/
Автор: Тарасов Л.В.
Теги: физика механика квантовая механика учебное пособие квантовая физика
Год: 1978
Текст
Л.В. ТАРАСОВ
ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Допущено
Министерством
высшего и среднего
специального
образования СССР
в качестве
учебного пособия
для студентов
высших учебных
заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1978
530.1
Т19
УД К 530.145 @75)
Рецензенты:
кефедра теоретической ядерной физики МИФИ
и докт. физ.-мат. наук М. И. Подгорецкий
Тарасов Л. В.
Т19 Основы квантовой механики: Учеб. пособие для
вузов.— М.: Высш. школа, 1978.— 287 с, ил.
В книге дано обстоятельное и систематическое изложение основ
нерелятивистской квантовой механики, предназначенное для лиц, впер-
впервые знакомящихся с предметом. В первой главе в качестве введения в
квантовую механику рассмотрена специфика физики микрообъектов.
Во второй главе на основе представлений об амплитудах вероятностей
рассмотрены вопросы физики микроявлений (интерференция амплитуд,
принцип суперпозиции, специфика измерительного акта, причинность
в квантовой механике); подробно проанализированы простейшие кван-
товомеханические системы —- микрообъекты с двумя базисными состоя-
состояниями. В третьей главе рассмотрен аппарат квантовой механики как
синтез физических идей и теории линейных операторов. Для демонстра-
демонстрации работы аппарата приведен ряд специально отобранных примеров
и задач.
Предназначается для студентов технических и педагогических ву-
вузов, а также может быть использована инженерами различного про-
профиля.
20408—135
Т 40—78 530.1
001@1)—78
© Издательство «Высшая школа», 1978.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Некоторые предварительные замечания. Физические
исследования, выполненные в конце XIX — первой поло-
половине XX столетий, выявили исключительное своеобразие
законов, управляющих поведением микрообъектов —
атомов, электронов и т. д. На основе этих исследований
была создана новая физическая теория — квантовая ме-
механика.
Процесс становления квантовой механики оказался
достаточно сложным и длительным. Сравнительно быст-
быстро (к началу 30-х годов) была построена математическая
часть теории вместе с набором правил, связывающих
теорию с опытом, а затем продолжалось затянувшееся
на десятилетия осмысливание физико-философского со-
содержания использовавшихся в теории математических
символов. Как писал Фок [1], «аппарат нерелятивистской
квантовой механики, не содержащий никаких внутренних
противоречий, успешно применялся к решению конкрет-
конкретных задач атомной физики, но физическое толкование
его оставалось долгое время неясным».
Трудности физической интерпретации аппарата
квантовой механики неслучайны. С квантовой механикой
связаны диалектика новых закономерностей, радикаль-
радикальный пересмотр самого характера вопросов, которые фи-
физик «вправе задавать природе», переосмысливание роли
исследователя в изучаемом им мире, новый подход к во-
вопросу о соотношении необходимого и случайного в фи-
физических явлениях, отказ от многих привычных понятий
и представлений. Квантовая механика рождалась в об-
обстановке горячих столкновений противоречивых сужде-
суждений, в обстановке дискуссий. Не случайно то, что в про-
процессе ее становления приняли участие многие выдающие-
выдающиеся умы: Н. Бор, А. Эйнштейн, М. Планк, Э. Шредингер,
М. Борн, В. Паули, А. Зоммерфельд, Л. де Бройль,
П. Эренфест, Э. Ферми, В. Гейзенберг, П. Дирак,
Р. Фейнман и др.
Не случайно и то, что по сей день существует своеоб-
своеобразный психологический барьер, с которым в той или
иной мере сталкиваются все, кто начинает изучать кван-
квантовую механику. И дело тут отнюдь не в математической
сложности. Дело в том, что трудно отказываться от при-
привычных понятий, трудно перестраивать выработанный
на основе повседневного опыта стиль мышления.
Начиная изучение квантовой механики, полезно
иметь представление о ее месте и роли. В связи с этим
обсудим (разумеется, в самых общих чертах) следующие
три вопроса: Что такое квантовая механика? В каком
отношении к классической физике находится квантовая
механика? Каким специалистам она нужна?
Итак, что такое квантовая механика?
На поставленный вопрос можно ответить по-разному.
Прежде всего квантовая механика — это теория, описы-
описывающая свойства материи на уровне микроявлений', она
рассматривает законы движения микрообъектов. Микро-
Микрообъекты (молекулы, атомы, элементарные частицы) —
основные «действующие лица» в квантовой механике.
С более широкой точки зрения квантовую механику
следует рассматривать как теоретическую основу совре-
современного учения о строении и свойствах вещества. По
сравнению с классической физикой квантовая механика
рассматривает свойства вещества на более глубоком,
более фундаментальном уровне. Она позволяет раскрыть
многие «почему?», остававшиеся без ответа в классиче-
классической физике. Почему, например, алмаз тверд? Почему
электропроводность полупроводника растет с увеличени-
увеличением температуры? Почему магнит утрачивает свои свой-
свойства при нагревании? На эти и многие подобные вопросы
классическая физика ответа не дает; здесь необходимо
обращаться к квантовой механике. Наконец, надо под-
подчеркнуть, что квантовая механика дает возможность
рассчитать многие физические параметры вещества. Отве-
Отвечая на вопрос «что такое квантовая механика?», Лэмб
заметил [2]: «Единственный простой и легкий ответ со-
стоит в том, что квантовая механика представляет собой
науку, обеспечивающую нас удивительным набором пра-
правил расчета определенных физических свойств вещества».
В каком отношении к классической физике находит-
находится квантовая механика? Прежде всего отметим, что кван-
квантовая механика содержит классическую механику как
свой предельный случай; при переходе от микрообъектов
к макрообъектам законы квантовой механики превра-
превращаются в законы классической механики. В связи с этим
иногда не очень удачно говорят, что квантовая механика
«работает» в микромире, а классическая — в макромире.
Такое утверждение предполагает наличие некоего отдель-
отдельного «микромира» и некоего отдельного «макромира».
В действительности же можно говорить о существовании
микрообъектов (микроявлений) и макрообъектов (мак-
(макроявлений). При этом существенно, что в основе макро-
макроявлений лежат микроявления, макрообъекты построены
из микрообъектов. Следовательно, переход от классиче-
классической физики к квантовой механике есть переход не из
одного «мира» в другой «мир», а от менее глубокого
к более глубокому уровню рассмотрения вещества. Это
означает, что, изучая поведение микрообъектов, кванто-
квантовая механика рассматривает фактически те же самые
макрообъекты, но на более фундаментальном уровне.
Кроме того, надо иметь в виду, что грань между микро-
и макроявлениями в общем случае достаточно условна и
подвижна. Классические представления нередко оказы-
оказываются полезными при рассмотрении микроявлений, а
квантовомеханические — при рассмотрении макроявле-
макроявлений. Существует даже специальный термин «квантовая
макрофизика», который используют, в частности, приме-
применительно к квантовой электронике, явлениям сверхтеку-
сверхтекучести и сверхпроводимости и в целом ряде других слу-
случаев.
Обсуждая вопрос о том, каким именно специалистам
нужна квантовая механика, сразу оговоримся, что здесь
речь идет о специалистах, подготавливаемых в техниче-
технических вузах. Можно указать по крайней мере три профиля
инженерных специальностей, для которых изучение кван-
квантовой механики насущно необходимо. Во-первых, это
инженеры, работающие в области ядерной энергетики,
применения в народном хозяйстве радиоактивных изото-
изотопов. Во-вторых, это инженеры, работающие в области
материаловедения (улучшение свойств материалов, со-
создание новых материалов с наперед заданными свойст-
свойствами). В-третьих, это инженеры, работающие в области
электроники и прежде всего в области полупроводниковой
и лазерной техники. Если учесть, что сегодня фактически
любая отрасль народного хозяйства широко использует
как новые материалы, так и электронику, то станет ясно,
что полноценная инженерная подготовка уже невозмож-
невозможна без достаточно серьезного изучения квантовой меха-
механики.
Построение книги. Данная книга имеет целью позна-
познакомить читателя с понятиями и представлениями кванто-
вой механики, ее физическими свойствами; выявить ло-
логику новых идей; показать, как эти идеи «вживляются»
в математический аппарат линейных операторов; проде-
продемонстрировать работу аппарата на ряде примеров и
задач, интересных для выпускников инженерных специ-
специальностей.
Книга состоит из трех глав. В первой главе в качестве
своеобразного введения в квантовую механику рассмот-
рассмотрена специфика физики микрообъектов; основное внима-
внимание уделено основополагающим идеям квантования и
дуализма и соотношениям неопределенностей. Задача
этой главы: «ввести в игру» основное «действующее ли-
лицо»— микрообъект и показать необходимость отказа от
ряда представлений классической физики.
Во второй главе рассмотрены физические основы
квантовой механики. Глава начинается с анализа сово-
совокупности принципиальных опытов, являющейся фунда-
фундаментом для системы квантовомеханических представле-
представлений. В основу рассмотрения этой системы положено по-
понятие амплитуды вероятности перехода. На различных
примерах продемонстрированы правила работы с ампли-
амплитудами, прежде всего интерференция амплитуд. Рассмот-
Рассмотрены принцип суперпозиции и измерительный акт. На
этом заканчивается первый этап обсуждения физических
основ теории. На втором этапе на основе амплитудных
представлений дан анализ проблемы причинности в кван-
квантовой механике. При рассмотрении причинности введена
гамильтонова матрица; ее роль продемонстрирована на
примерах микрообъектов с двумя базисными состояниями
и в особенности на примере электрона в магнитном поле.
Глава завершается обобщающим параграфом физико-
философского характера.
В третьей главе рассмотрено применение линейных
операторов в аппарате квантовой механики. В начале
главы приведены необходимые математические сведения
из теории линейных эрмитовских и унитарных операто-
операторов. Затем показано, как следует осуществить «сшива-
«сшивание» физических идей с математическими символами,
превращающее аппарат теории операторов в аппарат
квантовой теории. Основы этого аппарата рассмотрены
далее в конкретном виде в рамках координатного пред-
представления; показан переход от координатного представ-
представления к импульсному. Обсуждены три способа описания
эволюции микросистемы во времени, отвечающие пред-
сггавленйям Шредингера, Гейзенберга и Дирака. Для
демонстрации работы аппарата рассмотрен ряд характер-
характерных задач; особое внимание уделено задачам о движении
электрона в периодическом поле и о вычислении вероят-
вероятности квантового перехода.
В книгу включены интермедии. Это диалоги, в кото-
которых автор вправе избрать более свободный и непринуж-
непринужденный стиль рассмотрения тех или иных вопросов.
Включая в книгу интермедии, автор исходил из того, что
не следует быть слишком серьезным даже при изучении
самых серьезных предметов. И тем не менее читатель
должен отнестись к интермедиям со всей серьезностью.
Они предназначены не столько для умственной разрядки,
сколько для облегчения усвоения некоторых достаточно
тонких вопросов, чему как нельзя лучше благоприятству-
благоприятствует гибкая форма диалога.
Наконец, в книгу включены выдержки из разных
работ. Автор уверен, что «живое слово» непосредствен-
непосредственных создателей квантовой механики даст читателю полез-
полезную дополнительную информацию, которая, возхможно,
была бы утрачена при пересказе.
Замечания личного характера. Автор считает своим
приятным долгом выразить самую глубокую признатель-
признательность члену-корреспонденту АН СССР И. И. Гуревичу,
беседы с которым заложили фундамент данной книги.
И. И. Гуревич участвовал в обсуждении плана книги и
первоначальных набросков, прочитал рукопись книги.
Его советы во многом определили как структуру книги,
так и характер изложения материала. В частности, под
непосредственным влиянием идей, высказанных И. И. Гу-
ревичем, написан раздел «Главное в квантовой механи-
механике» в § 16.
Далее автор хотел бы отметить то исключительно
большое впечатление, какое оказали на него труды по
квантовой механике, принадлежащие перу видного аме-
американского физика Р. Фейнмана [3—5]. Читая в дайной
книге параграфы, посвященные применению понятия
амплитуды вероятности, принципу суперпозиции, микро-
микрообъектам с двумя базисными состояниями, читатель легко
обнаружит определенное сходство с подходом к этим во-
вопросам в «Фейнмановских лекциях по физике». Большое
влияние оказали на автора также работы по квантовой
механике Н. Бора (хотелось бы отметить замечательный
сборник статей [6]), В. А. Фока [1, 7], В. Паули [8],
П. Дирака [9]. Следует также отметить обстоятельные
труды по квантовой механике Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-
шица [10], Д. И. Блохинцева [11], Э. Ферми [12], Л. Шиф-
фа[13].
Автор особо признателен докт. физ.-мат. наук, профес-
профессору М. И. Подгорецкому за обстоятельный и крайне по-
полезный анализ рукописи книги. Автор весьма признателен
докт. физ.-мат. наук, профессору Ю. А. Вдовину, докт.
физ.-мат. наук, профессору Е. Е. Ловецкому, докт. физ.-
мат. наук, профессору Г. Ф. Друкареву, докт. техн.
наук, профессору В. А. Дьякову, докт. техн. наук, про-
профессору Ю. Н. Пчельникову, канд. физ.-мат. наук, доцен-
доценту А. М. Полякову, ознакомившимся с рукописью книги
и сделавшим ряд ценных замечаний. В заключение автор
благодарит А. Н. Тарасову за ее постоянное внимание
к работе автора над рукописью, во многом способство-
способствовавшее созданию данной книги, а также за большую
помощь в подготовке рукописи к печати.
АВТОР: Как известно, основ-
основное содержание физической тео-
теории составляет система опреде-
определенных представлений, отра-
отражающих в рамках данной
теории объективные законы
природы. Обсудим систему
представлений, лежащих в
основе классической физики.
Можно ли считать эту систему
логически совершенной?
КЛАССИК: Она достаточно
совершенна. Представления
классической физики формиро-
формировались на основе длительного
человеческого опыта; они вы-
выдержали многовековую провер-
проверку практикой.
АВТОР: Выделите, пожалуй-
пожалуйста, главное в этих представле-
представлениях.
КЛАССИК: Я бы выделил три
основных момента: непрерыв-
непрерывность изменения физических ве-
величин, принцип классического
детерминизма, аналитический
метод исследования объектов
и явлений.
Отмечая непрерывность, напом-
напомним, что состояние объекта в
каждый момент времени пол-
полностью определено заданием
координат и скоростей, которые
являются непрерывными функ-
функциями времени. Именно на
этом основано представление о
движении тел по траекториям.
Изменение состояния объекта
можно сделать в принципе
сколь угодно малым, уменьшая
промежуток времени наблюде-
наблюдения.
Классический детерминизм
предполагает, что если извест-
известно состояние объекта в некото-
некоторый момент времени, а также
все силы, приложенные к нему,
то можно абсолютно точно
предсказать состояние этого
объекта в любой последующий
момент. Так, зная положение и
скорость свободно падающего
камня в некоторый момент,
можно точно указать его поло-
положение и скорость в любой дру-
ИНТЕРМЕДИЯ
МОЖНО ЛИ СЧИТАТЬ
СИСТЕМУ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
КЛАССИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ ЛОГИЧЕСКИ
СОВЕРШЕННОЙ?
Действующие лица:
АВТОР и
КЛАССИК
(физик старого
поколения,взгляды
которого формировались
исключительно на основе
классической физики).
„Во всем подслушать
жизнь стремясь,
Спешат явленья
обездушить,
Забыв, что если
в них нарушить
Одушевляющую связь,
То больше нечего
и слушать ..У
Тете («Фауст»)
гой момент, например в момент
приземления.
АВТОР: Иными словами, клас-
классическая физика предполагает
однозначную, жесткую связь
настоящего с будущим, равно
как и прошедшего с настоя-
настоящим.
КЛАССИК: Возможность такой
связи событий органически со-
согласуется с непрерывным харак-
характером изменения физических
величин: для каждого момента
времени у нас есть ответ сразу
на два вопроса — чему равны
координаты объекта и как быст-
быстро они меняются.
Наконец, об аналитическом ме-
методе исследования объектов и
явлений. Здесь мы имеем дело
с особенно важным моментом в
системе представлений класси-
классической физики. Последняя рас-
рассматривает материю состоящей
из разных частей, которые хотя
и взаимодействуют друг с дру-
другом, однако могут исследо-
исследоваться в индивидуальном по-
порядке. Это означает, во-первых,
что объект может быть выде-
выделен из окружающей среды и
рассмотрен как самостоятельное
целое, и, во-вторых, этот объект
может быть при необходимости
расчленен на составляющие час-
части, исследование которых поз-
позволяет понять сущность данно-
данного объекта.
АВТОР: Классическая физика
сводит вопрос «что есть данный
объект?» к вопросу «из чего
состоит данный объект?»
КЛАССИК: Это естественно.
Чтобы понять какое-то устрой-
устройство, надо хотя бы мысленно
«разобрать» его на части.
Впрочем, в детстве все мы не-
неоднократно пытались проделать
подобную операцию далеко не
мысленно. То же самое и с яв-
явлениями: чтобы понять сущ-
сущность какого-то явления, тре-
требуется «расчленить» его во вре-
времени, т. е. выяснить, что имен-
именно после чего происходит.
АВТОР: Но всякое расчленение
разрушает представление об:
объекте или явлении как о це-
целом.
КЛАССИК: В какой-то мере.
Однако можно оценить меру
этого «разрушения», учитывая
всякий раз взаимодействия
между частями объекта и связи
между временными этапами яв-
явления. Может оказаться, что
первоначально выделенный объ-
объект (или часть его) со време-
временем существенно изменяется
вследствие взаимодействия со
средой (взаимодействия частей
объекта). Однако поскольку из-
изменения имеют непрерывный
характер, то всегда можно со-
сохранить индивидуализацию вы-
выделенного объекта в течение
произвольного промежутка вре-
времени. Уместно подчеркнуть
внутреннюю логическую связь
всех трех рассмотренных здесь
основных представлений клас-
классической физики.
АВТОР: Я бы добавил, что
частным проявлением «принци-
«принципа анализа» является характер-
характерное для классической физики
представление о взаимной неза-
независимости объекта наблюдения
и измерительного прибора (на-
(наблюдателя). Есть прибор и есть
объект измерения — их можно
и должно рассматривать по-
порознь, независимо друг от дру-
друга.
КЛАССИК: Не совсем незави-
независимо. Включение в электриче-
электрическую цепь амперметра влияет,
разумеется, на величину изме-
измеряемого тока. Просто, это
влияние всегда можно рассчи-
рассчитать, если известно сопротивле-
сопротивление амперметра.
АВТОР: Говоря о независимо-
независимости прибора и объекта измере-
измерения, я как раз и имел в виду,
что их взаимодействие может
быть рассчитано и в этом смыс-
смысле «исключено из рассмотре-
рассмотрения».
10
КЛАССИК: Тогда я с Вами
полностью согласен.
АВТОР: Об этом хорошо писал
Борн [14]: «Предполагается, что
внешний мир — объект естество-
естествознания, с одной стороны, и
мы — наблюдающие, мыслящие
и вычисляющие субъекты, с
другой, полностью отделены
друг от друга, что существует
способ исследовать явления, не
вмешиваясь в их течение. Тако-
Такова философия науки, при кото-
которой выросли мы, люди старого
поколения. Этот стиль может
быть назван ньютоновским, ибо
образцом его является небесная
механика Ньютона».
КЛАССИК: Да, таковы в
общих чертах представления
классической физики. Они осно-
основаны на повседневном общедо-
общедоступном опыте и, можно смело
сказать, отвечают здравому
смыслу, т. е. воспринимаются
как совершенно естественные. Я
даже думаю, что «принцип ана-
анализа» не только естествен, но,
более того, это единственный
эффективный метод исследова-
исследования материи. Непонятно, каким
образом можно углубить зна-
знания о каком-либо объекте или
явлении иначе, как исследуя их
составные части. Что же ка-
касается принципа классического
детерминизма, то он отражает
причинность явлений в природе
и полностью соответствует ду-
духу физики как точной науки.
АВТОР: И тем не менее есть
основания с самых общих по-
позиций усомниться в «непогреши-
«непогрешимости» классических представ-
представлений.
Попробуем распространить
принцип классического детер-
детерминизма на Вселенную в целом.
Мы должны прийти к выводу,
что положения и скорости всех
«атомов» Вселенной в данный
момент времени оказываются
строго предопределенными по-
положениями и скоростями этих
«атомов» в предыдущие момен-
моменты. Все происходящее в мире
будет, таким образом, заранее
предустановлено, все события
фатально предопределены. Сле-
Следуя Лапласу, можно было бы
вообразить некое «сверхсуще-
«сверхсущество», которому досконально из-
известно будущее и прошлое. Как
писал Лаплас [15], «ум, которо-
которому были бы известны для како-
какого-либо данного момента все
силы, одушевляющие природу,
и относительное положение всех
ее составных частей, если бы
вдобавок он оказался достаточ-
достаточно обширным, чтобы подчинить
эти данные анализу, обнял бы
в одной формуле движения ве-
величайших тел Вселенной нарав-
наравне с движениями легчайших
атомов: не осталось бы ничего,
что было бы для него недосто-
недостоверно, и будущее, так же как и
прошедшее, предстало бы перед
его взором». Можно видеть, что
мысленная попытка распростра-
распространения принципа классического
детерминизма на всю природу в
целом приводит к обоснованию
идеи фатализма, которая, оче-
очевидно, не соответствует здраво-
здравому смыслу.
Далее попробуем последова-
последовательно применять «принцип ана-
анализа» при исследовании строе-
строения материи. Будем мысленно
дробить изучаемый объект на
все более малые части. В конце
концов мы дойдем до состав-
составляющих объект молекул. Даль-
Дальнейшее «дробление» позволит
сделать заключение: молекулы
состоят из атомов. Затем мы
выясним, что атомы состоят из
ядра и электронов. Привыкнув
к выработавшейся тенденции,
мы пожелаем выяснить, из чего
же состоит электрон. Если бы
даже мы получили ответ на
этот вопрос, то, очевидно, долж-
должны были бы задать следующий
вопрос: из чего состоит то, из
чего состоит электрон? И так
далее. Возникает грустная
мысль, что такая «цепочка» во-
просов бесконечна. Тот же
здравый смысл восстает против
этой «цепочки». А между тем
сама по себе она — непосред-
непосредственный продукт классическо-
классического мышления.
В разные времена предприни-
предпринимались попытки так или иначе
решить вопрос об указанной
выше «цепочке». Приведем два
примера. Первый касается
взглядов Платона на строение
материи. Платон полагал, что
материя состоит из четырех
«элементов» — земли, воды, воз-
воздуха и огня. В свою очередь
каждый из элементов состоит
из «атомов», имеющих опреде-
определенную геометрическую форму.
Атомы земли — кубы, атомы
воды — икосаэдры, атомы воз-
воздуха — октаэдры, атомы огня —
тетраэдры. Наконец, каждый из
атомов сводился к треугольни-
треугольникам. Треугольник же представ-
представлялся Платону наиболее совер-
совершенной и простой математиче-
математической формой, которая по этой
причине не может ни из чего
состоять. Таким образом, Пла-
Платон свел упомянутую «цепочку»
к чисто математическим поня-
понятиям — треугольникам и обор-
оборвал ее в этом месте.
Другой пример характерен для
начала XX в. Он использует
внешнее формальное сходство
между планетарной моделью
атома и солнечной системой.
Делается предположение, что
наша солнечная система есть
не что иное, как отдельный
атом некоего другого, гигант-
гигантского мира, а обычный атом
представляет своеобразную
«солнечную систему» какого-то
третьего, карликового мира, в
котором «наш электрон» яв-
является планетой. В этом случае
допускается существование бес-
бесконечной вереницы все более
карликовых миров, равно как и
все более гигантских миров. В
такой схеме структура материи
описывается в соответствии с
примитивным принципом встав-
вставленных друг в друга матрешек.
«Принцип матрешек», согласно
которому природа в малом и
большом имеет подобную
«структуру», признавали не все
физики прошлых поколений.
Однако этот принцип достаточ-
достаточно характерен для классиче-
классической физики; он соответствует
ее духу, ибо вытекает непосред-
непосредственно из классического «прин-
«принципа анализа». Критикуя в свя-
связи с этим взгляды Паскаля,
французский физик Ланжевен
писал [16]: «Паскаль предпола-
предполагал одинаковое строение беско-
бесконечно малого и бесконечно
большого. С этой точки зрения,
мы на всех ступенях должны
были бы встречать одинаковые
аспекты действительности, к ко-
которым приложимы одни и те же
представления. Вселенная, та-
таким образом, уподоблялась тем
матрешкам, которые вставля-
вставляются одна в другую, — абсолют-
абсолютно одинаковым, но все более
уменьшающимся в размерах. К
счастью, действительность ока-
оказывается гораздо богаче и не-
несравненно интереснее».
Итак, мы убедились, что после-
последовательное применение прин-
принципов классической физики мо-
может в отдельных случаях при-
приводить к заключениям, которые
заведомо представляются сом-
сомнительными. Отсюда следует
вывод о существовании ситуа-
ситуаций, для которых классические
принципы оказываются непри-
непригодными. Так, следует ожидать,
что при достаточно сильном
«раздроблении» материи сам
принцип анализа должен изжи-
изживать себя (а вместе с ним долж-
должна, очевидно, изживать себя и
идея независимости объекта из-
измерения и прибора). В связи с
этим вопрос «из чего состоит
электрон?» может оказаться
попросту лишенным смысла.
Если это так, то мы должны
признать относительность столь
12
милых нашему разуму и уют- ками желание «во всем подслу-
ных классических представле- шать жизнь», приводит на опре-
ний и выработать какие-то ка- деленном этапе к нарушению
чественно новые представления «одушевляющей связи», и воз-
о движении материи. Классиче- никает ситуация, когда, по вы-
ское стремление к безграничной ражению Гёте, «больше нечего
детализации объектов и явле- и слушать».
ний, это воспитанное в нас ве-
ГЛАВА
СПЕЦИФИКА
ФИЗИКИ | с7/
МИКРООБЪЕКТОВ
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ДВОЙСТВА
МИКРООБЪЕКТОВ
Микрообъекты. К микрообъектам относятся молеку-
молекулы, атомы, атомные ядра, элементарные частицы. До-
Довольно богатый сегодня «список» элементарных частиц
включает в себя кванты электромагнитного поля (фото-
(фотоны) и две группы частиц: так называемые адроны и леп-
тоны. Для адронов характерно сильное (ядерное) взаимо-
взаимодействие, тогда как лептоны никогда не участвуют в
сильных взаимодействиях. К лептонам относят электрон,
мюон и два нейтрино — электронное и мюонное. Группа
адронов существенно многочисленнее. К ним относятся
нуклоны (протон и нейтрон), мезоны (группа частиц,
масса которых меньше массы протона) и гипероны (груп-
(группа частиц, масса которых больше массы нейтрона). Поч-
Почти всем элементарным частицам соответствуют античас-
античастицы-, исключение составляют фотон и некоторые
нейтральные мезоны.
Говоря о характеристиках микрообъектов, укажем
прежде всего массу покоя и электрический заряд. В ка-
качестве примера отметим, что масса электрона т = 9ДХ
ХЮ~28 г, протон имеет массу, равную 1836 т, нейтрон —
1839 т, мюон — 207 т. Относящиеся к мезонам пионы
(я-мезоны) имеют массу около 270 т, а каоны (/(-мезо-
(/(-мезоны) — от 970 т до 1750 т. Массу покоя фотона и обоих
нейтрино полагают равной нулю.
Масса молекулы, атома, атомного ядра равна сумме
масс составляющих данный микрообъект частиц за выче-
вычетом некоторой величины, называемой дефектом массы.
Дефект массы равен деленной на квадрат скорости света
энергии, которую надо затратить для того, чтобы «раз-
«развалить» микрообъект на составляющие его частицы (эту
энергию принято называть энергией связи). Чем сильнее
связаны друг с другом частицы, тем больше дефект мас-
массы. Наиболее сильно связаны нуклоны в атомных яд-
ядрах— приходящийся на один нуклон дефект массы пре-
превышает Ют.
Величина электрического заряда любого микрообъ-
микрообъекта кратна величине заряда электрона; последняя равна
1,6- Ю-19 Кл D,8-Ю-10 ед. CGSE). Наряду с заряженны-
заряженными существуют нейтральные микрообъекты (например,
15
фотон, нейтрино, нейтрон). Электрический заряд сложно-
сложного микрообъекта равен алгебраической сумме зарядов
составляющих его частиц.
Спин микрообъекта. Одной из важнейших специфи-
специфических характеристик микрообъекта является спин. Спин
можно интерпретировать как своеобразный момент им-
импульса микрообъекта, не связанный с движением микро-
микрообъекта как целого, неуничтожимый, не зависящий от
внешних условий (его часто называют внутренним мо-
моментом импульса микрообъекта). Квадрат этого момента
импульса равен h2s(s+\). Здесь 5 — определенное для
данного микрообъекта целое или полуцелое положитель-
положительное число (именно это число и называют обычно спином),
А — универсальная физическая постоянная, играющая
в квантовой механике исключительно важную роль. Ее
называют постоянной Планка; она равна 1,05- 1О~34 Дж-с.
Спин 5 фотона равен 1, спин электрона (как и спин лю-
любого лептона) равен 72, спин нуклона тоже равен 72*,
у пионов и каонов спина нет.
Спин микрообъекта — его специфическая характери-
характеристика. Он не имеет классического аналога и, безусловно,
указывает на «внутреннюю сложность» микрообъекта.
Правда, иногда с понятием спина пытаются сопоставить
модель объекта, вращающегося вокруг своей оси (само
слово «спин» переводится как «веретено»). Такая модель
наглядна, но неверна. Во всяком случае, ее нельзя при-
принимать буквально. Встречающийся в литературе термин
«вращающийся микрообъект» означает отнюдь не вра-
вращение микрообъекта, а лишь наличие у него специфиче-
специфического внутреннего момента импульса. Для того чтобы
этот момент «превратился» в классический момент им-
импульса (и тем самым объект начал бы действительно вра-
вращаться), необходимо потребовать выполнения условия
5»1. Однако такое условие никогда не выполняется.
Специфичность момента импульса микрообъекта про-
проявляется, в частности, в том, что его проекция на любое
фиксированное направление принимает дискретные зна-
значения: As, A(s—1), ..., —As — всего 2s+l значений. Это
означает, что микрообъект может находиться в 2s+l
спиновых состояниях. Следовательно, наличие у микро-
микрообъекта спина приводит к появлению у него добавочной
(внутренней) степени свободы.
Бозоны и фермионы. Знание спина микрообъекта
позволяет судить о характере его поведения в коллекти-
16
ве себе подобных (иначе говоря, позволяет судить о ста-
статистических свойствах микрообъекта). Оказывается, что
по своим статистическим свойствам все микрообъекты в
природе разделяются на две группы: группа микрообъек-
микрообъектов с целочисленным спином или без спина и группа
микрообъектов с полуцелым спином.
Микрообъекты первой группы способы «заселять»
одно и то же состояние * в неограниченном числе, причем
вероятность попадания микрообъекта в данное состояние
тем выше, чем сильнее это состояние «заселено». О таких
микрообъектах говорят, что они подчиняются статистике
Бозе — Эйнштейна; для краткости их называют просто
бозонами. Микрообъекты второй группы могут «засе-
«заселять» состояния только поодиночке; если рассматривае-
рассматриваемое состояние занято, то никакой микрообъект данного
типа уже не может попасть в него. О таких микрообъек-
микрообъектах говорят, что они подчиняются статистике Ферми —
Дирака; для краткости их называют фермионами.
Из элементарных частиц к бозонам относятся фотоны
и мезоны, а к фермионам — лептоны (в частности, элек-
электроны), нуклоны, гипероны. Тот факт, что электроны от-
относятся к фермионам, отражен в хорошо известном прин-
принципе запрета Паули.
Нестабильность микрообъектов. Все элементарные
частицы, за исключением фотона, электрона, протона и
обоих нейтрино, нестабильны. Это означает, что они са-
самопроизвольно, без каких-либо воздействий извне распа-
распадаются, превращаясь в другие частицы. Например, ней-
нейтрон самопроизвольно распадается на протон, электрон
и электронное антинейтрино {n-*p + e-+ve). Невозможно
предсказать, когда именно произойдет указанный распад
того или иного конкретного нейтрона; каждый конкрет-
конкретный акт распада случаен. Однако если проследить за
множеством актов, то обнаруживается закономерность
распада. Предположим, что в момент ^ = 0 имеется No
нейтронов (iV03>l). Тогда к моменту / останется N(t) =
N0=exp (—t/x) нейтронов, где т есть некоторая характер-
характерная для нейтрона постоянная. Ее называют «временем
жизни» нейтрона; она равна 103 с. Величина ехр (—t/x)
определяет вероятность для отдельного нейтрона не рас-
распасться по истечении времени /.
* Понятие состояния микрообъекта обсуждается ниже, в § 3.
17
Каждая нестабильная элементарная частица харак-
характеризуется своим временем жизни. Чем меньше время
жизни, тем больше вероятность распада частицы. Напри-
Например, время жизни мюона составляет 2,2 -10~6 с, положи-
положительно заряженного я-мезона— 2,6-10~8 с, нейтрального
я-мезона—10~16 с, гиперонов — около 10~10 с. В послед-
последние годы обнаружено большое число около 100 частиц с
аномально малым временем жизни 10~22—10~23 с, полу-
получивших название резонансов.
Примечательно, что гипероны и мезоны могут распа-
распадаться различными способами. Например, положительно
заряженный я-мезон может распадаться на мюон и мюон-
ное нейтрино (n+~^jLt++v{X), на позитрон (антиэлектрон)
и электронное нейтрино (я+->е+-г ve), на нейтральный
я-мезон, позитрон и электронное нейтрино (я+->л;0 + е+ +
+ ve). Для конкретного я-мезона нельзя предсказать не
только время распада, но и тот способ распада, который
данный мезон «выберет».
Нестабильность присуща не только элементарным
частицам, но и другим микрообъектам. Явление радиоак-
радиоактивности (самопроизвольное превращение изотопов одно-
одного химического элемента в изотопы другого, сопровож-
сопровождающееся испусканием частиц) показывает, что неста-
нестабильными могут быть атомные ядра. Атомы и молекулы
в возбужденных состояниях также оказываются неста-
нестабильными: они самопроизвольно переходят в основное
или менее возбужденное состояние.
Определяемая вероятностными законами нестабиль-
нестабильность есть, наряду с наличием спина, второе сугубо спе-
специфическое свойство, присущее микрообъектам. Его так-
также можно рассматривать как указание на некую «внут-
«внутреннюю сложность» микрообъекта.
В заключение заметим, что нестабильность — это спе-
специфическое, но отнюдь не обязательное свойство микро-
микрообъекта. Наряду с нестабильными существует много ста-
стабильных микрообъектов: фотон, электрон, протон, нейтри-
нейтрино, стабильные атомные ядра, а также атомы и молекулы
в основном состоянии.
Взаимопревращения микрообъектов. Глядя на схему
распада нейтрона (n->p + e~+ve), неискушенный чита-
читатель может предположить, что нейтрон состоит из связан-
связанных друг с другом протона, электрона и электронного
антинейтрино. Такое предположение ошибочно. Распад
элементарной частицы отнюдь не является распадом
18
в буквальном смысле слова; это есть акт превращения
исходной частицы в некую совокупность новых частиц:
исходная частица уничтожается, новые частицы рожда-
рождаются. Несостоятельность буквального толкования терми-
термина «распад частицы» становится очевидной, если учесть,
что многие частицы имеют по нескольку разных способов
распада.
Картина взаимопревращений элементарных частиц
оказывается существенно богаче и сложнее, если рас-
рассматривать частицы не только в свободном, но также и
в связанном состоянии. Свободный протон стабилен, а
свободный нейтрон распадается по приведенной выше
схеме. Если же нейтрон и протон не являются свободны-
свободными, а связаны в атомном ядре, то ситуация радикально
изменяется. Теперь имеют место следующие схемы взаи-
взаимопревращений: п-^-р + п", р->-п + тс+ (здесь лг~— отрица-
отрицательно заряженный я-мезон, являющийся античастицей
по отношению к я+-мезону). Эти схемы хорошо иллю-
иллюстрируют беспредметность выяснения того, входит ли
протон в «состав» нейтрона или же, напротив, нейтрон
«в состав» протона.
Повседневный опыт учит: разобрать объект на час-
части — это значит выяснить, из чего именно он структурно
состоит. Идея анализа (идея дробления) отражает харак-
характерную сторону классических представлений. При пере-
переходе к микрообъектам эта идея в определенной мере еще
«работает»: молекула состоит из атомов, атом состоит из
ядра и электронов, ядро состоит из протонов и нейтронов.
Однако на этом указанная идея себя исчерпывает: «дроб-
«дробление», например, нейтрона или протона не выявляет
никакой структуры этих частиц. В отношении элементар-
элементарных частиц уже нельзя утверждать: «распад объекта на
какие-то части» означает, что «объект состоит из этих
частей». Именно это обстоятельство и может служить
определением самого термина «элементарная частица».
Распады элементарных частиц далеко не исчерпыва-
исчерпывают всех происходящих взаимопревращений частиц. Не
менее богата картина взаимопревращений, происходящих
при столкновениях частиц. В качестве примера приведем
некоторые схемы взаимопревращений при столкновениях
фотонов (у) с протонами и нейтронами:
л+, у+п—>/?-f я-,
— л+я0,
19
Полезно обратить внимание на то, что во всех приведен-
приведенных здесь схемах сумма масс покоя конечных частиц
больше массы покоя исходных. Иначе говоря, энергия
сталкивающихся частиц превращается здесь в массу
(согласно известному соотношению Е = тс2). Эти схемы
демонстрируют, в частности, бесплодность попыток рас-
расщепить элементарные частицы (в данном случае нукло-
нуклоны), «обстреливая» их другими частицами (в данном слу-
случае фотонами): в действительности происходит не рас-
расщепление обстреливаемых частиц, но рождение новых
частиц, причем в определенной мере за счет энергии стал-
сталкивающихся частиц.
Исследование взаимопревращений элементарных
частиц позволяет выявить определенные закономерности.
Эти закономерности выражают в виде законов сохране-
сохранения неких величии, играющих роль определенных харак-
характеристик частиц. В качестве простого примера укажем
электрический заряд частицы. При любом взаимопревра-
взаимопревращении частиц алгебраические суммы электрических за-
зарядов исходных и конечных частиц равны. Закон сохра-
сохранения электрического заряда отражает определенную
закономерность взаимопревращений частиц: он позволяет
заведомо исключить из рассмотрения те схемы, где сум-
суммарный электрический заряд частиц не сохраняется.
В качестве более сложного примера укажем так называемый
барионный заряд частицы. Было подмечено, что число нуклонов
при превращениях частиц сохраняется. С открытием антинукло-
антинуклонов обнаружили, что рождение дополнительных нуклонов воз-
возможно, но обязательно в паре с антинуклонами. Тогда была
введена характеристика частицы — барионный заряд, равный
нулю для фотонов, лептонов и мезонов, единице — для нукло-
нуклонов, минус единице — для антинуклонов. Это позволило рас-
рассматривать подмеченные закономерности как закон сохранения
суммарного барионного заряда частиц. Закон подтвердился так-
также последующими наблюдениями; при этом обнаруженным впо-
впоследствии гиперонам пришлось приписать барионный заряд,
равный единице (как и нуклонам), а антигиперонам — равный
минус единице (как и антинуклонам).
Универсальные динамические переменные. При пере-
переходе от макрообъектов к микрообъектам следует ожидать
качественно новых ответов на вопросы: какими динами-
20
ческими переменными описывается состояние объекта?
как описывается его движение? Ответы на эти вопросы
в существенной мере раскрывают специфику физики
микрообъектов.
В классической физике используются законы сохра-
сохранения энергии, импульса, момента импульса. Как извест-
известно, эти законы являются следствиями определенных
свойств симметрии пространства и времени. Так, закон
сохранения энергии — следствие однородности времени
(следствие независимости протекания физических про-
процессов от выбора того или иного момента в качестве
начала отсчета времени); закон сохранения импульса —
следствие однородности пространства (следствие того,
что все точки пространства физически равноправны); за-
закон сохранения момента импульса — следствие изотроп-
изотропности пространства (следствие того, что все направления
в пространстве физически равноправны). Для пояснения
свойств симметрии пространства и времени заметим, что
благодаря этим свойствам, например, законы Кеплера
для движения планеты вокруг Солнца не зависят от по-
положения Солнца в галактике, от ориентации в простран-
пространстве плоскости движения планеты, а также от того, в ка-
каком именно столетии открыты эти законы. Связь между
свойствами симметрии пространства и времени и соот-
соответствующими законами сохранения означает, что энер-
энергия, импульс и момент могут рассматриваться как инте-
интегралы движения, сохранение которых есть следствие
соответственно однородности времени, однородности и
изотропности пространства.
Отсутствие каких-либо экспериментальных указаний
на нарушение в микроявлениях отмеченных выше свойств
симметрии пространства и времени позволяет заключить,
что такие динамические переменные, как энергия, им-
импульс, момент импульса, должны сохранять смысл и в
применении к микрообъектам. Иначе говоря, связь этих
динамических переменных с фундаментальными свойст-
свойствами симметрии пространства и времени превращают их
в универсальные переменные, т. е. переменные, имеющие
«хождение» при рассмотрении самых различных явлений
из самых разных областей физики.
Однако при переносе понятий энергии, импульса и
момента импульса из классической физики в квантовую
механику необходимо учитывать специфику микрообъек-
микрообъектов. Напомним в связи с этим известные выражения для
21
энергии (?), импульса (р) и момента импульса (М)
классического объекта, имеющего массу ту координату
г, скорость v:
, p=mv, M = m{rXv\ A.1)
Исключая скорость, получаем отсюда соотношения, свя-
связывающие энергию, импульс и момент импульса класси-
классического объекта:
? = -?-+?/(г), A.2)
М = (?ХР). A.3)
Если обратиться к микрообъекту, то, забегая нес-
несколько вперед (см. § 3), следует подчеркнуть: соотноше-
соотношения A.2) и A.3) теперь не годятся. Иначе говоря, при-
привычные классические связи между интегралами движения
при переходе к микрообъектам становятся непригодными
[что же касается соотношений A.1), то о них вообще не
следует говорить, поскольку само понятие скорости мик-
микрообъекта, как мы убедимся ниже, не имеет смысла]. Это
есть первое качественно новое обстоятельство.
Для рассмотрения других качественно новых обстоя-
обстоятельств необходимо обратиться к двум основополагаю-
основополагающим идеям квантовой механики — идее квантования фи-
физических величин и идее корпускулярно-волнового дуа-
дуализма.
§ 2. ДВЕ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЕ ИДЕИ КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
Идея квантования (дискретности). Сущность идеи
квантования состоит в том, что некоторые физические
величины, относящиеся к микрообъекту, могут в соответ-
соответствующих условиях принимать только какие-то вполне
определенные, дискретные значения. Об этих величинах
говорят, что они квантуются.
Так, квантуется энергия любого микрообъекта, на-
находящегося в связанном состоянии, например энергия
22
электрона в атоме. Энергия же свободно движущегося
микрообъекта не квантуется.
Предположим, что рассматривается энергия элек-
электрона в атоме. Дискретному набору значений энергии
электрона соответствует система так называемых энерге-
энергетических уровней. Рассмотрим два энергетических уров-
уровня: Е{ и E2i как показано на рис. 2.1 (по вертикальной
оси откладываются значения энергии электрона). Элек-
Электрон может иметь энергию Е\ или энергию Е2 и не может
иметь какую-либо «промежуточную» энергию — все зна-
значения энергии Е, удовлетворяющие неравенствам
Ei<E<CE2, для него запрещены *. При- (
мечательно, что дискретность энергии
отнюдь не означает, что электрон «осу-
«осужден» вечно находиться в исходном
энергетическом состоянии (например, L/ Q
на уровне Ег). Электрон может перей-
перейти на другой энергетический уровень Рис. 2Л
(уровень Е2 или какой-то другой), по-
получив или испустив соответствующее количество энергии.
Такой переход называется квантовым переходом.
Квантовомеханическая идея дискретности имеет до-
довольно длинную предысторию. Еще в конце XIX в. было
установлено, что спектры излучения свободных атомов
являются линейчатыми (состоят из набора линий), со-
содержат определенные для каждого элемента линии, ко-
которые образуют упорядоченные группы (серии). В 1885 г.
было обнаружено, что атомарный водород дает излуче-
излучение с частотами соп (здесь и ниже используются цикли-
циклические частоты со, связанные с обычными частотами v
соотношением co = 2ftv), которые можно описать фор-
формулой
B.1)
где п — целые числа 3, 4, 5, ...; с — скорость света, R —
так называемая постоянная Ридберга (R= 1,097-107 м-1).
Формула B.1) установлена Бальмером; поэтому принято
называть совокупность частот, описываемую этой форму-
формулой, серией Бальмера. Частоты серии Бальмера попада-
* Возможна специфическая для квантовой механики ситуация,
когда следует полагать, что электрон находится и на уровне Еи и на
уровне Е2 (см. § Ю).
23
ют в область видимого спектра. Позднее (в начале XX в.)
были открыты дополнительные серии частот излучения
атомарного водорода, попадающие в ультрафиолетовую
и инфракрасную части спектра. Закономерности в струк-
структуре этих серий оказались тождественными с закономер-
закономерностями в структуре серии Бальмера, что позволило
обобщить формулу B.1), записав ее в виде
Число k фиксирует серию, причем в каждой серии n>k;
k = 2 дает серию Бальмера, k=\—серию Лаймана
(ультрафиолетовые частоты), k = 3 — серию Пашена
(инфракрасные частоты) и т. д.
Закономерность в структуре серий была обнаружена
не только в спектре атомарного водорода, но также и в
спектрах других атомов. Она определенно указывала на
'возможность каких-то обобщений. В качестве такого об-
обобщения Ритц выдвинул в 1908 г. свой комбинационный
принцип: «Если даны формулы серий и известны входя-
входящие в них постоянные, то путем комбинации в виде сумм
и разностей можно новую открытую линию в спектре вы-
вывести из ранее известных». В (применении к водороду
этот принцшт следует понимать так. Составим для раз-
разных чисел п так называемые спектральные термы:
Тогда каждая наблюдаемая в спектре водорода час-
частота может быть выражена в виде комбинации каких-то
двух спектральных термов. Комбинируя спектральные
термы, можно предсказывать 'различные частоты.
Примечательно, что в это же время идея дискретно-
дискретности прокладывала себе 'путь еще в одном направлении
(не имеющем отношения к спектроскопии атомов). Речь
идет об излучении внутри замкнутого объема, или, ины-
иными словами, об излучении абсолютно черного тела. Ана-
Анализируя экспериментальные данные, Планк в 1900 г. вы-
выдвинул знаменательную гипотезу. Он предположил, что
энергия электромагнитного излучения испускается стен-
стенками полости не непрерывно, а порциями (квантами),
лричем энергия одного кванта равна
E=hu, B.3)
где со — частота излучения, a h— некоторая универсаль-
24
ная постоянная (так в физике появилась постоянная
Планка). Как известно, гипотеза Планка обеспечила со-
согласие теории с экспериментом и, в частности, устранила
неприятности, возникавшие в прежней теории при пере-
переходе к большим частотам и известные под названием
«ультрафиолетовой катастрофы» (см., например,
[17]).
Идея квантования и модель атома водорода по Бору.
В 1913 г. Бор предложил теорию атома водорода. Эта
теория возникла как результат «слияния» планетарной
модели атома Резерфорда, комбинационного принципа
Ритца <и идеи квантования энергии Планка.
Согласно теории Бора, существуют состояния, нахо-
находясь в которых атом не излучает (стационарные состоя-
состояния); энергия этих состояний образует дискретный
спектр: ?ь E2i ..., Еп, ... Атом излучает (поглощает),
переходя из одного стационарного состояния в другое;
излучаемая (поглощаемая) энергия есть разность энер-
энергий соответствующих стационарных состояний. Так, при
переходе из состояния с энергией Еп в состояние с мень-
меньшей энергией Еъ. испускается квант излучения с энерги-
энергией (Еп—Ek), при этом в спектре атома появляется линия
с частотой
и^Еп-Е* m B.4)
Формула B.4) выражает знаменитое правило частот
Бора.
В теории Бора п-щ стационарному состоянию атома
водорода соответствует круговая орбита радиуса гп, по
которой электрон движется вокруг ядра. Для вычисле-
вычисления гп Бор предложил воспользоваться, во-первых, вто-
вторым законом Ньютона для заряда, движущегося по ок-
окружности под действием кулоновской силы:
(здесь m и е — масса и заряд электрона, vn — скорость
электрона на п-и орбите), и, во-вторых, условием кван-
квантования момента импульса электрона
mvnrn=nh. B.56)
25
Используя соотношения B.5а) и B.S6), легко найти тп
и vn:
Энергия Еп стационарного состояния состоит из кинети-
кинетического (Тп) и потенциального (Un) слагаемых: Еп =
= Тп+ип. Полагая, что Tn = mvn2/29 Un = —e2/rn и ис-
используя B.6), находим
Отрицательность энергии означает, что электрон нахо-
находится в связанном состоянии (за нуль принимается энер-
энергия свободного электрона).
Подставив результат B.7) в правило частот B.4) и
сопоставив полученное при этом выражение с формулой
B.2), можно, следуя Бору, найти выражение для •посто-
•постоянной Ридберга:
_т?4_ 8)
Теория Бора (или, как теперь принято говорить,
«старая квантовая теория») страдала (внутренними про-
противоречиями; так, для определения радиуса орбиты при-
приходилось пользоваться соотношениями совершенно раз-
разной природы — классическим соотношением B.5а) и
«квантовым соотношением» B.56). Тем не менее эта тео-
теория имела большое значение как первый шаг в создании
последовательной квантовой теории. При этом удалось
впервые объяснить природу спектральных термов (а сле-
следовательно, и комбинационного принципа Ритца) и полу-
получить расчетное значение постоянной Ридберга, которое
оказалось в прекрасном согласии с ее эмпирическим зна-
значением. Успехи теории говорили о плодотворности идеи
квантования. Познакомившись с расчетами Бора, Зом-
мерфельд написал ему письмо, где, в частности, писал
(ом. [18]): «Благодарю Вас за Вашу чрезвычайно инте-
интересную работу. Меня давно занимает проблема выраже-
выражения постоянной Ридберга при помощи величины Планка,
Хотя в данный момент я еще скептически отношусь к
моделям атомов в целом, тем не менее вычисление этой
постоянной, бесспорно, является настоящим подвигом.
О квантовании момента импульса. Заметим, что в
отличие от энергии момент импульса (микрообъекта
26
квантуется всегда. Так, наблюдаемые значения квад-
квадрата момента импульса микрообъекта выражаются фор-
формулой
B.9а)
где / — целые числа 0, 1, 2, ... Если речь идет о моменте
имлульса электрона в атоме в я-м стационарном состоя-
состоянии, то число / принимает значения от нуля до п—1.
В литературе принято называть момент импульса
микрообъекта для краткости просто моментом. В даль-
дальнейшем будем следовать этому обычаю.
Проекция момента микрообъекта на некоторое на-
направление (обозначим его как ^-направление) принима-
принимает значения
M2 = hmy B.96)
где пг =—/, —1+1, ..., /—1, /. При данном значении чис-
числа /число m 'принимает 2/+1 дискретных значений. Под-
Подчеркнем, что различные проекции момента микрообъекта
на одно и то же направление всегда отличаются друг от
друга на величины, кратные постоянной Планка.
Выше уже отмечалось, что спин есть своеобразный,
«внутренний» момент микрообъекта, -имеющий для дан-
лого микрообъекта определенную величину. В отличие
от спинового момента обычный момент иринято «назы-
«называть орбитальным. Кинематически спиновой момент ана-
аналогичен орбитальному; естественно, что для нахождения
возможных проекций спинового момента надо пользовать-
пользоваться формулой типа B.96) (как ,и в случае орбитального
момента, проекции спинового момента отличаются друг
от друга на величины, кратные постоянной Планка).
Если 5 — спин мекрообъекта (это число было введено в
§ 1), то проекция спинового момента принимает значе-
значения На у где а=—s, —5 + 1, ..., 5—1, s. Так, проекция спина
электрона (принимает значения —й/2 и /г/2.
Рассматриваемые здесь числа п, I, пг, а, фиксирую-
фиксирующие различные дискретные значения квантующихся ди-
динамических «переменных (в данном случае энергии и мо-
момента), принято называть квантовыми числами. Конкрет-
Конкретно: п — так называемое главное квантовое число,
/ — орбитальное квантовое число, m — магнитное кван-
квантовое число, а — спиновое квантовое число. Существуют
и другие квантовые числа.
27
Противоречия квантовых переходов. Несмотря на
большой успех теории Бора, адея квантования порожда-
порождала первоначально серьезные сомнения; было подмечено,
что эта идея внутренне противоречива. Так, в письме к
Бору Резерфорд писал (в 1913 г.) [19]: «Ваши мысли от-
относительно причин возникновения спектра водорода
очень остроумны и представляются хорошо продуманны-
продуманными. Однако сочетание идей Планка со старой механикой
создает значительные трудности для понимания того, что
же все-таки является основой такого рассмотрения. Я
обнаружил серьезное затруднение в связи с Вашей гипо-
гипотезой, в котором Вы, без сомнения, полностью отдаете
себе отчет. Оно состоит в следующем: как может элек-
электрон знать, с какой частотой он должен колебаться, ког-
когда он переходит из одного стационарного состояния в
другое? Мне кажется, что Вы вынуждены предположить,
что электрон знает заблаговременно, где он собирается
остановиться» *.
Поясним отмеченную Резарфордоод трудность. Пусть
электрон находится на уровне Ех (рис. 2.1); чтобы перей-
перейти на уровень Е2, электрон должен поглотить квант из-
излучения (т. е. фотон) с определенной энергией, равной
Е2—Ei. Поглощение фотона с любой другой энергией не
может приводить к указанному переходу и по этой при-
причине оказывается невозможным (для простоты рассмат-
рассматриваем только два уровня). Возникает вопрос: каким же
образом электрон производит «выбор» «нужного» фото-
фотона из падающего потока фотонов разной энергии? Ведь
чтобы «выбрать» «нужный» фотон, электрон должен уже
«знать» о втором уровне, т. е. должен как бы уже побы-
побывать на нем. Однако, чтобы побывать на втором уровне,
электрон должен сначала поглотить «нужный» фотон.
Возникает замкнутый логический круг.
Дополнительные противоречия обнаруживаются при рассмотре-
рассмотрении скачка электрона с одной орбиты в атоме на другую. Сколь
бы ни был быстр переход электрона с орбиты одного радиуса
на орбиту другого радиуса, в любом случае он должен проис-
происходить в течение конечного промежутка времени (иначе при-
пришлось бы вступить в противоречие с основным требованием
теории относительности). Но тогда непонятно, чему должна рав-
равняться энергия электрона в течение этого промежутка време-
* Читателя не должно смущать замечание о «колебаниях» элек-
электрона — равномерное движение по окружности есть суперпозиция двух
гармонических колебаний во взаимно перпендикулярных направле-
направлениях.
28
ни — ведь электрон уже не находится на орбите, которой отве-
отвечает энергия Еи и в то же время он еще не прибыл на орбиту,
которой отвечает энергия Е2.
Неудивительно, что в свое время предпринимались
попытки .получить объяснение экспериментальных резуль-
результатов без (привлечения идеи квантования. В этом смысле
показательно известное замечание Шредингера, вырвав-
вырвавшееся у -него, что 'называется, под горячую руку: «Если
мы собираемся сохранить эти проклятые квантовые
скачки, то я жалею, что вообще имел дело с квантовой
теорией!» Однако (Неумолимый опыт свидетельствовал в
пользу квантования; ни для какой альтернативы не оста-
оставалось места.
В подобной ситуации есть один выход: надо ввести
какие-то новые идеи, которые вместе с идеей дискретно-
дискретности образовали бы непротиворечивую в целом схему.
Такой новой физической идеей и явилась идея корпуску-
лярно-волнового дуализма.
Идея корпускулярно-волнового дуализма. Класси-
Классическая физика знакомит нас с двумя видами движения —
корпускулярным и волновым. Для шер'вого характерны
локализация объекта в пространстве и существование
определенной траектории его движения. Для второго ха-
характерна, напротив, делокализация в пространстве; с
(волновым движением не сопоставляют никакого локали-
локализованного объекта — это есть движение некоей среды.
На уровне макроявлений корпускулярное и волновое дви-
движения четко разграничены; одно дело — движение бро-
брошенного вверх камня, совершенно другое дело — движе-
движение волны, набегающей на (прибрежный песок.
Эти (привычные представления не могут быть, одна-
однако, перенесены в 'квантовую механику. На уровне микро-
микроявлений указанное выше четкое разграничение между
двумя видами движения в существенной мере стирает-
стирается— движение микрообъекта характеризуется одновре-
одновременно и волновыми, и корпускулярными свойствами.
Если схематически рассматривать классические 'корпус-
'корпускулы и классические волны как два предельных случая
описания движения материи, то микрообъекты должны
запять в этой «схеме» место где-то посередине. Они не
являются ни «чистыми» (в классическом понимании)
корпускулами, ни «чистыми» волнами — они являются
чем-то качественно иным. Можно сказать, что микрообъ-
микрообъект в какой-то мере похож на корпускулу, в какой-то
29
мере — на (волну, причем эта мера зависит, в частности,
от уславий, IB которых рассматривается микроо'бъект.
Если в классической физике корпускула и волна — две
взаимно исключающие друг друга противоположности
(либо частица, либо волна), то теперь, на уровне микро-
микроявлений, эти противоположности диалектически объеди-
объединяются в рамках единого микрообъекта. Это обстоятель-
обстоятельство и принято называть корпускулярно-волновым дуа-
дуализмом («дуализм» означает двойственность).
Первоначально идея дуализма была применена к
электромагнитному излучению. Еще в 1917 г. Эйнштейн
предложил рассматривать введенные Планком кванты
излучения как своеобразные частицы, обладающие «е
только определенной энергией, но и определенным им-
импульсом:
Е = Ы, P=J^L . B.10)
с
Позднее (с 1923 г.) эти частицы стали называть фото-
фотонами.
Весьма ярко корпускулярные свойства излучения проявились в
эффекте Комптона A923 г.). Пусть пучок рентгеновских лучей
рассеивается на атомах вещества. По классическим представле-
представлениям рассеянные лучи должны иметь ту же длину волны, что
и падающие. Однако опыт показал, что длина волны рассеян-
рассеянных лучей больше начальной длины волны, причем разница
в длинах волн зависит от угла рассеяния. Эффект Комптона
получил объяснение в предположении, что пучок рентгеновских
лучей ведет себя как поток фотонов, которые испытывают упру-
упругие столкновения с электронами атомов, с выполнением зако-
законов сохранения энергии и импульса для сталкивающихся час-
частиц. При этом достигалось не только качественное, но и коли-
количественное согласие с экспериментом (см. [17]).
В 1924 г. де Бройль предложил распространить идею
дуализма не только на излучение, но и вообще на все
микрообъекты. Конкретно: он предложил с каждым мик-
микрообъектом связывать, с одной стороны, корпускулярные
характеристики (энергию Е и импульс /?), а с другой
стороны, волновые характеристики (частоту со >и длину
волны К). Взаимосвязь между характеристиками разно-
разного типа осуществляются, л о де Бройлю, через лостоян-
дую Планка h следующим образо>м:
B.11)
(второе из sfttx сооПюШений известно как формула дй
Бройля). Для фотонов соотношения B.11) выполняются
автоматически, если -в B.10) подставить ш = 2ясД. Сме-
Смелость гипотезы де Бройля состояла в том, что соотноше-
соотношения B.11) предполагались выполняющимися не только
для фотонов, но и вообще для любых микрообъектов, в
частности для таких, у которых есть масса покоя и кото-
которые до этого ассоциировались с (корпускулами.
Гипотеза де Бройля получила в 1927 г. 'подтвержде-
'подтверждение: была обнаружена дифракция электронов. Исследуя
прохождение электронов сквозь тонкие пластинки, Дэ-
виссон -и Джермер (а также Тартаковский) обнаружили
на экране-детекторе характерные дифракционные коль-
кольца. Для «электронных волн» кристаллическая решетка
мишени сыграла роль дифракционной решетки. Измере-
Измерения расстояний между дифракционными кольцами для
электронов заданной энергии подтвердили формулу де
Бройля.
В 1949 г. Фабрикант с сотрудниками поставили ин-
интересный опыт. Они пропускали через дифракционное
устройство крайне слабый электронный пучок — проме-
промежуток времени между последовательными актами пропу-
пропускания (между двумя электронами) 'более чем в 104 раз
превышал время, необходимое для прохождения элек-
электрона через устройство. Это давало уверенность в том,
что на поведение электрона не влияют другие электроны
пучка. Опыт показал, что при длительной экспозиции,
позволяющей зарегистрировать на экране-детекторе до-
достаточно большое число электронов, возникала такая же
дифракционная картина, что и в случае обычных элек-
электронных пучков. Отсюда следовало, что волновые свой-
свойства электронов нельзя объяснить как некий эффект кол-
коллектива электронов; волновыми свойствами обладает
каждый отдельно взятый электрон.
Роль постоянной Планка. Идея квантования вводит
дискретность, а дискретность тр!ебует определения меры.
Роль такой меры играет постоянная Планка. Можно ска-
сказать, что эта постоянная как бы определяет «границу»
между микроявлениями и макроявлениями. Используя
постоянную Планка, а также массу и заряд электрона,
можно образовать следующую простейшую композицию,
обладающую размерностью длины:
r1==-5?.=0,53.10~8 см B.12)
те*
31
(заметим, что t\ есть радиус первой орбиты в теории
Бора). В соответствии с B.12) величина, порядка 10~8 см
может рассматриваться как пространственная «граница»
микроявлений. Именно таковы линейные размеры атомов.
Если бы при прочих равных условиях постоянная Ь.
была бы, например, в 100 раз больше, то, согласно B.12),
«граница» микроявлений оказалась бы порядка 10~4 см.
Это означало бы, что микроявления стали гораздо бли-
ближе к нам, к нашим масштабам, атомы стали заметно
крупнее. Иными словами, материя оказалась бы в этом
случае более «крупнозернистой» и следо!вало бы при бо-
более (крупных масштабах пересматривать классические
представления.
Как указывалось ранее, проекции момента микро-
объекта отличаются друг от друга на величины, кратные
ft [см. B.96)]. Следовательно, здесь постоянная Планка
является попросту шагом квантования. Если орбиталь-
орбитальный момент много больше ft, то его квантованием можно
пренебречь; в этом случае приходим к классическому мо-
моменту импульса. В отличие от орбитального спиновой
момент не может быть достаточно большим. Ясно, что
здесь квантованием пренебречь принципиально невоз-
невозможно; именно поэтому спиновой момент и не имеет
классического аналога (это обстоятельство уже отмеча-
отмечалось в § 1).
Постоянная Планка органически связана не только
с идеей квантования, но также и с идеей дуализма. Из
B.11) видно, что эта постоянная играет весьма важную
роль — именно она осуществляет «связь» между корпус-
корпускулярными и волновыми характеристиками микрообъек-
микрообъекта. Указанное обстоятельство особенно хорошо видно,
если переписать B.11) в виде, позволяющем учесть век-
векторную природу импульса:
? = ftco, p=hk. B.I3)
Здесь k — волновой вектор; его направление совпадает с
направлением распространения волны, а величина вы-
выражается через длину волны следующим образом: k =
= 2л/Л. В левые части равенств в B.13) входят корпус-
корпускулярные, а в правые — волновые характеристики микро-
микрообъекта. Попутно отметим, что вид соотношений B.13)
указывает на релятивистскую инвариантность идеи дуа-
дуализма.
32
Итак, 'постоянная Планка играет в квантовой меха-
механике две основные роли —служит мерой дискретности и
связьивает воедино корпускулярный и волновой аспекты
движения 1материи. Тот факт, что обе роли играет одна
и та же постоянная, косвенно указывает н»а .внутреннее
единство двух основополагающих идей квантовой меха-
механики.
В заключение подчеркнем, что наличие в том или
ином выражении постоянной Планка является характер-
характерным признаком «квантовомеханической природы» этого
выражения *.
§ 3. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Идея дуализма и соотношения неопределенностей.
Рассмотрим совокупность большого числа (плоских волн
(природа волн несущественна),
распространяющихся, например,
вдоль оси х. Пусть частоты волн
«разбросаны» в некотором интер-
интервале Да), а значения волнового -
вектора — в интервале Akx. Если
наложить друг на друга все эти
плоские волны, то в результате
получится волновое образование,
ограниченное в пространстве,—
так называемый волновой пакет
(рис. 3.1). Размытие волнового ис>
пакета в пространстве (Ах) и во времени (At) определя-
определяется соотношениями:
АХ
C.1)
Эти соотношения хорошо известны в классической физи-
физике. Тот, кто знаком с радиотехникой, знает, что для соз-
создания более локализованного сигнала надо взять по-
побольше плоских волн с разными частотами. Иначе гово-
говоря, чтобы уменьшить Ах и Д/, надо увеличивать Akx и Дсо.
* Обратное утверждение неверно. Заметим в связи с этим, что
было бы неправильно пытаться сводить, как это иногда делают, все
«существо» квантовой механики к наличию постоянной Планка.'
2—2819 33
Далее отвлечемся от (волнового пакета и будем фор-
формально полагать, что соотношения C.1) справедливы те
только для классических волн, но также и для ©ол-новых
характеристик микрообъекта. Подчеркнем, что это пред-
предположение отнюдь не означает, что в действительности
мы моделируем микрообъект в виде некоего волнового
пакета. Если рассматривать в C.1) величины со и /г^как
волновые характеристики мищюобъкта и воспользовать-
воспользоваться соотношениями B.13), то нетрудно перейти к анало-
аналогичным выражениям для корпускулярных характеристик
микрообъекта (для его энергии и импульса):
C.2)
C.3)
Эти соотношения были впервые введены Гейзенбергом в
1927 г. Их принято называть соотношениями неопреде-
неопределенностей.
Соотношения C.2) и C.3) следует дополнить сле-
следу ю щи м с о отно ш е 11 и е м неопр еде л енн о ст е й:
ШлЛух>,Н, C.4)
где Дфх — неопределенность угловой координаты микро-
микрообъекта (рассматривается поворот около оси х), а
АМХ— неопределенность проекции момента на ось х.
По аналогии с C.3) и C.4) могут быть записаны
соотношения для других проекций импульса и момента:
kPyky^h, Lpzb,z^fi, C.3a)
АУИ^А^^Й, LMzL^z^ti. C.4а)
Смысл соотношений неопределенностей. Обсудим со-
соотношение C.3). Здесь Ал: —неопределенность х-коорди-
наты ми кро объект а, Арх — неопределенность х-проекции
его импульса. Чем меньше Ах, тем больше Арх, и наобо-
наоборот. Если микрообъект локализован в некоторой опреде-
определенной точке х, то я-проекция его импульса должна
иметь сколь угодно большую неопределенность. Если,
напротив, микрообъект находится ъ состоянии с опреде-
определенным значением pXi то он должен быть делокализован
по всей оси х.
