Д. И. БЛОХИНЦЕВ
ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 197G

530.1
Б 70
УДК 530.145
Основы квантовой механики, Д. И. Б л о х и н ц е в,
учебное пособие, издание пятое, переработанное,
Главная редакция физико-математической литера-
литературы изд-ва «Наука», 1976.
В новое издание внесены дополнения и измене-
изменения, учитывающие развитие теории за последние
десятилетия. Значительно расширено и углублено
изложение теории измерений в квантовой области.
Полнее и подробнее освещается форма причинности
в квантовой механике. Расширено описание дифрак-
дифракционного рассеяния и оптической модели частиц.
Дано понятие об аналитических свойствах матрицы
рассеяния и о полюсах Редже. Кратко изложена
фейнмановская формулировка квантовой механики,
использующая интегрирование по траекториям. Рас-
Рассмотрена простейшая задача нелинейной оптики.
Внесены и многие другие более мелкие изменения;
исключены некоторые архаизмы и обновлена лите-
литература.
Дмитрий Иванович Блохинцев
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
М., 1976 г., 664 стр. с илл.
Редактор Б. А. Миртов
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры 3. В. Автонеева, Л. С. Сомова
Сдано в набор 2/ХН 1975 г. Подписано к печати 9/1V 1976 г. Бумага 60X90Vie Тип. № 3.
Физ. печ. л. 41,5. Условн. печ. л. 41,5. Уч.-изд. я. 41,08. Тираж 34 000 экз. Цена
книги 1 р. 60 к. Заказ J\° 323.
Издательство «.Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объ-
объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государствен-
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.
20402—061 ф Главная редакция
Б " 87-76 физико-математической литературы
053@2)-76 издательства «Наука*. 1&.6

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию 9
Бьедение 11
Глава I. Основы квантовой теории 14
§ 1. Энергия и импульс световых квантов 14
§ 2. Опытная проверка законов сохранения энергии и импульса для
световых квантов 17
§ 3. Атомизм 21
§ 4. Теория Бора 28
§ 5. Элементарная квантовая теория излучения 30
§ 6. Черное излучение 35
§ 7. Волны де Бройля. Групповая скорость 36
§ 8. Дифракция микрочастиц 41
Глава П. Основы квантовой механики 47
$ 9. Статистическое толкование волн де Бройля 47
§ 10. Вероятность местоположения микрочастицы 50
§ 11. Принцип суперпозиции состояний 53
§ Г2. Вероятность импульса микрочастицы 55
§ 13. Средние значения функций от координат и функций от импульсов 57
§ 14. Статистические ансамбли квантовой механики 59
§ 15. Соотношение неопределенностей 63
§ 16. Иллюстрации к соотношению неопределенностей 69
§ 17. Роль измерительного прибора 77
Глава III. Изображение механических величин операторами .... 84
§ 18. Линейные самосопряженные операторы 84
§ 19. Общая формула для среднего значения величины и для среднего
квадратичного отклонения 88
§ 20. Собственные значения и собственные функции операторов и их
физический смысл. «Квантование» 90
$ 21. Основные свойства собственных функций 94
§ 22. Общий метод вычисления вероятностей результатов измерения 98
§ 23. Условия возможности одновременного измерения разных меха-
механических величин Г01

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 24. Операторы координаты и импульса микрочастицы 102
§ 25. Оператор момента импульса микрочастицы 104
§ 26. Оператор энергии и функции Гамильтона ПО
§ 27. Гамильтониан 112
Глава IV. Изменение состояния во времени 116
§ 28. Уравнение Шредингера 116
§ 29. Сохранение числа частиц 121
§ 30. Стационарные состояния 125
Глава V. Изменение во времени механических величин 128
§ 31. Производные операторов по времени 128
§ 32. Уравнения движения в квантовой механике. Теоремы Эрепфсста 130
§ 33. Интегралы движения 133
Глава VI. Связь квантовой механики с классической механикой и
оптикой « 136
§ 34. Переход от квантовых уравнений к уравнениям Ньютона .... 136
§ 35. Переход от временного уравнения Шредингера к классическому
уравнению Гамильтона—Якоби 141
§ 36. Квантовая механика и оптика 144
§ 37. Квазиклассическое приближение (метод Вентиеля—Крамерса—
Бриллюэна) 148
Глава VII. Основы теории представлений 152
§38. Различные представления состояния квантовых систем .152
§ 39. Различные представления операторов, изображающих механи-
механические величины. Матрицы 154
§ 40. Матрицы и действия над ними 156
§ 41. Определение среднего значения и спектра величины, представ-
представляемой оператором в матричной форме 162
§ 42. Уравнение Шрецингера и зависимость операторов от времени
в матричной форме 165
§ 43. Унитарные преобразования 168
§ 44. Унитарные преобразования от одного момента времени к другому.
Матрица рассеяния 171
§ 45. Гайзенберговское представление и представление взаимодействия
в квантовой механике 174
§ 46. Матрица плотности 178
Глава VIII. Теория движения микрочастиц в поле потенциальных сил 183
§ 47. Гармонический осциллятор 183
§ 48. Осциллятор в энергетическом представлении 191
§ 49. Движение в поле центральной силы 193
§ 50. Движение в кулоновском поле 201
§ 51. Спектр и волновые функции атома водорода 206

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 52. Движение электрона в одновалентных атомах 215
§ 53. Токи в атомах. Магнетон 218
§ 54. Квантовые уровни двухатомной молекулы 221
§ 55. Движение электрона в периодическом поле 227
Глава IX. Движение заряженной микрочастицы в электромагнитном
поле 237
§ 56. Произвольное электромагнитное поле 237
§ 57. Движение заряженной свободной частицы в однородном магнит-
магнитном поле 242
Глава X. Собственный механический и магнитный моменты электрона
(спин) 246
§ 58. Экспериментальные доказательства существования спина
электрона 246
§ 59. Оператор спина электрона 249
§ 60. Спиновые функции 252
§ 61. Уравнение Паули 256
§ 62. Расщепление спектральных линий в магнитном поле 259
§ 63. Движение спина в переменном магнитном поле 264
§ 64. Свойства полного момента импульса 267
§ 65. Нумерация термов атома с учетом спина электрона. Мульги-
плетиая структура спектров 272
Г л а в а XI. Теория возмущений 277
§ 66. Постановка вопроса 277
§ 67. Возмущение в отсутствие вырождении 280
§ 68. Возмущение при наличии вырождения 284
§ 69. Расщепление уровней в случае двукратного вырождения . . . 290
§ 70. Замечания о снятии вырождения 293
Глава XII. Простейшие приложения теории возмущений 296
§ 71. Ангармонический осциллятор 296
§ 72. Расщепление спектральных линий в электрическом поле .... 298
§ 73. Расщепление спектральных линий атома водорода в электриче-
электрическом поле 302
§ 74. Расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле 306
§ 75. Наглядное толкование расщепления уровней в слабом магнитном
поле (векторная модель) 312
§ 76. Теория возмущений для непрерывного спектра 313
Глава XIII. Теория столкновений 320
§ 77. Постановка вопроса в теории столкновений микрочастиц .... 320
§ 78. Расчет упругого рассеяния приближенным методом Борна . . . 325
§ 79. Упругое рассеяние атомами быстрых заряженных микрочастиц 330
§ 80. Точная теория рассеяния. Матрица рассеяния 336

б ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 81. Общий случай рассеяния. Дисперсионные соотношения 345
§ 82. Рассеяние заряженной частицы в кулоновском поле 354
Глава XIV. Теория квантовых переходов 358
§ 83. Постановка вопроса 358
6 84 Вероятности переходов под влиянием'возмущения, зависящего от
времени °°z
§ 85. Переходы под влиянием возмущения, не зависящего от времени 366
Глава XV. Излучение, поглощение и рассеяние света атомными
системами 368
§ 86. Вводные замечания 368
§ 87. Поглощение и излучение света 370
§ 88. Коэффициенты излучения и поглощения 375
§ 89. Принцип соответствия 379
§ 90. Правила отбора для дипольного излучения 382
§ 91. Интенсивности в спектре излучения 387
§ 92. Дисперсия 387
§ 93. Комбинационное рассеяние. Нелинейная оптика 395
§ 94. Учет изменения фазы электромагнитного поля волны внутри ато-
атома. Квадрупольное излучение 402
§ 95. Фотоэлектрический эффект 407
Глава XVI. Прохождение микрочастиц через потенциальные барьеры 415
§ 96. Постановка проблемы и простейшие случаи 415
§ 97. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта» 421
§ 98. Холодная эмиссия электронов из металла .« 423
§ 99. Трехмерный потенциальный барьер. Квазистационарные со-
состояния 426
§ 100. Теория радиоактивного а-распада к 432
§ 101. Ионизация атомов в сильных электрических полях 436
Глава XVII. Задача многих тел 439
§ 102. Общие замечания о задаче многих тел 439
§ 103. Закон сохранения полного импульса системы микрочастиц . . . 444
§ 104. Движение центра тяжести системы микрочастиц 445
§ 105. Закон сохранения момента импульса системы микрочастиц . . . 449
§ 106. Собственные функции оператора момента импульса системы.
Коэффициенты Клсбша —Гордона 455
§ 107. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени 459
Глава XVIII. Простейшие применения теории движения многих тел 464
§ 108. Учет движения ядра в атоме 464
§ 109. Система микрочастиц, совершающих малые колебания 467
§ ПО. Движение атомов во внешнем- поле 471
§ 111. Определение энергии стационарных состояний атомов методом
отклонения во внешнем поле 474

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 112. Неупругие столкновения электрона с атомом. Определение
энергии стационарных состояний атомов методом столкновений 479
§ 113. Закон сохранения энергии и особая роль времени в квантовой
механике 485
Глава XIX. Системы из одинаковых микрочастиц 488
§ 114. Принцип тождественности микрочастиц 488
§ 115. Симметричные и антисимметричные состояния 493
§ 116. Частицы Бозе и частицы Ферми. Принцип Паули 497
§ 117. Волновые функции для системы частиц Ферми и частиц Бозе 504
Глава XX. Вторичное квантование и квантовая статистика 508
§ 118. Вторичное квантование 508
§ 119. Теория квантовых переходов и метод вторичного квантования 517
§ 120. Гипотеза о столкновениях. Газ Ферми—Дирака и газ Бозе—
Эйнштейна 518
Глава XXI. Многоэлектронные атомы 526
§ 121. Атом гелия 526
§ 122. Приближенная количественная теория атома гелия 535
§ 123. Обменная энергия 540
§ 124. Квантовая механика атома и периодическая система элементов
Менделеева 544
Глава XXII. Образование молекул 555
§ 125. Молекула водорода 555
§ 126. Природа химических сил 567
§ 127. Межмолекулярные дисперсионные силы . 571
§ 128. Роль спина ядер в двухатомных молекулах 574
Глава XXIII. Магнитные явления 577
§ 129. Парамагнетизм и диамагнетизм атомов 577
§ 130. Ферромагнетизм 580
Глава XXIV. Атомное ядро 585
§ 131. Ядерные силы. Изотопический спин 585
§ 132. Систематика состояний системы нуклонов 589
§ 133. Теория дейтона 590
§ 134. Рассеяние нуклонов 592
§ 135. Поляризация при рассеянии частиц со спином 597
§ 136. Применение квантовой механики к систематике элементарных
частиц 600
г л а в а XXV. Заключение 604
§ 137. Формальная схема квантовой механики 604
§ 138. Фейнмановская формулировка квантовой механики 608

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 139. Некоторые методологические вопросы. Волновая функция и
квантовые ансамбли 615
§ 140. Вопросы причинности 6?2
§ 141. Границы применимости квантовой механики 625
Дополнения 630
I. Преобразование Фурье 630
II. Собственные функции в случае вырождения 632
III. Ортогональность и нормировка собственных функций непрерыв-
непрерывного спектра, б-функция 634
IV. Значение коммутативности операторов 637
V. Сферические функции Y/m (б, ср) 639
VI. Уравнения Гамильтона 642
VII. Уравнение Шредингера и уравнения движения в криволинейной
системе координат 646
VIII. Требования к волновой функции 648
IX. Решение уравнения для осциллятора 650
X. Электрон в однородном магнитном поле 654
XI. Координаты Якоби 655
XII. Причинность и аналитические свойства рассеянной волны . . . 657
XIII. Функция Грина свободного уравнения Шредингера 658
XIV. Расчет взаимодействия микрочастицы с макроскопическим телом 660

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В новое издание «Основ квантовой механики» внесен ряд сущест-
существенных дополнений и изменений, продиктованных развитием теории
в последнее десятилетие.
Особенно важные усовершенствования имели место в теории
квантовомеханических измерений, которые позволили полностью
разъяснить те стороны этой теории, которые многим непредвзятым
умам, по справедливости, казались парадоксальными.
В новом издании более обстоятельно и на современном уровне
изложены вопросы причинности в квантовой механике. Более
глубокое и ясное изложение этих проблем позволило сократить
описание дискуссий по основам квантовой механики, имевших
место в 30-х и 40-х годах. На мой взгляд эти дискуссии имеют
теперь лишь историческое значение.
Помимо этих изменений, имеющих принципиальное значение
для понимания квантовой механики, внесены дополнения в изло-
изложение ряда конкретных вопросов. Расширено описание дифрак-
дифракционного рассеяния и оптической модели частиц. Рассмотрены
аналитические свойства матрицы рассеяния и теория полюсов Редже.
Это позволяет начинающему изучать квантовую механику подго-
подготовить себя к изучению теории квантованных полей. Кратко изло-
изложена фейнмановская формулировка квантовой механики, исполь-
использующая функциональное интегрирование по траекториям.
Основная идея и дух книги остались теми же, которые были
характерны и для предыдущих изданий—дать начинающему
изучать квантовую механику правильное понимание ее физических
основ, ее математического аппарата и показать на простейших
примерах способы ее применения в различных областях физики:
в теории твердого тела, в атомной и молекулярной физике, в кван-
квантовой химии, в оптике (в новом издании этот раздел пополнен рас-
рассмотрением простейшей задачи нелинейной оптики), в учении о маг-
магнетизме, в теории атомного ядра и др.
Внесенные изменения касаются не только устранения очевид-
очевидных архаизмов, но и уточнения различных формулировок и поло-
положений. Этим уточнением я обязан многим лицам, которые в разное
время сообщали мне свои критические замечания и пожелания.

Ю ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В значительной мере эти усовершенствования основываются на опыте
чтения курса дополнительных глав квантовой механики на физи-
физическом факультете в филиале Московского государственного уни-
университета имени М. В. Ломоносова в Дубне.
Я всегда придавал большое значение правильной методологии,
без владения которой даже самый отличный ум приобретает отте-
оттенок ремесленничества. Поэтому материалистическая методология,
где явно, где менее явно, пронизывает всю книгу.
За прошедшие годы, в том числе и в самое последнее время,
эта книга была издана неоднократно во многих странах. Это ука-
указывает на то, что она и сейчас не потеряла своего значения. Для
меня является большой радостью сознавать, что настоящая книга
способствовала распространению знания и интереса к современной
физике среди многих народов.
В заключение я выражаю глубокую признательность тем лицам,
которые помогли мне усовершенствовать эту книгу, моим кол-
коллегам и студентам.
В предыдущее издание существенный вклад был сделан М. А. Мар-
Марковым, который просмотрел рукопись и сделал ряд полезных пред--
ложений и замечаний. С. И. Драбкина самым активным образом
участвовала в разработке изменений и дополнений для четвертого
издания. В это издание много полезных предложений было внесено
Б. М. Барбашовым и Д. В. Ширковым. Я признателен академику
Н. Н. Боголюбову за полезное обсуждение моего курса на руко-
руководимой им кафедре физического факультета МГУ. Немалый труд
в подготовку издания вложил В. В. Нестеренко. Мне приятно
выразить им благодарность,
Д. Я. Блохинцев

ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия наука об атомных явлениях образова-
образовала не только одну из важнейших глав современной физики, но и
получила широкое применение в современной технике.
Уже самый поверхностный взгляд на замечательную область
атомных явлений обнаруживает новые черты, существенно отличные
от юх, которые свойственны макромиру.
Первое, с чем мы встречаемся в микромире, это — атомизм.
Простейшие, элементарные частицы характеризуются вполне опре-
определенными признаками (зарядом, массой и пр.), тождественными
для всех частиц одного сорта.
Подобной атомистичности не существует в макромире. Макро-
Макроскопические объекты представляют собой совокупности большого
числа элементарных частиц. Закономерности макроскопических
явлений — это закономерности, свойственные совокупности боль-
большого числа частиц.
Все это показывает, что было бы методологически неправильно
рассматривать микрочастицы по образу и подобию макроскопиче-
макроскопических тел. Даже материальная точка классической механики есть
абстрактный, идеализированный образ вовсе не микрочастицы,
а макроскопического тела, размеры которого малы в сравнении
с расстояниями, встречающимися в проблеме.
Аюмизм микромира не ограничивается определенностью при-
признаков самих микрочастиц. Он выражается также в существовании
некоторой абсолютной меры для механического движения. Такой
мерой является постоянная Планка ft — 1,05 • 107 эрг • сек. Она
имеет первостепенное значение в механике микрочастиц. Физики
долгое время игнорировали закон перехода количества в качество
и стремились попять атомные явления, оставаясь в рамках класси-
классических, макроскопических теорий. Открытие постоянной Планком
оыло первым серьезным предупреждением о несостоятельности
еханического переноса закономерностей из области большого
в область малого.
<Ъак 2(^"Х годах иашего столетия были открыты новые опытные
покТЫ> вставившие окончательно отказаться от этого пути. Было
ано, что электроны обнаруживают волновые свойства: если

12 ВВЕДЕНИЕ
пропускать поток электронов через кристалл, то частицы распре-
распределяются на экране так же, как распределяется интенсивность волн
подходящей длины волны. Мы получаем чуждое классической меха-
механике явление дифракции микрочастиц. Позднее было доказано,
что это явление свойственно не только электронам, но и вообще
всем микрочастицам. Таким образом была открыта принципиально
новая и совершенно общая закономерность.
Движение микрочастиц оказалось во многих отношениях более
родственно движению волн, нежели движению материальной точки
по траектории. Явление дифракции несовместимо с предположением
о движении частиц по траекториям. Поэтому принципы класси-
классической механики, в которой понятие траектории является одним
из основных понятий, непригодны дл? анализа движения микро-
микрочастиц.
Само слово «частица» в применении к индивидуумам микромира
вызывает в нашем представлении гораздо больше аналогий с мате-
материальными точками классической механики, нежели это отвечает
действительности.
Это замечание следует иметь в виду во всех тех случаях, когда
ради краткости мы будем употреблять в книге слово «частица»
вместо «микрочастица».
Классическая механика оказывается лишь некоторым прибли-
приближением, пригодным для рассмотрения движения тел большой массы,
движущихся в достаточно плавно изменяющихся полях (макро-
(макроскопических полях). При этих условиях постоянную Планка
можно считать пренебрежимо малой. Становятся также несущест-
несущественными и явления дифракции. В области малых масштабов, в об-
области микромира, на смену классической механике приходит
механика квантовая. Таким образом предметом рассмотрения кван-
квантовой механики является движение микрочастиц.
Квантовая механика является статистической теорией. Так, с по-
помощью квантовой механики можно предсказать, как распределяются
в среднем на фотопластинке отраженные от кристалла электроны,
но относительно места попадания каждого отдельного электрона
может быть сделано лишь вероятностное суждение: «с такой-то
вероятностью будет обнаружен там-то».
С подобным же положением дел мы встречаемся и в статисти-
статистической механике. Однако между квантовой механикой и класси-
классической статистической механикой есть глубокое различие.
В основе классической статистической механики лежит ньюто-
ньютоновская механика, допускающая описание истории каждой из час-
частиц, так что в принципе возможно дать биографию каждого отдель-
отдельного экземпляра.
Современная квантовая механика, в противоположность ста-
статистической, не построена на основе какой-либо теории индиви-
индивидуальных микропроцессов. Она изучает индивидуальные свойства

ВВЕДСНИС 13
микрочастиц и индивидуальные микропроцессы, оперируя со ста-
статистическими совокупностями — ансамблями. Эти статистические
ансамбли определяются признаками, заимствованными из класси-
классической макроскопической физики (например, импульс, энергия,
координата и т. д.). Поэтому, когда в квантовой механике говорят
о воспроизведении микроявления, например, о повторении одного
и того же опыта, то имеют в виду воспроизведение макроско-
макроскопических условий для микрофизического явления,
т. е. осуществление того же статистического ансамбля.
Таким образом, квантовая механика изучает микрочастицы
в их отношении к макроскопическим измерительным аппаратам,
с помощью которых и может быть определено, как говорят, «состоя-
«состояние частиц», т. е. фиксирован статистический ансамбль.
Квантовая механика является важнейшим этапом в развитии
физики XX столетия. Ее значение теперь уже далеко выходит
за пределы науки, проникая в область инженерного искусства.
Создание квантовой теории свидетельствует об исключительной
силе человеческого разума, сумевшего обнаружить в кажущемся
хаосе мпкроявлений поразительные по своей общности и красоте
закономерности.

Глава I
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
§ 1. Энергия и импульс световых квантов
Развитию квантовой механики предшествовало возникновение
квантовой теории света. В конце прошлого столетия казалось, что
из двух точек зрения на природу света: корпускулярной и волно-
волновой, окончательно победила волновая точка зрения в той форме,
которую ей придала теория Максвелла. Опыты Г. Герца с электро-
электромагнитными волнами, доказательство существования давления
света П. Н. Лебедевым и другие факты, добытые искусством экспе-
экспериментаторов, видимо, неопровержимым образом доказывали спра-
справедливость максвелловской точки зрения.
Триумф электромагнитной теории света был, однако, неполным.
В то время как все проблемы, относящиеся к распространению
света, успешно решались волновой теорией, целый ряд важных
явлений, относящихся к испусканию и поглощению света, упря-
упрямым образом не укладывался в рамки волновых представлений.
Так, несмотря на все усилия теоретиков, закон распределения
энергии в спектре черного тела, выведенный н# основе волновой
теории, оказывался не только в резком несогласии с опытом, но и
содержал внутренние противоречия.
В 1901 г. М. Планк сформулировал совпадающий с опытом закон
распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного
тела, находящегося в тепловом равновесии. Этот закон явился
исходным пунктом для развития квантовой теории. В его основе
лежало допущение о прерывном характере испускания и поглоще-
поглощения света веществом, об испускании и поглощении света конечными
порциями — квантами света.
Энергия такого кванта света г пропорциональна частоте коле-
колебаний света со и выражается равенством
e = /zco. A.1)
Здесь ft = 1,05 • 10~27 эрг • сек есть постоянная Планка.
Это представление о квантах света получило законченную форму
после того, как А. Эйнштейн показал необходимость помимо энер-

§ 1] ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС СВЕТОВЫХ КВАНТОВ 15
гни е приписать кванту света еще и импульс р = е/с, направление
которого совпадает с направлением распространения света.
Если ввести волновой вектор к, компоненты которого равны
, 2л , 2л о , 2л
kx = -?- cos а, яу = -w- cos р, ** = х cos ^'
где X — длина волны, a cos a, cos p и cos у — направляющие коси-
косинусы нормали к световой волне, то формула для импульса кванта
света может быть написана в векторной форме
p = ftk. A.2)
Формулы A.1) и A.2) являются основными уравнениями квантовой
теории света и связывают энергию е и импульс р кванта света
с частотой со и длиной волны X плоской монохроматической вол-
волны, направление распространения которой определяется векто-
вектором к 1).
Глубокий смысл квантовой теории света заключается не в том,
что мы представляем себе свет как газ, состоящий из частиц с энер-
энергией #со и импульсом ftk (такое представление полезно ввиду нагляд-
наглядности, но односторонне), а в том, что обмен энергией и импульсом
между микросистемами (электрон, атом, молекула и т. п.) и светом
происходит путем порождения одних, и уничтожения других кван-
квантов света.
Эта мысль получает свое точное выражение в применении закона
сохранения энергии и импульса к какой-нибудь системе, взаимо-
взаимодействующей со светом (точнее, вообще с каким-либо электромаг-
электромагнитным излучением). Ради наглядности вместо взаимодействия мы
будем говорить более образно: «столкновение».
Обозначим через ?иР энергию и импульс системы до «столкно-
«столкновения» с квантом света, а через ?' и Р' — ее энергию и импульс
после «столкновения»; далее, через ftco и ftk — энергию и импульс
кванта света до «столкновения» и, наконец, через ft со' и ftk' — те же
величины после «столкновения».
Точный смысл слова «столкновение» здесь означает, что в резуль-
результате взаимодействия энергия и импульс электромагнитной волны
частоты со и направления к уменьшились соответственно на ftto
11 lik (квант света исчез), а энергия и импульс другого электромаг-
электромагнитного колебания частоты со' и направления к' увеличились
и«* W и ftk' (появился квант света). Образно мы и говорим, что квант
спета (Асо, ftk) «столкнулся» с системой и изменил свою энергию и
импульс (fto/, ftk'), т. е. выражаемся так, как если бы речь шла
0 столкновении классических частиц.
') Формулы A.1) и A.2) предполагаются справедливыми для любой частоты со;
°Н11 сюль же справедливы для видимого света, как и для у-лучей. Поэтому вместо
крат света, квант у-лучей и т. п. говорят короче — «фотон»,

16 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
В принятых нами обозначениях закон сохранения энергии и
импульса выражается в виде
A.3)
A.4)
Эти уравнения охватывают все три основных процесса: поглоще-
поглощение, испускание и рассеяние света.
Если со' = 0 (тогда и к' = 0), то уравнения A.3) и A.4) отно-
относятся к поглощению кванта света Йсо; если w = 0 (к = 0), то эти же
уравнения определяют излучение кванта #<о'.
Если же со и со' отличны от нуля, то эти уравнения относятся
к рассеянию света, когда квант (йю, ftk) превращается в квант иной
энергии Йсо' и иного импульса йк\
Закон сохранения энергии и импульса в форме A.3) и A.4)
противоречит как волновому, так и корпускулярному представ-
представлению о свете и вообще не может быть истолкован в рамках понятий
классической физики.
Согласно волновой теории энергия волнового поля определяется
не частотой волн со, а амплитудами волн, образующих это поле.
С другой стороны, нет никакой столь общей связи между амплиту-
амплитудой волны и частотой колебаний, которая позволила бы связать
энергию отдельного кванта с амплитудой волны. Представим себе,
что пучок света встречает на своем пути прозрачную пластинку.
Часть света от нее отразится, часть пройдет через нее. Из волновой
теории следует, что амплитуды падающей, проходящей и отражен-
отраженной волн будут различны. Если мы будем теперь каким бы то ни
было образом связывать энергию квантов е с амплитудами волн,
то мы придем к заключению, что энергия квантов в этих трех пуч-
пучках различна. Но, согласно A.1), нельзя изменить энергию кванта,
не изменив частоты: часть кванта всегда «окрашена» иначе, нежели
исходный квант.
Поэтому предположение о том, что энергия кванта может опре-
определяться амплитудой, ведет к тому, что цвет падающего, отражен-
отраженного и проходящего пучка должен бы оказаться различным, чего
на самом деле при прохождении через прозрачное тело, конечно,
не получается.
Несостоятельно также и допущение, что квант света представ-
представляет собой частицу, находящуюся где-то в пространстве, нечто
вроде «поплавка» на волне.
Квант света по самому определению (уравнения A.1) и A.2))
ассоциируется с монохроматической плоской волной. Такая волна
представляет собой чисто периодический процесс, бесконечный как
в пространстве, так и во времени. Предположение, что квант где-то
находится, противоречит совершенной периодичности волны: сину-
синусоидальная волна, будучи как-то деформированной, уже не есть

§ 2] ПРОВЕРКА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 17
одна синусоидальная волна, а есть суперпозиция различных сину-
синусоидальных волн.
Таким образом, принимая законы сохранения A.3) и A.4), мы
должны согласиться с недостаточностью классических понятий
для выражения явлений, имеющих место в атомном мире. Свет
имеет двойственную природу и обладает как волновыми, так и кор-
корпускулярными свойствами.
Современная квантовая теория электромагнитного поля позво-
позволяет учесть оба эти аспекта, но изложение ее выходит за рамки
пашей книги, посвященной нерелятивистской механике микро-
микрочастиц.
§ 2. Опытная проверка законов сохранения энергии
и импульса для световых квантов
Как показал А. Эйнштейн, закон сохранения A.3) позволяет
истолковать загадочные с классической точки зрения закономер-
закономерности фотоэлектрического эффекта. Суть этого эффекта заключается
в испускании металлами электронов под действием света, падающего
на поверхность металла *).
Наблюдающиеся здесь закономерности исключают классиче-
классическое толкование. Опыт показывает, что скорость фотоэлектронов
зависит исключительно от частоты света со (для данного металла)
и совершенно не зависит от интенсивности падающего света. Послед-
Последняя определяет только число электронов, испускаемых металлом
в единицу времени.
Как бы хитроумно ни была придумана модель этого явления,
приращение скорости электрона, согласно уравнению Ньютона,
пропорционально действующей силе. Последняя равна произве-
произведению заряда электрона е на напряженность поля световой волны
% (действием магнитного поля волны можно пренебречь). Таким
образом, приобретаемая электроном скорость должна быть пропор-
пропорциональна ё, а энергия — пропорциональна $2, т. е. интенсивности
света, чего па самом деле не наблюдается. А. Иоффе и Добронра-
Добронравов A907) показали, что и при слабых интенсивностях можно наблю-
наблюдать фотоэффект, причем оказывается, что электроны излучаются ме-
металлом по законам статистики, так что только среднее число элект-
электронов пропорционально интенсивности падающего пучка. Особенно
важны были результаты опытов Р. Милликена A916), строго дока-
доказавшего, что энергия испускаемых в фотоэффекте электронов
полностью определяется частотой света, но не его интенсив-
интенсивностью.
эгЬгЬ РсзУльтат становится очевидным, если применить к фото-
^12^!1!^_^^_сохРа11^ния энергии A.3). Допустим, что на поверх-
?, 1?К0'ЮмеРипсти фотоэффекта исследовались первоначально А. Г. Столе-
1М- В. Хтьваксом, А. Риги.

18 основы квантовой теории [гл. i
ность металла падает монохроматический свет частоты со. Так как
для извлечения электронов из металла следует затратить некоторую
работу, которую мы обозначим через % (ее называют работой выхода
электронов из металла), то первоначальную энергию электрона
в металле следует считать равной — х- Квант света при фотоэф-
фотоэффекте поглощается полностью, т. е. /ко'^0. Энергия же электрона
Е после поглощения кванта света равна т0и2/2, где т0 — масса
электрона, a v — его скорость после вылета из металла. Следо-
Следовательно, уравнение A.3) в рассматриваемом случае принимает
вид *)
Йсо-Х = ^. B.1)
Это и есть известное уравнение А. Эйнштейна A905) для фотоэф-
фотоэффекта.
Согласно этому уравнению энергия фотоэлектрона m0v2/2
линейно возрастает с частотой света со. Если измерять энергию
электрона тормозящим потенциалом V так, что eV = m0v2/2
(как это делал Милликен), то наклон прямой на графике (V, со)
должен определяться величиной hie. Зная заряд еу определяя из
опыта наклон, можно найти %. Милликен показал, что значение Й
получается то же, что и из теории черного излучения. Тем самым
была доказана справедливость уравнения A.3) применительно
к фотоэффекту.
В настоящее время уравнение Эйнштейна является одним из
основных уравнений, лежащих в основе теории электронных при-
приборов.
Совокупность уравнений A.3) и A.4) была экспериментально
обоснована А. Комптоном A922), изучившим зависимость частоты
рассеянных рентгеновских лучей от угла рассеяний. В качестве
веществ, рассеивающих лучи, А. Комптон брал вещества, в которых
электроны слабо связаны с атомом (парафин, графит). Так как
энергия кванта рентгеновских лучей велика, то при расчете можно
пренебречь энергией электрона в атоме (по крайней мере, для элек-
электронов в верхних оболочках атома) и рассматривать электроны
как свободные, покоящиеся частицы. Соответственно этому началь-
начальную энергию электрона Е и его импульс Р будем считать равными
нулю.
После столкновения с квантом рентгеновских лучей энергия
электрона может оказаться очень большой, поэтому мы применим,
формулы теории относительности, учитывающие зависимость массы
частицы от ее скорости. Согласно теории относительности кинети-
*) Уравнение A.4) в этом случае не имеет значения, так как оно простер
утверждает; что импульс кванта света передается всему куску металла Д
целом.

v 2j ПРОВЕРКА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ II ИМПУЛЬСА 19
ческая энергия электрона, движущегося со скоростью v, равна
3?L B.2)
где m0 — масса покоя и с — скорость света, а импульс равен
Р' = - тьу B 3)
\ 1-у*/** ' * ' '
Подставляя эти значения в A.3) и A.4) и имея в виду, что Е = О,
Р = 0, мы получим
(^) B.4)
\1 ' Р
^ | 1 - р* ' Н с Х '
Здесь со и к — частота и волновой вектор падающего излучения,
а о/ и к' — эти же величины для рассеянного излучения.
Из первого уравнения непосредственно следует, что со > со'.
Следовательно, рассеянное излучение должно обладать большей
длиной волны, нежели падающее. Этот вывод подтверждается опы-
опытами Комптона, в то время как по классической теории частота
рассеянного света должна равняться частоте падающего (рэлеев-
ское рассеяние).
I 1j уравнений B.4) и B.4') следует один важный вывод: свободный
электрон не может поглощать, а может только рассеивать свет.
Действительно, полное поглощение означало бы, что о/ = 0 (и
к' 0). Тогда из B.4') следует, что к и v одинаково направлены.
Поэтому B.4') можно записать в скалярной форме
1 i-P2
Комбинируя это уравнение с уравнением B.4), получаем, что для
поглощения
1
:-! =
I 1 — Э2 М-Р2'
откуда (} — 0, что приводит к k = 0. Этим и доказывается невоз-
невозможность поглощения.
Рассмотренный выше фотоэффект, при котором квант поглощается
Целиком, возможен лишь по той причине, что электрон связан
с металлом, что выражается в необходимости затратить работу %
для его вырывания, и дает возможность передать импульс металлу.
Ком Я Т0Г° чтобы иметь возможность проверить уравнения B.4),
Dae ПТОН^ пРеДсгояла задача определить из них, как зависит частота
изобННОГ° °Вета W' от угла Рассеяния б- На Рнс- * линия О А
ражает направление распространения пучка первичных рент-

20
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. 1
геновских лучей. Направление ОС есть направление, по которому
наблюдают рассеянные электронами лучи. Построенный на рис. 1
параллелограмм представляет импульс падающего кванта //к как
сумму импульсов рассеянного кванта Ьк' и импульса электрона Р'.
Угол 6 есть угол рассеяния, а угол а есть угол между импульсом
первичного кванта и импульсом получившего толчок электрона,
так называемого «электрона отдачи». Для нахождения связи между
углом 6 и величиной рассеянного кванта /ш' спроектируем второе
уравнение B.4') на две взаимно перпендикулярные оси ОА и ОВ.
Замечая, что |к| = со/с, а | к'| = со7с, получим
с с
1 = — sin б =А=
с 1/1-Р2
: cos a,
sin а.
Исключая из этих уравнений путем несложных алгебраических
выкладок Р и угол а, получим
2/г ,с- 2 б
(О —0) =¦
Заменяя здесь со через 2лс/Х, со' — через 2лс/А/, легко находим
изменение длины волны
= — sin2 -0-.
тос 2
B.5)
Эта формула была впервые получена Комптоном. Меняя угол,
под которым наблюдалось рассеянное излучение, и измеряя изме-
изменение длины волны ДА,, Комптон и
By сравнили результаты своих экспе-
экспериментов с предсказаниями теории
по формуле B.5) и получили полное
согласие.
Таким образом, опыты Комптона
являются прямым подтверждением
существования импульса у кванта
света, величина которого определяет-
определяется формулой A.2).
Заметим, что снимки, полученные
в камере Вильсона, позволяют уста-
установить направление вылета рассеян-
рассеянного при комптон-эффекте кванта, а
также путь и энергию электрона от-
отдачи и тем самым позволяют как бы воочию видеть сложение им-
импульса электрона и кванта света, приведенное нами на рис. 1.
Встречающаяся в формуле B.5) величина Л = fi/moc ¦= 3,9 X
XlO1 см носит название комптоновской длины. Эта длина имеет
Рис. 1.
Параллелограмм Комп-
Комптона.

§ 3] АТОМИЗМ 21
фундаментальное значение в релятивистской теории электрона,
являясь одним из масштабов, свойственных микромиру. Зная
ДА B.5), можно определить %, так что эффект Комптона дает еще
один метод нахождения U.
Явления, в которых постоянная Планка играет существенную
роль, называются квантовыми. Каждое из них может служить для
определения постоянной Н.
Как и следует ожидать, квантовое явление не может быть истол-
истолковано классически. Согласно классической теории, предполагаю-
предполагающей непрерывность обмена энергией между полем и микросисте-
микросистемами, h — О, и никакого смещения частоты при рассеянии света
на свободном электроне не должно получиться (АХ пропорционально
//, см. B.5)). Прямой расчет по классической теории приводит
именно к такому результату. Под действием переменного поля
частоты со электрон совершает вынужденное колебание с той же
частотой. Таким образом возникают колебания заряда е с частотой
со. Подобные колебания порождают переменное поле той же частоты
(в силу линейности уравнений поля); следовательно, рассеянное
излучение имеет ту же частоту, что и падающее.
§ 3. Атомизм
В микромире мы встречаемся с рядом простейших, как принято
говорить, элементарных частиц.
В последние десятилетия, в результате экспериментальных
исследований на ускорителях, был открыт обширный мир такого
рола частиц. Подавляющее большинство этих частиц нестабильно.
Они распадаются, превращаясь, в конце концов, в стабильные
частицы. Стабильных частиц всего пять: протон р, электрон е,
нейтрино электронное ve, нейтрино мюонное v^ и фотон у. Если
учесть их античастицы р, е, v~, vM (фотон не имеет античастицы),
то стабильных частиц будет девять.
В табл. 1 приведены характеристики некоторых элементарных
частиц, имеющих относительно большое время жизни.
Масса, заряд и другие свойства всех экземпляров элементарных
частиц одного рода совершенно тождественны. Единственные изме-
изменения элементарных частиц, которые с достоверностью известны
в современной физике, заключаются в превращении одного сорта
частиц в другой. При этом частицы либо уничтожаются, либо воз-
возникают как целое.
^1о не означает, что «элементарные» частицы бесструктурны.
На самом деле, в настоящее время нет сомнений в том, что они
имеют сложную внутреннюю структуру *). Название «элементар-
«элементарные» отражает лишь тот факт, что в очень широком круге явлений
J) См. § 136.

22
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Свойства элементарных частиц
[ГЛ.
Таблица
Название
Фотон
Нейтрино элек-
электронное
Нейтрино
мюонное
Электрон
Мюон
Пионы
Каоны
Протон
Нейтрон
Л-гиперон
2-гипероны
Каскадный
гиперон
Q-гиперон
if-частицы
Символ
V
V,
л4-
ло
л
к*
/г
Kl
Р
п
Л°
2--
20
2"
Е°
*i
Маоса /?/,
Мэв
0
0
0
0,51
105,66
139,57
134,96
139,57
493,71
493,71
497,70
497,70
938,28
939,57
1115,60
1189,37
1192,48
1197,35
1321,29
1314,9
1672,2
3095
3684
Заряд е
0
0
0
—1
—1
+1
0
--1
+1
— 1
0
0
+ 1
0
0
-4-1
0
-1
-1
0
1
0
0
Спин о
1
1/2
т
1/2
1/2
0
0
0
о о о о
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2 .
1
1
Время жшни,
CLK
СО
ОО
ОО
со
2,20- 10-е
2,60- 10"8
0,84- КГ"
2,60- 10"8
1,24- Ю-»
1,24- 10 8
0,89- 10 ю
5,18. 10 s
со
918 ± 14
2,58- 100
0,80- Ю-*0
< 1 • 10""
1,48- 10 10
1,65- 10 ю
2,96- 10 ю
1,3- Ю-10
0,9- 10-20
0,3 • 10-20

§ 3] АТОМИЗМ 23
эти частицы можно рассматривать как бесструктурные объекты,
имеющие некоторые глобальные характеристики (массу, заряд,
спин и т. д.).
В нашем курсе, посвященном нерелятивистской квантовой
механике, мы будем иметь дело лишь с такими процессами, при
которых изменение энергии частиц много меньше их собственной
энергии покоя Ео — тс2. Процессы, при которых происходят пре-
превращения и возбуждения элементарных частиц, выходят за рамки
нерелятивистской механики *).
Существованием элементарных частиц не исчерпывается ато-
атомизм, свойственный микромиру и составляющий его важнейшую
отличительную черту. Сложные частицы, образованные из элемен-
элементарных частиц (например, молекулы, атомы, ядра атомов), также
обладают атомистическими свойствами.
Эти свойства обусловлены двумя обстоятельствами. Во-первых,
каждый сорт сложных частиц образуется из вполне определенных
элементарных частиц (например, атом водорода образуется из
олного протона и одного электрона; ядро урана 238 из 92 протонов
и 146 нейтронов и т. д.). Во-вторых, внутренние состояния слож-
сложных частиц прерывны: для каждой сложной частицы существует
своя последовательность вполне определенных возможных состоя-
состояний, каждое из которых отделено от другого скачкообразными
изменениями. Благодаря этому далеко не всякое воздействие может
перевести сложную систему, например, из состояния с наименьшей
энергией, так называемого нормального состояния, в соседнее —
«возбужденное».
Если энергия внешнего воздействия недостаточна для того,
чтобы вызвать переход системы из нормального состояния в воз-
возбужденное, то по прекращении внешнего воздействия система
окажется в том же состоянии, в каком она была до применения
этого воздействия (в «нормальном» состоянии). В силу этого атомные
системы, подвергаясь какому-либо внешнему воздействию, остаются
в широких пределах такими же, какими они были до воздействия,
или переходят в новые, вполне определенные состояния. Именно
такая скачкообразность в изменении состояния сложных атомных
систем была той физической (правда, в явном виде неизвестной)
причиной, которая приводила химиков к представлению о неде-
неделимости атомов, а физикам позволяла рассматривать атомы в кине-
кинетической теории как неизменные материальные точки. Эти неизмен-
неизменность п неделимость соблюдаются лишь до той поры, пока внешние
воздействия не достигнут той степени интенсивности, при которой
) Фотоны и нейтрино имеют массу покоя т{) — 0. Поэтому они при всех
нергиях являются релятивистскими частицами и не могут изучаться методами
реля i ивистской квантовой механики. Подробнее о границах применимости
кванювой механики см. § 141.

24
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. I
окажутся возможными переходы сложной частицы в соседние
энергетические состояния.
Благодаря тождественности признаков элементарных частиц
и прерывности состояний сложных, частицы микромира не имеют
индивидуального «лица». На характерных признаках электрона
или атома водорода не отражаются происходившие с ними события.
В отличие от этого на макроскопической системе обычно в той
или иной мере запечатлена ее история с тем большей полнотой, чем
сложней система.
Прерывность состояний, свойственная микросистемам, доказы-
доказывается опытным путем. Франк и Герц A913—1916) пропускали
Ц
4,9
9,8
Рис. 2. Результаты классического
опыта Франка и Герца.
поток электронов, т. е. элек-
электрический ток, через пары рту-
ртути. Оказалось, что протекающий
ток в зависимости от энергии
электронов имеет максимумы и
минимумы, изображенные на
рис. 2.
Первоначально, пока энергия
электронов не превосходит 4,9 эв,
пучок электронов проходит че-
через пары ртути, не теряя энер-
энергии (на самом деле при столк-
столкновении электрона с атомом рту-
ртути, как с целым, происходит
некоторый обмен энергией; од-
однако ввиду того, что масса атома
ртути во много раз превышает массу электрона и удар происходит
упруго, этим обменом энергий можно пренебречь), и поэтому ток
растет с ростом напряжения. Но как только достигается энергия в
4,9 эв, ток падает благодаря тому, что электроны начинают терять
энергию при столкновении с атомами ртути, изменяя их внутрен-
внутреннее состояние.
Этим и доказывается прерывность возможных значений внутрен-
внутренней энергии атома ртути: энергия состояния атома ртути, бли-
ближайшего к нормальному, превышает его энергию на 4,9 эв.
Штерну и Герлаху удалось показать, что и вращательный импульс
(момент количества движения) атомов имеет подобно энергии
также только некоторые дискретные значения. Штерн и Герлах
A921) измеряли магнитный момент атомов. Этот магнитный момент
обусловлен внутриатомными токами, и так как последние вызываются
движением электронов, то между магнитным моментом атома и
вращательным импульсом существует связь, которая будет нами
рассмотрена в §§ 53 и 64. Сущность опытов Штерна и Герлаха
заключалась в том, что они пропускали узкий пучок атомов в неод-
неоднородном магнитном поле. Если атом имеет магнитный момент SSJI

§3J
АТОМИЗМ
25
то в магнитном поле напряженности 3€ он получит потенциальную
энергию, равную
U = _ Sfftw = _ эл Sf€cos а,
где а — угол между направлением магнитного поля и направле-
направлением магнитного момента атома. Сила, дей-
действующая на атом со стороны неоднород-
неоднородного поля (если оно меняется по направ-
направлению оси 01), равна
г ou
Градиент поля был направлен перпенди-
перпендикулярно к пучку атомов, и следовательно,
сила F вызывала отклонения атомов от
первоначального направления движения.
Если бы были возможны все ориентации
магнитного момента атома (т. е. любые а),
как это следует из классических представ-
представлений, то сила F принимала бы все зна-
значения от—а^^до + tW^. Различные
Q
атомы отклонялись бы различно, и при по-
попадании пучка на экран мы получили бы
размытое изображение щели, ограничиваю-
ограничивающей пучок. На самом деле получается
два резких изображения щели (рис. 3).
Этот результат опыта показывает, что воз-
возможны лишь две дискретные ориентации
магнитного момента атома: cos a = ± \. Далее, вычисление пока-
показывает, что величина отклонения пучков соответствует значению
магнитного момента атома 3D?, равному
Рис. 3 Расщепление пуч-
пучка паров натрия в маг-
магнитном поле.
а — в отсутствие поля, Ъ — в
присутствии поля.
гс
где е ~ заряд электрона, |li — его масса, с — скорость света. Это
значение было впервые теоретически найдено Ы. Бором из элемен-
элементарной квантовой теории и называется магнетоном Бора.
Оно является как бы квантом магнитного момента.
Явление, открытое Штерном и Герлахом, называют прост-
пространственным квантованием, так как речь идет
0 Дискретности ориентации магнитного момента относительно маг-
нитпого поля. На основании упомянутой связи между вращатель-
ььм импульсом и магнитным моментом можно сказать, что опыты
герна и Герлаха доказывают также прерывность возможных зна-
чении вращательного импульса.

26 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
Впоследствии мы покажем (гл. X), что наблюдавшийся Штер-
Штерном и Герлахом магнитный момент атома обусловлен не орбитальным
движением электрона (как это первоначально думали), а собствен-
собственным магнитным моментом, присущим самому электрону г).
С интересующей нас сейчас общей точки зрения опыты Штерна
и Герлаха показывают, что магнитный момент атома в целом имеет
квантовые, дискретные значения. Таким образом, эти опыты прино-
приносят новое доказательство прерывности, свойственной возможным
состояниям атома.
Мы хотели бы еще обратить внимание на тот факт, что дис-
дискретность атомных состояний оказывается также существен-
существенной совсем в другом круге явлений. Согласно общим прин-
принципам классической статистической механики средняя энергия,
приходящаяся на одну степень свободы системы, находящейся
в равновесии при температуре 7\ равна V2 kT, где k =
— 1,38 • 10~16 эрг! град, есть постоя ннаяБольцман а. На
этом основании, например, одноатомные газы имеют среднюю энергию
на один атом 3/2 kT и теплоемкость % k. Этот вывод теории хорошо
подтверждается опытом. Однако он содержит неявное предполо-
предположение, что атом представляет собой нечто вроде материальной
точки, имеющей три степени свободы (соответственно трем коор-
координатам центра тяжести). Между тем хорошо известно, что, напри-
например, атом Не состоит из трех частиц: ядра и двух электронов. Мы
предполагаем, что эти электроны не способны отдавать или полу-
получать энергию и поэтому не участвуют в установлении теплового
равновесия в газе. Это предположение не может быть обосновано
классической механикой, так как согласно классической механике,
если существует устойчивое движение с энергией ?, то существует
и движение с энергией, мало отличающейся от ?, а это означает,
что электроны атомов должны принимать и отдавать эйергию при
столкновениях атомов, т. е. должны участвовать в установлении рав-
равновесного распределения энергии. Напротив, с точки зрения кван-
квантовой теории, атом в широких границах действительно может рас-
рассматриваться как объект, обладающий только тремя степенями
свободы. Согласно квантовой теории необходима конечная энергия
А?, чтобы перевести атом из его нормального состояния в сосед-
соседнее, возбужденное. Поэтому, если А? ^> 3/2 kT, то при столкно-
столкновениях атомов электроны не будут возбуждаться, и атомы будут
вести себя как «твердые» материальные точки. Внутренние степени
свободы будут «заморожены».
Со времени описанных опытов число экспериментальных дока-
доказательств прерывности состояний атомных систем выросло в необо-
необозримой степени.
1) Это относится к первым опытам Штерна и Герлаха с Н и Ag в нормальных
состояниях. В общем случае магнитный момент атома обусловлен как орбитальным
движением электронов, так и собственным магнитным моментом этих электронов.

АТОМИЗМ
б, бар*
г 1 i ^*^1
18
2,2 Е,Мэв
Рис. 4. Резонансы во взаимодействии нейтронов с ядром кислоро-
кислорода О".
20-
100 300 500 700
Е,МэВ
Рис. 5. Полное сечение взаимодействия
л-мезонов с нуклонами.
Резонанс для ль-меэонов в области энергии
л-мезона около 200 Мэв.

28 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
Особенно много новых фактов принесло изучение атомного ядра.
Было показано, что атомные ядра также обладают дискретной систе-
системой уровней. На рис. 4 приведено сечение взаимодействия
нейтронов с ядром кислорода, как функция энергии нейтронов.
Эта кривая имеет острые резонансные пики при определенных энер-
энергиях, указывающие на существование дискретных энергетических
уровней в ядре.
В настоящее время хорошо известны резонансные явления и
в элементарных частицах. Эти резонансы указывают на существо-
существование дискретных уровней в элементарных частицах. На рис. 5
приведен пример такого резонанса при рассеянии я-мезонов на
протоне.
§ 4. Теория Бора
Для того чтобы описать рассмотренные в предыдущем пара-
параграфе прерывные свойства атомных систем, Н. Бор предложил
видоизменить классическую механику, введя в закон движения
постоянную Планка Н. Видоизменение заключалось в том, что Бор
предположил, что не все движения, допускаемые классической
механикой, реализуются.в атомных системах, а лишь некоторые,
избранные. Бор сформулировал особый рецепт выбора, который
мы не предполагаем здесь рассматривать. С помощью этого рецепта
удалось успешно найти возможные значения энергии атома водо-
водорода, но прием Бора оказался несостоятельным для более сложных
атомных систем (например, для атома Не). В применении к энергии
атома гипотеза Бора (или, как ее называли, постулат Бора) озна-
означала, что энергия атома Е может принимать лишь прерывные,
квантовые значения
?==?ь ?2, ..., ЕП9 ..., Ет, ... D.1)
Современная теория, как мы увидим, не нуждается в таком посту-
постулате и вообще не считает дискретность состояний обязательным
признаком квантовой системы. Тем не менее для определенной
области явлений постулат Бора и до сего времени является правиль-
правильным, так как он может рассматриваться в этой области как прямое
выражение опытных фактов.
Постулат Бора противоречит классической теории излучения,
так как по этой теории возбужденный атом излучает непрерывно,
и следовательно, его энергия может оказаться лежащей между
дозволенными уровнями энергии. Поэтому Бор принял квантовую
точку зрения (§ 1), согласно которой энергия излучается порция-
порциями — квантами света. Тогда, объединяя закон сохранения энергии
с постулатом Бора о дискретности состояний атомов, мы получим
написанный впервые Бором закон, связывающий частоты <атп,
которые может испускать и поглощать атом (спектр атома) с кван-

§ 4] ТЕОРИЯ БОРА 29
товыми уровнями ЕП9 свойственными данному атому *), т. е.
П(отп^Ет-Еп. D.2)
Это уравнение есть не что иное, как закон сохранения энергии при
излучении и поглощении света, и в старой теории Бора представляло
один из постулатов его теории («правило частот» Бора).
Разделив уравнение D.2) на постоянную Планка, мы найдем, что
частоты, поглощаемые или излучаемые квантовыми системами,
всегда могут быть представлены в виде разности двух частот:
®тп = Ыт-<*п, (Om=-f, ®n = -f. D.3)
Эти последние называются спектральными термами.
Еще задолго до создания теории Бора Ритцем чисто эмпирически
было установлено, что наблюдаемые частоты атомов могут быть пред-
представлены как разности термов («комбинационный прин-
ц и п» Ритца). Поэтому D.3) можно рассматривать и как матема-
математическую формулировку эмпирического правила Ритца.
В комбинационном принципе Ритца мы встречаемся с одним фун-
фундаментальным противоречием между классической теорией и опы-
опытом. Если электрон находится в атоме, то он совершает периоди-
периодическое или квазипериодическое движение. В простейшем случае
одномерного движения его координата x(t) может быть разложена
в ряд Фурье
+ 00
*@= 2 *п-еш*\ D.4)
п — — оо
где о),г = /?соь a coj есть частота основного тона, ып есть частота
(п — 1)-го обертона. Интенсивность 1п излучения частоты со^
определяется амплитудой (п — 1)-го обертона, т. е. величиной хп
(см. § 87). Частоты, согласно классической теории, могут быть
расположены в строку
@ = 0)!, 02, ••-, <ол, ... D.5)
Так же могут быть расположены и соответствующие им интен-
интенсивности 1п или амплитуды хп. Это очень общее следствие класси-
классической теории противоречит эмпирическому принципу Ритца, так
как, согласно этому принципу, наблюдаемые на опыте частоты
всегда определяются двумя числами пит (номера термов) 2), так
что в строку располагаются не частоты, а термы (ып = EJK),
г) Для поглощения полагаем в A.3): «' = 0, Е' = Emt E— Еп<: Ет>
w = °W> Для излучения: со' = сош/г, Е' = Еп, Е = Ет, со = 0.
2) Если система обладает / степенями свободы, то каждый терм со/г = Еп/Н
будет характеризоваться группой чисел (nlt n2, ... , /*/), а излучаемые частоты
опять-таки двумя группами чисел: (nlt п2, ... , nj) и (mlt т2, ... , tnj).

30 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
частоты же располагаются в квадратную таблицу («матрицу»):
D.6)
(О —
О со12 со13 ... (ды
со21 0 со23 ... (o2/J
В подобную же таблицу можно расположить соответствующие
интенсивности 1тп (или амплитуду колебаний хтп).
Это противоречие можно было бы преодолеть, если предполо-
предположить, что каждая из частот со„т является одним из основных тонов
и соответствует своей особой степени свободы. Атом сопоставлялся
бы таким образом роялю, каждая степень свободы — клавише. Но
тогда мы должны были бы допустить существование огромного,
в сущности неограниченного числа степеней свободы и тем самым
еще более углубили бы противоречия между предсказаниями клас-
классической механики в отношении теплоемкости атомов и фактами.
В заключение отметим еще то обстоятельство, что теория Бора,
хотя и позволяет по крайней мере в простейшем случае атома
водорода, определить частоты ытп, т. е. спектр этого атома, но она
ничего не говорит об интенсивностях излучения 1тп этих частот
и соответствующих им коэффициентах поглощения. Вычисление
этих интенсивностеи представляло для теории Бора непреодолимую
и принципиальную трудность. Были возможны лишь качественные
суждения. Расчет до теории Бора атомов более сложных, чем атом
водорода, также привел к принципиальным трудностям. Эти труд-
трудности были преодолены квантовой механикой.
В 1927 г. В. Гайзенберг предложил все величины, характеризую-
характеризующие внутриатомные движения, считать матрицами (подобными
матрице D.6)).' С этой новой точки зрения координата электрона
и его импульс должны изображаться матрицами 'Хтп и ртп. На этом
пути Гайзенберг нашел знаменитое «соотношение неопре-
неопределенностей» и получил правильные значения для термов
простейших квантовых систем. Его механика называлась «матрич-
«матричной» и вскоре слилась с другим,, «волновым», направлением, кото-
которое развивали де Бройль и Е. Шредингер.
§ 5. Элементарная квантовая теория излучения
Элементарная теория излучения на основе квантовых пред-
представлений была создана Эйнштейном. Она имеет до некоторой сте-
степени феноменологический характер х). Тем не менее она позволяет,
*) Предположения Эйнштейна получают полное обоснование в современной
квантовой электродинамике (см., например, А. И. А х и е з е р, В. Б. Б е р е-
с т е ц к и й, Квантовая электродинамика, «Наука», 1969).

§ 51 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 31
опираясь на современную квантовую механику, решить вопрос
об интенсивностях излучения и поглощения света.
С квантовой точки зрения интенсивность испускания или погло-
поглощения электромагнитного излучения определяется вероятностью
перехода атома из одного состояния в другое. Решение вопроса
об интенсивностях сводится к вычислению этих вероятностей.
Рассмотрим два состояния какой-нибудь системы, например
атома. Одно обозначим буквой т, а другое буквой п. Энергия
первого состояния пусть будет Ету а
второго Еп. Для определенности пред-
предположим, что Ет> Еп, так что состоя- If
ние т принадлежит более высокому
квантовому уровню Ет, нежели состо-
состояние я, принадлежащее квантовому
уровню Еп.
Опыт показывает, что система может
сама собой перейти из высшего состоя-
состояния т в низшее я, испуская квант света
На = Ет — Еп с частотой a = Ein~En ,
п Рис. 6. Характеристики из-
имеющий, кроме того, определенную по- лучения.
ЛЯрИЗаЦИЮ И распространяющийся ВНут- ^ и 12-два независимых на-
РИ ТелеСНОГО угла dQ (рИС. 6). Любую ПО- правления поляризации.
ляризацию для заданного направле-
направления распространения света мы можем представить как сложение двух
независимых поляризаций 1А и 12, перпендикулярных друг к другу.
При переходе Ет ->¦ Еп может быть излучен квант света либо
с поляризацией 1Ь либо с поляризацией 12. Поляризацию мы будем
отмечать индексом а (а = 1,2). Вероятность перехода т-> п
? ?
в 1 сек, с излучением кванта частоты со = -JILji—- внутри телес-
телесного угла dQ с поляризацией а, мы обозначим через
dW'r = anmadQ. E.1)
Эту вероятность называют вероятностью «спонтанного» (самопро-
(самопроизвольного) перехода. Возможности такого перехода в классичес-
классической теории соответствует излучение возбужденного осциллятора.
Если имеется излучение, окружающее атом, то оно оказывает
воздействие на атом в двух отношениях. Во-первых, это излучение
может поглощаться, причем атом будет переходить из низшего
состояния п в высшее т. Вероятность такого перехода в 1 сек обо-
обозначим через dWa. Во-вторых, если атом находится в возбужден-
возбужденном состоянии ш, то внешнее излучение может способствовать пере-
переходу атома в низшее состояние п так, что вероятность излучения
увеличится на некоторую величину dW"r. Эту добавочную вероят-
вероятность мы будем называть вероятностью индуцированного

32 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
(или вынужденного) перехода. Оба типа переходов имеют
аналогию в классической теории: осциллятор, находящийся под
влиянием внешнего излучения, может как поглощать, так и излу-
излучать энергию в зависимости от соотношения фазы его колебаний
и фазы световой волны.
Согласно сказанному полная вероятность излучения равна
Вероятность поглощения dWa и вероятность вынужденного
излучения dW'r по предположению Эйнштейна пропорциональны
числу квантов света как раз того сорта, о поглощении и излучении
которых идет речь. Определим это число.
Излучение может быть, вообще говоря, не монохроматическим,
иметь различное направление распространения и разную поляри-
поляризацию. Для определения характера излучения мы введем величину
ра (со, Q) dco dQ, дающую плотность энергии излучения, имеющего
направление распространения в пределах телесного угла dQ, поля-
поляризацию а и частоту, лежащую в пределах со, со + dco. Так как
энергия кванта равна Йсо, то число квантов света с частотой в пре-
пределах со, со + dco, которые распространяются в телесном угле dQ
и имеют поляризацию а, равно (на 1 см3)
ра (со, Q) da dQ
/гсо
Ha основании замечания о пропорциональности между числом
квантов и вероятностями поглощения и вынужденного излучения
мы можем положить
= Cpa(©, Q)dQ, E.2)
= bnmap*(<*, Q)dQ. E.3)
Величины апта, bnnla, bnma называются дифференциальными
коэффициентами Эйнштейна. Они зависят только
от рода систем, излучающих и поглощающих свет, и могут быть
вычислены методами квантовой механики (см. § 88). Однако можно
сделать некоторые общие заключения о свойствах этих коэффици-
коэффициентов без их вычисления.
Рассмотрим условия, при которых осуществляется равновесие
между излучением и поглощением. Пусть число атомов, находя-
находящихся в возбужденном состоянии т, есть пт, а число атомов, нахо-
находящихся в низшем состоянии, — пп. Тогда число квантов света,
излучаемых в 1 сек при переходах ш-> п, будет равно
а число поглощаемых в 1 сек квантов при переходах л->- ш, будет
равно
nndWa.

§ 5] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 33
В условиях равновесия число актов поглощения должно равняться
числу актов испускания, т. е.
Подставляя сюда dWr из E.1) и d\Va, dW"r из E.2) и E.3), найдем
после сокращения на dQ:
лХаРаК Q)=n^OaK Й)+°У E.4)
(причем о = &тп).
Допустим, что мы имеем дело с тепловым равновесием. Тогда
числа атомов в различных состояниях будут функциями темпера-
температуры Т. Вместе с тем и плотность излучения р (со, Q) должна быть
функцией температуры. Это будет плотность излучения, находя-
находящегося в равновесии с веществом при температуре Г, т. е. плот-
плотность черного излучения.
Свойства черного излучения, как известно, не зависят от кон-
конкретных свойств вещества, с которым оно находится в равновесии.
Поэтому все выводы, которые будут сделаны на пути исследования
черного излучения, имеют общее значение. Именно этим обстоя-
обстоятельством и воспользовался Эйнштейн, чтобы установить соотноше-
соотношения между коэффициентами a*/a, &яа> йа в общем виде.
Соотношение между числами атомов, находящихся в различных
состояниях, мы можем определить с помощью статистики.
Обычно (см., например, § 51) какому-нибудь квантовому уровню
Еп отвечает несколько различных состояний квантовой системы.
Число таких состояний fn называют статистическим весом
или степенью вырождения.
Согласно каноническому распределению, справедливому как
для классических, так и для квантовых систем, число атомов Nn,
находящихся в состояниях с энергией Епу будет равно
_?я
Nn = const -fne kT, E.5)
где k — постоянная Больцмана. Если нас интересует число атомов,
находящихся в каком-либо одном из состояний, принадлежащих
энергии Еп, то на основании того же распределения будем иметь
пп= ~п- -const -e kT . E.5')
In
Подставляя пп и пт из E.5') в E.4) и сокращая на общую постоянную,
получим
Е к1
п ~т
е *rCpa(co, Q, T)=e *r[C,PaK Q, T)+anma{ E.6)
причем мы ввели в р в качестве аргумента еще и температуру,
так как при тепловом равновесии, как уже указывалось, плотность

34 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
равновесного излучения зависит от температуры. При Т ~*оо
плотность излучения должна неограниченно возрастать, т. е. р -> оо.
Из E.6) при Т -> оо получаем первое важное соотношение:
b%a = b>na. E.7)
На основании этого соотношения, замечая еще, что Ет — Еп~
= Йсо, мы получаем из E.6)
РвК О, Т) = ^^—. E.8)
Чтобы определить отношение -~у Эйнштейн остроумно восполь-
воспользовался тем обстоятельством, что при высоких температурах, т. е.
при kT ;> Лео, полученная квантовая формула E.8) для плотности
равновесного излучения должна переходить в классическую фор-
формулу Рэлея — Джинса. В самом деле, классическая формула для
плотности равновесного излучения выводится в предположении,
что излучение частоты со может иметь сколь угодно малую энергию.
По квантовой же теории наименьшая энергия такого излучения
есть Йсо. Если kT ^> Йсо, то величину Йсо сможно считать малой,
и тогда основная предпосылка классической теории будет выпол-
выполнена. Из E.8) при r^^l, разлагая в ряд ekT, получаем
ап kT
ра (со, й, 7) = -^--. E.9)
и та 1®
С другой стороны, классическая формула Рэйея — Джинса дает
для плотности равновесного излучения следующее выражение:
Г. E.10)
Как мы пояснили, для kT ^> Йсо обе формулы E.8) и E.10) должны
совпадать. Поэтому, сравнивая E.9) с E.10), находим
Эта важная формула позволяет вычислить один коэффициент по дру-
другому, так как полученное отношение не зависит от рода вещества
(как это и должно быть), а зависит только от частоты излучения.
Вставляя найденное отношение в E.8), получаем окончатель-
окончательную формулу для плотности равновесного излучения:
Ра К Й. Г)=|&1^—' E-12)
екг-1

§ 61
ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
35
§ 6. Черное излучение
Интегрируя ра(со, Q, Т) по полному телесному углу (Q = 4я) и
суммируя по обеим поляризациям (а = 1,2), мы получим плотность
излучения р (со, 7), приходящуюся на интервал частоты со, со + dco,
независимо от направления распространения и поляризации.
Согласно E.12) равновесное излучение изотропно, т. е. не зави-
зависит от направления распространения, и одинаково для обеих поля-
поляризаций. Поэтому мы получаем
р(со, 7) = 8лра(со, Q, Г), F.1)
т. е. плотность равновесного излучения частоты со при темпера-
температуре Т равна
ekT-\
Эта формула дает спектральное распределение энергии черного
излучения и впервые была установ-
лена Планком. На рис. 7 приведены
графики этого распределения для раз-
разных температур Т. В области йсо <^
<^kT закон Планка совпадает с клас-
сическим законом Рэлея — Джинса,
который для р (со, Т) имеет вид
К T)=^3
В области больших квантов
имея в виду,
F.2) получаем
что
kT
F.3)
из
F.4)
Формула Рэлея—Джинса выводится
из рассмотрения света как непрерыв-
непрерывных волн. Формула F.4) может быть
получена, если свет рассматривать
как газ, состоящий из частиц с энер-
энергией, равной е = Йсо. Первая карти-
картина есть волновая картина света, вто-
вторая — корпускулярная картина. Обе
картины являются недостаточными:
формула Планка не соответствует ни
той, ни другой.
Легко видеть, что волновая картина применима в той области,
где кванты света малы, а число их велико; напротив, корпускуляр-
Рис. 7. Распределение энергии
в спектре черного излучения
для различных температур.

36 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
ная картина справедлива в той области, где кванты велики, а число
их невелико.
Действительно, число квантов в 1 см3 в рэлеевской области
(Й(ох <! kT) в интервале частот от щ до щ -f do) есть
UiV 1 z==-—'—х ==; —т~5 * и (О, (и. О)
а в области Йсо2 ^ AT (виновская область) оно равно
dN2^^e~k'f' da. F.5')
Отношение dA/g к dM1 равно
d^^e-kf .-^L F.6)
При hoJ^kT ^дг^1«
§ 7. Волны де Бройля. Групповая скорость
Мы не предполагаем здесь следовать историческому развитию
квантовой механики и, в частности, излагать тот, сам по себе не
лишенный интереса путь аналогий между механикой и оптикой,
который привел де Бройля и позднее Шредингсра к установлению
исходных пунктов волновой (или, как теперь чаще называют,
квантовой) механики. Если не касаться тех сторон первоначальной
теории, которые в настоящее время имеют лишь историческое зна-
значение, то основная мысль де Бройля заключается в распростране-
распространении основных законов квантовой теории света A.1) и A.2) на дви-
движение частиц.
Именно, со всякой свободно движущейся частицей, имеющей
энергию Е и импульс р, де Бройль связывает плоскую волну
-ф (г, /) = С^-!Ч G.1)
где г — радиус-вектор произвольной точки пространства, t — время.
Частота этой волны о> и ее волновой вектор к связаны с энергией
и импульсом частицы темп же уравнениями, которые справедливы
и для квантов света, т. е.
?^?cd, G.2)
р = йк. G.3)
Это — основные уравнения де Бройля. Мы имеем здесь делос исто-
историческим ходом идей, обратным тому, который ведет к квантовой
теории света. Для света мы имели первоначально волновую картину

§ 7] ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ 37
и в квантовой теории дополнили ее корпускулярной, вводя пред-
представления об импульсе и энергии кванта света. Напротив, для час-
частиц (электронов, атомов и т. п.) мы имеем в качестве исходного
пункта классическое представление о движении частиц и по идее
де Бройля, переходя к квантовой теории, дополняем эту класси-
классическую корпускулярную картину представлениями волновой тео-
теории, связывая с движением частицы волновой процесс с частотой со
и длиной волны Я = г~.
Подставляя в G.1) со и к из G.2) и G.3), мы получим новое выра-
выражение для волны G.1), в котором будет в явной форме установлена
связь частоты и длины волны с корпускулярными величинами: энер-
энергией частицы ? и ее импульсом р
я|>(г, t) = Ce\h hi G.Г)
Такую волну мы будем называть волной де Бройля.
Вопрос о природе этих волн и о толковании значения их амплитуды
С мы отложим до следующей главы, так как этот вопрос вовсе
не является простым.
На первый взгляд может показаться, что движение волны G.1)
не может иметь никакой связи с механическими законами движения
частиц. Однако это не так. Чтобы усмотреть эту связь, обратимся
к рассмотрению основных свойств волны де Бройля. Ради упроще-
упрощения расчетов выберем направление оси ОХ, совпадающее с направ-
направлением распространения волны; тогда вместо G.1) мы будем иметь
гр(х, 1) = Се1ш kx). G.4)
Величина со/ — kx представляет собой фазу волны. Рассмотрим
некоторую точку х, где фаза имеет определенное значение а. Коор-
Координата этой точки определяется из уравнения
а = G>/ ~ kx,
откуда видно, что значение фазы а будет с течением времени пере-
перемещаться в пространстве со скоростью и, которую мы получим, диф-
дифференцируя предыдущее равенство по /:
Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от &,
а следовательно, и от длины волны X (так как X =- 2я/&), то имеет
место дисперсия волн. В отличие от электромагнитных волн, для
волн де Бройля существует дисперсия в пустом пространстве. Этс
обстоятельство вытекает из уравнений де Бройля G.2) и G.3).
Действительно, доежду энергией Е и импульсом р существует опре-
определенная связь.

38 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
Именно, согласно теории относительности, при скорости частицы
v^c (с — скорость света), т.е. в области применимости ньюто-
ньютоновской механики, Энергия свободно движущейся частицы равна
Е = +Vmfc* + р2с2 = m<f? + ?-+... , G.6)
где т0 — масса покоя частицы1). Подставляя это значение в G.2)
и выражая р2 через &2, получим
и, следовательно, и = (o/k есть функция k.
Перейдем теперь к установлению связи движения волны с движе-
движением частицы. Для этого мы рассмотрим не строго монохроматическую
волну G.4), имеющую вполне определенную частоту и длину вол-
волны К = 2л/&, а почти монохроматическую волну, которую мы
будем называть группой волн. Под группой волн мы
будем понимать суперпозицию волн, мало отличающихся друг
от друга по длине волны и направлению распространения. Для
простоты мы рассмотрим группу из волн G.4), распространяющихся
в направлении ОХ. Согласно данному определению группы волн
мы можем написать для колебания г|)(х, t) следующее выражение:
?о +А/?
г|>(*, /) = 5 c(k)eiK«*-kx)dk, G.8)
где &овт- есть волновое число, около которого лежат волновые
числа волн, образующих группу (Д& предполагается малым).
Разлагая частоту со как функцию k (см. формулу G.7)) по сте-
степеням k — 60> получим
Взяв й — ^0 в качестве новой переменной интегрирования ? и считая
амплитуду с(&) медленно меняющейся функцией ky найдем, что
г|)(д:, t) может быть представлено в виде
Л/г
Выполняя простое интегрирование по ?, найдем
». G.9)
х) В нерелятивистской теории энергия всегда определяется вплоть до адди-
аддитивной постоянной. Поэтому энергию покоя частицы т0с2, при определении кине-
кинетической энергии, обычно опускают.

§ 7] ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ 39
Так как под знаком синуса стоит малая величина Д&, то с(х, t)
будет медленно меняющейся функцией времени t и координаты х,
поэтому с(х, t) можно рассматривать как амплитуду почти моно-
монохроматической волны, а (соо/ — kQx) — как ее фазу. Определим
координату х, где амплитуда с(ху t) имеет максимум. Эту точку будем
называть центром группы волн. Очевидно, искомый максимум
будет находиться в точке
Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью
V, которую мы найдем, дифференцируя предыдущее равенство
по /; именно,
Эту скорость мы будем называть групповой скоростью
(в отличие от скорости фазы, равной со/&0). Если бы рассматривае-
рассматриваемые волны не обладали дисперсией, то мы имели бы V = и. В случае
волн де Бройля из-за дисперсии V ^ и. Вычислим, пользуясь
G.7), групповую скорость V:
Согласно G.3) Ш = р, с другой стороны, р = mQv, где v — скорость
частицы. Поэтому мы приходим к важному выводу:
V = v. G.11)
Итак, групповая скорость волн де Бройля равна механической ско-
скорости частицы v.
Полученные нами соотношения G.10) и G.11) могут быть легко
выведены для распространения волн в любом направлении по отно-
отношению к осям OX, OY, OZ. Предоставляя этот вывод читателю,
приведем здесь лишь окончательный результат:
,, _ дса _ дЕ у __ дсо _ дЕ у __ дсо ___ дЕ
или в векторной форме
V-VkCD=:Vp?=:V. G.1 Г)
Вычислим для двух случаев длину волны де Бройля. Из G.3)
следует, что
2 2^
Ограничиваясь случаем малых скоростей у<си пользуясь равен-
равен-^=:. G.12')
ством Е = ~р, мы получим

40 основы квчнтовоп теории [гл. i
Эта формула позволяет вычислять длину волны А,, зная массу т0
и энергию частицы Е.
Применим эту формулу к электрону. В этом случае то = 9 -10~28г.
Выражая энергию электрона в эв, для чего положим Е — eV, где
е — заряд электрона, а V — ускоряющая электрон разность потен-
потенциалов, измеренная в вольтах, мы найдем
V G.13)
Для V = 1 оэв получаем К = 12,2 А, для V = 10000 эв получаем
Я = 0,122 А. Вычислим длину волны для молекулы водорода,
имеющей энергию 6-Ю14 эв, что равно средней энергии молекулы
водорода при температуре 300°. Масса молекулы равна 2-1,66 ох
X 104 г. Подставляя эти величины в G.12'), найдем \ = 1А.
Как видим, длина волны де Бройля очень мала; она тем
меньше, чем больше энергия частицы и ее масса. Практически,
например, совсем не удается получить длину волны \, равную длине
волны видимого света, так как уже с электронами, обладающими
энергией в 1 эв, весьма трудно экспериментировать, а при X —
= 10'ъ см мы имели бы дело с электронами, энергия которых равна
всего лишь 1,2-10 4 эв.
В современных ускорителях получают частицы очень высоких
энергий. Следовательно, такие ускорители можно рассматривать
как источники волн крайне короткой длины. Если энергия частицы
много больше энергии покоя Е ^> тос2, то из G.6) имеем Е « рс
и, следовательно, длина волны в этом случае равна
G.14)
Для протонов или мезонов, при энергии Е = 10 -f- 20 Гэв, Я =
= 1,26-10 14 -г- 6,3 -10 15 см. С помощью таких коротких волн
можно изучать внутреннюю структуру элементарных частиц.
Идея о связи движения частицы с движением волны была столь
чужда установившимся в механике представлениям, что казалась чи-
чистой фантазией, и только опыт мог заставить принять ее как ценный
вклад в науку. В каких же явлениях следовало искать подтвер-
подтверждения или, напротив, опровержения представления о волновых
явлениях при движении частиц? Независимо от природы волн суще-
существует совокупность явлений, присущих только волнам. Это — явле-
явления дифракции и интерференции. Оба явления обусловлены сло-
сложением волн с определенными фазами и амплитудами, и их суще-
существование вытекает из самой природы волнового движения. Поэтому
для проверки идеи де Бройля следовало обратиться к опытам, в ко-
которых можно было бы обнаружить эти явления, оперируя с части-
частицами. Из оптики известно, что явление дифракции только в том
случае заметно, когда расстояние между штрихами дифракционной

ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ
41
решетки сравнимо с длиной волны дифрагирующих волн. Если
делать опыты с электронами, то согласно приведенному выше рас-
расчету длина волны де Бройля по порядку величины равна 1 А,
а для атомов еще меньше. Поэтому условия для наблюдения дифрак-
дифракции электронов примерно таковы же, как и условия для наблюдения
дифракции рентгеновских лучей, так что подходящей дифракцион-
дифракционной решеткой могут быть лишь кристаллы, где расстояние между
«штрихами» — атомами кристалла, по порядку величины равно
1 А. Опыты, подтвердившие правильность точки зрения де Бройля,
будут кратко изложены в следующем параграфе.
§ 8. Дифракция микрочастиц
Переходя теперь к изложению опытов, доказавших правильность
идеи де Бройля, мы начнем с классических опытов Дэвиссона и
Джермера A927). Дэвиссон и Джермер изучали рассеяние пучка
электронов на поверхности кри-
кристаллов. Наблюдая интенсивность
пучков в зависимости от угла рас-
рассеяния, можно было заметить,
что распределение электронов по
углам весьма сходно с распреде-
распределением интенсивности волн при
дифракции. На рис. 8 схематически
изображен опыт Дэвиссона и Джер-
Джермера. Электронная пушка служи-
служила источником пучка электронов.
Фарадеев цилиндр соединялся с
гальванометром, и по силе тока
можно было судить о количестве
электронов, рассеянных поверхно-
поверхностью монокристалла под углом 6
к первоначальному пучку, кото-
который падал нормально к поверх-
поверхности.
Электроны небольшой энергии
не проникают глубоко внутрь
кристалла, поэтому значительная
доля электронов рассеивается
поверхностным слоем кристалла, так что дифракция происходит
в основном от плоской дифракционной решетки, образованной
атомами кристалла, расположенными на его поверхности. Согласно
элементарной теории дифракции положение дифракционных мак-
максимумов определяется формулой
Рис. 8. Схема опыта Дэвиссона и
Джермера по дифракции электро-
электронов.
= dsinB,
(8.1)

42
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. I
IP
где /г — порядок дифракционного максимума, А- — длина волны
дифрагирующих лучей, d — постоянная плоской поверхностной
решетки кристалла, а б — угол между нормалью к решетке и на-
направлением рассеянного, пучка. Зная энергию первичных электро-
электронов, падающих на кристалл (в опытах Дэвиссона и Джермера энер-
энергия электронов могла изменяться примерно от 30 до 400 эв)9 Дэвис-
сон и Джермер могли для каждой энергии вычислить длину волны К
по формуле де Бройля G.13) и вычислить из формулы (8.1) положе-
положение максимума для рассеянных, «дифрагированных», электронов.
Другой способ проверки формулы де Бройля мог заключаться
в проверке справедливости (8.1) для электронов разной энергии.
Подставляя в (8.1) X из G.13), мы найдем, что в случае правильности
формулы де Бройля должно
иметь место равенство
VV sin 8-const (8.2)
(если угол б отвечает положе-
положению максимума интенсивности
рассеянных электронов). И тот и
другой путь привел Дэвиссона и
Джермера к заключению о пол-
полной справедливости формулы де
бройля G.12), связывающей
длину волны X с импульсом
электронов р.
Дифракцию рентгеновских
лучей удается наблюдать не толь-
только от монокристаллов, но и от поликристаллических образований,
например, от кристаллических порошков (метод Дёбая — Шеррера).
Тартаковский и Томсон A927) впервые применили этот метод к
наблюдению дифракции электронов. В этом методе первичный пучок
электронов пропускается через толщу пленки, имеющей поликрнс-
таллическую структуру (во избежание сильного поглощения
электронов пленки берутся очень тонкими, около 10 см). В та-
такой пленке отдельные монокристалликн расположены хаотическим
образом. В этом методе луч пронизывает кристалл, и мы имеем
дело с пространственной дифракционной решеткой. Условие Брег-
га — Вульфа для пространственной решетки имеет вид
nk-^2ds\ncpy (8.3)
где d — постоянная пространственной дифракционной решетки,
Ф — угол между лучом и плоскостью решетки, п и X имеют прежние
значения. Если какой-либо из кристалликов пленки удовлетворяет
этому условию (рис. 9), то на фотопластинке Р мы получим пятно
Q в точке падения на пластинку дифрагированного луча KQ. Так
как кристаллики расположены хаотически, то среди них найдутся
Рис. 9. Схема опытов Тартаковского
и Томсона по дифракции электронов.

§ 3] ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ 43
и такие, что их положение будет отличаться от положения кристал-
кристаллика К лишь поворотом вокруг оси 50, совпадающей с направле-
направлением падающего пучка. В результате на пластинке вместо пятна
Q мы получим кольцо с радиусом 0Q. Вообще каждому пятну при
Р..с. 10. Дифракция электронных лучей от тонкой серебряной пла-
пластинки.
Ускоряющее напряжение 36 кэв, длина волны де Бройля 0,0645 А, экспозиция
0,1 сек.
Дифракции от монокристалла в методе Дебая — Шеррера соответ-
соответствует дифракционное кольцо. Легко вычислить диаметр (D) этих
колец. Если расстояние от пластинки до пленки есть L, то
Комбинируя это равенство с (8.3), получим при малых углах <р:

44
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. 1
Подставляя вместо к ее выражение через энергию электронов,
по формуле де Бройля G.13) мы найдем, что
= const.
(8.4)
Справедливость этого соотношения была полностью подтверждена
наблюдениями Тартаковского и Томсона.
В настоящее время достигнуто значительное усовершенствова-
усовершенствование методики проведения этих опытов, и дифракция электронов
находит столь же успешное применение для анализа строения кри-
кристаллов (особенно их поверхностей),
как и дифракция рентгеновских лучей.
На рис. 10 мы приводим картину дифрак-
дифракции электронов на серебряной пленке
(«электронограмма»). Таким образом,
реальность дифракции электронов не
вызывает в настоящее время никаких
сомнений.
Вопрос о применимости формулы
де Бройля G.12) к частицам, более слож-
сложным, нежели электрон, к атомам и мо-
молекулам является весьма принципиаль-
принципиальным. Действительно, возможность при-
применения ее к сложным системам означает,
что волновые явления не являются ре-
результатом особенностей строения той
или иной частицы, а имеют общую зна-
значимость, выражают общий закон движе-
движения микрочастиц.
Рис. 11. Дифракция атомов
Не на кристалле LiF.
Штерн и Эстерман поставили своей
задачей проверить формулу де Бройля
для атомов и молекул. Для этой цели
они исследовали отражение Не и Н2 от кристаллов LiF. Меняя
температуру «печи», служившей источником узкого пучка атомных
или молекулярных лучей, экспериментаторы имели возможность
менять энергию исследуемых частиц, а вместе с тем и длину
волны де Бройля. Интенсивность рассеянного кристаллом пучка
измерялась с помощью очень чувствительного манометра.
Опыты Штерна и Зстермана вполне подтвердили применимость
формулы де Бройля к указанным сложным частицам. На рис. 11
приведено распределение интенсивности в рассеянном пучке атомов
Не, отражающихся от кристаллов LiF при Т = 295°. Угол 0°
отвечает правильному отражению пучка Не от кристалла. Для этого
угла имеем резкий максимум. Если учесть то простое обстоятель-
обстоятельство, что размеры атома порядка расстояния между ионами решетки
LiF, то уже наличие правильного отражения невозможно объяс-
объяснить с точки зрения корпускулярной механики.

ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ
45
Рис. 12. Дифракция нейтронов (лауэграмма).
d(T i мбарн
dl?' терад
0,95,
0° 10° Го' 20°
Рис. 13. Угловое распределе-
распределение д-мезонов с импульсом
6,8 Гэв/с, упруго рассеянных
на протонах
Рассеянно сильно направлено впе-
~~7Гпп с ред и может быть понято как диф-
ДЬи COS(^, ракционное рассеяние на сильно по-
0W п' глощающем шарике.

46 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. I
Помимо максимума, отвечающего правильному отражению,
имеется еще два дифракционных максимума (спектры первого по-
порядка). Положение их хорошо согласуется с вычисленным по фор-
формуле де Бройля. Подобный же результат получен для молекул Н2.
Дифракционные явления имеют место и Для потока нейтронов.
Из формулы G.12), подставляя в нее массу нейтрона т0 = 1,66 X
X 10~24 г и выражая энергию нейтрона в электрон-вольтах Е — eV',
получим выражение для длины нейтронных волн в виде
Х = °-^А. (8.5)
у v
Отсюда видно, что если энергия нейтронов составляет сотые доли
электроновольта (так называемые «тепловые» нейтроны), то %
будет сравнима с постоянной решетки кристаллов. При этом усло-
условии легко получить дифракцию. Так как нейтроны, в отличие от
электронов, но подобно рентгеновским лучам, мало поглощаются
веществом, то с нейтронами можно воспроизвести дифракцию
в объеме кристалла (трехмерная дифракция Лауэ). На рис. 12
показана объемная дифракция нейтронов на кристалле хлористого
натрия.
Наконец, на рис. 13 приведена картина дифракции я-мезонов
с энергией 7 Гэв на протоне *). Эта картина соответствует дифрак-
дифракции волн % ~ 10~14 см на сильно поглощающем шарике с радиусом
~ 103 см.
Приведенные в этом параграфе факты с полной очевидностью
показывают, что волновые свойства обнаруживают все частицы,
независимо от их природы и строения,,л формула де Бройля, свя-
связывающая импульс частицы с длиной волны, имеет всеобщую зна-
значимость.
*) Рис. 13 взят из работы Ван Ган-чан и др. (Объединенный инсти-
институт ядерных исследований, г. Дубна), ЖЭТФ 38, 426 A960).

Глава II
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 9. Статистическое толкование волн де Бройля
Физический смысл волн, связанных по идее де Бройля с движе-
движением частиц, был раскрыт не сразу. Вначале были попытки рас-
рассматривать сами частицы как образования из волн, распределен-
распределенные в некоторой области пространства. Интенсивность волны
до Бройля рассматривалась в этой концепции как величина, харак-
характеризующая плотность среды, из которой образована частица. Это
понимание волн де Бройля имело совершенно классический харак-
характер. Основанием для него служило то обстоятельство, что в некото-
некоторых, весьма частных случаях оказалось возможным (теоретически)
построить волновые образования, движение которых совпадает
с движением частицы, движущейся по законам классической меха-
механики. Примером таких образований может служить рассмотренная
выше группа волн. Как было показано в § 7, центр группы волн
движется как частица. Однако движение такой группы волн все же
не вполне совпадает с движением частицы. Дело в том, что сама
форма группы волн с течением времени изменяется. Именно, как
о\дет показано в § 34, размеры группы возрастают: группа волн
расплывается. Необходимость такого расплывания можно легко
понять из факта существования дисперсии волн де Бройля в пустоте.
Отдельные волны, из которых образована группа, распространя-
распространяется с различной скоростью. Благодаря этому группа волн будет
расплываться.
Таким образом, построенная из волн де Бройля частица будет
неустойчива: даже при движении в пустом пространстве размеры
ее буд^т все время возрастать неограниченно. Эта неустойчивость
о\ дет особенно разительна, если обратиться к случаю, когда частица
лижется в неоднородном пространстве, переходя из одной среды
в лругую. Примером такого случая являются классические опыты
по дифракции частиц. Когда, например, в опыте Тартаковского —
Томсона пучок частиц проходит тонкую фольгу, то он разделяется
на систему конусообразных дифрагированных пучков. Если рас-

48 основы квантовой механики [гл. i
сматривать частицу, в данном случае электрон, как образование
из волн, то первоначально мы должны отождествить с,электроном
падающую волну, размеры которой определяются диафрагмами
прибора, а после прохождения фольги — всю систему дифрагиро-
дифрагированных волн. Каждый дифрагированный пучок должен был бы
представлять некоторую долю электрона. Представим теперь себе,
что мы поставили два прибора, регистрирующих попадание элек-
электронов (например, фотопластинки), причем в первый прибор направ-
направлен только первый дифрагированный пучок, а во второй прибор —
только второй дифрагированный пучок. Тогда, если отождествлять
с частицей всю систему дифрагированных волн, то мы должны прийти
к заключению, что каждый из приемных аппаратов примет лишь
часть частицы. Это и есть крайнее нарушение атомизма частицы,
приводящее вышеизложенное понимание волн де Бройля к рез-
резкому противоречию с опытом.
В самом деле, частица всегда действует как целое, и обнаружи-
обнаруживается в приборе вся частица, а вовсе не ее доля. В рассмотренном
примере электрон попал бы либо на первый прибор, либо на вто-
второй (но не частью на первый и частью на второй).
В том, что простейшие частицы всегда действуют, как нечто
целое, к заключается атомизм, наблюдаемый в явлениях микро-
микромира. 'Поэтому представление о частицах как об образованиях
из волн де Бройля противоречит атомизму и должно быть отвер-
отвергнуто.
Равным образом нельзя допустить, что сами волны являются
образованием частиц или, точнее говоря, возникают в среде, обра-
образованной частицами. Опыт показывает, что дифракционная картина,
возникающая на фотопластинке, не зависит от интенсивности падаю-
падающего пучка частиц, а следовательно, и от плотности частиц в еди-
единице объема. Чтобы получить одну и ту же дифракционную картину,
можно уменьшить интенсивность, но увеличивать экспозицию:
важно лишь общее число прошедших частиц. Этот факт определенно
показывает, что каждый из электронов дифрагирует независимо
от других х). Поэтому существование волновых явлений нельзя
связывать с наличием одновременно большого числа частиц.
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, заметим, что волно-
волновые явления проявляются при движении электронов в атомах,
где говорить о среде, образованной большим числом частиц, ни-
г) При очень больших плотностях в падающем пучке, благодаря кулонов-
скому взаимодействию, может получиться дополнительное рассеяние. Это, од-
однако, имеет второстепенное значение для рассматриваемого вопроса: важно, что
при малых интенсивностях волновые, интерференционные явления не исчезают.
Это доказано прямыми опытами Л. Б и б е р м а н а, Н. С у ш к и н а и В. Фа-
Фабриканта (ДАН 66, 185 A949)) для электронов и опытами Л. Я н о ш и для
фотонов, см. L. J а п о s s у and Sz. N а г а у, Hungarian Acad. of Sciences,
Manuscript. Budapest, XII, Konkoly Thege- ut, Hungary, 1957.

§ 9] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ ВОЛН ДЕ БРОЙЛЯ 49
как не приходится. Действительно, такими свойствами обладают
электроны, движущиеся в атомах, где число их совсем невелико
(один в водороде, два в гелии и т. д.).
Правильное толкование волн де Бройля было найдено М. Бор-
Борном на совсем другом пути. Чтобы уяснить основную мысль Борна,
представим себе, что мы производим дифракцию электронов и реги-
регистрируем попадание «дифрагированных» электронов на фотопла-
фотопластинке. Пусть первоначально пропущено небольшое число электро-
электронов. Каждый из электронов, пройдя через дифракционный прибор
(например, через фольгу), обнаружитсячв каком-нибудь месте фото-
фотопластинки и произведет там фотохимическое действие. Прохожде-
Прохождение небольшого числа электронов даст на фотопластинке картину,
похожую на мишень, простреленную плохим стрелком. Только
при большом числе прошедших электронов выявляется регуляр-
регулярность в распределении электронов на фотопластинке и, наконец,
образуется распределение, полностью отвечающее распределению
интенсивностей при дифракции волн (например, система дифрак-
дифракционных колец, изображенная на рис. 10).
Такое поведение частиц привело Борна к статистическому тол-
толкованию волн де Бройля, позволяющему сочетать атомизм частиц
с волновыми явлениями. Согласно статистическому толкованию
интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте пространства
пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте.
Так, например, если один дифрагированный пучок направляется
на одну фотопластинку, а второй — на другую, то при большом
числе прошедших через аппарат электронов количество электронов,
попавших на каждую из пластинок, пропорционально интенсивности
волн де Бройля, распространяющихся в направлении каждой из
фотопластинок.
Если фотопластинку поместить так, что направление от дифрак-
дифракционного аппарата к пластинке совпадает с направлением дифрак-
дифракционного минимума (в этом направлении волны гасят друг друга),
то частицы вовсе не будут попадать на такую фотопластинку.
Если же речь идет не о большом числе электронов, а об одном, то
интенсивность волн де Бройля указывает лишь вероятность попада-,
ния электрона, но вовсе не обязывает электрон к тому или иному
поведению.
В таком понимании волны де Бройля не имеют ничего общего
с волнами, рассматриваемыми в классической физике. Во всех
«классических» волнах абсолютное значение амплитуды волны
определяет физическое состояние. Если, например, амплитуда коле-
колебаний воздуха в одном случае всюду в два раза больше, чем в дру-
другом, то это означает вчетверо большую энергию колебаний и вместе
с тем другое физическое состояние среды.
В случае волн де Бройля интенсивности определяют вероят-
вероятности местонахождения частицы. Поэтому важно лишь отношение

50 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
интенсивноспгей в различных точках пространства, а не сама их
абсолютная величина: Это отношение показывает, во сколько раз
в одном месте пространства вероятнее обнаружить частицы, нежели
в другом. Поэтому, если в одном случае интенсивность волн
де Бройля всюду вдвое больше, чем в другом случае, то физиче-
физическое состояние частиц в обоих случаях одно и то же,так как при таком
увеличении амплитуды волн отношения интенсивностей в раз-
различных областях пространства остаются неизменными.
Волны де Бройля дают, таким образом, статистическое описание
движения микрочастиц: они определяют вероятность обнаружения
(локализации) частицы в данном месте пространства в данный
момент времени 1).
§ 10. Вероятность местоположения микрочастицы
Обозначим через х, у, z координаты частицы. Согласно изложен-
изложенному в § 9 точный смысл в х, у и z вкладывается следующей изме-
измерительной операцией: величины х, у, z определяются как координаты
той точки пространства, в которой локализуется частица. Так,
например, это будут координаты пятнышка на фотопластинке,
получившегося в результате попадания на пластинку частицы, или
например, координаты, определяющие положение щели, через ко-
которую прошла частица, и т. п.
Координаты пятнышка или щели могут быть определены путем
откладывания твердого масштаба. Такое измерение координаты мы
будем называть «п р я м ы м», так как оно есть как раз то измерение,
на котором покоится само макроскопическое определение понятия
координаты частицы. В тех случаях, когда подобное определение
координаты частицы невозможно (например, если частица находится
внутри атома), мы будем определять ее координаты посредством
«косвенного» опыта 2), т. е. измеряя указанным выше путем
координаты некоторой другой частицы, которая претерпела столк-
столкновение с интересующей нас частицей, и на основании этого изме-
измерения получим сведения о недоступных прямому измерению коор-
координатах частицы, находящейся в атоме. Пример подобного «кос-
«косвенного» измерения будет приведен в § 16.
Сформулируем теперь математически статистическую интерпре-
интерпретацию волн де Бройля. Заметим прежде всего, что слово «волны»
мы употребляем сейчас весьма условно. Только в очень специаль-
специальных случаях состояние частиц будет описываться простыми пло-
плоскими волнами. В общем случае то, что мы сейчас называем волнами
1) Впоследствии мы увидим, что, зная волну де Бройля, описывающую
состояние частицы, можно найти вероятность не только местоположения частицы,
но и вероятность любого результата измерения любой механической величины,
относящейся к рассматриваемой частице.
2) Деление опытов на «прямые» и «косвенные» было введено Л. И. Мандель-
Мандельштамом,

§ 101 ВЕРОЯТНОСТЬ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦЫ 51
де Бройля, может представлять собрй весьма сложную функцию
координат частицы х, у, z и времени /, Тем не менее и для этих
сложных случаев мы будем употреблять термин волновая
функция и обозначать последнюю буквой г|?х):
Ц = Ц(х, У> г, /). (ЮЛ)
Как было пояснено в § 9, на основании изложенных фактов мы
принимаем, что вероятность местонахождения частицы, опреде-
определяется интенсивностью волн, т. е. квадратом амплитуды г|?. Имея,
однако, в виду, что \|) может быть комплексной величиной, а вероят-
вероятность должна быть всегда действительной и положительной, мы
будем брать за меру интенсивности не i|J, а квадрат модуля if,
т.е. величину |ij)|2 = i|)*i|), где через г|>* обозначена величина,
комплексно-сопряженная ф 2).
Далее следует заметить, что вероятность найти частицу в окрест-
окрестности точки х, у, z зависит, конечно, от размеров выбираемой об-
области. Рассматривая бесконечно малую область
х, x + dx\ у, y + dy, zy z + dz,
мы можем считать г|> внутри этой области постоянной, а поэтому
вероятность найти частицу следует считать пропорциональной
объему этой области. Обозначим этот элемент объема через dv =
= dxdydz.
Обозначая саму вероятность (бесконечно малую) нахождения
частицы в элементе объема dv в окрестности точки х, у, z в момент
времени t через dW (x, у, г, /), мы можем записать статистическую
трактовку волн де Бройля в виде следующего равенства:
dW(x, у, г, 0 = 1Ф(*, У> г, t)\*dv. A0.2)
Это равенство позволяет по известной волновой функции я|э (х, у, г, /)
вычислить вероятность местонахождения частицы dW (x, у, г, t).
Величину
w(x, у, z, 0 = ^Г = |
будем называть плотностью вероятности.
х) Укажем здесь, что для двух простых случаев мы уже знаем волновую
функцию. Именно, для частиц, движущихся с заданным импульсом р, волновая
функция г))р есть монохроматическая плоская волна G.1). Далее, нам известна
функция для почти монохроматической волны, т. е. для группы волн G.8).
В ближайшем изложении мы будем оперировать с произвольными волновыми
функциями, оставляя пока в стороне вопрос о том, как такие функции могут
быть определены для заданных физических условий (см. § 28). Считая такое опре-
определение возможным, мы будем говорить, что-ф-функция описывает (статистически)
состояние частицы.
2) В дальнейшем звездочка всегда будет означать комплексно-сопряженную
величину.

52 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
Вероятность нахождения частицы в момент времени / в объеме V,
согласно теореме сложения вероятностей, равна
W(V, t) = \ dW = $ w dv - $' -ф (x, У,, г, 0 ,2 <fo. A0.4)
V V V
Если произвести интегрирование по всему объему, то мы получим
вероятность того, что в момент времени t частица находится где-
нибудь внутри этого объема. Это — вероятность достоверного собы-
события. В теории вероятностей принято вероятность достоверного
события считать равной 1. Если принято это соглашение, то интеграл
от | г)} |2 по всему объему следует приравнять единице:
5 ',-ф <JC, у, г, t)*dv=l. A0.5)
v
Это условие называется нормировкой, а функция я|з,
удовлетворяющая этому условию, называется нормиро-
нормированной.
Нормировка может оказаться невыполнимой, если интеграл,
взятый по всему объему от | -ф |2, расходится, т. е. функция ур квад-
квадратично не интегрируема. В физически реальных условиях движение
частицы всегда происходит в ограниченном пространстве. Это огра-
ограничение обусловливается геометрическими размерами приборов
и конечной скоростью движения частиц. Поэтому вероятность найти
частицу отлична от нуля лишь в конечной области пространства,
так что функция я|) должна быть интегрируема. Однако в ряде слу-
случаев приходится все же пользоваться некоторыми идеализациями,
которые ведут к неинтегрируемым функциям. Простым примером
таких функций является плоская волна G.1). В^го время как в дей-
действительности параллельный пучок всегда ограничен диафрагмами
с боков и спереди своим фронтом, при достаточно больших размерах
пучка, когда краевые эффекты не играют роли, мы можем рассма-
рассматривать пучок как плоскую волну. Предполагается, что последняя
занимает все пространство.
Из G.1) следует, что | "ф |2 = \ С \2 = const. Это означает, что
одинаково вероятно частицу найти в любом месте. Нормировать
к единице в этом случае нельзя. В дальнейшем мы дадим, однако,
рациональную нормировку и для этого случая.
Второе замечание относится к зависимости от времени. Норми-
Нормировка имеет смысл лишь постольку, поскольку она сохраняется
во времени, т. е. равенство A0.5) должно иметь силу для всех момен-
моментов времени (иначе нельзя сравнивать вероятности, относящиеся
к различным моментам времени). При рассмотрении законов изме-
изменения волновой функции во времени будет показано (§ 28), что
нормировка действительно не меняется, т. е. что интеграл A0.5)
от времени не зависит.

§ И] ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ СОСТОЯНИЙ 53
§ 11. Принцип суперпозиции состояний
В данных физических условиях частица может находиться в раз-
различных состояниях в зависимости от способа, каким она в эти усло-
условия попадает. Обращаясь к простейшему случаю свободного дви-
движения частицы без действия внешних сил и без взаимодействия
с другими частицами, мы можем иметь дело с состояниями движения,
различающимися как величиной, так и направлением импульсов.
Каждое из этих состояний может быть реализовано само по себе.
Однако существуют и более сложные случаи. Примером может слу-
служить дифракционный опыт Дэвиссона и Джермера, в котором падаю-
падающий на кристалл пучок разбивается на систему дифрагированных
пучков. После взаимодействия с кристаллом движение происходит
опять-таки в пустом пространстве, но представляется уже целой
совокупностью волн де Бройля, отличающихся друг от друга
направлением распространения.
Направляя на поверхность кристалла пучок определенной
длины волны Я, мы не можем получить какую-нибудь из дифра-
дифрагированных волн, а получаем сразу всю совокупность этих волн
(вместе с падающей), находящихся к тому же в определенных
фазовых отношениях друг к другу и поэтому способных к интер-
интерференции. Вся эта совокупность волн представляет собой единое
волновое поле и изображается одной волновой функцией я|э. Однако
такое волновое поле является совокупностью простых волн де Брой-
Бройля фр, каждая из которых сама по себе может описывать возмож-
возможное состояние движения частицы в пустом пространстве. В этом
можно убедиться, если выделить с помощью диафрагмы из всего
волнового поля г|э один из дифрагированных пучков и затем вто-
вторично подвергнуть его дифракции.
Мы говорим, что состояние, возникающее при дифракции частиц
на поверхности кристалла, является суперпозицией (нало-
(наложением) состояний свободного движения, описываемых простыми
волнами де Бройля. Этот случай суперпозиции является частным
выражением общего принципа суперпозиции состояний, составляю-
составляющего одну из основ квантовой механики.
Принцип этот может быть сформулирован следующим образом:
если какая-либо система (частица или их совокупность) способна
находиться в состоянии, изображаемом волновой функцией \р1у
и в другом состоянии ijJ> *no она может находиться и в состоянии,
изображенном волновой функцией я|э, такой, что
где сг и с2 — произвольные, вообще говоря, комплексные числа,
определяющие амплитуды и фазы частных состояний ^ и i|J. От-
Отсюда следует, что если имеется ряд возможных состояний системы,
отличающихся друг от друга значением какой-либо величины

54 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
(импульса, энергии, момента импульса и т. п.), которые изобража-
изображаются волновыми функциями *ф1э -фа, ..., то, согласно принципу супер-
суперпозиции, существует сложное состояние:
п + ...у A1.1)
где с19 с2, ..., сп, ... — произвольные, комплексные амплитуды.
Если состояния, входящие в суперпозицию, отличаются друг
от друга бесконечно мало, то вместо суммы A1.1) мы будем иметь
интеграл.
Важным примером суперпозиции последнего рода является
представление произвольного волнового поля г|> (х, у, г, /) в виде
суперпозиции волн де Бройля х)
2кПN^
Волновую функцию любого состояния можно написать в виде
+ СО
1М*> У'э z, /) = 5 S S^ CPjc, Py> Pz, О^рС*. У» г» t)dpxdpydpzt (П.З)
— со
где с (/?*, р^, рг, 0 — амплитуда волны де Бройля, имеющая им-
импульс р(рх, Ру, рг).
Утверждение очевидно, так как A1.3) есть не что иное, как
разложение *ф (х, у, z, t) в тройной интеграл Фурье. Чтобы в этом
убедиться, обозначим
ф(Рдг» Руу Pz* t) = c(pX9 Py, pz, t)e tl. (И-4)
Тогда на основании A1.2) формула A1.3) может быть записана
в виде
(9rrti\ I
Отсюда по известной теореме Фурье об обращении интеграла A1.5)
мы находим для каждой функции -ф амплитуду ф, а вместе с тем
и с:
— JS S
> г>
Таким образом, мы видим, что любое состояние можно рассматри-
рассматривать как суперпозицию волн де Бройля, т. е. состояний с заданным
импульсом частицы р (рх, руу р.).
г) Множитель 1/Bлй)8/г введен из соображений нормировки, целесообраз-
целесообразность которой вскоре выяснится (см. A2.6)).

§ 12] ВЕРОЯТНОСТЬ ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ 55
§ 12. Вероятность импульса микрочастицы
Мы показали, как на основе статистического толкования волн
де Бройля можно определить вероятность местонахождения частицы.
Сейчас мы увидим, что принцип суперпозиции позволяет расширить
статистическое толкование, так что оказывается возможным
определить не только вероятность тех или иных значений
координат частицы, но и вероятность тех или иных значений ее
импульса р.
Формулу де Бройля
мы будем рассматривать как определение величины р, которую в кван-
квантовой механике мы будем называть импульсом частицы 1). Следова-
Следовательно, измерительные операции, которые определяют р, таковы
же, как и измерительные операции, необходимые для определения
направления распространения волны и ее длины К. Поэтому при-
прибором, измеряющим импульс частиц, может служить дифракцион-
дифракционная решетка. В самом деле, дифракционная решетка разлагает
в спектр — разделяет волны с различными к, а следовательно, вместе
с тем и производит «сортировку» частиц по различным импульсам
р = йк.
Дифракционный опыт, позволяющий определить к, мы будем
рассматривать как «прямой» опыт, определяющий и импульс ча-
частицы р.
Чтобы рассмотреть теперь вопрос об определении вероятности
того или иного значения импульса частицы, обратимся к опыту
по дифракции частиц (например, электронов) на поверхности кри-
кристалла. Суперпозиция волн де Бройля, образующая волновое поле
г|) (х, у, z, f) при дифракции на поверхности кристалла, схематически
изображена на рис. 14, где показаны падающая (/), отраженная (г)
и одна из дифрагированных (d) волн. В соответствии с реальными
условиями предположено, что первичная волна представляет собой
*) В связи с данным нами определением импульса микрочастицы может
возникнуть вопрос: почему вообще величину р = Ш следует называть импуль-
импульсом? Ответ на этот вопрос заключается в том, что определенная таким образог^
величина на самом деле обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам?
импульса ркл в классической механике (ср. §§ 32, 33, 103). В § 34 показано, чтс
классический импульс ркл (подчиняющийся уравнению Ньютона) есть среднее
квантового импульса
В частности, для состояния с определенным значением р имеем ро = р. Благо-
даря этому р может быть также измерено, скажем, по отдаче при ударе, как это
делается в классической механике для определения ркг

56
основы квантовой механики
[ГЛ. II
ограниченный диафрагмой пучок. Такими же пучками являются
и вторичные волны.
Каждый из пучков мы можем представить в виде волны де Бройля
tv (*» У> z> t) c амплитудой с (р), медленно меняющейся в направле-
направлении, перпендикулярном к пучку1). Все
волновое поле г|э представим как супер-
суперпозицию полей, принадлежащих отдель-
отдельным пучкам:
^диафрагма
A2.1)
Цилиндр Фарадея
где сумма взята по всем пучкам.
В целом состояние ty является со-
состоянием с неопределенным импульсом
частиц, так как оно представляет собой
суперпозицию состояний ifp с различ-
различными импульсами. Поэтому, если мы
будем производить измерение импульса
частицы, то мы можем получить в каж-
каждом отдельном измерении одно из зна-
значений р, содержащихся в суперпозиции
A2.1).
Какова вероятность того, что мы по-
получим значение импульса, равное р?
Дифракционная решетка разложит нам
Рис. 14. При ограниченном волновое Поле на монохроматические (в
первичном пучке i отражен- „ l v
нал г и дифрагированная d действительности —почти монохромати-
волны пространственно раз- ческие) пучки, так же как она разлагает
деляются. белый свет на отдельные спектральные
чистые компоненты. Чтобы подсчитать
число частиц, имеющих импульс р, поставим цилиндр Фарадея и
будем определять число частиц, попадающих в него при различных
его положениях. Вблизи поверхности кристалла мы имеем слож-
сложное волновое поло, представляющее собой результат интерференции
всех пучков. Вдали же от кристалла пучки разделяются. Вероят-
Вероятность того, что в цилиндре обнаружится частица, согласно статисти-
статистической интерпретации волновой функции, будет пропорциональна
I ij) (х, у, г, /) |2, где ху у, г — координаты цилиндра. Если мы
поставим цилиндр Фарадея достаточно далеко от кристалла, то
отдельные пучки будут разделяться друг от друга и | -ф (х, у> г, t) |2
сведется к
:- = \c(v)\*\yp(x, у, г, О Л A2.2)
г) Вне пучка с (р) = 0. Таким образом, в отличие от A1.3), рассматривае-
рассматриваемые сейчас амплитуды являются функциями координат. Но ввиду медленности
изменения они близки к истинным амплитудам Фурье, встречающимся в A1.3).

§ 13] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЯ ОТ КООРДИНАТ И ИМПУЛЬСОВ 57
где р —такое значение импульса, при котором отраженная волна
попадает в цилиндр. Используя значение я|)р A1.2), получаем
Следовательно, | с (р) |2 пропорционально вероятности обнаружить
электрон в цилиндре Фарадея, при условии, что он расположен
так, чтобы в него могла быть направлена волна ifp. Такой волне
принадлежат электроны, имеющие импульс р. Поэтому величина
| с (р) |2 пропорциональна вероятности обнаружить в состоянии ty
электрон с импульсом р.
Имея в виду A0.2) и то, что вероятность обнаружить импульс
частицы в интервале
P.v, Px + dpx\ руч Py + dpy] pzy
должна быть пропорциональна dpxdpudpz, мы приходим к выра-
выражению для вероятности
dW(px, ру, рг, t) = \c(px, py, рг% t)*dpxdpydpg A2.4)
и для плотности вероятности
w(px, py> pZJ t) = \c(pxi рУ1 pzy t)\2. A2.5)
Написанные формулы содержат определенный выбор норми-
нормировки вероятностей для импульса.
Пользуясь тем, что ср (рХ1 ру, д., /) есть, согласно A1.6), компо-
компонента разложения в ряд Фурье волновой функции гр (х, у, г, /),
нетрудно доказать, что
И-со -f со
^ !с(Рх, Ру, Рг, 0 ;2dPxdPudpz = Hl№(х, у,z, t) |2dxdy dz. A2.6)
Левая часть есть вероятность найти любое значение импульса
частицы (достоверное событие), правая часть есть вероятность найти
частицу в любом месте пространства (также достоверное событие).
Поэтому сделанный выбор нормировки вероятностей целесообразен:
вероятности достоверных событий одинаковы. В частности, если
вероятность найти частицу в любом месте полагается равной еди-
единице, то и вероятность найти любой импульс будет также равна
единице.
§ 13. Средние значения функций от координат
и функций от импульсов
В предыдущих параграфах мы определили вероятность место-
местоположения частицы A0.3) в состоянии г|з и вероятность импульса
частицы A2.5) в этом же состоянии. Это позволяет нам тотчас же
написать средние значения любой функции от координат частицы

58 основы квантовой механики [гл. н
F (ху уу z) и любой функции от импульса частицы F (рХу руу рг)
для состояния, изображаемого волновой функцией г|). Именно,
из A0.3) и A2.5), согласно определению среднего значения случай-
случайной величины, имеем
F (xy yy z) = \F (xy yy z)\ip (xy y, z) |2 dxdy dz =
= №*(*> ^ Z)F (*• У> гЖ*> #> z)dxdydz A3.1)
при условии, что
\\У(ху уу z)\2dxdydz=l A3.2)
и
F (Рх, Ру> Pz) = $ ^ (Рх. Ру. Рг) | С (Рх, Pt/, Рг) I2 dpx dpy dpz =
"(Рх, Pt/> Pz)F(pxy pyy pz)c(pxy pyy pz)dpxdpydpZy A3.3)
если'
$Ирх, pyt pz)\2dpxdpydPz=\ A3.4)
(здесь интегралы взяты по всей области изменения переменных
ху уу z или рху руу pz соответственно).
Формулы A3.1) и A3.3) допускают весьма важное преобразова»
ние, основанное на свойствах интегралов Фурье. Пусть F (х> уу г)
есть целая рациональная функция от ху уу г и F (pXy pyy pz) — целая
рациональная функция от рХ1 руу pz.
Тогда формулы A3.1) и A3.3) могут быть переписаны в следую-
следующем виде *):
д .. д .+.
хс(рХ1 pyt Pz)dpxdpydpz% A3.5)
x, Py, Pz) ~\ (?
, yy z)dxdydz. A3.6)
Эти формулы означают, что аргументы функции F следует заме-
заменить символами дифференцирования по указанным аргументам,
умноженным на ± ihy и выполнить операцию дифференцирования
над стоящей позади функцией i|). Так, например, для вычисления
среднего значения компоненты импульса рх поступаем так:
F (pXt pyy pz) = px. Следовательно,
Рх==\с* (Рх, ру, Pz)PxC(px, Pyy pz)dpxdpydpzy A3.7)
1) Доказательство эквивалентности A3.1), A3.3) и A3.5), A3.6) соответ-
соответственно приведено в дополнении I.

§ 141 СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 59
или по формуле A3.6), заменяя рх на —^7Г> получим
*(х9 у, z)ihdyHx'xy'z) dxdydz. A3.8)
Подобным же образом среднее значение рх можно вычислить
или по формуле A3.3)
р! = \ с* (рх, ру, рг) pic (pXJ py, p2) dpx dp у dpzy A3.9)
или по формуле A3.6), заменяя F(px) = px на
Тогда получается
$*(*, У, г) *ф(У'г) dxdydz. A3.11)
§ 14. Статистические ансамбли квантовой механики
В практической деятельности физика или инженера встречаются
два важных типа задач, на которые должна ответить квантовая
механика.
Первая задача такова: по волновой функции предсказать воз-
возможные результаты измерений над микрочастицей («прямая» зада-
задача). Второй тип задачи: по результатам опыта определить волновую
функцию частицы («обратная задача»).
Предсказания, вытекающие из знания волновой функции,
в общем случае, носят статистический характер. Поэтому если про-
производится какое-то единичное измерение, то результат этого изме-
измерения показывает нам лишь, в какой мере оправдались наши ожи-
ожидания: произошло ли вероятное или маловероятное событие.
Вполне объективный характер носят лишь распределения ре-
результатов измерения, возникающие при повторении большого числа
тождественных опытов.
Существенно, что в квантовой области мы не можем повторять
опыт на одной и той же частице, так как измерение, вообще говоря,
может изменить состояние микрочастиц (§ 16).
Поэтому для воспроизведения большого числа (N ^> 1) тождест-
тождественных опытов необходимо представить себе большое число частиц
(или систем), которые независимо друг от друга находятся в оди-
одинаковых макроскопических условиях.
Такой набор микрочастиц (или систем) мы будем называть
к в а и т о в ы м ансамблем частиц (или просто а н-
с а м б л е м).
Если эти макроскопические условия таковы, что они полностью
определяют состояние микрочастиц (см. § 28, где дано понятие

60 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
полного набора величин, необходимых для определения этого со-
состояния), то состояние таких частиц может быть охарактеризовано
одной волновой функцией.
Сам ансамбль в этом случае называют чистым ансам-
ансамблем.
Все вероятности и все средние значения, вычисляемые из волно-
волновой функции, относятся к измерениям в таком ансамбле.
Так, например, утверждение, что вероятность найти координату
частицы х, лежащей около х', равна | \|5 (*') |2 dx'\ означает,что, про-
производя большое число измерений координаты в серии одинаковых
опытов (одно и то же гр!), мы найдем х около х в N' случаях, причем
Подобным же образом, измеряя в этом ансамбле импульс частиц
рх и производя всего М измерений (М ^> 1), мы найдем рх в ЛГ
случаях, причем
-ЛГ = Ир;) 2dp'» A4.2)
где с (р'х) есть амплитуда в разложении г|) (х) по волнам де Бройлй
(ср. § 12).
Зная распределение результатов измерений для * A4.1) и дтя рх
A4.2), мы можем вычислить средние значения любых функций
F(x), Ф (/?), например, среднее значение х, среднее значение рх>
средние квадратичные отклонения
(ЛхJ = (.v - лJ A4.3)
~ 2 = (рл._рлJ A4.4)
и т. п.
Впоследствии мы покажем, что, зная волновую функцию \|>,
можно вычислить вероятности не только для х и рХц но и вообще
найти вероятности для того или иного результата измерения лю-
любой механической величины, свойственной данной частице или
системе.
Совершенно ясно, что из единичного измерения над одной микро-
микрочастицей невозможно определить ее волновую функцию. Зная же
распределения результатов измерения в ансамбле, можно решить
и обратную задачу: восстановить по результатам измерения волно-
волновую функцию частицы (конечно, вплоть до общего нормирующего
множителя, который всегда остается неопределенным) (§ 79).
Таким образом, не только предсказания квантовой механики
относятся к измерениям в квантовом ансамбле, но и, обратно, харак-
характер квантового ансамбля может быть определен из измерений.

§ 14] СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 61
Поэтому состояние частицы (или системы), характеризуемое
волновой функцией, следует понимать как принадлежность частицы
(или системы) к определенному чистому квантовому ансамблю.
Именно в этом смысле и будут употребляться в дальнейшем слова:
«состояние частицы», «состояние квантовой системы» и т. д.
Приведем теперь конкретный пример чистого ансамбля.
Рассмотрим рассеяния одного электрона на отдельном атоме.
Пусть импульс электрона есть р. Тогда волновая функция элект-
электрона Тр (х) изобразится в виде суперпозиции волны де Бройля
грр (х)у изображающей первичное состояние электрона с импульсом р
и волны и (х), представляющей собой волну, рассеянную атомом
так, что
+ и(х). A4.5)
Зная рассеянную волну, можно в статистическом смысле пред-
предсказать судьбу рассеянного электрона (ср. теорию столкновений,
гл. XIII).
Однако каким же образом воспроизвести этот опыт много раз?
Пусть электроны летят с накаленной нити. С помощью диафрагм
выделим пучок данного направления и сообщим электронам опре-
определенную скорость, прикладывая ускоряющее напряжение. Напра-
Направим этот пучок в газ и будем наблюдать интенсивность рассеяния
электронов для разных углов. Если плотность газа невелика и тол-
толщина слоя, в котором происходит рассеяние электронов, не очень
большая, то можно пренебречь многократными рассеяниями элек-
электрона.
Если, далее, плотность электронов в первичном пучке настолько
мала, что можно пренебречь их взаимодействиями, то мы имеем дело
сразу с воспроизведением большого числа независимых опытов по
рассеянию одного электрона на одном атоме.
Наконец, если скорость, приобретаемая электронами в ускоряю-
ускоряющем поле, много больше их тепловой скорости и диафрагмы доста-
достаточно хорошо выделяют пучок, то мы можем сказать, что мы имеем
дело с электронами определенного импульса р, и следовательно,
приписать им волновую функцию \рр, которая вместе с рассеянной
волной и дает ЧТР.
Таким путем мы на практике осуществляем совокупность тож-
тождественных явлений, описываемых одной и той же волновой функ-
функцией Wp (x)} т. е. чистый квантовый ансамбль. С точки зрения
квантовой механики, задание состояния частицы с помощью волно-
волновой функции является наиболее полным и исчерпывающим.
В действительности, мы часто встречаемся с другими случаями,
когда ансамбль с самого начала содержит частицы в различных
состояниях, описываемых различными волновыми функциями г^,
^2» ...» tyn- При этом заданы вероятности Рь Р2, ..., Рп каждого
из таких состояний. Такой ансамбль называется смешанным.

62 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1ГЛ. II
Очевидно, что величины Ри Р2, ..., Рп указывают вероятность
встретить в смешанном ансамбле соответствующие чистые ансамбли,
характеризуемые волновыми функциями г^, ip«, ..., г|?я.
Примером смешанного ансамбля будет являться случай, когда
к электронам, покидающим накаленную нить, не приложен уско-
ускоряющий потенциал. В этом случае импульс электронов не фикси-
фиксирован, а фиксирована лишь температура накаленной нити 7\
Первичные электроны будут теперь распределены по закону
Максвелла. Вероятность того, что импульс электрона будет лежать
между рХ9 рх + dpXy руу ру + dp у, pZy pz + dpz, будет
dPp = Се-Р%№т dpx dpu dpz, A4.6)
где |х — масса электрона, & —постоянная Больцмана, С —норми-
—нормирующий множитель ([dP=l\ Электроны, имеющие импульс р,
будут описываться волновой функцией де Бройля я|)р (лг); поэтому
dPp A4.6) есть как раз вероятность того, что электрон будет иметь
волновую функцию 1|)р (х), т. е. будет принадлежать кч истому
ансамблю -фр (л:), являющемуся частью всего рассматриваемого
смешанного ансамбля.
Подобный смешанный ансамбль осуществляется в опытах Штерна
и Эстермана по дифракции Не на LiF, где распределение импульсов
атомов Не в первичном пучке задано температурой печи. Напротив,
в опытах Дэвиссона и Джермера мы можем полностью игнорировать
тепловые скорости электронов в сравнении со скоростью, приобре-
приобретаемой ими в ускоряющем поле. Без большой погрешности можно
считать, что все электроны имеют один и тот же импульс р. Поэтому
в этих последних опытах практически реализуется случай чистого
ансамбля, описываемого волновой функцией д(у
Заметим, что часто при определении исходного состояния частиц
вообще не делается никаких измерений, а только предполагается,
что имеется тот или иной чистый или смешанный ансамбль. Спра-
Справедливость сделанного предположения проверяется далее по наблю-
наблюдаемым и измеряемым следствиям, вытекающим из него.
Поэтому волновую функцию или набор волновых функций (в слу-
случае смешанного ансамбля) следует рассматривать как вполне объек-
объективную, не зависящую от наблюдателя характеристику квантового
ансамбля.
В заключение укажем еще на одно существенное различие чис-
чистого и смешанного ансамблей, которое могло остаться незамечен-
незамеченным. Из одних и тех же волновых функций может быть образован
как чистый, так и смешанный ансамбль. В самом деле, если даны
частные состояниях^, i|J> ...,i|>rt, ..., то из них может быть образована
волновая функция ?, представляющая суперпозицию этих со-
состояний:
^ = 2]СЖ. A4.7)

§ 151 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 63
которая описывает чистый ансамбль. В эту суперпозицию частные
состояния входят с определенными фазами и амплитудами (сп =
— \сп \eian, an — фаза).
С другой стороны, если известно, что система может находиться
в состоянии 4ч с вероятностью Ри в состоянии \|?2 с вероятностью Р2
и т. д., то мы будем иметь дело со смешанным ансамблем, для харак-
характеристики которого нужно иметь два ряда величин х)
* 1» *2> • • • » *Л» • • •
Вычислим теперь вероятность того, что частица находится
в точке х. В случае чистого ансамбля получим для плотности ве-
вероятности
w (х) = \У(х) I2 = ? |сяфя (*) |2+ ? 2С^«^ W*» W- О4-9)
пфт т
В смешанном ансамбле эта же вероятность должна быть вычислена
так: вероятность того, что частица будет находиться в точке ху бу-
будучи в состоянии 4л (*)t есть | 4л (х) |2. Вероятность же находиться
в состоянии 4п W есть Рп. Поэтому вероятность этого сложного со-
события будет Рп | 4п (х) I2, а полная плотность вероятности w (x)
будет равна
w(x) = %Pn\iPn(x)\: A4.10)
Из сравнения A4.9) и A4.10) мы видим, что в чистом ансамбле имеет
место интерференция между отдельными частными состояниями
(члены вида с%ст^% (х) 4т (х); в смешанном ансамбле такая интер-
интерференция отсутствует).
Таким образом, различие между чистым и смешанным ансамблями
в отношении частных состояний аналогично сложению когерент-
когерентного и некогерентного света; при вычислении вероятностей в чистом
ансамбле складываются амплитуды, а в смешанном ансамбле —
интенсивности.
§ 15. Соотношение неопределенностей
Мы перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свойства кван-
квантовых ансамблей — к так называемому соотношению неопределен-
неопределенностей.
Напомним, что в классической механике мы интересуемся траек-
траекториями частиц и их движением по этим траекториям.
) В § 46 пояснен другой способ описания смешанного ансамбля с помо-
помощью <'.матрицы плотности» — величины, аналогичной функции распределения
классической статистической механике.

64 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
Можно было бы думать, что квантовая механика дает некоторое
статистическое описание такого классического движения, подобно
тому как это делается в классической статистической механике.
Простые соображения показывают, что это не так. В области микро-
микромира механические величины находятся в иных отношениях, нежели
в области макромира, в области классической механики.
С понятием движения частицы по траектории неизбежно свя-
связано предположение о существовании у частицы в каждый момент
времени определенной координаты х и определенного импульса рх.
Первая указывает положение частицы, а вторая величина указы-
указывает, как изменяется это положение в течение бесконечно малого
интервала времени:
x + dx = x + -?±dt = x + vx dt, A5.1)
где т — масса, a vx — скорость частицы.
В статистическом ансамбле частицы могут иметь самые разно-
разнообразные импульсы и координаты, но если это ансамбль класси-
классический, то в нем всегда могут быть выделены подансамбли и с вполне
определенными импульсами, и с вполне определенными координа-
координатами. Напротив, такое разложение квантового ансамбля оказы-
оказывается невозможным, что указывает на совершенно отличное от клас-
классического взаимоотношение между локализацией частицы и ее
импульсом. Для того чтобы рассмотреть эту важнейшую особен-
особенность микроявлений, мы будем основываться на опытах по дифрак-
дифракции микрочастиц. Основной вывод этих опытов заключен в формуле
де Бройля, связывающей импульс и длину волны:
р = ^. A5.2)
Если под % понимать именно длину волны, то, какова бы ни была
природа волн, эта величина не может быть функцией координат х.
Выражение «длина волны в точке х равна X» не имеет никакого
смысла, ибо по своему определению длина волны есть характери-
характеристика синусоидальной волны, неограниченно простирающейся
в пространстве (от х = — оо до х = + оо). X есть «функция» формы
волны, а не функция координаты какой-либо точки. Поэтому
в A5.2) правая часть не может быть функцией координаты х. Сле-
Следовательно, не может быть функцией координаты х и левая часть
равенства A5.2), т. е. импульс р.
Подобным же образом нельзя ответить на вопрос: «какова частота
колебаний маятника в данный момент времени», так как само опре-
определение понятия частоты предполагает, что нужно проследить
за многими колебаниями маятника.
Мы приходим к заключению, что коль скоро соотношение де Брой-
Бройля A5.2) признается правильным, то импульс частицы р не может

151
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
65
быть функцией координаты частицы х. В области микромира выра-
выражение: «импульс частицы в точке х равен р» не имеет смысла.
Соответственно этому в квантовой области нет таких ансамблей,
в которых и импульс и координаты частиц одновременно имели бы
вполне определенное значение.
Докажем это важнейшее утверждение сначала для ансамбля,
образованного группой воли, рассмотренной в § 7. Как было там
показано, группа волн
может быть представлена в виде (см. G.9))
sin Ж*""* Л
did ,
Ilk1-*
A5.3)
A5.4)
Интенсивность | я|) |2 в такой группе волн для некоторого момента
времени / изображена на рис. 15. Удвоенное расстояние от точки
Рис 15. Интенсивность | of [2 в группе волн как функ-
функции х для некоторого момента времени t.
максимума | я|э |2 до первого минимума мы можем принять за меру,
определяющую размеры группы. Обозначим его через 2Д*. Из A5.4)
следует, что Ах — я/ДА. Иными словами,
• ДА = я.
A5.5)
чисто волновое соотношение, справедливое для любых волн,
показывает, что произведение линейных размеров группы волн Дх
ч«1 интервал волновых чисел ДА тех волн, из которых построена
]руппа, есть величина постоянная и равная я.
В частности, если мы желаем послать очень короткий радиосиг-
1и)л (малое Дх), то неизбежно в нем будут представлены с заметной
И1'тенсивностью весьма отличающиеся по длине отдельные моно-

GG ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
хроматические волны. Поэтому такой сигнал будет принят прием-
приемниками, настроенными на различные волны. Напротив, если мы же-
желаем, чтобы нас принимали приемники, настроенные лишь опреде-
определенным образом, то мы должны посылать монохроматические сиг-
сигналы, а стало быть, согласно A5.5), —достаточно длинные.
Возвратимся теперь к квантовой механике. По уравнению
де Бройля рх = bk, и поэтому, если k меняется в пределах Д&, то
импульс р меняется в пределах
Дрл. = ЙД*. A5.6)
Понимая под группой волн A5.3) группу волн де Бройля, умножим
па постоянную Планка й уравнение A5.5), тогда на основании
A5.6) мы получим
ДрЛ..Д.* = лЙ. A5.7)
Смысл ДрЛ. и Ах в формуле A5.7) вытекает из следующего: если
мы будем производить измерение координат частиц, находящихся
в состоянии, описываемом группой волн де Бройля A5.3), то в мо-
момент времени / среднее значение результатов измерения координат
будет х = ,, /. Значения же результатов отдельных измерений бу-
будут разбросаны около х преимущественно в интервале ±Дл\ Вели-
Величина Дл; есть неопределенность в координате х. Если же мы будем
в том же состоянии измерять импульс частиц рЛ., то среднее значение
будет равно рх = р0 == HkQj и отдельные значения будут сосредота-
сосредотачиваться около р0 в интервале ДрА. = ±Й-ДА*. Величина Др^
есть неопределенность в импульсе рх.
Поэтому соотношение A5.7) называется соотношением
неопределенностей для импульса рх и сопря-
сопряженной ему координаты х. Это соотношение впер-
впервые было установлено Гайзенбергом. Оно является одним из самых
фундаментальных следствий современной квантовой механики и
показывает, что чем уже группа, т. е. чем определеннее значение
координат частиц (малое Дл'), тем менее определенно значение им-
импульса частиц (большое Др*), и наоборот.
Перейдем теперь к доказательству соотношения неопределен-
неопределенностей для любого состояния частицы, описываемого какой-либо
произвольной волновой функцией \р. Простоты ради ограничимся
одним пространственным измерением; обобщение на большое число
измерений совершенно тривиально. Итак, пусть нам дано какое-
либо состояние частицы, изображаемое волновой функцией г|э (х) *).
Волновую функцию мы будем считать нормированной к единице
в области от —оо до +оо.
г) Время / мы можем не выписывать явно, так как все дальнейшее спра-
справедливо для любого момента времени.

§ 151 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 67
Для того чтобы установить соотношение неопределенностей
в строгой форме, нам следует прежде всего выбрать меру для откло-
отклонения отдельных результатов измерений импульса р и координаты х
от их средних значений рх и л*, иными словами, точнее определить,
что мы будем понимать под «неопределенностями» Арх и Аде.
В качестве такой меры мы выберем употребляемые в статистике
средние квадратичные отклонения (Арх)* и (АхJ1). Эти величины опре-
определяются следующим образом. Пусть х есть среднее значение вели-
величины л:. Если в каком-либо индивидуальном измерении мы получим
значение х, то Ах = х — х будет отклонением результата измерения
от среднего значения х. Среднее значение этого отклонения, оче-
очевидно, всегда равно нулю:
Ах= х — ~х = х — х = 0.
Поэтому за меру отклонения индивидуальных измерений от
среднего берут не &х, а (АхJ — среднее от квадрата индивидуаль-
индивидуальных отклонений.
Основываясь на этом пояснении, мы можем написать
_Ту- 5Т2 ~у2 г2 /1 С О\
— \л — лу — л — л , IIо.о)
(рх — рхJ= Рх — р2- A5.9)
Не снижая общности доказательства, мы можем выбрать для даль-
дальнейшего подсчета подходящую систему координат. Именно, вы-
выберем начало координат в точке х. Тогда х — 0. Далее, пусть эта
система координат движется вместе с центром распределения х.
Тогда и рх •= 0. В этой системе координат получим вместо A5.8)
и A5.9)
(Ддг)а = "Д A5.10)
2 = рх. A5.10')
Согласно A3.1) и A3.11) имеем
_ +оо
(АхJ=х2= \ ^*(x)x2^(x)dx, A5.11)
— оо
+ ОО
(АрхJ = Р5 = -Ъ2 jj г|>* (х) -Jj^ dx.
Наша задача заключается в установлении связи между (АрхJ и (АхJ.
Дтя этой цели рассмотрим вспомогательный интеграл
Величины \/ (Ар )-, \/~t
(Axf- называют «стандартами» или «дисперсией».
3*

68 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. И
где I — вещественная вспомогательная переменная. Раскрывая
квадрат модуля, получаем
00 00 ОО
A5.13)
Обозначая
+ 00 .
Л= $ х*\Ц\Ых = (Ах)*, A5.14)
— ОО
00
A5.14')
05-14")
(здесь произведено интегрирование по частям) х), мы находим
/(В = Л|2-Д6 + С^0. A5.15)
Так как / (g) всюду неотрицательно (при вещественном ?), то это
означает, что корни уравнения
1A) =0 A5.16)
комплексны. На основании известной теоремы о корнях квадрат-
квадратного уравнения, это может быть лишь при условии, что
4ЛС^В2. A5.17)
Подставляя в это неравенство значение Л, 5, С из A5.14), A5.14')»
A5.14"), мы приходим к искомому соотношению для (Дд*J и (АхJ:
^-х"- A5.18)
Это и есть соотношение неопределенностей в наиболее общем и стро-
строгом виде. Вместе с тем доказано, что нет таких квантовых ансамблей,
которые обладали бы тем свойством, что среднее квадратичное
отклонение для импульса (АрхJ и для соответствующей ему коорди-
координаты (АхJ одновременно равнялись бы нулю.
Напротив, мы видим, что чем меньше среднее квадратичное
отклонение для одной из этих величин, тем больше оно для другой.
Отсюда следует, что нельзя придумать такой опыт, который позво-
*) Мы воспользовались также тем, что в силу интегрируемости г|э*г|э про-
производные от if и сама я|э исчезают при х = + со.

§ 161 ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 69
лил бы дать физическое определение паре х, рх, ибо возможность
реализации такого опыта предполагает существование таких состоя-
состояний, в которых одновременно (Ар*J = 0 и (ДлсJ = 0, что противоречит
соотношению неопределенности, основанному, в конечном счете,
на уравнении де Бройля р ?= 2nh/X. Вместе с тем манипуляции, при-
применяемые в области значимости соотношения де Бройля (область
микромира) для измерения координаты частицы х и ее импульса рх,
должны быть взаимно исключающими друг друга: можно рассор-
рассортировать частицы либо по их импульсам, либо по их координатам1).
Это выражается в том, что всякая локализация частицы ведет
к изменению ее импульса, которое предсказывается квантовой ме-
механикой статистическим образом.
Нарушение импульса локализацией делает невозможным приме-
применение понятия траектории к движению микрочастиц.
Стало быть, квантовая механика имеет дело с принципиально,
новыми объектами, не подчиняющимися классическим законам
движения материальных точек.
Само название «соотношение неопределенностей» подчеркивает
эту неприменимость: представление «неопределенности» возникает
лишь при неправомерном применении классических величин к новым
по своей природе объектам.
В следующем параграфе мы приведем иллюстрации этого поло-
положения.
§ 16. Иллюстрации к соотношению неопределенностей
Рассмотрим сначала измерение координаты частицы с помощью
щели. Исходное состояние будем описывать плоской волной де
Бройля г|)р.
Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ. Это
состояние обладает той особенностью, что импульс частицы имеет
вполне определенное значение, именно,
Рх = Р, ру = Рг = 0. A6.1)
Таким образом мы имеем дело с ансамблем частиц с заданным
импульсом.
Положение частиц (их координаты) в этом ансамбле, напротив,
совсем неопределено | typ (*¦= const и, стало быть, все положения
частиц равновероятны. Попытаемся фиксировать хотя бы одну
из координат частиц, например у.
Для этого поставим экран со щелью, расположив его плоскость
перпендикулярно к направлению распространения волн так, как
это было показано на рис. 16. Пусть полуширина щели есть d. Если
*) В работе автора (J. Phys. USSR 2, 71 A940)) показано, что не суще-
существует какой-либо функции распределения, зависящей от (р, х), которая могла
оы изобразить квантовый ансамбль. См. также § 46 этой книги.

70
ОСНОВЫ. КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. II
частица пройдет через эту щель, то в момент прохождения ее коор-
координата фиксируется положением щели с точностью до полуширины
щели d. Так как импульс вдоль оси OY известен (ру = 0), то на пер-
первый взгляд кажется, что мы определили и импульс ру, и коорди-
координату у. Однако это совсем не так. В приведенном рассуждении про-
пропущено то обстоятельство, что око-
около щели будет иметь место ди-
дифракция: волны будут отклоняться
от первоначального направления
распространения. Вместе с тем им-
импульс частиц при внесении экрана
со щелью изменится и не будет
таким, каким он был до внесения
экрана,.
Среднее значение импульса ру
по оси OY останется неизменным:
рц = 0, так как дифракция около
щели происходит симметричным
образом. Оценим по порядку ве-
величины возможное отклонение
импульса Ару от среднего значе-
значения, Если мы будем отклонять луч
от оси ОХ, то скоро он займет по-
положение, соответствующее первому
дифракционному минимуму (дальше пойдет дифракционный мак-
максимум и т. д.). Обозначим угол, образованный осью ОХ и указан-
указанным лучом, через а. Тогда наибольшая интенсивность волн будет
приходиться на область от —а до +а. Угол а определяется из усло-
условия, чтобы лучи, исходящие от двух половин щели ^од этим углом,
гасили друг друга (разность фаз я). Если длину волны обозначим
через А,, то для интересующего нас угла получим известное соот-
соотношение
sina = ~. A6.2)
Полуширина щели d есть не что иное, как неточность Д#, допускае-
допускаемая при измерении координаты у.
Далее, р sin a есть проекция импульса на ось OY. Так как основ-
основная интенсивность волн де Бройля падает в область углов от —a
до +а, то при измерении импульса большинство результатов изме-
измерения будет лежать в интервале от —р sin a до -\-р sin a, т. е.
разброс измеряемых значений около среднего значения ру = 0
равен Дру = р siri a.
Так как по соотношению де Бройля р = 2яйА,, то, подставляя
в A6.2) Ару вместо 2я# sin a/Л и Дг/, мы получим
Ару&у = лП. A6.3)
Рис. 16. Иллюстрация к измере-
измерению у и ру.
Дифракция от щели в экране.

§ 16] ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 71
Это соотношение показывает, что чем точнее определяется поло-
положение частиц (чем меньше Д#, т. е. чем уже щель), тем в большей
степени становится неопределенным их импульс (тем больше Д/fy),
и наоборот *),
Благодаря дифракции у щели измерение координаты делает
неопределенным импульс ру, т. е, после прохождения щели частица
оказывается принадлежащей к новому ансамблю, в котором &ру
уже не равно нулю.
Другим примером может служить фотопластинка. Мы рассмот-
рассмотрим идеализированную фотопластинку. Суть идеализации, заклю-
заключается в том, что мы будем отождествлять фотопластинку с систе-
системой закрепленных атомов, а ионизацию такого атома — с образова-
образованием изображения на фотопластинке. На самом деле, ионизация
одного из активных атомов порождает цепную химическую реак-
реакцию, приводящую в конце концов к образованию на фотопластинке
активного зерна. После проявления это зерно обнаруживается
в виде черного «пятнышка», которое и наблюдают на опыте.
Атом можно считать закрепленным, или медленно движущиеся
около некоторой позиции только в том случае, если он достаточно
тяжел 2). Хорошая «идеальная» пластинка должна состоять из бес-
бесконечно тяжелых атомов, имеющих к тому же достаточно малые
размеры я, так как размеры атома а определяют область, в которой
произошла ионизация.
Позднее (§51) будет показано, что волновая функция электрона,
находящегося в атоме, отлична от нуля в области порядка а =
= И/у 2ji/, где / — энергия ионизации атома, a fx — масса элек-
электрона. Величина а равна, по порядку величины, неопределенности
в положении электрона в атоме. Следовательно, этот электрон будет
иметь неопределенность в импульсе Др ^* И/а. В этом опыте мы не
1) Заметим, что в нашем выводе этого соотношения мы воспользовались
тем, что длина волны X, а вместе с тем и полный импульс частицы р не меняются
при дифракции. Следовательно, при таком рассмотрении наибольшее значение
&Ру есть /;, что соответствует частице, движущейся вдоль экрана. Поэтому
может показаться, что мы можем, ограничившись точностью Ару = р, добиться
сколь угодно большой точности в определении координаты у, уменьшая ширину
щели. Это, конечно, противоречит соотношению A5.7). На самом деле это не так.
Маше рассмотрение приближенно. Оно пригодно при условии, что длина волны X
порядка ширины щели. С уменьшением ширины щели характер волнового поля
за экраном усложняется. Этому полю уже нельзя приписать определенную
Длину волны X так, как это мы делаем. Разбор этого случая показывает, что
соотношение A5.7) остается верным.
2) Действительно, полагая в соотношении неопределенностей Арх =
= M&vXt где М—масса атома, vx — его скорость, мы получим Др* =~м~1С~-
сюда следует, что и А* и Avx могут быть малы одновременно только тогда,
^ велико- Бесконечно тяжелая частица может, стало быть, и занимать
^ опРеДеленное положение, и иметь определенную скорость (в частно-
частно^ быть неподвижной).

72 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
можем установить, в какой точке произошла ионизация атома,
а знаем только то, что область, в которой произошло столкновение,
имеет размеры, равные примерно а. Поэтому координата падающего
на фотопластинку электрона х определяется в лучшем случае
с точностью Ах ^ а. С другой стороны, так как столкновение про-
происходит с электроном атома, который имеет неопределенность
в импульсе порядка Ар ^ й/я, то после столкновения такую же
неопределенность в импульсе Арх будет иметь и тот электрон, коор-
координату которого мы определяем. Умножая Ах ж а на Арх ж Н/а9
получим
Арх-Ах^П. A6.4)
Измерение координат частиц всегда связано с существенным воздей-
воздействием на частицы измерительного аппарата. В рассматриваемом
случае фотографирования положения частицы условием возмож-
возможности наблюдения координаты является ионизация атома. Для этой
ионизации необходима энергия /, которая здесь черпается из энер-
энергии самой частицы. Если первоначальный импульс частиц есть р0,
то должно быть
-^>/ = —_-i=. A6.5)
В противоположном случае фотографирование невозможно.
Наблюдение следа частицы в камере Вильсона полностью под-
подходит под эту схему фотографирования, так как такой след возникает
в результате последовательных ионизации атомов газа, наполняю-
наполняющего камеру, т. е. представляет собой ряд последовательных «фото-
«фотографий» в изложенном выше понимании х) (рис. 17).
На основании A6.5) мы можем заключить, что для получения
следа в камере Вильсона необходимо, чтобы импульс фотографируе-
фотографируемой частицы р0 удовлетворял неравенству р0 > ]/2fx/.
Обратимся теперь к косвенному определению координат микро-
микрочастиц. Покажем, что и в этом случае будут возникать ансамбли,
удовлетворяющие соотношению неопределенностей. В качестве при-
примера косвенного опыта можно привести определение положения
частиц с помощью микроскопа (рис. 18). Осветим частицу, на-
находящуюся около х = О, светом длины волны К. Пучок света па-
параллелен оси ОХ. В объектив микроскопа будет попадать рассеян-
рассеянный свет. Из теории микроскопа известно, что положение частицы
х) В камере Вильсона мы наблюдаем след частицы не по ионам, а по капель-
капелькам конденсировавшегося на ионах пара. Пока происходит фотографирование
следа, ионы успевают заметно сместиться из своих первоначальных положений.
Поэтому практическая точность определения положения частицы методом ка-
камеры Вильсона несравнимо грубее, нежели теоретическая точность, определя-
определяемая размерами атома; на самом деле она определяется размером капелек и их
смещением за время фотографирования.

§ 161 ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 73
определяется с точностью до Ахр^^-^, где 2в — угол, под кото-
которым виден объектив из точки положения объекта 1). Таким об-
разом может быть отобран ансамбль частиц с Ах р^-^—. При доста-
достаточно малом X величина Ах в принципе может Оыть как угодно мала.
Однако при каждом акте рассеяния импульс фотона меняется и, как
Рис, 17. Следы я-мсюнов с энергией 150 Мае в
камере Вильсона.
В центре рисунка упругое столкновение л-ме.зона с про-
протоном. Жирный с.мсд направо — след протона отдачи.
Внизу кругообразные следы медленных электронов, силь-
сильно отклоняемых магнитным полем. Фотография выпол-
выполнена в лаборатории ядерных проблем в V. Дубне.
видно из рисунка, проекция изменения импульса на ось ОХ будет ле-
, 2л/? . / 2д/7 "им " \
жать в пределах ± —r~ sin 8 (здесь—г- — -7 есть импульс фотона ).
Этот импульс будет передаваться частицам так, что они получат им-
импульсы, разбросанные в пределах Ap.v я^~— sin е. Отсюда видно,
во-первых, что, создавая ансамбль локализованных в малой области
(Ах) частиц, мы должны применять очень сильное энергетическое
воздействие (малые X — большие кванты!), во-вторых, что ансамбль
!) Неточность Ах ^ ——- возникает из-за дифракции у объектива микро-
микроскопа.

74
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. II
с малым Да: будет иметь большое Арх. Перемножая Арх и Д.г, полу-
получим г) Арх 'Ах ^ 2nh.
В случае несвободных частиц косвенное измерение является
единственно возможным. Например, координата электрона, находя-
находящегося внутри атома, определяется по рассеянию пучка свободных
частиц (электронов, рентгеновских лу-
лучей). В этих случаях, однако, всегда по-
получаются сведения не о положении от-
отдельного электрона в отдельном атоме,
а о распределении этих положений в
большой совокупности атомов, находя-
находящихся в одном и том же состоянии,
т. е. непосредственно находится | \р (х) |2
(см. теорию столкновений, § 79).
В заключение приведем еще один при-
пример определения координат частиц. До-
Допустим, что частица заключена внутри
Рис. 18. Определение коор- Я1Дика с непрозрачными для частшпл
динат частиц с помощью стенками. Размер ящика пусть будет /.
микроскопа. Будем теперь сдвигать стенки ящика
(/ -> 0). Тогда положение центра ящи-
ящика х и определит положение частицы. По предположению ящик
непрозрачен для частицы. Следовательно, волновая функция части-
частицы отлична от нуля только внутри ящика. Отсюда следует, что
(АхJ ^ /2. По мере уменьшения объема ящика будет возрастать
разброс импульсов
(АрJ
4/2" •
В этом случае 𠦦= 0 и, стало быть, средняя энергия частицы
?=¦<
Поэтому сжатие ящика требует затраты работы, которая будет
неограниченно возрастать по мере увеличения степени локализа-
локализации частицы (Ах = I -> 0). Отсюда следует, что чем в меньшей
области пространства локализованы частицы, тем большей энер-
энергией должны они обладать. Опыт подтверждает этот своеобразный
вывод квантовой теории. Так, например, электроны в атомах (раз-
2) В литературе часто обсуждают этот опыт как опыт над одной частицей.
Между тем от одной частицы можно получить лишь одно рассеяниг (после чего
она будет принадлежать другому ансамблю), а по одному рассеянному кванту
нельзя судить о положении чаешцы (в фокальной плоскости не будет изображе-
изображения). Правильная математическая теория этого опыта, исходящая из статистиче-
статистического толкования г|з-фупкцин, была дани Мандельштамом. (Л. И. М а н л е л ь -
ш т а м, Лекции по оптике, теории относительности и кванювой механике,
«Наука», 1972.)

§ 16] ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 75
меры атомных оболочек 10~9 — 1СГ8 см) имеют энергию 10—100 эв,
а нуклоны в ядрах (размеры ядер ~ 10~13 см) имеют энергию порядка
1 Мэв.
Обратимся теперь к измерению импульса. Рассмотрим прежде
всего дифракционный опыт, положенный нами в основу определения
импульса. На рис. 14 изображена решетка, первичный пучок i
и дифрагированные пучки г, d, ... .
Пусть ширина первичного пучка есть /, а постоянная решетки d.
Эффективное для опыта число штрихов решетки будет N = lid.
Из теории дифракции известно, что такая решетка позволяет разли-
различить две волны X и X + ДА,, где
д*=-?-=*-?• <16-6)
Это есть разрешающая сила дифракционной решетки. Следова-
Следовательно, наша решетка разделит исходный ансамбль на два ансамбля,
например, г и dy характеризующихся двумя различными импуль-
импульсами, если эти импульсы различаются более чем на
А 2пП ДА, 2лН d /id *т\
АрA6.7)
Ар-—JJ5—= -т-г.
Для. того чтобы пучки разделились (условие возможности измере-
измерения), мы должны отойти с цилиндром Фарадея на расстояние Але
(отсчитываемое вдоль пучка г или d), которое больше, нежели //а,
где а — угол между пучками г и d. Поэтому Ар • А* > 2пН -«-•—.
Так как d и X одного порядка х), а угол а считается малым, то
Ар-Ах>2лН, A6.8)
т. е. произведение размера пучка Ал: (область локализации частицы)
на неопределенность в импульсе Ар, обусловленную конечной раз-
разрешающей силой решетки, должно быть больше 2пН.
Приведем еще пример определения импульса частиц по частоте
рассеянного света. Простоты ради ограничимся одним измерением.
Пусть рх есть импульс частиц до столкновения с квантом света,
а р'х — импульс после столкновения. Частота падающего света пусть
будет со, а рассеянного со'. Тогда из закона сохранения энергии
имеем
H(*-h<o' = ~(p?-pl), A6.9)
и из закона сохранения импульса
^- + ^f = p'x-Px. A6.10)
При X ;> d вообще не наблюдается дифракция.

76 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
Отсюда находим
Таким образом, зная со и со', можно определить импульс частицы рх.
Однако из этого опыта мы не получаем никаких сведений о место-
местоположении частицы: место рассеяния совершенно неопределенно.
Мы могли бы определить это место с точностью Ах, если бы вме-
вместо монохроматической волны послали бы ограниченный сигнал
шириною Ах. Но в таком сигнале, как мы знаем, существует це-
целый набор частот Akx = -у я« ~. В силу этого импульс частиц
был бы определен с точностью до Apx = HAkx — , так что
Арх- Ах>пК.
В заключение рассмотрим еще один опыт, часто применяемый
на практике. Допустим, что мы намерены определить импульс
нейтрона р путем столкновения его с протоном; импульс протона
в исходном состоянии будем считать равным нулю. После столкно-
столкновения (предполагая центральный удар) получим импульс нейтрона
равным нулю, а импульс протона будет равен исходному импульсу
нейтрона р (мы считаем массы протона и нейтрона равными). Этот
импульс можно измерить, например, с помощью определения искрив-
искривления следа протона в камере Вильсона, возникающего под дей-
действием магнитного поля. Тем самым будет измерен первоначальный
импульс нейтрона. Однако в этом опыте ничего неизвестно о месте
столкновения. Пользуясь камерой Вильсона, мы, конечно, можем
указать это место — это будет начало трека протона, получив-
получившего удар. Но, как было выяснено ранее, метод камеры Вильсона
позволяет определить положение частицы, а следовательно, и начало
трека с максимальной точностью Ал: ^ а (а — размеры атомаI).
При этом импульс частицы определяется с точностью Ар » h/a,
т. е. мы будем знать импульс протона лишь с этой степенью точ-
точности. Тем самым будет внесена такая же неточность в определе-
определении импульса нейтрона. Для произведения неопределенностей
опять получим Ар -Ах ^ Я.
Эти примеры служат иллюстрацией отсутствия противоречий
между утверждением о существовании соотношения неопределен-
неопределенностей как следствия общих принципов квантовой механики и воз-
возможностями измерительных приборов.
*) Это «идеальная» точность, которая на практике никогда не достигается;
см. сноску на стр. 72.

§ 17] РОЛЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА 77
§ 17. Роль измерительного прибора
При изучении любых явлений статистическими методами изме-
измерительные приборы, служащие как для фиксации статистических
ансамблей, так и для анализа распределения в этих ансамблях,
должны сами стоять за пределами этих ансамблей. Иными словами,
они должны быть лишены элементов случайного, свойственного
исследуемым с их помощью статистическим совокупностям.
Между тем всякий прибор, как и любое тело, состоит из атомов,
молекул и тому подобных микрообразований, совершающих какие-
то движения, т. е. с точки зрения квантовой механики заведомо
принадлежат к некоторому квантовому ансамблю. Поэтому на пер-
первый взгляд создается затруднение. Из этого затруднения кван-
квантовая механика находит блестящий по остроумию и эффективности
выход: измерительный прибор должен быть устроен так, что
для осуществления его действия в конечном счете используются
только его классические свойства, т. е. такие свойства, в которых
постоянная Планка Н не играет роли. Такой прибор мы называем
«классическим» или «макроскопическим». Суть его в том, что он
максимально освобожден от квантовой статистичности.
Любой из рассмотренных в § 16 примеров определения рх и х
может служить иллюстрацией «классичности» приборов. В каче-
качестве таковых служили неподвижные экраны со щелями, тяжелый
атом идеальной фотопластинки, ящик с непрозрачными и непод-
неподвижными стенками, дифракционная решетка с жестко фиксиро-
фиксированными штрихами или любой спектроскоп для определения длины
волны рассеянного света.
Все эти приборы мы рассматривали как объекты классической
физики, т. е. рассматривая их действие, мы игнорировали посто-
постоянную Планка Н. Таким образом приборы измеряют классические
корпускулярные величины.
Набор таких величин, достаточный для определения волновой
функции, мы будем называть полным набором, а само
измерение полным измерением.
В классической механике полное измерение состоит в измерении
координат частиц х и канонически сопряженных им импульсов р.
Так как в классической механике все величины, по крайней мере
в принципе, одновременно измеримы, то можно сказать, что здесь
существует лишь одно полное измерение.
Измерив, например, декартовы импульсы и координаты частиц
(р, .г), мы можем вычислить все остальные величины, в том числе
и обобщенные импульсы и координаты (Р, Q), которые также обра-
образуют полный набор величин и так же хорошо определяют движения,
как и (/?, х). Более того, ничто не мешает нам, усложнив измерение,
измерить и (/?, х) и (Ру Q) одновременно. В силу непротиворечивости
классической механики вычисленные значения (Р, Q) совпадут

78 основы квлнтовоп михлинкп [гл. и
с измеренными. Поэтому переход от одной системы полного набора
величии к другой системе, в пределах классической механики,
является несущественным.
В квантовой области полный набор величин, определяющий i|),
а вместе с тем и квантовый ансамбль, так же как и в классической
механике, не является единственным.
Но принципиальное отличие квантовой механики от классиче-
классической заключается в том, что в квантовой механике различные
наборы являются, вообще говоря, взаимоисключающими. Соот-
Соответственно этому в квантовой механике существует много различных
полных измерений, несовместимых друг с другом.
Наиболее общей характеристикой этой ситуации является
существование дополнительных полных наборов, т. е. наборов,
дополняющих друг друга до полного классического набора.
Важнейшим примером таких дополнительных наборов динами-
динамических переменных может служить набор декартовых координат
частицы х, у, z и набор канонически сопряженных им импульсов
Рх, ру, Pz, которые вместе образуют полный набор динамических
переменных частицы в классической механике (р, х). В квантовой
механике первый набор относится к ансамблю, в котором фиксиро-
фиксированы координаты частиц х = х1, у = у\ г = z . Такой ансамбль
характеризуется волновой функцией i|v,V',2'(a;, у, г). Второй, допол-
дополнительный набор относится к ансамблю с определенным импуль-
импульсом рх = р'Ху ри = ру, рг = pfz. Волновая функция такого ансамбля
есть г|у р> р'(х9 у, г). С точки зрения квантовой механики этот ан-
ансамбль также как и первый, определен с исчерпывающей полнотой,
но он кардинально от него отличается. Волновая функция, характе-
характеризующая первый ансамбль, сосредоточена около точки х = х\
у = у'у z = г', во втором ансамбле она является плоской волной
де Бройля A1.2). Другим примером полных дополнительных
наборов могут служить набор сферических координат частицы
г, 6, ф и набор, состоящий из сопряженных им величин: энергии
частицы Егу ее вращательного момента М и проекции этого момента
Мг на ось OZ.
Канонически сопряженные переменные подчиняются прин-
принципу дополнительности. Согласно этому принципу
канонически сопряженные динамические переменные Р и Q обра-
образуют взаимодополнительные классы переменных, относящиеся к
несовместимым, исключающим друг друга квантовым ансамблям.
Этот принцип принадлежит Бору и формулируется им в несколь-
несколько расширенной форме: динамические переменные, характеризую-
характеризующие микрочастицы (и системы таких частиц), распадаются на два
взаимно дополнительных класса — класс пространственно-вре-
пространственно-временных переменных Q и класс импульсно-энергетических перемен-
переменных Р, относящихся к исключающим друг друга измерениям.

