечающей энергии, т. е. чистым собственным состоянием Н.
Вообще говоря, как мы узнаем ниже, система может находиться в
чистом состоянии, описываемом одномерным пространством, а из-
измерение значений некоторой наблюдаемой А, для которой рассмат-
рассматриваемое состояние не является чистым, по-прежнему даст различ-
различные значения ах, а2, ..., ап, В этом пункте квантовая механика
разительно отличается от классических теорий. Ниже мы обсудим
этот вопрос более подробно.
Обсудим теперь описание не чистого, а смешанного состояния.
Рассмотрим молекулы СО, соударяющиеся с электронами в экспе-
эксперименте с передачей энергии на рис. 4.1 или 4.2. Если измерить
энергию молекул N раз, то получим следующие результаты:
NQ = w0N измерений дадут значение Ео,
Nx = wx N измерений дадут значение Ех,
Nn — wnN измерений дадут значение Еп,
поскольку vv. — доля молекул в ансамбле, обладающих энергией £•.
Тогда среднее значение <//> оператора энергии Н равно
<я> = X »•„£„ = Z »<„(</>„, нфп\ D.16)
и оно должно быть равно ожидаемому значению Н в смешанном
состоянии. Мы хотим переписать эту величину как след некоторого
оператора; чтобы сделать это, введем положительно-определенный
эрмитов оператор
И^Хи^Л,,, D.17)
п
где каждый \ — проектор на собственное пространство hn из И,
порожденное фп. Вычислим теперь
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 89
Поскольку
имеем
Tr(HW) =
У "
D.18)
= I »АФЯ, Нфп).
п
Таким образом, если смешанное состояние описывается операто-
оператором W, определенным в D.17), то среднее значение энергии равно
D.19)
Важно заметить, что в уравнении D.19) W не является, как в случае
чистого состояния, проекционным оператором.
Утверждение, содержащееся в выражении D.19), предполагается
справедливым для квантовой механики вообще, и мы формулируем
его как второй постулат квантовой механики:
II. Состояние квантовомеханической системы характеризуется
положительно-определенным эрмитовым оператором W. Среднее
значение наблюдаемой А, которому соответствует, согласно
D.14а), среднее значение </4>, измеряемое в эксперименте, равно
(А > = Tt(AW), если Tr W = 1,
Оператор W называется статистическим оператором, а его
матрица называется матрицей плотности. Состояние системы на-
называется чистым тогда и только тогда, когда W является проекци-
проекционным оператором на одномерное подпространство.
Вероятности wn принято нормировать так, что
2>„ = 1, D-20)
п = 0
т. е. статистический оператор нормировать так, что
Tr W = 1. D.21)
90 Глава II
Заметим, однако, что как уравнение D.20), так и уравнение D.21)
являются лишь следствием соглашения. Вместо wn мы могли бы
использовать для характеристики состояния высоты пиков Л„.
В этом случае вместо уравнения D.17) мы получили бы
W=Y.KK D-22)
Легко видеть, что
Операторы W и W описывают одно и то же состояние гармониче-
гармонического осциллятора. Но если для характеристики состояния исполь-
использовать W, то среднее значение наблюдаемой И будет определяться
выражением
Tt(HW) . lr{AW)
(Ну = —i—^J. или в общем случае <Л> = —-—«-А D.23)
Следовательно, когда это возможно, для описания состояния удоб-
удобнее использовать нормированный статистический оператор.
Второй основной постулат квантовой механики не может быть
выведен; его справедливость можно только предположить. Это
предположение явилось следствием множества экспериментальных
результатов, полученных в течение длительного процесса развития
квантовой механики. В предыдущем рассмотрении мы пояснили
смысл этого постулата на частном примере измерения энергии гар-
гармонического осциллятора.
Рассмотрим состояние гармонического осциллятора, заданное
формулой
Проекционный оператор Ар на собственное пространство Н с соб-
собственным значением Ер также является наблюдаемой. Следова-
Следовательно, можно вычислить среднее значение Ар в состоянии W \
<Лр> = Тг(Лр W) = X Тг(Л,Л>и. D.24)
п
Из свойств проекционных операторов мы знаем, что
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 91
\р\н = 0 при р Ф п, D.25)
Л„Л„ = Л„;
следовательно,
<\> = I К Tr(An)wn = D.26)
= Тг(Л>р, D.27)
так что
<АР> = *,, D.28)
поскольку ТгЛр = 1, так как Ар является проектором на одномер-
одномерное подпространство. Следовательно, Ар — наблюдаемая, среднее
значение которой равно вероятности получить при измерении энер-
энергии значение Z?p, т. е. вероятности застать систему в состоянии Ар.
В частности, для чистого состояния W = Л„ имеем
0 , р Ф п,
1 , р = п.
<Лр> = Тг(ЛрЛ„) = I ' ^ : D.29)
Вообще говоря, проекционные операторы представляют собой не-
некоторый тип наблюдаемых, называемых свойствами или высказы-
высказываниями, средние значения которых говорят что-то о состоянии.
Постулат II устанавливает процедуру вычисления среднего зна-
значения по известному статистическому оператору W. Обсудим те-
теперь, каким нужно выбирать статистический оператор для каждого
конкретного случая. Для этого надо использовать наше убеждение,
подтверждаемое всеми экспериментальными данными, что по-
повторное измерение всегда дает тот же результат, или что все
эксперименты, выполненные при одинаковых условиях, дают те же
экспериментальные значения. Предполагается, что в общем случае
система может находиться в одном из состояний 1, 2, ..., описывае-
описываемых в квантовой механике статистическими операторами W{, W2, ...,
и эти состояния можно определить, измеряя наблюдаемые А, В, ....
Таким образом, каждое состояние физической системы является
результатом приготовления системы. Приготовление — ряд мани-
манипуляций с экспериментальным оборудованием, приводящих к изме-
измерению наблюдаемой (или нескольких наблюдаемых). Эти измере-
измерения могут как влиять на состояние системы, так и не влиять на не-
него. В классической физике влиянием измерения на состояние физи-
физической системы всегда пренебрегают; существенное отличие кван-
квантовой физики состоит в том, что здесь это влияние учитывается.
92 Глава II
Таким образом, как в принципе, так и на практике не все измерения
можно проводить одновременно. Следовательно, всегда должна
иметься возможность воспроизведения определенного физического
состояния, чтобы его можно было получить в результате ряда по-
последовательных измерений. После измерения наблюдаемой система
будет находиться в состоянии, приготовленном этим измерением.
Это состояние должно описываться статистическим оператором,
для которого вычисленное среднее значение наблюдаемой согласу-
согласуется с измеренным средним значением. Это означает, что оператор
W должен быть выбран так, чтобы вычисленное значение согласо-
согласовывалось со значением, получаемым при «мгновенном» повторении
измерения, т. е. в измерении, осуществленном до того, как системе
представится случай измениться (развиваться во времени). Этот
принцип был использован при описании состояния молекул СО.
В примере с ансамблем молекул СО приготовление состоит в уста-
установке аппаратуры и бомбардировке газа монохроматическими элек-
электронами. Таким способом приготавливается газ СО в состоянии,
являющемся смесью собственных состояний энергии Ап с весами
wn. Статистический оператор W должен обеспечивать возмож-
возможность вычисления того, что было измерено в физической системе
или какие приготовления были проведены. Таким образом, мы по-
постулируем следующий вид статистического оператора:
W=Y,wn\,- D.30)
л
Используя этот оператор W, в качестве результатов измерения
энергии вычисление предсказывает значения
■Щ, Wi, w2,... .
Таким образом, исходные значения, полученные при приготовлении
состояния, будут получены и при мгновенном повторении измере-
измерения (т. е. при измерении, осуществленном до изменения состояния
W), которое в рассматриваемом случае можно проводить через лю-
любой конечный промежуток времени, поскольку ситуация в экспери-
эксперименте стационарна, но до того, как осуществляется другое измере-
измерение или меняются условия эксперимента (например, при выключе-
выключении электронного пучка).
Соотношение D.30) выражает третий постулат квантовой меха-
механики для случая, когда пространства Лл^ одномерны. В общем
случае пространство собственных векторов наблюдаемой А с соб-
собственным значением я7 не является одномерным. В этом случае
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 93
собственное значение ai называется вырожденным, а спектр
{я,, а2, ...} называется вырожденным спектром. Пространство
AaJf= [fa\fa = Лй/, feJt?) есть пространство, образованное
всеми собственными векторами наблюдаемой А с собственным
значением аг Оператор Аа. является проектором на подпростран-
подпространство Аа <Ж пространства Ж Размерность этого подпространства
6\т{Аа'Ж) может принимать любые конечные значения или быть
бесконечной; она может быть разной для разных аг Пространство
АаЖ называется собственным пространством оператора А с соб-
собственным значением аг
После этих приготовлений мы можем сформулировать третий
постулат квантовой механики для общего случая наблюдаемой с
вырожденным спектром.
Ша. Пусть даны следующие результаты измерения наблюдае-
наблюдаемой А :
вь с/2, аз, ...,
где wa дает относительную частоту появления значения я, (т. е. по-
после N'измерений значением, появилось waN раз); тогда состояние
системы непосредственно после измерения описывается статистиче-
статистическим оператором W, задаваемым формулой
где Аа — проекционные операторы на собственные пространства
А с собственным значением a,, a dim(AaJ!?) = ТгЛа обозначает
размерность пространства Аа Ж
Прежде чем обсуждать общий случай, рассмотрим частную си-
ситуацию, в которой ап было измерено с вероятностью wn = 1, а все
остальные вероятности и>Д/ Ф п) = 0. Тогда статистический опера-
оператор выбирается в виде
W = Лйя } D.32)
[Примечание. Операторы Аа не обязательно являются проекцион-
проекционными операторами на одномерные пространства. Если Аа — про-
проектор на одномерное пространство, состояние D.32) называется чи-
чистым состоянием.] Как будет показано ниже, для среднего значения
оператора А получаем
94 Глава II
<А > = Tr(AW) = d.mJ Tr(AAaJ = an, D.33)
а для вероятности имеем
W) - dim(^r) ^-1. D.34)
Другими словами, статистический оператор D.32) однозначно пред-
предсказывает появление собственного значения ап оператора А при не-
немедленном повторении измерения. Прежде чем мы докажем D.33)
и D.34), удобно изложить еще немного математики.
[Если пространство t^Jf собственных векторов А с собствен-
собственным значением а имеет размерность dim {\Ж), то в нем существу-
существует dim (Д,^) линейно независимых собственных векторов. Следо-
Следовательно, можно выбрать в качестве базисных dim (ЛОЖ) взаимно
ортонормированных собственных векторов А с собственным значе-
значением а, т. е. набор векторов
A1 A2 Af А<Нт(Л„ Ж)
Фа, Фа Фа> • • •> Фа
удовлетворяющий условиям
Афка = афка D.35)
и
(фКа, фКа) = Ькк.. D.36)
Базис для всего пространства имеет вид
1 £ D.37)
В общем случае d\m{Ka^f) ^ dim(Aa/^). Каждая из размерностей
(a) может быть как конечной/так и бесконечной.
Произвольный вектор / е <*%? запишется тогда в соответствии с
A.4.4г) в виде
Ж)
/=2 S |Ф5|ХФЫ/>. D.38)
Это утверждение и результирующая формула D.42), приведенные
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 95
здесь без доказательства, составляют спектральную теорему для
операторов с дискретным вырожденным спектром1*.
Если мы подействуем вектором А на произвольный вектор/,
записанный в этой форме, то получим
Af= 2 *i|*S,X*S,|/>, D.39)
или, опуская произвольный вектор/,
Л = £ ai|*SiX*Si| = S *' S l*S,X*Si|. D.40)
в/К Of /Г
Оператор
SI =Лв1. D.41)
является проекционным оператором на подпространство \ Ж соб-
собственных векторов А с собственными значениями я7, так как
Л„А, = 22 |02,X0Z,I< ><< I = S к5«ХФ5у|
Тогда D.40) можно записать в виде
А = 2а,Ла,.. D.42)
Эта формула называется спектральным представлением операто-
оператора А (с дискретным спектром). Совокупность Д, называется
спектральным семейством.
Если опустить в D.38) произвольный вектор/, получим разло-
разложение единичного оператора / по спектральному семейству опера-
оператора А :
Докажем теперь формулу D.33). Используем базис D.37) и вычис-
!) Для операторов с непрерывным спектром необходимо исходить из A.4.4в)
вместо A.4.4г); спектральная теорема похожа на D.42), но сумма заменяется инте-
интегралом, см. [8], с. 131.
% Глава II
ЛИМ
= 2 ап(фкап, фкая) = ап dim (Аая Ж). D.43)
к
Таким образом,
(АпнЖ) "'
Справедливость уравнения D.34) устанавливается подобным же об-
образом.
Продолжим введение новых математических понятий: два эрми-
эрмитовых оператора А, В называются коммутирующими оператора-
операторами тогда и только тогда, когда
АВ = ВА, или [А, В] = 0. D.44)
Пусть Аа — спектральное семейство А , а Рь — спектральное се-
семейство В. Тогда утверждение, что А и В коммутируют,
эквивалентноХ) утверждению
Аа.Рь. = Рь.Аа. для всех ait bj. D.45a)
Таким образом, как следует из D.42), оператор А коммутирует с
оператором В, если
АРЪ. = РЬ.Л для всех bjm D.456)
Спектральное разложение D.42) эрмитова оператора А или любого
другого оператора может быть использовано для определения
функций от операторов®. Пусть f(at) — функция дискретной пере-
переменной я7.; определим тогда оператор ДА) формулой
D.46)
!) На самом деле точным утверждением о коммутативности является D.45а);
чтобы сделать точным D.44), необходимо добавить требование существенной само-
самосопряженности оператора А2 + В2 (его замыкание на гильбертовом пространстве
является самосопряженным).
2) О математических проблемах, связанных с этим определением, см. [8],
разд. V.5.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 97
Заметим, что f(A) может быть не определен на том же подпро-
странстзе Ф гильбертова пространства ^, на котором определен
А ; но если/(я7) является полиномом по ajt то/(А ) определен по-
повсюду в Ф.
Из D.45а) следует, что если [А, В] = О, то (/(Л), В] = 0.J
Чистое собственное состояние А (т. е. собственное состояние
оператора энергии W = Л„ одномерного гармонического осцилля-
осциллятора) является частным случаем D.32).
Вернемся теперь к общему выражению D.31). Сравнивая его с
D.42), мы замечаем, что D.31) есть спектральное разложение эрми-
эрмитова оператора W по спектральному семейству { \} наблюдаемой
А. Величины wa,/dim(Aa.Jf) — собственные значения W. Для сред-
среднего от А получаем из D.31)
^. D.47)
Подставляя сюда D.43), получаем
<А > = Tx(AW) = £ waiait D.48)
а,
как и должно быть для среднего, т. е. среднего значения, получен-
полученного в последовательности измерений наблюдаемой А при состоя-
состоянии системы, описываемом W.
Проекционному оператору Д, на собственное пространство А с
собственным значением а отвечает, как и должно быть, наблюдае-
наблюдаемая «вероятность а ». Чтобы показать это, вычислим
Здесь мы использовали
= 0 при а, * а,
Следовательно, статистический оператор W, определяемый вы-
выражением D.31), приводит к желаемым предсказаниям, в частности
о том, что мгновенное повторение измерения наблюдаемой дает
тот же результат, что и исходное измерение, осуществившее приго-
приготовление этого состояния.
98 Глава II
Если не проводилось измерение, осуществляющее приготовление
состояния, и не было получено информации о состоянии, все чис-
чистые состояния предполагаются равновероятными. Следовательно,
статистический оператор для такого состояния должен быть взят
пропорциональным единичному оператору:
W = I. D.49)
Гипотеза о том, что свойства состояния, не затрагиваемые измере-
измерением, встречаются с равной вероятностью, уже была использована
в фундаментальном предположении Ша, т. е. в уравнениях D.31) и
D.32). В них отсутствует описание измерения наблюдаемой, позво-
позволяющее различать разные значения к = 1, 2, ..., dim (Л^,.?/'). Таким
образом, в D.31) и D.32) предполагается, что для любого я, любое
из чистых состояний I </>J > < ф1 I, I 02> < ф\ I ,...,1 Ф*> < Ф* I,... появ-
появляется с равной вероятностью, ' а именно с вероятностью
(см. D.34))
< = Тг(|0« ></« |>P) ST(|0S>«|A)
1) ^ = ,
j dimU4<=*) , dim(ЛО( Jr)
Более того, любое другое чистое состояние, принадлежащее про-
пространству Аа У' и описываемое вектором ф е \,.У\ также появляет-
появляется с этой вероятностью, поскольку
О1 О
Последнее равенство следует из условий II ф II2 = 1 и
так как (ф\ф?) = 0 при aj Ф аг
Оператор Ла является единичным оператором в пространстве
Ла V собственных векторов А с собственным значением ajt что не-
немедленно следует из сравнения D.41) с D.9). Равенство D.32) тогда
утверждает, что W является единичным оператором на подпро-
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 99
странстве собственных векторов А с собственным значением я, с
точностью до нормировки, которая выбирается так, что TrW = 1.
Таким образом, утверждение D.32) эквивалентно утверждению
D.49), ограниченному конечномерным подпространством Д,.^. Об-
Общая форма утверждения D.49) имеет небольшое практическое зна-
значение, поскольку состояния, о которых вообще нет никакой инфор-
информации, интереса не представляют. Но часто используется ограниче-
ограничение соотношения D.49) на подпространство, как в D.32).
Если известно, что система находится в состоянии термодина-
термодинамического равновесия, то статистический оператор W выбирается
задающим гиббсовское распределение
W=e-"lkT, D.50)
где И — оператор энергии, к и Т — постоянная Больцмана и абсо-
абсолютная температура соответственно. Оправдание возникновения
D.50) можно найти в книгах по статистической физике.
Одним из следствий фундаментального предположения II 1а яв-
является тот факт, что возможные значения наблюдаемой, которые
могут быть измерены экспериментально, являются собственными
значениями оператора этой наблюдаемой. Это означает, что в про-
процессе построения теории оператор, отвечающий наблюдаемой,
должен выбираться так, чтобы все значения, которые могут по-
получиться в эксперименте по измерению этой наблюдаемой, явля-
являлись бы собственными значениями этого оператора.
Измерение наблюдаемой включает также процесс приготовле-
приготовления системы. В общем случае это означает, что измерение наблю-
наблюдаемой изменяет состояние системы. Сформулируем теперь эти ут-
утверждения во второй части постулата III.
II16. Пусть система находится в состоянии W и производится
измерение наблюдаемой В. Пусть b Х,Ь2,ЬЪ, ... — собственные зна-
значения В и Аь , Аь , ... — проекторы на соответствующие собствен-
собственные пространства. Тогда состоянию системы после измерения от-
отвечает
W = SAfcWV D.51)
bi
Если измерение производится с целью выбора определенного под-
ансамбля с фиксированным собственным значением b оператора В,
то состояние задается формулой
W = 1 Ль WKb. D.52)
Тг(Ль W\b)
100 Глава II
Имеется частный случай, когда измерение наблюдаемой не изменя-
изменяет состояния W\ это имеет место тогда и только тогда, когда опе-
оператор В, представляющий наблюдаемую, коммутирует с операто-
оператором W t поскольку только в этом случае, согласно D.456), уравне-
уравнение D.51) принимает вид .
поскольку
мы получаем
W = TiAbllV= W.
Две наблюдаемые называются совместными, если измерение
одной из них не возмущает состояния, приготовленного для изме-
измерения другой. Предыдущее рассмотрение показывает тогда, что
совместные наблюдаемые реализуются коммутирующими операто-
операторами. Наблюдаемые, реализуемые некоммутирующими оператора-
операторами, являются несовместными.
Если имеются два чистых состояния W, = Л^ = I ф) < ф I и
W 2— Аф = 10>< ф\, то можно смешать их и получить новое со-
состояние
W= XWi + A - X)W2; 0>Л>1. D.53)
Оператор W описывает состояние, являющееся смесью двух чис-
чистых состояний Wx и W2 с весами X и 1 — X соответственно. Это
состояние не является чистым.
Если ф и ф взаимно ортогональны, т. е. Л^Лф = 0, и мы сме-
смешиваем их в разных долях, X = 1/2, то получим состояние
^ = 1(Л* + Л«)=1л, D.54)
описываемое проекционным оператором Л. Оператор Л осущест-
осуществляет проекцию на двумерное подпространство, порожденное век-
векторами ф и ф. Вероятность обнаружить свойство, отвечающее
Л^,т. е. свойство чистого состояния Wx в состоянии W, согласно
D.28), равна
I |, D.55)
как и следовало ожидать.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 101
Используя два чистых состояния Л^ и Аф, можно определить
новые векторы состояния вида
а\ф + агф, D.56)
где «j, a2 — произвольные комплексные числа. Все эти векторы
также отвечают чистым состояниям. Например, можно выбрать
«j = 1/V2 = а2. Тогда
X = -щ (Ф + Ф) D.57)
снова является нормированным вектором. Проекционный оператор
Лх = |х><х| D-58)
на одномерное подпространство, порожденное х> также отвечает
чистому состоянию. Состояние Лх называется суперпозицией со-
состояний Л^ и Л0, а вектор состояния х> определенный в D.56), на-
называется суперпозицией векторов ф и ф. Чтобы полностью задать
суперпозицию двух состояний, важно знать не только модуль отно-
отношения aij и а2, но и их относительную фазу. При выборе
/, = 1/V2 = — а2 в D.56) получаем нормированный вектор
V = -^ (Ф ~ Ф\ D.59)
V2
который ортогонален вектору х в D.57). Проекционный оператор
D.60)
представляет другое чистое состояние, отличное от состояния,
представленного оператором Лх.
В отличие от комбинации D.53) двух состояний Л^ и Л0, кото-
которая называется также некогерентной комбинацией, комбинация
D.56) называется когерентной комбинацией двух векторов состоя-
состояния ф и ф. Наиболее общая некогерентная комбинация собственных
состояний энергии Л„ = I фп>< фпI (п = 1, 2, ...) гармонического
осциллятора имеет вид D.17); наиболее общая когерентная комби-
комбинация собственных векторов энергии фп имеет вид C.27). Любое
различие величин фаз ап, за исключением изменения общей фазы ф
в C.27), отвечает разным векторам, описывающими другие чистые
состояния Л^. Любой вектор состояния можно рассматривать как
Результат суперпозиции двух или большего числа векторов состоя-
102 Глава II
ния, и осуществить это можно бесконечным числом способов, по-
поскольку вместо собственных векторов фп оператора Н можно вы-
выбрать для разложения вектора ф любой другой базис в пространст-
пространстве Ф. Наоборот, суперпозиция любых двух или большего числа век-
векторов состояния дает новый вектор состояния. Этот принцип су-
суперпозиции является следствием свойства A.2.1а) линейного про-
пространства Ф. Если постулируется, что любому вектору в Ф отвеча-
отвечает чистое, физически приготовимое состояние, то любое чистое со-
состояние можно рассматривать как линейную комбинацию произ-
произвольного числа других состояний. Такой постулат невозможно про-
проверить, поскольку для каждого вектора из Ф пришлось бы постро-
построить устройство, которое бы его приготавливало. Разумеется, соб-
собственные состояния энергии гармонического осциллятора
Ля = 1</>„><Фл1 имеют большую ценность, чем чистое состояние
Л^, где ф — произвольная линейная комбинация вида C.27). Реали-
Реализует ли вектор фп = фп + афт, аеС, составленный из двух соб-
собственных векторов энергии фп и фт, физически приготовимое со-
состояние, очень сомнительно (и абсолютно невозможно, если рас-
рассматривать осциллятор как стационарную систему, см. гл. XII). Но
экспериментально доказанным фактом является то, что линейная
комбинация i/'j + ф2 некоторой пары векторов состояния фх и ф2
также отвечает чистому физическому состоянию (интерференция,
суперпозиция поляризованного света, смешивание АГ-мезонов).
Суперпозиция х и V порождает то же двумерное пространство,
что и исходные векторы ф и ф, и проекционный оператор Л на это
двумерное пространство D.54) можно также записать в виде
Л = Л, + Л„. D.61)
Таким образом, смешанное состояния задается выражением
W = Кл* + л«) = i(Az + л„)
и, следовательно, может рассматриваться как смесь чистого состо-
состояния Л^ и чистого состояния Л^ с весами н»х = w = 1/2. Имеет ли
это практическое значение, зависит от конкретной ситуации. Если
суперпозициям х и т; отвечают физически приготовимые чистые со-
состояния, то состояние W можно получить, смешивая как чистые
состояния Л, и Л,, так и чистые состояния Л и Л .
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 103
II.5. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К
ГАРМОНИЧЕСКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ И НЕСКОЛЬКО
ИСТОРИЧЕСКИХ ЗАМЕЧАНИЙ
Вернемся теперь к обсуждению гармонического осциллятора. Пред-
Предположим, что его состояние имеет вид
Ж=Л„,
где Л„ — проекционный оператор на пространство, порожденное
фп. Это имеет место в том случае, когда измерение энергии всегда
дает значение Еп. Согласно основному постулату II, среднее значе-
значение импульса Р в чистом состоянии Л„ равно
<Р> = Tx(PW) = Ъ(РАп)
= Т*(Фт> Р&пфт)
т
= (</>„, Рфп), E.1)
так что
<Р> = <п\Р\п>. E.2)
Мы оставляем читателю в качестве упражнения показать, что из
C.26) и C.1) следует
<Р> = 0. E.3)
Подобным же образом среднее значение координаты Q в чистом
состоянии W = Л„ равно
<Q> = <л|0|я> =0. • E.4)
Вычислим теперь среднее значение Р2 (т. е. кинетической энергии
Р2/2ц) и среднее значение Q2 (или потенциальной энергии
<Р2> = (Фп, Р2фп).
Используя выражения C.1), получаем
(at - a) ,
z,
так что
104 Глава II
Подставляя выражения для а и af из уравнений C.26), получаем
+±). E.5)
Подобным же образом вычисляем
«22> = (Ф„, &фн).
Используя снова выражение C.1), имеем
так что
[фп, (at + аJфп)
и окончательно
<^>=_А_Л + Л. E.б)
Хотя средние значения наблюдаемых Р, Q, Р1 и Q1 однозначно
определены, из этого не следует, что надо ожидать получения од-
одного и того же значения а, при измерениях наблюдаемой А (однако
именно этот случай имеет место1* для наблюдаемой Н в чистом со-
состоянии Л„). Что действительно следует в соответствии с определе-
определением < А > , так это то, что среднее значение величин, полученных в
серии многократно повторяемых измерений А в состоянии ЛЛ, рав-
равно величине <Л>, которая, конечно, является однозначной. В об-
общем случае может случиться, что значения, полученные при каж-
каждом из измерений (а х для первого измерения, а2 для второго, аъ
для третьего и т. д.), совершенно отличны друг от друга и сильно
разбросаны.
Чтобы охарактеризовать разброс измеренных значений коли-
количественно, определим для любой наблюдаемой А и любого состоя-
состояния W новую наблюдаемую, задаваемую выражением
(А - <А>1J.
'' Заметим, что под измерением мы всегда понимаем идеализированное измере-
измерение, в котором измерительное устройство не вносит новых возмущений, т. е. экспе-
экспериментальная ошибка равна нулю.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 105
Чтобы показать, что эта наблюдаемая действительно подходит
для описания разброса измеренных значений а ,, а2, а3, ..., рассмот-
рассмотрим среднее значение (А — <Л>/J в состоянии W, которое называ-
называется дисперсией А в состоянии W\
disp(W)A = {{Л - {A)wIJ)w
= Tt(A2W) - (Tt(AW)J = (A2)w - (AJW E.7)
(если нет дополнительного указания, всегда предполагается, что
Tr W = 1); следовательно,
disp(W0-4 = (A2)w- <AJW. E.8)
Для частного случая наблюдаемой Н для гармонического осцилля-
осциллятора в состоянии Л„ получаем
disp(A)i)# = Тг(#2Л„) - (Тг(#Л„)J
= (ф„, Н фп) - Еп.
Но поскольку фп является собственным вектором И с собственным
значением Еп, имеем
Н2фп = НЕ„ф„ = ЕпНфп
= Е2пфп;
следовательно,
Это показывает, что дисперсия Н в состоянии Л„ равна нулю.
В более общем виде дисперсия произвольной наблюдаемой А для
произвольного чистого собственного состояния Л оператора А рав-
равна нулю. Но обратное утверждение не справедливо, т. е. при дис-
дисперсии наблюдаемой А , равной нулю, состояние W не обязательно
является чистым собственным состоянием А (в частности, оно не
должно быть чистым состоянием). Исходя из этого, обобщим по-
понятие собственного состояния.
Пусть А — наблюдаемая с вырожденным спектром. Состояние
W называется собственным состоянием наблюдаемой А , если W
можно представить в виде
Х>|221- E.9)
к
где w« ^ 0, X^w* = 1 (W нормировано) и фка, к = 1, 2, ...
106 Глава II
a —произвольный базис в собственном пространстве
Ла Ж наблюдаемой А, отвечающем собственному значению а.
В разд. II.6 показано, что собственные состояния наблюдаемых
— это те состояния, для которых дисперсия А равна нулю. Част-
Частный случай — собственное состояние E.9) с vv* = w =
= (dimAo^0~', для которого W имеет вид
^Л E10)
Собственное состояние энергии для гармонического осциллятора
Л„ не является собственным состоянием ни наблюдаемой Р, ни
наблюдаемой Q, так что его дисперсия не равна нулю. Дисперсию
легко вычислить:
disp(An)P = <Р2> - <Р>2.
Из уравнений E.3) и E.5) имеем
<Р2> - <Р>2 = hfiufn + ±Y E.11)
Подобным образом
E.12)
Квадратный корень из дисперсии называется неопределенностью А
в состоянии W и обозначается через ДЛ :
ДЛ = VdlspX E.13)
Из уравнений E.11) и E.12) следует
APAQ= h(n +iV E.14)
Следовательно, для любого чистого собственного состояния гармо-
гармонического осциллятора
APAQ>h^. E.15)
Как мы увидим ниже, это неравенство верно и в общем случае и
является следствием гейзенберговских коммутационных соотноше-
соотношений [Р, Q] = (Л//)/. Оно называется соотношением неопределен-
неопределенностей Гейзенберга.
Как показано выше для частного случая чистых собственных со-
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 107
стояний наблюдаемой //, дисперсия наблюдаемой для собственного
состояния этой наблюдаемой равна нулю. Физически это означает,
что измерение наблюдаемой для собственного состояния наверняка
дает единственное значение (которое должно быть собственным
значением соответствующего оператора), т. е. вероятность его воз-
возникновения равна единице.
Рассмотрим теперь смесь IV в эксперименте с передачей энер-
энергии, описываемую оператором D.17). По определению
Используя D.18) и соответствующее выражение для (Н2), полу-
получаем
<Я2> - £>7 (S *yY
7 \ У /
(s Л (е^) (s J * о. E.17)
Величина АЕ называется стандартным среднеквадратичным откло-
отклонением. В последнем неравенстве мы использовали неравенство Ко-
ши для последовательностей
оо оо / оо \ 2
S х2п Е у1 ^ ( S хпуп ) , где
и=0 л=0 \и=0 /
= Vmv yn = Vvv^, E.18)
являющееся следствием неравенства A.2.7). Следовательно,
disp(^// для смеси всегда больше или равна нулю. Она равна ну-
нулю, если
wY = 6пу, т. е. W = Л„,
и отлична от нуля в соответствии с числом wn, не равных нулю, и
их значениями. Таким образом, disp//, а следовательно, АН дей-
действительно являются количественной мерой неопределенности, воз-
возникающей при измерении наблюдаемой Н. Из первой строчки урав-
уравнения E.17) мы видим, что неопределенности АН для наблюдае-
наблюдаемой Н отвечает при измерении этой наблюдаемой стандартное,
или среднеквадратичное, отклонение в серии экспериментов, опи-
описанных выше в уравнении D.16).
Неудивительно, что disp// или АН отличны от нуля для сме-
смешанного состояния W молекул СО в столкновительной камере, по-
108 Глава II
скольку это смесь молекул СО с разными энергиями. Причиной то-
того, что результат измерения Н в W определен не полностью, явля-
является тот факт, что не было проведено полное разделение разных
систем, или, точнее, систем в различных состояниях, друг от друга.
Гармонические осцилляторы в столкновительной камере могут
быть разделены, по крайней мере в мысленном эксперименте, на
восемь подмножеств, каждое из которых состоит из Nп молекул,
имеющих одинаковую энергию Еп, т. е. таких, что измерение Н на
п -м подмножестве с определенностью дает значение Еп. Тогда со-
состояние каждого такого подмножества равно Л„. Дальнейшее раз-
разбиение (даже в мысленном эксперименте) любого из этих подмно-
подмножеств на две или более различных систем (систем в различных со-
состояниях) невозможно. Именно это является причиной, по которой
Л„ называется чистым состоянием. Если теперь осуществить
измерение!) наблюдаемой в системе, находящейся в чистом состоя-
состоянии, то из классических соображений можно было бы ожидать по-
появления хорошо определенного значения, так как множество объек-
объектов в чистом состоянии однородно по своим характеристикам. Ес-
Если в качестве этой наблюдаемой мы выберем Н или N, это дей-
действительно так и произойдет. Но если выбрать Р или Q, то мы ви-
видим из E.11), E.12), что это не так. Даже для чистых состояний ре-
результат измерения наблюдаемой не является, вообще говоря, од-
однозначно определенным. Эта статистика в принципе не может
быть исключена из квантовой механики; системы «в одном и том
же чистом состоянии» не дают при измерении одинаковых значе-
значений. Можно утверждать лишь то, с какой вероятностью wn можно
ожидать появления некоторого значения ап при измерении наблю-
наблюдаемой.
Проиллюстрируем сказанное мысленным экспериментом. Рас-
Рассмотрим измерение наблюдаемой Q в состоянии Л„ и найдем веро-
вероятность, с которой можно ожидать появления значения х при изме-
измерении Q. По определению среднее значение наблюдаемой Л равно
С4> = Х>,аь E.19)
где at — собственные значения /4, wt — вероятность найти значе-
значение а, при измерении Л. Вычислим <Q> следующим образом:
!> Идеализированное измерение: см. примечание на с. 104.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 109
где ф/ = 1/> — любой полный базис и использованы следующие
обозначения:
или
В качестве 1/> можно взять любую полную базисную систему; вы-
выберем поэтому систему собственных векторов оператора Q, кото-
которые мы обозначим через \х) , где х — собственное значение Q:
Тогда 21х> = х|х>. E.22)
<е> = e<xiqajx>
X
= £х<х|Лп|х>
Последнее равенство следует из записи Л„ = \п)(п I.
Введем новый способ записи, обозначив
ф„(х) = <х|п>. ■ E.23)
Тогда
= 1х|0я(х)|2. E.24)
X
Если мы теперь сравним это выражение с общим выражением
E.19) для среднего значения оператора, то увидим, что
|<х|п>|2 = |ф„(х)|2 =н>„(х) E.25)
есть вероятность получить значение дс при измерении наблюдаемой
Q для осцилляторов в состоянии Л„. Функция фп(х) называется
волновой функцией состояния с энергией Еп. Таким образом, мы
обнаружили, что вероятность найти значение х для оператора по-
положения Q равна квадрату модуля волновой функции. Именно в
этом виде вероятностная интерпретация была первоначально введе-
введена в квантовую механику М. Борном (под влиянием более раннего
предположения А. Эйнштейна A916 г.)).
Как мы обсудим ниже, £ х на самом деле является интегралом,
а wn(x) = 1<*1л>12— величина размерности см, т.е. плот-
110 Глава II
ность вероятности. Вероятность равна интегралу от wn(x) по не-
некоторому интервалу.
Мы вывели тот факт, что \ф(х)\2 описывает вероятность найти
физическую систему в точке дс из основного предположения II. Ис-
Исторически события развивались в обратном порядке, и постулат II
является обобщением открытия Максом Борном в июне 1926 г. то-
того факта, что волновая функция ф(х), которая, как мы увидим в
разд. II.7, является решением уравнения Шредингера, связана с ве-
вероятностью.
В то время Борн исследовал процесс столкновения свободных
частиц с атомом, используя формализм шредингеровской волновой
механики, которую он считал более адекватной для этого процесса,
чем матричную механику Гейзенберга, Борна и Йордана. Но он не
мог принять интерпретации Шредингером функций ф(х) как волн
материи. Вспоминая эти события, Борн сказал в своей нобелевской
лекции 1954 г.: «В этом пункте (шредингеровская интерпретация
волн материи) я не мог с ним согласиться. Это было связано с тем
фактом, что мой институт и институт Джеймса Франка размеща-
размещались в одном и том же здании Геттингенского университета. Каж-
Каждый эксперимент Франка и его ассистентов по электронным столк-
столкновениям казался мне новым доказательством корпускулярной при-
природы электрона». Он получил формулу для рассеянной волны в
шредингеровском формализме (борновское приближение —
см. разд. XIV.5) и заключил, что наиболее естественная интерпре-
интерпретация ф(х) состоит в том, что 1ф(*I2 описывает плотность веро-
вероятности зарегистрировать частицу. Он суммировал свое заключе-
заключение в 1926 г.: «Движение частиц подчиняется вероятностным зако-
законам, но сама вероятность распространяется в соответствии с
причинностью».
Борновская интерпретация вскоре была обобщена помимо коор-
координат на другие наблюдаемые. Тогда и пришло время для общей
формулировки квантовой механики. Исходным пунктом послужило
открытие того, что канонические преобразования можно произво-
производить как в матричной, так и в волновой механике (Ф. Лондон, май
1926 г., П. Йордан, июль 1926 г.). Таким образом, было найдено,
что канонические преобразования являются преобразованиями
абстрактного пространства. Преобразования объектов с непрерыв-
непрерывными индексами были введены Дираком и Йорданом в декабре
1926 г. Математическое развитие теории преобразований Лондо-
Лондона — Йордана — Дирака было осуществлено в Геттингене Деви-
дом Гильбертом вместе с Л. Нордхеймом и Джоном Нейманом
A926—1927 гг.). Были введены такие понятия, как состояние и наб-
наблюдаемая.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 111
Вслед за этим Нейман развил аксиоматическую теорию гильбер-
гильбертовых пространств и установил соответствие между физическими
состояниями и векторами гильбертова пространства, а также меж-
между наблюдаемыми и линейными операторами. Он ввел также ста-
статистический оператор.
Параллельно с математической формулировкой шло развитие
физической интерпретации, которая обсуждалась главным образом
в Копенгагене A926—1927 гг.). В то время как Бор хотел сделать
корпускулярно-волновой дуализм отправной точкой для физической
интерпретации, Гейзенберг основывался на теории преобразований.
Основной его подход состоял в том, чтобы рассматривать свой-
свойство определенным так, как если бы оно было измеримо. В его
знаменитых мысленных экспериментах, в которых он обсуждал из-
измерение положения электрона с помощью микроскопа, он объяснил
неопределенности в импульсе и координате E.15), а вместе с тем и
вероятностную природу квантовомеханических предсказаний как
влияние измерительного прибора. Объект и наблюдатель не явля-
являются независимыми реальностями; измерение влияет на состояние
объекта (фундаментальное предположение III.)
В то время как Гейзенберг вывел свой принцип неопределенности
из теории преобразований, Бор развил свою концепцию дополнитель-
дополнительности, исходя из корпускулярно-волнового дуализма (см. разд. II.9).
Существуют дополнительные свойства, такие, как координата и
импульс, и точное измерение одного из них делает невозможным
получение информации о другом. Свойства не актуализированы,
для физической системы это только возможности. Такое развитие
стало основой так называемой копенгагенской интерпретации кван-
квантовой механики1*. Ее физическое содержание сформулировано в ос-
основных предположениях данной главы.
Формулировка Неймана, использующая гильбертово простран-
пространство, не могла описывать непрерывные собственные значения. С
тех пор под влиянием формализма Дирака была развита новая
ветвь математики — теория распределений, впервые систематиче-
систематически изложенная Л. Шварцем A950—1951 гг.). На этой основе
И.М. Гельфанд и его соавторы ввели примерно в 1960 г. понятие
оснащенного гильбертова пространства. Предложение использо-
использовать его в квантовой механике было сделано около 1965 г.
1) Интерпретация квантовой механики, предложенная Борном и установленная
Гейзенбергом и копенгагенской школой, представляла собой столь разительный от-
отход от общепринятых идей того времени, что должны были пройти десятилетия,
прежде чем она завоевала всеобщее признание, и даже сейчас предпринимаются но-
новые попытки возврата к детерминистской интерпретации. Борновская статистиче-
статистическая интерпретация квантовой механики была одним из крупнейших вкладов физики
в современное мышление.
112 Глава II
II.6. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОСНОВНЫХ
ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
После этого подробного обсуждения случая гармонического осцил-
осциллятора рассмотрим некоторые общие следствия из основных пред-
предположений квантовой механики. Рассмотрим произвольное состоя-
состояние W произвольной микрофизической системы и посмотрим, что
мы можем предсказать для измерения значений некоторых произ-
произвольных эрмитовых наблюдаемых А, В, ... этой системы. Эти
предсказания содержатся в двух последующих утверждениях, кото-
которые будут доказаны ниже.
1. Дисперсия любой наблюдаемой А в произвольном состоянии
W удовлетворяет неравенству
> 0. F.1)
причем
= 0.
тогда и только тогда, когда W является собственным состоянием А.
2. Неопределенности двух наблюдаемых А и В для произволь-
произвольного состояния W удовлетворяют соотношению неопределенностей
ДЛД£>| |<И, B])w\. F.2)
Частным случаем этого соотношения неопределенностей является
соотношение неопределенностей Гейзенберга; из
tP,Q]=^I и
следует, что
* F.3)
для произвольного состояния W. Знак равенства в соотношении не-
неопределенностей Гейзенберга имеет место при W = \ (основное
состояние одномерного гармонического осциллятора), а также для
некоторых других чистых состояний (см. задачу 4,д).
Соотношение неопределенностей является очень общим свойст-
свойством двух операторов и предполагает только, что наблюдаемые реа-
реализованы линейными операторами на линейном пространстве. Оно
утверждает, что, если только А и В не являются совместными наб-
наблюдаемыми, всегда существуют состояния, для которых по край-
крайней мере одна из наблюдаемых не может быть измерена точно
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 113
(так как для каждого оператора С = i[A, В] всегда найдется опе-
оператор W такой, что
В случае, когда С (или —С) положительно определено (как, напри-
например, для А <= Р и В — Q), lTr(WC)l > 0 для произвольного со-
состояния W, поэтому две наблюдаемых А и В невозможно изме-
измерить одновременно сколь угодно точно. Если система была приго-
приготовлена в собственном состоянии одной из наблюдаемых А,
А А = 0 (т. е. измерение А дает в точности одно значение), то в со-
соответствии с F.2) значение В совершенно не определено. Это явля-
является следствием того обсуждавшегося выше факта, что в квантовой
физике после измерения состояние изменяется, а измерение одной
наблюдаемой влияет на результат измерения другой, если эти наб-
наблюдаемые не являются совместными, т. е. представлены коммути-
коммутирующими операторами. Таким образом, одновременно могут быть
измерены только совместные наблюдаемые, и только для совмест-
совместных наблюдаемых существуют общие собственные состояния.
Доказательство утверждения 1. Вариант спектральной теоремы D.42) утверж-
утверждает, что любой статистический оператор может быть записан в виде
W = £ *,Л|, F.4)
где и», — действительные числа, а Л- — одномерные проекционные операторы, кото-
которые осуществляют проекцию на пространства K{Jf, порожденные одиночными век-
векторами ф1 такими, что векторы фх, ф2, ... образуют ортонормированный базис
(*. Ф1) = «у, F.5)
Числа vv. удовлетворяют условиям
w,. > 0 F.6)
(это следует из положительности W, поскольку из F.4) и F.5) имеем vv. = (ф^ И^.)
и
Y^w,■ = Tr W = 1. F.7)
Так как Tr{BW) для произвольного оператора В может быть вычислен в любом ба-
базисе, мы выберем базис {</>,.) из F.5)
J \ i
ЩВМ) = 2 ( <*>;, В 2 тЫЛ = S *Ш, Вфд, F-8)
\
где мы использовали соотношение ЛчА = 5. </>г Выбирая в F.8) В = I, получаем
F.7), поскольку (фг 1ф;) = (ф;, </>(.) = 1 для всех /.
НИ -8
114 Глава II
Из определения E.7) имеем
disp((n.4 = ((А - xlJ)w = Тг((Л - aIJW), F.9)
где а = < А > w = Тт(А W). Следовательно, полагая в F.8) В = (А -а/ J, получаем
disp(in A = Y, н',@(, (Л - а/J0.)
= I w.-ЦИ - а/H,.||2. F.10)
Таким образом, disp^/1 ^ 0, так как из F.9) следует wj ^ 0 и, очевидно,
И(Л /)^II2 0 / Д Av(W)A
II2 ^ 0 для всех /. Далее, A\sv(W)A = 0 означает, что
W;\\(A — a/H,||2 = 0 для всех/. F.11)
Для заданного / это в свою очередь означает, что либо vv. = 0, либо
II(Л - a/ty.ll2 = 0. Если Wj = 0, то ууД также равно нулю и в сумме F.4) этот
член можно опустить. Следовательно, суммирование в F.4) можно производить
только по тем /, для которых vv. > 0. Для остальных значений / из F.11) имеем
ЦА - a/tyll2 = 0, т. е.
(А - (х1)ф, = Аф( - <хф1 = 0. F.12)
Следовательно, если disp.^/4 = 0, то все 4>t для остальных значений / должны
быть собственными векторами А, принадлежащими одному и тому же собственно-
собственному значению а. Но тогда состояние W в F.4) описывает, как это определено в E.9),
собственное состояние А.
Обратное утверждение, т. е. что disp(vv),4 = 0 для W из E.9), доказывается пря-
прямым вычислением (см. задачу 10).
Доказательство утверждения 2. Для двух операторов А и В определим
h(A, В) т Tr(WA^B) = Tr(WI{A^B)) = Л(/, А*В) = (А^В). F.13)
Из D.3) и D.4) легко показать, что
(a) h(A, A) > 0,
(b) h(A, В) = h(B, A),
(c) И(аА, В) = ЩА, В),
(d) h(A + С, В) = h(A, В) + Л(С, В),
т. е. величина h (А ,В), определенная в F.13), удовлетворяет всем условиям A.2.5),
определяющим положительно-определенную эрмитову форму. Поскольку Л (А , В) —
положительно-определенная эрмитова форма, справедливо неравенство Шварца
A.2.7):
\h(A, В)\г < h(A, A)h(B, В). F.14)
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 115
Исходя из этого легко доказать неравенство F.2) (мы предполагаем операторы А и
В эрмитовыми)
|<[/4, В]>|2 = |й(/, [А, В])|2 = \h(A, В) - h(B, A)\2 < ЩА, A)h(B, В),
так что если мы сделаем замену
А ^А -а/, а = Тг(ИМ),
В^В- (И, ft = Tv(WB),
то получим
h(A -oil, A- <xI)h(B - (II, В- /П) > l\h(I, [A - а/, В - /?/])|2
или (для эрмитовых А и В)
disp /4 • disp В > ±\h(\, [А, В])|2 = ЦAА, В]>|2. F.15)
Извлечение квадратного корня дает F.2), и, следовательно, утверждение 2 доказано.
II.7. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРОВ КООРДИНАТЫ
И ИМПУЛЬСА; ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО
ОСЦИЛЛЯТОРА
В этом разделе мы исследуем свойства волновых функций. Начнем
с исследования свойств операторов Р и Q: в частности, мы хотим
знать, каковы возможные собственные значения х оператора Q,
т. е. для каких х может иметь место равенство
Q\x) = x\x) G.1)
Затем мы хотим найти коэффициент перехода (х\ п), который осу-
осуществляет преобразование между вектором I п) — фп (собственное
состояние Н и N) и векторами I х) (собственные состояния Q):
|п) = £|х)(х1")- G.2)
X
Из C.1) и C.2) следует
G.3)
116
Глава II
Взяв скалярное произведение этого выражения на \х), получаем
~h
(л 161*) =
h(n - 1 \х) + \fn+l(n
G.4)
С другой стороны, вычисляя скалярное произведение G.1) на 1л),
получаем
(n\Q\x) = х(п\х). G.5)
Сравнение G.4) и G.5) показывает, что
~h
х(п\х) =
(Vh(n - 1 |jc) + V/T+1 (л + 1 |л:)).
G.6)
или, вводя обозначение п + 1 = т,
Jm(m\x)=
- 1\х) - Jm -
- 2\х). G.7)
Так как G.3) имеет место при п = 0,1,2,..., выражение G.7) спра-
справедливо при т = 1,2,3,... . При п = 0 (т. е. т — 1) вместо G.3)
получаем
<2|0) =
2/4W
/(ПГТ|о + 1) =
ID,
а вместо G.7)
G.3а)
G.7а)
Таким образом, мы видим, что равенство G.7) задает рекуррентное
соотношение для (т \х); если @\х) известно, можно найти A\х) из
*чG.7а), а затем найти A\х) из G.7); по (II*) и B1л:) можно найти
C1л:) из G.7) и т. д.
Чтобы найти коэффициенты перехода (т \х), введем обозначе-
обозначения
G.8)
П.9)
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 117
определенные для всех х таких, что @1 х) Ф 0 (если @1х) = 0, то
из G.7) и G.7а) следует (п \х) — 0 для всех п). Тогда из G.7) сле-
следует
/ m f()_ 1
^2mm\J"tK}) *sJ2m-%
или
Ш =
Из G.7а) имеем
а из G.9) получаем
2
m-\)\ ч
Ш = 2у/о(у),
/о(У) = 1.
/ Л
pi- 1
\т - 2)!
2(У)-
и-гСу), G.Ю)
G.П)
G.12)
G.13)
Уравнения G.11), G.12) и G.13) задают рекуррентные соотношения
для функций Эрмита и имеют решение для любого комплексного
числа у1). Таким образом, для любого комплексного числа х су-
существует решение рекуррентных уравнений G.7) (п \х). Из физиче-
физических соображений нужно рассматривать только действительные
значения х, поскольку х является величиной, которая получается
при измерении положения и должна быть действительной. Для дей-
действительных значений у решения /т (у) уравнений G.11), G.12) и
G.13) называются полиномами Эрмита:
НМ = (-0"^^Я G.14)
Следовательно, из G.9) мы можем найти коэффициент перехода
(п I х) для любого действительного значения х, для которого опре-
определено @1 дг). Мы ограничимся рассмотрением тех решений уравне-
уравнения G.7), для которых величина @1лг) конечна, поскольку величина
l@lx)J2 — вероятность получить значение* при измерении Q в ос-
основном состоянии Ло — предполагается конечной.
Объединяя G.8), G.9) и G.14), получаем
при — оо < х < оо.
См. приложение к разд. 1.6 или работу [9], разд. 10.4.
118 Глава II
| Величины 0/П х) = Т,п(хп(Фп\ *), рассматриваемые при фиксиро-
фиксированном х как функции от \j/, являются антилинейными функциона-
функционалами от ф на пространстве Ф в уравнении C.27) (т. е. удовлетворя-
удовлетворяют уравнению A.7.1); следовательно, \х) является непрерывным
функционалом, см. разд. 1.7). Как упоминалось в гл. I, набор не-
непрерывных линейных функционалов на пространстве Ф, который
мы обозначаем Фх, в общем случае шире, чем Ф, кроме случая
гильбертова пространства Л?, где <%"*=■<%? (теорема Рисса — Фре-
ше). Принимая во внимание C.28), получаем Фс/СФХ — трой-
тройку Гельфанда, или оснащенное гильбертово пространство для гар-
гармонического осциллятора. Векторы 1х), удовлетворяющие G.1),
являются элементами Ф х и являются обобщенными собственными
векторами оператора Q\ набор
|дг) - оо < х < + оо
является обобщенной базисной системой. Спектр оператора Q не-
непрерывный; им является вся действительная ось IR. Спектр опера-
оператора N C.2) или Н C.7) является дискретным. Так как * может
принимать любое действительное значение, формальная сумма в
G.2) является на самом деле интегралом. G.2) есть частный случай
ядерной спектральной теоремы, согласно которой любой вектор
<р б Ф можно записать в виде
\ dxAx)\x)<x\, G.16)
<Р = \ dxAQ) = \
как подробно объяснено в разд. 1.4. Здесь мы обозначаем обобщен-
обобщенные собственные векторы оператора Q
Q\x) = x\x) G.17)
через I х) вместо I х), чтобы подчеркнуть различие между ними и
собственными векторами, принадлежащими дискретному спектру
I п). Если взять «скалярное произведение» <р из G.16) с I х'), или,
точнее, вычислить значение функционала I х' > на элементе <р, то
получим
<х'\<р) = [dx(x'\x)(x\<p). G.18)
Следовательно, (х' \х) является математическим объектом, осу-
осуществляющим при помощи интегрирования в G.18) отображение
«хорошей» функции <р(х) = < х I <р) в ее значение в точке х' :
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 119
(р(х' ) = <л" \<р). Это Ь-функция Дирака, или б-распределение
<х'|х> = <5(х' - х), G.19)
так что G.18) можно переписать в виде
ср(х') = <х'|<р> = I dx S(x' - х)<х|<р>
G.20)
= dx S(x' — x)<p(x).
При переходе от символической записи G.2) к G.16)
У \х)(х\ было заменено на \dx \x)(x I.
X
Следовательно, векторы \х) и обобщенные векторы \х) должны
иметь разные размерности, чтобы
имели одинаковую размерность.
Величины \x)(x\dx являются аналогами проекционных опера-
операторов, но они не проецируют ни на какой вектор из гильбертова
пространства <%? (или Ф), поскольку векторы \х) не являются эле-
элементами этих пространств. Проекционными операторами являются
\^dx \x)(x\y где интегрирование производится по конечному ин-
интервалу Ах. Как и в случае операторов с дискретным спектром,
можно определить функции от оператора Q с непрерывным спект-
спектром формулой
f(Q)= jdxf(x)\x}(x\,
где f(x) — функция, определенная на спектре Q, и
\dxf(x)\\f/(x)\2 < оо для всех феФЛ
и
Вернемся теперь к вычислению волновой функции гармоническо-
гармонического осциллятора и вычислим @\х). Запишем фп = \п) в виде G.16)
= f
><x|n) G.16')
и вычислим скалярное произведение этого выражения на фт:
*тп = (Фт, Фп) = («I") = Jrfx(w|x><x|n). G.21)
120 Глава II
Мы будем использовать
<х|и) = (м|х>. G.22)
[ Если бы \ п) = фп и I л:> = х являлись векторами из гильбер-
гильбертова пространства, то G.22) являлось бы условием A.2.26) из опре-
определения скалярного произведения. Но (п\х) является значением
функционала I л:> б Фх на элементе 1л)еФ, а <xl л) — значением
функционала 1л)еФхх = Ф на элементе I х> е Фх, так что равен-
равенство G.22) не является очевидным. Можно показать, однако, что
равенство G.22) всегда имеет место для коэффициентов перехода
между дискретным и непрерывным базисами. В последующем из-
изложении мы не будем учитывать различие между I) и I > и будем
использовать только обозначение I >, за исключением случаев, ког-
когда необходимо подчеркнуть различие между обобщенными и обыч-
обычными векторами. J
Подставим G.15) в выражение G.21) и получим
- *
Если сравнить это уравнение с соотношением ортогональности для
полиномов Эрмита (см [9], разд. 4.13)
то найдем
G.25)
Таким образом, с точностью до произвольного фазового множите-
множителя (который мы полагаем равным единице)
<О|лг> = (jj^YV*'"'2**1. G.26)
Используя эту формулу и G.15), получаем коэффициенты перехода
< л 1*> между х- и «-базисами, т. е. волновые функции гармониче-
гармонического осциллятора фп(х):
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор
121
и- I
Рис. 7.1. Волновые функции гармонического осциллятора [10].
Некоторые из этих волновых функций приведены на рис. 7.1.
Повторим теперь ту же процедуру, которая применялась к опе-
оператору Q, в применении к оператору Р. Собственные векторы Р
будем обозначать через \р):
Р\р) = Р\Р). G.28)
Действие Р на \п) (см. задачу 13) имеет следующий вид:
Р\п) = -/ fel {a - а
G.29)
- у/п~+~\\п + 1».
Если мы вычислим «скалярное произведение» с \р) и используем
G.28), то получим
Р<Р\п> = -i
или
<p\n - О - у/п+ 1<р\п + 1», G.30)
G.31)
Если ввести новые величины (п 1/7), определенные соотношением
<и|р> = Г(и|р), G.32)
122 Глава II
то получим
Кп- |р> (п|р), (?
К 1|> +l
так что соотношение G.31) можно записать в виде
тип) г- г-
P(n\p) = J-jrWn(n ~ JIP) + у/п + Цп + \\р)). G.34)
Мы видим, что это в точности рекуррентное соотношение G.6), где
xV/ко/Л заменено на /7/V/xcoA. Поэтому, используя те же аргументы,
что и для <л1х>, находим (используя G.32))
= Г
/ 1 V'4 1 /1 \
[ г -1==HJ-7r=p)e-^2luok. G.35)
\ntuohj jTr[\ \JhiMj J
Мы видели, что собственные векторы \п) оператора энергии Я
для гармонического осциллятора обладают весьма специфическим
свойством, состоящим в том, что коэффициенты перехода G.27)
между этими векторами и х -базисом такие же, как и коэффициенты
перехода G.35) между этими векторами и р -базисом (с точностью
до фазового множителя).
Используя те же аргументы, что и для оператора Q, мы заклю-
заключаем, что спектр Р непрерывен:
спектр Р = [р\ - оо < р < оо}, G.36)
а величины \р) есть обобщенные собственные векторы.
Коэффициенты перехода (р\п) в выражении
|л> = [ dp\p)(p\n) G.37)
называются волновыми функциями в импульсном представлении и
обозначаются
Фп(Р) = <Р\п>. G-38)
Плотность вероятности найти значение р при измерении импульса
Р в собственном состоянии энергии Л„ осциллятора равна
wniP) — Кр\п)\2. Отметим также, что для произвольного векто-
вектора V? коэффициент перехода
G.39)
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 123
<Р = ЫР\Р>(Р\<Р) G.40)
называется волновой функцией в импульсном пространстве, или
волновой функцией в р-представлении для состояния <р.
Выше мы нашли матричный элемент Q в х -представлении
<61*> = х(п\х}, G.41)
или в более общем виде для любого хорошо определенного век-
вектора <р
<<P\Q\x> = х(<р\х\ <х|<2|<р> = х<х|<р>. G.42)
Подобным же образом мы нашли матричный элемент Р в р -пред-
-представлении
<п\Р\р) = р(п\р>, G-43)
или в общем случае
<<р\Р\р> = Р<ф|р>, <Р\Р\<Р> = Р<Р\<Р>- G.44)
Мы хотим теперь вычислить матричные элементы Р в базисе
обобщенных собственных векторов Q и матричные элементы Q в
базисе обобщенных собственных векторов Р. Сделаем это в два
шага: сначала выясним, что представляет собой символ (х\р)—
матричный элемент перехода между х -базисом и р -базисом, а за-
затем вычислим < х IР I п >.
Начнем с того, что вычислим скалярное произведение G.16') с
\р) (или, точнее, рассмотрим фп как функционал на обобщенном
собственном векторе \р) еФх, ре спектр Р, и используем
G.16')):
| G.45)
затем вычислим скалярное произведение G.37) с < х I (или, точнее,
рассмотрим фп как функционал на обобщенном собственном векторе
|х> еФ*, хе спектр Q,
и используем G.37)):
J G.46)
124 Глава II
В G.45) и G.46) (х\п) и(р\п) определяются выражениями G.27)
и G.35) соответственно. Полиномы Эрмита обладают свойством
(уравнение (I.A.17), см. [9], разд. 4.12)
!+
-
V2x
Подставляя в это соотношение G.35) и G.27), получаем
<и|р> = dx —p=<n|x>, G.48)
J-ao уУ2пп
или, взяв комплексно-сопряженное выражение,
~ixplh
<p|n>= \dx-1==(x\n). G.49)
'2nh
Сравнивая G.49) с G.45), находим, что (р \х) задается формулой
(р\х) = * e~ixP/h. G.50)
Jlh
Таким же способом получим из G.46) и G.47)
<х|р> =—7=eixptH. G.51)
jlh
Из соотношений G.50) и G.51) следует
<х|р> = <р|х>. G.52)
Теперь, используя G.51), легко вычислить матричные элементы
Р в базисе обобщенных собственных векторов Q:
<х\Р\<р) = \dppix\pyip\ip} = [dpp-^L
J J V2t/i
Таким образом,
и я
G.53)
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 125
Подобным же образом, используя G.50), получим
<P\Q\<P> = -т^-<р|ф>- G.54)
Каждый вектор в линейном пространстве может быть полнос-
полностью охарактеризован своими компонентами по отношению к опре-
определенному базису. В разд. 1.4 и 1.5 подробно обсуждалось, что,
подобно тому, как вектор х в трехмерном пространстве представ-
представлен своими компонентами xt по отношению к тройке базисных век-
векторов е,, так что х = ЕД^в,*,, вектор ^ можно представить его
компонентами < п I <р) по отношению к дискретному базису
<рп = \ п) собственных векторов Н, согласно <р = L*=о' «X /i Ivo>
(выражение D.8)). То же справедливо и для непрерывного базиса,
где имеем G.16)
Ф-j.
Следовательно, вектору <р соответствует функция (х\<р) = ф(х), а
вектору Р<р соответствует функция (х\Р\<р). Уравнение G.53) ут-
утверждает тогда, что при реализации пространства векторов ^ про-
пространством волновых функций < х I ^) = <р(х) оператор импульса
реализуется дифференциальным оператором, умноженным на Л//,
и G.42) утверждает, что оператор координаты реализуется опера-
оператором умножения на число х. Такая реализация называется пред-
представлением Шредингера.
Цнеобходмо заметить, что представление Шредингера нельзя
вывести только из коммутационных соотношений B.1а); требуется
дополнительное предположение о том, что оператор Н в B.16)
имеет по крайней мере один собственный вектор. Это предположе-
предположение — одна из эквивалентных форм требуемого дополнительного
предположения. Можно также потребовать существенной самосо-
самосопряженности оператора Р2 + Q2 или того, чтобы представление
алгебры Гейзенберга можно было проинтегрировать до представ-
представления группы Вейля (вейлевская форма коммутационных соотноше-
НИИ). J
Уравнение на энергетический спектр в представлении Шредин-
Шредингера
Нф„ = Епф„ G 55)
есть не зависящее от времени уравнение Шредингера, которое мы
сейчас выведем для гармонического осциллятора. Оператор энергии
126 Глава II
для осциллятора дается формулой B.16):
2/i 2 *
Возьмем матричный элемент Н между < х I и I n >
G.56)
= i- <х\Р2\п) + Ц- <x\Q2\n). G.57)
Вычислим
<х\Р2\п) =
Кроме того, из G.1) имеем
<x\Q2\n) =x2(x\n). G.59)
Подставляя эти выражения в G.57), получаем для матричного эле-
элемента оператора энергии выражение
<х\Н\п) = -
2ц ах
е£А G.60)
2fi dx2 2
Следовательно, в представлении Шредингера уравнение на собст-
собственные значения имеет вид
G.55')
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 127
Подводя итоги, мы видим, что в х -представлении оператор Р зада-
задается в виде — / hd /dx:
а оператор энергии — в виде
II.8 ПОСТУЛАТЫ II И III ДЛЯ НАБЛЮДАЕМЫХ
С НЕПРЕРЫВНЫМ СПЕКТРОМ
Описание фундаментальных предположений II и III в разд. II .4 про-
проводилось в терминах операторов, обладающих дискретным спект-
спектром. В этом разделе мы дадим описание случая наблюдаемых, об-
обладающих непрерывным спектром. С помощью вводимого здесь
формализма мы сможем более подробно обсудить проблемы, свя-
связанные с измерением координаты и импульса — предметом обсуж-
обсуждения следующего раздела.
Статистический оператор для чистого состояния
W=Abo= <bo)(bo\,
где Л^, — проекционный оператор на одномерное подпространство,
порожденное (обычным) собственным вектором IЬ ^ наблюдаемой
В, в произвольном базисе { фп) записывается в виде
W= ЪСтСп\Фт){фп\. (8.1а)
тп
где
(8.16)
Если { фп] — такой базис, что { фь = IЬ)} , где В, а следовательно,
и W диагональны, то
сь = <Фъ\Ь0> = <Ь\Ь0У = Sbbo. (8лб')
Для смешанного состояния статистический оператор имеет вид
^=IvvmJ0m><0J, (8>2)
тп
где wmn — матричные элементы W в базисе [ ф„] ; набор { wmn)
есть матрица плотности.
128 Глава II
В случае непрерывного спектра выражение (8.1а) необходимо за-
заменить выражением
W = jdx' dx" /(х')/(х")|х'><х"|, (8.3а)
где { \х)) — базисная система обобщенных собственных векторов
наблюдаемой, скажем Q, с непрерывным спектром. Разумная
пробная функция fix) непрерывной переменной х для чистого со-
состояния W = Л^ задается выражением
(8.36)
Здесь мы использовали вторую форму записи, чтобы подчеркнуть,
что \х) есть обобщенный собственный вектор, а \Ь0)— просто
собственный вектор. Для смешанного состояния статистический
оператор по аналогии с (8.2) записывается в виде
W= (dx'dx"F(x\x")\x'Xx"\, (8.4)
где F{x', x")— функция двух непрерывных переменных х' и
х" — обобщенных собственных значений Q.
Предположим теперь, что наблюдаемая В, которая была ис-
использована для приготовления состояния W, есть Q и мы хотим
приготовить и описать чистое состояние. Хотелось бы выбрп :ь
/(х) = <х|хо> = <5(х - х0)
по аналогии с дискретным случаем (8.16'), так что
W= Ахо= \хо)<хо\.
Но нет смысла говорить об измерении некоторого фиксированного
значения наблюдаемой с непрерывным спектром. Любой измери-
измерительный прибор — макроскопическая система, имеющая конечные
размеры и не являющаяся инфинитезимально малой. Счетчики име-
имеют конечные размеры и реагируют на конечную энергию; щели —
какими бы узкими они ни были — имеют конечную ширину. Сле-
Следовательно, нет смысла говорить о состоянии физической системы,
в котором измерение наблюдаемой Q с непрерывным спектром
(скажем, со спектром Q = (— оо, +оо)) даст точно одно значение,
поскольку такое состояние нельзя приготовить и такое измерение
невозможно провести. Имеет смысл говорить только о состоянии
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 129
физической системы, в котором измерение наблюдаемой Q даст
значение х, лежащее в некотором определенном интервале
х0 — е < х < х0 + е вблизи определенной математически точки х0.
(Физически нельзя определить ни идеальную точку, ни идеальный
интервал, т. е. интервал с идеально определенными граничными
точками.) Таким образом, из физических соображений аналогом
(8.1а) для наблюдаемой Q с непрерывным спектром является выра-
выражение
W= [<Ь'4хтМх',хьЯЪс\хь)\х'){хт1 (8.5)
где fe(x, х0) — функция, сосредоточенная главным образом в
окрестности (х0 — е, х0 + е) точки х0 и описывающая более или
менее непосредственным образом разрешение измерительного при-
прибора, который приготавливал состояние.
Для состояния W, заданного в (8.1а), вероятность того, что из-
измерение В даст значение Ъ, равна
Tr (AtW) = (b\ W\b) = (b\bo)(bo\b) = б^ь = dbbo. (8.6)
Для состояния W, заданного выражением (8.5), ожидание того, что
измерение Q даст значение х, описывается не вероятностью, а
плотностью вероятности (распределением вероятности)
<x\W\x) = [dx'dx'Aix*; хь)?в(хт; хь)<дфг'><дг'|дг>
= [dx'dx'Aix*; хь)?в(хт;
= f dx' dxmШ'\ хйШх*\ хйЖх - х'Жх* - х)
хо) = \Мх; Хо)\2 = Ft(x; Xo). (8.7)
Здесь мы использовали G.19) (или A.47 ср), если dx играет роль
du(x)).
Символически мы можем записать по аналогии с (8.6)
<*1 W\ х) = Tt(AxW), где Л^ = I х>< дг1; необходимо, однако, по-
помнить, что Ах не является проекционным оператором на подпро-
подпространство пространства физических состояний. Физический вопрос,
т. е. вопрос, ответ на который может быть дан эксперименталь-
экспериментальным измерением, таков: какова вероятность получить значение х в
интервале между х{ и х2, если измерение наблюдаемой Q прово-
проводится в состоянии W1 Здесь интервал (xlt x2) определяется разре-
461 9
130 Глава II
шением используемого прибора, которое опять-таки не может
быть инфинитезимально малым и точно определенным.
Оператор, отвечающий определению положения в интервале
х j < х < х 2, есть проекционный оператор
; (8.8)
следовательно, вероятность найти значение где-нибудь в интервале
х, < х < х2 для системы в состоянии W из (8.5) равна »
Тг(Л(лгь x2)W) = [dx' <*'|A(xi, x2)W\xr) = \ dx<x\W\x)
J J*«
= [X2dx\ft(x; xo)\2 = [ 2dxF((x; хь). (8.9)
J*. J*,
Функция F((x; x0) = \ft(x; xo)\2 определяется экспериментальной
ситуацией. Она описывает разрешение прибора, которым приготав-
приготавливается состояние W. Чем лучше разрешение, тем меньше 6, и в
идеализированном (но нефизическом) пределе 6—0 имеем
l/.ta хо)\2 = Ft(x; хо) - д(х - х0). (8.10)
Предел (8.10) отвечал бы прибору с идеальным разрешением, кото-
которого в природе не существует. Следовательно, состояние W в (8.5)
может быть лишь настолько «чистым», или пик таким острым, на-
насколько это позволяет экспериментальное разрешение, и пик никог-
никогда не может быть «идеально острым», как в случае 6-функции.
Чтобы состояние W, описываемое в (8.5), было нормирован-
нормированным, функция /e(x, *0) должна удовлетворять соотношению
Tr W= Г dx(x\W\x) = Г dx\Mx*, хо)\2 = Г dxFt(x, х0) = 1.
j_oo J — оо J — оо
(8.11)
Примерами возможных F{(x) = Ft(x, 0) являются (функциональные
последовательности 6-типа)
^cW = --г^-2 (Рис. 8.1), (8.12)
Ft(x) = -7L^Iexp ( -\^Л (рис. 8.2), (8.13)
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор
131
Ft(x) =
(О if х < е/2,
1/е if -e/2 <x< +6/2,
О if + е/2 < х.
(рис. 8.3),
(8.14)
О
х + 6
б2
-х + б
if x< -6
if - 6 < х < О,
if 0 < х < б,
if +e <x,
рис. 8.4.
(8.15)
Рис. 8.1. График функции F((x) = A/т)е/(х2 + е2) для двух значений е (8.12).
Рис. 8.2. График функции F((x) = (l/V^)(l/e)exp(- - x2/e2) (8.13).
132
Глава II
Рис. 8.3. График функции F((x) (8.14).
-£ О
Рис. 8.4. График функции F((x) (8.15).
Все эти функции сосредоточены главным образом в интервале
-б<л:< +би обладают свойством
Ff(x) -*■ 5(х) при
0.
Таким образом, мы приходим к фундаментальному предполо-
предположению II 1а для непрерывного спектра. Статистический оператор
W, заданный в (8.5) с распределением Fe(x), настолько узким, на-
насколько это экспериментально возможно, является аналогом чисто-
чистого собственного состояния для случая непрерывного спектра.
Мы будем называть такое состояние «почти собственным со-
состоянием» наблюдаемой с непрерывным спектром.
Произвольное состояние, при приготовлении которого не могло
быть попытки сделать его определенным, описано в (8.4). Функция
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 133
F(x', х" ) связана с функцией распределения вероятностей наблю-
наблюдаемой Q соотношением
Тг(Л
= dx' dx" F(x', x")<x|x'><x"|x> = F(x, x). (8.16)
Здесь уместно упомянуть соотношение между физической измери-
измеримостью и приготавливаемостью состояния и математическим опи-
описанием квантовой физики в оснащенном гильбертовом пространст-
пространстве Фс</СФх, хотя мы не можем дать здесь детальное
описание1).
Функция разрешения Fe(x;x0) или/е(х;л:0), описывающая реали-
реалистический экспериментальный прибор, должна быть разумной
функцией, т. е. напоминать функции (8.12)—(8.15) с малым, но ко-
конечным 6, чтобы описывать состояние настолько определенное, на-
насколько допускает это его приготовление. Можно дать точную
формулировку, потребовав, чтобы fe(x; Xq) принадлежала к про-
пространству Шварца, являющемуся реализацией Ф. Возможно, более
адекватно было бы потребовать, чтобы Fe(x;x0) имела компакт-
компактный носитель. Те функции ft(x; xj, которые являются либо рас-
распределениями, либо элементами гильбертова пространства (т. е.
квадратично интегрируемые по Лебегу функции, определенные всю-
всюду, кроме множества меры нуль), не могут описывать разрешения
реалистического прибора (например, эффективность детектора).
Если/Да:;Xq) является элементом пространства Шварца, то со-
состояние, которое получается в (8.5) или (8.4), принадлежит к про-
пространству Ф. Точнее, W является положительно-определенным опе-
оператором в гильбертовом пространстве с ограниченным следом,
причем ]¥Ж С Ф. Если W является чистым состоянием
W = I/></'» то функция f(x) = (x\f), заданная в (8.3), является
элементом пространства Шварца, а 1/> — элемент Ф. Таким обра-
образом, требование, чтобы пространство физических состояний состо-
состояло только из тех состояний, которые могут быть приготовлены в
реалистическом эксперименте, означает, что при точной формули-
формулировке исходных фундаментальных предположений пространство
физических состояний должно быть не гильбертовым пространст-
пространством Л?, но ядерным топологическим пространством Фх из осна-
оснащенного гильбертова пространства Ф С ^ С Фх. Хотя элементам
Фх, не лежащим в Ф, не отвечают физические состояния, простран-
пространство Фх играет исключительно важную роль, поскольку оно содер-
) Элементарное обсуждение см. в книге [11].
134 Глава II
жит обобщенные собственные векторы самосопряженных операто-
операторов с непрерывным спектром, которые не принадлежат Ж (см.
разд. 1.4 и 1.7).
Гильбертово пространство <& бесконечномерно, причем беско-
бесконечномерно в очень специальном смысле, а именно оно является
полным в данной топологии, т. е. при заданном понимании сходи-
сходимости бесконечной последовательности. Поскольку бесконечное
число состояний приготовить невозможно, физические измерения
ничего не могут сказать о бесконечных последовательностях, а мо-
могут в лучшем случае дать информацию о произвольно длинных, но
не бесконечных последовательностях. Следовательно, физика не
может дать достаточно информации, чтобы сказать, как перехо-
переходить к бесконечному пределу, т. е. как выбрать топологию. Выбор
топологии является систематическим обобщением, причем тополо-
топологию следует выбирать, руководствуясь соображениями максималь-
максимального удобства.
При выборе Ф в качестве пространства физических состояний
мы не только получаем описание, являющееся более близким к ре-
реальности по упомянутым причинам, связанным с приготовлением и
измерением физических состояний, но и имеем громадное упроще-
упрощение математического описания. Даже простейшая алгебра операто-
операторов, появляющаяся в квантовой механике, а именно заданная в
B.1а), не может быть реализована ^-непрерывными операторами.
Следовательно, существуют векторы, лежащие вне области опреде-
определения наблюдаемой, реализованной ограниченным в Jf операто-
оператором, т. е. векторы, которым отвечают состояния с бесконечной
энергией. В противоположность этому кажется возможным, что
для всех физических систем наблюдаемые могут быть реализованы
Ф-непрерывными операторами. Таким образом, при описании в
терминах оснащенного гильбертова пространства математическим
образом физической системы является алгебра непрерывных опера-
операторов, вопросы об области их определения не возникают, и все ма-
математические манипуляции, осуществляемые физиками, строго
определены.
Рассмотрев аналог формулы D.31) в аксиоме Ша — выражение
(8.5), обсудим теперь фундаментальное предположение Шб для не-
непрерывного спектра. Пусть физическая система находится в состоя-
состоянии W\ это состояние могло быть приготовлено измерениями наб-
наблюдаемой с непрерывным или дискретным, или даже, может быть,
произвольным спектром. Если измерение наблюдаемой Q, облада-
обладающей непрерывным спектром — оо < х < + оо, проводится над со-
состоянием W и используется для выбора подансамбля со значения-
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 135
ми х наблюдаемой Q в интервале л:, < х < х2, то (ненормирован-
(ненормированное) состояние W , описывающее этот подансамбль, имеет вид
W = ЛС*Ь x2)WA(xlt x2)
ix2 /»х2 (8.17)
dx' \ dx"\x')<x'\W\x")<x"\.
Xi JXi
Это аналог формулы D.52) для случая непрерывного спектра. Заме-
Заметим, что при *, — — оо, *2 — — оо мы имеем W = W; это означа-
означает, что никаких измерений не проводилось. Как и раньше, интервал
хх < х < х2 должен быть конечным; он не может быть бесконечно
малым из-за конечного разрешения и конечных размеров измери-
измерительного прибора.
Чтобы показать, что выражение (8.17) описывает состояние,
для которого измерение Q должно дать значение х в интервале
*, < х < х2, вычислим плотность вероятности получения значения
а:, которая, согласно (8.17), равна
<АхУ = ^\ V
£
<x\x')(x'\W\x"><x"\x>
О, х < Xi или х > хг, „
(Tr W')~l(x\W\x), xi<x<x2.
Реальное измерение даст значение в некотором малом интервале
*0~ * < ■*■ <хо+ б* Вероятность того, что измеренное значение
Q попадет в такой интервал, равна
<Л(*>-
б, Хо + €)>'
■ J-
=
0
TV
dx(Ax)'
(Xi
| PXo + t
1 //v / vl Ы/1 v\ ^v.
„,, l ax{x\ *y\x?, \X(
VY Jxo-«
) - б, Хо + б)П(ЛГь X2) =
) 6, *, + 6) Я (xi, Дй).
0,
(8.19)
Следовательно W описывает состояние, которому отвечают зна-
значения координаты в интервале (*,, х2).
136 Глава II
II.9. ИЗМЕРЕНИЕ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА —
ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ
Материал разд. II.8 обеспечил нам формализм, в рамках которого
мы можем более детально обсуждать проблемы, связанные с изме-
измерением координаты и импульса. Вернемся к модели гармонического
осциллятора, заимствованной из классической механики, в которой
рассматриваются колебания двух массивных материальных точек
около положения равновесия. Предположим для простоты, что
т2> т х, так что мы можем считать массу т 2 покоящейся.. Тогда
координата х и импульс р по существу являются координатой и
импульсом частицы 1.
Каким образом можно осуществить измерение координаты
квантовомеханического гармонического осциллятора? В качестве
реализации такой системы мы рассматривали двухатомную моле-
молекулу. Следовательно, вопрос состоит в том, как измерить коорди-
координату, т. е. расстояние между двумя атомами в молекулах СО, нахо-
находящихся в столкновительной камере. Кажется невозможным приду-
придумать измерительный прибор, который мог бы с этим справиться.
То же самое относится и к измерению импульса в этом ансамбле.
Таким образом, обсуждение в разд. II.7 вероятностей w(x) и w(p)
не имеет большого практического значения, если ограничиться рас-
рассмотрением квантовомеханического гармонического осциллятора.
С помощью формализма, развитого в разд. II.8, мы можем дать
теоретическое объяснение этой ситуации.
В, соответствии с (8.17) после измерения оператора координаты
Q физическая система находится в почти собственном состоянии
оператора координаты, т. е. все молекулы в ансамбле имеют коор-
координаты в интервале (х — е,х + е). Для нашей классической модели
молекулы СО как двух осциллирующих материальных точек (где
для простоты тг> т,) приведенное^ утверждение означает, что
масса т, расположена на расстоянии а: от т 2, лежащем в интерва-
интервале (х — е,х + е). Вместе с тем классическая система, в которой т х
локализована в ограниченной области пространства, не является
осциллятором. Это локализованная материальная точка, которую
мы назовем частицей. Измерение оператора координаты Q над
гармоническим осциллятором разрушает осциллятор, и в результа-
результате получается физическая система, классическим образом которой
является частица. Таким образом, тот факт, что на практике не-
невозможно осуществить эксперимент, в котором измерялась бы наб-
наблюдаемая Q для ансамбля молекул СО в столкновительной камере,
имеет свое теоретическое обоснование в фундаментальном предпо-
предположении Шб, сформулированном в (8.17).
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 137
Приведенные аргументы иллюстрируют также тот факт, что
для заданной физической системы, такой как осциллирующая мо-
молекула СО, существуют различные виды наблюдаемых. Для одних
из них (например, для оператора энергии осциллирующей молеку-
молекулы СО) легко приготовить их собственное состояние рассматривае-
рассматриваемой физической системы, для других (например, для оператора от-
относительного расстояния в осциллирующей молекуле СО) приго-
приготовление их собственного состояния разрушило бы систему.
Измерение наблюдаемых второго типа может быть описано
только при расширении физической системы. Так, в нашем примере
мы могли не ограничиваться рассмотрением только молекул СО,
но могли бы рассмотреть более широкую физическую систему, со-
состоящую из молекул СО, атомов О и атомов С. Тогда молекулы
СО — лишь частные состояния этой расширенной физической си-
системы. Другие состояния — состояния, в которых атомы С и О не
связаны. В этой расширенной системе измерение относительной ко-
координаты (расстояния между атомами О и С) всегда возможно, по
крайней мере в принципе.
Для почти собственного состояния оператора координаты Q
имеем
■и
W(x) = \ \ dx' dx" Mx' - хШхп - л:)\х' )(х " |, (9.1*)
где Q 1лг> = х \х) и /Ах' — х)\2 обладает теми же свойствами,
что и функции (8.12)—(8.15). Можно определить почти собственное
состояние оператора импульса Р:
dp' [ dp"/((p' -рп(р" -р)\р'Хр"\, (9.1/7)
— 00
где Р\р) =р\р), a \/((р' - р)\2 — также функция, подобная
функциям (8.12)—(8.15). Операторы Q иР связаны здесь соотноше-
соотношением B.1а). В таком состоянии измерение импульса Р дает значе-
значение/7 в интервалер — е < р < р + е. Исходя из тех же соображе-
соображений, что и выше, мы заключаем, что такое состояние не может от-
отвечать осциллятору; следовательно, мы не требуем выполнения ус-
условия B.16) и будем требовать лишь, чтобы операторы Q и Р
удовлетворяли соотношению B.1а) и чтобы вследствие этого1* для
< /? |дг> было справедливо выражение G.50). Возможная связь меж-
!) Как замечено в скобках в конце разд. II.7, равенства B.1а) недостаточно для
вывода G.50). Необходимо сделать дополнительное предположение — например, о
существенной самосопряженности оператора Р 2 + Q 2.
138 Глава II
ду оператором энергии Н и операторами Р и Q, облегчающая при-
приготовление почти собственных состояний импульса, имеет вид
Н = Р 2/2т, где т — постоянная системы — масса. Квантовофи-
зическая система, для которой выполнено это соотношение, назы-
называется свободной нерелятивистской элементарной частицей.
Квантовомеханическая система с хорошо определенным импуль-
импульсом имеет в качестве своего классического образа волну.
Обсудим еще немного этот последний пункт. Характеристикой,
или определяющим свойством, частицы является ее локализован-
ность в пространстве, т. е. ей можно приписать определенную ко-
координату. Подобным же образом характеристикой, или определяю-
определяющим свойством, волны, в частности плоской волны, является ее
бесконечно протяженная в пространстве периодическая структура.
Математическое описание плоской волны имеет вид
ф(х, г) = АеЛхе~ш, (9-2)
так что ее пространственная структура описывается формулой
и(х) = Aeik\ (9.3)
где А — амплитуда, а к — волновое число. Фундаментальной ха-
характеристикой является длина волны X = 2тг/к. Если волна не пло-
плоская, т. е. не имеет строго заданного волнового числа или длины
волны, но при этом волновые числа к' лежат внутри некоторого
интервала (к — Ак, к + Ак), то имеем волновой пакет, описывае-
описываемый формулой
ф(х)= \ dk'A(k')eikx, (9.4)
-j:
где А (к ) отлична от нуля только в интервале длиной 2Ак с цент-
центром в к.
Чтобы показать, что квантовомеханическая система с хорошо
определенным импульсом имеет своим классическим образом вол-
волну, вычислим пространственное распределение состояния с хорошо
определенным импульсом. Проведем сначала упрощенное вычисле-
вычисление, работая с «состояниями» с фиксированным импульсом \р) и
«состояниями», имеющими фиксированную координату \х), кото-
которые «описываются» операторами W{p) = dp\p)(p\ и
W(x) = dx\x)(x\ соответственно, хотя мы не должны забывать,
что такие «состояния» не являются физическими.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 139
Для чистого состояния Л^ с «хорошим» вектором состояния ф
пространственное распределение задается волновой функцией
ф(х) = < х \ф) ; согласно E.25), плотность вероятности найти значе-
значение х при измерении координаты для состояния ф равна
*%(*) = К* 1^> I2. Пусть теперь вектор не является «хорошим», а
следовательно, вектор «состояния» \р) нефизический. Тогда про-
пространственное распределение дается выражением (х\р), которое,
согласно G.51), равно
(х\р) = -pi=- e*P/h. (9.5)
Если мы сравним это пространственное распределение с распреде-
распределением для плоской волны (9.3), то увидим, что «точное собствен-
собственное состояние импульса» квантовомеханической системы имеет та-
такое же пространственное распределение, как классическая система,
называемая плоской волной, волновое число и длина волны кото-
которой задаются формулами де Бройля
= -. (9.6а)
п Р Р
Это позволяет называть ансамбль квантовомеханических систем с
заданным импульсом р волной с длиной волны X = я /р.
Вернемся теперь к физическому случаю, где состояние задано
формулой (9.1р) и является почти собственным состоянием им-
импульса с распределением по импульсам \f((p' — p)\2 настолько уз-
узким, насколько это возможно. Плотность вероятности получить
значение х при измерении наблюдаемой Q в состоянии W(p), со-
согласно (8.7), задается формулой
<x\W(p)\x) = [ dp' [ dp"ff{p' -p)ft(p" -p)<x\p'Xp"\x)
J -00 J -00
!+0° oixp'/h P+o° _ p-ixp'/h
dp'feip' -p)?j=\ dp"ft(p"-p)e
12th
(9.7)
Чтобы сравнить эту формулу с волновой функцией (классического)
волнового пакета (9.4), определим
ГЩ*; (9.8,
140 Глава II
А(к')= Щ-Мк' -к)
j 2/7
Ф(х) действительно описывает волновой пакет (9.4), и интенсив-
интенсивность этой волны, согласно формуле
определяет плотность вероятности нахождения значения л:.
Таким образом, квантовомеханическая система в состоянии с
хорошо определенным импульсом (с узким интервалом импульсов)
имеет своим классическим образом волновой пакет с длиной волны
X, лежащей в узком интервале
2nh X2^L (9.10)
p — e p + e
Интенсивность этой волны отвечает плотности вероятности для
измерения координаты. Функция ф(х) характеризует вероятность и
называется амплитудой вероятности.
Мы понимаем теперь, почему величина ф(х) = < х I ф) была на-
названа волновой функцией. Пусть W^ — чистое состояние, т. е. W^
есть проектор на пространство, порожденное ф. Тогда плотность
вероятности получить значение х при измерении координаты равна
Щ(х)= <x\W+\x) = (х\ф)(ф\х)
= ф(х)ф(х) = \ф(х)\2. (9.11)
С другой стороны, мы можем вычислить {x\W^\x), подставляя
полную систему обобщенных состояний
/ =
и получим
= [dp' [dp* <х\р')(р'\ф)<ф\р"Хр"\х)
Ieixp/h (* e-ixp'/h (9.12)
dp' —== ф(р') I dp" —7=^ Ф(Р*)-
Если сравнить выражения (9.11) и (9.12), то видно, что волновая
функция, физическая интерпретация которой состоит в том, что
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 141
квадрат ее модуля есть плотность вероятности, задается формулой
где ф(р') = {р' \ф). Следовательно, волновую функцию ф(х) мож-
можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, причем ф(х) ста-
становится все более похожей на плоскую волну по мере того, как ко-
коэффициент перехода (р'\ф) между чистым состоянием ф и обоб-
обобщенным собственным вектором импульса I р' > становится более
похожим на б-функцию 5(р' — р).
Волновая природа квантовой системы может быть эксперимен-
экспериментально выявлена в дифракционных экспериментах. Рассмотрим си-
систему, которая приготовлена в почти собственном состоянии им-
импульса, т. е. монохроматический пучок квантовых частиц. Такой
монохроматический пучок легко приготовить, если частицы заря-
заряжены, и труднее приготовить, если они нейтральны (как атомы
или молекулы). Поэтому рассмотрим сначала монохроматический
пучок электронов, такой, как в эксперименте с потерей электронов,
рассмотренном выше. Электронный пучок испускается нитью нака-
накала, затем ускоряется электрическим потенциалом и пропускается
через скрещенные электрическое и магнитное поля с очень хорошо
заданными напряженностями. Не отклоняются только электроны с
очень хорошо фиксированными импульсами. Если /е(р'— р) опи-
описывает разброс по импульсам в этом пучке, то пространственное
распределение задается формулой (9.8):
-J
ф(х) = \dk' hft{kk) е*к', (9.14)
которая приближается по форме к плоской волне
ф(х) * Aeixk
при уменьшении разброса по импульсам вокруг значения Ш. Эта
приближенно плоская волна, будучи рассеянной на решетке, дает
типичную дифракционную картину.
В специальной теории относительности с соотношением (9.6а)
связано другое соотношение
142 Глава II
где о) — угловая частота света, ш = 2vv. Связь между (9.6а) и
(9.66) наиболее удобным образом устанавливается из закона дис-
дисперсии для наших волн ш = f(k) и связи между энергией и импуль-
импульсом Е =f(p). Таким образом, для системы «электромагнитная
волна — фотон» закон дисперсии имеет вид ш = ск (у = с /X), а
связь между энергией и импульсом задана соотношением Е = ср
(Е2 — (срJ — (тс2)!2 при массе покоя т =0). Из этих классиче-
классических соотношений (первого для волны и второго для безмассовой
релятивистской частицы) немедленно вытекает, что (9.66) является
следствием (9.6а), и наоборот. Для системы «волна де Бройля
электрона — нерелятивистский электрон» закон дисперсии имеет
вид ш = k2/2(m/h), а связь между энергией и импульсом есть
Е = p^/lm; это опять показывает, что соотношения (9.6а) и (9.66)
следуют одно из другого.
Две физические системы «электромагнитная волна — фотон» и
«волна де Бройля электрона — электрон» являются примерами фи-
физических систем, называемых элементарными частицами1*. Но ис-
историческое развитие представлений об этих двух системах было со-
совершенно различным. Начнем с того, что все имевшиеся экспери-
экспериментальные данные о свете можно было объяснить в рамках как
корпускулярной теории (Ньютон, 1663 г.), так и волновой теории
(К. Гюйгенс, 1678 г.). Одна и та же область физического знания
описывалась двумя различными картинами. После этого была от-
открыта дифракция света (Юнг, 1801 г.), которую можно было объяс-
объяснить только в рамках волновой теории. С другой стороны, катод-
катодные лучи, хотя и рассматривавшиеся некоторыми учеными как рас-
распространяющиеся подобно свету в связи с процессами, происходя-
происходящими в эфире, вели себя, как это было вскоре доказано, в электри-
электрическом и магнитном полях как отрицательно заряженные частицы
(Дж.Дж. Томсон, 1897 г.; Ж. Перрен, 1897 г.). Таким образом, свет
был волной, а электроны — частицами. Если бы фотоэлектричес-
фотоэлектрический эффект (Ф. Ленард, 1902 г.) был обнаружен до открытия ди-
дифракции света, а дифракция электронов (Дэвиссон и Джермер,
Г.П. Томсон, 1927 г.) была первым эффектом, наблюдавшимся
для катодных лучей, то ситуация могла бы быть обратной.
Поскольку свет рассматривался как волна, то имелся закон дис-
дисперсии ш = ск, или ш = с/Х, и Эйнштейн A905 г.) показал, что,
для того чтобы объяснить фотоэлектрический эффект, необходимо,
'' Для этих систем лучше было бы ввести новое название (например, «кванты»),
чтобы избежать смешивания с ньютоновскими частицами.
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 143
чтобы для света, кроме формулы для энергии Е = Ни, полученной
Планком A900 г.), имело место соотношение р = Е /с.
С другой стороны, электроны рассматривались как частицы, и
для них имело место соотношение Е = р 2/2т. Но де Бройль
A924 г.) постулировал, что они являются волнами, волновое число
для которых дает формула (9.6а). Затем он вывел, пользуясь фор-
формулой Планка (9.66), закон дисперсии в виде ш = к2/2(т /Н).
Два соотношения
Е = ho, p = ftk (9.6)
справедливо считают воротами в квантовую теорию. Мы вывели
по крайней мере второе уравнение (9.6а) из определяющего соотно-
соотношения B.1а). Но исторически они послужили отправной точкой для
длительного процесса исследований, который привел к выводу со-
соотношения B.1а) и в конечном счете вообще к квантовой механике.
Соотношения (9.6) связывают две различные классические картины
(часто их называют дуальными).
Одна из картин — частица, т. е. локализуемая материальная
точка. Классически такой частице можно приписать определенные
значения энергии и импульса (например, импульс и энергия, измеря-
измеряемые прибором, движущимся со скоростью — v относительно та-
такой локализованной материальной точки, равны р =mv и
Е =р2/2т).
Другая картина — волна, т. е. более или менее периодическое
возбуждение, обладающее бесконечной пространственной протя-
протяженностью. Волна имеет угловую частоту ы и волновой вектор к.
В квантовой механике физическая система (квант, элементарная
частица), которую мы всегда должны представлять себе как ан-
ансамбль, может находиться в различных состояниях. Например, она
может находиться в почти собственном состоянии импульса, опи-
описанном в (9.1/7). Мы можем тогда интересоваться координатой для
такого состояния, например можем интересоваться вероятностью
найти координату где-либо в интервале х — Д/2 < х' < х + Д/2.
Мы говорим это в соответствии с основным предположением II,
переписанным с использованием проекционного оператора (8.8) в
виде
144 Глава II
Для определенности мы можем предположить, что почти собст-
собственное состояние импульса дается формулой (9.1/?), где F\{р' - р)
определяется формулой (9.14) (или см. рис. 8.3), так что
fjj>' - Р) = 1/V7 в интервале между р -е/2 и р + е/2. Плот-
Плотность вероятности для оператора координаты получается тогда с
использованием (9.7) в виде
p+f/2
{x\W{p)\x)= dp'-
Jp-e/2 V
p-t/2 ve У2тЛ Jp-e/2 Ve ЫЪ-кП (9.15)
1
2тгп
для ex/h < 1.
Это означает, что плотность вероятности для оператора координа-
координаты не зависит от координаты. Следовательно, вероятность найти
для физической системы значение в интервале длиной А вокруг х
равна
dx' <*' | W(p)\x' > = -^j- еД, (9.16)
т. е. система с одинаково малой вероятностью локализована во
всем пространстве.
В предельном случае точно заданного импульса, когда разброс
по импульсам 6 — 0, вероятность найти для физической системы
значение в произвольном интервале Д равна нулю. Но этот пре-
предельный случай является нефизическим, поскольку не существует
прибора, способного приготовить такое состояние. Например, мо-
монохроматический пучок электронов, реализующий почти собствен-
собственное состояние их импульса, может быть приготовлен прибором,
использованным в эксперименте с потерей энергии в разд. II.4.
Электроны, испускаемые нитью накала, ускоряются электрическим
потенциалом. Даже если этот потенциал задан очень точно, элек-
электроны будут все же иметь некоторый разброс по импульсам, гене-
генерированный испускающей их нитью. Этот пучок электронов прохо-
проходит затем через монохроматор (электрическое или магнитное поле,
или в некоторых случаях скрещенные электрическое и магнитное
поля), и только электроны с определенной скоростью или импуль-
импульсом появляются в том месте, где расположена щель. Но опять-
таки, даже если поля заданы очень точно, щель имеет конечную
ширину, так что через нее пройдут электроны, имеющие неболь-
небольшой разброс по импульсам. В общем случае благодаря тому, что
макроскопические измерительные приборы с необходимостью име-
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 145
ют конечные размеры, приготовить монохроматический пучок с ну-
нулевым разбросом невозможно.
Как мы видели выше, для почти собственного состояния им-
импульса любое положение равновероятно, т. е. координата не опре-
определена. Физическая система находится в волноподобном состоянии
с очень хорошо определенными волновым числом и длиной волны;
таким образом, она выглядит как волна.
Следовательно, в соответствии с формулировкой квантовой ме-
механики, базирующейся на основных предположениях I, II и III,
квантовофизическая система, находящаяся в собственном состоянии
импульса, ведет себя как волна — «является» волной — до тех пор,
пока не будет проведено измерение, которое изменит это состояние
(например, измерение координаты). Пока такое измерение не про-
проведено, теоретические предсказания являются точно такими же,
как в классической волновой теории.
Мы можем повторить всю аргументацию, начиная с почти
собственного состояния координаты W(x), описываемого форму-
формулой (9Лх). Плотность вероятности для оператора импульса полу-
получается тогда в виде
± , (9.17)
а вероятность обнаружить импульс в интервале между р — е/2 и
Р + е/2 равна
ip+t/2 «
dp' (p'\W{x)\p') =У1ГГе. (9-18)
р-е/2 11ГП
Так как эта вероятность не зависит от центрального значения р,
любые значения р равновероятны. Для почти собственного состоя-
состояния координаты импульс не определен. Такое почти собственное
состояние координаты мы назвали частицей, но теперь видим, что
в отличие от классической (ньютоновской) частицы квантовофизи-
квантовофизическая система в частицеподобном состоянии не может иметь опре-
определенного импульса.
Свойство, описываемое формулой
т. е. что физическая система находится в состоянии с хорошо опре-
146 Глава II
деленным импульсом, и свойство
!) (9-20)
т. е. что физическая система находится в состоянии с хорошо опре-
определенной координатой, называются дополнительными одно по от-
отношению к другому. Если имеет место одно из свойств, то нельзя
сделать никакого предсказания относительно другого свойства. Ес-
Если физическая система находится в состоянии (9.19) с хорошо опре-
определенным импульсом, то ничего нельзя сказать о ее координате;
любая координата х равновероятна, как следует из (9.15). Если
квантовая физическая система приготовлена так, что ее классиче-
классическим образом является волна, то у нее нет свойств, классическим
отображением которых являются свойства частицы, и наоборот.
Если свойства Л и Л дополнительны, то свойства 1 — Л и Л, Л и
1 — Л, 1 — Л и 1-Л также являются дополнительными. Свой-
Свойство 1 — Л есть отрицание свойства Л: если Л — свойство, что
квантовофизическая система находится в области пространства
между х — £/2 их 4- £/2, то 1 — Л — свойство, что система нахо-
находится вне этой области. Однако в отличие от классического случая
квантовофизическая система не обязательно имеет свойство 1 — Л,
если она не обладает свойством Л; например, она может находить-
находиться в состоянии Л, т. е. быть волноподобной и вовсе не иметь ника-
никакой координаты, или вместо А она может иметь любое другое
свойство, отличное как от Л, так и от 1 — Л. Следовательно, для
квантовой системы существует бесконечное количество возможно-
возможностей не обладать ни свойством Л, ни свойством 1 — Л, в то время
как классическая система всегда обладает одним из этих свойств.
Постоянная h появилась в определяющем соотношении B.1а)
без особого обсуждения. Зная рассмотренные выше следствия из
B.1а), мы уже можем понять смысл h.
Постоянная h есть переходный множитель для выражения од-
одной и той же физической величины в разных единицах. Импульс и
энергия могут быть измерены обычным способом. Приготавлива-
Приготавливается пучок электронов с малым разбросом по импульсам, например
с использованием прибора, показанного на рис. 4.2,а. Электроны,
трактуемые сначала как частицы, испускаются нитью канала и
ускоряются разностью потенциалов электрического поля до скоро-
скорости v, которую можно вычислить по формуле v2 = 2(е /т )V. Если
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 147
V измеряется в вольтах и если использовать стандартное значение
в
Кл . „тпп <л< см2
£г= 1,7588.10й — = 1,7588-105 -=
т
кг
хВ'
то получим v в см/с, или р = mv в эрг-с/см.
Затем пучок электронов трактуется как волна. Он дифрагирует
на решетке (решетки с нужной постоянной порядка 10~8 см = 1 А
являются кристаллами), и измеряется его волновое число к. Ис-
Используя достигнутое понимание того, что частицы и волны явля-
являются лишь двумя различными проявлениями (из многих возмож-
возможных) квантовофизической системы «электрон», для которой корпу-
корпускулярное свойство v = dx /dt (скорость частицы) связано с волно-
волновым свойством X = 2ж/к (длина волны) соотношением (9.6а):
t/ = A* = A2x (9.21)
т т X v '
можно определить отношение Л/m по значению v, измеренному с
помощью электрического поля, и по значению X, измеренному при
помощи решетки. Не ограничиваясь этим экспериментом, можно
проделать много других экспериментов, где для электронов незави-
независимо измеряются v из корпускулярных и X из волновых свойств.
Значение h/m, которое получается из (9.19), будет таким же. Та-
Таким образом, h/m является константой, если использовать только
электроны.
Можно также повторить всю эту процедуру для других физиче-
физических систем, например протонов, и снова найти значение h/m из
соотношения (9.21). Тогда обнаружится, что это приводит к друго-
другому значению h/m, отличному от значения, получаемого в экспери-
эксперименте с электронами. Таким образом, переходный множитель h /m
между к и v зависит от природы микросистемы.
Но массу т можно измерить независимо (для нее принято ис-
использовать независимую единицу грамм (г)), измеряя сначала отно-
отношение е /т в экспериментах по отклонению катодных лучей и про-
протонных пучков, а затем измеряя е в опыте Милликена. Таким пу-
путем находим, что переходный множитель h между к в см и
Р = mv в г-см/с
mv = hk (9.6a')
имеет одно и то же значение для всех физических систем, а
именно1)
0 1 эВ = 1,6 • 10" |2 эрг = 1,6 • 10" |2 дин • см; 1 дин = 1 г см/с2.
148 Глава II
h = 1,0546 • 10-28г~см =
с
= 1,0546 • 108 эрг • с = 6,58218 ■ 10~16 эВ • с. (9.22)
Переходный множитель h между волновым числом к и импульсом
р никак не связан со структурой микрофизической системы. Это не
постоянная системы, как /х и ш для микрофизической системы в
разд. II.2 или h/m\ это универсальная постоянная.
Почему переходный множитель между к и v является зависящей
от системы постоянной, а переходный множитель между к и р —
универсальной постоянной природы? Причина заключается в струк-
структуре группы пространственно-временной симметрии — группы Га-
Галилея (сходные аргументы приложимы к случаю группы симмет-
симметрии релятивистского пространства-времени — группы Пуанкаре).
Наблюдаемые Gt/h = mQ/h и PJh подчиняются коммутацион-
коммутационным соотношениям [G/h, Pj/h] = ib^m/h) (i,j = 1, 2, 3), из ко-
которых следует трехмерная версия B.1а); они являются не просто
наблюдаемыми для конкретной микросистемы или различных
микросистем, а представляют собой генераторы преобразований
Галилея: A + ix'P/h) отвечает сдвигу на инфинитезимальный век-
вектор х' (в см), а A + iv'G/h) — инфинитезимальному собственному
преобразованию Галилея (переходу к системе, движущейся со ско-
скоростью v' см/с). Таким образом, PJh и mQ/h (но не QJh) можно
придать универсальный смысл, связанный не с устройством част-
частной физической системы, а со структурой группы симметрии при-
природы. Величина m/h является инвариантом преобразований Гали-
Галилея, значение которой характеризует представление (расширенной)
группы Галилея и, следовательно, физической системы, к которой
это представление относится.
Переходный множитель h появляется в выражении для преобра-
преобразований Галилея, поскольку для х' и Р; исторически были выбраны
независимые единицы измерения: х' измеряется в сантиметрах, а
Pf — в единицах эрг с/см, которые получаются при использовании
для массы фундаментальной единицы грамм (г):
, с , с , см с
1 эрг — = 1 дин • см — = 1 г --«- см — .
см см (г см
Но этот выбор не является уже необходимым теперь, когда извест-
известна квантовая механика и фундаментальный физический смысл пред-
представлений группы Галилея. Единицы можно выбрать так, что
h = 1, поскольку требуется лишь, чтобы x'P/h и v'mQ/h были
безразмерными величинами. Выбирая для х' обычную единицу сан-
сантиметр (см) и полагая Л = 1, мы видим, что Р, имеет единицу из-
Основы квантовой механики. Гармонический осциллятор 149
мерения см, а единица измерения массы не является более неза-
независимой, но является производной единицей с/см2. Следовательно,
значение h в общепринятой системе СГС, которое мы обозначим
через \h) и которое, согласно (9.22), равно \h] = 1,0546 • 10~28
есть не что иное, как переходный множитель между г и с/см2. Та-
Таким образом, выбирая переходный множитель h = 1, мы оставля-
оставляем в качестве фундаментальных единиц измерения только санти-
сантиметр (см) и секунду (с).
Для релятивистского пространства-времени имеется добавочный
переходный множитель между расстоянием х, измеренным в санти-
сантиметрах, и временем tt измеренным в секундах, отвечающим рас-
распространению света на это расстояние: t = A/с)х, где с— ско-
скорость света. Выбор для переходного множителя значения с — 1
устраняет секунду из набора независимых единиц измерения:
1 с = {1/с)см, где { с} = 2,9979- 10ю — значение с в системе СГС.
В этом случае единственной фундаментальной единицей измерения
является сантиметр.
Вместо см в релятивистской физике частиц обычно использу-
используют единицы 1 эВ или 1 МэВ = 106 эВ для энергии, массы и импуль-
импульса. Расстояние измеряется тогда в единицах МэВ. Значение вели-
величины he в системе единиц СГС { he) служит тогда переходным
множителем между единицами энергии, массы и импульса в МэВ и
в см:
1 см = { he) МэВ = 1,97328 • 10"п МэВ.
Таким образом, мы убедились, что Л, как любая постоянная при-
природы, является просто переходным множителем для значений од-
одной и той же физической величины в разных единицах. До того как
постоянная природы обнаружена, значения одной и той же физи-
физической величины в разных системах измерения (например, импульс
р и волновой вектор к) считают различными физическими величи-
величинами. После того как постоянная открыта и различные физические
величины связаны в новой теории, можно измерять эти величины в
одинаковых единицах и, таким образом, устранить одну из незави-
независимых прежде величин.
Глава III
Энергетические спектры некоторых молекул
В разд. III. 1 обсуждаются способы наблюдения уровней энергии
квантовомеханической системы, испускающей дипольное излучение.
Вывод выражения для вероятности перехода не приводится. В
разд. III.2 вводятся определяющие соотношения для углового мо-
момента. В разд. III.3 построены представления алгебры углового
момента. В разд. III.4 получен спектр ротатора, который сравнива-
сравнивается со спектром двухатомной молекулы. В разд. III.5 содержится
изложение основного предположения о физической комбинации
двух нетождественных квантовомеханических систем и обсуждается
приложение этого предположения к описанию колеблющихся и вра-
вращающихся двухатомных молекул.
III. 1. ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ УРОВНЯМИ
КОЛЕБЛЮЩИХСЯ МОЛЕКУЛ. ОГРАНИЧЕННОСТЬ
ОСЦИЛЛЯТОРНОЙ МОДЕЛИ
Квантовомеханическая система в некотором стационарном состоя-
состоянии (например, собственное состояние энергии Лл двухатомной мо-
молекулы (осциллятора)) остается в этом состоянии до тех пор, пока
на нее не подействуют внешние силы. На практике на любую кван-
товомеханическую систему действуют слабые внешние силы, такие
как внешние электромагнитные поля или внутренние электромаг-
электромагнитные поля, возникающие из-за движения зарядов внутри систе-
системы. Под действием таких сил состояние подвержено изменениям.
Если система имеет дискретный набор состояний (например, энер-
энергетические уровни осциллятора), то слабое внешнее возмущение не
изменяет этих состояний (точнее, изменяет уровни на пренебрежи-
пренебрежимо малую величину), но система может скачком переходить из од-
одного состояния в другое.
Теория таких переходов, которая может быть развита исходя из
основных предположений квантовой механики, изложена в гл. XIV
и XXI. Здесь мы приведем лишь несколько полуклассических аргу-
аргументов и конечный результат, который будет нами использован
для получения частот переходов и выведения правил отбора.
Энергетические спектры некоторых молекул 151
Мы принимаем здесь как эмпирический факт, что под влиянием
всегда присутствующих внешних возмущений в квантовой системе
могут происходить переходы из одного собственного состояния
энергии с энергией Еп в другое с энергией Ет с выделением или по-
поглощением разности энергий
Е — Е
в виде электромагнитного излучения, представленного световым
квантом, или фотоном, с частотой
Е — F Е — F
^zm zlг*" п п
v п п
h 2nn
Если электромагнитное поле имеет частоту vnm, то квантовомеха-
ническая система может поглотить фотон этой частоты и скачком
перейти из состояния с энергией Еп в состояние с энергией Ет.
С другой стороны, если квантовая система находится в возбужден-
возбужденном состоянии Еп (состояние с более высокой энергией, чем основное
состояние), она может излучить фотон с частотой vnm и перейти в
состояние с более низкой энергией Ет.
Переходы между двумя состояниями не могут происходить, ес-
если матричный элемент оператора смещения зарядов системы D
между двумя этими состояниями равен нулю1*. Отметим также,
что вероятность такого перехода, а следовательно, и интенсив-
интенсивность испущенного (поглощенного) электромагнитного излучения
пропорциональна квадрату модуля матричного элемента.
Чтобы проиллюстрировать это, вернемся к нашей классической
модели двухатомной молекулы. Если молекула состоит из нетож-
нетождественных атомов (например, молекула СО), то она обладает
электрическим дипольным моментом, поскольку центры, где рас-
расположены положительный и отрицательный заряды, не совпадают.
Дипольный момент — это вектор, направленный от центра отри-
отрицательного заряда к центру положительного заряда; он дается вы-
выражением
D = yd,
где q — заряд, a d — расстояние между центрами зарядов. Посто-
Постоянный дипольный момент молекулы Do направлен вдоль оси, сое-
соединяющей ядра.
' Это утверждение применимо только для случая дипольного излучения. Могут
иметь место квадрупольное излучение или излучение высших мультиполей даже для
молекул, дипольный момент которых равен нулю, но интенсивность такого излуче-
излучения пренебрежимо мала.
152 Глава III
Если межатомное (межъядерное) расстояние меняется, изменит-
изменится и дипольный момент, и с хорошей точностью можно предполо-
предположить, что дипольный момент является линейной функцией откло-
отклонения межатомного расстояния от равновесного значения:
D = Do + qx. A 2)
Следовательно, дипольный момент изменяется вместе с частотой
механических колебаний. Колеблющиеся заряды излучают электро-
электромагнитное поле, и, согласно классической электродинамике, испу-
испущенный свет должен иметь частоту, равную частоте осциллятора,
т. е.
где о = Vк/т — угловая частота классического осциллятора (см.
(П.2.8)).
Если молекула состоит из двух тождественных атомов (напри-
(например О2, N2), то дипольный момент равен нулю, поскольку центры
положительного и отрицательного зарядов совпадают и колебания
молекулы около положения равновесия не приводят к колебаниям
центров зарядов. Испускания или поглощения электромагнитного
излучения не происходит.
Обратимся теперь к случаю квантовомеханической молекулы.
С точки зрения квантовой теории испускание излучения происходит в
результате перехода осциллятора из состояния с большей энергией
в состояние с меньшей энергией, а поглощение имеет место при об-
обратном процессе. Частота излученного света дается формулой
A.1):
v -
Интенсивность испускания, в классическом случае пропорциональ-
пропорциональная усредненному по времени (за период) квадрату дипольного мо-
момента D, в квантовой теории пропорциональна квадрату модуля
матричных элементов перехода
<m|D|»> = Dmw, A.4)
где D — дипольный оператор, полученный из A.2) обычной проце-
процедурой замены числа х оператором Q:
D = D0 + gQ A.5)
Энергетические спектры некоторых молекул 153
Вероятность перехода (интенсивность) Атп спонтанного дипольно-
го излучения1) при переходе из состояния с энергией Еп в состояние с
энергией Ет дается выражением2)
4
Km = ^3W»m|DMJ2, A.6)
где озтп = (Еп — Em)/hf с — скорость света и
A.7)
Оператор D дается формулой A.5), Лп — проекционный оператор
на собственное пространство оператора энергии с собственным зна-
значением Еп, a dim(AnJ^)— размерность этого собственного про-
пространства. Индексы /х и v того же рода, что к к в (II.4.35); они
обозначают различные векторы внутри собственных пространств
оператора энергии Ат Ж к АпЖ
Поскольку мы сейчас не столько интересуемся величиной интен-
интенсивности, сколько теми случаями, когда она равна нулю, точная
формула для вероятности перехода не является сейчас нашей перво-
первоочередной заботой. Выражение A.6) может быть выведено с ис-
использованием общего формализма, развитого в гл. XXI. Для част-
частного случая одномерного гармонического осциллятора мы заменя-
заменяем вектор дипольного момента и радиус-вектор одномерными ве-
величинами D и Q, и выражение A.7) заменяется выражением
\{m\D\n)\2.
Для многих квантовомеханических систем большинство матрич-
матричных элементов D равно нулю, так что существуют очень серьезные
ограничения на возможные переходы. Правила, устанавливающие
такие ограничения, называются правилами отбора. Чтобы опреде-
определить, какие переходы могут на самом деле иметь место для гармо-
гармонического осциллятора, необходимо вычислить матричные элемен-
элементы
<m|D|n> =<7<m|<2|n>. A.8)
Матричные элементы оператора координаты между собственными
состояниями оператора энергии уже вычислялись (см. выражение
!) Вероятности индуцированного излучения и поглощения также пропорциональ-
пропорциональны IDmJ2 и интенсивности первичного излучения.
2) Это выражение может быть получено с использованием полуклассических со-
соображений или формализма гл. XXI.
154 Глава III
(II.7.3); они равны
<m\Q\и> = /~у- (ч/и </и|п - 1 > + v /ГТТ </и|п + 1». A.9)
Таким образом, мы видим, что вероятность перехода, а следова-
следовательно, интенсивность излученного или поглощенного света равна
нулю во всех случаях, кроме случая, когда квантовые числа пит
различаются на единицу. Следовательно, правило отбора для гар-
гармонического осциллятора имеет вид
п — т = ±
0.10)
Переходы в гармоническом осцилляторе возможны только между
соседними уровнями энергии. Частота излученного (при Еп > Ет)
или поглощенного (при Еп < Ет) света дается, согласно A.1) и
A.10), формулой
£„ — Ет hv) _ ,. ,_ о
Следовательно, с точки зрения квантовой теории частота излучен-
излученного света равна частоте ы/2тг осциллятора и не зависит от номера
энергетического уровня я. Подобные же аргументы применимы и
для случая поглощения. Таким образом, в частном случае кванто-
вомеханического гармонического осциллятора мы видим, что ча-
частота излученного и поглощенного света такая же, как для класси-
классического осциллятора.
Если вернуться к диаграмме уровней энергии гармонического ос-
осциллятора (см. рис. II.4.3), мы можем обозначить разрешенные пе-
переходы вертикальными стрелками (рис. 1.1). Все эти переходы со-
соответствуют одинаковой частоте. Это является следствием равно-
удаленности энергетических уровней друг от друга.
Для двухатомной молекулы, состоящей из двух одинаковых
атомов (например О2), оператор дипольного момента A.5) является
нулевым оператором, и, следовательно, переходов между различ-
различными энергетическими уровнями не происходит.
Обратимся теперь к сопоставлению наших теоретических ре-
результатов с экспериментальной ситуацией.
Чтобы понять, какой частоты нам следует ожидать, обратимся
сначала к энергетическому спектру поглощения молекул СО (см.
рис. II.4.2). По известному расстоянию между пиками в спектре по-
поглощения мы находим, что разность энергий соседних уровней ко-
Энергетические спектры некоторых молекул
155
Рис. 1.1. Дипольные переходы между уровнями энергии гармонического осцилля-
осциллятора.
леблющейся молекулы СО равна
АЕ = 0,265 эВ. A.12а)
Если вычислить частоту по формуле A.11), то мы найдем
АЕ
2тгЛ
0,265 эВ
2тг "б758~-~10-16эВ" с
-— = 6,4 ■ 1013 с-1, A.126)
v = - = 0,466 • 10~3 см = 4,66 мкм
A мкм = Ю-4 см; 1 А = 10~8 см = 10~4 мкм).
В молекулярной спектроскопии принято выражать частоту не в
с, а в см, т. е. использовать вместо частоты v волновое число
v/c = 1/Х, которое равно числу длин волн на 1 см. Мы не будем
вводить для него новое обозначение, но будем по-прежнему обозна-
обозначать это число через v, а единица измерения будет указывать, что
имеется в виду. Частота в см, или волновое число, излучения, ис-
испущенного при переходе между колебательными уровнями молеку-
молекулы СО, равна, следовательно,
v = 2140 см
-1
AЛ2г)
Таким образом, из спектра в эксперименте с потерей энергии моле-
молекулами СО мы ожидаем, что колеблющиеся молекулы СО могут
испускать или поглощать только излучение с частотой A.12), т. е.
мы ожидаем появления единственной спектральной линии в ближ-
156
Глава III
Энергия Частота
Е, эВ v, с'1
5 х 10* 1,2 х 109 -
3,1 х 10 7,5 х 10"-
5 х Ю1 1,2 х Ю'3-
0,5
1,55
3,1
6,2
1240
1,2 x 10** -
3,8 x 10'* -
7,5 x 10'*-
1,5 х Ю';
3 x 10'7
1,24 х 10* 3 х 10'
Переходы Излучение
Ядерный, лтагнит- ■ Радиоволны
mm резонанс
Ориентация
спина в лигнит-
ном поле
Эпрктроннып Микроволны
спиновый (радиолока-
резонанс ция)
Молекулярные
вращения
Волновое число Длина волны
, саг'1 X, см
- 4 х Ю 25
Молекулярные Инсрракрас-
колешния ноя область
Видимый.
свет
Переходы вален-
тных электронов
Ультрафи-
Ультрафиолет
Переходы
электронов
с внутренних
оболочек
Рентгеновс-
Рентгеновские лучи
Ядерные Гамма -
переходы лучи
- 25
- 400
- 4000
- 12,5 x 10J
- 25 x 10J
- 50 x 10J
- 107
4 x 10~J
2,5 x 10"
2,5 x 10
8 x 10'
4 x 10'
10
ю -■
Рис. 1.2. Схема электромагнитного спектра. Обратите внимание на то, что шкала
нелинейна. Границы между областями весьма условны.
ней инфракрасной области1 >. Если мы проверим соответствие этого
утверждения спектру поглощения или спектру испускания, то убе-
убедимся, что оно действительно справедливо. Если спектр поглоще-
поглощения получается при использовании тонкого слоя поглощающего га-
газа, то обнаруживается только одна широкая яркая линия (или по-
0 Чтобы дать представление о порядке величин, возникающих в молекуляр-
молекулярной спектроскопии, мы приводим на рис. 1.2 таблицу областей электромагнитного
спектра.
Энергетические спектры некоторых молекул 157
я = 1
я = 2 п = 3 я = 4 n = 5
J ■
г
О 5000 10000 Vf см~ Г
Рис. 1.3. Схематическая структура инфракрасного спектра НС1. На самом деле ин-
интенсивность убывает в пять раз быстрее, чем это показывают высоты вертикальных
линий [14].
лоса) поглощения в ближней инфракрасной области с длиной волны
вблизи X = 4,66 мкм. Для других двухатомных молекул, состоящих
из двух различных атомов, имеет место такая же ситуация; напри-
например, для молекулы НС1 упомянутая полоса возникает при X = 2,46
мкм. Обнаруживается также, что такая полоса не возникает для
молекул, состоящих из одинаковых атомов, таких, как О2, N2, Н2.
Если поглощение изучается на менее тонких слоях газа, то,
естественно, интенсивность основной полосы возрастает и, кроме
того, появляется очень слабая полоса такой же формы на длине во-
волны, приблизительно вдвое меньшей (частоте или волновом числе
вдвое больших), чем для основной полосы. Если толщина слоя воз-
возрастает еще больше (вплоть до нескольких метров при атмосфер-
атмосферном давлении), то появляются третья и, возможно, даже четвертая
и пятая полосы, длины волн которых равны соответственно одной
третьей, одной четвертой и одной пятой длины волны первой по-
полосы, т. е. их частоты в три, четыре и пять раз больше исходной.
На рис. 1.3 схематически изображен полный инфракрасный спектр
НС1. На этом рисунке высота вертикальных линий, обозначающих
полосы, иллюстрирует их интенсивность. Однако в действительно-
действительности падение интенсивности происходит в пять раз быстрее, чем это
изображено на рисунке.
Объяснение появления этих дополнительных полос состоит в
том, что двухатомная молекула не является идеальным гармониче-
гармоническим осциллятором. В гармоническом осцилляторе возвращающая
сила неограниченно возрастает при увеличении расстояния от точки
равновесия. Понятно, однако, что, если для реальной молекулы
атомы находятся очень далеко друг от друга, сила притяжения
равна нулю. Следовательно, квантовомеханический гармонический
осциллятор является лишь упрощенной моделью колеблющейся мо-
158
Глава III
лекулы; если требуется описание более тонких свойств таких моле-
молекул, необходимо учитывать и ангармонические силы. Уровни энер-
энергии ангармонического осциллятора не являются, как в случае гар-
гармонического осциллятора, эквидистантными: расстояние между ни-
ними медленно убывает с возрастанием п.
Уровни энергии и спектр поглощения для ангармонического
осциллятора, являющегося почти гармоническим, показаны на
рис. 1.4. (Для большей наглядности расстояние между уровнями
АЕ показано убывающим быстрее, чем это происходит для боль-
большинства реальных случаев.) Правило отбора A.10) п — т = ± 1
для ангармонического осциллятора выполняется лишь приближен-
приближенно и применимо только для наиболее интенсивных переходов.
Вместе с ними могут появляться также переходы с п — т = ±2,
± 3, ..., хотя и с быстро убывающей интенсивностью. Все эти ре-
результаты можно получить, используя теорию возмущений, кото-
которую мы рассмотрим в гл. VIII. Здесь мы описываем эти факты,
чтобы продемонстрировать, что простые решаемые квантовомеха-
нические модели, такие, как гармонический осциллятор, описывают
лишь главные черты микрофизических систем, встречающихся в
природе, и что от них нельзя ожидать описания всех деталей. Этот
факт нельзя считать недостатком модели гармонического осциллято-
осциллятора: это общая ситуация для физических теорий. Модели являются
лишь идеализациями, и от них нельзя ожидать воспроизведения экс-
экспериментальных результатов с точностью до последнего знака.
Сдвиг на одну позицию вправо в десятичной записи эксперименталь-
экспериментально измеренной величины часто требует привлечения новой модели, а
иногда и совершенно новой теории.
t
Рис. 1.4. Уровни энергии и инфракрасные переходы ангармонического осциллятора.
Внизу схематически показан спектр поглощения.
Энергетические спектры некоторых молекул 159
\ R-ветвь
2220 2180 2140 2100 2060 CMI
Рис. 1.5. Колебательно-вращательная полоса монооксида углерода.
Мы убедимся в этом, если рассмотрим частоты переходов в
ближней инфракрасной области более детально, используя спектро-
спектрометр с достаточно большим разрешением. Широкая спектральная
линия для молекул СО вблизи v = 2140 см разрешается тогда в
набор отдельных узких линий (рис. 1.5). Таким образом, вблизи
v = 2140 см имеет место не одиночная линия, а полоса, которая
называется колебательно-вращательной. Как видно из рисунка, эта
полоса состоит из серии почти эквидистантных уровней, причем
одна линия в центре полосы отсутствует. По одну сторону от ми-
минимума находится Р-ветвь (в сторону больших длин волн), по
другую — /?-ветвь (в сторону меньших длин волн). Рис. 1.6 ил-
иллюстрирует тот же эффект для линии п = 1 (см. рис. 1.3) молекулы
НС1.
Такой тонкой структуры спектров испускания и поглощения
электромагнитного излучения молекулами СО можно ожидать в
том случае, когда уровни энергии колеблющейся молекулы (см.
рис. 1.1) разбиты на серии подуровней, как показано на рис. 1.7,
где изображены только два соседних уровня, приведенных на
рис. 1.1.
Описание этого расщепления в рамках модели осциллятора не-
невозможно. Это означает просто, что состояние, характеризуемое
квантовым числом п, не является чистым состоянием, а является
смесью состояний с различными энергиями. Вместе с тем для ос-
осциллятора состояние с индексом п было чистым состоянием, опи-
описываемым проекционным оператором Ап на одномерное подпро-
подпространство, порожденное фп, а именно AnJ^. Состояние двухатомной
молекулы, характеризуемое квантовым числом п, должно иметь
размерность, равную, как минимум, числу энергетических уровней
(если число энергетических уровней равно этой размерности, то
каждому собственному значению энергии отвечает одномерное под-
подпространство или проектор на одномерное подпространство). Поэ-
Поэтому модель осциллятора описывает лишь часть свойств двухатом-
двухатомной молекулы, и, чтобы описать более тонкие детали спектра, не-
Р-ветвь
Рис. 1.6. Основная полоса поглощения НС1 при высоком разрешении [12]. (Линии удваиваются из-за наличия двух изотопов
C13S и О37 в отношении 3:1; мы не будем здесь обсуждать этот эффект.)
Энергетические спектры некоторых молекул
161
я» I
Энергия основного
ОСцилляторного состояния
Энергия верхнего
осцилляторного состояния
Рис. 1.7. Происхождение и характер вращательной структуры [13]. Р- и /?-ветви по-
показаны соответственно слева и справа. На спектрометре изучается основная полоса
поглощения СО при 2144 см~]. Q-ветвъ (штриховая линия) отсутствует. Энергетиче-
Энергетические уровни изображены в масштабе, но расстояние между верхним и нижним вра-
вращательными состояниями B144 см~]) должно быть примерно в пять раз больше,
чем на рисунке.
обходимо дополнить модель осциллятора другой моделью, кото-
которая описывает эти тонкие свойства и отражает дополнительные
свойства двухатомной молекулы, которые до сих пор мы не учиты-
учитывали. Эта новая модель — модель ротатора.
Если мы снова обратимся к классической модели молекулы СО,
рассматривая ее как два атома с массами тх и т2, находящиеся на
расстоянии х друг от друга, то мы увидим, что в этой классичес-
классической системе возможны не только колебания вдоль оси х, но и вра-
вращения в трехмерном пространстве вокруг ее центра масс. Пока си-
система находится в основном состоянии по отношению к колеба-
колебательному движению, т. е. пока характерная энергия не превышает
0,26 эВ для молекулы СО, она является жестким ротатором, т. е.
может рассматриваться как состоящая из двух материальных точек
с массами т, и т2, закрепленных на концах невесомого стержня
длины х. Исходя из этого, мы сначала рассмотрим отдельно мо-
модель жесткого ротатора. Это даст нам описание состояний молеку-
молекулы СО, отвечающих квантовому числу п = 0, а также позволит
дать приближенное описание любого набора состояний, отвечаю-
отвечающих заданному колебательному квантовому числу п. Тогда мы уви-
увидим, как эти две модели объединяются и образуют колеблющийся
ротатор, или вращающийся осциллятор.
■1R1- 11
162 Глава III
III.2. ЖЕСТКИЙ РОТАТОР
Чтобы построить математический образ (алгебру операторов) для ро-
ротатора, мы поступим так же, как при рассмотрении осциллятора.
Рассмотрим классический ротатор и заменим три компоненты им-
импульса pt и три компоненты координаты xt во всех выражениях
операторами Р( и Qjt подчиняющимися коммутационным соотно-
соотношениям
[Pi, Qi) = j ди1, [Qi, QJ\ = 0, [Pi, Pj] = 0 B.1)
(djj = 1 при / = j и 6/V = 0 при / Ф j; i, j = 1, 2, 3). Это очевидное
обобщение соотношения (II.2. la) на трехмерный случай.
В классической механике энергия Е вращения твердого тела
имеет вид
B.2)
Здесь ш — угловая скорость вращения1 >, а I — момент инерции си-
системы относительно оси вращения. Угловая скорость связана с чис-
числом оборотов в секунду vTOt (частотой вращения) соотношением
ш = 2ж1>1ОХ. B.3)
Угловой момент системы равен I = D • а>. Подставляя это выра-
выражение в формулу B.2), получаем для энергии выражение
Момент инерции относительно оси вращения для модели ротатора
равен
где I
r^-^—x, r2= mi х B.5)
mi + m2 mi + mi
есть расстояние от масс т, и т2 до центра масс С, а х — расстоя-
расстояние между массами (рис. 2.1). Подстановка дает
х2, B.6)
ттг
AW2
''Мы используем для угловой скорости вращения тот же символ ш, который
применялся в гл. II для угловой частоты колебаний.
Энергетические спектры некоторых молекул
163
Рис. 2.1. Модель гантели для двухатомной молекулы.
т. е. момент инерции относительно оси вращения такой же, как для
материальной точки с массой
т,т-
mx + m2
B.7)
находящейся на расстоянии х от оси; ц называется приведенной
массой молекулы.
Следовательно, вместо того чтобы рассматривать жесткий ро-
ротатор, мы можем с тем же успехом изучать вращение одной мате-
материальной точки с массой у, и координатами xjf где вектор X = (*,,
х2, хъ) есть радиус-вектор материальной точки д, имеющий начало
в точке центра масс С. Если мы обозначим импульс материальной
точки (I в этой системе координат через р = (/?,, р2, р3), то угло-
угловой момент относительно точки С будет равен
I = х х р,
так что его компоненты даются выражением
h — Zj £ijkxjPk = eijkxjPk-
B.8)
B.9)
В этом выражении eiJk = + 1 для (ijk) = A 2 3) и каждой четной
перестановки индексов и eiJk = - 1 для каждой нечетной их пере-
перестановки. С этого момента мы принимаем, что наличие двух оди-
одинаковых индексов, если это не оговорено особо, означает суммиро-
суммирование по этим индексам от 1 до 3.
Операторы, отвечающие соответствующим квантовомеханиче-
ским наблюдаемым, получаются тогда, согласно нашему общему
принципу, заменой дг;., р. на Qit Pj, для которых выполнены соот-
соотношения B.1). Так, для оператора углового момента имеем
L = Q х Р,
или
B.10)
164 Глава III
а оператор энергии, согласно B.4), дается выражением
н = ir L* = ir.?!L|L| = irL|L<> BЛ1)
Поскольку Qy и^ — эрмитовы операторы, операторы L, и Н так-
также эрмитовы:
L] = eijkPlQ] = wPkQj = wQjPk = U B.11a)
Из гейзенберговских коммутационных соотношений B.1) полу-
получаем коммутационные соотношения для операторов L;, отвечаю-
отвечающих компонентам углового момента. Вычисление производится
следующим образом:
= eijkelmn(Qj\_Pk,
= -Uijk^lknQjPn - (-ijkf-lmjQmPk)-
Переобозначая индексы, по которым производится суммирование,
мы можем переписать это выражение в виде
h _ _ _ . h .
{imklknQmn iknlmkQmn) Л^тк^Ш + ^ink^klm)QmPn- B-12)
Воспользуемся теперь легко проверяемым свойством символа ejmk:
(■imk^knl = dindml — &mn&il- B.13)
Записывая второе слагаемое в B.12) в форме B.13):
CinkCklm — дц<>пт — &im&nli
и складывая это выражение с B.13), получаем
eimkeknl + £inkeklm = ^in^ml ~ ^im^nl = ~eilk€kmn-
Энергетические спектры некоторых молекул 165
Последнее равенство снова следует из B.13). Подстановка этого
выражения в B.12) дает
[Ь^Ц] = iheiXkekmnQmPn.
Если мы используем в правой части определение B.10) компонент
момента Ljt то получим коммутационные соотношения для опера-
операторов компонент углового момента Lt:
[Li, L{] = iheiXkLk.
B.14)
Мы получили коммутационные соотношения B.14) для операто-
операторов углового момента B.10) из гейзенберговских коммутационных
соотношений B.1). Выражение для оператора энергии B.11) не со-
содержит операторов Р( и Qt явно; то же справедливо и для любых
физических наблюдаемых, связанных с ротатором. На самом деле
операторы Р( и Qi являются нефизическими наблюдаемыми для
квантовомеханического ротатора в следующем смысле: квантово-
механический ротатор невозможно приготовить таким образом,
чтобы он находился в обобщенном собственном состоянии опера-
операторов импульса или координаты. Следовательно, для ротатора
фундаментальными физическими наблюдаемыми являются опера-
операторы Ljf подчиняющиеся коммутационным соотношениям B.14), а
тот факт, что их можно получить из коммутационных соотноше-
соотношений для операторов координаты и импульса, можно не принимать
во внимание. На самом деле операторы Ljt определенные в B.10)
или классические величины /, в B.9) являются частным случаем
наблюдаемых, связанных с новыми степенями свободы физических
систем, рассматриваемых в трехмерном пространстве.
Физический объект, рассматриваемый в трехмерном физическом
пространстве, имеет шесть степеней свободы: три трансляционные
степени свободы, описываемые тремя координатами *,-, и три вра-
вращательные степени свободы, описываемые вращением R(a, /3, 7)»
зависящим от трех углов а, /3, у (например, трех углов Эйлера или
трех углов вращения вокруг фиксированных осей координат). Им-
Импульс Pj является канонической переменной, сопряженной координа-
координате л\, а канонической переменной, сопряженной угловой координате
а,, является угловой момент 1Г
Если забыть о составных частях двухатомной молекулы и рас-
рассматривать эту гантель как цельную физическую систему, центр
масс которой находится в некоторой фиксированной точке про-
пространства, то остающимися степенями свободы являются враще-
вращения на три угла, а динамическими переменными — сами углы и со-
166 Глава III
пряженные им угловые моменты /;.. В рассматриваемом частном
случае величины /, получают из импульсов и координат составных
частей, которые предполагаются массивными материальными точ-
точками, не обладающими вращательными степенями свободы.
В общем случае для классической протяженной структуры в
трехмерном физическом пространстве соответствующими перемен-
переменными являются компоненты импульса р( и компоненты углового
момента (спина) sjf которые являются переменными сопряженными
координатам xt и угловым координатам а, соответственно. Для
случая, когда протяженный физический объект имеет форму ганте-
гантели, спин Sj есть орбитальный угловой момент двух ее составляю-
составляющих /. = eukxjpk.
Для квантовофизической протяженной частицы импульс реали-
реализуется оператором Pjf а спин — оператором Sr Теперь естественно
предположить, что определяющие коммутационные соотношения
для компонент спина имеют вид
[Si, Sj) = iheukSk. B.15)
Для частного случая спина гантели такие соотношения B.14) выве-
выведены исходя из уже подтвержденных соотношений B.1). Соотноше-
Соотношение B.15) может быть выведено также, если использовать свойства
группы вращений, предположив, что вращению физического объек-
объекта R(oc, 0, 7) сопоставляется (непрерывным образом) оператор
(унитарный) U(а, 0, у), действующий в пространстве физических
состояний квантовомеханической системы. Это последнее предпо-
предположение можно вывести из того факта, что вращения являются
преобразованиями симметрии, а группа вращений — группой сим-
симметрии физической системы (теорема Вигнера). Мы не будем здесь
обсуждать эту связь, а рассмотрим алгебру наблюдаемых, опреде-
определенную в B.15), в качестве отправной точки.
Исследуем теперь свойства алгебры операторов, генерированной
операторами Jjf для которых выполняются коммутационные соотно-
соотношения
СУ/, Л] = iheuaJ, A, к, I = 1, 2, 3), B.16)
где роль У, могут играть либо L,, как в B.10), либо S,. В частности,
мы исследуем свойства всех операторов У,, являющихся линейными
эрмитовыми операторами в линейном пространстве. Окажется, что
набор всевозможных У, шире, чем набор операторов Ljt подчиняю-
Энергетические спектры некоторых молекул 167
щихся соотношениям B.10). Алгебра, генерируемая операторами Jjf
называется обертывающей алгеброй группы SUB) и обозначается
Ш.З. АЛГЕБРА УГЛОВОГО МОМЕНТА
Найдем теперь все возможные решения уравнений B.16), удовлет-
удовлетворяющие условию J] = Jr Это означает, что мы построим все ли-
линейные пространства, в которых Jjf удовлетворяющие B.16), дейст-
действуют как линейные эрмитовы операторы. Мы предположим, что в
этих пространствах имеется хотя бы один собственный вектор опе-
оператора J3.
Вместо того чтобы работать с операторами УД/ =1,2, 3), вве-
введем следующие линейные комбинации:
#з = й ~ 7з, Я+ = /Г tyi + U2), Н. = /Г Vi - iJi). C.1)
Условие эрмитовости J] = Ji означает, что
Hi = Hif М- = я_ , #t = Я + . C.2)
Тогда из B.16) следует
[Я3, Я±] = ±Я±,
C>3)
Оператор J2 можно тогда записать в виде
J2 = Й2Н2, C.4)
где ,
Н2 = Н+Н. + Hi - Я3 = Н-Н+ +Н1 + Яз. C.5)
Операторы Н2, а следовательно, и J2 обладают следующим свойст-
свойством:
[Н2, Я3] = 0, [Н2, Я±] = 0, C.6а)
п Операторы /,• называются генераторами группы SUB); это означает, что каж-
каждый элемент группы можно записать в виде eiuJJj. Коммутационные соотношения
для групп SUB) и SOC) одинаковы. Следовательно, можно использовать как символ
<? (SOC)), так и символ <? (SUB)). В общем случае обертывающая алгебра для произ-
произвольной (операторной) группы Ли определяется кг.к ассоциативная алгебра, генера-
генераторы которой являются генераторами группы Ли (в смысле определения A.3.13)).
168 Глава III
или в общем случае
[Н2, /4] = 0, C.66)
где А — любой элемент вида
А = al + JJt + a^JiJj + a^JtJjJb + ■■-, C.7)
где a, a', av, a'Jk — комплексные числа. Из-за свойства C.6) опера-
операторы Н2 и J2 называются инвариантными операторами {операто-
{операторами Казимира) алгебры tf(SUB)).
Найдем теперь все лестничные представления алгебры
<?tSUB)), т. е. все решения коммутационных соотношений B.16),
даваемые линейными операторами в линейных пространствах, ко-
которые получаются действием на один собственный вектор опера-
оператора Щ всей алгебры <?tSUB)). (Существование такого собственно-
собственного вектора предполагается.)
Рассмотрим теперь вектор/ = /°, являющийся собственным век-
вектором оператора Н2 с собственным значением с:
Н2/ = с/. C.8)
Так как оператор Н2 коммутирует со всеми А вида C.7), А/ также
является собственным вектором Н2 с собственным значением с.
Доказательство: WAf = АИ2/ = сА/.
Рассмотрим теперь такой вектор /, который является также соб-
собственным вектором оператора Нъ с собственным значением т.
Нормированный собственный вектор обозначим fm = fcm:
HJm = mfm, (JmJJ = 1. C.8')
(Jm называется весовым вектором', т называется весом).
Выбрать такой собственный вектор, который является одновре-
одновременно собственным вектором двух операторов, возможно тогда и
только тогда, когда эти два оператора коммутируют, так как тогда
что благодаря C.8) и C.8') является тождеством. Заметим, что ес-
если два оператора не коммутируют, то в общем случае у них нет
общего собственного вектора (см. задачу 7).
Определим теперь
fm ± — Н ± fm
Энергетические спектры некоторых молекул 169
и вычислим, используя C.3),
H3fm± = H3H±fM = (Я±Я3 ± H±)fm
= (Н±т ± H±)fm = {m± \)H±fm <3'9)
Таким образом, если вектор fm± отличен от нуля, то он является
собственным вектором оператора Нъ с собственным значением
т ± 1.
Отметим некоторые свойства векторов fm.
1. Число с неотрицательно. Доказательство:
С = (/„,, H2/m) = b-2(fm< (Ji +Jl2 + ■/з)/»)
2. Для любого собственного значения т выполняется неравен-
неравенство
щ1^с- C.10)
Доказательство:
0<h-2{(JJm,Jlfm) + (J2fm,J2fm)}
= h-<{(fm,J2fm) - (fm.Afm)\ = h-2h2(c - m2)||/J|2,
откуда следует (с - т2) ^ 0.
Заметим, что в ходе доказательства была использована эрмито-
вость оператора У,.
Если начинать с произвольного собственного вектора fcmQ опера-
операторов Нъ и Н2 и последовательно действовать на него оператором
Я+, то в соответствии с C.9) получим новые собственные векторы
fc оператора Нг со все возрастающими собственными значениями.
Вследствие неравенства C. 10) после конечного числа шагов мы дол-
должны получить собственный вектор J) с наибольшим собственным
значением / оператора Hv т. е.
fU =н+л = о. (З.п)
Тогда из C.5) следует
Н2// = Ш1 + Н3)Л = /(/ + i)f\. C.12)
170 Глава III
Следовательно, собственное значение с оператора Н2 и наибольшее
собственное значение / оператора //3 (максимальный вес) связаны
соотношением
с = 1A + 1).
Вместо того чтобы характеризовать собственные векторы операто-
операторов Н2 и #3 числами сит, мы можем характеризовать их числа-
числами / и т.
Если последовательно действовать на fm оператором Н_, то по-
после конечного числа шагов (вследствие C.10)) мы должны получить
вектор f'm с наименьшим собственным значением fi оператора Н3,
т. е.
/i_ = tf_/i = 0. C.13)
Тогда из C.5) следует
H2/i = (И2, - Я3)/1 = Mai - I)/,',. C.14)
Сравнивая C.14) и C.12), находим
/(/+ \) = i4ji- 1),
и единственным решением этого уравнения, для которого выполне-
выполнено C.10), является
/*= -'• C.15)
Таким образом, начиная с вектора f'm, действуя на него последо-
последовательно оператором Н_ и нормируя получающиеся векторы, по-
получаем последовательность векторов
C.16)
fm-l- («m) H-fm,
где ат определяется выражением
Энергетические спектры некоторых молекул 171
В конце концов мы дойдем до вектора с минимальным весом ц:
ftL = (aM+i)~ H-f^+i.