Иногда соотношение неопределенностей C.3) трак-
трактуют так: нельзя измерить координату и импульс микро-
34
объекта с произвольно высокой точностью одновремен-
одновременно; чем точнее измерена координата, тем менее точно
может быть измерен импульс. Такая трактовка не очень
удачна, поскольку из нее можно вывести ложное заклю-
заключение, что смысл соотношения C.3) сводится к ограни-
ограничениям, которые оно накладывает на процесс измерения.
В этом случае можно предположить, что сам то себе
микрообъект имеет и какой-то импульс, и какую-то ко-
координату, .но соотношение неопределенностей не позво-
позволяет нам измерить их одновременно.
В действительности же ситуация здесь иная — прос-
просто сам микрообъект не может одновременно иметь и оп-
определенную координату, и определенную соответствую-
соответствующую проекцию импульса; если, например, он находится
в состоянии с более определенным значением координа-
координаты, то 'в этом состоянии соответствующая проекция его
импульса оказывается менее определенной. Естественно,
что отсюда вытекает и фактическая невозможность сов-
совместного измерения координат и импульсов микрообъек-
микрообъектов. Это есть следствие специфики микрообъектов, а
отнюдь не какой-то каприз природы, в силу которого
будто бы не все существующее познаваемо. Следователь-
Следовательно, смысл соотношения C.3) не в том, что оно создает
какие-то препятствия процессу познания микроявлений,
а в том, что оно отражает некоторые особенности объек-
объективных свойств микроо'бъектов. Последнее замечание
имеет, разумеется, общий характер: оно относится не
только к соотношению C.3), но и к остальным соотноше-
соотношениям неопределенностей.
Далее отдельно остановимся на соотношении C.2).
Рассмотрим два несколько отличающихся одно от дру-
другого, хотя ;и взаимно согласующихся толкования этого
соотношения. Предположим, что микрообъект нестаби-
нестабилен; пусть At— время его жизни в рассматриваемом со-
состоянии. Энергия микрообъекта в данном состоянии
должна иметь неопределенность АЕ, которая связана с
временем жизни At соотношением C.2). В частности,
если состояние является стационарным (At сколь угодно
велико), то энергия микроо'бъекта будет точно опреде-
определенной (АЕ = 0).
Другое толкование соотношения C.2) связано с из-
измерением, преследующим цель выяснить, находится мик-
микрообъект на уровне Ех или же на уровне Е2. Такое изме-
35
рение требует конечного .времени Г, зависящего от рас-
расстояния между уровнями (Е2—Е\):
h. C.2а)
Нетрудно усмотреть связь между этими двумя трактов-
трактовками. Чтобы разрешить уровни Е\ и Е2, необходимо,
очевидно, чтобы неопределенность энергии микрообъек-
та А? не превышала расстояния между уровнями:
АЕ^.(Е2—?"i). В то же время длительность измерения Т
не должна, очевидно, превышать время жизни At микро-
микрообъекта на данном уровне: T^At. Крайние условия, з
которых еще возможно измерение, имеют, следовательно,
вид
Используя C.2), приходим отсюда к C,2а).
Соотношения неопределенностей C.2) — C.4) пока-
показывают, каким образом следует пользоваться понятиями
энергии, импульса и момента импульса при переходе к
микрообъектам. Здесь обнаруживается весьма важная
особенность физики микрообъектов: энергия, импульс и
момент .микрообъекта имеют смысл, но с ограничениями,
налагаемыми соотношениями неопределенностей. Как
писал Гейзенберг [20], «мы не можем интерпретировать
процессы в атомарной области так же, как процессы
большого масштаба. Если же мы пользуемся привычны-
привычными понятиями, то их применимость ограничивается так
называемыми соотношениями неопределенностей».
Следует, однако, подчеркнуть, что соотношения не-
неопределенностей отнюдь не сводятся к указанному огра-
ограничению применимости ;к микрообъектам классических
понятий координаты, импульса, энергии и т. д. Было бы
неправильно не замечать за «негативным содержанием»
соотношений неопределенностей значительного «позитив-
«позитивного содержания» этих соотношений. Они являются ра-
рабочим инструментом квантовой теории. Отражая специ-
специфику физики микрообъектов, соотношения неопределен-
неопределенностей позволяют весьма простым путем получать
важные оценки. Примеры подобных оценок приводятся
ниже, в § 4.
От явления дифракции микрообъектов к соотноше-
соотношениям неопределенностей. Рассмотренный в начале пара-
параграфа путь получения соотношений неопределенностей
может показаться читателю слишком формальным и ма-
36
лоубедительным. Существуют разные способы вывода
соотношений неопределенностей (см., например, [21]).
Один из таких способов [в применении конкретно ;к соот-
соотношениям C.3)] основан на рассмотрении явления ди-
дифракции микрообъектов.
Предположим (рис. 3.2), что на пути строго парал-
параллельного пучка неких микрообъектов с импульсом р
поставлен экран с узкой щелью, ширина которой в на-
направлении оси х равна d
(ось х перпендикулярна ис-
исходному направлению пуч-
пучка). При прохождении мик-
микрообъектов через щель про-
происходит дифракция. Пусть
0 — угол между исходным
направлением на первый
(основной) дифракционный
максимум. Классическая
волновая теория дает, как
известно, следующее соотно-
соотношение для этого угла: sin 0 =
= k/d. Полагая угол 0 достаточно малым,
указанное соотношение в виде
Рис. 3.2
перепишем
X
d
C.5)
Если под величиной К понимать теперь длину не класси-
классической волны, а волны де Бройля (т. е. волновую харак-
характеристику микрообъекта), то можно, воспользовавшись
выражением B.11) , переписать соотношение C.5) на
«корпускулярном языке»:
pd
C.5а)
Однако, как понимать на «корпускулярном языке» сам
факт существования угла 0? Очевидно, этот факт озна-
означает, что при прохождении через щель микрообъект при-
приобретает некий импульс Арх в направлении оси х. Легко
сообразить, что Дрх~/?0. Подставляя сюда C.5а), полу-
получаем Apxtth/d. Рассматривая затем величину d как не-
неопределенность Ах ^-.координаты микрообъекта, прохо-
проходящего через щель, находим отсюда АрхкхжНу т. е. фак-
фактически приходим к соотношению неопределенностей
C.3). Таким образом, попытка в какой-то мере фиксиро-
37
;вать координату микрообъекта в (направлении, перпен-
перпендикулярном направлению его движения, приводит к
возникновению неопределенности импульса микрообъек-
микрообъекта в указанном направлении, чем и объясняется наблю-
наблюдаемое на опыте явление дифракции.
Соотношения неопределенностей и состояния микро-
микрообъектов; понятие о полном наборе физических величин.
Для задания состояния классического объекта надо, как
известно, задать определенную совокупность чисел — ко-
координаты и составляющие скорости. При этом, в частно-
частности, будут определены и другие величины: энергия,
импульс, момент импульса объекта [ом. A.1)]. Соотноше-
Соотношения неопределенностей показывают, что для микрообъ-
микрообъектов такой способ задания состояния неприемлем. Так,
например, наличие у микрообъекта определенной проек-
проекции импульса -на данное направление означает, что
положение микрообъекта на указанном направлении не
может быть предсказано однозначно: согласно C.3),
соответствующая пространственная координата харак-
характеризуется бесконечно большой неопределенностью.
Электрон и атоме имеет определенную энергию; при этом
его координаты характеризуются неопределенностью
порядка линейных размеров атома, что, согласно C.3),
приводит к неопределенности проекций импульса элек-
электрона, равной отношению постоянной Планка к линейно-
линейному размеру атома.
Можно указать следующие принципиальные для
квантовой механики положения, вытекающие из соотно-
соотношений неопределенностей: а) различные динамические
переменные микрообъекта объединяются в наборы одно-
одновременно определенных (одновременно измеримых)
величин, так называемые полные наборы величин; б) раз-
различные состояния микрообъекта объединяются ib группы
состояний, отвечающие разным полным наборам вели-
величин; каждая такая группа объединяет состояния микро-
микрообъекта, в которых определены величины соответствую-
соответствующего полного набора (принято говорить, что каждому
полному набору соответствует свой способ задания со-
состояний) .
Укажем примеры полных наборов, используемых
для задания состояний, например, электрона и фотона.
.Каждый из наборов включает четыре величины (в связи
с этим говорят, что такой микрообъект, как электрон
•или фотон, имеет четыре степени свободщ). Для
38
пня состояний электрона используют следующие наборы:
х, //, z, д, C.6а)
Ь\ /, Ш, а (З.бв)
(напомним, что /, т, а — соответственно орбитальное,
магнитное и спиновое квантовые числа). Подчеркнем, что
.координаты и составляющие импульса микрообъекта (в
данном случае электрона) попадают в разные полные
наборы Беличий; указанные физические величины одно-
вр е м е нно н ей з м е р и м ы. Имени о поэтом у к л ас с и ч ее ки е
соотношения A.2) и A.3) .не работают при переходе к
микрообъектам; ведь в каждое >из этих соотношений вхо-
входят и координаты, и импульс.
Набор C.66) используют, в частности, для описания
состояний свободно движущегося электрона; при этом
оказывается определенной также ;и энергия электрона:
Е= (px2-\-py2 + pz2)/2in*. Набор (З.бв) используют обыч-
обычно для описания состояний электрона в атоме.
Для описания состояний фотона используют чаще
асего следующие наборы:
kx, ky, kz, a, C.7a)
Е, М2, 'М„ Я. C.76)
Здесь kx, ky, kz — проекции волнового вектора излучения;
а — поляризация фотона; М2 и Mz — соответственно квад-
квадрат момента и проекция -момента фотона; Р — квантовое
число, называемое пространственной четностью. Заметим,
что коль скоро определены проекции волнового вектора
излучения, то определены и проекции импульса фотона
(напомним: p = hk). Поляризация фотона принимает два
значения —ib полном соответствии с двумя независимыми
поляризациями классической волны (так, например,
можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптиче-
эллиптическую поляризацию). Пространственная четность—спе-
четность—специфическая характеристика микрообъекта; она может
рассматриваться как интеграл движения, сохранение ко-
которого есть следствие симметрии по отношению к опера-
* В отличие от соотношения A.2) классическое соотношение
Е = р2/2пг для свободно движущейся частицы сохраняется при пере-
переходе к микрообъектам.
39
ции отражений в зеркале. Впоследствии (см. § 20) мы
остановимся на этом подробнее; здесь же мы отметим
только, что четность принимает два значения: Р = 1, —1.
Набор C.7а) используют для описания состояний фо-
фотонов, отвечающих плоским классическим волнам; при
этом оказывается определенной также и энергия фотона
(напомним: E = h(n = hck). О состояниях, описываемых на-
набором C.7а), говорят как о /га-состояниях. Набор C.76)
используют для описания состояний фотонов, отвечающих
сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно
тому, как сферическая волна может быть представлена в
виде суперпозиции плоских волн, состояние фотона, опре-
определяемое набором C.76), может быть представлено в ви-
виде «суперпозиции» состояний, определяемых набором
C.7а). Верно также и противоположное заключение—¦
о представлении плоской волны в виде суперпозиций
сферических волн. Здесь мы коснулись (пока только
коснулись!) одного из наиболее важных и тонких аспек-
аспектов квантавомеханического описания материи — специ-
специфики «взаимоотношений» состояний микрообъекта, опи-
описываемых разными полными наборами. Эта специфика
отражается в наиболее конструктивном принципе кван-
квантовой механики — принципе суперпозиции состояний.
Суперпозиция состояний будет обстоятельно рассмотрена
во второй главе; здесь же пока ограничимся сделанными
замечаниями.
Соотношения неопределенностей и квантовые пере-
переходы. Указанное в § 2 основное противоречие квантовых
переходов фактически снимается, если воспользоваться
идеей дуализма, а точнее, соотношениями неопределен-
неопределенностей C.2). Предположим, что рассматривается пере-
переход электрона в атоме с уровня Ех на уровень Е2 при
поглощении фотона с энергией Ню = Е2—Е\. Напомним,
что противоречие перехода было связано с выяснением
вопроса о том, что именно происходит сначала: поглоще-
поглощение фотона или переход электрона. Легко видеть, что те-
теперь этот вопрос попросту теряет смысл. Действительно,
если до и после взаимодействия с излучением имеем свя-
связанный электрон с энергией соответственно Ех и Е2, то
во время взаимодействия с излучением имеем единую
квантовомеханическую систему, включающую в себя и
электрон, и излучение. Эта система существует конечное
время (пока происходит взаимодействие с излучением)
и, согласно C.2), не может иметь какой-либо определен-
40
ной энергии. Поэтому (нет смысла выяснять, что именно
в подробностях .происходит в такой системе. Во время
взаимодействия электрона с фотонами .нет, строго гово-
говоря, ни электрона, ни фотонов, а есть нечто единое целое,
которое и следует рассматривать -именно как единое це-
целое— без уточнения деталей. Этот пример показывает,
что в квантовой механике нельзя безгранично детали-
детализировать изо времени физический процесс. Вопрос: что
происходит после чего? — не всегда можно ставить в от-
отношении ми кроя влеки й *.
Соотношения неопределенностей C.2) позволяют ввести и ис-
использовать для объяснения квантовых переходов весьма важное
в квантовой теории понятие так называемых виртуальных пере-
переходов. Проведем здесь упрощенное рассмотрение виртуальных
переходов, предполагая дать более обстоятельное объяснение
позднее в § 6. Согласно соотношению C.2), электрон может
перейти с уровня Е\ на уровень Е2 и без получения энергии
извне; важно лишь, чтобы он быстро возвратился на исходный
уровень Е\. Подобное «путешествие» (Е\-+Е2-+Е\) возможно,
если его длительность At такова, что выполняется неравенство
Ti/Af>(?2 — Е\), поскольку в этом случае неопределенность
энергии электрона больше разности энергий рассматриваемых
уровней. Отсюда видно, что фраза «электрон живет на уровне
?i» может пониматься весьма своеобразно — как беспрестанные
«переходы» электрона с данного уровня на другие с обязатель-
обязательным возвращением всякий раз на исходный уровень Е\. Такие
переходы нельзя обнаружить экспериментально; в отличие от
обычных (реальных) переходов их называют виртуальными.
При взаимодействии совершающего виртуальные переходы элек-
электрона с излучением возможна смена «прописки» электрона, на-
например он станет «жить» на уровне Е2, т. е. в дальнейшем будет
совершать виртуальные переходы уже не относительно уровня
Ей а относительно уровня Е2. Если это произошло, то говорят,
что электрон поглотил фотон с энергией tico = ?12 — Е\ и совер-
совершил переход с уровня Е\ на уровень Е2. Виртуальные переходы
не требуют затраты энергии извне; реальные же переходы не-
невозможны без затраты энергии — это есть энергия фотонов,
поглощаемых (или испускаемых) электронами в процессе взаи-
взаимодействия с излучением.
Для пояснения различия между реальными и виртуальными пе-
переходами заметим, что реальный переход с некоторого уровня
Е\ на уровень Е2 и обратно можно разбить на два последова-
последовательных временных этапа (можно экспериментально зарегистри-
зарегистрировать электрон в промежуточном состоянии, т. е. на уровне
Е2). Виртуальный же переход с уровня Е\ на уровень Е2 и об-
обратно принципиально нельзя разбить на два временных этапа —
обе «части» перехода (туда и обратно) следует рассматривать
во времени как единый, неделимый процесс.
* «Противоречие» квантовых переходов полностью снимается
при рассмотрении принципа суперпозиции состояний (см. § 10).
41
Соотношение неопределенностей «число фотонов —
фаза». Используемые в квантовой теории соотношения4
неопределенностей отнюдь не исчерпываются соотноше-
соотношениями C.2) — C.4). В качестве еще одного такого соот-
соотношения укажем соотношение неопределенностей для!
числа фотонов и фазы волны.
Пусть имеется монохроматическое излучение часто-
частоты оз. С одной стороны, оно может рассматриваться как
коллектив фотонов, каждый из которых имеет энергию?
Йсо; с другой стороны — как классическая электромаг-
электромагнитная волна. Пусть N — число фотонов в (рассматривае-
(рассматриваемом объеме, а Ф = ю?— фаза классической волны. Кор-
Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов"
N) и 1вол-но1вая характеристика (фаза Ф) не могут иметь
одновременно определенные значения; существует со от*
н ош е ни е н ест р еде лен н ост ей
ДАГДФ;>1. C,8)
Чтобы прийти к соотношению C.8), будем исходить
из соотношения неопределенностей для энергии и време-
времени. Напомним, что для измерения энергии квантового объ-
объекта с точностью АЕ надо затратить время Д/^Й/Д?. Если
в качестве квантового объекта рассматривается коллек-
коллектив фотонов,то в этом случае
где AiV — неопределенность числа фотонов. В течение
времени At, необходимого для измерения энергии объек-
объекта с точностью до ЙшАЛг, фаза Ф объекта изменится на
величину ДФ = соД?. Подставляя сюда соотношение
At >; hjh^AN, находим АФ > 1/AN, что и требовалось
показать.
В соотношении C.8) отразилось диалектически про-
противоречивое единство корпускулярных и волновых
свойств излучения. Неопределенность АФ мала, когда
ярко выражены волновые свойства излучения; в этом
случае велика плотность фотонов (велико N), а следова-
следовательно, и неопределенность АЛЛ С другой стороны, неоп-
неопределенность AN мала, когда <в коллективе мало фото-
фотонов; в этом случае ярко выражены корпускулярные
свойства излучения, поэтому велика неопределен-
неопределенность АФ.
42
§ 4. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫТЕКАЮЩИЕ
ИЗ СООТНОШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Оценка энергии основного состояния атома водоро-
водорода. Позволяя довольно простым путем получать важные
оценки, соотношения неопределенностей оказываются
полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водо-
водорода в основном состоянии. Воспользуемся известным
классическим выражением для энергии заряженной час-
частицы, движущейся IB кулоновском поле
где m и е—соответственно масса и заряд электрона.
Чтобы использовать классическое выражение D.1) в
квантовой теории, будем рассматривать величины р и г,
входящие в «его, как неопределенности соответственно
импульса и координаты электрона. Согласно соотноше-
соотношению C.3), эти величины связаны друг с другом. Поло-
Положим przzh, или проще
/?г = А. D.2)
Используя D.2), исключим величину г из D.1). Получим
Е{р)=?--&-. D.3)
Легко убедиться, что функция Е(р) имеет минимум при
некотором значении р = р\\ обозначим его через Е\. Ве-
Величину Е\ можно рассматривать как оценку энергии ос-
основного состояния атома водорода, а .величину r\ = hjp\ —
как оценку линейных размеров атома (в теории Бора это
есть радиус первой орбиты). Приравнивая нулю произ-
производную Е{р), находим pi = me2/h. Отсюда немедленно
dp
получаем искомые оценки [сравните с B.6) и B.7)]:
гг= , Ел= . D.4)
. l те* l 2ti2 ^ ;
Оценки D.4) полностью совпадают с результатами
строгой теории *. Конечно, к такому полному совпадению
* В строгой теории величина гх есть характерное для основного
состояния атома водорода расстояние от ядра, на котором наиболее
вероятно обнаружить электрон [см. в связи с этим выражение E.4)].
43
надо относиться в известной мере как к случайному ус-
успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок
величин. Подчеркнем, что этот порядок оценивается, как
мы видим, весьма просто: достаточно заменить в клас-
классическом выражении D.1) точные значения динамиче-
динамических переменных величинами, характеризующими степень
«размытия» этих переменных, т. е. их .неопределенностя-
.неопределенностями, а затем воспользоваться квантовомеханическими со-
соотношениями, связывающими указанные неопределен-
неопределенности.
Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора.
Будем действовать точно так же, как и в предыдущем
примере. Энергия классического одномерного гармониче-
гармонического осциллятора описывается выражением
Е= Р* 1 т^х2 (А К)
2т ' 2 " { ' J
Рассматривая рх и х как неопределенности импульса и
координаты осциллирующего микрообъекта и пользуясь
в качестве соотношения неопределенностей равенством
рхх = Н, получаем из D.5)
2
Приравнивая нулю производную Е (рх), находим ве-
dpx
личину /70= ±угтНму при которой функция Е(рх) при-
принимает минимальное значение. Легко убедиться, что это
значение равно
Е0 = Е{р0) = Нш. D.7)
Этот результат весьма интересен. Он показывает, что в
квантовой механике энергия осциллятора ;не может об-
обратиться в нуль; ее .минимальное значение оказывается
порядка йсо. Это есть так называемая энергия нулевых
колебаний. Заметим, что оценка D.7) отличается от точ-
точного выражения для энергии нулевых колебаний лишь
множителем 1/2 (точный результат: ?0 = Й©/2).
Учитывая существование нулевых колебаний, можно
прийти, в частности, к следующему интересному заклю-
заключению: энергия колебательного движения атомов кри-
кристалла не обращается в нуль даже при температуре аб-
абсолютного нуля.
44
Нулевые колебания иллюстрируют принципиальное
общее обстоятельство: нельзя реализовать микрообъект
иа «дне потенциальной ямы», или, иначе говоря, «микро-
объект не может упасть на дно потенциальной ямы».
Этот вывод -не зависит от вида потенциальной ямы, так
ка,к является прямым следствием соотношения неопреде-
неопределенностей: «падение на дно ямы» связано с обращением
в нуль импульса микрообъекта, а вместе с тем и неопре-
неопределенности импульса; в этом случае неопределенность
координаты должна стать сколь угодно большой, что
противоречит самому факту пребывания микрообъекта
в потенциальной яме.
Оценка величины «размытия» края полосы оптиче-
оптического поглощения в эффекте Франца — Келдыша. Суть
эффекта, исследованного в 1958 г. Келдышем и незави-
независимо от него Францем, состоит в следующем: во внешнем
однородном электрическом поле минимум энергии элек-
электронов в зоне проводимости в полупроводнике смещает-
смещается вниз по энергетической шкале, что приводит к «раз-
«размытию» края основной полосы оптического поглощения
,('в результате становится возможным поглощение фото-
фотонов, энергия которых (меньше ширины запрещенной зо-
зоны) [22]. Характеризующая указанное «размытие» вели-
величина энергетического смещения электронных состояний
может быть оценена таким же методом, каким были по-
получены предыдущие оценки. Воспользуемся классиче-
классическим выражением для энергии заряженной частицы в
электрическом поле напряженностью^ :
2
Е = ^- Sex. D.8)
2т
Здесь т —эффективная (масса электрона в зоне проводи-
проводимости. Рассматривая рх и х как неопределенности им-
импульса и координаты электрона и пользуясь в качестве
соотношения неопределенностей равенством рхх = Н, по-
получаем из D.8)
Далее, как обычно, приравниваем нулю производную
Е{рх) и находим значение pQ= —VSehm, при ко-
45
тором функция Е(рх) достигает минимума:
Q О *3 _______________
EQ = —, у (Sehfjtn ^ \(Seh)ljtn. D.10)
2
Выражение D.10) как раз и дает оценку величины «раз-
«размытия» края основной полосы оптического поглощения .в
эффекте Франца — Келдыша.
Почему электрон не падает на ядро? Постулируя
стационарные состояния, теория Бора не объяснила, по-
почему все-таки электрон, двигаясь ускоренно, не излучает
и не падает в результате на ядро. Соотношение C.3)
объясняет это обстоятельство. Падение электрона на яд-
ядро означало (бы, очевидно, существенное уменьшение не-
неопределенности его координаты: если до падения на яд-
ядро электрон локализован в пределах атома, т. е. в облас-
области пространства, линейные размеры которой порядка
Н2/те2ж10~8 см [см. D.4)], то после падения на ядро
электрон должен был бы локализоваться ,в области с ли-
линейными размерами меньше 10~12 см. Согласно C.3), бо-
более сильная локализация микрообъекта в пространстве
связана с «размытием» его импульса, поэтому при паде-
падении на ядро среднее значение импульса электрона долж-
должно возрасти, для чего требуется затрата энергии. Полу-
Получается, что нужно усилие отнюдь не для того, чтобы
«удержать» электрон от падения на ядро, а совсем на-
наоборот— нужно усилие, чтобы «заставить» электрон ло-
локализоваться iB пределах ядра.
На примере нулевых колебаний осциллятора отмеча-
отмечалось, что микрообъект в потенциальной яме всегда имеет
ртличную от нуля минимальную энергию Ео. Величина
Ео зависит, в частности, от пространственных размеров
ЯхМы (от ее ширины а, определяющей степень простран-
пространственной локализации микрообъекта). Учитывая соотно-
соотношение неопределенностей, легко сообразить, что
Если а уменьшается, то Ео растет. При достаточно малом
а энергия Ео может стать больше глубины потенциаль-
потенциальной ямы. Ясно, что в такой яме микрообъект вообще не
реализуется.
Падение электрона на ядро соответствует уменьше-
уменьшению ширины потенциальной ямы от 10~8 до 10~12 см (и
даже меньше). Согласно D.11), минимальная энергия
46
Eq должна при этом возрасти —от 10 до 109 эВ (и боль-
больше). В результате минимальная энергия электрона ока-
оказывается на -несколько порядков больше энергии связи
нуклона в атомном ядре (последняя не превышает
107 эВ). Это значит, что в ядерной потенциальной яме
электрон вообще не реализуется, так что никаким обра-
образом даже насильно нельзя его «заставить» локализовать-
локализоваться в пределах ядра.
Тем самым не только снимается проблема «падения
электрона на ядро», но решается и другой принципиаль-
принципиальный вопрос: в состав атомного ядра электроны не входят.
О «траектории» микрообъекта. Чтобы начертить
траекторию некой частицы, «надо, строго говоря, для каж-
каждого момента времени знать координату и импульс час-
частицы [действительно, чтобы изобразить зависимость
x(t)9 надо для каждого t знать х и dx/dt]. Поскольку, со-
согласно соотношению неопределенностей C.3), микро-
микрообъект не может одновременно иметь и определенную
координату, и определенную соответствующую проекцию
импульса, то отсюда следует вывод: понятие траектории
к микрообъекту, строго говоря, неприменимо.
Отказ от траектории связан с наличием у микрообъ-
микрообъектов волновых свойств, которые не позволяют рассмат-
рассматривать микрообъекты как классические корпускулы.
С перемещением микрообъекта вдоль оси х нельзя сопо-
сопоставлять дифференцируемую функцию x(t), столь широ-
широко иопользуемую при рассмотрении механики классиче-
классических объектов; по известному значению х в некоторый
момент t нельзя предсказать значение координаты ми,к-
крообъекта в момент t+dt.
В применении к теории Бора рассмотренное обстоя-
обстоятельство означает отказ от самого понятия «орбита элек-
электрона в атоме». Можно говорить о локализации электро-
электрона в пределах атома в целом; орбита же требует суще-
существенно большей пространственной локализации. К чему
может привести такая локализация, можно почувство-
почувствовать, обратившись к рассмотренной выше проблеме
«падения электрона на ядро». Планетарная модель ато-
атома оказалась, таким образом, лишь неким промежуточ-
промежуточным этапом в процессе развития наших представлений
об атоме. Много позднее, в 50-е годы, сам Бор, смеясь,
вспоминал, скак после одной из лекций вышел студент и
спросил: «Неужели действительно были такие идиоты,
которые думали, что электрон вращается по орбите?»
47
Заметим, что вместе с отказом от орбит электрона в атоме авто-
автоматически снимается и отмечавшееся в § 2 противоречие, свя-
связанное с проблемой «мгновенного» перескакивания электрона
с одной орбиты на другую.
Существуют, однако, ситуации, когда понятием «тра-
«траектория микрообъекта» пользоваться все же допустимо.
В качестве примера рассмотрим движение электронов в
кинескопе телевизора. Импульс электрона вдоль оси
трубки есть p = V^2me(Jy где U — ускоряющее напряже-
напряжение. Формирование пучка электронов означает опреде-
определенную локализацию координаты в поперечном направ-
направлении; степень этой локализации ха-
характеризуется диаметром пучка d.
Согласно C.3), должна существо-
существовать неопределенность импульса
электрона в направлении, перпенди-
перпендикулярном оси пучка: Apz&fi/d. В си-
р 4 1 ЛУ это^ неопРеДеленности электрон
может отклониться от оси пучка в
пределах угла AO — Ap/p^h/pd.
Пусть L — длина пути электрона в кинескопе; тогда не-
неопределенность положения точки попадания электрона
на экран будет характеризоваться величиной Ax^LAB —
ttLh/pd. Полагая U = 20 кВ, rf=10 см, L=102 см, на-
находим отсюда Дх~10-5 см. Таким образом, обусловлен-
обусловленное соотношением неопределенностей «размытие» точки
попадания оказывается значительно меньше диаметра
пучка. Ясно, что в таких условиях движение электрона
можно рассматривать классически.
Возможность подбарьерного прохождения микро-
микрообъекта (туннельный эффект). Предположим, что име-
имеется потенциальный барьер, высота которого U больше,
чем энергия частицы (рис. 4.1). Поставим вопрос: может
ли частица, находясь где-то слева от барьера, оказаться
через некоторое время справа от него при условии, что
она не получает энергии извне? Классическая механика
дает отрицательный ответ — классическая корпускула
не может «пройти» под барьером; если бы это случилось,
то, например, в точке А на рис. 4.1 полная энергия части-
частицы оказалась бы меньше ее потенциальной энергии, что
физически абсурдно.
Остается ли этот запрет в силе и для микрообъекта?
Можно показать, что не остается — он снимается соотно-
соотношением C.2). Пусть микрообъект движется откуда-то щз
48
бесконечности слева и встречается с потенциальным
барьером. До этой -встречи он находился оз состоянии
свободного движения сколь угодно долго и поэтому его
энергия имела определенное значение. Но вот микрообъ-
микрообъект вступает во взаимодействие с барьером, а точнее, с
теми объектами, которые обусловили возникновение
барьера. Предположим, что взаимодействие длится в те-
течение времени Д?. Согласно C.2), энергия микрообъекта
в состоянии взаимодействия с барьером уже не будет
определенной, а будет характеризоваться неопределен-
„ Ь
_
ностью AE^fl/At. Если эта не-
неопределенность порядка высо-
высоты барьера ?/, то последний пе-
перестает быть для микрообъекта
непреодолимым препятствием.
Итак, микрообъект может
«пройти» сквозь потенциальный
барьер. Этот специфический Рис- 4-2
квантовый эффект называют
туннельным эффектом. Он объясняет, в частности, явле-
явление а-распада атомных ядер. Подчеркнем, что при рас-
рассмотрении туннельного эффекта уже нельзя представлять
движение микрообъекта по пунктирной линии, изобра-
изображенной на рис. 4.1. Ведь пунктирная линия соответствует
классической траектории, а у микрообъектов траектории
нет. Поэтому не имеет смысла пытаться «уличить» микро-
микрообъект в том, что. он в какой-то момент времени «ока-
«оказался под потенциальным барьером».
Выше уже отмечалось, что энергия свободно движущегося мик-
микрообъекта не квантуется. Это можно очень просто показать,
воспользовавшись туннельным эффектом. Предположим, что
микрообъект находится в потенциальной яме, изображенной на
рис. 4.2. За счет туннельного эффекта микрообъект может
самопроизвольно покинуть яму; следовательно, время его пре-
пребывания в.яме не бесконечно. Если оценить это время как А/,
то из C.2) следует, что энергия микрообъекта должна иметь
неопределенность порядка Тг/А/. Будем сокращать ширину Ь
потенциального барьера (см. пунктир на рис. 4.2). Ясно, что
величина At будет при этом уменьшаться, поскольку вероятность
микрообъекту покинуть яму будет возрастать. С уменьшением
А/ будет возрастать неопределенность энергии микрообъекта
ti/A/, что можно рассматривать как все большее «размывание»
(все большее уширение) уровней энергии микрообъекта в яме.
В пределе нулевой толщины барьера величина А/ обращается
в нуль, микрообъект превращается в свободно движущуюся час-
частицу, а уровни энергии «размываются» сколь угодно широко, пре-
преобразуясь фактически в непрерывный энергетический спектр.
49
§ 5. НЕВОЗМОЖНОСТЬ КЛАССИЧЕСКОЙ
ИНТЕРПРЕТАЦИИ МИКРООБЪЕКТА
Микрообъект не является классической корпускулой.
К микрообъектам приводит процесс «раздробления»
окружающих нас тел на все более и более мелкие «ча-
«частички». Поэтому вполне естественно, что микрообъекты
ассоциируются прежде всего с корпускулами. Этому спо-
способствует и тот факт, что микрообъект характеризуется
определенной массой покоя и определенными зарядами.
Бессмысленно говорить, например, о половинке электро-
электрона, обладающей половинной массой и половинным элект-
электрическим зарядом целого электрона. В самих терминах
«микрочастица», «элементарная частица» отражено пред-
представление о микрообъекте как о некой частице (корпу-
(корпускуле) .
Однако, как это следует из предыдущего рассмотре-
рассмотрения, микрообъект весьма существенно отличается от
классической корпускулы. Прежде всего он не имеет тра-
траектории, являющейся, как известно, обязательным атри-
атрибутом классической корпускулы. Использование при
рассмотрении микрообъекта таких корпускулярных ха-
характеристик, как координата, импульс, момент, энергия,
ограничивается рамками соотношений неопределенно-
неопределенностей. Взаимопревращения микрообъектов, самопроиз-
самопроизвольные распады, наличие специфического неуничтожае-
неуничтожаемого собственного момента (спина), способность прохо-
проходить сквозь потенциальные барьеры — все это свидетель-
свидетельствует о том, что микрообъекты совершенно не похожи
на классические корпускулы.
Корпускулярным представлениям противостоят вол-
волновые представления. Неудивительно поэтому, что рази-
разительное отличие микрообъектов от классических корпу-
корпускул объясняют наличием у них волновых свойств, тем
более что именно с волновыми свойствами связаны
соотношения неопределенностей и все вытекающие отсю-
отсюда следствия. Весьма показательно в этом отношении
следующее замечание де Бройля [23]: «В оптике в течение
столетия слишком пренебрегали корпускулярным спосо-
способом рассмотрения по сравнению с волновым. Не делалась
ли в теории материи обратная ошибка? Не думали ли мы
слишком много о картине «частиц» и не пренебрегали ли
50
чрезмерно картиной волн?». Вопрос, поднятый де Брой-
лем, совершенно уместен. Однако следует опасаться чрез-
чрезмерного преувеличения волнового аспекта при рассмот-
рассмотрении микрообъектов. Необходимо помнить, что если, с
одной стороны, микрообъект не является классической
корпускулой, то точно так же, с другой стороны, он не
является и классической волной.
Микрообъект не является классической волной.
Весьма поучителен анализ одной и поныне довольно рас-
распространенной ошибки, допускаемой при упрощенном
рассмотрении квантовой механики. Продемонстрируем
эту ошибку на двух примерах.
Первый пример. Утверждается, что волновые свойст-
свойства электрона позволяют вывести условие квантования-
момента, которое в теории Бора постулируется. Этот «вы-
«вывод» делают следующим образом. Пусть 2пгп — длина
n-й боровской орбиты. По орбите движется электрон с
дебройлевской длиной волны Kn=-^2nh/pn. Основное
предположение состоит в том, что на длине орбиты долж-
должна укладываться п раз длина волны электрона Яп. Следо-
Следовательно, 2лгп = пКп. Отсюда немедленно получается
искомое условие квантования момента:
pnrn=nh. E.1)
Второй пример. Утверждается, что волновые свойст-
свойства электрона очень просто позволяют вывести формулу
для энергетических уровней в потенциальной яме, если
только предположить, что различным стационарным со-
состояниям отвечает определенное 'число полуволн де Брой-
ля, укладывающееся на ширине ямы (по аналогии с чис-
числом полуволн, укладывающихся на длине струны, за-
закрепленной на концах). Обозначая через а ширину
одномерной прямоугольной потенциальной ямы, записы-
записывают а = п%п12, откуда немедленно приходят к искомому
результату:
Оба конечных результата [как E.1), так и E.2)]
правильны; они следуют также из строгой теории. Одна-
Однако продемонстрированный здесь «вывод» этих результа-
результатов надо признать несостоятельным. В обоих случаях
допущена фактически одна и та же принципиальная
ошибка: в основу положено неверное предположение,
51
будто электрон в потенциальной яме имеет определен-
определенную длину волны де Бройля, или, иначе говоря, опреде-
определенный импульс. Однако, согласно C.3), импульс микро-
микрообъекта в связанном состоянии характеризуется неопре-
неопределенностью Ар^ Н/а. Поскольку в приведенных выше
примерах р~Н1Х~Н/ау то, следовательно, импульс по по-
порядку величины такой же, что и диктуемая соотношением
C.3) неопределенность импульса. Ясно, что в таких усло-
условиях нельзя говорить о каком-либо значении импульса
электрона (а соответственно и его дебройлевской длины
волны) даже приблизительно*.
Приведенные примеры демонстрируют явное преуве-
преувеличение волнового аспекта. Отождествление находящего-
находящегося в потенциальной яме электрона с классической волной
внутри некоторого «резонатора» неправомерно. Образ
электронной волны в «резонаторе» есть такое же упро-
упрощенчество, как и образ электрона-шарика, движущегося
по классической орбите. Мы еще вернемся ниже к вопро-
вопросу о волнах в квантовой механике; однако уже теперь по-
полезно подчеркнуть, что под термином «дебройлевская
волна» отнюдь не скрывается какая-то классическая вол-
волна. Это всего лишь отражение в наших представлениях
факта наличия у микрообъекта волновых свойств.
Попытки представить микрообъект как симбиоз кор-
корпускулы и волны. Если микрообъект не является ни
корпускулой, ни волной, то, может быть, он представляет
собой некий симбиоз корпускулы и волны? Предприни-
Предпринимались различные попытки модельно изобразить такой
симбиоз и тем самым наглядно смоделировать корпуску-
лярно-волновой дуализм. Одна из таких попыток связана
с представлением микрообъекта в виде волнового обра-
образования, ограниченного в пространстве и во времени. Это
может быть волновой пакет, отмечавшийся в § 3. Это мо-
может быть и просто «обрывок» волны, называемый обычно
волновым цугом. Другая попытка связана с использова-
использованием модели волны-пилота, согласно которой микро-
микрообъект есть некое «соединение» корпускулярной «серд-
«сердцевины» с некоторой волной, управляющей движением
«сердцевины».
Один из вариантов модели волны-пилота рассмотрен в книге
Д. Бома [25]: «Сначала постулируем, что с частицей (например,
* Более подробно этот вопрос рассматривается в § 23 данной
книги; см. также [24].
52
электроном) связано «Тело», занимающее малую область про-
пространства; в большинстве применений на атомном уровне его
можно рассматривать как материальную точку. В качестве сле-
следующего шага предположим, что с «телом» связана волна, без
которой «тело» не обнаруживается. Эта волна представляет
собой колебание некоторого нового поля (ty-поля), до некото-
некоторой степени похожего на гравитационное и электромагнитное,
но имеющего свои собственные характерные черты. Далее пред-
предполагаем, что ty-поле и «тело» взаимодействуют. Это взаимо-
взаимодействие должно приводить к тому, что «тело» будет стремиться
находиться в области, где интенсивность ^-поля имеет наиболь-
наибольшее значение. Осуществлению этой тенденции поведения элек-
электрона мешают неупорядоченные движения, испытываемые
телом, которые могли бы возникнуть, например, вследствие
. флуктуации самого ty-поля. Флуктуации вызывают тенденцию
к неупорядоченному блужданию «тела» по всему доступному
для него пространству. Но осуществлению этой тенденции ме-
мешает наличие «квантовой силы», которая устремляет тело в
области, где ty-поле наиболее интенсивно. В итоге получим
какое-то распределение «тел», преобладающее в областях с наи-
наибольшей интенсивностью ^-поля».
Рис. 5.1 иллюстрирует данную модель в применении к прохож-
прохождению микрообъекта через экран с щелями: через обе щели диф-
дифрагирует -ф-волна, тогда как «тело» проходит через одну щель
и регистрируется на экране в соответствии с результатом ин-
интерференции г|)-волн.
Не исключено, что подобные модели могут с пер-
первого взгляда показаться привлекательными — хотя бы в
силу своей наглядности. Од-
Однако необходимо сразу же
подчеркнуть: все эти модели
несостоятельны. Мы не бу-
будем пока выявлять, в чем
именно заключается несо-
несостоятельность рассмотренной
модели волны-пилота; отме-
отметим лишь громоздкость этой
модели, использующей такие
искусственные понятия, как
«г|}-поле», которое «до неко-
некоторой степени похоже на гра-
гравитационное и электромаг-
электромагнитное», или «квантовая сила», отражающая взаимодей-
взаимодействие некоего «тела» с г|>полем. Впоследствии читатель
убедится в том, что несостоятельность подобных моделей
объясняется не частными, а глубокими, принципиальны-
принципиальными причинами. Он поймет, что следует заранее признать
безуспешной всякую попытку буквального толкования
53
Рис. 5.1
корпускулярно-волнового дуализма, всякую попытку
каким-либо образом смоделировать симбиоз корпускулы
и волны. Микрообъект не является симбиозом корпуску-
корпускулы и волны.
Как следует понимать корпускулярно-волновой дуа-
дуализм? В настоящее время корпускулярно-волновой дуа-
дуализм понимают как потенциальную способность микро-
микрообъекта проявлять различные свои свойства в зависимо-
зависимости от тех или иных внешних условий, в частности
условий наблюдения. Как писал Фок [1], «у атомных
объектов в одних условиях выступают на передний план
волновые свойства, а в других — корпускулярные; воз-
возможны и такие условия, когда те и другие свойства вы-
выступают одновременно. Можно сказать, что для атомного
объекта существует потенциальная возможность прояв-
проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как
частица, либо как волна, либо промежуточным образом.
Именно в этой потенциальной возможности различных
проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит
дуализм волна — частица. Всякое иное, более букваль-
буквальное, понимание этого дуализма в виде какой-нибудь мо-
модели неправильно».
Приведем простейший пример. Пусть пучок электро-
электронов проходит через экран с щелями и затем попадает на
экран-детектор. При прохождении через щели электроны
реализуют свои волновые свойства, что обусловливает
характерное для интерференции распределение электро-
электронов за щелями. При -попадании же на экран-детектор
электроны реализуют свои корпускулярные свойства —
каждый из них регистрируется в некоторой точке экрана.
Можно сказать, что электрон проходит сквозь щель как
«волна», а регистрируется на экране-детекторе как «ча-
«частица».
В связи с этим иногда говорят, что при одних об-
обстоятельствах «микрообъект есть волна», а при других —
«микрообъект есть частица». Такая трактовка корпуску-
корпускулярно-волнового дуализма неправильна. Независимо ни
от каких обстоятельств микрообъект не является ни вол-
волной, ни частицей, ни даже симбиозом волны и частицы.
Это есть некий весьма специфический объект, способный
в зависимости от обстоятельств проявлять в той или иной
мере корпускулярные и волновые свойства. Понимание
корпускулярно-волнового дуализма как потенциальной
способности микрообъекта проявлять в различных внеш-
54
них условиях различные свойства есть единственно пра-
правильное понимание. Отсюда, в частности, следует важ-
важный вывод: наглядная модель микрообъекта принципи-
принципиально невозможна.
Электрон в атоме. Отсутствие наглядной модели
микрообъекта отнюдь не исключает возможности исполь-
использования условных образов, вполне пригодных для пред-
представления микрообъекта в тех или иных условиях. В ка-
качестве примера рассмотрим электрон в атоме.
Напомним, что состояния электрона в атоме описы-
описывают набором квантовых чисел /г, /, га, а. Данное состоя-
состояние характеризуется определенной энергией, которая в
частном случае атома водорода, зависит только от числа
п [см. B.7)], а в более общем случае — от чисел п и /.
Электрон в атоме пространственно делокализован — его
координаты имеют неопределенность порядка размеров
атома. Обычно при рассмотрении электрона в атоме вво-
вводят представление о так называемом электронном обла-
облаке, которое можно интерпретировать в данном случае как
условный образ электрона. Форма и эффективные разме-
размеры электронного облака зависят от квантовых чисел
м, /, га и, следовательно, меняются от одного состояния
электрона в атоме к другому.
Чтобы описать размеры и форму электронного обла-
облака, вводят некоторую функцию
tinimir^, <?) = vnl(ryzlm(d, ср), E.3)
где г, 0, ф — сферические координаты электрона. Функ-
Функцию iinhn интерпретируют следующим образом: unim
(г, 0, ср) dV есть вероятность обнаружить в элементе объ-
объема dV вблизи точки (/*, 8, <р) электрон, находящийся в
состоянии с квантовыми числами п, /, га. Иначе говоря,
Unim {r, 0, ф) имеет смысл соответствующей плотности ве-
вероятности обнаружения электрона. Напомним, что
dV = r2drdQ, где dQ = sinQdQd(p — элемент телесного угла.
Функция
wnl{r)dr = vnl{r)r4r E.3а)
есть, таким образом, вероятность обнаружить электрон
с квантовыми числами п, I на расстояниях от ядра, попа-
попадающих в интервал значений от г до r+dr.
На рис. 5.2, а показан вид функций wni(r) для раз-
разных состояний электрона в атоме водорода. Отметим, что
функции доlo, W2u W2>2 имеют максимумы, отвечающие в
55
теории Бора радиусам соответственно первой, второй и
третьей орбит. На рис. 5.2, б показан вид функции Z/m
для нескольких состояний электрона. При / = 0 (для так
называемого s-электрона) имеем сферическое электрон-
электронное облако. При 1=1 (для р-электрона) имеем электрон-
электронное облако либо в виде своеобразного веретена, либо в
виде тороида, что зависит от квантового числа т. Итак,
чтобы представить себе электрон в атоме, можно поль-
пользоваться в качестве условных образов моделями шара,
веретена, тороида и т. д.
Основное состояние атома водорода характеризуется
сферическим электронным облаком. Теория показывает
(см., например, [11]), что в этом случае
E.4)
Характеризующий эффективный радиус облака параметр
П определяется соотношением D.4); в теории Бора он
выступал как радиус первой орбиты.
56
В заключение заметим, что при квантовых переходах
в атоме происходит не только изменение энергии, но так-
также «перестройка» электронных облаков — изменение их
размеров и формы.
§ 6. ОТКАЗ ОТ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Общие замечания. Как мы убеждаемся, переход от
макроявлений к микроявлениям предполагает отказ от
основных представлений классической физики. Становит-
Становится непригодным представление об обязательной непре-
непрерывности спектра значений физических величин, проис-
происходит отказ от классического понятия траектории, ста-
ставится под сомнение принцип классического детерминизма.
В основу рассмотрения ложатся чуждые классической
физике идеи квантования (дискретности) и корпускуляр-
но-волнового дуализма.
На ряде приведенных примеров можно было почув-
почувствовать необходимость отказа от классического прин-
принципа безграничной детализации объектов в пространстве
и явлений во времени. Так, вопрос о внутренней структу-
структуре элементарных частиц оказывается беспредметным.
Не имеют смысла также попытки детализировать разви-
развитие во времени процесса квантового скачка (квантового
перехода).
Понятия энергии, импульса, момента, широко ис-
используемые в классической физике, переносятся и в кван-
квантовую механику. Однако теперь эти понятия применяют-
применяются иначе — с пересмотром прежних взаимосвязей, с уче-
учетом возможности квантования, с ограничениями, которые
налагают соотношения неопределенностей. Здесь возни-
возникает, в частности, чуждая классической физике проблема
одновременной измеримости физических величин, по-но-
по-новому ставится вопрос о состоянии, о способах задания
состояния.
Наконец, необходимо подчеркнуть невозможность
классической интерпретации микрообъекта, утрату на-
наглядности, столь присущей классической физике.
Тождественность микрообъектов. Весьма принципиа-
принципиален отказ от классической индивидуализации объекта. В
классической механике объектам свойственна индивиду-
57
альность, так что всегда можно в принципе их перенуме-
перенумеровать и следить за поведением любого из них. В этом
смысле, как бы ни были похожи друг на друга два клас-
классических объекта, они всегда не тождественны, они всег-
всегда различимы. В квантовой же механике два микрообъ-
микрообъекта одного и того же типа следует признать абсолютно
тождественными друг другу. Так, тождественны друг
другу все электроны, тождественны друг другу все невоз-
невозбужденные атомы водорода, тождественны друг другу
все ядра гелия т. д.
Предположим, что имеется несколько электронов, одному из ко-
которых в момент / = 0 «присвоили» номер 1. Можно ли опознать
этот электрон спустя некоторое время U Такое опознание легко
было бы провести, если бы удалось поставить на выделенном
объекте некую «отметину». Можно было бы обойтись и без
«отметины», а просто не терять из виду выделенный объект,
иначе говоря, мысленно следовать за ним вдоль его траектории.
Именно так мы поступили бы в отношении одинаковых класси-
классических объектов. Однако все зто не годится для электрона; на
нем принципиально нельзя поставить «отметину», у него, строго
говоря, нет траектории. Электрон, «выделенный» нами в момент
^ = 0, в действительности никак не выделен: у него нет той ин-
индивидуальности, которая позволила бы опознать его в коллек-
коллективе других электронов спустя некоторое время t. Два электро-
электрона «похожи друг на друга» в значительно большей мере, чем
вошедшие в поговорку две капли воды; последние представ-
представляют собой классические объекты, они могут различаться и
размерами, и химическим составом воды.
Разумеется, тождественность микрообъектов не
исключает возможности их различения на основе разли-
различия состояний, в которых эти микрообъекты находятся.
Два электрона, входящие в состав двух разных атомов,
разумеется, тождественны, но при этом различимы. При-
Принадлежность к тому или иному атому позволяет «выде-
«выделить» тот или иной электрон. Однако ничего физически
не изменится, если электроны поменять друг с другом
местами. Ясно, что если такой обмен оказывается воз-
возможным, например при соединении рассматриваемых
атомов в молекулу, то различимость электронов исчез-
исчезнет.
Необходимое и случайное в поведении микрообъекта.
Лапласовский детерминизм исключает элемент случай-
случайности в поведении отдельного объекта; в классической
механике безраздельно господствует необходимость. По
этой причине законы классической механики являются
динамическими законами, а не статистическими. Элемент
58
случайности (а следовательно, и статистические зако-
законы) появляется в классической физике лишь при рас-
рассмотрении совокупностей объектов, коллективов частиц.
С этой точки зрения важно подчеркнуть, что в кван-
квантовой механике мы имеем дело с качественно иной ситуа-
ситуацией: уже в поведении отдельного микрообъекта присут-
присутствуют элементы как необходимости, так и случайности.
Возбужденный атом без воздействия извне, самопроиз-
самопроизвольно (как говорят, спонтанно) возвращается в основ-
основное состояние, при этом в атоме происходят спонтанные
переходы электронов с одних уровней энергии на другие.
Принципиально невозможно указать, когда именно дан-
данный возбужденный атом вернется в основное состояние;
акт такого возвращения случаен. Точно так же невоз-
невозможно предсказать, когда именно произойдет распад
данной элементарной частицы, например нейтрона. Здесь
также налицо элемент случайности.
Наряду с элементами случайности в поведении
микрообъекта проявляются и элементы необходимости.
Как уже отмечалось в § 1, если к моменту t = 0 имеется
No нейтронов, причем N0^>\y то можно уверенно утверж-
утверждать, что к моменту t останется только Л^оехр(—tjx)
нейтронов, где т — постоянная, называемая временем
жизни нейтрона. Здесь налицо необходимость. В отноше-
отношении отдельного нейтрона эта необходимость проявляется
в существовании определенной вероятности уцелеть ему
к моменту t, коль скоро он сумел сохраниться к моменту
/ = 0; указанная вероятность равна ехр (—//т). Примеча-
Примечательно, что эта вероятность не зависит от того, сколько
времени уже просуществовал к моменту / = 0 данный
нейтрон. Проявлением необходимости являются также
законы сохранения, которым подчиняются процессы рас-
распада и вообще процессы взаимопревращений микрообъ-
микрообъектов. Можно отметить также факт существования опре-
определенных схем распада; например, любой свободный
нейтрон распадается на протон, электрон и электронное
антинейтрино.
Наличие и случайного, и необходимого в поведении
отдельного микрообъекта имеет крайне важное следст-
следствие. Оно приводит к тому, что квантовая механика ока-
оказывается принципиально статистической теорией и веро-
вероятность является одним из основных ее атрибутов. Как
отмечал Фок [1], «в квантовой механике понятие вероят-
вероятности есть понятие первичное, и оно играет там фунда-
59
ментальную роль». Можно сказать, что поведение отдель-
отдельного микрообъекта случайно, но вероятность этого пове-
поведения необходима *. Хорошим примером может служить
электронное облако, рассматривавшееся в § 5. Факт об-
обнаружения электрона в той или иной точке вблизи ядра
случаен; однако вероятность его обнаружения в данной
точке (г, 8, ф) определенна — она описывается функци-
функцией типа E.3), иначе говоря, определяется формой и раз-
размерами соответствующего электронного облака.
Наконец, отметим, что элемент случайности в пове-
поведении отдельного микрообъекта обусловлен фактически
уже соотношениями неопределенностей. В § 4 на основа-
основании соотношения C.3) было сделано заключение о том,
что невозможно «нацелиться микрообъектом и попасть
им в некоторую заданную точку». Иными словами, факт
регистрации конкретного электрона в той или иной точке
некоего экрана-детектора случаен; мы можем говорить
лишь о вероятности этого факта. В § 3 на основании со-
соотношения C.2) было введено понятие о виртуальных
переходах микрообъекта. Легко видеть, что подобные
переходы также свидетельствуют о наличии случайности
в поведении микрообъекта. Говоря о специфике физики
микрообъектов, необходимо более подробно остановить-
остановиться на понятии виртуальных переходов и тесно связанном
с ним понятии виртуальных микрообъектов.
Виртуальные переходы и виртуальные микрообъекты.
Возможно, нет ничего более чуждого классической фи-
физике, чем представление о виртуальных переходах и вир-
виртуальных микрообъектах. Виртуальный переход электро-
электрона с уровня Е2 на уровень Ех и обратно (переход
Е2 ±Е\ >Е2) можно рассматривать как процесс, в кото-
котором электрон испускает и поглощает фотон с энергией
(Е2—?"]). Такой фотон называют виртуальным. В отли-
отличие от фотонов, участвующих в реальных переходах, вир-
виртуальные фотоны нельзя обнаружить экспериментально;
рождение виртуального фотона не связано с поглощением
энергии извне, а его уничтожение не связано с выделени-
выделением энергии. Закон сохранения энергии не нарушается,
так как виртуальный фотон существует весьма малое
время А^ и, согласно соотношению C.2), энергия испу-
испустившего виртуальный фотон электрона характеризует-
* Сюда очень удачно подходят известные слова Энгельса о том,
что необходимость «пробивает себе дорогу в рамках случайности».
60
ся неопределенностью Д? >А/Д/, которая может быть по-
порядка или больше энергии фотона (Е2—Е{). Картина, в
которой электрон испускает и поглощает виртуальные
фотоны, с физической точки зрения соответствует карти-
картине, в которой электрон совершает виртуальные переходы.
Принимая во внимание испускание и поглощение
электроном виртуальных фотонов, можно представить
себе каждый электрон как бы в окружении «облака» фо-
фотонов. С этим «облаком»
следует сопоставлять соб-
собственное электромагнит-
электромагнитное поле электрона. Два
электрона могут обмени-
обмениваться виртуальными фо-
фотонами. В квантовой тео-
теории поля взаимодействие
электронов рассматрива-
рассматривают именно как результат
обмена электронов вирту-
виртуальными фотонами. При
этом широко используют
введенные Фейнманом ди-
аграмы, позволяющие р
учесть различные процес-
процессы обмена фотонами.
На рис. 6.1 приведены несколько фейнмановских
диаграмм, описывающих рассеяние электрона на электро-
электроне. Сплошными линиями здесь «изображены» электроны,
а пунктирными — фотоны; пересечения сплошных и пунк-
пунктирных линий называют вершинами диаграммы. Рас-
Рассмотрим диаграмму а. Здесь 1 и 2— электроны до взаи-
взаимодействия друг с другом (до рассеяния), АБ— вирту-
виртуальный фотон, которым обмениваются электроны в
процессе взаимодействия (заметим, что все частицы, ко-
которым на диаграмме соответствуют линии, соединяющие
две вершины, являются виртуальными), 3 и 4 — электро-
электроны после рассеяния. Обратимся к диаграмме б. Здесь 1
и 2— электроны до рассеяния, АБ и ВГ — виртуальные
фотоны, которыми обмениваются электроны, 3 и 4 — вир-
виртуальные электроны, 5 и 6 — электроны после рассея-
рассеяния. Диаграмма в того же типа, что и диаграмма б; здесь
электроны обмениваются двумя фотонами. Диаграмма г
описывает один из процессов, в которых электроны обме-
обмениваются тремя фотонами. Очевидно, что число подоб-
61
ных диаграмм, все более и более усложняющихся (с уча-
участием все большего и большего числа фотонов), беско-
бесконечно.
Чтобы рассчитать вероятность рассеяния электрона
на электроне, надо в принципе учесть вклад различных
процессов, описываемых различными диаграммами. К
счастью, вклад различных процессов неодинаков: он тем
меньше, чем больше вершин имеет диаграмма (чем боль-
больше виртуальных фотонов участвует в процессе). Теория
показывает, что количественно этот вклад определяется
безразмерной величиной (e2/fic)nl2, где е — заряд элект-
Рис. 6.2
рона, с — скорость света, h — постоянная Планка, п —
число вершин диаграммы. Поскольку e2/hc= 1/137, то
отсюда следует, что основной вклад в рассеяние электро-
электрона на электроне должна давать двухвершинная диаграм-
диаграмма а (обмен одним фотоном). В следующем приближении
надо учесть четырехвершинные диаграммы бив (обмен
двумя фотонами); их вклад будет на два порядка мень-
меньше. Таким образом, в действительности нет необходимо-
необходимости рассматривать слишком большое число диаграмм;
достаточно ограничиться диаграммами с относительно
малым числом вершин.
Конечно, систематическое рассмотрение фейнманов-
ских диаграмм и основанных на них расчетов выходит за
рамки данной книги. Эти вопросы относятся уже не к
квантовой механике, а к квантовой теории поля (кванто-
(квантовой электродинамике) *. Однако общее ознакомление с
идеями, лежащими в основе фейнмановских диаграмм,
здесь весьма целесообразно, поскольку позволяет под-
подчеркнуть специфику физики микрообъектов и, кроме то-
того, продемонстрировать некоторые фундаментальные
квантовомеханические принципы (последнее обстоятель-
обстоятельство будет рассмотрено ниже и, в частности, в § 25).
Прежде чем расстаться с фейнмановскими диаграм-
диаграммами, остановимся на так называемом эффекте поляри-
поляризации вакуума. На рис, 6.2 изображена диаграмма, опи-
* Доступное и обстоятельное рассмотрение фейнмановских диа-
диаграмм дано, например, в [26].
62
сывающая один из процессов, ответственных за этот эф-
эффект: фотон превращается в виртуальную электрон-по-
зитронную пару, которая затем аннигилирует, превра-
превращаясь снова в фотон (одна из сплошных линий между
вершинами диаграммы «изображает» виртуальный
электрон, а другая — виртуальный позитрон). Члены
этой пары могут, очевидно, породить за время своего су-
существования виртуальные фотоны, а следовательно, и
новые виртуальные электрон-позитронные пары и т. д.
В результате вакуум оказывается отнюдь не «пустым» —
он «заполнен» виртуальными электрическими зарядами,
которые должны оказывать на внешние (реальные) заря-
заряды экранирующее действие. Экспериментальное подт-
подтверждение такого действия является лучшим свидетель-
свидетельством плодотворности представлений о виртуальных ча-
частицах.
Микрообъект и окружающий его мир. Как уже от-
отмечалось, одно из наиболее специфических свойств мик-
микрообъекта есть наличие в его поведении элементов слу-
случайности, вследствие чего квантовая механика оказыва-
оказывается принципиально статистической теорией, оперирую-
оперирующей с вероятностями. Однако в чем же заключается
причина наличия элементов случайности в поведении
микрообъекта?
Ответ на поставленный вопрос таков: случайность в
микроявлениях объясняется, образно говоря, тем, что
микрообъект взаимодействует со всем окружающим его
миром. Специфика квантовой механики такова, что ни
один объект в ней не может, строго говоря, считаться
полностью изолированным, полностью независимым от
окружения. Как отмечал Мякишев [27], «причина стати-
статистического характера квантовой механики та же, что и
в классической статистической механике, — наличие
большого числа связей, влияющих на движение объекта.
Частица, рассматриваемая в квантовой механике как
свободная, в действительности свободна только от воз-
воздействий динамического характера. Но она находится
под действием случайных сил, вызывающих квантовые
флуктуации ее поведения, отражаемые соотношением
неопределенностей».
Какова природа случайных воздействий на микро-
микрообъект? В квантовой теории поля она проявляется в яв-
явном виде — как взаимодействие микрообъекта с ваку-
вакуумом (напомним, что вакуум не есть пустота, он «запол-
63
нен» виртуальными зарядами). Можно сказать, что
микрообъект взаимодействует с окружающим его миром
через виртуальные микрообъекты.
Теперь читателю должна представляться совершен-
совершенно естественной отмечавшаяся выше интерпретация кор-
пускулярно-волнового дуализма как потенциальной спо-
способности микрообъекта проявлять те или иные свои
свойства в зависимости от внешних условий, т. е. в зави-
зависимости от окружающей микрообъект обстановки. Это
подразумевает органическую связь микрообъекта с окру-
окружающим его миром — ведь сама сущность микрообъек-
микрообъекта реализуется в том или ином виде в зависимости от
конкретных условий, конкретной обстановки.
Обнаруживаемая квантовой механикой невозмож-
невозможность безграничной детализации объектов и явлений в
конечном счете также должна быть объяснена взаимо-
взаимодействием микрообъекта с окружающим миром. Это озна-
означает, что на определенной стадии исследования физиче-
физические объекты уже нельзя рассматривать изолированно.
Здесь уместно напомнить утверждение, приводившееся в
§ 3 в связи с обсуждением квантовых переходов: «Во вре-
время взаимодействия электрона с фотонами нет, строго го-
говоря, ни электрона, ни фотонов, а есть нечто целое, кото-
которое и следует рассматривать как единое целое — без
уточнения деталей».
Квантовая механика восстанавливает диктуемую
жизненным опытом идею единства мира и всеобщей свя-
связи явлений, которая была в значительной мере ущербле-
ущерблена в классической теории. Стираются существовавшие
ранее резкие грани между волнами и корпускулами,
между частицами и полями, между объектом наблюдения
и средой; на первый план выдвигаются взаимопревра-
взаимопревращения материи. Следует полностью согласиться со сле-
следующим весьма точным замечанием Б ом а [28]: «По-ви-
«По-видимому, необходимо отказаться от представления, что
Вселенную можно фактически разбить на отдельные ча-
части, и заменить это представлением о всем мире как еди-
едином целом. Повсюду, где квантовые явления играют су-
существенную роль, мы найдем, что отдельные «части»
Вселенной могут существенно изменяться с течением
времени вследствие неизбежных и неразделимых связей,
существующих между ними. Таким образом, мы прихо-
приходим к картине Вселенной как неделимого, но гибкого и
постоянно изменяющегося целого».
64
АВТОР: Невозможность клас-
классической интерпретации микро-
микрообъекта (см. § 5) предопреде-
предопределяет отрицательный ответ на
поставленный вопрос: возмож-
возможна ли наглядная модель микро-
микрообъекта?
КЛАССИК: Все же неясно, по-
почему не может быть создана
наглядная модель микрообъек-
микрообъекта, объясняющая различные его
свойства, включая спин, неста-
нестабильность, волновые свойства
и т. д. Возможно, что эта модель
окажется весьма сложной. Воз-
Возможно, что мы еще мало знаем
о микрообъекте, чтобы постро-
построить подобную модель. Однако
почему мы не можем верить в
саму возможность такой моде-
модели?
АВТОР: Для этого есть весьма
глубокие основания. Отмечу
два из них. Во-первых, всякое
моделирование предполагает в
конечном счете детализацию
независимо от того, идет ли
речь о модели объекта или же
о модели процесса. Однако ха-
характерной чертой микрообъек-
микрообъектов и микроявлений, как уже
отмечалось, является принци-
принципиальная невозможность без-
безграничной детализации. Это
весьма глубокое обстоятельство
настойчиво подчеркивал Бор.
Он писал, в частности (см.
статью «Квантовая физика и
философия» в [6]): «С откры-
открытием Планком элементарного
кванта действия началась но-
новая эпоха в физических науках.
Это открытие обнаружило свой-
свойственную атомным процессам
черту цельности, идущую гораз-
гораздо дальше старой идеи об огра-
ограниченной делимости материи.
Стало ясно, что свойственное
классическим теориям нагляд-
наглядное картинное описание пред-
представляет идеализацию...» Умест-
Уместно заметить, что упоминаемая
Бором «черта цельности» орга-
органически связана с тождествен-
тождественностью микрообъектов, Во-вто-
3—2819
ИНТЕРМЕДИЯ.
ВОЗМОЖНА ЛИ
НАГЛЯДНАЯ МОДЕЛЬ
МИКРООБЪЕКТА?
Действующие лица те же,
что и в предыдущей
интермедии.
„Быть может,
эти электроны-
Миры, где пять
материков,
Искусства, знанья,
войны, троны
и память
сорока зеков!
Еще, быть может,
каждый атом—
Вселенная,
где сто планет;
Там все, что здесь,
в объеме сжатом,
Но также то,
чего здесь нет"
В. Брюсов
65
рых, характерной чертой микро-
микрообъектов является, как уже
подчеркивалось, неустранимое
взаимодействие их с окружаю-
окружающим миром, приводящее, в част-
частности, к зависимости некоторых
свойств микрообъекта от кон-
конкретных внешних условий. Эти
свойства следует рассматривать
как некие потенциальные воз-
возможности, реализуемые в зави-
зависимости от внешних условий.
Спрашивается, каким образом
эти потенциальные возможно-
возможности могут быть отражены в
рамках определенной наглядной
модели?
КЛАССИК: Нельзя не признать,
что приведенные соображения
являются вескими доводами
против наглядной модели мик-
микрообъекта. Тем не менее сам
дух квантовой механики, от-
отвергающей наглядные представ-
представления, мне не нравится. На мой
взгляд, он вносит субъектив-
субъективность в описание реального ми-
мира. Возьмите, например, утверж-
утверждение: электрон в зависимости
от условий может проявлять
себя то как волна, то как час-
частица. Все зависит от условий, в
частности от условий наблюде-
наблюдения. Возникает невольная
мысль, что электрон не есть
что-то объективное, а скорее
нечто субъективное, зависящее
от того, как на него «посмот-
«посмотреть».