§ 171 РОЛЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА 79
Принцип дополнительности в сущности выражает в словесной
форме содержание соотношения неопределенностей A5.18), которое,
как мы увидим позднее, может быть распространено на любые кано-
канонически сопряженные импульсные и пространственные переменные.
В силу этого соотношения характер квантового ансамбля
совершенно различен в зависимости от тех признаков, которыми
он определен (т. е. в зависимости от типа полного набора величин),
и будет существенно изменяться, если будут производиться изме-
измерения нового полного набора, несовместимого с исходным. По-
Поэтому состояние квантового ансамбля нельзя понимать,безотноси-
понимать,безотносительно к тому полному набору величин, которым он определен.
В этой связи измерительные приборы, определяющие различ-
различные полные наборы, следует рассматривать как «системы отсчета»,
с помощью которых фиксируется состояние квантового ансамбля1).
Суть столь глубокого различия между определениями состояния
в классической и квантовой области заключается в том, что в клас-
классических концепциях не существовало никакого абсолютного мас-
масштаба малости. Изучение микромира открыло существование ряда
атомных констант, дающих такой масштаб: элементарный заряд е,
элементарная масса электрона и позитрона ji, массы простейших
тяжелых частиц протона тп и нейтрона тпу постоянная Планка %
и другие.
Мы не знаем сейчас в точности тех ограничений классических
концепций и тех новых понятий и представлений, которые должны
вытекать из существования элементарного заряда и массы, но нам
известно, что влечет за собой существование кванта действия 1i.
Существование кванта действия ведет к явлению дифракции частиц,
которое делает невозможным одновременно применение к описанию
движения микрочастиц таких, например, величин, как р и х.
Рассмотрим теперь подробнее, каким образом измерение влияет
на квантовый ансамбль.
Будем считать наш ансамбль заданным волновой функцией г|) (x)
(чистый ансамбльJ). Рассмотрим сначала измерения импульса.
Для этого разложим ty(x) в спектр по волнам де Бройля typ(x) =
l% A7.1)
Пусть всего сделано N измерений и в N' случаях получено зна-
значение р, лежащее около р', в N" случаях — около р", в ЛГ" слу-
*) Это, конечно, не означает того, что если нет измерительного прибора,
то нет и квантового ансамбля: в природе сами по себе осуществляются ситуации,
фиксирующие ансамбль, т. е. соответствующие измерению.
2) Только простоты ради мы рассматриваем чистый случай и ограничива-
ограничиваемся одним пространственным измерением х, что не принципиально для выяс-
выяснения сущности дела. О влиянии измерения на смешанный ансамбль см. § 46.

80 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
чаях — около р" и т. д. (N = N' + N" + N"' +...)• Тогда имеем
(ср. § 14)
В результате произведенных измерений N' частиц выявлен
новый чистый ансамбль с р = рг, характеризуемый новой волно-
волновой функцией i|y(*). Таким образом, измерение из первоначального
ансамбля с неопределенным импульсом выбирает подансамблп
с определенными значениями импульса р\ р", //",..., которые
характеризуются новыми функциями i|y(*), i|v(*), typ'"(x)* •••»соот-
•••»соответственно.
Первоначальное состояние г|з(х) переходит в одно из состояний
вида %(х). Это изменение волновой функции называют «р еду к-
ц и е и» (сведением) волнового пакета. Физически редукция озна-
означает, что после измерения частица оказывается принадлежащей
к новому чистому ансамблю.
Весь ансамбль, возникший в результате измерений, характери-
характеризуется серией волновых функций typ(x), i|v(*), HV'M» ••• с соот"
ветствующими вероятностями | с{рг) \Чр', | с(р") \2dp\ \c(p'") \2dp"\
т. е. является ансамблем смешанны м.
Подобная же ситуация осуществляется и в других случаях.
Приведем еще два примера. Пусть речь идет об измерении коорди-
координаты х. Разложим i|;(.v) в спектр по волновым функциям, характе-
характеризующим состояние с определенным значением х. Такая функция
имеет вид i|vM = б (л:' — х). Поэтому разложение дает
Ц(х) = \с(х')8(х'-х)с1х'. A7.3)
В силу свойств 6-функции отсюда сразу же следует с(х') = ^(х').
Если в N' случаях будет получено х около х', в Л^" случаях — х
около х" и т. д., то
N
N'"
N
x\ A7.4)
dx"\ ...
При каждом измерении первоначальная функция я|) (х) сводится
к одной из функций вида ^>Х'(х) =Ь(х — х').
Эта редукция показана на рис. 19 1).
Мы видим, что при измерении координаты опять-таки возникает
смешанный ансамбль, в котором новые чистые подансамбли вида
*) Напомним (см. § 16), что измерение координаты требует энергии, которая
черпается либо из прибора, либо из самой частицы.

§ 171
РОЛЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА
81
tyx'(x)* У*" (*)»••• представлены с вероятностями | "ф(х') |2, | г|;(х") |2,
т. е. эта вероятность, как и в случае измерения импульса, опреде-
определяется интенсивностью \с(х') | 2,
с которой чистое состояние *[v(x)
представлено в исходном чистом
состоянии ур(х) (в этом специаль-
специальном случае с(х') = фОО).
Позднее мы покажем (§ 22),
что если измеряется любая ме-
механическая величина L, могу-
могущая принимать значения Lu L2,
Z,3t...t Ln, то, чтобы найти ве-
Рис. 19. Редукция волнового пакета
я|) (л:) (кривая а) к функции \|^, (х)
(кривая ?>) после измерения коорди-
координаты л', оказавшейся равной х'.
роятность того, что L = Ltu
нужно разложить ^(х) в спектр
по состояниям ^п(х). Каждое из этих состоянии характеризуется
тем, что в нем величина L имеет одно-единственное значение L =
- U х).
Такое спектральное разложение может быть представлено
в виде
У(х) = У\сп%(х). A7.5)
Тогда число случаев Nny когда L = Ln, будет пропорционально
, т. е.
A7.6)
и мы опять получаем редукцию исходного пакета г])(х) к одному
из состояний ^pn(x)t а вся совокупность измерении опять-таки обра-
образует смешанный ансамбль.
Таким образом, рассмотренное поведение квантовых ансамблей
при измерениях является совершенно общим и может быть сформу-
сформулировано так: измерение превращает чистый ансамбль в смешан-
смешанный 2). Это превращение чистого ансамбля в смешанный есть не что
иное, как практическое осуществление спектрального разложения
исходного ансамбля в спектр по чистым ансамблям, которые отби-
отбирает прибор.
Исходный ансамбль, «проходя» через прибор, разлагается
па составные «подансамбли», определенные по отношению к этому
прибору. Поэтому в квантовой механике система отсчета — клас-
классический измерительный прибор есть не что иное, как спектра ль-
1) Ради разнообразия примеров мы предполагаем здесь, что величина L
имеет дискретные значения Llt L2, ... , в отличие от ранее рассмотренных слу-
waeiw) и л% имеющих непрерывные значения.
") Кроме случая, когда измерение попросту повторяет то, которым опрс-
лслен исходный ансамбль, тогда ансамбль останется неизменным.

82 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
ный анализатор квантовых ансамблей, с помощью которого и изу-
изучается их природа.
Стремление подчеркнуть эти особенности квантового ансамбля
заставило нас сосредоточиться на измерительном приборе, как на
спектральном анализаторе ансамбля. Однако процесс измерения
не заканчивается на спектральном разложении, которое является
лишь первой стадией квантового измерения. Необходимо еще
зафиксировать, в каком именно пучке в том или ином измерении
обнаружилась частица. Для этой цели служат детекторы, реги-
регистрирующие факт обнаружения частицы в том или ином пучке,
как теперь чаще говорят, в том или ином канале.
Детектор также является макроскопическим устройством,
однако особенным в том смысле, что это устройство должно быть
обязательно макроскопически неустойчивым.
Если в квантовой области явлений измерительной прибор
иногда неизбежно вмешивается в состояние измеряемой частицы,
то микрочастица со своей стороны всегда вмешивается в состояние
измерительного прибора и меняет его некоторым определенным
образом, иначе прибор следовало бы считать нечувствительным.
Ясно, что микрочастица не обладает ни энергией, ни импульсом,
достаточными, чтобы изменить состояние устойчивой макроскопи-
макроскопической системы. Однако она может изменить состояние макроско-
макроскопической системы, если эта система находится в неустойчивом
состоянии.
Легко заметить, что все устройства, детектирующие микро-
микрочастицы, неустойчивы или электрически, или термодинамически,
пли механически. Так, в счетчике Гейгера первичная ионизация
газа, вызванная заряженной частицей, приводит к лавинообраз-
лавинообразному возникновению вторичных электронов и, как следствие это-
этого, к макроскопическому явлению—к электрическому разряду.
В камере Вильсона ионизация приводит к образованию вдоль
следа частицы капелек жидкости в термодинамически неустой-
неустойчивой атмосфере переохлажденного пара; в пузырьковой камере
вдоль следа частицы возникают пузырьки пара в перегретой жид-
жидкости, центрами образования которых служат первичные ионы.
В фотопластинке возникают в чувствительном зерне цепные хими-
химические реакции, приводящие к почернению всего зерна.
Таким образом, измерение в квантовой области начинается
с квантового микроявления и оканчивается явлением макроскопи-
макроскопическим. Можно сказать, что действие частицы на измерительный
прибор носит характер действия спускового механизма, вызываю-
вызывающего взрыв.
Важнейшая особенность измерителпшх приборов заключается
в том, что различные анализаторы дают (и это лежит в природ**
самого микромира) исключающие друг друга спектральные раз-
разложения так, что одновременное применение к микрочастицам

§ 171 РОЛЬ ПЗМГРМТПЛЫЮГО ПРПЬОРЛ 83
дополнительных признаков становится неадекватным действитель-
действительности.
Измерительное устройство, состоящее из анализатора и детек-
детектора, не следует представлять себе обязательно в форме лабора-
лабораторного прибора. Напротив, экспериментатор или техник, выбирая
тот или иной прибор, лишь комбинирует то, что уже есть в природе,
и было бы нелепо думать, что, не будь «наблюдателя», квантовые
ансамбли потеряли бы свой смысл.
Как только в природе осуществляется такая ситуация, когда воз-
возникает спектральное разложение исходного ансамбля и соответствую-
соответствующее детектирование частиц, тогда происходит образование новых ан-
ансамблей, которые будут определяться по новым признакам, т. е.
происходит то, что принято называть «вмешательством измерения».
Наблюдается этот процесс экспериментатором или нет, это не имеет
никакого отношения к самому объективному явлению.
Вопросам теории квантовых измерений посвящены параграфы
139 и 140 в конце книги, где дано полное освещение этого важного
раздела теории.

Глава III
ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
ОПЕРАТОРАМИ
§ 18. Линейные самосопряженные операторы
Мы видели, что в квантовой области не существует таких со-
состояний, в которых импульс и координата частиц имели бы одно-
одновременно определенные значения. Это обстоятельство находит
свое отображение и в формальной стороне теории: математический
аппарат квантовой механики резко отличается от математического
аппарата классической механики, в которой задание пары величии
/?, х имеет полный смысл. Переходя к изложению этого аппарата,
мыв качестве исходного пункта используем выражения для сред-
среднего значения функций координат или импульсов в состоянии
\р(х, у, г), приведенные в § 13. Там мы имели для среднего значения
функции координат частицы формулы A3.1)
№ У, *Ж*. У. z)dxdydz A8.1)
и для^ среднего значения функции импульсов формулу A3.6)
(^ У> ?)dxdydz.
A8.2)
Эти формулы принимают совершенно одинаковый вид, если проек-
проекции импульса рХ1 ри, pz представить операторами
и соответственно этому обозначению написать A8.2) в виде
(Рх, Ру> Рг) =
= J**(^, У, г)Р(Рх, Ри, Р;)У(х, У, z)dxdydz. A8.4)

§ 18] ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 85
Таким образом мы приходим к изображению функции от импульса
x> Ру> Рг) оператором F(PX, А,, Рг).
Этот результат подсказывает, что и другие более сложные меха-
механические величины L(pXy рУ9 pZ9 х, у, г), зависящие как от коорди-
координат, так и от импульсов, также должны изображаться операторами.
И в самом деле, оказывается, что все взаимоотношения между
механическими величинами в квантовой области могут быть выра-
выражены на языке операторов определенного класса. В этом заклю-
заключается фундаментальное значение введения операторов в кванто-
квантовую механику.
Чтобы выделить класс операторов, встречающихся в квантовой
механике, обратимся сначала к общему определению оператора.
Независимо от конкретного вида под оператором L будем подразу-
подразумевать символ, показывающий, каким способом каждой из рас-
рассматриваемого класса функций и(х) сопоставляется другая функ-
функция v(x). Это символически записывается в виде умножения и на L:
Lu(x) = v(x). A8.5)
А.
В этом равенстве под L можно подразумевать, например, умно-
Л / А. 0 \
жение на x(L = x), дифференцирование по х {L = d~j, извлечение
корня (L = VO и т. п.
Из всего разнообразия мыслимых операторов для изображения
механических величин в квантовой области употребляется только
один определенный класс операторов, так называемые линейные
самосопряженные (иначе — эрмитовские) операторы.
Оператор L называют линейным, если он обладает сле-
следующим свойством:
L(Ciai + c2tt2)=^i^i + ^«2, A8.6)
где иг и и2 — две произвольные функции, а сх и с2 — произвольные
постоянные. Ясно, что корень не является линейным оператором;
в то время как ^- есть оператор линейный.
Это ограничение вытекает из принципа суперпозиции состоя-
состояний. Свойство линейности оператора, выраженное в A8.6), озна-
означает, что применение оператора к суперпозиции двух функций
их и и2 равно суперпозиции результатов применения этого же опе-
оператора к каждой из функций порознь (Цс^ + с2и2) = clv1 + c2u2i
где v1 = Lul9 v2 = Lu2)>t. e. мы требуем, чтобы применение опе-
операторов не нарушало принципа суперпозиции.
Линейный оператор L называют самосопряженным
(эрмитовским), если имеет место равенство
I и\ (х) Lu2 (x) dx = \u2 (x) L*uJ (x) dx, A8.7)

SG изопрлжпнш: мг.хлничгских величии опьрлторлми [гл. ш
где интеграл взят по всей области изменения переменной .v, а и*
и и2 суть две произвольные функции весьма широкого класса *).
Если переменных много, то dx заменяется uadxdydz...
Значение условия самосопряженности, как мы увидим позд-
позднее, заключается в том, что только подчиняющиеся этому условию
операторы могут изображать вещественные (не мнимые) физичес-
ские величины.
Поясним свойство A8.7) на примере оператора импульса
Рх = — /А -т~. Имеем
л дх
-f-oo +00
-f 00 -f- со
г ч- * i+oo , .*, С ди* л
= —гпщиЛ -уin \ и2~-ах —
L 1 ^J_co I } Z дх
— оо
(так как м* (± оо) = и2 (± со) = 0). Таким образом, Рх есть
линейный и самосопряженный оператор. Видно, что оператор ~р
линейный, но не самосопряженный; в самом деле,
-j- 00 4~ °° + оо
Имея в распоряжении некоторые операторы, мы можем построить
из них более сложные. Способы построения из простых операторов
более сложных вытекают из определения самих операторов и могут
быть сформулированы в виде несложных алгебраических правил.
Рассмотрим два линейных и самосопряженных оператора А и В.
Будем называть суммой этих двух операторов такой оператор G,
что
6|)=Лг|) + Бг|). A8.9)
Символически запишем это в виде
A8.10)
Например, если Л = /-ч-, а В = х, то из A8.9) следует
г) Они должны быть интегрируемы и иметь производные, равные нулю
на границах области интегрирования.

§ 18] ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 87
Несколько сложнее определится умножение. Под произведением
двух операторов А я В будем понимать такой оператор С, что
A8.11)
т. е. сначала следует подействовать на г|) оператором В, а потом
на этот результат подействовать оператором Л. Если тот же
окончательный результат может быть достигнут оператором С,
то Си будет произведением А и В. Символически это запишем так:
С = АЁ. A8.12)
Пример: Л = i -^-, В = х, тогда
отсюда следует, что
C = i4-ix~=-i(l+x —
~*~ дх \ * дх
Существенно, что произведение операторов зависит от порядка
множителей. В приведенном примере имеем
т. е. C' = ur —.
Поэтому, если имеются два оператора А и В, то кроме произ-
произведения С можно образовать еще другое произведение:
С' =ВА. A8.12')
Установленные правила позволяют производить с операторами
сложение, вычитание и умножение так же, как это делается в обыч-
обычной алгебре, за исключением одного пункта: вообще говоря, нельзя
менять порядка сомножителей. Например,
б = {А-Ё)(А+в)= А2-вА+Ав-в2,
но не Л2-В2.
Такая алгебра, в которой нельзя менять множителей, называ-
называется алгеброй не комм у та тивных величин, а
сами величины некоммутативными (непереста-
(неперестановочными) или некоммутирующими.
Если оба произведения Си С равны
АВ-ВА=0, A8.13)
то операторы Л и В называются коммутирующими (пере-
(перестановочными). В противном случае их называют не к ом-

88 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
мутирующими. Оператор Р = АВ — В А называется комму-
коммутатором операторов Л и В.
При умножении линейных самосопряженных операторов сле-
следует иметь в виду, что произведение их не будет, вообще говоря,
также самосопряженным оператором. Именно,
^ jba). A8.14)
Пользуясь самосопряженностью каждого из операторов А и В,
с помощью A8.7) можно доказать, что оператор
F=\ (АВ + ЁА) A8.15)
будет самосопряженным, а оператор
G=j(AB-BA) A8.16)
не будет обладать этим свойством, кроме случая коммутирующих
операторов, когда G = 0. Так как всякий оператор коммутирует
сам с собой, то из сказанного следует, что любая (целая и положи-
положительная) степень линейного самосопряженного оператора А:
A^AJ^.^, A8.17)
п
будет оператором такого же рода.
Пользуясь изложенными правилами, мы можем, исходя из
известных нам операторов проекций импульса РХ9 РУ9 Р2 A8.3)
и операторов координат частицы х, yt z построить более сложные
линейные и самосопряженные операторы L.
§ 19. Общая формула для среднего значения величины
и для среднего квадратичного отклонения
Основная идея применения операторов в квантовой механике
заключается в том, что каждой механической величине L в квантовой
механике сопоставляется изображающий ее линейный самосопря-
самосопряженный оператор L.
Символически это запишем так:
L-+L.
Вопрос о том, какую именно физическую величину изображает
тот или иной оператор, решается свойствами этой величины и спо-
способами ее наблюдения. В тех случаях, когда изображаемая опера-
оператором L квантовая величина обладает свойствами, аналогичными

§ 19] СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА И КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ 89
свойствам некоторой классической величины L, для обеих величин
употребляют одно и то же название.
Например, если имеется классическая величина L — функция
импульсов и координат L = L(pXi ру, pz, x, у, г), то линейный и
самосопряженный оператор L, построенный по правилам преды-
предыдущего параграфа из операторов проекций импульса P.v, Руу Pz
и операторов координат х, у, г, будет равен
L = L(PX, А,, Рг, х, у, г).
Самосопряженный оператор L будет изображать квантовую вели-
величину со свойствами, аналогичными классической величине L (рху
Ру, Pz, х, у, г) х).
Разумеется, не все линейные и самосопряженные операторы,
образованные из Рх, Ру, Pz и х, у, г, будут изображать величины,
имеющие простой физический смысл и подчиняющиеся простым
законам. Так же обстоит дело и в классической теории. Так, вели-
Р2
чина —- имеет смысл кинетической энергии и подчиняется закону
сохранения (в отсутствие внешних сил), величина же рх* не имеет
какого-либо общего правила поведения и поэтому не играет никакой
роли в механике.
Связь между операторами и измеряемыми величинами устанав-
устанавливается в помощью формулы для среднего значения величины L
в ансамбле, описываемом волновой функцией я|?._Именно, в кванто-
квантовой механике принимают, что среднее значение L величины L, изо-
изображаемой линейным и самосопряженным оператором L в чистом
ансамбле, описываемом функцией г|5, определяется формулой
E = Sife* Ltydx, A9.1)
гле под dx подразумевается элемент объема в пространстве незави-
независимых переменных и интеграл взят по всей области изменения этих
переменных. Ясно, что наши прежние определения A8.1) и A8.2)
являются частным случаем A9.1). Чтобы получить A8.1) из A9.1),
следует положить L = F(x, у, г), а под dx считать dx, dy, dz. Чтобы
получить A8.2), следует положить
=* (-<*-?-.-<»?.-<-)•
Па основании свойства самосопряженности оператора L, мы можем
записать A9.1) в эквивалентной форме
Z = \^L*^*dx A9.Г)
*) Поскольку волновая функция рассматривается как функция координат
частицы л-, у, г, постольку действие «операторов» х, у, z сводится просто к ум-
j'O/ксиию функции на х, у, г, действие оператора F (х, у, г) — к умножению
На Г (-V, </, 2).

90 изображении механических величин операторами [гл. ш
(для этого полагаем в A8.7) //* = г|5*, iu — г|э). Из сравнения A9.1)
и A9.Г) следует, что
/, = ?*, A9.2)
т. е. среднее значение величины, изображаемой самосопряженным
оператором, вещественно.
Мы получим более детальные сведения о величине L, если
помимо ее среднего значения L найдем еще и среднее квадратичное
отклонение (ALJ, указывающее, насколько в среднем отклоня-
отклоняются результаты отдельных измерений в ансамбле от их среднего
значения. Вычислим (ALJ. Для этого следует построить оператор,
изображающий величину (ALJ. Отклонение от среднего опреде-
определяется как AL = L—L. Стало быть, оператор, изображающий
AL, имеет вид
AL-L-I. A9.3)
Так как квадрат отклонения (ALJ = (L — IJ, то оператор для
(ALJ будет следующий
()U) A9.4)
Пользуясь общим определением среднего значения A9.1), мы най-
найдем
(ALJ = J ф* (AL J ip dx. A9.5)
Таким образом, зная оператор L, мы можем вычислить и (ALJ.
Величина (ALJ должна быть неотрицательной. Это легко дока-
доказать, пользуясь самосопряженностью оператора L. Так как L есть
число, то оператор AL также самосопряженный. Поэтому, пользуясь
A8.7) и полагая в A9.5) ty* = u*, (AL^) = u2y находим
(ALJ = I (д?ф) (AL*-**) djc = J | ДЬ|> ,'2 dx, A9.6)
так как |ALi|)|2>0, to из A9.6) следует, что
(ALJ^0, A9.7)
т. е. (как и должно быть) среднее квадратичное отклонение всегда
положительно или равно нулю.
§ 20. Собственные значения и собственные функции
операторов и их физический смысл. «Квантование»
Формулы предыдущего параграфа дают выражение для среднего
значения L и среднего квадратичного -отклонения (ALJ. Эти фор-
формулы ничего не говорят о том, каковы будут значения величины L
в отдельных измерениях.

§ 201 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 91
Чтобы найти возможные значения величины L, обратимся к таким
состояниям %,, в которых интересующая нас величина имеет только
одно значение L. В таких состояниях среднее квадратичное откло-
отклонение (ALJ = 0. Стало быть, для этих состояний на основании
A9.6) имеем
$|ALi|)J2dx = 0. B0.1)
Так как под интегралом стоит существенно положительная вели-
величина, то из B0.1) следует
Модуль комплексного числа равен нулю только тогда, когда само
число равно нулю. Поэтому мы получаем
ALi|>/, = 0
или, имея в виду определение оператора AL A9.3) и то, что в рас-
рассматриваемом состоянии L = L, находим окончательно
UfL^UfL. B0.2)
А.
Так как L есть оператор, то найденное нами равенство
является линейным уравнением для нахождения волновой функ-
функции фд того состояния, в котором величина, представляемая опе-
оператором L, имеет единственное значение L. В большинстве случаев
оператор L будет дифференциальным оператором и уравнение
B0.2) — линейным однородным дифференциальным уравнением.
Известно, что решение дифференциального уравнения опреде-
определено единственным образом только в том случае, когда заданы
краевые условия *).
С другой стороны, при заданных краевых условиях линейное
дифференциальное уравнение /д|) = /л|) имеет нетривиальное (т. е.
отличное от нуля) решение, вообще говоря, не при всех значениях
параметра L, а только при некоторых определенных: L = Lly L2,
L3,..., ?„,... Соответствующие решения г^, о|>2, г|K,..., г|эя,... назы-
называются собственными функциями, а значения пара-
параметра Lu L2, L3,..., L,*,..., при которых существуют решения,
называют собственными (иногда говорят характеристи-
характеристическими) значениями параметра уравнения B0.2).
Наиболее общеизвестный пример такой задачи представляет
задача о колебаниях закрепленной на концах струны. Уравнение
движения в этом случае имеет вид
? = 0, B0.3)
х) Речь идет об уравнениях, не содержащих производных по времени, гак
что задание начальных данных отпадает.

92 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
так что L = — -j-?, a L = k2. Область, в которой ищется решение,
есть О^сл:^/, где Z — длина струны. Краевые условия будут
и = 0 при х = 0 и х = 1. Собственные функции для такой задачи
равны ип (х) = sin —^-, а собственные значения Ln — k% — —^—
(л=1, 2, 3,-...),
В квантовой механике золновая функция всегда определяется
во всей области изменения тех переменных, которые являются ее
аргументами (например, ap(jc, уу г) определено в области: — оо <*•<
< "г оо, — оо < # < + °°, — оо<г<+ооит. п.). Поэтому в
квантовой механике мы не можем сформулировать краевые условия
для волновой "функции столь непосредственным образом, как они
формулируются в классических задачах о колебании тел.
Однако можно показать *), что из требования сохранения пол-
полного числа частиц вытекают некоторые естественные требования
к волновым функциям, которые оказываются эквивалентными
краевым условиям. Требования сохранения числа частиц сводятся
к тому, что вероятность найти частицу где-либо в пространстве
не должна зависеть от времени, т. е.
4<to = b, B0.4)
где интеграл распространен по всей области изменения аргументов
я|э-функции, так что он равен вероятности того, что частица обяза-
обязательно где-то находится. Суть дела заключается в том, что условие
B0.4) может быть выполнено только тогда, когда волновые функции
имеют достаточно корректное поведение, а именно: 1) если они
конечны во всей области изменения переменных, за исключением,
быть может, некоторых (особых) точек, где они могут обращаться
в бесконечность, не слишком сильно2), 2) если они имеют доста-
достаточное число непрерывных производных (также могущих в отдель-
отдельных точках не слишком сильно стремиться к бесконечности), 3) если
они однозначны. Более жестко, но достаточно для целей нереля-
нерелятивистской квантовой механики эти требования могут быть сфор-
сформулированы в виде трех требований: 1) конечности, 2) непрерыв-
непрерывности и 3) однозначности волновой функции во всей области изменения
ее аргументов.
Эти весьма скромные требования, предъявляемые к решениям
уравнения B0.2), ведут к тому, что во многих случаях решения,
обладающие указанными свойствами A, 2, 3), существуют не при
х) См. дополнение VIII.
2) Если волновая функция не исчезает в бесконечности (например, плоская
волна де Бройля), то вместо я|) для сходимости интеграла в B0.4) следует брать
так называемые «собственные дифференциалы» (см. дополнение III A2) и A2'),
где изложено правило нормировки волновых функций, не исчезающих в беско-
бесконечности).

§ 201 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 93
всех значениях L, а лишь при некоторых, избранных L = L,,
L2, LSy..., Ln,...y т. е. мы приходим к задаче о нахождении собст-
собственных функций и собственных значений уравнения B0.2) на основе
естественных требований, вытекающих из условия сохранения числа
частиц B0.4).
Вместо «собственные функции уравнения» и «собственные зна-
значения параметра уравнения» мы будем обычно говорить о собст-
собственных ^функциях и собственных значениях оператора L, которым
определяется вид уравнения B0.2).
Мы будем считать, что никаких значений величины L нельзя
наблюдать на опыте, кроме тех, которые являются собственными
значениями оператора L. Иными словами, в квантовой механике
постулируется: совокупность собственных значений оператора L:
Ьъ L2, L3,..., ?„,..., тождественна с совокупностью всех возможных
результатов измерения механической величины L, изображаемой
оператором L. Это и есть как раз тот постулат, посредством которого
устанавливается связь между изображением величин операторами
и опытом: математика позволяет предсказать набор собственных
значений, а опыт позволяет проверить, таков ли он, каким его
предсказывает теория.
Соответствующие собственным значениям Ll9 L2,..., ?„,... состоя-
состояния определяются собственными функциями i|?i, ф2»-«м Фл,... В каж-
каждом из этих состояний (ALJ = 0 и величина L имеет только одно
из значений Ll9 L2,..., !„,..., соответственно. Совокупность воз-
возможных значений некоторой величины мы будем называть спек-
спектром этой величины.
Спектр может быть дискретным, когда возможны только
отдельные значения Ll9 ?2,..., Ln,..., либо состоящим из
отдельных полос, так что возможные значения L лежат
в интервалах: Ьг ^ L < L2, L3 < L < L4, вообще Ln < L < Ln+li
либо, наконец, непрерывным, когда все значения L оказы-
оказываются возможными. Когда возможные значения величины -явля-
-являются дискретными, то говорят, что величина имеет квантован-
квантованные значения.
В полуклассической теории Бора отсутствовали методы, позво-
позволяющие в общем виде решить вопрос о возможных значениях той
или иной величины, в частности, найти квантовые значения этой
величины. Современная квантовая механика полностью решает
этот вопрос, сводя его к чисто математической задаче нахождения
собственных функций и собственных значений операторов, изобра-
изображающих механические величины.
Из самосопряженности оператора L следует, что наблюдаемые
значения L будут вещественны:
Ln = L* или L = L*. B0.5)

94 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
В самом деле, собственное значение Ln (или L) можно рассматривать
как среднее значение величины L в собственном состоянии ф„
(или ^l соответственно). Но среднее значение величины, изобра-
изображаемой самосопряженным оператором, вещественно (см. A9.2)).
Этим полностью разъясняется значение самосопряженности
операторов: самосопряженные операторы изображают веществен-
вещественные величины.
§ 21. Основные свойства собственных функций
Обратимся к рассмотрению важнейших свойств собственных
функций самосопряженных операторов^ Сначала, ограничимся слу-
случаем дискретного спектра. Пусть мы имеем какие-либо две функ-
функции йг и а2. Эти функции будут называться ортогональ-
ортогональными,- если
$ 0, B1.1)
где интеграл взят по всей области изменения переменных. Для
простоты мы обозначаем все переменные одной буквой х.
Теорема, которую мы докажем, заключается в том, что собствен-
собственные функции tyn и i|)m самосопряженного оператора L> принадле-
принадлежащие различным собственным значениям Ln и Lm, ортогональны
между собой, т. е.
В силу предположения о том, что % и ф^ явдяются собственными
функциями, мы можем написать
Ьрт - Lnftm, 'Ufn = Ln4pn. B1.3)
Из первого уравнения получчим комплексно сопряженное:
напомним, что согласно B0.5) Lm = Ь%. Умножив второе из урав-
уравнений B1.3) на 1|й, а B1.3') на г|)я, вычтем второе из первого. Тогда
получится
Интегрируя это равенство rio всей области изменения переменных,
будем иметь
I Гт Ця ДХ- ^ фя Ь*Гт dX = (Ln - Lm) J №fn dX.
В силу самосопряженности L левая часть равна нулю (следует
в равенстве A8.7), определяющем самосопряженность, положить

§21] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 95
Фт = #ъ tyn = th)i следовательно,
(и-и)№ЪЯ**х = 0. B1.4)
Так как Ln Ф Lm, то отсюда следует справедливость B1.2).
Функции дискретного спектра всегда интегрируются квадра-
квадратично, поэтому мы можем нормировать их к единице:
$1>M>«a*=i. B1.5)
Это последнее равенство можно объединить с равенством B1.2)
в одно:
j4UiM*==««i.. B1.6)
где символ 8тп определяется следующим образом:
6тя«=1, если /i = m,
вдад = 0, есЛИ П'фШ.
Системы функций, удовлетворяющие B1.6), мы будем называть
ортогональными и нормированными систе-
системами функций.
В значительном большинстве рлучаев, встречающихся в кван-
квантовой механике, собственному значению Ln оператора L принад-
принадлежит не одна функция г|)л, а несколько собственных функций:
i^iii Фиг» •••» tynky ...» Фя/- Такие случаи называются вырож-
вырожденными. Если значению L = Ln принадлежит / собственных
функций (/ > 1), то говорят о наличии /-к р л т н о г о вырож-
вырождения. Физический смысл «вырождения» заключается в том,
что какое-нибудь определенное значение величины L = Ln может
быть реализовано в разных состояниях.
Доказанная нами теорема об ортогональности собственных функ-
функций относится /тишь к функциям, принадлежащим к разным соб-
собственным значениям. В случае вырождения функции г|?лЛ (k =
= 1,2,...., /) относятся к одному и тому же собственному значению Ln:
Lfe = Ub *=1, 2, 3, ..., /. B1.8)
Поэтому они не будут, вообще говоря, ортогональными. Однако
можно доказать х), что эти функции могут быть всегда выбраны
так, что они будут также ортогональны между собою:
$¦&-¦!* dx = fiw. B1.9)
Поэтому условие B1.6) можно считать всегда выполненным, если
под т и п в общем случае разуметь не один индекс, а всю совокуп-
См. дополнение II.

96 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
ность индексов, характеризующих собственную функцию (напри-
(например, вместо т — два индекса т и kr, вместо п также два индекса
п и k).
А
В том случае, когда оператор L имеет непрерывные собственные
значения, доказанные теоремы непосредственно неприменимы. Од-
Однако и в этом случае собственные функции обладают свойствами,
аналогичными свойствам функций дискретного спектра.
Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенуме-
перенумеровать числами. В этом случае функции зависят от собственного зна-
значения L как от параметра, так что мы можем написать
tM*)= Ч>(*, L)> B1.10)
л.
где через х обозначены переменные, в которых выражен оператор L.
Свойства ортогональности собственных функций непрерывного
спектра проще всего могут быть выражены с помощью особого
символа б (Z/ — L), называемого функцией Дирака или
б-ф у н к ц и е й. Эта функция обладает следующими свойствами:
$ / (Z/) б (Z/ - L) &U = 0, если точка L' = L лежит
а вне интервала (а, Ь),
ь
\f{L')b{L'-L)dL'^f{L)y если точка L'=-L лежит
а внутри интервала (а, Ь)}
B1.11)
rtie / (Z/) — любая (достаточно гладкая) функция. Можно дока-
доказать J), что функции непрерывного спектра \р (х, L) могут быть
нормированы так, что
[У*(х, L')ty(x, L)dx--=b{L'-L). B1.12)
Это равенство аналогично B1.6), ибо из B1.11) следует, что
б (// — L) = 0 всюду, кроме точки V = L, где б обращается
в бесконечность. Таким образом, символ б (Z/ — L) играет
ту же роль, что и символ 8тп в случае дискретного спектра.
В математике доказывается, что система собственных функций
операторов очень широкого класса является не только системой
ортогональных функций, но системой полной.
Это означает, что любую функцию г|э (х), определенную в той же
области переменных и подчиненную тому же классу граничных
условий, что и собственные функции а|?я (х), можно представить
в виде ряда по этим собственным функциям:
См. дополнение III.

§ 211 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 97
Пользуясь ортогональностью функций г|зЛ, мы можем определить
коэффициенты сп и таким образом найти ряд, представляющий г|? (*).
Для этого умножим B1.13) на г|?щ (я) и проинтегрируем по всему
пространству
В силу ортогональности и нормировки функций % интегралы,
стоящие под знаком суммы, равны 8тп (см. B1.6)); таким образом,
Отсюда, меняя обозначение т на п, получаем
cn = №(x)Tp(x)dx. B1.14)
Таким образом, зная ij> и систему ортогональных функций ifn,
мы можем найти все амплитуды сп, встречающиеся в ряде B1.13).
Частным случаем таких разложений по ортогональным функциям
являются ряды Фурье.
В случае непрерывного спектра имеет место разложение в инте-
интеграл, подобный интегралу Фурье. Именно, в этом случае
Ц(х) = \с(Ь)Ц(х, QdL. B1.15)
Для определения коэффициентов с (L) умножим B1.15) на if* (я, L')
и проинтегрируем по х:
Меняя здесь обозначение V. на L, получим окончательно
c(L) = l$*(x, L)$(x)dx. B1.16)
^Найденные нами представления любой функции в виде разло-
разложений B1. ГЗ) и B1.15) по собственным функциям операторов при-
приводят к очень важному выводу: любое состояние, изображаемое
волновой функцией \|) (я), может быть представлено в виде супер-
суперпозиции B1.13) или B1.15) состояний, относящихся к определен-
определенным значениям какой-либо механической величины. В самом деле,
состояния -фЛ или г|) (*, L) по своему определению являются
состояниями, в которых некоторая механическая величина L имеет
определенное значение Ln (либо соответственно L). А выражения
B1.13) и B1.15) представляют г|? (я) в виде суммы (либо интеграла)
этих частных состояний.

98 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
§ 22. Общий метод вычисления вероятностей
результатов измерения
Выше было показано, как находить среднее значение I любой
величины, изображаемой оператором L, и как находить возмож-
возможные значения Llf L2, ..., Ln такой величины. Теперь мы перейдем
к вычислению вероятности того, что в некотором состоянии ij) (я)
в результате произведенного измерения механической величины L
будет обнаружено значение L = Ln. Основная идея вычисления
основывается на принципе суперпозиции состояний. Пусть собствен-
собственные функции оператора L будут г|?л (х). На основании свойства
полноты и ортогональности этих функций мы можем представить
волновую функцию г|) в виде суперпозиции
4>(*) = 2<VM*)- B2.1)
П
Для сопряженной функции получим
¦*W = 2^«W B2. Г)
т
(где т пробегает те же значения, что и п).
Подставляя эти выражения для г|з и -ф* в формулу для среднего
значения величины L в состоянии г|), мы найдем
l = \V h dx^^cUnS^mhadx. B2.2)
п т
Так как г)^ есть собственная функция оператора L, то
* = U. B2.3)
Пользуясь B2.3) и ортогональностью функций г|?^ и tyny мы полу-
получаем вместо B2.2)
r = 2|Cn|2L«. B2.4)
П
Далее, умножая B2.1) на B2. Г) и интегрируя по всему пространству,
получаем
ИЛИ
2>„|"=1. B2.5)

§,221 ОБЩИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 99
С другой стороны, если через w (Ln) обозначить вероятность того,
что случайная величина L имеет одно из возможных значений Lny
то по общему определению среднего имеем
Z = Zw(Ln)Ln B2.6)
п
при условии, что
5>(U=1. B2.7)
Сравнение B2.6) и B2.7) с B2.4) и B2.5) показывает *), что
B2.8)
Вероятность найти значение механической величины L равным
одному из ее возможных значений Ln равна квадрату модуля ампли-
амплитуды собственного состояния i|)n. Иными словами, эта вероятность
определяется интенсивностью |сд|2, с которой собственное состоя-
состояние урп представлено в состоянии i|>.
Для вычисления вероятностей того или иного значения вели-
величины, имеющей непрерывный спектр, поступаем совершенно ана-
аналогично тому, как было сделано в случае дискретного спектра.
Разложим рассматриваемое состояние ф по собственным функциям
г|э (х, L) оператора L:
B2.9)
иниц
, L)dLdx9
при этом ф (х, L) нормировано к б-функции, а г|? — к единице.
Вычислим опять среднее значение L в состоянии г|):
и так как г|? (я, Ь) есть собственная функция, то
подставляя это в предыдущее выражение для Z и меняя порядок
интегрирования, получим
L = \\c* (L') с (L) LdV dL\^* (*, V) г|> (х, L) dx
и в силу B1.12)
L = \\с* (V)с(L)LdVdLб (Z/-L).
На основании свойств б-функции отсюда следует, что
L = \\c(L)\*LdL. B2.10)
*) Для вполне строгого сравнения B2.6) и B2.4) следует рассмотреть такой
оператор, который есть функция L и равен 1 при L = Ln и 0, если L -ф Ln. Сред-
Среднее от такого оператора равно | сп |2 пб B2.4) и равно w(Ln) по B2.6), откуда
и вытекает | сп |2 = w(Ln).

100 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
Подобным же образом получаем
l = [№dx = \dx\c* (L')$* (x, L')dL'\c(L)if(x, L)dL=*
*=\\c*(L')c(L)dU dLb(V-L) = \\6{L)\2dL,
т. e.
SdL=l. B2.11)
Если вероятность того, что значение непрерывной, случайной вели-
величины лежит между L и L + dLy есть w (L) dh, то по общему опре-
определению среднего значения
L^\Lw(L)dL B2.12)
при условии
\w{L)dL=\. B2.13)
Сравнивая B2.12) и B2..13) с B2.10) и B2.11), получаем
L. B2.14)
Таким образом, и в случае непрерывного спектра мы приходим
к статистической интерпретации интенсивностей собственных сос-
состояний | с (L) |2 х).
Приведенные выше формулы справедливы лишь для чистого
ансамбля, характеризуемого одной волновой функцией t|> (x). Для
смешанного ансамбля предыдущие формулы должны быть несколько
обобщены.
Пусть мы имеем смешанный ансамбль, образованный из чистых
ансамблей грх, г|J, ..., г|)а, ..., смешанных в пропорции Pl9 P2, ...
...,Ра, ... Тогда, если вероятность найти значение Ln некоторой
величины L в чистом ансамбле г|)а есть wa (Ln)9 то полная вероят-
вероятность найти L = Ln в смешанном ансамбле будет равна
wiLJ-ZPaWadn). B2.15)
а
Подобным же образом для величины, имеющей непрерывный спектр,
будем иметь
w (L) dL - 2 Pawa (L) dL% B2.16)
*) Заметим, что формула B2.14) содержит как частный случай формулу
A2.4) для вероятности импульса. Действительно, с(рх, руу рг) есть амплитуда
состояния г|?р с определенным импульсом, иными словами, — собственного со-
состояния оператора импульса. Поэтому с (рХУ рп> р2) и c(L) B2.14) имеют анало-
аналогичный смысл. Для перехода от B2,14) к A2.4) достаточно взять в качестве L
три компоненты импульса рх> руу р9 * и соответственно заменить dL произве-
произведением dpxdpydpz.

§ 231 ОДНОВРЕМЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Ю1
причем
wa(Ln) = \can\\ wa(L) = \ca(L)\\ B2.17)
где сап и са (L) суть амплитуды собственных функций оператора
L : ^п (х) или соответственно \|э (л:, L) в разложении г|)а (х). В соот-
соответствии с формулами B2,15) и B2.16) среднее значение величины L
в смешанном ансамбле есть
1 = 2^а?а, B2.18)
а
где Za есть среднее значение L в чистом ансамбле \|>а:
1а = [ШУас1х._ B2.19)
§ 23. Условия возможности одновременного измерения
разных механических величин
Мы видели, что в квантовой области не существует таких состоя-
состояний частиц, в которых импульс и соответствующая ему координата
одновременно имели бы определенное значение. В таком же взаимно
исключающем друг друга отношении находятся и многие другие
величины. В самом деле, чтобы существовали состояния, в которых
две величины L и М одновременно имели бы определенные зна-
значения (ALJ ='0, (ДМK = 0, нужно, чтобы волновая функция
такого состояния была общей собственной функцией операторов L
и М. Между тем уравнения для собственных функций операторов
L и М:
hL = LypL и Щм = МурМу B3.1)
имеют, вообще говоря, различные решения % -ф tyM.
Поэтому в состояниях %, с определенным значением L((ALJ=0),
величина М не имеет определенного значения ((АМJ>0) и, нао-
наоборот, в состоянии tyM с определенным значением М((АМJ = 0)
величина L не имеет определенного значения ((ALJ > 0).
Только в особых случаях две величины L и М имеют одновременно
определенное значение (для этого нужно, чтобы tyM = tyL)- Можно по-
показать, что условием того, чтобы две величины L и М всегда могли
иметь одновременно определенные значения, является коммутатив-
коммутативность их операторов L и М. Иначе говоря, должно иметь место
операторное равенство х)
LM = ML. B3.2)
]) См. дополнение IV.

102 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
Напротив, если
B3.3)
то величины L и М не имеют одновременно определенных значений
(кроме, может быть, исключительных).
Две величины, изображаемые коммутирующими операторами,
могут иметь одновременно определенные значения и поэтому, по
крайней мере, в принципе, могут быть измерены одновременно.
Две величины, изображаемые некоммутирующими операторами,
не могут одновременно иметь определенные значения и поэтому
не могут быть одновременна измерены*).
Измерение одной из таких величин L приводит к состоянию \pL-
Измеряя в этом состоянии М, мы получим некоторое новое состоя-
состояние г|)дь не совпадающееsC исходным %. Иными словами, измерение
одной из таких величин меняет состояние системы таким образом,
что значение другой величины становится неопределенным.
Мы видим, что и в общем случае мы встречаемся с влиянием
измерительного прибора на состояние системы подобно тому,
которое мы рассмотрели выше на примере измерения импульса и
координаты (ср. §§ 14, 15). Поэтому всякий прибор, применяемый
в квантовой области для измерения механических величин, отно-
относящихся к микрочастицам, должен быть тщательно рассмотрен
с точки зрения анализа значения получаемых с его помощью резуль-
результатов измерения и тех изменений в состоянии системы, к которым
он может приводить. Всякого рода догматические суждения, не
основанные на анализе конкретного устройства аппарата, могут
привести к ошибочным выводам.
§ 24. Операторы координаты и импульса микрочастицы
Поскольку волновая функция рассматривается нами как функ-
функция координат частицы, постольку оператор координаты части-
частицы х есть само число х. Действие функции координат частицы
F (х, у, z) как оператора сводится просто к умножению г|) (х, у, г)
на F (х, у, г).
При этом же выборе переменных 2) в волновой функции опера-
операторы проекций импульса частицы, в соответствии с § 13, будут
или^в векторной форме
p= — ihv, B4.1')
где V есть оператор градиента (набла).
х) См. сноску на стр. 106.
2) Возможность другого выбора независимых переменных в волновой функ-
функции рассмотрена в гл. VII.

§ 24] ОПЕРАТОРЫ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ ЮЗ
Операторы проекций импульса и координат подчиняются опре-
определенным правилам перестановки, которые очень облегчают рас-
расчеты с ними.
Пусть 1|э (х, у, г) есть волновая функция; тогда имеем
Вычитая вторую строку из первой, находим
т. е.
xPx-Pxx = ih, B4.2)
и аналогичным образом
уРу-РуУ = Ш, B4.2')
zPt-Pzz = ih. B4.2")
Эти правила перестановок носят название перестановоч-
перестановочных соотношений Гайзенберга.
Видно, что
PP B4.3)
B4.3')
B4.3")
и т. д.
¦Подобным же путем можно установить более общие перестановоч-
перестановочные соотношения для любой функции F (х, у, г) и операторов им-
импульса. Именно,
FPx-PxF = itl~, B4.4)
FPy-PyF = ih^, B4.4')
FPz-PzF = in^.. B4.4")
Из соотношений B4.2) и B4.4) следует, что не существует состоя*
ний, в которых импульс и сопряженная ему координата имеют
одновременно определенные значения. В сущности B4.2) и B4.4)
в операторной форме выражают уже известное нам соотношение
неопределенностей.
Определим теперь собственные значения и собственные функции
оператора проекции импульса на какую-нибудь ось (например,

104 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
ОХ). Согласно изложенному в § 21 уравнение &ля собственных
функций оператора импульса имеет вид
РЛ=рх% B4.5)
где рх — собственное значение. Используя явное выражение для
Рх, получаем
-«3--РЛ. B4-5')
Это уравнение легко интегрируется
Рхх
^Px{x) = Ne~^> B4.6)
где N — постоянное число. Для того чтобы это решение было всюду
конечным (непрерывность и однозначность этого решения очевидны),
достаточно, чтобы рх было любым вещественным числом* Поэтому
спектр собственных значений рх получается непрерывным
э. B4.7)
Множитель N можно выбрать так, чтобы функция tyPx была норми-
нормирована к 6-функции г). Для этого нужно положить N = Brih)~lt*.
Окончательно нормированные и ортогональные собственные функ-
функции оператора Рх имеют вид
1 №
¦рЛ*) = :^17Ге П > B4-8)
?(*)Ьх(х) dx = 6(pi-px)9 B4.9)
т. е. собственные функции оператора импульса typ суть плоские
волны де Бройля. Это вполне естественно. То, что волна де Бройля
есть состояние с определенным значением импульса частицы, было
в сущности исходным пунктом квантовой механики (§§ 7, 12).
§ 25. Оператор момента импульса микрочастицы
Под моментом импульса частицы (моментом коли-
количества движения) в классической механике понимают векторное
произведение радиуса-вектора г, проведенного от некоторой избран-
избранной точки (например, центра сил) к частице, на импульс
М = [гр]. B5.1)
Значение этой величины в механике определяется тем, что она
является интегралом движения в поле центральных сил. В кван-
См. дополнение III, формулу B0).

§ 25] ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ 105
товой механике момент импульса изображается оператором
М = [гР], B5.2)
где Р — векторный оператор импульса B4.Г), а г — радиус-век-
радиус-вектор. Основанием к такому выбору оператора момента импульса
является не только внешняя аналогия с классическим выражением
B5.1), но и то, что изображаемая оператором М величина является
также интегралом движения в поле центральных сил (ср-. § 33)
и обладает свойствами, аналогичными свойствам момента импульса
в классической механике.
Операторы проекций момента импульса на
оси координат, согласно определению B5.2), имеют вид
B5.3)
и, наконец, для оператора квадрата, момента' им-
импульса получаем следующее выражение
Найдем правила перестановки для компонент момента импульса.
Эти правила понадобятся нам в дальнейшем, а сейчас они могут
служить иллюстрацией приемов алгебры операторов. Вычислим
коммутатор G = МУМ2 — MzMy. Подставим сюда вместо Му и
Мг их-выражение B5.3). Вычислим МуМг:
MyMz = (Pzx - Pxz ) (Рху - Pyx) = PzxPxy - РхгРху -
- РгХРуХ + РхгРуХ = yPzxPx - zyPl - х*РгРу P
(так как у и PZ1 Рх, 2, и А*, Ру, х, и Рг, Ру перестановочны).
Подобным же образом
MzMy = yPzPxx - zyP% ~ хгРгРу
Вычитая из первого равенства второе, найдем
MyMz - ММу = уР*(хРх ~ Рхх) + гРу (Рхх - хРх).
Пользуясь теперь B4.2), получаем
9 - MzMy = ih {yPz - Puz) = т

Юб ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
Меняя циклически х> у, г, получим все три перестановки:
МуМг - M2MV = ihMXf B5.5)
ММх - MXMZ = iHMy, B5.5')
МХМУ - МУМХ = ihMe. B5.5")
Таким образом, операторы компонент момента импульса неком-
некоммутативны.
Напротив, каждая из компонент момента импульса коммути-
коммутирует с квадратом полного момента импульса:
МхМ2-М2Мх = 0, B5.6)
, B5.6')
. B5.6")
Доказательство предоставляем читателю.
Из этих правил перестановки следует, что проекции момента
импульса Мх, Му, Mz не могут быть одновременно измерены.
В состоянии, в котором одна из проекций имеет определенное зна-
значение* ((ДМ*J = 0), другие две проекции не имеют определенного
значения ((ДМ,,J > 0, (&MZJ > 0) х). Напротив, любая из проек-
проекций и квадрат полного момента могут быть измерены одновременно.
Определим теперь возможные значения проекции момента им-
импульса на какое-либо произвольное направление и возможные зна-
значения абсолютной величины момента (точнее — значения М2).
Для решения этой задачи удобно перейти к сферической системе
координат, взяв некоторое избранное направление за ось OZ.
В этой системе координат
x = r sin 8 cos ф, х = г sin0 sin q>, 2 = rcos8, B5.7)
где 0 есть угол между осью OZ и радиусом-вектором г, а ф — угол,
отсчитываемый в плоскости ху от оси ОХ.
Несколько громоздкое преобразование формул B5.3) из декар-
декартовой системы координат в сферическую приводит к следующему
результату:
( B5.8)
ly = — ih ( cos ф -~ - ctg б sin ф ^-J, B5.8')
B5.8")
„ B5.9)
2) Исключением является случай М2 = 0, из которого следует М% = М* =

§ 25] ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ \(fl
где ve, ф есть так называемый оператор Лапласа для
сферы
Так как операторы B5.8) и B5.9) действуют только на углы
б, ф, то волновую функцию достаточно рассматривать в зависимости
лишь от этих углов, т. е.
4> = 4>(в, Ф). B5.11)
Уравнение для определения собственных значений оператора Ж2,
согласно B0.2) (полагаем там L = M2, L = M2), будет
M^ = M2i|). B5.12)
Вставляя сюда М2 из B5.9) и обозначая
* = ч?-, B5.13)
мы получим уравнение B5.12) в виде
Это уравнение мы должны решить для всей области переменных
б,ф(О^ б ^ я, 0 ^ ф ^ 2я), причем интересующие нас решения
должны быть конечными, непрерывными и однозначными. Уравне-
Уравнение B5.14) хорошо известно. Это — уравнение для сферических
функций. Подробные сведения об этих функциях и о решении урав-
уравнения B5.14) приведены в дополнении V. Здесь мы ограничимся
лишь кратким резюме.
Оказывается, что решения этого уравнения, удовлетворяющие
поставленным условиям, существуют не при всех значениях Я,
а лишь при
Я = /(/+1), B5.15)
где / — целое положительное число.
При каждом таком значении / имеется 2/ + 1 решений, которые
представляют собой сферические функции. Мы обозначим их так:
Ylm (В, Ф) - ^ЗЕЖЩПЕ рГ (cos 8) е**, B5.16)
где m — целое число, ограниченное следующими значениями:
т = 0, ±1, ±2,..., ±1; / = 0, 1, 2, 3, ... B5.17)
(всего 2/ + 1 значений). Знаком | т | обозначено абсолютное зна-
значение числа /п. Функция P|m| (cos 6) определяется так:
B5.18)

108 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ 1ГЛ. Ill
причем Pi (l) есть так называемый полинем Лежандра
Множитель, стоящий перед Р\т\ выбран так, чтобы ортогональные
функции Yim были, кроме того, и нормированными к единице на
поверхности сферы, т. е.
я 2я
\ \ YpmYim sin 8d8dcp = 6wam*,. B5.20)
о о
(Координаты 0 и ф отмечают точки на поверхности сферы. Эле-
Элемент поверхности сферы единичного радиуса равен sin 0 dd dy.)
Используем теперь эти результаты для нашей задачи. Как уже
было сказано, уравнение B5.14) имеет однозначные и конечные
решения лишь при значениях X = I (I + 1). Поэтому собственные
значения оператора квадрата момента импульса будут
/ = 0, 1, 2, ...,. B5.21)
а соответствующие собственные функции суть
Ьт (в, Ф) = К/« (в, <р). т - 0, ± 1, ..., ± /. B5.22)
Собственному значению М) B5.21) принадлежат всего 21 + 1
собственных функций, отличающихся значением числа т. Таким
образом, мы имеем дело со случаем вырождения (см. § 21). Сущность
этого вырождения легко уяснить себе, если обратить внимание
на то, что собственные функции оператора квадрата момента им-
импульса М2 являются также собственными функциями оператора
проекции момента импульса на ось OZ Мг. В самом деле, уравнение
для собственных функций оператора Мг есть
ад = ад, B5.23)
подставляя сюда Mz из B5.8"), получим
-1ПЦ=МА. B5.23')
Если сюда подставить if/m, то, имея в виду, что i|?/m пропорционально
е'Шф, мы найдем
- ifl • irwptm = Mzyjpim
т. е. уравнение B5.23) удовлетворяется функцией г{?/т, причем соб-
собственные значения оператора Мг равны
Мг = Пту /п = 0, ±1, ..., ±1. B5.24)

§ 25] ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ 109
Отсюда следует, что состояния \|)/т при заданном полном моменте
М\ (дано /), различающиеся индексом т, суть состояния с различ-
различными проекциями момента на ось OZ.
Полученный нами результат показывает, что возможные зна-
значения абсолютной величины момента импульса B5.21) и возможные
значения проекции момента импульса на произвольную ось OZ
B5.24) имеют квантовые значения. Никакие другие значения,
крома приведенных, не могут реализоваться в природе. В состоя-
состояниях, в которых М2 и Мг имеют определенные значения, проекции
Мх и Му не имеют определенных значений (кроме случая / = 0,
когда М2 = Мх = Му = Mz = 0). Действительно функции B5.22)
не являются собственными функциями операторов Мх и Му B5.8),
в чем^можно убедиться непосредственно. Это же вытекает из неком-
некоммутативности МХу Му, Мг.
Разумеется, что возможные значения Мх и Му таковы же, как
и Mz B5.24), ибо направление OZ ничем не выделено, и чтобы убе-
убедиться в справедливости нашего утверждения, достаточно пред-
представить себе, что ось ОХ или OY принята за полярную ось. Поэтому,
если мы будем измерять Мх или Муу то мы получим всегда одно
из значений Нт (т = 0, ± 1, db 2, \.., ± /), но при этом возникает
новое состояние с определенным значением, скажем, Мх. Это
состояние * будет состоянием с неопределенными Му и Ме, т.е.
одновременные измерения компонент момента импульса взаимно
исключаются: измерение одной компоненты делает неопределен-
неопределенным значение другой.
Обратим внимание читателя на некоторые свойства симметрии
собственных функций операторов момента количества движения.
Произведём операцию замены координат х, у, z на —х> —у, —z,
соответственно (отражение от начала координат), которая назы-
называется операцией инверсии. В~ сферических координатах это
означает замену координат г, в • <р на г, л; — б, ф + я соответствен-
соответственно. При таком преобразовании координат ег'тф переходит в^'т(ф+я)=
- (-iyV*<P, a P\ml (cos9) в Piml(-cos8) = (— \y+\m\.pf\ (cose)
(см. B5.18), B5.19)).
Таким образом, Ylm (в, ф) -переходит Ъ (— l)lYlm(B, ф), т. е.
умножается на (—1)', независимо от значения т. Иначе говоря,
операция инверсии приводит к умножению волновой функции
на +1 при четном / и на —1 при нечетном.
Состояния с (—1)' = + 1 (/ — четное) называются четными,
или обладающими положительной четностью, состояния с (—1)/ =
= —1 (/ — нечетные) нечетными, или обладающими отри-
отрицательной четностью.
Отметим, что понятие четности состояний является более
общим, нежели четность состояния с заданным моментом количества
Движения (см. § 107).

ПО ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
§ 26. Оператор энергии и функции Гамильтона
а) Оператор кинетической энергии Т. Опыт показывает, что
кинетическая энергия микрочастиц связана с импульсом таким же
образом, как и для макроскопических тел *), т. е. кинетическая
энергия Т частицы, имеющей массу |х и импульс р, равна
7 = |[ = ^№М-рИ-р2). B6.1)
акт заставляет написать оператор кинетической э
в виде
Этот факт заставляет написать оператор кинетической энергии
в виде
Подставляя сюда значение операторов Р*, Ру, Рг из B4.1), находим
f = -|Lv2, B6.2')
где V2 есть оператора Лапласа (^2 = д^2 +"g~2 + 5*2) • В СИЛУ та"
кого выбора оператора Т его собственные значения Т равны B6.1),
если под рХу рг, ру понимать собственные значения операторов
импульса Pxt Ру, Pz.
В самом деле, уравнение для собственных функций г|> (л:, у, z)
оператора t есть
7Н|> = Гф. B6.3)
Ему удовлетворяет функция, представляющая плоскую волну
де Бройля
Эта же функция является собственной функцией операторов импуль-
импульса, так что кинетическая энергия Т измерима одновременно с им-
импульсами рХу ру, рг (разумеется^ операторы Г, Рх, Руу Рг комму-
коммутируют между собой). Оператор t может быть легко написан в любой
криволинейной системе координат. Для этого достаточно написать
оператор Лапласа V2 в соответствующей системе координат. В част-
частности, в сферической системе координат оператор V2 имеет вид
)->. см»
где Ve<p следует взять из B5.10).
*) Это обстоятельство в сущности уже использовано в основных соотноше-
соотношениях де Бройля (см. § 7).

§261 ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ И ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА 1Ц
Подставляя v2 из B6.5) в B6.2') и имея в виду B5.9), мы полу-
получим
f f + B6-6)
где М2 есть оператор квадрата момента импульса, а Тг есть
f *L 1 д
Оператор fr может рассматриваться как оператор кинетической
энергии, соответстйующей движению по радиусу-вектору, а оператор
м2
%-^ — как оператор кинетической энергии трансверсального дви-
движения1).
б) Оператор полной энергии Я. Заметим сначала, что оператор
потенциальной энергии U, поскольку последняя есть функция
только координат частицы х, у, г, есть просто U (лс, у, г). В класси-
классической механике полная энергия есть сумма потенциальной и кине-
кинетической энергии.
Подобным же образом и в квантовой механике оператор, изобра-
изображающий полную энергию, есть сумма операторов кинетической
и потенциальной энергий, т. е.
А = Т+О(х,у,г). B6.8)
Вид потенциальной энергии 0 (х, у, г) так же, как и в классиче-
классической механике, заимствуется из опыта и характеризует силовое
поле, действующее на частицу»
Заметим, что в квантовой механике нельзя сказать, что полная
энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергий. Кине-
Кинетическая энергия есть функция импульсов, а потенциальная —
функция координат.
Как мы знаем, не существует таких состояний квантовых ансамб-
ансамблей, в которых частицы имели бы одновременно определенные им-
импульсы и координаты.
Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя
порознь ее кинетическую и потенциальную энергии 2).
Полная энергия должна измеряться непосредственно как одно
целое. Возможные значения полной энергии частицы зависят
*) Формула B6.6) вполне отвечает представлению кинетической энергии
в классической механике в виде
( ц
где рг — проекция импульса на радиус-вектор г.
2) Операторы t и 0, разумеется, не коммутируют, в чем легко ^убедиться,
пользуясь правилом перестановки B4.4). Отсюда следует, что f и 0 не могут
быть определены одновременно для одного и того же состояния г|з.

П2 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
от вида U (х, у, г), т. е. от рода частицы и от силового поля, в кото-
котором она движется. Нахождение этих значений составляет одну
из важнейших задач квантовой механики и будет рассмотрено позже.
Полную энергию, выраженную через импульсы и координаты,
в классической механике называют функцией Гамильтона. Опера-
Оператор кинетической энергии Г у нас выражен через операторы им-
импульса (через B6.2)), поэтому оператор Н мы будем также назы-
называть оператором функции Гамильтона или корот-
коротко — гамильтонианом.
§ 27. Гамильтониан
Понятие функции Гамильтона может быть распространено также
и на неконсервативные системы. Поэтому оно является несколько
более общим, чем понятие механической энергии.
В классической механике существуют простые правила для напи-
написания функции Гамильтона. Ее вид определяется природой меха-
механической системы, т. е. природой частиц и их взаимодействием
между собой и с внешним полем. Зная эту функцию Гамильтона,
можно легко найти уравнения движения в произвольной системе
координат.
Подобные же правила для написания оператора функции Га-
Гамильтона — гамильтониана — имеются и в квантовой механике.
Мы ограничимся пока рассмотрением движения одной частицы
во внешнем поле и только позднее (§ 102) рассмотрим гамильтониан
для системы частиц.
Следует различать два важных случая: когда силы не зависят
от скорости частицы и когда они зависят от нее. В первом случае
сила F является функцией только координат частицы и времени
и может быть представлена как градиент некоторой функции
U (х, у, г), которую мы назовем силовой функцией1):
F= -Vt/(*, у, г, t). B7.1)
Если силы не зависят от времени, то U (ху //, г) есть не что иное,
как потенциальная энергия частицы. В этом случае функция Га-
Гамильтона совпадает с полной энергией частицы и равна
Т -\-U(x,yy z). Соответствующий гамильтониан есть B6.8) и со-
совпадает с оператором полной энергии. В более общем случае
функция Гамильтона есть сумма кинетической энергии Т и си-
силовой функции U : Н — Т + U (х, у, z, f). Так как U не является
*) Чаще в механике под силовой функцией понимают — U. Заметим еще,
что, представляя силу как градиент от U, мы исключаем вихревые поля (слу-
(случай, когда rot F Ф 0). Однако такого рода силы, не зависящие от скорости,
в механике микрочастиц неизвестны.

§271 ГАМИЛЬТОНИАН ИЗ
теперь потенциальной энергией, то и Я не есть полная энергия
системы.
В полной аналогии с классическим выражением функции Га-
Гамильтона гамильтониан напишется в квантовой механике для этого
случая в виде
H = t + U(x, у, г, /), B7.2)
где U — силовая функция.
Остается рассмотреть случай сил, зависящих от скорости частицы.
В микромире единственными известными силами такого рода
являются силы, возникающие в электромагнитном поле (сила Ло-
Лоренца). Поэтому достаточно рассмотреть гамильтониан для движе-
движения заряженной частицы (заряд е, масса \i) в произвольном электро-
электромагнитном поле.
Как известно из теории поля, произвольное электромагнитное
поле может быть описано с помощью скалярного потенциала V
и векторного потенциала А, причем
S^-VV-i^. B7.3)
Ж = rot A, B7.4)
где 8 — напряженность электрического поля, <№' — напряженность
магнитного поля.
Классическая функция Гамильтона Я, приводящая к правиль-
правильным уравнениям движения в электромагнитном поле, имеет вид
где р (p.v, ру9 ру) есть вектор обобщенного импульса (так что
p — ~A = (.iv, где V —скорость частицы, но p^jiv!) К
Оказывается, что в квантовой механике мы получаем правиль-
правильный гамильтониан, если под р будем понимать оператор импульса
Р — — /feV, т. е. оператор Гамильтона для этого случая есть
Если помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы,
описываемые силовой функцией V, то общим выражением для
гамильтониана будет
^{J B7.7)
!) См. дополнение VI.

114 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
г к ? \2
Раскроем теперь в явном виде оператор [Р А) . Имеем
(-; А,)'. B7.8)
По определению произведения операторов
= Р1-есРхАх-ес
Далее, на основании B4.4) имеем
поэтому
[px-l-
Повторяя вычисления для остальных двух членов в B7.8) и скла-
складывая результаты, находим
Оператор функции Гамильтона или энергии, как следует из
изложенного в этом и предыдущем параграфах, определяется двумя
обстоятельствами: 1) природой частицы (в общем случае — системы
частиц, ср. § 102) и 2) природой действующих на нее полей.
Этот оператор является основным для механики, так как, выби-
выбирая его, мы в сущности формулируем на математическом языке
все особенности той системы, с которой мы намерены иметь дело.
В частности, число независимых переменных, входящих в гамиль-
гамильтониан, по определению равно числу степеней свободы нашей системы.
Успех решения задачи, в смысле согласия выводов теории с опы-
опытом уже предопределяется тем, насколько основательно выбран
гамильтониан (все ли важные взаимодействия учтены!).
Обычно в качестве независимых переменных в гамильтониане
берут декартовы координаты частицы, так как именно при этом
выборе переменных операторы взаимодействий (например, потен-
потенциальная энергия) выражаются наиболее просто (числом), а опера-
оператор кинетической энергии — сравнительно простым дифференциаль-
дифференциальным оператором второго порядка. Однако возможны и другие выборы
независимых переменных х).
Чтобы получить выражение гамильтониана в произвольной кри-
криволинейной системе координатор Цч-> <7з> достаточно преобразовать
*) Если частица обладает «спином» (ср. §§ 58, 59, 60), то наряду с коорди-
координатами в гамильтониан входит спиновая переменная.

§271 ГАМИЛЬТОНИАН 115
полученный нами для декартовой системы координат гамильтониан
в эту систему, следуя обычным правилам дифференциального исчис-
исчисления. (Пример такого преобразования дает формула B6.5).) Вид
гамильтониана в криволинейной системе координат не находится
в таком простом отношении к классической функции Гамильтона,
какое имеет место в декартовой системе координат (замена р на
оператор Р). Это обстоятельство не является случайным. Декартова
система в квантовой механике выделена среди всех других коор-
координатных систем тем, что в этой системе кинетическая энергия выра-
выражается суммой квадратов компонент импульса рХу руу рг, так что
измерив импульс, мы можем вычислить кинетическую энергию.
В криволинейной системе координат кинетическая энергия выра-
выражается в виде квадратичной функции обобщенных импульсов:
з
7= 2 aik^ ?2' ?з)Р/Рь B7.10)
i,k=\
причем коэффициенты aik являются функциями координат. Изме-
Измерение pk (k = 1, 2, 3) еще не определяет кинетической энергии,
так как нужно еще знать aik. Последние суть функции координат
qf{ (k = 1, 2, 3) и поэтому не могут быть определены одновременно
с импульсами pk. Таким образом, только в декартовой системе
координат измерение импульсов есть в то же время и измерение
кинетической энергии 1).
*) Об уравнениях квантовой механики в криволинейной системе коорди-
координат см. дополнение VII.

Глава IV
ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
§ 28. Уравнение Шредингера
Пусть в какой-нибудь момент времени t = 0 дана волновая
функция \Ъ(х, 0), описывающая состояние ансамбля частиц (бук-
еой х мы обозначаем совокупность всех координат частицы).
С помощью этой волновой функции мы можем вычислять вероят-
вероятность результатов измерения различных механических величин
для момента времени / = 0 в ансамбле частиц, находящихся в со-
состоянии г|) (х, 0). В этом смысле мы говорим, что волновая функ-
функция ар (jc, 0) определяет состояние частицы в момент времени t = Q.
Допустим теперь, что мы намерены произвести измерения не
в момент времени / = 0, а позднее, в момент />>0. За это время
состояние частицы (в общем случае —системы частиц) изменится
и будет изображаться некоторой новой волновой функцией, кото-
которую мы обозначим через я|)(*, /). Как мы знаем, волновая функ-
функция меняется также в результате измерений («редукция волно-
волнового пакета», § 17). Сейчас мы предполагаем, что никаких изме-
измерений в интервале от / = 0 до некоторого момента / не произво-
производится, так что речь идет об изменениях состояния, вызванных
исключительно движением частицы (или системы частиц) самой
по себе, без вмешательства измерительного прибора.
Каким образом в этом случае связаны между собой волновые
функции гр (ху 0) и г|з (х, /)?
Так как волновая функция полностью характеризует чистый
ансамбль, то она должна также определять и его дальнейшее
развитие. Это требование выражает принцип причинности в при-
применении к квантовой механике1). Математически это означает,
2) Мы оставляем открытым вопрос, насколько такая общепринятая форму-
формулировка принципа причинности является единственной. Возможна и такая
постановка вопроса, когда решение не определяется начальными данными,
а выбирается условиями, относящимися и к прошедшему, и к будущему, так
что получается задача на нахождение собственных решений в пространстве и
времени.

§28] УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 117
что из волновой функции г|)(х, 0) для t = 0 должна однозначно
определяться волновая функция г|э (я, /) в более поздние моменты
времени.
Рассмотрим функцию ^ в момент времени Д/, бесконечно близ-
близкий к * = 0. Тогда
Согласно сказанному f ^ ' ) должно определяться из я]) (л:, 0),
где L (*, 0) —некоторая операция, которую следует произвести
над ty (х, 0), чтобы получить (^?)
Так как момент / = 0 взят совершенно произвольно, то будем
иметь
**1Л=1{Хг t)*(x,t). B8.1)
Вид оператора L, который можно называть оператором
смещения во времени, не может быть определен из изло-
изложенных выше положений квантовой механики и должен быть
постулирован.
Согласно принципу суперпозиции состояний этот оператор дол-
должен быть линейным. Далее, оператор L не может содержать ни
производных, ни интегралов по времени. В самом деле, если бы
он содержал первую производную по /, то это означало бы просто,
что оператор L есть не тот оператор, который мы хотим иметь:
оператор L выражает первую производную по / через ^ (х, /).
Если бы он содержал высшие производные по /, то B8.1) озна-
означало бы уравнение для ij; более высокого порядка, чем первый,
и следовательно, для определения состояния в последующие
моменты времени нужно было бы знать при / = 0 не только
г|э (х, 0), но и производные по времени от г)): (с-~\ , K-J) , ...-1),
т. е. волновая функция г[> не определяла бы состояния системы,
что противоречит нашему основному предположению (г|) опреде-
определяет состояние системы). Наличие интеграла по / означало бы,
х) Так, например, уравнение для колебаний струны есть уравнение второго
порядка по времени. Для определения состояния струны в момент / = 0 нужно
знать не только отклонение струны а (х, /) для / = 0, но и скорости ее точек
да (х, t) . п
~it при /==а

118 ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ (ГЛ. IV
что для последующего играет роль значение ij; па целом отрезке
времени, т. е. история процесса. Таким образом, L может содер-
содержать t лишь как параметр.
Уравнение B8.1) позволяет по начальной волновой функции
^ (х, 0) найти функцию г|э (х, t) и тем самым предсказать вероят-
вероятность результатов различных измерений в момент t, в предполо-
предположении, что в интервале от * = 0 до t система не испытывала ника-
никаких дополнительных воздействий, в частности, не подвергалась
измерению.
Изменение волновой функции, имеющее место при измерениях
(«редукция»), не описывается каким-либо дифференциальным урав-
уравнением, а вытекает непосредственно из самого результата измере-
измерения (§ 17).
Правильный выбор оператора L подсказывается рассмотрением
свободного движения с определенным значением импульса р. Вол-
Волновая функция для такого движения есть волна де Бройля
Ъ{х9у, г, /)=^e""^?l"p^"V-V)>
где
p
Непосредственная подстановка показывает, что эта волна удов-
удовлетворяет уравнению
?Ф _ Ln Vhb
dt ~ 2ц v^'
Это последнее уравнение можно переписать в виде
если под оператором Н понимать гамильтониан для свободного
движения частицы
Отсюда следует, что для свободного движения оператор смеще-
смещения во времени L=—f-H.
В квантовой механике делается обобщение этого частного ре-
результата, именно, принимают, что этот оператор смещения L
всегда равен

§281 УРАВНЕНИЕ ШРСДИНГЕРА 119
где Й есть гамильтониан (оператор функции Гамильтона), вид
которого для разных случаев рассмотрен в § 27.
В соответствии с этим постулатом уравнение B8.1) для вол-
волновой функции ij; может быть теперь записано в виде
Лд? = НЦ. B8.3)
Это уравнение носит название уравнения Шредингера.
Оно образует одну из основ квантовой механики 2) и обоснова-
обоснование свое находит не столько в теоретических и исторических
обстоятельствах, приведших к установлению этого уравнения,
сколько в согласии с опытом.
В раскрытом виде уравнение Шредингера B8.3) в отсутствие
магнитного поля, в соответствии со значением оператора Н (см.
B7.2) и B6.2')), имеет вид
/74! =А^ + U(X> »' г> 0* B8.4)
(при наличии магнитного поля следует взять Н из B7.9)).
Наиболее важной особенностью уравнения Шредингера яв-
является наличие мнимой единицы перед производной ~. В клас-
классической физике уравнения первого порядка по времени не имеют
периодических решений —они описывают необратимые процессы,
например, диффузию, теплопроводность2). Благодаря мнимости
коэффициента при Jj- уравнение Шредингера, будучи уравнением
первого порядка по времени, может иметь и периодические ре-
решения.
Связанная с уравнением Шредиигера постановка вопроса
«найти г|;> (л*, /), если дана г|) (х, 0)», имеет смысл лишь в том слу-
случае, если ty(x, 0) может быть однозначно сопоставлено с некото-
некоторыми определенными физическими условиями.
Такое сопоставление не является, однако, тривиальным, так
как волновая функция по самой своей природе является величи-
величиной неизмеримой (напомним, что ip и г|/ = аг|э, где а —любая по-
постоянная, изображают одно и то же состояние).
Измеримыми являются значения механических величин L, М>
N частицы (или системы частиц) и вероятности, с которыми обна-
обнаруживаются эти значения в ансамбле частиц (или систем).
!) Во многих курсах стремятся «вывести» уравнение Шредингера. На самом
деле, это уравнение ниоткуда не выводится, а образует основу новой теории.
Поэтому мы предпочитаем постулировать его, ограничившись приведенными
выше доводами в пользу такого постулата.
2) Конечно, характер решения дифференциального уравнения зависит еще
и от краевых условий. Проводя указанное противопоставление, мы имеем
в виду случаи, когда ни U (х, у, z), ни краевые условия не зависят от времени.

120 ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ БО ВРЕМЕНИ [ГЛ. IV
Поэтому мы могли бы рассчитывать только на то, что по изме-
измерениям вероятностей в ансамбле окажется возможным вычислить
волновую функцию с точностью до несущественного постоянного
множителя. Эта задача вычисления волновой функции по измерен-
измеренным вероятностям в общем случае совсем не является простой,
так как вероятности определяют только | г|э (х) |2 или вообще квад-
квадраты модулей амплитуд \сп2 разложения гЬ (х) по собственным
функциям какого-либо оператора, а фаза \р (х) или сп остается
неопределенной *).
Только в исключительных случаях задача становится простой,
или даже тривиальной.
Например, в § 29 будет показано, что в состояниях, в кото-
которых нет потока частиц, волновая функция действительна. В этих
случаях плотность вероятности w (х) = j ij) (л') |2 = г|г (х) и ^ (х) —
= ±: Vw(x).
Однако вся проблема определения г|) (л', 0) упрощается тем,
что в подавляющем большинстве практически интересных случаев
мы имеем дело с ансамблями частиц, имеющих определенный пол-
полный набор механических переменных L, М, N. Зная их значения
из измерений в момент времени / = 0, можно, пользуясь матема-
математическим аппаратом квантовой механики, вычислить и начальную
волновую функцию.
Действительно, если в момент времени / = 0 измерены значе-
значения L, Mf N этих величин, то мы можем утверждать, что началь-
начальная волновая функция есть общая, собственная функция операто-
операторов L, M, N, принадлежащая собственным значениям2) L> M, N.
На этом пути вся проблема определения волновой функции
сводится к выяснению того, какие величины образуют полный
набор.
Ниже показано, что эти величины должны обладать следую-
следующими свойствами: 1) они одновременно измеримы, 2) число их
равно числу степеней свободы системы, 3) они независимы между
собой.
Имея в виду дальнейшие обобщения, будем считать, что вол-
волновая функция является функцией / переменных (система с/сте-
с/степенями свободы).
Интересующая нас функция есть собственная функция и по-
поэтому принадлежит к полной системе ортогональных функций
в пространстве / измерений.
Каждая такая функция характеризуется / параметрами а, р,
у, ... («номера-) функции).
1) См. теорию рассеяния гл. XIII.
2) Например, если начальное состояние характеризуется заданием импульса
частицы р (в этом случае L=--px, М=ру, А' = рг), то я|г (г, 0) = \|? (х) есть
плоская волна де Бройля, принадлежащая импульсу р.

§ 29] СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ 121
Если такая функция я]^ р, Yl... (х, у, z, ...) есть собственная
функция операторов L, M, N, ..., то собственные значения L,
Му Ny ... будут функциями этих параметров. h\u будем иметь
?фа. р, Y,... == Ма» р, у» • • •) ЧЧ p. y. ...»
Mtya й v = М (а, В, V, . . .) яЬа Bv' . /9ft П
.i»?.... 'i.i.... ч ^о.о;
Эти уравнения совместны, если
т. е. если величины L, Му Л/,... одновременно измеримы. Далее,
чтобы определить по измеренным L, M, Ny ... параметры а, р,
у, ..., нужно решить / таких уравнений:
L=L(a, p,Y,...), Л1=Л1(а, р, у, ...), 7V=,V (a, p, Y, ...)-.., B8.7)
при этом ни одно из них не должно быть следствием другого,
т. е. величины L, М, N, ... должны быть независимыми1).
§ 29. Сохранение числа частиц
Из уравнения Шредингера можно получить закон сохранения
числа частиц, выражаемый уравнением непрерывности
^•_l (iiv i - о 729 1)
где w — средняя плотность числа частиц в точке л*, у} г, а j —
средняя плотность потока частиц.
Для того чтобы получить это уравнение, возьмем уравнение
Шредингера сначала для простого случая потенциальных сил B8.4)
Уравнение для комплексно сопряженной функции будет
^ | B9.2')
Умножая уравнение B9.2) на i|>*, а B9.2') на ф и вычитая вто-
второе уравнение из первого, получим
~dt ~*~ ^ ~с
*) Эти параметры могут быть непрерывными или дискретными. В про-
простейшем случае разделяющихся переменных такая функция имеет вид
Ни. |i, Y, ... (*, у, г) = иа (х) с,5 (у) мУу (г) ....

122 ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ [ГЛ. IV
Это равенство может быть переписано в виде
(W*) = % div WV* - W)- B9-3)
j? есть плотность вероятности w:
w = $*¦$. B9.4)
Если через j обозначить вектор
~№-ГШ B9.5)
то уравнение B9.3) запишется в форме
J + divj = O. B9.6)
Отсюда следует, что вектор j есть вектор плотности
тока вероятности. Уравнение B9.6) получает более нагляд-
наглядное толкование, если заметить, что w=-- i|)*i]) может рассматри-
рассматриваться так же, как средняя плотность частиц. Тогда j следует
рассматривать как средний поток частиц через площадь в 1 см2
в 1 сек. В соответствии с этим уравнение B9.6) нужно толковать
как закон сохранения числа частиц. В частности, ин-
интегрируя B9.6) по некоторому конечному объему V и применяя
теорему Гаусса, получаем
= - J div jdv = - $ jnds, B9.7)
где последний интеграл взят по поверхности S, охватывающей
объем V. Распространяя интегрирование по всему пространству
A/-^со) и имея в виду, что волновые функции г|э, а вместе с тем
и плотность тока j обращаются на бесконечно удаленной поверх-
поверхности в нуль1), мы находим
?$>4>do = 0, B9.8)
т. е. полная вероятность найти частицу где-либо в пространстве
не зависит от времени. Следовательно, число частиц остается
неизменным. Вместе с тем B9.8) утверждает, что нормировка вол-
волновых функций не меняется с течением времени, положение, о ко-
котором мы уже упоминали в § 10.
2) В случае, когда функции г|э неинтегрируемы, интеграл \jnds может и
не обратиться и нуль даже по бесконечно удаленной поверхности. Физически
это означает существование потока частиц из бесконечности или в беско-
бесконечность.

§ 291 СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ 123
Умножим j и w на массу частицы |i:
B9.9)
Тогда pJL имеет смысл средней плотности вещества (массы), a j\t —
средней плотности тока вещества (массы). Из B9.6) следует, что
эти величины подчиняются уравнению непрерывности
~4divjV = O, B9.10)
т. е. изменение массы в некоторой бесконечно малой области обу-
обусловлено втеканием или вытеканием этой массы через поверхность,
ограничивающую эту область.
Подобным же образом, умножая w и j на заряд частицы е,
получим среднюю плотность электрического заряда и среднюю
плотность электрического тока:
Pe = ew = e\y\*, ie-^mr'-VW, B9.11)
для которых опять-таки получается уравнение непрерывности
^. + divjc = O. B9.12)
Уравнения B9.10) и B9.12) выражают закон сохранения массы
и заряда в квантовой механике.
Если представить волновую функцию ty в виде
q = ueiQy B9.13)
где и — действительная амплитуда, а 0 —действительная фаза,
то подстановка B9.13) в B9.5) дает
j = 1 и2Ув. B9.5')
Так как и2 есть плотность ш, то величина — V0 может быть ис-
истолкована как средняя скорость в точке х, у> z\
v = ?v0, B9.14)
а величина — 0 — как потенциал скорости.
Из формулы B9.5') с особой ясностью видно, что плотность
тока j отлична от нуля лишь в том случае, когда состояние опи-
описывается комплексной функцией ty.
При наличии магнитного поля 3W, описываемого вектором-по-
тенииалом А (<?# = rot А), формула для плотности тока j должна

124 ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ [ГЛ. IV
быть видоизменена1). Именно, при наличии магнитного поля
вместо B9.5) получается выражение для плотности тока:
* - г|>*Щ] - ?¦ Аг|>*г|>. B9.5")
Чтобы получить это выражение, следует подставить в уравнение
Шредингера B8.3) гамильтониан B7.9) для движения в произ-
произвольном электромагнитном поле. Производя эту подстановку,
находим уравнение Шредингера для этого случая:
B9.15)
и для сопряженной функции
е-
Умножим опять первое уравнение на -ф*, а второе на гр и
вычтем второй результат из первого. Тогда получается
Выражение в фигурных скобках может быть преобразовано сле-
следующим образом:
div Аф*г|5 + A(\|5*V\|j + \|)V\|)*)=-div A\|)*i|) + AV(\|5*t|0 = div (Аг|)*г|5).
Подставляя этот результат в предыдущее выражение и деля на ih,
получаем
Щ^ + div {| №Г - Г^] - ~ АфЧ} = 0. B9.17)
Это и есть уравнение непрерывности при наличии магнитного
поля, описываемого вектором-потенциалом А. Выражение в фигур-
фигурных скобках должно быть плотностью тока j; оно совпадает
с B9.5").
Справедливость уравнения непрерывности теснейшим образом
связана с самосопряженностью гамильтониана Н. Это свойство
гамильтониана было неявно использовано нами при выводе B9.5)
1) Видоизменение обусловлено тем, что при наличии магнитного поля опе-
операторы Ял., Руу Яz суть операторы обобщенного импульса, а не обычного (про-
(произведение массы на скорость). Так же обстоит дело и в классической меха-
механике. (Ср. дополнение VI, формула A0').)

§ 301 СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 125
и B9.17). В дополнении VIII более подробно рассмотрена эта
сторона дела и показано, каким образом из требования самосо-
самосопряженности оператора Н вытекают требования к поведению вол-
волновой функции в особых точках (§ 20), обеспечивающие спра-
справедливость уравнения непрерывности во всем пространстве.
§ 30. Стационарные состояния
В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан Н не
зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии
Н(х). В этом случае уравнение Шредингера
t t) (ЗОЛ)
'Х C0-5)
имеет важные решения, получающиеся путем разделения перемен-
переменных х и U
яКдг, 0 = !>(*)/('). C0.2)
Подставляя C0.2) в C0.1) и обозначая постоянную разделения
переменных через ?, мы получаем
'*! = ?/. (зо.з)
Н(х)Ц(х) = ЕЦ(х). C0.4)
Первое уравнение решается сразу:
/ @ = const-
Что же касается второго уравнения, то, как видно, оно совпадает
с уравнением для собственных функций оператора энергии *) Н.
Если обозначить эти функции через tyn (х)9 а собственные значе-
значения через Еп (для определенности мы берем случаи дискретного
спектра энергии), то окончательное решение C0.2) запишется
в виде
Ы*. 0 = Ы*)<? h • C0.6)
Отсюда следует, что состояния с определенным значением энергии
Е., ((Д?J = О) гармонически зависят от времени с частотой, равной
«„ = %. C0.7)
1) Уравнение C0.4) получается из общего уравнения B0.2), если там по-
положить L = H, L = E.

126 ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ [ГЛ. IV
Этот результат распространяет соотношение де Бройля ? = Йсо,
применявшееся первоначально к свободному движению, на любые
системы.
Состояние C0.6) с определенным значением энергии по при-
причинам, которые сейчас выяснятся, называют стационарным.
Уравнение же C0.4) называют уравнением Шредингера
для стационарных состояний. В силу линейности урав-
уравнения C0.1) его общее решение г|)(лг, /) может быть представлено
как суперпозиция стационарных состояний с произвольными, но
постоянными амплитудами, именно,
У(х, 0 = ZwM*)e Л • C0.8)
Амплитуды сп определяются через начальную функцию \|з (*, 0).
В самом деле, в силу ортогональности функций г|эл имеем
ся = \у(х, 0)ift(x)dx. C0.9)
Вычислим теперь вероятность местоположения частицы wn (x> t)
и плотность тока вероятности \п (х, t) в /г-м стационарном состоя-
состоянии. Согласно B9.4) и B9.5) имеем
wn(x, t) = \
ln(x, 0 = ^{Ы*
Подставляя сюда tyn(x> t) из C0.6), находим, что
wn(x, t) = wn(x, 0), C0.10)
U(x, t) = }n(x, 0), C0.11)
т. е. в стационарных состояниях вероятность местоположе-
местоположения частицы и плотность тока вероятности не зависят от
времени.
Отсюда же (имея в виду B9.11)) следует, что в этих состоя-
состояниях средняя плотность электрических зарядов ре и средняя плот-
плотность электрических токов ]е не зависят от времени.
Таким образом, система, находящаяся в состоянии с опреде-
определенной энергией ?п((А?J = 0), представляет собой систему ста-
статически распределенных зарядов и постоянных токов.
Характеристика стационарных состояний будет более полной,
если мы обратим внимание читателя на то, что в стационарных
состояниях вероятность w (L) нахождения какого-нибудь значе-
значения L любой механической величины (не зависящей явно от вре-
времени) не зависит от времени. Вместе с тем и среднее значение L
является постоянным. Для доказательства этого положения

§ 301 СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 127
воспользуемся формулой B2.14)
w(L) = \c(L)\\
где c(L) есть амплитуда в разложении я|? (л:, /) по собственным
функциям %. (х) оператора L, представляющего величину L. Со-
Согласно B1.16) имеем для стационарного состояния ^п(ху t) C0.6)
\%(x, t)dx = e h ^t(x)%(x)dx
и, следовательно,
w (L) =! с (L) i2 = | \ 4>2 (x) ^rt (x) dx f = const. C0.12)

Глава V
ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ
МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
§ 31. Производные операторов по времени
Уравнение Шредингера позволяет установить простые правила,
следуя которым можно вычислить изменение среднего значения
той или иной механической величины за бесконечно малый про-
промежуток времени, иными словами, вычислить производную по вре-
времени -77 L от среднего значения L некоторой величины L.
Физический смысл этой производной таков. Допустим, что
в момент времени t имеется микросистема, описываемая волновой
функцией г|)(х, /). Произведем измерения величины L в этом со-
состоянии. Мы получим результаты отдельных измерений L', L",
L"\ ... Среднее из большого числа измерений будет L (t) и вычис-
вычисляется по форлуле
Z @ = №*(*, t)U?ix, t) dx. C1.1)
Другую серию наблюдений мы проведем в момент времени
/' = / + Д/, близкий к t. Мы получим новую серию результатов.
Выполнение двух серий измерений в момент t и момент t + At
следует представлять себе следующим образом. Имеется ансамбль
из большого числа N независимых экземпляров микросистем, на-
находящихся в состоянии ty (Xj t). Мы разбиваем N на две большие
группы N' и N". В момент t мы производим измерения в первой
группе частиц N' и получаем L (/), при этом состояние этих микро-
микросистем, вообще говоря, изменится, и оно уже больше не описы-
описывается функцией if (.v, /). Затем в момент / + Д/ мы произведем
измерения в группе микросистем N\ не тронутых первым измере-
измерением. Из этих измерений и получается новое среднее L(t4-At),
которое, вообще говоря, будет другим, так как за время Д/ со-
состояние, описываемое г|) (х> /), изменится и те же результаты L',
L", L'\ ... будут получаться с иной степенью вероятности. Кроме
того, может случиться, что сама величина L явно зависит от вре-

§ 31] ПРОИЗВОДНЫЕ ОПЕРАТОРОВ ПО ВРЕМЕНИ 129
мени, так что и возможные значения Z/, L", L'", ... будут изме-
изменяться с течением времени. Обозначим средний результат изме-
измерений в момент t-\-At через L(t-\-At)f тогда
d (Р
dt{) ду0
Вычислим эту производную. Дифференцируя C1.1) по времени,
получаем
§=lr%*dx+\°g.L*dx+lri.%dx. C1.3)
Очевидно, что первый член есть среднее значение -^т и равен нулю,
если L явно не зависит от времени. Два последних члена мы
упростим, пользуясь уравнением Шредингера B8.3). Именно, из
B8.3) имеем
dt - ih nv> dt - ihn
Подставляя эти выражения в C1.3), найдем
Первый интеграл преобразуем, пользуясь самосопряженностью
оператора Й. Обозначая -ф* = af, /д|) = и2, на основании свойства
самосопряженности A8.7) получаем
$ (Я*Ч|)*) (Lip) dx = ^ игН*\хХ dx = \ u*Huz dx = '
Подставляя это в выражение для -^-, находим
Введем обозначение
[Я, L] = ~ {LH-HL). C1.5)
Оператор r^(LH-HL) будем называть квантовой скобкой
Пуассона1). Введенное обозначение позволяет написать C1.4)
ь форме
§§[ГГ]. C1.6)
Мы видим, что производная по времени от среднего значе-
значения Z есть среднее от некоторой величины, изображенной
х) Эта терминология заимствована из классической механики. См. допол-
VI, формулу D).
П 1Л KnAVMUl.Q

130 ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. V
оператором
Поэтому этот оператор следует принять за оператор dk производ-
dl dt
ной по времени -г- от величины L, изображаемой оператором L:
Это определение оператора, изображающего производную по вре-
времени -г-, ведет к тому, что
? §$*'§^ C1.8)
т. е. производная по времени от среднего равна среднему от про-
производной по времени.
Если величина L не зависит от времени явно, то формулы
C1.6) и C1.7) упрощаются:
§ = [Я, ?], C1.9)
§ = [#, L]. C1.10)
В заключение обратим внимание читателя на то, что при вычис-
вычислении оператора производной по времени от произведения или
от суммы операторов с квантовой скобкой Пуассона можно обра-
обращаться как с обычной производной (соблюдая, однако, порядок
сомножителей). Действительно, нетрудно видеть, что если L —
= Л + 5, то
§ 5H^ + f, C1.11)
и если L = AB, то
f = [Я, АВ] = [Й, А]В + А[Н, В] = ^? + Л^-. C1.12)
§ 32. Уравнения движения в квантовой механике.
Теоремы Эренфеста
Найдем теперь законы изменения импульсов и координат с те-
течением времени.
Импульсы и координаты являются величинами, не зависящими
явно от времени. Поэтому, согласно C1.10), операторы производ-

§ 32] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ЭРЕНФЕСТА 131
ных этих величин по времени выражаются просто через кванто-
квантовые скобки Пуассона, т. е. в конечном счете через операторы
самих этих величин и гамильтониан Я, характеризующий рас-
рассматриваемую механическую систему.
Обозначим операторы декартовых координат х, у, z и соот-
соответствующих импульсов рх, руу pz соответственно через X, У, Z
и Рх, Ру, Pz1)- Гамильтониан Н будет функцией этих операторов
и, вообще говоря, времени /:
Н = Н(РХ1 Ру, Р2У Ху У, Z, /). C2.1)
A Y AV А 7
Обозначим далее через -jf,~df>-jf операторы производных
координат по времени, т. е. операторы проекций скорости на оси
координат, а через —^, -^, -^— — операторы производных про-
проекций импульса по времени.
Подставляя в C1.10) вместо L операторы Ху У, Z, РЛ, Ру, Д.,
получим искомые операторные уравнения
^ = \Н, Рх], ^ = [Я, РИ], ^ = [W, РА- C2.2')
Эги операторные уравнения вполне аналогичны классическим
уравнениям Гамильтона и поэтому называются квантовыми
уравнениями Гамильтона2).
В классической механике первая группа уравнений (произ-
(производные от координат) устанавливает связь между скоростью и
импульсом, а вторая группа (производные от импульсов) выражает
законы изменения импульса во времени. Такое же значение имеют
и квантовые уравнения Гамильтона. Для того чтобы в этом убе-
убедиться, следует раскрыть явно скобки Пуассона в C2.2) и C2.2').
Ради простоты рассмотрим случай, когда магнитные силы отсут-
отсутствуют. В этом случае гамильтониан имеет вид (см. B7.2))
H = ~(Pl + Pl + Pl)+U(X, У, Z, /). C2.3)
Рассматривая волновую функцию как функцию координат
частицы л*, у, z и времени /, имеем следующие выражения для
') Мы ограничиваемся рассмотрением движения в декартовой системе
К(>Aрдинз1. Об уравнениях в криволинейной системе координат см. дополне-
lJ) Ср. дополнение VI, уравнение E).

132 ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. V
операторов:
} C2-4)
dX
Вычислим теперь оператор -^-. Имеем
[Я, Х] = ±(ХЙ-НХ) = ^(ХРХ-РХХ)9 C2.5)
так как X коммутирует с А„ /¦>,, U (х, //, г, /). Правило пере-
перестановки операторов X и Рх B4.2) дает
РХХ - Рх (РХХ) = РЛ. (X Av - *'#) - (РХХ) Рх - *#Р v =
= (XAv - Щ Рх - tf;Px = ХР^ - 2ihPx. C2.6)
Подставляя это выражение в C2.5), находим
[Н, Х]^1-Рх. C2.7)
Для //, г, очевидно, получим аналогичный результат; поэтому
jy р /-/V Р //7 Р
~df-~v> dt ~"\Т > ~df~~\i> V'°}
т. е. оператор скорости равен оператору импульса, деленному на
мпссу частицы \i. Иными словами, связь между операторами ско-
скорости и импульса такова же, как и связь между соответствую-
соответствующими величинами в классической механике.
dP
Найдем теперь оператор -—-. Из C2.2') и B4.4) имеем
[Й, Рх] = !а (P,V-UPX)=-Z, C2.9)
П Г
- иг
dU
ду*
) \
dPz
w =
dU
дх
т. е.
dPx__ OU dP1__dU dP, _____d(J /Q9 im
dt ~~ dx1 dt ~ ^' i<*t ~~ ^' \o—iv)
dU dU dU
— 17, — 1 ¦ у — -f суть не что иное, как операторы про-
е к ц и и силы 2). Так что C2.10) можно переписать также в виде
о C2.11)
JjLp ^F -hF
dt ~ •Vf dt ~l '•>* dt "Гг'
т. е. оператор производной по времени от импульса равен опе-
оператору силы. Поэтому C2.10) можно рассматривать как уравне-
уравнения Ньютона в операторной форме.
1) Эти операторы являются попросту функциями координат.

§ 33] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 133
т- dx do*-
Ьсли мы вычислим среднее значение от величин -тт, -~ и т. д.
r dt * at
в каком-нибудь состоянии я|), то из C2.8) и C2.10) на основании
C1.8) получаем
f 57 ! C2ЛЗ)
и т. д. Иначе говоря, производная по времени от средней коорди-
координаты л* равна среднему импульсу, деленному на массу частицы,
и производная от среднего импульса рх равна средней силе Fx.
В раскрытой форме равенства C2.12) и C2.13) имеют вид
J **jn|? dx - у J i|>* Pxyp dx, C2.12')
4f S VP^dx = - jj r§V*. C2.13')
Они носят название теорем Эренфеста. Дифференцируя
C2.12) по времени и исключая из C2.12) и C2.13) -^-(Д*), полу-
получим квантовое уравнение Ньютона
д-х ди
<32Л4>
§ 33. Интегралы двил^ения
В квантовой механике мы имеем те же интегралы движения,
чго и в классической. Величина L будет интегралом движения,
если
CVoooiii интерес представляет случай, когда величина L не зави-
зависит явно от времени; тогда вместо C3.1) имеем
f = [A,L]sO, C3.2)
т. с. для интегралов движения (не зависящих явно от времени)
квантовая скобка Пуассона равна нулю.
Так как |//, L] определяется коммутатором оператора! и опе-
оператора Гамильтона, то всякая величина L, не зависящая явно
от времени, будет интегралом движения, если ее оператор коммути-
]\\ет с оператором Гамильтона.

134 ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. V
Из формул C3.1) и C3.2) следует, что среднее значение инте-
интегралов движения не зависит от времени
-^ (Z) = 0. C3.3)
Покажем теперь, что и вероятность w (Ln, t) найти в момент
времени / какое-нибудь значение интеграла движения, равное,
скажем, Ln, не зависит от времени1).
Так как операторы L и Н коммутируют, то они имеют общие
собственные функции 1|)я(х):
iA|>rt = LA, C3-4)
# = ?яфл. C3.4')
Разложим произвольное состояние if (xy t) по собственным функ-
функциям урп. Эти функции суть функции стационарных состояний,
поэтому (ср. C0.8))
или
ty (*, t)=^^cn (/) % (х), C3.6)
где
сп @ - сле~' ~/Г - сл @) е" *'Л'" • C3.7)
Разложение C3.6) есть разложение я|) (дг, /) по собственнным функ-
функциям оператора L, поэтому
w (Ln, t) = \cn (t) \2 = \Cn @) |2 = const. C3.8)
Вид интегралов движения зависит от рода силового поля, в котором
движется частица. Для свободного движения силовая функция
U (x,y1z,t)=0 и гамильтониан будет равен
H = f = ±(Pl+Pi+Pi). C3.9)
Как и в классической механике, в этом случае интегралом дви-
движения, т. е. сохраняющейся величиной, является импульс, действи-
действительно,
[Я, РХ] = [Й9 РУ] = [Н, А,] = 0, C3.10)
т. е.
-Jr = o, ^г-о, ^;: = о. C3-Ц)
Речь идет об интегралах движения, не зависящих явно от времени.

§ 33] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 135
В поле центральной силы имеет место закон площадей — момент
импульса есть интеграл движения. В самом деле, в поле централь-
центральной силы потенциальная энергия U есть функция расстояния
от центра силы: V ==(/ (г). Поэтому для этого случая гамильтониан
Н может быть написан в виде (ср. B6.6))
А.
H = fr+7^ + U(r). C3.12)
Операторы квадрата момента импульса Ж2 и его проекций Мх,
М!/% Mz, согласно B5.8), зависят только от углов 6, ф, поэтому
не действуют на функции от г. Кроме того, оператор At2, входя-
входящий в C3.12), коммутирует с МХу Му и Mz (см. B5.6)). Поэтому
все четыре названных оператора коммутируют с Н C3.12) так,
что
= 0,-^ = 0, C3.13)
[Я,М,] = [Я,М,1 = [Я,М,] = 0, ^ = ^ = ^ = 0. C3.14)
Таким образом, момент импульса в поле центральных сил есть
интеграл движения.
Применим теперь равенство C3.1) к гамильтониану. Полагая
? = //, получаем
4 = ^ +[Я, Я] = 4- C3-15)
Если гамильтониан не зависит явно от времени, то
^§- = 0. C3.16)
Однако в этом случае гамильтониан совпадает с оператором полной
энергии. Поэтому C3.16) выражает тот факт, что полная энергия
и поле сил, не зависящих от времени, есть ишпеграл движения.
Иначе говоря, C3.16) выражает закон сохранения энергии в кван-
квантовой механике.
Согласно изложенным выше свойствам интегралов движения
уравнение C3.16) следует понимать в том смысле, что ни среднее
значение энергии ?, ни вероятности найти отдельные возможные
значения энергии Е = Еп не зависят от времени1).
1) О законе сохранения энергии в квантовой механике см. § 113.

Глава VI
СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
§ 34. Переход от квантовых уравнений к уравнениям Ньютона
Доказанные в § 32 теоремы Эренфеста утверждают, что во вся-
всяком состоянии i|) для среднего значения механических величин
имеет место квантовое уравнение Ньютона х)
Представим себе, что я|) отлично от нуля заметным образом
лишь в очень малой пространственной области Алг. Такое состоя-
состояние мы будем называть волновым пакетом.
Если бы среднее значение х изменялось согласно классическому
уравнению Ньютона и форма» пакета не менялась бы, то движение
пакета |i|)|2 мы могли бы рассматривать как движение материаль-
материальной точки, подчиняющейся ньютоновской механике. Вообще
говоря, такого движения по квантовой механике не получается,
так как, во-первых, волновой пакет расплывается, а, во-вторых,
чтобы движение центра тяжести пакета х совпадало с движением
материальной точки в поле U (х), нужно, чтобы осуществлялось
равенство
%-*&. C4.2,
Последнее равенство, вообще говоря, не имеет места. Рассмот-
Рассмотрим все же подробнее те условия, при которых движение пакета
приближенно совпадает с движением материальной точки. Среднее
значение х координаты х, т. е. координата центра тяжести пакета,
определяется формулой
X = ^*xtydx. C4.3)
г) Мы ограничиваемся одним измерением. Обобщение рассуждений на про*
странственный случай не представляет никакого труда.

§34]
КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА
137
Среднее значение силы есть
Положим х =
, тогда
¦§¦
C4.4)
<34-4')
Допустим, что U (х) — достаточно медленно меняющаяся функция
переменной х в области, где | if> |2 заметным образом отлично
от нуля. Тогда —л% можно разложить в ряд по степеням ?.
Производя это разложение, получим
дх
дх
2!
C4.5)
Но
Поэтому
dU
дх
= ^ Я|5* (X ~ X)
dU(x)
дх
rfx = О,
= (AxJ
дх*
(Дх)
2
Из уравнения C4.1) имеем
d4 dU (х)
C4.6)
C4.7)
^ dt'1 дх 2 дх3 '
Пели силовое поле медленно изменяется в пространстве, то, выбрав
достаточно малую ширину пакета (ДхJ, мы можем в этом уравнении
пренебречь всеми членами, кроме первого. Тогда мы получим
уравнение Ньютона для движения центра тяжести (х) волнового
пакета:
с1Ч dU (х)
дх
И4 7')
которое будет справедливо для того промежутка времени /, для
которого отброшенные в уравнении C4.7) члены малы, т. е. по край-
крайней мере при условии пока
dU (х)
дх
д*Ц (х)
дх3
(ДхJ.
C4.8)

138 СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ [ГЛ. VI
Величина (ДхJ, определяющая размеры пакета, есть функция вре-
времени и, вообще говоря, растет со временем (см. ниже) —пакет
расплывается. Поэтому, если даже неравенство C4.8) выполнено
в начальный момент времени, то, начиная с некоторого момен-
момента /, оно может нарушиться. Но и выполнение неравенства C4.8)
еще не означает, что состояние частиц совпадает с классиче-
классическим1).
Действительно, если взять очень узкий пакет ((АхJ мало), то
средняя потенциальная энергия частицы по квантовой механике
практически равна потенциальной энергии материальной точки,
находящейся в центре волнового пакета:
U = \ ty*Uq> dx ^U(x). C4.9)
Но этого нельзя сказать о кинетической энергии Т. Действительно,
--&. C4.10)
2fi
В силу соотношения Гайзеиберга
4 (АхJ
поэтому в C4.10) первый квантовый член может оказаться гораздо
больше классической энергии частицы, движущейся с импульсом р.
Квантовым членом в C4.10) можно пренебречь, если
НЛ1| p2>-JL C4.11)
Таким образом, движение частицы можно считать происходящим
по законам классической механики в течение времени /, если
в течение этого времени можно одновременно удовлетворить нера-
неравенствам C4.8) и C4.11).
Одновременному удовлетворению обоих этих неравенств благо-
благоприятствуют следующие обстоятельства: 1) большая кинетическая
энергия частицы 7, 2) поле U (х) представляет собой медленно
меняющуюся функцию координат х.
Таким образом, переход от квантовых уравнений движения
к ньютоновским получается при переходе к большим кинетическим
энергиям частиц и плавно меняющимся полям.
х) Для всох функций U (х) вида: U -— a -f-bx-f-о;2, как следует из C4.7),
движение центра тяжести пакета точно совпадает с классическим движением
материальной точки в поле U (х). К числу таких случаев относятся: а) свобод-
свободное движение, в) движение в однородном поле, с) гармонический осциллятор
и некоторые другие (например, в однородном магнитном поле получаются те же
результаты, что и для осциллятора).

§ 34J КВАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА 139
Рассмотрим теперь рясплывание пакета для свободного движения частицы.
Среднее квадратичное отклонение (АхJ есть среднее от величины
(AjcJ = jc2 — <x2,
где х — координата центра пакета. Согласно C4.7) имеем
-dj = v, x = vt + xOt C4.12)
т. е. центр пакета движется инерциально со скоростью v. Производные вели-
величины (АхJ по времени вычисляются по общей формуле C1.7). Полагая там
L — (Да*J, находим
и так как для свободного движения оператор Н — тр~ Р2, то1)
р 2"!^ 1 ГЛ2 ol _ * /2А2 А2 о\ ХР-Р
^Иу Х* 2jT L * ^^ ^ JI7F ^2р2~ р2л'2/ = —ц
Таким образом, оператор —Ч~г~ равен
d(AxJ _ хР + Рх _ dx2 __xP + Px
dt "~ (i d^ ~ |х
Вычислим теперь вторую производную
— 2vx. C4.13)
rfa(A*)a_ д (d(Axy~\ Г^ d_(AxJ] _ _ <№ Гл, хР + ^1
с/Г- ~ dt [ dt y^L ' ^5Г"]~ "^"^L ' il J'
т. e.
^(A*J_2fa ^2 2P2
""dT2""- fx2 d/2 -"JI5 ^' (<54Л4)
Взиду того, что Р2 коммутируете Я, все высшие производные от (АхJ равны
нулю. Таким образом, разложение (Ал:J в ряд Тейлора по степеням t имеет вид
Переходя от операторов к средним значениям, получим
~2vx) t + (-^-vAt*, C4.16)
(Дл^1 _ величина, обязательно положительная, поэтому из C4.16) следует, что
(A.vJ с ростом t неограниченно растет (может быть, переходя через минимум),
т. е. пакет расплывается. Во многих случаях (в зависимости от вида 1|>(л;, 0))
х) Во всех дальнейших расчетах пользуемся формулой Рх**хР-~Ш.

140 СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
член с t исчезает. Тогда C4.16) получает особенно простой вид:
[ГЛ. VI
ч\ C4.17)
где (АиJ —среднее квадратичное отклонение скорости:
(АиJ = ^ — v2^&- v*.
Расплывание такого пакета совпадает с растеканием роя частиц в классической
механике, если их начальные положения и скорости распределены около сред-
средх0 xt=x0+vt
Рис. 20. Движение и расплываиие волнового пакета
в отсутствие внешних сил.
них значений с квадратичными отклонениями (А*),-; и (AjJ. Однако в классиче-
классической механике можно взять рой, в котором {Ах)% и (АиJ равны нулю. В кван-
квантовой механике этого сделать нельзя в силу со-
соотношения неопределенностей. Рис. 20 иллюстри-
иллюстрирует сказанное выше о движении и расплывании
волнового пакета.
В качестве приложения теории движения па-
пакета, изложенной в этом параграфе, найдем усло-
условия, при выполнении которых рассеяние частицы в
поле атома можно рассматривать методами клас-
классической механики. Пусть радиус сил взаимодей-
взаимодействия между атомом и проходящей около него ча-
частицей будет а. Ясно, что для того, чтобы можно
было говорить о траектории частицы внутри ато-
атома, необходимо, чтобы размеры волнового пакета
Ал: были много меньше а (рис. 21).
На основании C4.Ю) и C4.11) можно сде-
сделать вывод, что кинетическая энергия частицы
щ?Ьг>-щ!* (так как Ах <а)'При
Рис. 21. Рассеяние ча-
частицы в поле атома.
О — центр атома, а — радиус
действия сил, АА' — траек-
траектория пакета, расплываю-
расплывающегося от ширины Дл: до
ширины Дл:'.
Т =
этом же условии пакет не успевает заметно рас-
расплыться за время прохождения частицы через атом,
. a a-ii
которое по порядку величины равно t = -_r — - -
из
C4.17)
Действительно,
ширение пакета составляет
Ар
следует,
Ах' ?&1
v
что
р
рас-
X—=-— = —г— а; так как при выполнении C4.11)
Ар<р, то Ах' <а.
Радиус действия сил по порядку величины равен радиусу атома а ^
: 10~8 см. Для ос-частицы, с типичной энергией Т = 1 Мэв~ 1,6 • 10~6 эрг,
с = ]/2{ла71 = 4,6- Ю? (масса а-частицы |яа = 6,7- 10~24 г). С другой стороны,

§ 35] УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРЛ II УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 141
ti/a=\ • \0~1Q. Таким образом, для а-частицы уравнение C4.11) выполнено.
Следовательно, рассеяние а-частицы можно рассматривать метбдами классиче-
классической механики (что и было впервые сделано Резерфордом в его знаменитой
теории рассеяния а-частиц). Однако, если а-частица проходит вблизи ядра,
то необходимо учесть действие ядерных сил, для которых сфера действия
а == 10~13 см, fi/a= 1 • 10~14 и уравнение C4.11) не будет выполнено. Поэтому
рассеяние а-частиц ядерными силами нельзя изучать средствами классической
механики.
Для электронов ({^ = 9 • 10~28 г), например, при Т = ЮО эв имеем ре *=
= 5,4 • 10 19, так что ре сравнимо с Н/а, и применять классическую механику
к этому случаю невозможно.
§ 35. Переход от временного уравнения Шредингера
к классическому уравнению Гамильтона — Якоби
В предыдущем параграфе мы установили связь квантовых
уравнений движения с уравнениями Ньютона и тем самым —
связь квантовой механики с классической. Эта связь может быть
обнаружена еще другим способом: можно показать, что класси-
классическое уравнение Гамильтона — Якоби является предельным слу-
случаем временного уравнения Шредингера. Чтобы доказать это,
напомним сначала уравнения Гамильтона —Якоби. Для простоты
ограничимся рассмотрением движения одной частицы массы \i
в потенциальном поле U (х, у, г, /). Уравнение Гамильтона —
Якоби пишется для функции действия So (х, у, г, t), которая
обладает тем свойством, что
где рх, рУу pz — проекции импульса частицы на оси коорди-
координат. Само уравнение Гамильтона— Якоби для рассматриваемого
случая имеет вид
Так как функция Гамильтона Н (рХ9 руу рг, х, у, г, /) равна
//(Av, РУ, pz, х, у, г, t) = ~{p\ + pl + p\) + U {х, у, г, /), C5.3)
то из C5.1) и C5.2) следует, что уравнение Гамильтона— Якоби
может быть написано в виде
~дГ~п\ дх > ду > д? » *' у> z>
Если функция Гамильтона явно от времени не зависит, то она
равна энергии частицы Е. Тогда из C5.4) следует
^ = Е, S0 = Et-s0(x, у, г). C5.5)

142
СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
[ГЛ. VI
Равенства C5.1) показывают, что траектории являются
линиями, ортогональными к поверхностям So = const. Если И не
зависит от времени явно, то форма
этих поверхностей не меняется с те-
течением времени.
На рис. 22 показаны эти поверх-
поверхности и возможные траектории ча-
частицы.
Частица, находящаяся в момент
времени / — О в точке а, будет дви-
двигаться в дальнейшем по траектории
ab. Представим себе рой частиц,
имеющих различные начальные коор-
динаты *<j, уь> г0. Пусть в элементе
объема AV имеется AN = pAV ча-
частиц, где р —плотность частиц. К
моменту времени t все эти частицы
переместятся в некоторую другую область пространства, но число
их, конечно, не изменится. Поэтому, если следить за движением
элемента объема ДУ, связанного с этими частицами, то число
частиц в нем остается неизменным. Обозначая локальную про-
производную через -jjT, получим
гх
Рис. 22. Траектории и поверх-
поверхности постоянной функции дей-
действия.
Dt ~~ Dt ' v Dt """'
Но, как известно, локальные производные от р и AV равны
Яр _ dp . V7__. DHV
Dt
- = div
где V — скорость движения частиц. Комбинируя эти выражения
с предыдущим равенством, мы получаем уравнение непрерывности
_aP__i_^tw/^A_^o. C5.6)
\S0. C5.7)
На основании C5.1)
Поэтому C5.6) можно переписать в виде
dt
_ J div(pVSo)-O,
или # = ]Г
C5.8)
Таким образом, рой частиц движется, как жидкость. Занимае-
Занимаемый им объем не «расплывается», а только деформируется.
Уравнения C5.8) можно истолковывать и иначе. Если мы
разделим число частиц AN в объеме AV на общее число частиц N,

§ 35} УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЕ ГЛМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 143
то Д/V/iV можно рассматривать как вероятность найти частицу
в объеме ДК, а плотность р —как плотность вероятности.
Обратимся теперь к квантовой механике. Покажем, что вре-
временное уравнение Шредингера
ih f( = Ну, Н - - -?- V2 + U (*, у, г, t) C5.9)
ведет приближенно к тем же результатам, что и рассмотренное
уравнение Гамильтона — Якобн. Для этого представим волновую
функцию if) в виде
ч> *=*-?, C5л°)
где S-—некоторая искомая функция. Замечая, что
~дх ~ Н дх V> дх* "~ П*\дх ) * П дх* ^'
мы получим, подставляя C5.10) в C5.9), уравнение для функ-
функции S:
C5.11)
Разложим теперь S по степеням /ft:
S = S0 + (ih) Sx + (ihJ S2 +... C5.12)
Подставляя C5.12) в C5.11) и сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях ft, мы получаем уравнения
OS, 1 17 aS0\* , /dS0\2 L.(dSA2]\fI(Y и у A m P)
()Si __! Го ^n osl . 9 as0 ^! . о as0 as,
дГ ~ 2^i L a* d* "*" ^ ф ду ~т~ * dz dz ¦
= 2~[2VSoV5x + V2So] C5.13')
и т. д.
Первое из этих уравнений совпадает с уравнением Гамиль-
Гамильтона— Якоби C5.2), а второе, как легко видеть, совпадает
с уравнением непрерывности C5.8). В самом деле, вероятность
найти частицу в окрестности точки х9 у, г есть
p = |t|>|a = *2S' + ---. C5.14)
Отсюда
Поэтому, умножая уравнение C5.13') на 2е25*, мы получаем
уравнение непрерывности C5.8).

144
СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ
[ГЛ. VI
Остается выяснить вопрос об области применимости получен-
полученного приближенного решения уравнения Шредингера. При пере-
переходе от C5.11) к уравнению C5.13) мы отбросили член ~V2S;
это возможно сделать, если
ih
C5.15)
Пользуясь C5.1), это неравенство можно записать в виде
C5.16)
Это неравенство означает, что кинетическая энергия должна
быть велика, а изменения импульса |divpj малы. Для одного
измерения получим
dp
Р2>Гг
dx
Вводя длину волны де Бройля к =
dl
dx
2л/г
Р
<2я,
находим
C5.16')
C5.17)
т. е. длина волны должна медленно меняться е функции ко-
координаты.
§ 36. Квантовая механика и оптика
Исторически одним из истоков квантовой механики послу-
послужили параллели, установленные Гамильтоном между геометри-
геометрической оптикой и механикой. Эти забытые аналогии были при-
привлечены де Бройлем в современную физику, и с их помощью
были сделаны первые шаги квантовой (волновой) механики.
Часто говорилось, что Шредингер построил механику, аналогич-
аналогичную волновой оптике.
Аналогии часто помогают решению той или иной физической
проблемы, но все же остаются только аналогиями. Окончательно
написанное Шредингером уравнение не совпадает пи с одним из
ранее известных уравнений для распространения волн. Эти
последние —всегда уравнения второго порядка по времени, в то
время как уравнение Шредингера— первого порядка по времени;
имеются и другие отличия.
Тем не менее все же представляет интерес сравнить уравне-
уравнение Шредингера с уравнениями волновой оптики. Допустим, что
мы имеем некоторую однородную среду, в которой распростра-
распространяются волны со скоростью v. Тогда уравнение для смещения /

§ 361 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ОПТИКА 145
при распространении таких волн будет
^/-|5- = 0. C6.1)
Для волны, имеющей частоту колебаний со, можно положить
f==ue-i^9 C6.2)
тогда из C6.1) получаем
Уаи + Л2и = 0, k2=--~ C6.3)
{к --2п/к — волновое число, А, —длина волны). Уравнение C6.3)
строго применимо для однородной среды1). Однако оно описывает
явления дифракции и интерференции и в том случае, если счи-
считать скорость v функцией координат. Поэтому его можно рас-
рассматривать как волновое уравнение и для неоднородной среды.
В этом случае k2 будет функцией координат. Условно будем и
в этом случае называть k волновым числом, а Я — 2л/& — длиной
волны.
Введем показатель преломления п(х, у, г):
п(х9 У, z) = A = ^-f C6.4)
где Яо —длина волны в пустоте. Тогда уравнение C6.3) можно
написать в виде
\2u + kyi2u = 0. C6.5)
Пели неоднородности среды таковы, что показатель преломления п
мало меняется на протяжении длины волны, то из волнового
уравнения C6.Г)) можно получить основное уравнение геометри-
геометрической оптики (в противном случае мы будем иметь дело с диф-
дифракцией волн на этих неоднородностях).
Положим
u^aeik«®, C6.6)
где а —амплитуда, k0Q — фаза волны. Если длина волны мала,
то k0 велико. Разложим а и в по обратным степеням k0:
а = ао + ~ a1 + ~*-ra2 +..., C6.7)
«О К0
© = ©0 + ^-01 + ^02 + ... C6.8)
]) Уравнение для распространения волн в неоднородной среде (например,
'- 'скфомагнитных волн в среде с переменной диэлектрической постоянной)
виг.шдит на самом деле сложнее, чем C6.3).

146 СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ [ГЛ. VI
Подставляя C6.7) и C6.8) в C6.6), а C6.6) в C6.5) и собирая
одинаковые степени k0, получим уравнение C6.5) в виде
- 1ф0 (V60J + Кп2а0 + О {ко) = 0, C6.9)
где О (k0) означает члены порядка k0 и ниже. Пренебрегая низ-
низшими степенями ?0, находим отсюда
(V0oJ--=/22. C6.10)
Это н есть основное уравнение геометрической оптики, опреде-
определяющее поверхности постоянной фазы
в0 (а', у, г) = const C6.11)
через показатель преломления п(х, у, г). Лучи будут линиями,
ортогональными к этим поверхностям. Функцию 0о(л", у, г)
называют эйконалом.
Сопоставим с уравнением C6.9) уравнение Гамильтона — Якоби
C5.2) для функции действия So. Производя там подстановку
S0 = Et — s0, мы можем написать C5.2) в виде
(VsoJ = 2^ [?-(/(*, у, z)l C6.12)
Сравнение этого уравнения с C6.10) показывает, что задаче
о распространении лучей малой длины волны (большое k0)
в неоднородной среде с показателем преломления п (х, у, г)
может быть сопоставлена задача о движении материальной точки
в поле сил с потенциальной энергией U (х, у, г), причем роль
показателя преломления играет величина У2\х (E — U), а фазы —
величина s0. Траектории частиц суть линии, ортогональные
к поверхностям so(x, у, z)== const. Поэтому траектории совпа-
совпадают с лучами света в среде, показатель преломления которой а
пропорционален J/ 2\i (E — U). Таким образом, классическая меха-
механика материальной точки аналогична геометрической оптике.
Если уравнение C6.3) рассматривать как уравнение волновой
оптики, то можно сказать, что волновая (квантовая) механика
аналогична волновой оптике. В самом деле,' уравнение Шредин-
гера
подстановкой
сводится к уравнению
V2z*+ |l (?-[/) и = 0. C6.14)
Пусть теперь в некоторой области частица движется свободно,
вне силового поля, так что вся ее энергия сводится к кинети-

§36] КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА-И ОПТИКА 147
ческой. В этом случае следует положить U = 0. Волновое число
в этой области обозначим через k{):
ko = -2? E. C6.15)
Вводя теперь показатель преломления волн по отношению к этой
области пространства
4/?. <3616>
мы можем переписать уравнение C6.14) в виде, полностью сов-
совпадающем с C6.5). Простейшие задачи по расчету преломления
и отражения волн приведены в § 96.
При выводе C6.10) из C6.9) мы пренебрегли членами О(к0).
Вычислив их, нетрудно убедиться, что мы пренебрегли членами
k{)\2Q0 в сравнении с kl(\Q0J. Взяв (для простоты) одно измере-
измерение, мы можем написать условие справедливости нашего при-
приближения в виде
C6.17)
Замечая, что k = -~ = k0 -^-> получаем
<2я, C6.18)
дх
что совпадает с ранее полученным условием C5.17) для перехода
от уравнения Шредиигера к уравнению Гамильтона — Якоби.
Из C6.16) следует, что показатель преломления /г, а вместе
с ним и длина волны X = 2n/k заметно меняются лишь в той
области пространства, где заметно меняется потенциальная энер-
энергия U, т. е. внутри сферы действия сил а. Если сфера действия
сил а^>к, то на протяжении X как U, так и п будут меняться
мало (кроме некоторых исключительных случаев крайне резких
изменений потенциальной энергии).
Поэтому для ориентировочных расчетов условие C6.18) можно
заменить более простым условием
Я<а. C6.19)
Это условие не следует понимать так, что для любых микро-
микрочастиц, имеющих достаточно большую энергию и, следовательно,
обладающих малой длиной волны Я, всегда будет применима
классическая механика.
При возрастании энергии частицы возникают явления неуп-
неупругих ударов (ионизация и возбуждение атомов, тормозное излу-
излучение, возбуждение и расщепление атомного ядра и т. п.),

148 СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ [ГЛ. VI
которые не могут быть рассчитаны без применения квантовой
механики.
В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда
?>|f/|. Из C6.16) имеем
п=1--~- + ... C6.20)
В этом случае лучи преломляются слабо и их можно считать
прямыми линиями. Если при этом потенциал настолько гладкий,
что соблюдено условие C6.19), то рассматриваемое приближение
называется эйкональным. Вычислим в этом приближении
изменение фазы волны rj вдоль луча, который для определен-
определенности будем считать направленным вдоль оси ОХ. Из C6.10) и
C6.20) следует
т?- = я= !-#• + •••. <36-21)
так что
^ ^^dx. C6.22)
Этот результат будет использован в теории дифракционного рас-
рассеяния частиц.
§ 37. Квазиклассическое приближение
(метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна)
Изложенная в §§ 35, 36 связь между квантовой механикой
и классической механикой и оптикой позволяет развить прибли-
приближенный метод решения уравнения Шредингера, пригодный в тех
случаях, когда соблюдено условие C6.19), т. е. при слабом изме-
изменении длины волны. Говоря на оптическом языке, в тех случаях,
когда показатель преломления среды п (х) медленно меняется
в пространстве.
Тогда, полагая в соответствии с C5.10) и C5.12)
Ф-Г*-*-'-*». C7.1)
где s = so + iftsi + ..., получим
yp = e-sie--K{Et-s°\ C7. V)
Рассмотрим в дальнейшем тот случай, когда потенциал U
зависит лишь от одной координаты U = U (х), тогда s0 и s± также
будут функциями только х.
Теперь yso = (--r2-l 0, 0) и из C6.12) следует, что
so(x) = \p(x)dx, C7.2)

§ 37J МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ-КРЛМЕРСА-БРИЛЛЮЭНА 149
где р (х) есть импульс частицы
р(х)=± V2ix[E-U(x)] - ± | р (х) |. C7.2')
Пользуясь C5.13'), вычислим su причем там следует положить
—J- .-= 0. Получим
9 ^s° ^si _ ^2sq _ q
откуда Si = + -n Inp (x) — In с, так что
Р7.4)
В этом приближении вероятность найти частицу в области х, x + dx
есть
w(x)dx = №(x)\*dx = ±??-, C7.5)
т. е. она обратно пропорциональна скорости v (х) = р (х)/\х> стало
быть прямо пропорциональна времени прохождения отрезка dx,
как это и должно быть по классической теории. Учитывая два
возможных знака р (х) в C7.2'), полное решение следует написать
в виде суперпозиции двух решений
C7.6)
\'Р (х) \' Р (х)
Константы си с2 и а должны быть выбраны из граничных
хсловий для волновой функции ^(хI). Ясно, что из трех кон-
констант независимы только две.
Особого рассмотрения требует случай точек поворота, т. е.
таких точек, где полная энергия Е равна потенциальной U (х).
В такой точке кинетическая энергия и импульс частицы стано-
становятся равными нулю: Т = 0, р = 0.
Согласно классической механике частица в такой точке меняет
'•пак скорости и начинает двигаться в обратном направлении.
Отсюда и название —точка поворота.
С волновой точки зрения допустимо движение и в области,
где Е <CU (х) (об этом подробно будет рассказано в §§ 96, 97).
При этом величина р (х) C7.2') будет чисто мнимой и, конечно,
1) См. дополнение VIII.

150 связь с классической механикой и оптикой [гл. vi
уже не имеет смысла импульса:
р (х) - it i V 2(i [U (х) -E] = ±i\p(x)\. C7. 2")
При этом одно из решений в C7.6) будет неограниченно нарастать
с ростом х. Физически имеют смысл только ограниченные волновые
функции, поэтому в области, где E<U (х), константу с2 следует
положить равной нулю, так что
Ц(х)=-т=?±=-е а . C7.6')
Для дальнейшего рассмотрения точек поворота удобно выбрать
константу а равной значению х в точке поворота E — U (а), р (а) = 0.
Как видно из C7.6), C7.6'), найденные приближенные решения
обращаются в бесконечность как раз в точках поворота. Поэтому
сшивание решений но обе стороны от точки поворота требует
рассмотрения более точного решения уравнения Шредингера
в окрестности этой точки.
Это достигается тем, что в окрестности х = а потенциал U (х)
представляют в виде U (х) = U (а) + (-^) (х — а)+... и решают
для этого линейного потенциала уравнения Шредингера. Мы при-
приведем только результаты такого расчета.
Будем считать, что для х>а E<U (х), а при х<.а E>U (,y),
тогда оказывается, что правильный выбор констант таков, что
х<а' C7-7)
х
Т7Ш C7-7'}
И для случая, когда E>U (x) в области х>а:
C7-Г)
Предположим теперь, что область движения частицы ограни-
ограничена и оно происходит между двумя точками поворота b<zx<a.
Тогда в C7.7") следует вместо предела а подставить Ь. Очевидно,
что оба решения C7.7) и
[iSf] <37-8)

§ 37] МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ-КРАМЕРСА-БРИЛЛЮЭНА 151
в области b<ix<Ca должны совпадать. Это возможно лишь при
условии
^2=(n+l)n, C7.9)
Ь
где п — целое число.
Распространяя интеграл по всему пути частицы от а до b и
обратно, получим
р(х) dx = U + у) 2яЙ. C7.10)
Это есть условие квантования по старой, полуклассической теории
Бора. Появление 1/2 в этой формуле несущественно, так как,
строго говоря, классическое приближение справедливо лишь
тогда, когда п*р> 1 (условие малости длины волны).

Глава VII
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 38. Различные представления состояния квантовых систем
Как мы видели, для квантовой механики характерно, что
одновременное употребление ряда классических корпускулярных
величин (рх и х, Т и U, Мх и М,, и т. п.) теряет всякий смысл,
так как в природе не реализуются такие ансамбли, в которых
приведенные пары величин существовали бы одновременно.
Поэтому в отношении каждой квантовой системы все измери-
измерительные приборы могут быть разбиты на группы. Приборы одной
из таких групп сортируют частицы (или системы) ансамбля
по признакам, исключающим сортировку по признакам, характер-
характерным для какой-либо другой группы измерительных устройств.
Так, например, если мы имеем дело с частицами, координаты
центра тяжести которых суть х, у, г, то мы легко можем выде-
выделить две группы приборов; к первой группе можно отнести при-
приборы, анализирующие ансамбль таких частиц по координатам л*, у, z
и по любым функциям от них F (х, у, г) (например, по потен-
потенциальной энергии U (х, //, г)), а к второй группе— устройства,
анализирующие ансамбль по импульсам рх, ри, pz или по любым
функциям Ф (рх, ру, рг) от них (например, по кинетической энер-
энергии Т (рху ру, pz)). Возможны и другие группы приборов.
До сих пор мы изображали состояние частиц волновой функ-
функцией яр (х), беря в качестве переменной координату частицы х
(простоты ради, в дальнейшем мы употребляем лишь одну коор-
координату х).
Сортировка частиц по координатам х производится устрой-
устройствами, исключающими сортировку по рх (далее будем писать
просто р вместо рх). Представим себе, однако, что мы интере-
интересуемся сортировкой частиц не по их координатам л\ а по их
импульсам. Тогда нужно взять прибор, анализирующий ансамбль
по р, а не по х. Между тем волновая функция ф, описывающая
ансамбль, взята как функция х. Нельзя ли описать состояние
ансамбля так, чтобы волновая функция была функцией импульса р?

§ 38] РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 153
В первом случае мы будем говорить, что состояние отнесено
к прибору, анализирующему ансамбль по координатам частиц х
(первая «система отсчета»), во втором случае —к прибору, анали-
анализирующему ансамбль по импульсам р (вторая «система отсчета»).
Коротко говорят: состояние дано в «^-представлении или состоя-
состояние дано в «р»-представлении *).
Найти «р»-представление очень легко. Пусть нам дана волно-
волновая функция i|) (x, t) («^-представление). Разложим эту функцию
по собственным функциям оператора импульса typ (x) (т. е. в инте-
интеграл Фурье), тогда
\ C8.1)
c(pf t) = №(x, t)^*P(x)dx. C8.2)
Если мы знаем амплитуды с (р, /), то мы знаем и я|? (х, /), задание
с(р, t) вполне определяет яр (х, t). Поэтому с(р, t) можно рас-
рассматривать как волновую функцию, аргументом которой является
импульс р. Эта функция изображает физически то же состояние
частицы, что и функция г|э (#, t). Формулу C8.1) следует рас-
рассматривать как преобразование волновой функции от «р»-представ-
ления к «^-представлению, а C8.2) —как преобразование от
«^-представления к «р»-представлению.
Рассмотрим теперь представление состояния, когда за незави-
независимую переменную взята энергия частицы Е. Пусть, для опреде-
определенности, Е имеет дискретный спектр значений: Ех, Е2у..., Еп,
Соответствующие собственные функции обозначим через tyi(x),
яр2 (х), ..., tyn (х), Волновую функцию я]; (х, I) мы можем пред-
представить в виде ряда
М. C8.3)
сл(/) = $я|)(дс, t)yp%(x)dx. C8.4)
Опять-таки задание всех амплитуд cn(t) вполне определяет яр (я, /).
Обратно, задание яр (х, /) определяет cn(t). Поэтому совокупность
всех сп (/) можно рассматривать как волновую функцию, описы-
описывающую то же состояние, что и яр (*, /), но в представлении, в кото-
котором за независимую переменную взята энергия2) ?.
С этой точки зрения формула C8.3) есть преобразование вол-
волновой функции от «Е»-представления к «^-представлению. Формула
C8.4) есть формула обратного преобразования. Из формул C8.1),
C8.2), C8.3) и C8.4) следует, что вероятность найти какое-либо
2) Следует читать: «координатное представление», «импульсное представ-
представление».
2) В полной аналогии с с(р, t) вместо cn(t) (/2=1, 2, 3, ...) мы могли бы
писать: с (?, /) (? = ?„ ?2, ..., Еп> ...).

154 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
значение независимой переменной равна квадрату модуля волновой
функции в соответствующем представлении. В самом деле, пусть
имеется некоторое состояние я|э (х, t), тогда вероятность w(x, t)
найти значение координаты, лежащее между х и x + dx, будет
w (x, t)dx = \ty (x, t) i2 dx. C8.5)
Вероятность w(p, t) dp найти импульс р между р и p + dp будет
до (/?, t)dp = \c (p, 0 I2 dp. C8.6)
Вероятность найти энергию до (?„, 0 равной Еп будет
до (?„, /) = | сл @ |2 - | с (ЕП9 t) |2. C8.7)
§ 39. Различные представления операторов, изображающих
механические величины. Матрицы
Для того чтобы изображение состояний я|э в разных незави-
независимых переменных получило полную- законченность, нужно еще
найти способ представления операторов в тех же переменных.
Между тем до сих пор мы рассматривали операторы L как
«функции» х, считая, что L имеет вид L — ift-^~, х . В этом
\ OX J
случае оператор L действует на функции вида чр (х) и производит
новую функцию ф (х) по формуле
(х). C9.1)
Поэтому можно сказать, что мы брали оператор L в <а»-представ-
<а»-представлении.
Л.
Найдем теперь оператор L в энергетическом представлении
(«?»-представление), считая, что энергия имеет дискретный спектр
значений Еп. Соответствующие собственные функции пусть будут
чрп(х). Тогда функции ф и i|5 можно представить в виде
ту*"/ — /j С-д^л [X)i \OZJ ,L)
n
ФМ-ЦЬАМ- C9.3)
n
Совокупность сп есть чр в «^-представлении, а совокупность Ъп
есть ф также в «?»-представлении. Оператор L переводит чр
в новую функцию ф, а вместе с тем и сп в новые амплитуды Ьп.
Если мы найдем оператор, который бы непосредственно выражал Ьп
через спу то тем самым мы найдем оператор L в «?»-представлении.
Для этой цели подставим if и ф из C9.2) и C9.3) в C9.1). Тогда

§ 39] РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 155
мы получаем
^Ьп%(х) = ^ся1%(х). C9.4)
п п
Умножая C9.4) на tyfn (x) и интегрируя по всему пространству х,
мы получим в силу ортогональности функций %(х)
c,l9 C9.5)
п
где
Ьт = ]Ч>т(хIуя(х)Aх. C9.6)
Зная все величины Lmn, мы.можем по формуле C9.5) найти все
амплитуды Ьп (функцию ср в «?»-представлении) по заданным сп
(т. е. по функции г|э в «?»-представлеиии). Поэтому совокупность
всех величин Lmn следует рассматривать как оператор L в «Е»-пред-
ставлении.
Эту совокупность можно расположить в виде квадратной таблицы
... Lln .
C9.7)
имеющей бесконечное число строк и столбцов. Такая таблица
называется матрицей. Величины Lmn называются матрич-
матричными элементами. Каждый матричный элемент имеет два
индекса1). Первый есть номер строки, второй — номер столбца.
Безразлично, как мы располагаем в такой матрице строки и
столбцы. Но в каждом расчете необходимо, конечно, соблюдать
одно определенное расположение. Мы условимся нумеровать строки
и столбцы в порядке возрастания собственных значений:
Ei^Eo<~,E^^= ... ^Еп^ ...
Можно найти представление операторов [и в том случае, ко-
когда независимая переменная имеет непрерывный спектр значений.
2) Часто применяются другие обозначения матричных элементов, введенные
Дираком, именно, пишут
<ш \L\ti) вместо Lmnf
или еще подробнее:
(Ем \L\En) вместо Lmn.
В этом последнем обозначении указывается не только оператор (?), которому
принадлежит матричный элемент, но и представление, в котором он берется
(?), и, наконец, номера собственных значении т и п, которым принадлежит
матричный элемент. Такое обозначение особенно удобно в случае вырождения
(§ 21), когда волновые функции характеризуются несколькими индексами.

156 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
Обратимся в качестве примера к «р»-представлеиию. В полной
параллели с C9.2) и (З9.*3) имеем
C9.2')
C9.3')
с(р) и Ь(р) суть функции ty и ф в «р»-представлении. Найдем
связь между с(р) и Ь(р). Подставляя C9.2') и C9.3') в C9.1),
получаем
\ Ь (р)% (х) dp^\c(p)L% (x) dp. C9.4')
Умножая это уравнение на typ (x) и интегрируя по ху в силу
ортогональности функций ij)p (x) найдем
\b(p)8(p'-p)dp = \c(р>dp J№L%dx,
или
6 (p') = ^ Lp^c (p) ф, C9.5')
где
L;/p = L (p\ p) = $ i|3*' (x) Li^ (x) djc. C9.6')
Величины LP'P характеризуют оператор L в «р»-представлении.
Они зависят от двух переменных р' и р, пробегающих одни и
те же значения. LP'P по-прежнему будем называть матричным
элементом оператора L в «/^-представлении, а всю сово-
совокупность значений LP'P — матрицей. Ясно, что в этом случае мы
не можем изобразить Lp>p в виде таблицы. Тем не менее и в этом
случае р' будем называть номером строки, а р —номером
столбца.
Мы видим, что в произвольном представлении операторы
изображаются матрицами1). В «^-представлении мы имели опе-
операторы в виде дифференциальных операторов. Однако можно
показать (см. § 40), что и в этом представлении операторы
можно записать в матричной форме.
§ 40. Матрицы и действия над ними
В матрицах мы отличаем среди всех элементов так называ-
называемые диагональные элементы. Диагональными элемен-
элементами называются матричные элементы, номер строки которых
3) В самом деле, под Е или р можно понимать любую величину L, имею-
имеющую дискретный или, соответственно, непрерывный спектр значений. В общем
случае под Е или р можно понимать цел^ю совокупность независимых, одно-
одновременно измеримых величин /,, М, N, ....

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
157
равен номеру столбца, т. е. элементы вида Lnn. В случае непре-
непрерывного спектра диагональными элементами называют элементы
вида Lpp. Если матрица имеет только диагональные элементы,
то ее называют диагональной матрицей. В случае
дискретного спектра такая матрица имеет вид
Ln 0 0 ... О ..
О L2o 0 ... О ..
0 0 0
D0.1)
Важным случаем диагональной матрицы является единичная
матрица б с элементами 8тп, равными
0,
Эта матрица имеет вид
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0 ...
0 ...
0 ...
D0.2)
D0.2')
Из определения матричных элементов единичной матрицы D0.2)
следует, что единичная матрица остается единичной в любом
представлении, ибо равенство D0.2) имеет место для любой
системы ортогональных ^функций ^„(х). Элементы диагональной
матрицы L всегда могут быть записаны в виде
Lmn = LAnn. D0.3)
Часто наряду с какой-либо матрицей L с элементами Lmn при-
приходится рассматривать производные от нее матрицы. Среди таких
отметим сначала комплексно сопряженную матрицу
L*. Элементы этой матрицы комплексно сопряжены соответ-
соответствующим элементам исходной матрицы:
(L*)mn = L*nn. D0.4)
Далее, изданной матрицы можно образовать т ране пони р о-
ва-нную матрицу L. Эта матрица образуется из исходной
путем взаимной замены строк и столбцов. Элементы этой
матрицы определяются формулой
(L)mn = Lnm. D0.5)
Если мы возьмем матрицу, комплексно сопряженную транспони-
транспонированной, т. е. L*, то мы получим матрицу, которую назы-
называют сопряженной к исходной и обозначают через /Л Ее

158 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
элементы определяются формулой
(L+)mn = (L*)mn = L*m. D0.6)
В том случае, когда сопряженная матрица равна исходной:
L+ = L (т. е. Lmn = L*m), D0.7)
она называется эрмитовской или самосопряженной.
Это определение вполне соответствует нашему прежнему опреде-
определению эрмитовского или самосопряженного оператора A8.7).
В самом деле, если оператор L—-эрмитовский, то мы имеем для
его матричных элементов
dx = L%
%m.
Рассмотрим теперь алгебраические операции над матрицами.
Обратимся сначала к сложению матриц. Пусть дан некоторый
оператор С, являющийся суммой операторов А и В. Тогда под
суммой матриц А и В мы будем понимать1 матрицу оператора С.
Легко найти элементы этой матрицы. Имеем
Стп -1 ЩСхрп dx = I ty?nAyn dx + \ ф* 5фя dxy D0.8)
следовательно,
9 D0.9)
т. е. матричный элемент суммы операторов равен сумме соответ-
соответствующих элементов каждого из входящих в сумму операторов.
Весьма важным в смысле приложений является правило умно-
умножения матриц. Для установления этого правила вычислим
матричный элемент оператора С, являющегося произведением
двух операторов А и В. Пользуясь определением матричного
элемента, получаем
Стп =¦= ^ ^nC^dx - \ г|>* Л (ВЦп) dx. D0.10)
Величина В\\>п сама является некоторой функцией и может быть
разложена в ряд по ортогональным функциям г|зл(лс):
где
bk = $ tytBtyn dx = B/^.
Подставляя это разложение в D0.10), получим
Стп = 51}шА ^] В/,A dx = У) В^л \ yp^A^k dx = ^ BknAmk.
к к к

40]
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
159
Следовательно,
D0.11)
В D0.11) заключено правило умножения матриц: чтобы получить
матричный элемент Стп матрицы, представляющей произведение
операторов А и В, нужно элементы т-й строки матрицы А
умножить на элементы п-го столбца матрицы В и сложить.
Правило сложения матриц D0.9) и правило умножения матриц
D0.11) позволят по данным матрицам операторов Л, В, ...
находить матрицы, представляющие различные функции от Л, S,...
Кроме того, правило умножения позволяет в несколько иной
форме представить формулу C9.5), выражающую результат дей-
действия оператора L на волновую функцию. Именно, эту формулу
можно рассматривать как матричное произведение. Для этого
запишем волновую функцию в «^-представлении в виде матрицы
с одним столбцом
0 0 ..
0 0 ..
D0.12)
Таким же образом представим и функцию <р:
t о о ..
,00.,
ьт о
D0.13)
Теперь легко видеть, что C9.5) может быть написано в виде
матричного произведения
Ф = 1г|з, D0.14)
где ф есть матрица D0.13), гр —матрица D0.12), a L — матрица
C9.7). В самом деле, например, Ьт есть элемент m-й строки
и первого столбца матрицы D0.13). Он должен получиться,
согласно D0.11), путем перемножения элементов ш-й строки
матрицы C9.7) на элементы первого столбца матрицы яр D0.12).
Но это как раз и дает уравнения C9.5). Сопряженную волно-
волновую функцию с*, с*у ..., Спу ... можно записать в виде матрицы,
сопряженной к D0.12), именно, в виде матрицы с одной строкой:
о о
D0.12')

160 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
С записью волновых функций в виде матриц D0.12) мы встре-
встретимся в теории магнитного момента электрона.
Заметим еще следующий результат из правила умножения
матриц. Матрица О, сопряженная к произведению С двух
матриц Л и В, должна писаться в виде
С+ = {АВ)+ = В+А+. D0.15)
В самом деле, элементы Cfnn по определению сопряженной
матрицы равны С'пт- Из D0.11) имеем
Совершенно аналогичным путем (заменяя суммы на интегралы,
символ Ьтп на б(р' —р)) получаем соответствующие формулы для
непрерывных матриц.
Именно, вместо D0.2) имеем единичную матрицу
б^б (р'-р). D0.20
Элементы диагональной матрицы запишутся в виде
Lp>p = L (р') б (рг — р). D0.3')
Свойство самосопряженности выразится формулой
Матричный элемент суммы двух матриц А и В будет равен
Ср>р = Ар>р + Вр>р, D0.9')
а матричный элемент произведения двух матриц А и В будет
равен
С, — С A D г/п" /ДО 1 1 '\
р р — \ **¦ р р ^~* р Р MfJ • I Tew • 1 1 I
Приведем примеры непрерывных матриц. Рассмотрим сначала
оператор координаты х в «р»-представлении. Согласно определе-
определению матричного элемента имеем
.рх
е а хе
i
n xe n
пр'-р)х
D0.16)
Далее, по формуле C9.5'), определяющей действие оператора L,
данного в матричной форме, на волновую функцию имеем

§ 40] МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 161
Производя здесь интегрирование по частям, находим
Ъ (Р') = [- № (р' - Р) с (р)]±? + '"
или
b{p) = ihd-^r> D0.17)
т. е. оператор х в «р»-представлении может быть дан либо
в виде матрицы D0.16), либо в виде дифференциального опера-
оператора itljj- D0.17). Последний результат нам уже знаком (ср. § 13).
Оператор х в своем собственном представлении может быть
изображен диагональной матрицей
хХ'х — *и\х л;, ^U.lSJ
а оператор любой функции V (х) — матрицей
Vx>x = V(x'N(x-xr). D0.18')
В самом деле, по формуле C9.5'), заменяя там обозначения Ъ
на ф, с на if», p на х, получаем
Ф (*') = ^ Vx'xty (x) dx = $ V (хг) 8 (х — х') г|) (х) dx,
или
Ф (х) = V (х) г|? (jc), D0.19)
т. е. действие функции V (х) в «^-представлении сводится к умно-
умножению -ф (лг) на V(x). Результат опять-таки известный.
Подобным же образом оператор Р может быть дан в матрич-
матричной форме
рх,х = + ih Д б (* — *')• D0.20)
Имеем
Ф (х') - J Рх>ху (х) dx = fft J | б (х - x') я]) (х) dx.
Интегрируя здесь по частям, получаем
^ D0.21)
А.
т. е. матричное представление D0.20) оператора Р эквивалентно
Дифференциальному Р = — ihd~.
На основании формул D0.18) и D0.20) любой оператор,
Данный в виде L (— ift д , x\ = L(P, х), можно написать в

162 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
матричной форме таким образом, что
Ф (*') = 5 Lx>xy (x) dx = L(- ih -, *') я|) (х'). D0.22)
Для определения матричных элементов Lx>x достаточно рассмат-
рассматривать операторы Р и х в L(P, х) как матрицы D0.18) и D0.20)
и выполнить умножение и сложение этих операторов согласно
правилам D0.9') и D0.1 Г) для непрерывных матриц. Нетрудно,
например, убедиться, что в матричном координатном представ-
представлении гамильтониан
Я = g + V (х) = -1 -|J + V (х) D0.23)
будет иметь матричные элементы
н*-*=-1дЦ %*х>)+v wб (* - *'>• D0-24)
§ 41. Определение среднего значения и спектра величины,
представляемой оператором в матричной форме
Формула A9.1) для среднего значения величины, изобража-
изображаемой оператором L(—//г^-, х) в состоянии ty(x, t)f может быть
легко переписана в матричной форме. Пусть ij)G (x) — собственная
функция, принадлежащая /г-му собственному значению величины,
взятой за независимую переменную (например, энергии). Пред-
Представим if» (x, t) и яр* (.v, t) в виде ряда
Ъ(х, 0 = 2^Ж(^ 0. D1.1)
п
У*(х> 0 = Цс*^(х, t). D1. Г)
Подставив их в формулу
J » t)dxt
получим
т. е.
I = 22c«Wfl. D1.2)
Это и есть выражение для среднего значения Z величины L,
если представляющий ее оператор L дан в матричной форме.
Рассматривая совокупность сп как матрицу я|) с одним столбцом

§ 41] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И СПЕКТРА ВЕЛИЧИНЫ 163
D0.12), а совокупность с% — как сопряженную матрицу о|)+ с одной
строкой D0.12'), мы можем по правилу матричного умножения
записать D1.2) в виде
1-г|)+/л|). D1.3)
Спектр величины (совокупность ее возможных значений) и соб-
собственные функции представляющего ее оператора L определяются
согласно B0.2) из уравнения 1%. = ?л|)?. Подставляя в это урав-.
нение я|) из D1.1), умножая слева на г^ и интегрируя по х,
получим
2сп \Цт?%dx = L^jCn\г|>* грлdx или 2Lmncn = Lcm. D1.4)
п ti
Это —бесконечная система линейных однородных алгебраических
уравнений для определения амплитуд собственной функции сп
и собственных значений оператора Ln.
Как известно из алгебры, система однородных линейных
уравнений только в том случае имеет решение, отличное от нуля,
когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений,
обращается в нуль. В нашем случае этот определитель имеет
бесконечное число строк и столбцов1)
ц — L Lj2 Мз ... Lyn
21 ^22—^ ^23 ••• ^2/г
= 0. D1.5)
Это уравнение накладывает ограничения на возможные значения L.
Оно является уравнением бесконечно высокой степени L (транс-
(трансцендентным) и будет иметь бесконечно большое число корней:
L = LU L2, ..., La, ... В алгебре доказывается, что корни такого
уравнения обязательно действительны. Совокупность значений La,
при которых разрешима система уравнений D1.4), и будет сово-
совокупностью собственных значений оператора L. Подставляя
в D1.4) один из корней уравнения D1.5), например, La, мы
найдем соответствующее этому корню решение
L = La, Ci = M?a). c2 = c2(La), ..., cn = cn(La), .... D1.6)
Совокупность найденных таким образом значений си с2, ...» с/п ...
и будет собственной функцией оператора L, принадлежащей
J) Такой определитель следует рассматривать как предел определителя,
образованного для системы конечного числа /V неизвестных ся, при /V -> со.
Уравнение D1.5) имеет смысл, если такой предел существует. Пример такого
Уравнения читатель найдет в книге: Уиттекер и Ватсон, Курс совре-
современного анализа, т. 1, Физматгиз, 1963, гл. 11.

164 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
оь-му собственному значению L = La. Эта же волновая функция
в <а»-представлении запишется в следующем виде:г)
Ы*) = 2>я(*<аI>л(*). D1.6')
п
В своем собственном представлении всякая величина изобра-
изображается диагональной матрицей. В самом деле, если я|),г (х) есть
собственная функция оператора L, то его матрица имеет элементы
Lmn = $ Цт?% UX = $ ФЛА ^Х = Ln6mn, D1.7)
где Ln есть п-е собственное значение оператора L. Поэтому
задачу о нахождении собственных значений оператора L можно
рассматривать как задачу о приведении матрицы оператора L,
данного в произвольном представлении, к диагональному
виду D1.7).
Так как коммутирующие операторы имеют общую систему
собственных функций, то их матрицы могут быть одновременно
приведены к диагональному виду.
Соответствующие формулы для случая непрерывных матриц
получаются из рассмотренных выше заменой сумм на интегралы.
Вывод их настолько прост, что мы ограничимся приведением
результатов. Среднее значение величины L будет равно
L = \\c*{p')Lp>pc{p)dp'dp D1.2')
(импульсное представление) и
L = $ $ ф (*') Lx-jft (x) dx' dx D1.2")
(координатное представление). Вместо уравнения D1,4) будем
иметь соответственно
t D1.4')
\ ) D1.40
и, наконец, вместо D1.7)
Рр>р = Р'Ь(р'-р), D1.7')
хх.х = х?Ь(х'-х). D1.7")
Уравнения D1.4') и D1.4") будут либо дифференциальными,
либо интегральными уравнениями.
1) Функция \ра (х) может быть непосредственно получена путем решения
дифференциального уравнения ?г|) = 1л|). Решение уравнения D1.4) и D1.5)
обычно не проще решения указанного дифференциального уравнения. Однако
при приближенном решении уравнений (гл. XI) уравнения в матричной форме
оказываются весьма полезными.

§ 42] ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 165
§ 42. Уравнение Шредингера и зависимость операторов
от времени в матричной форме
Уравнение Шредингера B8.3) может быть переписано в мат-
матричной форме, если разложить ty(x, t) в ряд по собственным
функциям tyn (х) какого-либо оператора. Подставляя в B8.3)
•ф (x, t) в виде ряда
умножая слева на ty% (х) и интегрируя по х, находим
fft%- = 2^««c»' m = l, 2, 3 D2.1)
П
где
Нтп = 5 г|й (х) Яг|?„ (*) d* D2.2)
есть матричный элемент гамильтониана Н. Это уравнение по
заданным в начальный момент сп @) (т. е. по г|э (х, б)) определяет
Пусть Я есть оператор полной энергии. Возьмем в качестве
функций ^п (х) собственные функции оператора Н. Тогда сп (/)
суть амплитуды стационарных состояний, а матрица Нтп будет
диагональной:
Нтп = S Фа* Яя|5л йл: = Еп8тп. D2.3)
Подставляя эти значения Нтп в D2.1), находим уравнения Шре-
Шредингера для этого случая:
ih^ = Etncm. D2.4)
Отсюда
ст (t) = ст @) е г", D2.5)
т. е. амплитуды стационарных состояний гармонически зависят
от времени. Это совпадает с выводами § 30.
Применим теперь уравнение Шредингера в матричной форме
к вычислению производной оператора по времени. Дифференци-
Дифференцируя по времени среднее значение D1.2), находим
~ИГ ^ЧГ = 2u2dC*n~~df~CnJr'2d2mi~dfLmnCn'
m a m n
из D2.1) имеем
"lTl4f = 2iHmkCk' in df - Z nk k*
k k

166 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
Подставляя эти производные в выражение для -^~, получаем
d(L) __ yyr* dLmn
yyr I
чг " LL\т ""атСп+те
т п т п к
т п к
Учитывая, что в силу самосопряженности оператора
а также то, что индексы m, n и k пробегают одни и те же зна-
значения, мы можем (переменив во втором члене обозначение k
на /2, а в третьем k на т) переписать предыдущее уравнение
в форме
d(D_ yyr*dLmn 1 уус* /у г иН _уи г \г
m n m n \ к к
Учитывая, что по правилу умножения матриц
2л LtnkHkn = \LH)mn,
к
2л Н mkLkn = \HL)mn,
к
получаем
? 1 № ГП W-HLU) С, D2.6)
т п
где
jA (LH - Hl)mn = ^ ^ (LmkHkn - HmkLkn) - [Я, L]mrt D2.7)
k
есть матричный элемент скобки Пуассона. Из сравнения с фор-
формулой для среднего D1.2) следует, что матричный элемент опе-
dl
ратора -тг есть
dL\ _ dlmn
dt mn dt
Я, l\mn. D2.8)
Формулы D2.6) и D2.8) представляют собой формулы C1.4)
и C1.7), соответственно, в матричном представлении.
Рассмотрим важный частный случай. Пусть гамильтониан Н
не зависит от времени, так что Н есть оператор полной энергии.
Возьмем специально энергетическое представление («?»-представ-

§ 421 ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 167
ление). Тогда матрица Н будет диагональной:
Предполагая еще, что оператор L не зависит явно от времени,
мы получим из D2.7) и D2.8)
—\ = — (Е—ЕI
dtjmn № т
ИЛИ
(—\ — /со / D2 9)
где
0>тп = ^^ D2.10)
есть боровская частота. В частности, матрица оператора скорости
будет иметь элементы
D2.11)
где хтп — элементы матрицы координаты х. Соотношение между
скоростью и координатой получается совершенно таким же, как
для осциллятора, колеблющегося с частотой сотл.
Формула D2.9) становится совершенно очевидной, если при-
применить так называемый гайзенберговский способ пред-
представления операторов. Этот способ заключается в том,
что матрица какого-нибудь оператора L строится с помощью
волновых функций стационарных состояний, взятых для времени/:
. Ent
%г{ху t)=^n(x)e п .
Ясно, что это можно сделать, так как г|)л (х, t) так же, как
и %(х), образуют полную ортогональную систему функций.
Стало быть, в гайзенберговском представлении матричный эле-
элемент оператора L определится по формуле
Un @ = \ Ф* (х, t)L^n (x, t) dx - Lm//°"< D2.12)
Отсюда для оператора, не зависящего явно от времени,
(dL_\ __ dLmn _ . . ,,, С42 9')
Эта формула отличается от D2.9) только тем, что зависимость
от времени перенесена с волновых функций на операторы.
Согласно D2.12) матричные элементы операторов, явно не
зависящих от времени, в гайзенберговском представлении гармо-
гармонически зависят от времени, с частотами Бора сотл.