Поскольку \i — — /, последовательность C.16) насчитывает 2/ + 1
векторов
/i, с т = /,/- 1,/-2,...,-/+ 1,-/, C.17)
которые удовлетворяют условию
(fLflm)=Km-- C.18)
Поскольку 2/ + 1 равно числу векторов, это число должно быть
целым; следовательно, / может принимать одно из следующих зна-
значений:
/ = 0,^,1,1,... . C.19)
Таким образом, для фиксированного /— одного из чисел C.19) —
имеем 2/ + 1 векторов f'm ортогональных друг другу и порождаю-
порождающих пространство, которое мы назовем .0:
<&'= [/:/= S в"Л]. C.20)
Найдем теперь константы нормировки ат:
ama; = (Я. fm, Я. /J = (fm, Н+ Я_ /J.
= (/м, (Н2 -Н23 + H3)fm) = /(/ +1)-т2 + т.
Следовательно, с точностью до фазового множителя, остающегося
неопределен ны м,
am = Jl(l + 1) - т2 + т = ^(/ + т)A - т + 1), C.21)
и мы имеем
Я-Л = V(/ + "»Х/ - т + D/L-, = «туД.-1. C.22)
Остается найти H+fm. Мы уже знаем, что H+f'm ~ f'm+i- Поло-
Положим H+fm = 0т/'т+1 и вычислим
Pm(fm+ I' fm+ l) = W + fm<fm+ l) = Um-> "- fm+ l) = CCm+ \U mi J m)-
172 Глава III
•••*-т
-2 -1 0 +1 + 2
/= 2
Рис. 3.1. Пример весовой диаграммы для неприводимого представления группы
SUB).
Следовательно,
К = ост+1 = у/A + т + IX/ - т) = /?т,
и мы получаем
#и + l)/i +1 =ада + 1/^ + 1. C.23)
Суммируем сказанное: для любого целого или полуцелого значе-
значения / существует пространство &', порожденное 2/ + 1 ортого-
ортогональными векторами f'm(m = —/, ..., + /). В этом пространстве
операторы Н+, Н_, Нъ определены формулами C.8'), C.22), C.23)
соответственно, а с ними определено и действие любого элемента
А е /1[SUB)), определенного в C.7), на любой вектор /е №1 из
C.20). Чтобы показать, что для каждого / имеется свой оператор,
можно также писать W^> №!}, Щ^ для операторов в C.8'), C.22),
C.23). Пространство .<%* называется пространством неприводимо-
неприводимого представления алгебры <f(SUB)). В этом пространстве элемен-
элементы Н+, Н_, Нъ из C.3) реализованы операторами C.8'), C.22),
C.23). Эти операторы образуют B/ + \)-мерное неприводимое
представление операторов Н+, Н_, Нг. Как можно видеть, они
зависят от /; для каждого / = 0, 1/2, 1, ... существует "свой" набор
операторов. Все векторы в ЗР являются собственными векторами
оператора Н2 с одним и тем же собственным значением /(/ + 1). Не
существует такого элемента А е <^SUB)), который переводит век-
вектор /' е .ЗР вектор /'' е ЗР' при / Ф Г. Этот факт выражен утверж-
утверждением, что <^" есть пространство, "инвариантное относительно
действия всех А е ^\S\JB))". В частности, пространство !%* инвари-
инвариантно относительно действия операторов У((/ = 1, 2, 3) и операторов
И±,НУ
Если возможные значения т для неприводимого представления
нанести на числовую ось, мы получим весовую диаграмму SUB)
для представления, характеризуемого заданным значением /. Это
простейший пример весовых диаграмм для групп Ли. Весовая диа-
диаграмма для случая / = 2 приведена на рис. 3.1. Каждой точке соот-
соответствует базисный вектор fm в пространстве представления 0, или,
что эквивалентно, одномерное подпространство, порожденное /' .
Каждом такому подпространству (или базисному вектору) отвечает
Энергетические спектры некоторых молекул
173
Рис. 3.2. Весовая диаграмма одномерного представления группы SUB).
(чистое) физическое состояние. Таким образом, каждой точке весо-
весовой диаграммы отвечает чистое физическое состояние.
Пространство наименьшей размерности ^° является, как пока-
показано на рис. 3.2, одномерным.
В общем случае для каждого представления имеется весовая
диаграмма, и действие операторов Н+, Н_ отображается на этой
диаграмме, как показано на рис. 3.3. Каждой весовой диаграмме
соответствует пространство ^", и для каждого пространства &Р су-
существует возможное состояние (или набор состояний) квантовоме-
ханической системы, характеризуемое значением /. Благодаря соот-
соответствию между оператором L B.10) и классическим угловым мо-
моментом I B.8) число / называется квантовым числом углового мо-
момента:
L2/' =
1)/'.
Таким образом, квантовомеханический угловой момент может при-
принимать лишь дискретное число значений. Физическое состояние, со-
соответствующее заданному пространству ,^>/, которое описывается
статистическим оператором W = (dim^')~IA/ = B/ + 1)"^', где
Л' — проектор на пространство ^, имеет определенный угловой
Я7
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Рис. 3.3. Весовые диаграммы неприводимых представлений группы SUB).
174 Глава III
момент /. Кроме случая / = 0, это состояние является не чистым,
а смешанным. Приготовление чистого состояния требует не только
измерения L2, но также измерения L3 (или любой другой компоне-
компоненты вектора L). Если значение L3 всегда оказывается равным т, то
состояние является чистым и ему отвечает проекционный оператор
Лш = 'Лт^/т' на одномерное подпространство &Рт.
Пространство ЗР является прямой суммой одномерных про-
пространств .0т\
+ i
&l= S ®^'т, C.24)
т= -I
а каждое пространство .0т порождено вектором fm.
Выше упоминалось, что не все линейные операторы у. (/ = 1, 2,
3), удовлетворяющие соотношениям B.16), получены в B.10). Мож-
Можно доказать (задача 1), что для L. из B.10) число / может прини-
принимать только значения / = 0, 1, 2, ...; иными словами, операторы
Li из B.10) могут быть реализованы только операторами в про-
пространствах .0 с / = 0, 1, 2 Следовательно, для операторов из
B.10) существует счетное число "представителей" Lf* в пространст-
пространствах .0, инвариантных относительно действия L\'\ Но эти про-
пространства ЗР не являются инвариантными относительно действия
операторов Qy и Р.. Используя B.1) и определение B.10), немедлен-
немедленно получаем
[Lif Qj) = ihetjkQk,
[Li, Pj] = iheytPt C>25)
Такие операторы, как Р и Q, имеющие данные коммутационные со-
соотношения с L, называются векторными операторами. Из C.25)
следует
[L2, Qj] = iheijk(LiQk + QkLt) * 0,
так что действие Qj изменяет собственное значение /(/ + 1) опера-
оператора L2. Это означает, что оператор Qf может осуществлять пре-
преобразования из пространства .0 в пространство .0' с /' Ф I.
Операторы Lt в пространстве 0 с / = 1/2, 3/2, 5/2, ... или лю-
любая их прямая сумма
Г © .<%*
I полуцелое
Энергетические спектры некоторых молекул 175
не могут быть выражены как функции операторов <2( и Pt. Для
/ = 1/2 операторы L\l=x/2) называются спиновыми операторами.
Матрицы <т7 типа 2 х 2с матричными элементами 2(/^,1/2, ^1/2
называются матрицами Паули (задача 5I).
III.4. ВРАЩАТЕЛЬНЫЙ СПЕКТР
Как упоминалось выше, алгебра ^(SUB)) не содержит операто-
операторов, которые выводят вектор из заданного пространства .^*. Но
алгебра наблюдаемых квантовомеханического ротатора является
более широкой, чем </tSUB)); могут встретиться дополнительные
элементы, например алгебраические функции от У( и Pi или от У7 и
Qj. Например, наблюдаемые Q( обладают тем свойством, что они
осуществляют преобразование из заданного пространства 0 в со-
соседние пространства .^"+1 и
'х:
Qi\ &'^&'-1®&1+1, D.1)
но не в f^±n при л > 1. Мы докажем это в разделе, в котором
рассматривается четность.
Пространство физических состояний :# квантовомеханиче-
квантовомеханического ротатора является прямой суммой пространств ЗР\
00
Л = X ® &1- D.2)
/ = о
Прежде чем доказать это утверждение, мы хотим дать краткое
описание свойств пространства .#.
Пространство ■<%> не является пространством, на котором реа-
реализуется неприводимое представление алгебры углового момента
1} Реализация Ji, данная в C.8'), C.22), C.23) и C.1) для целых значений /, связа-
связана с представлением группы вращений SOC) с помощью операторов e'"lJl, e"*ljl,
е'а J* и их произведений, где е"* Ji отвечает вращению вокруг третьей оси на угол
ш3. Для полуцелых значений / генераторы Ji связаны не с групповым представлени-
представлением SOC), а с ее лучевым представлением. Поскольку, согласно постулату II, физиче-
физическим состояниям отвечают не векторы, а лучи, для квантовой физики важны не
только собственно групповые представления, но и лучевые представления. Таким
образом, в квантовой физике реализуются представления с любыми целыми и полу-
полуцелыми значениями /. Все эти представления являются представлениями "накрываю-
"накрывающей группы" SUB), которая вследствие этого была также названа (Е. Вигнером)
квантовомеханической группой вращений. Наличие полуцелых значений углового
момента является, таким образом, естественным следствием из основных предполо-
предположений квантовой механики. В терминах алгебры наблюдаемых это означает, что все
представления алгебры углового момента B.16) реализуются в природе.
176
Глава III
<f(SOC)). Оно называется пространством приводимого представ-
представления и разбивается, согласно D.2), на прямую сумму неприводи-
неприводимых пространств представления .0A = О, 1, 2, ... ). Операторы
Н+, Н_, //3, рассматриваемые теперь как операторы в большом
пространстве ^, преобразуют любой элемент заданного про-
пространства ЗР в элемент того же пространства 9$. Таким образом,
подпространства &1 пространства 9У "инвариантны" относитель-
относительно действия операторов Н+, Н_, Нъ и, следовательно, любого
Л е rf(SUB)). Оператор Н2, который в пространстве &Р сводится к
умножению на число /(/ + 1), имеет в 3? нетривиальный спектр,
а именно
спектр Н2 = {/(/ + 1), I = 0, 1, 2, 3,...}.
D.3)
Весовая диаграмма для представления, реализованного в про-
пространстве .#, приведена на рис. 4.1.
Дадим теперь обоснование утверждения D.2). Предположим,
что операторы /7 являются операторами углового момента L- =
= EijkQjPk; тогда, согласно утверждениям, сделанным в разд. III.3
и доказанным в задаче 1, допустимыми являются только целочис-
целочисленные значения /, т. е. пространство & содержит только подпро-
подпространства .Я* с / = 0, 1, 2, ... . Тот факт, что ш содержит только
^ с / = 0, 1, 2, .... следует из того, что для ротатора существуют
наблюдаемые (например, операторы <2-), осуществляющие, соглас-
согласно D.1), преобразования из ЗР в соседние подпространства ^+1 и
^*~1. То, что каждое подпространство 3$ появляется только один
раз, следует из того факта, что для описания ротатора не требует-
требуется дополнительных квантовых чисел; если бы какое-то подпро-
1
• • • 3 <
• • 2 A
II ° ■
1 I 1
> • •
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Рис. 4.1. Набор весовых диаграмм группы SOC), отвечающих неприводимому пред-
представлению группы SOC, 1) или ЕC).
Энергетические спектры некоторых молекул 177
странство .^*о появлялось два или большее число раз, то существо-
существовали бы два или более вектора fyO-), У^B), ... с одинаковыми
квантовыми числами /0, т и, для того чтобы различить эти векто-
векторы, потребовалось бы новое квантовое число. Но ротатор — это
как раз такая модель, в которой нет других диагональных наблю-
наблюдаемых, кроме углового момента (L2 и L3). (Другими словами, ре-
реальная физическая система эквивалентна ротатору только в той
степени, в которой для ее описания не требуется дополнительных
квантовых чисел; например, многоатомные (подобные симметрич-
симметричному волчку) молекулы не могут в общем случае описываться мо-
моделью ротатора, и даже для двухатомной молекулы модель рота-
ротатора дает лишь приближенное описание, не учитывающее никакие
их свойства, кроме вращательного движения гантели.) Таким обра-
образом, как обычно, оправдание D.2) состоит в том, что в природе су-
существуют физические системы, физические состояния которых опи-
описываются (с определенной точностью) пространством .$?.
[На математическом языке то же утверждение выглядит более
компактным: "Генерирующей спектр алгеброй ротатора является
6\ЕЪ). Алгебра S%E3) генерируется операторами L(, Q(, подчиняю-
подчиняющимися коммутационным соотношениям
[U, Lj] = ihtijkU, [U, Qj] = ih€UkQk, [Qt, Qj] = 0,
— частное пространство неприводимого представления алгебры
Каждой точке на весовой диаграмме 3? отвечает чистое состоя-
состояние, которое описывается одномерным подпространством @Рт (/, т
фиксированы), порожденным fm; (нормированному) статистическо-
статистическому оператору для чистого состояния W = Л^, где А'т — проектор на
■У?'т, отвечает квантовомеханическая система, для которой угловой
момент имеет определенное значение /, а третья компонента орби-
орбитального момента Н3 имеет определенное значение т. Поскольку в
пространстве не существует выделенного направления, а коорди-
координатная система выбирается произвольным образом, оператору Нъ
отвечает компонента углового момента вдоль произвольно выбран-
выбранного направления; эта величина называется также спиральностью.
Собственные значения оператора энергии на .^, т. е. энергетиче-
энергетический спектр ротатора, можно получить из B.11):
спектр Н = Е1 = 1й2/(/ + 1). D>4)
ИМ |2
178
Глава III
а
Рис. 4.2. Уровни энергии и инфракрасные пере-
переходы для жесткого ротатора: а — диаграмма
уровней энергии, б — результирующий спектр
(схематично) [14].
Следовательно, мы видим, что энергетические уровни зависят от /,
как это иллюстрирует рис. 4.2. Если мы сравним этот рисунок с
рис. 1.7, то увидим, что ротатор действительно имеет энергетиче-
энергетический спектр, позволяющий объяснить инфракрасный спектр двух-
двухатомных молекул.
В отличие от осциллятора для ротатора энергетические соб-
собственные пространства (т. е. пространства векторов с одинако-
одинаковым собственным значением энергии) не являются одномерными,
кроме случая / = 0, следовательно, состояние ротатора с опреде-
определенным собственным значением энергии Е{ (/0 Ф 0) не обязательно
является чистым. Если было проведено только измерение энергии,
которое дало значение Е{ , то статистический оператор равен
W — Л'о (ненормированный)
D.5)
или
W = (Тг Л'°)" 'Л'» = B/0 + 1)" 'Л'» (нормированный), D.5')
где Л'о — проектор на B/0 + 1)-мерное подпространство ^"°. При
измерении только энергии невозможно приготовить чистое состо-
состояние ротатора. Только при некоторых дополнительных условиях,
если в пространстве существует выделенное направление (напри-
(например, заданное внешним магнитным полем), можно приготовить со-
Энергетические спектры некоторых молекул 179
стояние с определенной спиральностью, т. е. чистое состояние Л|о .
Если была измерена только энергия ротатора, но не спиральность,
то состояния с различными спиральностями предполагаются имею-
имеющими одинаковый вес, поэтому для (ненормированного) статисти-
статистического оператора выбираем выражение
W = А'в = А'°/о + А'°_1о+1 + ... + Л& + ... + Л{». D.6)
Выражение D.6) является частным случаем выражений (II.4.32) и
(II.4.49).
Чтобы вычислить частоты света, которые могут излучаться
или поглощаться ротатором, необходимо знать правила отбора.
В нашем классическом описании ротатора мы можем рассматривать
его как вращающийся диполь с дипольным моментом D, причем
D = const Q. D.7)
где Q — вектор, соединяющий положительный и отрицательный
заряды. Тогда с классической точки зрения излучение является
следствием вращения этого электрического диполя. В квантовой
механике интенсивность испущенного или поглощенного излучения
пропорциональна квадрату модуля матричного элемента оператора
D, т. е. пропорциональна
\<fm-\Q\f'm>\2- D.8)
Следовательно, дипольное излучение может иметь место только
при переходах из состояний f'm, в состояния f'm такие, что матрич-
матричный элемент D.8) не равен нулю (квадрупольное и высшее мульти-
польное излучения пренебрежимо малы). В разделе, в котором рас-
рассматривается вопрос о четности, показано, что (как утверждалось в
D.1))
</£- \Qi\fL) = 0 кроме / = /' ± 1. D.9)
Таким образом, правило отбора для дипольного излучения ротато-
ротатора имеет вид
А/ = /-/'= +1.
D.10)
Если сравнить этот результат с экспериментальной ситуацией для
молекулы СО, изображенной на рис. 1.7, мы увидим полное со-
совпадение. Рис. 1.7 показывает не только переходы между состоя-
состояниями с различными значениями углового момента /, но также и
с различными значениями колебательного квантового числа п.
180 Глава III
Мы ожидаем также для двухатомной молекулы излучения, об-
обусловленного переходами между различными состояниями рота-
ротатора, отвечающими одному и тому же состоянию осциллятора
/7 = 0. Эти переходы (с поглощением) показаны на рис. 4.2
стрелками. Частота этого излучения, выраженная в единицах вол-
волнового числа см, получается делением A.1) на с и равна
Еи ~ E,
2ichc
Используя D.4) и D.10), вычисляем
4тсс1
где
h 2A + 1) = B2(l + 1).
Следовательно, спектр простого жесткого ротатора состоит из
серии эквидистантных линий, как это схематически изображено
в нижней части рис. 4.2.
Мы ожидаем, что частоты для чисто вращательных перехо-
переходов должны быть много меньше колебательных частот, поскольку
расстояния между вращательными энергетическими уровнями, как
это видно на рис. 1.7, много меньше расстояний между колебатель-
колебательными уровнями (отметим присутствие множителя 1/5).
Чисто вращательный спектр лежит в далекой инфракрасной об-
области. Спектр поглощения молекулы НС1 в далекой инфракрасной
области был измерен, и экспериментальные результаты приведены
во втором столбце табл. 4.1. Согласно формуле D.11), мы ожида-
ожидаем эквидистантного частотного спектра. Поэтому в третьем столб-
столбце приведены значения разностей соседних частот. В соответствии
с D.11) эта разность должна быть равна
Av = v,+ 1>/ - vu_, = 2В. D.12)
Первые одиннадцать частот находятся на примерно одинаковом
расстоянии друг от друга, и пользуясь формулой D.11), получаем
-;— * Ю.35 см "'. D.13)
С1НС1
Энергетические спектры некоторых молекул
181
Таблица 4.1. Спектр поглощения НС1 в далекой инфракрас-
инфракрасной области. Данные для / = 1, 2, 3 из работы [15], для
1 = 4, .., 11 из [16], для / = 17 33 из [17]. Частота v
в единицах см.
1 "'"'.'набл А"набл "выч =
20,70/
"выч = 20,88/
-0.О01873/3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
20.8
41.6
62.5
83.03
104.13
124.73
145.37
165.89
186.23
206.60
228.86
345.6
364.6
384.2
403.4
422.1
440.1
458.3
474.4
494.3
511.2
527.7
542.9
561.1
576.4
589.6
609.4
623.4
20.8
20.9
20.53
21.10
20.60
20.64
20.52
20.34
20.37
22.26
19.0
19.6
19.2
18.7
18.0
18.2
18.1
19.9
16.9
16.5
15.2
18.2
15.3
13.2
19.8
14.0
20.70
41.41
62.11
82.82
103.52
124.22
144.93
165.63
186.33
207.04
227.74
351.96
372.67
393.37
414.07
434.78
455.48
476.18
496.89
517.59
538.30
559.00
579.70
600.41
621.11
641.81
662.52
683.22
20.87
41.74
62.58
83.39
104.15
124.86
145.50
166.07
186.54
206.92
227.19
345.86
365.05
384.04
402.82
421.37
439.70
457.79
475.62
493.18
510.48
527.48
544.19
560.59
576.66
592.41
607.82
622.87
В четвертом столбце таблицы даны значения, вычисленные по фор-
формуле D.11) с использованием D.13). Мы видим очень хорошее со-
согласие между вычисленными и измеренными значениями при срав-
сравнении первых одиннадцати значений во втором и четвертом столб-
столбцах. Но это согласие ухудшается для больших значений /. Разность
между соседними частотами при больших / меньше, чем при ма-
малых. Спектр частот не является эквидистантным, но формулу D.11)
можно модифицировать так, чтобы получить лучшее согласие для
больших /. В последнем столбце таблицы дан результат подгонки с
182 Глава III
помощью формулы
= 2Ь(/ + \)-Щ1+ D3 D.14)
(&, d — константы). Сравнивая значения в этом столбце с наблю-
наблюдаемыми значениями из второго столбца, мы видим, что согласие
с экспериментальными данными для формулы D.14) намного луч-
лучше, чем для формулы D.11). Энергетический спектр, отвечающий
формуле D.14), дается выражением1)
Е, = [Ь/(/ + 1) - dl\l + 1J]2тгйс D-15)
(b, d — константы). На рис. 4.3 показаны энергетические уровни
D.15), полученные для завышенного значения d.
Объяснение того, что формула D.15) дает лучшее согласие с экс-
экспериментальными данными, состоит в том, что двухатомная моле-
молекула НС1 не является идеальным жестким ротатором. Связи между
атомами не являются жесткими, и межатомное расстояние меняет-
меняется в зависимости от скорости вращения вследствие центробежных
эффектов. Формулу D.15) можно получить, если рассмотреть клас-
классическую модель, в которой молекула описывается как две жесткие
сферы (атомы), соединенные не жестким стержнем, а пружиной.
Рис. 4.3. Уровни энергии нежесткого ротатора [14].
Для сравнения штриховыми линиями показаны уров-
уровни энергии соответствующего жесткого ротатора (при
J < 6 их нельзя нарисовать отдельно).
1) Энергетический спектр Ef = 2irhc[b' - d'l]l(l + 1), который хорошо согла-
согласуется с ядерными вращательными спектрами, хуже согласуется с молекулярными
вращательными спектрами, чем D.15).
Энергетические спектры некоторых молекул 183
Если молекула вращается вокруг оси, перпендикулярной этой пру-
пружине, то в положении равновесия центробежная сила \2/(jix*) равна
центростремительной силе к(х — хе), где к — постоянная пружи-
пружины, а хе — межатомное расстояние для покоящейся молекулы. Та-
Таким образом,
к(х - хе) = i!j. D.16)
цх3
Энергия этой системы (см. (II.2.3) и B.4)) равна
Е = -J^j- + '*(*- ХеJ. D.17)
Используя разложение
?(l 2^) D.18)
и уравнение D.16) для Е получаем
D.19)
Первый член отвечает энергии жесткого ротатора, а второй член
описывает вклад центробежных сил. Переходя к квантовому слу-
случаю заменой числа I2 оператором L2, получаем оператор энергии
D.20)
для которого имеет место спектр D.14). Тот факт, что формула
D.14) лучше согласуется с экспериментальными данными, под-
подтверждает приведенное классическое рассмотрение. Но мы видим
также, что эмпирическое значение d на несколько порядков мень-
меньше, чем значение Ь, получаемое с использованием формулы D.14):
Ьна = Ю.438 см, dnc\ = 0.0046 см. D.21)
Это показывает, что жесткий ротатор является замечательно удач-
удачной моделью «вращающейся двухатомной молекулы1).
!) Данные табл. 4.1 достаточно точны, чтобы проверить поправочный член
+ I)J. Мы попробовали найти другие эмпирические формулы, такие, как
Е/ = 2irhc(b' — d'1IA + 1), и обнаружили, что они дают значительно худшее со-
согласие с данными табл. 4.1, чем D.15).
184 Глава III
Как мы убедимся ниже, расстояния между уровнями энергии
для вращающейся молекулы СО значительно меньше, чем для мо-
молекулы НС1. Следовательно, чисто вращательный спектр молекулы
СО лежит при значительно больших длинах волн, где эксперимен-
экспериментальные исследования сильно затруднены.
Теперь мы обсудим некоторые количественные характеристики
классической картины двухатомной молекулы. Используя значение
D.13), вычислим момент инерции молекулы НС1:
/hci = 2.71 х 10-40 г см2.
Используя значения
NA
по формуле B.7) вычислим
/ШС1 =
татн = 1.63 X IP'24г.
Из B.6), используя полученные численные значения /хнс1 и /НС1,
можно вычислить междуядерное расстояние в молекуле НС1:
Хна = 1.29 х 10~8см.
Таким образом, используя инфракрасный спектр поглощения,
мы вычислили, что размер молекулы порядка 10~8 см. Такой поря-
порядок величины очень хорошо согласуется со значениями атомных и
молекулярных радиусов, полученными из других классических сооб-
соображений. Следует подчеркнуть однако, что это значение х получе-
получено в рамках классического описания квантовомеханической системы
и не является средним значением квантовомеханической наблюдае-
наблюдаемой.
Ш.5. КОМБИНАЦИЯ КВАНТОВОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЙ РОТАТОР
Объединим теперь модель квантовомеханического ротатора с мо-
моделью квантовомеханического осциллятора и получим модель кван-
квантовомеханического осциллирующего ротатора (вращающегося ос-
осциллятора). Это позволит дать описание экспериментальной ситуа-
ситуации, отраженной на рис. 1.5, 1.6 и 1.7. Рассмотрим сначала общий
Энергетические спектры некоторых молекул 185
случай комбинации двух квантовых физических систем. Для этого
нам потребуется новое физическое понятие: прямое произведение,
или тензорное произведение, линейных пространств.
Пусть /?, и R2 — два линейных пространства, пусть, далее,
uieRx, VjeR2 и а-еС (комплексные числа). Набор всех (произ-
(произвольно больших, но конечных) сумм
f = YtaijuiVj, EЛ)
где а- — любые числа из С, образует линейное пространство, ко-
которое называется пространством прямого произведения и обозна-
обозначается Rx (g) R2. Величина utVj является формальным произведени-
произведением, которое также записывается в виде ufVj = ut (g) v-. Если (и, и')х
обозначает скалярное произведение в /?,, а (v, v'J— скалярное
произведение в R2, то скалярное произведение в /?, (g) R2 определя-
определяется выражением
\ = X Щ]Ь1т(и{, u'Mvj, v'mJ. E.2)
ijlm
(Замечание: если R{ и R2 — гильбертовы пространства, то "попол-
"пополнение" /?, ® R2 по этому скалярному произведению является пря-
прямым произведением гильбертовых пространств.)
Если <$>v — базис в пространстве Rx, а ф^ — базис в R2, то
Аи = Ф*®Ф? = Ф*фц E.3)
является базисом в пространстве Rx (g) Rr
Если Лх — линейный оператор в пространстве /?,, а А2 — ли-
линейный оператор в R2, то операторы
С = Л,®/, В = 1®А2 E4)
в пространстве Rx (g) R2 определяются следующим образом:
Cf= T,ciij(AiUi)C vj,
Bf= YjOijUi® (A2Vj).
и
Линейный оператор А = Ах (g) A2 в пространстве Rx (g) R2 опреде-
определяется соотношением
A(uj (g) vk) = (Ai (g) Az){uj (g) vk) = (AiUj) ®{A2vk). E.5)
def
186 Глава III
Легко видеть, что если Ах, Вх — линейные операторы в /?,, а А2 и
В2 — линейные операторы в R2, то
AiBi <g) А2В2 = (А 1 <g) Л2ХЯ1 <g) Я2). E.6)
Каждый оператор Л в пространстве прямого произведения яв-
является линейной комбинацией прямых произведений операторов,
т. е.
A = XM{°(gMi'\ E.7)
где А(р — линейные операторы в пространстве /?,, a А2'] — линей-
линейные операторы в R2.\
Используя понятие прямого произведения пространств, мы мо-
можем сформулировать фундаментальное предположение относитель-
относительно физической комбинации двух квантовомеханических систем:
IVa. Пусть одна физическая система описывается алгеброй
операторов ,сЦ в пространстве Rx, а другая физическая система —
алгеброй ,о/2 в R2. Пространство прямого произведения /?, (g) R2
является тогда пространством физических состояний физической
комбинации этих двух систем, а соответствующие наблюдаемые
являются операторами, в пространстве прямого произведения (в
форме E.7)). Наблюдаемые, относящиеся только к первой системе,
имеют вид Ах ® I, а наблюдаемые, относящиеся ко второй систе-
системе, имеют вид / (g) А2 (I — единичный оператор).
Подчеркнем еще раз, что IVa является фундаментальным пред-
предположением квантовой механики и может быть оправдано только
существованием соответствующих физических систем.
Применим теперь фундаментальное предположение IVa к описа-
описанию осциллирующей и вращающейся двухатомной молекулы.
Обозначим пространство физических состояний осциллятора че-
через Ж В пространстве <Ж был введен базис собственных векторов
оператора N или Hosc:
базис в #: <£„ = |и> (»т = 0, 1, 2,...). E.8)
Действие всех наблюдаемых (всех элементов алгебры наблюдаемых
квантовомеханического осциллятора) гармонического осциллятора
на базисные векторы \п) известно из гл. II.
Пространство физических состояний ротатора мы обозначили че-
через &. В пространстве .<% мы ввели базис собственных векторов
Энергетические спектры некоторых молекул 187
операторов L3 и L2 или Hrot:
базис в ,#; f'm = |/w>
(/ = 0,1,2 ;ш целое, -1<т<+1). E.9)
Пространством физических состояний осциллирующего ротато-
ротатора является, согласно IVa, пространство прямого произведения
© = *Г'® ^, E.10)
а наблюдаемыми являются операторы £ . А^\с ® Л['о\. где Л^с —
какая-либо наблюдаемая осциллятора, a A<£t — какая-либо наблю-
наблюдаемая ротатора. Базис в пространстве <з получается взятием пря-
прямого произведения базисных систем фп в Ж и fm в f%> и обозначает-
обозначается через I л//н >:
\п I т) = \п) ® |/ т) = фп®/'т- E.11)
Мы уже упоминали, что вращающаяся двухатомная молекула не
является жестким ротатором, а осциллирующая двухатомная моле-
молекула не является гармоническим осциллятором. Отметим далее,
что колебания и вращения не являются независимыми движениями
молекулы. В нашей классической модели молекула представляет со-
собой две массивные материальные точки, соединенные безмассовой
пружиной. Поэтому существует взаимодействие колебаний и вра-
вращений, вызванное, например, тем, что в процессе осцилляции меня-
меняется междуядерное расстояние х = {х1х,)х/21 а с ним и момент инер-
инерции / = \кх2.
Мы временно пренебрежем всеми этими тонкими деталями и
рассмотрим идеализированную систему, являющуюся одновремен-
одновременно жестким ротатором и гармоническим осциллятором, имея, од-
однако, в виду, что это описание является идеализацией и может
быть справедливым лишь приближенно.
Оператор энергии этой идеализированной физической комбина-
комбинации гармонического осциллятора и жесткого ротатора имеет вид
H=HOSC®I+ /®ЯГО,, E.12)
где
2ц
И - l L2
л/rot — ^7 *-< •
188 Глава III
Если пренебречь взаимодействием этих двух систем, все наблюдае-
наблюдаемые имеют вид
А = ^osc® I + I® /4rot- E.13)
Из формулы E.12) получаем энергетический спектр осциллирующе-
осциллирующего ротатора:
спектр Н = Enl = hco(n + £) + ^2/(/ + 1). E.14)
Эксперименты показывают, что постоянные системы со для осцил-
осциллятора и I для ротатора удовлетворяют соотношению Лео > Л2/B1)
(чисто колебательные переходы находятся в ближней инфракрасной
области, а чисто вращательные переходы — в далекой инфракрас-
инфракрасной области). Диаграмма уровней энергии, которая получается при
этих условиях из E.14), показана на рис. 5.1. Чтобы найти частоты
переходов, используем правила отбора
Дл = ±1, Д/ = ±1, E.15)
заданные соотношениями A.10) и D.10). Если рассмотреть некото-
некоторый колебательный переход из п в п + 1 (поглощение) или из
п + 1 в п (излучение), то из E.14) находим частоты (в см)
Еп+1,1+1 — Еп i
PR =
2тгпс
= ро + 2В + 2В1 (Д/ = +1), E.16/?)
Еп+ i,i-1 — En,i
для поглощения, где В дается формулой D.11'):
h h
В =
8тг2с1 4тгс1
со
РО =
2-кс
Следовательно, мы имеем две серии эквидистантных линий, кото-
которые называются R- и Р-ветвями с щелью при v0 (так как Д/ = 0 за-
запрещено правилами отбора). Соответствующие переходы обозначе-
Энергетические спектры некоторых молекул 189
Рис. 5.1. Энергетические уровни осциллирующего ротатора [14]. Для каждого из
первых пяти колебательных уровней нарисовано несколько вращательных уровней
(короткие горизонтальные линии).
ны на диаграмме энергетических уровней рис. 5.2. Частотный
спектр, вычисленный по формулам E.16), изображен в полосе (Ь).
Наблюдаемый спектр, приведенный на рис. 1.7, изображен в поло-
полосе (а). Таким образом, предсказания модели вращающегося осцил-
осциллятора при отсутствии взаимодействия колебаний и вращений до-
довольно хорошо согласуются с экспериментом, но не вполне точно.
Наблюдаемые линии R-ветви находятся ближе друг к другу, а ли-
линии Р-ветви — дальше друг от друга, чем предсказанные эквиди-
эквидистантные линии. Это происходит из-за взаимодействия вращений и
колебаний.
Если предположить, что момент инерции для различных колеба-
колебательных состояний различен, то получим
Enl = hojin + ±) + ~h2l(l + 1) E.17)
вместо E.14), а для волновых чисел получаемых линий
V/< - Ен.г
v —
2тгПс
где „ h
' - п") + ВН.Г(Г + 1) - ВН.Г{1* + 1), E.18)
Отсюда получаем частоты поглощения (в единицах волнового чис-
числа см) для переходов п"I" — п'Г между соседними колебатель-
190
Глава III
с
(в
£С
<а
а «
Г в
Г S
5
(
£
' а
: а
Г S
> г-
г а
: а
» о
: а
г1 ^
■ а
\
/ /■
9 %
1 1
1 1 1
7
1
1
6 5 4 3
Л) 1
1 1 1
2
1 0
-14
1
1
-U-
ГГ
2 3
1
1
4
5
IX
1
6
1
1
7
1
1
8
1
1
9 10
1 1
1
(а)
(Ь)
10 98765432
Рис. 5.2. Диаграмма уровней энергии, иллюстрирующая структуру колебательно-
вращательной полосы [14]. В обшем случае расстояние между двумя колебательны-
колебательными уровнями много больше по отношению к расстоянию между вращательными
уровнями, чем это изображено на рисунке (это показано разрывами линий, изобра-
изображающих переходы.) Схематические спектрограммы (а) и (Ь) дают результирующий
спектр с учетом и без учета взаимодействия между колебаниями и вращением. На
этих спектрограммах в отличие от большинства других малые длины волн находят-
находятся слева.
Энергетические спектры некоторых молекул 191
ными уровнями:
pr = rtfl' - п") + 2Вп. + {ЪВп> - Вп.I + (Вп, - Вп.I2
(/'=/+ 1, /"=/, д/= +1), E.19/?)
vp = М"' - п") - (Вп. + Вп.I + (Вп. - Вп.I2
(/'=/- 1, /" = /, д/= -1). E.19Р)
Выражения E.19) дают превосходное согласие с эмпирической тон-
тонкой структурой инфракрасных полос.
Для молекул НС1 значения Вп были получены для различных
полос п' «-» п ":
0<->1 0^2 0*^3 0*+4 0*^5
(переходы с An > 1 происходят из-за слабой ангармоничности, см.
рис. 1.3). Результаты приведены в табл. 5.1. Разность АВп между
соседними уровнями почти постоянна, так что Вп можно аппрокси-
аппроксимировать формулой
В„ = Ве- ае{п + i), E 20)
Где ае — константа, малая по сравнению с равновесным значением
Ве = 10,5909 см. Значение Вп, приведенное в таблице для
вращательно-колебательного спектра, согласуется в пределах оши-
ошибок измерений со значением Ьна = 10,438 см, полученным для
чисто вращательного спектра НС1 (см. 4.21)).
Таблица 5.1. Вращательные константы молекулы НС1 для различных колебательных
уровней электронного основного состояния [14]
АВ„, см
0
1
2
3
4
5
10.4400
10.1366
9.8329
9.5343
9.232
8.933
0.3034
0.3037
0.2986
0.302
0.299
192 Глава III
Экспериментальные значения для колебательно-вращательных
спектров молекулы СО не являются ни столь многочисленными, ни
столь точными. Из спектра, показанного на рис. 1.5, получаем
Всо = 1.96 см. E.21)
Это значение и, следовательно, тонкая структура энергетического
спектра значительно меньше, чем для молекулы НС1.
Двухатомная молекула с наибольшим значением вращательной кон-
константы Ве, а значит с наибольшим расстоянием между вращательны-
вращательными уровнями, — это молекула Н2, для которой В = 60,80 см.
Качественное теоретическое объяснение формул E.17) и E.20)
следует из классической картины двухатомной молекулы как двух
твердых сфер, соединенных пружиной. Когда эта система находит-
находится в состоянии с более высокой колебательной энергией, амплитуда
колебаний больше и, следовательно, больше момент инерции. Сле-
Следовательно, 7 убывает с ростом п, как это и следует из формулы
E.20).
Для квантовомеханических наблюдаемых эмпирическая формула
E.20) означает, что в присутствии взаимодействия между враща-
вращательными и колебательными степенями свободы формулы E.13)
недостаточно. Для оператора энергии в дополнение к E.12) имеем
член со взаимодействием, для которого в качестве первой догадки
можно принять
#int = 9Hosc ® #rot> E.22)
где д — константа связи размерности эВ. Таким образом, опера-
оператор энергии для осциллирующей и вращающейся двухатомной мо-
молекулы с взаимодействием в этом приближении имеет вид
Н = Hosc ® / + / е Яго, + gH0SC ® HTOt, E.23)
где
Hosc = hai(N + tl) E.24)
HT0t = ^-L2; E.25)
\e — момент инерции, отвечающий равновесному расстоянию хе:
Уровни энергии двухатомной молекулы с колебательно-враща-
колебательно-вращательным взаимодействием — это средние значения Н по физиче-
Энергетические спектры некоторых молекул
193
Рис. 5.3. Колебательные и вращательные уровни двух электронных состояний А и В
молекулы (схематически) [14]. Во всех случаях нарисованы только первые несколько
уровней.
ским состояниям. Конечно, не очевидно, что \nlrn) = фп (Е)Д,
E.11), где фп — собственные векторы операторов N, a fm — со-
собственные векторы операторов L2 и L3, реализуют чистые состоя-
состояния этой физической системы. Вместе с тем, поскольку они также
являются- собственными векторами оператора энергии Н E.23),
их выбор для -измерения энергии очевиден. Следовательно, уровни
энергии равны собственным значениям оператора Н в базисе
\nlrn) E.11):
Enl =
1
1). E.26)
Волновое число кванта излучения, отвечающего такому значению
энергии
Vnl " hc~ 1Ш9
E.27)
461- 13
194 Глава III
называется термом1^ (см. "уравнение A.12)). Таким образом, как
следует из E.26), термы осциллирующего ротатора равны
vn, = vo(n + i) + (Be - ае(п + ±))/(/ + 1), E.28)
где мы использовали стандартные обозначения молекулярной
спектроскопии
В, * _ * ,5.29)
4ncle 4
В„ = Ве- ае(п + *). E.31)
Согласно приведенным выше качественным соображениям, величи-
величины I, а следовательно, Вп убывают с ростом п, поэтому постоян-
постоянная ап должна быть положительной, что всегда выполняется в экс-
экспериментах. Выражение E.28) вместе с E.31) для волновых чисел
переходов в R-ветви дает
V» = V
п'/+ 1
= vo(«' - п") + 2Вп, + (ЗВп. - Вп,.I + (Вп, - Bn..)l\ EJ2/?)
и для волновых чисел в Р-ветви
vP = vn.,_, - vn»,
= vo(ri - n") - (Bn. + Bn,.)l + (Bn. - Bn..)l\ E'32/>)
т. е. эмпирически хорошо установленные формулы E.19). Это по-
показывает также, что наша догадка относительно вида выражения
E.22) была верна.
Два упомянутых выше эффекта не принимались во внимание в
выражении E.23) с E.24) и E.25): это ангармоничность осциллято-
осциллятора и влияние центробежных сил. Следовательно, формула E.28) не
является окончательной формулой для осциллирующей и вращаю-
вращающейся двухатомной молекулы. Если учесть эти эффекты, то с неко-
некоторой точностью для термов колеблющегося ротатора получаем
vn, = со£п + |) - (oeUn + iJ + BJ(l + 1) - DJ\l + IJ, E.33)
0 Заметим, что мы используем один и тот же символ v для частоты (в с ')
и волнового числа (в см); ср. с замечанием в тексте после уравнения A.12в).
Энергетические спектры некоторых молекул 195
где £е — малый параметр, учитывающий ангармоничность1), и
В„ — Ве - ае(п + |), E.34)
Dn = De + $e{n + i). E.35)
Мы использовали стандартное обозначение
0>е = ^- = ^- [-■ E.36)
2пс 2пс \J /х
Величина Ве определяется выражением E.29)
h h
е Апс\ е Ancfxxl
Согласно квазиклассическому рассмотрению, ведущему к формуле
D.20), De может быть выражено через приведенную массу ц, равно-
равновесное расстояние хе и постоянную пружины к:
°е = 4пскц2х6е' E>37)
Из выражений E.36), E.29) и E.37) следует, что три параметра си-
системы De, Be и ше не являются независимыми, а связаны соотноше-
соотношением
De = ~f- E-38)
Параметры %е, ае, &е, описывающие степень ангармоничности, как
следует из экспериментальных данных, малы:
Ze<U Т<{* ~<Х*
как и должно быть, поскольку они учитывают влияние поправок к
моделям, которые очень хорошо описывают реальные физические
системы, существующие в природе. Параметры системы ше, £е, Ве,
De, ae и &е были определены экспериментально для многих двух-
двухатомных молекул и собраны в таблицы (см[14]). Формула E.33)
дает очень хорошее описание колебательно-вращательных спектров
0 Величина а>е£е определяется ангармоническими членами для осциллятора (чле-
(членами, пропорциональными Q3, Q4 и т. д.) и может быть вычислена по теории воз-
возмущений. См. задачу VIII.1.
196 Глава III
двухатомных молекул, и лишь в исключительных случаях возника-
возникает необходимость учета высших поправочных членов.
Двухатомные молекулы являются осциллирующими ротатора-
ротаторами лишь до тех пор, пока внутренняя энергия достаточно мала,
грубо говоря порядка энергии инфракрасного излучения. Для более
высоких энергий A—20 эВ), отвечающих видимой и ультрафиолето-
ультрафиолетовой областям, молекулы не похожи на осциллирующий ротатор,
поскольку вступают в игру новые степени свободы, связанные с
электронными переходами. Но в каждом электронном состоянии
молекула по-прежнему является осциллятором, так же как в каж-
каждом колебательном состоянии она является ротатором. Это приво-
приводит к энергетическим спектрам, схематически показанным на
рис. 5.3 для двух электронных состояний. Мы не будем описывать
здесь электронные степени свободы молекул; они имеют ту же при-
природу, что и электронная структура атомов, которая обсуждается в
последующих главах книги.
Глава IV
Полная система коммутирующих наблюдаемых
В этой главе объясняется, что вопрос о том, что составляет пол-
полную систему коммутирующих наблюдаемых, не является матема-
математическим; на него может ответить только эксперимент.
Для одномерного гармонического осциллятора нужно было
только одно число, чтобы перенумеровать базисные векторы в про-
пространстве физических состояний. Мы использовали энергетическое
(главное) квантовое число п, являющееся собственным значением
оператора N из уравнений (II.3.2) — (II.3.7), которое связано с
энергией соотношениями (П.3.30):
JV|n> = n|n> или Ямс|и> = £и|и>, « = 0,1,2,.... (i.i)
Вместо квантового числа п можно было бы использовать «непре-
«непрерывное квантовое число» х, т. е. обобщенное собственное значение
оператора координаты (II.7.1). Вместо базисных векторов 1л>
можно было бы использовать обобщенные базисные векторы 1л">,
которые связаны с векторами \ п) преобразованиями (П.7.16').
Можно было бы также использовать обобщенные базисные векто-
векторы \ р) из (И.7.28) и (II.7.37) или даже другие базисные системы.
Все эти базисные системы для одномерного осциллятора имеют в
качестве индекса одно квантовое число. Говорят, что спектры опе-
операторов N, H, Q и Р являются простыми, или невырожденными1).
Для описания ротатора потребовались два квантовых числа, в
качестве которых в разд. III.3 мы выбрали целые или полуцелые
числа j или у3. которые связаны с собственными значениями ква-
квадрата оператора углового момента J2 и произвольно выбранной
компоненты У3:
A.2)
1} Эти наблюдаемые являются циклическими операторами на пространстве фи-
физических состояний одномерного осциллятора (см. примечание на с. 25).
198 Глава IV
Спектр оператора J2 не имеет простого вида, он вырожден, поэто-
поэтому для того, чтобы полностью характеризовать базисные векторы,
необходимо ввести в дополнение к j квантовое число у3 («магнит-
(«магнитное» квантовое числоI К
Вместо базисных векторов A.2) можно было бы использовать
другую систему базисных векторов в пространстве физических со-
состояний ротатора .^Р — например векторы I jj2}, определяемые со-
соотношениями
J2lJ72} = Ю + W2\JhY, JilJJi} =J2b\JJ2}- A.3)
Вместе с условиями нормировки уравнения A.2) или A.3) полно-
полностью определяют базисные векторы с точностью до фазового мно-
множителя (т. е. определяют подпространства, порожденные базисны-
базисными векторами). Это значит, что если 32ф = аф и 1ъф = Ьф для
фе .Я>, то а = j'(j' + ОЛ2, где j' — целое или полуцелое число,
Ъ = уз', где// — целое или полуцелое число, причем —j' ^ /3' ^ j' и
ф = а \j', Уз>» где а е С. Две базисные системы A.2) и A.3) связа-
связаны преобразованием базиса A.5.12), где коэффициенты преобразо-
преобразования </Уз 1у'Л') полностью определяются с точностью до фазовых
множителей, обычно фиксируемых по соглашению, алгеброй на-
наблюдаемых.
В то время как в случае осциллятора возникают одна перемен-
переменная и одно связанное с ней квантовое число (например, /f°sc и п), в
случае ротатора всегда требуется ввести две коммутирующие пере-
переменные и два связанных с ними квантовых числа (например, J2, У3
и У» Л)- Существует определенная свобода в выборе конкретных
наблюдаемых, но число индексов, необходимое для характеристики
базисных векторов пространства физических состояний, определя-
определяется физической системой2).
Набор коммутирующих эрмитовых операторов, который пол-
полностью определяет (обобщенный) базис, называется, следуя Дира-
0 Наблюдаемые /(, J2 не являются циклическими операторами на пространстве
физических состояний ротатора.
2) Может случиться так, что при переходе от дискретного квантового числа к
непрерывному квантовому числу появится новый индекс, обычно принимающий дис-
дискретный ряд значений, так что набор дискретных квантовых чисел для заданной фи-
физической системы может быть менее широким, чем набор, включающий одно или
несколько непрерывных квантовых числа. Таким образом, число наблюдаемых, об-
образующих полную систему коммутирующих наблюдаемых для заданной системы, не
обязательно является фиксированным.
Полная система коммутирующих наблюдаемых 199
ку, полной системой коммутирующих наблюдаемых (п.с.к.н.).
Обобщенные собственные значения п.с.к.н. называются квантовы-
квантовыми числами.
Для одномерного гармонического осциллятора п.с.к.н. содер-
содержит один оператор — либо оператор Н, либо оператор Q, либо
какой-то другой оператор. Для ротатора п.с.к.н. содержит два опе-
оператора; обычно выбирают операторы J2 и У3, но возможен и вы-
выбор других операторов, даже операторов с непрерывным спект-
спектром1*. Для различных физических систем и, следовательно, различ-
различных алгебр наблюдаемых обычно различны и п.с.к.н. Чем шире ал-
алгебра (т. е. чем сложнее физическая система), тем больше количе-
количество операторов в п.с.к.н.
Из сказанного выше и того факта, что в пространстве прямого
произведения базисная система получается как прямое произведение
базисных векторов в двух фактор-пространствах, очевидно, что
п.с.к.н. для комбинации двух систем дается комбинацией двух
п.с.к.н. подсистем.
Например, в случае осциллирующего ротатора п.с.к.н. содер-
содержит следующие операторы:
N,J\J3. A.4)
Но существуют также и другие возможные п.с.к.н. для этого слу-
случая. Некоторые из них могут приобретать важное физическое зна-
значение в тех случаях, когда взаимодействие между ротатором и ос-
осциллятором является сильным и предположение о коммутативно-
коммутативности гамильтониана комбинированной системы с операторами из
A.4) становится неприемлемым.
|3адача о том, для каких *-алгебр существует полная система
коммутирующих наблюдаемых, не решена; требование о ее сущест-
существовании, безусловно, является ограничительным. Для некоторых
типов операторных *-алгебр jaf п.с.к.н. существуют (например, ес-
если ла^— обертывающая алгебра нильпотентной или полупростой
группы).]
В физике задача состоит не в нахождении п.с.к.н. для заданной
алгебры, а в решении обратной задачи: из экспериментальных дан-
данных определяют, сколько квантовых чисел необходимо рассмот-
рассмотреть и каковы возможные значения этих квантовых чисел. Тогда,
согласно фундаментальному предположению Ша, получают пол-
полную систему коммутирующих операторов {Ак} и ее спектр. Затем
Такая базисная система C.76) дана в приложении к разд. V.3.
200 Глава IV
составляют полную алгебру д/, добавляя к [ Ак ) минимально необ-
необходимое число других операторов так, чтобы матричные элементы
операторов из ла< вычисленные с использованием свойств этой ал-
алгебры, совпадали с экспериментальными значениями для соот-
соответствующих наблюдаемых.
Таким образом, вопрос о том, что представляет собой п.с.к.н.
для рассматриваемой конкретной физической системы, а также во-
вопрос о том, когда набор коммутирующих операторов можно счи-
считать полным, являются физическими вопросами. Если эксперимент
дает больше значений, чем можно получить, работая с заданной
системой коммутирующих операторов, то эта система неполна; не-
необходимо ввести новое квантовое число, т. е. расширить систему
коммутирующих операторов. Обычно это требует дальнейшего
расширения алгебры.
Примером такой процедуры является переход от ротаторной
модели двухатомной молекулы к модели осциллирующего ротато-
ротатора: пока энергия мала (^ 10~2 эВ), могут возбуждаться только вра-
вращательные степени свободы. Двухатомная молекула описывается
алгеброй операторов ротатора; квантовыми числами являются j и
у3» операторы J2 и У3 составляют п.с.к.н. Если энергия возрастает,
появляются новые уровни, каждый из которых служит основой
формирования целой вращательной полосы (см. рис. 5.1 в гл. III).
Чтобы описать эти уровни, вводится новое квантовое число л, и
каждой из этих полос приписывается значение 0, 1, 2 и т. д. этого
нового квантового числа. Вместе с новым квантовым числом п по-
появляется и новая наблюдаемая N, так что п.с.к.н. представляет со-
собой теперь набор A.4). Затем к этому набору операторов добавля-
добавляются операторы а* и а, которые вместе с N образуют алгебру на-
наблюдаемых такую, что достигается правильное описание и других
особенностей физической системы (например, равноудаленности
друг от друга энергетических уровней).
Расширение п.с.к.н. и алгебры наблюдаемых может понадо-
понадобиться не только при увеличении энергии, т. е. при расширении об-
области применимости теории, но и при повышении точности измере-
измерений. Эту ситуацию также можно проиллюстрировать на примере
модели осциллирующего ротатора.
До тех пор, пока не разрешается тонкая структура на уровне
10~3 эВ, для описания инфракрасного спектра двухатомных моле-
молекул достаточно квантового числа п, и модель осциллятора дает
приближенное описание, справедливое для экспериментов с низким
разрешением (любое теоретическое описание является приближен-
приближенным). Но когда необходимо объяснить результаты экспериментов с
Полная система коммутирующих наблюдаемых 201
высоким разрешением, то, чтобы объяснить расщепление в магнит-
магнитном поле, надо ввести новые квантовые числа j и j2. Полная систе-
система коммутирующих наблюдаемых J2, У3» отвечающая этим новым
квантовым числам, дополняется затем операторами перехода, и об-
образуется новая алгебра ротатора, которая далее объединяется с ал-
алгеброй осциллятора, и получается алгебра наблюдаемых осцилли-
осциллирующего ротатора.
Имея в виду описанную выше процедуру построения алгебры
наблюдаемых ,о/ для заданной физической системы, мы можем
предположить, что для квантовомеханических алгебр всегда су-
существует п.с.к.н. Следовательно, в алгебре ^имеется набор ком-
коммутирующих операторов
Ax,A2,...,ANes4. A.5)
обладающих набором (обобщенных) собственных векторов1*
Ак \л1,..., ANy = лк \л1,..., An), A.6)
таким, что каждый отвечающий физическому состоянию вектор ф
может быть представлен в виде
ХХЬ--^\ФУ. A.7)
ф= Г
Здесь набор Л = {(Х,)^... \N)\ есть спектр п.с.к.н. A.5), где Л^ =
= { Х^} — спектр наблюдаемой Ак. Это означает, что Л^ есть мно-
множество обобщенных собственных значений, если спектр Ак непре-
непрерывен, или набор дискретных собственных значений, если спектр
Ак дискретен, и есть множество всех непрерывных и дискретных
собственных значений, если Ак имеет как дискретный, так и непре-
непрерывный спектр. Интеграл \Adn(A) = [Л( [Лз ... {Xy///i(X,, •••» К)
обозначает суммирование по дискретному спектру и интегрирова-
интегрирование по непрерывному спектру. Таким образом, формула A.7) обоб-
обобщает спектральную теорему (lAAg) на случай N переменных X,, ...
..., XN вместо одной переменной а.
Часто встречается случай, когда некоторые из наблюдаемых А1,
А2, ..., Ам из п.с.к.н. имеют только (абсолютно2*) непрерывный
спектр Лс = {(X,, ..., XM)}, а остальные наблюдаемые Ам + ,, ...
..., AN из п.с.к.н. имеют только дискретный спектр Лр = {(XM+ ,, ...
!) Математическая формулировка этого утверждения такова: выполнены усло-
условия ядерной спектральной теоремы.
2) См. примечание на с. 32.
202 Глава IV
..., A^)}. В этом случае формула A.7) имеет вид
ф= ••• <//*(Л,, А2,...,ЛМ) £...£ |А„ ..., Ам, Ам+,
х <А„...,Ал,|с/>>, A.8)
где суммирование проводится по всем дискретным собственным
значениям { X*}, к = М + 1, М + 2, ..., N, всех наблюдаемых
Лм+ ,, ..., AN, а интегрирование проводится по множеству обоб-
обобщенных собственных значений {\}, к = 1, 2, ..., Л/, всех наблюда-
наблюдаемых Ах, ..., Ам.
Утверждение A.7) или A.8) является основой дираковской фор-
формулировки квантовой механики1).
Немедленным следствием выражений A.6), A.7) или A.8) явля-
является следующее утверждение: пусть Ах, ..., AN есть п.с.к.н. с (обоб-
(обобщенными) собственными векторами IX,, ..., \N) = I X> такими,
что
Лк|А> = Ак|А> (к = 1,2,...,/V).
Тогда из ... . ...
/4,-И = и,|я} 0=1,2,...,Л0 A.9)
следует, что
fl/ = А„ И = а|А>, A.10)
где а е С.
В случае, когда спектр Л непрерывен, т. е. одно из Ху может
принимать непрерывный ряд значений, формуле A.10) необходимо
придать точный смысл. В дальнейшем мы будем использовать
формулу A.10) только для случая дискретного спектра.
1) Это утверждение не носит характера теоремы, поскольку нельзя доказать
справедливость математических свойств, существенных для описания алгебры .<V.
Но оно основано на обобщенной ядерной спектральной теореме, являющейся об-
обобщением ядерной спектральной теоремы для циклического оператора, обсуждав-
обсуждавшейся в разд. 1.4, на случай семейства коммутирующих в сильном смысле операто-
операторов у4,, ..., AN. Заметим, что уже для обертывающей алгебры унитарного неприво-
неприводимого представления некомпактной группы число N не является фиксированным.
Глава V
Сложение угловых моментов. Теорема
Вигнера — Эккарта
В разд. V.1 элементарный ротатор определяется как система, опи-
описываемая неприводимым представлением алгебры углового момен-
момента. В разд. V.2 обсуждаются прямое произведение двух представле-
представлений алгебры углового момента и его редукция по полному углово-
угловому моменту. Вводятся коэффициенты Клебша — Гордана, выво-
выводятся рекурсивные соотношения для них, табулированы их наибо-
наиболее часто встречающиеся значения. В разд. V.3 вводятся тензорные
операторы и формулируется (без доказательства) теорема Вигне-
Вигнера — Эккарта для группы вращений. В разд. V.4 вводится новая
наблюдаемая — четность. Затем четность используется при анали-
анализе спектра двухатомных молекул типа симметричного волчка. В
приложении к разд. V.3 выводятся неприводимые представления
алгебр SOC, 1), SOD) и ЕC).
V.I. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ РОТАТОР
В гл. III мы рассмотрели квантовомеханический ротатор. Его про-
пространство физических состояний имеет вид (III.4.2)
0.1)
где &1 — пространство неприводимого представления алгебры
углового момента гантели £,; здесь
\ЬХ,Ъ^ = iheijkLk. A.2)
204 Глава V
^(SOC)L) является подалгеброй алгебры наблюдаемых для рота-
ротатора^.
Рассмотрим теперь физическую систему, пространство физиче-
физических состояний которой есть ^', где / — произвольное фиксирован-
фиксированное значение из набора / = 0, 1/2, 1, 3/2, ..., и алгеброй наблюдае-
наблюдаемых которой является алгебра углового момента. Каждый ротатор
при определенных условиях может рассматриваться как такая фи-
физическая система, а именно если энергия Еем, которая отбирается
от ротатора или передается ему, мала по сравнению с разностями
энергий Е, — Et _ , и Щ + , — Ц. Реально это условие выполняется
редко, поскольку состояние с более высокой энергией всегда имеет
тенденцию к «спонтанному» переходу в состояние с более низкой
энергией; следовательно, время жизни возбужденного состояния
ограничено. Исключение составляет случай, когда Е, — энергия ос-
основного состояния. Но такие возбужденные системы часто рас-
рассматривают как независимые физические системы не только в нере-
нерелятивистской квантовой механике, но и в релятивистской физике
элементарных частиц. Мы назовем физическую систему, обладаю-
обладающую пространством состояний &1, элементарным ротатором.
Элементарные ротаторы нужны не только для описания подструк-
подструктур двухатомной молекулы; они появляются при описании различ-
различных квантовомеханических систем во всех областях физики.
V.2. КОМБИНАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РОТАТОРОВ
В соответствии с фундаментальным предположением IV простран-
пространство физических состояний комбинации двух элементарных ротато-
ротаторов с пространствами .^' и ^^ есть пространство прямого произ-
произведения .^' ® Щ^ = .<%. Пусть J\X) и JjV — операторы углового
момента в &{^ и .^j соответственно, и пусть
0 Генераторам <T(SOC)) могут отвечать различные реализации углового момен-
момента: например орбитальный угловой момент массивной частицы (III.2.10), или угло-
угловой момент гантели, или оператор спина электрона и т. д. Таким образом, генера-
генераторы <iT(SOC)), удовлетворяющие условию A.2), могут иметь различные физические
реализации. Хотя все <^(SOC)) математически эквивалентны, их генераторы могут
представлять различные физические наблюдаемые. Чтобы указать, какой конкрет-
конкретной физической величина отвечает <f(SOC)), мы пишем обозначения наблюдаемых в
качестве индексов, например в виде <^SOC)t).
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 205
\j2m2y (т2 = -j2,...,
— базисные системы векторов в ^jj и .^j соответственно. Тогда
базис в пространстве .^({j ® .^j имеет вид
Операторы /И (а = 1,2) удовлетворяют коммутационным соотно-
соотношениям
1У| > ^; J — lneijkJk • B.2)
Определим операторы в @ = Щ^ ® ^^ соотношением
J, = 7}»»®/ + /® У|2>. B.3)
В качестве следствия из B.2) и B.3) вытекает, что операторы Jt
подчиняются коммутационным соотношениям
Vi,Jj] = iheijkJk, B.4)
Таким образом, операторы Ji из B.3) удовлетворяют определяю-
определяющим соотношениям для генераторов алгебры углового момента и,
таким образом, реализуют представление алгебры углового момен-
момента в пространстве ^jj ® .<%J£y Операторы Jt называются операто-
операторами полного углового момента комбинированной системы.
Базисную систему B.1) в 32 составляют собственные векторы
следующего полного набора коммутирующих операторов (п.н.к.о.):
/®J<2>2, \®3(ъ1\ B.5)
обладающих собственными значениями
JAJ ® 1\}^т\Н^г> = У1О1 + l)^2l;iw,;2rn2>,
l = m1h\jlmj2m2},
=j2(j2 + \)h2\jxmxj2m2\ B'6>
= m2h\j1mj2m2}.
Введем сокращенное обозначение для операторов в пространст-
пространстве &\
J\» = Jtw®I, JJ2) = I®J\2). B.7)
206 Глава V
Эти операторы Jja) являются операторами в пространстве
■<% = .<%{^ (g) .^B) в противоположность исходным операторам Jfa\
действовавшим только в пространстве ^^у Операторы Jfa) из B.7)
очевидным образом удовлетворяют коммутационному соотноше-
соотношению B.2), поэтому мы будем использовать для них те же обозначе-
обозначения. Но мы должны помнить, что прежние операторы У/а) являют-
являются ограничениями новых операторов Jja^ на пространства Щ{я.
Базис B.1) в общем случае не является базисом комбинирован-
комбинированной системы. Базис является физическим, если он состоит из соб-
собственных состояний, в которых может быть приготовлена физиче-
физическая система. Если все физические состояния являются собственны-
собственными состояниями оператора энергии физической системы, то физиче-
физический базис должен быть образован собственными векторами опера-
операторов, коммутирующих с оператором энергии. В общем случае не
все операторы /И коммутируют с оператором энергии (в частно-
частности, когда есть член со взаимодействием между двумя угловыми
моментами).
Операторами, коммутирующими в общем случае с оператором
энергии, являются операторы полного углового момента Ji (комму-
(коммутирующие с Н, если Н инвариантен относительно вращений). Сле-
Следовательно, удобно выбрать базис в ^, составленный из собствен-
собственных векторов системы коммутирующих операторов
J(D2 = J,lJ ф д jB,2 = j q j<2>25 ? = ^Л J3. B.8)
j
Обозначим этот базис через
Он обладает следующими свойствами
= mh\jlj2jm}, B.10)
=KJ + l)b2
Каждый вектор, а следовательно, каждый базисный вектор из ба-
базиса B.1), согласно A.4.4г), может быть разложен по базисной си-
системе B.9):
"h7m> Y\JJJmy<jJJm\jmJmy B ц\
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 207
а каждый базисный вектор из базисной системы B.9) может быть
разложен по базису B.1)
\JiJ2Jm>= £ \jimj2m2'><jim1j2m2\jlj2jmy. B.12)
Коэффициенты перехода (jxmxj2m2\jxj2jm) называются коэффи-
коэффициентами Клебша — Гордана или коэффициентами Вигнера и обо-
обозначаются
> = <jimlj2rn2\j m)
= <jnxm2\jm>
_ CJU2J
для фиксированных значений jx и j2. В B.13) приведены различные
обозначения, встречающиеся в литературе.
Вычисляя скалярное произведение B.11) с \jxmx'j2m2'), получаем
соотношение ортогональности для коэффициентов Клебша — Гор-
Гордана
bm\mibm2m2= I < )\ m\j2 m'2 \ j m>< j т\ jimj2 ^гХ B.14)
j,m
а вычисляя скалярное произведение B.12) с \jxj2j'm' >, получаем
йл'йтт= I <fm'\jlmlj2m2}(jimij2m2\jm'). B.15)
mi, ifi2
Мы найдем теперь спектр операторов J2 и У3 в пространстве
& = Щц (8) ^B). т. е. значения, которые могут принимать j и т в
базисе B.9).
Для большей ясности последующего изложения будем использо-
использовать фигурные скобки для обозначения базисных векторов прямого
произведения:
чтобы отличить их от базисных векторов полного углового момен-
та \J\J2Jm>>' Поскольку значения jx и j2 фиксированы, запишем
также
\тхт2) = \jlmj2m2] и \jm} = \jlj2jm}.
208
Глава V
Поскольку векторы I m, т2} являются собственными векторами
операторов /3 = А1) + А2) с собственными значениями т, 4- т2,
спектр У3 в пространстве 32 составляют все возможные суммы
т\ = J\>J\ ~ *> —» ~>1 с т2 = Л» Л ~ !> •••» ~Л:
спектр J3 = {ji 4 Л, ji +J2- 1,
B.16)
Так как векторы I jm > являются собственными векторами операто-
операторов 73 с собственными значениями т, квантовое число т пробегает
в базисе \jm) такой же ряд значений, как и в B.16). Подпростран-
Подпространство в ^, состоящее из всех собственных векторов У3 с определен-
определенным значением т, обозначим &т. Размерность &т получаем под-
подсчетом числа базисных векторов для прямого произведения
I m, т2}, для которых т, 4- т2 = т; она равна
/1 +У2
- \jl -Jz\.
N ^ \h -Л1
\m\ < \j\ -j2\.
B.17)
На рис. 2.1 иллюстрируется случай j\ = 3, j2 = 3/2 и предложен
способ подсчета для произвольных значений ji и j2. Размерность
пространства &т равна числу точек на диагонали, на которой вы-
выполнено условие тх + т2 = т.
Пространство Щ +у является, согласно B.17), одномерным и
порождено базисным вектором пространства прямого произведе-
произведения I у, j2}. Вектор I у, У2} также является собственным вектором J2
с собственным значением (У, 4- У2)(У, 4- j2 4- 1).
-3 -2
Рис. 2.1. Точечная диаграмма для базисных векторов прямого произведения
\mim2) = \j\mi} <g) j2m2) в пространстве^1 = ^?/» (g)^»72. Штриховкой от-
отмечены те базисные векторы, для которых \т\ ^ lyi — УгI-
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 209
Доказательство. В общем случаем имеем
J2 = (JA) + JB)J = JAJ + 2JA) • JB) + JBJ
= j<'>2 + j<2>2 + 2(Л1)Л2) + ЛпЛ2) + A"A2)) B18>
JBJ + ^1)^2)
Имеем далее
(УЗД + S»/?)\JUi> <8> \J2J2> = 0, B.19)
поскольку jl и j2 — наивысшие возможные значения /и, и т2, т. е. поскольку
уО> I jxjx) = 0 и У(+2) \jjj2) = 0. Следовательно,
JBJ + iA"A2')\jdx> ® |ЛЛ>
= L/iOi + 1) + Л(л + 1) + 2/1у2]Л2|у1У1> (
= C/i + h)Ui + Л + 1)Л21/1Л). B.20)
Так как вектор 1у,у2) является собственным вектором для п.с.к.о. B.8), он с
точностью до комплексного множителя равен базисному вектору полного углового
момента I jx + j2 j{ + j2 >, имеющего такое же собственное значение и порождающе-
порождающего то же одномерное подпространство в -JP:
U'i + ЛЛ + Л> = а|Л/2Ь а € С. B.21)
Если предположить, что оба базисных вектора нормированы, то а является фазо-
фазовым множителем и его можно положить равным единице, так что
l/i + АЛ + Л> = a\jjz), B.22)
ijihifi + hJ\ +J2> = 1. B.23)
Кроме того, что вектор \j{ + j2jx + j2) порождает пространство ^ + , , он при-
принадлежит к пространству .^7i + ^ всех собственных векторов J2 с собственным зна-
значением j(j + 1) = U\ + J2)(j\ + Уг + ^)* ^ЖД06 такое собственное пространство
полного углового момента &%* инвариантно относительно действия У(. = У^!) + У*2) и
обладает относительно действия этих операторов полного углового момента свойст-
свойствами пространства элементарного ротатора. Таким образом, поскольку \jx +
+ j2j\ + j2 > имеет наибольшее значение т среди векторов из ^7' + у2, базисные век-
векторы \jm) полного углового момента можно получить из ^7l + ■/2, действуя после-
последовательно операторами
У_ = Л» + /2) B-24)
на 'У( + J2Ji + j2), согласно процедуре, использованной в разд. III.3. При помощи
этой процедуры получаем 2(у, ■+• j2) + 1 базисных векторов
\)х + )г т>, m=ji+ J2J1 +j2~l---, ~Ui + Ji)- B.25)
210 Глава V
Рассмотрим теперь пространство У?. . , собственных векторов У3 с собст-
собственным значением т = jx + j2 — 1. Согласно B.17), это пространство двумерно
(кроме случая jx = 0 или j2 = 0). Один базисный вектор полного углового момента
в пространстве (# + . _ , — это вектор I jx + j2jx + j2 ~ О. который уже появ-
появлялся в B.25) как базисный вектор в пространстве '^' + ■/2. Благодаря свойствам
пространства ;#■> остальные базисные векторы \jm=jx+j2—\) в .^ +> - 1
должны принадлежать к пространству #/, для которого./ = jx + j2 — I + п, п рав-
равно неотрицательному целому числу. Но он во всяком случае не может принадлежать
к пространству /#\ для которого j > jx + j2, поскольку это означало бы, что в ^'
имеются значения т большие, чем jx + j2, и он также не может принадлежать к
пространству .rfh+h, поскольку он не был бы тогда ортогонален к
\jx + j2jx + j2). Таким образом, этот новый вектор принадлежит к пространству
rfh + п ~ 1. Этим базисный вектор \jx + j2 - 1 у, + j2 - 1 > определяется с точно-
точностью до произвольной фазы, которая фиксируется требованием
{jij2 — l|y'i + J2 ~ 1 _/i +J2 — О действителен и положителен. B.26)
Как и в случае ^ + У2, поскольку вектор \jx + j2 — 1 jx + j2 — О имеет наиболь-
наибольшее значение т среди векторов в /S^'i + ^ ~ lt базис в .^i + ^ ~ ' генерируется по-
последовательным действием У_ на I jx + у2 ~ 1 ■'i "*" /г ~ ^ с получением
2С/, + j2 — 1) + 1 базисных векторов
-2,...,-(Л +у2- 1). B.27)
Согласно B.17), следующее пространство собственных векторов J, .<#. -
является трехмерным (кроме случаев jx =0, 1/2 или j2 = 0, 1/2). Мы уже имеем в
пространстве .# + _ 2 два ортогональных вектора \jx + j2jx + j2 — 2> из B.25) и
1У, + j2 - 1 jx + j2 - 2> из B.27) и, для того чтобы породить пространство
•^ __ 2, нам нужен еше один ортогональный и базисный вектор полного углово-
углового момента. Используя аргументы, подобные приведенным выше, можно показать,
что новый базисный вектор \jm = j{ + j2 - 2> должен иметь j = jx + j2 - 2 и,
следовательно, принадлежать к пространству полного углового момента
.'#>\ + h - 2t порожденному 2С/, + j2 — 2) + 1 базисными векторами
Ui + h ~ 2m>, т = ji + j2 - 2, jx + j2 - 3, •••, -(/i + h - 2). B.28)
Фазы этих базисных векторов фиксируются условием
\j\h - 2\j\ + J2 - 2/i + h - 2> действительны и положительны. B.29)
Можно продолжать и рассмотреть последовательно собственные пространства
оператора У3 .#т, т = jy + j2,jx + j2 - 1, ..-, \jx - j2 I. На каждом этапе необхо-
необходимо вводить новое пространство полного орбитального момента ■•#■* = т, которое
содержит вектор I mm), необходимый для полноты базисной системы, а также ра-
ранее найденные векторы
\j\ + J2m), L/i +72-1 т), •••, \т + 1 т),
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 211
составляющие базис в пространстве £%т. Этот факт имеет место, поскольку, как это
следует из B.17), размерность следующих друг за другом пространств :#т возраста-
возрастает до тех пор, пока мы не приходим к пространству Щ. _ , | • Как только рассмот-
рассмотрено пространство .'^ ■ _ , | и введено последнее пространство &Р = Jl +72 , ни од-
одно из остальных собственных пространств оператора У3 .&т, т = \ jx + j2 I — 1,
ly'j — j2 I - 2, ..., — (/, + j2) не имеет размерности, большей, чем ^- . (, и они
могут быть на самом деле рассмотрены как порожденные уже рассмотренными ба-
базисами полного углового момента в пространствах .Ф\ + ht <%»\ +h - \ ...
..., f£i\ ~ ^. Таким образом, j может принимать значения j = j\ + j2, jx + j2 - 1, ...
■ ••. Ц - j2 !• Выбор фаз в B.23), B.26), B.29) и т. д. суммируется условием
0"i 7 - JAJJ> ^ °> J = т = h + hJi + h - 1. • ■ • > l7i - h\- B-3°)
Это стандартное соглашение для коэффициентов Клебша — Гордана.
Следовательно, мы видим, что спектр оператора J2 в пространстве :# имеет
вид
спектр j^ = {Ю+ 1):;=;, +/3,;, +;2 - 1.....1Л -./2|}, B.31)
а пространство '■# можно записать в виде
® = Я{\, ® Щ22) = 0th + h е^'+J"'Ф--Ф 9th ' h- B-32)
Такая запись называется разложением .^ в сумму пространств неприводимых пред-
представлений полного углового момента.
Суммируя сказанное, мы видим, что пространство '4?к ® :4?Х не является в об-
общем случае пространством неприводимого представления или лестничного представ-
представления алгебры полного углового момента ^"(SOC)y). Это означает, что не все векто-
векторы из пространства '^.У ® .4$. могут быть получены действием оператора J± до-
достаточное число раз на один из векторов этого пространства; оно является прямой
суммой нескольких таких пространств неприводимого представления .#', как в
B.32). В частности, мы видели, что коэффициенты Клебша — Гордана, являющиеся
коэффициентами перехода между двумя базисными системами B.1) и B.9), равны
нулю, за исключением случая, когда j дается одним из значений B.30) и
т = т. + /и,:
{mxm2\j m} = 0
для _ ...
т*т.+ m2, j*jx + ,W> +j2 - 1,..., \h ~hV B'33)
Коэффициенты Клебша — Гордана вычисляются рекурсивно1*. Рекуррентные
соотношения можно получить, рассматривая матричный элемент оператора
0 Ниже дается краткое описание вычисления коэффициентов Клебша—Гордана;
в дальнейшем потребуются только результаты, приведенные в таблице, и, следова-
следовательно, последующее изложение при первом чтении может быть опушено.
212 Глава V
J± = jt£> + J™ между состояниями \jm) и I mxm2\:
\m\m2\J±\j m) = ylj(j + 1) - m(m ± \)h{m\m2\j m ± 1>
= {пцтг^? + Л2)|У m>
\, \jm))
f l)A{mi =f 1 m2\j m)
+ V/2C/2 + 1) - OT2(W2 =f l)A{mim2 =f l|y-m>. B.34±)
Здесь мы использовали соотношения (III.3.21) — (III.3.23):
1) - m{m ± l)hf'm±l
для
I - I /<') /<2)
Опишем сначала вычисление коэффициентов Клебша— Гордана \mxm2\jj)\ затем
мы обратимся к вычислению коэффициентов Клебша — Гордана для всех значений
т, { mlm2 I jm).
Полагая в B.34 + ) т = j, получаем
-v/'iO'i + 1) - mi(nti - 1){mi - 1 m2\jj)
= Vy2(>2 + 1) - m2(m2 - l){mim2 - l\jj>. B.35)
Благодаря B.33) мы можем ограничиться рассмотрением значений тх +
+ (т2 — 1) = (т, — 1) + т2 = j(= m). Тогда соотношение B.35) может быть пе-
переписано в виде
[С/2 + У - гп\ + 1)С/2 - У + wi)l 1/2, . ....
\ти - nt\\J J?-
С/1 + «,)(;, - m, + 1) J
Г2.36)
Начиная со значения тх = j\, можно последовательно вычислять все ( т{т2 \jj), ис-
используя B.36). Для произвольных значений т1 и т2 = j - тх получаем
\m\mi\j }) = (-1У'-т1
Ji - у-г yi)
[С/2 + У ~ У1 + 1)(Уг + У ~ У1 + 2)---С/2 + У -
2/,B/, - 1)--BУ1 -h + mi +
2 - У + У1 - 1)---(У2 - У + mi + 1)"|1/2, . .
, , ,. : \J\J-J\\JJ)
1-2---С/1 - «О J
(У' + miV-(J2 - j + У1ЖУ2 + j - wi)! "I 'g2
У,)!(У, - m,)!(y2 - У + mx)\(h +j- ji)\ J
С/2 -
х
= (-1У~
L WOKyi - m\VAn - J + mi)l(j2 + J -
x Uij-ji\Jj>. B.37).
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 213
Из условия ортогональности B.15) следует, что при j = j' = m = т' имеем
1= S \[mxm2\jj)\\ B-15')
т, = -y'i
Подставляя B.37) в B.15') и используя равенство1'
vp С/1 + wi)!(/i + У - wi)! C/i + h + j + 1)K—У1 + h + J)\U\ ~h + /)! ,. ,o,
> = (Z.Jo)
mx O'i - «0!(Л - У + ^0! B/' + D!Oi + h - Л!
получаем
C/i + J2 + J + l)!C/i - J2+ У)!
Используя условие для фазы B.30), получаем
«/,)!«/ + 1)! т
\JV-JiJJ>=+ : : т^т-. г-^7- B-40)
C/i + П + J + 1)!С/ - Л + У)!
Это уравнение вместе с B.37) дает все коэффициенты, встречающиеся в правой ча-
части уравнения B.34) при т = j. Уравнение B.34-) дает тогда значения
[mim2\j т = j - 1>
и все последующие значения {тхтг \jm) для всех т = j - 1, j - 2, .... -j.
Этим способом можно получить общую формулу для коэффициентов Клебша —
Гордана2).
Результатом описанного выше вывода является следующая фор-
формула для коэффициентов Клебша — Гордана:
j m) = imim2\j m)
B/ + 1Х/1 + h - jy.Ui - h + jV( -Ji + h + JV~\xn
(jl+j2+j+i) J
x [C/i + "*i)!C/i - rnx)\<Ji + m2)\<Ji - m2)\(J + m)\(j -
x S K- l)V[z!(/i + Л - У - z)l(Ji -mi- z)\(j2 + m2- z)\
z
x (J - y2 + mi + z)!C/ - Л - rn2 + z)!]). B.41)
0 Вывод равенства B.38) можно найти в работе [18].
2) Вывод, использующий те же обозначения, что и у нас, приведен в работе [18].
214
Глава V
Таблица 2.1. <j\m - т2 \/2m2\jm)
т2 = -
= ji + i
Ux
2/i
- w + т
2/, + 1
fri + * + i
2/, + 1
Индекс суммирования z пробегает все целые значения, для которых
аргумент каждого факториала, зависящего от z, неотрицателен. В
формуле B.41) мы вернулись к обозначению B.1) для базиса прямо-
прямого произведения, но мы будем по-прежнему использовать обозначе-
обозначение \jm) для базиса полного углового момента.
Перечислим также некоторые свойства (соотношения симмет-
симметрии) коэффициентов Клебша — Гордана:
1/2
<J2 ~
B.42)
Приведем теперь явные выражения для коэффициентов Клеб-
Клебша — Гордана в случаях j2 = 0, 1/2, 1.
Приу2 = О
<JimiOO\jm} = SjljSmim. B.43)
Значения при/2 = 1/2 и j2 = 1 приведены в табл. 2.1 и 2.2.
Вместо коэффициентов Клебша — Гордана часто более удобно
использовать 3-у-символы Вигнера, поскольку они более полно от-
Таблица 2.2. <Jtm -
; =
Jx + i
J\
jx
/c/i +
•\ B/i
л]
C/i
loi-
m2 = 1
m)Ux +
+ 1K2/1
+ m)Ux
2Jx(Jx
m)(jx -
2yiByi +
m +
+ 2)
- m
+ 1)
m +
1)
1)
Л
+ l)
l)
m2 = 0
/(.Л - w + l)O"i +
/ G/, + 1H, +
m
V/iC/i + 1)
pi - «)C/i + "
Л/ >iByi + 1)
m +
1)
0
1)
Л
N
N
O'i
(
Oi
O'i
m2 =
- m){Ji - m
2/1 + DB/i +
- w)O'i + m
ZiiUi + 1)
+ m + l)C/i
2yiB/i + 1)
-1
+ 1)
2)
+ 1)
+ m)
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 215
ражают свойства симметрии. Вигнеровский 3-у-символ определяет-
определяется соотношением
(
mi т т) \
Его свойства симметрии выражаются формулами
(h h h\ = (h h h\ = (h h h\
\m\ Ш2 тъ) \тг тъ m\) \тъ т\ т2/'
(- 1у.+л+у» (h h h \ = (h Jl -7'3 ^
\m\ тг гпъ) \тг rri\ тг)
_/л л A\(J> л Л\ 246)
/У1 У2 уз\ =(_iyi+h+jJ Л h h\ B41)
\mi mi тъ) \-ml -m2 -тъ)' v ' '
В табл. 2.3 [18] приведены некоторые значения 3-у-символов, ис-
используя которые, можно с помощью свойств симметрии B.45) —
B.47) вычислить много других 3-у-символов.
V.3. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕОРЕМА
ВИГНЕРА — ЭККАРТА
В предыдущем разделе мы довольно подробно рассмотрели опера-
операторы углового момента. Рассмотрим теперь более широкий класс
операторов, называемых тензорными операторами^, которые
определяются их свойствами по отношению к операторам углового
момента. Простейшим примером такого оператора является ска-
скалярный оператор, который определяется как любой оператор 5,
удовлетворяющий условию
[/,, 5] = 0. C.1)
В качестве другого примера рассмотрим любой набор операторов
У, (/ = 1, 2, 3), удовлетворяющих условиям
[Jt, Vj] = iheiJkVk (/, j, k = 1, 2, 3). C.2)
На самом деле мы будем рассматривать только так называемые "неприводи-
"неприводимые тензорные операторы".
Таблица 2.3.
h + h ~ h)! (Л + Уз - h)! U2 + h ~ h) П m (\J)!
(h h h\ = (_
\0 0 0/ ^
при J четном
'h h )ъ\ = 0
0 0/
n ftl -v при J нечетном, где J = jy + j2 + j3
J
M -M - i |/ v 7 [B/ + 2X2/
M -M-\ \) (-I) BJ + 3X2J + 2X2J -r if | n
M -M 0/ v 7 [ B^ + 3X2/ + 2X2/ + 1)
11/2
(J J 1\ j_mUJ - M)(J + M + 1)-2T
\M -M - 1 1/ (" -1 [ B/ + 2X2/ + 1X2/) J
/J J 1\
Ш -M 0/
(-1/- M
[BJ + 1X-/ + DJ]1/2
j-M+ U2\(J - м - Щ - м + jxj - m + 1Л
L BJ + 4X2/+ 3X2J + 2Х2У + 1) J (J + !,J,!)
[ M -M - \ \j [ № + 4X2i + 3X2J + 2X2/ + 1) J
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта
217
S1
218 Глава V
Такой набор операторов называется векторным оператором, или
регулярным тензорным оператором. Заметим, что оператор угло-
углового момента является векторным оператором.
Вместо «декартовых» компонент V{ более удобно использовать
«сферические» компоненты Vo, V±x, определенные соотношениями
±± C.3)
VoVi, V±1(Vi
V2
Заметим, что Н± из (III.3.1) (или J± = hH±) не являются сфериче-
сферическими компонентами векторного оператора, отличаясь от них мно-
множителем 4- 1/V2 или — 1/V5; поэтому мы будем использовать обо-
обозначения J±l для сферических компонент углового момента в отли-
отличие от обозначений У± для повышающих и понижающих операто-
операторов. Уравнения C.2) принимают вид
[JKt VK]= (*= -1, 0, /1), C.4а)
[У±, Ко] = UhV±u [Jo, VK] = кЛК±1. C.46)
В общем случае мы определяем тензорный оператор ранга j
(в сферических координатах) как набор 2 у + 1 операторов1)
Т}/) (к = —j, -j + 1, ..., +у), удовлетворяющих соотношениям
Эти соотношения можно переписать в более компактной форме,
используя коэффициенты Клебша — Гордана:
C.5')
Заметим, что скалярный и векторный операторы являются тензор-
тензорными операторами ранга 0 и 1 соответственно.
Матричные элементы тензорных операторов обладают важным
свойством, которое выражает теорема Вигнера — Эккарта:
'* Чтобы подчеркнуть, что используются сферические компоненты, для индексов
компонент использованы греческие буквы. В случае тензорных операторов общего
вида в этом нет необходимости, но в том случае, когда тензорный оператор являет-
является векторным, использование греческих букв позволяет отличать сферические
компоненты (греческие буквы) от декартовых компонент (латинские буквы).
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 219
Пусть 7у> — тензорный оператор. Матричный элемент T\J)
между собственными состояниями углового момента может
быть записан в виде
(fm'\T£Mm> = <jmJK\fm'Xf\\rJ>\\j\ C.6)
где (jmJfc \j'm') — коэффициент Клебша — Гордана, а сим-
символ (j' II 7у>11 j), определенный в (З.б), обозначает величину,
зависящую от j', j, J и природы тензорного оператора 7)/\
но не от т, т' или к. Символ (j' II T<-J) \\j> называется приве-
приведенным матричным элементом тензорного оператора^.
Эта теорема здесь не доказывается, поскольку доказательство яв-
является чисто математическим и не дает новгой физической информа-
информации. Если в дополнение к j и т существуют другие квантовые чис-
числа, скажем rj = (я,, а2, ..., aN), то приведенный матричный эле-
элемент, вообще говоря, будет также зависеть и от этих квантовых
чисел, т. е.
W[J) lJ)> C.6')
Дополнительные наблюдаемые т;ор = (Л,, А2, ..., AN), собственные
значения которых есть квантовые числа rj = (а{, а2, ..., aN), долж-
должны обладать свойством [т;ор, Jt] - 0 или [т;ор, SOC)y ] = 0. Необхо-
Необходимо подчеркнуть, что теорема Вигнера — Эккарта является од-
одновременно и теоремой, и определением. Она является теоремой в
том смысле, что соотношение C.6) утверждает, что матричный
элемент 7\J) может быть факторизован таким образом, что зависи-
зависимость от т, т' и к будет полностью содержаться в коэффициенте
Клебша — Гордана, и является определением в том смысле, что
C.6) определяет приведенные матричные элементы.
Теорема Вигнера — Эккарта стала одним из важнейших инстру-
инструментов для понимания физики. Соотношение C.6) — это реализа-
реализация теоремы Вигнера — Эккарта для группы вращений, для кото-
которой алгеброй наблюдаемых является алгебра углового момента Jr
Многие физические системы обладают (обертывающей) групповой
алгеброй, являющейся подалгеброй алгебры наблюдаемых, и име-
имеют наблюдаемые, являющиеся тензорными операторами по отно-
отношению к этой группе. Для таких наблюдаемых имеет место теоре-
теорема Вигнера — Эккарта, обобщающая соотношение C.6).
В некоторых учебниках в теореме Вигнера — Эккарта явным образом появля-
появляется постоянный или зависящий о i j множитель. В наших обозначениях эти множи-
множители входят в определение приведенного матричного элемента.
220 Глава V
Теорема Вигнера — Эккарта выражает матричные элементы
тензорных операторов, которые непосредственно связаны с экспе-
экспериментально наблюдаемыми значениями, в терминах коэффициен-
коэффициентов Клебша — Гордана и приведенных матричных элементов. Ко-
Коэффициенты Клебша — Гордана являются известными из матема-
математики величинами и вычисляются, исходя из свойств группы. Приве-
Приведенные матричные элементы — это физические параметры, значе-
значения которых определяют по экспериментальным данным. (Если
наблюдаемая имеет еще какое-то дополнительное свойство, напри-
например (VI.3.12) для вектора Ленца в гл. VI, то для определения приве-
приведенных матричных элементов может потребоваться еще меньшее
число параметров.) Таким образом, значение теоремы Вигнера —
Эккарта состоит в том, что она позволяет выразить большое число
экспериментально наблюдаемых матричных элементов через на-
намного меньшее число более фундаментальных величин — приведен-
приведенных матричных элементов. Часто единственная информация о на-
наблюдаемой состоит в том, что она представляет собой тензорный
оператор, а теорема Вигнера — Эккарта тогда является единствен-
единственным имеющимся в распоряжении средством.
Из теоремы Вигнера — Эккарта C.6) следует, в частности, что
при т' ф к + т или / ф J + j, J + j — 1,..., | J — j |,
что немедленно следует из свойств коэффициентов Клебша — Гор-
Гордана B.33).
В качестве иллюстрации применения теоремы Вигнера — Эккар-
Эккарта заметим, что для скалярного оператора S уравнение C.6) прини-
принимает вид
<fm'\S\jm> = SM.mdrj<j\\S\\j>. C.8)
Это означает, что оператор S не меняет квантовых чисел углового
момента, как этого и следовало ожидать. Для самих операторов
углового момента уравнение C.6) дает
</m'|JJ;m> = <; т 1 к|/т'></1И1;Х C 9)
где коэффициенты Клебша — Гордана приведены в табл. 2.2. Срав-
Сравнивая выражение для коэффициента Клебша — Гордана в таблице
с формулами (Ш.3.8'), (III.3.22) и (III.3.23), мы видим, что
(ЗЛО)
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 221
Если векторы I jm > образуют базис в пространстве, в котором
VK — некоторый векторный оператор, то мы можем разложить
VK\jm) по этому базису:
VK\jm>= Zl/m'></m'|Kc|;m>
ут'
и получить, используя теорему Вигнера — Эккарта C.6),
VK\jm>= Zl/m'><;mlK|/m'></||K||7>. C.11)
j'm'
Если п.с.к.о. содержит в дополнение к J2 и У3 еще N других опера-
операторов /4j, ..., AN со спектром г\ = (а{, ..., aN), то базис образован
векторами Itjym) и, согласно C.6'), вместо C.11) имеем
VK\flJm^= £ Wfm'XjmlKlfm'yWfWVWrjjy C.11')
n'j'm'
В оставшейся части этого раздела мы опустим дополнительные
квантовые числа ту, но необходимо помнить, что в тех случаях, ког-
когда их надо учитывать, приведенные матричные элементы зависят
от г; и необходимо суммировать по tj'.
Согласно C.7), не равны нулю только те члены в C.11), для ко-
которых j' = j + 1, j, j — 1 и т' = m + к:
K\J m) = \j -\ m + K)(j m 1 k\j - 1 m + k)<j - l\V\j)
+ \j m + K}(j m 1 k\j m + K}(j\b\j)
+ \j + 1 m + K)(j m 1 x\j + 1 m + k)(j + \\V\j>. C.12)
Это наиболее общее выражение, возникающее при действии вектор-
векторного оператора. Следовательно, согласно C.12), любой векторный
оператор может быть полностью задан тремя приведенными мат-
матричными элементами (которые в общем случае могут зависеть от
г), г}'). На самом деле, как будет показано ниже, для определения
векторного оператора достаточно двух величин.
Используя коэффициенты Клебша — Гордана из табл. 2.2, мы
можем записать C.12) в явном виде. Для О-компоненты имеем
= |у - 1 m> (-j° ~j$l Г) l
222
Глава V
или
+1/ + 1
V0\j т) -> V/2 - m2cj\J - 1 w> - /тт/|у w>
-V(/ + IJ- m2dj\j
C.13)
где Cj, uj и dj определены в C.13)
._ _ <J\V[/>
at =
VBy + 1)(/ + 1)
Подобным образом
K+1|;m> = - |; - 1 m
+ \jm
- m - 1)(; - m)/2 Cj
lXj-m)/2aj
- |; + 1 m + 1\/(; + m + 1)(; + m +
C.14)
C.15)
= - |; - 1 m -
m -
\jm-
\j + 1 m -
C.16)
2)/2 ^.
Уравнения C.13), C.15) и C.16) утверждают, что векторный
оператор полностью задается тремя функциями с-, ау и dj (которые
в общем случае могут зависеть от tj', t\) дискретного параметра./.
В математическом примечании, приведенном ниже, показано, что
на самом деле необходимо задание только двух таких функций, так
как базис \jm) можно выбрать таким образом, что
dj = cJ+l, C.17)
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 223
» = y/2j + \<j\\V\\j + 1>. C.17')
(Определим новый базис ^
i C.18)
где оо(у') — комплексное число. Операторы углового момента име-
имеют тот же вид (разд. III.3) в базисе I h'm >, что и в базисе \jm >. Во-
Вообще говоря, векторы I hJm > нормированы только при условии, что
C.19)
В этом базисе уравнение C.13) принимает вид
V0\kL> = ^^^^^Ж' L
m{J - I) C 20)
Определим А. = а., а также выберем со (у) таким образом, что
Это возможно, если
т. е. если
оJ0") = co2(j - 1)-^-. C.23)
с ■
Предположим, что j0 — наименьшее значение j на этом пространст-
пространстве, т. е.
Тогда условие C.23) будет удовлетворено, если выбрать
= co2(in) — — • • • сх 1К\
224 Глава V
так что уравнение C.20) принимает вид
V0\kL> = Jj2-m2Cj\hi-'> - mAj\kL>
26)
Таким образом, каждый векторный оператор может быть записан
в виде C.13), C.15), C.16) при условии C.17), где с. и ау. являются
функциями от у. Необходимо, однако, заметить, что в общем слу-
случае мы можем иметь d}.. — с- + { только для одного векторного опе-
оператора VK. Если при рассмотрении задачи возникают два различ-
различных векторных оператора и базис выбран так, что для приведенно-
приведенного матричного элемента одного из них имеет место C.17), то в
этом базисе второй или любой дополнительный векторный опера-
оператор выражается в терминах трех независимых приведенных мат-
матричных элементов.
До сих пор мы не предъявляли к оператору VK никаких требова-
требований, кроме его векторности. Вследствие этого приведенные матрич-
матричные элементы с, и а- являются произвольными функциями j. Если
мы уточним вид оператора VK, то получим информацию о с, и о,. В
приложении мы исследуем три частных случая векторных операто-
операторов, которые вместе с JK генерируют групповую алгебру, и увидим,
что в каждом из этих трех случаев функции с- и а. полностью опре-
определяются заданием двух чисел. Но если об операторе VK ничего до-
дополнительно не известно (из физики), кроме того, что это вектор-
векторный оператор, то с и а. не могут быть вычислены. Они могут
быть определены только феноменологически, по известному экспе-
экспериментальному значению матричного элемента одной из компо-
компонент VK, например с. можно найти из (j — 1, j\ V0\jj), а о, из
ОУ I \ 1уУ>- Все остальные матричные элементы (jm I V\jm) при
т = —j, —j+ I, ..., j и к = 0, +1, —1 можно затем вычислить
по этим двум экспериментальным значениям, используя коэффици-
коэффициенты Клебша — Гордана.
Часто векторные операторы обладают определенными свойст-
свойствами по отношению к эрмитову сопряжению. Они являются либо
эрмитовыми:
либо антиэрмитовыми:
Vl=-V0,
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 225
Легко видеть (см. приложение), что для эрмитовых операторов VK
функции с- являются чисто мнимыми, Cj = —Cj, а функции cij —
действительными, а, = а,. Для антиэрмитовых К имеем с, = с, и
— j j к j j
aJ = -'
ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗД. V.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР
SOC,1), SOD) и Еъ
Алгебры, генерируемые операторами углового момента Jt и неко-
некоторым векторным оператором, возникают в различных задачах
квантовой физики. Мы уже рассмотрели пример такой алгебры в
разд. III.4, где алгебра ^\ЕЪ) возникла как алгебра, генерируемая
операторами углового момента У, и оператором дипольного мо-
момента Q. В гл. VI мы столкнемся с алгеброй r^(SOD)), генерируе-
генерируемой операторами углового момента L; и компонентами вектора
Ленца Aj. Алгебра ^(SOC,1)) является групповой алгеброй группы
Лоренца и имеет разнообразные применения в квантовой физике.
В этом приложении мы дадим вывод представлений этих трех
алгебр. Эти алгебры являются обертывающими алгебрами для
групп SOC,1) (псевдоортогональная группа в C + 1) измерениях),
SOD) (ортогональная группа в четырех измерениях) и Еъ (трехмер-
(трехмерная евклидова группа), но мы не будем здесь обсуждать соответст-
соответствующие теоретико-групповые аспекты.
Определяющие соотношения для этих алгебр имеют вид
[Я,,Я7] = ^кЯк, C.27)
LHi4Fj-] = ieiJkFk, C.28)
lFi,FJl = l2ieijkHk, C.29Л2)
где X2 = -1 для алгебры rf(SOC,l)), X2 = +1 для ^(SOD)) и
X2 = 0 для ^{Еъ). Соотношение C.27) определяет алгебру углового
момента r^(SOC)). Соотношение C.28) утверждает, что Ft является
векторным оператором по отношению к tf(SOC)), причем F(
(/ = 1, 2, 3) — его декартовы компоненты. Соотношение C.29) ут-
утверждает, следовательно, что этот векторный оператор порождает
вместе с Нк одну из перечисленных алгебр. Если кроме C.27) и
C.28) выполняется также соотношение C.29), то F является весьма
специальным векторным оператором, а его приведенные матрич-
матричные элементы принимают весьма специальные значения. Найдем
эти значения. Мы выведем представления для C.27) — C.29) в слу-
случае X2 = — 1, а ответы для случаев X2 = 1 и X2 = 0 получим из-
226 Глава V
менением свойства эрмитовости и предельным переходом соот-
соответственно.
Найти все линейные представления алгебры C.27) — C.29) озна-
означает найти все возможные линейные операторы во всевозможных
линейных пространствах, удовлетворяющие этим коммутационным
соотношениям. Мы ограничимся здесь рассмотрением подкласса
таких представлений, для которых пространство представления &
содержит любое из пространств представлений S%"A = О, 1/2 и
т. д. из <^{SOC))) не более одного раза0. В каждом пространстве
&', согласно разд. II1.3, имеется базис
flm, m =-/,/+ 1,..., +/,
C.30)
а пространство /% порождается, следовательно, этими базисными
векторами fm, где / пробегает набор значений, который необходи-
необходимо определить. Другими словами,
&=4£®Jl. C.31)
Если бы одно из пространств у?1, скажем при / = /0, появилось
больше чем один раз, то набор f'm не был бы базисным набором
для пространства У? и потребовалось бы ввести новый индекс
(квантовое число), чтобы различать ортогональные векторы с оди-
одинаковыми значениями L и т: f'w.
Действие линейных операторов Нк на все f'm уже известно из
разд. 111.3, и нам необходимо теперь найти действие на f'm опера-
операторов FK. Введем (по аналогии с A11.3.1)) компоненты
F0 = F3, F± = F, ± iF2 = +v/2F±1. C.32)
Компоненты Fo и F±, — стандартные сферические компоненты век-
векторного оператора F. Коммутационные соотношения для Fo, F± с
Н± , Но = Нъ и между собой имеют вид
[tf+,F_] = 2F0, [f/_,F + ]= -2FO1
IFK,HJ = O, к = 0, +,- C-33)
IHO,F±1= ±F±, [H±,F0]= +F± J
, [F+,F_]= -2Я0. C.34)
') Этот подкласс содержит все представления, связанные с унитарными пред-
представлениями групп SOC, 1) и SO D).
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 227
Соотношение C.33) имеет тот же смысл, что и C.28), и отражает
векторный характер оператора F; соотношение C.34) соответствует
C.29) с X2 = - 1 и утверждает, что этот векторный оператор явля-
является генератором алгебры <^(SOC,1))- Если использовать теперь
свойства векторного оператора и теорему Вигнера — Эккарта, то
мы получим для Fo и F± выражения C.13), C.15) и C.16). Если так-
также выбрать соответствующим образом фазовый множитель базис
ных векторов (как это обсуждалось в математическом примечании
перед этим приложением), то можно использовать C.17), и мы по-
получим для действия операторов Fo и F± на базисные векторы выра-
выражения
' - ma,flm - чД/ТТ)^тЛ', +, flm+ \ C.35О)
v(Г+~ш- ~w + пГ+Т)с +,Л+Л, C-35
F_flm = -N \T+m){TT^::rT)clfl--\ - Ч/(Г-Ь m)(/ - m + l)tf,./l-i
- ч (/ - m + IX/ - m+ 'l)cl+xfl:-\. C.35.)
При их выводе использовалось только соотношение C.33), и эти
соотношения справедливы для любого векторного оператора, дей-
действующего в пространстве, в котором каждое из пространств ^"
появляется не более чем один раз.
Согласно результатам разд. 111.3, векторы/^ обладают свойст-
свойством
mfm, Hfm = l(l+ l)/i,,
г— C.3 о)
= v/(/TmX/±m+ l)/j^
Векторы f'm выбирались так, чтобы выполнялось условие C.17).
До сих пор мы использовали только соотношения C.27) и C.28);
используем теперь также соотношения C.29) или C.34), чтобы най-
найти неизвестные коэффициенты а, и с{ (связанные с приведенными
матричными элементами соотношением C.14)). Достаточно ис-
использовать только одно из трех соотношений C.34), поскольку два
других являются следствием из этого соотношения и из C.33). Мы
выберем
C.34')
228 Глава V
Действуя обеими частями C.34') на вектор/^, используя C.35) и
сравнивая коэффициенты при /^ + ,, /1„\\ и f^~+\, получаем
следующие уравнения:
+ l)-(/- l^.Jc, = 0, C.37a)
[al+ j(/. + 2) - /fl,]c/+ j = 0, C.376)
B1 - l)cf - B1 + 3)cf+1 - a? = 1. C.37b)
Рассмотрим произвольный базисный вектор f'm, который по
предположению содержится в том пространстве представления .#Р,
которые мы хотим построить. Действуя оператором Нк на вектор
f'm достаточное число раз, мы получаем, как описано в разд. III.3,
все пространство JP1. Действуя векторными операторами FK на век-
ТОР f'm достаточное число раз, мы построим все остальные
■ ■#* С ^, где у отличается от / на целое число, так как FK изменяет /
на 0, +1, — 1. Поскольку у < 0, в любом пространстве -УР всегда
существует наименьшее значение у. Это наименьшее значение у мы
обозначим к0; к0 может принимать любое из разрешенных значений
у и характеризует пространство &. Так как к0 есть наименьшее зна-
значение у, то, согласно C.35),
ск0 = 0.
При целом к0 пространство .# содержит только целые / ^ к0; при
полуцелых к0 JP содержит только полуцелые / ^ к0:
2_, ® ^ • а ю\
l = ko,ko+i \J.JO)
Для всех /, для которых с, Ф 0, из C.37а) получаем
а,(/+ 1)- (/- 1H,-! =0, C.39а)
а для всех /, для которых с, + , ф 0, из C.376) получаем
al + i(l + 2) - \ах = 0. C.396)
Определяя Рх = /(/ + \)аь C.39в)
мы получаем из этих двух условий
Pi-pi-i =o, C39г)
Put - pi = 0,
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 229
а это означает, что р{ не зависит от /. Эту произвольную константу
мы будем обозначать р, — ik0 с, где с — произвольное комплексное
число, и покажем ниже, что множитель к0 всегда можно выделить.
Величину а{ тогда можно записать в виде
длялюбых
В том случае, когда как с, = 0, так ис/+, = 0, из C.37в) следу-
следует, что а}— - 1 и матричные элементы FK в C.35) полностью опре-
определены. Вместе с выражением C.40) это означает, что к0 = I,
с = I + 1 и .& = %К
Остается показать, что всегда возможна факторизация к0, т. е.
что а/ = 0 при к0 = 0. Но при к0 = 0 условие C.39а) выполняется
при / = 1 и^ приводит к ах = 0. При 1 = 2 это в свою очередь при-
приводит к а2 • 3 - а{ = а2 • 3 = 0, и, продолжая действовать таким
же образом, мы получаем at = 0 для / = 1, 2, 3, ..., . При / = 0
множитель перед а0 в C.35) равен нулю, так что рассматривать а0
нет смысла. Таким образом, выражение C.40) имеет место в об-
общем случае.
Чтобы найти С/, используем C.37в). Определив
<т, = B/ - 1X2/ + \)cl C.41)
мы можем записать C.37в) в виде
или, используя C.40),
ах - а1+1 = B1 + \)-klc^ - jf^rjtf) C.42)
Вычислим теперь для любого значения к ^ к0, к ^ 1,
k-i fc-i *-1 /\
Z (°i - а'+1)= L Bl + 1) - кос2 Jl hi
-к2 к2 - k2r2l- —
— К — Ко — К0С I 2 ,2
\К0 К
(к2 - к20)(к2 - с2)
230 Глава V
Поскольку к0 есть наименьшее значение /, то ск = 0 и, следователь-
следовательно, ак = 0, так что получаем
п - - (к2 - к2°){к2 - с2) (Ъ 43)
а из C.41) находим
i /(/2 _ fe2)(/2 _
* а I л ' — \J 7 —
4
Выше мы определили все возможные типы действия операторов НК
и FK, удовлетворяющих C.33) и C.34), на векторы/^. Эти возмож-
возможные случаи характеризуются парой чисел (£0, с), где к0 — целое или
полуцелое число, ас — комплексное число. Для каждого выбора
этих двух чисел действие операторов на f'm задается соотношения-
соотношениями C.35) и C.36), где а( и с, заданы в C.40) и C.44). Другими слова-
словами, для каждой пары (к0, с) имеем представление алгебры
<^(SOC,1)), генерированное операторами НК и FK в пространстве
представления & C.38). Это пространство и действующие в нем
операторы характеризуются парой чисел (к0, с):Щк0, с), Н(Кк^ с) и
fikO> с)
к
До сих пор мы не вводили в пространстве Щк0, с) скалярное
произведение и не можем говорить об эрмитовости операторов.
Поэтому символ Yti = к , к + i ® определяет пространство ли-
линейных комбинаций
где /' е &1, a N — число, в общем случае большее, чем любое за-
заданное число. Для всех пар (к0, с) операторы Н[к^ с) и F\k^ c) при-
принадлежат к линейным представлениям алгебры ^(SOC,1)). для ко-
которых заданное значение углового момента / встречается не более
одного раза. Эти пространства представлений являются в общем
случае бесконечномерными; они конечномерны только при опреде-
определенных значениях с.
Используя C.35) и C.44), можно определить, когда появляются
конечномерные пространства представлений. Из C.35) мы видим,
что последовательное действие оператором FK приводит к увеличе-
увеличению /, пока для некоторого / = к{ не будет иметь место ск + { = 0;
кх — наибольшее значение, которое может принимать / для про-
пространства /Ж Согласно C.44), это означает, что значение с должно
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 231
быть таким, что с2 = (к1 + IJ. Таким образом, для
fco = 0,^l,.--. с=±(/с1 + 1), где к1 = /со, ко +1,..., C.45)
пространство представлений конечномерно, и для него имеем
о, ± (*i + О) = I ©*• C-46)
Хотя пространства (#(£0, (А:, + 1)) и ^(Л:о, - (/:, + 1)) являются
одинаковыми прямыми суммами пространств неприводимых пред-
представлений алгебры rf(SOC)), операторы /^ действуют в этих про-
пространствах по-разному, как это можно видеть из C.44) и C.35).
Они не эквивалентны, как пространства представления алгебры
, но имеют одинаковое разложение относительно
. Из C.40) и C.44) следует, что для конечномерных случа-
случаев C.45) коэффициенты а, и с, удовлетворяют соотношениям
«1 = -й„ сх =ch C.476)
Введем теперь в пространствах Щк0, с) скалярное произведе-
произведение, причем потребуем, чтобы
(fLflm) = S"'dmm-f C.48)
так что оператор Н2 является эрмитовым в пространстве &(к0, с).
Тогда из C.35О) получим
/г г\ г\ \ __ — / г\ г\ \
\г О / m > / т) ™Q'l\J т э / тЛ /^ aq \
(fLFoflm)=~mal(flm,flm).
Вместе с C.48) это означает, что
{Fofl~\flm)cl = -(flm\Foflm)clt C.50,)
(Foflm,flJai = (Л„ Foflfa. C.5O2)
Из соотношений C.50) и C.476) следует, что для конечномерных
случаев C.45) оператор Fo должен быть антиэрмитовым:
FJ = -Fo. Используя те же аргументы или обратившись к C.34),
232 Глава V
можно показать, что остальные компоненты F также антиэрмито-
антиэрмитовы. Таким образом, векторный оператор F антиэрмитов:
Fl=-F0, Fl = -F+, C.47a)
если представление конечномерно.
Другой очень важный случай, — когда оператор F является эр-
эрмитовым векторным оператором:
Fl = F0, F<±=F*, C.51a)
т. е. мы имеем эрмитово представление алгебры
[которое связано с унитарным представлением группы SOC.1)J. В
этом случае из C.51а) и C.50) следует
ах = й„ с, = -с,
C.516)
Согласно C.40), это означает, что при к0 Ф 0 /с действительно, а из
C.44) имеем, что (/2 — к£)(/2 — с2)/D/2 — 1) положительно. По-
Последнее возможно только при действительном с2, т. е. когда с —
действительное или чисто мнимое число.
Следовательно, для любого целого или полуцелого значения kG
и любого мнимого с может выполняться C.51). Если с действи-
действительное, го к0 должно быть равно нулю, чтобы имело место равен-
равенство at = ar Тогда выражение под квадратным корнем в формуле
C.44) равно /2(/2 — с2)/D/2 - 1); оно положительно при всех зна-
значениях / = 1, 2,... только в том случае, если с2 > 1.
Таким образом, мы видим, что условия C.51) могут выполнять-
выполняться в двух случаях:
а) при к0 = 0, 1/2, 1,... и ic — действительное, — оо < /с < +оо;
б) при к0 = 0, 0 ^ с < 1.
Ни в одном из этих случаев с, + , не может равняться нулю. Следо-
Следовательно, согласно C.35), из каждого заданного flm можно также
получить f'm+ l. Можно действовать оператором FK произвольное
число раз, достигая все больших значений /. Пространство пред-
представления -^(к0, с), где (к0, с) соответствуют одному из двух пере-
перечисленных выше случаев, является бесконечномерным:
I ф«'. C.52)
/ = fco,fco+ 1....
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 233
Это (алгебраическая") прямая сумма пространств неприводимых
представлений .^'(/ = к0, к0 + 1,...) алгебры углового момента
Случай (к0 = 0, с = 1) — это тривиальный случай, в котором
все НК и FK являются нулевыми операторами.
Суммируя полученные результаты, мы видим, что найдены про-
пространства неприводимых представлений2* cf(SOC,l)) (алгебры,
определенной в C.27), C.28), C.29х2 = _,)), характеризуемые парой
чисел (к0, с), принимающих значения для описанных выше двух
случаев с эрмитовыми операторами Hi и Fr Редукция этих про-
пространств представлений ^? (к0, с) по алгебре <^(SOC)) описана в
C.52), а операторы НК и FK заданы в C.35), C.36) и C.40), C.44).
Пространства неприводимых представлений алгебры ^(SOC,1)) с
антиэрмитовыми операторами Fi характеризуется двумя числами
(к0, с) = (к0, ±(£, + 1)), которые принимают любые из значений
C.45). Разложение этих пространств представлений по г?(SOC)) да-
дано в C.46), а Нк и FK снова задаются соотношениями C.35), C.36),
C.40), C.44).
Теперь легко найти представления алгебр ^(SOD)) и <?(ЕЪ).
Чтобы построить представления алгебры 4 (SOD)), определим опе-
операторы
Aj = -iFj, AK = -iFK (к = 0, +, -). C.53)
Если операторы F- удовлетворяют коммутационным соотношени-
соотношениям C.29Х2 = _,), то At удовлетворяют коммутационным соотноше-
соотношениям C.29Х2 _ +]); т. е. вместе с Ц они генерируют коммутацион-
коммутационные соотношения ^f(SOD)):
lA^Aj] = ieijkHk C.29х2= +1)
Если операторы F- антиэрмитовы (Fj = —Fj), то операторы Aj эр-
эрмитовы (AJ = АЛ. Поэтому мы можем заключить, что эрмитовы
неприводимые представления алгебры ^(SOD)) характеризуются
двумя числами (к0, ±(кх + 1)), принимающими значения C.45). Все
пространства неприводимых представлений конечномерны и описа-
1) Она может быть пополнена по разным топологиям, например с использова-
использованием топологии гильбертова пространства, заданной скалярным произведением, или
топологии, заданной счетным числом скалярных произведений (ф, ф)п =
= (<Д(Н2 -I- F2 + 1УФ), приводящей к ядерному пространству Ф (см. [19J).
2) Неприводимые представления называют также лестничными, поскольку они
получаются при последовательном переходе от одного значения / к другому, сосед-
соседнему.
234 Глава V
ны в C.46). Операторы Ак снова задаются формулами C.35), C.40)
и C.44), a FK даны в C.53).
Алгебра ^(SOC,1)) имеет два независимых инвариантных опе-
оператора, т. е. два независимых оператора, коммутирующих со все-
всеми генераторами Н{ и Fr Этими операторами являются
Г, = F2 - Н2, С2 = F Н C.54)
Поскольку они коммутируют со всеми Нк и FK, при действии Нк и
Fk на соответствующий собственный вектор их собственные значе-
значения не меняются. Следовательно, их собственные значения одина-
одинаковы на всем пространстве неприводимого представления. Эти соб-
собственные значения можно вычислить, действуя операторами С, и
С2 на подходящим образом выбранный вектор f'm и используя
C.36), C.35), C.40), C.44). В результате получим
Г, Л(*о. с) = (-Ц-с2+ \)f'm(k0, с), C.55,)
C2flm(ko,c) = ikocf'm(ko,e). C.552)
Двумя инвариантными операторами алгебры <T(SOD)) являются
CSO<4, = д2 + Н2 CSO,4, = д Н C>56)
Их собственные значения равны
Cf D)/Ж> ±(*i + 0) = (к2о + с2 - \)flm(k0, ±(*i + 0)
= (Ц + к2, + 2kx)flJko* ±(ki + О), C-570
CS2°D)/U^o, ±(*i + 0) = kocjl(ko, ±(k, + 1))
= ±M*i + W'miko, ± (kt + 0). C.572)
Таким образом, собственные значения инвариантных операто-
операторов полностью задают неприводимое представление. Но удобнее
характеризовать неприводимые представления значениями (£0, с)
или (к0, кх, ±), где обозначение ± относится к двум неэквивалент-
неэквивалентным представлениям с одинаковыми значениями £0 и кх.
Отметим, наконец, частный случай, когда к0 = 0 или С2 = 0.
Именно этот случай наиболее часто встречается при изучении про-
простых квантовомеханических систем. Мы встретимся с ним приме-
применительно к алгебре cf(SOD)) в гл. VI при вычислении спектра ато-
атома водорода. В этом случае, как мы покажем в разд. V.4 (см. осо-
особенно D.25)), не требуется удвоения по четности. Мы уже сталкива-
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 235
лись с такой ситуацией в разд. III.4; при этом получается спиновый
спектр (III.4.2), изображенный на рис. III.4.1. При к0 = 0 для эрми-
эрмитовых представлений алгебры rT(SOC,l)) из C.52) получаем
-*@,с)= X ®М\ C.58)
1 = 0. 1, ...
а для эрмитовых представлений алгебр cf(SOD)) из C.46) имеем
п- 1
1 + 1=И)= £ е#' (л = 1,2,3,...). C.59)
Из C.40) следует, что в этом случае
а, = 0 для всех / (или </||F||/> = 0) C.60)
а операторы /^ и АК изменяют значение /на ±1. Следовательно,
представления @, £, + 1) и @, —кх — 1) эквивалентны.
Построим теперь неприводимые представления алгебры <f(E2)
по неприводимым представлениям (к0, с) алгебры cf(SOC,l)) пу-
путем предельного перехода, который называется контракцией
Ионы — Вигнера. Определим операторы
Р,=АГ,, Ji = H(. C.61)
Если операторы // и Fi удовлетворяют коммутационным соотно-
соотношениям C.27), C.28), C.29Х2 = _,) алгебры <^(SOC,1)), то коммута-
коммутационные соотношения операторов Pt и / имеют вид
~UiJk] = i£ikiJi> C.62)
[■/,-, Pk] = iciklPh C.63)
[^PJ= -A2£*i^i. C-64)
где Я( зависит от X. Инвариантные операторы принимают вид
ХгСх = Р{Р, - Я27,Л, C.65)
ХС2 = P.J,. C.66)
В пределе X2 — 0 коммутационное соотношение C.64) переходит в
коммутационное соотношение
[Р„ PJ = 0. C.67)
236 Глава V
Соотношения C.62), C.63) и C.67) являются определяющими ком-
коммутационными соотношениями алгебры £(ЕЪ). Таким образом, в
пределе X2 — 0 коммутационные соотношения алгебры <^(SOC,1))
переходят в коммутационные соотношения алгебры <?(ЕЪ). Но ес-
если непосредственно переходить к пределу при X — 0, то из C.61)
мы видим, что Р — 0. Чтобы получить алгебру операторов <f(E3)
из алгебры операторов <^(SOC,1)) в пространстве ^(к0, с) в преде-
пределе X — 0, мы должны обеспечить такой рост FK в этом пределе,
чтобы РК не стремились к нулю. Как видно из C.35), C.40), C.44),
это можно сделать, переходя к пределу I /с I — оо при X — 0. Сле-
Следовательно, контракция представления проводится следующим об-
образом:
д _> о, | ic| —► ос так, что ick -» с , C.68)
где б — конечное действительное число. Из C.35), C.40) и C.44) мы
видим, например, что для Ръ имеет место соотношение
Р3Л= I™ AFo/L
icX-i
l - majlm - V(/ + IJ - m2cl+ , flm+ \ C.69)
где
- r , ,- ' /(/2 - kl)(Pl2 - AV) i I2 - kl
c, = l.m Ac, = hm- / ^— = ^J
a, = hm Ял, - hm -——- = ■ C.71)
icX-t ict^e '(' + l) 'V' + U
Инвариантными операторами алгебры (?(Е3) являются /^ и Р^г
Из C.65) мы видим, что при таком предельном переходе
Р{Р{ = lim }2С, = lim {-k2QX2 - Х2с2 + А21) = е2, C.72)
где мы использовали C.55,) для неприводимого представления
(к0, с). Подобным образом, используя C.552), из C.66) получаем
Р( Jt - lim AC2 = Hm Xick0 = ek0. C.73)
Я X
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 237
Представление алгебры <^\Е3), полученное при контракции C.68),
характеризуется, следовательно, двумя параметрами (к0, б), где
— оо < б < +оо.
Подалгебра <f (SOC)) и разложение по этой подалгебре не за-
затрагиваются контракцией C.68). Следовательно, пространство не-
неприводимого представления ^Р(к0, е) алгебры £(ЕЪ), полученное
из пространства ^(к0, с), также имеет вид (ср. C.52))
00
е)= X е#'- C.74)
I = ko,fco+ 1,...
Суммируя полученные результаты, мы видим, что пространства
эрмитовых неприводимых представлений алгебры <f(E3), заданные
в C.62), C.63), C.67), характеризуются двумя числами (к0, б), при-
принимающими значения к0 = 0, 1/2, 1,... ; —оо < б < + оо. Редукция
такого пространства по алгебре <^(SOC)) описана в C.74), а опера-
операторы JK = НК и Рк заданы в C.36) и C.35), где Рк заменяет FK, a at
и с/} заданные формулами C.70) и C.71), заменяют at и сг
Базисная система векторов f'm пространства представления
J?(k0, б) такова, что следующая полная система коммутирующих
операторов диагональна:
J3, JiJit Р{РЬ PtJt. C.75)
Поскольку Р( коммутируют (соотношение C.67)), обычно выбира-
выбирают базис пространства представления, в котором Pt диагональны.
Поэтому в качестве полной системы коммутирующих операторов
выбираем
с соответствующими базисными векторами 1/7,, к0), которые об-
обладают свойствами
- P'), C.77)
£2 = p.-pi. C-78)
Упомянем без вывода1 \ что матрицы перехода от базиса f'm(k0, e)
к базису I pt k0 >
|Pi^o> = £/т(*о»«)<г*о/т|р;Ло> C.79)
(,m
Вывод дан в статье [20].
238 Глава V
имеют вид
(ekolm-\Piko> = llLti±Dlmko((t>> в> ~ ФУ C-8°)
Здесь (ф, в) задают ориентацию р: рх = I e I sin в cos ф, р2 =
= I e I sin0sin</>, ръ = I e I cos0, а £>^ @, 0 — 0) — матрица вра-
вращения1*.
В этом приложении мы рассмотрели широкий класс неприводи-
неприводимых представлений алгебр <^(SOD)), <^(SOC,1)) и ё'(Еъ), многие
из которых используются в этой книге, а также при рассмотрении
других задач квантовой физики. Мы использовали здесь тот же ме-
метод, что и при построении представлений (?(SOC)) в разд. III.3.
Хотя мы не использовали понятий теории групп, заметим, что все
эти представления являются унитарными представлениями групп
SOD), SOC,1) (однородная группа Лоренца) и Е3 (евклидова группа
в трех измерениях).
V.4. ЧЕТНОСТЬ
Четность — очень важная наблюдаемая в квантовой физике, по-
поскольку все квантовомеханические системы обычно находятся в со-
состояниях, являющихся собственными состояниями четности. Пре-
Преобразование четности Р, которое называют также пространствен-
пространственной инверсией, осуществляет переход к зеркальному изображению.
Если физический объект имеет координаты xt и компоненты им-
импульса pjf то для зеркального изображения координаты равны
xj*= —xh а компоненты импульса pf = -рг Для квантовофизичес-
кой системы в соответствии с фундаментальным предположением I
такое, преобразование Р реализуется линейным оператором в про-
пространстве физических состояний. Этот оператор мы называем опе-
оператором четности Up.
Некоторые свойства Up непосредственно следуют из физической
интерпретации четности Р; остальные фиксируются принятыми со-
соглашениями. Как будет показано ниже, оператор Up подчиняется
следующим определяющим соотношениям:
UPQiUpl = -Qi (/=1,2,3), D.1)
UPPiUp1--Pi 0 = 1,2,3), D.2)
UpJiUp1 = +Ji 0 = 1.2, 3), D.3)
]) Матрицы вращения описаны, например, в книгах [18, 21].
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 239
где Q;, Pj и Jj — операторы координаты, импульса и углового мо-
момента соответственно. На Up накладывается еще одно требование
U^=I D.4)
И U2P = 1. D.5)
Из D.4) и D.5) вытекает, что
Ul=Vp\ Uf1 = UP, UP=UP. D.6)
Линейные операторы, для которых выполняется соотношение D.4),
называются унитарными^: таким образом, оператор Up является
унитарным и, согласно D.6), эрмитовым.
Соотношение D.3) следует из D.1) и D.2), если J( = Ц =
= tjjkQjPk\ для других угловых моментов оно постулируется.
Из D.1), D.2) и D.3) мы определяем действие оператора Up на
любую переменную, являющуюся функцией импульса, координаты
и углового момента. При введении новых независимых переменных
их «взаимодействие» с Up необходимо постулировать.
Понятие четности позволяет дать классификацию тензорных
операторов. Тензорный оператор 7J*), для которого
называется {собственно) тензорным оператором', если
иРТ™и-р' = -{-\)кП\ D.8)
то Т[к) называется псевдотензорным оператором. Таким образом,
операторы Q и Р., согласно D.1) и D.2), являются векторными
операторами, в то время как оператор Jjt согласно D.3), является
псевдовекторным (аксиально-векторным) оператором.
Все операторы энергии, с которыми мы до сих пор имели дело,
удовлетворяют соотношению
UPHUP1=H, D.9)
т. е. они являются скалярными операторами. Но соотношение D.9)
не является универсальным: для части оператора энергии, отвечаю-
отвечающей за слабые распады, соотношение D.9) не выполняется (несо-
(несохранение четности).
См. также определение унитарного оператора в разд. XV.3.
240 Глава V
Теперь мы дадим некоторое обоснование приведенных постула-
постулатов.
Пусть ф — вектор в пространстве состояний Ж\ обозначим че-
через фк вектор, который получается из ф под действием Up:
фя=иРф. D.10)
Рассмотрим чистое физическое состояние, которое представляет
вектор ф, т. е. состояние Л^, являющееся проектором на одномер-
одномерное пространство, порожденное вектором ф. Обозначим через Л£
проектор на пространство, порожденное фк, и сделаем «физически
обоснованное» предположение, что это состояние также является
чистым (т. е. фя порождает одномерное пространство); фя — один
из векторов, представляющих состояние, полученное из Л^ при про-
пространственном отражении, поскольку Up — оператор, реализую-
реализующий это пространственное отражение. Таким образом, Л^ —
пространственно-отраженное состояние Л^, и эти два состояния
связаны преобразованием
К = \Ф*><Ф*\ = иР\ф}(ф\и1 = иРАфиу D.11)
Обобщая D.11), для произвольного состояния W получаем (ср.
(Н.4.31)):
WR = UPWU\, D.12)
описывает состояние, полученное при пространственном отражении
из состояния W. Если W нормировано (Tr W = 1), то простран-
пространственно-отраженное состояние также должно быть нормировано
(Тг WR = 1), или в более общем виде
TrWR = TrW, D.13)
т. е. пространственное отражение не должно изменять вероят-
вероятность. Таким образом,
Тг W= Tr(UPWUP) = Tr(WUPUP),
что выполняется, если ввести требование D.4).
Если пространственное отражение осуществить дважды, то мы
возвратимся к исходному объекту. Следовательно,
W= (WR)R = UPWRUP = UPUPWUlUP. D.14)
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 241
Это соотношение имеет место, если выполняется требование D.5).
Требование D.5) обусловливает выполнение D.14), но не является
необходимым для этого, так что оно также отчасти является ре-
результатом соглашения.
Пусть Xj — среднее значение оператора координаты квантовоме-
ханической системы в состоянии W:
пусть х?— среднее значение оператора координаты квантовомеха-
нической системы в состоянии WR, полученном из состояния W
при пространственном отражении, WR = RpWU\,\
х? = Tr(Q,WR).
Тогда, согласно физическому смыслу пространственной инверсии,
имеем
xf
xf=-xf, D.15)
т. е. пространственное отражение меняет значение дг( на -х(. Таким
образом, мы должны иметь
-Tr(QsWR) = -iQip})
D.16)
W)
Это выполняется, если
или, используя D.4), если
1 = -Qit
а это и есть соотношение D.1). Остальные определяющие соотно-
соотношения D.2) и D.3) можно вывести аналогичным способом.
Таким образом, мы обосновали определяющие соотношения
D.1) — D.5) для оператора, представляющего наблюдаемую четно-
четности, показав, что эти соотношения приводят к тем свойствам, ко-
которых мы ожидаем при физическом преобразовании пространст-
пространственного отражения. Следовательно, оператор Up, определенный в
D.1) — D.5), может представлять наблюдаемую четности. Но мы
не показали, что этот оператор является единственным операто-
оператором, который может отвечать преобразованию четности. (Несколь-
(Несколько замечаний на этот счет сделано в разд. XIX.2, в частности, в
приложении к этому разделу.)
242 Глава V
Исследуем теперь свойства оператора четности Up на собствен-
собственных состояниях углового момента, например тех, которые возника-
возникают в пространстве состояний ротатора (III.4.2):
ас
^= X ®&1. D.17)
( = 0
Так как система коммутирующих наблюдаемых
J2,-/3 D.18)
коммутирует с Up, то набор
J2, ^з, UP D.19)
также является системой коммутирующих наблюдаемых. Необхо-
Необходимо различать два случая: а) система D.18) уже есть п.с.к.н., как в
случае ротатора, и б) система D.19) есть п.с.к.н. Последний случай
называется удвоением по четности.
Случай а. Если набор D.18) является п.с.к.н., то векторы 1уу'3>
образуют базисную систему. Из D.3) следует
Up\jj3> = n\jj3>, D.20)
(тг Ф 0 вследствие D.4)), т. е. векторы 1уу3> являются собственны-
собственными векторами оператора Up. Собственное значение тг = ir(j, у3),
которое мы назовем четностью состояния I уу3 >, в общем случае
может зависеть от у, у3. Теперь мы покажем, что
я(л)з) = (-04 D.21)
где внутренняя четность г) не зависит от у, у3 и I т? I = 1.
Из (III.3.22) и (III.3.23) следует»
Upj±\jjy> = Upsjjij + 1) -УзО'з ± 01л'з ± О
= л(У,Л ± 1К/ХГ+ 1)-Л(Уз± 01 УУз ± О-
" В этот и последующих разделах мы будем использовать единицы, в которых
ft = 1. В некоторых случаях мы будем восстанавливать h в уравнениях, используя
при этом обычную (гауссову) систему единиц (см. объяснения на с. 148 и 258).
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 243
Из D.3) следует, что левая часть этого равенства должна быть рав-
равна
J± UP\j у3> = тг(/, h)J± \j h)
jij + 1) - УзС/з ± 1I/ h ± 1 > •
Сравнивая два последних уравнения, мы заключаем, что
nUJi) = л(ЛУз ± 1). D.22)
т. е. тг не зависит оту3. Чтобы найти зависимость тг от у, мы долж-
должны использовать соотношение D.1) и тот факт, что Q — вектор-
векторный оператор. Записывая
п _Qi±jQi п _ п
и используя C.12), получаем
Qk\JJ3> = U - 1./з + к-><7./з1 к'!./ - I ./з +
к-Х.//з1 к-|./7з + K><J\\Q\U>
где <у' HQ;y> — приведенные матричные элементы оператора Q.
Если мы подействуем оператором Up на обе части D.23), то из
D.1), получим
QKUp\jj3> = K
= - I/ - 1 Уз + *>*(/ - 1H" Уз1 л1 \j - 1 Уз + *><У - l|Q|y>
-|УУз + K>*{J)(Jh\K\jh + K>U\QV>
-\j+ Ij3 + k)t(J + \){Jh\K\j + iy3 + K){j + l\Q\j>.
D.24)
Подставив D.23) во второй член этого равенства и сравнив его с
последним членом, мы заключаем, что
<У|<21У> = 0, D.25)
тг(У - П = -тг(У) при О' - 1|<21У> * 0, D.26)
</ + 1) = -МЛ при О' + 1|<21У> * 0. D.27)
244 Глава V
Согласно C.17' )'\
Jlj + 3 О + l||Q||y> = Jlj + KiWQWJ + О, D-28)
так что, если <yll Q\\j + 1 > = 0 для любого у, это вместе с D.25)
означает, что QK есть нулевой оператор. Таким образом, для неко-
некоторых значений j имеем <yll QWj + 1 > Ф 0\ для всех таких значе-
значений имеем из D.26), D.27)
n(j) = -n(j + 1). D.29)
Отсюда следует D.21):
") = (—iy#7 (i/= const).
Чтобы найти возможные значения rj, используем D.5):
UPUP\jj3y = n(jMj)\jJ3> = 1\Нъ>> D.30а)
и D.4):
<Jj3\i\Jh> = <Jh\uluP\jj3y = яо>ох;7з1лз>- D-зоб>
Таким образом,
n(j)n(j) - 1, n(j)n(j) = 1, D.31)
поэтому 7г(у) = 7г(у"), так что величина тг(У) действительна и
тг(уJ = 1, т. е. тг(у) = +1 или — 1. Следовательно,
I/ = +1 или ц = -1. D.32)
Мы можем теперь дать полное обоснование правила отбора
(III.4.10):
4/= ±1. D.33)
Оно следует из того факта, что QK является векторным операто-
оператором.
" Если базис выбран так, что для векторного оператора Q C.17) не выполняет-
выполняется, но все Qt эрмитовы, то можно доказать, что
-Jlj + ЗО + 1ЦШ> - J2) + \<j\\Q\\J + О-
Для антиэрмитовых Qj3 т. е. Qj = — Qr можно доказать аналогичное соотношение
с заменой в левой части ( — 1) на ( + 1).
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 245
Из свойства
[Л, Qi] = itkimQm (к, I, т = 1, 2, 3) D.34)
следует, что Aj = ±1, 0 (см. уравнение C.7)). Из D.25), т. е. из
свойства D.1) для оператора Qt и предположения об отсутствии уд-
удвоения по четности следует, что Ду Ф 0, откуда получаем
(Ш.4.10).
Случай б. Если набор D.19) есть п.с.к.н., то четность тг является
дополнительным индексом базисных векторов:
Up\jM) = тгЦ/зтг). D.35)
Вопрос теперь в том, каков спектр Up, т. е. каковы возможные
значения ж. Из D.4) и D.5) с помощью таких же рассуждений, как и
выше, следует, что должно выполняться D.31). Таким образом
п = +1 или я = -1. D.36)
Вместо D.23) теперь имеем
QK\JM> = У ~ 1/з + к, -тг><jMk\J - 1/з + *>О" Г
+ Ц/З + \K\jh + К, -7Г>ОУз + K)(j, -7Г|
+ \j + 1у3 + к, -t>(jMk\j+ 1/з + ff>
D.37)
где в дополнение к векторному свойству D.34) оператора мы учли
свойство D.1), т. е. тот факт, что QK изменяет собственное значе-
значение Up, а также D.36). Таким образом, в отличие от случая а
свойства D.1) и D.36) не приводят к наложению каких-либо условий
на приведенные матричные элементы (у'тг' II QWjir) и четности.
Следовательно, для любого выбора j, y3 имеются два вектора
и
D-38)
Именно по этой причине случай б называется случаем удвоения
по четности.
Аналогия со случаем а устанавливается обычно при снабжении
состояний не индексом тг, а индексом внутренней четности г/, кото-
которая определяется соотношением
^р \Пъ ПУ = П(~ 1УШз 1> (П = ± О- D.39)
Следовательно, четность 7г(у) для состояния с угловым моментом
246 Глава V
j и внутренняя четность т? связаны соотношением D.21):
</) = (-1L
Как видно из D.37), правило отбора принимает вид
j—j+ Ijj- I, D.40)
л- -п. D.41)
Равенство D.41), следующее из D.1), выполняется и для случая а,
но там оно уже неявно учитывается в правиле отбора D.33)
вследствие D.21).
Если четность является независимой наблюдаемой (случай б),
то, согласно D.38), для каждого значения j имеем два пространст-
пространства углового момента
&* и @г. D.42)
Поскольку оператор QK преобразует заданное значение j* в значе-
значения (У + l)"*, у'"* и (j — \)~п, получаем все пространства углово-
углового момента, если только не найдется такое j0, что
Оо- lv\\Q\\Jo1> = 0 D.43а)
или такое у,, что
Это значит, что j0 — наименьшее значение j, достижимое при по-
повторном действии оператором QK, а у, — наибольшее значение у.
Пространство всех состояний в этом случае можно записать в виде
.& = Xe#£=+i® I e#i=-i = #„=-м ®#„=-1- D.44)
j = jo j- Jo
Существуют ли в природе физические системы, пространство
физических состояний которых имеет вид D.44)?
Когда мы изучали вращающуюся двухатомную молекулу, мы
использовали в качестве классического ее образа гантель, т. е. мы
предположили, что момент инерции вдоль линии, соединяющей два
атома, равен нулю. Вместе с тем, поскольку имеется некоторое
число электронов, вращающихся вокруг обоих ядер, более удачной
классической моделью часто является гантель с маховиком на оси.
Таким образом, во многих случаях двухатомная молекула является
не простым квантовомеханическим ротатором, а квантовомехани-
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта
247
ческим симметричным волчком; в этом случае полный угловой мо-
момент j не перпендикулярен направлению оси а = х/1 x I, а имеет
вдоль направления а постоянную компоненту, т. е.
j • а = const,
D.45)
вследствие вращения электронов.
Чтобы получить оператор энергии и коммутационные соотно-
соотношения для квантовомеханического симметричного волчка, мы
опять используем соответствие между классической и квантовой
Физикой. Рассмотрим сначала классический нерелятивистский сим-
симметричный волчок [22] (рис. 4.1) с моментом инерции \А относи-
относительно оси симметрии а и моментом инерции \в относительно лю-
любой оси, перпендикулярной а. При вращении а с угловой скоростью
W имеем а = W х а. Вычисляя векторное произведение с а и ис-
используя соотношение а2 = 1, получаем
to = (со • а)з + а х а.
D.46)
Таким образом, W имеет составляющие вдоль направления а и
вдоль оси, перпендикулярной а. Угловой момент j = 0 • w, где D —
тензор инерции, может быть записан в виде
j
+ 1вз х з.
Подставляя сюда D.46), перепишем это выражение в виде
j = 1вю + (I,, - 1в)(ю-з)з.
Рис. 4.1. Векторная диаграмма для симметричного волчка. Стрелкой показано на-
направление вращения всей диаграммы вокруг j. Левая часть рисунка — векторная
диаграмма при обращении направления вектора а.
248 Глава V
Используя соотношения
получаем
-1- 1а ~ 1в 1
*в *в 1а х
D.47)
Энергия волчка с угловой скоростью ш и угловым моментом j
равна
Е = \ы • j = \to • D • со.
Подставляя в это выражение D.47), получаем энергию классическо-
классического симметричного волчка, выраженную через j и х:
D.48)
Для квантовомеханйческой системы числа jt и xt заменяются
операторами У( и Q. Следовательно, оператор энергии квантовоме-
ханического симметричного волчка имеет вид!)
D-49)
а для операторов Q и У( выполнены коммутационные соотношения
LJ,-, Jj] = ifoijkJk, [Ji, Qj] = i*eijkQk, [ft, Qj] = 0. D.50)
Решения для этих коммутационных соотношений, такие же, как
для C.62), C.63) и C.67), получены в приложении к разд. V.3. Было
показано, что для любого действительного числа х и любого цело-
целого или полуцелого j0 существует пространство неприводимого
представления, которое редуцируется по алгебре углового момента
как D.44) су, = оо. Собственные значения операторов Казимира Q2
и Q • J равны
Q2 = QiQi = х\
'* Здесь оператор 1/Q1 определяется как обратный оператору Qp'-l/Q1 = (Q1) ';
см. I М\ в разд. VI.3.
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 249
Таким образом, пространства неприводимых представлений D.44),
в которых Jf, Qj и Up, удовлетворяющие D.50) и D.1) — D.3), дей-
действуют как операторы, являются кандидатами на роль пространст-
пространства физически* состояний симметричного волчка. В этих про-
пространствах х2 ujox — константы; следовательно, они должны опи-
описывать симметричный волчок, для которого выполняется D.45),
такой, как вращающаяся двухатомная молекула с электронами,
вращающимися вокруг обоих ядер (до тех пор, пока не изменится
состояние электронов, что приведет к изменению у0). Для симмет-
симметричного волчка общего вида условие D.45) не выполняется, поэто-
поэтому его пространство физических состояний является прямой сум-
суммой пространств неприводимых представлений D.44) с разными
значениями j0. Мы не будем здесь рассматривать молекулы, опи-
описываемые симметричным волчком общего вида [20].
Матричные элементы операторов Q даны в D.37), а приведен-
приведенные матричные элементы (найденные из соотношений C.14), C.17),
C.70) и C.71)) имеют вид
Г*»" D-52)
О - 1 nW\\jn> = -'[^Г^тг] *»■• <4-53)
Зависимость от tj определяется согласно D.1) и D.3). Эти приведен-
приведенные матричные элементы вместе с D.37) и обычными матричными
элементами оператора Jk, описанными в (III.3.8'), (III.3.22) и
(III.3.23), составляют представление в пространстве # обертываю-
обертывающей алгебры £{ЕЪ) трехмерной евклидовой группы, расширенной
по четности. При j0 = 0 имеем <yll Q\\j) = 0, и это пространство
принимает вид D.17). Выражение D.54) показывает, что j может
быть произвольно большим, т. е. j\ = оо.
Энергетический спектр симметричного волчка, т. е. матричные
элементы оператора энергии Н в базисе Ijj^r}) в пространстве Л,
получается из D.49) с использованием D.51):
спектр H = i-6o+,)'fi«A*) <4-55>
ZlB
О" = Л, Л + 1, Л + 2,...), D.55а)
250 Глава V
где Л = j0 — стандартное обозначение, используемое в молекуляр-
молекулярной спектроскопии. Спектр орбитального момента D.55а) получа-
получается из D.44) или C.74). Это также понятно и интуитивно (класси-
(классически), поскольку значение полного углового момента всегда долж-
должно быть больше, чем значение его компоненты по оси Q. Компо-
Компонента вдоль направления Q (ось молекулы) может принимать два
значения ± Л = j0 х/1 х I (знак минус соответствует штриховой ли-
линии на рис. 4.1). Поскольку
QiJiUP= -UrQtJt, Dt56)
собственные состояния четности не являются собственными состо-
состояниями оператора Q-/(, отвечающего этой компоненте. Таким об-
образом, находясь в собственном состоянии четности, молекула не
имеет определенного значения компоненты углового момента
вдоль оси молекулы1}.
Из D.55) следует, что уровни энергии симметричного волчка, в
котором фиксирована компонента углового момента вдоль оси
волчка, такие же, как для простого ротатора, с той лишь разницей,
что появляется пропорциональный Л2 сдвиг уровней, а также от-
отсутствуют уровни с j < Л. Каждый энергетический уровень в до-
дополнение к обычному B у + 1)-кратному вырождению обладает
двукратным вырождением по возможным значениям г) = ± 1. Диа-
Диаграмма уровней энергии симметричного волчка такого типа для
случая Л = 1 приведена на рис. 4.2. Для сравнения приведен также
спектр ротатора. Знак + или — относится к значению четности тт.
Уровни с заданными значениями j и тг = ±, которые, согласно
D.55), должны быть вырожденными, нарисованы слегка разделен-
разделенными. Правило отбора Aj = ±1, 0 выведено выше. Таким обра-
образом, для этих типов молекул, кроме R- и Р-ветвей, описанных в
(III.5.19), в колебательно-вращательных полосах появляются пере-
переходы с Aj = 0, т. е. серия линий с частотами
v0 = v0 + (Вп- - Bn..)j + (Вн. - Bn..)j2. D.57)
!) Это показывает неадекватность классической модели гантели с электроном,
вращающимся вокруг ее оси (рис. 4.1). В квантовомеханическом состоянии с опреде-
определенной четностью электрон не вращается ни по часовой стрелке (положительное
значение \В), ни против часовой стрелки (отрицательное значение j'8) относительно
оси а. Это также не смесь состояний с электронами, вращающимися по часовой
стрелке и против нее. Имеет место чистое состояние, которое не описывается соб-
собственными значениями оператора JQ.