АВТОР: Разумеется, Вы непра-
неправы. Прежде всего Вы упускае-
упускаете из виду, что электрон имеет
совершенно определенные ха-
характеристики, например массу
покоя, электрический заряд,
спин и др. Он стабилен, отно-
относится к фермионам. Что же ка-
касается наглядной модели элек-
электрона, то она действительно
отсутствует. Однако, отказы-
отказываясь от наглядной модели
микрообъекта, квантовая меха-
механика вовсе не приносит объек-
объективность в жертву субъективно-
субъективности. Просто электрон — очень
сложный физический объект и
в зависимости от внешней об-
обстановки, в частности условий
наблюдения, он реализует раз-
разные стороны своей сущности,
которые в потенциальном виде
(я подчеркиваю это) объектив-
объективно существовали еще до рож-
рождения наблюдателя. Трезвый
учет этой сложности выра-
выражается, в частности, в призна-
признании невозможности буквально
понимаемой модели электрона.
КЛАССИК: Можно ли серьезно
говорить об объекте, не пред-
представляя себе его образа? Разве
не странно, что мы изучаем, на-
например, поведение электронов в
кристалле, а в то же время тол-
толком не знаем, что же такое сам
электрон?
АВТОР: Я не согласен, что мы
«толком не знаем, что такое
электрон». Я только что напо-
напоминал ряд точно установлен-
установленных характеристик и свойств
электрона. Более подробно
свойства микрообъектов вооб-
вообще и электронов в частности
рассматривались в предыду-
предыдущих параграфах книги (и бу-
будут рассматриваться в после-
последующих). Фактически мы знаем
об электроне очень много и не-
неплохо разбираемся, в частно-
частности, в поведении электронов в
кристалле, о чем свидетель-
свидетельствуют многочисленные полу-
полупроводниковые приборы, соз-
созданные и применяемые нами
на практике. Как видите, отсут-
отсутствие наглядной модели элек-
электрона отнюдь не послужило
серьезной помехой. Можно да-
даже пойти дальше и утверж-
утверждать, что «понимание явлений
природы, в которых играет су-
существенную роль постоянная
Планка, возможно только при
значительном отказе от нагляд-
наглядного описания». Кстати говоря,
эта фраза принадлежит Гейзен-
бергу, в работах которого уде-
уделено много внимания вопросам
наглядности в квантовой меха-
механике.
66
КЛАССИК: Но разве, отвергая
модели, квантовая механика не
рискует в какой-то мере утра-
утратить материальную основу? Не
останутся ли в итоге только
уравнения и абстрактные мате-
математические символы?
АВТОР: Мне понятны Ваши
сомнения. Для Вас, по-видимо-
по-видимому, существуют лишь крайно-
крайности: либо наглядные модели,
либо математические абстрак-
абстракции; либо модель должна отра-
отражать все или почти все, либо
она не годится вовсе. Именно
для такой точки зрения харак-
характерны высказанные Вами сом-
сомнения. Однако квантовая меха-
механика подходит к подобным во-
вопросам более гибко, диалектич-
диалектичное.
КЛАССИК: Не понимаю, что
именно Вы хотите сказать.
АВТОР: Я хочу подчеркнуть
две мысли. Первая: хотя на-
наглядная модель микрообъекта
не существует, однако это не
мешает широко использовать в
квантовой механике модельные
представления.
КЛАССИК: Значит, я все-таки
прав?
АВТОР: Здесь иное. Квантовая
механика учитывает, что ника-
никакая, даже самая изощренная,
модель не может отразить спе-
специфику микрообъекта. Поэтому
квантовая механика использует
условные модели (условные
образы) — то одни, то другие,
признавая относительность всех
и всяких моделей. Важно лишь
одно: чтобы каждая из исполь-
используемых моделей отражала ка-
какую-то сторону сущности объ-
объекта или явления. Так, рассмат-
рассматривая переходы электронов
через запрещенную зону в полу-
полупроводнике, мы, не смущаясь,
воображаем электроны некими
корпускулами, которые совер-
совершают «скачки» по энергетиче-
энергетической шкале. Рассматривая рас-
распространение электронов по
идеальной решетке кристалла,
мы используем представление
о волнах. Рассеяние же элек-
электронных волн на упругих вол-
волнах кристалла снова удобно
рассматривать на «корпускуляр-
«корпускулярном языке», используя картину
столкновений корпускул двух
типов — электронов и фононов.
Хорошим примером условного
моделирования служит также
образ электронного облака,
используемый для электрона в
атоме. Как видите, моделирова-
моделирование в квантовой механике ис-
используется достаточно широко
и гибко. При этом все модели
понимаются не буквально, а
условно, относительно.
КЛАССИК: Ну хорошо. А ка-
какая же вторая мысль?
АВТОР: Вторая мысль такова:
квантовая механика использует
на равноправных началах и
условные модели и математиче-
математические абстракции. Именно на
равноправных началах! В этом
пункте новая физика весьма
резко порывает с классическими
представлениями. Подчеркивая
большое эвристическое (направ-
(направляющее) значение, которое ма-
математика приобретает в новой
физике и которого она раньше,
в эпоху господства наглядных
представлений, не имела, Вави-
Вавилов писал [29]: «Для нагляд-
наглядной, модельной интерпретации
картины не хватает привычных
образов и понятий, но логика с
ее необъятной широтой, вопло-
воплощенная в математические фор-
формы, остается в силе, устанавли-
устанавливая порядок связи в новом, не-
непонятном мире и открывая воз-
возможности физических предска-
предсказаний».
КЛАССИК: Поистине здесь нет
ничего определенного!
АВТОР: Точнее, ничего заранее
предопределенного. Новая фи-
физика подходит к изучению объ-
объективного мира, если можно
так выразиться, «без классиче-
классических предрассудков». Она гиб-
гибко использует разнообразные
67
средства: и модели (причем
самые различные) и математи-
математические абстракции. Образно го-
говоря, «ничто человеческое ей не
чуждо».
Подводя итоги, можно ска-
сказать, что, во-первых, при рас-
рассмотрении микрообъектов и
микроявлений наглядные моде-
модели все же используются и до-
довольно широко; во-вторых, в
квантовой механике модели ни
в коей мере не понимаются
буквально — учитывается их
относительность, условность;
в-третьих, процесс познания
микроявлений основывается на
диалектическом единстве мо-
модельных представлений и мате-
математических абстракций.
ГЛАВА
ФИЗИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ/ „
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОПЫТЫ
Реальные эксперименты и система принципиальных
опытов. Представления квантовой механики опираются
на богатейший экспериментальный материал, накопление
которого происходило в течение более полувека, включая
конец XIX и первую половину XX столетий. Среди мно-
множества работ выделяется ряд экспериментов, которые по-
послужили определенными «вехами» и по этой причине мо-
могут быть названы решающими. К ним относятся связан-
связанные с излучением абсолютно черного тела опыты
Люммера и Принсгейма в сочетании с теоретическими
исследованиями Планка A900 г.); опыты Франка и Гер-
Герца, посвященные неупругим столкновениям электронов
с атомами A914 г.); исследования Милликэна по фото-
фотоэффекту, подтвердившие закономерности, предсказанные
ранее Эйнштейном A914 г.); опыты Штерна и Герлаха
по расщеплению атомных пучков в неоднородных маг-
магнитных полях A921 г.); измерения длины волны рентге-
рентгеновского излучения при рассеянии на веществе, выпол-
выполненные Комптоном A923 г.); опыты Дэвиссона, Джерме-
ра, Тартаковского по дифракции электронов A927 г.) и
др. * Эти эксперименты (и многие другие, не получившие
столь громкой известности) составляют тот фундамент,
на котором в течение десятилетий строилась, совершенст-
совершенствовалась, освобождалась от различного рода «парадок-
«парадоксов» и, наконец, приобретала свою нынешнюю стройность
квантовая теория.
Глядя теперь с позиций существующей квантовой
теории на предшествующие ей экспериментальные поис-
поиски, целесообразно произвести обобщение реальной экспе-
экспериментальной картины, опустить не играющие сущест-
существенной роли детали и попробовать представить себе про-
простейшую систему принципиальных опытов, определяю-
определяющую основные аспекты квантовомеханических представ-
представлений. В данном параграфе предпринята попытка
рассмотреть такую систему опытов. Эта система построе-
построена на базе реальных экспериментов, однако не следует
искать взаимно однозначного соответствия между опре-
определенным «принципиальным опытом» и конкретным
* Описание этих опытов читатель может найти, например, в [30].
70
}I
реальным экспериментом, выполненным в определенное
время в определенной лаборатории. Принципиальный
опыт надо рассматривать как своеобразное обобщение
целого ряда реальных экспериментов. Поэтому здесь не
играют существенной роли экспериментальные подроб-
подробности, касающиеся конкретной установки, а также раз-
различные детали историче-
исторического плана.
Обращение к системе
принципиальных опытов
мотивируется, на наш
взгляд, двумя обстоятель-
обстоятельствами. Во-первых, буду-
будучи освобождена от под-
подробностей реальных экс-
экспериментальных поисков
с их неизбежными «зигза-
«зигзагами» и «тупиками», та-
такая система опытов позво-
позволяет особенно выпукло
выделить принципиальные
моменты и ясно показать
экспериментальные осно-
основы теории. Во-вторых,
кваытовомех анические
представления настолько
радикально изменили на-
наши взгляды на строение и свойства материи, что бы-
было бы не совсем правомерно делать решающие выводы
на основе отдельных конкретных экспериментов. Можно
сказать, что система квантовомеханических представле-
представлений опирается не на отдельные эксперименты (пусть да-
даже именуемые решающими), а на их совокупность. Не-
Необходимо осмыслить совокупность экспериментов в це-
целом, а для этого как раз и удобно представить себе не-
некоторую систему принципиальных опытов.
Опыт I (микрообъекты в интерферометре). Начнем
с рассмотрения хорошо известного опыта по интерферен-
интерференции световых волн. На рис. 7.1 схематически изображен
простейший интерферометр. Здесь: 1—точечный источ-
источник монохроматического света, 2 — экран с двумя малы-
малыми щелями А и 5, 3 — экран-детектор, регистрирующий
интенсивность падающего на него света. Эта интенсив-
интенсивность описывается на рисунке кривой 1(х). Интерферен-
71
Рис. 7.1
ционный характер кривой 1(х) весьма просто объясняется
в рамках классической волновой теории света: световая
волна от источника У, достигая экрана 2, «превращает»
щели А и В в источники новых световых волн, которые,
складываясь, и дают на экране 3 характерную интерфе-
интерференционную картину распределения интенсивности.
Напомним, что интерференцию света наблюдали еще
в середине XVII в. (Гримальди), а ее объяснение на осно-
основе волновых представлений было дано в начале XIX в.
(Юнг). С тех пор опыт, изображенный на рис. 7.1, на-
называют опытом Юнга.
Казалось бы, какое отношение имеет к квантовой
механике давно открытое и давно объясненное явление
интерференции света? Оказывается, самое прямое.
Действительно, будем постепенно уменьшать интен-
интенсивность света от источника 1. Освещенность экрана 3
будет при этом, естественно, уменьшаться. Однако интер-
интерференционный характер кривой I (х) сохранится. Увели-
Увеличивая время экспозиции, можно получить интерферен-
интерференционную кривую 1(х) в принципе при сколь угод-
угодно малой интенсивности света. Это уже нетри-
нетривиально, так как по мере уменьшения интенсивности све-
светового пучка уменьшается число фотонов в нем, так что
должна, очевидно, наступить ситуация, когда вместо све-
световых волн придется рассматривать отдельные фотоны.
Характер же интерференционной кривой 1(х), как свиде-
свидетельствует опыт, оказывается явно «нечувствительным»
к сколь угодно сильному уменьшению интенсивности све-
света. Распределение попаданий отдельных фотонов дает
на экране-детекторе такую же интерференционную кар-
картину, как и от световых волн.
Более того, интерференция наблюдается и в том слу-
случае, если поместить в точку 1 (рис. 7.1) источник моно-
моноэнергетических электронов. При этом опять-таки можно
сколь угодно уменьшать интенсивность электронного
пучка. Можно даже поставить опыт, в котором электроны
проходят через интерферометр сугубо поодиночке. Иссле-
Исследуя распределение попаданий электронов на экран-де-
экран-детектор за достаточно большое время экспозиции, и в этом
случае получают характерную интерференционную кар-
картину [кривую /(#)]. Опыты, повторенные с другими мик-
микрообъектами (протонами, нейтронами и т. д.), приводят
к аналогичным результатам.
72
Исходя из наблюдения поведения микрообъектов в
интерферометре, следует признать, что явление интерфе-
интерференции, во-первых, присуще всем микрообъектам и, во-
вторых, оно должно объясняться не свойствами коллек-
коллективов микрообъектов, а свойствами отдельного микро-
микрообъекта. В этом смысле классическая волновая теория
интерференции, разработанная в свое время Юнгом,
должна быть признана «устаревшей». Объяснение интер-
интерференции следует искать на основе представлений кван-
квантовой механики.
Попробуем «проследить» за движением отдельного
микрообъекта (например, электрона) в интерферометре,
изображенном на рис. 7.1. Электрон выходит из точки 1,
проходит через экран 2 с щелями и, наконец, регистриру-
регистрируется в некоторой точке х экрана 3. Повторив опыт со
многими одиночными электронами, мы обнаружим два
весьма интересных обстоятельства.
Первое обстоятельство состоит в том, что невозмож-
невозможно предсказать, в какой именно точке х будет зарегист-
зарегистрирован тот или иной электрон. Условия опыта для каж-
каждого электрона одни и те же (напоминаем, что электроны
проходят через интерферометр сугубо поодиночке), и, не-
несмотря на это, каждый электрон «ведет себя по-своему»,
причем нельзя предсказать, как именно он себя поведет.
Подчеркнем, что это замечание относится к каждому от-
отдельному электрону. Однако если пронаблюдать за мно-
многими электронами, то обнаружится упорядоченность в
распределении их попаданий на экране 3, описываемая
кривой типа интерференционной кривой 1(х). При этом
безразлично, наблюдать ли распределение попаданий
многих одиночных электронов или распределение попа-
попаданий электронов пучка. Таким образом, непредсказуе-
непредсказуемость в отношении поведения отдельного микрообъекта
сочетается с предсказуемостью в отношении поведения
множества микрообъектов.
Второе обстоятельство связано со спецификой про-
прохождения электрона через щели в экране. Закроем щель
В; в этом случае на экране-детекторе будет наблюдаться
распределение попаданий, описываемое кривой 1\{х)
(рис. 7.2). Откроем щель В, но закроем щель А; в этом
случае будет иметь место распределение /г(а:). При обе-
обеих открытых щелях имеем не суммарное распределение
I\(x) +h{x) [описываемое на рисунке кривой /з(я)], а
уже отмечавшееся ранее интерференционное распределе-
73
ние 1{х). Вот это обстоятельство и является особо при-
примечательным. Ведь если предположить, что каждый
электрон проходит через какую-либо одну щель, то на-
наличие интерференционного распределения 1(х) требует
признать, что электрон неким образом «ощущает» при
этом другую щель; в противном случае каждому
электрону, проходящему че-
через ту или иную щель, «без-
«безразлично» открыта или за-
закрыта соседняя щель, и тог-
тогда распределение попаданий
при обеих открытых щелях
должно описываться не ин-
? терференционной, а сухммар-
ной кривой h{x) =/i (x) +
+ h(x) [действительно, элек-
х троны, прошедшие через
щель Л, должны были бы
давать распределение 1\(х),
а электроны, прошедшие че-
через щель В,— распределение
h{x)\ на экране-детекторе
была бы зафиксирована сум-
сумма этих распределений]. Бес-
Бессмысленность разговора об
«ощущениях» электрона за-
заставляет признать: интерфе-
интерференционное распределение
1(х), наблюдаемое при обеих
открытых щелях, связано с
тем, что электрон проходит каким-то образом сразу че-
через две щели.
Однако от такого признания легче не становится, так
как непонятно, как именно один электрон проходит сра-
сразу через две щели. Можно, конечно, допустить, что элект-
электрон проходит сначала через одну щель, затем как бы воз-
возвращается — проходит через другую щель — и снова про-
проходит через первую щель (получается этакая «петля»,
захватывающая обе щели). Можно, наконец, допустить,
что вблизи щелей электрон пространственно «размывает-
«размывается» (делокализуется), частично проходит через одну
щель, а частично через другую, и при попадании на эк-
экран-детектор снова пространственно локализуется (полу-
(получается временное расщепление электрона на две «поло-
Рис 7.2
74
JMK
винки»). Нет особой нужды доказывать искусственность
обеих приведённых попыток наглядно смоделировать
прохождение электрона через две щели. Искусствен-
Искусственность таких попыток становится особенно очевидной, ес-
если обратиться к более сложным интерферометрам; так,
в интерферометре Майкельсона пришлось бы, например,
предположить, что одна «половинка» микрообъекта дви-
движется к одному отражающему зеркалу, а другая «поло-
«половинка» — к другому (совсем
в другую сторону).
Итак, интерференцион-
интерференционная кривая 1(х) необычайно
усложнила вопрос о харак-
характере прохождения микро-
микрообъекта через экран с двумя
щелями. Если микрообъект
проходит через одну щель, то
либо не должно быть интер-
интерференции, либо надо при-
признать за микрообъектом та-
таинственную способность
«ощущать» соседнюю щель.
Единственный разумный вы-
вывод, вытекающий из наличия
интерференции, состоит в
том, что микрообъект прохо-
проходит одновременно через две
щели, хотя «механизм» такого своеобразного прохожде-
прохождения неясен.
В данной ситуации мог бы, по-видимому, помочь
прямой эксперимент — почему бы не попробовать «под-
«подглядеть», каким именно образом проходит электрон че-
через экран с щелями? Подобные эксперименты ставились.
Посмотрим же, что из этого получилось.
Опыт 2 («подглядывание» за микрообъектами в ин-
интерферометре). Вообразим, что вблизи щелей А и В
экрана 2 находятся источники света 4 и фотоприемни-
фотоприемники 5 (рис. 7.3), предназначенные для «подглядывания»
за прохождением электрона через экран с щелями (фо-
(фотоприемники регистрируют свет, рассеянный электро-
электроном). Если электрон проходит сразу через обе щели, то
должны сработать одновременно оба фотоприемника.
Если же электрон проходит через одну какую-либо щель,
то сработает один фотоприемник; при этом заодно будет
Рис. 7.3
75
выяснено, через какую именно щель прощел данный
электрон.
Итак, поместим в точку 1 источник электронов, вклю-
включим источники света 4 и понаблюдаем з$/ фотоприемни-
фотоприемниками 5. Будем полагать, что электроны проходят через
установку поодиночке: источник испускает очередной
электрон уже после того, как предыдущий электрон до-
достиг экрана-детектора.
Что же показывает опыт? Оказывается, всякий раз
срабатывает только один фотоприемник (либо левый,
либо .правый) и никогда не срабатывают оба фотоприем-
фотоприемника одновременно. Получается, что электрон проходит
не через две, а через одну щель. При этом всякий раз
мы может указать, через какую именно щель прошел тот
или иной электрон.
Значит, скажет читатель, для объяснения интерфе-
интерференции придется снова начинать разговор о том, что
электрон, проходя через щель, таинственным образом
«ощущает» соседнюю щель. Не будем, однако, торопить-
торопиться с заключениями, а сначала доведем опыт до конца —
получим достаточно большое число (Попаданий электро-
электронов на экране-детекторе 3 и посмотрим, как распреде-
распределятся эти попадания. Вот тут-то нас и ожидает сюрприз!
На экране 3 обнаруживается не интерференционная кри-
кривая 1(х), а суммарная кривая h{x)
Повторим опыт, выключив источники света (и тем
самым лишив себя возможности «подглядывать» за про-
прохождением электронов через щели). В этом случае опять
будет наблюдаться интерференционная кривая 1(х).
Ситуация такова, что при выключенных источниках
света интерференция есть, а при включенных источниках
интерференции нет. Как только мы начинаем «контро-
«контролировать» процесс прохождения электронов через две
открытые щели, интерференция исчезает. Иначе говоря,
наше наблюдение за поведением электронов вблизи ще-
щелей разрушает интерференцию]
Впрочем, изменение характера движения электронов
при включении источников света имеет простое физиче-
физическое объяснение: это изменение есть результат столкно-
столкновений фотонов с «контролируемыми» электронами. В
процессе измерения всегда неизбежно какое-то воздей-
воздействие на исследуемый объект. Здесь важно лишь одно —
можно ли указанное воздействие сделать достаточно
слабым? Может быть, рассмотренный выше опыт был
76
слишком груб? Может быть, надо попробовать понаблю-
понаблюдать за электронами как-то поделикатнее — так, чтобы
при этом интерференционная картина не разрушалась?
Но как уменьшить эффект воздействия фотона на
электрон? Очевидно, что уменьшение интенсивности ис-
источников света ничего не даст — интенсивность света свя-
связана с числом фотонов в пучке, так что при уменьшении
интенсивности начнет попросту расти количество «неза-
«незарегистрированных» электронов. Надо уменьшать энер-
энергию отдельного фотона. Одна-
Однако для этого придется увеличи-
увеличивать длину волны излучения; в
результате будет расти про-
пространственная делокализация
фотона (фотон локализован в
пространстве с точностью до
длины волны), так что при
длине волны, превышающей ь Л "Jy i {*y
расстояние между щелями, фо- ^
тон оказывается уже не в со-
состоянии фиксировать конкрет-
конкретную щель.
Но, может быть, можно Рис. 7.4
придумать какой-нибудь другой
опыт — без использования рассеяния фотонов на электро-
электронах? Нельзя ли, например, попробовать сконструировать
фантастически легкий экран с щелями так, чтобы он мог
перемещаться влево и вправо в результате ударов от-
отдельных электронов? Если электрон проходит через ле-
левую щель, экран получит отдачу влево, если через пра-
правую щель, то вправо (рис. 7.4); если же электрон прохо-
проходит через две щели сразу, экран не должен вообще сме-
смещаться. Таким образом, остается лишь проследить за
перемещениями экрана. Казалось бы, по крайней мере
в принципе цель достигнута — придуман требуемый дели-
деликатный эксперимент. Однако ставить такой эксперимент
не имеет смысла. Чтобы убедиться в этом, вспомним со-
соотношение неопределенной для импульса и координаты.
Из этого соотношения следует, что если условия опыта
действительно позволяют зарегистрировать обусловлен-
обусловленный отдачей от электронного удара импульс экрана, то
эти же условия должны приводить к неопределенности
положения экрана на линии 00 (рис. 7.4). Следователь-
Следовательно, смещения такого экрана не позволяют сделать каких-
77
либо определенных заключений о характере/йрохождения
электрона через щели. С другой стороны, ^сли фиксиро-
фиксировать положение экрана на линии 00, то, i/ак легко сооб-
сообразить, станет невозможным измерение импульса его от-
отдачи.
Было предпринято много попыток рридумать такой
опыт, 'В котором можно было бы «проконтролировать»
прохождение электронов через экран с щелями, не воз-
воздействуя слишком сильно на сами электроны (так, чтобы
не разрушалась интерференция). Однако все эти попыт-
попытки оказывались неудачными. В результате остается при-
признать, что сделанное выше заключение о том, что наблю-
наблюдение за поведением электронов вблизи щелей разру-
разрушает интерференцию, имеет принципиальный характер.
Иными словами, разрушающий 'интерференцию эффект
наблюдения (измерения) нельзя устранить в принципе.
Краткая интермедия.
ЧИТАТЕЛЬ: Значит, мы так и
не смогли выяснить, как именно
проходит электрон через экран
с щелями — через одну щель
или сразу через обе щели?
АВТОР: Действительно, не
смогли.
ЧИТАТЕЛЬ: Но тогда принци-
принципиальный опыт 2 не достиг це-
цели! Нужно ли было его рас-
рассматривать?
АВТОР: Нужно. Опыт не дал „Щел в КОМНпШМ,
ответа на поставленный нами г-, л J
вопрос. Ну и что же? Значит, 1 ЮПпЛ в другую..."
вопрос был поставлен некор-
некорректно. Мы видим, что не вся- А. С. Грибоедов
кий вопрос можно задавать («Горе от ума»)
природе.
ЧИТАТЕЛЬ: В этом негатив-
негативном результате и весь смысл
опыта?
АВТОР: Это уже немало. Одна-
Однако, как мы увидим позднее,
здесь содержится также и пози-
позитивный результат колоссальной
важности. Поистине искали
одно, а нашли другое.
ЧИТАТЕЛЬ: Что же именно?
АВТОР: Не будем торопиться.
Рассмотрим сначала до конца
нашу систему принципиальных
опытов.
78
Опыт 3 (Прохождение фотонов через поляризаторы).
Пропустим nViOK света через поляризатор, например
кристалл турмалина. Из кристалла выйдет линейно по-
поляризованный световой пучок. Направление поляризации
пучка определяется ориентацией поляризатора относи-
относительно пучка (направление поляризации совпадает с на-
направлением оси поляризатора). Обозначим интенсивность
линейно поляризованного светового пучка через /.
Далее поместим на пути линейно поляризованного
пучка света второй поляризатор и рассмотрим следую-
Ncos2oc
Рис. 7.5
щие три случая: а— ось второго поляризатора парал-
параллельна оси первого, б — ось второго поляризатора пер-
перпендикулярна оси первого, в — ось второго поляризатора
составляет угол а с осью первого. Будем измерять ин-
интенсивность света после второго поляризатора. В слу-
случае а получим интенсивность /, в случае б ничего не
получим, а в случае в получим световой поток интенсив-
интенсивности /cos2 а, поляризованный вдоль оси второго поляри-
поляризатора. Указанные случаи приведены на рис. 7.5, где
АА — направление оси первого, а ББ — второго поляри-
поляризаторов.
Описанный опыт хорошо известен в классической оп-
оптике. Однако, подобно интерференционному опыту Юнга,
он 'имеет самое прямое отношение к квантовой механике.
Как и в случае интерференции, будем уменьшать интен-
интенсивность светового пучка до тех пор, пока через наше
устройство не пойдут одиночные фотоны. Рассмотрим
проиллюстрированные на рис. 7.5 случаи в применении
к отдельным фотонам.
79
Прежде всего напомним, что фотон характеризуется
определенной поляризацией, .причем эта поляризация со-
соответствует поляризации той классический световой вол-
волны, из которой «взят» рассматриваемый фотон. Это оз-
означает, в частности, что после первого доляризатора бу-
будем иметь линейно поляризованные (в/ направлении оси
поляризатора) фотоны. Вот с этими фотонами и будем
далее «работать», называя их условно «исходными фо-
фотонами».
В случае а исходный фотон .всегда проходит через
второй поляризатор; в случае б, напротив, никогда не
проходит. Эти результаты не являются неожиданными.
А что будет в случае в? Оказывается, в случае в фотон
может не пройти через второй поляризатор, но может и
пройти. При этом совершенно невозможно предсказать,
какая именно из двух альтернатив (прошел или не про-
прошел) будет реализована данным исходным фотоном.
Если случится так, что фотон пройдет через второй по-
поляризатор, то его поляризация окажется измененной —
он будет (поляризован в направлении оси второго поляри-
поляризатора. Итак, судьба любого конкретного исходного фо-
фотона оказывается в принципе непредсказуемой!
Предположим далее, что имеется N исходных фото-
фотонов. Проследим за их прохождением через второй поля-
поляризатор в случае в и посмотрим, что при этом получится.
Оказывается, если N достаточно «велико, то число про-
прошедших фотонов можно предсказать с хорошей точ-
точностью— оно близко к N cos2 а. В связи с этим напом-
напомним сделанное ранее замечание о том, что непредсказуе-
непредсказуемость в отношении поведения отдельного микрообъекта
сочетается с предсказуемостью в отношении поведения
множества микрообъектов (см. опыт 1). Можно сказать,
что существует определенная вероятность исходному фо-
фотону пройти через второй поляризатор; эта вероятность
равна cos2 a.
А теперь усложним опыт. Используем случай, изобра-
изображенный на рис. 7.5, в, и добавим еще один (третий) по-
поляризатор, ось которого направим перпендикулярно оси
первого поляризатора. Рассматриваемая система из трех
поляризаторов показана на рис. 7.6. Пусть число исход-
пых фотонов (т. е. фотонов, прошедших через первый
поляризатор) равно N. После второго поляризатора бу-
будем иметь, как уже известно, N cos2 а фотонов, причем
поляризация этих фотонов совпадает с осью второго по-
80
ляризатора. Рассуждая далее аналогичным образом, за-
заключаем, что после третьего поляризатора мы должны
иметь N cos2 a sin2 а фотонов, причем поляризация этих
фотонов должна совладать с осью третьего поляриза-
поляризатора. Опыт действительно подтверждает такое заклю-
заключение.
Как будто бы\ ничего удивительного (если, конечно,
полагать, что удивление от наличия двух непредсказуе-
непредсказуемых возможных поведений отдельного фотона уже не-
Ncos'-oc sin2oc
Рис. 7.6
Рис. 7.7
много поостыло). И тем не менее есть здесь один момент,
который противоречит нашим привычным представле-
представлениям. Попробуйте вообще убрать второй поляризатор.
Тогда после третьего поляризатора не будет обнаружено
никаких фотонов! Получается довольно интересная си-
ситуация. Фотоны идут через некое устройство, как бы
«фильтруясь» сначала вторым, а затем третьим поляри-
поляризаторами; в результате сначала мы имеем Л/, затем
A'cos2 а и, наконец, N cos2 a sin2 а фотонов. Мы убираем
один из «фильтров» и, казалось бы, тем самым улучшаем
условия прохождения фотонов через данное устройство.
Однако в действительности все оборачивается иначе —
теперь фотоны вообще не проходят через устройство!
Опыт 4 (рассеяние микрообъектов на микрообъек-
микрообъектах). Будем рассматривать упругие столкновения микро-
микрообъектов, используя при этом в целях удобства систему
центра масс сталкивающихся частиц. На рис. 7.7 изо-
изображена отнесенная к системе центра масс частиц схема
опыта. Здесь А и В — пучки частиц, 1 и 2 — счетчики рас-
рассеянных частиц, расположенные на линии, перпендику-
перпендикулярной направлению движения частиц до столкновения.
81
1
. I
ОС
¦
Щ
1
ос
¦ п
'не
1
Г
1
ОС
1
I
1 г\
Таким образом, здесь рассматривается рассеяние частиц
на угол 90° в системе их центра масс.
Заметим, что картина процесса в системе центра масс
может существенно отличаться от аналогичной картины
в лабораторной системе. Так, например, в лабораторной
системе счетчики 1 и 2 могут оказаться не на одной ли-
линии; кроме того, в действительности может использовать-
использоваться только один пучок частиц (например, частиц типа Л),
тогда как частицы другого типа (типа В) входят в со-
состав неподвижной ми-
мишени. Предполагается,
что опыт в лаборатор-
лабораторной системе всякий раз
ставится таким обра-
образом, чтобы в системе
центра масс частиц бы-
была справедлива схема,
изображенная на рис.
Рис. 7.8 7.7.
Рассмотрим приме-
применительно к указанной схеме разные примеры, измеряя
всякий раз вероятность рассеяния частиц по числу одно-
одновременных срабатываний счетчиков 1 и 2.
Первый пример. Частицы типа А—а-частицы (ядра
4Не), частицы типа В — ядра 3Не; счетчик / считает толь-
только а-частицы, а счетчик 2 — только ядра 3Не. Пусть из-
измеренная в этом случае 'вероятность рассеяния есть w.
Второй пример. Частицы те же, но теперь каждый
из счетчиков может считать как а-частицы, так и ядра
3Не. В этом случае измеренная вероятность рассеяния
оказывается равной 2w. Такой результат представляется
естественным — удвоение вероятности w связано с реа-
реализацией двух альтернатив, показанных на рис. 7.8.
Третий пример. Заменим ядра 3Не на а-частицы.
Пусть теперь а-частицы рассеиваются на а-частицах.
Казалось бы, в этом случае вероятность рассеяния дол-
должна быть такой же (или приблизительно такой же), как
и в 'предыдущем случае, т. е. 2w. Опыт, однако, дает су-
существенно иной результат — \w. «Невинная» замена
ядер 3Не ядрами 4Не изменила вероятность рассеяния
в два раза!
Еще более неожиданные результаты обнаруживаются
при учете спиновых состояний сталкивающихся частиц
(в случае а-частиц вопрос об учете спиновых состояний
82
не возникал, поскольку а-частицы не имеют спина). Рас-
Рассмотрим в связи с этим рассеяние электронов на элект-
электронах. Напомним, что электрон может находиться в двух
спиновых состояниях (а=1/2, —1/2). Электроны, рож-
рожденные, например, в (результате термоэлектронной эмис-
эмиссии, оказываются с равной вероятностью в том или дру-
другом спиновом состоянии. Такие электронные пучки на-
называют ыеподяризованными; половина электронов в них
имеет а=1/2, а половина — о = —1/2. Если принять спе-
специальные меры, можно получить поляризованный элект-
электронный пучок, в котором все электроны находятся в од-
одном и том же спиновом состоянии.
После сделанных замечаний вернемся к схеме на
рис. 7.7 и продолжим перечень рассматриваемых приме-
примеров. При этом будем полагать, что энергии сталкиваю-
сталкивающихся электронов достаточно малы, поэтому возмож-
возможность изменения спинового состояния электрона при
столкновении можно не принимать во внимание.
Четвертый пример. Оба электронных пучка неполяри-
зованные. Пусть измеренная в этом случае .вероятность
рассеяния есть we.
Пятый пример. Электронные пучки поляризованы, но
различным образом. Например, Л-электроны имеют
а=1/2, а В-электроны— о = —1/2. В этом случае вероят-
вероятность рассеяния оказывается равной 2we.
Шестой пример. Электронные пучки поляризованы
одинаковым образом. В этом случае счетчики 1 и 2 «без-
«безмолвствуют»— вероятность рассеяния равна нулю!
Как станет ясно позднее, рассмотренные здесь резуль-
результаты опытов по рассеянию микрочастиц указывают на
принципиальные квантовомеханичеекие закономерности.
Заключение. Итак, рассмотрена система из четырех
достаточно простых опытов. В процессе рассмотрения
подчеркивалась неожиданность результатов, указываю-
указывающая на невозможность классического их объяснения. Си-
Система принципиальных опытов могла бы быть расширена
и дополнена более сложными опытами. Мы, однако, не
будем этого делать. Ограничимся рассмотренными че-
четырьмя опытами, полагая, что в них достаточно четко
проявились все основные принципы квантовой механики.
Опираясь на рассмотренные опыты, перейдем в сле-
следующих параграфах к построению системы квантовоме-
ханических представлений, выражающей сущность фи-
физических основ квантовой механики.
83
§ 8. АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
(ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ)
Введение понятия амплитуды перехода. Предполо-
Предположим, что для некоторого микрообъекта рассматриваются
определенные начальное и конечное состояния (соответ-
(соответственно 5-состояние и /-состояние). Конкретные харак-
характеристики этих состояний, равно как и природа микро-
микрообъекта, пока несущественны. Как отмечалось ранее,
переход микрообъекта между двумя заданными состоя-
состояниями имеет, как правило, вероятностный характер.
В связи с этим введем в рассмотрение вероятность пе-
перехода Ws-+f.
В квантовой механике наряду с вероятностью пере-
перехода ws-+f вводят так называемую амплитуду вероятно-
вероятности перехода </|s> *. Это есть некое, вообще говоря,
комплексное число, квадрат модуля которого равен ве-
вероятности перехода:
«W= К/Ю12- (8.1)
Заметим, что амплитуда вероятности перехода записы-
записывается так, что справа указывается начальное, а слева —
конечное состояния (как если бы эта запись читалась
справа налево). В дальнейшем для краткости будем на-
называть амплитуду вероятности перехода просто «ампли-
«амплитудой перехода» (а иногда и еще короче — «амплиту-
«амплитудой»).
Вводя важнейшее для квантовой механики понятие
амплитуды перехода, посвятим данный параграф фор-
формулировке в наиболее общем виде ряда основных прин-
принципов. Читателя не должна смущать формальность
изложения в данном параграфе. Она будет компенсиро-
компенсирована следующим параграфом, где на конкретных при-
примерах будут продемонстрированы упомянутые принци-
принципы. При этом, в частности, будет рассмотрена связь этих
принципов с обсуждавшимися в § 7 опытами, что позво-
позволит, с одной стороны, дать обоснование формально опи-
описанным принципам, а с другой стороны, дать объяснение
удивительным экспериментальным результатам.
* Рассмотрение квантовой механики на основе амплитуд вероят-
вероятностей проводится в книгах Фейнмана [3—5] и Дирака [9].
84
Основные правила работы с амплитудами. Укажем
четыре основные правила работы с амплитудами пере-
переходов. Эти правила следует рассматривать как постула-
постулаты, лежащие в основании согласующейся с эксперимен-
экспериментом системы квантовомеханических
представлений.
Первое правило. Предположим
(рис. 8.1, а), что существует несколько
физически неразличимых способов (пу-
(путей) перехода микрообъекта из s-co-
стояния в /-состояние. В этом случае
результирующая амплитуда перехода
</|s> есть сумма амплитуд, соответ-
соответствующих разным способам перехода:
(8.2)
(индекс i фиксирует i-й способ перехо-
перехода).
Второе правило. Предположим
(рис. 8.1, б), что имеется несколько
конечных состояний (/ь /2> ••, fu •••) и
рассматривается вероятность перехода
в любое из этих состояний, безразлич-
безразлично какое. В этом случае результирую-
результирующая вероятность перехода |<f|s>|2
есть сумма вероятностей переходов в
различные конечные состояния:
(8.3)
5} второе праЫо
5)третье правило
г) четвертое прибило
Рис. 8.1
Третье правило. Предположим (рис. 8.1, в), что пере-
переход s-v/ совершается через некоторое промежуточное со-
состояние (и-состояние). В этом случае вводят в рассмот-
рассмотрение амплитуды последовательных переходов s-^v и
v-^f (соответственно амплитуды <u|s> и <f/^>); ре-
результирующая амплитуда есть произведение указанных
амплитуд:
Иначе говоря, если переход разбивается на последова-
85
тельные этапы, то амплитуда перехода выражается че-
через произведение амплитуд отдельных этапов. Заметим,
что в (8.4) следует читать запись справа налево — тогда
обозначения состояний окажутся в правильной после-
последовательности: сначала начальное состояние, затем про-
промежуточное и наконец конечное.
Четвертое правило. Предположим (рис. 8.1,г), что
имеются два независимых микрообъекта. Пусть один
микрообъект совершает переход s->/ и одновременно
другой микрообъект совершает переход S^F. В этом
случае результирующая амплитуда перехода для си-
системы микрообъектов выражается через произведение
амплитуд перехода для отдельных микрообъектов:
<fF I sS>=</ | s><F | S>. (8.5)
Отметим, что второе, третье и четвертое правила
представляются вполне естественными, поскольку с уче-
учетом (8.1) они выражают хорошо известные в теории ве-
вероятностей теоремы сложения (второе правило) и умно-
умножения (третье и четвертое правила) вероятностей. Не-
Необычным (представляется здесь .первое правило, которое
может (быть названо правилом сложения амплитуд. В из-
известном смысле именно на правиле сложения амплитуд
строится вся система квантовомеханических .представ-
.представлений.
Различимые и неразличимые альтернативы; интерфе-
интерференция амплитуд. Предположим, что переход м'икрообъ-
екта ,из .начального состояния в конечное (переход s-^f)
совершается всякий раз через одно из промежуточных
состояний (vi 02, ..., viy ...) (рис. 8.1,(9). В этом случае
тот или 1иной способ перехода s-^f (та или иная альтер-
альтернатива) определяется «участием» в переходе соответст-
соответствующего промежуточного состояния.
Рассмотрим два разных случая. Пусть в первом слу-
случае известно, через какое именно промежуточное состоя-
состояние .произошел конкретный переход. Это есть случай фи-
физически различимых альтернатив. Для его описания надо
объединить второе и третье правила. В итоге результи-
результирующая вероятность перехода будет иметь вид
I </ I OI2 = 2 I </ I */><*/ I *>l2. (8.6)
Может возникнуть вопрос: причем здесь второе прави-
правило, коль скоро в нем шла речь о разных конечных состоя-
86
нмях? Дело в том, что если известно, в каком именно
промежуточном состоянии побывал микрообъект, то ука-
указанное состояние может рассматриваться как конечное по
отношению к первому этапу перехода. Мы фиксируем
микрообъект в этом состоянии и тем самым как бы вре-
временно прекращаем опыт. Один микрообъект будет за-
зафиксирован в одном состоянии, другие — в других со-
состояниях, так что фактически имеет место ситуация с
разными конечными состояниями. Подчеркнем, что раз-
различимость альтернатив связана с существованием 'имен-
'именно разных конечных состояний (даже если в данном опы-
опыте они играют роль промежуточных состояний).
Во втором случае нам неизвестно, через какое именно
промежуточное состояние произошел конкретный пере-
переход. Это есть случай физически неразличимых альтерна-
альтернатив. Для описания данного случая следует объединить
первое и третье правила. В итоге результирующая ам-
амплитуда перехода будет иметь вид
</1 *>=?</I^Xtf/IO. (8-7)
i
Результат (8.7) является специфически квантовомехани-
ческим. Когда он имеет место, говорят об интерференции
амплитуд переходов через разные промежуточные состо-
состояния. Подчеркнем, что интерференция амплитуд воз-
возможна лишь при условии физической неразличимости от-
отвечающих данному опыту альтернатив (микрообъект не
фиксируется в промежуточном состоянии, поэтому мы
имеем здесь дело фактически только с одним конечным
состоянием).
Переходя в (8.7) от амплитуды к вероятности пере-
перехода, получаем
I </ I s>p=2|</K><^ I s>\2- (8-8)
Различие между случаями физически различимых и не-
неразличимых альтернатив хорошо видно из сравнения ве-
вероятностей (8.6) 1и (8.8). Если в <первом случае склады-
складываются вероятности альтернатив, то во втором — ампли-
амплитуды вероятностей альтернатив.
Переходы с участием двух микрообъектов. Представ-
Представляет интерес несколько расширить четвертое правило,
относящееся к одновременным переходам двух микро-
микрообъектов. Предположим (рис. 8.2,а), что один м,икро-
87
объект совершает переход s-^f через промежуточное
у-состояние и одновременно другой микрообъект совер-
совершает переход S-+F через промежуточное У-состояние.
Объединяя третье и четвертое
правила, представим амплитуду
перехода для системы микрообъ-
микрообъектов в 'следующем виде:
</F\sS>=<f\v>X
X<v\s><F\V><y\S>. (8.9)
Далее предположим (рис.
8.2, б), что оба микрообъекта в
процессе своих переходов прохо-
проходят через одно и то же промежу-
промежуточное 01-состояние. Тогда (8.9)
должно принять вид
\s> X
(8.10)
Наконец, предположим (рис.
8.2, б), что каждый микрообъект
реализует по нескольку физиче-
физически неразличимых альтернатив
через разные промежуточные со-
состояния (v\, v2, ..., Vi)\ причем
каждое промежуточное состояние
является общим для пары микро-
микрообъектов. В этом случае, обобщая
Рис. 8.2
результат (8.10) с учетом первого правила, получаем
.П)
Разрушение интерференции амплитуд. Интерферен-
Интерференция амплитуд разрушается, когда альтернативы стано-
становятся (различимыми. Покажем, как это происходит, ис-
используя переходы с участием двух микрообъектов [ис-
[используя результат (8.11)].
88
Микрообъект, совершающий переход s->/, назовем
для краткости s-объектом, а микрообъект, совершающий
переход 5—кГ,— 5-объектом. Предположим, что 5-объ-
екты используются для того, чтобы «проконтролировать»
(«подсмотреть»), через какое именно промежуточное со-
состояние происходит в каждом конкретном случае пере-
переход s-объекта. Для осуществления такого «контроля»
следует ввести столько конечных /-состояний, сколько
имеется «контролируемых» промежуточных ^-состояний
(обозначим /ь /2, ... /i, ...)> и устроить так, чтобы 5-объ-
5-объект, проходящий, например, через ^-состояние, перехо-
переходил именно в /г-состояние. Схематически это изобра-
изображено на рис. 8.2, г. Здесь каждое промежуточное состоя-
состояние оказывается как бы «привязанным» к определенно-
определенному конечному /-состоянию. Остается лишь проследить за
тем, в каком конечном состоянии будет обнаружен в том
или ином случае осуществляющий «контроль» 5-объект.
Если ранее (в отсутствие 5-объектов) альтернативы бы-
были неразличимыми, так что было неизвестно, через какое
именно промежуточное состояние (Произошел в каждом
конкретном случае переход s-объекта, то теперь разные
альтернативы становятся физически различимыми: об-
обнаруженный в том или ином /-состоянии 5-объект одно-
однозначно указывает, через какое именно промежуточное
состояние совершился данный переход. Согласно сделан-
сделанным ранее замечаниям, использование 5-объектов для
различения промежуточных состояний должно приводить
к разрушению интерференции амплитуд, Убедимся в
этом.
Если в /^состояние попадает только тот 5-объект, ко-
который проходит через промежуточное Уг-состояние, то,
следовательно, <Fi\vk>=0 при кф1. Используя (8.11),
получаем отсюда
</Ft\sS> =
= </К><^1О<ЛК><^|5>. (8.12)
Поскольку /г-состояния—это различные конечные со-
состояния, то согласно второму правилу получаем для ре-
результирующей вероятности перехода «контролируемого»
s-объекта выражение
89
= I±\<f\'vi><Vi\s><Fl\vl><vl\S>!{>. (8.13)
Если далее допустить, что для всех i амплитуда |
одинакова (что на практике часто имеет место), то, обоз-
обозначив эту амплитуду для краткости через а, перепишем
результат (8.13) в виде
Итак, если в отсутствие 5-объектов (в отсутствие
«контроля») имел место результат (8.8), то теперь имеет
место результат (8.14). Легко видеть, что он соответст-
соответствует результату (8.6) — налицо разрушение интерферен-
интерференции амплитуд при установлении «контроля» за проме-
промежуточными состояниями, т. е. при превращении фи-
физически неразличимых альтернатив в различимые
альтернативы.
§ 9. АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
(ДЕМОНСТРАЦИЯ ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ)
Поведение микрообъекта в интерферометре и интер-
интерференция амплитуд. Используя понятие амплитуды пе-
перехода и правила работы с амплитудами, вернемся к об-
обсуждавшемуся в § 7 опыту 1. Электрон выходит из на-
начального 5-состояния, проходит через экран с щелями
А ,и 5, каждой из которых отвечает свое промежуточное
состояние (Л-состояние и В-состояние соответственно) и,
наконец, регистрируется в конечном х-состоянии, т. е. в
точке с координатой х на экране-детекторе.
Пусть щель А открыта, а щель В закрыта. В этом
случае <x\s>A=<x\A><A\s>.Вероятность перехода
s-*-x, т. е. вероятность регистрации электрона в точке х
экрана-детектора, имеет вид
\<x\s>A\*=\<x\A><A\s>\*. (9.1)
Обозначим эту вероятность через 1\{х)\ напомним, что
именно так мы обозначали распределение попаданий
электронов на экране-детекторе в опыте 1 из § 7 при
условии, что щель А открыта, а щель В закрыта. Для ве-
вероятности регистрации электрона в точке х в случае от-
90
крытой щели В и закрытой щели А можем записать ана-
аналогичное выражение:
|<*Ю*|2= \<x\B><B\s>\*=I2(x).' (9.2)
Теперь откроем обе щели. Поскольку невозможно
указать, через какую именно щель прошел тот или иной
электрон (альтернативы неразличимы), то, следова-
следовательно,
(9.3)
Обозначая вероятность перехода |<x|s>|2 через 1(х)
(именно так обозначалась в § 7 наблюдаемая при обеих
открытых щелях интерференционная кривая ,на экране-
детекторе) и учитывая (9.1) и (9.2), получаем отсюда
+ <x\s>\<x\s>B. (9.4)
Легко видеть, что результирующая вероятность перехода
не равна сумме вероятностей переходов через щели А .и
В[1(х) ф1\(х) + h(x)]; кроме слагаемых 1\(х) и h(x) в
правой части выражения (9.4) содержатся два дополни-
дополнительных слагаемых, обусловленные интерференцией ам-
амплитуд. Эти слагаемые и определяют отличие интерфе-
интерференционной кривой 1(х) от суммарной кривой h{x) =
Таким образом, интерференционное распределение
попаданий электронов на экране-детекторе, наблюдае-
наблюдаемое три обеих открытых щелях в опыте 1 из § 7, есть
следствие результата (9.4), т. е. следствие интерферен-
интерференции амплитуд двух возможных переходов электрона из
заданного начального в заданное конечное состояние.
Разрушение интерференции амплитуд при «контроли-
«контролировании» поведения микрообъекта в интерферометре. На
рис. 9.1 схематически изображен рассматривавшийся в
§ 7 принципиальный опыт 2. Здесь s — источник электро-
электронов,, S — источник фотонов, F\ 'И jp2 — счетчики фотонов,
фиксирующие два разных конечных состояния фотонов,
рассеянных на электронах вблизи щелей А и В. Вначале
будем полагать, что фотоны, рассеянные вблизи любой
91
из щелей, могут быть зарегистрированы как в /^-состоя-
/^-состоянии, так и в /^-состоянии (что соответствует использо-
использованию излучения с достаточно большой длиной волны).
В этом случае фотоны, очевидно, не «контролируют»
прохождение электронов через экран с щелями. Обоз-
Обозначим амплитуды переходов:
для электронов
<x\A><A\s>=b, <*|
для фотонов (с учетом
симметрии фотонных пере-
переходов, хорошо видной из
рис. 9.1)
<F1\A><A\S>=
(9.6)
Используя эти обозначения
Рис 9 j и результат (8.11), запишем
следующее выражение для
амплитуды вероятности од-
одновременной «регистрации электрона в точке х и фотона
в Л-состоянии:
< xFx | sS >=?i'ri +?гФ2- (9-7)
Соответственно для амплитуды вероятности одновремен-
одновременной регистрации электрона в точке х и фотона в ^-со-
^-состоянии запишем
<CxF2\sS^> =y1ty2-\-y2tyi. (9.8)
Вероятность регистрации электрона в точке х .независи-
.независимо от того, где при этом зарегистрирован* фотон, имеет
вид (согласно второму правилу из § 8)
Подставляя сюда (9.7) и (9.8), находим
). (9.10)
92
Таким образом, результирующая вероятность электрон-
электронного перехода s-^x складывается из двух слагаемых.
Первое есть умноженная на (|i[)i|2+ |^|2) сумма веро-
вероятностей переходов через щели А и В, рассматриваемых
по отдельности. Второе слагаемое имеет интерференци-
интерференционную природу; оно обусловлено интерференцией ампли-
амплитуд. Благодаря наличию этого слагаемого наблюдается
интерференционное распределение попаданий электро-
электронов на экране-детекторе.
Итак, пока фотоны не «контролируют» прохождение
электронов через экран с щелями, наблюдается эффект
интерференции, описываемый выражением (9.10).
Напомним, что в рассмотренном примере предполага-
предполагалась достаточно большая длина волны излучения. Будем
теперь уменьшать длину волны. При этом будет умень-
уменьшаться вероятность 'попадания рассеянного электроном
фотона в «чужой» счетчик (например, вероятность по-
попадания фотона, рассеянного вблизи щели А, в счетчик
F2). Это означает, что с уменьшением длины волны из-
излучения должна уменьшаться амплитуда ф2. Уменьшение
же амплитуды г|>2 понизит, как это видно из (9.10), отно-
относительный вклад интерференционного слагаемого. В ре-
результате наблюдаемая на экране-детекторе интерферен-
интерференционная картина начнет смазываться.
При достаточно малой длине волны излучения воз-
возможен точный «контроль» за прохождением электронов
через экран с щелями. В этом предельном случае фотон,
рассеянный вблизи той или иной щели, попадает только
в «свой» счетчик. Это означает, что ^2=:0. Подставляя
этот результат в (9.10), получаем
Таким образом, «контроль» за прохождением электронов
через экран с щелями приводит к разрушению интерфе-
интерференции амплитуд и, как следствие, к исчезновению интер-
интерференционного распределения попаданий электронов на
экране-детекторе. Результат (9.11) полностью согласу-
согласуется с (8.14). «Контролирование» делает различимыми
альтернативы, отвечающие прохождению* электрона че-
через разные щели.
Рассматривая данный пример, мы убеждаемся, что
в вопросе различимости альтернатив есть определенная
тонкость: наряду с полной неразличимостью и полной
различимостью существует непрерывный спектр проме-
93
жуточных ситуации, которые следует соотносить с частич-
частичной различимостью. Результат (9.11) описывает предель-
предельный случай полной различимости рассматриваемых аль-
альтернатив (г|J = 0). Противоположный предельный случай
полной неразличимости альтернатив предполагает оди-
одинаковую .вероятность фотону попасть как в «свой», так
и в «чужой» счетчик: -фх = гр2- В этом случае, как легко,
убедиться, выражение (9.10) принимает вид
Результат (9.11) (складываются квадраты модулей элек-
электронных амплитуд) и результат (9.12) (складываются
сами электронные амплитуды) получаются из (9.10) как
частные (предельные) случаи. Общее выражение (9.10)
описывает промежуточные ситуации, отвечающие частич-
частичной различимости рассматриваемых альтернатив и раз-
различающиеся друг от друга величиной интерференцион-
интерференционного слагаемого. Чем меньше -интерференционное сла-
слагаемое, тем больше степень различимости альтернатив.
Итак, различимость и неразличимость отнюдь не дис-
дискретны. Полная неразличимость непрерывно переходит
в полную (различимость через промежуточные ситуации,
соответствующие частичной различимости. В § 10 мы
вернемся к вопросу о частичной различимости с точки
зрения принципа суперпозиции *.
Рассеяние микрообъектов и интерференция амплитуд.
Обратимся к опыту 4 из § 7. Пусть S\ и s2 — начальные со-
состояния сталкивающихся .микрообъектов, a f\ и f% — ко-
конечные * состояния, регистрируемые соответствующими
счетчиками. В § 7 рассматривалось рассеяние на угол
90° «в системе центра масс сталкивающихся частиц. При
более общем подходе будем рассматривать рассеяние на
угол 9; в этом случае счетчики располагаются на прямой
линии, образующей угол 9 с первоначальным направле-
направлением сталкивающихся частиц —см. рис. 9.2, а (рассмот-
(рассмотрение по-прежнему проводится в системе центра масс
частиц).
Если при рассеянии один микрообъект совершает пе-
переход Si-^fu а' другой — переход s2->/2 (Рис- 9.2, б), то
амплитуда рассеяния имеет вид
(9.13)
* Частичная различимость альтернатив подробно рассматри-
рассматривается в [31].
94
Возможна и другая альтернатива: один микрообъект со-
совершает переход S\-^f2, а другой — переход s2-^fi (рис.
9.2, в). В этом случае амплитуда рассеяния имеет вид
т(л-в) = </2\51></1152>. (9.14)
Предположим, что микрообъекты полностью различи-
различимы. Это может означать, например, что сталкиваются
микрообъекты разного типа или микрообъекты одного
типа, но в разных спиновых состояниях. Сначала рас-
рассмотрим ситуацию, когда счетчик f\ регистрирует только
Рис. 9.2
микрообъекты из su а счетчик /2 — только микрообъекты
из s2 (такая ситуация отвечает (первому примеру в опыте
4 из § 7). В этом случае вероятность одновременного
срабатывания обоих счетчиков есть
1т(вI2=|</1|5,></8|^>12, (9.15)
Вторая ситуация: каждый счетчик регистрирует любой
из участвующих в столкновении микрообъектов (ситуа-
(ситуация отвечает второму примеру в опыте 4 из § 7). Теперь
надо учитывать две возможные альтернативы. Поскольку
для полностью различимых микрообъектов эти альтерна-
альтернативы также полностью различимы, то вероятность одно-
одновременного срабатывания счетчиков будет определяться
в данном случае выражением
></iU2>l2. (9-16)
При 6 = jx/2 получаем отсюда вероятность 2|ф(я/2)|2 —
именно об этом удвоении вероятности и шла речь во вто-
втором примере в опыте 4 из § 7.
95
Далее предположим, что микрообъекты полностью не-
неразличимы. Это означает, что рассматриваются микро-
микрообъекты одного и того же типа, находящиеся в одинако-
одинаковых состояниях. Заметим, что отмечавшаяся в § 6 тож-
тождественность микрообъектов является необходимым ус-
условием полной неразличимости.
Если млкрообъекты полностью неразличимы, то пол-
полностью неразличимы и альтернативы, изображенные на
рис. 9.2, б, в. В этом случае должны складываться не
вероятности альтернатив, а их амплитуды; вероятность
одновременного срабатывания счетчиков должна опреде-
определяться выражением
w = |<pF)-|-cp(jt — О)J. (9.17)
В применении к третьему примеру в опыте 4 из § 7 (ког-
(когда рассматривалось рассеяние а-частиц на а-частицах)
результат (9.17) принимает вид
да = | ср (тс/2) + ср (хс/2) |2 = 41 ср (лт/2) р. (9.18)
Именно это учетверение вероятности |ф(я/2) |2 и на-
наблюдалось в опыте.
Интерференция амплитуд рассеяния есть лишь одно
из следствий полной неразличимости микрообъектов.
Другое следствие состоит в том, что вероятность w од-
одновременного срабатывания счетчиков не должна изме-
измениться, если поменять друг с другом Si и s2i или, иными
словами, если поменять друг с другом амплитуды рассея-
рассеяния ф(8) и ф(я—0). Если исходить из указанных след-
следствий, то можно формально записать вероятность w
в виде
зд = (<р(в)± <х>(я-~б)|2. (9.19)
Вариант со знаком « + » (амплитуды интерферируют с
одинаковыми знаками) нам уже известен — это есть вы-
выражение (9.17). Формально возможен и другой вариант,
когда амплитуды интерферируют с разными знаками.
Примечательно, что природа «использует» также и этот
вариант, в чем можно убедиться, рассматривая резуль-
результаты опытов по рассеянию электронов на электронах.
Итак, предположим, что амплитуды интерферируют
с разными знаками:
ср(я--е)|2 (9.20)
96
и обратимся к результатам упомянутых опытов. В слу-
случае О^я/2 вероятность (9.20) обращается в нуль, что
как раз и соответствует шестому примеру в опыте 4 из
§ 7. Напомним, что указанный пример относился к столк-
столкновению электронов, находящихся в одном и том же спи-
спиновом состоянии. Именно в этом случае имеем для элек-
электронов две полностью неразличимые альтернативы *.
Если сталкивающиеся электроны находятся в раз-
разных спиновых состояниях (пятый пример в опыте 4), то
альтернативы различимы; в этом случае вероятность
срабатывания счетчиков описывается (как и положе-
положено для различимых объектов) выражением (9.17), кото-
которое при 0 = я/2 приводит к уже известному результату
2|ф(я/9) |2. В случае неполяризованных электронных пуч-
пучков (четвертый пример в опыте 4) надо учесть, что ве-
вероятность столкновения двух электронов в одинаковых
спиновых состояниях равна 1/2; отсюда, учитывая (9.20)
и (9.16), получаем следующее выражение для вероят-
вероятности срабатывания счетчиков:
(9.21)
Результат (9.21) включает как сложение амплитуд (для
случаев, характеризующихся неразличимыми альтерна-
альтернативами), так и сло;жение вероятностей (для случаев, ха-
характеризующихся различимыми альтернативами). Для
8 = я/2 получаем из (9.21) вероятность we— |ср(я/2) |2.
Это есть половина «классической вероятности» (т. е. ве-
вероятности, имеющей место в случае неразличимых аль-
альтернатив) в полном соответствии с результатами опытов,
рассматривавшихся в § 7.
Интерференция амплитуд и разбиение микрообъек-
микрообъектов на бозоны и фермионы. Итак, мы убедились, что опи-
описанные в § 7 опыты по рассеянию микрообъектов дают
хорошее экспериментальное обоснование представлению
об интерференции амплитуд. Кроме того, эти опыты ука-
указывают на необходимость использования не одного, а двух
разных правил интерференции — (9.17) и (9.20). Обсудим
смысл этих двух правил, «полагая 8 = я/2. Согласно (9.17),
* Ниже будем опускать слово «полностью», подразумевая его
всякий раз, когда речь идет о различимых или неразличимых альтер-
альтернативах. Частичная различимость будет оговариваться особо.
4—2819 97
имеем для «-частиц
(9.22)
а согласно (9.20) имеем для электронов в одинаковых
спиновых состояниях
we=Q. (9.23)
Использование угла 6 = я/2 делает схему рассеяния сим-
симметричной. Если при этом учесть также, что электроны
находятся в одинаковых спиновых состояниях (у «-частиц
спина нет), то можно заключить, что выражения (9.22) и
(9.23) описывают вероятности оказаться в одном и том же
состоянии соответственно для пары а-частиц и для пары
электронов. Сравнивая эти .выражения с «классической
вероятностью» 2|ф(я/2)|2, можно прийти к заключению,
что одни микроо'бъекты (в данном случае а-частицы)
проявляют тенденцию плотнее «заселять» одно и то же
состояние, тогда как другие микрообъекты (в данном слу-
случае электроны), напротив, могут «заселять» состояния
только поодиночке.
Тот факт, что все микрообъекты в природе по харак-
характеру поведения в коллективе себе подобных разбиваются
на две группы — бозоны (тенденция плотнее «заселять»
одно и то же состояние) и фермионы («заселение» состо-
состояний только поодичноке),— отмечался уже в § 1. Теперь
мы видим, что этот фундаментальный факт связан с су-
существованием двух разных правил интерференции ампли-
амплитуд. В случае бозонов амплитуды интерферируют с оди-
одинаковыми знаками, а в случае фермионов—с разными
знаками.
Бозонность фотонов и процессы спонтанного и инду-
индуцированного испускания света. Рассмотрим пример: име-
имеются три испускающих фотоны атома (s\, s2, s3) и три
счетчика фотонов (fu /2, /з)- Амплитуда вероятности того,
что произойдут одновременно три перехода: Si~>/i, s2->-
->/2, 53-^/з, —есть </i|si></2|s2><f3|s3>. Предполо-
Предположим, что регистрируются фотоны в одном и том же сос-
состоянии. В этом случае имеем 3! = 6 неразличимых альтер-
альтернатив; им соответствуют, кроме указанной выше, следу-
следующие пягь амплитуд:
< A \s2></21 si >< /з I ss >>
98
<fi\s2><f2\s3><f3\s1>,
Полагая, что амплитуда каждого перехода sr+fk од-
одна и та же (обозначим ее через а) и учитывая неразличи-
неразличимость альтернатив, получим для амплитуды перехода с
испусканием трех фотонов выражение 3!а3, а для вероят-
вероятности -перехода C!J|а3|2. Если бы альтернативы были
различимы (испускались бы различимые микрообъекты),
то вероятность описывалась бы выражением 3!|а3|2.
Обобщая эти результаты на случай с п микрообъектами,
получим для 'вероятностей испускания 'соответственно
(п!J|а^|2 ип\\ап\2.
Пусть wn — вероятность испускания п 'бозонов (в
данном случае фотонов) в одном и том же состоянии, а
Wn — вероятность испускания п различимых микрообъек-
микрообъектов в одном и том же -состоянии. Легко .видеть, что
wn=tt\ Wn. (9.24)
Следовательно, вероятность совместного счета п бозонов
в п\ раз больше вероятности совместного счета п разли-
различимых микрообъектов. Перепишем результат (9.24), заме-
заменив п на п+ 1:
Wn+1. (9.25)
Поделив (9.25) на (9.24), получим
%iK=(«+l)W,+#«. (9-26)
Это означает, что вероятность получить еще один бозон
в состоянии, где уже есть п бозонов, в п+1 раз 'больше
вероятности получить еще один [различимый микро-
микрообъект в состоянии, где уже есть п таких микрообъектов.
Отметим далее, что для различимых микрообъектов несу-
несущественна степень предварительной «заселенности» сос-
состояния. В применении \к бозонам это аналогично ситуа-
ситуации, когда бозон появляется в состоянии, которое до это-
этого было 'не занято. Поэтому результат (9.26) может быть
истолкован (и несколько иначе: вероятность получить еще
один бозон в состоянии, где уже есть п бозонов, в п+1
раз больше вероятности появления бозонов в ранее неза-
незанятом состоянии. В соответствии с таким толкованием
4* 99
целесообразно переписать результат (9.26) в виде
lO+l|/t>|2=(«+l)l<110>|2. (9.27)
Здесь рассматривается определенное состояние, (причем
<110> есть амплитуда перехода:
(состояние незанято)->(в состоянии один бозон),
а <п+1\п> есть амплитуда перехода:
(в состоянии п бозонов) >.(в состоянии п+\ бозо-
бозонов).]} применении не к 'вероятностям, а к амплитудам
результат (9.27) означает
(9.28)
Обсудим результат (9.27), рассматривая испускание
фотонов (испускание света). Легко видеть, что вероят-
вероятность испускания разбивается на два слагаемых:
(9.29)
(9.30)
Слагаемое (9.29) описывает вероятность спонтанного, а
слагаемое (9.30) — индуцированного испускания света.
В случае спонтанного испускания переходы в веществе
(точнее, в атомах-излучателях) самопроизвольны; они
взаимно не связаны и -не зависят от внешнего излучения.
В отличие от спонтанного индуцированное испускание за-
зависит от наличия уже имеющихся вблизи излучателя фо-
фотонов — чем больше этих фотонов, тем более вероятно
индуцированное «спускание. Получается, что в силу сво-
своей бозонности фотоны как бы «вытягивают» из вещества
иовые фотоны, а точнее: стимулируют <в веществе перехо-
переходы, приводящие к испусканию новых фотонов. Подчерк-
Подчеркнем, что «стимулированный» фотон рождается в том же
состоянии, в каком находился «стимулирующий» фотон.
Поглощение света и связь между амплитудами пря-
прямого и обратного переходов. Опыт показывает, что веро-
вероятность поглощения света веществом тем больше, чем
больше число имеющихся в излучении фотонов. В этом
смысле процесс поглощения света — индуцированный
процесс. Используя аналогию с (9.30), можем записать
следующее выражение для вероятности уничтожения од-
одного фотона в состоянии, где имелось п фотонов:
\<п—1 \п> |2 = п|<0| 1> |2. Перепишем этот результат,
заменив п на /г+1:
(9.31)
100
Сравнивая (9.31) с (9.27), заключаем, что вероятности
прямого и обратного 'перехода равны друг другу: \<п +
||||+|
Таким образом, на конкретном примере 'мы проде-
продемонстрировали так называемый принцип микроскопиче-
микроскопической обратимости:
(9.32)
Рис 9.3
В применении к амплитудам переходов этот принцип оз-
означает
Результат (9.33) дополняет рас-
рассмотренную в § 8 систему четы-
четырех правил работы с амплитуда-
амплитудами переходов; он может рассмат-
рассматриваться как дополнительное, пя-
пятое правило.