168 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛСНИП [ГЛ. VII
В случае непрерывных матриц вместо D2.1) будем иметь
р^(р) dp, D2.Г)
или, в координатном представлении:
MdJlfL=[n3,xy(x)dx, D2.1")
а вместо D2.8)
р'р
Что же касается остальных формул этого параграфа, то они
связаны специально с энергетическим представлением.
Введение в рассмотрение непрерывных матриц, как видно из
изложенного в §§ 39—42, позволяет сделать матричный способ
записи операторов совершенно единообразным, так что все воз-
возможные представления операторов и волновых функций стано-
становятся совершенно равноправными. Поэтому матричный способ
записи операторов особенно удобен при рассмотрении общих
вопросов теории.
При решении же конкретных задач особенно употребительно
координатное представление. Объясняется это тем, что энергия
взаимодействия в нерелятивистской теории зависит только от
координат, кинетическая же энергия есть простая функция
импульса hjM. В силу этого в координатном представлении мы
получаем уравнение Шредингера в форме сравнительно простого
дифференциального уравнения второго порядка. Однако при
приближенном решении задач другие представления могут иметь
преимущества перед координатным.
§ 43. Унитарные преобразования
Рассмотрим преобразование какого-нибудь оператора G от
одного произвольного представления к другому. Пусть в первом
представлении оператор G изображается матрицей С, элементы
которой нумеруются собственными значениями L = Li, L2, ...
..., LIU ..., Lm, ... оператора L («^-представление). Во втором пред-
представлении пусть тот же оператор G изображается матрицей G",
элементы которой нумеруются собственными значениями М —¦
= Ми M2t ..., Ма, ••-, М$, ... оператора М («^-представление).
Для определенности мы предполагаем, что L и М имеют дискрет-

§ 431 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 169
ный спектр. Если оператор G дан первоначально в «^-представ-
«^-представлении G^Gf — /й^-, х)\ и собственные функции операторов L
И М СУТЬ Я|)х (X), ^2 (*), — » -фл (X), • • • , Ф/я W, • • • И ф! (*), ф2 (*), . . .
..., фа(*), ...,ФрМ, ..., соответственно, то матричные элемен-
элементы оператора G в «/^-представлении определяются формулой
Gmn - \ Ф* (х) G (- /ft |, *) г|?л (х) dx, D3.
а в «УИ»-представлении
(- ih |, хj фр (х) dx. D3.2)
) G (
Спрашивается, какова связь между матрицей G' с элементами Gmn
и матрицей G;/ с элементами Gap? Разложим собственные функции
оператора М по собственным функциям оператора L:
W 5,р, Ф* (х) = ^]^ (х) S*a, D3.3)
п 'т
причем
W фЙ W dx. D3.4)
Подстановка D3.3) в D3.2) с учетом D3.1) дает
D3.5)
Совокупность величин S/Zp можно рассматривать как матрицу S,
строки которой нумеруются собственными значениями величины L,
а столбцы —собственными значениями величины М. Наряду
с матрицей S рассмотрим сопряженную матрицу S+, элементами
которой являются
(S+)am = S*a, D3.6)
так что S+ = S* и, следовательно, строки матрицы нумеруются
собственными значениями М, а столбцы —собственными значе-
значениями L. На основании D3.6) формула преобразования от Gmn
к Gap D3.5) может быть написана в виде
атСтАр> D3.7)
или, на основании правила умножения матриц, в матричном
виде
G'^S'G'S. D3.8)
Таким образом, матрицу S и сопряженную ей матрицу Sr
можно рассматривать как матрицы, с помощью которых совер-

170 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
шается преобразование оператора от одного представления («L»)
к другому («УИ»). Матрица S обладает важным свойством. Пере-
Перемножая функции фаМ и фр(#) и интегрируя результат по х, на
основании ортогональности собственных функций мы получаем
SSSwS»P6«» = 6aB, D3.9)
т п
ИЛИ
2%,5яр = 6вР. D3.10)
п
т. е. в матричной форме
S+S = \. D3.11)
Подобным же образом, разлагая функции tyn (х) по функциям
щ(х), можно убедиться, что
i;SmaSJn = 6mn, D3.12)
a
т. е.
SS+=1. D3.11')
Матрица, удовлетворяющая условиям D3.11) и D3.1 Г), назы-
называется унитарной. Так как произведение S+ на S или S на
S+ дает единичную матрицу, то S+ есть матрица, обратная S, т. е.
S+ = S-K D3.13)
Заметим, что унитарная матрица не является эрмитовскои, так
как для эрмитовскои матрицы вместо D3.13) мы имели бы S+ = S.
На основании изложенного мы можем сказать, что преобразова-
преобразование оператора от одного представления к другому совершается
с помощью унитарной матрицы S с элементами D3.4). Само пре-
преобразование D3.8) называют унитарным.
Формулу D3.1) можно также рассматривать как унитарное
преобразование от координатного представления к «Ь>-представ-
лению. Для этого достаточно написать оператор 6(—ih-^-y х\
в матричной форме. Тогда вместо D3.1) получим
Gmn = \ \ Ц?п (*') Gx'X^n (X) dX dx'. D3.1')
Полагая SmX'=^m(x') и Sxn = %(x), мы приведем преобразова-
преобразование D3. Г) к виду D3.8). Таким образом, волновые функции
tym(x), tyn(x) суть не что иное, как матричные элементы унитар-
унитарных матриц S+ и S, преобразующих от координатного представ-
представления к «/^-представлению.
Выше (§ 41) уже было отмечено, что задачу о нахождении
собственных значений любого оператора можно рассматривать

§ 44] УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 171
как задачу о приведении матрицы, изображающей оператор,
к диагональному виду. В терминах унитарных преобразований
эта задача может быть формулирована так: найти унитарное
преобразование 5, которое преобразовало бы матрицу оператора G
к. диагональному виду. Чтобы найти это преобразование, умножим
уравнение D3.8) слева на S. Пользуясь D3.1 Г), получим
S(T = G'S, D3.14)
или в раскрытом виде
25™ас^ = 2сЛ- D3-15)
а п
?сли матрица Gap диагональна, то
SmaGaa = 2 GmnSna- D3.16)
п
Так как собственные значения Gaa нам неизвестны, то нам сле-
следует опустить индекс а, и мы получим
SmG=S]GmnSn, D3.17)
п
что совпадает с уравнением D1.4), если положить G = L, Sn = cn.
Отметим одно важное свойство унитарного преобразования:
унитарное преобразование оставляет неизменным сумму диагональ-
диагональных элементов матрицы. Эту сумму называют следом (или «шпу-
«шпуром») матрицы и обозначают так:
SpG=2G««- D3-18)
п
Из D3.7) имеем
2 G<*a = 2 2 2(S+)a.mGmnSna = 22 ^/ил 2(S+)amSna =
т. е. след матрицы есть инвариант унитарного преобразования.
Этим свойством часто пользуются в приложениях.
§ 44. Унитарные преобразования от одного момента
времени к другому. Матрица рассеяния
Изменение волновых функций с течением времени может быть
также рассмотрено с помощью унитарного преобразования. Пусть
*Ф (*> ^о) есть волновая функция в момент времени /0, а ij? (x, t) —
та же функция в момент времени /. Положим
, /о), D4.1)

172 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
где S(t, to) — ecTb унитарный оператор. В простейшем случае,
когда гамильтониан системы Н не зависит от времени, оператор
S (t, t0) имеет вид
5(/,g=r^('-w. D4.2)
Действительно, вычисляя частную производную по времени
от функции D4.2), найдем
= HS (t, toL(x, to) = ЛГЧ> (дг, О- D4.3)
Следовательно, г|э (*, /) удовлетворяет временному уравнению
Шредингера. Далее, из D4.1) и D4.2) следует, что соблюдено
начальное условие г|> (*, t) = yp(x, t0) при t = t0. Наконец, из эрми-
товости оператора Гамильтона вытекает унитарность оператора
S+(/, /o)=^A+(/'"/o) = ^A(/'/o) = S-1(^ 'о). D4.4)
Разобьем интервал времени /, t0 на меньшие интервалы
^l — ^o» t2 — tu ..., t — tk. Тогда формулу D4.1) можно записать
в виде
tk)&(tk9 (к.л) ... &(t2, h)&(tl9 to)$(x, to). D4.5)
Следовательно, движение квантовомеханического ансамбля можно
рассматривать как последовательность унитарных преобразований.
Важный специальный случай преобразования D4.1), имеющий
особенное применение в теории рассеяния частиц, возникает, если
начальное состояние задано не при to = O, а при to = — со, а ко-
конечное состояние г|э(*, /) рассматривается при / = -foo. В этом
случае D4.1) запишется в виде
—со), D4.6)
где явно
мулой
отмечено,
S= ,
что
S(+
t0 = — оо и
oo, — оо) =
t
оператор
lim S(t,
-+OO
5
to)
определен фор-
D4.7)
Этот оператор называют матрицей рассеяния. Его особое
значение в теории рассеяния частиц (см. § 80) вытекает из того
обстоятельства, что в теории рассеяния начальные состояния
задаются обычно в виде волн, представляющих удаленные друг
от друга частицы, которые потом встречаются (время от tQ =
= — оо до tf = 0), взаимодействуют около момента / —0 и затем
рассеиваются, уходя опять вдаль при /-^ + °°« По определе-

§441 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 173
нию D4.7) матрица рассеяния как раз и преобразует состояние,
заданное при / = — оо, в состояние, возникающее при t~-\-oo.
Заметим, что простота выражения D4.2) является в некото-
некоторой мере иллюзорной. Это выражение может быть просто при-
применено к вычислениям только при условии знания собственных
значений Еп оператора Н и его собственных функций чрп(х), т. е.
в том случае, когда найдены решения стационарного уравнения
Шредингера, что далеко не всегда просто сделать.
Чаще встречаются с такой ситуацией, когда оператор Н
можно разбить на две частицы: основную Яо и малую, добавоч-
добавочную часть W, так что Н — Ho-\-W. Предполагается, что собст-
собственные значения Еп и собственные функции % (х) «невозмущен-
«невозмущенного» гамильтониана Но известны. Тогда D4.2) можно разложить
в ряд по степеням малого «возмущения» W и получить прибли-
приближенное выражение для оператора S. Такой путь применения
5-матрицы широко используется в современной теории рассеяния
частиц.
Матричные элементы оператора S (/, /0) определяют вероятно-
вероятности переходов из одного квантового состояния в другое. Допу-
Допустим, что в начальный момент времени t = t0 некоторая динами-
динамическая величина L имела определенное значение L = Ln. Это
означает, что при t = t0 $(х, <0) = Фл(*)» где ф„ (х) есть собствен-
собственная функция оператора L, так что Ltpn = Ln(pn. В соответствии
с D4.1) в этом случае волновая функция к моменту времени /
будет равна
яНдг, 0 = 5 (/, to)<Pn(x). D4.8)
С другой стороны, согласно общей теории (§ 22), вероятность
найти L = Lm в момент времени / будет равна квадрату модуля
коэффициента ст (/) разложения функции г|> (х, t) по функ-
функциям cp,*(x). Этот коэффициент равен
= \<P*m(x)S(tt to)q>n(x)dx^Smn(t, t0), D4.9)
т. е. амплитуда ст (t) равна матричному элементу унитарного
оператора S, взятому между состояниями пит.
Отсюда следует, что вероятность найти L = Lm в момент t,
если в момент t^=t0 L^Lny будет выражаться формулой
Ртп (U Q ^ | СМ @ |2 = | Smn (/, /0) |2. D4.10)
Эта вероятность называется вероятностью квантового
перехода из состояния L = Ln в состояние L = Lm.

174 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
В квантовой статистике широко используется так называемый
принцип детального баланса. Согласно этому прин-
принципу вероятность перехода из состояния п в состояние т равна
вероятности перехода из состояния т в состояние п за тот же
промежуток времени. На самом деле этот принцип имеет весьма
ограниченное значение. Он верен лишь в первом приближении
теории возмущений. Он верен также в некоторых специальных
случаях, например, когда силы, действующие между частицами, —
центральные.
Принцип детального баланса был бы верен точно в том слу-
случае, если бы матрица S была бы эрмитовой. На самом деле она
есть матрица унитарная; поэтому величина ] Swn |2, вообще говоря,
не равна величине | Snm |2.
Отсюда не следует делать заключения о необратимости кван-
квантовой механики. Известно из классической механики, что если
силы не зависят от скоростей, то изменение скоростей всех ча-
частиц на обратные ведет к тому, что все движение воспроизво-
воспроизводится в обратном порядке.
Можно' доказать, что при этих же условиях и в квантовой
механике имеет место совершенно такая же обратимость. Именно,
вероятность за время / перейти из состояния, характеризуемого
импульсами частиц р}, pi], ... (состояние а), в состояние с импуль-
импульсами рь р2, ... (состояние Р) равна вероятности за такой же
отрезок времени перейти из состояния, характеризуемого обра-
обращенными импульсами —рь —р2, ... (обращенное состояние |3),
в состояние с импульсами —pj, —р!], ... (обращенное состоя-
состояние а)х).
Из краткого очерка унитарных преобразований видно, что
весь математический аппарат квантовой механики может быть
сформулирован на языке операторов, представленных в форме
матриц и на языке унитарных преобразований.
§ 45. Гайзенберговское представление и представление
взаимодействия в квантовой механике
В этой книге почти повсюду принято такое описание кванто-
квантовых систем, в котором операторы L, сопоставляемые классиче-
классическим динамическим переменным, не зависят от времени. Всю
информацию о временном развитии системы несет волновая функ-
функция г|?(л:, /), явно зависящая от времени и удовлетворяющая
нестационарному уравнению Шредингера B8.3). Такой способ
описания называется шредингеровским представле-
2) См. по этому поводу работу автора, ЖЭТФ 17, 924 A947), где подробно
рассмотрен этот вопрос.

§ 451 ГАЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 175
ни ем операторов L и волновых функций if (xy /). Аналогом ему
в классической механике является метод Гамильтона —Я коби,
в котором основную роль играет функция действия S (х, /), под-
подчиняющаяся уравнению Гамильтона —Я коби (см. § 35).
Помимо этого в классической механике широко используются
лагранжев и гамильтонов подходы. Оказывается, что им также
можно сопоставить квантовые формализмы. Построение кванто-
квантовой механики в рамках лагранжева подхода рассматривается
в конце книги в § 138 (так называемая фейнмановская форму-
формулировка квантовой механики). Что касается канонических урав-
уравнений Гамильтона, то, как было показано в § 32, эти уравнения
имеют место и в квантовой теории (см. C2.2) и C2.2')). Однако
в принятом нами шредингеровском представлении эти уравнения
не описывают эволюцию операторов во времени, а определяют
новые операторы -п и -тт через Ху Р = — ifi\ и Н.
Гайзенберг еще на первом этапе развития квантовой меха-
механики A927—1929) применил метод канонических уравнений Га-
Гамильтона для нахождения квантовых операторов как функций
времени и для определения собственных значений оператора
энергии Н-
Для этого он использовал представление операторов в виде
D2.12). Уравнения Гамильтона C2.3) и C2.2') в этом представ-
представлении записываются следующим образом:
^) =[//, Р]тпу D5.1)
%?) = [Я, Х]та. D5.2)
Матричные элементы операторов Р и X зависят теперь от вре-
времени согласно D2.12). Задача заключается в нахождении мат-
матриц Я, P(t) и X(t), удовлетворяющих этим уравнениям и допол-
дополнительным условиям
[У, Рх} = 0 и т. д.
В матричной форме эти скобки принимают вид
1^» * х\тп == О/я/г»
[Y, Рх]тп = 0 И Т. Д.,
причем умножение операторов X и Д представленных в матрич-
матричной форме D2.12), должно выполняться по правилу умножения
матриц D0.11).

176 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
В подавляющем большинстве случаев решить дифференциаль-
дифференциальное уравнение Шредингера оказывается значительно легче, чем
найти решение матричных уравнений D5.1) и D5.2).
Однако в квантовой теории поля область применения гайзен-
берговского представления более широка. Поэтому мы сформули-
сформулируем здесь связь представления Гайзенберга с обычным шредин-
геровским. При этом будет использован аппарат унитарных пре-
преобразований по времени (см. § 44).
В некоторый момент времени t0 операторы в обоих пред-
представлениях должны совпадать. Пусть это будет при /0 = 0. Вол-
Волновую функцию в этот момент обозначим Ф(х): Ф(х)=ур(ху 0).
В момент времени t эта функция, согласно D4.1), может быть и
представлена в следующем виде:
г|> (х, t) = S (/, 0) Ф (х), где S (/, 0) - Г * Ш. D5.3)
Далее возможны два пути.
Можно взять операторы L не зависящими от времени и поль-
пользоваться при вычислении матричных элементов волновыми функ-
функциями ty(x, /). В результате получим шредингеровское представ-
представление.
Другой путь состоит в перенесении всей временной зависи-
зависимости на операторы с помощью преобразования
L(t) = &-i(t, O)LS(t, 0). D5.4)
В этом случае волновые функции Ф(х) не зависят от времени.
Такое представление операторов и волновых функций называется
гайзенберговским представлением.
Дифференцируя D5.4) по времени, получаем уравнение дви-
движения для гайзенберговских операторов
где [Я, L(t)] =jjr(L(t)H — Я!(/)) —квантовая скобка Пуассона
C1.5).
Уравнение D5.5) формально совпадает с C1.7). Однако смысл
этого уравнения теперь иной: оно не служит определением но-
dt . .
вого оператора -^ а описывает эволюцию гаизенберговского опе-
оператора L (t) во времени.
Эквивалентность обоих методов вытекает из равенства матрич-
матричных элементов операторов в шредингеровском и гайзенбергов-
ском представлениях1). Действительно, в представлении Шредин-
2) В этой связи следует подчеркнуть, что матричные элементы операторов
определяют физически наблюдаемые величины, поэтому не могут быть различ-
различными в эквивалентных представлениях.

§ 45] ГАЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 177
гера матричный элемент L12 оператора L дли любых двух состоя-
состояний tyi(x, t) и г|J(х, t) равен
Выражая здесь ty* (х, /) и \|J (х, /) через Ф\ (х) и Ф2 (л) с по-
помощью D5.3), найдем
/-и = J Фд М 5+ (*, 0) LS (*, 0) Ф2 (х) d* -
= $ ФГ W I @ Фа (JC) Лс = ^и (/).
При этом мы воспользовались унитарностью оператора S: S+ = S г.
Частный случай перехода от представления Шредингера
к представлению Гайзенберга был рассмотрен в § 42. Гамиль-
Гамильтониан Н был приведен там к диагональному виду, поэтому
А — Е t
оператор S (/, 0) оказался равным е п п Ьпт.
Помимо шредингеровского и гайзенберговского представлений
находит применение, особенно в квантовой теории поля, пред-
представление взаимодействия. Суть его заключается в сле-
следующем. Пусть гамильтониан Н имеет вид
H^Ho + W(x, 0,
причем уравнение Шредингера с гамильтонианом Но
А
решается точно, а оператор W (x, t) является малым возмуще-
возмущением1). В этом случае волновую функцию г|) (х, /), подчиняющую-
подчиняющуюся нестационарному уравнению Шредингера с оператором Я =
= Hq^-W (x, /), целесообразно искать в виде
Ъ(х, 0=е~^Й0(Ф(х, f). D5.6)
Действительно, подставляя D5.6) в уравнение
%, о,
получим
ih™&A=V{X, 1)Ф(х, 0, D5.7)
где
]) Например, Но описывает свободное движение частицы, a W (xf f) описы-
описывает воздействие слабого внешнего поля.

17а ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
есть оператор энергии возмущения в представлении взаимодей-
взаимодействия, а Ф(х, /) —волновая функция в том же представлении.
Так как возмущения W (х\ t) и V (х, t) считаются малыми, то
преобразование D5.6) и D5.7) позволяет перейти к медленно-
меняющейся волновой функции Ф(х, /) (при У = 0 Ф(х, /) по-
попросту постоянна).
Таким образом, в представлении взаимодействия и операторы
и волновые функции явно зависят от времени. При этом изме-
изменение операторов во времени определяется «свободным» гамиль-
гамильтонианом Но:
а возмущение W (х, t) обусловливает временную зависимость вол-
волновой функции
В § 83, где рассматривается теория квантовых переходов
под воздействием слабого возмущения, используется переход
к представлению взаимодействия. Это преобразование выполнено
±4 А*
там в энергетическом представлении, поэтому операторы е п
±4rEJ
сводятся к числам е п п.
§ 46. Матрица плотности
л.
Пусть оператор L дац в координатном представлении в виде
матрицы LX'x- Среднее значение 1а в состоянии aj)a (x) будет
(ср. D1.2"))
Za = 55 dx'
Если из чистых ансамблей, характеризуемых волновыми функ-
функциями i|)a, образовать смешанный ансамбль такой, что каждое
чистое состояние будет представлено с вероятностью Рп9 то сред-
среднее значение L в смешанном ансамбле будет (ср. B2.18))
L = ? Ра1а = 2 Ра^ dx dx'№ (xf) Lx-хЪа (х) D6.2)
a a
(при условии 2]Pa=l). Равенство D6.2) можно переписать
в следующем виде:
L^lldx'dxpxsLx-x, D6.3)
где pxx* равно
%(х) D6.4)

§ 46] МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 179
Оператор р, представляемый матрицей с элементами рХх' D6.4),
называется оператором плотности1).
Выражение D6.3) есть не что иное, как сумма диагональных
элементов оператора pL.
Поэтому мы можем написать D6.3) в виде
Z = Sp(pL). D6.5)
В другом представлении, разлагая~"tya(x) по собственным функ-
функциям tyn (х) некоторого оператора М, имеющего дискретный спектр
собственных значений Мъ М2, ..., М„, ..., получим из {46.2)
1 = 2 И И РЛтЬтпСап, D6.6)
а т п
т. е.
^]РаСатСап, D6.7)
где сап суть амплитуды в разложении tya{x) по- фл(х). Стало
быть, в этом представлении имеем
D6.8)
Диагональный матричный элемент матрицы р имеет смысл ве-
вероятности (или плотности вероятности).
Действительно, полагая в D6.4) х' = ху найдем
Pxx=%Pa\Va(x)\*~W(x), D6.9)
а
т. е. плотность вероятности для координаты х в смешанном
ансамбле. Подобным же образом из D6.7) получаем
Pnn = 2>Pa\can\2 = wny D6.10)
а
т. е. вероятности найти в смешанном ансамбле значение М = Мп.
Рассмотрим теперь, как будет меняться оператор р с течением
времени. Матрица D6.4) определяет р для какого-то момента
времени, который мы можем принять за начальный (/ = 0). Сме-
Смешанный ансамбль, описываемый этой матрицей, есть набор кеза-
висимых систем, каждая из которых находится (с вероятностью Ра)
в одном из чистых состояний 1|)а(*)— tya(xi 0). Система, нахо-
находившаяся в момент t = 0 в чистом состоянии ^(лг, 0), в момент
J) Этот оператор был введен Нейманном (см. I. V. Neumann, Gott.
Nachr., 1927).

180 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
/>0 будет также находиться в чистом состоянии ^(л, /), кото-
которое можно найти из уравнения Шредингера
хх^ {Л t) м D6.11)
или для сопряженной функции ^%(х\ t) из сопряженного урав-
уравнения
Здесь Нх'х" есть матричный элемент гамильтониана в «^-пред-
«^-представлении.
Вероятности же Ра, будучи вероятностями начальных данных
(Ра есть вероятность того, что при / = 0 система находится
в состоянии i|)a(x, 0) = i|)a(^)), конечно, не зависят от времени1).
Поэтому в момент />0 матрица р будет равна
Px* (t) = S Р*№ (Х'> 0 *а (ДС, t). D6.4')
Дифференцируя это уравнение по времени и выражая с помощью
D6.11) и D6.1 Г) производные волновых функций через оператор
Гамильтона, найдем
(при этом мы воспользовались тем, что Нрх" = Нх*х') или в опе-
операторной форме
д1=-[Н,Ь\, D6.13)
где [Я, р] есть кванторая скобка Пуассона.
Это операторное уравнение позволяет определить оператор р
для любого момента времени, если он известен при / = 0.
Преимущество описания ансамбля посредством оператора р
в сравнении с описанием с помощью ^-функции заключается в том,
что оператор р позволяет единообразно рассматривать как смешан-
смешанные, так и чистые ансамбли.
Обратимся теперь к тем изменениям в операторе р, которые
возникают в результате измерения. Пусть производится полное
измерение (измерение величины или набора величин М). Пусть
собственные функции оператора М будут срЛ (*). Тогда ^вероятность
найти М = Мп будет D6.10). После измерений возникает новый
смешанный ансамбль, в котором новые чистые состояния <ря (х)
Однако Ра могут изменяться в результате измерений. См. ниже.

§ 461 МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 181
будут представлены с вероятностями wn, т. е. после измеренияг)
2>*<PS(*'LU*). D6.14)
pi мы получаем совершенно новый смешанный- ансамбль.
В квантовой статистике состояния никогда не характеризуются
полным измерением. Поэтому там всегда имеют дело со смешанными
ансамблями. В силу этого оператор плотности р приобретает особо
большое значение именно в квантовой статистике.
С помощью матрицы плотности можно описать не только
движение микрочастицы, но и макроскопических систем, а
также взаимодействие микросистем с макроскопическими систе-
системами.
Как известно, в классической статистике ансамбль независимых
систем (который обычно называют ансамблем Гиббса) характеризу-
характеризуется плотностью вероятности D.(p, х) такой, что величинаD(p, л:) х
X dpdx имеет смысл вероятности найти систему с импульсом,
лежащим около р, и координатой, лежащей около 2) х. Согласно
теореме Луивилля эта плотность является постоянной, так что
^=§ + [#, Я]кл = 0, D6.15)
гы гм дН 3D дН 3D * п
где [Я, О]кл = ^—^ ~д~~7Г есть классическая скобка Пуассона.
Из D6.15) следует, что
f = -[#, D]KJ1. D6.15')
Аналогия между D6.15') и D6.13) очевидна.
Классический ансамбль Гиббса и квантовый смешанный ансамбль
по своему существу (набор независимых систем) тождественны.
Поэтому оператор р по аналогии с плотностью вероятности D
и называют оператором плотности. Более полно связь между р
и D может быть установлена, если вмесго р*^ ввести матрицу
R (р, х), строки которой нумеруются импульсом, а столбцы коор-
координатой
X) = J Р«- 6 2пП dx'- D6Л6)
1) Если, конечно, не произведено выбора подсовокупности, скажем,
с М=Мп. При таком отборе полученный после измерений ансамбль будет
чистым (с ф = флМ).
2) Мы пишем в обозначениях, соответствующих ансамблю систем с одной
степенью свободы х. Под р и х можно подразумевать совокупность импульсов
и координат всех частиц, входящих в систему.

182 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГГЛ. VII
Тогда
$ R (p, x) dp = \ рхх> Ь{х~ х') dx' = w(x), D6.17)
(р, x) dx = $ Рхз,е-^~ dx dx' = Ррр = oi (p), D6.17')
где ai(x) и ©(р) — плотности вероятности для координаты х
и для импульса*) р. Эти формулы совершенно аналогичны клас-
классическим:
\D(p, x)dp = wKJl(x)y \D(p, x)dx = wKJl(p). D6.18)
Более того, можно показать, что матрица R (р, х) подчиняется
уравнению, которое при определенных условиях (гладкость полей
и гладкость самой функции R (р, х)) превращается в классическое
уравнение D6.15'J). Поэтому величина R (р, х) вполне аналогична
классической вероятности (плотности вероятности) D (р, х), и ее
можно^ рассматривать как обобщение понятия вероятности на слу-
случай одновременно неизмеримых величин («квазивероятность»).
Величина же р**' аналогична компонентам Фурье от плотности
D (р, х), т. е. величине
.(p9x)e n dp. D6.19)
г) Чтобы получить D6.17'), следует иметь в виду, что
2) Матрица R (р, х) была введена автором книги (см. J. Phys. USSR
2,71 A940)).

Глава VIII
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ
В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
§ 47. Гармонический осциллятор
В этой главе будут рассмотрены простейшие задачи атомной
механики, относящиеся к движению частиц в поле потенциальных
сил. Если силы не зависят от времени, то основной задачей
атомной механики будет задача нахождения стационарных состоя-
состояний системы. Действительно, в этом случае, согласно C0.8), про-
произвольное состояние г|? (х, t) может быть представлено как супер-
суперпозиция стационарных состояний с постоянными амплитудами сп:
о=
а
где г|)л (х) суть волновые функции стационарных состояний, а Еп —
соответствующие значения энергии. Волновые функции ihi(x) —
это собственные функции оператора энергии Н. Они определяются,
согласно C0.4), из уравнений Шредингера для стационарных со-
состояний
Щ = Етр.
Задача о нахождении стационарных состояний есть вместе с тем
задача о нахождении спектра энергии ?.
Особое значение этой задачи д!ля атомной механики заключается
в том, что в противоположность классической механике кванто-
квантовая механика приводит во многих случаях к квантованию энергии,
т. е. к дискретному спектру ее значений Е1у Е2, ..., Епу ... Эти
значения часто называют квантовыми уровнями или
уровнями энергии.
Если система (например, электрон в атоме, молекула и т. п.),
обладающая таким спектром энергии, подвергается извне слабому

184 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
воздействию, то ее квантовые уровни не меняются (точнее, меня-
меняются мало). Однако благодаря внешнему воздействию система
может переходить с одного уровня на другой, так что ее состояние
может измениться значительно. Вероятности этих переходов мы
вычислим позже.
Нахождение же возможных значений энергии позволит нам сразу
сказать, каковы возможные изменения энергии рассматриваемой
нами системы, если между ней и какой-либо другой системой или
внешним полем установлена слабая связь1). Так, если найденные
уровни энергии будут Еъ Е2, ..., Епу ..., Ету ..., то обмен энер-
энергий возможен лишь порциями:
Рассмотрим простейший случай движения частицы в потен-
потенциальном поле —гармонический осциллятор. В классической меха-
механике гамильтонова функция одномерного гармонического осцил-
осциллятора имеет вид
Здесь рх — импульс частицы, jut — ее масса, х — отклонение от
положения равновесия, а со0 — собственная частота (циклическая)
осциллятора.
Заметим, что гармонический осциллятор, поскольку речь идет
о механических колебаниях, является идеализацией, так как зна-
значение потенциальной энергии U = Щ1 х2 означает, что по мере
удаления от положения равновесия сила неограниченно возрастает.
Во всех реальных случаях, начиная с некоторых значений ампли-
амплитуды, появляются заметные отступления от гармоничности, а при
больших значениях х сила взаимодействия стремится к нулю (a U —
к постоянной величине). Однако для небольших амплитуд колеба-
колебаний х вполне можно пользоваться представлением о гармониче-
гармоническом осцилляторе.
Теория гармонического одномерного осциллятора имеет боль-
большое значение в приложениях, так как подходящим выбором коор-
координат («нормальные координаты») движение любой системы частиц,
совершающих малые колебания, может быть сведено к движению
совокупности независимых осцилляторов2).
В квантовой механике под одномерным осциллятором мы будем
понимать систему, описываемую оператором Гамильтона Я, равным,
*) Если связь между системами сильна, то мы имеем одну целую систему.
Если внешнее поле велико, то уровни в системе заметно меняются. Поэтому
предположение о слабости связи является существенным.
2) См. § 109. Теория квантовых гармонических осцилляторов находит важ-
важное применение в квантовой теории поля.

§ 47] ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 185
в полной аналогии с D7.1),
?v Рх , ЦСОО V2 //17 О\
Н==2р+ТХ > D7-2)
где Рх — оператор импульса, а X — оператор координаты1). Соот-
Соответственно этому гамильтониану уравнение Шредингера в <ш>-
представлении для стационарных состояний осциллятора имеет вид
Для решения этого уравнения введем безразмерные величины
с. X -Ш / Я А 2Е
D7-4)
Обозначая дифференцирование по \ штрихом и рассматривая г|) как
функцию ?, после элементарных преобразований мы приведем урав-
уравнение D7.3) к виду
¦" + (Л-РI> = О. D7.5)
Нам нужно найти конечные, непрерывные и однозначные
решения этого уравнения в интервале — оо<с?< + °°. Такие
решения уравнение D7.5) имеет не при всех значениях параметра Я,
а лишь при
ft = 2n+l, n = 0, 1, 2, 3, ..., D7.6)
причем соответствующие функции tyn равны
где НпA) есть полином Чебышева—Эрмита/г-го порядка2), опре-
определяемый формулой
J^^ D7.8)
при этом множитель перед е*2 выбран так, что функция tyn (I)
нормирована по | к 1:
-j-oo
$ S # D7.9)
2) Может возникнуть вопрос: почему имеет смысл называть систему с га-
гамильтонианом D7.2) гармоническим осциллятором? Ответ заключается в том,
что система, описываемая гамильтонианом D7.2), излучает и поглощает только
одну частоту соо (см. § 90, А) и при ti-+Q переходит в классическую систему
с гамильтоновой функцией D7.1) (ср, §§ 34, 35).
2) Подробности, касающиеся решения уравнения D7.5) и в особенности
требования D7.6)f изложены в дополнении IX.

186 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Таким образом, одного требования непрерывности и конечности "ф
оказывается достаточно, чтобы параметр А получал лишь дискрет-
дискретные значения D7.6). Но, согласно D7.4), этот параметр определяет
энергию. Сравнивая D7.4) и D7.6), находим, что возможные зна-
значения Еп суть
(±) п = О, 1, 2, 3, ... D7.10)
Эта формула показывает, что энергия осциллятора Е может иметь
лишь дискретные значения. Число п, определяющее номер кван-
квантового уровня, называют главным квантовым числом.
Окончательно мы запишем собственную функцию, принадлежа-
принадлежащую /г-му собственному значению и данную в «^-представлении,
в виде
_2
где Ъ =
Эти функции нормированы так, что
-foo
Обратим внимание на четность волновых функций осциллятора.
Как легко видеть из формул D7.11) и D7.8), четность состояний
осциллятора определяется четностью главного квантового числа /г.
Пользуясь формулами D7.7) и D7.8), выпишем несколько соб-
собственных функций вида D7.11)
г|?0 (х) = ' <Г*2/2Ч п = 0, D7.12)
V хоул
ft (х) = _J_e^4.2 -f, я=а х> D7Л2,}
]/2л:0/л х°
D) л = 2. D7.12")
Первая функция не обращается в нуль нигде (кроме х = ±оо).
Вторая обращается в нуль при х = 0. Точку, где волновая функ-
функция обращается в нуль, будем называть узлом. Третья функция
обращается в нуль при л: = ± -^= и имеет, стало быть, два узла.
Мы замечаем, что число узлов равно номеру функции п. Это
свойство справедливо для любого я1). Таким образом, главное
2) Всегда номер собственной функции равен числу узлов. Общее доказа-
доказательство этой теоремы см. у Р. Куранта и Д. Гильберта, Методы
математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1951, стр 382—386.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
187
квантовое число разно числу узлов собственной функции. Эти волно-
волновые функции изображены на рис. 23, а. Вид функций tyn(x)
аналогичен виду функции Un (х), изображающей колебание за-
закрепленной на концах струны.- Для сравнения "на рис. 23, б при-
приведена функция Un (х) для основного тона (я = 0), первого обертона
(/г=1) и второго обертона (п = 2).
а)
Рис. 23. Волновые функции,
а — волновые функции осциллятора для п = 0, 1, 2, б) колебания закрепленной струны,
U\ — основной тон, Ut> Us — первые два обертона.
Обнаруживающаяся аналогия между колебаниями струны и вол-
волновой функцией осциллятора не является случайной. Она обус-
обусловлена двумя обстоятельствами. Во-первых, в обоих случаях
дело идет об одном измерении. Во-вторых, колебания струны — это
собственные колебания. Соглас-
Согласно общей теореме об узлах соб-
собственных функций (см. примеча-
примечание на стр. 186) число узлов
функции tyn (x) и функции Un (х)
должно быть одинаково.
Чтобы получить более пол-
полное представление о кванто-
квантовых состояниях осциллятора,
мы приводим на рис. 24 потен-
потенциальную функцию осциллятора
' 2 "
Рис. 24. Диаграмма квантовых уров-
уровней Еп и потенциальной энергии U (х)
для гармонического осциллятора.
По,оси ординат отложена потен-
потенциальная энергия, а по оси абс-
абсцисс отклонение х. На этом же рисунке горизонтальными линиями
изображены уровни энергии Еп D7.10) для разных /г. Такие
диаграммы, на которых изображается одновременно энергетичес-
энергетический спектр и потенциальная энергия, употребляются довольно
часто. Они позволяют произвести простое сравнение с класси-
классической картиной движения. Рассмотрим, например, уровень Еъ
Согласно классической механике, частица, имеющая энергию Еи

188 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
могла бы быть обнаружена лишь в области АВ. В самом деле,
А и В суть точки, где потенциальная энергия равна полной.
В этих точках кинетическая энергия Т равна нулю, так как
E = T + U, T = E-U. D7.13)
Точки Л и В называются точками поворота. Очевидно, 0А= ОВ
есть амплитуда колебания частицы, имеющей энергию Ег.
Вычислим вероятность w (x) dx найти частицу в области х>
x + dx по классической механике. Эта вероятность пропорциональ-
пропорциональна времени dt, в течение которого частица проходит отрезок dx.
Если период колебаний есть Г = 2я/соо, то мы можем положить
»HMdx = ?=g?, D7.14)
где V — скорость частицы. Выразим v как функцию х. Имеем
*~asincoo/, D7.15)
где а — амплитуда колебаний
Из D7.15) имеем
v = ащ cos (o0ty D7.16)
т. е. опять-таки по D7.15)
» = аюо]Л-5- D7.17)
Следовательно,
d± D7.18)
~
Эта вероятность изображена на рис. 25. Наибольшая вероятность
приходится, как и следует ожидать, на точки поворота А и В.
Вероятность найти частицу в области л:, x-\-dx по квантовой
механике равна (для /г=1)
причем ifi следует взять из D7.12'). Следовательно,
WKB(x)dx>e-^l%dA D7.19)
График этой вероятности также изображен на рис. 25. Как видно,
квантовая вероятность также имеет максимумы около классических
точек поворота (точно, для Ex^-~ /гсоо, О А = ОВ = Т/ * ,

¦ 47]
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
189
а 0Л' = 05' = 1/ ), но, в отличие от классического случая,
вероятность найти частицу отлична от нуля и за точками поворота.
Это обстоятельство не представляет в квантовой механике какого-
либо противоречия, так как равенство D7.13) в квантовой механике
не имеет силы: кинетическая энергия Т и потенциальная U не
являются одновременно измеримыми величинами.
V)
Щ
Рис. 25 Сравнение квантовой
вероятности местонахождения ча-
частицы (для /1=1) с классической.
А, В т-чТочки поворота, А', В'-г-точки
максимума о>кв«
w
X
Рис. 26. Классическая и кван-
квантовая вероятности для состоя-
состояния осциллятора с наименьшей
энергией ?0.
Особенно сильно подчеркивается различие между квантовым
и классическим случаем, если рассмотреть состояние с наименьшей
энергией. По классической теории наименьшая энергия осциллятора
есть Е = 0 и соответствует покоящейся в положении равновесия
частице. Вероятность wKJl (x) в этом случае имеет вид, приведенный
па рис. 26. Она всюду равна нулю, кроме точки х = 0. По кван-
квантовой теории наименьшая энергия осциллятора есть
она называется нулевой энергией. Вероятность wKB(x) в этом
случае равна
Она также приведена на рис. 26.
Выясним подробнее свойства нулевой энергии. Очевидно, что
эта энергия не может быть отнята от осциллятора, ибо по своему
существу она есть минимальная энергия, которую может иметь
осциллятор. Ее можно отнять, лишь изменяя сам осциллятор,
именно, уменьшая частоту <о0, т. е. путем изменения коэффициента

190 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
упругости* Существование нулевой энергци является типичным
для квантовых систем и представляет собой прямое следствие
соотношения неопределенностей
? D7.20)
В самом деле, средние значения р и хв состоянии с определенным
значением энергии равны нулю:
Z = \^nx^ndx = \^nXdx = 0 D7.21)
(что следует из нечетности подынтегральной функции),
Р = $ ?<A*« d* = -f*$*»^-dx = [-**! (х)]!2 = °- D7-22>
Поэтому для осциллятора соотношения неопределенностей D7.20)
можно переписать в виде
/?.j?S^. D7.20')
С другой стороны, средняя энергия осциллятора равна
Е==2р+Тх • D7.23)
Из сопоставления D7.20'). и D7.23) непосредственно видно, что,
уменьшая потенциальную энергию, мы увеличиваем кинетическую,
и наоборот. В частности, состояние с наименьшей потенциальной
энергией U = 0 есть состояние с бесконечно большой кинетической
энергией 7 = оо. Объединяя D7.20') и D7.23), получаем
Отсюда легко найти минимальное значение ?. Именно, из
получаем
min?^^, D7.25)
т, е. нулевая энергия есть наименьшая энергия, совместимая
е соотношением неопределенностей.
Примером частицу совершающих малые колебания, могут слу-
служить атомы в молекуле или в. твердом теле. Экспериментально
удается доказать наличие нулевой энергии и нулевых колебаний
атомов путем наблюдения рассеяния света кристаллами. Рассеяние
света обусловлено колебаниями атомов. По .мере уменьшения тем-
температуры амплитуда колебаний, согласно классической теории,

'} 481
ОСЦИЛЛЯТОР В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
191
должна неограниченно уменьшаться, а вместе с тем должно исче-
исчезать и рассеяние света,. Между тем опыт показывает, что интен-
интенсивность рассеяния света по мере уменьшения температуры стре-
стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то,
что и при абсолютном нуле колебания атома не прекращаются.
Этот факт подтверждает существование нулевых колебаний.
§ 48. Осциллятор в энергетическом представлении
Обратимся к представлению, в котором за независимую пере-
переменную взята энергия осциллятора Е. В этом представлении
оператор полной энергии Н будет диагональной матрицей с эле-
элементами
Нтп = Еп8тп, D8.1)
или на основании D7.10)
D8.2)
Любое состояние осциллятора о|) (х, t) можно представить как
суперпозицию стационарных состояний (ср. § 30)
2
0
0
3
2
0
/ш>0
0
5
2
0
0
0 ..
0 ..
о 0 ..
D8-3)
где tyn(x) дается формулой D7.11), а Еп — формулой D7.10). Сово-
Совокупность всех сп будет волновой функцией в «^-представлении.
Вероятность найти значение энергии Еп в состоянии г|э (х, t)
равна
w(En) = \cn(t)\* = \cn@)\*. D8.4)
Эта вероятность не зависит от времени, что соответствует тому,
что энергия есть интеграл движения.
Найдем оператор координаты X в «?>ьпредставлении. По об-
общей теории он должен изобразиться матрицей с элементами
Xmn = \№xtyndx.. D8.5)
Подставляя сюда г|?от и ^п из D7.7), получаем
= }/^. D8.6)

19^ МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
Этот интеграл может быть вычислен:
[ГЛ. VIII
у
для т =
D8.7)
О в остальных случаях.
Пользуясь этим результатом, мы можем написать D8.6) с помощью
символа Ьтп в следующем виде:
D8.8)
Приведем матрицу х. Из D8.8) видно, что отличны от нуля лишь
соседние с главной диагональю элементы, именно,
о У~-2-
I о
VI
YJ
D8.9)
В гайзенберговском представлении элементы матрицы оператора X
будут равны (см. D2.12))
где
D8.10)
D8.11)
Так как хтпф0 лишь для т = п± 1, то все матричные элементы
координаты осциллятора колеблются с одной и той же частотой,
равной собственной частоте осциллятора <о0.
Вычислим теперь среднее значение координаты осциллятора х
для произвольного состояния. По общей формуле D1.2) имеем
т{0)хтп{1)сп{Щ. D8.12)
На основании сказанного о матричных элементах хтп (t) среднее
значение х будет гармонической функцией времени с частотой соо.
Иначе говоря, х зависит от времени так же, как зависит от

§ 491 ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 193
времени координата классического осциллятора1):
7G)=acos(cD0/ + <p), D8.13)
где а —амплитуда, ф —фаза.
Матрица оператора импульса в «^-представлении может быть
найдена либо путем вычисления интегралов
Ртп = \ ГтРЖ dx=- iU J Гт ^ dx, D8.14)
либо, более просто, на основании квантовых уравнений движе-
движения. Согласно этим уравнениям
т. е.
Пользуясь формулой D2.11), находим
Ртп = itomnWmn, D8.17)
ИЛИ
ртп = /|1со0 (т - п) хтп. D8.18)
Разумеется, вычисление интегралов D8.14) ведет к тому же
результату.
§ 49. Движение в поле центральной силы
Поле центральной силы характеризуется тем, что потенциаль-
потенциальная энергия частицы в таком поле зависит лишь от ее расстоя-
расстояния г от некоторого центра (силового центра). Законы движения
в поле центральной силы образуют фундамент атомной механики:
решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается
в той или иной мере на результаты, относящиеся к движению
одной частицы в поле центральной силы.
Обозначая через U (г) потенциальную энергию частицы, мы
можем написать оператор полной энергии Н C3.12) в виде
^ , D9.1)
х) Этот же результат мы можем получить непосредственно из теоремы
Эренфеста. Уравнение C4.1) для осциллятора принимает вид
откуда путем интегрирования находим

194 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
где М2 есть оператор квадрата момента импульса, a tr — оператор
кинетической энергии для радиального движения.
Из общей теории интегралов движения (§ 33) следует, что
интегралами движения в поле центральной силы будут: полная
энергия Е и момент импульса (т. е. М2> Мх, Му, Mz). Мы поста-
поставим себе задачу найти стационарные состояния частицы, движу-
движущейся в поле U (г).
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в нашем
случае имеет вид
Tr4 + ^ + U(r)Mp = Ey. D9.2)
Волновую функцию г|? естественно искать как функцию сфери-
сферических координат г, 0, фГ Мы должны найти однозначные, непре-
непрерывные и конечные решения г|э уравнения D9.2) во всей области
изменения переменных г, б, ф, т. е. в области О^г^оо, 0^
^б^я, 0^ф^2я. Так как операторы Н и УЙ2 коммутируют,
то они должны иметь общие собственные функции, поэтому мы
можем написать второе уравнение для г|э:
Mhb = M2^. D9.3)
Собственные значения М2, согласно § 25, равны %>2Ц1+л1), так
что вместо M2ty мы можем подставить в D9.2) величину Щ (I +
+ l)>. Тогда мы получаем уравнение
т-Еу. D9.3')
Это уравнение содержит явно* лишь одну переменную г. Полагая
теперь
г|)(г, 8, ф)=/?(/-)Г//и(б, Ф), D9.4)
где Yim(by ф) есть собственная функция оператора М2, мы одно-
одновременно удовлетворяем и уравнению D9.3), и уравнению D9.3'),
если функция R (г) удовлетворяет уравнению
(r)R = ER. D9.5)
Это уравнение получается путем деления D9.3') на У/От. Мы
будем называть его уравнением Шредингера для радиальной
функции R{r).
Напомним (см. § 25), что функции Уш являются также соб-
собственными функциями одной из проекций момента импульса,
именно —при нашем выборе координат проекции Mz. Поэтому
в поле центральной силы полная энергия, квадрат момента им-
импульса и проекция момента импульса на некоторое произвольное

§ 491 ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 195
направление 0Z являются величинами, одновременно измери-
измеримыми.
Возможные значения энергии ? определяются из уравнения
D9.5) и зависят от вида U(r). Они, кроме того, могут зависеть
от величины момента импульса М2 (через число /), но они не
могут зависеть от проекции момента импульса Mz (и, следова-
следовательно, от числа т): Мг не входит в уравнение D9.5). Это объяс-
объясняется тем, что мы имеем дело с полем, обладающим центральной
симметрией, так что все направления в пространстве физически
равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориента-
ориентации в пространстве момента импульса. Для дальнейших выводов
мы должны более подробно определить вид U (г).
Во всех реальных физических системах взаимодействие на
бесконечно больших расстояниях бесконечно мало. Это означает,
что асимптотически (при г-+аэ) потенциальная энергия прини-
принимает постоянное значение
U (r)r_oo = const = С, D9.6)
где С — произвольная постоянная, определяющая уровень потен-
потенциальной энергии в бесконечности.
Мы ^увидим, что характер решения уравнения D9.5) сущест-
существенно зависит от того, больше или меньше полная энергия Е
значения потенциальной энергии в бесконечности (С). Так как С
есть произвольная постоянная, то в тех случаях, когда специ-
специально не оговорено, мй будем полагать ее равной нулЪ и раз-
различать два случая: ?>0 и ?<0.
Определим еще вид U (г) вблизи центра сил (при г->0). Мы
будем считать, что U (г) имеет в нуле полюс, порядок которого
меньше 2:
С/(г),-о = ?, <х<2. D9.7)
Сделанные нами предположения о виде U (г) охватывают весьма
широкий круг задач атомной механики. Так, например, в про-
проблеме движения валентного электрона в атоме речь идет о дви-
движении электрона в поле ядра атома, окруженного оболочкой
более близких к ядру электронов.
При малых расстояниях действие этих электронов несущест-
несущественно, основное поле будет кулоновским полем ядра. Потенциаль-
Потенциальная энергия электрона в кулоновском поле имеет вид -- и поэтому
входит в класс D9.7). В случае взаимодействия двух атомов при
малых расстояниях наибольшее взаимодействие есть отталкива-
отталкивание ядер по закону Кулона, т. е. потенциальная энергия имеет
опять-таки вид А/г. В обоих примерах U имеет при г = 0 полюс
первого порядка.

196 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Для исследования решения уравнения D9.5) представим это
решение в виде
R(r) = ^. D9.8)
Подставляя это выражение для R в D9.5) и замечая, что, со-
согласно B6.7),
f R= --- !(Г**!Е\ = -—±^ №<))
1 гП 2\ir2 дг\дг) 2\i r dr2 * I*».»/
мы получаем следующее уравнение для и:
Рассмотрим сначала асимптотические решения этого уравнения
при г-^-оо. Пренебрегая для больших г членом с -а и V (г) (мы
считаем С в D9.6) равной нулю), получаем простое уравнение
Обозначая
&2 = -ii_ для ?>0 и X2 — ^2~- Аля ?<0> D9.12)
мы получаем общее решение D9.11) в виде
и = Cxeikr + C2e-ikr, E > 0, D9.13)
и = Сг(г>" + C2eKr, E < 0, D9.14)
где Ci и С2 — произвольные постоянные. Согласно D9.8) асим-
асимптотическое решение уравнения D9.5) имеет вид
pikr p-ikr
R = C1-— + C2-—, ?>0, D9.15)
Г Г х '
Я = СХ^ + С2^, ?<0. D9.16)
В первом случае ?>0 решение R конечно и непрерывно при
любом значении постоянных. Как видно, оно представляет собой
суперпозицию сходящихся и расходящихся сферических волн.
Вероятность найти частицу в этом случае не исчезает даже для
больших г. Именно, вероятность найти частицу между г к r-\-dr
пропорциональна \R\2 и объему шарового слоя 4nr2dr1):
w(r)dr^\R |2 4nr2 dr = 4л \Cxeikr + C2eikr |2 dr.
x) Пренебрежение в уравнении D9.10) потенциальной энергией U (г), сде-
сделанное нами, законно лишь в том случае, если U (г) при г -> оо стремится
быстрее к нулю, нежели 1/г. В случае кулоновского поля U (r)r_^QO = B/rf и
асимптотические решения D9.15) и D9.16) несколько видоизменяется, но не
столь существенно, чтобы это видоизменение отразилось на справедливости
наших дальнейших рассуждений.

§ 491 ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ 197
Такие состояния соответствуют апериодическим орбитам в клас-
классической механике, когда частица движется t из бесконечности
к центру сил и уходит опять в бесконечность. Так как рассмат-
рассматриваемое нами состояние стационарно, то поток приходящих
частиц должен равняться потоку уходящих. Это означает, что
амплитуды приходящих и уходящих волн Ci и С2 должны быть
равны по модулю. Если положить C1 = 2jAeia> ^2 = — ^ Ae~ia9
где Л и а действительны, то асимптотическое решение D9.15)
можно представить в виде
*n(k+) D9.16')
т. е. в виде стоячей, сферической волны.
Иное положение вещей имеет место при ?<0. В этом случае
необходимо положить С2 = 0, иначе /?->оо при г->оо. Поэтому
нужное решение будет
R^d6-—. D9.16")
Для этих состояний
w (r) dr ъ* 4л Idfe-^dr
и при больших г величина w(r)-+0, т. е. частицу можно найти
лишь вблизи центра сил. Такие состояния соответствуют перио-
периодическим орбитам в классической механике, когда частица дви-
движется около силового центра.
Исследуем теперь поведение решений вблизи центра (г->0).
Будем искать и (г) в виде степенного ряда
a(r) = rY(l+a1r + a2r2 + ...). D9.17)
Подставим это выражение для и в уравнение D9.10). Тогда низ-
низшей степенью г будет *rY~2 или rY~a. Мы видим, что если a < 2,
то низшей степенью будет rY~2. Член с rY~2 будет наибольшим
(при г->0); поэтому, игнорируя величины высшего порядка, мы
найдем, что результатом подстановки D9.17) в D9.10) будет
[V (V "" I) ~ I (I + *)]rY~2 + члены высшего пор ядка = 0. D9.18)
Чтобы это равенство было соблюдено тождественно при всех
(бесконечно малых) значениях г, необходимо, чтобы
Y(V-l) = /(/+O- D9.19)
Отсюда
у = 1+1 или у = — 1. D9.20)
Следовательно, при г-+0 решение /?, равное и/г, имеет вид
R = C'lri(\+a1r + a2r* + ...) + C'2r-i-i(l+a[r + a:2r* + ...), D9.21)
где С[ и С.2 — произвольные постоянные.

198 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Дли того чтобы функция оставалась конечной, необходимо
положить Сз = 0. Таким образом, собственная функция R при
малых г имеет йид
+ ...). D9.22)
При г->оо это частное решение перейдет либо в D9.15) (если
?>0), либо в D9.1.6) (если ?<0). Полагая С$ = 0, мы выби-
выбираем частное решение уравнения D9.10). Поэтому коэффициенты
Ci и С2 в D9.15) или в D9.16) будут находиться уже во вполне
определенном отношении друг"к другу (абсолютная же величина
этих коэффициентов не имеет значения, так как уравнение D9.10)
есть однородное уравнение). Это отношение зависит теперь только
от параметров уравнения D9.10), в частности, от Е. Следова-
Следовательно, при С? = 0 имеем
%Ч(Е), D9.23)
где / — некоторая функция Е, зависящая от вида уравнения
D9.15), т. е. от U(r).
Если энергия частицы ?>0, то оба частных решения D9.13)
конечны, и поэтому при любом отношении C2lCx решение D9.15)
есть допустимое решение, в частности, и при том С2/Съ кото-
которое получается из требования С2 = 0. Поэтому мы не должны
накладывать какого-либо нового ограничения на отношениег)
C2/Ci. Вместе с тем параметр Е может иметь любое значение.
Отсюда следует, что если энергия ?>0, то энергия не кванту-
квантуется, а принимает все значения от 0 до +оо.
*) Из требования CJ = O как раз и вытекает асимптотическое выражение
для R D9.15). Полагая Сд = 0, мы тем самым выбираем if без сингулярностей
в нуле. Благодаря этому будет справедливо уравнение сохранения для \|?*ф
B9.7) (см. также дополнение VIII). Для стационарных состояний из B9.7)
находим
дли любой замкнутой поверхности. Выберем в качестве такой поверхности
сферу с центром в нуле. Тогда JN = Jr. Из B9.5) и D9.4) имеем
dR* dR\
Подставляя в предыдущую формулу и замечая, что
dS=r*dQ, $Y,mYfmdQ-l.
получим
6R*_ dR
R~dF~R ~dF-
Легко убедиться, что это равенство невозможно, если | Ct | Ф | Сг |.

§49]
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
199
Таким образом, при ?>0 мы имеем непрерывный спектр
энергии. Другое положение дел имеет место при ?<0. Из тре-
требования конечности функции R в нуле (С2 = 0) не следует
С2 = 0, так что в общем случае при R конечном в нуле решение
будет возрастать в бесконечности неограниченно. Чтобы получить
решения конечные и в бесконечности, нужно дополнительно
потребовать С2 = 0. А это налагает ограничение на возможные
значения энергии Е> так как тогда из D9.23) следует
gs=/(?) = 0. D9.24)
Это будет некоторое трансцендентное уравнение для Е. Корни
этого уравнения
? = ?ь Еъ ..., Еп, ... D9.25)
и будут собственными значениями оператора энергии., так как
только при этих значениях Е решение R конечно и при г = 0,
и при г = оо. Следовательно, при Е <J) получается дискретный
спектр возможных значений энергии. Мы получаем в этом слу-
случае систему квантовых уровней
D9.25).
Рассмотрим теперь подробней
несколько наиболее типичных
ш
Рис. 27. Потенциальная энергия
для случая отталкивания от г.
Энергетический спектр Е > 0 не-
непрерывен.
Рис. 28. Потенциальная энергия
для случая притяжения к центру.
Энергетический спектр для Е > 0 не-
непрерывен, для Е < 0 состоит из отдель-
отдельных уровней Еу Е2 Еп. I есть
энергия ионизации.
видов потенциальной энергии U (г). Во всех случаях мы будем
считать, что потенциальная энергия имеет (если имеет вообще)
при г = 0 полюс ниже, чем 1/г2. Потенциальную энергию в
бесконечности условимся считать равной нулю. На рис. 27
изображена потенциальная энергия U как функция расстояния
от центра г для случая отталкивания частицы. В этом случае

200
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
tnn.vm
Непрерывный
спектр
?>0
полная энергия частицы положительна1). При ?>0 спектр
энергии непрерывен. Следовательно, в случае отталкивающих
сил возможны все значения энергии от 0 до -f-oo. Это обозна-
обозначено на рисунке штриховкой. На рис. 28 изображена потенци-
потенциальная энергия для случая притяжения. В этом случае мы
должны различать две возможности: ?>0 и ?<0. В первом
случае спектр будет непрерывным (штрихованная часть рисунка).
Во втором случае мы получаем дискретный спектр значений Еъ
Е2у ..., Еп. Эти квантовые уровни изображены на рис. 28
горизонтальными линия-
линиями. Приведенный спектр,
состоящий из прерывного
и сплошного, является
как раз тем энергетиче-
энергетическим спектром, который
свойствен электрону, взаи-
взаимодействующему с ядром,
или положительным ионом
(притяжение по закону
Кулона).
Дискретные уровни от-
отвечают, как было пока-
показано выше, движению
электрона в атоме (вероят-
(вероятность найти электрон вдали
от атома исчезающе мала). Напротив, сплошной спектр отвечает
ионизованному атому, так как электрон в этом случае может
оказаться как угодно далеко от атома. Энергия, необходимая
для ионизации, так называемая работа ионизации /, легко
может быть получена из приведенной на рисунке диаграммы.
Действительно, энергия, которую имеет электрон в нормальном,
невозбужденном состоянии атома, есть Ег. Для того чтобы атом
был ионизован, нужно, чтобы энергия его электрона была больше
О, поэтому наименьшая работа, которая будет затрачена на
ионизацию атома в нормальном его состоянии, есть
/ = 0-?1 = -?1. D9.26)
Рис. 29. Потенциальная энергия двух ато-
атомов,- образующих молекулу, как функция
их расстояния R.
2) В классической механике это следует из того, что кинетическая энергия
Т > 0, и если U > 0, то и Е > 0. В квантовой механике положение совершенно
такое же:
1 (* (*
*?/tf> dv.
Первый член есть кинетическая энергия и обязательно положителен, так
как положительны собственные значения оператора Р2. Если U > 0, то и
?>0.

§ 501 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 201
Приведем еще другой образец потенциальной кривой, свой-
свойственный двухатомным молекулам АВ. При больших расстояниях
атомы Л и В не взаимодействуют, поэтому можно положить
?/ = 0 для г = оо. При меньших расстояниях атомы прихягива-
ются и, наконец, на малых расстояниях они отталкиваются из-за
отталкивания ядер и электронных оболочек при проникновении
одного атома в другой. Поэтому потенциальная энергия имеет
вид, приведенный на рис. 29. Для Е > 0 мы имеем опять непре-
непрерывный спектр. Вероятность w (r) остается конечной и при
г->оо: атомы А и В могут находиться как угодно далеко
друг от друга (диссоциированная молекула). При Е <0 получа-
получается ряд дискретных уровней Еи Е2, ..., Еп. В этом случае
w(r)-*0 при г->оо. Атомы находятся близко друг к другу
и образуют молекулу АВ.
Для диссоциации молекулы, находящейся в нормальном (ниж-
(нижнем) состоянии, нужно затратить работу диссоциации D:
D= -Ег. D9.27)
Заметим, что по классической теории эта работа равнялась бы
D' =—t/min, где t/min означает наименьшую потенциальную энер-
энергию, D меньше D' на величину нулевой энергии -®°.
Из приведенных примеров видно, что, зная потенциальную
энергию U {г), не производя решения уравнения Шредингера,
можно сделать вывод о характере энергетического спектра.
§ 50. Движение в кулоновском поле
Самой простой задачей атомной механики является задача
о движении электрона в кулоновском поле ядра. С такой задачей
мы встречаемся в атоме водорода Н, в ионе гелия Не+, в дву-
двукратно ионизованном атоме лития Li++ и тому подобных ионах,
называемых водородоподобными. Обозначая заряд ядра
через -\-eZ, где е — элементарный заряд, a Z —номер ядра в системе
Менделеева, мы получим, что потенциальная энергия электрона
в поле такого ядра по закону Кулона будет равна
?/(/•)=-^. E0.1)
Чтобы найти квантовые уровни для рассматриваемого движения
электрона, нужно решить уравнение Шредингера для радиальной
функции R. Полагая
Я = -7, E0.2)
мы получим для и, как было показано в § 49, уравнение
D9.10).

202 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Подставляя туда V из E0.1) и понимая под \i массу элек-
электрона, получаем следующее уравнение
Рассматриваемый нами случай соответствует притяжению (см.
рис. 28). Поэтому согласно общей теории движения в поле
центральных сил мы будем иметь непрерывный энергетический
спектр для Е > 0 и дискретный для Е <0. Мы поставим себе
задачу найти этот дискретный спектр и соответствующие собствен-
собственные функции R. В целях удобства решения введем вместо г
и Е безразмерные величины
р= L и г = 4-* E0-4)
где
а = -^ = 0,529- 10-8сл«, ?х = ^ = -~= 13,55 да. E0.5)
Подстановка E0.4) в E0.3) приводит к тому, что в уравнении
не будет содержаться атомных постоянных \х> еу ft. Именно,
вместо E0.3) получаем
В соответствии с проведенным в предыдущем параграфе исследова-
исследовании асимптотического поведения функции и мы будем искать и
в виде
и (р) = e^f (p), a = 1^=1, E0.7)
где f (р) — новая искомая функция.
Подставляя и (р) из E0.7) в E0.6), мы найдем уравнение
для функции/(р). Именно, после несложных вычислений получаем
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням р.
Из общей теории мы знаем, что конечное при г — 0 решение
уравнения E0.3) таково, что ряд по степеням г должен начи-
начинаться с члена r/+1. Из E0.7) тогда следует, что конечное в нуле
решение E0.8) должно начинаться с р'+1. Поэтому /(р) будем
искать в виде
E0.9)
где av —пока неизвестные коэффициенты ряда.

§ 501 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 203
Ряд E0.9) должен быть таков, чтобы функция R (г), которую
мы можем теперь, согласно E0.2) и E0.7), написать в виде
*<Р) = ^Р. E0.91
не возрастала до оо при р->сю. Для нахождения коэффициентов
ряда ах подставим E0.9) в E0.8) и соберем одинаковые степени р.
Эта подстановка дает
0. E0.10)
Чтобы ряд E0.9) был решением уравнения E0.8), нужно, чтобы
E0.10) было удовлетворено тождественно при всех значениях р
от 0 до оо. Это возможно лишь в том случае, если коэффициенты
при каждой степени р равны нулю, т. е. когда
0 E0.11)
для всех значений v. Эта формула дает рекуррентное соотноше-
соотношение между av и av+1:
п 2a(v + /+l)-2Z п 1 о о ,гП 19,
«v + i- (v + / + 2)(V + /+l)-/(/ + l) a*> v-U, 1,2, d, .... E0.12)
Первый коэффициент aOi конечно, произволен, так как уравне-
уравнение однородно. Дав ему какое-либо значение, найдем из E0.12)
ах\ по ai найдем а2 и т. д. Вычисляя все av, мы получим иско-
искомое решение в виде ряда по степеням р.
Нетрудно видеть, что полученный ряд будет сходиться при
всех значениях р, но при больших р растет столь сильно, что
/^ — i—'1 при р->оо будет стремиться к бесконечности1). Таким
2
1) Полагая Я = — , s = 2/ + l, перепишем E0.12) в виде
Отсюда видно, что отношение -^-^ -> —— при v -» со. Далее, мы можем взять
av v-f- i
такое v = v/, что
v' + s-И ^2
гДе е>0, _-A-|_е)<1*
Начиная с этого значения v, коэффициенты av растут быстрге, нежели коэф-

204 микрочастицы в поле потенциальных сил [гл. viii
образом, как это и следует из общей теории § 49, конечное при
р = 0 решение не будет, вообще говоря, конечным при р = оо.
Однако решение будет заведомо конечно и при р = оо, если ряд
оборвется на каком-нибудь члене. Тогда / (р) будет многочленом
и R будет стремиться к нулю при р-^оо.
Такое решение будет собственной функцией уравнения, так
как оно конечно во всем интервале от р = 0 до р = (х> и одноз-
однозначно.
Легко видеть, что обрыв.ряда на каком-нибудь члене, например,
номера v = пгу может произойти лишь при определенном значении
параметра уравнения а. Действительно, положим, что коэффи-
коэффициент аПг еще не равен нулю. Чтобы следующий коэффициент
anr+i обращался в нуль, необходимо, чтобы
т. е.
Ясно, что при этом условии не только ап +1, но и все после-
последующие коэффициенты обращаются в нуль, ибо все они про-
пропорциональны ап +1. Таким образом, E0.13) есть необходимое
и достаточное условие, чтобы решение / (р) обращалось в много-
многочлен, а вместе с тем функция R (р) оставалась бы всюду конеч-
конечной. Полагая
E0.14)
и подставляя в E0.13) значение а из E0.7), получим
е = -|. E0.140
Имея в виду выражение Е через е E0.4), мы получаем, что
конечные и однозначные решения R существуют лишь при сле-
следующих значениях энергии электрона:
я~ 2/г2 л2' \O\J.iD)
фициенты ряда, определяемые рекуррентной формулой
Ряд же с этими коэффициентами дает
Поэтому / (р) растет быстрее /х (р), и, следовательно, функция E0.9') будет
стремиться к оо при р->оо.

§ 501 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 205
где число п принимает, согласно E0.14), значения
л=1, 2, 3, ..., лг = 0, 1, 2, 3, .... E0.16)
Число п определяет, как мы видим, энергию электрона и назы-
называется главным квантовым числом.
Полученная формула для квантовых уровней Еп электрона,
движущегося в кулбновском поле, найдена впервые Бором на
основе полуклассической квантовой теории. В этой теории, где
квантование носило характер искусственного рецепта, приходилось
специально оговаривать невозможность значения я = 0. В кван-
квантовой механике это значение исключено само собой, так как /
принимает значения 0, 1, 2, ..., а пг есть номер члена ряда
E0.9) и имеет наименьшее значение 0.
Прежде чем перейти к подробному рассмотрению полученных
квантовых уровней Еп, рассмотрим еще вид собственных реше-
решений /?(р). Для собственных решений a = Z/n, поэтому формула
E0.12) упрощается:
2z л-(/+у+1) ,-0Jfi,
flv+i-— 7T(v+l)B/+v+2)av- (bO.lb)
Вычисляя один коэффициент за другим и подставляя их в E0.9),
получим / (р):
4- -4-(- 1)п~
Отсюда видно, что целесообразно ввести новую переменную:
1-2)..Л /2Zp\"r]
...Bl + nr+l)[n ) J-
2Zp_22 E0 18)
ъ п па х '
Объединяя все постоянные множители в один фактор Nnl, мы
получим из E0.9'), что функция Rni(p)> принадлежащая кванто-
квантовым числам пи/, будет равна
где через /,„+/ обозначен многочлен, стоящий в фигурных скоб-
скобках в формуле E0.17). Такое обозначение связано с принятым
в математике. Дело в том, что многочлен в E0.17) выражается
через производные многочленов Лагерра, которые определяются
формулой
ЫЮ = ^(*-?). E0.20)
Тогда под многочленом L|(?) понимают многочлен
a<6)=|U*©. E0.21)

206 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Полагая здесь k=^n + l и s = 2/ +1, легко убедиться, что мы
получим многочлен, заключенный в квадратные скобки в E0.17).
Формулы E0.20) и E0.21) легко позволяют вычислять функ-
функции /?„/. Множитель Nni в E0.19) мы будем выбирать так, чтобы
функция Rnl была нормирована к единице:
\ E0.22)
о
Полная собственная функция, согласно D9.4), будет равна про-
произведению Rni на собственную функцию оператора момента
импульса, т. е.
(>•> б, Ф) = Rm (г) Yim F, ф). E0.23)
Энергия Епу как следует из E0.15), зависит лишь от главного
квантового числа п. Если это число задано, то из E0.14) выте-
вытекает, что число /, которое называют орбитальным1), может
иметь лишь такие значения:
/ = 0, 1,2, ..., п-\ (яг = п-1, /г~2, ..., 0). E0.24)
Далее, как мы знаем, магнитное число т при заданном / про-
пробегает значения
ш = 0, ±1, ±2, .... ±/. E0.25)
Подсчитаем теперь, сколько различных волновых функций при-
принадлежит квантовому уровню Еп. При каждом / мы имеем 21+1
функций, отличающихся числом т. Но / пробегает значения от 0
до я— 1, поэтому полное число функций будет
2 B/+ 1) = п2. E0.26)
Таким образом, каждому квантовому уровню Еп принадлежит п2
различных состояний. Мы имеем дело со случаем я2-кратного
вырождения.
§ 51. Спектр и волновые функции атома водорода
Подставляя в формулу E0.15) значения универсальных
постоянных ?, |х и й, мы можем вычислить квантовые уровни
электрона, движущегося в кулоновском поле ядра номера Z.
На рис. 30 приведены эти уровни для атома водорода (Z=l).
г) Число / называют орбитальным квантовым, числом по той причине, что
в старой боровской теории оно определяло при заданной энергии форму
орбиты; т называют магнитным квантовым числом по той при-
причине, что оно играет существенную роль в магнитных явлениях (см. §§ 74, 75,

СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
207
Числа по вертикали слева дают энергию уровней в электро-
новольтах (энергия отсчитывается при этом не от 0, а от ниж-
нижнего уровня Ei). Как видно, по мере роста главного квантового
Рис. 30. Схема квантовых уровней атома водорода.
числа п уровни располагаются теснее, и при я = оо ?оо = 0;
далее идет область непрерывного спектра Е > 0, соответствующая
ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна
i-g= 13,55
E1.1)
Чтобы понять значение чисел, нанесенных на правой верти-
вертикали, напомним, что частота света <о, излучаемого при переходе
из уровня Enim в уровень En'i'm'y согласно квантовой теории света,

208 микрочастицы в поле потенциальных сил [гл. viii
определяется из уравнения Бора1).
Подставляя сюда энергию Еп1т из E0.15), получим
___ Z2e*\i / 1 1
Эта формула (при Z=l) дает частоту света, излучаемого или
поглощаемого атомом водорода. Величина -J~L называется спект-
спектральным термом. Разности термов дают частоты. Для атома
водорода терм равен
T=Si> Аг==1' 2' 3' ••• EК4)
Величина
называется постоянной Ридберга — Ритца и впервые была
вычислена теоретически Бором. В спектроскопии величину термов
Е
чаще указывают не в частотах -^-» а в волновых числах, пока-
показывающих, сколько длин волн А, укладывается в 1 см. Если цикли-
циклическая частота света есть со, то обычная частота v = ~. Эту-то
частоту и измеряют обычно в 1/Я, так что спектроскопическая
частота (волновое число) равна обыкновенной частоте v, деленной
на скорость света с:
_ 1 v со
^спектр Т~ " 2яг ^^
-1
Постоянная Ридберга — Ритца в волновых числах равна
Термы водорода в этих же единицах равны
J^, «-1.2,3,... E1.4'")
Числа, нанесенные на диаграмме уровней атома водорода (рис. 30)
справа, дают величину спектральных термов в обратных сантиме-
сантиметрах. Линии, соединяющие уровни, по своей длине пропорциона-
пропорциональны энергии кванта света, излучаемого или поглощаемого при
переходе электрона между этими уровнями. оУказанные на этих
линиях числа дают длину волны X света в А.
*) Это будет доказано. Пока мы опираемся на изложенное в § 2.

§ 511 СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА 209
Все частоты, относящиеся к переходам, кончающимся одним
и тем же нижним уровнем, образуют так называемую спектра-
спектральную серию. Отметим наиболее важные серии водорода.
Переходы на уровень п = 1 (нижний) образуют серию Лаймана.
Частоты серии Лаймана вычисляются по формуле
. E1.5).
Среди этих спектральных олиний линия п = 2 имеет наибольшую
длину волны А, = 1215,68 А. Она находится в ультрафиолетовой
части спектра.
Переходы на уровень я = 2 соответствуют излучению видимого
света. Совокупность этих спектральных линий образует серию
Б альм ер а. Частоты этой серии суть
3,4,... E1.6)
Формула E1.6) была найдена Бальмером в 1885 г. на основе
анализа эмпирических данных о спектре водорода. Впоследствии
эта формула сыграла исключительную роль в расшифровке спект-
спектров и послужила пробным камнем для квантовой теории атома.
Спектральные линии серии Бальмера обозначаются буквами
Яа(л = 3), Яр (л = 4), Яу(л = 5) и т. д.
Кроме серии Бальмера и серии Лаймана, на диаграмме приведены
и другие серии, соответствующие переходам на уровни /г = 3, 4
и 5 (серии Ритца —Пашена, Брэккета и Пфунда, соответственно).
Линии этих серий лежат в инфракрасной области спектра.
Спектры водородоподобных ионов Не+, Li++ и т. п. имеют
такой же вид, как и рассмотренный спектр водорода, но все линии
перемещаются в область более коротких длин волн, так как в этих
случаях постоянную Ридберга следует увеличить в Z2 раз. Именно,
согласно E1.3) и E1.4"), частоты для этих ионов будут вычи-
вычисляться из формулы
(li) E1.7)
Обратимся теперь к более детальному анализу квантовых состо-
состояний и соответствующих собственных функций урпШ (/-, 0, ср) E0.23).
Любое определенное состояние, задаваемое тройкой квантовых
чисел п, /, т, представляет собой собственное состояние трех
одновременно измеримых величин: энергии, квадрата момента
импульса и проекции момента импульса на некоторое направле-
направление 0Z, Все эти три величины имеют в состоянии

210 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIH
определенные значения, именно,
-0, 1, 2, ..., я-1, E1.9)
M2 = hmy /л = 0, ±1, ±2, ..., ±1. E1.10)
Таким образом, динамическое значение квантовых чисел п, /, т
заключается в том, что главное
число п указывает величину энергии
ЕПУ орбитальное число I — величину
момента импульса М] и, наконец,
магнитное число т — величину
проекции момента импульса Мг
на некоторое произвольное направ-
направление OZ.
Три величины Е, М]у Mz впол-
вполне определяют волновую функцию
%ш и поэтому образуют полный
набор величин. Число их, как и
- должно быть, равно трем, т. е.
числу степеней свободы (ср. § 14).
Квадрат абсолютного значения
Ч>л/« (г> б> ф) («координатное пред-
представление») дает вероятность того,
что при определении положения
электрона в квантовом состоянии п, /, m он будет обнаружен в
окрестности точки г, 9, ф. Точнее эта вероятность определяется
так:
w>nim (r> б» Ф) г2 dr sin 9 d9 dф =
Рис. 31. Сферические координаты.
q>. E1.11)
Чтобы нагляднее представить себе характер этой вероятности,
мы приводим на рис. 31 сферическую систему координат. Полярная
ось OZ выделяется тем, что она есть как раз то направление,
на которое проектируется момент импульса Mz — hm. Обозначая
через dQ элемент телесного угла sin 8 d6 ^ф в области 0, ф и поль-
пользуясь формулой E0.23) для г|)„/т, мы можем написать вероятность
E1.11) в форме
В, V) г2 dr du =Rh (r) r2 dr | Ylm (9, <p)
E1.12)
Если мы проинтегрируем E1.12) по всем углам dQ, то мы полу-
получим вероятность найти электрон между двумя сферами радиусов
г и r-\-dr. Обозначим эту вероятность через
wnl{r)dr^Rli{r)r2dr. E1.13)

\ 511
СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
211
10 20
а) $-состоятA'0)
На рис. 32 даны эти вероятности для различных состояний. Числа
на кривых показывают значение чисел д, / (пг = п — I— 1). На-
Например, 31 означает /г = 3,
1=1 (пг= 1). По абсциссе от-
отложено расстояние от центра ^
р = г/а (см. E0.4)). Из гра-
графиков можно видеть, что чис-
число пг (которое называют ра-
радиальным квантовым числом)
равно числу узлов волновой
функции Rnl. При этом мы
имеем не узлы в точках, а
узловые поверхности, ибо Rnt
обращается в нуль при не-
некотором /* = /•', а это озна-
означает поверхность шара ра-
радиуса г\ Стало быть, в со-
состоянии, характеризуемом
числами д, /, имеется пг =
== лг — / — 1 узловых поверхно-
поверхностей, имеющих форму сферы.
Выясним теперь значение
введенной ранее длины а. Из
вида функций Rni(p) E0.19)
следует, что при больших
г(р->оо) радиальная функ-
функция Rni принимает вид
E1.14)
0
0,2
10 20
6) р-состояния (И)
43 42
0,1
О 10 20 30
в) d-состояния A=2) и состояния 4f
Рис. 32. Распределение заряда в первых
состояниях атома водорода.
По оси абсцисс отложено расстояние г в ра-
радиусах первой боровской орбиты, по оси орди-
ординат — вероятность найти электрон в сфериче-
сферическом слое с радиусами г и г -f- dr.
Поэтому при больших значениях г вероятность wnt (r) будет равна
. E1.15)
Отсюда следует, что длина na/2Z есть длина, определяющая
размеры атома, так как для r^™z вероятность wni(r) практиче-
практически равна нулю.
Приведем более подробный расчет для самого нижнего кван-
квантового состояния (п==1). В этом случае из E0.19) имеем
Следовательно,
E1.16)
E1.17)

212 МИКРОЧАСТИЦЫ 6 ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Максимальное значение этой вероятности получается при р =
= Zr/a = 1. Отсюда следует, что в состоянии п = 1 (/ = т = 0)
наиболее вероятно найти электрон при
а к* 0,5291А о /.л iov
1О~ ** <51Л8>
Это есть в точности радиус первой орбиты Бора, вели-
величина которого впервые была получена Бором из старой теории
квантования в 1913 г.
Так как нижняя орбита по теории Бора —круговая, то по этой
теории вероятность найти электрон в состоянии п=1 отлична
от нуля лишь на шаре радиуса
г = г0. Согласно же новой квантовой
механике она отлична от нуля во
всем пространстве. На рис. 33 сопо-
сопоставлены вероятности по старой тео-
теории (wKJl) и по новой (wKB) для со-
состояния п = 1 атома водорода. При-
Приведенное соответствие между wKJl и
wKB наблюдается и для других со-
состояний: оно является далеко не
полным, что видно уже из того, что
в квантовой механике в нижнем со-
состоянии момент импульса М\ = 0 (/ =
Рис. 33. Сравнение wKjl (г) и = °>' В ТО ВРеМЯ КаК П0 СТаР°2Й те°/
BfciW для состояния n=l Рии в этом же состоянии Mi = h2.
(/=m=0). Несмотря на неполноту указанного
соответствия, картина распределения
вероятности становится более наглядной и указывает на связь
между квантовой и классической механикой, которая и в самом
деле существует (ср. гл. VI).
Обратимся теперь к распределению по углам. Если проинте-
проинтегрировать E1.11) по г от 0 до оо, то мы получим вероятность
Wim @, ф) dQ того, что электрон окажется лежащим где-то в телес-
телесном угле d?2 (см. рис. 31) около луча @, ф). В силу нормировки
функций Rmi получаем
wlm (9, q>) dQ = | Ylm (9, q>) |» dQ. E1.19)
Из вида функции F/m@, ф) следует, что вероятность не зависит
от угла ф и равна 1)
wlm (9) dQ = N)m [P[m I (cos 9)]2 dQ. E1.20)
Следовательно, распределение по углам обладает симметрией тела
вращения около той оси, на которую фиксирована проекция
момента импульса (у нас эта ось есть ось OZ).
х) Nim—нормировочный множитель, см. дополнение V.

§ 511
СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
213
На рис. 34 мы изобразили графики вероятности wim для раз-
различных состояний /, т. При этом принята полярная система
координат 9, wtm,_так что величина wlm откладывается по ради-
радиусу-вектору. Для сравнения приведены орбиты по Бору, распо-
расположенные надлежащим образом. При 1 = 0, т=^0 вероятность
1
E1.21)
не зависит от угла 6, и поэтому мы имеем сферическую симмет-
симметрию. Состояние, в котором момент импульса равен нулю (/ = 0),
Рис. 34. Угловое распределение электронов ш/т (б) для s-, p-, d- и
/-состояний.
называют s-состоянием, соответствующий терм называют
s - т е р м о м; s-состояние характеризуется, следовательно, шаровой
симметрией. Соответствующих орбит по Бору нет. Это обстоя-
обстоятельство представляло одну из трудностей теории Бора, так как
приходилось сопоставлять с оптическим s-термом состояния
с / = 1 (т = 0, ±1), в то время как опыт однозначно показы-
показывал, что электрон в s-терме не обладает орбитальным механи-
механическим (и магнитным) моментом.
Состояние с /— 1 (т = 0, ±1) называется р-состоянием,
а соответствующий терм —р-термом. Вероятность в этом слу-
случае определяется функциями P}(cos0) и P\ (cos 6). Подставляя

214
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VIII
значения этих функций из B5.16), имеем
i, о (Q) =
E1.22)
E1.22')
На рис. 34 изображены вероятности до^+ь- wlf 0, а также соот-
соответствующие орбиты по теории Бора. Из рисунков видно, что
если по боровскои теории в случае, например, т-~=±\ вероятность
найти электрон отлична от нуля лишь
в плоскости орбит (б = я/2), то по
квантовой механике она не равна
нулю и для других значений угла б
(на конусах б —const). Соответствие
замечается в том, что максимум ве-
вероятности лежит при 6 = я/2. Подоб-
Подобное же соответствие имеется и для
т = О (максимум при 6 = 0).
Состояние с / — 2(m = 0, ± 1,
±2) называется d-^остояние(м,
а терм — d-термом. На рис. 34
приведена и вероятность w2i для
1 = 2, т=1. Из формул для сфери-
сферических функций B5.16) получим
ш2,1 F) = Л/ii [Яг (cos б)]2 =
Рис. 35. Узловые поверхности
действительной части функции
Фл/m (г, 6, ф).
пг = п — /—1 сфер, I — \ т \ ко-
конусов, | т | плоскостей.
= ? sin2 б cos2 б.
Ьп
E1.23)
При / = 2ит=1 мы имеем по Бору
совокупность орбит, нормали к кото-
которым образуют конус с осью OZ и
углом раствора, равным 60?. На ко-
конусе с раствором 60° лежит и максимум вероятности по теории
Бора. По квантовой механике этот максимум приходится на
угол 45°.
Вид вероятностей wlm(b) (рис. 34) позволяет нам создать
некоторое представление о форме атома в различных состояниях.
Эта форма определяется значением орбитального числа /, а маг-
магнитное число т, как видно, определяет ориентацию атома в про-
пространстве.
Из приведенных выражений для вероятностей wim (б) видно,
что функция Pf с / = 0 не имеет узлов, с /=1 и ш^О имеет
одну узловую поверхность (плоскость 6 = я/2), с 1 = 2 и т=1 —
опять одну узловую поверхность (плоскость 6 = я/2). Вообще
уравнение Pf(cosB)=0 дает / — \т\ действительных корней 6ь
82, ...., 6/_|mJ. Эти углы и суть углы раствора конусов (б = const)»

§ 521 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОВАЛЕНТНЫХ АТОМАХ 215
которые образуют узловые поверхности. Часть волновой функ-
функций г|)л/т, зависящая от угла ф, именно ?/тф, не имеет узлов, но
ее действительная часть cos тер или мнимая (t sin тер) имеют т
узлов: срь ф2, ..., фт, которые в пространстве дают узловые
плоскости, проходящие через полярную ось.
На рис. 35 изображено семейство узловых поверхностей функ-
функции %1т, состоящее из сфер (узлы функции Rnl), конусов
(узлы функции Pf) и плоскостей (узлы функции cos ту или
sin/жр). Число сфер равно пг, конусов / — \т\ и плоскостей \т\.
Всего имеется nr + l — \m\ + \m\ = nr + l = n — l узловых поверх-
поверхностей. Таким образом, мы опять имеем иллюстрацию к общей
теореме, упомянутой выше.
Приведенные на рис. 35 узловые поверхности характери-
характеризуются той же геометрией, что и узловые поверхности колеб-
колеблющегося шара. Поэтому функции 1ря/т(г, 0, ф) имеют сходство
с функциями, изображающими колебание шара, подобно тому
как собственные функции осциллятора урп (х) имеют сходство
с функциями, изображающими колебание струны.
§ 52. Движение электрона в одновалентных атомах
Существует ряд атомов, имеющих один валентный электрон:
это атомы щелочных металлов Li, Na, К, ... Мы будем называть
ихводородоподобными. В этих атомах имеется группа
внутренних электронов, а внешний, валентный электрон движется
в поле ядра и этих внутренних электронов.
Строго говоря, мы имеем дело в этом случае с многоэлек-
многоэлектронной проблемой. Однако в перечисленных атомах имеется
одна особенность, позволяющая приближенно свести задачу
к задаче о движении одного электрона в поле центральных сил.
Дело в том, что если удалить из такого атома валентный элек-
электрон, то оставшиеся электроны образуют электронную оболочку,
характерную для инертных газов. Например, ион Li+ имеет
электронную оболочку, аналогичную электронной оболочке
атома Не. И опыт, и теория показывают, что электронная
оболочка инертного газа образует весьма прочную систему,
имеющую сферическую симметрию и мало деформирующуюся
внешними воздействиями. Поэтому приближенно можно поступить
так: считать, что внешний валентный электрон вообще не влияет
на внутренние электроны, и таким образом рассматривать дви-
движение внешнего электрона в поле ядра и внутренних электронов.
В силу сферической симметрии распределения последних поле,
создаваемое ими, будет центральным1). Найдем потенциальную
!) Подчеркнем еще раз, что это верно лишь приближенно, так как внешний
электрон на самом деле будет поляризовать внутреннюю электронную оболочку.

216 микрочастицы в поле потенциальных сил [гл. viii
энергию внешнего, валентного электрона U (г) в поле ядра атома
и внутренних электронов. Обозначим через V (г) потенциал этого
поля, тогда
U(r) = — eV(r). E2.1)
Пусть, далее, р (г) есть средняя плотность электрического заряда,
создаваемая внутренними электронами 1). Тогда полный элек-
электронный заряд [ — eN (г)], заключенный внутри сферы радиуса г,
будет равен
г
dr. E2.2)
Учитывая еще заряд ядра -\-eZ, мы можем представить полный
заряд в рассматриваемой сфере в виде
eZ*(r) = e[Z-N(r)]9 E2.3)
где через Z* обозначен эффективный номер ядра на расстоянии г.
Отсюда по теореме Гаусса получаем, что поле Шг равно
*г(г)=^. E2.4)
а потенциал V (г) равен
^^Pr. E2.5)
Из E2.3) следует, что действие электронной оболочки сводится
к экранированию поля ядра ^-, причем это экранирование раз-
различно для различных расстояний от ядра. Вблизи ядра его поле
не экранируется.
В самом деле, при г->0
lim^-=— 4лр@)Пт ^
r-+0 r r-*0 r Л
Поэтому в этой области
а потенциал
V(/-)=»^ +const. E2.6)
1) Вероятность р (г) может быть вычислена методами квантовой механики.
Так, для Li+ речь будет идти о движении двух электронов в поле ядра.
Задача здесь такова же, как и в случае атома Не. Последняя рассмотрена
в § 121. Кроме того, р{г) может быть измерена и экспериментально (см. § 79).

§ 521 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОВАЛЕНТНЫХ АТОМАХ 217
Напротив, в областях г^>а, где а —радиус электронной обо-
оболочки,
где N — полное число электронов в оболочке, имеем
* _e(Z-N)
и потенциал будет равен
V(r)-eJZ=Hl, E2.7)
что соответствует потенциалу ядра, заряд которого уменьшен на
заряд электронов оболочки.
Часто, делая еще более грубое приближение, пренебрегают
зависимостью эффективного номера Z* (г) от г и берут какое-ни-
какое-нибудь наиболее подходящее постоянное значение для
Z* = Z-JV(r0). E2.8)
Однако такое приближение очень грубо и не ведет к хорошим
результатам1). Полученная нами потенциальная энергия U (г) ==
= — eV (г) для валентного электрона водородоподобного атома
принадлежит к классу рассмотренных в § 50 (полюс порядка
1/г). Так как N <Z, то мы имеем дело со случаем притяжения.
Отсюда следует, что энергетический спектр водородоподобного
атома будет состоять из непрерывного спектра (?>0), отвечаю-
отвечающего ионизованному атому, и дискретного (?<0), образующего
совокупность квантовых уровней атома.
Мы не будем заниматься решением радиального уравнения
D9.5) для этого вида потенциальной энергии. Оно может быть
решено лишь численным интегрированием. Ограничимся лишь
изложением результатов.
Самым существенным обстоятельством является то, что энер-
энергия Е зависит в этом случае не только от главного квантового
числа л, но и от, радиального пг. Это нетрудно понять. В урав-
уравнение D9.5) для функций /?, из которого определяются и кван-
квантовые уровни Ел, входит орбитальное квантовое число /. Поэтому
Е будет, вообще говоря, зависеть от числа /. Кроме того, значе-
значение Е зависит от номера собственной функции уравнения D9.5),
т. е. от радиального числа пг. Таким образом, в общем случае
собственные значения Е зависят от двух квантовых чисел, пг и /,
или так как п = пг-{-1-\-1, то можно сказать, что они зависят от
пи/. Следовательно, полная нумерация уровней и собственных
х) Конечно, применимость или неприменимость того или иного приближе-
приближения зависит еще и от того, какую степень точности желают получить.

218
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VHI
функций будет такая:
/-0, 1, 2, ..., /i-l
m = 0, Jzl, ..., ±1,
n=U 2, 3, ...,
E2.9)
а не Еп, как в случае кулоновского поля. То, что в кулонов-
ском поле энергия зависит лишь от я,
есть специальная особенность этого
поля, которая имеет свои основания1).
В случае кулоновского поля числа пг
и / входят в выражение энергии в ви-
виде суммы п — пг + 1г\~ 1.
Таким образом, в кулоновском по-
поле, как уже и отмечалось, имеет место
вырождение (<</»-вырождение), заклю-
заключающееся в том, что энергия при за-
данном главном числе п не зависит от
величины момента импульса (/). В об-
общем случае центрального поля U (г) это
«/»-вырождение снято, и термы с одним
и тем же главным квантовым числом
п> но разными орбитальными числами
/ имеют разные величины. На рис. 36
приведены уровни для одновалентного
атома калия. Как видно, например,
главному числу п = 2 принадлежат два
УР°вия 1 = 0 (s-терм) и /=1 (р-терм).
В случае водорода эти уровни сливают-
сливаются вместе.
Что касается магнитного кванто-
квантового числа т, то оно, как уже объ-
объяснялось, определяет ориентацию атома
в пространстве, и поэтому энергия атома (в отсутствие внешних
полей) не может зависеть от этого числа.
§ 53. Токи в атомах. Магнетон
Вычислим плотность электрического тока, текущего в атоме,
если электрон находится в стационарном состоянии, с определен-
определенным значением проекции момента импульса Mz = fim. Волновая
функция такого состояния равна
*ц* (г, 6, Ф) = Rm (r) P\m] (cos 6) еш*. E3.1)
Рис. 36. Снятие «Ь>-вырож-
дения в одновалентных ато-
атомах.
Приведены три первых уровня
атома калия. Уровни 2р, 2s,
сливающиеся в водороде, в ка-
калии разделены.
1) См. В. А. Ф о к, ДАН, № 2, 169 A935).

§53]
ТОКИ В АТОМАХ. МАГНЕТОН
219
Согласно B9.11) плотность электрического тока в состоянии
tymm будет выражаться формулой
ieh
E3.2)
(мы берем перед е знак — , считая заряд электрона равным — ?,
е = 4,778-100 ед. СГСЭ. Удобно найти вектор J в сферических
координатах г, б, ф. Для этого заметим, что в сферической
системе проекции оператора градиента V суть ^f — ~ —— J^.
r r r J дгу г дь' г sin в дф
Следовательно, проекции вектора J на радиус, меридиан и
широту равны соответственно
E3.3)
E3.4)
2ur sin в
дф
E3.5)
Первые два результата получаются сразу, если вспомнить, что
Piml и Ящ суть действительные
функции переменных б и г, а по-
сдедний следует из того, что г|)Л/т
пропорциональна еш^. Таким обра-
образом, в стационарных состояниях
проекции тока на радиус и мериди-
меридиан равны нулю (что очевидно и из
геометрических соображений; если,
например, Jr^0, то заряды будут
либо растекаться, либо накапливать-
накапливаться) и ток течет вдоль широтных кру-
кругов (рис. 37). Это течение вполне со-
соответствует среднему току по клас-
классической механике для совокупности
орбит, имеющих один и тот же пол-
полный момент импульса М2 и одну и
ту же проекцию этого момента Mz
на ось OZ.
Теперь, основываясь на формуле
E3,5) для плотности тока нетрудно
найти магнитный момент vXz атома.
Сила тока d/, протекающего через
М2 и его проекции Mz.
площадку do, направленную в меридиональной плоскости (рис.
37), равна
dI = J<,do. E3.6)

220 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Магнитный момент, создаваемый этим током, равен
<да,=^=^, ,53.7)
где S — площадь, обтекаемая током dl. Эта площадь равна
яг2 sin2 б (см. рис. 37). Поэтому
da = - «Hip. -^ | ^ f da. E3.8)
Чтобы получить полный момент Tlz, следует просуммировать
магнитные моменты по всем трубкам тока. Тогда получим
У) if V /тгг cm п па ih И i S Ч Оi
г 2(лс J ' гпш' # v • /
Но 2nrs\nBdo есть объем трубки. Так как внутри трубки
величина |^/m|2 постоянна, то интеграл в E3.9) есть просто
интеграл от |^/mi2 по всему объему. Этот интеграл в силу нор-
нормировки равен 1, следовательно, проекция магнитного момента
на ось имеет значение
0 E3.10)
где
аЮв = 1^ = 9,27-НИ1 ^ E3.11)
т. е. она имеет квантовое значение, равное целому числу магне-
магнетонов Бора Шп (см. § 3). Знак минус обусловлен отрицательным
зарядом электрона.
Произведенный расчет показывает, таким образом, что
в состояниях с Mz ^0 в атоме течет электрический ток. Этот
ток создает магнитный момент E3.10), так что атом представ-
представляет собой в целом магнитный диполь. Отношение проекции маг-
магнитного момента ЗЛг к проекции механического момента Mz равно
и в точности совпадает с отношением этих величин о классиче-
классической теории для заряда —ее массой |и, движущегося по замк-
замкнутой орбите. Заметим, что, поскольку ось OZ ничем не выде-
выделена, такое же отношение получится и для проекций S№ иМ
на любое направление. Поэтому E3.12) следует толковать в том
смысле, что отношение вектора магнитного момента 99? к век-
вектору М механического момента равно —^-*

§ 54]
КВАНТОВЫЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
221
§ 54. Квантовые уровни двухатомной молекулы
Обратимся к молекуле, образованной из двух атомов А и В
с массами тд и тд. Потенциальная энергия в функции расстоя-
расстояния между атомами г пусть будет V (г). Эта энергия имеет вид,
приведенный на рис. 38. Мы ог-
ограничимся рассмотрением только
относительного движения атомов
Л и В. Из классической механи-
механики известно, что относительное
движение двух частиц с энергией
взаимодействия U (г) происходит,
как движение материальной точки
с приведенной массой \i:
I = -L + JL E4.1)
\l
m
Рис. 38. Потенциальная энергия
для атомов двухатомной молекулы
и энергетический спектр.
Для Е > 0 спектр непрерывен, для Е < 0
имеет место система уровней Ео < Et< .. .
в поле центральной силы U (г), а
общее поступательное движение —
как свободное движение мате-
материальной точки с массой тл +
+ тв. Такое же положение ве-
вещей имеет место, как будет до-
доказано в § 104, и в квантовой
механике. Опираясь на это обстоятельство, мы можем написать
оператор полной энергии для относительного движения атомов А
и В в виде
H=Tr+~^+U(r), E4.2)
2 п т I
где г есть расстояние между атомами, а углы 0 и ф (входящие
в М2) определяют направление линии, соединяющей А и В.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет
таково же, как и D9.2). Волновую функцию можно опять искать
в виде
о « ' } E4.3)
причем для а будем иметь уравнение
E4.4)
Член
^
^ 2 можно рассматривать как дополнительную потен-
потенциальную энергию, так что всю потенциальную энергию для

222
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VIII
движения по радиусу можно определить в виде
и переписать уравнение E4.4) в виде
E4.5)
E4.4')
График функции Wt (г) для разных / изображен на рис. 39.
В отсутствие вращения A = 0) W0(r) = U (г), и мы имеем слу-
случай, рассмотренный в § 49 (рис. 29). Если вращение не сильно
(/ невелико), то Wt(r) все еще не
Щ сильно отличается от U (г). Послед-
Последняя кривая лишь несколько иска-
искажается. Если, наконец, / очень ве-
велико, то кривая Wt (r) принимает
вид, приведенный на рис. 39 (слу-
(случай /;>1). Мы знаем, что для / = 0
молекула имеет дискретный спектр
при ?<0 и непрерывный при ?>0.
При сильном вращении Wt(r) всю-
всюду положительно. Тогда из доказан-
доказанной в § 49 теоремы следует, что
?>0 и, следовательно, спектр бу-
будет непрерывным.- Молекула будет
диссоциировать на атомы А и В. Эта
диссоциация является результатом
действия центробежной силы, которая
развивается при вращении молекулы.
Рассмотрим . случай, когда вра-
вращение невелико, так что Wt мало
отличается от U (г) — по крайней ме-
мере в области минимума U (r) (r = rj).
Разложим Wt(r) по степеням откло-
отклонения от положения равновесия r — rt. Положение равновесия rt
зависит от / и определится из минимума Wt(r):
Рис. 39. Связь колебания и вра-
щения в двухатомной молекуле,
dU
dr
dr dr (nr3
Отсюда находим r = rt. Далее имеем
причем
- = 0.
E4.6)
E4.7)
E4.8)

§ 54] КВАНТОВЫЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛ^ 223
Введем обозначения:
Г/ = К, И = //, x = r-rt. E4.9)
Подстановка Wt(r) из E4.7) в E4.4') в обозначениях E4.9) дает
Г (Г/) + 2/Г + T ^^)u^?u. E4.5')
Обозначая через ?' величину
Е'^Е-Щп)-*1^1*, E4.10)
мы перепишем уравнение E4.5') в виде
Это— уравнение для стационарных состояний осциллятора D7.3),
обладающего собственной частотой (О/. Согласно D7.10) его соб-
собственные значения ?" суть
дг-О, 1, 2, .... E4.11)
а собственные функции, согласно D7.11),
«), 6=/-. E4.12)
Находим полную внутреннюю энергию молекулы (пользуясь
E4.10))
Ещ = ?/ (г/) + Пщ (п +1) + ^til, E4.13)
п = 0, 1, 2, ..., / = 0, 1, 2, ... E4.13')
Собственные функции молекулы будут
*й» (г, б, Ф) = 1 ия (г) У,т (8, Ф). E4.14)
Эти волновые функции описывают вращение молекулы и ее коле-
колебания. Энергия молекулы Еп1 оказывается равной сумме энергии
колебаний с частотой со/ и энергии вращения молекулы
E4.15)
Имея в виду, что НЧA-\-\) есть квадрат момента импульса М),
мы видим, что выражение для энергии вращения молекулы в кван-
квантовой механике таково же, как и в классической, так как, согласно

224 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
E4.9), // есть момент инерции молекулы1). Формула E4.15) пока-
показывает, что энергия вращения квантуется, причем расстояние
между соседними уровнями равно
AEt = *(l+l) E4.16)
(если пренебрегать слабой зависимостью момента инерции от /,
т. е. растяжением молекулы под влиянием центробежной силы).
Полученные нами решения, конечно, приближенны. Мы пре-
пренебрегли ангармоничностью колебаний молекулы, отбросив выс-
высшие члены в разложении Wt (r) по степеням r — rh Это допустимо,
если отклонения r — rt малы в сравнении с расстоянием между
атомами rt (или г0). Из теории осциллятора следует, что среднее
значение х2 = —(пЛ—о) (чтобы в этом уоедиться, достаточно
вычислить матричный элемент *?,л, пользуясь матрицей xt
D8.8)). Поэтому
тп
и условие справедливости нашего приближения может быть напи-
написано в виде
+ у<г0, E4.17)
т. е. приближение <гем лучше, чем больше масса атомов моле-
молекулы, чем больше частота колебаний ооо и чем больше расстояние
между атомами г0. Кроме того, уровень колебаний должен быть
не очень высок (п мало). При больших п и / связь между коле-
колебаниями и вращением молекулы становится сильной, и все наше
приближение делается несостоятельным. Напротив, при малых п
и / мы можем вообще пренебречь зависимостью rt от I и брать
вместо // и со/, /0 и (о0 для /==0.
Величины /о и (о0 обычно таковы, что «квант» энергии коле-
колебаний ft(o0 гораздо больше «кванта» энергии вращения /г2/2/. Так,
например, для молекулй водорода
Благодаря этому обстоятельству энергетический спектр молекулы
состоит из системы уровней колебательных (разные значения
числа п) и вращательных (разные /), последние лежат очень
близко друг к другу. Схема энергетического спектра молекулы
приведена на рис. 40. Пунктирная линия на границе с непре-
!) Напомним, что по классической механике энергия вращения равна
МУ21.

§541
КВАНТОВЫЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
225
рывным спектром есть Е = 0 и соответствует энергии диссоции-
диссоциирующей молекулы. Это значение энергии может быть достигнуто
при любом п для достаточно больших /.
1-й'
О'
=7 •
Рис. 40. Схема вибрационных п и ротационных
/ уровней двухатомной молекулы.
Энергия диссоциации молекулы D, находящейся в нормальном
состоянии (я = / = 0), равна, как было показано в § 49,
?> = [/0-^. E4.18)
Важнейшая область явлений, в которой обнаруживается кванто-
квантование движения молекулы, — это спектры молекул. Пусть воз-
возможные уровни энергии электрона в молекуле суть En- Тогда
полная энергия молекулы и ее оптического электрона равна
Е = EN + Й(о0 [п + -тг) + о/1 A + О + const. E4.19)
Написав в таком виде энергию, мы предполагаем, что связь
между движением электронов и движением атомов в молекуле
слаба, так что приближенно можно представить энергию в виде
суммы энергии электрона и энергии атомов. Тем не менее эта
связь все же существует, и даже при слабой связи изменение
состояния электрона (переход с уровня En на другой En) будет
сопровождаться изменением состояния атомов. Поэтому, если
молекула поглощает квант света йсо, то часть этой энергии пой-
пойдет на возбуждение электрона, а другая часть на возбуждение
движения атомов молекулы. Обратно, квант частоты /гоо может
быть излучен не только за счет энергии электрона, но и за счет
энергии движения атомов молекулы. Поэтому, чтобы получить
частоты со излучаемого и поглощаемого молекулой света, в

226 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ.'VIII
правиле частот Бора
следует под Е понимать энергию всей молекулы в целом. Под-
Подставляя сюда Е из E4.19), получим
П® = Ен.-Е„ + Ьоо(п'-п)+я[1'A' + 1)--Ц1+Щ. E4.20)
Обозначая частоту N .—-, обусловленную переходами электро-
электрона, через vWi мы можем переписать E4.20) в виде
+ lI]. E4.21)
v%'n обычно гораздо больше <оо и тем более ^j. Поэтому рядом
со спектральной линией, отвечающей чисто электронному пере-
переходу (частота v?™), при наблюдении в спектроскоп будет наблю-
наблюдаться ряд линий, очень близких, почти сливающихся друг
с другом1). Такой спектр называют полосатым. Он характе-
характерен для двухатомных молекул (атомы имеют спектр, состоящий
из довольно далеко отстоящих друг от друга линий, иногда, правда,
расщепляющихся на небольшое число соседних). Линии в поло-
полосах обусловлены изменением вращательного движения молекул.
Поэтому эти полосы часто называют ротационными. Кроме
линий, обусловленных изменением вращения (число /), будут полу-
получаться линии, обусловленные изменением колебательного движе-
движения (число п). Эти линии часто называют вибрационными.
Таким образом, сложность молекулярных спектров обуслов-
обусловливается тем, что в обмене энергией молекулы со светом участ-
участвует, вообще говоря, вся молекула в целом: не только состояния
оптического электрона, но и состояния колебания и вращения
молекулы претерпевают изменение. Теория молекулярных спект-
спектров образует в настоящее время довольно широко разработанную,
но все же далеко не законченную область атомной механики.
Помимо молекулярных спектров квантовый характер движе-
движения молекулы обнаруживается на теплоемкости двухатомных
газов. Согласно классической теории теплоемкость, приходящаяся
на одну степень свободы, равна хЦг, где k — постоянная Больц-
мана, равная 1,38-10~16 эрг/град. Друхатомная молекула имеет
всего шесть степеней свободы, поэтому по классической теории
ее теплоемкость должна быть постоянной и равняться2) 7/2k.
*) Конечно, будут эти линии сливаться или нет, —зависит от разрешающей
силы спектроскопа.
2) Одна из степеней свободы колебательная и на нее приходится, из-за
равенства кинетической и потенциальной энергий, не lIJi, a 2 • l/2k.

§ 551 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 227
Между тем опыт показывает, что при средних температурах теп-
теплоемкость действительно постоянна, но равна ъ/2к, а при низких
падает до 3/2fe. Этот факт, находит полное объяснение в кванто-
квантовой теории.
Если при температуре Т средняя энергия поступательного
движения молекулы 3/2kT меньше чйсоо, то колебания молекулы
не возбуждаются (точнее, возбуждаются редко). Молекулу можно
рассматривать в этом случае как жесткую и считать число ее
степеней свободы равным как бы не 6, а 5. Говорят, что коле-
колебание «замерзает». Температура «за-
«замерзания» Tv, очевидно, определится 7
из неравенства
3/2кТч,^Пщ. E4.22)
Для Н2 температура «замерзания»
Tv = 4300°. Большой величиной Tv
объясняется, что при обычных тем- I|-г-^ *
пературах теплоемкость двухатомных
5/ ? Рис. 41. Теплоемкость молеку-
p лы н прИХОДЯЩЭЯСЯ На ДОЛЮ
С понижением температуры на- вращательных степеней свободы,
ступит момент, когда поступатель-
поступательная энергия окажется меньшей «кванта вращения» Й2/2/, тогда
и вращение не будет возбуждаться и выпадет из теплового баланса.
Вращение «замерзнет». Температура «замерзания» вращения Тг
определится из неравенства
|*rr<-g-. E4.23)
Для Т<^ТГ теплоемкость вращения равна нулю. Остается только
теплоемкость поступательного движения 3/2 к.
На рис. 41-приведена зависимость теплоемкости вращения сг
от температуры. Как видно, согласие между квантовой теорией
и опытом полное. Пунктиром изображена теплоемкость по клас-
классической теории. При низкой температуре классическая теория
противоречит опыту.
§ 55. Движение электрона в периодическом поле
К числу важных случаев движения относится движение элек-
электрона в периодическом потенциальном поле U (х, у, г). Если поле
имеет период а —в направлении ОХ> Ь — в направлении OY и
с —в направлении OZ, то это свойство периодичности может
быть выражено равенствами
E5.1)
E5. Г)
E5.1")

228
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VIII
шхдт
Такое периодическое поле реализуется внутри идеальных кри-
кристаллов, где ионы и вместе с тем и средний электрический заряд
распределены периодически. Потенциал электрического поля будет,
конечно, также периодической функцией координат *, у, z. Если
внутрь такого кристалла ввести электрон, то он будет иметь
периодическую потенциа-
потенциальную энергию вида E5.1).
Строго говоря, в этом
случае мы имеем дело с
проблемой многих электро-
электронов. Замена такой пробле-
проблемы более простой задачей
о движении одного элект-
электрона во внешнем поле яв-
является приближением. Оно,
наверно, справедливо для
больших скоростей рас-
рассматриваемого электрона
(и до той поры, пока нас
не интересуют неупругие
столкновения электрона).
Что же касается применения такого приближения к движению
электронов самого кристалла, то до сихчпор не дано обоснования
такой возможности, хотя вытекающие из расчетов следствия поз-
позволяют истолковать множество явлений.
На рис. 42 изображена потенциальная энергия электрона
в кристалле в функции х при условии, что ось ОХ проходит
через центры атомов, образующих кристалл. В точках ... — 2а,
— а, О, + а, + 2а, ... расположены центры атомов. В этих точках U
I Z \
Pjhc. 42 Кривая потенциальной энергии
электрона в кристалле.
Пунктиром изображена волновая функция (моду-
(модулированная волна).
имеет полюс первого порядка (
Для выяснения возможных уровней энергии электрона в перио-
периодическом поле и собственных функций энергии нужно решить
уравнение Шредингера, которое мы возьмем сначала в «^-пред-
«^-представлении. Это уравнение имеет вид
— -«— V2\p 4- ?Л|? = Еур, E5.2)
где |х — масса электрона, a U — потенциальная энергия, подчиняю-
подчиняющаяся условию периодичности E5.1). Ставя себе целью лишь
выяснение самых основных свойств движения в периодическом
поле, мы ограничимся одним измерением. Тогда вместо E5.1) и
E5.2) будем иметь
} = {/(*), E5. Г")
E5.2')

§ 551 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 229
Для исследования этого уравнения перейдем к «р»-представле-
нию. Положим для этой цели
+_00
g(fc) e dk, k = kx^-~-, E5.3)
где рх — импульс по оси ОХ. Соответственно разложим потен-
потенциальную энергию U в ряд Фурье
2ninx
U (х) = S U*~ "~=~, Un = G1 „. E5.4)
— ОО
Коэффициенты этого ряда Un суть не что иное, как U (х) в «р»-
представлении. Подставим E5.3) и E5.4) в E5.2'):
/ _ _2яи\ .
е\ а )'
+ 00
=== ?i I С ук) —¦, CLR>. \ 00.0)
Умножая это уравнение на е —• и интегрируя по х от — оо до
+ сю, мы получим б-функции:
+ 00 + 00 + ОО
^ [ k2c(k)8(k-k')dk+^Un \ c(k)b(k-^--k'yjdk =
— 00 — 00 — ОО
= Е \ c(k)8(k-k')dk. E5.5')
— 00
Выполняя, наконец,, интегрирование по k и меняя обозначение
k' на k, получаем
+ оо
— ОО
Это уравнение есть не что иное, как уравнение E5.2') в «р»-пред-
ставлении. Особенностью его является то, что в него входят лишь
те c(k)f аргументы которых отличаются друг от друга величиной
2пп/а (л = 0, ± 1, ±2, ..,).
Величины c(k), c{k-\-2nnla) суть неизвестные, которые нам
нужно вычислить. Все они связаны между собой уравнениями
вида E5.6), которые легко получить, если менять в E5.6) k на
к-\-2кт/ау где т — целое число. Перенося в E5.6) член с ? налево,
мы без труда можем написать уравнения для всех связанных

230 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
между собою функций c(k + 2nm/a):
[ГЛ. VIII
<-+>. К
*У-*]«(*+?)+
т-0.
— оо
И Т. Д.
E5.7)
Это —система алгебраических линейных однородных уравнений
для бесконечного числа неизвестных c\k + -~f-) (m = 0, ±1,
±2, ...). Для того чтобы эта система имела отличные от нуля
решения, необходимо, чтобы ее определитель А равнялся нулю.
Этот определитель зависит от Е и k (и всех коэффициентов Un)
и является вообще трансцендентной функцией от ?. Поэтому
уравнение
Д(?, ?) = 0 E5.8)
имеет бесконечное число корней Е = ЕЪ Е2, ..., ?/, ..., каждый
из которых является функцией волнового числа k. Отсюда сле-
следует, что энергетический спектр частицы, движущейся в перио-
периодическом поле, будет состоять из отдельных областей
/=1, 2,3,...,
E5.9)
в каждой из которых энергия есть функция волнового числа k:
Эти области называются зонами дозволенной энергии
или просто зонами.
Покажем, что в пределах каждой зоны энергия есть периоди-
периодическая функция волнового числа k с периодом 2п/а. Для доказа-
доказательства заменим в системе уравнений E5.7) всюду k на k±2n/a.
Тогда, как непосредственно видно из E5.7), такая замена означает
просто иной порядок написания уравнения E5.7), т. е. система
уравнений переходит сама в себя. Поэтому и корни Ej останутся
неизменными, так что
= ?/(*). E5.10)

> 551
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
231
Таким образом, энергия есть в самом деле периодическая функ-
функция k и, следовательно, может быть выражена рядом Фурье
?,(?)
EJmcos(mak),
E5 Л1)
т = 0
где коэффициенты Ejm зависят лишь от вида потенциальной энер-
энергии У (х), т. е. от ипг).
На рис. 43 приведены типичные кривые зависимости Ej(k)
для двух первых зон Ег и ?2. В первой зоне энергия меняется
с—+—_>*К-—*¦--/>'
-Зп/а -2п]& -я/а. 0 +л/а
Рис. 43. Энергетический спектр и энергия в функции вол-
волнового числа k для электрона, движущегося в периодиче-
периодическом поле.
от минимального значения Е[ до максимального Е"и во второй —
от ?"з до ??. Интервал Е от Е[ до Е'% не реализуется и образует
запрещенную зону. Таким образом, спектр состоит из отрез-
отрезков непрерывного спектра (полос) от Е[ до ?[, от Е'2 до E'i и т. д.
Как правило, запрещенные области суживаются по мере увели-
увеличения номера зоны, вплоть до слияния в непрерывный спектр
в пределе / = оо.
Общий вид собственных функций может быть также легко
получен. Каждому собственному значению E~Ej(k) принадлежит
определенное решение системы E5.7). Данному значению Ej(k)
принадлежит Cj(k) с вполне определенным значением k, либо отли-
отличающимся от него на целое число 2я/д. Если мы хотим записать
cf (k) в виде одной функции, то мы можем это сделать с помощью
1) Мы написали ряд по косинусу. Общий ряд Фурье содержит как коси-
косинусы, так и синусы. Однако легко видеть из E5.7), что замена k на— k не
может изменить коэффициентов уравнения E5.7). При такой замене они опять
переходят сами в себя. Поэтому Е должно быть четной функцией k.

232 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
6-функций следующим образом:
Это и есть решение, принадлежащее собственному значению ?у (k)
и взятое в «р»-представлении (так как к' —р'/h). Отсюда получим
г|э в «^-представлении:
00
-f 00 -f 00
J — J \ a J V 2л
— oo л = — oo
Производя здесь интегрирование по k\ получим
E5.13)
Вынося здесь ёкх за знак суммирования, прлучим
¦y*W=^**M/*M. E5.14)
где М/л (дг) есть некоторая периодическая функция х с периодом а:
и/л(* + в) = иу*(*). E5.15)
tyjk(x) в уравнении E5.14) есть собственная функция оператора
энергии в «^-представлении, относящаяся к собственному зна-
значению Ej(k), т. е. к /-й зоне и волновому числу, равному k.
Она представляет собой плоскую волну (eikx)y модулированную
в такт периодичности потенциальной энергии. На рис. 42 изо-
изображена действительная часть такой функции (пунктирная кри-
кривая). Точками на оси ОХ отмечены положения ядер атомов (полюсы
функции ?/(*)). Около этих точек функция %*(*) близка к тем,
которые свойственны изолированным атомам.
Из решения E5.13) непосредственно следует, что состояния
с определенным значением энергии ((Д?J = 0) суть (как и всегда
при наличии поля) состояния с неопределенным значением импуль-
импульса р. Именно, в состоянии с энергией Ej(k) возможны значения
импульса р, равные
[ ^j E5.16)
с вероятностью
К^)Г E5Л7)

55] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 233
для Р/г = й(& + -^М. Среднее значение импульса р в состоя-
состоянии tyjky вообще говоря, не равно нулю.
Докажем теперь теорему о движении группы волн в перио-
периодическом поле, подобную теореме о движении группы волн
в отсутствие поля. (§ 7). Зависимость от времени функций %?(#),
как представляющих стационарные состояния, будет гармоническая
Ej (k)
с частотой @ = —^—:
»/*(*. О =»/*(*)* h . E5.18)
Образуем из этих состояний группу, ограничиваясь функциями,
принадлежащими одной определенной зоне (/). Соответственно
этому предположению индекс / опустим совсем.
По определению группы имеем
, t) = \ с(k) e^kx^uk (x) dk, E5.19)
k Ы
k0—
где Ли —малый интервал. Полагая
и считая с (k) и uk (x) медленно меняющимися функциями k
(в области ko±Ak), мы получим вместо E5.19)
W*7
\ d8. E5.19')
Вынесенные за знак интеграла множители являются быстропере-
менными функциями х и t. Интеграл по б, напротив, медленно
меняется, если' Аи мало. Поэтому этот интеграл можно рассматри-
рассматривать так же, как мы делали в § 7, как амплитуду группы -ф (a:, t).
Повторяя в точности все рассуждения § 7, мы найдем, что
максимум амплитуды («центр» группы) перемещается с групповой
скоростью, равной
v(d±) J
Отсюда следует, что средний импульс такой группы равен
Пользуясь выражением для Е E5.11), мы можем написать
выражение для среднего импульса в группе состояний в /-й зоне

234 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
около ko = k в следующем виде:
in {mak)- E5-22)
Отсюда видно, что на границах зоны (k = ±-^) средний импульс
р = 0. Легко непосредственно убедиться из вида функций ^jk (x)
E5.13), что в этих случаях мы имеем стоячие модулирован-
модулированные волны. Для значений k^nn/a средний импульс вообще
не равен нулю. Следовательно, состояния с определенной энергией
в периодическом поле суть состояния со средним импульсом,
вообще говоря, не равным нулю.
Если ограничиться в ряде E5.11) двумя первыми членами
(т = 0 и т=1), то получим
Е (kj) = EJ0 + Efl cos (ka). E5.11')
E5.1 Г)
E5.1 Г)
В центре зоны (около & = 0, см. рис. 43) можно разложить E5.1 Г)
по степеням &, тогда найдем
Для свооодного движения энергия равна
?* = const + ~ E5.1 Г)
(см. § 7). Поэтому E5.1 Г') можно переписать в виде
?y(ft) = const+ -??, E5.23)
где |i* есть так называемая эффективная масса
E5.24)
Соответственно импульс равен
р^^ПК E5.25)
т. е. отличается от импульса свободной частицы коэффициентом jll/jll*.
Подобным же образом можно представить энергию и на краях зоны
(k = ± я/а). Возьмем, например, окрестность точки k = + я/а. Поло-
Положим k — л/а — g. Тогда
cos (ak) = cos (я — la) = — cos (ga).
В этой области

§ 551 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 235
т. е,
Ej(k) = const + |Ь, Е = ?-*, E5.23')
где (х** есть эффективная масса на краю зоны. Из E5.24) следует,
что
т. е. эффективные массы в середине и на краю зоны имеют про-
противоположные знаки.
Доказанные в этом отделе теоремы имеют исключительное
значение в современной теории металлов1). Не имея возможности
входить в детали этой обширной в настоящее время теории, мы
ограничимся самыми краткими замечаниями. Теорема о движении
группы в периодическом поле показывает, что в периодическом
поле электрон движется с неизменным средним импульсом, вообще
говоря, не равным нулю (это впервые было показано Ф. Блохом
в 1927 г.). Поэтому омическое сопротивление металла может быть
вызвано только тем, что реальный металл не является средой
с идеально периодическим полем. Отступления от строгой перио-
периодичности поля вызывают рассеяние электронных волн [%*(*)] и
приводят к изменению среднего импульса электрона pjkt чем
и вызывается омическое сопротивление. Эти отступления от перио-
периодичности обусловлены двумя причинами: 1) тепловыми колеба-
колебаниями атомов металла, 2) наличием посторонних вкраплений
в кристалле и случайными микродеформациями. По мере умень-
уменьшения температуры металла уменьшается амплитуда колебания
атомов, а вместе с тем уменьшается рассеяние электронных волн,
и следовательно> падает сопротивление. В хорошо приготовленном
кристалле вторая причина может играть малую роль, поэтому
сопротивление металла будет стремиться к нулю (или очень малой
величине) по мере понижения температуры2). По классической
теории, оно должно было бы возрастать («замерзание электрон-
электронного газа»).
Построенная на основе этой качественной картины количе-
количественная теория омического сопротивления металлов приводит
к хорошему согласию с опытом.
Отметим еще одно интересное обстоятельство. Несмотря на то,
что опыты Толмэна твердо установили, что проводимость металлов
обусловлена движением электронов, оказалось, что в некоторых
г) Мы должны были бы обобщить эти теоремы на три измерения. Однако
это обобщение тривиально сводится просто к увеличению числа переменных
(*, у, z вместо х, kx, ky, kz вместо k), и все теоремы сохраняют свою силу.
2) Это уменьшение сопротивления металлов не следует смешивать с явле-
явлением «сверхпроводимости», которое заключается в резком, скачкообразном исчез-
исчезновении сопротивления некоторых металлов при понижении температуры.

236 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [VЛ. VIII
металлах знак эффекта Холла таков, как если бы проводимость
была обусловлена положительно заряженными частицами. Эта
аномалия полностью объясняется с точки зрения квантовой меха-
механики. Можно показать, что если проводимость металла обусловлена
электронами, находящимися на краю зоны, то дело будет обстоять
так, как если бы это были не электроны, а положительно заря-
заряженные частицы.
Представим себе, что на электрон, находящийся на краю зоны,
действует электрическое поле %Ш. Сила, действующая на электрон,
равна е%. Эта сила вызовет изменение среднего импульса, которое
по теореме Эренфеста равно
dp cp
Согласно E5.21) получаем
dt~~ dt\h dk ) ~~ П dk2 dt '
С другой стороны, работа, произведенная полем за 1 сек, равна
dE^^dE^dk^ ^ g ^ $ 1 dE
dt 3= dk dt Ъ dk "
Отсюда
dk^ _ еЩ_
dt ^ ft •
Имея в виду, что, согласно E5.23'),
d2E __ d2E __ ffi
dk2 ~~ d& ~" \l** *
мы получаем
4t=Sl^' E5.26)
Обычное положение дел таково, что |л* положительно. (Это видно
уже из того, что с уменьшением величины периодического поля
t/-*0, т. е. при переходе к свободному движению, |л*-*|л). Но
из E5.25) следует, что |i** = — |д,*<0.
Следовательно, согласно E5.26), электрон, находящийся на
краю зоны, движется так, как если бы он имел заряд ё\
т. е. заряд, по знаку противоположный заряду е (так как -~ <0).

Глава IX
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 56. Произвольное электромагнитное поле
Рассмотрим теперь движение частиц с зарядом е и массой \х
в произвольном электромагнитном поле. Пусть напряженность
электрического поля есть ?, а напряженность магнитного поля 3€.
Эти напряженности мы выразим через скалярный потенциал V
и векторный потенциал А:.
34 = rot A. E6.2)
Гамильтониан для этого случая приведен в § 27 и равен B7.9)
^ 4^^> ^ & E6-3)
где /7—-силовая функция и присоединена на тот случай, если
помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы.
Мы не будем сейчас искать стационарные состояния, так как
в произвольном электромагнитном поле они не всегда сущест-
существуют. Ограничимся установлением уравнений движения и из них
выведем некоторые общие заключения.
Для установления уравнений движения мы можем опираться
на общую теорию, изложенную в § 32. Согласно C2.2) и C2.2')
дело сводится к вычислению квантовых скобок Пуассона для
координат ху у, z и импульсов PXf Py, Pzt причем под опера-
оператором Н следует понимать гамильтониан E6.3)*).
1) Дальнейший расчет аналогичен классическому, рассмотренному в допол-
дополнении VI.

238
МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
(ГЛ. IX
d%. IdY dt
Вычислим сначала оператор скорости-^-1 -^-, -^ напишутся
тогда по аналогии). Имеем
dt
E6.4)
Первую скобку мы уже вычисляли C2.5); она равна PJ\i. Для
второй имеем
[АР, х] = [ДЛ *]=-^
= ~ [хАхРх - Ах (хРх - Щ = Ах. E6.5)
Следовательно,
E6.6)
?-[&, Л-±(Р.-±
ХУ >
Эти- операторные уравнения в точности совпадают со второй
группой классических уравнений Гамильтона (см. дополнение VI,
формула A0')), если под Р понимать величину, а не оператор.
Вторая группа уравнений получается несколько более слож-
слож*
ным путем. Вычислим ——*-;
+ 1J&- [А2. Р*} + [
, Рх].
Вычислим все эти скобки, начиная с последних:
[eV + U, Px] = -e^^^f
E6.7)
E6.8)
__1гАР Р 1- е
2}ЛС \ 0*2
&А2 \
^2дх)>
di4z
дх

§ 561 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 239
Следовательно,
dt дх * дх ^ цс I дх
е - \ .' dAg /a e \1 ihe
Чтобы получить производную не от обобщенного импульса,
а от обыкновенного, равного, согласно E6.6),
Р^Г = Рх~тАх> E6.10)
нужно из E6.9) вычесть -^---^. Для этого вычислим ——#•
с dt с dt
Имеем
Подставляя сюда Н из E6.3), находим
~ [Я, Ах] -—- [Р2, Ах] -™ [АР, Ах]. E6.12)
Далее, вычисляем эти скобки:
[АР, Л^] = Л^-^- + ^-^ + ^г^-. E6.14)
Отсюда получаем
е dAx е дАх . g Г аЛ^. /^ _?_ - \ { ^Л^ /а _^_ - \
с dt с dt ^ )лс1дх \х с ^х)'г ду \ у с /1^/"t~
с. E6.15)
Вычитая теперь ~-др E6.15) из -^~- E6.9), находим
~"~ дх е\с dt + дх) "Г ре \дГ ду
Но
1 дАх dV дАу дАх _ дАх dAz _
~7~Tt дх~®х* ~дх ду~~ " ~~дг дх~~ «
дАЛ д (дА* дА
f (
дАЛ-
дГ>

Имея еще в виду E6.10), получаем из E6.16)
d2X dU
E6.17)
г. dY dZ w
Операторы скорости -тт- и -^- не перестановочны с полем <гь
(если оно неоднородно). Поэтому в E6.17) лучше произвести
симметризацию:
\i \ у с у j z* \i ду у
Отсюда следует, что
dY
1 Г cv/* dY , dY <rvr» cvs> dZ dZ <т%у* ~\ , in. , >%л
= 2 г^'чг +чг^*-^учг - чг^у} + 2irrot-^-
E6.18)
Подставляя E6.18) в E6.17), получаем
Выражение
к - л.+щ*. 4-+?*••) -(*¦.#+4 •*".)]
E6.20)
следует рассматривать как оператор силы Лоренца, действующей
в поле &, <№ на частицу с зарядом е. В самом деле, классическое
выражение для силы Лоренца имеет вид
Остальные два уравнения для осей OY и OZy очевидно, напи-
напишутся путем циклической подстановки х, у, z.
Переходя от операторного равенства E6.19) к уравнению для
средних значений (для чего умножаем E6.19) слева наг))* (л:, у, г, t),
а справа на г|)(л:, у, г, /) и интегрируем по всему пространству),
мы получаем теорему Эренфеста для движения в электромагнит-

ном поле
Это уравнение вполне аналогично классическому уравнению
Ньютона
Рассмотрим теперь специальный случай движения в однород-
однородном электрическом и магнитном поле. В этом случае Ш и дъ не
зависят от координат и поэтому коммутируют с операторами
dX dY dZ o
-^~, —^- и -^-. В силу этого для однородных полей вместо
E6.21) получаем
S^f^f^) <56-22>
Я, у, I суть координаты центра волнового пакета. Сравнение
с E6.2Г) показывает, что в однородном электромагнитном поле
центр пакета движется по законам классической механики как
частица с зарядом е и массой \л.
Если магнитное поле отсутствует, то вместо E6.22) получаем
*е * ^*2 + п* + * E6.23)
т. е. имеет место равномерно ускоренное движение центра вол-
волнового пакета. Заметим, что в однородном электрическом поле
не существует стационарных решений (соответствующие волновые
функции обращаются в бесконечность при х = ±оо (смотря по
направлению поля ёх)). Действительно, согласно E6.23), центр
волнового пакета для t = oo должен лежать в бесконечности:
поле «сдувает» частицы в сторону падения потенциальной энергии.
В магнитном поле существуют стационарные решения (см. § 57).
Они существуют также при одновременном наличии электриче-
электрического и магнитного полей, если последние перпендикулярны друг
к другу.
Из E6.1) и E6.2) следует, что если вместо потенциалов А и V мы введем
новые А' и V', связанные с прежними формулами
E6.24)
ТЖ' E6-25)

242 МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ [ГЛ. IX
где / — произвольная функция координат и времени, то потенциалы А' и V
описывают то же поле, что и Аи К. Действительно,
<z>, I dA' ... <z> 1 д
ffl> = rot A' = № + rot
Таким образом, потенциалы А, V вплоть до преобразования E6.24), E6.25)
произвольны. Но потенциалы входят в гамильтониан Н. Поэтому может пока-
показаться, что физические выводы могут зависеть от произвола в выборе А • и V.
На самом деле это не так. Физические выводы зависят лишь от поля §, 3€,
а не от потенциалов А, V. В частности, в уравнение движения E6.21) входят
лишь напряженности полей, а не потенциалы. Это пример, иллюстрирующий
правильность приведенного утверждения.
Предоставляем самому читателю прямой подстановкой показать, что если
найдено решение уравнения Шредингера
iftijt-jfy, E6.26)
где Я —гамильтониан E6.3), то решение г|/ уравнения Шредингера
iti^^H'y, E6.26')
где Н' отличается от Н заменой А и V на А' и V по формулам E6.24) и
E6.25), будет получаться из ф по формуле
„,'=^Н <5б-27>
так как / — действительная функция, то
E6.28)
У =^J- №W-¦'*?¦') ~ А'
-г|э*уг|)) A hb|2 = J E6.29)
ie e
(так как v*'
То есть вероятность местонахождения частицы и плотность тока остаются
неизменными при преобразовании потенциалов E6.24) и E6.25), оставляющем
неизменным электромагнитное поле. Подобным же образом и все другие физи-
физические величины остаются теми же.
Это свойство "уравнения Шредингера называется электромагнитной
или калибровочной инвариантностью1).
§ 57. Движение заряженной свободной частицы
в однородном магнитном поле
Направим ось OZ по направлению магнитного поля. Тогда
компоненты поля будут &%*х = &%*у = 0, %Г %Г
*) Этим же свойством обладают классические уравнения Гамильтона (см.
дополнение VI).

§ 571 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 243
Вектор-потенциал А возьмем в виде
E7.1)
Тогда из уравнения E7.1) получается как раз нужное поле (чем
и оправдывается выбор А):
&Гх = 0,- JTy = 0, Жг^-^^<Ж. E7.2)
Других полей мы не предполагаем (?/ = 0, У = 0), поэтому на
основании E6.3) уравнение Шредингера для стационарных состоя-
состояний напишется в виде
l^ff ^^. E7.3)
В этом уравнении мы можем сразу разделить переменные, если
положим
г|>(х, уу г) = е11«*+Ыу(у), E7.4)
где а и р —некоторые постоянные.
Подставляя E7.4) в E7.3), находим уравнение для функ-
функции ф(#):
Это последнее уравнение легко приводится к уравнению для
осциллятора. Для этого положим
VV <576>
E7.6")
Тогда после простых преобразований получаем вместо предыду-
предыдущего уравнения новое уравнение
Это и есть уравнение для осциллятора массы ft, частоты соо
(см. D7.3)).
Отсюда на основании известных решений для осциллятора
мы можем сразу написать нужные нам решения:
—у -у —
!
у), л = 0, 1, 2, ... E7.10)

244 МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ [ГЛ. IX
Стало быть, собственные функции частицы в поле будут
¦„«„ (х, у, г) = ё <«*+*> Г тНп (?), <57-! !>
а квантовые уровни определятся формулой
4l
где /г = 0, 1, 2, ....
Последний член есть не что иное, как кинетическая энергия
движения по оси OZ (вдоль поля), первая же часть
E7.12')
представляет собой энергию движения в плоскости х, у, перпен-
перпендикулярной к магнитному полю. Эту энергию можно записать
в виде потенциальной энергии тока, обладающего магнитным
моментом 5J?, в магнитном поле 3€ (О, 0, <э%"). Именно, положим
Еп @) = — {ШЩ = — Шг<Ж = дIв Bл + 1) <ДГ. E7.13)
Из этой формулы мы видим, что проекция магнитного момента Шг
на направление магнитного поля есть целое кратное от магне-
магнетона Бора WlB.
Полученное квантование энергии свободной частицы, движу-
движущейся в магнитном поле, является важным следствием квантовой
механики, так как приводит к наличию диамагнетизма у элек-
электронного газа, в то время как по классической теории диамаг-
диамагнитные свойства у электронного газа должны отсутствовать.
Собственные функции E7.11) вполне соответствуют классиче-
классическому закону движения в магнитном поле. Именно, по класси-
классической теории мы имеем круговое движение в плоскости ху у
с частотой (оо (как раз эта часть энергии квантуется) и свобод-
свободное движение по оси OZ1).
Действительно, волновая функция E7.11) означает, что обоб-
обобщенный импульс по оси ОХ равен рх — На и по оси OZ равен
p°z = fi$. По оси OY мы имеем гармоническое движение с часто-
сРх
той (о0 около положения равновесия уо = —7&?. Согласно класси-
ческой механике импульс по оси ОХ также постоянен, и это не
противоречит тому, что по оси ОХ также происходит гармониче-
гармоническое колебание около некоторого положения равновесия хОу так
как рх = № + ^Ах, а не \ivxl
Обобщенный импульс рх определяет положение равновесия у0,
и поэтому от него не зависит энергия движения Еп($).
1) См. дополнение X, где приведен соответствующий расчет по классиче-
классической механике.

§ 571 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 245
То обстоятельство, что по квантовомеханическому решению
как будто получается гармоническое движение только по оси OY,
в то время как классическое круговое движение означает гармо-
гармоническое колебание и по оси OYy и по оси ОХ (с разностью
фаз я/2), связано с тем, что волновая функция tyna$ (лг, у, г)
E7.11) описывает состояние с неопределенным положением рав-
равновесия х0 для колебаний по оси ОХ.
Так как энергия Епф) не зависит от а, то мы имеем беско-
бесконечно высокое вырождение, соответствующее различным возмож-
возможным положениям точки равновесия х0. Поэтому энергии Еп ф)
принадлежит не только найденное нами решение i|wp, но и все
волновые функции вида
4>яр (х9 у%г)=\с (а) ё <«*+**>* 2 Нп (I) da,
—со
где с (а) — произвольная функция а.
В частности, можно подобрать с (а) так, чтобы решение tyn$
соответствовало определенному положению точки равновесия по
оси ОХ(х0).

Глава X
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ
МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА (СПИН)
§ 58. Экспериментальные доказательства существования
спина электрона
Изложенная в предыдущем теория движения заряженной ча-
частицы в магнитном поле является далеко не полной. Дело в том,
что помимо механического и магнитного моментов, создаваемых
движением центра тяжести электрона, электрону необходимо при-
приписать собственный механический и магнитный моменты, как
если бы он являлся не материальной точкой, а вращающимся
заряженным волчком. Этот механический и магнитный моменты
называют спиновыми (в отличие от механического и магнит-
магнитного моментов, создаваемых движением центра тяжести электрона,
которые мы будем теперь называть орбитальными). Само
явление называют спином электрона.
Мы изложим кратко те опытные факты, из которых следует
существование спина электрона. Одно из наиболее простых и пря-
прямых указаний на существование спина электрона получается из
опытов Штерна и Герлаха по пространственному квантованию (§ 3).
Штерн и Герлах наблюдали расщепление надвое пучка атомов
водорода, заведомо находящихся в s-состоянии. В этом состоянии
механический, а вместе с ним и магнитный орбитальный моменты
равны нулю. Между тем факт отклонения пучка атомов в маг-
магнитном поле показывает, что эти атомы обладают в s-состоянии
магнитным моментом. Расщепление только на два пучка показы-
показывает, что проекция этого магнитного момента может принимать
только два значения. Результаты измерений показывают, что
абсолютная величина этого момента равна магнетону Бора ЗЛд.
Таким образом, в s-состоянии атома, имеющего лишь один элект-
электрон, существует магнитный/ момент SDt, проекция которого на
магнитное поле принимает лишь два значения ±ШВ.
Существование этого магнитного момента в состоянии, где
орбитальный момент заведомо отсутствует, можно объяснить, если

! 581
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СУЩЕСТВОВАНИЯ СПИНА ЭЛЕКТРОНА
247
*{:
1s-
1s-
предположить, что этот магнитный момент свойствен самому
электрону. Это предположение опирается еще и на следующие
важные обстоятельства. Спектральные линии даже тех атомов,
которые имеют один оптический электрон, оказываются более
сложными, нежели это следует из изложенной выше теории дви-
движения электрона в поле центральных сил. Так, например,
в атоме Na вместо одной спектральной линии (а) (рис. 44), отве-
отвечающей переходу 2p->ls, наблюдаются две очень близкие линии
(&, с), исходящие из двух близких уровней. Это так называемый
дублет Na (линии 5895,93 А и 5889,96 А).
Таким образом, р-тёрм Na следует считать состоящим из двух
близких уровней. Подобная структура спектральных линий наблю-
наблюдается и в других атомах и но-
носит название мультиплетной 2р
структуры спектров.
Теория движения электрона в
поле центральных сил показывает,
что 2р-терм (я = 2, /=1) состоит
из трех сливающихся уровней
(т = 0, ±1), но вовсе не из двух
близких. Расщепление трех уров-
уровней может получиться лишь во
внешнем поле, а дублет {Ь, с) на-
наблюдается в отсутствие поля.
Предположение, что электрон
имеет собственный магнитный мо-
момент ШВу позволяет сразу объяснить происхождение двойного
расщепления термов одновалентных атомов. В атоме, во всех со-
состояниях (р, d, ...), кроме состояния s, в котором орбитальный
момент равен нулю, существуют электрические токи (ср. § 53).
Эти токи создают внутреннее магнитное поле. В зависимости от
ориентации спинового магнитного момента электрона (вдоль этого
поля или против него) получаются два состояния с несколько
различной энергией, так что каждый из уровней р, dy ... рас-
расщепляется на два близких уровня (см. § 62).
Как мы увидим, расщепление спектральных линий атомов
в магнитном поле (эффект Зеемана, § 74) также требует предпо-
предположения о существовании спина электрона и только на его основе
может быть объяснено.
Обратимся теперь к собственному механическому моменту элек-
электрона. Обозначим его через s. Если проекция этого момента sz
на любое направление OZ определялась бы целым числом постоян-
постоянных Планка ms% (как это имеет место для орбитального момента),
то следовало бы ожидать по крайней мере трех ориентации спина
т5 = 0, ±1. В самом же деле, упомянутый результат опыта
Штерна и Герлаха, а также двойное расщепление уровней р, d, ...
Рис. 44. Мультиплетная структура
уровня 2р.
Переходы Ь и с образуют две близкие
линии (дублет).

248
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
показывают, что возможны только две ориентации спина элек-
электрона. Эти факты привели голландских физиков Уленбека и
Гаудсмита A925) к предположению, что проекция собственного
механического момента электрона sz на любое направление изме-
измеряется полуцелым числом постоянных Планка и может принимать
лишь два значения
s ± E8Л)
Это предположение Уленбек и Гаудсмит дополняют, в соответствии
с опытными данными, предположением о наличии у электрона
собственного магнитного момента 50?, проекция которого ЭЯг на
а любое направление может принимать только два
значения
m
аяж=±алБ=±^. E8.2)
Из E8.1) и E8.2) следует, что отношение спинового
магнитного момента к спиновому механическому мо-
моменту равно —
Q\
E8.3)
Рис.45. Схе-
ма опыта
Эйнштейна и
де Гааза..
в то время как отношение орбитальных моментов
равно — ^— (см. § 53).
Существование отношения E8.3) между магнит-
ным моментом и механическим было обнаружено
еще в 1915 г. в опыте А. Эйнштейна и де Гааза.
Вкратце сущность этого опыта сводится к следующему. Ферромаг-
Ферромагнитный стержень / (рис. 45) подвешивается на нитях так, что
может вращаться вокруг своей оси. Если изменить направление
продольного магнитного поля <№', то изменится и направление
намагничения стержня, т. е. его магнитный момент 2W. Так как
магнитный момент пропорционален механическому
f»=-2^Mf E8.4)
то изменится и механический момент М электронов всего стержня *).
В результате стержень придет во вращение и будет закручивать
нить. Из этого кручения можно определить М, а вместе с тем и
проверить отношение -«-. Для электронов это отношение должно
!) Заметим, что формулу E8.4) мы пишем теперь для суммарного момента
всех электронов. Поскольку она справедлива для каждого электрона стержня,
то она будет справедлива и для всей их совокупности.

§ 591 ОПЕРАТОР СПИНА ЭЛЕКТРОНА 249
быть отрицательным (заряд электрона равен —е). Это и получи-
получилось из опыта, показывая таким образом, что намагничивание
куска ферромагнетика обусловливается движением электронов.
Однако отношение получилось равным не —~, а —. Для
орбитального движения при самых общих предположениях и
классическая, и квантовая теории ведут к значению —~—. По-
Поэтому результат опыта казался загадочным. Если же считать,
что намагничение обусловлено не орбитальным движением элек-
электрона, а его спином, то отношение -гг- должно быть равно ——,
что и получается на опыте. Это предположение позволило не только
объяснить результаты опыта Эйнштейна и де Гааза, но и зало-
заложить основы современной теории ферромагнетизма (см. § 130).
Заметим, что в настоящее время существование спина элек-
электрона может рассматриваться как следствие из релятивистской
теории электрона, развитой Дираком. Однако изложение этой
теории выходит за рамки нашей книги1).
§ 59. Оператор спина электрона
Обратимся теперь к математической формулировке гипотезы
Уленбека и Гаудсмита,
В соответствии с общими принципами квантовой механики
собственный механический момент электрона (для краткости будем
просто говорить спин электрона) должен изображаться линейным
самосопряженным оператором. Обозначим операторы проекций
спина на оси координат через sx, sy, sz. Чтобы определить вид
этих операторов, мы потребуем, чтобы эти операторы подчинялись
тем же правилам перестановки, что и компоненты орбитального
момента МХ9 МУ9 Mz. Тогда, заменяя в B5.5) М на s9 получаем2)
л. л. л. л. л.
sxsy — sysx = inszy
E9.1)
Проекция спина на, любое направление (по исходной гипотезе)
может принимать два значения: ±Н/2. Поэтому операторы sx,
х) П. А. М. Дирак показал, что из релятивистского уравнения для дви-
движения электрона автоматически вытекает, что электрон должен обладать маг-
магнитным моментом E8.2) и механическим моментом E8.1), и, таким образом,
дал теоретическое обоснование гипотезе Уленбека и Гаудсмита (см. П. А. М. Д«-
р а к, Принципы квантовой механики, Физматгиз, I960).
2) Опираясь на теорию групп, можно доказать, что правила E9.1) являются
еди нственно возможными.

250
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
sy9 se должны изображаться двухрядными матрицами,
так как двухрядная матрица, будучи приведена к диагональному
виду, содержит лишь^ два диагональных члена и, стало быть,
имеет только два собственных значения. Полагая
я
2"
S* = ~2 °Zi
E9.2)
мы можем сказать, что операторы axt Gy, gz (спиновые
матрицы) должны быть двухрядными матрицами вида
E9.3)
имеющими собственные значения ±1. Подставляя E9.2) в E9.1)
и сокращая на Й2/4, получаем
oxGy - GyGx = 2iGZf E9.4)
GyGz-GzGy = 2iGXy E9.4')
gzgx - gxgz == 2/a^. E9 A")
Ввиду того, что собственные значения gX9 ay, az равны ±1, то
собственные значения операторов о?, а^, а| суть +1. Стало быть,
в своем собственном представлении эти последние матрицы далжны
иметь вид
1 О
О 1
1 0
0 1
11 О
о 1
т. е. они являются единичными матрицами б:
1 О
О 1
6 =
E9.5)
E9.6)
Единичная матрица остается единичной во всяком представлении
(см. § 40). Поэтому матрицы gXi G2y> gI имеют вид E9.5) во вся-
всяком возможном представлении. Рассмотрим теперь комбинацию
2/ (GxGy + GyGx) = 2iGxGy + Gy2iGx.
На основании E9.4) это можно переписать в виде
(GyGz — GzGy) Gy + О у (GyGz — GzGy) = OyGzGy — GzG'y + g\G z — GyGzGy =
= GyGz — GZG
ho cr? = 8 есть единичная матрица, поэтому
Следовательно,
ZG\\
E9.7)
т. е. матрицы Gxt Gyy как говорят, антикоммутируют.

§591
ОПЕРАТОР СПИНА ЭЛЕКТРОНА
251
Комбинируя E9.7) с E9.4) и применяя циклическую пере-
перестановку аХУ оу, aZi находим
E9.8)
Найдем теперь явный вид матриц вх, оу, az. Пусть, скажем,
матрица аг приведена к диагональному виду. Так как ее соб-
собственные значения равны ±1, то диагональный вид аг будет
1 О
о -1 • E9.9)
Можно показать, что в этом же представлении, остальные две
матрицы аХ9 а у будут иметь вид
0 1
1 О
0 — *
1 О
E9.9')
Для доказательства образуем произведения а.гах и охаг. По
правилу матричного умножения (§ 40) имеем
1 0 ап а12
0—1 а21 а22
1 0
0 —1
«И «12
— «21 — «22
«11 — «12
«21 — «22
__ «11 «12
X Z~ «21 «22
На основании E9.8) имеем
«11 «12
— а21 — я23
или
#11 == #11» #12 ==
т. е.
и\\ — U, 6?22 === ^»
Поэтому матрица ах имеет вид
а = ° а12
Х «21 0
Образуем теперь а\:
0 а,2|| 0 а32
«,t 0
«11 — «12
«21 «22
— ап а12
— «21 «22
#21 — #21, #22 = #22»
E9.10)
О
Сравнивая с E9.5), получаем, что а12а21=1. Матрица должна
быть самосопряженной, т. е. #i2 = #.*i. Стало быть, |я12|2=1.
Отсюда получаем
<**= e-io. о I' E9.11)
где а — действительное число,

252
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Подобным же образом находим, что
О е*Р
г«Р О
Перемножая теперь ох на оу, а потом аи на ах и пользуясь E9.8),
получим
E9.1 Г)
О
О
О
откуда
т. е. а —C = я/2. Таким образом, все соотношения удовлетворены
при произвольном значении а. Поэтому без всяких ограничений
мы можем взять а = 0, Р = —я/2. Подставляя эти значения
в E9.11) и E9.1 Г), получаем E9.9').
Согласно E9.2) из E9.9) и E9.9') получаем матрицы опера-
операторов s.v, sy, s2 в представлении, в котором sz диагональна
^-представление):
0
ft
ft
~2
0
Л
» Sy =
о -г?
«4 о
4г о
о *
E9.12)
Заметим, что значки 1 и 2, нумерующие матричные элементы
матриц о и s, приобретают теперь (поскольку выбрано представ-
представление) определенное значение: значок 1 относится к первому
собственному значению sB = + y» а 2 —ко второму s^= —-у.
Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Из E9.12)
имеем
? —
— ~4~ ^
1 О
О 1
E9.13)
Вводя квантовые числа ms и /5, определяющие значение проек-
проекции спина на любое направление OZ и его квадрат соответственно,
мы можем написать формулы для квантования спина в полной
аналогии с формулами E1.9, 10) для орбитального момента
s2 = ft2/s(/s+l), /s = 4"> E9.14)
E9.15)
§ 60. Спиновые функции
Мы видим, что в квантовой механике состояние спина должно
характеризоваться двумя величинами: абсолютным значением |s|
(или s2) и проекцией спина на какое-либо направление s2. Пер-
Первая величина (s2) предполагается для всех электронов Одинако-

§ 601 СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ 253
вой, поэтому речь может идти лишь об одной переменной s2.
Таким образом, наряду с тремя переменными, определяющими
движение центра тяжести электрона (х, у, z или рх% ру, рг и т. п.),
появляется еще одна переменная szi определяющая спин электрона.
Поэтому можно сказать, что электрон имеет четыре степени сво-
свободы.
Соответственно этому волновую функцию i|>, определяющую
состояние электрона, следует считать функцией четырех перемен-
переменных: три относятся к центру тяжести электрона, а четвертая —
к спину (sz). Например, в координатном представлении для
электрона следует писать
Ф = Ф(*. У, *, s?, t). F0.1)
Так как спиновая переменная имеет только два значения
(±г/2/2), то можно сказать, что вместо одной функции мы полу-
получаем две:
( ?) F0.2)
Эти функции мы будем иногда писать в виде матрицы с одним
столбцом
У = \1\ °о[ F0.3)
а сопряженную функцию —в виде матрицы с одной строкой
0
.3 )
Такой способ написания позволит воспользоваться правилами
§ 41 D1.2).
Ясно, что волновые функции % и г|J будут только в том слу-
случае различны, если существует реальная связь между спином и
движением центра тяжести. Такая связь существует и представ-
представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным
полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона.
Это взаимодействие обусловливает мультиплетную структуру
спектров (см. § 58). Поэтому, если мы игнорируем мульти-
мультиплетную структуру спектров, то мы можем вообще пренебречь
взаимодействием между спином и орбитальным движением. В этом
приближении
Ы*. У. 2> 9 = Ы*, У^ *, 0 = Ф(*. </. г, /). F0.4)
Однако, чтобы и в этом случае отметить, что речь идет о ча-
частице обладающей спином, пишут функцию F0.1) в виде,

254 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
соответствующем разделению переменных
ty(*, у, z, s2, t) = ty(x, у, z, t)Sa(sz), F0.5)
где через Sa (s2) обозначена спиновая функция. По существу
это простой значок, указывающий состояние спина частицы.
Смысл, этого «значка» или, иначе, «спиновой функции» таков:
индекс а принимает два значения, которые обычно полагают рав-
равными + 1/2 и —1/2 (вместо 1 и 2). Первое значение + г/2 (или 1)
означает, что проекция спина не некоторое избранное направле-
направление OZ равна + у. Второе значение индекса а означает состоя-
состояние спина с другим возможным значением проекции спина на
это же направление, именно — у. «Аргумент» sz «функции» Sa
рассматривают как независимую переменную, могущую принимать
два значения: ±~2~. Тогда
D) D) 0f F0.6)
так как по смыслу значка в состоянии а= + -о~» sz=-\-~, и.
в этом же состоянии не может быть sz = — у, поэтому соответ-
соответствующая функция равна нулю. Подобным же образом
l. F0.6')
Запись же в виде F0.1) и, как частный случай, в отсутствие
взаимодействия спина и орбитального движения, в виде F0.5)
позволяет рассматривать спин s2 как динамическую переменную,
подобную любой другой механической величине.
Введенные «волновые» функции спина Sa(s2) обладают свой-
свойством ортогональности и нормировки. Чтобы в этом убедиться,
возьмем произведение
SZ(sz)S$(sz),
где S* означает, как всегда, функцию, сопряженную с S, а а,
P = ±-g. Просуммируем это произведение по всем возможным
значениям спиновой переменной sz (таких значений только два:
±-g-V Тогда непосредственно из F0.6) и F0.6') (имея в виду,
что S* = S) следует, что
SS*(s,)Sp(s,) = 6ap. F0.7)

. 601
СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
255
Функция Sa(sz) может быть записана и в матричной форме F0.3).
Именно,
1
0
1
0
0
0
0
0
S-.,.-
0
1
0
0
0
0
1
0
F0.8)
F0.8')
Вычислим теперь результат действия любого спинового опе-
оператора типа
? ?1 <60-9>
JL =
на волновую функцию. Значки 1, 2, если оператор L взят в «sz»-
представлении, означают номера собственных значений s^fzb-K-j.
Согласно формуле C9.5), определяющей действие оператора, дан-
данного в матричной форме, на волновую функцию, мы будем иметь,
что оператор L образует из функции W (tyit ty2) новую функцию
Ф(фь Фг) по правилу
>2, F0.10)
>2. F0.10')
Отличие F0.10) от C9.5) заключается лишь в том, что в F0.10)
мы имеем двухрядные матрицы и соответственно функцию из двух
компонент, а в C9.5) мы подразумеваем матрицу с неограничен-
неограниченным числом элементов Lmn и функцию * с бесконечным числом
компонент сп(с±, с2, ...).
Представляя ? в виде матрицы (столбца) F0.3), мы можем
записать два уравнения F0.10) и F0.10') в виде одного матричного:
ф=Ьр F0.li)
(см. D0.14)). В самом деле, F0.11) в развернутом виде означает
ф! " ^-11 ^12 *1 " ^11*1 + ^12*2 " //%л 1 1'\
Ф2 0 ~ 111 ^22 ||*2 0 ~ 121*! + 122*2 0 ' (DU* >
что совпадает с F0.10) и F0.10').. В дальнейшем под символом
типа LY, если взят оператор, зависящий от спина, мы будем
понимать именно такого рода произведения, которые в сущности
представляют два уравнения F0.10), F0.10') в виде одного мат-
матричного.
Среднее значение любой спиновой величины L в состоянии
Фъ %> согласно общей формуле D1.2), есть
I- (*> У у 2у 0 ~**^ll^l4"**^12^2+*2^2l'*l+'*-2^22'*2- F0.12)
Так как функции
тяжести электрона,
*! и ijJ зависят еще и от координат центра
то мы написали L(xt у, г, /), имея в виду,

256 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ Й МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
что получающееся по F0.12) среднее есть среднее от L при за-
заданном положении центра тяжести электрона. Среднее в состоя-
состоянии г|>ь г|?2 при любом положении электрона получится по фор-
формуле
I (/) - ]1 (х9 у, г, /) dxdy dz. F0.13)
Формулы F0.12) и F0.13) с помощью представления Т в виде
матрицы с одним столбцом могут быть записаны в виде
Z(jt, у, г, *) = Y+L?, F0.12')
Z @ = \ W+LW dx dy dz. F0.13')
В частности,
l o||ih 0
О о — 'Ф^'Фа + 'ФаФа- F0.14)
Подобным же образом
ду(х, у, г, t) = ^F+a^T == — ^*^2 + ^«'Фь F0.14')
S,(x, #, г,0 = х1Г+о'Л/ = 'Ф*/ф1-<ф1'ф2. F0.140
§ 61. Уравнение Паули
Рассмотрим движение электрона в электромагнитном поле,
учитывая наличие спина. Согласно основной гипотезе (§ 58) элек-
электрон обладает магнитным моментом
Благодаря наличию этого момента электрон в магнитном поле
3€(<ЖХУ <?%Гу, d%"z) приобретает добавочную потенциальную
энергию, равную энергии магнитного диполя в поле 3€;
Ш^ — (Ш^€). F1.2)
Оператор этой энергии, согласно F1.1), есть
где а —вектор-оператор с компонентами аХ9 оу, о2 E9.9) и E9.9').
Поэтому гамильтониан B7.7) для движения заряженной частицы
в электромагнитном поле при учете спина должен быть пополнен
добавочным членом F1.3), так что он будет равен
^(аЖ) F1.4)
(мы полагаем заряд электрона равным — е).