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта 251
J )
5 5
I 1 ' +
О — * @)
а 6
Рис. 4.2. Диаграмма уровней энергии ротатора (а) и симметричного волчка (б) [14].
Для симметричного волчка принято Л = 1, поэтому уровень с j = 0 (штриховая ли-
линия) отсутствует.
(Здесь, так же как в формуле (III.5.19) для R- и Р-ветвей, v0 не яв-
является волновым числом осциллятора, но
Однако, поскольку Л^,) и Л^-j постоянны, этот последний член
может быть исключен при переопределении vQ.) Эта серия линий
называется Q-ветвью. Диаграмма уровней энергии и переходы для
случая, когда верхней вращательной полосе отвечает значение
Л = 1, а нижней вращательной полосе — значение Л = 0, приведе-
приведена на рис. 4.3.
Переходы с Ду = 0 в инфракрасном спектре двухатомных моле-
молекул не наблюдаются. Следовательно, для основного состояния
электронов двухатомной молекулы Л = 0, т. е. движение электро-
электронов в их основном состоянии таково, что не возникает углового
момента относительно междуатомной оси, так что двухатомная
молекула в основном состоянии является гантелью. Но при изуче-
изучении переходов между различными электронными уровнями двух-
двухатомных молекул наблюдались все три ветви. Следовательно, в
возбужденных электронных состояниях в общем случае Л отлично
от нуля и имеет постоянное значение при неизменном состоянии
электронов. Таким образом, в возбужденном электронном состоя-
состоянии двухатомная молекула является гантелью с маховиком, враща-
вращающимся вокруг ее оси. На рис. 4.4, а приведен энергетический
спектр и показаны переходы между электронными состояниями с
компонентой углового момента электронов Л = 0 и внутренней
252
Глава V
четностью г] = +1('Е+) и электронными состояниями с
Л = 1(' [])• На рис. 4.4, б показаны спектр и переходы для состоя-
состояний с Л = 0ит7 = —1('£~) и состояний с ' П- Расщепление между
двумя «вырожденными» уровнями с противоположной четностью,
обозначенное на рис. 4.2, которого не должно быть, согласно
D.55), тем не менее имеет место. Оно возникает вследствие того,
что имеется корреляция между движением электронов и вращением
молекулы (Л-удвоение), которая не учитывалась при выводе D.55).
J'
ос ос ос ос 5/
Г (N г^ ^ *п
ssrar sr «с
аГ & 5£ К К К
7
6
5
4
?1
Рис. 4.3. Диаграмма уровней энергии с Р-, Q- и Л-ветвями [14]. Для большей ясно-
ясности на спектрограмме (внизу) линии Р- и R-ветвей, образующие единый ряд, изобра-
изображены более длинными линиями, чем линии Q-ветви. Линии Q-ветви разнесены не-
несколько дальше, чем на самом деле, чтобы их можно было нарисовать отдельно.
Сближение линий в Р- и /?-ветвях часто бывает гораздо более быстрым, чем это
изображено на рисунке.
Сложение угловых моментов. Теорема Вигнера—Эккарта
253
(*)-•
(s)-'
(а)-
a: a: a: a:
(s)-
)
E)-'
E)+-
(а)--
(а)--
f*"i <N —. О
ее ее 5е ее
d
1П
а: аг а: аг
Рис. 4.4. Диаграммы уровней энергии для первых линий 'П — 'Е + -переходов (а) и
для 41 - 'Е~ -переходов E) [14]. Для большей ясности Л-удвоение для состояния 'П
сильно увеличено. Стрелками на рис. а обозначены: слева /?B) - QB), а справа
0C) - РC). Их разность дает сумму Л-удвоений при J = 2 и J = 3 для верхнего
состояния.
Частоты переходов, заданные D.57), лежат в видимом или уль-
ультрафиолетовом диапазонах в соответствии со значениями частоты
v0 для переходов между различными электронными состояниями.
Глава VI
Атом водорода.
Квантовомеханическая задача Кеплера
Классическая задача Кеплера описывается в разд. VI.2, где вводит-
вводится вектор Ленца. В разд. VI.3 описана алгебра углового момента и
вектора Ленца, а в разд. VI.4 построено представление этой алге-
алгебры. В разд. VI.5 представлен алгебраический вывод спектра атома
водорода, а в конце раздела обсуждаются эффекты тонкой структу-
структуры.
VI. 1. ВВЕДЕНИЕ
На повседневном языке атом описывается как ядро с положитель-
положительным зарядом + Ze и Z электронов, каждый с отрицательным заря-
зарядом — е, движущихся вокруг ядра по фиксированным орбитам.
Простейшим атомом является атом водорода, который (на этом
языке) состоит из протона в качестве ядра и одного электрона, дви-
движущегося вокруг протона в его кулоновском электростатическом
поле. Таким образом, атом водорода рассматривается как реализа-
реализация квантовомеханического аналога классической задачи Кеплера.
Квантовомеханическая задача Кеплера была впервые решена
Паули (в 1925 г.) с использованием гейзенберговских коммутацион-
коммутационных соотношений. Затем стало более привычным исследование
атома водорода путем решения уравнения Шредингера с потенциа-
потенциалом 1/г, рассмотренного в 1926 г. Наше изложение базируется на
работах Паули [25] и Баргмана [26].
При постулировании алгебры наблюдаемых для этой задачи мы
будем следовать нашей общей процедуре анализа квантовомехани-
ческих систем, имеющих классические аналоги, и получать соотно-
соотношений между квантовомеханическими наблюдаемыми на основе со-
соотношений, связывающих классические наблюдаемые. Поэтому на-
напомним некоторые сведения о классической задаче Кеплера.
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 255
VI.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Пусть xt — координаты электрона (с зарядом — е), pt — компо-
компоненты его импульса. Пусть протон (с зарядом + е) находится в на-
начале координат. Тогда кулоновская сила взаимодействия между
электроном и протоном имеет вид
где
n = х/г , г = | х | =
а потенциальная энергия (кулоновский потенциал) имеет вид
V{r)= -e~.
(Здесь заряд е — постоянная системы — измеряется в электроста-
электростатических единицах: е = 4,803-Ю0 см-дин1/2 A см-дин1/2 =
= 1 г1/2 см3/2 с).) Если е измеряется в практических единицах,
е = 1,602-10-19 Кл, то для силы F имеем IFI = Diceo)-l(e2/r2),
где D7гео)~1 = 8,99-1019 кг-м3 с~2 Кл~2.) Тогда для энергии элек-
электрона имеем
р2 е2
Е = ?---, B.1)
2т г
где т — масса электрона. (Масса электрона те = 9,11-10~31 кг
много меньше массы протона: тр = 1836 те\ если учитывать ко-
конечность тр, то т в B.1) есть приведенная масса:
тетр
те + т
ар — не импульс электрона, а
Р=—-
те + т
— приведенный импульс.)
Кроме энергии Е имеются еще два интеграла движения: угловой
момент
1 = х х р,
256 Глава VI
Рис. 2.1
и вектор Ленца (или вектор Рунге — Ленца, см. [27])
р х 1 е2 ,,, -ч
а = - - 1 х. B.3)
т г
Замкнутые орбиты для классической задачи Кеплера являются
эллипсами (рис. 2.1); I — аксиальный вектор, перпендикулярный
плоскости орбиты. Поскольку I является интегралом движения, при
вращении вокруг О орбита не покидает некоторой плоскости. В за-
задаче Кеплера, где V = -е2/г, фиксирована не только плоскость
орбиты, но и сама орбита, т. е. фиксирована главная ось эллипса
РА и эллипс не прецессирует. Интеграл движения, используемый
для описания ориентации главной оси эллипса в орбитальной пло-
плоскости,— это вектор Ленца а, который направлен вдоль главной
оси эллипса от О к А.
Наличие интеграла движения а — специальное свойство потен-
потенциала \/г. В то время как I является интегралом движения для лю-
любой сферически-симметричной системы (т. е. когда К(х) =
= K(ljtl)), вектор а является интегралом движения только для по-
потенциала V(x) ~ \/г\ при наличии малого отклонения от этого ви-
вида потенциала возникает медленная прецессия оси эллипса РА в
плоскости, перпендикулярной I, так что орбита не является более
замкнутой.
Имея в виду последующий переход к квантовомеханическому
случаю, перечислим здесь некоторые соотношения между классиче-
классическими интегралами движения (см., например, [27]). Пусть для неко-
некоторой орбиты имеется главная ось а, побочная ось 6 и эксцентри-
эксцентриситет б = Vl - 62/a2. Тогда
Е= ~~, I2 = те2аA -с2),
2а
а2 = — I2 + еА = (е2еJ.
т
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 257
Определим
а - а ш/V - ЪпЕ. B.4)
Из B.3) немедленно следует
1 • а = 1 • а = 0, B.5)
а короткий расчет с использованием B.4) показывает, что
а2 + V = I^L. B.6)
-2тЕ'
VI.3. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Квантовомеханические наблюдаемые квантовомеханической задачи
Кеплера для атома водорода получаем заменой чисел pjf x( в фор-
формулах B.1), B.2), B.3) эрмитовыми операторами Pt и Q(, для кото-
которых имеют место гейзенберговские коммутационные соотношения
(III.2.1).
Для углового момента это уже было проделано; операторы
углового момента имеют вид
4k^j C.1)
Оператор энергии для атома водорода, согласно B.1), можно при-
принять в следующем виде:
Н = ^-е2О ~\ C.2)
2т
где Q~l — оператор, обратный оператору Q = ^Q\ + Q\ + Q\.
[Математический смысл оператора Q~x требует некоторых по-
пояснений. Так как операторы Qi эрмитовы, оператор А — Z,Q? по-
положительно определен. Оператор А является положительно-
определенным, если (/, Af) ^ 0 и если из (/, Af) = 0 следует
/ = 0 для всех /е Ж. В частности, А обладает тем свойством, что
его спектр [а] (все его собственные значения) неотрицателен (неот-
(неотрицательны). Для каждого эрмитова положительно-определенного
оператора А однозначно определен положительно определенный
эрмитов оператор В, такой, что В2 = А. Для В можно записать
В = у/А. Он обладает той же системой собственных векторов, что
и А, коммутирует со всеми коммутирующими с А операторами и
имеет собственные значения [Va]. Часто такое определение операто-
258 Глава VI
pa VA неадекватно, и необходимо также рассматривать собствен-
собственные значения [ — \Га).
Оператором В~1, обратным оператору В, является (если он су-
существует) оператор, обладающий свойством В~1 В = ВВ~Х = I.
Если В — эрмитов оператор со спектром [Ь], то спектр В~1 есть
{\/Ь} и В~1 имеет ту же систему собственных векторов, что и В.\
Чтобы построить, имея в виду B.3), квантовомеханический век-
вектор Ленца, мы сначала должны договориться о том, каковы кван-
товомеханические аналоги чисел (pxl)( = ciJkPjlk. Так как операто-
операторы Р. и Lk не коммутируют, оператор ejjk PjLk не является эрмито-
эрмитовым. Вместо этого имеет место свойство
UijkPjLky = eiJkLkPJ = eiJkPjLk - 2ihP(.
Поскольку мы хотим, чтобы квантовомеханические наблюдаемые
Л(, отвечающие компонентам вектора Ленца, были эрмитовы, по-
поставим в соответствие классическому выражению симметризован-
ное произведение
eijkPjlk -> Cijk 2\Рj* Lk),
где антикоммутатор [А, В] двух операторов А и В определен
формулой
{А, В) = АВ + ВА.
Тогда квантовомеханический вектор Ленца имеет вид
C.3)
Теперь удобно ввести новые единицы измерения. До сих пор им-
импульс Р измерялся в единицах эВ/с, где с — скорость света, а ко-
координата Q измерялась в сантиметрах. Канонические коммутаци-
коммутационные соотношения имеют вид
где h = 6,58-10~18 эВс = 1,97-10~5 эВ-см/с, где скорость света
с = 2,998- 10ю см/с. Постоянная Планка 27гЛ являлась переходным
множителем между значениями энергии £, измеренными в эВ, и
значениями энергии и, измеренными в единицах с (в частотных
единицах): Е = B-кН)р = hv (соотношение Планка — Эйнштейна);
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 259
эта постоянная является также переходным множителем между им-
импульсом в единицах обратной длины (см), т. е. обратной длины
волны де Бройля 1/Х, и импульсом в стандартных единицах
(эрг-с/см) р = 2тгЛ/\ (соотношение де Бройля). После того как
мы убедились в том, что частота и энергия, или обратная длина
волны и импульс, являются одними и теми же физическими величи-
величинами, измеренными в разных единицах, больше нет необходимости
выписывать множитель пропорциональности между ними hX). По-
Поэтому во всех наших вычислениях мы положим h = 1; это означа-
означает, что вместо координаты Q, измеряемой в сантиметрах, мы име-
имеем дело с координатой, измеряемой в (эВ/с). Вместо Q/h будем
писать просто Q. Таким образом, канонические коммутационные
соотношения теперь принимают вид
[Pi,Qj] = -Ми- C.4)
Для частного случая электрона в атоме водорода мы проведем
дальнейшее упрощение обозначений, используя теН в качестве опе-
оператора энергии, т. е. вместо Р2/2т — е1 /Q будем использовать
оператор энергии, измеряемой в единицах эВ- те, который мы бу-
будем по-прежнему обозначать Н:
„ Р2 а тее2
Я = у--, где а = -^- = тесл. C.5)
Величина 2
а~ he
есть постоянная тонкой структуры Зоммерфельда. В этих едини-
единицах вектор Ленца записывается в виде
^iW/.M + flG.-G- C.6)
Коммутационные соотношения операторов углового момента в
этих единицах имеют следующий вид:
[L,, Lj] = ieijkLk, C.7)
что немедленно следует из (III.2.14).
Теперь, когда мы постулировали квантовомеханические наблю-
наблюдаемые и тем самым алгебру операторов для квантовомеханическо-
Тот факт, что энергия и импульс — также одинаковые физические величины,
измеряемые в разных единицах, следует из принципа относительности.
260 Глава VI
го атома водорода, выведем свойства этой алгебры и сравним ре-
результаты с экспериментальными данными. В частности, мы хотим
найти спектр Н, который дает энергетические уровни атома водо-
водорода. Понятно, что если бы мы знали все алгебры операторов в
линейных пространствах, генерируемые операторами Pjy Qj, удов-
удовлетворяющими C.4), то алгебра наблюдаемых и пространство со-
состояний атома водорода были бы одними из них. Для атома водо-
водорода требуется только одно представление, т. е. одна определенная
операторная алгебра в определенном пространстве состояний. Вме-
Вместо того чтобы придавать сказанному точную математическую
формулировку, продвинемся дальше и выведем эту алгебру. Заме-
Заметим, что пространство физических состояний (подпространство
гильбертова пространства) для атома водорода отличается от про-
пространства состояний трехмерного осциллятора, хотя базисные ком-
коммутационные соотношения остаются теми же.
Как и в случае осциллятора, импульсы Р( и координаты Qi элек-
электрона не являются физическими наблюдаемыми в том смысле, что
физическая система (атом водорода) не может быть приготовлена в
приближенном собственном состоянии операторов Я или Q-: такое
приготовление разрушит атом водорода. Атом водорода, по-
подобно всем нерелятивистским квантовомеханическим системам, су-
существует в собственных состояниях (чистых или смешанных) опе-
оператора энергии. Оператор энергии атома водорода C.2), C.5) отли-
отличается от оператора энергии осциллятора, который имеет вид
Р2 + Q2 (см. II.2.16). Пространством физических состояний являет-
является пространство, порождаемое физически приготовимыми состоя-
состояниями. Для осциллятора это собственные состояния оператора
Р2 -I- Q2, а для атома водорода — собственные состояния операто-
оператора Н C.5). Поскольку различаются операторы энергии, различны и
пространства физических состояний.
В рассмотренных выше случаях осциллятора и ротатора вводи-
вводились новые наблюдаемые, являвшиеся функциями от Pt и Q-, кото-
которые имели более непосредственную связь с физически приготови-
приготовимыми состояниями (например, операторы L; для ротатора). После
того как с использованием C.4) были получены соотношения меж-
между этими наблюдаемыми, мы могли забыть о происхождении этих
соотношений и рассматривать их как новые фундаментальные
(определяющие) соотношения для рассматриваемой частной физи-
физической системы. Мы будем следовать этой процедуре и для атома
водорода.
Чтобы решить, что выбрать в качестве фундаментальных наб-
наблюдаемых в случае атома водорода, напомним, что вектор состоя-
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 261
ния может быть собственным вектором двух различных операто-
операторов только в том случае, когда эти операторы коммутируют. Фи-
Физическими состояниями для стационарных нерелятивистских систем
являются в общем случае собственные состояния (или их смесь)
оператора энергии. Следовательно, в качестве этих новых перемен-
переменных мы выберем операторы, коммутирующие с Н; как мы увидим
ниже, при рассмотрении эволюции во времени (гл. XII), они явля-
являются квантовомеханическими интегралами движения.
Поскольку lj и а{ являются классическими интегралами движе-
движения, мы ожидаем, что операторы углового момента L{ и компо-
компоненты оператора Ленца Aj также являются интегралами движения,
т. е. коммутируют с //, а следовательно, их можно выбрать в ка-
качестве новых фундаментальных наблюдаемых для атома водорода.
Непосредственное вычисление (задача 1) показывает, что из комму-
коммутационных соотношений Гейзенберга действительно следует, что
[H,L,-] = 0 и [Я,Д.] = 0. C.8)
поскольку оператор И коммутирует с 1( и Д, он будет коммути-
коммутировать и со всей алгеброй, генерируемой Lt и Лг Следовательно, в
iron алгебре не существует оператора, который переводил бы за-
.;1ный собственный вектор оператора Н с собственным значением
1 в вектор, не являющийся собственным вектором Н с тем же
собственным значением Е. Обозначим пространство собственных
зекторов оператора Н с собственным значением Е через J?(E).
1 огда все Lf, А, и все (хорошо определенные) функции А =
- /4(L, А) от них будут переводить вектор / е ^(Е) в вектор
А/ - g, который опять принадлежит пространству ^(Е) с тем же
значением Е. Другими словами, собственное пространство -#(Е)
инвариантно относительно алгебры, генерируемой LL, Аг Поэто-
Поэтому рассмотрим сначала эту алгеору и исследуем структуру соб-
собственных пространств -^(Е) оператора Н.
Чтооы оыло удобнее исследовать эту алгебру (и чтобы пока-
показать, что она имеет простую, хорошо известную математическую
" фуктуру), определим новый набор операторов
Л, = (У = 2ЯГ Ч- = А£У/Г=2НГ У C.9)
Мы должны спросить себя, имеет ли определение C.9) смысл. На
пространстве .^(Е) проблем не возникает, поскольку на
V -2 Я = V-2£, т. е. V - 2Н является числом, так что на
операторы At и Л( различаются на постоянный множитель. Таким
262 Глава VI
образом, органичение А{ пространством &(Е), которое мы снова
называем At, хорошо определено. Оператор Ai также хорошо опре-
определен, когда хорошо определен V — 2Н. Это имеет место для векто-
векторов /, для которых (/, (-2Я)/) > 0, как это следует из определе-
определений квадратного корня из оператора и обратного оператора. Это
пространство называется пространством с отрицательной энергией,
или пространством связанных состояний. Мы ограничимся рас-
рассмотрением этого пространства. (Для пространства, на котором
положительно определен оператор +2Н, определим операторы
А[ = V2 Н At вместо At и обнаружим, что эти операторы А- удов-
удовлетворяют коммутационным соотношениям, отличающимся от
коммутационных соотношений для А{ множителем (—1), т. е. А{ и
М/ удовлетворяют одинаковым коммутационным соотношениям;
см. ниже.)
Пространство состояний с отрицательной энергией обозначим
через JP. Оператор Ajt определенный в C.9), хорошо определен на
Ж Из C.8) немедленно следует, что
[Я,Л,-] = 0. C.10)
Непосредственное, но длинное вычисление (задача 1) показывает,
что вследствие коммутационных соотношений Гейзенберга C.4)
операторы A-t имеют между собой и с операторами L, следующие
коммутационные соотношения:
[Lt, AJ = ieijkAk, C.11)
[Аь Aj] = icijkLk, A] = AL. C.12)
Используя L-t и Ап определим операторы
С, = А2 + L2 = Л] + А\ + А\ + Ц + L\ + Ц, C.13)
С2 = AL = L- А = AlLl + A2L2 + A3L3. C.14)
Эти операторы коммутируют с Atм L (а следовательно, с опера-
операторами из алгебры, генерируемой Ai и L..), если А{ и Ly удовлетво-
удовлетворяют коммутационным соотношениям C.7), C.11), C.12):
[C,,Z.J = O, [С1,Л,] = 0, C.15)
[C2,L,]=0, [C2MJ = 0. C.16)
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 263
Алгебра, генерируемая операторами L( и Ajf удовлетворяющи-
удовлетворяющими коммутационным соотношениям C.7), C.11), C.12), называется
[Это обертывающая алгебра для четырехмерной группы враще-
вращений SOD). Алгебра, генерируемая L( и А- = у/2Н А(, где оператор
2Н положительно определен, является обертывающей алгеброй
^(SOC, 1)) для группы SOC, 1); см. приложение к разд. V.3.J
Операторы С, и С2 — это инвариантные операторы, или опе-
операторы Казимира, алгебры ^(SOD)). В пространстве неприводи-
неприводимого представления ^f(SOD)), т. е. в пространстве, построенном
действием каждого элемента из ^(SOD)) на один собственный век-
вектор углового момента (лестничное представление), операторы Сх и
С2 с точностью до множителя являются единичными. Это означа-
означает, что они имеют только одно собственное значение сх и с2 соот-
соответственно и эти значения характеризуют пространство представле-
представления (так же как значение j(j + 1) характеризует пространство
представления ^(SOC)). Для того частного случая, когда Li и Ai
определены формулами C.1), C.6), C.9), используя C.4), можно
вычислить (задача 1)
С2 = 0; C.18)
т. е. оператор С, связан с оператором энергии C.5), а С2 — нуле-
нулевой оператор. Соотношения C.17) и C.18) являются квантовомеха-
ническими аналогами классических соотношений B.6) и B.5) между
а, и /,.. Таким образом, пространство .^(Е) есть некоторое про-
пространство представления алгебры <^(SOD)), а именно такое, для ко-
которого с2 = О и с, = а2(-2Е)~1 - 1.
Если мы знаем все возможные пространства представления ал-
алгебры ^(SOD)), для которых имеет место равенство C.18), то нам
известны свойства всех операторов L(, At, заданных в C.1), C.3),
C.9) в пространствах .^Р{Е) для всех возможных значений Е,
Е < 0. Будет показано, что сх не может принимать любое действи-
действительное значение и спектр значений Сх дискретен. (Для инвариант-
инвариантного оператора J2 алгебры rf (SOC)) мы получили тот же резуль-
результат, а именно допустима только дискретная серия значений j(j + 1)
с j = 0, 1/2, 1, 3/2 ) Следовательно, из C.17) следует дискрет-
дискретность энергетического оператора Н, а сам спектр Н выводится из
C.17) и спектра оператора Сх.
264 Глава VI
Таким образом, нашей задачей является нахождение всех про-
пространств представлений алгебры ^(SOD)), в частности тех, для ко-
которых имеет место C.18). Это может быть сделано почти таким
же способом, как в разд. III.3 для rf (SOC)), но вычисления для
случая rf (SOD)) становятся более сложными. В разд. VI.4 мы да-
дадим описание свойств пространств представлений алгебры
^(SOD)), которое достаточно для понимания последующего мате-
материала. Построение представлений ff (SOD)) проведено в математи-
математическом приложении к разд. V.3.
VI.4. СВОЙСТВА АЛГЕБРЫ УГЛОВОГО МОМЕНТА
И ВЕКТОРА ЛЕНЦА1)
Выберем в качестве базисных векторов в пространстве .^(Е) векто-
векторы углового момента \1т). Это возможно, поскольку набор
Я, L2, L3
является набором коммутирующих операторов. Является ли он
полной системой коммутирующих наблюдаемых для атома водоро-
водорода, можно решить только при сравнении с экспериментом. Поэто-
Поэтому сделаем предположение о том, что этот набор является п.с.к.н.,
т. е. что квантовыми числами атома водорода являются только
/, т и энергия. Ниже мы выясним, что это действительно так с
очень высокой точностью (пренебрегая спиновыми эффектами). Та-
Таким образом, векторы 11т) образуют базисную систему в про-
пространстве &(Е). Поскольку А является векторным оператором
по отношению к угловому моменту, как это видно из C.11), и
UpA^p = —А;, из теоремы Вигнера — Эккарта следует
Ак\1тУ = |/ - 1 т + к-></ш 1 к\\ - 1 т + к></ -
+ \1т + к}Aт\к\1т + к></||/1||/> D.1)
+ |/ + lm + к></т 1к|/ + \т + к}A + \\\Л\\1}.
Так как базисная система векторов \1т) предполагается полной,
удвоения по четности нет, а, поскольку Ai — компоненты вектор-
векторного оператора, из (V.4.25) следует, что приведенный матричный
элемент (IWA II /> = 0. (Это также можно считать прямым следст-
следствием из C.18), связанным с трансформационными свойствами A-L
Вывод см. в приложении к разд. V.3.
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 265
относительно преобразования U .) Если подставить в выражение
D.1) явные выражения для коэффициентов Клебша — Гордана, то,
используя C.11) и C.18), получим следующие выражения.для Ак:
Л0\1т) = Jl2 -m2Ct\l- lm> - уДГ+ IJ - m2 C,+, |/+ 1 m>,
D.2О)
- m -
- 1 m
m + 1)(/ + m + 2)/2C,+ 1|/ +lm+l>, D.2 +
m + 1)(/ - m + 2)/2C/+1|/ + 1 m - 1>, D.2_)
где С, — не определенные пока функции дискретной переменной /,
связанные с </ — \\\А II /> уравнением (V.3.14).
Функции С, определены в C.12). Приведем результат: для любо-
любого натурального числа п = 1, 2, 3, ... имеется функция С\п) такая,
что выполнено C.12). Эта функция имеет вид
Из соотношений D.2) и D.3) находим, что имеют место следую-
следующие свойства. Для каждого числа п = 1, 2, 3, ... имеется простран-
пространство неприводимого представления .#(«). Низший угловой момент
в J?(n) есть / = 0, поскольку, начиная с заданного значения /,
действием операторов Ак всегда можно достичь, согласно D.2) и
D.3), значения / — 1, если только не имеет места равенство / = О,
так как в этом случае С^ = 0. Наибольшее значение углового мо-
момента равно /7-1, поскольку, согласно D.2), всегда можно перей-
перейти от значения / к значению / + 1, действуя операторами АК, если
только не имеет места равенство Cft\ = 0, которое, согласно D.3),
соответствует / = п — 1. Поскольку при различных / векторы
\1т) ортогональны, пространство .^(п) является прямой суммой
пространств неприводимых представлений углового момента JP1:
РА{п) => X © РА\ D 4)
ASO<3)) / =
где символ =* означает, что два пространства одинаковы лишь в
том случае, когда на них действует только алгебра <f(SOC)).
Действие операторов L3, L± в каждом из пространств .$?1 и,
266 Глава VI
следовательно, в &(п) описано в разд. III.3. В частности,
L3|/w> = ш|/ш>, L2|/m> = /(/ + 1)|/ш>. D.5)
Таким образом, действие операторов L, и Л,, а следовательно, и
всей алгебры <f(SOD)) известно для любого пространства .^(л)
(п = 1, 2, 3, ...). Чтобы показать, что вектор 11т) является эле-
элементом пространства ^(п), т. е. Лк задан формулой D.2) с неко-
некоторым С\п\ мы будем указывать у вектора и этот индекс и будем
обозначать его \nlrn). Непосредственное вычисление с использова-
использованием соотношений D.2) и D.3) показывает, что собственное значе-
значение оператора С, в пространстве ,^(п) равно сх = п2 — 1:
С,|и/ш> = (п2 - 1)|и/т>. D.6)
Это дает дискретный набор допустимых значений для с,.
Пространство Л(п) является пространством неприводимого
представления не только для алгебры ^(SOD)), но и для алгебры
cf(SOD)), расширенной по четности Up:
UpLiUp = + L,, D.7)
UpAiUp = ~A{. D8)
Применяя соображения, приведенные в разд. V.4, к пространству
JP(n), где нет удвоения по четности, получаем
иР\п1п\> = {-\)lr\n\nlm\ D.9)
где г]п = +1 или г)п = — 1, но может отличаться для различных
пространств JP(n). Мы исследуем зависимость щ от п ниже.
VI.5. СПЕКТР ВОДОРОДА
В предыдущем разделе мы описали все пространства неприводи-
неприводимых представлений 4?(п) алгебры углового момента и вектора
Ленца (т. е. все неприводимые представления алгебры ^(SOD)),
для которых имеет место C.18)). Соотношение C.17) устанавливает
связь этих пространств с собственными пространствами энергии
с отрицательной энергией Е < 0:
=(п2 - \) = а2(-2ЕУ1 - 1. E.1)
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 267
Таким образом, для энергии в каждом пространстве Л(п) имеем
Е-Е - - —
где £?(п) — все возможные допустимые собственные пространства
оператора энергии для атома водорода.
Пространство физических состояний атома водорода Ji являет-
является прямой суммой всех таких пространств &(п):
&= t ©<*("), E.2)
п= 1
а для спектра оператора энергии в пространстве & имеем
спектр Н = Еп= -а2/Bп2) (и = 1, 2, 3,...), <5-3)
где п называется главным квантовым числом.
[Смысл бесконечных линейных комбинаций векторов fn e Л(п)
(т. е. £„=]/„) требует точного определения. Это может быть беско-
бесконечная сумма в смысле гильбертова пространства (ХЛ",Н fn II2 < оо),
в смысле пространства Шварца (£„=, \\ fn\\2n2p < оо) или в каком-
либо другом смысле. Даже если понимать E.2) в смысле гильбер-
гильбертова пространства, пространство Л «отличается» от гильбертова
пространства
которое является обычным квантовомеханическим гильбертовым
пространством. Изометричное отображение, действующее между
• # и У/\ физически бессмысленно, поскольку оно отображает друг в
друга элементы, отвечающие различным физическим состояниям.
Физические состояния атома водорода в любом случае являются
только векторами, принадлежащими плотному подпространству
Ея Я'(п) гильбертова пространства, где суммирование произво-
производится по произвольному большому, но конечному индексу п. Лю-
Любой предел /7 — 00 является математической идеализацией, а с фи-
физической точки зрения в пределе п — оо физическая система пере-
перестает быть атомом водорода: она ионизуется и становится систе-
системой, состоящей из протона и электрона. Можно, конечно, рассмат-
рассматривать расширенную систему, включающую как состояния атома
водорода, так и электрон-протонные состояния. Для такой физи-
физической системы пространство '.3? не является полным пространст-
268 Глава VI
вом физических состояний, хотя оно может по-прежнему являться
плотным подпространством пространства Ж. Пространством фи-
физических состояний такой системы является прямая сумма про-
пространства .^? и пространства #" -*• непрерывной прямой суммы
пространств неприводимых представлений алгебры cf(SOC, 1)), ге-
генерируемой операторами L( и А- = V2# At.
Пространство /^ есть пространство неприводимого представле-
представления алгебры ^(SOD, 1)) (а также алгебр ^(SOD, 2)) и rf(E4)); про-
пространство .^Р' является пространством неприводимого представле-
представления алгебры ^(SOC, 2)). Такие алгебры называются алгебрами, ге-
генерирующими спектр, а соответствующие группы — группами, ге-
генерирующими спектр. 1
Переходы между различными энергетическими уровнями осу-
осуществляется операторами координат Qt (дипольные переходы) и их
степенями (мультипольные переходы). Таким образом, операторы
Qj являются наблюдаемыми, осуществляющими связь между раз-
различными пространствами УР{п). Используя тот факт, что операто-
операторы QK (к = 0, ± 1) являются компонентами-(собственно) векторно-
векторного оператора, получаем
QK\nlm) = У \п I - \т + к></ш 1 к|/ - 1 m + к">B/ + II V
E.4)
+ £|и'/ + \т + к) (I ml к\1 + 1 т + к>B/ + II 2q'l\
п'
где приведенные матричные элементы
<7/п'" = B/+ \Г112(пЧ- \\\Q\\nl\
qf" = Bl+ \yl'\n'l+ l\\Q\\niy,
зависят от п'п. Их можно вычислить (задача VII.1), но в настоя-
настоящий момент нам нужно только то их свойство, что они отличны
от нуля для всех п', п. Физический смысл этого утверждения со-
состоит в том, что дипольные переходы существуют между всеми
энергетическими уровнями атома водорода.
Мы можем определить зависимость от п внутренней четности
t)n, используя трансформационные свойства QK относительно пре-
преобразований Up. Согласно D.9), действие Up на E.4) дает
UpQJnlm} = Х(-1)'~1'7„ЧИ' ' - 1 го + *></>я 1 к\1 - 1 т + к)
х B/ + \yl2q1n
+ £(-1)'+Ч'1"'' +lm+ к></т 1 к\1 + 1 т + к>
х B/ + \У12цЧ'п. E.5)
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 269
Но использование (V.4.1) дает
= -QKUP\nlm) = -(-l)lrjnQK\n lm}. E.6)
Подставляя выражение E.4) в правую часть соотношения E.6) и
сравнивая коэффициенты с соответствующими коэффициентами в
E.5) (т. е. используя линейную независимость базисных векторов),
получаем
ЧпЯ?'" = ПпЧ?\ ПА!" = ПпЯ"'"- E.7)
Поскольку приведенные матричные элементы отличны от нуля,
qf" ^ Ои q?'" Ф О, имеем
Пп' = Чп = Ч, E.8)
т. е. г)п не зависит от п, а для четности собственного состояния
энергии имеем
иР\п1т} = (-\Уф1т\ E.9)
где у] равно либо +1, либо -1. Уравнение E.9) означает, что чет-
четность состояния с заданным значением углового момента / одина-
одинакова для всех энергетических пространств 3?(п). Принято выби-
выбирать у] = +1; физический смысл имеет только относительная чет-
четность.
Каждое собственное пространство энергии атома водорода
#(п), согласно D.4), является прямой суммой собственных про-
пространств углового момента .%"; таким образом, каждый энергети-
энергетический уровень Еп включает в себя п значений углового момента:
/ = 0, 1,2, ...,п - 1.
Каждое собственное пространство углового момента № в про-
пространстве #(п), согласно (III.3.24), является прямой суммой
2 / + 1 одномерных пространств J?'m:
Л1 > X е<, E-10)
которые порождаются каждым вектором I nlm). Алгебра
есть подалгебра алгебры <f(SOC)), генерируемая оператором L3.
Следовательно, размерность пространства J?(n) равна
"X B/ + 1) = n\ EЛ1>
270 Глава VI
т. е. существует п2 линейно независимых собственных состояний
Н с собственным значением Еп, т. е. собственное значение Еп
л-кратно вырождено.
Чтобы сравнить вычисленный энергетический спектр с экспери-
экспериментальным, измеренным в электронвольтах, мы должны подста-
подставить а = т е2 /h из C.5) в E.3):
т.
(напомним, что Еп — энергия в эВ-те, Е'п — энергия в эВ). Вели-
Величина
К =
2h2 2
может быть вычислена с использованием значений
тес2 = 0,51-106 эВ,
е2 = 23-10-20 ед. СГС2 = 23-Ю-20 дин-см2,
е2 1
а =
ch 137,036
Величина R" = тееА/BН2) — постоянная Ридберга в энергетиче-
энергетических единицах. Ее численное значение равно
R" = 13,6 эВ. E.13)
Уровни энергии атома водорода показаны на рис. 5.1, где не
приняты во внимание детали экспериментального энергетического
спектра. Слева приведены значения разности Е'п — Е[, измеренные
в электронвольтах. Как видно из рис. 5.1, соотношение E.12) вы-
выполняется в эксперименте очень хорошо. С возрастанием п уровни
энергии располагаются все ближе и ближе друг к другу и в пределе
/7 — 00 сходятся к значению Е^ = 0. Значения Е > 0 исключены,
так как мы рассматривали только подпространства с
положительно-определенным оператором -2 Я; область Е > 0 —
это область, в которой квантовомеханическая задача Кеплера не
описывает атома водорода, а описывает электрон, рассеиваемый
протоном (состояния рассеяния). Таким образом, если рассматри-
рассматриваемой физической системой является только атом водорода, про-
пространство .^Р из E.2) является пространством физических состоя-
состояний. Если в качестве нашей физической системы рассмотреть систе-
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера
271
эВ
13
12
11
10
9
8
7
' 6
5
4
3
2
1
0
V. СМ
$
о
_ о о <->
©" — о" о" «■> .
3 О г- оо <^> р\ г-
— оо оо
«1 — г<^
20000
^ оо оо ^ р*~
He H 0 My HjH t Н£ Н щ Н ¥
I
7 « 40000
!
с?
60000
80000
100000-
Рис. 5.1. Диаграмма уровней энергии водорода.
му, состоящую из атома водорода или электрона и протона, то
пространство физических состояний шире, чем .<#, и # является
подпространством дискретных собственных состояний энергии3*.
Уровень энергии Е = Е^ = 0 — это значение энергии, при кото-
!) Необходимо заметить, что мы обсуждаем только электронные состояния,
т. е. описываем электрон, испытывающий внешнее воздействие со стороны ядра.
Если бы мы хотели рассмотреть комбинированную электрон-ядерную (протонную)
систему, нам пришлось бы выбирать в качестве пространства физических состояний
прямое произведение электронного пространства .JP и протонного пространства
Jfp- ^®^fp (аксиома IV), или ^®^цм. где <#пм — пространство, отвечающее дви-
движению центра масс. Если пренебречь структурой протона (например, его спином),
то для протонов в состоянии покоя пространство <Жр одномерно.
272
Глава VI
ром физическая система перестает быть атомом водорода; выше
этого значения энергия электрона может принимать любые значе-
значения, и появляется возможность приготовления приближенных соб-
собственных состояний импульса электрона. Это означает, что, начав
с атома водорода в основном состоянии, можно приготовить физи-
физическую систему в приближенном собственном состоянии импульса
электрона, если сообщить ей энергию, которая по величине не
меньше, чем — Ех, и эта система не является более атомом водоро-
водорода. Состояниям с непрерывной энергией отвечают гиперболические
орбиты классической задачи Кеплера.
Справа на рис. 5.1 приведены значения (отрицательной) энергии
в единицах см, т. е. волновые числа vn, связанные с Е'п\
Е'п
V" ~ 2nhc'
Подстановка сюда выражения E.12) дает для волновых чисел выра-
выражение
Величина
h34nc п2'
R_ l n»_ e*me = 3,29- lO15^1,
2nh ~~^
R = -1- R" = e me = 1,097-1O5 см-1
2nhc 4nh с
E.15)
E.16)
E.16')
есть постоянная Ридберга в частотных единицах и единицах волно-
волнового числа соответственно. (Первоначально постоянной Ридберга
называлась величина R.)
Линии, соединяющие различные энергетические уровни, изобра-
изображают переходы с испусканием (поглощением) электромагнитного
излучения. Согласно (III. 1.1), частота и волновое число поглощен-
поглощенного или испущенного светового кванта равны
V _ =
т
RI-г- —
п1 т2
(вс-1),
(в см).
E.17)
E.17')
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 273
Число рядом с каждой из линий на рис. 5.1 дает длину волны света
в ангстремах:
Л- = Vvnm = Ф'пт,
где 1 А = 10'8 см = 10~4 мкм.
Совокупность переходов, оканчивающихся на одном и том же
низшем состоянии, образует спектральную серию, и каждая серия
атома водорода имеет исторически сложившееся название. Набор
линий, отвечающих переходам на уровень п = 1, называется серией
Лаймана. Частоты серии Лаймана равны
v'i- = Д'(у " —гJ (т = 2,3,4,...). E.18)
Линии с наибольшей длиной волны отвечает значение c/v'n =
= 1215,68 А. Эта линия находится в ультрафиолетовой области
(см. рис. III. 1.2). Серия с п = 2
V'2m = R{y2 ~
" ■■>• E.19)
называется серией Бальмера. Она лежит в видимой части спектра,
и выражение E.19) впервые было получено эмпирически Бальмером
в 1885 г. Оно сыграло исключительно важную роль в построении
квантовой теории атомов. Другие серии на рис. 5.1 с п = 3 (Паше-
на), п = 4 (Брэкетта) и п = 5 (Пфунда) лежат в инфракрасной об-
области.
Каждому энергетическому уровню с энергией Еп отвечает соб-
собственное пространство энергии .<%(п) размерности п2. Энергетиче-
Энергетический уровень Еп л2-кратно вырожден. Таким образом, если изме-
измеренное значение энергии атома водорода равно Еп, то соответству-
соответствующее состояние является в общем случае смешанным (кроме случая
п = 1), а (нормированный) статистический оператор для этого со-
состояния равен
W = (JrArlK, E.20)
где Ап — проекционный оператор на л2-мерное подпространство
■ #(п). Измерения энергии атома водорода не выявляют значения
орбитального момента; они выявляют только верхний предел для
допустимых значений орбитального момента / = 0, 1, ... , п — 1.
Наличие л2-кратного вырождения каждого энергетического уров-
уровня является особенностью атома водорода, или потенциала \/г.
■JHI 18
274
Глава VI
Энергия
3S1
2S
IS
ЗР1
2PJ
3D'2
3Di2
Расщепление блиго-
г.ря лвлгоовсколш
сдвигу
Лэмбовский сдвиг
Тонкая структура
триллетное
И
Сверхтонкое расщепление
сиыглетное
Рис. 5.2. Низколежащие уровни энергии атома водорода. (Масштаб не соблюден.
Уровни с различными значениями главного квантового числа п разделены гораздо
сильнее — см. рис. 5.1. Здесь это обозначено штриховыми линиями, проведенными
между далеко отстоящими друг от друга уровнями энергии.)
Это связано с наличием дополнительно к компонентам углового
момента Lj интегралов движения Аг В общем случае имеется
только B / + 1)-кратное вырождение энергетических уровней, воз-
возникающее вследствие того, что [Ljf H] = 0.
Но вырождение в атоме водорода является лишь приближен-
приближенным, и рис. 5.1 дает только грубое описание экспериментальной си-
ситуации. Проведенное теоретическое рассмотрение, как и любая тео-
теоретическая модель, дает лишь приближенное описание ситуации в
природе. Более тонкие детали водородного спектра показаны для
низколежащих уровней на рис. 5.2.
Первое из чисел у каждого энергетического уровня дает значение
п. Символы S, P, D — это значения углового момента / = 0, 1,2
соответственно (например, 2Р означает п = 2, / = 1, а т может
быть любым в интервале — / < т < + /). Согласно E.12), все 2S-
и 2Р-состояния должны иметь одинаковую энергию; так и показа-
показано на рис. 5.1. Но это равенство выполняется лишь приближенно.
2Я-состояния расщепляются на два подуровня 2Р3/2 и 2Р1/2, где
£BР3/2) - £BР1/2) = 0,453-Ю-4 эВ = 1095-107 с E.21)
Сравнивая это значение со значениями из E.12), E.13), мы видим,
что наша модель действительно дает прекрасное описание водород-
Атом водорода. Квантовомеханическая задача Кеплера 275
ного спектра; отклонение E.21) составляет лишь долю процента.
Расщепление E.21) (тонкая структура) и расщепления ЪРъп — ЪРХ'2
и 3D5/2 — 3DV1 можно объяснить, если ввести новую перемен-
переменную — спин электрона. Верхние индексы 3/2, 1/2 и т. д. связаны с
этим новым спиновым квантовым числом (см. разд. IX.4).
Расщепление между уровнями 2SW2 и 2Р1/2 нельзя объяснить
даже после введения спина. Оно снова на порядок меньше, чем
E.21):
E{2Syl) - EBPW2) = 0,0353 см = 0,437-10 эВ = 1058-106 <г
1.
оно называется лэмбовским сдвигом. Лэмбовский сдвиг возникает
вследствие взаимодействия электрона с флуктуациями поля излуче-
излучения, а его объяснение требует привлечения новой теории, которая
называется квантовой электродинамикой.
Расщепление каждого терма 151/2, 251/2, 2Р1/2 и т.д. на два
уровня — сверхтонкое расщепление — еще на порядок величины
меньше, чем лэмбовский сдвиг:
EBSW2 верхний) — EBSW2 нижний) = 0,0059 см,
ЕBРи2 верхний) — ЕBРи2 нижний) = 0,0020 см.
Чтобы объяснить это расщепление, необходимо включить в рас-
рассмотрение наблюдаемые, описывающие внутреннюю структуру яд-
ядра (в частности, спины нуклонов).
Суммируя, мы видим, что наша простая теоретическая модель
очень хорошо описывает спектр водорода. Но для того чтобы опи-
описать более тонкие детали, необходимо вводить новые переменные
или даже привлекать совершенно новые теории (квантовую элек-
электродинамику и ядерную физику). Каждая теория имеет пределы
своей применимости, и этот пример спектра водорода является хо-
хорошей иллюстрацией того, что за каждой новой значащей цифрой в
экспериментальном значении может скрываться совершенно новая
область физики.
Глава VII
Щелочные атомы и уравнение Шредингера
для одноэлектронных атомов
В разд. VII. 1 на примере щелочных атомов объясняется концепция
теории возмущений. Разд. VII.2 содержит алгебраическое вычисле-
вычисление матричных элементов Q~v {у = 1, 3, 4, ...); результаты исполь-
используются для вычисления энергетических уровней щелочных атомов.
В разд. VII.3 дано краткое описание решения уравнения Шрединге-
Шредингера для атома водорода, которое используется для альтернативного
вычисления матричных элементов Q~" и вычисления энергетиче-
энергетических уровней щелочных атомов. В этом разделе перечислены также
некоторые свойства сферических гармоник, которые используются
во второй части этой книги.
VII. 1. ГАМИЛЬТОНИАН ЩЕЛОЧНОГО АТОМА И ТЕОРИЯ
ВОЗМУЩЕНИЙ
Спектры щелочных атомов очень похожи на спектр атома водоро-
водорода. Это можно предположить, руководствуясь их классической мо-
моделью, в соответствии с которой щелочной атом состоит из «ва-
«валентного электрона», который движется в кулоновском поле ядра и
усредненном поле остальных электронов, которые находятся на ор-
орбитах, более близких к ядру.
Классический потенциал VA (r) для этого «внешнего» электрона
при больших г имеет вид
Ул(г) « -е2/г,
поскольку Z - 1 электронов на внутренних орбитах экранируют
заряд ядра Ze, так что эффективный заряд равен е. Для очень ма-
малых г (меньших, чем радиусы внутренних орбит)
VA{r)* -Ze2/r.
Следовательно, VA (r) можно записать в виде
VA(r)= -j+ V(r), A.1)
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 277
где потенциал V(r) отрицателен и отличен от нуля только вблизи
ядра. Следовательно, классическая функция Гамильтона для внеш-
внешнего электрона имеет вид
h = Лвод + V(r), A 2)
где К(г) — малое возбуждение гамильтониана Авод.
Точное выражение для V(r) неизвестно, поскольку оно зависит
от неизвестного распределения заряда по кору, состоящему из ядра
и внутренних электронов. Если потенциал УА(г) сферически-
симметричен, то его можно представить в виде
е2 е2 е2
Ул(г)= -со--сх72-с27з----, A.2')
где сое — заряд, схе — еб-х/г — дипольный, с2е = eg^x^j/r2 —
квадрупольный и т. д. вклады кора. Для щелочных атомов размер
кора мал по сравнению с радиусом орбиты внешнего электрона,
так что величина с, мала, а вклад квадрупольного и высших муль-
типольных моментов пренебрежимо мал.
Оператор Гамильтона для квантовомеханической системы в со-
соответствии с выражением A.2) имеет вид
H = K + V, A.3)
где К — оператор Гамильтона для атома водорода:
f$- 0.3-)
есть «малое возмущение» гамильтониана К. В выражениях A.3),
A.3'), A.3") мы использовали единицы, введенные в разд. VI.3,
т. е. мы осушествили замены Q{/h —• Qi и т„ Н — Н.
Задача теперь состоит в том, чтобы найти спектр оператора Га-
Гамильтона Н и его средние значения в физических состояниях. Это
не удается сделать точно. Кроме того, мы не знаем точного вида
потенциала V(r) или V(Q), хотя нам известны некоторые его
свойства. Следовательно, нам остается только надеяться, что
спектр Н не отличается существенно от спектра К, т. е. V вызыва-
вызывает только небольшие изменения спектра К.
Вычисление спектра щелочных атомов производится в рамках
теории возмущений, которая в более общем виде обсуждается в
278 Глава VII
следующей главе. Одним из существенных моментов такого подхо-
подхода является выбор удобного базиса. Рассматриваются сначала соб-
собственные состояния К, т. е. выбирается полная система коммути-
коммутирующих наблюдаемых, включающая в себя К. Если остальные наб-
наблюдаемые п.с.к.н. не коммутируют с V, то при действии на соб-
собственный вектор потенциал V не только изменит собственное зна-
значение К, но изменит и собственные значения остальных наблюдае-
наблюдаемых. Таким образом, V возмущает не только спектр К, но и спект-
спектры остальных наблюдаемых п.с.к.н. Следовательно, п.с.к.н. дол-
должна выбираться таким образом, чтобы как можно большее число
входящих в нее операторов коммутировало с V.
Для щелочных атомов имеем
[KL»] = 0, A.4)
поскольку [е LJ _ 0
Следовательно, мы имеем идеальную ситуацию, когда как Н, так и
К могут быть диагонализованы вместе с L2 и L3. Таким образом,
базис задачи об атоме водорода \nlrn) является очень удобным
для рассмотрения задачи.
А, = (-2КУ 1/2(^ш(Л, Lk} + QtQ " '), 0-5)
и мы опять имеем
d\nlm} = (А2 + L2)|n/m> = (л2 - 1)|и/ш>. A.6)
Но в отличие от атома водорода полный оператор Гамильтона Н
уже не коммутирует с А(, А2 и С,:
Таким образом, Я и С, (а следовательно, Н и К) не могут быть
одновременно диагонализованы, т. е. в пространстве & нет соб-
собственных векторов, являющихся одновременно собственными век-
векторами Я и С,. Обозначим собственные состояния Н через \\lrn),
а собственные значения через Ех:
A.8)
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 279
Как это следует из A.4), Н можно диагонализовать одновременно с
L2, 13.
Возникает вопрос: каковы физические состояния, в которых
можно приготовить щелочные атомы? Из фундаментального пред-
предположения III следует, что щелочные атомы при осуществлении из-
измерения энергии системы должны находиться в собственных состо-
состояниях оператора энергии (или в их смеси), т. е. статистический опе-
оператор должен иметь вид
WH = Ах, W% = ЛЯ1, или w«m* = д;;т , A.9)
если измерялись соответственно энергия, энергия и угловой момент
или энергия, угловой момент и его г-компонента. Здесь Лх — про-
проектор на пространство собственных векторов Н с собственным зна-
значением Ех; АХ1 осуществляет проекцию на пространство, порожден-
порожденное \\/т) (т = —/, —/ + 1, ... , +/), а АХ1т осуществляет проек-
проекцию на пространство, порожденное \\lrn).
Если состояние шелочного атома приготовлено не измерением
энергии, а измерением наблюдаемой С, или К, то, как это следует
из фундаментального предположения III, такая физическая система
должна находиться в собственном состоянии С1, т. е. статистиче-
статистический оператор должен иметь вид
WK = An, W$ = \Hl или W{lm) = Anlm, (i.iO)
где Ап — проекционный оператор на пространство собственных
векторов оператора С, с собственным значением п1 — 1.
Хотя на этой стадии мы не можем исключить возможность то-
того, что состояния атомов приготовлены измерением Сх, эта воз-
возможность кажется чрезвычайно маловероятной, поскольку Сх и К
имеют не более, чем вспомогательное значение (кроме случая ато-
атома водорода), а физической наблюдаемой является Н. (В гл. XII
мы также увидим, что состояния, которые не меняются во време-
времени,— а состояния, отвечающие уровням энергии атомов, с боль-
большой вероятностью обладают этим свойством,— должны быть соб-
собственными состояниями оператора энергии.) Таким образом, появ-
появление физических состояний из A.10) сделало бы формулировку те-
теории чрезвычайно неудовлетворительной и вызвало сомнение в
адекватности предположения III. Поэтому интересно посмотреть,
чем различаются предсказания A.9) и A.10). В этой главе мы вы-
выполним вычисления для щелочных атомов и увидим, что их спектр
не позволяет дать ответ на этот вопрос. Но ниже в главе, посвя-
280 Глава VII
щенной двухэлектронным атомам (атому гелия), мы увидим, что
экспериментальные данные требуют выбрать A.9), что подтверж-
подтверждает правильность фундаментального предположения III и исполь-
использования стационарных состояний (см. гл. XII).
Значение, предсказываемое для результата измерения энергии в
состоянии H^w> из A.10), согласно фундаментальному предположе-
предположению II, равно
A.11)
H) = Tr(AnlmH) = Тг(Л„/мА:)
= (nlm\K\nlm) + {nlm\V{Q)\nlm)
a
a2
Для случая, когда состояние есть W(//n) из A.9), имеем
Я) = Тг(Ля;тЯ) = <Я/т|Я|Я/т> = Еи. A.12)
Член е(п, I) в выражении A.11) — матричный элемент малого воз-
возмущающего гамильтониана V:
е(л,0 = <nlm\V(Q)\nlm}. A.13)
Поскольку векторы \nlrn) известны, этот матричный элемент
можно вычислить, если известен V(Q). Величина е(п, I) не зависит
от т вследствие A.4). Следовательно, для среднего значения в со-
состоянии Ап1 получаем
/»> = Д". О- A.14)
В противоположность среднему значению Е(п, I) собственное зна-
значение Ех/ принадлежит спектру Н. Спектр Н и состояния Wlm) не-
необходимо найти. Спектр К и состояния \nlrn) известны из задачи
об атоме водорода, а для вычисления Е(п, /) остается только вы-
вычислить «малые» матричные элементы е(л, /).
Собственные значения и собственные векторы оператора Н
определяют, используя теорию возмущений. Выясняется, что
Е(п, /)вA.11) есть приближение первого порядка Е$ при вычисле-
вычислении по теории возмущений собственного значения ЕХ1. Именно поэ-
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 281
тому мы не можем различить A.9) и A.10). Поскольку вычислить
точно Е(п, /) нельзя (так как неизвестна точная форма V(Q)), мы
никогда не можем установить путем сравнения с эксперименталь-
экспериментальными данными по спектрам щелочных атомов, является ли Е(п, I)
точным значением энергии или лишь результатом вычисления в
первом порядке.
VII.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ОПЕРАТОРА Q-"
Чтобы получить поправочный член е(п, I) = (nlm\ V(Q)\ nltn),
вычислим матричные элементы оператора Q~v для любого цело-
целого v. Эти матричные элементы будут также использованы при вы-
вычислении сверхтонкого расщепления в разд. IX.4.
Будем действовать следующим образом. Выведем сначала неко-
некоторые соотношения между операторами Q~", L2 и
Матричный элемент от одного из этих соотношений дает рекур-
рекуррентное соотношение для матричных элементов (nlm\Q~v\ nlm).
Введем оператор
\Ш \ 9iP.-L. B.2)
Q l Q
Из коммутационных соотношений Гейзенберга следует
се. pa - и. B.3)
{Уравнение B.3) следует из соотношения
при использовании равенства
[<2, Pi] = iQi/Q. B.4)
Доказательство равенства B.4) проводится следующим обра-
образом:
IQ2, PJ = IQjQj, Pi] = QjLQj, Pi] + CGj. Pi]Qj = Ш-
282 Глава VII
С другой стороны,
[Q2, р^ = сее, рл = есе, PiU + се, phq = (е. се.
а следовательно,
.Палее
се2, се, pj] = сеесе, л] + есе, Л
ме + се, ^i
= се, есе, ^и + се, с&
= се, (е, се, Л]}] = се, 2iej = о,
где использовано соотношение B.5). Но если Q2 коммутирует с
[(?» Pj], то Q = (Q2)W2 также коммутирует с [Q, Pt] (по определе-
определению квадратного корня из оператора). Следовательно, из B.5) сле-
следует
что в свою очередь приводит к B.4).J
Из определения L, L, = eijk Qj Pk и определения B.2) после непо-
непосредственного вычисления следует
Р2 = РГ2+^1Л B.6)
Оператор энергии К запишется тогда в виде
Здесь Р2г/2 — оператор кинетической энергии радиального движе-
движения, а Рг — оператор, сопряженный оператору радиуса
Q — vQjQj,— часто называют оператором радиального импульса.
Оператор радиального импульса удовлетворяет коммутационно-
коммутационному соотношению
lQ~\Pr]= -ivQ~{v+1\ B.8)
(Мы докажем соотношение B.8) индукцией по v. Заметим снача-
сначала, что
[/, Рг] = 0 = [QQ- \ Pr] = Q[Q~\ Pr] + [б, РЖ х-
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 283
Используя затем соотношение B.3), получаем [Q~l, Pr] = — iQ~2.
Следовательно, соотношение B.8) имеет место при v = 0, ±1.
Предполагая, что соотношение B.8) справедливо для v = n, вычис-
вычисляем
[Q--', Pr] = Q'xlQ-\ РЛ + \ОГ!, РЖ"
Таким образом, если соотношение B.8) справедливо для v = n, оно
справедливо и для и = п + 1. Подобным же образом можно пока-
показать, что, если B.8) справедливо для v = — (и + 1), оно справедли-
справедливо и для v = —п. Следовательно, соотношение B.8) справедливо в
общем случае.I
Из соотношений B.8) и B.7) после непосредственного вычисле-
вычисления получаем
[К, е-"'-»] = Kv- 1X2B~viPr- vQ-<"+1>). B.9)
Частным случаем B.9) является
IK,Q]= -iPr. B.9a)
Соотношение
[K,iPJ = VQ-3-aQ-2 B.10)
может быть проверено подстановкой выражения B.7) в левую
часть и использованием соотношения B.8).
Из соотношений B.9) и B.10) получаем
[K,[K,<r(v-!)]] = (v - l)[-v(v + \)Q~^
B.11)
Подставляя B.9а) и B.9) и вычисляя коммутатор получаемого вы-
выражения с К, находим
C(TV[& К], К] -iv[(T(v+n,K] + v[(T(v+I\K]
1 B.12)
= -Ц- [[X, Q-<- "], X] + v[Q-(v+ 1(, X],
v — 1
где к обеим частям добавлено по одинаковому слагаемому.
Подставляя выражения B.11), B.7) и B.9) в правую часть B.12),
284 Глава VII
получаем
IQ'XQ, К], К] +iv[(T(v+1), X] = 2vQ~lv+1)K - (v + 1)(Г(
+ Bv+ l)aQ-(v + 2) + iv(v+ 1)(V ЛЧ^-(v + 3) BЛЗ)
Рекуррентное соотношение для матричных элементов Q~v возника-
возникает при вычислении матричных элементов B.13) между векторами
\nlrn), для которых
K\nlm) = - —у |n/w>,
2n
Матричный элемент левой части B.13) по векторам \nlrn) равен
нулю, так что мы получаем рекуррентное соотношение
0= _v^<n/m|Q-(v+1)|n/m> + Bv + \)a(n lm\Q-{v + 2)\n I m>.
и B.14)
Если вычислить матричный элемент B.13) между состояниями
\nlrn) и \п'Гт), то получаются рекуррентные соотношения для
недиагональных элементов [28].
При v = - 1 уравнение B.14) дает
(nlm\Q-x\nlrn> = a/n2. B.15)
Матричные элементы Q~2 не могут быть получены из B.14); но их
можно вычислить, используя волновые функции из разд. VII.3 и
вычисляя выписанный там интеграл C.29) с V(r) = l/r2. В резуль-
результате получим
(nlm\Q-2\nlm>= " . B.16)
п V "Г 2)_
При v = —2 уравнение B.14) дает
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 285
Из всех матричных элементов Q~", которые можно получить из
B.14), мы приведем низшие:
B.17)
B.18)
Константа а в наших единицах имеет размерность обратной
длины. Согласно (VI.3.5),
а = тет. B.19)
Встречавшаяся выше величина Q при нашем выборе единиц измере-
измерения измерялась не в сантиметрах, а в единицах (эВ/с) (см. об-
обсуждение перед уравнением (VI.3.4)), т. е. на самом деле это не Q,
a Q/h. Если Q измеряется в обычных единицах (сантиметрах), то
константу а надо заменить на a/h. Таким образом, при Q, изме-
измеренной в сантиметрах, полученные уравнения справедливы при за-
замене а на
h rB 0.529 х ИГ8 см' v ' ;
Величина гв называется боровским радиусом.
Мы можем теперь найти значение энергии
для любого V, являющегося суммой положительных и отрицатель-
отрицательных степеней Q. Выражение B.21), как мы уже отмечали и как это
будет показано в следующей главе, получается при вычислении в
первом порядке по теории возмущений. Мы будем использовать
для V(Q) только дипольный член
V(Q) = -Cla/Q\ B.22)
который, как обсуждалось выше, должен быть достаточно хоро-
хорошей аппроксимацией.
Из B.16) и B.22) для Е(п, I) получаем
E(n,D=-^-2 1+-7TT-R • B-23)
286
Глава VII
Таким образом, пространства представлений /%(п) алгебры
ef(SOD)) уже не отвечают одному значению энергии, поскольку Я
не коммутирует с Аг (На теоретико-групповом языке говорят
« V(Q) нарушает 8ОD)-симметрию».)
Обычно B.23) записывают в виде
Е(п, 0 - -
2п*2
2(и - а)
2 '
B.24)
где п* называется эффективным квантовым числом, г. а = о(п, /) —
квантовым дефектом. Сравнивая B.24) и B.23) и пользуясь тем,
что величина с{ мала по сравнению с боровским радиусом 1/а, на-
Вапьт
Рис. 2.1. Уровни энергии атома лития.
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 287
8pz z-
iPz -r-
цсм '-
юооо-
Рис. 2.2. Уровни энергии атома натрия.
ходим, что квантовый дефект для щелочных атомов равен
(У -~ "г Г" •
Энергетические уровни лития, натрия и цезия приведены на диа-
диаграммах рис. 2.1, 2.2 и 2.3 соответственно. Уровни энергии обозна-
обозначаются стандартным образом. Первое число — главное квантовое
число п, а буквы 5, р, d, /, ... обозначают значения углового мо-
момента / = 0, 1, 2, 3, ... соответственно; например, Ър означает
п = 3, / = 1. Линии, соединяющие различные энергетические уров-
уровни, изображают дипольные переходы. Числа у этих линий дают
длины волн в ангстремах. Эти переходы подчиняются правилу от-
отбора Д/ = ±1 (см. V.4.33)).
288
Глава VII
Вольт
3,87
Рис. 2.3. Уровни энергии атома цезия.
Сравнивая эти энергетические диаграммы с энергетической диа-
диаграммой для водорода на рис. VI.5.1, мы видим, что имеется зави-
зависимость от / поправочного члена в формуле B.23), которая приво-
приводит к расщеплению уровней с одинаковым главным квантовым чис-
числом. Таким образом, формула B.23) дает хорошее количественное
описание экспериментально наблюдаемого энергетического спектра.
Мы видим также, что некоторые энергетические уровни расщепле-
расщеплены в противоречии с формулой B.23); например, у натрия имеются
два энергетических уровня 3/7, и Зр2, в то время как, согласно фор-
формуле B.23), должен наблюдаться только один уровень. Исходя из
B.14) и B.18), даже если взять для V(Q) сферически-симметричное
разложение общего вида A.3"), энергетические уровни будут зави-
зависеть только от п и /. Расщепление таких уровней с одинаковыми
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 289
квантовыми числами п, I объясняется после введения новой наблю-
наблюдаемой — спина, которую мы обсуждаем в гл. IX.
Из экспериментальных диаграмм уровней энергии на рис.
2.1—2.3 мы видим также, что для лития нет уровня энергии с
л = 1, для натрия нет уровней энергии с п = 1 или 2; для калия от-
отсутствуют энергетические уровни с п = 1,2 или 3 (здесь это не изо-
изображено), а для цезия — с п = 1, 2, 3, 4 или 5. Это означает, что
наша физическая система, которая представляет собой внешний
электрон в электростатическом потенциале VA(r) = -e2/r +
-I- V(r), не может находиться в состоянии с главным квантовым
числом п = 1 (литий), п = 1 или 2 (натрий) и т. д. В гл. X мы уви-
увидим, что это можно объяснить как следствие новой фундаменталь-
фундаментальной аксиомы квантовой механики — принципа запрета Паули.
VII.3. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА И ЩЕЛОЧНЫХ АТОМОВ
Решение уравнения Шредингера для атома водорода настолько из-
известно, что здесь нет необходимости его детально обсуждать. Оно
не приводит к появлению новых наблюдаемых результатов, кото-
которые не обсуждались бы в предыдущей главе. Новые величины, ко-
которые здесь появляются,— волновые функции ^л/т(х) = <*,, х2,
х3\п1т) = <х1л//л>. Величина 1^(хI2 представляет собой, соглас-
согласно результатам, приведенным в гл. I и II, плотность вероятности
наблюдения электрона в состоянии \nlrn) в точке х. Но такое из-
измерение положения не может быть осуществлено. Тем не менее ре-
решение уравнения Шредингера является одним из общепринятых ме-
методов вычисления уровней энергии, и часто это очень удобный ме-
метод. Кроме того, волновые функции физически важны для анализа
рассеяния. Мы дадим здесь только краткое описание этого метода,
поскольку детальные вычисления имеются во многих хороших
стандартных учебниках по квантовой механике.
Уравнение Шредингера для одноэлектронного атома получается
при вычислении «скалярного произведения» уравнения на собствен-
собственные значения энергии
H\nlm) = E\nl т)
с обобщенным собственным вектором 1х> = \хх, х2, хг). Исполь-
Используя B.7), получаем тогда
<х| (у + ^2 + Ш)) \ШпС> = Е<х\п1тУ C.1)
Н>1 - 19
290 Глава VII
Для атома водорода VA(Q) = VBoa(Q) = —a/Q. Уравнение C.1)
применимо также к любой другой одночастичной задаче в трехмер-
трехмерном пространстве, если VA(Q) заменить соответствующим опера-
оператором потенциальной энергии, a I nlm) — соответствующими ба-
базисными векторами.
В базисе обобщенных собственных векторов 1х> операторов Q.
операторы координаты Qt действуют как умножение на х{:
<xieil<A> = x1<x|<A>. C.2а)
Согласно (II.7.53), операторы импульса Pf действуют дифференци-
дифференцированием по х{Х):
У = -.-^<х\ф>. C.26)
Обобщенные собственные векторы координаты 1х> мы обозна-
обозначим полярными координатами (г, 0, ф) вместо декартовых коорди-
координат:
xl = r sin 0cos ф, х2 = r sin в sin ф, х3 = r cos в. C.3)
Тогда из B.2) и C.2) следует
1 (д 1\
C.4)
*' Заметим, что при выводе (II.7.3) кроме коммутационного соотношения Гей-
зенберга потребовалось предположение, что оператор Р2 + Q2 имеет по крайней ме-
мере один собственный вектор (или эквивалентное предположение, что Р2 + Q1 су-
существенно самосопряжен). Следовательно, C.26) является не только следствием
(VI.3.4), но требует выполнения дополнительного предположения. Это предположе-
предположение естественно для трехмерного гармонического осциллятора, поскольку в этом
случае Р2 + Q2 отвечает наблюдаемой энергии. Для атома водорода энергия дается
формулой B.1), и оператор Р2 + Q2 не обязательно отвечает какой-нибудь перемен-
переменной для атома водорода. Таким образом, C.26) есть дополнительное предположе-
предположение, и описание атома водорода в гл. VI не полностью эквивалентно описанию в
рамках уравнения Шредингера. Пространство ■# из (VI.5.2), рассматриваемое как
гильбертова прямая сумма, является полным гильбертовым пространством; оно яв-
является пространством унитарного представления SOD) и неприводимых унитарных
представлений групп SO D, 1) и SO D, 2). В пространстве & оператор С{, заданный
в (VI.3.13), и вследствие (VI.3.17) оператор энергии атома водорода является само-
самосопряженным. Пространство квадратично-интегрируемых решений уравнения Шре-
Шредингера C.1) с дискретными собственными значениями (пространство связанных со-
состояний) не является полным гильбертовым пространством. Замечательно, что эти
топологические различия никак не отражаются на наблюдаемых величинах.
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 291
Матричный элемент оператора углового момента Li = ejk Q Рк в
базисе обобщенных собственных векторов операторов Qjt согласно
C.2), равен
<x|L,#> =T£,jfcX,-^-<x|iA>. C.5)
Если в качестве индексов у обобщенных собственных векторов ко-
координаты использовать полярные координаты C.3), дифференци-
дифференциальные операторы в правой части C.5) должны быть преобразова-
преобразованы от декартовых к сферическим координатам; в результате до-
довольно длинных вычислений получим
<x|JL1|iA> = -(- sin</>^ - cot в cos ф-щ\ <г в ф\ф\ C.6,)
0^ C.62)
\^<г0ф\фУ C.63)
i дф 3
Отсюда находим
(^ ^U^)) C-6)
Для 1^> = \nlrn) уравнения C.63) и C.6) принимают вид
(вф\
(Хвф\п1т>{ф\), C.63')
i дф
кып*вдф Бшвдв\ дО/J
C.6')
Подстановка C.4) в C.1) дает
= Е0-вф\п1т}. C.7)
292 Глава VII
Используя разложение
\nlrn) = (V>x|x><x|n/m>
= [г2 sin в drded<t)\r О ФУ (г в ф\п1т) C.8)
в условии ортонормированности
<п' X т'\п I m> = Ьп„ЬиЬтт' , C.9)
получаем условие нормировки для коэффициентов перехода
sin в dr dd dф(п' /' т'\гв ф>(гв ф\п1т) = <5пп<<5„«5тт<- C.10)
Уравнение C.7) для заданного значения / является дифференци-
дифференциальным уравнением по единственной переменной г, в то время как
C.63') и C.6') являются дифференциальными уравнениями только
по угловым переменным в, ф. Следовательно, коэффициент перехо-
перехода записывается в виде
(З.Ц)
Уравнения C.7), C.6') и C.63') сводятся тогда к уравнениям
, (ЗЛ2)
'^ (ЗЛЗ)
)^Г1т(в,ф)= т¥1т(в,ф). C.14)
Для атома водорода УА(г) = -а/г и Е(п, I) = -a2/{Inf. Усло-
Условие нормировки C.10) дает следующие условия нормировки для Rnl
и Ylm:
|п,(г)Лп/('-) = ^, C.15)
YVm.{e, Ф)У{Ж Ф) = ЬцЬтт- C-16)
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 293
Нормированными решениями уравнений C.13) и C.14) являются
сферические гармоники
Необходимо отметить, что разные авторы используют при опреде-
определении Y/nF, ф) различные соглашения о выборе фазы. Явные выра-
выражения для нескольких первых сферических гармоник имеют вид
Ylm@, ф) = 01м{9)еш*Ып, где
®оо@) = Л> ©2о(^) = >У1C со§2 в ~ О,
®10(в) = ^Дсо5в, 02±1@)= +У^ sin0 cos в, C.18)
Функции YlmF, ф) составляют полный набор однозначных функций
на единичной сфере:
ао {
I I Ylm((
1 = 0 т=-\ 5111 tf
Другое полезное соотношение для Ylm(e, ф) называется правилом
связи ([29], разд. 14):
11/2
П 4Ж2/ + 1) j C>20)
Мы приводим здесь также некоторые полезные соотношения,
включающие наряду со сферическими гармониками полиномы Ле-
жандра, определенные формулой
и присоединенные полиномы Лежандра, определенные формулой
^] Л@, m = 0,1,2,...,/. C.22)
294
Глава VII
Сферические гармоники связаны с присоединенными полиномами
Лежандра соотношениями
YlmW, ф) =
C.23)
w<o,
где при т < 0 мы использовали соотношение
У1т(в,Ф) = (-1)т71.т(в,ф).
При т — 0 соотношение C.23) принимает вид
P,(cos в).
C.24)
C.25)
Наконец, отметим теорему сложения. Пусть п и п' — единичные
векторы, направления которых заданы углами (в, ф) и (в', </>') со-
соответственно; тогда
4я ' _
р,(п-п') = —— х у1т(е,Ф)гие',Ф'). C.26)
Нормированные решения уравнения C.12) для VA(r) = -а/г и
£(л, /) = -а2/Bп2) имеют вид
^)- а27)
где
— присоединенные полиномы Лагерра:
21 + 1
dp)
dp
C.28)
Величина а = 1//*Бор есть обратный боровский радиус в единицах
эВ/с (см. B.19)); в обычных единицах, когда г и г^ имеют размер-
размерность см, а необходимо заменить на а' из B.20).
На рис. 3.16 показаны функции Rn,(r) для некоторых низших
Щелочные атомы и уравнения Шредингера для одноэлектронных атомов 295
0,5
0,1
А
ft
\20
30
40
р. 0,2
5 10 15 20 25 30 r/r,
s-состояния A=0)
г
Ч1
>
.Jl
..^41
01 5 10 15 20 25 30 r/r,
p - состояния A=1)
0 5 10 15 20 25 30 r/rt
d-состояние A=2) и 4 f-состояние
a
Рис 3.1а. Распределение заряда для низших состояний атома водорода. Радиальное
расстояние г дано в единицах боровского радиуса. Для кривых указаны значения я/.
значений п и /. Рис. 3.1а дает распределение вероятности найти
электрон в точке г.
Знание <xl nlm) позволяет провести альтернативное по отноше-
отношению к данному в предыдущем пункте вычисление матричного эле-
элемента V(Q); б(л, /) = (nlm\ V(Q)\nlm) может быть теперь вы-
вычислен подстановкой полного обобщенного базиса 1х>:
d3x'(nlm\x)(x\V(Q)\x')(x'\nlm)
= [ ёъх\(п1т\х)\2У(г).
Умножая C.28) на У1т{в, ф), получаем, согласно C.11), коэффици-
коэффициент перехода (гвф\п1т). Подстановка (гвф\п1т) в приведенное
выше уравнение и использование C.16) для выполнения интегриро-
296
Глава VII
Рис. 3.16. Радиальные волновые функции /?„Дг) для водородоподобных атомов при
п — 1, 2, 3 [30]. Для кривых указаны значения nl. Отметим роль центробежной си-
силы в «отталкивании» волновой функции от ядра, а также то, что функции имеют
п — / — 1 нулей.
вания по в, ф тогда дает
\
C.29)
Эти интегралы могут быть вычислены для различных функций:
У(г) = —с/г2, V(r) = —c/r3, V{r) = —с//*4, ... ; они дают те же
результаты, что и уравнения B.14)—B.18). Используя рис. 3.1а, мы
можем сделать некоторые качественные наблюдения относительно
величин б(/7, /). Для заданного значения п распределение вероятно-
вероятности уширяется и сдвигается при возрастании / к большим г. Следо-
Следовательно, для заданного п наибольшее значение — б(л, / = 0), так
что Е(п, I = 0) — наинизший энергетический уровень, а с ростом /
Е(п, I) приближается к значению — а2/Bп2). В том, что это дей-
действительно так, можно убедиться, изучая экспериментальные диа-
диаграммы уровней энергии щелочных атомов, приведенные в преды-
предыдущем разделе.
Глава VIII
Теория возмущений
В этой главе теория возмущений развивается в общем виде, приме-
примененном для рассмотрения как дискретного, так и непрерывного
спектров. В конце разд. VIII. 1 в качестве частных случаев получены
разложения теории возмущений Вигнера — Бриллюэна и Рэ-
лея — Шредингера. В разд. VIII.2 эта общая процедура использует-
используется в случае непрерывного спектра и позволяет получить уравнение
Липпмана — Швингера.
VIII. 1. ВОЗМУЩЕНИЯ В ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ
В этом разделе будет развита общая процедура, называемая тео-
теорией возмущений, для вычисления собственных значений £"х и соб-
собственных векторов 1\>
Я|А> = £я1А> 00
оператора
Я = К + V, A.2)
который отличается малым возмущением V от оператора К,
спектр еа и собственные векторы I а) которого
К\а> = е.\а> A.3)
известны. Оператор К называется «свободным» гамильтонианом, а
\а) — свободным собственным вектором. Оператор Н называется
«точным» гамильтонианом, а 1Х> — точным собственным векто-
вектором. Оператор V называется гамильтонианом возмущения.
При такого рода рассмотрении по теории возмущений предпо-
предполагается, что каждому собственному вектору I а) оператора К от-
отвечает собственный вектор 1Х(а)> оператора Н такой, что £Х(д)
есть еа плюс малый поправочный член такой, что при У, равном
нулю, Еца) = еа. В случае, когда уровень еа вырожден (т. е. су-
существуют другие квантовые числа rj, кроме а или X), Еца) в общем
случае зависит от этих квантовых чисел, даже если от них не зави-
зависит е„.
298 Глава VIII
Чтобы иметь в виду конкретный случай, предположим, что Н,
К и V — операторы из разд. VII. 1; когда а — квантовое число п,
нумерующее /7-кратно вырожденные собственные значения
К: еа=п = -mee4/Bh2n2)l). Поскольку [L,, Н] = 0 (так как [L,,
V] — 0), как свободный, так и точный базисы можно выбрать со-
состоящими из собственных векторов L2, L3: \аг\) = \altn), I\tj> =
= Wlm). Тогда задача сводится к множеству невырожденных за-
задач, по одной на каждую пару квантовых чисел г\ = Aт). Если опе-
оператор Н не коммутирует с L2, L3 и мы не знаем другого набора
операторов, образующих п.с.к.о. с Н и К по отдельности, то зада-
задача не может быть сведена к совокупности невырожденных задач и
должна использоваться теория возмущений для вырожденного слу-
случая, которую мы здесь не рассматриваем (см. задачу 4).
Хотя в данный момент имеются в виду дискретные значения еа
и а, мы не исключаем возможности того, что спектр К
непрерывен2*; в этом случае суммирование £д в уравнениях этого
раздела необходимо заменить интегрированием по непрерывному
спектру (см. разд. VIII.2).
Определим оператор
G(E) = {El - Н)~ ' A-4)
(/ — единичный оператор), который зависит от параметра Е. Опе-
Оператор G(E) физики называют «оператором для функции Грина га-
гамильтониана», а математики называют «резольвентой оператора
//». Интуитивно ясно, что задача нахождения собственных значе-
значений Ех оператора Н эквивалентна задаче о нахождении «сингуляр-
ностей» G(E).
Определим также операторы
L A.5)
Д(£) = VF(E\ A.6)
где д(Е) = £ |a><a|Ga(£), A.7)
Ge(£) = <a|G(£)|a>. A.8)
'* В этой главе мы возвращаемся к обычным единицам системы СГС.
2) Излагаемая трактовка теории возмущений базируется на работе [31], разд.
8.1. Она была выбрана потому, что в ней прослеживается связь между случаями
дискретного и непрерывного спектров.
Теория возмущений 299
Оператор /?(£) называется оператором сдвига уровня по причи-
причинам, которые мы сейчас объясним. Используя введенные определе-
определения и тождество1)
(£ - H)G(E) = /, A.9)
получаем
(Е - H)F(E)\cO = ,~1«>=тг|^1«>, A-Ю)
д(Е) Ga(E)
а для диагональных матричных элементов /?(£) имеем
Ra(E) = (а\(Н - K)F(E)\a)
= <fl|(£ - K)F(E)\a} - <а|(£ - H)F(E)\a}
> ---]-. A.11)
Легко показать, что
(a\F(E)\a}= 1, A.12)
так что из A.11) получаем
Е = са + Ra(E) + -i-. A-13)
Ьа(Е)
При приближении Е к собственному значению £х оператора Н
Ga(E) стремится к бесконечности, и вместо A.10) и A.13) имеем
(EA-H)F(EA)\ay = 0 , A.14)
Ел = еа + Ra(E,). A.15)
Хотя равенство A.15) справедливо для любых £х и Еа, на
практике оно используется для нахождения значения £х, «наиболее
близкого» к еа, которое мы обозначим £Х(а)# Таким образом,
Ra (£х) — сдвиг уровня от «невозмущенного» значения энергии еа к
соответствующему £Х(Д). Оператор F(£) построен таким образом,
что F(Eh{a)) — оператор, который преобразует I а) в соответству-
соответствующий 1\(а)> = F(£X(fl))la>, который, согласно A.14), является
собственным вектором оператора Н с собственным значением
'* Здесь Е заменяет E-I; при умножении на число символ единичного оператора
опускается.
300 Глава VIII
Как уже утверждалось, предположение1', составляющее основу
теории возмущений, состоит в том, что каждому \аг\) отвечает
1\(а)т7> (т.е. векторов \arj) столько же, сколько векторов
1\(а)т7>), но £Х(д) может быть функцией от tj, поскольку оператор
/?fl(£x) в общем случае зависит от tj, как в примере из разд. VII. 1
Ка„(£л) = <а 4\R(E,)\a 4) = <и / m\R(Ex)\n I w> A.16)
в общем случае зависит от п, I, т. В частном случае [/?(£), Lt\ =
= 0 получаем, что /?Д7?(£Х) не зависит от т, но в дополнение к за-
зависимости от п зависит и от /. Таким образом, все векторы \аг\)
принадлежат энергетическому уровню еа невозмущенной системы, а
под действием возмущения этот уровень расщепляется на подуров-
подуровни £Х(д), и состояние I аг\) невозмущенной системы переходит в со-
состояние 1\(я)т/> возмущенной системы.
Сдвиг уровня /?д(£Х(д)), а тем самым и £Х(Д) вычисляется раз-
различными способами последовательных приближений. Эти различ-
различные способы возникают следующим образом. Для двух обратимых
операторов А и В легко показать, что
1.1 + 1(В-ЛI. 0.17)
Выбирая А = g(£)(£ - Я), В = g{E)(E - К - О(£)), а следова-
'* Это предположение, которое лежит в основе теории возмущений, выполняет-
выполняется для некоторых V, как показывает следующая теорема: Пусть
Н = Н(к) = К + xKiU + к2Ка) + ■ ■ ■ ,
"/" =2^A1/11 + И"/") (*= 1-2,...),
где Миг — положительные константы. Тогда для \к\ < г собственные значения
Е{к) оператора Н могут быть записаны в виде
Е(к) = Е@> + к£A) + к2£B> + •••,
а собственные векторы \Е(к)) оператора Н запишутся в виде
к2\В2)) + •-..
При к -» 0 имеем
Я = К,
1 Е(к = 0) = £@) = е„,
Теория возмущений 301
тельно, \/Л = F(E), \/В = (Е - К - О(Е))~1 ■ l/g(E), получаем
F<£> - Е _ к'- О(£)д + Е - К'- О(£)(V ~ °(£)f(£)- (U8)
Здесь О(£") может быть любым оператором, но мы рассмотрим
только операторы вида
YXa'\, A.19)
где Оа,(Е) — числа (т. е. предполагается, что О(Е) удовлетворяет
условию [О(Е), К] = 0).
Выражение A.18) определено не на любом векторе, даже не на
любом векторе I а) для любого значения Е\ например, первый член
определен только для тех I а) и для тех Е, для которых
(£-£.- Oa(E))Ga(E) Ф 0.
Действуя оператором A.18) на \а) и используя A.7) и A.13), полу-
получаем
+ ' -,_,(V - O(£))F(£)|а>. A.20)
С. — А. — ti)
Оператор О(£") выбирается так, чтобы это выражение имело фор-
форму, наиболее близкую к F(EX{a))\a); это можно сделать, если
F(EX{a))\ а) записывать как I a> плюс поправочный член. Таким об-
образом, оператор О(Е) надо выбирать так, чтобы первый член был
равен la).
Два выбора О (Е) приводят к особенно хорошо известным раз-
разложениям по теории возмущений:
О(Е) = Ra(E)\aXa\, A.21)
ОАЕ) = RAE)Sa.a, A.21а)
О(Е) = Ra(E)\aXa\ + (Е - еа) X |a'><a'|, A.22)
т. е. "'*"
Оа(Е) = Ra,(E) для а' = а, ОАЕ) = Е - еа для а' Ф а. A.22а)
в случае A.21) имеем
е - t.-
302 Глава VIII
а в случае A.22)
! = —! |а><а|+ X ~-—\а'У(а'\. A.24)
Е- К- О(Е) Е-еа- Ra(E) /Ч аНа (а ~ („■
Мы видим, что в обоих случаях A.21) и A.22) первый член в правой
части A.20) становится равным I а). Используя A.6) и A.12), полу-
получаем также
<«|(К - O(E))F(E)\a} = 0. A.25)
Таким образом, в обоих случаях соотношение A.20) можно запи-
записать в виде
F(£)|fl> = |fl> + X ,zr>'><fl/KK - O(E))F(E)\a), A.26)
а'Фа & ~ €a' ~ ^а\^)
где не имеет значения, включен ли в суммирование член с а' = а
или нет. Подстановка в A.26) формулы A.21) дает
F(E)\a) = \a)+ X ^ \iQ(a'\VF(E)\a). A.27)
Это уравнение можно итерировать, подставляя последовательно
соответствующие выражения для F(E)\a) в правую часть:
F(£)|a> = |а> + X Т-— Ю<а'\ У\а>
а'*а £ Са'
!1\a')(a'\V\a"Xa"\V\a} + •■-. A.28)
а' Фа Л ьа ^ fc<
а" Фа
Сдвиг уровня и, следовательно, согласно A.15), собственное зна-
значение оператора Н получаем из уравнения A.28), действуя слева
оператором V, умножая его скалярно на I а) и вычисляя получив-
получившееся выражение при Е = ЕХ( *:
V\a'Xd\ V\a} + ■ ■ ■. A.29)
k(a)
Это дает уравнение для ЕХ{а) в зависимости от невозмущенного
значения энергии еа и матричных элементов оператора возмущения
К между невозмущенными состояниями 1а>. Уравнение A.29), по-
полученное при выборе A.21) для О(Е), представляет собой разложе-
разложение теории возмущений в форме Вигнера — Бриллюэна.
Теория возмущений 303
Выбор A.22) для О(Е) приводит к ряду теории возмущений Рэ-
лея — Шредингера. Подставляя A.22) в A.26) и вычисляя от-
ответ при Е = ЕХ(а), получаем
F(WI«> = 1«> + I -^-WXa'MY - Ra(EMa))F(EMa))\a}, A.30)
а'Фа^-а *-а'
а для сдвига уровня
))\a>. A.31)
Аппроксимации Ra(EX{a) и F(E^a))\a} в любом порядке по возму-
возмущению К могут быть получены итерацией уравнений A.31) и A.30).
Обозначим через /?<я) аппроксимацию л-го порядка для Ra(EX{a)) и
через F(n)\a) — аппроксимацию л-го порядка для FB?X(e))la>. В
нулевом порядке имеем
A.32)
В первом порядке
0) >, A-33)
= \a}+ I —|—|fl'><fl'|H|fl>. A.34)
я' Ф a *-a *-a'
Во втором порядке можно проверить, что
R{a2)= <a\V\a>+ X —^—<а\У\а'Ха'\У\а>, A.35)
I ' \a')«a'\V\a") - Sa.a,,(a\V\a>Ka"\V\a}.
«"*« A.36)
Векторы F(/I)la>, или в общем случае FB?X(e))la>, обычно снабжа-
снабжаются индексом квантового числа а. Но в то время как для невоз-
невозмущенных векторов I а) индексы связаны с собственными значени-
значениями полного набора операторов, включающего К, для которых эти
304 Глава VIII
векторы являются собственными векторами, «точные» векторы и
их аппроксимации FA)la>, ... , полученные в разложении теории
возмущений, не являются в общем случае собственными векторами
полного набора операторов, включающего Н. Поэтому мы будем
часто обозначать их l(a)>, где те квантовые числа, которые взяты
в скобки, не имеют отношения к собственным значениям операто-
операторов, собственными векторами которых являются l(a)>. Смысл
квантовых чисел в «точных» векторах состоит, следовательно,
только в том, что эти векторы связаны с невозмущенными соб-
собственными векторами, для которых эти квантовые числа (или чис-
числа, связанные с ними) являются собственными значениями.
VIII.2. ВОЗМУЩЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА —
УРАВНЕНИЕ ЛИППМАНА — ШВИНГЕРА»)
В предыдущем разделе нигде не утверждалось, что еа — дискретное
собственное значение, а I а) — (обычный) собственный вектор К,
хотя все уравнения записаны при таких предположениях. Предполо-
Предположение о дискретности спектра не является на самом деле необходи-
необходимым; ниже мы обсудим более детально случай непрерывного
спектра, который, используя средства, описанные в разд. II.7, лег-
легко получить заменой векторов I а) обобщенными векторами, а дис-
дискретных сумм — интегралами.
Для последующего обсуждения мы должны сделать некоторые
предположения относительно свойств операторов К и Н =
= К + V. Мы предположим, что
спектр К С спектру Н. B.1)
Это достаточно общее предположение, которое включает в рас-
рассмотрение ситуации, встречающиеся в физических задачах. Обыч-
Обычно для процессов распада и рассеяния К имеет только положитель-
положительный непрерывный спектр; непрерывный спектр Н согласуется с не-
непрерывным спектром К, и, кроме того, Н имеет дискретный набор
отрицательных собственных значений (а иногда также дискретных
собственных значений в области непрерывного спектра), ограничен-
ограниченный снизу.
Результаты этого раздела не понадобятся нам до гл. XIV.
Теория возмущений 305
В случае непрерывного спектра сдвиг уровня Ra не является наб-
наблюдаемой величиной. Но формула A.15) по-прежнему справедлива,
поскольку (как было отмечено в предыдущем разделе) она верна
для любого значения Ех из спектра Я и любого значения еа из
спектра К.
Мы будем рассматривать уравнение A.20) при ЕХ{а) = еа, т. е.
будем вычислять Г(ЕЦаЛ\а) для такого значения ЕЧа) е спектр Я,
которое совпадает с собственным значением еа е спектр К, отвеча-
отвечающим обобщенному собственному вектору I а). Такое значение
ЕХ{а) присутствует в спектре Я вследствие предположения B.1). Мы
обозначим это значение ЕХ(а) — Еа. В точке Еа соотношение A.15)
принимает вид
Еа - еа = RJLE.) = 0. B.2)
Если опять выбрать форму A.21) для оператора О(Е), мы снова
придем к уравнению A.27), которое в непрерывной форме имеет
вид
F(Ea)\a) = |я> + J da' j-^-jt W'y{a'\VF{Ea)\ay. B.3)
р
Символ ( обозначает интеграл в смысле главного значения, т. е.
интеграл по всем а', за исключением «инфинитезимально малого
интервала» вокруг Еа, = Еа. Интеграл \da... — символическое обо-
обозначение для суммирования по дискретному индексу и интегрирова-
интегрирования с соответствующей весовой функцией по непрерывному индек-
индексу. Индекс а в I а) относится к энергии Еа и некоторым дополни-
дополнительным индексам -qa, которые могут быть дискретными или не-
непрерывными: \ а) = I Еаг}аУ Если вектор \ а) «нормирован», так
что
WaE'a\Earia) = р- \ЕаM{Еа - Еа.) 6„ап;г
то „
Г v- Г
\da = L P(EJdE"
J п.. J
Па
(см. A.4.7 с^) и гл. XIV). Соотношение A.14) снова выполнено, т. е.
F(Ea)\a) есть обобщенный собственный вектор оператора Н с
собственным значением Еа. Это можно также видеть непосредст-
непосредственно из B.3); умножая B.3) на (Еа — К) и используя равенства
и
P(da'\a'>(a'
461 90
306 Глава VIII
получаем
(Еа - К - V)F(Ea)\ay = -\a)(a\VF(Ea)\a) . B.4)
Правая часть этого уравнения с учетом A.6) и B.2) равна нулю, и
мы получаем
(Н - Ea)F(Ea)\a> = 0. A.14')
Используем теперь хорошо известное соотношение из теории об-
обобщенных функций1)
_1_ = Пт _1_ = pi + inS(x). B.5)
-v ± Ю „>0+ х ± щ х
Тогда уравнение B.3) можно записать в виде
F(Ea)\a) = |fl> + (da'- i—■— |a'><fl'| VF(Ea)\a>
J Eu - Ea- ± Ю
± mjda'S(Ea - Ea.)\a'y(a'\VF(Ea)\a). B.6)
Интегрируя и используя B.2), мы видим, что последний член в B.6)
равен нулю:
± in\a)(a\VF(Ea)\ay = ±inRa(Ea)\a> = 0.
Поскольку К\ а' > = Еа,\а'), уравнение B.6) может быть запи-
записано в более обычной форме:
F(Ea)\a) = |£i> + ^-—L-_ V(F(Ea)\a)). B.7)
Это уравнение называется уравнением Липпмана — Швингера. Это
уравнение для обобщенных собственных векторов
|а> = \а(а)) = F(Ea)\a) B.8)
оператора Н с собственным значением Еа, которое равно собствен-
0 Доказательство соотношения B.5) можно найти в работе [2], т. 1, гл. I, разд. 2.4.
Дальнейшее обсуждение (х ± /0)х можно найти также в гл. I, разд. 3 и 4. Соотноше-
Соотношения между обобщенными функциями (распределениями), подобные B.5), можно по-
понимать в обычном смысле, когда они умножаются на "хорошую" функцию ф(х) и
интегрируются. Таким образом, соотношение B.5) означает, что
dx ф(х) = \Aх ф(х) + in \dx 6(х)ф{х)
J х ± /0 J х J
для "хороших" функций ф(х). Аналогично соотношения между обобщенными
собственными векторами, подобные B.6), можно понимать в обычном смысле, ког-
когда берется скалярное произведение с вектором ф е Ф (см. разд. II.8).
Теория возмущений 307
ному значению еа оператора К, относящемуся к обобщенному соб-
собственному вектору \а). Таким образом,
//|а> = Н\а(а)} = £а|а>, К|а> = £.|а>. B.9)
Уравнение Липпмана — Швингера часто записывается в виде
|а±> = \л*(а)> = |а> + )~-~ У\а*у B.7)
Еа — К ± Ю
Кроме решений уравнения Липпмана — Швингера la*) пред-
представляют интерес и другие базисные векторы. Они получаются из
интегрального уравнения для F(Ea)\ а) в виде B.3), которое в опе-
операторной форме записывается как
F(£e)|a> = |a> + VF(Ea)\a>, B.10)
ta — к.
где символ Р означает, что интеграл берется в смысле главного
значения. Чтобы отличать решение этого уравнения от двух реше-
решений уравнения Липпмана — Швингера, обозначим его через \ар) и
перепишем B.10) в виде
Глава IX
Спин электрона
В разд. IX.2 дублетное расщепление тонкой структуры одноэлект-
ронных атомов объясняется как спиновый эффект. Гамильтониан
спинового взаимодействия, необходимый для получения количест-
количественных результатов, описан в разд. IX.3. В разд. IX.За из классиче-
классических соображений находится магнитный момент электрона; в разд.
IX.36 в рассмотрение включается магнитное поле, взаимодействую-
взаимодействующее внутри атома с магнитным моментом электрона. В разд. IX.4
эти результаты используются для вычисления расщепления тонкой
структуры. В разд. IX.5 выведены правила отбора для дипольных
переходов. Главу заключают некоторые общие замечания, касаю-
касающиеся наблюдения над квантовыми системами.
IX. 1. ВВЕДЕНИЕ
Существование спина электрона следовало из наличия тонкой
структуры атомных спектров (см. описание экспериментальной си-
ситуации в конце гл. VI). Спин электрона не может быть выражен че-
через операторы координаты и импульса электрона. Если рассматри-
рассматривать электрон как физический объект, имеющий трансляционные и
вращательные степени свободы, то спин является наблюдаемой,
связанной с вращательными степенями свободы подобно тому, как
импульс связан с поступательными степенями свободы. Таким об-
образом, электрон является элементарным ротатором (разд. V.1),
имеющим трансляционные степени свободы. В предыдущих главах
мы не учитывали вращательные степени свободы электрона, так
как их вклад в энергию электронов, связанных в атомах, мал. В
гл. III мы показали, что могут существовать любые целые или по-
полуцелые значения угловых моментов и что в полуцелом угловом
моменте нет ничего необычного. Оказывается, что спин электрона
{собственный угловой момент) равен 1/2.
Прямое подтверждение гипотезы о существовании спина элек-
электрона дает эксперимент Штерна — Герлаха. Схема эксперимента
показана на рис. 1.1. Между полюсами Р, и Р2 создается сильно не-
неоднородное магнитное поле (магнит Р2 имеет острый край). Пучок
Спин электрона
309
атомов водорода1 > в основном состоянии пропускается вблизи ост-
острого края магнита Р2, а затем падает на пластинку Т. В отсутствие
поля пучок приводит к появлению на пластинке узкого пятна
(штриховая линия на рис. 1.1). При включении магнитного поля по-
появляются два пятна (сплошные линии на рис. 1.1).
Не вдаваясь в детальное описание эксперимента (см. гл. XIII),
можно видеть, что модель атома водорода, описанная в гл. VI, не
может объяснить этого расщепления пучка. Согласно этой модели,
ансамбль атомов водорода в основном состоянии находится в чис-
чистом состоянии
^ = ЛЯ(ИЯ!1), A.1)
поскольку &(п =1) — одномерное пространство. Поэтому, сог-
согласно модели гл. VI, ансамбль атомов исходного пучка невозмож-
невозможно разделить на два подансамбля, как это происходит в магнитном
поле. Экспериментальный факт разделения на два подансамбля по-
показывает, что вместо пространства &{п = 1) мы должны иметь
(по крайней мере) двумерное пространство. Если предположить,
что ансамбли атомов разделившихся пучков находятся в чистом со-
состоянии, то мы должны иметь в точности двумерное простран-
пространство. В некотором приближении (рассматривая только структуру
электрона и не учитывая возможную структуру ядра) до сих пор
придерживались именно такого предположения.
Поскольку расщепление пучка вызвано магнитным полем, сле-
следует предположить, что новая переменная, существование которой
демонстрирует эксперимент Штерна — Герлаха, связана с магнит-
Пучок
атомов
водорода
Рис. 1.1. Расщепление пучка частиц после прохождения магнита Штерна—Герлаха.
!) В оригинальном эксперименте использовались атомы серебра. Затем экспери-
эксперимент повторяли с другими атомами, в том числе с атомами водорода.
310 Глава IX
ным моментом. Так как наличие магнитного момента связано с
вращающимися зарядами, можно подозревать, что новая перемен-
переменная должна быть угловым моментом.
IX.2. ТОНКАЯ СТРУКТУРА —
КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ
Угловой момент, вызывающий расщепление пучка в эксперименте
Штерна — Герлаха, не может быть орбитальным угловым момен-
моментом Lj = eiJk Qj Pk, так как для основного состояния атома водоро-
водорода он равен нулю. Кроме того, для алгебры орбитального углового
момента не существует двумерных пространств состояний, по-
поскольку / = 0, 1, 2, ... (задача III.1). Двумерное пространство пред-
представления &J=l/2 (разд. III.3) имеется для алгебры спинового угло-
углового момента. Оно содержит два одномерных пространства состо-
состояний с противоположной спиральностью. Обозначая это двумерное
пространство через *,*, мы можем записать
лх _ &}= 1/2 > ,;»./= 1/2 /£. сЯ>)= 1/2 /л i\
Тем самым мы предполагаем, что электрон является элементар-
элементарным ротатором и электрон в атоме водорода является комбинаци-
комбинацией двух физических систем: электрона, совершающего орбитальное
движение, и этого элементарного ротатора (вращающегося элек-
электрона), пространство состояний которого есть*.5. Тогда простран-
пространство физических состояний атома водорода с наинизшей энергией
есть
Ж{п = 1) = Щп = 1)®*\ B.2)
а в общем случае п-е пространство состояний водородного атома
имеет вид
Ж(п) = .Щп) ® is. ч B.3)
Орбитальные наблюдаемые (функции от Qi% Pt) Аг и Lt, заданные
в (VI.3.1), (VI.3.3) и (VI.3.9), действуют в пространстве &(п), а но-
новые угловые моменты, которые называются спиновыми и обозна-
обозначаются Sjt действуют в пространстве *.s.
Чтобы проверить, согласуется ли наше предположение с экспе-
экспериментальными данными, проведем редукцию пространства JP\n)
по полному угловому моменту. Согласно (VI.4.4), каждое про-
пространство &(п) представляет собой прямую сумму &(п) =
= Е 7=0 © &1 • Тогда пространство Jt?(n), заданное уравнением
Спин электрона 311
B.3), является прямой суммой1)
(и- 1 \ п- 1
X е.«') ® *s = Y, ® (&1 ® **)• B-4)
/ = 0 / / = 0
Пространство .<%" (g) *-s — это пространство физических состояний
суперпозиции двух элементарных ротаторов с угловыми момента-
моментами / и s = 1/2. Орбитальные угловые моменты Li — eijkQjPk дей-
действую! в пространстве &1, а спиновые угловые моменты 5; дейст-
действуют в Is. Тогда полный угловой момент комбинации элементар-
элементарных ротаторов, согласно уравнению (V.2.3), равен
J,, = L,® / + /<g>S,.. B.5)
Используя (V.2.32), мы можем редуцировать ^" (g) x,s на сумму
собственных пространств полного углового момента:
, s Г^=1/2, если / = О,
# ® *s = |^=/+i/2 ф j,j=(-i/2 в остальных случаях. B.6)
Являются ли пространства ^ или ^" (g) г5 пространствами физи-
физических состояний, зависит, конечно, от возможности приготовить
такие состояния. Если физически приготовимые состояния являют-
являются собственными состояниями полного углового момента, то про-
пространства & являются пространствами физических состояний; ес-
если физически приготовимые состояния — собственные состояния
спинового и орбитального угловых моментов, то пространствами
физических состояний являются пространства &Р (g) ts. Экспери-
Экспериментальные данные показывают, что физическими пространствами
являются .0, в которых каждый уровень с фиксированным орби-
орбитальным угловым моментом (кроме уровня с / = 0) расщепляется,
как следует из B.4) и B.6), на два подуровня.
Из выражений B.4) и B.6) следует
®---®(Щ-=3п'-\)®Щ=11-\))- B-7)
Для п = 1
Ж(п = 1) = ф/io,, B.8)
0 Символ > означает, что два пространства эквивалентны относительно
(S(SOC),.)
действия операторов, генерируемых Ц.
312 Глава IX
и имеется только один уровень, отвечающий этому двумерному
пространству. Двумерность пространства Ж{п — 1) позволяет нам
объяснить расщепление пучка в эксперименте Штерна — Герлаха на
два подансамбля: один, отвечающий пространству 3?1(}щ- = + i/2> и
второй, отвечающий пространству ^y=0)j = _ 1/2 •
Для « = 2
= 2) = щ'*0) е ^(V=2., e^?/=21), B.9)
и имеются три энергетических уровня, каждому из которых отвеча-
отвечает одно из пространств в B.9):
\) (П <-*2р3/2. B.10)
Для « = 3
ж{п = з) = щ*10) © #(Yi1} e ^?f/Jt> е d?C/=22) e ^f/=22). c2.1i)
Это отвечает энергетическим уровням
351/2 ЪрЧ\ Зр312. 3d3'2, 3d512
соответственно. Для п = 4, 5,... применяются те же рассуждения.
Эти результаты в точности соответствуют (в пренебрежении сверх-
сверхтонким расщеплением) экспериментальным данным, приведенным
на рис. VI.5.2 для водорода и на рис. VII.2.1—VII.2.3 для щелоч-
щелочных атомов. Таким образом, каждому энергетическому уровню от-
отвечает собственное пространство полного углового момента; соб-
собственные пространства J2 являются также собственными про-
пространствами оператора Н, и
[Я,У,.] = 0. B.12)
Это уравнение, которые мы получили здесь, используя эксперимен-
экспериментальные данные, отражает вращательную инвариантность Н и
может быть получено теоретически из общих соображений симмет-
симметрии.
Мы обозначим пространство Зё из (VI.5.2) через ЖохЪ\
ЖотЬ = £ ®Щп). B.13)
п= 1
В случае, когда учитывается спин, оператор Н, заданный в (VI.3.2)
или (VI.3.5), не является оператором полной энергии; поэтому этот
приближенный оператор энергии обозначим Но:
Р2 а
Яо = у-д BЛ4,
Спин электрона 313
(ИЛИ
для щелочных атомов). Следовательно, в описании, учитывающем
спин, пространство физических состояний атома водорода имеет
вид
Ж = ЖотЬ <g> *s = ( £ ф ЛЩ® ts = f 0 JT(n). B.15)
\n = 1 / n = 1
Это описание объединяет бесспиновый атом водорода и элементар-
элементарный ротатор. Поэтому базисной системой векторов в этом про-
пространстве является
|n/m>® |s = i,s3>, B.16)
где
\nlrn) (п = 1,2, 3, ...;/ = 0,1,2 и — 1;ш = -/,-/+ 1,..., + /)
образуют базисную систему в пространстве Jforb, a I s = — s3 >
(s3 = —1/2, +1/2) образуют базисную систему в пространстве
в соответствии с фундаментальным постулатом IV для
каждой наблюдаемой А в пространстве Jf имеем
где А°*ъ действует только в пространстве Jforb, а ^(Р)'п действует
только в*5 (см. III.5.7)). Орбитальный угловой момент и спин яв-
являются частными примерами:
Z, =L°rb®/spin= (еик<27ЪПгЪ) ® /spin = Lf ® / = (£tJkQjPk) ® /, B.18)
Ss = Iorb®Sfn = /®S,-. B.19)
где /sPin, /orb — единичные операторы в пространствах*5 и
соответственно. (Для удобства мы обычно будем опускать индексы
«orb» и «spin», если из контекста понятно, в каком пространстве
действует оператор.) Полный угловой момент комбинированной
системы является суммой этих двух угловых моментов B.5):
J, = L, + S,- = L,- ® / + / ® S,.
Оператор энергии Н также может быть записан в виде B.17).
Так как Но (g) / уже дает очень хорошее описание энергетического
спектра (см. рис. VI.5.1, VII.2.1—VII.2.3), мы будем записывать
314 Глава IX
оператор энергии в виде
B.20)
где Я, действует на всем пространстве Ж - Jfoxb ® *s и является
малым в том смысле, что его вклад в уровни энергии мал по срав-
сравнению с вкладом Яо. Оператор Я, не может иметь вид Я, (g) /. Ес-
Если бы это было так, не было бы тонкого расщепления между уров-
уровнями с одинаковым /, поскольку Hfb можно было бы просто доба-
добавить к Щъ и результирующий оператор Я - (#0 + Я,) (g) / (для
заданного /) приводил бы только к сдвигу энергетических уровней.
Оператор Нх не может быть также вида / (8) Я,, поскольку г5 яв-
является очень простым двумерным пространством и каждый опера-
оператор в is может быть записан в виде линейной комбинации четырех
операторов /, Slt S2 и 53; таким образом, Нх имел бы вид Нх =
= a°I + E,Lia;5; (aj e С). Первый член приводил бы только к по-
появлению одинакового для всех энергетических уровней сдвига. Вто-
Второй член (E/=1a'S;), а следовательно, Я, не коммутирует с Jk, по-
поскольку
[У,,5;] = ^5к B.21)
вследствие B.5) и
lShSi-] = i€lJkSk. B.21а)
Поэтому мы имели бы вращательно-неинвариантный оператор Нх,
а следовательно, Я = Яо + Н{, что противоречит уравнению
B.12). Таким образом, наиболее общей возможной формой Я, яв-
является ^
Я, = А ®/+ X В,®5;, B.22)
где А и Bi — операторы в пространстве ^огЬ, т. е. функции опера-
операторов Qjt Pr Оператор Л — скалярный оператор, а операторы В1
являются компонентами векторного относительно L оператора.
Первое следует из того факта, что каждый оператор в пространст-
пространстве*-5 = .^1/2 может быть записан в виде линейной комбинации опе-
операторов /, 5j, S2 и 53. Второе следует из требования
Последнее в свою очередь следует из уравнений B.12), B.20) и
[Яо, L.] = 0.
Спин электрона 315
Чтобы видеть это, вычислим выражение
з
I [Я* <8> Sk, JJ = [Вк, L,] <g> Sk + /£k|.,.B
которое равно нулю только в том случае, если
т. е. если Вк — векторный оператор относительно Lr
Так как
B.226)
B.22а)
что немедленно следует из B.226), базисные векторы B.16) не мо-
могут быть собственными векторами оператора Н. Физически при-
готовимые состояния всегда являются собственными состояниями
энергии или их смесью (см. гл. XII). Следовательно, мы должны
использовать базис собственных векторов оператора Н. Вследст-
Вследствие B.12) собственные векторы операторов полного углового мо-
момента J2, У3 могут быть собственными векторами Н. Поэтому ис-
используем (V.2.12) для образования новых базисных векторов
'3S3
где <//33/2 531уу3) — коэффициенты Клебша — Гордана, приведен-
приведенные в табл. V.2.I. Базисные векторы B.23) являются собственными
векторами п.с.к.о.
tto,L2,S2,J2, J3. B.24')
Так как оператор S2 равен 1/2A/2 + 1) на всем пространстве J%
мы можем им пренебречь, и иметь в составе п.с.к.о. операторы
tfo,L2,J2, J3 , B.24)
собственными векторами которых являются векторы B.23). Базис
B.23) не обязательно совпадает с базисом собственных векторов
оператора Н. Если базисные векторы B.23) не являются собствен-
собственными векторами Н, то собственные векторы Н можно построить
из B.23) путем вычислений по теории возмущений. Как мы пока-
покажем ниже, система
Я, L2, J2, У3 B-25)
также является п.с.к.о., для собственных векторов которой мы вве-
введем обозначение
\Eljj3>. B.26)
316 Глава IX
Различие между B.23) и B.26) состоит в том, что
H0\nljj3> = E°\nlJh> , B.27;
где Е°п = —а2/2п2, согласно (VI.5.3), и
H\Eljj3) = E\Eljj3y, B.28)
где Е — величина, которую предстоит определить. Таким обра-
образом, базисные системы B.23) и B.26) имеют все квантовые числа
одинаковыми, кроме одного (энергии), и возмущение (Н — Но) не
затрагивает квантовых чисел /, j, у3. Следовательно, после того
как мы провели преобразование B.23), мы можем пренебречь нали-
наличием дополнительных квантовых чисел для векторов состояния и
рассматривать теорию возмущений только для одного квантового
числа, как это описано в разд. VIII. 1.
Чтобы показать, что система B.25) действительно является
п.с.к.о., достаточно показать, что
[Я, L2] = 0. B.29)
Этого нельзя получить из общей формулы B.22); уравнение B.29)
надо рассматривать как условие, накладываемое на операторы Л и
Вг Обоснованием его служит рассмотрение четности в разд. V.4,
что также отражено в (VI.5.9), и новое предположение относитель-
относительно Я:
[Я, (Уя] = 0 или UPHUpX=H. B.30)
Это предположение отражает инвариантность Н относительно
преобразования четности. Преобразование Up в спиновом про-
пространстве имеет вид
где \vs\ = 1. Уравнение B.31) имеет вид (V.4.20) в частном случае,
когда j = s = 1/2, и следует из соотношения (V.4.3) для 5;, т. е. из
соотношения
UPSUp1=Si. B.32)
Уравнения (V.4.20) и (V.4.21) при j = I для орбитального углового
момента дают
*/Ж''з> = (-1)'*огь1£''з>; B-33)
здесь £ может быть любым дополнительным квантовым числом,
оператор которого коммутирует с Up, например £ = п или
£ = Е. Из B.31) и B.32) следует
UP(\a /3> <g> \s = |s3» = (- VI1\Z ' 'з> ® \s = У53> B.34)
Спин электрона 317
(tj = %rbrs). Затем из B.23) следует
U,\Uljj3>^('l)'ri\UlJhX B-35)
Таким образом, собственное значение оператора L2 связано с
собственным значением Up, а квантовое число / в базисе B.23)
может рассматриваться как квантовое число четности. (Четность
может принимать только значения +1 и — 1, поэтому для задан-
заданных п, у, 73 существуют два состояния с противоположной четно-
четностью. Это уже было отражено в B.7), где каждому у отвечало два
значения /: / = у + 1/2 и / = у — 1/2.) Следовательно, если имеет
место B.30), то £ в B.35) может быть собственным значением Е
оператора Н\ из B.30) следует, что Е, /, у, у3 могут характеризо-
характеризовать состояния; таким образом, система B.25) является п.с.к.о., ко-
которая, как было показано, эквивалентна п.с.к.о.
Я, l/P,J2, J3- B-36)
Теперь, когда установлено соотношение B.29), оно может быть
использовано для получения новых условий на операторы А и Вх в
B.22). Из B.22) следует
[Я„Ь2]=0, B.37)
что не приводит к появлению новых ограничений на А, но вместе с
B.226) накладывает ограничение на /?,:
О = [Bt, L2] = {Lh [Bk, L,]} = i€UJ{Lh Bj}.
Отсюда следует ограничение
Bj=f(Q,P)Lj, B.38)
где [/(Q, P), Lj] = 0, т. e. /(Q, P) — скалярный оператор по отно-
отношению к L . Руководствуясь соответствием с классическим случа-
случаем, мы скоро обнаружим, что для спин-орбитального вклада в Нх
имеем /(Q, P) ~ Q~3 (см. C.23)).
Хотя мы обозначали базисные векторы B.23) и B.26) по-
разному, может оказаться, что они одинаковы (с точностью до фа-
фазы). Следует различать две возможности:
[Нх, Но] = 0, откуда следует [Я, Яо] = 0, B.39)
[Я15 Яо] Ф 0, откуда следует [Я, Яо] Ф 0. B.40)
Если имеет место B.39), то базисные векторы B.23) являются так-
также собственными векторами оператора Н и
H\nljj^ = Enlj\nljj3}; B.41)
318 Глава IX
собственное значение Я в общем случае может зависеть от п, I и j
и дается формулой
Enlj=E° + enlj, Е°п=-£-2, B.42)
где ея/ _ собственное значение оператора Я, в состоянии I
Hjnljhy^e^nljh). B.43)
Если имеет место B.40), то векторы B.23) и B.26) различны и
B.26) можно найти из B.23), пользуясь теорией возмущений. Тогда
в первом порядке теории возмущений, согласно (VIII. 1.29) или
(VIII. 1.33), выражение для собственного значения £jj) оператора
Я имеет вид
1) е° + £A> B.44)
С'п ^ Lnlj ' v '
где е 0) _ среднее значение оператора Я, по состояниям B.23)
е 0)
IX.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ, ОТВЕЧАЮЩЕЕ
ЗА ТОНКУЮ СТРУКТУРУ
Получение количественных результатов требует задания оператора
Я,; вид оператора Нх можно установить исходя из правдоподоб-
правдоподобных аргументов при сравнении с классической ситуацией. Слагае-
Слагаемое оператора энергии, отвечающее за появление тонкой структу-
структуры, содержит два вклада: 1) вклад, отвечающий за взаимодействие
между магнитным моментом электрона и магнитным полем в си-
системе покоя электрона, обусловленное движением заряда протона в
этой системе, и 2) вклад, отражающий изменение массы электрона
с изменением его скорости. Оба вклада имеют происхождение в ре-
релятивистской кинематике, но хотя второй того же порядка величи-
величины, что и слагаемое с магнитным моментом, он не влияет на рас-
расщепление уровней с одинаковыми значениями ли/. Кроме слагае-
слагаемых, ответственных за тонкую структуру, существуют и другие
вклады в оператор энергии, которые приводят к появлению лэм-
бовского сдвига и сверхтонкой структуры, но мы их здесь обсуж-
обсуждать не будем.
Спин электрона 319
IX.3a. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЫ
В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ [22]
Энергия магнитного диполя с магнитным моментом m в магнит-
магнитном поле В равна
£<Г> = -т-В. C.1)
Поэтому нам необходимо знать магнитный момент m вращающе-
вращающегося электрона и магнитное поле В в системе покоя электрона. В
этом разделе мы найдем т, а в разд. IX.36 рассмотрим выражение
для В.
Прежде чем рассматривать магнитный момент вращающейся
частицы, напомним связь между орбитальным угловым моментом
и магнитным моментом, вызванным вращением заряженной части-
частицы вокруг какого-то центра. Согласно классической электромагнит-
электромагнитной теории, магнитный дипольный момент движущегося по орбите
точечного заряда (— е) с массой те, находящегося в точке х и дви-
движущегося со скоростью V, равен
morb = ^-(-e)x х v= - ^—el C.2)
2с 2тес
(Заметим, что мы рассматриваем вращение отрицательно заряжен-
заряженных частиц, таких как электрон, и что е = +4,803-100 ед. СГС.)
Связь между магнитным моментом вращающейся заряженной ча-
частицы и ее собственным угловым моментом (спином) s отличается
от C.2) множителем gs « 2 — фактором Ландэ, т. е. гиромагнит-
гиромагнитное отношение равно не е/Bтес), как в C.2), а е/(тес). Чтобы
найти этот множитель, рассмотрим вращающуюся точечную ча-
частицу.
Классическая вращающаяся частица — физическая система, име-
имеющая две различные динамические переменные: импульс р и спин
s. Если х — координата, то полный угловой момент J равен
j = I + s = х х р + s. C.3)
Внутренние свойства этой классической частицы предполагаются
такими, что она имеет заряд ( — е) и собственный магнитный мо-
момент т. Тогда на нее могут действовать внешняя сила F и внешний
вращающий момент Т. Внешняя сила может возникать, например,
из-за наличия внешнего электрического поля или магнитного поля
(сила Лоренца); внешний вращающий момент может возникать, на-
например, при взаимодействии магнитного поля В с собственным
магнитным моментом т:
Т = т х В. C.4)
320 Глава IX
В этом случае уравнения движения имеют вид
Т> = F C-5)
т
dt ~ It+ Jt ~ т'°"
где Ttot — полный вращающий момент, т. е.
Т(о( = х х F + Т. C.7)
Используя уравнения C.5)—C.7) и определение V = dm/dt, из C.3)
получаем
ds
Jt + v x P = Т C.8)
Если импульс р и скорость v параллельны или одна из этих ве-
величин равна нулю, то
I, -т
и мы получаем, используя C.3) и C.5),
d\
7t = xxF- C-96)
Это означает, что если векторы импульса р и скорости v парал-
параллельны, то спиновое и орбитальное движения независимы; спино-
спиновое движение определяется вращающим моментом Т, а орбиталь-
орбитальное движение — силой F. Если, как это всегда предполагается в не-
нерелятивистской механике, р = mv, то орбитальное движение мож-
можно описывать с помощью уравнения C.96), а спиновое движение —
с помощью уравнения C.9а), и спиновое и орбитальное движения
независимы одно от другого. Подставляя C.4) в C.9а), тогда для
спинового движения (частицы, для которой р и v параллельны) по-
получаем
— = m x В. C.10)
Предположим теперь, что мы имеем дело с частицей, не обла-
обладающей собственным магнитным моментом, т. е. m = 0; тогда
из C.4) следует, что Т = 0, где Т интерпретируется как вращаю-
вращающий момент, действующий на любой собственный момент, кото-
которым может обладать частица. Предположим также, что vxp Ф
Спин электрона 321
Ф 0", т. е. что мы не имеем строго нерелятивистского соотноше-
соотношения р = тч или релятивистского соотношения для свободных бес-
бесспиновых частиц р = mv/(l - v2/c2I/2. Тогда уравнение C.8) при-
принимает вид
Js=-vxp, C.11)
dt
Предположим, что частица движется в постоянном однородном
магнитном поле В. Сила Лоренца, которая действует на частицу,
равна производной импульса по времени; поэтому
F = '| = 7-vxB. C.12)
следовательно,
1 d , dp
<ЗЛЗ>
Но используя C.11), а также предположение, что поле В постоянно
(dB/dt = 0), получаем
е г (s • В) = е' -S • В = - % х р • В
с at cdt с
= -р х vB = %• v х В C.14)
с с
Складывая C.13) и C.14), находим
\р2 + s • В = const. C.15)
с
Если предположить, что частица имеет постоянную массу те, и
определить величину ц выражением
и= _ JLS, C.16)
то мы можем переписать уравнение C.15) в виде
Р2
~ М- В = const. C.17)
2те
Это означает, что интегралом движения является не кинетическая
энергия частицы p2/2w , а левая часть равенства C.17) (кроме тех
1 Векторное произведение V х р не равно нулю, если временные компоненты
soi> 5o2> 5оз' котоРЬ|е вместе с s( = flksk образуют релятивистский спиновый тензор
Snv' изменяются во времени. Это всегда имеет место для наблюдателя, для которого
частица движется со скоростью V.
14 LM
322 Глава IX
случаев, когда два вектора из v, p и В параллельны: в этом случае
из C.13) следует, что интегралом движения является кинетическая
энергия). Следовательно, член — ц-В представляет собой дополни-
дополнительную энергию, которую вращающаяся частица, скорость v кото-
которой не параллельна р, приобретает в магнитном поле В. Этот до-
дополнительный член имеет обычную форму C.1) для энергии маг-
магнитного момента ц в магнитном поле В. Таким образом, даже если
частица (для которой р не параллелен V) не имеет собственного
магнитного момента, который могло бы закручивать магнитное
поле, она «ведет себя» таким образом, что имеется вклад в энер-
энергию частицы в магнитном поле такой, как если бы частица имела
магнитный момент ц C.16) и гиромагнитное отношение е/тес.
Выражение C.16) похоже на C.2), но содержит дополнительный
множитель 2 (значение фактора Ланде gs) в правой части. Таким
образом, мы приходим к заключению, что все заряженные частицы
с собственным вращением автоматически приобретают магнитный
момент C.16), который имеет релятивистское происхождение. (Для
положительно заряженных частиц знак в уравнениях C.12)—C.15) и
C.16) меняется на противоположный.)
Если электрон является квантовомеханической частицей с заря-
зарядом — е, не обладающей собственным магнитным моментом, то
его оператор магнитного момента должен даваться квантовомеха-
ническим аналогом выражения C.16), т. е. формулой
Ms= -— S= -gs-- - S , C.18)
niec 2m cc
где S — оператор спина. Оказывается, что формула C.18) действи-
действительно дает очень точное описание магнитного момента электрона.
Но, каКи любое теоретическое описание, это описание также явля-
является приближенным, и имеются отклонения от него. Для электро-
электронов эти отклонения малы; для других частиц, называемых адрона-
ми, отклонения от C.16) того же порядка, что и для C.18), и ин-
интерпретируются как собственные магнитные моменты, возникаю-
возникающие из-за наличия внутренней структуры. Отклонение от значения
gs = 2 для электрона возникает из-за радиационных квантовых
электродинамических поправок и имеет аналогичное происхождение
и тот же порядок величины, что и лэмбовский сдвиг. С учетом по-
поправок второго порядка имеем
" 0.328/в
2п \п
Спин электрона 323
где а = e2/(hc) — постоянная тонкой структуры. Это значение gs
согласуется с экспериментальным значением с точностью до вось-
восьмого знака после запятой. Поправочные члены малы из-за малости
а, поэтому электроны с очень хорошей точностью являются части-
частицами, не имеющими внутренней структуры.
Значение gs = 2 было измерено еще в 1915 г. в эксперименте
Эйнштейна — де Гааза; оно было использовано при формулиров-
формулировке гипотезы о существовании спина примерно в 1926 г. Сущест-
Существование членов с радиационными поправками было впервые об-
обнаружено Раби и др. в 1947 г.; эти члены были вычислены в
рамках квантовой электродинамики Швингером в 1948 г. Значе-
Значение gs = 2 можно также получить, используя гипотезу «мини-
«минимального взаимодействия с электромагнитным полем», которая
была впервые использована в релятивистском волновом уравне-
уравнении Дирака для электрона; это рассматривалось как одно из боль-
больших достижений, связанных с уравнением Дирака. Приведенные
выше соображения показывают, что это значение возникает уже
при классическом рассмотрении.
Существуют элементарные частицы, обладающие внутренней
структурой: например, протон имеет собственный магнитный мо-
момент
Мр = 5.59 -—-S = B + 3.59)S, C.18p)
р 2т рс 2т рс
т. е. g-фактор протона равен g = 5,59. Величина, на которую маг-
магнитный момент превосходит значение 2(e/Bmpc))S в C.16), назы-
называется аномальным магнитным моментом; для протона он равен
1,79 е/(трс). Нейтрон не имеет заряда, прэтому, согласно C.16),
его магнитный момент равен нулю; но нейтрон имеет аномальный
магнитный момент
М„ - —^@ - 1.92)S. C.18и)
2т „с
IX.36. СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
При определении величины магнитного поля В необходимо прини-
принимать во внимание релятивистские кинематические эффекты. Перей-
Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с электроном вокруг
протона. В этой системе электрон находится в состоянии покоя, а
заряд протона движется со скоростью V, равной по величине и об-
324 Глава IX
ратной по направлению скорости электрона. Это движение реали-
реализует ток. Магнитное поле тока одиночного заряда + е, движущего-
движущегося со скоростью V, по закону Био — Савара равно
В(х)= +^^3* <319)
(е измеряется в ед. СГС, В — в гауссах), где х — вектор, равный
по модулю г и направленный от движущегося заряда в точку наб-
наблюдения. Угловой момент электрона равен
l = xx( -mtJv).
Следовательно, в точке, где находится электрон, имеется вызван-
вызванное вращением протона магнитное поле, равное
В = + —-, I. C.20)
тAс)"
В формулах C.19) и C.20) релятивистские эффекты не учитывают-
учитываются. Следовательно, из C.1) получаем выражение
ЕПл.= - е 'э'^ 02\)
т,,с г
для энергии магнитного момента в этом поле (индекс r.f. обознача-
обозначает вращающуюся систему отсчета). Если система отсчета вращает-
вращается, появляется дополнительный вклад в энергию, уменьшающий
C.21) на множитель 1/2. (Этот множитель известен как «фактор
Томаса» и вызван «прецессией Томаса»; детальное вычисление
можно найти в работе [32]). Таким образом, энергия движущегося
спинового магнитного момента в магнитном поле протона равна
Квантовомеханическое выражение, соответствующее C.22), по-
получается стандартной процедурой замены классических величин 1 и
т5 квантовомеханическими наблюдаемыми L и М5, заданными вы-
выражениями (VI.3.1) и C.18):
"'"' -+ »■ i <рL •s = 2 £? w Mi <обычные ед-СГС)
= 9,/4^3*-Д (Л=0- C-23)
Спин электрона 325
Величина
eh D,8 х КГ 1Оед.СГС)F,6 X КГ16 Эв • с)
2т7с 2C,0 х 1010см/с)(9,1 х 108 г)
= 0,58 х .О"8 «LCECjJ*lA . 0,58 х КГ'эВ ^
г • см г /z
- 0,58 х 10"8эВ/Гс = 9,3 х 1<Г21эрг/Гс
называется магнетоном Бора. Оператор LS в C.23) легко вычис-
вычислить по формуле B.5)
J2 = (L + SJ = L2 + S2 + 2L-S,
используя тот факт, что
Тогда для C.23) получаем (в обычных единицах СГС)
НТ] = ^4r2<2i(J2 - L2 - in C.24)
^ l С
1Х.Зв. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ПОПРАВКА
Вклад, обусловленный релятивистским массовым эффектом, мы
получим при разложении релятивистского выражения для кинети-
кинетической энергии
Ро = v'(mec2J + с2р2
свободного электрона по степеням р/(тес) (р = (р2I72):
1еС
= т.с2 + £
2те 2 \2meJ mec'
Энергией покоя электрона тес2 мы пренебрегаем, поскольку в не-
релятивистском случае энергия определена только с точностью до
аддитивной константы (энергия покоя сдвигает все уровни на оди-
одинаковую фиксированную величину). Таким образом, классическая
кинетическая энергия с учетом релятивистской поправки первого
326 Глава IX
порядка равна
Чр7
2те 2 \2rnJ тос2
в отличие от обычного выражения
2те
Переходя к квантовой механике, заменим числа рк операторами
Р( и получим
C.25)
2mvc
в качестве кинематической поправки к выражению B.14')
0 Ъпе Q ■
(Как это выражение для Но, так и C.25) написаны в обычных еди
ницах СГС в отличие от единиц, описанных в разд. VI.3 выше
(VI.3.4).) Таким образом, оператор полной энергии с учетом двух
поправочных членов имеет следующий вид:
Я = Но + НТ] + Я?>, C-26)
где #(") и //(*> даны в C.24) и C.25) соответственно.
IX.4. ТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ СПЕКТРОВ
Поскольку оператор Н1 = Н\т) + И\к) содержит операторы
Qk (к = —1,-2,-3), оператор //,, а следовательно, и Н не ком-
коммутируют с Но. Поэтому оказывается, что мы имеем ситуацию,
описанную в B.40), B.44), B.45), когда I nljj3 > не являются физиче-
физическими собственными векторами, a Efy в B.44) и B.45) является
только первым приближением.
Чтобы вычислить матричный элемент B.45), воспользуемся
уравнениями (VII.2.15)—(VII.2.17) и (VII.2.20). (Заметим, что при
/ = 0 уравнение (VII.2.17) сингулярно, но при 1=0 матричный эле-
элемент <л//у3 IL-SI п 1ЦЪ > равен нулю (см. ниже D.2)), так что мат-
матричный элемент оператора L-S/Q3 всегда хорошо определен.) Вы-
Спин электрона 327
числяя матричный элемент спин-орбитального члена Н\т\ находим
<nlJh\HT]\nljj3> = ~^~ <3
{' il + l D.1)
j-(/+l)/2, j=l-h
поскольку
Согласно B.23), имеем
I3's3' I
X <^
Используя соотношение ортогональности для коэффициентов
Клебша — Гордана (V.2.15) и тот факт, что последний матричный
элемент равен нулю, за исключением случая, когда /3 = /3':
получаем
Таким образом, из D.1) и (VII.2.17) вместе с (VII.2.20) следует
1 / 1 V 2тъееь 1
2\тес) 1 n\l
Вспоминая, что, согласно (VI.5.12), при h — 1
£0 = _ »±е* J_ = _ Л'. \ Ш[С,2 1 D.4)
можем переписать D.3) в виде
D.5)
328 Глава IX
Матричный элемент члена кинетической энергии Н\к) в C.25) ра-
равен
Г2{Е°п2 + 2E°ne2(nl\Q-l\nl) + е\п l\Q~2\n />}
Zm»c
— — £■„ *\ — — I -—=r + —
с/ An2 2тес2 1 п2 2тес2Е°пA + \)п:
An2 и2 и(/ +
В этом вычислении использованы соотношения (VII.2.15),
(VII.2.16) и (VII.2.20). Складывая D.5) и D.6), для члена, отвеча-
отвечающего за появление тонкой структуры, получаем
Следовательно, матричный элемент Н = Но + //, равен (Л восста-
восстановлена)
В выражении D.8) член, который вызывает тонкую структуру, про-
пропорционален 1/(у -I- 1/2). Вспоминая, что а2 = (e2/(hc)J =
= A/137J, мы видим — слагаемое, отвечающее тонкой структуре,
на 4 порядка меньше, чем Е°п, и дает согласующиеся с эксперимен-
экспериментом значения для расщеплений энергетических уровней с разными
j. Это показано на рис. VI.5.2, где индексы обозначают значения
полного углового момента j. Уровни энергии обозначаются пAУ,
где вместо (/) при /= 0, 1, 2, 3, 4, 5,... пишутся буквы 5, Р, D, F,
G, //,... соответственно. Например, 2РУ2 обозначает случай, когда
п = 2, / = 1, у = 1/2, а 2Ръп — случай, когда п = 2, / = 1, j =
= 3/2. Выражение D.8) не зависит от /, а следовательно, не может
описывать расщепление уровней 2 Shl и 2 Р]/2 или 3 Ръп и 3 D3'2,
т. е. расщепление между состояниями, имеющими одинаковые зна-
значения у, но разные значения /; это также отражено на рис. VI.5.2.
Как упоминалось выше, это расщепление — лэмбовский сдвиг —
имеет другое происхождение и на порядок величины меньше, чем
спиновое расщепление.
Спин электрона 329
Спин не является фундаментальным понятием квантовой тео-
теории. Как обсуждалось в гл. III, значение углового момента, равное
h /2, естественно возникает при разрешении коммутационных соот-
соотношений для углового момента (III.2.16), которые в свою очередь
являются следствием симметрии относительно вращений. Сущест-
Существование угловых моментов с полуцелыми значениями может быть,
следовательно, выведено из фундаментальных постулатов кван-
квантовой механики и свойств преобразований симметрии (теорема
Вигнера).
Значение спина электрона Л/2 является специальным свойством
электрона, а не особенностью общих постулатов квантовой механи-
механики. Но в ранний период существования квантовой теории спиновые
эффекты воспринимались как свидетельство трудностей в самой об-
общей структуре квантовой физики, и это воплотилось в одной из са-
самых замечательных глав в истории квантовой механики.
Что квантовое число углового момента может принимать полу-
полуцелые значения, было впервые предположено А. Ланде A921 г.)
при систематизации данных по эффекту Зеемана (расщепление уров-
уровней энергии атомов в приложенном магнитном поле, см. задачу 3).
Затем (также в 1921 г.) Гейзенберг предположил, что, если к атому
или иону добавляется электрон, он передает атому долю h /2 свое-
своего орбитального момента /Ли остается с моментом (/ - 1/2) Л.
При помощи этой гипотезы ему удалось объяснить дублетное рас-
расщепление в щелочных атомах, для которого позднее была написана
формула D.7).
Гипотеза о том, что это расщепление вызвано спином электро-
электрона, по-видимому, впервые была выдвинута Р. Кронигом (весна
1925 г.). Он обсуждал эту гипотезу с Паули, который отверг ее как
неприемлемую. Главной причиной, по которой была отвергнута ги-
гипотеза спина, было отсутствие множителя 1/2 (фактора Томаса) в
формуле C.22), что приводило к расхождению на множитель 2
между вычисленным B х правая часть D.7)) и наблюдаемым (пра-
(правильно выраженным формулой D.7)) дублетным расщеплением.
Тот факт, что gs = 2, в то время был уже хорошо установлен.
Затем осенью 1925 г. С. Гаудсмит ч Г. Уленбек, которые обо
всем этом не знали, опубликовали первую статью о гипотезе спина,
а затем, после того как Гейзенберг обратил их внимание на эту за-
задачу, вычислили дублетное расщепление с требуемым дополнитель-
дополнительным множителем 2. Это убедило Бора, но Паули по-прежнему от-
отрицал существование спина электрона; он не верил, что существует
механическое объяснение этого эффекта. Наконец, в 1926 г. Л. То-
Томас показал, что дополнительный множитель 1/2 в наблюдаемом
330 Глава IX
дублетном расщеплении является следствием неучтенного реляти-
релятивистского эффекта. Что релятивистский эффект приводит к появле-
появлению множителя 1/2, а не v/c, явилось большим сюрпризом даже
для специалистов по теории относительности (включая
Эйнштейна); наконец, даже Паули убедился в существовании спина
электрона.
IX.5. ПРАВИЛА ОТБОРА
Правила отбора для дипольных переходов обсуждались выше, в
частности в разд. V.4 для общих состояний углового момента, а
также кратко в разд. VI.5 для атома водорода без учета спина.
Правила отбора, т. е. правила, которые говорят нам, когда мат-
матричный элемент <л' /'у'Уз'' Q,' nUJ^) равен нулю, следуют из того,
что Qj является обычным векторным оператором, т. е. удовлетво-
удовлетворяет соотношениям
tLhQJ = klJkQk, E.1a)
V,'Qj] = '<,л<2ь. E.16)
UpQiUp = -Q{. E.2)
Соотношение E.16) выражает тот факт, что Q не только является
векторным оператором относительно орбитального углового мо-
момента L, но также является векторным оператором относительно
полного углового момента J. Соотношение E.16) следует из того,
что /( = Z-- + 5; с учетом E.1а).
Как следствие соотношения E.16) правила отбора для диполь-
дипольных переходов между физическими состояниями I п //у3 > для атома
водорода (и для всех остальных одноэлектронных атомов) имеют
вид
<»Т/Л, \Q,\nlJhy = O E.3)
кроме случаев, когда у' = у'+ 1, у или у — 1. Из E.2) вытекает, что
< л' I'J'Ji I Qj I nljj3> = 0 кроме 7г(/)тг(/') ~ - 1 E.4)
(т. е. если не имеет место равенство (— 1)г + 1= —1, так как тг(/) =
= (-1)'). Из соотношения E.3) и из того факта, что у' =
= /' ± 1/2 и у = I ± 1/2, следует, что матричный элемент равен
нулю, кроме случаев, когда /' = I + 2, I + 1, /, / — 1, / - 2. Та-
Таким образом, E.4) можно записать в виде
<n'l'j'J3\Qi\nljj3y = 0 кроме /' = / + 1. E.5)
Спин электрона 331
Соотношения E.3), E.4) или E.5) дают правила отбора для диполь-
ных переходов в атоме водорода и других одноэлектронных ато-
атомах.
IX.6. ЗАМЕЧАНИЯ О СОСТОЯНИИ ЭЛЕКТРОНА В АТОМАХ
В заключение этой части, посвященной атому водорода, сделаем
следующее замечание. Чтобы построить алгебраическую структу-
структуру, являющуюся математическим образом атома водорода, мы ис-
использовали классическую корпускулярную картину задачи Кеплера,
т. е. в качестве отправной точки служило представление об элек-
электроне как о частице, движущейся вокруг центра по замкнутым ор-
орбитам. При обсуждении спина мы даже провели некоторую анало-
аналогию между спином и вращением этой частицы вокруг собственной
оси (например, при сравнении C.16) и C.18)). Такова классическая
модель, которая описывается математическими соотношениями
между наблюдаемыми, которые являются не операторами, а числа-
числами. В квантовой механике эти математические соотношения явля-
являются операторными; они не дают математического образа точеч-
точечной частицы, вращающейся вокруг центра и вокруг собственной
оси. Электрон в атоме водорода не является частицей, а спин не
есть результат вращения вокруг собственной оси. Квантовомехани-
ческий объект мы называли частицей, когда ему отвечало прибли-
приближенно обобщенное собственное состояние оператора координаты,
поскольку локализованность является характерным свойством ча-
частицы. Электрон в атоме водорода не описывается обобщенным
собственным состоянием оператора координаты. Столь же неверно
думать (это результат неправильной интерпретации решения вол-
волнового уравнения Шредингера), что электрон в атоме водорода яв-
является стоячей плоской волной, т. е. описывается классической мо-
моделью, дуальной по отношению к корпускулярной модели. Кванто-
вомеханический объект назывался волной, если ему отвечало обоб-
обобщенное собственное состояние оператора импульса (разд. II.9), так
как это состояние обладало характерными свойствами волны (вол-
(волнового движения во всем пространстве). Электрон в атоме водоро-
водорода не находится в обобщенном собственном состоянии импульса.
Таким образом, ни одна из двух классических моделей электрона не
применима к описанию электрона в атоме водорода. В атоме водо-
водорода электрон не является ни волной, ни частицей, он представляет
собой объект, отличный от них обеих, а именно собственное состо-
332 Глава IX
яние операторов углового момента и энергии, в котором у него нет
ни определенного положения (частица), ни определенного импульса
(волна), но есть определенный угловой момент (ротатор). Наибо-
Наиболее близкой к такому объекту классической картиной является кар-
картина стоячей сферической волны.
Глава X
Неразличимые частицы
В этой главе постулируется фундаментальное предположение о
комбинации тождественных физических систем исходя из неразли-
неразличимости этих систем.
Х.1. ВВЕДЕНИЕ
Квантовомеханические системы, которые мы до сих пор рассмат-
рассматривали, содержали только один составляющий объект некоторого
вида. Атом водорода рассматривался как один электрон в электри-
электрическом поле. Колеблющаяся двухатомная молекула описывалась
как задача об одном осцилляторе. Изучение вращающейся двух-
двухатомной молекулы сводилось к задаче о вращении одной системы
вокруг центра. При рассмотрении колеблющейся и вращающейся
двухатомной молекулы она описывалась как комбинация одного
ротатора и одного осциллятора, т. е. как вращающийся осцилля-
осциллятор. Такие системы называются одночастичными системами. Та-
Таким образом, одночастичными являются системы, состоящие толь-
только из одной составляющей некоторого типа.
Теперь мы рассмотрим многочастичные системы, т. е. систе-
системы, являющиеся комбинацией многих (N = 2, 3, ...) одинаковых
физических одночастичных систем некоторого типа. Пусть ^,
^2, ... , JfN — пространства физических состояний первой,
второй, ..., N-й физических систем. (Все пространства ^идентич-
^идентичны; индекс служит только для того, чтобы указать, к какой части-
частице относится данное пространство.) Исходя из фундаментального
постулата IVa можно ожидать, что TV-частичная система, являю-
являющаяся комбинацией 7V одночастичных систем, будет иметь в ка-
качестве пространства состояний пространство, являющееся прямым
произведением:
Ь = --^1 ® ^2®---® &N. A.1)
334 Глава X
Алгебра TV-частичной системы была бы тогда прямым произведе-
произведением алгебр наблюдаемых одночастичных систем, т. е. в нее входи-
входили бы все операторы
А = £ Ai (Я) А2 ®---®/l.v, A.2)
где At — элемент алгебры наблюдаемых в пространстве Щ. (На-
(Например, если эти TV одночастичных систем не взаимодействуют
между собой, то все элементы алгебры наблюдаемых в про-
пространстве ф имеют вид /1 = /Ij ® / (g) / ® ... ® I + I ® A2 ®
<g> / <g> ... <g> / + ... + / <g> / <g> ... <g> / <g> AN.)
Мысль о том, что TV-частичная система описывается формулой
A.1), навеяна классическими соображениями. Классические частицы
в принципе могут быть нумерованы, т. е. можно себе представить,
что в некоторый момент времени каждая частица снабжается мет-
меткой и мы можем затем следить за последующим движением частиц
по их траекториям и идентифицировать любую частицу в любой
заданный момент времени. Но это невозможно для квантовомеха-
нических систем. Следить за движением каждой частицы в кванто-
вомеханической системе означает проводить серию измерений коор-
координат. Каждое изменение, как это следует из аксиомы III, изменяет
состояние системы неконтролируемым образом: если мы локализо-
локализовали частицу в окрестности некоторой точки, то мы не знаем, ка-
какой будет у нее импульс и куда она направляется. Для квантовоме-
ханической системы понятия траектории не существует (принцип
неопределенности). Таким образом, в квантовой механике даже в
принципе невозможно следить за каждой из тождественных ча-
частиц и, следовательно, различать их. (Под тождественными части-
частицами мы понимаем частицы, которым отвечают одинаковые наб-
наблюдаемые величины.) Следовательно, тождественные квантовоме-
ханические частицы неразличимы.