Дополнительные примеры.
Рассмотрим два полезных приме-
примера, хорошо демонстрирующих ам-
амплитудные представления.
Рассеяние нейтронов на кри-
кристалле. Будем рассматривать
рассеяние очень медленных нейт-
нейтронов (с энергиями порядка
0,1 эВ и ниже) на атомных ядрах.
Известно, что при столь низких энергиях амплитуда рас-
рассеяния ф, рассматриваемая в системе центра масс нейт-
нейтрона и ядра, не зависит от угла рассеяния. Поэтому, ка-
казалось бы, должна быть изотропной и вероятность рас-
рассеяния. Однако опыты по рассеянию очень медленных
нейтронов на кристаллах обнаруживают сильную угло-
угловую зависимость .вероятности рассеяния; характерная
кривая показана на рис. 9.3: на плавном фоне наблюда-
наблюдаются острые максимумы. Эти максимумы являются на-
наглядной демонстрацией эффекта интерференции ампли-
амплитуд. Убедимся в этом.
Пусть нейтрон выходит из начального s-состояния и
регистрируется в конечном f-состоянии. Промежуточное
1-состояние соответствует г-жу ядру кристаллической ре-
решетки рассеивателя. Согласно третьему правилу из § 8,
:|s>. (9.34)
101
Предположим, что все N ядер кристалла одинаковы, не
имеют спина и находятся строго в узлах решетки. В этом
случае принципиально невозможно указать, на каком
именно ядре произошло рассеяние нейтрона — альтерна-
альтернативы, отвечающие рассеянию «а ядрах с разными «номе-
«номерами», неразличимы. Поэтому следует учесть интерфе-
интерференцию амплитуд:
С учетом (9.35) вероятность рассеяния нейтрона имеет
В'ИД
Вследствие сложения амллитуд рассеяния на ядрах, оп-
определенным образом расположенных в пространстве, воз-
возможно взаимное «гашение» амплитуд для одних направ-
направлений и взаимное усиление для друпих — этот (Интерфе-
(Интерференционный эффект проявляется в -виде острых максиму-
максимумов для определенных углов рассеяния.
Предположим далее, что ядра кристалла имеют
спин (пусть, как и у нейтрона, он равен V2). В этом слу-
случае следует различать амплитуды рассеяиия иа ядре с
переворачиванием спина ядра (согласно закону сохране-
сохранения момента, при этом должен перевернуться также >и
спин нейтрона) и без переворачивания спина ядра и ней-
нейтрона— соответственно % и ср. Если при рассеяшш 'про-
'происходит переворачивание спинов сталкивающихся микро-
микрообъектов, то соответствующая альтернатива оказывается
различимой: ясно, что в данном акте рассеяния участво-
участвовало именно то ядро, спин которого перевернулся. Теперь
надо складывать уже *не амплитуды, а сами вероятности.
С учетом амплитуд <р и % представим вероятность
рассеяния нейтрона из «-состояния в /-состояние в виде
i
102
Первый член в правой ч&с№ (9.37) дает на рис. 9.3 ха-
характерные (Интерференционные максимумы, а второй
член обусловливает плавный фон. Принято говорить, что
первый член описывает вероятность когерентного, а вто-
второй — некогерентного рассеяния нейтронов.
Пучок атомов в неоднородных полях. Предположим,
что пучок атомов, находящихся в определенном началь-
начальном «s-со'стоянии (это есть о-пределенное -спиновое состоя-
состояние), лроходит сначала через одну область 'неоднородно-
'неоднородного магнитного поля (#i), затем через другую область
(В2) и, наконец, регистрируется в конечном спиновом
f-состоянии. Неоднородные магнитные поля используются
здесь как факторы, способные изменить спиновое состоя-
состояние атомов пучка. Опыт показывает, что вероятность пе-
перехода s-+f различна в случаях, когда а) производится
наблюдение, выясняющее состояние атомов пучка между
полями В\ и В2; б) подобное наблюдение не производит-
производится. Различие вероятностей |<f|s>|2 в двух указанных
случаях легко объяснимо, если учесть, что в случае а
промежуточные спиновые /-состояния всякий раз фикси-
фиксируются и, следовательно, отвечающие им альтернативы
различимы; поэтому
|</|*>12=21</|/>;<Ля>|2, (9.38)
i
а в случае б промежуточные /-состояния не фиксируются
и, следовательно, отвечающие им альтернативы нераз-
неразличимы; поэтому
>f. (9.39)
Фейнмановские интегралы по траекториям. В заключение ука-
укажем возможность одной несколько необычной формулировки
квантовой механики, опирающейся на амплитудные представле-
представления. В начале данного параграфа рассматривался интерферо-
интерферометр в виде экрана с двумя щелями; имелись две неразличимые
альтернативы, которым соответствовали две интерферирующие
амплитуды. Предположим теперь^ что вместо экрана с двумя
щелями используют экран с п щелями; число альтернатив (и
соответственно амплитуд) станет равным п. Далее поместим
параллельно упомянутому экрану еще один экран с п щелями;
число альтернатив (амплитуд) возрастет до /г2. Будем продол-
продолжать этот процесс, постепенно заполняя пространство между
источником микрообъектов и экраном-детектором все новыми и
новыми экранами, причем одновременно будем увеличивать
число щелей в каждом экране. В пределе бесконечно большого
103
числа экранов с бесконечно большим числом щелей придем к
ситуации, когда все пространство между источником и экраном-
детектором окажется «заполненным» различными возможными
«траекториями» микрообъекта, каждой из которых отвечает
определенная альтернатива и соответственно определенная
амплитуда (представление об одной из таких траекторий дает
рис. 9.4, а). Полная амплитуда перехода s-+x есть сумма (точ-
(точнее, интеграл) по всевозможным
амплитудам. Наконец, представим
себе, что система экранов с щеля-
щелями была введена лишь мысленно; в
действительности же никаких экра-
экранов нет, а просто все пространство
между точками s и х «заполнено»
всевозможными траекториями. Если
хмы можем записать для каждой та-
такой траектории амплитуду перехода,
то вероятность перехода s-+x может
быть найдена как квадрат модуля
интеграла, суммирующего все ука-
указанные амплитуды (так называемого
интеграла по траекториям). В этом
смысле квантовомеханическое дви-
движение из 5 в х есть не что иное, как
суперпозиция множества классиче-
классических движений (классических тра-
траекторий)— примерно так, как это
показано на рис. 9.4, б. Переход от квантовой механики к клас-
классической соответствует сведению указанной суперпозиции тра-
траекторий к некоторой единственной траектории.
Представление движения микрообъектов через интегралы
по классическим траекториям (иначе говоря, через интерферен-
интерференцию отвечающих классическим траекториям амплитуд) подроб-
подробно рассмотрено в [5].
Рис. 9.4
§ 10. СУПЕРПОЗИЦИЯ СОСТОЯНИЙ
При рассмотрении в предыдущих параграфах вопро-
вопроса о вероятности перехода микрообъекта из одного сос-
состояния в другое были введены и обсуждены специфичес-
специфические для квантовой механики представления об амплитуде
вероятности перехода, различимых и неразличимых аль-
альтернативах перехода, интерференции амплитуд, отвеча-
отвечающих неразличимым альтернативам. На ряде примеров
читатель мог убедиться в важности представления об
интерферирующих амплитудах, позволяющего объяснить
результаты различных экспериментов с микрообъектам-и.
104
Интерференция амплитуд переходов органически свя-
связана «с одним из наиболее фундаментальных принципов
квантовой механики — принципом суперпозиции состоя-
состояний, отражающим специфику «взаимоотношений» состо-
состояний микрообъекта. Перейдем к рассмотрению этого
принципа.
Принцип суперпозиции состояний. Ранее, в § 3, об-
обсуждались соотношения неопределенностей. В связи с
этим отмечалось, в частности, что состояния микрообъек-
микрообъекта объединяются в группы, в каждой из которых опреде-
определены значения какого-либо одного полного набора физи-
физических величин. Там же приводились примеры полных
наборов величин для электрона и фотонл.
Продолжая разговор, начатый в § 3, введем обозна-
обозначения разных полных наборов: а-набор, р-набор, ^-набор
и т. д. В связи с этим будем говорить о группе а-состоя-
ний, группе р-состояний и т. д. Предположим, что микро-
микрообъект находится в одном из а-состояний. Это означает,
что имеют определенные значения величины а-набора. А
что можно сказать при этом о значениях величин какого-
либо другого полного набора, например р-набора? Сог-
Согласно соотношениям неопределенностей, величины р-на-
бора не имеют определенных значений в рассматривае-
рассматриваемом состоянии. Читатель вправе воспринимать это обсто-
обстоятельство как негативное. Однако, к счастью, оно вполне
«компенсируется» позитивным обстоятельством —прин-
—принципом суперпозиции состояний.
Согласно принципу суперпозиции, между состояния-
состояниями микрообъекта, отвечающими разным полным наборам,
существует связь: любое состояние из одного набора мо-
может быть представлено в виде суперпозиции состояний
другого набора. Так, например, данное а-состояние мо-
может быть представлено в виде суперпозиции |3-состояний.
Условимся использовать для обозначения состояния мик-
микрообъекта символ <|. Тогда принцип суперпозиции мо-
может быть записан в виде
<a| = S«.p<PI. (ЮЛ)
Выражение A0.1) выглядит как «разложение» данного
состояния <а| по совокупности р-состояний, при этом
числа Фар играют роль коэффициентов разложения. Более
конкретно: число Фар есть амплитуда вероятности того,
что при измерении величин р-набора в состоянии <а|
105
будут получены значения, отвечающие состоянию <pfV
Иными словами, это есть амплитуда вероятности того,
что мйкрообъект, находящийся -в состоянии <а|, может
быть обнаружен также и в состоянии <р|. Обозначим
эту амйлйтуду привычным символом <а|р>, лаете чего
выражение (ЮЛ) примет вид
В предыдущих параграфах рассматривались ампли-
амплитуды вероятностей переходов (сокращенно: амплитуды
переходов). На первый взгляд, принцип суперпозиции
«вводит -в игру» новый тип амплитуд вероятностей. Дей-
Действительно, приводившаяся выше фраза: «<а|р> есть
амплитуда вероятности того, что микрообъект, находя-
находящийся в состоянии <а|, может быть обнаружен также
и в состоянии < р |» — допускает представляющуюся оче-
очевидной перефразировку: «<а|р> есть амплитуда веро-
вероятности пребывания микрообъекта в состоянии <р|, ес-
если известно, что далный микрообъект с достоверностью*
находится в состоянии <а|». Коротко говоря, последнее,
утверждение означает, что <а|р> есть амплитуда веро-
вероятности, с какой в данном а-состоянии «представлено» то*
или иное р-состояние. Создается впечатление, что ампли-
амплитуды <а| р> не имеют никакого отношения к каким-Либо*
переходам, к каким-либо процессам. Учитывая это впе-
впечатление, введем для <а| р> новый термин — амплитуда
вероятности состояния (сокращенно: амплитуда состоя-
состояния) .
Необходимо сразу же предупредить читателя: упомя-
упомянутое выше впечатление ошибочно. Однако, чтобы убе-
убедиться в этом, надо проанализировать измерительный акт.
Измерение в квантовой механике будет обсуждаться в
§ 11; это обсуждение заставит внести в приведенные вы-
выше определения амплитуд <а|р> некоторые уточнения
и даст возможность фактически свести амплитуды со-
состояний к уже знакомым читателю амплитудам пере-
ходов.
Но всему свое время, а поэтому inoiKa мы будем опе-
оперировать с понятием «амплитуда состояния» как с неким
самостоятельным понятием, не уточняя практического
смысла такой, например, фразы, как «микрообъект, на-
находящийся в состоянии <а|, может быть обнаружен так-
также и в состоянии < р |».
106
Как уже отмечалось, принцип суперпозиции как бы
«дополняет» соотношения неопределенностей: его пози-
позитивное содержание «компенсирует» известное негативное
содержание этих соотношений. Образно говоря, соотно-
соотношения неопределенностей указывают на то «старое», от
чего следует отказаться при переходе от макроявлений
к микроявлениям; они требуют, в частности, отказаться
от одновременной измеримости всех физических величин,
характеризующих данный объект. В то же время прин-
принцип суперпозиции указывает ,на то «новое», чем следует
пользоваться при рассмотрении микроявлений: суперпо-
суперпозиция A0.2) означает, что если микроо'бъект находится
в состоянии, в котором измеримы величины а-набора, то
значения величин р-набора могут быть предсказаны ве-
вероятностно—х вероятностью, равной | <а| р> |2.
Суперпозиция в классической физике и квантовой
механике. Суперпозиция довольно часто (Встречается в
классической физике; это (Прежде всего хорошо извест-
известная суперпозиция классических волн. С математической
точки зрения классическая суперпозиция и суперпозиция
в квантовой механике аналогичны. Именно это обстоя-
обстоятельство немало стимулировало в свое время развитие
квантовой теории. В то же время упомянутое обстоятель-
обстоятельство, -безусловно, затрудняло осмысливание физического
содержания получаемых в теории результатов, посколь-
поскольку порождало соблазн проводить неоправданные анало-
аналогии с классическими волнами. Как писал Дирак [9], «до-
«допущение суперпозиционных связей между состояниями
приводит к математической теории, в которой уравнения
движения, определяющие состояния, линейны по отно-
отношению к неизвестным. Ввиду этого многие пытались ус-
установить аналогии с системами классической механики,
такими, как колеблющиеся струны или мембраны, кото-
которые подчиняются линейным уравнениям, а следователь-
следовательно, и принципу суперпозиции (напомним приводившуюся
в § 5 крлтику попыток представлять движение связанно-
связанного микрообъекта при помощи классической волны в не-
некоем резонаторе. — Прим. авт.). Важно помнить, однако,
что суперпозиция, которая встречается в квантовой ме-
механике, существенным образом отличается от суперпо-
суперпозиции, встречающейся в любой классической теории. Это
видно из того факта, что квантовый принцип супер-
суперпозиции требует неопределенности результатов изме-
измерений».
107
Говоря об отличий квантовой суйерпозиции от клас-
классической, напомним, что суперпозиция двух классических
волн приводит к возникновению ^овой волны, обладаю-
обладающей, естественно, и новыми характеристиками. Суперпо-
Суперпозиция же двух состояний <Pi|/h <рг|, характеризую-
характеризующихся соответственно значениями Pi и р2 величин р-на-
бора, отнюдь не приводит к состоянию, характеризую-
характеризующемуся каким-либо новым значением р. В качестве при-
примера рассмотрим ,некое суперпозиционное состояние
Будем измерять в этом состоянии р-величину. В резуль-
результате всякий раз будет реализоваться одно из прежних
значений — либо pi, либо Рг. При этом нельзя точно
предсказать, какое именно из этих двух значений будет
реализовано в конкретном измерении, а можно лишь
указать вероятность получения Pi либо Рг- Указанные
вероятности равны соответственно |<a|Pi>|2 и
I <a| Рг> |2. Вот эта-то специфическая неопределенность
результатов измерений и определяет принципиальное от-
отличие квантовой суперпозиции от классической.
Принимая во внимание квантовомеханический прин-
принцип суперпозиции, вернемся к вопросу о квантовых пере-
переходах, обсуждавшемуся в § 2. Предположим, что, как и
прежде, рассматриваются два энергетических уровня
микрообъекта: Е{ и Е2. Обозначим соответственно через
<1| или <2| состояния микрообъекта, в которых он
имеет энергию Е\ или Е2 (т. е. находится на первом ли-
либо втором энергетическом уровне). Согласно принципу
суперпозиции, наряду с состояниями <1| и <2| возмож-
возможно также состояние
</l=</Jl><l| + </|2><2|. A0.3)
Измерение энергии микрообъекта в этом состоянии при-
приводит либо к результату Еи либо к результату Е2 (как
если бы микрообъект находился и на уровне Еи и на
уровне Е2). Первый результат реализуется с вероят-
вероятностью | </11 > |2, а второй — с вероятностью | </12> |2.
Возможность существования такой специфически кван-
товомеханической ситуации немедленно снимает основ-
основное противоречие квантовых переходов, отмечавшееся
в § 2. Достаточно предположить, что взаимодействие
микрообъекта с излучением переводит его в суперпози-
суперпозиционное состояние типа A0.3). Тогда вероятность обна-
108
ружить микрообъе^т на том или ином энергетическом
уровне (на прежней или на новом) будет определяться
просто квадратом модуля соответствующей амплитуды
состояния.
Взаимно ортогональные состояния; полная и частич-
частичная различимость состёяний. Чтобы окончательно убе-
убедиться в том, что квантовомеханичеекий принцип супер-
суперпозиции не имеет по существу ничего общего с классиче-
классической суперпозицией, вернемся к выражению A0.2) и
рассмотрим, что должно с ним произойти при переходе к
классической физике. Поскольку в классической физике
все величины одновременно измеримы, то, следовательно,
все они образуют некий единый «полный набор». Учиты-
Учитывая, что отражаемые соотношением A0.2) суперпозици-
суперпозиционные связи действуют между разными полными набора-
наборами, заключаем отсюда, что в классическом пределе по-
подобные связи попросту отсутствуют и, следовательно, все
формально составленные амплитуды состояний должны
быть приняты равными нулю:
<а|р>=0. A0.4)
В квантовой механике условие A0.4) тоже имеет
место, но лишь «в пределах» данного полного набора
(для состояний, принадлежащих одному и тому же на-
набору). Так, например,
<[а/|ау> = 0, если 1ф j. A0.5)
Амплитуда состояния равна нулю тогда и только
тогда, когда соответствующие два состояния взаимно
независимы (если объект находится ,в одном из этих со-
состояний, он не может быть обнаружен в другом). О таких
состояниях говорят как о взаимно ортогональных состо-
состояниях. В этом смысле все состояния классического
объекта взаимно ортогональны, тогда как в квантовой
механике взаимно ортогональны лишь состояния, соответ-
соответствующие одному и тому же полному набору, и неорто-
неортогональны состояния, соответствующие разным наборам.
Последнее обстоятельство как раз и отражается принци-
принципом суперпозиции состояний.
Представление о взаимно ортогональных состояниях
позволяет уточнить понятие полной и частичной разли-
различимости. При этом удобно .воспользоваться уже рассмат-
рассматривавшимся ранее примером рассеяния друг на друге
микрообъектов одного типа. Поскольку такие микрообъ-
109
екты тождественны, то вопрос о различимости опреде-
определяется различимостью состояний (состояний <Sj | и<52|;
см. § 9). Напомним, что в § 9 в качестве полностью раз-
различимых микрообъектов указываюсь, в частности, мик-
микрообъекты одного типа, но в равных спиновых состоя-
состояниях. Тем самым молчаливо предполагалось, что разные
спино,вые состояния являются полностью различимыми.
Теперь мы можем четко указать критерий полной и ча-
частичной различимости состояний: если <Si|s2>=r=0, то
состояния <Si| и <52| полностью различимы (между
ними нет суперпозиционных связей); если же <S\\s2>=^
ФО, то рассматриваемые состояния частично различимы.
Иначе говоря, критерием полной различимости состоя-
состояний является ортогональность этих состояний.
Предположим, что рассматривается рассеяние двух
бозонов одного типа. Результат (9.16) будет иметь место,
если начальные состояния взаимно ортогональны (пусть
это будут состояния <cci| и <а2\). Результат (9.17) бу-
будет иметь место, если начальные состояния одинаковы
(например, <ai| и <ai|). Оба эти результата представ-
представляют собой лишь два предельных случая, отвечающие
полной различимости и полной неразличимости микро-
микрообъектов соответственно. Возможны, однако, различные
промежуточные ситуации, отвечающие частичной разли-
различимости, когда начальные состояния микрообъектов
представляют собой суперпозиции нескольких взаимно
ортогональных состояний:
A0.6)
s21 = <s21«! >< ax | -f <s21a2
Можно показать (см. [31]), что в этом случае вероятность
одновременного срабатывания счетчиков определяется
.выражением
+ К ^i [ ^2 > I2 [ф (Q) Т* (^ — б) + ср* F) ср (лт — 9)]. A0.7)
При | <Si|s2> |2-^0 результат A0.7) превращается в
(9.16) (мы приходим к предельному случаю полной раз-
различимости); при | <5i |&2> |2-И результат A0.7) превра-
превращается в (9.17) (приходим к предельному случаю пол-
полной неразличимости).
НО
Итак, мы убеждаемся, что вопрос о полной и частич-
частичной различимости альтернатив в квантовой механике
оказывается органически связанным с квантовомехани-
ческим принципом суперпозиции, а точнее, со взаимной
ортогональностью или\ неортогональностью состояний.
Базисные состояний. Различные состояния, соответ-
соответствующие одному и тому же полному набору величин,
принято называть базисными. Амплитуды базисных со-
состояний удовлетворяют условию
<а/|ау> = В/у A0.8)
(dij — так называемый символ Кронекера; он равен ну-
нулю при 1ф\ .и единице при l='j). Условие A0.8) называ-
называют условием ортонормировки базисных состояний. Оно
получается, если учесть A0.6) и тот факт, что вероят-
вероятность получить значение (Хг в состоянии <(Хг| равна, оче-
очевидно, единице. Важное свойство системы базисных со-
состояний — ее полнота: любое состояние может быть раз-
разложено по системе базисных состояний.
Базисные состояния мо^ут быть выбраны различным
образом в зависимости от рассматриваемого полного на-
набора. Так, можно использовать различные системы ба-
базисных состояний: {<аг|}, {<рг|} и т. д. Как говорят,
возможны различные представления.
При более общем подходе принцип суперпозиции со-
состояний означает тот факт, что любое состояние <f|
микрообъекта может быть разложено по любой системе
базисных состояний:
Суперпозиция состояний и прохождение фотонов че-
через поляризаторы. Принцип суперпозиции позволяет объ-
объяснить результаты опыта 3 из § 7. Рассмотрим, исполь-
используя этот принцип, прохождение отдельных фотонов че-
через систему из трех поляризаторов, изображенную на
рис. 7.6. Обозначим состояние поляризации фотона пос-
после первого поляризатора через <s\. Согласно принципу
суперпозиции, состояние <s| можно рассматривать как
суперпозицию базисных состояний <1| ,и <2|, отвечаю-
Ш
щих двум независимым поляризация^ фотона — соответ-
соответственно вдоль и поперек оси второгр поляризатора:
<5| = <5|1><1| + <5|2^<2| A0.10)
(заметим, что в данном примере система базисных со-
состояний включает всего два состояния). Амплитуды со-
состояний могут быть записаны в данном случае в виде
<s|l>=cosa и <s'|2>=sina. Таким образом,
<s| = cosa<l| + sina<2|. A0.11)
Второй поляризатор пропускает фотоны только в состо-
состоянии <1|. Поскольку, согласно A0.11), состояние <1|
«представлено» в состоянии <s| с вероятностью cos2 a,
то поэтому из N фотонов через второй поляризатор
.пройдут N cos2 a фотонов, причем все прошедшие фотоны
окажутся в состоянии < 11 (т. е. будут поляризованы
вдоль оси второго поляризатора). Итак, перед вторым
поляризатором фотон находился как бы частично в со-
состоянии <1|, а частично в состоянии <2|. В момент
прохождения фотона через поляризатор указанная
«двойственность» исчезает, причем в одних случаях фо-
фотон реализуется в состоянии <2| и тогда он не проходит
через (Поляризатор, а в других случаях реализуется со-
состояние <11 и тогда фотон проходит через поляризатор.
При этом для каждого конкретного фотона невозможно
предсказать, какое именно состояние будет реализовано
(поэтому нельзя предсказать, пройдет «или не пройдет
через поляризатор данный фотон).
При рассмотрении прохождения фотонов через третий
поляризатор рассуждаем аналогичным образом. Состоя-
Состояние <11 (раскладывается по системе базисных состояний
<1/| и <2/|, отвечающих поляризации фотона вдоль и
поперек оси третьего поляризатора:
<l| = sina<l'| + cosa<2'|. A0.12)
Третий поляризатор пропускает фотоны только в состоя-
состоянии <1/|. Это состояние «представлено» в состоянии
<1| с вероятностью sin2 а. Поэтому из Wcos2a фотонов
через третий поляризатор пройдут N cos2 a sin2 a фотонов,
причем все прошедшие фотоны окажутся в состоянии
Если теперь убрать второй поляризатор, то вместо
A0.11) и A0.12) будем иметь
'|+<5]2'>;<2'|, A0.13)
112
где, как легко сообразить, <s|l/>0 и <s|2'> = l, так
что <s|=<2'|. Естественно, что в этом случае на вы-
выходе системы поляризаторов фотоны вообще не наблю-
наблюдаются. \
Принцип суперпозиции состояний и интерференция
амплитуд переходов. Пусть переход из состояния <s|
в состояние </| происходит через некоторые промежу-
промежуточные и-состояния. Предположим, что м,икрообъект в
промежуточном состоянии не фиксируется, так что имеет
место случай физически неразличимых альтернатив.
В этом случае, как известно, амплитуда перехода /|
описывается выражением
где </1'?>*> и <Vi 15> — амплитуды соответствующих
переходов. Промежуточные у-состояния должны быть
полностью различимыми, поскольку в противном случае
нет смысла вводить понятия различимых или неразли-
неразличимых альтернатив, так как фактически теряет смысл
само понятие альтернативы. Следовательно, и-состояния
должны образовывать систему .взаимно ортогональных
базисных состояний. Учитывая это обстоятельство, вос-
воспользуемся принципом суперпозиции и представим со-
состояние </| в виде
где амплитуды <f\vi> суть амплитуды состояний (черта
сверху использована здесь для того, чтобы отличать ам-
амплитуду состояния от амплитуды перехода <f\vi>). ^ри
наличии суперпозиции A0.15) уже нет фактически необ-
необходимости совершать переход из <s\ в </|. Поскольку
состояние </| есть суперпозиция состояний <i>i|, то до-
достаточно совершить переходы из состояния <s\ в каж-
каждое из состояний <Vi\. Это означает, что амплитуда пе-
перехода </|s> есть суперпозиция амплитуд переходов
|
Ю. (ЮЛ6)
Сравнивая A0.16) с A0.14), заключаем:
. A0.17)
пз
Это означает, что на уровне математического аппарата
мы уже осуществили сведение амплитуд состояний к ам-
амплитудам переходов. Иными словами, в аппарате кван-
квантовой механики амплитуды состояний играют фактиче-
фактически ту же роль, что и амплитуды переходов. Попутно
мы убеждаемся в том, что соотношения A0.14) и A0.15)
органически связаны друг с другом, а следовательно, ор-
органически взаимосвязаны эффект интерференции ам-
амплитуд переходов и принцип суперпозиции состояний.
В заключение отметим один важный прием, широко
используемый в аппарате квантовой механики. Легко
видеть, что если в выражении для интерференции ампли-
амплитуд зачеркнуть знак начального или конечного состояния,
то автоматически получается суперпозиционное выраже-
выражение для незачеркнутого состояния. Так, если в A0.14)
зачеркнуть |s> в левой и правой частях равенства, то
получится суперпозиционное выражение A0.11) для со-
состояния </| (заметим, что знак |> используется для
обозначения состояния наряду со знаком < |).
«Механика квантовой механики». Продемонстрируем
основные приемы, отражающие, по выражению Фейнма-
на, «механику квантовой механики». Вычеркнем из ле-
левой и правой частей равенства A0.14) состояние </|.
Получим
|s>=SK><^l*>. A0Л8)
Предположим далее, что некое устройство превращает
состояние |s> в некоторое состояние |s'>. Запишем это
в общем виде так:
4|s>=|s'>. A0.19)
Будем говорить, что на состояние |s> подействовал опе-
оператор Д в результате чего возникло состояние \s'>. По-.
действуем оператором А на обе части равенства A0.18).
С учетом A0.19) запишем
I *' >= 2 А | vt ><vt \s>. A0.20)
Далее вместо вычеркнутого ранее состояния <f\ восста-
восстановим принадлежащее к системе базисных состояний со-
состояние <t/j|:
l\s> A0.21)
114
(запись <Vj\A\vi> надо понимать, как <Vj\v\>, где
\v/>=A\vi>). Наконец, перепишем A0.14), заменив в
нем \s> на \s'>:
i><Vj\s'>. (Ю.22)
Подставляя A0.21) в A0.22), получаем
. A0.23)
Суммируя продемонстрированные приемы, выпишем
уже без каких-либо пояснений последовательно преобра-
преобразующиеся равенства и предоставим читателю самостоя-
самостоятельно почувствовать логику и определенную красоту
выполняемых преобразований:
Наконец, предположим, что на состояние \s> дейст-
действует сначала оператор Л, а затем оператор В. Если чи-
читатель усвоил логику «механики квантовой механики»
(точнее было бы, по-видимому, говорить об «алгебре
115
квантовой механики»), то он сразу же напишет
Х<*/Ю- A0.24)
(запись <f\BA\s> надо понимать как </|5">» гДе
\s''>=B\s'>,a \s'>=A\s».
Такова формальная структура характерных для
квантовой механики математических «манипуляций».
Ниже эта структура обретет на конкретных примерах
конкретное содержание. Здесь же она дана в наиболее
общем виде, позволяющем понять ее внутреннюю логику.
Подчеркнем, что в основе рассмотренной структуры ле-
лежит идея квантовомеханической интерференции (супер-
(суперпозиции) и использование некоторой системы базисных
состояний, то которой производятся разложения.
§ П. ИЗМЕРЕНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Вопрос о проведении измерений в квантовомеханиче-
ских системах и интерпретации получаемых при этом
результатов по праву считается весьма сложным, нуж-
нуждающимся и по сей день в дальнейшем исследовании.
Здесь не дается сколь-либо обстоятельного анализа про-
проблемы квантовомеханических измерений, но предприня-
предпринята попытка изложить ряд получивших достаточную яс-
ясность принципиальных положений и продемонстрировать
их на некоторых примерах *.
О возникновении суперпозиции состояний и о смыс-
смысле амплитуд состояний. Предположим, что микрообъект
находится в некотором состоянии <а|. Согласно прин-
принципу суперпозиции, состояние <а| может быть разложе-
разложено по любой системе базисных состояний, например по
системе {<Р;|}:
* Проблема измерения в квантовой механике рассматривается, в
частности, в [2, 28, 32].
116
Входящие в суперпозицию A1.1) числа <a|Pi> суть
амплитуды состояний <Рг|, или, точнее говоря, амплиту-
амплитуды вероятностей, с какими в состоянии <а| «представле-
«представлены» различные базисные состояния <Р;|.
Все это уже известно читателю, прочитавшему пре-
предыдущий параграф данной книги. Теперь уместно внести
некоторые уточнения.
Прежде всего отметим, что та или иная конкретная
суперпозиция состояний микрообъекта возникает в ре-
результате его взаимодействия с окружающей обстановкой.
В роли последней может (выступать некоторое макроско-
макроскопическое тело (как .искусственного (Происхождения, так и
представляющее часть естественных внешних условий);
это макротело принято называть анализатором. Выраже-
Выражение A1.1) следует понимать так: в результате взаимо-
взаимодействия с определенным анализатором (в данном случае
можно говорить о р-анализаторе) микрообъект, находив-
находившийся в состоянии <<х|, переходит в суперпозиционное
состояние 2<Са1Р/!>1К!Р/1- Принимая во внимание
шантово'механ'Ическую специфику суперпозиционного со-
состояния, можно сказать, что, (взаимодействуя с р-анали-
затером, микрообъект в известном смысле «переходит»
сразу во все состояния <р*|. При этом амплитуду
<а| Рг> следует рассматривать как амплитуду обуслов-
обусловленного указанным взаимодействием перехода <а|->
-><Рг|. Величина |<а|Рг>|2 есть вероятность обнару-
обнаружить микрообъект ;в конечном счете именно в состоянии
|
Можно предвидеть появление у читателя по крайней
мере трех вопросов. Вопрос первый: что все-таки означа-
означает в действительности фраза «микрообъект переходит
сразу во все состояния <Рг|»? Ответ на этот вопрос бу-
будет фактически дан ниже, в пункте «Потенциальные воз-
возможности и их реализация в процессе измерения». Здесь
же заметим, что хотя в результате взаимодействия с
Р-анализатором микрообъект «переходит сразу во все
состояния <Рг|», однако обнаружить (зафиксировать)
его принципиально можно всякий раз лишь в каком-то
одном р-состоянии. Так что, можно сказать, никакого
скандала не происходит. Кстати говоря, с подобной си-
ситуацией читатель уже встречался при рассмотрении опы-
опытов 1 и 2 из § 7. Здесь уместно еще раз напомнить, что
117
квантовомеханической логике далеко не всегда сопутст-
сопутствуют наглядные представления.
Вопрос второй: если амплитуда состояния есть в
действительности амплитуда перехода, то как быть с те-
теми определениями амплитуд состояний, которые были
даны в § 10? Отвечая на этот вопрос, напомним приво-
приводившееся в § 10 определение: «<а|р> есть амплитуда
вероятности того, что микрообъект, находящийся в со-
состоянии <а|, может быть обнаружен также в состоянии
<Р|». В этом определении надо заменить слово «нахо-
«находящийся» более точным словом «находившийся», по-
поскольку после взаимодействия с анализатором микрообъ-
микрообъект более уже не находится в состоянии <а|; после
этого становится лишним слово «также». Теперь указан-
указанное определение выглядит так: «<а| р> есть амплитуда
вероятности того, что микрообъект, находившийся в со-
состоянии <а|, может быть обнаружен в состоянии <§|».
Обнаружение есть некий измерительный процесс и
<а|р> играет роль амплитуды перехода <а|-^<р|,
происходящего в этом процессе. Отметим здесь, что од-
одной из составных частей измерительного процесса как
раз и является указанное выше (взаимодействие микро-
микрообъекта с анализатором. Впрочем, более подробный раз-
разговор об измерительном процессе еще впереди.
Вопрос третий: ранее было уеловлено (см. § 8) чи-
читать амплитуды перехода справа налево; если
<а|§г> —тоже амплитуда перехода, то ее придется чи-
читать в обратном 'направлении (слева направо); нет ли
здесь путаницы? Действительно, если строго следовать
условию записывать предшествующие состояния справа
от последующих, то равенство A1.1) надо было бы за-
записать так:
2|Р/ХР,|«> = 1«>- A1.1а)
Однако такая запись, как правило, не применяется. По-
Поэтому мы решили пойти на некоторую непоследователь-
непоследовательность и во избежание в связи с этим возможной путани-
путаницы сохранить в дальнейшем термин «амплитуда состоя-
состояния» наряду с термином «амплитуда перехода».
Пользуясь обоими терминами, читатель должен помнить,
что с точки зрения физической сущности амплитуда
состояния есть не что иное, как амплитуда перехода (с
118
математической точки зрения это было показано еще в
предыдущем параграфе).
Примеры анализаторов. С анализатором читатель
встречался фактически всякий раз, когда рассматрива-
рассматривалась интерференция амплитуд переходов. Приведем не-
некоторые примеры.
Первый пример [см. (9.3)]: анализатор — экран с дву-
двумя щелями. Он создает суперпозицию:
<5| = <5|Л><Л| + <5|5><5|. A1.2)
Второй пример [см. (9.35)]: анализатор — кристалли-
кристаллическая решетка, состоящая из одинаковых ядер, не име-
имеющих спина. Она создает суперпозицию:
/|. A1.3)
Третий пример [см. (9.39)]: анализатор—неоднород-
анализатор—неоднородное магнитное поле В\. Оно создает суперпозицию:
Можно сказать, что анализатор, создавая опреде-
определенную суперпозицию состояний, фактически обеспечи-
обеспечивает возникновение неразличимых альтернатив, причем
числю альтернатив равно числу базисных состояний в
данной суперпозиции. В первом из приведенных примеров
это число равно всего двум (т. е. числу щелей в экране),
во втором примере — числу ядер в кристаллическом об-
образце, в третьем примере — числу спиновых состояний
(т. е. числу 25+1, если s — спин атома).
Сущность измерительного процесса. Измерительный
процесс в квантовой механике состоит из трех последо-
последовательных этапов: 1) подготовительного этапа, когда
микрообъект «приготовляют» в некотором состоянии
<а|, которое далее рассматривается как начальное со-
состояние; 2) рабочего этапа, 1на котором происходит (вза-
(взаимодействие «приготовленного» микрообъекта с опреде-
определенным анализатором, переводящим микрообъект в
суперпозиционное состояние; 3) регистрирующего этапа,
на котором происходит обнаружение микрообъекта в
том или ином из базисных состояний, образующих супер-
суперпозицию. На этом этапе микрообъект взаимодействует с
неким макротелом, способным изменить свое состояние
119
под воздействием микрообъекта; такое макротело назы-
называют детектором.
Если для простоты не рассматривать подготовитель-
подготовительный этап, то абстрактная «схема» измерительного про-
процесса может быть записана условно в следующем виде:
Здесь стрелка 1 соответствует рабочему этапу, а стрел-
стрелка 2 — регистрирующему этапу.
Основными элементами измерительного прибора
(измерительной установки) являются, таким образом,
анализатор и детектор. Роль анализатора уже выяснена.
Остановимся теперь на роли детектора. Образно го-
говоря, его роль сводится к тому, чтобы «подглядеть»,
как именно «ведет себя» микрообъект в той
суперпозиции состояний, которую создал анализатор.
Если .воспользоваться приводившимися выше примерами
анализаторов, то указанное «подглядывание» (Предпола-
(Предполагает получение ответа на вопросы: через какую именно
щель прошел конкретный электрон? на каком именно
ядре кристаллической решетки рассеялся данный нейт-
нейтрон? в каком именно спиновом состоянии оказался дан-
данный атом? Знакомый с результатами подобных «подгля-
«подглядываний» (в частности, с результатами опыта 2 из § 7),
читатель может предвидеть, что «вмешательство» детек-
детектора приводит к разрушению суперпозиции состояний.
Детектор обнаруживает микрообъект всякий раз в ка-
каком-то одном из состояний, составлявших суперпозицию;
это совершается ценой разрушения суперпозиции. С точ-
точки зрения представлений, рассмотренных в § 8 и 9, это
означает, что детектор превращает неразличимые альтер-
альтернативы в различимые и тем самым разрушает интерфе-
интерференцию амплитуд переходов.
Выделим из «схемы» A1.5) регистрирующий этап,
отвечающий взаимодействию микрообъекта с детекто-
детектором:
I*PiH<ft|. (П.6)
Часто говорят, что «схема» типа A1.6) описывает «стя-
«стягивание» суперпозиции 2<CS|P/XP/I к состоянию
<Рг|. Этот процесс известен также как «редукция вол-
волнового пакета».
120
Итак, если анализатор создает определенную супер-
суперпозицию состояний, то детектор ее разрушает, «стяги-
«стягивая» к одному из составлявших эту суперпозицию со-
состояний. Какую информацию получает при этом наблю-
наблюдатель? Очевидно, что если «схема» A1.5) испытана на
одном единственном микрообъекте, то о получении какой-
либо полезной информации говорить .трудно. Необходимо
повторить измерительный процесс для достаточно боль-
большого числа микрообъектов. В этом случае наблюдатель
может выяснить, во-первых, какие значения величин
р-набора реализуются на практике, и, во-вторых, как
часто микрообъект обнаруживается в том или ином
^-состоянии. Это позволяет экспериментально опреде-
определить, во-первых, спектр значений величин р-набора и,
во-вторых, вероятности | <s\ рг> |2.
Некоторые особенности квантовомеханического из-
измерительного процесса. Прежде всего отметим, что про-
процесс измерения радикально (воздействует на микрообъект.
Достаточно указать, что изменение начального состоя-
состояния микрообъекта в процессе измерения есть принципи-
принципиальное обстоятельство. Как известно, при выполнение
измерений с макрообъектами можно в той или иной сте-
степени абстрагироваться от средств 'наблюдения. В кван-
квантовой механике этого сделать принципиально нельзя,
иначе говоря, нельзя пренебречь взаимодействием мик-
микрообъекта с окружающей его обстановкой.
«Схема» измерительного процесса, а конкретно та
ее часть, которую описывает выражение A1.6), демонст-
демонстрирует наличие элемента случайности в поведении мик-
микрообъекта. Действительно, нельзя однозначно предска-
предсказать, в каком именно р-состоянии будет обнаружен в
конечном счете тот или иной микрообъект.
Специфической чертой квантовомеханического изме-
измерительного процесса является также невозможность на-
наглядного представления ни первого этапа процесса (ког-
(когда анализатор создает суперпозицию состояний), ни
заключительного этапа (когда детектор упомянутую
суперпозицию «стягивает» к одному состоянию). Так,
очевидно, нельзя полагать, будто на первом этапе процес-
процесса измерения микрообъект в буквальном смысле «разма-
«размазывается» по разным состояниям суперпозиции (напри-
(например, проходит частично через одну щель, а частично
через другую — в известном опыте с прохождением мик-
микрообъектов через экран с щелями). Точно так же нельзя
121
полагать, будто на заключительном эташе процесса изме-
измерения «размазанный» по разным состояниям микрообъ-
ект вдруг сразу, как только вступит в игру детектор
(ка,к только произойдет акт регистрации), «соберется
целиком» !В одном из этих состояний. Примечательно, что
много споров вызывала трактовка именно заключитель-
заключительного этапа процесса измерения. Сторонники модельной
(классической) интерпретации микрообъектов и микро-
микроявлений, естественно, заходили в тупик, когда пытались
представить себе «редукцию волнового пакета». Посколь-
Поскольку составляющие суперпозицию состояния могут быть
разнесены пространственно, то в этом случае «редукция
волнового пакета» должна была фактически означать
мгновенную пространственную локализацию микрообъ-
микрообъекта. Широко использовался, в частности, следующий
пример. Волновой пакет взаимодействует с полупрозрач-
полупрозрачным зеркалом (зеркало играет роль анализатора) и час-
частично отражается, частично проходит (что соответствует
«размазыванию» микрообъекта по составляющим супер-
суперпозицию двум состояниям). На пути каждой из частей
волнового пакета поставлено по детектору. Известно,
что всякий раз срабатывает только один детектор. Пред-
Предположим, что в некий момент времени сработал детектор,
поставленный на пути отраженной части волнового паке-
пакета. Это означает, что другая часть волнового пакета
должна .мгновенно исчезнуть из той области пространст-
пространства, где находится несработавший детектор, и появиться
за мгновение до акта регистрации перед другим детекто-
детектором. Вполне очевидна абсрудность подобного «поведе-
«поведения» микрообъекта, который, кстати говоря, «не может
знать», какой из детекторов сработает в данном случае.
Упорствуя в желании сохранить классическую интер-
дретацию, пытаются иногда прибегнуть к классическому
толкованию суперпозиции. Такое толкование предпола-
гает, что после взаимодействия с анализатором микро-
микрообъект фактически оказывается в каком-то одном базис-
лом состоянии, и роль детектора попросту сводится к
выявлению свершившегося факта—к выявлению того,
в каком именно базисном состоянии оказался при взаи-
взаимодействии с анализатором микрообъект. Теперь все
выглядит очень просто: сработавший в приводившемся
только что примере детектор выявляет тот факт, что при
взаимодействии с зеркалом данный волновой пакет
отразился, а не прошел насквозь.
122
Однако подобный путь уже давно исключен. Доста-
Достаточно напомнить читателю рассуждения, приводившиеся
при обсуждении опыта 1 в § 7. Если бы можно было по-
попросту полагать, что в одних случаях микрообъект про-
проходит через одну щель экрана, а в других случаях —
через другую, то, как уже отмечалось, мы бы не наблю-
наблюдали интерференционной картины на экране-детекторе.
Иначе говоря, классическое представление суперпозиции
состояний эквивалентно уничтожению суперпозиции.
Необходимо лризнать: до тех пор, пока детектор не об-
обнаружил м:икрообъект, последний находится в суперпо-
зициоеном состоянии 2<С51 Р/^ХР/1» а не в каком-
либо из состояний <Рг|- Что же касается вопроса о том,
как это наглядно представить, то от этого просто прихо-
приходится отказаться. Можно сказать, что обсуждение кван-
товомеханического измерительного 'процесса (в частно-
частности, проблемы «редукции волнового пакета») дает
особенно убедительное доказательство принципиальной
невозможности классической интерпретации микрообъек-
микрообъекта.
Замечания о детекторе. Детектор в квантовомеханическом из-
измерительном приборе является, как правило, макроскопической
системой, находящейся в состоянии, настолько неустойчивом,
что для его изменения достаточно микровоздействия, иначе го-
говоря, воздействия со стороны микрообъекта. Чтобы микро-
микрообъект мог «обнаружить» себя перед наблюдателем, он должен
вызвать целую «катастрофу», «взрыв» в масштабах микроявле-
микроявлений.
Примерами подобных «катастроф» являются такие события, как
образование капельки тумана в камере Вильсона или пузырька
в пузырьковой камере, химические процессы, охватывающие
зерно фотоэмульсии, лавинные процессы рождения вторичных
электронов в фотоэлектронном умножителе и т. п. «Наблюдае-
«Наблюдаемый» микрообъект может погибнуть в вызванной им «катастро-
«катастрофе» (что происходит, например, при регистрировании фотона в
фотоэлектронном умножителе или электрона на экране-детекто-
экране-детекторе). Однако возможна и более интересная ситуация, когда мик-
микрообъект как бы «поручает» вызвать катастрофу другим микро-
микрообъектам. Так, например, в камере Вильсона «наблюдаемый»
электрон порождает при своем движении различные ионы, каж-
каждый из которых становится центром конденсации заполняющего
камеру пересыщенного пара. Именно эти ионы вызывают «ката-
«катастрофы», которые наблюдатель воспринимает как капельки
тумана. Совокупность таких капелек образует тот след, кото-
который оставляет «наблюдаемый» электрон. Подчеркнем, что элек-
электронный след есть не что иное, как совокупность последователь-
последовательно свершившихся макроскопических событий, совокупность
«катастроф» на уровне микроявлений.
123
Потенциальные возможности и их реализация в про-
процессе измерения. Обсуждая смысл квантовомеханическо-
го принципа суперпозиции, мы приходим к ситуации,
аналогичной той, которая «имела место три обсуждении
смысла корпускулярно-волнового дуализма (см. § 5).
В обоих случаях приходится отказаться от наглядной
(классической) интерпретации. В обоих случаях мы при-
приходим к проблеме, связанной с потенциальными возмож-
возможностями и их реализацией.
Возможное и действительное — известные категории
материалистической диалектики. Существующее между
ними противоречие разрешается всякий раз, когда по-
потенциальная возможность тем или иным образом реали-
реализуется. Каждая конкретная ситуация характеризуется
множеством потенциальных 'возможностей; реализуется
же одна. Процесс реализации необратим — как только
он свершился, исходная ситуация качественно изменяет-
изменяется (одна из возможностей реализуется за счет того, что
все остальные имевшиеся ранее возможности оказыва-
оказываются теперь исключенными). Реализовавшаяся возмож-
возможность соответствует новой ситуации, обладающей, в свою
очередь, новыми потенциальными возможностями. Про-
Процесс разрешения противоречий между возможным и дей-
действительным оказывается, таким образом, неисчерпае-
неисчерпаемым.
В классической механике (как и во всех теориях
динамического типа) проблема различия возможного и
действительного не возникает, что связано с отсутствием
в подобных теориях элементов случайного. Эта пробле-
проблема возникает в теориях статистического типа. Отмечав-
Отмечавшийся ранее принципиально статистический характер
квантовой механики, где элементы случайности присутст-
присутствуют в поведении уже отдельного объекта, предопреде-
предопределяет важность проблемы возможного и действительного
при рассмотрении микрообъектов и микроявлений.
Именно с точки зрения разрешения противоречия
между возможным и действительным и надо рассматри-
рассматривать процесс измерения в квантовой механике. Пребыва-
Пребывание микрообъекта в суперпозиционном состоянии соот-
соответствует ситуации, когда микрообъект характеризуется
определенным набором потенциальных возможностей.
Именно так следует интерпретировать квантовомехани-
ческий принцип суперпозиции состояний. В процессе
взаимодействия микрообъекта с детектором [в процессе
124
A1.6)] как раз и происходит отмеченное выше 'разреше-
'разрешение противоречия между (Возможным и действительным —
суперпозиция потенциально возможных альтернатив,
разрушаясь, заменяется одной реализовавшейся альтер-
альтернативой. Можно сказать, что «формула» измерительного
акта [формула A1.6)] является математическим выраже-
выражением процесса, в котором разрешается диалектическое
противоречие между возможным и действительным. Акт
этого разрешения носит характер необратимого и неконт-
неконтролируемого скачка.
Заканчивая данный параграф, следует подчеркнуть,
что проблемы (Интерференции амплитуд, суперпозиции
состояний, измерения не изолированы друг от друга, но
составляют единое целое. Учитывая это, мы рекомендуем
читателю сделать небольшую паузу, вернуться назад и
еще раз (хотя бы бегло) просмотреть § 7 —11, с тем
чтобы получить некое общее представление о физических
¦основах квантовой механики.
ЧИТАТЕЛЬ: Мне бы хотелось
вернуться к вопросу о класси-
классической суперпозиции. Иногда
мне приходит в голову крамоль-
крамольная мысль: а чем плоха такая
суперпозиция? Во всяком слу-
случае, она более понятно объяс-
объясняет явление интерференции,
нежели суперпозиция амплитуд.
Я отдаю должное структуре
квантовомеханических пред-
представлений, основанной на рабо-
работе с амплитудами вероятностей,
однако упомянутая мысль вре-
время от времени все же приходит
в голову.
АВТОР: Интерференцию клас-
классическая суперпозиция, конечно,
объясняет. Но как быть с ре-
результатами опыта по «подгля-
«подглядыванию» за поведением мик-
микрообъекта в интерферометре
(например, в случае экрана с
щелями)? Опыт указывает на
разрушение интерференции.
Классическая интерференция
этого разрушения не объяснит.
ЧИТАТЕЛЬ: А вдруг все же
возможно какое-то классиче-
классическое толкование разрушения ин-
интерференционной картины?
АВТОР: Нет, такое толкование
принципиально невозможно. Это
следует уже из рассмотрения
проблемы «редукции волнового
пакета». Классическая интер-
интерпретация микрообъекта исклю-
исключена; соответственно исключена
и классическая интерпретация
интерференции, наблюдаемой в
опытах с микрообъектами.
ЧИТАТЕЛЬ: Следовательно,
волны де Бройля не имеют ни-
ничего общего с классическими
волнами?
АВТОР: Во всяком случае, они
не являются классическими вол-
волнами.
ЧИТАТЕЛЬ: Следовательно, и
дифракция электронов не свя-
связана с классическими волновы-
волновыми процессами?
АВТОР: Действительно не свя-
связана.
ИНТЕРМЕДИЯ.
ТЕ ЛИ ЭТО ВОЛНЫ?
ИЛИ ЕЩЕ РАЗ
О ВОЛНАХ
В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
Действующие лица:
АВТОР и
ЧИТАТЕЛЬ
„Нет подходящих
соответствий,
И нет достаточных
имен,
Все дело в сути,
а названье
Лишь дым,
которым блеск сиянья
Без надобности
затемнен"
Гете («Фауст»)
126
ЧИТАТЕЛЬ: Тогда остается
только удивляться, как часто в
квантовой механике встречается
термин «волновой»: корпуску-
лярно-волновой дуализм, деб-
ройлевские волны, волновая
функция, волновое уравнение.
Да и саму квантовую механику
иногда называют волновой ме-
механикой.
АВТОР: Терминология возни-
возникает при определенных истори-
исторических обстоятельствах; она не
всегда оказывается достаточно
удачной. Возможно, что термин
«волновой» слишком часто и не
всегда обоснованно исполь-
используется при рассмотрении мик-
микроявлений. Мы привыкли, что
интерференция — специфически
волновое явление. Неудивитель-
Неудивительно поэтому, что, когда в 1927 г.
экспериментаторы обнаружили
в опытах с электронами интер-
интерференционную картину, они не-
немедленно ввели в обиход тер-
термин «электронные волны». А
между тем интерференция элек-
электронов имеет более «тонкое»
происхождение: она связана с
тем, что вероятностные законы
природы, вообще говоря, не
следуют правилу сложения ве-
вероятностей, но требуют сложе-
сложения амплитуд вероятностей.
Вначале этого, естественно, не
понимали. А тем временем в
литературе закрепилась,не сов-
совсем удачная терминология.
ЧИТАТЕЛЬ: А как быть с вол-
волновыми величинами, например
с волновым вектором электрона
или с его длиной волны? Ведь
они фигурируют в математиче-
математических выражениях.
АВТОР: Это волновые характе-
характеристики микрообъекта, но от-
отнюдь не параметры некой клас-
классической волны.
ЧИТАТЕЛЬ: Однако суще-
существуют же классические свето-
световые, иначе говоря, фотонные
волны. Неужели и здесь волно-
волновой вектор и длина волны не
являются параметрами волны?
АВТОР: Здесь мы имеем каче-
качественно особую ситуацию. Вы
затронули довольно важный
вопрос. Вспомним, что фотоны
относятся к бозонам и поэтому
проявляют тенденцию к плотно-
плотному «заселению» состояний.
Предположим, что рассматри-
рассматривается фотонное состояние, ха-
характеризующееся величинами
k, со, а (напомним: а — поляри-
поляризация фотона). Это есть так на-
называемое /га-состояние. Пусть
в этом состоянии находится
один фотон. Пока никакой
классической волны нет. Но
вот предположим, что данное
состояние все полнее и полнее
«заселяется» фотонами. Так
вот в пределе достаточно боль-
большого числа фотонов в рассмат-
рассматриваемом состоянии мы и по-
получим классическую световую
волну, параметры которой бу-
будут совпадать с характеристи-
характеристиками фотонного состояния. Те-
Теперь уже можно говорить о па-
параметрах классической волны:
волновом векторе k, частоте со,
поляризации а. Произошло
своеобразное «превращение»
волновых характеристик фото-
фотона в параметры волны. Следует
подчеркнуть, что это есть ре-
результат накопления фотонов в
одном состоянии. Классическая
волна возникла как коллектив-
коллективный эффект!
Если же обратиться к элек-
электронам, то в этом случае подоб-
подобный коллективный эффект прин-
принципиально невозможен. Ведь
электроны относятся к фермио-
нам и как таковые не могут
«заселять» состояния иначе как
поодиночке. Следовательно,
классические электронные (и
вообще фермионные) волны в
принципе не существуют.
ЧИТАТЕЛЬ: Теперь я, кажется,
почувствовал, какое место за-
занимают волны в квантовой ме-
механике. Но если я правильно
понял, то в коллективах бозо-
127
нов может иметь место класси-
классическая интерференция (класси-
(классическая суперпозиция)?
АВТОР: Вы правы. Недаром,
кстати говоря, интерференцию
света наблюдали задолго до то-
того, как обнаружили интерфе-
интерференцию электронов.
ЧИТАТЕЛЬ: Получается, что
в природе существуют два яв-
явления интерференции: классиче-
классическая интерференция, обуслов-
обусловленная сложением волн, и кван-
товомеханическая интерферен-
интерференция, обусловленная сложением
амплитуд вероятностей.
АВТОР: В обычных условиях
классическая интерференция
(если речь идет о коллективе
бозонов) «маскирует» квантово-
механическую интерференцию.
Но в случае, например, электро-
электронов такой «маскировки» нет —
в этом смысле мы имеем здесь
как бы чистую ситуацию.
ЧИТАТЕЛЬ: Коль скоро разго-
разговоры о волнах в квантовой ме-
механике оправданы лишь в отно-
отношении бозонов и притом толь-
только тогда, когда бозоны доста-
достаточно плотно «заселяют» состоя-
состояния, то не целесообразно было
бы несколько поубавить «вол-
«волновую терминологию»?
АВТОР: Я бы предпочел не
исправлять сложившейся тер-
терминологии. Прежде всего важ-
важна не терминология, а понима-
понимание того, что именно скрывается
за тем или иным термином.
Однако если существует выбор,
то, конечно, имеет смысл выб-
выбрать более удачный термин.
Именно по этой причине мы
пользуемся здесь термином
«амплитуда вероятности» вмес-
вместо термина «волновая функ-
функция». Первый термин представ-
представляется более удачным, чем вто-
второй, хотя последний чаще встре-
встречается.
ЧИТАТЕЛЬ: Я уже обратил
внимание на то, что Вы до сих
пор ни слова не сказали о вол-
волновой функции. А ведь она ши-
широко используется во всех кни-
книгах по квантовой механике.
АВТОР: Именно поэтому мы
впоследствии тоже введем вол-
волновую функцию. Фактически
мы ее давно ввели, поскольку
термины «волновая функция» и
«амплитуда вероятности» отно-
относятся к одной и той же сущ-
сущности. Однако, пока речь идет
о физических основах кванто-
квантовой механики, лучше говорить
об амплитуде вероятности. К
волновой функции имеет смысл
перейти при рассмотрении ап-
аппаратной стороны теории.
В заключение хочу подчерк-
подчеркнуть, что важно не то, какие
термины используются, а то,
как они используются. Можно
применять к микрообъекту тер-
термин «волна», но не надо при
этом забывать о его специфике.
Здесь уместно напомнить за-
замечания в § 5 о неправомерно-
неправомерности представления связанного
электрона в виде классической
волны в некоем резонаторе.
§ 12. ПРИЧИННОСТЬ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Невозможность точно предсказать, как поведет себя
конкретный микрообъект в измерительном акте, порож-
порождала в свое время разговоры о так называемой «индетер-
министичности» квантовой механики. Высказывались,
в частности, предположения, что в микроявлениях отсут-
отсутствует причинность, а вместо лее господствует неконтро-
неконтролируемый случай. Со временем на смену подобным пред-
предположениям 'Пришло более глубокое 'понимание специфи-
специфики протекания во времени процессов, в которых
участвуют микрообъекты.. Сетования на «индетермини-
стичность» квантовой механики оказались 'необоснован-
'необоснованными; был осознан тот факт, что причинность в микрояв-
микроявлениях, безусловно, имеет место, однако она существен-
существенно отличается от характерного для «старой физики»
классического детерминизма.
Специфика квантовомеханического понимания при-
причинности. В квантовой механике принцип причинности
относится к потенциальным возможностям реализации
событий (свойств). Иными словами, в квантовой меха-
механике причинно связаны не сами отдельные реализовав-
реализовавшиеся события, а лишь потенциальные возможности
реализации этих событий. В этом суть квантовомеханиче-
квантовомеханического понимания причинности. Как говорил в своей но-
нобелевской лекции Паули, «... в квантовой механике речь
идет лишь о возможных, а не о действительно происходя-
происходящих событиях. Это звучит там примерно следующим
образом: «это невозможна» или «возможно либо то, либо
это», но никогда не утверждается: «это действительно
произойдет тогда-то и там-то».
Учитывая специфику квантовомеханического понима-
понимания причинности, подчеркнем отмечавшееся ранее отли-
отличие в квантовой механике потенциально возможного от
осуществившегося. Подчеркнем также объективный ха-
характер потенциальных возможностей, определяемый
свойствами микрообъекта и внешними условиями.
Поскольку в классической механике потенциально
возможное и реализовавшееся тождественны, то ясно,
что при переходе от квантовой механики к классическо-
классическому описанию мира причинная связь между потенциально
возможными событиями должна превращаться в причин-
5—2819 129
ную связь между реализовавшимися событиями. В этом
смысле квантовомеханический принцип причинности яв-
является обобщением '.принципа классического детерминиз-
детерминизма-— он превращается в последний при переходе от мик-
микроявлений к макроявлениям.
Проявление причинности в микроявлениях. Может
возникнуть вопрос: если в квантовой механике причинно
связаны не реализовавшиеся события, а лишь потенци-
потенциальные возможности их реализации, то каким образом
наблюдатель может воспользоваться такой причинно-
причинностью? Ведь в эксперименте он в конечном счете всегда
имеет дело с реализовавшимися событиями.
Ответ на этот вопрос таков. Наблюдатель должен
повторить множество одинаковых измерительных актов
(для этого он должен располагать достаточным набором
одинаковых микрообъектов, обеспечивая всякий раз для
очередного микрообъекта одни и те же внешние условия).
В каждом измерительном акте будет реализовано слу-
случайное значение измеряемой величины. Однако набор
этих случайных значений позволит найти закон распре-
распределения и среднее значение величины, которые могут
быть предсказаны a priori. В возможности подобных
предсказаний и выражается существование причинной
связи между потециально возможными событиями.
Приведем пример. Пусть в состоянии <а| измеря-
измеряются величины р-набора. Проведя множество индентич-
ных измерений, наблюдатель получит совокупность зна-
значений рь р2, Рз, •¦• Набрав N значений, он может опреде-
определить среднее значение:
N
/. A2.1)
Предположим, что на следующий день (или в следующем
году) наблюдатель решил повторить свои измерения.
При этом он получит некоторую совокупность значений
Pi', Р2', Рз', — Новая совокупность значений будет отлич-
отлична от старой, однако определяемое по формуле типа
A2.1) новое среднее значение окажется близким к сред-
среднему значению <р>, полученному ранее (при условии,
разумеется, что N достаточно велико). Это означает, что
наблюдатель мог -бы во второй день вообще не трудить-
трудиться; среднее значение <р> могло быть предсказано на
основании измерений предыдущего дня.
130
Более того, значение <р> могло быть заранее (Вы-
(Вычислено без выполнения каких-либо измерений. Для это-
этого, правда, наблюдатель должен -был бы знать амплиту-
амплитуды <'<z|Pi> в суперпозиции:
<а| = 2<а|&><&|. A2.2)
Для вычисления <р> надо воспользоваться соотноше-
соотношением
<P> = 2P/|<<*IPi>l2. A2.3)
Полагаем, что читатель уже давно понял суть про-
проблемы. Эта суть состоит в том, что причинная связь меж-
между потенциально возможными событиями означает при-
причинную связь между вероятностями реализации событий.
Короче говоря, предсказания в квантовой механике име-
имеют вероятностный характер). Чтобы предсказать величи-
величину <Р> в состоянии <а|, надо знать вероятности
|<а|Рг>|2 реализации значений Р; в данном состоянии.
Если же эти вероятности заранее не известны, то необхо-
необходимо набрать соответствующую статистику измерений
Р-величин, позволяющую найти упомянутые вероятности.
Суммируя сделанные выше замечания, приведем
слова Фока [1]: «Вероятность того или иного поведения
объекта в данных внешних условиях определяется внут-
внутренними свойствами данного объекта и этими внешними
условиями. Это есть численная оценка потенциальных
возможностей того или иного поведения объекта. Прояв-
Проявляется же эта вероятность в относительном числе осуще-
осуществившихся случаев данного поведения объекта; это чис-
число и является мерой. Таким образом, вероятность отно-
относится к отдельному объекту и характеризует его
потенциальные возможности; вместе с тем для определе-
определения ее численного значения необходима статистика
осуществления этих возможностей, т. е. многократное
повторение опыта».
Причинность в статистических теориях. Уже в § 6 в
связи с обсуждением 'Проблемы необходимого и случай-
случайного в микроявлениях было отмечено, что квантовая ме-
механика является статистической теорией. Поэтому вопрос
о причинности в квантовой механике может быть рас-
рассмотрен прежде всего с точки зрения проявления причин-
причинности вообще в статистических теориях (включающих, в
5* 131
частности, и.такие классические теории, как статистиче-
статистическая механика, физическая кинетика, микроскопическая
электродинамика).
В любой статистической теории необходимость и
случайность выступают как диалектические категории;
вопрос о соотношении между ними есть вопрос о единст-
единстве и борьбе противоположностей. Скорости молекул в
газе случайны (любое мгновенное распределение моле-
молекул по скоростям случайно), но средняя скорость моле-
«кулы необходима. Факт попадания того или иного элек-
электрона, прошедшего через экран с щелями, в ту или иную
точку эирана-детектора случаен, но результирующая
интерференционная картина необходима. Как и случай-
случайность, необходимость присутствует во всякой статистиче-
статистической теории. Она-то и выражает причинные связи.
Следовательно, вопрос о проявлении причинности в
статистических теориях сводится к вопросу о проявлении
необходимости в этих теориях.
Если в теориях динамического типа необходимость
господствует безраздельно, благодаря чему всегда воз-
возможны точные предсказания значений физических вели-
величин, то в статистических теориях, необходимость прояв-
проявляется через законы распределения, дающие лишь веро-
вероятности тех или иьшх значений физических величин.
Как дополнительное (весьма важное) проявление
необходимости в статистических теориях укажем законы
сохранения. Известно, что законы сохранения могут рас-
рассматриваться как некие принципы запрета. С этой точки
зрения роль законов сохранения в статистических теори-
теориях весьма наглядна: законы сохранения играют роль ус-
условий, обращающих в нуль вероятность определенных
процессов.
Статистический характер квантовой механики. Отно-
Относя квантовую механику к статистическим теориям, следу-
следует иметь в виду, что она занимает среди этих теорий
особое место. В рамках классической физики статисти-
статистическими являются законы поведения больших совокуп-
совокупностей объектов; законы же поведения отдельного объ-
объекта являются динамическими. Рассматривая случай-
случайность в поведении уже отдельного микрообъекта,
квантовая механика ставит себя в особое положение —
как статистическая теория отдельного объекта. Именно
поэтому мы называли выше квантовую механику прин-
принципиально статистической теорией.
132
Отмеченное обстоятельство предопределяет спе-
специфику статистических коллективов в квантовой меха-
механике.
Как писал Фок [1], «элементами статистических кол-
коллективов, рассматриваемых в квантовой механике, явля-
являются не самые микрообъекты, а результаты опытов над
ними, причем определенная постановка опыта соответст-
соответствует одному определенному коллективу». Выше рассмат-
рассматривался пример, когда над микрообъектом в состоянии
<а| производились измерения *величин р-набора; много-
многократное повторение измерений позволяло получить не-
некую совокупность чисел рь Рг, Рз, ... Эта совокупность
чисел и есть пример статистического коллектива в кван-
квантовой механике. Глядя на выражение A2.3), можно за-
заключить, что |<«|Рг>|2 играет роль функции распреде-
распределения для указанного статистического коллектива. Видо-
Видоизменив опыт (например, перейдя к измерению величин
Y-набора), наблюдатель будет иметь дело с иным стати-
статистическим коллективом: уь Y2» Тз> — Отсюда следует, что
с одним микрообъектом можно сопоставить фактически
несколько статистических коллективов.
Классические и квантовомеханические коллективы
имеют, как легко видеть, разную природу. В классиче-
классической физике статистический коллектив образован сово-
совокупностью многих объектов, а в квантовой механике —
совокупностью многих потенциально возможных спосо-
способов реализации свойств микрообъекта, находящегося в
заданных (внешних условиях, причем всякое изменение
условий приводит к новому коллективу. Указанное раз-
различие проявляется, в частности, в том, что если в клас-
классической физике усреднения выполняются по различным
состояниям системы, то в квантовой механике речь идет
о средних значениях в данном состоянии системы (так, в
приводившемся выше примере шла речь о средней вели-
величине <р> в состоянии <а|).