§ G1] УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ 257
Уравнение Шредингера для волновой функции W (i|?b i|J)
теперь будет иметь вид
J §G3®)W' FL5)
Это уравнение носит название уравнения Паули. Заметим,
что под ? мы понимаем столбец F0.3); поэтому в F1.5) записано
в сущности два уравнения для двух функций ^ и г|J в виде
одного матричного.
Определим теперь плотность тока. Для этого запишем F1.5)
в виде
iftf = Я0^ + ^(<т^)?, Ff.6)
где через Но обозначены члены, не содержащие операторов а.
Напишем уравнение для сопряженной функции Y+, которую мы
представим в виде строки F0.3')
-ihd^ = Щ^ + ~с((аЩ Т)+. F1:6')
Символ ( )+ означает, что в соответствующей матрице столбцы
и строки переставлены и элементы взяты сопряженными.
Умножая теперь F1.6) на lF+ слева, а F1.6') на ? справа
и вычитая одно уравнение из другого, мы получаем
~{Ч+ (оЩ W - ((аЗ€) Y)+ Y}. F1.7)
Согласно D0.15) имеем
== ?+ (а+^) F1.8)
в силу самосопряженности оператора сг+ = о\ Поэтому член
в фигурных скобках равен нулю. Остальные члены, не содержа-
содержащие операторов or, после вычислений, совершенно аналогичных
приведенным в § 29 при получении формулы для плотности тока,
даютх)
~f div [A (¦?*!+¦,•«,)]. F1.9)
2) Пользуясь матричной записью, мы все время оперируем с четырьмя
функциями ij?f", \j:J, ipb г)?2 сразу. Рекомендуем читателю, впервые знакомяще-
знакомящемуся с матричными методами, написать уравнения F1.6) и F1.6') в разверну-
развернутом виде (четыре уравнения) и путем умножения первых двух на iff и iff,
а двух вторых на ifL и if2 получить тот же результат.

258 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Переписывая это уравнение в форме уравнения непрерывности
для плотности вероятности w и плотности потока частиц J, мы
находим
w(x, у, г, 0=^+^, F1.10)
^ ). F1.11)
или
W(x, у, z, /)=4™F, J = |t(TVY+-1If+V?)-^A?+Y. F1.12)
Эти формулы показывают, что вероятность местонахождения элек-
электрона и плотность токов аддитивно слагаются из двух частей,
каждая из которых относится к электронам с одной определен-
определенной ориентацией спина. Формула для нормировки вероятности
имеет вид
=l или JY+Tdxdydz= 1. F1.13)
Величины
Wi(x, У, г, /)=1|>М>1, w2(x9 у, zt /)=*М% F1.14)
суть плотности вероятности найти электрон в точке х, у, z
в момент / с Sz=-\- *2" или s^ = — у соответственно.
Величины
w^^dxdydz |
J
суть вероятности найти электрон со спином $2—-\--п или со
спином sz = — у соответственно. Средняя плотность электри-
электрических зарядов ре и средняя плотность электрического тока Je,
согласно F1.12), будут равны
e [?V? - 4W] + ^ A (?+?), J F1'16)
pe и J«, не описывают полностью всех источников электромагнит-
электромагнитного поля в случае электрона. Нужно учесть еще магнитный
момент электрона F1.1), создающий магнитное поле. Из F1.1)
и общей формулы F0.12') получаем выражение для средней плот-
плотности магнитного момента (намагничения I):
!(*,*, г% t) = -~{4+e4). F1.17)

§ 62] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 259
Согласно уравнению Максвелла для магнитного поля имеем урав-
уравнения
= ^J, divB = 0, В = Ж + 4я1. F1.18)
Из этих уравнений и определится магнитное поле, создаваемое
электроном, находящимся в состоянии ?, если под Зе и I под-
подразумевать F1.16) и F1.17). Вводя в первое уравнение F1.18)
вместо <№ индукцию В, получим
rotB=^{J, + crotI}. F1.18')
Таким образом, вместо намагничения I можно рассматривать ток,
эквивалентный этому намагничению, именно,
j5==crotI = — 0rot(Y+a?), divJs = O. F1.19)
Полный электрический ток, соответствующий и орбитальному,
и спиновому движению, есть
л = ^?? _TVYj + g А (^р) _ rot (Ч+аЧ)в рХщ
Для вычисления компонент спинового тока Js следует восполь-
воспользоваться формулами F0.14), F0.14') и F0.14").
§ 62. Расщепление спектральных линий в магнитном поле
Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся
во внешнем однородном магнитном поле. Электрон атома будет
подвергаться одновременно действию магнитного поля и электри-
электрического поля ядра и внутренних электронов. Это электрическое
поле будем считать центральным и потенциальную энергию
электрона в нем обозначим через U(r).
Внешнее магнитное поле направим по оси OZ и возьмем
векторный потенциал А в виде
Ax = — $fy% Ау= + ^х, Л, = 0. F2.1)
Магнитное поле по формуле <^? = rotA получается правильное:
«ЗГ, = «#"„ = 0, ^г = ^Г. F2.2)
Подставляя это значение А в гамильтониан F1.4), получаем
уравнение Паули
F2.3)

260 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Членом, содержащим <а%Г2 при- малых полях, мы можем прене-
пренебречь1). Далее, оператор
-'lb-'*^' F2-4)
есть оператор компоненты орбитального момента. Обозначая еще
через
#!J F2.5)
гамильтониан электрона в отсутствие магнитного поля, мы полу-
получаем
+ Ио2] V. F2.6)
Из этого уравнения следует, что, поскольку мы пренебрегаем
постольку член, выражающий действие магнитного поля, может
рассматриваться как потенциальная энергия Ш магнитного диполя
с моментом 201 = — «р- (Л1 + На) в магнитном поле 3€\
Мы будем искать стационарные состояния. Для этого пред-
представим волновую функцию в виде
Чг(х, у% z, /) = 4r(jc, у, г) в п, F2.8)
где Е — энергия стационарного состояния. Подставляя ее в F2.6),
найдем
Н°Ч + е-~ {Мг + Паж) V - E4f. F2.6')
Возьмем представлейие, в котором матрица g2 диагональна («sp>-
представление); тогда
*i ^ +*i f F2>9)
О —11 |г|?2 —%
и, стало быть, уравнение F2.6') распадается на дра уравнения
для tyi и я|?2 порознь:
= ^и F2.10)
,-Л) Ъ = ЕЪ: F2.10')
2) Как будет показано в § 129, пренебрегаемый член определяет слабые
диамагнитные явления.

§ 62] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
261
Решение этих уравнений получается тотчас же, если заметить,
что в отсутствие магнитного поля мы имеем два решения
, Е = Eh для спина *,=
F2.11)
L
)
nlmJ
= EU для спина s, = -±, F2.11')
причем
Bt ф).
F2.12)
Так как M2tynim = ЪЩтт* то эти же решения суть решения
уравнений F2Л0) и F2.10'), но только принадлежат другим
2р-
т1
/77=0-
/77="/"
Is-
-/77s//
В поле (ШО)
Рис. 46. Расщепление s- и р-термов в сильном магнитном поле
(с учетом спина).
собственным значениям. Подставляя F2.11) и F2.1Г) в F2.10)
и F2.10'), получаем два решения
s,= + 4t F2.13)
= —5-, F2.13')
'nlm у &—E*nlm —
т. е. волновые функции (поскольку пренебрегли членом с )
не изменяются: атом не деформируется магнитным полем. Энер-
Энергия же начинает зависеть от ориентации момента относительно
поля, т. е. от магнитного числа т: совпадавшие в отсутствие
магнитного поля уровни теперь расщепляются (снимается «т»-
вырождение).
На рис. 46 дано расщепление s- и р-термов. Расщепление
р-терма получается из F2.13) и F2.13'), если перебрать возмож-
возможные значения т при /= 1 (т. е. m = dbl, 0). Расщепление s-терма
(/ = 0, т = 0) получается лишь благодаря спину электрона. Это —

262 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
важный результат теории спина: как раз это расщепление наблю-
наблюдали Штерн и Герлах в своих опытах.
Благодаря расщеплению уровней увеличивается число воз-
возможных переходов, а вместе с тем и число наблюдаемых спек-
спектральных линий. Это явление носит название простого эффекта
Зеемана (в отличие от сложного, см. § 74). Как будет пока-
показано в § 90, Б, при оптических переходах число т может изме-
изменяться только на ±1 или 0. Кроме того, спиновый магнитный
момент очень слабо взаимодействует с полем световой волны.
Поэтому идут в расчет лишь те переходы, при которых спин
не меняется. Эти переходы изображены на рис. 46 линиями
(а, 6, с) и (а', Ъ', с'). Частоты этих переходов вычисляются по
формуле
= Е«'1'-Е«"г _]_i^L im* _ m"\# /62 14)
ti ' 2[ic v ' \ - i
Обозначая частоты в отсутствие поля через соо, а при наличии
ноля через со, мы получаем
со = со0 +е-^-(т' - /л"). F2.15)
Так как т'~т" = ± 1,0, то имеем три частоты: одну неиз-
неизмененную и две смещенные на —е% •
Это расщепление на три линии (нормальный триплет Зеемана)
как раз такого, как оно получается из классической теории
эффекта Зеемана. В классической теории, как известно, явление
Зеемаиа объясняется прецессией орбиты в магнитном поле
с частотой, равной частоте Лармора OL = ~|-. Квантовая фор-
формула F2.15) не содержит постоянной Планка Й, и поэтому
результат должен совпадать с классическим (он не может изме-
измениться, если положить Н = 0). Это совпадение имеет место.
Покажем, что и в квантовой механике явление Зеемана обу-
обусловлено прецессионным движением момента импульса вокруг
направления магнитного поля. Вычислим для этого производные
по времени от орбитального и спинового моментов. По общей
формуле C1.10) имеем
^ = [Я, Мх], ^р = [#, МУ1
dt I ' z*y
-df = [H, s
-, dS,, г Л А -. dS- Г Л AT
], -J = [H, sy], -? = [H, s,]. F2.17)

§ 62] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 263
Подставляя сюда гамильтониан из F2.6)
* F2.18)
и замечая, что Я0 коммутирует с М и s, a M и ? коммутируют
между собою (так как М действует на функции от 0, ф, а 5—
на функции от sx, %у, s.), мы находим
dMK Or , а л л а < dMu От , * л *. а < dM2
dsx 20L , л а л а ч dsj, 20^ - а л л. а , ds^
^SS SA^ \SS SS^ ^
Пользуясь B5.5) и E9.1), получаем
^ ^ -^- = 0, F2.19)
f ^ ^ = 0. F2.20)
Переходя от этих операторных формул к средним значениям и
имея в виду, что OL есть просто число, мы находим
5 ^ ^? = 0, F2.21)
= 0. F2.22)
Из этих уравнений следует, что проекции орбитального и
спинового моментов на направление магнитного поля являются,
каждая порознь, интегралом движения. Компонента же орбиталь-
орбитального момента, перпендикулярная к магнитному полю, вращается
с частотой Лармора OL. Такая же компонента спинового момента
вращается с удвоенной частотой 20/, (в силу аномального отно-
отношения магнитного момента к механическому, см. F1.1)). Действи-
Действительно, из F2.21) имеем
d2Mx dMu I dMx
-Ж^-О^ — ОШ*. Л, —д^-gf. F2.23)
Отсюда
Мх = A sin (OLt + a), My = — A cos (OLt + а), Мг = const. F2.23')
Подобным же образом из F2.22) получаем
sy = — ?cosB0i/ + P), ^ = const. F2.24)

264 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
§ 63. Движение спина в переменном магнитном поле
В переменном магнитном поле собственный механический
момент частицы не будет интегралом движения, и поэтому воз-
возможны переходы из одного квантового состояния в другое. Мы
рассмотрим в этом параграфе тот случай движения спина частицы
в переменном поле, теория которого находит важное применение
для измерения магнитных моментов атомных ядер по методу Раби
A933—1938). Схема опыта Раби изображена на рис. 47.
Магниты А и С создают неоднородное постоянное поле, так
же как и в опыте Штерна и Герлаха, однако направления гра-
градиентов полей в магнитах А я С противоположны. Проходя через
, У//////////////////Л и У////Л У//////////////////Л
1 V////////////////Л ¦ V7777X V//////////////////A
s s
Рис. 47. Схема опыта Раби по измерению магнитных моментов
атомных ядер.
5 — источник пучка частиц (щель), А — первое пространство с неоднород-
неоднородным постоянным магнитным полем, С — второе, В — пространство с пере-
переменным полем, Р — приемник частЧиц.
неоднородное поле з Л, частица отклоняется таким образом, что
не может попасть в приемник Р. Это отклонение выправляется
полем в С, которое отклоняет частицу в противоположном на-
направлении. В результате частица достигает приемника Р так,
как если бы она двигалась по прямой линии (как в отсутствие
полей).
Далее в небольшом пространстве В, расположенном между
Л и С, приложено дополнительное переменное поле q%^i, спо-
способное опрокинуть магнитный момент частицы. Если магнитный
момент частицы при прохождении этого поля опрокинется, то
отклонение поля в С уже не будет компенсировать отклонения,
вызванного полем в Л, и «опрокинутые» частицы не будут попа-
попадать в приемник Р.
Частоту переменного добавочного поля со и его напряженность
подбирают так, чтобы вероятность.опрокидывания момента
была максимальной, и, следовательно, поток частиц в приемник
Р — минимальный. Как будет показано ниже, зная со и <аЯГь
соответствующие максимуму вероятности опрокидывания, можно
определить магнитный момент частицы. Этот метод измерения
магнитного момента имеет очень высокую точность. Так как нас

§ 63] ДВИЖЕНИЕ СПИНА В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 26
будет интересовать исключительно движение спина (движени*
центра 'тяжести частицы может быть описано методами класси
ческой механики*)), то нам достаточно написать уравнение Шре
дингера для спиновой функции S F1.5). Это уравнение имее-
вид2)
Простоты ради, мы будем считать, что частица обладает спином
ft/2. Тогда магнитный момент ЬЯ изобразится двухрядной матри-
матрицей
аЙ, = |мтж, F3.2)
где аХу ву, о2 — матрицы Паули E9.9) и E9.9'), а \л есть абсо-
абсолютное значение проекции магнитного момента на какое-либо
направление. Для ядерных частиц, даже для простейших нукло-
нуклонов—протона и нейтрона, не существует столь же простого
соотношения между механическим моментом s и магнитным
моментом §0?, какое известно для электрона E8.3). Поэтому мы
будем считать fx некоторой константой, характерной для частицы.
Магнитное поле в пространстве В предположим, в соответствии
с постановкой опыта Раби, имеющим вид3)
<ЖХ = Нх cos со/, о%Гу = Нх sin со/, <2%^ = #0. F3.3)
Подставляя F3.2) и F3.3) в уравнение F3.1), пользуясь видом
матриц Паули E9.9, 9') и правилом действия этих матриц на
спиновые функции, найдем уравнение для компонент спиновой
функции Sx и S2 (первая принадлежит 3)^=+li, а вторая
a f-1=- [хад - iiHie^s2y F3.4)
iU d-§ = + iiH0S2 - ixH.e^S,. F3.4')
Мы будем считать, что в момент вступления частицы в перемен-
переменное поле (/ — 0) ее магнитный момент направлен по оси OZ, так
что при / = 0 Si=l, S2 = 0.
г) Это можно сделать для тяжелых частиц (ядра, атомы), но нельзя сделать
для электронов. Бор показал, что методом Штерна — Герлаха вообще невоз-
невозможно измерить магнитный момент свободного электрона (см., например, Мотт
и Месс и, Теория атомных столкновений, «Мир», 1969, гл. 9).
2) Это уравнение не содержит оператора кинетической энергии, которая
в данном случае должна бы быть кинетической энергией собственного вращения
частицы. Однако поскольку s2 остается постоянным, постольку и эту энергию
следует считать постоянной. Поэтому ее можно не вводить в уравнение.
3) В действительных опытах Раби переменная составляющая магнитного
поля линейно поляризована. Однако для вычислений удобнее взять вращаю-
вращающееся в плоскости (ху) поле. Результаты ничем существенным не различаются.

266 собственный механический и магнитный моменты [гл. х
Положим
v — 2llH° JLl — д /63 5)
Тогда уравнения F3.4), F3.4') можно переписать в виде
^ ii S29 F3.6)
^ Si. F3.6')
Дифференцируя F3.6') по времени, можно, пользуясь F3.6),
исключить функцию Si. Заодно выпадет и переменный коэффи-
коэффициент ?-/а)/. После несложной выкладки получим уравнение для S2:
+ to^. F3.7)
Это уравнение решаем подстановкой: S2 = aei9J. Характеристи-
Характеристическое уравнение для определения частоты Q будет
F3.8)
Если положить
/2
где /=й/2 есть проекция спина, и ввести tg 0 ^Нг/НОу то нетру-
нетрудно убедиться, что для Q из F3.8) получается
|| = + |-±6. F3.10)
Поэтому общее решение для S2 будет
S2(/)=flie" +aoe" ' F3.11)
В соответствии с начальными условиями нужно взять аг = — а2 =
= Л/2/, так что
S2(/)-^r2~sin6/. F3.1 Г)
Амплитуда А определится из условия Sx @) = 1. Подставляя F3.1 Г)
в F3.6') при / = 0, найдем A = ivA/8. Поэтому
' А —
S2@==-^-e2 sin б/. F3.12)
Вероятность найти в момент t магнитный момент ЭЖ, равный
— |i, будет
F3.13)

§ 64] СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 267
Время t в опыте Раби равно времени, в течение которого частица
пролетает через пространство В. Если скорость частицы есть v,
а длина пространства В равна /, то t — 1/v.
В опыте берут q=\y а 6/ = л/2 (чтобы получить максимум
вероятности опрокидывания P(t)). Отсюда легко оценить, что
при у^10Г) см/сгк, 1~\ см частота переменного поля со будет
равна 10° гц.
Чтобы судить о точности этого замечательного метода, укажем,
что способом Раби были измерены магнитные моменты fi для
протона (р) и нейтрона (п) и получены значения: jjlp = 2,7896 =t
±0,0002, |хя= 1,935±0,02 (за единицу принят ядерный магне-
магнетон Бора, равный eft/2Mct где М— масса протона. Этот магнетон
в 1842 раза меньше магнитного момента электрона).
§ 64. Свойства полного момента импульса
Мы видели, что и орбитальный момент М, и спиновый s пред-
представляют собой величины, принимающие лишь квантовые дискрет-
дискретные значения. Рассмотрим теперь полный момент импульса,
являющийся суммой орбитального и спинового моментов.
Оператор полного момента определим в виде суммы операто-
операторов орбитального момента М и s:
F4.1)
F4. Г)
Покажем, что операторы компонент полного вращательного момента
подчиняются тем же правилам коммутации B5.5), что и компо-
компоненты орбитального момента Мх, Му, Mz. Для этого заметим,
что М и s коммутируют, так как оператор М действует на коорди-
координаты, а оператор s на них не действует. Поэтому
Jjy - JyJx = (Мх + sx) (Mt, + sy) - (My + sy) (Mx + sx) =
= MxMy — MbMx + sxsy — sysx = ifiMz + ihsz F4.2)
(последнее в силу B5.5) и E9.1)). Таким образом,
JxJy-hjx^itiJz, F4.3)
JyJz- JzJy = Шх, F4.3')
JZJ x — J XJ z = ihJy F4.3r/)
(два последних равенства получаются из первого циклической
перестановкой).

268 СОБСТВГПНЫП МПХЛНПЧТ-СКИП И МЛГППТИЫП МОМГ.ПТЫ [ГЛ. X
Найдем теперь оператор квадрата полного вращательного мо-
момента J2. Имеем
iJ-]-MX). F4.4)
Оператор j2 коммутирует с любой проекцией J. Например,
рассмотрим проекцию на OZ J~-—Mz + sz. Так как Мг коммути-
коммутирует с Ж2, s2 и S, с М2, s2, то получим
-2 (ms+
Раскрывая здесь скобки, найдем
j2j\ _ jj2 г., 2 {{МХМ, - MM sx + (МуМг - M?MU) su +
+ Мх (s.X - sjx) + Ми (shs; ~ si,)}
и, подставляя сюда выражение в круглых скобках из B5.5j n
E9.1), получаем окончательно
= 2{ - i/iMy5x + i/iA\,su + М, (- ifis,) + Ми {+ ifisx)} - 0.
Подобным же образом доказывается утверждение для остальных
двух компонент. Таким образом,
ffP 0, F4.5)
;,-№ = 0, F4.5Г)
^2Л-/г/ = 0; F4.5")
эти равенства —такого же вида, как и B5.6). Отсюда следует,
что оператор j2 и оператор любой проекции (по одной), напри-
например jz, одновременно могут быть приведены к диагональному
виду, и, стало быть, величины J2 и Jz принадлежат к числу
одновременно измеримых.
Легко видеть также, что оператор J2 коммутирует с опера-
операторами Л!2 и 52. Действительно, обращаясь к формуле F4.4),
мы непосредственно видим это свойство оператора i2, так как
УЙ2 коммутирует с Ж2, Мх, М,п Мг и s.o sy, s^ и s2. Равным
образом &2, являясь единичной матрицей (умноженной на -/-ft2,
см. E9.13)), коммутирует с sX9 sy и S-. Поэтому
M Q, F4.6)

§G1] СПО.Н/ГВЛ ПОЛНОГО Д\ОЛ\Г_НТА ИМПУЛЬСА 209
Следовательно, J2> М2 и s2 представляют собой также одновре-
одновременно измеримые величины. Ич (G4.4) имеем
(Als) ¦= ~2 (j*-Al2-s2). F4.7)
Так как (Ms) образуется из величин одновременно измеримых,
то скалярное произведение (Ms) одновременно измеримо с J2,
М2 и ь2.
Замечая, что
() = (Js), F4.8)
мы получаем из F1.7) еще скалярное произведение (js):
(/?) = ! (>-A2+s2). F4.9)
Ниже мы покажем, что квадрат полного момента J2 и его
проекция Jz на любое направление квантуются аналогично
орбитальному моменту, но полуцелымн числами. Именно,
j^w+i), /=y, -I- 4- •••• F4Л°)
Js = Hmj, m;-±2"- ±32' ¦¦¦' -1* <64Л1>
причем квантовое число /, определяющее собственные значения
полного момента, может быгь выражено через орбитальное число
/ и спиновое ls E9.14) по формуле
или / = |/-/s|. F4.12)
Из формул для собственных значений J2 F4.10), М2 B5.21)
и s2 E9.14) получаем важные в спектроскопии выражения для
собственных значений (Ms) и (Js):
?(ls+l)l F4.13)
b ls+l)]. F4.14)
Эти формулы мы применим позднее к теории сложного эффекта
Зеемана.
Обратимся теперь к доказательству формул F4.10) и (G4.ll). Уравнение
для собственных функции J1 имеет вид
№ = №, F4.15)
где под ? следует понимать столбец
|Ч F4-16)

270
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИ!! И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Пользуясь F4.4), E9.13) и E9.12), находим уравнение (G4.15) в раскрытой
форме
1 О
о 1
1 -V "о"
0
1
У
1
0
1
0
п
-{- Ми Г
°П 1*1
— 1 1/1*2
0 i
i 0
= J1
+
*i
to
Производя здесь умножение и сложение матриц, получаем
Q
Jrrt.l- I 4: Hi *L | 4т / X /Г • А Л V I Л
to о
и, наконец, сравнивая элементы, получаем два уравнения
г*1 + ** (^.v ~ ^//) *2 = •¦
~ К% - йА^8 + П (М х + Шу) ft =
Эти уравнения легко решаются, если положить
*1 = аУ/т@,ф), *2 = ^/,m+i@. rp),
F4.17)
F4.18)
F4.19)
F4.19')
F4.20)
г-i/Йу) Ylm = -
lm = - П V(l-m)
где Ут @, ф) сферическая функция, а а и 6 —неопределенные коэффициенты.
Тогда имеем
F4.21)
F4.2 Г)
и, далее,
//tm.lf F4.22)
/.m+i- F4.22')
Эти последние два равенства получаются из сзойсгв сферических функций 1).
Подставляя tyt и фо из F4.20) в уравнения F4.19) и пользуясь F4.21) и
F4.22), после сокращения первого уравнения на ti2Yim, а второго на fi2Yit m+1
получим
|_ + т\ a~V (l + m+l) (l-m) b = ka, F4.23)
F4.23')
где
Ь=У. F4.24)
Чтобы эти уравнения имели отличные от нуля решения, необходимо, что-
См. дополнение V, формулы C3), C4).

§ G4]
СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
271
бы их определитель равнялся нулю. Это даст нам уравнение для определе-
определения X:
= 0.
Отсюда находим два корня
Сравнивая это с F4.24), получаем искомые собственные значения J2:
F4.25)
F4.26)
F4.27)
F4.27')
Первое значение отвечает сложению орбитального и спинового моментов,
а второе — вычитанию их. Подставляя значение К в уравнения F4.23) и решая
их, находим а и /?, а вместе с тем и собственные функции F4.20). При этом
мы еще нормируем их так, что а2 + 62= 1.
Несложные выкладки приводят к следующим функциям: для собственного
значения F4.27)
2 Г
'-V
2/-1-1
2/+1
У in
F4.28)
и для собственного значения F4.27')
¦Уш,
l + m+1
F4.28')
YL rn+i-
Решения, как мы видим, вырождены. В самом деле, при заданном / можно
брать разные числа т —0, ±1, ±2, ..., ± /, а собственное значение J2
от m не зависит. Причина этого вырождения заключается в том, что при задан-
заданной абсолютной величине вращательного момента J2 возможны его различные
ориентации в пространстве. Чтобы в этом убедиться, покажем, что решения
F4.28) и F4.28') являются также собственными функциями оператора Jz —
проекции полного момента J па OZ.
Действительно, уравнение для собственных функций оператора Jz есть
F4.29)
или, в раскрытом виде,
1 0
0 —1

272
соьствшшып мьхлиичискип и млпштпыи моменты [гл. х
Отсюда, пользуясь F4.21), получаем
[Пт + 4) \h О
*'¦ о
- Г
т. е. наши решения принадлежат собственному значению
F4.30)
F4.31)
Обращаясь к решениям F1.28) и F4.23'), мы сидим, что в первом решении т
может пробегать значения т — —A-\-\) (при эгом ^i=0), - /, —/-j-i, ...
... , 0, 1, 2, ... , /, а во втором решении— значения ш------/, —/-{-1, ...
..., О, 1, 2, ..., (/ — 1) (при т — 1 1ф1=г|?2 = 0). Вводя теперь квантовое число
/' —/-J- -«-= /-Ms или / = | / — /5 |= /—-- , мы можем написать F4.27) и
F4.27') в виде E4.10). И, наконец, введя обозначение nij — ni-~ - на основа-
основании сказанного о возможных значениях т при заданном /, получаем F4.11).
§ 65. Нумерация термов атома с учетом спина электрона.
Мультиплетная структура спектров
Состояние электрона в поле центральных сил мы характери-
характеризовали тремя квантовыми числами п, /, т. Квантовые уровни Eh!
такого электрона определялись двумя квантовыми числами /г, I.
При этом мы совсем игнорировали спин электрона. Если учесть
еще и спин, то каждое состояние ty,,/,7l (г, 0, <р) окажемся в сущности
дьойным, так как возможны две ориентации спина
I
s. = //ms, ///5=т1: 2 . (G5.1)
Таким образом, к трем квантовым числам, определяющим состоя-
состояние центра тяжести электрона, присоединяется четвертое т5, опре-
определяющее спин электрона. Обозначим волновую функцию электрона
с учетом спина через ^nimms (r> 0, ср, sc). Так как взаимодействие
спина с орбитальным движением мы сейчас не учитываем, то,
согласно @0.5), эта функция может быть представлена в виде
4W/,5 (/% 0, Ф, sz) = %,,„ (г, 0, ср) S,,s (s,) @5.2)
(причем значок а функции S мы на этот раз заменяем значком
ms). Соответствующий квантовый уровень есть
? = ?„,. F5.3)
Четверка квантовых чисел может принимать следующие значения:
п-= 1, 2, 3, ... , 0 ;,/ ://-- 1,
-1-^т ^/, ms = ±± F5.4)

^0>] My;ib'lI!HJlL'lii \'l ЫТУМУРЛ CIIilNlPOLJ 273
Дли каждого терма Enl мы имеем 2/-{-1 состояний, отличаю-
отличающихся ориентацией орбитального момента; каждое из которых
в свою очередь распадается па два состоянья, отличающихся
спином. Всего 2B/+1) состояний. Таким образом, налицо
2 B/+ 1)-кратное вырождение.
Если учесть теперь слабое взаимодействие спина с магнитным
полеч орбитальных токов, то энергия состояния будет зависеть
еще от ориентации спина s относительно орбитального момента №.
Мы не будем здесь излагать расчет этого взаимодействия, так
как поправка па взаимодействие спина и орбитального движения
оказывается такого же порядка, как и поправка, происходящая
от зависимости массы электрона от скорости. Поэтому правиль-
правильный расчет расщепления уровней требует в этом случае реля-
релятивистского уравнения для движения электрона, рассмотрение
которого выходит за рамки этого курса. Ограничимся качест-
качественным анализом этого расщепления и оценкой его величины.
Магнитный момент электрона Whs находится в поле орбиталь-
орбитального тска 3№[. Его энергия в этом поле равна
ДС- —C»яА?/). F5.5)
Величину магнитного поля <7€f мы можем оценить как маг-
магнитное поле диполя, эквивалентного орбитальным токам, т. е.
диполя с моментом Wih Это поле равно
IP C:Л'Г) г 28, тг г^
где г есть радиус-вектор, соединяющий диполи 9Л, и ?W/j. Пос-
Поскольку пас интересует только порядок величин!)! /А/;, то мы
можем считать 3€i^"~\*, где а есть длина порядка внутриатом-
внутриатомных расстояний (\0~8 см). Тогда
А/Г^-^со8(?^уз, №t). F5.7)
Величины моментов Хм\, УУ\в по порядку равны магнетону Бора
(9,27 • 10 2l ирг:'с, a cos (!У?, 3€), п силу свойств спина, может
принимать только два значения _!: 1 (смотря по ориентации спина:
по полю 3№i или против пего). Подставляя в E5.7) численные
значения, получаем Д? ^ z\: 8 • 10 L"J эрг. Зта величина мала
в сравнении с разностью энергий между уровнями, отличающи-
отличающимися числами /г, /, и поэтому возникающие новые спектральные
липни близки друг к другу. В частости, для упоминавше-
упоминавшегося в § 57 дублета Na (липни 5896 Л и 5890 A) Ml -¦ 2;8 • 10 1Г> эрг.
Таким образом, различием в ориентаципх спинового магнит-
магнитного момента по отношению к внутреннему магнитному полю

274
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
атома можно объяснить происхождение мультиплетности спек-
спектральных линий.
Из изложенного явствует, что для атомов с одним оптическим
электроном возможны только дублеты (двойные линии) со-
соответственно двум ориентациям спина электро-
электрона. Этот вывод теории вполне подтверждается
спектральными данными.
Обратимся теперь к нумерации уровней ато-
атома с учетом мультиплетпой структуры. При
учете спин-орбитального взаимодействия ни
орбитальный момент М, ни спиновый s не имеют
определенного значения в состоянии с опреде-
определенной энергией (они не коммутируют с опе-
оператором Гамильтона). По классической меха-
механике мы имели бы прецессию векторов Ми s
вокруг вектора полного момента J:
j = M + s, F5.8)
как это показано па рис. 48. Полный момент
Рис. 48, Сложение J остается при этом постоянным. Соответствую-
спинового и орби- щее положение имеет место и в квантовой ме-
моментов гт
их прецессия ханике. При учете спинового взаимодействия
направле- только полный момент J имеет определенное
ния полного мо- значение в состоянии с заданной энергией (он
мента J. ^ Лч т-т
коммутирует с оператором Гамильтона Я). По-
Поэтому при учете взаимодействия спина с орби-
орбитой состояния следует классифицировать по значениям полного
момента J.
Как было показано в предыдущем параграфе, полный момент
квантуется по тем же правилам, что и орбитальный момент.
Именно, если ввести квантовое число /, определяющее полный
момент J, то
J2 = ft2/(/+l), F5.9)
а проекция J на произвольное направление 0Z имеет значения
Jz = ilmj\ F5.10)
при этом
/ = / + /,. /s = y, F5.11)
если спиновой момент параллелен орбитальному, и
/ = I'-U F5.12)
если они антппараллельны. Подобным же образом квантовое
число Шу, определяющее проекцию У~, есть
1
и
вокруг
= т
ms
т, = з:
2 *
F5.13)

МУЛЬТППЛЕТНЛЯ СТРУКТУРА СПЕКТРОВ
275
Так как /, т — целые, a /s и ms — полуцелые, то
13 5 13
dz/.
F5.14)
В зависимости от ориентации спина энергия терма будет различ-
различной, именно, она будет разной для / = / + -«- и / =
. Поэтому
уровни энергии в этом случае следует характеризовать значениями
2s;n< MH/2
2zs1t
2,1эв
1 Sn
1 1
ii
0
ls;n=1,M,j=l/2
Рис. 49. Мультиплетная структура 2р-терма
атома натрия.
Линии 5889,963 А и 5895,930 А образуют известный
дублет натрия — желтые линии D2 и ?>i. 2s-Tep\i да-
далеко отодвинут от 2р-термоп, как это и должно быть
в водородоподобных атомах («/» — вырождение снято).
главного числа п, значением орбитального числа I и числом j, опре-
определяющим полный момент, т. е. в этом случае
E = EnlJ. F5.15)
Волновые функции будут зависеть от спиновой переменной sz
и различны для разных /:
^nljmi=^nljmi(r, 0, ф, Sz). F5.16)
(В этом случае переменные г, 0, ф и s? не разделяются.) Кван-
Квантовые уровни при заданном /, различающиеся величиной /, близки
друг другу, так как они различаются как раз на энергию взаимо-
взаимодействия спина с орбитальным движением для двух разных ориен-
ориентации спина. Четверка чисел /i, /, /, m;- может принимать сле-
следующие значения:
л=1, 2, 3, ..., F5.17)
0^/</г-1, F5.17;)
j = l-\-L или \l — -
5 — 2 '
/.
F5.17")
F5.17'")

276 coi.ciiirimuii мгхАППчг.а.пи п млпшгшлп люмипты [гл. х
Величину орбитального момента / обозначают в спектроскопии
буквами (как мы это уже пояснили)
s(/-0), P(/-1), d(/-2), /(/-3),...
Главное кваптогюе число п ставят впереди буквы. Справа
внизу указывают число /. Поэтому, например, уровень (терм)
о
с /2-^3, /=1, / = --о обозначают так: 3/л2. Иногда ставят еще
одни значок: 32/Ь'Ч —двойка слеза вверху указывает, что терм
32рз2 принадлежит к числу дублетных (двойных). В случае одного
оптического электрона это указанно излишне, т. е. там все уровни
дублетные (/^/ + ^ и / — \l — ls , кроме, конечно, s-уровней, где
/ = 0).
При рассмотрении гелия мы встретимся с случаем более слож-
сложной мультиилетной структуры. Так, благодаря наличию двух
электронов имеются одиночные термы (синглетные) и тронные
(тринлетпые) (см. § 122). Чтобы различать эти случаи, значок,
указывающий мультиплетность уровня, все же сохраняют. Итак,
уровень, обозначаемый но обычному способу F3.15) через ?3,1,з/2,
спектроскопически обозначается через 32рз/2. На рис. 49 приведена
схема уровней водородоподобного атома (т. е. атома с одним
оптическим электроном) с учетом мультиплетиои структуры. Там же
приведены квантовые числа и спектроскопические обозначения.
Каждому из рассмотренных уровней Enlj принадлежит 2/+1
состояний, различающихся числом ntj, т. е. ориентацией полного
момента J в пространстве. Только при наложении внешнего поля
эти сливающиеся уровни могут разделиться (см. теорию сложного
эффекта Зеемапа, § 74). В отсутствие такого поля мы имеем
Bу+ 1)-кратное вырождение. Так, 2si угерм имеет вырождение 2:
два состояния, отличающиеся ориентацией спиНа. 2/?з ,-терм имеет
л i .11 ] -х 3
вырождение 4 соответственно ориентациям J: my==iir 2 , ~"о •

Глава XI
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ G6. Постановка вопроса
Лишь в очень немногих случаях задачу о нахождении кван-
квантовых уровней системы (т. е. о нахождении собственных значении
и собственных функции оператора энергии Н) удается разрешить
с помощью изученных в математике функций. В большинстве
проблем атомной механики таких простых решений не существует.
Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когда рас-
рассматриваемая задача может быть приближенно сведена к задаче,
относящейся к более простой системе, для которой собственные
значения Е„ и собственные функции tyU известны. Такая возмож-
возможность представляется тогда, когда оператор энергии Н рассматри-
рассматриваемой системы мало отличается от оператора Н° более простои
системы.
Точное значение слов «операторы мало отличаются» выяснится
из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которые относятся
к кругу задач, могущих быть решенными приближенно. Допустим,
что нам известны волновые функции и квантовые уровни электро-
электронов, движущихся в атоме. Нас интересует, как изменятся кван-
квантовые уровни и волновые функции, если атом поместить во внеш-
внешнее электрическое или магнитное поле.
Достигаемые на опыте поля обычно малы в сравнении с внутри-
внутриатомным кулоновским полем1). Действие внешнего поля можно
рассматривать как малую поправку или, как мы будем говорить,
возмущение (этот термин заимствован из небесной механики и
применялся первоначально для обозначения влияния одной пла-
планеты на орбиту другой). Таким же путем могут быть учтены
слабые взаимодействия электронов внутри атомов, например, маг-
магнитные, а в иных случаях даже и кулоновские. Общие методы
решения подобных задач и составляют предмет теории возмущений.
*) В случае электрического поля можно достигнуть полей, сравнимых
с внутриатомными (ср. § 101).

278 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XI
Мы ограничимся пока рассмотрением таких случаев, когда
оператор энергии И обладает дискретным спектром. Пусть данный
нам гамильтониан Н равен
H = fr + W. F6.1)
Добавок W будем рассматривать как малый и будем называть
энергией возмущения (или иногда кратко — возмущением).
Далее, мы предполагаем, что собственные значения Еп оператора Н°
и его собственные функции фЯ известны, так что
Н°№ = ЕЖ. F6.2)
Наша задача заключается в нахождении собственных значений Еп
оператора Н и его собственных функций. Эта задача, как мы
знаем, сводится к решению уравнения Шредингера
//i|) = ?i|>. F6.3)
Уравнение F6.3) отличается от уравнения F6.2) одним членом
Ш7/ф, который мы считаем малым.
Для приближенного решения задачи методом теории возму-
возмущений пишут прежде Есего уравнение F6.3) в таком представлении,
в котором за основную переменную берут собственные значения Е"г
оператора Яо, т. е. уравнение F6.2) берут в «^^-представлении.
Если первоначально оператор Н F6.1) и вместе с тем уравнение
F6.3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном пред-
представлении, то нужно от этого представления перейти к «?°»-пред-
ставлению. Напомним этот переход. Будем всюду явно писать
только одну координату х (в случае надобности под х можно
разуметь любое число переменных так же, как и под значком п
у волновой функции я|5л можно разуметь ряд квантовых чисел).
Пусть в координатном представлении («^-представление) собствен-
собственные функции оператора Я0 будут фЖ*). Разложим искомую функ-
функцию гр (х) по функциям г|^(*):
^(х)=^спГп(х). F6.4)
П
Тогда совокупность всех сп есть не что иное, как функция \р
в «?°»-представлении.
Подставляя F6.4) в уравнение F6.3), умножая его на я|4* (х)
и интегрируя по х, получим
%Нтпсп = Ест, F6.5)
п
где Нтп есть матричный элемент оператора Н в «/^-представлении:
Нтп = \^*НУк<1х. F6.6)

§ 66] ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 279
Матрица, образованная из элементов Нтп, есть оператор Н
в «?°»-представлешш. Имея в виду F6.1) и F6.2), получаем
\ \ y F6.6')
где Wmn есть матричный элемент энергии возмущения в «?°»-пред-
ставлении:
Wmn = ]№Wy$dx. F6.7)
Матрица, образованная из элементов Wmn, есть оператор W
в этом же представлении. Подставляя F6.6') в F6.5), получим
Wma) сп = Есп. F6.8)
Перенося все члены налево, находим
(Епт + Wmm - Е) ст + 2 Wmncn = 0, F6.9)
п ф т
где пит пробегают все значения, которыми нумеруются функции
н е в о з м у щ е н п о й с и с т е м ы ф.?.
Пока мы никак не использовали предположение о малости W,
и уравнение F6.9) справедливо точно. Задача теории возмущения
заключается в том, чтобы использовать предположение о малости
величин Wmn. Чтобы явно выразить степень малости \V> положим
W = kw, F6.10)
А. Л.
где Я —малый параметр. При Я = 0 оператор Н переходит в Я0.
Тогда уравнение F6.9) запишется в виде
(Епт + lwmm - Е) Ст + к 2 Wnufin = 0. F6.11)
п jt m
Это уравнение мы будем решать по степеням Я,, считая К малой
величиной. При Х=^0 из F6.11) получается просто уравнение
F6.2) в «?°»-представлении:
(Е°т-Е)ст = 0, F6.12)
имеющее решения
?(П1-??/г, С = 1. F6.13)
При малых значениях Я естественно ожидать, что решения
уравнений F6.11) будут близки к решениям уравнений F6.12),
т. е. к F6.13). Это предположение мы можем выразить явно,
если представим собственные функции ст уравнения F6.11) и его

o ,( TLOPIIM ЬОЗМУЩГ.НПП [ГЛ. XI
собственные значения Е в виде рядов по степеням малого пара-
параметра Л:
Ст = С?п + ХСП\' + X%h' + . . . F6.14)
_ F6. 15)
При ?v -=0 F6.14) и F6.1.*>) переходят в F6.13), причем Е[0) должно
равняться ?;',,. Оказывается, что решение уравнений F6.11) суще-
существенно зависит от того, вырождены ли состояния системы Я0 пли
пет. Сели они вырождены, то каждому собственному значению Е;[
принадлежит несколько собственных функций i|)«, если не вырож-
вырождены,—то только одна функция. Эти два случая мы рассмотрим
порознь.
§ 67. Возмущение в отсутствие вырождения
Пусть каждому собственному значению ?А неволмущеппого
уравнения F6.2) принадлежит лишь одна собственная функция \\)%,
соответственно —одна амплитуда с]]. Подставим в уравнение F6.11)
ряды F6.14) и F6.15) и соберем члены с одинаковыми степенями
параметра X
(?;'„ - Е (") с'[ + X [(wmm - Е ') с;п + (Яш - Е") сп\1 + 2 wmnc/; ] +
+ (с;п-ел)с,,.; + v w,,^]-{-... =о. F7.1)
ii /- m
Это представление уруниспня F6.11) позволяет легко решить его
методом последовательных приближений. Мы получим пулевое
приближение, если положим Я^О; тогда получаем
(?,;; - ? ') с,;\ - 0, т = 1, 2, 3, ..., k, ... F7.2)
Это--уравнение для невозмущенной системы Н°. Пусть нас инте-
интересует, как меняется уровень Е)\ и собственная функция ifyl под
действием возмущения W. Тогда из решений F7.2) мы берем k-e:
?°=?)?; с? = &тк, F7.3)
т. с. все с;,Т=-О, кроме с'Ц = 1.
Решение F7.3) мы будем называть решением в нулевом прибли-
приближении. Это решение мы подставляем в уравнение F7.1) с тем,
чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает
V
^2)-0, F7.4)
|_ п у. т
где через О (А,2) обозначены члены порядка К2 и выше. Ограничи-
Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми

§ i>7\ возмущение и отсутствие- вырождения 281
и отбросить их. Тогда получаем
(wmm-E^Nmk + (Eil-El)cllll + У] ^А/,-0. F7.4')
И тр 1I
Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m -=k, то
получим
wkk-E"> = 0. F7.40
Отсюда находим поправку к El первого приближения:
F7.5)
Из уравнений с m Ф k находим поправки к амплитудам с,п, именно,
если m Ф к, то F7.4') дает
Отсюда
<?' = Jm" , тфк. F7.6)
Ek — Em
Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть
члены с А2. Подставим первое приближение F7.5) и F7.6) в F7.1),
тогда
Я2 \(wmm - wkk) J0* -Е* >бЯ1* + (ЕЧп - ЕЧ) с% +
L Ek — Em
2\=0' F7-7)
где через О (Xs) обозначены члены порядка /V и выше. Пренебре-
Пренебрегая этими членами, получим уравнение для определения Е' и cfn
(второе приближение). При этом уравнение номера m---k полу-
получается в виде
- Е'2) + У У*» = 0. F7.7')
.^» Ek — En
Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:
,4 EkЕк
к тр. п
Из уравнений с m Ф k найдем с^\
(Em—Eli) ^i (Ek —En) (Ek — Em)
Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все
более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым

282 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XI
приближением и выпишем результат. Согласно F6.14), F6.15)
и F7.3), F7.5), F7.6), F7.8) и F7.9) имеем
Ек - ?2 + Kwkk + А2 У -М^- + О (N% F7.10)
У , п У ¦> п-/ ?ла>1ЯпЛ + О (^3)- F7.11)
*т (Ek—En) \tk-Em) (E,,i — tk) I
Из этих формул видно, что предположение о малости опера-
оператора W в сравнении с Яо означает малость отношения
F7.12)
при выполнении этого условия поправочные члены в F7.10) и
F7.11) малы, и собственные значения Ek оператора Н и его
собственные функции ст (k) близки к собственным значениям и
собственным функциям оператора Я0. Условие F7.12) —это усло-
условие применимости теории возмущений. На основании F6.10) это
условие может быть записано также в виде
i w/ i
где Wmn суть матричные элементы оператора возмущения.
Пользуясь F6.4) и F7.6), а также F7.5), мы можем написать
наше решение в «^-представлении:'
2Ymk0 ft (х) + ..., F7.14)
т 4- к
¦ ..., Wkll = \ №Щ1 их. F7.15)
Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом
приближении равна среднему значению энергии возмущения в нееоз-
мущенном состоянии (г|#).
Из условия пригодности метода теории возмущения F7.13)
непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит
от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так,
например, в кулоновском поле разности энергий соседних уров-
уровней выражаются формулой

§07]
ВОЗМУЩЕНИЕ В ОТСУТСТВИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ
283
и
II
При малых п эта величина может быть гораздо больше Wntl1 « ь
Для больших же п она стремится к нулю, как 1/,т}, и условие
F7.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории
возмущений может быть пригод-
пригодным для расчета поправок нижних
квантовых уровней и непригодным
для расчета поправок для высо-
высоких квантовых уровней. Это об-
обстоятельство нельзя не иметь в
виду при приложении теории воз-
возмущений к конкретным пробле-
проблемам.
Второе, что следует отметить, —
это некоторые особые случаи,
когда условие F7.13) соблюдено
и тем не менее квантовые состоя-
состояния систем Н и Н° радикально
отличаются. Дело в том, что
энергия возмущения W может ока-
оказаться такого вида, что сущест-
существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии
V (х). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено
возмущение W = Кх3. Уравнение Шредингера в этом случае
имеет вид
0
со
Рис. 50. Кривая потенциальной
энергии
Пунктирная кривая (Jo(x) = • - хг.
d
F7.16).
При Х = 0 мы имеем уравнение для гармонического осцилля-
осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии ?л = йсоо(п+-«-).
Матричные элементы возмущения
при малом Я могут быть как угодно малы в сравнении с Е*т —
— Еп = Ыо(т — п). Тем не менее при всяком Я уравнение F7.16)
имеет непрерывный спектр, и только при К = 0 оно имеет дискрет-
дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная
энергия (/(*)=¦ ~~- + /U:i имеет вид, приведенный на рис. 50.
При всяком значении Е для больших отрицательных л*, U (х)<С.Е,
т. е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е.
Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным.
Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближен-
приближенные функции г|)Л (х) и уровни ЕП1 которые мы можем вычислить
из г|^ и Е'п методом теории возмущения, пользуясь малостью па-
параметра Я? Оказывается, что при малых К найденные методом

284
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XI
теории возмущения функции tyn(x) отличаются тем, что они ве-
велики вблизи потенциальной ямы О (х) и малы вне ее. На рис. 51
повторена кривая потенциальной энергии U (х) (см. рис. 50) и,
кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции |^(x)!2.
Рис. 51, а соответствует случаю, когда энергия Е = ?ля^?^. Если
же энергия Е не равна ЕП9 то волновая функция tyE (х) нарастает
вдали от потенциальной ямы U (х) (см. рис. 51, б). В первом слу-
случае мы можем сказать, что частицы находятся около положения
равновесия х —О, так сказать, «в атоме», а во втором случае они
находятся преимущественно вне его, бесконечно далеко. Стацио-
Стационарность состояний может получиться лишь в том случае, если
(/(О!)
a)
Рис. 51. Потенциальная энергия U(x) —
вероятности ' я[)/г |-
о) дли IS =¦_ /; . 6) дли IS :
б)
"лсЗ-г-Я*3 и- плотность
существуют волны, как уходящие в бесконечность, так и прихо-
приходящие из нее, так что поток частиц через поверхность, окру-
окружающую атом, равен пулю. Такой случай представляется мало-
малоинтересным. Чаще приходится иметь дело со случаем, когда
имеются лишь уходящие волны (см. § 99). Тогда стационарных
состояний не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись
лишь уходящие волны, то находимые методом теории возмущения
функции я|)„ (х) описывают поведение частиц лишь в течение не
очень большого времени /. Однако па самом деле это время может
быгь очень глушко, и оно тем больше, чем меньше значение па-
параметра X. Такого рода состояния tyn(x) и соответствующие им
уровни Е/г мы будем называть к в а з истац и о и а р н ым п.
§ G8. Возмущение при наличии вырождения
В большинстве важных в приложениях задач приходится
встречаться со случаем вырождения, когда в невозмущешюй си-
системе (//°) собственному значению Е --- ?« принадлежит не одно
состояние i|.»;i, а несколько гр;;ь fe,..., \[/Iау ..., %t. Сели теперь

§68] ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ 285
действует некоторое возмущение W, то без специального иссле-
исследования нельзя сказать, какая из функций г[*;;а будет являться
пулевым приближением к собственным функциям оператора Н =
--¦H°+W. В самом деле, вместо ряда функций г|),п, ..., я|^а, ...
..., г|;,0,/, принадлежащих собственному значению Е',\, могут быть
взяты новые функции ср;;ь ср;;2, ..., ф?;сс, ..., ф^, получающиеся
из первых линейным ортогональным преобразованием:
1
Фйа- Ц «ар^Йр, F8.1)
F3.2)
Функции ф?,а, будучи линейными комбинациями функций if^p,
будут также решением уравнения Шредингера
Я°фл = ^Ф/1, F8.3)
принадлежащим собственному значению ?,пг, и при добавочном
условии F8.2) будут ортогональными, если функции i$;a ортого-
ортогональны. Функции ф„а суть поэтому также возможные функции
нулевого приближения, по неизвестно, какие коэффициенты аа^
следует взять, чтобы получить правильное нулевое приближение.
Для решения этого вопроса обратимся к уравнению F6.9).
Нам, однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточ-
уточнив обозначения. При наличии вырождения собственные функции
оператора имеют по крайней мере два индекса (//, ос). Поэтому
в этом случае F6.4) следует написать подробнее, заменяя индекс п
на два: я, а. Тогда мы получим
ФМ = 2^,!аD F8 А)
п, а
Соответственно этому уравнение F6.9) получится (заменяя п на /г,
a; m на ш, E) в виде
(Яш + WW. пф - Е) с,,,э + ^ Wm^ „cAa =- 0, F8.5)
п, а ; in, p
где
ГС'етР, /;a ^ J C|i^«a dx F8.G)
есть матричный элемент энергии возмущения и получается из
F6.7) увеличением числа квантовых чисел, нумерующих состояния.
Е'1п есть энергия ш-го кшппового уровня для певозмущеппой за-
задачи. Эта энергия от квантового числа а не зависит (вырождение).
Допустим, что мы теперь желаем найги квантоо^лй уровень
возмущенной системы ?/,, близкий к ?/!, и соответствующие

286 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XI
собственные функции ^а(лг). Ограничимся решением этой задачи
в первом приближении для уровней и в нулевом приближении
для функций.
В отсутствие вырождения мы полагали для функций нулевого
приближения, что они просто совпадают с невозмущенпыми. Соот-
Соответственно этому в нулевом приближении cla— 1, а остальные
равны 0. Этого нельзя сделать при наличии вырождения, ибо,
отбрасывая в нулевом приближении возмущение W', мы получим
из F8.5)
(??-?)<:Лр = 0;
это дает ск$Ф<) для Е=--Е%, но при этом г.е одно Сф а все при-
принадлежащие собственному значению El, именно, ck$ для Р— 1,
2, ..., fk. Таким образом, в нулевом приближении не одна ампли-
амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным ну-
нулевым приближением для функций k-vo уровня будет
а=1, 2, ..., fk
В этом приближении мы возьмем из уравнений F8.5) те, кото-
которые содержат не равные нулю cka. Это будут уравнения
(El + Wk^ *p - Е) с$ + ^ W^ kac^ - 0. F8.8)
Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к &-му
уровню, мы можем опустить индекс k (держа его просто в уме),
положив при этом
Wpa = Wn% па - \ Щ\Щ1а dx, F8.9)
40)-4а, а=1, 2, ..., fk. F8.9')
Тогда уравнения F8.8) запишутся в виде
(Ei+Ww-E)c'F+2] ГраС-0, р=1, 2, .... fr. F8.10)
У ?^ мы сохранили индекс /г, чтобы подчеркнуть все же, что речь
идет о группе из fk состояний, принадлежащих уровню ?;;.
Для того чтобы уравнения F8.10) имели отличные от нуля
решения, необходимо, чтобы определитель системы F8.10) обра-
обращался в нуль, т. е.
\Vi,, I
= 0. F8.11)

§ G3J ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ 287
Это —алгебраическое уравнение степени/^ для определения Е.
Часто оно называется вековым1) уравнением. Из него мы по-
получим fk корней:
Е = Еки Ек2у ..., Ека, ..., Efcfk. F8.12)
Так как матричные элементы W$a предполагаются малыми, то эти
корни будут близки между собой. Следовательно, мы получаем
важный результат: при наложении возмущения вырожденный уро-
уровень (Ек) распадается на ряд близких уровней F8.12). Вырожде-
Вырождение снимается. Если некоторые из корней F8.12) равны, то вы-
вырождение снимается лишь частью.
Для каждого из корней Ека F8.12) мы получим свое решение
для амплитуд с$ из уравнения F8.10). Чтобы отметить, что ре-
решение с\°\ с1**, ..., c|i", ..., cf]k принадлежит уровню Eka, мы вве-
введем в с'^ еще один индекс а так, что решение уравнений F8.10)
для Ека запишется в виде
Е = Ека, с = с'?\, С ..., 4°р, ..., сй/л> а=1, 2, ...,/*. F8.13)
Если бы мы еще удержали индекс k, то полная нумерация для с@)
была бы 4ра- Уравнение F8.13) есть приближенная (в нулевом
приближении) волновая функция оператора Н в «?°»-представле-
нии. В «^-представлении решение F8.13) запишется в виде
fu
ф*а=ЦсЗД5р(*). F8.13')
р=1
Таким образом, каждому уровню Е^Ека принадлежит теперь
своя функция (рд,а, которая и является функцией нулевого при-
приближения для возмущенной системы (Я).
Отличие функций F8.13') от функций F8.1) состоит в том,
что в F8.1) коэффициенты аа$ произвольны (вплоть до условия
ортогональности F8.2)), а коэффициенты с'а$ в F8.13) определены.
Следовательно, функции нулевого приближения ука представляют
собой частный случай функций невозмущениой задачи ф?а. Заме-
Заметим, что если вычислить следующие приближения, то нетрудно
убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения
будет опять-таки F7.13), которое теперь для вырожденного слу-
случая будет иметь вид
В § 41 было показано, что задача нахождения собственных
значений и собственных функций любого оператора L, заданного
в матричной форме, сводится к решению уравнений D1.4) и
1) Название «вековое уравнение» заимствовано из астрономии.

288
ТГ.ОРИЯ ВОЗМУЩППИП
[ГЛ. XI
D1.5). Понимая в D1.4) под оператором L оператор полной энер-
энергии Я, мы должны учитывать, что в случае вырождения вместо
каждого из индексов п и т в этой формуле теперь фигурирует
по два индекса пу а и ш, C соответственно. В результате из
D1.4) получаем уравнения
2 #mpf паСпа = ^^р, F8.15)
/г, а
которые совпадают с F8.5), так как
#,*р. ,а - Е*т8тп + Wmt, ла. F8.16)
Уравнение D1.5), соответствующее системе D1.4), в нашем слу-
случае запишется несколько сложнее (по форме), так как строки и
столбцы матрицы оператора Н нумеруются двумя квантовыми
числами п и а. Именно, при каждом п имеется /„ разных значе-
значений а (/„-кратное вырождение). Число fn возрастает с увеличе-
увеличением п. Для первого уровня Д--=1 термин «вырождение» не при-
применяется.
Расположить элементы Нт$% па в матрицу не представляет
труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (п, 1),
а следующие столбцы номерами: (я, 2), (п, 3), ..., (n, ffi)y затем
пойдут столбцы с номерами (я+1, 1), (я+1, 2), ..., до
(я+1, /л-ы) и т- Д- Подобным же образом нумеруем строки (т, 1),
(ш, 2), ..., (ш, fm) и т. д. При такой же нумерации элементов
матрицы Нт$,па уравнение для определения собственных значе-
значений Е может быть написано в следующем виде (это и есть урав-
уравнение D1.5) для нашего случая):
l#l
#21
Я2,
ял
нкх
M1-?
, 11
2' ll
, 11
3, ll
fk<u
#-11, 21
#21, 21 ?
#2/2, 21
/?L21
#/?|5. 21 ' '
#A>/?, 21- '
... #11,
... #21,
'••#2/2
2/2
2/2 _
••• #11, A-l
••• #21, /fl
• ¦ • #2/2. kl
Hkl.*i-E
... Hkl,kfk
-Hkfk.kfk-E
-0.
F8.17)
Обведенные прямоугольниками матричные элементы относятся
к одному и тому же квантовому уровню. Так, например, в пер-
первом прямоугольнике (один элемент) — к уровню k = 1, во втором —
к уровню & = 2, в третьем —к &-му уровню. Если мы пренебре-

§ G3J
ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ
2S9
жем матричными элементами, относящимися к различным уров-
уровням, т. с. элементами типа Г1пф,па (тфп) (эти элементы, со-
согласно F8.16), равны №/wpf/..a), то уравнение (G8.17) упростится
и примет вид
\Ии,п-Щ
#21,21-
#2/2. 21
-E ..
. //21
•#2/
0
о
kjk
Hbf
-E
-0.
F8.18)
Такую матрицу называют ступенчатой. Ее определитель
А0 (Е) разбивается на произведение определителей меньшего-ранга,
именно х),
II #21, 21 — ? ••• #21, 2/а ||
№Е) 1НЕ
#
2/2. 21
Hk
Е ... #
/гь kfk
.. = 0. F8.19)
Обозначая входящие сюда определители через Д/Л(?), получим
А° (Е) = \ (Е) А/2 (?)... Д,Л (?)... = 0. F8.20)
Уравнение F8.20) будет удовлетворено, если Л/1(?)=0э или
А/3(?) = 0, или вообще Д/Л(?) = 0. Корни этих уравнений и дают
в первом приближении энергии первого, второго и вообще k-ro
уровня. Уравнение
Д/Л(?) = 0 F8.21)
тождественно с уравнением F8.11), установленным другим путем.
В § 41 мы объясняли, что задача нахождения собственных
значений оператора может рассматриваться как задача о приве-
приведении к'диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно,
что принимаемое в теории возмущения первое приближение
х) Этот результат получается сразу, если раскрыть определитель F3.18)
по обычному правилу раскрытия: произведение элементов на миноры.

290 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XI
заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами,
относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о при-
приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к при-
приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных мат-
матриц в ступенчатой матрице F8.18)).
§ 69. Расщепление уровней в случае двукратного вырождения
Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением,
когда интересующий нас уровень невозмущенной системы дву-
двукратно вырожден. Пусть собственному значению Е% оператора
Н° принадлежат две функции (fk — 2): ipJJi и i|$2. Любые две функции
(f2i и (pjJ, получающиеся из 1|)/г1 и -ф^ путем ортогонального пре-
преобразования, будут также собственными функциями оператора Я0,
принадлежащими уровню Е%. Это преобразование мы можем запи-
записать в виде (см. F8.1))
22, F9.1)
^2. F9. Г)
Чтобы удовлетворить условию ортогональности F8.2), положим
= cosG.*?'"P, a12 = sine-*-'P, )
= — sin б -e'p, a22 = cos б • e~^9 J
причем б и р здесь два произвольных угла. Таким образом,
= cos б • е*Гы + sin 0 • е~Щ29 \
Я& cos б еГы + sin 0 е
Ф22 = - sin в • (*Ц«к1 + cos б • <r'
представляют собой наиболее общие выражения для волновых
функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню Е%.
Ортогональность и нормировку этих функций легко проверить
непосредственно и убедиться также, что коэффициенты аар F9.2)
удовлетворяют условию ортогональности F8.2). При C = 6 = 0 из
F9.3) получаются исходные функции tyli и \р?г2. Пусть теперь
наложено некоторое возмущение W. Нулевое приближение будет
выражаться функциями, являющимися функциями невозмущепной
системы, т. е. функциями F9.1), но с вполне определенными коэф-
коэффициентами; иначе говоря, значения углов 0 и р будут зависеть
от вида возмущения W. Для определения этих углов будем
искать прямо коэффициенты с± и с2 в суперпозиции
ф-^Жх + ^2. F9.4)
Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определя-
определяются из уравнения F8.10), которое в рассмотренном частном

§ 69] РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕН ДВУКРАТНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ 291
случае имеет вид
( k+ п- )с1+ 12с2= , | ^^
где Wn, W12, W21i W22 — матричные элементы энергии возму-
возмущения:
F9.6)
F9.6')
их. F9.6")
Вековое уравнение F8.11) имеет тогда вид
Wn-z W12
Д2(?)= w* wl -ъ ^0> F9'7)
где е— поправка к энергии &-го уровня:
е = Е-Е1 F9.8)
Раскрывая определитель F9.7) и решая получающееся квад-
квадратное уравнение, мы найдем два корня
F9.9)
Из уравнений F9.5) находим
А- = e_f» . F9.10)
Полагая
W12 = \W12\-e2t& F9.11)
и подставляя в F9.10) первый корень (еь знак +), получим
>2/Р, F9.12)
2 "~ l^ 4 ' la '
а для второго корня (в2, знак —)
. F9.12')
Таким образом, получаются следующие решения (в «^-представ-
«^-представлении):
П ПО 1 W 11 * W 22 j
Фи = cos 6 • е1Щ + sin 6 • е-'Р •

292
И
причем
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
k, = tk-\
г 1 и^хз i ,
А, --= — sin 9 • е'Р • я])^ + cos 0 ¦
Wv
«I
Весьма важным является частным случай, когда
Для этого случая имеем
Фаз :
[ГЛ. XI
F9.13')
F9.14)
F9.15)
F9.16)
F9.17)
F9.17')
Преобразование F9.3) етгь поворот. Мы можем пол учить прямую геомет-
геометрическую аналогию, если будзм считать ft = 0 (это т|?сбует, чтобы l^32 = U721).
Тогда коэффициенты а действительны. Частные значения коэффициентов а —
коэффициенты с —также действительны. Вместо F9.4) мы можем написать,
полагая Сх = Н, c2 = rj:
F9.18)
F9.19)
(индекс к мы будем держать в уме). Если потребовать, чтобы
то средним значением энергии возмущения W в состоянии F9.13) будет
Согласно F9.6) получим
F9.20)
F9.21)
Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой второго порядка
на плоскости E, rj). Таким образом, среднее значение 1$ есть квадратичная
форма от амплитуд (?, ii), представляющих состояние (р.
Введем теперь вместо системы координат g, т] новые координаты ?', ц'9
отличающиеся от первых поворотом на угол б:
?'- sin 0 • ц\
] = s>n б -^'-j-
F9.22)

§ 70] ЗАМЕЧАНИЯ О СНЯТИИ ВЫРОЖДЕНИЯ
Подставляя в F9.18), получим
pf; = cos б • i|>; + sin б • Ф2
р« = — sin 0 • if J + cos б
293
F9.23)
Относительно функций ф5 и ф5 матрица W должна быть диагональной. Дей-
Действительно,
F9.24)
Поэтому среднее значение № в состоянии ф представится теперь в ином виде:
~W = J ф*#ф dx - е^'2 + B2ii'2, F9.25)
т. с. в новых переменных '?', ii' средняя энергия является кривой второго
порядка, отнесенной к главным осям (рис. 52).
Таким образом, задача о приведении матрицы W к диагональному виду
совпадает с геометрической задачей о приведении к каноническому виду кри-
кривой второго порядка (отнесение к главным осям).
В более общем случае ? и г) комплексны, поэтому
полного совпадения задач нет, но аналогия сох-
раняется, если Н и ij и в этом случае рассматри- У\
вать как координаты точки. \
§ 70. Замечания о снятии вырождения
Мы показали, что при включении воз-
возмущения вырождение, свойственное невоз-
невозмущенной системе, снимается: сливаю-
сливающиеся- уровни расщепляются. Чем обус-
обусловлено это расщепление? Для ответа на
этот вопрос обратимся прежде всего к
причинам вырождения.
Мы видели, что, например, уровни
электрона в поле центральных сил вырож-
вырождены 2/+1 раз (если не считать спинового матрицы второго ранга
вырождения). Это вырождение обусловле-
обусловлено тем, что энергия электрона в поле центральных сил не за-
зависит от ориентации момента импульса относительно поля. Ма-
Математически это выражается тем, что гамильтониан в этом слу-
случае обладает симметрией вращения, именно, гамильтониан
Рис. 52. Геометрическая
иллюстрация приведения
к диагональному виду
" 2JT
остается неизменным при повороте системы координат, когда
координаты л% у, z переходят в х\ у\ г'. В самом деле, при

294 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XI
повороте
x* + if + z* = x'* + yf* + z'\ G0.2)
последнее равенство вытекает проще всего из того, что
так как V есть векторный оператор, а квадрат вектора не меняется
при повороте. Таким образом,
НЦх, у, z) = #°(x', у\ z'). G0.3)
Если наложенное возмущение не обладает сферической симмет-
симметрией, то энергия электрона будет зависеть от ориентации момента
и произойдет расщепление уровней. Вместе с тем для оператора Н
равенство G0.3) уже не будет иметь места. Этот пример пока-
показывает, что наличие вырождения связано с той или иной сим-
симметрией поля, а снятие вырождения —с нарушением этой сим-
симметрии.
Приведем еще пример. Пусть мы имеем осциллятор в плоскости
х, у, обладающей одинаковыми частотами соо для колебаний по ОХ
и по OY. Уравнение Шредингера для такого осциллятора имеет
вид
Гамильтониан в этом уравнении остается неизменным при пово-
повороте системы координат вокруг оси OZ. Таким образом, он
обладает симметрией вращения. Согласно сказанному следует
ожидать вырождения. Оно действительно имеется. В самом деле,
уравнение G0.4) решается сразу разделением переменных:
Подставляя G0.5) в G0.4), обычным путем получаем два уравнения
= ?2я|>2. G0.6')
Эти уравнения для осцилляторов имеют известные функции и
известные собственные значения, именно,
~), «1 = 0, 1, 2, .... G0.7)
|), «2 = 0, 1, 2, ... G0.7')

§ 70] ЗАМЕЧАНИЯ О СНЯТИИ ВЫРОЖДЕНИЯ 295
Отсюда
?/!*, (х, У) = я|ч (х) фЛ1 (у), ЕП1П2 = ft©o (nx + п2 + 1). G0.8)
Введем «главное квантовое» число
и = Я1 + л2+1| Ло == /г — /zi — 1. G0.9)
Тогда
л,-^), Еп = Пщп, /i=l, 2, ... G0.10)
Каждому уровню ?д будет отвечать я функций (% = (), /гх= 1, ...,
П! = я—1). Следовательно, вырождение действительно имеется.
Допустим теперь, что возмущение W заключается в измене-
изменении коэффициента упругости для колебаний вдоль оси OY. Тогда
частота колебаний по оси OY изменится. Пусть она будет равна сох.
Гамильтониан возмущенной системы тогда получит вид
W здесь —возмущение. В рассматриваемом примере решение воз-
возмущенной системы может быть получено точно. Дело, очевидно,
сводится к замене в G0.7') со0 на (ох. В результате решение полу-
получит вид
ЧтпЛх* У)=%Лх)ЦпЛу)> |
п * . 4- 1 Я®о . ^wi f G0.8')
Ethn2 = ЙСОоЛ! + ft©!/22 + -7Г + ~2~ J
ИЛИ
?/!.«, (x, ^) = -фЯ1(х)грл-п1-1 (S^), |
1\ i fa°0 • ^l « G0.10')
Как видим, уровни с различным значением числа пх и одним и
тем же п будут иметь разную энергию. Один уровень Еп невоз-
невозмущенной системы расщепился на уровни Еп% 0, EHt lt._, Еп>п-г
(числом п). Вырождение снялось.
Резюмируем вывод из этих примеров. Если гамильтониан
Я0 (х, у, г) остается инвариантным (неизменным) по отношению
к некоторому преобразованию координат (х, у, z->x\ у', г'), то
собственные значения Е° вырождены. Если возмущение нарушает
указанную инвариантность, то, хотя бы частью, вырождение
снимается.

Глава XII
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 71. Ангармонический осциллятор
Гармонический осциллятор является идеализацией реальных
механических систем. Действительная потенциальная энергия
частиц никогда не представляется функцией ^х\ а изобража-
изображается гораздо более сложной функцией U (х). Первое выражение
справедливо лишь для малых х. Чтобы уточнить выражение потен-
потенциальной энергии U(x), мы можем кроме члена ^~х2 учесть еще
и более высокие члены разложения U (х) по степеням отклонения х:
Коль скоро добавочные члены остаются малыми, мы имеем дело
с гармоническим осциллятором, несколько возмущенным наличием
отступлений от кривой, свойственной идеальному гармоническому
осциллятору. Такой осциллятор мы будем называть ангармо-
ангармоническим.
Найдем квантовые уровни ангармонического осциллятора, счи-
считая добавочные члены G1.1) малыми (А, мало). Решим эту задачу
методом теории возмущений, опираясь на уже известные решения
для гармонического осциллятора. В качестве возмущения W у нас
фигурируют добавочные члены в выражении для потенциальной
энергии *)
. G1.2)
2) Мы можем считать, что спектр возмущенной системы останется все же
дискретным, так как Хх3 есть поправочный член и он вообще негоден для боль-
больших х. Таким образом, из вида поправки G1.2) не следует делать заключения,
что асимптотическое поведение U (х) радикально изменилось, как это п ред-
полагалось в § 67, где добавочный член А,*3 формально рассматривался как
пригодный и для больших х.

§ 71] АНГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 297
Квантовые уровни невозмущенной системы (А, = 0) суть уровни
гармонического осциллятора; его собственные значения и функции
обозначим через
( ±) G1.3)
В данном случае вырождения нет: каждому уровню принадлежит
лишь одно состояние \\>пп. Матричным элементом энергии возмуще-
возмущения W будет
$\dx = к (х%ппу G1.4)
где через (х*)тп обозначены матричные элементы для х3.
Согласно формуле F7.10) энергия &-го уровня возмущенной
системы во втором приближении равна
У
G1.5)
Таким образом, нам достаточно вычислить матрицу (х3)тп. Эту
матрицу мы могли бы непосредственно вычислить из формулы G1.4)
с помощью функций tyn (см. D7.11)). Однако мы поступим более
просто. Матрица хтп нам известна (см. D8.8)). По правилу умно-
умножения матриц мы можем вычислить из матрицы хтп матрицу (х3)пт.
Именно,
{X*)kn = ^J xkl (X2)in = ?j Xkl 2j XimXmn = 2jl2u XklxlmXmn- G1.6)
/ I m I m
Подставляя сюда значение матричных элементов xkh хш, хтп из
D8.8), получаем
I m
GL.7)
Ввиду наличия б двойной ряд по / и т просто суммируется, и
мы получаем
!k — \) (k — 2) Л
Отсюда следует, что (rJ)/^--=0, и поэтому поправка к El в первом
приближении равна пулю. Поправка второго приближения, содер-
содержащая сумму по /г, также просто вычисляется, так как из суммы
остается, согласно G1.8), только четыре члена: n — &±3, n = k±l.

298 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XII
Кроме того, (x2),m = (x3)/Jk. Поэтому, подставляя G1.8) в G1.5)
и принимая во внимание G1.3), находим
(«) C7I.9,
ft = 0, I, 2,...
Это и есть искомое приближенное выражение для энергии кван-
квантовых уровней осциллятора с учетом поправочного ангармониче-
ангармонического члена Ах3.
Легко найти условие применимости нашего приближения.
Матричный элемент энергии возмущения X (x3)kn для больших
квантовых чисел k по порядку величины, согласно G1.8), равен
wkn я^ а (Т77—)
Разности уровней ?? — ?„ я^ #соо. Таким образом, условие при-
применимости теории возмущений F7.13) сводится к
У к<1- <71Л0>
Наше приближение применимо, следовательно, для не слишком
высоких уровней, именно,
(^y>v^ GМ(У)
Это условие в переводе на язык классической механики озна-
означает, что амплитуда колебания должна быть не слишком большой.
Формула G1.9) находит свое применение для вычисления
колебательных уровней молекулы. В § 54, рассматривая двух-
двухатомную молекулу, мы ограничились вторым членом разложения
потенциальной энергии U (х) по степеням отклонения (х) от поло-
положения равновесия и соответственно этому получили для моле-
молекулы гармонические колебания. Если бы мы учли и следующий
члеи разложения, что, вообще говоря, приходится делать, то
колебательные уровни молекулы определились бы формулой G1.9),
а не G1.3).
§ 72. Расщепление спектральных линий
с электрическом поле
В электрическом поле спектральные линии атомов, как было
обнаружено на опыте, расщепляются (так называемый эффект
Штарка). Картина расщепления изображена на рис.53, где
дано расщепление спектральных линий водорода Нр, HY, Нб, Н8,
Н^ (линии серии БальмераI). Опыт показывает, что действие
!) Поле возрастает снизу вверх, максимальное значение равно 1,14 мил-
миллиона вольт на см, белые линии — линии постоянного поля. Одновременно
сняты невозмущенные (без поля) водородные линии; они изображаются сред-

§ 72] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 299
электрического поля на атом водорода и на другие атомы весьма
различно. В водороде расщепление спектральных линий пропор-
пропорционально первой степени электрического поля $, а во всех
остальных атомах оно пропорционально второй степени поля (?2).
В сильных полях (порядка 105 в/см) появляется дополнительное
расщепление, пропорциональное высшим степеням ё. Кроме того,
по мере увеличения поля,
как было наблюдено на
опыте, спектральные ли-
линии уширяются и, нако-
наконец, вовсе исчезают. Это
последнее явление мы рас-
рассмотрим позднее в § 101.
Сейчас мы будем рассмат-
рассматривать поля, меньшие
106 в/см.
Из сравнения величи-
величины внутриатомного элек-
электрического поля
в/см
Рис. 53. Расщепление спектральных линий
бальмеровской серии при больших электри-
электрических полях.
(а — радиус первой орбиты
Бора) с внешним полем
(ё <с 103 в/см) следует, что в
широких пределах дейст-
действие внешнего поля можно
рассматривать как возмущение. Этим мы и воспользуемся для
нахождения квантовых уровней и волновых функций атомного
электрона при наличии внешнего поля Ш. Обозначим потенциаль-
потенциальную энергию оптического электрона в атоме через U(r). Если
теперь еще имеется внешнее однородное электрическое поле напря-
напряженности Шу то электрон будет иметь некоторую добавочную
потенциальную энергию W. Эту энергию легко вычислить.
Возьмем ось OZ за направление электрического поля Ш. Тогда
потенциальная энергия электрона в поле будет равна
W = e8z = — DjS, G2.1)
ними линиями каждой картины расщепления, которые на рисунке проходят
почти прямолинейно. При сравнении штарковских линий, соседних с несме-
несмещенными линиями, ясно видно, что линия, лежащая с красной (левой) сто-
стороны, всегда удалена от несмещенной линии гораздо дальше, чем соседняя
фиолетовая линия (квадратичный эффект Штарка). Это особенно хорошо
заметно у линии Нр. Далее видно, что все линии перестают существовать
при определенной критической напряженности поля, притом линия Н8 раньше,
чем Нб, Ид раньше, чем HY и т. д., красные компоненты каждой линии
раньше, чем фиолетовые. Явление исчезновения линий объяснено в § 101.

300 ПРОСТСПШПЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩПНПП 1ГЛ. XII
где Dz=* — ег есть компонента электрического момента на ось OZ1).
Полная потенциальная энергия электрона будет равна
U'(r) = U(r) + e$z. G2.2)
Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет иметь
вид
f^ ^^. G2.3)
Возмущение W относится к случаю, рассмотренному в § 67.
Именно, даже как угодно малое поле ? меняет асимптотическое
поведение потенциальной энергии. Если ? — 0, то (У'-^О при
z ->it со, а если 8^0, то f/'->dboo при z —>¦ г*~ со.- Поэтому
мы можем применить теорию возмущений (при малых Я) лишь
в смысле, разъясненном в § 67. Таким образом, применяя тео-
теорию возмущений, мы будем находить квантовые значения энер-
энергии Еп, при которых электрон находится вблизи атома достаточно
большое время («квазистационарпые» состояния). Рассматривая
в этом смысле W как возмущение, мы будем считать состояния
электрона в атоме в отсутствие внешнего поля известными.
Рассмотрим сначала водородоподобный атом. Энергию кванто-
квантовых уровней атома в отсутствие поля обозначим через
? = ??/, OsS/sS/z-l, /i=l, 2, 3, ..., G2.4)
а соответствующие волновые функции через
Гшт - Rm (r) P? (cos 0) ^ф, -1 < т ^ /. G2.5)
Каждый уровень E°ni вырожден 2/+1 раз в силу различных
возможностей для ориентации орбитального момента Мг. Поскольку
мы рассматриваем определенный уровень п> /, то мы можем опу-
опустить индексы пу /, сохранив лишь т. Тогда для краткости
функции, принадлежащие уровню Епи обозначим через
4>i./f г|>1/+1> ..., ft, ..., Ц1 G2.6)
Наиболее общая функция, представляющая состояние с энергией
Eh, будет
Ф= 2 с^т. G2.7)
т=—1
Вычислим, каково будет среднее значение проекции электри-
электрического момента Dz в таком состоянии. Имеем
Dz = \ 9*D,cp dv = 2 ? ctnCm> \ С8 D,ft- d^ =
т mr
G2.8)
х) Заряд электрона мы считаем равным —ей начало координат берем
в центре атома.

§ 72] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 301
где
4*A:fr dv G2.9)
есть матричный элемент электрического момента D-. Из G2.1)
следует, что матричные элементы энергии возмущения равны
Wmm' = -{D?)nlm'1S. G2.10)
Вычислим (D~)mm>. Подставляя в G2.9) волновые функции \pntm
из G2.5) и имея в виду, что г — г cos 0, получим
со Я 2я
(Д.),™' - - е \ Rhir3 dr I PfPf cos б sin 0 dO J <?'<*¦ -'"'>ф фр. G2.11)
0 0 0
Если тфт', то этот интеграл равен нулю, так как ?*(/« —'"')ф
есть периодическая функция ср. Если же т = т\ то второй
интеграл в G2.1.1) есть четная функция cos 0 и поэтому равен
пулю. Таким образом, (О(Г)/НШ' = 0. Вместе с тем в любом состоя-
состоянии, принадлежащем уровню ?„/, среднее значение электриче-
электрического момента Dz G2.8) равно нулю. Согласно G2.10) равна
также нулю и энергия возмущения. Отсюда следует, что в водо-
родоподобпых атомах не может быть расщепления уровней в элек-
электрическом поле, пропорционального полю, так как средний
электрический момент равен'нулю. Расщепление, пропорциональ-
пропорциональное высшим степеням поля, конечно, будет иметь место. В самом
деле, функции электрона в поле будут отличны от ^%im {§\im —
нулевое приближение!). В первом приближении мы можем положить
"Ф/1///1 = 4>nlm + Unlm + ¦ • • , G2.12)
где ипШ — некоторый добавочный член, пропорциональный пер-
первой степени поля ё.
Расчет показывает, что в этом приближении, когда уже учи-
учитывается деформация атома, средний электрический момент D^ не
равен нулю, а пропорционален полю Ш:
Dz = ae. G2.13)
Этот момент есть результат поляризации атома в поле. Потен-
Потенциальная энергия этого момента в поле ё равна
W = — ¦"-&, G2.14)
что соответствует работе поляризации
при увеличении поля от нуля до

302 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XII
Вместе с тем смещение квантовых уровней будет пропорцио-
пропорционально квадрату поля %2. В расчет величины а, носящей назва-
название поляризуемости, мы входить не будем.
Иное положение вещей имеет место в атоме водорода, где
помимо вырождения, связанного с различными ориентациями
орбитального момента, имеется еще «/»-вырождение. Каждому
квантовому уровню Е°п принадлежит п2 функций вида G2.5), раз-
различающихся как числом 1A = 0, 1, ..., /г—1), так и числом т.
Удерживая в памяти помер уровня п, мы можем выписать функ-
функции, принадлежащие уровню ?;), в виде
а|)?т, / = 0, 1, 2, ..., л-1; т = 0, ±1, ..., ±/, G2.15)
всего п2 таких функций. Наиболее общим состоянием, принадле-
принадлежащим уровню Еп, теперь будет
Ф=Е' 2 сшЪ1т. G2.16)
7 = 0 m = —l
Средний электрический момент Д~, в состоянии ср, ввиду
участия в суперпозиции G2.16) функций с различными значе-
значениями / не равен нулю (см. расчет в следующем параграфе)..
Поэтому и средняя добавочная энергия в поле <& в состоянии ср
№ = —Щ, G2.17)
будет, вообще говоря, не равна нулю и пропорциональна полю.
В результате смещение уровней будет пропорционально полю,
что и наблюдается на самом деле. Таким образом, сущность раз-
различия в поведении в электрическом поле атома водорода и водо-
родоподобных атомов заключается в том, что в первом случае
в группе состояний, принадлежащих уровню ЕЦ, имеется элек-
электрический момент, а во втором случае в группе состояний атома,
относящихся к уровню Eni> электрический момент отсутствует и
появляется только в результате поляризации (деформации) атома.
§ 73. Расщепление спектральных линий атома водорода
в электрическом поле
Вывод общей формулы для расщепления уровней водорода
в электрическом поле читатель найдет во многих курсах. Мы
ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю
сущность дела. Именно, мы рассмотрим расщепление второго
квантового уровня атома водорода (п = 2) (первый уровень не
вырожден и потому не расщепляется). Таким образом, мы берем
наиболее простой случай.

§73]
РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ АТОМА ВОДОРОДА
303
Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состоя-
состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями:
^2оо = #20 (г) Yoo s-терм,
^210 = #21^)^10,
Ьп = #21 (r) Yllf /?-термы.
G3.1)
Согласно B5.16)
Yoo = -^, У10 =
У 4л
cos G, Y i ,, = l/"-3- sin G^i 'ф. G3.2)
Г 8я
Далее, из E0.19) получаем радиальные функции RnL\
2а'
G3.3)
где а —радиус орбиты Ьора, а -г=^ и ^— нормирующие мно-
1/ 2a^ ~w ба^
жители. Пользуясь тем, что лг^/'sinGcos ф, у = г sin б sin cp, 2 =
= rcosG, мы можем написать функции G3.1) в виде
^200 = tyl = "
G3.4)
ih —lho_i/
' — iy р , кХ — iy
г V 2 '
Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню Е\, будет
ф= 2С«*«- G3.5)
Чтобы определить приближенно квантовые уровни и волновые
функции при наличии внешнего электрического поля Ш согласно
теории возмущений, нужно решить уравнения F8.10), которые
в нашем случае имеют вид
4
а, р = 1, 2, 3, 4, G3.6)
G3.7)

304
ПРОСТСПШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XII
Из представления функций в форме G3.4) легко видеть, что
все интегралы G3.7), за исключением двух, именно,
WV1 =W21 = eS\f (r) F (r) z2 dv9 G3.8)
в силу нечетности подынтегральной функции относительно г,
равны нулю. Интеграл же G3.8) легко вычисляется в сферических
координатах. На основании G3.3) и G3.4) имеем
Iх 12 а3
Имеем
ооо
л 2л
4л
3
г2 sin Q d$ dtp = г2 V V cos2 6 sin 0 dOd<p = ™r**
0 0 0 0
Вводя переменную % = г/а, получаем окончательно
G3.8')
Напишем теперь систему уразиегшй G3.6) в явном виде. На
основании сказанного о матричных элементах Wa§, получаем
G3.6')
(E2-?)c4 = O.
Определитель этой системы Д* (Е) должен равняться нулю (см.
§ 68):
|?о_? Wl2 0 0
W21 El-E 0 О
0 О Е% — Е О
0 0 "о ЕЧ~Е
= (El - ЕJ [(El - ЕJ - Wu] - 0. G3.9)
Отсюда находим корни Еи Еъ Е3, ?4, которые равны энергии
возмущенных уровней:
Таким образом, вырождение снято только частично четверной
уровень расщепляется лишь на три разных *). Картина этого
расщепления приведена на рис. 54.
]) Без поля мы имели гамильтониан, обладающий сферической симметрией.
При наличии поля* еще остается симметрия вращения вокруг направления поля.

§73] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ АТОМА ВОДОРОДА 305
В результате вместо одной спектральной линии, отвечающей
переходу ?:]-> ?',' (переход изображен на рисунке стрелкой а),
мы получим три линии, отвечающие переходам:
(a) Е3у ?4->??,
(b) Е^ЕЪ
(c) Е2-+Е].
Это и есть явление расщепления спектральных линий в электри-
электрическом поле. (Заметим, что ради простоты мы рассчитали расщеп-
a
i
Без поля В поле
Рис. 54. Расщепление уровня л — 2 атома во-
водорода в электрическом поле.
леиие первой линии ультрафиолетовой серии Лаймана, на самом
деле Штарк изучал расщепление" линий серии Бальмера (видимый
свет).)
Из G3.10) и G3.8') следует, что разница Д? в уровнях энер-
энергии Ег и Е» равна беёа, т. е. Д?^3-10 8ё эв, если <? дано в в/см.
Расщепление маленькое, даже для <$= 10* в/см, Д?=--3-10~4 эв,
а разность ??> — ??я« 10 зв.
Вычислим теперь волновые функции ср в нулевом приближении,
относящиеся к уровням Е1у Е2, Е3 и Ех. Для этого нужно найти
амплитуды са из уравнений G3.6'). Подставляя в G3.6') Е = Е3 =
= Е4 = Еп1у находим, что с3 и с4Ф0, а с1 = с2 = 0. Следовательно,
для несмещенных уровней наиболее общее состояние описывается
функцией
ц) х= с3г|)|| + с4^1 ,? = ?.]; G3.11)
c:j и Ci произвольны (вырождение не снято). Подставляя в G3.6')
Е ^Ех = El + W12, получаем с3 = сА = 0, сх = с2. Поэтому уровню Ех
отвечает волновая функция
Ф1 = -т= W + ХЮ. ?i = f2 + №12. G3.12)
Подобным же путем вычисляем для Е = Е2: с3 = с4 = 0 и ct =
= — с2» н волновая функция имеет вид
Ф2 = -|7-н(*1-^). ?2-?2-^12. G3.12')

306 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. XII
Множитель -у- взят из соображений нормировки ф! и <р2 к еди-
единице.) Таким образом, при наличии поля & волновые функции
стационарных состояний1) будут <рь ф2 и фд^^, Щ = ^Ь Мы
предоставляем читателю самому убедиться, что, как и должно
быть по общей теории, матрица возмущения W в новом пред-
представлении
W'a$ = с% \ (pjzcpp dv G3.13)
будет диагональной матрицей
Зеа& 0 0 0
0 —ЪеаШ 0 0 ,_Q ч
о ооо- G3Л4)
0 0 0 0
Отсюда следует, что полученную картину расщепления уровней
мы можем пояснить еще и так: уровни Е3 и ?4 не смещаются
потому, что в состояниях ф3 и ф4 электрический момент равен
нулю. Смещения же уровней Ег и Е2 определяются тем, что
в состояниях фх и ф2 момент равен Ъае% и —ЗаеШ соответственно,
т. е. в первом случае он ориентирован против поля, а во втором
случае —по полю.
§ 74. Расщепление спектральных линий в слабом
магнитном поле
Рассмотренная в § 62 теория расщепления спектральных линий
в магнитном поле является далеко не полной, так как не учиты-
учитывает мультиплетной структуры спектральных линий. Введем теперь
в рассмотрение и эту структуру.
Гамильтониан Н атомного электрона, находящегося в магнит-
магнитном поле, согласно F2.6), равен
) = H° + ^(lftg + 2s?) G4.1)
(при этом мы отбрасываем члены с q%^2, считая их малыми).
Я0 есть гамильтониан в отсутствие внешнего магнитного поля
Учитывая мульт-иплетную структуру спектра, мы должны допол-
дополнить этот гамильтониан членами энергии взаимодействия спина
с орбитальным движением (они, как объяснялось в § 65, обуслов-
Точнее «почти стационарных» [Ср. §§ 99, 101].

§ 74] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 307
ливают структуру спектров). Далее, напомним замечание в § 65,
согласно которому поправка на зависимость массы электрона от
скорости (релятивистский эффект) такого же порядка, как и
взаимодействие спина с орбитой. Все эти дополнительные члены
в энергии электрона, обусловливающие мультиплетную структуру,
обозначим через
W* = №(x, у, г, s, -ih°dx, -»й|, -/й?). G4.3)
Мы не будем раскрывать явно вид этого оператора и ограни-
ограничимся указанием аргументов, от которых он зависит. Появление
в W0 операторов импульса электрона ясно уже из того, что
внутреннее магнитное поле 34и создаваемое орбитальным движе-
движением электрона, зависит от скорости электрона, а следовательно,
и от его импульса1). Таким образом, полный гамильтониан дол-
должен быть написан в виде
H = H°+W°+W, W^e^{Mz + 2lz). G4.4)
Мы будем различать два случая: первый, когда магнитное поле
настолько велико,' что энергия электрона во внешнем поле W
гораздо больше энергии W°9 обусловливающей мультиплетное
расщепление, и второй, когда энергия во внешнем поле W гораздо
меньше энергии Wo (малые магнитные поля).
Уточним понятие «сильного» и «слабого» поля. Заметим, что
энергия W0, которой мы пренебрегаем по порядку величины,
равна разности энергий уровней в дублете (см. рис. 46). Обозна-
Обозначим эту величину через
AEjr = Eonlj-Eonij>. G4.5)
Расщепление, создаваемое магнитным полем, равно, согласно
F2.13), по порядку величины |-<^- Поэтому рассмотренное
в § 62 приближение соответствует условию
2^вЗГ>|А%|. G4.6)
Если, например, Д?//' = 5,3-10 15 эрг (линии Dx и D2 в Na, см.
рис. 49), то G4.6) дает <Ж > 5-104 эрстед. Напротив, слабое
По закону Био и Савара это поле равно
где V —скорость электрона, а г —радиус-вектор, проведенный от электрона
к точке, где наблюдается поле <%V

308 ПРОСТ1?НШПП nPILnO/KLlIIIH ТПОРПП ВОЗМУ1ЦЕ1ПШ [ГЛ. XII
поле -Ж определяется из неравенства 1^°^>\У7, т. е.
СП
G4.7)
В первом случае (сильные поля!) мы можем пренебречь величи-
величиной IVго по сравнению с W. Тогда мы получаем случай, уже рас-
рассмотренный в § 62 (простой эффект Зеемана). В случае слабых
полей расстояние уровней в мультиплете А/?//' гораздо больше
~- сЖ\ поэтому в нулевом приближении мы можем пренебречь
энергией электрона во внешнем поле II7 по сравнению с W0 и
рассматривать в качестве гамильтониана певозмущеиной системы
°y G4.8)
a W — как возмущение. Получающаяся в этом случае картина
расщепления уровней и соответственно спектральных линий го-
гораздо сложнее рассмотренной в § 62. Само явление носит назва-
название сложного (иногда говорят аномального) эффекта
Зе ем а п а.
Чтобы рассмотреть это расщепление, заметим, что квантовые
уровни E'nij невозмущенной системы (гамильтониан G4.8)), как
объяснялось в § 65, будут вырождены 2/+1 раз, соответственно
возможным ориентация^ полного момента J. При наличии внеш-
внешнего поля такой уровень должен расщепляться, так как разным
ориентациям J будет отвечать разная энергия магнитного момента
во внешнем поле 3№. Для того чтобы найти это расщепление, мы
должны определить собственные значения энергии возмущения IF.
Для этого напомним (ср. § 65), что состояния невозмущенной
системы с учетом мультиплетностн характеризуются четырьмя
квантовыми числами /г, /, /, ш/. Поэтому матричные элементы
энергии возмущения W будут иметь вид 1^//т пччгт-% Если мы
ограничимся первым приближением, то, как излагалось в § 68,
нужно пренебречь матричными элементами энергии возмущения,
относящимися к разным уровням невозмущенной системы. Так
как у нас эти уровни нумеруются числами п, /, /, то в нулевом
приближении рассмотрению подлежат только элементы
^ttijmj ~ ™rjjm., nljm'j- ('4.9)
Пригодность такого приближения обеспечивается малостью
магнитногр поля. Так как матричные элементы Wmm'm имеют
порядок величины -^~-^Г, то условие G4.7) можно, переписать
в виде \у
f"ZT1 <1' G4-ю)

§74] РАСЩЕПЛЕНИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ В МАГНИТНОМ ПОЛП 309
что является как раз условием применимости теории возмущений.
При этом мы взяли разность энергий в пределах мультиплета
(разные / и /', по одинаковые п и /). Ясно, что для разных п
и / G4.10) выполнено, если оно выполнено для одинаковых п и /.
На основании сказанного дело сводится к приведению матрицы
Wmm'. к диагональному виду. Для этого выразим энергию возму-
возмущения W через проекцию Jz на ось OZ полного момента J. Имеем
W = y^(Ms + 2sJ = OL(j\ + Zff)t G4.11)
где OL есть частота Лармора. Рассмотрим теперь произведение
s-/2. Эту величину можно- представить в виде
= h (SxJx + SyJy + sJz) + (Ых - j?x) Jx + (sjy - jju) Jy>
ИЛИ
sJ2 = Js(sJ) + Q> G4.12)
Q - (sjx - Jj*) J* + (Vy - Jjty) Jy. G4.13)
Пользуясь теоремой о сложении вращательных моментов, мы
можем, согласно F4.9), переписать G4.12) в виде
sj2 = Л \- (J2 - Ж2 + s2) + Q. G4.12')
Если мы возьмем теперь такое представление, в котором J2 есть
диагональная матрица, то тогда G4.12') можно разделить на J2
(ибо диагональная матрица ведет себя как обыкновенная вели-
величина, а не как оператор). Поэтому в этом представлении из
G4.12') получаем
2Л ? G4.13')
и, следовательно, энергию возмущения W можно написать в виде
% G4.14)
Матричные элементы оператора Q отличны от нуля лишь в том
случае, когда ]ф\'.
Действительно, оператор Q может быть представлен в виде
G4.15)
где
ух = /& — Jzsy, у у = JgSx — Jxsg9 Уг = fjy — Jysx G4.16)

310 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XII
(индексы получаются циклической перестановкой). Пользуясь
правилами перестановки компонент момента (§ 64), легко дока-
доказать, что
2хУх+}уУу+2*Уг = О, G4.17)
Л-Y* - У-Jz =< %> Л-Yj/ ~ Yi/Л = — '%•, $гУг - y?Jz = 0 G4.18)
(из последних равенств вытекают еще и другие путем цикличес-
циклической перестановки х, у, 2). Если теперь взять три проекции орби-
орбитального момента MXi Myy Mz и три координаты х, у, г, то
нетрудно видеть, что для них имеют место совершенно аналогич-
аналогичные алгебраические равенства, именно,
MJCx + Muy+MJ!z==09 G4.17')
М?х - xMz = itty, JVLy -уМг = — ihx, Mzz - гМг = 0. G4.18')
Сравнение G4.17') и G4.18') с G4.17) и G4.18) показывает,
что структура матриц Jx, Jy, Jz в отношении yXi yy, yz такова
же, как и структура матриц Мх, Му, Mz в отношении матриц
х, у, г. В § 90, Б показано, что единственные отличные от нуля
матричные элементы х, у, г имеют вид xit /ji, ///,/j:i, zi,i±\ (где
/ — орбитальное число). Диагональные элементы xth ylh zn равны
нулю. Но / есть как раз номер собственного значения Mj. Таким
образом, диагональные матричные элементы х} у, z равны нулю
в представлении, в котором М2 диагоналей. Поэтому должны
равняться нулю и диагональные элементы уХУ уу, yz в представ-
представлении, в котором J2 диагоналей, т. е. матричные элементы
(Ух)]тг )т'. = 0, (yv)imf \т'. = 0, (угЦ. ]т'. - 0. G4.19)
АЛА. л
Так как, кроме того, Уд-, Ju, Jz коммутируют с J2, то их мат-
матричные элементы, не равные нулю, имеют вид
(Jx)jmrjmfj9 (Jy)jmrjm'.> {Jz)jmr jm'.- G4.20)
.
Из G4.19) и G4.20) следует, что матричные элементы Q вида
Qjm.,jmf. равны нулю (в чем легко убеждаемся, образуя Q из у
и / по правилу умножения матриц).
Таким образом, в интересующую нас матрицу возмущения,
элементы которой относятся к одному и тому же значению
полного момента /, оператор Q не дает никакого добавления.
Иными словами, все элементы матрицы Wm^m\ образуются за
счет части W, не содержащей Q, т. е. за счет оператора
G4.21)

§ 74] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
311
Так как J2, Al2, s2, j2 коммутируют друг с другом, то их мат-
матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному
виду. Вместе с тем приводится к диагональному виду и матрица
г
Li Г_г
1=0, j =1/2, д-2 I -
'm^-1/2
¦my-3/2
щЧ/2
Рис. 55. Расщепление уровней 25]/з, 2Р1/з и 2Р3/з в слабом магнитном поле
оператора W' (с элементами W'm.m'Y Чтобы получить ее диаго-
диагональные элементы, достаточно подставить вместо jz, УИ2, s2 и J2
собственные значения этих операторов. Имея в виду, что
;
' 1 G4.22)
G4.23)
мы получаем
Эта формула и дает расщепление в слабом магнитном поле
квантового уровня, характеризуемого числами /, /; поскольку
речь идет об одном электроне, ls = у. Обозначая теперь поправку
W к энергии уровня Епц через АЕПт.9 мы можем написать
G4.23) в виде
, G4.24)

312
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. XII
где g означает «множитель Ланде» и равен
G4.25)
Так как /rij пробегает все значения от —/ до +/", то, как видно
из G4.24), каждый уровень Enlj расщепляется в слабом магнит-
магнитном поле на 2/+1 уровней.
На рис. 55 приведена схема расщепления уровней:
=4, /=oV 2
: = 1 и
(/-?-.«
Л
При большем поле <^Г сложное расщепление упрощается
и получается рассмотренное выше (рис. 46). Это явление упро-
упрощения расщепления спектральных линий в магнитном поле при
переходе от слабых полей к сильным наблюдается на опыте.
§ 75. Наглядное толкование расщепления уровней
в слабом магнитном поле (векторная модель)
Полученная нами формула G4.23) для расщепления кванто-
квантовых уровней в слабых магнитных полях может быть наглядно
истолкована в терминах векторной модели. В магнитном поле
квадрат полного вращательного момента J2 и его проекция па
магнитное поле Jг являются интегра-
интегралами движения. Вектор же полного мр-
мента J не является интегралом движе-
движения. Именно, вектор J прецессирует
вокруг направления магнитного поля
так, как это показано на рис. 56.
Если связь между орбитальным дви-
движением и спином велика, то относи-
относительная ориентация вектора спина s
и вектора орбитального момента Mt сох-
сохраняется, но оба они прецессируют
вокруг полного момента J. Добавочная
энергия W в магнитном поле равна энер-
энергии магнитных диполей с моментами
и — — SB поле
[1С
6. Прецессия полного W = «/-
р
момента J вокруг паправле-
ния магнитного поля.
G.J.1)
Нам нужно найти среднее значение величины W. J2 имеет
постоянное значение. Напротив, sz есть переменная величина,

§ 7G] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 313
поэтому для вычисления среднего значения W нужно вычислить
среднее значение sZi имея в виду, что вектор s участвует в двух
прецессионных движениях: вокруг вектора J и вместе с J вокруг
направления магнитного поля @Z).
Так как
2€, s), G5.2)
то нам нужно вычислить среднее значение cos(^, s). Из рис. 5G
видно, что
cos (Ж, s) = cos(s, J)cos(J, Э€), G5.3)
т. е.
s. = scos(s, J)cos(J, 3€). G5.4)
Ho
cos(J, 9i)=J-f, G5.5)
ii из треугольника со сторонами J, M, s получаем
sJ cos (s, J) = (sJ) = -„- (J2 — M2-{-s2). G5.6)
Из этих формул получаем
Se==2J* (J M2 + s*). G5.7)
Подставляя s2 в выражение G5.1) для энергии W, находим
Если в этой формуле понимать под Js% J2, M2, s2 их квантовые
значения G4.22), то из G5.8) мы получим квантовую фор-
формулу G4.23).
§ 76. Теория возмущений для непрерывного спектра
Мы обратимся теперь к тому случаю, когда невозмущенная
система имеет непрерывный энергетический спектр. Обозначим
гамильтониан этой системы через Я0, собственные функции, при-
принадлежащие уровню энергии ?, через ij^. Уравнение Шредин-
гера в этих обозначениях имеет вид
Я°#=:?#. G6.1)
Допустим, что на эту систему действует возмущение W. Урав-
Уравнение Шредингера для возмущенной системы тогда имеет вид
Ety. G6.2)

314 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XII
Если возмущение таково, что оно не нарушает непрерывного
характера спектра оператора Я0, т. е. оператор Н имеет также
непрерывный спектр, то все действие возмущения сводится к изме-
изменению вида собственных функций, принадлежащих уровню Е.
Вместе с тем задача теории возмущения сводится в этом случае
к нахождению функций г^, которые при малом возмущении W
могут мало отличаться от функции i|)?. Возможен, однако, и дру-
другой случай, когда возмущение W приводит к образованию раз-
разрывов в непрерывном спектре. Тогда в задачу теории возмуще-
возмущения входит не только определение измененных волновых функций,
но и определение положения и величины разрывов в первона-
первоначально непрерывном энергетическом спектре Е.
Оба эти случая мы рассмотрим на простом примере частицы,
свободно движущейся вдоль оси ОХ. Уравнение Шредингера
в этом случае имеет вид
Ш=ЕГ Gб-3)
и имеет собственные функции и собственные значения
.рх_
Возмущенное уравнение напишется в виде
?Э*'* G6-5)
так что W (х) есть добавочная потенциальная энергия. Значок
штрих у Е присоединен на тот случай, если спектр возмущенной
системы изменится. Без всяких ограничений мы можем положить
Е' =? + е, G6.6)
Ъ = ГР(х) + и(х). G6.7)
Однако, считая возможным применить теорию возмущений
к решению уравнения G6.5), мы будем считать, что |г|<;?,
\и (х) |<<|tpp (x) |, и будем пренебрегать произведениями eW, ей,
uW как величинами второго порядка малости. Тогда подстановка
G6.6) и G6.7) в G6.5), учитывая G6.3), дает
x). G6.8)
Представим и (х) в виде суперпозиции невозмущенных состояний
и(х)= ^ u(pWP(x)dp. G6.9)

§76] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 315
Подставим теперь G6.9) в G6.8), умножим G6.8) на \|$? (x)
и проинтегрируем по х. Имея в виду, что
мы получим
{? и (р') - Ей (р') = еб (р' - р) - Ц7р,р G6.10)
(уравнение G6.8) в «/^-представлении). Здесь
1 г» i{p-p')x
Р W w W Ф* W d* S
) e n dx {Ж 11)
есть матричный элемент в «/^-представлении. Из G6.10) находим
<76Л2>
В точке р' = р знаменатель G6.12) обращается в нуль. Если мы
возьмем ет^О, то мы получим и (рг) я^ос -б (//—р), и наше
решение ни в коем случае не будет приближением к %. Поэтому
следует положить 8 = 0, т. е.
W
Подставляя это значение и(р') в G6.9) и G6.7), мы находим
Интеграл здесь перечеркнут, что означает, что при интегрирова-
интегрировании мы должны исключить точку р'=р, так как в этой точке
формула G6.13) теряет смысл. К тому же, функция typ(x) (pf =p)
уже выделена из интеграла особо1).
Необходимым условием состоятельности нашего метода реше-
решения является малость добавка в G6.14), т. е.
\Ъ(х)-Гр(х)\^\Гр(х)\. G6.15)
Из G6.13) видно, что и(р') вблизи резонансной точки р = р'
будет тем меньше, чем больше р, т. е. чем больше энергия
частицы Е. Следовательно, наше приближение пригодно при
больших энергиях частицы.
Точный смысл знака J может быть определен следующим образом:
Гр-Д оо \
\F{pyp')dp'=\\m\ \ F{piP')dp'+ $ F(p% P')dpf\.
Определенный таким способом предел носит название главного значе-
значения интеграла.

316
простейшие приложения теории возмущении
[ГЛ. XII
В произведенном расчете мы считали, что матричный элемент
'p является конечной величиной. Это будет иметь место в слу-
случае, если W (х) достаточно
W быстро исчезает при | х \ ->- со,
т. е. для этого возмущение
должно быть сосредоточено
в конечной области простран-
пространства (рис. 57). В этом слу-
случае, как следует из наших рас-
расчетов, энергетический спектр
остается непрерывным1), ес-
если добавок и мал.
Если возмущение W (х)
распространяется на все про-
пространство так, что Wp'p бес-
бесконечно, то в первоначально непрерывном спектре могут образо-
образоваться разрывы.
В качестве примера приведем возмущение вида
X
Рис. 57. Кривые для энергии возмущения
W (х).
W (x) = К cos BJA'
G6.16)
где к н q — некоторые параметры. Вычисляя теперь матричные
элементы Wp-P гго формуле G6.11), мы получаем
Wpp. = %-{6l2q + p-p') + 6(-2q + p-p')}. G6.17)
Подставляя это значение Wp>p в G6.14), мы ввиду наличия
б-функций сразу выполняем интегрирование и находим
<76Л8>
При малых К это будет пригодное приближение, но оно отказы-
отказывается служить в точках
E(p±2q) = E(p), p = + G. G6.19)
так как в этих точках при любом X добавок к % обращается
в бесконечность.
Чтобы построить приближенно решение для p = ±qy восполь-
воспользуемся тем, что уровню Е (р) принадлежат всегда две функции
•фр и iplLp. Самое общее решение, принадлежащее уровню Е(р),
будет
Фо = а^+Рф!1р, G6.19')
!) Если возмущение изображается кривой Ъ (рис. 57), то при достаточно
глубоком минимуме могут о0разоваться дискретные уровни (на рисунке это
изображено пунктиром). Наш приближенный метод не дает этих уровней,
так как он применим лишь для больших энергий Е.

§ 7GJ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 317
где а и р — неопределенные коэффициенты. Если в G6.7) под-
подставить теперь ф° вместо i|)J, то, повторяя все выкладки, мы
получим вместо G6.8)
Подставляя сюда и из.G6.9), умножая на Щ* и интегрируя по х,
найдем вместо G6.10)
и(р')(Е(р')-Е(р)) = е(а&(р-р') +
+ №(p + p'))-(*Wp>p + $Wp>.-p) G6.10')
и, наконец, вставляя сюда значение W}}>p и Wp>, -p из G6.17),
получим
и (рг) (Е (//) - Е (р)) = е [об (р - рг) + Рб (р + р')] -
-2q-p-p')}]. G6.10")
Если p^±q, то мы можем положить 8 = 0 и взять либо а— 1,
Р = 0, либо а = 0, р=1. В первом случае получим прежнее
решение G6.18), во втором случае получим решение "ф-р, при-
приближенное к г|)".. р.
Для p = -\-q имеем из G6.10")
G6.10'")
Для р' — q левая часть равна нулю и должна равняться нулю
также и правая. Имея в виду, что при \ -ф 0 б (?) = 0, мы
получаем
6@)[еа--~р] = 0 G6.20)
и для // = — q
[^] G6.20')
Сокращая на 6@), получаем систему уравнений
га- 2-Р-О, ер- ?-а = 0 G6.21)
для определения а и р. Легко видеть, что для р = — q из
G6.10") получается опять эта же система G6.21). Система G6.21)
однородна. Из равенства нулю ее определителя получаем
е = ±~, G6.22)

318
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ. XII
а соответствующие решения аир имеют вид
= р для е = + 4
а==_р для 8 = — ~.
В результате для импульса p — ±q мы имеем решения
G6.23)
G6.23')
G6.24)
G6.24')
Иными словами, в точке p=-±q энергия претерпевает разрыв.
Для импульсов, лежащих вдали от p = ±q, как было показано,
8 = 0 и, стало быть, ? = ?(р).
На рис. 58 изображена кривая
энергии Е в функции р: пункти-
пунктиром для невозмущенного движе-
движения, а сплошной линией для воз-
возмущенного. В точках p = ±q
получается разрыв величины К.
Другие разрывы p = ±2<j\ отме-
отмеченные на рисунке, получатся
при расчете во втором приближе-
приближении. (Вообще разрыв получается
в точках p = ±nq, п = 1, 2, 3, ...)
Таким образом получается спектр
типа, рассмотренного в § 55,
именно, спектр, состоящий из
зон дозволенной энергии
от ? = 0 до ? = ?(<7)--j- и от
Е = ? (q) + Я/2 до следующего
разрыва и т. д. и из зон запрещенной энергии от ? =
= E(q) — k/2 до Е = Е (q) + к/2 и т. д. Эти запрещенные участки
энергии отмечены на оси ординат штриховкой. При малой вели-
величине возмущенного поля Я->0 разрывы становятся очень узкими.
Следовательно, спектр частицы, движущейся в периодическом
поле при малой амплитуде поля, является как бы обращением
дискретного спектра, характерного, например, для атомов.
В дискретном спектре «дозволены» только некоторые значения
энергии ?ь E2i ..., а остальные значения «запрещены». В рас-
рассматриваемом случае широкие участки энергии «дозволены»,
а некоторые узкие полоски запрещены.
Рис. 5S. Образование разрывов
(запрещенных полос) в непрерывном
спектре при наложении периодиче-
периодического возмущения.

§ 76] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 319
На рис. 58 помимо вычисленного нами разрыва в сплошном
спектре Е показано еще плавное изменение Е в функции р
вблизи этих точек разрыва. Это изменение могло бы быть полу-
получено и из нашего расчета, если бы мы учли, что решение G6.18)
не годится не только в точках p^±q, где оно просто обра-
обращается в бесконечность, но и во всех точках, где
\Eip±2q)-E(p)\^b, G6.25)
так как в этой области импульсов добавок к ?, хотя и не бес-
бесконечен, но велик. Таким образом, следовало бы исследовать
поведение решений в окрестности точек p = ±q. Этот расчет мы
опускаем.
Существенно, что наличие этих разрывов сказывается на
виде функции Е (р) вблизи разрыва и, таким образом, меняет
число состояний \\tp (которое мы можем считать пропорциональ-
пропорциональными dp), приходящихся на интервал энергии dE. Именно, для
dp u o dp
невозмущеннои задачи тп? = —, а для возмущенной -п? — 00 в точ-
точках разрыва энергии. Этот результат может быть получен и без
специального расчета. В § 55 мы показали в общем виде, что
для частицы, движущейся в периодическом поле, групповая
скорость
_ \_dE__dE_
v' -~ Т Ш "" dp
на краях зон равна нулю. То, что в нашем примере групповая
скорость на краю зоны равна нулю, следует уже просто из того,
что на краях зон мы имеем не бегущие \е п] волны, а стоячие
G6.24) и G6.24').

Глава XIII
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
§ 77. Постановка вопроса в теории столкновений
микрочастиц
Теория столкновений микрочастиц образует в настоящее время
одну из весьма обширных глав атомной механики. В нашем курсе
мы не имеем возможности подробно излагать эту теорию и огра-
ограничимся лишь освещением самой постановки вопроса в теории
столкновений и изложением простейших методов ее исследования.
Представим себе некоторую частицу Л, которую для определен-
определенности будем считать атомом, и падающий на нее поток частиц В,
которые для .определенности будем считать электронами. Поток
частиц В пусть падает по направлению OZ (рис. 59). Электроны В,
сталкиваясь с атомом, могут претерпевать изменение своего состоя-
состояния в двух отношениях. Во-первых, они изменяют направление
своего движения, во вторых, они могут отдать некоторую часть
е своей энергии Е атому А. В этом случае мы говорим о неупругом
столкновении, или неупругом рассеянии. Если г = 0, то столкно-
столкновение называют упругим (упругое рассеяние). В опыте интересу-
интересуются числом электронов (частиц В), проходящих в 1 сек через
площадку dS (рис. 59), поставленную перпендикулярно к лучу,
проведенному из центра рассенвателя А. Обозначим поток частиц,
проходящих через эту площадку и имеющих энергию ? —е,
через dNe. Это число dNR пропорционально размерам площади dS
(поскольку она мала) и обратно пропорционально квадрату рас-
расстояния до рассеивателя (г). Кроме того, dNB, очевидно, пропорцио-
пропорционально потоку частиц в первичном пучке N. Таким образом,
dNe = No(e,Qtq>)^-t G7.1)
где N — число частиц, проходящих через площадь в 1 см2 в 1 сек
в первичном потоке, а а (е, 0, ф) — некоторый множитель пропор-
циональности между dNe и N. Величина —^- есть телесный угол

§771
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ МИКРОЧАСТИЦ
321
dQj под которым видна площадка dS из центра рассеивателя А.
Отношение -j~ определяет вероятность рассеяния в угол dQ с по-
потерей энергии е. Это отношение равно
^ = cr(ef8fcp)dQ. G7.2)
Из G7.1) следует, что а имеет размерность площади (так как
Падающая Волна
Рис, 59. Столкновение частиц по квантовой
механике.
А — рассеивающий атом; В — падающий пучок
частиц.
[dNe] = ^» [Щ = YT*J то М = L2) и называется дифференци-
дифференциальным эффективным сечением (атома А) для Hfcynpy-
гого рассеяния в угол dQ с потерей энергии е.
Величина
яг г*
г(е, 6, ф) dQ, G7.3)
где интеграл взят по полному телесному углу 4я, дает так назы-
называемое полное эффективное сечение для неупругого
столкновения с потерей энергии е. Ne = G?N есть число (рассчи-
(рассчитанное на 1 сек) частиц, потерявших при столкновении энергию е
при первичном потоке N частиц через 1 см2 в 1 сек.
Если потеря энергии е может принимать непрерывные значения,
то для потери энергии, лежащей между е, e + de, вместо G7.2)
следует писать
^ = G(z,Q,<p)dedQ. G7.2')
В этом случае а (е, 9, ф) de будет иметь смысл дифференциаль-
дифференциального сечения для неупругого рассеяния в угол dQ с потерей энер-
энергии в интервале е,

322 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
Величина а (е, Э, ф) будет в этом случае также называться диф-
дифференциальным сечением для неупругого рассеяния, отнесенным
к интервалу телесных углов dQ и интервалу энергии de. Обычное
обозначение: «сечение на стерадиан на единицу энергии».
Заметим, что кроме е, Э, ф эффективное сечение может быть
функцией и других параметров, характеризующих столкновение,
например, спина частиц.
Во всех случаях с помощью дифференциального эффективного
сечения можно дать полную статистическую характеристику про-
процесса столкновения.
Поэтому задача в теории столкновений сводится к вычислению
сечения а(е, 6, ф).
Как мы увидим, эта величина в свою очередь вполне опреде-
определяется амплитудой рассеянных волн.
Оставляя на время вопрос о методах вычисления этой величины в кван-
квантовой механике, рассмотрим, в каких случаях следует для расчета столкнове-
столкновения применять квантовую механику, а в каких случаях —классическую
механику.
Рис. 60. Столкновение частицы В с атомом А по
классической механике (случай отталкивания).
Для этого рассмотрим, как протекает столкновение, если применять зако-
законы классической механики. На рис. 60 изображен атом А с центром в О.
Вокруг него проведена сфера радиуса а> вне которой силы между атомом А
и падающей частицей В малы. Эту сферу мы будем называть сферой дей-
действия1). Частица В, двигавшаяся первоначально вдоль оси BZ, попадая в эту
сферу, будет претерпевать отклонение так, как показано на рис. 60 (приведен
случай отталкивания А и В). Опустим из центра атома перпендикуляр на
первоначальное направление движения частицы BZ. Пусть длина этого пер-
перпендикуляра есть р. Его называют параметром удара (или прицель-
*) Эта сфера не всегда может быть определена. Например, для закона
Кулона U = const/r ни о какой сфере говорить не приходится. Сферу дей-
действия можно определить лишь в том случае, когда силы достаточно быстро
убывают.

§ 77] ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ МИКРОЧАСТИЦ 323
ным расстоянием). Частица, имеющая определенный параметр удара,
отклонится на вполне определенный угол б, так что р = р (б), 6 = 0 (р). Части-
Частицы, имеющие параметры удара между р и о-{-dp, отклонятся на углы, лежащие
между б и Q-\-db (угол ср мы сейчас не рассматриваем, предполагая сфериче-
сферическую симметрию поля атома А). Если представить себе поток первичных
частиц, проходящих через площадку в Г см2, то из них отклонятся на углы
б, Q + dd те, которые проходят через кольцо, образованное кругами радиуса р
и p-\-dp. Площадь этого кольца есть 2лр dp (рис. 60).
Поэтому на угол 0, 0-{-dd отклонятся все тс частицы из первичного
потока, которые пройдут через площадку 2лр^р (рис. 60). Стало быть, вели-
величина 2лр dp и есть эффективное сечение для отклонения на угол 0, 0-j-dQ.
Выражая dp через dQ, найдем дифференциальное эффективное сечение
а (б) = р ^-. G7.4)
Это классическое выражение для а (б) не всегда будет применимо к микро-
микростолкновениям. Действительно, ошибка в определении параметра удара Др
должна быть меньше самого параметра р. С другой стороны, определение р
с точностью Др вносит неопределенность в импульс, перпендикулярный к пер-
воначалыюму движению Др! ^ -, а следовательно, и неопределенность
Ар
в угле отклонения Дб = д— (р —первоначальный импульс частицы).
Отсюда, имея в виду, что б > Дб, р>Др:
0>А, *-?. G7.5)
Таким образом видно, что рассмотрение малых отклонений методами класси-
классической механики бессмысленно. Для рассмотрения же отклонений, удовлетво-
удовлетворяющих условию G7.5), необходимо соблюдение общего условия применимости
классической механики, именно, изменения потенциала U (г) на протяжении
длины волны К должно быть мало:
Ш{Г)\; G7.6)
U (r) dr "^'*
Пусть потенциал рассеивающей частицы меняется существенным образом
на протяжении а, т. е. а есть по порядку величины область действия потен-
потенциала, или радиус сферы действия. Тогда условие G7.6) может быть заменено
более мягким условием
Х<а G7.7)
(см § 36). Длина волны К электронов с энергией в несколько электроновольт
равна, по порядку величины, 10"8 см, такого же порядка и размеры области а,
внутри которой существенно меняется потенциал с атоме. Поэтому при столкно-
столкновениях электронов с атомами G7.7) не соблюдается и необходимо применять
квантовую механику. При столкновениях а-частиц (к ~ 10~13 см) с атомом
условие G7.7) выполнено и можно ограничиться классическим рассмотрением
задачи. Однако при столкновениях а-частиц (нуклонов, вообще тяжелых
частиц) с ядром, для которого радиус сферы действия а ~^'10~13 см, опять
имеем Х^а, т. е. необходимо квантовомеханическое рассмотрение задачи.
Рассмотрение столкновения лишь с одним атомом, вместо рассмотрения
столкновения с совокупностью атомов, образующих газ или жидкое, или,
наконец, твердое тело, само по себе является абстракцией, пригодной далеко
не всегда. Рассматривая лишь один атоМ, мы предполагаем, что частица
до столкновения с атомом движется свободно. В этом — самая сущность

324 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
постановки проблемы о попарном столкновении. Чтобы оценить, когда такая
постановка вопроса возможна, рассмотрим средний путь (свободный пробег),
который частица В пробегает без столкновения в соьокупности атомов, обра-
образующих тело.
Для определенности рассмотрим лишь упругие столкновения. Введем кри-
критерий того, что частица В не взаимодействовала с атомом А (двигалась сво-
свободно). В качестве такого критерия будем считать некоторый угол отклонения
б0. Если угол отклонения 0 < 80, то мы будем считать, что частица не откло-
отклонилась—двигалась свободно, если . б > 0о, то, напротив, будем считать, что
взаимодействие имело место. Эффективное а0 для отклонения на углы, боль-
большие 80, равно
ао= J а (е, 6, <p)dQ. /778)
Знак ?>() показывает, что при интегрировании мы исключаем малые откло-
отклонения @ < Go). Представим теперь себе поток N частиц В, проходящих
через площадку в 1 см2. При прохождении длины dx этот поток пронижет
объем A см2) dx. Если через п обозначить число атомов в 1 см2 тела (газо-
(газообразного, жидкого или твердого), то в указанном объеме поток частиц В
встретит п-(\ CM2)-dx атомов А. Вероятность столкновения с одним из ато-
атомов А одной из частиц В при прохождении слоя dx равна
у^п-0 cM*)-dx = Oondx. G7.9)
Обозначим через N (х) величину потока неотклонеиных частиц на глубине х
внутри вещества. Согласно G7.9) убыль этого потока при прохождении слоя
х, x + dx будет
^> = -Ы(х)^п. G7.10)
Отсюда находим
N(x) = Noe-G°nx. G7.11)
Стало быть, величина
w(x) = e-aonx G7.12)
есть вероятность пройти путь х без столкновения. Следовательно, средний
свободный путь 7 равен
00
70
J
О
Для того чтобы мы и в самом деле могли считать частицу, проходящую путь /,
свободно движущейся относительно какого-нибудь из атомов тела, нужно,
чтобы свободный пробег был больше сферы действия а. Иначе частица все
время будет находиться в сфере действия того атома, с которым ей предстоит
столкнуться. Таким образом, условие применимости теории попарных столкно-
столкновений как в классической, так и в квантовой механике есть
7>а. G7.14)
Если сфера действия а не может быть определена, то применение теории
попарных столкновений становится по меньшей мере сомнительным (во всяком
случае, для тех столкновений, для которых / мало).
В квантовой механике условие G7.14) должно быть дополнено еще одним
условием специально квантового характера. Нас интересуют изменения
=о0п [ е-°о'1Хxdx~^~. G7А3)
О

§ 78] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД БОРНА 325
импульса (и энергии) частицы при столкновениях. Состояние с определенным
значением импульса р есть волна де Бройля с длиной волны X — 2nti/p.
Из условия G7.14) следует, что нам нужно рассматривать движение сво-
свободной частицы на протяжении свободного пробега /, т. е. мы должны иметь
дело с группой волн, размеры которой не превышают /. В такой группе,
вообще говоря, (АрJ ?= О— это состояние с неопределенным импульсом. Чтобы
можно было пренебречь этой неопределенностью (и оперировать тогда с моно-
монохроматической волной), нужно, чтобы
/>А,. G7.15)
В случае невыполнения условий G7.14) и G7.15) необходимо рассматри-
рассматривать столкновение сразу со всей совокупностью атомов Л или искать особые
обходные пути, которые позволили бы обойти трудности такой прямой поста-
постановки задачи.
§ 78. Расчет упругого рассеяния приближенным методом Борна
Ограничиваясь исследованием упругого рассеяния, мы можем
не рассматривать внутренней структуры атома1) А. Действие
атома А на падающие частицы В можно в этом случае рассмат-
рассматривать как действие силового центра. Если атом обладает сфе-
сферической симметрией, то поле, создаваемое этим атомом, будет
полем центральных сил. Имея в виду именно этот случай, обо-
обозначим потенциальную энергию частицы В в поле атома А через
U (г) (/- — расстояние от центра А до Б). Энергию частицы В обо-
обозначим через Е. Если считать, что U(r) = 0 при г = оо, то мы
должны взять ?>0, так как нас интересует такой случай,
когда частица В с энергией Е движется из бесконечности к ато-
атому А. Согласно общей теории движения в поле центральных сил
такие состояния частицы В возможны лишь для ?>0.
Обозначая волновую функцию частицы В через ty(x> у, г), мы
можем написать для нее уравнение Шредингера в виде
-^^ + 1/(г)ф=?ф G8.1)
(|х —масса частицы В). Потенциальную энергию U(г) мы будем
считать достаточно быстро убывающей с возрастанием расстояния
г от атома А. Введем волновое число
где р — импульс частицы. Обозначим далее
%U(r) = V(r). G8.3)
х) Напротив, при расчете неупругих столкновений неизбежно приходится
рассматривать структуру атома А, так как при неупругом столкновении изме-
изменяется квантовое состояние этого атома.

326 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
Тогда уравнение G8.1) можно переписать в виде
\hb + k2ty V (г)ур. G8. Г)
Решения этого уравнения, принадлежащие энергии ?, очень
сильно вырождены и имеют весьма разнообразную форму.
Мы должны взять такие решения, которые соответствовали
бы поставленной физической задаче, т. е. чтобы для больших
расстояний от атома А решения я|) были бы совокупностью пло-
плоской волны, представляющей поток падающих частиц В, и рас-
расходящейся волны, представляющей рассеянные частицы (в общем
решении уравнения G8. Г) могли бы, например, присутствовать
еще и сходящиеся волны).
Соответственно этому представим ур в виде суперпозиции
, G8.4)
где ур° представляет поток падающих частиц, а и — поток рассе-
рассеянных. Считая, что падающие частицы движутся вдоль оси OZy
мы возьмем г|)° в виде
*0 = рЙ' L*=\cm\ G8.5)
Выбранная нормировка функции г|)° означает плотность падающих
частиц ;ijHi2=l слг3:.одну частицу на единицу объема. При этом
поток по формуле B9.5) будет равен
N = ]г = — \ ур° |2 = v \ ур° |2 = v (сек-1 • см-2), G8.6)
где у==тг==-^ есть скорость частиц. Функция и, изображающая
состояние рассеянных частиц, для больших расстояний г от
центра атома должна иметь вид расходящейся волны:
а(г, в) = Л(в)в-^р G8.7)
где А F) есть амплитуда рассеянной волны, а 8 — угол между г
и 0Z, т. е. угол рассеяния.
Вычислим теперь поток рассеянных частиц на большом рас-
расстоянии от атома. Из формулы для потока частиц B9.5) и из
G8.7) следует, что поток рассеянных частиц будет равен1)
ih (и ди* а* ди\ _ ЬН , Д (в) ,2 1 _ v 1 Л F) р ,7R R,
Отсюда поток через площадку dS будет
dN = JrdS = v\A F) |2 dQ. G8.9)
J) См. E3.3). Остальные компоненты «Aj, /ф в поле центральных сил будут
равны нулю (А @) действительно!). Заметим еще, что если бы в G8.7) мы взяли
c~lkr вместо ел1кг, то мы получили бы сходящийся поток.

§ 78] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД DOPHA 327
И, следовательно, из G8.9) и G8.6) находим
а (б) dQ =~ = ! Л F) j2 dQ. G8.10)
Таким образом, для вычисления эффективного сечения а (б) доста-
достаточно знать амплитуду рассеянной волны А F). Чтобы найти рас-
рассеянную волну и> мы будем считать V (г) в G8. Г) возмущением
и применим для решения уравнения G8. Г) методы теории возму-
возмущений1). Подставляя G8.4) в G8.Г) и пренебрегая членом Vu
как членом второго порядка малости, мы получим
V*u + k2u=VyP>. G8.11)
Нам нужно теперь найти решение этого уравнения, имеющее
асимптотическую форму G8.7). Вместо разложения и по невоз-
невозмущенным функциям мы применим для решения G8.11) более
прямой метод. Именно, рассмотрим функцию
Ф(г, /) = Ф0 (г) *-*>', G8.12)
где г — радиус-вектор точки х, у, г, a t будем рассматривать как
время, соответственно этому о— как некоторую частоту. Будем
далее рассматривать Ф как скалярный потенциал, создаваемый
электрическими зарядами, распределенными в пространстве, с плот-
плотностью
р(г, О = Ро(г)е-^. G8.13)
Из электродинамики известно, что потенциал удовлетворяет урав-
уравнению Даламбера
Ў2Ф-^-^ = -4яр, G8.14)
где с —скорость распространения электромагнитных волн. Реше-
Решение уравнения G8.14) известно: именно, если брать волны, излу-
излучаемые зарядом p(r', t) do' (мы подразумеваем, что dv'=
= dx' dyf dz'), расположенным в точке г', то электрический потен-
потенциал в точке г в момент времени / равен
(г. 0= )
|г,_г| dv', G8.15)
где |г' — г| есть расстояние от точки г', в которой расположен
х) Мы будем, кроме того, предполагать, что V (г) убывает с расстоянием
быстрее, нежели 1/г (см. примечание в § 49). Матричный элемент V (г) будем
считать конечным, так что из-изложенного в § 76 следует, что спектр Е оста-
останется непрерывным.

328
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ.ХШ
заряд pdt/, до точки наблюдения г. Подставляя в G8.15) Ф из
G8.12) и р из G8.13) и сокращая на с~шу получаем
+ i-- Ir' — r|
фп (Г) = С Р»(г'>е dv'
wo v1/ л | „f -1 ас/ .
г' —
G8.16)
Если мы подставим в уравнение Даламбера Ф G8.12) и р G8.13)
и сократим на е~ш, то получим
V2<J>o + ^- Фо = — 4яр0. G8.17)
Сравнивая это уравнение с G8.11), мы видим, что G8.11) и
G8.17) совпадают, если положить
Отсюда на основании G8.16) можно сделать вывод, что
»(г) $ ()Vdv'
G8.18)
G8-19)
есть решение уравнения G8.11). При этом у нас уже автомати-
автоматически учтено, что и содержит лишь расходящиеся волны, так
как решение G8.15) есть решение для излучаемых, а не «всасы-
«всасываемых» зарядами волн.
Найдем теперь вид и (г) вдали
от атома А. Для этого обозначим
единичный вектор в направлении
падающего пучка (ось OZ) через
п0, а единичный вектор в направ-
направлении вектора г через п. Пре-
Преобразуем сначала |г' — г|. Из
треугольника, приведенного на
рис. 61, имеем
Рис. 61 Пояснение к выбору век-
векторов.
г' — радиус-вектор от центра атома к
электрону, г—радиус-вектор от центра
атома в точку наблюдения R (х, у, г),
8 —угол рассеяния, п0 — единичный век-
вектор по направлению первичного пучка,
п - то же по направлению рассеянного
пучка.
1А^ ' —
' —I1
для
r r I'r' \
Г — Г = /" — ПГ -+- С/ -— Go.2U)
\ r I
(г' \ г'
где О( —) означает члены порядка — и выше.
Подставляя |г'—т| из G8.20) в G8.19) и пренебрегая в зна-
знаменателе величиной пг' по сравнению с /*, мы получаем выраже-

§ 781 ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД БОРНА 329
нпе для и, справедливое для больших расстояний г от атома1):
^ \ Шт> V
Подставляя сюда if>°(r') из G8.5) и имея в виду, что г' = г'п0,
мы получаем
и (г) = — 4- е—г \ ^(no^n)r' у (Г') dv'm G8.21)
Сравнивая G8.21) с G8.7), мы видим, что амплитуда рассеянной
волны равна
Л = -™ § е*<п'-п)г'1Чг')Л>\ G8.22)
Введем вектор
K = *(no-n)t /С = Л | по — п | = 2Л sin -| - = xsinT- G8-23)
Тогда, имея в виду G8.3), получаем
А ^^ ~ 4д- W J ^KrV (О Л', G8.24)
т. е. амплитуда рассеянной волны пропорциональна компоненте
Фурье в разложении потенциала по плоским волнам eiKr. Под-
Подставляя это значение A (G) в G8.10), находим эффективное сечение:
Эта формула, как следует из ее вывода, приближенна. В теории
столкновений это приближение (первое приближение теории воз-
возмущений) обычно называют борновским. Мы не можем входить
подробно в рассмотрение вопроса о точности борновского при-
приближения и пригодности его в тех или иных случаях. Укажем
лишь на то, что интенсивность рассеянной волны | и (г) ,2 вблизи
рассеивающего центра должна быть мала в сравнении с интен-
интенсивностью волны падающей |^°(г)|2. Из формулы G8.19) легко
оценить отношение | и |2 к \ур° |2, взяв значение этих функций
в центре атома (г —0). Считая, что силы —центральные, так что
V(r') = V(r'), и полагая в G8.19) г = 0, dv' = r'2dr' sin 8' dS' dq>',
kr' = ?r'cos6', после элементарного интегрирования по углам б'
и ф' находим
] оо
G8.26)
При &->оо интеграл справа стремится к 0. Поэтому при доста-
достаточно большой энергии частицы (большое k) метод Борна будет
всегда пригоден.
х) То есть для г^>а, где а —радиус сферы действия.

330 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
§ 79. Упругое рассеяние атомами быстрых заряженных
микрочастиц
Полученная нами формула для дифференциального эффектив-
эффективного сечения а (б) применима для расчета упругого рассеяния
достаточно быстрых частиц. Далее, наш вывод неявно предпола-
предполагал, что атом и до удара, и после удара покоится. Если скорость
падающих частиц велика, а скорость атома до удара есть тепло-
тепловая скорость, то последней можно пренебречь. Пренебречь же
скоростью после удара можно лишь в том случае, если масса
сталкивающейся частицы \i много меньше массы атома М. Пред-
Предполагая, что все эти условия соблюдены, вычислим рассеяние
частиц с массой \i и зарядом ег. Обозначим через — ер (г") =
= —ф(///) плотность электрического заряда, создаваемого роем
электронов атома в точке г' (предполагаем сферическую симмет-
симметрию р, а через Z —атомный номер. Тогда электрический потен-
потенциал в точке г будет
а потенциальная энергия частицы в таком поле будет равна
gj. G9.2)
Подставляя это значение U (г) в G8.24), получаем
Входящие сюда интегралы рассмотрим порознь. Для этого заме-
заметим, что интеграл
$^=?Тл' G9'4)
может рассматриваться как потенциал, создаваемый в точке г"
электрическими зарядами, распределенными в пространстве
с плотностью р(г') = е'Кг'.
Потенциал ер (г') удовлетворяет уравнению Пуассона
V2(p (г') - — 4яр (г') - — 4пе^\ G9.5)
Из этого уравнения сразу находим ср(г'):
l1
Из сопоставления G9.4) с первым интегралом в G9.3) следует,
что

§ 791 РАССЕЯНИЕ АТОМАМИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ МИКРОЧАСТИЦ 331
Для второго, двойного интеграла получаем
= \ dv" р (О ^^ = ^ $ dv р (г) е«г. G9.8)
Для выполнения интегрирования в G9.8) возьмем сферическую
систему координат с полярной осью, параллельной Ккгогда
dv = г2 dr sin 8 d6 dtp, Kr = Kr cos 6.
Получаем
оо 2л я
do p (г) eiKr =[ p(r) г2 dr \ dy \ eiKrcosB sin б dB.
Вводя переменную cos6 = g, легко выполняем интегрирование по
| и ф и получаем
со
vp (г) е*кг = 4я J ^^- p (r) r* dr. G9.9)
О
Подставляя G9.9) в G9.8) и G9.7) в G9.3), мы находим оконча-
окончательное выражение для А (б):
Ш(^^) G9.10)
Имея в виду, что
где V — скорость частицы, и обозначая
(8) = 4«j!?^p (г) г» dr, G9.11)
находим окончательно
А (б) = - w ^ - F W cosec21 • G9Л2)
Величину FF) называют атомным фактором. Эта величина,
как мы видим, определяет рассеяние электронов по углам. Заме-
Заметим, что эта же величина определяет и рассеяние рентгеновских
лучей.
Из G9.12) находим дифференциальное эффективное сечение для
упругого рассеяния электронов с энергией Е в область угла 6:
* (в) = 4р1" <Z - F <6»2 C0Sec4 T • <793)

332 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
Чтобы эта формула стала более конкретной, сделаем простое
предположение о плотности ер заряда электронного роя. Именно,
предположим (это соответствует выводам квантовой механики),
что р экспоненциально спадает с увеличением расстояния от
центра атома
Р = РоеЧ <79Л4>
где а —«радиус» атома. В целом атом нейтрален, поэтому
lpdv*=Z\ G9.15)
отсюда находим ро = о—з- Следовательно,
Г^ <79Л6)
Вычислим теперь атомный фактор
О О
где | = /О. Последний интеграл легко вычисляется:
]
О
Отсюда
^)=7r+W = 7 '—ST G9Л7)
U^Aa; (l+4/e2a2sin2|j
и, следовательно,
Ш( !У b G9.18)
Для быстрых частиц ka^l, поэтому в G9.18) для не слишком
малых углов рассеяния можно пренебречь вторым членом выра-
выражения в скобках по сравнению с единицей. Тогда получается
- <79-19)
Эта формула совпадает с формулой для упругого рассеяния частиц
с зарядом е и массой |ы в кулоновском поле ядра с зарядом Ze.
Впервые она была получена Резерфордом еще на основе класси-
классической механики.
Совсем иной результат получается для малых углов рассеяния.
В то время как из G9.19) при 6 = 0 получает а@) = оо, из G9.18)
следует, что при 6 = 0 а @) = const.

§ 79] РАССЕЯНИЕ АТОМАМИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ МИКРОЧАСТИЦ 333
То обстоятельство, что для больших углов рассеяние получается
таким, как в кулоновском поле голого ядра, может быть наглядно
истолковано таким образом. Большие отклонения получаются за
счет частиц, пролетающих близко от ядра, благодаря чему на них
поле роя электронов не действует. Малые отклонения получаются,
напротив, при далеких пролетах частиц. В этом случае заряд ядра
почти полностью экранируется отрицательным зарядом электрон-
электронного, роя. Тогда поле очень сильно отличается от кулоновского.
А. Рассеяние а-частиц
Для а-частиц заряд е1 = -\-2е, масса [x = 4jah = 6,64- !0~24г,
где |Хн — масса атома водорода. Если атомный вес атома А гораздо
больше 4, то мы можем непосредственно применить наши формулы
к расчету рассеяния а-частиц атомами, а-частицы, излучаемые
радиоактивными элементами, имеют скорость vя^ 109 см/сек. Поэтому
из G8.2) получаем волновое число k^^l012—l013 см~г. Размеры
атома а я^ 10 8 см. Следовательно, ka я^ 10\ так что вплоть до очень
/л \
малых углов fsin 2 я^ 10~4— 10~5) можно пользоваться формулой
G9.19) вместо G9.18). Таким образом, для а-частиц имеем
2 G9.20)
для sin у^>т-). На рис. 62 изображено число рассеянных
а-частиц для разных углов 8
при рассеянии на золоте.
Как уже упоминалось,
формула G9.20) была впер-
впервые получена Резерфордом из
классической механики путем
рассмотрения гиперболиче-
гиперболических орбит а-частиц в куло-
кулоновском поле атомного ядра.
Эта формула послужила в
свое время ключом к откры-
открытию ядерной структуры атома
и носит название формулы
Резерфорда A911). Так
как вплоть до самых ма-
малых углов б экранирование
заряда ядра роем электронов не играет роли (F (б)я^О), то форму-
формула G9.20) есть квантовая формула для рассеяния а-частиц в чисто
кулоновском поле точечного заряда Ze. Таким образом, рассеяние
в кулоновском поле оказывается одинаковым по квантовой и по
классической механике.
Рис. 62. Рассеяние a-частиц при прохож-
прохождении золотой фольги в 0,001 мм тол-
толщиной.
Сплошная кривая изображает a @) в полярных
координатах. Числа на лучах дают наблюдае-
наблюдаемое число рассеянных частиц. О А — направ-
направление падающего пучка.

334
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
Б. Рассеяние электронов
Для электронов [хя^Ю7 г, так что борновское приближение
применимо лишь для электронов с энергией в несколько сот
электрон-вольт. Для 500 эв скорость электронов v = 1,3-109 см/сек,
/г=1,3.109 см~\ т. е. ka^l.
Ю
0,5
Поэтому пренебрегать атомным
фактором в G9.18) нельзя. Эффек-
Эффективное сечение а (б) в этом случае
равно
60°
90° 9
Рис. 63. Упругое рассеяние в ге-
гелии.
А — теоретическая кривая с учетом
экранирования, В — резерфордовское
рассеяние, С — рассеяние рентгенов-
рентгеновского излучения такой же длины. Кре-
Крестики — результаты измерения Дай-
Даймонда.
находим тогда атомный фактор
G9.21)
На рис. 63 изображены кри-
кривые рассеяния электронов в Не,
вычисленные теоретически, и ре-
результаты измерений Даймонда.
Весьма замечательным обстоя-
обстоятельством является возможность
определить из наблюдений над
рассеянием электронов распреде-
распределение электрического заряда в
атоме. В самом деле, наблюдая
рассеяние электронов для разных
скоростей v и углов б, мы по-
получаем а (б) — дифференциальное
эффективное сечение, а из G9.21)
/•'(б), который есть функция числа
/С = -^ sin у (см. G9.11)). Соответственно этому будем рассмат-
рассматривать F как функцию К. Из G9.11) имеем
KF(K)
4л
= \ sin (Кг) р (г) г dr.
G9.22)
Отсюда по теореме Фурье получаем
00
4лг2р (г) = ~ jj KF (К) sin (Kr) dK G9.23)
6
(причем мы воспользовались тем, что KF (К) есть нечетная функ-
функция К).
Определяя атомный фактор F (К) из опыта, мы находим из
G9.23) р(г). Величина р (г) есть средняя плотность электриче-
электрического заряда в атоме, создаваемого роем электронов. Таким об-

791 РАССЕЯНИЕ АТОМАМИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ МИКРОЧАСТИЦ 335
разом, эта величина может быть получена из опыта. С другой
стороны, эту же величину можно вычислить теоретически, так
как вероятность того или иного положения электрона в атоме
определяется через волновую
функцию |г|>|2. Как мы уже
отмечали, атомный фактор
F (К) может быть также оп-
определен из опытов по рас-
рассеянию рентгеновских лучей.
Это опять позволяет найти р.
Весьма интересно срав-
сравнить предсказание квантовой
механики с результатами опы-
опыта в отношении такой дели-
деликатной величины, как рас-
распределение среднего заряда
внутри атома. Опыт превос-
превосходно подтверждает теорию.
На рис. 64 в качестве иллю-
иллюстрации мы приводим вели-
величину 4ярг2 по измерениям
рассеяния рентгеновских лу-
лучей и электронов в Не и теоретическую кривую для этой же
величины, которая получается из волновой функции i|) для Не
(см. § 122). Замечательно совпадение максимумов и экспоненциаль-
экспоненциального спадания р при
О ОМ 0,8 г, А
Рис. 64. Плотность электрического за-
заряда в Не как функция расстояния г.
Зная плотность электронов внутри атома, мы можем с помощью G9.2)
определить энергию взаимодействия U (г) между атомом и рассеиваемым
электроном. Таким образом из опытов по упругому рассеянию частиц может
быть определен характер действующих на эти частицы сил.
Еще более непосредственно этот же вывод следует из формул G8.24).
Амплитуда рассеянных волн А (б) зависит от б только через вектор К G8.23),
поэтому ее можно рассматривать как функцию К, т. е. Л=Л(К). Обращая
тогда интеграл Фурье G8.24), найдем
и (r) s -
+ 00
\ \ \
+
щ* \ \ \ е~iKrA
(K) dKx dKy
G9*24)
Поэтому, зная из опыта Л (К), мы найдем U (г), т. е. энергию взаимодействия.
При этом нужно иметь в виду еще следующее. На опыте мы не опреде-
определяем непосредственно Л (К), а определяем эффективное сечение а (б) = | Л (К) Г2.
Поэтому, зная а (б), мы можем найти Л (К) только в том случае, если ампли-
амплитуда А (К) действительна. В противном случае фаза амплитуды А (К) остается
неизвестной. Как видно из G8.24), Л (К) будет действительна, если U (г) =
=-•-" U (— г), в частности, для центральных сил. Далее, обращение интеграла
G9.24) требует интегрирования по Кх, Ку, Кг °т —оо до -J-co. Стало быть,
для нахождения U (г) мы должны знать рассеяние для бесконечно больших
импульсов рассеиваемых частиц (так как 0 ^ К ^ 2р/Л = 4л/А). Ограничиваясь

336 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
импульсом р (энергией Е = р2/2ц), мы можем вычислить лишь часть интеграла
G9.24):
U (г) = - ^ -±- \\ \е- «г А (К) dKxdKyt dKz. G9.24')
2
Если отброшенная часть интеграла мала, то вместо истинной потенциальной
энергии U (г) мы получаем сглаженную U (г), т. е. из опыта по рассеянию
частиц с импульсом р, следовательно, с длиной волны Х = 2лН/ру нельзя сде-
сделать вывода об изменениях V (г) на масштабах порядка X, так как в инте-
интеграле G9.24') отсутствуют гармоники е~ lKr с /(>4лД = 2р//г. Это есть вы-
выражение хорошо известного факта, согласно которому нельзя получить изо*
бражение деталей объекта, размеры которых меньше длины волны, применяе-
применяемого для освещения света *).
§ 80. Точная теория рассеяния. Матрица рассеяния
Обратимся теперь к точному решению уравнения G8. Г)-
V^ + k2^=V(r)ty. (80.1)
Это уравнение отличается от уравнения D9.2), подробно рассмот-
рассмотренного в отделе общей теории движения в поле центральной силы,
только множителем —2|л/й2 и порядком расположения членов.
Поэтому собственное решение уравнения (80.1), принадлежащее
энергии E = b}k2l2\i, квадрату момента импульса М2 = Й2/(/+1)
и проекции момента Mz = flm, согласно D9.4), будет
, 0, ф)-/?/(г)Г/т(е, Ф), (80.2)
причем, если положить I^l = ul/ri то из (80.1) получим уравнение
для щ\
^ (^>-V(r)«ilt (80.3)
совпадающее по существу с уравнением D9.10). Общее решение
уравнения (80.1), принадлежащее энергии Е = Н21г2/2\х, может
быть написано в виде разложения по ортогональным функциям
)
4>(r, 6, <Р)=2 Ц ClmRb{r)Yltm{%, Ф). (80.4)
I ^ о т = — /
Представляя решение в форме (80.4), мы тем самым ищем его
в виде суперпозиции состояний, отличающихся значением момента
импульса (число /), и его проекции на ось OZ (число т).
1) Разумеется, что эти же замечания полностью относятся также к опре-
определению р (г) \ерез интеграл G9.23).

§ 80J ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 337
Для задачи рассеяния нам нужно, как было объяснено в § 78,
найти такое частное решение, которое асимптотически имело бы вид
фг^«, = ?>** +Л F)^, (80.5)
т. е. представляло бы наложение первичной, плоской волны и волны
рассеянной. Это решение обладает симметрией вращения около оси
OZ и поэтому не зависит от угла ср. Частное решение, не зависящее
от ф, получится из (80.4), если там откинуть все члены суммы
сш^О. Так как У/0(е» ф) только множителем отличается от поли-
полинома Лежандра /^(cosBI), то мы можем представить искомое
решение в виде
ф(г, 6) = 2 CtRttfPticosQ). (80.6)
1 = 0
Дальнейшая задача заключается в определении амплитуд С/. Рас-
Рассмотрим, каково будет асимптотическое выражение для функции
(80.6). Согласно D9.16') Я, (г) при г-^оо имеет вид Л sin^+°^.
Для удобства дальнейших вычислений целесообразно положить
а/ = — ^- + т]/ и выбрать такую нормировку для функции /?/(г),
что Л = l/k. Тогда
sin ffcr — y
kr
(80.7)
При таком выборе нормировки асимптотическое выражение для
функции г|э (г, б) получает вид
(cos 8)^ Wr е Wr J. (80.8)
Теперь следует выбрать С, так, чтобы (80.8) совпало с (80.5).
Для этого разложим плоскую волну eikz = eikrcosQ по полиномам
Лежандра. Это разложение имеет вид2)
(80.9)
где Ji+i/t(kr) есть функция Бесселя порядка / + V2. Физически
это разложение означает представление плоской волны в виде супер-
суперпозиции стоячих, сферических волн, т. е. разложение по состояниям
с различным моментом импульса относительно начала координат
!) См. B5.16).
2) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III,
ч. II, «Наука», 1969, стр. 558.

338 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
(точка г = 0). Каждый член суммы (80.9) есть сам по себе реше-
решение уравнения (80.1) при У (л) = 0, т. е. для свободного движе-
движения, принадлежащее заданному моменту импульса (число /). При
больших г имеем
+V ]j^(§) (80.10)
Полагая еще
оо
24 (80.11)
мы можем представить асимптотическое выражение для я|з (г, 6)
(80.5) в виде
* = U
Сравнивая (80.12) почленно с (80.8), находим
С1ец1 = {21+\)е 2, (80.13)
Cfi-lT+*i =Bl + \) + Ah\ (80.13')
откуда
Л/ = B/+1)(е2'Т|/-1). (80.14)
Стало быть, амплитуда рассеянной волны А (б) равна
оо
А ^=i
Искомое эффективное сечение, согласно G8.10), есть попросту
|Л F)|*
B/ + 1) (в2'4' - 1) Pi Xcos в)
(80.16)
Полное эффективное сечение для упругого рассеяния будет равног)
со
F)dQ = g^ B/+l)sinV (80.17)
Так как V Pj (cos б) dQ =
4^
4я
B/+1) '
J P/(cos9)Pr(cos6)fl(Q=0
4л

§ 80] ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 339
Отсюда мы видим, что как дифференциальное, так и полное сечение
вполне определяются фазами рассеянных волн т]/. Часть полного
сечения
a/ = ™BZ+l)sin2T|/ (80.18)
есть эффективное сечение для частиц, обладающих квадратом мо-
момента импульса M2 = fi2l A+1) относительно центра сил. Эффек-
Эффективное сечение gl часто называют «парциальным». На рассеяние
можно распространить систематику термов, принятую для дискрет-
дискретных состояний. Тогда говорят об «5»-рассеянии (/ = 0), «^-рассея-
«^-рассеянии (/=1) и т. д. «5»-рассеяние сферически симметрично, «р»-
рассеяние обладает симметрией диполя. Проводя параллель с клас-
классической механикой, можно сказать, что рассеяние Z-го порядка
соответствует частицам, проходящим на расстоянии р^ от центра
сил (р/ — параметр удара), причем
(80.19)
где р — импульс частицы, Я —длина волны1).
В квантовой механике состояние с определенным моментом
не соответствует какому-либо определенному параметру удара р.
Однако радиальные волновые функции Rt (r) имеют максимум
около r = Pi. На рис. 65 заштрихованы области, где^/(г) заметно
отлично от нуля.
Как следует из (80.16) и (80.17), для определения рассеяния
достаточно знать фазы рассеянных волн rj. Для нахождения их
требуется найти решение уравнения (80.3) с асимптотическим по-
поведением (80.7). Задача эта не является простой. В общем случае
необходимо численное интегрирование2).
Если число существенных фаз невелико, то разумно предста-
представить экспериментально определяемое сечение a F) через эти фазы.
Такой способ анализа опытных данных называется фазовым
анализом.
Как видно из формулы (80.18), максимальное парциальное сече-
сечение равно ^у BZ+1) = -^-B/+1). Если фаза г], мала, то а, =
= ^BZ+1)ti!- в том случае, когда все фазы 11/<у, целесооб-
целесообразно применять метод Борна и вычислять (или определять из
опыта) непосредственно А (б).
Рассмотрим теперь парциальные волны, принадлежащие орби-
орбитальному моменту /, на больших расстояниях от рассеивающего
*) По классической механике М = рр, р — М/р.
2) Только для кулоновского поля ряд (80.15) суммируется в конечном
виде и ведет к формуле Резерфорда.