Дадим теперь точную математическую формулировку неразли-
неразличимости, а затем сформулирум следствия из нее как еще один фун-
фундаментальный постулат квантовой механики. Пусть !£,>, — базис в
пространстве Жп т. е. один символ £( обозначает полный набор
квантовых чисел (собственных значений п.с.к.н.), необходимых для
классификации базисных систем <Щ. (Для определенности можно
предположить, что TV частиц представляют собой электроны в ку-
лоновском поле; тогда каждое <Щ есть пространство Ж из
(IX.2.15), и !£,>,. = \nilijiji3y.) Базис в пространстве ф A.1) имеет
тогда вид
1*1 *2 ' ' • &V> = 1*1>1 ® |£2>2 ® • • • ® ICnV A.3)
Неразличимые частицы 335
Предположим, что задано N объектов (элементов), расположен-
расположенных в определенном порядке:
такое расположение называется перестановкой. Эти N элементов
могут быть записаны в другом порядке: (г}1, rj2, ... ,rjN); возникает
перестановка N объектов. Всего имеется TV! перестановок N объек-
объектов. Одна определенная перестановка может рассматриваться как
«исходная», «естественная» или «стандартная». Все остальные пе-
перестановки могут быть получены из этой исходной путем измене-
изменения порядка расположения объектов. Понятно, что операция изме-
изменения порядка расположения определяется возникающей переста-
перестановкой, поэтому эта операция также называется перестановкой. Та-
Таким образом, мы можем рассматривать операцию перестановки
(или просто «перестановку») Р, которая переводит (£,, £2, ... ,i-N) в
(V\» ^2» ••• »%)• Например, можно рассмотреть перестановку Р12,
которая трансформирует (£,, £2, ... ,£N) в (rjl = £2, rj2 = £,, т/3 =
= £3, ••• >Vn = £#)• Можно также рассмотреть перестановку
Ри, которая переводит (£,, ... ,£,., ... ,£у, ... ,^N) в (^,, ... , £у , ...
..., f-j, ..., i-N) перестановкой /-го и у-го элементов; подобные пере-
перестановки, меняющие местами два элемента, называются транспо-
транспозициями. Каждая перестановка может быть получена конечным
числом транспозиций; например, перестановка (£2, £3> £i>
£4» ••• »£n) может быть получена последовательными транспози-
транспозициями Р,3 и Р,2:
В то время как разложение перестановки на транспозиции не явля-
является единстенным, число транспозиций будет всегда или четным,
или нечетным в зависимости от рассматриваемой перестановки.
Перестановка является нечетной (относительно исходной переста-
перестановки), если она получается из исходной перестановки нечетным
числом транспозиций; перестановка четная, если она получается
четным числом транспозиций.
Пусть теперь эти N объектов являются N наборами квантовых
чисел (£,, £2, ...) = (/7j /, у, у13, пг1г у2 у23, ...). Каждая перестановка
О/,, rj2, ... ,r]N) или каждый оператор перестановки Р: (£,, £2, ...
•••» £n) ~* Ofi» ^2» ••• >tyv) МОГУТ реализовываться в пространстве ф
линейным оператором Р, определенным следующим образом:
^•••^> = ki^2-'-^>- A-4)
336 Глава X
Например, транспозиция Р12 реализуется оператором Р,2:
Р*12 1^1 %2 ' ' " C,v) = К2 Ci • • • CjV>- A-5)
Операторы Р могут быть выбраны унитарными1).
КНабор [Р] всех перестановок N объектов образует симметрич-
симметричную группу, {группу перестановок), а множество (Р) всех операто-
операторов, реализующих перестановки, образует представление группы
перестановок. Если все операторы Р унитарны, то представление
называется унитарным представлением группы перестановок. По-
Поскольку группа перестановок содержит конечное число элементов
(она конечна и, следовательно, компактна), любое представление
группы перестановок, согласно имеющейся теореме, может быть
сделано унитарным. Мы будем использовать только одно свойство
группы перестановок, которое будет приведено ниже, и нам не по-
потребуются сведения из теории групп.!
Пусть Л|^ — проекционный оператор на одномерное подпро-
подпространство, порожденное 1£> = l^^..-^), и пусть Л,7?> — про-
проектор на одномерное подпространство, порожденное \rj) =
= \viV2---Vn^' Пользуясь соотношением A.4), можно установить
соответствие
Л„> = \ri>OH = PIcXclP* = Р Л(ОР+. A.6)
Вследствие неразличимости Л,^ и Airj> могут отвечать (чистому)
физическому состоянию только в том случае, если
Л„> = ЛЮ, A.7)
или, используя A.6),
Л|о = Р Л|о Р+. A.8)
Следовательно, из одномерных подпространств в пространстве
прямого произведения § A.1) физическим состояниям могут отве-
отвечать только такие, для которых выполнено соотношение A.8). От-
Отсюда заключаем, что вследствие неразличимости пространством
физических состояний является не все пространство A.1), а только
его подпространство. Алгеброй наблюдаемых также является не
вся алгебра A.2), образованная прямыми произведениями алгебр
операторов, а только ее подалгебра. Теперь мы найдем физическое
подпространство пространства A.1). Понятно, что в общем случае
' Причина выбора унитарных операторов IP состоит в том, что Р является пре-
преобразованием симметрии. Краткое обоснование этого дано в приложении к разд.
XIX.2.
Неразличимые частицы 337
базис прямого произведения A.3) не является подходящим (из A.8)
следует, что [Р1т;> - 1т;>, что не может выполняться, поскольку все
квантовые числа различны); ясно также, что в общем случае физи-
физические состояния являются линейными комбинациями векторов
A.3).
Пусть ф — вектор в физическом подпространстве (в общем слу-
случае — линейная комбинация векторов A.3)) и пусть Р — оператор
перестановки. Тогда, если частицы являются неразличимыми, ф и
X = Рф (или Л^ и Л = АРф) отвечают одному и тому же физиче-
физическому состоянию. Следовательно, средние значения любой наблю-
наблюдаемой А должны быть равны для ф и х. т. е.
<ф\А\фУ = <х\Л\х> = <ф\Р*АР\ф> A.9)
для любой наблюдаемой А. Так как ф — произвольный вектор в
физическом подпространстве, мы заключаем, что
А = РМР A.10)
для любой наблюдаемой А. Таким образом, для любой наблюдае-
наблюдаемой А е stf и любого оператора перестановки Р имеем
[Р,/4] = 0. A.11)
[Для унитарного оператора Р (как упоминалось выше, для груп-
группы перестановок можно принять, что имеется унитарность) уравне-
уравнение A.11) немедленно следует из A.10). Для неунитарных Р при вы-
выводе уравнения A.11) необходимо использовать линейные комбина-
комбинации фх + 1аф2, фх + афг.\
Уравнение A.11) дает математическую формулировку утвержде-
утверждения: тождественные частицы неразличимы. Пользуясь этой мате-
математической формулировкой неразличимости, можно показать, что
для векторов из физического подпространства A.1) выполняется
либо
Рф = +ф для всех Р A.12)
либо
A.13)
р нечетное, если Р нечетный.
Векторы ф, удовлетворяющие условию A.12), называются симмет-
симметричными, а удовлетворяющие условию A.13)— антисимметричны-
антисимметричными.
Чтобы это показать, требуется математическая формулировка
физически очевидного свойства алгебры &/ = [А] наблюдаемых А.
461--22
338 Глава X
Оно может быть сформулировано следующим образом1*: s& = [A]
содержит полный набор коммутирующих операторов. Чтобы
дать физическое подтверждение этого условия, напомним, что мы
называем состояние «чистым» (с некоторой точностью), если не
имеется наблюдаемой, измерение которой позволило бы разбить
ансамбль, находящийся в этом состоянии, на два или более подан-
самблей. Если такое разбиение возможно (как для атома водорода
в основном состоянии), оно приводит к появлению нового кванто-
квантового числа и, следовательно, к появлению новой наблюдаемой (в
случае атома водорода — спина). Следовательно, необходимо рас-
расширить алгебру наблюдаемых, включив в нее эту новую наблюдае-
наблюдаемую. То, что является чистым состоянием с некоторой точностью,
не обязательно является чистым состоянием с более высокой точ-
точностью. Но с каждой желаемой (и достижимой) точностью каждое
чистое состояние полностью характеризуется набором квантовых
чисел, которые связаны с наблюдаемыми. (На самом деле алгебра
наблюдаемых возникает из рассмотрения этих квантовых чисел и
наблюдаемых.) Каждый индекс вектора связан с наблюдаемой, а
наблюдаемые, собственные значения которых характеризуют век-
вектор, образуют полный набор. (Как мы уже видели, утверждение,
что некоторый набор коммутирующих операторов образует пол-
полную систему, является физическим утверждением, устанавливае-
устанавливаемым исходя из физических свойств системы, а не математическим
утверждением (см. гл. IV).) Следовательно, явное появление чи-
чистых состояний, для которых не выполняется A.12) или A.13), всег-
всегда указывает на то, что имеющийся набор квантовых чисел непол-
неполный и существуют другие квантовые числа, дополняющие этот на-
набор, но остающиеся пока неизвестными.
Обозначим через Ах, А2, ... , Ап полную систему коммутирую-
коммутирующих операторов в алгебре наблюдаемых, через \ а) = \а1а2...ап) —
соответствующие собственные векторы, а через Л|й> — проекторы
на подпространстве, порожденные векторами 1а>. Проектор Л|д>
является наблюдаемой, среднее значение которой дает вероятность
получить при измерении Alt А2, ... ,Ап значения а,, а2, ... ,ап. Яв-
Являясь наблюдаемыми, Л|д> должны коммутировать с перестановка-
перестановками Р (это следует из A.11)):
[Р, Л,в>] = 0 для всех Р. A.14)
Из уравнения A.14) следует, что вектор I а) должен являться соб-
собственным вектором всех операторов Р.
1) Это условие опускается при рассмотрении парастатистики.
Неразличимые частицы 339
Доказательство. Уравнение A.14) в применении к вектору \ф) дает РА, . \ф) =
- Л1о>'р'^^- Используя Л|о) = \а){а\, мы видим, что Р\а)(а\\р) = \а)(а\Р\\р)
и следовательно,
Р|а> = |а> A,5)
<а\Ф>
Допустимые собственные значения <al(Pl^>/<al^> вытекают из
следующего свойства группы перестановок (которое мы не выво-
выводим): группа перестановок имеет два одномерных представления:
1) симметричное представление, в котором все перестановки пред-
представлены единичным оператором /, т. е.
= + \ФУ для всех перестановок Р, A.16)
и 2) антисимметричное представление, для которого все четные пе-
перестановки реализуются оператором /, а все нечетные перестанов-
перестановки — оператором — /, т. е.
р четное, если Р четный, A.17)
Р\фУ = (-1у\ф) , где
1 р нечетное, если Р нечетный.
Напомним (разд. III.3), что пространство неприводимого представ-
представления (лестничного представления) алгебры операторов [Р] являет-
является пространством представления, получающимся при действии все-
всеми операторами Р на один элемент пространства. Тот факт, что
вектор I а) является собственным вектором всех операторов Р, оз-
означает, что \а) порождает одномерное пространство неприводимо-
неприводимого представления. Поэтому, согласно указанному свойству группы
перестановок, мы должны иметь либо
Р|д>= + |й> для всех Р , A.18)
ЛИ ° р\ау = (-1)р\а} для всех Р . A.19)
Поскольку это имеет место для всех базисных векторов I а) и лю-
любой вектор I ф) пространства представления алгебры наблюдаемых
(т. е. физического подпространства ф) может быть записан в виде
линейной комбинации базисных векторов, мы приходим к заключе-
заключению, что должно выполняться либо A.12), либо A.13).
Обозначим через 'Ж1* подпространство пространства ф, состоя-
состоящее из симметричных векторов:
A.20)
и через Ж^_ — подпространство пространства ф, которое состоит
из антисимметричных векторов:
340 Глава X
Мы можем теперь сформулировать утверждение A.11), которое мы
вывели из неразличимости, следующим образом: пространство фи-
физических состояний N тождественных квантовомеханических систем
является либо антисимметричным пространством Жы_ , либо сим-
симметричным пространством Ж1^ .
Базис ненормированных векторов в пространстве ^+ имеет вид
1О+ = |£i £2 ■ • • £n> + = I P|£i ti ■ ■ ■ £n>, A-22)
p
где векторы l^^...^) заДаны в A-3), а £р — сумма по всем пере-
перестановкам Р N объектов £,, £2, ..., i-N. Понятно, что последова-
последовательность квантовых чисел £,, £2, ... ,£N в 1£>+ несущественна.
Чтобы доказать, что векторы 1£>+ являются симметричными, для
любой перестановки (Р, вычислим
Pi \О+ = I PlPKi Ъ ■ • • £*> = I P'lfl ^2 • • • ^N> = IO+,
где мы положили Р' = Р{ Р и где сумма по всем Р становится сум-
суммой по всем Р'. Последнее утверждение следует из того, что если
перестановка Рг фиксирована, а Р пробегает все возможные пере-
перестановки, то Р' также пробегает все возможные перестановки. Та-
Таким образом, для любой перестановки Р, имеем
PilO+ = 1О + . A.23)
Базис ненормированных векторов в пространстве -)fN_ имеет вид
\О- = |£i *2 • • • £n>- = I (-l)pP|^i ^ • • • Zn>. A-24)
Чтобы показать, что эти векторы антисимметричны, заметим
сначала, что {-\)р> = (-l)^-^/7! = (-l)^(-l)^i и поэтому
(-\)р = (_!)/>,(_ !)/>'. тогда
A-25)
для любой перестановки Р. Если 1£д. — нормированные векторы в
пространстве J^, то векторы 1^,^2...^> нормированы в ^, т.е.
(ЬгЬг — ЬыУ^Ьг—Ьы) = ^ Следовательно, векторы 1£>+ и 1О_ не
нормированы; нормировочные множители вычисляются в задаче 1.
Сформулируем результат предыдущего рассмотрения в виде но-
нового фундаментального постулата (аксиомы) квантовой механики.
Неразличимые частицы 341
IV б. Пространство физических состояний N тождественных
квантовомеханических систем (частиц) есть JP™ , если их угловой
момент (спин) является целым, и есть J^_, если их угловой мо-
момент является полуцелым.
Частицы, пространством физических состояний которых являет-
является Jf", называются бозонами, а частицы, пространством физиче-
физических состояний которых является JfN__ , называются фермионами.
Бозоны подчиняются статистике Бозе, в то время как фермионы
подчиняются статистике Ферми. Аксиома IV6 тогда устанавлива-
устанавливает, что частицы с полуцелым спином являются фермионами, а ча-
частицы с целым спином — бозонами и не существует других частиц,
подчиняющихся какой-то иной «парастатистике» (они должны бы-
были бы принадлежать к представлениям группы перестановок более
высоких размерностей). Эта аксиома была подтверждена во всех
случаях, когда она проверялась (электроны, протоны, нейтроны яв-
являются фермионами; пионы, фотоны, фононы, альфа-частицы яв-
являются бозонами). Заметим, что аксиома IV6 выведена главным
образом из условия неразличимости A.11), которое в свою очередь
было выведено из ранее сформулированных основных постулатов
квантовой механики. То, что не было выведено,— это связь между
спином и статистикой1*.
0 Связь между спином и статистикой может быть строго доказана в рамках
релятивистской квантовой теории поля (см., например, [33]). — Прим. перев.
Глава XI
Двухэлектронные системы — атом гелия
В этой главе исследуются системы с двумя электронами.
В разд. XI. 1 показано, что пространство физических состояний ато-
атома гелия является суммой пространств состояния парагелия и орто-
ортогелия. В разд. XI.2 найдены пороги ионизации (т. е. энергия Епоа,
при которой один электрон занимает /2-й уровень, а второй диссо-
диссоциирует из атома) и обсуждаются энергетические уровни, лежащие
ниже первого порога ионизации. В разд. XI.4 обсуждаются энерге-
энергетические уровни выше первого порога ионизации без учета взаимо-
взаимодействия этих уровней и без учета энергетического континуума си-
системы (Не+ , е).
XI. 1. ДВА АНТИСИММЕТРИЧНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВА
АТОМА ГЕЛИЯ
Следствия фундаментального предположения IV6 мы проиллюст-
проиллюстрируем на примере двух электронов, находящихся в кулоновском
поле. Это простейший нетривиальный пример, и, хотя он не де-
демонстрирует полного значения постулата IV6, он математически
прост и не требует привлечения других свойств представлений груп-
группы перестановок.
Энергия двух классических бесспиновых частиц с массой тс и за-
зарядом - е, движущихся в поле силового центра с зарядом Ze, рав-
равна
„ 1 . 2 2ч Ze2 Ze2 e2
^те '1 ~2 '12
где гх, г2 — расстояния первого и второго зарядов — е от заряда
Ze, а г12 — расстояние между этими двумя зарядами. Такая систе-
система является классической моделью атома гелия (или любого двух-
электронного иона при Z =£ 2). Мы получаем оператор энергии для
атома гелия путем обычной процедуры замены чисел pai, xaj,
ra = ЮШ и гп = «Х1 ~ Х2>2I/2 операторами Ра/, Qa, , <2а =
Двухэлектронные частицы — атом гелия 343
= (Q2I72 и Qn = ((Qj — Q22I/2 соответственно. Кроме того, мы
должны добавить член Hlt учитывающий вклад электронного спи-
спина. Тогда для оператора энергии атома гелия (Z = 2) имеем выра-
выражение
1 7р2 Zp2 е2
2^ 7Г|г ^
2me Hi Q2 Ql2
которое мы запишем в виде
Н = Н0 + Hlt A,3а)
где Но — оператор Гамильтона, отвечающий классическому га-
гамильтониану A.1):
H0 = —{h1®I + I®h2)+W=H00+W, A.36)
me
где
Яоо = —0h ®I + I®h2), A.3в)
Р2 а 15
^^ ( 2Z/h, h = 1), A.3г)
е2 / 3 \~1/2
У12 \ i = 1
Оператор Н и все остальные операторы действуют в пространстве
Ь = Ж,®Ж2, A.4)
где JPa — пространство системы, состоящей из одного электрона в
кулоновском поле заряда Ze.
Для двух объектов £2 и £2 имеется только 2! = 2 перестановок
(£,, ^2) и (£2, $,); поэтому для фиксированного набора квантовых
чисел {,и{2 при £\ * %2 имеются только два базисных вектора в
пространстве <р : 1^^) и l£2£i )• Нормированные симметричный и
антисимметричный векторы для этого фиксированного набора
квантовых чисел, согласно (Х.1.22) и (Х.1.24), имеют следующий
вид:
U^> + l^i», A-5)
-4
344 Глава XI
Таким образом, для фиксированного набора квантовых чисел £} и
£2 при £j =£ £2 имеем двумерное пространство, порожденное векто-
векторами lij,$2>» '^l * ИЛИ веКТ°РамИ Uj^2^+' '^1?2 >- • ЕсЛИ
£2 и $2 фиксированы так, что £2 = £2» мы имеем одномерное про-
пространство, порожденное \^^2У = '^i^2^+- Пространство ф по-
порождается векторами l^^)» гДе £i и $2 МОГУТ независимо прини-
принимать любые возможные значения в наборе (nljj3) (п = 1, 2, ... ;
j = О, 1, ... , п - 1; Уз = -У. -У + 1. - , У; / = У ± 1/2I}. Про-
Пространство с^_ порождается всеми векторами l^^)- > a простран-
пространство J^+ — всеми векторами \^^2У+ • Следовательно,
Ь = Ж2_®Ж1, A.7)
т. е. пространство прямого произведения есть прямая сумма сим-
симметричного и антисимметричного подпространства.
(Выражение A.7) специфично для случая N = 2, для N > 2 про-
пространство ф (Х.1.1) не является прямой суммой симметричного и
антисимметричного подпространств (Х.1.20) и (Х.1.21). Вместо
этого
ь = ^г е #- е лг^ е ж»г ® • •..
Здесь число членов конечно и равно числу способов, которыми чис-
число N записывается в виде суммы £;JV; положительных целых чи-
чисел Ns. При N = 2 имеются две возможности B и 1 + 1), поэтому
в выражении A.7) имеются только два различных члена.]
Согласно аксиоме IV6, или принципу Паули, в пространстве
A.7) только подпространство Л?_ является пространством физиче-
физических состояний двухэлектронной системы. (Если бы мы рассматри-
рассматривали систему с двумя бозонами, пространством физических состоя-
состояний было бы J^+ .) Чтобы построить Л?_ и найти свойства алге-
алгебры наблюдаемых в Л?_ , поступим следующим образом: каждое
пространство J^(a = 1, 2) запишем, согласно (IX.2.15), в виде
где ^rb — пространство, в котором действуют орбитальные наб-
наблюдаемые (т. е. наблюдаемые, являющиеся функциями от Ра i и
Qai), относящиеся к а-му электрону, a sa — пространство, в кото-
котором действуют спиновые переменные а-го электрона. Объединим
теперь по отдельности орбитальные и спиновые пространства двух
Условие £i *■ & означает тогда, что не все («l/iy'iyn) согласуются с
Двухэлектронные частицы — атом гелия 345
электронов, т. е. образуем
ЖотЬ2 = Ж°? ® Ж°2тЪ, A.9)
ts2 = 4*®t*. A.10)
Найдем теперь по отдельности симметричные и антисимметрич-
антисимметричные подпространства J^>Tb2 и**2, следуя описанной выше процеду-
процедуре; вместо £а в A.5) и A.6) имеем $°гЬ = (па1а1а3) при рассмотре-
рассмотрении J^Tb2 и l-sa = sa3 при рассмотрении tsl. В результате мы при-
приходим к
жптЪ2 = ж°;ъ2 е ж °_rb2, (l.ii)
isl = tsl 0 г*1. A.12)
Полное пространство ф тогда имеет вид1*
<g> /+2) e (jr°;b2 ® isl) e
В задаче 1 показано, что симметричным пространством является
а антисимметричным пространством
жы {ж°1ъ2 ® *i2) e (ж°:ъ2 ® *s+2). A.15)
Таким образом, пространство физических состояний Ж2_ являет-
является прямой суммой двух пространств: пространства симметрич-
симметричных орбитальных и антисимметричных спиновых состояний и
пространства антисимметричных орбитальных и симметричных
спиновых состояний.
!) Подчеркнем снова, что появление только симметричного или антисимметрич-
антисимметричного подпространства является особенностью случая N = 2; при N > 2 необходимо
рассматривать представления группы перестановок большей размерности а, в про-
пространствах Jf0lbN и г*". Антисимметричное пространство <Ж^ содержит тогда не
только пространства ^orb" (g> r*£, как в A.15), но также все прямые произведения
пространств вида J%OTb" (g) r$-, где а' — неприводимое представление группы пере-
перестановок, "ассоциированное" с неприводимым представлением а таким образом,
что J%otb" (g) r§' является антисимметричным подпространством пространства ф.
346 Глава XI
Как уже обсуждалось в разд. IX.2 для случая атома водорода,
базисные векторы, являющиеся собственными векторами (полного)
спина и (полного) орбитального углового момента не образуют фи-
физического базиса, поскольку физической наблюдаемой является
(полный) угловой момент, а не спин и не орбитальный угловой мо-
момент. Таким образом, чтобы найти физические состояния, необхо-
необходимо образовать такие линейные комбинации векторов из про-
пространства прямого произведения
I £ОГЬ £ОгЬ\ /О\ I с с \ / n ьЛ^ОгЬ2 /O\ iS2\
Isi S2 /+ УУ IЛ13 Л23 / — V ° 'п + ^ '-'
которые являются собственными состояниями полного углового
момента. Кроме того, оказывается, что пространства ,Jf°lbl ® *. sl
и Ж°^г (Я) *.s* не являются собственными пространствами операто-
оператора энергии Н из A.3а); причина состоит в том, что Нх не коммути-
коммутирует с оператором полного спина Si = Su + S2i, at5+2 h<ls* явля-
являются собственными пространствами S2. Если физические состояния
являются собственными состояниями оператора Н (что подтвер-
подтверждается всеми экспериментальными данными), то векторы физиче-
физических состояний не принадлежат ни к Ж™ь1 (Я) *- sl, ни к >^гЬ2 (Я)
(Я) х. ^, а являются линейными комбинациями с малой компонентой
в одном из этих пространств и большой в другом. Таким образом,
редукция J^_ в прямую сумму пространств A.15) является физи-
физической лишь приближенно; подпространства Ж0^1 (Я) ts2 и
j^oTb2 (g) г*2 являются пространствами физических состояний толь-
только в той степени, в какой можно пренебречь вкладом Нх (спин-ор-
(спин-орбитального взаимодействия) в Н. Как и в случае атома водорода,
это приближение оказывается очень удачным.
Пренебрежем теперь вкладом Нх и осуществим детальное по-
построение всех четырех пространств правой части A.15). Начнем со
спиновых пространств t,s* nts2, так как они построены значительно
проще, чем орбитальные. Пространство x.sl = ь\ (Я) г| является
прямым произведением двух двумерных пространств, и следова-
следовательно, оно четырехмерно. Его базис прямых произведений состо-
состоит из четырех векторов
Легко найти все симметричные и антисимметричные комбинации
этих четырех векторов. Симметричные комбинации имеют вид
Двухэлектронные частицы — атом гелия 347
а единственная антисимметричная комбинация имеет вид
A.17;
Четыре вектора A.17) и A.18) ортонормированы и, следовательно,
образуют базис в пространстве *>s2, поэтому три симметричных
вектора порождают симметричное пространство г5^, которое, та-
таким образом, является трехмерным, а вектор A.18) порождает ан-
антисимметричное пространство *^, которое одномерно. Простран-
Пространство*-52 = &s\ = l/2 (Я) .4$si~1/2 является пространством комбинации
двух элементарных ротаторов. Поэтому мы можем применить ре-
результаты разд. V.2 и определить оператор полного спина
S, = SU®I + I®S2i (i = l,2,3). A.19)
Из уравнения (V.2.32) следует тогда
г*2 = ^s=1 0^s = o, A.20)
т. е. полный спин равен или 5=1, или s = 0, и мы можем ввести
Bts2 базис I ss3 > такой, что
S2\ss3> = s(s+ 1)МэХ| fs = 0,s3=0;
S3|ss3> = S3\ssi> I U= l,s3 = -1,0, 1-
Наблюдаемые 5, коммутируют с операторами перестановок (в дан-
данном случае с оператором транспозиции (Р,2), поскольку
Pi2S{ = P12(S1( ® / + / ® S2i) = (I ® S2l. + Slf- <g> /)P12 = S,.P12.
A.22)
Два подпространства ts* nts2 являются собственными пространст-
пространствами оператора 1Р12, отвечающими собственным значениям +1 и
— 1 соответственно. Согласно A.22), 5; не может выходить из про-
пространств гs* h*sJ , т. е. S, оставляет гs* HtJ_2 инвариантными. Та-
Таким образом, S, оставляет инвариантными, с одной стороны, .<@s=1
и .^=0f а с другой стороны, *.sl и ts2. Кроме того, пространство
■<%>s=l трехмерно, как и пространство г ^, а пространство &s=0 од-
одномерно, как Hts.2; поэтому .t%>s==l = *- 5+2 и ^=0 =*-5i. Следова-
348 Глава XI
тельно, мы можем записать A.15) в виде
жг_ = (ж°1ъг <g> ^s=0) e {ж°:ъг ®@s=1). A.23)
Таким образом, пространство физических состояний (в пренебреже-
пренебрежении спин-орбитальными эффектами) является прямой суммой про-
пространства, в котором полный спин равен нулю (пространство син-
глетных состояний), и пространства, в котором полный спин равен
единице (пространство триплетных состояний). Как обсуждается
ниже, это является объяснением существования парагелия и ортоге-
ортогелия, что впервые показал в 1926 г. Гейзенберг.
XI.2. ДИСКРЕТНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ ГЕЛИЯ
Исследуем теперь структуру орбитальных пространств в A.11).
В каждом пространстве с%?°тЬ (а = 1, 2) мы имеем приводимое
представление алгебры орбитального углового момента
К> = ^к<2цРлк B.1)
и вектора Ленца
А — ( — lh \~ 1/2/i
Пространства ^°rb, согласно (IX.2.13), имеют структуру
ж°;ъ = £ е яя(П). B.3)
и= 1
В пространстве прямого произведения
Жorb2 = ЖЧ1Ь <g> Ж°2тЬ ' B.4)
мы имеем представление алгебры орбитального углового момента
и вектора Ленца вида
L|. = L1|.®/ + /®L2l.,
А{ = Аи®\ + I ®A2i.
Операторы B.5) определены по аналогии с определением полного
углового момента комбинированной системы из двух элементар-
элементарных ротаторов (V.2.3). Легко видеть, что Lt и At подчиняются тем
же коммутационным соотношениям, что и Lai и Aaj, т. е. комму-
коммутационным соотношениям ef(SOD)):
[L,., Lj] = i£ijkLk, [L;, Aj] = kijkAk, [Л,., AJ = ieijkLk. B.6)
Двухэлектронные частицы — атом гелия
349
Мы можем определить оператор
С, = Cn® /+/<g>C21, B.7)
где, подобно (VI.3.13) и (VI.3.17), имеем
Ся1 = А,2 + L2 = ей - 2Л.)" ' - /, az = ^~ B.8)
Далее мы можем определить оператор
С2 = А^ B.9)
по аналогии с (VI.3.14) для атома водорода. Операторы С{ и С2
коммутируют с Aj и L;. Но эти операторы не удовлетворяют тем
же соотношениям, что и операторы Са1 и Са2. В частности, опера-
оператор Cj не связан с оператором энергии Но таким простым соотно-
соотношением, как (VI.3.17), а оператор С2 не равен нулю. Чтобы убе-
убедиться в последнем утверждении, подставим B.5) в B.9); вычислим
тогда
С2 = LUAU <8>/ -h / <g> L2iA2i + Аи ® L2i + Lu <g> A2i,
что дает (используя (VI.3.18))
С2 = Au®L2i + Lu®A2i. B.10)
Это выражение в общем случае не равно тождественно нулю.
Оператор энергии атома гелия в приближении, в котором прене-
пренебрегают влиянием спина, дается формулой A.36):
H0 = H00 + W. B.11)
Обычно сначала рассматривают член A.3в)
H00 = —(hl ®I + I®h2). B.12)
//qq — оператор энергии для системы двух невзаимодействующих
электронов в кулоновском поле ядра. Поскольку весьма нереали-
нереалистично пренебрегать межэлектронным кулоновским взаимодействи-
взаимодействием (которое так же велико, как кулоновское взаимодействие элек-
электронов с ядром), //qq является весьма плохим приближением для
оператора энергии атома гелия. Таким образом, мы не можем
ожидать, что спектр Н^ даст хорошее приближение для энергети-
энергетического спектра атома гелия. Как мы увидим ниже, качественные
свойства //од согласуются с качественными свойствами оператора
энергии Но — Нт + W\ поэтому обычно сначала рассматривают
только оператор Нж.
350 Глава XI
Используя B.8) и B.12), оператор Нт можно записать в виде
Спектр //qq легко найти. Введем в пространстве Jif°rbl =
<g) Jif9fb базис прямых произведений
B.14)
Поскольку, согласно A.23), мы хотим найти спектр Нт в симмет-
симметричном подпространстве Jf°lb2 и в антисимметричном подпро-
подпространстве Jf°ib2, введем в пространстве Jf°rbl = Jf°lb2 © Jif°lbl
базисную систему из симметричных и антисимметричных векторов
п I /3>, ®\п'Г /'3>2 ±\п'П'ъ),®\п1 /3>2). B.15±)
Выражение B.15 + ) описывает базисную систему в пространстве
Л?°1Ъ, а выражение B.15-) — базисную систему в Л?0]*. Векторы
B.15±) являются собственными векторами оператора Н^ и со-
совместно образуют полную базисную систему в Ж™ьг. Следователь-
Следовательно, спектр //qq получаем действием B.13) на B.15±); результат
имеет вид
где
Константа /?^е отличается от постоянной Ридберга для атома во-
водорода множителем 4. Это постоянная Ридберга для одноэлектрон-
ной системы в кулоновском поле заряда Ze = 2е, т. е. для иона
Не+ . Ее значение в см~' (в единицах волнового числа или обрат-
обратных длин волн) равно
12,40-Ю-5 эВ-см
см
Базисные векторы B.15±) не являются собственными вектора-
векторами полного углового момента L2 и оператора Ьъ, а также не явля-
являются собственными векторами оператора энергии Но (напомним,
что Но является оператором энергии, если пренебрегают спиновым
Двухэлектронные частицы — атом гелия 351
вкладом Нх). Если физические состояния являются собственными
состояниями оператора энергии Н, они очень близки к собствен-
собственным состояниям оператора Но. Собственные состояния Но могут
быть собственными состояниями полного углового момента L2 и
оператора L3, но не быть ни состояниями прямого произведения
B.14) с угловыми моментами /и /', ни определенного вида линей-
линейными комбинациями B.15±) этих состояний прямого произведе-
произведения. (Состояния B.15±) являются собственными состояниями сум-
суммы операторов L2 + L\. Но
LLj + L2, V?i2J = 2[LlkL2k, \Qn Q.2iKQli Ci2i)J
= -4iekij{LxkQ2jQu - QuQ2jL2k) Ф 0.
Поэтому векторы B.15±) являются собственными векторами опе-
оператора, который не коммутирует с Но.) Следовательно, для того
чтобы построить собственные векторы углового момента, необхо-
необходимо смешать, следуя правилам разд. V.2, угловые моменты / и /'
в B.15±). Эти собственные векторы, которые образуются как ли-
линейные комбинации B.15±), еще не являются собственными состо-
состояниями оператора Но, но по-прежнему являются собственными со-
состояниями оператора Н^; собственные состояния Но можно по-
построить как линейные комбинации состояний с одинаковым значе-
значением полного орбитального углового момента.
Вместо того чтобы аппроксимировать атом гелия модельной
системой, состоящей из двух невзаимодействующих электронов,
движущихся в кулоновском поле ядра с двойным зарядом, можно
попробовать аппроксимировать его модельной системой, в которой
электрон движется в электрическом поле ядра с двойным зарядом и
другого электрона. Эта модель, конечно, значительно более реали-
реалистична, если один электрон (в классической картине) движется вда-
вдали от ядра и другого электрона, которые находятся близко друг от
друга. Чтобы получить эту аппроксимацию, запишем
Но = — h, + Н\х = — h2 + H\\ B.18)
тс те
где
Щ' = — йя + —. B.19)
Точнее
U^, + 1
12
352 Глава XI
Выражение B.18) является точным, но Н% не является оператором
в пространстве ^°тЪ; он станет оператором в J^Tb, если произве-
произвести замену
Qi2 - б.- B-20)
В нашей классической картине это означает, что электрон, находя-
находящийся близко к ядру, в действительности находится в той же точ-
точке, что и ядро. При асимптотической замене B.20) оператор энер-
энергии электрона, движущегося вдали от ядра, имеет асимптотический
вид
Qa Q12 2me Qa me aHydr'
т. е. оператор энергии для удаленного электрона такой же, как опе-
оператор энергии электрона для атома водорода. В приближении
B.21) для оператора энергии Но имеем
-* 1 1 11
ЯД Ь _i_ ИГ !■ I ИГ /") Т>\
и и 1 _^ / Муаг _^ х 1 Муаг' ^ '
ш, 171- ш, 171,
ее ее
где //aHydr — гамильтониан атома водорода из (VI.3.5). При
п' ^ п спектр Но имеет вид
спектр Йо = Ёпп, = -Л^ 1 - /?' -1
B.23)
Более реалистичная аппроксимация для Но вида B.18) получает-
получается при замене
р2 7(а) 2
н°-"-- = ^ ~т A24)
где Z<^ — число в интервале от единицы до двух, отражающее
степень экранирования кулоновского поля ядра близким к нему
электроном. Следовательно, возможная аппроксимация для Но
имеет вид
"о - Н017яП) = Щ\гва) + m\Zerf) . B.25)
Двухэлектронные частицы — атом гелия 353
Значение Z§\ должно быть различным для разных состояний ато-
атома гелия. Для основного состояния мы ожидаем, что
для состояния, в котором один электрон находится в основном, а
другой — в сильно возбужденном состоянии, согласно B.22), следу-
следует ожидать значений Z^ * 2и Z{| * 1. Таким образом, для раз-
разных подпространств мы имеем разные операторы Ны. ..
Рассмотрим теперь подпространство состояний атома гелия, ко-
которое в классической модели может быть охарактеризовано следу-
следующим образом: один из электронов только что диссоциировал из
атома гелия, т. е. система состоит из иона Не+ и электрона с нуле-
нулевой относительной энергией. Обозначим подпространство этих со-
состояний Ж^; на этом подпространстве оператор Но очень хорошо
аппроксимируется выражением
Н 0 = — Л, + Н%1 = ~h2 + H]\ B.26)
где Я*1 аппроксимируется выражением B.21). Подпространство Л^
определяется тогда как подпространство ЖохЪ1, на котором
Щ1 = 0. B.27)
Обозначим собственные векторы //£' в пространстве Ж°тЪ через
|и//3}а B.28)
в отличие от собственных векторов \п11ъ)а операторов ha. Эти
собственные векторы (в рамках аппроксимации B.21)) имеют свой-
свойство
Я>//3}а= -R"j\nll3}x B.29)
и являются собственными состояниями операторов L£ и La3. Соб-
Собственные векторы, на которых выполняется условие B.27), обозна-
обозначаются
|х//3}а. B.30)
Следовательно, базис прямого произведения в пространстве ^
имеет вид
lx/'/'зЬ® |и//3>2> |и"з>1 ® |ос П'3}2. B-31)
Введем в пространстве Ж^ базис из симметричных и антисиммет-
антисимметричных векторов
-^(Ix/'/ah ® |и//3>2 ± |и//3>! ® |ос/'/'3}2). B.32±)
354 Глава XI
Согласно B.27), оператор энергии B.26) на Ж^ имеет следующий
спектр:
4те4 1 1
Епао = спектр Н0\Жаа = - -ф- -2 = -Дне ^- B-33)
При действии оператором Но B.26) на B.32±) получаем
=0
-|«//3>1®|сю/'/з}2 ± |п/
= 0
а% 1
^2(|00П'з}1®'Л//з>2±1"//з>1®|00/'/'з}2)'
Величины Епоо являются энергетическими уровнями атома гелия в
том случае, когда один из электронов имеет нулевую энергию, а
также тогда, когда один из электронов отделяется от атома (поро-
(пороги ионизации). Мы ожидаем, что это наиболее высокие энергетиче-
энергетические уровни при заданном квантовом числе л, т. е. для состояний,
в которых один из электронов имеет главное квантовое число л,
поскольку, если другой электрон имеет главное квантовое число л',
его энергия относительно иона Не+ должна быть отрицательной.
Энергия Епов называется л-м порогом ионизации; это значение
энергии, при котором один из электронов покидает атом, а другой
находится на л-м энергетическом уровне.
Сравнивая спектр B.33) со спектром Н^ B.16), мы видим, что
£°„° -> Епао снизу при п' -> оо. B.34)
Сравнивая B.33) с B.23) мы видим, что
Ёпп, -* Епао снизу при п' -> оо. B.35)
Как следует из проведенного рассмотрения, можно ожидать, что
собственное значение Е^п, оператора Но лежит между собственны-
собственными значениями //,*, и Нп:
„°п° < Епп, < Ёпп, < Епоо. B.36)
На диаграмме уровней энергии гелия нарисуем сначала энергетиче-
энергетические уровни Епоа (п = 1, 2, 3, ...). Согласно B.34), B.35) и B.36),
энергетические уровни Епп, лежат ниже Епоо и сближаются с рос-
ростом п'.
Двухэлектронные частицы — атом гелия 355
Чем больше значения п', тем ближе находятся собственные зна-
значения оператора Н^ к энергетическим уровням атома гелия. Следо-
Следовательно, при больших п' и фиксированном п пространство, по-
порожденное векторами B.15 + ) и B.15 — ), представляет собой хоро-
хорошее приближение к пространству физических состояний. В класси-
классической модели атома гелия возрастание п' означает, что «второй»
электрон удаляется от ядра и от «первого» электрона, так что вли-
влияние члена взаимодействия е2/гп мало; таким образом, классиче-
классические соображения согласуются с полученным результатом. При
уменьшении п' член взаимодействия е2/гп становится более су-
существенным, и мы ожидаем больших отклонений энергетических
уровней гелия от значения Ejfi. Наибольшее отклонение ожидается
для состояний, в которых оба электрона имеют главное квантовое
число п = п' = 1. В этом случае вклад взаимодействия максима-
максимален (оба электрона находятся близко к ядру и друг к другу), и Е^
является очень плохим приближением к собственному значению
оператора HQ. Следовательно, в этом случае пространство, порож-
порожденное B.15 + ) при п = п' = 1, очень далеко от того, чтобы быть
пространством (орбитальных) физических состояний. Таким обра-
образом, для небольших значений п и п' атом гелия нельзя рассматри-
рассматривать как состоящий из двух независимых электронов (приближение
независимых частиц) в кулоцовском поле. Физические состояния не
являются состояниями, в которых один электрон находится в од-
одном определенном состоянии, а другой — в другом; только атом
гелия, рассматриваемый в целом, находится в определенном физи-
физическом состоянии.
Рассмотрим теперь пространство состояний (которое мы обо-
обозначим ^,).атома гелия, которым отвечают уровни энергии, лежа-
лежащие ниже Ех ^. Пространство собственных состояний оператора Но
с собственным значением Е1оо описывает состояние атома гелия, в
котором один электрон находится в низшем состоянии (л' =
= 1, /' = 0, /3' = 0), а другой только что освободился из атома ге-
гелия. Собственные векторы Н^ в этом подпространстве Я { могут
быть получены из состояний независимых частиц B.15±):
1
f/3>i®l"' = 1/'= 0/'3 = 0>2), B.37)
УпИъ —
|л'= 1/' = 0/'3 =0>2). B.38)
356 Глава XI
Вектор \^//з порождает в пространстве Ях пространство симмет-
симметричных состояний, которое мы обозначим Я1+ , а вектор у%и по-
порождают в Я j пространство антисимметричных состояний Я {_.
Это означает, что ф°п11 и у°п11 являются собственными состояними
оператора Я^ с собственным значением Е™п,_1:
-V B-39)
Поскольку /' = 0 и /3' = 0, ф%и и y°nll являются также собственны-
собственными векторами операторов L2 и Ьъ с собственными значениями
/(/ + 1) и /3 соответственно. Обозначим через фп11 и уп11 собствен-
собственные векторы операторов Яо, L2 и Ьъ в пространствах #1+ и ^,_ со-
соответственно. Собственные векторы фп11^ и 7я// оператора Но мож-
можно получить из собственных векторов \f%u и у?// оператора Я^,
подействовав на них (унитарным) оператором, который не меняет
собственных значений операторов L2, Ьъ и Р12:
Преобразование С/* («/) может быть различным для разных значе-
значений п и /; С/* (л/) не зависит от /3» так как [Яо, LJ = 0. Уравне-
Уравнения B.41) и B.42) показывают, что собственные векторы оператора
Яо по-прежнему можно характеризовать главным квантовым чис-
числом л, хотя они и могут существенно отличаться от собственных
векторов оператора Я^ с собственными значениями Е™п, = 1 =
= -/?„е A + 1/л2). Для больших значений п оператор U±(nl)
близок к единичному оператору. Собственные значения оператора
Яо в пространстве Я{ обозначим через Е+{A) и Е~хA)\ в общем
случае они зависят от /:
Н0Фпи3 = ^(O^iis. B.43)
Ноуя„з = £и'1@уииэ. B-44)
Мы не столько стремимся вычислить точные значения Е+х (/),
сколько хотим достичь качественного понимания энергетического
спектра атома гелия. Поэтому явный вид операторов U±(nl) не
нужен (они зависят от члена взаимодействия W и могут быть вы-
вычислены приближенными методами.)
Двухэлектронные частицы — атом гелия
357
Ея\(п-1)
Ея\B)
Рис. 2.1. Расщепление собственных значений оператора #оо под влиянием взаимо-
взаимодействия W.
Для качественного объяснения энергетического спектра атома
гелия существенным является заключение, которое мы делаем из
формул B.41) и B.42), о том, что каждому л-кратно вырожденно-
вырожденному собственному значению Е®\ оператора //до на Я1+ отвечают п
уровней энергии Е^A), причем член взаимодействия W расщепля-
расщепляет Е%{ на п подуровней (рис. 2.1). В то же время каждому
л2-кратно вырожденному собственному значению Е®\ оператора //ш
на Я{_ отвечают п. энергетических уровней Е~хA). В качестве ре-
результата проведенного рассмотрения получаем следующий энерге-
энергетический спектр атома гелия, лежащий ниже Е1оа (рис. 2.2 и 2.3). На-
-5
-10
-15
-20
-25
a; ® ; ® 1
„парагелий" „ортогелии"
первый порог ионизации Еюо
Ь35
Is2s
\s2i
(isJ
Is2p
1525
lS lP lD JS 3P 3D
Рис. 2.2. Уровни энергии атома гелия ниже наинизшего порога ионизации.
358
Глава XI
эВ
о
-3,40
-6,05
- 10
-13,61
-20
30
-60
-70-
-79,0
-80
Синглетные состояния
„парагелий " ХГ^еЯ**0
'.S 'Я
-50
- 54,44- «-
Тртшетные состояния
ортогелий " Х?ъг ®^5r;
£,*,(( = 0)
эЬ
-10
-20
-30
-60
.-70
Рис. 2.3. Диаграмма термов для уровней энергии атома гелия. (Часть, лежащая ни-
ниже первого порога ионизации, приведена на рис. 2.2, где дана обычно встречающая-
встречающаяся диаграмма термов.) Уровни энергии над первым порогом ионизации ЕХао лежат в
непрерывном спектре.
инизшим уровнем энергии на симметричном подпространстве ^
является £*i+i(/ = 0), которому соответствует Е^ = -/?неA + 1).
В антисимметричном подпространстве соответствующий уровень
Двухэлектронные частицы — атом гелия 359
отсутствует, так как 7Шз = 0 на Ж°1ъг. Значения Ёи и £?, вычис-
вычисленные по формулам B.23) и B.16), равны
£,, = -68.05 эВ и £°° = -108.8 эВ.
Экспериментально измеренное значение Е^A = 0) — энергия двой-
двойной ионизации гелия (минимальная энергия, необходимая для осво-
освобождения двух электронов) — равно
£^(/ = 0)= -79.0 эВ,
откуда видно, что Н^ действительно является очень плохой ап-
аппроксимацией для оператора энергии Но. Разность энергий
£1оо - £^@) = -54.4 эВ + 79.0 эВ = 24.6 эВ
есть энергия, которая требуется для вырывания одного электрона
из атома гелия, находящегося в основном состоянии; она называет-
называется «энергией ионизации», или «ионизационным потенциалом». При
п = 2 имеются энергетические уровни Ef2(l) в Л^ъг и £"f2(/) в
Ь2 соответствуют собственные значения
? -ЯнеA+1)= -68.0 эВ
оператора Н^ и собственные значения
£i2= -*Hel-K"i= -57.8 эВ
оператора Йо. Экспериментально измеренные значения равны
£@) - £^@) = 19.8 эВ или Е;2ф) = -59.2 эВ,
£^2@) - £^@) = 20.6 эВ или £Г2@) = -58.4 эВ
для / = 0 и
£A) - £^@) = 20.9 эВ или £Г20) = -58.1 эВ,
£^A) - £^@) = 21.2 эВ или £Г20) = ~57-8 эВ
для / = 1. Таким образом, при п = 2 уровни энергии уже ближе к
собственным значениям оператора Н^, как и следовало ожидать,
исходя из проведенного обсуждения. При п = 3, 4, 5, ... согласие
еще улучшается.
На рис. 2.3 показаны все известные (на 1971 г.) дискретные
уровни энергии атома гелия. Характер энергетического спектра со-
согласуется с обсуждавшимися выше. Суммируя результаты относи-
относительно энергетического спектра ниже Е1оо, мы видим, что имеются
360 Глава XI
один искаженный, сдвинутый и расщепленный водородоподобный
спектр состояний в пространстве Jf™b2u один искаженный, сдвину-
сдвинутый л расщепленный водородоподобный спектр без наинизшего
уровня в пространстве J^°Jb2. Согласно A.23), состояния в про-
пространстве <J^°2 — это состояния с полным спином нуль, назы-
называемые синглетными состояниями, а состояния в пространстве
^огЬ2 — состояния с полным спином единица, называемые трип-
летными состояниями. Как будет объяснено ниже, переходы между
синглетными и триплетными состояниями атома гелия практически
отсутствуют. (Состояние 235 является квазистабильным с очень
большим временем жизни.) Поэтому разделение диаграммы уров-
уровней энергии на две части привело в свое время к появлению гипоте-
гипотезы о том, что гелий является смесью двух элементов: «парагелия»,
описываемого в пространстве гЖ°^>2 (g) .^Ps=0 и «ортогелия», опи-
описываемого в пространстве J^°Jb2 (Я) .^= 1.
Для парагелия полный угловой момент равен полному орби-
орбитальному угловому моменту L = /, так как полный спин S = 0.
Следовательно, спиновое взаимодействие Нх не может привести к
расщеплению энергетического уровня Efn(l), а может вызвать
лишь малый его сдвиг того же порядка величины, что и для тонкой
структуры атома водорода, которая вычислена приближенными
методами (синглет).
Для ортогелия полный спин S = 1. Следовательно, векторы
прямого произведения
в пространстве Ях_ (§) ,^=1 не являются собственными векторами
операторов полного углового момента J2 и 73» гДе
j. = L,.®/ + /®S... B.46)
Чтобы получить собственные состояния полного углового момен-
момента, необходимо связать орбитальный угловой момент и спин в про-
пространстве Я{_ (8) ^=1 по правилам разд. V.2. Пусть J?1 — под-
подпространство Ях_ С <Ж°^°2 с орбитальным угловым моментом /;
это пространство порождается упЦ с фиксированным значением /.
Тогда собственные пространства Jfi полного орбитального момен-
момента j имеют следующий вид:
Мы видим, что для ортогелия (кроме его S-состояний) все про-
Двухэлектронные частицы — атом гелия 361
странства орбитального углового момента являются в действи-
действительности триплетом пространств полного углового момента. Сле-
Следовательно, спиновое возмущение //, гамильтониана Н = Но +
+ //j расщепляет энергетические уровни Я(/ = 1), D(l = 2) и
F(/ = 3) на триплеты уровней тонкой структуры, принадлежащих
к собственному пространству полного орбитального момента
j = I + 1, /, / - 1.
Эти результаты согласуются с экспериментальным энергетиче-
энергетическим спектром: для парагелия имеются только синглетные термы,
а для ортогелия (кроме случая / = 0) — только триплетные термы
(они расположены так близко друг к другу, что на рис. 2.2 и 2.3 по-
показаны одной линией). Чтобы избежать классификации состояний
по их симметрийным свойствам относительно орбитальной части
(орто- и пара-), S-терм ортогелия также называют «триплет-
ным» термом 3 Sj, хотя на самом деле он включает в себя только
синглет.
XI.3. ПРАВИЛА ОТБОРА И СИНГЛЕТ — ТРИПЛЕТНОЕ
СМЕШИВАНИЕ ДЛЯ АТОМА ГЕЛИЯ
Оператор дипольного момента атома гелия имеет вид
где d — векторный оператор относительно оператора полного
углового момента
/Г Г •—ч. С4 /Л 'ЛЧ
1 / /w\ / / /О\ / 1 / г\/\ \ I 1 / I
-у- j V/V ** "у ■ — *—* | \Л/ * 1^ * >^/ ^ I V "^ * '
и относительно оператора полного орбитального углового момен-
момента B.5)
Таким образом, он подчиняется коммутационным соотношениям
[./,•, d,-] = ieijkdk t C.3)
[L,.,dJ = ieijkdk . C.3')
Как следствие из (V.3.7) получаем правила отбора для дипольного
излучения
J - J - 1, J, J + 1 , C.4)
L - L - 1, L, L + 1 . C.5')
Физические состояния являются собственными состояниями полно-
полного углового момента; следовательно, правило отбора C.4) строго
выполняется для физических состояний. Правило отбора C.5')
362 Глава XI
справедливо с очень хорошей точностью в той степени, в которой
Я, коммутирует с L2.
Оператор четности для двухэлектронной системы является пря-
прямым произведением операторов четности в одночастичных подпро-
подпространствах:
V, = UPl ® UP>- C-6)
Следовательно, для векторов B.41) и B.42) получаем
М-Нэ = (-ОЧАн,. ирУ*"> = (-^гУпЧ3 , С3-7)
поскольку ниже порога ионизации L = /. Так как C.1) — вектор
ирйи;* = -d,
из аргументов, приведенных в разд. V.4, следует, что переход
L — L запрещен, так что с учетом C.5') имеем правило отбора
L-L + 1, L- 1. C.5)
Еще одно правило отбора является следствием того факта, что
[d,P12] = 0. C.8)
Для любого вектора
уеж°:ь2®4 C.9)
и
Феж°;ь2 ® ts! . (зло)
Из C.8) следует
d
> y2(x)^, C.11)
dtA = ф' е ^Tb2 ® * - • C-12)
Поэтому
0Му) = о. C.13)
Следовательно, переходы между синглетными и триплетными
уровнями отсутствуют (те же рассуждения, что и приведенные вы-
выше, справедливы также для квадрупольных и высших мультиполь-
ных переходов). Как уже упоминалось в разд. XI.2, это привело к
появлению гипотезы о том, что гелий является смесью двух эле-
элементов — парагелия (диаграмма уровней энергии которого дана в
левой части рис. 2.2), обладающего только синглетными состояни-
состояниями, и ортогелия (диаграмма уровней энергии которого приведена
в правой части рис. 2.2), обладающего только триплетными состо-
состояниями. Но затем были обнаружены переходы между орто- и пара-
Двухэлектронные частицы — атом гелия 363
гелием, имеющие очень малую интенсивность. Эти межмульти-
плетные переходы возникают из-за «синглет-триплетного смешива-
смешивания»1 >, вызванного Нх. Мы будем описывать собственные состоя-
состояния полного углового момента в пространствах J$f°lbl (g) 3?s=0,
Jf°2b2 (g) #5=!, которые осуществляются при объединении спина и
орбитального углового момента по правилам гл. V. Для про-
пространства Ж°1ь2 (g) .^5=0 получаем
ФИ=3 ~ ФпНъ = Зъ ® Z I -S'3 > г I S3 >2 <2^S'3 , i-Sj I 0 0> , C.14)
где фп11 дается формулами B.41) и B.37), а второй множитель в
правой части C.14) есть тот же вектор, что и в A.18).
Для пространства Jf°}>T2 (g) .<%>s=l собственные состояния полно-
полного углового момента имеют вид
>, C.15)
где 7п// дается формулами B.42) и B.38). Для фиксированных ли/
собственные состояния yJJn) образуют базис в пространствах JtJ в
правой части B.47).
В соответствии с рассмотренной в гл. VIII теорией возмущений
собственные значения оператора Н = Но + //, в первом порядке
равны
пЧ'
п ^ п
V Ф1
C.16)
ZJJ3 _ VJJ3 1 \ I .,JJj/.,JJi\lJ \.,Jj
ini — Уы + L li^ F^~ УпчЛУп'г l"i \Уп1
n'V
ri Фп
V±l
C.17)
J) Смешивание — общепринятый термин, используемый для такого рода явле-
явлений, но он может ввести в заблуждение, если исходить из значения слов "смешива-
"смешивание состояний" в квантовой механике. Смешанные синглет-триплетные состояния
являются не смесью состояний, а линейной комбинацией векторов состояния.
364 Глава XI
где Е+, = £+,(/) и Е~, = Е~{A) — собственные значения B.43),
B.44) оператора Но в синглетном и триплетном состояниях соот-
соответственно.
В C.16) и C.17) мы уже приняли во внимание, что [Н, Jt] =
= [//,, Jt] = 0. Из сохранения четности
[Я, 1/J = 0 C.18)
и, следовательно, [//,, Up] = 0, используя C.7), получаем
<№\HMi*> = 0, кроме случая (-1)'' = (-1)',
<УЙ? l#iltfJ> = 0, кроме случая (-1)'' = (-1)',
№> = 0, кроме случая (-1L = (-l)V C-20)
В рядах теории возмущений C.16), C.17) учитываются только со-
состояния из пространства #1+ или Я^_ с энергией ниже порога иони-
ионизации. Этого должно быть достаточно для качественных соображе-
соображений, которые мы здесь изложим1).
Матричные элементы (у-ft, I Я, \yJJn) > и <ФЩ\ Я, \^Jn) >
описывают эффекты тонкой структуры, т. е. расщепление термов
3(L)y на три энергетических уровня и малый сдвиг энергетических
уровней l(L)j. Вычисления показывают ([34], разд. 40), что уровни
с J = 1 и J = 2 имеют почти одинаковую энергию.
Матричные элементы (,ф^\ Hl\yJJn)) описывают синглет-
триплетное смешивание, которое мы теперь рассмотрим.
Оператор //,, как и любая наблюдаемая, коммутирует с опера-
оператором перестановки 1Р12, который реализует транспозицию двух
электронов. Но если мы запишем Р12 как прямое произведение ор-
орбитальной части Р°[^ и спиновой части Р\2 в соответствии с пред-
представлением A.23):
P12 = Pr2b®Pi2, C-21)
то
[Яр Р-Ь] Ф 0, tHlt PJ2] Ф 0, C.22)
т. е. Нх содержит члены, несимметричные в орбитальной и спино-
спиновой частях по отдельности. Пример такого члена дает взаимо-
взаимодействие между спиновым и орбитальным магнитными моментами
'* Более подробное изложение см. в работе [34], в частности гл. II.в.
Двухэлектронные частицы — атом гелия 365
каждого электрона, которое, согласно (IX.3.23), имеет вид
Я1 = C«2A))SA). LA) + C«2B))SB) • LB), C.23)
где
Hi) C24)
Оператор Я1 — это только один из членов, входящих в Я,; другие
члены, такие как релятивистская поправка к массе, взаимодействие
между спиновым магнитным моментом одного электрона и орби-
орбитальным магнитным моментом другого, имеют тот же порядок ве-
величины. Поскольку мы хотим рассмотреть лишь сам принцип
синглет-триплетного смешивания, мы ограничимся в нашем обсуж-
обсуждении выражением C.23).
Чтобы вычислить матричный элемент (yJnJ>)\ Н1\^}), мы ис-
используем выражения C.14) и C.15) и получим
^^ 3\l'l'3 15><Ь3|5'35'з>
x <^|SB)|55><s'3|S'3><ar3S5|OO». C.25)
Изменяя во втором слагаемом индексы суммирования 53" — s3,
£3" —• ^3 и используя свойство коэффициентов Клебша — Гордана
< l/2s3'l/2s3"l 1 ^3 > = < l/2s3"l/2s3'l Is3>,< l/253'l/2s3"l00> =
= ( - 1) <l/2 53" 1/2 S3 100>, получим
CS3 S3S3
S3
Поскольку вектор \pnJJ^ симметричен, а вектор yn44i антисиммет-
антисимметричен относительно P^b, имеем
Чтобы вычислить эти матричные элементы, используем B.41),
B.42), B.37), B.38) и получим четыре члена. Два из них равны ну-
нулю, кроме случая, когда /' = О, J = 0, а один равен нулю, кроме
случая, когда /' = J. Чтобы уменьшить число членов, ограничимся
366 Глава XI
рассмотрением случая /' Ф J = 1, для которого получим
= -,.<и'-/'/'зГС@Ь(|)|и + 7Уз>^ 0-28)
где / может принимать значения 1 или 2, а и~(п'Г) и U+(nJ) —
ограничения унитарных операторов B.42) и B.41) на пространстве
<%*f°. Нам здесь необходимо знать о них лишь то, что они являют-
являются скалярными операторами (поскольку W — скалярный оператор)
и не меняют значений /73' и JJr Таким образом, эти новые векто-
векторы
|„±//3>. = U±(nl)\nll3}i C.29)
также являются собственными векторами операторов L2 и L3 с те-
теми же собственными значениями. Подставляя выражения C.28) и
C.27) в C.26), получаем
= 11
«з
х 2(-lKn'-L/3|C(I,L(i)|n + J У3>„ <3-3°)
где С(/) — 1_(/)-скалярный оператор. Операторы L{i)k, к = 0 + 1,
являются Ц()-векторными операторами. Таким образом,
i<n'-L/3|C@L(l)Jn + JJ3>l-=<JJ3lK|L/3><W'-L||C(|.)L(|.)||n+J>. C.31)
Вычисление приведенного матричного элемента может быть про-
продолжено при помощи (V.3.10):
(n'-L\\C{i)L{i)\\n+ J> = 5uy/J(J+ l)<»"l|C(i)||»+>,. C.32)
Дальнейшее вычисление величины (п'~\\ С{/) Нл+>у требует вы-
выполнения реальных вычислений по теории возмущений, где W
играет роль гамильтониана возмущения, или применения для на-
нахождения \п±11ъ) других приближенных методов, а затем— вы-
вычисления матричного элемента <л'~ II С(/) II л+>у с использовани-
использованием формулы C.24). Мы не будем здесь проводить эти вычисления,
а заметим только, что эти величины того же порядка величины,
что и члены, отвечающие за "появление тонкой структуры, которые
имеют вид <л' ~ ИС(о11л ~>.
Подставляя выражения C.31) и
Двухэлектронные частицы — атом гелия 367
в C.30), получаем
<У#|Я|1Й'3> = 11 11 I <JJ3 I K|L/3><is,iS3|00>
iij i ls3|J J3>
C.34)
После непосредственного, но несколько утомительного вычисления,
использующего свойства симметрии (V.2.42)—(V.2.47) и соотноше-
соотношения ортогональности (V.2.14), (V.2.15) для коэффициентов
Клебша — Гордана, получаем выражение (см. задачу 3)
\)(n'-\\CJn + >j. C.35)
Тем самым мы выразили матричный элемент спин-орбитального
взаимодействия между синглетными и триплетными состояниями в
терминах величины (которая может быть вычислена только чис-
численно), отличной от нуля и имеющей тот же порядок величины,
что и чЛен, ответственный за появление тонкой структуры.
Подставляя эту величину в выражения C.16) и C.17), мы видим,
что собственные векторы оператора Н = Но + //,, вычисленные в
первом порядке, у%з и \pnft не являются чисто триплетными или чи-
чисто синглетными состояниями, а имеют малую компоненту в син-
глетном и триплетном пространствах соответственно. Таким об-
образом, состояние ортогелия у есть в основном триплет у с малой
синглетной компонентой
у = у + еф, \е\ < 1, C.17')
а состояние парагелия ф есть в основном синглет ф с малой три-
плетной компонентой
ф' = ф' + £у\ \£\<1. C.16')
Следовательно, дипольный матричный элемент между состояния-
состояниями пара- и ортогелия равен
(ф\ dy) = OA',dy) + €(ф',йф) + e(y\dy) C.36)
и, хотя первый член, согласно C.13), равен нулю, этот матричный
элемент отличен от нуля вследствие "синглет-триплетного смеши-
смешивания".
В разд. VII. 1 упоминалось, что по спектру одноэлектронных
атомов нельзя проверить, равны ли значения энергии среднему зна-
значению оператора энергии по состоянию, не являющемуся собствен-
собственным состоянием энергии, или равны собственным значениям опера-
368 Глава XI
тора энергии. Из анализа спектра гелия следует, что имеет место
второй случай: физические состояния пара- и ортогелия являются
собственными состояниями оператора Н = Но + Нх и не являют-
являются чистыми синглетными и триплетными состояниями; энергии их
равны средним от Н по этим чистым синглетным и триплетным
состояниям. Существование переходов между состояниями пара- и
ортогелия экспериментально подтверждает тот факт, что физиче-
физические состояния являются собственными состояниями оператора
энергии. В гл. XII мы увидим, что исходя из теоретических сообра-
соображений все стационарные состояния должны быть собственными со-
состояниями оператора энергии.
XI.4. ДВУКРАТНО ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ГЕЛИЯ
Уровни энергии атома гелия ЕХп,{1) хорошо известны эксперимен-
экспериментально. Они были измерены методами оптической спектроскопии,
т. е. измерением волнового числа (или частоты) света, испущенно-
испущенного или поглощенного при переходе между двумя уровнями энергии:
^,й<,- = ~(£1п.@-£1й.(/)).
Уровни энергии измеряли также в экспериментах с передачей энер-
энергии, описанных в разд. II.4 и схематически представленных на рис.
П.4.1. Столкновительная камера была наполнена газообразным ге-
гелием, и измерялась интенсивность тока электронов как функция по-
потерь энергии на столкновения с атомами гелия. Результаты этих
экспериментов показаны на рис. 4.1, где приведена зависимость ин-
интенсивности / от потерь энергии Е. В соответствии с интерпрета-
интерпретацией этого эксперимента в разд. II.4 энергия, потерянная электро-
электроном, используется для возбуждения атома и вызывает его переход
из основного состояния V S в возбужденное; поэтому интенсив-
интенсивность максимальна при потерях энергии, равных разности энергий
основного и одного из возбужденных в этом эксперименте состоя-
состояний. Энергии возбуждения, обнаруженные в этом эксперименте,
приведены в табл. 4.1 (третий столбец) и сравниваются с энергией
л^Я-уровней, измеренных при помощи оптической спектроскопии
(второй столбец); первый столбец дает уровни энергии, участвую-
участвующие в переходе. В табл. 4.1 не указаны пики между значениями
энергии 42 и 46 эВ. Эти пики являются результатом двух последо-
последовательных процессов возбуждения (двойное рассеяние): электроны в
столкновительной камере дважды неупруго рассеиваются, теряя
Двухэлектронные частицы — атом гелия 369
Таблица 4.1. Энергии возбуждения гелия
Переход Энергия возбуждения, эВ
измеренная методом измеренная по потере энергии
оптической
спектроскопии
\yS-2xP 21.212 21.213
З1/» 23.081 23.084
4'/> 23.736 23.739
51/» 24.039 24.034
б1 Р 24.205 24.209
Iх Р 24.304 24.308
8'/> 24.364 24.374
9'/> 24.413 24.419
Ю1Р 24.445 24.451
II1/* 24.469 24.474
\2ХР 24.487 B4.493)
2'S 20.610 20.612
2s2plP 60.123 60.120
2s3pxP 63.651 63.651
2s4plP 64.462 F4.450)
энергию в переходах l'S — 2'Я и l'S — л1/3 или в двух последова-
последовательных переходах l'S ~ 31/3. На рис. 4.1 мы видим, что имеется
очень слабый переход 11S — 2!S и переходами с большой интенсив-
интенсивностью являются переходы • S — ! Я (дипольные переходы). Не наб-
наблюдается переходов между основным состоянием l'S и состояния-
состояниями lD, lF, ... или между состоянием I1 S и триплетными состояни-
состояниями; это согласуется с тем, чего следовало ожидать для дипольных
переходов.
Рис. 4.1 показывает, что выше уровня 60 эВ также имеются пи-
пики; эти пики отличаются от лежащих ниже 60 эВ и имеют типич-
типичный асимметричный профиль. Они отвечают энергетическим уров-
уровням, которые лежат намного выше, чем энергия ионизации элек-
электрона. Энергетические уровни с такой высокой энергией относи-
относительно основного состояния были также обнаружены как спект-
спектральные линии в оптических (ультрафиолетовых) спектрах погло-
поглощения. На рис. 4.2 приведен снимок спектра поглощения гелия в
I (> I 94
ю*Ь
»J-
L
Ю -
-
1
n'P
He'
I
I l
I
Двукратное
2i?p'P
I
рассеяние
?s3p'P
1
A
2sip1P
I
46
60
62 64
Рис. 4.1. Спектр потерь энергии для гелия [35].
Двухэлектронные частицы — атом гелия
371
79,0 75,6 72,9
65,4
Е — Eti
t t t
++
не
не+(п=<») не(п=з)
не
Рис. 4.2. Спектр поглощения гелия между 160 и 215 А; видно множество резонан-
сов, обусловленных существованием в нейтральном гелии двукратно возбужденных
состояний. Приведен позитив снимка (поглощению соответствуют черные области).
Белая область каждого резонанса отвечает зоне, или «окну», приведенного поглоще-
поглощения в непрерывном фоне фотоионизационного поглощения [36].
интервале 160—215 А. Наблюдаемые дискретные спектральные ли-
линии накладываются на непрерывный фон поглощения. Наинизшая
дискретная спектральная линия в этой области лежит при 206,21 А,
что соответствует энергии 60,1 эВ; это хорошо согласуется с
положением первого пика этого вида в эксперименте с потерей
энергии на рис. 4.1 (см. также табл. 4.1). Это первая линия в длин-
длинной одиночной серии спектральных линий с очень большой интен-
интенсивностью, которая сходится к энергии 65,4 эВ. (Некоторым из
этих линий отвечают пики в спектре потерь энергии на рис. 4.1.)
Три более слабые линии обозначают присутствие второй серии, ко-
которая также сходится к этому значению энергии. Несколько слабых
линий можно видеть на рис. 4.2, где они сдвинуты в более коротко-
коротковолновую область относительно более заметной серии. Эти линии
группируются в серии, имеющие своими предельными точками зна-
значения энергии 72,9 и 75,6 эВ. Таким образом, мы имеем набор се-
серий спектральных линий. Поскольку эти линии наблюдаются при
поглощении электромагнитного излучения атомами гелия в основ-
основном состоянии, мы можем смело предполагать (во всяком случае
372 Глава XI
для линий с большой интенсивностью и, может быть, также для
более слабых линий), что они отвечают дипольным переходам и
(согласно правилам отбора для дипольного излучения) соответству-
соответствующие возбужденные энергетические уровни относятся к синглет-
ным состояниям с орбитальным угловым моментом 1, т. е. они яв-
являются ^-состояниями.
Порог двукратной ионизации гелия, т. е. значение энергии Е^,
при котором оба электрона отрываются от ядра гелия и физиче-
физическая система находится в состоянии, в котором имеются ядро и два
электрона, энергия каждого из которых относительно ядра равна
нулю, лежит на 79,0 эВ выше основного состояния. Мы установили
этот экспериментальный факт раньше, когда говорили, что энергия
основного состояния £"+ = - 79,0 эВ. (Шкала энергий на рис. 4.2
дает Е(уровня) - £"+.)
Данные наблюдений на рис. 4.2 свидетельствуют о наличии на-
набора серий энергетических уровней 1Р, причем оказывается, что
предельная точка этого набора серий лежит на 79,0 эВ выше энер-
энергии основного состояния, т. е. соответствует порогу двукратной
ионизации. Предельные точки для каждой отдельной серии согласу-
согласуются со значениями энергии Епао, вычисленными по формуле B.33):
Епов - Е+ = - /?не i + 79,0 эВ = ( - 54,4 эВ>1 + 79,0 эВ; D.1)
п п*
следовательно,
Ele0- EU = 24.6эВ,
Е2оо- EU = 65.4эВ,
D.2)
£3со - £,+, = 72.9 эВ,
£4оо - £,+, = 75.6 эВ.
Таким образом, на рис. 4.2 показано, что дискретные энергетиче-
энергетические уровни ХР сходятся к л-му порогу ионизации атома гелия,
т. е. к значению энергии, при котором один электрон имеет глав-
главное квантовое число п, а второй только что освободился из атома
гелия. Эти экспериментально измеренные уровни ]Р, лежащие вы-
выше первого порога ионизации, изображены на рис. 2.3, на котором
показаны также все остальные известные A971 г.) дискретные
уровни энергии атома гелия. Мы видим, что диаграмма уровней
энергии под вторым, третьим и т. д. порогами ионизации качест-
качественно очень похожа на диаграмму энергетических уровней под пер-
первым порогом.
Двухэлектронные частицы — атом гелия 373
Теперь можно дать приближенное объяснение дискретных энер-
энергетических уровней выше первого порога ионизации1 >. В то время
как энергетические уровни, лежащие ниже ЕХов, отвечают состояни-
состояниям, в которых один из электронов всегда находится в основном со-
состоянии (п = 1), уровни энергии, лежащие ниже Епов, п > 1, отве-
отвечают состояниям, в которых один из электронов находится в со-
состоянии с главным квантовым числом п, а другой — в состоянии с
п' ^ п. Оба электрона возбуждены, и атом двукратно возбужден.
В приближении, в котором пренебрегается межэлектронным взаи-
взаимодействием W, это состояния, которым отвечают векторы
B.15 ± ) с п' ^ п > 1. Для случая, когда п = 2 B.15 ± ), они
имеют вид
1
= —= (|2 / /3>! ® \П' /' /'з>2 -\П'1' /'3>, <8) |2
где / может принимать два значения / = 0 и / =. 1, т. е. мы имеем
синглетные состояния ф%и я,/т и ф%00 яТ/, и триплетные состояния
"^2i/ n't't' и ^2оо л//" Если мы хотим дать объяснение ^-уровням,
то должны рассмотреть вместе угловые моменты / и /', чтобы по-
получить собственные векторы полного орбитального углового мо-
момента L2 = (Lj + ЦJ с собственными значениями L(L + 1) =
= 1A + 1). Поскольку L может принимать любое из значений
l + l', I + Г — 1, ..., I/ — /'I, мы можем получить L = 1
в следующих случаях:
2snp / = 0 /'=1 L = / + /' л = -1
2рт / = 1 /' = 0 L = 1 + I л = -1
D.4)
2рпр / = 1 /' = 1 L = / + /'- 1 л = +1
2pnd / = 1 /' = 2 L = / + /'- 2 л = - 1
где тг— четность, тг = ( — 1)' ( — 1)г. Следовательно, имеются три
возможности получить ^-состояния с четностью 7г = — 1 как ли-
'^ Были выполнены тщательные вычисления этих энергетических уровней с ис-
использованием различных приближенных методов; полученные результаты согласу-
согласуются с экспериментальными значениями (см. статью [37] и литературу в ней, а так-
также книгу [38]).
374 Глава XI
нейные комбинации состояний D.3 ±):
(и = 2, / = 0; п\ /' = 1), D.5р)
(„ = 2, / = 1; п\ V = 0), D.55)
(и = 2, / = 1: п'. I = 2). D.5Л)
Все эти линейные комбинации являются собственными векторами
оператора Н^ с одним и тем же собственным значением Е^,.
Сдвиг по энергии, возникающий из-за взаимодействия двух элек-
электронов, зависит не только от л' и L, но также и от / и /'; поэто-
поэтому можно ожидать наличия трех различных значений энергии для
каждого п' (кроме /' = 2). Таким образом, должны быть три се-
серии энергетических уровней, сходящихся к пределу Е2оо. На рис. 4.2
изображены только две серии: одна с очень высокой вероятностью
перехода из основного состояния l'S и другая с очень малой веро-
вероятностью. Это указывает на существование приближенного прави-
правила отбора, которое не может быть объяснено на основе предполо-
предположения, что пространства, порожденные векторами D.5/?), D.5s) и
D.5d), являются хорошими аппроксимациями пространства физи-
физических состояний. Можно считать, что линейные комбинации век-
векторов D.5/7) и D.55) порождают с хорошей точностью пространст-
пространства собственных состояний энергии, которые принадлежат к двум
наблюдаемым сериям [39], и что векторам D.5tf) отвечает еще бо-
более слабая, не обнаруженная до сих пор серия.
Ситуация становится еще более сложной для п = 3, 4, ... . Се-
Серии 3Р-уровней можно рассматривать с использованием сходных
аргументов.
Мы заключим обсуждение двукратно возбужденных состояний
замечанием, касающимся широкого профиля спектральных линий,
отвечающих этим состояниям, который показан на рис. 4.1 и виден
также в оптических спектрах. Эти энергетические уровни лежат вы-
выше первого порога ионизации. Следовательно, кроме двукратно
возбужденных состояний с п = 2, п' ^2, имеются состояния с той
же энергией, что и двукратно возбужденные состояния, отвечаю-
отвечающие системе, состоящей из иона гелия Не+ в основном состоянии
п = 1 и одного электрона (Не+ + е). Система Не+ + е может
иметь любую энергию Е ^ Е1оо, поскольку относительная энергия
Не+ и е может быть любой, т. е. энергетический спектр системы
Не+(л = 1) + е непрерывен выше Е1оо. Следовательно, каждое
значение энергии двукратно возбужденных состояний равно одному
из значений энергии в непрерывном спектре состояний системы
Не+(л = 1) + е. Таким образом, имеются два различных состоя-
Двухэлектронные частицы — атом гелия 375
ния с одинаковой энергией: дискретное состояние с п = 2, п' ^2,
и состояние континуума с п = 1 и некоторой относительной энер-
энергией Не+(л = 1) и е. Эти два состояния смешиваются и взаимо-
взаимодействуют друг с другом, в результате чего двукратно возбужден-
возбужденное состояние не может сохраниться и легко распадается на
Не+(л = 1) и электрон. Время жизни таких двукратно возбужден-
возбужденных состояний мало, и спектральная линия имеет типичный широ-
широкий профиль. Такие состояния часто называют резонансами.
Для двукратно возбужденных состояний с п = 3, п' ~£ 3, су-
существуют два состояния континуума с той же энергией, а именно
Не+(л = 1) + е и Не+(л = 2) + е. При п — 4, п' ^4, имеются
три таких состояния и т. д.
Глава XII
Эволюция во времени
В этой главе вводится фундаментальное предположение о времен-
временной эволюции. Обсуждаются картины Гейзенберга, Дирака и Шре-
дингера и их соотношение. В конце главы кратко обсуждаются за-
зависящие от времени внешние силы.
ХИЛ. ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ
До сих пор мы не упоминали о времени и совершенно не принима-
принимали во внимание временную эволюцию состояния системы и вре-
временное развитие наблюдаемых. Мы ограничивались свойствами си-
системы, измеряемыми мгновенно. В общем случае необходимо ука-
указывать не только значения физических величин, полученные в экспе-
эксперименте, но и время, когда проводилось измерение. В этой главе
мы рассмотрим временную эволюцию (динамику) физических си-
систем. Хотя понятие момента времени физически имеет столь же
мало смысла, как понятие определенного положения (измерения
всегда требуют конечного временнбго интервала, равно как и ко-
конечного пространственного объема), мы сделаем предположение,
что время — это непрерывный действительный параметр t, харак-
характеризующий последовательность состояний. (Заметим, что мы на-
назвали время "параметром", а не "наблюдаемой".) Иными словами,
мы сделали предположение, что измерения могут проводиться че-
через произвольно малые временные интервалы и в каждый момент
времени можно дать описание полного набора наблюдаемых.
Обозначим через W^q) состояние системы, приготовленное в
момент времени t = t0. Мы ожидаем, что состояние W(t0) одно-
однозначно определяет другое состояние W(t{) в любой более поздний
момент времени t = tl > t0. В процессе эволюции система может
подвергаться внешним воздействиям, так что характер эволюции
явно зависит от временнбго интервала t0 — t{, а именно от началь-
начального момента времени t0 и от длины интервала fj — t0. Рассмот-
Рассмотрим сначала системы, на которые не действуют внешние силы (изо-
Эволюция во времени 377
лированные системы). Для таких систем эволюция
W(to)^W(tx) A.1)
не зависит от t0, а определяется только самой системой, началь-
начальным состоянием fV(t0) и длиной тх = tl — t0 временного интервала
от t0 Д° t\- Наши интуитивные представления о временной эволю-
эволюции отвечают наложению на отображение A.1) следующих усло-
условий:
1. Преобразование A.1) — в некотором смысле непрерывное ли-
линейное преобразование на множестве состояний. Если
- Wx(tx) и W2(t0) - W1{tl), то для а, ЬеС
o) + bW2(t0) - aW.it,) + b\V2(tl).
2. Временной эволюции отвечает аддитивная полугруппа, т. е.
если W(t0) - W(t0 + т,) для т, = /, - t0 и W{tx) - W(tl + т2)
для т2 = t2 — t{, то
W(t0) - W(t0 + т, + т2).
Первое требование выражает физическое утверждение, что пер-
первоначальное смешивание состояний в момент времени t$ с последу-
последующей эволюцией во времени приводит к тем же результатам, что и
первоначальная независимая эволюция состояний, а затем их сме-
смешивание в момент времени t{; непрерывность преобразования от-
отражает интуитивное представление о непрерывности времени. Вто-
Второе требование интуитивно очевидно: оно выражает утверждение,
что если физическое состояние сначала эволюционирует на вре-
временном интервале fj, а затем полученное состояние эволюциониру-
эволюционирует на временном интервале t2, то получится тот же результат, что
и при эволюции исходного состояния на временном интервале
г, + г2. Первое и второе требования являются весьма общими и
должны выполняться также и для необратимых процессов.
Мы рассматриваем здесь квантовую механику обратимых про-
процессов и в этом случае налагаем дополнительное требование:
3. Временной эволюции A.1) отвечает унитарный оператор
U(t)* удовлетворяющий следующим условиям:
w(t0) - W{tx) = i/'^WfoMTi). О-2)
U\r)= U~'(r), A.3)
G@) = /, A-4)
378 Глава XII
l"\x) = Щ-r), A.5)
U(xl + т2) = V{xx)U{x2) (-co < x{,.x2 < +00), A.6)
U(t) — непрерывная операторная функция A.7)
параметра т (см. приложение).
Уравнение A.5) следует из A.2) и A.3), а именно из
U(rl)W(tl)U-\x1)= W(t0) A.2')
и из предположения, что A.2) справедливо также и для эволюции
назад во времени, т. е.
W(t0) = U-'i-x^Wit.Wi-x,). A.8)
Уравнение A.6) следует из второго требования, которое при описа-
описании временнбй эволюции унитарным оператором, как в A.2), мо-
может быть выражено соотношением
Уравнение A.6) получается при тх = tx — t0, т2 = t2 — tx. Линей-
Линейность преобразования A.2) очевидна. Непрерывность преобразова-
преобразования A.1) выражается утверждением A.7). Мы не будем здесь приво-
приводить математическое определение непрерывной операторной функ-
функции, а упомянем лишь, что используемые ниже формальные опера-
операции, такие как дифференцирование, разложение в ряд Тейлора и
т. д. (см. приложение), могут быть строго определены. Непрерыв-
Непрерывная операторная функция, удовлетворяющая соотношению A.6),
называется однопарамепгрической группой операторов.
Продифференцируем U(j) no t и определим
л . «"«*>
dx
т = 0
Оператор А называется инфинитезимальным оператором, или ге-
генератором оператора временнбй эволюции £/(т). Оператор £/(т) не
просто "дифференцируем", но бесконечно дифференцируем. Мы мо-
можем вычислить все "производные", используя соотношение A.6).
Эволюция во времени 379
Дифференцируя A.6) по тр
dU(x + xt)d(x + tJ _ dUix^
d(x + tj) dxx dxl
и вычисляя получившееся выражение в точке тх = 0, получаем
Производя снова дифференцирование, получаем
Мы можем продолжать дифференцирование и для /7-й производной
получим
dpU(r)
dxp
используя A.4), тогда получаем
dpU(x)
= ApU(x);
= Ар.
т = 0
dxp
Следовательно, "разложение в ряд Тейлора" £/(т) имеет вид
U(x) = I + xA +Г-А2 + ■■■ + ^А" + ■■■; A.10)
или, сравнив ряд A.10) с рядом для етА, мы видим, что
U(x) = еы. A.10')
В частности, это означает (в соответствии с нашим правилом
/(/4I а> =f(a)\a) для функций /(/4) от /4), что
U(x)\a> = eva\a)
для (обобщенных) собственных векторов I а > оператора А, отвеча-
отвечающих собственному значению а. Выполняя сопряжение соотноше-
соотношения A.10), получаем
U\x) = I + хА< + Х-Ап + ■■■ = еы\ A-П)
380 Глава XII
Если использовать равенство A.3) и продифференцировать
LP(t)U(t) = /, то получим
^C,(t)+l/W^,0;
dx dx
полагая т = 0, находим
А* = -А. A.12)
Оператор, удовлетворяющий соотношению A.12), называется ан-
тиэрмитовым. Поскольку т — время, А имеет размерность часто-
частоты, т. е. энергии, деленной на h. Оператор
Я = -ihA= - ih
., dU(x)
dx
(ЫЗ)
t = 0
который также часто называют генератором временной эволюции,
является, следовательно, эрмитовым оператором, имеющим раз-
размерность энергии; Н — оператор Гамильтона, или оператор энер-
энергии системы, и из A.10') получаем
С/(т) = eIHtlk. A.14)
Явный вид оператора Н зависит, разумеется, от рассматривае-
рассматриваемой частной физической системы; как найти его вид для некоторых
частных случаев, обсуждалось выше. Оператор Н является элемен-
элементом алгебры наблюдаемых системы, и его свойства задаются опре-
определяющими алгебраическими соотношениями для этой конкретной
системы. Заметим, что существует взаимно однозначное соответст-
соответствие между U(t) и Н\ поэтому можно рассматривать Н как величи-
величину, полученную (с помощью A.13)) из более фундаментального опе-
оператора временнбй эволюции £/(т), но можно считать более фунда-
фундаментальной величиной Ну а оператор временнбй эволюции U(t)
производной от Н величиной (пользуясь A.14)). В контексте преды-
предыдущего изложения естественно считать фундаментальной величи-
величиной Н — элемент алгебры наблюдаемых, a U(t) считать производ-
производной величиной.
Сформулируем вывод из приведенных рассуждений как фунда-
фундаментальное предположение о временнбй эволюции в квантовой
механике — основной закон динамики квантовомеханических си-
систем.
Va (Картина Шредингера). Консервативная физическая система
имеет генератор Н временных сдвигов, являющийся эрмитовым
Эволюция во времени 381
элементом алгебры наблюдаемых и характеризующий систему.
Временная эволюция состояния физической системы определяется
уравнением
W(t) = U\t)WQV(t\ AЛ5)
где WQ — состояние системы в некоторый начальный момент
t0 = 0, a U(t) задается формулой
U(t) = eitHlh. A.16)
В соответствии с аксиомой II среднее значение наблюдаемой А
равно
(A} = Tr(AW). A.17)
Наблюдаемая, которой отвечает оператор А, задается предписани-
предписанием способа ее измерения, т. е. способа установки измерительного
прибора и способа осуществления измерения. Это предписание вер-
верно в любой момент времени. Экспериментально измеренное значе-
значение меняется во времени; если мы проведем измерение в момент
времени /0, то среднее значение </4>,_, будет, вообще говоря, от-
отличаться от среднего значения (A )t=t в другой момейт времени tv
Этот экспериментальный факт отражен в описании эволюции со-
состояния W(t), согласно A.15). Подставляя A.15) в A.17), получаем
, = Тт(А W(t)) = Tv(AU\t)W0 U(t)). A.18)
Это выражение можно переписать в виде
<Л>, = Tr(U(t)AU\t)W0\ A.19)
так как след произведения операторов инвариантен относительно
циклической перестановки сомножителей. Теперь можно опреде-
определить новый оператор A(t) формулой
A(t)= U(t)AU\t) A.20)
и записать выражение A.19) в виде
<Л>, = <Л(г)> = Тг(Л(г)^0). A.21)
В выражении A.21) изменение экспериментально измеряемого зна-
значения < А >/ во времени описывается в форме, которой можно дать
382 Глава XII
следующую интерпретацию: состояние системы описывается стати-
статистическим оператором Wo; этот статистический оператор Wo не
меняется во времени, т. е. на протяжении всей эволюции состояние
физической системы описывается оператором Wo. Наблюдаемая
меняется со временем, согласно A.20), т. е. предписание способа ее
измерения должно содержать сведения о том, когда проводить из-
измерения, поскольку наблюдаемая (экспериментальная установка)
различна в разные моменты времени. Таким образом, вместо ос-
основного предположения Va мы можем сформулировать следующее
предположение относительно временнбй эволюции:
V6 (Картина Гейзенберга). Консервативная физическая система
имеет генератор Н временных трансляций, являющийся эрмито-
эрмитовым элементом алгебры наблюдаемых и характеризующий физиче-
физическую систему. Временная эволюция любой наблюдаемой физичес-
физической системы /4@ задается выражением
A(t)= U(t)AU\t), A.22)
где А относится к наблюдаемой в некоторый начальный момент
времени t0 = О, a U(t) определяется формулой
U(t) = eitH/*. A.23)
Эти два способа описания временнбй эволюции измеряемой величи-
величины </4>, являются, конечно, абсолютно эквивалентными. В форме
Va изменение во времени описывается как изменение состояния си-
системы. Такое описание временнбй эволюции называется "картина
Шредингера". В форме V6 состояние является фиксированным, и
изменение во времени связывается с изменением наблюдаемой. Та-
Такое описание называется "картина Гейзенберга".
Временная эволюция наблюдаемой, описываемая выражением
A.22), часто записывается в другой форме. Соответствующее урав-
уравнение получается дифференцированием выражения A.22):
= I HeitH/hAe-itH/*
h
He/Ae + eA{
dt h Vй
= l-(HA(t)-A(t)H),
Эволюция во времени 383
или dA^
ih = [4@, Н\ (Ь24)
dt
Это "гейзенберговское уравнение движения". Наблюдаемая являет-
является интегралом движения, если она не зависит от t. Из уравнения
A.24) следует, что все интегралы движения коммутируют с Н.
В частности, оператор Н сам является интегралом движения. Кроме
того, каждый член п.с.к.н., содержащий Н, является интегралом
движения.
Рассмотрим наблюдаемые импульса Р( и координаты Qi для си-
системы, в которой обе они не являются интегралами движения. Лег-
Легко видеть, что [Pt(t), QjU)] Для всех значений времени t > 0 имеет
обычный вид [P., Qj] = (Л//N/у/, тот же, что при t - 0:
= U(t)(PiQj-QjPi)U\t)
0 V ^7
V0, Q/0] = 7 V- <1-25>
Теперь мы можем получить уравнения движения для импульса и
координаты и показать, что эти уравнения имеют ту же форму,
что и для соответствующих классических величин. Для системы,
гамильтониан которой имеет вид
H = ~PiPi
ГДе Qi = Qi(t)
вычисляем
re,, и] = i- [Qk, piPj = ±
Подставляя это выражение в A.24), получаем
dt m
384 Глава XII
Это квантовомеханический аналог классического соотношения меж-
между импульсом и временной производной координаты.
В классической физике сила получается из потенциальной функ-
функции К(х):
дУ(х)
Л= -
дхк
По аналогии с этим соотношением найдем "оператор силы":
- 1Рк, K(Q)] = ^
й dQ
s - - 1Рк, K(Q)] = - ^^, A.27)
й dQ
где последний символ определен ниже. Подставляя это выражение
в A.24) при A(t) = Pk(t), получаем
^ = lh [Рк* т=-{ 1Рк, V(Q)] = Fk(Q(r)). A>28)
Это квантовомеханический аналог классического соотношения, свя-
связывающего временную производную импульса и силу. Объединяя
A.26) и A.28), получаем квантовомеханическое уравнение Ньютона
т
= Ffc(Q(f)). A.29)
|Оператор "dV(Q)/dQk" — символическая форма записи следу-
следующей процедуры: заменяем все Q{ в K(Q) числами х{ (напомним,
что это процедура обратна той, по которой строился потенциал
V(Q) из классического выражения), дифференцируем К(х) по хк и
заменяем в д V(x)/dxk x( на Qr Тот факт, что "dV(Q)/dQk" в
действительности равно (i/h)[Pk, ^(Q)], можно показа!ь одним из
следующих двух способов:
1. Запишем
JJ
где Cj . симметричны, т. е.
Cir-ip-i4-in = C.-r"i,-'p-i-' A.31)
Эволюция во времени 385
поскольку Qi коммутируют между собой. Пользуясь каноническим
коммутационным соотношением A.25), вычисляем
+ nCki2i3...inQhQi3- ■Qin + -.-., A.32)
поскольку
h
= n~Cki2i3...inQi2Qi3..Qin,
где использовано равенство A.31). Правая часть A.32) тождествен-
тождественна udV(Q)/dQkn.
2. Вычислим [Pk, V(Q)] в координатном представлении:
<x|[Pk,
= - А <х| K(Q)|^> - К(х) ~
i дхк i дхк
m*x*\*»vM
Поскольку коммутационные соотношения Гейзенберга не меня-
меняются со временем, все алгебраические соотношения, полученные с
их помощью, также справедливы в любой момент времени, даже
если операторы, входящие в эти алгебраические соотношения, не
коммутируют с Н. Это означает, что любая алгебра наблюдае-
наблюдаемых, элементы которой являются функциями от Pjt QJt не изменя-
изменяется со временем, хотя некоторые ее элементы могут не коммути-
коммутировать с Н.
Преобразование симметрии множества элементов — это преоб-
преобразование, оставляющее соотношения между элементами инвари-
инвариантными. Таким образом, временная эволюция физической систе-
386 Глава XII
мы, алгебра наблюдаемых' которой получена из гейзенберговских
коммутационных соотношений, является преобразованием симмет-
симметрии алгебры наблюдаемых. Если временная эволюция является пре-
преобразованием симметрии, то математическая структура (в частно-
частности, алгебраические соотношения) алгебры наблюдаемых не меня-
меняется во времени; это означает, что физические свойства в различ-
различные моменты времени одинаковы. Наш опыт показывает, что су-
существуют физические системы, обладающие этим свойством; на са-
самом деле это свойство определяет изолированные физические си-
системы. Таким образом, для изолированных систем не существует
возраста, для них не имеет значения, каково абсолютное значение
времени; измерению доступны лишь временные интервалы. В опре-
определенных так изолированных системах не происходит необратимых
процессов. Эти соображения приводят к еще одной формулировке
фундаментального предположения V:
Vb. Временная эволюция консервативной физической системы
дается непрерывным преобразованием симметрии ее алгебры наб-
наблюдаемых.
Вернемся к картине Шредингера. Временная эвоюция A.15) мо-
может быть также описана в дифференциальной форме. Дифференци-
Дифференцируя A.15), получаем
tiw{t)
= i_ _ HW(t)) = i
dt h
Рассмотрим теперь частный случай, когда WQ является чистым
состоянием, т. е.
Wo = А]ф1)) = \ф0Хф0\, A.34)
где Л,^ > — проекционный оператор на одномерное пространство,
порожденное вектором 1^0>. В этом случае A.15) имеет вид
W(t) = 1„0>
Определим вектор 1^@) формулой
Ш)> = и\О\фоУ. A.35)
Получаем
W(t) = С/ЧОЛ„0> 1/@ = | ф(ф <«А@1 = ЛЖ|)>. A.36)
Эволюция во времени 387
Дифференциальная форма A.36) получается дифференцированием
формулы A.35):
jtmy> = ^р i^o> = - ~ ничо\Фо> = - ~
Это уравнение Шредингера для вектора состояния \фО)):
Для гамильтониана, определенного выражением
уравнение Шредингера в координатном представлении получается
из этого уравнения при взятии скалярного произведения с собствен-
собственным вектором оператора координаты 1х>:
/й- <х|<К0> = ~<х\Р1
Используя соотношение
(см. (II.7.58)), уравнение Шредингера можно записать в обычной
форме:
ift jt ф(х, () = - — VV(x, 0 + И(хЖх, /), A-38)
где мы определили зависящую от времени волновую функцию
A.39)
Суммируя, отметим, что различие между картиной Шредингера и
картиной Гейзенберга состоит в следующем: в картине Гейзенберга
наблюдаемые преобразуются оператором U(t), а состояния оста-
остаются неизменными, в то время как в картине Шредингера наблюда-
наблюдаемые не меняются, а состояния преобразуются ав обратном на-
направлении", т.е. оператором W(t) - U~x(t). Временная зависи-
зависимость Tr{AW) в обоих случаях одинакова. Используя векторы, по-
получаем: в картине Гейзенберга собственные векторы I at) наблюда-
388 Глава XII
емых A(t)
A(t)\at>=a\at>, A.40)
"вращаются" оператором U(t):
в то время как векторы состояния 1^0> остаются неизменными.
(Заметим, что собственное значение а не вносит в A.40) временной
зависимости. Это легко проверить: A(t)\at) = A(t)U(t)\aO) =
= U(t)A(O)\aO) = U(t)a(O)\aO) = a@)\at>.) В картине Шредин-
гера собственные векторы I о0> постоянны, а векторы состояния
"вращаются" в противоположном направлении:
и^)\фоу = \ф(ф.
Временная зависимость физически измеримых величин, представля-
представляющих вероятности, а обоих случаях одинакова:
Состояние называется стационарным, если оно не изменяется во
времени:
W(t) = U\t)W0V(t) =W0=W. A.41)
Терминология оправдывается тем фактом, что любая наблюдае-
наблюдаемая, измеренная в этом состоянии, принимает значения, не завися-
зависящие от времени наблюдения, так как из A.41) для среднего значе-
значения любой наблюдаемой А имеем
(А\ = Tr(AW(t)) = Tr(AU\t)WU(t)) = Tr(AW) = <Л>Г=О.
Стационарные состояния всегда являются смесями собственных со-
состояний оператора энергии Н. Это следует из соотношения A.41),
записанного в виде
WeilHlh = eitHI*W,
или, что эквивалентно,
WH - HW = 0. A.42)
В частности, для чистого стационарного состояния
Эволюция во времени 389
из A.42) получаем
W
Таким образом, чистым стационарным состояниям отвечают соб-
собственные векторы оператора энергии. Временная зависимость век-
вектора стационарного состояния имеет вид
|«А@> = W(t)\ ф0} = е-"Е<*\ф0). A.44)
Стационарные системы — это системы, обладающие только
стационарными физическими состояниями. Следовательно, стацио-
стационарные системы могут быть приготовлены только в состояниях,
являющихся смесью собственных состояний оператора энергии,
т. е. в состояниях, удовлетворяющих соотношению A.42). Чистые
состояния физических систем всегда реализуются собственными
векторами энергии. В предыдущих главах все рассматривавшиеся
физические системы были стационарными; теперь мы нашли "объ-
"объяснение" того факта, что эти системы всегда находились в соб-
собственных состояниях оператора энергии.
В какой степени данная физическая система может рассматри-
рассматриваться как стационарная, зависит от требуемой точности описания.
Если пренебречь деталями, атомы и молекулы являются изолиро-
изолированными физическими системами. Если в процессе измерения они
приготовлены в определенном состоянии, которое должно быть соб-
собственным состоянием энергии, они "навечно" останутся в этом со-
состоянии. "Навечно" означает на время, много большее характерной
атомной шкалы времени: от 10~2 с (для инфракрасных переходов)
до 10~9 с (для ультрафиолетовых переходов) для возбужденных со-
состояний атомов и молекул. Если необходимо описать не только
энергетические уровни, но и детали процессов распада возбужден-
возбужденных состояний, то атом нельзя уже рассматривать как стационар-
стационарную систему. Этот вопрос обсуждается в последуюших главах.
Картина Гейзенберга и картина Шредингера являются предель-
предельными случаями более общей картины, которая называется "карти-
"картина Дирака" или "представление взаимодействия". Оператор Га-
Гамильтона записывается в виде суммы двух частей
A.45)
390 Глава XII
Как проводить такое разбиение, т. е. как сделать выбор — какую
часть гамильтониана считать Но, а какую Нх, зависит от конкрет-
конкретной ситуации. В принципе любую часть Н можно назвать Но, а
остальную часть //,. На практике в качестве Но используют опера-
оператор, собственные значения которого известны или легко находятся.
Часто оператору Но отвечает энергия двух или более рассматривае-
рассматриваемых совместно систем в приближении, когда энергией их взаимо-
взаимодействия пренебрегают; в этом случае оператору Нх отвечает энер-
энергия взаимодействия.
Принимая, что Н не зависит от времени явно (консервативная
система), мы определяем, следуя A.16),
U(t) = eitHlh. 1\-Щ
Среднее значение наблюдаемой А в момент времени t равно
<Л\ = Tr(U(t)AU\t)W0), A.47)
где Л отвечает наблюдаемой в некоторый начальный момент вре-
времени t0 = 0, a Wq — состояние системы в этот начальный момент
времени. Если определить операторы
(Ы8)
• и,A) = U(t)Ul(t) = U(t)e-itHoh, A.49)
то выражение A.47) можно переписать в виде
= Tr(AD(t)WD(t))t A.50)
Где AD(t)=U0(t)AUl(t), A.51)
Ux(t). A.52)
Отметим сходство между временнбй эволюцией A.22) наблюда-
наблюдаемой Л в картине Гейзенберга и временнбй эволюцией A.51) в кар-
картине Дирака. В первом случае оператор эволюции U(t) = eitH/h ге-
генерируется полным гамильтонианом //, в то время как во втором
случае U0(t) = eitH^h генерируется только частью гамильтониана, а
именно Но. В предельном случае Но = Н и Нх = 0 имеем
U0(t) = U(t) и U{(t) = /, так что A.50)—A.52) сводятся к картине
Эволюция во времени 391
Гейзенберга. С другой стороны, имеется сходство между времен-
временной эволюцией A.15) статистического оператора W в картине Шре-
дингера и временной эволюцией A.52) в картине Дирака. Это сход-
сходство становится еще более выраженным, если
[Ho,HJ = 0. A.53)
При этом выражение A.49) принимает вид
Ux{i) = eitH/fle~itHolh = eitHl/h. A.54)
Тогда в случае A.15) U(t) = eitH/h генерируется полным гамильто-
гамильтонианом Н, а G,@ = е"я1/А — гамильтонианом взаимодействия, а
именно //,. В этом предельном случае Но = О, Н1 = Н, и мы име-
имеем U0(t) = /, С/,@ = U(t), т. е. возвращаемся к картине Шредин-
гера.
Предположим, что оператор WQ описывает чистое состояние:
A.55)
тогда мы можем определить вектор
\ф(фв=и\A)\фоу} A.56)
так что, согласно A.52), W°(t) имеет вид
WD(t) = №)>dd<№)\- A.57)
Дифференцируя выражение A.56), в наиболее часто встречающемся
случае, когда имеет место A.53), получаем
W)> H\№> A-58)
Таким образом, векторы, представляющие состояния в картине Ди-
Дирака, подчиняются "уравнению Шредингера" с гамильтонианом
взаимодействия //,.
В представлении взаимодействия временная зависимость физиче-
физически измеримой величины < А >, описывается вариацией во времени
как наблюдаемой, так и состояния. Наблюдаемые вращаются в од-
одном направлении преобразованием, генерируемым одной частью
гамильтониана, а состояния вращаются в противоположном на-
направлении преобразованием, генерируемым другой частью гамиль-
гамильтониана (членом взаимодействия). В терминах векторов имеем:
392 Глава XII
собственные векторы I at )D наблюдаемой А.
получаются вращением вектора I aO)D оператором eitHo/h:
\at}D = eitHo/h\a0yD;
те же векторы состояния \^{t))D получаются вращением 1^0> в
противоположном направлении оператором U\(t) ( = e~itHi/h при
[Но, Я,] = 0):
l<KO>B = t/I(OI «/'со-
«/'современная зависимость вероятностей такая же, как и для картин
Шредингера и Гейзенберга:
= \<aO\W0(t)U\(t)\ij,oy\
Изолированные системы являются идеализацией, поскольку физи-
физическая система не может быть полностью изолирована от окружа-
окружающего мира. Но во многих случаях такая идеализация дает доста-
достаточно хорошее описание физической ситуации. Если взаимодействи-
взаимодействием между частицей и некоторой частью остального мира прене-
пренебречь нельзя, можно расширить физическую систему, включив в
нее эту часть остального мира, и рассматривать затем объединен-
объединенную систему. Если и она не является в достаточной степени изоли-
изолированной, процесс расширения системы можно продолжить, и в
конце концов возникнет изолированная система, для которой при-
применимы предыдущие рассуждения о временнбй эволюции. Но во
многих ситуациях эта процедура практически неприменима. Расши-
Расширенная система может оказаться слишком сложной и не описывать-
описываться достаточно простой математической структурой (если такая
структура вообще существует). В таких случаях полезно рассматри-
рассматривать неконсервативные системы, в частности системы с зависящи-
зависящими от времени внешними силами.
Для таких систем физическая структура меняется во времени, и
то же происходит с описывающей ее математической структурой.
Наблюдаемые, в частности гамильтониан, явно зависят от време-
времени; таким образом, законы динамики зависят от времени. Для та-
Эволюция во времени 393
ких систем невозможно описать временную эволюцию унитарным
оператором, как в A.15), A.16) или A.22), A.23). Но можно попы-
попытаться построить его дифференциальную форму по аналогии с
A.24) или A.33). Оператор Гамильтона, который не является боль-
больше оператором энергии системы, явно зависит от времени. В этом
случае временная зависимость может быть сформулирована следу-
следующим образом (на основании соответствия с классической механи-
механикой):
*2Ч^
где dA(t)/dt— производная наблюдаемой A(t) по ее явной вре-
временной зависимости. Если предположить, что любая наблюдаемая
А является функцией А = A(Qjt Ру, О от Q,@ и Pj(t) с дополни-
дополнительной явной зависимостью от t, то уравнение A.59) получается
из соответствующего уравнения в нерелятивистской квантовой ме-
механике при замене скобок Пуассона величиной 1//А, умноженной на
коммутатор. Уравнение A.59) является обобщением уравнения
A.24) и в случае изолированной системы переходит в уравнение
A.24), отвечающее классическому выражению для консервативных
систем. Для систем, имеющих квантовомеханические наблюдае-
наблюдаемые, которые нельзя выразить как функции от Qt(t) и PXt), не яс-
ясно, можно ли найти такой оператор Гамильтона, чтобы временная
эволюция описывалась уравнением A.59). В этом случае уравнение
A.59) нельзя проинтегрировать и привести к форме, аналогичной
A.22); даже для случая, когда А не зависит явно от времени
(dA(t)/dt = 0), не существует общей теории интегрирования урав-
уравнения
^^ A.60)
ХП.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
Пусть E — линейное пространство, в котором определен процесс
предельного перехода; такое пространство называется линейным
топологическим пространством. Например, в гильбертовом про-
пространстве ® = Jf процесс предельного перехода определен следу-
следующим образом: последовательность фх, ф2, ф3» ••• называется схо-
394 Глава XII
дящейся к ф € аУи обозначается
Фп^Ф
тогда и только тогда, когда
IIФп-Ф\\ - 0 при и->оо. (АЛ)
Гильбертово пространство ^не является единственным линейным
топологическим пространством; если имеется линейное простран-
пространство, то его можно снабдить всевозможными топологиями, т. е.
придать любой возможный смысл понятию сходимости последова-
последовательности. Например, вместо единственной нормы — как в гиль-
гильбертовом пространстве — можно определить на линейном про-
пространстве <2> счетную последовательность норм II II :
||0||о < \\ф\\х < ||0||2 < •• Для всех ф€$,
и определить сходимость следующим образом: последовательность
элементов [ фп \ сходится к ф в топологии, заданной счетной после-
последовательностью норм, и обозначается
тогда и только тогда, когда для любого р = 0, 1, 2, ... имеем
Такое линейное топологическое пространство <2> называется
счетно-нормированным пространством. В квантовой механике
обычно используют определение сходимости (А.1), т. е. гильберто-
гильбертово пространство, а не какое-либо другое линейное топологическое
пространство. Никакого физического основания для этого выбора
(сделанного Дж. фон Нейманом) не существует.
Понятия "непрерывность", "дифференцируемость" и т. д. опре-
определены в конкретной топологии или для конкретного смысла схо-
сходимости. Следовательно, сходимость в гильбертовом пространстве
имеет другой смысл, чем сходимость в счетно-нормированном про-
пространстве или сходимость в произвольном пространстве с произ-
произвольной топологией. Таким образом, для заданного линейного то-
топологического пространства © мы говорим, что операторная функ-
функция A(t) (т. е. оператор, зависящий от параметра t) непрерывна
при t = t0 тогда и только тогда, когда для любого 0 € ©
А(Оф Д A(to)(f) при г-*г0. (А.З)
Эволюция во времени 395
Оператор A(t) называется непрерывным тогда и только тогда,
когда (А.З) имеет место для любых t0. Если предположить, что в
квантовой механике пространство физических состояний является
гильбертовым пространством, то неясное утверждение, сделанное
относительно непрерывности оператора временной эволюции U(t),
приобретает ясный смысл (А.З), где
"Д" означает ":*"
т. е. U(t) обладает свойством
\\U{t)<j> - U(to)<j>\\ - 0 при t - t0. (A.4)
Как отмечалось в нескольких местах, в частности в разд. II.8, фи-
физического обоснования предпочтительности сходимости в гильбер-
гильбертовом пространстве относительно других определений сходимости
не существует, и, следовательно, не существует необходимости
придавать туманному физическому пониманию непрерывности
строгий математический смысл (А.4). С тем же успехом можно бы-
было бы выбрать и другие топологии, т. е. использовать определение
(А.З) с любым другим математическим определением сходимости в
пространстве <В . В многочисленных обоснованиях гильбертова про-
пространства для квантовой механики обычно именно в этом пункте
(т. е. в выборе (А.4) для физического определения непрерывности) в
рассмотрение проникает гильбертово пространство.
Операторная функция A (t) называется дифференцируемой при
t = t0 (в некоторой топологии на ©) в подпространстве 3 Q <2>,
если для любого ф € 3 имеем
A{t + to)-A{to) ^фег
At
т.е. в пространстве © существует предел для ((A(t0 + At) —
- A(to))/At)<}>. Вектор ф определяет линейный оператор, который
мы будем обозначать dA(t)/dt\t=t :
dA(t)
Ф>
dt
называемый производной (в некоторой топологии на <5) оператора
A(t) при t = t0. Таким образом, производная dA(t)/dt\t=tQ опре-
396 Глава XII
делена соотношением
dA(t)
dt v ~ "— А, v (A.6)
Дг-»О
At
Если выбрать сходимость в гильбертовом пространстве, то можно
записать
dA(t)
dt
, v w A(t0 + At) - A(t0)
ф = hmlJn — — ф. (А.7)
дг-»о
At
Действие производной dA(t)/dt\t=tQ определено на всех векторах
ф е 3 С <В, т. е. на всех векторах, для которых существует предел
(А.5).
Операторная функция /1@» удовлетворяющая соотношению
A{t, + t2) = A(ti)A(t2) (A.8)
и непрерывная в топологии гильбертового пространства, называет-
называется однопараметрической группой операторов в топологии гиль-
гильбертова пространства.
Для такой однопараметрической группы операторов могут быть
доказаны следующие свойства:
1. Оператор A(t) дифференцируем на "плотном" подпростран-
подпространстве0 3 £ Ж Это оправдывает A.9) не для всех векторов, а толь-
только для векторов из 3.
2. Иг. 3 оператор /1@ бесконечно дифференцируем.
3. Последовательность {</>„}, где
± " tk dkA(t)
k =
\ dtk
Ф,
t = 0
сходится (в топологии гильбертова пространства) для всех элемен-
элементов ф плотного подпространства 3 Q 3 Q Ж Тем самым оправ-
оправдывается A.10).
'* Подпространство 3> называется плотным, если оно отличается от пространст-
пространства Столько предельными элементами. В то время как каждая бесконечная последо-
последовательность, обладающая свойством фт — Ф„ — 0 при п, т — оо (последователь-
(последовательность Коши) имеет предельный элемент ф в Jt: фп — фе Jf( ^полное), такой эле-
элемент ф в общем случае отсутствует в $>.
Глава XIII
Некоторые фундаментальные свойства
квантовой механики
Эта глава иллюстрирует некоторые характерные особенности, ко-
которые отличают квантовую механику от классических теорий. В
разд. XIII. 1 в мысленном эксперименте с прибором Штерна — Гер-
лаха показано, что поляризованный пучок (чистое состояние) не
может быть расщеплен магнитным полем и расщепление такого
пучка есть следствие измерения. В разд. XIII.2 мы получим пред-
предсказания квантовой механики для измерений спиновых корреляций
пар частиц со спином 1/2 в синглетном состоянии. В разд. XIII.3
эти предсказания сопоставляются с неравенствами Белла, следую-
следующими из гипотезы, высказанной впервые Эйнштейном, Подоль-
Подольским и Розеном. Глава завершается кратким обсуждением теорий
со скрытыми переменными.
XIII. 1. ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПО ЗАКОНУ ДИНАМИКИ
И В ПРОЦЕССЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ЭКСПЕРИМЕНТ ШТЕРНА —
ГЕРЛАХА
В предыдущей главе мы сформулировали, как меняется во времени
состояние системы и как меняются во времени наблюдаемые, под-
подчиняясь закону динамики. Такое изменение полностью детермини-
детерминировано. Это означает, что если состояние или наблюдаемая извест-
известны в некоторый момент времени, они могут быть предсказаны для
всех остальных значений времени. В разд. II.4 мы описали другой
тип изменений во времени — изменение состояния в процессе изме-
измерения. Эти процессы измерения не являются детерминированными,
и относительно их результата можно давать только вероятностные
предсказания. Таким образом, существуют два совершенно различ-
различных процесса изменений во времени. В этой главе мы проиллюст-
проиллюстрируем эти процессы, детально рассмотрев мысленный экспери-
эксперимент с прибором Штерна — Герлаха, который кратко описан в
разд. IX. 1.
398
Глава XIII
Магнит! МагнитZ Магнит3
IU
в..
т -~ —
П!П П
Рис. 1.1. Эксперимент Штерна—Герлаха. Магнит 1 используется в эксперименте с
простым расщеплением пучка; магниты 2 и 3 добавляются в мысленном экспери-
эксперименте для обращения расщепления пучка.
В эксперименте Штерна— Герлаха (рис. 1.1) пучок атомов во-
водорода в основном состоянии проходит через область с сильно не-
неоднородным магнитным полем В. В условиях этого эксперимента
атомы водорода можно рассматривать как комбинации двух физи-
физических систем (см. фундаментальный постулат IVa в разд. III.5);
физической системой I является элементарный ротатор со спином
1/2, который описывает вращающийся электрон, а физическая си-
система II — элементарная частица, описывающая движение бес-
бесструктурного атома водорода в экспериментальной установке.
Пространством физических состояний системы I является дву-
двумерное спиновое пространство <Щ = ks = &/2 (см. разд. III.3). В
качестве базиса для Щ мы выберем собственные векторы I + > и
I — > компоненты спина S3 по направлению магнитного поля В,
где1)
f S3|->= -i|->. A.1)
A.2)
Магнитный момент этой системы равен (уравнение (IX.3.18))
М= -2-^-S= -2fiBS.
2тес
Оператор энергии системы I — константа; так как точку отсчета
энергии можно выбирать по своему усмотрению, мы можем поло-
положить эту константу равной нулю: Н\ = 0.
Пространством физических состояний системы II является про-
пространство с#||, порожденное обобщенными собственными вектора-
В этой главе опять используется система единиц, в которой Л * 1.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 399
ми 1р> оператора импульса Р или обобщенными собственными
векторами 1х> оператора координаты Q; операторы Q и Р являют-
являются координатой и импульсом атома водорода, рассматриваемого
как целое. Оператор энергии для системы II — это просто опера-
оператор кинетической энергии:
Я„ = Р2/2М, A.3)
где М — масса атома водорода.
Системы I и II связаны внешним магнитным полем В; согласно
(IX.3.1) и (IX.3.18), оператор энергии для этого взаимодействия
имеет вид
Нш = -М • В = -(М ® /) • (/ ® В) = 2nBS3B3(Q) = 2libS3B3(Q3).
A.4)
В выражении A.4) мы приближенно положили, что поле В имеет
только г-компоненту и является только функцией от z = хъ 1). Сле-
Следовательно, оператор энергии для физической комбинации этих
двух систем, т. е. атома водорода в основном состоянии со спином
электрона в магнитном поле, равен
H = HI + HI1 + Him = ^P2 + 2^S.B(Q)
1 Р2 + 2fiBS3B3(Q3). A.5)
2М
При выборе такой комбинации систем I и II для описания пучка
атомов водорода в магнитном поле мы пренебрегли 1) магнитным
моментом протона, 2) влиянием магнитного поля В на электрон-
протонное взаимодействие в атоме водорода и 3) разностью коор-
координат электрона и атома водорода как целого. Оправданием пер-
первых двух приближений может служить анализ порядков соответст-
соответствующих величин: 1) Магнитный момент протона равен (см.
(IX.3.18/7)) ЬЛр = B+ 3,59)(e/2mc)S = 5,59 (me/mp)fxBS. По-
Поскольку масса протона много больше массы электрона (тр =
= 1836 те), получаем, что магнитный момент протона почти на
три порядка величины меньше, чем магнитный момент электрона,
поэтому энергия взаимодействия магнитного момента протона с
магнитным полем пренебрежимо мала по сравнению с A.4). 2) Маг-
'* Из уравнения Максвелла VB = dB/dxi = 0 следует, что вариация В, по х
так же велика, как и вариация #3 по z- Мы вернемся к вопросу о справедливости
этой аппроксимации в приложении к этой главе.
400 Глава XIII
нетон Бора, равный 5,795-10~9 эВ/Гс, достаточно мал, так что
даже в очень сильном магнитном поле 103 Гс энергия магнитного
взаимодействия цвВ на шесть порядков меньше, чем расстояние
между низколежащими уровнями энергии атома водорода. Следова-
Следовательно, внутренние состояния атома водорода существенно не меня-
меняются, и оператор внутренней энергии атома водорода (совпада-
(совпадающий с оператором (VI.3.2) в задаче Кеплера) в этой задаче можно
считать константой, которую мы положим равной нулю. Вместо
описанного выше пространства Жц пространство состояний систе-
системы II должно иметь ъщхЖ{х =Жп®@, где <% — пространство со-
состояний задачи Кеплера (см. (VI.5.2)). Но, поскольку мы все время
имеем дело с атомом водорода в основном состоянии (т. е. в одно-
одномерном подпространстве &(п = 1) С&), пространство состояний
системы II на самом деле есть Jf п®Щп = 1), т. е.^ц.
Условия эксперимента таковы, что при t = 0 сгусток атомов
водорода входит в область магнитного поля в точке А (рис. 1.1) и
движется со средним импульсом р вдоль оси у. Идеализируя, мы
предполагаем, что в этих экспериментальных условиях приготовле-
приготовлено чистое состояние системы II. Это состояние описывается векто-
вектором состояния (статистическим оператором)
1«Ао> № = №„>0М) A.6)
в картине Гейзенберга для всех значений времени t ^ 0 или
1«Ао> №@) = №оХ*о1) A-7)
в картине Шредингера при t = 0. Система I может находиться в
чистом состоянии со статистическим оператором
где \Ф> = а| + > + 0|-> (а,0еС), A.8)
если пучок был поляризован до того, как он достиг точки А. (Со-
(Состояние |0> будет собственным состоянием оператора n-S для не-
некоторого направления ft, определяемого выбором а и 13). С другой
стороны, состояние системы I может быть смешанным, например
^ = 1(| + ><+| + |-><-|) = i/, A.9)
где / — единичный оператор в спиновом пространстве сЩ =*>s. Со-
Состояние комбинированной физической системы описывается форму-
формулами
W=Wx®Wn или \х> = \Ф>®\Фо>, A-Ю)
второе описание в терминах вектора состояния 1х> является аль-
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 401
тернативным описанию в терминах статистического оператора W
в случае, когда система I находится в чистом состоянии1).
При рассмотрении временной эволюции сгустка атомов водоро-
водорода мы будем использовать как картину Гейзенберга, так и картину
Шредингера. Используя выражения (XII. 1.59), A.5) и канонические
коммутационные соотношения, мы видим, что гейзенберговские
уравнения движения для операторов координаты и импульса имеют
вид
~|Р = {[QW, ЖО] = jj PM, A.11)
''РA> = - [Р@, H(fИ = - 2/isS3[P(r), B3(Q3«)] = (о, 0, - 2f,BS дВъ
dt i i \ oQ3(t)j
A.12)
(Смысл операции d/dQ( пояснялся в абзаце, следующем за уравне-
уравнением (XII. 1.29).) Исследуем сначала случай, когда система находит-
находится в спиновом состоянии I + > или I — >, так что состояние объе-
объединенной системы имеет вид
1х±> = 1±>® 1<Ао>- A.13)
Изменение среднего значения оператора импульса в этих состояни-
состояниях определяется уравнением
= (о, 0,
Следовательно, если состояние имеет спин, направленный вверх,
s3 = + 1/2 (спин вниз, 53 = — 1/2), т. е. если состояние есть
^ Замечание относительно комбинации физических систем. Напомним, что опе-
операторы в пространстве прямого произведения даются уравнением (III.5.7). Следова-
Следовательно, общий статистический оператор в пространстве ^j ® Жп не является про-
простым прямым произведением статистических операторов в ^ и Рп. Но если какое-
либо из состояний W^ или Wn является чистым состоянием, то Wx и Wn однознач-
однозначно определяют состояние W объединенной системы как произведение
W = Wx% Wxv Именно такова ситуация в обсуждаемой задаче. Оператор W равен
также W = Wx ® Wxx, если состояние объединенной системы определено измерения-
измерениями, осуществлявшимися над системами I и II в отдельности. Но если измеряются
коррелированные свойства систем I и II, то в общем случае W не имеет факторизо-
ванного вида Wx (g) WxV
»«1 -26
402 Глава XIII
I + > (I - >), то временная эволюция среднего значения г-компо-
ненты импульса удовлетворяет уравнению
где 1хО — зависящие от времени собственные векторы оператора
Q в картине Гейзенберга. (Верхний (нижний) знак в уравнении
A.15±) относится к случаю спина вверх (спина вниз).) Правая часть
A.15±) показывает, что изменение импульса зависит от конкрет-
конкретных свойств магнитного поля; предположим для простоты, что
дх
Тогда
где
дВ,
= const > 0. A.16)
Т<Х± \РзШх ±> =
at
дх3
Используя начальное условие для импульса частицы
<Х±|Р(/ = 0)|*±> = @,р,0) при г = 0,
мы можем проинтегрировать уравнение A.17±); тогда среднее зна-
значение оператора импульса в момент времени t равно
Если мы вычислим среднее значение A.11) по состояниям Ix ± > и
воспользуемся начальным условием <х± IQ(r = 0) 1х± > =0и
A.19 ± ), то для среднего значения оператора координаты получим
<Х ± \Q(t)\x±> = ~(O,pt, +Kt2/2). A.20±)
Таким образом, среднее значение оператора координаты, т. е. по-
положения сгустка атомов водорода, движется по параболической ор-
орбите, загнутой вниз (вверх) в случае чистого состояния со спином
вверх (спином вниз). Это иллюстрируется на рис. 1.1. (При этом
предполагается, что к > 0, т. е. A.16).)
Опишем теперь ту же ситуацию в картине Шредингера, где со-
состояние меняется во времени. В момент времени t = 0 состояние
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 403
имеет вид
\х ± (t = 0)> = \Х ±> = | ± > ® \фо> A.21 ±)
и описывает сгусток атомов водорода со спином вверх (спином
вниз) в точке А. Согласно (XII. 1.35), временная эволюция этого со-
состояния описывается формулой
± > ® \Фо» = e-itlH» + 2ll'S3B3\\ ±> ® \ф0»
A.22±)
Таким образом, исходное чистое состояние со спином вверх дви-
движется через магнитное поле в соответствии с формулой
\Х + (f)> = |+>®е-''ш" + ^Вз»|^о> = \ + >®\Ф + @> A-23 + )
в отличие от формулы
\Х ~ @> = I -> ® e-it(H»-^^0) = | -> ® \ф - @> A.23-)
для чистого состояния со спином вниз. В формулах A.23 ±) мы
определили
\Ф ± @> = е-ЩНи±^вВ^\ф0). A.24±)
Приведем соотношения, связывающие оператор импульса Р, опера-
оператор координаты Q и векторы состояния-Ix ± (/)> в картине Шре-
дингера с Р(/), Q(/) и Ix ± > в картине Гейзенберга:
р = p(f = 0) = U\t)P(t)U(t% A.25а)
Q = Q(, = 0) = U\t)Q(t)U(t), A.256)
\Х ± @> = ^@1* ± (f = 0» = U\t)\X ± >, A.25в)
где U(t) = etH = ехр(/7(Я„ + 2/xe53 B3(Q3))). Мы можем написать
аналог A.14) для картины Шредингера, если вычислим среднее зна-
значение от A.12) по векторам состояния Ix ± > и перенесем времен-
временную зависимость с наблюдаемых на векторы состояния:
jt <х ± «)\Р3\х ± «> = ~ <у. ± \РШх ±>
404 Глава XIII
дВ
(Заметим, что для гамильтониана Н A.5) имеем [S3, //] = 0; сле-
следовательно, матричный элемент < ± I S31 ± > не зависит от време-
времени.) Если опять сделать предположение A.16), то
<Ф ± Ш^~\Ф ± @> = [d3x^W ± @1х><х|<А ±
Следовательно,
jt<x± (OIPIz± @> = (o,o, +^^) = (o,o, +к). A.26)
Среднее значение
^<z±IQ(Olz±> i<^
at M
уравнения A.11) легко трансформируется в аналогичное уравнение в
картине Шредингера:
jt<x± (OIQIz ± @> = lj<x± (OIPIz ± @>. A-27)
Уравнения A.26) и A.27) вместе с начальными условиями
(X ± (t = 0)|Р|х ± (Г = 0)> = @, р, 0),
Z (t = O)> = @,0,0)
приводят к аналогу формулы A.20±) в картине Шредингера:
х±(г) = (Х± (OIQIZ ± @> = ^ (о, рг, + ^-V A.28±)
Как и следовало ожидать, результат получается такой же, как в
картине Гейзенберга.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 405
Распределение вероятностей для координат определяется "сред-
"средним значением" оператора / (g) IxXxl. Точнее, вероятность полу-
получить значение в объеме (X — «, X + е) при измерении координаты
равна среднему значению проекционного оператора
Л(х, с) = / ® 43х'|х'><х'| A.29)
(см. уравнение (II.8.8)). Таким образом, распределение вероятно-
вероятностей координат в состоянии 1х + (О> = ' + >® \ф + @> зада-
задается формулой
w+(x, t) = <+ | +><</,+ (f)|x><x|<A + @> = <Ф + @|х><х|</,
A.30 + )
В частности, вероятность найти значение внутри объема (X — е,
х + е) в момент времени t равна
= f
Jx-
A.31+)
Распределение вероятностей эволюционирует во времени. Точную
эволюцию w+(x, /) можно определить, решая уравнение Шрединге-
ра для (х\ф + (О>- Но из нашего рассмотрения среднего значения
A.28 + ) мы имеем грубое представление об изменении w+(x, t).
При / = 0 w+(x - «, X + е, О и w+(x, t) равны нулю всюду, кро-
кроме малого объема около точки А = @, 0, 0). Из точки А сгусток
движется по нижней параболе, задаваемой A.28 +); в момент вре-
времени tB = Мув/р (т. е. в момент времени, когда сгусток имеет
.у-координату ув) w+(x, t) равно нулю всюду, кроме малого объе-
объема вокруг точки В+ = @, ptg/M, — ktB/2M).
Подобным же образом распределение вероятностей
w_(x,r) = (ф- @|х><х|<А
и вероятность
/»х + е
W_(X-C, X + £, 0= A3х'(ф -A)\
•'х-е
найти систему в объеме (X — е, X + б) определены для состояния
1х — (/)> = I — > (8) 1^ — @>. которое является чистым состоянием
со спином вниз в точке А. Тогда w_(x, /) и w_(x — t, X + е, t) пере-
перемещаются вдоль верхней параболы A.28 — ) и существенно отличны
от нуля в момент времени tB только в окрестности точки
', +Ktl/2M).
406 Глава XIII
Эти факты позволяют нам провести измерение поляризации,
т. е. измерение переменной 53 системы I путем измерения перемен-
переменной Q системы II. Если мы поместим пластинку детектора в точке
В (на расстоянии ув = ptB/M от точки А), то детектор зарегист-
зарегистрирует присутствие атомов водорода в точке В+ = @, ptg/M,
- ktlR/2M) или в точке В_ = @, ptB/M, + ktB/2M) только в
том случае, если в точке Л — @, 0, 0) имелось чистое состояние со
спином вверх 1х + (' = 0)> = I + > ® \ф0) или чистое состояние
со спином вниз \х - (t = 0)) = I - > ® 1^о> соответственно.
Таким образом, измерение переменной Q3 в системе II с результа-
результатом z = z+ tB) = — kt\ /2М представляет собой измерение 53 в си-
системе I с результатом s3 = + 1/2, а измерение Q3 в системе II с
результатом z = z_(tB) = + ktg/2M представляет собой измере-
измерение 53 в системе I с результатом s3 = — 1/2.
Исследуем теперь случай, когда система I находится в смешан-
смешанном состоянии A.9), где коэффициенты 1/2 перед каждым из проек-
проекторов 1 + >< + 1и1— >< — I представляют равные априорные
вероятности нахождения системы в состояниях I + > и I — >. В
момент времени / = 0 пучок описывается статистическим операто-
оператором A.10), где Wx(t = 0) задан в A.9), a Wu(t = 0) задан в A.7):
= Щ0) ® WJ,(O) = (|| +><+ | + j\ -><- |) ®
= il +> ® 1<Ао>< +1 ® <Ф0\ + il -> ® 1<Ао><-
= ?\Х+ (О)У<Х+ @I + $\Х~ @)><z- @)|. A-32)
Временная эволюция W имеет вид
^@ = \\ +> ® |^ + @><+ I ® <<А + @1
+ il->®l«A-(OX-l®<<A-(OI
= ilz + (OXz + @1 + hx - (OXz - @1- A-33)
Тогда распределение вероятностей w(x, t) - Tr((/ (g)
для координаты равно
w(x, о = Kx|<A + @X<A + @1 x> + i<x|<A - @><<A - @l«> A-34)
= ivv + (x,0 + iw_(x,0, A.35)
где w+(x, t) и w_(x, /)— распределения вероятностей для
A.30=fc), а их (существенно) отличные от нуля части движутся
вверх и вниз по параболическим траекториям A.28 + ) и A.28 — )
соответственно. Таким образом, неполяризованный пучок расще-
расщепился на два пучка.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 407
Штерн и Герлах действительно наблюдали это в противоречии с
предсказаниями классической физики1 >. В классической теории непо-
ляризованный пучок содержит атомы, обладающие магнитными
моментами, равномерно распределенными по всем направлениям.
Отклонение пропорционально величине г-компоненты магнитного
момента, и, следовательно, нужно ожидать лишь небольшого рас-
плывания пучка в г-направлении.
Мы можем теперь добавить (по крайней мере, в мысленном экс-
эксперименте) второй и третий магниты или использовать другое под-
подходящее расположение магнитов, обращающих ращепляющее
действие первого магнита. Тогда два пучка снова сводятся вместе,
и в точке D в более поздний момент времени tD мы опять будем
иметь то же состояние, что и в точке А в момент времени / = 0,
т. е. смешанное состояние, описываемое формулой A.32). Если сно-
снова пропустить этот сгусток через прибор Штерна — Герлаха с маг-
магнитным полем в направлении х, то он расщепится на два пучка.
Это легко понять, если представить Wx в виде
+*| + ±| s, = Ч><*1 = -lU d-36)
где 15] = + l/2> и 15, = — l/2> — базисные векторы в про-
пространстве J^, удовлетворяющие соотношениям
SJs, = ±i>= ±*|s, = ±i>; A.37)
далее повторяются те же рассуждения, что и выше, с заменой
^-компоненты на х-компоненту.
Проанализируем теперь опыт Штерна — Герлаха для случая,
когда А является чистым состоянием, поляризованным в любом
направлении п, отличном от ^-направления, например в направле-
направлении х2). В момент времени / = 0 состояние описывается тогда ста-
статистическим оператором
и/@) = lz@)></@)| = 1^X01 ® |<АоХ<Ао1 A-38)
или вектором
|Z(O)> = \ф} ® |>Ао> = а| +> ® |<Ао> + Р\ -> ® \Фо\ A-38')
где вектор \ф) дан в A.8). Это состояние эволюционирует во вре-
времени согласно (XII. 1.35); используя приведенные выше результаты
1} В первоначальном эксперименте Штерна — Герлаха A922 г.) использовались
не атомы водорода, а атомы серебра.
^Использование спиновых матриц Паули легко дает 15, = ±1/2) =
= A3V2)(I + > ± I — >) (с точностью до произвольного фазового множителя). О
спиновых матрицах Паули см. задачу III.5.
408 Глава XIII
A.22±), A.23±), и A.24±), получаем
A.39)
При унитарной временной эволюции чистое состояние переходит в
чистое состояние. Поэтому при прохождении через магнитное поле
система остается в чистом состоянии; разбиения на два подансам-
бля не происходит. Если пучок достигает точки D после прохожде-
прохождения обращающих расщепление магнитов, сгусток опять находится
в чистом состоянии и имеет ту же поляризацию, что и в точке А.
Например, если в точке А пучок был поляризован в направлении *,
в точке D в момент времени tD он также будет поляризован в на-
направлении х\ если затем пропустить его через следующий аппарат
Штерна — Герлаха с полем в направлении х, пучок не расщепится,
а только отклонится.
Предположим теперь, что на этом чистом состоянии мы осу-
осуществляем измерение координаты в точке В, т. е. мы помещаем в
В измерительное устройство (экран), которое пропускает пучок, но
регистрирует прохождение атомов водорода. Напомним, что веро-
вероятность найти атом водорода в объеме (х — б, X + б) в окрестно-
окрестности точки х равна среднему значению оператора / (g) Л(х, б) A.29) с
статистическим оператором
W{t) = lz@Xz@l = |a|2|+>® \Ф + @Х+1® <<А + @1
+ |/?!2|->® \Ф-(О><-\®<Ф -@1
+ зД|+> ®\ф + @><-1® <Ф ~ @1
@1,A.40)
отвечающим чистому состоянию A.39); таким образом,
w,/@>(x - е, х + 6) = Tr(W@(/ ® Л(х, £)))
= lafTrKI + X+DTrnd* + @><<А + @|Л(х,£))
+ |)ff|2TrI(|-><-|)TrII(|^ - @><* - @|Л(х,е))
= |a|2w + (x - е, х + е, г) + |/?|2w_(x - £, х + е, 0,
A.41)
где w±(x — б, X + б, t) дается формулой A.31 ±). Распределение
вероятностей для координаты, т. е. "среднее значение" оператора
/(8) lx><xl, получают так же; оно равно
w,z(l)>(x) = |a|2w + (x, t) + |/?|2w_(x, О A-42)
В случае, когда атомы водорода первоначально были поляризова-
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 409
ны вдоль оси л: (т. е. Ы2 = 1/2 и I/3I2 = 1/2), имеем
, 0 + ivv_(x, r).
Таким образом, распределение вероятностей координат для чисто-
чистого состояния A.8) такое же, как и вероятность измерения координа-
координаты для смеси с статистическим оператором системы I:
№2\-><-l A.43)
Из нашего обсуждения эволюции w+(x, /) и w_(x, /) мы заключа-
заключаем, что атомы водорода проходят через экраны в В+ и В_ с отно-
относительными вероятностями lal2 и I/3I2 соответственно. Но выра-
выражения A.40) — A.42) зависят от предположения, что система нахо-
находится в чистом состоянии 1х@> A-39). Это предположение спра-
справедливо только при t < tB, поскольку после измерения координаты
в точке В состояние уже не есть \xU))\ оно заменилось другим в
процессе измерения. Если экран имеет отверстия только в окрест-
окрестности В+ и В_, то из фундаментального постулата Шб (уравнение
(II.4.51)) следует, что в заданный момент времени t — tB состояние
имеет вид
WB(tB) = Л(хв+,€)|х(Гв)><*('в)|Л(хв+,€)
_,£). A-44)
При этом
Л(хв±,е)|<А ± Aв)У<ф ± (гв)|Л(хв±,е)
Так как (x'lt/' - (гд)> = 0 для х' в окрестности хд+
(ф — (^вIх"> = 0 для х" в окрестности хв+, имеем
Л(хв+,€)|.А - ('в)Х^ - гв)|Л(хв+,е) = 0.
Подобным образом
\(хв_,е)\ф + (?В)Х<А + (гв)|Л(хв.,€) = 0.
Разложение A.44) с использованием A.39) и последних трех уравне-
уравнений позволяет переписать A.44) в виде
\Р\2\-><- I ® Л(хв_,£)|^ - ((в)}(ф - (tB)|A(xB_,£).
A.45)
410 Глава XIII
Таким образом, мы видим, что проведение измерения радикально
меняет ситуацию. Если пучок в чистом состоянии A.39) проходит
через точку В без осуществления измерения, то система остается в
чистом состоянии 1х@>- Если при прохождении пучком точки В
измерение осуществляется, т. е. регистрируется прохождение пуч-
пучка через отверстие в В+ или В_, то система становится смесью
состояний со спином вверх и спином вниз. Например, если отвер-
отверстия в экране расположены симметрично относительно плоскости
ху:
w + (xB+ - е, хв + + £, tB) = н-_(хв_ - е, хв_ + е, гв), A.46)
и достаточно широки, чтобы пропустить все частицы пучка, то по-
получаем
Л(хв±,£)|>А ± (fB)><<A ± (гй)|Л(хв±,е) = \ф± (гв)ХФ ± (tB)\. A.47)
При этом после измерения возникает состояние
wB{t) = |а|2| + >< + | ®\ф + @Х.А + @1
Х«А + @1
+ \Р\2\->®\Ф -@Х-1® <Ф -@1
= l«l2lz + (OXz + @1 + 1/Л21* - (ОХх - @1 = и/м@
для г > tB. A.48)
Если теперь пучок в состоянии A.48) пропустить через обращаю-
обращающие расщепление магниты, то он появится в точке D в состоянии,
являющемся смесью состояний со спином вверх и спином вниз.
Еще один прибор Штерна — Герлаха с магнитным полем в
х-направлении расщепит этот пучок.
Итак мы обнаружили, что чистое состояние A.38) не расщепля-
расщепляется неоднородными магнитными полями первого и второго маг-
магнитов, если не проводится измерения в плоскости В. Но если та-
такое измерение проведено, чистое состояние расщепляется в В на
два подансамбля состояний со спином вверх и спином вниз, и, сле-
следовательно, оно расщепляется далее в следующем приборе
Штерна — Герлаха, поле которого направлено вдоль оси х, на два
подансамбля состояний со спином вправо E, = 1/2) и спином вле-
влево E, = - 1/2). Этот конкретный пример иллюстрирует фундамен-
фундаментальный постулат Шб.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 411
ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ XIII. 1
В выражениях A.4) и A.12) мы пренебрегали всеми действующими
на частицу силами, кроме силы, действующей в г-направлении. Это
требует доказательства, поскольку, согласно уравнению Максвелла
V-B = 0, большая величина дВ2/дх3 требует также большой вели-
величины
дВ, дВ2 дВ,
т^+ т^ = - т2' A-49)
дх1 дх2 дх3
а следовательно, большой силы, действующей перпендикулярно оси
z. Ниже мы опиШем простейшую теоретическую модель, в которой
усредненная по времени сила, действующая на частицу в направле-
направлении, перпендикулярном оси z, никогда не будет велика. Этого мож-
можно добиться, выбирая большое магнитное поле в z-направлении. Та-
Такое поле вызывает ларморову прецессию магнитного момента,
вследствие которой усредненная по времени сила, действующая в
направлении, перпендикулярном оси z, мала, но не мала сама сила.
Упростим ситуацию, предположив, что магнитное поле не зави-
зависит от х2 (нет краевых эффектов); тогда соотношение A.49) прини-
принимает вид
dJ*± = - ?Ё± A.50)
д д
и уравнение Максвелла V х В = 0 сводится к
^^ ^1 ^1 A.51)
0,
дх3 дх2 дх{ дх2
дВ3 дВ^
A.52)
дхх дх3'
Магнитное поле, удовлетворяющее этим требованиям и приводя-
приводящее к A.16), должно иметь вид
В = (-Ьх, + Ф(х3))е1 + В2е2 + (Ьх3 + Ф(х1))е3, A.53)
где b > 0 и В2 — константы, a i/^) и ф(х1) — произвольные функ-
функции, удовлетворяющие только уравнению
) дф(х1) A 54.
A 54
дхг дх<
следующему из A.52). Выберем В2 = 0, ф(х1) - 0 и ф(хх) = Во, где
Во $> \Ьх,\ % |Ьх3|. A.55)
412 Глава XIII
Тем самым мы имеем магнитное поле с большой компонентой
вдоль оси z, неоднородное по осям х и z:
В = -Ьх,е, + (Во + Ьх3)е3. A.56)
В реальной экспериментальной установке поле будет, конечно, более
сложным.
Для электрона спин и магнитный момент связаны соотношени-
соотношением A.2), а гамильтониан записывается в виде A.5). Используя эти
формулы вместе с гейзенберговскими уравнениями движения
(XII. 1.24), получаем
Из этого уравнения и из коммутационных соотношений для Sj сле-
следует
— = -2/iBM х В. A.58)
Для статического магнитного поля уравнение A.58) имеет решение
М@ = М@) cos cot + В х М@) sin cot
+ В[В • М@)]A - cos cor), A.59)
где В = В/В, В = VB2, а ш = 2цвВ — ларморова частота. Это ре-
решение описывает прецессию М вокруг направления поля В; компо-
компонента вектора М вдоль В не меняется во времени.
Для магнитного поля A.56) с условием A.55) хорошее прибли-
приближение к решению A.58) имеет вид
М(г) = М@) cos cot + е3 х М@) sin cot
+ е3[е3 • М@)]A - cos cor) A.60)
с частотой
со = 2цвВ0. A.61)
В компонентах решение A.60) имеет вид
Mi(t) = M,@) cos cot - М2@) sin cor,
M2(t) = Mj@) sin cot + M2@) cos cor, A.60')
M3(r) = M3@);
оно описывает прецессию оператора магнитного момента М вокруг
z-оси е3 с частотой A.61); компонента Мъ не зависит от времени.
Вместо A.4) имеем теперь
t - М3В0 + M3bQ3, A.62)
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 413
а вместо A.12) для оператора силы —
^р = - 7[р(г)' ^м^ъ + 7[р@' ^з]м3ь. A.63)
Второй член в правой части такой же, как в выражении A.12), но
здесь мы имеем специальный случай, для которого
Поэтому среднее значение P3(t) дается формулой A.19).
Первый член в выражении A.63) приводит к появлению компо-
компоненты оператора силы вдоль оси х:
dt
= Mx(t)b = [М^О) cos cot - М2@) sin a>t~\b,
осциллирующей с частотой A.61). Хотя ее среднее значение может
быть того же порядка, что и A.17), при выполнении условия A.55)
она быстро осциллирует, а с ней и среднее значение P^t). Среднее
по времени от силы, а также импульса вдоль оси х равно нулю. В
эксперименте, когда проводится усреднение среднего значения по
конечному временному промежутку, отклонения компонент вдоль
оси х от нуля наблюдаться не будет.