Разумеется, и в квантовой теории приходится выпол-
выполнять усреднения по разным состояниям и рассматривать
статистические коллективы, образованные совокупностью
(микрообъектов. Однако подобные задачи уже выходят
за рамки собственно квантовой механики, составляя
предмет квантовой статистики. Квантовая статистика
имеет дело с двумя типами статистических коллективов.
В этом смысле она оказывается дважды статистической
теорией.
133
Квантовомеханическое уравнение, выражающее
принцип причинности. Рассмотрим следующую амплиту-
амплитуду состояния:
s<s(/)|y>. A2.4)
Это есть амплитуда вероятности обнаружить в базисном
/-состоянии микрообъект, находившийся к моменту t в
5-состоянии (в момент / срабатывает детектор и тем са-
самым обнаруживает микрообъект в том или ином состоя-
состоянии). Характерная для квантовой механики причинная
связь между вероятностями реализации событий
должна проявляться в существовании взаимосвязи меж-
между амплитудами, рассматриваемыми в моменты времени
t и t+At. Учитывая принцип суперпозиции, выразим
связь между амплитудами в виде линейного уравнения
C^-f-A^S^//^» M)Cj{t) A2.5)
(в правой части сумма то всем базисным состояниям).
Поскольку при At-^O коэффициенты разложения Uij пре-
превращаются в 6ij Fij—символ Кронекера), то при доста-
достаточно малых At можно представить эти коэффициенты в
виде
Подставляя A2.6) в A2.5), получаем
_inCi{t + W-cl{f)= у н {t)c {tl A27)
Переходя к пределу при Л/->-0, находим отсюда искомое
уравнение:
-/ft ± С, (/) = 2 HU{t) Ci W- A2'8)
Мы нашли фундаментальное квантовомеханическое
уравнение, выражающее принцип причинности. Здесь
Hij — элементы некой матрицы, описывающей физику
рассматриваемой задачи. Отметим, что линейность урав-
уравнения A2.8) есть фактически следствие принципа супер-
суперпозиции состояний.
134
Гамильтонова матрица. Матрицу Нц называют
гамильтоновой матрицей. Сделаем относительно нее сле-
следующие замечания:
1. Зависимость гамильтоновой матрицы от времени
отражает зависимость от времени физических условий
(например, миюрообъект находится в меняющемся со
временем магнитном поле). Если же условия не меняют-
меняются, то матрица от времени не зависит.
2. Если гамильтонова матрица диагонализирована
(отличны от нуля только ее диагональные элементы), то
в этом случае элементы матрицы имеют простой физи-
физический смысл: они 'представляют собой возможные зна-
значения энергии микрообъекта*. По этой причине гамиль-
тонову матрицу можно было бы назвать энергетической
матрицей.
3. Элементы гамильтоновой матрицы удовлетворяют
соотношению
Hli = H)l. A2.9)
Это соотношение связано с тем, что вероятность пребы-
пребывания микрообъекта хотя бы в каком-то из базисных
состояний (вероятность 2 CiCi*) не может, очевидно,
меняться со временем. Чтобы показать эту связь, будем
исходить из равенства
c,-C*=0. A2.10)
Учтем, что
и воспользуемся выражением A2.8). В итоге равенство
A2.10) примет вид
2S(ff«-^)c/:;=o, (i2.il)
i J
откуда немедленно следует результат A2.9).
Наконец, заметим, что из A2.9) можно заключить о
вещественности диагональных элементов гамильтоновой
матрицы. Это обстоятельство согласуется с отмечавшей-
* Это замечание будет обосновано позднее (см. § 13).
135
ся выше ролью диагональных элементов как значений
энергии микрообъекта.
Что требуется для причинного описания явлений в
квантовой теории? Ответ на поставленный вопрос можно
дать, рассматривая выражение A2.8) для основного
квантовом еханического уравнения. Суть ответа сводится
к следующему. Во-первых, надо выбрать совокупность
базисных состояний {<?|}; во-овтарых, надо майти вид
гамильтонойой матрицы, рассматриваемой в системе вы-
выбранных базисных состояний. После этого можно делать
определенные предсказания, используя уравнение A2.8).
Особенно просто рассматриваются случаи, когда
число базисных состояний равно двум. Еще большее уп-
упрощение достигается при этом в предположении, что га-
мильтонова матрица не зависит от времени. В § 13 и 14
рассматриваются подобные случай; на конкретных при-
примерах демонстрируется использование уравнения A2.8),
лежащего в основе причинного описания микроявлений.
§ 1.3. МИКРООБЪЕКТЫ С ДВУМЯ БАЗИСНЫМИ
состояниями
Примеры микрообъектов с двумя базисными состоя-
состояниями. Число базисных состояний микрообъекта обычно
больше двух. Однако существуют ситуации, когда воз-
возможно ограничиться рассмотрением только двух базис-
ных состояний. В качестве примера, уже знакомого чита-
читателю, укажем прохождение фотона через поляризатор.
Фотон находится в состоянии с определенным импульсом
hk (и определенной энергией hkc); в этом случае рас-
рассматриваются возможные изменения только поляризации
фотона, поэтому можно говорить о наличии всего двух
базисных состояний фотона, имея в виду его поляриза-
поляризационные состояния.
Итак, всякий раз, когда идет речь о микрообъекте с
двумя базисными состояниями, предполагается, что во
внимание принимают возможные изменения только ка-
какого-то определенного «параметра» микрообъекта (на-
(например, его поляризации); при этом остальные «пара-
«параметры» считаются заданными. Укажем несколько приме-
примеров, когда можно говорить о микрообъекте с двумя
136
базисными состояниями. Эти состояния будем обозначать
через <11 и <2|.
Молекула аммиака состоит из одного атома азота и
трех атомов водорода, причем атом азота находится вне
плоскости, проходящей через атомы водорода (для крат-
краткости будем называть эту плоскость Я-плоскостью). Со-
Состояние <1| соответствует положению атома азота с
одной стороны от Я-плоскости, а состояние <2| —поло-
—положению этого атома с другой стороны от Я-плоскости.
Молекулярный ион водорода состоит из двух прото-
протонов и одного электрона. Состояние <1| соответствует
локализации электрона вблизи одного протона, а состо-
состояние <2| —локализации вблизи другого протона.
Молекула водорода состоит из двух протонов и двух
электронов, причем спиновые состояния электронов раз-
различны. Мысленно выделим одно из этих спиновых состо-
состояний. Тогда базисное состояние <1| можно определить
как состояние молекулы, отвечающее локализации элек-
электрона с выделенным спином вблизи одного протона, а
состояние <2| —как состояние с локализацией этого
электрона вблизи другого протона. При этом второй
электрон всякий раз локализуется вблизи соответствую-
соответствующего «вакантного» протона (возможность локализации
обоих электронов вблизи одного протона можно не рас-
рассматривать из-за сильного кулоновского расталкивания
электронов).
Роль недиагональных элементов гамильтоновой мат-
матрицы. Произвольное состояние <s| микрообъекта пред-
представим в виде суперпозиции базисных состояний <1|
и<2|:
или с учетом A2.4)
A3.1)
Амплитуды С\ и С2 удовлетворяют, согласно A2.8), си-
системе уравнений:
— С =Н С
dt г п
JL с =н с
dt 2 21
137
Рассмотрим два случая.
Первый случай: недиагональные элементы Н{2 и Н2\
равны нулю (гамильтонова матрица диагонализирова-
на). В этом случае система уравнений A3.2) распадает-
распадается на два взаимно независимых уравнения:
-т^с^НъСь -т±с2=н22с2. A3.3)
Из A3.3) следует, что если в данный момент микрообъ-
микрообъект находится, например, в состоянии <1|, то он 'никог-
'никогда не окажется ib состоянии <2|. Здесь базисные состо-
состояния <11 и <2| суть стационарные состояния микрообъ-
микрообъекта, характеризующиеся соответственно значениями
энергии #ц и Я22.
Второй случай: 'недиагональные элементы Н\2 и Н2\
отличны от нуля. В этом случае имеем, систему из двух
взаимно связанных уравнений [система A3.2)]. Поэтому
если в данный момент времени микрообъект находится,
например, в базисном состоянии <11, то в другой момент
времени может оказаться уже в состоянии <2|. Наличие
недиагональных элементов в гамильтоновой матрице
означает существование переходов микрообъекта между
различными базисными состояниями.
Обращаясь к конкретным примерам микрообъектов
с двумя базисными состояниями, отметим, что в молеку-
молекуле аммиака атом азота совершает переходы, изменяя
свое /положение относительно //-плоскости. В молекуляр-
молекулярном ионе водорода происходят переходы электрона от
одного протона к другому. Протоны в молекуле водорода
«обмениваются» электронами. Отметим, что именно этот
«обмен» парой электронов и лежит в основе химической
связи. Как говорят, одна валентная связь между двумя
атомами возникает в результате того, что каждый из этих
атомов «предоставляет в общее пользование» по одному
электрону; эти «обобществленные» электроны и ответст-
ответственны за возникновение связи между атомами.
ЧИТАТЕЛЬ: Ранее, в § 10,
утверждалось: «если объект на-
находится в одном базисном со-
состоянии, он не может быть об-
обнаружен в другом базисном
состоянии». Не противоречит ли
это утверждение отмеченной
только что возможности перехо-
переходов между базисными состоя-
состояниями?
АВТОР: В § 10 обсуждался
принцип суперпозиции состоя-
состояний. При его обсуждении не
принималась во внимание воз-
возможность протекающих во вре-
времени переходов между состоя-
состояниями, образующими суперпози-
суперпозицию.
ЧИТАТЕЛЬ: Поясните, пожа-
пожалуйста.
АВТОР: Прежде всего перепи-
перепишем A3.1) более подробно:
+С2(*)<2|. A3.1а)
Мы имеем микрообъект в су-
суперпозиционном состоянии
<s(t). Если в момент t сраба-
срабатывает детектор, то микрообъ-
микрообъект обнаруживается в состоя-
состоянии <1| или в состоянии <2|,
причем вероятность первого со-
события есть |Ci(/)|2, а вероят-
вероятность второго— \C2(t) |2. Суще-
Существенно, что одно событие
исключает другое — именно это
и подразумевает приведенная
Вами фраза.
ЧИТАТЕЛЬ: Я понял, в чем
тут дело. Если микрообъект об-
обнаружен в момент t, например,
в состоянии < 11, то тем са-
самым исключено обнаружение
его в тот же момент времени в
состоянии < 2|. Однако мик-
микрообъект может быть обнару-
обнаружен в состоянии <С 2| в другой
момент вре1меки.
АВТОР: При этом важно, что-
чтобы недиагональные элементы
гамильтоновой матрицы были
отличны от нуля. В противном
случае, обнаружив микрообъ-
Краткая интермедия.
Что есть лучшего?
— Сравнив прошедшее,
свести его
с настоящим."
Козьма Прутков
139
ект в состоянии < 1|, Вы не
обнаружите его в состоянии
< 2| не только в данный мо-
момент времени, но и вообще ни-
никогда.
ЧИТАТЕЛЬ: Я понял, что су-
суперпозиционное соотношение и
переходы между базисными со-
состояниями— это разные «пред-
«предметы».
АВТОР: Это так, однако не за-
забывайте, что при рассмотрении
переходов надо учитывать не
только недиагональность га-
мильтоновой матрицы, но и су-
суперпозиционное соотношение
A3.1 а). При этом все опреде-
определяется характером зависимости
амплитуд С\ и С2 от времени.
В одном случае оказывается,
что |Ci|2 и |Сг|2 не меняются
со временем — и тогда перехо-
переходов между базисными состоя-
состояниями'нет. В другом случае
|Ci|2 и |С2|2 меняются со вре-
временем — и тогда переходы есть.
Впрочем, вопрос о характере
зависимости амплитуд ?\ и С%
от времени требует более де-
детального рассмотрения.
Изменение амплитуд состояний во времени. Выявляя
зависимость амплитуд Сх и С2 от времени, рассмотрим
два случая.
Первый случай: недиагональные элементы гамильто-
новой матрицы равны нулю. Решая уравнения A3.3), на-
находим:
Сг (/) = Сг @) ехр (/ЯИ*/ЩС2 (*)=С2 @) ехр(/Я22*/й).
A3.4)
Таков характер зависимости от времени амплитуд, описы-
описывающих стационарные состояния.
Из A3.4) видно, что вероятности обнаружить микро-
микрообъект в том или ином базисном состоянии не меняются
со временем:
|С2@|2=|Са@)р. A3.5)
Если в момент ? = 0 микрообъект находится в состоянии
<1|,то |Ci@|2=1h |С2@|2 = 0. Как и следовало ожи-
ожидать, время жизни микрообъекта в стационарном состоя-
состоянии оказывается неограниченно долгим.
Второй случай: недиагональные элементы гамильто-
новой матрицы отличны от нуля. Предположим, что мож-
можно положить •
Яц — Я22 =
A3.6)
* Это можно сделать, если рассматриваемая задача характери-
характеризуется определенной симметрией: так, в примере с молекулой аммиа-
аммиака состояниям <1| и <2| соответствуют положения атома азота,
симметричные относительно Я-плоскости.
140
Кроме того, предположим вещественность недиагональ-
недиагональных элементов гамильтоновой матрицы и с учетом A2.9)
обозначим
Предположим, что при ? = 0 микрообъект находится
в состоянии <1|. Тогда Ci@) = l и С2@)=0, откуда сле-
следует a = b=L В этом случае выражения A3.9) принима-
принимают вид
а вероятность ему оказаться в момент времени / в состоя-
состоянии <2| равна
(C2(/OI2=sin2(A//ft). A3.116)
Полезно сравнить A3.5) и A3.11). Если в первом случае
вероятности |Ci|2 и |С2|2 не меняются со временем, то
во втором случае налицо определенная зависимость этих
вероятностей от времени. Определяемые соотношениями
[13.11) вероятности
казаны в зависимости
от времени на рис 13.1.
Диагонализация га-
j At fa мильтоновой матрицы.
Полученные ;в преды-
предыдущем пункте выраже-
выражения для Ci + C2 и
С\—Сг сравним с A3.4). Сравнение позволяет заклю-
заключить, что амплитуды С\ + С2 и С\—С2 описывают стацио-
на,рные состояния микрообъекта с энергиями, равными
соответственно Ео—А и Ео+А. Далее введем новую пару
базисных состояний:
<Л =-^г«1|-<2|),
A3.12)
V2
[легко убедиться, что если состояния <1| и <2] удовлет-
удовлетворяют условию ортонормировки A0.8), то и состояния
<1| и <П| удовлетворяют этому условию]. Используя
A3.12), перепишем A3.1) в виде
CC C4lC2 <П | . A3.13)
Отсюда видно, что переход от базисных состояний <1|
и <2| к базисным состояниям <1| и <П| соответствует
переходу от амплитуд С\ и Сч к амплитудам (С\—Сг)/У2
и (С1 + Сг)/У2. Поскольку последние описывают стацио-
стационарные состояния микрообъекта, то, следовательно, рас-
рассматриваемый переход связан с диагонализацией гамиль-
142
тоновой матрицы:
Г Е° -А][Е0 + А О I
[-А Ео\[ О Ео-А
Итак, пусть имеется некий микрообъект в неких оп-
определенных внешних условиях. Выбирается некоторая си-
система базисных состояний. При этом обычно стараются
выбрать такие базисные состояния, которые имеют на-
наглядный физический смысл (как это делалось, например,
в случаях с молекулой аммиака, молекулярным ионом во-
водорода, молекулой водорода). Выбранные на основе та-
таких соображений базисные состояния в общем случае
приводят к гамильтоновой матрице с отличными от нуля
недиагональными элементами (микрообъект совершает
переходы между базисными состояниями). Далее можно
перейти к новой системе базисных состояний, для кото-
которых гамильтонова матрица будет диагональной. Новые
базисные состояния описывают стационарные состояния
микрообъекта; элементы диагонализированной гамиль-
гамильтоновой матрицы суть значения энергии этих состояний.
Общий случай. В общем случае недиагональные эле-
элементы гамильтоновой матрицы отличны от нуля и при
этом сняты упрощающие условия A3.6) и A3.7). В этом
случае необходимо решать не упрощенную систему урав-
уравнений A3.8), а наиболее общую для микрообъектов
с двумя базисными состояниями систему уравнений
A3.2). Предоставляем читателю самому при желании
выполнить решение системы A3.2), предположив для
простоты, что гамильтонова матрица не зависит от вре-
времени *. Здесь же ограничимся указанием на некоторые
результаты.
Энергия стационарных состояний микрообъекта оп-
определяется выражением
, 1 / /
±у I
1
Отвечающие этим значениям энергии базисные состояния
<1| и <П| выражаются через определяющие систему
A3.2) базисные состояния <1| и <2| следующим об-
* Такое решение выполняется, в частности, в [3].
143
разом:
1 l x ' 1 . A3.
причем
A3.16)
a2\b2=H2X\{E\\ — Я22).
Легко видеть, что если Нц = Н22=Ео и Hi2 = H2\ =
= —Л, то результат A3.14) дает ?"i, ц=?'о±Л, суперпози-
суперпозиции A3.15) превращаются в A3.12) —одним словом, мы
приходим к подробно обсуждавшемуся упрощенному слу-
случаю недиагональной гамильтоновой матрицы. Если же
#12=Я21 — 0, то результат A3.14) дает ?11=Я11, ?1ц=Я22—
мы приходим к случаю диагональной гамильтоновой мат-
матрицы (<1| = <1|, <Н|=<2|).
Пример с молекулой аммиака. Напомним, что базис-
базисные состояния <1| и <2| молекулы аммиака выбира-
выбирались из наглядных физических соображений: они отве-
отвечают положениям атома азота соответственно с одной и
с другой стороны от Я-плоскости. Поскольку эти положе-
положения симметричны, то можно принять Яц = Я22=?1о- По-
Полагая, кроме того, что элементы Я12 и Я21 вещественны
(H\2 = H2i = —Л), что, как оказывается, не нарушает
в данном случае общности рассмотрения, приходим к си-
ситуации, которой отвечает упрощенная система уравнений
A3.8). Отсюда видно, что энергетические уровни моле-
молекулы суть Ео+А и Ео—А. Подчеркнем, что если бы между
состояниями <1| и <2| не происходили переходы, то
тогда бы вместо уровней Ео+А и Ео—Л существовал
один единственный уровень Ео. Он был бы двукратно
вырожден, поскольку ему отвечали бы два состояния.
Можно сказать, что переходам между состояниями < 11
и <2| (связанным с «проталкиванием» атома азота
сквозь Я-плоскость) соответствует снятие вырождения,
иначе говоря, «расщепление» уровня Ео на два уровня:
Ео+А и Ео—А.
Далее предположим, что молекула аммиака поме-
помещена в статическое электрическое поле, напряженность
которого & направлена перпендикулярно Я-плоскости.
Обозначая через d величину электрического дипольного
144
момента молекулы, представим
A3.17)
Теперь положения атома азота с разных сторон от
//-плоскости уже не являются физически симметричными
(#п=7^=//22)- Полагая по-прежнему #12 = #2i =—А, запи-
запишем систему уравнений A3.2) для рассматриваемого
случая:
-ih-l-C^iEo + fd)^-.
dt
_ /ft JL са= - АСг + (Ео - Sd) C2.
A3.18)
Рис. 13.2
Используя A3.14), получаем следующие выражения для
уровней энергии молекулы в статическом электрическом
поле:
A3.19)
На рис. 13.2 приведен качественный вид зависимости
уровней энергии молекулы аммиака от величины напря-
напряженности поля. Легко видеть, что эффект «переброса»
атома азота через Я-плоскость важен при относительно
малых напряженностях поля; в сильных полях, когда
уровни расходятся значительно, этот эффект становится
несущественным.
§ 14. ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Проекция электронного спинового момента на произ-
произвольное направление может, как известно, принимать
только два значения (—А/2 и А/2). Это позволяет рас-
145
сматривать электрон как микрообъект с двумя базисны-
базисными состояниями. Задача об электроне в магнитном поле
представляет большой (практический интерес. Кроме то-
того, эта задача весьма интересна и в методическом отно-
отношении: анализ ее дает возможность на физически нагляд-
наглядном примере познакомиться с общей спецификой систем
с двумя базисными состояниями, или, иначе говоря, двух-
двухуровневых систем, а также с общим подходом к рассмот-
рассмотрению таких систем.
Гамильтонова матрица для электрона в магнитном
поле. Зафиксируем направления координатных осей
(в частности, направление оси г). В качестве базисных
состояний <11 и <2| выберем состояния, в которых про-
проекции спина электрона на ось z равны соответственно
Я/2 и —ft/2. Включим статическое магнитное поле (вели-
(величину магнитной индукции обозначим через В) и рас-
рассмотрим два случая.
Первый случай: магнитное поле направлено по оси z
(Вх=Ву = 0). В этом случае базисные состояния <1| и
<2| являются стационарными; состоянию <1| соответ-
соответствует энергия —jjiBz, а состоянию <2|—энергия \iBz
(через \х обозначена величина магнитного момента элек-
электрона). Амплитуды С\ и С2 удовлетворяют двум взаимно
независимым уравнениям типа A3.3):
v.B2C2. A4.1)
Гамильтонова матрица электрона имеет вид
\-рВ2 0 1
[«!=[ о ,SJ. A4.2)
Второй случай: магнитное поле имеет произвольное
направление. Прежде всего отметим, что независимо от
направления поля (иначе говоря, независимо от выбора
направления координатных осей) уровни энергии элек-
электрона определяются выражениями —[хВ и |iJS. Если
в предыдущем случае мы должны были принять B — BZi
то теперь надо принять В = (Bx2 + By2 + Bz2L*. Таким об-
образом,
A4.3)
146
Отметим, что
Ei=-En. A4.4)
Далее воспользуемся соотношением A3.14). Учитывая
A4.4), можем полагать #ц + //22=0. В результате, ис-
используя A4.3) и A2.9), получаем
*). A4.5)
Будем полагать, что элементы гамильтоновой матрицы
линейны по полю. Как оказывается, этого довольно есте-
естественного предположения достаточно для того, чтобы
перейти от A4.5) к следующим выражениям: #ц =—\iBZy
#22 = !я52; #2i = #i2* =—\i(Bx+iBy). Таким образом, га-
мильтонова матрица электрона в магнитном поле имеет
в общем случае вид
Легко видеть, что при ВХ = ВУ=О матрица A4.6) превра-
превращается, как и следовало ожидать, в матрицу A4.2).
Используя A4.6), выпишем систему уравнений
A3.2) для рассматриваемого случая:
A4.7)
В заключение отметим, что хотя все рассуждения
относились к случаю, когда гамильтонова матрица не
зависит от времени, однако результаты A4.6) и A4.7)
справедливы и тогда, когда магнитное поле изменяется
со временем.
Проекционные амплитуды. Пусть направление маг-
магнитного поля определяется полярным углом G и азиму-
азимутальным углом ф (рис. 14.1). Предположим, что спин
электрона направлен по полю; следовательно, электрон
•находится в стационарном состоянии <1| с энергией
Е\=—|хВ. Согласно A3.15), состояние <1| представим
в виде суперпозиции:
, A4.8)
147
где, напоминаем, <1| и <2|—состояния, в которых
проекции спина электрона на ось z равны соответственно
ft/2 и —Л/2, а коэффициенты п\ и Ь\ определяются соот-
соотношениями A3.16):
A4.9)
Используя A4.6), представим:
Нп = — рВг = — [*? cos б,
sin 6exp(
-h). ) <"•
10)
Подставляя A4.10) в A4.9), на-
находим
ах\Ъх а» sin б ехр (— щ)\{ 1 — cos 6).
Учитывая, что |ail2+|U2l2aBl.
приходим отсюда к следующему
окончательному результату:
a1=cos @/2) ехр (— /<р/2);
A4.11)
61 = sin(e/2)exp(/<p/2).
Итак, определены амплитуды вероятностей электро-
электрону иметь спин направленным вдоль (амплитуда а\) и
против (амплитуда Ь{) оси z, если известно, что спин
электрона направлен по полю (т. е. имеет направление,
определяемое углами в и ср).
Примечательно, что в A4.11) магнитная индукция В
не входит. Очевидно, что результат A4.11) должен со-
сохраниться в пределе В->0. Иначе говоря, можно вообще
исключить поле из рассмотрения и интерпретировать
результат A4.11) следующим образом. Известно, что
направление спина электрона определено углами 0 и ср;
в этом случае амплитуда вероятности электрону иметь
спин вдоль оси z есть аь а амплитуда вероятности иметь
спин против оси z есть Ь\. Выражение A4.8) надо рас-
рассматривать в данном случае как разложение спинового
состояния <0, ф| по спиновым состояниям <z\ и <—г\:
ср I =cos(e/2)exp(-i\p/2)<s | +
+ sin(e/2)exp(/f/2)<-s
148
A4.12)
называют проекционными амплитудами.
Пользуясь проекционными амплитудами, можно
предсказать результат следующего опыта. Пусть поля-
поляризованный в направлении, задаваемом углами 0 и ф,
пучок электронов проходит через некий «фильтр», про-
пропускающий только электроны со спином вдоль оси г.
В этом случае амплитуда вероятности прохождения
электрона через прибор (через «фильтр») есть <0, cp|z>.
Проекционная амплитуда выполняет здесь роль ампли*
туды перехода электрона из состояния <0, ф| в состоя-
состояние <z\.
Прецессия спина электрона. Пусть направление спи-
спина электрона определяется углами 0 и ф (электрон нахо-
находится в состоянии <0, ф|). Это состояние может быть
представлено в виде суперпозиции A4.12) состояний
<г\ и <—г|. Предположим, что в момент времени ? = 0
включено магнитное поле В, направленное вдоль оси г.
Теперь состояния <z\ и <—z\ становятся стационарны-
стационарными состояниями. Учитывая это, запишем [см. A3.4)]:
Таким образом, включение магнитного поля, направлен-
направленного по оси г, не меняет полярного угла 0, но изменяет
149
азимутальный угол ф, причем величина изменения ф
пропорциональна промежутку времени t от момента
включения поля до данного момента. Это означает, что
спин электрона прецессирует вокруг оси z (вокруг на-
направления магнитного поля) с постоянной угловой ско-
скоростью. Легко видеть, что угловая скорость прецессии
спина определяется соотношением
Н. A4.17)
Сделаем еще один шаг: отвлечемся от координатных
осей. Пусть в момент времени /=0 направление спина
электрона и магнитного поля образуют угол 0. С течени-
течением времени этот угол будет сохраняться, но при этом спин
электрона будет прецессировать вокруг направления поля
с угловой скоростью
<o=2n?/A.j A4.17а)
Предположим далее, что магнитное no^ie изменяется со
временем (изменяются в общем случае и направление, и
величина вектора В). Изменение поля приведет к соот-
соответствующему изменению картины прецессии электрон-
электронного спина: изменение величины магнитной индукции
приведет к изменению величины угловой скорости пре-
прецессии, а изменение направления поля приведет к изме-
изменению того направления, вокруг которого совершается
прецессия.
Знание картины прецессии позволяет предсказать
изменение состояния электрона в течение заданного
времени. Приведем простой пример (рис. 14.2). Пусть
в момент времени t=0 поле направлено вдоль оси z
[вектор 5@)], а спин электрона находится в плоскости zy,
образуя с направлением поля угол 0О. Таким образом,
начальное состояние электрона <0@), ф@)| определя-
определяется углами 0@) =i8o и ф@)=я/2. Будем полагать, что
величина поля со временем не меняется, но меняется на-
направление поля. Пусть спустя время t\ = nh/2\iB иоле ока-
оказалось направленным вдоль оси у [вектор B(jt\) на рис.
14.2]. Каково будет состояние электрона в момент време-
времени t\? Ясно, что если бы направление поля не изменилось,
то конец вектора спина электрона, прецессируя, описал
бы за время nhj2\iB половину окружности и переместил-
переместился бы из точки S\ в точку 52. С учетом же изменения
направления поля он перемещается не в точку s2, а в точ-
150
ку 53. Следовательно, искомое состояние электрона
<Q(t\), cp(fi)| будет определяться углами 6(^)=я/2—90
¦и <р(*0=*я/2..
Обобщение задачи об электроне в магнитном поле на
произвольные двухуровневые системы. Как писал Фейн-
ман [3], «проведя математическую аналогию с вращаю-
вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометри-
геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуров-
двухуровневой системы..: Если мы в состо-
состоянии решить в общем случае за-
задачу об электроне, мы уже реши-
решили все задачи о двух состояниях».
Поясним эти замечания.
Предположим, что рассмат-
рассматривается некая двухуровневая си-
система, базисные состояния кото-
которой суть <1| и <2|. Условимся
сопоставлять с каждым состояни-
состоянием микрообъекта некоторый век-
вектор. Выбор базисных состояний
<1| и <2| эквивалентен аз этом Рис. 14.2
случае выбору оси z (как если бы
эти состояния соответствовали двум ^-проекциям спина
электрона). Пусть в начальный момент времени микро-
микрообъект находится в состоянии <s@)|; сопоставим с
этим состоянием вектор, направление которого опреде-
определяется углами 0@) и ф@):
<s@)\< ><б@), 9@I. A4.18)
Чтобы найти углы 0@) и ф@), надо разложить состоя-
состояние <s@)| по базисным состояниям <1| и <2| и ис-
использовать для коэффициентов разложения выражения
A4.13) для проекционных амплитуд. Указанное разло-
разложение имеет вид
<s@) | =c.os[9@)/2]exp[-/<p@)/2]<l | +
+ sin[6@)/2]exp[*cp@)/2];<2 | . A4.19)
Далее обратимся к гамильтоновой матрице микро-
микрообъекта. Прежде всего сдвинем начало отсчета энергии
таким образом, чтобы нуль оказался точно посередине
между энергетическими уровнями, т. е. чтобы выполня-
выполнялось условие A4.4). В этом случае
=0. A4.20)
151
Затем введем формально вектор \хВ (он отнюдь не свя-
связан с каким-либо магнитным полем!) таким образом,
чтобы его проекции на оси координат (напоминаем, что
оси определяются выбором базисных состояний) удов-
удовлетворяли соотношениям
Яа= -?Вг, Нп=-р\{Вх-1Ву). A4.21)
Используя A4.21), найдем
а>=2ц(/?+^+/?!I/2//1. A4.22)
Чтобы решить рассматриваемую двухуровневую за-
задачу, т. е. чтобы выявить изменение состояния <s| за
некоторое время t, надо рассмотреть картину прецессии
вектора <0, ф| вокруг направления В с угловой ско-
скоростью со. Если гамильтонова матрица зависит от време-
времени, то будут изменяться соответствующим образом как
направление В, так и величина угловой скорости прецес-
прецессии. По истечении времени t микрообъект окажется в со-
состоянии <s(?)|, определяемом углами 6(/) и ср(О» кото-
которые можно выявить, зная начальные углы 9@) и ср(О) и
картину прецессии (точно таким образом, как это было
проделано в примере, приведенном в конце предыдущего
пункта). Переход от углов 9(^) и <p(i) к искомому ко-
конечному состоянию <s(^)| основан на использовании
уже хорошо знакомой суперпозиции:
<s(l) | =cos[e$/2]exp[-/?(/)/2]<l | +
+ sm[8(/)/2]exp[/cp(/)/2]<2 | . A4.23)
Применяя сделанные замечания к рассмотренному
в § 13 примеру с молекулой аммиака, следует сместить
начало отсчета энергии на величину ? и, кроме того,
перейти (удобства ради) от базисных состояний <1| и
<2| к базисным состояниям <1| и <Н|. В результате
вместо системы уравнений A3.18) будем иметь систему
d A4.24)
dt
Эта система удобна для проведения аналогии с электро-
электроном в магнитном поле. Сравнивая A4.24) с A4.7), за-
152
ключаем, что величина А соответствует величине —[iBz,
а величина <§d—^величине —\хВх. Следовательно, (надо
рассматривать картину прецессии вектора состояния
<s| молекулы в «магнитном поле», которое образовано
двумя составляющими: во-первых, постоянной составля-
составляющей вдоль оси z, связанной с эффектом «переброса»
атома азота через Я-плоскость, и, во-вторых, составляю-
составляющей вдоль оси х, связанной с электрическим полем. По-
Последняя составляющая может, очевидно, изменяться во
времени.
Спиновые матрицы Паули. В заключение укажем широко ис-
используемые в квантовой механике двухуровневых систем спи-
спиновые матрицы Паули. Вид матриц таков:
Используя эти матрицы, перепишем выражение для элементов
гамильтоновой матрицы электрона в магнитном поле A4.6) в
следующем виде:
- ц (о*Я, + оУ^Ву + о*;.Я,). A4.26)
Рассматривая ож, оу, az, как компонента некой матрицы-век-
матрицы-вектора а, можем записать результат A4.26) в виде, не зависящем
от выбора координатных осей:
"//= -WJB. 04.27)
Полезность спиновых матриц Паули состоит в том, что любая
двумерная матрица (в частности, гамильтонова матрица любого
микрообъекта с двумя базисными состояниями) может быть
выражена через суперпозицию этих матриц. Будучи введены
для электрона в магнитном поле, спиновые матрицы Паули
оказались весьма удобными при рассмотрении самых различных
двухуровневых задач. Это и неудивительно, если принять во
внимание только что обсуждавшуюся возможность обобщения
задачи об электроне в магнитном поле на произвольные двух-
двухуровневые системы.
§ 15. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
Начиная этот параграф, сразу подчеркнем: он не
прибавит практически ничего нового к рассмотренным
в данной главе физическим основам квантовой механи-
механики. Фактически можно уже подводить итоги физической
стороне теории и переходить к ее математической сто-
153
роне, основанной на использовании линейных операто-
операторов. Однако, прежде чем это будет сделано, целесооб-
целесообразно ввести понятие волновой функции. Волновая
функция широко применяется в существующей литера-
литературе по квантовой механике; поэтому важно, чтобы чита-
читатель понимал «место» волновой функции в описанной
выше картине амплитудных представлений. До сих пор
волновая функция, являющаяся по существу амплитудой
состояния, присутствовала в этой картине, так сказать,
в неявном виде; сделаем это присутствие явным. Кроме
того, необходимо иметь в виду, что при переходе к мате-
математическому аппарату квантовой механики более удобно
использовать именно волновую функцию, а не амплитуду
состояния.
Волновая функция как амплитуда состояния. Пусть
<х\ —состояние микрообъекта, соответствующее лока-
локализации его в точке пространства с координатой х (для
простоты используется одномерная ситуация). Тогда
<5Jx> может рассматриваться как амплитуда вероят-
вероятности того, что микрообъект, находящийся в состоянии
<51, имеет координату х.
Надо, однако, сделать небольшое уточнение. При
рассмотрении вероятности той или иной пространствен-
пространственной локализации микрообъекта следует учитывать непре-
непрерывность изменения пространственной координаты. По-
Поэтому вместо вероятности найти микробъектточнов точке
х надо рассматривать вероятность найти его в интер-
интервале от х до x + dx. Обозначая эту вероятность через
dw8(x), запишем
dws{x)= | О | х>\Ых. A5.1)
Следовательно, величина <s\x>y строго говоря, не есть
амплитуда вероятности; она является амплитудой плот-
плотности вероятности.
В литературе величину <s|x> принято называть
волновой функцией и обозначать, например, через tys{x).
Итак,
b(x) = <s\x>. A5.2)
С учетом A5.2) перепишем A5.1) в виде
dws{x)=\Ux)\2dx. A5.3)
Из A5.3) видно, что |t|)s(#) |2 есть плотность вероятности
154
обнаружить в точке х микрообъект, находящийся в со-
состоянии <s\.
С математической точки зрения, волновая функция
•tys(x) есть параметрическая функция, причем роль пара-
параметра играют значения тех величин, которые точно опре-
определены в состоянии <s\. Учитывая сделанные ранее за-
замечания о структуре амплитуд состояний, можем сказать,
что аргументом волновой функции служат величины од-
одного полного набора, а ее параметром — величины дру-
другого набора. Принято говорить, что волновая функция
ilps(x) есть собственная функция величин s-набора, задан-
заданная в представлении, определяемом величинами х-набо-
ра (или проще: в ^-представлении).
Обобщение понятия волновой функции. На практике
часто используют волновые функции именно в х-пред-
ставлении (в координатном представлении). Однако на-
наряду с ^-представлением возможны, очевидно, и другие
представления. В связи с этим следует обобщить понятие
волновой функции:
A5.4)
Функция if>a(p) есть собственная функция величин а-на-
бора, заданная в р-представлении. Если величины C-на-
бора изменяются дискретно, то гЬа(р) есть амплитуда
вероятности того, что состояние <р| представлено в со-
состоянии <а|. В случае непрерывно изменяющихся вели-
величин р-набора i|)a(P) есть амплитуда плотности указанной
вероятности.
Задание волновой функции i|)a(P) означает точное
задание величин a-набора и вероятностное задание вели-
величин р-набора. Соответственно задание функции q>a(v)
означает точное задание величин a-набора и вероятност-
вероятностное— величин 7~набора. Говорят, что функция ipa(P)
описывает состояние <а| в р-представлении, а функция
<pa(Y) описывает то же состояние, но в упредставлении.
Тот факт, что разные функции i|?a(p) и ср {у) использу-
используются для описания одного и того же состояния <а|,
говорит о необходимости существования некоей связи
между ними. Эту связь как раз и выражает принцип су-
суперпозиции состояний. В предположении дискретного из-
изменения Y-величин имеем
155
Легко видеть, что A5.5) есть выражение для суперпо-
суперпозиции амплитуд состояний:
=2<« | Y/XY/ I Р> A5.5а)
Если бы увеличинь1 изменялись непрерывно, то вместо
A5.5) мы имели бы
A5.6)
Рассмотрим собственную функцию величин некото-
некоторого набора в представлении, определяемом величинами
того же самого набора. Если величины изменяются дис-
дискретно, то согласно A0.8)
*.,(<*/)=*»//. A5.7)
Если же величины изменяются непрерывно, то вместо
A5.7) будем иметь
ЧГ«/(а) = 8"(а-а/).1 A5.8)
Здесь б (а—а') —так называемая дельта- функция Дира-
Дирака, представляющая собой обобщение символа Кронеке-
ра на случай непрерывно изменяющихся величин *.
Дельта-функция определяется следующим образом:
оо
5(а_а')==0 при а^а'; f 8 (а - а') flfa = 1. A5.9)
— оо
График функции б (а—а') нарисовать, строго говоря,
невозможно: пришлось бы изображать бесконечно узкий
и бесконечно высокий пик в точке а = а', «площадь» под
которым конечна и равна единице. Одно из важнейших
свойств дельта-функции, легко выводимое из ее опреде-
определения A5.9), описывается выражением
/(a)8(o —a')rfa=/(o'), A5.10)
где /(а)—ограниченная функция, непрерывная в точке
a=a'.
* Достаточно подробно дельта-функция рассматривается, напри-
например, в [13].
156
Условие ортонормировки собственных функций. По-
Полагая а-величины дискретными, а р-величины непрерывно
меняющимися, перепишем A5.6) в виде
A5.11)
Используя (9.33), представим
*p(<*y)=SfCy(P). A5.12)
Учитывая A5.12) и A5.7), получаем из A5.11) условие
ортонормировки для собственных функций i|)a/ (P):
Если а-величины изменяются непрерывно, то вместо
A5.7) надо использовать A5.8). В этом случае условие
ортонормировки собственных функций принимает вид
J*.(P»C'(P)rfP=»(a-a'). A5.14)
Волновая функция свободно движущегося микро-
микрообъекта. В качестве примера отметим случай свободно
движущегося микрообъекта, полагая для простоты, что
спина у него нет. Волновая функция в координатном
(трехмерном) представлении имеет вид *
¦- (г) = <Ро I г>=Bя/*Г3/2ехр (ЙоР/Л), A5.15)
где ро — импульс микрообъекта, а г — его пространствен-
пространственная координата. Функция г|)^ (г) есть собственная функция
импульса, заданная в координатном представлении; она
описывает состояние, в котором компоненты импульса
микрообъекта имеют определенные значения, тогда как
пространственные координаты могут быть указаны лишь
вероятностно.
Переходя от координатного к импульсному представле-
представлению, воспользуемся результатом (9.33). Получим
р>=<Зр\
3/2^70/А). A5.16)
Этот результат будет получен позднее (см. § 20).
157
Функция ф+ (р) есть собственная функция координаты
о
микрообъекта, заданная в импульсном представлении.
Из A5.15) и A5.16) видно, что состояния свободно
движущегося микрообъекта описываются волновыми
функциями, имеющими вид плоских волн (либо в коор-
координатном, либо в импульсном пространстве).
Функция г|)— (г) и ф~> (р) удовлетворяют условию ор-
тонормировки A5.14). В этом можно убедиться, если
Рис. 15.1
воспользоваться интегральным представлением дельта-
функции *:
A5.17)
(под величинами аир здесь следует понимать компонен-
компоненты пространственной координаты и импульса микрообъ-
микрообъекта).
* Рассмотрим функцию sin(ga)/jta (рис. 15.1). Независимо от
оо
величины параметра g: I da sin (ga)/ita — 1. Будем увеличивать g.
— оо
При этом точки А на рисунке будут приближаться к а=0, а точка В
будет подниматься по оси ординат. В пределе g-+oo получим беско-
бесконечно узкий и высокий пик, интеграл от которого равен единице. Это
и есть дельта-функция. Итак, Ь (а) = lim sin (ga яа. Отсюда легко
придти к A5.17), если учесть, что sin (ga)/na = —— \ exp(/aP)rfp-.
158
§ 16. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА КАК КАЧЕСТВЕННЫЙ
СКАЧОК В ПРОЦЕССЕ ПОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКОМ
ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
«Установить резкое различие между
философией естествознания и человече-
человеческой культурой, конечно, невозможно.
В самом деле, физические науки являют-
являются неотъемлемой частью нашей цивили-
цивилизации; это происходит не только потому,
что наше все увеличивающееся овладение
силами природы совершенно изменило
материальные условия жизни, но также и
потому, что изучение этих наук дало так
много для выяснения того окружения, на
фоне которого существуем мы сами.»
Н.Бор
Хотя квантовая механика имеет дело с микрообъек-
микрообъектами, однако ее значение отнюдь не ограничивается
рамками микроявлений. В никогда не прекращающемся
процессе углубления и совершенствования наших пред-
представлений о законах природы появление квантовой меха-
механики есть важный качественный скачок. Без осмыслива-
осмысливания важности, специфичности, радикальности (можно
сказать, революционности) этого скачка невозможно по-
понимание современной физической картины мира. В дан-
данном параграфе предпринята попытка посмотреть на
квантовую механику именно с такой точки зрения, что
может служить, очевидно, логическим завершением гла-
главы, посвященной физическим основам этой удивительной
теории.
«Безумные идеи». Фразу о «безумной теории», о том,
что она должна быть «достаточно безумной, чтобы быть
правильной», обронил однажды Бор. В этой фразе наш-
нашло отражение то ошеломляющее впечатление, которое
производили на современников Бора не укладывавшиеся
в рамки классических представлений удивительные физи-
физические открытия, сделанные в начале XX в. Было оче-
очевидно, что для объяснения этих открытий требуются ра-
радикально новые идеи, новый подход.
159
В § 2 рассматривались две основополагающие идеи
квантовой механики: идея дискретности и идея дуализма.
Возвращаясь мысленно к началу века, можно было бы
назвать первую из них «непонятной», а вторую — «непо-
«непонятой» идеей. Введение в физическую картину мира дис-
дискретности приводило к непонятным и, как казалось,
логически противоречивым квантовым «скачкам». Идея
дуализма, утверждавшая специфичность микрообъектов,
снимала противоречия квантовых «скачков», предлагая
«лавировать» между понятиями «корпускула» и «волна».
При этом смысл использовавшегося здесь понятия «вол-
«волна» в течение довольно долгого времени оставался фак-
фактически непонятым. Следствием этих двух «безумных»
идей явились экстравагантные соотношения неопределен-
неопределенностей, заставившие иначе взглянуть даже на такие
фундаментальные понятия, как «энергия», «импульс»,
«момент импульса».
Квантовая механика рождалась в обстановке весьма
существенной ломки физических традиций. Она требо-
требовала отказа от многих привычных, устоявшихся представ-
представлений: от обязательной непрерывности спектров значений
физических величин, от траектории как необходимого
атрибута движения объекта, от лапласовского детерми-
детерминизма как основной формы выражения принципа причин-
причинности, от возможности безграничной детализации струк-
структуры объекта или детализации явления во времени, от
возможности при любых условиях различать два сколь
угодно похожих друг на друга объекта, от убеждения в
том, что при измерениях всегда можно хотя бы в прин-
принципе абстрагироваться от измерительного прибора и т. д.
(все эти вопросы достаточно подробно обсуждались
в предыдущих параграфах).
Трудно назвать еще один период в истории физики,
когда бы так сильно и по столь широкому фронту проис-
происходил пересмотр физических представлений. Как писал
Бор (см. работу «Философия естествознания и культуры
народов» в [6], «физикам был преподан урок, указываю-
указывающий на ту осторожность, с какой надо применять все
обычные представления всякий раз, как мы имеем дело
не с повседневным опытом... При изучении атомных явле-
явлений мы неоднократно научались тому, что вопросы, на
которые, как считалось, давно получены окончательные
ответы, таят в себе подчас неожиданные для нас сюр-
призы».
160
Главное в квантовой механике. Пересмотр представ-
представлений и отказ от многих привычных понятий можно рас-
рассматривать в известном смысле как «негативное содер-
содержание» квантовой механики. Обратимся теперь к ее
«позитивному содержанию».
Если попробовать кратко сформулировать то глав-
главное положительное знание, которое дала квантовая ме-
механика человеку, познающему окружающий его мир, то
надо выделить следующие два основных момента.
Первый: квантовая механика показала, что основ-
основными закономерностями в природе являются закономер-
закономерности не динамического, а статистического типа, и что
вероятностная форма причинности есть основная форма,
а классический детерминизм представляет собой лишь ее
предельный (вырожденный) случай.
Второй: квантовая механика обнаружила, что с ве-
вероятностями в природе следует обращаться не совсем так,
как это принято в классических статистических теориях;
оказалось, что в определенных случаях необходимо скла-
складывать не сами вероятности событий, а амплитуды этих
вероятностей; последнее обстоятельство приводит к спе-
специфическому эффекту интерференции амплитуд вероят-
вероятностей.
Итак, подчеркнем, во-первых, вероятностный харак-
характер законов природы (примат статистических закономер-
закономерностей), а во-вторых, особые отношения между вероят-
вероятностями, предполагающие не только сложение послед-
последних, но и специфические интерференционные эффекты.
На наш взгляд, именно в этом и заключается основная
ценность той информации, которую человек почерпнул из
квантовой механики.
«Статистические методы в физике,— писал Борн
[14],— по мере развития науки распространялись все
больше и больше, и сегодня можно сказать, что современ-
современная физика полностью опирается на статистическую осно-
основу... Сегодня квантовая теория привела нас к более глу-
глубокому пониманию: она установила более тесную связь
между статистикой и основами физики. Это является со-
событием в истории человеческого мышления, значение ко-
которого выходит за пределы самой науки».
Иногда говорят, что основное различие между кван-
квантовой механикой и классической механикой определя-
определяется статистическим характером первой и динамическим
характером последней. При внимательном рассмотрении
6-2819 161
это, казалось бы, гладкое и безупречное утверждение
должно быть признано неправильным. Выявляя примат
статистических закономерностей в физике, квантовая
механика тем самым показывает, что динамические за-
законы с их однозначными предсказаниями являются, по
сути дела, частным (вырожденным) случаем вероятност-
вероятностных законов. В этом смысле не только квантовая меха-
механика, но и классическая механика должна, строго говоря,
формулироваться на языке вероятностей *. Качественное
отличие квантовой механики от классической механики
(и вообще от классической физики) связано с тем, как
рассматриваются отношения между вероятностями.
«Главное отличие квантовой механики от классической,—
пишет Мякишев [27],— заключается совсем не в стати-
статистическом характере первой. Основное различие обеих
механик состоит в том, что в квантовой механике первич-
первичной величиной служит не вероятность, а ее амплитуда —
волновая функция. Это приводит к интерференции веро-
вероятностей— явлению, не имеющему аналога в классиче-
классической механике».
Развивая сделанные выше замечания, выделим сле-
следующие вопросы: а) особые взаимоотношения состояний
в квантовой механике и вытекающая отсюда специфика
квантовомеханического описания явлений, б) специфика
применения вероятностей в квантовой механике, в) осо-
особая роль интерференции в квантовой механике, г) прин-
принцип дополнительности как логическая основа квантовой
механики, д) диалектический характер квантовой меха-
механики. Рассмотрим последовательно эти вопросы.
Специфика квантовомеханического описания явле-
явлений. Как выразился Фейнман (см. [3]), «одно из самых
прекрасных свойств квантовой механики — как много в
ней удается вывести из столь малого». Читатель мог убе-
убедиться, как много можно получить уже из самого факта
интерференции амплитуд (см. § 9), на основе принципа
суперпозиции состояний (см. § 10), из рассмотрения про-
простейших квантовомеханических систем — микрообъектов
с двумя базисными состояниями (см. § 13, 14). Относи-
* Эта точка зрения последовательно проводится в [27], где, в
частности, отмечается, что фейнмановская концепция интегралов по
траекториям фактически сводит принцип наименьшего действия к
принципу максимальной вероятности, т. е. доказывает, что фунда-
фундаментальный динамический принцип имеет, по существу, статистиче-
статистическую природу.
162
тельная формальная простота описания микроявлений
связана со спецификой этого описания. Напомним, что
для квантовомеханического описания надо знать, во-
первых, базисные состояния и, во-вторых, гамильтонову
матрицу, отражающую физику рассматриваемого явле-
явления. Упрощение описания достигается при этом благода-
благодаря следующим двум обстоятельствам.
Во-первых, весьма существенно, что необходимое для
описания конкретного явления число базисных состоя-
состояний, а соответственно и число элементов гамильтоновой
матрицы, может оказаться небольшим. Так, в приводив-
приводившихся в § 13 и 14 примерах это число равнялось двум.
Здесь не возникает противоречия с многообразием воз-
возможных состояний микрообъекта, поскольку благодаря
принципу суперпозиции любое из них может быть пред-
представлено в виде некоей суперпозиции базисных состояний.
Именно принцип суперпозиции и есть тот решающий фак-
фактор, который позволяет обойтись обычйо небольшим
числом состояний, выбранных в качестве базисных. Как
писал Дирак [9], «отходя от детерминизма классической
теории, мы сильно усложняем описание природы. Однако
такое усложнение вполне окупается тем большим упро-
упрощением, которое вносит принцип суперпозиции состоя-
состояний».
Ранее отмечалось (см. § 10), что в классической
физике все состояния объекта следует рассматривать как
взаимно ортогональные, иначе говоря, как базисные со-
состояния. По этой причине здесь принципиально невоз-
невозможна описанная выше упрощающая ситуация.
Во-вторых, относительная простота суперпозицион-
суперпозиционных связей позволяет проводить аналогии между микро-
микрообъектами с одинаковым числом базисных состояний и
сводить все многообразие реальных задач фактически
к рассмотрению двухуровневой задачи, трехуровневой
задачи и т. д. В § 14 было показано, каким образом мож-
можно формально свести произвольную задачу с двумя ба-
базисными состояниями к задаче об электроне в магнитном
поле.
Разумеется, отсюда не следует вывод, что вообще
«квантовая механика проще классической». Она дейст-
действительно проще в отмеченном выше смысле. Однако она
имеет свои немалые трудности, прежде всего трудности,
связанные с рациональным выбором системы базисных
состояний и с отысканием вида гамильтоновой матрицы.
6* 163
Вряд ли уместно снова перечислять все те трудности, ко-
которые неизбежно вытекают из необходимости отказа от
наглядности и многих привычных представлений. Все это
так. Поэтому было бы неумно заявлять: «квантовая меха-
механика— это просто!» И тем не менее следует помнить, что
своеобразные отношения, существующие между состоя-
состояниями микрообъекта и проявляющиеся в специфическом
принципе суперпозиции состояний, существенно упроща-
упрощают квантовомеханическое описание явлений.
Вероятность в квантовой механике. Квантовая меха-
механика заставляет по-новому взглянуть на известную тео-
теорему сложения (Вероятностей для несовместных событий.
Она требует учитывать не только несовместность рас-
рассматриваемых событий, но также и их различимость.
Именно в этом и состоит новизна подхода. Как известно,
в теории вероятностей, использующейся в классической
физике, а также в технике, всегда подразумевается, что
события различимы.
Чтобы продемонстрировать специфику применения
вероятностей ,в квантовой механике, воспользуемся рас-
рассматривавшимся в § 9 и 10 примером рассеяния друг на
друге бозонов одного и того же типа. Напомним введен-
введенные в упомянутых параграфах обозначения: ф@) =
= <f 11 S\> <f21 s2> — амплитуда вероятности одного со-
события (одного перехода), ср(я—9)i=<f2|si><fi|s2> —
амплитуда вероятности другого события, w — вероят-
вероятность одновременного срабатывания обоих счетчиков.
Поскольку рассеиваются друг на друге микрообъекты од-
одного типа, то .вопрос об их различимости (а следователь-
следовательно, и различимости событий, регистрируемых счетчика-
счетчиками) сводится к вопросу о различимости начальных со-
состояний <5i| и <s2\. В связи с этим можно выделить
три случая.
Первый случай: события полностью неразличимы.
Это означает, что начальные состояния одинаковы,
так что
S2>|=l. A6.1)
В этом случае имеем [см. (9.17)]
w= | ср@) + ср(л:-е)|2. A6.2)
Второй случай: события частично различимы. Это
означает, что амплитуда <Si|s2> удовлетворяет ус-
164
ловию
0<IOil*2>| <1. A6.3)
В этом случае имеем [см. A0.7)]
<»= I ?(9)|2+ 1?(я-б)|2 +
+ |<^и2>12[?@)^(^-9) + ?*@)?(я-б)]. A6.4)
Третий случай: события полностью различимы. Это
означает, что амплитуда <Si|s2> удовлетворяет ус-
условию
<^|52>=0. A6.5)
В этом случае имеем [см. (9.16)]
+ |?(л-в)р. A6.6)
Итак, мы убеждаемся, что теорема сложения веро-
вероятностей «работает» лишь в третьем из приведенных
случаев — в случае полностью различимых событий; из
A6.5) видно, что при этом состоянии <5i| и <52| долж-
должны быть взаимно ортогональными *. В остальных же слу-
случаях теорема сложения вероятностей «не работает». Если
события полностью неразличимы, то надо складывать
амплитуды вероятностей; если же события частично раз-
различимы, то необходимо применять более сложное соот-
соотношение A6.4). При выводе этого соотношения исполь-
используются и правило сложения амплитуд, и теорема сложе-
сложения вероятностей — подобно тому, как это делалось в § 9
при .выводе соотношения (9.10).
Легко .видеть, что основанный как на сложении ве-
вероятностей, так и на сложении амплитуд результат A6.4)
является наиболее общим. При выполнении условия
A6.5) из него немедленно следует «чистый» классиче-
классический случай сложения вероятностей, а при выполнении
условия A6.1) — «чистый» случай сложения амплитуд ве-
вероятностей.
Важно подчеркнуть, что сама возможность сущест-
существования общего результата A6.4) обусловлена наличием
суперпозиционных связей между состояниями <Si| и
<52| [см. в связи с этим A0.6)]. Таким путем прослежи-
* Уместно подчеркнуть: взаимная ортогональность всех состоя-
состояний классического объекта обусловливает полную различимость со-
событий и, как следствие, приводит к теореме сложения вероятностей.
165
вается органическая связь между квантовомеханиче-
ским принципом суперпозиции состояний и спецификой
применения вероятностей в квантовой механике. Супер-
Суперпозиционные отношения между состояниями и интерфе-
интерференция амплитуд ве!роятностей имеют единую физиче-
физическую природу.
Квантовая механика и интерференция. Обратим вни-
внимание читателя на следующее обстоятельство. Чтобы
объяснить интерференционные результаты в опытах с
микрообъектами (например, интерференционную картину
на экране-детекторе в опыте 1 из § 7), можно идти фор-
формально двумя разными путями. Один путь соответствует
«сохранению» в квантовой механике теоремы сложения
вероятностей для любых несовместных событий. Этот
путь требует, однако, сопоставления с микрообъектом
некой классической волны. Другой путь соответствует
сложению амплитуд вероятностей; в этом случае объяс-
объяснение интерференционных результатов уже не нуждается
в привлечении наглядной волновой картины.
Специфика микрообъектов, подробно обсуждавшаяся
в предыдущих параграфах книги, исключает первый из
указанных путей и тем самым ставит вопросы об интер-
интерференции и волновых процессах в новой плоскости. До
появления квантовой механики интерференцию всегда
рассматривали как пример специфически .волнового яв-
явления. Если в каком-либо эксперименте обнаруживали
характерную интерференционную картину, то это счита-
считалось достаточным основанием для заключения о присут-
присутствии неких волн. В этом смысле волны рассматривались
как нечто первичное, а интерференция — как нечто вто-
вторичное. Квантовая механика показывает, что более оп-
оправдана противоположная расстановка акцентов.
Обнаружив, что вероятностные законы природы
предполагают сложение прежде .всего амплитуд вероят-
вероятностей, а не самих вероятностей, квантовая механика
выявила тем самым фундаментальную роль интерферен-
интерференции в физических явлениях. Одновременно она показала,
что в основе интерференционной картины отнюдь не обя-
обязательно должны лежать классические волновые про-
процессы. В общем случае интерференция — это специфиче-
специфическое квантовомеханическое явление, связанное со сложе-
сложением амплитуд вероятностей.
Однако традиции живучи. Именно этим объясняются
попытки «перевести» интерференцию амплитуд вероят-
166
ностей на наглядный язык классических волн, что неиз-
неизбежно приводит к определенным злоупотреблениям вол-
волновой терминологией (см. приведенную выше интерме-
интермедию «Те ли это волны?»). В ряде случаев «(перевод» на
волновой язык несостоятелен даже с формальной точки
зрения. Так, например, весьма трудно объяснить на ос-
основе волновых процессов такое важное следствие интер-
интерференции амплитуд, каким является (разделение микро-
микрообъектов на фермиоиы и бозоны. Анализ же процесса
разрушения интерференции амплитуд в измерительном
акте (анализ «редукции волнового пакета») прямо ука-
указывает на неправомерность использования представлений
о классических волнах при рассмотрении микроявлений.
Все это говорит о том, что объяснение интерференции
явно не умещается ,в рамках традиционной волновой кар-
картины.
Впрочем, последнее обстоятельство можно рассмат-
рассматривать как исходный пункт для обобщения самого по-
понятия «волновой процесс». Такое обобщение предпола-
предполагает переход от наглядных классических волн с вещест-
вещественными амплитудами к неким обобщенным волнам с
комплексными амплитудами. Классические волны долж-
должны представлять собой предельный (вырожденный) слу-
случай таких обобщенных волн. Иными словами, квантово-
механическая интерференция может быть использована
для своеобразного раздвигания рамок привычной волно-
волновой картины (что, кстати говоря, должно неизбежно со-
сопровождаться отказом от наглядности), для создания
теории обобщенных волновых процессов, которая бы от-
отражала как .вероятностный характер физических зако-
закономерностей, так и особые отношения между вероятно-
вероятностями в природе.
Продемонстрировав фундаментальность явления ин-
интерференции, квантовая механика, безусловно, стимули-
стимулирует интерес к .исследованию этого явления в различных
областях физики. На наш взгляд, она дает определенные
основания надеяться, что современная физика, отталки-
отталкиваясь от явления интерференции, получит дальнейшее
развитие на пути исследования интерференции явлений,
причем как в области микроявлений, так и в области
макроявлений.
Для нас вполне привычна картина «сложения» (сум-
(суммирования, накопления) различных явлений, что можно
в каком-то смысле сопоставить со «сложением вероятно-
167
стей». Возможно, что квантовая механика дает нам по-
понять (своеобразным образом намекает), что такая кар-
картина есть в действительности результат некоего «усред-
«усреднения», огрубления, упрощения более танкой и красивой
картины, когда «складываются» не сами явления, а неч-
нечто .иное (то, что на языке квантовой механики есть ам-
амплитуда вероятности),— в итоге и возникает эффект ин-
интерференции явлений.
Краткая интермедия.
Л. С. Пушкин
ЧИТАТЕЛЬ: Непонятно, что
именно Вы хотели сказать в
последних фразах, очень образ-
образных и в то же время неконкрет-
неконкретных. Поясните их, если это воз-
возможно.
АВТОР: Охотно. Приведу со-
совершенно конкретный пример.
Известно, что если поместить
вещество внутрь конденсатора,
то можно наблюдать измене-
изменение его оптических свойств под
действием внешнего электричес-
электрического поля. Подобные явления „СКйЗКп—ЛОЖЬ
называют электрооптическими. -л ^
Если вещество поместить в по- Оп в НвИ НпМеК..."
ле достаточно интенсивной све-
световой волны (для чего надо
воспользоваться мощным лазе-
лазером), то и в этом случае опти-
оптические свойства вещества изме-
изменятся. Подобные явления назы-
называют нелинейнооптическими.
Так вот оказывается, что если
одновременно использовать по-
поле конденсатора и поле интен-
интенсивной световой волны, то на-
наряду с известными электроопти-
электрооптическими и нелинейнооптически-
нелинейнооптическими явлениями будут наблю-
наблюдаться дополнительные, каче-
качественно новые явления, кото-
которые можно объяснить лишь
своеобразной интерференцией
электрооптики и нелинейной
оптики. Вот Вам пример ин-
интерференции явлений, уже ис-
используемый на практике.
ЧИТАТЕЛЬ: Но можно ли
усматривать в этом примере
какую-то тенденцию в развитии
современной физики?
168
АВТОР: Рассмотрим еще один
пример. Возьмем лазер. Не бу-
будем сейчас обсуждать принци-
принципы его работы; достаточно от-
отметить, что в основе его рабо-
работы лежит некое нелинейноопти-
ческое явление; которое назы-
называют явлением насыщения.
Возьмем также другой при-
прибор — генератор второй гармо-
гармоники. Так называют в кванто-
квантовой электронике преобразова-
преобразователь когерентного света, обес-
обеспечивающий увеличение часто-
частоты света вдвое. Так же фор-
формально заметим, что в основе
работы этого прибора лежит
нелинейнооптическое явление,
называемое генерацией второй
гармоники. Итак, лазер генери-
генерирует когерентный свет опреде-
определенной частоты, а генератор
второй гармоники осуществляет
частичное преобразование этого
света по частоте. Можно ска-
сказать, что сначала мы используем
явление насыщения, а затем
уже явление генерации второй
гармоники. Такова обычная
ситуация, отвечающая просто-
простому «сложению» указанных яв-
явлений. А теперь предположим,
что оба явления используются
одновременно, для чего спе-
специальный кристалл, который
обусловливает преобразование
частоты проходящего сквозь
него света, надо поместить
внутрь лазера (точнее, внутрь
Принцип дополнительности. Уже в исходных принци-
принципах квантовой механики отразился ее диалектический
характер. В этой связи особого внимания заслуживает
выдвинутый Бором принцип дополнительности. Фактиче-
Фактически этот принцип составляет логическую основу всей си-
системы квантовомеханических представлений.
Сущность принципа дополнительности такова. Ут-
Утверждается, что в любом опыте с микрообъектами на-
наблюдатель получает информацию не о «свойствах объ-
объектов самих по себе», но о свойствах объектов в связи
с конкретной ситуацией, включающей в себя, в частности,
и измерительные приборы. Информацию об объекте, по-
резонатора лазера). Здесь уже
надо говорить о качественно
новой ситуации, отвечающей
интерференции двух нелинейно-
оптических явлений. И весьма
показательно, что эта и подоб-
подобные ей ситуации привлекают в
последние годы все большее
внимание специалистов, рабо-
работающих в области квантовой
электроники. Внутрирезонатор-
ная генерация второй гармони-
гармоники уже используется; доказано,
что она может обеспечивать
более эффективное преобразо-
преобразование частоты света.
ЧИТАТЕЛЬ: Пожалуй, это
действительно интересно. Воз-
Возможно, что тут намечается не-
некоторая тенденция. Однако при-
причем здесь квантовая механика?
АВТОР: Исследуя реальность
на фундаментальном уровне,
квантовая механика выявила
некоторые принципиальные мо-
моменты. Она показала, что воп-
вопрос об интерференции более
глубок, нежели это принято
считать, что этот вопрос можно
ставить вне зависимости от вол-
волновых вопросов, что, наконец,
интерференция есть пример ка-
качественно новых взаимосвязей,
отношений, которые, по-видимо-
по-видимому, более перспективны, чем
традиционные взаимосвязи, от-
отвечающие простому накопле-
накоплению, суммированию, сложению.
169
лученную при некоторых определенных условиях, надо
рассматривать как дополнительную к информации, полу-
полученной при других условиях. Существенно, что сведения,
полученные при разных условиях, нельзя простым обра-
образом складывать, суммировать, комбинировать в некую
единую картину; они отражают разные (дополняющие
друг друга) стороны единой реальности, отвечающей ис-
исследуемому объекту. Принцип дополнительности .находит
свое прямое выражение, в частности, в идее корпуску-
лярно-,волнового дуализма и в соотношениях неопреде-
неопределенностей.
Предоставим слово Бору. «Термин «дополнитель-
«дополнительность» подчеркивает то обстоятельство, что в противоре-
противоречащих друг другу явлениях мы имеем дело с различны-
различными, но одинаково существенными аспектами единого
комплекса сведений об объекте» (см. [33]).
«В атомной физике слово «дополнительность» упо-
употребляют, чтобы характеризовать связь между данными,
которые получены при разных условиях опыта и могут
быть наглядно истолкованы лишь на основе взаимно
исключающих друг друга представлений» (см. работу
«Философия естествознания и культуры народов» в [6]).
«Данныеу полученные при разных условиях опыта,
не могут быть охвачены одной единственной картиной;
эти данные должны скорее рассматриваться как допол-
дополнительные...» (см. работу «Дискуссии с Эйнштейном о
проблемах теории познания в атомной физике»
в [6]).
«В квантовой физике данные об атомных объектах,
полученные при помощи разных экспериментальных ус-
установок, находятся в своеобразном дополнительном от-
отношении друг к другу. Действительно, следует признать,
что такого рода данные, хотя и кажутся противоречащи-
противоречащими друг другу при попытке скомбинировать их в одну
картину, на самом деле исчерпывают все, что мы можем
узнать о предмете» (см. работу «Квантовая физика и фи-
философия» в [6]).