340
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
центра. Из (80.8) видно, что такую парциальную волну можно
представить в виде суперпозиции первичной, сходящейся волны
и рассеянной, расходящейся волны
.л/
— ilkr-
л/
причем
(80.20)
(80.21)
Очевидно, что величина S, определяет отношение амплитуды
расходящейся волны к амплитуде сходящихся, первичных волн,
п) 6)
Рис. 65. Радиальные волновые функции.
а) ««"рассеяние, ро*==0, б) «р»-рассеянис. Заштрихованы области, где Я/(г) заметно от-
отлично от нуля.
имеющих заданный орбитальный момент / и заданную энергию
Е =-Д-. Иначе говоря, она преобразует волны, приходящие
из ~оо в волны, уходящие в +оо, и поэтому является част-
частным видом матрицы рассеяния для парциальных волн, общее
определение которой было дано в § 44. В рассматриваемом теперь
случае она имеет диагональный вид
5/Л«'=^/(?)в//"в««' (80.22)
и, в отличие от определения, данного в § 44, не содержит явно
моментов времени /, t0 по той причине, что в этом параграфе
мы пользуемся стационарным методом решения уравнения Шре-
дингера, считая волновую функцию пропорциональной множи-
-i-?(/-/e)
телю е л
В. Гайзенберг A942) высказал интересное предположение о том,
что в релятивистской квантовой механике волновая функция на

§80] ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 341
малых расстояниях между частицами может быть вообще ли-
лишена физического смысла. Физический смысл сохраняется лишь
за волновыми функциями на бесконечности. Так как оператор
S -=е1^ (ц — оператор фазы) как раз определяет поведение волно-
волновой функции на бесконечности, то Гайзенберг предположил, что
оператор фазы т| является более фундаментальной величиной,
нежели оператор Гамильтониана Н. Казалось бы, что без моди-
модификации самой теории относительности для малых пространст-
пространственно-временных масштабов вообще нет необходимости заменять
чем-либо теорию, основанную на гамильтоновом методе. Тем не
менее идея Гайзенберга об особом значении матрицы рассеяния
оказалась исключительно полезной в теории элементарных частиц,
так как именно аппарат матрицы рассеяния позволяет обойти
некоторые принципиальные трудности в этой теории.
Рассмотрим теперь простейшие аналитические свойства матрицы
рассеяния, в которых отражаются важные физические особен-
особенности квантовых систем.
Матрица рассеяния как функция волнового вектора k может
быть аналитически продолжена в комплексную плоскость k при
действительных значениях углового момента / или в комплексную
плоскость / при действительном k.
А. Полюсы матрицы рассеяния в комплексной
плоскости k
Рассмотрим сначала первую возможность, полагая
Для чисто мнимых значений k (следовательно, для отрица-
отрицательных значений энергии Е = -^—) волновая функция ^ (г, 8)
при г-*оо, согласно (80.8), приобретает вид
IV (г, 6) = с'р*(cos6) (г^-'х + Ч/ -g" + 'T--fr/). (80.23)
Допустим, что рассматриваемая система имеет связанные состоя-
состояния при отрицательных значениях энергии Е = ЕЪ Е2, ..., ЕП9 ...
Такие состояния, как мы знаем, описываются экспоненциально
убывающими волновыми функциями е~хг. Поэтому для связанного
состояния второй член в (80.23) должен равняться нулю. Отсюда
следует, что для связанных состояний е~1^1 = 0 или
Sl(k)=e2t^{h) = co. (80.24)

342
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
Иными словами, матрица рассеяния как функция комплексной
переменной k = ko + ix должна иметь полюсы на мнимой оси
в верхней полуплоскости при kn-=ixni хЛ>0.
Эти полюсы соответствуют возможным связанным состояниям —
дискретным уровням энергии. Они изображены на рис. 66. Наряду
с полюсами, соответствующими связанным состояниям, матри-
матрица рассеяния может иметь полю-
Im/r сы и ПРИ положительной энергии. Та-
Такие состояния называются резонансны-
(k) ми. Резонансные состояния нестабильны
и распадаются с течением времени. По-
Поэтому зависимость от времени волно-
волновой функции резонансного состояния
i|v, .если это состояние возникло в мо-
@ ReA мент времени / = 0, имеет вид
(80.25)
Рис. 66. Полюсы матрицы так что энергия этих состояний име-
рассеяния 5 в комплексной ет малую, отрицательную, мнимую до-
добавку:
Е=Ег-&. (80.26)
плоскости переменной k.
Полюсы, соответствующие свя-
связанным состояниям, отмечены
крестиками, соответствующие ре-
зонансам, — отмечены кружками.
Соответственно этому, в комплексной
плоскости k возникают полюсы матрицы рассеяния в точках
k = kr-iKr, хг>0. (80.27)
2/z2
При малой скорости распада Тг и хг малы, поэтому Гг^— krxr.
Условия, при которых возникают резонансные состояния,
будут рассмотрены в § 81. Частным случаем резонансных состоя-
состояний являются «квазистационарные» состояния (см. § 99).
Б. Полюсы и траектории Редже
Обратимся теперь к рассмотрению комплексной плоскости
углового момента /. Будем исходить из разложения амплитуды
рассеяния по парциальным волнам (80.15). Заменим в этой фор-
формуле сумму по дискретным значениям / контурным интегралом
(преобразование Зоммерфельда —Ватсоиа). Для этого необходимо
найти такие аналитические функции S (/, k) комплексной пере-
переменной /, которые бы совпадали в целочисленных точках/ —0, 1,
2, ... cSi(k). He останавливаясь на математических деталях этой
проблемы1), будем считать, что такое аналитическое продолже-
!) Эти вопросы рассмотрены, например, в книге В. де Альфаро,
Т. Редже, Потенциальное рассеяние, «Мир», 1966.

§30]
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
343
ние для парциальных амплитуд Sz(&), а также для полиномов
Лежандра Я/(cos б) найдено. Тогда амплитуду рассеяния (80.15)
можно представить в следующем виде:
A{k, в) =
4k
sm ;
(80.28)
Контур интегрирования С показан на рис. 67. Функция (sin я/)-
имеет полюсы при целочисленных / с вычетами, равными
)
Поэтому вычисление контурного интеграла, в соответствии с теоре-
теоремой Коши о вычетах, приводит к исходной сумме (80.15), если
(e2ir]i— l) не имеет полюсов на
действительной оси1).
Допустим теперь, что мат-
матрица рассеяния S (k, l)=e2iy]i{k)
как функция комплексной пе-
переменной / имеет полюс при не-
некотором значении / = ос (&) =
= ах (k) + ia2 (&),- в общем слу-
случае зависящем от k.
Впервые такие полюсы были
рассмотрены Т. Редже A959).
Поэтому их называют полю-
полюсами Редже. Функции а(&),
описывающие движение полюса
в комплексной плоскости / в
зависимости от действительной
С
1
1
1
¦
1
1
1 S
! 1 1 (v
-2 -/ {V
!
т
1
1
1
М
/7 ? $
С"
\
\
w \
\
\
о _ f ReZ!
< С /
/
/
С
С"'
Рис. 67. Комплексная плоскость пе-
переменной /.
Полюсы функции (sin л/)~ 1 отмечены кре-
крестиками. С— исходный контур интегрирова-
интегрирования, деформированный контур состоит из
прямой С' и удаленного полукруга С". По-
Полюсы / = а (&) отмечены кружками.
переменной k% называются траек-
траекториями Редже.
Деформируем контур интег-
интегрирования С в контур, состоя-
состоящий из прямой С и бесконечно
большего полукруга С". Предполагая, что подынтегральное выра-
выражение в (80.28) исчезает на полукруге С и что в правой полупло-
полуплоскости S (k, I) имеет лишь один полюс в точке l = a(k) с выче-
вычетом, равным Р (&), мы получим из (80.28J)
, yfe) — l]/3^—cose)d/-f
2g(fe)+l
sin na (k)
(80.29)
2) Доказательство этого предположения для широкого класса потенциалов,
так же как и доказательство исчезновения интеграла (80.28) на бесконечном
полукруге, было дано Редже A959).
2) Предположение об одном полюсе необязательно. Оно сделано лишь ради
упрощения формул.

344 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
В этом выражении второй член имеет резонансный характер
около точки a(ko) = n, где п — целое число. Поэтому в окрест-
окрестности этой точки можно отбросить интеграл по линии С. Далее,
s\nna(k) в окрестности этой же точки можно заменить его раз-
разложением в ряд
sin [na(k)] = (—l)»a[*[(ko)(k-ko) + ... + i*2(ko) +...], (80.30)
где ах = Re а, ап = 1та, a,[(ko) = ( а\и ) и мнимая часть а.,
переменной а считается малой величиной. Замечая далее, что
k — ko = -j^r-(E — Eo), мы можем представить амплитуду А (&, 6)
около точки Е = Е0 в виде
4i <М*о) E_?o+t}_.
Oti2b
где Г = а2 (ko)/a\ (k0). Если а2 = 0, то амплитуда Л (.fe, б)
имеет полюс при Е = Е0> отвечающий связанному состоянию. При
а2 (k0) Ф 0 амплитуда A (k, б) описывает резонансное состояние
с Ег — Е0 и шириной Г. Описание рассеяния с помощью полю-
полюсов Редже в нерелятивистской квантовой механике совершенно
эквивалентно описанию, вытекающему из решения уравнения
Шредиигера. Полюсы Редже, описывающие связанные или резо-
резонансные состояния, описывают те же связанные состояния и те
же резонансные состояния, которые можно найти, решая уравне-
уравнение Шредингера. В качестве простого примера полюсов Редже
можно привести полюсы матрицы рассеяния S (k, l) в кулоновском
поле притяжения, описанной в § 82. Парциальные амплитуды
рассеяния в этом случае имеют вид (см. формулу (82.12))
S(*. 0=т(({+! + ;|}> (80.32)
где 1= Llhfk ** , Г —гамма-функция.
Гамма-функция имеет полюсы в тех точках, где ее аргумент
равен целому отрицательному числу или нулю. Поэтому пар-
парциальная амплитуда (80.32) имеет полюсы в комплексной пло-
плоскости / при
/ = a (k) = — 1 + il - пГ9 (80.33)
где /ir = 0, 1, 2, ...
Следовательно, для каждого значения числа пг имеется своя
траектория Редже. Полюсы, соответствующие реальным физиче-
физическим состояниям, суть полюсы с целыми положительными зна-
значениями / = 0, 1, 2 ... Из (88.33) имеем для этих значений /
{Яг+\+1у (80-34>

§ 811 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 345
Так как энергия Е определена формулой E = ~k2y то мы полу-
получаем терм Бальмера
где n = nr + l + \f а Ео — энергия основного состояния атома
водорода. Таким образом, зная матрицу рассеяния, по ее полю-
полюсам можно определить энергию связанных состояний1).
Траектории Редже принято изображать так, что по оси орди-
ординат откладывается Re/, а по оси абсцисс— полная масса (или ее
квадрат) частицы. В частно-
частности, для атома водорода, в
соответствии с (80.35), будем
иметь
- -|=Л1о-
п-с-
(80.36)
где Мо — суммарная масса не-
невзаимодействующих ядра и
электрона. На рис. 68 при-
приведены эти траектории.
Теория полюсов и траек-
траекторий Редже оказалась очень
плодотворной в физике эле-
элементарных частиц2).
§ 81. Общий случай рассеяния.
Дисперсионные соотношения
С помощью понятия мат-
матрицы рассеяния мы можем
обобщать полученные в пре- = м° ~ ^ в едипи1*ах -^г > по оси °рдинат
дыдущем разделе результаты
и на случай неупругого рас-
рассеяния частиц. При 'этом
неупругое рассеяние мы бу-
будем сейчас рассматривать феноменологически как поглощение
пучка первичных частиц в рассеивающем центре; именно, каждое
неупругое взаимодействие частицы с мишенью выводит частицу
из числа упруго рассеянных. Стало быть, в этом случае ампли-
амплитуда волны, упруго рассеянной центром, меньше амплитуды
волны, падающей на центр. То есть |S/|<1, и, следовательно,
Рис. 68. Траектории Редже для атома
водорода.
По оси абсцисс отложена масса атома М =
орбитальное квантовое число Re /. Каждая
траектория соответствует определенному зна-
значению радиального квантового числа пг =
= 0, 1, 2, 3, ...
1) Приведенный результат был получен автором книги A946).
2) См., например, П. Коллинз, Ю. Сквайре, Полюсы Редже в физике
частиц, «Мир», 1971.

346 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
фазы r\i в этом случае являются комплексными:
*]/ = «/ + #/, (81.1)
где Р/ (Е) описывает «поглощение» частиц центром.
Нетрудно видеть, что теперь парциальное сечение упругого
рассеяния напишется по-прежнему в форме
*?=-|rB/ + l)|l--S/!2 (81.2)
и совпадает с (80.18) при Р/ = 0. Вычислим теперь парциальное
сечение неупругих процессов aj/z#
Для этого заметим, что полное число частиц, поглощаемых
центром (или претерпевающих там реакцию) в единицу времени,
равно, очевидно, полному потоку, втекающему в этот центр. Этот
поток равен
где интеграл взят по поверхности, окружающей центр (ds = )
и под i|)z подразумевается парциальная волна (80.20). Подставляя
эту волну в (81.3), получим после интегрирования
/=-^B/+l)(l-|S,|2). (81.4)
Парциальное неупругое сечение aj" будет равно -т-, где /0 есть
поток в падающей плоской волне вида eikg, равный—. Следова-
Следовательно,
{\Ы*). (81.5)
Соответствующие полные сечения получаются суммированием по I:
^S/|«t (81.6)
|S/|2) (81.7)
и, наконец, полное сечение всех процессов (упругих и неупру-
неупругих) равно
§l-ReS/). (81.8)
Здесь Re 5/ означает реальную часть S/.
Таким образом, неупругое рассеяние может быть описано
с помощью введения комплексных фаз.
Формально это можно рассматривать как введение комплекс?
ного потенциала И (r)=^U1{r)-\-iU2(r)i так что показатель пре-

§ 81] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 347
ломления среды n(r)=y I — -g- становится также комплексным.
В этой связи полезно привести обобщение уравнения непре-
непрерывности на случай комплексного потенциала. Выписывая неста-
нестационарное уравнение Шредингера для U (г) = Ux (г) + Ш2 (г) и
повторяя выкладки § 29, легко получить уравнение непрерыв-
непрерывности в следующем виде:
dw , 1. . 2U2
+dw)w
Плотность частиц w и плотность потока вероятности j по-преж-
по-прежнему определяются формулами B9.4) и B9.5), а член в правой
части возникает за счет того, что imU (г) ^0. Если ?/2<0, то
происходит поглощение частиц с характерным временем х = тг.
Если же ?/2>0, то имеет место рождение частиц.
Рассмотрение сложных систем, например, атомного ядра,
с помощью комплексного потенциала называется оптической
моделью.
Докажем важную теорему, устанавливающую связь между
мнимой частью амплитуды рассеяния вперед F = 0) и полным
сечением. Из (80.15) и (80.21) следует, что
2B/+l)(l-Re5/), (81.9)
1 = 0
где 1т А означает, как обычно, мнимую часть. Сравнивая это
с (81.8), получим
1тЛ@)=-~о/. (81.10)
Это и есть так называемая оптическая теорема. Она позволяет
определить мнимую часть амплитуды рассеяния для G — 0 из пол-
полного сечения.
Важные соотношения между мнимой и действительной частью
амплитуды A (k, 6) могут быть получены из аналитических свойств
этой амплитуды, частично уже рассмотренных выше. Эти соотно-
соотношения называются дисперсионными. Они основываются на
принципе причинности.
Принцип причинности предполагает, что состояние квантовой
системы в момент времени t зависит только от ее состояния
в предшествующие моменты времени V < t. В квантовой механике
этот принцип содержится в уравнении Шредингера, согласно кото-
которому приращение волновой функции за время dt определяется
значением функции в момент времени t (ср. § 28) *). Прямым
1) О причинности в квантовой механике см. подробнее § 140 и дополне-
дополнение XII.

348 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
следствием принципа причинности является возможность анали-
аналитического продолжения амплитуды рассеяния в комплексную
плоскость энергии Е. В дополнении XII на простом примере
показана связь причинности с аналитическими свойствами рас-
рассеянной волны по комплексной переменной со=^-х-.
Наряду с комплексными значениями энергии Е можно рас-
рассматривать комплексную плоскость волнового вектора k = •
Наиболее простыми аналитическими свойствами в k плоскости
обладает амплитуда рассеяния вперед А (?, 0) = А (k). Эта ампли-
амплитуда может быть аналитически продолжена на все комплексные
значения переменной k, за исключением отдельных точек на мни-
мнимой оси, в которых она имеет полюсы1). Как было показано
в § 80, эти полюса соответствуют или связанным состояниям,
если Im&>0, или резонансным состояниям при Im&<0.
Предположим для простоты, что в рассматриваемой системе
нет связанных состояний и что амплитуда рассеяния А (к) исче-
исчезает на бесконечно удаленном полукруге в верхней полуплоскости
Im/e>02).
Для аналитической функции А (г) можно написать формулу
Коши
где С —замкнутый контур, содержащий точку z. Пусть точка г
расположена в верхней полуплоскости. Тогда в качестве контура
возьмем всю действительную ось — оо < z < + оо и полукруг
бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости. Устремим
теперь точку z на действительную положительную ось. Так как,
по предположению, А (г) исчезает при |z|->oo, то в результате
получим
+ 00
A (z) = ~& $ AV-l' • <81Л2>
— со
Интеграл в формуле (81.12) вычисляется в смысле главного зна-
значения. Для реальной части А (г) из (81.12) получаем следующее
выражение:
LT1»'-^*'- (81ЛЗ)
х) См., например, А. И. Баз ь, Я. Б. Зельдович, А. М. Пере-
Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой меха-
пике, «Наука», 1971, гл. 3.
2) Эти предположения необязательны. Они приводят к наиболее простым
дисперсионным соотношениям.

§ 8П О1ЫЦПЙ СЛУЧАЙ РАСССЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 349
Мнимая часть амплитуды рассеяния является нечетной функцией
переменной k' = z' (см. литературу в сноске на стр. 348). Это позво-
позволяет преобразовать формулу (81.13) так, чтобы интегрирование
велось только по положительным значениям k'\
оо
Re Л (*) = 4*$ *''"'?-» **'• <81Л4>
Воспользуемся теперь оптической теоремой (81.10) и заменим
Im A (k) величиной - — atot (k). В результате получим
Формула (81.15) и есть дисперсионное соотношение в его про-
простейшей форме, выражающее действительную часть амплитуды
рассеяния через полное сечение а{0[.
Дисперсионные соотношения имеют широкое применение в совре-
современной теории рассеяния частиц, особенно в релятивистской
области 1).
А. Дифракционное рассеяние
Допустим, что взаимодействие между рассеивающим центром
и частицей сосредоточено в области радиуса R, так что R есть
радиус сферы взаимодействия.
Предположим, что длина волны падающей частицы *<</?.
Тогда в рассеянии будет участвовать много парциальных волн
п
с орбитальными числами от 1 = 0 до / = -,-^>1. В этом случае
сумму по парциальным волнам в (80.15) можно заменить на инте-
интеграл по dl. Далее, для небольших углов рассеяния б полином
Лежандра PL (cos 6) можно аппроксимировать функцией Бесселя
Jo(lQJ)- Таким образом, вместо (80.15) будем иметь
(81.16)
J) Впервые дисперсионные соотношения были получены К р о и и г о м
A926) в оптике. В теории рассеяния частиц они стали применяться со времени
работы М. Л. Голдбергера A955). Строгое доказательство дисперсионных
соотношений было дано Н. Н. Боголюбовым A956).
2) Доказательство этого равенства см. Э. Т. Уиттскер и Дж. Н. Ват-
сон, Курс современного анализа, т. II, Физматгиз, 1963, стр. 206.

350 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. XII.
Рассмотрим случай, когда рассеяние частиц вызвано их поглоще-
поглощением. Тогда фазы рассеянных еолн ^ чисто мнимые, так что
r\l = i^l (см. (81.1)). Чисто мнимой является и амплитуда А (б):
Такое рассеяние называют дифракционным. Особенно простой
случай реализуется, когда поглощение внутри сферы взаимодей-
взаимодействия полное, т. е. рассеяние происходит на черном, абсолютно
поглощающем шарике радиуса R. В этом случае pz —оо для
/</?А и Р/= 0 для Z >/?Д. Интегрирование в (81.16) теперь выпол-
выполняется в конечном виде
Rk
А (б) = ±- $ А (9/) * d/ = -у- А №В)9 (81.17)
о
где Jr (г) — функция Бесселя первого порядка. Стало быть, сече-
сечение рассеяния равно
Ив)=**'?(«?»). (81.18)
В функции от угла 8 оно лмеет вид кривой с резким максимумом
при 0 = 0 и слабыми минимумами и максимумами вдали от 0.
В более общем случае дифракционного рассеяния, зная из опыта
сечение а (б), можно получить информацию о распределении коэф-
коэффициента поглощения у (г) в окрестности поглощающего центра.
Действительно, поскольку амплитуда А (б) теперь чисто мнимая
величина, то А (G) = ijAr (9) и она может быть найдена из изме-
измерений рассеяния. Формула (81.16), на основании известного свой-
свойства ортогональности функций Бесселя нулевого порядка
оо
$ Уо (ах) Jo (bx) xdx = 6(a- 6), (81.19)
о
допускает обращение. Умножим равенство (81.16) на J0(W)9 где
/' — некоторое фиксированное значение числа /, и проинтегрируем
результат по б dG от 0 до со (это допустимо, поскольку в возни-
возникающем интеграле существенны лишь малые углы 6). Восполь-
Воспользуемся далее формулой (81.19), положив в ней я = 6, а = 1, b = l\
Тогда получим (опуская в результате штрих у числа /):
^ оо оо
1_<Г2Р/ = у $ А F)/0 (Ol)OdO = k\ Vo (б) Jo (б/) 0 db. (81.20)
о о
На рис. 69 показан путь частицы внутри сферы взаимодействия.
Если коэффициент поглощения частиц в функции расстояния г

§ 8!1 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 351
от центра есть у(г)> то
+ 00
2р,= \ y(r)dx, (81.21)
— со
где интеграл взят по прямолинейному пути при заданном /, т. е.
при заданном параметре удара р^А1). Интеграл (81.21) легко
преобразуется к виду
оо
rdr p = ft. (81.22)
/r*-p*
Зная из опыта рь можно численными методами найти коэф-
коэффициент поглощения частиц у (г).
Дифракционное рассеяние наблюдается в случаях, когда име-
имеется сильное неупругое взаимодействие, а длина волны рассеи-
рассеивающихся частиц мала в сравнении с радиусом взаимодействия.
Дифракционное рассеяние наблюдается, например, при рас-
рассеянии нейтронов на ядрах атомов при условии k<^R. где R —
радиус ядра (/? = г0.ЛЧ го =
— 1,2 • 10~13 см> А — атомный вес
ядра). При параметре удара
р < /? нейтрон «запутывается»
в ядре, которое является, та-
таким образом, для него черным
телом.
Дифракционная картина
имеет место также при рассея- Рис 69. пионные лучи внутри нуклона.
НИИ ПИОНОВ На НуКЛОНаХ (ср. При ВЬ1ЧИС_ измеНения фазы луча А'В'
рИС. 13). ПрИ ДОСТаТОЧНО бОЛЬ- интегрирование идет вдоль АВ при задан-
ШОЙ ЭИерГИИ ПИОНОВ Преобла- ном параметре удара р.
дает неупругое рассеяние, при
котором пионы теряют свою энергию, порождая новые пионы.
Картина упругого рассеяния в этом случае близка к картине диф-
дифракции на черном шарике. К лучшему согласию с опытными
данными приводит чисто мнимый гауссовский потенциал
(81.23)
Здесь Е — энергия пиона, а— некоторый численный коэффициент,
« — радиус нуклона (а~ 1,2- 10 13 смJ),
х) Прямолинейный путь можно использовать, поскольку дифракционное
рассеяние сосредоточено в области малых углов.
2) Д. Блохинцев A961). Опыты, произведенные в последние годы на уско-
ускорителе в Серпухове» показывают медленный (логарифмический) рост радиуса а
с ростом энергии пиона. Теория упругого рассеяния получила существенное
развитие в работе А. А. Логунова и А. Н. Тавхелидзе, которые ввели понятие
«квазипотенциала», пригодного в релятивистской области A963).

352 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
Б. Эйкональное приближение
До сих пор мы ограничивались рассеянием, которое вызвано
поглощением рассеиваемых частиц. Более общий случай рассеяния
можно описать с помощью комплексного потенциала
где иъ U2 — действительные функции переменной г. В соот-
соответствии с формулой C6.20) это означает, что мы рассматриваем
частицу, вызывающую рассеяние, как оптическую среду с ком-
комплексным показателем преломления п (г) = п1 (r)-\-in2 (/*), где пх
есть его действительная часть, а п2 — мнимая. Коэффициент пог-
поглощения среды, как нетрудно вывести, равняется у (г) = k0n2 (r).
При достаточно короткой длине волны X мы можем рассчи-
рассчитать фазу 1]/, пользуясь эйкональным приближением, т. е. фор-
формулой C6.22), если интегрирование вдоль луча (х1у х2) производить
при заданном параметре удара р = /Х.
Воспользовавшись опять сферической симметрией задачи, не-
нетрудно преобразовать C6.22) к виду
Мг)-1]-р==1-. (81-24)
Таким образом, эйкональное приближение (§ 36) может быть при-
применено для вычисления фаз парциальных волн в оптической модели
частицы.
В. Резонансное рассеяние
При взаимодействии сложных систем с частицами могут наблю-
наблюдаться резонансные явления, т. е. при определенной энергии час-
частицы ?я^?г наблюдается иногда огромный рост сечения.
Подобное положение является, например, весьма типичным
для взаимодействия нейтронов с ядрами (ср. рис. 4).
Рассмотрим в качестве важного примера резонанс в s-состоянии.
В этом случае волновая функция может быть написана в виде
p—ikr pikr
где So — элемент матрицы рассеяния для / = О/Ясно, что в слу-
случае резонанса So сильно меняется в зависимости от k (от энергии
частицы). Оказывается, что можно выразить So через величины,
мало меняющиеся вблизи резонанса. Для этого выразим So через
логарифмическую производную от волновой функции
на поверхности системы (например, ядра), т. е. при r — R. Пред-
Предполагается, что для r>R взаимодействие уже практически отсут-

§ 811 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАССЕЯНИЯ. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 353
ствует. Поэтому производная может быть вычислена с помощью
асимптотической функции tyo(r), с другой стороны, она опреде-
определяется внутренними свойствами системы. Поэтому
(81.26)
r%(r)
где слева написана логарифмическая производная от функции
r%(r), x = kR, a f(E) — значение этой производной как функции
энергии, выраженное через внутренние параметры системы (напри-
(например, атомного ядра). Отсюда
С n-2ix (x~Jl)~~^h_ /gj 27)
где положено /(?)=/„ (?) — t7i(?). Если при некотором значении
Е — Ег, /о (Ег) = 0, то наступает резонанс. Действительно, в этой
области значений мы можем положить
(81.28)
Вводя обозначения
Vе —
2kR
(Er)
(81.29)
найдем, что 50 равно
(81.30)
Подставляя в формулы для упругого сечения oel = ае01 = -~-1 1 — So |2
и неупругого oin == о^п =:-^-{I — | So |2}, получаем
(81.31)
(81.32)
В этих формулах Г = Vе + Р есть полная полуширина резо-

354 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
н а н с а (при | Е — Ег | = Г/2 сечение падает в два раза). Величину Ге
называют частичной полушириной упругого рассея-
рассеяния, Г"" — частичной полушириной реакции (неупругого
рассеяния). Амплитуда упругого рассеяния складываегся из двух
членов: резонансного рассеяния (член, обратно пропор-
циональный IE — Er-\--2~)) и потенциального рассеяния
(член, пропорциональный sinkR). Эта часть рассеяния не зависит
от внутренних параметров ядра, а только от его размеров R и
от энергии частицы.
Формулы (81.31) и (81.32) были выведены впервые Брейтом
и Вигнером и описывают рассеяние вблизи резонанса. Они анало-
аналогичны известным из оптики формулам для рассеяния вблизи резо-
резонансной спектральной линии.
На рис. 4 были приведены резонансы в сечении для взаимо-
взаимодействия нейтронов с ядром кислорода. Каждый из показанных
там максимумов, если вблизи нет соседних, может быть удовлет-
удовлетворительно описан формулами Брейта — Вигнера.
Заметим, что резонанс является типично квантовым явлением.
Как видно из формул, при Е = ЕГ полное сечение
может принимать огромные значения ^К2(Ге ~Г), во много раз
превосходящие размеры сферы действия ядерных сил (~л#2).
Например, резонанс в поглощении Хе1^5 тепловых нейтронов
имеет сечение, площадь которого в 100 000 раз превосходит площадь
геометрического сечения ядра Xe|.f. Этот резонанс имеет большое
практическое значение в эксплуатации ядерных реакторов.
§ 82. Рассеяние заряженной частицы в кулоновском поле
В § 50 было изучено движение заряженной частицы в куло-
кулоновском поле. Однако тогда мы интересовались связанными состоя-
состояниями (?<<0) и не рассматривали случая (?>0), который осу-
осуществляется при рассеянии частиц.
Следуя методике § 50, мы могли бы также найти радиальные
функции Ri (р) fp = —, / — орбитальное число] и для случая
?>0.
Однако в случае рассеяния нам пришлось бы искать сложную
линейную комбинацию этих функций, чтобы получить асимптоти-
асимптотическое решение типа (80.5). Поэтому в задаче рассеялия более
целесообразно избрать более прямой и более адекватный задаче
метод.

§ 821 РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 355
Для этого мы будем исходить из уравнения D9.2) с неразде-
неразделенными переменными и положим там U(r)———, где eZi и
eZ2 — заряды частиц, а г —расстояние между ними.
Обозначим теперь &2 =-L, р == ^2Х 2, перепишем уравне-
уравнение D9.2) в виде
felU (82.1)
г
Будем искать решение \|э в виде
г|) = eikzF (г — г). (82.2)
Тогда легко убедиться, что для функции F получится уравнение
где ? = r — z. Представляя F (?) в виде ряда
г-...), (82.4)
мы убедимся, обычным путем, что у2 = 0 и, следовательно, F (Q
регулярна в нуле.
Далее, можно с помощью рекуррентных формул вычислить
коэффициенты ряда (82.4). Оказывается, что F (?) = iFx (— й-, 1, ikQ
(g = р/2/?) есть функция, связанная с так называемой конфлюэнт-
ной гипергеометрической функцией Уиттекера1).
Асимптотическое разложение этой функции известно2) и имеет
вид
V
Г A — «?) ^
Здесь Г (г) есть гамма-функция. Выбирая теперь ^(г, б) в виде
где
t e2ZxZ2
(82.7)
x) См. Э. Т. Уиттекер и Дж. Н. В а тс о н, Курс современного анализа
Физматгиз, 1963, т. II, гл. 16.
2) Н. Мотт, Г. Me с с и, Теория атомных столкновений, «Мир», 1969,
стр. 59,

356 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ.Х1П
и v = p/\i — скорость частицы, получим из (82.6) с помощью (82.5)
для г, ?->-оо:
где
(82
(82
(82.
(82.
.8)
.9)
9')
9")
где e2t'n° = тгтт-^1г • Сравнение этих формул с обычными форму-
формулами теории рассеяния показывает, что и падающая волна eikz и
eikr
рассеянная волна искажены логарифмическими множителями
eil\nk{r-z) и e-ii\nkrm Это особенность кулоновского поля, которое
медленно убывает с расстоянием, и поэтому при сколь угодно
больших расстояниях искажает волны. Поэтому решений в виде
плоских или обыкновенных сферических волн в кулоновском поле
вообще не существует. Эффективное дифференциальное сечение
а (8) на угол 8 равно | А (б) |2:
^g} (82.10)
совпадает с ранее вычисленным методом Борна (ср. G9.19)).
Однако амплитуды Л (8) G9.12) и (82.9") отличаются фазой.
Отличие будет невелико, если g =—-~^-^\. Это есть условие
применимости метода Борна в рассматриваемой задаче.
Таким образом, мы доказали, что классическая формула Резер-
форда для рассеяния частиц в кулоновском поле строго следует
из квантовой механики, без каких-либо поправок.
Однако следует отметить, что для рассеяния тождественных
частиц, например, а-частиц на ядрах гелия или протонов на
ядре водорода и т. п., наступают существенные отклонения от
классической формулы Резерфорда, связанные с особыми кван-
товомеханическими требованиями к симметрии волновой, функции
для тождественных частиц. Теория рассеяния тождественных ча-
частиц изложена в § 134. В заключение этого раздела приведем
выражение для матрицы рассеяния S (й, /) в случае кулоновского
рассеяния. Для этого нужно представить А (8) (82.9") в виде

§ 821 РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 357
ряда по полиномам Лежандра (80.15). Пользуясь ортогональ-
ортогональностью этих полиномов, будем иметь
е2*"*{k) - 1 = ik ] А (В) Л (cos 6) sin 6 <Ш. (82.11)
о
Весьма громоздкое вычисление, которое мы опускаем, приводит
к результату
S (*, /) se*V*> = П?1±|, (82.12)
где Г —гамма-функция.
Чтобы перейти к случаю притяжения U(r) = — * 2 , во
всех полученных выше формулах следует заменить | на —g.

Глава XIV
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
§ 83. Постановка вопроса
Одной из важнейших задач квантовой механики является
вычисление вероятности перехода из одного квантового состояния
в другое. Эта задача может быть обрисована следующим образом.
Пусть в момент времени t = 0 мы имеем чистый ансамбль систем,
характеризуемый тем, что какая-либо механическая величина L
имеет определенное значение L=^Ln. Такой ансамбль будет опи-
описываться волновой функцией tyn (x), являющейся собственной функ-
функцией оператора L и принадлежащей собственному значению L =
= Ln1). Про системы такого ансамбля говорят, что они находятся
в квантовом состоянии п.
С течением времени, благодаря действию внешних полей или
в силу внутренних причин, состояние систем может измениться.
В результате к моменту времени t наш ансамбль будет опи-
описываться уже некоторой новой волновой функцией, которую мы
обозначим через'фя^, /). Этот новый ансамбль, возникший из преж-
прежнего, вообще говоря, будет ансамблем с неопределенным значе-
значением величины L2).
Если теперь подвергнуть системы, принадлежащие этому
ансамблю сортировке по величине L, т. е. выполнить спектраль-
спектральное разложение по признаку L, то получится новый ансамбль
(смешанный, ср. § 17). При этом часть систем будет иметь L = Lm
и образовывать чистый ансамбль, описываемый волновой функ-
функцией tym(x) [Ltym (x) = Lmtym (х)\ другая часть систем будет иметь
L = Lm> и будет образовывать чистый ансамбль tym>(x) и т. д.
х) В общем случае состояние может характеризоваться не одной, а не-
несколькими механическими величинами L, M, N, ... Соответственно этому число
индексов у волновой функции будет больше я|)л, п s...
2) Исключение представляет случай, когда* L есть интеграл движения.
-'?
Тогда tyn (x, t) — ypn(x)e ив состоянии я|)Л (лг, /) опять имеется единствен-
единственное значение L = Ln.

§ 831 ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 359
О системах, которые оказались принадлежащими ансамблю с L = Lm
(тфп), говорят, что они совершили квантовый переход из кван-
квантового состояния п в квантовое состояние т.
Сказанное может быть иллюстрировано схемой:
V"! I \ ( \ Т Т
Ш I *" tym" \XJ, х-/ *-'/п"
L = Ln L неопределенно V —
На этой схеме сплошной стрелкой показано изменение ансамбля,
происходящее само по себе, без вмешательства измерения, т. е.
без осуществления спектрального разложения по признаку L.
Это изменение ансамбля может быть найдено из уравнения Шре-
дингера. На схеме показано, что это новое состояние ансамбля
представляет собой суперпозицию состояний с различными значе-
значениями L (сумма по т). Пунктирными стрелками показаны изме-
изменения ансамбля, возникающие при реализации спектрального раз-
разложения ансамбля в момент t. Как мы знаем (ср. § 17) такое
разложение происходит, в частности, при измерении. Иными сло-
словами, пунктирной стрелкой изображена «редукция пакета»
(ср. § 17), при которой суперпозиция ^п(х, t) превращается в одно
из частных состояний i|?m (х). Только после этой редукции и можно
говорить о квантовом переходе из состояния L = Ln в состояние,
скажем, L = Lm.
Таким образом понятие о квантовом переходе обязательно
предполагает помимо фиксирования начального состояния (п)
также фиксирование и окончательного состояния (т). Мы подчер-
подчеркиваем последнее обстоятельство по той причине, что это фикси-
фиксирование меняет состояние систем ансамбля. Такое фиксирование
будет происходить при всех взаимодействиях, селективных по
отношению к признаку L, т. е. производящих спектральное раз-
разложение ансамбля tyn(xy t) по ^>т(х)} в частности, при измерениях
величины L.
Обращаемся теперь к разъяснению понятия вероятности пе-
перехода из состояния п в состояние т. Согласно общей тео-
теории (§ 22) величина Ртп (t) = | стп (t) |2 есть вероятность найти
L = Lm в состоянии ^(х, t) (см. схемуI). Так как при ? = 0
ртп @) равно нулю, если тфп (для т = п, Ртп @) = 1), то
вероятность Ртп (t) (m Ф п) называют вероятностью пере-
перехода из состояния tyn(x) с L = Ln в состояние ^т(х)
с L = Lm за время /. Действительно, при тФп Pmn{t) дает ве-
вероятность найти в момент / значение L = Lm, которого при t = 0
в нашем ансамбле не существовало, ибо Ртп @) = 0. Наиболее
х) Дополнительный значок п у стп указывает на начальное состояние.
В § 22 такого указания не давалось.

360 ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. XIV
важными задачами из теории квантовых переходов являются
задачи на вычисление вероятности перехода из состояния с одной
энергией Еп в состояние с другой энергией Ет или, как говорят,
вероятности перехода с одного квантового уровня на другой.
В связи с этим заметим, что если частица (или в общем случае
система) находится под действием зависящего от времени внеш-
внешнего поля, то понятие потенциальной энергии, а вместе с тем и
полной энергии лишено смысла (это не относится к кинетической
энергии). Поэтому в общем случае вопрос о переходе частицы
с одного квантового уровня на другой получает смысл ^ лишь
тогда, когда причина, вызывающая переход, действует в течение
конечного промежутка времени, скажем, от / = 0 до t = T. Вне
этого промежутка полная энергия является интегралом движения
и может быть определена путем надлежащих измерений (см. §§111
и 112). Решение уравнения Шредингера, определяющего ty(x, /)
по г|?(лг, 0), представляет большие трудности. Результаты, имею-
имеющие общее значение, могут быть получены лишь в тех случаях,
когда переходы с одного уровня на другой вызываются слабыми
воздействиями, так что эти воздействия можно рассматривать
как возмущение.
При этом условии уравнение Шредингера может быть написано
в виде
1П& = Й*(х)Ъ + Ф(х, <)¦• (83.1)
где Н°(х) естк оператор полной энергии системы в отсутствие
возмущения, a W (х> t) — возмущение. При малом возмущении
оператор Я0 (х) можно рассматривать как оператор полной энер-
энергии, и поэтому в этом специальном случае включение и выклю-
выключение W (xy t) имеют второстепенное значение.
Для нахождения вероятности перехода Pmn(t) с уровня Еп
на уровень Ет обратимся к представлению взаимодействия (см. § 45).
В этом представлении решение уравнения (83.1) ищется, согласно
D5.6), в виде
В дальнейшем удобно перейти от «^-представления к энерге-
энергетическому «/^-представлению. Для этого разложим искомую функ-
функцию Ф (х, t) в ряд по собственным функциям г|)л (х) оператора Йо:
k
Подставим это разложение и формулу (83.2) в уравнение
(83.1). Умножая результат слева на г|),*„ (х) и интегрируя пох,
получим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия,

§ 831 ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 361
записанное в энергетической переменной
ih dcrnp. = ^ Wmk (t) ешть(ск (t). (83.3)
k
--Hot -±Et
Здесь принято во внимание, что е п °tyk(x) = e n *%(*). Ве-
Величина
Vmu = Wmh (t) ешть* = ешт*' $ i|? (х) W (х, t) $k (х) dx (83.4)
есть матричный элемент энергии возмущения W (x, t) в представ-
представлении взаимодействия, a comfe = т ~ k — боровская частота пере-
перехода Em->Ek. В начальный момент предполагается, что система
находится в состоянии Е = Еп. Следовательно, при / = 0
ck @) = 1, если k = л, и ck @) = 0, если k Ф гг. (83.5)
Вероятность найти систему в состоянии Е = Ет в момент вре-
времени J) t равна | cm (t) |2. Поэтому вероятность перехода из Еп в ?т
к моменту / равна
Pmn(t) = \cm(t)\2. (83.6)
Таким образом, дело сводится к определению величин ck{t) из
уравнений (83.3) с начальными данными (83.5).
Мы будем рассматривать W (x, t) как малое возмущение. Для
решения уравнения (83.3) заметим, что если совсем игнориро-
игнорировать W, то величины ck(t) будут постоянными. Поэтому в качестве
нулевого приближения для с% (t) можно взять их начальное зна-
значение (83.5)
<4@ = 6лЛ. (83.7)
^Подставляя эти значения в правую часть (83.3), мы найдем урав-
уравнение для первого приближения c(m(t):
О?*"®- = ^ Wmk (t) e^'cl = Wmn (t) e"W. (83.8)
k
Отсюда
c'A' @ = ^ J Wmn (t) e*W dx + bmn. (83.9)
0
Подставляя это первое приближение для d? (t) в правую часть (83.3),
мы найдем уравнение для второго приближения:
Ш<Щг- = 2 Wmk W^^r (t). (83.10)
k
!) См. § 22.

362 ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. XIV
Так как с#} (t) суть опять известные функции времени (83.9), то,
интегрируя (83.10) по времени, мы найдем с(т (t), т. е. второе
приближение. Эту процедуру можно продолжать и дальше, и она
ведет к точному решению для cm(t). Однако, вообще говоря, при-
придется брать много приближений или ограничиваться малыми
отрезками времени /. Если же W (x, f) мало, то достаточно огра-
ограничиться первым или вторым приближением.
В дальнейшем мы рассмотрим различные специальные случаи
возмущений и систем.
§ 84. Вероятности переходов под влиянием возмущения,
зависящего от времени
Определим теперь вероятность перехода системы из кванто-
квантового уровня Еп в Ет под действием возмущения W (x, t), зави-
зависящего от времени. Допустим, что возмущение равно нулю для
/<0 и для t>T. Считая, что W^n(t) столь малы, что первое
приближение пригодно и для t = T, мы получаем из (83.9) ампли-
амплитуду c'm(t) для t^T в виде
Т +оо
О —оо
(Заметим, что dm для t>T от времени не зависят, так как энер-
энергия есть интеграл движения.)
Полученное выражение для dm (t) имеет простое значение.
В самом деле, возмущение W (лг, t) может быть разложено в инте-
интеграл Фурье
+ ОО
W(x9 t)= ^ W(xfto)e-md(o. (84.2)
Отсюда по теореме Фурье получаем
+ ОО
W(x9(o) = ~ 5 W(x9t)e™dt. (84.3)
— оо
Матричный элемент возмущения (83.4) на основании (84.2) может
быть написан в виде
Wmn (t) = J Гт (X) W (X, f) Цп (X) dX =
f l J (a>)d(o, (84.4)

§ 84] ПЕРЕХОДЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 363
где Wmn (со) есть матричный элемент компоненты Фурье частоты со.
Применяя к (84.4) теорему Фурье, находим
+ ОО
§ Wmn(t)emdt. (84.5)
Сравнивая это с интегралом в (84.1), мы видим, что
„, _ 2л; до, , ч .~. ^\
Lm — //, w тп \ujmnj' lot.О)
in '
При этом наше приближение законно, если dm мало (это —
необходимое условие, так как dm @) = 0). Согласно (83.6) и (84.6)
вероятность перехода из состояния Еп в состояние Ет будет равна
ртп = *Hl. | Wmn ((дтп) I2. (84.7)
Эта формула содержит важный результат. Как мы видим, Ртп Ф О
только тогда, когда Wmn ((отп) Ф 0, т. е. переход из уровня Еп
в уровень Ет возможен лишь в том случае, когда в спектре воз-
? ?
мущения содержится частота сот„ = —*——-. Иными словами, пере-
переход носит резонансный характер. Положение выглядит так, как
если бы квантовая система являлась совокупностью осцилляторов
с собственными частотами, равными частотам Бора ытп. При
действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только
те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присут-
присутствующими во внешнем воздействии. Ниже мы приведем важные
приложения формулы (84.7) к оптическим вопросам.
Формула (84.7) выведена для переходов в дискретном спектре.
Для переходов в непрерывном спектре она должна быть несколько
видоизменена. Рассмотрим необходимые видоизменения для пере-
переходов из дискретного спектра в непрерывный, считая, что система
имеет и тот и другой спектр (таков, например, спектр атомов).
Состояния непрерывного спектра характеризуются непрерыв-
непрерывными параметрами. Мы обозначим их через а, р, у. (В качестве
таковых могут быть, например, три компоненты импульса частицы
Рху Руу Д?.) Пока будем явно писать лишь один из этих парамет-
параметров и обозначим его через а. Энергия будет функцией этих пара-
параметров Е — Е (а). Соответствующей волновой функцией будет tya(x).
Тогда в (83.2) наряду с суммой по состояниям дискретного спектра
появится еще интеграл по состояниям непрерывного спектра
(интеграл по а)
Ek E (а)
»(*. t)-Zck(t)bMe~'i'K't + \ca(t)%(x)i'i'^tda. (84.8)
k

364
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
[ГЛ. XIV
Считая, что функции -фа (л:) нормированы к б (а—а') и повторяя
выкладки, ведущие от (83.1) к (83.8), мы найдем, что
(84.9)
если система первоначально находилась в состоянии Еп> причем
Wan (t) = I Га (х) W (x, t) 1|>я (х) dx. (84.10)
Дальнейшие расчеты зависят от предположений о характере за-
зависимости W (х, t) от времени. Мы предположим, что оно моно-
хроматично (при переходах в дискретном спектре обязательно
нужно учитывать немонохроматичность реальных возмущений,
в случае же переходов в непрерывный спектр это не обязательно
и реальное возмущение можно считать монохроматическим). Итак,
будем считать, что
W (х9 t) = W (х) еш + W* (х) е~ш. (84.11)
Тогда
Wan (/) = Wane^ + WZn(rm, (84.12)
g л [*«*>-*„-*«]' _j
где Wan и Wan суть матричные элементы компонент Фурье от
W (x, t). Подставляя (84.12) в (84.9) и интегрируя по времени,
мы находим
1 еп
тг[? (а)-?
¦[?(о)-?л-М
Так как со > 0, Е (а) > 0, Еп < 0, то первый член мал; второй
член велик'для Е (а) = Еп + На. Поэтому мы ограничиваемся вто-
вторым членом и получаем для вероятности перехода из Еп в интер-
интервал а, а-J-da к моменту времени t:
— l
da.
(84.13)
Вероятность же перехода из Еп в а, а + da в 1 сек равна
sin
[E(a)-En-H«>]t
¦da. (84.14)
Е (а) — Еп — %
Последний множитель в (84.14) для больших / отличается от
6-функции только множителем п. Поэтому вероятность Panda

§841 ПЕРЕХОДЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 365
можно написать в виде
Рп (a) da = 2? | Wan |2 6 [Е (а) - Еп - ft©] da. (84.15)
Если состояние непрерывного спектра характеризуется не-
несколькими параметрами а, р, у, то подобным же образом полу-
получим для вероятности перехода из состояния Еп в область а,
da\ p, P + dP; у» У + dy в 1 шс:
, р, y)d
2? p, Y)-^-ftco]dadPdV. (84.16)
Нетрудно также получить вероятность переходов в непрерыв-
непрерывном спектре. Именно, беря начальное состояние i|>aopOYo tT- е-
capY @) = б (а — а0) б (Р — Ро) б (у — 7о)]» аналогичным путем получим
для вероятности перехода в 1 сек из а0, р0, 7о в интервал а,
da; p, p + dp; 7, ^
оК Р,
= Т 1
б [Е (а, Р, 7) - Е (а0, ро, То) - ft©] da dp dY.
(84.17)
Эти формулы показывают опять-таки резонансный характер пере-
перехода, так как найденные вероятности отличны от нуля лишь для
переходов, для которых
fta> = ?(a, P, Y)-?« = &oaPYill (84.18)
или
Иы = Е(ау р, у)-Е(а0, р0, у0) = /zcoaf5Y, aoPoVo, (84.18')
т. е. частота внешнего воздействия равна частоте Бора для воз-
возможного перехода.
В точке резонанса вычисленные вероятности обращаются в бе-
бесконечность. Однако по соседству с этой точкой они равны нулюх).
Поэтому вероятность перехода в сколь угодно малый интервал
энергий, содержащий точку резонанса, получается конечной.
Чтобы в этом убедиться, достаточно взять вместо параметров а,
Р, 7» нумерующих состояния непрерывного спектра, какие-либо
новые параметры, в число которых входит энергия. Пусть это
будут параметры ?, а, Ь. Они суть функции a, P, 7. Имеем
dad$dy = p(E, a, b)dEdadb. (84.19)
р(?, а, Ь) называют плотностью состояний на интервал
энергии, на интервал а, на интервал Ъ.
х) Это не совсем точно, так как, согласно (84.14), мы имеем дело лишь
с приближением к б-функции, а не с самой б-функцией. См. § 112.

366 ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. XIV
Подставляя это значение dadfidy в выражение для вероятно-
вероятностей (84.16) или (84.17) и интегрируя по Е, мы получим нуль,
если интервал интегрирования не содержит точки резонанса, и
конечное число, если содержит эту точку. Именно, из (84.16) и
(84.17) получаем
Рп (Е, a, b)dadb=~\ WEaby n\*p(E, a, b) da db, (84.20)
PaoPoVe (E, a, b) da db = 2*- | WEabt a0^012 P (E9 ay b) da db, (84.21)
причем здесь подразумевается то значение Е, которое следует из
условий резонанса (84.18), или (84.18') соответственно.
В частном случае, когда за параметры а, Р, у взяты три ком-
компоненты импульса частицы рх, руу pz, целесообразно рассматри-
рассматривать импульс конечного состояния в сферической системе коорди-
координат р, 6, ф. Тогда имеем
dpx dpu dpz = р2 dp dQ, dQ = sin ddQ dy. (84.22)
Энергия частицы есть Е = ~, так что р2dp = p2~dE = [ipdE.
Внося это в (84.22) и сравнивая с (84.19), находим
р(?, б, q>) = P(?)sin6, р(?)=^р = »B|х)8/.?«/.. (84.23)
Подставляя это в (84.20) и (84.21), находим
Рп (?, б, Ф) dQ = ^ | WE^n |2 р (Е) dQ9 (84.24)
^ao3ovo (Е, б, Ф) dQ = ^ | ^?еФ,аоРо7о I2 P (^) dQ. (84.25)
Эти формулы дают вероятность перехода в 1 сек из состояния п
или а0, ро> То в состояние с энергией ?, причем импульс частицы
попадает в телесный угол dQ.
§ 85. Переходы под влиянием возмущения, не зависящего
от времени
Если возмущение не зависит от времени, то мы можем искать
стационарные решения ty(x)e n уравнения Шредингера и, сле-
следовательно, свести задачу к решению уравнения
методы приближенного решения которого были уже рассмотрены.
Однако можно ставить вопрос и в духе теории квантовых пере-

§ 85] ПЕРЕХОДЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, НЕ ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 367
ходов. Обе постановки вопроса эквивалентно ведут к одним и
тем же результатам1).
Чтобы получить вероятность перехода под влиянием возму-
возмущения, не зависящего от времени, достаточно в формулах (84.16)
и (84.17) положить со = 0. Тогда условия (84.18) и (84.18') будут
иметь вид
?(а, Р, у) = Еп или ?(а, р, у)=Е(а0, р0, Yo), (85.1)
т. е. переходы возможны лишь без изменения энергии. Это сле-
следует из общей теории, так как энергия в рассматриваемом случае
есть интеграл движения. Следовательно, переходы под влиянием
возмущения, не зависящего от времени, могут быть лишь такого
рода, что происходит перераспределение энергии между частями
системы или изменяются какие-либо другие механические вели-
величины (например, направление импульса частицы).
В непрерывном спектре формула для вероятности перехода
в 1 сек из состояния ?(а0, р0, Yo) в состояние ?0, а9 a-\-da, b>
b-\-db на основании сказанного получается прямо из (84.21)
Роом. (?о, a, b)dadb = 2-%\ WEoab,аороУо I2 P (Е09 а, 6) da db, (85.2)
и если взять за а, р, у импульсы, то
Р (? ¦6 ф) dQ |W
Эти формулы совпадают по виду с (84.21) и (84.25) и отличаются
от них лишь резонансным условием (85.1), выражающим закон
сохранения энергии.
Заметим, что в случае не зависящего от времени возмущения
не имеет большого смысла рассматривать переходы только между
дискретными состояниями, так как условие равенства энергий
начального и конечного состояний в этом случае может соблю-
соблюдаться лишь в исключительных случаях.
2) Ср. § 112, где рассмотрено столкновение методом переходов, с § 78, где
та же задача решена методом стационарных состояний.

Глава XV
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
АТОМНЫМИ СИСТЕМАМИ
§ 86. Вводные замечания
Вопросы, связанные с проблемами взаимодействия света и
микрочастиц в их полном объеме выходят за рамки квантовой
механики. Они не могут быть рассмотрены без привлечения допол-
дополнительных принципов, касающихся законов возникновения и
исчезновения электромагнитного поля. Однако мы можем про-
продвинуться довольно далеко, опираясь на полуфеноменологическую
теорию излучения Эйнштейна, существенно базирующуюся на
законах сохранения энергии и импульса при взаимодействии
между квантовыми системами и полем электромагнитного излуче-
излучения. В самом деле, поведение квантовой системы в заданном
электромагнитном поле вполне входит в круг механических задач.
Поэтому мы можем, пользуясь теорией квантовых переходов,
вычислить вероятность того, что под влиянием падающего света
атом перейдет в возбужденное состояние или, напротив, из воз-
возбужденного в более низкое. В первом случае энергия атома
увеличится на величину Ет — Еп, если Еп — энергия исходного
состояния, а Ет — энергия возбужденного, во втором — на
эту же величину уменьшится. Рассмотрим сначала первый
процесс.
Если мы будем считать, что добавочная энергия атома Ет — Еп
заимствована от электромагнитного поля, то тем самым вероят-
вероятность перехода атома из состояния Еп в Ет мы отождествляем
с вероятностью поглощения порции энергии света, равной Ет — Епу
т. е. как раз с той величиной, которая встречается в теории
Эйнштейна (вероятность поглощения кванта света). Чтобы это
отождествление было возможно (не противоречило квантовой
механике), необходимо, чтобы переход атома из Еп в Ет был
возможен лишь в том случае, когда разность энергий Ет — Еп
равна энергии кванта действующего света Йсо, т. е. когда соблю-

§ 861 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 369
делю условие частот Бора:
Ы = Ет-Еп. (86.1)
Из теории квантовых переходов мы знаем, что это как раз имеет
место, так как переход Еп-+Ет возможен лишь тогда, когда
в спектре внешнего воздействия присутствует частота со= т~ -?==
= (.отп. В нашем случае это означает, что в спектре падающего
света должна содержаться эта частота, иными словами, должны
иметься кванты света с энергией
г = Н(х) = Ет-Еп. (86.2)
Более того, мы знаем, что переход Еп-+Ет целиком осущест-
осуществляется той частью возмущения, которая гармонически зависит
от времени с частотой (йтп. Таким образом, если мы представим
себе, что падающий свет разложен на совокупность монохрома-
монохроматических волн, то переход Еп->Ет полностью реализуется за
счет той волны, которая имеет частоту ттп и соответствующие
кванты г = Л(дтп.
Переход атома под влиянием света из возбужденного состоя-
состояния Ет в низшее Епу если опять применять закон сохранения
энергии, нужно будет рассматривать как излучение кванта света
г = Ет — Еп. Вероятность этого перехода мы также можем вычис-
вычислить. Она будет совпадать с вероятностью вынужденного излу-
излучения в теории Эйнштейна (вероятность излучения под влиянием
излучения).
Мы не можем, однако, в рамках механики рассматривать
третий процесс —сп о нт а н но е излучение атома, происхо-
происходящее и в отсутствие внешнего действия —в отсутствие, следова-
следовательно, падающего света. Если атом находится в возбужденном
состоянии в отсутствие внешнего воздействия, то квантовая меха-
механика утверждает, что он будет сколь угодно долго находиться
в этом состоянии. Состояния с определенной энергией, как мы
знаем (§ 30), стационарны, а энергия есть интеграл движения.
Между тем опыт показывает, что атом сам собой будет переходить
в нормальное состояние, излучая свет.
Это противоречие не должно вызывать удивления. Мыс самого
начала рассматриваем чисто механическую проблему: движение
электрона в заданном внешнем поле (например, в электростати-
электростатическом поле ядра), и не учитываем того, что движущийся элек-
электрон создает электромагнитное поле, которое действует и на него
самого. Короче говоря, мы игнорируем обратное действие поля
электрона на самый электрон.
С такого же рода положением мы встречаемся и в класси-
классической механике. Если мы рассматриваем движение заряженной
частицы, например, под влиянием квазиупругой силы, то мы

370 ИЗЛУЧСНПЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
получим ответ, что частица, имевшая вначале энергию ?, будет
сохранять это значение энергии и в дальнейшем. Если же мы
учтем, что заряженная движущаяся частица создает электромаг-
электромагнитное поле, которое действует на нее, то мы обнаружим, что
частица па самом деле будет терять свою энергию —излучать
свет. Классическая теория дает, как известно, следующую фор-
мулу для энергии -,-- излучаемой в I сек частицей, гармонически
колеблющейся с частотой о>о и обладающей электрическим момен-
моментом1) Окл:
§ = SW, (86.3)
где (DK1J означает среднее по времени от (DK1J. Обратное дей-
действие этого излучения тормозит частицу, так что она постепенно
останавливается.
Эта задача об излучении с учетом обратного действия выходит
по существу за рамки квантовой механики; она относится к кван-
квантовой электродинамике. В этой книге мы не предполагаем касать-
касаться проблем квантовой электродинамики, далеких еще от полно-
полного решения2). Мы обойдем этот пункт, постулируя в соответ-
соответствии с теорией Эйнштейна, что такое спонтанное излучение суще-
существует.
Имея возможность на основе квантовой механики вычислить
вероятность поглощения света, мы, опираясь на устанавливаемое
в теории Эйнштейна универсальное соотношение E.11) между
вероятностью поглощения и вероятностью спонтанного излучения,
сможем вычислить и эту последнюю величину.
§ 87. Поглощение и излучение света
Для решения задачи о поглощении или излучении света,
согласно изложенному в предыдущем параграфе, нам следует
подсчитать вероятность перехода атома с одного квантового уровня
на другой под действием падающего света. Для этого следует
прежде всего определить взаимодействие оптического электрона
в атоме со световой волной.
Предположим, что мы имеем дело с поляризованным светом,
электрический вектор которого есть Ш (х, t). Помимо электри-
электрического поля имеется еще и магнитное Эъ (х, t)\ однако действием
последнего на электрон в сравнении с действием электрического
2) См., например, И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, «Наука»,
1976.
2) Квантовая теория излучения дает возможность обосновать теорию Эйн-
Эйнштейна. См. по этому поводу книги: П. А. М. Дирак, Принципы квантовой
механики, Физматгиз, 1960, и В. Гайтлер, Квантовая теория излучения,
ИЛ, 1956.

§ 87] ПОГЛОЩЕНИЕ II ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА 371
поля можно пренебречь1). Действие электрического поля сущест-
существенно различно, смотря по тому, меняется заметным образом
поле Ш(х, t) на протяжении атома или нет. Легко дать критерий,
по которому можно различить эти два случая. Пусть падающий
свет монохроматичен (или почти монохроматичен), и имеем длину
волны, равную Я. Тогда
#(*, /) = S0cos(g>o*-x) (87.1)
(здесь а>0 = 2ясА). Нас, разумеется, интересует поле не во всем
пространстве, а только внутри атома. Пусть размеры атома
равны2) а. Возьмем начало координат в центре атома. Тогда
в пределах атома фаза волны 2пх/к меняется на величину
порядка ±2ла/Х, и если размеры атома гораздо меньше длины
волны падающего света, то изменением фазы внутри атома можно
пренебречь, так что в каждый момент времени поле внутри атома
может быть описано выражением
S(x, 0-«оcos КО (87.Г)
и, следовательно, одинаково во всех точках пространства внутри
атома. Условие малости размеров атома в сравнении с длиной
волны соблюдается в широких пределах (при Х^>10~8 см) (а^
я« 10~8 см). Ультрафиолетовый и видимый свет имеют длины волн,
в тысячи раз больше 10~8 см, так что условие Х^>а для такого
света вполне соблюдено. Иначе обстоит дело в области рентге-
рентгеновских лучей, так как в этой области длина волны далеко не
всегда превосходит размеры атома3). Задача о действии таких
лучей в этом случае сложнее. Мы начнем с рассмотрения первого
случая, когда длина волны гораздо больше размеров атома. При
этом мы освободимся от частного предположения о монохроматич-
монохроматичности света, считая все же, что встречающиеся в спектре длины
волн велики в сравнении с размерами атома. Внутри атома будет
тогда действовать электрическое поле света, одинаковое на всем
протяжении атома, но зависящее от времени, обозначим его через
e = e(t). (87.2)
х) Сила, действующая на электрон со стороны магнитного поля, есть сила
Лоренца F =—[v^J, где v — скорость электрона, с — скорость света. Сила
действия электрического поля есть е%. В световой волне S и 3*6 одинаковы,
поэтому действие магнитного поля в v/c раз меньше. Скорости электрона в
атоме в 100 раз меньше с, поэтому магнитное действие в 100 раз слабее.
2) а есть радиус области, где волновые функции заметно отличаются от 0.
3) Часто интересуются действием рентгеновских лучей на внутренние элек-
электроны (/(-оболочка). Размеры /(-оболочки для элементов с большим атомным
номером гораздо меньше оболочки, образуемой внешними электронами. Это
позволяет расширить область длин волн, для которых можно пренебречь изме-
изменением фазы поля.

372 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
При сделанных нами предположениях легко, не прибегая к общему
гамильтониану для электрона во внешнем электромагнитном поле,
определить вид взаимодействия электрона с электрическим полем
света (87.2). Поле (87.2) выводится из скалярного потенциала
ф(г, /) = — Шт = —(?jc# + ^/*/ + ^zZ), так что силовая функция
для электрона, находящегося в точке г, в этом поле будет равна
W(r, t) = -eq = + e($r) = — ?D, (87.3)
где D =— ет есть электрический момент электрона, если г есть
радиус-вектор, проведенный от ядра к электрону1). Вводя еще
единичный вектор 1, параллельный направлению поля ?(/) = 1 •?(/),
мы можем написать (87.3) в виде
W(r, /) = -?(/). (ID). (87.4)
Если через Я0 обозначить оператор полной энергии электрона,
то уравнение Шредингера для волновой функции г|з(г, t) будет
ihd?=H^+W(r, /)!>. (87.5)
Величину W (г, /) будем рассматривать как возмущение, что
оказывается возможным при всех практически достижимых интен-
сивностях света2).
Мы поставим теперь задачу вычислить вероятность перехода
атома под влиянием светового поля с квантового уровня Еп (ф = !))„)
на квантовый уровень Em(ty — tym). Для того чтобы можно было
полностью применить к этой задаче теорию квантовых переходов,
развитую в § 84, мы сделаем предположение, что поток света
начал действовать в момент времени / — 0 и был прекращен
в момент времени t = T. Если Т гораздо больше периода коле-
колебаний световых волн, то такое включение и выключение не
повлияет на спектральный состав падающего,света.
Согласно (84.7) вероятность перехода Ртп из состояния Еп
в состояние Ет к моменту времени /, равному или большему 7\
выражается в виде
Pmn = ^\Wmn{Pmn)\\ (87.6)
где Wmn (сотп) есть коэффициент Фурье для частоты (отп от мат-
матричного элемента энергии возмущения W (г, /). Согласно (87.4)
*) Направление электрического момента считают от отрицательного заряда
к положительному, а вектор г направлен обратно: от положительного ядра
к отрицательному электрону.
2) Так, поле солнечного света равно ^0,1 ед. СГСЭ в то время как атом-
атомное поле % равно -^ ^ 107 ед. СГСЭ.

D*m = — е $ ty?nXtyn dv,
Dymn = — e\ "ФтУФл dv,
§ 871 ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА 373
имеем
= - % (/) ¦ \Гт (»>) *. dv = - % (t) (\Dmn), (87.7)
где Dmn есть матричный элемент вектора электрического момента,
имеющий компоненты
(87.8)
Из (87.7) следует, что компонента Фурье от Wmn(t) равна ком-
компоненте Фурье от ?(/), умноженной на —(Ютп) (так как Dmn
не зависит от времени). Таким образом, мы получаем, что
Wmn (сотл) = - Ш (птп). (ID™), (87.9)
где через Ш ((дтп) обозначена компонента Фурье от % (t), принад-
принадлежащая частоте сот/г, т. е. величина
-foo Т
1С — * 1С *
—со О
Следовательно, вероятность перехода из Еп в Ет, согласно (87.6),
равна
р = — \%(м)\2.\Ю I2 C87 11)
Квадрат компоненты Фурье электрического поля | Ш (сотп) |2 мы
можем выразить через количество протекшей за время Т энергии.
В самом деле, плотность электромагнитной энергии равна .
(знаменатель 4я, а не 8я, так как имеется еще равная электри-
электрической магнитная энергия). Поток энергии равен 4^ (гДе
с —скорость света). Отсюда вся протекшая через 1 см2 энергия
равна
-fco -foo -foo -foo
с С г (* (* (*
4зт j 4л j j j
I —оо —оо —со —со
Интегрируя сначала по / и замечая, что
+СО

374 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
найдем, что
+ОО
E = fa2nll$(a>) %* (со') б (со -со') dco do/ =
о
(так как Ш (со) = ё* (—со) ввиду действительности % (/)). Если
через Е (со) обозначить протекшую энергию на интервал частоты
dco, то
оо
Е = $ Е (со) dco;
о
сравнение с предыдущей формулой дает:
?(со) = с|?(со)|2. (87.13)
Таким образом,
р =i5?|iD I2 E ^тп^ (87 14)
Количество протекшей энергии Е (со) равно, очевидно, плотности
лучистой энергии р(со) на единичный интервал частоты со, умно-
умноженной на скорость света и время протекания энергии Т, т. е.
Е (со) = р (со) сТ. (87.15)
На основании (87.14) и (87.15) мы можем определить веро-
вероятность ртп перехода из состояния Еп в Ет в единицу времени.
Для этого нужно разделить Ртп на время, в течение которого
действует свет, т. е. на Т:
Нтп — у •
С помощью (87.15) находим, что вероятность перехода в единицу
времени будет равна
Ртп = % I Ютл |2 р (сот„). (87.16)
Обозначив еще угол между вектором электрического момента Dmn
и направлением поляризации светового поля 1 через Qmni мы
получим окончательную формулу для ртп в таком виде:
Ртп = % I Vmn |2 cos2 вдалр (gw). (87.16')
Из этой формулы мы видим, что для вычисления вероятности
перехода достаточно знать матрицу электрического момента Dmny

КОЭФФИЦИЕНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ
375
целиком определяющуюся свойствами рассматриваемой атомной
системы. К этому важнейшему обстоятельству мы еще вернемся
в дальнейшем, а теперь установим связь вычисленной нами веро-
вероятности ртп с коэффициентами Эйнштейна, рассмотренными в § 5.
§ 88. Коэффициенты излучения и поглощения
Согласно теории Эйнштейна вероятность поглощения кванта
света Ъ,(й = Ет — Еп> имеющего поляризацию а и распространяю-
распространяющегося в телесном угле dQ в 1 сек (см. E.2)), равна
Мы же получили вероятность ртп в предположении, что волна
плоская, распространяющаяся в не-
некотором вполне определенном направ- "тп
лении. Соответственно этому у нас в
формулу для вероятности входит лишь
спектральное распределение, а не
распределение по углам. Общая связь
между ра («) и ра(а>, Q) есть
ра(со) = $ра(со, Q)dQ. (88.2)
Так как ра(со) конечно, а ра(^, Q)
в нашем случае отлично от нуля
лишь для одного вполне определен-
определенного направления, то плотность
ра(со, Q) должна в отношении угла
Q носить характер б-функции:
ра(со, Q) = pa(<oN(Q). (88.3)
О
Рис. 70. Выбор независимых
поляризаций 11э 12.
Интегрируя (88.3) по dQ и пользуясь
(88.1), находим вероятность поглоще-
поглощения в 1 сек для волны, распространяющейся в определенном
направлении (без раствора лучей):
Wa = b'naPa (w). (88.4)
На основании закона сохранения энергии вероятность поглоще-
поглощения кванта света Н(отп должна быть равна вероятности перехода
атома из состояния Еп в Ет, т. е. Wa=^pmn. Сравнивая (87.16')
и (88.4), находим, что коэффициент Эйнштейна Ь™а для абсорбции
света равен
Нам нужно теперь подробнее разобраться в значении той или
иной поляризации света. Формула для вероятности перехода ртп

376 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
(87.16') получена в предположении, что свет поляризован в на-
направлении 1, образующем угол @тп с направлением электрического
момента Dmn. В коэффициентах же Эйнштейна Ь%а индекс а
(а =1,2) указывает на принадлежность поляризации к одной из
выбранных за независимые 1г или 12. Мы можем без всяких огра-
ограничений выбрать в качестве первого направления 1Х (сх= 1) направ-
направление, перпендикулярное к лучу и лежащее в плоскости луча
и вектора Dmn, а в качестве второго 12 (а = 2) — направление,
перпендикулярное к этой плоскости (рис. 70).
Полагая 1 = 1Ь получаем
тп — 2
"mm
где Ътп есть угол между вектором поляризации Dmn и направле-
направлением распространения поглощаемого излучения. Из (88.5) тогда
получаем
bZ = 4-?\Dmn\*sm4mn. (88.5')
Полагая 1 = 12, получаем втя = у, т. е.
«2 = 0. (88.5")
Пользуясь формулой E.11), определяющей отношение коэффи-
коэффициента спонтанного излучения апта к коэффициенту индуцирован-
индуцированного излучения «к* = «» (см. E.7)), мы можем написать вероят-
вероятность dW'r спонтанного излучения кванта света Йсо = Ет—Еп
поляризации а в телесный угол dQ в виде
dW'r = anma du = U С du = |j^ Ca dQ, (88.6)
где со = -~^1—^ = сотл. На основании (88.6) и (88.5') получаем
dW'n = ^\Dmn\>sm4mndQ (88.7)
для света, поляризованного параллельно 1Ь и
dWr2 = 0 (88.7')
для света, поляризованного параллельно 12.
Чтобы получить полную вероятность спонтанного излучения
при переходе из состояния Ет в состояние Еп, нужно проинтег-
проинтегрировать dW'n по всем направлениям распространения. Произ-
Производя это интегрирование, получаем
(88.8)

§ 88] КОЭФФИЦИЕНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ 377
Если уровни Ет и Еп вырождены, то одна и та же частота ютп
может излучаться путем различных переходов из Ет в Еп. Сум-
Суммируя (88.8) по всем этим переходам, мы получим полную веро-
вероятность излучения частоты (йтп в 1 сек. Мы ее обозначим через
Величину Апт называют также коэффициентом Эйнштейна для
спонтанного излучения частоты (йтп. Наряду с Апт вводят соответствующий
коэффициент для поглощения изотропного, неполяризованного излучения
частоты ттп:
s*=42$CrfQ> (88ло)
4л
где сумма взята по обеим поляризациям (а—1, 2) и по всем переходам из
уровня Еп в уровень Ет. Величина fn означает степень вырождения уровня Еп.
Интеграл взят по всем направлениям распространения света. Подобным же
образом можно ввести коэффициент Впт для индуцированного излучения
k\b^dQ' <88Л0/>
4л
где /т —степень вырождения уровня Ет. Пользуясь свойствами Ъпта, Ь™а и
ата> легко Доказать, что
/ Вп —f Вт Лп — <°тп Вп (88.11)
Величина Апт определяет продолжительность жизни атома в воз-
возбужденном состоянии.
Если к моменту времени / мы имеем Nm атомов, находящихся
в возбужденном состоянии Ет, то среднее число атомов, спон-
спонтанно переходящих в нижнее состояние Ent будет за время dt
равно
dNM = — AnmNmdU
откуда
A< *mn> (88.12)
где
т
Из этих формул следует, что %тп есть средняя продолжитель-
продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии Ет.
Из (88.9) получаем
т
D I2
(88.14)

378 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Оценим эту величину для. видимого света и>тп^4' 1015; Dmn по
порядку величины равно —еа, где а —размеры атома, так что
Dmn 1^2- Ю-18. Отсюда находим хтп р& 10 8 сек, т. е. т^> Ттп =
= — ^10-15 шс1).
Вычислим теперь среднюю энергию, излучаемую в 1 сек в эле-
элемент телесного угла dQ при переходе т-+п. Так как при каждом
переходе излучается энергия hu>mn — Em — En, то средняя энергия,
излучаемая в угол dQ, будет за 1 сек (обозначим ее через сП-тт
d (*§) = dW'Mnn =^~\Dmn |2 sin2 0mn dQ, (88.15)
а полное излучение за 1 сек получим, интегрируя по всем
углам Q:
dE ®тп | р. |2 /по 1 о\
Как распределение излучаемой энергии по углам (88.15), так
и полная энергия, излучаемая в 1 сек, совпадают с соответст-
соответствующими формулами для классического осциллятора, обладаю-
обладающего собственной частотой со0 = а)тп и средним электрическим мо-
моментом:
(О^ = 2|Отя|8. (88.17)
Кроме того, и поляризация света такая же, как у классиче-
классического осциллятора (именно, излучается свет лишь с поляриза-
поляризацией 1Ь см. рис. 66).
Формула (88.12) для числа переходов в нижнее состояние
должна быть изменена в том случае, когда возбужденный атом
находится в поле излучения, когерентного с его спонтанным из-
излучением. Действительно, согласно теории квантового излучения
Эйнштейна (см. § 5), в этом случае будет иметь место дополни-
дополнительное, индуцированное излучение. В соответствии с формулой
E.3) следует написать вместо (88.12)
dNm = - [Апт + В?пр (со)] Nm dt% (88.18)
где р(о)) есть плотность внешнего излучения частоты со = щт.
Пользуясь (88.11), получим
[^] (88.19)
где Ро (t0) =-тт • Из (88.19) видно, что число излучений сущест-
существенно возрастает, если р (со)^>р0(а)). Этот эффект усиления света
используется в современных лазерах.
*) Именно это обстоятельство позволяет рассматривать возбужденные со-
состояния атома как стационарные (по крайней мере приближенно). Ср. § 113.

§ 89] ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 379
§ 89. Принцип соответствия
Рассмотрим излучение заряженной частицы (заряд —ё), дви-
движущейся согласно законам классической механики. Для простоты
ограничимся случаем одного измерения. Период движения пусть
будет to = ~. Обозначая координату частицы через *(/), мы раз-
разложим ее в ряд Фурье
-f- оо
х (/) = 2 Xk^k\ (89.1)
k — — оо
о)о будет основной частотой, a cok — частотами обертонов. Полагая
xk= \xk\ei(p*, (89.2)
мы можем записать (89.1) в форме
х @ ^ 2 2 |#д I cos (сй?/4~(рл)« (89.1')
Электрический момент частицы D равен ex(t), т. е.
4-оо оо
D (/) = 2 Dkel^kt = 2 2 | Dk | cos (юЛ* + фЛ), (89.3)
k== — со /г =1
где
Интенсивность излучения частоты щ, его распределение в про-
пространстве и его поляризация определяются членом
Средняя энергия, излучаемая таким диполем в телесный угол dQ,
равна
(dE\ 1 Ц
d -;- == т—^- (Du-,J sin 0 dQ, (89.5)
\dt I 4я с* '
а полное излучение равно
^_^(Д^J, (89.6)
где
(ОклJ = 4 | Dk |2 [cos (©4/ + ф,)]2 = 21 Dk |2. (89.7)
Таким образом, мы получаем вместо (89.5) и (89.6)

380
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
Из сопоставления этих формул с (88.15) и (88.16) следует,
что матричный элемент электрического момента Dmn является
полным аналогом классических компонент Фурье. Эту аналогию
мы можем продолжить, если рассмотрим изменение по времени
электрических моментов Dmn, взяв их в гайзенберговском пред-
представлении. Мы считали Dmn не зависящим от времени и зави-
зависимость от времени переносили на волновые функции. Напротив,
можно считать волновые функции не зависящими от времени,
а зависимость от времени перенести на операторы (матрицы), как
это было в общем виде для любой механической величины пояс-
пояснено в § 42. Тогда мы имеем
тп (//== **тп \у) & == **тпР • (оУ.о)
Соответствующее представление в классической теории озна-
означает, что временные множители еш*' в (89гЗ) мы включаем в Dk:
Dk (t) = Dk @) A* = Dj^. (89.8')
Таким образом, классически движущаяся частица в отношении
излучаемого ею поля может быть характеризована однорядной
последовательностью гармонически колеблющихся диполей (89.8'):
с частотами
..., Dnemn\ ... (89.9)
..., со„ = шоо, ..., (89.9')
представляющими основной тон и обертоны системы.
Квантовая же система характеризуется в отношении излучения
также совокупностью гармонически колеблющихся диполей, но
образующих гораздо более богатое многообразие. Именно, всю
совокупность этих осцилляторов можно представить матрицей
электрического момента
D
D2
с частотами
также образующими матрицу
О (о12 ...
со =
0
«mi
... со„
(89.10)
(89.10')
(89.10")

§89] ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 381
Диагональные элементы Dnn(t) матрицы D(/) не зависят, от
времени, так как о)лп = 0, и представляют собой средний электри-
электрический момент атома в п-и квантовом состоянии. Недиагональ-
Недиагональные элементы определяют излучение атома и колеблются с боров-
скими частотами.
Таким образом, мы приходим к комбинационному
принципу Ритца, выраженному в (89.10"), согласно кото-
р
рому частоты атомов выражаются как разности термов ~, в про-
противоположность выводу классической теории о кратности всех
частот шЛ некоторой основной частоте (о0.
Еще задолго до квантовой механики Н. Бор высказал предположение,
согласно которому амплитуды классических осцилляторов Dn могут служить
для определения интенсивностей и поляризации излучения квантовых систем.
Это предположение носило название принципа соответствия. Однако
до создания квантовой механики применение этого принципа было весьма не-
неоднозначно и, по меньшей мере, двусмысленно. В самом деле, в теории Бора
квантовые движения представлялись как движения по квантованным орбитам.
Классические амплитуды Dn относятся к движению по какой-либо одной опре-
определенной орбите. Они будут получены, если мы разложим в ряд Фурье ра-
радиус-вектор г @ частицы, движущейся по п-й орбите. Излучение же происхо-
происходит при переходе из одного квантового состояния в другое, говоря на языке
старой боровской теории, при переходе с одной орбиты (п) на другую (т).
Какое из двух движений следует разложить в ряд Фурье, чтобы получить
коэффициенты Фурье D&, определяющие излучение, — на это нельзя было дать
ответа.
Однако применение принципа соответствия к переходам между уровнями
с большими квантовыми числами (/г> 1), сопровождающимися малыми изме-
изменениями квантового числа (' п — т \ = | k\ << /г), было вполне рационально. При
больших квантовых числах п квантовые орбиты лежат очень близко друг
к другу, образуя практически почти непрерывную последовательность .класси-
.классических неквантованных орбит. Для переходов между такими орбитами, по-
поскольку изменение числа п мало, можно было однозначно пользоваться прин-
принципом соответствия, считая, что интенсивность излучения определяется клас-
классическими компонентами Фурье D/?, поскольку ввиду малого различия в п-п и
т-н орбите безразлично, какое из этих двух движений подвергнуть разложению
на гармонические составляющие для определения амплитуд отдельных тонов и
обертонов, т. е. величин D#.
Существенным затруднением для теории Бора являлась невозможность
вычислить интенсивность излучения для малых квантовых чисел и для боль-
больших их изменений. В этой типично квантовой области переходов принцип
соответствия отказывался служить, и попытки распространить его и на малые
значения п вели к двусмысленным результатам, в лучшем случае позволявшим
сделать не количественные, а лишь качественные высказывания о характере
излучения.
Ранее мы, исходя из теории Эйнштейна, пришли к заключе-
заключению, что квантовая система поглощает и излучает, как совокуп-
совокупность классических гармонических осцилляторов с компонентами
Фурье электрического момента, равными Dmnet(*mnt. Следовательно,
Для вычисления поглощения или излучения света квантовой си-
системой нужно вычислить поглощение или излучение классических

382 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
осцилляторов с моментами Dmnet(°mnt. Вычислив энергию, погло-
поглощаемую или излучаемую в 1 сек, и разделив ее на величину
поглощаемого или излучаемого кванта света Лю = Ет — Еп, мы
получим вероятность соответствующего квантового перехода в 1 сек.
Это утверждение может рассматриваться как современная
форма принципа соответствия между квантовой и классической
теорией излучения.
§ 90. Правила отбора для дипольного излучения
Может оказаться, что некоторые из электрических моментов
Dmn равны нулю. Тогда переход т->п под действием света не
реализуется и соответствующая частота (отп не поглощается и не
излучается, несмотря на то, что уровни Ет и Еп существуют.
В таком случае говорят о правиле отбора, т.е. о правиле,
которое как бы отбирает из числа всех мыслимых переходов
Ет<^Еп только некоторые, в действительности реализующиеся.
Следует иметь в виду, что переход невозможен лишь под дейст-
действием таких возмущений W> матричные элементы которых про-
пропорциональны Dmn. Так, например, какой-нибудь переход т <^ п,
невозможный под действием света, вполне может быть реализован
в результате столкновения с электроном.
Сейчас мы рассмотрим свойства матриц Dmn для важнейших
случаев и выведем правила отбора для- поглощения и излуче-
излучения света.
А. Правила отбора для осциллятора
Пусть мы имеем осциллятор с массой (х, собственной частотой
(оо и зарядом е. Квантовые уровни Еп такого осциллятора опре-
определяются формулой
п = 0> *' 2' 3> ••• (9°л)
Элементы матрицы электрического момента должны равняться
Отп = ехтпе^тп* =ew*>.<rfi-n)<, (90.2)
где хтп суть элементы матрицы координаты. В § 48 мы вычислили
матрицу координаты и нашли, что элементы ее отличны от нуля
лишь для т — п± 1. Поэтому мы получаем правило отбора
ВтгьфЪ лишь при т = п±19 (90.3)
а соответствующие частоты будут равны а)тп = ш0 (т — п) = ± со0,
т. е. собственной частоте осциллятора.

§ 90] ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ДИПОЛЬНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 383
Пользуясь D8.9) и обозначая D0 — ex0 = e\/—, мы можем
написать матрицу D (/) в гайзенберговском представлении в виде
О DoelW (Л/2
О
(90.4)
Таким образом, осциллятор может поглощать и излучать только
собственную частоту соо (так же, как и в классической механике).
Установленное правило отбора справедливо не всегда. Мы
должны вспомнить, что наши расчеты взаимодействия со светом
базировались на предположении, что длина волны света К гораздо
больше размеров системы а. Только при этом условии взаимо-
взаимодействие со светом выражается через матрицу электрического мо-
момента. Размеры осциллятора определяются его амплитудой. По
порядку величины они равны Т/ —1/ л+-„-. Поэтому правило
отбора (90.3) применимо лишь при условии
т. е. для не слишком больших амплитуд колебания.
Следует заметить, что реальные осцилляторы при больших
амплитудах колебания (большие п) становятся ангармоническими,
и это уже само по себе может служить причиной нарушения про-
простого правила отбора.
Б. Правила отбора для оптического
электрон а атома
Рассмотрим матрицу электрического момента для электрона,
движущегося в поле центральных сил. В этом случае волновые
функции стационарных состояний имеют вид
Ъпш(г, б, у) = Rnl (r) P7 (cos Ъ)е^. (90.6)
Нам нужно вычислить матрицу электрического момента относи-
относительно этой системы функций. Так как матрицы компонент элек-
электрического момента отличаются от матриц координат электрона
только множителем —е, то мы будем вычислять эти последние.
Кроме того, оказывается удобным вычислять матрицы не от х, у>
г> а от комбинаций
^, ? = z. (90.7)

384 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Пользуясь функциями (90.6), получаем
оо л 2я
Inim, n'i'm* = \ RniRn>i>r*dr\PT-P?' sin2 0 dG \ е'Си-'я'Хр+
0 0 0
оо л 2л
Цп1т, п'1'т'=\ RnlRn'1'Г3 dr \PTP?>' Sin2 0 db \ в{ ^-т') Ф-/
6о о
со л 2я
гл/т, л'/'т'= J ^?Л//?Л'/'Г3 dr J Я/ИЯ/?' sin в cos в d6 \ e^m-m'
bo о
(90.8)
Интегралы по ф берутся, очевидно, сразу:
2л 2л
J ^и-^')ф±'Ф^Ф^2ябт^1,т, ^ е''(т-т')фЖр = 2л6,п>,т. (90.9)
о о
Вводя обозначения
оо
\ RmRn'i'r* dr = Init n't*, (90.10)
о
sin2e db^sT\ (90.li)
5os6de = C^, (90.12)
о
мы можем переписать матричные элементы (90.8) в виде
%>nlm,n'l'm' = 2n>Inl,n'l'-STl™ -6т,т'_1, (90.13)
, n'l'm'~2nlnl, n'l" Su™ -8m> m'-fi, (90.14)
я. л'/'т' = 2я/„/, „'/' ' С/7'Ш • 6Wt т'. (90.15)
Эти формулы дают нам сразу правила отбора для изменения маг-
магнитного числа т. Матричные элементы g отличны от нуля лишь
для m' = m + l, элементы у\ для т''=т— 1 и элементы г для
т! —т. Таким образом, возможны лишь переходы, при которых
магнитное число изменяется по правилу
тг — т = ±1 или 0.
Исследуя интегралы Sw1' и Си™', мы можем установить еще пра-
правило отбора для орбитального квантового числа /. Для этого сле-
следует установить условия, при которых эти интегралы не обра-
обращаются в нуль. Рассмотрим сначала интеграл Си?1. Нас интересует

§ 90] ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ДИПОЛЬНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 385
лишь тот случай, когда т'=т:
СТ = ]pTPTcosbsinUd. (90.16)
о
Вводя переменную л: = cos 8, получим
СТ = \ РТ(х)Р?> (х)хdx. (90.16')
—1
На основании свойств сферических функций имеем
хРТ (х) = almP?+! (х) + blmP7-i (x), (90.17)
где aim и bim — некоторые коэффициенты1).
Имея в виду, что функции РТ ортогональны между собой, и
подставляя (90.17) в (90.16'j, найдем, что С?™ имеет вид
Cr = fl/«6/w+1 + 6/OT6rf/-b (90.18)
и, следовательно, СТгп не равны нулю при /' = /±1.
Подобным же образом для интегралов Su™' (90.11) получаем
(при m' = mzt 1)
J x2PT(x)dx. (90.16")
—i.
Пользуясь формулой для сферических функций2)
A -*»)'/• РТ(х) = almPT-i (х) + f>lmPT+il (х), (90.17')
получим, что
STy+l = alm8^itr+ P/«e/+1,r. (90.19)
Применяя предыдущую формулу для A — х2I'2 Яг (а:), подобным
же образом найдем
Sf;^1 = a/t m_A г-i + Р/. rn-A. /41- (90.19')
Эти формулы показывают, что S7i™'^0 лишь для Г = /±1.
Таким образом, мы получаем правило отбора для орбиталь-
орбитального квантового числа
/'-/ = ±1. (90.20)
Правил отбора для радиального числа пг = п — 1— 1 не суще-
существует. Последнее найденное нами правило отбора показывает,
что оптические переходы (для Я^а, т. е. для дипольного
г) См. дополнение V, формулу C0).
2) См. дополнение V, формулу C1).

386 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
излучения) возможны лишь между состояниями, являющимися
соседними в отношении изменения вращательного момента
M* h4(l+l)
()
Мы объяснили,- что в спектроскопии состояние с / = 0 назы-
называют s-термом, состояние с /= 1 — р-термом, состояние с / =
= 2 — d-термом и т. д. Спектроскопистам было давно известно,
что оптические переходы совершаются лишь между s- и р-, р- и
d'y d- и /-термами. Как мы видим, квантовая механика дает объя-
объяснение этому факту: только для таких переходов электрические
моменты (диполи) Dmn отличны от нуля.
Рассмотрим подробнее правило отоора для магнитного числа т в приме-
применении к простому эффекту Зеемана. В § 62 нами было установлено, что кван-
квантовые уровни атомов в магнитном поле расщепляются, причем если поле $?
направлено по оси OZ, то a priori возможные частоты излучения определяются
из формулы F2.15)
m'-m)> (90-21)
где соо — частота в отсутствие поля 3€. Соответствующие состояниям Enim
функции равны ^nim (90.6) (атом в магнитном поле в первом приближении
не деформируется). Поэтому и матричные элементы Dnim n,Vm, останутся
такими же, как и в отсутствие внешнего поля 3€. Поэтому мы можем при-
применить к оптическим переходам, при наличии магнитного поля, правила отбора,
выведенные нами в. предположении отсутствия какого-либо внешнего поля.
На основании этих правил следует, что возможно излучение и поглощение не
всех частот, предписываемых формулой (90.21), а только трех:
(о = (о0 + OL> если тг — т=± 1, и со = со0, если т' = т, (90.22)
Это — как раз то расщепление (нормальный триплет^Зеемана^, которое мы уже
обсуждали в § 62. Установим геперь поляризацию соответствующих спектраль-
спектральных линий.
Для несмещенной линии (т' = т) отличен от нуля лишь электрический
момент по оси 01. Следовательно, излучение несмещенной частоты обуслов-
обусловлено диполем, направленным вдоль магнитного поля <5^. Электрический век-
вектор излучения диполя лежит в одной плоскости с самим диполем. Поэтому
излучение частоты будет поляризовано так, что плоскость поляризации будет
проходить через направление магнитного поля. Для т' = т-\-\ матричные
элементы z и х\ равны нулю (см. (90.13), (90.14) и (90.15)). На основании
(90.7) тогда получаем
_ • 5.
Уп1т, n'l', m + \—xnlm, n'l', т + \'е • (90.23)
Подобным же образом для т' — т— 1 получим
4- ' —
Уп1т, n'l', m — lz==xnlm, n'l', m — l'e • (90.23')
•Эти формулы показывают, что фаза диполя по оси OY смещена на ± -^ по
сравнению с фазой диполя по оси ОХ. Поэтому переход m-^-m+l соответст-
соответствует возбуждению колебаний, поляризованных по правому, а переход т->-
_>т_1 — по левому кругу. Соответственно этому излучение с частотой
@ = ^ + 0^ поляризовано по правому кругу, а с (o=<o0 — OL —по левому.

§ 921 ДИСПЕРСИЯ 387
Таким образом, и частоты, и поляризации для простого эффекта Зеемана
согласно квантовой теории таковы же, как и по классической теории Лоренца.
Преимущество квантовой теории в этом вопросе заключается в том, что она
позволяет помимо этих выводов дать относительную (а если сформулированы
условия возбуждения, то и абсолютную) величину интенсивностей для всех
компонент зеемановского триплета: со = со0, со0 ± OL,
§ 91. Интенсивности в спектре излучения
Если атом находится в возбужденном состоянии (т), то воз-
возможен спонтанный переход атома на нижний уровень (п) с излу-
излучением кванта света Йштл. В § 88 мы получили выражение для
dE % л
энергии -77-, излучаемой возбужденным атомом в единицу вре-
времени (88.16). Чтобы получить полную наблюдаемую интенсив-
интенсивность излучения, следует умножить эту величину на число ато-
атомов Nmy находящихся в возбужденном состоянии (т). Это число
зависит от условий возбуждения. Если, например, возбуждение
тепловое и светящееся вещество находится в тепловом равновесии
при температуре 7\ то
Nm=C(T)e-TT, (91.1)
где С —некоторая функция температуры, зависящая от рода излу-
излучателей. Если возбуждение производится ударами электронов и
реализовано равновесие, то число Nm найдется из условий этого
равновесия: число переходов в 1 сек в возбужденные состояния
под влиянием ударов электронов должно равняться числу пере-
переходов в 1 сек в низшие состояния, происходящих благодаря
спонтанному излучению и отчасти благодаря столкновениям
с электронами.
В общем случае, не уточняя вида Nm> можно написать для
интенсивности 1тп излучения частоты сотл, вызванного переходом
из состояния (ш) в состояние (п):
П
и
I2
§ 92. Дисперсия
Задачей теории дисперсии является расчет рассеяния света.
При взаимодействии со средой свет не только поглощается, но и
рассеивается, меняя направление своего распространения, а в об-
общем случае —и частоту.
Одной из наиболее простых задач теории дисперсии является
вычисление показателя преломления для газа. Согласно клас-
классической теории поля, по известному соотношению Максвелла,
показатель преломления среды п равен ]/е, где г — диэлектри-

388 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
ческая постоянная. Диэлектрическая постоянная в свою очередь
связана с поляризуемостью среды а соотношением е =
= 1 + 4яа так, что
/г*-1=4яа. (92.1)
Если N — число атомов в 1 см3, а Р — коэффициент поляри-
поляризуемости отдельного атома, то a = pAf и, следовательно,
n2-l = 4nN$. (92.2)
Коэффициент атомной поляризуемости р опреде-
определяется из формулы
р = Р^, (92.3)
где р есть электрический момент атома, а ^ — переменное элек-
электрическое поле световой волны. Задача сводится к вычислению р.
В классической теории оптический электрон рассматривался
как частица, движущаяся под влиянием квазиупругой силы.
Соответственно этому предположению для коэффициента поляри-
поляризуемости р получалось выражение
P=~^ir, (92.4)
где е1-заряд электрона, |х —его масса, со0—-собственная частота
оптического электрона, а со — частота внешнего поля1). Если
в атоме имеются электроны, обладающие различными собствен-
собственными частотами соо, соь со2, ..., (оь ..., и число электронов с часто-
частотой со/, есть fky то вместо (92.4) следует иметь в виду более общую
формулу
^УЬ(92.5)
Ь—.
о| — со2
Число fk можно также рассматривать как число осцилляторов
в атоме, обладающих собственной частотой со&. Формула правильно
описывает дисперсию в смысле зависимости Р (а стало быть, и
показателя преломления) от частоты падающего света со. Однако
удивительным образом опыт приводил к тому, что числа fk ока-
оказывались меньшими единицы.
Мы перейдем теперь к изложению квантовой теории диспер-
дисперсии, которая приводит для когерентного рассеяния к той же
формуле (92.5), что и классическая теория. Но при этом вели-
величины fk уже не являются числами электронов k-vo сорта, а имеют
совсем другой смысл. Поэтому мы будем называть fk иначе,
а именно, согласно установившейся терминологии,—си л ой
осциллятора.
1) См. Г. С. Ландсберг, Оптика, «Наука», 1976.

§ 92] ДИСПЕРСИЯ 389
Квантовая теория позволяет вычислить силы осцилляторов fk
в полном согласии с опытными данными.
Задача о дисперсии света в квантовой теории может быть
поставлена в полную параллель с квантовой теорией излучения и
поглощения света. Подобно тому, как в этих последних случаях
разыскивается вероятность поглощения или излучения кванта
света, так и в случае дисперсии можно искать вероятность того,
что первоначальный квант света (падающий пучок) изменит в ре-
результате взаимодействия с атомом направление своего импульса,
а в общем случае и свою энергию.
Мы, однако, базируясь на принципе соответствия, пойдем
более простым и более близким классической теории путем.
Именно, мы найдем электрический момент р(/), который возни-
возникает в атоме, находящемся в переменном поле световой волны.
Свет мы будем предполагать монохроматическим, частоты со. Огра-
Ограничиваясь опять случаем, когда длина волны к много больше
размеров квантовой системы а, мы можем написать электриче-
электрическое поле световой волны <& (t) внутри системы (атома или моле-
молекулы) в виде
g = ?0 cos со/. (92.6)
Пусть атом до включения светового поля находился на одном
из своих квантовых уровней Еп, собственная функция, соответ-
соответствующая этому состоянию, пусть будет -ф^ (г, /).
При наличии светового поля состояние атома будет иным
(в нем будут возникать вынужденные колебания). Пусть это
состояние описывается функцией г|з/г (г, /). Эта функция должна
удовлетворять уравнению Шредингера
iH^n=H%t+W%, (92.7)
где Я0 есть оператор полной энергии системы (в отсутствие све-
светового поля), а ^ — возмущение, вызываемое световой волной.
Согласно (92.6) W равняется
W = e(%ov) cos Ш. (92.8)
Для решения уравнения (92.7) представим г|эл в виде
*л(г, /) = ^(r)g-'V +ия(г)<Г'<ш»-св)' +va(r)e-il"n + ")<,
(92.9)
где соя = -тй-, а ип и vn суть искомые поправки к \Ьпп. Функция Щ
есть функция стационарного состояния невозмущенной системы
Я°ф1 = ?Ж- (92.10)

390 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Подставим (92.9) в уравнение (92.7) и в первом приближении
пренебрежем произведениями Wun, Wvn (так как эти члены будут
пропорциональны S2 и уже относятся ко второму приближению).
Тогда мы получим
П (со„ - со) ипе'°* + ft К + «) vne-1"* = Н°ипеш + H°vner*<* +
^)^f^^ (92Л1)
Приравнивая здесь коэффициенты при компонентах Фурье, мы
получим уравнения для ип и vn:
П К - о)) ип = Н°ип + Щ&- я№, (92.12)
. (92.12')
Для решения этих уравнений разложим и и v в ряды по орто-
ортогональным функциям грл:
^ = 2^^°, (92.13)
f^Hi?^?. (92.13-)
Подставляя эти выражения для ип и vn в (92.12) и (92.12') и
имея в виду, что функции г|)? удовлетворяют уравнению Я°%° =
= Е$Ч, мы находим
п1(<*п-®1-®)№ = еЩр-фп, (92.14)
^ (92.14')
Умножим эти уравнения на чр%* и проинтегрируем по всему про-
пространству. Тогда в силу ортогональности функций г|M, г|#* получим
Й К - Щ - «) A nk = - ^ ДО* (8от) ДО d», (92.15)
ft К - со, + о) ВлЛ = | J ДО* (»ог) ДО Л. (92.15')
Отсюда находим Ank и В^:
2^^) (92Л6')
где

§ 92] ДИСПЕРСИЯ 391
суть собственные частоты атома, a D^ есть матричный элемент
вектора электрического момента.
Из (92.16) и (92.16') следует, что примененный нами метод решения урав-
уравнений (92.14) и (92.14') пригоден лишь тогда, когда частота падающего света
со не совпадает ни с одним из собственных частот атома (оЛ?, т. е. вдали от
резонанса. Необходимая степень удаления от ш = сол^ определяется условием
Только при этом условии Ank и Bnk << 1. Чтобы получить и область резонанса,
необходимо учитывать затухание осцилляторов D?CW
Подставляя найденные значения Ank и Впи в (92.13) и (92.13'),
а ип и vn в (92.9), мы получаем приближенное выражение для
1>я(г, t):
(92.17)
Вычислим теперь в первом приближении электрический момент
рлл@» который индуцируется полем ?(/) в состоянии г|?л. Это
состояние при наложении поля переходит в фл(г, /)• Средний
электрический момент в этом состоянии равен
Pnn = -e№%(r, t)r фл(г, /)di; = -^S|^(r, Ol2rdo. (92.18)
Согласно (92.17) |t|?rt(r, /) |2, с точностью до членов первого порядка
по Шо, равно
2Н jL солАг + со *п ^ 2Н _
k k "
Подставляя это в (92.18) и замечая, что
— ? \ ty°k*f"tyn dv = Dkn>
получим
/а _ п — еШ \ ( ^ор^л) D^ I (^Цр^*) р^^
A; /i nk
' ' /л . г.л У*
/г

392 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕ*ГА [ГЛ. XV
Мы видим, что электрический момент pltn (/) складывается из двух
частей: из не зависящего от времени момента Dnn и из индуци-
индуцированного дополнительного момента, линейно зависящего от поля.
Dnn есть не что иное, как средний электрический момент атома
(или молекулы) в состоянии п. Так как он не, зависит от вре-
времени, то в дисперсии света он никакого участия не принимает.
Индуцированный момент меняется периодически во времени, и
притом с частотой, равной частоте падающего света со. Более того,
фаза колебаний этого последнего момента находится в опреде-
определенной связи с фазой электрического вектора падающего света.
Этот добавочный момент и ответствен за когерентное рассеяние —
дисперсию. Обозначим его через p'nn(t)'-
Рпп — Рпп Dnn.
Согласно (92.19) этот индуцированный момент может быть написан
(по компонентам) в виде
(Рпп)у =
(92.20)
(Pnnh - 3ft (P* A**** + P. A/w+P*
где через 3ft обозначена действительная часть от стоящего за этим
знаком выражения.
Совокупность величины р^ образует тензор атомной поляри-
поляризуемости
Рл-л* Рху Vxz
Р., Р,; Р„ , (92.21)
zx $zy Р«
имеющий типичные компоненты вида
причем (D/Ife).v, (D*n)у и т. п. суть проекции векторов D^, D|n на
оси ОХ и О У. Остальные компоненты тензора р получаются
из (92.22) заменой значков х9 у на все возможные пары из х% у, г.
Так как D^ = D^, то тензор (92.22) является эрмитовским:
Р^ = РГх, (92.23)
и, следовательно, диагональные члены p^v, P^, Р^ действительны.
В общем случае, при комплексных Р^, р^, Р^ фаза инду-
индуцированного момента р'Пп и его направление не совпадают с фазой
и направлением электрического поля световой волны $(/). Если
все компоненты тензора р действительны, то направление р'пп не
совпадает с направлением поля, но фазы их одинаковы.

§ 92] ДИСПЕРСИЯ 393
Для сравнения с классической теорией рассмотрим частный,
но весьма важный случай, когда тензор р сводится к одному
скаляру, т. е. когда $ху~$Х2 = $1/г = О, Рл-* —Р^/ —Ргс — Р- При
этих условиях и фаза индуцированного момента, и его направ-
направление совпадают с фазой и направлением поля световой волны.
В этом специальном случае проще всего выяснить основное
различие с классической теорией дисперсии. Из (92.22), при сде-
сделанном допущении, имея в виду, что соЛ/г = — <о/гЛ, получаем
PQ Q Q ^^ kЧ i \ nk) X \" /С\С\ С% Л \
= Рл-v = Руу = fizz — ~ъ / —^т-^—-Ы—, (92.24)
п ^ шк — СО"
где
и предположено (изотропность системы), что
Полученную формулу (92.24) для поляризуемости р мы можем
написать в виде, совершенно аналогичном классической формуле
(92.5), именно,
где
f _ ty 1 xnk I2 co^ _ 2\i 1 Dnk I2 co^ /Q9 осч
Ink — % — e2fi • ^z.^o;
Величину fnk в квантовой теории принято называть силой
осциллятора. Она просто связана с вероятностью спонтанного
перехода Akn. Именно, на основании (88.9) имеем
Таким образом, сила осциллятора fnk определяет интенсив-
интенсивность спонтанного излучения.
Величины fnk могут быть вычислены, если известны волновые
функции системы1).
Мы видим, что величины fnk имеют в квантовой теории совсем
иное значение, нежели в классической, где соответствующая
величина fk имела смысл числа электронов k-то сорта и поэтому
была целым числом. Силы осцилляторов fnk в согласии с опытом
не являются целыми числами. Можно, кроме того, доказать, что
их сумма равна 1 2). Согласно квантовой теории, как следует
г) Г. Бете, Э. Сол пи тер, Квантовая механика атомов с одними
Двумя электронами, Физматгиз, 1960, §§ 59, 60.
2) См. Г. Бете, Э. Сол пи тер, Квантовая механика атомов с одним и
Двумя электронами, Физматгиз, 1960, §§ 61, 69,

394 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
из (92.5'), сумма дисперсионных членов вида s _ 2 имеется
nk
налицо уже для одного электрона, находящегося в состоянии г|^.
Это находится в прямой связи с тем обстоятельством, что кван-
квантовая система в- отношении взаимодействия со светом ведет себя
как совокупность осцилляторов с моментами Dm/le/fiW, хотя бы
даже речь шла лишь об одной частице.
Если атом может находиться не только в состоянии г|#, но и
в других (смешанный ансамбль), то, чтобы получить полную
поляризуемость р, нужно поляризуемость, обусловленную ато-
атомами, находящимися в- состоянии г|)„, умножить на вероятность
нахождения атома в состоянии г|?« и сложить полученные выра-
выражения. Обозначая через wn вероятность того, что атом находится
в состоянии 1|)„, причем ^wn=l, мы получим для поляризуемо-
п
сти а 1 см3 газа выражение
~ ¦Л-^Г2Ь? = ЛГР, (92.26)
где N — число атомов в 1 см3. Показатель преломления в функ-
функции частоты падающего света, согласно (92.2) и (92.26), равен
<й-27>
Часто среди всех членов суммы, входящей в (92.27), один или
несколько преобладают над всеми остальными. Это реализуется
в тех случаях, когда частота со не слишком удалена от резонанс-
резонансной частоты conk.
Сила осциллятора fnk может принимать и отрицательное зна-
значение. Если атом находится в возбужденном состоянии (п)у то
среди состояний k будут и такие, для которых о)Лл<0 (т. е.
Ek<En). В этом случае дисперсионная кривая имеет необычный
ход —получается отрицательная дисперсия. На рис. 71 слева
изображен ход дисперсионной кривой в области аномальной дис-
дисперсии для классического случая {fnk>ty- Эта дисперсия была
изучена в ряде работ, среди которых особенно обстоятельны
работы Д. С. Рождественского1). На том же русунке справа
изображена кривая для отрицательной дисперсии (/л*<0): слу-
случай, не предусмотренный классической теорией. Явление отри-
отрицательной дисперсии было обнаружено Ладенбургом2).
!) Д. С. Рождественский применил особый метод «крюков». См. Д. С. Рож-
Рождественский, К исследованию аномальной дисперсии в парах натрия,
ЖРФХО, часть физич. 42A910).
2) R. La den burg, Zs. f. Phys. 65, 167A930).

§93]
КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
395
Что касается численного значения сил осцилляторов, то экспе-
экспериментальное их определение не является простой задачей.
Для иллюстрации согласия теории с экспериментом приведем
данные Ладенбурга и Карста1) для отношения сил осцилляторов
л
Рис. 71. Дисперсионные кривые для положительной и отрицательной дис-
дисперсии.
водородных линий серии Бальмера На и #р. Эти авторы нашли,
что 5,9 : 1 >/а • /р > 4,66 : 1. Теоретически получается /d : /р =
= 5,37: 1.
§ 93. Комбинационное рассеяние. Нелинейная оптика
Мы вычислили в предыдущем параграфе электрический момент
р'пп, индуцируемый светом в п-ы состоянии атома. Рассмотрим
теперь, какой добавочный электрический момент ртп индуцируется
светом в квантовой системе при переходе ее из одного состоя-
состояния т в другое п. Эта задача легко может быть решена на
основе результатов предыдущего параграфа. Формула (92.17)
дает состояние ^(г, /), возникающее из я|^ (г) e-'°V под действием
света. Совершенно такую же формулу мы можем написать для
состояния \рт (г, /), возникающего под действием того же света
из состояния г|4 (г) e~/u)'n/. Вместо (92.18) мы теперь будем иметь
для момента ртп (/), отвечающего переходу из т в п, следующую
формулу
Ртп (/)=-*$!& (Г, 0 Гфя (Г, t) dv. (93.1)
Подставляя сюда значение функций *фя (г, /) из (92.17) и г|)? (г, t),
которая также получается из (92.17) заменой значка п на т,
R. Lad en burg и A. Carst, Zs. f. Phys. 48, 192A928).

396 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
мы получим
Р„„, (/) = DM,/W + еЧ»™ + ") Ъ^ + е'^п-«) 'D- , (93.2)
где
n.+., I
/по О'\
( }
к
Мы видим, таким образом, что помимо уже рассмотренного нами
выше электрического момента Dmn, зависящего от времени перио-
периодически с частотой со/лл, появляются еще два дополнительных,
индуцированных светом, электрических момента (93.3) и (93.3'),
частоты колебаний которых суть комбинационные частоты
о) = (ош±(о. Электрический момент D//m, как мы знаем, опреде-
определяет излучение и поглощения для переходов EmziEn. Получен-
Полученные нами дополнительные моменты Dmn и Dmn обусловливают
рассеяние падающего света, но с измененной частотой. Эти изме-
измененные частоты представляют собой сумму или разность частоты
падающего света со и одной из собственных частот системы ттп =
~" П
Чтобы определить интенсивность этого рассеянного света, мы
применим -принцип соответствия, согласно которому атом излу-
излучает и поглощает свет как совокупность осцилляторов. Согласно
(93.2) мы имеем теперь три таких осциллятора. Первый из них
нами уже рассмотрен в § 88, а вторые два
и D^^rnn-*)*, (93.4)
согласно формуле (88.16) для средней энергии, излучаемой осцил-
осциллятором в 1 сек, дают следующие интенсивности для излучения
частоты со' = сот/г + со и (х>" = (отп — со соответственно:
dE' 4((ошТшГ , п,+ ) ,2
dt ' Зс3 ' Umn I '
dE" 4 (со,
f_ , |2
где Dmn и Dmn определяются выражениями (93.3) и (93.3')
и зависят от интенсивности падающего света. Обращаясь к закону
сохранения энергии, мы можем истолковывать полученное рас-
рассеяние с измененной частотой на основе представления о свето-
световых квантах. Пусть атом находится в состоянии л, имея энер-
энергию Еп. С атомом «сталкивается» квант света частоты со (энергия
Й) В результате столкновения часть энергии кванта может

§ 93]
КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
397
пойти на возбуждение атома (переход в состояние Ет> Еп). Тогда
рассеянный квант будет иметь энергию, равную
г"-Йсо" = Йсо -(Ет-Еп)
(рис. 72, я), и частоту со" = со — oom/I, со > a>m/i > 0. Если атом
находится в состоянии Ет>Епу то рассеянный квант может
(Нрасная компонента). (Фиолетовая компонента)
Рис. 72. Схема переходов при комбинационном
рассеянии света.
получить энергию от атома, который перейдет в низшее состо-
состояние Еп. В этом случае энергия кванта рассеянного света г'
будет равна (рис. 72, б)
а частота будет равна со'= со+ <*),„„, где (отп>0. Интенсивности
частоты со' и со7' даются формулами (93.5) и (93.5'). Мы видим,
что применение законов сохранения энергии между квантовой
системой и излучением не допускает рассеяния частот co<Co)mn.
Этот вывод не следует автоматически из формулы (93.5) и является
специальным требованием, поскольку мы остаемся в рамках
принципа соответствия1).
Чтобы определить абсолютные интенсивности рассеяния частот
со' и со", следует умножить (93.5) на число Nm атомов, находя-
находящихся в состоянии /72, и (93.5') на число Nn атомов в состоянии п.
Частоты со'>со; поэтому их часто называют «фиолетовыми» ком-
компонентами рассеянного комбинационного излучения, а со" <с со на-
называются «красными» компонентами. Следовательно, окончательно
х) В квантовой теории излучения этот вывод получается сам собой. См.,
например, И. Брандмюллер, Г. Мозер, Введение в спектроскопию
комбинационного рассеяния света, «Мир», 1964.

398 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
для интенсивности фиолетовых компонент имеем
= Nm 2^3 I Dmn | , (Уо.о;
а для интенсивности красных компонент
/" \Т 4 ((О ^пгп) I rv-> i2 /OQ А'\
= Nn ^5 I D»'« I • \Ус5-Ь /
Отношение этих интенсивностей равно
Щ. (93.7)
/" Л/л(о>-о>/лл)*
Комбинационное рассеяние было экспериментально установ-
установлено Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом на твердых
телах, а также Раманом на жидкостях. В обоих случаях
частоты ытп являлись колебательными частотами. В опытах
Рамана это были частоты колебаний молекул жидкости. В опы-
опытах Л. И. Мандельштама и Г. С. Ландсберга частоты ытп явля-
являлись частотами молекулярных колебаний кристалла. В примене-
применении к этим опытам особо важный вывод из формулы для отно-
отношения -р заключается в том, что интенсивность фиолетовых
компонент должна расти с температурой. В самом деле, число
возбужденных колебательных состояний кристалла Nm растет
с температурой Т по закону
Соответственно этому должна возрастать и интенсивность фиоле-
фиолетовых компонент в спектре комбинационного рассеяния. Этот
вывод теории вполне подтверждается экспериментально.
Частоты колебаний молекулы определяются ее структурой.
Поэтому исследование молекулярных колебаний является мощ-
мощным средством изучения строения молекул. Частоты эти лежат
в инфракрасной области, а многие из колебаний молекул вообще
не сопровождаются изменениями электрического момента (опти-
(оптически неактивные колебания). Обе эти причины крайне затруд-
затрудняют прямое исследование частот колебаний молекулы. Комби-
Комбинационное рассеяние в значительной мере облегчает эти труд-
трудности. Изучая комбинационное рассеяние, мы можем иметь дело
с видимым светом и по изменению его частоты определить
частоты молекулярных колебаний, независимо от того, являются
ли они оптически активными или нет. Изучение комбинацион-
комбинационного рассеяния молекул в настоящее время образует большую
область физической науки.

§ 93] КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА 399
Подробности, относящиеся к этому явлению, читатель может
получить, например, из цитированной выше книги И. Бранд-
мюллера и Г.Мозера.
Теперь перейдем к рассмотрению поведения атома в сильном
внешнем переменном поле1); До этого мы предполагали, что
переменное поле (92.6) не оказывает влияния на положение
энергетических уровней атома. Воздействие на атом ограничи-
ограничивалось индуцированием небольшого электрического момента,
колеблющегося с частотой внешнего поля со. Однако, как мы
знаем, в сильном постоянном электрическом поле возникает рас-
расщепление вырожденных уровней атома —эффект Штарка (§ 72).
Если к тому же это поле является переменным (со Ф 0), то
уровни атома придут в движение, и картина рассеяния света
радикально изменится. Этот эффект относится к новой интересной
области оптики — к нелинейной оптике.
Расчет этого явления можно провести, обобщая описанный
выше метод вычисления дисперсии. Прежде всего следует учесть
расщепление вырожденных уровней (ср. §§ 68, 72). Пусть невоз-
невозмущенному /-кратно вырожденному уровню Еп принадлежат
волновые функции tyna(x). Выберем такую линейную комбинацию
этих функций:
f
Фйр(*)=2] Cpaij>°a(x), (93.8)
а= 1
которая является собственной волновой функцией расщепленного
полем Шо уровня ?лр = ?'л + елр. Тем самым мы учтем Штарк-
эффект при (о = 0. Относительно функций ф?р(*) матричные эле-
элементы энергии возмущения (92.8) будут диагональными:
<лП^1*Р> = Мэ'Э- (93.9)
Возмущенную функцию (92.9) построим теперь на основе соб-
собственных функций Фпр(я), описывающих стационарные состояния
атома в постояннбм поле <S0, т. е. с учетом Штарк-эффекта.
Собственные частоты этих состояний будут равны со„р = со/г +-^ е„р,
так что зависимость волновых функций ф,°гр (х) описывается
множителем е~ш>1$*. Для того чтобы учесть теперь еще и зави-
зависимость поля от времени (92.6), заменим в (93.9) постоянную
величину W на переменную (92.8). Тогда величина расщепления
уровней елр станет зависящей от времени:
(93.10)
1) См. оригинальную работу Д. Блохинцев, Phys. Z. d. Sowjetunion
4, 501 A933).

400 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯ'НИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Ясно, что при малых со (93.10) будет хорошо описывать коле-
колебание расщепленных полем уровней атома, положение которых
будет следовать в фазе за полем (92.6) (адиабатическое прибли-
приближение).
Мы сделаем следующий шаг в точности описания рассматри-
рассматриваемого явления, если положим
со„р (/) = солр + -~ cos id = (олр + Аюлр cos Ы (93.11)
и согласно этому заменим множитель e"l(D»' в (92.9) на
= ехр — тп$ — гДо^ $ cosarcdx). (93.12)
\ о /
В соответствии с этими предположениями мы будем искать воз-
возмущенную функцию в виде
Ф„р (г, 0 = [Ф?«р (г) + Untf1»* + vntf-'«>'] Ф„р @. (93.13)
Далее, обобщая (92.13) и (92.13'), представим ип$ и vn$ в виде
Ияр=2^лР./аф?а, (93.14)
/, а
^=2В,Маф?а, (93.14')
/, а
Подставляя теперь функцию (93.13) в уравнение Шредингера
(92.7) и учитывая, что
дФлВ @
i —Qf- = (©/if* + ДсоЛр. cos о/) ФЛр @,
а также диагональность элементов энергии возмущения W отно-
относительно второго индекса р (93.9), соберем порознь члены
с множителями е±ш.
Дальнейшие выкладки полностью совпадают с выкладками,
проведенными при вычислении рассеяния слабых полей с той
лишь разницей, что индексы п и I заменяются теперь на пары
индексов пу Р; /, а, характеризующие расщепление исходных
вырожденных уровней атома. Таким путем нетрудно убедиться,
что функция (93.13) с точностью до членов порядка Wun$, Wvn^
удовлетворяет уравнению Шредингера (92.7), причем коэффици-
коэффициенты Ап$ и Вп$ даются прежними формулами (92.16), (92.16')
с заменой дипольного момента D^ на
$'*;. (93.15)
При этом частоты (x)nk заменяются на

§ 93] КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА 401
Таким образом, все отличие от соответствующих формул § 92
сводится к появлению общего множителя Флр (/) в (93.13)
и замене одного индекса п на два я, р. В силу этого в даль-
дальнейшем удобно прямо пользоваться формулами § 92, подразуме-
подразумевая там под индексом п двойной индекс (я, P). Это соображение
позволяет нам сразу написать выражение для электрического
момента перехода (m, $)zi(n, Р') в виде (93.1), если там вместо
функций г|>т (г, 0» ^(г, 0 использовать функции фтр(г, t)9
флр'(г, 0 (93.13). В результате вместо (93.2) получим
+ О^пе'(»тп-»)*]Фтп((), (93.16)
где
Фтп @ = Фт @ Фп @ = ехр (/Л<Отя j COS (ОТ
6
6
. Дсо„
О)
(93.17)
Здесь Ошл, Dmn, &mn имеют тот же смысл, что и в формулах
(93.3), (93.3'). Таким образом, все отличие от предыдущих вычис-
слений сводится к появлению множителя ФтпA), учитывающего
расщепление и движение уровней атома в переменном поле
© = ^о cos со/.
Вычислим теперь спектр рассеянного света. Для этого доста-
достаточно разложить множитель Фтп (t) (93.17) в ряд Фурье
Ф,яя@= 2 Фтп(р)е<""'. (93.18)
р = — оо
Полагая в (93.18) со/ = — — ср и пользуясь известной формулой
для функций Бесселя порядка р
нетрудно убедиться, что
Таким путем получаем
Ф«»@= 2 (-^(^Н*""*- (93.19)
Обращаясь теперь к формуле (93.16), мы видим, что спектр
рассеянного света, который определяется спектром электрического

ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
момента pmn(t), состоит из линий, имеющих частоту
v = ытп ± со + рсо,
где число р принимает все целые значения, так что основная
частота а>тп приобретает бесконечное множество равноотносящих
Д
р
сателлитов. Относительные интенсивности Ip
этих сателлитов определяются амплитудами
в ряде (93.19) и выражаются формулой
00
Заметим, что Jр (г) >
* 2~, при ?<М. Поэто-
10
0J
му при со->оо все сателлиты, связанные с
движением уровней, исчезают, и мы прихо-
приходим к обычной дисперсии света (§ 92). При
со —0 мы возвращаемся к статической кар-
картине расщепления уровней атома. В области
промежуточных значений со имеется боль-
большое число сателлитов, интенсивность кото-
которых падает с ростом их номера р.
На рис. 73 приведено распределение ин-
интенсивности, вычисленной по формуле (93.20),
при больших со (г — Асо/со= 103), средних
(г~1) и малых (г = 0,1).
В рассматриваемом случае спектр рас-
рассеянного света зависит от интенсивности па-
падающей волны. Действительно, интенсивность
первичной волны so = -~, где с —скорость
Ujj-йО) О)д (Oq+UQ) (О
Рис. 73. Распределе-
Распределение интенсивностей
в спектре рассеяния света> Величина же расщепления Дсо/7т про-
атома, находящегося ф г пп Г-
в сильном переменном порциональиа а0, т. е. пропорциональна у s0.
электрическом поле. С другой стороны, зависимость спектра
колебаний наведенного электрического момен-
момента (93.16) от Aow нелинейна. Поэтому все рассмотренное явле-
явление нелинейно относительно интенсивности падающего.света.
§ 94. Учет изменения фазы электромагнитного поля
волны внутри атома. Квадрупольное излучение
Все наши расчеты в предыдущем предполагали, что мы имеем
дело со светом, длина волны Я которого больше размеров
системы а.
Нетрудно модифицировать всю теорию взаимодействия атома
со светом таким образом, чтобы освободиться от предположения
Я^>а. Для этого нужно исходить из гамильтониана B7.9), опи-

§ 94] УЧЕТ ФАЗЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВОЛНЫ ВНУТРИ АТОМА 403
сывающего поведение электрона в произвольном электромагнит-
электромагнитном поле (при этом мы можем пренебречь малым взаимодействием
спина электрона с полем световой волны).
Для световой волны вектор-потенциал можно всегда выбрать
так, что divA = 0 и скалярный потенциал V = 0. Таким образом,
поле световой волны будет вычисляться по формуле
Пренебрегая, кроме того, в B7.9) величиной А2 (как величиной
второго порядка малости), мы можем написать гамильтониан
B7.9) в виде
й^Ь (94-2)
Возмущение (в первом приближении) равно
W(r, г) = ±кР=-Щм. (94.3)
Представим вектор-потенциал в виде интеграла Фурье
А (г, 0 = $ Ао И e-'<«/-kr) dco, (94.3')
где к— волновой вектор1). Тогда компонента Фурье от матрич-
матричного элемента возмущения, принадлежащая частоте сотл, равна
Wmn (gw) = - Щ Ао (gw) J №* V*. dv. (94.4)
На основании (94.1)
Ао (сотя) = + -^- 8о (<йтп) 1,
где %о((йтп)ш1 есТЬ компонента Фурье от электрического поля.
Поэтому
I \ \ (94.5)
i Wmn Ы |2 = ! ?0Ы |2 ~- I \\
Внося это выражение в формулу для вероятности перехода (87.6)
и переходя от | <ё0 (а>тп) |2 к плотности излучения так же, как это
делалось в § 89, мы получим вероятность перехода в 1 сек
в виде
pmn = %\l-Dmn(k)\*(>(amn), (94.6)
где
Dmn (k) = J?- J **^rv*e *f. (94.7)
2) Мы будем считать, что направление отдельных частных волн в (94.3')
и их поляризации одинаковы.

404 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ II РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Формула (94.6) вполне аналогична (87.16), и из нее можно
получить коэффициенты Эйнштейна b™a> b'tlna> anma для случая
кор'отких волн.
Различие между (87.16) и (94.6) заключается в том, что
в первой формуле D,nn имеет значение электрического момента,
не зависящего от характера излучения и определяемого свойст-
свойствами атомной системы, в то время как вектор Dmn (k) зависит от
волнового вектора излучения к. Поэтому коэффициенты Эйнштейна
получаются иными, нежели для дипольного излучения (их общие
свойства, установленные в § 5, конечно, останутся неизменными).
Вместе с тем распределение излучения по углам, его поляриза-
поляризация и зависимость от частоты также изменятся.
Сделанный нами в § 89 вывод о том, что квантовая система
взаимодействует с излучением, как совокупность осцилляторов,
остается в полной силе и для излучения любой длины волны.
Отличие случая длинных волн (Х^>а) от случая коротких волн
(А,<а) заключается лишь в том, что в первом случае квантовую
систему можно рассматривать как совокупность диполей с момен-
моментами Dmnel0>mnt, в то время как в случае коротких волн нельзя
пренебрегать изменение фазы волны внутри системы, и квантовая
система с точки зрения взаимодействия с радиацией уподобляется
системе осцилляторов с частотами со,лл, размеры которых не
меньше размеров длины волны. В этом случае уместнее говорить
о совокупности токов и зарядов, распределенных в пространстве
и зависящих от времени периодически с частотами ытп. Для
длинных волн можно пренебречь изменением фазы в пределах
атома и разложить eikr в уравнении (94.7) по степеням кг,
а именно: eikr = l-\-i(kr) + ... Так как функции ty°m и г|й отличны
от нуля заметным образом лишь в пределах атома, то это раз-
разложение есть разложение по степеням ka =-у—отношения разме-
размеров атома а к длине волны Я. Из (94.7) тогда получаем
Dmn (k)=jUtn S *"Wn dv+~&L S *"(kr) Wn dv+¦ • •=
= »mn + D^ + --. (94.8)
Первый член D'm'n есть
где Ртп — матричный элемент оператора импульса. На основании
квантовых уравнений движения имеем
РОТл = фЮ/ялГ/ил» (94.10)
где гтп есть матричный элемент радиуса-вектора. Следовательно,
О^„ = Одая, (94.11)

§ 94] УЧЕТ ФАЗЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВОЛНЫ ВНУТРИ АТОМА 405
т. е. при длинных волнах в первом приближении мы получаем
из (94.6) формулу (87.16) для дипольного излучения. Если
D/7m Ф 0, то следующим членом Dmn можно пренебречь. В тех
же случаях, когда в силу правил отбора О/ия = 0, второй член
в (94.8) может и не равняться нулю. При Ьтп = 0 излучение
будет определяться вторым членом D'mn- Мы сейчас покажем,
что излучение, связанное с этим дополнительным членом, состоит
из квадрупольного электрического и дипольного магнитного
излучения.
Согласно (94.8) Dmn может быть написано в виде
<94Л2)
т. е. выражается через матричный элемент оператора1)
Этот оператор может быть тождественно переписан в такой
форме:
Переходя от операторов к матричным элементам и пользуясь
тем, что
где УИ — оператор момента импульса, получим
j {(kr) P}mn = ^f {(kr) r}mn - ± {[кУЙ]Ц. (94.14)
Подставляя этот результат в (94.12) и замечая, что = —,
где п — единичный вектор по направлению распространения излу-
излучения (следует вспомнить, что ?/(о=1/с, со = сог/2Л), и имея в виду
равенство — х^-М = ЭЛ CSJI — магнитный момент атома), найдем
?\ХС
Wmn = - i у {(kr) r)mn - [пШ]тп. (94.15)
J) Чтобы избежать путаницы в значении различных скобок, в этих выклад-
выкладках мы обозначаем (abj — скалярное произведение, [ab] — векторное произве-
произведение, {L}mn или Lmn~-матричный элемент оператора I.

406
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
e
~2
e
~2
e
X2
yx
ZX
e
e o
e
e
~2
e
~2
e
2"
xz
У*
z2
Здесь первый член может быть представлен в виде произведения
вектора —ik на матричный элемент тензора второго ранга
(94.16)
Этот тензор называют квадрупольным моментом атома.
С его помощью (94.15) запишется в виде
DZ = - / (kQ)mn - [пШ]тп. (94.17)
Первый член обусловливает электрическое квадрупольное излу-
излучение, а второй —дипольное магнитное.
Пользуясь правилом отбора для дипольного излучения
Г = /±1 (ср. § 90) и правилом умножения матриц, нетрудно
получить правила отбора для квадрупольного излучения. Имеем
и так как Г = /±1, Г = Г±1, то /'=/, 1±2.
Такой же результат получится и для остальных компонент
тензора. Таким образом, правило отбора для квадрупольного
излучения гласит Г —/или /±2. Что касается магнитного
излучения, то матрица оператора 50t диагональна относительно /
и магнитное излучение получается при переходах с изменением
магнитного числа т, т. е. правило отбора будет
/'¦ = /, m'=m±l.
Интенсивность квадрупольного излучения много меньше интен-
интенсивности дипольного (если последнее существует). В самом деле,
Dmn примерно в 2па/Х раз меньше неисчезающего дипольного
момента. Поэтому вероятность перехода с квадрупольным излу-
излучением по порядку величины в Bпа/кJ раз меньше вероятности
перехода с дипольным излучением. Соответственно этому время
жизни атома в возбужденном состоянии, коль скоро дипольное
излучение невозможно, в U—] раз больше времени жизни для
незапрещенного дипольного перехода, которое мы оценили в § 88
примерно в Ю'8 сек. Отсюда для видимого света А,^5-103А
и а~1 А время жизни т в возбужденном состоянии, из кото-
которого возможен переход в нижнее состояние только путем квадру-
квадрупольного излучения, равно примерно 10~2 сек. Такие состояния
атомов называют метастабильными состояниями.

§ 95] ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 407
Так как магнитный момент атома значительно меньше электри-
электрического, то и магнитное излучение приводит к очень малой
вероятности перехода, т. е. также к метастабильным уровням.
Таким образом, в атомах кзадрупольное излучение и магнит-
магнитное излучение существенны лишь в том случае, когда дипольное
излучение запрещено правилами отбора.
В атомных ядрах, испускающих у-лучи, запрещение диполь-
ного излучения является обычным делом. Поэтому излучение
у-лучей зачастую обусловливается квадрупольным или магнит-
магнитным моментом ядра1).
§ 95. Фотоэлектрический эффект
В этом параграфе мы рассмотрим теорию фотоэлектрического
эффекта на атомах. Задача, стоящая перед нами, заключается
в вычислении вероятности ионизации атома действием световой
волны и в определении углового распределения вылетающих
электронов. Таким образом, речь идет о переходе электрона из
нормального уровня (нижний уровень дискретного спектра)
в уровни непрерывного спектра.
Энергию нормального уровня обозначим через Ео (?0<0),
а соответствующую волновую функцию —через г|H (г). Волновые
функции непрерывного спектра, принадлежащие энергии ?, ввиду
большого вырождения можно брать весьма различным образом,
лишь бы они образовывали полную систему ортогональных функ-
функций. Мы возьмем такие функции, которые встречались нам
в теории упругих столкновений, т. е. суперпозицию плоской
волны, с определенным импульсом электрона р (рХу ру, pz),
и волны, рассеянной атомом. Для больших расстояний от атома
такие волновые функции будут иметь вид (ср. § 78)
) Лг
Ьхрур2 (г) = const[e * +fpj>ypg(9> <P)V
где & —волновое число. Такого типа функции являются одной
из возможных форм во/гновых функций стационарных состояний
непрерывного спектра. Энергия Е состояния (95.1) будет равна
E-Pi===kipl+Pl+pl1 (95-2)
Функции (95.1) будем считать нормированными к Ь(рх — рх),
б (ру — р'у), б (рг — р'г). Возмущение, вызывающее переходы,
согласно (94.3), возьмем в виде
2) Подробности об этом см. в книге Г. Бете, Ф. Мор р и сон, Элемен-
Элементарная теория ядра, ИЛ, 1958, стр. 270.

408 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
где А —вектор-потенциал световой волны. Волну мы предполо-
предположим монохроматической и возьмем А в виде
А = 1 А0^-к«-> +1 Аое-1^-^\ (95.4)
где к есть волновой вектор волны. Так как волна поперечная,
то div A = 0, т. е.
О. (95.5)
Для вычисления интересующей нас вероятности перехода мы
можем прямо применить формулу (84.24), так как последняя
как раз выведена для переходов из дискретного спектра в непре-
непрерывный под влиянием возмущения, гармонически зависящего от
времени.
Понимая в (84.24) под Еп энергию нормального состояния
атома Ео, под импульсом рХу руу pz (р, 8, ср) — импульс фотоэлек-
фотоэлектрона, мы должны согласно (95.3), (95.4) и (84.12) взять
в качестве матричного элемента возмущения величину
WE, в, „; о = WPx. Pyt ,,: о = - Щ-с Ао \ ГрхРуР/к^Ь dx dy dz. (95.6)
Тогда вероятность перехода электрона в 1 сек из состояния ?0
в состояние Е = Е0-\-1га) с импульсом, лежащим внутри телесного
угла dQ будет равна
Ро (Е, В, Ф) dQ = Ц- (Ц^ (Ео + й©)'/. | WPxPyp; о I2 dQ, (95.7)
причем сюда входят лишь такие значения импульса рх, ру, pz>
которые удовлетворяют резонансному условию
E=P^ = ^(Px + Pl + Pi) = E0 + ft©. (95.8)
Переходы в другие уровни Е невозможны. Замечая, что Ео~ — /,
где / — работа ионизации, мы можем переписать (95.8) в виде
? = *«>-/. (95.9)
Это есть уравнение Эйнштейна для фотоэффекта на атоме. Для
того чтобы получить окончательное выражение для Р0(Е, 0, ср),
необходимо вычислить матричный элемент (95.6). Для этой цели
необходимо знать волновую функцию исходного состояния г|50 и
функции непрерывного спектра typ.PPv. Допустим, что мы инте-
интересуемся фотоэффектом с /С-оболочки (тогда —Ео = 1 есть иони-
ионизационный потенциал /С-оболочки). Эта оболочка расположена
близко к ядру атома, и поэтому (пренебрегая взаимодействием
дэух /С-электронов) можно взять для i^0 функцию нижнего

951
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
409
уровня Ео для движения в кулоновском поле. Это будет (/г = 1,
0)
Zr
а
(95.10)
где Z —номер элемента, а а— радиус первой боровской орбиты.
Такая функция будет весьма близко аппроксимировать истин-
истинную. Мы ограничимся весьма грубым приближением для функ-
функций непрерывного спектра. Имен-
Именно, мы будем попросту пренеб-
пренебрегать изменением плоской вол-
волны вблизи атома благодаря дей-
действию его поля и соответственно
этому вместо точной функции возь-
возьмем невозмущенную действием
атомного поля плоскую волну
(95.11)
М-р
Рис. 74. Расположение векторов
А<>, к и р при фотоэффекте.
- * Bл/гK/:
(нормирована по р к 6-функ-
ции). Такое приближение мало
годится для точного расчета, од-
однако все же в нем еще сохраняются
существенные черты явления. Оно будет тем лучийе, чем больше
энергия фотоэлектрона, т. е. оно пригодно для Е^> — Ео = 1.
При таком предположении о функциях непрерывного спектра
матричный элемент (95.6) может быть вычислен без большого
труда. Подставляя (95.10) и (95.11) в (95.6), мы получим
W
Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ, а элек-
электрический вектор (поляризация) направлен по оси OZ. Тогда ОХ
есть направление вектора k, a OZ — вектора Ао. Тогда А0 = 0, 0, Ло,
и, следовательно,
ifie
2\лс Bп
L\l2 A —
,ш3 а
<(к-!У
" а dxdydz. (95.12')
Расположение векторов к, р, Ао дано на рис. 74. Для выполне-
выполнения интегрирования в (95.12') возьмем вектор йк — р за поляр-
полярную ось сферической системы координат в, Ф.

410
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
Если ось OZ в этой системе имеет углы 0', Ф', то
г = (г)г = г cos {OZ, г).
Косинус угла между OZ и г, если вектор г имеет сферические
координаты 0, Ф, будет равен
cos (OZ, r) = cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos (Ф' - Ф).
Угол между Ш — p и г есть 0. Поэтому (95.12') можно запи-
записать в виде
где
WB
the
nay a
(95.120
oo я 2л
/ = [ r2dr [ { d0d<Dsin6e
a [cos 0 cos 0' +
+ sin 0 sin 0' cos (Ф' - Ф)]. (95.13)
Интеграл по Ф от со$(Ф — Ф') дает, очевидно, нуль, поэтому
ОО П
r = 2ncosQ' \ r2dr [ d0sin0e'
о о
к— —
rcos0 —
Zr
Вводя переменную ? = cos0 и обозначая
получим
ОО +1
cos©. (95.13')
г ч:ерез qy мы
r2dr \ ld\eq% *
и, выполняя здесь простые интегрирования, найдем окончательно
8л/
= COS0'-
-НУ
(95.130
Остается выразить cos©' через углы в той системе координат,
где за полярную ось принято направление распространения света
(ось ОХ, вектор к). Пусть угол между плоскостью, образованной
векторами р и к-| и плоскостью ZX, будет ср (см. рис. 74).
Угол между Йк и йк —р пусть будет б'. Обозначая еще угол
между ОХ и р через 0, мы получим из сферического треуголь-
треугольника со сторонами 0', 6' и —-
cos0' = sin 6' cosq)

f 951
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
411
и из треугольника со сторонами йк, р, йк — р
sin б'= sin 0 — p
Поэтому
7 = sin 0 cos ф —jr^-
jЯк—р| •
Snip
На основании (95.12")
[S+MIT
(95.14)
• 8яе
Далее,
-sin8cosф. (95.15)
-? cose.
Из закона сохранения энергии (95.9), считая, что |-^>/(э1
условие применимости нашего приближения), мы найдем
2\хс с
Обозначая через v скорость электрона —, получаем Ш~^-{
стало быть,
и,
Мы оперируем с нерелятивистской теорией, поэтому пригодность
наших формул ограничена не только со стороны малых скоростей
(|лу2/2^>/), но и со стороны больших. Необходимо, чтобы ско-
скорость фотоэлектрона была значительно меньше скорости света с.
Поэтому членами порядка v2/c2 следует пренебречь (учет их нахо-
находится за пределами применимости нерелятивистской теории).
Поэтому
Заметим, что мы еще можем отбросить член Z2/a2 по сравнению
тельно,
. В самом деле,
22
к_ Р.
К А
4-, а а = —2-. Следова-
Я4
Но, согласно формуле Бальмера,

412 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
т. е. условие -^г^-р" эквивалентно / <!^~-- Таким образом,
имея в виду быстрые фотоэлектроны, мы должны опустить в (95.15)
член Z2/a2 в знаменателе.
Подставляя (95.16) в (95.15), мы найдем окончательное выра-
выражение для искомого матричного элемента:
*4^9СО* . (95.17)
Подставляя, наконец, это значение матричного элемента в выра-
выражение для вероятности (95.7), мы получим1)
n /i- n \ лгч 2е2 BliK/2/z4 - 7 Z \5 (/koI/2 sin26cos2cp Jr, /ЛС ,m
/о (?> в> ф) аъ2 = —> /In - - -—т гт^ иь4. (Уо. 1о)
4 ' р6 1 cos б )
\ с I
Вместо А1 можно ввести поток световой энергии. Из (95.4) полу-
получаем электрическое поле Ш:
g = ^ = . A0sin(o)^ — kr).
С ut С
Величина магнитного поля 3€ такова же, и так как оно перпен-
перпендикулярно ?, то вектор Пойнтинга S равен по величине
Среднее значение его равно
Подставляя это значение ^о в (95.18), найдем
Р0 (Е, 9, Ф) du = Igfi^i- g <!$. ^1 ™»Ф SdQ. (95.20)
• р A cos б)
Объединяя все постоянные в одну Ь и замечая, что p6 = B[i?K =
= B}хйсоK, мы получим
Р0(Е, 0, 9)rfQ = feco-9/2 ^п2 о cos2 Ф
(J)
где
/|DM (95.22)
х) При переходе от (95.7) мы пренебрегли начальной энергии электрона
Ео по сравнению с /гсо.

§951
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
413
Из полученной нами формулы следуют самые основные черты
фотоэлектрической эмиссии. Во-первых, число фотоэлектронов
пропорционально интенсивности падающего света S, скорость же
фотоэлектронов зависит, согласно (95.9), лишь от частоты падаю-
падающего света со, т. е. мы получаем как раз те особенности фото-
фотоэффекта, которые представляют принципиальные трудности для
понимания с точки зрения классических концепций. Далее, фор-
формула (95.21) дает угловое распределение фотоэлектронов. Так как
угол 6 отсчитывается от направ-
направления распространения света, а
ф—-от электрического вектора и
максимум фотоэмиссии лежит при
9 = ±я/2, ср = О, то это означает,
что наибольшее число фотоэлект-
фотоэлектронов летит в направлении OZ,
т. е. в направлении электрическо-
электрического вектора световой волны.
При увеличении частоты па-
падающего света скорость фотоэлек-
фотоэлектронов возрастает так, что на-
начинает играть роль множитель
/
.-^cose
4
в (95.21), в силу
0J
0,5 /3
Рис. 75. Сдвиг вперед максимума
фотоэффекта.
0тах —угол между направлением рас-
пространения света и направлением
максимума фотоэмиссии, ft = v/c.
чего максимум фотоэмиссии сдви-
сдвигается в направлении меньших
0, т. е. в направлении распро-
распространения света. Этот вывод на-
находится в согласии с опытом.
На рис. 75 изображены результаты опыта. По оси ординат отло-
отложен косинус угла 0 между направлением распространения света
и направлением максимальной эмиссии, по оси абсцисс отло-
отложена скорость фотоэлектронов, причем за единицу скорости взята
скорость света. Равенство нулю cos6m отвечает направлению
вдоль электрического вектора волны, a cos0m= 1 —направлению
вдоль луча света. Как видно, результаты расчета -хорошо совпа-
совпадают с данными опыта (кружки). С помощью формулы (95.21)
мы можем получить и абсолютную величину фотоэффекта. Обычно
в таких случаях вычисляют коэффициент поглощения для падаю-
падающего света т. Для нахождения его поступаем следующим образом.
Представим себе, что на слой вещества толщиною Ах падает
поток света S. Тогда, если в 1 см? вещества содержится п ато-
атомов, то в объеме 1 см2хАх в 1 сек произойдет в среднем
ионизации атомов. Поглощенная при этом энергия будет равна
этой величине, умноженной на йсо (так как при каждой иониза-

414 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
ции поглощается квант света йсо). С другой стороны, в этот же
слой в 1 сек входит энергия Sxl см2. Таким образом, убыль
потока энергии S при прохождении тонкого слоя А* равна
AS = — Ып Ах \ Ро (?, б, cp)dQ.
Подставляя сюда Р0(Е, 0, <р) из (95.21), мы получим
Полагая
т =
v. С
получим
отсюда следует, что т есть коэффициент абсорбции. Число атомов
в единице объема пропорционально плотности вещества р, именно,
где Л —атомный вес вещества. Подставляя это значение в (95.23)
и обозначая
;
мы получим величину так называемого массового коэффи-
коэффициента абсорбции т/р в виде
7 = ^г- <95-24>
Эта зависимость от частоты также подтверждается опытами над
поглощением рентгеновских лучей. Следует впрочем иметь в виду,
что (95.24) выведено для поглощения в /С-оболочке. На самом
деле поглощение происходит сразу несколькими оболочками. Мы
не будем рассматривать относящиеся сюда усложнения и отсылаем
интересующегося читателя к специальной литературе1).
!) М. Stobbe, Ann. d. Phys. 7,661 A930); A. Sommerfeld und
C. Schur, Ann. d. Phys. 4, 409 A930).

Глава XVI
ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ
ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ
§ 96. Постановка проблемы и простейшие случаи
Если мы имеем две области пространства, в которых потен-
потенциальная энергия частицы меньше, нежели на поверхности, раз-
разделяющей эти области, то мы говорим, что области разделены
потенциальным барьером.
Простейшим примером потенциального барьера может служить
барьер в одном измерении, изображенный на рис. 76. По оси
ординат отложена потенциальная энергия U (х) в функции коор-
координаты частицы х. В точке х0 потенциальная энергия имеет мак-
максимум Um. Все пространство —оо<х< + со делится в этой
точке на две области; x<ix0 и х>хОу в которых U<Um. Зна-
Значение термина «потенциальный барьер» сейчас же выяснится,
если мы рассмотрим движение частицы в поле U (х) на основе
классической механики. Полная энергия частицы ? равна
E = ? + U(x), (96.1)
где р~ импульс частицы, a \i — ее масса. Решая (96.1) относи-
относительно импульса, получим
р (х) = ± V2)i[E-U(x)\. (96.2)
Знаки ± следует выбрать в зависимости от направления движе-
движения частицы. Если энергия частицы Е больше «высоты» барьера Um,
то частица беспрепятственно пройдет барьер слева направо, если
начальный импульс р>0, или в противоположном направлении,
если начальный импульс р<0.
Допустим, что частица движется слева, имея полную энер-
энергию ?", меньшую Um. Тогда в некоторой точке х± потенциальная
энергия U(xi) — E, р(х1) = 09 частица* остановится. Вся ее энер-
энергия обратится в потенциальную, и движение начнется в обратном

41G ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
порядке: хг есть точка поворота. Поэтому при Е<1)т частица,
движущаяся слева, не пройдет через область максимума потен-
потенциала (х~х0) и не проникнет во вторую область х>х0. Подоб-
Подобным же образом, если частица движется справа налево, имея
E<CUm, то она не проникнет в область за второй точкой пово-
поворота #2, в которой U (х2) = Е
(рис. 76). Таким образом, по-
потенциальный барьер является
«непрозрачной» перегородкой
для всех частиц, энергия кото-
которых меньше Um (напротив, он
«прозрачен» для частиц, обла-
обладающих энергией Е > Um). Этим
и разъясняется название «потен-
«потенциальный барьер».
Совсем иначе протекают яв-
явления вблизи потенциальных
барьеров, если речь идет о дви-
движениях микроскопических ча-
частиц в микроскопических полях,
т. е. о движениях, при рассмотрении которых нельзя игнориро-
игнорировать квантовые эффекты. В этом случае, как мы сейчас увидим,
в противоположность выводам классической механики, частицы
с энергией Е, большей высоты барьера Um% частично отражают-
отражаются от барьера, а частицы с энергией,
меньшей 0т, частично проникают через
барьер.
Для того чтобы в этом убедиться, мы
рассмотрим совсем простой случай барье-
барьера, изображенный на рис. 77. Именно, мы
будем считать, что потенциальная энергия
частицы U (х) всюду равна нулю, кроме
области О^х^/, где она имеет постоян-
постоянное значение, равное 0т. Такой барьер
представляет собой, конечно, идеализа-
идеализацию, но на нем особенно просто можно
Рис. 76. Потенциальный барьер в од-
одном измерении.
Ц\
1
0
/ X
Рис. 77. Самый простой
потенциальный барьер.
проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе
представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем
непрерывной деформации плавного барьера, изображенного на
рис. 76.
Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся
в поле такого барьера. Обозначая потенциальную энергию через
U (х), мы получим уравнение Шредингера в виде
(96.3)

§ 96] ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ 417
Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом
и вводя оптические обозначения
^[E-U(x)]=kln*(x), (96.4)
где п (х) — показатель преломления (см. § 36), мы перепишем
уравнение (96.3) в виде
Ч>* + *гл2(*)Ч> = 0. (96.5)
Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей
пространства:
?/(*) = 0, (96.5')
l, U(x) = Umi (96.5")
U(x) = 0. (96.5"')
Решения в этих областях могут быть записаны сразу:
yp(x) = ^i(x) = Aeiko^ + Be-ikox9 (96.6)
ф (х) = ф„ (х) = a^V + p<r'VW, (96.6')
•ф (jc) = i|)i11 (x) = ae'*'* + 6e-/*o*f (96.6")
где Л, В, а, р, а и ft — произвольные постоянные. Однако это —
общие решения трех независимых уравнений (96.5), (96.5'), (96.5")
и они, вообще говоря, не образуют какой-либо одной волновой
функции, описывающей состояние частицы, движущейся в сило-
силовом поле U(x). Для того чтобы они давали действительно одну
функцию г|) (х), мы должны соблюсти краевые условия, которые
мы сейчас установим.
Для этого будем рассматривать U (х) и, следовательно, п(х)
как плавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (96.5) около
точки х = 0, получим
+ А +Д
—л —д
Отсюда
-\|>'(_Д) = _*5 ^ n*(x)'<!p(x)dx. (96.7)
—д
Переходя к пределу Д->0, получаем краевое условие1)
Ф#(+0) = 1?'(-0). (96.7')
Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых
функций, имеем второе краевое условие
Ф(+0)=1>(—0). (96.70
Точка х = 0 ничем не выделена, поэтому условия (96.7') и (96.7")
должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и при х=1.
А) Ср. дополнение VIII.

418 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
Чтобы решение (96.6) трех уравнений (96.5) можно было рас-
рассматривать как предел решения одного уравнения при переходе
от плавного изменения U (х) к скачкообразному, нужно, чтобы
эти решения в точках х — 0 и х = 1 удовлетворяли краевым
условиям (96.7') и (96.7"), т. е.
( }
(96.9)
Подставляя сюда значение функций из (96.6), получаем
ае\\,,1
! = oe'V + fof
Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол
в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны,
падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа.
Если мы, например, возьмем А, В Ф 0, 6 = 0, то Ле'*«* может
рассматриваться как падающая волна, Be-ik°x — как Отраженная,
a aeik°x — как проходящая. Если бы мы взяли b Ф 0, то это озна-
означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера.
Эти возможности соответствуют в классической механике случаям
движения частиц к барьеру слева, либо спраза.
Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц
слева. Тогда мы должны взять Ь = 0. Кроме того, без всяких
ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за
единицу: А — \. Уравнения (96.9) принимают тогда вид
_ (96.10)
Из этих алгебраических уравнений находим а, р\ В и а:
(96.11)
(96.12)
aeikj _.
(96.13)
(96.14)

§ 961 ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ 419
Если энергия частицы Е больше высоты барьера Um, то показа-
показатель преломления пт действителен. В этом случае интенсивность
отраженной волны | В \2 равна
а интенсивность проходящей волны
Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц
в падающей волне (/0), отраженной (Jr) и проходящей (Jd). Из
B9.6) имеем
1 — ^о 1/1 2— ° Т ° 1 R |2 7 ° 1 л 12 /Qfi 1fi\
Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих
I J Г ' ' " !' D 12 О /QC 17\
/0 ~ I Л 2 ~~ ' ~~ \оЪЛ1)
называют коэффициентом отражения. Отношение потока
проходящих частиц к потоку падающих
^ = -jijJi = |a|2 = D (96.18)
называют коэффициентом прозрачности барьера.
Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности
для тока) следует, что
= 1 (96.19)
(приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредст-
непосредственно убедиться в справедливости этого равенства).
По классической механике, если E>Um, должно иметь место
R = 0y D=l: барьер совершенно прозрачен. "Из (96.15) следует,
что | В |2 Ф 0, поэтому в квантовой механике R > О, D < 1. Частицы
частью отражаются так же, как отражаются световые волны
на границе двух сред.
Если энергия частицы Е меньше высоты барьера Um* то по
классической механике имеет место полное отражение D — О,
/?=1. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера.
В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению.
Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во
вторую среду.
Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики пока-
показывает, что в действительности световое поле при полном отра-
отражении все же проникает в среду, от которой происходит отраже-

420 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
нне, и если эта среда представляет собой очень топкую пластинку,
то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в слу-
случае Е <С Um (случай отражения) приводит к выводу, аналогичному
выводу волновой оптики (см. аналогии § 35). Действительно,
если ?<?/т, то показатель преломления пт является чисто
мнимой величиной (см. (9G.4)). Поэтому мы положим
п,п - /! пт | - / У Um? E . (96.20)
Внося это выражение для пт в (96.14), вычислим теперь \а\2.
Тогда считая е^Пт^1 ;> 1, получаем
lJib!i' (96.21)
Обозначая первый дробный множитель через Do (он не очень
отличается от 1) и имея в виду значение k0, получаем
?)'. (96.22)
Таким образом, при Е < Um, в противоположность выводам клас-
классической механики, частицы проходят через барьер.
Явление прохождения через потенциальный барьер получило
образное название туннельного эффекта г).
Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное зна-
значение лишь в тех случаях, когда D не слишком мал, т. е. когда
ъ-ЕIъ*\. (96.23)
Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встре-
встретиться лишь в области микроскопических явлений. Так, например,
для Um — Er^ 10~и эрг (около десяти электрон-вольт), [Х/^ 10~27г
(масса электрона) и /я^10~8 см, из (96.22) получим D^r1. Но
если мы возьмем, например, /~1 см, то из той же формулы
получим Dr^e 1()8. Увеличение массы частицы и превышение Um
над Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно пока-
показать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энер-
энергии частицы —квантовая механика переходит в классическую.
Формулу (96.22) для коэффициента прозрачности D, выведен-
выведенную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и
на случай барьера произвольной формы. Мы произведем сейчас
это обобщение простым, хотя и не вполне строгим путем.
Пусть мы имеем потенциальный барьер U (х), изображенный
на рис. 76. Представим его приближенно в виде совокупности
!) Впервые это явление было рассмотрено Л. И. Мандельштамом и
М. А. Леонтовичем в связи с квантовой теорией ангармонического осцилля-
осциллятора (ср. конец § 67).

§ 971 КАЖУЩАЯСЯ ПАРАДОКСАЛЬНОСТЬ «ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА» 421
прямоугольных барьеров с шириной dx и высотой U(x). Эти
барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Еу
вступает в барьер в точке х = х1 и покидает его в точке х = х2.
Согласно (96.22) коэффициент прозрачности для одного из этих
элементарных барьеров равен
(потенциальная энергия V (х) должна быть достаточно плавной,
чтобы dx можно было взять достаточно большим). Коэффициент
прозрачности для всего барьера должен равняться произведению
коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров.
Тогда показатели в формуле для D' сложатся, и мы получим1)
-~ \Y2\i[U(x)-E]dx
D = Doe x* . (96.24)
§ 97. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»
Прохождение частиц через потенциальные барьеры представ-
представляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность
усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциаль-
потенциального барьера при полной энергии ?, меньшей высоты барьера Um,
должна иметь отрицательную кинетическую энергию Т = ~,
ибо полная энергия, как это имеет место в классической меха-
механике, является суммой энергий кинетической и потенциальной:
В области, где U(x)>E, -|;г<0, это бессмысленно, так как
импульс р есть действительная величина. Как раз эти области,
как мы знаем из классической механики недоступны для частицы.
Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть
обнаружена и в этой «запретной» области. Таким образом, полу-
получается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кине-
кинетическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс
частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннель-
«туннельного эффекта».
На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод
неверен. Дело в том, что, поскольку туннельный эффект есть
х) Эта формула может быть получена более строго методом квазикласси*
ческого приближения (§ 37). См. также В. Паули, Общие принципы волно-
волновой механики, Гостехиздат, 1947, § 12.

422 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
явление квантовое (при /г~>0 коэффициент прозрачности D (96.24)
стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рам-
рамках квантовой механики. Полную же энергию частицы можно
рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий
только на основе классической механики. Формула E — ~--\-U(x)
предполагает, что мы одновременно знаем величину как кинетиче-
кинетической энергии Т9 так и потенциальной U(x). Иными словами, мы
приписываем одновременно определенное значение координате
частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой меха-
механике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую
в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоя-
несостоятелен и парадокс, основанный на возможности представить пол-
полную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция им-
импульса) и потенциальной энергии (функция координат).
Нам остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться
так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее
внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энер-
энергия меньше высоты барьера.
Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно,
даже если E<C.Um\ однако коль скоро фиксируется координата
частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопреде-
неопределенности, дополнительная дисперсия в импульсе (АрJ, так что
уже нельзя утверждать, что энергия частицы, после того как
определили ее положение, равна Е (ср. §§ 14, 15).
Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что
частицы проникают заметным образом лишь на глубину /, опре-
определяемую равенством (96.23). Чтобы обнаружить частицу внутри
барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью
Ах<.1. Но тогда неизбежно возникает дисперсия импульса (АрJ >
>-=^=- = —. Подставляя сюда I2 из (96.23), находим
4 (Дд:J 4/2
Щ*?>ит-Е, (97.1)
т. е. изменение кинетической энергии частицы, вносимое вме-
вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, кото-
которой ей недостает до высоты барьера Um.
Приведем еще пример, иллюстрирующий это утверждение. Пусть мы желаем
определить координату частицы, находящейся внутри потенциального барьера
таким путем, что будем посылать узкий пучок света в направлении, перпен-
перпендикулярном к направлению движения частицы. Если пучок рассеется, то,
значит, на его пути попалась частица.
Как объяснялось г*ыше, точность нашего измерения должна быть такова,
чтобы Дх < /; с другой стороны, нельзя создать пучок света, ширина которого
была бы меньше длины световой волны Я. Таким образом, Ал; > Я, а следова-

^ 981 ХОЛОДНАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА 423
тельно, длина волны света должна быть меньше /, т. е.
Я < п (97.2)
2 V 2\k(Um — E) '
так как Х = 2пс/(й, где о —частота световых колебаний, а с—скорость света,
то отсюда следует, что
Встречающиеся в нерелятивистской механике энергии должны быть меньше
собственной энергии частицы j.ic2, поэтому
1ia»Um-E, (97.3)
т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше,
нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы.
Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости
применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно боль-
большой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.
§ 98. Холодная эмиссия электронов из металла
Если к металлу приложить большое электрическое поле
(порядка 106 в/см) так, чтобы он являлся катодом, то такое поле
вырывает электроны: получается электрический ток. Это явление
получило название «холодной эмиссии». Она может быть
легко истолковано на основе
'квантовой теории прохождения дтш \и
частиц через потенциальный ба-
барьер и притом, в общих чертах,
в согласии с опытом.
В этом параграфе мы рассмот-
рассмотрим теорию этого эффекта, пред-
представляющую одно из наиболее j^
простых приложений теории про- А О scz _ X
хождения через потенциальный х=О
мртяп пр n htpvtptrmp ПНРШНеГО Сплошная линия — в отсутствие внешнего
Металле В ОТСуТСТВИе внештли поля^ пуиктирмая линия —при наличии
ЭЛектПИЧРСКОГО ПОЛЯ внешнего поля <?. В последнем случае об-
Л1еК1рическши пили. разуется потенциальный барьер ОВС.
Чтобы удалить электрон из ' у
металла, необходимо затратить
некоторую работу. Следовательно, потенциальная энергия элек-
электрона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболее простым
образом этот факт может быть выражен, если мы примем потен-
потенциальную энергию электрона V (х) внутри металла равной О,
а вне металла равной С>0, так что потенциальная энергия
имеет вид, изображенный на рис. 78. Схематизируя таким образом
истинный ход потенциальной энергии, мы в сущности оперируем
со средним полем в металле. На самом деле, потенциал внутри

424 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
металла меняется от точки к точке с периодом, равным постоян-
постоянной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует
гипотезе свободных электронов, так как, поскольку U(x) = 0,
внутри металла нет никаких сил, действующих на электрон.
Здесь мы не можем обсуждать вопрос о степени правильности
такого приближения1). Ограничимся лишь указанием на то, что
рассмотрение электронов в металле как свободно движущихся ча-
частиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в метал-
металлах и поэтому, в определенных рамках, является законным. Распре-
Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что подавляю-
подавляющее большинство электронов имеет энергию Е < С (при абсолютном
нуле температуры электроны заполняют все уровни энергии от
? = 0 до ?"^80<С, где е0 есть так называемая нулевая энергия;
см. § 120). Поток электронов металла, падающий изнутри металла
на его поверхность, обозначим через Jo. Так как электроны имеют
энергию ?"<С, то этот поток полностью отражается от скачка
потенциала С, имеющего место на границе металл — вакуум.
Представим теперь себе, что наложено электрическое поле Ш9
направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной
энергии электрона U (х) (рис. 78) добавится потенциальная энер-
энергия электрона в постоянном поле 8, равная — еШх (заряд электрона
равен — е). Полная потенциальная энергия электрона будет теперь
равна
W (x) = U(x)-e9x = C-($x(x>% \
Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она
изображена на рис. 78 пунктиром. Заметим, что внутри металла
нельзя создать большого поля, поэтому изменение V (х) произой-
произойдет лишь вне металла.
Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По класси-
классической механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том
случае, если его энергия Е>С. Таких электронов у нас очень
мало (они обусловливают малую термоионную эмиссию). Поэтому
никакого электронного тока по классической механике при нало-
наложении поля получиться не должно. Однако, если поле Ш доста-
достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с рез-
резким изменением потенциальной энергии и классическая механика
будет неприменима: электроны будут проходить через потенциаль-
потенциальный барьер 2).
2) См., например, А. А. Абрикосов, Введение в теорию нормальных
металлов, «Наука», 1972.
2) Если поле понизит высоту барьера, так что она станет меньше е0, то же
самое будет иметь место и по классической механике. Но это будет колоссальный
ток: электроны хлынут лавиной через барьер. На самом деле имеет место
постепенное нарастание тока с ростом поля.