В стандартном опыте Штерна — Герлаха1 > магнитное поле не
имеет идеализированного вида A.56), а обычно имеет следующий
вид:
В = В^ху, хэ)е, + (Во + Яз(*1, х3))е3,
где Bx(xv х3) и Въ(хх, хъ) удовлетворяют условиям A.50) и A.52), а
\ Во\ > \ВХ\ * \В2\. Очевидно, здесь применимы те же аргумен-
аргументы, что и выше, и для описания наблюдаемых эффектов достаточ-
достаточно гамильтониана A.4).
ХШ.2. СПИНОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В СИНГЛЕТНОМ
СОСТОЯНИИ
В предыдущем разделе мы обсуждали использование прибора
Штерна — Герлаха для измерения спиновых компонент одной си-
системы со спином 1/2. В частности, мы описали, как компонента
спина физической системы I (спиновые степени свободы
электрона — элементарный ротатор) может быть измерена путем
1) О других вариантах эксперимента Штерна — Герлаха см. статью [40].
414 Глава XIII
измерения координат физической системы II (движение центра масс
атома водорода), с которой связана система I. Система II исполь-
используется как вспомогательное устройство, позволяющее проводить
измерение компоненты спина системы I вдоль поля. Следователь-
Следовательно, мы можем рассматривать систему II и прибор Штерна — Гер-
лаха как устройство для измерения спиновых компонент системы I.
Пусть а — единичный вектор в направлении неоднородного маг-
магнитного поля. На рис. 1.1 вектор а = е3 направлен по оси z, но
можно выбрать любое направление, перпендикулярное пучку ча-
частиц. Тогда прибор Штерна — Герлаха измеряет компоненту спина
системы I вдоль вектора а, т. е. измеряет наблюдаемую a-S. Из-
Измеренное значение равно + 1/2 ( — 1/2), если система II отклоняется
"вниз" ("вверх") и фиксируется счетчиком в точке В+(В_) (см. рис.
1.1). Здесь более удобно рассматривать вместо a*S наблюдаемую
<i = 2a-S, B.1)
имеющую собственные значения ± 1 вместо ± 1/2. Обозначим
собственные векторы этой наблюдаемой \а ± ), где
<*|а±>= ±1|а±>. B.2)
В частности, собственные векторы I + > и I — > оператора S3 в
A.1) можно более подробно обозначить как 1е3 + > и 1е3 — >, так
что выражение A.1) запишется в виде
^з1вз±> = 2e3-S|e3±> = 2S,|e3±> = ±1|еэ±>. A.Г)
Вектор а можно получить из вектора е3 вращением, задавае-
задаваемым углом в и единичным вектором в, параллельным вектору
е3 х а, который определяет направление оси вращения. Тогда век-
векторы la ± > можно получить (с точностью до произвольного фа-
фазового множителя) из векторов I ± > е I e3 ± > путем отвечающе-
отвечающего этому вращению преобразования
где в = 00 и
Так как (см. задачу 1)
р — |в • S (-•/-»с т")О • С rin
*• — tUa ~ — IZSj Л э1П —.
2 2
имеем
|а±> = (cos-- /20 - S sin |j|± >.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 415
Таким образом, векторы la ± > представляют собой еще одну ба-
базисную систему в пространстве ,y?s=l/2; если базис I ± > был при-
применен для описания опыта Штерна — Герлаха с неоднородным
магнитным полем в направлении е3, то векторы la ± > представ-
представляют собой базис, удобный для описания опыта Штерна — Герла-
Герлаха с неоднородным магнитным полем в направлении а.
До сих пор мы обсуждали только измерение компонент спина
одночастичной системы. Рассмотрим теперь комбинацию двух раз-
различных систем со спином 1/2, каждой из которых отвечает про-
пространство &s=l/2. В соответствии с фундаментальным постулатом
IVa пространство состояний для этой комбинации спиновых степе-
степеней свободы обеих частиц (двух различных элементарных ротато-
ротаторов со спином 1/2) является пространством ^*=1/2 (g) ^^1/2. Мы
обсудим измерение в такой системе спиновых корреляций, т. е.
корреляций между определенными компонентами спина этих двух
частиц. Базисная система векторов для этого пространства имеет
вид
где обозначения A) и B) относятся к первой и второй частицам со-
соответственно, а индексы + или — относятся к г-компоненте спина,
как и в A.1). Вместо базисной системы B.3) мы можем также вы-
выбрать в обозначениях B.2) базисную систему
|B)b + >,
B.3')
с двумя произвольно выбранными, но фиксированными векторами
а и Ь.
Пусть S|a) — операторы спина частицы (а), действующие в про-
пространстве ^g172, а = 1 или 2. Наблюдаемая х компоненту
спина частицы A) вдоль а" тогда равна
2a-S(n®/Bl = <*<n®/<2), B.4)
а наблюдаемая х компоненту спина частицы B) вдоль Ь" равна
/A)® 2b-SB) = /A)®#B), B.5)
где /(») — единичный оператор в пространстве &sa=1/2. Наблюдае-
416 Глава XIII
мые B.4) и B.5) коммутируют1 \ а базисные векторы B.3') одно-
одновременно являются собственными векторами обеих наблюдаемых с
собственными значениями + 1 или — 1. Поскольку наблюдаемые
B.4) и B.5) коммутируют, они могут быть измерены одновремен-
одновременно. (Ниже мы обсудим, как реально осуществлять такие одновре-
одновременные измерения.) Возможные измеренные значения равны + 1
или — 1, например измерение наблюдаемой дО (g) /2> в четырех со-
состояниях B.3') всегда дает значения + 1, — 1, + 1и — 1, а одно-
одновременное измерение наблюдаемой /!) (g) ft® в тех же состояниях
дает значения + 1,— 1, — 1и+1 соответственно2*. Для таких од-
одновременных измерений спина мы можем дополнительно ввести
наблюдаемую спиновой корреляции. Измеренное значение этой
наблюдаемой в "едином" измерении обеих наблюдаемых ^ (g) Л2>
и /2) (g) jp* по определению равно произведению значений, изме-
измеренных для ^') (g) /2> и /!> (g) f& и, следовательно, равно + 1 или
— 1. Наблюдаемая спиновой корреляции математически описыва-
описывается оператором
<i<1»®^2» = 2a-SA)®2b-SB). B.6)
Базисные векторы B.3') являются также собственными векторами
оператора B.6); его собственные значения равны + 1 для двух пер-
первых и — 1 для двух последних базисных векторов B.3'). Эти
собственные значения в соответствии с введенным определением
совпадают со значениями наблюдаемой спиновой корреляции для
четырех состояний B.3').
Такие одновременные спиновые измерения на двухчастичных си-
системах осуществляются двумя приборами Штерна — Герлаха. Но
это возможно только в том случае, если две частицы в каждой па-
паре пространственно разделены и каждая частица движется вдоль
определенной фиксированной оси, как показано на рис. 2.1. Только
в этом случае два разных прибора Штерна — Герлаха могут быть
применены к изучению двух частиц A) и B) таким образом, что ор-
орбитальное движение каждой частицы (системы II по терминологии
!) На самом деле они являются полной системой коммутирующих наблюдаемых
в пространстве .#[,= 1/2 <g) #*2" 1/2.
2) Напомним, что, согласно разд. II.4, значение, полученное в единственном из-
измерении наблюдаемой на системе в любом состоянии всегда является одним из соб-
собственных значений соответствующего оператора. Если измерение проводится на си-
системе, описываемой собственным состоянием этого оператора, то измеренное значе-
значение всегда равно соответствующему собственному значению.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 417
В+\
(D
0-
B)
Рис. 2.1. Одновременное измерение спина на парах частиц A) + B); S — источник
частиц, В± — детекторы частиц, а и b обозначают направления магнитов
Штерна—Герлаха.
разд. XIII. 1) используется для спиновых измерений над этой части-
частицей (как это обсуждалось в разд. XIII. 1). Поэтому представим себе
источник частиц, испускающий пары частиц по одной паре, такой,
что частица A) всегда испускается налево, а частица B) всегда испу-
испускается направо1 К Тогда один прибор Штерна — Герлаха с неодно-
неоднородным магнитным полем вдоль некоторого направления а (пер-
(перпендикулярного пучку) может быть применен для исследования ле-
левого пучка, состоящего из частиц A), а другой прибор Штерна —
Герлаха с направлением поля b может быть использован для иссле-
исследования правого пучка частиц B) (рис. 2.1).
Каждый прибор Штерна — Герлаха имеет два счетчика, один — в
точке, аналогичной В+ на рис. 1.1, регистрирующий все частицы, от-
отклоненные против поля, направленного по а или b ("вниз"), и дру-
другой — в точке В_, который регистрирует все частицы, отклоненные
по полю ("вверх"). Тогда, например, щелчок в "верхнем" ("нижнем")
счетчике левого прибора Штерна — Герлаха означает, что измеренное
значение "компоненты спина" ф{1) (g)/B) частицы A) равно - 1( + 1J).
Подобным же образом правый прибор Штерна — Герлаха детектиру-
детектирует компоненту спина /!) (g) fl2) частиц B).
При одновременных измерениях обеих наблюдаемых ф1) (g) /2)
и р) (g) fP> на парах частиц четыре счетчика должны быть включе-
включены на совпадение. Поскольку частицы A) и B) испускаются источ-
источником попарно, две частицы из одной пары проходят через прибор
Штерна — Герлаха и появляются у двух из четырех счетчиков (по-
1) Мы предполагаем здесь, что частицы не являются тождественными. Если час-
частицы являются тождественными, мы придем к тем же результатам после несколько
более сложных вычислений.
2) Это имеет место только в том случае, когда магнитный момент и спин элек-
электрона антипараллельны; если это не так, два счетчика должны поменяться ролями.
В определение "компонент спина" в тексте включен множитель 2.
KW от
418 Глава XIII
чти) одновременно. Таким образом, например, одновременное сра-
срабатывание левого "нижнего" и правого "верхнего" счетчиков озна-
означает, что на паре частиц было осуществлено одновременное изме-
измерение frl) (g) f2) и fX) (g) ^B) с результатами + 1 и — 1 соответст-
соответственно. Значение наблюдаемой спиновой корреляции ^ (g) ^B) для
этой пары равно ( + 1)(— 1)= — 1. Такого рода измерения пов-
повторяются N раз (N > 1), и записываются следующие значения:
число N++ одновременных срабатываний левого "нижнего" и пра-
правого "нижнего" счетчиков, аналогичные значения N+ _, N_ +, N_ _,
равные числу одновременных срабатываний левого "нижнего" и
правого "верхнего", левого "верхнего" и правого "нижнего", левого
"верхнего" и правого "верхнего" счетчиков соответственно. Изме-
Измеренные средние значения наблюдаемых ftl) (g) №, /!) (g) #B),
flV (g) #<2> в этой серии из N экспериментов (мы обозначим их
£",(а), Е2ф) и £(а, b)) тогда равны
£1(a) = ^(JV++ +N+_ -N_+ -N__), B.7a)
E2(b) = ^(N++ -N+.+N.+ -N__), B.76)
£(a,b) = l(JV++ -N+_ -N_+ +N__); B.7b)
разумеется, N = N+ + + N+ _ + N_ + + N_ _.
По правилам квантовой механики эти измеренные средние зна-
значения должны совпадать со средними значениями соответствующих
наблюдаемых по стандартным спиновым состояниям пар частиц,
испущенных источником. Эти спиновые состояния зависят от при-
природы источника. Поскольку ,^1/2 (g) .^1/2 = &1 (g) ,^° (см. разд.
V.2), комбинация двух систем со спином 1/2 может иметь полный
спин 1 или полный спин 0. Мы предположим здесь, что пары ча-
частиц, испущенных источником, имеют полный спин 0 и, следова-
следовательно, находятся в синглетном состоянии (см. уравнение (XI. 1.18))
ф = 4=AA) + > ® 1B)-> - 1A)-> ® 1B) + ». B.8)
Источник, испускающий пары частиц, в этом спиновом состоянии
ф может содержать, например, большое число нестабильных соеди-
соединений (распадающихся состояний) частиц A) и B) с нулевым пол-
полным спином, приближенно находящихся в состоянии покоя. При
каждом распаде такого соединения появляются две частицы A) и
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 419
B), движущиеся в противоположных направлениях от точки, где
находилось соединение; но частицы по-прежнему находятся в об-
общем спиновом состоянии B.8). Поэтому, используя щели и фильт-
фильтры, можно выделить те частицы A), которые движутся в фиксиро-
фиксированном направлении (налево), и соответствующие им частицы B),
движущиеся в противоположном направлении, и получить пары ча-
частиц, обладающие требуемыми свойствами.
Непосредственное вычисление (задачи 2 и 3) дает средние значе-
значения трех рассмотренных выше наблюдаемых для конкретного спи-
спинового состояния B.8). В результате получаем
-0, B.96)
= -а • Ь. B.9в)
В соответствии с фундаментальным постулатом II это теоретиче-
теоретические квантовомеханические предсказания для средних по многим
индивидуальным измерениям B.7а) — B.7в).
Сравнивая B.9а) и B.7а), мы видим, что квантовая механика
предсказывает, что N++ + N+_ и N_+ + N__ (числа случаев,
когда спин частицы A) параллелен и антипараллелен вектору а со-
соответственно) будут равны для любого выбора а. Поскольку спи-
спиновое состояние ф вращательно-инвариантно, мы могли ожидать
такого результата. Те же аргументы применимы при сравнении
B.96) и B.76).
На первый взгляд результат B.9в) также не должен вызывать
удивления. Рассмотрим, например, случай а = b для ориентации
двух приборов Штерна — Герлаха; тогда B.9в) принимает вид
<^A>(х)^2»> = -1. B.10)
Сравнивая это выражение с B.7в) и вспоминая, что N =
= N+ + + N+ _ + N_ + + N_ __, мы видим, что квантовомеханиче-
ское предсказание Е(а, а) = — 1 означает, что должно иметь ме-
место равенство N++ = N__ = 0; т. е. если спин частицы A) обна-
обнаружен параллельным а, то спин сопутствующей частицы B), при-
принадлежащей к той же паре, не может быть параллелен а, а всегда
обнаруживается антипараллельным а, и наоборот. Короче: компо-
компоненты спина двух частиц вдоль произвольно выбранного направле-
направления а всегда противоположны друг другу. Этого мы также дол-
должны были интуитивно ожидать: поскольку каждая пара имеет пол-
полный спин нуль, спины частиц A) и B) должны всегда быть "анти-
420 Глава XIII
параллельными" друг другу. Однако более тщательный анализ
квантовомеханического предсказания B.9в) скоро приведет нас к не-
некоторым весьма интересным проблемам.
XIII.3. НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА, СКРЫТЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И
ПАРАДОКС ЭЙНШТЕЙНА — ПОДОЛЬСКОГО — РОЗЕНА
Согласно соотношению B.10), квантовая механика предсказывает,
что компоненты спина двух частиц A) и B) вдоль фиксированного
направления а всегда противоположны друг другу. Следовательно,
вместо прямого измерения наблюдаемой № (g) № на самой части-
частице A) можно с тем же успехом определить компоненту спина части-
частицы A) вдоль а, измеряя fil) (g) ёР> на частице B) и умножая резуль-
результат на — 1. Это косвенное "измерение" не влияет на частицу A), ко-
которая может быть на самом деле очень далеко от измерительного
прибора; несмотря на это, для нее при одновременном прямом из-
измерении наблюдаемой <fA> (g) /B) получится то же значение. В этой
связи кажется естественным представлять себе, что отдельно взя-
взятая частица A) каким-то образом не "приобретает" определенную
а-компоненту своего спина при измерении наблюдаемой <^!) (g) f2\
но уже "имеет" ее определенное значение + 1 или — 1 до всякого
измерения и независимо от него. Более того, направление а можно
выбрать произвольным, но перпендикулярным направлению пучка.
Следовательно, мы приходим к "естественному" предположению,
что до всякого измерения и независимо от него каждая частица A),
рассматриваемая отдельно, имеет определенное значение и(а) ком-
компоненты своего спина, равное + 1 или — 1, по крайней мере
вдоль всех возможных направлений а, перпендикулярных пучку 1\
Эти значения скорее выявляются, чем возникают при осуществле-
осуществлении реальных измерений спина. Их можно представить себе как
скрытые индексы, связанные с каждой частицей A), по одному
( + 1 или — 1) для каждого возможного направления вектора а. То
же относится, конечно, и к частицам B).
Без такого предположения кажется действительно очень трудно
понять идеальную антикорреляцию, предсказываемую соотношени-
соотношением B.10) для одновременных измерений наблюдаемых <^!) (g) /2) и
fl) (g) Ж2). В самом деле, если значение tfx) (g) f2) действительно не
определено до того, как было произведено прямое измерение на ча-
'' Внимательный читатель, возможно, уже заметил, что с точки зрения кванто-
квантовой механики эта гипотеза выглядит вовсе не так уж "естественно", поскольку она
одновременно приписывает фиксированные значения некоммутируюшим наблюдае-
наблюдаемым.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 421
стице A), кажется невозможным для частицы B) (она может быть
очень далеко) "узнать" об этом значении, чтобы иметь возмож-
возможность просто "выбрать" противоположное значение при измерении
на ней р) ® №. Поэтому мы примем сформулированную выше
гипотезу и используем ее для вывода простого неравенства. Но по-
потом окажется, что на практике это неравенство не выполняется!
Рассмотрим очень большое число N пар частиц в синглетном
спиновом состоянии B.8) и четыре произвольно выбранных направ-
направления а, Ь, С и d в плоскости, перпендикулярной двум пучкам ча-
частиц, испускаемым источником. Обозначим через уДа) и y,(d)
"скрытые" предопределенные значения компонент спина вдоль а и
d соответственно для частицы A) из /-й пары и через и>ДЬ) и
w((c) — "скрытые" значения компонент спина вдоль b и с соот-
соответственно для частицы B) из той же пары. Тогда, если одновре-
одновременно измерить для каждой из N пар компоненту спина частицы
A) вдоль а и компоненту спина частицы B) вдоль Ь, в результате
получим уДа) и w((b) для /-й пары, а среднее значение B.7в) равно
£(a>b) = i X itf«)w,(b). C.1)
/V 1 = 1
Однако для ориентации приборов Штерна — Герлаха можно было
бы выбрать другие направления, например d в левом и с в правом
пучке. Если повторить такой же эксперимент с теми же N парами
частиц, то в нем "обнаружились" бы для компонент спина вместо
уДа) и w,(b) значения y,(d) и w,(c), а наблюдаемая средняя корреля-
корреляция B.7в) имела бы вид
E^c) = l X>i(«l)w,(c). (З.Г)
•IV / = 1
Аналогичные выражения можно написать и для результатов
£(а, С) и £(d, b) двух других интересующих нас экспериментов с
теми же самыми N парами частиц1*. Понятно, что в действитель-
действительности может быть осуществлен только один из четырех альтерна-
альтернативных экспериментор на рассматриваемых парах частиц / = 1, ...,
N. Любое реальное экспериментальное определение четырех корре-
корреляционных средних £(а, Ь), £(а, с), £(d, b) и £(d, с) требует поэ-
поэтому (как минимум) четырех различных совокупностей пар частиц.
Но какой именно эксперимент проводить на данном наборе
частиц — этот вопрос решается произвольным образом.
1} Это "правило воспроизводимости", принятое в науке: если эксперимент по-
повторяется, то должен получиться тот же результат. (Мы пренебрегаем статистиче-
статистическими флуктуациями, что оправданно при больших N.)
422 Глава XIII
Кажется разумным предположить, что экспериментальное опре-
определение £(d, с) даст один и тот же результат независимо то то-
того, на каком из четырех наборов пар частиц проводить экспери-
эксперимент. В этом смысле £(а, Ь), ..., ЕF, с) — величины, характери-
характеризующие N пар частиц и их приготовление и не зависящие от того,
какой именно эксперимент проводится. В частности, если справед-
справедлива квантовая механика, как £(а, Ь) и £(d, с), определенные в
правых частях C.1) и C.1'), так и £(а, с) и £(d, b), представлен-
представленные так же, должны совпадать с соответствующим квантовомеха-
ническим предсказанием B.9в), т. е. должны быть равны — а-Ь,
— d-c, — аси — d b соответственно. Но мы пока не будем это-
этого предполагать, а рассмотрим непосредственно "эксперименталь-
"экспериментальные" результаты C.1), C.1') и две другие аналогичные формулы.
Мы хотим получить оценку величины £(а, Ь) + £(а, с) +
+ Е(<А, b) — £"(d, С). С этой целью покажем сначала, что
(Ь) - w;(c)) = ±2. C.2)
Поскольку величина и>; равна +1 или — 1, первая скобка равна
+ 2, 0 или — 2. Если первая скобка равна + 2 или — 2, то вторая
скобка равна 0, а если первая скобка равна 0, вторая скобка равна
+ 2 или — 2. Поскольку величина у( также равна + 1 или — 1, ле-
левая часть C.2) действительно равна + 2 или — 2. Поэтому сумми-
суммирование всех выражений C.2) по / = 1, ..., N дает число в интерва-
интервале от — 27V до + 2N, и разделив это число на TV, мы получаем
1 / \
N\Lv,*wi L bia w'c LVl Wl tl' H' /
<2. C.3)
Используя формулу C.1) и ее аналоги, выражение в левой части
легко записать в терминах Е(в, Ь), ..., Е(б, С), и неравенство C.3)
принимает вид
| £(а, Ь) + £(а, с) + £(d, b) - £(d, с) | < 2. C.4)
Это наиболее известное и наиболее полезное экспериментальное не-
неравенство из ряда подобных оценок, известных как неравенства
Белла [41]1).
Проверим теперь, удовлетворяет ли квантовомеханическое пред-
предсказание B.9в) для спинового состояния B.8)
£(а. b) = <<*(lt(g)^2t> = -a-b C.5)
!) Различные формы неравенств Белла обсуждаются в обзоре [42]. См. также
[43].
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 423
неравенству Белла C.4). Вычисляя левую часть C.4) с использова-
использованием C.5), получаем
|а • b + а • с + d • b - d • с| = а • (b + с) + d • (b - с)|
< |a||b + c| + |d||b -c|
= Jl + 2 cos ф + yjl - 2 cos ф,
где ф — угол между b и с (b-C = cos0). Последнее выражение име-
имеет максимальное значение 2V2 при ф = tt/2(cos0 = 0). Кроме того,
знак неравенства в предыдущем примере превращается в знак ра-
равенства для следующих двух случаев:
1)
2)
a,
a,
b н
b н
h С
h С
И
и
d,
d,
b
b
- с
— с
параллельны;
антипараллельны
Эти конфигурации направлений изображены на рис. 3.1.
Таким образом, для результатов Е(а, Ь) корреляционных изме-
измерений квантовая механика предсказывает неравенство
| £(а, Ь) + £(а, с) + £(d, b) - £(d, c)| < 2^2, C.6)
которое для двух конфигураций, представленных на рис. 3.1, прев-
превращается в равенство:
| £(а, Ь) + £(а, с) + £(d, b) - £(d, с) | = 2^2- C.7)
Последнее равенство, очевидно, противоречит неравенству Белла
C.4); на самом деле существует бесконечное число конфигураций
направлений а, Ь, с и d, для которых квантовомеханические пред-
предсказания не удовлетворяют условию C.4). (Это относится ко, всем
конфигурациям, достаточно "близким" к изображенным на рис.
3.1, для которых неравенство Белла нарушается максимальным об-
образом.) Неравенство Белла C.4) с одной стороны и квантовомеха-
ническое предсказание C.5) с другой — являются, таким образом,
несовместимыми друг с другом, и по крайней мере одно из них
должно быть неверным.
В этой ситуации лучше всего попробовать разрешить этот кон-
конфликт эмпирически. Необходимо просто провести эксперимент,
описанный в разд. XIII.2, четыре раза с приборами Штерна — Гер-
лаха, ориентированными, согласно одной из конфигураций на рис.
3.1, найти четыре средних £(а, Ь), ..., ЕF, С) экспериментально по
формуле B.7в) (заметим, что каждый из четырех экспериментов со-
состоит из многих экспериментов на совпадение для отдельных пар
частиц), подставить результаты в левую часть C.7) и посмотреть,
424
Глава XIII
Рис. 3.1. Конфигурации поля, для которых неравенства Белла нарушаются макси-
максимально.
будет ли результат меньше или равен 2, как в неравенстве C.4), или
равен 2V2 (конечно, в пределах ошибок эксперимента), как предска-
предсказывает квантовая механика. Но это нелегко реализовать на практи-
практике. Пары частиц со спином 1/2 в чисто синглетном состоянии труд-
трудно приготавливать. Кроме того, было показано, что вследствие со-
соотношений неопределенности приборы Штерна — Герлаха не рабо-
работают для заряженных частиц [44], так что необходимо использо-
использовать другие (возможно, менее точные) методы для спиновых изме-
измерений на парах заряженных частиц. Поэтому единственная провер-
проверка неравенств Белла, произведенная до сих пор, была осуществлена
для частиц со спином 1/2 (протонов) [45]. Результаты согласуются
с квантовой механикой и противоречат одному из неравенств Бел-
Белла, но проведение измерений потребовало привлечения дополни-
дополнительных гипотез, поэтому результаты не были достаточно точны-
точными, чтобы устранить все сомнения.
Гораздо более точные эксперименты можно осуществить с кор-
коррелированными фотонными парами, испускаемыми в двухступен-
двухступенчатых ("каскадных") переходах атомов из подходящего возбужден-
возбужденного состояния в основное. В этом случае рассмотренные выше
одновременные измерения спина должны быть заменены одновре-
одновременными измерениями поперечных линейных поляризаций двух ис-
испущенных фотонов вдоль произвольных направлений а и Ь. Для
фотонных пар, испущенных в каскадных переходах, эти поляриза-
поляризации коррелированы во многом аналогично тому, как коррелирова-
ны компоненты спина частиц со спином 1/2 в синглетном состоя-
состоянии B.8). "Естественная" гипотеза, аналогичная приведенной выше,
снова приводит к неравенству Белла C.4) для подходящим образом
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 425
определенных корреляционных средних Е(&, Ь), в то время как
квантовая механика опять дает менее ограничительную оценку
C.6). Но квантовомеханическое предсказание отличается от C.5),
поэтому конфигурации направлений а, Ь, с и d, для которых до-
достигается равенство C.7) и, следовательно, максимально нарушает-
нарушается неравенство Белла C.4), отличаются от изображенных на рис.
3.1. Результаты последних экспериментов такого типа [46, 47] на-
находятся в прекрасном согласии с предсказаниями квантовой меха-
механики, доказывая таким образом, что неравенство Белла C.4) в при-
природе не соблюдается. Вынужденные к тому недвусмысленным вер-
вердиктом, вынесенным против C.4), мы должны отвергнуть "естест-
"естественную" на первый взгляд гипотезу, руководствуясь которой был
получен неверный результат C.4). Мы должны понять, что было
неправильно предполагать, что частица может одновременно
"иметь" фиксированные компоненты спина по различным направ-
направлениям независимо от того, измерялись ли они или нет. Значение
компоненты спина, которое не было измерено, не просто
неизвестно — оно не существует. Воображаемые эксперименты не
имеют никаких результатов, даже воображаемых1 \
Возвращаясь к уравнению C.2), которое было решающим ша-
шагом на пути к доказательству неравенства C.4), мы видим, что оно
действительно содержит значения компонент спина уДа) и t»((d)
(или w((b) и w((c)), которые не измерялись одновременно на одной
и той же /-й паре, а только воображались одновременно присутствую-
присутствующими, основываясь на нашей "естественной" гипотезе. Единствен-
Единственным способом избежать дурной неизбежности следования из C.2)
неравенства C.4) является допущение, что некоторые из уравнений
C.2) не имеют смысл. Если у,(а) и w,(b) — действительно изме-
измеренные величины, то выражение C.1) является правильной форму-
формулой для корреляционных средних, измеренных в реальном экспери-
эксперименте. Но тогда величины и((б) и и>Дс) просто не существуют, и
уравнение C.1') совершенно бессмысленно. Реальное эксперимен-
экспериментальное значение £(d, С), используемое при проверке неравенства
C.4), включает данные о частицах, принадлежащих к разным па-
парам, и C.1') надо заменить выражением
) = i £>*(<*К(с) C.1")
м
1) "Никакое элементарное квантовое явление не существует, пока оно не стало
наблюдаемым явлением" (Дж. А. Уилер).
426 Глава XIII
с измеренными значениями vaF) и wa(c), где индекс а нумерует
различные наборы пар. Но вывести неравенство Белла из C.1),
C.1") и двух аналогичных выражений для £(а, с) и E(d, Ь) невоз-
невозможно.
Гипотеза от том, что две частицы со спином 1/2 "имеют" опре-
определенные спиновые компоненты уДа) и w((b), кажется естественной
только с классической точки зрения, когда можно визуализировать
пару как состоящую из двух отдельных частиц. Но квантовомеха-
нический вектор состояния ф B.8) не описывает состояния с выде-
выделяемыми одночастичными свойствами. Такие состояния описыва-
описывались бы базисными векторами B.3) или B.3'), которые, однако, не
являются собственными векторами оператора (SA) + S^J, т. е. не
имеют хорошо определенного полного спина. Состояние ф описы-
описывает новый единый объект — неделимое целое, для которого со-
составляющие частицы A) и B) невыделимы до тех пор, пока измере-
измерение не приготовит состояния прямого произведения B.3') (или их
смесь). Как состояние с полным спином нуль состояние ф не имеет
одночастичных свойств, а как чистое состояние оно не может быть
разделено даже мысленно.
В квантовой механике из-за наличия принципа суперпозиции
можно получать новые состояния для комбинации двух подсистем
(фундаментальный постулат Па), которые уже не имеют одноча-
одночастичных свойств составляющих, проявляющихся, например, в со-
состояниях прямого произведения B.3'). Эти состояния прямого про-
произведения также существуют, но кроме них может существовать
множество линейных комбинаций, примером которых является со-
состояние ф.
В классической физике строительным материалом для сложных
систем служат их составляющие. В квантовой физике строитель-
строительный материал — подпространства пространства физических состоя-
состояний ("гильбертова пространства"). Это могут быть подпространст-
подпространства различных типов, а не только одномерные подпространства, по-
порожденные векторами прямого произведения состояний составляю-
составляющих. Состояние ф — одно из многих возможных таких состояний.
ИСТОРИЧЕСКОЕ ПРИМЕЧАНИЕ
Неправильность следствий, таких как C.4), из на первый взгляд
"очевидных" идей является одной из многих "противоречащих ин-
интуиции" особенностей квантовой механики. Эти особенности за-
затруднили для многих физиков, воспитанных в классических тради-
традициях, принятие интерпретации квантовой механики, развитой в
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 427
конце 20-х и начале 30-х годов. Особенно знамениты аргументы,
выдвинутые в статье Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР) в
1935 г., которые рассматривали по существу тот же "парадокс",
который обсуждался выше. Они рассматривали пару точечных ча-
частиц с координатами (для простоты одномерными) л-, и х2 в (не-
(несобственном) состоянии </>, описываемом волновой функцией
<х,х2|0> = <5(х, - х2 -а). C.8)
Представлением этого состояния ф в импульсном пространстве яв-
является фурье-образ функции C.8) (см. (II.7.49))
= e'l2npi-pi)aS(Pl + р2). C.9)
Согласно C.8), одновременные измерения координат Qx и Q2 двух
частиц всегда дают два значения х1 и х2, связанные соотношением
х] = х2 + а, и, согласно C.9), одновременные измерения импуль-
импульсов Рх и Р2 всегда дают два значения рх и р2, причем рх = — р2.
Таким образом, либо координата jc,, либо импульс рх частицы A)
могут быть найдены при соответствующем измерении координаты
или импульса частицы B).
Хотя эти два измерения над частицей B) не могут быть произ-
произведены одновременно, ни одно из них не затрагивает непосредст-
непосредственно частицы A). Отсюда ЭПР заключает — как сделали и мы в
аналогичном случае для спиновых измерений, — что такие измере-
измерения не могут "создавать" измеренные значения величин хх и рх, а
только "выявляют" их. Отсюда следует, что как координата, так и
импульс частицы A) в каком-то смысле "физически реальны" и не
зависят от того, проводится ли на самом деле их измерение. Вмес-
Вместе с тем, согласно принципу неопределенности, квантовая механика
не может одновременно приписывать частице определенные значе-
значения координаты и импульса! Из этого примера ЭПР заключили,
что квантовая механика не дает полного описания физической ре-
реальности.
Бор в своем ответе, опубликованном позднее, в 1935 г., пытался
защртить квантовую механику от этой критики, но, очевидно, всех
не убедил. С тех пор и до совсем недавнего времени некоторые фи-
физики занимались поиском теорий "более полных", чем квантовая
механика, в следующем смысле. Предположим, что существует бо-
более точное определение состояний микросистемы в терминах до-
дополнительных "скрытых" переменных такое, что в новых "микро-
428 Глава XIII
состояниях" с фиксированными значениями скрытых переменных
все наблюдаемые одновременно имеют фиксированные значения.
Следовательно, для этих микросостояний соотношения неопреде-
неопределенностей квантовой механики не справедливы. С другой стороны,
соотношения неопределенностей квантовой механики выполняются
даже для чистого квантового состояния (см. гл. II). Поэтому в
этой новой теории, чистое состояние квантовой механики интерпре-
интерпретируется как смесь более точно определенных микросостояний сис-
системы. Тогда любые неопределенности результатов измерений для
индивидуальной системы в заданном чистом квантовом состоянии
являются просто результатом незнания нами "истинного" микро-
микросостояния рассматриваемой системы, которое может быть любым
из микросостояний, смешанных в чистом квантовом состоянии. Та-
Такова неопределенность в классической физике, которая происходит
от недостаточного знания и в принципе может быть преодолена;
это знакомо по классической статистической механике. Таким об-
образом, новая квантовомеханическая неопределенность "невозмож-
"невозможности узнать" в теории со скрытыми переменными преобразуется в
более привычную неопределенность "незнания в данный момент".
Подготавливая обзорную статью о теориях со скрытыми пере-
переменными, Белл в 1964 г. обнаружил, что такие теории почти неиз-
неизбежно приводят к некоторым ограничениям — известным теперь
как неравенства Белла, — которые не выполняются в квантовой
механике. На самом деле в приведенном выше выводе частного
примера неравенств Белла C.4) не используется практически ниче-
ничего, кроме гипотезы, что "в действительности" некоторые компо-
компоненты спина одной частицы со спином 1/2 независимо от того, из-
измеряются они или нет, имеют фиксированные значения. Эта гипо-
гипотеза непосредственно следует из предположения, что скрытые пере-
переменные, понимаемые в указанном выше смысле, существуют не-
независимо от дополнительных деталей теории1 К
Неравенства Белла были решающим шагом на пути к устране-
устранению противоречия. Они перенесли вопрос о скрытых переменных
из области чистой теории в сферу экспериментально проверяемых
предложений. Они также дали возможность опровергнуть кванто-
'* Но мы дополнительно предположили, что "скрытые" спиновые компоненты
частицы (I) не затрагиваются спиновыми измерениями над частицей B) и наоборот.
Теории со скрытыми переменными, обладающие этим свойством, называются ло-
локальными. Неравенства Белла могут быть выведены только для локальных теорий
со скрытыми переменными.
Некоторые фундаментальные свойства квантовой механики 429
вую механику. Если бы экспериментальные данные удовлетворяли
неравенствам Белла, а не предсказаниям квантовой механики, то
квантовая механика оказалась бы не только неполной (как полагали
Эйнштейн и его соавторы), но даже неверной. Подтвердив предска-
предсказания квантовой механики, критические эксперименты, однако, не
только свидетельствовали в пользу квантовой механики, но также
раз и навсегда отвергли целый класс локальных теорий со скрыты-
скрытыми переменными.
Глава XIV
Переходы в квантовофизических системах —
сечения
Это фундаментальная глава по теории рассеяния. В ней вводится
понятие вероятностей перехода, и из основных предположений
квантовой механики выводятся общие формулы для сечений.
В разд. XIV.2 получена общая формула для интенсивности перехо-
перехода, которая используется затем в разд. XIV.5 для вывода формулы
для сечения и в гл. XXI для вычисления скорости распада. В
разд. XIV.3 вводится понятие сечения, а в разд. XIV.4 дается крат-
краткое описание различных способов связать сечения с фундаменталь-
фундаментальными физическими наблюдаемыми. Основной раздел этой главы —
разд. XIV.5, где выводятся формулы сечений для весьма общих фи-
физических ситуаций. В конце разд. XIV.5 физическое состояние систе-
системы с рассеянием еще более уточняется и выводятся хорошо извест-
известные выражения для сечений. При поверхностном изучении мате-
материала данной главы можно опустить частично разд. XIV.2 и
разд. XIV.5. С этой целью мы обсуждаем отдельные результаты
разд. XIV.5 в конце разд. XIV.4.
XIV. 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы приведем некоторые сведения, которые будут ис-
использоваться в последующих главах для описания процессов столк-
столкновения и распада, выведем формулу для вероятности перехода,
введем понятие интенсивности перехода и затем определим сечение
и запишем формулу, связывающую его с вероятностью перехода.
Общая ситуация, которую мы будем описывать и для которой
процессы столкновения и распада являются только двумя частны-
частными случаями, — это временная эволюция нестационарного состоя-
состояния W(t). Мы будем использовать фундаментальные аксиомы
квантовой механики, в частности аксиому V. Сделаем дальнейшее
упрощающее предположение, что генератор Н временных трансля-
трансляций может быть разбит на две части:
Я = К + V, A.1)
где К — оператор энергии изолированной физической системы со
стационарными состояниями, который предполагается хорошо
Переходы в квантовофизических системах — сечения 431
определенным. Это означает, что имеет смысл рассматривать
приближенное описание физической системы как стационарной си-
системы. Существует много примеров ситуаций, в которых это воз-
возможно. Так, К может быть оператором энергии атома или молеку-
молекулы. При приближенном описании состояния, отвечающие энергети-
энергетическому уровню, стационарны, но в действительности они квази-
стационарны и распадаются с переходом в основное состояние.
В этом случае переход вызывается оператором V = Н — К. Дру-
Другой пример — комбинация двух физических систем, которые могут
быть далеко разнесены в пространстве, — ситуация, обычно встре-
встречающаяся в процессах столкновения. Если они далеко разнесены,
оператором энергии объединенной системы является К, а оператор
V = Н — К, описывающий взаимодействие между двумя подсисте-
подсистемами, имеет конечный радиус действия1).
Предполагается, что наблюдаемые, измеряемые в этих процес-
процессах, коммутируют с оператором К. Например, детектор может ре-
регистрировать все атомы в основном состоянии, которые первона-
первоначально находились в возбужденных состояниях (например, регист-
регистрируя испущенный свет с определенной частотой). При этом изме-
измеряемая наблюдаемая — проекционный оператор на подпростран-
подпространство пространства физических состояний, относящихся к основным
состояниям атомов, т. е. измеряемая наблюдаемая — свойство
атомов находиться в основном состоянии (см. разд. II.4). В другом
примере экспериментов на столкновение детектор помещается дале-
далеко от мишени, поэтому он детектирует собственные состояния или
смеси собственных состояний оператора К. Свойство В, измеряе-
измеряемое детектором, описывается проекционным оператором Лв, кото-
который проектирует на (вообще говоря, непрерывную) дискретную
сумму энергетических собственных пространств К. Обычно В —
несколько более специфическое свойство. Например, детекторы мо-
могут быть размещены не всюду вокруг мишени, а только под опре-
определенным углом. Тогда оператор Лв — проекционный оператор на
то конкретное подпространство в упомянутой прямой сумме, кото-
которое содержит состояния, отвечающие векторам импульса, направ-
направленным в пределах данного телесного угла.
Таким образом, мы будем обсуждать (в картине Шредингера)
следующую задачу. Состояние W(i) эволюционирует во времени по
закону
W(t) = e-iH4bWe + iH4b (И/ = щО)у A.2)
1) Необходимо заметить, что предположение A.1) в действительности не являет-
является необходимым для описания процесса столкновения; достаточно предположить
лишь, что существуют асимптотические состояния прямого произведения.
432 Глава XIV
Каково среднее значение наблюдаемой Л(т. е. какова вероятность
измерить свойство Л), для которой
[Л, К] = 0? A.3)
Задача часто интерпретируется как переход между разными стацио-
стационарными состояниями физической системы, вызванный взаимо-
взаимодействием V. Это основывается на предполагаемом существовании
собственного состояния Win(t = — оо) оператора К в удаленном
прошлом и собственного состояния W0M(t = +00) оператора А" в
отдаленном будущем, которое равно или содержит Л.
XIV.2. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА И
ИНТЕНСИВНОСТИ ПЕРЕХОДА
Обозначим состояние физической системы через W, а измеряемую
наблюдаемую — через Л. Тогда в соответствии с фундаменталь-
фундаментальным предположением II среднее значение наблюдаемой <Л> равно
<Л>=Тг(ЛИО. B.1)
Поскольку Л — проектор, <Л> равно вероятности того, что систе-
система находится в подпространстве АЖ Среднее значение <Л> назы-
называется вероятностью перехода в состояние Л.
Вероятность перехода является функцией времени. В начале про-
процесса <Л> в общем случае равно нулю и растет со временем. Из ре-
результатов гл. XII следует, что эта временная зависимость может
быть описана в разных картинах. Мы сначала используем картину
Шредингера, "поскольку она лучше всего соответствует нашему ин-
интуитивному пониманию эксперимента по рассеянию с пульсирую-
пульсирующим пучком или процесса распада. В картине Шредингера ансамбль
физических систем описывается зависящим от времени статистиче-
статистическим оператором Щ(), который описывает пучок, движущийся по
направлению к детектору, или возбужденное состояние атома, рас-
распадающегося с переходом в основное состояние.
Наблюдаемая Л, представляющая прибор, не зависит от време-
времени. (Мы предполагаем, что Л не зависит явно от времени
(dA/dt = 0), т. е. прибор не подвергается воздействиям иввне, по-
после того как эксперимент по рассеянию начался.) Таким образом,
вероятность перехода равна
<Л>, = Тг(ЛИ/@), B.2)
где
W{t) = V\t)WU(t) (W =
Переходы в квантовофизических системах — сечения 433
состояние W — это состояние системы в некоторый удобным об-
образом выбранный момент времени, для которого мы положим
t = 0, a U(t) = eiHt/ft — оператор эволюции из гл. XII.
Интенсивность перехода определяется как скорость изменения
вероятности перехода со временем: d(A)t/dt. Дифференцируя вы-
выражение B.2) и используя (XII. 1.33), находим
jt <Л>, = Тг(л ^Ш\ = -/ Тг(Л[Я, W(r)]). B.3)
Подставляя Н = К + V в выражение B.3), получаем
<Л>, = -I Тг(Л[К, W(t)-]) - i Тг(Л[К, W(t)-])- B.4)
Легко показать, используя A.3), что второй член в выражении B.4)
равен нулю:
Тг(Л[К, W(t)]) = Тг(Л[^, W(tJ] + IK, A]W(t))
= Tr(AKW(t) - AW(t)K + KAW{t) - AKW{t))
= -Tr(AW(t)K) + Tr(KAW(t)) = 0.
Пусть ( \b)\ — базис в пространстве AJf, на которое проецирует
Л. Тогда
Tr(AW(t)V) = X (b\W(t)V\b) = X (b\VW(t)\b)*
ь ь
= (Tr(AV W(t)))*.
Следовательно, правая часть B.4) может быть переписана в виде
<L 1(Тг(ЛКИ/(г)))*. B.5)
at
Но /(а* - а) = 21та, следовательно1*
йт<Л>г = 2 1тТг(ЛКИ/(г)). B.6)
at
Чтобы выразить вероятность перехода в более удобной форме,
воспользуемся базисом обобщенных собственных векторов К и И:
!) Мы используем систему единиц, в которой Л = 1, и лишь в наиболее важных
формулах восстанавливаем Л.
434 Глава XIV
К\а} = Еа\а\ B.7а)
Н\а±> = Еа\а±>. B.76)
Напомним, что обобщенные собственные векторы la*) оператора
Н связаны с обобщенными собственными векторами I а) операто-
оператора К уравнением Липпмана — Швингера (VIII.2.7'):
Ю = И + 1-~— У\а+-У. B.8)
Еа — К ± iO
При необходимости мы будем выписывать индексы у векторов I а)
и I а± > более подробно:
а) \а) = \Еаа) и б) |я±> = ^я1),
где а = (я,, а2, ..., ак) — индексы, которые в дополнение к энергии
классифицируют обобщенные векторы. Эти индексы (квантовые
числа) являются собственными значениями дополнительных опера-
операторов Ах, А2, ..., Ак, которые вместе с К образуют п.с.к.о. Напри-
Например, набор а может включать квантовые числа углового момента /
и /3 наряду с другими внутренними квантовыми числами rj; набор а
может содержать направление p/l pi вектора р вместе с остальны-
остальными квантовыми числами щ. Если операторы ЛД/ = 1, 2, ..., к) все
коммутируют с Н, то IEqU*) — обобщенные собственные векто-
векторы п.с.к.о. { Н, А{, ..., Ак }; в других случаях дополнительные ин-
индексы а служат лишь напоминанием о том, что вектор \Еаа±)
получен из I Еаа) с помощью уравнения Липпмана — Швингера, а
не означают, что I Еаа± > является собственным вектором всех А{
(дальнейшие подробности см. в разд. XV. 1).
Мы предположим, что собственные векторы I а) оператора К
нормированы условием
(а\а) = (Еаа\Еа.а'У = р{ЕаУ16Ы1.д{Еа - ЕЛ B.9а)
(Здесь р(Еа) — произвольная, но фиксированная, весовая функция1*;
удобный выбор р{Еа) будет сделан ниже.) С такой нормировкой
суммирование X а является сокращенной записью и обозначает
= Гр(£„) «/£„£. B.10)
J а
!) Для обобщенных собственных векторов энергии IE) она играет ту же роль,
что и р(х)~1 для обобщенных векторов \х\ в A.4.14) и A.4.7в ).
Переходы в квантовофизических системах — сечения 435
Обобщенные собственные векторы I а ± > оператора Н имеют та-
такую же нормировку
*} = <£ea± |£e.af±> = р(ЕаГ x6ah.5{Ea - £в.), B.96)
как соответствующие обобщенные собственные векторы \а) опера-
оператора К. Вывод B.96) из B.9а) дан в приложении XV.А.
В общем случае спектры К и Н не одинаковы. Обычно К обла-
обладает только непрерывным спектром { Еа) , начинающимся с опреде-
определенного значения, например Е = 0, и простирающимся до беско-
бесконечности. Но спектр { EJ оператора Н является комбинацией не-
непрерывного спектра {EJ , который обычно совпадает с непрерыв-
непрерывным спектром оператора К, и дискретного спектра [Еп] , который
может быть отрицательным, но ограничен снизу. Непрерывному
спектру физически отвечают состояния рассеяния, а дискретному
спектру — связанные состояния налетающей частицы и мишени.
Могут встретиться и дискретные уровни в непрерывном спектре,
но по физическим причинам собственные значения энергии не могут
быть произвольно большими, в частности не могут быть произ-
произвольно большими и отрицательными. Таким образом, мы можем
выбрать обобщенные собственные векторы оператора К
в качестве базиса для пространства физических состояний или мо-
можем выбрать в качестве базиса набор
дискретных собственных векторов I ап > и обобщенных собственных
векторов I а± > оператора Н. Свойство полноты этих базисов мо-
может быть выражено соотношениями
\, B.11a)
±\ + Y.^n)^n\- B-116)
След, возникающий в правой части B.6), может быть теперь за-
записан в виде
Ь х
436 Глава XIV
Используя временную эволюцию W(t) A.2) в картине Шредингера и
подставляя еще один полный набор собственных векторов 1а'>
оператора Н, получаем
Tr(\VW(t)) = £
Ь
B.12)
Предположим, что оператор Р имеет дискретные собственные зна-
значения, отвечающие связанным состояниям law>. Так как связанные
состояния не могут возникнуть в результате эволюции свободных
состояний, мы предположим, что связанные состояния не дают
вклада в W; математически это предположение выражается соот-
соотношением
<а|И/|а;> = 0. B.13)
Следовательно, мы можем ограничить суммирование по а и а' не-
непрерывным спектром Н.
Поскольку [Л, К] = 0, базис { \Ь)} подпространства Л Ж мож-
можно выбрать состоящим из обобщенных собственных векторов опе-
оператора К:
K\b) = Eb\b) (\b) = \Ebb)). B.14)
Если мы возьмем скалярное произведение уравнения Липпма-
на—Швингера B.8) с \Ь), используя B.14), получим
= (a'\b)+ hm (ar±\V\by- \r-=~r- BЛ5±)
Воспользовавшись B.15+I) в B.12), получаем
Tr(AVW(t)) = ££е-«Е.-Е*»Ш1°:><а№Ь> (а+\\У\сГу + II.
Ь аа' Еа' — Еь — Ю
B.16)
1) То, что более естественно выбрать е — 0+, а не е — 0-, можно видеть в
разд. XV.3, где детально обсуждается значение выбора е — 0+. Вместе с тем вывод
мог бы с тем же успехом продолжаться и с B.15) и привел бы к тем же результа-
результатам.
Переходы в квантовофизических системах — сечения 437
где
W\a'+). B.17)
Ь аа'
В приложении XV.А мы покажем, что второй член II равен нулю;
здесь мы удовлетворимся интуитивными аргументами. Множитель
(а'\Ь) во втором члене описывает не переход, а вероятность наб-
наблюдения конфигурации в начальном состоянии. Но в эксперименте
по рассеянию (кроме экспериментов с поглощением, в которых < Л>
непосредственно не измеряется) детекторы помещаются под углом
к направлению исходного пучка, так что они не забиваются исход-
исходным пучком. Тогда если IЕАЛ > = IA > обозначает любой из векто-
векторов, появляющихся в начальном состоянии W = £ wA IА > (А I, то
\А) ё AJfn член II не дает вклада в вероятность наблюдения Л1*.
Интенсивность перехода получается теперь подстановкой перво-
первого члена из B.16) в B.5). Используя свойства эрмитовости
(a+\W\a' + y* = <а'+ \W\a + } , (b\ V\a+y = (а+ \ V\b}
операторов W и V и меняя местами индексы суммирования а и а'
во втором члене, возникающем из B.5), получаем
a'+\V\by(a+\W\a' + y
B.18)
Еа. - Еь- 70 Еа - Еь + Ю
Последний результат мы используем как в разд. XIV.5 при вычис-
вычислении сечения, так и в разд. XXI.2 при вычислении скорости распа-
распада.
XIV.3. СЕЧЕНИЯ
В эксперименте по рассеянию пучок направляют на небольшую ми-
мишень. Детектор располагают на большом расстоянии от мишени и
под (ненулевым) углом П = (в, ф) относительно исходного пучка.
В классической физике этот пучок может быть пучком частиц
или световым пучком. Например, для случая рассеяния частиц пу-
!) Заметим, что член II происходит из первого члена в уравнении
Липпмана—Швингера.
438 Глава XIV
чок из 7Удчастиц типа В массой тв и со скоростью v0 в течение
времени At падает на мишень, состоящую из NT частиц массой
тТ. Число частиц, рассеянных и достигших детектора за одну се-
секунду, N/ At — скорость счета, пропорциональная как числу частиц
мишени NT, так и падающему потоку (т. е. числу частиц, проходя-
проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикуляр-
перпендикулярную v0). Падающий поток равен
/V'o, C.1)
где рв — плотность частиц пучка. Таким образом, скорость счета
N/At равна
N/At = <jNtPbv0, C.2)
где константа пропорциональности а называется сечением. Таким
образом, сечение рассеяния частиц на частицах определяется фор-
формулой
^ C.3)
Оно имеет размерность площади. (Если мишень не находится в со-
состоянии покоя, то вместо v0 в формуле C.2) необходимо использо-
использовать относительную скорость v = I v0 — vT\.)
Сечения обычно измеряют в барнах A6= 104 см2), милли-
барнах A мб = 10~27 см2) или в микробарнах A мкб = 10~30 см2).
Понять на интуитивном уровне определение сечения а C.3) можно
путем следующих рассуждений. Число частиц N/At, достигающих
детектора в единицу времени, равно числу частиц pB(Az/At)а, про-
проходящих в единицу времени через объем Azo, умноженному на чис-
число частиц мишени NT:
Таким образом, а — это площадь поверхности, перпендикулярной
к падающему пучку, образованная частицами мишени. Насколько
велика область, в которой частицы мишени влияют на частицы
пучка, зависит, конечно, от природы всех этих частиц, в частности
от их взаимодействия. Но порядок величины а грубо определяется
«размером» частицы или радиусом ее взаимодействия. Поэтому
типичные сечения взаимодействия для сильно взаимодействующих
частиц порядка миллибарнов или микробарнов, а сечения в атом-
атомной физике (сечения упругого рассеяния) порядка 10~16 см2.
Различные типы сечений имеют разные названия. Если детектор
Переходы в квантовофизических системах — сечения 439
Детектор
(пучок)
Мишень
Рис. 3.1. Схематическое изображение эксперимента по рассеянию.
регистрирует все частицы нового типа, которые вылетают из обла-
области мишени во всех направлених, то а называют сечением рожде-
рождения. Если детектор регистрирует частицы начального типа В после
того, как они покидают область мишени, то сечение называют се-
сечением рассеяния. В частности, а называют полным сечением рас-
рассеяния, если детектор регистрирует все частицы В, покинувшие об-
область мишени, независимо от того, в каком направлении вылетают
частицы. Дифференциальное сечение do возникает в том случае, ес-
если регистрируются только те dN частиц, которые вылетают в пре-
пределах некоторого конуса с телесным углом (бесконечно малым)
dU = sm6d6d<t> (рис. 3.1):
dN/At do dN I/At „ .,
da или — = — —'- . C.4)
du dQ. pBNTv0
Другим примером эксперимента по рассеянию в классической
физике является рассеяние светового пучка на препятствии (мише-
(мишени). Детектор, расположенный вне падающего пучка на расстоя-
расстоянии, большом по сравнению с длиной волны света и размерами
препятствия, измеряет поток, рассеянный в данном направлении.
Отношение дифференциальной рассеянной мощности на единичную
площадку dlscat к исходной мощности на единицу площади (потоку)
/incid есть дифференциальное сечение
da = р±. C.5)
1 incid
В квантовой физике «пучок» представляет собой пучок кванто-
вофизических систем, а измеряемыми величинами являются вероят-
вероятности. Детектор измеряет вероятность перехода из начального со-
состояния. Эта вероятность перехода пропорциональна вероятности
того, что до столкновения частица пройдет через поверхность еди-
единичной площади, перпендикулярную начальной скорости. Констан-
Константа пропорциональности есть квантовомеханическое сечение:
440 Глава XIV
вероятность перехода /*> /г\
о = . C.0)
исходная вероятность на единицу площади
Как и в классическом случае, существуют различные типы сечений.
Если детектор регистрирует все состояния, возникающие при взаи-
взаимодействии с мишенью, то а есть полное сечение. Если детектор
регистрирует только подмножество состояний (например, только
состояния В), то а = аВА называется парциальным сечением. Та-
Таким образом,
вероятность перехода из состояния А в состояние В /-> п\
аВА = . {$.1)
исходная вероятность на единицу площади
Предположим, что В — свойство импульса частицы быть направ-
направленным в некоторый^конус с телесным углом dU вокруг направле-
направления U = (в, ф), тогда
(вероятность перехода из состояния А во все состояния
с вектором импульса, направленным в dQ) ,-, оч
dCnA = ' <3-8)
исходная вероятность на единицу площади
или чаще daQA/dU, называется дифференциальным сечением.
В типичном эксперименте по рассеянию налетающая частица
выбирается настолько бесструктурной, насколько это возможно
(например, электрон), в то время как мишень состоит из более
сложных объектов (например, из атомов). Тогда эксперименталь-
экспериментальные сечения дают информацию о структуре частиц мишени. Столк-
Столкновение частицы с мишенью может быть упругим, как в том слу-
случае, когда энергия налетающей частицы меньше, чем разность
уровней энергии мишени, или неупругим, как в том случае, когда
энергетический уровень мишени изменяется в процессе столкнове-
столкновения. Чтобы фиксировать терминологию, мы будем использовать
термин «полное сечение столкновения» для сечения столкновения а
с учетом как упругих, так и неупругих процессов. Сечение <relas для
всех упругих столкновений называется полным упругим сечением, в
то время как сечение av неупругого столкновения с переходом на
т/-й энергетический уровень называет полным неупругим парциаль-
парциальным сечением для г\-го уровня. Полное неупругое сечение равно
£ ч av. Полное сечение а является тогда суммой полного упругого и
полного неупругого сечений:
<* = ffelas + I V C.9)
Переходы в квантовофизических системах — сечения 441
Соответствующие обозначения используются и для дифференциаль-
дифференциальных сечений
XIV.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМИ
ФИЗИЧЕСКИМИ НАБЛЮДАЕМЫМИ
Сечения являются наблюдаемыми величинами. В принципе их изме-
измерение следует из определения, данного в предыдущем разделе, в
терминах скоростей счета и потока1). Сечения связаны с фундамен-
фундаментальными наблюдаемыми, описывающими структуру физической
системы, состоящей из комбинации налетающей частицы и мише-
мишени. Мы установим теперь связь между сечениями и этими кванто-
вомеханическими наблюдаемыми.
Если теория физической системы (т. е. математическая структу-
структура, описывающая систему) известна, то можно выразить сечения
через известные фундаментальные наблюдаемые и предсказать ре-
результаты эксперимента по столкновению. Чаще физик сталкивается
с другой ситуацией, когда сечения измерены экспериментально, и,
исходя из этой информации, делаются предположения о том, како-
каковы фундаментальные наблюдаемые, каковы их свойства и какая
математическая структура описывает эти свойства наилучшим об-
образом. Задача является менее сложной, когда одна из сталкиваю-
сталкивающихся подсистем (налетающая частица) имеет известную структу-
структуру, по возможности простую. Такая налетающая частица использу-
используется для исследования структуры мишени и получения информации
для построения теоретической модели мишени. В качестве приме-
примеров приведем электроны как налетающие частицы и атомы или мо-
молекулы как мишени, протоны как налетающие частицы и ядра как
мишени, электроны или другие лептоны как налетающие частицы и
адроны как мишени.
Чтобы связать сечения с фундаментальными наблюдаемыми,
можно поступить двумя различными способами. Первый и стан-
стандартный способ основывается на аксиоме о временной эволюции V
(гл. XII). Предполагается, что в алгебре операторов данной систе-
системы имеется оператор энергии Н, управляющий стандартным об-
образом эволюцией системы. Обычно также предполагается, что опе-
оператор энергии можно разбить на две части:
1} Реальное измерение сечений описывается в книгах по экспериментальной фи-
физике (см., например, [48], т. 1).
442 Глава XIV
Н = К + V, К = Кв® I + I (х) Кт, D.1)
где К — оператор энергии комбинации физических систем в от-
отсутствие взаимодействия V между ними, Кв — оператор энергии
системы пучка, а Кт — оператор энергии системы мишени. Таким
образом, оператор К является оператором энергии для случая, ког-
когда налетающая частица и мишень далеко разнесены1).
Существование непрерывной унитарной эволюции во времени
A.2), генерируемой в соответствии с фундаментальной аксиомой V
оператором Н, является весьма сомнительным в физике частиц,
где принято считать, что существует фундаментальная длина. По-
Поэтому Гейзенберг в 1943 г. предложил другой путь, основанный на
представлении, что состояние W(t), описывающее системы в то
время, когда они взаимодействуют, не является в действительности
измеримой величиной. Измеримыми величинами являются началь-
начальное состояние Win(t — — оо), описывающее системы до взаимо-
взаимодействия, когда они приготовлены к столкновению, и конечное со-
состояние Wout(t — +oo), описывающее системы после взаимодейст-
взаимодействия, когда они регистрируются. Каждое начальное состояние пре-
преобразуется в конечное состояние в результате взаимодействия. Опе-
Оператор, описывающий это преобразование:
W'm(t) -> Wou\t) = SWin(t)S~ \
или для чистых состояний
Ч"п(г) -> 4/out@ = S^r),
называется S-оператором (S-матрицей).
Оператор S должен обладать следующими свойствами: 1) он
преобразует суперпозиции яФ + ЬФп в суперпозиции аФоМ +
+ b¥°ut, т. е. должен быть линейным оператором; 2) он переводит
любое нормированное начальное состояние единственным образом
в нормированное конечное состояние («сохранение вероятности»).
Вместе с предположением о том, что как набор начальных состоя-
состояний, так и набор конечных состояний порождают пространство фи-
'* Предположение, что оператор Н можно разбить на две части, в действитель-
действительности не является существенным. Выражения для сечений можно вывести из предпо-
предположения о существовании генератора временной эволюции Н (см., например, [31],
гл. 5).
Переходы в квантовофизических системах — сечения 443
зических состояний, эти свойства приводят к требованию унитарно-
унитарности S-оператора: SS1" = S*S = I.
Сечение может быть тогда связано с матричными элементами
оператора S (S-матрицы). Таким образом, в этом втором подходе
существование унитарного оператора S является фундаментальным
постулатом, заменяющим фундаментальную аксиому Vo непрерыв-
непрерывной унитарной временной эволюции.
Если гамильтониан Н существует и является генератором не-
непрерывной временной эволюции, то S-матрица может быть выра-
выражена через Н1). Но концепция S-оператора имеет смысл даже в
том случае, если этого сделать нельзя. Предположение Гейзенберга
о том, что именно S-оператор (а не гамильтониан) является фунда-
фундаментальной физической величиной, послужило основой для попыт-
попытки построения новой теории элементарных частиц, известной как
теория S-матрицъР.
Таким образом, на первом пути делается больше предположе-
предположений, и имеется возможность соотнести наблюдаемые величины, та-
такие, как сечения, с фундаментальными наблюдаемыми, которые
проясняют физическую структуру системы. Второй путь отрицает
возможность более глубокого проникновения в структуру физиче-
физических систем. Для атомных экспериментов по рассеянию наличием
элементарной длины, меньшей чем 10~13 см (;= 10~5 А), можно пре-
пренебречь. Поэтому мы можем связать понятие сечения с фундамен-
фундаментальными предположениями квантовой механики (в частности, с
аксиомой V), следуя по первому пути, на котором встретим опера-
оператор S как вторичную величину.
В гл. XV мы более подробно исследуем концепцию входящих и
выходящих состояний и их связь с S-матрицей.
В разд. XIV.5 мы дадим вывод формул для сечений, исходя из
фундаментальных предположений квантовой механики при весьма
общих условиях. Здесь мы перечислим некоторые результаты для
тех читателей, которые не хотят следить за утомительным выво-
выводом формул в разд. XIV.5.
" В этом контексте 5-матрица впервые была введена Уилером в 1937 г.
2) Здесь следует отметить, что все достижения современной A988 г.) теории эле-
элементарных частиц основаны на первой постановке задачи, существенно использую-
использующей гамильтониан (и связанный с ним лагранжиан и его симметрии). Достаточно
упомянуть калибровочные теории электрослабого и сильного взаимодействий, тео-
теории великого объединения, теорию суперструн и связанную с ней калибровочную те-
теорию супергравитации и гравитации. — Прим. перев.
444 Глава XIV
Сечение выражается через матричные элементы гамильтониана
взаимодействия V или Г-матрицу. Матричные элементы V и Т
связаны соотношением E.4Г)
Здесь Е = pt/lm + Е^ — энергия системы мишень—налетающая
частица, Е^ — внутренняя энергия (которая может быть функцией
от внутренних квантовых чисел т/), a U = @0) обозначает направ-
направление импульса налетающей частицы, р = рп. Вектор \Etirj+) —
собственный вектор точного оператора Н, a I EQrj) — собственный
вектор свободного оператора энергии К = Н - V. Если гамильто-
нова временная эволюция не имеет места, то Г-матрица связана с
S-матрицей соотношением (XV.3.36')
\E'Q'>]'} - 2niS(E - Е')(ЕПг]\Т\ЕП' ц'}.
Если обобщенные собственные векторы нормированы условием
(Е п ц | Е' п'п'У = <Р Ц \ Р' г}'} = 6m. ЗЧр - Р'Х
то дифференциальное сечение рассеяния налетающей частицы мас-
массы тА с импульсом рА на мишени в состоянии щА с образованием
частицы массы ть, вылетающей в направлении Ub = pb/pb и
оставляющей мишень в новом состоянии х\ъ, равно E.61')
do B7tLrmAmhph(EA) 2
,-r.(tAQhrih*-pAriA)= \<ЬлПьЧь\Т\рА Пл>\ ,
где
Ph{Ex) = ^2т„(Ел - EJ, Ел =
Для случая упругого рассеяния тА = mb, r\A = r]b, и это выражение
переходит в выражение E.62) в конце разд. XIV.5, которое может
быть выражено через амплитуду упругого рассеяния E.63), соглас-
согласно формуле E.64).
Переходы в квантовофизических системах — сечения 445
XIV.5. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА
НА НЕПОДВИЖНОЙ МИШЕНИ1)
Здесь мы дадим точное квантовомеханическое определение сечения,
исходя из вероятностей состояний и вероятностей перехода, а за-
затем перейдем к выводу формул для различных сечений.
Вероятность перехода в единицу времени, равная d(N/NTNB)/dt
в классической картине рассеяния, в квантовой механике равна
d(A)t/dt. Вероятность того, что в системе произойдет переход за
время эксперимента At, равна (d(\)t/dt)At.
Плотность вероятности для расположения пучка, равная рв/NB
в классической картине рассеяния, в квантовой механике равна
<xl W^n(f)lx>, где Wf(t)— статистический оператор, описываю-
описывающий исходное состояние системы пучка. Если допустить наличие
небольшого разброса по скоростям составляющих пучок частиц, то
исходная вероятность на единицу площади в единицу времени того,
что исходный пучок движется вдоль оси z со средней скоростью v0,
равна <xl И^п@1х>и0.
Согласно определению C.7) и в соответствии с классическим вы-
выражением C.3), для эксперимента, который продолжается в течение
времени At, сечение равно коэффициенту пропорциональности а в
соотношении
d^4^ At = G(x\W™(t)\x>v0 At. E.1)
4
at
Если эксперимент проводится в течение длительного периода вре-
времени, определяющее соотношение E.1) переходит в уравнение
г+о° </<л> г+ао
dt^~1= Л(т<х|ИЗД|х>!;0. . E.2)
•J — со Q-t <J — оо
Если пучок не состоит из бесструктурных физических квантовых
систем, а имеет внутренние степени свободы, описываемые кванто-
квантовыми числами X, то плотность вероятности ориентации пучка рав-
равна £x<xXI Wf(t)\x\), гДе 1хХ> — базис обобщенных собствен-
собственных векторов координаты в пространстве состояний системы пуч-
^ Чтобы следовать за этим выводом, могут потребоваться некоторые усилия.
Поэтому мы привели некоторые результаты, которые потребуются в следующих
главах, в конце разд. XIV.4, а этот раздел при первом чтении может быть пропу-
пропущен.
446 Глава XIV
ка. Квантовые числа X обычно описывают поляризацию (спиновое
состояние), поэтому мы будем называть X поляризацией, хотя в
случае более сложных налетающих частиц (например, атомов, мо-
молекул или ионов) X может обозначать полный набор квантовых чи-
чисел, от которых зависят собственные состояния энергии системы
пучка.
Если имеется поляризация, то вместо E.2) имеем
™0£<xA|Wj,n@|xA>. E.3.)
•'-ао al J-
В этом разделе мы предположим, что положение мишени фик-
фиксировано; тогда скорость и0 равна средней относительной скорости
налетающей частицы (пучка) и мишени. Предположим, кроме того,
что в отсутствие взаимодействия V между системами—компонен-
системами—компонентами статистический оператор Wm(t) объединенной системы нале-
налетающая частица — мишень должен факторизовываться в произве-
произведение
W'in(t) = W$(t) ® Wip(t) E.4)
статистического оператора Wf{t), описывающего состояние нале-
налетающей частицы, и статистического оператора Wf(t), описываю-
описывающего состояние мишени. Оператор Wf(t) действует в пространстве
состояний Жв, оператор Wf(t) действует в пространстве JfT, a
оператор Win(t) действует в полном пространстве Jff= Ji^ (X) JffT.
Оправданием для этих предположений служат начальные усло-
условия. Об операторе W'm(i) можно думать как об операторе, описы-
описывающем систему до того, как взаимодействие стало эффективным
(т.е. при t — -оо), поскольку в это время приготавливаются си-
системы пучка и мишени. Эволюционируя во времени по закону
Win(t) = e~iKtW'meiK\
где К — оператор энергии без взаимодействия, он описывает фик-
фиктивное состояние, в котором пучок проходит через мишень без из-
изменения. Приготовление систем—компонент производится путем
измерения свойств, которые в момент приготовления не коррелиро-
ваны, вследствие чего во время приготовления Р0п(г) можно фак-
торизовать в виде E.4)]). Но тогда эта факторизация сохраняется
для всех значений времени, как это следует из соотношения
1} См. замечания в разд. XIII. 1 относительно состояний объединенных физиче-
физических систем.
Переходы в квантовофизических системах — сечения 447
= W$(t) ® W"(t). E.5a)
Действительным оператором состояния объединенной системы
является W{t), который, совпадая с Р0п(г) в далеком прошлом,
имеет другую зависимость от времени (уравнение A.2)):
W(t) = e-iHtWe + ittt. E.56)
В отличие от W'm(t) оператор W{t) в общем случае не факторизует-
ся, поскольку гамильтониан взаимодействия V генератора времен-
временной эволюции Н = К + V нетривиально действует как на Жв, так
и на JifT.
Чтобы не прерывать вычисления многочисленными пояснения-
пояснениями, сделаем сначала некоторые замечания относительно базисных
векторов, которые будут использоваться, их нормировок, а также
приведем некоторые необходимые математические соотношения.
В качестве базиса { I Еа) ) в пространстве Ж= Жв (g) <ЖТ мы бу-
будем использовать базис прямого произведения, состоящий из обоб-
обобщенных собственных векторов оператора К:
\Еа) = |рЯ>® \ETrj). E.6)
Здесь I рХ> — обобщенный собственный вектор оператора импуль-
импульса Р с поляризацией X для системы пучка, a \ETrj) — собственный"
вектор (возможно обобщенный) оператора Кт — KfK внутренней
энергии системы мишени1) с поляризацией щ. Обобщенные соб-
собственные векторы 1рХ> имеют обычную нормировку на 5-функцию
а векторы \Етг)) могут быть как собственными векторами \Е^),
отвечающими дискретному собственному значению EdT, и иметь
нормировку
1} Хотя Kljl — оператор внутренней энергии мишени (т. е. не включает члена
кинетической энергии), мы не будем исключать возможности наличия у него также
непрерывного спектра, что может быть, например, при рассеянии, вызванном
столкновениями.
448 Глава XIV
так и обобщенными собственными векторами \Естг)), отвечающи-
отвечающими непрерывным собственным значениям Ест и имеющими норми-
нормировку
<ЕСГ ц | Еу г,') = р(Ест)~ М(£сг - Ест')д„„,. E.86)
Здесь р{Е) — весовая функция (мера), с которой нормированы
обобщенные собственные векторы непрерывного спектра1). Эти ве-
весовые функции р(Е), зависящие от обобщенных собственных векто-
векторов энергии \Е), фиксируются соглашением для каждого случая.
Например, для собственных векторов энергии в системе пучка
1рХ> = \EBU,\) весовая функция р(Е) фиксируется нормировкой
E.7) и обычным условием для 6-функции от телесного угла
62(U — ft'), приведенной в E.17). Поскольку векторы I рХ> также
являются обобщенными собственными векторами оператора энер-
энергии системы пучка
Кв = К^'\Р) + К'Т(Лор), E-9)
векторы прямого произведения I pX> (g) \ETiq) являются на самом
деле обобщенными собственными векторами оператора энергии
К = Кв + Кт. В выражении E.9) Ajin(P) — оператор кинетической
энергии для налетающей частицы, функциональная форма которого
зависит от ее природы; для массивной нерелятивистской налетаю-
налетающей частицы
K*in(P) = P2/2m, E.10а)
а для фотона
XkBiM(P) = с(Р2I/2 = сР, E.106)
где с — скорость света. Оператор А^п1(т?ор) — оператор внутренней
энергии налетающей частицы. Следовательно, собственные значе-
значения К на базисных векторах E.6) равны
Е = ЕВ + ЕТ, E-11)
где
Ев = |- + EjftA), Ев = t-t или Ев = рс
См. примечание на с. 434.
Переходы а квантовофизических системах — сечения 449
для нерелятивистской налетающей частицы с внутренними энерге-
энергетическими уровнями £^nt(X), бесструктурной нерелятивистской на-
налетающей частицы1* и фотона соответственно.
Для определенности предположим, что налетающая частица яв-
является нерелятивистской и не имеет внутренних энергетических
уровней, так что Ев = fp-flm. Для других случаев из E.11) или для
массивного релятивистского случая Ев = (р^с2 + m2c4)i/2 потребу-
потребуются незначительные модификации. Введем также сокращенные
обозначения
[p{E<r)dEcT, E.12а)
<Етг1\Е'тг,'У = дЕтЕ^6т. E.126)
для уравнений E.8а) и E.86). Тогда базис прямого произведения
векторов I p\> (g) I ENr)) мы можем выразить через полную энер-
энергию Е и сферические координаты вектора р:
\Еа) = \ЕЕтпХг]У = |рЯ> (х) \Errj}
= \ЕвПЛ}®\Етг1), E.13)
где
£ = Ев + Ет = ~ + Ет, E.14а)
2т
р = pil = p(sin В cos ф, sin 0 sin ф, cos О), E.146)
С1 = @,ф). E.14в)
Нормировка на 6-функцию векторов \ Еа) следует из условий нор-
нормировки E.7) и E.12а). Найдем теперь весовую функцию р(Е) в
нормировке B.9а) и B.10). Поскольку из E.7) и E.12а) имеем
f P2 sin В dp dB <1ф
ETXrt J
- ET) sin в dB dф dE, E.15)
'' Точнее, для налетающей частицы, имеющей один уровень энергии, но, воз-
возможно, несколько разных поляризационных состояний.
Ifil 29
450 Глава XIV
базисные векторы E.13) должны иметь в терминах квантовых чи-
чисел Е, Ет, U, X и г) следующую нормировку:
(Еа\Е'а) = <ЕЕТQ X >]\Е' Е'т Q' X ц'}
п\/2т(Е — Ег)
где
52{п ~ U') = S(cos 0 - cos О'K(ф - ф'). E.17)
Следовательно, весовая функция (мера) рд(Е) равна:
рЕт(Е) = р(Е - Ет) = ту/2т(Е~^~Ё~т) = тр, E.18а)
а 8... в выражении B.9) равна:
3ЕтЕт,д2(П-П'Nхх,дп„.. E.186)
При вычислении нам понадобятся тождества [2]
dte~ist = 2n3(s), E.19)
J - ос
То ~ JTTo =2nid(s) E2O)
для обобщенной функции 6E).
Нам также потребуется соотношение
(a+\W{t)\d + y = (a\Win(t)\d), E.21)
которое можно немедленно вывести (приложение XV.А), используя
результаты разд. XV.3. Соотношение E.21) правдоподобно по сле-
следующей причине. Оператор W{t) совпадает с Wm(t) в далеком
прошлом — до того, как стало эффективным взаимодействие V, а
вектор I а+ > в отсутствие V совпадает с I а), так что в некоторый
момент времени в отдаленном прошлом соотношение E.21) имело
место, Но временная эволюция W{t) и Wm(t) генерируется опера-
операторами Н и К соответственно; они одинаковым образом действу-
действуют на I а+ > и I а) соответственно; следовательно, соотношение
Переходы в квантовофизических системах — сечения 451
E.21) справедливо для любого момента времени /, а не только в
отдаленном прошлом.
Приступим теперь к выводу явных выражений для сечений').
Подставляя B.18) в E.3), получаем
-'II f
b aa' J —
b aa' J — oo
1
а. - Eb - Ю Еа- Eb + Ю
= f dt voa У <хА| W'B(t)\xXy. E-22)
J-oo A
Подстановкой базисных векторов I p\> и использованием трехмер-
трехмерной версии
/ v з in 7' \ ^Oтr^^^z?'P'x/S ^^^"^^
соотношения (II.7.51), уравнения для временной эволюции E.56)
для Wg(t) и тождества E.19) правая часть соотношения E.22) при-
приводится к виду
- х
х
= Bny2voa X \d*p d'p' e'{'-p)*S(EB - E'B)
ЯА' J
= BтгГ2г0<т X \P(EB)dEBp(E'B)dE'BdndQ'
x е^-^ЩЕв - Е'в)(ЕвпЦ\¥™\Е'вП'Л'>ди,, E.24)
" Результатом этих утомительных вычислений является формула E.38).
452 Глава XIV
где
р = pil = v 2т£вП, р' = р'П' = ^/Г2тЕвП\ р(Е) = т.
Вычисление левой части соотношения E.22) проводится следую-
следующим образом. Мы используем E.19) для выполнения интегрирова-
интегрирования по t, E.20) для замены множителя в круглых скобках и E.21)
для того, чтобы выразить ответ в терминах состояния Wxn(t), ко-
которое может быть факторизовано, согласно E.4). Базисная система
{ 1я>), используемая при вычислении, состоит из обобщенных соб-
собственных векторов \EETSl\r)) = \ EBU\) (х) I ЕТт\), где Е = Еа.
Таким образом, левая часть соотношения E.22) равна
-/ХЕ2я<5(£<» - Ea.)(b\V\a + }(a'+\V\b)
Ь аа'
X \С11 W | С1 /2.7llO\tliа — Е*ь)
= BяJ I Z fР(Е - Ет)dE P(E' - Е'т) dE' du dSl'
Ь ЕТЬ\ J
Е'тХ'ц
x Ь{Е- ЕЩЕ - Eh)(b\}'\EETQXrj + >
х <£' Е'та X г]'л |К|Ь>
х (ЕЕтПЛг]\\¥'1П\Е'Е'тп'Л'ц')
= B*У1 I \p{EB)dEBp{EB)dE'Bduda
Ь Ет*>1 •*
Е'тХ'ц'
х 5(ЕВ -ь Ет- Е'в- Е'ТK(ЕВ + Ет - Еь)
х (b\V\EETQXr} + )(E' E'TQ' A'rj'+\V\b}
х (ЕвпМ^в\Е'в^'^У<ЕтП\^'т\ЕтП'>^ E.25)
где
Е ~ Ев + Ет, Е' = Е'в + Е'т.
Из E.24) и E.25) имеем тогда
0 = BтJ (правая часть E.22) — левая часть E.22)) =
= У [р{Ев) dEBp(EB) dEB <1Q dQ'(EB QX\WBa\EB Q' A'>
XX J
Переходы в квантовофизических системах — сечения 453
- BлL X У 3(ЕВ + Ет~ Е'в- Ет)д(Ев + Ет - £„)
F-т,,' E.26)
\ЕЕгПл>Г)(Е' ЕТП' A't]^\V\b)(ETn\Wp\ET>f)\.
До сих пор мы не детализировали свойства состояния WlBn, но
уже знаем, что направление исходного импульса в таких экспери-
экспериментах по рассеянию обычно выбирается вдоль оси z на рис. 3.1,
т. е. для fi фиксируется fi = @, 0). Остальные свойства падающего
пучка — его поляризация и распределение по энергиям — могут из-
изменяться от эксперимента к эксперименту. Мы продолжим вычис-
вычисление, сделав дополнительное предположение о том, что пучок аб-
абсолютно неполяризован; в этом случае матрица плотности имеет
вид
<£ВПА|^П1£^П'Д'> = -^.,<£BQ||^!!£BQ'>, E.27)
где g — число различных поляризационных состояний X. Приведен-
Приведенный матричный элемент (ЕВШ Wf\\E'Bu') описывает распределе-
распределение по импульсам в исходном пучке. Если бы пучок был полностью
поляризован с некоторым определенным Хд, то вместо E.27) при-
пришлось бы использовать выражение
(ErUa\W^\E'bu' X") = ди.5,Хо(Евп\\\У%\\ЕвП'У E.28)
и заменить в последующих вычислениях Lxl/g на Ix^xv
В типичном эксперименте по рассеянию исходный пучок всегда
приготовлен таким образом, что он имеет хорошо определенное
направление fi0 (хорошо определенный импульс), а матрица плот-
плотности WBn обладает свойством1*
[ dUdQ'<EBU\\W''2\\E'BQ.'}F(Q,U') = <£B|||H/^ni||£'B>F(Q0, Qo) E.29a)
J
]) Можно убедиться, что E.29а) является аналогом выражения E.28) для случая
непрерывного спектра, вычисляя для произвольной Fxy величину
£<• • ■ А| W'S\ ■ ■ ■ X>FU. = X *и *ио<- ■ ■ II W'Bn\] ■ ■ ->F,; = <■ • • II И'},! • • ■>*"wo-
Интуитивно можно написать непосредственный аналог E.28)
(ЕвпЩ'в"\\Е'вП'> = д(п - пN(П - ПО)<£В|||И/-|!|£ВХ
но это будет математически неверно. Выражение E.29а) является идеализацией; из
обсуждения в разд. II.8 следует, что каждый пучок должен иметь конечный разброс
по импульсам. См. также ниже обсуждение, следующее за выражением E.35).
454 Глава XIV
для любой гладкой функции F(fi, П'). Дважды редуцированный
матричный элемент
<Eb\\\W1£\\\E'b> = jdUdU'(EBU\\W1Bn\\EBU'}
= J</fl<£Bfl||Wj,n||£i,fl> E.296)
состояния Wf с хорошо определенным направлением Яо описывает
распределение по энергиям в пучке, которое более детально обсуж-
обсуждается ниже. Из нормировки следует
р{Ев) dEB dQ(EB Q k\ WBnIEB Q Я>
= jP(EB)dEBdQ(EBU\\WiB"\\EBuy
= jp(EB) dEB(EB\\\ \У$\\\Еву. E.29b)
Для неполяризованного пучка E.27) с хорошо определенным на-
направлением E.29а) уравнение E.26) принимает вид
О = L(EB)dEBp(E'B)dE'B(EB\\\W^\\\E'B}\voa5(EB - £'вУ
^ III *(Ев + Ет- Ев- Е'ТЩЕВ + ЕТ- Еь)
<'-'">°°-«
9 Ь X Етп
Поскольку р — ^12тЕв, экспонента под знаком интеграла дает
вклад, равный единице, из-за наличия Ь{ЕВ — Ев). Следовательно
О = \P{EB)dEBp(E'B)dE'B(EB\\\W™\\\E'By{voa5{EB - Е'в)
- — Z Z Z КЕВ + ЕТ-ЕВ- Е'тЩЕв + ЕТ- Еь)
9 b k IS E.30)
Напомним, что мы оставили открытой возможность того, что
мишень имеет как дискретные, так и непрерывные уровни энергии
Ет; хотя мы написали уравнение E.30) как если бы уровни Ет были
дискретными,- это уравнение справедливо и в случае E.12), когда
Переходы в квантовофизических системах — сечения
455
спектр Кт содержит также непрерывную часть. В большинстве экс-
экспериментов (но не для процессов с рассеянием, вызванным столк-
столкновениями) состояние мишени является смесью собственных состо-
состояний с дискретной энергией (стационарных состояний) до взаимо-
взаимодействия с пучком:
[К, Wif] = [Kr, W'f] = 0. E.31)
Таким образом,
ИТ = X <г1\\^т(Ет)\Ю\^тП><Е4тг1'\ E-ЗГ)
ИЛИ
?\Edin'y = bEU,,{n\\W^{EdT)\Wy. E.32)
Тогда уравнение E.30) принимает вид
0 = jp(EB)dEBp(E'B)dEB(EB\\\WiBn\\\EBy
х \vo<t5(Eb'- £'в) - ^ X I I
I Я Ь а Е%т
~ Е'вM(Ев + Е% - Еь)
х La -
У ь л
T S(EB + E\- Eb)
'> , E.33)
где Е = Ев + Eff. и Е' = E'B + Eff. Прежде чем продолжать вы-
вычисление, мы должны конкретизировать распределение энергии в
пучке. Вычисляя среднее значение энергии пучка Кв по состоянию
пучка И*" в E.27) и E.29):
= jp(EB)dEBdQEB(EBU\\WiBn\\EBQy
= jp(EB) dEB EB(EB\\\ Wn\EB>, E.34)
456 Глава XIV
мы видим, что
F(EB - Ево) = р(£в)<£в||| WBn|||£B> E.35)
определяет распределение вероятностей найти значение Ев при из-
измерении Кв.
Для обычной постановки эксперимента по рассеянию распреде-
распределение по энергии имеет пик при некоторой энергии Ев0, которая в
эксперименте контролируется. Тогда F(EB — Ев0) — одна из функ-
функций F(x), изображенных на рис. П.8.1. Она описывает разрешение
по энергиям прибора, приготавливающего пучок. Чем лучше разре-
разрешение по энергиям, тем уже пик функции F(EB — Ев0). В идеаль-
идеальном, но нефизическом предельном случае точно заданной энергии
пучка F(EB — Ево) переходит в 8(ЕВ — Ево).
Даже в реальном случае конечного разрешения по энергиям для
функции распределения по энергиям F(EB — Ево) можно использо-
использовать обобщенную функцию 8(ЕВ — Ет), если матричные элементы
Г-матрицы < b\ V\EE^Q0\t)+ > являются медленно меняющимися
функциями Ев. Пусть функция F отлична от нуля только в интер-
интервале шириной 2АЕ вокруг Ет (для пучка с малым разбросом по
энергиям Ет — АЕ < Ев < Ет + АЕ); тогда функция F(EB — Em)
будет себя вести в интеграле
dEBF(EB - Ев0)д(Ев)
как 8(ЕВ — Ево), если функция g(EB) мало меняется в интервале
Ев0 - АЕВ < Ев < Ево + АЕВ. В уравнении E.33) это будет иметь
место, если матричные элементы (b\ V\EEfUQ\rj), где Е~
= Ев + Е%, являются медленно меняющимися функциями Ев на
интервале 2АЕ1\
'* Таким образом, если экспериментальное разрешение может быть сделано
меньшим, чем интервал, на котором значительно меняется Г-матрица, то распреде-
распределение состояния по энергиям можно описывать обобщенной функцией, а само
состояние — обобщенным собственным вектором, энергетическая волновая функция
которого есть б-функния. Этот обобщенный собственный вектор равен
\Е0 + /()> = lim -J- - I f»{E) JE'\E') -—
tjn
£0 + «с
и имеет в качестве энергетической волновой функции обобщенную функцию
<£!£0 + /0> = -T-i-r-Iim-r
pl!2(En) ^о Е- Ео- к'
Этот собственный вектор не описывает физически приготовимое состояние и не при-
принадлежит пространству Ф (см. разд. 11.8).
Переходы в квантовофизических системах — сечения 457
Это не всегда верно. Вблизи некоторых значений Ет матричные
элементы могут изменяться очень быстро; такое значение Ет на-
называется резонансом.
Эффекты, связанные с конечным разрешением, мы обсудим
позднее, а здесь продолжим вычисления в предположении, что пу-
пучок идеально монохроматический, т. е.
F(EB - Ево) = р(£в)<£в|||*П1|£в> - 5(ЕВ - Ев0). E.36)
В этом случае можно выполнить интегрирование по Ев в уравнении
E.33) и получить
О = p(EBO)\vocr - B^- X I Z Wbo + Ет ~ Eb){b\V\E £drQ0 ХП+У
х <Е EdTQ0 ЛП'^ \У\Ь>(у1\\№!?(Е<>т)\ю\, E.37)
где Е - Ево + Ef. Разрешая это уравнение относительно а и пере-
переписывая в прямоугольных координатах р0 = y/2mEBOilo, мы в
конце концов получим фундаментальную формулу для сечения
<т(Л - Ро) = BЯ^— X I I <Ь|К|РоЯ£^ + ><РоЯ£^'+|К|Ь>
х (n\\VV^(EdTnrj'yS(EB0 + Е% - £Д E.38)
где Ево = Pq/2m, v0 = р0/т и мы ввели обозначение
для усреднения по поляризациям в начальном состоянии. В этой
формуле мы также восстановили h, чтобы выразить этот важный
результат в обычных единицах.
Формула E.38) определяет сечение для рассеяния неполяризован-
ного пучка с хорошо определенным импульсом р0 на неподвижной
мишени, находящейся в смеси Wf дискретных собственных состоя-
состояний энергии с появлением конечной конфигурации, квантовые числа
которой b = (Eb, 6) участвуют в суммировании £ft. (Чтобы полу-
получить дифференциальные или парциальные сечения da(b — р0) для
рассеяния в «состояние» Ab = \b)(b\, надо просто опустить сум-
суммирование по b и заменить <х(Л — р0) на do(b «- р0).)
Предположим, что разбросом энергии АЕВ пренебречь нельзя,
как в случае, когда (b\ V\EEfQ0\r}+) существенно меняется при
изменении Ев = Е — Ef внутри интервала АЕВ (это может ел у-
458 Глава XIV
читься в окрестности резонанса, если АЕВ много меньше ширины
резонанса, как обсуждается в гл. XVIII). Тогда замену E.36) выпол-
выполнить нельзя и, следовательно, нельзя вычислять а(Л «- р0), как в
E.37). При этом величина, которую можно получить из E.33),
равна
1)
г
J p(EB) dEB F(EB - EB0)va(EB) = (pva) * F, E.39a)
где v = v(EB) = p(EB)/m = yJ2mEB/m.
Согласно E.33), это выражение равно тогда
(pva) * F = BпL [p(EB)dEBF{EB-EBQ)YlL I (b\V\plEU +
J b A £'4-11'
I
£'4-11'
E% - Eb). E.396)
Поскольку p(EB) и v(EB) являются медленно меняющимися функ-
функциями Ев по сравнению с быстро меняющимися функциями
F(EB — Ево) и \(b\ V\EE$.QQXr)+)\2, их можно вынести из-под зна-
знака интеграла в левой части E.39а) и в правой части E.396) и заме-
заменить средними значениями р^о) и v(EB0). Тогда получаем форму-
формулу для сечения в эксперименте с конечным разрешением
<х * F = ГdEBF(EB - Ев0)а(Ев) = BnLh2 —|— (dEBF(EB - Ево)
•J K-tfio) J
х <рЯ£^'+|К|Ь><^||^дагI1^>- E.40)
Мы продолжим теперь исследовать формулу E.38), справедли-
справедливую в случае идеального разрешения по энергии, но вернемся к слу-
случаю ограниченного разрешения по энергии E.40) в разд. XVIII.8.
Сечение а(Л — р0) часто выражают в виде Т-матрицы . Если
задан гамильтониан взаимодействия V, то Г-матрицу можно пред-
представить в виде
(Еа\Т\Еа'У = (Ea\V\Ea^'). E.41)
Это соотношение не определяет полностью оператор перехода Т,
так как не все матричные элементы (Еа\ Т\Е'а' >матрицы Т
!) Если разбросом по скоростям пренебречь нельзя, то исходная вероятность
на единицу площади равна ]dt( x I WBn(t) I x> = \dt{ х I ГИ^п@1х> вместо
\dtvQ(x\ WlB(t)\x), где У— оператор скорости. В результате vQ заменяется в
E.33) наи(Ев).
Переходы в квантовофизических системах — сечения 459
определены соотношением E.41), а только матричные элементы
«на энергетической поверхности» Е = Е'. Матричные элементы
(Еа\ Т\Е'а'), лежащие «вне энергетической поверхности», т. е. та-
такие, для которых Е Ф Е', могут быть определены различными
способами, и в зависимости от способа задания матричных элемен-
элементов вне энергетической поверхности получаются разные операторы
перехода. Одним из таких операторов является оператор Г+ , опре-
определенный тождеством
(Еа\Т+\Е' а'} = <£ a\V\E' a' + ). E.42)
Ограничение E.42) на энергетическую поверхность, очевидно, дает
величины (Еа\ Т\Еа') в соотношении E.41). Другой оператор пе-
перехода Т~ определяется тождеством
(Еа\Т-\Е а'} = <£ a\V\E' «'">. E.43)
Хотя это и не очевидно, при ограничении на энергетическую по-
поверхность это соотношение также переходит в E.41). Любое разум-
разумное определение оператора перехода Т( на энергетической поверх-
поверхности должно приводить к соотношению E.41):
(Еа\Г\Еа'У = (Еа\Т\Еа'}. E.44)
Из-за присутствия в формуле E.38) множителя д(Ев0 — Ет — Еь)
(отражающего сохранение энергии) вклад в ответ дают только эле-
элементы Г-матрицы на энергетической поверхности. Эта ситуация
всегда возникает при работе с физически наблюдаемыми величина-
величинами. Поскольку все операторы перехода на энергетической поверхно-
поверхности одинаковы, безразлично, какой использовать оператор Т(.
В 5-матричном подходе, упоминавшемся в предыдущем разде-
разделе, предполагается не наличие гамильтониана взаимодействия V, а
наличие Г-матрицы (Еа\ Т\Еа' >, которая рассматривается как
фундаментальная величина. Следовательно, выражение для сечения
в терминах Г-матрицы
<КЛ-Ро) = ^^1Х £ S(EB0 + Е\ - £ь)
V0 Ь /. Е^щ'
х (Ь\Т\р0Л EUXPo* EW\T\b}(ri\\Wy(EdT)\\ri'> E.38')
можно считать справедливым в рамках обоих подходов1*. Если V
Х) Строго говоря, матричные элементы оператора — это числа, получающиеся
при помещении оператора между двумя векторами одного и того же базиса. По-
Поскольку векторы Ь или а могут относиться к собственным значениям разных опера-
операторов, (ЕЬ \T\Ea) не обязательно является матричным элементом, а может быть
линейной комбинацией матричных элементов. Но для удобства в дальнейшем мы
будем считать < Eb I T \Еа) 7"-матричным элементом.
460 Глава XIV
существует, то (ЕЬ\ Т\Еа') определен в терминах E.41) и
<£Ь|Т|£й'> = £ (ЕЬ\ЕаХЕй\Т\Еа'); E.45)
а
при другом подходе фундаментальной величиной, которую нельзя да-
далее конкретизировать, является Г-матричныЙ элемент (Еа\ Т\Еа').
Чтобы вычислить сечение по формуле E.38) или E.38'), необхо-
необходимо знать Vn \po\ETrj+) или матрицу (Еб\ Т\ ро\££\> соот-
соответственно. Даже если рассматривать оператор V как известный,
требуется еще знать векторы
|р0 Я £d,V> = |£0 EdrQ0 Я|/ + > = |Е0<2 + > (Ео = рЦЪп + Еат\
являющиеся решениями интегрального уравнения Липпмана —
Швингера. В принципе решения \EQa+) можно получить методом
итераций, подобным описанному в разд. VIII. 1. Приближение, от-
отвечающее низшему порядку по итерациям, т. е. приближение
<h\T+ \Еоа) = (b\V\Eoa + y * (b\V\Eoa), E.46)
называется борновским приближением', его обычно оказывается
достаточно в случае высокой начальной энергии пучка £во и слабо-
слабого взаимодействия V.
Формула E.38) (или E.38')) дает сечение для очень общей ситуа-
ситуации, когда состояние мишени не конкретизируется, за исключением
требования, чтобы оно было смесью дискретных собственных со-
состояний энергии. Теперь мы выведем формулы для сечения в случае
более конкретизированных состояний мишени. Предположим сна-
сначала, что оператор WT диагоналей по некоторым квантовым чис-
числам rj из r\ = (rj, rj) и по отношению к другим квантовым числам rj
измерений не проводилось. Например, если мишень состоит из ато-
атомов водорода или щелочных элементов, то внутренними квантовы-
квантовыми числами г\ являются г\ = (п, j, у'3> т), а Ет = Ет(п, j, 7г) есть
функция от л, у, тг. Обычно атом находится в неконкретизирован-
ной смеси собственных состояний энергии, углового момента и чет-
четности, а г-компонента углового момента не измеряется. Тогда
<»jjs яЦИТ(ЕгI1./з п'} = — SnnSj^SjrW'Tn(ET(nj\ л)Nпп,.
Подобным образом в общем случае
Ed№'fi'> SS *ПП(П P\
T№i> nrSw *ПП(П, Pj\ E.47)
дт
где gT — число значений, которые может принимать т/. Сечение
Переходы в квантовофизических системах — сечения 461
для случая E.47) равно
{Л - р0, fj) = ^ЁШ £ I £ £ I < Ь | Т | р0 A £dr ^ > |2
Ро b A ££ij ij
х »"}•(£*, >/)<5(£B0 + Е% - £Д E.48)
где мы использовали обозначения 1Х = A/«Iхи I, =
(усреднение).
Вес W(E$rj) каждого энергетического уровня может зависеть от
всех квантовых чисел т\Щ ~ (^i^"*1?*» Щ} или только от их под-
подмножества, например от т/,, ££. Очень часто он зависит только от
Ef: W(Effi — W(E$). Например, если система мишени находится в
состоянии теплового равновесия, то WT задается формулой
(П.4.50), а для W(E%) имеем распределение Гиббса
р~ Е„1кТ ~-EnikT
f\En Е„
где dimJfn — размерность собственного пространства энергии с
собственным значением Еп.
Весьма специфическая, но часто встречающаяся ситуация, —
случай, когда мишень находится в чистом собственном состоянии
энергии, например атом в основном состоянии, которому отвечают
квантовые числа (Е°, tj0):
Ы^ E.49)
или
Wr =1 £?*>><£? »*о|. E.49')
Сечение E.38) для рассеяния неполяризованного пучка на такой ми-
мишени тогда принимает вид
11
Ро ъ л
0 Я£°г ^>|2«5(£О - £ь)
!1\<Ь\Т\ро\Е°т ^о>12«5(£о - £ь), E.50)
п !1
Ро ь х
где Ео = Ево + Е?г В борновском приближении для случая бес-
бесструктурной налетающей частицы выражение E.50) сводится к хо-
462 Глава XIV
рошо известной формуле
<г(Л «- poE°Trjo) = Bж)%2т X |<Ы К|р0 £° /70>|2<5(£В0 + Е°Т - Еь). E.51)
Обычно матрица перехода не зависит от поляризации X. Тогда
усреднение по поляризациям в выражении E.50) тривиально, и
квантовые числа X можно не рассматривать. Для наблюдаемых,
которые не зависят от поляризации, неполяризованный пучок мож-
можно рассматривать как пучок бесструктурных налетающих частиц;
например, для неполяризованного электронного пучка можно пре-
пренебречь спином электрона.
Наиболее часто встречаются эксперименты, в которых диффе-
дифференциальное сечение рассеяния в определенный телесный угол AQm
измеряется при помощи счетчика, помещенного под определенным
углом П£Ю к направлению падающего пучка. Пространство Л ^яв-
^является тогда подпространством состояний, которым отвечает им-
импульс, направленный по любому из направлений П^ ± AQ^. Если
детектор регистрирует только состояния в определенном интервале
энергий, то появится дополнительное ограничение на Ь.Ж
До сих пор мы не конкретизировали базисную систему
\Ь) = \Еб) в пространстве конечных состояний. Чтобы найти
дифференциальное сечение для рассеяния в определенном направле-
направлении, заданном углами П = (в, ф), удобно выбрать базисную систе-
систему обобщенных собственных векторов с индексом П или к — им-
импульсом зарегистрированной (рассеянной) частицы. Таким образом,
мы выбираем базис
\Ь> = |£ Ь> = |к О ® \е С> = \ED QD О ® |с О
= \EDeQDZO, E.52)
где Е = Ео + еик = kilD. Здесь £ обозначает внутренние кванто-
квантовые числа детектируемой частицы (поляризацию), а б, |* — внутрен-
внутреннюю энергию и остальные квантовые числа мишени. Следователь-
Следовательно, наше описание является достаточно общим, чтобы включать
случай, когда детектируемые частицы могут быть другого типа,
чем частицы в падающем пучке, а частицы, остающиеся в мишени
(мишень после столкновения), могут отличаться от первоначально
составляющих мишень частиц. Например, фотон у может столк-
столкнуться с атомом А и ионизовать его, оставляя после столкновения
ион /4+ и вылетающий электрон: у + А — е + А+. Более простой
пример, который читатель может запомнить, — упругое или не-
Переходы в квантовофизических системах — сечения 463
V
упругое рассеяние пучка электронов или фотонов на атоме:
е + А - е' + А*.
Если регистрируемые частицы нерелятивистские, то
ED = k2/2mD + £bnt@, E.53а)
а если регистрируются фотоны, то
ED = кс. E.536)
Мы наложим на векторы I kf > и 1еО те же условия нормиров-
нормировки, что и в E.7) и E.8):
<kc|k4'> = <53(k-k')«5^. E.54)
<*СкЧ'> = $«•$«'• E-55)
Тогда в случае E.53а) с помощью вычислений, аналогичных E.15) и
E.16), получаем
I = I Г Рь(Е) dE = X Г mDyj2rnD(E - ££' - 0 dE dQD
Ь Ъ J iti; J
= Z \pit(E)dEdilD E.56)
w J
- E')S((,d2(QD - ttD)8K.&a..
E.57)
В этом случае выражение E.50) в подробной записи имеет вид
Bn)*hzmBmD =
Z
<т(Л <- РоЕтЧо) = Z Z \dE dQo k(E\ с', О
o-£'), E.58)
где Л:' = n/2/Яд х (£' — Е$1(£') — е') (импульс регистрируемой
частицы), Е° = р£/2пгв + Е% (начальная энергия). Пределы сум-
суммирования по £', б', $" и интегрирования по Е', 0^ зависят от
природы регистрирующего прибора, который описывается проек-
проектором Л. Из E.58) мы видим, что дифференциальное сечение в еди-
464 Глава XIV
ничный телесный угол при рассеянии в направлении toD равно
x | <£' e' QD <f C'l Г|р0 А
E.59)
Предположим теперь, что налетающая и детектируемая части-
частицы одинаковы {тв — mD = m) и они бесструктурны или их поля-
поляризационными квантовыми числами \ и f можно пренебречь1). Ве-
Величины ))ои f являются тогда собственными значениями одного и
того же набора операторов tj°p. Внутренние энергии Е$ или е', ко-
которые являются собственными значениями одного и того же опера-
оператора КТ, предполагаются уже заданными внутренними квантовыми
числами, т. е. Кт = KT(riop) — стандартное значение для мишеней с
дискретным энергетическим спектром2). Тогда выражение E.59)
упрощается и принимает вид
£ (О ~ р„,0) =^^-21 \iE *-(£-. СЖЕо " Л
dil р0 ;■ J
х \(Е'ПЛ'\Т\роПо)\2, E.60)
где
k' = Jlm{E' - ET(C))f Eo = p20/2m + Er(rj0).
Если задана не только начальная полная энергия (заданием tj0 и
импульса пучка р0), но также конечная полная энергия (выбором
детектора, регистрирующего только определенный импульс к), и,
кроме того, квантовые числа конечного состояния фиксированы
(детектор срабатывает, только если квантовые числа конечного со-
состояния имеют набор значений £"), то дифференциальное сечение,
полученное из E.60), имеет вид
(ЕПС) BП)%2т2к\<ЕПС\Т\рочоу\2, E.61)
р0
') Можно также представить себе, что поляризация X включена в квантовые
числа rj.
* Если мишенью является атом водорода, то rf= (n, j, jv тг) и Е^у) = Е'п да-
дается формулой (VI.5.12).
Переходы в квантовофизических системах — сечения 465
где
к = ч/2т(£ - Ег@)
должно равняться
из-за 6-функции закона сохранения энергии 6(Е0 — Е). Для случая
упругого рассеяния, т. е. когда внутренние квантовые числа не из-
изменяются (т/0 = f), получается хорошо известное выражение
^ (£0 Q >/0 <- р0 г,0) = BпП2т21 <£0 Q ^01 Г| р0 >/0> |2. E.62)
Обобщенные собственные векторы в E.62) (а также в предыду-
предыдущих выражениях E.61) и E.60)) нормируются, согласно E.54) и
E.7), на
<£ Я ц | Е'п'п'У = <к г, | к' п'У = 6т. д\к - к').
Если используются собственные векторы с другой нормировкой,
то соответственно изменяется и выражение E.62).
Для сферически-симметричного взаимодействия Г-матрица (а
следовательно, и дифференциальное сечение) не зависит от угла ф
вокруг начального направления ро/ро, а зависит только от угла
в между начальным и конечным направлениями 0 = к/к
(см. рис. 3.1). (Вывод этого утверждения приведен в гл. XVI.) Угол
в называется углом рассеяния. В этом случае вместо Г-матрицы
часто пользуются амплитудой упругого рассеяния Т(р0, $) задавае-
задаваемой формулой
Т(ро,в) = -Мп2т(Е0пг,0\Т\р0г,0У E.63)
Дифференциальное сечение рассеяния E.69) тогда записывается в
виде
(Ев)
(Е0,в) \Т(р0,в)\2. E.64)
161 30
Глава XV
Формальная теория рассеяния и другие
теоретические вопросы
Понятия, использованные в гл. XIV для вывода формулы для сече-
сечения, в этой главе подвергнуты дальнейшему обсуждению, чтобы
глубже понять этот материал. В разд. XV. 1 снова обсуждается
уравнение Липпмана — Швингера. Разд. XV.2 и XV.3 посвящены
формальной теории рассеяния. В приложении дан вывод формул
(XIV.2.96), (XIV.2.17) и (XIV.5.21) с использованием материала, об-
обсуждаемого в этой главе.
XV. 1. УРАВНЕНИЕ ЛИППМАНА — ШВИНГЕРА
Уравнение Липпмана — Швингера
было приведено в разд. VIII.2. Каждому обобщенному собственно-
собственному вектору I a > оператора К с собственным значением Еа уравне-
уравнение Липпмана — Швингера сопоставляет обобщенный собственный
вектор I а+ > или I а~ > оператора Н = К + Ус тем же собствен-
собственным значением Еа. (В разд. VIII.2 предполагалось, что непрерыв-
непрерывные части спектров операторов Н и К идентичны и Еа является
элементом этих непрерывных спектров.) Обобщенные собственные
векторы I а > оператора К и I а ± > оператора Н классифицируются
по энергии Еа и некоторым дополнительным индексам а = (я,, а2,
..., ак):
\а) = \Еаа}, A.2а)
\а±} = \Еаа±у. A.26)
В разд. VIII. 1 предполагалось, что а — дополнительные квантовые
числа в базисе К, т. е. что
{К,Л„/12,...,/1к} A.3)
является полной системой коммутирующих наблюдаемых (п.с.к.н.)
с набором собственных значений (Е, а{, а2, ..., ак). Предположим,
что
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 467
{H,Ar,A2,...,Ak} A.4)
также является п.с.к.н. Как обобщенные собственные векторы I а )
из A.3), так и обычные и обобщенные собственные векторы I ап ) и
I а+ ) из A.4) формируют базис пространства физических состоя-
состояний.
Предположение, что A.4) является п.с.к.н., не было использова-
использовано при выводе уравнения Липпмана — Швингера, поэтому данное
требование может быть ослаблено. Предположим, что
{К,Д„Д2,...,Дк} A.5)
является п.с.к.н., а { Н Я,, В2, ..., Вк ) — нет, т. е. что
[Д„//] = [Я„Г|#0 A.6)
для некоторых (или всех) B((i = 1, 2, ..., к). Повторяя аргумента-
аргументацию разд. VIII.2, примем, что базисным векторам
|Ь> = \EhBy A.7)
оператора К уравнение Липпмана — Швингера ставит в соответст-
соответствие обобщенные собственные векторы
|Ь±> = !£*(£)*> = \ЕЬЬ} + ^—-- К|£ьF)±> A.8)
оператора Н. Но вследствие условия A.6) векторы I EbF)) не явля-
являются собственными векторами всех операторов Bt. В этом случае bt
определяются не п.с.к.н., содержащей Н, а только уравнением
Липпмана — Швингера и п.с.к.н., содержащей К. Круглые скобки,
в которые заключен индекс 6, — это временное обозначение, ис-
используемое для того, чтобы отметить, что 6 = bx, b2, ..., Ьк — все-
всего лишь индексы, в то время как Еь — собственные значения опера-
оператора Н.
В качестве иллюстрации этих возможностей рассмотрим рассея-
рассеяние бесструктурных частиц на неподвижной мишени. Пусть Q и
Р — (канонически сопряженные) операторы координаты и импуль-
импульса налетающей частицы, и предположим, что взаимодействие нале-
налетающей частицы и неподвижной мишени описывается сферически-
симметричным потенциалом V = V(Q) (Q = (Q2I/2). Тогда га-
гамильтониан системы имеет вид Н = К 4- V, где К = Р2/2т —
оператор кинетической энергии налетающей частицы. Поскольку
[Ljt V] = [Ljt К] = 0, отсюда следует, что
{К, L2,L3} A.9а)
A-96)
468 Глава XV
обе являются п.с.к.н. и мы имеем случай A.4). Векторы \ ЕНг) и
I Ell^) являются соответствующими обобщенными собственными
векторами; { I ЕЩ > } — базис всего пространства физических состо-
состояний, а { I Ell£)} — базис только для .«подпространства состояний
рассеяния». В экспериментах по рассеянию налетающие частицы
обычно приготавливают в виде коллимированных пучков, движу-
движущихся в некотором направлении, поэтому в качестве А'-базиса
удобнее использовать обобщенные собственные векторы
A.10)
операторов импульса Pt. П.с.к.н. векторов A.10) имеет вид
{Pi,P2,P3} или {К,РГ,Р2} или {К, направления Р}. A.11)
Тогда мы имеем случай A.5) и A.6), поскольку
[/>,, Щ = [/>,., ]г\ ф о.
Обозначение р для собственных векторов оператора Н
!(&)*> = КрI) A.12)
не означает, что I (р)* > являются собственными векторами опера-
операторов Рп но означает лишь, что векторы I (р)* > связаны с соб-
собственными векторами импульса I р> уравнением Липпмана —
Швингера
КрI) = 1р> + jzrlr+to к|(р)±> {Е = р2/2ш)- (Ш)
Предположение, что A.3) является п.с.к.н., для какой-то кон-
конкретной системы может быть оправдано только физическими сооб-
соображениями. Оно эквивалентно предположению, что набор
{\Еа}:(Е,а)€ спектру (К, А „..., Ак)} A.14)
обобщенных собственных векторов операторов A.3) формирует ба-
базис пространства физических состояний Jf физической системы.
Хотя набор
{\ЕаУн:(Е,а)е спектру (Я, Аи ..., Ак)} A.15)
обобщенных собственных векторов операторов A.4) также является
базисом в пространстве Ж, наборы
{\Еа+}:(Е,а)е спектру (К, Аи ..., Ак)} A.16 + )
и
{\Еа-}:(Е,а)е спектру (К, Аи ..., Ак)} A.16 — )
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 469
обобщенных собственных векторов операторов A.4), которые полу-
получаются из уравнений Липпмана — Швингера A.1 + ) и A.1 — ), не яв-
являются в общем случае полной базисной системой для пространст-
пространства Ж В случае, когда A.4) не является п.с.к.н., наборы
>: (Е,й)е спектру (К, Аи ..., Ак)\ A.17±)
также не являются в общем случае полной базисной системой.
Обычно оператор К имеет только непрерывный спектр, но опера-
оператор Н имеет кроме непрерывного еще и дискретный спектр { Еп).
Обычные собственные векторы I Епа > с собственными значениями
Еп в дискретном спектре оператора Н описывают чистые физиче-
физические состояния, отвечающие связанным состояниям системы нале-
налетающая частица — мишень, и порождают подпространство свя-
связанных состояний ^nd. Ортогональное дополнение к ^nd, т. е.
пространство всех векторов в J% ортогональных к ^nd, называет-
называется пространством состояний рассеяния ^cat. Таким образом1*,
^ = ^bnd0^sca,- A.18)
Подпространства Jf+ и Jf_, порождаемые векторами A.16+) и
A.16 — ), не обязательно совпадают с ^cat или друг с другом. Но
мы будем рассматривать только такие физические системы, для ко-
которых подпространства Ж+, Ж_ и ^cat совпадают:
Ж' + = Ж _ = ^rscat. 0-19)
Система, для которой выполняется условие A.19), называется
асимптотически полной2*.
Таким образом, при весьма общих предположениях мы имеем
следующую ситуацию. Пространство физических состояний ^по-
^порождается набором { I Еа > } обобщенных собственных векторов
'* Это утверждение нетрудно понять, если дискретный и непрерывный спектры
И не пересекаются. Но может случиться, что некоторые из дискретных собствен-
собственных значений равны значениям, принадлежащим непрерывному спектру (например,
двукратно возбужденные состояния атома Не, см. разд. XI.2 и XI.3). Таким
собственным значениям отвечает как (обычный) собственный вектор в пространстве
^bnd» TaK и обобщенный собственный вектор из набора обобщенных собственных
векторов, порождающих № . Такие обычные и обобщенные собственные векторы
ортогональны, хотя они относятся к одному и тому же собственному значению опе-
оператора Н и одинаковым собственным значениям а = (я,, ..., ак) операторов { А р
*v...,Ak\.
2) Ьсли взаимодействие дописывается потенциалом V(Q), который убывает на
пространственной бесконечности быстрее, чем г~г, менее сингулярен в нуле, чем
г~г, и достаточно гладок в промежуточной области, то асимптотическая полнота
может быть доказана.
470 Глава XV
оператора К и является прямой суммой Jf= J^nA 0 <^cat про-
пространства <^nd, порожденного набором [\Епа)\ обычных соб-
собственных векторов Н, и пространства ^cat, порожденного одним
из наборов [ I Еа + )} или [ I Еа~ )} обобщенных собственных векто-
векторов Н, связанных с векторами I Ей > уравнениями Липпмана —
Швингера A.1 ±).
Уравнение Липпмана — Швингера является уравнением для век-
векторов I а± > и может решаться итерациями (см. разд. VIII. 1). Оно
имеет также формальное решение. Для двух обратимых операто-
операторов А и В легко устанавливается следующее соотношение
Частным случаем этого соотношения является соотношение
1 1 = 1 1
Е- Н ±Ю Е - К ± Ю Е -Н ± Ю Е - К ± Ю ' A'21 ±)
Применяя это соотношение к VI а * > и используя затем дважды
уравнения A.1 ±), получаем «решение»
|а±> = 1а>+^7Тюк|а>- A'22±)
Операторным аналогом уравнения (XIV.5.20) является уравнение
ё^тпгю - т^кпд - -2Ш(Е ~ Н)> а23)
которое вместе с A.22+) и A.22-) позволяет связать друг с дру-
другом собственные векторы I а+ ) и I а~ ) оператора Н:
\а+У-\а-у= -2niS(Ea- Н)У\аУ. A.24)
Формальное решение A.22±) не слишком полезно на практике, но
оно участвует в одном из способов введения S-матрицы, с которым
мы встретимся в разд. XV.3.
XV.2. ИН-СОСТОЯНИЯ И АУТ-СОСТОЯНИЯ
В этом разделе мы обсудим смысл индексов + и — у обобщенных
собственных векторов I Еа+ > и I Еа~ > точного гамильтониана
Я = К + V. При этом мы будем рассматривать описание чистых
состояний в терминах векторов состояния; результаты затем легко
переносятся на статистические смеси, описываемые статистическим
оператором.
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 471
Рассмотрим сначала воображаемый случай, когда нет взаимо-
взаимодействия между пучком и мишенью. Это означает, что пучок про-
проходит сквозь мишень, не подвергаясь никакому воздействию. В
простейшем случае потенциального рассеяния это означает, что по-
потенциал выключен. Эволюция вектора состояния Ф@> описываю-
описывающего эту воображаемую ситуацию, определяется свободным га-
гамильтонианом К:
Ф(г) *= е ~ 1К'Ф (Ф = Ф@)). B.1 +)
Он называется свободным вектором состояния, а состояние, кото-
которое он описывает, — свободным состоянием. Чтобы упростить об-
обсуждение, мы предположим, что Ф есть собственный вектор с соб-
собственными значениями а = (ах, а2, ••-, ак) тех операторов Ах, А2,
..., Ак, вместе с которыми К образует п.с.к.н. (Мы предполагаем,
что собственные значения операторов А^, А2, ..., Ак дискретны.)
Иногда, чтобы подчеркнуть приготовление Ф(?)в собственном со-
состоянии операторов Ai% мы будем писать Ф(я, t) вместо Ф@- Рас-
Распределение вероятности получить собственные значения энергии Е
при измерении К на состоянии Ф равно
<£а|Ф><Ф|£а> = |<£а|Ф>|2. B.2 + )
Предположим, что распределение по энергиям описывается функ-
функцией Ф(Е), которая связана с (Еа I Ф> соотношением
ф(Е) = 2пра(ЕКЕ а\Ф>, B.3 + )
где ра(Е) — нормировочная функция для обобщенных собственных
векторов К и обобщенных собственных векторов Н (см. (XIV.2.9а)
и (XIV.2.96)). Таким образом, мы предполагаем, что состояние
Ф@ приготовлено в некоторый момент времени таким образом,
что при t = 0, а следовательно, для любого момента времени / оно
характеризуется распределением вероятностей
<£<3|Ф@><Ф@|£а> = <£<3|Ф><Ф|£<3>
= Bпра(Е)У2\ф(Е)\2 B.4 + )
для собственных значений Е оператора энергии К. Состояние Ф
может быть записано в терминах обобщенных собственных векто-
векторов I Ей > оператора К:
ф = ф@) = Грв(£)</£<£<3|Ф>|£а> = ^- f dE ф(Е)\Е а}.
B.5 + )
472 Глава XV
Свободный вектор состояния в любой момент времени / равен
Ф(г) = е~шФ = ^jdEe-iEt(t>(E)\Eay. B.6 + )
Рассмотрим теперь вектор состояния
ф+ =<p+@) = i- [йЕф{Е)\Ей+У = [ра(Е)йЕ(Ей\ФУ\Ей+\
B.7 + )
где I Еа + > — обобщенные собственные векторы оператора Н, свя-
связанные с обобщенными собственными векторами I Ей > оператора
К уравнением A.1+ ). Распределение энергии Н для состояния Ф +
равно среднему значению «оператора» £ff< I Eat+ ){Еа'+ I:
B.8 + )
(Мы использовали разложение для Ф+ B.7 + ) и условие нормиров-
нормировки (XIV.2.96) для I Еа+ >.) Таким образом, распределение вероятно-
вероятностей получения значения Е при измерении Н на состоянии Ф+ та-
такое же, как распределение вероятностей получить значение Е при
измерении свободного оператора энергии К на (воображаемом) со-
состоянии Ф (или Ф@)« Для любого другого момента времени t, бо-
более позднего или раннего, эволюция от состояния или к нему под
влиянием взаимодействия описывается формулой
ф+{1) = е~ш'Ф+ = J- [AЕе-1Е1\Еа+Уф(Е). B.9 + )
Вектор Ф+ (О называется точным вектором состояния. Состояния
Ф+@ и Ф(/) имеют одинаковые квантовые числа а и одинаковые
распределения по энергии Ф(Е); различие между ними состоит в
том, что эволюция Ф+@ управляется точным гамильтонианом Н
и описывает эволюцию истинного состояния, а эволюция Ф(/)
управляется свободным гамильтонианом и описывает эволюцию
того же состояния так, как если бы взаимодействия не было.
Связь между Ф+@ и Ф@ устанавливается подстановкой урав-
уравнения Липпмана — Швингера A.1 + ) в интеграл B.9+):
Ф+@ " Тп
_ K
B.10 + )
Здесь 0@ — единичная ступенчатая функция
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 473
Первый член в B.10+) определяется формулой B.6 + ); вычисление
второго является чисто математической задачей, и оно проведено
ниже (после B.20—)). Используя результат этого вычисления, полу-
получаем
Г00
Ф + (г) = Ф(г) + dt' Gn(t - t')V<&+(t'), B.11+)
J-co
где
B.I2 + )
<213>
Предположим теперь, что мы переходим в B.11 + ) к пределу
t — — оо. При взятии предела мы всегда имеем t < t' для любого
t', так что подынтегральное выражение обращается в нуль. Таким
образом
Ф+(г)-Ф@ при г-+-ОО. B.14 + )
Это означает, что если в отдаленном прошлом, когда взаимодейст-
взаимодействие не было эффективным, состояние было приготовлено с рас-
распределением по энергиям ф(Е) (а также с квантовыми числами а),
то это состояние будет эволюционировать таким образом, что в
момент времени / оно будет определяться формулой B.9 + ). Следо-
Следовательно, Ф+(/) описывает состояние, эволюционирующее из со-
состояния Ф(/)> приготовленного в отдаленном прошлом, когда взаи-
взаимодействие V было неэффективно. Приготовленное таким образом
состояние называется им-состоянием:
Ф@ = Ф'п(г)[ = Ф'п(я, 0] • B.15 +)
В отдаленном будущем, когда взаимодействие V также перестает
быть эффективным, состояние Ф+@ описывается другим свобод-
свободным состоянием — аут-состоянием:
Фои1@О Фош(а, 0] = е-(КгФом [Фои< = Фош@)]. B.16 + )
В настоящей ситуации, когда точное состояние Ф + (/) задается сво-
своим поведением в отдаленном прошлом Ф'п(/)> аут-состояние неиз-
неизвестно и ничем не контролируемо, кроме нашего знания V и кон-
контроля над Фш@- Как обсуждается в следующем разделе, связь
474 Глава XV
между ин-состоянием Ф'п(/) и аут-состоянием ФоШ@ = 5Ф'"@ осу-
осуществляет оператор рассеяния 5.
Теперь мы воспроизведем приведенные выше аргументы приме-
применительно к собственным векторам I ЕЬ~ > оператора Н, участвую-
участвующим в уравнении Липпмана — Швингера
|£б"> = \ЕЬ> + т—^~^ V\eB~> B.17-)
с, — л — fU
вместо векторов I ЕЬ+ > в A.1 + ). Здесь 6 = (&,, Ь2, ..., Ьк) — соб-
собственные значения набора операторов Вх, В2, ..., Вк, которые, воз-
возможно, отличаются от операторов Alt А2, ..., Ак, но образуют с
К п.с.к.о. (Для простоты спектры Вх, В2,..., Вк предполагаются
дискретными.) Рассмотрим свободное состояние
(с1Ееф(Е)\ЕЬ), B.6-)
где функция ф(Е) описывает распределение по энергиям для
как оно будет приготовлено в некоторый момент времени. Функция
ф(Е) связана с распределением вероятности для оператора энергии
К соотношением
<ЕВ\Ч>(ф<Ч>(№Ву = Bпрь(Е)У2\ф(Е)\2. B.4-)
Функция pg(E) — весовая нормировочная функция для векторов
\ЕЬ), так же как pQ(E) была весовой функцией в условии норми-
нормировки (XIV.2.9а) векторов \Еа). Из разложения B.6-) очевидно,
что ¥@ является собственным вектором операторов В{, В2, ..., Вк
с собственными значениями 6.
Точный вектор состояния ty~(t), отвечающий ¥(/)» определяет-
определяется формулой
[dE-iEtj{E)\Eb-\ B.9-)
где I ЕЬ~ > — обобщенные собственные векторы оператора Н, свя-
связанные с обобщенными собственными векторами I Eb) оператора
К соотношением B.17 — ). Здесь такие Ф"(/)и ¥@ — состояния с
одинаковыми квантовыми числами 6 и одинаковыми распределени-
распределениями по энергиям ф(Е), но эволюция ¥~@ управляется точным га-
гамильтонианом Н, a ¥(f) — свободным гамильтонианом К. Чтобы
найти связь между 4f~(t) и *@> подставим B.17-) в B.9-) и по-
получим
*"@ = ~ \с1Ее-1Е'ф(Е)\ЕЬУ + i-
2п J 2п
frf£?-'a^(£)- ]- V\Eb~}
J E - К — iO
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 475
dEe-iEtif,(E)- 1 7гК|£Ь->. B.10-)
ZK J
17
с, — К — Ю
В результате вычисления, подобного вычислению, которое приведе-
приведено ниже для второго члена в B.10+), получаем
+ Г df Со (г - t')V4-(t'\ B.11 -)
J - оо
где
ie~iKt t < 0
' ;; B12)
Если теперь перейти в B.11-) к пределу t — + оо, то получим
при г-^+оо. B.14-)
Это означает, что если в отдаленном будущем измеряется состоя-
состояние, имеющее распределение по энергиям ф(Е) и квантовые числа
6, то в момент времени / это состояние описывалось вектором
¥~@ в B.9—). Таким образом, V~(t) описывает состояние, кото-
которое разовьется в известное состояние в отдаленном будущем, когда
взаимодействие V уже не будет эффективным. Это состояние будет
называться аут-состоянием:
¥@ = ¥ои'@[ = УотФ, 0] • B.15 — )
Поведение ¥~@ в отдаленном прошлом до включения взаимо-
взаимодействия описывается другим свободным состоянием — ин-состоя-
нием:
¥in(r)O ¥inE, г)] = е-1К"¥1П [¥'" = ¥in@)]. B.16-)
В этом случае точное состояние V~(t) задается своим поведением
в отдаленном будущем ^out(£ t), а ин-состояние неизвестно и не
контролиоуется. Связь между ин- и аут-состояниями снова имеет
вид ^out(/) = SVin(t) или, поскольку важно, что в этом случае кон-
контролируется *out@, *in@ = S-l*om(t) = S^out(t).
Таким образом, мы выяснили смысл индексов + и —. Состоя-
Состояние Ф+(а, t)— это такое состояние, которое в отдаленном про-
прошлом при выключенном взаимодействии V было приготовлено как
Ф1П(<г, t) с хорошо определенными квантовыми числами й и некото-
некоторым распределением по энергиям ф(Е). В отдаленном будущем оно
снова перейдет в свободное состояние— аут-состояние Фои1@> но
это состояние уже не будет простым, поскольку оно определяется
476 Глава XV
не только приготовлением, но и процессом рассеяния. Состояние
V~F, t) — это состояние, которое в отдаленном будущем при вы-
выключенном взаимодействии V является свободным состоянием
^6Ut@ с простым распределением по энергиям ф(Е) и хорошо
определенными значениями 6 других квантовых чисел. В отдален-
отдаленном прошлом Ч~{6, t) также является свободным состоянием
Vm{t), но его свойства должны быть более сложными. Поскольку
в экспериментах по рассеянию контролируется поведение системы в
отдаленном прошлом, для описания экспериментов по рассеянию
естественно использовать состояния Ф+(я, t).
Наши результаты можно суммировать в виде интегральных
уравнений для точных состояний Ф+ (a, t) и ¥~F, t), выражаю-
выражающих их через контролируемые свободные состояния Ф'п(я, t) и
*outF, t):
Ф+(а, г) = Фы(й, 0 + f df G0+(r - 1')УФ+(а, г'), B.18 + )
J - оо
4>-(b,t) = 4fout(b,t)+ Г dt'Go(t-t')V4'-(Btt'). B.18-)
J - оо
(Можно также написать соответствующие интегральные уравнения,
выражающие Ф+(a, t) через Фои1(а, t) и V~F, t) через ¥'"(& t),
но так как состояния Фот(я, /) и Ф1ПF, t) не контролируются, эти
уравнения имеют мало смысла.)
Предыдущие результаты легко распространить по линейности
на случай смеси. Точное состояние, которое описывалось в отда-
отдаленном прошлом статистическим оператором
n, 01, (
тп
имеет вид
W+{t) = X ниФЖ, 0><Фп+Я, 01, B-20 + )
а точное состояние, описываемое в отдаленном будущем статисти-
статистическим оператором
W~\t) = I ниЧТА,, ОХЧГА, 01, B.19-)
имеет вид
^ I А, 01- B.20-)
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 477
Рассмотрим теперь чисто математическую задачу доказательст-
доказательства того, что выражения B.11 ±) следуют из B.10±), пользуясь ре-
результатами теории распределений, в частности результатами, каса-
касающимися преобразований Фурье обобщенных функций.
[Преобразование Фурье g = F[g] функции g(t) определяется
формулой1)
9(Е) = FE[g(t)] = Г dteiEtg(t). B.21)
J - со
Обратное преобразование Фурье F~' имеет вид
= ^ Г dEe-iEtg(E). B.22)
Строго говоря, формула B.21) является определением «хорошей»
функции. Преобразование Фурье обобщенной функции /, задан-
заданное линейным функционалом /(^) = (/, ¥), обозначается через
(F[f\> F№\) = 2тг(/, V). Но поскольку правила фурье-преобразо-
ваний при правильной их интерпретации сохраняются и для обоб-
обобщенных функций, можно не обращать внимания на эти математи-
математические тонкости и использовать формулы B.21) и B.22) также и
для обобщенных функций [2]. В частности, всегда выполняется со-
соотношение
9 = F~l[g] = F-llF[gn = F[F-l[g~]l B-23)
В пространстве фурье-образов функций трансляции реализуются
очевидным образом
д(Е - £') = FEle-iEtg(t)l B.24)
Если мы используем B.24) для фурье-образов
£pfl B-25±)
обобщенных функций 0( + О и 0( — /), то получим
1 iE B.26 ±)
E - E' ± Ю
Свертка f * g двух функций fug определяется формулой
(/ *9)(t) = Г dt'f{t - t')g(O B-27)
J - on
'* Заметим, что математическое определение преобразования Фурье из работы
[2] мы используем только здесь. Это сделано для облегчения сравнения соответству-
соответствующих формул.
478 Глава XV
и имеет особенно простой фурье-образ1*
B.28)
или, что эквивалентно,
F-llfsf]=f*9- B-29)
Используя изложенные математические факты, докажем теперь
эквивалентность вторых слагаемых в выражениях B.10+) и
B.11 + ). Если мы вычислим скалярное произведение Ф+@ B.10+)
и произвольно выбранного базисного вектора \ а') = \Е'а') из
/Г-базиса (точнее, если мы" рассмотрим значение функционала
1Ф*(О)еФхх =Фв точке < а' I е Фх), то получим
\dEe<№ i -
2п J E — Е + Ю
х (a'\V\EU+y. B.30 + )
Из уравнения B.9+) следует, что
=^- (dEe-iEt<f>(E)<a'\V\EU+y
2п J
или, что эквивалентно,
ф(ЕКа'\У\Ей + У = ^£[<а'|К|Ф+@>]. B.32 + )
Теперь мы видим, что второй член в правой части B.30+) есть об-
обратное преобразование Фурье от произведения двух фурье-образов
(см. B.26 + ) и B.32 + )). Используя B.29), мы можем переписать
B.30+) в виде
-i П dt'ei+it-oy-"^
J — 00
х <а'|К|Ф+(О>- B.33 + )
Поскольку I а' > — произвольный вектор из А^-базиса, мы показа-
показали, что
|Ф+(Г)> = |Ф@> + Г dt'GZ(t-t')V\<b+(t')\ B.11+)
J - оо
!) Это утверждение для случая обобщенных функций нуждается в некоторых по-
пояснениях (см. [2], т. 2, гл. III).
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 479
к чему мы и стремились. Эквивалентность вторых членов в B.10—)
и B.11—) может быть показана таким же вычислением.
Как видно из B.26±), операторы
= +ie(±t)e~iKt
являются обратными фурье-преобразованиями резольвент
G$(E) = (E-K± /О) B.34)
оператора К. Оператор G£(t) известен как запаздывающая функ-
функция Грина, а оператор Gq(O — как опережающая функция Грина.
(В физике различие между функцией g(t) и ее фурье-образом
g(E) = FE[g(t)] не всегда отражается в терминологии, так что
резольвенты G£ (£) иногда также называют «функции Грина», как
упоминается в разд. VIII. 1. Физики часто производят дальнейшее
упрощение обозначений и пишут Gq(E) вместо G^(E). В этом слу-
случае аргумент функции указывает на то, идет ли речь о функции или
о ее фурье-образе.)|
Операторы G£(/) являются свободными функциями Грина в от-
отличие от точных функций Грина, определенных формулами
{-\-ip~iHt t < 0
+ " ' |<°; B.35-)
Эти последние функции Грина можно использовать для записи фор-
формальных решений уравнений B.18 + ) и B.18 — ):
Ф+(й, 0 = Ф{п(й, 0 + Г dt' G+(t - 1')УФ{п(й, О, B.36 + )
J - 00
^' +00
dt'G-(t-t')V¥°M(B,t'). B.36-)
- оо
Вывод этих формул, который мы оставляем в качестве упражне-
упражнения, следует параллельно выводу B.11 ±) (или, что то же самое,
B.18±)), за исключением того, что при выводе последних исполь-
используются уравнения Липпмана— Швингера A.1 + ) и B.17 —), а при
выводе первых — формальное решение A.22+) и формальное реше-
решение для I Еб~ >, отвечающее A.22).
В заключение одно замечание. Наши аргументы не зависели от
того, что Ф'п(/) предполагался собственным вектором Ф1П(а, /) one-
480 Глава XV
раторов Alt А2, ..., Ак, а ¥out — собственным вектором ФомF, t)
операторов /?,, Bj, ..., Вк. Все уравнения для чистых состояний (в
отличие от статистических смесей), следовательно, справедливы по
линейности, если не требовать, чтобы Ф'п(/) и ^out@ были соб-
собственными векторами операторов Ах, А2, ..., Ак и ВиВ2, ..., Вк со-
соответственно.
XV.3. ОПЕРАТОР 5 И ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ МЁЛЛЕРА
В экспериментах по рассеянию состояние приготавливается до то-
того, как налетающая частица и мишень начинают взаимодейство-
взаимодействовать друг с другом, и состояние регистрируется после того, как они
перестают взаимодействовать друг с другом. Таким образом, в экс-
экспериментах по рассеянию ин-состояния переходят в аут-состояния.
Оператор, который описывает такое преобразование, называется
оператором рассеяния или S-оператором. Для каждой физической
системы, участвующей в столкновении, мы постулируем существова-
существование унитарного оператора S, преобразующего ин-состояния в аут-
состояния. S-оператор настолько непосредственно связан с наблюда-
наблюдаемыми величинами (например, сечениями), что знание этого опера-
оператора немедленно приводит к предсказанию свойств наблюдаемых.
Как отмечалось в разд. XIV.4, концепция 5-оператора имеет
смысл даже в том случае, когда генератор временных трансляций
Н не определен и не существует аксиомы о временной эволюции
(аксиома V в гл. XII). Если оператор Н не определен, то не опреде-
определены также ни его* обобщенные собственные векторы I а± >, ни
точные состояния Ф+@ и V~(t). Но состояния Ф'п и фои\ описы-
описывающие приготовленное и регистрируемое состояния, и оператор
S:<pin -> фош = 5Ф;п, C.1)
преобразующий приготовленные (а следовательно, контролируе-
контролируемые) ин-состояния Ф'п в неконтролируемые состояния Фош, по-
прежнему являются осмысленными понятиями. Если аксиома вре-
меннбй эволюции имеет место (а в нерелятивистской квантовой фи-
физике нет фактов, указывающих на обратное), то S-оператор и его
матрица E-матрица)
0Fout, S<Din) C.2)
могут быть выражены через более фундаментальные и менее непо-
непосредственно наблюдаемые величины.
Мы проделаем это, более точно определив 5 через ранее введен-
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 481
ные величины. Квадрат модуля матричного элемента
(Т"(М),Ф+(«, 0) (З.з)
дает вероятность обнаружить состояние Уг~F, t), которое наблюда-
наблюдается после выключения взаимодействия V как состояние ¥out(£, t) в
том случае, когда состоянием системы является Ф + (а, t), которое
было приготовлено до включения взаимодействия как состояние
Ф'п(а, t). Таким образом, матричный элемент C.3) описывает веро-
вероятность перехода из начальной конфигурации, имеющей квантовые
числа а и распределение по энергиям ф(Е), в конечную конфигура-
конфигурацию, имеющую квантовые числа 6 и распределение по энергиям
ф(Е). Получим сначала выражение для C.3) в терминах ин-состоя-
ния Ф1П и аут-состояния ¥out. Чтобы это сделать, используем фор-
формальные решения B.36+) и B.36-)
Г
J -
Г
J - о
dt' G + (t ~ ПУФ>п(П C.4 + )
dt'G-(t - r')KT0Ut(t'), C-4-
уравнений B.18 + ) и B.18-). Из уравнений B.6±) и B.15±) следу-
следует,
ф'"(г') = «?-•■*<«'-'>Ф1П(О C.5 + )
и
Т0Ш(П = е ~ *"'" ()T0Ut(r). C.5 -)
Эти выражения можно подставить в подынтегральные выражения
в C.4 + ) и C.4-) и получить
Ф+@ = П + Ф'п@ C.6 + )
и
T~(f) = ft~Tout@> C.6 — )
где мы определили волновые операторы Мёллера
/»+оо
ГЛТ / i^ I Jti /^±(t ti\ |/_- |'К(Г - f)
14 = У + I ЯГ О (Г — Г JKe
^ - оо
= / + ij " dt'G±(t-t')VGl(t' -t)
/• + оо
= / + / Jr"G±(-f")KG(?(r"). C.7 ±)
J-oo
Hil -31
482 Глава XV
Из C.6±) немедленно следует, что смеси W+ (t) B.20+) и W~ (t)
B.20-) связаны со смесями Wm(t) B.19+) и W°ut(t) B.19-) соот-
соотношениями
i+f C.8 + )
W-(t) = Q-Woul(t)u-* C.8-)
Подставляя C.6±) в C.3), получаем
(Т"E, 0, Ф + («, 0) = (ToutE, 0, £Г ЧГФ'п(а, 0). C.9)
Последнее уравнение наводит на мысль использовать
SsQ-ЧГ C.10)
в качестве определения оператора рассеяния.
Последнее выражение для П* в C.7±) показывает, что й* не
зависят от времени, что в свою очередь означает, что S не зависит
от времени. То же справедливо для матричных элементов C.9), по-
поскольку для Ф + @ справедливы две формулы
Поскольку { Ф|П} порождает пространство физических состояний,
мы приходим к заключению, что
e-i"'Q± =Q±e-iKt. C.11+)
(Соотношение C.11 + ) следует из приведенных аргументов; анало-
аналогичные аргументы приводят к C.11-).) Аналогично получаем так
называемые соотношения переброса
Нп±=п±К. C.12 + )
Тогда легко показать, что
[5, К]=0, C.13)
следствием чего является независимость от времени матричного
элемента C.9):
С¥~Ф, t), Ф+(а, 0) = (ToutF, 0), e+iK'Se-iKWn(a, 0))
= (ToulE, 0), 5Ф'п(а, 0)). C.14)
Следует заметить, что уравнение C.13) можно интерпретировать
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 483
как утверждение о сохранении энергии при переходе от ин-состоя-
ния Ф|П к аут-состоянию ¥out.
Если подставить B.6 + ) и B.9 + ) в левую и правую части урав-
уравнения C.6+) соответственно, то получим
~ j
dE e~iEt(t)(E)\ Ea+) = ^~(dE е~1Е'ф(Е)п + \Еа}.
Поскольку ф(Е) может быть любой «хорошей» функцией, то
п+\Еа} = \Еа + }. C.15 + )
Уравнения B.6-), B.9 — ) и C.6-) можно использовать таким же
образом, чтобы получить
п~\Еа} = \Ea~y. C.15-)
Поскольку мы предположили асимптотическую полноту системы
(уравнение A.19)), мы можем заключить, что операторы Мёллера
Q+ и fi~ отображают пространство физических состояний ^на
пространство состояний рассеяния ^cat:
п+Ж = О.~Ж = Жклх. C.16)
Другими словами, область определения обоих операторов й+ и 0~
есть все пространство Ж, но образом пространства Ж при отобра-
отображении операторами Q+ и п~ является (обычное, если существуют
связанные состояния), подпространство ^cat.
(Оператор А называется изометричным, если он сохраняет нор-
норму векторов, т. е. если
(фф ( C.17)
для всех векторов ф. Эквивалентное определение состоит в том,
что оператор А удовлетворяет условию
А*А = I. C.18)
Если А удовлетворяет более сильному условию
AU = 1 и АА^ = I, C.19)
то оператор А унитарен. Унитарный оператор А определен на
всем пространстве J^n имеет ^областью значений, т. е. осущест-
осуществляет взаимно однозначное отображение Жъ Ж Унитарный опера-
оператор всегда изометричен, но не наоборот. 1
Поскольку п±Ж= Ж%саХ обычно не совпадает со всем про-
пространством &, мы не должны ожидать, что операторы Мёллера
унитарны, но они, как мы сейчас покажем, изометричны.
484 Глава XV
Подставляя
(которая следует из B.9 + )) в формулу B.18 +), получаем
Oin(f) = Ф+@ - Г dt'GUt - t')Ve-iHlt'-4 + (t)
J - оо
= (i + i J At' G0+(f - t')VG-(t' - г)) Ф+@ C.20)
dt" GZ(-t")
Вторая строчка следует из определения B.35-) функции Грина
G~(t) и из того факта, что функция G£(t — t') не равна нулю
только при t — t' > 0. Из определений B.12±) и B.35±) функций
Грина и эрмитовости операторов К и Н легко показать, что
V = G+(t) C.21a±)
= G^i-t). C.216 + )
Используя формулы C.21 ±) и определение C.7 + ) оператора 12 +,
запишем C.20) в виде
Ф'п@ = (/ - i Г dt" G + (-t")VGo (t")\ Ф+@ = Q + t<D+@- C.22 + )
Но Ф + @ = Q + Qin(t), так что
Ф'п(г) = Q + tQ^in(r).
Мы не использовали какие-либо свойства вектора Ф'"@» кроме то-
того, что его можно разложить по обобщенным собственным векто-
векторам I Еа) оператора К, так что Ф'п@ является произвольным эле-
элементом пространства Ж Следовательно,
П + ЧГ=/, C.23 + )
т. е. оператор П+ изометричен. Подобным же образом получаем
П-^п- = I. C.23-)
Причину неунитарности оператора fl* легко указать. Из
C.15=*=) и (XIV.2.11) получаем
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы
485
= nscat = / — nbnd,
где
C-24±)
C.25a)
nbnd = lKXaJ C.256)
п
являются проекторами соответственно на подпространства состоя-
состояний рассеяния ^cat и связанных состояний ^nd. При унитарном
дефекте Wbnd, не равном нулю, т. е. в присутствии связанных со-
состояний I ап), операторы fl* могут быть только изометричными,
но не унитарными.
Сопряженные операторы Миллера П±+ отображает ^cat обрат-
обратно на пространство Ж\ точнее, они аннигилируют подпростран-
подпространство <^nd пространства <Ж= J%nd © J^^ и отображают его до-
дополнение <%f%caX обратно на <%?'.