Предложим читателю еще раз -внимательно прочи-
прочитать слова Бора. Итак, данные о микрообъектах могут
быть «наглядно истолкованы» лишь на основе «взаимно
исключающих друг друга представлений». В этом смысле
они не могут простым образом складываться, суммиро-
суммироваться, «не могут быть охвачены одной картиной». Раз-
Разные данные находятся в «своеобразном» (этот эпитет не
170
должен пройти мимо внимания читателя) отношейий
друг к другу, для чего и применяется термин «дополни-
«дополнительность». Своеобразие отношения «дополнительности»
согласуется с тем, что дополнительные друг по отноше-
отношению к другу данные могут быть получены лишь «при
разных условиях опыта».
Неоднократно подчеркивавшаяся выше специфика
кванто,вомеха.нических представлений с их .несколько не-
необычной логикой в известном смысле покоится на прин-
принципе дополнительности. Микрообъект не является ни
корпускулой, ни волной; но в то же время мы использу-
используем для описания микрообъекта оба эти взаимно исклю-
исключающие друг друга образа. Вдумаемся в эту ситуацию:
образы корпускулы и волны используются для описания
объекта, не являющегося ни корпускулой, ни .волной, ни
даже их симбиозом! Естественно, что тут может возник-
возникнуть щекотливый вопрос: а нет ли здесь отрыва образа
от объекта, чреватого переходом на позиции субъекти-
субъективизма? Отрицательный ответ на этот вопрос позволяет
дать именно принцип дополнительности. С позиций этого
принципа взаимно исключающие друг друга образы ис-
используются как взаимно дополняющие образы, адекватно
отражающие разные стороны объективной реальности,
называемой микрообъектом. «Этот пункт логически ва-
важен,— писал Бор, — так как только то обстоятельство,
что мы стоим перед выбором или (!) следить за траекто-
траекторией частицы, или (!) же наблюдать интерференцию,
позволяет нам избежать парадоксального вывода о том,
что поведение электрона или фотона должно зависеть от
наличия в экране щели, сквозь которую он заведомо не
проходил» (см. работу «Дискуссии с Эйнштейном о проб-
проблемах теории познания в атомной физике» в [6]).
Диалектический характер квантовой механики. Есте-
Естественно, что в той или иной мере диалектичность орга-
органически присуща любой физической науке. Тем не менее
можно утверждать, что классическая физика по самому
стилю своей философии (однозначные предсказания в
теориях динамического типа, подход к любому объекту
как «комбинации» определенных «деталей» и к явлению
как последовательности определенных элементарных со-
событий и т. п.) тяготеет к метафизике. В этом смысле зна-
значение квантовой механики трудно переоценить. Она убе-
убедительно показала, что более глубокий уровень познания
законов природы неизбежно связан с более серьезным и
171
глубоким овладением .и применением методов материа-
материалистической диалектики.
Рассматривая, в чем именно проявляется сугубо диа-
диалектический характер квантовой механики, выделим два
момента, представляющиеся нам наиболее важными: ут-
утверждение отношений диалектического типа и исполь-
использование категорий диалектики.
Утверждение отношений диалектического типа. Для
метафизического метода характерно простое накопление,
суммирование данных, свойств, понятий (будем говорить,
что характерны отношения суммирования). Эти отноше-
отношения составляют в известном смысле логическую основу
классической физики. Квантовая механика выдвигает на
первый план отношения качественно иного, диалекти-
диалектического типа — отношения дополнительности и отношения
интерференции. Так, она показывает, что данные об объ-
объекте, строго говоря, не просто складываются, но допол-
дополняют друг друга, что вероятности разных событий, стро-
строго говоря, не суммируются, но интерферируют друг с
другом. Выше мы обсудили эти своеобразные отношения,
рассматривая принцип дополнительности и специфику
применения вероятности в квантовой механике. Оцени-
Оценивая дополнительность и интерференцию с точки зрения
новых отношений, новых взаимосвязей, соответствующих
более глубокому уровню познания законов природы,
нельзя не признать, что квантовая механика действи-
действительно определяет тенденции развития современной
физики.
Использование категорий материалистической диа-
диалектики. В классических теориях динамического типа по-
понятия необходимого и случайного, возможного и дейст-
действительного выступают не как категории диалектики. Не-
Необходимость является здесь абсолютной (метафизиче-
(метафизической) противоположностью случайности; последняя по-
попросту изгоняется из теории, что немедленно приводит
к отождествлению понятий возможного и действительно-
действительного. Как диалектические категории, отношения между ко-
которыми характеризуются единством и борьбой противо-
противоположностей, указанные понятия выступают в статисти-
статистических теориях и прежде всего в квантовой механике.
Существенно, что в квантовой механике диалектические
категории необходимого и случайного, возможного и дей-
действительного используются в применении не только к
коллективу объектов, но уже к отдельному микрообъек-
172
ту. Применение категорий диалектики в квантовой меха-
механике рассматривалось на 'протяжении всей книги в про-
процессе обсуждения тех или иных вопросов. Напомним, что
лишь на основе диалектических категорий необходимого
и случайного был возможен анализ проблемы причин-
причинности в квантовой механике. Лишь используя диалекти-
диалектические категории потенциально -возможного и действи-
действительного, можно было объяснить квантомеханическую
суперпозицию состояний и ее разрушение в измеритель-
измерительном акте.
В заключение заметим, что квантовая механика хо-
хорошо продемонстрировала диалектическое противоречие
между формой и содержанием. По словам Бора, 'она
преподала урок, который «решительно продвинул нас по
пути никогда не кончающейся борьбы за гармонию между
содержанием и формой», она подчеркнула, что «всякое
новое знание является нам в оболочке старых понятий,
приспособленной для объяснения прежнего опыта. Вся-
Всякая такая оболочка может оказаться слишком узкой для
того, чтобы включить в себя новый опыт».
КУПЕР: Многие наши сов. ре-
менники горько жалуются, что
физика XX в. стала слишком
абстрактной, потеряла связь с
вещами, доступными понима-
пониманию простых смертных, стала
противоречить здравому смыс-
смыслу, вместо которого она выдви-
выдвинула конструкции, настолько
абстрактные, что они стали аб-
абсолютно неприемлемыми для
обычного разума.
АВТОР: Именно поэтому мне и
захотелось поговорить о кван-
товомеханических представле-
представлениях и «здравом смысле». Мне
не раз приходилось слышать,
что квантовая механика трудно
воспринимается по той причи-
причине, что ее представления «про-
«противоречат здравому смыслу». К
сожалению, никто толком не
знает, что такое «здравый
смысл». Вот Вы, если я не оши-
ошибаюсь, стоите на той точке зре-
зрения, что понятие «здравый
смысл» есть понятие относитель-
относительное, что его содержание суще-
существенно изменяется по мере раз-
развития науки.
КУПЕР: Действительно, здра-
здравый смысл нового поколения со-
состоит из понятий, вымученных
старым поколением, и что счи-
считалось передовым для одного
поколения, становится здравым
смыслом и будничным для сле-
следующего. Сомнительно, чтобы
ньютоновское представление
мира казалось бы здравым
смыслом для греков времен
Аристотеля. И все, кто сейчас
так очарован своим здравым
смыслом (соответствующим в
настоящее время миру Ньюто-
Ньютона), ничем не отличаются от
тех, кто в свое время жаловал-
жаловался, что механические идеи Нью-
Ньютона разрушили волшебный
мир средневековья.
АВТОР: Трудно что-то проти-
противопоставить такой точке зре-
зрения. Кстати говоря, она сразу
же снимает поставленный нами
ИНТЕРМЕДИЯ.
ПРОТИВОРЕЧАТ ЛИ
КВАНТОВО-
МЕХАНИЧЕСКИЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
«ЗДРАВОМУ
СМЫСЛУ»?
В этой необычной беседе
участвуют кроме
АВТОРА двое физиков
(БОР и КУПЕР)
и двое литераторов
(ДОБРОЛЮБОВ
и ПЕРРО).
В беседе
использованы
работы:
Н. Бор «Философия
естествознания и
культуры народов», 1938;
Н. Бор «Единство
знаний», 1954;
Н. А. Добролюбов «Что
такое обломовщина»,
1859; Ш. Перро
«Золушка» сказка):
Л. Купер «Физика для
всех» «Мир», 1974).
„Здравый смысл
— это тот пласт
предрассудков, который
мы накапливаем
до шестнадцати лета
А. Эйнштейн
„Равновесие между
серьезностью и шуткой
напоминает нам
о дополнительных
аспектах, бросающихся
в глаза в детской игре
и не менее ценимых
взрослыми"
Н. Бор
174
в самом начале вопрос. Не
так ли?
КУПЕР: Пожалуй, так. Здра-
вый смысл современного поко-
поколения физиков опирается на
квантовую теорию. Структура
именно квантовой теории на-
наиболее им близка, а ее соотно-
соотношения кажутся им наиболее
интуитивно ощутимыми и на-
наглядными...
АВТОР: Однако, не отказывая
в праве на существование изло-
изложенной только что точке зре-
зрения, попробуем все же не сни-
снимать поставленного вопроса о
здравом смысле, а посмотрим
на этот вопрос с более широких
позиций. Тем более что хоте-
хотелось бы поговорить о здравом
смысле не физиков, а «простых
смертных». Тех самых, которые
«горько жалуются», что совре-
современная физика стала «абсолют-
«абсолютно неприемлемой для обычного
разума».
Подход с более широких пози-
позиций к «здравому смыслу» в
квантовой механике горячо про-
пропагандировал один из наших
уважаемых собеседников. Хо-
Хотелось бы, чтобы он сам напом-
напомнил в связи с этим свои замеча-
замечания по поводу, например, прин-
принципа дополнительности.
БОР: В атомной физике слово
«дополнительность» употреб-
употребляют, чтобы характеризовать
связь между данными, которые
получены при разных условиях
опыта и могут быть наглядно
истолкованы лишь на основе
взаимно исключающих друг
друга представлений. Употреб-
Употребляя теперь это слово в том же
примерно смысле, мы поистине
можем сказать, что разные че-
человеческие культуры дополни-
дополнительны друг к другу. Действи-
Действительно, каждая такая культура
представляет собой гармониче-
гармоническое равновесие традиционных
условностей, при помощи кото-
которых скрытые потенциальные
возможности человеческой жиз-
жизни могут раскрыться так, что
обнаружат новые стороны ее
безграничного богатства и мно-
многообразия.
АВТОР: Что же тут непонятно-
непонятного «простому смертному»? А
ведь принцип дополнительно-
дополнительности— это в конечном итоге и
соотношения неопределенно-
неопределенностей, и корпускулярно-волновой
дуализм микрообъектов. Меж-
Между тем все эти «непонятные»
идеи находят себе естественное
место не только в вопросах,
связанных с культурой народов,
но, например, в совсем уже жи-
житейских вопросах — вопросах
психологии.
БОР: Мы все знаем старое вы-
высказывание, гласящее, что если
мы пробуем анализировать на-
наши переживания, то мы пере-
перестаем их испытывать. В этом
смысле мы обнаруживаем, что
между психическими опытами,
для описания которых адекват-
адекватно употребляют такие слова,
как «мысль» и «чувство», суще-
существует дополнительное соотно-
соотношение, подобное тому, какое
существует между данными
о поведении атомов, полученны-
полученными при разных условиях опыта.
АВТОР: А нельзя ли пойти
еще дальше? Нельзя ли попро-
попробовать провести какие-то ана-
аналогии между современными фи-
физическими идеями и идеями, за-
заложенными в известных произ-
произведениях литературы? Это бы-
было бы в высшей степени заман-
заманчиво — сопоставить истину по-
поэтическую с истиной научной.
БОР: Иначе говоря, существует
ли поэтическая или духовная
истина, отличная от истины на-
научной?
АВТОР: Именно так.
БОР: Мы не можем миновать
вопроса о взаимоотношении
между наукой и искусством.
Причина, почему искусство мо-
может нас обогатить, заключается
в его способности напоминать
нам о гармониях, недосягаемых
175
для систематического анализа.
АВТОР: Я очень признателен
Вам. Вы помогли мне преодо-
преодолеть некоторые сомнения. Те-
Теперь я, пожалуй, решусь обра-
обратиться к конкретным примерам.
Первый пример: роман «Обло-
«Обломов» И. А. Гончарова. Давайте
вспомним, что писал об образе
Обломова один из наших ува-
уважаемых собеседников.
ДОБРОЛЮБОВ: Ну, например,
вот это: желания Обломова яв-
являются только в форме: «а хо-
хорошо бы, если бы вот это сде-
сделалось», но как это может сде-
сделаться, он не знает. Оттого он
любит помечтать и ужасно
боится того момента, когда меч-
мечтания придут в соприкосновение
с действительностью...
АВТОР: Помнится, Вы проводи-
проводили аналогию между Обломовым
и такими литературными героя-
героями, как Онегин, Печорин, Ру-
дин.
ДОБРОЛЮБОВ: Действитель-
Действительно, проводил. Дело в том, что
у них всех одна общая черта —
бесплодное стремление к дея-
деятельности, сознание, что из них
многое могло бы выйти, но не
выйдет ничего.
АВТОР: (к Бору): А что Вы
сказали бы по этому поводу?
БОР: Я бы подчеркнул особен-
особенно мучительное отношение
между тем душевным опытом,
когда мы испытываем чувство
решимости, и тем, когда мы
сознательно размышляем о мо-
мотивах к действию.
АВТОР: Мне остается конста-
констатировать, что мысли, высказан-
высказанные моими уважаемыми собе-
собеседниками, относились к раз-
разным ситуациям и родились в
разные времена. И, однако, их
явно нечто объединяет. В из-
известном смысле личная траге-
трагедия Обломова — в неспособно-
неспособности разрешить диалектическое
противоречие между возмож-
возможным и действительным. Потен-
Потенциально в Обломове «заключе-
«заключено» многое, здесь налицо бога-
богатая суперпозиция возможно-
возможностей. Но нет того самого «изме-
«измерительного акта», который за
счет разрушения этой суперпо-
суперпозиции позволил бы Обломову
реализовать какую-либо сторо-
сторону своей натуры. Нет упомяну-
упомянутого акта, суперпозиция не раз-
разрушается, все остается по-ста-
по-старому.
А теперь позвольте второй ли-
литературный пример: известная
сказка Ш. Перро «Золушка».
Предоставим слово сказочнику.
Пожалуйста, то место, где фея
провожает Золушку на бал во
дворец короля.
ПЕРРО: Пожалуйста. — Ну
вот, — сказала фея, — теперь у
тебя есть свой выезд, и ты
можешь, не теряя времени,
ехать во дворец.
Когда Золушка была уже гото-
готова совсем, фея усадила ее в
карету и строго-настрого при-
приказала возвратиться домой до
полуночи.
— Если ты опоздаешь хоть на
одну минуту, — сказал она, —
твоя карета снова сделается
тыквой, лошади — мышатами,
лакеи — ящерицами, а твой
пышный наряд опять превра-
превратится в старенькое, заплатан-
заплатанное платьице...
АВТОР: Благодарю Вас. Я хо-
хотел бы обратить внимание на
тот факт, что всемогущая фея
дала Золушке наряды и карету
только на время, только до по-
полуночи. А почему не насовсем?
Ясно, что она могла бы так сде-
сделать, но это нарушило бы внут-
внутреннюю логику сказки, ее внут-
внутренний смысл. Как говорят, ис-
исчезла бы «изюминка». Если на
время, то пожалуйста, а если
навсегда, то нет.
Разве это не напоминает мо-
модель виртуальных переходов?
Нарушены законы сохранения,
сокровища созданы, что назы-
называется из «ничего», с помощью
волшебной палочки, но все это
176
допускается только в течение
конечного промежутка време-
времени—времени до полуночи. А
затем Золушка должна снова
оказаться в прежнем качестве
и без нарядов. Сопоставьте:
квантовая система может в те-
течение конечного промежутка
времени побывать на новом
уровне без затраты энергии из-
извне, при этом обязательно воз-
возвращение системы на прежний
уровень. И вот Золушка совер-
совершает «виртуальные переходы»
между своим жилищем и коро-
королевским дворцом, наслаждается
танцами и следит, чтобы не был
превышен обусловленный про-
промежуток времени.
А потом на сцене появляется
придворный кавалер с хрус-
стальной туфелькой. Пожалуй-
Пожалуйста, расскажите, что тогда про-
произошло.
ПЕРРО: Придворный кавалер
внимательно посмотрел на Зо-
Золушку и, заметив, что она очень
красива, сказал:
— Я получил приказание от
принца мерить башмачок всем
девушкам в городе. Позвольте
вашу ножку, сударыня!
Он усадил Золушку в кресло и,
надев хрустальный башмачок
на ее маленькую ножку, сразу
увидел, что больше мерить ему
не придется: башмачок был
точь-в-точь по ножке, а нож-
ножка — по башмачку.
В эту самую минуту дверь от-
отворилась и в комнату вошла
фея — Золушкина крестная.
Она дотронулась своей волшеб-
волшебной палочкой до бедного платья
Золушки, и оно стало еще пыш-
пышнее и красивее, чем было нака-
накануне...
АВТОР: Итак, свершилось —
фея все-таки сделала Золушку
• нарядной теперь уже навсегда.
Виртуальные переходы закон-
закончились реальным переходом Зо-
Золушки «на новый уровень».
Принц, хрустальный башмачок,
придворный кавалер — все они
сыграли роль того самого фото-
фотона, который, взаимодействуя с
квантовой системой, совершаю-
совершающей виртуальные переходы,
приводит к реальному переходу.
Разумеется, нельзя всерьез рас-
рассматривать сказку «Золушка»
как иллюстрацию идеи вир-
виртуальных переходов, как объ-
объяснение квантовых скачков. Точ-
Точно так же нельзя всерьез рас-
рассматривать роман «Обломов»
как иллюстрацию принципа су-
суперпозиции состояний, как по-
пояснение проблемы разрушения
суперпозиции в измерительном
акте. Однако вполне правомер-
правомерно усмотреть в приведенных
сопоставлениях общность внут-
внутренней логики.
БОР: Не будет непочтительным
заметить, что даже на вершине
своего творчества художник по-
полагается на общечеловеческий
фундамент, на котором строим
и мы.
АВТОР: Этой полусерьезной
беседой мы заканчиваем обсуж-
обсуждение физических основ кванто-
квантовой механики. Конечно, идеи
квантовой механики во многих
отношениях непривычны и весь-
весьма своеобразны. Но они вырос-
выросли не на пустом месте, а на
гом основательном фундаменте
представлений и понятий, кото-
который был создан всем предыду-
предыдущим опытом человечества. По-
Поэтому неслучайны, а напротив,
закономерны духовные анало-
аналогии между физическими моделя-
моделями и литературными образами
И не так уж, оказывается, не-
непонятны «непонятные» кванто-
вомеханические идеи. Тот же,
кто на собственном опыте еще
не успел убедиться в справедли-
справедливости этого замечания, пусть
помнит мудрные слова Козьмы
Пруткова: «Многие вещи нам
непонятны не потому, что на-
наши понятия слабы, но потому,
что сии вещи не входят в круг
наших понятий».
177
ГЛАВА
ЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
Некоторые замечания общего характера. Всякая фи-
физическая теория представляет собой синтез определенных
физических идей (выдвигаемых на основе опыта) и оп-
определенного математического аппарата. Построение тео-
теории— достаточно сложный и противоречивый процесс,
развивающийся по схеме последовательных приближе-
приближений. Однако в этом противоречивом процессе, по край-
крайней мере <в начальной его стадии, просматривается впол-
вполне определенная логическая структура, включающая в
себя три логически последовательных этапа: 1) этап, на
котором формулируются и осмысливаются основополага-
основополагающие идеи и закладывается физический фундамент тео-
теории, ее физическе основы; 2) этап, на котором ищется
адекватный физическим идеям математический аппарат
и производится «сшивание» физических идей и математи-
математического аппарата, т. е. постулируется, какое именно фи-
физическое содержание надлежит .вкладывать .в те или иные
математические символы (в результате математические
соотношения приобретают смысл физических закономер-
закономерностей); 3) этап, на котором «офизиченный» математи-
математический аппарат «запускается в работу»; получаемые при
этом новые результаты проверяются, когда это возмож-
возможно, экспериментом, вследствие чего происходит дальней-
дальнейшее осмысливание физического содержания теории и
дальнейшее развитие ее аппарата.
В период создания теории адекватный физическим
идеям математический аппарат либо уже существует,
либо не существует. Когда Ньютон создавал свою меха-
механику, ему пришлось разрабатывать и соответствующий
математический аппарат —метод флюксий, превратив-
превратившийся впоследствии в дифференциальное и интегральное
исчисление. Когда же создавалась квантовая механика,
то подходящий математический аппарат фактически уже
существо.вал. "Он существовал как теория линейных опе-
операторов.
В работе «Квантовая физика и философия» (см. [6])
Бор писал: «В аппарате квантовой механики на месте
величин, характеризующих в обычной механике состоя-
состояние физической системы, выступают символические опе-
операторы, подчиненные некоммутативному правилу умно-
умножения, содержащему постоянную Планка. Эта формули-
формулировка предотвращает фиксирование такого рода величин
с точностью, потребной для детерминистического описа-
описания, принятого в классической физике, но вместе с тем
179
позволяет находить спектральное распределение этих ве-
величин в соответствии с данными об атомных процессах.
Сообразно его немодельному характеру, физическое тол-
толкование математического аппарата находит свое выра-
выражение в законах существенно статистического типа».
В работе {33] Бор подчеркивал: «Адекватным инструмен-
инструментом для дополнительного способа описания является
формализм, в котором канонические уравнения класси-
классической механики сохраняют свой вид, но физические пе-
переменные заменяются символическими операторами, под-
подчиняющимися правилам некоммутативной алгебры».
Переходя к математической стороне квантовой тео-
теории, мы рассмотрим ниже, как квантовомеханические
идеи «вживляются» в аппарат линейных операторов, и
на ряде специально отобранных примеров и задач про-
продемонстрируем работу этого аппарата.
§ 17. ЭКСКУРС В ТЕОРИЮ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Данный параграф имеет сугубо математический ха-
характер. Здесь собраны отдельные .вопросы теории линей-
линейных операторов. Иначе говоря, здесь изложены основы
того математического аппарата, который оказался весь-
весьма удобным для создания квантовой теории. Подчеркнем,
что в рамках данного параграфа ни один из математиче-
математических символов не «нагружен» каким-либо физическим
содержанием.
Линейные операторы (основные определения).
Оператором называют математический сим,вол, который,
действуя на некоторую функцию, дает новую функцию.
Запись
означает, что оператор L действует на функцию г|)(л:), в
результате чего получается функция ф(х).
Оператор L называют линейным, если он удовлетво-
удовлетворяет условиям
?(Ь + Ь) = ?Ь + ?Ь; L{a*t)=aLi[, A7.2)
где а — некоторое число. Ниже будут использоваться
только линейные операторы.
180
Действие оператора на функцию можно представить
в виде, использующем определенный или несобственный
интеграл:
Величину L(x, у) называют ядром оператора. Если пе-
переменная изменяется дискретно, то вместо A7.3) будем
иметь
L%=^Lnn$m. A7.4)
m
Совокупность коэффициентов Lnm называют матрицей
оператора L и говорят о матричном представлении опе-
оператора. Матричное представление возможно всегда, так
как ядро L{x, у) в A7.3) можно, очевидно, трактовать
как непрерывную матрицу.
Пусть L\|) = (p. Оператор L* называют комплексно-со-
комплексно-сопряженным по отношению к оператору L, если при дей-
действии этого oneipaTopa на функцию г|)* получается функ-
функция ф*:
?у {х) = у* [х). A7.5)
Оператор L называют транспонированным по отно-
отношению к оператору L, если выполнено условие
J ЧГ (х) Ц (х) dx = J <(> (х) LW (х) dx. A7.6)
Ядро транспонированного оператора удовлетворяет ус-
условию
Ъ(х, y) = L(y, x\ A7.7)
а матрица — условию
lnm = Lmn. A7.8)
Рассмотрим некий линейный оператор L. Найдем
для него комплексно-сопряженный оператор L *. Далее
для оператора L* найдем транспонированный оператор
L*. Последний оператор обозначают через L+ и называ-
называют сопряженным с оператором L.
181
Пользуясь понятием сопряженного оператора, опре-
определяют два весьма важных типа линейных операторов:
эрмитовские операторы и унитарные операторы. Если
Г=?+, A7.9)
то оператор L называют эрмитовским (самосопряжен-
(самосопряженным). Если
то оператор L называют унитарным. Заметим, что обыч-
обычно унитарные операторы обозначают символом U. Мат-
Матрица унитарного оператора удовлетворяет условию
Отметим важное свойство унитарных операторов. Пусть
1/фт = Фп. Легко убедиться, что
Основное уравнение теории линейных операторов
имеет вид
Ц=Ц. A7.13)
Числа А,, при которых уравнение A7.13) имеет конечные
решения, образуют спектр собственных значений опера-
оператора L. Спектр собственных значений опе)ратора может
быть непрерывным, дискретным, смешанным. Решения
ty(x) уравнения A7.13) называют собственными функ-
функциями оператора L. Данному собственному значению
могут соответствовать либо одна, либо несколько собст-
собственных функций. Если некоторому значению Х\ соответ-
соответствуют s линейно независимых собственных функций, то
говорят, что собственное значение К\ s-кратно вырож-
вырождено.
Свойства эрмитовских операторов. Укажем при тео-
теоремы, отражающие основные свойства эрмитовских опе-
операторов (теоремы приводятся без доказательства).
Первая теорема: Оператор имеет вещественные соб-
собственные значения тогда и только тогда, когда он явля-
является эрмитовским.
182
Вторая теорема: Собственные функции эрмитовеко-
эрмитовекого оператора, соответствующие разным собственным зна-
значениям, взаимно ортогональны.
Пусть L\|)n = >un\|)n. Теорема означает, что при ?
Поскольку уравнение A7.13) однородно, то собственные
функции определены с точностью до произвольного по-
постоянного множителя. Будем выбирать этот множитель
так, чтобы выполнялось условие нормировки
M<M*)rf*=l- A7.15)
Объединяя A7.14) и A7.15), получим условие ортонор-
мировки собственных функций эрмитовекого оператора
Wt,. (*)<*•*=»««• A7.16)
Если спектр оператора непрерывен, то вместо A7.16)
имеем
'{x)b{x)dx = b{\-\'). A7.17)
Отметим случай 5-кратного вырождения некоторого
собственного значения. Собственные функции, отвечаю-
отвечающие этому собственному значению, вообще говоря, не
ортонормировалы. Однако можно составить s линейных
комбинаций из указанных функций, удо^влетворяющих
условию ортонормировки.
Третья теорема: Всякая ограниченная функция мо-
может быть разложена в ряд (интеграл) по собственным
функциям эрмитовекого оператора. Иначе говоря, систе-
система собственных функций эрмитовекого оператора явля-
является замкнутой (полной)
Пользуясь последней теоремой, представим некото-
некоторую функцию Ф(х) в виде ряда по собственным функ-
функциям ^п(х): Ф = 2^УЬг Чтобы найти сп, умножим это
п
равенство на tym*(x) и проинтегрируем по х:
J ф; (х) Ф (х) dx - S сп J fm (х) фя (х) dx.
Применяя A7.16), получаем отсюда
Г С (х) Ф {x)~dx=S cnbmn= ст.
¦J П
183
Таким образом,
п
причем
A7.18)
В случае непрерывного спектра надо пользоваться ус-
условием A7.17). В итоге вместо A7.18) будем иметь
причем
A7.19)
Укажем один из результатов, являющийся прямым
следствием замкнутости (полноты) системы собственных
функций эрмитовского оператора. Пусть Ф(х) =
= $ c(X)tyx(x)dX я Чг(х) = | b(K')yk'(x)dX'. Используя
A7.17), легко убедиться в том, что
Г W* (л:) Ф [х) dx=\b* (к) с (к) Ок. A7.20)
Представления. Пусть эрмитовский оператор М пре-
превращает функцию Ф(х) в функцию ^(х):
ЧГ(х) = МФ{л). A7.21)
Разложим функции Ф и f по собственным функциям
г|ЭА,(#) другого эрмитовского оператора (оператора L).
Полагаем здесь, что спектр оператора L непрерывен.
Итак,
Ф (х) = J с (X) <рх (х) d\; W (x) = ^b (к) 4'х (х) d\. A7.22)
Преобразованию A7.21) будет теперь соответствовать
некоторое преобразование функции с(Х) в функцию b(X).
Запишем это преобразование в виде
Ь(к)=М{к)с(к). A7.23)
Говорят, что выражения A7.21) и A7.23) описывают
одно и то же преобразование, но в разных представлени-
184
ях. Характер представления определяется теми перемен-
переменными, от которых зависят исходная и конечная функции.
Поэтому в случае A7.21) говорят о х-представле-
нии, а в случае (Г7.23) — о ^-представлении (представ-
(представлении оператора L). Соответственно входящий в A7.21)
оператор М есть оператор рассматриваемого преобразо-
преобразования, определенный ,в х-представлении [для ясности
будем впредь записывать его как М(х)\ а входящий в
A7.23) оператор М(Х) есть оператор данного преобразо-
преобразования, определенный в ^-представлении.
Выясним, как выглядит эрмитовский оператор в соб-
собственном представлении. Пусть фц (х) — собственные
функции оператора М. Вместо A7.22) запишем в данном
случае:
Подействуем оператором М(х) на функцию Ф(х):
М (х) Ф {х) = J с (р.) М [х) ^ {х) dp = J w (И-) ?i* {x) rft*.
Сравнивая конечный результат со вторым равенством из
A7.24), .находим
Отсюда следует, что
ЖAх) = 1х. A7.26)
Таким образом, в своем собственном представлении эр-
эрмитовский оператор совпадает со своими собственными
значениями.
Далее рассмотрим более общую ситуацию: известен
оператор М(х), требуется найти вид этого оператора в
^-представлении. Используя A7.21) и A7.22), запишем
W(x)=M (х) Ф {х)=\с (Г) М (х) <Jv (x) d\f =
185
Умножим обе части последнего из этих равенств на
tyi*(x) и затем проинтегрируем по х; получим
Итак, если известен вид оператора, например в х-пред-
ставлении, то для получения матрицы этого оператора
в ^-представлении надо воспользоваться собственными
функциями оператора L, заданными ,в ^-представлении,
в соответствии с формулой A7.27).
В заключение отметим ситуацию, когда собственные
функции одного эрмитовского оператора заданы в пред-
представлении другого оператора. В этом случае справедливо
соотношение
Переход от одного представления к другому как уни-
унитарное преобразование. Переход от ^-представления к
^-представлению определяется соотношениями A7.22).
Запишем эти соотношения ,в операторной форме:
Из последнего результата следуют два важных заклю-
заключения. Во-первых,
W до =# до X) Ъ (X)=0 (*, X) &+ (X, х) ЧГ (jc)
и, следовательно,
#(*, X) ?7+ (X, *)=1. A7,30)
Это означает, что переход от одного (представления к
другому осуществляется при помощи унитарного преоб-
преобразования. Во-вторых,
еслиРР (х)=М (х) Ф (х), то О(х, X) с {\)=М (х)О (х, Х)й(Х)
и, согласно A7.30),
с(\)=О+(Х, х)М{хH{х,'\)Ь{\). A7.31)
Сравнивая A7.31) с A7.23), заключаем:
М (\)=О+ (X, х) М (х) О (х, X). A7.32)
Уместно пояснить, что произведение операторов означа-
означает последовательное действие операторов на стоящие
справа от ,них функции. В данном случае надо сначала
подействовать оператором V(x> %) на функцию Ь(к)у в
результате чего получится ^функция ^(х); затем надо
подействовать оператором М(х) на функцию 4я (х), в ре-
результате получится функция Ф(х); наконец, надо подей-
подействовать оператором ?/+(^, х) на функцию Ф(л:).
Итак, соотношения A7.29) описывают осуществляе-
осуществляемый при помощи унитарного оператора переход от одно-
одного представления к другому для функций, а соотношение
A7.32) описывает тот же переход для оператора.
Унитарные инварианты. Унитарными инвариантами
называют величины и свойства, не изменяющиеся при
унитарных преобразованиях и, следовательно, не зави-
зависящие от выбора того или иного представления. К уни-
унитарным инвариантам относятся, в частности: а) свойство
эрмитовости оператора (если оператор является эрми-
товским в одном представлении, то он будет эрмитовским
и в любом другом представлении); б) спектр собствен-
собственных значений эрмитовского оператора; в) условие орто-
нормировки собственных функций [это обстоятельство как
раз и отражено соотношением A7.12)]; г) интегралы тн-
187
.па $х?*(х)Ф(х)с1х [это заключение непосредственно сле-
следует из A7.20]; д) интегралы^типа J y?*{x)M(x)O(x)dx
и более общего типа]* л?*(х)Мп{х)Ф{х)йх, где п — нату-
натуральное число. Отметим, что унитарная инвариантность
этих интегралов означает, что выполняются соотношения
\W*{x)M{x)<S>(xLx==\b*(k)M(k)c{\)dl, A7.33)
Г W* (х) Мп (х) Ф (х) dx= j* b* (X) Мп (X) с (к) Ок. A7.34)
В качестве примера докажем справедливость соот-
соотношения A7.33). Учитывая A7.29) и A7.32), будем по-
последовательно преобразовывать левую часть равенства
A7.33):
f \О*Ь*(Щ О М (X) О+дс (X) dx=
= f [&•*• (X)] UM (X) с (X) dx=
= f *• (X) О+ОМ (X) с (X) d\= Г 6* (X) Ж (X) с (X) rfX.
Итак, в результате приходим к правой части равенства
A7.33), в чем и требовалось убедиться.
Коммутирование операторов и существование систем
общих собственных функций. Два оператора L и М на-
называют коммутирующими, если для любой ограниченной
функции Ф(х) выполняется равенство
М1Ф (х) = ШФ (х). A7.35)
Если можно указать хотя бы одну функцию, для кото-
которой^ равенство A7.35) не выполняется, то операторы L
и М^азывают некоммутирующими. Обозначение |7W, L] =
= ML—LM называют коммутатором операторов L и М.
Если операторы коммутируют, то это обстоятельство
часто кратко записывают так: 1[Л?,2]==0.
Существует теорема: если операторы ГиМ имеют
общие собственные функции, образующие замкнутую си-
систему, то эти операторы коммутируют. Докажем теорему.
Обозначим собственные функции операторов L и М
через я|>я,ц(*) (двойной индекс X[i отражает факт «общ-
188
ности» этих функций). Очевидно, что
Отсюда следует, что
а поскольку известно, что функции трьц(х) образуют
замкнутую систему, то, следовательно, для произвольной
функции Ф(х)
(ML-LM) Ф (Jc) = 2^ (ML-LM)^ (х) = 0,
что и требовалось доказать.
Подчеркнем важность того обстоятельства, что об-
общие собственные функции должны образовывать замкну-
замкнутую систему. Может оказаться, что два оператора имеют
только одну общую собственную функцию. В этом слу-
случае нельзя делать заключения о коммутировании опера-
операторов.
Доказанная теорема означает, что коммутирование
операторов есть необходимое свойство общности систем
собственных функций этих операторов. Является ли это
свойство также и достаточным? На этот вопрос следует
дать положительный ответ в случае, когда отсутствует
вырождение собственных значений операторов. В более
же общем случае, учитывающем возможность вырожде-
вырождения, справедлива теорема: если операторы L и М комму-
коммутируют, то можно найти общие собственные функции.
Пусть, например, собственное значение Хг 5-кратно вы-
вырождено. Из s решений уравнения Li|)=iXiil? можно вы-
выбрать s линейных комбинаций, которые будут также соб-
собственными функциями оператора М\ при этом значению
%\ будут отвечать, вообще говоря, 5 различных собствен-
собственных значений оператора М.
На этом экскурс в область «чистой» математики
можно считать законченным. Изложенные сведения впол-
вполне достаточны для того, чтобы далее можно было поль-
пользоваться аппаратом линейных операторов без ссылок на
специальную литературу.
189
§ 18. ОТ ГАМИЛЬТОНОВОЙ МАТРИЦЫ К ОПЕРАТОРУ
ЭНЕРГИИ
На что влияет выбор базисных состояний? Вернемся
к обсуждавшемуся в § 12 уравнению A2.8). Там выби-
выбиралась некая система базисных состояний микрообъекта
{<t|}; произвольное состояние <s(i)| этого микрообъ-
микрообъекта в момент времени / представлялось в виде суперпо-
суперпозиции выбранных базисных состояний:
<*WI=2OWI *><*!• A8.1)
При этом для амплитуд <s(/)|t> использовалось обо-
обозначение Ci(t). Было показано, что амплитуды Ci(t)
удовлетворяют уравнению
A8.2)
позволяющему по известным в момент t амплитудам
Ci(t) и гамильтоновой матрице Hij(t) найти амплитуды
Сг в последующие моменты времени.
Выражение A8.1) ясно показывает, что набор
амплитуд {Ci(t)} зависит от выбора системы базисных
состояний {<О'|}. Предположим, что возникла потреб-
потребность перейти к новой системе базисных состояний
{<т|}. Чтобы совершить этот переход, представим
прежние базисные состояния в виде суперпозиции новых
базисных состояний
| A8.3)
т
и затем подставим эту суперпозицию в A8.1). Получим
<s(t) | =
22
/ т
ИЛИ
<s(t)\=cm(t)<:m\, A8.4)
где
yL>. A8.5)
190
Новые амплитуды cm(t), отвечающие системе базисных
состояний {<т|}, удовлетворяют уравнению типа A8.2),
но, очевидно, с новой гамильтоновой матрицей Hmn{t):
Покажем, каким образом прежняя гамильтонова
матрица может быть выражена через новую. Подставляя
A8.5) в A8.6), находим
2
Умножим обе части последнего равенства на <m\i> и
просуммируем по т:
dt _^_
j \n><m\i.
Учитывая, что 2<//|m><m|i'> = <//|i>='6j//, упро-
m
щаем левую часть последнего равенства, после чего по-
получаем
где
»H W =2 2 HM {t) < j | я>;< m | / >. A8.7)
Итак, выбор той или иной системы базисных состоя-
состояний микрообъекта влияет .как на вид удовлетворяющих
уравнению A2.8) амплитуд состояний, так и на вид га-
мильтоновой матрицы.
191
В § 13 отмечалось, что обычно систему базисных со-
состояний выбирают таким образом, чтобы эти состояния
имели наглядный физический смысл. Однако в ряде слу-
случаев в целях большего удобства рассмотрения уравнения
A2.8) переходят к новым, специально подобранным ба-
базисным состояниям. Так, в § 13 переход от базисных со-
состояний <1| и <2| к базисным состояниям <1| и <Н|
мотивировался желанием диагонализировать гамильто-
нову матрицу, а в § 14 — стремлением получить гамиль-
тонову матрицу в виде удобном для проведения анало-
аналогии с электроном в магнитном поле.
Преобразование уравнения, выражающего причин-
причинность, к виду, не зависящему от выбора базисных состоя-
состояний. Введем в рассмотрение оператор H(t) таким обра-
образом, чтобы было справедливо соотношение
Hti{t) = <j \fi(t)\i>. A8.8)
Оператор H(t) действует на базисное состояние </|,
в результате получается новое состояние <1ф@|==
= H(t) |/>, которое уже не является базисным. Элемент
гамильтоновой матрицы Ha(t) играет здесь роль ампли-
амплитуды </| *[)(?)>, т. е. роль амплитуды вероятности того,
что микрообъект, находящийся в базисном состоянии
</|, может быть обнаружен в состоянии <i|)@ I-
Подставляя A8.8) в A8.2), получаем
-ih ~<s(t) 2
A8.9)
или
-in±<s{t)\i>=<s{f) |/?(/)|*>. A8.10)
Перейдем к комплексно-сопряженному равенству и учтем
при этом (9.33) и A2.9); получаем
ihTt<l' SW
или
s{t)>=H[t)\s{t)>. A8.12)
(It
192
Заметим, что при переходе от A8.9) к A8.10), а также от
A8.11) к A8.12) мы пользовались правилами, объеди-
объединенными в § 10 под термином «механика квантовой ме-
механики». Полученное уравнение A8.12) аналогично урав-
уравнению A8.2), однако в отличие от последнего оно уже не
зависит от выбора базисных состояний.
Векторная аналогия. В предыдущих рассуждениях,
чтобы математически выразить причинную связь [уравне-
[уравнение A8.2)], мы должны были использовать информацию
о рассматриваемом состоянии, физическом содержании
задачи и системе базисных состояний. Теперь же [урав-
[уравнение A8.12)] достаточно информации о рассматривае-
рассматриваемом состоянии и физическом содержании задачи. Это
означает, что переход от A8.2) к A8.12) соответствует
переходу на более абстрактный уровень рассмот-
рассмотрения.
Подчеркнем, что возможность такой абстракции свя-
связана с использованием понятия оператора. Именно опе-
операторы и позволяют получить более абстрактные кван-
товомеханические соотношения, не зависящие от выбора
системы базисных состояний.
Переход к более абстрактному рассмотрению, обу-
обусловленный введением понятия оператора, в определен-
определенном смысле аналогичен переходу к более абстрактному
рассмотрению, связанному с введением понятия вектора.
Остановимся подробнее на этой аналогии.
Прежде всего заметим, что упомянутая аналогия не
представляется неожиданной. Напомним, что в § 14 пред-
предлагалось рассматривать состояние как вектор в неком
условном пространстве; там же было введено понятие
проекционной амплитуды.
Суть векторной аналогии состоит в следующем. Как
известно, для выполнения операций с компонентами век-
векторных величин надо всякий раз выбирать определенную
систему координатных осей. В квантовой механике этому
выбору соответствует выбор определенной системы ба-
базисных состояний. Если использовать векторы, то можно
выполнять операции с векторными величинами, не при-
прибегая к выбору той или иной системы осей. Точно так
же, используя векторы состояний и действующие на них
операторы, можно в квантовой механике уклониться от
выбора системы базисных состояний. Проиллюстрируем
векторную аналогию при помощи следующей схемы:
7—2819 193
Квантовомеханическое выражение
i
</|5>=0
(взаимно ортогональные состоя-
состояния)
d
/It — <i\s @ > =
dt
i
(операция над состоянием)
Векторная аналогия
(ab) = 0
(взаимно ортогональ-
ортогональные векторы)
J
с = И а
(операция над векто
ром)
В каждой клетке схемы записаны по два выражения,
имеющих одинаковый смысл (он указан в скобках). Од-
Однако верхнее из этих выражений зависит от выбора си-
системы базисных состояний либо от выбора системы ко-
координатных осей, тогда как нижнее не зависит.
Полезно указать некий конкретный пример для ниж-
нижней правой ячейки приведенной выше схемы, показываю-
показывающий, каким образом можно представить себе оператор,
действующий на вектор. В качестве такого примера (ко-
(которому, разумеется, не следует пытаться придавать
«квантово1механический смысл») приведем пример, когда
матрица Нц имеет вид
' о -± ±
± О -±
.-"- -"- О
где п, Гг, г3 — три пространственных декартовых коорди-
координаты. В этом случае соотношение с —На принимает вид,
194
хорошо знакомый всякому, кто изучал векторный анализ:
В заключение подчеркнем отдельные стороны вектор-
векторной аналогии: а) выбору базисных состояний соответст-
соответствует выбор системы координатных осей, б) переходу от
одних базисных состояний к другим соответствует пере-
переход от одной системы осей к другой (отметим, что такой
переход не затрагивает физики рассматриваемой зада-
задачи), в) разложению по базисным состояниям соответству-
соответствует представление вектора через его проекции на оси
координат. Аналогия с векторами — хороший пример того,
как можно абстрагироваться от привходящих обстоя-
обстоятельств и записывать соотношения в виде, учитывающем
только сугубо физическую информацию.
Средняя энергия. Продемонстрируем некоторые
удобства, вытекающие из общности операторного подхо-
подхода. В связи с этим покажем, как можно найти среднее
значение энергии <Е> микрообъекта в некотором со-
состоянии <s|. Пусть {<i\} — базисные состояния с опре-
определенными энергиями Е{. Это означает (см. § 13), что
гамильтонова матрица диагональна; следовательно,
<j \ Й \ 1>=ЬиЕ„
или
A8.13)
Разложим состояние <s\ по системе базисных состояний
2 I *Х* I и будем искать среднюю
(|}О I 2
энергию <?> по формуле типа A2.3):
2|ОМ>1/ A8.14)
С учетом (9.33) перепишем A8.14) в виде
<?>=2О I i>Ei<i I s> = <s | ?>, A8.15)
где
2 |s>. A8.16)
2
Из A8.13) следует, что
#М>= !*>?,. A8.17)
7* 195
Подставляя A8.17) в A8.16), находим
после чего получаем из A8.15) искомый результат:
<?>=<s \fi\s>. {18.Щ
Из A8.18) видно, что средняя энергия микрообъекта в
состоянии <s| выражается только через оператор Я.
Базисные состояния в A8.18) не входят.
Удобство соотношения A8.18) обусловлено его неза-
независимостью от выбора базисных состояний, что позволя-
позволяет при выполнении конкретных вычислений свободно поль-
пользоваться любой системой базисных состояний. Пусть,
например, оказывается удобным воспользоваться базис-
базисными состояниями {<т|}. В этом случае операторное
соотношение A8.18) немедленно преобразуется к соот-
соответствующему виду:
I т><т | Я |
т п
A8.19)
Оператор энергии (гамильтониан). Ранее отмеча-
отмечалось, что гамильтонова матрица могла бы быть названа
энергетической матрицей (напомним, что элементы
диагонализированной гамильтоновой матрицы суть воз-
возможные значения энергии микрообъекта). Связь опера-
оператора Я с гамильтоновой матрицей плюс к тому же соот-
соотношение A8.18), выражающее среднюю энергию микро-
микрообъекта через оператор Я, дают основание называть
этот оператор оператором энергии. В литературе опера-
оператор Я называют также гамильтонианом.
Выпишем установленные выше выражения, в кото-
которых присутствует гамильтониан микрообъекта (подчерк-
(подчеркнем исключительную важность этих выражений):
A8Л2)
A8.18)
#1
ш
В выражении A8.20) через </| обозначено некоторое
стационарное состояние; Е — энергия в этом состоянии.
Наконец, отметим, что гамильтониан (как и любой
другой оператор) может действовать не только на состоя-
состояние |s>, но и на амплитуду этого состояния <i|s>,
поскольку всегда можно представить [см. A7.4)]
/tej^StfiAW- A8.21)
Используя A8.21) и учитывая, что <t|s> = C;*, перепи-
перепишем A8.2) в виде, который, как легко видеть, совершенно
аналогичен виду A8.12):
ih -?-</ | 5 (/)>=//</ | s(/)>. A8.22)
dt
Соответственно результат A8.20) может быть переписан
в виде
fi<i\f>=E<i\f>. A8.23)
§ 19. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
Приступим к выполнению основной задачи данной
главы — покажем, какое физическое содержание следует
вложить в математический аппарат теории линейных
операторов для того, чтобы превратить его в аппарат
квантовой механики. В этом смысле предыдущий пара-
параграф надо рассматривать как первый, предварительный
шаг на пути выполнения указанной задачи.
Роль операторов в квантовой механике. Говоря о ро-
роли линейных операторов в квантовой механике, необходи-
необходимо отметить два обстоятельства.
Во-первых, в квантовой механике каждой динами-
динамической переменной (пространственной координате, энер-
энергии, импульсу, моменту и т. д.) ставится в соответствие
определенный эрмитовский оператор.
Во-вторых, не меняющий физического содержания
задачи переход от одного представления к другому вы-
выполняется при помощи унитарных операторов.
Остановимся подробнее на первом обстоятельстве.
Оно означает* что наряду с оператором энергии Й долж-
ны быть введены другие «физические операторы»: опера-
оператор координаты г, оператор импульса р, оператор момен-
та М и т. д. При этом весьма существенно, что известные
в классической механике динамические соотношения
можно перенести в квантовую механику в том же самом
виде, если вместо физических величин в этих соотноше-
соотношениях использовать соответствующие эрмитовские опера-
операторы. Иначе говоря, аппарат квантовой механики может
быть построен по аналогии с аппаратом классической
механики, если в последнем заменить динамические пе-
переменные отвечающими им эрмитовскими операторами.
В качестве примера сопоставим следующие выражения:
В классической механике
Р2
E-2m+U
М = (г х"р)
В квантовой механике
tf=^- + tf A9.1)
Я = (ГхР) A9-2>
Следует, однако, иметь в виду, что полной формаль-
формальной аналогии между аппаратами классической механики
и квантовой механики все же нет. Здесь надо отметить
(подробнее см. в § 20), что алгебраические манипуляции
с операторными соотношениями требуют учета того, что
операторы могут не^ коммутировать. Так, если Л и В не
коммутируют, ™^А+ВJФА2 + 2АВ + В2', в этом случае
{А + ВJ=А2 + АеГ+{Га+Ж Кроме того, надо учесть, что
в квантовой механике существуют операторы, не имею-
имеющие классических аналогов (такие, например, как опе-
оператор спина, четности и др.).
Отметим, что формально операторы могут быть со-
сопоставлены со всеми классическими динамическими пе-
переменными, включая и те, которые не имеют смысла
в микромире. Так, можно ввести операторы скорости и,
ускорения а, потенциальной энергии U, кинетической
энергии Гит. д., хотя ни скорость, ни ускорение, ни ха-
198
рактерное для классической механики разбиение полной
энергии на кинетическое и потенциальное слагаемые не
имеют смысла для микрообъектов.
Основные постулаты. Рассмотрим вопрос: каким
именно образом осуществляется акт сопоставления фи-
физической величины с эрмитовским оператором? Иначе
говоря, какое содержание вкладывается здесь в слово
«сопоставляется»? Ответ на этот вопрос может быть
сформулирован в виде следующих двух основных посту-
постулатов.
Постулат 1. Если оператор L сопоставляется с физи-
физической величиной /, то это означает, что собственные зна-
значения X оператора отождествляются со значениями рас-
рассматриваемой физической величины, реализуемыми в из-
измерительных актах.
Постулат 2. Если оператор L сопоставляется с физи-
физической величиной /, то это означает, что собственные
функции г|)я,(а) оператора отождествляются с собственны-
собственными функциями величин Я-набора, заданными в сс-пред-
ставлении. С учетом замечаний, сделанных в § 15, это
означает, что собственные функции г|)А,(а) оператора
отождествляются с амплитудами состояний <Х|а>, час-
часто называемыми волновыми функциями.
Таким образом, исследование основного уравнения
теории линейных операторов [см. A7.13)]
Г(а)<Х | а>=Х<л | а> A9.3)
включает в себя такие физические задачи, как отыскание
спектра возможных значений Я физической величины /
и отыскание амплитуд состояний <А,|а>, в которых ре-
реализуются соответствующие значения К.
В применении к оператору энергии уравнение A9.3)
принимает вид A8.23). Исследование уравнения A8.23)
позволяет отыскать возможные значения энергии микро-
микрообъекта и отвечающие этим значениям амплитуды ста-
стационарных состояний.
Математические заключения и их физическое содер-
содержание. Сформулированные выше постулаты осуществля-
осуществляют «сшивание» физического и математического аспектов
рассмотрения; они «нагружают» математические симво-
символы и заключения определенным физическим содержани-
содержанием. Продемонстрируем это при помощи ряда замечаний.
199
1. Собственные значений эрмйтовского оператора ве-
вещественны. С физической точки зрения это означает ве-
вещественность значений величин, реализуемых в измери-
измерительных актах.
2. Спектр собственных значений эрмйтовского опера-
оператора может быть дискретным либо непрерывным. Это
соответствует квантованию либо непрерывному измене-
изменению физических величин, характеризующих микрообъ-
микрообъекты.
3. Собственные функции эрмйтовского оператора
удовлетворяют условию ортонормировки. Этот математи-
математический факт превращается в условие ортонормировки
собственных функций физических величин и, в частности,
в условие ортогональности базисных состояний микро-
микрообъекта. Иначе говоря, математический результат A7.16)
превращается в физические соотношения A6.13) и A0.8),
а математический результат A7.17)—в физическое со-
соотношение A5.14).
4. Система собственных функций эрмйтовского опе-
оператора является замкнутой (полной). С физической точ-
точки зрения это соответствует возможности разложения
произвольной амплитуды по амплитудам, являющимся
собственными функциями физической величины, т. е. по
базисным амплитудам. Иными словами, математический
факт замкнутости (полноты) системы собственных
функций эрмйтовского оператора превращается в физи-
физический принцип суперпозиции состояний,
5. Собственные значения эрмйтовского оператора
могут быть вырожденными. Физически это означает, что
одно и то же значение некой величины может быть реали-
реализовано в нескольких различных состояниях.
6. Математический результат A7.28) для собствен-
собственных функций операторов соответствует физическому ре-
результату (9.33) для амплитуд состояний.
7. Унитарные преобразования, обусловливающие пе-
переход от одного представления к другому, физически со-
соответствуют переходу от одного полного набора величин
к другому и, в частности, от одной системы базисных
состояний микрообъекта к другой.
8. Существование общей замкнутой системы собст-
собственных функций означает коммутирование операторов.
Этот математический факт связан с одновременной изме-
измеримостью соответствующих физических величин. Отме-
Отметим, что из известного факта невозможности одновремен-
200
ного измерения таких, например, физических величин, как
координаты и импульс микрообъекта, следует заключе-
заключение о том, что операторы координаты и импульса не
коммутируют.
9. Математический факт коммутирования гамильто-
гамильтониана Я и оператора L физически означает, что соответ-
соответствующая оператору L величина / является интегралом
движения. Иначе говоря, условие
[Я, L] = 0
есть с физической точки зрения закон сохранения вели-
величины /.
Последнее замечание будет строго обосновано ниже.
Здесь же уместо привести в его пользу некие соображения
качественного характепа. Если операторы Н и L комму-
коммутируют, то величины Е и / одновременно измеримы, так
как существуют состояния, в которых обе величины име-
имеют определенные значения. Состояние, в котором
энергия имеет определенное значение, является
стационарным, т. е. «живет» сколь угодно долго. Но в та-
таком случае должна сохраняться сколь угодно долго и
величина /, равно как и любая другая физическая вели-
величина, для которой данное состояние есть собственная
функция.
Среднее значение величины. Если величина / изме-
измеряется в состоянии, описываемом амплитудой <Л,|а>,
то, согласно основным постулатам, результатом измере-
измерения будет значение %. Предположим теперь, что величина
/ измеряется не в «собственном», а в некотором «чужом»
состоянии, например состоянии, описываемом амплиту-
амплитудой <Ds(a) = <s|a>. В этом случае результат одиночного
измерения, как известно, не может быть однозначно пред-
предсказан; здесь вступают в игру вероятностные предсказа-
предсказания, позволяющие указать среднее значение <Х>, полу-
получаемое на основе относительно большого ^исла измери-
измерительных актов (см. в связи с этим § 12). Покажем, как
можно вычислить среднее значение <Я> в состоянии
<s|, если известен сопоставляемый с величиной / эрми-
товский оператор L. Заметим, что для частного случая,
когда в качестве величины / использовалась энергия, эта
задача была рассмотрена в § 18, где был получен резуль-
результат
<E>=<s\H\s>. A8.18)
201
В общем случае результат A8.18) принимает вид
(полагаем для конкретности, что характеризующая пред-
представление а-переменная изменяется непрерывно)
<X>=f Ф1{а)?(а)Фл(а)аа. A9.4)
Убедимся в этом.
Разложим амплитуды Os(a) и Фв*(а) по собствен-
собственным функциям ^п(а) = <Яп|а> оператора L (полагаем,
что спектр оператора L дискретен):
% (a)-
Подставляя эти суперпозиции в A9.4) и учитывая A9.3)
и A7.16) находим
Г Ф*а{а)Т{а)Ф8{а)с1а=
* Г ?(а)Г(а)Ъ(а)</а=
'Хя f ?(a)fc(a)rfa=
С учетом A2.3) последняя сумма есть <Я>, что и требо-
требовалось доказать.
Результат A9.4) весьма важен. Фактически доста-
достаточно уже одного этого результата, чтобы продемонстри-
продемонстрировать плодотворность идеи использования операторов в
квантовой механике.
По аналогии с A8.18), результат A9.4) допускает
более абстрактную запись, уклоняющуюся от выбора
того или иного представления:
<Х>=<5|Г|5>. A9.5)
Изменение среднего значения величины со временем.
Используя A9.5) и полагая вначале, что оператор L от
202
времени не зависит, представим:
A9.6)
Далее обратимся к соотношению A8.12) и преобразуем
его к виду
-ihj^<s(t)\ =<s(i)\fi+,
или с учетом эрмитовости гамильтониана
-ih±<s(t)\=<s(t)\U. A9.7)
Подставляя A8.12) и A9.7) в A9.6), получаем
~ <b> = j-<s(t) | fil-lfi \s(f)>,
или
-?¦ <)-> = Jr<s I [Я, L]\s>. A9.8)
Если величина / является интегралом движения, то
— <А,> = 0. Из A9.8) следует, что условием сохранения
dt
величины I служит уже отмечавшееся ранее условие
[Я, L]=0.
Введем новый оператор L, определив его при помощи
соотношения
<s|f|s> = -J-<X>. A9.9)
Сравнивая A9.9) с A9.8), заключаем, что в случае, когда
L не зависит от времени, оператор L имеет вид
Г=—[Я, L]. A9.10)
203
Если L зависит от времени, то вместо A9.10) имеем
Г^/ ^L. A9.11)
Унитарная инвариантность физических результатов.
Физическое содержание того или иного результата не
может, очевидно, зависеть от выбора представления.
Иными словами, физическое содержание результата не
должно изменяться при переходах от одного представле-
представления к другому. Поскольку указанные переходы осущест-
осуществляются лри помощи унитарных преобразований,
то это означает, что физические результаты должны
входить в математический аппарат как унитарные инва-
инварианты.
Требование унитарной инвариантности соответству-
соответствующих результатов может, таким образом, служить до-
дополнительным критерием правильности сформулирован-
сформулированных ранее основных постулатов и вытекающих из них
следствий. В этой связи отметим прежде всего отмечав-
отмечавшийся в § 17 факт унитарной инвариантности свойства
эрмитовости оператора, а также унитарную инвариант-
инвариантность спектра собственных значений эрмитовского опера-
оператора. Нетрудно убедиться, что коммутатор [Я, L] также
является унитарным инвариантом и, следовательно, ус-
условие сохранения той или иной физической величины,
как и следовало ожидать, не зависит от выбора пред-
представления. Далее отметим, что унитарная инвариантность
выражения J tyn*tymdx означает теперь независимость от
выбора представления условия ортонормировки собствен-
собственных функций физической величины. Наконец, унитарная
инвариантность выражения J Ф* (x)L(x)Q)(x)dx означа-
означает независимость от выбора представления средних зна-
значений физических величин.
Заметим, что результат A9.4) мог бы быть однозначно установ-
установлен из требования унитарной инвариантности величины <.к>
и использования полученного дЛя частного случая выражения
A8.18). Действительно, из требования унитарной инвариант-
инвариантности следует, что <С^> должно быть представлено выраже-
выражением типа
а сравнение с частным результатом A8.18) указывает на то, что
здесь надо положить д=1.
204
§ 20. ОСНОВЫ АППАРАТА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Дальнейшее рассмотрение аппарата квантовой меха-
механики требует знания конкретного вида операторов раз-
различных физических величин. Для этого необходимо вы-
выбрать некое определенное представление. Выберем ко-
координатное представление.
Отметим важность отыскания вида двух основных
«физических операторов»: координаты и импульса мик-
микрообъекта. Зная эти операторы, можно получить опе-
оператор энергии [см. A9.1)] и оператор момента [см. A9.2)].
Операторы координаты и импульса. Для простоты
рассмотрим одномерное движение по оси х (полученные
результаты легко обобщаются на трехмерный случай).
Учитывая сделанные в § 17 замечания о виде эрмитов-
ского оператора в своем собственном представлении [см.
A7.26)], заключаем, что оператор координаты в коорди-
координатном представлении есть сама координата:
х{х)=х. B0.1)
Этот результат обобщается на любую функцию коорди-
координаты:
{У (r) = ff(r) B0 9)
Перейдем к отысканию вида оператора импульса.
Предварительно докажем следующую теорему. Пусть
некий оператор О как-то преобразует координату. Если
при этом преобразовании гамильтониан Н не меняется,
то операторы О и Н коммутируют. Доказательство:
пусть Ох=х'; подействуем оператором О на
получаем ОН(х)^(х) = Н{х')^(хг) = Н{
= H(x)Oty(x). Теорема доказана.
Предположим, что оператор О есть оператор беско-
бесконечно малого переноса по оси х: 6г|)(х)=1
Пользуясь малостью переноса, представим:
L "J
205
Таким образом,
—.
dx
Исходя из свойства однородности пространства, заклю-
заключаем, что операция О должна оставлять гамильтониан
микрообъекта неизменным. Отсюда, согласно доказан-
доказанной выше теореме, получаем [О, #]=0 или , // =0.
Но коммутирование с гамильтонианом, как было показа-
показано в § 19, выражает закон сохранения физической вели-
величины. Значит, dfdx есть оператор какой-то сохраняющей-
сохраняющейся физической величины. Известно, что величина, сохра-
сохранение которой является следствием однородности
пространства, есть импульс (см. § 1). Следовательно,
оператор d/dx должен совпадать с точностью до некото-
некоторого постоянного множителя с оператором импульса
микрообъекта:
-j^=ypx. B0.3)
Множитель у определяют из рассмотрения предельного
перехода от квантовой )механики к классической. Мы не
будем рассматривать этот переход и просто объявим
результат: y=i/h (см. [10]). Таким образом, оператор
х-составляющей импульса микрообъекта имеет в коорди-
координатном представлении вид
^=~ihir- Bа4)
Результаты B0.1) и B0.4) легко обобщаются на
трехмерный случай:
г=Я B0.5)
p=-/ftV. B0.6)
Собственные функции импульса. Используя B0.4),
запишем уравнение для собственных функций х-состав-
х-составляющей импульса:
-1П^-Ьх(х)^рхФРх(х). B0.7)
206
Легко видеть, что уравнение B0.7) имеет решения при
любых значениях параметра рх- Следовательно, импульс
микроо'бъекта не квантуется (спектр собственных значе-
значений оператора импульса непрерывен).
Из уравнения B0.7) следует, что собственные функ-
функции оператора /Г* имеют вид плоских волн:
B0.8)
Для определения множителя А воспользуемся условием
ортонормировки A7.17):
Подставляя сюда B0.8), находим
А2
Далее учтем, что в соответствии с A5.17)
J exp [ix (рх — р'хЩ dx=2nhb (рх — р'х).
Сопоставляя два последних равенства, получаем А2—
= Bnh)~l. Следовательно,
¦,х (х)=BлНГ112 exp Uphill). B0.9)
Обобщение на трехмерный случай дает
4>- {г)=Bяй)-3/2exp(iprlh). B0.10)
Р
Отметим, что собственная функция импульса B0.10) сов-
совпадает с приводившейся в § 15 волновой функцией
A5.15) свободно движущегося микрообъекта.
Уравнение Шредингера. Рассмотрим уравнение
A8.23) для собственных функций гамильтониана:
Йчв{х)=Ечв{х). B0.11)
Используем для гамильтониана микрообъекта, движу-
движущегося во внешнем поле с потенциалом U(x), выраже-
выражение A9.1) и учтем при этом результаты B0.2) и B0.4).
Получим
2m
207
B0.12)
Это есть одномерное уравнение Шредингера. Обобщая
его на трехмерный случай, запишем
Зная функции ц>е(х), можно записать выражения
для амплитуд стационарных состояний ^(х, t), посколь-
поскольку зависимость от времени имеет .в этом случае универ-
универсальный вид, обсуждавшийся в § 13. Используя A3.4)
и учитывая тот факт, что
Функции Ч^я, t), как легко видеть, являются реше-
решениями уравнения A8.22), в котором в качестве Н исполь-
использован гамильтониан B0.12). Это уравнение имеет в дан-
данном случае вид
Его также называют уравнением Шредингера. Точнее
говоря, уравнение B0.13) называют уравнением Шредин-
Шредингера, не зависящим от времени, а уравнение B0.17) —
уравнением Шредингера, зависящим от времени.
Заслуга Шредингера состояла в том, что он догадал-
догадался (именно догадался!) записать гамильтониан микро-
микрообъекта в виде B0.12). Правда, в схеме наших рассуж-
рассуждений результат B0.12) не представляется неожидан-
неожиданным— он подан здесь как следствие результатов A9.1),
B0.2) и B0.4). Однако следует иметь в виду, что резуль-
результат A9.1) здесь ниоткуда не выводился; фактически он
был 'постулирован (точнее говоря, была постулирована
аналогия между классическими и квантовомеханически-
ми соотношениями). Когда Шредингер предложил свое
знаменитое уравнение, эта аналогия еще не представля-
^ 208
лась очевидной. Более того, именно результат B0.12)
послужил, как мы убедимся ниже, обоснованием указан-
указанной аналогии.
Операторы проекций момента и квадрата момента.
Используя A9.2) и B0.4), легко получить выражения
для операторов проекций «момента:
дх j )
Оператор квадрата момента определяется выражением
B0.19)
При рассмотрении операторов момента удобно поль-
пользоваться не декартовыми координатами xt yf z, а сфери-
сферическими координатами г, 0, ср. Напомним:
x=r sin 6cos<p,
y=r sin 6 sin cp,
B0.20)
Используя B0.20), представим производную ф в виде
Э , Эф дх | Эф ду , Эф dz
ф = 1 --4 =
ду дх ду ду ду dz ду
ЭФ . Л . I ЭФ . / Э Э \ .
= 2- г sin 0 sin ср i—— /"sin 0 cos <р=[л: # — ф.
дх ду т V ду U дх)Т
Отсюда с учетом B0.18) получаем
Afz=—/ft— . B0.21)
* Э9 v ;
Рассматривая аналогичным образом производную ф,
находим
Мх ± iMy==he±iJ± JL + i ctg0 —] . B0.22)
209
Отсюда с учетом B0.19) получаем
^L+_L_±(sinB±\\. B0.23)
d<p2 sin6 db \ дЬ)\ к
sin
Перестановочные соотношения. Эти соотношения
представляют собой правила коммутирования для опера-
операторов координаты, импульса и момента микрообъекта.
Обозначая декартовы компоненты указанных операторов
индексами i, j, k, выпишем упомянутые правила комму-
коммутирования (ниже показано, как ;можно получить эти пра-
правила):
[г„ о]=0, B0.24)
[Pi, Pj]=O, B0.25)
[Л. 0]=~Ш/у, B0.26)
Й. ?Й]=-/А^?(г), B0.27)
[Mh ?j]=ih%elJk?k, B0.28)
[Mi, РА=1Ь%еи?Л9 B0.29)
/й2^//А. B0.30)
Здесь etjk — единичный антисимметричный тензор 3-го
ранга; ?123 = 2231 = ?312= 1, ^132=^321 = ^213==—1, остальные
21 компонент этого тензора равны нулю (в этих компо-
компонентах по крайней мере два индекса имеют одинаковое
значение). Легко убедиться, что в суммах по k присутст-
присутствует не -более одного слагаемого.