§ 98] ХОЛОДНАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА 425
Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для элек-
электронов, имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Ех.
Согласно (96.24) дело сводится к вычислению интеграла
где Xi и х2 — координаты точек поворота. Первая точка поворота
есть (см. рис. 78), очевидно, ^ = 0, так как для всякой энергии
ЕХ<СС горизонтальная прямая Еху изображающая значение энер-
энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии
в точке х = 0. Вторая точка поворота х2 получится, как видно
из чертежа, при
отсюда
_ С~ЕХ
её
следовательно,
S= \ V2ix[C-e^x-Ex]dx. (98.2)
о
Введем переменную интегрирования g= ce_F x. Тогда мы
получим
/=l |riI (C~gxK/2- (98.3)
Таким образом, коэффициент прозрачности D для электронов,
обладающих энергией движения по оси ОХ, равной ЕХу равен
3 П еП . (98.4)
Коэффициент этот несколько различен для разных Еху но так как
С>?л., то средний (по энергиям электронов) коэффициент проз-
прозрачности будет иметь вид
D=Doe S, (98.5)

426 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
где ~D0 и §0 — константы, зависящие от рода металлов. Ток холод-
холодной эмиссии будет равен
J(8) = J0~D = Ae s . (98.6)
Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспе-
экспериментами *).
§ 99. Трехмерный потенциальный барьер.
Квазистационарные состояния
Рассмотрение в §§ 97 и 98 задачи о прохождении через потен-
потенциальный барьер отличалось той особенностью, что в них речь
шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих
на своем пути потенциальный барьер. В дальнейшем (теория
радиоактивного распада, автопонизацйя атомов) нам встретятся
такие случаи, когда речь
II будет идти о потоке ча-
частиц, выходящих из неко-
некоторой ограниченной обла-
области пространства (ядро
атома, атом), окруженной
потенциальным барьером.
° Пусть сфера с центром
) 6) в О и радиусом г0 (рис.
Рис. 79. Потенциальный барьер, ограничи- ^9, а) есть та поверхность,
вающий замкнутую область (г < rQ). на которой ПОТенциаль-
ная энергия U (г) прини-
принимает максимальное значение, так что для /*<r0, U<.Um и для
г>Го> U<cUm. Соответствующий пример графика U (г) дан на
рис. 79, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер
частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно
предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет
«бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие
волны
г|) = С^, k>0. (99.1)
Это условие мы будем называть условием излучения.
Ясно, что уравнение Шредингера
fft-a*=-^va* + f/Mt|> (99.2)
в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Дей-
Действительно, применим закон сохранения числа частиц к сфере
Они были выполнены П. И. Лукирским,

i 99]
ТРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
427
радиуса г:
Из (99.1) имеем
и, стало быть,
I _ 1
^ - 2ц
=i~l Jrds = — § Jrr2dQ.
tk I С!«
57 * J
(99.3)
(99.4)
(99.5)
т. е. среднее число частиц в объеме сферы V убывает, так что if)
не может гармонически зависеть от времени.
Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя
из уравнения (99.2) с начальным условием таким, что функция
я|) (г, 0) отлична от нуля лишь внут-
внутри барьера (чтобы выразить тот
факт, что при / = 0 частица нахо-
находилась внутри барьера). Можно, од-
однако, исходить из другого условия,
до некоторой степени противополож-
противоположного, именно считать, что истечение
частиц происходит уже давно и зна-
значительная часть их уже находится
вне барьера. Такой подход к реше-
решению мы рассмотрим подробнее. Он
удобен тем, что допускает разделе-
разделение переменных г и t в уравнении
(99.2). Положим сразу
д
- F0
ч
О
г
Рис. 80. Потенциальный барьер,
ограничивающий замкнутую об-
область (г < гх) и имеющий про-
простую прямоугольную форму.
Потенциальная 'кривая 0, r.t Urn
(г, 9=4>(г)е"
кривая v т
соответствует потенциальной яме,
получающейся из барьера отодви-
(99.6) ганием г2 в бесконечность. ?", ?j> —
уровни энергии в такой яме.
При этом величина Е будет комп-
комплексной, и ее^нельзя рассматривать как энергию частиц (см. об
ниже). Мы положим1)
it\K
2
(99.7)
Тогда среднее число частиц в объеме Vo, заключенном внутри
барьера, согласно (99.6) и (99.7), будет
N(t)= \ г|;*г|> dv = е ?/ $ г|;* (г) г|> (г) dv,
Vo
г) Из (99.6) и (99.7) видно, что если взять Я —0, то мы получили бы
стационарные состояния, что противоречит, согласно (99.5), условию излучения.

428 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
т. е.
N(t)=e-KtN@). (99.8)
Величину X будем называть константой распада. Подста-
Подстановка (99.6) в (99.2) дает
__ |L v>4|> + U (г) ф = [е0 - Щ г|>. (99.9)
Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим
схематичный пример, взяв форму барьера U (г), изображенную на
рис. 80. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбиталь-
орбитальным моментом, равным нулю: / = 0. Тогда, полагая
Ф(')=-^, (99.10)
мы получим из (99.9)
d-U / *^ \ /лл 1 1 \
Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11)
разобьется на три:
(99.12)
(99.12')
2« = 0 (г2<г), (99.12")
где
Ч^) ?[m-E0+%-). (99.13)
Решения этих уравнений имеют вид
п{ = A'e-ikr + Beikr @ < г < г^, (99.14)
и„ = а^+ $erqr (/-!</-< r2)f (99.14')
um = aeikr + be-ikr (r2<r). (99.14")
Из условия конечности ip в нуле следует, что
Л'= — в, wi-^sin^r. (99.15)
Кроме того, условие излучения дает Ь = 0 (только уходящие
волны). Краевые условия на границах г — гх и г = г2, как мы
установили в § 96, сводятся к равенству функций и их первых
производных
A sin kr1 =-- ае^ + fte~*rS (99.16)
&Д cos &/i = 9 (а^^ - jk-^) для г = гъ (99.16')
flgf*rs (99.17)
« для г = г2. (99.17')

§ «J9J ТРЕХЛ\ЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 429
На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех
коэффициентов Л, а, C, а. Поэтому необходимо, чтобы определи-
определитель Д системы уравнений (99.16) и (99.17) обращался в нуль.
Несложные вычисления дают
^ () = O, (99.18)
где / означает ширину барьера г2 — гх. (99.18) есть трансцендент-
трансцендентное уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая
ql^>l. Тогда в нулевом приближении можно отбросить член
с е q\ и мы получаем
ytg*r1+l = 0. (99.19)
Это —точное уравнение для нахождения собственных значений
потенциальной ямы @, гъ Um), изображенной на рис. 80 и полу-
получаемой из потенциального барьера рис. 80 при г2 = оо. В такой
потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для
E<Um). Если корни уравнения (99.19) обозначить через kou
&02, •••» kon, • •, то энергия этих уровней будет (согласно (99.13))
равна
EOn = ~kln + ~ihXy л=1, 2, 3, ... (99.20)
Корни действительны1), если А, = 0, и по порядку величины
равны -—. В этом случае мы имеем стационарные состояния. При
конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциаль-
потенциальной энергии таково, что U (/•)r_vaD<?, и вместо дискретного
спектра (99.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излу-
излучения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к ?Оя,
но они не будут теперь стационарными (кп^0). При малых Хп
они будут почти стационарными. Это — квазистационарные
уровни, упоминавшиеся в § 67. Определим величину Л„, считая
ее малой. Для этого разложим член с cql в (99.18) по степеням
&k^k — kOf где k0 — один из корней уравнения (99.19) для ста-
стационарных состояний потенциальной ямы, а в член с е~ql под-
подставим k=^ko\ замечая, что
dq __ к , , __ k0
получим
?5То Q4o
Отсюда находим Д&.
x) Для достаточно глубокой ямы (Um -> oo) qm -> оо, вместо (99.19) имеем
tgfer1 = Of ЛяГ1 = ял, /1=1, 2, 3, ...

430 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
При этом малую поправку к действительной части k0 мы также
можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же
часть будет равна
^^ (99-21)
Пренебрегая также малой поправкой к действительной части k
в (99.13), мы можем положить ~-i~± = kl. Из (99.13) получаем
Сравнивая это с предыдущим выражением для Д&, мы находим
Л
Имея в виду, что hko/[i есть скорость частицы v0 внутри барьера
и что ко?ы l//"i= 1/г0(г0 — радиус ямы), мы получаем из (99.23) и
(99.13)
Ьъ^-е-***^**1. (99.24)
Эта формула имеет простое наглядное толкование. -^- есть число
ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспо-
экспоненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.
Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение
волнового вектора к приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны
— eikr неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера
Рост а|)П1 вытекает из требования, чтобы имелось только излучение, и
отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, выле-
вылетевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность | ifj |2 внутри самого барьера
была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства,
что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось Есе время от
t== — ос) и что к моменту начала излучения | о^ |2 было конечно. Поэтому наш
вывод о том, что г|)П1 -> со при г-» со, вывод, относящийся к частицам, выле-
вылетевшим очень давно, неверен, и само найденное решение справедливо лишь
для небольших /-, именно для г
2koli
Далее отметим, что в связи с формулой (99.7) в литературе часто говорят
о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь
чисто формальный смысл. Найденное нами состояние

§ 99] ТРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 431
не есть стационарное состояние с определенным значением энергии (стацио-
(стационарные состояния гармонически зависят от времени).
Чтобы определить вероятность найти то или иное значение
энергии Е в этом состоянии, нужно разложить яр (г, t) по соб-
собственным функциям яр? (г) оператора Н. Так как U (г) > 0, то
собственные значения этого оператора образуют непрерывный
спектр 0^? <С + °° (ср. § 49). Если положить
оо _ , Et
яр (г, t)=\ C(E)e l h tyE(r)dEy (99.26)
то w (E) dE = | С (Е) |2 dE дает искомую вероятность. Однако мы
не можем воспользоваться для вычисления С (Е) функцией яр (г, t)
(99.25), так как она правильна лишь для не очень больших г.
Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что
яр (г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная
функция яр (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри
барьера, так что вид функции яр (г, 0) соответствует тому факту,
что при / — 0 частица находится во- внутренней области барьера.
Определим амплитуду a(t), с которой представлено состояние
яр (г, 0) в состоянии яр (г, t). Имеем
a{t) = \ яр* (г, 0) яр (г, t) dv. (99.27)
Подставляя сюда яр (г, t) и яр* (г, 0) из (99.26) и пользуясь орто-
ортогональностью функций яр? (г), найдем
оо _ . ?7 оо . Et
[E)dE^\e l n w{E)dE. (99.28)
Величина Р (t) = | a (t) j2 дает, очевидно, закон распада состоя-
состояния яр (г, 0). Как видно, форма этого закона определяется рас-
распределением энергии w (E) dE в начальном состоянии1).
Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем г|э (г, 0) так, чтобы
яр (г, 0) = -ф0 (г) внутри барьера и if» (г, 0) = 0 вне его. Подставляя
теперь яр (г. /) из (99.25) jb (99.27), мы можем игнорировать возра-
возрастание я|H (г) вне барьера, так как там яр (г, 0) = 0. В силу совпа-
совпадения яр (г, 0) и яр0 (г) внутри барьера и считая, что яр (г, 0) нор-
нормировано к 1, получим
i E*< * t
a(t) = e h 2 . (99.29)
1) Эта теорема принадлежит Н. С. Крылову и В. А. Фоку (ЖЭТФ 17,
93 A947)).

432 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
На основании (99.28), теперь нетрудно убедиться, что w(E)dE
должно быть равно *)
т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения
энергии. Величину АЕ = -^~ называют шириной к ваз и ста-
стационарного уровня Ео. Если через т = 1 /к обозначить сред-
среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии г|? (г, 0) =
= %(г)у то мы получаем
Д?т=у (99.31)
— соотношение между шириной квазистационарного уровня и дли-
длительностью жизни частицы на этом уровне.
§ 100. Теория радиоактивного сс-распада
Известно, что многие радиоактивные элементы распадаются,
испуская ос-частицы. По вылете из атомного ядра а-частица, имея
двукратный положительный заряд (+ 2е), ускоряется в кулонов-
ском поле атомного ядра, заряд которого обозначим через Ze (под
Z будем подразумевать номер элемента после вылета а-частицы,
Z = Z' — 2, если Z' есть номер элемента до радиоактивного распада).
Большая прочность а-частицы позволяет предполагать, что она
существует в ядре в виде самостоятельного объекта, являясь одним
из простых образований, из которых строится атомное ядро2).
Ясно, что а-частица может длительно находиться в атомном ядре
лишь в том случае, если область вблизи атомного ядра является
минимумом потенциальной энергии а-частицы. Кулоновская потен-
потенциальная энергия а-частицы, равная 2Ze2/r, где г —расстояние
от ядра до частицы, по мере приближения к ядру, как это изоб-
изображено на рис. 81 пунктирной кривой, все время возрастает
монотонно. Поэтому минимум энергии вблизи ядра может полу-
получиться лишь в том случае, если на близких расстояниях на а-
частицу действуют какие-то иные силы, помимо электрических.
Такими силами являются ядерные силы, действующие между нук-
нуклонами. Эти силы весьма велики и действуют лишь на очень
малых расстояниях. Именно этими силами и обусловливается смена
*) Интеграл в (99.28) в этом случае легко вычисляется посредством вычетоз
в комплексной плоскости.
2) Это предположение не является обязательным. Возможно, что перед
вылетом из ядра а-частица образуется из более простых частиц: нейтронов
и протонов. Мы будем считать в дальнейшем, что она существует в ядре по-
постоянно.

100]
ТЕОРИЯ РАДИОАКТИВНОГО а-РАСПАДА
433
кулоновского отталкивания на резкое притяжение вблизи ядра,
изображенное на рис. 81 сплошной кривой. Такое поведение по-
потенциала называют образованием потенциальной ямы или
кратера. При наличии таких сил а-частица, находящаяся
в области г<Уо, т.е. в поле сил притяжения, будет дли-
длительно удерживаться внутри ядра.
Как же происходит а-распад? Долгое время это оставалось
загадкой. Еще Кельвин предполагал, что частицы, испускаемые
радиоактивным элементом, как бы кипят внутри потенциального
кратера. Время от времени одна из частиц получает избыток
энергии над средней, преодолевает барьер и, вылетев за него,
ускоряется отталкивательным по-
полем, приобретая большую энергию.
Однако эта наглядная картина,
как было показано Резерфордом,
противоречит опыту. К изложе-
изложению этого опыта мы сейчас и пе-
перейдем.
Резерфорд бомбардировал ато-
атомы радиоактивного урана а-части-
цамн тория С. Энергия а-частиц
тория С равна 13-10~6 эрг. Такие
частицы, преодолевая кулоновское
отталкивание, могут весьма близ-
близко подойти к ядру. Оценим рас-
расстояния наибольшего сближения
х. Очевидно, что гг есть то рас-
О г'
Рис. 81. Кривая потенциальной
энергии а-частицы в функции рас-
расстояния от ядра (г, ит, г'). Та же
кривая схематизирована (г, Umt ro)
(резкое падение после г0).
стояние, при котором потенциальная энергия частицы 2Z'e2/r1
будет равна исходной кинетической, т.е. 2Z'e2/r1 = 13-10~6 эрг,
Z' есть номер урана и равен 92. Поэтому мы находим, что Гх =
= 3-10-12<ш.
Наблюдение показывает, что рассеяние таких частиц строго
такое, каким оно должно быть при действии на а-частицу ку-
кулоновского поля. Это означает, что ядерные силы начинают дей-
действовать на ос-частицу на расстояниях меньших, нежели 3- 10 л2 см.
Поэтому а-частицы, заключенные в ядре, находятся внутри области,
радиус которой меньше 3-10~12 см.
С другой стороны, уран сам является радиоактивным элементом
и испускает а-частицы. Измерение энергии этих частиц показы-
показывает, что она равна 6,6-10~6 эрг.
Эти а-частицы вылетают из ядра, т. е. с расстояний, меньших
3-10 12 см. Тогда, ускоряясь в кулоновском поле, они должны
были бы приобрести энергию, равную высоте потенциального
барьера (см. рис. 81) и во всяком случае большую, нежели
13- 10 6 эрг. Получается же так, как если бы они вылетали с рас-
расстояния г = 6- 10 12см. Таким образом, опыт приводил сточки

434 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
зрения классической физики к парадоксальному положению: нужно
было предположить, что кулоновское электрическое поле ядра
действует на падающие извне ос-частицы, но не действует на вы-
вылетающие из ядра, либо считать, что закон сохранения энергии
не выполняется при радиоактивном распаде.
Решение этого парадокса вытекает из квантовой механики, при-
приводящей к возможности туннельного эффекта через потенциальный
барьер, разделяющий область притяжения (г<Сг0) от области
отталкивания (г>г0).
В самом деле, тогда парадокс полностью решается: частица,
находящаяся внутри ядра, может иметь энергию, меньшую, нежели
высота барьера, и все же пройти через него. Частица же, про-
пролетающая извне, ввиду малой прозрачности барьера лишь в очень
редких случаях будет захватываться ядром (так как время пре-
пребывания ее около ядра очень мало). Поэтому рассеяние а-частиц,
падающих извне, будет обусловливаться кулоновскимн силами,
действующими за пределами барьера. Предположенная малая
прозрачность барьера согласуется с тем фактом, что периоды
радиоактивного а-распада весьма велики.
Применяя теорию прохождения через потенциальные барьеры,
легко облечь изложенную идею в математическую форму и найти
выражение для константы радиоактивного распада к. Напомним,
что эта константа определяется следующим образом. Если имею-
имеющееся к моменту времени t число нераспавшихся атомов N, то
dN будет равно
dN^ — kN At, N(t) = N @) е-и. A00.1)
Для вычисления константы распада к мы можем применить кван-
квантовую теорию просачивания частиц через потенциальные барьеры,
изложенную в предшествующем параграфе. Согласно этой теории
а-частицу внутри ядра следует рассматривать как находящуюся
в «квазистационарном» состоянии. Обозначая скорость частицы
в этом состоянии через v-l% радиус барьера через г0 и, наконец, его
коэффициент прозрачности через D, мы получим
* = йг0- (Ю0.2)
Остается вычислить D. Ввиду более сложной формы барьера
вместо (99.24) мы получим (см. (96.24))
Из рис. 81 следует, что первая точка поворота г\ есть г0 (радиус
ядра), вторая (г2) определится из условия
^7Г = ?, Г2 = ^|-. (Ю0.4)

§ 100] ТЕОРИЯ РАДИОАКТИВНОГО а-РАСПАДА 435
Таким образом,
^-Edr. A00.5)
Вводя сюда новую переменную ? = —, мы получаем
' 2
(Ю0.5')
и, полагая, наконец, еще 1 = со$2и, мы без труда вычислим по-
полученный интеграл
(Ю0.6)
Воспользуемся тем; что отношение го/г2 меньше единицы, и
разложим и0 и sin2«0 B ряд по степеням го/г2 (достаточно огра-
ограничиться двумя первыми членами). Тогда мы получим
f A00.7)
где и — скорость вдали от ядра, равная y2E/\i. Итак, выражение
для константы распада A00.3) раскрывается следующим образом:
ИЛИ
In К = ^— Н ~^- У ZrQ + In 2^-. A00.9)
Наиболее замечательным выводом из этой формулы является зави-
зависимость между % и скоростью ос-частицы v. Подобная зависимость
еще задолго до квантовой теории этого явления была установлена
на опыте Гайгером и Нэттолом.
Далее мы видим, что In А, зависит от номера элемента Z (Z =
= Z' — 2) и радиуса ядра.
Из опыта известно, что константы распада варьируются в очень
широких пределах: от 10° сек'1 до 10~18 сек'1. Если бы в таких же
пределах приходилось варьировать параметры, определяющие К,
то теория была бы наверно неправильной. Замечательным след-
следствием формулы A00.9) является то, что если по эмпирическим дан-
данным для К определять радиусы ядер, то окажется, что они все

436 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР |ГЛ. XVI
лежат в тесных границах, примерно от 5-10 12 см до 9- 10~12 см.
Значительное различие в величине X для разных элементов опре-
определяется не различием в радиусах ядер, а различием в энергии
вылетающих частиц. Слабую зависимость X от г0 и резкую от v
следует рассматривать как подтверждение теории х).
§ 101. Ионизация атомов в сильных электрических полях
Подобно тому, как сильное электрическое поле вырывает элек-
электроны из металлов (холодная эмиссия, § 98), оно вырывает их также
и из отдельных атомов газа. Явление это называют иногда «авто-
«автоионизацией» атомов и его причину легко понять, если рассмотреть
вид потенциальной энергии элек-
электрона в атоме при наличии внеш-
внешнего электрического поля. Пусть
потенциальная энергия электрона
z0 \s" / в отсутствие внешнего поля есть
/,-v ~J ~/td / -<*Г Z U @- Внешнее электрическое по-
U(r) ч ' •' ' ' *' |1(Г) ле <$ пусть направлено по оси OZ.
Тогда вся потенциальная энергия
электрона равна
U'(r) = U(r)+e%z. A01.1)
Рассмотрим вид потенциальной
Рис. 82. Сложение атомного и кривой на ОСИ OZ(x = y--=0,
внешнего поля. г=|г'). В отсутствие внешнего
поля (S = 0) U' = U (г) и имеет
вид, изображенный на рис. 82 пунктиром. Дополнительная потен-
потенциальная энергия во внешнем поле eez изобразится пунктирной
прямой аа!. Кривая полной потенциальной энергии ?/', получаю-
получающаяся сложением, проведена на рис. 82 сплошной линией а'Ъ' и
ab. Мы видим, что около точки г0 образуется потенциальный
барьер, разделяющий пространство на две области: внутреннюю
г>г0 и внешнюю г<^о» в каждой из которых потенциальная
энергия V меньше V (г0) = Um. На чертеже приведены также
два уровня энергии Е' и Е". Если энергия Е = E">Um, то элект-
электрон не будет удерживаться вблизи атома, а будет удаляться
в область отрицательных г. Если же энергия электрона Е =
= Е' < Um, то, согласно законам классической механики, элект-
электрон останется во внутренней области. По квантовой механике
в этом случае просачивание через барьер все же будет иметь место.
Таким образом, здесь создается положение вещей, вполне анало-
аналогичное тому, которое имеет место при радиоактивном распаде.
^Подробности теории радиоактивного распада см. А. С. Давыдов,
Теория атомного ядра, Физматгиз, 1958.

§ 101] ИОНИЗАЦИЯ АТОМОВ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ 437
Теперь уже совсем нетрудно попять причину ионизации атомов
полем. При включении поля получается барьер, через который
электроны проникают во внешнее пространство. Если высота барь-
барьера 0т меньше энергии электрона, то частицы будут проходить
(«над барьером») и по классической механике. Поэтому и класси-
классическая механика приводит к возможности ионизации атома внеш-
внешним электрическим полем. Различие заключается лишь в том, что
по законам квантовой механики эта ионизация должна наступать
при меньших полях, нежели это предписывается механикой клас-
классической, так как, согласно квантовой механике, для возмож-
возможности ионизации не нужно, чтобы барьер оказался ниже энергии
электрона. Ясно, однако, что при малых полях барьер будет очень
широким и прозрачность его будет очень мала.
Явление автоионизации можно наблюдать таким образом: до-
допустим, что мы наблюдаем какую-либо спектральную линию,
обусловленную электронным переходом из состояния Е' в Ео
(см. рис. 82). По мере увеличения электрического поля эта линия
будет смещаться (штарк-эффект), и если поле достигнет столь
большой величины, что прозрачность барьера будет велика, то эле-
электрон в состоянии ?' будет чаще вылетать из атома, проходя через
барьер (ионизация), нежели падать в нижнее состояние (Ео), излу-
излучая свет. Благодаря этому спектральная линия будет слабеть,
пока, наконец, совсем не исчезнет. Это явление можно наблюдать
на бальмеровской серии атомного водорода1).
Для того чтобы иметь возможность проследить действие элект-
электрического поля различной напряженности, устраивают так, что
различные части спектральной линии обусловливаются светом,
исходящим от атомов, находящихся в полях различной силы.
Именно, в объеме светящегося газа электрическое поле возрастает
в направлении, параллельном щели спектроскопа (до некоторого
предела, достигнув которого оно вновь падает). На фотографии
(см. рис. 53) приведены результаты подобного опыта. Буквами
Р, Y» б, е, ? обозначены линии серии Бальмера (Яр —переход
я = 4->я = 2, Яу — переход д = 5->я —2, Н$ — переход п =
= 6~>я = 2 и Яо —переход я = 7->-я = 2). Приложенное электри-
электрическое поле растет снизу вверх. Белые линии па фотографии
суть линии одинаковой напряженности поля. Из фотографии видно,
что линии сначала расщепляются. Это расщепление увеличивается
по мере роста поля (из расщепления линии Яр легко видеть поло-
положение линии максимальной напряженности поля). При некоторой
напряженности поля спектральная линия исчезает.
Сравнение линий р, у, б, е показывает, что они исчезают в по-
последовательности е, б, у (при достигнутых полях р полностью
х) Заметим, что наблюдение числа электронов, вырываемых полем, в данном
случае затруднено, так как в условиях газового разряда трудно установить,
за счет каких именно причин возрастает электронный ток.

438 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
не исчезает). Это есть последовательность возрастания энергии
возбужденного состояния. Из рис. 82 явствует, что чем выше
энергия электрона, тем меньше при заданном поле ширина и вы-
высота барьера, т. е. тем больше его прозрачность. Таким образом,
наблюдающаяся последовательность в исчезновении спектральных
линий вполне соответствует нашему толкованию этого явления
как результата туннельного эффекта. То обстоятельство, что крас-
красные компоненты расщепленных линий исчезают раньше фиолето-
фиолетовых, также получает полное разъяснение при более детальном
рассмотрении волновых функций электрона. Именно, состояния,
отвечающие линиям, смещенным в красную сторону, обладают
тем свойством, что в них интенсивность электронного облака больше
в области барьера, нежели в состояниях для .фиолетовых компо-
компонент. Благодаря этому ионизация протекает более благоприятным
образом.
Сформулируем несколько детальнее те условия, при которых
следует ожидать исчезновения спектральной линии в электриче-
электрическом поле. Пусть вероятность оптического перехода электрона
в нижнее состояние будет 1/т (т —время жизни в возбужденном
состоянии). Время жизни электрона в возбужденном состоянии
% ^^ 10 8 сек. Вероятность перехода электрона в нижнее состоя-
состояние в 1 сек будет 1/т. Вероятность туннельного эффекта (иони-
(ионизации) будет равна (так же, как и при расчете радиоактивного
распада) числу ударов электрона о внутреннюю стенку потен-
потенциального барьера в 1 сек, умноженному на коэффициент про-
прозрачности D. Число ударов о барьер по порядку величины равно
v/2r0, где V — скорость электрона, а г0 — радиус барьера, примерно
равный радиусу орбиты а. Скорость равна, опять-таки по порядку
величины,
, v = Л/ -J—-^, где |?|— энергия электрона, a |i — его
J?- = у-^ъЮ^сек-1 A01.2)
масса.
Следовательно,
(так как Е = — ~2~, а = — \. Следовательно, вероятность авто-
автоионизации равна 101G D сек-1. Чтобы преобладала автоионизация
(условие исчезновения спектральной линии), нужно, чтобы 1/т<С
<D- 10le, т. е. D> ЮЛ
Количественная теория автоионизации находится в хорошем
согласии с опытом1).
1) См. Г. Бете, Э. Солпитер, Квантовая механика систем с одним
и двумя электронами, Физматгиз, I960, стр. 370.

Глава XVII
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
§ 102. Общие замечания о задаче многих тел
Квантовая механика одной частицы во внешнем поле может быть
обобщена на случай движения многих частиц. Для этого так же,
как и в классической механике, достаточно рассматривать систему
из N частиц как одну частицу с 3N степенями свободы (если не счи-
считать спина частиц; с учетом спина будем иметь 4*V степеней свободы).
Все общие положения квантовой механики, имеющие силу для
системы с несколькими степенями свободы, могут быть сразу же
перенесены на систему, состоящую из N частиц. Тем не менее су-
существуют некоторые специфические моменты, свойственные систе-
системам из многих частиц и заслуживающие специального рассмот-
рассмотрения.
Среди этих специфических моментов особо важные выясняются
для систем, состоящих из одинаковых частиц. В дальнейшем нам
придется подробно остановиться на них. Свойства систем из оди-
одинаковых частиц образуют одну из наиболее замечательных глав
квантовой механики. Однако пока мы оставим в стороне эти осо-
особенности систем с одинаковыми частицами и обратимся к неко-
некоторым вопросам, общим*для систем любых частиц.
Всегда ли можно рассматривать совокупность частиц как меха-
механическую систему с соответственно большим числом степеней
свободы? Ответ должен быть отрицательный. Рассмотрение системы
частиц с координатами XiijiZx, хгуггг, ..., xNyNzN как механиче-
механической системы с 3N степенями свободы возможно лишь при условии,
что между частицами не действуют запаздывающие силы (или при
приближенном рассмотрении таких сил). Иначе говоря, все силы
взаимодействия должны зависеть лишь от мгновенных значений
механических величин, относящихся к нашим частицам (например,
от их координат и скоростей в данный момент времени), а не от
их значений в прошлом, как это бывает при действии запаздываю-
запаздывающих сил. Это условие не является особенностью квантовой меха-
механики, Оно таково же и в классической механике,

440 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
Поясним это условие на примере электромагнитных сил. Пусть
расстояние между частицей номера / и частицей номера k есть rjk.
Тогда время, в течение которого распространится электромагнитное
возмущение от одной частицы к другой, равно т = rjk/c, тле с —
скорость света. Для того чтобы можно было считать силы мгно-
мгновенными, необходимо, чтобы за время т расстояние между части-
частицами мало изменилось. Если относительная скорость частиц вдоль
rjk есть Vjk, то изменение rjk за время т есть Arjk = Vjkx = ———
с
и наше условие принимает вид
—— </> т. е. Vjk^c.
Следовательно, относительные скорости частиц должны быть
гораздо меньше скорости света с. Короче говоря, это всегда можно
сделать, если мы ограничиваемся нерелятивистской об-
областью скоростей.
Если vr^cy то сверх того, что мы должны будем учитывать
и релятивистские, и квантовые эффекты, мы должны будем вместе
с механическими уравнениями для частиц рассматривать еще и
уравнения электромагнитного поля, которые управляют распро-
распространением взаимодействия от одной частицы к другой.
Относящиеся сюда вопросы выходят за рамки этой книги и
вообще они еще не разрешены полностью современной теорией1).
Поскольку же v<^cy мы можем рассматривать квантовую меха-
механику системы частиц как механику одной частицы с многими сте-
степенями свободы.
Если у нас имеется W частиц с координатами xkykzk (&=1, 2,
3,,,.,JV)hc массами mk, то волновая функция г|? в этом случае
будет, как всегда, функцией координат всех степеней свободы нашей
системы и времени /, т. е. функция W+\ аргументов2):
Ц = Ц(хъ уь zb ..., xk, yk% zk, ..., xN, yN, zNJ). A02.1)
Она определяется, таким образом, в пространстве 3/V измерений,
в так называемом пространстве конфигурации системы.
Название этого фиктивного пространства проистекает от того, что
задание координат точки в этом пространстве есть задание трех-
трехмерных координат (xky ук, zk) для всех частиц (k= 1, 2, 3, ..., N)
нашей системы и, следовательно, определяет расположение (кон-
*) В. Г а й 1 л е р. Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956; П. А. М. Ди-
Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960; Г. Вентцель,
Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947. Особенно:
А. И. А х и е з е р, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика,
«Наука», 1969.
2) Чтобы не усложнять вопроса, мы не рассматриваем сейчас спина ча-
частиц.

§ 102] ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ 441
фигурацию) всех частиц системы в трехмерном пространстве. По-
Поэтому точку пространства конфигураций с 3N координатами
(*ъ Уъ zu •••> xNy yN, zN) называют изображающей (систему)
точкой.
Обозначим бесконечно малый элемент объема в пространстве
конфигураций через du\
dQ = dxx dtjx dzx... dxk dyk dzk... dxN dyN dzN. A02.2)
Тогда величина
w(xu уъ гъ ..., xk, yk, zkf •-., xN, yNy zNy /)dQ=i|)*i|?dQ A02.3)
есть вероятность того, что изображающая точка лежит в элементе
объема dQ пространства конфигураций в момент времени t, т. е.
вероятность конфигурации системы, при которой в момент t коор-
координаты первой частицы лежат между хъ x1Ardxly уъ yi + dyly zb
zi + dzu ..., А-й частицы - между xkf xk + dxk, ykf yfc + dyk, zk>
zk + dzk и т. д.
Наряду с элементом объема A02.2) рассмотрим элементы объема
в подпространствах типа dQk> dQkj, ••• и т. д., определенные
по формулам
dQ = dxkdykdzkdQky A02.4)
d?l = dxkdykdzkdx;dyjdzjdQkj и т. п. A02.4')
Интегрируя A02.3) по координатам всех частиц кроме &-й, т. е.
по dQk, мы найдем вероятность того, что координаты k-и частицы
лежат между xky xk + dxk, yfc, yk + dyky zk, zk + dzk при любом
положении других, иными словами, мы найдем вероятность того,
что k-я частица находится в данном месте пространства. Обозна-
Обозначая эту вероятность через w (xki yk, zky /), мы получаем
w (xk, Уь *k, t) dxk dyk dzk = dxk dyk dzk \ i|)*i|) dQk. A02.5)
Подобным же образом величина
w(Xk> Hk> *k> xJf yh zh t)dxkdykdzkdxidyjdZj^
= dxk dyk dzk dxj dy, dzj $ i|)*ij) dQkf A02.5')
есть вероятность того, что k-я частица находится около точки xkykzky
j-я частица одновременно около точки Xj-yjZj. Таким образом, зная
Еолновую функцию я)?, заданную в пространстве конфигураций,
можно определить вероятность данной конфигурации системы
A02.3), вероятность положения любой из частиц A02.5) и, нако-
наконец, вероятность того или иного положения пары частиц A02.5')
и т. п. Равным образом по общим формулам квантовой механики,
разлагая г|з по собственным функциям какого-либо из интересую-

442 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
щих нас операторов, можно вычислить и вероятности того или
иного значения любой механической величины.
Мы будем считать, что волновая функция яр (,vb ..., zA>, t) так
же, как и волновая функция одной частицы, подчиняется урав-
уравнению Шредингера
itidl = /fyf A02.6)
причем Н означает здесь гамильтониан для системы частиц. По-
Последний, в полной аналогии с классической гамильтоновой функ-
функцией для системы N частиц с массами тъ ..., mk, ..., mN
N Г
= 21
н
где Uk {Xk> Уку Zk> t)-— силовая функция k-и частицы во внешнем
поле, a Ukj(xkf ..., zj)— энергия взаимодействия k-й и /-й частиц,
напишется в виде
У*, г*, ]
ukj(xk, Ук> Zk, Xj, У/, zj)y A02.6')
где
4
Очевидно, что этот гамильтониан представляет собой простое
обобщение гамильтониана для одной частицы1).
Из уравнения A02.6) следует уравнение непрерывности для
вероятности w в пространстве конфигураций. Чтобы получить его,
умножим A02.6) на ij)* и вычтем сопряженную величину. Имея
в виду значение гамильтониана A02.6'), мы получим
N
1
Полагая
>*-ty*V/^)> A02.7)
!) Можно было бы выписать гамильтониан при наличии магнитного поля
и с учетом спина. Он равен сумме гамильтонианов отдельных частиц плюс
члены, определяющие взаимодействие частиц между собой.

§ 102] ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ 443
~ д д д
где vk — оператор с проекциями ^—, -т—, ~—, мы можем написать
oxk °Vk azk
полученную формулу в виде
N
5+2 div,J, = 0. A02.8)
Это уравнение показывает, что изменение вероятности конфигу-
конфигурации w обусловливается потоком этой вероятности. 5k есть функ-
функция координат всех частиц (и времени) и имеет смысл плотности
тока, обусловленного движением k-й частицы при заданных коор-
координатах всех остальных (N — 1) частиц. Чтобы получить плотность
тока k-ih частицы ]k при любом положении остальных, следует
интегрировать A02.7) по всем координатам, кроме координат &-й
частицы:
U (xk, Уь Zk, t) = \ ik (xlf ..., xkf yky zk, ..., zN, t) duk. A02.9)
Этот ток также удовлетворяет уравнению непрерывности, но уже
в трехмерном пространстве. Именно, интегрируя A02.8) по dQb
мы получаем
~ w (хъ ..., zN, t) dQk =s
\w ^Хъ "•> zN,f)dQk = ^w(xk, yk, zky t).
= di
Далее,
N N
Так как duk (см. A02.4)) как раз содержит координаты всех ча-
частиц кроме &-й, то интегралы вида \ div* J^- dQk можно преобра-
преобразовать в поверхностные, и если г|) исчезает в бесконечности, то
они равны нулю. Так как, напротив, в интеграле § div/, JkdQk
дифференцирование и интегрирование идут по различным пере-
переменным, то
^ divk3k dQk = div/, \ 3k duk = div^jft.
Таким образом, мы получаем закон сохранения для каждой из
частиц
to@ t)s=0f (Ю2Л0)
сформулированный уже в трехмерном пространстве (xk, yk, гк).

444 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
§ 103. Закон сохранения полного импульса системы
микрочастиц
В классической механике, как известно, полный импульс
системы частиц, находящихся под действием лишь внутренних
сил, остается постоянным. При этом центр тяжести системы дви-
движется по инерции прямолинейно и равномерно. Если же имеются
внешние силы, то изменение полного импульса в единицу времени
равно результирующей всех внешних сил, действующих на ча-
частицы системы. Мы покажем, что эти положения классической
механики сохраняют свою силу и в квантовой области. Определим
для этой цели оператор полного импульса всех микрочастиц си-
системы Р. Под оператором полного импульса всей системы частиц
мы будем подразумевать сумму операторов импульса Pk всех ча-
частиц k=l, 2, ..., N:
р= 2 Pk = -ft 2 v.. (Ю3.1)
Вычислим оператор производной импульса Р по времени. Согласно
общим формулам квантовой механики
§| A03.2)
Подставляя сюда Н из A02.6') и замечая, что Р коммутирует
N
с оператором кинетической энергии частиц Т = — 4- /_, — vl, мы
k= I
получим, что
.а (/ N N
V*)(i«/*+ S иЛ. A03.2')
/ V I)
Далее, замечаем, что
N
Наконец, вычислим перестановку оператора ^ \k и взаимной
k = \
энергии частиц ^ Ukj- *~1ри этом мы сделаем предположение, что
кф\
силы между частицами зависят лишь от взаимных расстоянии
между частицами rkJ- так, что Ukj = Ukj(rkj)- Тогда на Ukj дейст-

§ 104] ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 445
N
вуют только те операторы Vfc' из суммы ^ \k, для которых
k' =k или k'=j, т. е. на Ukj действует пара: Vfc + Vy- Имеем
* + Vy) - (V* + Vy) Ukj = - 4kUkJ - VjUkJ, A03.4)
но
rkJ dUkJ dUkj rkJ
drkj v/? v drkj rkj> ^J *J drki V/ *J drkj rkj
Следовательно,
vA/+vA = o. (Ю3.5)
Это есть выражение закона о действии и противодействии. Из него
следует, что перестановка операторов A03.4) равна нулю.
Таким образом, получается
т. е. оператор производной полного импульса по времени равен
оператору результирующей силы, действующей со стороны внеш-
внешних полей на нашу систему.
Эта теорема является полным аналогом классической теоремы
о движении центра тяжести системы. Различие заключается лишь
втом, что в квантовой механике она формулируется не для самих
механических величин, а для изображающих эти величины опе-
операторов и, следовательно, для средних значений величин.
Если внешние силы отсутствуют (Uk = C)> то из A03.6) сле-
следует, что
f = 0, A03.7)
т. е. полный импульс системы частиц, взаимодействующих между
собой, в отсутствие внешних сил сохраняется.
Напомним, что операторное равенство A03.7) означает, что:
1) среднее значение полного импульса не меняется с течением
времени, 2) вероятности до(Р') того или иного значения Р' также
остаются неизменными.
§ 104. Движение центра тяжести системы микрочастиц
Докажем важную для приложений теорему о независимости
движения центра тяжести системы от относительных движений ча-
частиц, образующих эту систему. Для этого преобразуем гамильто-
гамильтониан системы частиц Я, подверженных действию лишь внутренних

446
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
сил:
A04.1)
A04.2)
к новым координатам: координатам центра тяжести системы X,
Y, Z и 3N — 3 относительным координатам. Удобно взять так на-
называемые координаты Якоб и, которые определяются сле-
следующим образом:
A04.3)
= X
Совершенно такие же формулы имеют место для осей OY и OZ:
= Y
A04.3')
Эти формулы представляют собой обобщение обычных формул для
координат центра тяжести и относительных координат двух ча-
частиц. Координаты Якоби являются ортогональными. С помощью
обычных правил перехода от дифференцирования по одним пере-
переменным к дифференцированию по другим переменным можно до-
доказать, что *)
где
V»—
^-4-
^
A04.4)
A04.5)
A04.6)
См. дополнение XI.

§ 101] ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 447
М есть масса всей системы, a |.iy —приведенная масса центра тя-
тяжести / первых частиц и (/+1)-й:
лг
Л1= ?mkf A04.7)
1 = -_1_ + ^_ (Ю4.8)
Из этих формул следует, что гамильтониан A04.1) может быть
написан в виде
(&, ..., In-u Ци ..., r|.v-b Si, .... Слг-i), A04.10)
причем оператор
есть оператор кинетической энергии центра тяоюести всей си-
системы, а оператор
есть оператор кинетической энергии относительного движения
частиц. Существенно, что в "энергию, взаимодействия W коорди-
координаты центра тяжести не входят. Преобразуя 1Ъ ..., g,v.b %, ...
• • • > 'Htv-i, Si» ...» Sat-i к любым новым относительным координа-
координатам, qu q2, ..., <7з//-з» мы не изменим оператора Т. Поэтому
вообще вместо A02.6') можно написать
? *я + й(?ь ^ -'• ?здт-з)' A04ЛЗ)
где Я?. есть гамильтониан для относительного движения, который
не содержит координат центра тяжести. Далее, на основании A04.9)
и A03.1) получаем новое выражение для оператора полного
импульса
Px = -ih^x> Py^-ih^, Р^-Ш~. (Ю4.14)

448 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
Волновую функцию ? будем рассматривать как функцию коорди-
координат центра тяжести X, Y, Z и относительных координат qu q2y ...
• •-, Q-3N-3- Уравнение Шредингера с гамильтонианом A04.13)
допускает разделение переменных, если положить
Ч(Х, Г, Z, <7ь ?2, ..., ^v-з, 0 =
= Ф(Х, Г, Z, /)г|5((/1, ?2, ..., qsN-з, t). A04.15)
Подставляя A04.15) в уравнение Шредингера, получим
1Н^ + 1ПФ^ = -Ъ~Ч*Ф + ФЙ$. A04.16)
Разделив это на Фф и приравнивая порознь члены, зависящие
от X, Y, Z и qu q2, ..., ^злг-з, мы найдем два уравнения:
? ^ A04.17)
^ A04.18)
Первое из уравнений относится к движению центра тяжести,
второе — к относительному движению. Как мы видим, первое есть
уравнение движения свободной частицы с массой М: центр тяжести
в отсутствие внешних сил движется как свободная материальная
точка. Простейшее, частное, решение уравнения A04.17) есть
волна де Бройля
Ф(Х, Y, Z, t)==-Lp.e*Fl-P*X-PyY-P*z>. A04.19)
Она же, как следует из A04.14), есть собственная функция опе-
оператора полного импульса Рх, Ру, Pz, принадлежащая собственным
значениям Рх, Ру, Рг. Е есть собственное значение кинетической
энергии движения центра тяжести системы
Длина волны X этих волн, как это следует из A04.19), так же
как и для элементарной частицы, равна
^=Ч = Ш/' P = VPi+Pl + Pi: (Ю4.20)
где У —групповая скорость движения центра тяжести.
Вывод этот важен, так как особенно подчеркивает, что волны
де Бройля не являются какими-то колебаниями, связанными с при-
природой (например, структурой) частиц, а выражают в квантовой
области общий закон движения свободных частиц или закон дви-
движения центра тяжести системы, не подверженной действию внеш-
внешних сил.

§ 1051 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 449
§ 105. Закон сохранения момента импульса системы
микрочастиц
Пусть мы имеем систему из N частиц. Обозначим операторы
проекций момента импульса ?-й частицы на оси координат через
МкХ9 МкУ9 Ml
A05-Г)
где xkf ykt zk — координаты k-n частицы.
Соответственно этому операторы проекций полного момента
импульса всей системы частиц MXf My, Мг определим по фор-
формулам
Mx=%Mkx, A05.2)
My=Y>Ml A05.2')
N
Mz= 2] Mk2. A05.2")
Покажем, что оператор производной по времени от момента
импульса равен моменту сил, действующих на систему (точнее,
оператору момента сил). Согласно общему определению производ-
производной оператора мы имеем
^ = i (МХ-МХН). A05.3)
Гамильтониан Я, согласно A02.6'), равен
й) 2 ""•
Для вычисления перестановки операторов в A05.3) мы должны
иметь в виду, что каждое слагаемое Mkx в Операторе Мх дей-
действует лишь на те члены в Я, которые содержат координаты
k-n частицы.
Операторы V| коммутируют с оператором Мкх. Действительно,
мы знаем, оператор кинетической энергии можно представить

450 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIi
в виде
где trk —оператор той части кинетической энергии частицы, кото-
которая отвечает движению частицы по радиусу-вектору rk, а (МкJ —
квадрат момента импульса k-и частицы. Мх коммутирует и с ТА/г,
и с (М J, поэтому Мх коммутирует с —2/тГ~^*'
Вычислим теперь перестановку Мх и Uk. Имеем
= itl [Уп^ — Zk^ • A05.6)
Наконец, найдем еще перестановку
л г/г "л— ==! ^  У к Ч
dzk * дук I firkj \ик rkj R rkj
dUkj 1
/ - г,ук) ^— —. A05.7)
К) К/
Подставляя A05.6) и A05.7) в A05.3), найдем
dMx I дц ди
Последняя сумма равна нулю, в чем убеждаемся сразу, переме-
переменив местами индексы k и /. Поэтому получаем
Стоящее справа выражение есть не что иное, как оператор проек-
проекции на ось ОХ суммы моментов внешних сил, действующих на
систему. Совершенно таким же образом получаем
A05.8')
Таким образом, мы получаем теорему, известную из классической
механики: изменение момента импульса в единицу времени равно

§ 1051 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 451
моменту внешних сил, действующих на систему. Эта теорема
в квантовой механике, подобно теореме о полном импульсе, фор-
формулируется для операторов.
Если момент внешних сил равен нулю, то полный момент
импульса системы сохраняется:
dMv dMy dMz
ЧГ^~Ж = 1Г^0' A05.9)
Следовательно, при отсутствии внешних сил среднее значение мо-
момента импульса Мх, Муу Mz и вероятности w(Mx)yw(My)y w(Mz)
нахождения определенного значения какой-либо из проекций мо-
момента не изменяются с течением времени.
Если учесть спин частиц, то оператор полного момента импульса
должен быть определен по формулам
Mx=]?(Mkx+si)> A05.10)
My=2i(Mky+sky), A05.10')
4= Ц(МгЧ^), A05.100
где s*, sfe, s^ —операторы (двухрядные матрицы) проекций соб-
собственного механического момента k-й частицы. Теорема о сохра-
сохранении полного момента импульса остается в силе и в этом слу-
случае. Если нет сил, действующих на спины, то доказательство
этой теоремы ничем не отличается от приведенного выше, так как
при таком предположении гамильтониан системы коммутирует
со всеми операторами sfi.
Так как операторы Мх, Mkyi М*2, skXi s*, skZy принадлежащие
разным частицам (разные k), коммутируют между собой, то из
известных правил перестановки для компонент орбитального
момента B5.5) и спинового момента E9.1) одной частицы легко
получить правила перестановки для полного момента импульса
системы частиц:
мхми
M,,MZ
мгмх
№Му
M2MZ
-м,,мх
-м,му
~МХМг
-МЖ--
-Ми№--
л. .к
=тмг,
= ihMx,
= ihMy.
= 0,
= 0,
= 0,
A05.11)
A05.1 Г)
A05.11")
A05.12)
A05.12')
A05.12")

452 ЗАДАЧА МНОГИХ ТНЛ 1ГЛ. XVII
где М2 есть оператор квадрата полного момента импульса
М2 = №+Щ + М1 A05.13)
Ниже на основании этих правил перестановки доказывается,
что полный момент импульса для системы частиц квантуется по
формулам
M2 = h2J(J+l), A05.14)
Ms = hm, |m|</, A05.15)
причем / есть либо целое число 0, 1, 2, 3, ..., либо полуцелое 1/2,
3А>» 5А>> ..«в зависимости от числа частиц и их спина. Неравен-
Неравенство \m\^J означает, что т = «/, У—1, J — 2, ... — /. Иначе
говоря, мы имеем всего 2/+1 квантовых ориентации полного
момента относительно любого направления (OZ).
Заметим, что так как у электрона спин полуцелый'^/г)» то для
четного числа электронов J всегда целое, а для нечетного — полу-
полуцелое.
Проекции A05.2), A05.2'), A05.2") полного орбитального мо-
момента
N
ML^^Mk A05.16)
и полного спинового момента
А!5= %sk A05.17)
подчиняются тем же правилам перестановки, что и проекции пол-
полного момента. Поэтому они квантуются по аналогичным формулам
L = 0, I, 2, 3, ..., A05.18)
mL, \mL\^L, A05.19)
2, 3, ..., или S = V2, 3/2, 5/2, ....
A05.20)
Mzs = flmS9 |ms|<S. A05.21)
При заданном значении полного орбитального момента L и задан-
заданном значении полного спинового момента S возможны различные
значения / в зависимости от взаимной ориентации векторов Ml
и Ms. Рис. 48 (стр. 274) может служить иллюстрацией сложения
этих моментов.
Очевидно, что J может принимать все значения от L + 5,
соответствующего параллельной ориентации ML и Ms, до \L — S',
соответствующего антипараллельной ориентации этих векторов,

§ 1051 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 453
т. е.
|L-'rS-l|, |L + S-2|, ..., \L-S\. A05.22)
Всего BS+1) значений. Все состояния с одними и теми же L и
S образуют один мультиплет — группу уровней, находящихся,
ввиду слабости взаимодействия между спином и орбитальным
движением (ср. § 65), в соседстве друг с другом. Кратность (число
уровней) в мультпплете равна, как мы видим, 25 + 1.
Полный момент системы /, ее орбитальный момент L и спино-
спиновый момент S служат для обозначения терма атома в целом.
Так же как и для одного электрона (ср. § 65), термы с L =
= 0, 1, 2, 3, ... обозначают S, P, D, F, ... (па этот раз боль-
большими буквами) соответственно. Справа внизу приписывают зна-
значок, указывающий значение полного момента ./, а слева вверху
значок кратности мультиплета, к которому принадлежит терм,
а тем самым указывают и полный спин. Например, 4Л/, означает
терм, для которого L —3» J = *l±> S = 3/2; 6So/2 означает терм,
для которого L = 0, J = 5/2, S = b/2.
Формула A05.15) доказывается сразу, если заметить, что отдельные члены
в сумме A05.10") коммутируют между собой и, следовательно, могут быть
одновременно приведены к диагональному виду, так что собственное значе-
значение М„ равно сумме собственных значений M^ + s^. Но собственные значения
последних суть hm^ где т^ — целое или полуцелое число, смотря по значению
спина частиц. Таким образом,
Mz= 2 Ьщ = йт> m==z 2 ть- A05.23)
Для определения собственных значений М2 введем операторы
A=Mx+iMy, В = МХ —Шу.
Пользуясь A05.12), получаем
АМг-МгА = —ПА, BMz-MzB = tiB. A05.24)
Напишем эти равенства в виде произведений матриц, беря представление,
в котором Mz диагонально. Тогда получаем
Вт.тЛт!
-Ьт'Ат.т~ = -ПАт.т„Л
-Пт>Вт,т„ = ПВт,т„, f
или
™т'т"{т ~~т ' ' ~~ ' т'т"{т т ~ / ~~ * A05.26)
Отсюда следует, что единственные неисчезающие элементы А и В суть
^/n, m-i и Bm,m+i- Оператор квадрата полного момента М2 можно выразить
через операторы А и В двояким образом, именно,
М2 --= А В -(- Ml — Ш2, A05.27)
A05.27')

454 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
Отсюда
A05.28)
Беря диагональный элемент (m, т) от этих равенств, получим
, A05.29)
~* -Л» (т + |J. (Ю5.29')
Будем теперь считать величину М2 заданной. Тогда возможные значения | т \
неизбежно ограничены. В самом деле,
собственное значение Мх-\-Му не может быть отрицательным. Обозначим ниж-
нижнее значение т через т'', а верхнее — через т"'. Тогда из A05.29) и A05.29')
следует (так как Ат.% т^,-0, Вт,_и т, = 0 и Лт„+Ь т. = 0, Вт.§/я« + 1=0)
Отсюда
'» - 2
Разность m"—m' + l есть число целое, равное числу различных возможных Мг
при данном М2. Обозначим т" — т'+1 =2J+ 1. Тогда из A05.30) и A05.30')
получаем
или
Л!2 = Л2У(У + 1). A05.31)
В силу полной равноправности положительных и отрицательных значе-
значений Мг мы должны положить т!'— — т'. Вместе с A05.15) это нам дает
1 3
| т | ^ J, где m = 0, j; I, j_- 2, ..., it У или т — Л. ~ , .t -у, ..., ± /.
При доказательстве мы пользовались только правилами перестановки опе-
операторов проекций импульса A05.11), Так как таким же правилам перестановки
подчиняются порознь проекции оператор:) полного орбитального момента
A05.16) и полного спинового момента A05 17), то тем самым доказаны и фор-
формулы A05.18), A05.19) и A05.20), A05.21).

§ 106] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 455
Из этих формул и из A05.14) следует, что оператор скалярного произве-
произведения
имеет собственные значения
\)-L (/,+ l) + S(S + l)J, A05.32)
так что формула F4.13) для одной частицы является частным случаем A05.32).
Повторяя рассуждения § 74, можно легко вывести формулу для энергии
в магнитном поле для системы частиц
wtoLm(i + l^\ A0533)
так что G4.23) будет частным случаем A05.33) для одной частицы. Формула
A05.33) дает расщепление уровней в магнитном поле для системы электронов
(сложный атом).
§ 106. Собственные функции оператора момента импульса
системы. Коэффициенты Клебша—Гордона
Собственные функции оператора полного момента системы
являются сложными функциями угловых и спиновых координат
частей системы и их квантовых чисел. Однако в большем числе
часто встречающихся случаев их можно выразить через функции
моментов импульса отдельных частей.
Рассмотрим наиболее простой случай системы, состоящей из
двух подсистем. Пусть Мх и М2 суть операторы моментов импульса
этих подсистем, коммутирующие друг с другом. Мх и М2 могут
быть орбитальными и спиновыми моментами двух частиц, орби-
орбитальным и спиновым моментами одной частицы и т. д.
Полный момент импульса будем считать интегралом движения.
Состояние системы может быть охарактеризовано как квантовыми
числами /ь /2, тъ т2 (/ь /2 — собственные значения моментов
импульса подсистем, тъ ш2 —их проекций), так и четверкой чи-
чисел У, т, /ь /2 («Л /л— собственные значения полного момента
системы и его проекции, причем т = т1 + т2 A05.23)).
Поставим задачу определить волновые функции системы через
волновые функции подсистем.
Пусть У/1Ш| —¦ общие собственные волновые функции операто-
операторов Щ и MXzy Yjsmi то же для Ml и M2z. Тогда произведение
У'итУып2 будет собственной функцией оператора проекции пол-
полного момента
с собственным значением П1 =
Обозначим через У',}/,/, общую собственную функцию операто-
операторов М2 и М;. Ее можно представить как линейную комбинацию

456 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
произведений YjxmiYJ2m2:
mi ¦= —Л m2 =— /2
Коэффициенты (jijofitinio \ Jtn) являются действительными чис-
числами и называются коэффициентами Клебша — Гордона (Жор-
данаI). Они равны нулю при тфтх-\-тъ так что двойная
сумма в A06.1) фактически сводится к однократной. Функ-
Функции К7/,/2 зависят от тех же переменных, от которых зависят
функции У/,,,,,, F/2m2. В частности, если одна из них есть функ-
функция угловых координат, другая— спиновых, то соответствую-
соответствующая Ynjjlj2 называется сферической функцией со спином. Именно
этот случай был нами рассмотрен в § 63, где находились соб-
собственные функции полного момента —спинового и орбитального
для одной частицы. Коэффициенты при YUm и Yuш1 в форму-
формулах F4.28) и F4.28') и суть не что иное, как коэффициенты
Клебша — Гордона для случая2) /2==1/2- Спиновые волновые функ-
функции в этих формулах заменены их значениями @1).
Выражение A06.1) допускает обратное преобразование
5'/|/Лт,= 'if 2 (hh«hm2\Jm)Yyhl2 A06.2)
(сумма по т содержит фактически один член m =
Из условий ортогональности систем функций Yjm и Ку/,/2 сле-
следуют условия ортогональности для коэффициентов Клебша —
Гордона, а именно
Wo I J'tri) = bjj>bmm>, A06.3)
\ — — /i m2-=— /2
/i + /2 J
2 Sm^jS,,,^/, A06.4)
(Ю6.5)
2) Подробно см. К- Кондон, Г. Шортли, Теория атомных спектров,
ИЛ, 1949. По поводу обозначений см. А. С. Давыдов, Теория атомного
ядра, Физматгиз, 1958.
2) m в F4.28') соответствует mL в A06.1), / -> /ь /п±-г->т.

§ iCHil СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 457
jij^iftb | Jm) = (—
Коэффициенты Клебша — Гордона удовлетворяют также неко-
некоторым условиям симметрии, а именно,
>=¦-:(—I)'"'-'- h-J {jih,—mu —m,\J, — m), A06.6)
h~J (ЫШЧПЧ I Jtn), A06.7)
rb -m, m2|/lf —/7ii), A06.8)
UiJtni, —m\J2, -m2), A06.9)
1/2/7+1 (/i/V"iM21 Jm) =
У 2/2
= (— 1)'«--Н-от«К2/+1(/2У/и2, -ml/b-mi). A06.10)
Приведем табл. 2 и 3 коэффициентов Клебша — Гордона для /2 = -^
и 1.
Таблица 2
Коэффициенты Клебша—Гордона (/]_ — ntim21 //^
J
1
/i —у
1
/,+-+iy
\ 2/1 + 1 /
/ • , 1 \1/2
\ 2Л+1 J
m2== ~T
\ 2/x+l /
/ • , ,1 \1/2
h + /n + T
\ 2/x+l У
Благодаря свойствам симметрии коэффициентов Клебша —Гор-
—Гордона эти таблицы могут использоваться во всех случаях, когда
любое из квантовых чисел./ь /2, У равно 1/2, 1. Обратим внима-
внимание читателя на значение некоторых коэффициентов Клебша —
Гордона. Если / = /i + /2, то
(ЛЬ hh\JJ) = {hh> —/ь —/2|Л —/) = 1 A06.11)
для любых значений Д и /о. Для случая сложения двух анти-
антипараллельных спинов имеем
2 ' 2
00)-(^
0)
1
2 ' 2 '
1 J
2*2
1

Таблица 3 ?;
Коэффициенты Клебша — Гордона (y'il т1т21 Jtri)
J
/l
/l-l
[-
-[
m2= 1
2/l(/l+
2/iB/i +
i+l
+ 2
1)
1)
J
1I1/2
J
t-
m* = 0
Г(Л —«)(A-
L A B/i+l
m+l)-|l/2
1) J
[-
[
m2 =
(/i — m) (/! -
C2/i+l)B/
(ii — /w)(/iJ
j
m+l)
i + 2)
-m+l
1)
11/2
)jl/2
J"

§ 1071 СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 459
т. е. волновая функция системы двух антипараллельных спинов
будет
S(sn, s?2) = ~\S x(s?l)S i(srt)-S i(szl)S iM] A06.13)
(см. A21.13)).
Общая формула для коэффициентов Клебша — Гордона при-
приведена в работе Вигнера1).
§ 107. Связь законов сохранения с симметрией
пространства и времени
Физическое пространство обладает свойством однородности и
изотропности. Время — свойством однородности. Кроме того,
в отношении обратимых процессов имеется равноправие по отно-
отношению к знаку времени.
Эти свойства пространства и времени отображаются в основ-
основных законах сохранения квантовой механики для замкнутой
системы
А. Закон сохранения энергии
Рассмотрим следствия однородности времени. Произведем бес-
бесконечно малый сдвиг во времени At. Тогда волновая функция
системы г|> перейдет в i|/ = i|) (х1э х2, ..., xNy t + At). Это изменение
функции мы можем рассматривать как действие бесконечно малого
унитарного преобразования S/ (см. §§ 28, 44):
4>' = S/1>, A07.1)
А А
где St=\-\-iLAt и L —эрмитов оператор.
С другой стороны, а|/ — t|> = -—¦ At и, сравнивая с A07.1),
получим
Это уравнение совпадает с уравнением Шредингера и
Но в силу однородности времени L, а следовательно, и Я не
дЙ
должны зависеть от времени, т. е. -лг = 09 а следовательно, и
^ = [Я, Я] = 0, A07.2)
что и выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе.
2) Е. В и г н е р, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической
теории атомных спектров, ИЛ, 1961.

160 ЗАДАЧА МНОГИХ ТПЛ [ГЛ. XVII
Б. Закон сохранения импульса
Рассмотрим замкнутую систему частиц и произведем смещение
всех координат (радиусов-векторов) х^ на бесконечно малую вели-
величину Ах. Тогда
г|5'=я|)(х1 + Дх, ..., Хдг + Ах, /) =
N
=-.1|)(хь ..., xN, /)+Ax ? V*ip, A07.3)
где V* —градиент по координатам k-й частицы.
Рассматривая это смещение как бесконечно малое унитарное
преобразование
где ^-эрмитов оператор, найдем
Оператор g только множителем й отличается от оператора
полного импульса системы Р A03.1). Так как операции смещения
в пространстве Sx и во времени 5/ могут выполняться в любом
порядке (в отсутствие внешних сил), то Sx и S/ коммутируют,
т. е. [Hg] = 0, а следовательно, [Р//] = 0. Это означает
^- = 0, A07.5)
т. е. сохранение полного импульса замкнутой системы.
В. Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим бесконечно малое вращение системы в изотропном
пространстве вокруг оси OZ на угол Аф^. Это вращение приведет
к изменению координат k-й частицы на
Дхл = {улДфг> — *лД<р„ 0}. A07.6)
Новая функция i|)' = t|?(x1 + Axi, ..., xN + AxN, t) может быть
получена из первоначальной с помощью бесконечно малого уни-
унитарного преобразования
5ф,= 1 + ш1,Дфг, !/ = Sq*t|>. A07.7)
С другой стороны, учитывая A07.6), получим
x, ..., xN + AxNy /) =

§ 1071 СИЛШПТРПЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 461
Сравнивая A07.7) и A07.8), получим
N
т, = 1У [хк?--ук?А, (Ю7.9)
т. е. /72- только множителем отличается от оператора М2 проек-
проекции полного момента па OZ. Аналогичные соотношения получим
для вращения вокруг двух других осей и, таким образом,
5ф=1+~ЛДф, A07.10)
Л
где М-оператор момента импульса системы.
В силу изотропности пространства и однородности времени
операторы S<p и Sh а следовательно, М и Н коммутируют между
собой, т. е. [ЛШ] = 0. Поэтому
^¦ = 0, A07.11)
т. е. момент импульса системы есть интеграл движения.
Г. Закон обратимости процессов
в квантовой механике
Рассмотрим преобразование Т обращения времени: t-> — t.
Уравнения движения инвариантны по отношению к этому преобра-
преобразованию для случая обратимых процессов. В квантовой механике
все процессы обратимы 1). Поэтому операции Т должно соответ-
соответствовать некоторое унитарное преобразование волновой функции
и операторов, отображающее свойство обратимости.
Рассмотрим уравнение Шредингера сначала' в отсутствие
электромагнитных полей
2 # (inJ + V A07-12)
При замене t на —/ мы получим
а| A07.12')
где i|/ = i|>(Xi, ..., xN, — 0 = SH>.
Сравнивая A07.12') с уравнением Шредингера для комплексно-
сопряженной функции
?? A07.120
1) Это утверждение не относится к процессу измерения, который может
быть и необратимым.

462 ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVII
МЫ ВИДИМ, ЧТО
i|>' = SH> = i|>*, A07.13)
т. е. функция, описывающая обращенное во времени движение,
совпадает с комплексно-сопряженной.
В случае заряженных частиц, движущихся во внешнем электро-
электромагнитном поле, при обращении времени нужно одновременно
переменить знак магнитного поля и знак спинов:
—ASr, A07.14)
= — gSt. A07.15)
Действительно, при таком преобразовании уравнение Паули
F1.5)
при замене /-> — /, А-> —А, а-> — cr, H = rotA-> — H перейдет
в уравнение для комплексно-сопряженной функции if)*, т. е.
сохранит силу равенство1) A07.13).
Д. Закон сохранения четности
Рассмотрим теперь преобразование инверсии Р: х-+ — ху
у-*—у, 2-> — г. Это преобразование соответствует переходу от
правой системы координат к левой.
В нашем пространстве нет различия между правыми и левыми
винтами. Поэтому теория должна быть инвариантна по отношению
к преобразованию инверсии Р. Это требование налагает условие
на возможные гамильтонианы, именно,
РН=ЙР. A07.17)
Соответствующее унитарное преобразование волновой функции
будет
у% 2, t). A07.18)
Равенство A07.17) означает, что оператор инверсии есть инте-
интеграл движения
^¦ = 0. A07.19)
Далее, очевидно, что P2ty — -j-\|). Отсюда следует, что собствен-
собственные значения оператора инверсии равны ± 1. Волновые функции
(или состояния), принадлежащие Р = + 1, называют ч е т н ы м и
(+), а принадлежащие Р = —1, —нечетными (—).
Ср. по этому поводу § 44 и сноску на стр. 174.

§ Ю71 СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 463
Если состояние в какой-то момент времени обладает опреде-
определенной четностью, то в силу A07.19) эта четность не может изме-
измениться. Поэтому четность является одним из признаков, которым
характеризуется квантовая система.
В частности, для частицы в состоянии с орбитальным момен-
моментом / четность равна (—II (§ 25). Для системы частиц, обладаю-
обладающих моментами /ь ..., lNy четность состояния будет определяться
четностью произведения К/^,..., YiNmN, что дает (—1) /i+/2+-+/^.
В заключение заметим, что' если квантовая система находится
не в пустом пространстве, а в какой-то среде, во внешнем поле
или внутри кристалла, то свойства симметрии среды будут также
отображаться в существовании некоторых интегралов движения.
Например, если атом вкраплен в кристалл такой, что он обла-
обладает осью симметрии /г-го порядка, то при повороте на угол 2я/п
среда будет переходить в саму себя. Операция поворота на угол
Ф = 2я/я будет интегралом движения, а волновая функция атома
ф будет подвергаться при этом определенному унитарному пре-
преобразованию.

Глава XVIII
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ
§ 108. Учет движения ядра в атоме
При рассмотрении движения оптического электрона в атоме
мы предполагали ядро атома неподвижным, рассматривая его как
источник центральных сил. Такое приближение тем лучше, чем
больше масса ядра т. Пользуясь доказанной выше теоремой
о центре тяжести, легко учесть поправки, обусловленные конеч-
конечностью массы ядра. Уравнение для определения энергии Е и
собственных функций ЧГЕ будет, с учетом движения ядра, писаться
в виде
+ U(rI? = ExP, A08.1)
где гп\ — масса ядра, хъ уъ гх — его координаты, т2 — масса
электрона, х2, Уг, г.2~его координаты, г есть расстояние между
ядром и электроном
-z2)\ A08.2)
Вводя координаты Якоби, согласно A04.3) получим
= X, A08.3)
2, (Ю8.3")
так что ?ь iii, Si в этом случае суть просто относительные коор-
координаты ядра и электрона, X, Y, Z —координаты центра тяжести
электрона и ядра. В этих координатах гамильтониан уравне-

§ 10S] УЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ЯДРА В АТОМЕ 465
пня A08.1) перепишется согласно A04.10) в виде
2М \dX'z ' дУ2 dZ- j 2\i \ дх'1 "* ду* дг- )
L = E49 A08. Г)
где
М=т1 + т2, -¦ = -!¦+ * . A08.4)
ft mj ' пи v ;
Разделим переменные X, У, Z и .г, у, г так же, как это дела-
делалось в § 104 (см. A01.15)):
?(Х, Г, Z, х, у, г) = Г^*+Р''У + РЛи*, у, г). A08.5)
Это решение означает свободное движение центра тяжести атома
с импульсом рх, ру, pz. Для функции г|з(х, г/, г)у описывающей
относительное движение, получим
где
Уравнение A08.6) совершенно одинаково с уравнением для дви-
движения частицы с массой jli в заданном силовом поле U (г), г имеет
смысл внутренней энергии атома (энергии относительного движе-
движения), а полная энергия Е складывается из энергии относитель-
р2
ного движения 8 и энергии движения центра тяжести атома ~.
Когда мы решали задачу о движении электрона в атоме, то мы
имели дело с таким же уравнением, как и A08.6), но вместо
приведенной массы \х стояла масса электрона. Поэтому нам нет
надобности заново решать задачу о движении электрона в атоме
с учетом движения ядра. Чтобы теперь найти е и if> (x, у, г),
достаточно заменить во всех прежних формулах массу электрона
на приведенную массу \i. Так как масса ядра тх во много раз
больше массы электрона т2, то из A08.4) следует, что [1^т2,
так что вызываемые движением ядра поправки к 8 и if> будут
малы. Если считать массу ядра бесконечно большой, то \i=--m2
(масса электрона). При этом условии в § 51 нами было найдено
значение постоянной Ридберга R (мы обозначим ее теперь через
Roo и массу электрона через ш2), равное
& <108-8>
Мы видим, что для того, чтобы получить истинное значение
постоянной Ридберга, определяющей оптические частоты элек-

466 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
трона, движущегося в кулоновском поле, нужно заменить т2 на
приведенную массу \х. Так как |и для различных атомов раз-
различно, то это обстоятельство позволяет определить из спектраль-
спектральных наблюдений массу электрона. Это было сделано Хаустоном
с помощью точных измерений линий На и Нр водорода и срав-
сравнения их с соответствующими линиями иона Не1. Так, например,
для На частота vH для водорода равна
где /?//-- постоянная Ридберга для водорода. Для иона гелия и
для того же квантового перехода имеем
2С
п
32") ~ 36 Нс'
где /?нс — постоянная Ридберга для Неь. Множитель 4 появляется
по той причине, что величина термов атома (см. § 51) пропор-
пропорциональна квадрату заряда ядра Z2. Заряд же ядра Не вдвое
больше заряда ядра Н. Из предыдущих формул следует, что
(Ю8.9)
где |1нс и [in суть приведенные массы нона гелия и водорода.
Согласно A08.4) имеем
JL = J l _._ = _! L L A08 10)
цн тн ^ т2 > цНе тНе т2 ' V • /
где тн —масса ядра водорода, а /пне — масса ядра гелия. Под-
Подставляя это в предыдущую формулу, мы получим
Отсюда видно, что, определив спектроскопически у и зная атом-
атомные веса Н и Не, мы можем вычислить отношение --2-, т. е.
тн
«атомный вес» электрона. Указанным путем Хаустоп нашел
т-2- - 0,000548, ~- = 1838,2 ± 1,8. A08.11)
Этот же эффект является средством для определения масс изо-
изотопов. В самом деле, линии, соответствующие одинаковым кван-
квантовым переходам," у разных изотопов несколько различны из-за
различия в приведенных массах. Таким путем была установлена
масса тяжелого водорода (дейтерия): то=.2

§ 10'J] СИСТЕМА МИКРОЧАСТИЦ, СОВЕРШАЮЩИХ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 4G7
§ 109. Система микрочастиц, совершающих малые колебания
Рассмотрим сначала систему из двух одинаковых частиц,
совершающих малые колебания. Обозначим отклонение первой
частицы от положения равновесия через хг, а второй—через х2.
Потенциальная энергия V (хъ х2) для малых отклонений может
быть разложена в ряд
V(*u x2) = ^xi + Vf-xl + kx1x2 + ... A09.1)
Здесь (i —масса частиц (одинаковая для обеих), со0 — частота коле-
колебаний частиц в отсутствие взаимодействия между ними, ХххХ2—
энергия взаимодействия частиц (для малых хх и х2).
Оператор полной энергии частиц, имеющих потенциальную
энергию A09.1), имеет вид
Из классической механики известно, что для системы частиц,
совершающих малые колебания, можно ввести так называемые
«нормальные координаты» qiy цъ в которых потенциальная энер-
энергия U выразится в виде суммы квадратов qu q2, а кинетическая
энергия —в виде суммы квадратов соответствующих импульсов,
так что мы будем иметь дело с двумя независимыми нормальными
колебаниями. В рассматриваемом частном случае эти нормальные
координаты связаны с х^ и х2 формулами
( + ) X2 = y=(qi-q*). (Ю9.3)
Эта особенность нормальных координат сохраняется и в кванто-
квантовой механике. Введем в A09.1) вместо хх и х2 нормальные коор-
координаты <7х и Цг- Для этого заметим, что
dq1 дх1 Dqt дх2 dql |/ 2 \дх1 дх2) '
р
dql ~ 2 [dxf ~Г d
подобным же образом
Следовательно,
На основании этого равенства получаем
r\ fi2 ( д2 , д2 \ , исот о . и.®
н = - 27 U| + a,f) + V * + 2 -

468 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
где
|licoj = ^cof, + Я, [хщ = (icojj — Я. A09.5)
Из A09.4) следует, что гамильтониан двух связанных осцил-
осцилляторов в нормальных координатах представляется в виде суммы
гамильтонианов для двух независимых осцилляторов, одного
с частотой щ и другого с частотой оJ (тот же результат, что и
в классической механике).
Найдем квантовые уровни и соответствующие им собственные
функции системы связанных осцилляторов. Оператор содержит
координаты qx и q2 и, следовательно, волновая функция г|) должна
рассматриваться как функция q{ и q.,. Уравнение Шредиигера
для стационарных состояний нашей системы имеет вид
//2 02\Ь . LIG)? о , h2 д2\Ь . ЦО)?, о . ^ , /1ап /-.
Это уравнение легко решается разделением переменных. Для
этого положим
Ф(<71, ft)=«i(?i)^(?«) A09.7)
и
A09.8)
Подставляя A09.7) и A09.8) в A09.6), деля результат на 9
и приравнивая порознь постоянным ?\ и ?2 члены в левой части,
зависящие от qx и #2 соответственно, получим
Первое из этих уравнений есть уравнение для осциллятора
с частотой соь а второе —для осциллятора с частотой со2. Поэтому
собственными функциями уравнений A09.9) будут
1 ( ]^F) (Ю9.10)
а собственными значениями
Еп1^Пщ{п1+\)% П! = 0, 1, 2, ... A09.11)
Подобным же образом для уравнения A09.9') имеем
ty A09.10')
= 0,1,2,3,... A09.1Г)

§ 109] СИСТЕМА МИКРОЧАСТИЦ, СОВЕРШАЮЩИХ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 469
Отсюда следует, что собствеиные функции исходного уравнения
A09.6) имеют вид
1W<7l 92) = *Л1Ы*Я2Ы, (Ю9.12)
а соответствующие собственные значения оператора энергии равны
) BJ (Ю9.13)
Нулевая энергия системы равна
Еоо = '^+ *-%-¦ A09.14)
Вероятность найти нормальные координаты, лежащими в интер-
интервалах ql9 qi + dqi и q», q» + dq2i равна
w(qi, Q2)dq1dq2 = ^'ninA4u q-i)dqldq2. A09.15)
Если мы желаем определить вероятность того, что координаты
частиц лежат в интервалах хъ xx + dxt и х>, x2 + dx2, то для
этого достаточно заметить, что
dq1dq2 = dx1 dx2i
и выразить в A09.15) qt и q2 через хх и х2. Тогда получим
w (хъ х2) dxx dx2 =
^ ^^ П09.16)
Сходные результаты получаются для системы с любым числом
степеней свободы. Пусть мы имеем N частиц, совершающих малые
колебания около положения равновесия. Обозначим отклонения
k-й частицы от положения равновесия через xki yky zk. Тогда
потенциальная энергия равна
N
+ Eikxizk + Flkylzk) + ..., A09.17)
причем величины Aik, Bik, Cik, Diky Eiki Fik суть вторые произ-
производные потенциальной энергии по смещениям. Так, например,
А - дю
Из классической механики известно х), что в этом случае можно
ввести нормальные координаты qs, s=l, 2, ..., 3iV, такие, что
*) См. например, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, «Наука»,
1973, § 23.

470 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
гамильтонова функция распадается на сумму гамильтоновых функ-
функций гармонических осцилляторов.
Нормальные координаты qs и декартовы xk, yky zk связаны
ортогональным преобразованием
s=l; 2, ..., 3tf, A09.18)
где ask, P5^, ySk СУТЬ коэффициенты преобразования. В нормаль-
нормальных координатах ^ — гамильтониан нашей системы
N N
i?j__ 'V / ._ v?\ I _ "V /д. %.% I -X-F- и•? ) A09 19)
к = 1 t, /г = 1
преобразуется к виду
/ //2 гJ им2 \
A09.20)
где (I —некоторая эффективная масса, а (о5 — частоты нормальных
колебаний. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
имеет вид
l9 q2i ..., q3N). A09.21)
Очевидно, что это уравнение распадается на 3N уравнений
для 3jV независимых осцилляторов, если представить W в виде
произведения функций- от qu q2, ..., q3N. Уравнение для осцил-
осциллятора, представляющего s-e нормальное колебание, будет
Отсюда
?« =Й©,(л, + |), л, = 0, 1, 2, ... A09.24)
Собственные же функции и собственные значения всей системы
осцилляторов определяются выражениями
= */«, М ^2 Ы .. .$ns (Qs).. .^«зл/ (^), (Ю9.25)
A09.26)

§ HOI ABII/KCnilL АТОМОВ ВО ВНЕШНИМ ПОЛЕ 471
где /?р п2% ..., п5, ..., п-ху — целые положительные числа, вклю-
включая нуль. Нулевая же энергия системы равна
?o = y(<Ol + CO2.+ ... + <O5 + ... + GK^). A09.27)
Перебирая всевозможные значения чисел ns в A09.26), мы полу-
получим все квантовые уровни системы колеблющихся частиц. Из
A09.26) следует, что для определения этих уровней достаточно
знать частоты нормальных колебаний со9.
Примером систем, имеющих квантовые уровни вида A09.26),
могут служить молекулы и твердые тела. И в тех, и в других атомы
совершают малые колебания около положений равновесия1).
Заметим, что при больших амплитудах колебаний следует учесть
высшие члены в разложении потенциальной энергии, именно, члены
вида ~3'Г дх-ду dzL А^'^+ ••• и т- п< Колебания тогда будут не-
нелинейными, и наши результаты будут иметь лишь приближенное
значение. В частности, формула A09.26) будет справедлива лишь
для малых квантовых чисел ns.
§ ПО. Движение атомов во внешнем поле
Рассмотрим движение системы частиц (атома, молекулы) во
внешнем поле сил. В целях большей конкретности мы ограничим-
ограничимся системой из двух частиц с массами тх и пи и координатами
*ь Уъ ?i и х2, #2. z2.
Обобщение на случай большего числа совершенно тривиально.
Обозначим энергию взаимодействия частиц через W (хх — х2,
У\~У^ Zi — z2), энергию первой частицы во внешнем поле через
^М^ьУъ^), а энергию второй — через U2(x2, y2y z2). Уравнение
Шредингера для волновой функции системы ?(хх, уъ хъ х2, у2, z2, t)
будет иметь вид
7 ?^ . (lio.i)
Введем в это уравнение вместо координат частиц хх, #ь zx и
хъ у2у г2 координаты центра тяжести X, У, Z и относительные
координаты х, у> z (см. A08.3)). Переходя в A10.1) к этим новым
*) Квантование энергии колебаний атомов в твердом теле находит свое
выражение в квантовом характере теплоемкости твердого тела, которая при
Достаточно низких температурах меньше той, которая полагалась бы по клас-
классической теории C/г, где ^ — постоянная Больцмана), именно, теплоемкость
твердого тела убывает с уменьшением температуры пропорционально Т3. Рас-
Расчет теплоемкости твердого тела на основе квантовой теории изложен почти
во всех курсах по статистической физике.

472 ПРПЛ\ЕПЕНПЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ .МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
координатам и замечая, что по A08.3)
Xi - X - [- ухх, х> - X - у,х9 )
У , y»:=Y-y«y, A10.2)
', Z.----Z ~y,z, J
мы получим
где
Переменные X, У, Z и .г, у, z в этом уравнении ввиду наличия
поля ((Л и U2) не разделяются. Поэтому в общем случае иссле-
исследование этого уравнения весьма затруднительно.
Предположим, однако, что размеры системы малы. Это означает,
что мы ограничиваемся рассмотрением таких систем и таких состоя-
состояний, когда волновая функция W достаточно быстро убывает с уве-
увеличением относительного расстояния г = ]Л\:2 + z/2 + г2 двух частиц.
Пусть это убывание таково, что вероятность найти частицы на
расстоянии г>а друг от друга практически равна нулю. Тогда
а можно рассматривать как размер нашей системы (например,
«радиус» атома, «длина» молекулы и т. п.).
В этом случае в уравнении (ПО.Г) играет роль лишь такие
области х, у, г, для которых r<ia. При таком предположении мы
можем разложить Цг и U2 по степеням х, у, z (если Ul и U2 —
достаточно гладкие функции). Это разложение мы напишем в виде
, У,
= V(X, 7, Z) + w(X, Yy Zyxyyyz)+ ..., A10.4)
где V(X, Y, Z) есть потенциальная энергия центра тяжести сис-
системы, а через w обозначены члены, содержащие х, у, г. Этот член
связывает движение центра тяжести с относительным движением.
Уравнение Шредингера A10. Г) теперь можно записать в виде
ih ™ = [- -^ П + V (X, Y,Z)]v+\-^i+W (х, у, г)] V +
+ w(X,Y,Z,x,ij,z)xY. A10.5)
Пусть в отсутствие внешнего поля собственные функции для
внутреннего движения будут г|?Й (х, у, г), а собственные значения

НО]
ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ ВО ВПЕШ11ЕЛ\ ПОЛЕ
473
энергии Е°п. Очевидно, что я|^ есть решение уравнения
- ~г ЧЖ + W (*, у, г) фй - Е^п.
10.6)
Если мы учтем влияние внешнего поля, то к этому уравнению
добавится член w(X, У, Z,x,y, 2), и мы получим уравнение
- ^ v^+ № (х, у,
, Z,
10.7)
В это уравнение координаты центра тяжести X, У, Z входят
как параметры, и от них будут зависеть как волновые функции,
так и собственные значения этого уравнения.
Во многих случаях w (X, У, Z, х, у, г) можно рассматривать
как возмущение. Это обстоятельство позволяет решить уравнение,
если известны решения уравнения A10.6). Обозначим собствен-
собственные функции уравнения A10.7) и его собственные значения
через
фл = Ы*. У, *> Х> Y> Z)> En = En(X, У, Z). A10.8)
Разложим теперь Ч? (х, у, г, X, У, Z, /) по собственным
функциям \рп. Тогда получается
, г, X, У, Z, /)=
. У, Z,
A10.9)
Подставляя это разложение в уравнение A10.5), умножая на
*фт (-^» У у *> Ху У, Z) и интегрируя по х, у, г, получим (в силу
ортогональности функций я|)л) уравнения для функций Ф^:
m
L
, Y,
/г2
Em(X, Y, Z)\ Фт -
где
A10.10)
S A10.10')
Эти два последних члена отличны от нуля лишь в том случае,
если функции ярл зависят от координат центра тяжести X, У, Z
и приводят к возможности переходов системы из одного состо-
состояния в другое. Действительно, если при / = 0 все ФЛ = 0, кроме
фп, ф 0, то при t ^0 Фп ^ 0, и с течением времени из состояния
Ф/г' будет возникать суперпозиция A10.9).
Если г^ не зависят от Ху У, Z, то а,пп и Ьтп равны 0. Если
эта независимость имеет место, хотя бы приближенно, то мы

474 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
можем пренебречь величинами атп и Ьтп в A10.9') и тогда
получим
ш^=-?яъфя + [У(х, Y,z)+En(x, y, г)]Фп. (iio.ii)
Это есть уравнение для движения центра тяжести системы
в потенциальном поле с потенциальной энергией, равной
Un = V(X, Y9 Z) + En(X, У, Z), A10.12)
при условии, что внутреннее состояние системы есть /2-е кван-
квантовое состояние. Уравнение A10.11) таково же, как уравнение
для движения материальной точки.
§ 111. Определение энергии стационарных состояний атомов
методом отклонения во внешнем поле
В этом параграфе мы рассмотрим теорию опытов, в которых
определяют энергию стационарных состояний атома, подвергая
пучок атомов отклонению внешним полем; важнейший из них —
опыт Штерна — Герлаха. Обычно его рассматривают как опыт по
определению магнитного момента атома. Будучи рассматриваем
более непосредственно, он является опытом по определению
энергии атома во внешнем магнитном поле.
Из теории движения атомного электрона при наличии магнит-
магнитного поля (§ 62) следует, что, поскольку пренебрегают высшими
степенями магнитного поля, постольку действие магнитного поля
можно выразить через добавочную потенциальную энергию F2.7),
равную энергии магнитного диполя (орбитального и спинового)
в магнитном поле. Поэтому мы можем применить к интересую-
интересующему нас случаю теорию предыдущего параграфа. Из расчетов
§ 62 следует, что в указанном приближении волновые функции
электрона г|эл/т не зависят от магнитного поля, а собственные
значения энергии равны F2.13)
ЕЫт = Щй + еЩ-(т±\). A11.1)
При этом мы считали поле <Нэ однородным. Если оно достаточно
плавно (для макроскопических полей нужная плавность всегда
обеспечена), то его можно рассматривать как функцию координат
центра атома X, Yy Z без того, чтобы нарушалась справедли-
справедливость 1) A11.1).
2) Для этого достаточно, чтобы поле <^Г мало менялось в пределах раз-
размеров атома а, т. с. должно соблюдаться условие
О Ж „ I
ОХ
дУ

§ 1111 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМОВ 475
Таким образом, мы можем написать
ЕпШ(Х, Г, Z) = Eonl + ^~(m±
, 7, Z). A11.2)
Волновые функции ipnlm от X, К, Z зависеть не будут, так
как они не зависят от поля №. Стало быть, мы имеем дело со
случаем, когда вместо общих уравнений A10.9') для волновых
функций Ф, описывающих движение центра тяжести, можно
написать уравнения A10.11). Эти уравнения в нашем случае
будут
dt ~ 2M
Так как масса атома М велика, а внешнее поле Ж всегда плавно
меняется от точки к точке, то мы имеем налицо как раз те
условия, при которых применимо приближение классической
механики. Положив
- Vpmm (X, У, Z] t) exp {- 1 Snlm (X, Г, Z; t)}t A11.4)
где Snlm~-функция действия, а рп1т — плотность атомов в про-
пространстве, мы получим для Snim и prt/m в первом приближении
классические уравнения (см. § 35 C5.8) и C5.13))
Ш == 2М
y /,
A11.5)
A11.6)
Первое уравнение есть уравнение Гамильтона —Якоби; оно
утверждает, что частица будет дви-
двигаться по классическим траекто-
траекториям. Второе уравнение есть
уравнение непрерывности; оно ут-
утверждает, что рой частиц будет
двигаться так, чтобы поток ча-
частиц, проходящий через любое
сечение трубки, образованной
траекториями, был постоянен.
Обратимся теперь к чертежу
(рис. 83). Пусть на протяжении
от D до Р действует магнитное
поле, направленное по оси OZ.
В D сделана диафрагма, через
Ш
jn
рис. 83, к теории опытов Штер
фр р на —Герлаха.
которую поступают атомы. Ширина
щели в диафрагме равна AZ0. Пучок атомов, входящий в D
будет расщепляться. Те из атомов, которые окажутся в состо

476 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ 1ГЛ. XVIII
янин с магнитным моментом Э?{„, = 0, будут двигаться без дейст-
действия сил. Из уравнений A11.5) и A11.6) мы получим проходящий
без отклонения пучок. Атомы, находящиеся в каком-либо другом
состоянии с ЭЛт ^ 0, образуют отклоненные пучки (на рис. 83
приведены два таких пучка).
Существенно, что магнитный момент УIт меняется от состо-
состояния к состоянию скачкообразно. Благодаря этому пучки, вообще
говоря, разделяются так, что по месту падения атомов на экран
(или фотопластинку) Р мы можем решить, в каком из возмож-
возможных состояний г|эт находятся атомы, т. е. определить их стаци-
стационарные состояния. Траектории, принадлежащие пучкам, легко
вычислить из уравнений A11.5), A11.6), учитывая расположение
диафрагмы D, ее форму и начальное распределение скоростей
атомов.
Можно и прямо воспользоваться уравнениями Ньютона:
dt2
дЕп
1т
дХ
_ _ dEnlm
dY '
_ дВп
1т
A11.7)
Будем считать, что магнитное поле <М' зависит лишь от z (по
крайней мере на большей части отрезка DP). Тогда из A11.7)
получаем
X l X0, A11.8)
= Y0, A11.8')
где v — скорость атомов (мы предполагаем, что они первоначально
движутся параллельно ОХ, и, кроме того, градиент поля ~|-
в пределах области движения атомов считаем почти гюстоя'нным).
Обозначая длину DP через / и пользуясь A11.2), мы получим
отклонение
7 -7 -— Х fA|m+
Произведенный нами расчет лишь приближенный. В действитель-
действительности атомы, проходящие диафрагму, не будут двигаться по
классическим траекториям: пучок будет расползаться.
Чтобы учесть это явление, следует сделать еще один шаг
в приближенном решении уравнения A1J.3), учтя члены в Snttn
и р/€./Ш1 содержащие первые ступени Н (см. § 35). Mbi не будем
этого делать, а ограничимся лишь оценками.

§ 1111 ОПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМОВ 477
Пусть ширина пучка в направлении 0Z есть AZ0. Тогда
скорости атомов в направлении 0Z в силу соотношения неопре-
неопределенности
AZ0Ap,>
(ШЛО)
не могут равняться нулю (как это допускалось в классическом
расчете). Если среднее значение pz = 0, то из (ШЛО) следует,
что HZ0-Mvz>~29 т. е.
°'>М7Щ- <111Л0'>
При прохождении через поле в течение времени t, благодаря
наличию разброса в скоростях vzy ширина пучка AZ возрастает
и будет равна
Для того чтобы мы были еще в состоянии решить, к какому из
состояний Enjm или Enim> относится атом, падающий на экран Я,
необходимо, чтобы | Zm' — Zm | ^> AZ,, т. е. на основании A11.8")
или
2/W
дЕ
дЕ
nlm'
дЕ
nlm
Ш
dZ
nlm'
dZ
дЕ
2М •
A11.12)
nlm
AZ0
dZ ^° dZ
Но так как в силу слабой зависимости Enim' и Enim от Z
A11ЛЗ)
¦Е„
lm i •
dZ
ц/т
dZ
AZ0
то последнее неравенство можно записать также в виде
\Enim>-Enlm\t>% A11Л4)
т. е. для того, чтобы различать стационарные состояния атома
{Enim' или Еп1т), измерение должно производиться в течение
достаточно большого времени U
1>ГЕ 1^—Г- A11.15)
I unlm' unlm I
К этому обстоятельству мы еще вернемся в § 112.
В заключение теории опытов по определению стационарных
состояний атомов методом отклонения пучка атомов во внешнем
поле рассмотрим более сложный случай, когда первоначальная
волновая функция представляет состояние с неопределенным зна-
значением энергии.

473 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
По общей теории вероятность получить при измерении в таком
состоянии значение энергии Еп равна \сп\2, где сл —амплитуда
в разложении \|э по собственным функциям оператора энергии1).
Покажем, как относится это общее утверждение к определению
энергии методом отклонения пучков. Если система находится
во внутреннем состоянии tyn(x, у, г), то полная волновая функ-
функция, с учетом движения центра тяжести, будет равна
:, Y, Z, *, у, г) = Фп(Х9 Г, Z)%(x9 у, г), A11.16)
причем Ф/2 определяется из уравнения A11.3) (пли вообще
A10.11)). Если состояние г|? есть суперпозиция гря, то в силу
линейности уравнений квантовой механики общая функция имеет
вид
?(Х, Г, Z, х, у, г)= 2>ЯФЯ(Х, ^ 2)Ы*> У, *). (ШЛ7)
/г
Непосредственно на опыте мы измеряем не внутреннюю энер-
энергию атома, которая нас интересует, а положение атома X, Y, Z.
Определим вероятность того, что атом находится в области
X, X + dX, У, Y+dY, Z, Z + dZ.
Эта вероятность равна
= ? | сп |2! Фл i2 dX dF dZ. A11.18)
Измерение энергии атома Еп заключается в том, что мы решаем,
к какому из пучков (см. рис. 78) относится атом. Каждый пучок
описывается своей функцией Фп(Х, У, Z). Для того чтобы наш
опыт был действительно опытом по измерению энергии атома,
нужно, чтобы различные пучки были разделены друг от друга,
иными словами, функции ф„ (X, 7, Z) должны быть отличны от
нуля в различных областях пространства (для этого должно быть
обязательно выполнено условие A11.15)).
Найдем теперь, какова вероятность wm того, что атом при-
принадлежит пучку т. Для этого нужно проинтегрировать A11.18)
по объему этого пучка. Мы обозначим этот объем через Vm:
wm^ \ w(X, Y, Z)dXdYdZ =
= 2k/i I2- \ \On\2dXdYdZ. A11.19)
n V,
Vm
!) Для простоты мы обозначаем осе квантовые числа (п, /, т) одной бук-
буквой п.

§ 1121 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА С АТОМОМ 479
Если пучки разделены, то все интегралы равны нулю, кроме
интеграла
J №m?dXdYdZ,
равного единице в силу того, что Фш нормирована. Таким обра-
образом,
wm = \cM'?. A11.20)
Но wm есть как раз вероятность того, что энергия атома равна
Ет (так как атомы с различной энергией принадлежат различ-
различным пучкам). Поэтому рассмотренное нами определение энергии
атома находится в полном согласии с интерпретацией величин
\сп12 как вероятностей найти значение энергии атома Еп. При
этом измерительным аппаратом служил сам ато?л: внутренняя
энергия Еп определялась по положению центра тяжести атома.
Обратим внимание еще на одно важное обстоятельство. В § 16
мы утверждали, что измерение всегда превращает чистый ансамбль
в смешанный. Легко убедиться, что в рассматриваемом случае
это превращение на самом деле имеет место. Определим вероят-
вероятность найти электрон в окрестности точки х, у, г при заданном
положении центра тяжести атома X, К, Z. Имеем
w (х, у, г, X, 7, Z) = | ? |2 - ^ 2 Wm^n (х, У, г) г|>* (*, у, z) x
хФ„(*. Y% ZH)* (X, Г, Z). A11.21)
В области, где Фп и Фт перекрываются, мы имеем интерферен-
интерференцию состояний i|?w, ij)m и для определения w важны фазы сп, с'т.
В области, где Фп и Фт не перекрываются (измерение!), мы
получаем
w(x9y, z, X, Г, Z) = \W\2^
= 1] \Сп\2\%(х, у, 2)\2\Фп(Х, У, Z)|2, A11.21')
п
т. е. фазы сп выпали. Вероятность w образуется теперь некоге-
некогерентно из ij)., как это характерно для смешанного ансамбля
(ср. § 16).
§ 112. Неупругие столкновения электрона с атомом.
Определение энергии стационарных состояний атомов
методом столкновений
Одним из простых приложений теории движения многих тел
является расчет неупругих столкновений с атомами. С такого
рода столкновениями мы встречаемся в опытах Франка и Герца
(§ 3). Однако наш расчет нельзя будет непосредственно приме-

480 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
нить к этим опытам, так как мы будем предполагать, что сталки-
сталкивающийся электрон имеет энергию, значительно превышающую
энергию электрона в атоме (при этом условии можно будет при-
применить теорию возмущений). Оператор полной энергии двух элек-
электронов *) имеет вид
Н (гь г2) = Н (Г1) + Н (г,) + W (гь г,) = Я» (гь ra) + W (гь г2),
A12.1)
^ A12.2)
A12.3)
Здесь U (/-i) означает потенциальную энергию атомного электрона
е2
в поле остова (ядра и остальных электронов атома), -t ;
I Г1 ~ Г2 I
есть кулоновская энергия взаимодействия атомного электрона
с электроном, летящим извне, U (г2) есть энергия этого последнего
электрона в поле остова атома. Остальные члены имеют само
собою понятное значение.
Кинетическую энергию летящего извне электрона мы считаем
столь большой, что все его взаимодействия с атомом W будем
рассматривать как возмущение. Тогда уравнение Шредингера для
невозмущенного движения будет иметь вид
Я0 (гь г2) ф° (г2, г2) = ЕГ (гь г2). A12.4)
Оно имеет решение
!й.ро(гь г2) = фг(г1)фРв(г2), A12.5)
Е = Е'пЩ, A12.6)
где г^ —волновая функция стационарного состояния электрона
в атоме, принадлежащая энергии Е°п, a \j)Po — волна де Бройля,
описывающая свободное движение летящего извне электрона
с импульсом р0.
Нас интересует вероятность перехода нашей системы из двух
электронов в какое-нибудь другое состояние:
(И2.7)
Для вычисления этой вероятности применим теорию квантовых
переходов под влиянием возмущения, не зависящего от времени
х) Движением атома в целом мы можем пренебречь ввиду большой вели-
величины массы ядра по сравнению с массой электрона.

§ 112] НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА С АТОМОМ 481
(§ 85). Таким возмущением является у нас энергия W A12.3).
Вычислим сначала матричный элемент этого возмущения для
перехода /г, ро->т, р. Имеем
WmPynp0= ^ ^ dvxdvztymp (rb r2)\U (r2) +y——.^fipo(r1, r2)
A12.8)
(здесь dvu dv2 означает интегрирование по координатам первого
и соответственно второго электрона). Вычислим сначала интеграл
по dvx. Введем
•х) = — еЩ* (гх) -фй (ri). A12.9)
Эту величину будем называть матричным элементом плотности
заряда для перехода п->т (очевидно, что рпп есть среднее зна-
значение плотности в состоянии я])Л). Учитывая ортогональность функ-
функций о|)„, мы получаем
Г,—Га-,
= Утя(Г2). A12'Ю)
Последняя величина может рассматриваться как матричный эле-
элемент потенциальной энергии сталкивающегося электрона B)
в поле ядра и атомного электрона A).
Если ш = п, то столкновение будет упругим. Vnn совпадает
с той энергией возмущения, которая встречалась в § 79 в теории
упругого рассеяния электронов. Подставляя Vmn(r2) в A12.8)
и имея в виду, что
получим
S i(J^ ^mAK), A12.12)
где через К обозначен вектор
K^^^ko-k, A12.13)
где к0 и к —волновые векторы электрона до и после столкно-
столкновения.
Для вычисления вероятности перехода в 1 сек из начального
состояния Еп, рх9 Ру, p°z в конечное Ет, р, du (du — элемент
телесного угла, в котором лежит направление импульса элек-
электрона р после столкновения) применяем формулу (85.3). Плот-
Плотность состояний на интервал полной энергии системы, обозначен-

482 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ /МНОГИХ ТЕЛ (ГЛ. XVIII
пая в (85.3) через р(?), будет у нас такая же, как и для одной
частицы (см. (81.23)), так как
<*-«(*.+$)-«(?)¦
Следовательно, р{Е)-=\хр. Поэтому, согласно (85.3) и A12.12),
имеем
РпрЛт, P)dQ = 2%-j^\FmH(K)\*iipdQ. A12.14)
Чтобы вместо вероятности перехода в 1 сек получить эффектив-
эффективное сечение а (р0, р, 0, ср) для перехода ро->р, dQ, нужно иначе
нормировать функции падающего электрона. Именно, их нужно
нормировать так, чтобы поток через 1 см2 в 1 сек равнялся еди-
единице. Для этого вместо A12.11) нужно взять
(Ц2.1Г)
4k(r8) ,
где v0 — скорость падающего электрона:
Функции A12.11) и A12.1 Г) отличаются множителем
Так как в вероятность A12.14) начальная функция входит
в квадрате, то, переходя от нормировки A12.11) к нормировке
A12.1 Г) (для падающих частиц), мы получим в A12.14) множи-
множитель BяйK --1-. Вместе с тем вероятность РпРо (т, р) примет раз-
мерность площади. Так как принятая нами нормировка для
падающей волны есть как раз та, которая принимается для рас-
расчета эффективного сечения (поток: одна частица в 1 сек через
1 см2I то полученная вероятность совпадает с эффективным сече-
сечением. На основании сделанных замечаний получаем эффективное
сечение в виде
алро (т, р) dQ =рро- (^рJ1 Fmn (К) i2 йп. A12.16)
При этом условии резонанса, совпадающее с законом сохранения
энергии, в случае возмущения, не зависящего от времени, имеет
вид
?. A12.17)

§ 112]
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА С АТОМОМ
483
Для упругого рассеяния т = п, р = р0, и формула A12.16)
в точности совпадает с выведенной в § 78 методом стационарных
состояний. Для неупругого рассеяния вид атомного фактора Fmn
несколько иной (см. A12.12)). Кроме того, в а входит множитель
р/ро, смысл которого легко уяснить, о dQ есть отношение потоков
падающего и рассеянного в угол clQ. В это отношение потоков
входит отношение скоростей, которое как раз равно р/р0 и выпадает
для упругого рассеяния. Обозначая р через ртп, К через Ктп =
^Vo-Pmn^ часто пишут (Н2.16) в форме
ат (б, Ф) йп = ^
| Fmn (Ктп) |2 dQ. A12.16')
Отсюда, интегрируя по всем возможным углам рассеяния dQ, мы
получим эффективное сечение для любого столкновения, при
котором энергия электрона меняется на ^
величину Ет — Еп, а атом переходит из °
состояния Еп в Ет:
A12.18)
An
О
Рис. 84. Зависимость эффек-
эффективного сечения атп для
возбуждения атомов ударами
электронов от энергии элек-
электронов Е.
Р%
Если ?,, —нижнее нормальное состоя-
состояние атома, то налетающий электрон
может только возбуждать атом (?„,>
>?„). В этом случае атп называют
эффективным сечением для
возбуждения атома. На рис.84
приведена типичная зависимость этого
сечения от энергии электронов. На ос-
основании закона сохранения A12.17) мы
можем, измеряя изменение энергии падающих электронов ?—г~
определить разности Ет — Еп и тем самым установить энергети-
энергетический спектр атома. Это и было впервые проделано в опытах
Франка и Герца.
Если, как это обычно делают, принять границу (т = оо) между
дискретным и непрерывным спектрами атома за нуль при отсчете
энергии атомного электрона, то, определяя ту потерю энергии
р2 р1
первичных электронов ? ?—, при которой начинается иони-
ионизация атома (появляются вторичные электроны), мы можем также
измерить энергию состояния атома, в котором он находился до
столкновения. В самом деле, в этом случае из A12.17) имеем
Р2 Ри
" 2п "" 2а
11 ~^i 9n
A12.17')
Таким образом, мы можем определить стационарное состояние
атома. Отличие этого измерения от измерений отклонением

484 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
атомов внешним полем заключается в том, что состояние атома
после измерения меняется (например, происходит ионизация атома),
в то время как в опытах по отклонению оно остается неизменным.
Обратим внимание на то обстоятельство, что при измерении
энергии атома методом столкновений требуется, как и в методе
отклонения, некоторое минимальное время. Действительно, изме-
измерение основывается на законе сохранения энергии A12.17). Этот
закон выражается наличием б-функции в вероятности перехода
(ср. § 84 формулы A5), A6) и A7), при этом в них следует
ПОЛОЖИТЬ Я(а) = 0).
На самом деле мы имеем дело не с 6-фуикцией, а с прибли-
приближенным ее выражением (84.14)
Е
A12.19)
которое лишь при /->оо переходит в 8(Е — Е0). Функция
6'(E — Eq) отлична от нуля заметным образом только для интер-
интервала разности Д(? — ?0), для которого
и становится малой для
Д(Е-?оМ>Л. A12.20)
т. е. имеется неопределенность в разности начальной энергии Ео
и конечной ?, связанная с длительностью промежутка времени /
между началом измерения (начало взаимодействия падающего
электрона с атомом) и концом измерения (определение энергии
падающего электрона после столкновения).
Предположим теперь, что энергию падающего извне электрона
и до и после столкновения мы знаем точно. Тогда из A12.20)
следует соотношение для длительности измерения / и неопреде-
неопределенности А (Еп — Еп') в разности начальной и конечной энергии
измеряемой системы (атома):
A(En-En>)-t^H. A12.21)
Чтобы определить уровни нашей системы (опыт Франка и
Герца), фиксируем еще и конечную энергию. Для этого будем
отмечать те случаи, когда в результате столкновения атом иони-
ионизуется (ЕП'>0), и измерять энергию вылетающего из атома элек-
электрона. Тогда вся неопределенность перенесется на начальное
состояние, и из A12.21) мы получим
A(En).t^H. A12.21')
Чтобы можно было знать, какую из энергий Еп или Ет имел
атом до столкновения, нужно, очевидно, чтобы А (Еп) < (Еп —Ет\9

§ 113] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ОСОБАЯ РОЛЬ ВРЕМЕНИ 485
т. е.
\En-Em\-t>ny A12.22)
т. е. для того чтобы отличить, в каком из состояний находился
атом до опыта, нужна достаточная длительность измерения (при
этом энергия после опыта предполагается известной). Если же
ограничиться определением энергии только до опыта (в исходном
состоянии) или только после опыта, то соотношение A12.2Г) не
имеет места.
§ 113. Закон сохранения энергии и особая роль
времени в квантовой механике
В классической теории закон сохранения энергии утверждает,
что энергия замкнутой системы остается неизменной, так что
если обозначить энергию такой системы в момент ^ = 0 через ?0,
а в момент t через Et, то
Е0 = Е<. A13.1)
В квантовой механике закон сохранения энергии формулируется
аналогичным образом. Именно, согласно § 33 энергия является
интегралом движения, и вероятность w(E, t) найти в момент t
значение энергии, равное Е> не зависит от времени:
=0. A13.2)
Закон сохранения энергии в только что высказанной форме пред-
предполагает возможность определения энергии в данный момент вре-
времени без того, чтобы подвергнуть ее неконтролируемому измене-
изменению. В классической механике возможность такого измерения не
вызывает сомнений. В квантовой механике, напротив, такого
рода возможность ввиду того, что вмешательство прибора, вообще
говоря, меняет состояние системы, не является самоочевидной.
Рассмотренные в §§ 111, 112 измерительные устройства для
определения энергии показывают, что энергия без нарушения ее
величины может быть измерена лишь с точностью
A?^-|, A13,3)
где т —длительность измерения. Однако это не представляет
трудности для закона сохранения энергии, так как энергия явля-
является интегралом движения, и мы располагаем как угодно боль-
большим временем, чтобы произвести длительное измерение. Так,
например, если мы проведем измерение в течение времени т,
а затем предоставим систему самой себе на время 7\ а затем
вновь определим энергию, то закон сохранения энергии A12.2)

486 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVIII
утверждает, что результат этого второго измерения с точностью
Д?я^ — совпадает с результатом первого измерения. Если же не
требовать неизменяемости энергии при ее измерении, то никаких
ограничений на точность кратковременного (мгновенного) измере-
измерения энергии не наложено, так как соотношение A13.3) содержит
лишь неопределенность АЕ разности энергий до опыта и после
опыта (ср. A12.21)). Поэтому можно получить сколь угодно точ-
точное знание о величине энергии в данный момент времени, если
ограничиться знанием ее величины либо до опыта, либо после
опыта. Так, например, можно определить значение энергии
в момент t = Q после опыта и в момент t = T до опыта. Тогда
закон сохранения энергии утверждает, что оба значения энергии
будут равны друг другу.
В заключение вопроса об энергии укажем на то, что соотно-
соотношения между неопределенностью АЕ значения энергии Е в дан-
данный момент времени t и точностью фиксации этого момента At:
Д?.Д/^~, A13.4)
подобного соотношению для импульса и сопряженной координаты
Др,-Дх>.~, A13.5)
в квантовой механике не существует так же, как не существует
и соотношения t-H — Ht — ih в отличие от соотношения хРх—
— Pxx = ifi.
Мы могли бы рассчитывать на подобное соотношение лишь
в том случае, если бы энергии Е можно было бы сопоставить
оператор /й^- подобно тому, как величине рх сопоставляется
оператор —/й-v-. На самом же деле, в квантовой механике one-
А
ратор энергии Н есть «функция» операторов импульса и коорди-
координат: Н ==Й(РХ, Ру, Pz, х, у, г). Поэтому с точки зрения общих
принципов квантовой механики энергия есть величина, которая
в данный момент времени может иметь вполне определенное зна-
значение, а время /, в отличие от координат х, у, г, не является
оператором.
Однако все же можно получить соотношение A13.4), если
вложить надлежащий смысл в понимание величин АЕ и At. При-
Приведем примеры. Пусть мы имеем группу воли (см. §§ 7 и 14),
движущуюся с групповой скоростью v и имеющую размеры
(неопределенность в координате) Ал*. Введем время At = Ax/v,
в течение которого группа проходит через какую-нибудь фикси-

§ 113] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ОСОБАЯ РОЛЬ ВРЕМЕНИ 487
рованную точку пространства х. Имея в виду, что
АЕ = Д Р~- = v • Дрл., A13.6)
мы получим из A13.5)
vApx^*^AE-At^ ~. A13.7)
Здесь АЕ есть неопределенность в энергии, a At — время прохож-
прохождения группы через фиксированную точку пространства х. Можно
сказать и иначе: это есть время, в течение которого среднее
значение х меняется на величину неопределенности в коорди-
координате Да*.
Другим примером соотношения вида A13.4) может служить
рассмотренное в § 99 явление распада, исчезновения некоторого
заданного первоначального состояния ty(x, 0). Именно, там было
показано, что если неопределенность энергии АЕ отождествлять
с шириной квазистационарного уровня Д? = #Я/2, а под At пони-
понимать длительность жизни состояния т = 1А = АЛ то
АЕ и At связаны соотношением A13.4) (ср. формулу (99.31)).
Л. И. Мандельштамом и И. Е. Таммом было показано1), что
рассмотренные здесь примеры являются частным случаем весьма
общего толкования соотношения A13.4), заключающегося в сле-
следующем: пусть L есть любая механическая величина, не являю-
являющаяся интегралом движения. Тогда, если состояние нестацио-
нестационарно, то среднее значение L будет меняться с течением времени.
Пусть At есть тот промежуток времени, в течение которого сред-
среднее значение L меняется на величину неопределенности AL (AL
есть корень квадратный из среднего квадратичного отклонения
(ALJ: | L (t -f At) — L (t) ! = AL). Тогда At связано с неопределен-
неопределенностью в энергии АЕ (причем АЕ = У (АЕJ) соотношением A13.4).
1) См. Изв. АН СССР сер. физич., 9, 122 A945).

Глава XIX
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ
§ 114. Принцип тождественности микрочастиц
Мы перейдем теперь к рассмотрению свойств систем, состоя-
состоящих из одинаковых частиц. Одинаковыми частицами мы будем
называть частицы, имеющие одинаковые массу т, заряд е, спин s
и т. д., так что в равных условиях (внешнее поле, присутствие
других частиц) такие частицы ведут себя одинаковым образом.
С точки зрения атомизма естественно, но не необходимо счи-
считать, что все экземпляры частиц одного рода (электроны, протоны,
нейтроны и т. д.) между собой тождественны. В самом деле,
измерение величин, характеризующих частицы (m, e, .s), произ-
производится, конечно, лишь с некоторой точностью (Am, Ае, As), и
всегда законно предполагать, что, по крайней мере в пределах
точности измерения, разные экземпляры могут отличаться друг
от друга.
Одинаковы или неодинаковы все экземпляры одного рода,
это можно было бы решить лишь в том случае, если бы поведе-
поведение совокупности одинаковых частиц качественно отличалось
от поведения совокупности различных, хотя бы и сколь угодно
мало частиц. Именно к такому качественному отличию свойств
совокупности одинаковых частиц от свойств совокупности раз-
различных частиц приводит квантовая механика. Поэтому, опираясь
на квантовую механику и опыт, можно решить на первый взгляд
неразрешимый вопрос о том, тождественны ли друг другу все пред-
представители частиц одного рода или нет.
Чтобы уяснить себе, каким путем решается этот вопрос, мы
должны обратиться сначала к изучению наиболее простых осо-
особенностей совокупностей, состоящих из одинаковых частиц. Пусть
мы имеем N одинаковых частиц. Координаты, принадлежащие
k-и частице, обозначим буквой qk, так что под qk следует пони-
понимать три координаты, определяющие положения центра тяжести
частицы (xk9 уь, zk) и, может быть, еще четвертую, определяю-
определяющую спин частицы (sk), если она таковым обладает.

§ 114] ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИ МИКРОЧАСТИЦ 489
Обозначим массу частиц через /и, энергию во внешнем поле
через U (qk, t), а энергию взаимодействия k-и и /-й частиц через
W (qky qj), тогда гамильтониан системы таких частиц будет равен
Н (?ь q2, • • • » Чк* • > Ци • • • , qN, t) =
N N
| 2 W(qkfqj). A14.1)
ft > / = i
Предположение об одинаковости частиц выразилось здесь в том,
что массы частиц, энергия во внешнем поле U и энергия взаи-
взаимодействия W для всех частиц взяты одинаковыми. Эта особен-
особенность гамильтониана сохраняется в любом внешнем поле: на
одинаковые частицы любое внешнее поле действует одинаковым
образом.
Для проведения общих выводов не очень удобно опираться
на специальный вид гамильтониана1) A14.1). Поэтому мы должны
выразить тот факт, что гамильтониан описывает систему одина-
одинаковых частиц, не прибегая к явному его виду.
Исходя из A14.1), легко уяснить себе, в чем заключается
обязательная и наиболее общая особенность гамильтониана
системы одинаковых частиц. Если в гамильтониане A14.1) мы
переставим местами координаты k-и частицы (qk) и /-й частицы
(qj), то гамильтониан не изменится. В самом деле, такая пере-
перестановка обозначает просто перестановку слагаемых в суммах,
входящих в гамильтониан
Н (<7ъ <7г» • • • » <7*» • • • > Яь • • • » 9лг, 0 =
= Я (<7ь<72. ...» Яь •••» Як> ..., Яы, t) A14.2)
для всех пар (/, k) N частиц, образующих систему. Если бы
среди N частиц была бы хоть одна отличная, то это равенство
не имело бы места как раз для перестановки этой отличной
частицы с любой другой. Таким образом, равенство A14.2) и
выражает самое общее свойство гамильтониана, относящегося
к совокупности одинаковых частиц.
Коротко это свойство может быть сформулировано так:
гамильтониан системы одинаковых частиц инвариантен (сим-
(симметричен) относительно перестановки координат любой пары
частиц.
Ввиду того, что нам в дальнейшем придется часто встре-
встречаться с перестановками, нам удобно ввести новый оператор —
*) Написав гамильтониан Н в форме A14.1), мы исключили непотенцналь-
ные поля (например, магнитное поле), также исключили взаимодействие,
могущее зависеть от скоростей частиц (магнитные силы). Все это могло бы
быть учтено и нисколько не изменило бы хода дальнейших рассуждений.

490 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
оператор перестановки частиц PkJ-. Под этим операто-
оператором мы будем подразумевать символ, указывающий на то, что
координаты k-и и /-й частиц должны быть переставлены.
Например, если мы имеем функцию /(..., </*, ..., qJt ...), т°
Pvf(..., qk, ..., qh ...) = /(•.-, qh .... <7*> ...)• (Н4.3)
Этот оператор, очевидно, принадлежит к числу линейных опера-
торов, так как для того, чтобы переставить координаты в сумме
двух функций, нужно переставить их в каждой из функций.
С помощью оператора Pkj равенство A14.2) можно написать
в виде
A14.4)
для всех пар &, /. Таким образом, оператор PkJ- коммутирует
с гамильтонианом системы одинаковых частиц. Действительно,
если мы применим к некоторой функции я|) оператор РН, то
в силу A14.2) это все равно, что применить к г|э оператор HP, ибо
оператор Р оставляет неизменным, согласно "A14.2), гамильто-
гамильтониан Н.
Опираясь на это свойство гамильтониана, докажем важную
вспомогательную теорему относительно волновых функций, опи-
описывающих состояние систем из одинаковых частиц. Пусть вол-
волновая функция системы N частиц есть ^ {qu •. • , <7ь .. • , ду, ...
... , qpj, /); она должна удовлетворять уравнению Шредингера
in jt
... , ft, ... , qy, ... , ^, t). A14.5)
Переставим в этом уравнении координаты k-Pi и у-й частиц. Для
этого подействуем на обе его части оператором Pkf.
in^t{Pkj4)^Pk}{H4). A14.5')
В силу того, что гамильтониан Н для одинаковых частиц сим-
симметричен относительно перестановки частиц, мы можем на осно-
основании A14.4) переставить в A14.5') операторы Pkj и Я. Тогда
мы получим
iH§I(PkJV)=H(PkjW). A14.6)
Из сопоставления A14.6) с исходным уравнением A14.5) следу-
следует, что если ? (<7ь ..., ?*, ..., qJt .".., qN, t) есть решение

§ 114] ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИ МИКРОЧАСТИЦ 491
уравнения Шредингера A14.5), то и
ЧГ = PkjV = Ч' (<7ъ ..., qJt .:., qk, ..., qN, t) A14.7)
есть также решение этого уравнения, и, следовательно, Ч**' наряду
с W представляет одно из возможных состояний системы. Оно
отличается от прежнего "V тем, что /г-я частица находится теперь
в состоянии, ранее занимавшемся /-й частицей, и /-я занимает
теперь состояние /е-й. Продолжая перестановки, мы можем полу-
получить новые возможные состояния системы "Ф"", W", ..., отли-
отличающиеся друг от друга распределением частиц по состояниям.
Утверждая, что первая частица находится в состоянии а
(первое место в волновой функции), вторая частица— в состоя-
состоянии Ь (второе место) и т. д., мы встречаемся с одной характер-
характерной трудностью. Дело в том, что, становясь на атомистическую
точку зрения, считая разные экземпляры частиц одного рода
одинаковыми, мы можем различать частицы только по их состо-
состоянию—например, по их положению в пространстве, по величине
их импульса, энергии и т. д. Разумеется, что с течением вре-
времени состояние частиц может измениться, и они могут обме-
обменяться своими состояниями. Поскольку в классической механике
принципиально возможно проследить за траекторией частиц,
постольку, отметив частицы, например, по их положению в момент
времени / = 0, мы можем в любой момент сказать, находится ли
в данном месте та частица, которую мы назвали первой, или та,
которую назвали второй. Между тем в квантовой области этого
сделать нельзя. Если бы мы отметили частицы по их положению
в момент t = 0f то волновые пакеты, относящиеся к различным
частицам, быстро бы растеклись и перекрылись, так что, обна-
обнаружив в момент />0 где-либо какую-нибудь из частиц, мы уже
никак не могли бы сказать, какая же это из частиц —первая
или вторая.
Эти рассуждения иллюстрируются рис. 85. На рис. 85, а
изображены положения частиц Xi и х2 в момент / = 0 и даль-
дальнейшие движения их по классическим траекториям.-На рис. 85, б
изображены волновые пакеты частиц в момент t — О около хх и
лго (заштрихованные области) и их дальнейшее рассеяние. Сле-
Следует отметить, что заштрихованы только те области, где | ? |2
имеет большую величину, так что в незаштрихованных областях
пакеты также перекрываются, только значение | W |2 там мало.
Найдя частицу в области пространства, где волновые пакеты
перекрываются, мы уже не можем решить, с какой из двух
частиц мы имеем дело.
Приведем еще другой. пример. Пусть частицы • находятся
в ящике, разделенном перегородкой (рис. 86). Непрозрачные
стенки ящика означают, что по мере приближения к стенкам потен-
потенциальная энергия частиц возрастает. В частности, перегородка

492
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ
[ГЛ. XIX
есть не что иное, как потенциальный барьер. Этот барьер
изображен на рис. 86 снизу, под ящиком. Если энергия частиц
t'B
6)
Рис. 85. Нумерация частиц по их положениям в простран-
пространстве.
а) В классической механике; б) в квантовой. В области, заштрихо-
заштрихованной дважды, нумерация спуталась.
меньше высоты барьера, то, согласно классической механике,
частицы неспособны проникнуть через него — перегородка для
них непрозрачна. Поэтому
мы можем различать части-
частицы по их положению в ле-
левой или правой половине
ящика.
Согласно же квантовой
механике для всякого барье-
барьера конечной высоты есть ве-
вероятность, что частица про-
проникает через него благодаря
туннельному эффекту. Если
первоначально волновые
функции частиц суть Wa и
Wb (рис. 86), то по истече-
истечении некоторого времени они
превратятся в Wa и Ч'ь (пунк-
(пунктирные кривые), так что ча-
частица а может быть найдена
справа, а частица Ь — слева.
При t->co волновые функции Ч^ и Y? станут одинаковыми и
будут иметь симметрично расположенные максимумы в обеих
половинах ящика. Вероятность найти частицу а в одном из
отделений ящика будет равна той же вероятности для частицы Ь,
так что всякий след исходной несимметрии будет утерян.
1
Рис. 86. Две частицы в ящике, разделен-
разделенном перегородкой.
Внизу изображен ход потенциала вблизи сте-
стенок и волновые функции частиц.

§ 115J СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ 493
Аналогичные рассуждения можно провести и в тех случаях,
когда частицы отмечаются не по их положению в пространстве,
как в приведенных примерах, а по каким-либо другим призна-
признакам, характеризующим их состояние. Пусть, например, в момент
времени / = 0 частица а имеет импульс ра9 а частица Ъ — импульс рь%
Так как состояния с заданным импульсом занимают все прост-
пространство, то всегда существует некоторая вероятность столкнове-
столкновения частиц, в результате которого частицы обменяются импуль-
импульсами так, что частица а будет иметь импульс рь, а частица
Ъ — импульс ра.
Таким образом, в квантовой области единственный способ,
по которому можно различать одинаковые частицы —различие
по состояниям, отказывается служить. В этой связи мыслимо
предположение, что встречающиеся в природе системы устроены
так, что вообще проблема различения одинаковых частиц
является надуманной, т. е. что состояния совокупности одина-
одинаковых частиц всегда таковы, что можно говорить лишь о состо-
состоянии всей совокупности в целом, а не о распределении частиц
по состояниям. Это предположение оправдывается на самом деле.
Его мы формулируем в форме принципа тождественности: в сово-
совокупности одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния,
которые не меняются при обмене одинаковых частиц. Это озна-
означает, что вероятность найти при измерении какой-либо механи-
механической величины L, относящейся к системе одинаковых частиц
или к ее части, значение, равное Z/, не меняется при обмене
частиц их состояниями.
Высказанный принцип не вытекает из изложенных ранее по-
положений квантовой механики, но, как мы увидим, ок вполне
подходит к ней и обязателен, если мы хотим получить из кван-
квантовой механики выводы, согласующиеся с опытом.
§ 115. Симметричные и антисимметричные состояния
Пусть W (qu ..., qk, ..., qjy ..., qN, t) есть волновая
функция, описывающая состояние системы из N одинаковых
частиц. Тогда, если мы обменяем состояниями, скажем, k-ю и
/-ю частицы, то получим новое, как следует из теоремы A14.7),
возможное состояние системы, описываемое волновой функцией
^'(<7ъ •••> qj, •••, Як* •••> Ям> 0- Принцип тождественности
частиц утверждает, что это новое состояние неотличимо от преж-
прежнего, т. е. F и ? описывают фактически одно и то же состо-
состояние системы.
Волновые функции, описывающие одно и то же физическое
состояние, могут отличаться друг от друга только постоянным
множителем. Следовательно, из принципа тождественности

.494 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
вытекает, что
4"(<7ь ••• > <7у> ••• > Чк> ••• » ?аг> 0 =
= ^(^1, ... , ?*, ••• • Qjy ••• • <7^> 0»
где Я —некоторый постоянный множитель. Это равенство с помо-
помощью оператора перестановки может быть написано в виде
PkJ4=W. A15.1)
В уравнении A15.1) слева на функцию действует оператор PkJ-9
а справа стоит эта же функция, умноженная на число Я. Следо-
Следовательно, уравнение A15.1) есть уравнение для собственных
функций ? и собственных значений к операторов перестановки
PkJ. Мы можем поэтому сказать, что условие A15.1), накладывае-
емое принципом тождественности на возможные состояния системы,
заключается в том, что волновые функции х?9 описывающие
состояние системы, должны быть собственными функциями
операторов Pkj (для любых к, /). Нетрудно определить, каковы
эти собственные функции и собственные значения Я. Для этого
применим к A15.1) еще раз оператор перестановки Рк/-. Имеем
РЦЧГ^ЬРцЧ. A15.2)
Два раза применяемый оператор перестановки Pkj не меняет
функции 4я. Поэтому в A15.2) слева стоит просто ? (..., qk>...
.".., qj9 ...), а справа в силу A15.1) Я2?(..., qk, ..., qh ...),
так что A15.2) переписывается в виде
т. е.
Х2=1. A15.3)
Отсюда получаем собственные значения оператора перестановки
Я = ±1, A15.4)
а соответствующие собственные функции обладают в силу
A15.1) следующими свойствами:
/VF=+?, Л=+1, A15.5)
или
РЛУУ=-Ч', Л=-1, A15.6)
т. с. собственными функциями оператора перестановки PkJ-
являются функции, которые при перестановке координат к-п
частицы (qk) и /-и частицы (qj) либо не меняются A15.5), либо
меняют свой знак на противоположный A15.6). Первые функции

§ 115] СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ 495
A15.5) мы будем называть симметричными, а вторые A15.6)
а н т и с и м м е т р и ч и ы м и относительно перестановки частиц
с номерами к и /.
Таким образом, возможные состояния системы из Л'одинако-
Л'одинаковых частиц должны описываться волновыми функциями x?(qx,...
... , qk, ... , (jf, ... , qN, О» которые либо меняют свои знак при
перестановке любой пары частиц (&, /), либо остаются неизмен-
неизменными. Из соображений равноправности всех частиц нетрудно
предвидеть, что возможные функции Чг таковы, что они либо
симметричны во всех парах одинаковых частиц, либо анти-
антисимметричны во всех парах частиц, так что не может быть
функций, которые в части частиц симметричны, а в другой —
антисимметричны1). Окончательно из принципа тождественности
частиц следует, что возможны только два класса состояний для
одинаковых частиц:
/V.YS = ?,(?, /-любые) A15.7)
— симметричные во всех частицах и
pkf?a = - Уа (k, j - любые) A15.8)
— антисимметричные во всех частицах.
Мы сейчас покажем, что переходов между этими состояниями
быть не может: если в какой-то момент времени система нахо-
находится в симметричном (Ф) или антисимметричном (?о) состоянии,
то она всегда находится в симметричном или соответственно
антисимметричном состоянии. Для доказательства этого важного
положения достаточно воспользоваться уравнением Шредннгера
и тем обстоятельством, что гамильтониан обязательно симметри-
симметричен относительно одинаковых частиц. Уравнение Шредингера
= 1Г? A15.9)
нам удобно переписать в форме
} A15.10)
!) Если встречаются перестановки и того _и другого рода, то ? = 0. Дей-
Действительно, пусть Ч симметрична при перестановке k и /, j и it но антисим-
антисимметрична при перестановке i и k. Тогда имеем
ЧЧ-.> ЯЬ •••» Як* ••-. Яр ...)=— ?(..., Як* .... Я» •••» Яр •-.) =
= — V(..., qk> ..., Ч/, ..., ЯЬ ...)=—ЧГ(..., qj, ... , qk, ... , qh ...) =
= —V(... , qh ... 9qkt ... , qj9 ...).
Отсюда 24f(..., ql9 ...., qk, •••, Я/, ...)=0, т. с. ?(..., qit ..., ци% ...
... , qj, ...)--^0. Подобным же образом проводится доказательство в предположе-
предположении, что две перестановки антисимметричны, а третья симметрична.

496 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
где dt будет означать приращение волновой функции за время
dt. Допустим, что в момент времени t = 0 W есть симметричная
функция координат частиц (ЧГ = ЧГ5). Тогда в силу симметрии
Я величина ЯЧ^ будет также симметричной функцией координат
частиц, а следовательно, и приращение функции dtxV будет сим-
симметричной функцией от координат частиц.
С помощью оператора перестановки эти рассуждения могут
быть записаны так:
отсюда с помощью A15.10) следует
Pkj(dtWs) = dtWs A15.11)
для всех пар k, /. Наше доказательство, таким образом, утвер-
утверждает, что функция, симметричная в какой-то момент времени
(/ = 0), остается симметричной и в соседние моменты времени
как в прошлые, так и будущие, ибо доказательство одинаково
применимо и к dt>0 и dl<c0. Следовательно, симметрия
функции остается неизменной для всех моментов времени от
/=— оо до /=+оо. Совершенно аналогичным образом прово-
проводится соответствующее доказательство для антисимметричных
функций. Пусть в момент * = 0 функция ?, описывающая состо-
состояние системы, антисимметрична (ф = х?а). Тогда
Pkj* a === i а-
Далее,
Pkj (№) = Я (Рк/Ра) = - HWa9
из A15.10) тогда следует
=-dtxPa9 A15.12)
т. е. приращение антисимметричной функции Чга само антисим-
антисимметрично. Поэтому, если система находится в состоянии, опи-
описываемом антисимметричной функцией ЧГа, то она всегда оста-
остается в таком состоянии. Доказанная теорема показывает, что
деление состояний на два класса носит «абсолютный» характер:
если какая-либо система в какой-либо момент времени обнару-
обнаружена в состоянии того или иного класса (?5 или ?„), то она
никогда не перейдет из одного класса в другой. Такой переход
невозможен, как бы мы ни меняли внешнее поле, так как всякое
поле одинаково действует на одинаковые частицы, и, следовательно,
при любом изменении внешнего поля гамильтониан остается
симметричным.
Нам надлежит теперь решить вопрос о том, в каких случаях
какую из двух возможностей (? = 4^ или ? = 4^) следует при-
применять для описания состояния системы из одинаковых частиц.

§ 116] ЧАСТИЦЫ БОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ. ПРИНЦИП ПАУЛИ 497
§ 116. Частицы Бозе и частицы Ферми. Принцип Паули
Как мы видели, квантовая механика на основе принципа
тождественности одинаковых частиц ведет к двум классам состо-
состояний, абсолютно не смешивающимся между собой. Поэтому выбор
того или иного класса состояний для какой-либо системы частиц
может быть продиктован только природой частиц, образующих
систему, а не характером внешнего поля или каким-либо подоб-
подобным обстоятельством.
Опытным путем установлено, что в природе существуют час-
частицы, принадлежащие обоим классам. При этом наблюдается
следующее правило: частицы, обладающие спином, равным целому
числу постоянных Планка:
s = Hm, m = 0, I, 2,... A16.1)
описываются симметричными функциями (Ч^). Мы будем назы-
называть такие частицы частицами Бозе, а совокупности таких
частиц —а н самб л я м и Б оз е — Эй н штей н а, по имени физи-
физиков, разработавших статистику для таких частиц.
Напротив, частицы, имеющие спин, равный полуцелому числу
постоянных Планка:
s = hm, m = y, -§, |,... A16.2)
описываются антисимметричными функциями (Ч^). Мы будем
называть такие частицы частицами Ферми, а совокупность
таких частиц ансамблями Ферми —Дирака, по имени
физиков, построивших статистику для частиц такого рода1).
Все простейшие «элементарные» частицы обладают спином О,
1/2 или 1 (см. таблицу на стр. 22).
Спином 1/2 обладают электроны, протоны, нейтроны, гипе-
гипероны, [i-мезон, нейтрино и их античастицы. Поэтому они все
являются частицами Ферми («фермионами»).
Спин 0 имеют я-мезоны и К -мезоны — они являются частицами
Бозе («бозонами»).
Единственная элементарная частица со спином 1 есть фотон.
Он также подчиняется статистике Бозе.
Принадлежность сложной системы, например атома и ядра,
к тому или иному классу частиц будет определяться числом
и классом более простых частиц, из которых образована слож-
сложная система. Рассмотрим для примера атом водорода. Атом
водорода представляет собой систему из двух частиц Ферми:
2) Пользуясь теорией относительности, Паули показал, что это правило
может быть обосновано теоретически. Однако мы не имеем возможности обсуж-
обсуждать здесь его аргументацию и отсылаем читателя к оригиналу: В. Паули,
Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947.

498 CIICTLMbl ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
протона и электрона. Суммарный механический момент атома
водорода в нормальном состоянии складываются из механического
момента (спина) протона и из спина электрона. Так как каждый
из них имеет момент, равный ±у, то суммарный момент атома
водорода в нормальном состоянии может быть равен 0 или zlz//,
т. е. измеряется целым числом постоянных Планка.
Рассмотрим теперь ансамбль из атомов водорода. Координаты
протона /г-го атома обозначим через Qki а координаты электрона
?-ro атома через Е&. Тогда волновая функция, описывающая
ансамбль, состоящий из N атомов водорода, будет иметь вид
^ = ^№1. 1ъ .... Qk, h, •••> Qj> Ь> •••> Q*> Ь, ')¦ (Иб.З)
Будем рассматривать каждый из атомов водорода как одну
частицу (это можно сделать во всем том круге явлений, где
можно игнорировать возможность возбуждения электрона атома
водорода). Тогда обмен состояниями двух атомов водорода —
k-TQ и /-го —означает одновременную перестановку в ^? и
координат ядер Qky Qj, и координат электронов ?д, |/, принадлежа-
принадлежащих k-щ и /-му атомам. Но так как мы считаем протоны и
электроны частицами Ферми, то волновая функция Чг должна
быть антисимметрична относительно перестановки любой пары
ядер (Qk и Qj). Равным образом она должна быть антисиммет-
антисимметрична и при перестановке любой пары электронов (lk и |/). Таким
образом, при перестановке А-го и /-го протона Y меняет знак,
при перестановке k-то и /-го электрона она также меняет знак.
Следовательно, при перестановке атомов водорода, когда сразу
переставляется и пара протонов, и пара электронов, W не изме-
изменится вовсе, т. е. относительно перестановки атомов водорода
W симметрична, и атомы водорода, поскольку они рассматри-
рассматриваются как простые частицы, принадлежат к числу частиц Бозе.
Подобным же образом можно провести рассуждения и для
а-частмцы, которая состоит из двух протонов и двух нейтронов.
Исходя из того, что волновая функция для системы а-частиц
должна быть антисимметрична относительно перестановки прото-
протонов и относительно перестановки нейтронов, легко прийти к заклю-
заключению, что относительно перестановки сс-частпц волновая функция
должна быть симметрична, т. е. а-частицы должны относиться
к числу частиц Бозс. Этот вы сод соответствует тому, что суммар-
суммарный механический момент а-частицы должен быть целым числом
/г, так как он должен составляться из четырех спинов, каждый
из которых равен /?/2. В самом деле механический момент
а-частицы равен 0.
Обратимся теперь к рассмотрению основной особенности частиц
типа Ферми. Эта фундаментального значения особенность заклю-
заключается в том, что частицы этого рода подчиняются так называв-

§ ПО] ЧАСТИЦЫ БОЗЕ II ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ ПРИНЦИП ПАУЛИ 499
мому принципу Паули, который еще задолго до разработки
квантовой механики был сформулирован В. Паули на основании
анализа эмпирических данных о спектрах сложных атомов.
Принцип этот (в элементарной форме) утверждает, что в дай-
дайной системе в одном и том же квантовом состоянии не может
находиться более одного электрона.
Поясним этот принцип примером. Квантовое состояние элек-
электрона, движущегося в поле центральных сил, характеризуется
тремя квантовыми числами /г, /, ш, определяющими энергию элек-
электрона (п), его орбитальный момент (/) и одну проекцию орбиталь-
орбитального момента на какое-либо направление (ш), а также четвертым
квантовым числом (тл = ±1/2), определяющим проекции спина
электрона s* па то же направление. Таким образом, полностью
квантовое состояние задается четырьмя числами п, /, т9 ms. Прин-
Принцип Паули утверждает, что в таком состоянии либо вообще нет
электрона, либо есть только один. Более же одного электрона
там быть не может. В состоянии с одними и теми же квантовыми
числами, относящимися к движению центра тяжести электрона
(/7, /, m), можно пометить два электрона с противоположными
направлениями спина ms —±1/2.
Приведенная формулировка принципа Паули проста, но стра-
страдает тем недостатком, что она приближенна. В самом деле, когда
мы помещаем второй электрон в состояние с заданными числами
п, /, ш, то все это состояние в результате взаимодействия пер-
первого электрона со вторым изменяется. Поэтому в элементарной
формулировке не вполне ясно, в какое именно состояние нельзя
поместить более одного электрона. Тем не менее, ввиду того,
что состояние электронов из-за их взаимодействия во многих
случаях меняется незначительно, уже элементарная формулировка
принципа Паули оказывается весьма плодотворной.
Сформулируем принцип Паули так, чтобы освободиться от
только что указанного затруднения. Для этого заметим, что
электрон (или другая частица со спином 2 ) есть частица, обла-
обладающая четырьмя степенями свободы: три относятся к движению
его центра тяжести, четвертая есть спин. Поэтому для указания
состояния отдельного электрона, принадлежащего системе или
одинокого, достаточно измерить четыре величины Li, L2, L3, s,
которые должны обладать следующими свойствами: а) все они
должны быть одновременно измеримы, б) первые три должны
характеризовать движение центра тяжести и быть независимыми,
в) четвертая должна определять состояние спина электрона.
Совокупность четырех величин такого рода образует полный
набор механических величин для электрона. Одновременное из-
измерение их является полным измерением, в результате кото-
которого возникает состояние ^lxl2lzs (<7*)> B котором заданы четыре

500 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
величины Lb L2, L3, s. Ради краткости мы обозначим определенное
значение четверки таких величин одной буквой /г, так что
^(?*) = %.,w.3s(<7*). A16.4)
Приведем примеры таких четверок. Можно взять за три величины
компоненты импульса рХу руу pzy а в качестве четвертой величины,
определяющей спин электрона, —например, проекцию спина на
направление импульса электрона sp. Тогда Li = pXf L2 = py, L3 =
— р29 s — sp. Подчеркнутая нами независимость трех величин Lly
L2, L3 исключает, например, такой выбор L1 = px, L2 = py, L3 =
= pi, так как в этом случае L3 есть функция La. Другой выбор
величин может быть, например, таким: в качестве Lx возьмем
энергию движения электронов в поле ядра En1m(Li~-Enim)y за L2
возьмем момент импульса электрона (L2 = M), за L3 — проекцию
момента импульса на какое-либо направление (L3 = MZ) и, наконец,
для определения спинового состояния возьмем проекцию sz спина
на ось OZ. При первом выборе величин Lb L2, L3f s после изме-
измерения получается состояние
Фя Ш = ЦРхрур,вр Ы> A16.5)
при втором выборе
qk)- A16.5')
Эти состояния, возникающие в результате измерения, не будут
вообще стационарными состояниями, что явствует уже просто
из того, что в системе электронов ни импульс отдельного элек-
электрона, ни энергия отдельного электрона не являются интегра-
интегралами движения. Для пас сейчас существенна другая сторона
дела. Введя в рассмотрение состояния отдельного электрона tyn (qk)>
возникающие в результате измерения, произведенного на электроне
системы, мы освободились от употребления неясного термина
«состояние электрона в системе», так как состояние системы
характеризуется одной волновой функцией i|>(<7i, ..., %, <7лг, 0»
и выделить там состояние одного электрона без изменения системы
вообще невозможно. Если мы производим измерение величин,
относящихся к отдельному электрону (Ьъ L2, L3, s), то по крайней
мере в момент времени / = 0, в который было произведено изме-
измерение, состояние электрона будет
Таким образом, вместо «состояния отдельного электрона в системе»
мы оперируем с состоянием отдельного электрона, возникающим
в результате произведенного над ним полного измерения. Эти
замечания позволяют нам формулировать принцип Паули в самой
общей форме, не прибегая к неточным словам «квантовые состоя-
состояния отдельного электрона».

§ 116] ЧАСТИЦЫ БОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ. ПРИНЦИП ПАУЛИ 501
В этой общей форме принцип Паули гласит: в системе электро-
электронов в каждый момент времени при измерении любых четырех
величин Li, L2y L3, s, характеризующих состояние отдельного
электрона, каждое значение четверки величин L\, L2> L3, s может
быть получено только для одного электрона системы.
Теперь мы докажем, что эмпирически установленный принцип
Паули есть следствие принципа тождественности частиц в кван-
квантовой механике.«Именно, частицы, описываемые антисимметрич-
антисимметричными волновыми функциями (частицы Ферми), подчиняются прин-
принципу Паули.
Сначала мы проведем доказательство, простоты ради, для
ансамбля, состоящего только из двух частиц. Обобщение на любое
число частиц будет уже совершенно просто.
Допустим, что состояние частиц характеризуется антисиммет-
антисимметричной функцией W (qXi q2, t) (qly q2 означают, как и раньше,
совокупность всех координат, включая спин первой и, соответст-
соответственно, второй частицы). Допустим, что мы измеряем для первого
электрона совокупность четырех величин, характеризующих пол-
полностью его состояние. Их значения обозначим одной буквой пг.
Значения тех же величин для второго электрона обозначим
через п2.
Состояние первого электрона, когда измеряемые величины
имеют значение яь пусть описывается волновой функцией t|?rtl (<7i),
соответственное состояние второго электрона ^(flb)- Так как
речь идет об измерении механических величин, то функция tyni fa)
является собственной функцией операторов этих величин, и сле-
следовательно, функции для разных значений пх образуют ортого-
ортогональную систему функций
fa)dqi = bn[ni. A16.6)
То же самое, конечно, относится и к функции %tfa)- При этом,
так как под п2 подразумеваются те же механические величины,
что и под пъ то tyn2 — такие же функции, как и г|?П1, с той лишь
разницей, что они относятся ко второму электрону, так что
у них в качестве аргумента вместо qx стоит q2.
Разложим функцию Ч fa, q2, t) описывающую состояние
системы, по собственным функциям измеряемых на электронах
величин, т. е. по tynifa) и %tfa)- Получим
Т(?1, 92, 0=21>(, , О^Ы^Ы, (И6.7)
где
с(пи п2у t) = l4(qlt <72, tWniiqiWnAiddqxdq* (П6.8)
при этом, написав в A16.7) сумму по п1 и п2, мы предположили,
что измеряемые величины принимают лишь дискретные значения.

502 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
Если бы они принимали непрерывные значения, то следовало
бы вместо суммы писать интегралы. Это не изменило бы даль-
дальнейшего хода рассуждений. Поэтому ради определенности мы
сохраним обозначение через сумму. Сумма по пг и п2 распро-
распространена по всем значениям пх и п2\ кроме того, пх и п2 пробе-
пробегают одинаковые значения (так как речь идет об одних и тех же
механических величинах как для первого, так и для второго
электрона).
Согласно общей теории величина
w(nu п2у t) = \c(nu п2у 012 (Н6.9)
есть вероятность того, что в момент времени t на первом элект-
электроне будет получено значение измеряемых величин, равное пъ
а на втором —значение тех же величин, равное п2. Переставим
в XY {qu цъ t) первый и второй электроны. По предположению мы
имеем дело с частицами Ферми, так что функция TF изменит
при этой перестановке свой знак. Следовательно,
i, <Ь /), A16.10)
т. е.
2^c(/ib n2, t) ifo, (q2) ф„, Gi) =
=-ЕЕс(»ь п., о^.ы^ы- (H6.li)
ni ti2
Если мы теперь изменим обозначения, заменив пх на /?2, а п2
на пъ все останется по-прежнему, так как суммы распространены
по всем значениям пх и п2, и они пробегают одни и те же значе-
значения. На основании этого замечания мы можем переписать A16.11)
в виде
«1 «2
Эти ряды по ортогональным функциям могут равняться друг
другу только при условии, что коэффициенты при одинаковых
функциях равны между собой, т. е.
с(пъ n2ij) = — c(n2, пъ t). A16.13)
Для tii = n2 мы получаем, что
с (п19 пи t) = — c(tiu пи t), A16.13')
но функция, равная самой себе с обратным знаком, равна нулю.
Следовательно,
с(п9 п, /) = 0. A16.14)

§ lib] ЧАСТИЦЫ ЬОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ. ПРИНЦИП ПАУЛИ 503
Подставляя это в A16.9), находим, что если значения ях и
пг одинаковы, то вероятность w(nu n.:, t) равна нулю:
w(n, /г, 0=0. A16.15)
Тем самым наше предположение доказано: вероятность того, что
одновременно в системе двух электронов будут измерены на обоих
электронах одни и те же значения одной и тон же совокупности
механических величии, характеризующих состояние электрона,
равна пулю. Следовательно, такой результат измерения невозмо-
невозможен, что и составляет содержание принципа Паули.
Обобщение на /V частиц проводится без труда путем таких же
рассуждений как те, что были нами только что проведены для
двух частиц. Волновая функция системы Ч? (ql9 .-., <7ь •••> <7у, •••
...,<7лг> 0-Разлагается в этом случае следующим образом:
^ (<7ъ • • •, 4k, • • •» 4jf . • •. 4n, 0 =
=21 ••• 2 ••• 2 ••• Yic(дь ..¦, nk,..., tij,...,nN, оx
nl nk nj nN
X*rtl Ш ...^nk Ы . • • %j (qj) ...%N Ы, A16.7')
где
с{пъ ..., nk, ..., /i/, ..., nN, 0 =
=- \ ... \ dqx ... dqN4 (qu ...,qN,t) ^ (qx) ... ^ Ы. A16.8')
Вероятность найти значения измеряемых величин равными пх
на первом электроне, nk — на ^-м, /г; —на /-м, az^ —на Л^-м, равна
Ш(Агь ..., ЛЛ, ..., Aly, ..., tlN, 0 =
= |с(/гь ..., лл, ..., Л/, ..., /гдт, /)|2. A16.9')
Производя в A16.7') перестановку k-й и /-й частиц и меняя сум-
суммирование по nk на суммирование по tij и наоборот, мы в полной
аналогии с A16.11) и A16.12) получим
с (пх Яу, ..., пк9 ..., /г^, 0 =
= — с(пъ ..., /ift, ..., пу, ..., nN, t), A16.13")
откуда следует, что
с(пъ ..., «у, ..., яЛ, ..., ядг, 0 = 0 Для яА = Яу. A16.14')
Следовательно,
ш(яь ..., nk9 ..., яу, ..., ядг, 0 = 0 Для nk = nj. A16.15')
Так как это доказательство применимо к любым парам частиц (k,
j) из числа N частиц, то все пк должны быть различны, иначе
w~0. Таким образом, вероятность найти в системе частиц Ферми
хотя бы пару частиц, для которых результаты измерений всех

504 СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ [ГЛ. XIX
величин, характеризующих состояние частицы (пл), одинаковы,
равна нулю.
Например, два электрона не могут иметь одинаковый импульс
и одинаково направленный спин (в этом случае nk = nj, причем
под п следует разуметь рх, руу рг, s). Подобным же образом
нельзя обнаружить в одной и той же точке пространства два
электрона с одной и той же ориентацией спинов (тогда 9а = 9у»
причем под q разумеются х, у, г, s; при qk = qj функции A16.7),
A16.7') имеют узел так, что | W \2 обращается в нуль).
Эти же утверждения справедливы также и для всех других
частиц Ферми, для позитронов, протонов и нейтронов.
В заключение отметим, что так как электроны являются состав-
составной частью атомов, а протоны и нейтроны — составной частью
атомного ядра, то принцип Паули имеет первостепенное значение
как в теории электронной оболочки атомов, так и в теории атом-
атомного ядра.
§ 117. Волновые функции для системы
частиц Ферми и частиц Бозе
Рассмотрим несколько подробнее волновые функции, обладаю-
обладающие свойством симметрии или антисимметрии в частицах. Начнем
с антисимметричных функций, принадлежащих частицам Ферми.
Сначала обратимся к случаю двух частиц. Антисимметричная
функция двух частиц W (qu q2, t) может быть разложена по
собственным функциям г|?Л1 (q^ и %2 (q2)> принадлежащим отдель-
отдельным частицам.
(<7ь <Ь 0 = ? 2 с ("ь л» 0 ^ М ^ Ш- A17.
Выражение A17.1) мы можем представить в ином виде, разбив
сумму на две части, в одной пусть rti>n2, а в другой п1<Сп2
(пг = п2 выпадает, так как с(пъ пъ t) = 0):
+ Ц 2с("ь п2, *L>«.foiL>«.(ft). A17.г)
Меняя во второй сумме индексы суммирования п± на п2 и п2 на
Пи получим
Ч(Яи Q2, 0= Ц 2с(^ь п2
п2 < пх

И7]
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ФЕРМИ II БОЗЕ-ЧАСТ1Щ
505
и, наконец, переставляя пх и п2 в с(п2, пъ /), мы получим на
основании A16.13):
ъ ft, 0 =
; (H7.2)
выражение в скобках можно представить в виде определителя и
записать ? в виде
Таким образом, антисимметричная волновая функция предста-
представляется в виде суммы (или. интеграла) определителей вида
Фп п (ил* 09)= п' l rtl П17 4)
^пхпг\чъ 42) ^ ^ ^ (д^Г \lil-^J
Если мы имеем дело с W частицами, то подобным же образом
легко получить, опираясь на A16.13), в общем случае
X
где
- (Ль • • •, пк9 ..., п/9 ..., nN, f) х
, Яку .-., Я/у -..» Ям)у (П7.5)
A17.6)
„ (ft) • • • *nN {Як)"' %N (Я/) -%
Раскрывая определитель, можно написать Ф также в виде
= 2 (±) ^К Ы • • • Ч (^) •..Фя, (?/)... ^nN (Ям). A17.6')
р
Здесь сумма взята по всем ЛП перестановкам координат частиц
9ь ..., qN, причем знак + или — берется перед слагаемым
в A17.6'), смотря по тому, получается ли некоторое расположе-
расположение величин q из расположения в порядке возрастающих номеров
Яи Яг* •••» Яку Яшу -у <7w путем четного числа парных переста-
перестановок или путем нечетного числа парных перестановок.

506 СИСЛТ.ЛШ 113 ОДИНАКОВЫХ А\ИКРОЧЛСТИЦ [ГЛ. XIX
Приведенное представление антисимметричных волновых функ-
функций в виде суммы определителей очень важно в практических
приложениях теории при приближенном решении задачи о дви-
движении многих тел. Допустим, что нас интересуют волновые функ-
функции стационарных состояний двух электронов в атоме. Такие
функции найти, вообще говоря, довольно трудно. Напротив,
функции одного электрона найти значительно проще. Допустим,
что эти функции мы знаем— пусть это будут функции г|ч (?i) и
г|)/2о (q2). Если взаимодействие электронов не сильно, то волновая
функция системы двух электронов будет такова, что состояние
каждого из электронов будет мало отличаться от состояния одного
электрона в атоме в отсутствие другого электрона. Если же один
электрон мы помещаем в квантовое состояние, характеризуемое
величинами (квантовыми числами) пъ то вероятность найти какое-
нибудь иное значение п[ в этом состоянии равна нулю. Подоб-
Подобным же образом, помещая второй электрон в состояние п2у мы
должны будем утверждать, что вероятность найти п\ равна нулю.
Если мы теперь имеем дело сразу с двумя электронами в атоме,
то в случае слабого взаимодействия между электронами состояние
при помещении второго электрона должно мало измениться. Это
означает, что если теперь вероятность найти % — п[ и я2-—я*
и будет отлична от нуля, то она все же будет мала, а стало
быть, все с (п'и п'ъ t) в A17.3) малы, кроме с{пъ п2у t). Прене-
Пренебрегая всеми с, кроме с{пъ п2, /), мы получим из A17.3) волно-
волновую функцию го для двух электронов атома в нулевом прибли-
приближении:
*•<*. <Ь t) = c(nlt n2, t)\l*fqj *;•<;;>|, A17.7)
и так как общий множитель с(пъ п2, t) не играет роли, то
^ = Ф»,п,(?ь^)- (П7.8)
Аналогично и в случае многих частиц, при условии слабого
взаимодействия между ними, функцией нулевого приближения
для системы частиц lF° является Фпг..., nk,..., «.,..., nN (<7i, ..., <7ь ...
..., qh ..., qN) A17.6), если ^(qi), ^n2{q2), ..., ^nN (qN) суть
функции электронов без учета взаимодействия.
Таким образом, представление антисимметричной волновой
функции в виде определителя A17.4) или A17.6) дает прибли-
приближенный способ для представления волновых функций системы
слабо взаимодействующих частиц через функции отдельных частиц
в отсутствие взаимодействия между ними.
Для частиц Бозе мы имеем другое разложение волновой функ-
функции системы частиц ? по произведениям функций отдельных
частиц: %l (qx) %2 (?,) ...%k {qk)... -фл (qj) ...ypnN Ш. Переставляя

§ 117] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ФЕРМИ И БОЗЕ-ЧАСТИЦ 507
в разложении волновой функции системы
W(qu ..., qki ..., qh ..., qx, t) = ^... ^c (nl9 ..., nNi t)x
n, nN
(ft). ..%k Ы •..фЛ/ (?/).. .ф/i^ M A17.9)
координаты k-n и /-й частиц и замечая, что функция Ч' для
частиц Бозе при этом не должна измениться, мы, сравнивая
коэффициенты при одинаковых произведениях, найдем, что
С (А1Ь •••> Пк, ..., /I/,...., nyv, /) =
= + С(А1ь ..., tlh ..., А1Л, ..., 1lN, t). A17.10)
Для двух частиц будем поэтому иметь
Ч(Чи 42) = 2 с(/гь ^{^ЫФл.Ы
Если взаимодействие между частицами слабо, то приближенное
выражение для волновой функции состояния двух частиц, близ-
близкого к состоянию невзаимодействующих частиц, в котором одна
из частиц находится в состоянии пг, а другая в щ имеет вид
4го = фЯ1 МФ/1, Ы + Фя, ЫФЯ1 (^). (П7Л2)
В случае N частиц на основании сходной аргументации получим
(q1)...%k(qk)...%/(qj)...qnN(qN), A17.13)
где ^ означает сумму по всем jV! перестановкам координат
р
частиц <7ь 92» .... <7лг.