О = 0' C.26±)
C.26'±)
или эквивалентно
C.27 ±)
Теперь мы можем доказать, что оператор S унитарен:
- ПЬпа)П- = / C.28а)
- nbnd)Q+ = /. C.28b)
При записи уравнений C.28) мы использовали определение C.10)
оператора S, изометричность C.23±) операторов П* и уравнения
C.24±) и C.26±). Чтобы уравнения C.28) имели смысл (на самом
деле, чтобы определение C.10) оператора S имело смысл), мы
должны предположить, что область определения оператора й± +
равна области значений йт+ = п*Л?, или, другими словами, асимп-
асимптотическую полноту в форме C.16). На этом пути мы доказали,
что S-оператор, определенный в C.10) и C.7±) в терминах V и К,
унитарен.
486 Глава XV
Мы определяем S-матрицу как матрицу [ Saa,} оператора рассе-
рассеяния в ЛГ-базисе:
Saa. = (a\S\a'} = <а\п~1П+\а'} = <а'\а' + у. C.10')
Таким образом, 5-матрица является матрицей преобразования
между двумя базисными системами A.16+) и A.16—) пространства
состояний рассеяния ^ел\
Ю = I \а'-)(а"\а + ) = £ \E'a'-}<E'd'\S\Ea). C.10")
Е'а' Е'а
Используя соотношение A.24), мы можем записать Saa, либо как
Saa' = [<« + 1 - 2ni(a\VS(Ea - Н)-]\а'+}
= <а + \а' + ) - 2nid(Ea - Ea,)(a |К|а'+>, C.29)
либо как
Saa' = <а-\(\а'-} - 2niS(Ea. - H)V\a'})
= <а-\а'-} - 2niS(Ea, - Ea){a~\V\a'y. C.30)
Если мы используем формулу (XIV.2.96) (которую, наконец, дока-
докажем в конце этого раздела), то увидим, что первые члены в правых
частях C.29) и C.30) равны. Таким образом,
(a\V\a'+y = (a-\V\a'y при Еа = Еа. = Е,
(Ea\V\EU'+y = (Ea-\V\Eury. C.31)
В разд. XIV.5 мы ввели Г-матрицу на энергетической поверхно-
поверхности
У C.32)
(которая не определяет оператора) и ее расширение за энергетиче-
энергетическую поверхность
Т:а. = <а\Т + \а'У = <а\У\а' + У = (Еай\У\Еа.й'+У, C.33)
определяющее оператор Г+. Уравнение C.31) наталкивает на
мысль о другом расширении Г-матрицы, а именно
Т;а. = <fl|T-|fl'> = <а-\У\а'У = <£efl"| V\E,ff>, C.34)
определяющем оператор Т~. Матрицы { Т+а,} и { Т~а,} являются
обобщениями матрицы { Таа, (Е)} в том смысле, что
Т:п' = Т'аа. = Таа.(Е) при Еа = Еа. = Е. C.35)
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 487
Элемент 5-матрицы Saa, может быть тогда записан в виде
Saa> = <а\а'} - 2niS(Ea - Еа.)Таа.(Еа)
- Еа.) - 2niS(Ea - Ea,)Taa.{Ea). C.36)
Заметим, что вклад в S-матрицу дают Г-матричные элементы на
энергетической поверхности; элементы S-матрицы между обобщен-
обобщенными собственными векторами I Еаа) и \Еа,а') равны нулю при
Интегральное уравнение для Г*-матрицы можно получить,
подставляя в C.33) уравнение Липпмана— Швингера A.1 + ):
Т+а, = <a\v(\a'y
(к
£„, - К + Ю
= (a\V\a'}+]
Еа. - Еы. + Ю
|>^. C,7)
Уравнение C.37) можно решать итерациями (последовательно под-
подставляя правую часть):
TL- = <a\V\a'> + I<fl|gK|flr>g<g1K'fl>> + ••' • C-38)
У Еа, - Еы. + Ю
Борцовское приближение
Т?а> * <a\V\a'} = (EaU\V\Ea.U'y, C.39)
в котором удерживается только первая из итераций C.38), обычно
адекватно при высоких энергиях Еа = Еа, — Е и слабом взаимо-
взаимодействии V.
Из унитарности оператора S следует, что S-матрица также уни-
унитарна:
Y,Saa"S*a" ~ ^^а"а^а"а' = f>aa'l C.40)
а" а"
или, более подробно,
dEa..pAEa»)<EaU\S\Еа, й")<£fl, U'\S\Еа„ <Г>*
= Z \dEa.,pu.,(Ea~KEa,.u"\S\Eaay* <Ea..U"\S\Ea,U'y
1-£вО. C.40')
488 Глава XV
Подставляя C.40') в C.36), мы можем выразить унитарность
[ Saa,} в терминах матричных элементов Таа, (Е):
ПАЕ) - ТЫЕ) = -2т£рАЕ)ЪАЕ)Т1АЕ). C.41)
а"
Условие унитарности в форме C.41)" иногда называют обобщенной
оптической теоремой.
Подведем итог. Мы воспроизвели как S-матричный, так и
Г-матричный подходы, опираясь на аксиому V о непрерывной вре-
временнбй эволюции. Мы выразили S- и Г-матрицы в терминах вели-
величин, зависящих от наличия генератора временнбй эволюции Н, та-
таких, как V и I а+ > (см. C.32) и C.36)). Обобщенные собственные
векторы \Еа+) оператора Н и соответствующие состояния
I Ф + (й, 0> описывают ситуацию в процессе столкновения; следова-
следовательно, это величины, которые недоступны для экспериментально-
экспериментального определения. Напротив, обобщенные собственные векторы
\Еа) оператора К и соответствующие состояния I Ф'п(а, /)> и
I Фои1(а, 0> доступны экспериментально при первоначальном при-
приготовлении и конечной регистрации в эксперименте по столкнове-
столкновению. Эти величины вместе с оператором, описывающим переходы
между ними, являются незаменимыми при теоретическом описании
процесса рассеяния, в то время как экспериментально неконтроли-
неконтролируемые величины, такие, как I Ф + (а, /)>> являются инструментами
теории и зависят от дополнительных теоретических предположений
(например, от аксиомы V).
Теоретическое описание, основанное только на эксперименталь-
экспериментально доступных величинах, называется теорией S-матрицы. S-матри-
ца и Г-матрица на энергетической поверхности, связанные соотно-
соотношением C.36), являются тогда фундаментальными физическими ве-
величинами; более того, единственное предположение, принятое в
C.36), — сохранение энергии при переходе из ин-состояния в аут-со-
аут-состояние ([S, К] = 0). Унитарность, которая приводит к соотноше-
соотношению C.41) для Г-матрицы, является дополнительным фундамен-
фундаментальным предположением в теории S-матрицы и оправдывается
требованием сохранения полной вероятности. Другое фундаменталь-
фундаментальное предположение теории S-матрицы — аналитичность Г-матрицы
как функции энергии и других физических параметров. Приводятся
аргументы, связывающие это требование с причинностью. (Мы об-
обсудим этот вопрос в разд. XVIII.4.) В обычной формулировке, ба-
базирующейся на предположении о непрерывной временнбй эволю-
эволюции, такие свойства, как унитарность и аналитичность (в некоторой
области), выводятся из свойств операторов Н и V.
Формальная теория рассеяния и другие теоретические вопросы 489
Соображения симметрии являются для S-матрицы наиболее
ограничительными. В обычной формулировке наличие симметрии
отражается в трансформационных свойствах Н и V при различных
преобразованиях симметрии, и эти трансформационные свойства
приводят к наличию симметрийных свойств S-матрицы. (Мы обсу-
обсудим следствия вращательной симметрии в гл. XVI.) В теории
S-матрицы симметрии формулируются непосредственно в терми-
терминах симметрии S-матрицы или трансформационных свойств Г-опе-
ратора.
Если операторы V и Н известны, то обычный подход к описа-
описанию процессов столкновения является «более фундаментальным»,
хотя он и базируется на большем числе предположений. После того
как решено уравнение для Г-матрицы C.37), можно предсказывать
экспериментальные результаты. Как упоминалось в предыдущих
главах, в физике чаще встречаются с обратной ситуацией, когда
приходится угадывать по экспериментальным данным (например,
сечениям) свойства фундаментальных наблюдаемых, а затем ис-
использовать эти свойства для того, чтобы делать предсказания от-
относительно других экспериментально измеряемых величин. В такой
ситуации формулировка свойств в терминах Г-оператора ничуть не
хуже, чем формулировка в терминах V, а часто более практична.
XV.A. ПРИЛОЖЕНИЕ
Пользуясь изометричностью C.23 ±) операторов Мёллера
fi±tj]± = д просто доказать два равенства, которые использованы
в гл. XIV. (Доказательство изометричности этих равенств не ис-
использует.) Уравнение (XIV.2.96) следует из C.15±) и изометрично-
изометричности:
Чтобы доказать (XIV.5.21), используем вместе с изометричностью
соотношения C.15 + ) и C.8 + ):
= <a\Win(t)\a'); (П.2 + )
подобным же образом можно доказать соотношение
} = <b\W0UXt)\b'>. (П.2-)
490 Глава XV
Покажем, наконец, что член II в (XIV.2.17) равен нулю. Ключе-
Ключевой пункт— использование уравнения (П.2+). Если подставить
(XIV.2.96) и (П.2+) при t = 0 в (XIV.2.17), то получим
И =
Ь аа'
= \p(Eb) dEb I \p(Ea) dEaр(Еа.) dE, X е-*Е°-Е"')г
J Ъ J аа'
а. - EbKEaa\Win\Ea. U'
х <Eoa\Win\EbBy
b a
Но суммирование £й производится только по тем значениям Ь,
для которых I Ь) eAJtf, а по предположению начальное состояние
W'm приготовлено таким образом, что \А) ёАЖцпя всех состоя-
состояний I А >, которые вносят нулевой вклад (wA Ф 0) в выражение
Следовательно,
И^П|Ь> = 0
для всех b в сумме, так что
11 = 0. (П.4)
Тогда вклады II как в интенсивность перехода d(A)t/dt (XIV.2.5),
так и в вероятность перехода {Л)^ (XIV.5.2), разумеется, также
равны нулю.
Глава XVI
Упругое и неупругое рассеяние для
сферически-симметричных взаимодействий
В этой главе мы получим общие результаты для сферически-симме-
сферически-симметричных ситуаций, т. е. для ситуаций, когда кроме свободного га-
гамильтониана К с оператором углового момента коммутируют так-
также гамильтониан взаимодействия V и оператор перехода Т. Для
простоты мы рассмотрим случай спина, равного нулю. В
разд. XVI. 1 обсуждается разложение по парциальным волнам и вы-
выводятся выражения для парциальных сечений. В разд. XVI.2. вво-
вводится фазовый сдвиг как следствие унитарности S-матрицы. В
разд. XVI.3 дается графическое представление парциально-волно-
вой амплитуды — диаграмма Аргана.
XVI. 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ
Многие задачи рассеяния обладают сферической симметрией. Это
означает, что как Н = К + V, так и V коммутируют с оператора-
операторами (орбитального) углового момента Lf или если рассеяние описы-
описывается оператором перехода Т, то Т (а следовательно, и оператор
рассеяния S) коммутирует с Ц:
[V,LJ = 0, [r,L,]=0. A.1)
Тогда
{X,L2,L3,^p} A.2a)
{H,L\L3,k0*}, A.26)
где i/°p и к°р обозначают внутренние наблюдаемые (их собственные
значения rj и к являются внутренними квантовыми числами), явля-
являются п.с.к.н. и их собственные векторы
\Еа113п> A-За)
492 Глава XVI
\EJ13k> A.36)
можно выбрать в качестве базисных векторов пространства физи-
физических состояний.
Векторы
\EJJ3ri + y, A.3b)
которые получаются из A.3а) при помощи уравнения Липпмана —
Швингера (XV.1.1 + ) или (XV. 1.22+), не являются в общем случае
собственными векторами A.26). Но если [V, rjop] = 0 и, следова-
следовательно, [Н, rfp] = 0, то набор операторов кор = к%р, .... л£р в
A.26) можно выбрать в виде т/ор. Тогда обобщенные собственные
векторы A.36), определенные только с точностью до произвольно-
произвольного фазового множителя, который может зависеть от квантовых чи-
чисел, могут быть выбраны совпадающими с A.3в). В общем случае
[V, ?/ор] Ф О, и тогда векторы A.3в) не являются собственными
векторами п.с.к.н. A.26) и смысл rj определяется при помощи урав-
уравнения Липпмана — Швингера, как это объяснялось в разд. XV. 1.
Еще одна п.с.к.н. включает импульс налетающей частицы Р
(или импульс Р в системе центра масс, если мишень не покоится) и
операторы внутренних квантовых чисел tj°p:
{Р19Р2,Р3,гГ}- A-4)
Соответствующий базис состоит из обобщенных собственных век-
векторов импульса
1р*>. A.5)
Дополнительные квантовые числа т\ = Ц, tj2, ..., rjk) могут отно-
относиться к внутренней структуре мишени, или налетающей частицы,
или их обеих. Например, если мишенью является атом водорода,
то Н будет иметь квантовые числа п, j, j2 и ж, характеризующие
состояние электрона в атоме водорода (см. гл. VI и IX). Согласно
A.2), [Ljf rfop] = 0; тем самым мы исключаем возможность того,
что t\ включает квантовые числа внутреннего углового момента.
Тогда полный угловой момент равен орбитальному угловому мо-
моменту с компонентами Ь(, и мы избегаем усложнения, связанного
со сложением внутреннего и орбитального угловых моментов, что-
чтобы получить полный угловой момент. Большинство встречающих-
встречающихся в эксперименте процессов содержат по крайней мере один внут-
внутренний угловой момент, но для понимания принципиальных вопро-
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 493
сов, обсуждаемых в этой главе, легче сначала опустить несущест-
несущественные усложнения, связанные с наличием внутреннего углового
момента.
Простейший случай, который мы можем обсудить, — рассеяние
бесструктурной налетающей частицы на бесструктурной мишени.
Можно ли рассматривать частицу и (или) мишень как бесструктур-
бесструктурные, зависит от используемых энергий. Если, например, мишенью
является атом гелия, то она может рассматриваться как бесструк-
бесструктурная для энергий налетающей частицы, меньших, чем энергия
первого возбужденного состояния, и рассматривать квантовые чис-
числа т/ нет необходимости. Если энергия налетающей частицы сравни-
сравнима с разностью между уровнями энергии атома гелия, то структуру
мишени необходимо учитывать, a t\ будет включать квантовые чис-
числа п, j, y3, 1С (синглет или триплет) атома гелия.
Мы хотим выразить матричный элемент1*
оператора перехода Т по отношению к импульсному базису A.5) в
терминах матричных элементов Т по отношению к базису углового
момента A.3а). Для этого разложим I р?/> по базису углового мо-
момента:
= 1 (pn(E)dE\Ell3r,y(Ell3r,\9r,y. A.7)
Определение коэффициентов перехода < рт? I Е11гт\ > = {Е11гу\ I p*j>*
является задачей, подобной задаче о нахождении волновых функций
< X I nlm) атома водорода, которая обсуждалась в разд. VII.3. Вме-
Вместо формулы (VII.3.5) имеем ее аналог
<рг,\ЦфУ = -1-€..кР^(рврфрг1№Х A.8)
откуда следуют аналоги формул (VII.3.63') и (VII.3.6'). Здесь
(рврфр) — сферические координаты вектора импульса р. Вместо
«радиального уравнения» (VII.3.7) или (VII.3.1) имеем
3г1>, A.9)
что является следствием (нерелятивистского) соотношения (см.
XIV.5.31)
к AЛ0)
') Смысл помещения квантовых чисел в круглые скобки объяснен в разд. XV. 1.
494 Глава XVI
между оператором энергии К, импульсом Р и внутренней энергией
Кш. Хотя этот пункт ранее не обсуждался, масса частицы может
зависеть от квантовых чисел т\ системы; эта зависимость позволяет
рассматривать случаи, когда вылетающая частица отличается от
падающей. Из A.9) и аналогов формул (VII.3.6') и (VII.3.63') следу-
следует, что коэффициенты перехода имеют вид (см. (VII.3.11))
(рврфрп\ЕИ3г,У= W)s(e -£-- Е^ У11з(вр, фр). A.11)
Функция /п(р) определяется (с точностью до фазового множителя)
условием нормировки (XIV.2.9a) обобщенных АГ-собственных век-
векторов \Е11гг)), поскольку
рп{Е)~ЩЕ - E')du.Sl3l. =^El
sin ep dp dep
-^- £■"') Yni@p, фр)
ч - E')SwShry A.12)
В этом вычислении использована формула (VII.3.16), а интегриро-
интегрирование по р проводилось1) с использованием подстановки
£ = p2l2mn - Еу, Р = р(е) = у/Ще +
|2 S(e - ЕЩЕ' - с)
= тп Jlmn(E - Е?)\ fn{p{E))\2d{E' - Е). A.13)
Для положительного квадратного корня в A.13), представляющего
модуль импульса как функции от энергии, использовано следующее
обозначение:
- £*-). A.14)
'' При вычислении этого интеграла можно также использовать математический
формализм для 5(/(х)), развитый в работе [2], т. 1, разд. II.2.5.
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 495
Уравнение A.12) вместе с
р„(Е) = т„р„(£) A.15)
из (XIV.5.18a) дает
\fME))\ = P№~1, A-16)
так что при подходящем выборе фазы для обобщенных собствен-
собственных векторов I р?7> коэффициенты перехода A.11) равны
-^-- Е*А ¥11з(вр,фр). A.17)
Из уравнения A.1) видно, что Т— скалярный оператор; его
матричные элементы по базису углового момента тогда равны (ис-
(используется теорема Вигнера — Эккарта (V.3.6))
(Е11гчь\Т\Е' Г Ггг,А> = (Г 1'гОО\Иг>(Е1г1ь\\Т\\Е' Г г,А>
= SwShl,iElrjb\\T\\E'lrjAy. A.18)
Используя в A.6) формулы A.7), A.17) и A.18), получаем
x <Elr,b\\T\\E'lr,Ay Ylh(Ub)Y*3(QA), A.19)
где UA = pA/\pA\ = (sin 0^ cos 0^, sin 0^ sin ф^, СО80Л) — направле-
направление импульса падающей частицы, а пь = pb/\pb\ = (sin0ftcos</>ft,
sin0ftsin</>ft, cos0ft) — направление регистрируемой частицы. Если
выполнить суммирование £; , пользуясь теоремой сложения
(VII.3.26) 3
+ / 9/ 4- 1
Z Уи№ът№А) = —— р,(пь • аА) A.20)
для сферических гармоник, то формула A.19) принимает вид
r,^, A.21)
где 0 — угол между пА и пь (см. рис. XIV.3.1) и где])
2
. \ Г А . pint /1 T>a"\
/л) = ^ 1- Еп , A.22а)
2т,4
'* Отметим изменение обозначений: здесь £^ обозначает полную энергию, в то
время как в разд. XIV.5 ЕА обозначала (кинетическую) энергию налетающей части-
частицы.
496 Глава XVI
b) = ^ f E*. A.226)
Приведенный матричный элемент (Еь1щ И Т\\ЕА1г}А > зависит от
энергии и внутренних квантовых чисел rjb и t\A, но не зависит от на-
направления. Как и ожидалось, для сферически-симметричной задачи,
для которой начальные условия выделяют только направление пА,
Г-матричный элемент A.21) не зависит от угла ф вокруг направле-
направления пА.
Выражение A.21) доказывает утверждение, предшествующее и
обосновывающее определение (XIV.5.63). Записанная в терминах
амплитуды рассеяния, формула A.21) при щ = т\А и Еь = ЕА при-
принимает вид
Т(рл, в) = £B/ + l)Pl(cose)(-nm)h(EAlrlA\\T\\EAlr,A>. A.2Г)
i
В выражениях для сечения (например, (XIV.5.38), (XIV.5.50) и
(XIV.5.60)) и в любой другой физической величине множитель
8(ЕЬ — ЕА) появляется как следствие закона сохранения энергии
(см. (XV.3.13)). Следовательно, имеют физический смысл только
приведенные матричные элементы
<У1ь\\ЧЕА)\\пАУ = <£„ = ЕА1щ\\Т\\ЕА1г,А> A.23)
на энергетической поверхности, т. е. при Еъ — ЕА. Закон сохране-
сохранения энергии в нерелятивистском случае выражается соотношением
рл/2тА + Е£ = ЕА = ЕЬ = рЦ2ть + Eg. A.24)
В нерелятивистских столкновениях обычно ть = тА, но равен-
равенство Е^1 = £jnt не выполняется, кроме случая упругого рессеяния.
В дальнейшем мы детально исследуем случаи, когда детектируемая
частица такая же, как налетающая, так что ть = тА, но сначала
выведем выражение для сечения в общем (бесспиновом) случае.
Дифференциальное сечение рассеяния в единичный телесный
угол при рассеянии из начального состояния с импульсом рА и
внутренними квантовыми числами и\А в состояние с внутренними
квантовыми числами щ равно (см. (XIV.5.60) или (XIV.5.61') в кон-
конце разд. XIV.4)
\Pb(Eb)dEb\<Eb0b4>br,b\T\pA0A<l>Ar,A>\
^ @
dQb Pa
х 3(Eb - EA). A-25)
Используя формулу A.21), можно записать da^b/dub в терминах
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 497
приведенных матричных элементов A.23):
°ПЬ = ^2~~h2Pb(EA)\ £ B/ + l)P,(cos 0)<,,Ь||7ХВД^>|2. A.26)
<Юь Pa
i
Зависимость импульса регистрируемой частицы рь = pb(Eb, щ) от
Еь(= ЕА) и щ имеет вид
Рь(Ел) = \/2тъКЕл ~ £Чь); A-27)
она определяется из A.24) или A.14).
Дифференциальное сечение A.26) можно представить как ряд по
полиномам Лежандра Р{, но ответ имеет сложный вид (это сделано
в разд. XVIII.8, где такое разложение используется для фазового
анализа). Поэтому мы приведем только выражение для полного се-
сечения, которое просто выражается через приведенные матричные
элементы. Используя свойство ортогональности полиномов Ле-
Лежандра
I
') = 2/TT<V' A-28)
получаем для полного сечения
гЧъ
-I'
A.29)
Это выражение наталкивает на мысль определить 1-е парциальное
сечение
апь s 4n3r^h2pb(EA)Bl + ЦК^гаадН^)!2 A-30)
Ра
писать полное сечение в виде
а*1ъ = ^<т1ь. A.31)
I
Сечения а]ь и о^ь в A.30) и A.31) являются соответственно парци-
парциальным и полным сечениями для рассеяния из состояния с внутрен-
внутренними квантовыми числами rj = rjA в состояние с внутренними кван-
квантовыми числами rj = т\ь. Часто детектор регистрирует не только
состояния с точно заданными квантовыми числами г\ь, но все со-
состояния со значениями rj в некотором интервале. Это происходит,
например, в том случае, когда rj — внутренние квантовые числа ми-
461-32
498 Глава XVI
шени, а детектор регистрирует рассеянные частицы с любой энер-
энергией. Налетающая частица может возбудить ядро до любого внут-
внутреннего состояния t) при соответствующей потере кинетической
энергии, а детектор не может различить неупруго и упруго рассеян-
рассеянные частицы. В этом случае 1-е парциальное сечение равно
1)^Ръ(ЕА)\<г,ь\\ЧЕА)\\г,АУ\2, A.32)
пь Рл пь
а полное сечение равно
* = 1*"ь = 1<г/ = 1>?ь. A.33)
1Ь I tlbl
Вместо приведенных матричных элементов < т\ь К Т{(ЕА) N ч\А >
удобно использовать «амплитуды парциальных волн» (парциально-
волновые амплитуды). Они часто используются в нерелятивистской
теории рассеяния (особенно в случае упругого рассеяния), и выра-
выраженные через них формулы немедленно переносятся на случай реля^
тивистской теории. Предположим теперь, что начальное состояние
фиксировано заданием внутренних квантовых чисел начального со-
состояния г]А, относящихся обычно к состоянию с наинизшей энерги-
энергией. Парциально-волновые амплитуды определяются по приведен-
приведенным матричным элементам соотношением1*
Т%А(ЕА) = Т?*(рА) = -п^/^^Мг1ь\\ЧЕА)\\г1Ау, A.34)
где импульсу выражен через ЕА и -цА формулой A.22а) и черезрь,
£int и £int формулой A.24). Для описания упругого рассеяния до-
дополнительных квантовых чисел щ не требуется; в этом случае
щ = rjA и можно просто написать2^
/^пЧлУ- A-35)
Парциально-волновую амплитуду Т}ъ(рА) для случая неупругого
рассеяния (щ Ф rjA) часто называют парциально-волновой ампли-
амплитудой реакции в отличие от парциально-волновой амплитуды для
11 Мы восстановили здесь множитель h, который был положен равным единице
в предыдущих формулах для сечений. В A.21') множитель в правой части равен h.
При А = 1 единицы длины — сантиметры эквивалентны обратным единицам
импульса — эрг • с/см или эВ/с, а сечение имеет размерность квадрата обратного
импульса вместо размерности площади.
2) Мы будем опускать индекс rfA, относящийся к внутренним свойствам началь-
начального состояния, всюду, где это не вносит путаницы в обозначения.
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 499
упругого рассеяния Т((рА). В терминах парциально-волновых ам-
амплитуд дифференциальное сечение A.26) имеет вид
donb Рь(Ел)
A.36)
dub рА
а 1-е парциальное сечение A.30) записывается в виде
А)\\ A.37)
T (
Ра
Для /-го парциального сечения упругого рассеяния A.32) имеем тог-
тогда
а, (упругое) = *р = 4яB/ + 1)| Т&А)\2, A.38)
а для /-го парциального сечения неупругого рассеяния имеем
4тг
а, (неупругое) = £ ^ = — B/+ 1) £ рь(ЕА)\ ТГ(рА)\2. A.39)
Ра
Конечный импульс рь(ЕА), участвующий в написанных выражени-
выражениях, может быть выражен через начальный импульс и разность на-
начальной и конечной внутренних энергий:
pb(EAJ/2mb = pA/2mA - (Е? - Ef). A.40)
S-матрица, выраженная через Г-матрицу (на энергетической по-
поверхностиI), имеет вид
<ЕЬ I /3 t]b\S\EA X /'з Г1л> = <ЕЬ I h rjb\EA I' 1'ъ rjA>
- 2niS(Eb - EAXEA ll,rjb\T\EAr Г3 rjA>. A.41)
Сферическая симметрия, которую первоначально выражали уравне-
уравнения A.1), может быть также выражена в виде
[5, LJ = 0. A.42)
Таким образом, S — скалярный оператор; согласно теореме Вигне-
ра — Эккарта, он имеет матричные элементы вида
<ЯЬ//3^|5|^П'3^> = SwSl3li(Eblr,b\\S\\EAlr,Ay. A.43)
Из закона сохранения энергии (уравнение XV.3.13))
[S, К] = 0 A.44)
Операторы S и Т подробнее обсуждаются в разд. XV.3; выражение A.41)
тождественно (XV.3.36). Если гл. XV при первом чтении, пропущена, читатель мо-
может считать A.41) определением S-матрицы.
500 Глава XVI
следует
<Eblr,b\\S\\EAlr,Ay = 5(Eb - Еа)р^ЕаГ112МЕлУ1
A.45)
где pv(E) дается формулами A.14) и A.15). Выделение весовых
функций рй~1/2 и рА1/2 является следствием принятого определения
< щ II S, (ЕА )WvA> (но не определения < щ II Т, (ЕА) II т\А >). Это упро-
упрощает последующие выражения (например, условие унитарности в
терминах 5- и Г-матриц, которое непосредственно переносится на
релятивистский случай). После, подстановки A.18), A.23), A.43) и
A.45) связь A.41) приведенных матричных элементов S и Г прини-
принимает вид
<ПъШЕа)\\Па> = Кпл ~ 2niy/p^EA)pA(EAKrib\\4EA)\\riA>- A-46)
Выраженное через парциально-волновые амплитуды, это соотноше-
соотношение имеет вид
A.47)
для упругого рассеяния и
SHEa) = <rib\\Si(EA)\\rjAy = 2iJpb(EA)pAT1»(pA) (rjb Ф rjA) A.48)
для неупругих реакций.
XVI.2. УНИТАРНОСТЬ И ФАЗОВЫЕ СДВИГИ
В предыдущем разделе мы выразили сечение через матрицы пере-
перехода, а также через парциально-волновые амплитуды (формулы
A.25) и A.36)). Единственным использованным условием было
предположение о сферической симметрии A.1). Это позволило вы-
выразить сечение через некоторые известные функции от угла рассея-
рассеяния и парциально-волновых амплитуд. Для данной задачи рас-
рассеяния парциально-волновые амплитуды можно найти только при
известном потенциале, так же как амплитуды рассеяния могут
быть найдены по потенциалу решением интегрального уравнения
(XV.3.37). Но существует общее условие, которое позволяет нам
узнать некоторые общие свойства амплитуды рассеяния. Это уни-
унитарность S-оператора, которая отражает сохранение полной веро-
вероятности и является следствием эрмитовости гамильтониана (для
случая, когда временная эволюция генерируется гамильтонианом,
как следует из аксиомы V).
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 501
Унитарность оператора рассеяния (см. (XV.3.28)I)
SfS = / (и 55Т = /) B.1)
записывается в базисе углового момента в виде
Lb(Eb)dEb<Ell3ii\S^\Ebll3rjb){EbllirJb\S\EAl'r3rjA)
Чзпь
= <ЕЩг}\ЕАГГ3г,А> = рА(ЕАУ1д(Ё - ЕАMи.дХъ1,д-Щл. B.2)
Используя A.43) и A.45), получаем условие унитарности для приве-
приведенных 5-матричных элементов
I <ПьШЕАШ*(Пь\\ЧЕл>\\Пл> = W B3)
Чъ
Для частного случая у = уА уравнение B.3) может быть записано в
виде
\Sl(EA)\2+ £ \<Чь№ЕА)ЪЧл>\2 = 1, B-4)
Чъ*Чл
где суммирование ^^ проводится по всем возможным значениям
%, кроме щ = у\А. Подставляя A.47) и A.48) в уравнение B.4), по-
получаем условие унитарности, выраженное через парциально-волно-
вые амплитуды:
= PaWpJI2 + 1 Рь(Еа)\ТПРа)\2. B.5)
Чъ*Чл
Уравнение B.5) является «обобщенной оптической теоремой»
(XV.3.41), записанной в парциально-волновых амплитудах. Первый
член в правой части отвечает упругому рассеянию, второй член
описывает процессы с неупругими реакциями.
Для данного эксперимента по рассеянию суммирование в B.3) и
B.5) ограничивается такими значениями, которые допустимы при
заданной начальной энергии. Если кинетическая энергия налетаю-
налетающей частицы меньше, чем энергия, необходимая для возбуждения
мишени, т. е.
pA/2mA < EJ - ££ (щ ф Па)
l) Для случая, когда не предполагается, что временная эволюция генерируется
гамильтонианом, B.1) принимается как один из фундаментальных постулатов отно-
сительно S-оператора
502 Глава XVI
(для «бесконечно тяжелой» мишени, которая всегда находится в со-
состоянии покоя), то налетающая частица может рассеиваться толь-
только упруго и все матричные элементы (г\ь У S{(EA)Vi г\АУ равны нулю
при щ Ф у\А. При этом говорят, что открыт только «упругий ка-
канал». Например, если в е — Н-рассеянии кинетическая энергия
электрона р2/2т меньше разности энергий основного и первого
возбужденного состояний Е(п = 2) — Е(п = 1), то энергетически
допустимо только упругое рассеяние
е + Н-»е + Н,
так что открыт лишь упругий канал. При возрастании кинетичес-
кинетической энергии начального электрона достигается значение, выше ко-
которого энергетически возможно перевести мишень в ее первое воз-
возбужденное состояние т/j с потерей налетающей частицей соответст-
соответствующего количества кинетической энергии. Эта точка является по-
порогом неупругого процесса. Пороговый импульс для бесконечно тя-
тяжелой мишени определяется соотношением
Когда импульс рА выше этого значения, как (rfA И S{(EA) И цА >, так
и (t\x\S^E^Xi\A) отличны от нуля. В этом случае говорят, что
открылся «неупругий канал». При дальнейшем возрастании началь-
начальной кинетической энергии становятся возможными другие неупру-
неупругие процессы, и все большее число приведенных 5-матричных эле-
элементов в B.4) становятся отличными от нуля.
Встречаются разные типы неупругих каналов. Простейшими яв-
являются каналы возбуждения, в которых внутреннее состояние нале-
налетающей частицы (мишени) не меняется, а мишень (налетающая ча-
частица) переходит из начального состояния в возбужденное. Индек-
Индексы г\А и i)b обозначают тогда различные квантовые числа мишени
(налетающей частицы). (Если налетающая частица также является
системой с внутренней структурой, а ее квантовые числа описыва-
описываются набором г), то -эти квантовые числа остаются неизменными.)
В примере е — Н-рассеяния каналы с возбуждением — это конеч-
конечные состояния процесса
е + Н(и = 1) -► е + И*(п > 2).
Пороговая энергия для этого процесса равна I Е(п = 1) — Е(п = 2) I.
Если начальная энергия еще возрастает, то мишень может ионизо-
ионизоваться, т. е. мишени может быть сообщена энергия, при которой
она разделяется на две чаетицы; тогда говорят, что открылся «ка-
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 503
нал с ионизацией». Для е — Н-рассеяния канал с ионизацией — это
конечное состояние процесса
1)^е + е + Н+,
а порог ионизации равен I Е(п = 1) — Е(п — оо)| = 13,6 эВ.
Внутренние квантовые числа % или по крайней мере их подмно-
подмножество теперь также принимают непрерывный ряд значений. В
этих случаях часто удобнее использовать для системы после столк-
столкновения другой набор квантовых чисел, отличный от набора для
системы до столкновения. Это становится еще более необходимым
для более сложных процессов столкновения, таких как столкнове-
столкновения с перераспределением, в которых мишень поглощает налетаю-
налетающую частицу и испускает другую. Простым примером такого про-
процесса в атомной физике является процесс
у + Не -» Не+ + е.
Для более сложных исходных систем число возможных каналов
возрастает, например, при столкновениях атомов Не с протонами
возможны следующие каналы:
Н+ +Не->Н+ + Не (упругий канал)
-> Н+ + Не* (канал с возбуждением)
->Н+ +Не+ + е (канал с ионизацией)
->Н+ +Не + * + е (канал с возбуждением и ионизацией)
-*■ Н + Не+ (канал с перераспределением)
-► Н* + Не+ (канал с возбуждением
: и перераспределением).
Многоканальные процессы имеют место также в ядерной физике и
физике частиц, и именно в этих областях многоканальные пробле-
проблемы становятся наиболее важными. Например, в пион-протонном
рассеянии имеются (среди других) такие каналы:
п~ +р-»я" + р (упругий канал)
-> п~ + п° + р
->>7 + п
-К0 + Л
-> я" + р*
504 Глава XVJ
(if и К0 — мезоны более тяжелые, чем т-мезон; п и Л — нейтрон и
«странный» барион Л, который тяжелее протона и нейтрона; р* —
возбужденные состояния протона).
Все каналы рассеяния (т. е. упругий канал и все неупругие кана-
каналы) открыты одновременно, если энергия достаточно высока.
Этим каналам рассеяния отвечают различные конечные состояния,
отличающиеся своими квантовыми числами т)ь, и суммирование в
B.4) и B.5) должно распространяться на все открытые, т. е. энер-
энергетически разрешенные, каналы. Взаимодействие, конечно, может
быть таким, что открытый канал, например rfs, дает малый вклад
в соответствующую парциально-волновую амплитуду, т. е. что
матричный элемент I <т/^В Sl(EA II т\А > I мал или равен нулю даже
для энергий выше пороговой для канала r\g. Это детальные свойст-
свойства взаимодействия («динамика»), которые требуют новой информа-
информации.
Предположим сначала, что все неупругие каналы закрыты.
Уравнение B.4) тогда принимает вид
\ЧЕА)\2=\. B.6)
Таким образом, для упругого рассеяния St(EA) является функцией
ЕА (или, что то же самое, рА) с модулем, равным единице, и, сле-
следовательно, может быть записана в виде
Sl(EA) = e2iS^; B.7)
здесь 8/(ЕА) — действительная функция, определенная с точностью
до целого кратного ж формулой B.7). Функция 8,(ЕА) по причинам,
которые мы обсудим ниже, называется фазовым сдвигом рассея-
рассеяния.
Упругая парциально-волновая амплитуда, появляющаяся в
A.47), также может быть выражена в терминах фазового сдвига:
~ ' - ~ (
л 2'Рл
Pa PaI-i tan 6jipA)
= 1 1 B.8)
Pa cot Si(pA) -Г
что в свою очередь позволяет выразить 1-е парциальное сечение
упругого рассеяния A.38) через фазовый сдвиг:
471
а, (упругое) = -г B1 + 1) sm2dt(pA). B.9)
Ра
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 505
Мы хотим обобщить формализм фазовых сдвигов на случай не-
неупругих столкновений и реакций. Если сумма по каналам реакции в
B.4) не равна нулю (т. е. если энергия ЕА достаточно велика для
того, чтобы некоторые каналы реакции были открыты), то S,(EA)
уже нельзя записать в виде B.7) с действительным 6,(ЕА), но мож-
можно параметризовать в виде1) .
St(EA) = UEA)e2i6^ B.10)
с действительными bf(EA) и щ(ЕА), причем функция т/ДЯ,,) удов-
удовлетворяет неравенству
0<т(Ел)<\. B.11)
Что это неравенство имеет место для т/,, можно увидеть, подставив
B.10) в B.4):
2 Z 11^>12 B.12)
и заметив, что
I \<г1ьШЕА)\\г,А>\2
г)ъ* Пл
не может быть больше единицы. Уравнение B.12) можно записать
в терминах парциально-волновых амплитуд реакций, воспользовав-
воспользовавшись формулой A.48):
ni(EAJ = 1 - 4рл £ Ръ(Еа)\ТПРа)\2- B.13)
Чь*Пл
Парциально-волновая амплитуда для упругого канала может
быть выражена через 57(рА) и rj,(pA) в виде (см. A.47))
ЧРл)= >(Рл) Ч'(Р> "'
2ipA lip
А
sin 2dt(pA) 1 - t]lpA) cos
2Pa 2Pa
Из A.38) и B.14) тогда следует, что 1-е парциальное упругое сече-
сечение равно
а (упругое) = \ B/+ 1)A + щ{$А)г - 2щ{$А) cos 2^)), B.15)
Ра
1) Функции ц в формуле B.10) не следует смешивать с обозначением г\ для кван-
квантовых чисел. Обозначения 6/ и i}t часто используются в физике частиц, мы использу-
используем их здесь; в других разделах физики обозначения могут быть другими, например в
атомной физике ч, часто обозначает фазовый сдвиг, который здесь обозначен &г
506 Глава XVI
в то время как из A.39) и B.13) для 1-го парциального неупругого
сечения находим
а, (неупругое) = \ B1 + 1X1 - ФаI)- B.16)
Ра
Полное 1-е парциальное сечение равно сумме этих сечений:
«г, = а, (полное) = -£ B/ + 1)A - фА) cos 2<5,(рл)). B.17)
Ра
При ^ = 1 формулы B.15) и B.17) совпадают с выражением B.9),
которое определяет <т, для случая, когда все неупругие каналы за-
закрыты и B.16) равно нулю. Из этого факта, а также из B.10) и
B.11) мы видим, что т/, является количественной характеристикой
степени неупругости столкновения, поэтому q, называется коэффи-
коэффициентом неупругости.
Полное 1-е парциальное сечение можно также выразить через
/-ю упругую парциально-волновую амплитуду, складывая A.38) и
A.39), и используя обобщенную оптическую теорему B.5):
^ = —B7 + 1Iт7](рл). B.18)
Ра
Если просуммировать B.18) по всем / и взять мнимую часть ампли-
амплитуды упругого рассеяния (в форме, полученной из A.21') и A.35))
Т(рА, 0) з £ B/ + 1)Л(со8 0)Tt(pA) B.19)
i
при в = 0, то получим
* = I *| = — £ B/+ 1) Im 7KPJ - — Im T(pAt в = 0). B.20)
i Pa i Pa
(Здесь также использовано свойство Р{ A) = 1.) Формула B.20),
связывающая полное сечение и мнимую часть амплитуды рассеяния
вперед, называется оптической теоремой.
XVI.3. ДИАГРАММЫ АРГАНА
Чтобы ближе познакомиться со свойствами амплитуд рассеяния и
их поведением при некоторых условиях, рассмотрим графическое
представление, в котором pATt(pA) рассматривается как вектор в
комплексной плоскости. Такое графическое представление называ-
называется диаграммой Аргана. Диаграммы Аргана играют особенно
важную роль в описании и обнаружении резонансов.
Упругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 507
Унитарная
окружность
-*> Re PaTl
Рис. 3.1. Амплитуда упругого рассеяния РдТ^д) в комплексной плоскости (диа-
(диаграмма Аргана).
Начнем с выражения B.14) для упругой парциально-волновой
амплитуды, которая записывается в виде
Ра Тг(рА) - \ = -^,(Рл>2'*'(Рл)- C-0
2 2
Для случая чисто упругого рассеяния (т. е. в области малых им-
импульсов, когда неупругие каналы закрыты) ^,(рА) = 1, так что
Ра^АРа) ~ '/2 — комплексное число, находящееся на окружности
радиуса 1/2. Если о({рА) варьирует в интервале 0 ^ а, ^ х (по мо-
модулю т), то рА изменяется в интервале, для которого имеется
только упругое рассеяние, и заметаются все точки на окружности.
Но в общем случае ^(рА) не принимает значений во всем интерва-
интервале 0 < ^ ^ т, поэтому рА Tt(pA) — //2 не пробегает всей окружно-
окружности при изменении рА в интервале, в котором возможно упругое
рассеяние.
Для упругого рассеяния значения
ЫРл) = 1]
C.2)
лежат на окружности радиуса 1/2 с центром в //2. Это согласуется
с оптической теоремой B.5), согласно которой lmTj{pA) ^ 0.
Окружность радиуса 1/2 вокруг точки i/2 называется унитарной
окружностью.
508
Глава XVI
Если имеет место неупругий процесс с поглощением энергии, то
Pa Ti(pA) = - — - rji(pA)e2idl(PA) \j1i(Pa) < 1]> C-3)
и точка РАТ{(рА) при изменении рА движется по траектории, лежа-
лежащей внутри унитарной окружности. На рис. 3.1 приведен график
(диаграмма Аргана) для рА Т{(рА). Окружность называют «унитар-
«унитарной», поскольку вследствие условия унитарности C.3) траектория
точки PATt(pA) должна лежать внутри этой окружности. Точная
форма траектории точки рА Т{(рА) зависит от конкретного взаимо-
взаимодействия. Наиболее важный* случай применения этих диаграмм —
резонансное взаимодействие налетающей частицы и мишени. Мы
рассмотрим такие ситуации в разд. XVIII.8.
Диаграммы Аргана могут быть также построены для парциаль-
но-волновой амплитуды Т]ь(рА) неупругого канала (щ Ф и\А).
Парциально-волновую амплитуду Т]ь(рА) (или приведенный 5-мат-
ричный элемент <т/6И 5/(^I rjA >, связанный с ней соотношением
A.48)) представляют в форме, аналогичной B.10)J):
' 1 1 к ,лЬ, ,
(та
♦•Re о
Рис. 3.2. Амплитуда а = V/?fc(ЕА) рАТ}ь(рА) для рассеяния из катла цА в неупругий
канал щ. В этом случае центр окружности лежит в начале координат и на амплиту-
амплитуду имеется ограничение lal ^ 1/2.
'* Здесь rjb, tjA — внутренние квантовые числа (канаяы):
упругости в канале ч\ь (см. C.4)).
— коэффициент не-
неУпругое и неупругое рассеяние для сферически — симметричных взаимодействий 509
Унитарность S (B.3) или B.4)) налагает ограничения
0 < tfCpJ < 1) C.5а)
и, согласно B.12),
(J I Ч2 = \. (з.5б)
На диаграмме Аргана для этого случая а = ^РъЩаУРа 1а
движется как функция рА по траектории, которая лежит внутри
окружности с центром в начале координат и радиусом 1/2
(рис. 3.2). (Траектория лежала бы на окружности, если бы не было
ни упругого, ни неупругого рассеяния в каналы с квантовыми чис-
числами, отличными от rjb.)
Глава XVII
Свободные и точные радиальные
волновые функции
В этой главе рассматриваются пространственные свойства процес-
процессов рассеяния, описываемые волновой функцией. В разд. XVII. 2
вводится дифференциальное уравнение (уравнение Шредингера) для
радиальных волновых функций. В разд. XVII.3 представлены реше-
решения свободного радиального волнового уравнения и перечислены
некоторые их свойства. Свойства точных радиальных волновых
функций, в частности их асимптотическое поведение и связь с фазо-
фазовыми сдвигами и 5-матрицей, обсуждаются в разд. XVII. 4. В
разд. XVII. 5 устанавливается связь между связанными состояния-
состояниями и полюсами 5-матрицы на положительной мнимой полуоси. Не-
Некоторые сведения о функциях комплексной переменной, которые
Требуются в этой главе и в гл. XVIII, даны в математическом при-
приложении.
XVIII. 1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих разделах мы рассмотрели некоторые свойства ам-
амплитуды рассеяния и сечений, которые следуют из весьма общих
предположений, таких, как унитарность и сферическая симметрия.
Мы вывели соотношения между фазовыми сдвигами, коэффициен-
коэффициентами неупругости, парциально-волновыми амплитудами и /-ми пар-
парциальными 5-матричными элементами. Были получены формулЪ1
для сечений в терминах этих величин. В Нашем обсуждении мы не
рассматривали нигде пространственные характеристики процесса
рассеяния; в частности, мы не использовали координатно-зависи-
мых величин, таких, как вероятностная волновая функция.
Вместе с тем вероятностная волновая функция дает иллюстра-
иллюстрацию пространственной 'картины рассеяния. В самом деле, именно в
пррцессе рассеяния воднрвая функция имеет непосредственную,
связь с наблюдениями, поскольку она описывает вероятности изме-
измерений координат, которые могут быть осуществлены. (Для стацио-
стационарных состояний такие измерения провести нельзя — это обсуж-
обсуждалось в первой половине книги; волновая функция является здесь
только вспомогательной математической величиной.)
Свободные и точные радиальные волновые функции 511
В этой главе мы вводим волновую функцию. Как и в предыду-
предыдущих главах, мы рассмотрим две точки зрения. Предположим снача-
сначала, что временная эволюция системы генерируется гамильтонианом
Н — К + V. Это дает нам «более глубокое» обоснование соотно-
соотношений между непосредственно измеряемыми величинами. Однако
затем мы видим, что эти соотношения имеют более широкую об-
область применимости.
Помимо того что в этой главе вводится волновая функция, в
ней также устанавливается связь между нашей более общей беско-
бескоординатной формулировкой теории рассеяния и обычной формули-
формулировкой, использующей решения волнового уравнения Шредингера.
Последняя получается непосредственно, если не рассматривать
внутренние квантовые числа у.
Хотя уравнение Шредннгера во многих случаях (когда имеется
потенциал взаимодействия) является мощным инструментом, одна-
однако оказывается, что интегральное уравнение для волновой функции
(которое в действительности является уравнением Липпмана —
Швингера в координатной форме) находит более непосредственное
применение.
XVII.2. РАДИАЛЬНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Мы начнем с уравнения Липпмана — Швингера в базисе углового
момента
\Ell3fi*y = \Ell3r,y + Е _ 1к + ,о У\Е11Ъ п + У
Предполагается, что оператор координаты налетающей частицы
относительно мишени Q коммутирует с внутренними наблюдаемы-
наблюдаемыми системы iyop:
Юь >Г] = 0.
Вычисляя скалярное произведение уравнения Липпмана — Швинге-
Швингера и собственного вектора обобщенных координат
\xrj'} = \ххх2хъг]'У = \гвфг]'\
находим
+\ B.1)
512 Глава XVII
где (гвфг\г I ЕИъц) и (гвфг}' I Ell3ri+ > называются свободной и
точной волновыми функциями соответственно.
После рассеяния вектор координаты налетающей частицы х и
импульс р направлены одинаково (см. рис. XIV.3.1.):
х/|х| = р/|р|. B.2)
Таким образом, @, ф) — угловые координаты как вектора х, так и
вектора р. Вследствие сферической симметрии, пользуясь теми же
аргументами, которые привели к формуле (VII.3.П.), можно запи-
записать
<г0фч'\Е113г1У = <вф\113>(г п'\Ец\
= У11ъ(в,ф)дпп.<г\ЕУ!, B.3а)
<гвфг,'\Е113г, + > = <ej\ll3)(rr,'\Eri + >l
^Е^У,. B.36)
Приведенные матричные элементы V*/2 <rl E)] и
Vt/2 </•*?' I ffy"), называются свободной и точной радиальными
волновыми функциями соответственно1*.
Пользуясь теоремой Вигнера — Эккарта для скалярного опера-
оператора V, получаем
<гвфг1'\У\ЕИ3г, + >=
где < Ёц+Ъ КII Erj+ ){ — приведенный матричный элемент операто-
оператора V. Таким образом,
^*^ B.3в')
где мы определили приведенный матричный элемент перехода
УШ Ei\+ >, в терминах приведенных матричных элементов
^Матричный элемент (ri\r \Ег\+ >; в общем случае нельзя записать в виде
(г\Е+ >'5„', поскольку условие [Н, jj°p] = 0 может не выполняться. Таким обра-
образом, I Ег\+ > не обязательно является собственным вектором jj°p. Это имеет место
только в том случае, когда [Н, jj°p] = [ V, jj°p] = 0. См. замечание после уравнения
(XVI. 1.3).
Свободные и точные радиальные волновые функции 513
оператора V соотношением
Приведенный матричный элемент зависит только от /, г, Е, г)' и т/.
Для сферически-симметричных задач V является операторной функ-
функцией от оператора радиуса Q & (Q2I/2. В общем случае он также
зависит от внутренних наблюдаемых, т. е. от операторов, изменя-
изменяющих внутренние квантовые числа т/.
Используем равенство [ Q, V] = 0, чтобы записать
<rtl'\W\\ffi> = <r\?><f,'\\\V{r)\\\Jj\
где < г I г > — 5-функция по отношению к непрерывному суммиро-
суммированию по f , а <т/' III К(гI11 i)' > — дважды приведенный матрич-
матричный элемент, зависящий только от г, rf и т/'Г). Следовательно,
Выполняя суммирование по г и подставляя полученный результат
в B.3в'>, получаем
B.3в)
Используя те же рассуждения, которые привели нас к B.3в'), мож-
можно также показать, что
Х , + ) = ГЦд@, l
B.3г)
Используем теперь формулы B.3), чтобы получить дифференци-
дифференциальное уравнение Шредингера для радиальной волновой функции.
В разд. XVI 1.3 мы рассмотрим дифференциальное уравнение для
свободной радиальной волновой функции. Затем в разд. XVII.4 из
1J Это утверждение можно рассматривать как теорему Вигнера — Эккарта для
группы, генерированной действием Q на оператор V, являющийся скалярным опе-
оператором на этой группе.
514 Глава XVII
уравнения Липпмана— Швингера для волновой функции B.1) мы
получим интегральное уравнение для радиальной волновой функ-
функции. Преимущество интегрального уравнения перед дифференциаль-
дифференциальным состоит в том, что первое учитывает граничные условия; в
этом конкретном случае граничные условия соответствующего
уравнения Липпмана — Швингера для I Ed+ >, как обсуждалось в
разд.XV.2, отвечают свободному начальному состоянию.
Предположим, что исходный пучок содержит налетающие час-
частицы одного вида, масса которых т в процессе рассеяния не ме-
меняется. Тогда дифференциальное уравнение получаем при вычисле-
вычислении матричного элемента перехода оператора Н = К + V =
= Р2/2т + K'mt(r}op) + К, где Р— оператор импульса налетаю-
налетающей частицы:
Е(гвфг}'\Е11ъц + )> = (г6фц'\Н\Е11ъц + У
= (гвфг}'\(Р2/2т + Kint+ V)\Ell3rj+)
2m \r2 dr\ dr
(второе уравнение следует из (VII.2.6) и (VII.3.4) и является анало-
аналогом уравнения (VII.3.7)).
Используя выражения B.3а) — B.3в) в B.4), получаем систему
связанных дифференциальных уравнений
4f|£iy + >l = 0, B.5)
где
р,{Е) = ^/2т(Е - £?•)• B.6)
Чтобы решить эту систему уравнений, надо знать приведенные
матричные элементы потенциала <т;'111 К(гIНт;>. Они зависят,
разумеется, от конкретного исследуемого процесса. Например, в
многоканальной задаче упругого и неупругого рассеяния электронов
на атомах эти приведенные матричные элементы определяются ку-
лоновским взаимодействием и атомными волновыми функциями1 >.
1( Для случая рассеяния электронов на атомах водорода это обсуждается в книге
[48], т.1, разд. 7.1. Более общий случай рассмотрен в книге Смита A971), разд. 2.1.
Свободные и точные радиальные волновые функции 515
Мы не будем здесь обсуждать подробнее многоканальные
задачи1^, а ограничимся рассмотрением случая
[К,^] = 0. B.7)
Тогда задача сводится к одноканальной задаче для каждого значе-
значения т/ (т.е. для каждого набора значений внутренних квантовых чи-
чисел). Чтобы провести приведение, используем сделанные выше за-
замечания и запишем
W\\\V(r)\\\fj} = S^V^r). B.8)
Поскольку теперь мы имеем [ Н, т/ор ] = 0, мы можем также запи-
записать
<г^|£^+>г = ^<г|£ + >?. B.9)
При этих условиях система уравнений B.5) переходит в совокуп-
совокупность расцепленных уравнений, по одному для каждого канала т/:
?7г
2 j I ' j) 2 ^""riV/ "г Уц\*^; |\' I*- // — 0. B.10)
В последующих разделах мы рассмотрим свойства радиальных
волновых функций <rl Е + >у. Хотя Ущ{г) может зависеть от т/, а р*
может отличаться от 2 тЕ = р2 на различные константы 2 m *nt,
индекс т/ несуществен, поскольку не меняет процесса рассеяния. По-
Поэтому в большинстве последующих формул мы его опустим и вос-
восстановим только в конце, чтобы подчеркнуть тот факт, что могут
иметься дополнительные квантовые числа.
XVII.3. СВОБОДНОЕ РАДИАЛЬНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Уравнение для свободной радиальной волновой функции <Н E)t
можно получить из уравнения на собственные значения для опера-
оператора К
тем же способом, каким B.5) получено из B.4). Оно отличается от
уравнения B.5) только тем, что отсутствует член, содержащий V, и
тем, что, поскольку [ К, т/Ор] = 0, то
<r^|£^ = ^<r|£>?. C.1)
Таким образом, имеем
-?Ь Г* -^^ + ^К^>? = 0, C.2)
!) Мы вернемся к многоканальной задаче в гл. XX.
516 Глава XVII
где р - р^{Е) s \12т{Е - Е[*х). Мы будем писать <Н Е)] -
= (г\р)]. Уравнение C.2) — это хорошо известное уравнение, ли-
линейно независимыми решениями которого являются сферические
функции Бесселя и Неймана. Решение, регулярное при г — О, кото-
которому пропорциональна волновая функция <Н p)lf есть сферическая
функция Бесселя (сферическая функция Бесселя первого рода, или
функция Рикатти — БесселяI >:
zdz
а решение, сингулярное при г — 0, есть сферическая функция Ней-
Неймана (сферическая, функция Бесселя второго рода, или функция
Рикатти — Неймана):
л = 0 п-
Здесь Ji+i/2(z) и /_/_i/2(z)— обычные функции Бесселя первого
рода.
Сферические функции Ханкеля, определенные формулами
Ч*) = №) + w,(z), C.5а)
щ(г\ C.56)
также являются независимыми решениями уравнения C.2). Заме-
Двойной факториал определен как
'п (п — 2)...E) C) A) при п нечетном,
(п (п - 2)...(
п !! =<
С л (л - 2)...(
(я - 2)...D) B) при п четном.
Дальнейшие свойства сферических функций Бесселя и их доказательства см. в книгах
[49, 50].
Свободные и точные радиальные волновые функции 517
тим для последующего использования, что все приведенные соот-
соотношения справедливы также и для комплексных значений z.
Асимптотическое поведение функций уД z), nt(z) и АД z) при
действительных z — » имеет вид
1 . / Ы\
Jt(z) ~ - sin lz - — , C.6а)
z->ao Z \ 2. J
И,B) COS Z-- , C.66)
z-»oo Z \ ^ /
/2,(Z) - ^—^— ^. C.6В)
Z-* ао ^
Для последующих ссылок отметим ограничения при комплексных
значениях z:
I 1 V+1
\Ш)\ < const I 1 elIm^, (З.бг)
^ ^ImZ. C.6Д)
Вблизи начала координат имеем
Ф) - Е-B/- l)!!>-f-!. C.76)
z-0
Функции ^ нормированы условиями
J.
1
Кр» = А*р-А C-8а)
P2 dpjlpr^ipr') = ^6{r- r'). C.86)
о ^r
Сферические функции Неймана не могут быть так же нормиро-
нормированы на 5-функцию. Все сферические функции уД z), n,( z), АД z) и
АД z) удовлетворяют функциональным уравнениям
и следующему тождеству для неопределенного интеграла:
г2
г2 dr Upr)ff(p'r) = —, ^[p'fiipr)fV i(p'r) - pfi- i(pr)fT(p'r)l
J'
C.96)
Чз которого следуют условия C.8).
518 Глава XVII
Чтобы найти коэффициент пропорциональности между < г I p >, и
уД рг), вычислим нормировочный интеграл для свободной радиаль-
радиальной волновой функции (rip),. В сферических координатах норми-
нормировка на 5-функцию обобщенных собственных векторов координат
имеет вид
<х|х'> = <53(х - х') = ;j4^0 Жг - г'Щв - в'Щф - ф') . C.10)
Постановка полной системы базисных векторов дает
<х|х'> = Х \р(Е)<1Е(гвф\Е11ъ)>(Е11ъ\г'в'ф")
Иг J
\ YUi@, ф)<г\Е\ Yfl3(e\ ф')(г'\Е>Г
Иг
- в'Щф - ф') \p{E)dE
Sin о
где мы использовали соотношение (VII.3.19)
I Ytti@, ф)¥1Г3(в', Ф') = ^б(в~ 6'ЩФ ~ ФУ
lh sin v
Сравнивая это соотношение с C.10), мы видим, что нормировка ра-
радиальной волновой функции имеет вид
/<
n(F\ dF (r\ F\ <VI F\* — Mr — r'\ n 1П
или в терминах р
Г 7 1
p dp <r|p>,<r'|p>,* = -^S(r — г'). C.1Г)
J r
Поскольку волновая функция (r\p)t является решением уравнения
C.2), регулярным при г = 0, и, следовательно, пропорциональна
jf{pr), то, сравнивая C.1 Г) с C.86), находим
XVII.4. ТОЧНАЯ РАДИАЛЬНАЯ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
Точные свойства истинной радиальной волновой функции <Н Е+ >,
зависят от гамильтониана взаимодействия V через потенциалы вза-
взаимодействия Vv(r) = <Хт;1 К1хт/>. Но если К удовлетворяет неко-
некоторым весьма общим условиям, то можно сделать некоторые об-
Свободные и точные радиальные волновые функции 519
щие утверждения относительно <rl Е+ >,, не зная детальной фор-
формы гамильтониана взаимодействия V. Содержание этих условий,
грубо говоря, следующее (см., например, [51]):
1. Взаимодействие неэффективно при больших расстояниях меж-
между налетающей частицей и мишенью, т. е. если К( г) — 0, когда
г — оо. Выбор точного вида предположения относительно скорости
убывания V зависит от того, что хотят получить. Обычно предпо-
предполагают, что V{ г) убывает по крайней мере как 1/г3. Для вывода
некоторых свойств необходимо, чтобы V{ г) убывало быстрее лю-
любой степени 1/г; часто предполагается конечный радиус дейст-
действия V.
2. Взаимодействие не меняется слишком резко при приближении
налетающей частицы к мишени: потенциал V( r) является непре-
непрерывной функцией г всюду, кроме конечного числа точек, где он об-
обращается в бесконечность.
3. Существует наинизшее значение энергии (поскольку энергия
связи должна быть конечной), другими словами, спектр Н ограни-
ограничен снизу. В терминах потенциала это означает, что V{ r) не сли-
слишком сингулярен в начале координат г = О (менее сингулярен, чем
r~vl при V(r) < 0).
Почти все физические потенциалы удовлетворяют этим услови-
условиям, например потенциалы для рассеяния электронов на атомах, для
атом-атомного рассеяния, потенциал Юкавы, прямоугольный по-
потенциал и т. д. Кулоновский потенциал не удовлетворяет первому
условию и, следовательно, требует отдельного математического
рассмотрения. Но практически это не имеет большого значения,
поскольку всегда существует электромагнитное экранирование: в
действительности точного кулоновского потенциала никогда нет, а
имеется экранированный потенциал ф(г)/г, где ф( г) — 0 при боль-
больших rl\ В последующем рассмотрении мы будем считать, что при-
приведенные выше три условия выполнены в той конкретной форме, в
какой это требуется.
Если
V( г) > 0 для всех г, D.1)
то потенциал называется отталкивателъным, а если
V(r) < 0 при всех г, D.2)
то потенциал называется притягивательным2^. Если V(r) < 0 в
1J Заметим также, что любой предполагаемый потенциал V (г) есть математиче-
математическая идеализация реальной ситуации.
2) Силы, действующие между налетающей частицей и мишенью, также называ-
называют отталкивательными и притягивательными соответственно.
520 Глава XVII
некотором интервале г{ < г < г2, то V( r) называется притягива-
тельным в этом интервале. Если V{ r) является потенциалом при-
притяжения в некотором интервале, то может существовать некоторое
число решений дифференциального уравнения B.10), отвечающих
дискретным отрицательным значениям ргп/2т = Еп. Эти решения
отвечают связанным состояниям системы налетающая частица —
ядро с энергиями связи I Еп I (мы обсудим это в следующем разде-
разделе). Они должны достаточно быстро убывать при г — оо и быть
регулярными при г = 0.
Точная радиальная волновая функция <Н Е+)( = <Н/?+ >, при
р2 > 0 является решением дифференциального уравнения B.10) с
определенными граничными условиями. Они состоят в том, что
кроме регулярности (т. е. (г\р+) < оо при г = 0), при г — оо
(г\р+ >, должна совпадать с 1-й сферической гармоникой началь-
начальной плоской волны и уходящей рассеянной волны, а при К—0
<rl/7+>/ — <H/7>/ = yl2/*jl (pr) (равно допустимому решению
свободного волнового уравнения).
Вместо того чтобы решать уравнение B.10) при этих граничных
условиях (см» задачу 1), мы найдем точную радиальную волновую
функцию <Н/7+ >/ из уравнения Липпмана — Швингера B.1), кото-
которое включает граничные условия. Подставляя B.3а), B.36), B.3г),
B.8) и B.9) в B.1), получаем интегральное уравнение для радиаль-
радиальной волновой функции <Н Е+ >,:
!+ ^p{E')dE'r'2dr'(r\E'\E _ lE, + ю<г>|£>>,*К(гО<г>|£ + >,.
Определим теперь (/-парциально-волновую) функцию Грина:
>+oo .•/.
p'2dp' JIKt 'Ji;r ' , D.7)
где мы использовали тот факт, что подынтегральное выражение
Свободные и точные радиальные волновые функции 521
четно. Тогда интегральное уравнение D.3) принимает вид
<г|р->, = <г|р>, + 2т rr'2dr'Gf(r,r')V(r')(r'\p+>i
Jo
(•00
= уД/пЦрг) + 2т г'2 dr' Gf(r; r')K(r')<r'|p+>,. D.8)
Jo
Заметим, что если потенциал имеет конечный радиус действия,
то интегрирование проводится по конечному интервалу.
Функция Грина вычисляется с использованием условий C.5):
W. D.9)
p2-q2 + ie 2%).^ p2-k2 + ie
Предположим, что г' > г. Тогда благодаря асимптотическому по-
поведению функций А, в (З.бв) и (З.бг) произведение jt(gr) h,(gr')
экспоненциально убывает в верхней комплексной полуплоскости д,
и контур интегрирования в первом интеграле можно замкнуть
большой полуокружностью в верхней полуплоскости (рис. 4.1). Из
уравнений C.3) — C.5) видно, что
ji(kr) = (-1 )ljt( -кг), hf{kr') = (-1)%{- кг) ,
и, следовательно, после замены д = — к второй интеграл в D.9)
становится таким же, как первый. Мы можем теперь переписать
D.9) в виде
гр< <\ 1- f , q2ji(qr)h,(qr')
Gf(r;r) = hm — ф dq Jl™ ' JV1 '
г(«)
(Р + q)(q - Р - Ю
где T(R) — замкнутый контур, показанный на рис. 4.1. Сфериче-
Сферические функции Бесселя являются целыми функциями, а функция
g2j/(gr) h,(gr')/(p + g) аналитична внутри Г(/?), так что по
теореме Коши о вычетах1 > получаем
Gf(r,r')= -li^—UiprMpr')
Р + Р
= -iphiprMpr') (r'>r). D.10a)
Аналогичная процедура, но с заменой г на г' и наоборот, дает
1} Обзор важных результатов теории функций комплексной переменной см. в
приложении XVII.А.
522
Глава XVII
Im q
-R
Re q
Рис. 4.1. Путь интегрирования Г(/?), используемый при вычислении первого инте-
интеграла в выражении D.9). При R — <х вклад от полуокружности стремится к нулю и
остается только вклад от интегрирования по действительной оси Reg.
функцию Грина при г' < г:
Выражения D.10) часто объединяют в виде
Gf(r; г') = - ipjiipr < )h,(pr
где
r< = min(r, r') >
/•> = max(r, /•').
D.106)
D.И)
D.12а)
D.126)
Мы уже знаем асимптотическое поведение свободных ради-
гльных волновых функций (r\p>, = y/2/wj,(pr) при г — <х (см.
C.6а)). Изучим теперь асимптотическое поведение точной радиаль-
радиальной волновой функции (г\р+ >/. Используя C.6а), (З.бв) и D.106) в
D.8), получаем
2т £
^ V(r')<r'\p
~ 2ipr Iе
_ Upr-l-w/T) I i _
-Црг-1ж/2)
[r'2dr'j,ipr')V{r')(r'\p+ Ш •
D.13)
Свободные и точные радиальные волновые функции 523
Первый член отвечает падающей парциальной волне, а
второй — уходящей волне (мы обсудим это подробнее в конце дан-
данного раздела). Уходящая волна отличается от падающей множите-
множителем в квадратных скобках. Этот множитель можно связать с фазо-
фазовым сдвигом упругого рассеяния (XVI.2.7.) для любых значений
квантовых чисел у. Заметим, что если выбрать квантовые числа tj
так, чтобы выполнялось условие B.7), то матричный элемент
(г)ь\\ 5,( Е)IIг)А)равен нулю при ч\ь Ф г)А. Таким образом, для каж-
каждого значения г\ мы имеем здесь только упругое рассеяние.
Напомним теперь, что /-я парциально-волновая амплитуда,
определенная в (XVI. 1.35), (XVI. 1.18) и (XVI. 1.23), равна
ВД= -тгт<£//з|Т|£//3>= -nm(Elk\V\Eli;y, D.14)
где Е = Е{р) = р2/2 т + Emt, а индекс tj опущен. В терминах ра-
радиальной волновой функции имеем
= -пт (V2 sin0 dr dd йф <£ / 13\г в ф> <г в ф\У\Е I /3+>
= -пт\ (sin в dвdфY*h(в,ф)Ylh(в,ф)\
D.15)
Jo
где использованы уравнения B.3а), B.3в), B.8), B.9), (VII.3.16) и
C.12). Используя (XVI.1.47) и (XVI.2.7), из D.15) получаем
ЗД = еш™ = 1 +
= 1 - (ИрХу/Ъст) Г г2 drh{pr)V{r)(r\p+\. D.16)
Jo
Хотя формулы D.15) и D.16) важны сами по себе, так как они
выражают 1-ю парциально-волновую амплитуду и фазовый сдвиг
через потенциал и точную радиальную волновую функцию, их
практическая польза невелика. Это обусловлено тем, что дифферен-
дифференциальное уравнение B.10) и интегральное уравнение D.8) нелегко
разрешить относительно (r\p+)lt а также тем, что волновая
функция < г I p + >; не связана так непосредственно с эксперименталь-
экспериментальными данными, как 5,(р) и Т,(р).
524
Глава XVII
'\/V\/V\
•,/Vv'V
sin pr
pr
<r\p* >o ~ sin0>r + <*o) ПРИ г > а
Рис. 4.2. Свободная и точная радиальные волновые функции для прямоугольной по-
потенциальной ямы при / = 0.
Используем теперь D.15) и D.16), чтобы переписать D.13) в раз-
различных полезных формах:
-^)+рТ1(р)' _ D.17а)
1
Ирг
eiS,{p)
HSrtp) _ е-Црг-1п/2)} D.176)
Ы
D.17в)
{e^Stip) - (-1Уе-1рг}- D.17г)
Сравнение D.17в) с асимптотической формой свободной волно-
волновой функции, полученной из D.12) и C.6а):
sinlpr-—
РГ V 2
D.18)
объясняет, почему 5Д/?) называют «фазовый сдвиг». Взаимодейст-
Взаимодействие сдвигает фазу асимптотики точной радиальной волновой функ-
функции < г I /? "*" >/ на 8/(р) по сравнению с фазой асимптотики свобод-
свободной радиальной волновой функции < г I р)г Это свойство служит
также в качестве альтернативного определения 5/ вместо (XVI.2.7).
Фазовый сдвиг для волны с / = 0 в потенциале, имеющем форму
прямоугольной ямы, показан на рис. 4.2.
Для потенциала притяжения (такого, как прямоугольная яма на
рис. 4.2) волновая функция «затягивается» в область взаимодейст-
взаимодействия и фазовый сдвиг положителен. Точная волновая функция поки-
покидает область взаимодействия с фазой, опережающей фазу свобод-
свободной волновой функции. Для потенциала отталкивания волновая
Свободные и точные радиальные волновые функции 525
функция «выталкивается» из области взаимодействия и фазовый
сдвиг отрицателен.
Тот факт, что обычно существует такая связь между знаком фа-
фазового сдвига и знаком потенциала, лучше всего иллюстрируется в
приближении малого фазового сдвига:
ei6l(p) sin dip) « ад.
Из D.15), используя (XVI.2.8), получаем тогда для фазового сдвига.
/•0
ад « -птр
Jo
а в борновском приближении имеем
ад * -Imp Г г2 dr {/,(pr)}2 V(r).
•>о
Чтобы полностью оправдать приведенное утверждение о том,
что D.13) и D.17) отвечают падающей и уходящей волнам, мы
должны рассмотреть зависящую от времени волновую функцию со-
состояния ф+( О» развивающуюся во времени«,из приготовленного ин-
состояния.
Точная радиальная волновая функция < г I р+ >, является р-й
компонентой радиальной волновой функции собственного состоя-
состояния углового момента ф£ (t), которая эволюционирует во времени
по закону
^JftD.19)
где ф (Е) = ф (р), Е = р2/2 т — распределение энергии (им-
(импульса) в отдаленном прошлом1*.' Волновая функция этого состоя-
состояния имеет вид
D.20)
где радиальная волновая функция <г1ф + @> состояния ф+ (t) име-
имеет вид
.=' Г
D.21)
' Что состояние ф + A), связанное с базисными векторами \ЕИ+), является со-
состоянием, развивающимся из приготовленного ин-состояния, было показано в
разд. XV.2, и это не приводит здесь к каким-либо дальнейшим последствиям.
526
Глава XVII
Умножая D.17г) на V277A/2tt)<£ (E) e~iEt и интегрируя по Е,
получаем
-i(*/2)(l-l)
f
Jo
/.оо J(pr~Et)~\
- <*р&р)ЗД—— ■
Jo r J
D-22)
Таким образом, радиальная волновая функция собственного со-
состояния углового момента </>,|@ асимптотически состоит из пада-
падающей волны с исходным распределением по импульсам и уходящей
волны, в которой исходное импульсное распределение модифициру-
модифицируется величинами S,(p) вследствие взаимодействия. Выражения
D.13) и D.17) дают этот результат в зависящем от времени виде
для /7-й компоненты радиальной волновой функции, т. е. для (нефи-
(нефизического) точного собственного состояния импульса.
Асимптотический вид радиальных волновых функций D.22) и
D.17) был получен из уравнения Липпмана — Швингера в предпо-
предположении, что взаимодействие описывается гамильтонианом взаи-
взаимодействия V. Тогда S,(p) выражается через К({) формулой D.16).
Даже если не использовать аксиому временнбй эволюции, сущест-
существует унитарный оператор 5, преобразующий состояния до взаимо-
взаимодействия в состояния после взаимодействия. Если это взаимодейст-
взаимодействие имеет конечный радиус действия, то вне области взаимодейст-
взаимодействия волновая функция должна по-прежнему являться суперпозицией
падающей и уходящей волн. Следовательно, на больших расстояни-
расстояниях г радиальная волновая функция должна по-прежнему иметь вид
D.22), где 5Др) — 1-й 5-матричный элемент — является теперь
фундаментальной величиной. Поэтому р-л компонента радиальной
волновой функции (r\p+ )t должна иметь асимптотику D.17).
Таким образом, асимптотики D.17) и D.22) выведены в форма-
формализме гамильтоновой временнбй эволюции; в теории 5-матрицы
они предполагаются и являются следствием принципа суперпозиции
для волновой функции вне области взаимодействия.
Свободные и точные радиальные волновые функции 527
XVII.5. ПОЛЮСЫ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ1)
В процессах рассеяния, которые мы рассматривали в предыдущем
разделе, величина р равна модулю исходного импульса, а следова-
следовательно, положительной действительной величине. Соответственно
переменная Е = р2 /2т, отвечающая кинетической энергии (или
Е — Eim = р2 /2т, если учитывается внутренняя энергия), также
является положительной действительной величиной. Но мы знаем,
что другие значения Е также имеют физический смысл. Например,
решениями уравнения B.10) для отрицательных значений
р2 = 2тЕ являются радиальные волновые функции связанных со-
состояний, а дискретные отрицательные значения энергии Еп, для ко-
которых уравнение B.10) имеет нормируемые решения <Н Еп)п яв-
являются уровнями энергии связанных состояний налетающая части-
частица — мишень (см. обсуждение в разд. VII.3).
Тогда должна иметься возможность обобщения интегрального
уравнения D.8) (где Отдано в D.11)), следующего из B.10), на слу-
случай решений с отрицательной энергией. Такие решения можно по-
получить, рассуждая следующим образом. Заменим р комплексной
переменной z. Если Im z ^ 0, то сохраняют силу аргументы, кото-
которые привели к формуле для функции Грина D.11). (При Im z < 0
справедливы подобные же рассуждения, когда контур замыкается в
нижней полуплоскости z, и получаются аналогичные выражения с
заменой h, на h*.)
Тот факт, что формула D.11) справедлива в этом общем случае,
не означает обязательно, что уравнение D.8) также можно продол-
продолжить на область Im z > 0. Предположим, однако, что потенциал
К( г) таков, что это продолжение существует, и что Н имеет свя-
связанное состояние с энергией Е = —а2/2т- Тогда в точке z = iot
радиальная волновая функция (Н/а"), (которая как волновая
функция связанного состояния является элементом пространства
бесконечно дифференцируемых, быстро убывающих функций, реа-
!) В этом разделе, а также в некоторых разделах гл. XVIII, нам понадобятся не-
некоторые фундаментальные результаты теории функций комплексного переменного.
Эти результаты кратко перечислены в приложении XVII.А к этой главе. Читатель,
не знакомый с теорией функции комплексной переменной или желающий освежить
свои знания, может обратиться к этому приложению до прочтения настоящего раз-
раздела.
528 Глава XVII
лизующих пространство Шварца) должна асимптотически убывать
быстрее любой степени г~1, т. е. должна падать экспоненциально.
Заметим, что, согласно (З.бг), функция j,(m г) экспоненциально
расходится. Второй член в правой части уравнения D.8) ограничен
при г — оо, поскольку, согласно (З.бд), h,(iar) экспоненциально
убывает.
Таким образом, < г I /а+ >, может убывать при г — оо только в том
случае, если член </*!/?>, = ^2/vj,(pr), происходящий, согласно
D.13) или D.17а), из начального состояния, выпадает из уравнения
D.8). Когда это может произойти? Для проверки рассмотрим вме-
вместо D.8) уравнение, полученное умножением D.8) на (z — /а):
/»0О
-lizm r'Ur'Uzr^h^zr^Vir'Xz - ia)(r'\z+\.
Jo
E.1)
Уравнение E.1) тождественно выполняется при z = /а, если
только функция <rl z+ У, не имеет при z = /а полюса, т. е. если в
окрестности /а она не имеет вида])
~ <r|£ - -a2/2m>,
+ (аналитическая функция z в окрестности z = ioi). E.2)
С пробной функцией E.2) для (r\z+), из уравнения E.1) при
z = iot получаем
^i 00
г'2 dr' Jtixr^hfcoLr^Vir'Kr'lE = -a2/2m>,.
о
E.3)
В уравнении E.3) нет неприятного члена </•!/?>,, и мы имеем одно-
однородное интегральное уравнение для дискретного числа нормируе-
'* Приведенные рассуждения справедливы и для полюса более высокого порядка,
но можно доказать, что эти полюсы простые (мы этого делать не будем).
Свободные и точные радиальные волновые функции 529
мых решений уравнения Шредингера B.10) с собственными значени-
значениями Е = — а2/2 т. Таким образом, мы видим, что решение, отве-
отвечающее связанному состоянию, получается в предположении, что
волновая функция <Н z+ > имеет форму E.2), т. е. имеет полюс на
положительной мнимой полуоси импульса в точке z = iot =
= N2 т I Е I, где Е — собственное значение энергии связанного
состояния с угловым моментом Л Тогда радиальная волновая
функция связанного состояния (г\Е = -а2/2т), является выче-
вычетом в этом полюсе.
Из D.15) и D.16) можно заключить, что 1-я парциально-
волновая амплитуда и 1-й 5-матричный элемент имеют полюсы на
положительной мнимой полуоси импульсов при значениях
р = /V2 т I Е'п I, где Е'п(п = 1, 2, ... ) — дискретные собственные
значения гамильтониана Н. В теории с гамильтоновой временнбй
эволюцией этим дискретным собственным значениям отвечают
уровни энергии связанных состояний частица — мишень с угловым
моментом Л
Хотя приведенные рассуждения1* показывают, что связанному
состоянию гамильтониана с энергией Е1п отвечает полюс /-го пар-
парциального 5-матричного элемента S,(p) на положительной мни-
мнимой полуоси, обратное утверждение не обязательно справедливо:
Т,(р) и St(p) могут иметь сингулярности, которые не имеют отно-
отношения к связанным состояниям2).
Несмотря на это, гипотеза о том, что связанным состояниям с
угловым моментом / отвечают полюсы S,(p) на положительной
мнимой полуоси (и наоборот), получила широкое признание. Вза-
Взаимно однозначное соответствие между связанными состояниями и
полюсами на положительной мнимой полуоси особенно часто пред-
предполагается в таких ситуациях, когда гамильтонова временная эво-
эволюция отсутствует (релятивистская теория 5-матрицы) и не су-
существует оператора, спектральные свойства которого характеризу-
характеризуют связанные состояния.
1} Для потенциального рассеяния связь между простыми полюсами и собствен-
собственными значениями связанных состояний гамильтониана может быть сформулирована
более точно [51].
2) Эти "лишние" полюсы могут появляться в том случае, когда асимптотические
выражения в комплексной плоскости/? отличаются от D.17). Для взаимодействий с
обрезанием на конечном расстоянии, а также для потенциалов, падающих на беско-
бесконечности быстрее любой степени \/г (например, как е ~>ir), "лишние" полюсы от-
отсутствуют.
530 Глава XVII
XVII.6. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ СВОЙСТВ
АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ И ФАЗОВЫХ СДВИГОВ
Точные свойства амплитуд рассеяния и фазовых сдвигов зависят от
взаимодействия. Если взаимодействие описывается потенциалом,
то, как это было проделано для некоторых задач, можно вычис-
вычислить фазовые сдвиги и парциально-волновые амплитуды как функ-
функции энергии рассеяния. Но имеются общие свойства этих функций,
которые не зависят от конкретной формы взаимодействия. Мы пе-
перечислим их здесь.
Интегральное уравнение для радиальных волновых функций
можно проинтегрировать и получить выражение
<r\p + }t = <г|р>, + 2т jV2 dr' G^r,r')V{r'){r'\p\
+ BтJ JV2 dr' Gf(r, r')V(r') J r dr" Gf(r', r")V(r"Kr"\p>,
Подставляя это выражение в D.15), получаем ряд, содержащий сте-
степени потенциала и сферических функций Бесселя. Для слабых по-
потенциалов и высоких энергий члены высоких порядков по потенциа-
потенциалу и сферическим функциям Бесселя малы (благодаря свойству
C.6а) сферических функций Бесселя). Поэтому борновское прибли-
приближение к парциально-волновой амплитуде, которое получается удер-
удержанием в D.15) лишь члена низшего порядка:
= -пт
I Г г2 drU(pr)V(r)Hpr), F.1)
71 Jo
считается для высоких энергий и слабых потенциалов хорошим
приближением.
Асимптотическое поведение 1-го парциального 5-матричного
элемента тогда имеет вид
St(p) -> 1 при р -* оо. F.2)
Свободные и точные радиальные волновые функции 531
Это немедленно следует из D.16) при использовании борновского
приближения F.1) и асимптотики C.6а) функции jt(pr). Интуитив-
Интуитивным свидетельством в пользу F.2) является тот факт, что с повы-
повышением энергии налетающей частицы эффект заданного взаимо-
взаимодействия становится менее существенным.
Следовательно, при р — оо фазовый сдвиг 5Д/?) стремится к це-
целому кратному тт. Так как фазовый сдвиг определен в (XVI.2.7)
только по модулю тг, можно устранить эту неопределенность, по-
потребовав выполнения условия
&i(p) -> 0 при р -> оо. F.3)
Требование непрерывности 5Д/?) как функции р (что возможно, по-
поскольку функция S,(p) непрерывна) делает 8,(р) определенным од-
однозначно.
Понятно, что Sl(p) — 1 также и в том случае, когда взаимо-
взаимодействие стремится к нулю. Тогда из условия F.3) следует, что
также
► о • когда взаимодействие стремится к нулю \У(г) -» 0]. F.4)
Для заданного потенциала и заданной энергии
Т, -+ О и 5, -»> 1 при / -> оо. F.5)
На интуитивном уровне это можно понять из B.10), рассматри-
рассматривая член /(/ + 1)/2тг2 как центробежный отталкивательный по-
потенциал. Чем больше /, тем более отталкивательным является
центробежный барьер и тем менее эффективен истинный потенциал
V(r). Пусть R — радиус взаимодействия. Тогда для таких значений
/, когда /(/ + \)/2mR2 много больше кинетической энергии нале-
налетающей частицы Е = р2/2гп, проникновение налетающей частицы
в область взаимодействия маловероятно. Таким образом, для
1A + 1) > p2R2, или I > PR,
532 Глава XVII
парциально-волновая амплитуда Т,(р) пренебрежимо мала:
7](р) % 0, 5,(р) « 1, при / > pR. F.6)
Из F.6) следует, что для фазового сдвига имеем
<5, « пя, п целое , при / > pR. F.7)
Уравнения F.6) и F.7) являются важными свойствами, которыми
пользуются при записи сечения в терминах парциально-волновых
амплитуд (как в (XVI. 1.36)). Для заданного значения Е = р2/2пг
бесконечную сумму в (XVI. 1.36) можно благодаря F.6) аппроксими-
аппроксимировать конечной суммой.
Чтобы найти фазовый сдвиг при низких энергиях, обратимся к
уравнению D.15). Для малых значений р функции < г I р+ >; и j,(pr)
имеют одинаковую зависимость от р C.7а), поскольку из D.11) сле-
следует
Gf(r, г') - - ~^y при р -> 0 , F.8)
а <Н/?+>, иуД/?г) связаны соотношением D.8). Из D.15) в свою
очередь для потенциалов, которые равны нулю при г больше неко-
некоторого значения /?, следует
-Д/Р2' при р->0, F.9)
где а{ — константа, равная интегралу в круглых скобках, которая
не зависит от р, поскольку (r\p+ )i/j,(pr) — (функция от г) при
р - О1).
Постоянные а, называются длинами рассеяния. Размерность
длины имеет только 5-волновая длина рассеяния а0. Формулы F.9)
показывают, что при р = 0 все парциально-волновые амплитуды,
кроме 5-волновой, равны нулю. Для 5-волны
Т0(р)-+-а0 при р->0, F.10)
'* Если потенциал не имеет конечного радиуса действия, то требуются некото-
некоторые модификации, но можно показать, что результат F.9) справедлив для потенциа-
потенциала, убывающего быстрее любой степени \/г.
Свободные и точные радиальные волновые функции 533
и из (XVI. 1.36) и (XVI. 1.38) имеем
£ %, при р -» 0. F.11)
ail
Из (XVI.2.8) имеем
<5,(р) - пп - -alP2l + 1 при р -> 0 F.12)
и, следовательно, также
tan <5,(р) -»• -atp2l+1 при р -> 0. F.13)
Из F.13) видно, что
или что обратные им функции удобны вблизи р — 0 (там, где дли-
длины рассеяния af Ф 0 и af Ф оо). Степенной ряд для этой величины
вблизи /7 = 0 имеет вид
р2/+ ' cot <5,(р) = - - + ^ р2 + О(р*). F.14)
Тот факт, что в разложении для p2l+i cot 6,(/7) в степенной ряд
участвуют только четные степени, следует из условия 5Д — р) =
= — д,(р), установленного в (XVIII.5.7).
При / = 0 формула F.14) является очень удобным приближени-
приближением, которое называется приближением эффективного радиуса:
р cot 80(р)= -1 + ^р2. F.15)
а0 2
Постоянная г0 называется эффективным радиусом потенциала;
можно показать, что г0 (приближенно) пропорционален радиусу
действия потенциала. Формула'F.15) дает хорошее приближение
для случая энергий, малых по сравнению с потенциальной энергией,
и является одной из наиболее важных параметризаций данных по
низкоэнергетическому рассеянию, в частности для нейтрон-протон-
нейтрон-протонного рассеяния.
XVII.A. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
В этом приложении дается обзор некоторых фундаментальных ре-
результатов теории аналитических функций комплексной перемен-
переменной. Доказательства этих результатов, а также другие сведения об
аналитических функциях, можно найти, например, в книге [52],
т. И, ч. 2.
534 Глава XVII
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧНОСТИ
Функция f(z) = и + iv от комплексной переменной z = х + iy
называется аналитической в некоторой области R плоскости z, ес-
если
1) df/dz непрерывна и не зависит от направления dz в области
R (последующие условия эквивалентны этому);
2) ди/дх = dv/dy, ди/ду = — dv/dx (условия Коши—Рима-
на); эти производные также непрерывны в R',
3) §cf(z)dz — О для любого замкнутого контура С, лежаще-
лежащего в R.
Если f(z) аналитична в области R, аналитичны и производные
d"f/dzn для всех п = О, 1, 2
б. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Если функция f(z) аналитична внутри некоторой односвязной об-
области /?, то
(АЛа)
z — а
f(z) dz 2ni
(z-aT+1~ n\ J v"'- n! dzn (АЛб)
для контуров, целиком лежащих в области R и окружающих точку
а. Если исключить а, то интегралы равны нулю. (Интегрирование
предполагается против часовой стрелки.) Таким образом, значения
функции /(z) в области R целиком определяются значениями этой
функции на границе.
в. РЯД ТЕЙЛОРА
Если функция f(z) аналитична внутри и на самой окружности С с
центром в z = Zq, to /(z) можно разложить в ряд в точке z0'
f(z) = | an(z - zo)n, (A.2a)
где
an = ^/("W (A.26)
Этот ряд Тейлора равномерно сходится, если радиус С меньше
«радиуса сходимости», который равен расстоянию от z* до бли-
Свободные и точные радиальные волновые функции 535
жайшей особенности f(z), т. е. ближайшей точки, в которой f(z)
неаналитична. Наоборот, любой степенной ряд представляет ана-
аналитическую функцию в своей области сходимости.
г. РЯД ЛОРАНА
Если функция /(z) аналитична на двух концентрических окружно-
окружностях С, и С2 с центром в z0 и на кольце между ними, то для любой
точки z кольца имеется равномерно сходящийся степенной ряд
f(z)= £ an(z-z0T, (A.3a)
n= — оо
где
С — любой контур внутри кольца
д. ОСОБЕННОСТИ
Точки неаналитичности / называются особенностями /.
1. Однозначная функция / может иметь изолированные особен-
особенности следующих типов:
а) Особенность при z = а называется полюсом порядка п, если
при z —• а
где g(z) аналитична при z — а и g(a) Ф 0. Полюс порядка 1 назы-
называется простым.
б) Если /( z)(z — а)" расходится при z — а для любого конечно-
конечного п, то а -называется точкой существенной особенности функ-
функции /.
В ряде Лорана для / в окрестности полюса порядка п сте-
степень — п является наинизшей. Ряд Лорана в окрестности сущест-
существенно особой точки содержит бесконечное число членов с отрица-
отрицательными степенями.
2. Многозначная функция / (например, / = г1/2) имеет точки
ветвления, которые всегда возникают парами. В точке ветвления
z — а функция f(a + е е'ф), где е такое, что а + е е'ф не проходит
через другую точку ветвления / при всех ф, не является периодичес-
периодической по ф с периодом 2тг.
Функция, аналитичная в области комплексной плоскости, за ис-
исключением конечного числа полюсов в ней, называется мероморф-
536 Глава XVII
ит. д.
Рис. А. 1. Распространение функции, определенной на области /?,, на область
/?2 U /?3 U R4 U... путем аналитического продолжения.
ной в этой области. Если функция мероморфна во всей плоскости
z, кроме точки оо, она называется мероморфной функцией z. Если
функция аналитична во всей плоскости z, кроме оо, она называется
целой функцией.
е. ТЕОРЕМА ВЫЧЕТОВ КОШИ
Коэффициент а_} ряда Лорана называют вычетом функции /( z)*b
точке z = Zq. Если функция f(z) аналитична всюду внутри и на
границе замкнутого контура С, кроме конечного числа полюсов и
существенных особенностей, то
/•
ф f(z)dz = 2ni £ (вычетов в С). (А.5)
Jc
ж. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
Пусть две функции аналитичны в области R и имеют совпадающие
значения а) в некоторой подобласти R, или б) на линейном отрезке
в R, или в) на счетном бесконечном числе точек, имеющих предель-
предельную точку внутри R. Тогда они совпадают во всей области R. Но
если только известно, что они различаются не более чем на е в пе-
перечисленных трех подобластях, то, как бы мал ни был I e I, две
функции могут сильно различаться в остальной области R.
Приведенные выше сведения иллюстрируют область примени-
применимости аналитического продолжения. Если функция /}( z) определе-
определена на линейном сегменте Г, а /2( z) аналитична в области /?, содер-
содержащей Г, и если /, (z) = /2( z) на Г, то /2( z) — однозначное ана-
аналитическое продолжение функции /,(z) на область R.
Свободные и точные радиальные волновые функции 537
ветвления /К ^—V\"# \sm»~^J'_ Область
перекрытия
Рис. А.2. Аналитическое продолжение многозначной функции вокруг точки ветвле-
ветвления.
В том же духе можно поступить следующим образом. Пусть
функция /j(z) задана внутри круга /?р например степенным рядом
относительно центра zv Пусть /2{z)— разложение в степенной
ряд функции /j( z) вокруг точки z2 вблизи границы Rv радиус схо-
сходимости которого равен R2 и который выходит за пределы круга
Rt. Тогда значения /2(z) в R2 однозначно определены значениями
/j(z)b/?j, и/2(г) является аналитическим продолжением fx(z) в
R2. Этот процесс можно повторять несколько раз, и возникает од-
однозначное аналитическое продолжение F(z) функции fx(z) в область
/?j U /?2 U /?3 U ... (рис. А.1.). Функция не может быть аналитиче-
аналитически продолжена в области, которая содержит ее сингулярность.
После того как процесс аналитического продолжения повторяет-
повторяется несколько раз, w-й круг сходимости может перекрыться с пер-
первым. Тогда значения функции fn(z) в области перекрытия могут
совпадать, а могут и не совпадать со значениями функции ft(z).
В последнем случае функция многозначна, а окруженная кругами
область (рис. А.2) содержит простую точку ветвления этой функ-
функции.
Выше мы видели, как значения аналитической функции в широ-
широкой области комплексной плоскости определяются их значениями в
произвольно малой области аналитичности. Но аналитическое про-
продолжение не зависит от этих начальных значений непрерывным об-
образом. Следовательно, невозможно описать функцию F{ z) в обла-
области R исходя из ее значений в некоторой малой области. Хотя
функция F( z) однозначно определяется своими значениями на под-
подобласти, задача построения функции F( z) в области R по ее значе-
значениям в малой подобласти не является корректной.
538
Глава XVII
з. ПРИНЦИП ОТРАЖЕНИЯ ШВАРЦА
Если функция f(z) аналитичная в области R, включающей отрезок
действительной оси, и действительна на этом отрезке, то f(z)
может быть продолжена в область R* = { z* I z e R] и удовлетво-
удовлетворяет условию f(z) = +f(z*)]* для любых zeR U R*.
и. МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Функцию о>( z) можно рассматривать как отображение плоскости z
в плоскость со. Рассмотрим в качестве примера функцию o(z) = z2
(рис. А.З). Из рисунка понятно, что верхняя z-полуплоскость, вклю-
включая положительную действительную полуось и исключая отрица-
отрицательную действительную полуось, отображается на всю плоскость
ш. То же справедливо и для нижней полуплоскости z, включая от-
отрицательную действительную полуось и исключая положительную
действительную полуось. Таким образом, полная окружность в
плоскости z (например, efgpqr) переходит в две полные окружности
в плоскости w (например, e'f'g'p'q'r') в том случае, если исход-
исходная окружность охватывает начало координат.
Функция, обратная такой функции, как w(z), является много-
многозначной функцией. Продолжая рассмотрение приведенного приме-
примера, рассмотрим обратную «функцию»
/00 = z1/2.
Записывая z и / в полярных координатах:
z = ре{ф, f = rew,
имеем
в = ф/2.
г = р112,
а
Рис. А.З. Функция u(z) = г1: а — г-плоскость, б — ш-плоскость.
Свободные и точные радиальные волновые функции
539
с',/
\
4,
4
z-плоскость
а
f-плоскость
б
Рис. А.4. Функция f(z) — z1/2: a — г-плоскость, б —/-плоскость.
При обходе полной окружности вокруг начала координат в пло-
плоскости z, 0 ^ ф < 2тг, имеем
Л = Рте*12,
и часть покрываемой при этом плоскости /— это верхняя по-
полуплоскость, включающая ось +Яе/и исключающая ось —Re/.
Обходя начало координат плоскости z еще раз Bт ^ ф < 4тг),
точка с полярной координатой ф имеет теперь полярный угол
ф + 2тг; следовательно,
л1/2_|(ф + 2я)/2 „1/2 i<6/2
— ^ с = — ре.
Третий обход по контуру вернет нас к значению функции /j, равно-
равному /. Ясно, что / является двузначной функцией z (рис. А.4).
Таким образом, чтобы обойти начало координат в плоскости /,
требуются два обхода вокруг начала координат в плоскости z, т. е.
возникает двузначность /. С другой стороны, начиная с некоторой
точки zo( Ф 0) в плоскости z с хорошо определенным аргументом^
ф и следуя по замкнутому контуру С, мы описываем замкнутый
контур Сив плоскости /(рис. А.5). Следовательно, пока контур
не охватывает начала координат, функцию / можно рассматривать
как однозначную.
Два значения z1/2, отвечающие каждому значению z, образуют
два независимых множества, которые называются ветвями zl/2
(верхняя и нижняя плоскости zl/2). При пересечении положи-
положительной действительной оси z мы переходим от одной ветви zl/2 к
другой. Положительная действительная ось. называется линией
Точнее определенным по модулю 4тг.
540
Глава XVII
Q
a 0
Рис. А.5. Замкнутый контур для одной ветви функции f(z) = zyl: a — в г-плос-
кости, б — в /-плоскости.
ветвления. Если аналитически.продолжить одну ветвь функции zU2
по контуру, окружающему начало координат, мы окажемся в конце
концов на другой ветви. Тогда окруженная область содержит осо-
особую точку функции z1/2. Поскольку окружность может быть сдела-
сделана произвольно малой, понятно, что особой точкой является
z = 0. Эта точка называется точкой ветвления функции zy2.
В точке ветвления многозначная функция f(z) имеет одно и то
же значение для всех ветвей z. Точки ветвления всегда встречаются
парами, а линия ветвления соединяет две точки ветвления. В нашем
примере другой точкой ветвления является точка z = °°- Любая
кривая, соединяющая эти две точки ветвления, может служить ли-
линией ветвления; выбор этой линии является вопросом определения;
обычно при таком выборе исходят из соображений удобства.
к. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Теория аналитических функций, кратко описанная выше для одно-
однозначных функций, может быть распространена на широкий класс
многозначных функций при использовании геометрической кон-
конструкции, называемой римановой поверхностью.
Опишем риманову поверхность для функции f(z) = z1/2. Рас-
Рассмотрим две плоскости z, которые мы назовем Rl и R2, и опреде-
определим линией ветвления положительную действительную полуось.
«Разрежем» /?, вдоль линии ветвления (разрез) или на самом деле
«чуть ниже» ее; сделаем то же самое для плоскости R2.
Соединим теперь верхний край плоскости R2 с нижним краем
плоскости /?р а нижний край R2 с верхним краем /?}. Построенная
таким образом поверхность является римановой поверхностью для
функции z1/2 (рис. А.6).
Свободные и точные радиальные волновые функции 541
Рис. А.6. Риманова поверхность для f(z) = zx/1.
Определим теперь область изменения функции ф на поверхности
/?, как интервал 0 < ф < 2тг, а область изменения ф на R2 — как
интервал 2тг < ф < 4 тт. Таким образом, на полной римановой по-
поверхности ф принимает значения 0 < ф < 4 тт. Начиная со значения
ф = 0 в Rl и обходя точку ветвления, достигаем разреза. Пересече-
Пересечение разреза переносит нас в верхнюю область R2. Еще одно пересе-
пересечение разреза после обхода начала координат возвращает нас на R{.
Для z в плоскости RX(R2) имеем/(г) = f\(z)(J2(z))> т- е« каждый
риманов лист сложной римановой поверхности отвечает однознач-
однозначной ветви сложной многозначной функции.
Мы получили следующие результаты. Из последовательности
однозначных функций (ветвей многозначной функции /(z)), опреде-
определенных на одной и той же плоскости z, мы построили одну непре-
непрерывную однозначную функцию на римановой поверхности. Функ-
Функция f(z) теперь аналитична на всей римановой поверхности, за ис-
исключением точек ветвления, которые должны теперь рассматри-
рассматриваться как (изолированные) сингулярности.
Точка ветвления называется точкой ветвления п -го порядка, ес-
если (многозначная) функция возвращается к своему первоначальному
значению после обхода точки ветвления по крайней мере л + 1 раз.
Если этого нельзя достичь для конечных л, точка ветвления назы-
называется точкой ветвления бесконечного порядка. Таким образом, для
функции zUn точки ветвления г = 0 (и г = »)'' являются точками
ветвления порядка п — 1. Риманова поверхность имеет п листов.
Примером бесконечнозначной функции является функция
j\z) = in z
= lnp + i@ + Inn); (A.6)
!) Функция/(г ) имеет особую точку при z = », если/A/г ) имеет особую.точ-
особую.точку при z = 0.
542 Глава XVII
каждый обход точки ветвления z = 0 увеличивает величину In z на
2тг/. Соответственно z = 0 является точкой ветвления бесконечного
порядка, а риманова поверхность имеет бесконечное число листов.
Глава XVIII
Резонансные явления
Резонансные явления демонстрируют некоторые из наиболее инте-
интересных и впечатляющих особенностей теории рассеяния. В этой
главе детально обсуждается связь между квазистационарными со-
состояниями и резонансными явлениями; завершает обсуждение фор-
формула Брейта — Вигнера. В разд. XVIII.2 вводится понятие «вре-
«временной задержки» и устанавливается его связь с фазовым сдвигом.
Различные формулировки причинности даны в разд. XVIII.3.
В разд. XVIII.4 условие причинности используется для вывода не-
некоторых аналитических свойств S-матрицы. Эти свойства обсужда-
обсуждаются далее в разд. XVIII.5. В разд. XVIII.6, центральном в этой
главе, устанавливается связь между квазистационарными состояни-
состояниями, определяемыми большими временами задержки, и резонан-
сами, определяемыми по характеристическим свойствам сечения.
В разд. XVIII.7 описываются наблюдаемые эффекты, связанные с
виртуальными состояниями. В разд. XVIII.8 обсуждается влияние
наличия резонансов на диаграмму Аргана. Реальное выявление ре-
зонансов по экспериментальным данным с учетом резонансного фа-
фазового сдвига, нерезонансного фона и ограниченного разрешения
прибора обсуждается в разд. XVIII.9.
XVIII. 1. ВВЕДЕНИЕ
При изучении дискретных энергетических спектров атомов и моле-
молекул мы считали возбужденные состояния бесконечно долгоживу-
щими. При обсуждении в разд. XI.4 атома гелия и его уровней, ко-
которые имеют те же значения энергии, что и физическая система,
состоящая из иона Не+ и электрона, мы пренебрегали наличием си-
системы Не+ — е~ и использовали приближенное описание, в кото-
котором атом гелия рассматривался как изолированная стационарная
система, несмотря на то, что систему атома гелия невозможно от-
отделить от системы Не+ — е~, с которой она взаимодействует.
При таком приближенном описании возбужденных состояний нель-
544 Глава XVIII
зя рассмотреть процессы перехода. При более точном описании,
когда переходами не пренебрегают, возбужденные состояния име-
имеют конечное время жизни. Это время жизни весьма велико для
обычных дискретных уровней энергии, но оно не так велико для
тех дискретных уровней энергии, которые лежат в непрерывном
спектре системы Не — (Не+ — е~ ); но времена жизни и тех и дру-
других остаются много большими, чем времена процессов перехода.
Эксперимент с потерей энергии на гелии, результат которого
приведен на рис. XI.4.1, — это неупругий процесс рассеяния, в ко-
котором рождается долгоживущее промежуточное состояние Не*,
распадающееся затем на ион гелия и электрон или на атом гелия и
фотон:
е~ + Не -*■ е~' + Не*
I I—+Не+ + е~ A.1)
' > Не + у.
Время жизни однократно возбужденного состояния He*(S), имею-
имеющего энергетический уровень ниже порога ионизации, на несколько
порядков величины больше, чем время жизни двукратно возбуж-
возбужденного состояния Не*(£>I). Это имеет место потому, что взаимо-
взаимодействие Кп, вызывающее переход
He*(D) -+ Не+ + е~ ,
гораздо сильнее, чем взаимодействие У{, вызывающее переходы
Не*ф) -» Не + у ,
He*(S) -> Не + у.
(Переход Не* E) — Не" + е~ невозможен энергетически.) В при-
приближении, использованном в разд. XI.4, при котором Vx и Vn не
учитываются, оператор энергии имеет вид
Н = К + К
где К = Кэлектрон + КНе, причем КНе дается формулой (XI. 1.2), а V
описывает взаимодействие между Не и е~. Следовательно, как
Не*( 5), так и Не*(£>) имеют бесконечные времена жизни. Если не
учитывать К,, но учитывать более сильное взаимодействие Уп, то
1> Ширина пиков на рис. XI.4.1 определяется главным образом разрешением ап-
аппаратуры, например разбросом энергий электронов в начальном электронном пучке,
но не является мерой времени жизни.
Резонансные явления 545
Рис. 1.1. Диаграмма процесса рождения.
Не*E) живет бесконечно долго, а Не*(£>) имеет конечное время
жизни, которое определяется взаимодействием Vu. Если учитывать
и Кр и Vu, то как Не*( 5), так и Не*( D) имеют конечные времена
жизни.
Системы, имеющие конечные времена жизни, называются ква-
квазистационарными, или метастабильными, состояниями в отли-
отличие от стационарных, или стабильных, состояний, которые имеют
«бесконечное» время жизни. В разд. XVIII.6 мы дадим оправдание
названию «резонансы» для квазистационарных состояний. В каком
случае состояние необходимо считать резонансом, а в каком рас-
рассматривать его как стабильное, зависит от требований, предъявляе-
предъявляемых к точности описания; различие между (относительно) стабиль-
стабильными состояниями (такими частицами, как Не*E)) и нестабиль-
нестабильными состояниями (такими резонансами, как Не*(£>» в принципе
является количественным, а не качественным.
Имеются два главных типа экспериментов, в которых могут по-
появляться резонансы; эксперименты с формированием и экспери-
эксперименты с рождением. Процесс A.1) является примером процесса с
рождением. Этот вид экспериментов характеризуется процессами
типа
a + T->b + R-*b + c + d, A.2)
которые изображаются диаграммами, подобными приведенной на
рис. 1.1. Эксперименты с рождением всегда включают процесс не-
неупругого рассеяния. С другой стороны, эксперименты с формирова-
формированием включают более простые процессы
a+T-+R->a'+T', A.3)
которые изображаются диаграммами, подобными приведенной на
рис. 1.2.
Красивый пример резонанса, появляющегося в эксперименте с
формированием в атомной физике, — резонанс Шульца в процессе
546
Глава XVIII
Рис. 1.2. Диаграмма процесса формирования.
упругого рассеяния
е~ + Не -> Не" -* Не + е~. A.4)
Если измерять сечение упругого рассеяния как функцию энергии
рассеяния (кинетической энергии налетающей частицы е~ относи-
относительно мишени Не), то при энергии Е = ER = 19,31 эВ происходит
нечто необычное. При этом значении энергии сечение резко меняет
поведение; это иллюстрируют данные по различным эксперимен-
экспериментам с упругими столкновениями (см. рис. 1.3 — 1.5, на которых по-
показаны наблюдаемые сечения (рис. 1.4, а, 1.4, в, 1.5), а также ин-
интенсивность прошедшего тока электронов, т. е. интенсивность по-
потока нерассеянных электронов (рис. 1.3, 1.4,5, 1.4 г)). Мы пока-
покажем, что эффект, приведенный на этих рисунках, можно объяснить,
19
20 21 22 23 24
Энергия электрона, эВ
Рис. 1.3. Типичный график в координатах ток — энергия для электронов в гелии по
данным эксперимента Киятта, Симпсона и Милцарека [53].
Резонансные явления
547
I
> 2,8
«
7 2,6
о
"J 2,4
2,2
а
18,5 19,0 19,5 20,0 20,5
Энергия электрона, эВ
Рис. 1.4. а — зависимость интенсивности рассеяния электронов атомами гелия под
углом 72° от энергии электронов, по данным Шульца [54]; б — зависимость пропу-
пропускания электронов через гелий от энергии электронов, по данным Симпсона [55];
в — зависимость полного сечения упругого рассеяния электронов атомами гелия от
энергии электронов, по данным Голдена и Банделя [56]; г — зависимость пропуска-
пропускания электронов через гелий от энергии электронов, по данным Голдена и Накано [57].
548
Глава XVIII
й-
«Г
ОНО
I
к:
10°
"— —v
40° '
^ ^
60°
-—>«.
^^
90° У
'—^л
110° ^
* ч
Л
1 1 1
1
^ 1
[ - I
1 1 1 1
18,0 19,0 20,0 21,0
Энергия электрона, эВ
Рис. 1.5. Зависимость интенсивности потока электронов, упругорассеянных гелием
на различные углы, от энергии падающих электронов [58]. Об изменениях интенсив-
интенсивности можно судить по вертикальным отрезкам в правой части рисунка, соответст-
соответствующим 10% полной интенсивности вблизи резонанса.
принимая гипотезу о том, что Не и е~ формируют долгоживущее
связанное состояние, которому отвечает один из уровней энергии
иона Не~ (на это указывает уравнение A.4)).
Резонанс определяют обычно как резко выраженную структуру
в сечении с одновременным быстрым ростом фазового сдвига, про-
проходящего через значение тг/2. Далее в этой главе мы увидим, что в
общем случае с этими эффектами связано образование квазистацио-
квазистационарного состояния, и изучим характеристические свойства 5-
матрицы и фазовых сдвигов для таких явлений. В данной главе мы
ограничимся рассмотрением случая, когда открывается только
один канал. Это означает, что мы находимся в области энергии ни-
ниже первого неупругого порога, где открыт только упругий канал
а+ Т ->R-*a+ T , A.5)
так что единственный отличный от нуля приведенный
5-матричный элемент имеет вид
(Напомним, что rjA — квантовые числа, определяющие внутреннее
состояние а — Г-системы; индекс т\А у 5, и 5/ мы опустили.)
Резонансные явления 549
Резонансы в многоканальных системах обсуждают в гл. XX, где
показано, что с небольшими изменениями многоканальные ре-
резонансы можно исследовать методом, который очень похож на
метод описания одноканальных резонансов, используемый в этой
главе.
XVIII.2. ВРЕМЕННАЯ ЗАДЕРЖКА И ФАЗОВЫЙ СДВИГ
Время жизни квазистационарного состояния, образованного в экс-
эксперименте по рассеянию типа A.3I), приближенно измеряется вре-
временем, которое налетающая частица проводит под влиянием вза-
взаимодействия в области, где осуществляется рассеяние. Пусть & —
область взаимодействия, окружающая мишень, — характеризуется
радиусом R, который выбирается достаточно большим, чтобы за
пределами этой области взаимодействия не было. Это возможно,
так как встречающиеся на практике взаимодействия имеют конеч-
конечный радиус действия. Мы будем описывать состояние системы на-
налетающая частица — мишень в картине Шредингера статистиче-
статистическим оператором W{ t). Представим себе также воображаемую не-
невзаимодействующую систему, описывающуюся оператором
Wm{ t). Если Н = К + V— оператор полной энергии, то времен-
временная эволюция W{ t) генерируется оператором //, а временная эво-
эволюция Wm( t) генерируется оператором К (см. уравнение
(XIV.5.5)). Поскольку мы будем рассматривать только упругое рас-
рассеяние, когда мишень остается в чистом состоянии WT =
= IVA > < Va '« можно не учитывать множитель WT в
цгт _ цлп ф цлп и считать> чт0 цг относится только к налетаю-
щей частице. Тогда оператор W(t) описывает эволюцию состояния
при мишени, находящейся в центре ^, в то время как оператор
Wm( t) описывает состояние, когда мишени в & нет.
Вероятность того, что налетающая частица находится в обла-
области & в течение времени t, равна
I(t)= f d'x <x|W(f)|x> B.1)
(см. разд. II.8 и II.9), где I х> — обобщенные собственные векторы
операторов координат налетающей частицы относительно мишени.
Следовательно, время, которое налетающая частица проводит в
!) Чтобы упростить обсуждение, мы предполагаем, что масса налетающей ча-
частицы не меняется, т. е. т = т —т.
550 Глава XVIII
области ^, равно
Т= Г dtl(t)= Г dt f d3x(x\W(t)\xy. B.2)
J-ao J-ao J3t
Если бы взаимодействия между налетающей частицей и мишенью
не было, время, проведенное в области ^, было бы равно
Tin = Г dt Г d3x (x\Win(t)\x}. B.3)
Следовательно, время, на которое частица задерживается в & вза-
взаимодействием с мишенью, равно
tm = т _ рп = Г + °° dt Г ^зх(<х| W(t)jx> _ <х|и/'п@|х». B.4)
J-сю J«
Эта «временная задержка»1)может быть как положительной, так и
отрицательной. Если образуется квазистационарное состояние, она
положительна и велика.
Исследуем теперь связь между временем задержки t^ и фазо-
фазовыми сдвигами и 5-матрицей. Подставляя полную систему соб-
собственных векторов операторов К и Н в выражение B.4) и исполь-
используя уравнения (XIV.5.5) и (XIV.5.21) (котррое было доказано в при-
приложении XV.A), получаем
г00 л
tD = at I flx^lvxl^ У\а \е **е \а У\а \х)
J — ао J3t aa'
- <х|а>{a\e'itKWineitK\a'y<a'|x>}
/•ОО
J — ао аа'
\\Х\п У\п X/ — \Х й/\п |Х/). \^--->)
х Г
Область & — это та область, в которой происходит взаимодейст-
взаимодействие. Волновая функция < х I a+ > внутри этой области сильно зави-
зависит от конкретной природы взаимодействия. С другой стороны,
волновая функция имеет весьма общую форму вне области 0, где
налетающая частица движется свободно, а эффект взаимодействия
отражается в наличии фазового сдвига относительно асимптотики
свободной волновой функции < х I а >. Так как мы хотим получить
!) Временная задержка была ранее введена в работе [59], базировавшейся на ра-
работе [60].
Резонансные явления SSI
утверждения относительно времени задержки, справедливые в об-
общем случае, мы попытаемся заменить интеграл по ^ интегралом
по окрестности &. С этой целью покажем сначала, что время заде-
задержки во всем пространстве (R — с») равно нулю. При R — оо по-
последний интеграл в B.5) имеет вид
Г 3 /+ +
Joo
где мы использовали соотношение
1
Из уравнений (XIV.2.9а) и (XIV.2.96) мы видим, что обобщенные
собственные векторы операторов Н и К имеют одинаковую норми-
нормировку (это доказано в приложении XV.А). Следовательно, правая
часть B.6), а с ней и tffl равны нулю. Разобьем теперь интеграл по
всему пространству B.6) на сумму интеграла по области ^ и инте-
интеграла по всему остаточному пространству, которое мы обозначим
(с» — <%>). Тогда получим
0
= Г Л3х
+ Г
Joo-.
Подставляя это равенство в B.5), мы можем записать временную
задержку в области 3? в виде
1
B.7)
Предполагая сферическую симметрию, т. е. [ Н, L(] = [К, Lt] = О,
можно выбрать для [ I а+ >) и (I а >) базисы углового момента
(I £//3т?+>) и [\ЕИ3т,>у\
!) Здесь т; — любой набор дополнительных квантовых чисел, и мы будем обыч-
обычно опускать этот индекс. Если он присутствует, то координатный собственный кет-
вектор также должен иметь этот индекс: 1х, г}) .
552 Глава XVIII
Тогда для временной задержки имеем
r<f>= Г*'&£ L(E)dEp(E')dE'e-it{E-E'\Ell3\Win\E'll3y
J-oo »з J
х С г2 dr{(r\E\(r\E'yf - (г\Е+\(г\Е' + УГ), B.8)
где р — нормировочная функция из (XIV.2.9а) и использованы со-
соотношения
B.9а)
, B.96)
{u) = dlv5hli . B.9в)
Выражение B.8) можно записать в виде
r<f>= Г А£ Гр(£)^£р(£')^£'в-й(£-£')<£//з1^111^"зУ, B.10)
J-00 Hj J
где /•»
J= r2rfr{<r|£>,<r|F>*-<r|£ + >,<r|F+>r}- B.11)
J
В выражении B.11), которое справедливо для всех R, больших
радиуса области взаимодействия .^, мы выбираем R лежащим в
асимптотической области. Тогда интеграл / можно вычислить с
использованием асимптотик (XVII.4.17) и (XVII.4.18) точной и
свободной радиальных волновых функций1 \
Хотя и полученные в предположении гамильтоновой временной
эволюции, эти асимптотические формулы существуют независимо
от Я и зависят только от 5-матрицы через фазовые сдвиги 8Г Сле-
Следовательно, имеем
2 г
= -\
KJr
1А ■ ' 1п
[
pr - — sm [pr - T
2/ V 2
pp I \ 2
. ( Ы
sm I pr — — + ot(j?) I sin (pr —
^ Только при / = 0 точная и свободная радиальные волновые функции выража-
выражаются.через тригонометрические функции, так что при / = 0 формула B.12) справед-
справедлива для любого R вне области взаимодействия, и можно выбрать для R наимень-
наименьшее возможное значение — эффективный радиус рассеивателя. Чем больше /, тем
большее значение R необходимо выбирать, чтобы оказаться в асимптотической об-
области.
Резонансные явления 553
Поскольку интегрирование по t в B.10) дает множитель
8(Е — Е'), необходимо вычислять интеграл J только в пределе
Е' —• Е, т. е. р' — р. Вычисление этого интеграла является упраж-
упражнением по теории распределений; результат имеет вид
АР - Р') = ^ {^Г " (" 0^со8BрД + б^р)) sin SAp)\. B.13)
I Вычисление, которое приводит к результату B.13), проводится
следующим образом. Перепишем подынтегральное выражение в
B.12) в виде
npp'J = i dr6(r- R){ei{p-p)rU ~ e2i(dl{p)-dl(p'))~]
*" J - 00
_|_ (_П'Ге'(Р + Р>(е2'г'<Р) — 1) -(- e-'<P + P'^(e-2'a'<P> — 1)]}.
B.14)
Интеграл от первого члена в. подынтегральном выражении есть
фурье-образ 0-функции и может быть вычислен с использованием
(XV.2.25):
первый член = i f drO(r - R)ei(p~p)r[_\ - e2m{p)~*l{p')y]
^ J - 00
Г foQfj. _ j^ei(p-pHr-R)
J — oo
^ B.15)
- p)R
J p - p' + Ю •
Используя формулу (VIII.2.5.) [2]
Г7±» = ^7 + Ш{р ~ Л B16)
перепишем B.15), замечая, что вклад члена, содержащего 5-функ-
цию, равен нулю, поскольку,
S(p - р')[1 _ e2**>(p)-W))] =o.
Остается выражение
первый член = 4[1 - е2^'(Р)-<5Кр))-]е;(Р-Р')я 1_ /2 17)
Р - />''
Пусть теперь р — р'. Разлагая в ряд экспоненту в квадратных
скобках, находим
первый член -► К - 2iFfo) - <5,0>'))>'(p~p)R —-
p-p dp
554 Глава XVIII
Интегралы от второго и третьего членов в B.14) вычисляются так
же, и результат имеет вид
[J(P + P')R
p + p + Ю 2
-I
) •
+ 2iSl{p) — I)
-i(P+p')R -I B.19)
+ P' iO 2y '
Здесь не возникает трудностей с предельным переходом р' — р* и
после элементарных упрощений мы получаем выражение в правой
части B.13I.
Если мы подставим интеграл / в форме B.13) в B.10), выпол-
выполним интегрирование по t (устремляя пределы к бесконечности и ис-
используя (XIV.5.19)), а затем проинтегрируем по £", то получим
Hi J
_ ( _ 1 у I COsBpR + dtp)) sin <S,(PI ■ B.20)
p J
х \ ( 1 у
P \ dp p
Поскольку выражение в квадратных скобках не зависит от /3, мы
можем просуммировать по этой компоненте углового момента.
Обозначая сумму
X <£ / /3| Win\ Е I /3> = Щ(Е) = Щ(р), B.21)
h
которая благодаря нормировке Wm удовлетворяет соотношению
X \р(Е) dE <£ / /3| Win\E / /3> = I \p(E) dE Щ(Е) = 1, B.22)
Из J I J
можем записать выражение B.20) в виде
№ = I jp(E) dE Wt(E)t^)l(E), .B.23)
где для нерелятивистской частицы массы т величины р, Е и р свя-
связаны формулами (см. (XIV.5.11) и (XIV.5.18a))
Е = Р2/2т, р(Е) = тр(Е), B.24)
и где мы ввели величину
i[sin 2(pR
-sin
Резонансные явления 555
Второй член в правой части B.25) имеет ограниченную область
изменения и зависит от радиуса R области ^, который может
быть выбран произвольным с единственным ограничением, что он
должен быть больше радиуса взаимодействия1 К Поэтому мы усред-
усредним по R и получим величину, которая не зависит от несуществен-
несущественного конкретного выбора радиуса R и является характеристикой
только самого процесса рассеяния. Среднее значение t\f>' равно
B.26)
у иу у иу ujz,
Следовательно, средняя временная задержка, которую мы для
краткости будем снова называть просто временной задержкой,
равна
h = I jf*E) dE Щ(ЕУО(Е). B.27)
Начальный пучок W'm обычно не приготавливается с определен-
определенным угловым моментом /, но имеет импульс с хорошо определен-
определенным направлением. Тогда оператор W((E) описывает вес 1-й ком-
компоненты углового момента в смеси W'm. Но если приготовить на-
начальный «пучок» в состоянии с хорошо определенным угловым мо-
моментом 1А, то получим
р(Е)Щ(Е) = duJiE - ЕА), B.28)
'А
где F^(E — EA) удовлетворяет, согласно B.22), условию
dE FlA(E ~EA)=1
и описывает распределение энергии в «пучке» (см. (XIV.5.35)). На-
Начальный пучок обычно не является моноэнергетическим, но если
его можно рассматривать как моноэнергетический, то (см.
(XIV.5.36))
FlA(E - ЕА) = д(Е - ЕА). B.29)
Подставляя B.29) и B.28) в B.27), получаем время задержки для
этого конкретного «состояния» с угловым моментом 1А и энергией
') Заметим, что при / Ф 0 в приведенном выводе R нужно выбирать в асимпто-
асимптотической области
556 Глава XVIII
Таким образом, величина B.25) или B.26) равна времени за-
задержки для рассеяния состояния с угловым моментом / и энергией
Е. Время задержки в состоянии W'm B.27) равно взвешенному сред-
среднему временных задержек tlD(E) по всем значениям углового мо-
момента и энергии.
Восстанавливая зависимость от дополнительных квантовых чи-
чисел г], временная задержка для «состояния» с квантовыми числами
г] IE равна
t(EJ
tD{t)~Z dE ~ p dp '
Моноэнергетический пучок описывает стационарное состояние,
для которого время задержки не имеет никакого практического зна-
значения. Для измерения временной задержки необходим пучок им-
импульсов конечной продолжительности и, следовательно, ненулевого
разброса по энергии (см. обсуждение в разд. II.9). Тогда величина
tD B.27), а также время задержки для состояния с некоторым зна-
значением углового момента
tfj = jdE F(E - EA)tt{E) = 2 jdEF(E - EA)~^- B.32)
могут быть измерены, по крайней мере в мысленном эксперименте,
по разности времен, которые требуются для прохождения сгустка-
сгустками налетающих частиц области & в присутствии мишени и в ее
отсутствие. Но эксперименты по рассеянию обычно не проводятся
таким образом, чтобы можно было измерить такую задержку, и
значение выражения B.31) или B.26) проявляется в теоретических
следствиях, которые мы сейчас обсудим.
Если в процессе рассеяния при определенном наборе квантовых
чисел (г]1Е) = (yRlR ER) образуется квазистационарное состояние,
т. е. налетающая частица временно захватывается мишенью, то
для этого набора значений время задержки tv^(E) должно быть
большим. Таким образом, условие образования квазистационарно-
квазистационарного состояния имеет вид
' 1, имеет резкий положительный максимум при (rjR lR ER),
cm*
B.33)
что, в частности, означает
dE2
= 0,
dE2
велико
B.34)
= £„
Тогда главный вклад в выражение B.27) для времени задержки
дает член с этими значениями (lR ER).
Резонансные явления 557
Конечно может случиться, что для некоторой рассеивающей си-
системы все 8](Е) являются такими функциями от Е, что
d8](E)/dE не имеют максимумов и, следовательно, квазистацио-
квазистационарных состояний не существует. Но чаще некоторые d81j(E)/dE
имеют такие изолированные максимумы, и ниже мы рассмотрим
следствия для этого случая, в частности в разд. XVIII.6.
XVIII.3. УСЛОВИЯ ПРИЧИННОСТИ
Время Т — Г(^, которое налетающая частица проводит в некото-
некоторой области £% радиуса R, где находится мишень, всегда должно
быть положительным. Таким образом, очевидно выполняется ус-
условие
Это условие связано через определение Г в B.2) с условием причин-
причинности фон Кампена, которое имеет вид
L
dlx <x| W(r)|x> > 0 для любых t. C.1)
Выполнение неравенства C.1) также очевидно, поскольку оно выра-
выражает вероятность найти частицу в области &. Более сильная фор-
форма условия C.1) получается, если выбрать для R наименьшее воз-
возможное значение, т. е. эффективный радиус рассеивателя.
Время Т^\ которое налетающая частица проводит в области
взаимодействия, согласно B.4), можно найти из условия
Tm = tm + Т!„(Я)> C.2)
где f^*> определено в B.23) и B.25), а Гп( ■*> дано в формуле B.3),
которую можно записать в виде
Т1п(Л)= dt£ \p(E)dE p(E')dE' е~и{Е-ЕХЕ U3\Win\E' H2X-Jin)>
J-00 ll3 J
C.3)
где интеграл Jm определяется выражением
- Jin = С r2 dr <r|E>,<r|£'>f = ? | r2 drJtpr)jAp'r). C.4)
Выражения C.3) и C.4) получены из тех же соображений, которые
привели нас от B.4) к B.10) и B.11), но с той разницей, что в C.4)
нам не пришлось заменять интеграл по области взаимодействия &
на интеграл по области (с» - £%).
Интеграл в C.4) вычисляется с использованием (XVII.3.96) и
558 Глава XVIII
(XVII.3.7а) и равен
п(р + р')(р-р'ГЛ
2 R2
п(р + р')(р - р')
p'R2 Y 2 ) у 2
Для второго равенства в C.5) использована асимптотика
(XVI 1.3.6а), которая справедлива для R в асимптотической области
или при 1 = 0 для R вне области взаимодействия, но вблизи нее.
Используя хорошо известные соотношения между тригонометриче-
тригонометрическими функциями, получаем
C)
и при р' — р
1 l" (~1)'sin2/?K). C.7)
пр2\ 2Р
Подставляя это выражение в формулу C.3) после выполнения
в ней интегрирования то t с использованием равенства
+ оо
f eltxdt = 2жЬ{х) и по £", получаем
£ р() (E I /,| ^in| ЕПъу(Щ- Ц^ sin 2Ря) . C.8)
Из определений B.21) и B.24) получаем
тмт = ^ Гр(£) ^£ Щ(Е)Т'т{т1(Е) , C.9)
ГДС /9R (- IV \
^ ^^). C.10)
Выражения C.9) и C.10) написаны по аналогии с B.23) и B.25). Та-
Таким образом, величина 7™( ^'(Е) равна времени, которое «состо-
«состояние» с угловым моментом / и эмергией Е проводит в области &
при отсутствии взаимодействия. Время Г(^, которое налетающая
частица проводит в области & при включенном взаимодействии,
Резонансные явления 559
можно по аналогии с C.9) и B.23) также записать в виде
Т(Я> = £ [p{E)dE Щ£)Т(Л)'(£), C.11)
где, согласно C.2),
Т(Я)\Е) = С(£) + Тп{*I(Е). C.12)
Подставляя выражения B.25) и C.10) в C.12), получаем
( + j - (- 1)< ™ sin 2(pR + Sfr)) . C.13)
Величина Т^^1(Е) есть время, которое «часть» мишени с энергией
Е и угловым моментом / проводит в области взаимодействия.
Условие C.1) должно выполняться для произвольного состояния
налетающей частицы, т. е. для любого набора положительных
функций Wj(E). Следовательно, из C.11) и C.1) мы заключаем, что
Тт\Е) > 0 для всех ./ и Е. C.14)
Условие C.14) с учетом выражения C.13) можно переписать в виде
^>_К + (_1У^ЗД + ^)>-^ + 1). C.15)
dp 2р \ 2р]
Условие, записанное в форме C.15), называется причинным нера-
неравенством Вигнера. Чем меньше R, тем сильнее условие C.15), но
только при / = 0 в предыдущем выводе можно положить R рав-
равным эффективному радиусу рассеивателя.
Причинное неравенство Вигнера утверждает, что фазовый сдвиг
не может уменьшаться со скоростью, большей некоторого значе-
значения. Таким образом, если фазовый сдвиг резко изменяется, то он
должен увеличиваться. Ниже мы используем этот факт.
Условие C.1) выполняется настолько очевидным образом, что
может возникнуть вопрос, почему условия C.1) и C.15) называются
условиями причинности. Связь с причинностью становится более
очевидной, если переписать C.14) в другой форме, используя C.12)
и C.10):
> - тп(Я)\Е) = -
C.16)
p p p J
Первый член в правой части C.16) и C.10) равен времени свободно-
свободного пролета классической налетающей частицы со скоростью р/пг
через область диаметра 2R. Второй член описывает квантовые эф-
эффекты; для достаточно быстрых частиц, т. е. при/?/? > 1, им мож-
560 Глава XVIII
но пренебречь. Причина появления квантового члена состоит в
том, что квантовые частицы не могут быть локализованы в обла-
областях, меньших чем длина волны де Бройля.
Если область диаметра 2 R является областью, в которой нале-
налетающая частица взаимодействует с мишенью, то в зависимости
от вида взаимодействия частица может либо задерживаться
(tD > 0), либо ускоряться (tD < 0) в ней. Налетающая частица
может быть задержана на произвольно большое время, и мы обсу-
обсудим это явление в последующих разделах, но она не может быть
произвольно ускорена, поскольку в соответствии с принципом при-
причинности уходящие частицы не могут появиться до того, как нале-
налетающие частицы достигли области рассеяния. С классической точ-
точки зрения время опережения максимально, когда налетающая ча-
частица, едва достигнув области взаимодействия, отражается на ее
поверхности и покидает область взаимодействия & на время
mlR/p раньше, чем частица, проходящая эту область без взаимо-
взаимодействия, т. е. временная задержка равна — mlR/p. Еще большее
отрицательное время задержки невозможно, поскольку тогда ухо-
уходящая частица должна будет покинуть область взаимодействия до
того, как налетающая частица достигла ее. Для квантовых систем
в эти рассуждения необходимо внести поправочный член (т/р)
(sin 2pR)/p; тогда они приводят к неравенству C.16) как матема-
математической формулировке причинности.
XVIII.4. ПРИЧИННОСТЬ И АНАЛИТИЧНОСТЬ
В гл. XVI мы рассматривали 1-й парциальный Г-матричный эле-
элемент <ij6ll Т1(Е)§г]А > и /-й парциальный 5-матричный элемент
<77^11 S,(E)^t)A >; в частности, рассматривались /-е парциальные Т-
и 5-матричные элементы для упругого рассеяния Тг(Е) = ГД/?) и
S{(E) = St(p), где импульс р и энергия Е налетающей частицы
массы m связаны соотношением Е = р2/2 т. Если взаимодействие
описывается гамильтонианом Н■— К + V, то Т и 5 связаны с га-
гамильтонианом взаимодействия V соотношениями, подобными
(XIV.5.41), но, как упоминалось выше (например, в разд. XIV.4),
понятия S- и Г-матриц имеют смысл и в том случае, когда вре-
временная эволюция негамильтонова. Тогда S- и Г-матрицы являются
основой для описания всей информации, необходимой для вычисле-
вычисления экспериментально наблюдаемых величин, таких, как сечения
(XVI. 1.26), (XVII. 1.29), (XVI. 1.30). Свойства 5-матрицы следуют
тогда из общих физических принципов, которые предполагаются
выполненными для всех взаимодействий. Одним классом общих
Резонансные явления 561
физических принципов являются принципы симметрии, и мы уже
использовали такой симметрийный принцип, а именно симметрию
относительно вращений (XVI. 1.1) при доказательстве независимо-
независимости элементов 5-матрицы от /3. Общий физический принцип, кото-
который мы будем использовать сейчас, — условие причинности, об-
обсуждавшееся в предыдущем разделе. Из условия причинности выте-
вытекают аналитические свойства 5-матричных элементов, когда энер-
энергия и импульс налетающей частицы продолжаются в комплексную
область1*. Если взаимодействие описывается потенциалом V(r), то
такая аналитичность 5-матрицы может быть выведена из свойств
потенциальной функции [51]. Следуя общему духу изложения, при-
принятому в этой книге, мы начнем не с рассмотрения потенциальной
функции, а установим некоторые аналитические свойства 5Д/7), сле-
следующие из причинности. Мы не будем давать исчерпывающего об-
обсуждения этого вопроса, особенно потому, что не на все вопросы
имеются ответы, и удовлетворимся в этом разделе формулировкой
аналитических свойств St(p), которые понадобятся нам в последу-
последующих разделах при обсуждении резонансных явлений.
Вероятность найти налетающую частицу в произвольный мо-
момент времени t где-либо в пространстве равна единице:
= Г+0° rf3x <х|И/(г)|х> = Г ^Зх <х|И/(г)|х> + Г
J-ao J* J(
(oo-.*)
D.1)
Поэтому условие причинности ван Кампена C.1) можно перефор-
переформулировать в виде
Aъх <x|W(f)|x> < 1 для любого t. D.2)
J(oo-.<#)
Подставляя в D.2) полную систему базисных векторов I Ellp и ис-
используя (XIV.5.21) и B.9а) — B.9в), получаем (таким же вычисле-
вычислением, что и при переходе от B.4) к B.7), за исключением замены
интеграла по .^ на интеграл по (<х —
p(E)dE p(Er) &E e-il(E-E'\E I /3| Win\E' I /3>
£ + >i<£' + kV2A-:£ 1. D.3)
Г e
Jr- R
'* Когда эти аналитические свойства выражаются интегральными соотношения-
соотношениями для различных матричных элементов при действительных значениях переменных,
возникают дисперсионные соотношения.
562 Глава XVIII
В области (оо — .-#), где нет взаимодействия и налетающие части-
частицы движутся свободно, волновая функция (г\ Е+ ), = (r\ p+ )t
имеет асимптотику общего вида (XVII.4.17), в которой эффекты вз-
взаимодействия проявляются в 5-матрице St(p) = еш1(р):
<V|/?+\ ъ / (f4pr-lnl2)£ / \ _ ^-i(pr-/n/2)\ D 4)
\J к 2ipr \ • f
Подставляя это в интеграл по г в D.3), для R в асимптотической
области получаем
интеграл
_ 2 1_ .
п4рр'
■ с»
drl)(r - R)e~np~p
да
-t>-"nSlR(p) Г drO(r -
— eSTR(p) dr v{r —
J-x
где мы ввели определение^
SlR(p) = e2ipRS,(p). D-5)
Фурье-образ ^-функции был вычислен в (XV.2.25 + ); используя этот
результат, получаем
2e-ilp-p')R L , __ i i
= Г " r2dr(Kr -
J - ее
| + Ж drd{r -
2e f
интеграл = - ——3" ISlR(p)S*R(p)
п 4рр' p«"""'«v,p _ р< + /0 ■ р'-р + /О
Физический смысл экспоненциального множителя в
состоит в том, что он отвечает фазовому сдвигу, соответствующему различию пу-
путей от поверхности к центру области взаимодействия и обратно. Согласно рис.
XVII.4.2, отталкивательный потенциал дает отрицательный фазовый сдвиг. Непро-
Непроницаемая сфера радиуса R дает фазовый сдвиг — pR, так как волна отражается на
поверхности сферы, а ее надо сравнить с волной, прошедшей через центр (см. задачу
XVIII.3). Соответственно выходной сигнал может появиться на 2R/и = 2Rm/р
раньше, чем это возможно в отсутствие рассеивателя. Следовательно, функции
$1р(р) описывают отклонение эффекта рассеивателя от эффекта, вызываемого не-
непроницаемой сферой с радиусом, равным радиусу области взаимодействия.
Резонансные явления 563
Используя соотношение между распределениями B.16) = (VIII.2.5),
эту формулу можно переписать в виде
1 , Г t i
интеграл = ■= -. е 1(р р <(SlR(p)SfR(p') — 1) ~
1жрр I р — р
яд(р - p')(SlR(p)SfR(p')
- P')(S*R(p') + SlR(p))\ .
Подставляя этот интеграл в неравенство D.3) и используя
pdE = p2dp, получаем
I Г ГV dpp'2 dp' e-it(E-EXplh\W"\p'И* l -"—""
//з Jo Jo
- -(-l)fE,*R(p') - SlR(p)) -
Kp - p')
+ nS(p - p')(SlR(p)SfR(p') + 1) + n(- l)lS(p + p')(SfR(p') + SlR(p))[ < 1.
D.6)
После интегрирования по р up' последнее слагаемое дает нулевой
вклад из-за наличия множителя 5 (р + /?'). После интегрирования
предпоследнего члена по р', используя условие унитарности
sir(p)S?r(p) = 1. получаем
У\ \dp р2<\Р I 'з1^ш|р ^з) = ^>
Из J
Поэтому при / = 0 неравенство D.6) принимает вид
• оо /*оо 1
X Г Г
гь Jo Jo
2прр'
,-Hp-p')R
j^, ,}
564 Глава XVIII
Поскольку оно должно удовлетворяться для любого состояния
W'm, соответствующее неравенство должно выполняться для любо-
любого члена в сумме Е/; по отдельности и для всякой физически допу-
допустимой функции распределения по импульсам.
Неравенство D.7) можно переписать в другой форме, вводя для
Wm импульсную волновую функцию А1£(р) (по аналогии с
f(p - р') в (Н.9.1/;)):
= ре^рК(р11,\^п\р'ПлУе1р'кр'. D.8)
Тогда из D.7) получаем
АР ~ Р I,
\
pp\)^(p)^4pl(SlR(p)-S*R(p'))-i^y) D.9)
для любых значений / и /3 и для любой «хорошей» функции (т. е.
для любого элемента пространства Шварца) Аи£(р).
Из причинного неравенства ван Кампена D.9) следует (чисто
техническое доказательство мы здесь не приводим [61]) утверж-
утверждение:
5Д/7) имеет аналитическое продолжение без сингулярностеи
в первом квадранте 0 < arg/7 < тг/2 — 6F >0) комплексной
плоскости р. D.10)
На самом деле можно доказать и другие утверждения относитель-
относительно аналитических свойств S,(p) помимо приведенного, и в
разд. XVIII.5 мы суммируем некоторые результаты. Но для выво-
вывода формулы Брейта — Вигнера в разд. XVIII.6 понадобится только
утверждение D.10). Мы хотим подчеркнуть, что утверждение D.10)
справедливо для любого конечного R.
XVIII.5. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
5-МАТРИЦЫ
Хотя вывод излагаемого ниже результата, касающегося аналитиче-
аналитических свойств 5-матрицы, в книге не приводится и в дальнейшем из-
изложении эти сведения также не используются, знание таких свойств
в очень большой степени увеличивает понимание 5-матричной кар-
картины. Поэтому мы опишем здесь эти аналитические свойства, со-
сопроводив описание несколькими замечаниями1*. Указанные свойства
не зависят от конкретного вида взаимодействия и являются следст-
Более подробное изложение см. в книге [62].
Резонансные явления 565
вием самых общих принципов — главным образом условия причин-
причинности в форме D.9).
Чтобы найти свойства 5Д/?) вне первого квадранта, мы долж-
должны продолжить £,(/?) через мнимую ось и в нижнюю полупло-
полуплоскость. Чтобы это сделать, необходимо сначала выяснить свойства
5/ (/?) на положительной мнимой полуоси. Из обсуждения в
разд. XVII.5 мы уже знаем, что связанным состояниям отвечают
полюсы на положительной мнимой полуоси, так что мы не можем
ожидать аналитичности на ней S,(p). На рис. 5.1 показаны эти ну-
нули и полюсы, которые, разумеется, могут существовать и на дейст-
действительной оси.
В качестве еще одного следствия из условия причинности D.9)
можно доказать, что
Im (- l)lSlR(p) < -^, Im SIR(j>) < 1 при 0 < arg p < п/2 , E.1)
lm p
]SiR(p)\ ограничен в первом квадранте^. E.2)
Этого недостаточно, чтобы получить информацию о природе осо-
особенностей на мнимой оси, кроме заключения^ что если это полюсы,
то их порядок не может быть выше первогр.
Чтобы прийти еще к каким-либо заключениям, в дополнение к
условию причинности необходимо сделать новое предположение.
Если взаимодействие описывается гамильтонианом Н, это предпо-
предположение сводится к требованию, чтобы Н был полуограниченным
оператором, т. е. существовало бы наинизшее собственное значе-
'' При больших R это условие является очень слабым, поскольку оно позволяет
S,{p) быстро изменяться на действительной оси в отсутствие нулей и полюсов. Но в
приведенном выводе условия причинности D.9) К нужно было выбирать в асимпто-
асимптотической области, поскольку D.4) — асимптотика волновой функции вне области
взаимодействия. Чем меньше значение/, тем меньшим можно выбирать значение/-,
для которого справедлива асимптотика D.4). Но только в случае / = 0 асимптотика
D.4) совпадает с радиальной волновой функцией вне области взаимодействия. Сле-
Следовательно, только при / = О можно выбрать для R наименьшее возможное значе-
значение, а именно эффективный радиус рассеивателя. Чтобы получить наиболее сильный
результат, т. е. приведенные утверждения для R, равного радиусу рассеивателя, а
также в случае / > 0, вместо асимптотики D.4) необходимо использовать точное
выражение для радиальной волновой функции при г вне радиуса взаимодействия:
\>-\р' >, = v in{S^p)h,(pr) ■+■ ИГ(рг)) , D.4' )
где ht(pr) и hfipr) — сферические функции Ханкеля (XVII.2.5). Математическое до-
доказательство утверждений E.1) и E.2) при замене D.4) на D.4') пока не получено.
566 Глава XVIII
"*Х Нули
Полюсы л/виртуальных
связанных У* состоянии
состояний ^
Резонансные
полюсы
Рис. 5.1. Некоторые полюсы (знак х) и нули (знак О) 5-матричного элемента в
плоскости р.
ние энергии В и энергия связи не могла быть бесконечной. В слу-
случае, когда нет описания в терминах гамильтоновой временнбй эво-
эволюции и связанные состояния описываются как полюсы на мнимой
оси р, это предположение заменяется требованием отсутствия
особенностей S,(p) на мнимой оси р выше значения iK, где
К = + <ТШ.
На самом деле было показано [63], что из точной формулировки
конечности энергии связи следует
Re n
lm(-l)lS,R(p) > - -—- в первом квадранте при К = О , E.3)
Im р
Im S,R(p) -► 0 для Re р -► 0+ , при всех К > 0. E.4)
Следовательно,
S,(p) действительна на положительной мнимой полуоси,
кроме точек между 0 и iK. E.5)
Для состояний рассеяния физические значения импульса р долж-
должны быть положительными; но р входит квадратично и в уравнение
Шредингера, и в уравнение Липпмана — Швингера. Следовательно,
эти уравнения инвариантны относительно изменения знака р, поэ-
поэтому при замене р на — р в радиальной волновой функции получа-
получаемая функция снова должна быть решением этих уравнений. Заме-
Заменяя р на —р в (XVII.4.17r), получаем
<г| р> т(№Хр)(() + Г(рУ)
Jin Рг
E.6)
Так как волновые функции </• I р+ > и </*! — р+ ) имеют одинако-
Резонансные явления 567
вый физический смысл, правые части (XVII.4.17г) и E.6) должны
описывать как падающую сферическую волну, так и уходящую сфе-
сферическую волну, модифицированную матрицей рассеяния. Следова-
Следовательно, мы требуем, чтобы правая часть E.6) была равна правой
части (XVII.4.17г) с точностью до несущественного фазового мно-
множителя (— 1) 5Д — /7). Это приводит к условию, что при отрица-
отрицательных р для 5-матричного элемента 5; имеем
S^(-p) = Sl{p) E.7а)
или
Sl(-p) = Sr1(p). E.76)
Используя унитарность
Si(p)Sf(p) = 1, E.8)
получаем
S,(—'^ = S*(p) для действительных р. E.7в)
Это равенство называется соотношением симметрии для /-го пар-
парциального 5-матричного элемента.