В координатном представлении Г{ = Г{, поэтому ре-
результат B0.24) очевиден. Он означает, что все три коор-
координаты микрообъекта могут быть измерены одновремен-
одновременно (они входят © один и тот же полный набор величин,
как это и отмечалось в § 3).
Учитывая B0.4), представим:
Поскольку величина смешанной производной не зависит
от того, в каком порядке производится дифференцирогаа-
210
ние, то отсюда следует, что [ри рЛ=О. Этот результат
означает, что все три составляющие импульса одновре-
одновременно измеримы (они входят в один и тот же полный
набор величин).
Результат B0.26) устанавливается следующим об-
образом:
= — /ft —^
d
Он означает, что разноименные составляющие импульса
и координаты одновременно измеримы, тогда как одно-
одноименные составляющие неизмеримы в полном соответст-
соответствии с рассматривавшимся в § 3 соотношением неопреде-
неопределенностей для .координаты и «импульса микрообъекта.
Результат B0.26) означает также, что три составляющие
координаты и три составляющие импульса входят в раз-
разные полные наборы величин.
Результат B0.27) есть обобщение результата
B0.26). Действительно,
Результаты B0.28) — B0.30) могут быть получены
из A9.2) с учетом предыдущих .перестановочных соотно-
соотношений.
Результаты B0.28) и B0.29) означают, что однои-
одноименные составляющие момента и координаты (момента
и импульса) одновременно измеримы, а разноименные —
неизмеримы. Эти результаты означают также, что проек-
проекции момента не могут входить ни в полный набор вели-
величин, включающий координаты, ни в полный набор вели-
величин, включающий составляющие импульса.
Результат B0.30) означает, что различные составля-
составляющие момента не имеют общей замкнутой системы соб-
собственных функций и не могут входить в один и тот же
полный набор величин. Учитывая уже рассмотренные
примеры, следует заключить, что различные составляю-
составляющие момента не могут быть измерены одновременно. Это
заключение правильное; однако оно нуждается в одном
уточнении, которое удобно сделать именно на примере
составляющих момента. Дело в том, что возможен слу-
211
чай, когда все три составляющие момента одновременно
измеримы — это частный случай, когда все три составля-
составляющие равны нулю. Указанный случай, 'разумеется, не
влияет на существо дела; (как отмечалось в § 17, наличие
одной общей собственной функции никак не связано с
вопросом о коммутировании операторов.
Пользуясь соотношениями B0.19) и B0.30), можно
установить еще одно правило коммутирования:
[/И2, Mt] = 0. B0.31)
Оно означает, что ,в один и тот же полный набор величин
надо включать квадрат момента и какую-либо одну из
проекций момента.
Заметим, что одновременная измеримость всех составляющих
импульса и отсутствие подобного свойства для составляющих
момента имеют весьма наглядное объяснение. Дело в том, что
связанные с оператором импульса параллельные переносы пере-
местительны, тогда как связанные с оператором момента вра-
вращения непереместительны. Безразлично, перемещать ли сначала
вдоль оси х, а затем вдоль оси у, или же в обратной последо-
последовательности. Однако совсем не безразлична последовательность
поворотов. Для примера возьмите точку на оси z и совершите
два последовательных поворота на 90° — в одном случае сна-
сначала вокруг оси х, а затем вокруг оси г\ в другом случае сна-
сначала вокруг оси г, а затем вокруг оси х. Легко убедиться, что
разным случаям отвечают разные конечные положения точки.
Оператор инверсии; четность. Оператор инверсии Р
определяют следующим образом:
Рф(Я /) = Яф(-г, /), B0.32)
где Р — некоторая постоянная. В результате двукратно-
двукратного применения оператора инверсии приходим, очевидно,
к исходной функции гр(г, t). Отсюда следует, что Р2=1,
т. е.
Р=±1. B0.33)
Величину Р называют пространственной четностью. Ес-
Если Р=\ и, следовательно, Рг|)(г, /) = г|э(—г, /), то говорят,
что микрообъект обладает положительной четностью;
если же Р =—1 и, следовательно, Pty(r, t)=—г|э(—г, /),
то говорят, что .микрообъект обладает отрицательной
четностью.
212
Предположим, что [Р, #]=0. В этом случае в соот-
соответствии с A9.10) четность является сохраняющейся ве-
величиной: если в начальный момент времени состояние
микрообъекта было, например, четным, то оно должно
оставаться четным и в последующие моменты времени
(что, естественно, накладывает определенные ограниче-
ограничения на возможные изменения состояний микрообъекта).
В § 1 было указано, что законы сохранения энергии,
импульса, момента являются следствием определенных
свойств симметрии пространства и времени. В этом смыс-
смысле закон сохранения пространственной четности не яв-
является исключением. Он есть следствие симметрии по
отношению к операции инверсии, которую, как легко
убедиться, можно свести к сочетанию операций поворо-
поворота и отражения в зеркале [действительно, операция
(х, у, г)->(—ху —г/, —г) состоит из поворота на 180°
вокруг, например, оси г и отражения в плоскости, пер-
перпендикулярной оси г]. Учитывая, что с симметрией по от-
отношению к поворотам связано сохранение момента, за-
заключаем: сохранение пространственной четности свя-
связано с тем фактом, что физические процессы протекают
идентичным образом в «обычном мире» и в «Зазер-
«Зазеркалье» *.
Собственные значения и собственные функции опе-
операторов Mz и М2. Запишем уравнение для собственных
функций оператора MZf определяемого выражением
B0.21):
— ih —- ф=Мгф. B0.34)
Решения этого уравнения имеют вид
Ф (?) = А ехр AМгф). B0.35)
Функция г|) периодична: г|э(ф + 2я) =(ф(ф). Следовательно,
Mz=hm, /n=0, ±1, ±2, B0.36)
Получен уже знакомый читателю результат: проекция
момента квантуется, она принимает значения, разли-
* Необходимо заметить, что в некоторых процессах, происходя-
происходящих с элементарными частицами, симметрия «обычного мира» и «за-
зеркалья» нарушается. В 1957 г. в опытах С. By было обнаружено
несохранение пространственной четности при р-распаде ядер, пред-
предсказанное в 1956 г. Т. Ли и С. Янгом.
213
чающиеся на величины, кратные постоянной Планка
(см. §2).
Множитель А в B0.35) определяют из условия норми-
2*
ровки Aфшф«^?=1- Легко видеть, что Л=Bя)-1/2.
Итак,
<|>т (?) = BяГ1/2ехр (/тер). B0.37)
Далее обратимся к оператору М2. Используя B0.23),
запишем
_* Г_1_^L+^_±(sin6 Щ=м^. B0.38)
L sin2e a<p2 T Sine дь \ въ )\
В математике это уравнение известно как уравнение для
сферических функций. Оно имеет ограниченные решения
при условии, что
М2=НЧA+1), /=0, 1, 2,... B0.39)
Полагая условие B0.39) (выполненным, представим ре-
решения уравнения B0.38) в виде сферических функций:
4я
р\тi (cosfl)e,mjP
где /п = 0, ±1, ..., ±1. Учитывая B0.31), заключаем об
общности собственных функций операторов Mz и М2\ по-
поэтому т следует рассматривать здесь как магнитное
квантовое число, отвечающее проекции момента на г-ось.
Оно принимает 2/+1 значений (от —/ до /). Входящие
в B0.40) функции P)wl(cos0) суть присоединенные функ-
функции Лежандра. Напомним, что
p"(jC)^(l-jt2);n/2— Pt(x), B0.41)
dxm
где Pi(x) —полиномы Лежандра:
Pi (*) = -^ п" №- 1?1- B0-42)
2lll dxl
Сферические функции i|)zm@, ф) ортонормированы:
2% тс
tim(б, <р)ф/'ОТ' (9, <р) sin МЩ=Ь„ЛЯЯ,. B0.43)
f j
214
Если известен результат B0.36), то результат B0.39)
можно получить, полагая
М2=3 <М\> =ЗА2< т2 >.
Среднее значение <т2> определяется выражением
2/ + 1 JmJ 2/ + 1
m— / m—0
Отсюда немедленно получаем B0.39).
Четность и момент. Из B0.18) видно, что операторы
инверсии и любой проекции момента коммутируют; кро-
кроме того, коммутируют операторы инверсии и квадрата
момента:
[Р, Л,]=0, [Р, М2]=0. B0.44)
Это означает, что операторы Р и Mi имеют общую зам-
замкнутую систему собственных функций. То же следует ска-
сказать об операторах Р и М2. Отсюда, в частности, следует,
что состояние с определенным орбитальным квантовым
числом / должно характеризоваться и определенной про-
пространственной четностью. В сферических координатах
преобразование инверсии имеет вид
г-+г, в—>я — в, <р-— <р + л:. B0.45)
Используя B0.40) — B0.42), выясняем, что при таком
преобразовании функция ifymF, <p) умножается на множи-
множитель (—II:
¦г«-(-1)Ч«. B0.46)
Отсюда видно, что состояния с четными / имеют положи-
положительную четность, а состояния с нечетными / — отрица-
отрицательную четность.
Уместно напомнить приводившийся в § 3 пример
полного набора величин для описания состояния фотона,
включавший М2У Mz, P [см. C.76)]. Подчеркнем, что чет-
четность и момент входят в один и тот же полный набор ве-
величин. Формально это есть следствие соотношений
B0.44). Однако можно привести обоснования, имеющие
наглядный смысл. Действительно, явное «сродство» чет-
четности и момента связано с тем, что, как уже отмечалось,
операция инверсии включает в себя кроме отражения в
зеркале еще и поворот. При этом безразлично, в какой
215
последовательности выполнять эти операции: сначала от-
отражение, а затем поворот или же наоборот — сначала по-
поворот, а затем отражение.
Соотношения классической механики в операторной
форме. Выше мы неоднократно использовали тот факт,
что аппарат квантовой механики основывается на извест-
известных уравнениях классической механики, записанных, од-
однако, в операторной форме. Этот факт настолько важен,
что уместно вернуться к нему еще раз.
Ранее отмечалась гениальная догадка Шредингера,
предложившего для гамильтониана микрообъекта выоа-
жение B0.12). Если воспользоваться этой догадкой и
фундаментальным результатом A9.10), то можно убе-
убедиться в том, что уравнения классической механики
действительно переносятся в квантовую механику при
условии замены физических величин соответствующими
эрмитовскими операторами.^Подставим в A9.10) опера-
оператор L—x. а для оператора Н воспользуемся выражением
B0.12). Получаем
х=рх[т. B0.47)
Это есть известный классический результат: скорость
равна импульсу, деленному на массу. В квантовомехани-
ческой интерпретации этот результат означает, что опе-
оператор скорости равен оператору импульса, деленному на
массу. Далее подставим в A9.10) оператор L = px. Ис-
Используя для оператора Я, как и прежде, выражение
B0.12), получаем
Px=-^U(x). B0.48)
Легко видеть, что это есть не что иное, как второй закон
Ньютона, записанный в операторной форме.
Напомним, что операторы типа х или рх вводятся в
соответствии с определением A9.9). Отсюда следует, что
результаты B0.47) и B0.48) указывают на справедли-
справедливость классических соотношений для средних значений
физических величин:
А <х> = <s\px\ s>/m, B0.47a)
dt
^ = —^UW B0.48a)
21в
Это обстоятельство отмечал Эренфест; поэтому соотно-
соотношения типа B0.47а) или B0.48а) называют теоремами
Эренфеста. Коротко говоря, теоремы Эренфеста утверж-
утверждают, что классические соотношения для физических ве-
величин превращаются в квантовой механике в соотноше-
соотношения для средних значений физических величин.
В § 19 отмечалось, что рассматриваемая здесь ма-
математическая аналогия между классической механикой
и квантовой механикой требует известной осторожности,
так как операторы не всегда коммутируют друг с другом.
Отсюда следует, что содержащейся в классических соот-
соотношениях информации недостаточно для построения ап-
аппарата квантовой механики. Необходима дополнительная
информация о свойствах коммутирования рассматривае-
рассматриваемых операторов. Иначе говоря, классические соотношения
должны быть дополнены перестановочными соотношения-
соотношениями [типа соотношений B0.26) — B0.30)].
Таким образом, именно в перестановочных соотно-
соотношениях заключена та специфическая информация, без
которой немыслим аппарат квантовой механики. В этой
связи подчеркнем, что в правую часть перестановочных
соотношений входит специфическая квантовомеханиче-
ская постоянная — постоянная Планка. Как известно, пе-
переход от квантовой механики к классической требует
положить /1-Я). В этом случае все величины, входящие
в перестановочные соотношения, начинают коммутиро-
коммутировать и в результате квантовомеханические выражения
превращаются в подлинные уравнения классической ме-
механики. В известном смысле именно присутствие в пра-
правых частях равенств B0.26) — B0.30) хотя и малой, но
все же отличной от нуля постоянной h и обусловливает
все то своеобразие квантовомеханических представлений,
о котором так много говорилось в первой и второй главах
книги.
§ 21. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В РАБОТЕ
Некоторые характерные задачи квантовой механики.
Отметим три типа задач, связанных с решением уравне-
уравнения Шредингера.
Первый тип задач. Рассматривается движение мик-
микрообъекта в ограниченной области пространства, иначе
217
говоря, в потенциальной яме (например, движение элек-
электрона в атоме); такое движение называют финитным,
а о микрообъекте говорят, что он находится в связанном
состоянии. Используется уравнение Шредингера, не зави-
зависящее от времени [см. B0.13) или B0.14)]. Решая урав-
уравнение Шредингера при определенных граничных услови-
условиях, накладываемых на волновую функцию и ее первую
производную *, находят спектр значений энергии микро-
микрообъекта и волновые функции стационарных состояний.
Второй тип задач. Рассматривается инфинитное
(пространственно неограниченное) движение микрообъ-
микрообъекта во внешнем поле. Например, микрообъект проходит
сквозь потенциальный барьер (напомним отмечавшийся
в § 4 туннельный эффект) или рассеивается на некоем
силовом центре. Поскольку движение инфинитное, то
энергетический спектр микрообъекта непрерывен. Решая
уравнение Шредингера, не зависящее от времени, опре-
определяют вид волновых функций микрообъекта вдали от
рассеивающего центра (или барьера), на основе чего
рассчитывают, например, вероятность рассеяния на за-
заданный угол (или вероятность прохождения сквозь барь-
барьер, а также отражения от него).
Третий тип задач. В указанных выше двух типах за-
задач речь шла о стационарных состояниях микрообъекта,
в связи с чем использовалось уравнение Шредингера, не
зависящее от времени. В задачах третьего типа рассмат-
рассматривают изменение состояния микрообъекта во времени,
для чего используют уравнение Шредингера, зависящее
от времени [см. B0.17)]. Решая это уравнение, находят
вероятность того или иного квантового перехода, проис-
происходящего под влиянием заданного внешнего воздействия.
Примеры задач первых двух типов приводятся в дан-
данном параграфе, а также в § 24. С третьим типом задач
читатель познакомится в § 25. Разумеется, мы вынужде-
вынуждены ограничиться рассмотрением здесь лишь некоторых
характерных задач. При этом мы учитываем, что при-
прикладные аспекты квантовой механики отражены в суще-
существующей литературе достаточно полно (отметим, в част-
частности, специальные сборники квантовомеханических за-
задач [34, 35]).
* Граничные условия обсуждаются ниже — при рассмотрении
конкретных задач.
218
Частица в одномерной прямоугольной потенциальной
яме с бесконечно высокими «стенками». Такая яма опи-
описывается потенциалом U вида
U{x) =
со, л:<0,
О, 0<л:<а, B1.1)
оо, х > а.
Параметр а есть ширина ямы; энергия отсчитывается от
дна ямы. В пределах ямы (О^х^а) уравнение Шредин-
гера B0.13) имеет вид
=0, B1.2)
ил"
где
k2=2mE\h2. B1.3)
На границах ямы (при х = 0 и х = а) непрерывная волно-
волновая функция ф обращается в нуль, поскольку бесконечно
высокие «стенки» исключают возможность обнаружения
частицы за пределами ямы *. Итак, граничные условия
имеют в данном случае вид
<р(О) = ср(а) = О. B1.4)
Запишем общее решение дифференциального урав-
уравнения B1.2):
? [х) = A sin {kx)-\- В cos (?*). B1.5)
Поскольку ф@)=0, то, следовательно, В = 0. Таким об-
образом,
<f(x) = Asin(kx). B1.6)
Из условия ф(а) =0 заключаем
ка=пп, где п — целые числа. B1.7)
С учетом B1.3) преобразуем последний результат к виду
Еп=n2n2h2l2ma2. B1.8)
Выражение B1.8) определяет спектр значений энергии
* В случае «стенок> конечной высоты, как это будет видно ниже,
такая возможность не исключается,
219
(уровни энергии) частицы в рассматриваемой яме. Оно
совпадает с приводившимся ранее выражением E.2).
Волновая функция срп(#), соответствующая п-щ
уровню энергии, имеет, согласно B1.5) и B1.7), вид
<pn(#) =i4sin (тспх/а). Постоянную интегрирования А оп-
определяют из условия нормировки [см. в связи с этим
а
A5.13)] f ср^ (x)dx=l. Легко видеть, что А =]/ 2/а и,
следовательно,
уп{х)=УЩа sin (тспх/а). B1.9)
Итак, найдены уровни энергии и ортонормироваиные
волиовые функции, стационарных состояний частицы
в прямоугольной од-
одномерной яме с бес-
бесконечно высокими
«стенками».
Прямоугольная по-
потенциальная яма со
«стенками» конечной
высоты. Рассмотрим
прямоугольную потен-
потенциальную яму, изобра-
изображенную на рис. 21,1, а.
Поскольку частица на-
находится внутри ямы, то
Е<их и E<U2. Пря-
моугольность потенциала позволяет четко разграничить
три пространственных области: область / (х<0), область
2 (О^х^а), область 3(х>а), Будем (рассматривать эти
области (раздельно, а затем «сошьем» полученные ре-
результаты «а границах областей, т. е. в точках х=0 и
х = а. Уравнение Шредингера B0.13) имеет вид:
для области 1
Рис. 21.1
. _Xlcp=O, где *! =
B1.10а)
для области 2
ctx*
B1.106)
220
для области 3
rfV-x22cp=0, где %l*=2m{l/2-E)lh2. B1.10в)
Общие решения указанных дифференциальных уравне-
уравнений могут быть записаны в виде:
для области 1 cpi = ^iexp(x1A:) + 51exp(-—x1x), B1.11а)
для области 2 <?2=A2exp(ikx) + B2exp(—lkx)y B1.116)
для области 3 <?3 = А3ехр(*2х)-\-Вгехр(—ъ2х) B1.Ив)
[заметим, что решение уравнения B1.106) может быть
представлено как в виде B1.116), так и в виде B1.5)].
Ограниченность волновой функции требует положить
Bi = 0 и Л3=0. Таким образом,
?!(*) = А ехр fa*),
B1.12)
Качественный вид функций фЬ ф3 и Re[(p2] показан на
рис. 21.1, б. Обратим внимание читателя на то, что в слу-
случае потенциальной ямы со «стенками» конечной высоты
всегда существует вероятность обнаружить частицу вне
пределов ямы; эта вероятность уменьшается по экспонен-
экспоненциальному закону по мере удаления от границ ямы.
Чтобы найти четыре коэффициента (Ль Л2, В2у Б3)>
воспользуемся тем, что на границах областей должны
быть непрерывной и сама функция, и ее первая производ-
производная. Непрерывность волновой функции очевидна. Непре-
Непрерывность производной легко доказать. Для этого проин-
проинтегрируем уравнение Шредингера B0.13) по некоторой
области (а—Д, а + Д), включающей скачок потенциала.
Получим
-?(а-Д) = .Н2. j [U[x)-E\vix.
Поскольку под интегралом стоят ограниченные функции,
то в пределе Д-И) этот интеграл обратится в нуль. В ито-
итоге получаем——(а4-0}=—— (а—О), что и требовалось
dx dx
доказать
Возвращаясь к нашей задаче, запишем граничные
условия (условия «сшивки» решений на границах об-
областей) :
B1.13)
<р2(а)=<р3(а),
Л2'ехр (ika) -f В2 exp (—ika)=Вг ехр (—
ikA2 exp (ika) — /?Z?2 ехР (— '*#)==
Подставляя выражения B1.12) в эти условия, приходим
к системе уравнений относительно коэффициентов Аи
^2, В2, Bz:
B1.14)
Система B1.14) есть однородная система линейных
уравнений. Как известно, для существования ненулевых
решений такой системы необходимо, чтобы ее определи-
определитель обращался в нуль. Приравнивая определитель систе-
системы нулю, получим некоторое уравнение относительно
энергии Е (напомним: величины й, к\9 к2 выражаются
через Е). Корни этого уравнения и будут представлять
собой возможные значения энергии частицы.
Подчеркнем, что с математической точки зрения
квантование энергии частицы в яме есть прямое след-
следствие однородности системы B1.14). В этом заключается
сущность всех задач на отыскание собственных значений
физических величин: объект как бы «предоставляется
сам себе», т. е. исключаются внешние воздействия,— тем
самым из уравнений исключаются неоднородности; в ито-
итоге объект избирает некий «собственный режим», харак-
характеризуемый определенными собственными параметрами
(частотой, энергией и др.). Простейший пример, причем
взятый из классической физики,— маятник. Если маятник
не раскачивать, то он будет колебаться с определенной
собственной частотой, не зависящей от способа возбуж-
возбуждения колебаний.
221
Итак, для определения значений энергии частицы
надо приравнять нулю определитель системы B1.14) и
решить получившееся при этом уравнение. Однако прак-
практически неудобно рассматривать определитель 4-го по-
порядка. Поэтому предварительно упростим систему урав-
уравнений, для чего перепишем функцию ф2 в виде ф2 =
= С sin (kx + b) (этот вид эквивалентен ранее использо-
использовавшемуся; читатель может самостоятельно выразить
новые коэффициенты С и Ь через старые коэффициенты
Л2 и В2). Теперь система B1.14) будет выглядеть сле-
следующим образом:
АХ=С sin
С sin {k
4Ax = kC cos ft,
kC cos (ka -\- b) = —
Поделив третье уравнение этой системы на первое, а чет-
четвертое на второе, получим
BU6)
Вместо системы четырех уравнений имеем теперь систе-
систему двух уравнений. Из первого уравнения системы
B1.16) находим ctg b = щ/k.
Отсюда
Аналогично из второго уравнения системы B1.16) на-
находим
sin (ka -\-b) =
В результате получаем уравнение, определяющее
величину k (а следовательно, и уровни энергии) в неяв-
неявном виде:
кЪ . кЪ, /С\1 1 т\
arcsin—zznr > B1.17)
V
где n — целые числа. На рис. 21.2 изображены в функции
от k левая и правая части уравнения B1.17). В изобра-
223
Рис. 21.2
женной на рисунке ситуации частица имеет три энерге-
энергетических уровня; им отвечают значения й, равные /гь
?2, &з- Если изменять ширину ямы, то будет меняться на-
наклон прямой y = kay в результате чего "будут меняться
расположение и само число возможных энергетических
уровней. При уменьшении ширины ямы указанная пря-
прямая будет опускаться; при этом уровни «поползут» из
ямы, их число будет постепенно уменьшаться. При увели-
увеличении ширины ямы прямая y=ka будет, напротив, под-
подниматься; при этом она будет пересекать все большее
число ветвей, изображаемых
арксинусами, — в результате
число уровней ,в яме будет
расти. При а-+оо число
уровней будет неограничен-
неограниченно (расти, и мы придем в ко-
конечном счете к непрерывно-
непрерывному энергетическому спектру.
Нетрудно проследить также
за изменениями в спектре
при изменении глубины ямы:
чем больше эта глубина,
тем больше уровней будет
в яме.
Дальнейшая программа действий такова: надо найти
из B1.17) возможные значения k и соответствующие им
значения Е, щ и Х2; затем подставить эти значения
в B1.15) и решить систему уравнений относительно коэф-
коэффициентов; конечные результаты подставить в выраже-
выражения для волновых функций B1.12). Мы, однако, не бу-
будем выполнять здесь эту программу ввиду возникающих
математических трудностей.
В заключение заметим, что результат B1.17) можно
использовать, в частности, для оценки минимальной энер-
энергии Е\ частицы в потенциальной яме. Для этого доста-
достаточно обратиться к заштрихованному треугольнику на
рис. 21.2 и положить kxa^n. Отсюда немедленно находим
Eitttt2h2l2ma2. Этот результат хорошо согласуется с
оценкой D.11), полученной в § 4 на основе соотношения
неопределенностей C.3).
Частица в сферически симметричном поле. Рассмат-
Рассматривая движение частицы в сферически симметричном
поле, удобно использовать сферические координаты г,
6, ф. Сферическая симметрия поля означает, что U(r) =
224
= U(r). Оператор А в сферических координатах имеет вид
где
!*Li^(*) B1.19)
д& ' sin 0 дЬ \ дв
Учитывая это, перепишем уравнение Шредингера B0.14)
в виде
0, ?) = 0. B1.20)
Уравнение B1.20) допускает разделение переменных в
сферических координатах. Это означает, что его решение
можно искать в виде произведения двух функций, одна
из которых зависит только от г, а другая — от угловых
координат 6 и ф:
Ф(г, 0, ?) = #(/¦) Ф F, ср). B1.21)
Подставляя B1.21) в B1.20), получим результат, кото-
который можно представить следующим образом:
R(r)
Поскольку левая и правая части равенства B1.22) зави-
зависят от разных независимых переменных (соответственно
от г и от 9, ф), то каждая из этих частей должна равнять-
равняться некоторой постоянной, которую обозначим через К.
Введя указанную постоянную, запишем
-Де*ФF, ср) = ХФ(б, ср). B1.23)
Сравнивая B1.19) с B0.23), заключаем, что B1.23) есть
фактически уравнение для собственных значений и соб-
собственных функций оператора М2. Это позволяет воспользо-
воспользоваться соотношениями B0.39) и B0.40) и записать
Х=/(/+1), /=о, 1, 2,..., B1.24)
Ф(в, <p) = i/ 21±1Л1~ 1 т 1 >! р}«
1 Т; [/ 4я (/ + | m | )!
= К/т(в, ср), B1.25)
8—2619 225
где m = 0, ±1, ..., ±1. Функции F/m@, ф)—сферические
функции (они введены в § 20). Здесь полезно выписать
выражения для нескольких первых сферических функ-
функций:
Коо=—Lr , B1.26а)
К10=1/ -7-cosO; Kif+i = l/— sinOe±'*, B1.266)
Г20~ ¦' 4я V 3
= l/— sin 0 cos б е±"г;
B1.26b)
Подчеркнем, что «угловая часть» волновой функции
не зависит от конкретного вида потенциала ?/(/•); это
есть прямое и важное следствие сферической симметрии
потенциала.
Далее обратимся к «радиальной части» волновой
функции, т. е. к функции R{r). Согласно B1.22) и B1.24),
она должна являться решением уравнения
= 0, B1.27)
где введено обозначение
" B1.28)
Примечательно, что уравнение B1.27) может быть све-
сведено к одномерному уравнению Шредингера со специ-
специальным граничным условием при г = 0. Для этого надо ис-
использовать подстановку
<р (г) = г/?(г) B1.29)
и потребовать в силу ограниченности функции R{r)y что-
чтобы выполнялось условие ф@)=0. Легко убедиться, что
подстановка B1.29) действительно превращает B1.27)
226
в одномерное уравнение Шредингера:
^|!1 = 0, B1.30)
при этом граничное условие ф@)=0 соответствует одно-
одномерной потенциальной яме, имеющей слева (при г = 0)
бесконечно высокую вертикальную «стенку».
Дальнейшее рассмотрение уравнения B1.30) требу-
требует, очевидно, учета конкретного вида потенциала U(r).
Отметим, что к задачам о движении частицы в сфе-
сферически симметричном поле относятся, в частности, за-
задачи об электроне в атоме и о рассеянии частиц на сфе-
сферически симметричных центрах.
Уравнение непрерывности и уравнение Шредингера.
Установим некую формальную аналогию между уравне-
уравнением Шредингера (зависящим от времени) и широко
используемым в классической физике, особенно в гидро-
гидродинамике, уравнением непрерывности. Предположим, что
имеется некая среда (например, жидкость), описывае-
описываемая функциями р(г) и v(r) [р(г) —плотность среды, а
v (г) —скорость частиц среды в точке г; разумеется, эти
функции могут зависеть также и от времени]. Выделим
мысленно некий объем V внутри среды. Изменение коли-
количества жидкости в этом объеме за единицу времени рав-
равно — \ pdV. Выделим на поверхности 5, ограничиваю-
v
щей объем V, некий элемент поверхности dS и будем со-
сопоставлять с ним вектор dS, по величине равный dS
и направленный по нормали к поверхности наружу. Ко-
Количество жидкости, вытекающей в единицу времени из
объема V через элемент поверхности dS, равно pvdS.
Через всю поверхность S в единицу времени вытекает ко-
количество жидкости, равное ф pvdS. Условие сохранения
s
вешества требует приравнять
д С i? ~^—*"
\ pdV и т pvdS. Таким образом,
ot J j
v s
8* 227
Заменяя интеграл по замкнутой поверхности объемным
интегралом, перепишем последнее равенство в виде
dt
где j = pv есть вектор плотности потока жидкости.
Уравнение B1.31) не зависит от выбора объема V.
Пользуясь этим, будем уменьшать объем V, стягивая его
к некоторой точке. В пределе V->0 уравнение B1.31)
превратится в дифференциальное уравнение для указан-
указанной точки
-^-+divy = O. B1.32)
Это и есть классическое уравнение непрерывности.
Теперь перейдем к уравнению Шредингера, завися-
зависящему от времени. Обобщим одномерное уравнение B0.17)
на случай трех измерений:
ihiiW^ t)=-^^W^ f) + U(?)W{79 t). B1.33)
Введем чисто формально некую «среду» и определим для
этой «среды» плотность как "ЧРР *. Эта плотность может
быть (названа «(плотностью вероятности». Иначе говоря,
вероятность обнаружить частицу будет больше в тех точ-
точках пространства, где выше плотность такой «среды».
Указанной «плотности вероятности» можно придать
довольно простой смысл, если вообразить, что простран-
пространство заполнено большим числом частиц (при этом взаи-
взаимодействие частиц друг с другом следует исключить).
Очевидно, что число частиц в некоем объеме AV пропор-
пропорционально вероятности обнаружить частицу в этом объе-
объеме. При таком подходе WW * может рассматриваться
просто как плотность числа частиц.
Как и в классическом случае, начнем с рассмотрения
некоторого конечного объема V:
dt J dt J . V dt ^ dt
v v v
Подставляя сюда — ЧГ и —ЧГ* из уравнения Шрединге-
dt dt
228
pa B1.33) и уравнения, комплексно-сопряженного
B1.33), получаем
dt J 2m ,Г
к v
2m J
v
Перепишем последний результат в виде
ЧГ')}1 rfV=0,
B1.34)
— рт') - div {^- (W* V Ф - ЧР V
или после сведения объема V в точку
A.(W4f*) — div \ — (W*\7 W — Ф* v4Hl = 0. B1.35)
dt к \_2rn к }\ к
Проводя аналогию между B1.34) и B1.31) [или между
B1.35) и B1.32)], заключаем, что уравнение Шредингера
соответствует некоторому квантовомеханическому урав-
уравнению непрерывности, если наряду с плотностью вероят-
вероятности
p==\F*iF = cp*cp B1.36)
ввести также вектор плотности потока вероятности
у"==—?*L- (\р у ЦТ* — ху* у W)= ^ (ср V <р*~~ V* V у).
B1.37)
Если интерпретировать B1.36) как плотность числа час-
частиц, то вектор B1.37) тогда можно рассматривать как
вектор плотности потока частиц. При такой интерпрета-
интерпретации квантовомеханическое уравнение непрерывности
B1.35) выражает условие сохранения числа частиц.
В случае одномерного движения по оси х выраже-
выражение B1.37) принимает вид
B1.38)
2m V dx Y dx
* Функции x?(rt t) и ф(г) связаны друг с другом соотношением
типа B0.16).
229
В заключение заметим, что, разумеется, не следует
придавать квантовомеханическому вектору / буквально-
буквального смысла «потока», так как для определения потока
через некоторую поверхность надо уметь измерять в фик-
фиксированных точках поверхности значения скорости (им-
(импульса), что, очевидно, противоречит соотношению неоп-
неопределенностей.
Прохождение части-
частицы под или над потенци-
ч альным барьером. Рас-
-»* смотрим одномерный пря-
—- моугольный потенциаль-
потенциальРис. 21.3
ный барьер (рис. 21.3) и
предположим, что слева
на него летят частицы с
энергией Е, меньшей, нежели высота барьера U. Выде-
Выделим три пространственные области и запишем решения
уравнения Шредингера B0.13) для этих областей:
<Pi (х) = Аг ехр (ikx) -\- В! ехр (— ikx); k=]
—xjc); X=
U
B1.39)
cp3 (x) = A3 exp (ikx) + B3 exp (— ikx).
Слагаемые, содержащие exp (ikx), описывают частицы,
движущиеся в положительном направлении оси х9 а сла-
слагаемые, содержащие ехр (—ikx),— в обратном направле-
направлении. Если учесть, что частицы посылаются в положитель-
положительном направлении, то надо исключить второе слагаемое
в функции ф3: Вз=0. Остальные коэффициенты отличны
от нуля. Слагаемое с Ai описывает падающие на барьер
частицы, слагаемое с Si — отраженные от барьера части-
частицы, слагаемое с Л3 — частицы, прошедшие сквозь
барьер.
Условия непрерывности волновой функции и ее про-
производной в точках х = 0 и х = а дают следующую систему
четырех уравнений:
Л2 ехр (та) + В2"ехр ( — щ) = Л3 ехр (ika),
х [Л2 ехр (т) — В2 ехр ( — ш)]=ikA3 exp (ika).
230
B1.40)
Получается, что для 5 коэффициентов имеем всего 4 урай-
нения! Однако в действительности неизвестных не 5, а 4.
Дело в том, что необходимо задать плотность потока час-
частиц, падающих на барьер (/пад). Эта плотность выража-
выражается соотношением B1.38), куда надо подставить ф =
= Л1ехр (ikx). В итоге получаем
. B1.41)
Таким образом, задание величины /пад означает задание
коэффициента А\.
Аналогично для плотности потока отраженных частиц
находим
уотр= | Вг\Ш1т, B1.42)
а для плотности потока частиц, прошедших сквозь
барьер,
упр= \As\*hk/m. B1.43)
Обычно в подобных задачах плотность /пад выбирают
такой, чтобы Л1 = 1. В этом случае система B1.40) при-
принимает вид
1 I Г> А I Г)
l-f- п1 = Л2-\-п2,
An ехр (ш) 4- 5о ехр (— ш\ = А\ ехр (ika),
yk )-\ vk ^ B1.44)
^ [Л2ехр (ш) — 52ехр (— ха)] = /АЛ3 ехр (/to).
Система B1.44) есть неоднородная система четырех
линейных уравнений относительно 4 неизвестных коэф-
коэффициентов. Неоднородная система имеет решения при
любых значениях k и х, т. е. при любых значениях энер-
энергии частицы Е. Это согласуется с тем, что при инфинит-
ном движении частицы ее энергия не квантуется.
Определим долю частиц, прошедших сквозь барьер:
.# = Упр//*1л- B1.45)
Величину D называют коэффициентом прохождения
барьера. Решая систему B1.44) (выкладки опускаем),
получим
B1.46)
231
Далее, используя B1.43) и B1.45), находим
О = ——¦ . B1Л7)
4&2%2 + (?2 4- 7,2J sh2 (xa)
В частном случае, когда ум^>\, выражение B1.47) уп-
упрощается:
Vl2m(U-E)
B1.48)
где
Наряду с коэффициентом прохождения существует
коэффициент отражения барьера, определяемый как до-
доля частиц, отраженных от барьера: /?=/отр//пад. Из об-
общих соображений ясно, что D+R=l (все частицы, не
прошедшие сквозь барьер, должны отразиться от него).
Наконец, рассмотрим случай, когда частица прохо-
проходит над барьером (E<U). В этом случае вместо B1.39)
будем иметь:
<рх (х)=ехр (ikx) -\~ Вх ехр (— ikx\
?2 (х) = л2 ехр AКх) + В2 ехр (- iKx\ B1.49)
ср3 (х) = Аг ехр (ikx),
где /С=1
Используя B1.49), запишем граничные условия для
точек х=0 и х = а, решим получающуюся при этом си-
систему уравнений и найдем коэффициент В\. Далее в со-
соответствии с B1.42) определим коэффициент отражения
# = /отр//пад. Он оказывается равным
(#2 _ /BJ Sin2 (/(а) ' 1
Используя B1.47) и B1.50), можно получить зависи-
зависимость коэффициента прохождения D от отношения E/U.
Графически эта зависимость приводится на рис. 21.4.
Там же пунктиром показана зависимость D(E/U) для
классической частицы. Сопоставление сплошной линии
с пунктирной оттеняет квантовомеханическую специфику
микрочастиц. Подчеркнем, что при E<U в классической
232
механике все частицы отражаются от барьера, ни одна
не проходит сквозь барьер; в квантовой же механике
часть частиц отражается, а часть проходит сквозь барьер.
При E>U в классической механике все частицы прохо-
Рис. 21.4
дят и ни одна не отражается; в квантовой же механике
часть частиц проходит, а часть отражается. Как под-
барьерное прохождение, так и надбарьерное отражение
микрообъектов являются специфически квантовыми эф-
эффектами.
§ 22. ГАМИЛЬТОНИАН В НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРНЫХ
ЗАДАЧАХ
Линейный гармонический осциллятор. Гамильтониан
имеет вид
П it2
.
B2.1)
[он получается из D.5) с учетом A9.1) и B0,4)]. Собст-
Собственные значения:
Е„=)
4- ; я=о, 1, 2,...
B2.2)
[при п = 0 получаем из B2.2) энергию нулевых колеба-
колебаний, которая была оценена еще в § 4 на основе соотно-
соотношения неопределенностей]. Собственные функции:
ср„ (х)=У^Ф ехр (- %Щ Нп E),
B2.3)
где Ь=хУт<й/Н, #п(?)—так называемые полиномы
Эрмита. Выпишем выражения для нескольких первых
233
функций <pn(x):
<р0 (х) = (х0 Ух)'112exp (-x*I2x\\ B2.4a)
Tl (jc) = BxQ Vn)-1/2 exp (- jc2/2xo) 2jc/jco> B2.46)
U —~2\ B2.4b)
V 4 )
(здесь Xq=
Примечание: полиномы Эрмита, а также упоминае-
упоминаемые ниже обобщенные полиномы Ляггера и введенные
в § 20 сферические функции и полиномы Лежандра от-
относятся к специальным функциям. Специальным функ-
функциям и их приложениям посвящена обширная математи-
математическая литература; для справок укажем, например,
[36, 37].
Атом водорода. Задача об атоме водорода — хорошо
изученная задача о движении электрона в кулоновском
сферически симметричном поле. Гамильтониан имеет вид
#=_-Яд—«1 B2.5)
[он получается из D.1) с учетом A9.1) и B0.6)]. Собст-
Собственные значения этого гамильтониана описываются хоро-
хорошо известным читателю выражением [см. B.5)]
Еп= -те*/2НЧ2; п= 1, 2, 3,... B2.6)
Собственные функции гамильтониана B2.5) могут быть
представлены в виде
*tnim = Rni(r)Ylm{^ cp); /=0, 1,..., л-1;
т = 0, ±1,..., ±1. B2.7)
Здесь Yim(Q, ф) —сферические функции; они определяют
«угловую часть» волновой функции независимо от кон-
конкретного вида сферически симметричного потенциала;
Rni(r)—«радиальная часть» волновой функции; она оп-
определяется уравнением B1.30) с кулоновским потенциа-
потенциалом [U(r)=—еЦг\ Вид функции Rni{r) описывается вы-
выражением
Rni П = const exp (г/г.п) BrIrin)lL2n%1 Bг/гхл), B2.8)
где r\==h2/me2 (эта величина известна читателю как ра-
234
диус первой боровской орбиты), a Ln+inJrX — так называе-
называемые обобщенные полиномы Ляггера (см., например, [36]).
Выражения для нескольких первых сферических
функций приведены в § 21 [см. B1.26)]. Приведем вы-
выражения для нескольких первых функций Rni(r)'.
/?10=2гГ!3/2ехр(-г/г1), B2.9а)
/?20=Bг?)-1/2ехр(-г/2г1)A —I-} , B2.96)
/?21=B Убг! Г'ехрС-г/гг!)^. B2.9b)
При обсуждении 'понятия электронного облака в § 5
приводились функции vni и Zim; на рис. 5.2, а был показан
вид нескольких функций wni(r)=r2Vni('r), а рис. 5.2, б
демонстрировал некоторые функции Z\m. Возвращаясь
к функциям, рассматриваемым в данном параграфе,
отметим, что vni=Rni2(r), a Z/m=|T/w(9, ср)|2. Заметим,
в частности, что E.4) согласуется с B2.9а).
Используя B2.9) и B1.26), выпишем несколько пер-
первых собственных функций гамильтониана B2.5):
г/г1), B2.10а)
ф200=(8яг?)-1/2ехр(-г/2г1) (l —?-) , B2.106)
ф211 = (8 Vnr\ )"!exp (- г/2гх) sin в ёЧ\гъ B2.10в)
ф210 = D Vizir\ У' ехр (- r\2rx) cos dr/r,. B2. Юг)
Функция B2.10а) описывает основное состояние атома
водорода, а функции B2.106) — B2.10г) описывают воз-
возбужденные состояния, соответствующие первому возбуж-
возбужденному уровню энергии (п = 2).
О вырождении энергетических уровней. Из B2.6)
видно, что энергия электрона в атоме водорода опреде-
определяется только квантовым числом п, тогда как состояния
(функции tymm)—тремя квантовыми числами: /г, /, т.
Кроме того, при рассмотрении состояний электрона надо
учесть спиновое квантовое число а, не вошедшее в рас-
рассматриваемые здесь выражения. Поскольку при задан-
заданном главном квантовом числе п орбитальное квантовое
число / принимает целые значения от 0 до п—1, а для
235
каждого числа I магнитное квантовое число принимает
2/+1 значений, то энергетическому уровню Еп должно
соответствовать следующее количество gn состояний:
B2.11)
(множитель 2 учитывает два спиновых состояния элек-
электрона). Это означает, что собственное значение Еп
гамильтониана B2.5) (иначе говоря, п-й энергетический
уровень) 2д2-кратно вырождено.
Вырождение энергетических уровней связано, как
правило, с наличием у атомной системы симметрии. Так,
например, благодаря сферической симметрии внутри-
внутриатомных полей имеет место вырождение по квантовым
числам m и а — энергия не зависит от ориентации орби-
орбитального и спинового моментов электрона. Вырождение
по квантовому числу / принято считать «случайным»,
связанным со спецификой кулоновского потенциала; в не-
кулоновских полях энергия электрона зависит не только
от п> но также и от /.
Различные силовые поля, внешние либо внутренние,
могут понизить степень симметрии системы. Так, напри-
например, «включение» внешнего электрического поля приво-
приводит к появлению физически выделенного направления;
в результате сферическая симметрия исчезает — вместо
нее теперь имеет место цилиндрическая симметрия. По-
Понижение симметрии приводит к снятию вырождения уров-
уровней (частичному или полному). Это проявляется в рас-
расщеплении энергетических уровней, т. е. в превращении
их в совокупности новых, менее вырожденных уровней.
Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом
поле называют эффектом Штарка, а во внешнем магнит-
магнитном поле — эффектом Зеемана.
Кристалл, адиабатическое приближение. Гамильто-
Гамильтониан кристалла, состоящего из N ядер и ZN электронов,
запишем в виде
N ZN
). B2.12)
236
Здесь М — масса ядра; Pi— оператор импульса i-го яд-
ядра; т — масса электрона, рк— оператор импульса &-го
электрона, {г/г} — совокупность координат электронов,
{Ri}—совокупность координат ядер. Функция U\ опи-
описывает взаимодействие электронов; она имеет вид
^' B2ЛЗ)
где гм — расстояние между k-u и 1-м электронами. Функ-
Функция U2 описывает взаимодействие ядер, а функция ?/3—
взаимодействие ядер и электронов *.
Воспользуемся тем, что М>/пи, следовательно, ядра
движутся гораздо медленнее электронов. Это позволяет
рассматривать движения ядер и электронов порознь: рас-
рассматривая движение электронов, полагать ядра покоя-
покоящимися; рассматривая движение ядер, полагать, что
электронный коллектив создает усредненное поле, не за-
зависящее от координат отдельных электронов. В этом слу-
случае волновая функция кристалла может быть представ-
представлена в виде произведения «ядерной» и «электронной»
функций:
При этом гамильтониан B2.12) разбивается на сумму
«ядерного» гамильтониана Н\ и «электронного» гамиль-
гамильтониана Н2:
B2.15)
Функция Uz описывает потенциальную энергию электро-
электронов в поле ядер, покоящихся в узлах кристаллической
решетки.
* Описывающие различные потенциалы взаимодействия функции
U\, U2, U3 фактически являются соответствующими операторами, за-
заданными в координатном представлении.
237
Таким образом, вместо решения весьма сложного
уравнения Шредингера для всего кристалла
#Ф(ЙЬ {й})=Я*Р<КЫ, Ш B2.17)
достаточно решить два более простых уравнения:
а) для ядер (для кристаллической решетки)
B2.18)
б) для электронов
Ы). B2.19)
причем ?кр = ?1р + ?'э. Данное приближение называют
адиабатическим.
В заключение сделаем одно довольно важное уточне-
уточнение. При использовании адиабатического приближения
рассматривают, строго говоря, не голые ядра, а ядра
вместе с теми электронами, которые с ними достаточно
прочно связаны. Следовательно, когда говорят об отдель-
отдельном рассмотрении коллектива электронов, то имеют в ви-
виду не все электроны, а лишь те, которые «обобществле-
«обобществлены» кристаллом (иначе говоря, электроны, движущиеся
по кристаллической решетке, например электроны прово-
проводимости).
Одноэлектронное приближение. В соответствии с
адиабатическим приближением будем рассматривать дви-
движение электронов, «обобществленных» кристаллом, от-
отвлекаясь от динамики кристаллической решетки.
Воспользуемся выражением B2.16) и учтем, что функция
Uz ( {а} ) может быть представлена в виде суммы по «обоб-
«обобществленным» электронам (поскольку каждый электрон
взаимодействует с полем решетки независимо от других
электронов): Uz{{rk))-==.^UA{rk), В этом случае «элек-
«электронный» гамильтониан B2.16) принимает вид
Дальнейшее упрощение основано на предположении,
1 чг! VI 2/
что входящее в B2.20) слагаемое -j" Ух 2шА в можно
238
приближенно заменить суммой по электронам:
Иначе говоря, при рассмотрении электрон-электронных
взаимодействий предполагается, что каждый электрон
движется в некотором общем для всего коллектива поле
(как говорят, самосогласованном поле). В результате
гамильтониан электронного коллектива разбивается на
сумму «одноэлектронных» гамильтонианов. Это позволяет
представить волновую функцию коллектива в виде про-
произведения «одноэлектронных» функций [обозначим их
через ф(-гл)], после чего уравнение Шредингера для кол-
коллектива электронов превращается в совокупность «одно-
«одноэлектронных» уравнений вида
Ъ. B2.22)
Здесь р и г — оператор импульса и координата одного из
«обобществленных» электронов; Е — энергия этого.элек-
этого.электрона.
Таким образом, используя B2.21), можно перейти
от рассмотрения коллектива электронов к отдельному
электрону, который движется в поле:
7). B2.23)
Такой переход соответствует так называемому одноэлек-
тронному приближению.
Потенциал U(r) является периодическим с периодом
кристаллической решетки. В § 24 будет показано, что
энергия электрона, движущегося в периодическом поле,
разбивается на чередующиеся зоны разрешенных и за-
запрещенных значений, т. е. имеет зонную структуру. Элек-
Электрон, связанный в атоме, имеет уровни энергии; свободный
электрон характеризуется непрерывным энергети-
энергетическим спектром. Электрон, «обобществленный» кристал-
кристаллом, занимает в известном смысле «промежуточное» по-
положение— он «свободен», но лишь в пределах кристалла.
Закономерна зонная структура энергетических состояний
такого электрона, которая, очевидно, является «промежу-
«промежуточной» между структурой дискретных уровней и непре-
непрерывным спектром.
239
Относительная свобода движения «обобществленно-
«обобществленного» электрона отражается, в частности, на его волновой
функции, которую представляют в виде так называемой
функции Блоха:
<?(?) = и (г) exp (ipr/h). B2.24)
Это есть волновая функция A5.15) свободного электро-
электрона, модулированная функцией и (г), имеющей период
—>¦
потенциала U{r) (подробнее о функциях Блоха см. в
§24).
Гамильтониан взаимодействия электрона с электро-
электромагнитным излучением. Будем рассматривать систему
связанный электрон плюс излучение. В отсутствие взаи-
взаимодействия между электроном и излучением система опи-
описывается «невозмущенным» гамильтонианом:
fio=JL+U+ftv B2.25)
2m
где p2/2m + U — гамильтониан электрона, Ну — гамиль-
гамильтониан излучения. При наличии взаимодействия между
электроном и излучением система описывается «возму-
«возмущенным» гамильтонианом
fi = tp—Lj\) J2m + U+/Tb B2.26)
где А— оператор векторного потенциала поля излучения
[напомним, что в координатном представлении А(г) =
=Л(г)]*. Отметим, что потенциалы поля выбраны здесь
так, чтобы выполнялись известные условия калибровки:
diVi4 = 0; ф = 0 (ф — скалярный потенциал поля). Далее
представим гамильтониан Н в виде
/?## B2.27)
* В классической теории поля показывается [38], что взаимодей-
взаимодействие заряда с электромагнитным полем можно учесть, произведя
_> -> в _>
замену: р -*-р —&. Мы используем здесь этот классический резуль-
с
тат, применяя вместо динамических переменных соответствующие
операторы.
240
где Hr— гамильтониан взаимодействия, играющий роль
возмущения. Сравнивая B2.25), B2.26) и B2.27), на-
находим
fX&?K B2-28)
Это выражение можно немного упростить, если учесть
в соответствии с B0.27), что рА (г) —А (г) р = —ih div A (r).
Воспользовавшись тем, что div Л =0, получаем
Й*$Х) + ^ B2.29)
тс Zmc*
Отметим, что гамильтониан B2.29) ответствен за все про-
процессы поглощения и испускания (спонтанного и индуци-
индуцированного) фотонов электроном.
§ 23. ПЕРЕХОД К ИМПУЛЬСНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ
Покажем, как можно перейти от координатного
представления к импульсному, и приведем некоторые ре-
результаты в импульсном представлении.
Операторы импульса и координаты в импульсном
представлении. Очевидно, что в импульсном представле-
представлении оператор импульса есть сам импульс:
рх=рх;р = р. B3.1)
Поэтому сразу перейдем к рассмотрению ^-координаты.
Пусть амплитуда состояния задается в координат-
координатном представлении функцией ф(лс), а в импульсном —
функцией Ф(рх). Используя A7.33), запишем
(х) х (х) <р (х) dx= j Ф* (рх) ?{рх) Ф{рх) dpx. B3.2)
Связь между функциями ф(л:) и Ф(рх) имеет, согласно
A5.6), вид
где typx(x) —собственные функции оператора /Гх в коор-
координатном представлении. Используя B0.9), перепишем
241
выражение B3.3) в виде
Ф (рх) exp [ipxx\K] dPx. B3.4)
Подставляя B3.4) в левую часть равенства B3.2), по-
получаем
* (Л еР*'АхФ (/>,) eP*x/KdP:dPxdx. B3.5)
Множитель x<D(pxexp{ipxXlh), входящий в подынте-
подынтегральное выражение в B3.5), может быть представлен
в виде
хФ [рх) ехр (//7^/Й) = -ih -I— [Ф exp {ipxxlh)\ +
). B3.6)
Подставим B3.6) в B3.5) и рассмотрим интеграл по рх.
При этом учтем, что
[поскольку физически невозможно реализовать бесконеч-
бесконечно большой импульс, то, следовательно, Ф(оо)=0 и
Ф(—оо)=0]. Таким образом, в интеграле по рх должно
сохраниться только второе слагаемое из правой части
B3.6): ih exp {ipxxlh). В результате равенство B3.5)
примет вид
f <p* (x)x<?(x)dx
B3.7)
Интегрирование по х в правой части этого равенства
дает, согласно A5.17),
яЙГ! J ехр[/ {рх — Рх) x/h] dx=b{px —
242
Далее, используя свойство дельта-функции, выполняем
интегрирование по рх'\
В итоге остается интеграл только по рх и равенство B3.7)
принимает вид
т* (х) х<? (х) «Г*=j Ф' (Рх) ih -±- Ф (Рх) dPx. B3.8)
Сравнивая правые части соотношений B3.8) и B3.2),
находим выражение для оператора х-координаты в им-
импульсном представлении:
J B3.9)
Обобщение на трехмерный случай дает
7(p)=ifiV^ B3Л°)
р
где V-*-—градиент в импульсном пространстве.
р
Унитарная инвариантность перестановочных соотно-
соотношений. Применяя B3.1) и B3.9), легко убедиться, что
коммутаторы операторов составляющих координаты и
импульса будут в импульсном представлении точно та-
такими же, какими они были получены в координатном
представлении [речь идет о выражениях B0.24) —
B0.26)]. Это заключение может быть распространено
также и на выражения B0.27) — B0.30). Иначе говоря,
перестановочные соотношения не зависят от выбора пред-
представления, т. е. являются унитарными инвариантами. Это
совершенно естественно, если вспомнить, что математиче-
математический факт коммутирования операторов имеет определен-
определенный физический смысл, который, очевидно, не может
измениться при переходе от одного представления к дру-
другому.
Уравнение Шредингера в импульсном представле-
представлении. Переходя к импульсному представлению, перепишем
уравнение B0.11) в виде
Я{Рх)*в(Рх) = &в{Рх\ B3.11)
где %е{Рх) —собственные функции гамильтониана в им-
импульсном представлении. Заметим, что величины Е в
243
B3.11) точно такие же, как и в B0.11), поскольку спектр
собственных значений эрмитовского оператора является
унитарным инвариантом. Так как в импульсном представ-
ih , то гамильтониан B0.12)
принимает теперь вид
±) B3.12)
В результате вместо уравнения B0.13) получаем урав-
уравнение
Ь(^)а <2з-13)
Это есть не зависящее от времени уравнение Шредингера
в импульсном представлении.
В качестве примера выпишем гамильтониан линей-
линейного гармонического осциллятора:
Сравните это выражение с выражением B2.1), описыва-
описывающим тот же самый гамильтониан, но в координатном
представлении.
Импульсное представление позволяет весьма просто
получить один уже хорошо известный читателю резуль-
результат. Если микрообъект движется свободно, то уравнение
B3.13) очевидным образом упрощается:
2
Рх -1- '¦¦ * - B3.15)
откуда немедленно следует, что
E=pxf2m. B3.16).
Результат B3.16) отмечался еще в § 1. Он означает,
что свободно движущийся микрообъект имеет одновре-
одновременно и определенную энергию, и определенный импульс,
причем эти величины связаны друг с другом при помощи
классического соотношения B3.16). В случае свободно
движущегося микрообъекта стационарное состояние яв-
является также собственной функцией оператора импульса.
244
Подчеркнем, что это ни в коем случае не распространя-
распространяется на связанные микрообъекты (см. в связи с этим
приводимый ниже прихмер).
Вероятность значений импульса частицы в прямо-
прямоугольной яме с бесконечно высокими «стенками». В § 21
рассматривалась в координатном представлении задача
о движении частицы в одномерной прямоугольной потен-
потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Были
найдены уровни энергии B1.8) и ортонормированные
амплитуды стационарных состояний B1.9).
При переходе к импульсному представлению резуль-
результат B1.8), очевидно, не изменится, а результат B1.9)
изменится. Найдя амплитуды стационарных состояний
в импульсном представлении, можно, в частности, опре-
определить вероятность значений импульса частицы, находя-
находящейся в п-м энергетическом состоянии. Обозначим эти
амплитуды через хп{рх)\ искомая вероятность есть
Ыр*)|2.
Амплитуды Гп(рх) связаны с амплитудами стацио-
стационарных состояний в координатном представлении [ампли-
[амплитудами ц>п{х)] суперпозиционным соотношением такого
же типа, что и соотношение B3.3):
х)ах, B3.17)
где ^х(Рх) —собственные функции оператора 1с в им-
импульсном представлении. Учитывая, что tyx'{px) =<Фр**(*)>
и используя B0.9), перепишем B3.17) в виде
a(x)exp(-iPxxlh)dx. B3.18)
Подставляя сюда B1.9) и выполняя интегрирование, при-
приходим в конечном счете к следующему выражению для
вероятности:
Ъ?
cos2 [ ^— , нечетное п,
2UJ B3.19)
?^-\, четное п.
2ti /
Итак, строго показано, что стационарные состояния
(уровни энергии) частицы в потенциальной яме не харак-
характеризуются определенным импульсом, а соответственно и
245
определенной длиной волны де Бройля. Напомним, что
это обстоятельство качественно обсуждалось в § 5, где
подчеркивалась неправомерность наглядного представ-
представления связанного микрообъекта в виде классической
волны в некоем резонаторе.
«Схема» перехода от координатного представления
к импульсному. Подводя итоги, можно указать следую-
следующую «схему» перехода от одного представления к дру-
другому:
ьг а2
НШ=-- 2 + Щх)
<
1
—
Н(Рх
Фп(х)
«Схема» предполагает два способа перехода. Один спо-
способ: решается уравнение Шредингера с гамильтонианом
Н(х) и отыскиваются амплитуды стационарных состоя-
состояний в координатном представлении фп(*); затем с по-
помощью суперпозиционного соотношения B3.17) соверша-
совершается переход от амплитуд <pn(#) к амплитудам тп(Рх).
Именно такой способ был применен в рассмотренном
выше примере. Возможен, однако, и другой способ: со-
совершается переход от Н(х) к Н(рх) и решается уравне-
уравнение Шредингера в импульсном представлении B3.13).
В этом случае отыскание амплитуд хп(Рх) сводится к ре-
решению уравнения B3.13).
§ 24. ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Квантовомеханическая задача об электроне в перио-
периодическом поле играет важную роль в теории твердого
тела. Мы приходим к этой задаче, используя одноэлек-
тронное приближение, обсуждавшееся в § 22.
Зонная структура энергетического спектра. Зоны
Бриллюэна. Рассмотрим одномерный периодический по-
246
тенциал U(x), удовлетворяющий условию
U{x + a) = U{x). B4.1)
Перейдем к импульсному представлению, следуя второму
способу в «схеме» приводившейся в конце предыдущего
параграфа. Это означает, что потенциал U(x) надо пред-
представить как оператор в импульсном представлении U(px).
(Для упрощения записи будем писать ниже р вместо рх.)
Разложим периодическую функцию B4.1) в ряд
Фурье:
оо
U{x)= 2 ?/„ехр(-/2ялл:/а)
и, переходя затем к импульсному представлению, за-
запишем
B4.2)
\ а ар }
п=— о©
тт ( d \
Далее покажем, что оператор ехр \рх есть опе-
ратор конечного переноса в р-пространстве на величину
р = Р\. В самом деле,
[ dp ' 2! У dp2 ' J KF> y\yi dp
ким образом,
B4.3)
Из B4.2) и B4.3) следует, что
^ ) {24Л)
Используя B4.4), запишем уравнение Шредингера
B3.13) в виде
2т щ
247
Фактически B4.5) есть однородная система линейных
уравнений относительно функций т(р), т(р—2яН/а),
х(р + 2лН/а) и т. д. Эта система состоит, вообще говоря,
из бесконечного числа уравнений:
Unt
= 0,
=0.
B4.6)
Ненулевые решения однородной системы существуют
лишь при условии равенства нулю ее определителя. Обо-
Обозначим определитель через D(E, p) и запишем символи-
символически
D(E, p)=0.
B4.7)
Зафиксируем р (пусть р — р\) и выпишем корни уравне-
уравнения B4.7): ?i(pi), Е2(р\)9 Е2(р\), ... Для другого значе-
значения р (пусть р = р2) получим новые корни: Ei(p2), E2(p2),
Е$(р2), ••• Выбирая различные значения р, приходим в
итоге к семейству функций, определяемых уравнением
B4.7):
), Е2(р),
B4.8)
Для каждого индекса / энергия является непрерывной
функцией импульса. Полагая эти функции ограниченны-
ограниченными, запишем для индекса /
pmin ^ р / ч ^ ртах /гм Q)
Неравенства B4.9) включают значения энергии микро-
микрообъекта, образующие /-ю энергетическую зону. Если ока-
248
жется, что
c-max ^ r~mln
?y<?
то в этом случае между (/—1)-й и /-й энергетическими
зонами существует область нереализуемых значений
энергии. Ее обычно называют запрещенной зоной.
Таким образом, энергетический спектр электрона
в периодическом поле должен состоять из ряда энергети-
энергетических зон, некоторые из которых могут быть разделены
запрещенными зонами. Внутри каждой энергетической
зоны энергия изменяется непрерывно; она описывается
некоторой непрерывной функцией Ej(p).
При замене р-*~р+2лНп/а система B4.6) переходит
сама в себя. Отсюда следует, что
B4.10)
Поскольку указанная выше замена ничего физически не
изменяет, то говорят, что импульс р имеет физически
различные значения в пределах области:
— яА/а</*<яЛ/а. B4.11)
Иными словами, р-пространство разбивается на участки
протяженностью 2яА/а, и имеет смысл рассматривать р
лишь в пределах одного отдельного участка. Указанные
участки называют зонами Бриллюэна. В данном случае
мы имеем дело с одномерными зонами Бриллюэна. В об-
общем случае зоны Бриллюэна трехмерны; они имеют час-
часто весьма сложную конфигурацию, отражающую специ-
специфику рассматриваемого периодического поля.
Зонная структура энергетического спектра характер-
характерна для электрона, движущегося в периодическом поле
кристаллической решетки. Представления об энергетиче-
энергетических зонах, а также о зонах Бриллюэна лежат в основе
современной электронной теории твердых тел (см., на-
например, [39, 40]).
Функции Блоха. Рассмотрим /-ю энергетическую зону. На
рис. 24.1 изображена условной кривой зависимость Ej(p) для
этой зоны. Выберем некоторое значение энергии Е° из указан-
указанной зоны и обозначим соответствующее значение импульса для
движения направо через р°. Волновую функцию выбранного
стационарного состояния будем обозначать через Tj°(p). Легко
видеть, что эта функция отлична от нуля только при р = р° +
+ 2nlin/a [на рисунке видно, что только в этих точках кривая
249
Ej(p) пересекается примой Е=Е°]. Поэтому функция Tj°(p)
может быть записана в виде
'-PV
B4.12)
Далее перейдем к координатному представлению по известному
правилу B3.4):
зона Брилтзне
max
Рис. 24.1
Подставляя сюда B4.12), получаем
Вводя обозначение
= «5W. B4.13)
перепишем предыдущий результат в виде
Явный вид функции Uj°(x) неизвестен [для этого надо было бы
знать явный вид функции U(x)]. Однако из B4.13) видно, что
функция Uj°(x) периодична с периодом поля
u°J(x + a) = u°J(x). B4.14)
Таким образом, волновая функция стационарного состояния, за-
задаваемого индексами j и р, имеет в координатном представле-
250
нии следующий вид [сравните с B2.24)]:
ЧУ/, (*) = и-Зр (*) ехр (ipxJU). B4.15)
Это есть плоская волна [exp(i>A/tt)], амплитуда которой [ujv(x)]
периодична с периодом поля. Функции B4.15) называются в ли-
литературе функциями Блоха.
Потенциал Кронига — Пенни. Рассмотрим движение
частицы в поле, потенциал которого изображен на рис.
24.2 (так 'называемый потен-
потенциал Кронига—Пенни). Это
есть наиболее «простой слу-
случай периодического потен-
циала.
На рис. 24.2 указаны три
пространственные области.
Полагая сначала, что E>U0, запишем решения уравне-
уравнения Шр-едингера B0.13):
в области /
в области 2
?2(х)= ^2ехР{^2Х) + ^2ехР(— ik2x)\ k2=y2mEjti.
Решение в области 3 можно выразить через решение в
области /, если воспользоваться полученными ранее ре-
результатами. Возьмем некую точку х из области 3. Соглас-
Согласно B4.15), можем записать
ср3 (х) = и (х) exp (tpxjh). B4.16)
Выбранной точке соответствует симметричная точка х—/
в области /. В точке х—/ имеем
с?! (х — /) = и (х — I) exp [ip [x —
В соответствии с B4.14) перепишем это равенство в виде
Ti (*-/) = я [х) exp [ip {х - /)/ft]. B4.17)
Из B4.16) и B4.17) находим срз(#) ехр (—ipx/h) =
=ц)\(х—/) ехр (—ipx/h) exp (ipl/h), или окончательно
ср3 (*) = ехр (ipljh) [А! ехр \ikx (x - /)] +
xp[-ikl{x-l)]]. B4.18)
251
Используя B4.18) и выражения для cpi и <р2, запишем ус-
условия непрерывности волновой функции и ее первой про-
производной в точках, соответствующих скачку потенциала
(в точках х = 0и х=а). Эти условия образуют однород-
однородную систему линейных уравнений относительно коэффи-
коэффициентов Ль В\, Л2, В2:
Ах exp (ik2a) -f- Вх ехр (— ik2a) =
= ехр {ipllh) [А{ ехр (— ikxb) ~f- Вх exp (ikxb)],
l^l 11 — ^2 2 — 2 2'
2#) ~~ ^2 ехР ( — ^2а)\ —
ехр (— ikxh) — Вх ехр (/*!*)] kx.
Приравнивая нулю определитель системы, приходим к
следующему уравнению (выкладки опущены):
k2 + k2
cos (pi/h) —cos (k2a) cos {kxb) — sin (k2a) sin (kxb).
2kxk2
B4.19)
Поскольку косинус по модулю не превышает единицы, то
получаем условие, накладываемое на величины k\ и k2,
а значит, и на Е:
Г k2 + k2 1
— 1 < cos (kffl) cos(kxb) sin (?2a) sin (kxb) < 1.
L 2^2 J
B4.20)
Это условие определяет разрешенные энергетические
зоны.
Далее рассмотрим случай, когда E<U0.