Глава XX
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ
СТАТИСТИКА
§ 118. Вторичное квантование
Ансамбли одинаковых частиц могут быть рассмотрены особым
методом, носящим название вторичного квантования.
Сущность этого метода заключается в том, что в качестве неза-
независимых переменных для описания ансамбля вместо полного
набора механических величин, характеризующих индивидуальные
состояния отдельных частиц, берут числа частиц в этих состоя-
состояниях. Каждое из этих состояний будем характеризовать тремя
переменными: Lu L2, L3, относящимися к движению центра
тяжести частицы и спиновой переменной s, если частицы имеют
спин. Ради упрощения математического аппарата будем считать,
что эти переменные имеют дискретный спектр, так что все состо-
состояния можно перенумеровать числом п так же, как это делалось
в § 116 (под п разумеется совокупность значений четырех вели-
величин: Lb L2y L3, s).
Обычно гамильтониан дается в координатном представлении,
поэтому мы выполним сначала преобразование от координатного
представления к «^-представлению, которое будем считать диск-
дискретным1).
Если в координатном представлении волновая функция
системы N одинаковых частиц будет ^(^i, #2» •••» Qn, О» т0
х) В теории вторичного квантования часто берут импульсное представление
(L1 = px, L2^=py, L3 — pz). Однако импульсное представление непрерывно. По-
Поэтому прибегают к искусственному приему, полагая рх = 2кНпх/1, ру = 2кНпу/1,
pz — 2jiftnz/l, где пХУ nlh nz — целые числа, а / — некоторая большая длина
(ср. § 120). Тогда импульсное представление становится дискретным. В окон-
окончательном результате переходят к 1->оо и тем самым освобождаются от этого
искусственного допущения. Исчерпывающая теория вторичного квантования,
применимая также и к случаю непрерывной последовательности состояний,
была разработана В. Л. Фоком (V. A. F о с k, Pliys. Zs. d. Sov. Union 6, 425 A934)).

§ 118] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ 509
уравнение Шредингера для этой системы имеет вид
N N \
\b A18.1)
где H(qk) = — 2~ ^i + U (qk) есть оператор энергии k-й частицы,
U (qk) — потенциальная энергия k-й частицы во внешнем поле,
a W (qk, qj) — энергия взаимодействия k-й и /-й частиц. Разложим
теперь волновую функцию ij) по собственным функциям %kDk)
операторов Ll9 L2, L3, s точно таким же путем, как это делалось
в § 116. Тогда получим
И ^^Ы.-.^^Ы- (И8.2)
с(пъ п2, ..., /гл-, /) есть, очевидно, волновая функция нашей
системы в «^-представлении. \с(пъ /г2, ..., nN, t)\2 есть вероят-
вероятность того, что первая частица находится в состоянии пх (имеет
четверку Li, L2, L3, s, обозначенную одной буквой rt\), вторая
частица в состоянии п2 (имеет четверку L\, Иъ LJ, s', обозначен-
обозначенную через п2) и т. д. Подставляя A18.2) в A18.1), умножая
уравнения слева на г|^?1 (qx) ^ (q2)... ty?JlN (qN) и интегрируя по
qu Чъ ••> 4n, получим
itl-dtc(mly т2, ..., mk, ..., mh ..., mN, /) =
*=1 nk
N
S US^V/'V/^^1' ™2' •••» «ь ..-, «y, -.., mA-, /). A18.3)
Здесь Ятл;Л/г и ^mkmjtnkn. суть матричные элементы
ту/
^ tnkntj- nkrij —
- 5 ^u Dk) №, Dj) w Dk, 4j) 14 Ы *«/ W d^ dc<J- A18-5)
Уравнение A18.3) есть уравнение A18.1) в «/^-представлении.
В силу одинаковости частиц матричные элементы A18.4), A18.5)
зависят лишь от значения квантовых чисел mky mjy nky rij, а не
от номера частиц k, j. Обозначая какое-нибудь значение mk через
пг9 пк через п, подобным образом /л,- через га', rij через п', коор-
координаты k-\\ частицы через q> а / — через q\ мы можем написать

510 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИИ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
A18.4) и A18.5) в виде
= ~ |.i \
^ ^/ши% ш.. A18.7)
Амплитуды c(a7?i, ш2, ..., тдг, 0 (волновые функции в «L»-
представлении) суть симметричные функции квантовых чисел тъ
т2, ..., m,N Для частиц Бозе и антисимметричные функции для
-частиц Ферми (см. § 116). Поэтому значения этих амплитуд зави-
зависят лишь от того, сколько аргументов из их полного числа
N (тъ тъ ..., л/л-) равно т, сколько равно т\ т", ... и т. д.,
а не от того, какие именно из этих аргументов равны т, т\
т", ..., т. е. эти амплитуды являются функциями числа частиц
в каждом из состояний. Обозначим эти числа через Nlt N2, ...
..., Nm, ..., Nm>, ..., Nm»9 ... и т. д. Следовательно, например,
Nm равно числу чисел mk среди аргументов с (mi, пгъ ..., mN, t),
значение которых равно ш, Nm' равно числу чисел mk, значение
которых равно ml и т. д.
В случае частиц Бозе числа Nm могут быть любыми. Напро-
Напротив, в случае частиц Ферми, в силу принципа Паули, функция
с (nil, ?К2> •••» m,v» t) обращается в нуль, если хотя два числа
mk, nij равны между собою, так что Nm принимает только два
значения 0 или 1: состояние может быть занято только одной
частицей или вообще не занято.
Дальнейшие преобразования мы произведем для частиц Бозе.
Наша задача заключается теперь в том, чтобы написать уравне-
уравнение Шредингера A18.3), взяв в качестве переменных вместо кван-
квантовых чисел тъ ш2, ..., т^ числа частиц в этих состояниях
Nly N2, ..., Nm, ... Для этого нам нужно прежде всего изменить
нормировку амплитуд с. В самом деле, если рассматривать с как
функцию чисел Nx, N2, ..., Nm, ..., то j с (Nl9 N2, ..., Nm, ...,/) |2
есть вероятность нахождения Nx частиц в состоянии 1, N2 частиц
в состоянии 2, ..., Nm частиц в состоянии т и т.д. Этаже ве-
вероятность выразится через с (тъ т2, ..., tnN, t) в виде
\c(Nu N2, ..., Nm9 ..., /)i2 = 2|c(mlt m2> ..., mNt t)\\ A18.8)
где сумма взята по всем с(тъ т2, ..., mNi t), имеющим N\
чисел пг/{у равных 1, N» чисел mk, равных 2, и т. д. В силу
симметрии все эти с равны между собою. Поэтому
\c(Niy Л/2, ..., Nm, ..., 0I2-
= л/ |л/| 'л/ I Пшь т2, ..., mN, t)\\ A18.8')
JV1* iV2; • • • iViff •• •

3 Пй] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ 511
откуда
c(Nlf N2} ..., N,n, ..., /) =
ЛП \*Л
' 'c(m m /;^ ') (П8.9)
Подставляя теперь в A18.3) вместо с(ти ш2, ..., nix, t) ампли-
амплитуды с(Ni, Лг2, ..., Nm, ..., /), мы можем выполнить суммиро-
суммирование по номерам частиц k и /. Для этого воспользуемся A18.6)
и A18.7) и заметим, что с(ти т2, ..., тк> ..., /иу-, ..., mNy t)
отличается от с(тъ т2, ..., я*, ..., /п;-, ..., шЛг, /) тем, что
число частиц в состоянии тк = т уменьшилось на 1, а число
частиц в состоянии пк — п увеличилось на единицу.
Подобным же образом с(тъ т2, ..., пк, ..., лу, ..., mNi t)
отличается от с{тъ т2, ..., /п/г, ..., ту, ..., тдг, /) тем, что
число частиц в состояниях mk^m, mj~m' уменьшилось на 1,
а в состояниях nk = n, tij = n' увеличилось на 1.
На основании этих замечаний находим
1ПШ\[ An ) х
Xc(Nly ..., Nmy ..., Nm>, ..., Nn, ..., Nn', ...,
n,m
v с IЛ/\ N 1 Л/*«' N -\~ 1 Л/*,/ /^ -
"+ii "
til, YYlf И, tlf
X л77 X
Xc(iVb .... Nm-\, ..., Nm>-1, ..., Nn+l, ..., Nn.+ \, ..., 0-
A18.10)
l
/ ДГ1 \— V)"
Деля на тплп— "» получим
«' X
^ь ..., Nm-\, .... iVm--l, ..., Л^п+1, .... Na>+\, .... /).
A18.11)

512 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
Это и есть искомое уравнение, в котором за независимые пере-
переменные взяты числа частиц в отдельных состояниях. Это урав-
уравнение может быть записано в очень удобной форме, если ввести
операторы ап и at, которые действуют на функции от чисел Nny
следующим образом:
м л/ м \ —
= (Л^л+1I/2/(^ь N2, ..., Л^я+1, ..., ^, ...), A18.12)
ЛГ2, ..., Nn, ..., Nmy ...) =
= NH'f(Nu N2, ..., ЛГл-1, ..., yVm, ...), A18.12')
anf(NuN2,..., Ол> .... Л^ш, ...) = 0. A18.12")
Эти операторы, очевидно, обладают следующими свойствами:
a%an = Nn, ana*n^Nn+\y A18.13)
flmflJ - «Xi = б^Л. A18.14)
Теперь нетрудно видеть, что с помощью этих операторов урав-
уравнение A18.11) может быть написано в виде
N* ..., 0=^g(jyb N2f ..., t)y A18.15)
где
^ ^^т'^?тт\пп^п^п'. A18.16)
m, n m, m' n, n'
Оператор Н есть гамильтониан системы, выраженный через опе-
операторы ап и а%. Его обычно называют вторично кванто-
квантованным. Это уравнение вполне эквивалентно исходному урав-
уравнению A18.1) для N частиц в конфигурационном пространстве.
В сущности уравнение A18.15) есть уравнение A18.1) в «jV»-
представлении, т. е. в представлении, в котором в качестве
переменных взяты числа частиц Ыъ N2> ..., Nm, ... в различных
квантовых состояниях 1, 2, ..., т, ...
Однако уравнение A18.15) в одном отношении общее уравне-
уравнения A18.1); последнее написано для системы N частиц, в урав-
уравнении же A18.15) полное число частиц явным образом не входит.
Оно является постоянной интегрирования. Действительно, опера-
оператор Н A18.16) в каждом члене содержит одинаковое число опе-
операторов а и операторов а*. Так как операторы а* увеличивают
число частиц в каком-либо из состояний на 1, а операторы а
уменьшают число частиц в каком-то из состояний на 1, то пол-
полное число частиц N = ^Nm под действием оператора Н не

§ 118] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ 513
меняется, так что
-^ = [Я, ЛГ] = О. A18.17)
Таким образом, N — const. Поэтому уравнение A18.15) справедливо
для любого числа N одинаковых частиц Бозе.
Гамильтониан A18.16) теории вторичного квантования можно
написать в другой форме, которая соответствует энергии некото-
некоторого волнового поля.
Пусть волновая функция одной частицы есть ty(q). Разложим
эту функцию по собственным функциям tyn{q) операторов Lu L2,
U, s:
Ч>(?) = 2М>л(?). (П8.18)
п
Будем теперь рассматривать амплитуды ап не как числа, а как
операторы со свойствами A18.14). Тогда сама функция -ф будет
оператором
^(<?)=2ЯЫ<?). (П8.19)
П
действующим на числа Nu N2i ..., Nm, ... Переход от A18.18)
к A18.19) означает, что мы перешли от чисел к операторам,
т. е. мы как бы перешли от классической теории к квантовой.
Но так как описание движения одной частицы с помощью вол-
волнового поля г|) (q) уже само по себе является квантовым, то
замену амплитуд ап на операторы ап называют вторичным
квантованием, а волновую функцию Y называют кванто-
квантованной волновой функцией1).
Заметим, что переход от неквантованной волновой функции
A18.18) к квантованной A18.19) может быть сформулирован непо-
непосредственно без обращения к операторам ап. Действительно, из
A18.14) и A18.19) следует
? (q) Y* (q') - ?* (qf) ^(q)=Z fa fa - faan) % (q) С (?') =
m, n
= Ц 8тпГт (?') % (g) = 2 Гп (q') Цп (q),
m,n n
где сумма распространена по всем собственным функциям. Такая
сумма, как можно доказать, равна 8(q' — q). Поэтому квантова-
квантование волновой функции можно записать в виде
ч(ч)х?*Ю-Ъ*(ч')Ъ(ч) = &(д'-я)- (Н8.20)
J) Следует не упускать из виду, что волновой функцией в обычном пони-
понимании этой величины в теории вторичного квантования является функция
c(N1} N2} ..., Nm, ..., 0. з не $1

514 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
С помощью квантованной волновой функции х? (д) A18.19) гамиль-
гамильтониан A18.16) может быть написан в виде
P (q)U (q)x
(q)V*(q')W(q, q')V (q)V (q') dq dq'. A18.21)
Эквивалентность A18.21) и A18.16) очевидна, если учесть A18.19)
и выражения для матричных элементов A18.6) и A18.7).
В этой форме гамильтониан Н A18.21) можно рассматривать
как энергию некоторого волнового поля, которое «квантовано»
в том смысле, что классическое поле о|) (q) заменено на оператор
Ф(<7). Действительно, будем понимать под ty(q) волновое поле
де Бройля — Шредингера и предположим, что отдельные элементы
этого поля взаимодействуют между собой так, что энергия взаи-
взаимодействия двух элементов пропорциональна произведению плот-
плотностей | г|) (q) |21 г|) (qf) |2. «Классическое» уравнение для такого
поля будет1)
\*dq\ A18.22)
Полная энергия такого поля будет равна2)
* (?) I21 * (<?') I2 W (q, q') dq dq'. A18.23)
Если теперь расположить здесь г|) и г|э* надлежащим образом и
заменить их операторы Ч; и "Ф"*, подчиняющиеся правилу пере-
перестановки A18.20), то мы получим в точности гамильтониан
A18.21) теории вторичного квантования. Отсюда видно, что тео-
теория вторичного квантования допускает следующий замечательный
подход к теории систем одинаковых частиц: рассматривается
некоторое классическое поле г|). Для него находится выражение
энергии Н. В этом выражении классическое поле ij) заменяется на
оператор ?. Тогда мы приходим к гамильтониану Н теории
вторичного квантования и получаем право говорить о частицах,
!) Это уравнение отличается от правильного уравнения Шредингера для
одной частицы последним членом, который выражает допущенное нами само-
самовоздействие Jl|)- ВОЛН.
2) Пользуясь уравнением A18.22), можно убедиться, что dH/dt = 0, т. е.
Я есть интеграл движения. Так как второй член в A18.22) заведомо есть потен-
потенциальная энергия во внешнем поле, то все выражение, поскольку Н = const,
следует рассматривать как полную энергию поля.

§ 118] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ 515
свойственных данному полюг|): после квантования поле обнаруживает
дискретную, корпускулярную природу. Эта процедура носит назва-
название «квантования поля». Сила ее заключается в том, что
она применима к любому классическому полю1).
В приведенном выше примере речь шла о квантовании поля
де Бройля — Шредингера для случая частиц Бозе.
Совершенно таким же путем можно выполнить квантование
для случая частиц Фгрми. Различие заключается лишь в свой-
свойствах операторов а, а*. Чтобы найти эти операторы, нужно
выполнить заново преобразование уравнения A18.3) от перемен-
переменных ть т2, ..., mN к переменным Иъ N2i ..., Nmt ..., которое
для частиц Ферми несколько более кропотливо ввиду того, что
при перестановке частиц функции с{тъ т2у ..., т^, /) меняют
свой знак. Далее, как уже отмечалось, числа Nm могут иметь
лишь два значения: 1 и 0. Выполняя сходные преобразования2),
мы получим из A18.3) опять уравнение A18.15) с гамильтониа-
гамильтонианом A18.16), но операторы ап, а% будут определены в этом слу-
случае иначе, именно,
a%f(Nl9 N2, ..., 0я, ..., Nmy ...) =
N2j ..., 1Я, ..., Nmj ...), A18.24)
2, .... I*, ..., tfw, ...) = 0, A18.24')
, ..., 0„, ..., Nm, ...) = 0, A18.24")
Nmy ...) =
2, ..., 0я, ..., Nmy ...), A18.24'")
причем знак + или — берется, смотря по тому, четное или
нечетное число занятых (Мт-=1) состояний предшествует состо-
состоянию п, если состояния расположить в порядке возрастания3) п.
Из этих правил следует
a*an = Nn@ или 1), ana*=\-Nn, A18.25)
п = Ьтп. A18.26)
г) Общая теория этого квантования изложена в книге: Г. Вентцель,
Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947.
2) См., например, П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики,
Физматгиз, I960, § 65, или оригинальную работу В. А. Фока, Zs. f. Phys.
75, 622 A932).
3) Можно ввести вигнеровскую функцию vnt определяемую формулой
v«= TI О-^т).
т ^ п
вместо знака ± в формулах A18.24) писать v^ (v/4 = ±l).

516 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
л.
Как видно, правило перестановки для операторов а в случае
частиц Ферми отличается знаком от правил перестановки для
частиц Бозе.
Пользуясь A18.18) и повторяя выкладки, ведущие к A18.20),
получим
$(qL*(q')+4*(q')*(q) = 6(q'-q). (H8.27)
Все остальные формулы, в частности, выражение для Н A18.21),
остаются без изменения. Таким образом, гамильтониан Й сов-
совместно с правилом квантования A18.27) можно рассматривать
как вторично квантованный гамильтониан для электронных волн,
«классическое» уравнение для которых есть A18.23). Правило
квантования для обоих случаев может быть записано в одной
формуле
[*(?). **{q')]± = 6(q'-q)9 A18.28)
причем знак + берется для частиц Ферми, а знак — для частиц
Бозе.
В современной физике приходится иметь дело с явлениями
рождения и уничтожения частиц. Эти явления, строго говоря, вы-
выходят за рамки квантовой механики. Однако метод вторичного
квантования ввиду того, что в него не входит явным образом пол-
полное число частиц, допускает простое обобщение на случай пере-
переменного числа частиц и тем самым оказывается пригодным для
описания явлений рождения и уничтожения частиц. Действительно,
если к гамильтониану Н A18.16) добавить член вида
l A18.29)
где Qn, Q'Jl суть некоторые операторы, характеризующие взаимо-
взаимодействие частиц с какими-либо другими частицами, способными
поглощать или излучать первые, то полное число частиц N уже
не будет интегралом движения, так как [Q, N]^=0. При этом
члены, содержащие а*, описывают рождение частиц, а члены,
содержащие а,— их уничтожение (см. A18.12) и A18Л2')).
Если кванты света (общее —фотоны) рассматривать как ча-
частицы, то можно процессы испускания и поглощения света рас-
рассматривать как процессы рождения и уничтожения фотонов. Осно-
Основанная на этой мысли квантовая теория излучения была развита
Дираком1). Подобным же путем можно изучить явления возник-
возникновения и уничтожения электронов и позитронов при ^--распаде,
]) П. А М.Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960,
гл. 10; В. Гайтлср, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.

§ П9] МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ 517
при рождении и уничтожении пар, явления образования и рас-
распада мезонов и др. Все эти явления рассматриваются квантовой
теорией полей1).
Помимо квантовой теории поля, теория вторичного квантова-
квантования находит также обширные приложения в области квантовой
статистики.
§ 119. Теория квантовых переходов и метод
вторичного квантования
Вычислим теперь вероятности перехода под влиянием возму-
возмущения из одного квантового состояния в другое в ансамбле одина-
одинаковых частиц. Для расчета воспользуемся методом вторичного
квантования. Чтобы конкретизировать задачу, рассмотрим пере-
переходы под влиянием слабого взаимодействия между частицами.
В этом случае целесообразно выбрать переменные Lb L2, L3,
s, описывающие состояние частиц таким образом, чтобы одна из
них (скажем Ьг) равнялась энергии частицы Lx (qk) = E (^). Тогда
матрица Нтп будет диагональной. Если через гт обозначить соб-
собственные значения энергии частиц, то Нтп--=&т8тп. При таком
выборе переменных уравнение A18.15) имеет вид
a*a*>W > *>а a^c(Ni No t) П19 П
m, m', nn',
Сумма ^e,nNm = E есть полная энергия всех частиц без учета их
т
взаимодействия. Вводя вместо функций с{Мъ М2, ...,t) медленно
меняющиеся амплитудыЪ (Nu N2, ..., /)=c(Nu Лг2,..., /)eh ^ т т ,
получим вместо A19.1) уравнение для b(Nu N2, ••., t):
171, 1П', П, П'
XaU?h>Wmm'nn>anan>b(Nly N2, ..., /). A19.2)
Допустим, ато в начальный момент времени населенность различ-
различных состояний характеризуется числами №l9 №2, ..., так что все
амплитуды b при t = 0 равны нулю, кроме
*) Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию кванто-
квантованных полей, «Наука», 1973; А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий,
.Квантовая электродинамика, «Наука», 1969.

518 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
Пользуясь обычным приемом теории возмущений, подставим
в правую часть уравнения- A19.2) начальное значение Ь°. Тогда,
имея в виду свойства операторов а*19 а^-, а„, ап> (см. A18.12) и
A18.12')), получим уравнение для определения Ь{1) в первом при-
приближении
X (№т> + 1)V2 nV'NW* Wmn>. пп>. A19.3)
Интегрируя это уравнение по времени и вычисляя вероятность
d
'"dl
перехода в единицу времени Ртт>% ПП' = ji\ b{1) |2 (ср. вычисления
§ 84), найдем
Ртт>. пп> = (№т + 1) (№т> + 1) АЖ>~ X
X | Wmm't пп> ? б (ет + ет> - ел - еП'), A19.4)
причем наличие «б»-функции обеспечивает закон сохранения
энергии.
Подобным же образом, понимая в A19.2) под я?, а*г-, апиап'
операторы Ферми—Дирака A18.24), получим для случая частиц
Ферми
Ртт'. nn> = (l-N»m)(l- NM ЫЖ> Y I Wmm>. nn> |2 X
Хб(еи + е^-ея-ея| A19.5)
Эти формулы показывают, что в системе одинаковых частиц
вероятность перехода из начального состояния (я, п') в конечное
(at?, m') зависит не только от числа частиц в начальном состоя-
состоянии (пу п'), но от населенности конечного состояния (т, тг). Это
совершенно новый результат квантовой теории, не имеющий места
в классической механике. Для частиц Бозе вероятность перехода
тем больше, чем больше частиц уже находится в конечном со-
состоянии. Частицы Бозе имеют, таким образом, тенденцию накап-
накапливаться в одном состоянии. Напротив, для частиц Ферми веро-
вероятность перехода равна нулю, если состояние, в которое проис-
происходит переход, занято (№т=1 или Л^'=1). Это есть новое
выражение для принципа Паули.
§ 120. Гипотеза о столкновениях. Газ Ферми — Дирака
и газ Бозе — Эйнштейна
В классической кинетической теории предполагается, что веро-
вероятность перехода частиц в результате столкновения из некоторого
состояния п и п' (энергии частиц гп и гп>) в другое состояние т

§ 120] ГАЗ ФЕРМИ -ДИРАКА И ГАЗ БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА 519
и тг (энергии частиц гт и ет*) пропорциональна числам частиц
в начальных состояниях Nn и Nn>\
* mm', nn' == Amm', nn'NnI\/ n'. A20. 1)
Если Nn и IV п> — среднее число частиц в состояниях п и п\ то
предполагается в соответствии с A20.1), что среднее число пере-
переходов ИЗ П, П' В /72, /72' раВНО
Ртт'. пп> = Атт.% nn'NnRn'* A20.1 ')
при этом Атт>уПП> = Апп>,тт> (так называемый «принцип деталь-
детального баланса»1).
На основании квантовой механики мы должны для газа, со-
состоящего из одинаковых частиц, сделать другое предположение
о среднем числе переходов под влиянием столкновений. Как было
показано в предыдущем параграфе, вероятность перехода зависит
не только от числа частиц в исходных состояниях, но и от сте-
степени населенности конечных состояний, именно, вместо A20.1)
в согласии с A19.4) и A19.5) имеем для вероятности столкнове-
столкновения в случае частиц Ферми
Ртт: п«> = Атт>, пп> A -Nm) (I ~ Nm.) NnNn- A20.2)
(Nm, Nm*, Nn, Nn>=l или 0). В этой формуле явно выражен
принцип Паули: если одно из конечных состояний занято Nm= 1
или Л^я'=1, то перехода быть не может. Подобным же образом
для частиц Бозе имеем
Ртт: ш> = Ат„ (Nm+ I) (Nm>+ I) NnN*. A20.3)
Здесь множители (Nm-{-l) и (Nm'-\-\) не имеют столь нагляд-
наглядного значения, какое имеют множители (l—Nm), (I—iVm') в слу-
случае частиц Ферми. Однако необходимость наличия таких множи-
множителей была нами доказана (§ 119). Как уже отмечалось, частицы
Бозе имеют тенденцию к ассоциации: они переходят в наиболее
населенные состояния2).
Равенство величин Атт^пп* и Апп^тт> (обратный переход) вы-
вытекает в квантовой механике из того факта, что Атт^пп> пропор-
х) Этот принцип справедлив не всегда. Он, во всяком случае, справедлив
в первом приближении теории квантовых переходов (см. §§ 84, 85) и строго
справедлив, если силы взаимодействия между частицами —центральные (ср. §44
и цитированную там работу Д. И. Блохинцева).
2) Это приводит к замечательному свойству газа из частиц Бозе: при низ-
низкой температуре наступает своеобразная конденсация этого газа, даже если
предположить, что газ — совершенно идеальный, так что силы взаимодействия
бесконечно малы. См. A. Einstein, Berichte der Preuss. Akad. 3 A925).
Теория идеального газа Бозе была развита Н. Н. Боголюбовым (Jouni. Phys.
USSR XI, 23 A947)). Эта теория позволяет дать толкование интересному явле-
явлению сверхтекучести гелия.

520 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
ционально квадрату модуля матричного элемента энергии взаимо-
взаимодействия №„,,„',„„', a Wmn'.M'^Wfm'.mm' (CM. CHOCKy На СТр. 519).
В соответствии с A20.2) и A20.3) для газа из одинаковых
частиц в квантовой механике для среднего числа переходов под
влиянием столкновении берут вместо A20. Г) выражение
Pmm>tnn> = Amm>ttm. A1b Nm) A it Rm.) NnNn>, A20.4)
причем знак — берут для частиц Ферми, а знак + для частиц
Бозе. Формулу A20.4) мы будем рассматривать как новое предполо-
предположение о среднем числе столкновений частиц, основанное на кван-
квантовой механике1). Очевидно, что A20.4) превращается в класси-
классическое выражение A20.1), если среднее число частиц в каждом из
состояний мало в сравнении с единицей.
Найдем теперь распределение по энергиям при тепловом равно-
равновесии в газе частиц Бозе или Ферми. При тепловом равновесии
число переходов в состояния п и п' в результате столкновения
частиц, находившихся в состоянии т и т\ должно равняться
числу обратных переходов. Из A20.4) тогда получаем (в силу
равенства Атгп>,пп> = Апп>гПгт>)
A ± Nm) A ± Ят.) NnNn> = A ± Nn) (I ± Nn) NmNm, A20.5)
Далее, при равновесии среднее число частиц в каждом из со-
состояний N_m будем считать только функцией энергии этого состоя-
состояния гт [Nm = N (ет)]. На основании закона сохранения энергии
при столкновениях (ср. A19.4) и A19.5)) имеем
в« + ет' = ел + ея<. A20.6)
Из A20.5) получаем, что
Nm Nm, Nn Nn.
l±Nm'l±Nm. l±Nn\± Nn.
= C, A20.5')
где С —некоторая постоянная, которая может зависеть (на осно-
основании сделанного предположения об N к закона сохранения
A20.6)) лишь от суммы em + em' (или еп + гп' = &т + &т')' Таким
образом,
N^ A20.5*)
l±Nm\± Nm.
Обозначая —Щ^- = (р(ет), мы перепишем A20.5") в виде
!) Miii называем A20.4) «предположением», так как в выражении для веро-
вероятности перехода A20.2) разумеются истинные значения населенности^уровней
Nn, Nn,, Nmi Nm,y а в A20.4) стоят средние значения NПУ Nn,, Nm, Nmf
Равенство A ±.Nm)(\ ± Nm,) NnNn, = (\ ± Nm) A ± Nm,) NnNn, не является
очевидным и выполняется не при всех условиях.

§ 120] ГАЗ ФЕРМИ-ДИРАКА И ГАЗ БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА 521
Дифференцируя это равенство один раз по ет и другой раз по гт>
и деля один результат на другой, найдем
ф"(С;я) __ Ф' (е„г) _ 1
где 0 —некоторая постоянная, не зависящая от е. Интегрируя
теперь A20.8) по е/я, находим
Ф(еЛ)=е 0 , A20.9)
где а —постоянная интегрирования. Отсюда находим для сред-
среднего числа частиц в состоянии с энергией гт:
Л« = ЛГЫ = ! ¦ A20.10)
(знак + для частиц Ферми, знак — для частиц Бозе). При боль-
большой энергии частицы (е->оэ) закон распределения по энергиям
должен совпадать с классическим законом Больцмана
N(em)= const -e kT, A20.11)
где k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.
Переходя в A20.10) к пределу ет->оэ и сравнивая с A20.11),
находим, что Q = kT. Таким образом, окончательно
Nmr=- ! . A20.12)
Р " ± 1
Постоянная интегрирования а определится из условия равенства
числа частиц во всех состояниях полному числу частиц в рас-
рассматриваемом объеме газа:
XNm = N. A20.13)
m
Совокупность частиц, подчиняющихся закону распределения
A20.12) со знаком (+), носит название газа Ферми—Ди-
Ферми—Дирака, а со знаком (~) — газа Бозе —Эйнштейна. Закон
A20.12) явно написан для дискретных состояний.
Введем число состояний на интервал энергии de. Обозначим
его через Vp(e)de, где V — объем всего газа. Тогда, суммируя
A20.12) по всем квантовым состояниям, энергия которых попадает
в интервал е, e + de, мы получаем среднее число частиц газа,
имеющих энергию между е, e + de (закон распределения по энер-
энергиям):

522 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
и деля на V, получаем то же число для единицы объема газа
B= ?p(e)d8 . A20.14)
Вместо A20.13) теперь следует написать
^M*_ = n, A20.15)
где я = Af/V — плотность числа частиц1).
Распределение A20.14) со знаком (+) носит название рас-
распределения Ферми — Дирака, а со знаком (—^ — рас-
распределения Бозе —Эйнштейна. Наиболее существенной
особенностью распределения Ферми —Дирака является существо-
существование нулевой энергии газа. Чтобы в этом убедиться, положим
а = ~; тогда имеем
P ^. A20.16)
0 в Q + 1 е в + 1
При в -> 0 (низкие температуры) е0 должно быть больше нуля
(если энергию 8 отсчитывать от нуля так, что е>0), иначе при
6-^0 /(е)->0 и нельзя удовлетворить первому равенству A20.16).
Далее, мы видим, что при 0->О /(е) = р(е) для е<еои/(е) = О
для 8 > 80, т. е. при абсолютном нуле все состояния в газе
Ферми —Дирака заняты вплоть до состояний с & = го> остальные
же состояния свободны. Энергия частиц, занимающих состояния
от 8 = 0 до 8 = 80, и есть нулевая энергия газа. Более
подробное рассмотрение показывает, что такое распределение
очень мало меняется с температурой, если только температура
остается такой, что 6 = kT <<80. е0, очевидно, есть максимальная
энергия частицы в газе Ферми —Дирака при абсолютном нуле
температуры.
Мы вывели распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйн-
Эйнштейна, исходя из гипотезы о столкновениях A20.4). Эти же рас-
распределения могут быть найдены из общих положений термодина-
термодинамической статистики (ансамбль Гиббса) без каких-либо предполо-
предположений о кинетике процессов 2).
J) Очевидно, что р (е) не может зависеть от объема газа, так как иначе
функция распределения также зависела бы от него. Такая независимость р (е)
от V всегда имеет место, если объем газа V значительно больше X3, где К —
длина волны в преобладающем числе занятых состояний.
2) См. М. А. Лео нто вич, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944*

§ 120J ГЛЗ ФЕРМИ — ДИРЛКЛ II ГАЗ БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА 523
Отличие расчетов, базирующихся на квантовой механике, от
расчетов, базирующихся на классической механике, заключается
в разном способе подсчета числа возможных состояний. В кван-
квантовой механике состояние характеризуется заданием симметричной
или антисимметричной волновой функции х?у и различные пере-
перестановки частиц по отдельным состояниям не дают тювого состоя-
состояния (х? переходит сама в себя или меняет знак). С точки зрения
классической механики каждая такая перестановка означает новое
состояние частиц. Классическая статистика, базирующаяся на таком
подсчете состояний, представляет собой предельный случай кван-
квантовой статистики, в которой число состояний исчисляется по числу
различных волновых функций (можно показать, что классическая
статистика получается из квантовой, если число частиц в объеме
средней длины волны Xs много меньше единицы). В квантовой
области различают две статистики — ст ат и сти к у Ферми —
Дирака (для частиц, подчиняющихся принципу Паули, — анти-
антисимметричные W) и статистику Бозе —Эйнштейна (сим-
(симметричные ?, частицы Бозе). В своих принципиальных основах
эти две статистики, конечно, не различаются.
Применим статистику Ферми —Дирака к электронам проводи-
проводимости в металле. Последние приближенно можно рассматривать
как свободные частицы1). Подсчитаем число состояний на интер-
интервал энергии р(е). В объеме металла L3=V состояния свободных
частиц будут стоячими волнами. Удобнее рассматривать бегущие
волны, считая металл бесконечно большим, но мы будем предпо-
предполагать, что в каждом объеме L3=V состояние полностью повто-
повторяется («условие периодичности»). Такое рассмотрение вполне
законно, если L^>X, где % есть длина волны преобладающего
числа занятых состояний. Волновые функции будут плоскими бе-
бегущими волнами вида
A20.17)
(нормированы к 1 в L3), причем kXy kyy kz имеют значения
t\>x т , tvy j y t\>z j » I l^Vi I \jI
Благодаря такому выбору kxy kyy kz состояние в объемах L3 повто-
повторяется. Состояния у нас нумеруются числами пХ1 пуу п2. Эту
тройку чисел и следует теперь понимать под одним индексом т,
фигурировавшим в A20.12).
Образуем сумму ^АпхАпуАп2 (Дд = ±1) по состояниям, ко-
которые попадают в интервал энергии 8, e+de- На основании
2) Строгое доказательство возможности такого приближения и установле-
установление границ его применимости до сих пор еще не произведены.

524 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
A20.18) имеем
следовательно,
e,.e-fds е, e+rfe
= B^ ^ dkxdkadk,=
г, e + de
е, в -Me
Замечая, что для свободных частиц е = ^ТГ ^2 и что кажД°мУ зна"
чению к соответствуют два состояния с различной ориентацией
спина электрона, мы получаем
г) йг = (|^^ е«/* de. A20.20)
Подставляя это значение р(е) в A20.14), находим закон распре-
распределения свободных электронов
, , ч , 8Я B[ХK/2 81/2d8 /1ОП 014
^8)des=W^—^°—л A20'21)
Вычислим максимальную энергию е0 для 0 = 0. Так как при
= 0 f(e) = 0 для е>я0, то из A20.16) и A20.21) имеем
о
Отсюда
Величина максимальной энергии электрона е0 для металлов
(п^Ю22 см~2) получается равной нескольким электронвольтам.
Такого же порядка величины средняя нулевая энергия электро-
электронов г@) (точно е @) ==3/580). По классической теории средняя
энергия электронов должна быть гораздо меньше C/2kT). Более
детальное исследование показывает, что е0 очень мало зависит от
температуры, если только последняя много меньше То = ~. Эта
температура для электронного газа составляет ^ 10 000°. Для
температур Т^>Т0 можно доказать, что распределение Фер-
Ферми—Дирака переходит в максвелловское распределение
/(8) de - const • е~е'гх'2 de. A20.24)

§ 120] ГАЗ ФЕРМИ -ДПРЛКЛ II ГАЗ БО31: - ЭПНШТЕПНА 525
Температуру То называют температурой вырождения
газа. Применение статистики Ферми —Дирака к электронному
газу позволило преодолеть многочисленные принципиальные за-
затруднения классической электронной теории металлов и в настоя-
настоящее время является исходным пунктом современной теории1).
В качестве примера распределения Бозе —Эйнштейна рассмот-
рассмотрим черное излучение. Будем считать кванты света (фотоны)
частицами. Соотношение между энергией 8 и волновым числом к
для этих частиц есть г — fm^hck, т. е. -- — tic. Так как состоя-
состояния фотона представляются плоской волной, то число состояний
на интервал энергии будет A20.19). При этом еще нужно умно-
умножить A20.19) на 2, так как для каждого значения к возможны
две независимые поляризации. Следовательно, из A20.19) получаем
Таким образом, закон распределения фотонов по энергии полу-
получается в виде
Полное число фотонов неопределенно (= сю), поэтому условие
A20.15) для определения а не может быть использовано. Энергия
в единице объема в интервале йг будет равна ef(s)de. Имея
в виду, что е = йо), перейдем к плотности излучения и (со) на интер-
интервал частот rfco: и (со) d(o = e/(e)ftflf(o. На основании этого получаем
При Йсо<^0 закон распределения должен переходить в класси-
классический закон Рэлея —Джинса (§ 6). Чтобы получить этот закон,
следует взять а = 0. Таким образом, получаем
т. е. формулу Планка2).
*) Литература по квантовой теории металлов весьма обширна. Укажем
книги: А. А.Абрикосов, Введение в теорию нормальных металлов,
«Наука», 1972; Физика металлов. Электроны, под ред. Дж. За им а на,
«Мир», 1972; И. М. Лифшиц и др., Электронная теория металлов,
«Наука», 1971.
2) Применяя метод Гиббса, можно непосредственно вывести формулу
A20.26"), не прибегая к классическому закону Рэлея —Джинса. (См. сноску
на стр. 522).

Глава XXI
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
§ 121. Атом гелия
Атом гелия, второй атом периодической системы, является наи-
наиболее простым из многоэлектронных атомов. Однако уже на нем
классическая механика потерпела полный крах. Попытки рассчи-
рассчитать его методами классической механики (с учетом квантовых
условий Бора) привели к выводу о невозможности применения
классической механики к атомным системам с двумя и большим
числом электронов. Было сделано предположение о существовании
некоторого рода «немеханических действий». Современная кванто-
квантовая механика в проблеме многоэлектронных систем не встречает
никаких принципиальных трудностей (вычислительные трудности
довольно значительны).
Начнем с качественного анализа возможных состояний атома
гелия, опираясь при этом на общую теорию систем, состоящих
из одинаковых частиц, изложенную в §§ 114—117. Определим
прежде всего вид оператора Гамильтона Н для электронов атома
гелия. Взаимодействия в атоме гелия можно разбить на две группы.
В первую входят значительные кулоновские взаимодействия между
ядром и электронами, во вторую —слабые магнитные взаимодей-
взаимодействия, обусловленные взаимодействием спинов электронов между
собой и с орбитальным движением1).
^ Обозначим координаты электронов через хъ уъ zl(r1) и х2, у2,
z2(r2), а их спины через sx и s2. Оператор кулоновских взаимо-
взаимодействий будет равен
и —%-*? + ?, A21.1)
где первые два члена представляют энергии взаимодействия пер-
первого и соответственно второго электрона с ядром атома, имеющим
*) В эту же группу следует отнести поправки, обусловленные зависи-
зависимостью массы электрона от скорости (ср. § 65).

§ 121] АТОМ ГЕЛИЯ 527
заряд +2е, а третий член определяет энергию кулоновского взаи-
взаимодействия электронов (рис. 87).
Оператор магнитных взаимодействий обозначим через W. Он
будет зависеть от спинов, положения и скоростей электронов
W=W(sly s2, rb ra.-fftVi — tftVa). A21.2)
Учитывая еще кинетическую энергию обоих электронов, мы можем
написать полный гамильтониан электронов атома гелия в виде
Н (Гь 1*2» Si, S2) = я~ м oJ7 2 7 г г" ~ г М^• A21 .о)
Последний член, как мы знаем (ср. § 74), очень мал и обуслов-
обусловливает мультиплетную структуру спект-
спектров. Ограничиваясь в дальнейшем ка-
качественным анализом мультиплетного
строения уровней гелия, мы вовсе от-
отбросим этот член и будем исходить из
гамильтониана
Я(гь г2) = ——Vi-
2u
A21.4)
В ЭТОМ приближении, когда игнори- Рис. 87. Взаимодействия в
руются малые спиновые взаимодейст- атоме Не.
вия, переменные, относящиеся к дви-
движению центров тяжестей электронов и к их спину, разделяются.
Выбирая в качестве спиновых переменных проекции спинов на
некоторое направление (например, 0Z)\ sn и sz2, мы можем (ср.
§ 60) написать полную волновую функцию двух электронов ато-
атома гелия в виде
^(гь r2, szU ^2) = Ф(гь r2)-SE^f 5,2), A21.5)
где через S (szU sz2) обозначена часть волновой функции "У, зави-
зависящая от спинов.
Оператор Гамильтона Н A21.4) (а также и точный A21.3))
симметричен относительно обоих электронов ввиду их тождест-
тождественности. Поэтому к рассматриваемому случаю применимо утвер-
утверждение общей теории (§ 115), согласно которому волновая функ-
функция Ч? A21.5) должна быть антисимметричной или симметричной
относительно частиц, в зависимости от того, подчиняются ли они
принципу Паули или нет.
Опыт показывает, что электроны подчиняются принципу Паули
(впервые именно для электронов он и был установлен). Следова-
Следовательно, волновая функция A21.5) должна быть антисимметричной

528 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
относительно перестановки электронов, т. е.
ЛЛ'(ГЬ Г2, S,b *«) = —Т(ГЬ Го, 5Л, S;2). A21.6)
Оператор перестановки мы можем представить в виде произведе-
произведения двух операторов перестановки Р'п и Р'[ъ из которых первый
переставляет координаты центра тяжести электронов гх и г2, а вто-
второй—спины электронов szl и sz2. Тогда A21.6) с помощью A21.5)
можно написать в виде1)
А',Ф(гь r2)-PUS(s2ly 5Л) = -Ф(гь Го).Sta, 5,2). A21.7)
Отсюда мы получаем две возможности: либо
А',Ф(гь г2) = + Ф(гь г2), A21.8)
и тогда
PUS (s)b s,2) = - S EЛ, 5,2), A21.9)
либо же
Л'.Ф(гь г2) = -Ф(гь r2), A21.8')
и тогда
Pl>S (s,b s22) - + S fei, szZ). A21.9')
Первая возможность означает, что координатная функция симмет-
симметрична, а спинозая антисимметрична, вторая возможность озна-
означает-, что координатная функция антисимметрична, а спиновая —
симметрична. Поэтому мы получаем два класса волновых функ-
функций для возможных состояний атома Не, именно,
^/-ФЛгь r2)Sa(sn, s*), A21.10)
¦Чг// = Фа(Гь r2)Ss(s,b s,2), A21.10')
где значками s и а обозначены симметричные и соответственно
антисимметричные^ функции.
Рассмотрим теперь подробнее спиновые функции Sa и Ss. По-
Поскольку мы игнорируем взаимодействие спинов, каждую функцию
можно было бы написать в виде произведения спиновых функ-
функций, рассмотренных в § 60 F0.6), F0.6'), относящихся к каждому
электрону в отдельности, т. е. в виде
S(sgU sz2) = Sal(szl)Sa2(sz2)y A21.11)
где значки ах и а2 и указывают, как направлен спин электрона —
по оси OZ или" против нее. Но функция A21.11) не является ни
симметричной, ни антисимметричной функцией спинов электро-
!) Утверждение A21.6) справедливо и в тех условиях, когда спиновым
взаимодействием не пренебрегают. Дальнейшее, напротив, базируется на при-
приближении A21.5).

§ 121] АТОМ ГЕЛИЯ 529
нов. Легко, однако, построить из функций A21.11) антисиммет-
антисимметричные функции Sn и симметричные 5л.
Рассмотрим сначала случай, когда спины электронов противо-
противоположны друг другу. Тогда волновая функция A21.11) имеет вид
S' (*ь s,2) = S+V2 Ы S-v, Ы, A21.12)
но возможно и другое состояние, когда спин первого электрона
противоположен оси OZ> а спин второго —направлен по осп OZ:
S" EЛ> s,2) = S_ Vi (гл) S+Va (s,2). A21.12')
Оба состояния отвечают суммарному спину по оси OZ, равному
нулю, и оба принадлежат одной и той же энергии Е. Поэтому
этой же энергии может принадлежать и любая суперпозиция этих
состояний. Среди них единственная, описываемая антисимметрич-
антисимметричной функцией Say имеет видг)
Sa EЛ, sz2) = у-2 [S+./3 (srl) S_V2 (s,2) - S_ Vl (srl) S+Vl (s,2)]. A21.13)
Таким образом, мы определили вид антисимметричной спиновой
функции. Если спины электронов параллельны, то антисиммет-
антисимметричные состояния, очевидно, невозможны. В этом случаемы можем
иметь следующие состояния спина электронов:
5s (s,i, sz2) - S+Vl (szi) S+Vl (s,2), A21.14)
S's(szl, srf) = S-Vl(s,i)S_./l(si2). A21.14')
Эти состояния с самого начала симметричны по спину электронов.
Кроме того, из функций A21.12), A21.12') можно образовать еще
одну симметричную в спинах электронов функцию, именно,
Ss" EЛ, 8Л) = щ [S+Vi EЛ) S_./t EЙ) + S_V, EЛ) S+Vl (Srt)]. A21.14")
Таким образом, мы имеем всего три симметричные по спину функ-
функции S's, S's и S's'. Первые две относятся к суммарному спину 1,
но в состоянии S's спин направлен по оси OZ, а в состоянии SJ —
против оси OZ. Несколько менее ясно то обстоятельство, что со-
состояние S's' также относится к суммарному спину 1, но только
он ориентирован перпендикулярно оси OZ. В этом можно убедиться
*) Множитель —т присоединен из соображений нормировки Sa к 1.
В самом деле, функции Shl/o(sz) нормированы к 1 (согласно F0.7). Если мы
образуем произведение
Sa(szb s,2)Sa(S;U s,2)
П Я
и просуммируем по обоим спинам s~i = ±.-~-1 s,2=±-n~, то мы> как легко
убедиться, пользуясь (GO.7), получим ! (см. также § 106).

530
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
[ГЛ. XXI
должно записываться в
Парагеш j Ортогелии
It I.
I До Vn
Sa
проще всего следующим образом. Мы берем в качестве спиновых
переменных проекции спина на ось OZ. Если речь идет о состоя-
состоянии, в котором спин ориентирован перпендикулярно к оси OZ, то
эти переменные szi и s22 должны иметь неопределенное значение
±у, т. е. состояние со спином, перпендикулярным к оси OZ,
и sz2 переменных так, чтобы фигури-
ровалл все возможные зна-
чения 5г1 и sz2. Кроме того,
мы ищем СОСТояние, симмет-
ричное в спинах. Тогда
A21.14") есть единственный
способ написать волновую
функцию этого состояния1).
На рис. 88 приведено схема-
тически расположение спи-
нов для найденных нами со-
стояний.
Таким образом, состоя-
ния, симметричные в коорди-
иатах центров тяжести элек-
тронов Ф5, суть состояния с
СуММарНЫМ СПИНОМ ЭЛеКТрО-
H0B> равным нулю. СОСТОЯНИЯ,
антисимметричные в коорди-
координатах центров тяжести электронов Фау суть состояния с парал-
параллельными спинами электронов (суммарный спин равен 1). Таких
состояний имеется три соответственно трем квантовым ориента-
цням суммарного спина. Уровни атома гелия распадаются поэтому
на два класса: на уровни с антипараллельными спинами и на
уровни с параллельными спинами.
I
I
U
Полный спин=0
ф*
Полный спцнЧ
а
Рис. 88. Схема сложения спинов двух
электронов.
На схеме отменены принятые в тексте обозна-
чения волновых функции соответствующих
х) Утверждение о принадлежности состояний S's, S* и $Т к СПИНУ 1 (сло-
(сложение спинов электронов) может быть проверено прямым вычислением. Если
обозначить операторы спинов электронов, определяемые матрицами E9.12),
через s{ и s2, то оператор полного спина представится матрицей
Собственная функция S оператора s2 должна удовлетворять уравнению
где /s — число, определяющее полный спин. Из этого уравнения можно убе-
убедиться, что /5 имеет всего два значения: /5 = 0 (антипараллельные спины) или
/5=1 (параллельные спины). Далее непосредственной подстановкой в это же
уравнение S's, S'^ и 5^" можно убедиться, что эти функции суть функции,
принадлежащие /5=1.
Простые выкладки, нужные для доказательства этих предложений, предо-
предоставляем сделать самому читателю.

l§ 121J ATOM ГЕЛИЯ 531
Если мы учтем, что от ориентации спина по отношению к орби-
орбитальному движению хотя очень мало, но все же зависит энергия
квантового уровня, то мы должны будем прийти к заключению,
что уровни с антипараллельными спинами будут одиночные
(синглетные), а уровни с параллельными спинами будут
распадаться на три близких соответственно трем возможным
ориентациям суммарного спина относительного магнитного поля,
создаваемого орбитальным движением. Таким образом, эти уровни
будут тройные (т р и п л е т н ы е)х).
Самым замечательным свойством этих двух классов состояний
гелия является то, что между ними невозможны (почти невоз-
невозможны) квантовые переходы. В самом деле, спиновые взаимодей-
взаимодействия очень малы, и если ими пренебречь, то гамильтониан элек-
электронов атома гелия, даже при действии внешних полей, например
светового поля, будет симметричным относительно координат
электронов, так как внешнее поле одинаково действует на оба
электрона. Таким образом,
Я(гь г2)=Я(г2, Г1). A21.15)
Изменение волновой функции ? (гь r2, szU sz2, t) за время dt
дается уравнением Шредингера, которое мы напишем в виде
йЧг(гь r2, szli s22i t)^jjrH(ru r2Lf(r1, r2, szU sz2, t)dt A21.16)
подобно тому, как мы это делали в § 115. Если Y (гь r2, szl, s~2, /)
есть в какой-то момент симметричная функция координат электро-
электронов гь г2, то приращение этой функции dtW, согласно A21.16) и
ввиду A21.15), будет также симметричным. Подобным же обра-
образом, если Ч'1 (гь r2, szl, sz2, t) антисимметрична, то и приращение
будет антисимметричным. Следовательно, симметричное в коорди-
координатах состояние остается симметричным при всех возможных изме-
изменениях. Равным образом, антисимметричное состояние также
остается антисимметричным. Следовательно, невозможны переходы
из состояний Yi A21.10) в состояния Чгц A21.10') и обратно.
Заметим, что следует иметь в виду отличие доказанной сейчас
теоремы от общей теоремы § 115. Функции 4fi и 4яи являются
антисимметричными функциями в частицах, поэтому между состоя-
состояниями Yi и Yn с точки зрения общей теоремы § 115 возможны
переходы. Мы доказываем сейчас невозможность перехода между
4ri и Yn при условии, что не учитывается взаимодействие со спи-
спином. Поскольку эти взаимодействия все же существуют, то пере-
переходы между Yi и Ч'п на самом деле возможны, но ввиду малости
взаимодействия со спином они будут очень маловероятны.
г) Расчет величины этого расщепления см. в книге Г. Бете, Э. Сол-
Питер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физмат-
гиз, 1960, § 40.

532 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
В .качестве иллюстрации приведем оценки для действия свето-
световой волны. Энергия взаимодействия световой волны с зарядом
электрона, по порядку величины, будет равна
где а —размеры атома, е — заряд электрона, a S — электрическое
поле световой волны (еа есть электрический момент атома). Взаи-
Взаимодействие же световой волны с магнитным моментом электрона,
по порядку величины, равно произведению магнитного момента
электрона ~~1- на магнитное поле волны q/F\
W =2fc^'
так как '? и сйГ в световой волне равны, то
W" _ п
ti/a есть, по порядку величины, импульс электрона в атоме,
a fi/\\a — его скорость v. Итак,
W' ^ с '
Это отношение составляет менее 1/100. Поэтому весьма малове-
маловероятно, что свет вызовет переход, при котором изменится направ-
направление спина электрона1). Иными словами, будут преобладать
переходы без изменения спина, т. е. переходы между состояниями
с одинаковой симметрией в координатах электронов. Это и утвер-
утверждает только что доказанная теорема.
Следовательно, если гелий находится в состоянии с параллель-
параллельными спинами (антисимметричное в координатах состояние), то
весьма маловероятно, чтобы его состояние изменилось на состоя-
состояние с антипараллельными спинами (симметричное в координатах),
и наоборот. Положение вещей таково, как если бы существовало
два сорта гелия— с параллельными и с аитипараллельными спи-
спинами. Первый сорт гелия называют ортогелием, а второй — пара-
парагелием (см. схему на рис. 89). Для того чтобы перевести один
сорт гелия в другой, нужно изменить направление спина одного
из электронов. Ввиду малости магнитного момента спина это изме-
изменение произвести весьма трудно. Видно, что энергетически ниж-
нижнее состояние гелия должно быть состоянием парагелия. В самом
деле, мы неоднократно указывали па то, что нижнее состояние
характеризуется волновой функцией без узлов. Но антисиммет-
антисимметричная функция Фа (г1у г2) имеет узел (узловую поверхность при
1) Следует еще учесть, что вероятность перехода пропорциональна квад-
квадрату энергии возмущения, поэтому отношение вероятностей будет 10~4.

§ 121] АТОМ ГЕЛИЯ 533
r1 — л>). В самом деле,
Ф«0ъ г2) = — Фл(г2, гО;
при г1 = г2 = г получаем
Фа (Г, Г)=—ФД(Г, Г),
т. е. Фа (г, г) = 0. Поэтому функцией нижнего состояния должна
быть симметричная функция Ф5(гъ г2). Следовательно, это будет
состояние, антисимметричное в спинах, т. е. состояние парагелия.
Таким образом, гелий в нормальном состоянии есть парагелий.
В связи с этим возникает вопрос: как получить ортогелий?
Если освещать светом, то практически будут получаться возбуж-
возбужденные состояния опять-таки с антипараллельными спинами, т. е.
i
szl
Ортогелий
lSr>>)
Парагелий
Рис. 89. Расположение спинов в орто- и парагелии.
парагелий. Таким путем мы не добьемся никакого результата.
Иначе обстоит дело, если бомбардировать гелий электронами.
В этом случае мы имеем дело с тремя одинаковыми частицами:
два электрона атома гелия и один падающий извне. Поэтому
данный нами анализ состояний для двух одинаковых частиц будет
в этом случае непригоден. Физически дело сводится к тому, что
падающий электрон может стать на место атомного, а атомный
вылететь из атома. Так как в пучке падающих электронов есть
электроны со всяким направлением спина, то в результате такого
обмена в атоме могут оказаться электроны с одинаково направ-
направленным спином: парагелий превратится в ортогелий.
Доказательство существования двух гелиев (точнее, двух клас-
классов состояний гелия) позволило полностью истолковать всю сово-
совокупность спектроскопических данных, относящихся к спектру
гелия и к его поведению в различных условиях. На рис. 90 мы
приводим схему* уровней атома гелия. В парагелии суммарный
сшш равен нулю. Мультиплетная структура отсутствует. Линии
являются одиночными (синглетными). Соответствующие термы
обозначаются буквами, с присоединением слева вверху значка 1
(например: XS, 1Р). Напротив, термы ортогелия распадаются на
три, близких между собою. Спектральные линии ортогелия соот-
соответственно этому расщеплению уровней состоят из трех близких

534
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ
[ГЛ. XXI
линий (триплеты). Термы ортогелия обозначаются присоединением
слева вверху значка 3 (триплет), например, 3S, 3P. На рис. 90
Рис. 90. Схема спектральных термов гелия.
отмечено состояние ортогелия 23S как метастабильное. Дело
в том, что это состояние есть низшее состояние ортогелия. Пере-
Переход в нижнее состояние есть переход в состояние \XS парагелия

§ 122] ПРИБЛИЖЕННАЯ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ГЕЛИЯ 535
и связан с изменением направления спина. Он маловероятен, и
атом гелия, оказавшийся в таком состоянии, будет находиться
в нем весьма долго, несмотря на наличие запаса энергии
в 19,77 эв.
На этом мы закончим качественный анализ состояний атома
Не и перейдем к приближенной количественной теории.
§ 122. Приближенная количественная теория атома гелия
Для расчета квантовых уровней атома гелия мы применим
метод, который хотя и не является лучшим с точки зрения до-
достигаемой точности расчетов, но зато отличается простотой и
наглядностью. Уравнение Шредингера для определения квантовых
уровней атома Не и волновых функций стационарных состояний
имеет вид
Я(гь r2, szl, sz2)W(rly r2, szly sz2) = EW (rb r2, szli sz2). A22.1)
Так как мы пренебрегаем спиновыми взаимодействиями, то это
уравнение, пользуясь A21.5), можно сократить на S (зл, sz2).
Тогда мы получим
Я(гь г2)Ф(гь г2) = ?Ф(гь г2), A22.2)
причем оператор полной энергии дается формулой A21.4). Этот
оператор можно написать в виде
#(гь г2) = //0(гь г2) + Г(г12), A22.3)
где
gg^^=^o(ri) + ^o(r.), A22.4)
~. A22.5)
Оператор Но (гь г2) есть оператор полной энергии двух электро-
электронов в поле ядра без взаимодействия их между собой. W (г12) есть
энергия взаимодействия электронов. Наше приближение будет за-
заключаться в том, что эту энергию взаимодействия мы будем рас-
рассматривать как малую поправку и в качестве нулевого прибли-
приближения будем брать движение невзаимодействующих электронов
в поле ядра х).
Волновые функции и квантовые уровни для такого движения
известны, так как это есть движение в кулоновском поле. Пусть
первый электрон находится в состоянии ^„(гх), энергия Епу а
г) В конце концов оказывается, что энергия взаимодействия не очень
мала (поэтому приближение не является особенно хорошим), но все же она
меньше разности энергии низших уровней примерно в три раза.

536 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
второй электрон —в состоянии г|?от (г2), энергия Ет. Тогда в качестве
функции нулевого приближения, принадлежащей энергии Еп-\- Ету
можно взять
1>1(гь г2) = 1Мг1)яЫг2). A22.6)
В самом деле,
#о (Гь Го) г|)! (гь Го) - Но (гг) Цп (ri) i|)m (Го) + Яо (г2) г|)л (г2) т|)т (г2) =
= ?Л (ri) г|)/л (Го) + Em% (гх) ifm (г2),
т. е.
#о(гь г^Оъ r2) = (?« + ?OT)i|)Jrlf r2). A22.7)
Однако энергии Еп-\~Ет принадлежит, очевидно, и другое состоя-
состояние, когда первый электрон находится в состоянии Emi а второй
в состоянии Еп. Волновая функция этого состояния есть
ФЛгь ГоНяЫгОЫг-). A22.6')
Подобно тому как мы нашли A22.7), мы найдем, что
Яо(гь r2)t2(rb т2) = (Еп + Ет)у2(гъ г2). A217')
Таким образом, уровню Еп-\-Ет невозмущениой системы при-
принадлежат два состояния ^ и г|J, отличающихся обменом состоя-
состояний электронов A) и B). Мы имеем дело с вырождением. Это
вырождение называют обменным. Согласно общей теории возму-
возмущений (§ 69) правильная волновая функция нулевого приближе-
приближения должна быть суперпозицией вырожденных состояний *)
Ф(гь Г2)=с1ф1(гь vz) + c2y2(rlt г2). A22.8)
Амплитуды сх и с2 и квантовые уровни Е возмущенной системы
определятся из основных уравнений теории возмущения. Так как
мы ограничиваемся рассмотрением двукратного обменного вырож-
вырождения (функции грх и г|эа), то мы можем прямо применить теорию
для двукратного вырождения, изложенную в § 69. Для опреде-
определения амплитуд с± и с2 тогда получаются уравнения F9.5), кото-
которые в нашем случае имеют вид
г) Строго говоря, мы должны были бы снабдить вол новью функции tyn
тремя индексами (я, /, т), ибо, как мы знаем, уровню Еп принадлежит всего
я2 различных состояний (вырождение в кулоновском поле!). Соответственно
этому для правильного расчета уровней Не в качестве функции нулевого при-
приближения следует брать суперпозицию состояний, отличающихся не только
обменом электронов, как мы это сделали, но и всех состояний, принадлежа-
принадлежащих уровням Еп и Ет и отличающихся вращательными моментами и их
орнентациями. Мы, однако, будем вести расчет так, как если бы уровни Еп
не были вырождены. Эго делается только для того, чтобы выявить особенности
задачи, вытекающие исключительно из того факта, что мы имеем дело с двумя
одинаковыми частицами.

§ 122] ПРИБЛИЖЕННАЯ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ГЕЛИЯ 537
где Епт есть энергия невозмущенного движения
A22.10)
(в обозначениях § 69 индексы /г, т обозначены одной буквой к),
а величины Wn, Wni W21, W2\ суть матричные элементы энер-
энергии возмущения W (см. F9.9)). Так как в F9.6) имеется в виду
интегрирование по всем переменным, от которых зависят волно-
волновые функции, то в нашем случае формулы F9.9) получают вид
lv2y A22.11)
iv2, A22.1 Г)
где dvi^=dx1dy\dziy dv2 = dx2dy2dz2i a W есть энергия возмуще-
возмущения A22.5).
Уровни энергии возмущенной системы Е определяются из веко-
векового уравнения F9.7), которое полностью сохраняет свой вид
= 0, A22.12)
где в теперешних обозначениях поправка к энергии равна
p — F F0 F (F A-F \ П99 ]Ъ
Прежде чем решать это уравнение, установим некоторые спе-
специальные особенности матричных элементов A22.11). Подставляя
в A22.11), A22.1Г), вместо -фх и гф2 и их значения из A22.6)
и IF из A22.5), мы получаем
№ц = е2 [ \Уп(г1)\21У>т(г*)\2 dViйщ = w^ A22.14)
Далее, легко заметить, что W12 равно W2i. В самом деле,
фа = <*\&ШтШ4?&&±.&1&а, A22.15)
с другой стороны,
= е2 С &(Г1)УпЫ&Ы*тЫ dOidUtm A22.G)
Так как переменные интегрирования ^(j^, уъ г±) и г2(х2, у*, 22)
пробегают одни и те же значения, то мы можем заменить хъ уъ г1
на л-2, у2у г2, а х2у уъ z2 на хь уь zx (это просто повое обозна-
обозначение), и так как г12 = г2Ъ то при такой замене W12 просто сов-
совпадает с №2ь Следовательно,
W12 = W21 = WU=WZU A22.17)
т. е. величины W12 действительны. Мы положим
Wn==W22==Ky W12 = W21 = A, A22.18)

538 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
К и А суть действительные величины. В этих обозначениях
вековое уравнение A22.12) принимает вид
откуда получаем
(/С~еJ = Л2, е = /С±Л. A22.20)
Уравнения A22.9) с помощью новых обозначений запишутся
в виде
0. A22.9')
Подставляя сюда первый корень (е) из A22.20), находим Ci==c2.
Подставляя второй корень 8, находим с± = — сг. Следовательно,
решение A22.8) будет
(h + ^) E E + E + K + At A22.21)
yj -A A22.22)
множитель —- введен для нормировки .
Таким образом, благодаря обменному вырождению получается
два рода состояний: симметричные Ф5 и антисимметричные Фа
(напомним, что, согласно A22.6) и A22.6'), при перестановке
координат электронов ^ переходит в г|:2)- Существование этих
двух родов состояний находится в полном согласии с общей тео-
теорией § 115. Мы знаем, что первые состояния суть состояния
парагелия, а вторые —состояния ортогелия. Формулы A22.21) и
A22.22) суть, следовательно, приближенные выражения для функ-
функций пара- и ортогелия.
Излагая качественную теорию атома гелия, мы указали на то,
что нормальное состояние должно описываться симметричной
функцией (парагелий). Этот результат также содержится в реше-
решениях A22.21) и A22.22). В самом деле, нижнему уровню ?i
принадлежит лишь одна волновая функция T|I00(ri). Поэтому,
чтобы образовать нижнее состояние атома гелия, имеется лишь
одна возможность — поместить второй электрон в это же состоя-
состояние (отсюда, уже из элементарного понимания принципа Паули,
следует, что второй электрон должен иметь спин, противополож-
противоположный спину первого). Следовательно, в нижнем состоянии гр^-фг
и Фа = 0. Таким образом, для нижнего состояния имеем единст-
единственное решение
Ф, = fa, r2) = t|>100 (Гх) гЫо (г2), A22.23)
A22.23')

§ 122]
ПРИБЛИЖЕННАЯ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ГЕЛИЯ
539
\5+?,+/f-A i
\t_J- j
Разность энергии пара- и ортосостояний, согласно A22.21) и
A22.22), равна 2А. Следовательно, система уровней гелия
распадается на две энергетически различные системы уровней
пара- и ортогелия. Каждому уровню атома гелия Еп-\-Ету кото-
которые получаются без учета взаимодействия электронов, соответ-
соответствуют при учете взаимодействия два уровня —уровень параге-
парагелия Еп-\-Ет + К + А и уровень ортогелия Еп + Ет + К — А. Так,
например, если один электрон находится в нижнем состоянии Еъ
а второй в следующем верхнем Е2 (энергия E1-\-E2)i то, учиты-
учитывая обмен электронов и их взаимодействие, мы получим два
уровня: Ех + Ео + К + А и Е1-\-Е2 + К — Л. Это расщепление,
а также уровень 2Е1-\-1(-\-А
изображены на диаграмме рис.
91. Эта диаграмма дает менее
многообразное расщепление, чем
приведенное в полной спектро-
спектроскопической схеме рис. 90. Это
объясняется тем, что мы игно-
игнорировали (для простоты) то об-
обстоятельство, что уровни невоз-
невозмущенной проблемы (например,
Е2) вырождены (кроме первого).
Более полный расчет показал
бы, что расщепление уровней
получается не только благодаря
обменному вырождению, но и
благодаря СНЯТИЮ «/»-Вырожде- Рис. 91. Схема обменного расщепления
ния. Последнее ясно уже из уровней гелия,
того, что «/»-вырождение суще-
существует только в кулоновском поле ядра. Присутствие второго
электрона неминуемо должно его спять. Учет этого снятия «/»-вы-
рбждения дает более богатую картину расщепления уровней, сов-
совпадающую со схемой рис. 90.
Отсылая читателя, интересующегося вычислительными вопро-
вопросами, к специальной литературе1), ограничимся здесь указанием
на положение дел с теоретическим расчетом уровней Не. Расчеты
гелия по методу, изложенному выше, приводят к далеко не
идеальному согласию с опытом. Именно, поправка г отличается
на 10 — 2О9о от той, которая следует из экспериментальных
измерений. В настоящее время существуют гораздо более совер-
совершенные методы расчета. Хиллераас получил (в восьмом прибли-
приближении) значение для основного уровня гелия (ионизационный
х) См. Г. Бете и Э. Солпитер, Квантовая механика атомов с одним
и двумя электронами, Физматгиз, 1960, §§ 23 — 37; Г. Бете, Квантовая меха-
механика, «Мир», 1965, стр. 49 — 57.

540 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
потенциал), величину / = 198 308 см~г (мы приводим величину
энергии в обратных сантиметрах, как это принято в спектро-
спектроскопии), в то время как экспериментальное значение ионизацион-
ионизационного потенциала Не равно / = 198 298 ±6 смгх. Совпадение тео-
теории и эксперимента поразительное, особенно если иметь в виду,
что в расчет не входят никакие произвольные постоянные, кото-
которые можно было бы «подгонять» к опытным данным.
Вычисление возбужденных термов благодаря «/»-вырождеиию
гораздо сложнее, и достигнутая там точность значительно меньше
приведенной для основного терма.
§ 123. Обменная энергия
Рассмотрим теперь подробнее значение поправки е = Л" + Л,
обусловленной кулоновским взаимодействием электронов. Для
этого вместо волновых функций tyn и г|)ш введем новые величины
Рпп (i*i) = -е|Ч>;1 (г,) |2, ртт (г2) = —е\Цт(г2) |2, A23.1)
Р,п (гх) = ™ etyfn (гх) % (ri), PL, (г2) = ™ е$т (г2) ^ (г2). A23.2)
Первые две имеют простои физический смысл. Именно, p^fa),
очевидно, означает среднюю плотность электрического заряда
в точке гь создаваемую электроном, находящимся в состоянии
i|?rt(ri)- Подобным же образом р.яш(г2) означает среднюю плотность
электрического заряда в точке г2, создаваемого электроном,
находящимся в состоянии я|зт(г2).
Лве последние величины ртп (гх) и ртп (г2) не имеют такого
простого смысла. Эго —плотности зарядов, обусловленные тем,
что каждый из электронов может находиться частью в состоя-
состоянии ^(гх), частью в состоянии tym(r2). Мы будем называть их
о б м е н и ы м и плотностями. Эти величины могут быть комп-
комплексными, поэтому название «плотность заряда» употребляется
здесь весьма формально. С помощью введенных плотностей вели-
величина К на основании A22.18) и A22.14) может быть написана
в виде
К = [ 9ап (Г|) 9тт (Гз) dvL dv29 A23.3)
а величина А па основании A22.8) и A22.15) в виде
А = f ?^^i)p^lrel dVi dv^ A23<4)
Величина К имеет простое и наглядное значение. В самом деле,
интеграл в A23.3) есть не что иное, как взаимная кулоновская
энергия двух зарядов, один из которых распределен в прост-
пространстве с плотностью р/1Л, а второй —с плотностью ртт. Образно
мы могли бы истолковать эту энергию как энергию кулоповского

§ 123] ОБМЕННАЯ ЭНЕРГИЯ 541
взаимодействия двух электронов, заряды которых размазаны
в пространстве. Поэтому эту часть энергии взаимодействия элек-
электронов называют кулоновской (в узком смысле слова). Другая
часть (А) не может быть наглядно истолкована. Формально вели-
величину А можно рассматривать 'как электростатическую энергию
двух зарядов, распределенных с плотностями ртп и р*ш. Эту
часть энергии взаимодействия электронов называют обменной
энергией. В этом смысле говорят, что энергия взаимодейст-
взаимодействия двух электронов состоит из двух частей — кулоновской К и
обменной Л.
На самом деле следует иметь в виду, что как /С, так и А
обусловлены кулоновским взаимодействием (при е — 0 и /С = 0,
и Л=0). Различие между кулоповской энергией (в узком смысле
слова) и обменной А основано на приближенном представлении
функций системы Фа и Ф5 в виде --^(i^iti]^). Тем не менее это
разделение энергии взаимодействия на кулоновскую и обменную
части оказывается очень плодотворным и поэтому получило право
на существование.
Согласно теории возмущений поправка к энергии е должна
просто равняться средней энергии возмущения в соответствующем
состоянии. Это утверждение легко проверить для рассматривае-
рассматриваемого нами случая. Энергией возмущения является кулоновская
энергия взаимодействия электронов —. Чтобы вычислить сред-
^12
нее значение этой энергии в некотором состоянии Ф (гь г2), нужно
умножить — на вероятность положения первого электрона в об-
области dvi и второго в области dv2, т. е. на \Ф\2 dv1dv2, и про-
проинтегрировать по всем возможным положениям электронов, т. е.
вычислить интеграл
JL = f -I2- | ф |2 dv dxJm A23.5)
Подставляя Фа или Ф5 из A22.21) и A22.22) вместо Ф, мы
находим
Т- = И Т~ (IЬ I2 + I ^ I2 ± ЗД1 ± Ш) dv, dv2y A23.6)
'12 L t) '12
что в силу A22.6) и A22.6') равно
/С±Л, A23.6')
'12
т- е. поправка 8 есть просто средняя энергия кулоновского взаимо-
взаимодействия электронов в состоянии Ф5 или Фа.

542 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
Этот расчет позволяет нам глубже взглянуть на происхожде-
происхождение обменной энергии. Величина \tyi\2dvidv2 есть вероятность
того, чго первый электрон находится в области dvx и в состоя-
состоянии я, а второй —в области dv2 и в состоянии т. Аналогично
величина \^2\2 dvidv^ есть вероятность того, что первый электрон
находится в области dvx и в состоянии т, а второй —в области
dv2 и в состоянии п. Если бы состояния il^ и г|J были незави-
независимы, то мы получили бы, что вероятность первому электрону
находиться в области dvly а второму —в области dv2, независимо
от того, в каких состояниях эти электроны находятся, равна
(считая ifx и if>2 равновероятными)
^I2=|(l^ii2 + I^2l2)^i^2. A23.7)
На самом деле состояния г]^ и tj52 оказываются не независимыми,
и фактически реализующееся состояние есть
O = -j^№i±4>2). A23.8)
Волновые функции ^ и if>2 находятся при этом в определенных
фазовых соотношениях, и мы получаем в выражении для вероят-
вероятности нахождения частиц в областях dvx и dv2 интерференцион-
интерференционный член
dP'n = | Ф |2 dv± dv2 = dPu ± (я|:Ж + Ш2) dvx dv2y A23.9)
который и приводит к существованию обменной энергии.
Легко видеть, что обменная энергия вовсе не связана спе-
специально с кулоновским взаимодействием электронов. Предполо-
Предположив любое другое взаимодействие наших частиц W (г12), мы все
равно получили бы среднюю энергию Wjr12) в виде двух частей:
энергии W, которая получилась бы, если бы в A23.3) вместо
— ввести W (г12)у и обменной энергии Л, которая получилась
Г12
бы из A23.4), если опять-таки вместо — ввести туда W (г12).
Таким образом, всякое классическое взаимодействие W (г12) двух
одинаковых частиц ведет к обменной энергии.
Обменная энергия не имеет никаких аналогов в классической
механике. Открытие ее существования является одним из фунда-
фундаментальных и новых результатов квантовой теории.
Название «обменная энергия» выяснится гораздо полнее, если
мы рассмотрим состояния Ф, в которых распределение частиц
по состояниям пит фиксировано. Для этого обратимся к
временной зависимости состояний Фа и Ф5. Так как это —

§ 123] ОБМЕННАЯ ЭНЕРГИЯ 543
стационарные состояния, то
s — у^ №. + Ъ) е
\ A23.10)
Обозначим
.
A23.11)
и рассмотрим вместо Ф5 и Фа состояние, являющееся их супер-
суперпозицией (это будет уже не стационарное состояние):
= Y^^bbii^6' + е**') + ЫегЛ6*- е*6% A23.12)
или
Ф = ^(/)ф1 + с2(/)г|J, A23.13)
где
Cl (t) = е-^ cos б/, с2 @ = ie-to* sin 6Л A23.14)
Согласно статистическому значению амплитуд сх и с2 величина \сх |2
есть вероятность нахождения системы в состоянии % (т. е. пер-
первый электрон в п, а второй в m), a | с212 — вероятность того, что
система находится в состоянии i|J (т. е. первый электрон в т,
а второй в /г). Имеем
| Cl (/) |2 = cos2 8t, | с2 (/) |2 = sin2 8ty A23.15)
отсюда взятое нами состояние Ф A23.12) таково, что при t = 0
первый электрон находится в состоянии г|?я, второй в состоянии
i|V Спустя время т = -^- получим |с1|2 = 0, |с2|2=1, т. е. пер-
первый электрон перейдет в состояние я|?т, а второй в я|?л — произой-
произойдет обмен состояниями. На основании A23.11) мы видим, что
это время обмена можно выразить через обменную энергию.
Именно, мы получаем, что
T = -gp A23.16)
Отсюда следует важный вывод: время обмена состояниями обратно
пропорционально обменной энергии.
Интересно посмотреть те условия, при которых обменная энер-
энергия столь мала, а время обмена столь велико, что обменом можно
совсем пренебречь. Обменная энергия зависит от плотности
Р/ял (г) =ip,* (гI|?я (г), следовательно, она зависит от того, насколько

544 МЫОГОЭЛЕКТРОППЫЕ АТОМЫ (ГЛ. XXI
перекрываются функции состояний г|з/л и i|>/z. Если tym = 0 там,
где UV7"D, или я|?,„^:0 там, где грл = 0, то pw/I = 0 и обменная
энергия вовсе отсутствует. Этот крайний случай является, однако,
идеализацией. Тем не менее мы можем вывести из него важное
заключение: если состояния я|5/л и if>/7 таковы, что ]г|)„, j2 и |я|^|2
сосредоточены в разных частях пространства, то обменная энер-
энергия мала (стремится к нулю).
Допустим теперь, что состояния tyn суть состояния электрона
в атоме, но энергии Еп и Ет предположим сильно отличающи-
отличающимися: Ет^Еп. Тогда функция tyn сосредоточена в области, очень
близкой к ядру, a if>m довольно широко распространяется от
ядра. Так как обе функции нормированы к 1, то это означает,
что у\)т мало там, где г|),г заметно велико. Следовательно, плот-
плотность ртп опять-таки мала. Таким образом, обменная энергия
мала и обменом можно пренебречь, если идет речь либо об обмене
состояниями, сосредоточенными в разных частях пространства,
либо об обмене состояниями, сильно отличающимися по энер-
энергии.
Последнее обстоятельство оправдывает, например, то, что во
многих случаях можно пренебречь обменом оптического электрона
с электронами внутренних оболочек.
§ 124. Квантовая механика атома
и периодическая система элементов Менделеева
Открытый Менделеевым периодический закон является важней-
важнейшим законом природы. Он составляет основу не только химии,
но и вообще всей современной атомной и ядерной физики.
Теория этого закона далеко еще не завершена. Проблема
структуры атомных ядер находится еще в зачаточном состоянии,
а между тем именно ядро атома определяет полностью структуру
его электронной оболочки, и вместе с тем — химические и физи-
физические свойства атома в целом. Однако если рассматривать харак-
характеристики атомных ядер как данные из опыта, то квантовая меха-
механика позволяет понять периодичность в структуре электронных
оболочек атомов, исходя из теории движения системы электронов
в электрическом поле ядра. Таким образом, для выяснения при-
природы периодичности можно ограничиться расчетом движения элек-
электронов в атомах, исходя из заданной массы ядра и его заряда.
Поставленная таким образом задача представляется все же еще
чрезвычайно трудной математически из-за большого числа элек-
электронов в атомах. Напомним, что в классической механике даже
проблема движения трех тел не получила до сих пор общего и
полного решения. К счастью, в атомной механике положение
лучше и многие практически важные результаты могут быть полу-
получены с помощью приближенных методов. Причиной такого упро-

§ 124] КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА АТОМА II ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 545
щспия является дискретность состояний электронов в атомах.
Благодаря этому, на основе принципа Паули и теории движения
электрона в поле центральной силы, удается достигнуть суще-
существенных результатов в понимании распределения электронов
в атомах и вместе с тем периодичности в химических свойствах
элементов.
При этом первостепенное значение имеет понятие порядкового
номера (Z) элемента в таблице Менделеева. Это понятие было
введено еще самим Менделеевым, поскольку в ряде мест свсей
таблицы он отступил от исходного принципа —расположения эле-
элементов по возрастающему атомному весу и придал большее зна-
значение периодичности химических свойств. Позднее классические
исследования Резерфорда и Мозли показали, что атомный номер
имеет глубокий физический смысл, именно номер элемента Z
равен заряду ядра, измеренному в единицах элементарного заряда
(~\-е). Вместе с тем этот же помер для нейтрального атома равен
числу электронов в его электронной оболочке. Поэтому, зная
номер элемента Z, мы знаем важнейшие для атомной механики
данные —заряд ядра и число электронов в атоме. Как теперь
хорошо известно, ядра атомов образуются из незаряженных
частиц —нейтронов (заряд 0, масса 1,00898, если массу кислорода
принять за 16) и протонов (заряд + ?, масса 1,00759). Число
протонов в ядре, согласно сказанному выше, должно быть равно Z.
Атомы с одинаковым числом протонов, но отличающиеся друг от
друга числом нейтронов, имеют один и тот же помер Z, но раз-
разный атомный вес А. Такие атомы называются изотопами. Хими-
Химические свойства зависят от числа электронов в нейтральном атоме,
т. е. от Z, поэтому изотопы химически равноценны1), и совокуп-
совокупность изотопов, принадлежащих одному и тому же Z, представ-
представляет собой один и тот же химический элемент. Оказывается, что
атомный вес A ^2Z, так что число протонов и нейтронов в ядрах
приблизительно равно друг другу. Благодаря этому расположение
элементов в порядке возрастания атомного веса ведет (за немно-
немногими исключениями) к тому же расположению, что и располо-
расположение по заряду ядра + е%-
Чтобы разобраться в распределении электронов в элементах,
мы будем представлять себе каждый последующий элемент обра-
образованным из предыдущего путем прибавления к ядру одного
протона (и надлежащего числа нейтронов) и соответственно при-
прибавления одного электрона в электронной оболочке атома. Далее,
х) Речь идет о свойствах валентности. В кинетике реакций имеет значение
не только число электронов, но и масса атома. Поэтому нельзя сказать, что
изотопы с химической точки зрения вполне тождественны. Однако различия,
возникающие из-за изотопии, все же крайне малы, если не считать, например,
изотопов водорода, для которых массы сильно различны, именно, равны 1, 2 и 3.

546 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
мы будем игнорировать взаимодействие электронов и внесем, где
будет нужно, поправки на это взаимодействие1).
Нейтрон можно рассматривать как пулевой элемент периоди-
периодической системы (Z^O), образующий нулевой период. Первым
элементом будет водород (Z=--\). Ядро водорода образовано из
одного протона2).
Нормальное состояние единственного электрона атома водо-
водорода характеризуется квантовыми' числами п — 1, / = 0, т = О,
ms = ±1/2. Соответствующая волновая функция будет ^>nlmms (q),
где через q обозначены координаты центра тяжести электрона и
спиновая координата.
Увеличивая заряд ядра на -f e, мы получим ядро гелия.
В состояние /i=l, / = 0, ш = 0 можно поместить второй электрон,
если спин его противоположен спину первого электрона (для
одного ms= + 1/2, для другого ms = — г/2). Точнее говоря, мы
должны из функций i];1( 0> 0+i/2 (qx) и tyh 0, o-v2 (#2) образовать анти-
антисимметричную волновую функцию так', как это делалось в § 117.
Два электрона гелия занимают все возможные состояния, при-
принадлежащие п = 1. Эта группа состояний (п = 1, / = 0, т = О,
ms=--±llz) называется К-обол очкой (рентгеноскопическое обо-
обозначение термов). Таким образом, /С-оболочка заполнена, вместе
с тем закончен первый период периодической системы, состоящий
всего из двух элементов Н и Не.
Увеличивая заряд ядра еще на -\-е и добавляя один электрон,
мы перейдем к Li. При этом приближенной волновой функцией
должна быть антисимметрическая комбинация из
принадлежащая наименьшей энергии (нормальное состояние Li).
Следуя таким образом далее, мы можем сказать, что в нашем при-
приближении волновая функция многоэлектронного атома, номера Z,
будет являться антисимметричной комбинацией из функций
tyn i m m k(qk)> каждая из которых описывает движение одного
электрона в кулоновском поле ядра, с зарядом + ^2. На осно-
основании A17.6') мы можем написать эту функцию в виде
Ф (<7ъ ft... •, Яг) = 2 (=Ь !) P^fni т^т х Ы ... tynzizmzmsZ(qz)' A24.1)
р
г) Этот путь толкования периодической системы на основании атомной
механики был впервые указан Н. Бором. См. Н. Бор, Избранные научные
труды, т. 1, «Наука», Л970, стр. 318.
2) Кроме того, имеются изотопы водорода, встречающиеся в естественных
условиях в незначительных количествах; именно, Z=-l, A = 2 (дейтерий) и
Z = l, Л=3. Первый из них удается получать в довольно больших количествах
(«тяжелая вода»).

§ 124] КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА АТОМА И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 547
Эта функция равна нулю, если для двух электронов числа я, /,
ш, ms совпадают (принцип Паули!). Так как нас интересует
нормальное состояние атома, то числа пъ /ь ..., nz, lz должны
быть выбраны так, чтобы энергия всей системы электронов
Е== 2 Enkik A24.2)
была наименьшей. Если под функциями tynktkmkmsk понимать вол-
волновые функции для движения в кулоновском поле ядра (полное
игнорирование взаимодействия электронов), то энергия отдельных
состояний Е„1 зависит лишь от п. На самом деле существует
зависимость Eni от /, так как электроны движутся не только
в поле ядра, по и в поле других электронов. Эта зависимость
более слабая, но все же для достаточно больших п может оказаться,
что состояния с большим п и малым / могут иметь меньшую
энергию, нежели состояния с малым я, по с большим /. Такой
случай, как мы увидим, впервые встречается для калия.
Итак, для Li приближенная волновая функция имеет вид
A24.1) при Z = 3. Так как /С-оболочка уже заполнена, то третий
электрон должен быть помещен в состояние п = 2, 1 = 0, ш = 0,
ms = ±1/2. Группа состояний с п-=2 называется L-оболочкой.
Таким образом, в Li начинает заполняться L-оболочка. Всего
в L-оболочке имеется 2/г2 = 2-22 = 8 состояний. Два из них при-
принадлежат s-терму (/ = 0, ш = 0, m^db1/*»), и шесть — /7-терму
(/=1, т==0, ±1, ms = ±V2)-
Увеличивая далее заряд ядра и прибавляя электрон, мы
перейдем от Li к Be, от Be к В и т. д. через С, N, О, F до Ne.
В пеоне все 8 мест L-оболочки заняты. Мы получаем опять инерт-
инертный газ и вместе с тем заканчиваем второй период периодической
системы. Дальнейшие электроны могут быть помещены лишь
в состояния с п = 3. Это —так называемая Ai-обо л оч к а.
В Af-оболочке имеется всего 2-32=18 состояний (/ = 0, /=1,
1 = 2). Группа состояний с / = 0 и 1=1 вполне аналогична L-обо-
L-оболочке и заполнится на протяжении от Na до Аг. Мы получим
третий период периодической системы. Увеличивая заряд Аг на
+ ? и добавляя электрон, мы получим калий. Если бы мы поме-
поместили электрон калия в М-оболочку, то состояние этого электрона
характеризовалось бы 1 = 2 (d-терм). Однако и в оптическом, и
в химическом отношениях атом К вполне схож с атомами Li и Na,
которые имеют внешний валентный электрон в s-терме. Поэтому
мы должны поместить электрон калия в состояние п = 4, / = 0,
начав новую оболочку (N-обо л о ч к а), не закончив заполнения
М-оболочки. Это означает, что состояние п = 4, 1 = 0 имеет мень-
меньшую энергию ?,j(b нежели состояние /г = 3, / —2(?'3«), что впол-
вполне может быть, если учесть взаимодействие электронов. Таким

548 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
образом, мы получаем в калии распределение электронов, вполне
аналогичное их распределению в Na (см. табл. 4).
Следующий за калием элемент есть кальций (Са, Z = 20).
Опять-таки спектроскопические данные указывают на необходи-
необходимость поместить электрон Са в s-терм (/V-o б о л о ч к а). В дальней-
дальнейших элементах происходит заполнение М-оболочки (otSc(Z = 21)
до Zn(Z = 30)). Далее заполняется Af-оболочка до криптона (Кг,
Z = 36) и этим заканчивается следующий период (мы получаем
инертный газ). Таким образом, для инертных газов (кроме Не)
характерна конфигурация из 8 электронов: два в s-состоянии и
шесть в р-состоянии.
Следующий за криптоном элемент —рубидий (Rb, Z = 37). Он
аналогичен Na п К. Следовательно, внешний электрон Rb поме-
помещается не в TV-оболочке, а начинает новую оболочку (п = 5,
О-оболочка). Электрон Sr (щелочноземельный) находится опять
в О-оболочке, так что Sr аналогичен Са. В следующих за Sr
элементах заполняются О-оболочка и свободные места в /V-обо-
лочке (см. табл. 4). С цезия начинает заполняться Р-оболочка
(л = 6).
Элементы группы редких земель (от La, Z = 57, до Hf, Z = 72,
включительно) обладают сходными химическими свойствами, так
как они все имеют сходное распределение электронов в О- и Р-
оболочках. Они отличаются друг от друга степенью заполнения
Л^-оболочки и в отдельных случаях— заполнением оболочки О
(см. табл. 4). Это заполнение начинается от Се и заканчивается
у Lu. Группу редких элементов часто называют «лантаиидами».
72-и элемент (Hf) долго считали также редкой землей. Однако,
как мы видели, в Lu вся оболочка Hf уже заполнена и следую-
следующий 72-й электрон должен быть помещен в оболочку Ы. Это
обстоятельство привело Бора к заключению, что Hf должен быть
аналогом Zr. И действительно, этот элемент вскоре был найден
в циркониевых рудах.
В последнее время система Менделеева была пополнена вновь
открытыми заурановыми элементами: нептунием (Np), плутонием
(Ри), америцием (Am), кюрием (Cm) и др. Эти элементы образуют
группу, весьма аналогичную группе редких земель. Роль лантана
в этой группе играет актиний (Ас). Поэтому элементы этой группы
объединяют под названием «актинидов». Элементы группы имеют
сходные внешние оболочки и в основном отличаются заполнением
оболочки 5/1).
Приведенная здесь табл. 4 могла бы быть заменена символи-
символической формулой, указывающей распределение электронов в атоме
г) Подробности об электронных оболочках и термах лантанидов и актини-
актинидов см. Н. Хайд и Г. Си бор г, Трансурановые элементы, ИЛ, 1959; Химия
изотопов, ИЛ, 1948.

§ 124] КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА АТОМА И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
549
Таблица 4
Элемент
Н 1
Не 2
Li 3
Be 4
В 5
С 6
N 7
0 8
F 9
Ne ' 10
Na 11
Mg 12
Al 13
Si 14
P 15
S 16
Cl 17
Ar 18
К 19
Ca 20
Sc 21
Ti 22
V 23
Cr 24
Mn 25
Fe 26
Co 27
Ni 28
Cu 29
Zn 30
Ga 31
Ge 32
As 33
Se 34
Br 35
Kr 36
К
1.0
Is
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
i
2.0
2s
_
1
2
2
2
2
2
2
2
Распределение электронов в
2.1
2р
—
1
2
3
4
5
6
Конфигурация
неона
3.0
3s
—
—
—
—
—
—
1
2
2
2
2
2
2
2
Конфигурация
«
аргона
Af
3.1
Зр
—
—
—
—
—
—
—
—
—
1
2
3
4
5
6
3.2
Ы
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
1
2
3
5
5
6
7
8
10
10
10
10
10
10
10
10
1.0
4s
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
атомах
N
4,1
Ар
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
_
—
1
2
3
4
5
6
Основной
терм
25
25
1502
2P\j
зр0*
2Рз/
?1/2
2Р\!
зр02
3Р%
3/
25
i5Q2
2D3,
3F2*
4^3/г
?5/2
3F±
2P\j
sp*
4S3,
3 p
2 p
'So'
Ионизацион-
Ионизационный
потенциал,
13,595
24,58
5,39
9,32
8,296
11,264
14,54
13,614
17,418
21,559
5,138
7,644
5,984
8,149
10,55
10,357
13,01
15,755
4,339
6,111
6,56
6,83
6,74
6,764
7,432
7,90
7,86
7,633
7,724
9,391
6,00
7,88
9,81
9,75
11,84
13,090

МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XX
Продолжение табл. *
Элемент
Rb 37
Sr 38
Y 39
Zr 40
Nb 41
Mo 42
Tc 43
Ru 44
Rh 45
Pd 46
Ag 47
Cd 48
In 49
Sn 50
Sb 51
Те 52
I 53
Xe 54
Cs 55
Ba 56
La 57
Ce 58
Pr 59
Nd 60
Pm 61
Sm 62
Eu 63
Gd 64
Tb 65
Dy 66
Ho 67
Er 68
Tm 69
Yb 70
Lu 71
Конфигу-
Конфигурация
внутрен-
внутренних слоев
Конфи-
Конфигурация
крип-
криптона
N
4,2
Ad
1-
2
4
5
6
7
8
10
Конфи-
Конфигурация
палладия
Слои от Is
до id
содержат 46
электронов
4,3
4f
—
—
2
3
4
5
6
7
7
9
10
11
12
13
14
14
О
5,0
5s
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
5,1
5р
—
1
9
3
4
5
6
Слои 5s и Ър
содержат
8 электронов
5,2
bd
—
—
1
1
1
Р
6,0
6s
—
—
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2-
2
2
2
2
2
2
Основной
терм
2Sv,
'So
2Я%
'So
2S'/2
2P7,
2%
2#
4/
5/
6#
7/7
85
0D
e#
s/
4/
з#
2/7
!5
3Z4
Иониза-
Ионизационный
потенциал,
4,176
5,692
6,38
6,835
6,88
7,131
7,23
736
7,46
8,33
7,574
8,991
5,785
7,332
8,64
9,01
10,44
12,127
3,893
5,810
5,61
6,91
5,76
6,31
5,6
5,67
6,16
6,74
6,82
6,08
5,81
6,2
6,15

§ 124] КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА АТОМА И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
551
Продолжение табл. 4
Элемент
Hf 72
Та 73
W 74
Re 75
Os 76
Ir 77
Pt 78
Аи 79
Hg 80
Tl 81
Pb 82
Bi 83
Po 84
At 85
Rn 86
Fr 87
Ra 88
Ac 89
Th 90
Pa 91
U 92
Np 93
Pu 94
Am 95
Cm 96
Bk 97
Cf 98
Es 99
Fm 100
Md 101
(No) 102
Lr 103
Ku 104
Конфигу-
Конфигурация
внутрен-
внутренних слоев
Слои от
1$ до Ър
содер-
содержат 68
электро-
электронов
о
5,2-
bd
2
3
4
5
6
7
8
Слои от Is
до Ы содержат ¦
78 электронов
Слои от Is
до bd содержат
78 электронов
5.3
—
—
2
3
4
6
7
7
8
10
11
12
13
14
14
14
Р
6.0
Gs
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6,1
бр
—
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6.2
Ы
—
—
1
2
1
1
1
1
1
1
2
Q
7.0
7s
—
—
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Основной
терм
5?>0
6572
4fv,
257,
%
4Ч
3Л,
2Ч
2%,
зу?
4/С
5L
¦*F
»S
Иониза-
Ионизационный,
5,5
7,7
7,98
7,87
8,7
9,2
8,96
9,223
10,434
6,Ю6
7,415
7,287
8,2
9,2
10,745
3,98
5,277
6,89
6,95
6,08
5,1

552 многоэлектронные атомы [гл. xxi
по различным оболочкам. Например, для Li такая формула гласит
(IsJ 2s, что означает, что в атоме лития два электрона находятся
в состоянии Is и один в состоянии 2s. В предпоследней колонке
таблицы указан основной терм атома. Напомним, что основной
терм атома в целом обозначается большими буквами S, P, D, F
соответственно значению квантового числа L = 0, 1, 2, 3, ...,
определяющего суммарный орбитальный момент (ср. § 65). Справа,
внизу символа указано число /, определяющее полный момент.
Слева, вверху индексом указана мультиплетность терма 25+1,
где S —число, определяющее полный спин. Для лития орбиталь-
орбитальный момент электронов равен нулю, а спины двух внутренних
электронов компенсированы. Поэтому основной уровень атома Li
будет дублетным 2St2.
Из подобной же формулы, например для неона, следует
(IsJ BsJ {2pf. Все спины и все орбитальные моменты компенси-
компенсированы, поэтому основной терм неона, так же как и всех других
инертных газов, будет 1S0. В алюминии мы имеем дело с одним
р-электроном (Зр), орбитальный и спиновой моменты которого
нескомпенсированы. Поэтому его основной терм будет 2Pi/z (фор-
(формула строения оболочек (IsJ BsJ BpNCsJ3p). Нетрудно разо-
разобраться и в обозначениях для других элементов.
Как мы видим, открытая Менделеевым периодичность в хими-
химических свойствах элементов, с точки зрения атомной механики,
означает повторимость в структуре внешних электронных оболочек.
Так, инертные газы Ne, Аг, Кг, Хе и Rn имеют одинаковые
внешние оболочки из 8 электронов. Все щелочные металлы имеют
один электрон в s-терме, сверх оболочки инертного газа (терм 25i/2).
Щелочноземельные металлы имеют два электрона сверх оболочки
инертного газа (терм lS0). Галоиды F, Cl, Br, J имеют оболочки,
в которых недостает одного электрона до оболочки инертного
газа (терм 2Рз/2). Длина же периодов, в существенном, опреде-
определяется числом квантовых состояний в каждой из оболочек. Это
число, согласно E0.26), если еще учесть, что в каждом из
состояний могут находиться два электрона с различно направлен-
направленными спинами, будет 2п2 (п — главное квантовое число, характе-
характеризующее оболочку). Поэтому длина периодов определяется
числами 2, 8, 18, 32, ...
Таким образом, современная атомная механика внесла суще-
существенный вклад в понимание одного из самых замечательных
законов природы —закона периодичности химических свойств
элементов, открытого нашим великим соотечественником.
На рис. 92 приведена таблица Менделеева в схематической
форме, приданной ей Бором.
Как уже отмечалось, представление волновой функции системы электро-
электронов в виде антисимметричной комбинации индивидуальных функций электро-
электронов tynimms (q) A24.1) является приближенным. Это приближение будет совсем

н
г
Не
3
Li
Be
//
На
5
В
1Z
Щ
6
С
13
А\
7
И
Si
0
/5
Р
9
F
16
В
/#
Ne
/7
С1
Л?
Аг
>
н
о
55
Cs
58
Ва
/?7
Гг
La
Д7
Rq
69
Ac
Се
i
i
99
Th
ДО
Рг
\
i
i
0/
Ра
60
lid
i
92
и
/7/
Pm
i
i
93
Кр
i
i
Pu
Eu
i
i
i
Am
64
Gd
i
i
96
Cm
Tb
i
i
i
97
66
i
i
98
Cf
67
Ho
i
i
i
99
Es
Er
i
i
Ши
Fm
/^
Tu
i
i
191
Md
7Z?
Yb
7/
Lu
102
(No)
Hf
103
Lr
73
Та
/^
Ka
74
W
75
Re
196
7/5"
Os
77
Ir
7*
Pt
79
Au
Hg
Tl
82
Pb
Bi
34
Po
At
86
Rn
i
I
о
о
о
н
га
>
Рис. 92. Периодическая система элементов.

554 МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ [ГЛ. XXI
грубым, если в качестве этих функций взять функции для движения электрона
в кулоновском поле ядра, coBceivi не учитывая взаимодействие электронов.
Можно, однако, поставить вопрос: как найти такие функции tynimms (q),
чтобы истинная функция системы- электронов Ф (qv qo, ..., qN} наилучшим
образом представлялась в виде определителя A24.1)? На этот вопрос отвечает
метод Фока *). Сущность этого метода заключается в отыскании таких tynimms (q),
которые обращают в минимум полную энергию системы
при добавочном условии (условие нормировки)
\ \. A24.4)
Здесь под Н разумеется гамильтониан всей системы электронов. Эта вариа-
вариационная задача приводит к системе нелинейных уравнений для определения
индивидуальных функций tynimms(Q)- Получаемое при этом-значение энергии
для нижнего терма Ео является наиболее точным из совместимых с видом
функции A24.1).
Эта же вариационная задача может быть решена прямыми методами вари-
вариационного исчисления (метод Ритца). В этом методе в качестве нулевого при-
приближения рассматривается некоторый класс функций Ф, зависящий от парамет-
параметров a, Ь, ... (например, а, Ь> ...могут быть и радиусами электронных оболочек).
Выполняя интегрирование, найдем Е как функцию а, Ь, ...
Из условия минимума
?=». •?-• <>ад
и условия A24.4) найдутся те значения параметров, которые дают наилучшее
приближение для Е и Ф, совместимое с избранным классом функций. Точность
приближения в значительной мере зависит от того, насколько хорошо удается
угадать тип функций Ф, допущенных к конкуренции в качестве первого при-
приближения. Этот метод практически оказывается весьма эффективным (см.,
например, цитированные выше книги Хартри и Гомбаша).
х) См. Д. Хартри, Расчет атомных структур, ИЛ, 1960; П. Гомбаш,
Проблема многих частиц в квантовой механике, ИЛ, 1952; А. С. Давыдов,
Квантовая механика, «Наука», 1973, § 75.

Глава XXII
ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ
§ 125. Молекула водорода
Теперь мы рассмотрим на основе квантовоймеханики молекулу
водорода Н2.
Молекула Н2 обладает типичной гомополярной связью. Поэтому,
рассмотрев этот простейший случай гомополярной молекулы, мы
можем рассчитывать на выяснение природы сил, обусловливаю-
обусловливающих гомополярные валентные связи. Для того чтобы вычислить
силу взаимодействия между двумя атомами водорода, нужно опре-
определить их потенциальную энергию U (R) как функцию расстояния
между центрами атомов (между ядрами) R. U (R) складывается
е2
из двух частей: из энергии кулоновского взаимодействия ядер -^
и из энергии электронов Е, которая зависит от расстояния между
ядрами и поэтому входит в потенциальную энергию взаимодей-
взаимодействия двух атомов. Итак, мы можем написать, что искомая энер-
энергия U (R) равна
?/(/?) = ? + ?(/?). A25.1)
Таким образом, задача сводится к определению энергии электронов
E(R). Для больших расстояний R между атомами, очевидно,
можно пренебречь влиянием одного атома на движение электрона
в другом атоме, поэтому для 7?->со энергия электронов просто
равна сумме энергий электронов в каждом из атомов водорода.
В дальнейшем нас будет интересовать молекула водорода
в нижнем энергетическом состоянии. Соответственно этому при
удалении атомов па бесконечное расстояние друг от друга мы
получим атомы водорода в нормальном состоянии. Обозначим
энергию атома водорода в нормальном состоянии через Ео (Ео равна
13,595 эв). Тогда для интересующих нас состояний молекулы энер-
энергия для больших R равна 2Е0. Мы положим
E(R) = 2E0 + e(R). A25.2)

556
ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ
[ГЛ. XXII
Очевидно, 8 (R) будет означать изменение энергии электронов при
сближении атомов водорода. Эта величину нам следует определить.
Вся энергия электронов Е (R) определится из уравнения Шре-
дингера как собственное значение оператора Гамильтона для нашей
системы электронов. Этот оператор Гамильтона легко написать:
*—
2ц ral
_^_iL_^ + il. (i25.3)
rb2 rb\ ra2 ' r12
Здесь кроме очевидных операторов кинетической энергии обоих
электронов входят: а )потенциальная энергия первого электрона A)
и первого ядра (—--), б) потенциальная энергия второго элек-
/ е2 \
трона B) и второго ядра , в) потенциальная энергия пер-
\ rb2 I
(е2 \
L г) потенциальная
энергия второго электрона B) и первого ядра (—~) и, наконец,
д) энергия взаимодействия обоих электронов (-е- ]. Рис. 93 пояс-
поясняет примененные здесь обозна-
обозначения для расстояний ral, rbu
Схема решения
Схема решения fy
b2i аЪ \1
Если волновую функцию
для системы наших электронов
мы обозначим через
Ф(Гь Г2),
то уравнение Шредингера для
определения Ф и Е будет иметь
вид
\
Я(гь г2)Ф-?Ф, A25.4)
где к дается выражением A25.3).
Решить уравнение A25.4)
можно лишь приближенно. Мы
лекуле Н2.
Сплошные линии соединяют частицы, между
которыми взаимодействие учтено в решении
" или "ф2- Пунктирные линии соединяют
Рис. 93. Схема взаимодействия в мо- будем здесь следовать методу,
который хотя и не является
самым лучшим в смысле дости-
достигаемой точности, но зато он от-
чавТГУлёвоЛр^^н^Т„^р„Кр^сТи личается большой простотой и
наглядностью и весьма близок к
методу, применяемому при решении задачи об атоме Не, рассмот-
рассмотренной в § 122.
В качестве исходного приближения для волновой функции
в этом методе принимаются волновые функции невзаимодейству-
невзаимодействующих атомов водорода. Иными словами, нулевое приближение

§ 125J МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 557
есть решение для далеко раздвинутых друг от друга атомов Н
(/?->со). Соответствующее значение энергии системы есть 2Е0.
Мы можем считать расстояния R большими до тех пор, пока
изменение энергии электронов при сближении атомов мало
в сравнении с разностью между нижним уровнем 2?0 и ближай-
ближайшим высшим Ео-\-Е±:
E0)\. A25.5)
Последняя величина составляет 10,15 эв. Для таких расстояний
величину e(R) можно рассматривать как поправку к энергии
невзаимодействующих атомов 2Е0у а саму волновую функцию
системы электронов CD —как функцию, близкую к волновой функ-
функции невзаимодействующих атомов водорода.
Для того чтобы произвести подсчет таким путем, т. е. исходя
из удаленных друг от друга атомов водорода, мы должны под-
подробнее рассмотреть гамильтониан нашей системы A25.3). Обозна-
Обозначим через На(\) часть гамильтониана Н A25.3), равную
tfo(D = -gVi_?-, A25.6)
а через Нь B)— другую его часть, равную
?»B) = -?vS-?. A25.7)
Очевидно, что гамильтониан На{\) есть гамильтониан, соответст-
соответствующий движению первого электрона A) вокруг ядра (a), a HbB)
есть гамильтониан для движения второго электрона около ядра F).
Полный гамильтониан Н может быть написан в виде
\, 2), A25.3')
где
№A, 2) = —?¦-¦?- + ~. A25.8)
га2 ТЬ\ '12
Обратимся к случаю больших расстояний R. Пусть первый
электрон находится в атоме (а) (около ядра а), а второй—
в атоме (Ь) (около ядра Ь). Тогда величиной W (\у 2) можно пре-
пренебречь, так как эта величина есть энергия взаимодействия
второго электрона с ядром (а) плюс энергия взаимодействия
первого электрона с ядром (Ь) и, наконец, плюс энергия взаимо-
взаимодействия обоих электронов. Если атомы далеки друг от друга,
то все эти три величины малы. Поэтому приближенно в урав-
уравнении A25.4) величину 1^A, 2) можно отбросить, и мы получим
уравнение
[ ] A25.9)

558 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
Это уравнение описывает два невзаимодействующих атома водо-
водорода при условии, что первый электрон находится в атоме (а),
а второй в атоме (&). Решение этого уравнения тотчас же может
быть написано. Это —не что иное, как произведение волновых
функций для нормального состояния атома водорода. Действи-
Действительно, пусть i|)a (rai) есть волновая функция нормального состо-
состояния атома водорода (а) для первого электрона, а ^(гй2) —вол-
—волновая функция нормального состояния атома (Ь) для второго
электрона; тогда в силу A25.6), A25.7)
A25.10)
A25.10')
В качестве решения уравнения A25.9) мы можем взять
Ыгг, г2) = Ч>а(га1)%(гЬ2). A25.11)
Соответствующее ему значение энергии Е будет 2Е0.
Если бы не было вырождения, то решение A25.11) и было бы
нулевым приближением. Однако на самом деле в рассматрива-
рассматриваемой задаче имеется обменное вырождение. Очевидно, что кроме
решения i|)i A25.11) возможно и такое решение, когда на первом
атоме (а) находится второй электрон B), а на втором атоме (Ь)
находится первый электрон A). Чтобы усмотреть это решение,
разобьем гамильтониан A25.3) на отдельные слагаемые следующим
образом:
U = HaB) + Hb(l) + WB, 1), A25.3")
где
суть гамильтонианы для атомов водорода, когда второй элек-
электрон B) находится в атоме (а) и соответственно когда первый
электрон находится в атоме F). Далее,
\гB, 'Н-г-тг + г A25-8'}
ra\ rb2 г\г
есть взаимодействие электронов и электронов и ядер, принадле-
принадлежащих разным атомам. При достаточно большом расстоянии
между атомами (а) и (Ь) этой величиной можно пренебречь,
и уравнение A25.4) превратится в упрощенное
A25.9')
Это опять, подобно A25.9), есть уравнение для двух невзаимо-
невзаимодействующих атомов водорода, и его решение будет
*2(гь г2) = 1Мгв2)Ыгл)§ A25.1 Г)

§ 125] МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 559
т. е. отличается от A25.11) перестановкой (обменом) электронов.
Разумеется, соответствующее значение энергии Е есть опять-таки
2^0. Таким образом, для больших R уравнение A25.4) имеет
два решения A25.11) и A25.1 Г), принадлежащих энергии 2?0.
Эти два решения иллюстрируются схемой, изображенной па
рис. 93. При учете взаимодействия между атомами W (I, 2)
и W B, 1) решение Ф не будет, конечно, совпадать ни с \ри ни
с г|;.2, но нулевое приближение к Ф будет линейной комбинацией
из -фх и г|}2, как всегда, при наличии вырождения. Поэтому мы
можем положить
Ф = с1ф1 + с2\Ь + Ф, A25.12)
где сх и с2 — подлежащие определению коэффициенты, а ф —малый
(«поскольку расстояния R не очень малы) добавок к нулевому
приближению.
Рассматривая ф как малый добавок, мы будем пренебрегать
произведениями W(l, 2)q>, W B, 1) q>, еф, так как W и е сами
рассматриваются как малые величины. Вставляя A25.12) в A25.4)
и пользуясь обозначением A25.2), мы получим
г)у. A25.13)
Здесь мы произведем разбиение на части согласно A25.3')
и A25.3'):
+ W(l, 2)Ф =
= 2Е0 (cib + с^о) + е (cxti + c2q2) + BE0 + г) Ф. A25.14)
Пользуясь тем, что ^ и г|J суть решения уравнений A25.9)
и A25.9') с Е = 2Е0, и пренебрегая произведениями №ф, еф, мы
найдем
[8-1^A, 2)]c1ql + [s-WByl)]c2T\h. A25.15)
Это — неоднородное уравнение для определения поправок к вол-
волновой функции г|) и к собственному значению 8. Однако у нас
еще не определены коэффициенты ct и с2» входящие в правую
часть уравнения A25.15).
Для определения их заметим, что если бы справа в A25.15)
стоял нуль, то мы имели бы для ф однородное уравнение, совпа-
совпадающее с A25.9), которое имеет решение %. Согласно известной
математической теореме неоднородное уравнение имеет решение
лишь в том случае, если его правая часть ортогональна к реше-
решению однородного уравнения. Иными словами, должно иметь

560 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
место равенство
${[е-№A, 2)]crfi + [e-WB, l)]c2$2}ipldvldv2=0, A25.16)
где dvi = dxidyidzl9 dv^ — dx^dy^dz^. Это дает нам одно уравне-
уравнение для двух коэффициентов сх и с2. Легко получить и второе.
Для этого в A25.13) член #ф представим в другом виде, именно,
пренебрегая опять Wq> как величиной второго порядка малости,
мы получим вместо A25.15)
A25.15')
Левая часть совпадает с уравнением A25.9'), которое имеет
решение \р2. Опять-таки правая часть неоднородного уравнения
для ф должна быть ортогональна к решению однородного урав-
уравнения г|з2. Это и дает нам второе уравнение
${[e-W(l, 2)] ^! + [е- W B, 1)]с2г|J}гММ<>2 = 0. A25.16')
Для дальнейшего введем сокращенные обозначения
\ l 2dvidv2, A25.17)
2dv±dv2. A25.18)
Приведенные здесь равенства интегралов вытекают из того, что
W (I, 2) = PliWB, 1) и ^2 = ^1::%, та^ что интегралы отли-
отличаются лишь обозначением подынтегральных переменных и поэ-
поэтому равны. Функции г)^ и ty2 неортогональны между собой,
поэтому мы введем еще третий интеграл1):
S2 = \\p]$2dvidv2. A25.19)
С помощью этих обозначений A25.16) и A25.16') записываются
в виде
(8 - К) сх + (eS2 - А) Со - 0, A25.20)
(eS2-A)cl + (e-K)c2 = 0. A25.20')
Отсюда находим сначала уравнение для г:
ЛJ = 0. A25.21)
1) i|5,_ и ^ортогональны лишь для jR=co. Для ^ = 0 5=1. Поэтому
излагаемая теория не является вполне строгой теорией возмущения, в которой
всегда предполагается ортогональность исходных, невозмущенных решений.

§ 125] МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 561
Это уравнение дает два корня
81=ГГ^> A25.22)
A25.22')
Подставляя эти значения в A25.20), найдем две системы решений
для сь сг. Именно, для е^вх
<?! = — с2 A25.23)
И ДЛЯ 8 = г2
сх = с2. A25.23')
Следовательно, наши решения могут быть написаны в таком
виде:
?я = 2?0 + ?=»|, Фа = Ь-Ъ A25.24)
(антисимметричное решение) и
gJ A25.24')
(симметричное решение).
Рассмотрим теперь подробнее значение полученных поправок
к энергии. Для этого выпишем подробное значение интегралов
A25.17) и A25.18). Подставляя в A25.17) В7A, 2) из A25.8)
и i|)i из A25.11), мы получим1)
К = \ {- ^- - у- + ~) Ц1 (rai) ЦЬ (rb2) dvt dv29
так как член - - не содержит координат второго электрона, а
ГЬ\ Гаг
координат первого и так как в силу нормировки
$ Ць (г м) dv2=lf $ яра (ral) dvx = 1,
то, обозначая через pftB) = — бфИ^г) среднюю плотность элект-
электрического заряда, создаваемую электроном B) в атоме (Ь), через
рд A) == —etya {rai) — среднюю плотность электрического заряда,
создаваемую электроном A) в атоме (а), мы сможем выразить ТС
в новой форме
к = Sкг9ьB)dV2+\k9aA)dVi
Первый интеграл есть средняя потенциальная энергия электрона
B) атома (Ь) в поле,ядра (а), второй интеграл —та же величина
2) Если подставить W B, 1) из A25.8') и у\\ из A25.11'), то читатель
сможет непосредственно убедиться в справедливости равенства двух интегра-
интегралов в A25.7).

562 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
для первого электрона A) атома (а) в поле ядра (Ь) и, наконец,
третий интеграл есть средняя потенциальная энергия электронов
A) и B), находящихся в разных атомах. Таким образом, К есть
не что иное, как средняя энергия электростатического взаимо-
взаимодействия атомов, кроме взаимодействия ядер, которое мы учиты-
учитываем отдельно (см. A25.1)).
Интеграл A25.18) представляет собой обменную энергию. Под-
Подставляя в A25.18) значение W (\> 2) и фх и ф2| мы получим
А = [[ ~ 7~ ~ 7~ + Г"
J \ r(l2 ГЬ\ r12
Обозначая обменную плотность так, как мы это делали при
рассмотрении атома Не, через
РаЪ B) = —
мы можем написать А в виде
A=S [ ~PabB)dv2 +S \ y-P
последний член есть обменная энергия электронов совершенно
такого же вида, как та, что была нами получена при рассмотре-
рассмотрении атома Не. Различие заключается в том, что там речь шла
об обмене электронов, состояния которых различались энергией
электронов, а здесь состояния я|эа и ^ различаются положением
электронов у атома (а) или у атома (Ь). Обмен электронами про-
происходит между атомами (а) и F).
Первые два члена представляют собой поправки к обменной
энергии, происходящие из-за неортогональности волновых функ-
функций, именно,
S = \% (гаъ) Уь (гы) dv, = $ % (ra2) % (rb2) dv2. A25.19')
При /?->оо волновые функции 1]зя и tyb в силу экспоненциаль-
экспоненциального убывания с увеличением расстояния от ядер (а) и (Ь) столь
мало перекрываются (ура отлично от нуля вблизи ядра (a), a tyb —
вблизи ядра (Ь)), что S очень мало и стремится к 0. Напротив,
при /? = 0 ядра (а) и (Ь) совпадают. Тогда % и % суть волно-
волновые функции одного и того же атома водорода. В силу норми-
нормировки а|эа и % при R = 0 S равно 1. Поэтому
(b^S^l. A25.27)
Равным образом и S2 A25.19) также заключено в этих пределах.
Таким образом, полученные нами формулы A25.24) и A25.24')
для энергии двух атомов водорода совпадают по своему физи-

§ 125J МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 563
ческому смыслу с формулами A22.21), A22.22) для энергии
атома Не, именно, и там, и здесь поправки складываются из
энергии кулоновского взаимодействия К и обменной энергии А.
Некоторое различие обусловлено лишь неортогональностью вол-
волновых функций (члены с S и S2). Мы можем теперь написать
энергию U (R) двух атомов водорода для антисимметричного
состояния Фа и симметричного Фд..
На основании A25.1), A25.2) и A25.24), A25.24') имеем
us-zc0yR -f 1 + S2.
Эти формулы можно переписать в виде
S*^, A25.28)
A25.28')
g2
Члены -р- + /С представляют собой среднюю кулоновскую энергию
двух атомов водорода, находящихся на расстоянии R между
собой, Л—обменная энергия. Последний член, пропорциональ-
пропорциональный S2, включает поправки на неортогональность волновых функ-
функций, послуживших нам в качестве нулевого приближения.
С помощью формул A25.25) и A25.26) может быть вычислена
и кулоновская, и обменная энергия. Для этого достаточно под-
подставить в эти интегралы выражение для волновой функции
нормального состояния водорода. Эта функция известна и есть
просто экспоненциальная функция
*(г)вИЬг"- A25-29)
где г —расстояние электрона от ядра, а а —радиус первой
орбиты Бора. Чтобы получить функции i|)a(ral), a|^ (rb2) и т. д.,
нужно вместо г в предыдущую формулу подставить га1 или rb2
и т. д., так как эти величины суть как раз расстояния какого-
либо из электронов до одного из ядер (см. рис. 93).
Мы не будем производить здесь вычисления этих интегралов.
Заметим лишь то, что интегралы К и А содержат волновые функ-
функции, относящиеся к различным атомам (например, tya (ral)
и i|fy (rb2): каждая из этих функций экспоненциально убывает
с увеличением га1 и rb2). Поэтому оба интеграла К и А отличны
от нуля лишь постольку, поскольку волновые функции, а, стало
быть, и электронные оболочки атомов взаимно перекрываются.

564
ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ
[ГЛ. XXII
В результате оба интеграла убывают с увеличением рассто-
расстояния между атомами R, как е а. На рис. 94 изображена вза-
взаимная энергия атомов Ua (R) и Us (R) как функция расстояния
между атомами R, получающаяся в результате вычисления куло-
новской К и обменной А энергией1). Величина 2Е0 принята за О
отсчета энергии. Расстояние R измерено в единицах боровского
радиуса, так что по оси абсцисс отложено не /?, a R/a. Как
видно из рисунка, для антисимметричного состояния (Фа) энер-
энергия Ua (R) отвечает отталкиванию двух атомов водорода, так что
молекула Н2 образоваться не мо-
может. Напротив, для симметрич-
симметричного состояния Ф5 энергия Us (R)
имеет минимум при Ro = 1,4 • а ------
= 0,74-10"8 см, так что атомы
водорода будут в этом случае
иметь тенденцию находиться па
расстоянии Ro друг от друга.
В симметричном состоянии, сле-
следовательно, образуется устойчивая
молекула водорода Н2. Мы сей-
сейчас свяжем эти два рода состо-
состояний с направлениями спинов
электронов. Это совсем нетрудно
сделать, если вспомнить резуль-
„ г»* ^ - таты, полученные нами для атома
Рис. 94. Энергия взаимодействия Tjr ' inn/ r-r
двух атомов водорода для триплет- Не (§ 122). Полученные нами вол-
ного C?) и синглетного Aц) со- нозые функции для молекулы Н2
стояний. зависят лишь от координат цент-
центров тяжестей электронов гх и г?.
Полная волновая функция Чг
должна еще зависеть и от спинов
электронов Szi и sr2. Так как взаимодействием спинов с орби-
орбитальным движением и взаимодействием спинов между собой мы
пренебрегали, то волновая функция W представляется как про-
произведение функции Ф от координат центров тяжести электронов
на функцию S от спинов s^ и s~2. Так как электроны подчи-
подчиняются принципу Паули, то волновая функция W должна быть
антисимметрична при перестановке электронов. Так же как
и в случае атома Не, мы имеем две координатные функции Ф:
симметричную Ф5 и антисимметричную Фа.
Чтобы в обоих случаях вся функция W была антисиммет-
антисимметрична, нужно, чтобы для Ф = Ф,; спиновая функция S (ssl9 sz2)
В последнем состоянии образуется
устойчивая молекула Н2.
2) По поводу вычисления интегралов К и А см. Дж. Слэтер, Электрон-
Электронная структура молекул, «Мир», 1965, гл. 3.

§ 125J МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 565
была антисимметрична по спину (S=--Sa). Напротив, для анти-
антисимметричной функции Ф = Ф41 спиновая функция должна быть
симметрична (S = SS). Очевидно, что спиновые функции Sa и S5
будут совершенно такими же, как и полученные нами в § 122.
Именно, Sa описывает состояние с антипараллельными спинами
(см. § 122). Таким образом, состояние Ф^ с энергией US(R) есть
синглетное состояние (противоположно направленные спины).
Такое состояние в молекулах обычно обозначают знаком Х2.
Состояние Фа с энергией Ua(R), напротив, есть триплетное
состояние (параллельные спины). Это состояние обозначают
знаком 32.
Обращаясь к кривым для Ua и Us рис. 94, мы можем выра-
выразить приведенный там результат так: два атома водорода, име-
имеющих электроны с противоположно направленными спинами
(^-состояние), притягиваются и образуют молекулу. Два атома
водорода, имеющих электроны с параллельными спинами C2-
состояние), отталкиваются.
Притяжение или отталкивание атомов водорода зависит от
знака обменной энергии А (так как энергии Ua и Us отличаются
знаком А). Таким образом, образование гомополярнои молекулы
Н2 определяется обменными силами, и этим объясняется то, что
ни в классических теориях, ни в первоначальной квантовой
теории Бора нельзя было построить теорию гомополярнои связи.
Мы обратимся теперь к некоторым подробностям, касающимся
потенциальной энергии US(R) молекулы водорода Н2. На рис. 94
кривая US(R) изображена отдельно от кривой триплетного состо-
состояния Ua(R). Зная аналитическое выражение для US(R), мы
можем найти положение равновесия (точку R = RQ) из уравнения
^нр = 0. A25.30)
Разлагая далее US(R) по степеням отклонения от положения
равновесия (R — Ro), мы получим
и (R) U (R) + (
r4ro(r~~Ro) +'" A25* l)
Это разложение справедливо для малых отклонений (R—Ro).
Если было бы достаточно, в смысле точности, ограничиться
только членом разложения с (/? — /?0J» то мы имели бы дело
с гармоническим осциллятором. Частота этого осциллятора может
быть получена следующим образом. Потенциальная энергия
осциллятора, обладающего массой (л и частотой соо и соверша-
совершающего колебания около положения равновесия Ro, равна
U (R) = const + ^ (R - Ro)\

566 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
Сравнивая это с предыдущей формулой для US(R), мы находим
^ = fS)v <125-32>
Отсюда
Заметим, что так как речь идет об относительном движении
ядер, то под (.1 следует разуметь приведенную массу двух атомов
водорода, т. е. если через ти- обозначить массу атома водорода,
то
- =—. A25.33)
С помощью формулы A25.32) мы можем найти частоту молеку-
лярных колебании соо по кривизне -j— потенциальной кривой
Us (R) в точке равновесия Ro. Третий член в A25.31) дает поправку
на отклонение от гармоничности.
Для больших энергий колебания эта поправка будет играть
все возрастающую роль. Если энергия колебаний Е будет больше
значения потенциальной энергии Us (R) на бесконечности (на рис. 94
Us(oo) положено равным нулю, так что речь идет о ?>0), то
молекула вообще не будет колебаться, а диссоциирует. Энергия D,
необходимая для диссоциации, по классической механике была бы
равна —US(RO).
Чтобы получить правильное значение энергии диссоциации
молекулы, нужно еще учесть, что в самом нижнем состоянии мо-
молекула имеет положительную нулевую энергию колебаний -^
(см. рис. 94). Эту энергию нужно вычесть.
Таким образом, D равно
таким путем мы можем найти и энергию диссоциации.
Итак, произведенный расчет позволяет найти: 1) положение
равновесия ROi 2) частоту молекулярных колебаний со0 и 3) энер-
энергию диссоциации D молекулы Н2. Все эти величины известны
из опыта. Величина Ro входит в момент инерции молекулы /,
который равен / = fx/?jj; он может быть определен по спектраль-
спектральным данным из формулы Деландра ((см. 54.20)). Частота колеба-
колебаний cd0 опять-таки определяется по спектральным данным. Величина
работы диссоциации может быть определена и оптически, и хими-
химически. Здесь мы приводим табл. 5, в которой даны результаты

126]
ПРИРОДА ХИМИЧЕСКИХ СИЛ
Таблица 5
567
Теоретическое значение
Ro = 0,135- 10~8 см
©0 = 4280 сиг1
D = 4,37 эв
Экспсриместальное
значение
0,753- Ю-8 см
4390 сиГ1
4,38 эв
вычислений Хиллерааса1) для Н2 и опытные данные. Эти данные
показывают прекрасное согласие, особенно если учесть то, что
первые две величины (Ro и соо) очень чувствительно зависят
от формы кривой US(R). Кроме того, отметим, что достигнутая
Хиллераасом точность не является предельной и могла бы быть
еще повышена. Достигнутый квантовой механикой успех в расчете
молекулы Н2, основанном лишь на том факте, что эта молекула
состоит из двух протонов и двух электронов (без привлечения
каких-либо произвольных констант), является одним из крупней-
крупнейших успехов квантовой механики.
§ 126. Природа химических сил
В химии различают два рода связей, приводящих к образо-
образованию молекул: ионные (гетерополярные) и гомополярные. Ионная
связь реализуется в тех случаях, когда молекулу можно пред-
представить себе как образование из положительных и отрицательных
ионов (пример NaCl). Гомополярная связь реализуется в тех слу-
случаях, когда деление на ионы провести невозможно. Типичным
случаем гомополярной связи являются молекулы из одинаковых
атомов (пример Н2).
Теорию ионных связей разрабатывали еще и до квантовой ме-
механики и не без успеха. Простейшая идея о природе ионной связи
(валентности) заключается в следующем: гетерополярная валент-
валентность элемента попросту определяется числом электронов, которое
нужно отнять (у электроположительного элемента) или прибавить
(к электроотрицательному элементу), чтобы получить ион, имею-
имеющий электронную оболочку ближайшего инертного газа. Так,
от Na нужно отнять один электрон, чтобы получить оболочку Ne.
К С1 нужно прибавить один электрон, чтобы получить оболочку Аг.
Таким образом, Na+ и С1~ являются как бы заряженными ато-
атомами инертных газов.
При этих условиях основную роль в ионной связи должно
играть кулоновское притяжение разноименно заряженных ионов,
г) Другие расчеты молекулы водорода см., например, в книге Дж. Слэ-
тер, Электронная структура молекул, «Мир», 1965.

568 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
поскольку электронные оболочки инертных газов химически не-
неактивны. Однако известно, что одни электростатические силы
не могут обеспечить устойчивого равновесия. Поэтому помимо
кулоновского притяжения зарядов ионов— ~ необходимо ввести
еще некоторое отталкивание на близких расстояниях. Эти оттал-
кивательные силы в классической теории не могли быть рассчи-
рассчитаны, но введение их казалось эмпирически обоснованным, по-
поскольку атомы инертных газов отталкиваются друг от друга на
малых расстояниях. Отталкивательные силы брались в виде -^,
где а и т — эмпирически определяемые константы. Полная потен-
потенциальная энергия двух ионов имеет поэтому видх)
U(r) = -*+pn. A26.1)
Если на указанном пути удавалось подойти к проблеме гетеро-
полярной связи, то проблема гомополярной связи оставалась со-
совершенно темной. Попытки рассчитать молекулу Н2 никогда
не приводили к удовлетворительному результату. Из изложен-
изложенной выше квантовой теории молекулы Н2 ясна и причина этих
неудач.
Главную роль в образовании молекулы Н2 играют обменные силы,
существование которых является особенностью самой квантовой
механики. Сами по себе эти силы не требуют привлечения какого-
либо нового взаимодействия частиц. Они возникают из того же
кулоновского взаимодействия электронов в молекуле Н2. Кроме
того, как мы видели, для построения правильной теории моле-
молекулы Но необходим учет принципа Паули, т. е. принципа нераз-
неразличимости частиц. Незнание этих сторон дела и являлось причи-
причиной невозможности решить проблему строения даже простейшей
молекулы до открытия квантовой механики.
Напротив, успешное решение проблемы молекулыН2 средствами
квантовой механики послужило исходным пунктом для квантовой
теории гомополярной валентности. Не имея здесь возможности
входить в подробное освещение этого вопроса, ограничимся не-
немногими замечаниями. Для Н2 мы получили два состояния:
с параллельными и антипараллельными спинами. На рис. 95
изображено распределение плотности электрического заряда элек-
электронов р для этих двух состояний. Плотность электрического
заряда в точке г вычисляется из волновой функции Ф (г1э г2)
по формуле
р (г) = — 2е \ | Ф (г, г') |2 dv'. A26.2)
*) Заметим, что квантовая механика дает иной вид отталкивательного
члена, лучше согласующийся с опытом.

126]
ПРИРОДА ХИМИЧЕСКИХ СИЛ
569
Если спины атомов параллельны, то ф = ф. В точке г = г'функ-
г'функция Фл = 0 (узловая плоскость). Благодаря этому плотность р
в области между атомами имеет минимум (рис. 95, а). Напротив,
в состоянии с антипараллельными спинами Ф = Ф5 узловой пло-
плоскости не имеется и плотности зарядов обоих атомов как бы
сливаются (рис. 95, б). Слияние плотностей (образование гомопо-
гомополярнои связи) мы сопоставляем валентному штриху Н—Н. Обра-
Образование минимума плотности — отсутствию такой связи.
Можно показать, что силы гомополярнои связи обладают свой-
свойствами насыщения —признаком, характерным для валентных сил.
б)
Рис. 95. Распределение плотности зарядов в двух отталкивающих атомах
Н C?) (а) и распределение плотности зарядов в молекуле Ы2 (*?) (б).
Нетрудно видеть, что присоединение третьего атома Н к моле-
молекуле Н2 не приводит к созданию обменных сил между электро-
электронами молекулы и третьим атомом. В самом деле, обозначим вол-
волновую функцию электронов молекулы (атомов а и Ь) через
Ф8 (гь г2) Sa (si, s2). Волновую функцию электрона третьего атома с
обозначим через ^>с(гз) Sya (s3). Спин третьего электрона мы взяли
направленным по оси 0Z. Можно было бы взять и противопо-
противоположное направление. Важно лишь то, что спин третьего электрона
противоположен спину одного из электронов молекулы. Чтобы
получить функцию всей системы, нужно из O>Sa и i|)cSy2 обра-
образовать антисимметричную в частицах функцию (учет принципа
Паули). Единственная и антисимметричная функция, которую
можно построить из Ф55а и i|\Si/2, есть
ь г2, г3, sb s2> s3) = р-[ФЛгь r2)\|3c(r3)Sfl(s1,
+ Ф,(г2,
. A26.3)

570 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛ Г. КУЛ [ГЛ. XXII
Функции Sa(sl9 So), согласно A21.13), имеют вид
у-2 {S,/t (Sl) S-Ve (s2) - SVt (s2) S_I/t (Sl)}.
Исходя из свойств ортогональности и нормировки спиновых функ-
функций Sa(s) fa = zb-2j (см. F0.7)), легко убедиться, что все три
спиновые функции, фигурирующие в суперпозиции A26.3), орто-
ортогональны между собой. Поэтому, если мы возьмем | Ф |2 и про-
суммируем по всем значениям ( —yi всех трех спинов, чтобы
получить вероятность w (гь г2, г3) положения электронов в окрест-
окрестности точек гь г2, г3, то мы получим
w (гь г2, Гз) - 2 I Ф 2 = i I! ф* ^ r^ I* I ** (Г
+ | Ф5 (Гь Гз) |2 | Цс (Г2) |2 + | Ф5 (Г2, Гз) |2 | фс (ГХ) |2]. A26.4)
Обозначая, как мы это делали в предыдущем параграфе, плот-
плотность заряда электрона, находящегося на атоме а, через ра, на
атоме Ъ — через pbt наконец на атоме с — через рс, а обменную
плотность через раЬ, мы можем, пользуясь значением Фд. A25.24'),
A25.11), A25.1 Г), написать полученную вероятность конфигура-
конфигурации электронов в виде
О> (ГЬ Г2, Г3) = "з" {[Pa (ri) Pb (Г2) + 2Pab (Гг) Pab (Г2) +
где
Ра (Г}
И
+
l) ==
Pa
Pc
(r2) Рь (ri
г (Гз) Pb {Г
¦eVa(rla),
.)] Pc
l)] p.
p p.
Pab
(Г*) + [Ра (Г1)
с(Г2) + [Ра(Г2
(ri) — — etyl (
(гг) = -~ etya i
) Рь (гз) + 2p
+ Ра(Гз)Рь
'rib), Pc(ri)--
ь(
ab
(Г:
= -
ri)
in
г)]
f
P
e
^ab (Гз) -
Pab (гз)
fi {Гхс)
+
A26
A26
A26.
.5)
.6)
6')
Из этого выражения мы видим, что для третьего атома с не воз-
возникает обменной плотности (типа рас, рЬс), следовательно, обмен-
обменных сил с атомами а и Ь, образующими молекулу. Кулоновское
же взаимодействие остается. Поэтому третий атом будет отталки-
отталкиваться. Этим и доказывается способность обменных сил к насы-
насыщению и правомочность сопоставления валентного штриха слия-
слиянию плотности электрических зарядоз двух атомов.
Заметим, что никакого строгого разграничения между гомо-
полярной и ионной связью па самом деле провести нельзя. Это —
просто два крайних случая. В типичном случае гомополярной
связи заряд распределен симметрично между обоими атомами.

§ 127] МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СИЛЫ 571
Если атомы неодинаковы, то такая симметрия нарушается. Если,
наконец, симметрия нарушается резко, так что заряд электроноэ
сосредоточивается преимущественно около одного из атомов, то
мы получим случай ионной связи.
§ 127. Межмолекулярные дисперсионные силы
Выше были рассмотрены валентные силы. Эти силы, будучи
связаны с ориентацией спинов электронов, обладают свойством
насыщения. Кроме того, эти силы действуют на коротких рас-
расстояниях. Они определяются степенью перекрытия электронных
плотностей, принадлежащих взаимодействующим атомам. Так как
электронная плотность убывает экспоненциально с увеличением
расстояния от центра атома, то и валентные силы убывают экспо-
экспоненциально с увеличением расстояния между атомами.
Помимо этих валентных сил, между атомами и молекулами
действуют еще особые силы, имеющие всегда характер сил при-
притяжения.. Это — меж молекулярные дисперсионные
силы, или силы Ван-дер-Ваал ьса. Замечательным свой-
свойством этих сил является то, что они действуют между электри-
электрически нейтральными системами и системами, не обладающими
электрическим моментом. Так, например, они действуют между
атомами Не, распределение заряда в которых обладает шаровой
симметрией, так что эти атомы не обладают ни дипольиым, ни
квадрупольным, ни каким-либо высшим электрическим моментом.
Второе важное свойство этих сил заключается в том, что эти
силы не зависят от температуры. Природа этих сил оказывается
также квантовой.
Силы Ван-дер-Ваальса можно вычислить, если рассмотреть
взаимодействие достаточно удаленных друг от друга атомов. На
большом расстоянии между атомами валентные силы, вычисляе-
вычисляемые из первого приближения теории возмущения, очень малы.
Напротив, на этих расстояниях оказывается уже невозможным
игнорировать второе приближение, в котором учитывается дефор-
деформация электронных оболочек атомов. Объясняется это тем, что
дополнительные поправки к энергии взаимодействия атомов, вы-
вычисляемые во втором приближении, убывают с увеличением рас-
расстояния R между атомами пропорционально 1//?G, в то- время как
энергия валентных связей убывает пропорционально е а. При
больших R второе приближение оказывается больше первого.
Производя для больших расстояний подсчет энергии во вто-
втором приближении, можно вычислить силы Ван-дер-Ваальса.
Не входя в эти расчеты, мы поясним основную идею квантовой
теории сил Ван-дер-Ваальса на простом примере, допускающем
точное решение задачи. Вместо реальных атомов рассмотрим два

572 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
одномерных осциллятора с собственной частотой со0 (такая модель
атома фигурирует в классической теории дисперсии). Обозначим
координату электрона в первом атоме через хи а его импульс
через piy координату электрона во втором атоме через х2, импульс
через р2. Расстояние между «атомами» пусть будет R. Электри-
Электрический момент первого атома'есть ехъ а второго ех2. Если рас-
расстояние R между этими атомами достаточно велико, то энергия
взаимодействия этих атомов может быть представлена как потен-
потенциальная энергия взаимодействия двух диполей с моментами ех1
и ех2. Эта энергия равна
W = 2?h = ~x1xi. A27.1)
Если осцилляторы покоятся, то х1 = х2 = 0 и их дипольные мо-
моменты равны пулю. Так как, кроме того, оба «атома» электриче-
электрически нейтральны, то никакого взаимодействия между ними не по-
получается.
Согласно классической теории взаимодействие возникает лишь
между колеблющимися осцилляторами. Не вдаваясь в расчет
этого взаимодействия, можно предсказать, что его величина будет
зависеть от температуры Т. Это ясно уже из того, что при Т =
= 0°К колебаний пет и х1 = х2 = 0. Иное дело получается гго
квантовой механике. Даже при абсолютном нуле имеются нуле-
нулевые колебания, которые приводят к тому, что средняя энергия
взаимодействия рассматриваемых нами осцилляторов не равна
нулю.
Для вычисления этой энергии обратимся к расчетам § 109,
где как раз рассмотрен интересующий нас случай взаимодействия
двух одномерных осцилляторов, обладающих частотой соо и мас-
массой [д. Энергия взаимодействия осцилляторов, была предположена
в виде XxiX2 (см. A09.1)). В нашем случае энергия взаимодей-
взаимодействия осцилляторов выражается формулой A27.1). Стало быть,
полагая в формулах § 109
*=?, A27.2)
мы можем воспользоваться всеми результатами этого параграфа.
Сейчас нас интересует наименьшая нулевая энергия наших осцил-
осцилляторов. Эта энергия равна
Т»
где % и со2 определяются из формулы A09.5)
<*>i = <*>ii + -, со^ = С05 — —.
A27.3)

§ 127] МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СИЛЫ 573
Отсюда, считая ооо^>—, находим
А, \2
и, следовательно,
а1 + а2 = 2щ-\~. A27.4)
Имея в виду значение Я для нашего случая A27.2), находим из
A27.3) и A27.4) нулевую энергию двух дипольно взаимодействую-
взаимодействующих осцилляторов
E0(R) = h«0-i?r-#+... A27.5)
Мы видим, что нулевая энергия оказывается функцией расстоя-
расстояния R между осцилляторами — «атомами» и, стало быть, играет
роль потенциальной энергии взаимодействия этих «атомов».
Отбрасывая несущественную аддитивную постоянную /гсо0, по-
получаем для этой энергии выражение
"<*>=-4 нУ«-- A27-6)
Мы видим, что эта энергия обусловлена силами притяжения
(знак «—»!). Эти силы можно рассматривать как силы Ван-дер-
Ваальса для наших идеализированных атомов. Квантовая природа
этих сил ясна уже из того, что при Н = 0 /7 = 0, так что в пре-
предельном случае классической механики эти силы равны нулю.
Таким образом, ван-дер-оаальсово притяжение есть результат
уменьшения нулевой энергии при сближении осцилляторов. Фор-
Формулу A27.6) мы можем преобразовать, введя в нее коэффициент
атомной поляризуемости (J для постоянного поля. Из теории дис-
дисперсии мы знаем, что коэффициент атомной поляризуемости для
осциллятора массы \i и частоты щ равен1) (§ 92)
e=
полагая здесь со^О, получаем коэффициент поляризуемости для
постоянного поля
Р=А. A27.7)
м [10M V '
!) Эта формула —классическая. Квантовая формула (92.5') для осцилля-
осциллятора ведет к тому же результату, в чем предполагаем убедиться читателю са-
самостоятельно, воспользовавшись матрицей хп/г для координаты осциллятора и
формулой (92.25).

574 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
Внося его в формулы для потенциальной энергии ван-дер-вааль-
совской силы A27.6), получаем
t/(/?) — -1-Ра/г-в- О27-8)
где
е = йю0> A27.9)
т. е. разности "между квантовыми уровнями осциллятора. Так как
в формулу для ван-дер-ваальсовых сил входит коэффициент поля-
поляризуемости, получаемый из теории дисперсии, то эти силы в по-
последнее время и называются дисперсионными.
Расчет, проведенный во втором приближении для реальных
атомов, приводит в основном к тому же результату, что и по-
полученный нами A27.8) для модели атома в виде линейного осцил-
осциллятора. Именно, квантовая формула для потенциальной энергии
сил Ван-дер-Ваальса реальных атомов имеет вид
U(R)=-k!j?, A27.10)
где C — атомная поляризуемость в постоянном поле, / — иониза-
ионизационный потенциал атома, a k — некоторый численный коэффи-
коэффициент, по порядку величины равный 1. Это выражение для ван-
дер-ваальсового взаимодействия хорошо согласуется с экспери-
экспериментальными данными, заимствуемыми из изучения отступлений
газов от закона Клапейрона1).
§ 128. Роль спина ядер в двухатомных молекулах
Атомные ядра обладают спином и магнитным моментом2). По-
Поэтому волновая функция ядер зависит не только от координат
ядер, но и от спинов sa, s,:2. Выбирая в качестве координат
относительные координаты ядер г12 (в сферической системе коор-
координат /*, б, ср) и пренебрегая взаимодействием магнитного момента
ядер с их движением, мы можем написать волновую функцию
ядер в виде
l, s,2). A28.1)
Функция Rni(r) описывает колебание ядер, функция Р,— враще-
вращение (мы полагаем число т = 0, так как нас не будет интересовать
сейчас ориентация молекулы в пространстве), и, наконец, функ-
функция S описывает состояние спинов ядер. Согласно принципу тож-
тождественности в случае одинаковых ядер (одинаковые изотопы)
!) См., например, М. В. Волькенште и н, Строение и физические
свойства молекул, Изд-во АН СССР, 1955, стр. 249—257.
2) Магнитный момент ядер, но порядку величины, измеряется ядерным
магнетоном Бора (ср. § 63). Он в 1842 раза меньше магнетона Бора.

§ 128] РОЛЬ СПИНА ЯДЕР В ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛАХ 575
функция W должна быть симметричной или антисимметричной,
в зависимости от того, обладают ли ядра целым или полуцелым
спином.
Для определенности рассмотрим последний случай, осуществ-
осуществляющийся в молекуле Н2, где оба ядра являются протонами.
Тогда функция Чг должна быть антисимметрична при перестановке
протонов.
Перестановка протонов соответствует инверсии относительных
координат г — i\l —г2. При этом Rrii(r) u^ меняет знака. Четность
состояния по координатам частиц будет определяться орбитальным
числом / (см. §§25, 107). Энергетические уровни молекулы с чет-
четными I называются четными термами, с нечетным / — соответст-
соответственно нечетными.
Так как полная функция 4х антисимметрична, то четность
термов связана с взаимной ориентацией спинов молекул. Рас-
Рассмотрим обе возможные ориентации.
1) Спины ядер параллельны. Тогда S — S5 есть симметричная
функция и, стало быть, функция Pt должна быть нечетной. По-
Поэтому молекула Н2, имеющая паралелльные спины ядер («орто-
водород»), может иметь только нечетное орбитальное число /.
В частности, ее нижнее состояние соответствует состоянию вра-
вращения /= 1.
2) Спины ядер антипараллельны. Тогда S = Sa есть антисим-
антисимметричная функция спинов и, следовательно, Рг должна быть
четной. Поэтому молекула Н2 с антипараллельными спинами ядер
(«параводород») может иметь только четное орбитальное число /.
Нижнее состояние есть / = 0.
Таким образом, спин ядер благодаря принципу Паули оказы-
оказывает значительное, косвенное влияние на орбитальное движение
ядер в молекуле. Это влияние выражается замечательным обра-
образом в чередовании интенсивностей во вращательных спектрах мо-
молекул и в их теплоемкости1). Остановимся на этом последнем
влиянии. Допустим, что установилось тепловое равновесие при
столь низкой температуре, что вращение вымерзло (ср. § 54).
Тогда водород будет находиться в состоянии параводорода (/ = 0).
Если теперь такой водород нагревать, то вероятность изменения
направления спина ядер при столкновениях молекул будет очень
мала (из-за малости взаимодействия с малым магнитным моментом
ядер). Поэтому, несмотря на столкновения, водород будет оста-
оставаться в парасостоянии, и теплоемкость за счет вращения будет
определяться переходами / = 0->/ = 2->/ = 4, ...
Если же дать водороду постоять при этой повышенной темпе-
температуре (для этого требуется много дней), то спины ядер успеют
г) Относительно чередования интенсивностей в спектре молекул см.
В. Н. Кондратьев, Структура атомов и молекул, Физматгиз, 1959.

576 ОБРАЗОВАНИЕ МОЛЕКУЛ [ГЛ. XXII
перераспределиться. Наряду с параводородом возникнет также и
ортоводород. Тогда окажутся возможными также и переходы типа
/= 1->/ = 3->/ = 5, ... Так как изменения вращательной энер-
гии А? = 27 U+") —r' + TM Различны Для четных и нечет-
нечетных /, то теплоемкости параводорода и ортоводорода различны.
В силу этого медленный процесс установления равновесия между
пара- и ортоводородом будет сопровождаться изменением тепло-
теплоемкости водорода.
При равновесии число молекул ортоводорода в три раза больше
молекул параводорода (так как для параллельных спинов имеется
три симметричные функции Ss, а для антипараллельных —только
одна, антисимметричная Sa] ср. § 121). Поэтому нормально водо-
водород представляет собою смесь орто- и параводородов в отноше-
отношении 3 : 1.
Это поразительное явление изменения теплоемкости водорода
находит в квантовой механике не только описанное качественное
объяснение, но и может быть рассчитано количественно в полном
согласии с опытом1).
*) См., например, Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Статистическая
физика, «Наука», 1976, § 48.

Глава XXIII
МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 129. Парамагнетизм и диамагнетизм атомов
Основной и простейшей задачей атомной механики из области
магнитных явлений является вычисление магнитных моментов
атомов, помещенных во внешнее магнитное поле. Мы уже вычис-
вычисляли элементарным способом магнитный момент орбитальных токов
в атоме (§ 53). Обратимся теперь к общим методам.
Наиболее общим образом операторы проекций магнитного
момента могут быть определены как производные (с обратным
знаком) от оператора полной энергии (точнее, гамильтониана) по
проекциям магнитного поля
W dIi щ dfl w dIi П29 П
В частности, для одного электрона гамильтониан Я, описывающий
движение электрона в магнитном поле, имеет вид
(s) A29.2)
(знак + перед вектором-потенциалом А взят потому, что мы счи-
считаем заряд электрона равным—е). Направим ось OZ по направ-
направлению магнитного поля и возьмем вектор-потенциал в форме
A29.3)
Дифференцируя Н по а%^г, мы найдем
еЩ-^1г. A29.4)
Оператор, стоящий в квадратных скобках, есть оператор проекции
на OZ момента истинного импульса1). Далее, Рух — Рху есть
1) Напомним, что в магнитном поле оператором скорости являйся не
±()
И. Блохинцев

578 МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. ХХШ
оператор проекции на 01 момента обобщенного импульса N[z.
Пользуясь A29.3), представим A29.4) в виде
Как мы видим, оператор состоит из двух частей: не зависящей
от магнитного поля и зависящей от него. Рассмотрим их порознь.
Первая часть
^ = -~(l+sz) A29.6)
имеет собственные значения, которые мы уже находили в теории
эффекта Зеемана. Действительно, энергия возмущения в магнит-
магнитном поле W = — (<2/ГЭЛг). Собственные значения оператора W раз-
различны, смотря по тому, имеем мы дело с сильными магнитными
полями (простой эффект Зеемана) или со слабыми (сложный эффект
Зеемана). В последнем случае собственные значения W даются
формулой G4.23). Эти собственные значения отличаются от соб-
собственных значений $?* множителем —<Ж. Поэтому из G4.23)
находим
где raj есть магнитное число, / — число, определяющее полный
механический момент, / — орбитальный, /5 —спиновый. Потенциаль-
Потенциальная энергия этого момента во внешнем магнитном поле есть как
раз W. Она может принимать как положительные, так и отрица-
. 1 ,3
тельные значения, смотря по значению т^ = ±-^-% —-у, ...
..., ±/.
При термодинамическом равновесии будут предпочитаться отри-
отрицательные значения W и, следовательно, положительные значения
дЯ'г. В результате получится средний момент, направленный по
полю, т. е. случай парамагнетизма. Существенно, что дI'г
не может равняться нулю. Следовательно, одноэлектронные атомы
всегда парамагнитны. Второй член в A29.5)
^ A29.8)
представляет собой магнитный момент, который всегда направлен
(как непосредственно видно) против поля. Таким образом, этот
момент обусловливает диамагнетизм. Он никогда не может
быть равен нулю, так как х2 + */2>0, и поэтому диамагнитный
эффект имеет место во всех атомах. Однако легко заметить, что

§ 129] ПАРАМАГНЕТИЗМ И ДИАМАГНЕТИЗМ АТОМОВ 579
момент Я)?2 значительно меньше 'ЭЛ^, им можно пренебречь в срав-
сравнении с последним. Действительно, Ш'2 по порядку величины
eh в2 с/^*
равняется магнетону -g—, а ^^-у^-^2, где а —размеры атома.
для всех полей еЯГ, для которых
Все практически достижимые поля удовлетворяют этому условию.
Если число электронов в атоме четное, полный момент импульса
может оказаться равным нулю. Вместе с тем будет равен нулю
и магнитный момент Ш'г, обусловливающий парамагнетизм. Такой
атом будет диамагнитным. Так, например, в атоме гелия, в основ-
основном состоянии, как мы знаем, орбитальный момент равен нулю,
а спиновый компенсирован благодаря противоположному направ-
направлению спинов. Поэтому ЭЛг = 0. Гелий должен быть диамагнитным,
что и наблюдается в действительности. Диамагнитную восприим-
восприимчивость гелия можно вычислить, имея в виду, что для двух
электронов ЭЛг будет равно
Средние значения х\, у], х%, у\ в силу сферической симметрии
основного состояния гелия и симметрии электронов в нем равны
между собой и равны у, где г2 — средний квадрат радиус-вектора.
Таким образом,
Диамагнитная восприимчивость, рассчитанная на один атом, будет
равна
С помощью волновых функций для электронов атома гелия A22.23)
можно вычислить среднее значение г2 и получить численное зна-
значение магнитной восприимчивости.
Вычисление % с помощью волновых функций дает% = — 1,87 х
X 10 6. Экспериментальное значение х = — 1,88- ЮЛ Заметим,
что выражение A29.8) для диамагнитного момента совпадает с тем.
которое получается из классической электронной теории 1). Однако
только квантовая механика позволяет вычислить х2 + у2, исходя
из констант, характеризующих атом.
См И. Е Т а м м, Основы теории электричества, «Наука», 1976, § 69.

580 МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XXIII
Если мы имеем дело с многоэлектронным атомом, то вместо ('29.7) мы
получим на основании изложенного в § 105 (см. формулу A05.33))
J'
2
где / есть число, определяющее полный момент импульса всех электронов,
L — число, определяющее полный орбитальный момент, a S—-число, опреде-
определяющее полный спиновый момент, \rrij\^J и определяет проекцию полного
момента на магнитное поле. Если У=0, что может быть лишь для атомов
с четным числом электронов, то.*Шг = 0 и атом будет диамагнитным, причем
A2913)
где // — число электронов. Если J Ф 0, то величиной Ш1 можно пренебречь
в сравнении с Шг. Атома с J Ф 0 будут парамагнитными.
§ 130. Ферромагнетизм
Происхождение постоянного магнетизма ферромагнитных
веществ представлялось в течение длительного времени совершенно
загадочным. Сущность явления заключается, как известно, в том,
что ферромагнитные тела могут оставаться намагниченными и
в отсутствие внешнего магнитного поля о5Г. Для объяснения
свойств ферромагнетиков Вейсс предложил теорию, объясняющую
постоянный магнетизм наличием внутреннего магнитного поля оЙт,-,
которое и заставляет ориентироваться^ элементарные магниты,
даже если внешнее поле равно нулю. Теория Вейсса позволяла
объяснить многие свойства ферромагнетиков, однако происхож-
происхождение внутреннего поля <а/Г/ оставалось неразъясненным.
Для приведения теории Вейсса в согласие с опытом прихо-
приходится допускать, что поле я%\ имеет колоссальную величину:
10° э. Прямые опыты 1) показывают, что такого магнитного поля
внутри ферромагнетика на самом деле не существует. Гайзенбергу
удалось показать, что силы, ориентирующие элементарные маг-
магниты, — обменные силы. Этим была объяснена природа загадочного
вейссового поля. Гайзенберг, в согласии с данными опыта Эйнш-
Эйнштейна и де Гааза (см. § 58), предполагает, что намагничение
ферромагнитных тел обусловлено не орбитальным движением
электронов, а магнитным моментом спина. Далее, ферромагнетизм,
по-видимому, следует отнести не за счет валентных электронов
(«электроны проводимости»), а за счет электронов внутренних,
незаконченных оболочек атомов ферромагнетиков (см. распреде-
распределение электронов в Fe, Ni и Со в таблице на стр. 549).
х) Я. Г. Дорфман пропускал пучок быстрых электронов через намагничен-
намагниченную ферромагнитную фольгу. Поле в 106 э должно было отклонять электроны,
чего на самом деле не наблюдалось.

§ 130) ФЕРРОМАГНЕТИЗМ 581
Для простоты допустим, что в каждом из атомов, образующих
кристалл, имеется лишь один такой электрон. Взаимодействие
такого электрона с соседними атомами можно считать малым и
поэтому можно рассматривать волновую функцию всех электронов
(числом N), обусловливающих ферромагнетизм, как соответствую-
соответствующую системе невзаимодействующих электронов.
Для нумерации состояний заметим, что положение центров
атомов в кристалле (узлы решетки) определяется вектором
г ^nldLi-\-n2ei2-rn3U2, A30.1)
где пи п.2у лг.з — целые числа, а аь а2 и а3 — основные векторы
решетки. Таким образом, положение каждого атома определяется
тройкой чисел /гь я2, п3. Ради краткости эту тройку будем обо-
обозначать одной буквой п и называть номером атома. Пусть волновая
функция к-то электрона, находящегося на /г-м атоме,-есть
где Sa — спиновая функция.
Поскольку мы пренебрегаем взаимодействием с соседними ато-
атомами, постольку волновая функция всего кристалла в целом будет
антисимметричной комбинацией вида A17.6') из произведений
функций ФЛ, относящихся к отдельным электронам. Выбор значков
а(+У2 или —1/2) У каждой из функций Sa будет означать выбор
определенного распределения спинов (направленных по оси OZ
или против нее) среди атомов кристалла. Если спины всех электро-
электронов ориентированы в одном направлении, например по OZ, то
мы будем иметь дело с полным насыщением (максимальное
намагничение). Рассмотрим такое состояние, когда все спины
направлены по OZ, за исключением одного, направленного про-
против OZ. Пусть такой спин находится на атоме номера /. Тогда,
согласно сказанному выше, волновая функция *? всех N электро-
электронов имеет вид
У, = 2 (± 1) РЬ (гх) S+4t (s2l) Ь (г2) S+Vl (sz2)...
... Ч>, (г,) S-i/, Ы ... $N (rN) S+Vt (szN). A30.2)
Учтем теперь взаимодействие электронов с соседними атомами.
Для этого применим теорию возмущений. Мы имеем дело со слу-
случаем вырождения, так как, очевидно, электрон со спином, напра-
направленным против оси OZy может находиться на любом из атомов.
Поэтому правильная функция нулевого приближения будет линей-
линейной суперпозицией из Wi'.
Т= 2>Л, (П0.3;
/'=1

582 МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XXIII
причем амплитуды av надлежит еще определить. Для этого заме-
заметим, что оператор полной энергии Н электронов равен
N N
Н = Н°+ ^ ^+ У Un(rm), A30/4)
п>т=\ п> т = \
и
in (гп), Нп (гп) = — -к- vn + Un (гя), A30.5)
/1=1
где //^ — оператор полной энергии п-го электрона, находящегося
е2
ка п-ы атоме, энергия взаимодействия п-го и m-ro электро-
гпт
нов, a Un (гт) — энергия взаимодействия т-го электрона с п-ы
ионом {пфт). Все члены в Я, кроме //°, будем рассматривать
как возмущение. Подставляя в уравнение Шредингера НХ? = ЕХ?
вместо W приближенную функцию A30.3) и имея в виду, что
Яя(гл)фя(гл) = Яо*я(гл), A30.6)
где Ео—-энергия электрона в атоме, мы получим
>
A30.7)
Умножим теперь это уравнение на ?*, проинтегрируем результат
по координатам всех электронов и просуммируем по двум значе-
значениям спина sz = ±~2 каждого из электронов. При этом мы будем
считать функции г|)л(г) и я|эт(г), относящиеся к различным атомам,
ортогональными1). Далее при суммировании по спину следует
иметь в виду ортогональность функций Sa (sz) (ср. § 60). В резуль-
результате мы получим вместо A30.7)
iV?0fl/ + 2//r[flr-fl/] = ?fl/, A30.8)
где 1ц> есть обменный интеграл (матричный элемент энергии воз-
возмущения)
//г = \ \ Ь (ri) tr (г2) ф? (г2) # (г0 х
x[~ + Ui (ri) + Ur (r2) + Ur (>i) + f/i (r2)] d^ dt;2. A30.9)
Волновые функции г|)/ (г) быстро убывают с увеличением рас-
расстояния г от центра атома. Поэтому обменный интеграл 1ц быстро
На самом деле они ортогональны только приближенно.