Парциальный /-й элемент 5-матрицы обычно рассматривается
как функция от Е = р2/2 т, S/iE). При отображении р в Е ком-
комплексная плоскость р (рис. 5.1) отображается на двулистную рима-
нову поверхность (см.(XVII.А.и) и (XVII.А.к)) с линией разреза от
О до оо. Верхней полуплоскости р Im p > О отвечает первый лист;
первому квадранту плоскости р — верхняя половина первого листа.
Физический смысл имеют значения р для состояний рассеяния: р
действительные (р > 0) отвечают верхнему краю на первом листе.
Первый лист называется «физическим» листом (рис. 5.2). Если пе-
Плоскосгпь Е
(физический лист)
Разрез
Полюсы
связанных
состояний
Рис. 5.2. Полюсы и разрез ■ первом (физическом) листе плоскости энергий.
568 Глава XVIII
рейти через разрез, то мы попадем на второй лист, называемый
«нефизическим» листом, которому отвечает нижняя полуплоскость
р. Функция St(E) является функцией на двулистной римановой по-
поверхности. Полюсам функции S{(p), отвечающим связанным состо-
состояниям, находящимся на положительной мнимой полуоси р, отвеча-
отвечают полюсы на отрицательной действительной полуоси Е на «физи-
«физическом» листе. Тогда утверждение D.10) означает, что
Sj(E) аналитична в верхней полуплоскости физического листа.
E.9)
Соотношение E.7в) для S, как функции от Е тогда утверждает,
что
S,(E - k) = Sf(E + к), £>0. E.10)
Из принципа отражения Шварца (XVII.А.з) и условия E.5) следует,
что St(E) можно продолжить в нижнюю полуплоскость энергии
через отрицательную действительную полуось и в этой области
5,(£) = S,*(£*). E.11)
Поскольку нижняя полуплоскость энергии отвечает второму ква-
квадранту в плоскости импульсов и Е* отвечает —/?*, из равенства
E.11) следует
St(p) = S?(-p*) . E.12)
Это соотношение обобщает симметричное соотношение E.7в) на
комплексные значения р. Таким образом, на точках, симметрич-
симметричных относительно мнимой оси, S,(/?) принимает комплексно-
сопряженные значения. Поскольку S,(/?) не имеет особенностей в
первом квадранте, их нет и во втором квадранте. Если функция
S,(p) имеет нуль в точке рх, как показано на рис. 5.3, то она будет
также иметь нуль и в точке — р*.
Плоскость р
о
-рГо
О Pi
хрТ
Рис. 5.3. Связь между нулями (знак О) и полюсами.
Резонансные явления 569
Теперь можно продолжить St(p) в нижнюю полуплоскость р
(рис. 5.3), обобщая соотношение E.7а) на комплексные значения р.
Для каждого значения во втором квадранте E.7а) определяет значе-
значение S,(p) в четвертом квадранте, кроме нулей во втором квадран-
квадранте, которым отвечают полюсы в четвертом. Таким же образом
E.7а) определяет функцию, аналитичную в третьем квадранте, кро-
кроме полюсов, отвечающих нулям в первом. Следовательно, функция
5Д/7) не является в общем случае аналитичной в нижней полупло-
полуплоскости, и если у нее есть нули выше положительной полуоси р, то
должны быть и полюсы ниже оси р (резонансные полюсы, пока-
показанные на рис. 5.1, и их двойники в третьем квадранте).
Таким образом, мы видим, что St(p) является мероморфной
функцией на всей плоскости р, аналитичной в верхней полуплоско-
полуплоскости р, кроме, быть может, мнимой оси. Полюсы в нижней полу-
полуплоскости существуют парами и симметрично распределены отно-
относительно отрицательной мнимой полуоси, кроме тех, которые на-
находятся на отрицательной мнимой полуоси и отвечают нулям на
положительной мнимой полуоси. (Число полюсов может быть бес-
бесконечным, но они не могут иметь точки сгущения при конечных /?,
поскольку аналитическая функция (в верхней полуплоскости) не
может иметь в конечной точке точку сгущения нулей.) Можно по-
показать, что сингулярности на мнимой оси лежат в интервале
(— iK,' + iK), где В = К2/2 т — максимальная энергия связи. Из
причинности ничего нельзя узнать относительно поведения St(p) в
окрестности этого интервала. Обычно считают, что для взаимо-
взаимодействия, эффективного в области конечных размеров, имеются
полюсы, которые должны быть простыми1).
Если мы переформулируем эти свойства St(p) как утверждения
относительно поведения S,(E) в плоскости энергий, то результа-
результаты, следующие главным образом из причинности, можно суммиро-
суммировать следующим образом (рис. 5.2 и 5.4). Функция S,(E) является
мероморфной функцией на двулистной римановой поверхности с
точкой ветвления Е = 0 и размером от 0 до <х. Физические значе-
значения Е для процессов столкновения лежат на верхнем крае разреза
на «физическом листе». Полюсы, отвечающие связанным состояни-
состояниям, лежат на отрицательной действительной полуоси физического
'* Если взаимодействие описывается потенциалом V(r), убывающим при /• — оо
быстрее любой степенной функции, то функция Sf(p) мероморфна во всей плоскости
р и аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа простых
полюсов. С другой стороны, для потенциала типа Юкавы V(r) = ^а{ц)е~^г/rdix
(т > 0) имеем кроме возможных полюсов St(p) также разрезы вдоль мнимой оси
от im / 2 до / оо и от — im / 2 до — / оо.
570 Глава XVIII
Плоскость t
{нефизический лист)
Разрез
Полюсы
виртуальных
состояний
Резонансные
полюсы
Рис. 5.4. Расположение возможных резонансных полюсов, полюсов виртуальных со-
состояний и разрезов (полюсы состояний захвата не показаны) на втором (нефизиче-
(нефизическом) листе плоскости энергий.
листа; кроме этих полюсов, функция St(E) является аналитической
на физическом листе. Остальные полюсы (любого порядка) могут
лежать на втором, «нефизическом» листе; они отвечают возмож-
возможным нулям на первом листе. Полюсы с различным расположением
на «нефизическом» листе могут иметь различные физические интер-
интерпретации. Полюсы на отрицательной действительной полуоси на
нефизическом листе (происходящие от нулей 5Д/?) на положитель-
положительной мнимой оси) называются полюсами, отвечающими виртуаль-
виртуальным состояниям. Виртуальное состояние — это состояние, которое
могло бы быть связанным при более сильном притяжении; вирту-
виртуальное состояние, близкое к порогу, приводит к большим сечениям
при малых энергиях. Мы обсудим такие состояния в разд. XVIII.7.
Полюсы 5Д£") на нефизическом листе, если они находятся близко
к положительной действительной полуоси, особенно важны. Они
называются резонансными полюсами или полюсами Зигерта, и мы
будем изучать их далее в этой книге. Каждый полюс на втором
листе ниже действительной оси имеет двойника на втором листе
выше действительной оси. Как мы увидим в гл. XXI, полюс ниже
действительной оси описывает распадающееся состояние, а полюс
выше действительной оси — формирующееся (путем захвата) со-
состояние.
XVIII.6. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ.
ФОРМУЛА БРЕЙТА — ВИГНЕРА ДЛЯ УПРУГОГО
РАССЕЯНИЯ
Экспериментально резонансы обычно связывают с резкими измене-
изменениями сечения как функции энергии. Если упругое или неупругое се-
сечение имеет резкий максимум или минимум, то говорят о наличии
резонанса. Из формулы (XVI.2.9) для упругого /-парциального сече-
Резонансные явления
571
sin2 <5,(p)
Рис. 6.1. Фазовые сдвиги и резонансные профили.
ния видно, что максимум имеет место либо при энергиях, для кото-
которых 5,(Е) = тг/2 (по модулю тг), либо при энергиях, для которых
д,(Е) имеет максимум. Но последняя возможность не приводит к
появлению резкого максимума, поскольку из условия причинности
C.15) следует, что фазовый сдвиг никогда не может быстро убы-
убывать. Таким образом, резкий максимум 1-го парциального сечения
имеет место при таких энергиях Е, для которых 5Д£") = тг/2 (по
модулю тг), и чем быстрее происходит рост 5Д£") на тг, тем резче
максимум. Подобным же образом минимум /-го парциального се-
сечения имеет место при bt(E) = тг (по модулю тг). Связь между из-
изменениями сечения и изменениями фазовых сдвигов для этих двух
случаев и для некоторых промежуточных случаев показана на
рис. 6.1. Заметим, что вследствие условия причинности C.15) фазо-
фазовый сдвиг Ь,{Е) главным образом возрастает; если он убывает, то
572 Глава XVIII
убывание может быть только очень плавным. Во всех случаях вы-
выраженной структуре в сечении ot{E) соответствует резкое возраста-
возрастание фазового сдвига 6Д Е) на тг.
Поэтому в качестве предварительного определения резонанса
с угловым моментом / при энергии Ео мы примем следующее опре-
определение:
5(Е) быстро возрастает примерно на 7г,
когда Е проходит через значение Ео. FЛ)
Если имеется резкое возрастание одного из фазовых сдвигов 6; на
л- в окрестности Ео, а все остальные фазовые сдвиги постоянны
или медленно меняются вблизи этой точки, то проявляются
сильные вариации полного сечения а = Но, или дифференци-
дифференциальных сечений при определенных углах. Вместе с тем не все
структуры в сечении нужно приписывать существованию резо-
нансов. Резонансы обычно можно выделить из нерезонансных яв-
явлений в сечениях, используя то обстоятельство, что они появ-
появляются только в одной парциальной волне, тогда как нерезонанс-
нерезонансные явления являются результатом кооперативных вкладов мно-
многих парциальных волн.
Теперь мы поясним связь между резонансами и квазистационар-
квазистационарными состояниями, о которых уже шла речь в разд. XVIII. 1. Со-
Согласно нашему рассмотрению в разд. XVIII.2, квазистационарное
состояние имеет место при таких значениях Е = Ео, для которых
d5t( E)/dE имеет резкий максимум. Поэтому примем следующее
определение квазистационарного состояния с угловым моментом /
при энергии Еп:
d2St(E)
dE
dd,(E)
dE
F.2)
В то время как первые два условия в определении F.2) утверждают,
что Ео есть точка максимума d5t( E)/dE, последнее условие в F.2)
говорит о том, что этот максимум очень резкий. Первая часть ус-
условий F.2) легко просматривается на графиках фазовых сдвигов на
рис. 6.1, где точка Ео, в окрестности которой происходит быстрое
изменение 5Д Е), есть точка перегиба. Не ясно, однако, как связаны
два явления, характеризуемые определениями F.1) и F.2). В этом
разделе мы покажем, что как следствие очень общих физических
предположений (причинность) эти два явления действительно связа-
связаны, что квазистационарное состояние приводит к резонансу, а на-
наличие резонанса означает наличие квазистационарного состояния.
Мы увидим, что определение F.2) приводит к наличию полюса 1-й
Резонансные явления 573
парциальной S-матрицы ниже и вблизи положительной действи-
действительной полуоси Е. Мы также получим из F.2) представление для
Sf{ Е), справедливое в окрестности Ео, из которого немедленно сле-
следует F.1IJ. Понятие резонансных полюсов введено в разд. XVIII.5,
где описывались аналитические свойства .S-матрицы. Мы отметили
гам, что функция S/(E) может иметь полюсы в любых точках на
втором листе, причем эти полюсы существуют парами, если они не
лежат на отрицательной действительной полуоси, а также отмети-
отметили, что эти полюсы называются резонансными в том случае, когда
они находятся близко от положительной действительной полуоси.
Ниже будет показано, что они появляются вследствие наличия ква-
зистационарных состояний F.2) и являются физическим проявлени-
проявлением их существования.
Начнем наш вывод с того, что введем функцию
которая вследствие F.2) имеет резкий минимум при Е = Ео, так
что f' = f'(E)E = E = О, a f" = f"(E)E=E велика. Простое вы-
вычисление показывает, что
и, следовательно,
(
Разложим функцию /(Е) в ряд Тейлора в точке Е = Ео:
как это следует из двух последних неравенств F.2).
е
£-(£_ Е0J + F(E - Ео), F.6)
где «остаточный» член равен
F(E - Ео) =J—(E - Е0У + ■■■ +^-(Е - Е0У + ■■■ • F.7)
Ряд Тейлора сходится, если для всех п, больших некоторого значе-
значения N, выполняется условие
J J (Е-Е0У F'8)
которое, очевидно, является не слишком ограничительным.
Вывод основан на результатах, приведенных в работе [31], разд. 8.5.
574 Глава XVIII
Предположим сначала, что функция F( Е — Ео) пренебрежимо
мала ( F( Е - Ео) = 0) в некоторой окрестности Ео; это спра-
справедливо, если можно пренебречь 5^4) и высшими производными фа-
фазовых сдвигов в точке Ео. Ниже мы обсудим поправки, которые
вносит малая добавка F(E — Ео).
При F(E - Ео) = 0 из F.3) и F.6) следует
'( }~J/+/72(£-£0J
( е-ел
arctan + у
\j2flf")
+ Уi , F-9)
F.10)
"о/
где 7/ и 7/ — произвольные константы интегрирования,
Из выражения F.10) видно, что естественно ввести два новых па-
параметра
v/r"v ^ '
F.12)
Параметр г безразмерен, а параметр Г имеет размерность энергии.
Как следует из неравенства F.5) (которое вытекает из требования
существования квазистационарного состояния при энергии Ео),
параметр Г удовлетворяет условию
Г<4 2ЕО. F.13)
Подставляя выражения F.11) и F.12) в F.10), для 1-го парциаль-
парциального S-матричного элемента получаем
S,(£) = ei25l{E) = е'2'-агс1ап((Г/2)/(£о-£))^2у, < ^ j^
Фазовый сдвиг F.10) записывается в виде суммы двух членов:
*,(£) = S\R\E) + 7|, F.15)
Резонансные явления
575
i
л
4
n
4
A
/
У
А
/
ухе)""^ ! i !
Е
»»■
Рис. 6.2. Изменение фазового сдвига для квазистационарного состояния,
где 5*)Я\Е) — быстро меняющаяся благодаря F.13) функция:
F.16)
Г/2
S\R)(E) = r arctan — ,
Ео- Е
значение которой при прохождении Е через точку Ео меняется
почти на r-к. Параметр yt в предположении, что F(E — Ео) = О,
является константой.
Если функция F( Е - Ео) не равна нулю, то вместо F.9) полу-
получаем
<(п= Г dE = Г dE
F.17)
/ + (f"/2)(E - Е0J + F(E - £0:
^£ F(£ - £0)
-I
(f"/2)(E - £0J][/ + f"/2(E - EoJ + F]
Записывая снова д,( Е) в форме F.15), для yt получаем
dEF(E-E0)
=- f
J
(/72)(£ - £0J][/ + (/72)(£ - Eof + F]'
F.18)
т. e. для малых значений F( E - Eo) у, — медленно меняющаяся
функция от Е.
Таким образом, фазовый сдвиг в окрестности квазистационар-
квазистационарного состояния, определенного условиями F.2), равен сумме члена
6;(Л)( Е), который быстро меняется почти на кг, и медленно меняю-
меняющегося члена у,(Е):
д,(Е) = 6\*\Е) + у,(£). F.19)
Это изображено на рис. 6.2. Величина у^Е) называется фоновым
576 Глава XVIII
фазовым сдвигом, или потенциальной частью фазового сдвига1' в
противоположность d^R)(E), которая называется резонансной час-
частью. Таким образом, если г = 1, то мы вывели условие F.1) как
следствие условия F.2). В частности, если фоновый фазовый сдвиг
равен нулю, то мы имеем ситуацию, изображенную на рис. 6.1, а.
Поэтому теперь необходимо выяснить, какие значения может
принимать параметр г. Для этого воспользуемся свойством анали-
аналитичности D.10J).
Функция
Г/2 i
arctan- = - [ln(£ - Ео + /Г/2) - ln(£ - Еп ~ /Г/2)] F.20)
имеет точку ветвления бесконечного порядка при Е = Ео + /Г /2 (а
также при Е = Ео — /Г/2K). Если Е сходит с действительной оси
и, обойдя точку ветвления, возвращается в исходную точку на дей-
действительной оси, все время оставаясь в области аналитичности, то
\п(Е - Ео - /Г /2) увеличивается на 2тг/, a arctg [(Г/2)/
/(Ео - Е)] — на тг. Таким образом, обход по этому замкнутому
контуру вокруг точки Ео + /Г /2 приводит, согласно F.14), к следу-
следующему изменению в ^-матрице:
St(E) -> 5,(£>2яй". F-21)
С другой стороны, поскольку функция S/( E) аналитична в этой об-
области, ее значение не может изменяться. Это возможно только при
. = 0,1,2,.... F.22)
Рассмотрим простейший нетривиальный случай г = \. Из F.14)
и F.15) получаем
= et2«'*}lE)ei2--'. F.23)
Таким образом, 5-матрица имеет простой полюс при
1) Если взаимодействие описывается потенциалом, то в yt дает вклад асимпто-
асимптотика потенциала на больших расстояниях, тогда как df насыщается потенциалом
притяжения на малых расстояниях.
2) В настоящем обсуждении требуются не все аналитические свойства D.10); не-
необходимо лишь, чтобы St{E), а следовательно, и Т,(Е) были аналитичны в области
над положительной действительной полуосью, включающей в себя точку Е — Ео +
+ /Г/2, а это очень слабое условие.
3) См. приложение XVII.А.
Резонансные явления 577
Е = Ео — /Г /2, который называется полюсом Зигерта. При
г = — 1 получаем другое представление 5-матрицы:
-1 то " I е'гъ = (' + г~Х™
о + |Г/2 - £ \ £0 + "/2 -
имеющее полюс при Е = Ео + /Г/2. Эти два полюса являются од-
одной из пар резонансных полюсов, упоминавшихся в разд. XVIII.5.
Там было показано, что резонансные полюсы существуют парами;
формула F.23) является представлением S-матрицы, наиболее
удобным при энергиях в окрестности полюса ниже действительной
оси энергий, а представление F.23') наиболее удобно для энергий в
окрестности полюса выше действительной оси.
Рассмотрим случай г = 1. Из F.16) следует
Г/2
tan #(£) = —'-—. F.24)
t0 — t
Тогда 5-матричный элемент F.23) запишется в виде
St(E) = 1 + 2ipTt(E) = ei2"K\ + 2ipT\R\E)), F.25)
где резонансная парциально-волновая амплитуда T)R)(E) определе-
определена так, что она совпадает с парциально-волновой амплитудой
Tj(E), если пренебречь фоном G/ = 0). Сравнивая F.25) и F.23),
для резонансной парциально-волновой амплитуды получаем
kISr F-26)
Таким образом, мы показали следующее. Если квазистационар-
квазистационарное состояние с угловым моментом / образуется при энергии Ео, то
фазовый сдвиг имеет резонансное поведение, описанное в F.1), и
(если можно пренебречь фоном) для простейшего случая г = 1
парциально-волновая амплитуда дается выражением F.26).
Парциальное 1-е сечение, которое находится из F.26) и, следова-
следовательно, является чисто резонансным сечением (в пренебрежении фо-
фоном), равно
*'(£) = ?B; + 1)(Ё7=Жда- F27)
Эта функция от Е показана на рис. 6.3 вместе с соответствующим
резонансным фазовым сдвигом. Мы видим, что резонансное сече-
сечение имеет максимум в точке Ео, полуширина которого равна Г.
Энергия Ео называется резонансной энергией, а Г называется шири-
шириной резонанса.
578
Глава XVIII
Рис. 6.3. Сечение Брейта — Вигнера и его связь с резонансным фазовым сдвигом.
При резонансной энергии сечение равно
F.28)
Это максимальное значение упругого парциального сечения, совме-
совместимое с унитарностью (см. (XVI.2.9)).
Величина Г, возникшая в этом обсуждении, может быть вычис-
вычислена по фазовым сдвигам из F.12), если последние известны, т. е.
по потенциалу взаимодействия в потенциальном рассеянии. Но, как
уже отмечалось в нескольких местах, ситуация чаще бывает обрат-
обратной: из эксперимента известно сечение, причем в окрестности неко-
некоторой точки Ео имеется поведение, подобное изображенному в
нижней части рис. 6.1. Для этого экспериментального сечения пы-
пытаются подобрать формулу типа
с7?хр = 4пB1 + 1)| 7?(£) + ТЬ*(Е)\2, F.29)
где Tf(E)— функция F.26), a Tbg( E) — медленно меняющийся фо-
фоновый член. Таким способом находят значения (Ео, Г).
Формула F.27) есть знаменитая формула Брейта — Вигнера;
амплитуда F.26) называется амплитудой Брейта — Вигнера. Фор-
Резонансные явления 579
мула Брейта — Вигнера не дает вполне точного описания экспери-
экспериментальной ситуации; этого и не следовало ожидать ввиду исполь-
использованных при ее выводе идеализации. Она почти всегда дает полез-
полезную параметризацию во всех случаях, когда возникают резонанс-
резонансные явления. Формула Брейта — Вигнера является, пожалуй, наи-
наиболее часто используемой формулой квантовой физики. Ее фунда-
фундаментальное значение состоит в том, что в ней вводится параметр
Г. На том уровне точности, на котором возбужденные состояния
считают стационарными, они характеризуются одним
параметром1) — своей энергией Ео. На уровне точности, на кото-
котором они являются квазистационарными состояниями, они харак-
характеризуются двумя параметрами — энергией и шириной (Ео, Г).
Из гл. XII мы знаем, что стационарные состояния описываются
собственными векторами оператора энергии с собственным значе-
значением Ео; в гл. XXI мы увидим, что аналогичным образом квази-
квазистационарные состояния описываются обобщенными собственны-
собственными векторами (существенно самосопряженного) оператора энергии
с собственным значением Ео + /Г /2.
Как и любое теоретическое описание, описание квазистационар-
квазистационарных состояний резонансом Брейта — Вигнера F.26) является при-
приближенным. Если требуется более точное описание, то необходимо
рассматривать Г не как параметр, а как функцию энергии Г( Е), ко-
которая может зависеть от одного или нескольких параметров (на-
(например, от радиуса взаимодействия и углового момента /). Здесь
мы удовлетворимся той степенью точности, с которой квазистаци-
квазистационарное состояние описывается двумя параметрами (EOt Г).
Установим теперь связь между резонансами и полюсами Sr Мы
уже ввели в разд. XVIII.5 название «резонансный полюс» для по-
полюса St(E) на втором листе плоскости энергии, лежащего в непо-
непосредственной близости (снизу) от положительной действительной
полуоси. Как видно, например, из выражения F.23), формула
Брейта — Вигнера дает такой полюс в нижней полуплоскости при
Е — Ео — /Г/2. Чем меньше значение Г и, следовательно, чем ост-
острее резонанс, тем ближе этот полюс к действительной оси. Мы уже
упоминали тот факт, что в нижней полуплоскости первого листа
плоскости энергии полюсов нет2). Следовательно, полюс, обеспечи-
обеспечиваемый формулой Брейта — Вигнера, должен лежать на втором
1) В дополнение к другим их квантовым числам, таким как /, rj.
2) Мы не дали полного доказательства этого утверждения в разд. XVIII.5, но
привели аргументы в пользу того, что причинности, конечности энергии связи для
возможных связанных состояний и конечного радиуса взаимодействия достаточно,
хотя на самом деле, конечно, требуется гораздо меньше.
580 Глава XVIII
листе, поэтому должен существовать полюс St(p) в четвертом ква-
квадранте плоскости р вблизи действительной оси.
С другой стороны, каждый простой полюс St(p) в точке
р = pR = kR — iKR в четвертом квадранте вблизи действительной
оси (KR < kR) может (но не должен) приводить к явлению резо-
резонанса. Это легко видеть, разлагая St(p) в ряд Лорана в окрестно-
окрестности этой точки. В достаточно малой окрестности полюса S,(p)
можно аппроксимировать главной частью ряда Лорана
- !/(/> -РЛ).
Вместе с тем функция S^p) унитарна [I S,(p)\ = 1], так что мно-
множитель перед 1/(р - PR) должен быть выбран равным р - pR,
если остаток ряда представить в виде el2yi. Таким образом, в
окрестности полюса разложение Sj(p), совместимое с требованием
унитарности, имеет вид
S,(p) = ei2dl(p) * ei2vi{p) Р~^-^ = ei2'l(p) P ~ ** + IKr . F.30)
Р - Pr Р ~ kR- iKr
Умножим числитель и знаменатель на р/т и заметим, что
mm m 2m 2m 2m ~ 2m 2m 2m
F.31)
для действительных значений /?, отличных от kR приближенно
на KR < kR, т. е. для таких значений р, что \ р — kR\ « KR. Тог-
Тогда из
v P2 v 1 пг ^2ч ,Л„л
t< —. j л == (ко л р) (v.jz.)
2т' 2w
получаем
S,(£) = g£2yi№)f ~fK"lI^ ?где Т = - ^^ = Т(р). F.33)
Е — ER + iY/2 m
С той же точностью, что и для приближенного выражения
F.31), имеем
Т(р) « 5_« = г. F.34)
m
Тогда выражение F.33) совпадает с резонансной формулой F.23), а
следовательно, полюс Sf(p) в точке pR описывает резонанс.
Проведенное рассмотрение наводит на мысль о взаимно одно-
однозначном соответствии между полюсами 5-матрицы, лежащими
вблизи положительной действительной полуоси, и резонансными
Резонансные явления 581
явлениями, характеризуемыми определением F.1). Но это рассмот-
рассмотрение не доказывает такого соответствия, поскольку мы всегда
предполагали, что 7/ — медленно меняющийся фоновый фазовый
сдвиг. Если 7/ быстро меняется и не имеет брейт-вигнеровской фор-
формы F.24), то он может компенсировать эффект полюса и полный
фазовый сдвиг б, = б/Л) + 7/ будет меняться медленно. Действи-
Действительно, можно показать [64], что можно построить такие фазовые
сдвиги 7 /> которые аппроксимируют функцию F.24) произвольно
близко на интервале Ео — Д < £ < £0 + Д, Д > Г и, следователь-
следовательно, описывают резонансные явления F.1), но которые не связаны с
особенностью е'2?'. Таким образом, выбор S, = е'2"*' дает
5-матрицу с резонансным поведением, но без полюса, а выбор в
F.33) 7/ = — т~/ Дает 5-матрицу с полюсом, но без резонансных яв-
явлений.
В том случае, когда четвертая и более высокие производные б,
малы, как мы видели в первой части этого раздела, функция 7/ мед-
медленно меняется. Поэтому обычно предполагают взаимно однознач-
однозначное соответствие между полюсами непосредственно под действи-
действительной осью и резонансами.
Выше мы видели также, что квазистационарное состояние, ха-
характеризуемое острым максимумом временного сдвига, является
резонансом. Далее, так как из F.19), F.24) и B.26) немедленно сле-
следует
у/п-^<(£) _^}Л) dyt _ Г/2 dy,(E)
dE dE dE (Eo — £) + Г /4 dE
мы видим, что резонанс приводит к острому максимуму временно-
временного сдвига для резонансной парциальной волны. Таким образом,
квазистационарное состояние, резонанс и полюс S, непосредствен-
непосредственно под действительной осью являются на самом деле одним и
тем же явлением.
Рассмотрим теперь связь между шириной резонанса Г и време-
временем задержки. Согласно обсуждению в разд. XVIII.2, временной
сдвиг F.35) является «временем задержки для моноэнергетического
пучка»; это означает, что разброс энергий в пучке Д Е много мень-
меньше, чем ширина любой структуры в сечении, Д Е < Г. Если имеет
место резонанс, то производной от фонового фазового сдвига мож-
можно пренебречь, так что резонансное время задержки хорошо ап-
аппроксимируется выражением
lf (t:)_dd\R) _ Г/2
2tD^}~ dE ~ (Ео - ЕJ + Г2/4 ' F5)
582 Глава XVIII
Следовательно, время задержки для моноэнергетического пучка
имеющего энергию Е — Ео, равную резонансной, равно
o = f • F-36)
Это идеализированное время задержки не является на самом де-
деле физической величиной, поскольку моноэнергетический пучок на-
находится в стационарном состоянии, а в этом случае, как уже указы-
указывалось в разд. XVIII.2, время задержки не является наблюдаемой
величиной.
В противоположном предельном случае Д Е > Г время задерж-
задержки существенным образом определяется экспериментальным рас-
распределением по энергии в пучке, как это видно при подстановке
F.35) в B.32):
JEA)(E^+rl/4. F.37)
Замечая, что при Д Е > Г можно перейти в подынтегральном
выражении к пределу Г/2 — 0, и используя формулу
Г/2
получаем
tlD = 2nF(E0 - ЕА). F.38)
Для гауссова распределения по энергиям в исходном пучке1)
с АЕ > Г:
F(E - ЕА) = J= ± e-iE-EA)>,2№ ,639)
получаем при резонансной энергии
tlD\EA = E0 = V^^- F-40)
Для лоренцева распределения по энергиям в исходном пучке
F(E - ЕА) = i_ „У^д„т2 F.41)
я (ЕА - ЕJ + (Д£/2J
1}.Нормировка F должна выбираться так, что F(Е -ЕА)-~д{Е - ЕД) при
АЕ — 0, согласно (XIV.5.36). Заметим, что F является распределением по энергиям
в исходном невзаимодействующем пучке при t = 0, т. е. пучок приготовлен в уда-
удаленном прошлом таким образом, что измерение энергии при / = Ов отсутствие вза-
взаимодействия даст результат F (Е — Ед) для распределения вероятности измерить
значение Е .
Резонансные явления 583
при Д Е > Г получаем
В общем случае, если распределение по энергиям в исходном
пучке, вызванное конечной разрешающей способностью прибора,
имеет ширину Д Е того же порядка, что и ширина резонанса Г,
получаем время задержки, зависящее от Г и экспериментального
распределения по энергиям. Особая ситуация возникает для ло-
ренцева распределения по энергиям (выражение F.41)) с разбро-
разбросом по энергиям, равным ширине резонанса Д Е = Г. Тогда под-
подстановка выражения F.41) в F.37) дает
tlD = 2/Г (= 2Н/Г в обычных единицах времени ). F.43)
Таким образом, мы видим, что временная задержка как-то свя-
связана с обратной шириной резонанса1). Для идеального моноэнерге-
моноэнергетического пучка это соотношение имеет вид F.36). Но для более
реалистических ситуаций эффект конечного разрешения по энергиям
в исходном пучке приводит к изменению соотношения между вре-
меннбй задержкой и шириной резонанса, например это будет соот-
соотношение F.43).
До сих пор мы рассматривали только одно значение параметра
г, введенного в F.10), а именно г = 1. Вместе с тем, согласно
F.22), г может принимать любые целые значения.
Случай г = 1, по-видимому, является единственным случаем,
реализуемым в квантовомеханических экспериментах по рассея-
рассеянию, хотя не так давно думали, что в физике частиц имеются не-
некоторые свидетельства в пользу существования «диполя» — ква-
квазистационарного состояния с г = 2. Мы рассмотрим кратко этот
случай. При г = 2 из F.14) без учета фона G, = 0) получаем
F.44)
0 - Е - iY
и, следовательно, для 1-го парциального сечения имеем
- ЕоJ - Г2/4]2 + Г2(£ - £0J'
Форма сечения для такого дипольного резонанса показана на
'* Как мы увидим в гл. XXI, обратная ширина резонанса равна времени жизни
распадающегося состояния.
584
Глава XVIII
Eo — у ^о Ео + ^
Рис. 6.4. Иллюстрация энергетической зависимости сечения рассеяния для дипольно-
го резонанса F.45).
рис. 6.4. Этот рисунок следует сравнить с рис.6.1, а. В присутствии
фонового рассеяния сечение соответственно изменится.
XVIII.7. ФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ
С ВИРТУАЛЬНЫМ СОСТОЯНИЕМ
Кроме полюсов, отвечающих связанным состояния, и резонансных
полюсов мы упоминали в разд. XVIII. 5 полюсы, отвечающие вир-
виртуальным состояниям, расположенные на отрицательной мнимой
полуоси в плоскости импульсов. Если полюс, отвечающий вирту-
виртуальному состоянию, достаточно близок к действительной оси в
плоскости импульсов, он может оказывать существенное влияние
на поведение сечения при низких энергиях.
Обозначая импульс, отвечающий виртуальному состоянию, че-
через pv = — in, к > О, мы можем записать 5-матричный элемент
для / = 0 в окрестности полюса в виде
р — ik
= S0(p) = -
Р - Р*
G.1)
Р ~ Pv p + ik'
Это следует из рассуждений, подобных тем, которые привели
нас к выражению F.30). Главная часть ряда Лорана ~\/{р — pv)
должна умножаться на множитель (р — р*) такой, чтобы для
50(р) выполнялось условие ISO(/?)I = 1 (унитарность). Остаю-
Остающийся фазовый множитель необходимо выбрать в виде (— 1), так
что
2i ik + р
удовлетворяет условию причинности C.15). Из выражения G.1) сле-
следует
dSp(p) _ к /
1
Резонансные явления 585
а выбор противоположного знака в G.1) приводит к соотношению
ddo{p) = -к
dp р2 + к2 '
которое не всегда удовлетворяет условию C.15).
Подставляя выражение G.1) в (XVI.2.8), для парциально-
волновой амплитуды нулевого порядка получаем
i G.2)
T0(p) = .
Тогда парциальное сечение нулевого порядка равно
^о = 4я|То|2*-1^-т. G.3)
В пределе нулевой энергии рассеяния, когда виртуальный полюс
близок к действительной оси, это выражение 'принимает вид
о0ъ-г, G.3а)
к
что равно полному сечению, поскольку, согласно (XVII.6.6), при
низких энергиях высшими парциальными волнами можно пре-
пренебречь. Таким образом, мы видим, что для находящегося близко
к действительной оси полюса, отвечающего виртуальному состоя-
состоянию, сечение рассеяния может быть очень велико. Велика также
длина рассеяния, получаемая, согласно (XVII.6.10), из G.2):
flof=--. G.4)
Легко видеть, что связанное состояние с достаточно малой
энергией связи также приводит к формуле для сечения G.3). Сле-
Следовательно, виртуальное состояние можно обнаружить по низко-
низкоэнергетическому сечению рассеяния только в том случае, когда
отсутствуют связанные состояния с малой энергией связи.
Виртуальные состояния реально наблюдались. В случае протон-
нейтронного рассеяния существует связанное состояние — дейтрон
(изоспин 0, угловой момент 1). Длина рассеяния равна а§' !) =
= 5,4 • 10" 13 см. Для углового момента, равного нулю (изоспин 1),
связанных состояний нет, но а^1' °) = — 2,37 • 10~ 13см. Таким об-
образом, в синглетной (изоспин 0) р — w-системе существует вирту-
виртуальное состояние, которое находится ближе к порогу, чем связан-
связанное состояние, и доминирует в низкоэнергетическом рассеянии.
Виртуальные состояния приводят также к большим временам
задержки. Поскольку мы рассматриваем случай низких энергий,
586 Глава XVIII
фазовый сдвиг можно найти по формуле (см. (XVII.6.15))
р cot <Ш= ■ G-5)
а0
Отсюда получаем
dS0 а0 1 1
dp 1 + p2a\ к 1 + р2/к2'
Следовательно, среднее время задержки B.26) для виртуального
состояния с длиной рассеяния G.4)
, ■ .х .ml 1
р к 1 + р (к1
может быть очень большим. Проиллюстрируем этот эффект, срав-
сравнивая время задержки с временем, которое нерелятивистская ча-
частица, движущаяся со скоростью р/т, проводит в области радиу-
радиуса R; последнее равно (см. разд. XVIII.3)
qrcX
Р
Следовательно, отношение времени задержки, связанного с вирту-
виртуальным состоянием, к этому классическому времени задержки рав-
равно „virt 11 1
7cl Rk 1 + р2/к2 R 1 + р2а\ ' v ' '
При определенных значениях К и R это отношение может быть
очень большим. Например, для виртуального р — /т-состояния,
взяв R « 2,5 • 10~ 13 см и а0 * — 24 ■ 10~ 13 см, мы видим, что вре-
время задержки за счет виртуального состояния на порядок больше
классического времени задержки.
Таким образом, виртуальное состояние является не фиктивным
математическим состоянием, а физическим состоянием, в котором
налетающая частица и мишень проводят вместе значительный от-
отрезок времени.
XVII1.8. ДИАГРАММЫ АРГАНА ДЛЯ УПРУГИХ
РЕЗОНАНСОВ И ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ1)
Диаграмма Аргана, введенная в разд. XVI.3, является полезным
инструментом для регистрации и выявления резонансов и опре-
определения их параметров (ER, Г). Чтобы понять это, исследуем
1) В написании этого раздела мне помог Г. Бялковский.
Резонансные явления
587
е = -0,5
t = -1
(-*Ч)
Рис. 8.1. Диаграмма Аргана для резонансного сечения упругого рассеяния рТ{{р) =
= (е - »)-! и cot б)Л) = е.
подробно поведение амплитуды рассеяния на диаграмме Аргана.
Изучим сначала идеализированный случай упругого резонанса в от-
отсутствие фона. В этом случае амплитуда рассеяния дается форму-
формулой F.26), которую мы запишем в виде
Р7У>(Е) =
с — i
где введено обозначение
£ = (ER-E)-= cot 3\R\E).
(8.1)
(8.2)
На рис. 8.1. приведена диаграмма Аргана для уравнения (8.1). Как
мы видим, эта упругая амплитуда Брейта — Вигнера лежит на уни-
унитарной окружности. Вершине окружности отвечает резонансная
энергия 6 = 0, при которой фазовый сдвиг бДЕ^) равен тг/2 (см.
рис. XVI.3.1). При возрастании энергии Е точка pTf медленно дви-
движется против часовой стрелки по нижней чрсти окружности и более
быстро при приближении Е к резонансному значению ER. Это по-
показано значениями е, приведенными вдоль траектории pTf на
рис. 8.1.
Чтобы учесть фон, запишем, пользуясь F.25),
pTt = ein sin
2iyi
pT}R) =
inpT\R\
(8.3)
588
Глава XVIII
Рис. 8.2. Диаграмма Аргана для резонансного сечения упругого рассеяния в при-
присутствии фона: 7} = Г*Л) + 7*bg\
где мы определили фоновую амплитуду r/bg) по аналогии с
(XVI.2.8) как
1 1
rr(he\ ivi • f l'2yi 14 (Q Л\
j-(v%) _ _ em sm ^ _ — [e n — 1). (oA)
P Up
Из выражения (8.3) мы видим, что эффект фона проявляется
в повороте резонансной амплитуды на угол 27/. Величина рТ( для
постоянной фоновой амплитуды показана на рис. 8.2. Резонансная
окружность начинается в точке В и пересекает унитарную окруж-
окружность, а единственное отличие от рис. 8.1 состоит в том, что те-
теперь резонансной энергии отвечает не точка, в которой резонанс-
резонансная амплитуда является чисто мнимой, а точка, диаметрально
противоположная точке В. Если фон зависит от энергии, резо-
резонансная точка не является хорошо определенной.
Как мы видели выше, резонансной амплитуде отвечает харак-
характерная круговая траектория на диаграмме Аргана, а резонансное
значение энергии — это такое ее значение, где изменение фазового
сдвига максимально. Как показано в разд. XX.3, эта особенность
имеет место даже при учете неупругих процессов; при этом лишь
окружности становятся меньше и искажаются.
Диаграмму Аргана можно использовать для определения энер-
энергии и ширины резонанса некоторой парциальной волны. С этой
Резонансные явления 589
целью надо просто построить на диаграмме Аргана график рТ, как
функции от энергии. Если точка pTt движется по окружности,
близкой к унитарной, то известно, что в этой парциальной волне
имеется упругий резонанс, а значение энергии, при котором проис-
происходит наиболее быстрое изменение амплитуды, равно резонансной
энергии ER. Если фона нет, то ER — это точка, в которой рТ, пе-
пересекает мнимую ось. Чтобы построить график рТ^Е), необходи-
необходимо найти эту функцию из эксперимента; в этом и состоит главная
трудность фазового анализа. Ниже дается краткое описание этой
процедуры.
Экспериментальные данные, получаемые в экспериментах, —
это сечения: полное сечение при различных импульсах о(р) и диф-
дифференциальные сечения da/dQF, p) при различных углах и им-
импульсах (или дифференциальные сечения do/dcos в = 2irda/du).
Согласно (XVI. 1.36), эти сечения связаны с парциально-волновыми
амплитудами соотношением
da
dcosO
(р, cos в) = 2л
B/+ l)P,(cos0OXp)
1 = 0
(8.5)
Из оптической теоремы (XVI.2.20) следует
4тг
<Кр) = —I BI+l)Im7Xp). (8.6)
Р i = o
Эти суммы простираются до бесконечности и были бы не слишком
полезными для нахождения парциально-волновой амплитуды
Т,(р), но к счастью, согласно (XVII.6.6), высшими парциально-
волновыми амплитудами при заданном значении импульса р мож-
можно пренебречь, так что для фиксированного значения импульса р
сумма (8.5) содержит лишь конечное число членов:
dcosO
(р, cos в) = 2л
L
B/+ l)P,(cos0OXp)
= о
(8.5')
и такая же ситуация имеет место для суммы (8.6). Какое значение
L следует выбрать для заданного р, зависит от исследуемой задачи
и определяется эмпирически по «принципу устойчивости». Это де-
делается следующим образом. Выбирается некоторое значение Lo. За-
Затем, используя описанную ниже процедуру, находят Т0(р), ...
..., TLo(p); выбирают Lo + 1, находят по тем же данным новый
набор амплитуд Т0{р), ... , TLo(p), TLo+l(p). Если различие полу-
полученных таким образом амплитуд Т{ и ft существенно, значит вы-
выбрано слишком малое значение Lo для данной энергии, и надо по-
попробовать большее значение LQ.
590 Глава XVIII
Используя формулу для полиномов Лежандра1}
/ + /'
P,(cos 0)P,.(cos 9) = X </0 /' 0|L0>2PL(cos в), (8.7)
L=\l-l'\
где < Iml'm' I L, m + m' > — 8ОC)-коэффициенты Клебша — Гор-
дана, можно записать (8.5') в виде
dff я £ P/cos0)C/p). (8.8)
dcosO
Обращение соотношения (8.8) имеет вид2)
С,(р) = H±±rdcose %*& «cos в). (8.8')
4 л J_t a cos в
Для определенности рассмотрим два конкретных значения L = 1 и
L = 2. При L = 1 соотношение (8.5') имеет вид
j^ = 2п{\Т0\2 + 3(Т0П + nWP, + УТ^Р2} . (8.9г)
При L = 2 оно имеет вид
d COS 0 0 12 '2
где численные коэффициенты определяются значениями 2 / + 1
и коэффициентами Клебша — Гордана. Так, например, при L = 2
имеем
СМ = 6Re(Tg71 + 2Т?Г2) (8.10)
и т. д. Далее, если для некоторого р измерено сечение
da/d cos в(р, cos в), то из (8.8') можно вычислить С,(р). Эти
«экспериментальные» значения СД/?) используются в таких уравне-
уравнениях, как (8.10), чтобы найти «экспериментальные» значения
парциально-волновых амплитуд. Имеется 2 L + 1 уравнений (8.10).
Кроме того, имеется оптическая теорема
4я L
Ф) = — I B/+ 1IтВД. (8.6')
Р i = o
1} Это частный случай формулы (VII.3.20).
2) Эта формула получается умножением (8.8) на РДсов в) и использованием
(VII.3.16) и (VII.3.25).
Резонансные явления 591
Таким образом, всего имеется 2 L + 2 нелинейных уравнений для
2L + 2 действительных величин Im 7}(/?), Re 7}(/?), / = 0, 1, ...,
L, или 2L + 2 величин 8,(р) и rj,(p) из (XVI.2.10).
Если рассеяние при этом значении энергии является упругим, то
имеем только L + 1 неизвестных функций 8t(p) и можно не рас-
рассматривать Cj(p) при j > L. Тогда в (8.10) имеется L + 1 уравне-
уравнений для L + 1 неизвестных. (В этом случае оптическая теорема
(8.6') не является независимым от (8.10) соотношением.)
Эту процедуру нахождения парциально-волновой амплитуды
надо проделать для каждой точки р на диаграмме Аргана. Для не-
небольших значений р достаточно рассматривать небольшие L (на-
(например, L — 0), но при увеличении значения импульса необходимо
выбирать все большие значения L. Поскольку уравнения нелиней-
нелинейны, решения не являются единственными. Кроме того, эксперимен-
экспериментальные данные содержат ошибки. Возникающую неопределен-
неопределенность можно частично снять, рассматривая функцию рТ,(р) при
нескольких значениях р и требуя ее гладкой зависимости от им-
импульса. Таким способом получают графики зависимости рТ{ от р.
XVIII.9. СРАВНЕНИЕ С НАБЛЮДАЕМЫМИ СЕЧЕНИЯМИ:
ЭФФЕКТЫ ФОНА И КОНЕЧНОГО РАЗРЕШЕНИЯ
ПО ЭНЕРГИЯМ
Вследствие присутствия фоновых эффектов в резонансном парци-
парциальном сечении и фонового вклада остальных нерезонансных пар-
парциальных сечений экспериментальное сечение вблизи резонанса
обычно не имеет такой простой формы, как на рис. 6.1. Рассмот-
Рассмотрим сначала подробно интерференцию между резонансом и фоном.
Если подставить выражение (8.3) в (XVI. 1.38), то для резонанс-
резонансного парциального сечения получим
ах = 4яB/
p
Введем параметры Фано!)
- eiyi sin у, + е2
(9.1)
q = + cot ylt e = (ER-E)-= cot S\R\E). (9.2)
Параметр q называется индексом профиля или параметром про-
профиля, а параметр е определен в (8.2). После непосредственного вы-
1} Параметры, первоначально предложенные Фано [65], имели знак, обратный
знаку параметров (9.2).
592 Глава XVIII
числения получаем для (9.1)
(9.3)
Перепишем эту формулу в виде
ох = ajb*> + a\R) ^ ^22f1~1) ' <9-4)
где
,-A1) о] I 14 /'О ел
О; — —2~ \^' ' ^/—2 \^"^)
есть сечение Брейта — Вигнера F.27), a a^hg) определяется по ана-
аналогии с (XVI.2.9) формулой
ср> = ЦB1+ l)sin2y,. (9.6)
Подставляя выражение (9.5) с учетом (9.6) и (9.2) в формулу
(9.4), резонансное парциальное сечение можно записать в виде
Функция (q + €^/F^ + 1), определяющая форму резонанса, пока-
показана для нескольких значений индекса профиля q на рис. 9.1. Мы
видим, что форма резонанса в резонансном парциальном сечении
существенно зависит от величины параметра q, связанного с фоно-
фоновым фазовым сдвигом уг (Если, как это имеет место в общем слу-
случае, фоновый фазовый сдвиг зависит от энергии е, то форма графи-
графика становится еще более сложной.) Видно, что для положительных
значений q при возрастании энергии Е, т. е. возрастании — е, сече-
сечение поднимается над фоном, затем резко падает при резонансном
значении энергии е — 0, становится равным нулю при е — — q и
затем снова растет.
Для отрицательных значений q сечение падает с ростом энер-
энергии, достигает нулевого значения при е = q (т. е. до резонанса), а
затем резко возрастает.
Теперь можно объяснить поведение экспериментальных дан-
данных, изображенных на нескольких рисунках разд. XVIII. 1. По-
Поскольку до сих пор мы обсуждали только фоновые эффекты,
Резонансные явления
593
Рис. 9.1. Профильная функция резонанса Для разных значений параметра профиля q
[48]. Стрелкой показано направление увеличения энергии Е.
пользуясь полученными результатами, мы можем описать только
те эксперименты, в которых можно пренебречь распределением
по энергиям в пучке и конечной разрешающей способностью де-
детектора. Это эксперименты с высокой разрешающей способнос-
способностью, результаты которых приведены на рис. 1.3 и рис. 1.4, г.
В этих экспериментах измеряется прошедший ток, который ра-
равен начальному току за вычетом рассеянного тока, определяемого
Mil—38
594 Глава XVIII
полным сечением. Поскольку полное сечение равно сумме резо-
резонансного /-парциального сечения (9.8) и медленно меняющегося
фонового сечения от остальных парциальных волн, провалу в
резонансном парциальном сечении отвечает пик в прошедшем то-
токе, а пику в резонансном парциальном сечении — провал в про-
прошедшем токе. Как следует из графиков на рис. 9.1, резонанс в /-м
парциальном сечении должен проявляться следующим образом:
при q >0 — как провал в окрестности резонанса и пик сразу
после резонанса;
при q < О — как пик непосредственно перед резонансом и
провал сразу за резонансом.
Для эксперимента с высокой разрешающей способностью (очень
малый разброс в электронном пучке, рис. 1.4,г) и в особенности
для эксперимента с исключительно высокой разрешающей способ-
способностью (рис. 1.3) можно видеть, что имеет место ситуация с
q < 0. (Если было бы известно точное значение ER, то можно най-
найти значение q.) Таким образом, наша гипотеза в разд. XVIII. 1 о
том, что в процессе столкновения A.4) образуется квазистационар-
квазистационарное состояние Не~ вблизи 19,31 эВ, оправдалась. Мы увидим, что
другие эксперименты, результаты которых показаны на рис. 1.4 и
1.5, приводят к такому же заключению. В этих экспериментах раз-
разрешающая способность прибора мала, и измеряется не сечение при
определенной энергии, а полное сечение в некотором интервале
энергий.
Полное сечение (XVI. 1.33) записывается в виде
а = а, + £ av = а, + оь, (9.9)
где а1— резонансное парциальное сечение (9.8) (описывающее как
резонанс, так и фон), и предполагается, что резонансы с угловым
моментом /', не равным /, отсутствуют. Тогда фоновое сечение аь
имеет вид
4я
*ь = —I B/' + 1)яп2Уг» (9-10)
Р r*i
где уг(Е) — медленно меняющиеся фоновые фазовые сдвиги.
Подставляя выражения (9.10) и (9.8) в (9.9), получаем для се-
сечения 2
а = G|Ь8OгТТ + аь- (9Л1)
где о^8) и аь слабо зависят от энергии.
При энергиях вдали от резонансной е — оо и из (9.11) полу-
а-а1ь*> + аь^а(пг), (9.12)
Резонансные явления 595
где мы обозначили через сг(пг) медленно меняющийся нерезонансный
фон. Сечение (9.11) имеет максимум при е = l/q, и его значение в
этом максимуме равно
Используя (9.12), удобно записать сечение (9.11) в виде
откуда видно, что резонанс возникает на постепенно меняющемся
фоне сг(пг) и имеет характерную форму, определяемую множителем
( q2 + 2 qe — 1)/A + е2). Таким образом, при наличии фона от
остальных парциальных волн в отличие от (9.8) сечение не рав-
равно нулю при € = q, а имеет в этой точке минимальное значение
amin = ab, которое лежит ниже уровня фона сг(пг). Форма кривой
определяется в этом случае функциями, показанными на рис. 9.2.
При I q\ < 1,
резонансный эффект сводится к большему падению относительно
фона с одной стороны от резонанса, чем рост над фоном с другой
стороны. При I q I > 1 верно обратное утверждение.
До сих пор в нашем обсуждении предполагалось, что энергети-
энергетическая разрешающая способность экспериментального прибора иде-
идеальна. Это означает, что исходный пучок может рассматриваться
как идеально моноэнергетический, так что функция распределения
по энергиям может описываться, согласно (XIV.5.36), 6-функцией:
F(E - ЕА) = р(Е) <£||| РПП|||£> = S(E - EA), (9.15)
где ЕА — центральное значение энергии в пучке. Такой идеальной
разрешающей способности можно добиться двумя способами: с
помощью идеального приготавливающего прибора (монохромато-
ра с высокой разрешающей способностью) или с помощью идеаль-
идеального детектора (анализатора с высокой разрешающей способно-
способностью в эксперименте, рис. II.4.1). Вследствие закона сохране-
сохранения энергии оба способа дают один и тот же результат. Как уже
отмечалось в гл. XIV, что называть идеальным разрешением, за-
зависит от тех эффектов, которые требуется изучить. Чтобы исполь-
использовать функцию (9.15), разброс по энергиям в пучке А Е дол-
должен быть мал по сравнению с шириной структуры в амплитуде
рассеяния.
596
Глава XVIII
-то -
Рис. 9.2. Функция, определяющая форму резонансного эффекта по отношению к
гладкому фону [48].
Наблюдаемой величиной является не сечение а( Е) при опреде-
определенной энергии Е, а усредненное по энергиям сечение
a * F = dEF(E - EA)a(E),
(9.16)
где функция F определяется энергетической разрешающей способ-
способностью детектора (или приготавливающего прибора), поскольку
каждый реальный детектор регистрирует частицы не только с
определенной энергией ЕА, но и с энергиями в конечном интервале
Д Е вокруг ЕА . Если сечение а(Е) меняется медленно по сравнению
с F( Е — ЕА), то а * F » о(ЕА), что эквивалентно использованию
функции (9.15). Но если разброс Д Е не является малым по сравне-
Резонансные явления 597
нию с шириной резонанса Г, а следовательно, сг( Е) из F.27) изме-
изменяется не медленно, то аппроксимировать а * F значением а{ ЕА)
нельзя. Наблюдаемой величиной является тогда величина, опреде-
определенная в терминах Г-матричных элементов формулой (XIV.5.40).
При этом (т( Е) — лишь сокращенное обозначение для выражения
под интегралом в (XIV.5.40), на которое умножается функция
F(E — ЕА), и не является наблюдаемой величиной. Таким обра-
образом, для резонанса в 1-й парциальной волне с фоном в самой
/-й волне и фоном от остальных парциальных волн а( Е) = а(е) из
(9.14) не является наблюдаемой физической величиной, если ширина
Г того же порядка, что и разрешения по энергиям Д Е. Наблюдае-
Наблюдаемой физической величиной является
= c*F= Jd£ <r(E)F(E - ЕА)
(£) + <yb(E))F(E - EA)
J
- EA) dE. (9.17)
Точное значение этой величины зависит от распределения по
энергиям (функции эффективности детектора F{E — EA) для кон-
конкретного эксперимента. Предположим для определенности, что
вероятность измерить значение энергии Е равна нулю всюду, кро-
кроме интервала энергий Д Е вокруг ЕА. Тогда функция
A Д£ Д£
F(E - ЕА) = 1аЁДЛяЕа~1Г-Е-Еа + 1Г> (9.18)
[о в остальных случаях,
изображенная на рис. 9.3, описывает разрешающую способность
прибора. Выражение (9,18), разумеется, задает также нефизическое
распределение типа 5(£" — ЕА), и гауссиан с центром в ЕА во мно-
многих случаях лучше бы отвечал истинной ситуации. Но для пучка с
разбросом по энергиям Д Е > Г предположение (9.18) достаточно
разумно. Используя (9.18), для наблюдаемого сечения (9.17) по-
получаем
> = -L
Ea-AE/2
(9.19)
598
Глава XVIII
F(E-EA)k _^
А£
Л£
Рис. 9.3. Принятое распределение энергии в пучке при разрешении по энергиям
АЕ> Г.
Здесь crjbg)( E) и оь(Е) — медленно меняющиеся функции от Е. Сле-
Следовательно,
1 [Ел
at">EA-
,(£)) dE
+ ab(ER)
есть медленно меняющаяся функция от средней энергии пучка ЕА,
которая хорошо аппроксимируется ее значением при энергии пучка
ЕА , равной энергии резонанса ER.
Второй интеграл в правой части выражения (9.19) имеет вид
2qe-
л + ЛЕ/Г
1 +£'
de,
= (ER-EA)-.
Для значений ЕА , далеких от ER, т. е. при еА вдалеке от нуля, вели-
величина этого интеграла, как можно видеть из рис. 9.2, близка к нулю,
и усредненное сечение определяется главным образом (от(ЕА)).
При средней энергии пучка ЕА = ER величина < аг ( ЕА) > равна
•/ДЕ/Г
de
de
2АЕ
- 1).
Резонансные явления 599
При выполнении интегрирования мы считали пределы интегриро-
интегрирования по фактору формы резонанса равным ± оо, что при Д Е > Г
не вносит заметной ошибки, как это можно видеть из рис. 9.2.
Подставляя это значение, а также
4тг
Ь8)<£) B/ + 1) sin2 У1(ЕК) (9.20)
в выражение (9.19), для усредненного сечения при энергии пучка
ЕА, равной резонансной энергии ER, получаем
(921)
Следовательно, если значение сечения (a(ER)) измерено прибором,
имеющим плохое разрешение по энергиям, оно может быть боль-
больше, меньше или даже равным медленно меняющемуся фону
< сгпг( ЕА) > в зависимости от величины фонового фазового сдвига в
резонансной парциальной волне yt(ER) « yt(EA). Если cos27/ > 0,
то резонанс проявится в наблюдаемом сечении <<г( ЕА )> в виде пи-
пика над фоном <апг( ЕА)) при энергии ЕА = ER. Если cos 27, < 0, то
резонанс проявится как провал ниже уровня фона. При cos 27/ * 0
резонанс не проявится в наблюдаемом сечении.
С помощью этих результатов мы можем дать интерпретацию
экспериментальных данных на рис. 1.4, б, 1.4, в и 1.5, получен-
полученных в эксперименте с разбросом энергий в электронном пучке
А Е, большим, чем ширина резонанса. На рис. 1.4, б и 1.4 в вид-
видны рост прошедшего тока и падение полного упругого сечения
при ЕА « ER « 19,3 эВ. Этого и^ледовало ожидать, согласно
(9.21), «ели фоновый фазовый сдвиг 7/ удовлетворяет условию
cos27/(£'/?) < 0 или
<ln. (9.22а)
Такой же эффект наблюдается в усредненном по всем углам диффе-
дифференциальном сечении, изображенном на рис. 1.5.
Из данных эксперимента с высокой разрешающей способностью
по энергии, приведенных на рис. 1.3 и 1.4, г, мы пришли к заключе-
заключению, что q < 0. Имея в виду (9.2), это означает, что
in < y№R) < п. (9.226)
Поэтому, объединяя (9.22а) и (9.226), мы делаем из наших качест-
качественных рассуждений вывод, что
\п < yx(ER) < In. (9.23)
600 Глава XVIII
Это показывает, что фоновый фазовый сдвиг в резонансной парци-
парциальной волне для процесса е + Не — Не" — Не + е совсем не яв-
является малым. Выбрать только Tf из F.26) в качестве 1-й парциаль-
парциальной амплитуды рассеяния и о)Л) из F.27) в качестве сечения вблизи
резонансной энергии было бы совершенно неправильно.
Мы объяснили экспериментальные данные для процесса упруго-
упругого рассеяния е + Не — е + Не как узкий резонанс вблизи 19,3 эВ,
интерферирующий с фоновым фазовым сдвигом, удовлетворяю-
удовлетворяющим условию (9.23). Чтобы получить больше информации об этом
резонансе Не~, обратимся к экспериментальным данным на
рис. 1.5. Это эксперимент с низкой разрешающей способностью по
энергиям Д Е — E0 — 100)- 10~3 эВ, в котором измеряется интен-
интенсивность потока рассеянных электронов как функция средней энер-
энергии пучка при разных значениях угла рассеяния в = 10, 40, 60, 90 и
110°. Таким образом, рис. 1.5 дает усредненное дифференциальное
сечение упругого рассеяния как функцию от угла рассеяния и
энергии:
(^ ^' в)) = \dElk (E> Q^E ~ E^
\dil I J all
где F — функция энергетического разрешения прибора в этом экс-
эксперименте.
По экспериментальным данным на рис. 1.5 можно провести фа-
фазовый анализ, как это описано во второй части разд. XVIИ.8.
Предполагая, что в рассматриваемой области энергий парциально-
волновыми амплитудами 7) с / > 2 можно пренебречь, мы можем
использовать (8.9) для определения фазовых сдвигов 60, 5, и 82 при
различных значениях импульса. Так как в рассматриваемом случае
коэффициенты неупругости ^ равны нулю (открыт только упругий
канал), амплитуды Т,(р) в (8.9) связаны с 8,(р) соотношением
(см. XVI.2.8))
= еи'яп5,. (9.24)
Полиномы Лежандра, участвующие в (8.9), имеют вид
Ро = 1, Pi = cos в, Р2 = КЗ cos2 в - 1),
Р3 = М5 cos3 в - 3 cos в), Р4 = К35 cos4 0-30 cos2 в + 3).
(9.25)
Сначала можно не учитывать более высокие парциальные ам-
амплитуды, чем Гр и использовать (8.9j). Согласно (8.9,), при
в = 90° имеем только вклад То. Поскольку на рис. 1.5 еще имеется
резонансный эффект при в — 90°, мы заключаем, что резонанс име-
Резонансные явления 601
ет место в S-волне:
lR = 0. (9.26)
Теперь можно применить формулу (9.21) к сечению do/dQ(EA),
В = 90°). Вместо функции разрешения прибора (9.18) можно вы-
выбрать другую функцию в зависимости от эксперимента1). В этом
случае выражение в правой части (9.21) изменится, но принцип
определения резонансного фазового сдвига 50 = эг/2 + 7о останет-
останется тем же. Кривой на рис. 1.5 для В = 90° отвечает сечение
(£(£..«-«»•)).
Оно снова демонстрирует падение ниже уровня нерезонансного
дифференциального сечения, характерное для резонансной парци-
парциальной волны с фоновым фазовым сдвигом (9.22а). Из значений
сечения
при различных энергиях ЕА вблизи резонансной энергии ER можно
найти фоновый фазовый сдвиг 7о и истинную ширину резонанса Г.
В таком эксперименте получены следующие значения:
Г * A5 - 20)- 10 эВ, 70 * 100°. (9.27)
Значение 7о согласуется с ограничениями (9.23), полученными из
других описанных выше экспериментов.
Теперь можно рассмотреть данные рис. 1.5 при В = 60°. Зна-
Значение полинома P2(cos60°) близко к нулю, и влияние возможного
члена Т2, которое, согласно (8.92), было бы существенным при
P2(cos0) Ф 0, минимизировано. Применяя формулу (8.9j) к экспе-
экспериментальным данным при В = 60° с 6* = эг/2 и 70 = 100°, полу-
получаем
<5Х = ух * 25°. (9.28)
Чтобы проверить, что вклад от высших парциальных волн
мал, можно теперь применить формулу (8.92) к эксперименталь-
1J Чаще всего функция разрешения прибора является гауссовой функцией F.39).
Тогда наблюдаемое сечение, согласно (9.17), является сверткой гауссовой и лоренце-
вой функций, которая известна как интеграл Войгта или профиль Войгта. Интеграл
Войгта не может быть найден аналитически; он вычислен численно и табулирован.
Лоренцева ширина Г и гауссова ширина АЕ могут быть найдены при представлении
экспериментальных данных профилем Войгта. См., например, [66], разд. VIID.
602 Глава XVIII
ным данным для других углов рассеяния в. Например, при
70 = 100° и 7, = 25° из экспериментальной кривой при в = 10°
получаем
д2 = у2 * 4°. (9.29)
Такой сдвиг действительно мал, и это оправдывает сделанное в
начале нашего анализа предположение, что амплитудой Т2 и
высшими парциальными волнами можно пренебречь.
Атом Не в процессе столкновения A.4)
е + Не -> Не" -* Не + е
находится в основном состоянии lS0 с / = 0, 5 = 0. Электрон е
имеет значение s = 1/2, и, как мы знаем из (9.26), 1 = 0. Следова-
Следовательно, квазистационарное состояние Не~ имеет I = 0 и s = 1/2,
т. е. находится в состоянии 2S1/2. Это состояние очень похоже на
основное состояние в спектре лития 251/2 (см. рис. VII.2.1). Отличие
состоит лишь в том, что заряд ядра лития равен + 3, а заряд ядра
Не~ равен + 2, а также в том, что состояние Не" имеет ненулевую
ширину (9.27).
Глава XIX
Обращение времени
При обсуждении в гл. XX многоканальных резонансов нам понадо-
понадобятся свойства S-матрицы, следующие из инвариантности отно-
относительно обращения времени. В разд. XIX. 1 инвариантность отно-
относительно пространственных отражений используется для опреде-
определения некоторых свойств S-матрицы. В разд. XIX.2 вводится об-
обращение времени. Главная задача разд. XIX. 1 — подготовить
разд. XIX.3, в котором исследуются свойства S-матрицы, являю-
являющиеся следствиями инвариантности относительно обращения
времени.
XIX. 1. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОТРАЖЕНИЙ И СВОЙСТВА
S-МАТРИЦЫ
В разд. V.4 мы ввели наблюдаемую четности, реализующуюся в
пространстве состояний как унитарный оператор Up, удовлетворя-
удовлетворяющий соотношениям (V.4.1) — (V.4.3), в которых участвуют наб-
наблюдаемые координат, импульса и углового момента. В разд. V.4.
мы упоминали о том, что не все операторы энергии коммутируют
с оператором четности; например, гамильтониан взаимодействия,
отвечающий за слабые распады, и, следовательно, оператор пере-
перехода для слабых взаимодействий не коммутируют с U . Но многие
системы с рассеянием и распадом инвариантны относительно пре-
преобразования четности, т. е. помимо того, что
[К, I/,] = 0 . A.1)
для них выполняется также условие
[V, Up] = 0 или [Т, Up] = О, A.2)
или, в терминах S-оператора,
S = UpSUp. A.3)
604 Глава XIX
Инвариантность относительно преобразования четности приво-
приводит к некоторым ограничениям для Т- и S-матричных элементов.
Например, из (V.4.2.) и (V.4.5.) следует
^1р^> = М-р^>, A.4)
где эг равно + 1 или — 1, а для собственных векторов углового мо-
момента (XVI. 1.3) по аналогии с (V.4.39) имеем
UP\Ell3r,y = {-l)lnrl\EU3r,«y. О-5)
Дополнительные внутренние квантовые числа т\ обычно не изменя-
изменяются под действием U ; таким образом, г\* = г\. Внутренняя чет-
четность 7гч может принадлежать к.набору дополнительных квантовых
чисел т?.
Из A.4) для S- и Г-матричных элементов в импульсном базисе,
учитывая A.3) или A.2), получаем
= <-рУ|5|-р»7>7г„,7г„ A.6)
или
Из A.5) для Г-матричных элементов в базисе углового момен-
момента (предполагая оператор Т сферически-симметричным) имеем
<Е1'Г3г,'\Т\Е113г}у = <ЕП'3г,'\Т\Е113г}у(-1У + 1'пГ1.пГ1. A.8)
Условия A.7) и A.8) представляют собой ограничения на свойст-
свойства Г-матричных элементов.
Мы также ограничимся рассмотрением случая, обсуждавше-
обсуждавшегося в гл. XVI, а именно, когда внутренние квантовые числа т; не
содержат внутреннего углового момента. Тогда, используя
(XVI. 1.18), из соотношения A.8) получаем
{ЕП'зП'\Т\ЕИъг1У^пп,п„{Е11'ъг]'\Т\Е11ъг}уд11д1з1., A.9)
или для парциально-волновой амплитуды, определенной в (XVI. 1.34),
(XVI. 1.23), (XVI. 1.18), имеем
ТЦЕ) = пч.пщТ%{Е). A.10)
Отсюда следует, что в случае упругого рассеяния бесспиновых ча-
частиц инвариантность относительно преобразования четности не на-
накладывает никаких дополнительных ограничений, которые не явля-
являлись бы следствиями инвариантности относительно вращений. При
Обращение времени 605
г) Ф г\' формула A.10) утверждает, что парциально-волновая ам-
амплитуда реакции может быть отлична от нуля только в том случае,
когда внутренняя четность начального состояния равна внутренней
четности конечного состояния эг^ — эг^,, т. е. внутренняя четность
сохраняется. Инвариантность относительно преобразования четно-
четности A.2) приводит к сохранению четности A.7), A.8), A.10), так же
как вращательная инвариантность (XVI. 1.1) приводит к сохранению
углового момента (XVI. 1.18).
XIX.2. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Главная цель приведенного выше обсуждения инвариантности от-
относительно преобразования четности — подготовить введение ин-
инвариантности нового типа, которая на первый взгляд кажется
очень похожей на инвариантность относительно преобразования
четности, но на самом деле имеет совсем иной характер, а именно
инвариантности относительно обращения времени. На примитив-
примитивном уровне обращение времени — это замена t на tR = — t; но это
не физическая операция, подобная зеркальному отражению
л:, — xf = —xit поскольку мы не можем повернуть время вспять.
Однако мы можем сравнить состояние системы, имеющей коорди-
координаты Xj и компоненты скорости vjt с состоянием физической систе-
системы с теми же координатами лс, и с компонентами скорости — Vj.
Если для процесса рассеяния все координаты и скорости подверг-
подвергнуть этому преобразованию во все моменты времени:
^~:х-»+х, ^";v-».-v или ^":х-»-х, ^:р-»-р, B.1)
то получим процесс, который выглядит как исходный процесс, раз-
развивающийся во времени вспять.
Операция обращения времени 5/~— это обращение скоростей
B.1). Для квантовофизической системы это преобразование ^реа-
^реализуется оператором в пространстве физических состояний. Мы на-
назовем его оператором обращения времени Ат. Если оператор Ат
представляет обычную наблюдаемую, подобную тем, которые мы
рассматривали до сих пор, то он должен быть линейным операто-
оператором. Ниже мы очень скоро убедимся, что Ат не может быть ли-
линейным оператором.
По аналогии с соотношениями (V.4.1) и (V.4.2) для оператора
четности U преобразование B.1) надо перевести на язык квантово-
механических операторов Qy и Р{:
ArQiAi1 = &, B.2)
606 Глава XIX
ATPtAj * = -Pt. B.3)
Эти соотношения будут пояснены ниже.
Для оператора орбитального углового момента L. = eijkQjPk и,
следовательно, для любого оператора углового момента /(. из B.2)
и B.3) следует
ATJtArl = -J{. B.4)
Рассмотрим теперь коммутационные соотношения между опера-
операторами импульса Pj и компонентами углового момента /,:
С|.ЛЗ = *«ыЛ B-5)
и подставим выражения B.3) и B.4) в B.5):
ATUi, РМт1 = -ишАтРгАг1. B.6)
Если бы оператор Ат был обычным линейным оператором, то,
умножая B.6) на А? х слева и Ат справа, мы получили бы
[J,,PJ= -ieiklPt.
Но это противоречит соотношению B.5). Таким образом, если опе-
оператор Ат обращает направления всех импульсов B.6), сохраняя ко-
координаты неизменными, то этот оператор не может быть линей-
линейным.
[Взаимно однозначное отображение А на линейном пространст-
пространстве <^над комплексными числами С называется полулинейным опе-
оператором, если
А(ф + ф) = Аф + Аф для всех ф,феЖ, Аф = 0 => ф = О,
B.7а)
и для всех а е С
Аосф = ос'Аф, где а' = а или а' = а*. B.76)
Полулинейный оператор называется антилинейным, если а' = а*
(комплексное сопряжение), т. е. если
Аосф = <х*Аф. B.7в)
Полулинейный оператор называется линейным, если а' = а. Та-
Таким образом, в отличие от линейного оператора, уже определенно-
определенного в A.3.1) и A.3.2), антилинейный оператор преобразует комплекс-
комплексные числа в их комплексно-сопряженные:
Ai= -iA. B.7')
Обращение времени 607
В пространстве со скалярным произведением <^для любого анти-
антилинейного оператора А (определенного на всем пространстве Jf
или в его плотном подпространстве) можно единственным образом
определить антисопряженный оператор A t (часто называемый про-
просто сопряженным) соотношениями
(Л/, д) = {А^д, /) = (/, А*д)*, /,деЖ B.8)
Для линейного оператора L и антилинейных операторов А{, А2
выполняются следующие соотношения:
(А,А2У = А\А\, (АЬУ = VA\ {АХЬА2У = A\VA\.
B.9)
Антилинейный оператор называется антиунитарным, если он со-
сохраняет норму, т. е. если
(Ag,Af) = (AiAf,g) = (f,g) или А*= А'1. B.10)
Произведение двух антиунитарных операторов является унитар-
унитарным оператором.
Для антилинейных операторов по аналогии со случаем ли-
линейных операторов имеем
Tr(AW) = Tr(WA), Tr{QAWA<) = Tr(A*QAW), B.11)
где W и Q — эрмитовы операторы. Всегда предполагается, что
операторы таковы, что все операции взятия следа, которые встре-
встречаются в доказательстве, хорошо определены.|
Если мы выберем в качестве оператора Ат, реализующего изме-
изменение знаков скоростей и обращение времени, не унитарный опера-
оператор, как мы делали в случае пространственной инверсии в
разд. V.4, я антиунитарный оператор, то формула B.6) приведет не
к противоречию, а (используя соотношение B.7в)) опять к соотно-
соотношению B.5).
Таким образом, мы можем сделать следующее утверждение: со-
состояние с обращенным временем (измененными знаками скоростей)
WT{ t) получается из состояния W( t) согласно соотношению
WT(t) = ATW{t)A\, B.12)
где оператор обращения времени А т — это антиунитарный опера-
оператор: А\АТ = / , B.13)
удовлетворяющий определяющим соотношениям B.2) — B.4I).
1J Если имеются дополнительные независимые наблюдаемые, которые не могут
быть выражены через Р(, Qf, J., то необходимо определить соотношения, связыва-
связывающие ихс-4т.
608 Глава XIX
Кроме того, оператор А т обладает свойством
А\ = el, где £=+1 или -1. B.14)
Мы требуем также, чтобы оператор энергии и оператор перехо-
перехода коммутировали с оператором обращения времени Ат^:
АТК - КАТ = 0, АТН - НАТ = 0, АТТ - ТАТ = 0, B.15)
а S-оператор удовлетворял соотношению
A\.SAT = Sf. B.15')
Соотношения B.15) и B.15') выражают утверждение об инвари-
инвариантности относительно обращения времени.
Доказательство этого утверждения проводится в два этапа.
Первый и наиболее трудный этап — показать, что операция обра-
обращения времени реализуется полуунитарным оператором (т. е. опе-
оператором, удовлетворяющим соотношениям B.7а), B.76), B.13)).
Выше мы просто предполагали, что (аналогично основному пред-
предположению I) обращение времени реализуется чем-то похожим на
линейный оператор. Основанием для этого служит главным обра-
образом знаменитая теорема Вигнера, которая применима к гораздо бо-
более широкому классу преобразований, чем преобразование обраще-
обращения времени. Этот вопрос кратко обсуждается в приложении к это-
этому разделу.
Второй этап доказательства приведенного утверждения — уста-
установить конкретные свойства оператора обращения времени, выра-
выражаемые соотношениями B.2) — B.4), B.15).
Из физической интерпретации операции обращения времени (из-
(изменения знака скоростей) следует, что должно выполняться следу-
следующее требование. Если среднее значение импульса в состоянии
W(t) равно р, то среднее значение импульса в состоянии WT(t)
должно быть равным — р. Это означает, что
Tr(PtW(t)) = -TT(PtWT(t)) = -TT(PtATW(t)A'T) = -
B.16)
Поскольку это должно выполняться для любого состояния W(t) и
11 До сих пор это требование выполнялось во всех процессах за исключением
распадов /Г°-мезонов, и может существовать сверхслабая часть гамильтониана, ко-
которая не удовлетворяет условию B.15). (Обсуждение этих вопросов можно найти,
например, в книге [67], гл. 12. — Прим. перев.)
Обращение времени 609
отвечающего ему состояния с обращенным временем WT(t), имеем
"i = ~"Ajti™T->
откуда получаем соотношение B.3). Соотношение B.2) получается
таким же образом. Соотношение B.4) следует из B.3) и B.2), как
упоминалось выше. Также уже упоминалось, что из B.6) следует
антилинейность оператора Ат.
Подействовав дважды операто'ром обращения времени на любое
состояние:
WTT(t) = ATWT(t)A\ = ATATW(t)A\A\, B.17)
мы должны вернуться к исходному состоянию. Из этого требова-
требования следует
АТАТ = el , где ее* = 1. B.18)
Но, так как Ат А\ = АТАТАТ = А\ Ат и, следовательно,
Ате = еАт, из антилинейности оператора Ат получаем, что е —
действительная величина. Отсюда следует B.14).
Вопрос о том, какой из операторов выбрать в качестве операто-
оператора обращения времени Ат, удовлетворяющего B.14) с е = + 1 или
с е = — 1, по крайней мере в настоящее время решается экспери-
экспериментом. Следующий выбор не противоречит имеющимся экспери-
экспериментальным данным:
e = (-lJs, B.19)
где 5 — спин физической системы [68].
Требование B.15) носит эмпирический характер. Взаимодейст-
Взаимодействия, нарушающего инвариантность относительно обращения вре-
времени, выраженную в B.15) (кроме упомянутой" выше системы
Аг°-мезонов, которую мы здесь не учитываем), не найдено.Кроме
того, если гейзенберговские уравнения движения (XI 1.1.24) с
(XII. 1.26) должны иметь место для оператора координаты, то из
B.2), B.3) и антилинейности оператора Ат следует, что оператор
Н должен коммутировать с Ат.
Соотношение B.15') является следствием B.15) и антиунитарно-
антиунитарности оператора Ат.
Состояние W и отвечающее ему А г-преобразованное состояние
WT можно рассматривать как различные состояния одной физичес-
физической системы. Но удобнее ограничить физическую систему и рас-
рассматривать все А г-преобразованные состояния всех состояний фи-
физической системы как принадлежащие к новой системе — Ат-
преобразованной системе. Чтобы получить представление о свойст-
461 39
610 Глава XIX
вах Лг-преобразованной системы, рассмотрим некоторое состояние
Из аксиомы временной эволюции V, в частности из (XII. 1.15) и
(XII. 1.16), следует
WT(t) = ATe-itHWQeitHA\ = e + itHATWQA\.e-itH
= e-i(-t)HWle + i(~t)H. B.20)
Таким образом, Л г-преобразованная система развивается вперед во
времени таким же образом, как исходная система развивалась бы
вспять: W( — t) = e~i{~t)HWQej(~t)H. Если исходная система рас-
рассеяния эволюционирует из некоторого ин-состояния W™ в некото-
некоторое аут-состояние Wout, то система с обращенным временем эво-
эволюционирует из ин-состояния ( WT)[n, совпадающего с аут-состоя-
аут-состоянием исходной системы (WT)in = Wout, в аут-состояния
ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗД. XIX.2
В этом приложении кратко описаны условия и соображения, приво-
приводящие к тому, что преобразование физической системы реализуется
полуунитарным оператором. Здесь рассматривается преобразова-
преобразование обращения времени.
Пусть WT{ t) — состояние, которое получается из состояния
W(t) операцией обращения времени с/~\
Т\ W(t) -> WT(t).
Естественно ввести следующие требования:
1. Если два состояния не имеют общих свойств, то их ^преоб-
^преобразования также не должны иметь общих свойств.
2. Если одно состояние обладает более специфическим свойст-
свойством, чем другое, то его .^-преобразование также должно обладать
более специфическим свойством, чем ^-преобразование второго
состояния.
Ограничимся рассмотрением состояний, описываемых проекци-
проекционными операторами А1 и Л2. Тогда требование 1 означает, что
AXA2 = 0 => Л[Л[ = 0,
или
А,Ж 1 \2Ж => А\Ж 1 АТ2Ж
(ортогональные свойства переходят в ортогональные). Требование
Обращение времени 611
2 означает, что
Состояние Л, обладает более специфическим свойством, чем Л2 (на-
(например, Л2 может быть состоянием с угловым моментом у = 2, а
А1 — состоянием с угловым моментом j = 2 и компонентой угло-
углового момента }ъ = + 2).
Далее естественно ввести требование:
3. Обращение времени осуществляет взаимно однозначное ото-
отображение пространства состояний на себя.
Из этих трех требований следует, согласно общей математичес-
математической теореме ([69], с. 88), что обращение времени ^реализуется
полулинейным оператором Ат:
2Г\ W{t) -> WT(t) = ATW(t)A\.
Естественно также ввести следующее требование.
4. Операция обращения времени должна сохранять полную веро-
вероятность. Это означает, что для всех W и отвечающих им WT
Tr W = Tr WT.
Отсюда следует B.13).
Таким образом, операция обращения времени реализуется полу-
полуунитарным (унитарным или антиунитарным) оператором.
До сих пор не было использовано ни одно специфическое свой-
свойство операции обращения времени, и приведенные рассуждения
справедливы для любого преобразования физических состояний,
удовлетворяющего требованиям 1 — 4. Следовательно, каждое т"а-
кое преобразование реализуется полуунитарным оператором, в
общем случае определенным с точностью до фазового множителя.
В этом утверждении содержится знаменитая теорема Вигнера1*, ко-
которая утверждает, что операции симметрии квантовофизической
системы реализуются унитарными или антиунитарными опера-
операторами.
XIX.3. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАЩЕНИЯ
ВРЕМЕНИ И СВОЙСТВА S-МАТРИЦЫ
Прежде чем использовать предположение об инвариантности
относительно обращения времени, чтобы найти соответствующие
!) Доказательства теоремы Вигнера можно найти в книгах [10, 70—72]; см. так-
также статью Яуха в книге [73], с. 131, где даны дальнейшие ссылки на литературу.
612 Глава XIX
свойства S-матричных и Г-матричных элементов, мы должны
определить действие оператора Ат на базисные векторы. Это де-
делается таким же образом, как и для оператора четности U в
разд. V.4. Для собственного вектора импульса из B.14) следует
Л(ЛГ1Р»7»= -Pi(AT\pri)). C.1)
Следовательно, вектор (AT\prj)) также является собственным
вектором оператора Pt, но с собственными значениями — рг Если
дополнительных собственных векторов нет и р полностью задает
базисную систему, то из C.1) получаем
где а — фазовый множитель-, для которого
а2 = € ( = + 1 для бесспинового случая) C.2)
и который, как можно прказать, не зависит от р.
Для собственных состояний углового момента I Е11Ъ > из B.4) и
B.14) таким же способом получаем
Лг|£//3> = а|£/-/3>. C.3)
Если имеются дополнительные квантовые числа г) (внутренние
квантовые числа, индексы каналов), то действие оператора Ат на
базисные векторы I ...?;> зависит от соотношений, связывающих
Ат с г/ор. Предположим, что набор т/°р не содержит внутреннего
углового момента. Предположим также, что все г/ор коммутируют
сАт: Ur^°p] = 0. C.4)
Это имеет место, если т/°р обозначает, например, оператор внут-
внутренней энергии мишени. Тогда
AT\prjy = oc(rj)\-pr,> , AT\Ell3rj} = 0L(ri)\El-l3rly, C.5)
где а = а (г/) может зависеть от г/ и, возможно, также От /.
Рассмотрим теперь 5-матричный элемент в базисе углового мо-
момента (XVI. 1.42) и приведенные 5-матричные элементы
< г/II S,(E)$ri' >, определенные в (XVI. 1.46) и (XVI. 1.44). Можно
использовать либо B.14) для Г-оператора вместе с C.5) и определе-
определением S-матрицы (XVIЛ.41), либо B.15) для 5-оператора непо-
непосредственно с C.15) и, используя B.8) и C.5), вычислить
<£ / /3 rj\A\.SAT\E' /' /3 О = (АТ\ЕИ3 >/>, SAT\E' Г /'3 rj'))*
= ос(ф*(г}')<Е l-l3ri\S\E'l'-r3 Ч'У* . C.6)
Обращение времени 613
С другой стороны, из B.15) получаем
(Ell3 r,\A\-SAT\E4' /'3 п'У = <Е //3 rj\S'\E' Г Г3 г,'}
= <E'l'l3ri'\S\EU3ri>*. C.7)
Таким образом,
<£' /' Г3 r,'\S\E I /3 rj}* = <£ / - /3 rj\S\E' /' - 1'3 r,'}*oc(r,)oc*(ri') , C.8)
или, выполняя комплексное сопряжение C.8),
<£' П'3 *' IS | £ / /3 г,} = <£ / - /3 rj | S | Е Г - /'3 iy'>a(iy')a*(iy). C.9)
Чтобы найти фазовые множители, вычислим
<£ / l3ti\A\AT\E /' Г3 ^'> = afo)a*D')<JB / /3 »у|Е' Г /'3 »у'>*. (ЗЛО)
С другой стороны, из B.13) имеем
'l' Г3
C.11)
если обобщенные собственные векторы «нормированы» обычным
образом с действительной функцией р(Е). Следовательно, сравне-
сравнение (ЗЛО) и C.11) показывает, что необходимо потребовать
a(f)aV) = 1. (ЗЛ2)
Соотношения C.8) и C.9) с C.12) называются теоремой взаимно-
взаимности^ (для бесспинового случая). Эти соотношения сильно отлича-
отличаются от соответствующих соотношений, например A.7) и A.8), сле-
следующих из инвариантности относительно преобразования четно-
четности, поскольку они связывают между собой два разных процесса.
Левая часть C.9) описывает процесс г/ — г/', в то время как правая
часть описывает процесс -ц' -* t\. Теорема взаимности утверждает,
что эти два процесса имеют одинаковую вероятность перехода. Из-
Измерение этих вероятностей перехода позволяет проверить, имеет ли
место инвариантность относительно обращения времени.
Найдем теперь следствия инвариантности относительно обраще-
обращения времени для /-го парциального приведенного S-матричного эле-
элемента <г/'11 S,(E)\\r,), определенного в (XVI. 1.45) и (XVI. 1.43).
!) Теорему взаимности называют также принципом детального равновесия или
принципом микрообратимости.
614 Глава XIX
Подставляя эти матричные элементы в C.8), получаем
C.13)
подставляя их в C.9), получаем
<f/'||S,(£)||^) = <^||5,(£)||?7'> . C.14)
Таким образом, 1-й парциальный приведенный 5-матричный эле-
элемент <г/' II S/iE)^) является не только унитарной, но и симмет-
симметричной матрицей. Мы используем этот факт в следующем разделе.
Для экспериментальной проверки теоремы взаимности рассмот-
рассмотрим следствия из соотношения C.14) для парциальных сечений.
Подставляя C.14) в (XVI. 1.48), получаем для парциально-волновых
амплитуд (XVI.34) следующее соотношение:
C.15)
Подставляя его в (XVI. 1.37), получаем следующее соотношение
между парциальными сечениями aj? ~v и а] , описывающими
процессы г/ — г}' и г/' — г] соответственно:
2
i / 4_ Р /^ л /~\
' ' р'1
Аналогичные соотношения имеют место для полного и дифферен-
дифференциального сечений. Соотношение C.16) выведено для случая бесспи-
бесспиновых частиц. Если налетающая частица и мишень системы г/ име-
имеют спины s и sT, а для системы г/' спины s' и sf, то вместо соот-
соотношения C.16) получим
р" Bs' + l)Bs'r +1)
Для проверки принципа детального равновесия C.16) рассмот-
рассмотрим экспериментальные данные, приведенные на рис. 3.1.
На рис. 3.1 показана зависимость скорости счета (пропорцио-
(пропорциональной сечению) от энергии для различных процессов. Части ри-
рисунка бив относятся к процессам
А127 + р -> а + Mg24,
Mg24 + а->/> + А127,
которые связаны принципом детального равновесия, и должно вы-
выполняться соотношение C.16), причем rj характеризует систему
А127 — протон, а г}' — систему Mg24 — а. Шкала энергий выбрана
соответствующим образом, и кривые должны совпадать одна с
другой (с точностью до множителя). Данные взяты из двух различ-
Обращение времени
615
2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4-
Энергия налетпанпцеи частицы в системе центра масс, МэВ
Нис. 3.1. Зависимость сечения от энергии для различных процессов рассения: а
упругое рассеяние протонов на алюминии; б —^реакция А127 + р — а + Mg24; в
реакция Mg 4 + а — р + А1 ; г — упругое рассеяние а-частиц на магнии [74].
ных экспериментов с разным разрешением; несмотря на это, согла-
согласие является убедительным. Различные пики отвечают резонансам
систем Si28, и мы обсудим это, а также сравнение с кривыми в час-
частях а и г в следующей главе.
Глава XX
Резонансы в многоканальных системах
В этой главе мы рассмотрим резонансы в процессах рассеяния из
начального состояния в несколько конечных состояний, когда внут-
внутренние квантовые числа резонансов в общем случае отличаются от
квантовых чисел начального и конечного состояний. В разд. XX.2
мы сначала детально обсудим случай одиночного многоканального
резонанса, а затем — случай двойного многоканального резонанса
(который имеет место, когда имеются два резонанса с разными
внутренними квантовыми числами в одной парциальной волне,
причем оба резонанса взаимодействуют с начальным и конечным
состояниями). В разд. XX. 3 описываются диаграммы Аргана для
неупругих резонансов.
XX. 1. ВВЕДЕНИЕ
В ходе обсуждения в гл. XVIII мы предполагали, что в эксперимен-
эксперименте по рассеянию открыт только один канал и именно в этом канале
имеется резонанс. В этом случае существует только один отличный
от нуля приведенный 5-матричный элемент <г/II 5Д£") II г/>, и имен-
именно он является резонансным. Это случай упругого рассеяния
a+T-+R->a+T. A.1)
Здесь г/ — квантовые числа начального состояния (а, Т), конечного
состояния (а, Т) и резонанса R.
Это, конечно, очень частный случай, который обычно не имеет
места. Если энергия достаточно высока, так что открыто несколь-
несколько конечных каналов, то может существовать резонанс не только
для упругого процесса рассеяния, описываемого матричным эле-
элементом St(E) = < т\А II S,(E) II т\А >, но также и для неупругих процес-
процессов, описываемых <т/ II 5Д£")Н Va > при г/ Ф чА . Чтобы некоторый
резонанс мог проявляться в нескольких каналах, это резонансное
состояние должно иметь ненулевые матричные элементы по отно-
отношению ко всем начальным и конечным состояниям с квантовыми
числами г], т/', г/". Если резонансу необходимо приписать внутрен-
Резонансы в многоканальных системах 617
ние квантовые числа, скажем к, то они должны отличаться от
квантовых чисел г/; соответствующие наблюдаемые кор и т/ор не мо-
могут коммутировать.
Характеризовать ли резонансные состояния внутренними кван-
квантовыми числами к = (Kj, k2,..., кп) и рассматривать резонансную
энергию как зависимую величину ER = E(kr), kr = (kri, kr2,...
..., KRn), определяемую внутренними квантовыми числами, или ха-
характеризовать резонансное состояние непосредственно энергией ре-
резонанса ER, зависит от желания автора и от удобства в каждом от-
отдельном случае. Первый способ принят в физике частиц, второй —
в ядерной физике. Ниже мы будем следовать первому пути, пред-
предполагая, что резонансное состояние характеризуется кроме углово-
углового момента набором «внутренних» квантовых чисел к, поскольку
это позволит нам дать очень простой вывод формул для многока-
многоканальных резонансов, пользуясь результатами гл. XVIII.
ХХ.2. ОДИНОЧНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЕЗОНАНСЫ
Приведенные 5-матричные элементы < г/ II St II т/' >, согласно
(XVI.2.3), образуют унитарную матрицу. Согласно хорошо извест-
известной теореме линейной алгебры [4, 52], для любой унитарной мат-
матрицы существует другая унитарная матрица, которая ее диагонали-
зует, а ненулевые элементы диагональной матрицы (собственные
значения) по модулю равны единице. Таким образом, для любого
значения Е существует унитарная матрица < к II г/ > (с сопряженной
ей матрицей < г/ It к) = < к II г/ > *):
<к|к'> = 5КК. = X <K\\riXi\\*>, «V, = <Ч'\\П> = I W\\K><K\\rj)
B.1)
такая, что
Функции Ь\К\Е) называются собственными фазовыми сдвигами,
или собственными фазами. Матрица <к11т/> может быть различной
при разных значениях Е и, следовательно, является в общем случае
функцией от энергии рассеяния. Из инвариантности относительно
обращения времени видно, что приведенная S-матрица симметрич-
симметрична (формула (XIX.3.14)). Из общих теорем линейной алгебры [4,
52] следует, что для симметричной унитарной матрицы существует
ортогональная матрица, которая ее диагонализует. Таким образом,
618 Глава XX
для матрицы <кИг/> выполняется не только B.1), но также соотно-
соотношение
<Ф> = <vi\\k> = (ф)*. Г2.1а)
Обращая B.2) с помощью B.1), получаем
= I *'"г>(£)<»/1|к><к|к'>. B.3)
Чтобы понять физику, стоящую за этим математическим преоб-
преобразованием приведенной 5-матрицы к диагональной форме, рас-
рассмотрим базисные векторы, которые использовались для про-
пространства начальных состояний (а, Т):
Ортогональная матрица < г/ II к > преобразует эту базисную систему
в новую базисную систему
, B.4)
п
где квантовые числа Е\1Ъ не изменяются, но возникают новые внут-
внутренние квантовые числа к. Наблюдаемые, собственными значения-
значениями которых являются к, не коммутируют с наблюдаемыми, соб-
собственными значениями которых являются г/:
[к°", г/0"] Ф 0. B.5)
Квантовые числа rj были выбраны так, что начальное состояние
(а, Т) характеризуется определенным значением г/ : г/ = -цА =
= г](а, Т). Может случиться так, что квазистационарное состояние
R, образующееся в процессе а + Т — R — а + Г, не имеет опреде-
определенных квантовых чисел г/, но имеет определенные квантовые числа
к, скажем к — kr. Тогда можно повторить рассуждения из
разд. XVIII.2 и XVIII.6, но на этот раз не для внутренних кванто-
квантовых чисел г/, а для внутренних квантовых чисел /с, в частности для
тех значений kr квантовых чисел к, которые отвечают внутренним
квантовым числам R. Время задержки t^ и фазовый сдвиг Ц**)
характеризуются тогда этими квантовыми числами, так же как в
гл. XVIII они характеризовались квантовыми числами т\А началь-
начальной (и конечной) системы налетающая частица — мишень (а, Т).
Таким образом, соотношение (XVIII.6.23) справедливо теперь не
для квантовых чисел т\А начального состояния, а для квантовых чи-
чисел kr резонанса R, который имеет квантовые числа, которые нель-
нельзя одновременно измерять с квантовыми числами rjA, т. е. для со-
соответствующих наблюдаемых имеет место неравенство B.5). Та-
Резонансы в многоканальных системах 619
ким образом, вместо S, = < rj II St(E) II t\A > мы запишем теперь вы-
выражение (XVIII.6.23) для < kr II S,(E) II kr):
<KR\\S,(E)\\KRy = ei2dfl{KK)ei2yi{KK) = ei23l{KR)
+ -?- )e47'i**) B.6)
£« - E ~ «Гк/2/
где 5/\кк) — резонансный фазовый сдвиг, a yt(KR) — фоновый фа-
фазовый сдвиг, так что фазовый сдвиг снова записывается в виде
Приведенные 5-матричные элементы <т/II ЯД/?)!! q'> между (приве-
(приведенными) базисными векторами II rj > должны быть выражены че-
через приведенные S-матричные элементы < к II St(E)\\ к') между (при-
(приведенными) базисными векторами II а) с помощью преобразования
№> = Е|к><к|к>, B-4')
к
которое приводит к выражению B.3) с
Матричный элемент < к II г/ > — это число, характеризующее ин-
интенсивность взаимодействия состояний с внутренними квантовыми
числами г/ и к. Как упоминалось выше, в общем случае это число
зависит от энергии Е.
Конечно, может случиться так, что квазистационарное состоя-
состояние формируется не только при значениях kr квантовых чисел к, но
также и при других значениях к = кх , кх ,... . Это может произой-
произойти даже при одном и том же значении / углового момента и даже
при близких энергиях ER и Ех . Предположим для определенности,
что квазистационарные состояния образуются при двух наборах
значений kr и кх с одинаковым орбитальным моментом / и энерги-
энергиями и ширинами (ER, TR) и (Ех, Тх) соответственно. Тогда в до-
дополнение к B.6) имеем также
<kx\\SJLE)\\kx> = ei (l + =^
tx — t — li
Предположим также, что все остальные матричные элементы 5 не-
нерезонансны, т. е.
= ei2dl{K) = ei2'MK) , к Ф kr, kx, B.8)
где тДк) — фоновые фазовые сдвиги, являющиеся функциями энер-
620 Глава XX
гии Е. Может возникнуть предположение, что фоновые фазовые
сдвиги в резонансных и нерезонансных каналах являются медленно
меняющимися функциями энергии, но в общем случае это не так!),
и мы не будем здесь делать такого предположения.
Назовем описанный выше объект двойным резонансом, или
двойным многоканальным резонансом с квантовыми числами (kr,
кх). Таким образом, формирующий эксперимент в процессе рассея-
рассеяния
а + Т-*а' + Т
может идти двумя путями:
с кв.ч kr \
В случае упругого рассеяния г/ = т]А(Т' = Т, а' = а); в случае ре-
реакции г/ = г Ф г)А. Если проиллюстрировать это диаграммой, ана-
аналогичной рис. XVIII. 1.2, то получим диаграмму рис. 2.1.
Подстановка B.6), B.7) и B.8) в C.3) дает выражение для
S-матрицы в случае двойного'многоканального резонанса2)
Z <*11*><|фУ + }
ER- E-
, Кх(ч\\кхУ(кх\\г1')>е12Пкх)
Ex-E-iTx/2 ■
^ Наличие быстрых вариаций энергии следует из теоремы Вигнера об оттал-
отталкивании собственных фаз, которая гласит: собственные фазы Ь,{к) не пересекаются
(по модулю ж). Поэтому вблизи резонансной энергии в канале kr собственные фазы
остальных каналов к также должны изменяться. Это гарантируется наличием раз-
разрезов в индивидуальных собственных пространствах (и соответствующих матрич-
матричных элементов перехода < к11т7> , также являющихся функциями от Е ), которые нахо-
находятся в комплексной плоскости энергии гораздо ближе к действительной оси, чем
резонансный полюс. Эти разрезы не появляются в полной 5-матрице и, следова-
следовательно, не имеют физического смысла. Эти разрезы в < к11т7> и у((к) должны быть
такими, чтобы все они сокращались друг с другом в фоновом члене B.16), который
может быть медленно меняющейся функцией энергии. Обсуждение этих сингулярно-
стей индивидуальных собственных фаз см. в работах [75—77].
2) Мы опускаем индекс / в фазовых сдвигах yt и b/f где это возможно; тогда у все-
всегда обозначает фоновую фазу той парциальной волны, в которой имеется резонанс.
Резонансы в многоканальных системах 621
ч у
Рис. 2.1.
Суммирование по к проводится по всем каналам, включая резо-
резонансные каналы kr и кх.
Амплитуда упругого рассеяния, связанная с 5-матрицей соотно-
соотношениями (XVI. 1.48) или (XVI.2.8), получается из B.9) при
т) = т]' = t)A после короткого вычисления с использованием B.1):
= ,2«кя>(&л\Щкл>\ ,
\EEir/2+
ER-E- iTR/2 Ex-E- iTx/2
+ X (ЧаЦкУ^кЦЧаУ6'^ sin У(к)- B.10)
к
В случае неупругого рассеяния из начального состояния с квантовы-
квантовыми числами г]' = г)А в конечное состояние с квантовыми числами*
t) = г амплитуда рассеяния (XVI. 1.48) Получается из B.9) в виде
Ьц — Ь — п ц/2
?rx<r\\Kx><Kx\\r,A>ei2
Ех-Е- iTx/2
+ l<r\\Ky<K\\riAyei2^)/Bi) . B.11)
к
Формулы B.9) — B.11) являются приближенными в той же степе-
степени, в которой приближенными являются формулы B.6), B.7) и
(XVIII.6.23). Они получены в рамках обычного брейт-вигнеровского
приближения и в предположении, что резонанс (или квазистацио-
квазистационарное состояние) имеет внутренние квантовые числа к, не согласу-
согласующиеся с квантовыми числами т\ начального и конечного состоя-
состояний. Вследствие такого способа их вывода формулы B.9) — B.11)
содержат индивидуальные собственные фазы у (к), хотя эти соб-
собственные фазы, относящиеся к промежуточным квантовым числам
к, могут быть нефизическими величинами. Физически наблюдаемы-
наблюдаемыми величинами являются резонансные члены и полный фоновый
член (просуммированный по к), и только эти величины можно
сравнивать с экспериментальными данными.
622 Глава XX
ХХ.2а. ОДИНОЧНЫЙ МНОГОКАНАЛЬНЫЙ РЕЗОНАНС
Прежде чем продолжить обсуждение двойного резонанса, рассмот-
рассмотрим более простой случай, когда имеется только один резонанс с
квантовыми числами kr. Такой резонанс мы будем называть оди-
одиночным многоканальным резонансом. Формулы для этого случая
получаются, если в формулах B.10) и B.11) опустить вторые члены
в скобках.
Принято вводить следующее обозначение
П/2 = О/Нк^Г1'2, Г = ГУ B.12)
На этом этапе используется инвариантность относительно обраще-
обращения времени. Если она имеет место, то унитарная матрица (у II к)
ортогональна, т. е. ее матричные элементы действительны (см.
\2.1а)). Следовательно, для взаимодействий, инвариантных относи-
относительно обращения времени, величины Г1/2 действительны1 \
Из B.1) следует, что Г^ удовлетворяет условию
ХГ„ = Г = Гя. B.13)
Величина Г^ называется парциальной шириной для канала у. В этих
обозначениях амплитуда упругого рассеяния для одиночного резо-
резонанса с квантовыми числами kr имеет вид
У + b(rjA), B.14)
hiR — tL — II IL
а амплитуда реакции равна
U 11//
Л lit LI I £*
где
b(r]A) = I <1/Л к> </с||^>е^ sin у(к), B.16А)
к
Ь(г) = X <г||»с><к|^^>^2у(к)/B0, B.16г)
к
которые могут быть плавными функциями от энергии даже в том
случае, когда отдельные у (к) быстро меняются. Представление
B.14), B.15) называется обобщенным приближением Брейта —
'* Если инвариантности относительно обращения времени нет, то величина Г|/2
комплексна, и Г определяется как Г = 1Г1/212. Мы не будем здесь обсуждать этот
случай.
Резонансы в многоканальных системах
623
Вигнера. Эти выражения очень похожи на соответствующее выра-
выражение (XVIII.6.26) для одноканального резонанса, за исключением
того, что высота многоканального резонанса меньше в < г\А II kr >2
или < т]А II kr > < г II kr > раз. Первая величина равна амплитуде пере-
перехода (квадратному корню из вероятности перехода) для перехода из
состояния с квантовыми числами т\А в состояние с квантовыми чис-
числами kr и обратно в состояние с квантовыми числами i\A\ вторая
величина равна амплитуде перехода из г\А в kr и из kr в г. Следова-
Следовательно, меньшая высота резонанса имеет место из-за наличия не-
неупругости, т. е. того факта, что резонанс дает вклад не только в
канал г)А или г, но также и во все остальные каналы т\ Ф т\А или
TJ Ф Г.
Тогда сечения, отвечающие амплитудам B.15), не будут сильно
отличаться от выражений для сечений, приведенных в разд. XVIII.6
и XVIП.9. Используя сокращенные обозначения
ER-E
Г/2
<кя||^>. B-18)
где kr — квантовые числа резонанса R, а г\А — квантовые числа на-
начального состояния А = (а, Т), можно записать /-е парциальное
сечение о\А~^, используя B.14) при т\ = т\А и B.15) при т\ = г, а
также B.16), в виде
Rn
При г] = г из B.15) и B.16г) получаем
a\A~**= 4лB/ + 1)-=-
P
2\
Rr
e- i
£ — I
B.19A)
. B.19r)
После некоторых вычислений эти выражения можно записать в
виде
а(л^л) = Щ21 + 1} J_ Г|Ь(^)|2 + JlI
х sin у(к){2с cos{2(y(/cR) - у(к))} - 2 sin{2(y(/cR) - у(к:))})| ,
B.20А)
624 Глава XX
= 4nBl+ 1L
х (-esin{2(y(KR) - у(к))} - cos{2G(kr) - у(к))})Ц B.20г)
)Ц
где b(riA) и b(г) определены в B.16). Выражение B.20А) дает упру-
упругое сечение, а выражение B.20г) — сечение реакции.
Для энергии Е вдали от резонансной энергии ER, т. е. при
I e I > 0, второй член в скобке в правой части B.20) очень мал и
стремится к нулю при I e I — оо. Тогда сечение равно
<уAА^п) -> ff(nr) = 4яB/ + 1) -г \b(rj)\2 при |£| -> оо. B.21)
Таким образом мы видим, что формулы B.20) очень похожи на
(XVIII.9.14): одиночный резонанс в многоканальной системе прояв-
проявляется как структура над постепенно меняющимся фоном. Форма
этой структуры в общем случае не такая, как на рис. XVIII.9.2, и
зависит от различных фоновых фазовых сдвигов 7- Но если эти фо-
фоновые фазовые сдвиги в окрестности резонансной энергии Е » ER
одинаковы (по модулю тг) для всех квантовых чисел к:
уг{к) = У1(Е) = у(Е), B.22)
то можно записать (учитывая, что (Va^Va^ = Шк^Ча^ к^
<к\\г,А) = 1)
при ц = г)А, B.23)
где q снова определяется выражением
q = cot У1(Е) , B.24)
a ofb& — формулой
ст<ьв) = 4яB/ + 1) Л sin2 у. B.25)
Р
Формула B.23) действительно очень похожа на (XVIII.9.14) и
(XVIII.9.6). Следовательно, форма одиночного резонанса в мно-
многоканальном случае очень похожа на форму резонанса на
рис. XVIII.9.2, но не идентична ей.
Из B.20) мы видим, что многоканальный резонанс проявляется
в упругом канале т\ = т\А, а также во всех каналах реакций г\ = г
при одной и той же энергии ER и с одной и той же шириной Г.
Резонансы в многоканальных системах
625
Форма резонанса зависит от фоновых фазовых сдвигов 7(*0- Даже
если имеет место B.22), резонанс с квантовыми числами kr имеет
различную, хотя и похожую, форму в разных каналах tj, поскольку,
согласно B.18), R в формуле B.23) зависит в общем случае от t).
Но если наблюдается частный случай, когда фон для всех кван-
квантовых чисел к — резонансных к = kr и всех нерезонансных к —
пренебрежимо мал, то
Таким образом, резонанс без фона проявляется во всех каналах как
брейт-вигнеровский резонанс при одной и той же энергии и с той
же шириной, но с разной высотой, зависящей от парциальной ши-
ширины Г .
Далее, поскольку т\А могут на самом деле принимать любые
значения, такой же брейт-вигнеройский резонанс появляется для
любого начального состояния. Следовательно, независимо от того,
каковы начальное и конечное состояния процесса, если только их
амплитуды перехода в состояние с квантовыми числами kr отлич-
отличны от нуля, резонанс появляется при той же энергии и с той же
шириной. Этого, разумеется, и следовало ожидать для квазистаци-
квазистационарного состояния, которое полностью задается своими «кванто-
«квантовыми числами» (ER, Г, /, kr) и не зависит от условий эксперимен-
эксперимента1 >.
Экспериментальные примеры одиночных многоканальных резо-
нансов приведены на рис. XIX.3.1. На этом рисунке показаны раз-
различные резонансы («энергетические уровни») Si28, как они появля-
появляются в процессах
а: А127 + р -> (Si28)* -> р + А127,
б: А127 + р -> (Si28)* -> а + Mg24,
в: Mg24 + а -> (Si28)* -> р + А127,
г: Mg24 + а -> (Si28)* -> а + Mg24.
1J Как уже отмечалось в разд. XVIII.6, понятие квазистационарного состояния
(ER, Г, /, kr) имеет смысл только с определенной точностью. Если должна учиты-
учитываться зависимость Г от энергии, то наблюдаемое положение резонанса Е^абл может
быть разным для различных экспериментов.
НИ 40
626 Глава XX
Резонансы (Si28) наблюдаются при следующих значениях энергии1*:
2,75; 2,93; 2,95; 3,00; 3.14; 3.20; 3.28 МэВ. Тонкие различия между
кривыми, такие, как двойной пик при 3,4 МэВ в процессе б, которо-
которому отвечает лишь одинарный пик в процессе в, могут быть объяс-
объяснены разным разрешением по энергии в этих экспериментах.
Пусть t)A — квантовые числа системы р—Al27, r — квантовые
числа системы а—Mg24, a kr , kr , ... — квантовые числа различных
резонансов (Si28). Энергии этих резонансов достаточно разделены,
так что каждый из них можно рассматривать отдельно как одиноч-
одиночный резонанс и не использовать изложенные ниже соображения,
относящиеся к двойным резонансам.
Мы видим, что в общем случае каждый одиночный резонанс
проявляется во всех четырех процессах. Вместе с тем если в реакци-
реакциях б и в они обычно появляются как чисто брейт-вигнеровские ре-
резонансы, то в упругом процессе айв процессе г имеются сущест-
существенные фоновые фазы. Например, резонанс при 3,203 МэВ, кванто-
квантовые числа которого можно обозначить kr , проявляется в б и й как
пик, а в а и г как провал. Это показывает, что и (,yA§KR >, и
< г II kr > не равны нулю и сумма по к в B.20) пренебрежимо мала
при г] = г, но существенна при т\ = т\А = (квантовые числа систе-
системы р—А127) и tj = г = (квантовые числа системы а—Mg24). Воз-
Возможное объяснение этого эффекта состоит в том, что хотя фоно-
фоновыми фазами 7(*") пренебречь нельзя, но они приближенно могут
считаться не зависящими от к, так что для упругого процесса име-
имеет место что-то похожее на B.23). При том же предположении для
неупругого процесса, используя условие < tj I т\А > = 0, получаем
так что в реакции резонанс проявляется как чисто брейт-вигнеров-
ский резонанс над возможным фоном а(пг).
ХХ.26. ДВОЙНОЙ МНОГОКАНАЛЬНЫЙ РЕЗОНАНС
Вернемся теперь к случаю двух резонансных 1-х парциальных волн:
одной с внутренними квантовыми числами kr и с энергией и шири-
'* Это значения энергия в шкале энергии а-частиц. Различие в положении начала
отсчета энергии а-частиц и протонов равно 1,61 МэВ, и шкалы энергии процессов а, б
и в, г были подобраны так, чтобы совместить каждую пару резонансных пиков на
кривых реакций б и в.
Резонансы в многоканальных системах 627
ной (ER, VR) и другой с квантовыми числами кх и параметрами ре-
резонанса (Ех, Тх). Начнем с выражений B.10) и B.11) и рассмотрим
одновременно случай упругого рассеяния B.10), т\ = т\А, и реакцию
B.11), tj = г. Мы используем обозначения
Х = Х»= <г,\\кх>(кх\\г1А>е12^-*к*». B.27)
Будем всегда предполагать инвариантность относительно обраще-
обращения времени B.16), так что величина R действительна, а фаза X
полностью определяется разностью фоновых фаз. Тогда выраже-
выражения B.10) и B.11) принимают вид
где Ь дано в B.16).
Чтобы упростить последующее обсуждение, отбросим фоновый
член Ь. Связанные с ним эффекты похожи на обсуждавшиеся в слу-
случае одиночного резонанса и в разд. XVIII.9.
Сечение для двойного многоканального резонанса (если для про-
простоты предположить, что фаза X действительна) принимает вид
,<*> = 4,B/ + 1) \
2
р2 \(ER - ЕJ + П/4 + (Ех - ЕJ + Г|/4
(TR/4)rx2RXl(ER - Е)(ЕХ - Е)
l(ER - Ef + (rJ/4)][(^ - Е)
Таким образом, 1-е парциальное сечение является суммой двух
брейт-вигнеровских сечений с разными энергиями, ширинами и вы-
высотами и третьего (интерференционного) члена. Двойной резонанс
характеризуется четырьмя параметрами (ER, TR; Ex, Г^) и значе-
значениями величин R и X, зависящими по определению B.27) от кван-
квантовых чисел конечного состояния т\ и квантовых чисел начального
состояния ч\А. Таким образом, для одного канала R и X могут
иметь одинаковые знаки, а для другого — разные. Следовательно,
форма сечения для двойного резонанса зависит от квантовых чи-
чисел каналов. Если в одном канале резонанс проявляется как двой-
двойной горб, то в другом канале он может проявиться как один широ-
широкий горб. Наиболее благоприятным условием для появления двой-
двойного горба является условие R » X. Тогда третий член в B.29)
имеет два максимума, один при Е = ER, а другой при Е = Ех, ко-
628 Глава XX
торые увеличивают горбы двух брейт-вигнеровских сечений. В этом
случае двойной резонанс проявится в сечении как два максимума с
различной шириной (фоном мы пренебрегаем).
Чтобы получить представление о возможной форме такого
двойного резонанса, рассмотрим некоторые частные случаи. Полез-
Полезно ввести новую переменную
Е + Е B.30)
i е
и обозначение
А = ER - Ех. B.31)
Тогда формула для сечения B.29) запишется в виде
*Г = 4лB/ + 1) 1 i
р2 4 \(А/2 - ёJ + (TR/2J (-А/2 - ёJ + (Гх/2J
2RX(e2 - (А/2J + TR ГХ/4)ГК Гх \
[(A/2 - ёJ -f (Г«/2J][(-А/2 - ёJ + (Г*/2J]
Интересная ситуация возникает при энергии ER близкой, но не рав-
равной энергии Ех и ширинах обоих резонансов, приблизительно рав-
равных А = ER — Ех. Поэтому рассмотрим случай
Г* = Гх = А. B.330
Заметим, что в этом случае третий член в B.32) имеет нуль и мини-
минимум (если знаки R и X одинаковы) или максимум (если знаки R и
X противоположны). Используя B.33j), получаем из B.32)
'2 ' R2
У 4 \(А/2 - ё? + (А/2J
X2
(-А/2 - ёJ + (Д/2J + ёА + (А2/2)'
Выражение в скобках в B.34), т. е. ajR) с точностью до множителя
1 Г2
приведено на рис. 2.2 для разных значений X(R = 1). Если не учи-
учитывать e/2G(^) - 7(**)), то, согласно B.27), величина X связана с
константами связи соотношением
Резонансы в многоканальных системах
629
г--ЗА
Рис. 2.2. Сечение двойного резонанса: случай B.33,) для различных значений X:
1 — 1,0; 2 — 0,5; 3 — 0,0; 4 0,5; 5 1,0.
Соответствие между кривыми и значениями X дано в подписи
к рисунку. Мы видим, что сечение может выглядеть совершенно
по-разному при разных константах связи между начальным и ко-
конечным каналами и резонансным каналом. При X = 1 получаем
двойной пик с максимумом несколько ниже Е = Ех (<f= — А) и
несколько выше Е = ER (<f= +Д). При X = -1 сечение имеет
один широкий пик с центром в Е = 1/2 (ER + Ех). При X = 0
имеется, конечно, только один пик при Е = ER, отвечающий резо-
резонансу R, так как в этом случае резонанс X расцеплен с каналами -ц
и т\А. Но при X = —0,5 также имеется только один пик, который,
однако, не имеет формы брейт-вигнеровского резонанса. Таким об-
образом, для разных конечных каналов rj двойной резонанс может
проявляться в сечении как двойной пик, одиночный широкий пик с
максимумом между двумя резонансными энергиями или одиночный
пик при одной из резонансных энергий.
Сечениям на рис. 2.2 отвечает наиболее симметричный случай
B.33j). Если Гд- или TR отличны от А, картина меняется незначи-
незначительно. На рис. 2.3 приведен график B.32) (без множителя
4жB1 + 1)A//?2)Г2) для случая
= А,
Гк = |Д.
B.332)
Вариация формы сечения с изменением значений констант связи
между каналами похожа на изображенную на рис. 2.2.
630
Глава XX
Рис. 2.3. Сечение для двойного резонанса: случай B.332). Обозначения те же, что и
на рис. 2.2.
В предыдущем рассмотрении мы не учитывали фоновый член Ь,
так что проведенное обсуждение справедливо только в том случае,
если выражения B.16) равны нулю. Мы также не учитывали
у(кх) — у(кя). Из обсуждения в разд. XVIII.9 и примечания на
с. 620 мы уже знаем, что фоновые фазовые сдвиги могут быть
большими, так что эта идеализация может оказаться неадекватной.
Учет интерференции между резонансами сделает сложную картину
двойного резонанса еще более сложной. Добавив сюда учет фона
для остальных парциальных волн и конечной разрешающей способ-
способности прибора, можно заключить, что наблюдение двойного мно-
многоканального резонанса как двойного пика в сечении представляет-
представляется маловероятным. Таким образом, наблюдать два резонанса с
различными квантовыми числами ^ и л^, но с энергиями ER и Ех,
различающимися на величину, сравнимую с ширинами, связанные
оба с начальным и конечным состояниями, будет очень трудно.
Тем не менее в ядерных процессах рассеяния примеры появления
двойных резонансов имеются. Наиболее важный пример — уровни
энергии Be8 с (угловой момент)четность = 1Р = 2+. Эти резонансы
наблюдались в процессах
Не4 + Не4 -
Не4 + Не4
(Be8)* -
-»(Be8)*
Не4 + Не4
Be8 + у
B.35,)
B.352)
Резонансы в многоканальных системах 631
при энергиях возбуждения Be8 16,6 и 16,9 МэВ и с ширинами при-
примерно ПО и 80 кэВ соответственно. Мы не будем детально описы-
описывать эту систему, а установим лишь связь между величинами в на-
наших формулах B.28) и B.29). Если пренебречь фоновыми фазами,
то формула B.28) записывается в виде
пТа^г,л 1гх<г]а\\кх><кх\\г]а> 1 1^<г1\\кУ<к\\г1у
Е Е iT/2
Ех- Е- iTx/2 ER- Е- iVR/2
Ex-E- iVx/2 + ER-E- iVR/2 ' ^2>
Здесь I t\A > — внутреннее состояние системы (He4, He4), 11\ > — со-
состояние системы (Be8, 7), а 1л^> и 1^) — внутренние состояния
Be8* A6 МэВ) и Be8* A6,9 МэВ) соответственно, так что B.36,) —
амплитуда рассеяния для процесса B.35,). В зависимости от величи-
величины отношения (г)А II кхJ/{г]А II krJ сечение для процесса B.35j)
будет иметь форму одной из кривых на рис. 2.2 или 2.3. Сечения
были измерены [78, 79], и экспериментальные данные вместе с со-
соответствующими теоретическими кривыми приведены на рис. 2.4J).
В верхней части рис. 2.4 показано согласие экспериментальных
данных с кривой, построенной по формуле B.29) для двойного ре-
резонанса. В нижней части показано согласие, полученное с помощью
суммы двух брейт-вигнеровских сечений
Л1 . А2
" (Ех - ЕJ + (ГУ2J + (ER - ЕJ + (ГЛ/2J'
которая имела бы место, если бы состояния с энергией 16,6 и
1) На этом рисунке изображено сечение не для процесса формирования B.35,), а
для процесса рождения
В10 + d^a + Be8*
L
а + а.
Поэтому величины R и X в B.29) равны не
а
Л = 9R<.KR\\rfA)>, X = 9х(кх\\ЧаУ »
где
9r « 9х-
632
Глава XX
1
si
1
«5
t
800
600
400
200
800-
600
400
200
17,42 17,22 17,02 16,82 16,62 16,42 16,22
Энергия возбуждения Be8, МэВ
Рис. 2.4. Подгонки дублетной структуры для Be8 в канале Не4—Не4 [79]. Заметим,
что энергия уменьшается слева направо.
16,9 МэВ были несвязанными одиночными резонансами. Это согла-
согласие, получаемое с двумя неинтерферирующими брейт-вигнеровски-
ми кривыми, очевидно, неприемлемо, в то время как верхняя кри-
кривая с двойным резонансом (две интерферирующих брейт-вигнеров-
ских кривых) дает отличные результаты. Таким образом, мы за-
заключаем, что двухпиковая структура, наблюдаемая вблизи 16,6 и
16,9 МэВ для системы Be8*, является двойным резонансом. Оба пи-
пика имеют примерно одинаковую высоту, пик при 16,9 МэВ несколь-
несколько более узкий, и теоретическая кривая напоминает кривую (отме-
(отмеченную знаком х) на рис. 2.3 при X/R « 1. Следовательно, оба
состояния I kr > и I кх > примерно одинаково взаимодействуют с ис-
исходным каналом:
<кх\\ПлУ * <МО. B-38)
На рис. 2.5 показаны экспериментальные данные [80] для реакции
B.352). Сплошной линией показана кривая, построенная по формуле
B.29), штриховой линией — кривая, построенная по формуле B.37).
В этом случае также сумма двух неинтерферирующих брейт-вигне-
ровских резонансов совершенно неприемлема, а двойной резонанс
дает очень хорошее согласие. Но на этот раз кривая больше напо-
напоминает кривую (отмеченную знаком +) на рис. 2.3 при X/R « 0,5.
Отсюда и из B.38) мы заключаем, что связь состояний I kr > и
Резонансы в многоканальных системах
633
16,5 16,6 16,7 16,8 16,9 17,0
Энергия возбуждения Be* МэВ
Рис. 2.5. Подгонки двойной структуры для Be* в канале Ве8^ [80].
\ кх) с выходным каналом (Be8, 7) удовлетворяет соотношению
«>|. B-39)
Экспериментальные данные для системы Be8 при 16,6 и
16,9 МэВ дают прекрасную иллюстрацию того факта, что двойной
резонанс может проявляться в сечениях разнообразной формы.
ХХ.З. ДИАГРАММЫ АРГАНА ДЛЯ НЕУПРУГИХ
РЕЗОНАНСОВ
В разд. XVIII.8 мы рассмотрели поведение рТ^р) на диаграмме
Аргана в случае чисто упругого рассеяния. Во второй части
разд. XVIII.8 описана также процедура восстановления Tt{p) по
экспериментальным данным. В настоящем разделе мы рассмотрим
кратко поведение упругой парциально-волновой амплитуды рТ,(р)
в присутствии неупругих процессов, а также парциально-волновую
амплитуду реакции VpjyTr ,(p). Для определения этих амплитуд по
экспериментальным данным по существу используется процедура,
описанная во второй части разд. XVIII.8; для нахождения Т,{р) ис-
используются упругие дифференциальные сечения, а для нахождения
634 Глава XX
Tr ,(р) — дифференциальные сечения реакций (начальное состояние
t)A) — (конечное состояние г).
Предположим, что имеется одиночный многоканальный резо-
резонанс, и обсудим, как этот одиночный резонанс проявляет себя на
диаграммах Аргана для амплитуд упругого рассеяния и реакций.
Рассмотрим сначала идеализированный случай, когда фон отсут-
отсутствует. Тогда амплитуды рассеяния, согласно B.14) и B.15), имеют
следующий вид:
Здесь р — начальный импульс, рг — конечный импульс, который
зависит от начального импульса и разности внутренних энергий
конечного и начального состояний1).
Величины Гг и Г^ — парциальные ширины B.12) для канала ре-
реакции г и начального канала г\А соответственно, ER и YR — Г —
энергия и полная ширина резонанса. Мы будем использовать обо-
обозначение
e = (ER-E)^ , C.3)
а также определим
s/^r, = <г]\\кку = ^Г/Г. C.4)
Величина V3T может быть отрицательной.
Выражения C.1) и C.2) тогда можно переписать в виде
pT(R) = _?Ц C.5)
€ — I
Я^ C.6)
Величина хч — {rjA II krJ называется упругостью резонанса и
равна вероятности перехода из состояния с квантовыми числами kr
в состояние с квантовыми числами rjA при определенной энергии Е.
Таким образом, х представляет собой «долю» резонанса с внут-
внутренними квантовыми числами kr, взаимодействующую с упругим
!) Для массивной нерелятивистской налетающей частицы с массой гпА до реак-
реакции и тпь после нее/?г = рь дается формулой (XVI. 1.24).
Резонансы в многоканальных системах
635
1т(рТ)
1т(рТ)
Рис. 3.1. Резонансная амплитуда упругого канала для двух различных значений упру-
упругости xv : а — xv = 0,75, фазовый сдвиг для амплитуды проходит через 90° при
резонансной энергии; б — xv = 0,4, 6 = 0° при резонансной энергии [81]. Отме-
Отметим, что фаза резонансной амплитуды в резонансной окружности проходит через
90° в обоих случаях.
каналом и л. При * = 1 резонанс взаимодействует только с упру-
гим каналом, все х^ при т/ Ф г\А равны нулю, а амплитуда рТ}К)
описывает унитарную окружность для упругого резонанса
(разд. XVIII.8). Упругость xv связана с коэффициентом неупруго-
неупругости !//(£"), определенным в (XVI.2.10). При резонансной энергии это
соотношение имеет вид n,{ER) = 2хПд - 1. В отличие от функции
7/Д.Е), имеющей сильную зависимость от энергии, х , как показы-
показывают эмпирические данные, лишь очень слабо зависит от энергии
и, следовательно, является более удобным параметром.
Диаграмма Аргана для амплитуды C.5) приведена на рис. 3.1.
Это окружность диаметра xv , лежащая внутри унитарной окруж-
окружности. Резонансной энергии 6 = 0 отвечает верхняя точка окружно-
окружности, а точки е = =f 1 отвечают энергиям Е — ER ± Т/2. Необходи-
Необходимо различать два случая:
а) xv ^0,5; тогда резонанс имеет место при фазовом сдвиге
\J I \-*-*' R) — /t / ^# у
б) х < 0,5; тогда резонансный фазовый сдвиг равен
'= 0.
Между этими двумя случаями нет качественных различий; в
636
Глава XX
1т(рТ)
Рис. З.2. Резонансная амплитуда для рассеяния по неупругому каналу [81].
обоих случаях резонансный сдвиг собственной фазы 8^кя)(Е) прохо-
проходит через точку тг/2 при Е = ER.
Диаграмма Аргана для резонансной амплитуды реакции C.6)
показана на рис. 3.2. Диаметр окружности равен I y/xrxv I. Она ле-
лежит внутри окружности рис. XVI.3.2 для амплитуды реакции,
XX <! 4"
Если учесть фон, то амплитуда упругого рассеяния B.14) запишется
в виде
pTl = ei
с — i
b.
C.7)
Графическое представление уравнения C.7) при'7 = 0 получает-
получается из графического представления уравнения C.5) на рис. 3.1 по-
построением вектора Ь и новой резонансной окружности, начиная с
конечной точки В вектора Ь. Резонансной энергии отвечает верхняя
точка этой окружности. Тогда эффект фонового сдвига у состоит в
повороте резонансной окружности на угол 27. Результирующая
диаграмма Аргана для уравнения C.7) приведена на рис. 3.3.
Диаграммы Аргана, представленные в этом разделе и в
разд. XVIII.8, являются идеализациями. Энергетическая зависи-
зависимость фона Ь(Е), фонового фазового сдвига у(Е) и упругости ис-
искажает окружность, отвечающую амплитуде. В качестве примера
приведем на рис. 3.4 экспериментальную диаграмму Аргана, по-
Резонансы в многоканальных системах
637
Im(pT)
PrR)
Рис. 3.3. Амплитуда упругого рассеяния для случая резонанса и фоновой амплитуды
[81]. Если фон вблизи резонанса предполагается постоянным, амплитуда рТ описы-
описывает окружность с центром в С. На рисунке фоновая амплитуда не является чисто
упругой, а описывает некоторое поглощение.
строенную по экспериментальным данным, следуя процедуре, опи-
описанной во второй части разд. XVIII.8.
Существование и природа резонанса на диаграмме Аргана опре-
определяются путем сравнения с идеализированными случаями, пока-
показанными на предыдущих рисунках. Если получается окружность, то
это является указанием на существование резонанса. В этом случае
резонансная энергия определяется как такое значение ER, при кото-
котором рТ,{Е) и фазовый сдвиг 5,(Е) меняются наиболее быстро.
Вблизи ER траектория рТ,(Е) может быть похожа на сегмент дуги
окружности, и тогда упругость xv равна радиусу этой окружности.
При этом полная ширина Г может быть получена из разности
энергий, соответствующих точкам, лежащим на 1/4 длины дуги
слева и 1/4 дуги справа от точки, отвечающей резонансной энергии.
Используемые таким образом диаграммы Аргана оказывают боль-
большую помощь при выявлении резонансного поведения и определении
параметров резонансов.
В качестве иллюстрации на рис. 3.4 приведены диаграммы Ар-
Аргана, построенные по экспериментальным данным о некоторых
парциально-волновых амплитудах в упругом тг — /7-рассеянии. Для
каждой диаграммы построена унитарная окружность и внутри нее
рТ/(Е) для различных парциальных волн. (Для ж — />-рассеяния
имеется несколько парциальных волн для каждого значения /, ха-
характеризуемых изоспином / и полным угловым моментом
638
Глава XX
1450
RepT
1550 и 1715)
Рис. 3.4. Экспериментальные диаграммы Аргана для некоторых пион-нуклонных
парциально-волновых амплитуд [82].
j — I ± 1/2; мы не можем рассматривать здесь эти вопросы, по-
поскольку они не относятся к обсуждаемой нами теме.) Числа на кри-
кривых для рТ((Е) обозначают энергию системы тг — р в единицах ме-
мегаэлектронвольт A МэВ = 106 эВ). Вторая диаграмма (отмеченная
символом Я33) показывает почти чисто упругий резонанс А при
энергии 1236 МэВ. Эта диаграмма Аргана почти точно такая же,
как на рис. XVIII.8.1. Третья диаграмма (обозначенная Sn) — диа-
диаграмма Аргана другой парциальной волны с двумя резонансами:
одним вблизи 1550 МэВ и другим при 1715 МэВ; оба они являются
неупругими. Первая диаграмма (обозначенная S31) демонстрирует
другой случай неупругого резонанса вблизи 1680 МэВ. Из этих при-
Резонансы в многоканальных системах 639
меров видно, что поведение различных парциально-волновых ам-
амплитуд может сильно различаться и в общем случае сильно отлича-
отличается от идеализированного. Парциальная волна на второй диаграм-
диаграмме Р33 на самом деле является исключением; все остальные резо-
резонансы являются неупругими и имеют большой фоновый член.
Глава XXI
Распад нестабильных физических систем
В разд. XXI. 1 вводится распадающееся состояние как резонанс, для
которого не учитывается процесс формирования. В разд. XXI.2 да-
даны качественное обсуждение вероятности распада (скорости распа-
распада) и ее измерение. В разд. XXI.3 распадающееся состояние описы-
описывается обобщенным собственным вектором эрмитова оператора
энергии с комплексным собственным значением. При использова-
использовании этого нового подхода вычисление скорости распада становится
очень простым; оно приводится в разд. XXI.5. В разд. XXI.6 об-
обсуждаются парциальные скорости распада и использование различ-
различных базисных систем для их вычисления.
XXI. 1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. XVIII и XX обсуждались процессы рассеяния, в которых не-
нестабильная физическая система образовывалась как квазистацио-
квазистационарное промежуточное состояние. Измерения проводились над на-
начальным состоянием, которое было приготовлено в удаленном
прошлом, и над конечным состоянием, которое наблюдалось тог-
тогда, когда взаимодействие уже не являлось существенным и квази-
квазистационарное состояние не существовало. В гл. XX мы уже видели,
что свойства квазистационарного состояния, по крайней мере с вы-
высокой степенью точности, не зависят от процесса, в котором оно
наблюдается. Его характеристиками являются энергия ER, ширина
Г и внутренние квантовые числа kr .
Процесс формирования
а + Г-> R -> а + Г , A.1)
в котором регистрируется наличие квазистационарного состояния,
изображен на диаграмме рис. 1.1 и описывается (в пренебрежении
фоном), согласно (XX.2.15), амплитудой рассеяния
Г/2
РгРТг<1 = <г|/сЛ> - _ Е'_ (кк\ПАу A.2)
Распад нестабильных физических систем
641
Начальное состояние
Резонанс
с квантовым числамщ спараметрами ЕR,Г, кR
'а
Конечное состояние
с квантовым
числом г
Т'
Рис. 1.1. Резонансное рассеяние.
Если ширина Г достаточно мала, а время задержки, согласно
(XVIII.6.36) и (XVIII.6.43), достаточно велико, то можно не прини-
принимать во внимание процесс формирования резонанса. В этом случае
описание начинается в некоторый заданный момент времени / = О
с физического состояния W( t = 0) = WR и описывает только часть
процесса на рис. 1.1, которая изображена на рис. 1.2, а. Резонанс R
рассматривается тогда как распадающаяся физическая система или
распадающееся состояние физической системы. На рис. 1,2, б пока-
показана более ранняя стадия процесса резонансного рассеяния, оканчи-
оканчивающаяся при / = 0. Здесь R рассматривается как формирующееся
состояние.
В физике имеется огромное число примеров нестабильных со-
состояний; «истинно» стабильные состояния очень редки. Радиацион-
Радиационные переходы возбужденных атомов или молекул А * в более низ-
колежащие состояния
А*-+А + у A.3а)
являются типичным примером процесса распада. Нестабильная фи-
физическая система, разумеется, должна образоваться, а это может
произойти в процессе типа
У + А-+А*. A.36)
Но в случае возбужденных атомов процессом формирования прене-
пренебрегают и начинают рассмотрение с начального состояния WR,
описывающего распадающуюся систему Л *.
R с ER - i-
R с £«
Рис. 1.2. а — распадающееся состояние, б — формирующееся состояние.
461—41
642 Глава XXI
Таким образом, важнейшей проблемой является выбор состоя-
состояния WR в произвольно выбранный начальный момент времени
t = 0. Из состояния WR, если временная эволюция генерируется в
соответствии с фундаментальным предположением V из гл. XII га-
гамильтонианом Н, получаем состояние распадающейся системы в
любой более поздний момент времени по формуле
W(t) = e-iHtWRe+iHt - Wou\t - +00). A.4)
Формула A.4) справедлива в том случае, если распадающаяся
система изолирована и эволюционирует невозмущенным образом.
Может ли для реального процесса распада распадающаяся система
эволюционировать, не подвергаясь действию возмущений, весьма
сомнительно, поскольку она почти неизбежно взаимодействует с
окружающей средой, особенно если наблюдается процесс распада
[83]. Таким образом, распадающаяся система может подвергаться
процессу измерения в случайные моменты времени. Например, рас-
распадающаяся частица оставляет в пузырьковой камере трек, появля-
появляющийся из-за взаимодействия распадающейся частицы с окружаю-
окружающей средой. Каждый пузырек означает наличие процесса измере-
измерения, в котором частица была найдена нераспавшейся. Такое изме-
измерение, проведенное в момент времени t{, согласно основному пред-
предположению Шб, изменяет состояние на новое состояние
= AbW(t1)Ab, A.5)
где Аь — проекционный оператор на пространство состояний не-
нераспавшейся системы или его подпространство. Следовательно, по-
помимо эволюции состояния A.4) необходимо рассматривать проис-
происходящие случайным образом изменения состояния A.5), и наблюда-
наблюдаемое время жизни не будет таким же, как время жизни ненаблюдае-
ненаблюдаемого распадающегося состояния, эволюционирующего согласно
A.4).
Мы не будем здесь обсуждать все эти проблемы1*, а рассмотрим
идеализированную ситуацию, когда распадающееся состояние может
рассматриваться как изолированная физическая система, на время
жизни которой не влияют последствия процесса измерения A.5), яв-
являющиеся следствием взаимодействия с окружающей средой.
!) Обзор этих вопросов читатель найдет в книге [84]. О методах, которые не об-
обсуждаются в этом обзоре, можно прочесть в работах [85, 86].
°яспад нестабильных физических систем 643
XXI.2. ВРЕМЯ ЖИЗНИ И СКОРОСТИ РАСПАДА
В эксперименте по распаду имеют дело с ансамблем нестабильных
физических систем R в объеме У, окруженном счетчиками, регист-
регистрирующими продукты распада а'. Скорость счета, т. е. число рас-
распадов в секунду, N/ Т пропорциональна числу нестабильных частиц
Nr = Pr^- Константа пропорциональности
, N/T
Я = ^Г BЛ>
называется начальной скоростью распада, или часто просто ско-
скоростью распада.
Число распадов в секунду N/T равно скорости уменьшения чис-
числа нестабильных частиц RdNR/dt. Поэтому из B.1) имеем
-^~ (t) = MR(t), B.2)
по крайней мере при / = 0. Если не имеется другого источника или
стока нестабильных частиц R в объеме У, то из B.2) следует экс-
экспоненциальный закон распада
NR(t) = NR@)e-\ B.3)
где NR @) — число нестабильных частиц R в момент времени
t = 0, когда начался процесс распада.
Так как NR@) = - j"= QdNR(t), отсюда следует, что
— dNR(t)/NR@) есть вероятность распада, начиная с момента вре-
времени t за временнбй интервал dt. Следовательно, скорость распада,
т. е. вероятность распада в единицу времени, в момент времени /
равна
^^» B.4)
dt K) NR@) dt
Из уравнения B.2) следует тогда
что объясняет термин «начальная скорость распада» для X.
Усредненное время жизни нестабильной частицы R
= C
Jo
B.6)
называют средним временем жизни, или просто временем жизни.
Если имеет место уравнение B.3), то
Ь^- (Z7)
644 Глава XXI
В квантовой физике распадающиеся частицы — это квантовофи-
зические системы, а наблюдаемые величины — вероятности. На-
Наблюдаемые, измеренные на распадающемся состоянии W(t), мо-
могут относится к его «свойству» оставаться в исходном резонансном
состоянии WR. Среднее значение WR по состоянию W(t) =
= e~iHt WReiHt описывает вероятность того, что состояние R не
распалось. Эта вероятность называется вероятностью отсут-
отсутствия распада:
0>R(() = Tr(WRW(t)). B.3a)
Ей отвечает наблюдаемая величина NR(t)/NR@).
Другой наблюдаемой, которая может измеряться, является про-
проекционный оператор Л на пространство физических состояний про-
продуктов распада (а', 7"), т. е. свойство Л. Среднему значению Л по
состоянию W(t) отвечает вероятность наблюдения а' и Т'. Эта ве-
вероятность перехода из состояния W(t) в состояние Л:
B.8)
называется вероятностью распада системы частиц R в (а', Т').
Очевидно если распад R — а' + Т' является единственно возмож-
возможным распадом, то сумма вероятности того, что система R не рас-
распалась, и вероятности того, что система R распалась в а' + Т',
должна быть равна единице:
Если система R имеет несколько каналов распада, т. е. если она
может распадаться в несколько типов продуктов распада, обозна-
обозначаемых индексом у, пространствами физических состояний кото-
которых являются Л^^ rj = 1, 2, 3,... с Л^, = 0 при у Ф rj'', то
Л = Aj + Л2 + Л3 Н »
а вероятность распада по любому из каналов ц равна
= Тг(Л, W(t)). B.10)
п
Уравнение B.9) справедливо также и для этой вероятности перехо-
перехода и утверждает, что в любой произвольный момент времени / си-
система R или распалась, или не распалась.
Квантовомеханическая скорость распада равна интенсивности
перехода из W(t) в Л:
? ! B11)
Распад нестабильных физических систем 645
Мы уже получили для нее выражение (XIV.2.18), которое будет ис-
использоваться ниже.
Экспериментально измеряемой величиной является время жизни
т или скорость распада X. Для больших времен жизни (от 1 с до
1 года) измеряется NR(t) как функция от / и по формуле B.3) вы-
вычисляется X. Более короткие времена жизни, вплоть до 10~9 с, из-
измеряются при помощи электронных приборов. Изучаемому распаду
должно предшествовать другое событие, например формирование
нестабильной системы, которая используется для установки начала
отсчета времени. Счетчик активируется этим событием и остается
активированным в течение времени t. Число раз, которое активиро-
активированный счетчик регистрирует распад, поделенное на количество ак-
активаций счетчика, является наблюдаемой величиной, которая про-
пропорциональна вероятности того, что распад произошел в интервале
от 0 до t. Эта вероятность, согласно B.4) и B.3), равна
dt' = f dt' le~kt' = A - e~Xt).
Jo
Таким образом,
Число регистрации распада
_А _я активированным счетчиком
Число активаций счетчика
Измеряется отношение в правой части как фукция от /. Поскольку
к является константой (связанной с NR @) и эффективностью детек-
детектора) и не зависит от /, можно вычислить X, если известно отноше-
отношение B.12) для нескольких значений /.
Для времени жизни меньше 10~9 с прямое измерение г невоз-
невозможно и приходится прибегать к косвенным методам. Один из
них — нахождение времени жизни по измерению ширины резонанса
в резонансном рассеянии.
XXI.3. ОПИСАНИЕ РАСПАДАЮЩЕГОСЯ СОСТОЯНИЯ
И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПАДА
В разд. XVIII.6 мы рассмотрели резонансы, квазистационарные со-
состояния, амплитуды Брейта — Вигнера и резонансные полюсы S-
матрицы. Связь между ними показана на рис. 3.1. Наличие на вто-
втором листе пары полюсов 5-матрицы является свойством, из кото-
646 Глава XXI
Резонанс (быстрое увеличение 6t (Е))
dbL(E)
Квазистационарное состояние (большое значение tjj(&)
£Г
! dnd(E) ^ .
i если —ггг- лгало при п ^ 4
I
Амплитуда Брейта-Вигнера (полюсЗигерта)
! только если 8-лтатрица аполитична
! и унитарна
Пара полюсов 5-лтатрицьт на втором листе
Рис. 3.1. Связь между резонансом, квазистационарным состоянием, амплитудой
Брейта — Вигнера и парой полюсов на втором листе S-матрицы.
рого следуют все остальные свойства, перечисленные на схеме
рис. 3.1. В то время как резонанс всегда является квазистационар-
квазистационарным состоянием, и наоборот, эти два свойства приводят к ампли-
амплитуде Брейта — Вигнера только в том случае, если четвертая и бо-
более высокие производные bt{E) малы. В свою очередь амплитуда
Брейта — Вигнера не обязательно означает наличие S-матрицы с
парой полюсов на втором листе, поскольку 5-матричные элементы
должны еще удовлетворять свойствам типа аналитичности (при-
(причинности) и унитарности. Поэтому мы примем наличие у S-матри-
S-матрицы пары полюсов на втором листе в качестве определения квази-
квазистационарного состояния. Следуя этому определению, в следую-
следующем разделе мы построим векторы, описывающие распадающиеся
состояния, которые назовем векторами Гамова, или кет-вектора-
ми Гамова. В данном разделе мы введем распадающиеся состояния
более качественным образом и опишем некоторые их свойства, вы-
вывод которых будет дан" в следующем разделе. Эти свойства будут
использованы для вычисления вероятности распада и в разд. XXI.5
для- вычисления скорости распада.