Теперь k\ — мнимая величина. Представим k\ = ik^
vjiek3=Y^2m(UQ~E)/ft. Гак как при замене k\ на ik$
косинус и синус превращаются соответственно в гипербо-
гиперболический косинус и гиперболический синус [cos (kib)-+-
-^ch {кф)\ sin (&i&)-H'sh \кф)\ то можно воспользовать-
воспользоваться результатом B4.19), который в данном случае прини-
принимает вид
9 9
cos (?Л= cos (k&) ch (k3b) + 3~ 2 sin {k2a)sh {kjb).
\ It / 2^з
B4.21)
252
Соответственно условие B4.20), определяющее энергети-
энергетические зоны, преобразуется к виду
-.4
cos(k2a) chI
fr — k2
sin (k2a) sh (k3b)
B4.22)
Рассмотрим частный случай, когда
(барьеры высокие и узкие). Так как в данном случае ве-
величина b может стать сколь угодно малой, то можно по-
потребовать, чтобы выполнялось также неравенство
1, или иначе kjx&l.
B4.24)
Учитывая B4.24), положим ch (k3b)^l и sh (кф)^1гф и,
кроме того {согласно B4.23)],
В итоге соотношение B4.21) принимает вид
cos (palh) = F {k2a), B4.25)
где используется обозначение
F (у) = cos у + [тиф\к2Щ sin у. B4.26)
Условие B4.22) преобразуется к виду
~l<F(^2a)<l. B4.27)
Функция F(k2a) изображена на рис. 24.3. Участки оси
k2a, для которых выполняется условие B4.27), на рисунке
Рис. 24.3
253
заштрихованы; этим участкам соответствуют разрешен-
разрешенные энергетические зоны (напомним, что k2 — V2mElh).
Используя B4.25) — B4.27), сделаем два замечания.
Первое: если а-^оо (переход к свободному электрону),
то cos (k2a)-+cos (pa/h); это соответствует переходу к
классическому соотношению B3.16) для энергии и им-
импульса частицы. Второе: из рис. 24.3 видно, что разрывы
энергии электрона происходят тогда, когда cos (pa/h)=
= ±1, т. е. при pa/h = nn, где п — целые числа. Согласно
B4.11), это означает, что разрывы энергии имеют место
на границе зоны Бриллюэна.
На рис. 24.4 показана определяемая соотношением
B4.25) зависимость энергии электрона от импульса; хо-
хорошо видны упомянутые выше разрывы энергии (слева
штриховкой показаны энергетические зоны). Для срав-
сравнения дана пунктиром классическая зависимость энергии
от импульса для свободного электрона: Е=р2/2т.
Образование энергетических зон как эффект снятия
перестановочного вырождения. Превращение энергетиче-
энергетических уровней элект-
электрона :в атоме \в энер-
энергетические зоны
электрона, «обоб-
щ ествен но го » кр и -
сталлом, можно рас-
рассматривать как эф-
эффект снятия переста-
перестановочного вырожде-
вырождения.
Как отмечалось
в § 22, энергия элек-
электрона в атоме в об-
общем случае некуло-
новского потенциа-
потенциала определяется
квантовыми числами я и /, в связи с чем можно говорить
о ее !выфождешш с кратностью 2B/+1). Если предпо-
предположить, что атом входит в состав некоего совершенно
упорядоченного коллектива из N одинаковых атомов и
остается при этом изолированным от соседей, то крат-
кратность вырождения энергии электрона должна быть при-
принята равной 2NBl+\). Множитель N связан с так на-
называемым перестановочным вырождением: в упорядочен-
упорядоченном коллективе нет физически выделенных атомов, по-
254
Рис. 24.4
этому энергия электрона .не может зависеть от того,
вблизи какого именно из N атомов он локализуется. Од-
Однако б реальном коллективе (имеется в виду кристалл)
атомы не изолированы — они (взаимодействуют друг с
другом. Это взаимодействие приводит к «обобществле-
«обобществлению» электрона и частичному снятию вырождения его
уровней: уровень с кратностью вырождения 2iVB/+l)
расщепляется в систему из NB1+1) подуровней, каж-
каждый из которых остается двукратно вырожденным (по
спиновому числу а). Таким образом, при «обобществле-
«обобществлении» электрона кристаллом снимается перестановочное
вырождение и вьгрождение по числу т.
Существенно, что система из NB1+1) подуровней
в действительности не дискретна, а образует полосу раз-
разрешенных значений энергии электрона. В самом деле,
пусть А? — энергетическая ширина указанной системы
подуровней, а Де — расстояние между соседними подуров-
подуровнями; Ae=AEJNB1+1). Чтобы система подуровней была
дискретной, необходимо, чтобы Де>Й/т, где х — время
жизни электрона в кристалле; иными словами, расстоя-
расстояние между подуровнями должно быть больше определяе-
определяемой соотношением C.2) неопределенности энергии под-
подуровня. Это означает, что должно выполняться условие
ftBZ-+l)W/A?<t. B4.28)
Полагая NB1+1) «1023, АЕж 1 эВ, получаем, что т дол-
должно быть больше 108 с, т. е. больше 10 лет. Поскольку
реальное время жизни «обобществленного» электрона в
кристалле может быть только меньше, то, очевидно, ус-
условие B4.28) не выполняется. Это и позволяет рассмат-
рассматривать систему из NB1+1) подуровней как энергетиче-
энергетическую зону. Разумеется, число состояний электрона в зоне
остается конечным — зона может «вместить» не более
2NBl+l) электронов. В связи с этим говорят о степени
заполнения зоны, о полностью заполненных зонах и т. п.
§ 25. ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
Квантовые переходы и принцип суперпозиции состо-
состояний. Предположим, что под действием некоего внешнего
фактора микрообъект совершает переход из одного ста-
255
ционарного состояния в другое. Как найти вероятность
такого перехода?
Начальное и конечное состояния микрообъекта опи-
описываются функциями типа B0.16), например начальное
состояние Wn(x, t) =фп(х)ехр(—iEnt/h). Через х здесь
обозначена, краткости ради, совокупность пространствен-
пространственных координат. Функция Wn удовлетворяет уравнению
Шредингера B0.17):
ЯЙЯ B5.1)
(будем называть его «невозмущенным» уравнением).
Внешний фактор, обусловливающий квантовый переход
микрообъекта, может иметь различную физическую при-
природу. В частности, это может быть взаимодействие мик-
микрообъекта с электромагнитным излучением. В аппарате
квантовой теории указанный фактор «выступает» как hg-
кий потенциал взаимодействия, который надо добавить
к «невозмущенному» гамильтониану Я. В § 22 ,в примере
с взаимодействием электрона и излучения подобная «до-
«добавка» к гамильтониану интерпретировалась как некое
возмущение и обозначалась через Н. Будем пользоваться
этим обозначением также и здесь. С учетом возмущения
Н' перепишем уравнение Шредингера в виде
ФЯ(Й + )ФЯ. B5.2)
Это уравнение называют «возмущенным» уравнением.
Его решения Фп уже не являются стационарными со-
состояниями, так что индекс п не фиксирует здесь уровня
энергии, а лишь указывает на предысторию: данное «воз-
«возмущенное» состояние «произошло» из п-то «невозмущен-
«невозмущенного» состояния.
Существенно, что состояние Фп является суперпози-
суперпозиционным. Можно сказать, что возмущение Н' выступает
в роли анализатора, который создает суперпозицию со-
состояний:
<М*. ') = 2 Х«* (')**(*. t). B5.3)
Если в некий момент t «включить» соответствующий де-
детектор, то суперпозиция B5.3) разрушится и микрообъ-
256
ект будет обнаружен в одном из стационарных состояний,
например в состоянии Чтт. Это и означает, что произошел
квантовый переход микрообъекта из состояния 4fn в со-
состояние Wm. Как известно, вероятность такого перехода
есть \%nm(t) |2.
Фактически все это уже знакомо читателю — приве-
приведенные только что замечания согласуются с замечания-
замечаниями в § 10, сделанными по поводу соотношения A0.3),
которое, по сути дела, эквивалентно соотношению B5.3).
Итак, вероятность перехода есть, как и следовало
ожидать, квадрат модуля соответствующей амплитуды
перехода:
™Пт= \ХптШ- B5.4)
Эта амплитуда является одним из коэффициентов в су-
суперпозиции B5.3), которая представляет собой разло-
разложение «возмущенного» состояния Фп по «невозмущен-
«невозмущенным» состояниям.
Переход к энергетическому представлению. Чтобы
найти вероятность wnm, надо, во-первых, решить урав-
уравнение B5.2), а во-вторых, найти коэффициенты разложе-
разложения полученных решений по состояниям типа B0.16). Та-
Такой путь соответствует, как легко видеть, первому спо-
способу в «схеме» перехода от одного представления к дру-
другому, рассмотренному в § 23. Более рационален, однако",
иной путь — путь, отвечающий второму способу в ука-
указанной «схеме». Ниже остановимся именно на этом
пути.
Согласно A5.5), коэффициенты %nk суперпозиции
B5.3) могут рассматриваться как волновая функция,
описывающая «возмущенное» состояние, но только не в
координатном представлении (в координатном представ-
представлении это делает функция Фп), а. в представлении набора
тех физических величин, по отношению к которым функ-
функции Wk являются собственными функциями. Так как
функции Wk являются собственными функциями гамиль-
гамильтониана, то назовем это представление энергетическим.
Итак, следуя второму способу в «схеме» из § 23, надо
«перевести» данное в координатном представлении «воз-
«возмущенное» уравнение B5.2) в энергетическое представ-
представление. Тем самым будет получено новое уравнение —
«возмущенное» уравнение Шредингера в энергетическом
представлении. Решения этого уравнения и будут пред-
представлять собой искомые амплитуды переходов.
9—2819 257
Выполняя намеченную программу, подставим B5.3)
в B5.2) и учтем при этом B5.1). Получим
Учитывая ортоно'рмированность стационарных состоя-
состояний, перепишем последнее выражение в виде
Итак, мы получили «возмущенное» уравнение Шре-
дингера в энергетическом представлении. Фактически
B5.9) есть не одно уравнение, а «система уравнений. Под-
Подчеркнем, что система B5.9) удобнее, нежели уравнение
B5.2), поскольку, решая эту систему, мы сразу опреде-
определяем амплитуды переходов %Пт. Весьма существенно так-
также, что в процессе решения системы B5.9) можно обыч-
обычно пользоваться методом возмущений.
Применение метода возмущений к вычислению веро-
вероятностей переходов. Обычно возмущение достаточно ма-
мало, что позволяет решать систему B5.9) приближенно,
применяя метод возмущений. Малость возмущения оз-
258
Это есть приближенное выражение для амплитуд %Пт,
полученное в первом порядке метода возмущений.
Если окажется, что <т\Н'\п>=0, то надо исполь-
использовать приближенное выражение для амплитуд во вто-
втором порядке метода возмущений. Оно получается из
B5.12) при сохранении членов второго порядка малости
по возмущению:
гласно (zb.ll), малая добавка Л разбивается в свою оче-
очередь на добавки разного порядка малости: х^ имеют тот
же порядок малости, что и возмущение, %^ квадратичны
по возмущению и т. д. Подставляя B5.11) в B5.9), по-
получим
259
Зная в том или ином порядке метода возмущений
амплитуды переходов, можно получить в соответствую-
соответствующем приближении вероятности переходов. В первом при-
приближении получаем,согласно B5.13),
J<»|fl'W
— \ < m | H' (/) | /г > exp (*<omli) Л . B5.16)
Во втором порядке метода возмущений получаем, исходя
из B5.14),
и т. д. B5.17)
Отметим, что результат B5.17) описывает интерфе-
интерференцию амплитуд. Результирующая амплитуда перехода
является здесь суммой амплитуд переходов через различ-
различные промежуточные состояния. Невозможность обнару-
обнаружения микрообъекта в том или ином промежуточном со-
состоянии обусловливает неразличимость альтернатив и
позволяет говорить о промежуточных состояниях как о
виртуальных.
Дальнейшая программа действий предполагает под-
подстановку в выражения типа B5.16) и B5.17) конкретных
операторов Н'. В квантовой электронике, например, ис-
используют оператор B2.29). Рассмотрение подобных во-
вопросов выходит, однако, за рамки данной книги; в связи
с этим можно адресовать читателя, например, к [12, 41].
Фейнмановские диаграммы и вычисление вероятно-
вероятностей переходов. В заключение вернемся к рассматривав-
-шимся в § 6 фейнмановским диаграммам (см. диаграм-
диаграммы на рис. 6.1, относящиеся к рассеянию одного электро-
электрона на другом). Отметим, что все изображенные на
рис. 6.1 диаграммы относились к одному и тому же кван-
квантовому переходу — переходу двух электронов из опреде-
определенных начальных в определенные конечные состояния.
Строго говоря, каждый конкретный переход должен опи-
описываться бесконечным числом диаграмм — со все более
возрастающим количеством вершин, В связи с этим на-
напомним приводившуюся в § 6 фразу :«Чтобы рассчитать
260
вероятность рассеяния электрона на электроне, надо в
принципе учесть вклад [в этот переход] различных про-
процессов, описываемых различными диаграммами».
Возвращаясь здесь к фейнмановским диаграммам,
подчеркнем, что теперь мы можем уточнить смысл при-
приведенной выше фразы. Теперь мы можем разъяснить, что
именно означает «учет вклада» разных диаграмм. Дело
в том, что каждой диаграмме соответствует определен-
определенная амплитуда перехода; результирующая амплитуда
есть сумма указанных амплитуд. Следовательно, для вы-
вычисления вероятности данного квантового перехода надо,
во-первых, составить всевозможные фейнмановские диа-
диаграммы перехода и записать амплитуды, отвечающие
разным диаграммам, а во-вторых, сложить все эти ам-
амплитуды и рассмотреть квадрат модуля суммы амплитуд.
Фраза в § 6: «К счастью, вклад различных процессов
[различных диаграмм] неодинаков» — означает, что на
практике используют метод возмущений, позволяющий
ограничиться при составлении суммы амплитуд лишь
первыми немногими членами. Отмечавшаяся в § 6 без-
безразмерная величина (е2/Нс) п/2 есть множитель, который
в указанной выше сумме амплитуд содержит амплитуды,
отвечающие диаграммам с п вершинами. Малость этой
величины и обусловливает применимость метода возму-
возмущений в квантовой электродинамике.
Можно сказать, что квантовомеханическая идея ин-
интерференции амплитуд переходов в сочетании с методом
возмущений составляет, с самой общей точки зрения, ос-
основу квантовой электродинамики как квантовой теории.
§ 26. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ
МИКРОСИСТЕМЫ ВО ВРЕМЕНИ
Заканчивая книгу, обсудим с достаточно общих по-
позиций принципиально важный вопрос о способах описа-
описания эволюции микросистемы во времени. Развитый к на-
настоящему времени аппарат квантовой механики исполь-
использует три разных способа. Этим способам отвечает три
разных формы записи уравнения движения в квантовой
механике.
Ниже мы обсудим упомянутые способы. Обычно о
них говорят как о трех разных представлениях, а имен-
261
но: представлении Шредингера, представлении Гейзен-
берга и представлении взаимодействия (представлении
Дирака). Термин «представление» используется при этом
в ином, более широком смысле, нежели в предыдущих
параграфах данной книги. Можно говорить о координат-
координатном представлении Шредингера или импульсном пред-
представлении Шредингера. Выше мы ограничивались пред-
представлением Шредингера, но учитывали разные представ-
представления, понимаемые в более узком смысле, — координат-
координатное, импульсное, энергетическое. Теперь же мы обсудим
представления Шредингера, Гейзенберга и Дирака, огра-
ограничиваясь из «прежних представлений» координатным.
Представление Шредингера. В этом представлении
эволюция микросистемы ibo времени описывается как
эволюция амплитуд состояний данной микросистемы:
, 'о)- B6.1)
Оператор O(t, to) удовлетворяет условиям:
О Vo> *o) = h B6.2)
OO+=D+O=\. B6,3)
Условие B6.2) очевидно. Условие унитарности B6.3)
есть прямое следствие независимости нормировки ампли-
амплитуды состояния от выбора момента времени:
(x, to)-b(x, Qdx.
Квантовомеханическое уравнение движения имеет в
представлении Шредингера вид (отвечающий уравнению
Шредингера)
1Н^-Ц(х, /) = //(*)ф(*, *), B6.4)
ot
где оператор Я от времени не зависит. Используя B6.4)
и B6.2), легко найти вид оператора U(t9 to):
/0)=exp[—l-{t-t0)H (x)] . B6.5)
Здесь экспоненту следует понимать в смысле разложения
в степенной ряд.
Представление Гейзенберга. В этом представлении
эволюция микросистемы во времени описывается как
262
эволюция эрмитовских операторов, описывающих данную
микросистему. При этом амплитуды состояний предпола-
предполагаются не зависящими от времени:
V(x, t) = <p(x, tQ). B6.6)
Переход от амплитуд в представлении Шредингера к ам-
амплитудам в представлении Гейзенберга осуществляется,
как это следует из B6.1), при помощи оператора
ср(х, /) = &+(*, *0)ф(*. /0). B6.7)
Действительно, подставляя B6.1) ,в B6.7), получаем
'<>) = ? С*, 'о)
Пусть L(x) — оператор некоторой физической вели-
величины в представлении Шредингера. Согласно A7.32) и
B6.7), этот оператор в представлении Гейзенберга бу-
будет иметь вид
L(x, f)=O+(t, to)t(x)D(t, t0). B6.8)
Подставляя B6.5) в B6.8), находим
?(х, /) = ехр^~ (t~t0)Й [х)\?(х) X
^//(л:)]. B6.9)
Дифференцируя B6.9) по времени, получаем
ih-jLt(х, t)=exp^L-(I-10) fi(x)]Z(x)Й(x) X
X exp [ - i- {t -10) Я (x) j ~ exp J J- (t -10) R (x) j X
X HL{x) L (x) exp [ - =L (t -10) H (jc)J , B6.10)
что можно переписать в виде
ih ± T(x, t)=O+L{x)Н (х) fj-0+fi (х) L{x)U
B6.11)
263
или с учетом B6.3) в виде
ih^-L{x, t)=O+l(x)W+U(x)O-
dt '
- О+Й (х) OO+L(x) U. B6.12)
Используя B6.8) как в отношении оператора L(x), так
и в отношении оператора Н(х), получаем отсюда кван-
товомеханическое уравнение движения в представлении
Гейзенберга [сравните с A9.10)]:
ib^Hx, t) = [b(x, t\ Н(х, t)]. B6.13)
Сопоставление представлений Шредингера и Гей-
Гейзенберга. Заметим, что в момент t0 имеем ф(х, t0) =
=ty(x, t0) и L(xy to)=L(x), т. е. совпадают как амплиту-
амплитуды состояний в обоих представлениях, так и операторы
в обоих представлениях. Однако в последующие момен-
моменты времени обнаруживаются две разные ситуации: в
представлении Шредингера изменяется амплитуда со-
состояния, а оператор остается таким же, каким он был в
момент ^о; в представлении Гейзенберга, напротив, изме-
изменяется оператор, а амплитуда состояния остается такой
же, какой она была в момент /0. Как говорят, в представ-
представлении Шредингера зависимость от времени перенесена
на амплитуды состояний, а в представлении Гейзенбер-
Гейзенберга— на операторы.
Для практических расчетов обычно удобнее пред-
представление Шредингера. Однако представление Гейзен-
Гейзенберга имеет то преимущество, что оно позволяет выявить
математическую аналогию квантовой механики и клас-
классической механики. Именно в представлении Гейзенбер-
Гейзенберга квантовомеханические соотношения имеют вид клас-
классических соотношений, в которых физические величины
заменены операторами (напомним в связи с этим послед-
последний пункт в § 20).
Шредингер, вводя в 1926 г. представление, носящее
теперь его имя, рассматривал зависящие от времени ам-
амплитуды состояний как амплитуды неких волн и положил
тем самым начало направлению, получившему название
«волновая механика». Годом раньше Гейзенберг пред-
предложил свой способ описания эволюции микросистем во
времени; при этом уравнение B6.13) было первоначаль-
264
но введено в матричном виде. Тем самым было положено
начало направлению, получившему название «матрич-
«матричная механика». Различие между обоими указанными на-
направлениями сводится к описанному выше различию
между представлениями Шредингера и Гейзенберга, т. е.
имеет сугубо формальный, аппаратный характер.
Представление взаимодействия (представление Ди-
Дирака). Предположим, что гамильтониан микросистемы
распадается на два слагаемых, из которых одно (#о)
представляет собой собственно гамильтониан микроси-
микросистемы, а другое (#i) описывает взаимодействие исход-
исходной микросистемы с внешними полями или другими си-
системами (иначе говоря, «отвечает» за эффект возмуще-
|Ния исходной микросистемы):
Й{х, t) = ffQ(x) + /71(x, t). B6.14)
В этом случае удобно пользоваться представлением
взаимодействия, введенным Дираком.
Амплитуда состояния .в представлении взаимодейст-
взаимодействия 4я(х, t) выражается через амплитуду состояния в
представлении Шредингера гр(х, /) следующим образом:
W (*, *) = ехр [-?- Йо (х) р- А,)] <|> (х, t). B6.15)
В соответствии с A7.32) находим отсюда вид оператора
LB(x, t) в представлении взаимодействия:
1В (х, t) = exp [-L (t -10) ft0 (л)] t (x) X
j. B6>16)
Подчеркнем, что в B6.15) и B6.16) используется не весь
гамильтониан Н(х, t), а лишь его «невозмущенное» сла-
слагаемое Н0(х).
Продифференцируем B6.15) по времени:
+ihexp [-L (t-tQ) RQ (x)]± ф (x, t).
265
[заметим, что B6.18) получается в результате дифферен-
дифференцирования по времени выражения B6.16)].
Итак, в представлении взаимодействия зависимость
от времени амплитуды состояния определяется гамильто-
гамильтонианом взаимодействия (возмущения) Нхв, тогда как за-
зависимость от времени оператора определяется «невозму-
«невозмущенным» гамильтонианом #0. В этом смысле представ-
представление взаимодействия отвечает картине, промежуточной
между представлениями Шрединг^ра и Гейзенберга.
Еще раз о векторной аналогии. Векторная аналогия
позволяет 'Весьма наглядно сопоставить все три рассмот-
рассмотренные выше представления. Соотнесем системе базисных
состояний микрообъекта систему взаимно ортого-
ортогональных базисных векторов в некотором условном про-
пространстве. Все операторы будем рассматривать в матрич-
матричном виде, который определяется системой базисных век-
векторов. Состояния микрообъекта описываются векторами,
рассматриваемыми в системе координат, определяемой
базисными векторами. Итак, есть система базисных век-
векторов и рассматриваемая относительно нее совокупность
векторов-состояний.
266
Теперь обратимся к различным представлениям.
В представлении Шредингера эволюция микрообъекта
во времени предполагает поворот вектора-состояния от-
относительно неподвижной системы базисных векторов.
В представлении Гейзенберга эволюция микрообъекта во
времени предполагает, напротив, поворот системы базис-
базисных векторов относительно неподвижного вектора-состо-
вектора-состояния. Наконец, в представлении взаимодействия предпо-
предполагается как поворот системы базисных векторов, так и
поворот Лектора-состояния. При этом 'поворот вектора-
состояния обусловлен исключительно взаимодействием
микрообъекта с внешними долями (возмущением) и име-
имеет тем самым динамическую природу. Поворот же систе-
системы базисных векторов не связан с внешними факторами
и имеет кинематическую природу.
Одно дополнительное замечание. Рассмотренные
выше способы описания эволюции микросистем во вре-
времени основаны на использовании квантовомеханического
уравнения движения. Они предполагают непрерывную
эволюцию во времени либо амплитуд состояний, либо
определенных эрмитовских операторов, либо одновре-
одновременно и амплитуд состояний и операторов. Однако суще-
существуют также качественно иные процессы. Так, произ-
производимое детектором разрушение суперпозиции состояний
в измерительном акте приводит, как известно, к скачко-
скачкообразному изменению амплитуды состояния. Очевидно,
что это изменение амплитуды не следует какому-либо
уравнению движения и поддается лишь вероятностному
предсказанию.
В связи с этим различают два типа процессов в кван-
квантовой механике: процессы, связанные с непрерывным
изменением амплитуды состояния в соответствии с урав-
уравнением движения, и процессы, связанные со скачкообраз-
скачкообразным, не предсказуемым однозначно изменением ампли-
амплитуды состояния в измерительном акте. В существующем
аппарате квантовой механики отражены прежде всего
(и главным образом) процессы первого типа. Заметное
повышение в последнее время интереса к квантовомеха-
нической проблеме измерения предполагает разверты-
развертывание серьезных исследований процессов второго типа
(ib связи с этим см. замечания о проблеме измерения в
квантовой механике в [42]).
Распространено убеждение в том, что вероятностная
трактовка квантовой механики исчерпывается введением
267
амплитуды вероятности, поскольку для последней спра-
справедливы однозначные предсказания, основанные на ре-
решении уравнения Шредингера. Такое убеждение, как
легко видеть, связано с тем, что не принимаются во вни-
внимание отмеченные выше процессы второго типа. Без сом-
сомнения, эти процессы углубляют, усложняют вероятност-
вероятностный аспект квантовой механики, так как указывают на
необходимость рассмотрения своеобразной «вторичной
вероятности» — вероятности реализации амплитуды ве-
вероятности.
Следует признать, что теория квантовомеханических
измерений еще весьма далека от своего завершения; про-
процессы второго типа все еще не получили должного отра-
отражения в аппарате квантовой механики. Это означает, что
современная квантовая механика, несмотря на свою стро-
строгость и безусловную математическую красоту, «скрыва-
«скрывает» в себе нерешенные проблемы, предопределяющие
дальнейшее ее развитие как физической теории.
К ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И СТАНОВЛЕНИЯ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
(НЕБОЛЬШАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА)
«Твой ум уклончивый ведет тебя в обход,
Ища проторенных тропинок,
Но ты вступи с ним в поединок:
Дать радость может только взлет.
Что виделось вчера как цель глазам
твоим,
Для завтрашнего дня — оковы;
Мысль — только пища мыслей новых,
Но голод их неутолим.»
Э. Верхарн
«Кризис физики». XIX век оказался веком бурного
развития физических наук. Достаточно отметить дости-
достижения в области электричества и магнетизма, которые
привели к теории электромагнитного поля Максвелла и
позволили <включить оптику в рамки электромагнитных
явлений; значительный прогресс в развитии классической
механики, которая достигла особой стройности и закон-
законченности благодаря ряду блестящих математических ра-
работ; разработку ряда универсальных физических прин-
принципов, среди которых на первом месте стоит закон со-
сохранения и превращения энергии. Неудивительно, что к
концу XIX в. сложилось общее убеждение в том, что
описание законов природы близко к окончательному за-
завершению. Показательно в этом отношении известное
высказывание Планка: «Когда я начал свои физические
занятия A880 год) и спросил у своего почтенного учите-
учителя Филиппа Жолли совета об условиях и перспективах
моих занятий, он представил мне физику как высокораз-
высокоразвитую, почти созревшую науку, которая должна скоро
принять свою окончательную устойчивую форму после
того, как она в известном смысле увенчана открытием
принципа сохранения энергии. Конечно, в том или ином
уголке можно еще заметить или удалить пылинку или
пузырек, но система как целое стоит довольно прочно, и
теоретическая физика заметно приближается к той сте-
степени совершенства, какою уже столетия обладает гео-
геометрия».
269
В августе 1900 г. великий математик Гильберт выд-
выдвинул на Втором Международном конгрессе математи-
математиков свои знаменитые 23 проблемы. Одной из этих проб-
проблем (шестая проблема) была проблема аксиоматизации
физики. Гильберт предложил сформулировать конечное
число исходных аксиом, из которых чисто логическим
путем можно было бы вывести все следствия, достаточ-
достаточные для полного описания физической картины мира.
Сам факт лоставовни такой проблемы как нельзя луч-
лучше говорил об убежденности ученых того времени, в бли-
близости окончательного завершения физической науки.
Дальнейшие события очень скоро развеяли подоб-
подобные иллюзии. На рубеже XIX и XX вв. был сделан ряд
фундаментальных открытий, которые никак не уклады-
укладывались iB рамки существовавших физических теорий. Пе-
Перечень таких открытий оказался достаточно богатым:
рентгеновские лучи, зависимость массы электрона от ско-
скорости, непонятные закономерности фотоэффекта, радио-
радиоактивность и др. Казалось, природа решила «посмеять-
«посмеяться» над самоуверенностью людей, вообразивших, будто
они уже (постигли все ее тайны.
Такой неожиданный поворот событий заставил це-
целый ряд физиков и философов говорить о крушении
прежних основ, о непознаваемости материи, об отсутствии
объективных законов природы, об «исчезновении массы»
и т. п. На смену прежнему единодушию пришли острые
разногласия, причем не в частностях, а в основных, ру-
руководящих идеях.
В книге «Материализм и эмпириокритицизм», вы-
вышедшей в ювет в 1908 г., В. И. Ленин назвал этот пери-
период в (развитии физики периодом «кризиса физики», суть
которого «состоит в ломке старых законов и основных
принципов, в отбрасывании объективной реальности вне
сознания, т. е. в замене материализма идеализмом и аг-
агностицизмом. «Материя исчезла» — так можно выразить
основное и типичное по отношению ко многим частным
вопросам затруднение, создавшее этот кризис» (см. [43],
с. 241). Анализируя причины, которые привели к кризи-
кризису, В. И. Ленин писал: «Новая физика свихнулась в иде-
идеализм, главным образом, именно потому, что физики не
знали диалектики...» (там же, с. 245). Отстаивая диалек-
диалектическую точку зрения, В. И. Ленин подчеркивал: «Ма-
«Материя исчезает» — это значит исчезает тот предел, до ко-
которого мы знали материю до сих пор, наше знание идет
270
глубже...» (там же, с. 243). В. И. Ленин указывал, что
период крлз.иеа завершится новым скачком в развитии
физики, причем дальнейшее ее развитие будет идти по
пути материалистической диалектики. Он писал: «Совре-
«Современная физика лежит в родах. Она рожает диалектиче-
диалектический материализм. Роды болезненные» (там же, с. 295).
Оглядываясь назад, мы можем теперь сказать, что
эти «роды» завершились, в частности, появлением на свет
квантовой механики. Как и предвидел Ленин, в резуль-
результате преодоления «кризиса физики» наше знание мате-
материи пошло глубже, потребовало решительного поворота
от метафизического мышления к диалектическому. И на-
наиболее ярко это выразилось в квантоовомеханических
представлениях. С полным основанием мы связываем с
квантовой механикой качественный скачок в процессе
познания человеком законов природы (см. § 16 книли).
Рассматривая историю начального периода кванто-
квантовой механики, можно с достаточной определенностью вы-
выделить три этапа. Первый этап: конец XIX в.— 1912 г.
(первые эксперименты и первые попытки их объяснения).
Второй этап: 1913—1922 гг. (квантовая теория Бора).
Третий этап: 1923—1927 гг. (становление квантовой ме-
механики). Ниже остано1вимся на этих этапах подробнее.
Первые эксперименты и первые попытки их объяс-
объяснения (конец XIX в. —1912 г.). Основу квантовой меха-
механики заложили экспериментальные работы, выполненные
в конце XIX — начале XX вв. в нескольких разных, не
связанных в то время друг с другом областях физики:
атомной спектроскопии, исследованиях излучения абсо-
абсолютно черного тела, исследованиях фотоэффекта, физике
твердого тела, исследованиях строения атома.
К концу XIX ib. был накоплен богатый эксперимен-
экспериментальный материал по спектрам излучения атомов. Как
оказалось, спектры атомов представляют собой упорядо-
упорядоченные наборы дискретных линий (серии). В 1885 г.
Бальмер открыл названную впоследствии его именем се-
серию линий атомарного .водорода, описываемую доста-
достаточно простой формулой. В 1889 г. Ридберг нашел серию
линий для таллия и ртути. Серьезные исследования
спектров различных атомов выполнили в этот период
Кайзер и Рунге, применившие метод фотографирования.
В 1904 г. Лайман открыл серию линий водорода, попа-
попадающую в ультрафиолетовую часть спектра, а в 1909 г.
Пашен нашел серию водорода в инфракрасной части
271
спектра. Примечательно, что серии Лаймана и Пашена
описывались формулой, очень похожей на установлен-
установленную ранее формулу Бальмера. Подметив закономерно-
сти в разных сериях атома, Ритц сформулировал в 1908 г.
свой знаменитый комбинационный принцип (см. § 2 кни-
книги). Однако 1вплоть до 1913 г. этот 'принцип не имел объ-
объяснения; природа спектральных линий оставалась непо-
непонятой.
Исследуя излучение абсолютно черного тела, Вин
в 1896 г. вывел формулу, хорошо описывающую экспери-
экспериментальные результаты при высоких частотах излучения
(закон Вина). Однако эта формула была непригодна
для малых частот. В 1900 г. Рэлей предложил формулу,
хорошо согласующуюся с опытом при малых частотах
(закон Рэлея — Джинса), но приводящую к абсурдному
результату при переходе к высоким частотам (эта ситу-
ситуация известна как «ультрафиолетовая катастрофа»).
В том же году Люммер и Принсгейм выполнили обстоя-
обстоятельные экспериментальные исследования в широкой об-
области частот. Для объяснения данных, полученных Люм-
мером и Цринсгеймом, Планк предложил свою знаме-
знаменитую эмпирическую формулу, переходящую в формулы
Вина и Рэлея —Джинса в соответствующих предельных
случаях.
В предложенную Планкам формулу входила некая
постоянная, которую он назвал элементарным квантом
действия (речь идет о постоянной Планка ft). Как пола-
полагал Планк (см. [44], с. 145), «или квант действия был
фиктивной величиной, и тогда весь вывод закона излу-
излучения был принципиально иллюзорным и представлял
просто лишенную содержания игру в формулы, или же
при выводе этого закона в основу была положена пра-
правильная физическая мысль, и тогда квант действия дол-
должен был играть в физике фундаментальную роль, тогда
появление его возвещало нечто совершенно новое, дото-
дотоле неслыханное, что, казалось, требовало преобразова-
преобразования самых основ нашего физического мышления, поко-
покоившегося, со времен обоснования анализа бесконечных
малых Ньютоном и Лейбницем, на предположении о не-
непрерывности всех причинных связей». Размышляя над
своей формулой, Планк пришел к гениальному выводу:
надо допустить, что каждый атом-излучатель в теле мо-
может излучать энергию только прерывно, порциями (кван-
(квантами), причем энергия отдельного кванта равна ftco. Так
272
появилась историческая работа Планка «Теория закона
распределения энергии нормального спектра», представ-
представленная -в Берлинскую Академию наук 14 декабря 1900 г.
В определенном смысле этот день может быть назван
днем рождения квантовой механики.
Открытие Планка вступало в резкое противоречие с
классической теорией. Надо признать, что это обстоя-
обстоятельство немало беспокоило прежде всего самого План-
Планка. Пытаясь примирить свое открытие с классическими
представлениями, он выдвинул своеобразную гибридную
концепцию, с которой выступил в 1911 г. Согласно этой
концепции, дискретен лишь процесс испускания излуче-
излучения, тогда как распространение и поглощение излучения
происходят непрерывно.
Гибридная гипотеза Планка не получила признания.
Еще ранее, в 1905 г. Эйнштейн дал блестящее объясне-
объяснение всех известных в то время закономерностей фотоэф-
фотоэффекта, исходя из предположения, что свет не только ис-
испускается, но и поглощается порциями. Позднее A917 г.)
Эйнштейн пришел к заключению, что квант света имеет
не только определенную энергию, но и определенный им-
импульс, равный /ко/с.
В 1907 г. Эйнштейн успешно применил идею кван-
квантования к решению одной из важных проблем физики
твердого тела, волновавшей ученых в течение многих лет.
Уже в XIX в. физики столкнулись с нарушением класси-
классического закона Дюлонга и Пти: было обнаружено, что
теплоемкость твердых тел вовсе не постоянна, но умень-
уменьшается при достаточном понижении температуры. Ука-
Укажем в качестве примера опыты Вебера A875 г.) по об-
обнаружению температурной зависимости теплоемкости в
боре, углероде, кремнии. Факт температурной зависимо-
зависимости темплоемкости твердых тел не находил объяснения
в рамках классической теории. И вот в 1907 г. появилась
работа Эйнштейна «Теория излучения Планка и теория
удельной теплоемкости». Применив идею Планка о
квантовании энергии к колебаниям атомов в кристалле,
Эйнштейн вывел формулу, которая в полном согласии с
опытом описывала температурную зависимость теплоем-
теплоемкости твердых тел. Эта работа Эйнштейна положила на-
начало современной теории теплоемкости твердого тела.
Наконец, надо отметить исследования строения ато-
атома, начало которых можно отнести к 1901 г., когда Том-
сон предложил модель атома в виде равномерно поло-
273
жительно заряженной сферы с одним электроном в центре.
Позднее Томсон пришел к выводу, что число электро-
электронов в атоме должно быть пропорционально атомному
весу и что устойчивость атома невозможна без враща-
вращательного движения электронов.
В 1908 г. Гейгер и Марсден начали изучать рассея-
рассеяние а-частиц при прохождении сквозь тонкие пленки
разных металлов. Они обнаружили, что большинство
а-частиц проходит сквозь пленку, не рассеиваясь, тогда
как некоторые а-частицы, примерно одна на десять ты-
тысяч, резко отклоняются (на угол больше 90°). В 1911 г.
Резерфорд пришел к убеждению, что наблюдавшееся
изредка резкое отклонение а-частицы происходит в ре-
результате не многих, а одного акта столкновения с ато-
атомом и, следовательно, в центре атома должно находиться
положительно заряженное малое ядро, заключающее в
себе почти всю массу атома. Это был решающий шаг в
создании планетарной модели атома, которую Резерфорд
окончательно сформулировал к 1913 г.
Итак, в период с конца XIX в. и до 1913 г. проис-
происходило накопление важных экспериментальных фактов,
не находивших объяснения в рамках существовавшей
теории: открытие упорядоченных серий в спектрах ато-
атомов; открытие квантования энергии в исследованиях из-
излучения абсолютно черного тела, а также фотоэффекта
и теплоемкости твердых тел; создание планетарной мо-
модели атома. Однако до 1913 г. все эти открытия рассмат-
рассматривались порознь. Понадобился гений Бора, чтобы ос-
осмыслить единую природу указанных фактов и создать на
этой основе достаточно стройную квантовую теорию
атома.
Квантовая теория Бора A913—1922 гг.). В 1913 г.
появилась знаменитая работа Бора «О строении атомов
и молекул», в которой была рассмотрена теория плане-
планетарной модели атома водорода, опирающаяся на идею
квантования (квантовались энергия в момент импульса
электрона в атоме). Решительно порывая с принятыми
представлениями, теория Бора отрицала непосредствен-
непосредственную связь частоты излучения, испускаемого атомом, с
частотой обращения электрона в атоме. Познакомившись
с этой теорией, Эйнштейн, как известно, заметил: «Но
в таком случае частота света совершенно не зависит от
частоты электрона! Это же колоссальное открытие!»
Действительно, правило частот, предложенное Бором,
274
давало убедительное объяснение комбинационному прин-
принципу Ритца и позволяло рассчитать постоянную Рид-
берга. Позднее A949 г.) Эйнштейн писал о теории Бора
(см. [45], с. 148): «Мне всегда казалось чудом, что этой
колеблющейся и полной противоречий основы оказалось
достаточно, чтобы позволить Бору — человеку с гениаль-
гениальной интуицией и тонким чутьем — найти главнейшие за-
законы спектральных линий и электронных оболочек ато-
атомов, включая их значение для химии. Это кажется мне
чудом и теперь. Это — наивысшая музыкальность в об-
области мысли».
В 1914 г. были выполнены опыты, давшие прямое
экспериментальное подтверждение того, что атом может
изменять энергию только определенными порциями. Речь
вдет об известных опытах Франка и Герца, ,в которых из-
измерялась энергия электронов, затрачиваемая на воз-
возбуждение атомов ртути.
В 1915—1916 гг. Зоммерфельд развил теорию Бора.
Он, в частности, обобщил метод квантования на случай
систем, имеющих больше одной степени свободы, перей-
перейдя от круговых орбит к эллиптическим; рассмотрел пре-
прецессию эллиптической орбиты в собственной плоскости.
В 1916 г. Дебай и Зоммерфельд пришли к ,выводу о кван-
квантовании составляющей момента в направлении магнит-
магнитного поля. Тем самым в физику вошло представление о
пространственном квантовании, блестяще подтвержден-
подтвержденное позднее A921 г.) опытами Штерна и Герлаха по
расщеплению атомных пучков в неоднородных магнит-
магнитных полях.
Продолжая работать .в области квантовой теории
атомов, Бор сформулировал (В 1918 г. (ib статье «К кван-
квантовой природе линейчатых спектров») знаменитый прин-
принцип соответствия, использовавшийся им фактически уже
с 1913 г. Согласно этому принципу, законы квантовой
физики должны переходить в законы классической фи-
физики при больших значениях квантовых чисел системы,
т. е. когда относительная величина кванта действия ста-
становится пренебрежимо малой. Отсюда следует, что клас-
классическая физика имеет принципиально важное значение
в открытии законов квантовой механики.
Период с 1913 г. до начала 20-х годов вошел в исто-
историю как период создания и развития квантовой теории
Бора. Достижения этой теории несомненны; она явилась
важнейшим этапом в истории создания квантовой меха-
275
ники. Однако по мере развития теории Бора все сильнее
стали выявляться внутренние противоречия теории, во
многом связанные с противоречиями самой идеи кванто-
квантования, идеи «квантовых скачков» (см. § 2 книги). Теория
все более и более обнаруживала кризисное состояние.
Дальнейшее развитие квантовой механики требовало
преодоления этого кризиса, привлечения новых идей. Как
уже отмечалось в § 2, разрешение противоречий было
достигнуто .в результате обращения к идее корпускуляр-
корпускулярно-волнового дуализма. Устранив противоречия «старой
квантовой теории», идея дуализма ознаменовала начало
этапа подлинного становления квантовой механики как
физической теории, увенчавшегося созданием ее аппара-
аппарата и, как следствие, успешным решением целого ряда
задач атомной физики и физики атомного ядра.
Становление квантовой механики A923—/927 гг.).
В 1923 г. Комптон обнаружил названный впоследствии
его именем эффект уменьшения длины волны рентге-
рентгеновского излучения при рассеянии в веществе. Этот эф-
эффект наглядно продемонстрировал наличие у излучения
не только волновых, но также и корпускулярных свойств.
Кванты света как элементарные частицы окончательно
вошли в физику, получив название фотонов.
В 1923—1924 гг. де Бройль в своей докторской дис-
диссертации «Исследования по теории квантов» предложил
распространить идею корпускулярно-волнового дуализ-
дуализма на все микрообъекты, связывая с каждым миюрообъ-
ектом как корпускулярные, так и волновые характери-
характеристики (см. § 2 книги). Позднее A927 г.) идея дуализма
получила особенно убедительное подтверждение в опы-
опытах по дифракции электронов, выполненных одновремен-
одновременно в нескольких различных лабораториях. В 1925 г. де
Бройль ввел понятие о «волнах материи», описываемых
так называемой волновой функцией.
Соединение идеи квантовая с идеей корпускулярно-
волнового дуализма оказалось необычайно плодотвор-
плодотворным для развития квантовой механики. В течение 1925—
1926 гг. был фактически создан аппарат квантовой меха-
механики. Первый шаг сделал в 1925 г. Гейзенберг. Он предло-
предложил представлять каждую квантованную динамическую
переменную в виде некоторой матрицы, диагональ-
диагональные элементы которой суть наблюдаемые в опыте значе-
значения этой переменной (читатель знаком с таким подходом
на примере гамильтоновой, или энергетической, матри-
276
цы, подробно обсуждавшейся в книге). Соотношений
между матрицами Гейзенберг, опираясь на принцип со-
соответствия, брал в форме .известных классических соот-
соотношений для соответствующих переменных, учитывая
нр.и этом, однако, .возможность некоммутативности про-
произведения используемых матриц. В 1926 г. в работе «О
квантовании как задаче о собственных значениях» Шре-
Шредингер, используя волновые представления, предложил
свое знаменитое дифференциальное уравнение для вол-
навой функции (известное теперь как уравнение Шре-
дингера). Проблему .вычисления энергетических уровней
связанного микрообъекта Шредингер сводил к проблеме
нахождения собственных значений.
В первое время после появления работы Шредингера
казалось, что теперь имеются две независимых теории —
волновая механика Шредингера и матричная механика
Гейзенберга. Однако уже в 1926 г. Шредингер показал,
что обе эти теории фактически эквивалентны и представ-
представляют собой лишь две разные формы рассмотрения одной
и той же сущности.
Следует отметить, что волновой формализм теории
Шредингера был воспринят наиболее охотно, поскольку
он давал возможность решать задачи квантовой меха-
механики при помощи хорошо разработанных методов мате-
математической физики. Интересно ^высказьивание Планка об
уравнении Шредингера [46]: «Что придает этому диффе-
дифференциальному уравнению его основополагающее зна-
значение, так это меньше всего способ его вывода, а также
вовсе не его физическая интерпретация, в деталях еще
не вполне ясная, но прежде всего то обстоятельство, что
благодаря введению квантового закона в известную схе-
схему обычного дифференциального уравнения создается со-
совсем новая методика, позволяющая с помощью матема-
математики преодолевать трудную квантовотеоретическую проб-
проблему. Это первый случай, когда квант действия, который
до сих пор не поддавался никаким попыткам подойти к
нему с точки зрения физики непрерывного, удалось вклю.-
чить в дифференциальные уравнения».
Если формализм теории Шредингера сразу же был
признан, то вопросы интерпретации 1волновой механики,
выяснения физического содержания понятия «волновая
функция» стали на долгие годы предметом горячих дис-
дискуссий. В 1926 г. Борн выдвинул вероятностную интер-
интерпретацию волновой функции; «волны материи» уступили
277
место «волнам вероятности». Невозможность толкования
волновой функции как амплитуды некоторого материаль-
материального поля (подобного электромагнитному или гравита-
гравитационному) была вполне осознана уже ,в те годы. Говоря
о природе волновой функции, Планк писал ib 1928 г.
(в отмечавшейся выше работе [46]): «То, что эта величи-
величина не может быть представлена наглядно в обычном
смысле, но имеет только непрямое, символическое зна-
значение, следует уже из того, что волны движутся, вообще
вовсе не в обычном трехмерном, а в так называемом кон-
конфигурационном пространстве, размерность которого оп-
определяется числом степеней свободы рассматриваемой
системы». Это означало, что дебройлевские волны нельзя
интерпретировать как некие .классические волны.
Следующий важный шаг в развитии квантовой ме-
механики, в раскрытии ее физико-философского содержа-
содержания был сделан в 1927 г., когда Гейзенберг ввел в тео-
теорию свои знаменитые соотношения неопределенностей,
показав тем самым, как надо пользоваться (Понятиями
энергии, импульса, координаты и т. п. в применении к
микрообъектам (см. § 3 книги). С появлением соотноше-
соотношений неопределенностей квантовая механика окончатель-
окончательно порывала с классическим детерминизмом и должна
была отныне рассматриваться как принципиально стати-
статистическая теория. В том же году Бор, исходя из соотно-
соотношений неопределенностей, сформулировал одно из вы-
выдающихся откровений XX в. — принцип дополнительности
(см. § 16 .книги).
Без сомнения, 20-е годы явились периодом наиболее
интенсивного развития квантовой механики. Здесь прак-
практически невозможно остановиться на всех важных иссле-
исследованиях, выполненных ib этот период. Дополним нари-
нарисованную выше картину лишь следующими штрихами:
1924 г. — Паули предложил приписывать электрону
дополнительную (четвертую) степень свободы, прини-
принимающую два значения; используя идею Паули, в 1926 г.
Уленбек и Гаудсмит выдвинули концепцию «вращающе-
«вращающегося электрона» (иными словами, концепцию спина);
1924 г. — Бозе выполнил фундаментальные исследо-
исследования, продолжив которые, Эйнштейн создал статистиче-
статистическую теорию для фотонов, получившую впоследствии на-
название статистики Бозе — Эйнштейна; в рамках этой тео-
теории формула Планка для излучения абсолютно черного
тела получила, наконец, полное обоснование;
278
1925 г. — Паули сформулировал свой знаменитый
принцип запрета для электронов;
1925 г. — Бори и Иордан сформулировали в матрич-
матричной форме теорию Гейзенберга;
1925 г. — Дирак развил релятивистскую теорию элек-
электрона и водородоподобных атомов;
1926 г. — Ферми и Дирак выполнили фундаменталь-
фундаментальные работы по статистической теории электронов, полу-
получившей .впоследствии название статистики Ферми—Ди-
Ферми—Дирака.
Разумеется, история становления квантовой механи-
механики не завершается 1927 г. В последующие годы кванто-
квантовая механика обогатилась многими новыми методами,
приложениями, а главное — дальнейшими исследования-
исследованиями ее физико-философского содержания. Некоторые
проблемы .квантовой мехаиики (и прежде всего пробле-
проблема измерения) продолжают исследоваться и ,в наши дни.
Однако, мы закончим наш краткий исторический экскурс
на 1927 г., полагая, что дальнейшая история квантовой
механики требует специального рассмотрения.
Читателям, желающим более подробно познако-
митыся с историей возникновения и становления кванто-
квантовой механики, можно порекомендовать следующие тру-
труды: [47-50].
ЛИТЕРАТУРА
1. В. А. Ф о к. Об интерпретации квантовой механики. В сб-ке
«Философские вопросы современной физики». М., Изд-во АН
СССР, 1959.
2. У. Л э м б. Измерения в квантовомеханических системах и ин-
интерпретация нерелятивистской квантовой механики. — УФН, т. 99
A969), с. 719.
3. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. С э н д с. Фейнмановские лек-
лекции по физике. Пер. с англ. т. 8. М., «Мир», 1966.
4. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. С э н д с. Фейнмановские лек-
лекции по физике. Пер. с англ. т. 9. М., «Мир», 1967.
5. Р. Фейнман, А. X и б с. Квантовая механика и интегралы по"
траекториям. Пер. с англ. М., «Мир», 1968.
6. Н. Бор. Атомная физика и человеческое познание (сб. статей).
Пер. с англ. М., ИЛ, 1961.
7. В. А. Фок. Начала квантовой механики. Л., «Кубуч», 1932.
8. В. Паули. Общие принципы волновой механики. Пер. с нем.
М. —Л., ГИТТЛ, 1947.
9. П. Дирак. Принципы квантовой механики. Пер. с англ. М.,
Физматгиз, 1960.
10. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц. Квантовая механика (не-
(нерелятивистская теория). М., «Наука», 1974.
11. Д. И. Блохинцев. Основы квантовой механики. М., «Выс-
«Высшая школа», 1961. '
12. Э. Ферми. Квантовая механика. Пер. с англ. М., «Мир», 1965.
13. Л. Ш и ф ф. Квантовая механика. Пер. с англ. М., ИЛ, 1957.
14. М. Б о р н. Физика в жизни моего поколения. Пер. с англ. М.,
ИЛ, 1963.
If П. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей. Пер. с фр.
1908.
16. П. Л анжевен. Атомы и корпускулы. В сб.: Избранные произ-
произведения. Пер. с фр. М., ИЛ, 1949.
17 И В Савельев. Курс общей физики, т. 3. М., «Наука»,
1968.
18. Л. Розенфельд, Э. Рюдингер. Годы перелома. В сб.:
«Нильс Бор — жизнь и творчество». М., «Наука», 1967.
19. Н. Бор. Воспоминания о Резерфорде — основоположнике науки
о ядре. —УФН, т. 80 A963), с. 219.
20. В. Г е й з е н б е р г. Открытие Планка и основные философские
проблемы атомной теории. — УФН, т. 66 A958), с. 163.
21 В Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. Пер.
' с нем. М. —Л., ГТТИ, 1932.
22. В. С. Вавилов. Действие излучений на полупроводники. М.,
Физматгиз, 1963.
280
23. Л. д е Б р о й л ь. Введение в волновую механику. Пер. с фр.
Киев, ГНТИ, 1934.
24. Л. В. Тарасов. О длине волны электрона в потенциальной
яме. Сб. «Физика», вып. 2.' МВССО СССР. М., «Высшая школа»,
1972.
25. Д. Б о м. Причинность и случайность в современной физике
Пер. с англ. М., ИЛ, 1959.
26. Л. Купер. Физика для всех, т. 2. Пер. с англ. М, «Мир», 1974.
27. Г. Я. М я к и ш е в. Динамические и статистические закономер-
закономерности в физике. М, «Наука», 1973.
28. Д. Б о м. Квантовая теория. Пер. с англ. М., «Наука», 1965.
29. С. И. Вавилов. Ленин и физика (сб. статей). М., Изд-во АН
СССР, 1960.
30. Дж. Т р и г г. Решающие эксперименты в современной физике.
Пер. с. англ. М., «Мир», 1974.
31. Я. М. Гельфер, В. Л. Любошиц, М. И. Подгорец-
к и й. Парадокс Гиббса и тождественность в квантовой механи-
механике. М., «Наука», 1975.
32. Д. И. Б л о х и н ц е в. Принципиальные вопросы квантовой ме-
механики. М., «Наука», 1966.
33. Н. Бор. О понятиях причинности и дополнительности. Избран-
Избранные труды, т. 2. М., «Наука», 1971.
34. В. И. Коган, В. М. Г а л и ц к и й. Сборник задач по кванто-
квантовой механике. М., ГИТТЛ, 1956.
35. 3. Ф л ю г г е. Задачи по квантовой механике, т. 1 и 2. Пер. с
англ. М., «Мир», 1974.
36. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 3, ч. 2. М.,
«Наука», 1969.
37. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М.г
Гостехиздат, 1953.
38. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц. Теория поля. М., Физмат-
гиз, 1960.
39. Дж. 3 а й м а н. Принципы теории твердого тела. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1966.
40. Г. Джон с. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в
кристаллах. Пер. с англ. М., «Мир», 1968.
41. Л. В. Тарасов. Физические основы квантовой электроники.
М., «Сов. радио», 1976.
42. Е. Вигнер. Этюды о симметрии. Пер. с англ. М., «Мир», 1971.
43. В. И. Ленин. Материализм и эмпириокритицизм. Гос. изд-во
политической литературы, 1953.
44. М. План к. Сб. статей «Единство физической картины мира».
М., «Наука», 1966.
45 А. Эйнштейн. Сб. статей «Физика и реальность». М., «Наука»,
1965.
46. М. П л а н к. О работах Шредингера по волновой механике. Из-
Избранные труды. М., «Наука», 1975.
47. У. И. Франкфурт, А. М. Френк. У истоков квантовой
теории. М., «Наука», 1975.
48. А. 3 о м м е р ф е л ь д. Сб. статей «Пути познания в физике».
М., «Наука», 1973.
49. Н. Бор. Сольвеевские конгрессы и развитие квантовой физи-
физики. — УФН, т. 91 A967), с. 737.
50. Под ред. Я. А. С м о р о д и н с к о г о. Сб. статей «Теоретическая
физика 20 века». М., ИЛ, 1962.
281
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда вероятности перехо-
перехода—84 и д.; 106, 118
, правила работы — 85,
86, 114—116
— плотности вероятности — 154
— состояния—106 и д.; 117,
118
, изменение во времени —
140—142
, основное уравнение —- 134,
137, 190, 191
, в виде, не зависящем
от выбора базисных со-
состояний— 192
Анализатор — 117—121
Атом водорода, модель по Бо-
Бору — 25, 26
, строгая теория — 55, 56,
234, 235
Бозоны—17, 97—100, 127
Вектор плотности потока веро-
вероятности — 229
— состояния — 151—153
Векторная аналогия— 193—195,
266, 267
Вероятность в квантовой меха-
механике— 59, 60, 131, 161,
162, 164—166, 268
Взаимопревращения микрообъ-
микрообъектов— 19, 20
Виртуальные микрообъекты —
60, 61
— переходы — 41, 60, 61
Волна-пилот — 52, 53
Волновая функция—154—158
и д.
свободно движущегося
микрообъекта— 157, 158,
207
электрона в кристалле
(функция Блоха) — 240,
249—251
Волновой пакет — 33
Вырождение— 182
— энергетических состояний —
235, 236, 254
перестановочное — 254,
'255
, снятие вырождения —
236, 255
Гамильтониан—196, 233—241
— атома водорода — 234
, собственные значе-
значения — 234
, — функции — 234, 235
— взаимодействия электрона с
излучением — 240, 241
— кристалла — 236—239
, адиабатическое приближе-
приближение — 237, 238
, одноэлектронное прибли-
приближение — 238, 239
— осциллятора — 233
в импульсном представле-
представлении — 244
, собственные значения —
233
, — функции 233, 234
Гамильтонова матрица—134,
135, 137 и д.
, диагонализация — 142,
143
для электрона в магнитном
поле— 146, 147
, изменение базисных со-
состояний — 191
, роль недиагональных эле-
элементов— 138, 141
Гипотеза де Бройля — 30
— Планка — 24
Дельта-функция
156, 158
Детектор — 120—123
Дирака ¦
282
Зоны Бриллюэна — 249
Измерение в квантовой механи-
механике— 119—122, 124, 125
, роль анализатора —
119, 121
, — детектора — 120,
121, 123
Измерение в квантовой механи-
механике, специфика — 121, 122
Интегралы движения — 21, 22,
201, 203
Интерференция амплитуд веро-
вероятностей—87, 91, 92 и д.
, бозоны и фермионы —
97, 98
, разрушение — 88—90,
93
, рассеяние микрообъек-
микрообъектов—96, 97, 102
, суперпозиция состоя-
состояний — 113, 114
— микрообъектов — 72—75
, разрушение — 76—78
Испускание света индуцирован-
индуцированное— 100
спонтанное — 100
Квантование — 22 и д.
— момента —27, 213, 214, 225
Квантовые переходы — 23, 40,
41, 108 ид.
, вычисление вероятно-
вероятности — 259, 260
, противоречия — 28, 29, 40,
41, 108
Квантовые числа — 27, 39, 55,
213, 214, 235, 254
Классический детерминизм —
9-11
Комбинационный принцип Рит-
ца —24
Коммутирование операторов —
188, 189, 201, 203, 210,
212, 215
, условия сохранения —
201, 203
Корпускулярно-волновой дуа-
дуализм — 30 и д.; 54
Коэффициент отражения барье-
барьера — 232
— прохождение барьера — 231—
233
«Кризис физики)» — 270, 271
Метод возмущений — 258, 259
Микрообъект в интерферомет-
интерферометре—71—78, 90—94
Микрообъект в потенциальной
яме с бесконечно высоки-
высокими стенками —219, 220
, вероят-
вероятность значений импуль-
импульса — 245
со стенками конечной
высоты — 220—224
сферически симметричном
поле — 224—227
—, основные характеристики —
15 и д.
Модельные представления —-
50—56, 65—68
Молекула аммиака — 137, 144,
145, 152, 153
в электрическом поле —
144, 145
Неразличимость — 58, 85, 87, 94,
96, 97, 102, 103, 164
Нестабильность микрообъек-
микрообъектов—17, 18
, время жизни— 17
Нулевые колебания — 44
Обобщенные полиномы Лягге-
ра_234, 235
Оператор — 180 и д.
— импульса — 206, 241
, собственные функции —
206, 207
— инверсии —212, 213
— квадрата момента — 209, 210
, собственные значе-
значения — 214, 225
,— функции — 214, 225,
— комплексно-сопряженный —
181
— координаты — 205, 243
— линейный — 180
— проекции момента — 209
, собственные значе-
значения—213
? — функции — 214
Оператор, собственные функ-
функции — 182
— сопряженный — 181
—, спектр собственных значе-
значений—182
Оператор транспонированный —
181
283
— унитарный — 182
— —, переход от одного пред-
представления к другому —-
- 186, 187
— эрмитовский (самосопряжен-
(самосопряженный) — 182
в собственном представле-
представлении—185
, основные свойства —
182—184
Операторы в квантовой механи-
механике— 179, 180, 196, 197—
204 и д.
, перестановочные со-
соотношения — 210—212,
215
Опыт Юнга —71, 72
Полиномы Лежандра — 214
— Эрмита — 233, 234
Полный набор величин — 38, ЗЭ,
109
Поляризация вакуума — 6,2, 63
— фотона —39, 80
Постоянная Планка—16, 24
и д.
, роль в квантовой механи-
механике— 31—33, 217, 272
— Ридберга — 23, 26
Потенциал Кронинга — Пен-
Пенни—251
Правило частот Бора — 25
Представление — 111, 155, 184
и д.
— взаимодействия — 265—267
— Гейзенберга — 263, 264, 267
— импульсное— 157, 241—249
— координатное—13?, 157, 205
и д.
Представление, переход от ко-
координатного к импульсно-
импульсному — 241—243, 246
— Шредингера — 208, 262, 264,
267
— энергетическое — 237, 258
Принцип дополнительности —
169—171
Принцип запрета Паули— 17
— микроскопической обратимо-
обратимости— 101
— соответствия — 275
— суперпозиции состояний —
105—107
Присоединенные функции Ле-
Лежандра—-214
Причинность в квантовой меха-
механике— 129—131, 134, 136
и д.
Проекционные амплитуды —
147—149
Пространственная четность —
39, 212, 215
Прохождение микрообъекта
над барьером — 232, 233
под барьером — 230—232
— света через поляризаторы —
79—81, 111—113
Различимость — 86, 87, 89, 93,
95, ПО, 165
— частичная — 94, НО, 164, 165
Рассеяние микрообъектов —
81—83,94—97, 110
— нейтронов на кристалле —
101—103
когерентное — 102
некогерентное — 102
Редукция волнового пакета —
120, 122
Серия Бальмера — 23, 24
— Лаймана — 24
— Пашена — 24
Соотношения неопределенно-
неопределенностей — 34—36 и д.
, дифракция микрообъек-
микрообъектов — 37
, оценка размытия полосы
поглощения в эффекте
Франца — Келдыша —45
, — энергии нулевых ко-
колебаний осциллятора —
44
, основного состояния
атома водорода — 43
, траектория микрообъек-
микрообъекта — 47, 48
Состояния микрообъекта — 38—
40, 105, 106, 154 и д.
базисные—111, 136, 137,
163
Состояния микрообъекта — пе-
переход от одной системы
к другой— 142, 143, 190,
191
взаимно ортогональные —
109, 110
— стационарные — 25, 138, 140,
208
Спин —16, 27 и д.
—, прецессия — 149, 150
284
Спиновые матрицы Паули —
153
Среднее значение физической
величины— 195, 196, 201,
202
, изменение со време-
временем — 202, 203
Статистический коллектив— 133
— характер квантовой механики
— 132 и д., 161
Суперпозиция состояний —
105—109 и д.
, квантовые переходы —¦
108, 109, 256, 257
, неопределенность резуль-
результатов измерений—107,
108
, переход от одного пред-
представления к другому —
142, 155, 156, 190, 202,
241, 242, 245, 256
, полная и частичная раз-
различимость— 109, 110
, прохождение фотонов че-
через поляризаторы — 111—
ИЗ
— —, разрушение в измеритель-
измерительном акте — 120
, роль анализатора — 116,
119
Сферические функции — 214,
214, 225, 226, 234
Теоремы Эренфеста — 216, 217
Тождественность микрообъек-
микрообъектов — 57, 58
Туннельный эффект — 48, 49,
230—232
Унитарные инварианты — 187,
188, 204, 243
Уравнение Шредингера — 207,
208, 218, 219, 221, 225—
227, 238, 239
в импульсном представле-
представлении — 243, 244
энергетическом пред-
представлении — 258
, зависящее от времени —
208, 218, 228, 256
, , гидродинамиче-
гидродинамическая аналогия — 227—229
Фейнмановские диаграммы —
61—63, 260, 261
— интегралы по траекториям —
103, 104
Фермионы— 17, 97, 98
Формула де Бройля — 30
Электрон в магнитном поле - -
145—153
периодическом поле —
248—255
Электронное облако — 55, 56
Энергетические зоны — 239,
247—249, 254, 255
Эффект Зеемана — 236
— Комптона — 30
— Франца — Келдыша — 45, 46
— Штарка — 236
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Интермедия. Можно ли считать систему представлений клас-
классической физики логически совершенной? 9
Главапервая
Специфика физики микрообъектов
§ 1. Некоторые характеристики и свойства микрообъектов 15
§ 2. Две основополагающие идеи квантовой механики ... . 22
§ 3. Соотношения неопределенностей .33
§ 4. Некоторые результаты, вытекающие из соотношений не-
неопределенностей 43
§ 5. Невозможность классической интерпретации микрообъек-
микрообъекта 50
§ 6. Отказ от представлений классической физики 57
Интермедия. Возможна ли наглядная модель микрообъекта? 65
Глава вторая
Физические основы квантовой механики
§ 7. Некоторые принципиальные опыты . . . 70
§ 8. Амплитуды вероятностей переходов (формулировка
основных принципов) 84
§ 9. Амплитуды вероятностей переходов (демонстрация
основных принципов) 90
§ 10. Суперпозиция состояний . . 104
§ 11. Измерение в квантовой механике . .116
Интермедия. Те ли это волны? или еще раз о волнах в кван-
квантовой механике 126
§ 12. Причинность в квантовой механике 129
§ 13. Микрообъекты с двумя базисными состояниями .... 136
§ iL4. Электрон в магнитном поле 145
§ 15. Волновая функция . . . . . . . . . . . 153
§ 16. Квантовая механика как качественный скачок в процес-
процессе познания человеком законов природы 159
Интермедия. Противоречат ли квантовомеханические представ-
представления «здравому смыслу»? . 174
286
Глава третья
Линейные операторы в квантовой механике
§ 17. Экскурс в теорию линейных операторов . ., 180
§ 18. От гамильтоновой матрицы к оператору энергии .... 190
§ 19. Линейные операторы в квантовой механике ....... 197
§ 20. Основы аппарата квантовой механики в координатное
представлении 205
§ 21. Уравнение Шредингера в работе . . . 217
§ 22. Гамильтониан в некоторых характерных задачах .... 233
§ 23. Переход к импульсному представлению . . 241
§ 24. Электрон в периодическом поле 246
§ 25. Вероятность квантовых переходов . . 255
§ 26. Способы описания эволюции микросистемы во времени 261
К истории возникновения и становления квантовой механики
(небольшая историческая справка) 269
Литература 280
Предметный указатель 282
Лев Васильевич Тарасов
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Редактор Кузнецова Л. Г. Художник Коленков А. Е. Художественный
редактор Пономаренко В. И. Технический редактор Родичева Р. С.
Корректор Кострикова Г. И.
ИБ № 1133
Изд. № ФМ—593 Сдано в набор 31.05.77. Подп. к печати 05. 01. 78.
Формат 84х108'/з2 Бум. тип. № 1 Гарнитура литературная. Печать высокая
Объем 15,12 уел. печ. л. 14,20 уч.-изд. л. Тираж 20 000 экз. Заказ 2819
Цена 65 коп.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли, Хохловский пер., 7.