§ 130] ФЕРРОМАГНЕТИЗМ 583
убывает с увеличением расстояния между атомами / и /.' Благодаря
этому при решении уравнений A30.8) можно ограничиться матрич-
матричными элементами liV, относящимися к ближайшим соседям. Так
как в кристалле все ближайшие соседние атомы равноправны, то
обменный интеграл имеет для них одно и то же значение /. Таким
образом, уравнения A30.8) можно написать в виде
(Е - NE0) а, + /У] [at -аг] = 0, A30.9')
/'
где сумма распространена по атомам /', соседним атому /. Число
ближайших соседей и их расположение зависят от типа кристал-
кристаллической решетки. Для простой кубической решетки соседние
с атомом I AЪ /2, /3) атомы имеют числа /', равные /i±l, /2, /3;
1Ъ /2±1, /3; /ь /2, /3±1.
Видно, что уравнения A30.9') имеют решения
at = aUhiz = const • el <^ + q*l> + ^Ч A30.10)
где qlf q2, ^ — некоторые безразмерные величины. В самом деле,
подстановка A30.10) в A30.9') дает
Е — NE0 = 2/ C — cos qx — cos q2 — cos ^3), A30.11)
откуда
3). A30.12)
Замечая, что 1ха, l2ay l3ay где а —постоянная решетки, суть коор-
координаты узла решетки, мы видим, что A30.10) может рассматри-
рассматриваться как плоская волна с волновым вектором к = -ч- ( & , ^ , ^).
г а \ а у а ' а )
Вероятность найти спин, направленный против OZ, есть | at |2 =
= const, т. е. все положения спина равновероятны. Таким обра-
образом, амплитуды аи определяющие состояние спина, весьма анало-
аналогичны волновой функции свободно движущейся частицы, имеющей
заданный импульс. Эта аналогия еще усугубляется тем, что по
крайней мере для малых к энергия A30.12) может быть написана
в виде
? = const + ~?2+ ..-> A30.13)
где -у-* = 1а » т- е- в виДе» совпадающем с выражением энергии
для свободной частицы. Величину \х* можно рассматривать как
эффективную массу. Ввиду наличия такой аналогии между рас-
распространением в кристалле спина определенной ориентации и
движением свободной частицы состояние A30.10) называют спи-
спиновой волной.
Если в кристалле имеется не один, а несколько (г) спинов,
ориентированных против оси OZ, то расчет протекает аналогич-

584 МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XXIII
ным образом, но усложняется тем, что при наличии многих спи-
спинов, ориентированных против оси 0Z, могут встретиться пары
соседних атомов со спинами, направленными против OZ. Для этих
пар обменные интегралы не равны нулю. Однако при небольшом
числе г такие случаи будут встречаться редко, и полное решение
может рассматриваться как совокупность невзаимодействующих
спиновых воли вида A30.10) (или, с корпускулярной точки зре-
зрения, как «спиновый газ»). Энергия будет суммой энергий для
каждой из спиновых волн. Если мы обозначим вектор q для
k-i\ спиновой волны через qft, то вся энергия спинового газа будет
г
Е - NE0 + 2/ V C - cos qlk - cos q2k - cos qsk). A30.14)
k = i
Из этой формулы следует, что при отрицательном / ферро-
ферромагнетизма быть не может, так как при /<0 энергия имеет
минимум при наибольшем г. Поэтому при тепловом равновесии
первоначальная ориентация всех спинов по оси будет стремиться
расстроиться. Напротив, при положительном обменном интеграле
минимум энергии будет достигаться при наименьшем г, так что
если некоторая часть спинов ориентирована против оси OZ, то
эти спины будут иметь тенденцию ориентироваться по оси OZ
(число г будет уменьшаться). Поэтому положительное значение
обменного интеграла является необходимым условием ферромаг-
ферромагнетизма (только в этом случае состояние с наименьшей энергией
может быть состоянием, в котором все спины электронов направ-
направлены одинаково). Причиной, приводящей к ориентации спинов
в одну сторону, являются, таким образом, не фиктивное магнит-
магнитное поле Вейсса, а обменные силы. Ферромагнетизм есть явление
квантовое. Наконец, мы видим, что ферромагнетизм не является
свойством отдельных атомов, а представляет собой свойство кри-
кристалла, что находится в согласии с тем фактом, что ферромаг-
ферромагнитных газов не существует.
Для вычисления н-амагничения ферромагнетика при какой-либо
температуре Т следует найти, методами статистики, среднее зна-
значение г. Тогда магнитный момент куска ферромагнетика, содер-
содержащего N электронов, будет, очевидно, равен
ая = аНд(#-2/о, A30.15)
где Шв есть магнитный момент одного электрона (магнетон Бора).
За соответствующими вычислениями и другими подробностями мы
отсылаем читателя к специальной литературе1).
х) См, С. В. Вонсовский, Магнетизм, «Наука», 1971.

Глава XXIV
АТОМНОЕ ЯДРО
§ 131. Ядерные силы. Изотопический спин
Взаимодействие нуклонов в ядре представляет собою еще
далеко не решенную проблему. Однако принципы квантовой
механики оказываются применимыми как к движению нуклонов
в ядре, так и к взаимодействию нуклонов с ядром. На этом пути
за последние годы достигнуты значительные успехи и квантовая
механика оказывается настоящим путеводителем физика в слож-
сложной картине ядерных взаимодействий.
Отсылая читателя к специальным курсам1), мы остановимся
здесь лишь на наиболее простых и важных обстоятельствах.
До сих пор никому еще не удалось написать выражения для
потенциала протонов и нейтронов (как принято говорить, нукло-
нуклонов) в атомном ядре. По-видимому, это очень сложная функция
положений, скоростей и спинов нуклонов. Весьма вероятно, что
она вообще непредстазима в виде суммы попарных взаимодейст-
взаимодействий отдельных нуклонов.
Но не установлен «потенциал» и для пары нуклонов. Вообще
простое представление о силах применимо здесь лишь на больших
расстояниях нуклонов друг от друга. Тем не менее могут быть
даны довольно далеко идущие заключения о характере ядерных
взаимодействий, которые позволяют разобраться в сложном комп-
комплексе опытных фактов.
Взаимодействие двух нуклонов зависит от расстояния между
ними г12, от их относительной скорости v12 и от их спинов sx и s2,
а также, как показывает опыт, существенно зависит от типа вза-
взаимодействующей пары, т. е. являются ли нуклоны этой пары про-
протонами, нейтронами или один из них есть протон, а другой ней-
нейтрон. Далее, в процессе взаимодействия может происходить, как
говорят, «перезарядка», и протон может превратиться в нейтрон
и обратно.
См. А, С. Давыдов, Теория атомного "ядра, Физматгиз, 1958.

586 АТОМНОЕ ЯДРО [ГЛ. XXIV
Оказывается, что если мы будем рассматривать протон и ней-
нейтрон как два состояния одной и той же частицы—- нуклона, то
основные особенности взаимодействия нуклонов могут быть выра-
выражены в виде очень простых закономерностей на языке так назы-
называемого зарядового или, как чаще, говорят, изотопического
спина.
Так как у нас имеется только два зарядовых состояния нукло-
нуклонов, то естественно ввести новую динамическую переменную t3,
которая принимает только два значения, так что волновую функ-
функцию нуклона (опуская пока зависимость от обычного спина s)
можно записать в виде матрицы с одной колонкой
(х, t) =
состояние «протонное»,
A31.1)
состояние «нейтронное»
также, как мы это делали в теории обычного спина (ср. § 60,
F0.3) и F0.3')). В соответствии с оптической терминологией, по
которой состояния, обличающиеся только проекцией спина, назы-
называются мультиплетом, протонное и нейтронное состояния назы-
называют изотопическим (зарядовым) дублетом.
Все операторы, изменяющие зарядовые состояния нуклонов,
так же как и в случае обычного спина, можно выразить с по-
помощью двухрядных матриц Паули, таких как оХу оу, oz (ср. § 59).
Мы обозначим эти матрицы, действующие теперь на зарядовый
индекс 1, 2, через
1\ /0 -А
0) ' Та ~ [i 0 ) ' Тз '
Любой оператор, действующий на пару функций (г|)ь г|J),
•может быть выражен через линейную комбинацию матриц (ть
т2, т3). Введем вектор изотопического спина t, аналогичный век-
вектору обычного спина s:
t=|x, A31.3)
где х есть вектор с тремя компонентами: ть т2, т3. Ясно, что
этот «вектор» ничего общего не имеет с обычным пространством:
он определен в абстрактном, зарядовом пространстве, или, иначе,
в пространстве изотопического спина.
«Повороты» в этом пространстве означают линейные преобра-
преобразования над tyi и г|J такие, что в качестве базисных функций
выбираются различные линейные комбинации протонного и ней-
нейтронного состояний нуклонов. Например, вместо функций % и
it, можно взять новые базисные функции: 9i = -t^(^i + ^2) и
У 2
<р2 = —— (^i — %) — симметричную и антисимметричную. Переход
от (%, г[*2) к (фх, ф2) есть поворот в изотопическом пространстве.

§ 131] ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ. ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН 587
Введение оператора изотопического спина нуклона t позволяет
нам применить теорию обычного спина к теории спина изотопи-
изотопического.
В частности, ясно, что операторы t2 и t3 одновременно при-
приводятся к диагональному виду и имеют собственные значения
'2 = I(y+I) = 7' <з = ±у A31.4)
(ср. E9.14) и E9.15)).
Отметим, что /2 является инвариантом при вращениях в изо-
изотопическом пространстве. Очевидно также, что правила сложения
векторов изотопического спина в системе нуклонов будут те же,
что и для обычного спина. В частности, для вектора полного
изотопического спина системы из N нуклонов I:
N
1= 2 U A31.5)
6=1
(k — номер нуклона), будут справедливы формулы A05.20) и
A05.21)
Р = Т(Т+\), Г = 0, 1, 2,3, ..., A31.6)
™ 1 3 5
или Г =-2", у, y»---.
h = T3, \T3\^T. A31.7)
Ясно также, что скалярные произведения изотопических спинов
вида
(f, Г) = #Г+ #** + «« A31.8)
(здесь t's, s=l, 2, 3, — суть компоненты вектора t', а Ц — то же
для вектора второго нуклона t") будут так же, как и t2 = (t, t),
инвариантами в изотопическом пространстве.
Приведем еще формулу, выражающую заряд Q системы Л'
нуклонов через изотопический спин
В частности, для одного нуклона
? A31.9')
Существенным физическим фактом является то обстоятельство,
что взаимодействие двух нуклонов оказывается изотонически
инвариантным (т. е. не зависящим от возможных вращений в изо-
изотопическом пространстве) и что при взаимодействии полный изо
топический спин сохраняется1).
!) Этот факт особенно точно и полно обоснован в экспериментальных
работах Объединенного института ядерных исследований (Дубна). См.
В. П. Джелепови Б. М. Понтекорво, УФН. LXV, стр. 15, 1958.

588 АТОМНОЕ ЯДРО ГГЛ. XXIV
Эти два фундаментальных факта и оправдывают введение
новой динамической переменной — изотопического спина нук-
нуклона.
Далее взаимодействие нуклонов, конечно, должно быть инва-
инвариантно относительно вращений, отражений и инверсий координат
в обычном пространстве. Если ограничиться малыми скоростями
нуклонов и учитывать только зависимость от их относительного
расстояния г, их обычных sb s2 и изотопических спинов tlt t2,
то можно образовать следующие инварианты: г, (sb s2), (tb t2),
(sb r) (s2, г), которые, в свою очередь, могут быть выражены
через полный спин S = s1 + s2 и полный изотопический спин 1 =
= t1 + t2. Поэтому вместо названных инвариантов удобно ввести
новые:
(si, s2)->S2, A31.10)
(tb t2)->I2, A31.10')
(s1r)(s2r)->512 = 6^-- 2S2. A31.10")
Последний инвариант построен так, что его среднее значение по
углам будет равно нулю. Это обычно принятый выбор. Очевидно,
что взаимодействие, определяемое этим членом, будет нецент-
нецентральным. Его называют тензорным взаимодействием.
Если учитывать зависимость от скоростей, то можно образовать
много и других инвариантов. Однако опыт показывает, что пока
скорости малы по сравнению со скоростью света, среди возмож-
возможных инвариантов важен лишь инвариант спин-орбиталыюго вза-
взаимодействия (LS); здесь L означает вектор суммарного орбиталь-
орбитального момента нуклонов. Вместо него можно ввести вектор полного
момента количества движения нуклонов J = L + S и соответ-
соответственно инвариант (JS).
Учитывая все эти инварианты, мы можем записать энергию
взаимодействия двух нуклонов в виде
t/(l, 2) = Л(г, S2, I*) + B(r, S2, /2)-S12(r, S) + C(r, S2, /2)(JS).
A31.11)
Относительно функций Л, В и С известно очень мало. С точки
зрения -мезонной теории ядерных сил эти функции должны иметь
характерную зависимость от расстояния вида r^e~r/a/r для г>а,
где а = — =1,4-103 см — есть комптоновская длина я-мезона.
tnc
Поэтому приведенный выше вид возможного взаимодействия
нуклонов A31.11) более полезен для систематики возможных
состояний нуклонов, нежели для количественных вычислений
уровней или матрицы рассеяния.

132] СИСТЕМАТИКА СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ НУКЛОНОВ
§ 132. Систематика состояний системы нуклонов
589
Гамильтониан системы нуклонов инвариантен не только отно-
относительно преобразований вращения, отражения и инверсии, но
и относительно перестановки нуклонов.
Отсюда, совершенно таким же образом, как было описано
в §§ 115, 116, следует, что волновая функция должна быть либо
симметричной, либо антисимметричной при перестановке любой
пары нуклонов. Но так как нуклоны имеют спин г/2, то для них
должна быть выбрана вторая возможность —антисимметричные
функции, приводящие к принципу Паули и к статистике Ферми.
Рассмотрим теперь состояния двух нуклонов. Обратимся сперва
к изотопическому спину. Очевидно, что возможны всего четыре
состояния: Г = 0 и 7=1, Т3 = 0, db 1. В первом случае состоя-
состояние антисимметрично в изотопических переменных, во втором —
симметрично (точно так, как для обычного спина, см. теорию
атома гелия, § 121). В состоянии с Т=1, поскольку гамильто-
гамильтониан не зависит от Т3, энергия трех состояний с Г3 = 0, ±1
будет одинакова.
Однако эта одинаковость имеет место лишь до той поры,
пока не учитываются относительно слабые электромагнитные вза-
взаимодействия. Ввиду различия зарядов и магнитных моментов
у протона и нейтрона совпадающие уровни Г3=--0, ±1, вообще
говоря, расщепятся. Поэтому эти три состояния называют заря-
зарядовым триплетом, а само состояние Т'=1 — трип летным. Состоя-
Состояние Г = 0 будет зарядовым синглетом.
Дальнейшее различие состояний определяется суммарным спи-
спином S. Именно, возможны опять-таки четыре состояния: S=l,
Sz = 0, ± 1 — триплетное состояние и S = 0 —синглетное. Сим-
Симметрия функции в пространственных координатах определяется
симметрией по зарядовым и спиновым переменным. В табл. 6
приведены все возможные симметрии функции для двух нуклонов.
Таблица 6
Симметрия функций системы двух нуклонов
7 = 0
а
5 = 0
а
L нечетн.
а
С 1
S
L четн
s
Т = 1
S
S = 0
а
L четн
s
5=1
s
L нечетн
а

590
АТОМНОЕ ЯДРО
[ГЛ. XXIV
В этой таблице знак а означает антисимметричную, а знак s —
симметричную функцию. Напомним (ср. § 114), что в случае
двух частиц перестановка Р12 эквивалентна операции /^ — инвер-
инверсии, т. е. замене относительных координат Л" на — х. Четность со-
состояния в этом случае совпадает с четностью орбитального числа L.
Если для систематики нуклонных состояний сохранить обо-
обозначения S, P, D, F для L = 0, 1, 2, 3 ... , соответственно, а также
принятое обозначение полного момента J и мультиплетности,
то полное обозначение состояния будет иметь вид
BT+\)BS+\)T +
Здесь первый индекс означает зарядовую мультиплетность BГ +
+ 1), второй BS+1) —спиновую, индекс (±) четность терма,
индекс У —его полный момент, L = S, P, D, F, ... — означает орби-
орбитальный момент. Для системы из двух нуклонов знак ± опу-
опускают, так как он определяется четностью L; кроме того, часто
опускают и индекс изотопического спина Т.
Для двух нуклонов получаем систему возможных состояний
для / = 0, 1, 2, ..., приведенную в табл. 7.
§ 133. Теория дейтона
Как известно, дейтон является изотопом водорода и его ядро
состоит из протона и нейтрона. Известно далее, что его спин
равен S=l. Далее, зарядовое состояние только одно; следова-
следовательно, Т = 0. Из табл. 7 видно, что возможное основное состоя-
состояние дейтонов должно быть Г = 0, 3SX или может быть 3DX.
Таблица 7
Состояния двух нуклонов
J
0
1
2
Т = 0
S = 0
о = 1
Г = 1
s = o
S= 1
Однако мы знаем, что в основном состоянии волновая функция
должна иметь наименьшее число узлов. Поэтому мы должны при-
приписать дейтону основной терм 3SX. Из-за наличия тензорных сил
орбитальный момент в дейтоне не сохраняется, поэтому возможна
и примесь состояния 3?>ь которая на самом деле и имеется и

§ 133]
ТЕОРИЯ ДРПТОМА
591
U
приводит к существованию квадрупольного электрического момен-
момента у дейтона. Из величины этого момента можно судить о том,
что примесь состояния Юг невелика (око-
(около 5%).
Таким образом, опыт показывает, что со-
состояние Т = 0, S—1 является нижним. Дру-
Других связанных состояний в системе из двух
нуклонов неизвестно.
Ввиду того, что функции А (г), В (г) и
С (г) в энергии взаимодействия нуклонов
A31.11) нам неизвестны, мы определим вол-
волновую функцию дейтона в основном состоя-
состоянии окольным путем, воспользовавшись тем
опытным фактом, что энергия связи нукло-
нуклонов в дейтоне ? = — 2,1 - Ю6 эв мала в срав-
сравнении с собственной энергией л-мезонов
/ияс2=140- 106 эв.
Действительно, при заданных 7\ S и /
(или L) энергия взаимодействия нуклонов
U (г) A31.11) становится попросту некото-
некоторой функцией их относительного расстояния
г (тензорным и спин-орбитальным взаимодей-
взаимодействиями мы пренебрежем, так как в дейтоне
они дают лишь малые поправки —примесь
Юг состояния). Тогда уравнение для радиальной функции дей-
дейтона г|) (г) = —^ будет иметь вид
П2 d2u
Рис. 9G. Потенциаль-
Потенциальная кривая для сил
протон — нейтрон
в дейтоне.
Уровень Ео лежит на
глубине 2 Мэв. Глубина
ямы составляет около
25 Мэв; радиус а —
= 1,4-10~13 см.
A33.1)
11,1
где — = и (г — приведенная масса протона и нейтрона
(ср. A08.4)), тр — масса протона, тп — нейтрона. Так как они
= "/•• Уравнение A33.1) переписывается
A33.2)
мало отличаются, то
в виде
d2u о 2li , Т
2u
Здесь к2 = —-'- ?о, — = 4,31 -10~13 см. Эта длина определяет
асимптотическое поведение функции дейтона я|)(г). Действительно,
при r-^сю (?/->0) из A33.2) получим и^е^кг, т. е. я|) (г) =
= С — .С другой стороны, U (г) убывает как , где а =
тлс
сму т. е. гораздо быстрее я|) (г). Поэтому мы
можем считать, что ядерные силы действуют лишь на очень малом

592 АТОМНОЕ ЯДРО [ГЛ. XXIV
расстоянии, и вообще пренебречь ими для г>а. Это иллюстри-
иллюстрируется рис. 96, на котором изображена кривая потенциальной
энергии U (г) для системы протон— нейтрон.
Нормируя теперь г|)(г) на единицу
оо
4я \ q2(r)r2dr=ly A33.3)
о
найдем константу С. Легко убедиться, что C = l/ у-. Таким об-
образом, мы получаем
/"^^ A33.4)
Эта функция может быть использована для расчета фоторасщеп-
фоторасщепления дейтона, для расчета некоторых ядерных реакций с дейто-
ном, в которых важны большие прицельные параметры и т. п.
Заметим, что по самому смыслу вывода этой функции она не
применима для расстояний г, меньших а = 1,4 • 10~13 см1).
§ 134. Рассеяние нуклонов
Проблема рассеяния нуклонов очень обширна и включает
в себя столь различные явления, как, например, рассеяние мед-
медленных тепловых нейтронов в водороде и столкновение быстрых
нуклонов, вплоть до самых высоких энергий, когда наряду с упру-
упругим рассеянием возникают мощные неупругие процессы, в кото-
которых рождаются л-мезоны или другие новые частицы. Мы рас-
рассмотрим здесь два важных примера.
А. Рассеяние медленных нейтронов на протонах
В этом случае имеет значение только S-состояние, поскольку
длина волны 2~ считается гораздо большей, нежели радиус дей-
действия ядерных сил а. Напомним, что высшие состояния будут
пространственно удалены на расстояния, большие Х/2п (ср. рис. 65).
Из таблицы возможных состояний двух нуклонов видно, что
в рассеянии (р, п) участвуют оба изотопических состояния Т = 0
и Т"=1, причем возможные S-состояния отличаются суммарным
спином: 35Х и ^о соответственно (триплетное и синглетное состоя-
1) В опытах М. Г. Мещерякова было показано, что при столкновениях
быстрых нуклонов с ядрами в большом числе из ядер вылетают дейтоны, Это
указывает на существование в дейтоне очень большой связи на малых расстоя-
расстояниях. См. по этому поводу также Д. И. Блохинцев, ЖЭТФ 33, 1295
A957).

§ 134] РАССЕЯНИЕ НУКЛОНОВ 593
ния). Таким образом, Haivi необходимо вычислить две фазы 3njl
и V
Рассмотрим сперва триплетное состояние. В этом случае
уравнение для волновой функции и (г) будет совпадать с урав-
уравнением A33.2). Однако теперь мы будем считать ?>0 и положим
Асимптотический вид и (г) при г^а будет
H(r) = C.sin(?r + 3ni). A34.1,
Предполагая, что энергия нейтрона Е мала в сравнении
с энергией взаимодействия нуклонов (/(г), мы можем, решая
уравнение A33.2), вообще пренебречь членом Е в сравнении с ?/,
и'
а это означает, что логарифмическая производная — при г<а
почти не зависит от Е (при малом Е). Обозначим ее — ос.
Так как на границе г = а логарифмические производные
должны быть равны, то, используя решение A34.1), получим
.= -a. A34.2)
Пренебрегая малой величиной kay найдем
sin ^rjj) = , A34.3)
откуда, согласно общей формуле (8Э.16), дифференциальное сече-
сечение равно
do F) = i sin* (Ч) dSl =pq^ sin 6 ав. A34.4)
Теперь мы установим связь между а и к. Напомним, что,
согласно § 80, для связанного состояния фаза т] равна —too.
Приравнивая в A34.3) Зт|1= —foo, находим, что k = + ia,
а следовательно, волновая функция и (г) будет вести себя для
связанного состояния как е~аг. Сравнивая это с A33.4), мы видим,
что а —х.
Таким образом, формулу A34.4) можно переписать в виде
^nede, A34.5)
причем теперь величина х известна из энергии связи дейтона.
Полное сечение в триплетном состоянии E = 1) будет равно
Ь A34-6)
Подобным же образом получим для синглетного состояния
= 0)

594 АТОМНОЕ ЯДРО [ГЛ. XXIV
1
где уже некоторая новая длина, определяемая потенциалом
взаимодействия в синглетном состоянии. Так как она входит
в формулу для сечения совершенно аналогично х3 = х, то соот-
соответствующую ей энергию ?х —-к-L> 0 называют энергией «вир-
«виртуального» уровня дейтона.
Б. Упругое рассеяние нуклонов
В этом разделе мы рассмотрим упругое рассеяние нуклоноб
на нуклонах. Следует заметить, что при энергии нуклона ?0>
>292 Мэв могут образоваться мезоны, однако вклад этого неуп-
неупругого процесса еще не велик и при энергиях ?0<~400 Мэв.
Рассмотрим сперва первичную волну 4го. изображающую дви-
движение двух нуклонов до их рассеяния. Мы будем рассматривать
только относительное движение, так что 4го зависит лишь от раз-
разности координат нуклонов г = Г! —г2. Очевидно, что
?° = ^ (г) S° (srt, s,2) Т° (/8Ь /и), A34.8)
где S0 —спиновая функция (см. § 121), а Г0 —функция изотопи-
изотопического спина, szU sz2 — проекция спинов нуклонов на ось OZ,
^3i, /32—третьи компоненты изотопического спина нуклонов. При-
Причем, согласно A31.4), для протона /3= + V2» для нейтрона
/3 = — х/2- Структура функции Г(/31, C2) совершенно такова, как
и структура функции 5 (s2l, sz2). Оба нуклона мы рассматриваем
теперь как две тождественные частицы, подчиняющиеся прин-
принципу Паули; поэтому функция 4го должна быть антисимметрична
относительно перестановки нуклонов. При «том г переходит
в —г, так что симметрия яр0 (г) совпадает с ее четностью. Сим-
Симметрия функций ^°(r), *S° и Т° должна быть выбрана так, чтобы
вся функция ?° была антисимметрична. Если координатная
функция if0 (r) изображает первичную плоскую волну с импуль-
импульсом р = Йк, то вместо eikr (ср. (80.5)) следует брать симметризо-
ванную функцию
щ s (r) = e{kr ± e~ikT. A34.9)
Эта симметризация выражает тот факт, что мы теперь не разли-
различаем, какой из нуклонов 1 или 2 является мишенью и какой
рассеивается.
Если мы теперь обозначим амплитуду волны, рассеянной
в угол б от первичной волны eikv, через Л (б), то очевидно, что
волна, рассеянная от e~~ikvy будет А (л-—б). Действительно, замена
г на —г означает замену б на я —б. Поэтому для одинаковых
частиц, в отличие от (80.5), вся волна, падающая вместе с рас-

§ 134] РАССЕЯНИЕ НУКЛОНОВ 595
сеянной, для больших г представляется в виде
%,s(r) = eikr±e-ikr + ~ [Л F) ± Л (я-6)]. A34.10)
Соответствующее дифференциальное сечение а F) будет равно
о(б) = ;Л(в)±Л (я-е)|2. A34.11)
В A34.10) мы не выписали спиновой зависимости функции
%>5 и амплитуд А. Запись, учитывающая эти зависимости, имела
бы вид
ХПГ, S,l, S*2, <31, /82)=^.s(r)S°(S^ 5,2)Г(/ЗЬ Ы +
+ ^1[ЛF, sn, s,2, /зь /з2)±^ (л: —б, s,b s,2, /зь Ы]. A34.12)
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. Сначала обра-
обратимся к рассеянию протона на протоне («рр»-столкновение).
В этом случае Т=1, Ts=+U 5 = 0 или 1. Спиновая функция
S°(s*i» sz2) совпадает с одной из функций S (s2l, s22) A21.13),
A21.14), A21.14'), A21.14") в зависимости от значения спина S
и его проекции на ось OZ. Функция Т° для Т=1 и Г3 = + 1
равна
T°(t3u tn) = S's(tn, /32), A34.13)
где S's есть функция A21.14), в которой szl заменено на /3i и
5.2~на /32-
Полное сечение рассеяния протонов дается теперь квадратом
eikr
модуля амплитуды при расходящейся волне в A34.12). Обо-
Обозначим это сечение для триплетного состояния S=l через
за (8) Н М (G) - 3Л (л-е)|2- A34.14)
Причем мы не выписываем здесь спиновых переменных. Сечения
для всех трех ориентации спина S2 = 0, ± 1, очевидно, равны.
Сечение в сииглетном состоянии будет
«о (8) = | М (б) + М (я - 9) |2. A34.15)
Если в исходном пучке все ориентации спинов равновероятны
(пучок не поляризован), то каждое из состояний спина имеет
вероятность 1/4. Поэтому дифференциальное сечение рассеяния
не поляризованных протонов будет
аРР (в) -= |- 3 ог(в) + 4 ст1 <0)- A34Л6>
При пренебрежении электромагнитными взаимодействиями
(взаимодействие зарядов и магнитных моментов) оператор Т3 не
входит в гамильтониан. Поэтому взаимодействие нуклонов в этом

Г)90 АТОМНОЕ ЯДРО [ГЛ. XXIV
приближении должно быть изотонически инвариантно. Иными
словами, оно может зависеть только от значения полного изото-
изотопического спина, но не от его проекций.
Для столкновения двух нейтронов («лп»-столкновение) имеем
7=1, 73 = —1. Отсюда следует, что сечение рассеяния двух
нейтронов равно сечению для рассеяния протонов
опп(Ъ)^орр(д). A34.17)
Несколько сложнее обстоит дело при столкновении протонов
с нейтронами («рл»-столкновение). В этом случае мы имеем дело
с суперпозицией двух состояний: 7=1, Т3 — 0 и 7 = 0, Т3 = 0.
Действительно, если мы рассмотрим первичную волну в A34.8),
то видно, что Т°(/31, /32) может быть равно либо S's" (/31, /32) Для
Г=1, Г3 = 0 (ср. A21.14")), либо Sa(t3l, /82) (ср. A21.13)), для
1 VV, 1 3 \J •
, l('si)S_ 1 (tsi)±S . (/32)S-JL(/3i)l, A34.18)
f2 2 + 2 2 1
причем индекс +1/2 означает протон, а индекс — 1/2 —нейтрон.
Оба возможных состояния являются суперпозициями состояний
протона и нейтрона.
Чтобы получить состояние протона и нейтрона, следует взять
суперпозицию состояний с Г=1 и Г = 0. Например, для син-
глетного состояния S = 0 необходимая первичная волна напи-
напишется в виде
yj^s(r)S«(s.b sz2) S's" (/зь '32) =
¦r2)Sj(WSj (t3*)Sa(sziy sr2) +
+ 2 2
¦^ 1 (/32) S 1 (/31) Sa szu sz2). A34.19)
+ 2 2
Действительно, эта суперпозиция представляет собой такую
волну, что частица, имеющая импульс +к, имеет изотопический
спин /3= + х/2 (т. е. является протоном), а частица, имеющая
импульс —к, имеет изотопический спин t3 = —1/2 (т. е. явля-
является нейтроном). Это есть правильный выбор первичной волны,
представляющей протон с импульсом +к и нейтрон с импуль-
импульсом — к. Нумерация же частиц 1 и 2 не имеет никакого значения.
В силу линейности уравнений амплитуда рассеянной (р, п)-
волны Fpn (8) будет также суперпозицией амплитуд /^ (б) =
"и /го(б)=Ло(б) — Л0(л —0) для состояний

135J
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
597
T=l и Т = 0 соответственно и притом с теми же коэффициен-
коэффициентами, что и суперпозиция первичных волн A/|/), т. е.
Fpn (б) = -J^Fi (8) +-TTr/7o(G). A34.20)
Поэтому дифференциальное сечение для «рт>-рассеяния будет равно
оРп (9) = j К F) + (т0 F)) + Re [Fo (б) f Г (б)]. A34.21)
Рассмотрим теперь сумму арп (б) + орп (я — б). Очевидно, что
эта сумма дает сечение для наблюдения любой рассеянной части-
частицы р или п. Действительно, ес-
если протон рассеян в угол б, то
нейтрон рассеян в угол я —6.
Но при замене б на я —б
имеем F1 (я — В) = Рг (б), так как
при 7=1 координатная функция
симметрична, а Fo (я — б) = — F0(B)9
так как при Т — 0 она антисим-
антисимметрична. Поэтому
в, Ю~27см2-сп7ерад
?4
20
16
45'
30°
72
A34.22)
Но а1(б) = арр(б) = аяя(е). Следо- 4
вательно, измеряя орп (б) и арр(б),
мы можем вычислить сечение рас-
рассеяния а0 (б) в изотопическом со-
состоянии Т = 0.
На рис. 97 показана угловая
зависимость а0 (б) и а, (б) при энер-
энергии 380-400 Мэв1). Как видно,
взаимодействие в состояниях Т = 0
и Т=1 совершенно различно.
Полные сечения а0 и аг также совершенно различны: сечение ох
в области высоких энергий практически постоянно, а сечение а0
уменьшается с энергией.
§ 135. Поляризация при рассеянии частиц со спином
Как мы видели, ядерные взаимодействия зависят от спинов
частиц. Это приводит к тому, что при столкновении нуклонов
друг с другом или с ядрами амплитуда рассеянной волны ока-
оказывается различной для различных ориентации спина рассеянных
частиц: возникает спиновая поляризация. Первоначальные частицы
Рис. 97. Угловая зависимость упру-
упругого рассеяния нуклонов в раз-
различных изотопических состояниях.
Т = 0 (Go) и Г = 1 (Oi) для энергии
нуклонов 400 Мэв; для Т = 1 рассеяние
изотропно.
*) CERN, «Symposium A956), доклад В. П. Джелепова.

598 АТОМНОЕ ЯДРО [ГЛ XXIV
обычно не поляризованы. Поэтому исходное состояние является
обычно не чистым, а смешанным; оно представляет собою набор
состояний с различными ориентациями спинов, причем каждая
ориентация имеет свою вероятность Ра. Такой пучок более целе-
целесообразно описывать матрицей плотности р (см. § 46), нежели
волновой функцией.
Рассмотрим поляризацию частицы со спином 1/2. Выберем
в качестве базисных спиновых функций функции cpj и ср2.
Пусть в первоначальном пучке смешаны с вероятностями Рх
и Р2 два спиновых состояния г|э2 и ojv Эти состояния можно
представить как линейную комбинацию базисных состояний срх
и ср2:
2
Ф<= 2адл, ( = 1, 2. A35.1)
k = 1
Согласно D6.4) элементы матрицы плотности р определятся
формулой
2
Рш = S Ptfinfiik. A35.2)
n = l
Среднее значение любого спинового оператора О, согласно общей
формуле D6.5), запишется теперь в виде
O=Sp(p6). A35.3)
Так как р есть двухрядная матрица, то она может быть пред-
представлена в виде линейной комбинации матриц Паули
A35.4)
Выразим теперь коэффициенты Л, В через среднее значение спина
частицы 5 = -о а, или, что удобнее, через среднее значение а.
Для этого заметим, что
Spar = 0, Spa-= 2. A35.5)
Поэтому
ох = Sp (рах) = A Sp ох + Sp ox (Bar) = 2ВХ,
т. е. (Т = 2В. Далее, условие нормировки требует, чтобы Spp =
= 2Л = 1, т. е. А=г/2. Таким образом, матрица
р=±A + аа) A35.6)
характеризует состояние поляризации в исходном пучке. Как
видно, оно непосредственно выражается через вектор спина а и

§ 135] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 59D
его среднее значение а. Для неполяризованного пучка p = V2-
После рассеяния спиновые состояния изменятся и вместо смеси
состояний ifi и г|J мы получим смесь некоторых новых состоя-
состояний ty[ и ф-2. Эти новые состояния могут быть выражены через
старые с помощью матрицы рассеяния S,-*(Q):
%' = S/jfe(8)l>*. A35.7)
Элементы этой матрицы зависят от угла б и импульса частиц к.
При 0^0 матрица рассеяния S (9) пропорциональна амплитуде
рассеяния А (8). Согласно правилам преобразования матриц новая
матрица плотности р' будет равна
p' = S+pS, A35.8)
где S+ —матрица, сопряженная к S (см. § 43). Если исходный
пучок был не поляризован, то р = 1/2 и
p' = ±S+S. A35.9)
Эта величина не нормирована к 1, так как 5, кроме спиновых
переменных, содержит и другие (8, fe, ...). Поэтому среднее зна-
значение после рассеяния следует вычислять по формуле
Spp
Эту величину и называют поляризацией Р:
с' = «^. A35.10)
A35.11)
Конкретное значение Р зависит от матрицы рассеяния S или,
что тоже, от амплитуды рассеяния А. Однако можно показать,
что вектор поляризации Р перпендикулярен к плоскости рассея-
рассеяния, образованной двумя векторами: волновым вектором к до рас-
рассеяния и волновым вектором к' после рассеяния.
Действительно, Р есть среднее от а', поэтому Р есть псевдо-
псевдовектор и, следовательно, правая часть в A35.10) есть также
псевдовектор. Но единственный псевдовектор, который мы можем
построить из величин, характеризующих амплитуду рассеяния,
есть векторное произведение [kk'j. Поэтому мы можем утверждать,
что
P = a[kk'], A35.12)
где а есть некоторый множитель пропорциональности, завися-
зависящий от углов и энергии. Отсюда видно, что поляризация для
малых углов равна нулю. Если направить к по оси OZ, то
при перемене азимута рассеяния с ф на л — ф (в частности,

600 АТОМНОЕ ЯДРО [ГЛ. XXIV
рассеяние направо или рассеяние налево) поляризация меняет
свой знак.
Опыт подтверждает существование поляризации1). При рас-
рассеянии протонов на протонах при энергии 600 Мэв поляризация
достигает 40%.
§ 136. Применение квантовой механики к систематике
элементарных частиц
В § 3 сведена в таблице довольно большая совокупность
известных к настоящему времени элементарных частиц.
Существенной особенностью большинства элементарных частиц
является их неустойчивость —они распадаются в течение корот-
короткого времени (см. время жизни в последнем столбце таблицы),
превращаясь в другие, тоже элементарные частицы.
Среди других превращений этих частиц особую роль играет
процесс взаимодействия частиц с античастицами (электрон-пози-
(электрон-позитрон, протон-антипротон и т. д.), так называемый процесс анни-
аннигиляции. В процессе аннигиляции частица и античастица исче-
исчезают как таковые, превращаясь в мезоны, у-кванты, электроны
и нейтрино. Эти процессы взаимодействия не могут быть рас-
рассмотрены в рамках нерелятивистской квантовой механики, в ко-
которой как и в классической механике имеет место закон сохра-
сохранения числа частиц. Поэтому теория элементарных частиц не
может быть дана без привлечения квантовой теории полей и
релятивистской квантовой механики. Тем не менее основные
принципы квантовой механики достаточны для пояснения систе-
систематики элементарных частиц.
Совокупность элементарных частиц можно прежде всего разбить
по массам на тяжелые частицы — барионы, средние — мезоны и
легкие — лептоны. К бариопам относятся нуклоны (протон, нейтрон)
и гипероны (сверхтяжелые). В настоящее время известны гипе-
гипероны: Ло (лямбда-частица), 2 (сигма-частица), каскадный гипе-
гиперон S (кси-частица), Q~ (омега-минус-частица). Все гипероны
имеют спин, равный 1/2, и следовательно, являются фермионами
(§ 116). При распаде гиперонов в конечном счете получаются
нуклоны. Поэтому гипероны могут рассматриваться как возбуж-
возбужденные состояния нуклона, причем мерой возбуждения служит
масса. В соответствии с этим на диаграмме (рис. 98) гипероны
показаны в виде горизонтальных черточек-уровней, указывающих
массу (в единицах электронной массы). Вертикальные линии
показывают квантовые переходы, сопровождающиеся испусканием
я-мезонов или у-квантов и переходом на нижний уровень воз-
1) См. В. П. Джелепов и Б. М. Понтекорво, УФН. LXIV,
15 A958).

136]
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
601
буждения (превращением в более легкий гиперон). Как видно из диа-
диаграммы *), уровни нуклона состоятиз групп линий, представляющих
близкие по массе частицы с различным зарядом. Каждой группе
3300.
3270
3200
2700-
2100-
2000-*
1900-
1838.BU
1830,1
WOO
уМассав
элентрштшмассах
JiacmB
житрониых наши
ff-$№
4Ш 4Ш
а)
Рис. 98. Схема элементарных частиц и их распадов.
а) Бар ионы (уровни нуклона), б) метопы и лептопы.
частиц можно приписать общее значение изотопического спина
с различными значениями его проекций, т. е. такая группа
является изотопическим мультиплетом (§ 131). Протон и нейтрон
х) На диаграмме приведены далеко не все возбужденные состояния барио-
нов и мезонов.

602 ЛТОМПОП 51ДРО [ГЛ. XXIV
(нижнее состояние) представляют дублет: Т — 1/^ Тъ — ±г1«.
Ао-гиперон, нейтральная частнця, не имеющая близких соседей,
обладает изотопическим спином 7"--0, 1\^0, 2-гиперон имеет
три зарядовых состояния @, ±е). В соответствии с эхим его
изотопический спин Т=1, Т3 = 0, ±1. Наконец, 2-гиперон
является дублетом (заряд 0, — <?), что соответствует изотопиче-
изотопическому спину, Т = г/2, 713 = ±1/2-
Приведенная единая картина гиперонов'наталкивается, однако,
на трудность. Именно, связь заряда частиц с их изотопическим
спином, выраженная формулой A31.9), не выполняется для воз-
возбужденных состояний. Для разрешения этой проблемы Гелл-Манн
и Нишиджима предложили обобщить формулу A31.9), введя новую
характеристику элементарных частиц— «странность», выражаемую
новым квантовым числом S. С учетом этого числа вместо A31.9)
следует писать
= е ( 2 N J,- Т3 + 2 s)> A36.1)
где jV —барионное число.
Для нуклонов S^O, для Ао- и 2-гиперонов S — —I, для
S-гиперона S ——2, наконец, для й~-гиперона S = — 3. Таким
образом, полный паспорт частицы содержит указание ее барион-
1юго числа jV, спина а, изотопического спина 71, проекции изо-
изотопического спина Тз и странности S. Например, 2 "-гиперон
имеет а = 2/2, 71-—1, Т3^=—1, S = —1. Эти четверки чисел при-
приведены на диаграмме рис. 98. Античастицы часто отличают зна-
знаком «тильда» (~), например, А0-аптп-лямбда. Мезоны и лептоиы
изображены па правой части диаграммы.
Три я-мезона (я0- и я--мезоны) имеют спин сг = 0; они явля-
являются бозонами (/V — 0) и образуют изотопический триплет с Т= 1,
Г3^0, ihl. Странность я-мезона S = 0. Для /С-мезонов N = 0,
о = 0, S = +l, T = l/2, T3 = ±1/z они образуют изотопический
дублет.
При сильных взаимодействиях мезонов и барионов имеет место
закон сохранения странности, т. е. при таких взаимодействиях
AS = 0. Это обстоятельство находит свое выражение в экспери-
экспериментально установленном законе парного рождения странных
частиц (частиц с S^O). Например, реакция я" + р-^А0 + /С°
является обычной реакцией получения А0-гиперонов и /С°-мезонов.
Напротив, реакция я" + р->Л0-(-л0 невозможна, так как в этом
случае AS ¦=? 0.
Однако при распаде странных частиц странность может и не
сохраняться, например, при распаде Л0->р-|-лг AS Ф 0.
Последняя группа частиц —группа лептонов. К ним относятся
электрон, ji-мезон и два нейтрино ve и v^, а также их анти-
античастицы.

§ 136] КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ 603
Особое место занимает фотон у, имеющий спин о* = 1.
В настоящее время не существует определенной систематики
этих частиц, и применение к ним понятий изотопического спина
и странности не очевидно.
Напротив, в систематике барионов и мезонов (эти сильно
взаимодействующие частицы часто объединяют одним названием —
адроны) в последние годы были сделаны настолько большие
успехи, что существование ^--гиперона, его масса и странность
были предсказаны теоретически (Гелл-Манн, 1961 г.).
Эти вопросы выходят за рамки предмета данной книги. Цель
настоящего параграфа заключалась исключительно в том, чтобы
показать, что такие фундаментальные квантомехани^еские понятия,
как спин частицы а и ее изотопический спин 7\ полностью сохра-
сохраняют свое значение и в мире элементарных частиц.

Глава XXV
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
§ 137. Формальная схема квантовой механики
Излагая основные положения квантовой механики, мы не стре-
стремились к строгой дедуктивной последовательности. Логическая
стройность дедуктивного изложения неизбежно влечет за собой
абстрактность, которая скрадывает опытные основания того или
иного обобщающего положения. Напротив, в заключение книги
целесообразно коротко резюмировать основные положения и задачи
квантовой механики.
Квантовая механика изучает статистические ансамбли микро-
микрочастиц и решает три главные задачи.
1) Определение возможных значений физических величин
(определение спектра величин).
2) Вычисление вероятности того или иного значения этих
величин в ансамбле микрочастиц.
3) Изменение ансамбля во времени (движение микрочастиц).
Принадлежность микрочастицы к определенному ансамблю
характеризуется в квантовой механике в простейших случаях
волновой функцией гр.
Эта функция есть функция полного набора величин, который
мы обозначим через х1). Число величин, входящих в полный
набор, определяется природой системы и равно числу ее степе-
степеней свободы. В зависимости от выбора набора величин, являю-
являющихся аргументами волновой функции, говорят о том или ином
представлении состояния.
Волновая функция имеет еще (часто опускаемый) индекс (/z),
например, tyn(x), указывающий на другой набор, которым опре-
определена сама волновая функция.
Статистический ансамбль, описываемый определенной волно-
волновой функцией, называют чистым. Ансамбль, не имеющий опре-
г) Здесь под х не следует понимать обязательно координату или коор-
координаты. Этой буквой мы обозначаем любую совокупность переменных, диск-
дискретных или непрерывных, образующих какой-либо полный набор.

§ 137J ФОРМАЛЬНАЯ СХЕМА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 605
деленной волновой функции, называют смешанным. Он характе-
характеризуется матрицей плотности.
Основное свойство чистых квантовых ансамблей выражается
в принципе суперпозиции: если два возможных состояния изобра-
изображаются волновыми функциями г|)х и г|J, то существует и третье
состояние, изображаемое волновой функцией
^ = ^1 + с2г|;2, (I)
где Ci и с2 — произвольные амплитуды.
Далее, все соотношения между физическими величинами выра-
выражаются в квантовой механике на языке линейных, самосопряжен-
самосопряженных операторов таким путем, что каждой действительной физи-
физической величине L сопоставляется изображающий ее линейный,
самосопряженный оператор L.
Изображение величин с помощью операторов связывается
с измеримыми величинами с помощью формулы, определяющей
среднее значение величины L в состоянии г|з. Эта формула имеет вид
(И)
при условии нормировки1)
Это определение среднего позволяет найти спектр величины L,
т. е. возможные ее значения. Для этого разыскиваются состояния,
в которых величина L имеет только одно определенное значение,
т. е. такие состояния, в которых (ALJ = 0. Это требование ведет
к уравнению для собственных функций оператора L (ср. § 20):
Отсюда находится спектр L (непрерывный или дискретный)
и соответствующие собственные состояния ^l{x). Принимается,
что собственные значения оператора L и суть те значения вели-
величины L, которые наблюдаются на опыте.
Так как собственные функции образуют ортогональную систему
функций, то любая волновая функция ty(x) может быть разло-
разложена в спектр по собственным функциям %.(*):
W = I>(L)iM*), A37.1)
х) Символом (и, Lv) мы обозначаем «скалярное произведение» и и Lv,
которое в случае непрерывных переменных имеет вид интеграла (и, Lv) =
= [ u*Lv dxt а в случае дискретных переменных вид суммы (и, Lv) —

606 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ. XXV
где
c(L) = (^L> ф), A37.2)
а знак суммы 2 должен пониматься как знак интеграла jjdL...,
если спектр L непрерывный.
Это спектральное разложение фактически осуществляется
в устройстве, которое разлагает ансамбль г|э (л*) по подансамблям
%(х), в частности, в измерительном приборе, определяющем
величину L.
Вероятность найти значение величины равным L в ансамбле,
характеризуемом волновой функцией гр(jc), равна \c(L)\2 (в слу-
случае непрерывного спектра \c(L)\2 есть плотность вероятности).
С другой стороны, с (L) есть волновая функция того же ансамбля,
но взятая в «/^-представлении. Иначе говоря, функции c(L) и
г|?(х) изображают один и тот же квантовый ансамбль. В этой
связи формулы A37.1) и A37.2) могут рассматриваться как
преобразования волновой функции от одних переменных к дру-
другим с помощью унитарного оператора S, матричные элементы
которого S (L, х) равны г|^(*).
Четвертый существенный пункт квантовой механики относится
к изменению ансамблей во времени; именно, изменение, во вре-
времени волновой функции, описывающей ансамбль, находится из
уравнения Шредингера
где оператор Н есть гамильтониан системы, зависящий только от
природы системы и от рода действующих на нее внешних полей.
Оператор Н будет оператором полной энергии системы, если
внешние поля не зависят от времени. Обычно
Н-^Т + О, A37.3)
где t есть оператор кинетической энергии, а ?/--оператор, пред-
представляющий потенциальную энергию или силовую функцию.
Оператор f есть функция оператора импульса Р. Опыт пока-
показывает, что в отсутствие магнитных сил
A37.4)
k
где Pk — импульс k-\\ частицы, a mk — ee масса. В случае нали-
наличия магнитного поля Pk следует заменить па
йл = Рл-?- Аь A37.5)
где Ak — вектор-потенциал в точке нахождения k-й частицы.

§ 1-*7J ФОРМАЛЬНАЯ СХЕМА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 607
Из уравнения Шредингера (IV) и из определения среднего
значения (II) следует, что
ЧГ = (*• Ж У) + (*• I**. ?1Ф)« A37-6)
Поэтому оператор ^, изображающий производную величины L
по времени, имеет вид
f = ^r + iH,U, A37.7)
где [Я, L]= ln (HL — LH) есть квантовая скобка Пуассона.
Интегралы движения характеризуются тем, что
4=0. A37.8)
В отсутствие внешних сил важнейшими интегралами движения
будут: энергия, полный импульс системы
P = Sn = -i»Sv* A37.9)
к к
и момент импульса
А* = 21г*Л] + 2**. A37.10)
где 5л —спиновый момент k-Pi частицы.
Вид оператора Р как раз и может быть определен из того
факта, что он изображает величину, являющуюся интегралом
движения, т. е. коммутирует с оператором Н в отсутствие внеш-
внешних сил. Из операторов Pk и rk можно строить и другие, более
сложные операторы, физическое значение которых может быть
весьма специальным. Таким образом, вид важнейших операторов
определяется сам собою, если постулировать вид оператора Гамиль-
Гамильтона (т. е. уравнение Шредингера).
Последнее из основных предположений квантовой механики
относится к системам одинаковых частиц. Это —принцип тож-
тождественности. Согласно этому принципу обмен любой пары оди-
одинаковых частиц (k, /) не ведет к физически новому состоянию.
Математически это выражается в форме условия, накладываемого
на волновые функции
Рк/? = №9 (V)
где Х = ±1 есть собственное значение оператора перестановки
Phi. Это условие ведет к делению состояний на два класса:
W = 4^ (симметричные), A37.11)
W^^a (антисимметричные). A37.1 Г)

608 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ, XXV
Далее, из уравнения Шредингера следует, что симметрия не может
измениться с течением времени. Поэтому принадлежность частиц
к сорту «s» или сорту «а» может определяться только природой
частиц. Частицы, состояния которых описываются антисиммет-
антисимметричными волновыми функциями Wai суть частицы Ферми. Они
подчиняются принципу Паули, который вытекает как следствие
из свойств ансамбля, описываемого антисимметричными волновыми
функциями.
Частицы, состояния которых описываются симметричными
функциями 4%, называются частицами Бозе.
Таким образом, мы видим, что в основе квантовой механики
лежат пять фундаментальных положений: (I) принцип суперпо-
суперпозиции состояний, (II) определение среднего значения, (III) тол-
толкование собственных значений как единственно возможных, (IV)
уравнение Шредингера и (V) принцип тождественности частиц
одного сорта. Физические основания этих положений были под-
подробно обсуждены в соответствующих главах курса.
§ 138. Фейнмановская формулировка квантовой механики
В предыдущем параграфе была изложена формальная схема
квантовой механики, которая стала общепринятой. В основе этой
схемы лежит уравнение Шредингера, и при переходе от клас-
классического описания к квантовому используется гамильтонов
формализм.
Однако существует и другая формулировка квантовой меха-
механики, предложенная Фейнмаиом в 1942 г.х). Фейнмановский под-
подход не базируется на уравнении Шредингера и вместо гамиль-
тонова формализма используется лагранжев метод2). Хотя эта
формулировка не столь популярна, тем не менее она обладает
рядом преимуществ.
Основным объектом в подходе Фейнмана является про па-
га тор К {q, t\ q0, to), который позволяет выразить волновую
функцию г|з (</, /) через ее начальное значение г|э (q0, t0) в момент
времени t — t0.
Здесь под q можно понимать любые динамические перемен-
переменные, описывающие нашу систему в момент времени /, а под q0 —
те же переменные в момент времени /0. В этих обозначениях
пропагатор К определяется соотношением
!>(?, /)-$/С(<7, /;.<7о, 'оЖ<?о, /о) А/о. A38.1)
а) Полное изложение этого метода можно наиш в книге Р. Фейнмана
и А. X и б с а, Квантовая механика и интегралы по траекториям, «Мир», 1968„
2) На возможность применить лагранжев метод в квантовой механике
впервые указал Дирак в 1933 г. См. П. А. М. Дирак, Принципы квантовой
механики, Физматгиз, 1960, § 32.

§ 138] ФЕЙНМАНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 609
Очевидно, что пропагатор К должен удовлетворять уравнению
Шредингера, поскольку г|)(G, /) удовлетворяет этому уравнению.
Он должен обращаться в S(q — q0) при t = t0, чтобы соотношение
A38.1) имело смысл и при t = t0. Далее, при to>t обычно пола-
полагают /(" = 0 (принцип причинности). Эти условия приводят к тому,
что пропагатор К совпадает с запаздывающей функцией Грина ??
полного (т. е. с учетом взаимодействия) уравнения Шредингера.
Однако мы не будем ссылаться теперь на уравнение Шредин-
Шредингера, а изберем другой путь вычисления пропагатора /С, более
адекватный этому новому понятию.
Рассмотрим сначала основные свойства оператора /С. Пусть
в момент t = t0 динамические переменные q имели одно опреде-
определенное значение q = q0. В этом случае г|) (q'o, to) = 8 (q'o —q0). Если
в момент времени t q = q', то, согласно A38.1), получаем
t)=K(q\ t; <7o, t0).
Отсюда следует, что величина
P(q', t\ <7o, to) = \$(q\ t)\* = \K(q\ t\ q0, to) \2
есть вероятность перехода системы из состояния q = q0 в состоя-
состояние q = q' за время t — t0 (to<t). Пропагатор К обладает важ-
важным свойством: произведение пропагаторов есть опять пропага-
пропагатор. Действительно, взяв функцию ty(qr, t) за начальную и под-
подставив ее в A38.1), получим
K(q> t\ qo, to) = lK(q, t\ q\ t")K(q\ f\ q0, h)dq". A38.2)
Из A38.2) видно, что переход системы из состояния qOt которое
она занимала в момент времени /0, в состояние q к моменту вре-
времени t (t>t0) можно рассматривать в два этапа.' Вначале система
переходит в любое промежуточное состояние q" в момент вре-
времени t" (/0<^"<0> и только после этого осуществляется пере-
переход в конечное состояние q к моменту времени t.
Очевидно, что можно и далее дробить интервал (t, t0). Разобьем
его на N интервалов: (/0, h), (t±, /2), ..., {tk, tk+i), ..., (^-ь *jv)i
tN = t. Значения динамических переменных в указанные моменты
времени обозначим через qk (fe = 0, 1, ..., N), так что пропага-
пропагатор /С, относящийся к /-му интервалу, будет иметь вид
Ki = K(qi+i, tM\ qh U).
Применяя последовательно пропагатор Ki к любой начальной
функции t|)(<7o» to)> получим следующее выражение пропагатора
для интервала времени (tOi t):
K(q, t\ <7o> 'о) = \ • • • \K (У* *\ Qn-ъ tN-i) К {qN-ъ ^n-ъ Qn-2> tN-«)...
h\ <7ъ h)K(qu h; q0, t0) dqN-lf dqN-2 ... dqlf A38.3)

610
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
[ГЛ. XXV
где интегрирование ведется по всем промежуточным состояниям
(интеграл кратности N—1).
Процесс последовательного перехода через все допустимые
промежуточные состояния называется цепью Маркова. Однако
в классической теории эта цепь образуется не амплитудами пере-
перехода (как это мы получили в A38.3)), а вероятностями перехода
P(qk+i> h+i\ Qk, h):
7, t\
t2; Яъ
l. A38.3')
н
На рис. 99 показаны несколько" «траекторий», возникающих
в цепи Маркова. Мы взяли слово траектории в кавычки, так как
любой конечный промежуток времени &t = tinl — tk можно разбить
на более мелкие интервалы Д/' <^Д/. В свою очередь, и эти интер-
интервалы можно дробить далее,
так что траектории в цепи
Маркова не имеют непрерыв-
непрерывных касательных.
Заметим, что в различии
цепей квантовой A38.3) и
классической A38.3') еще
раз проявляется тот факт,
что в квантовой механике
фундаментальное значение
имеют амплитуды вероятно-
вероятностей, а не сами вероятности.
Этот факт в принципе не поз-
позволяет свести квантовую ме-
механику к какой-либо класси-
классической статистической меха-
механике.
Разумеется, что и в кван-
квантовой механике имеет смысл
классическая цепь Маркова
A38.3'). Однако она описывает движение квантовой системы, ко-
которое прерывается в моменты времени t = tk (?=.-1, 2, . ..,#—1)
измерением ее динамических переменных q, иными словами, вме-
вмешательством измерительного прибора. При этом нарушается ко-
когерентность движения системы на отрезках времени (tk-u tk) и
Рис. 99. Траектории частицы, по которым
ведется интегрирование в цепи Маркова.
Интервал времени (t0, t) разделен на семь про-
промежутков, q — координата частицы.
Для того чтобы найти явное выражение для пропагатора
К (q, t\ <7o. ^о). обратимся, ради упрощения, к частному случаю
одномерного движения материальной точки во внешнем потен-
потенциале V (х). В этом случае q=--x и классическая функция

§ 138] ФГПНМАПОВСКЛЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 611
Лагранжа имеет вид
L{x9 ^) = Y
Здесь m —масса частицы, х = -? — ее скорость. Действие S за
малый промежуток времени (tk, tk+1) равно
5(** + ь /л + ь л-Лэ /*) = \ L(x, x)dt.
*k
Покажем теперь, что если квантовый пропагатор К для бес-
бесконечно малого промежутка времени A/~/ft+1 — tk взять в сле-
следующем виде:
К(хм, 4,ь xk, tk) = С ехр {| [f (^+1Д7^-)8 - V (хк)\ At), A38.4)
то волновая функция г|)(х, /), определяемая формулой A38.1),
будет удовлетворять уравнению Шредингера
1Пд^Л = _ Jl V^ (х, 0 + К (х) ф (х, t). A38.5)
Заметим, что величина Xk+\t—- аппроксимирует скорость ча-
частицы на отрезке времени (tky tk+1)y а С —нормирующий множи-
множитель, определяемый из условия /( = 8 {xk+1 — xk) при Д/->0.
Нетрудно найти, что
Подставим теперь A38.4) в A38.1) и положим там qo = x — |,
At. Далее
Выражение A38.1) теперь имеет вид
-J-OO
..]. A38.7)

612 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ4ХХУ
Пользуясь тем, что \ eiaz2 dz = l/ —, легко вычислить пра-
— оо
вую часть формулы A38.7). Интеграл, содержащий множителем
ty(x> /0), в силу нормировки A38.6) равен 1. Интегрирование
слагаемого, линейного по |, дает нуль. Интеграл, содержащий ?2,
1 h2
равен — Tjr n— At. Члены более высокой степени по ? стремятся
к нулю быстрее, чем (А/K/2. Собирая теперь результаты интегри-
интегрирования и замечая, что д|г1Ф(*, ^о + АО — Ф (*> ^о)]-> ^ (мы
заменили /0 на /, поскольку они не различаются при А/->0),
получаем для волновой функции я})(х, /), определенной с помо-
помощью A38.1) и A38.4), уравнение Шредингера A38.5). Тем самым
доказано, что метод пропагатора (метод Лагранжа) эквивалентен
применению уравнения Шредингера —аналога метода Гамильто-
Гамильтониана— Якоби в классической механике.
После всего сказанного молено написать пропагатор и для
конечного промежутка времени (tOy t). Перемножая пропагаторы
A38.4) для промежуточных интервалов (tkf tk±x) и интегрируя
по промежуточным значениям переменных xk, найдем
JV-1 ^
, t; х0, g^ji^^.^expU- ^ Щ**^***- У^А/] х
xC2'dx1dx2...dxN-1. A38.8)
Этот предел многократного интеграта называется функциональ-
функциональным интегралом. Замечая, что при бесконечно тонком разделении
интервала (/0, /) величина Xk+^*k может трактоваться как ско-
dx -
рость jj — x, и обозначая элемент объема интегрирования C2dxx...
...dxN-x через d{x}, мы можем записать результат A38.8) в ком-
компактном виде
К(х, t\ xOy to)= J ОДехрГ^ J L(x, x)dt\ A38.9)
Интеграл, стоящий здесь в показателе экспоненты, есть класси-
классическое действие
S = \L(x, x)dt. A38.10)
to
Интегрирование в формуле A38.9) распространяется не только
на классические траектории, которые соответствуют экстремуму

§ 138] ФЕЙНМАНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 613
интеграла A38.10), но и на все траектории, соединяющие точки
(^о* -^"о) и (^» X).
Представление пропагатора в виде функционального интеграла
по траекториям A38.9) позволяет легко понять, почему в клас-
классическом пределе можно рассматривать лишь классические траек-
траектории. Действительно, если данную систему можно описывать
классической механикой, то в этом случае действие S очень
велико по сравнению с постоянной Планка Н. Рассмотрим траек-
траекторию, которая не является решением классических уравнений
движения. Всякое небольшое изменение такой траектории при-
приводит к очень большому изменению отношения S/ti в формуле
A38.9) и быстрой осцилляции амплитуды. В результате вклады
от всех таких траекторий взаимно гасят друг друга. Поэтому
в классическом пределе эти траектории можно не рассматривать.
Однако в окрестности траектории, определяемой классическими
уравнениями движения, дело обстоит иначе. Так как действие
здесь экстремально 6S = 0, то малые отклонения от этой траек-
траектории не меняют величины 5. Поэтому вклады в пропагатор
таких траекторий взаимно не уничтожаются, так как они близки
по фазе, которая равна здесь SKJh. Таким образом, в классиче-
классическом приближении только для траекторий, где действие экстре-
экстремально, пропагатор A38.9) будет отличен от нуля. Но это есть
в точности классический результат, а именно, всякое тело дви-
движется по пути наименьшего действия 6S = 0.
В заключение этого раздела приведем явное вычисление про-
иагатора К (х, t; x0, t0) для свободно движущейся частицы и для
осциллятора. В первом случае функция Лагранжа L равна
т l v л\ tn v*-2
L ^л, X) — ~2 X .
Соответствующий функциональный интеграл получается из A38.8),
если там положить У(хк) = 0. Воспользуемся элементарным
свойством интеграла
+ ОО
где С определено формулой A38.6). Последовательно применяя
эту формулу (N—1) раз, получим
is 1 г л\ I tn V/a \i mix. — XoJ 1 /ioo 11\
K(x, t; x0, Q = [-2niHt_ta)) exp[T-2-L_g_j. A38.11)
Этот результат легко обобщить на трехмерный случай
*с '¦ •* «-(тиЯгягГ'Чтгт'тЗЧ- <138Л2>

СИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ. XXV
Формула A38.12), как и следовало ожидать, совпадает (с точ-
точностью до множителя — J, ' ) с запаздывающей функцией Грина
свободного уравнения Шредингера (см. дополнение XIV).
В случае гармонического осциллятора функция Лагранжа
имеет вид
L(x, х) = --2 (i2 — щх2),
где со0 —собственная частота осциллятора.
Вычисление пропагатора К для такого лагранжиана с помощью
конечпократных аппроксимаций (формула A38.8)) довольно сложно.
Поэтому здесь удобно использовать следующий прием.
В формуле A38.9) сделаем замену переменных, полагая
где *кл (/) —классическая траектория, проходящая через началь-
начальную (ха) и конечную (хь) точки. Очевидно, что у (ta) = y(tb) = 0.
Если лагранжиан квадратичен по координатам и скоростям, то
действие S можно представить в следующем виде:
S[x(t)]=r-SKU(xat xb) + S'[y(t)l
где Si:Jl(xa9 Xb) = S[xKJl(t)]9 a S'—дополнительное действие, зави-
зависящее только от y(tJ). Теперь пропагатор K(xbi tb\ xai ta) пред-
представим в следующем виде:
А {Хь, 1ь\. Хау 1О) =
5КЛ(^, xb)] ^d {//(/)} exp[{-S' [у (/)]]. A38.13)
Таким образом, удалось явно выделить зависимость пропагатора
от координат начальной и конечной точки (ха и хь). Если
лагранжиан системы не зависит от времени, то оставшийся функ-
функциональный интеграл в формуле A38.13) является функцией
только разности времен tb — ta. В ряде случаев вид этой функции
может быть найден без явного вычисления интеграла по траек-
траекториям.
х) Множитель (—-j обусловлен разной нормировкой пропагатора К (х, /;
х0, /0) и функции Грина g (х — х0, t — t0). Это легко увидеть, сравнивая урав-
уравнение B) из дополнения XIII с уравнением для свободного пропагатора
2) Члены, содержащие произведение xKJl(t)y(t), при интегрировании по
Бремени дают в сумме нулевой вклад.

§ 139] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ II КВАНТОВЫЕ АНСАМБЛИ 615
Для гармонического осциллятора SKil (xin хь) имеет вид
5КЛ (ха, хь) = jSt^t К*" + х^ cos ^ "~ 2*«*»1'
где T = tb — tn.
Выражение для пропагатора в этом случае можно записать
следующим образом:
К (Хь> *ь\ ха, ta) =
= F (Т) ехр У^~г № + 4) cos ©„Г - 2ад/|}. A38.14)
Функцию F (Г) можно найти из требования, чтобы пропагатор
гармонического осциллятора A38.14) при соо->О переходил
в пропагатор свободнодвижущейся частицы A38.11). Расчет пока-
показывает, что
(У/2
^
2nih sin щ
Знание пропагатора дает практически всю информацию, кото-
которая необходима для квантового описания системы. Прежде всего
с помощью пропагатора можно найти вероятности перехода между
различными состояниями системы, а также волновые функции
и энергетический спектр. Все эти вопросы за неимением места
здесь рассматриваться не будут. Их подробное изложение можно
найти в цитированной выше книге Р. Фейнмана и А. Хибса.
Заканчивая краткое изложение фейнмановского подхода к кван-
квантовой механике, отметим следующее. Хотя этот метод и не привел
к принципиально новым открытиям в квантовой теории, тем не
менее его бесспорными преимуществами является физическая
наглядность и более тесная связь с классическим описанием
физических явлений.
§ 139. Некоторые методологические вопросы. Волновая
функция и квантовые ансамбли
Новые физические идеи, принесенные квантовой механикой,
привели в 30-е годы к серьезным и порой острым столкновениям
между представителями различных философских направлений.
Дискуссии продолжались отчасти и в послевоенные годы. Эти
дискуссии не были бесполезными, так как позволили выяснить
более отчетливо многие важные стороны дела, относящиеся к пони-
пониманию основ квантовой механики и следствий, вытекающих из нее
для методологии науки. В этом отношении советские физики внесли
не малый вклад в разъяснение этих основ.
Основные споры сосредоточились вокруг понимания волновой
функции \\\ Дает ли волновая функция объективное и полное
описание физической реальности или оно является только «запис-

616 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ. XXV
ной книжкой» наблюдателя, регистрирующего с помощью ее извест-
известную информацию? Описывает ли волновая функция состояние
частицы или ансамбля частиц?
Другой круг вопросов был связан с проблемой причинности
в квантовой механике. Дело в том, что квантовая механика явля-
является статистической теорией. В этой связи высказывались различ-
различные взгляды на природу этой статистичности и многие предпола-
предполагали, что эта статистичность требует обоснования на основе
какой-либо полностью детерминированной механики.
Существование различных точек зрения являлось отчасти
следствием недостатка веры в квантовую механику, отчасти недо-
недостаточно глубоким анализом некоторых следствий квантовой меха-
механики, казавшихся парадоксальными.
В настоящее время нет никаких оснований не доверять кван-
квантовой механике. Сила ее методов полностью доказана и в атомной
и в ядерной физике. Отказавшись от описания движений частиц
по траекториям, которое в течение столетий казалось%идеалом
науки, мы утеряли лишь некоторые иллюзорные надежды. На месте
их перед нами открылась поражающая красотой гармония зако-
закономерностей, управляющих атомным миром.
Изложение содержания старых дискуссий сейчас имело бы
лишь историческое значение1). Поэтому в дальнейшем мы огра-
ограничимся разъяснением поставленных выше вопросов, исходя из
концепции квантовых ансамблей, на которой было основано изло-
изложение квантовой механики в этом курсе.
Следует отметить, что эта концепция с методологической
точки зрения отличается от более популярной концепции копен-
копенгагенской школы тем, что отводит более скромную роль наблю-
наблюдателю и повсюду подчеркивает объективный характер квантовых
ансамблей и управляющих ими закономерностей2).
Концепция квантовых ансамблей очень близка к концепции
классического ансамбля Гиббса, хорошо известного из статисти-
статистической термодинамики. В ансамбле Гиббса микросистема рассмат-
рассматривается во взаимодействии с макроскопическим термостатом (Му
имеющим температуру б. Вероятность Wq(^, Щ того или иного
результата измерения динамических переменных микросистемы
(а/\ Щ относится к ансамблю, образованному неограниченным
й /И
повторением ситуаций, состоящих из микросистем \а и термостата
иными словами —путем неограниченного повторения систем \i
в одной и той же макроскопической обстановке, заданной в этом
случае термостатом температуры 9. В силу этого вероятность
*) См., например, предыдущее 4-е издание этой книги: Д. И. Блохинцев,
Основы квантовой механики, «Высшая школа», 1963.
2) См. Д. И. Блохинцев, Принципиальные вопросы квантовой механики,
«Наука», 1966.

§ 139] ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И КВАНТОВЫЕ АНСАМБЛИ 617
№е(а?\ Щ содержит как характеристики микросистемы (о7\ $),
так и характеристику макроскопической обстановки— температуру
термостата б.
Квантовый ансамбль в полной аналогии с классическим ансамб-
ансамблем Гиббса образуется путем неограниченного повторения ситуаций,
образованных одной и той же микросистемой pt (но не одним ее
экземпляром!), погруженной в одну и ту же макроскопическую
обстановку М.
Таким образом, в квантовой механике микросистема \i рассмат-
рассматривается в связи с той макроскопической обстановкой о#?, в кото-
которую она помещена и которая диктует ей «состояние» в квантово-
механическом смысле.
Однако это состояние, в отличие от классического ансамбля,
не описывается какой-либо вероятностью, а описывается ампли-
амплитудой вероятности х\?м{Щ, т. е. волновой функцией, или, в более
общем случае, матрицей плотности рм ($, &') (см. § 46). При этом
индекс qm> указывает на макроскопическую обстановку,, опреде-
определяющую квантовый ансамбль. В простейших случаях индекс <М
может быть сведен к квантовым числам. Например, для достаточно
холодного газа температуру термостата б можно заменить на п0 —
квантовое число нижнего уровня атома ?0, если средняя тепловая
о
энергия атомов -„- kb (здесь k — постоянная Больцмана) много мень-
меньше энергии возбуждения атома & = Е1 — Е0\ индекс <М можно заме-
заменить на р — импульс частицы \i, если макроскопическая обстановка
такова, что она организует монохроматическую волну де Бройля.
Все предсказания квантовой механики относятся к ансамблю,
состоящему из повторения макроскопической обстановки оМ и
находящейся в ней микросистемы \х.
Вопрос о том, принадлежит ли волновая функция одной частице
или нет, также неудачен, как вопрос о том, является ли вероят-
вероятность того или иного выигрыша характеристикой данного лоте-
лотерейного билета?
Волновая функция (или матрица плотности) содержит как
характеристики микросистемы [л, например, ее координаты ($),
так и характеристики той макроскопической обстановки оМ,
которая определяет состояние этой микросистемы.
Поэтому волновая функция х?м(Щ или матрица плотности
рм (й, &') характеризуют принадлежность микросистемы |л к опре-
определенному квантовому ансамблю. Вероятность же того пли иного
результата измерения динамических переменных & определяется
величиной
й№м{&) = \Чм{&)\2A& или
Макрообстановка <М может как искусственно создаваться в
лаборатории, когда стремятся приготовить частицы определен-

618
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
[ГЛ. XXV
пым образом, так и возникать сама по себе в природных усло-
условиях.
В этом смысле волновая функция Чгс.-* F) (пли матрица плот-
плотности рл ($, &')) является объективной характеристикой кванто-
квантового ансамбля и в принципе могут быть найдены из измерений.
Из измерений же над одним экземпляром микросистемы нельзя
восстановить ни х?^, ни рм-
Начинающие изучать квантовую механику обычно задают вопрос
о физическом существе явления, заключающегося в стягивании
волнового пакета при измерениях, когда какая-либо волновая
функция W {&) после измерения динамической переменной L = Ln
превращается в волновую функцию ^„ — собственную функцию
оператора L'
х?^ (®) = У) с,ь\\)п (й) -> % ($), A39.1)
если измерено L = Ln. При этом в серии измерений первоначально
чистый ансамбль превращается в смешанный (ср. § 46).
Те, кто готовы удовлетворяться чисто информационным взглядом
на этот процесс, ответили бы так: в результате измерения изме-
изменилась информация, имевшаяся
в распоряжении наблюдателя,
и он в свою «записную книж-
книжку» заносит новую функцию 1|эя
и зачеркивает прежнюю х?^. Та-
Такое толкование, прагматически
весьма удовлетворительное,
встречается с затруднением,
когда квантовый переход совер-
совершается явно без участия наблю-
наблюдателя. Так радиоактивный атом,
находящийся в природных усло-
условиях, может распасться, и перво-
первоначальная волновая функция
tyo(r), сосредоточенная внутри
ядра, превращается в расходя-
расходящуюся волну eikr/r: состояние я)H
«стягивается» в состояние eikr/r>
Рис. 100. Схема квантовомеханических
измерений: круг еЛ/ + и изображает
макроскопическую обстановку, орга-
организующую определенное состояние Чж
микрочастицы \i.
Л — анализатор, разлагающий Чгл
в спектр по значениям измеряемой дина-
динамической переменной L: 1|5Г \\\ i|^,
• • • *. rlv #2* • • • » -25/j. • • • — различные ка-
каналы летектора #, срабатывание которых
и фиксирует результат измерения.
являющееся собственным состоянием оператора импульса Рг с соб-
собственным значением pr = hk. Ответ на вопрос о природе разыгрываю-
разыгрывающегося при этом явления может быть дан только на основе совмест-
совместного описания движения микросистемы и измерительного прибора,
анализатора и детектора. Суть дела заключается в том, что при
измерении разрушается когерентность отдельных состоянии \\\,п
ранее когерентных между собою. Функция анализатора, осущест-
осуществляющего спектральное разложение, в этом отношении недоста-

ВОЛиОНЛЯ ФУНКЦИЯ II КПЛПТОВЬП: ЛНСЛМГ.ЛП
619
точна, так как разделенные анализатором пучки еще остаются
когерентными. Эго означает, что если бы мы, скажем с помощью
зеркал, свели бы эти пучки вместе, то обнаружилась бы интер-
интерференционная картина.
Когерентность пучков разрушается в результате срабатывания
макроскопического детектора. Все это поясняется схемой на
рис. 100. Макроскопическая обстановка М определяет состояние
4'V;: |i-микросистемы. Анализатор А разлагает волновую функ-
функцию Чуг исходного ансамбля в спектр citylt cvfe •••» ^А» ...по
характерному для данного анализатора признаку L. Далее микро-
микросистема воздействует на один
из каналов &и ^ 2, ...
..., ^„, ... детектора I/); при
эгом частица обнаруживает
себя в одном из каналов, ска-
скажем в п-м. После этого мы
уже имеем право сказать, что
совершился квантовый пере-
переход из состояния Ч1*^ (л') в
состояние \\>п(х). Если бы те-
теперь, после срабатывания де-
детектора собрать по группам
частицы с L = Li, L = L2> ...
..., L = Ln, ..., то соответст-
соответствующие волновые функции ti, Рис. Ю1. Волна %(х) проходит через
'fe •••» "Ф/z» ••• были бы уже два отверстия О1 и О2 в диафрагме &.
НеКОГереНТНЫ. ТаКНМ Обра- по правую сторону возникает иоле -ф (х) =
зом, важнейшим звеном в
процессе стягивания волно-
волновой функции ?^ -> г|)Л являет-
является изменение состояния мак-
макроскопической системы —детектора. Этот процесс можно рассмот-
рассмотреть методами квантовой механики, если включить прибор в кван-
товомеханическое описание. Включение в рассмотрение кванто-
вомеханическими методами макроскопического прибора требует
описания всей ситуации методом матрицы плотности р^.
Рассмотрим теперь два идеализированных (но за то простых)
примера квантовомеханических измерений.
А. Пусть в диафрагме 3>' имеется два отверстия Ох и О2
диаметром d (рис. 101). На диафрагму падает волна частиц tyo(x).
Проходя через отверстия, эта волна образует два дифрагирующих
пучка ihM и $2(х) (предполагается, что длина волны к пучка г^о
сравнима с диаметром отверстий d). В силу когерентности волн ^\(х)
и г|J (х) на экране возникает интерференционная картина. При
этом распределение интенсивностей в ней дается выражением
/ (х) = | ^ (х) + ty2 (х) |2 = | ^i (х) |2 +1 ^2 (х) |2 + 2 Re 1|э* (х) ty2 (x).
которых ус ыпаьл пьаетси место прохождения
частицы чсрез *»*№™у-

620 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ. XXV
Последний член в этой формуле обусловлен интерференцией пучков
Цх(х) и 1|>2(х).
Допустим, что мы хотим узнать, через какое же из отверстий
прошла частица. Диафрагма является анализатором положения
частицы (хр^Ох или х^О2). Кроме этого, нужен еще детектор.
В качестве детекторов Di и D2 возьмем два луча света LY и L2.
Эти лучи должны иметь очень короткую длину волны Яо такую,
чтобы сами эти лучи-щупы не расширялись бы из-за дифракции.
Это означает, что они должны описываться геометрической оптикой.
Таким образом, они являются классическими макроскопическими
лучами. Если рассеялся луч Lb то это означает, что частица
прошла через отверстие Ох и имела координату х около Ох. Если
рассеялся луч L2, то частица прошла через отверстие О2, и ее коор-
координата х близка к положению О>.
После рассеяния луча состояние частицы уже не будет описы-
описываться волной ypi(x) или г|J(*), а будет описываться функцией
8(х — xj или 8(х — х2), (*i^Ob ,г2я^О2), и один из пучков грх (х)
или г|J (х) разрушится. Конечно, разрушится и их когерентность.
Измерение координат частицы, связанное с вмешательством
макроскопического луча-щупа, изменяет макроскопическую обста-
обстановку для частиц, описываемых падающим пучком уро(х). Возни-
Возникает новый квантовый ансамбль, относящийся к новой макроско-
макроскопической обстановке. Интерференционная картина на экране в этой
новой обстановке уже не имеет места. Кстати следует отметить,
что этот пример является хорошей иллюстрацией к принципу
дополнительности.
Б. Рассмотрим другой упрощенный пример измерения1). Пусть
микрочастица \i принадлежит к ансамблю, в котором ее состояние
описывается стоячей волной
ф w=Pis{eikx+e'ikx)=ф +{х) + ф~(*}*
Здесь х — координата частицы, k — ее импульс. Как видно, состоя-
состояние (р(х) есть когерентная сумма двух состояний ф1 (х) = -j-=e±ikx,
одно из которых принадлежит импульсу й, другое — импульсу — к.
Намечаемое измерение будет состоять в определении знака
импульса, т. е. в выяснении, обнаружится ли частица в состоя-
состоянии ф+ (х) или в ц>~(х). В качестве детектора (он же в данном
случае служит и анализатором) будет служить макроскопический
шарик <М, поставленный на вершину конуса. Чтобы сделать это
возможным, представим, что вершина конуса несколько усечена
и в ней имеется очень малое углубление, так что шарик пахо-
1) Подробнее и другие примеры см. в книге Д. И. Б о х и н ц е в а, Прин-
Принципиальные вопросы квантовой механики, «Наука», 1966.

§ 139]
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И КВАНТОВЫЕ АНСАМБЛИ
621
дится в состоянии, крайне близком к неустойчивому. Такой конус
можно описать потенциальной энергией U (Q) (Q — координата
центра масс шарика), изображенной на рис. 102. Энергия Д?,
необходимая, чтобы столкнуть шарик с вершины конуса, предпо-
Последняя величина
лагается настолько малой, что
2М
есть энергия отдачи, которую получает шарик М при рассеянии
на нем микрочастицы \х. Ввиду предположенной большой массы М
и малости массы \i проис-
происходит рассеяние частицы
\х с передачей импульса
±2р. В силу неустойчиво-
неустойчивости шарика на вершине
конуса он после рассеяния
на нем микрочастицы бу-
будет скатываться вниз и при
этом наберет кинетическую
энергию, равную— = Uo.
Эта энергия может быть
как угодно большой (если
U0 велико). Таким обра-
образом, физическое явление
начинается здесь на мик-
микроскопическом квантовом
уровне (рассеяние микро-
микрочастицы) и превращается в
макроскопическое явление
— движение тяжелого ша-
шарика с большой скоростью.
На рис. 102 кроме кривой потенциальной энергии U (Q) показана
волновая функция исходного состояния шарика Фо((?)- В резуль-
результате взаимодействия с микрочастицей с течением времени началь-
начальная волновая функция превращается в функцию
Рис. 102. На рисунке изображена схема
простейшего измерительного устройства.
По оси ординат отложена потенциальная энергия
шарика U, находящегося на вершине конуса. По
оси абсцисс его координата Q. На этом же графи-
графике изображена волновая функция шарика Ф„ до
рассеяния на нем микрочастицы и его волновая
функция после рассеяния Ф = Ф' + Ф
причем второй член возникает из-за взаимодействия с волной
г|;+ (х), а последний — из-за взаимодействия с волной г|г (х). Матрица
плотности рл (Q, Q', /) в этом упрощенном примере имеет простой
вид
Pm(Q, Q\ 0 = Ф*Ю. t)<b(Q\ t).
Несложные вычисления с помощью теории возмущения показы-
показывают, что диагональный член этой матрицы рм (Q, Q, /) при
больших t и |Q|>a (a —линейный размер ямки на вершине
конуса) сводится к двум членам

G22 заключи и 111.- [гл. xxv
При этом первый член отличен от пуля при Q>-\-ay а второй —
при Q<--a.
Это означает, что при достаточно большом времени мы найдем
тяжелый шарик катящимся или направо или палево от конуса.
Это и есть изменение, стягивающее суперпозицию A39.1) к одному
из ее членов Ф+ пли Ф . Приведенный крайне упрощенный при-
пример иллюстрирует совершенно общую черту всех квантовомехани-
ческих измерений: они начинаются с микроскопического уровня
и кончаются макроскопическим явлением в неустойчивой системе
(детекторе). Таким образом, они носят характер взрыва, иницииро-
инициированного микроявлением 1).
Эта важнейшая черта измерений, в сущности тривиальная,
долго оставалась неотмеченной. В частности, Бор считал, что
включение измерительного прибора // в квантовомеханнческое
описание смещает вопрос в другое место, так как для изучения
ситуации в системе ji-f/7 потребуется новый классический при-
прибор /7' и т. д. Однако- в этом рассуждении упускалось из виду
то обстоятельство, что в силу макроскопической неустойчивости
детектора система (\1-\-П) сама собой, в силу законов квантовой
механики, выйдет па макроскопический уровень и новый прибор
W будет «видеть» уже не микро-, а макроявление. Из изложен-
изложенного выше видно также, что описанная ситуация может иметь
место не только в лаборатории, но может осуществляться сама по
себе в природе каждый раз, когда происходят макроскопические
явления под влиянием явлений микроскопических.
§ 140. Вопросы причинности
Классическая механика является простейшим образцом теории,
в которой детерминизм господствует самым безраздельным обра-
образом. Нас приучили к мысли, что с помощью законов классической
механики можно безоговорочно предсказать будущее механической
системы, если известны начальные данные этой системы — скорости
(или импульса) и координаты частей, составляющих систему.
В XVIII столетии Лаплас, увлеченный логической стройностью
и мощностью средств классической механики, гордо заявил: «Дайте
мне начальные данные частиц всего мира, и я предскажу вам
будущее». Однако сейчас мы очень далеки от этой надежды меха-
механического века.
На самом деле уже в концепции самой классической механики
содержится нечто, что подрывает силу строго детерминированных
утверждений.
Ясно, что задание начальных данных всех частиц Вселенной
потребовало бы бесконечного времени. Поэтому на самом деле
Подробный расчет этого измерения приведен в дополнении XIV.

§ МП] ВОПРОСЫ ПРИЧИННОСТИ 023
приходится ограничиться изолированными механическими систе-
системами. Предсказания, вытекающие из знания начальных данных
такой системы, носят условный характер. Они верпы, если в буду-
будущем не произойдет- нарушения предположенной изолированности
системы1).
Подобным же образом, для получения определенных выводов
о будущем из теории поля, необходимо, кроме начальных данных,
знать еще и условия па границе области. Последние задаются
наперед, в будующее. Поэтому и здесь предсказания носят тот же
условный характер. Все будет так, как предсказывает теория
поля, если на границе области не произойдет чего-либо непред-
непредвиденного.
Таким образом, детерминизм в классической физике в некото-
некоторой мере иллюзорен. Он содержит в себе предположения о буду-
будущем, не вытекающие ни из механики, ни из теории поля.
Если же будем стараться обойти эту трудность путем расши-
расширения рассматриваемой системы, вводя все больше и больше
второстепенных факторов, то мы сведем самую лучшую детерми-
детерминированность к невоспроизводимой случайности2).
Великий физик-материалист Л. Больцмаи один из первых
понял, что, прибегнув к методам статистики, мы можем уяснить
закономерности в газах, которые созершенно немыслимо описать
в терминах механики системы, состоящей из большого числа
частиц. В своей знаменитой Я-теореме Больцман показал, что
случайные взаимодействия частиц газа ведут к максвелловскому
распределению. Видимо, не существует способов «вывести» стати-
статистические закономерности из закономерностей детерминированных.
В лучшем случае их удается совместить. В тех системах, где
случай начинает играть существенную роль, для «вывода» законо-
закономерностей всегда приходится делать особые предположения стати-
статистического характера. Обычно это предположения о равновероят-
равновероятности тех или иных состояний механической системы.
Следует признать, что случай способен создать закономерность
не хуже детерминизма.
Основатель статистической термодинамики Д. Гиббс, видимо,
первый понял, что не обязательно доискиваться пути, каким
случай приводит ту или иную механическую систему к опреде-
определенному, в статистическом смысле слова, состоянию. Можно сде-
сделать некоторые предположения и позже сравнить их с опытом.
В современной лауке в самых разнообразных ее областях
статистические методы получили такое широкое распространение
*) Так предсказания о движении космического корабля будут в силе, если
он пс столкнется с метеором. Появление же последнего на траектории корабля
может быть предсказано только статистически.
-) См. по -лому поводу Ф. Энгельс, Диалектика природы, Политиздат,
19G9.

624 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ. XXV
и настолько продемонстрировали свою силу, что мы должны
признать, что в жизни Вселенной нельзя игнорировать элемент
игры: Случай явно пользуется благосклонностью Закона и под-
подстраивает нам вещи неожиданные или маловероятные. В кванто-
квантовой механике элемент случайного заложен в самих ее основах —¦
в понятии амплитуды вероятности, в волновой функции яр.
Вступая в область квантовых явлений, мы должны отрешиться
от уютных иллюзий детерминизма и признать существование игры
в природе. Каждый раз, как происходит квантовый переход,
в природе осуществляется выбор среди различных возможностей.
Вероятность того или иного выбора предсказывается квантовой
механикой.
Однако сами возможности детерминированы. В этом отношении
квантовая механика представляет собою изумительный сплав ста-
статистической концепции со строгим детерминизмом.
В нерелятивистской квантовой механике детерминизм выра-
выражается в том, что волновая функция, исчерпывающим образом
определяющая состояние квантового ансамбля, подчиняется урав-
уравнению Шредингера
*№JL *). (МОЛ)
Из этого уравнения следует, что состояние i|?(x, i-f А/) в момент
времени / + Д/, бесконечно близкий к предшествующему моменту
времени /, определяется из уравнения A40.1)
ф(х, * + Д0 = *|>(х, t)-lwH(xy 0*(x, 0 А',
т. е. значение волновой функции в предшествующий момент.
Более детальное представление о причинности в квантовой
механике может быть получено с помощью функций Грина. Как
известно, волновая функция ij)(x, t) подчиняется интегральному
уравнению, вытекающему из уравнения Шредингера
+ с
0+ \
t')dxrdt'.
Здесь гро(х» 0 — начальное значение функции до момента вклю-
включения потенциала V (х, t)9 g(x — x\ t — t') — запаздывающая функ-
функция Грина свободного уравнения Шредингера. Важнейшим свой-
свойством этой функции является то, что она равна нулю при tr>t.
Изменим состояние системы в окрестности точки х', /'. Это
изменение выразим, придавая функции я|)(х, /) вариацию в окрест-
окрестности точки х', /'. Взяв теперь функциональную производную
от tj)(x, /) по i|?(x', Г) (см. дополнение XII), получим

§ 141] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 625
Из основного свойства функции Грина следует, что влияние изме-
изменения, произведенного в точке х', t\ на состояние в точке х, t
равно нулю, если t'>t, т. е. если изменение 6г|)(х', /') произ-
произведено позднее отклика бгр (х, /). Это свойство становится еще
более прозрачным в релятивистской квантовой теории. Изложение
этой теории выходит за рамки данной книги, однако здесь, быть
может, будет уместным все же заметить, что в релятивистской
теории функция Грина g"(x — х', t — t') отлична от нуля только
в области
c(t-t')^\x-x'\. A40.2)
Здесь с — скорость света. В силу этого условия изменение в точке х', /'
может быть причиной изменения в точке х, t только в том слу-
случае, если эти точки могут быть связаны между собою сигналом,
распространяющимся со скоростью v — — ^с. Релятивистское
условие A40.2) переходит в нерелятивистское условие t>t\
если скорость света считать бесконечно большой.
Так:им образом, в квантовой механике изменения состояния
квантовых систем связаны между собою простым условием при-
причинности. Переходы, несовместимые с принципом причинности,
невозможны. Квантовые же переходы, совместимые с условием
причинности, управляются законами вероятности.
§ 141. Границы применимости квантовой механики
Вполне строго и точно границы применимости физической
теории могут быть указаны лишь на основе более общей теории,
включающей рассматриваемую как частный или предельный слу-
случай. В настоящее время не существует теории микроявлений,
более обширной и глубокой, нежели квантовая механика. Поэтому
границы квантовой механики могут быть проведены лишь очень
ориентировочно. Можно наверное сказать лишь то, что квантовая
механика неприложима к системам, состоящим из частиц, движу-
движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света с, т. е.
в релятивистской области.
Квантовая механика является механикой систем с ограничен-
ограниченным, конечным числом степеней свободы. В этом отношении она
является аналогом классической механики систем материальных то-
точек. Если скорости движения частиц становятся сравнимыми со ско-
скоростью света, то вообще не приходится говорить о системе с конеч-
конечным числом степеней свободы. В самом деле, в этом случае нельзя
не учитывать конечной величины скорости распространения элек-
электромагнитных полей. Если за время At расстояние между части-
частицами rik изменится на Ar)ky то при условии, что относительная

626 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ. XXV
скорость частиц -^- близка к скорости света, примерно такое же
время нужно для распространения электромагнитного поля на
расстояние krjk. Поэтому наряду с частицами нужно рассматри-
рассматривать электромагнитное поле, которое само и создается этими
частицами и на них действует. Иными словами, в систему должны
быть включены не только все частицы (что дает ЗАГ степеней
свободы для N бесспиновых частиц и AN для N частиц со спином),
но и электромагнитное поле, состояние которого определяется
бесконечным числом степеней свободы.
Это электромагнитное поле в последовательной теории должно
также рассматриваться квантовым образом, так как известно, что
импульс и энергия поля передаются фотонами.
Когда энергия фотонов или частиц превышает собственную
энергию частиц т0с2, то частицы могут возникать и исчезать.
Так, фотон у с энергией fiu>^2m0c2 может исчезнуть и пре-
превратиться в пару частиц: электрон (е~, т0) и позитрон
(eh, m0). Наоборот, позитрон и электрон могут превратиться
в фотон *).
Эти процессы превращения можно выразить в виде схемы
В приведенном примере частицы возникают и уничтожаются
благодаря электромагнитному взаимодействию.
Другого рода процессы, при которых возникают частицы, это
процессы так называемого сильного взаимодействия. Примером
такого взаимодействия может служить реакция
В этом процессе я~-мезон сталкивается с протоном и рождает
пару странных частиц: Л и К0.
Элементарные частицы превращаются также друг в друга
при слабых взаимодействиях, ведущих к радиоактивному распаду
частиц. Например, нейтрон спонтанно превращается в протон,
излучая электрон е~ и антинейтрино ve2):
В радиоактивном, позигронном распаде ядер возможна и обрат-
обратная реакция
2) Закон сохранения импульса и энергии требует, чтобы в этом процессе
участвовало третье тело (например, ядро атома или второй фотон).
2) В формулах принято современное обозначение античастиц (^) и учиты-
учитывается два типа нейтрино: электронное нейтрино ve и мюопное нейтрино vu.

§ 141] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 627
Распадаются и мезоны, в частности,
«+-*H+ + v,,, A41.1)
Сопоставление приведенных схем показывает, что нейтрон
нельзя рассматривать как сложную частицу, состоящую из про-
протона и электрона. Равным образом нельзя и протон рассматри-
рассматривать как состоящий из нейтрона и позитрона. Мы имеем дело
не с выбрасыванием готовых частиц, а с рождением новых частиц
(е+, е~, v) при превращении п^р (подобно тому, как излучаемый
атомом квант света не скрывается в готовом виде внутри атома,
а возникает заново, в результате превращения энергии возбуж-
возбужденного электрона в энергию излучения).
В реакциях A41.1) и A41.2) мы опять имеем дело не с рас-
распадом мезонов на готовые частицы, из которых они состоят,
а с превращением их, с возникновением новых частиц.
Особенно убедительны в этом отношении случаи, когда мы
имеем дело с несколькими путями распада. Например, один из
/С°-мезонов распадается пятью различными способами:
д-о^Зл0, 21,5%,
/С°->л+я-л°, 12,7о/о,
/(<>-> л;-!>Tv, 28,1%,
^o_>Jt,eTV) 37,7%,
К°-+п-п\ 0,157%.
Во всех этих явлениях нет уже ничего общего с механикой
системы частиц: • само число частиц и их природа подвергаются
изменениям. В этих явлениях мы имеем дело с системами, которые
обладают неопределенным, неограниченно большим числом степе-
степеней свободы. Такого рода системы скорее родственны полям,
нежели механическим системам материальных частиц. В частности,
в области больших энергий исчезает та грань, которая позволяла
нам различать «истинные» частицы: электроны, протоны, нейтроны,
атомные ядра, атомы и т. п. от «эфемерных» фотонов. Закономер-
Закономерности, управляющие частицами первою рода, и составляли в сущ-
сущности предмет квантовой механики, напротив, фотоны мы рас-
рассматривали как объекты изучения теории электромагнитного
поля1). Эта грань основывалась на том факте, что перечислен-
перечисленные частицы имеют массу покоя т0, так чго они остаются неиз-
неизменными и не могут возникать заново при нерелятивистских
энергиях Е ~Z. т0с2,
i)Cp. § 118.

628 ЗАКЛЮЧЕНИЕ [ГЛ. XXV
Напротив, масса покоя фотона равна нулю, так что он при
всех обстоятельствах является релятивистской частицей, способ-
способной рождаться и исчезать при как угодно малых энергиях.
Если энергии становятся сравнимыми с энергией покоя частиц,
то все частицы уподобляются фотонам: рождаются, исчезают и
превращаются друг в друга. Поэтому при этих больших энер-
энергиях более целесообразно говорить об электронно-позитронном
поле, о мезонном поле, о поле протонном или нейтронном («ну-
клониые» поля), нежели о системе данных частиц1).
За последние годы теоретическая мысль сделала существенные
успехи в развитии квантовой теории полей. Однако нигде и никому
еще не удалось достигнуть окончательного успеха.
Уже в квантовой теории электромагнитного поля выяснилось,
что распространение теории поля за рамки простейших процессов
поглощения, излучения и рассеяния фотонов на любые электро-
электромагнитные процессы, включая взаимодействие частиц, ведет
к принципиальным трудностям. В этих случаях приходится иметь
дело с фотонами бесконечно большой энергии. Вместе с тем
оказывается, что так же, как и в классической электронной
теории, электромагнитная масса заряженных частиц равна беско-
бесконечности.
Этот результат получается и в теории других полей. Проблема
массы частицы видимо есть проблема структуры частицы и пред-
представляет собою труднейшую и до сих пор нерешенную задачу
теории.
Особо важное место занимает в современной теории реляти-
релятивистская теория электрона, развитая П. Дираком. Она является
обобщением нерелятивистской квантовой механики электрона на
случай больших скоростей2).
Эта теория, в сочетании с квантовой теорией поля, позволяет
рассчитать многие релятивистские явления такие, как превраще-
превращение кванта света в электроны и позитроны, и обратно, рассеяние
света на электронах и другие. Она дает полную теорию движения
быстрого электрона во внешнем поле, например в кулоновском
поле ядра атома. Особенно интересны поправки, вносимые в это
движение нулевыми колебаниями электромагнитного поля и поля-
поляризацией вакуума. В настоящее время эти эффекты получили
экспериментальное подтверждение и являются доказательством
изумительного факта: в вакууме существуют постоянные нулевые
колебания, подобно тому, как они существуют в твердом теле,
более того, из-за образования пар позитронов и электронов и
последующей их аннигиляции происходит поляризация этого
!) Подобно тому, как, говоря о фотонах, мы имеем в виду квантовую
теорию электромагнитного поля.
2) Изложение теории Дирака выходит за рамки этой книги, посвященной
нерелятивистской теории.

§ 141] ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 629
вакуума. Все эти эффекты удается вычислить применением теории
возмущения, основанной на малости электрического заряда элек-
электрона.
При этом для устранения бесконечностей из расчетов приме-
применяются специальные методы «перенормировки», позволяющие
последовательно устранять бесконечность в каждом приближении1).
Применение этих же методов к сильным взаимодействиям
таким, как взаимодействие мезонного поля с нуклонами, приво-
приводит к более ограниченным результатам. Причина лежит в том,
что сами методы «перенормировки» не решают проблемы собствен-
собственной массы частицы и их структуры, а представляют собой лишь
искусственный прием, позволяющий обойти явное рассмотрение
физических процессов в области особо малых масштабов.
В последнее время результаты исследований взаимодействия
частиц при особо высоких энергиях явно указывают, на сложную
структуру барионов и мезонов. Гипотеза о том, что они состоят
из «кварков» —частиц с дробным электрическим зарядом2), полу-
получила подтверждение как в систематике частиц, так и в описании
результатов эксперимента на современных ускорителях. Сейчас
было бы преждевременным утверждать, будут ли эти субчастицы
подчиняться принципам квантовой механики, или переход в глу-
глубины элементарных частиц потребует новой динамики, подобно
тому как переход на субатомный уровень привел к созданию
квантовой механики.
В свое время В. И. Ленин сделал гениальный прогноз о «не-
«неисчерпаемости электрона»3). Эта идея получает в современной
физике элементарных частиц всестороннее подтверждение4).
х) Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантован-
квантованных полей, «Наука», 1973; А. И. А х и е з е р, В. Б. Берестецкий, Кван-
Квантовая электродинамика, «Наука», 1969.
2) См., например, Ю. В. Новожилов, Элементарные частицы, «Наука»,
1974.
3) См. В. И. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм. Полное собра-
собрание соч., т. 18, Госполитиздат 1961.
4) См. анализ этой идеи применительно к современной ситуации:
Д. И. Блохинцев, Ленин и физика, В международном ежегоднике «Наука
и человечество», 1969, «Знание», 1970, стр. 48.

ДОПОЛНЕНИЯ
I. Преобразование Фурье
Напомним сначала интеграл Дирихле, фигурирующий в теории
интегралов Фурье:
ъ
/ \ sin mz i z 1 ч
Ф(^)^ A)
я \
где ср (z) — произвольная функция. Этот интеграл обладает следую-
следующими свойствами: 1) если а, й>0 или а, Ь<С<\ то этот интеграл
равен 0, 2) если а < О, & > 0, то он равен <р @) (для непрерыв-
непрерывных функцийI). Наличие функции --sin тг под знаком интеграла
и взятие предела (т-^оо) мы можем обозначить одним симво-
символом б (г), так что предыдущий интеграл напишем в виде
р& @, если а, Ь>0 или а, Ь<ОЛ
Символ б (г) часто называют б-функцией (дельта-функция).
Общее определение символа б дано в дополнении III. Переходя
к доказательству эквивалентности формул A3.1), A3.3) и A3.5),
A3.6) соответственно, мы рассмотрим ради сокращения выкладок
случай одного измерения и докажем справедливость равенства
Н- со +со
pj = 5 Ф* (P.v) Р'к (Р,) dpx = \ Г (х) (- ih I)" i|? (х) dx, C)
где ф(Рд-) есть компонента Фурье от
!) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II,
«Наука», 1965, стр. 477.

I. ПРПОПРАЗОВЛШШ ФУРЬЕ 631
а /г —целая положительная степень. Для доказательства подста-
впм в C) вместо cp(/?.v) и Ф* (p.v) их выражения из D). Тогда
имеем
00 +00 1-у- +00 —1-у—
у +00
?г.dx> * \
— 00 —OO —00
Вместо произведения рпхе 1 ~п можно написать (ifl~\nе~^~.
Тогда получаем
+ оо +со р х' -f оо п.г
' dpx С ,*, ,ч *-4~ л / ? / • /.f. д\п -i-f- f
тг-т \ ip u ) ? ri ax \ ib(x) [ihл ) e n ax. F)
— oo —oo —oo
Проинтегрируем в последнем интеграле п раз по частям, при-
причем будем предполагать, что ty(x) и ее производные обращаются
в нуль на границах интегрирования х = ±со. Выполняя интегри-
интегрирование, найдем
— СО —ОО —ОО
переменим теперь порядок интегрирования и будем интегрировать
сначала по рх\
+_оо +_оо +со Рк(х' — х)
— 00 —ОО —СО
Введем теперь переменные ? = ^f. z=xf — х. Выполняя в послед-
последнем интеграле в (8) интегрирование по ? в конечных пределах
от —m до +т, а затем переходя к пределу т-*оо, мы можем
написать (8) в виде
sin тг
— 00 —ОО
-|-ОО +00
= \ [( - Л |)" г|) (X)] rfx J ф* (X + 2) б (г) dz. (8')
— ОО СО
На основании B) (а = — оо, Ь = + оо), ф (г) = ij?* (x + г) имеем
+ ОО
^ К Й)Я ] J ( ^)" - (9)

632 ДОПОЛНЕНИЯ
Тем самым доказано C). Целая рациональная функция от рх
имеет вид F (рх) = 2 апрпх. Имеем
х. A0)
Таким образом, эквивалентность A3.3) и A3.6) для случая
одного измерения доказана. Обобщение на три измерения сводится
просто к увеличению числа интегрирований и поэтому совершенно
тривиально (достаточно доказать эквивалентность A3.3), A3.6)
для среднего от PnKp™plz, где ш, я, / — целые и положительные
степени).
Справедливость равенства
-f-co -J-oo
\ = J Ф*(рд.) [ifl^-J Ф(р,) dpx A1)
следует из справедливости C), если заметить, что по теореме
Фурье
1 -•;—
Взаимно заменяя в C) г|) и ф, рх и х и меняя одновременно знак
у мнимой единицы в показателе формулы D), мы получаем из
C) и D) формулы A1) и D'). Из A1) далее следует
+ ОО
S ф*(Рл) F [iH w) ф ы dPx* (J2)
Это —частный случай A3.5) для одного измерения. Обобщение
на три измерения опять-таки тривиально.
II. Собственные функции в случае вырождения
Собственные функции ^nk (k=ly 2, ..., /), принадлежащие
собственному значению L,,,, линейно независимы, т. е. между ними
не существует соотношений вида
2>А* = 0, A)
где ak — некоторые постоянные. Если бы такие соотношения суще-
существовали, то они означали бы, что одна или несколько функций

II. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В СЛУЧАЕ ВЫРОЖДЕНИЯ 633
выражаются через другие, т. е. фактическое число различных
собственных функций, принадлежащих Lny было бы не /, а меньше.
Если функции tynk не ортогональны между собой, то мы можем
ввести новые функции, получающиеся из tynk линейным преобра-
преобразованием
фла= 2 ЯаАь а-1, 2, ...,/. B)
k=.\
В силу линейности уравнения для собственных функций функции
ф/ш будут опять-таки собственными функциями оператора L и при-
принадлежащими собственному значению Ln.
Из условия ортогональности функций фя0:
$ф5аф/1Р^ = баР> C)
следуют условия для определения коэффициентов aak:
f f
2- 2 flaftflpft'Sftft' = 6a3f D)
где
4k' = \ ty*k%k- dx. E)
Возможность найти коэффициенты aaky удовлетворяющие усло-
условиям D), следует из геометрической аналогии. Будем рассматри-
рассматривать функции %ь как единичные векторы jk в пространстве /
измерений, а skk' — как скалярные произведения (jkf /V). Тогда B)
можно рассматривать как преобразование в пространстве / изме-
измерений от косоугольной системы координат к прямоугольной1).
Отсюда ясно, что преобразование B) — не единственное: получив
ортогональную систему координат, мы можем ее еще вращать лю-
любым образом.
Так, например, если функции tynk уже ортогональны, то skk> =
= 6**', и из D) тогда следует
f
2 6а3. F)
Это и есть условия для коэффициентов ортогонального пре-
преобразования системы ортогональных функций tynk в новую систему
опять-таки ортогональных функций ср,;а. Таким образом, собствен-
собственные функции, принадлежащие одному собственному значению Lnf
определяются лишь с «точностью» до ортогонального преобразо-
преобразования вида B) с коэффициентами, подчиняющимися условию F).
х) Подробности об ортогонализации функций см. в книге Р. Курант и
Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1951,
гл. II, § 1.

634 ДОПОЛНЕНИЯ
HI. Ортогональность и нормировка собственных функций
непрерывного спектра. 8-функция
Проинтегрируем уравнение для собственных функций
Ц(х, L) = Lq(x, L) A)
по L в малом интервале AL. Мы получим
L-f AL
/Ая|> (х, L) = \ U? (х, L) &U B)
L
где
A4?(*,L)= S Ч> (*.?)<&. C)
Эту величину называют собственным дифференциа-
дифференциалом (оператора L). Примером такого собственного дифференциала
является рассмотренная в § 7 группа волн. Мы докажем, что не
сами функции, а собственные дифференциалы являются орто-
ортогональными и могут быть нормированы. Для этого проинтегрируем
подобным же образом сопряженное уравнение
1*я|> (,y, U) = L'y* {x, L') D)
по L'\ мы найдем
L' -f AL'
L*Ai|>* (xy L') = ^ ZA|>* (x, L') dL'. E)
Умножим B) на Дгр* (x, L'), a E) на A^(jc, L), вычтем один
результат из другого и проинтегрируем по *. Тогда получим
J , L) - Дг|) (х, L) ?*Дг|>* (х, L')} =
L + AL L'-f-AL'
= Jdx $ dL ^ dL'(^-^')**(Jf, ^')^(Jf. ^)- F)
L U
Левая часть равна нулю в силу самосопряженности оператора L,
а справа при малых AL и Д// мы можем вынести L — L' за знак
интеграла.
Тогда получим
(L - U) \ dx Дф* (,v, V) Д^ (х, L) - 0. G)
Если интервалы Д1 и AL' не перекрываются, то L^L'. Отсюда
следует
$ dx Дг|)* (л-, I') А-ф (х, L) - 0, (8)
т. е. ортогональность собственных дифференциалов. Если М и
Д// совпадают, то интеграл (8) не равен нулю. Нетрудно пока-

III. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 635
зать, что он будет первого порядка малости относительно AL.
В самом деле, интеграл
, L) (9)
можно заменить интегралом
] L)dU (Ю)
причем Lt и L2 выбраны так, что участок (L, L-\-AL) лежит
внутри участка (Lly L2). В силу ортогональности собственных
дифференциалов интеграл по участкам (Lb L) и (L-f AL, L2)
ничего не добавит к интегралу (9). Поэтому (9) и A0) равны.
Но при AL->0 A0) стремится к 0 как AL. Поэтому, выбирая
подходящий нормировочный множитель, можно всегда сделать
так, чтобы
lim -дт-=1,
т. е.
\dxk^*{x, 1)Аф(х, L) = AL (И)
при AL-vO.
Формулы (8) и (И) можно объединить в одну, выражающую
нормировку и ортогональность собственных дифференциалов:
\ dx Дг|>* (*, U) Аг|) (х, L) - AL или 0, A2)
в зависимости от того, совпадают интервалы L, L + AL и L',
L' + AL или нет. Освобождаясь от одного интегрирования (по dL)
в A2), мы можем написать A2) в виде
\<ЬсЫ?*(х, L')^(xy L)=l или 0, A2')
смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал L',L' + AL
или нет. Условие ортогональности и нормировки A2) или A2')
может быть с помощью особого символа сформулировано для
самих функций. Для этого поменяем в A2') порядок интегриро-
интегрирования по х и dL':
U + AL
$ dL'\\p(x, L)$*(x, L')dx=\ или 0. A3)
L
Введем обозначение
$!>*(*, L')$(x, L)dx = b(L'-L). A4)
Тогда из A3) следует
L'b(U-L) = \ или 0, A5)

636 ДОПОЛНЕНИЯ
смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал L',
или нет. Это последнее равенство мы будем рассматривать как
определение символа б (L'— L), называемого б-функцией или
функцией Дирака (на самом деле это не функция, а просто
обозначение).
Из A5) следует (B1.11)), что
ъ
\f{Lf)b{L'-L)dL' = f{L) или 0, A6)
а
смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал (а, Ь) или
нет. Для доказательства A6) достаточно разбить интервал (а, Ь\
на столь малые участки, чтобы в каждом из них можно было
вынести функцию f (L') за знак интеграла (для этого она должна
быть гладкой). Во всех участках результат интеграции в силу
A5) будет равен нулю, кроме, однако, как угодно малого, содер-
содержащего точку Lf = L. В этом участке интервал от б, согласно
A5), будет равен 1.
Вместо того чтобы говорить о нормировке и ортогональности
собственных дифференциалов A2), мы будем говорить, что соб-
собственные функции нормированы к б-функции A4).
В качестве примера приведем нормировку собственных функ-
функций оператора импульса Рх. Эти функции суть
%x(x) = NPxe \ A7)
где NPm — искомый нормирующий множитель, могущий a priori
зависеть от рх. Образуем интеграл A4):
+оо .(р'х — Рх)х
\^p'x{x)^x(x)dx = Nl'xNPx \ e » -d* =
= Np'xNpH lira e ft ~
I'm /n* ¦ A8)
m-*oo
Сравнивая это с множителем Дирихле lim — sm 1Пс , облада-
т-*сх> П Z
ющим свойством б-функции от z (см. дополнение I, формулу A)),
мы находим, что
\ 1&
dx = Nl'xNp2nM (p'x - рх). A9)

IV. ЗНАЧЕНИЕ КОММУТАТИВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ 637
Отсюда определяем нормирующий множитель
| NPx [2 2яй = 1, NPx = Bnft)-v. B0)
(разумеется, еще можно было бы включить фазовый множитель
?'ф(рл-)э Где ф —действительная функция, однако в этом нет ника-
никакой надобности).
IV. Значение коммутативности операторов
Докажем теорему: если два оператора L и М имеют общую
полную систему собственных функций, то они коммутируют.
Обозначим общие собственные функции, через tyn(x). Тогда имеем
= Мпурп. A)
Действуя на первое уравнение оператором М, а на второе опе-
оператором L и вычитая один результат из другого, получим
MLqn = LnMn%y Lmn = LnMn%, (Ж-Ш)трп = 0. B)
Так как любую функцию можно разложить по функциям 1|?я, то
мы имеем
(ML - Ш) ф - 2 сп (ML - LM) % = 0, C)
п
т. е., применяя оператор ML — LM к любой функции, мы полу-
получаем нуль. На языке операторов это означает коммутативность
операторов
ML-LM^O. D)
Покажем теперь, что если операторы L и М коммутируют,
то они имеют общие собственные функции. Уравнение для соб-
собственных функций оператора L будет
Uf^Uf. E)
Л. л. л.
Действуя на это уравнение оператором М и меняя порядок ML
на LM, мы получаем
Отсюда следует, что г|/ = УЙг|; есть также собственная функция
оператора L, принадлежащая собственному значению L. Если
вырождение отсутствует, то значению L принадлежит лишь одна
функция, а, стало быть, г|/ может отличаться от ij; лишь посто-
постоянным множителем, т. е. ijj'^Afij). Таким образом,
Щ = Ah|>, G)

638 ДОПОЛНЕНИЯ
откуда следует, что г[? есть также собственная функция опера-
оператора М. В случае наличия вырождения г|/ может быть линейной
комбинацией функций г|?л (&=1, 2, ..., /), принадлежащих соб-
собственному значению L:
f
= 2 МftHv, *=1, 2 /. (8)
Однако вместо функций \|)? можно взять их линейные комбинации
(см. дополнение II)
f
(9)
причем а* могут быть выбраны так, что новые функции ср будут
собственными функциями оператора М:
М<р = Му. A0)
Подставляя сюда <р из (9) и пользуясь (8), найдем путем срав-
сравнения коэффициентов при %
^ Л=1, 2 Д. (И)
Это —система однородных алгебраических уравнений для опреде-
определения коэффициентов ak. Она имеет решение лишь б том случае,
когда ее определитель равен нулю:
Мп-М М12 ... Mlf
Mit М22 — М ... M2f
= 0. A2)
Из этого уравнения найдем корни Мъ М2, ..., Mf. Для каждогс
из этих корней (Ма) получим свое решение уравнений A1) ааЬ
tf(z2, • ¦•, a>af и, следовательно, согласно (9), свою функцию ср:
Новые функции фа (а—1, 2, ..., /), будучи линейными ком
бинациями tyk, будут собственными функциями оператора L, при
надлежащими значению L, а вместе с тем и собственными функ
циями оператора М, принадлежащими значениям М = МХ, М2, ..
..., Мач ..., Mf, соответственно.

V. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ylm {В, сГ) 639
V. Сферические функции К/*, @, <р)
В проблеме нахождения собственных значений оператора
момента импульса М2 мы встречаемся с уравнением для сфери-
сферических функций B5.14):
Нам нужно найти собственные функции этого уравнения (т. е.
непрерывные, однозначные и конечные решения во всей области
изменения переменных О^б^л, 0^1ф^2л).
Разделим прежде всего переменные б и ф. Для этого положим
я|)=:0(б).ф(Ф). B)
Подстановка B) в A) приводит к разделению переменных, если
положить
Отсюда
Фт(ф) = е'||1ф. D)
Чтобы Фт была однозначной функцией ф, необходимо, чтобы т
было целым числом
m-0, dbl, ±2, ... E)
Подставляя D) в A) и деля на Фту получим уравнение для 0:
Же ae lsin 9 т) ~ Ш*Т 0 + ю = °- F)
Введем вместо б новую переменную
g = cose, — i^g^c+i» d| = — sinede G)
и будем рассматривать G как функцию ?. Тогда из F) полу-
получается
A _ ?i) в" - 2?в' + (X - ^L) в = 0. (8)
Рассмотрим поведение решения 0 вблизи особых точек уравнения
|=±1. Обратимся сначала к точке g= + l. Введем переменную
2 = ^—1. Тогда из (8) получаем
Й" -д- - г-±± 0' — Г х 4- т2 10 = 0
Будем искать 0 в виде ряда по степеням z:
+ ... A0)

640 ДОПОЛНЕНИЯ
Нам нужно сперва определить степень у, с которой начинается
ряд. При г->0
Подставляя это решение в (9) и пренебрегая бесконечно малыми
меньшего порядка, нежели гу~2, мы получим из (9)
откуда
Y = ±f- (И)
То же значение у получается для разложения вблизи особой
точки ? =—1. Чтобы решение оставалось конечным при | = ±1,
нужно в A0) взять
т. е. для т>0 у — -9-, для т<0 у----—-^- Второе решение (И)
обращается в бесконечность. Таким образом, мы можем взять 0
в виде
е = A — g2) 2 v,
где V — ряд по степеням г. Нам теперь удобнее взять v в виде
ряда по ?:
оо
v = 2 Ь?\ A4)
v = 0
Подставляя A3) в (8), получим
(l-l2)v"-2(\m\ + \)tv' + (X-\m\-m2)v = 0. A5)
Внося сюда ряд A4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях ?, мы получаем рекуррентную формулу для определения
коэффициентов bv:
6v. A6)
Если ряд A4) оборвется на каком-то члене номера v = k, то
v будет многочленом k-ft степени, и, следовательно, A3) будет
конечным, непрерывным и однозначным решением, т. е. собст-
собственной функцией уравнения A). Из A6) следует, что ряд может
оборваться лишь в том случае, если
\+l). A7)

V. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ У/т @, <р) 641
Полагая
\ = l, A8)
мы получаем
Я = /(/+1), / = 0, 1, 2, 3, ..., A9)
|m | = 0, 1, 2, ..., /. B0)
Можно доказать, что никаких других собственных функций урав-
уравнения A) не существует1).
Решение в, принадлежащее характеристическим числам I и т,
мы обозначим через
вA) = р1т]A)9 g = cos8. B1)
Если уравнение A5) дифференцировать по g, то получается урав-
уравнение, в котором \т\ заменяется на |т|+1- Поэтому если реше-
решение для т = 0 обозначать через Р/(?), то
/>1т|(?) = A-?8Г2 -^ЛО. B2)
Pi (g) есть многочлен степени / и называется многочленом
(или полиномом) Лежандра. Коэффициент при нем обычно
нормируется так, что
Л0)=1. B3)
Из A6) при |т| = 0 получаем
&v+2 = (v +
Отсюда мы видим, что если взять Ьо Ф 0, Ь± = 0, то многочлен
Я/ будет содержать лишь четные степени J-, если же &о=^О> ЬхФ(Ь9
то только нечетные. Выбирая 60 (при четном I) или 6Х (при
нечетном /) так, чтобы соблюдалось B3), мы можем вычислить
все коэффициенты в многочлене Pt. Можно проверить, что полу-
получающийся многочлен может быть представлен формулой
Имея в виду B), D) и B1), мы получаем собственную функцию
уравнения A) в виде
Ylm(99 y) = NlmP\nl](cosd)e^y B6)
где Nim — нормировочный множитель. Вычисление этого норми-
нормировочного множителя, которое мы опускаем2), приводит к
г) См., например, А. Н. Тихонов, А. А. С а м а р с к и й, Уравнения
математической физики, «Наука», 1966, стр. 670.
2) См., например, Л. Шифф, Квантовая механика, ИЛ. 1957, § 14.

642 ДОПОЛНЕНИЯ
значению
Функции B6) образуют полную систему ортогональных функций
на поверхности сферы 0, ср. Поэтому любая интегрируемая квад-
квадратично и однозначная функция г?(9, cp) может быть представ-
представлена в виде ряда
оо +/
Ф(в, Ф)= 2J 2 clmYlm{B, ф), B8)
/ = 0 т= — I
где
Cm = И * (9» Ч>) У"^ <9' Ф)sir> ° d8 d(P- B9)
6 О
В заключение приведем результаты применения к сферическим
функциям некоторых операторов, встречающихся в приложениях:
а) умножение на cos 9 = ^ или sin9 = ]/l— I2:
б) действие операторов проекций вращательного момента Мх,
Му, М2:
M;YIm = timYlm, C2)
[Мх + Шу) Ylm^-nY(l-m)(i + m+l) К/|Л+Ь C3)
(Мх-Ш,) Ylm = -ПY(l + m)(l-m+l) YUm^ C4)
Доказательство этих формул приведено в специальных курсах
сферических функций х).
VI. Уравнения Гамильтона
Пусть qu q2, ..., qs* •.., 9/ СУТЬ обобщенные координаты,
определяющие конфигурацию системы, а ръ р2, ..., р5, • • •, Р/ —
соответствующие обобщенные сопряженные импульсы. Функция
Гамильтона И есть функция этих координат и импульсов и,
х) А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров, Основы теории специальных
функций, «Наука», 1974, § 15; Г. Беге, Э. Солпитер, Квантовая механика,
атомов с одним и двумя электронами, Физматгиз, I960, стр. 539,

VI. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 043
вообще говоря, времени /. Уравнения Гамильтона, как известно,
имеют вид
dt ~ dqs> dt ~~ dps' I1'
Производная по времени от любой функции F обобщенных
координат, импульсов и времени будет
*JL _ dF_ у 3F_dQs , V dF_dps
dt ' dt ~ Zd dqs dt "^ Am dps dt' [Z)
Пользуясь уравнениями Гамильтона A), мы можем переписать B)
в виде
? = -*-+["• *]• <3)
где [Н, F] равно
\Н Л- У 1д~д~ -dfi-dF\ D)
s = l
и называется скобкой Пуассона.
Очевидно, что сами уравнения Гамильтона A) могут быть
также записаны с помощью скобок Пуассона
%f = [H,ps], -$ = [H, qs], s=l, 2, ...,/ E)
(для этого полагаем в C) F = ps и F = qs). Как мы увидим (§ 31),
в совершенно аналогичном виде пишутся уравнения движения
в квантовой механике. В частном случае декартовой системы
координат и одной частицы, движущейся в поле сил, выводимых
из силовой функции U(x, i/у г, t), имеем
Р + 1^+Р1, у, г, /) F)
(<7i = *. 42 = У, Яз = г, Pi = px, p2 = Pv, Рз = Рг). На основании E)
получаем отсюда
и аналогичные уравнения для остальных двух координат и импуль-
импульсов. Из G) находим
^ dt* ~ дх • W
т. е. уравнение Ньютона.
В случае движения заряженной частицы с зарядом е и мас-
массой \х в электромагнитном поле, описываемом скалярным

644 ДОПОЛНЕНИЯ
потенциалом V и векторным А, так что
Ш = — VV — --— (9)
с dt ' v '
Ж = rot A, A0)
где ^ — напряженность электрического поля, а ^—-магнитного,
функция Гамильтона пишется в виде
2 + eV. F')
Докажем, что вытекающие из этой функции уравнения Гамиль-
Гамильтона
~Ж = ~" дх » ~dt ^ ~~ ду у Ж = ~ дг' ^ ^
dx _дН dy _ дН dz дН .-„.
di ~ ~др~ху Ш ~ ~др~у} d~t ~~ dp~z ' '
эквивалентны уравнениям Ньютона для той же частицы, движу-
движущейся под действием силы Лоренца:
Подставляя в G') и G") Я из F') и производя дифференцирова-
дифференцирование, получим
\ А) + [рA)d
* дА2 . dVH
Из G") получаем
dx 1 / е л \ (^у
dt-'li [P*--C~A*> dt
dx __
dz 1
Из A0') следует, что
dt -.. W- , -*!¦ (Ю')
Так как значение вектора-потенциала Ах берется в точке, где

VI. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 645
находится заряд е, то полная производная па времени от Ах
будет
dt dt ~*~ дх dt~^ ду dt "^ dz dt'
Подставляя в (9') значения \рх — --Ах\ [ру — — Лу)у [pz — — Az
из A0') и значение -—- из A1) и пользуясь A2), найдем
d4 e дАк dV e \dy jdAy дАЛ dz (dAz дА,\]
Отсюда на основании формул (9) и A0), связывающих поле и
потенциалы, находим
d2x <? .
т. е. первое из уравнений (8'). Подобным же образом получаются
и остальные два уравнения (8") и (8'").
Таким образом, уравнения Гамильтона G') и G'\ вытекаю-
вытекающие из функции Гамильтона F'), эквивалентны уравнениям
Ньютона (8).
Потенциалы А и К могут быть выбираемы произвольно, лишь
бы по (9) и A0) получалось нужное электромагнитное поле. Если
мы вместо А и V возьмем
A' = A + V/, V' = V--c%, A4)
где / — произвольная функция координат и времени, то & = Ш,
3$' — 5№т Подставляя в функцию Гамильтона F') А' и V вместо
А и Vy мы, очевидно, придем к уравнению движения A3), если
там под А и V понимать А' и V. Пользуясь A4), убеждаемся,
что новый выбор потенциалов не меняет уравнений (8'), (8"), (8'").
Это свойство уравнений Гамильтона называют электромаг-
электромагнитной инвариантностью.
Заметим, что, в отличие от уравнений движения (8'), (8"), (8'"),
функция Гамильтона Н меняется при преобразовании A4). Напри-
Например, движение в однородном постоянном электрическом поле &9
направленном по оси ОХУ может быть описано потенциалами
А = 0, V = — ёх. Вместо этих потенциалов можно взять по A4)
другие потенциалы, например, Ах = — St, A'y = A'z~0, V' = 0.
Предоставляем читателю самому убедиться в том, что в обоих
случаях мы получаем уравнение Ньютона для равноускоренного
движения, но при первом выборе потенциалов функция Гамиль-
Гамильтона имеет смысл полной энергии частицы, а при втором она
равна кинетической энергии частицы.

646 ДОПОЛНЕНИЯ
VII. Уравнение Шредингера и уравнения движения
в криволинейной системе координат
В § 27 мы объясняли причину, по которой декартова система
координат в квантовой механике занимает особое положение среди
всех других возможных систем: в декартовой системе координат
измерение проекций импульса pXj pyy pz дает нам также значение
кинетической энергии. Поэтому исходные уравнения квантовой
механики пишут обычно в декартовой системе координат. Урав-
Уравнение Шредингера легко может быть написано и в любой кри-
криволинейной системе координат qu q2, q3, поскольку оно дано
в декартовой системе. В этой последней оно имеет вид
y, г,
c, у, г, t) + U(x, у, z, t)$(x,y, г, t) A)
(простоты ради, мы пишем уравнение для одной частицы и
в отсутствие магнитного поля1). При переходе от декартовых
координат к криволинейным яр и U будут функциями от qu q2f
q3. Всё дело сводится к преобразованию оператора Лапласа V2.
Пусть квадрат линейного элемента ds2 в криволинейной системе
координат q есть
2= J] gSkdqsdqk, B)
где gsk — компоненты метрического тензора. Далее, пусть D2 =
= !1§5*|| есть определитель матрицы gsk. Введем еще элементы
обратной матрицы gsky так что
&а^* = б5, 6*=1, k = S, 6j=0f k^S. C)
(В C) по а суммируют от 1 до 3.)
Тогда оператор V2 в этих обозначениях запишется в виде2)
"-А (?("«-&)) D>
(где суммировано по s и k)> и соответственно этому уравнение
Шредингера получает вид
i ~ - 2tt D [dqs [Ug Wk
q2, q*, t)ty(qly q2, q3, t). E)
Оператор Гамильтона будет
J) Общий случай см. В Паули, Общие принципы волновой механики,
Гостехиздат, 1947.
2) См., например, Ф. М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической
физики, т. 1, ИЛ. 1958, гл. 1.

VII. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙН. СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 647
Беря скобку Пуассона
= [я, qs], G)
мы получим контрвариантную компоненту скорости dq^s)/dt. Умно-
Умножая на массу |i, мы получим такую же компоненту импульса P{s).
Чтобы получить ковариантную компоненту импульса PS9 преоб-
преобразуем P{s) по формуле перехода от контрвариантных к ковари-
антным компонентам
Ps = gskP{k). (8)
В качестве примера рассмотрим полярную систему координат
/*, б, ф. В этом случае
ds2 = dr2 + г2 d& + г2 sin2 8 Лр2, gn = 1, g22 = r\ g33 - r2 sin2 8, (9)
gu=l, g22--, !Г3 = 7^> D = r2smBy (9')
гамильтониан будет равен
Найдем первую группу уравнений (операторы скорости). Со-
Согласно G) имеем
% = \Й,г\ § = [Н, в], ^=[Я, Ф]. A1)
Вычислим сначала первую скобку Пуассона. Для этого заметим,
что
г (<Р + Т а?) "" (аг + Т д?)г = ~ 2 Т \§? г)'
В силу этого первая скобка Пуассона (И) дает
Для второй скобки Пуассона из перестановки
efsineUi(sine)e ^
sin б дЬ \ дЪ) sin 9 дВ\ дв! у sin 6 дВ
получаем
Ь dt г* V sin б дв V
и, наконец, для третьей скобки совсем просто получается
^Р ih д — р(Ф) /14)

648 дополнения
Переходя по формуле (8) к ковариантным компонентам Рп Ре,
Рф, мы получаем на основании (9), A2), A3) и A4)
Вычислим теперь вторую группу квантовых уравнений Гамильтона
ф=[я. рг\, $=1я, ре], <А=\й, рф]. A6)
Для этого целесообразно представить A0) в виде
Й й $' 9>ф)'
где М2 — оператор квадрата момента импульса, а Рг — первый из
операторов A5). Несложное вычисление скобок Пуассона A6)
с помощью A7) дает
A8)
dt 2jir3 a/- ' dt jir2 sin б
dt ^фФ
Из этих трех уравнений два (для Рг и Рф) совпадают по форме
с соответствующими классическими уравнениями Гамильтона.
А А #2 ^2
Уравнение для Ре вместо Р^ содержит Р% —~f. Появление — -^
связано с существованием в квантовой механике устойчивых со-
состояний с Д12 = 0, в конечном счете с нулевой энергией кванто-
квантовых систем.
VIII. Требования к волновой функции
При формулировке требований к я|>фуикции естественней всего
исходить из свойств гамильтониана Я, поскольку именно этим опе-
оператором определяется физическая природа системы. Из уравнения
Шредингера для ф и ^* нетрудно получить следующее равенство:
ivJdv9 A)
где выражение для плотности тока J совпадает с полученным
в § 29. С другой стороны, условие самосопряженности для опе-
оператора Й имеет вид
\ty*fiydv = \yH*Tp*dv, B)

VIII. ТРЕБОВАНИЯ К ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ 649
и стало быть, для того класса волновых функций, для которого
оно выполнено, мы должны иметь
~ [ 1|)*г|> dv = — [ div J dv = — ? J^ ds = 0. C)
Обратимся сначала к случаю одного измерения — оо<л:<оэ.
Имеем dv = dxy div J = -^.. Если в некоторой точке ^ = дгх нару-
нарушается непрерывность потенциальной энергии (У (лг) (скажем, она
претерпевает скачок), то при интегрировании в C) мы должны
исключить эту точку. Выполняя интегрирование, получим
J.x(+<x>)-Jx(Xi + 0) + Jx(xi-0)-Jx(—oo) = 0. D)
Плотность тока Jx (± оо) должна равняться нулю (противопо-
(противоположный случай означал бы, что волновые функции в бесконеч-
бесконечности не исчезают и все интегралы были бы расходящимися);
заметим, что при рассмотрении самосопряженности собственные
функции %, операторов с непрерывным спектром L, не исчезаю-
исчезающие в бесконечности, должны быть заменены исчезающими в бе-
бесконечности собственными дифференциалами (ср. дополнение III).
Таким образом, из D) следует непрерывность плотности тока
zJ.x(xi — O). E)
Подставляя сюда значение Jx из B9.5), получим
L/ = j- f F)
(i|3)^+o = (i|5)^-o, F')
т. е. непрерывность волновой функции и ее первой производной.
Предположим теперь задачу трехмерной и положим, что в точке
г = 0 оператор Гамильтона имеет особую точку. В этой точке
теорема Гаусса C) опять-таки не будет применима, и мы должны
исключить ее из объема интегрирования, окружив ее сферой ма-
малого радиуса R. Тогда интеграл по поверхности в формуле C)
разобьется на два: по бесконечно удаленной поверхности, в пре-
пределе охватывающей весь объем, и по поверхности шара радиуса
lim R2\jRdQ+ \jNds=^Ot G)
причем в первом интеграле мы выразили элемент поверхности
шара в виде ds = /?2dQ, где rfQ — элемент телесного угла. Ввиду
исчезновения в бесконечности волновых функций (пли их собст-
собственных дифференциалов) второй интеграл равен нулю. Подстав-
Подставляя в первый интеграл JR = ~- A^JL —1|>* J:j H полагая i|> = u/r*9

650 дополнения
где и регулярно при г->0, получим
что возможно лишь в том случае, если а<1. Отсюда мы видим,
что волновые функции во всяком случае не могут обращаться
в бесконечность быстрее, нежели 1/гг/, а<1.
Неоднозначность в волновой функции может возникнуть в том
случае, когда мы имеем дело с циклическими координатами, на-
например с углом ф, отсчитываемым вокруг некоторой оси. Тогда
угол ф и угол ф + 2я означают одно и то же положение в про-
пространстве, поэтому вероятность г|)*г|э, как величина наблюдаемая,
обязана быть однозначной функцией угла ф. A priori этого нельзя
сказать про саму г|>функцию. Однако на основании свойств сфе-
сферических функций и уравнения непрерывности A) путями, сходными
с изложенными в этом дополнении, можно показать, что ^-функ-
^-функция должна быть однозначна (иначе самосопряженность опера-
оператора Н не может быть обеспеченаI). Таким образом, естественные
условия, предъявляемые к волновой функции на основе требова-
требования сохранения числа частиц C), в конечном счете сводятся
к требованию выполнения условия самосопряженности опера-
оператора B).
Будут ли при этом выполнены условия самосопряженности
для других операторов L — будет зависеть от их природы, по-
поскольку класс допущенных волновых функций уже определен
оператором Н и допущенными в нем нарушениями непрерывности.
IX. Решение уравнения для осциллятора
Задача о нахождении квантовых уровней осциллятора приво-
приводит к уравнению
г|/' + (Л-^ = О. A)
Нам нужно найти конечные и непрерывные решения этого урав-
уравнения.
Исследуем асимптотическое поведение решения A), т. е. для
? — ±оо. Эти точки одновременно являются особыми точками
уравнения. Для этого положим
yp(t) = ef^v(l). B)
Подставляя B) в A), находим
v" + 2/V + (Г + Г + Я -12) v = 0. C)
х) Ср. В. Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат,
1947, § 6.

IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 651
Чтобы функция е/(*> явилась фактором, определяющим асимпто-
асимптотическое поведение г|)(?), нужно выбрать / так, чтобы коэффи-
коэффициент /" + /'2 — I2 в особых точках ? = ±сх> был регулярным, т. е.
чтобы член I2 уничтожался. Это дает
/(?)=+'?. D)
Стало быть, решение уравнения A) можно представить в виде
* (I) =c1e-v.^1 (t) + c2e+Wv* (?). E)
Мы интересуемся конечными решениями я|>, поэтому берем
частное решение с2 = 0, т- е. берем г|э в виде
^(g)^e-v2^(H). F)
Для функции v будем теперь иметь уравнение
v"-2lv' + (k-~l)v = 0. G)
Точка ? = 0 — регулярная. Поэтому v можно искать в виде ряда
Тейлора
v = 2 ****• W
Подставляя (8) в G) и собирая одинаковые степени g, получим
рекуррентную формулу для определения коэффициентов ak:
+ (X-l)ab = 01 (9)
откуда
Если ряд (8) оборвется на члене номера я, то у будет много-
многочленом /1-й степени. Тогда решение F) будет конечным, непре-
непрерывным и однозначным во всей области —оо<?< + оо. Такие
решения и будут собственными функциями уравнения A). Из A0)
следует, что ряд может оборваться лишь при тех значениях Я,
которые определяются формулой
Л = 2/г+1, /i = 0, 1, 2, ... A1)
Это и есть формула D7.6), приведенная в тексте.
Многочлен v (E) с коэффициентами, определяемыми формулой
A0) для Х = 2п-\-1, носит название многочлена Чебышева —
Эрмита.
Его обозначают обычно через Нп (?¦), и он удовлетворяет урав-
уравнению G) при Я = 2/г+1, т. е. уравнению
= 0. A2)

652 ДОПОЛНЕНИЯ
Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет многочлен
Поэтому Нп только множителем отличается от этого последнего
многочлена. Следуя обычному определению, мы положим
(Нетрудно убедиться, что многочлен A3) имеет коэффициенты,
удовлетворяющие рекуррентной формуле A0) при Я = 2я+1.)
Приведенный в тексте D7.8) многочлен Нп отличается от A3)
множителем У 2пп\ j/я, который выбран так, что функция "ф,, (?)
нормирована к 1. Именно, в тексте мы даем нормированный поли-
полином Чебышева —- Эрмита
Н.^^Щ**'^**)- A4)
У 2пп\ Vn d\n
Собственное решение уравнения A), принадлежащее собственному
значению Я — 2п-\-1, может быть теперь записано в виде
Г® = ег*'А'Нп®, A5)
где под Нп (?) будем понимать нормированный полином Чебы-
Чебышева—Эрмита A4).
Функции tyn(Q ввиду самосопряженности оператора, опреде-
определяющего уравнение A), должны быть ортогональными. В этом
легко убеждаемся непосредственно. В самом деле, для двух
функций я|)л и i|v имеем
Умножая первое уравнение на i|v, а второе на tyn, вычитая и
интегрируя по ?, получаем
-f со -f- со
— со
Левая часть есть
— 00
= 0,
— СО
т. е.

IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 553
С помощью интегрирования по частям можно также убедиться, что
-f- оо
— оо
следовательно,
-f- оо
$ iMv dl = 6,Ш', A6)
— оо
т. е. функции tyn образуют систему ортогональных и нормиро-
нормированных функций. Любая функция г|)(^) (с несущественными для
нас ограничениями) может быть представлена в виде ряда
где
-f- оо
с»= $ Ф (?)!>« (?)<*?• A8)
— со
Обратимся теперь к свойствам ненормированных многочленов
Чебышева —Эрмита A3). По формуле Коши производная -щ-е~^
может быть представлена в виде интеграла по замкнутому контуру
причем контур обходит точку ?. Поэтому из A3) имеем
Полагая z = l — t, получим
(контур обходит вокруг t = 0). Из последней формулы следует, что
vHn(l)in, B1)
/7 = 0
т. е. е-'2+2^ есть производящая функция для Нп(?).
Производящая функция B1) позволяет установить важное
рекуррентное соотношение между полиномами Чебышева —Эрмита.
Для этого дифференцируем B1) по t:
<r-<- + 2/6Bg-2/) =
п= 1

654 дополнения
т. е.
СО
1^Т)Г я« © *-'• B2)
Я = О Я = О /2=1
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях /, получаем
2%НпA) = Нп,1A) + 2пНп-1A). B3)
Умножая эту формулу на g и применяя еще раз B3), получим
2?Нп (g) = Bл + 1) Я. (?) + \ Нп+2 (g) + 2п (п - 1) #„ 2 (g). B4)
Умножим эти равенства на е ^ и заменим в них ненормированные
полиномы Эрмита на нормированные (для чего в B3) и в B4)
каждый полином Нт умножаем и делим на V 2тт\Уп). После
сокращения на общие множители получим рекуррентные соотно-
соотношения для волновых функций A5). Именно,
1% F) - "(/-J14W (I) + Y~2 *»-i ® • B5)
Отсюда получаем интеграл, встречающийся в §§ 47, 48. Умножая
B5) на tymd), интегрируя по Е и принимая во внимание орто-
ортогональность и нормировку функций г|)л A6), получим
^Y2~ 8m> "-1 • Bб)
что дает интеграл D8.7).
Подобным же путем, исходя из B5) и ортогональности, можно
вычислить интегралы от любой целой и положительной степени ?.
X. Электрон в однородном магнитном поле
Функция Гамильтона (см. дополнение VI, формулу F)) при
сделанном нами выборе вектора-потенциала А E7.1) имеет вид
dt ~~ dPx ~~ у \px + -
Отсюда
1"+'аЛУ]' B)
dt ~~ dz ~~ '
dx_ _ _ая_
Л "" dpx
dy _ OH _ /^ dz ^ дН _ p2
dt ~~ dpy ~ [i ' dt ~~~ dpz ~~ \i ' \ '

XI. КООРДИНАТЫ ЯКОБИ 655
Следовательно,
рх = const =* p.?, pz = const = р?, D)
ГО
Полагая
получим
-— = — собУ, F = asinco0^ + & cosoV, G)
и, стало быть,
о
r/ = asincoo/ + 6 cosoH/ —-. (8)
Далее,
дс = — a cos со0/ + Ь sin оу +д*0, A0)
т. е, движение происходит по кругу
с центром в х = х0> у== — -рФ7' и с РаДиУС0М /? = У"аа + й2. Энер-
Энергия движения не зависит от pi — эта величина определяет поло-
положение центра круга.
Полная параллельность этого классического расчета с приве-
приведенным в § 57 квантовым очевидна.
XI. Координаты Якоби
Согласно формулам преобразования A04.3) имеем
тк = жг *<* If—1' * = /+»: ъ'г°- к>1 + 1' A)
причем
My=i]mft B)
k = \
есть масса первых / частиц. С помощью A) и B) находим
N N N N N
^3 д 3
Zi k d*j дхк ~" Zd dcf Zd дхк
k=\ k = l / = l / = l k = l
N , j
V 4 h dj
i=\

656 ДОПОЛНЕНИЯ
т. е. мы получаем формулу A04.9), приведенную в основном
тексте. Сходным же образом вычисляется оператор кинетической
энергии. Достаточно вычислить оператор
JLL.
k dg-dg-, дх. дх.
С помощью A) и B) находим
N f N N 0
{L
f
ил~2* *k {L
N
( e
2 1 о \\ "*fe а2ф
Z ft (.Z
Первая сумма по k в E), как легко видеть (путем изменения
порядка суммирования по kf / и /'), равна нулю. Вторая сумма
преобразуется следующим образом:
N , N о л N
W-1 ЛГ Л/ —1
у _1 _52^ _ у J_ дЦ>_ . у J
т. е.
/ = 1
где fiy есть приведенная масса центра тяжести первых / частиц
и (/+1)-й i
Имея в виду, что
Chp = (Dx + Dll + Dll)ip, (9)
из G) получаем A04.4)
N — 1
2

XII. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАССЕЯННОЙ ВОЛНЫ 657
XII. Причинность и аналитические свойства рассеянной волны
Рассмотрим простейший случай, который поясняет связь между
причинностью и возможностью выхода в комплексную плоскость
переменной со = -*- (со —частота, Е — энергия).
Предположим, что некоторое рассеянное поле ^(t) зависит
от источника Q (t) согласно соотношению
—оо
Изменим несколько источник в окрестности какой-либо точки /'
так, что вариация
где е —некоторая величина, определяющая это изменение. Функ-
Функциональная производная я|) (/) по Q (/') вычисляется следующим
образом:
+00
Ш) = Й 7 S ж $ ~'') К ^ +6Q W - Q РЯ df- ®
—оо
Подставляя B) в C), получим
¦ = SK(t-f). D)
Для выполнения принципа причинности, необходимо, чтобы г|?(/)
зависела от силы источника Q (/') только в моменты времени,
предшествующие /. Иными словами, должно иметь место условие
|f$- = 0 для f>t, E)
откуда следует, что $С(t — tf) должно равняться нулю при tr>t.
Поэтому
q(t)=\W(f)Q(t-f)dt'. F)
о
В частности, для источника Q(/), сосредоточенного в точке / = 0,
получим
{Т '><°о.
Найдем компоненту Фурье от \|?(/):
-}-оо оо
J l (8)

658 дополнения
Отсюда видно, что если рассматривать со как комплексную пере-
переменную, то интеграл (8) сходится при Im(o>0, и, следовательно,
"ф (со) есть аналитическая функция в верхней полуплоскости.
Тем самым и доказывается связь между причинностью и анали-
аналитическими свойствами рассеянной волны. Эти же свойства можно
продемонстрировать, используя запаздывающую функцию Грина
уравнения Шредпнгера (см. дополнение XIII).
XIII. Функция Грина свободного уравнения Шредингера
Уравнение Шредингера с потенциалом V (х, /):
'*#-H^Vt=^, A)
может быть записано в форме интегрального уравнения. Для
этой цели рассмотрим вначале функцию Грина g(x, /) свободного
уравнения Шредингера, которая определяется следующим образом:
)б@. B)
Чтобы однозначно задать решение этого неоднородного урав-
уравнения, наложим дополнительные требования на искомую функ-
функцию g(x, /). Потребуем, чтобы
g(x, 0 = 0 при /<0. C)
Такая функция Грина называется запаздывающей.
С помощью g-(x, /) решение полного уравнения Шредингера
A) можно представить в следующем виде:
ф(х, О = Фо(х, t) + \g(x-x\ t-f)V(x\ /'Ж*', f)dx'dt\ D)
где \f>0 (x, t) — решение свободного уравнения Шредингера (урав-
(уравнение A) с V = 0). Физический смысл if>0(x> t) легко понять,
если рассмотреть потенциал V (х, t)y который «включается» только
после некоторого фиксированного момента времени t = t0. Тогда
из уравнения D) следует, что при t<.tQ г|)(х, 0 = гМх, 0» Т- е.
яМх» 0 —эт0 та волновая функция, которой обладала система
до включения взаимодействия.
Интегрирование по df в формуле D) ведется фактически
только при t'<C.t из-за свойства C) запаздывающей функции
Грина. Это как раз и является отражением принципа причин-
причинности в квантовой механике: значение -волновой функции xp (x, t)
в данный момент времени t определяется воздействиями на кван-
товомеханическую систему только в предыдущие моменты времени
f<t.
С математической точки зрения выражение D) представляет
собой интегральное уравнение на волновую функцию xj;(x, t),
значение которой равно tyo(xy t) до включения взаимодействия.

XIII. ФУНКЦИЯ ГРИНА СВОБОДНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 659
Найдем теперь явное выражение для функции Грина g(x, f).
Представим ее в виде интеграла Фурье
Далее учтем, что
= -ЩГ \ 8 К к) е-< <«><-**> Лоdk.
(х) б @ - ~г ^ е~'(<D'
Подставляя эти выражения в B) и сравнивая коэффициенты
при одинаковых гармониках, получим
1
g(co, k)=-
fico—--
2т
Поэтому
E)
2m
Обратимся сначала к интегрированию по ю. Подынтегральное
выражение в E) содержит полюс при g) = gH = ~—. Чтобы фор-
формула E) имела смысл, необходимо
определить путь обхода этого полю-
полюса в комплексной плоскости о). Вы-
Выберем этот путь таким образом,
чтобы g(x, t) удовлетворяла усло-
условию C).
Легко проверить, что контур,
показанный на рис. 103, как раз
приводит к нужному результату. Дей-
Действительно, если /<0, то интеграл
по Ао в E) можно вычислить с по-
помощью теоремы о вычетах, дополняя
контур С на рис. 103 полукругом
бесконечного большого радиуса в
верхней полуплоскости. Такое допол-
\
\
\
\
\
\
f~\
/
/
/
/
Рис. 103. Комплексная пло-
плоскость переменной со и контур
интегрирования при t > 0.
Радиус полукруга R = | о) | -*¦ оо.
нение можно сделать благодаря множителю е~ш в подынтеграль-
подынтегральном выражении в E). При этом полюс (о = (о0 остается вне кон-
контура и вычет равен нулю. Таким образом, g(x, t) = 0 при /<0.
Если же />0, то, обходя полюс о = со0 сверху и замыкая
контур бесконечным полукругом в нпжней полуплоскости, мы
сведем интеграл в E) по со к вычету в полюсе со = соо. Таким
образом, получим
dk. F)

660 ДОПОЛНЕНИЯ
Интеграл в F) может быть сведен к интегралам типа $ e-iat2dz
n
f m
\ 2niht
o,
>"•
i
e
m
X2
T
t<
>o,
CO.
(a>0). Не останавливаясь на подробностях вычисле-
вычислений, приведем окончательный результат
Я(х, 0 =
Заметим, что если бы мы обходили полюс ю = щ снизу, то мы
получили бы опережающую функцию Грина, соответствующую
обращению времени t-> — t. Эта последняя функция равна нулю
при />0. Опережающая функция Грина также отражает при-
причинность, но соответствует другой постановке начальных усло-
условий: по заданному значению волновой функции в будущем
(/=-f-oo) определить ее в предшествующие моменты времени.
Такая необычная постановка вопроса не встречается в практи-
практических приложениях квантовой механики.
XIV. Расчет взаимодействия микрочастицы
с макроскопическим телом
В качестве макроскопического тела рассмотрим шарик с мас-
массой М. Координата центра тяжести шарика пусть будет Q. Его
потенциальная энергия U (Q) изображена на рис. 102. В вершине
усеченного конуса имеется небольшое углубление, обеспечиваю-
обеспечивающее относительную устойчивость шарика. Достаточно сообщить
шарику незначительную (микроскопическую) энергию Д? и шарик
покатится по плоскости и далее под «откос». Координату микро-
микрочастицы обозначим через х> ее массу— через |л. Частицу считаем
свободной. Для простоты предполагаем, что взаимодействие микро-
микрочастицы и шарика осуществляется только в центре шарика.
В этом случае энергию взаимодействия можно записать в виде
x), A)
где g — некоторая константа взаимодействия.
Преследуя в рассматриваемом примере максимальную простоту,
мы приписываем шарику лишь одну степень свободы. При таком
упрощении необязательно пользоваться матрицей плотности.
Более того, будет удобнее пользоваться волновыми функциями.
Положим, что в начальный момент времени / = 0 микрочастица
описывается стоячей волной:
4>k(x) = 4>t(x) + q>k(x), B)
где

XIV. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ С МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ТЕЛОМ 661
Здесь k — импульс частицы (постоянную Планка в дальнейшем
положим = 1). Сопряженную волновую функцию микрочастицы
в конечном состоянии после рассеяния на шарике обозначим через
Волновая функция шарика в начальный момент, когда шарик
находился еще в ямке, приближенно описывается функцией ниж-
нижнего состояния осциллятора
где а —амплитуда колебаний шарика в ямке (см. рис. 102). После
рассеяния микрочастицы на шарике последний приобретает
импульс //, и так как его масса велика, то его волновая функ-
функция i|y (Q) может быть описана с помощью функции действия
S(p\ Q) так, что
rP>(Q) = KpJSiP''Q). E)
Причем, пока шарик еще остается на плоской вершине, 5 (//, Q) =
= pQ. Np> есть нормирующий множитель. Далее за пределами
площадки шарик будет скатываться вниз, ускоряться, и импульс р
станет растущей функцией Q. Вместе с тем будет уменьшаться
длина волны * = —, что и показано на рис. 102. Вычислять
подробно функцию S (//, Q), как будет видно из дальнейшего,
нет необходимости. Из сказанного следует, что полная функция
нашей системы в начальный момент времени будет иметь вид
Фо* (Q, х) = фо (Q) [Ф* (х) + щ (х)] = Фо+, (Q, х) + O0V(Q, *), F)
а одна из возможных функций конечного состояния на основа-
основании C') и E) запишется в виде
Полная волновая функция в момент времени t может быть вычис-
вычислена методом, изложенным в §§ 84, 85. Именно, в формуле (84.8)
в первой сумме остается лишь одно начальное состояние, так
как по предположению в нашей задаче других дискретных уров-
уровней нет. Поэтому индекс п в (84.8) теперь имеет смысл двух
индексов 0 и k> как это и написано в F). Непрерывный индекс а
представляет теперь два индекса р' и k\ как это указано в G).
Далее, коэффициенты са, согласно (84.9) и (84.10I), суть линей-
х) Мы будем опускать индекс A) у сA\ дабы избежать громоздких обо-
обозначений.

662 ДОПОЛНЕНИЯ
ные функционалы от начальной функции tyn(x). Поэтому в решае-
решаемой сейчас задаче коэффициенты будут линейными функциона-
функционалами от Ф,^ и Фгь Эти соображения позволяют написать полную
волновую функцию нашей системы в момент времени / в виде
Ф(О, х, *) = Фо«г, *) + Ф+Ю. х, t) + <t>-(Q, *, 0, (8)
где функции Ф+ и Ф~ определяются формулой
Ф± (<?,*,*) = $ с±„ @ Фр,й, (Q, х) е~ «V + «*-* dp- dk'_ (9)
/2
Здесь Ер> = ~м есть кинетическая энергия шарика после того,
k'2
как он выброшен из углубления е^ =-щ- —энергия частицы
после рассеяния. В начальном состоянии эти величины равны
соответственно
? = ?0) е* = ^-. A0)
Вводя обозначение
О = ?0 + е*-?р.-е*., (И)
получим, согласно (84.13),
Cf,k>(t)=e~l2~~l Wp,k,;0,k, A2)
где
Wp. *-; о, * = g J # (Q) p^ б (Q - x) ^ (Q) -^ rfQ Л. A3)
Выполняя интегрирование по х и замечая, что в области, где
\|H(Q) отлично от нуля, функция ty$-(Q) аппроксимируется вол-
волной Npe~ip'Q, получим после интегрирования по Q компоненту
Фурье от ^0(Q). Эта компонента принадлежит гармонике с вол-
волновым числом, равным q = k'-\-p'±k:
W± = gN№o(k' + ff±k). A4)
Для неглубокой и полной ямки г|H(?) отлично от нуля лишь
около 9 = 0, т. е.
kr + p'±kF*0. A5)
Далее, из закона сохранения, который, конечно, соблюдается
в нашем случае (система консервативная!), имеем
%fp'\ A6)
откуда для малых \i и больших М следует
O. A7)

XIV. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ С МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ТЕЛОМ 663
Сопоставляя это с A5), найдем
k' = ±k, p' = ±2k. A8)
Иными словами, микрочастица1 упруго отражается от шарика,
передавая ему импульс zh2k, что и следовало ожидать в этом
случае. Пользуясь формулами (9), A2) и A4), получаем следую-
следующее выражение для волновых функций O±(Q, x, *t):
*k'*dp'dk'. A9)
x
Главный вклад в интеграл A9) идет от окрестности резонансной
точки Q = 0. В окрестности этой точки имеем
Q = Ео + гк - гк> — Ер + (Ер — ?» = ЕР — Ер> =
= ~{P^p2) = ^f{p-pr)==v{p-p\ B0)
где р есть значение импульса шарика после рассеяния, v — его
скорость. Введем теперь новые переменные интегрирования
г = Ш, ~ = -dp', B1)
q = P' + k'±k=-V±k + p--?r, dq^dk'. B2)
После выполнения интегрирований по q и г получим из A9)
O±(Q, х, 0 =
'(? + e)'i!^!l^^fLJ B3)
где последний множитель равен
—оо
Этот интеграл есть разность двух разрывных интегралов
причем
J (а)= \ dz =
2ш, а
В силу множителя г|H(лг) функции Ф^(С, х9 t) исчезают при
x"p>at т. е. вне ямки. Поэтому проще всего проанализировать

664 ДОПОЛНЕНИЯ
формулу B5), положив там х — 0. Заметим, что для Ф^
а для Ф" у<0. Поэтому, если Q<0, то ф+ = 0, если же
y/>Q>0, то F = — 4ш, наконец, при Q>vt F опять равно
нулю. Для функции Ф" таким же путем получим, что вне интер-
интервала vt<Q<:0 F = 0.
Построим теперь матрицу плотности для нашего случая:
p(Q, х\ Q\ х\ t) = Cb*(Q} х, ЦФ((?} х\ /). B6)
Сюда следует подставить волновую функцию (8), заимствуя Ф+
и Ф~ из B3). Нетрудно убедиться, что при |Q|, [Q'|->oo все
члены, содержащие множители Ф0(Ф, х), исчезают как е 2а2
или е 2а2. Далее, интерференционные члены ФЧФ~ исчезнут из-за
свойств функции F(^~х ). Поэтому для t-+oo и IQI, \С?\Ъ>а
получим два неисчезающих члена
р (Q, х\ Q\ х\ 0 =
Таким образом, участие в рассматриваемом явлении макроско-
макроскопического шарика привело к разрушению когерентности состоя-
состояний <р]г (х) B). Из свойств функции F( ^~х ) следует также, что
при Q, Q'->co и при /->со в B7) остается только первый член,
свидетельствующий о том, что шарик покатился направо. При Q,
Q'-^ — со остается лишь второй член, т. е. шарик упал налево.
Таким образом, рассмотренный детектор действительно различает
знак импульса, переданного ему от микрочастицы, и тем самым
позволяет осуществить задуманное измерение: определить знак
импульса микрочастицы до ее рассеяния.