Распадающееся состояние WR может быть приготовлено в экс-
эксперименте по рассеянию, в котором временная задержка велика.
Распадающееся состояние получают выделением промежуточной
квазистационарной системы, причем способ ее формирования не
учитывают; после этого такую систему описывают начальным со-
Распад нестабильных физических систем 647
стоянием, которое в момент времени t = О начинает временную
эволюцию, ведущую к его распаду. Поскольку амплитуда рассеяния
для процесса резонансного рассеяния имеет брейт-вигнеровскую
форму, мы ожидаем, что распадающееся состояние ^@) = WR
имеет брейт-вигнеровское распределение по энергиям.
Для определенности предположим, что спектры наблюдаемых
Н и К непрерывны и простираются от 0 до оо. )то не является
серьезным ограничением общности, поскольку связанные состояния
легко учесть. Матрица плотности1) тогда должна иметь вид
<£а<Г|^-@)|Еаа'-> = <£aa|Wout@)|£aa'>
= F(Ea-ER)p(E)-\a\\WR\\a'y, C.1)
где F(Ea - ER) — лоренцева функция распределения по энергиям с
шириной резонанса как шириной энергетического распределения:
1 Г/2 п
О < Е < оо.
ю л (ER - ЕJ + (Г/2J
Здесь мы нормировали F(E — ER) таким образом, что2)
F(E - ER) - S(E - ER) при Г/2 - 0. C.3)
Поскольку состояние W(t) переходит в наблюдаемое аут-состо-
аут-состояние, оно должно быть состоянием W~ @» и мы будем использо-
использовать базисные векторы I Ей ~ >. Мы также будем нормировать при-
приведенный матричный элемент на единицу:
Обсудим нормировку W@) = WR. Вычислим
Tr W@) = X <a-\W{0)\a-y = X Г р(Е) dE(E a~ \ W@)\E a
а ~- Jo
dEF(E-ERKa\\WR\\a}
lit Jo (£ - ERf + (Г/2J
" Первая строчка в формуле C.1) доказана в приложении XV.А.
21 См., например, формулу A1.8.12).
648 Глава XXI
I лоо
71 Jx=-ER2,r
их ■=. —
х2 + 1
п + arctanf ER -1 , C.5)
где новая переменная х равна
х = (Е - ER) —. C.6)
Интегрирование по Е при суммировании по полному набору базис-
базисных векторов должно проводиться по спектру Н, т. е. от 0 до оо.
Если интегрирование по Е проводится от — оо до + оо, то нижняя
граница в интеграле по д: также должна быть равна — оо вместо
— 2ER/T, и мы получим
Tr WR = Tr W@) = 1. C.5а)
Соотношение C.5а) можно также получить из C.5) в пределе беско-
бесконечно узкой ширины, т. е. если вместо (XVIII.6.13) рассмотреть
предельный случай
2ЕК/Г -> оо C.7)
(поскольку в этом случае arctan2is^/Г — тг/2). Для достаточно
больших 2ER/T расширение области интегрирования по Е до — оо
внесет лишь очень малый вклад в C.5). Ниже при получении распа-
распадающегося состояния из резонансного полюса 5-матрицы мы уви-
увидим, что интегрирование по энергиям в C.5) и в похожих интегра-
интегралах проводится от —оо до оо, а не от 0 до оо1).
Среднее значение оператора энергии по собственному состоянию
энергии W = I E0)(Eq I равно Tr(//I Eq)(Eq I) = Eq. Вычислим те-
теперь среднее значение Н по состоянию W@) = WR из C.1), описы-
описывающему резонанс с энергией ER и шириной Г:
Г лоо 1 г- /»оо
= — Г dx-j^~ + ^
К Jx=-ER2/r X1 + I 2п]х=-Ея2/Г
X1 + 1
C.8)
'* Напомним читателю, что амплитуда Брейта — Вигнера для резонансного рас-
рассеяния, как отмечалось в разд. XVIII.6, является приближенной. Следовательно, вы-
выбор C.2) с ограничением на Е может также быть приближением, и более адекват-
адекватным распределением по энергиям может быть C.2) с - оо < Е < + оо. Как отмеча-
отмечалось, для достаточно малых значений 2T/ER наблюдаемые последствия двух разных
выборов очень малы.
Распад нестабильных физических систем 649
В пределе C.7) или, если интегрирование по Е проводится от — оо,
первый интеграл, согласно C.5), равен тг, а второй интеграл стре-
стремится к нулю, так что
Tv(HWR) = ER. C.9)
Такого результата мы ожидали исходя из сравнения со случаем
стационарного собственного состояния энергии.
Формула C.1) дает только диагональные матричные элементы
статистического оператора WR для распадающейся системы. Что-
Чтобы полностью фиксировать WR, необходимо задать его матричные
элементы между обобщенными собственными векторами энергии,
отвечающими различным энергиям.
Как обсуждалось в разд. II.9, в частности согласно (II.9.1), в об-
общем случае W@) имеет вид
W@) = WR
= X L(Ea)dEap(E'a)dE'af(E'a - ER)\E'aa'-y
aa' J
x (a \\WR\\ay(Eaa-\f*(Ea - ER). C.10)
Следовательно,
(Ea-\WR\Ea-y = \f(E - ER)\\a'\\WR\\a>, C.11)
так что, сравнивая с формулой C.1), имеем
|/(£ - £.)Р = ,(£)'>F(£ "£*) = — (E.EJ + (r/2r <3-12>
Если не считать произвольного множителя, равного по модулю
единице, из формулы C.12) следует, что имеются только две воз-
возможности:
f(E-ER)= Lf- .1 -, C.13)
\j 2пр ER + iT/2 - E
f(E-ER)= P^~ i——-. C.14)
\J 2np ER — и/! — E
Как мы увидим в следующем разделе, для случая распадающе-
распадающегося состояния необходимо выбрать формулу C.14). Формула C.13)
приведет к состоянию удержания («захвата»).
Чтобы упростить обозначения, дополнительные квантовые чис-
числа обозначим через а и не будем их учитывать. Как обсуждалось в
650 Глава XXI
предыдущих главах, резонанс R имеет определенное значение угло-
углового момента / = lR и внутренних квантовых чисел к = kr. Следо-
Следовательно, удобно выбрать базис собственных векторов углового
момента
|£<Г> = |£//3О • C-15)
Приведенный матричный элемент оператора WR в этом базисе для
полностью неполяризованного состояния равен
<к//з!|^к||к'/'/'з> = SKKRSllRSK.KRSnJhrijr^[ . C.16)
Тогда оператор WR C.10) равен
R =
WR =
X \р(Е) dE \p(E') dE'f(E' - ER) | Е lR /3
1Ъ J J
2/ + 1
х <EIRl3Ki\f*(E-ER);
используя C.14), перепишем эту формулу в виде
(ЗЛ8)
где мы для простоты определили
|£~> - \ЕИ3к-}р1:2(Е) C.19)
и пренебрегли дополнительными квантовыми числами. Нормиров-
Нормировка и суммирование для этих новых дираковских кет-векторов I Е± >
теперь фиксируется в виде
<£'+|£ + > = Ь{Е'-Е)\ 1= \ dE C.20)
£ JO
вместо общей нормировки (XIV.2.9) и (XIV.2.10).
Собственное стационарное состояние энергии (чистое, если не
рассматривать дополнительные квантовые числа) наблюдаемой Н
с собственным значением ER записывается в виде
AR = \ER)(ER\, C.21)
где
R) = ER\ER) C.22)
Распад нестабильных физических систем 651
и I ER) — обычные собственные векторы и элементы пространства
физических состояний1)
(ER\ER)=l (\Ек)еФс:Ж аф*). C.23)
Чтобы записать аналогичным образом распадающееся состоя-
состояние, определим вектор2^
^ ) |/D> = -. jdElE-yf'^KE - ER)
— Е
Этот вектор имеет распределение по энергиям вида
Г V-2 1 1
) 4/(" =
г) рг г 4/ = 1)(£ - ER)
2nJ ER — iT/2 — E i
= </D|£">*. C.25)
Второе равенство в C.25) получается, если рассматривать \fD) и
I £" > как хорошо определенные векторы, а < I > — как их скаляр-
скалярное произведение. Поэтому сопряженный вектор </° I определим
соотношением
1/2 Г 1
Г
J
C6>
тогда второе равенство в C.25) следует из этого определения.
Используя соотношение C.24) и C.26), WR в C.18) можно запи-
записать в виде
WR = |/D></D!. C.27)
Интегрирование по Е в C.18), C.24), C.26) должно проводиться от
0 до оо, если мы используем брейт-вигнеровское распределение C.2)
как точное. Как упоминалось выше, мы внесем лишь незначитель-
незначительную ошибку, если будем интегрировать от — оо до +оо, продолжая
функцию /(£" — ER), а следовательно, и обобщенные векторы
1 Е~ > на отрицательные значения энергии. Из обсуждений в
разд. XVIII.5 мы уже знакомы с продолжением на «нефизические»
1} Поскольку существенно различать обычный и обобщенный собственные век-
векторы, мы будем использовать разные обозначения: 1£') — для (обычного) собствен-
собственного вектора и \Е) — для обобщенного собственного вектора (см. разд. II.7).
2) Поскольку для \Е~) мы используем нормировку C.20), т. е. условие р(Е) = 1,
вместо (XIV.2.9), мы должны наложить такое же условие на волновую функцию;
это отражено в записи/^"".
652 Глава XXI
значения энергии рассеяния. Там мы узнали, что «нефизические»
значения энергии покрывают второй лист двулистной римановой
поверхности, разрезанной вдоль положительной действительной
полуоси. Интегрирование по спектру Н проводится вдоль верхнего
края разреза на физическом листе; ниже мы увидим, что при про-
продолжении на отрицательные значения Е они оказываются на вто-
втором листе.
Длина вектора 1/°> равна1*
2я Jo (£„ - £J + (Г/2J
dx ' =.-i(^ --'ШЧ - ,0.28)
если мы интегрируем по спектру //. Интеграл равен единице, если
интегрировать от — оо до + <», что достаточно близко к C.28) при
T/2ER < 1.
Выражение C.27) было бы точно таким же, как для стационар-
стационарного случая C.21), если бы вектор 1/°> был собственным векто-
вектором наблюдаемой Н. Ниже мы покажем, что для I fD) имеет ме-
место нечто похожее на C.22), а именно
(^D> C.29а)
и (если (/°\ф) = <ф\/°)*)
( ^)Dl. C.296)
Выражение C.29) следует понимать не как выражение для
(обычных) собственных векторов C.22), а как выражения для обоб-
обобщенных собственных векторов, которые справедливы, если \fD)
Г
j 1 Чп
dx — = - г + arctan x
х2 + 1 п \2
1/1 1 1
= 1-- Т~з + 7~s ~ '"I при
п \xR 3x1 5-4 '
Распад нестабильных физических систем
653
рассматривать как функционал приближенно над половиной про-
пространства физических состояний1*.
Временная эволюция вектора 1/°> является формальным
следствием выражений C.29):
e-iHt|/D> = е-**'е-<Г12)'\/оУ при t > 0.
C.30)
Поскольку отсчет времени / для процесса распада начинается
при t = 0, нужно рассматривать C.30) только при / ^ 0. Оказыва-
Оказывается, можно доказать, что C.30) есть уравнение на обобщенные
собственные векторы именно для таких значений t.
Обобщенный собственный вектор 1/°>, согласно C.24) и C.26),
задается двумя действительными числами ER, Г или комплексным
числом
ZR = ER-iT- , C.31)
характеризующим брейт-вигнеровский резонанс. Следуя обычному
использованию для обозначения (обычных) собственных векторов и
обобщенных собственных векторов с действительными собственны-
собственными значениями (дираковских кет-векторов) их собственных значе-
значений, удобно также обозначить собственным значением и I f° >:
Г"
2
.Г
12
В этих обозначениях выражение C.27) имеет вид
._ _ .г-\{. т
C.32a)
C.326)
C.33)
В этой форме статистический оператор для распадающегося состо-
состояния с резонансными параметрами (ER, Г) полностью аналогичен
формуле C.21) для стационарного состояния. Оператор WR подоб-
подобно проекционному оператору, описывающему чистое состояние, об-
обладает свойством
WRWR = WR.
C.34)
1) Самосопряженный оператор не может иметь (обычных) комплексных
собственных значений, но может иметь обобщенные комплексные собственные зна-
значения.
654
Глава XXI
Это немедленно следует из C.28) (где интегрирование проводится
от — оо до + оо). Но оператор WR не подобен в точности AR, a
\f°) не подобен в точности I ER)\ это можно увидеть сразу, если
попробовать вычислить длину вектора H\f°) так же, как в C.28)
(задача 1).
Для последующих ссылок приведем выражение для WR, где мы
восстановим дополнительные квантовые числа а. Формула (ЗЛО),
записанная в форме C.27), имеет вид
a,'a
Здесь мы определили по аналогии с C.32) и C.24) векторы
C.35)
;, C.24а)
к v " ' ER -IT/2-Е
которые «нормированы» в смысле C.28). Наличие pl/2(E) в форму-
формуле C.24а) показывает, что I E'а~ > имеет «нормировку» общего ви-
вида (XIV.2.96). Например, если приведенные матричные элементы
оператора WR даются формулой C.16), что отвечает резонансу с
угловым моментом lR и внутренним квантовым числом kr , то WR
имеет вид
1
ER-i^JRl3
+ ф.|,
C.36)
Из формул C.33) или C.35), C.36) для WR немедленно следует
экспоненциальный закон распада для амплитуды того, что состоя-
состояние не распадается. Из A.4) и C.30) имеем при / > О
W(t) = e
Таким образом,
W(t) = e~ltWH.
C.37)
C.38)
Тогда для вероятности не распасться B.3а), используя C.34), по-
получаем
V0 = Tr(WRW(t)) = Tr(WRWR)e~rt = e~rt Tr WR = е~п. C.39)
Распад нестабильных физических систем 655
Формулы C.38) и C.39) показывают, что состояние WR являет-
является экспоненциально распадающимся состоянием1*.
Подставляя выражение C.39) в формулу B.9), получаем
= 1 - е~и , C.40)
откуда для начальной скорости распада имеем
*)U = r • C.41)
Сравнивая эту формулу с B.5) и B.7), получаем
Таким образом, время жизни резонанса с параметрами (ER, Г),
рассматриваемого как нестабильная физическая система, равно его
обратной ширине.
XXI.4. ВЕКТОРЫ ГАМОВА И ИХ СВЯЗЬ С РЕЗОНАНСНЫМИ
ПОЛЮСАМИ S-МАТРИЦЫ
В этом разделе дается определение понятий, использовавшихся в
предыдущем разделе, и математически более строгая формулиров-
формулировка утверждений, сделанных там. В этом разделе используются ре-
результаты, полученные в разд. XV.2 и XV.3.
В разд. XVII.5 и XVII.6 мы связали полюсы на отрицательной
действительной полуоси физического листа римановой энергетичес-
энергетической поверхности для S-матрицы — полюсы, отвечающие связанным
состояниям, — с собственными векторами оператора энергии Н.
Непрерывному набору действительных значений энергии вдоль
разреза от 0 до оо на физическом листе римановой поверхности для
S-матрицы отвечают, согласно разд. XVIII.5, физические значения
энергии рассеяния. Эти значения энергии являются обобщенными
1) Как хорошо известно специалистам, при стандартной точной формулировке в
гильбертовом пространстве имеются отклонения от экспоненциального закона [84].
При больших значениях t отклонения следуют из того условия, что спектр Н огра-
ограничен снизу, что отвечает конечному нижнему пределу в интегралах C.5), C.8),
C.24), C.26), которое не выполняется при интегрировании от — оо до + о°, как де-
делалось при доказательстве C.34). Отклонения от экспоненциальности при малых /
следует из условия конечности энергии распадающегося состояния, которой отвеча-
отвечает условие, что вектор состояния для распадающегося состояния принадлежит обла-
области задания оператора в гильбертовом пространстве Н (или даже Ф, области зада-
задания Н), что также не имеет места для вектора \fD) (это показано в задаче 1).
656 Глава XXI
собственными значениями //, принадлежащими непрерывному
спектру. Обобщенные собственные векторы, или дираковские кет-
векторы, отвечающие этим собственным значениям, описывают
идеализированные состояния рассеяния, т. е. их непрерывные су-
суперпозиции (например, (XV.2.7 + )) или непрерывные смеси (напри-
(например, (XIV.5.27), (XIV.5.296) и (XIV.5.36)) описывают чистые состо-
состояния рассеяния («волновые пакеты») или их смеси. Таким образом,
для состояний рассеяния имеется также и дуальное описание либо с
помощью разреза вдоль положительной действительной полуоси
римановой поверхности для S-матрицы, либо с помощью обобщен-
обобщенных собственных векторов Н.
Таким же способом можно описать квазистационарные состоя-
состояния, определенные резонансными полюсами S-матрицы, как обоб-
обобщенные собственные векторы оператора энергии Н1). Эти обоб-
обобщенные собственные векторы — векторы Гамова, или кет-векторы
Гамова, — являются функционалами приближенно на половине
пространства физических состояний Ф, в отличие от дираковских
кет-векторов, являющихся функционалами на всем пространстве Ф
(см. разд. 1.7 или II.8). Теперь мы получим векторы Гамова из ре-
резонансных полюсов S-матрицы.
Поскольку в этом разделе мы интересуемся только принципи-
принципиальной стороной вопроса, рассмотрим сначала наиболее существен-
существенные компоненты задачи. С этой целью выберем базис углового мо-
момента и пренебрежем внутренним угловым моментом (поляриза-
(поляризацией):
Кроме того, мы ограничимся рассмотрением одноканальной задачи
с единственным упругим каналом Т7 = т/' = г\А. В этом случае
вследствие закона сохранения углового момента (XVI. 1.42)
S-матрица (XV.3.10') сводится к S,(E) (XVI. 1.47). Тогда определя-
определяющее соотношение для S-матрицы (XV.3.10") упрощается с ис-
использованием (XVI. 1.43), (XVI. 1.45) и (XV.2.10) и принимает вид
к). D.1)
1} Виртуальные состояния, определенные полюсами на отрицательной действи-
действительной полуоси второго листа, также могут быть описаны обобщенными собствен-
собственными векторами. Мы не будем здесь это обсуждать; заинтересованный читатель
может обратиться к работе [19].
Распад нестабильных физических систем 657
Чтобы упростить обозначения и оставить только наиболее сущест-
существенные, воспользуемся снова определением C.19)
и запишем соотношение D.1) в виде
D.2)
Здесь мы также опустили / в S-матричном элементе.
Начнем рассмотрение с S-матричного элемента (XV.3.2),
(XV.3.14) для рассеяния из чистого физического состояния фт в чи-
чистое физическое состояние фои*, которое мы для простоты записи
предполагаем имеющим хорошо определенные значения квантовых
чисел а:
ф" = ф"(а, 0) = tf>in(/ /3 г], 0),
Мы не будем отмечать наличие этих чисел в S-матричном элементе:
(фои\0, Бф[п(О) = (£Г i/>out@,О+Ф|п@) = ОГ@, Ф+@)
= (фои\ S0ta) = (ф~@), Ф + Ф)) - (Ф~, Ф+1 D-4)
Разложим теперь ^out и ф'п, согласно (XV.2.6±), по базисной систе-
системе собственных векторов оператора К (XV. 1.14):
D.5)
Ihn J J '
где мы использовали для невозмущенных базисных векторов упро-
упрощенные обозначения C.19):
Интегрирование в выражениях D.5) проводится по спектру К, по
предположению совпадающему с непрерывным спектром Н, кото-
который без ограничения общности мы предполагаем простирающимся
от 0 до +оо.
Важно упомянуть, что вектор ф+ представляет чистое физиче-
физическое состояние, развившееся из приготовленного ин-состояния ф'п;
следовательно, это хорошо определенный вектор. Подобным об-
образом ф~ представляет чистое физическое состояние, которое раз-
461—42
658 Глава XXI
вивается в измеряемое аут-состояние фош] следовательно, это так-
также хорошо определенный вектор ф~ е Ф С <Жс Фх. То же справед-
справедливо и для фт и \j/out. Таким образом, энергетические волновые
функции
(Е\фту — <£+ \Ф + У (определяется исходным пучком), D.6 + )
<£|i//oul> = < £ ~ 11// ~ > (измеряется детектором) D.6~)
являются «хорошими» функциями энергии. Равенство в D.6±) яв-
является частным случаем (А.2±) в приложении к гл. XV.
Подставляя D.5) в D.4) и используя D.6 ±), можно записать
S-матричный элемент D.4) (опуская все несущественные квантовые
числа) в виде
0Г,(П=1 I [[ dE'pn(E') dE Рг](Е)
Hit, VIW JJ
х <ф°»ЧЕ' I i3rj'y(E' Г 1гг!'\5\Е11,г,У(ЕП3г,\ф'пУ
E + ic~yS(E + iO)<£ + 1е + \ф + У- D.7)
Spect.H
Здесь мы использовали (XVI. 1.43), (XVI. 1.45), (XVI. 1.47) и предпо-
предположение, что ф'п и \pout имеют одинаковые значения ll3r}, и избежа-
избежали несущественных усложнений в обозначениях путем использова-
использования C.19). Интегрирование в выражении D.7) проводится по спект-
спектру Н вдоль верхнего края разреза на физическом листе 5-матрицы.
Мы отразили это в обозначении Е + /0 для аргумента 5-матрицы.
Интегрирование вдоль верхнего края разреза на физическом листе в
соответствии со свойством 5-матрицы, описанным в разд. XVIII.5,
эквивалентно интегрированию по нижнему краю разреза на втором
листе, поскольку S(E + /0) = S(En - /0), где индекс II обозначает
второй лист.
Мы деформируем контур интегрирования в D.7) в нижнюю по-
полуплоскость второго листа римановой поверхности для S-матрицы,
где, согласно разд. XVIII.5, расположены резонансные полюсы.
Поскольку в этом разделе нас интересует только сам принцип, по
которому устанавливается связь между резонансными полюсами и
векторами Гамова, мы сделаем простейшее возможное предполо-
предположение относительно нашей модели резонанса. Мы предположим,
что наша физическая система такова, что 5-матрица не имеет по-
полюсов, отвечающих связанным состояниям, и не имеет других осо-
Распад нестабильных физических систем
659
а
Е[первый лист)
/'Sp Н
Е(второй мист)
Е( второй лист)
Е(первый лист)
Рис. 4.1. Деформация контура интегрирования на втором листе плоскости энергий:
а — для распадающегося состояния, б — для образующегося состояния [87]. SpH —
спектр (замыкания) гамильтониана.
бенностей, кроме одной пары резонансных полюсов1). Эта ситуация
изображена на рис. 4.1. На рис. 4.1, а показаны верхняя полупло-
полуплоскость первого листа и нижняя полуплоскость второго листа с ре-
резонансным полюсом в точке ZR = ER - /Г/2. На рис. 4.1, б пока-
показаны верхняя полуплоскость второго листа с резонансным полю-
полюсом в точке Z£ = ER + /(Г/2) и нижняя полуплоскость первого
листа; этот рисунок будет использован ниже в данном разделе.
Контур интегрирования в D.7), который первоначально прохо-
проходил вдоль непрерывного спектра Н, деформирован в контур &_ и
окружность вокруг полюса. Эта деформация контура допустима,
если «хорошие» волновые функции (ф~ I Е~ > и (Е+ I ф+ >, перво-
первоначально определенные на спектре Я, являются граничными значе-
значениями функций, аналитических на нижней полуплоскости второго
листа. Чтобы сделать возможной дальнейшую деформацию конту-
контура, предположим, что эти аналитические функции достаточно
быстро убывают на бесконечной полуокружности в нижней
'* )Если имеется больше одной пары резонансных полюсов, то для каждой пары
возникает пара векторов Гамова, а если присутствуют другие особенности, то вво-
вводимый ниже фоновый член изменит свою форму, в остальном рассуждения оста-
остаются такими же. Если имеются связанные состояния, надо тщательно различать Jf
и ^scat (см. гл. XV), но в остальном рассуждения не меняются.
660 Глава XXI
полуплоскости1). Этим условием выделяется совокупность хорошо
определенных векторов ф~; не все векторы, описывающие физиче-
физические состояния, удовлетворяют этому условию. Таким образом, со-
совокупность векторов ф~, для которых контур интегрирования в D.7)
может быть деформирован в контур, показанный на рис. 4.1, а, не
может совпадать с набором всех чистых физических состояний,
т. е. не может совпадать с совокупностью всех векторов в про-
пространстве Ф. Но если рассматривать только процесс распада, т. е.
вторую стадию процесса резонансного рассеяния, изображенную на
рис. 1.2, то набор [ ф~ ] не должен представлять все физические со-
состояния, а примерно половину из них, именно те, которые начина-
начинают эволюционировать при / = Ои переходят при / — оо в наблюда-
наблюдаемые аут-состояния ^out. Остальная половина чистых физических
состояний — это набор [ф+ } векторов ф+, которые эволюциони-
эволюционировали из ф+ приговленных при / —• — оо ин-состояний фт и пре-
прекращают свою эволюцию при / = 0. Этот набор понадобится нам,
когда мы будем рассматривать деформацию контура в верхнюю
полуплоскость второго листа при обсуждении процесса захвата (см.
рис. 1.2, б).
Физическое разбиение набора состояний математически отража-
отражается в разбиении пространства физических состояний Ф С <%?С Фх.
Чтобы это показать, нам потребуется еще немного математических
сведений.
(Гильбертово пространство Н квадратично-интегрируемых
функций на действительной прямой (возможная реализация про-
пространства Ж) является прямой суммой
Н = Н2+ 0 Н2_ D.8)
пространства функций класса Харди сверху Н^ и пространства
функций класса Харди снизу И2_.
Комплексная функция G(E) на действительной прямой принад-
принадлежит к классу функций Харди [88] сверху (снизу), если
1) G(E) — граничное значение функции G(u) комплексной пере-
переменной (комплексной энергии) и = Е + irj, аналитичной в полупло-
полуплоскости г] > 0 (т7 < 0),
Г
\G(E + irj)\2 dE < k < оо
для всех г] таких, что 0<г/<оо(— оо<т7<0).
^ 5-матрииа на втором листе полиномиально ограничена на бесконечности для
многих потенциалов взаимодействия. Предполагая, что в нашей модели это свой-
свойство также имеет место, мы нуждаемся в достаточно быстро убывающих волновых
функциях, чтобы интегралы по бесконечной полуокружности равнялись нулю.
Распад нестабильных физических систем 661
Функция G(E) принадлежит к классу функций Н^, если степень
2 под интегралом заменяется на степень р = 1, 2, 3, ... .
Функции, принадлежащие к классу функций Харди, имеют сле-
следующие важные свойства:
A. Если G(E) е И2+ или G(E) е Hi, то функция G{E) (на дейст-
действительной оси) однозначно определена своими значениями на поло-
положительной действительной полуоси [89].
B. Если G(E) е Ир_ , 1 < р < оо, то для всех со = Е + irj
G(E)
dE =
2ni J _ ^ E — со [0 , r\ = Im со < О.
Если G(E) e H^., 1 < p < оо, то для всех со = E + irj
1 f + Q0 G(E) Г0 , ^ = lmco>0,
— -— dE = {
2m J _ ^ E - со [G(co) , r\ = Im со < О.
Это утверждение часто называют теоремой Титчмарша ([88],
теорема 11.8).
С. Если G± (£■) еНр±, р = 1, 2, то фурье-образ
обладает свойством
G±(t) = 0 при t ^ 0.
Эта теорема называется теоремой Пэли — Винера ([88], теорема
11.9).
D. Если функция С(£)еН^, то комплексно-сопряженная функ-
функция G*(E) принадлежит к Н^, и наоборот.
Мы назовем хорошо определенный вектор ^"еФ вектором
класса Харди сверху и запишем ф~ еФ+) если его волновая функ-
функция (Е~ \ ф~ ) еН+ (точнее, если значения (Е~ I ф~ > на спектре
определяют по свойству А функцию класса Харди сверху). Тогда
(Ф~\Е~}еИ_. Подобным образом назовем f+еФ функцией
класса Харди снизу и запишем ф+ е Ф_, если (Е+ \ ф+ ) еН_.
На этом пути пространство физических состояний разбивается
на два непересекающихся пространства Ф+ и Ф_ . Упомянем без об-
обсуждения, что они имеют ядерную локально выпуклую топологию
и каждое из них является плотным ь пространстве Ж, где Ж—
пространство, реализованное функциями, квадратично-интегрируе-
662 Глава XXI
мыми на спектре, т. е. положительной действительной полуоси, а
не пространством Н. Таким образом, мы можем построить два ос-
оснащенных гильбертова пространства^
ф+с.Гсф* и Ф_с.Гс:ф*, D.9)
где Ф£} — пространства непрерывных антилинейных функционалов
на Ф(±).|
После этого математического отступления мы можем продол-
продолжить обсуждение деформации контура интегрирования в выраже-
выражении D.7). Теперь мы рассматриваем в D.7) только такие векторы
ф~, которым могут отвечать состояния продуктов распада фоМ при
/ — оо и которые возникают только при / = 0 (при / < 0 таких
продуктов распада еще не существует). Мы можем это выразить,
пользуясь сведениями из математического отступления, в виде сле-
следующего утверждения
ф~еФ+ D.10а)
которое означает, что
<£-|i/OeH2+, <iA~|£~>eH2_ D.106)
Е\Е~\ф-уеИ2+, Еп(ф-\Е-)еН1 для всех и = 1, 2, 3,....
D.10в)
Соотношение D.10в) выполняется потому, что <£"" I ф~ > — «хоро-
«хорошая» функция (т. е. ф~ е Ф).
После того как контур деформирован, в предположении, что
<^~1со~>и<со+|0+> обладают нужными для этого математиче-
математическими свойствами, выражение D.7) принимает вид
(ф
,ф + )= Г
Jie-
o
-^~(а) + \ф+-), D.11)
о — Z,R
где Sn(co) = S(cjjj) обозначает значение 5-матрицы на втором лис-
листе, а *_, — вычет S^(co) на втором листе в точке ZR:
' + *о + *,(й> - 2R) + • • • • D-12)
со -
Подробнее об этом см. в работе [19].
Распад нестабильных физических систем 663
Второй интеграл в D.11) — интеграл вокруг полюса в ZR — от-
отдельно рассматривается ниже; именно этот интеграл приводит к
вектору Гамова. Рассмотрим сначала интеграл по <f_, который мы
назовем фоновым. Поскольку подынтегральное выражение не име-
имеет других сингулярностей в нижней полуплоскости второго листа,
мы можем еще деформировать контур <f_ и записать фоновый ин-
интеграл как интеграл от 0 до — оо плюс интеграл по бесконечной по-
полуокружности в нижней полуплоскости второго листа, который ра-
равен нулю (поскольку рост Sn(co) полиномиально ограничен при
I со I — оо). Таким образом, для фона получаем:
/•- ООН
фон = с1Еи(ф~ |Еп >ЗД1 - <£,1 \Ф + У- D-13)
J
=
Jo
Здесь символ Еи обозначает, что интегрирование проводится по от-
отрицательной действительной полуоси второго листа, а символ
— ооп — предел интегрирования на втором листе бесконечен.
Рассмотрим теперь полюсный член. Используя интегральную
формулу Коши (А. 1а) из приложения к гл. XVII, для второго инте-
интеграла в D.11) получаем
полюсный член = dco<t//~ (со ">——-- <со+|</> + >
Jo- w ~ zr
<^-|ZR><Z^|0 + >. D.14)
Складывая D.13) и D.14), мы можем записать выражение D.7) в
виде
\ф + ). ■ D.15а)
Здесь использована формула D.2), продолженная на «нефизические»
значения Е:
\EZ> = \EU>S(En). D.2а)
Мы использовали также тот факт, что вследствие унитарности вы-
вычет S-матрицы связан с шириной соотношением
4_! = гГ, D.16)
которое немедленно доказывается при сравнении формулы D.12) с
представлением для S-матрицы (XVIII.6.23'). Вектор ф~ — произ-
произвольный элемент пространства Ф+. Мы можем опустить этот про-
664 Глава XXI
извольный вектор в D.15а) и записать D.15а) в виде
ф+ = f ™<1Еп\Е
Jo
|0 + > наФ+. D.156)
Эта формула очень похожа на разложение вектора по обобщенному
базису (II.7.16), (XV.2.7 + ) или A.4.4ж), но для этих базисных раз-
разложений можно вычислять скалярное произведение с вектором у}/~ ,
который можно выбирать из всего пространства Ф, а в D.15, б)
можно вычислять только скалярное произведение с ф~ бФ+. Дру-
Другими словами, обобщенные базисные векторы I Е£) и I Z^> опре-
определены как функционалы только на Ф+ , в то время как дираковские
кет-векторы I Е+ > с Ее спектр Н определены на всем простран-
пространстве Ф.
Полюсный интеграл в D.14) не выглядит имеющим что-либо
общее с резонансом. Резонанс имеет брейт-вигнеровское распреде-
распределение по энергиям, поэтому мы произведем дальнейшие деформа-
деформации контура, чтобы привести интеграл в D.14) к виду, который от-
отвечает типичной брейт-вигнеровской амплитуде. Круговой контур в
D.14) деформируется в прямую линию от — сх до +оо непосредст-
непосредственно под действительной осью плюс бесконечная полуокружность.
Если интеграл по бесконечной полуокружности равен нулю, то
D.14) принимает вид
Г + °°
полюсный член = с1Еп(ф~ |£,7> <£}|0 + >
J - оо
|0 + >. D.17)
Этот интеграл включает брейт-вигнеровское распределение
1/(Еп — ZR), но интегрирование проводится по всей действитель-
действительной оси.
Формула D.17) представляет собой то же утверждение, что и
теорема В (теорема Титчмарша) для функции G_(Ell) —
= (ф~ I Е^) (Е^\ ф+ > а_,. Поэтому, чтобы получить из полюс-
полюсного члена брейт-вигнеровский интеграл, функция G_ (Ell) должна
быть элементом Н'_ .
Используя теорему В для (\р~ I Е^У е И2__, получаем
-Л Г dEn(xlt-\Еп)> l =<<nZR-). D.18)
Опуская в D.18) произвольный вектор ф~ е Ф+, получаем опре-
определение вектора I Z^>, который имеет смысл только как функцио-
Распад нестабильных физических систем 665
нал на поверхности Ф+, а это означает, что можно вычислять его
«скалярные произведения» только с векторами, принадлежащими
1 Г+0Сп 1 / 1 \1/2
\Zi>=-T-.\ dEn\Ei>- =^s r—) |/D>
27гг J-ooi! En - ZR \2пГ/
1/2 ГЛ
D.19)
\2яГ
Этот вектор с точностью до «нормировочного» множителя эквива-
эквивалентен вектору 1/°> в C.24), как это и обозначено вторым ра-
равенством в D.19). Вследствие выведенного ниже закона для внеш-
внешней эволюции мы назовем этот вектор вектором Гамова, или кет-
вектором Гамова. Теперь понятно также, почему f° в C.24) дол-
должен определяться как интеграл от брейт-вигнеровской амплитуды
от — оо до + оо, а не от 0 до + оо, как можно ожидать из спектра
Н. Теоретически правильная амплитуда Брейта — Вигнера, т. е.
амплитуда, связанная с резонансным полюсом S-матрицы, имеет
своим носителем всю действительную ось, точнее интервал от — оо
до 0 на втором листе и интервал от 0 до + оо или на втором листе
непосредственно под разрезом, или на первом листе непосредствен-
непосредственно над разрезом. Следовательно, «нормировочный» интеграл в
C.28) должен содержать интегрирование от — оо до +оо, а не от
-2ER/T до оо, так что (fD I fD) = I1). Однако, как уже отмеча-
отмечалось выше, с практической точки зрения это различие несуществен-
несущественно, если T/ER < 1.
Комплексное сопряжение D.18) дает
1
Используя в левой части теорему В, получаем
\г-))*. D.21)
1) Чтобы избежать недоразумений, связанных с математикой, необходимо под-
подчеркнуть, что амплитуда Брейта— Вигнера (Е~\/°) является элементом про-
пространства Н, в котором скалярное произведение определено с интегрированием от
— оо до + оо. Вектор \f°) является не элементом пространства Ж, а элементом Ф^
(функционалы на Ф + ). Пространство Ж реализуется пространством квадратично-
интегрируемых функций на положительной действительно полуоси L 2(R +) (спектр
Н ), а не пространством Н = L 2([R). Физическое скалярное произведение дается инте-
интегралом по спектру, или, согласно D.156), суммой: интеграл от 0 до — оо плюс инте-
интеграл от - оо до + оо, которое отличается от скалярного произведения в Н на инте-
интеграл от 0 до — оо. Таким образом, векторы в Н становятся обобщенными вектора-
векторами в пространстве Ж.
666 Глава XXI
Опуская снова произвольный вектор I ф~ >, получаем
2nY)
/ 1 \
1/2
D.22)
т. е. то же, что и C.26).
Используя «нормированные» векторы и формулу D.16), полюс-
полюсный член в D.14) можно переписать в виде
полюсный член = / ф
— i
D.23)
а обобщенное разложение вектора по базису D.156) имеет вид
г-\/ г+
Ф+ =
D.15в)
Это соотношение представляет собой равенство непрерывных
функционалов в Ф * +. Если вместо одного резонансного полюса
имеется п резонансов /?,, /?2,..., Rn, то последний член заменяется
суммой п таких членов. Таким образом, в новом разложении век-
вектора по базису D.15а) — D.15в) резонансы появляются почти так
же, как связанные состояния в обычном спектральном разложении.
Выведем теперь формулу C.29). С этой целью рассмотрим век-
вектор Нф~. По предположению (что он хорошо определен) этот век-
вектор снова принадлежит пространству Ф+. Тогда мы можем повто-
повторить всю описанную выше процедуру, начиная с D.7) и заменяя
всюду ф~ на Нф~ в левой части и (ф'~ I Е~ > на Е(ф~ I Е~ > под
знаком интеграла. Когда мы дойдем до аналога формулы D.18), то
получим
dEu
1 £,7
D.24)
Поскольку функция Е(ф~ I Е~ > также принадлежит к классу функ-
функций Харди снизу, мы можем применить теорему Титчмарша для
функции G(£ij) = Еи (ф~ I Е~) к правой части и получим
для всех ф~еФ+.
D.25)
Это точная формулировка утверждения, что I Z^> является обоб-
обобщенным собственным вектором оператора Н в пространстве Ф+ с
собственным значением ZR, уравнение для которого формально
имеет вид C.29а). Тогда уравнение C.296) немедленно получается
Распад нестабильных физических систем 667
комплексным сопряжением D.24) и использованием теоремы Титч-
Титчмарша для функции из класса функций Харди сверху G(E) =
= Е(Е~ I ф~ >.
Формула C.30) может показаться непосредственным следствием
из C.29), но тогда придется удивляться ограничению / ^ 0. На са-
самом деле все не так просто. Вектор I fD > = I Z^) является элемен-
элементом пространства Ф* непрерывных антилинейных функционалов
Ф+. Таким образом, унитарный оператор временнбй эволюции
U{t) = eiHt в гильбертовом пространстве должен быть обобщен на
оператор временнбй эволюции в Ф*. Это можно сделать только в
том случае, когда е'и'ф~ еФ+ оставляет пространство Ф+ инвари-
инвариантным, т. е. тогда и только тогда, когда е'и'ф~ е Ф+ для любого
Ф~ еФ+.
Применим теперь описанную процедуру, начиная с D.7), к век-
вектору е'н'ф~ вместо вектора ф~. Под интегралом в правой части
D.7) имеем тогда e~'Hl(ф~ \ Е~ ) вместо (ф~\Е~у. Все шаги
этой процедуры могут быть повторены, поскольку функция
e~iEt(\J/~ I E~ > является функцией класса Харди снизу. Но если
G(E) е И2_, то e~'E'G(E) е Н2_ тогда и только тогда, когда / ^ 0.
Следовательно, повторение описанной процедуры возможно только
при О Ои вместо D.18) мы приходим к
{еШгф~\2^ = - ~ \dElle-iE-t(il/-\E{-iy * только при / ^ 0.
D.26)
К правой части можно применить теорему Титчмарша и получить
(eiHtil/-\Zz > = £TlZ*r<i/r |Zk > для t > 0 и всех ф~ е Ф+ .
D.27)
Уравнение D.27) является точной формой уравнения C.30).
Если eiHt — непрерывный оператор из Ф+ в Ф+ , то можно опре-
определить сопряженный ему оператор в Ф£, используя стандартное
определение сопряженного оператора в оснащенном гильбертовом
пространстве (см., например, [11])
<^>"|Z«> = ir\(^r\Z^ >• D-28)
Этот оператор, определенный только при t ^ 0, — это тот опера-
оператор, который имелся в виду в C.30):
~iHt"
eiHt", t > 0. D.29)
Здесь индекс + означает, что оператор определен только на
где он является обобщением оператора в гильбертовом пространст-
пространстве е
,-iHl
668 Глава XXI
Таким образом, мы доказали все результаты, которые исполь-
использовались и лишь качественно обосновывались в разд. XXI.3. Мы
придали новым понятиям и их характеристикам, обсуждавшимся в
разд. XXI.3, ббльшую строгость и показали, что экспоненциально
распадающиеся состояния, векторы Гамова'D.19) или C.24) ведут
свое происхождение от резонансного полюса S-матрицы в нижней
полуплоскости.
Чтобы закончить обсуждение, мы очень коротко продемонстри-
продемонстрируем, что резонансные полюса над действительной осью приводят
к экспоненциально растущим состояниям.
Начнем с выражения, комплексно-сопряженного D.7), и исполь-
используем соотношение симметрии для S-матрицы (XVIII.5.10); тогда
получим
(ф+,ф~)= f </£<0+|Е + >5*(Е-Ю)<£-|0->. D.7)
JSpect.H
Интегрирование в выражении D.7) проводилось вдоль верхнего
края разреза; теперь мы интегрируем по нижнему краю разреза,
что отражено в обозначении Е — /0 аргумента S*. Мы будем ис-
использовать те же обозначения ф+ и ф~, что и выше, но теперь они
имеют совершенно другую физическую интерпретацию, а следова-
следовательно, и другие математические свойства, чем величины, обозна-
обозначавшиеся выше теми же символами. В самом деле, теперь мы рас-
рассматриваем более раннюю стадию процесса резонансного рассея-
рассеяния, которая начинается в отдаленном прошлом / — — оо с ин-со-
стояния фт, которое переводится в ф+ и затем при гамильтоновой
временнбй эволюции переходит в состояние ф+ при / = 0. Таким
образом, в то время как в D.7) вектор ф~ описывал контролируе-
контролируемое состояние, т. е. состояние, определяемое экспериментальной
регистрацией продуктов распада \f/out, в D.7') уже вектор ф+ отно-
относится к контролируемому состоянию. Вектор ф+ в D.7') контроли-
контролируется приготавливающим прибором для 0in, а вектор ф~ в
D.7') — это состояние, которое появляется в результате динами-
динамической эволюции.
Для этих контролируемых состояний ф+, которые должны ис-
исчезнуть к моменту времени /0 и, следовательно, составляют при-
примерно половину гильбертового пространства физических состояний
(это пространство мы назовем Ф_), мы постулируем, что волновые
функции (Е+ I ф+ > принадлежат к классу Харди снизу (поскольку
тогда j <£■+ I ф+ (/)> dE = 0 при / > 0 по теореме Пэли — Винера).
Таким образом, функции (ф+ \ Е+) в D.7') принадлежат про-
пространству Н^ и мы можем деформировать контур интегрирования
Распад нестабильных физических систем 669
в D.7') через разрез в верхнюю полуплоскость второго листа. Это
иллюстрирует рис. 4.1, б. Тогда соотношение D.7') принимает вид
(ф\ф~)= f с1а)(ф + \со+>$и(соКШ-\ф-у
<ф + \со+>—1^.<(о-|0->, D.11')
Г
Jo
o • w - ZR
где s_, — вычет S(co) на втором листе в точке Z^:
Sn(co) = —^ +so + Sl(co - Z*R) + ■ ■ • . D.12')
со - Z%
a <f+ — контур, проходящий над полюсом Z^, второй интеграл бе-
берется по окружности вокруг Z^ (см. рис. 4.1.6)). Предполагая сно-
снова достаточно хорошие свойства (ф+ I со" >, <со~ I ^~ > и S(co),
первый интеграл (фоновый) можем записать в виде
/•-ООН
фон= d£II<0 + |£Ii>S(£II)<£Ili'A">. D.13')
Полюсный член вычисляется при помощи интегральной формулы
Коши (XVII.А. 1а), и мы получаем
С s
полюсный член = dco<0+|co+>—-^
Jo w-Z£
^WirW-y D.14')
Следовательно, интеграл в D.7') можно переписать в виде
(ф+,ф~)= I* ""<*£,, <0+|Ей><Я|И*~>
Jo
+ <ф+\г*Е + >2пГ<гГ\ф->, D.15'а)
где мы использовали продолжение D.2) на второй лист
|£It>5*(£II)=|£I7X D.2')
и вследствие унитарности S-матрицы1) имеем
s-i = -iT. D.16')
Интеграл в полюсном члене D.1 Г) преобразуется в брейт-
1) Заметим, что в D.16) произвольный фазовый множитель фиксирован (включен
в определение кет-векторов, которые также имеют произвольную фазу). Тогда фаза
в D.16') не произвольна, а фиксируется инвариантностью относительно обращения
времени.
670 Глава XXI
вигнеровский интеграл деформацией контура с учетом того, что
полюсный член =
+|£,[><£„ \ф
1
Теперь функция (ф+ I Е+ > принадлежит пространству
ф+ е Ф_ . Применение теоремы Титчмарша дает
1 Г
27гг J_
D.17)
, т.е.
D.18')
Опуская произвольный вектор ф+ е Ф_, получаем
2тгГ
1/2
2яГ/
г+
2
D.19')
Вектор \/°У = I ER + /Т/2"), где G означает «растущий или об-
образующийся», определенный в D.19'), — это вектор Гамова, свя-
связанный с полюсом 5-матрицы в верхней полуплоскости второго
листа. Он имеет смысл только как функционал на Ф_. Таким об-
образом, с каждым резонансом связано два типа кет-векторов Гамо-
Гамова— экспоненциально распадающийся функционал на Ф+ D.19) и
функционал D.19'), который экспоненциально растет, как будет по-
показано ниже.
Комплексное сопряжение D.18') приводит к соотношению
1 г+со 1
2nij...
E-ZR
l/2
D.22')
Вместо D.15в) теперь из D.15'а) для обобщенного разложения
вектора по базису в пространстве Ф_ получаем соотношение
Г+
Г
D.15'в)
Распад нестабильных физических систем 671
которое представляет собой равенство между непрерывными функ-
функционалами на Ф* . (Заметим, что символы ф + и ф~ в штрихован-
штрихованном и нештрихованном уравнениях имеют разный смысл.)
Доказательство того, что I Z*^1") является обобщенным соб-
собственным вектором оператора Н с собственным значением
Z£ = ER + /Г /2, получается непосредственным применением тео-
теоремы Титчмарша к функции Е11 <ф + \ Efi) e Н2+. Так же как и для
D.25), доказываем, что
(Нф+\г% + У = г%(ф+\г$ + У длякаждого ф+еФ_, D.25')
что можно также формально записать в виде
Gy, D.25'а)
Gy. D.25'б)
Временная эволюция вектора I f° > определяется теперь совершенно
так же, как и для D.27). Мы должны определить оператор вре-
временнбй эволюции на Ф* как обобщение оператора эволюции в
гильбертовом пространстве e~iHt. Этот оператор можно опреде-
определить как оператор, сопряженный оператору eiHt в пространство
Ф_ , если для любого ф+ е Ф_ также и е'н'ф+ е Ф_ . Это означает,
что упомянутый оператор можно определить, только если наряду с
<ф + I E+ > е Н2+ имеем также <е'я'ф + I £+ > = e~iHt <ф+ I E+ > €
е Н^ . Последнее имеет место только при t < 0. Следовательно,
при ф+ е Ф_ из
применением к правой части теоремы Титчмарша получаем
(еШгф + №* + У = е{Ш(ф + \г$ + У только при t ^ 0 для
любого ф+ е Ф_ . D.27')
Таким образом, можно определить оператор временнбй эволюции
в Ф^ как оператор, сопряженный оператору eiHt в пространстве Ф_
только при t < 0:
(е^Т ="е-'н'", t <0. D.29')
Это обобщение унитарного оператора временнбй эволюции e~iHt в
пространстве Ж на пространство Ф^. Формально выражение
D.27') записывается в виде
«^-«•«"'! fGy = e-iERie+r/2t\fGy только при t ^ 0, D.27'а)
672 Глава XXI
имея в виду, что можно вычислить «скалярное произведение» этого
уравнения только с элементами Ф._. Запишем также
"£?-iH"'|/G></G|'VH"' = £?n|/GX/Gl только ПРИ t «* 0. D.27'б)
Эту формулу надо сравнить с формулой C.38) для экспоненциально
распадающегося состояния. Таким образом, мы видим, что вектор
Гамова I /° >, который происходит от резонансного полюса над
действительной осью, отвечает экспоненциально растущему состоя-
состоянию.
XXI.5. ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО
Формула, выражающая начальную скорость распада через Г-мат-
рицу или матричные элементы гамильтониана взаимодействия V,
называется золотым правилом. Скорость распада, согласно
(XIV.2.3), равна временнбй производной от вероятности распада
B.8), которая равна вероятности перехода из распадающегося со-
состояния W(t) = e~iHt \fD)(fD I eiHt в состояния продуктов распа-
распада, описываемые подпространством А Ж, Хотя можно было бы
воспользоваться результатами разд. XIV.2 и немедлено записать
выражение для скорости распада (XIV.2.6) или (XIV.2.18), полезно
вывести сначала выражение для вероятности распада
E.1)
а затем дифференцированием получить из него обычную формулу
золотого правила для начальной скорости распада &(t = 0).
Чтобы не затемнять этот простой вывод ненужными деталями,
опустим сначала все дополнительные квантовые числа а(= Иък) и
лишь потом учтем, что состояние WR является смесью векторов
|/d> = I ER - /Т/2, а~) (см. C.35)).
Пространство Л дописывает конечные продукты распада после
того, как взаимодействие уже прекратилось. Следовательно, как и
в разд. XIV.2, векторы
2» где \Ь} = \Еь,Ьу,
ь
являются собственными векторами свободного гамильтониана К.
Используя эти базисные векторы для вычисления следа в E.1), по-
получаем
^@ = Z<b\e-iH4fDy(fD\eiHt\b}. E.2)
ь
Суммирование в E.2) проводится по всем значениям Ь = (Еь, 6),
если Л — проекционный оператор на пространство физических со-
Распад нестабильных физических систем 673
стояний всех продуктов распада, которые могут образоваться при
распаде состояния I /° > </° I; если наблюдается только часть про-
продуктов распада, т. е. если измеряется только парциальная скорость
распада, то Л — проектор на подпространство, отвечающее этим
наблюдаемым продуктам распада, и суммирование в E.2) прово-
проводится только по тем базисным векторам, которые порождают это
пространство.
Векторы \Ь) в E.2) заменяем на V\b) и собственные векторы
I Ь~ > оператора Я, используя решение уравнения Липпмана —
Швингера (XV. 1.22). Получаем
<fD\e-iH'\b> = <fD\e-iHt\b~y - <fD\e-iH*
ь — \Pr + il 1ч — i£
E.3)
где использовано свойство C.296) вектора распадающегося состоя-
состояния </°1 = (ER + /Т/2" I.
Подставляя выражение E.3) в E.2), получаем
■г
Jo
'R)Eb-(ER-iT/2) + ie
. E.4)
В первом члене мы заменили ^b интегралом по спектру Н, совпа-
совпадающему со спектром К. Второй и третий члены в E.4) комплекс-
комплексно сопряжены друг к другу. Используем теперь свойство
C.30) = D.27) распадных векторов Гамова; тогда выражение E.4)
принимает вид
= Г dEb(E;\z-R){z*R-\E;y
Jo
-e-r'l((Z*R-\b-Xb\V\ZR)- * —+ С.С.)
ь Eb - (ER - ir/2) + ic
461—43
674 Глава XXI
Здесь с.с. означает комплексное сопряжение второго члена, кото-
который мы обозначим И. Этот член вычисляется теперь с использова-
использованием снова решения уравнения Липпмана— Швингера (XV. 1.22—)
для I Ь~ >:
L
Первый член здесь равен нулю. Причина этого аналогична причине,
по которой II = 0 из (XIV.2.17) или (XV.A.4I). Вектор (Z*-R\ опи-
описывает располагающееся состояние, векторы I b) порождают про-
пространство продуктов распада, когда выключено взаимодействие V,
из-за которого происходит переход; таким образом, (Z*~R\ by —
амплитуда вероятности того, что переход не произошел, в то вре-
время как < b\ V\ ZR) — амплитуда вероятности перехода. Второй член
в выражении для II действителен, следовательно, комплексно-со-
комплексно-сопряженный член в выражении E.5) равен П. Это выражение равно
также (с точностью до знака) четвертому члену в E.5). Первый
член в выражении E.5) получается из C.28); он равен единице с
точностью до малой поправки T/2irER + ... . Таким образом, для
вероятности распада имеем
E.6)
Эта формула для вероятности распада квазистационарного состоя-
состояния с энергией ER и шириной Г не является приближенной. Она
имеет форму, которую следовало ожидать исходя из выражения
C.40) при
Согласно выражению C.39), вероятность ^R(t) при t = О должна
'* Вместо использования выражения E.1) в начале нашего вычисления мы могли
бы начать с выражения (XIV.2.18) для скорости распада, в котором этого члена уже
нет. Но это сделало бы вычисление менее прозрачным, см. задачу 3.
Распад нестабильных физических систем 675
быть равна единице (и 3*(t)~0). Так как (см. 11.8.12))
(Я. - еУ
то из E.7) получаем
Г = 2п X |<Ы K|/D>|2 d(Eb - £я). E.9)
ь
Для скорости распада дифференцированием по времени выраже-
выражения E.6) получаем
(Eb - ERf + (Г/2J
>|27^ J*\tm*- EЛ0)
Эта формула для скорости распада не является приближенной.
Множитель
(Еь - ERf + (Г/2J ^ '
называется естественной шириной линии. Его можно выявить,
если детектор имеет очень хорошее разрешение по энергиям
АЕЬ < Г, так что можно измерить скорость распада на единицу
энергии:
В пределе малой ширины Г/2£"л —0 начальная скорость распада
E.10) при t = 0 равна
&@) = 2nZKb\V\fD>\2d(Eb-ER). E.13)
ь
Сравнивая это выражение с E.9), мы видим, что, как мы уже отме-
отмечали выше, начальная скорость распада равна ширине.
Формула E.13) является обычной формой золотого правила1).
Поскольку формулы E.6) — E.12) являются различными формами
одного и того же результата, мы будем ссылаться на них как на
золотое правило.
!) Эта формула, полученная Дираком, сослужила такую большую службу во
многих областях квантовой физики, что Ферми назвал ее золотым правилом ("золо-
("золотое правило № 2").
676 Глава XXI
Формулы E.6), E.10) и E.12) не содержат никаких приближе-
приближений, они включают некоторые величины, рассчитать которые мож-
можно только приближенно, — такие, как обобщенное собственное зна-
значение ER — /Т/2 точного гамильтониана и отвечающий ему со-
собственный вектор 1/°>. Для узких резонансов, таких, как возбуж-
возбужденные состояния атомов и молекул, и в любом другом случае,
когда гамильтониан взаимодействия V описывает слабое взаимо-
взаимодействие, Г на несколько порядков меньше, чем ER, вектор 1/°>
можно заменить собственным вектором оператора К, стационар-
стационарным по отношению к временнбй эволюции e~iKt (борновское при-
приближение).
Теперь, когда наиболее важные результаты получены в рамках
простой модели, мы снова включим в рассмотрение дополнитель-
дополнительные квантовые числа а, чтобы применить золотое правило в реаль-
реальных ситуациях. Для этого заменим I/DX/DI в приведенных фор-
формулах оператором WR из C.35). Результат для скорости распада
имеет вид
Z- ERKb\V\ER,a)(ER,a\V\b>(a'\\WR\\a> , E.14)
Ь аа'
где мы обозначили через I ER, а) вектор распадающегося состояния
I ER — /Т/2, а~). Для знакомого случая распадающегося состояния
с угловым моментом lR и внутренними квантовыми числами kr
(выражение C.16)) формула принимает вид
^(г = 0)=2я—-i—ГлТ.1№ь- ERKb\V\ERJR,l3,KR)\2. E.15)
(ZlR + I) /з b
Формула E.14) есть общая форма золотого правила для начальной
скорости распада. Если суммирование по b происходит по всем
возможным значениям квантовых чисел Ь = (Еь, 6), то ^называ-
^называется полной скоростью распада.
Формулы E.6)—E.15) используют для вычисления скорости рас-
распада во всех областях физики. Обычно взаимодействие является
слабым, так что для матричного элемента перехода (b\ V\ ER, a)
можно использовать борновское приближение. Это означает, что
вектор I ER, а) заменяется собственным вектором свободного га-
гамильтониана
К = Я- V. E.16)
Векторы I ЬУ уже являются собственными векторами оператора К
(см. XIV.5.24)). Поэтому программа вычисления начальной скоро-
скорости распада такова. Сначала находят собственные состояния и об-
обобщенные собственные векторы свободного оператора энергии.
Распад нестабильных физических систем 677
Это собственные векторы оператора энергии в приближении, в ко-
котором распадающаяся система является стабильной. Например, в
распаде A.3а), вектор I ER, lR, lv kr) будет (обычным) собственным
вектором оператора энергии атома, когда взаимодействием с излу-
излучением пренебрегают и все уровни энергии стабильны. Вектор I b)
является прямым произведением:
где первый множитель — собственный вектор основного состояния
атома, a Iy> — базисный вектор однофотонного пространства. За-
Затем необходимо принять какой-то вид гамильтониана взаимодейст-
взаимодействия V (или оператора перехода Т, если борновское приближение не-
неудовлетворительно). Для случая радиационных распадов атомов
это можно сделать, следуя до некоторой степени аналогии с клас-
классической системой; в других ситуациях, например при распадах эле-
элементарных частиц, наш выбор ограничивают лишь немногочислен-
немногочисленные общие принципы. После того как гамильтониан взаимодейст-
взаимодействия V и решения свободной задачи известны, необходимо вычис-
вычислить матричные элементы V между свободными собственными
векторами и подставлять их в формулу E.14) или E.15). При этом
переход рассматривается как переход из одного «стабильного» со-
состояния в другое, вызванный гамильтонианом взаимодействия V
или оператором перехода Т.
XXI.6. ПАРЦИАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ РАСПАДА
При практических вычислениях парциальные скорости распада да-
даже более важны, чем полная скорость распада. Чтобы найти пар-
парциальную скорость распада, мы должны конкретизировать базис-
базисные векторы I b) в формуле E.14) или E.15). Для определенности
рассмотрим сначала случай базиса углового момента. Выбираем
тогда
|Ь> = |£ь,6> = |£ь,//31/> , F.1)
если угловой момент коммутирует с внутренними наблюдаемыми:
[L,.,ir] = 0. F.1а)
Внутренние наблюдаемые tj°p в общем случае не совпадают с внут-
внутренними наблюдаемыми к°р, по отношению к которым резонанс
является собственным состоянием с собственным значением kr. За-
678 Глава XXI
пишем тогда E.15) в виде
= 2я У Р„(Е) dE д(Е - ER) У У
F.2)
Эта формула дает скорость распада состояния R на продукты рас-
распада с любыми внутренними квантовыми числами tj. Если детектор
регистрирует только продукты распада с одним определенным на-
набором tj, то измеряется величина
г,) = 2тг J рч(£) dE 6(Е - Ел)
'*/з^I2- F.3)
Величина Г(/?—tj) называется парциальной скоростью распада для
распада состояния R в состояние с квантовыми числами tj (канал
распада tj). Очевидно мы имеем
>!/) = Г. F.4)
Это утверждение тождественно тому, которое получается при диф-
дифференцировании по времени в формуле B.10).
Чаще всего гамильтониан V вращательно-инвариантен, так что
в F.3) отличен от нуля только член с j = lR.
Весовая функция pv(E) связана с нормировкой обобщенных со-
собственных векторов I Eb, jj3r)):
h ri\E'ff3 n'> = 5т.(рч(Е)Г ХКЕ - E'Mjr 6m. F.5)
Вместо базисных векторов F.1) можно использовать другие, на-
например обобщенные собственные векторы импульса:
<P»7lP'»7'> = Н? -P')<V » F-6)
если
[Рг^ор]=0. F.6а)
Тогда вместо F.-3) имеем
Г(Я -. г,) = 2я \d3p 8(Е(р) - ЕЛ) I уг-1-— | <р ц | V \ ER lR /3 кл) \2. F.7)
J h ZlR + '
Вместо импульсов или угловых моментов можно использовать лю-
любые другие квантовые числа:
\Еь,Ъ> = \Еь,р,г,У F.8)
Распад нестабильных физических систем 679
Единственное требование состоит в том, что
Базисные векторы, используемые в формуле для скорости рас-
распада, необходимо всегда выбирать наиболее удобными, а какие
векторы наиболее удобны — зависит от рассматриваемой задачи1).
Поэтому рассмотрим теперь общий случай.
Пусть полная система коммутирующих операторов для распада-
распадающейся системы имеет вид
К, аор, кор , F.9)
где мы разбили операторы а°р = (к°р, а°р) так, что распадающаяся
система имеет определенные значения к = kr для первого набора
операторов, а наблюдаемые а°р не измеряются. Тогда приведенный
матричный элемент равен
<U\\WR\\a'> = <ка||*Щк'а'> = 5ККя5к.к^„.^щ^, F.10)
где &(kr) — собственное пространство к°р с собственным значени-
значением KR.
Пусть
K,p°p,rjop F.11)
есть полный набор коммутирующих наблюдаемых, выбранный
так, что детектор регистрирует продукты распада с определенными
квантовыми числами tj и с любыми значениями квантовых чисел /3.
Тогда можно интересоваться парциальной скоростью распада R по
каналу распада tj. Подставляя выражение F.10) в E.14) и используя
собственные векторы F.9) и F.11), получаем
>»0, F.12)
где парциальные скорости распада равны
= 2я \Pt](E)dEd{E - Ек)^\(ЕПР\У\Еккк*)\\ F.13)
Х) Например, если соотношение F.6а) не выполняется, но операторы
коммутируют с т/ор, где М — оператор массы (которая является функцией внутрен-
внутренних квантовых чисел), то следует выбрать базисные векторы \р, т/> , где
Pi = Р/т (v).
680 Глава XXI
Здесь
F.14)
обозначает суммирование (или интегрирование) по всем значениям
квантовых чисел для базисных векторов конечных состояний и ус-
усреднение по начальным квантовым числам. Часто это называют
«суммированием по конечным состояниям и усреднением по на-
начальным состояниям».
Формула F.13) для скоростей распада имеет многочисленные
применения во всех областях квантовой физики. Когда имеет
смысл говорить о распадающейся системе, можно применять фор-
формулу F.13) при соответствующем выборе базисных векторов. Га-
Гамильтониан взаимодействия V или оператор перехода зависит, ра-
разумеется, от рассматриваемой конкретной физической системы и
определяется своей алгеброй наблюдаемых. Найти правильное вы-
выражение для V — одна из задач, стоящих на пути понимания харак-
характера физической системы.
Послесловие
Цель, стоящую перед физической теорией, можно считать достиг-
достигнутой, если она дает математический образ какого-то фрагмента
реальности, который позволяет соотносить между собой экспери-
экспериментальные данные, а также путем математической дедукции пред-
предвидеть новые ситуации. В данной книге мы ограничились такой
программой и не упоминали ни одного из далеко идущих следствий
квантовой механики. Однако квантовая механика оказала влияние
на все научное мышление и даже на человеческое мышление вооб-
вообще. Будучи представлена в своей полной общности, как это сделано
в настоящей книге, она естественно приводит к двум умозаключе-
умозаключениям, значение которых далеко выходит за рамки физики.
Классическая наука базируется на двух предположениях: 1) на
детерминистской природе предсказаний и 2) на атомистической
природе понимания. Квантовая механика приводит к пересмотру
обеих этих концепций.
Классические теории детерминистичны. Законы классической
физики построены таким образом, что если заданы начальные зна-
значения динамических переменных системы, то для любого более
позднего момента времени можно вычислить их точные значения.
Эти законы не просто были выведены только из эксперимента, а
затем получили общее признание как основа научной философии и
вообще мышления. Напротив (и, возможно, в большей степени),
эти законы извлечены из природы, так как они согласовывались с
преобладающей философской идеей о том, что ничто не происхо-
происходит без причины.
В классической физике вероятностные утверждения всегда связа-
связаны с недостаточностью информации, т. е. они являются утвержде-
утверждениями относительно имеющейся у наблюдателя информации о фи-
физической системе, а не относительно самой физической системы, о
которой, согласно принципам классической физики, может быть
получена сколь угодно точная информация. В квантовой теории
(как это описано в разд. II.5 и в других местах) можно лишь ска-
сказать, с какой вероятностью ожидается появление определенных
682 Послесловие
значений, даже если состояние известно настолько хорошо, на-
насколько это вообще возможно, т. е. даже если система находится в
чистом состоянии. Таким образом, в квантовой теории утвержде-
утверждения исходно носят вероятностный характер; появление вероятност-
вероятностных распределений не есть просто следствие недостаточности ин-
информации, но есть свойство, присущее самим квантовым системам.
Квантовые предсказания экспериментальных результатов представ-
представляют собой утверждения о том, как микрофизические процессы
проявляются в макрофизической области. Эти следы от микрофи-
микрофизических процессов в макрофизической области — единственный ис-
источник знаний об этих процессах — не подчиняются детерминист-
детерминистским законам. Более ранние следы микрофизического процесса не
определяют однозначно более поздние следы, а делают это только
вероятностным образом. Квантовая теория учит нас, что существу-
существуют естественные пределы для человеческого познания.
Второй пункт — глубоко интуитивная природа понимания кван-
товофизических систем — упоминается не так часто, несмотря на
то, что это является очевидным следствием квантовомеханического
описания физических систем. Хотя интуиция уже очень широко ис-
используется в других дисциплинах (например, в психологии), она от-
отвергалась физиками, на которых, по-видимому, повлиял успех ато-
атомизма в классической физике. Квантовофизическая система есть
структурированное целое, описываемое математической конструк-
конструкцией — алгеброй операторов. Из законов комбинирования кванто-
вофизических систем (разд. III.5) следует, что для комбинации двух
подсистем (описываемой произведением Ж^ ® Ж^ имеются наблю-
наблюдаемые, не имеющие аналогов среди всех наблюдаемых каждой из
подсистем (описываемых Ж^ или Ж^).
Таким образом, в квантовой физике имеются такие свойства,
которые нельзя получить, комбинируя свойства подсистем. В этом
смысле целое не есть сумма частей.
В рамках атомистического подхода понимание достигается при
последовательной редукции сложной системы на все более простые
подсистемы, пока не появляются истинные составляющие. В кван-
квантовой физике наличие свойств, характеризующих систему в целом,
не позволяет провести этот процесс редукции, и понятие истинной
составляющей теряет свой смысл. Атомизм принадлежит класси-
классической физике. Квантовофизическая система, такая, как молекула,
не может быть до конца понята при разделении на ядра и электро-
электроны, хотя исходя из имеющихся традиций возникает искушение так
поступить. Но на этом пути мы приходим всего лишь к классиче-
классическому аналогу квантовофизической системы, такому, как кеплерова
Послесловие 683
система из протона и электрона — классический аналог атома во-
водорода. Электрон в атоме «есть» нечто, отличающееся от электро-
электрона в линейном ускорителе, и полное описание электрона может
быть получено только при выявлении его различных аспектов, как
они математически описываются различными базисными система-
системами в пространстве физических состояний.
Визуальная картина, которая обычно требуется для процесса по-
понимания, в квантовой физике является не геометрической картиной
объекта, а картиной его образа в пространстве физических состоя-
состояний. Редукция от более сложного к более простому с получением
более простых составляющих объектов осуществляется не для фи-
физического объекта, а для пространства физических состояний, в ре-
результате чего возникают неприводимые подпространства для все
более простых структур. На каждой стадии этой редукции по-преж-
по-прежнему имеется целостная картина, все аспекты которой описывают-
описываются с помощью различных базисных систем в подпространствах.
Вместе с тем внутри подпространства структура является более
простой и описывает более ограниченную область физики.
Разбиение на части квантовофизической системы может разру-
разрушить ее. Следовательно, квантовофизическая система (такая, как
молекула СО) не может быть истолкована только атомистически
(как диатом) и более адекватно понимается интуитивно и функцио-
функционально (как осциллирующий ротатор).
Атомизм был великим завоеванием прошлого; на нем основана
почти вся технология. Но квантовая теория выявила его ограничен-
ограниченность и показала, что даже для простых систем необходим также и
интуитивный метод.
Задачи
К гл. I
1. Пусть С — набор всех последовательностей х = (£,, £2, ..., £п), где £, е С (ком-
(комплексные числа). Определим сложение и умножение на элементы С формулами
а) Покажите, что С — линейное пространство.
б) Пусть х = (£,, £2 £п) и j» = A7, чп) — два элемента из С. Покажите,
что символ (х, у), определенный формулой
ч
(х, У) = X Ъч .
обладает всеми свойствами скалярного произведения.
2. Пусть Ф — пространство С из задачи 1, и пусть отображение А определено со-
соотношением
где , "
aik(i, к = 1, 2 л) — фиксированные числа;
а
1
12 •••
а-,
а
°п\ ап2 - ап
называется матрицей отображения А. Определим так же другое отображение В.
Покажите, что эти отображения А и В являются линейными операторами на про-
пространстве С (т. е. обладают свойствами линейных операторов). Покажите, что на-
набор операторов образует алгебру, если умножение и сложение их матриц, а также
их умножение на число определены по обычным законам матричного исчисления.
3. Покажите, что если /— собственный вектор линейного оператора А с собствен-
собственным значением \, то af(a е С, /е Ф) — собственный вектор оператора А. Чему рав-
равно собственное значение, отвечающее вектору а/1
Задачи 685
4. Покажите, что эрмитов оператор А обладает следующими свойствами:
а) все собственные значения действительны;
б) два собственных вектора" </>, и ф2 оператора А ортогональны друг другу, если
отвечающие им собственные значения различны.
5. Покажите, что векторы ф и ф равны тогда и только тогда, когда их компоненты
по отношению к некоторой базисной системе одинаковы.
6. Покажите, что неравенство Коши — Буняковского — Шварца B.7) следует из
определения B.5) положительной эрмитовой формы.
7. Пусть Q— оператор с непрерывным спектром [х\—» < д- < »), и пусть
I дг> — обобщенный собственный вектор. Определим другой оператор Р:
1 d ■у
(х I РI ф > = г <х\ф) для всех ф е Ф (г = -1).
а) Покажите, что Р — линейный оператор.
б) Покажите, что для того, чтобы операторы Q и Р были хорошо определены,
т. е. величины й РфЪ и й QфЧ были конечны для всех векторов феФ, компоненты
произвольного вектора < х I ф > должны быть бесконечно дифференцируемыми непре-
непрерывными функциями, убывающими на бесконечность вместе со своими производны-
производными быстрее любой степени х (т. е. функции (х\ф} должны принадлежать простран-
пространству Шварца S).
в) Покажите, что операторы Р и Q удовлетворяют коммутационному соотноше-
соотношению
PQ - QP = - 1.
/
8. Пусть Ф — линейное пространство со скалярным произведением с элементами
ф, ф, х, ... . Пусть I />, I En), i = 1, 2, ..., Еп = Е{, Е2, .... — две дискретные базис-
базисные системы вФ,а1дг>, — « <дг< «, — непрерывная базисная система в Ф. Пока-
Покажите, что пространства компонент С?°. с элементами </!</>>, </1^>, </1х>. •••> и
С^. с элементами (Еп\ф), (Еп\ф), (£"„1х)» •••> и SjX) c элементами (х\ф), <дг1^>,
<дгГх>, ... изоморфны пространству Ф и между собой.
9. Покажите, что обобщенная функция (х\р) = A/^2ж)еЫр является обобщен-
обобщенной собственной функцией оператора, определенного в задаче .7:
1 d
(х\Р\р)= <х\р> = р{х\р)
i dx
при действительных р, но что эта функция не является «хорошей», т. е. что
\р> ёФ.
10. Покажите, что полиномы, определенные соотношением
"„(О = (-l)" в*'—<*-«'), я = 0, 1, 2, ...
удовлетворяют дифференциальному уравнению
686 Задачи
11. Вычислите фурье-образ ,
1 +г°°
ф(х) = \
2 ЯП J*
функции ф(р) = а~ар eS(a > 0). v
12. Покажите, что скалярное произведение (ф, ф) с фиксированным ф е Ф и перемен-
переменным ф е Ф определяет антилинейный функционал /%,(</>) ■ (</>, ^) на пространстве Ф.
13. Пусть Fl и F2 — линейные функционалы на Ф, а а, /3 — комплексные числа. По-
Покажите, что функционал (aF{ + |8F2), определенный соотношением
для всех ф еФ, также является линейным функционалом на Ф.
14. Пусть Р2 — оператор, определенный уравнением E.25), а Р — оператор, опре-
определенный соотношением
<Х\Р\Ф> = -_-<Х|0>
I dx
с теми же требованиями на функции (х\ф), что и выше. Покажите, что вследствие
E.26) операторы Р и Р2 являются самосопряженными. Являются ли операторы Р и
Р2 самосопряженными в том случае, когда E.26) не выполняется? Указание: Ис-
Использовать интегрирование по частям.
15. В разд. 1.7 мы показали, что
Ф* , доказав, что ^ с Фх
и используя теорему Рисса — Фреше JV = Ж*. Дайте альтернативное доказатель-
доказательство того, что ЛСс Фх, не использующее соотношения с#"= ^о<, доказав следую-
следующее:
а) Из Л„ - Л следует (Л„, /) - (Л, /)
для всех /е с*! Указание: Воспользоваться неравенством Коши — Буняковского —
Шварца.
б) Покажите, что любой /е ^определяет элемент из /-"еФ* при помощи соот-
соотношения F(<p) = (<p, f) для любого реф. Покажите, например, что функционал F,
антилинейный согласно задаче 12, непрерывен. Указание: Покажите, что из gn ^-g
следует F(gn) — F(g), используя результат, полученный в п. а.
К гл. II
1. Покажите, что операторы а и а*, определенные выражениями C.1), являются со-
сопряженными друг другу.
2. Покажите, что множество всех линейных операторов на (комплексном) линейном
пространстве R является ассоциативной алгеброй с единичным элементом по отно-
отношению к операциям умножения оператора на скаляр, сложению и умножению (ком-
(композиции) операторов.
Задачи 687
3. Для квантовомеханического гармонического осциллятора вычислите диагональ-
диагональный матричный элемент оператора энергии Н между состояниями
Ф„ = е>°г,фп,
(ап действительное), где фп — собственный вектор, отвечающий собственному значе-
,нию п оператора N = dа (уравнение C.20)).
4. Пусть фп — векторы из уравнения C.19). Для произвольного комплексного z
определим вектор когерентного состояния (о применениях когерентных состояний
см. [23]):
а) Покажите, что когерентное состояние I z > есть собственное состояние опера-
оператора а с собственным значением z.
б) Покажите, что скалярное произведение Фп на I z) обладает свойством
0nu> .
л!
в) Покажите, что скалярное произведение iz\z') двух когерентных состояний
\z) и I z' > равно
(z\z'> = ехр(- - \z\2 + zz' - - \z'\2).
г) Вычислите средние значения операторов Н, Q и Р по когерентному состоянию
!г>, т. е. вычислите <zl#lz>, (z\ Q\ z) и (z\P\z>.
д) Покажите, что для чистого когерентного состояния W = I z)(.z\ в F.3) появ-
появляется знак равенства:
h
APAQ = -.
5. На рис. PS.l.o приведена схема экспериментальной установки, которая немного
отличается от показанной на рис. 4.2, а. Результаты эксперимента с потерей энер-
энергии, выполненного с N2 на этой установке, показаны на рис. PS.1,6. Пик при v = 0
приблизительно в 30 раз выше, чем пики при v = 1, 2, 3,...; это отличается от ситу-
ситуации, показанной на рис. 4.2,6, где пик при v = 0 приблизительно в три раза выше
остальных пиков. Объясните это различие. Определите по рис. PS.1,6 статистичес-
статистический оператор W, описывающий состояние ансамбля молекул N2 в эксперименте на
рис. PS.l.fl.
6. Предположим, что мы имеем квантовомеханический осциллятор.
а) Пусть состояние системы описывается формулой D.17). Покажите, что D.21)
следует из D.20).
б) Покажите, что W = tfV(Tr W) — нормированный статистический оператор,
где W определен в D.22).
в) Пусть Л — проекционный оператор. Покажите, что ТгЛ =
688
Задачи
Электронный кштетипор
з
. Пучок молекул
Нить Ионный коллектор
а
1 2 3
Напряжение развертки, В
6
Рис. PS. 1. а — Схема двойного электростатического анализатора. Электроны испу-
испускаются нитью, отклоняются цилиндрическими сетками DА и 4В) радиуса 1,0 и
1,5 см соответственно, инжектируются в камеру столкновений 5 и анализируются
изменением напряжения между электродами б и 3. Экраны Sl3 S2, S3, S4, S5 служат
для того, чтобы собирать лишние электроны; 4С и 7С — верхняя и нижняя сетки.
Типичные значения напряжений между электродами: DА—4В) = 1,2 В,
GА—В) = 1,2 В, (нить — 3) = 1,4 В, (F—S,) = 20 В, (F—S2) = (F—S3) = 20 В.
Электронный коллектор заземлен. Все щели размера 0,5 х 4 мм. б — энергетиче-
энергетический спектр рассеянных электронов 2,6 эВ [24].
Задачи 689
7. Вычислите средние значения операторов Q, Q2,P и Р2 по состоянию квантовоме-
ханического осциллятора W — А.п, где Af — проекционный оператор на собственное
подпространство энергии, отвечающее собственному значению Еп — Лш(/г + 1/2).
8. Пусть Л — проектор на одномерное подпространство, порожденное ^A1^11 = 1).
Покажите, что дисперсия оператора Н disp(A)#, если система находится в состоянии
W = Л, удовлетворяет неравенству
disp(A)H > 0.
9. Вычислите disp{W)W для состояния молекул СО в камере столкновений в экспери-
эксперименте с потерей энергии, описанном в разд. II.4. Покажите, что disp(H)/Y > 0.
10. Пусть оператор W задан выражением E.9). Покажите, что disp(M, A — 0.
11. Пусть оператор W определен в D.31). Вычислите < А) и покажите, что именно
такого результата и следовало ожидать, если < А > есть среднее значение А. Опреде-
Определяется ли W выражением D.51) в нормированном виде, т. е. справедливо ли равен-
равенство TrW = 1?
12. Пусть Н и В — две наблюдаемые со спектрами Еп и Ь1 соответственно. Пусть
Л^ и Аь — проекционные операторы на собственные пространства И с собственным
значением Еп и В с собственным значением Ь( соответственно. Пусть квантовомеха-
ническая система находится в состоянии, в котором измерение энергии всегда дает
значение Е .
п
а) Каков статистический оператор W для этого состояния?
б) Пусть в состоянии W проводится измерение наблюдаемой В. Каким будет
статистический оператор W после измерения В, если не проводить селекции подси-
подсистем?
в) Какова вероятность найти значение b при измерении В на физической системе
в состоянии И7? В состоянии W"\ Сравните эти две вероятности.
г) Измерим теперь снова наблюдаемую Н. Какова вероятность найти при изме-
измерении Н значение £^? Сравните эту вероятность с вероятностью найти значение Е
в исходном состоянии W.
д) Пусть А — еще одна наблюдаемая с собственными значениями а; и проекто-
проекторами Ац на собственные пространства. Вычислите вероятность получить значение
ак при измерении А, если система находится в состоянии W или W. В каком слу-
случае эти вероятности равны?
13. Вычислите матричные элементы (п\ Р\ т) и < п\ Q\ т) операторов Р и Q меж-
между собственными векторами энергии Фп = \ п) гармонического осциллятора.
14. Выпишите явные выражения для первых шести полиномов Эрмита
Н„(у) (л = 0, 1, 2, 3, 4, 5)
и обсудите распределения вероятностей I < х\ п)\2 для гармонического осциллятора в
шести низших энергетических состояниях.
15. Для собственного состояния энергии W — Л14 отвечающего собственному значе-
значению энергии £, = 3!2Йш, вероятность wi(x)Ax измерения координаты со значением
в интервале (х — Дх/2, х + Ах/2) вокруг значения х отлична от нуля при
х > а = VTEj/^ojJ. Отсюда следует, что потенциальная энергия V может превос-
461—44
690 Задачи
ходить полную энергию Ev поскольку
1 , , 1 , .
V = /ш2*2 > цш2а2 = Е..
2 2
Найдите ошибку в этом рассуждении и дайте правильное описание ситуации.
16. Покажите, что операторы РE) = (Л/i)d/dx и QE) = х, рассматриваемые как
операторы на волновых функциях, удовлетворяют коммутационным соотношениям
Гейзенберга.
17. В разд. II.7 было показано, что на волновых функциях операторы импульса Р и
координаты Q реализуются операторами РE) = (h/i)d/dx и @E) = х. Какое пред-
предположение помимо коммутационных соотношений Гейзенберга было использовано
при этом выводе?
18. Пусть движение квантовомеханической частицы с массой т ограничено непрони-
непроницаемыми стенками на интервале - а < х < а (одномерная прямоугольная яма с бес-
бесконечно высокими стенками). Это означает, что среднее значение оператора потен-
потенциальной энергии V между обобщенными собственными состояниями координаты
Iх) равно
<xl V\x)
(V>= = -с,
<х\х)
где с — константа, а вероятность того, что измерение координаты Q даст некото-
некоторое значение х, отлична от нуля только для — а < х < +а. Обозначим через I п)
собственные векторы оператора энергии:
Р2
Н = + V,
2 т
и пусть Л^ — проектор на пространство, порожденное I п). Вычислите собственные
значения Н и средние значения Q, Q2, Р и Р2, если система находится в собствен-
собственном состоянии энергии Л^.
19. Покажите, что для любых линейных операторов А, В и для ХеС след, опреде-
определенный в D.3), обладает следующими свойствами:
а) след не зависит от выбора базиса,
б) Тт(\А) = ХТг/1.
в) Тт(А + В) = ТгА + ТтВ.
г) Тт(АВ) = Тт(ВА).
20. Пусть W(p) — почти собственное состояние импульса, описываемое статистиче-
статистическим оператором
\ dp' \ dp"f((p' - p)ff(p" -P)\p'){p"\ ,
Задачи 691
где
V7T р' —p — it
(лоренцево импульсное распределение). Вычислите плотность вероятности для опе-
оператора координаты и вероятность обнаружить значение координаты в интервале
х0 - Дх/2 < х < xQ + Ах/2. Обсудите результат.
21. Дэвиссон и Джермер рассеивали низкоэнергетические электроны на металличе-
металлических мишенях. Для электронов с энергией 45 эВ, падающих нормально на поверх-
поверхность кристалла, вычислите угол между падающим пучком и максимумом рассеяния
в случае, когда металл предполагается имеющим простую кубическую структуру с
постоянной решетки 3,52 А.
22. Было ли показано, что электроны являются волнами с длиной волны X = h/pl
Если да, то объясните, как это было сделано. Если нет, то объясните, что было по-
показано.
К гл. III
1. Пусть Р. и Q (/, у = 1, 2, 3) удовлетворяют каноническому коммутационному со-
соотношению [Pj, QA = {h/i)8jjl. Определим орбитальный момент L{ as eijkQPk(L =
= Q х Р), Операторы компонент являются эрмитовыми (уравнение B.11а)) и удов-
удовлетворяют коммутационному соотношению B.14). Определим операторы //3, Н+ и
Н_ формулами
Н3 = /t'L3 - Н± = h~\Lx ± iL2).
а) Покажите, что
[Hv HJ = ±Н±
[н+, н_\ = гну
Покажите, что
L2 = LlLi = h\H+H_ + Н] -
Н
б) Покажите, что оператор Н2 = ft~2L2 является инвариантным оператором в
пространстве ^Et/B)), т. е. что
[Н2, Н3] = О, [Н2, Н+] = 0 .
и
[Н2, Н_] = О,
692
Задачи
и, следовательно,
[Н2
где А — любой элемент алгебры, генерируемой L{:
А = а/ + a'Li + dJLtLj + ...
(a, a', a'J, ...eC).
в) Докажите, что спектр L2 имеет вид Л2/(/ + 1) (/ = 0, 1, 2, 3 ...). Указание:
Используйте выражение для оператора Z,, в терминах операторов уничтожения а.{ и
операторов рождения а\:
(единицы выбраны так, что цш = I) трехмерного гармонического осциллятора. По-
Покажите, что из вида спектра гармонического осциллятора следует, что оператор Z,3
может иметь только целые собственные значения.
2. Используя спектр поглощения, показанный на рис. 1.7, вычислите междуядерное
расстояние для молекулы СО.
3. Спектр потерь энергии для колеблющихся молекул Н2 (рис. PS.1) обнаруживает
два пика при 0 и 0,52 эВ, имеющие интенсивности 3,5 и 7,8 х 1/30 = 0,26 (в относи-
о 1 2
Напряжение развертки, В
Рис. PS.1. Спектр потерь молекулы Н, [7].
Задачи 693
тельных единицах) соответственно. Какой вид имеет статистический оператор W
для ансамбля молекул Н2 в этом эксперименте с потерей энергии? Происходят ли в
газе Н2 дипольные переходы? Какие могут быть частоты этих дипольных перехо-
переходов?
4. В эксперименте с инфракрасным поглощением молекулами НС1 в основном состо-
состоянии наблюдается поглощение следующих частот v (см~'):
20,68
41,36
62,04
82,72
103,40
124,08
144,76
165,44
186,12
206,80
227,48
Предположим, что в этом эксперименте с поглощением имеют место только перехо-
переходы между соседними энергетическими уровнями (дипольные переходы). Каковы
энергетические уровни этой (вращающейся) молекулы НС1, если шкала энергий фик-
фиксирована условием EQ = 0?
5. Пусть \ftZ\/2> fj\/i.n^ — ортонормированный базис в пространстве #1/2,
определенный в разд. III.3.
а) Покажите, что матрицы of с матричными элементами а, = B/Й)(/^|/2,
Jjfj^ia) имеют вид
[oil Го -,1 Г 1 о ]
в базисе {fJ^xf2, Ру^2]- Здесь а; — спиновые матрицы Паули.
б) Покажите, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей образуют базис
в векторном пространстве операторов на
6. Пусть #, и ^2 — два конечномерных линейных пространства со скалярным про-
произведением и У? — :%х © .#2 — их прямая сумма. Пусть Ах — линейный оператор
в .'%х, а А2 — линейный оператор в .^2. Прямая сумма Ах ® А2 определяется как
отображение
(Ах © А2)ф = (Ах © А2)(фх © ф2) = (Ахфх © А2ф2) ,
где \j/i е ^ и ф = \рх © \р2 е Я1. Пусть Jf— <%х ® У?2 — прямое произведение .#, и
^2- Прямое произведение Ах ® А2 определяется как отображение
(^ ® А2)И = (Л, (х) A2)(hl ® Л2) = Axhx ® А2И2 ,
где ft. е .^. и h - Л, (g) h2 e Ж
а) Покажите, что в подходящем базисе матрица а оператора Ах © А2 имеет вид
о
где ах — матрица оператора Ах и а2 — матрица оператора А2.
694 Задачи
б) Покажите, что в подходящем базисе матрица оператора Ах (х) А2 обладает
свойством
а _ М)М)
ajk, il ~ aji akl '
т. е. может быть записана как блочная матрица
где (fl) — матрица оператора А(/ = 1, 2), а а('^ — матричные элементы,
в) Покажите, что
0 А2) = ТтАх + ТтА2,
2) Тг(Л, ® А2) = ТгЛ,ТгЛ2.
7. Пусть /1, 5 и С— три линейных оператора, удовлетворяющие соотношению
[А, В] = С. При каких условиях вектор / может одновременно являться собствен-
собственным вектором оператора А и собственным вектором оператора В1
К гл. V
1. Найдите энергетические уровни изотропного трехмерного гармонического осцил-
осциллятора и степень вырождения каждого уровня. Определите возможные значения ор-
орбитального углового момента для «-го энергетического уровня. Чтобы сделать это,
поступайте следующим образом:
а) Используя основную аксиому IV, найдите пространство физических состояний
и базис произведения, комбинируя три одномерных осциллятора. В этом базисе опе-
оператор энергии Н = Рг/Bт) + (mw2/2)Q2 диагоналей. Используйте этот факт для
нахождения спектра Н и .вырождения его собственных значений.
б) Введите оператор углового момента Li = tikQjPk и п.с.к.о. Н, L2 и Ly Эта
п.с.к.о. не является диагональной в базисе, построенном в п. а. Рассмотрите базис
собственных векторов п.с.к.о. Н, L2 и L3 (базис углового момента) и найдите коэф-
коэффициенты перехода между базисом произведения и базисом углового момента.
Определите возможные значения / для заданного уровня энергии Е .
Задачи 695
К гл. VI
1. Восстановите недостающие шаги в обсуждении атома водорода: Пусть L{ — ком-
компоненты C.1) оператора орбитального углового момента, и пусть Н (определенный
в (VI.3.5)) — оператор энергии атома водорода. Пусть А( — компоненты вектора
Ленца, определенного в C.6).
а) Покажите, что вследствие выполнения канонических коммутационных соотно-
соотношений угловой момент и вектор Ленца являются интегралами движения, т. е. удов-
удовлетворяют C.8):
[/.,, Я] = 0 и [/Г, Н] = 0.
б) Определите А( формулой C.9). Покажите, что А{ эрмитовы и являются инте-
интегралами движения:
А) = А.
[А, Н] = 0.
в) Покажите, что L и А- удовлетворяют коммутационным соотношениям C.11)
и C.12):
г) Определите операторы Казимира Сх и С2 формулами C.13) и C.14). Выведите
C.17) и C.18):
С, = а*(-2Щ~1 - /,
С2 = 0.
При выводе приведенных выше соотношений полезно иметь в виду, что если два
оператора А и В коммутируют [А, В] = 0, то [/(А), В] = 0 для любой хорошо
определенной функции оператора А (см. (II.4.46)).
К гл. VII
1. Вычислите матричные элементы оператора координаты Qk(k - — 1, 0,+ 1) меж-
между SOD)-coctohhhhmh I nlm) атома водорода, т. е. вычислите
(пГ т' I Qk I nlm).
Достаточно сделать это для третьей компоненты QQ. (Указание: Выведите следую-
следующее соотношение:
Qt = ~\h~xAi +?//-1[//,/|(Q, P)]
и используйте формулы для матричных элементов Ак.) Эти матричные элементы
понадобятся при расчете эффекта Штарка в задаче VIII.4.
696 Задачи
К гл. VIII
1. Пусть оператор энергии имеет ь щ
Н = К + aQ* -
где
, 2
К = — Р2 + __" Q2
2т 2
(ангармонический осциллятор).
а) Вычислите собственные значения в первом порядке теории возмущений.
б) Вычислите при /3 = 0 собственные значения оператора Н во втором порядке
ряда теории возмущений Рэлея — Шредингера. Сравните результат с полученным в
п. а.
в) Вычислите при /3 = 0 собственные значения Н во втором порядке ряда теории
Вигнера — Бриллюэна. Сравните результат с полученными в пп. а и б.
2. Пусть точный гамильтониан ротатора имеет вид
1 ,
И = —L2 + aL, + 0L. ,
2/ 3 '
где A < а, /3 < ft/2/. Пусть | I 1т): т = /, / - 1,..., —/) — базис собственных век-
векторов L2 и L3 с собственными значениями Л2/(/ + 1) и Am соответственно.
а) Используя теорию возмущений со свободным гамильтонианом
К = (l/2/)L2 + «L3 и гамильтонианом возмущения V = /3Lj, вычислите собствен-
собственные значения Н в низшем порядке по /3.
б) Гамильтониан Н можно записать в виде
1 .,
И = — -L 2 + а' Ц,
21' 3
где L{ — операторы углового момента, полученные вращением из L(, а Г и а' —
константы. Выразите /' и а' через /, а и ft и найдите точные собственные значения
Н. Обсудите, согласуются ли результаты, полученные в п. а, с точными результа-
результатами.
3. Покажите, что (уравнение A.14'))
HF(Ea)\a) = E0F{Ea)\a>,
где, согласно B.3),
р . j
F{Er)\a) = \а) + \ da' \ а' ){а'\ VF{E )le>
С С и
есть аналог A.27) для случая непрерывного спектра.
4. Внешнее статическое однородное электрическое поле / расщепляет энергетиче-
энергетические уровни атома водорода (эффект Штарка). Гамильтониан возмущения, получен-
Задачи 697
ный по аналогии с классическим случаем, имеет вид
(<f измеряется в вольтах на сантиметр).
Используя результат задачи VII. 1, вычислите энергетические уровни в первом по-
порядке по возмущению V для уровней п = I и п = 2 водорода. При п = 1 можно
непосредственно использовать A.33)*с \ а) = \п = 1 I — 0 т = 0>, но, так как
уровень п = 2 в нулевом порядке вырожден, необходимо диагонализовать V в под-
подпространстве « = 2, чтобы найти базисные векторы, для которых разложение тео-
теории возмущений (например, член второго порядка) будет сходиться. Оказывается,
что в первом порядке уровень /7 = 2 атома водорода расщепляется под действием
электрического поля на три подуровня. Поскольку это расщепление имеет место в
первом порядке, оно называется линейным эффектом Штарка. Объясните, почему
линейный эффект Штарка отсутствует для щелочных (и других) атомов.
К гл. IX
1. а) Покажите, что любой оператор в t s есть линейная комбинация операторов /,
5,, 52 и 53, как утверждается в абзаце, предшествующем уравнению B.21).
б) Проверьте, имеются ли другие решения уравнения
/£//t| Lk, В | =0
(уравнение, непосредственно предшествующее B.38)) кроме решения B.38)
fi = /(G, P)Ly
2. Протон имеет магнитный момент
М„ = -1- B + 3.59)S.
2трс
р
а) Найдите гамильтониаа, описывающий взаимодействие спина электрона со спи-
спином протона в атоме водорода (сверхтонкое взаимодействие).
б) Рассматривая этот гамильтониан спин-спинового взаимодействия как еще
один тип возмущения в гамильтониане атома водорода, найдите матричные элемен-
элементы этого спин-спинового члена между состояниями I nljj3) при / = 0 и / = 1. Про-
Проведите сравнение этой поправки с поправкой за счет тонкой структуры.
3. Внешнее магнитное поле разрушает вращательную симметрию, так что гамиль-
гамильтониан Н атома во внешнем поле уже не коммутирует с операторами углового мо-
момента J.
а) Как нарушающее симметрию внешнее поле сказывается на энергетическом
спектре?
Гамильтониан атома водорода или натрия в однородном внешнем магнитном
поле В имеет вид
Н = Но + Нх + Н' ,
где HQ + Н{ — вращательно-инвариантный гамильтониан при В = 0:
698 Задачи
HQ = A/2/н)Р2 + V, а Я, отвечает за тонкую структуру. Гамильтониан Н' описы-
описывает влияние поля В и имеет вид
Н' = fi0B ■ (L + 2S),
>де ц0 — eh/2тс (магнетон Бора).
б) Вычислите спектр Н в случае, когда магнитное поле настолько слабое, что Н'
можно рассматривать как малое возмущение по отношению к Но + //, и Ну
в) Перечислите дипольные переходы между энергетическими уровнями полос ЪР2
и 352 атома Na в слабом магнитном поле (эффект Зеемана).
К ГЛ. X
1. Вычислите длину векторов
гл. 1£;> — нормированные базисные векторы в пространстве Ж, а суммирование
про, чится по всем перестановкам (Р. Множитель (— \)р равен +1 или — 1, если
Р — четная или нечетная перестановка соответственно.
К т. XI
1. Покажите, что симметричная и антисимметричная части полного пространства
имеют вит
%^ г ' ^"°rb (х) s ) (X) ( Jg*"^ (X) t ^)
ж\ - ( i^f & t) ® (згь2 ® ^ s+2),
соответственно.
2. Проверьте, коммутирует ли //' из C.23) с оператором квадрата полного орби-
орбитального углового момента L2.
3. Используя свойства коэффициентов Клебша — Гордана, описанные в разд. V.2,
выполните вычисления, ведущие от C.34) к C.35).
К гл. XII
1. Пусть Н, а, а' — операторы, определенные в (II.3.1) и (II.2.16). Используя аксио-
аксиому о временнбй эволюции V, вычислите da/dt и da' /dt.
2. Гамильтониан Н гармонического осциллятора, подвергающегося воздействию
внешней силы K(t), имеет вид
Р2 то? ,
Н =- + Q2 - QK{t) = Но- QK(t).
2т 2
Задачи 699
Здесь полной энергии отвечает не Н, а гамильтониан Но.
а) Выразите Н через операторы а, а{ и единичный оператор.
б) Используя аксиому о временнбй эволюции, вычислите da/dt.
в) Решите дифференциальное уравнение, полученное в п. б, и найдите явное выра-
выражение для a(t).
3. Для гармонического осциллятора, находящегося под действием внешней силы
K(t) из задачи 2, ортонормированные векторы фп оператора N = а1 а могут быть
построены способом, аналогичным используемому в свободном случае. Находим
1 (
V7?!
где Ф0@ отвечает основному состоянию. В момент времени t = О энергия гармони-
гармонического осциллятора при измерении оказывается равной йо>/2. Обозначим основное
состояние при t = О через ф0 = фоA — 0).
а) Какой вид имеет статистический оператор гармонического осциллятора после
измерения энергии?
б) Покажите, что wп = \{фп, Фо)\2 есть вероятность изменить значение энергии
Е — hw(n + 1/2) в некоторый более поздний момент времени t.
в) Покажите, что
\F(t)\2n
w = е
где
F(t) = --—- \ K(T)e>WTdr
г) Покажите, что среднее значение оператора координаты немедленно после из-
измерения энергии при t = 0 равно
= — \ Af(r)sin(r -
о
4. Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила
СK(t), если t > 0,
K(t) =
(^ 0, если t < 0 ,
находится в момент времени t = 0 в состоянии, в котором энергия равна Йы/2. То
свойство, что в момент времени / энергия меньше или равна ttw(m + 1/2), характе-
характеризуется оператором Л = £ ^=0Л^ .,., где Л^ . — проекторы на одномерные под-
подпространства, порожденные Фп@.
а) Чему равна вероятность обнаружить энергию, меньшую или равную
ttu(m + 1/2)?
б) Какой вид имеет статистический оператор W после измерения Л, давшего по-
положительный результат?
700 Задачи
в) Покажите, что
/ = 0 при п' > п,
1
\ "t I /и! I m t \ I 2д
х , [/Г(ОГ['Г*(ОГ при я' < я.
ч/и| и' 1
К гл. XIII
1. Пусть а — вектор, получаемый из вектора е3 (г-направление) вращением^. Пусть
1а±> — собственные векторы а • S с собственными значениями ±1/2, а 1±> —
собственные векторы 53 = е3 • S. Докажите соотношение
/ е в вч
1а± > = ( cos - - /- • S2sin - ) I ± >.
V 2 в Ъ>
Указание: Воспользуйтесь тем фактом, что в &s=l/2 операторы 5, удовлетворяют
1
коммутационным соотношением E,5.) = -5 1.
2. Используя уравнения C.23), C.22) и C.8) гл. III или матрицы Паули из задачи 5
гл. III, покажите, что матричные элементы оператора d = 2а • S между собствен-
собственными векторами Is = 1/2 s3 = ±1/2) = 1±> оператора 53 равны
<±I^I=f> = a, =f ia2,
где а = a • е; — компоненты вектора а.
3. Используя результаты задачи 2, покажите, что средние значения операторов
tfX) ® /B), /(|) © ЬB) и tt{l) (х) ^2), определенных в B.4) — B.6) по состоянию ф B.8),
имеют вид (ф\^1) (х) /2I0> = 0; <ф1 /!) (g) ^2Iф> = 0; Е(а, Ь) = (ф\ /1) © &2)\ф) =
= -а Ь.
К гл. XIV
1. Величина q = к — р0, где р0— импульс налетающей частицы до рассеяния, а
к — импульс частицы после рассеяния, называется переданным импульсом. (Она
равна импульсу, переданному мишени налетающей частицей.)
а) Покажите, что Г-матрица <к, ?;01 Т\ р0, г/0> в борновском приближении явля-
является функцией только от переданного импульса и не зависит от импульсов р0 и к по
отдельности, если гамильтониан взаимодействия V является функцией положения
налетающей частицы.
Задачи 701
б) Покажите, что в борновском приближении 7"-матричный элемент для рассея-
рассеяния вперед
<Ро> V rtPo- i?o>
не зависит от энергии рассеяния.
в) Предположим, что гамильтониан взаимодействия V сферически-симметричен
[ V, Lj] = 0, и выразим в борновском приближении для Г-матрицы переданный им-
импульс через импульс рассеяния й угол рассеяния (для нерелятивистских частиц). По-
Покажите, что при высоких энергиях (когда борновское приближение обычно работает
хорошо) вероятность рассеяния падает с увеличением угла рассеяния 9 от 0 до ж.
2. Пусть обобщенные собственные векторы I /?, \> = \ Е, й, Х> оператора энергии
К = Р2/2/я нормированы условием
<р'Х'1р\> = 53(р- p')V,x-
Покажите, что этим условием фиксируется весовая функция р(Е), возникающая при
нормировке "векторов
<£'Й'Х'1£ЙХ> = р'1(Е)8(Е - Е')82(п - й')бх, х.
Здесь й обозначает направление импульса
р = рп = /?(sin0cos</>, sin0sin</>, cosff),
а б-функция для телесного угла определена формулой
«52(й - й') = Ь(со%в - cos0')<5(</> - </>')•
Вычислите р(Е).
3. Получите выражение для дифференциального сечения E.62) в терминах
Г-матрицы
определенной с обобщенными собственными векторами I Ей), нормированными ус-
условием
<EQ\E'Q' > = б(Е - E'N2(Q - й'),
где б-функция телесного угла б(й — й') определена формулой
J ст/(Щ82(п - й0) = /(й0) ,
где dQ = ъхпвёвёф.
4. Взаимодействие Юкавы было введено для описания ядерных взаимодействий и
привело к предсказанию существования мезонов. Оно описывается потенциалом
702 Задачи
который может также служить простой моделью для экранированного кулоновского
поля атома.
а) Вычислите амплитуду рассеяния Т и дифференциальное сечение в борновском
приближении.
б) Член второго порядка в борновском разложении амплитуды рассеяния равен
(см. XV.3.38))
7<2>(к - р0) = -4тг2/77<кт7о1
Вычислите амплитуду рассеяния вперед, т. е. амплитуду рассеяния при р0 = к, с
точностью до второго члена в борновском разложении и определите значения пара-
параметров ш, ц. и g, а также энергии, для которых выполнено необходимое условие
справедливости борновского приближения I ГBI < I ГAI.
в) Найдите полное сечение рассеяния для потенциала Юкавы в борновском при-
приближении.
г) Параметр г0 = l/ц в потенциале Юкавы характеризует область взаимодейст-
взаимодействия (V(r) практически равен нулю при г > 2r0), a g — его интенсивность. Предпо-
Предположим, что г0 = 10~13см и g = 0,5 — типичные значения для потенциала V(r),
описывающего сильные взаимодействия протонов, рассеиваемых на ядрах. Пусть
масса налетающей частицы m = mnrwT . а энергия рассеяния 100 МэВ. Вычислите
протон
полное сечение.
К гл. XVI
1. а) Покажите, что борновское приближение нарушает унитарность.
б) В какой области диаграммы Аргана для упругого рассеяния можно считать
борновское приближение удовлетворительным?
2. Вычислите полные упругое и неупругое сечения для рассеяния (бесструктурной на-
налетающей частицы) на черном диске (жесткой сфере) радиуса а. Черный диск имеет
следующие свойства: он является полностью поглощающим, т. е.
а) *?/ = 0 (нулевой коэффициент неупругости),
б) в полное сечение вносят вклад только парциальные амплитуды с / < L, где
L = рАа (п. а определяет диск как черный, а п. б — как имеющий хорошо опреде-
определенный край). Обсудите результат, в частности значение полного упругого сечения.
К гл. XVII
1. Потенциал прямоугольной ямы имеет вид
- VQ , если г < а,
О, если г < а.
а) Вычислите амплитуду рассеяния в борновском приближении.
б) Покажите, что точное выражение для 1-й парциально-волновой амплитуды
Задачи 703
имеет вид
1 PJi(ka)Ji(Pa) - kj,(ka)jt(pa)
, р - г т:-;
где к = ур2 + 2mV0 (импульс внутри ямы), a jt(z) = djf/dz, h,{z) = dh{/ dz.
в) Покажите, что при низких энергиях доминирует s-волна, / = 0, так что
Пр, 0) • Т0(р).
г) Сравните правильную низкоэнергетическую амплитуду с борновским прибли-
приближением для нее и покажите, что при низких энергиях борновское приближение при-
применимо только для мелкой ямы.
2. Рассмотрим потенциал прямоугольной ямы из задачи 1 в случае низких энергий.
а) Выразите сечение рассеяния и длину рассеяния а0 через а и Уо в предельном
случае
р2 « 2mV0, pa « <50.
б) Найдите сечение рассеяния и длину рассеяния для случая, когда VQ — также
малая величина:
1 1
3. Отталкивающий прямоугольный барьер описывается формулой
о
0 при г > а.
а) Напишите уравнение для фазового сдвига в s-волне 80 и выразите 80 через им-
импульс рассеяния р и а в пределе Ко — оо.
б) Вычислите сечение рассеяния для случая, когда энергия так мала, что ра < 1.
в) Сравните результаты п.п а и б с результатами задачи XVI.2 для жесткой сфе-
сферы.
г) Изучите поведение /7-волнового фазового сдвига 8/=, для прямоугольного барь-
барьера, в частности в пределе VQ — оо, и покажите, что он ведет себя как (paf. Сравни-
Сравните это поведение со значением 80 при Уо — оо для того же потенциала.
д) Найдите парциально-волновую амплитуду для бесконечного прямоугольного
барьера VQ — оо и для энергий, настолько малых, что (раУ = 0 при п = 3, 4, ... .
е) Вычислите длину рассеяния и эффективный радиус для s-волнового рассеяния
на бесконечном прямоугольном барьере VQ — оо.
К гл. XVIII
1. Для случая бесконечного потенциального барьера задачи XYII.3 вычислите время
Г( /))/=0) которое налетающая частица проводит в области взаимодействия .# ра-
радиуса а, и временную задержку ?^° , вызванную этим потенциалом. Обсудите ре-
результат и дайте ему интерпретацию.
704 Задачи
2. а) Найдите 5-волновой фазовый сдвиг и 5-матричный элемент S0(p) для / = 0 в
случае прямоугольного потенциала.
б) Найдите энергии связанных состояний с угловым моментом, равным нулю,
как полюсы S0(p). Обсудите ограничения на массу, глубину VQ и радиус R ямы, ко-
которые должны выполняться для того, чтобы 1) связанных состояний не было,
2) было одно связанное состояние, 3) было два связанных состояния.
в) Каковы виртуальные состояния с нулевым угловым моментом? При каких ус-
условиях отсутствуют виртуальные состояния с / = 0?
г) Рассмотрим очень глубокую яму, для которой выполнено условие
2mV0R2 > 1. Покажите, что имеются регулярно расположенные s-волновые резо-
нансы. Найдите энергию и ширину этих резонансов.
д) Найдите матричный элемент рассеяния S0(p) при энергиях, близких к резо-
резонансной энергии, а также фоновые фазовые сдвиги. Вычислите сечение упругого рас-
рассеяния (/ = 0) и покажите, что его можно записать в виде суммы трех членов: пер-
первого, описывающего фоновое рассеяние, второго — для резонансного рассеяния и
третьего — для интерференции резонанса и фона. Дайте графическую интерпрета-
интерпретацию сечения упругого рассеяния как функции энергии.
3. Вычислите временную задержку, вызванную узким резонансом с угловым момен-
моментом lR и параметрами (ER, Г), для пучка с распределением по энергии
У (E/L\ Wm\ElL) = w.(E) = F(E - Ер) для всех /,
где
11 АЕ АЕ
при £„ <£<£„+ ,
Д£ 2 2
О в остальных случаях,
где Д£ > Г. Получите результат в приближении постоянных фоновых фазовых
сдвигов.
4. Вычислите временную задержку для пучка с лоренцёвым распределением по энер-
энергиям F.41), вызванную резонансом с параметрами (Ео = ЕА, Г = АЕ).
5. Выбор для амплитуды рассеяния выражения вида
Г/2
т. = 1
р(Е - £„) -
также приведет к брейт-вигнеровскому сечению F.27). Почему амплитуда Tt не опи-
описывает парциальную амплитуду для резонансного рассеяния?
6. а) Опишите поведение резонансного фазового сдвига для «дипольного» резонанса
F.44).
б) Обсудите поведение сечения для дипольного резонанса вблизи резонансной
энергии как функции от энергии с учетом медленно меняющегося фона у.(Е). Нари-
Нарисуйте графики, аналогичные рис. 6.1.
7. Сравните случай дипольного резонанса со случаем двух близко расположенных
Задачи 705
резонансов, описываемых амплитудой рассеяния
К '
ER- Е- i(TR/2) Ех-Е- ЦГх/2)
где 7/?> Г"о> 7д" Г* — действительные константы; £\ > 1\ > 7, (' = /?, А') и
I £Л — Ех\ того же порядка, что и TR и Гд.; yf(E), yf(E) — медленно меняющиеся
функции Е. Рассмотрите сначала частный случай нулевых фоновых сдвигов
т? = yf = о.
8. а) В случае резонанса величина pTt(E) движется по диаграмме Аргана против ча-
часовой стрелки. Покажите, что это связано с причинностью.
б) Обсудите, когда возможно движение величины рТ^Е) по диаграмме Аргана
по часовой стрелке.
9. Рассмотрите квазистационарное состояние с энергией Ео и шириной Г, для кото-
которого параметр г в формуле
/ Г/2
S^E) = exp I /2rarctg
имеет значение г = 3. Найдите наклон резонансного сечения для такого «трипольно-
го» резонанса (фоном пренебречь).
10. Объясните, используя форму функции of(E) на рис. 6.1 для фонового фазового
сдвига 7/ = ir/4, почему в сечении (о(ЕА)), измеряемом прибором с плохим разре-
разрешением по энергии АЕ > Г, может не проявиться структура при значении энергии
ЕА, равном энергии резонанса ER.
11. Покажите, что связанное состояние с малой энергией связи проявляется при
упругом рассеянии таким же образом, как и полюс виртуального состояния, близкий
к действительной оси.
К гл. XIX
1. Покажите, что произведение двух антилинейных операторов является линейным
оператором, а произведение линейного и антилинейного операторов — антилиней-
антилинейным оператором.
2. Покажите, что вследствие антиунитарности оператор обращения времени должен
удовлетворять соотношению Агт = el, где е = + 1 или е = — 1.
3. Покажите, что из определения мёллеровских волновых операторов (XV.3.7±) сле-
следует, что й* = A^U^ Ат, если Н и К коммутируют с Аг Используйте этот факт,
чтобы показать, что B.15) является следствием из B.14), если оператор 5 определен
через оператор энергии.
4. Докажите, что оператор обращения времени преобразует точные собственные
векторы оператора энергии lpj?+> в точные собственные векторы энергии I— р»7~>
(индекс + или — относится к определению, согласно уравнению Липпмана — Швин-
гера).
461—45
706 Задачи
5. Покажите, что оператор обращения времени преобразует аут-состояние в ин-
состояние и наоборот.
6. Рассмотрите многоканальную систему бесспиновых частиц. Покажите, что ее
трансформированные свойства относительно преобразований Up и Ат означают,
что S-матрица в импульсном базисе является симметричной.
7. Покажите, что из гейзенберговского уравнения движения (XII. 1.24) для оператора
координаты А = £) при (XII. 1.26) и антилинейности Ат следует, что И коммутиру-
коммутирует с Ат.
К гл. XXI
1. Вектор распадающегося состояния 1/°> определен формулой
оо
2 1
2тг/ ER - /Т/2 - Е
о
где I Е+ > — обобщенные собственные векторы оператора Н:
Н\Е+) = Е\Е+).
Вычислите норму вектора H\fD) для конечных значений 2ER/T и в пределе
ER/T — оо. Дайте интерпретацию полученным результатам.
2. Покажите, что состояние WR, описываемое формулами C.10) и C.13), отвечает
состоянию с экспоненциальным ростом (состоянию «захвата»).
3. В этой задаче предлагается получить результаты разд. XXI.5, используя другой
метод.
а) Определите величину
х (E'U'+\V\Ebb)(U\\WR\\U')(p(ER)y1. (P.0)
Продолжите эту функцию на комплексные значения энергии а>ь, ш, ш' и покажите,
что вследствие эрмитовости V и инвариантности относительно обращения времени
&шь(о), «') = FSb(ra, ет'Х (Р. 1а)
&аь(<о', а) = ^Wb{co, со'). (Р. 1Ь)
Проверьте соотношение
ЕЬ,В
= -{ЕЬ,В
Г
2'
(Р.2)
Задачи 707
используя симметрийное соотношение для S-матрицы (уравнение (XVIII.5.10)) (соот-
(соотношение (Р.2) необходимо для вычислений в следующих задачах).
б) Используйте C.10) и C.14), чтобы показать, что скорость распада (XVI.2.18)
можно записать в виде
(Р.З)
где
^ JJJ dEb dE dE' FEb(E, £')
1
(p 4)
= ~ i ~ JJJ
:
E - ER + .(Г/2) £'-£«- /(Г/2) £' - £b - ie '
rf£ dE &£b(E, £')
~ '2тг JJJ
E-ER + i(r/2) £'-£«- i(r/2) £ - £
1 -, (P.5)
и покажите, что
0\(O = (^@)*- (p-6)
в) Используя приближение C.7) и теорему Титчмарша, покажите, что
Ф 4я2Г>"г'2 Re .^R + i(r/2,-^£« - iy, £« + i0. (P.7)
г) Покажите, что из условия &*(t — оо) = 1 следует
4я22 Re &Ея + цГ12)-и\Ея - i ^, ER + i П = 1, (Р.8)
и получите C.40) и C.41).
4. Предположим, что детектор имеет очень хорошее разрешение по энергиям
АЕЬ < Г. В этом случае можно измерить скорость распада в единичном энергетиче-
энергетическом интервале как функцию от Еь.
а) Используя тот же метод, что и в задаче 3, покажите, что эта скорость распада
на единичном энергетическом интервале равна
d& Г
(/ = 0) = 2тгГ — .*. (£• - /0, Е. + /0).
dEb (Eb - ERf + (Г/2J Еь R b
б) Покажите, что для распадающегося состояния углового момента C.16) вероят-
708 Задачи
ность распада на единичный интервал энергий равна
Величина Ь(ЕЬ) называется естественной шириной линии. Указание: Используйте
формулу (Р.2) из задачи 3. •
ЛИТЕРАТУРА
1. Dime P. A. M. The Principles of Quantum Mechanics, Clarendon Press, Oxford, 1958.
[Имеется перевод: Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики, 2-е изд. — М.:
Наука, 1980.]
2. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М.:
Физматгиз, 1959.
3. Maurin К. General Eigenfunction Expansions and Unitary Representations of Topologi-
cal Groups — Polish Scientific Publishers, Warsaw 1968.
4. Lichnerowicz A.. Linear Algebra and Analysis — Holden-Day, San Francisco, 1967.
5. Beltrami E. J., Wohlers M. R. Distributions and the Boundary Values of Analytic Func-
Functions — Academic Press, New York, 1966.
6. Jammer M. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. Me Graw-Hill, New
York, 1966. [Имеется перевод: Джеммер M. Эволюция понятий квантовой
механики. — М.: Наука, 1985.]
7. Schulz G. J. Phys. Rev., 135, А988 A964).
8. Maurin К. Methods of Hilbert Spaces — Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1967.
9. Лебедев H. Н. Специальные функции и их приложения. — М.: Физматгиз, 1951.
10. Ludwig G. Grundlagen der Quanten mechanik — Springer, Berlin, 1954.
11. Bohm A. The Rigged Hilbert Space and Quantum Mechanics. Springer Lecture Notes
in Physics, vol. 78, 1978.
12. Alpert N. L., Reiser W. E., Szymanski H. A. Theory and Practice of Infrared Spec-
troscopy — Wiley, New York, 1970.
13. Bauman R. Absorption Spectroscopy — Wiley, New York, 1962.
14. Herzberg G. Molecular Spectra and Molecular Structure, D. van Nostrand, New York,
1966. [Имеется перевод: Герцберг Г. Электронные спектры и строение много-
многоатомных молекул. — М.: Мир, 1969.
15. Мс СиЪЫп J. Chem. Phys., 20, 668 A952).
16. Hansler R. L., Oetjen R. A. J. Chem. Phys., 21, 1340 A953).
17. Strong J. Phys. Rev., 45, 877 A934).
18. Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics — Princeton University
Press, Princeton, 1957.
19. Bohm A., Gadella M. Dirac Kets, Gamow Vector and the Mathematics of Scattering
and Decaying States, Springer Lecture Notes in Physics A986).
20. Bohm A., Teese R. В Spectrum generating group of the symmetric top molecula., J.
Math. Phys.. 17, 94 A976).
21. Biedenharn I . G, Louck J. D. Angular momentum in Quantum Physics — Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1979. [Имеется перевод: Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой
момент в квантовой физике. — М.: Мир, 1984.]
22. Corben H. С. Classical and Quantum Theories of Spinning Particles — Holden-Day,
San Francisco, 1968.
23. Sargent M, Scully M. O., Lamb W. E. Lazer Physics — Addison-Wesley, Reading,
Mass., 1974.
24. Schulz G. J. Phys. Rev., 125, 229 A962).
25. Pauli W. Z. Phys., 36, 336 A926).
26. Bargmann V. Z. Phys., 99, 576 A936).
H.Barger V. £>., Olsson M. Classical Mechanics: a Modern Perspective — Me Graw-Hill,
New York, 1973.
710 Литература
28. Biedenharn L. С, Swamy N. V. J. Math. Phys., 11, 1165 A970).
29. Rose M. E. Elementary Theory of Angular Momentum — Wiley, New York, 1957.
30. Dicke R. H., Wittke J. W. Introduction to Quantum Mechanics — Addison-Wesley,
Reading, Mass., 1960.
31. Goldberger M. L., Watson К. М. Collision Theory, Wiley, New York, 1964. [Имеется
перевод: Гольдбергер М. Л., Вапкон К. Н. Теория столкновений. — М.: Мир,
1967.]
32. Jackson J. D. Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1975 (second edition).
[Имеется перевод: Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир,
1965.]
33. Боголюбов Н. Н. и др. Общие принципы квантовой теории поля. — М.: Наука,
1987.
34. Bethe H. A., Salpeter E. E. Quantum Mechanics of One- and Two- Electron Atoms,
Springer-Verlag, New York, 1957. [Имеется перевод: Бете Г. А., Солпитер Э.
Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М.: Физматгиз,
I960.]
35. Boersch H., Geiger J., Schroder В Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wis-
senschaften, Berlin A967).
36. Modden R. P., Godling K. Astrophysical Journal, 141 364 A965).
37. Macek J. J. Phys., Bl, 831 A968).
38. Fano U. Doubly Excited states of atoms in atomic Physics, ed. V. W Hughes et al.,
Plenum, New York., 1969.
39. Cooper J. W., Fano U., Prats F. Phys. Rev. Lett., 10, 518 A965).
40. Bloom M., Erdman K. Can. J. Phys., 40, 179 A962).
41. Bell J. S. Physics 1, 195 A964).
42. Clauser J. F, Shimony A. Rep-Progr. Phys., 41, 1881 A978).
43. Peres A. Am. Journ. Phys., 46, 745 A978).
44. Mott N. F, Massey H. S. W. The Theory of Atomic Collisions, 3rd ed. — Clarendon
Press, Oxford, 1965. [Имеется перевод: Мотт Н. Ф., Месси Г. Теория атомных
столкновений. — М.: Мир, 1969.]
45. Lamehi-Rachti M., Mittig W. Phys. Rev., D14, 2543 A967).
46. Aspect A., Grangier P., Roger G. Phys. Rev. Lett., 49, 91 A982).
47. Aspect A., Dalibard J., Royer G. Phys. Rev. Lett., 49, 1804 A982).
48. Massey H. S. W., Burhop E. H. S., Gilbody H. В Electronic and Ionic Impact
Phenomena. — Clarendon Press, Oxford, 1969, vol. 1. Collision of Electrons and
atoms.
49. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. — Dorer, New
York, 1965. [Имеется перевод: Абрамович М., Стиган И. А. Справочник по спе-
специальным функциям. — М.: Наука, 1979.]
50. Watson G. N. Theory of Bessel Functions. — Cambridge University Press, Cambridge,
1958.
51. Taylor J. R. Scattering Theory, — Wiley, New York, 1972. [Имеется перевод: Тейлор
Дж. Теория рассеяния. — М.: Мир, 1975.]
52. Смирнов В. И. Курс высшей математики . — М.: Наука, 1974.
53. Kuyatt С. Е., Simpson J. A., Mielczarek S. R. Phys. Rev. 138, A385 A965).
54. Schulz G. Phys. Rev. Lett., 13, 583 A964).
55. Simpson A. Phys. Rev. Lett., 11, 158 A964).
56. Golden A., BandelL. Phys. Rev., 138, A14 A965).
57. Golden A., Nakano H. Phys. Rev., 144, 71 A966).
58. AndrickD., Ehrhardt H. Z. Phys., 192 99 A966).
59. Smith F T. Phys. Rev., 118, 349 A960).
60. WignerE. P. Phys. Rev., 98, 145 A955).
Литература 711
61. van Kampen N. G., Phys. Rev., 91, 1267 A953).
62. Nussinzweig H. H. Causality and dispersion relations, — Academic Press, New York, 1972.
[Имеется перевод: Нуссинцвейг Г. Причинность и дисперсионные соотношения. —
М.: Мир, 1976.]
63. van Kampen N. G. Physica (Utrecht), 20, 115 A954).
64. Fonda L. Fortschr. Phys., 20, 135 A972).
65. Fano U. Phys. Rev., 124, 1866 A961).
66. Kuhn H. G. Atomic Spectra. — Academic Press, New York, 1969.
67. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. — М.: Наука, 1981.
68. Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics, ed. F. Gursey. —
Gordon and Breach, New York, 1964.
69. Art in E. Geometric Algebra, — Academic Press, New York, 1951.
70. Ulhorn U. Ark. Fys., 23, 307 A963).
71. O'Raifeartaigh L., Rasche G. Ann. of Phys., 25, 155 A963).
72. Bargmann V. Ann. of Math., 59, 1 A954).
73. Group Theory and Its Applications, ed. E. M. Loebl. — Academic Press, New York, 1968.
74. Kaufmann S. G. et al. Phys. Rev., 88, 673 A952).
75. GoebelC. I, Me Voy K. W. Phys. Rev., 164, 1932 A967).
76. Weidenmuller H. A. Phys. Lett., 24B, 441 A967).
77. Dalitz R. H, Hoorhouse R. G. Proc. Roy. Soc, A318, 279 A970).
78. Backer A. D. et al. Phys. Rev. Lett., 29, 1331 A972).
79. Callender W. D., Browne С. P. Phys. Rev., 2, 1 A970).
80. Nathan A. M. et al. Phys. Rev. Lett., 35, 1137 A975).
81. Barbaro-Galtieri A. Baryon Resonances. Advances in Particle Physics, vol. 2, eds.
R. L. Cook, R. E. Marshak. — Interscience, New "fork, 1968.
82. RosenfeldA. H et al. Data for Elementary Particle Physics, 1965.
83. Beskow A., Nilsson J. S. Arkiv for Fysik, 34, 561 A967).
84. Fonda L., Ghirardi G. C, Rimini A. Rep. Progr. in Phys., 41, 587 A978).
85. GrecosA. P. Decaying states in quantum systems, b Singularities and Dynamical Systems, ed.
F. N. Pnevmatikos. — North Holland, Amsterdam, 1985.
86. George A. et al. Hadronic Journ., 1, 520A978).
87. Bohm A. J. Math. Phys., 22, 2817 A981).
88. Duren P. L. Theory of //"-Spaces. — Academic Press, New York, 1970.
89. van Winter С J. Math, Anal., 47, 633 A974); Trans. Am. Math. Soc, 162, 103 A971).
ЭО.Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в не-
нерелятивистской квантовой механике. — М.: Наука, 1966.
91.Newton R. G. Scattering Theory of Waves and Particles. New York, McGraw-Hill, 1966.
[Имеется перевод: Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. — М.: Мир, 1972.]
92.Ситенко А. Г. Лекции по теории рассеяния. — Киев: Наукова Думка, 1970.
ЭЪ.Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращения и
группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958.
94.Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958.
95.Feyптап R. P., Leighton R. Д, Sands М. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 3.
Quantum Mechanics. Reading, Mass., Addison-Wesley, 1965. [Имеется перевод: Фейн-
ман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 8, 9. Квантовая
механика. — М.: Мир, 1978.]
96.ЛандауЛ. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1989.
97.Messiah A. Quantum Mechanics. Vol. 1, 2. New York, Interscience, 1961. [Имеется пере-
перевод: Meccua А. Квантовая механика. Т. 1, 2. — M.: Наука, 1978.]
9%.Schiff L. Т. Quantum Mechanics. New York, McGraw-Hill, 1968. [Имеется перевод 2-го
издания: Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1957.]
Именной указатель
Баргман (Bargmann) 254
Белл (Bell) 428
Бор (Bohr) 69, 111,329,427
Борн (Born) 69, 70, 109, 110
Вигнер (Wigner) 175
Гаудсмит (Goudsmit) 329
Гейзенберг (Heisenberg) 69, 70, 111, 329,
348, 442
Гельфанд И.М. 111
Герлах (Gerlach) 407
Герц (Hertz) 79
Гильберт (Hilbert) ПО
Гюйгенс (Huigens) 142
Нейман (von Neumann) ПО, HI, 394
Нордхейм (Nordheim) ПО
Ньютон (Newton) 68, 142
Паули (Pauli) 254, 329, 330
Перрен (Perrin) 142
Планк (Planck) 143
Подольский (Podolsky) 397, 427
Раби (Rabi) 323
Розен (Rosen) 397, 427
Томас (Thomas) 329 Томсон Г.П.
(Thomson G.P.) 142
Томсон Дж.Дж. (Thomson J. J.) 142
де Бройль (de Broglie) 70, 143
де Гааз (de Haas) 323
Джермер (Germer) 142
Дирак (Dirac) 110, 675
Дэвиссон (Davisson) 142
Йордан (Jordan) 70, ПО
Крониг (Kronig) 329
Уленбек (Uhlenbeck) 329
Ферми (Fermi) 675
Франк (Franck) 79, ПО
Шварц (Schwartz) 111
Швингер (Schwinger) 323
Шредингер (Schrodinger) 69, 70, НО
Штерн (Stern) 407
Ланде (Lande) 329
Ленард (Lenard) 142
Лондон (London) ПО
Эйнштейн (Einstein) 109, 142, 330, 397,
427, 429
Юнг (Young) 142
Предметный указатель
Амплитуда вероятности 140
Анализатор 80
Аналитические свойства S-матриц 564
Аналитическое продолжение 536
Аналитичность 534, 560
Ангармонический осциллятор 158
Ангармоничность 195
Антилинейные операторы 18
Антисимметричные векторы 337
Асимптотически полная система 469
Атом гелия 342, 348
возбужденные состояния 368
Аут-состояние 473
Базисная система векторов 22, 25
Бозоны 341
Борновское приближение 460, 487, 531
Боровский радиус 285
Бра-векторы 23
Брейта—Вигнера амлитуда 646
сечение 592
формула 578
Время жизни 643
Второй постулат квантовой механики
87, 91, 103
Гармонический осциллятор 66—78, 81
Гелъфанда тройка 59, 118
алгебра 72—78
Главное квантовое число 267
Диаграмма уровней энергии ротатора
251—253
Диаграммы Аргана 506, 586
для неупругих резонансов 633
Дипольный момент молекулы 151
Дирака -функция 31, 119
Дираковская формулировка квантовой
механики 202
Длины рассеяния 532
Дополнительные свойства 146
Естественная ширина линии 675
Вектор Ленца 256, 258
Векторные операторы 174
Векторы Гамова 646, 655, 665
Вероятность 129
— перехода 432
— распада 644
Ветви множеств 539
Виртуальные состояния 585
Внутренняя четность 242
Волновая функция 109
в импульсном представлении 122
Вращательные константы молекулы НС1
191
Вращательный спектр 175
Временная задержка 549
Задача Кеплера квантовомеханическая
254, 257
классическая 255
Закон Био—Савара 324
Золотое правило 672
Жесткий ротатор 162
Изоморфизм 17
Инволюция 21
Ин-состояние 473
Интеграл в смысле главного значения
305
Интенсивность перехода 433
714
Предметный указатель
Картина Гейзенберга 382, 400
— Шредингера 382, 386, 400
Квазистационарные состояния 579
Квантовая электродинамика 275
Квантовомеханическая молекула 152
Квантовый дефект 286
Кет-векторы 23, 26
Коммутирующие операторы 96
Коши—Шварца—Буняковского
неравенство 17
Коэффициент неупругости 506
Коэффициенты Вигнера 207
— К/гебша—Гордана 207, 214, 220, 315
Линейное пространство 14
Линейные операторы 18
Линии ветвления 539
Лэмбовский сдвиг 275
Магнетон Бора 325, 400
Магнитный момент вращающейся
частицы 319
Матрица плотности 89, 127
Мероморфная функция 535
Метастабильные состояния 545
Многозначные функции 538
Многоканальные резонансы 616
одиночные и двойные 617
Многочастичные системы 333
Модель двухатомной молекулы 151
— рота юра 161
осциллирующего 200
Молекула СО 154
Мысленный эксперимент 108
Неравенства Белла 422
Нестабильные состояния 641
Нормированный вектор 16
Парадокс Эйнштейна—Подольского—
Розена 427
Параметры Фано 591
Парциально-волновые амлитуды 498
Парциальное сечение 497
Парциальные скорости распада 677
Паули матрицы 175
Первый постулат квантовой механики 65
Перестановки 325
Плотность вероятности 109, 140
Полиномы Лежандра 293, 590, 600
присоединенные 293
Полная система коммутирующих
наблюдаемых (п.с.к.н) 199
Полный набор коммутирующих
операторов (п.н.к.о) 338
— угловой момент 205
Постоянная Ридберга 270
— тонкой структуры 259
Постоянные природы 149
Правила отбора 153, 330
Правило связи 293
Представление взаимодействия 389
Преобразование симметрии 385
— Фурье 477
— четности 238
Приближение эффективности радиуса
533
Приведенная масса 163
Принцип запрета Паули 289
— отражения 538
Присоединенные полиномы Лагерра 294
Причинное неравенство Вигнера 559
Причинность 560
Проекционный оператор 83
Пространственная инверсия 238
Прямая сумма 83
Прямое (тензорное) произведение 185
Псевдотензорный оператор 239
Обобщенная оптическая теорема 488
Обращение времени 605
Оператор Гамильтона 277
— радиального импульса 282
— рассеяния 480
— энергии 187
Операторы Казимира 168, 263
— Мёллера 481
Особенности функций 535
Осциллирующий ротатор 184
Радиальное волновое уравнение 511
Радиальные волновые функции 512, 527,
530
Разложение Вигнера—Бриллюэна 302
— по собственным векторам 24
Резонанс 457, 548
Резонансная энергия 577
Резонансное рассеяние 570
Резонансные явления 543
Римановы поверхности 540
Предметный ука .... ель
715
Рисса—Фреше теорема 59
Ряд Лорана 535
— Рэ/гея—Шредингера 303
— Тейлора 534
Самосопряженный оператор 19, 42
Сверка 477
Сверхтонкое расщепление 275
Свободное состояние 471
Сдвиг уровня 299
Сечения 438
Симметричные векторы 337
Симметричный волчок 247
Скалярное произведение 15, 33
Скалярные операторы 215, 239
Скорость распада 643
Скрытые переменные 428
След оператора 84
S-матрица 480, 486
— свойства 612
Смешанное состояние 82
Собственное состояние 88, 105
Совместные наблюдаемые 100
Соотношение де Бройля 259
— неопределенностей 106
— симметрии 567
Спектр атома водорода 266
— НС1 157
— оператора 24, 78
Спектральная теорема 25, 95
Спектральное разложение 28, 85
Спин электрона 308, 329
Спин-орбитальное взаимодействие 323
Статистика Бозе 341
— Ферми 341
Статистический оператор 89
Стационарные состояния 545
Сферические гармоники 293
— функции Бесселя 516, 530
Неймана 517
Ханкеля 516
Тензорные операторы 215, 239
Теорема взаимности 613
— Вигнера—Эккарта 218—221
— Коши 521, 536
— Пэ/ги—Винера 661
— сложения 294
— Титчмарша 670
Теория возмущений 277, 297—307
— S-матрицы 443
Терм 194
Г-матрица 458
Тонкая структура спектров 326
Точки ветвления 535, 540
Транспозиции 325
Третий постулат квантовой механики 93,
99
для непрерывного спектра
132
Угловой момент 167
квантовое число 173
Удвоение по четности 242
Унитарное представление группы
перестановок 336
Унитарные линейные операторы 329
Уравнение Липпмана—Швингера 306,
434,460,511
— Шредингера 289, 387, 511
Уровни энергии атома водорода 270
лития 286
натрия 287
цезия 288
Условия причинности 557
Фазовый сдвиг 504, 549
Фактор Ланде 319
— Томаса 324
Фермионы 341
Формула Коши 534
Франка и Герца эксперимент 79
Функции Грина 479, 520
— Харди 660
Функционалы 54—62
— антилинейные 54—58
Фурье преобразования 45
Частицы и волны 136
Четвертый постулат квантовой
механики 186
Четность 238, 603
Чистое состояние 82
Шварца пространство 34
Ширина резонанса 577
Шредингера представление 125
716 Предметный указатель
Щелочные атомы 276 Энергетические уровни ротатора 188, 190
Эрмита полиномы 48
Эрмитов оператор 19
Эксперимент Штерна—Герлаха 309, Эрмитова форма 16
397, 413 положительно определенная 16
— Эйнштейна—де Гааза 323 Эффективное квантовое число 286
Электромагнитный спектр 156
Электрон в атомах 331
Элементарный ротатор 204 Ядерная спектральная теорема 24, 118
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Предисловие
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
.1. Математический аппарат квантовой механики
.2. Линейные пространства, скалярное произведение
.3. Линейные операторы
.4. Базисы и разложение по собственным векторам
.5. Реализация операторов и линейных пространств
.6. Полиномы Эрмита как пример ортонормированного базиса
функций
.7. Непрерывные функционалы
.8. Как будут использоваться математические понятия и величи-
величины
ГЛАВА II. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
11.1. Введение
11.2. Первый постулат квантовой механики
11.3. Алгебра гармонического осциллятора
11.4. Соответствие между экспериментальными данными и кван-
товомеханическими наблюдаемыми
U.S. Основные предположения в применении к гармоническому
осциллятору и несколько исторических замечаний
11.6. Некоторые общие следствия из основных предположений
квантовой механики
11.7. Собственные векторы операторов координаты и импульса;
волновые функции гармонического осциллятора
11.8. Постулаты II и III для наблюдаемых с непрерывным спект-
спектром
5
8
12
12
14
18
22
35
48
54
62
64
64
65
72
78
103
112
115
127
718 Оглавление
II.9. Измерение координаты и ими. льса — частицы и волны 136
ГЛАВА III. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ МОЛЕКУЛ 150
III. 1. Переходы между энергетическими уровнями колеблющихся
молекул. Ограниченность осцилляторной модели 150
111.2. Жесткий ротатор 162
111.3. Алгебра углового момента 167
111.4. Вращательный спектр 175
111.5. Комбинация квантовофизических систем. Осциллирующий
ротатор 184
ГЛАВА IV. ПОЛНАЯ СИСТЕМА КОММУТИРУЮЩИХ НАБЛЮДАЕМЫХ 197
ГЛАВА V. СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ. ТЕОРЕМА ВИГНЕРА —
ЭККАРТА 203
V.I. Введение. Элементарный ротатор 203
V.2. Комбинация элементарных ротаторов 204
V.3. Тензорные операторы и теорема Вигенера — Эккарта 215
V.4. Четность 238
ГЛАВА VI. АТОМ ВОДОРОДА. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
КЕПЛЕРА 254
VI.1. Введение 254
VI.2. Классическая задача Кеплера 255
VI.3. Квантовомеханическая задача Кеплера 257
VI.4. Свойства алгебры углового момента и вектора Ленца 264
VI.5. Спектр водорода 266
ГЛАВА VII. ЩЕЛОЧНЫЕ АТОМЫ И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ
ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ АТОМОВ 276
VII. 1. Гамильтониан щелочного атома и теория возмущений 276
VI 1.2. Вычисление матричных элементов оператора Q~" 281
VI 1.3. Волновые функции и уравнение Шредингера для атома водо-
водорода и щелочных атомов 289
ГЛАВА VIII. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 297
VIII.1. Возмущения в дискретном спектре 297
VIII.2. Возмущения непрерывного спектра — уравнение Липпма-
на— Швингера 304
ГЛАВА IX. СПИН ЭЛЕКТРОНА 308
IX. 1. Введение 308
IX.2. Тонкая структура — качественное рассмотрение 310
IX.3. Взаимодействие, отвечающее за тонкую структуру 318
IX.4. Тонкая структура атомных спектров 326
IX.5. Правила отбора 330
IX.6. Замечания о состоянии электрона в атомах 331
ГЛАВА X. НЕРАЗЛИЧИМЫЕ ЧАСТИЦЫ 333
Х.1. Введение 333
Оглавление 719
ГЛАВА XI. ДВУХЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ — АТОМ ГЕЛИЯ 342
XI. 1. Два антисимметричных подпространства атома гелия 342
XI.2. Дискретные уровни энергии гелия 348
XI.3. Правила отбора и синглет — триплетное смешивание для
атома гелия 361
XI.4. Двукратно возбужденные состояния гелия 368
ГЛАВА XII. ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ 376
XII.1. Эволюция во времени 376
XII.А. Математическое приложение: определения и свойства опера-
операторов, зависящих от параметра 393
ГЛАВА XIII. НЕКОТОРЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАН-
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 397
XIII. 1. Изменение состояния по закону динамики и в процессе
измерения — эксперимент Штерна — Герлаха 397
XIII.2. Спиновые корреляции в синглетном состоянии 413
XII 1.3. Неравенства Белла, скрытые переменные и парадокс
Эйнштейна — Подольского — Розена 420
Историческое примечание 426
ГЛАВА XIV. ПЕРЕХОДЫ В КВАНТОВОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ —
СЕЧЕНИЯ 430
XIV.1. Введение 430
XIV.2. Вероятности перехода и интенсивности перехода 432
XIV.3. Сечения 437
XIV.4. Связь между сечениями и фундаментальными физическими
наблюдаемыми 441
XIV.5. Вывод формул для сечения рассеяния пучка на неподвижной
мишени 445
ГЛАВА XV. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ И ДРУГИЕ ТЕОРЕ-
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 466
XV.1. Уравнение Липпмана — Швингера 466
XV.2. Ин-состояния и аут-состояния 470
XV.3. Оператор S и волновые операторы Мёллера 480
XV.A. Приложение 489
ГЛАВА XVI. УПРУГОЕ И НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ДЛЯ СФЕРИ-
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ 491
XVI.1. Разложение по парциальным волнам 491
XVI.2. Унитарность и фазовые сдвиги 500
XVI.3. Диаграммы Аргана 506
ГЛАВА XVII. СВОБОДНЫЕ И ТОЧНЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ
ФУНКЦИИ 51°
XVII.1. Введение 51°
720 Оглавление
XVII.2. Радиальное волновое уравнение 511
XVII.3. Свободное радиальное волновое уравнение 515
XVII.4. Точная радиальная волновая функция 518
XVII.5. Полюсы и связанные состояния 527
XVII.6. Обзор некоторых общих свойств амплитуд рассеяния и фазо-
фазовых сдвигов 530
XVII.А. Математическое приложение об аналитических функциях 533
ГЛАВА XVIII. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 543
XVIII.1. Введение 543
XVIII.2. Временная задержка и фазовый сдвиг 549
XVIII.3. Условия причинности 557
XVIII.4. Причинность и аналитичность 560
XVIII.5. Краткое описание аналитических свойств S-матрицы 564
XVIII.6. Резонансное рассеяние. Формула Брейта — Вигнера для
упругого рассеяния 570
XVIII.7. Физические эффекты, связанные с виртуальным состоянием . 584
XVIII.8. Диаграммы Аргана для упругих резонансов и фазовый ана-
анализ 586
XVIII.9. Сравнение с наблюдаемыми сечениями: эффекты фона и ко-
конечного разрешения по энергиям 591
ГЛАВА XIX. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ 603
XIX. 1. Инвариантность относительно пространственных отражений
и свойства S-матрицы 603
XIX.2. Обращение времени 605
XIX.3. Инвариантность относительно обращения времени и свойст-
свойства S-матрицы 611
ГЛАВА ХХ.РЕЗОНАНСЫ В МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 616
XX.1. Введение 616
XX.2. Одиночные и двойные резонансы 617
XX.3. Диаграммы Аргана для неупругих резонансов 633
ГЛАВА XXI. РАСПАД НЕСТАБИЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ 640
XXI.1. Введение 640
XXI.2. Время жизни и скорости распада 643
XXI.3. Описание распадающегося состояния и экспоненциальный за-
закон распада 645
XXI.4. Векторы Гамова и их связь с резонансными полюсами
S-матрицы 655
XXI.5. Золотое правило 672
XXI.6. Парциальные скорости распада 677
ПОСЛЕСЛОВИЕ 681
ЗАДАЧИ 684
ЛИТЕРАТУРА 709
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 712
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 713