Текст
А.И. ТЕРНОВ
ОСНОВЫ
Ч—F
РЕЛЯТИВИСТСКОМ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
2тс
УДК 530.145
Т35
Рецензенты:
Кафедра теоретической физики
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
Доктор физико-математических наук, профессор П.А. Эминов
Тернов А.И.
Т35 Основы релятивистской квантовой механики: Учеб,
пособие. - 2-е изд., испр. - М.: МФТИ. 2002. - 164 с.
ISBN 5-7417-0187-6
Учебное пособие представляет собой часть общего курса кванто-
вой механики, читаемого автором в Московском физико-техническом
институте для студентов старших курсов.
Излагаются основы релятивистской теории Дирака, рассматри-
вается релятивистская ковариантность уравнения Дирака, интерпре-
тация операторов, представление Фолди-Ваутхайзена, а также квази-
релятивистское приближение теории. Подробно обсуждается пробле-
ма описания спина релятивистского электрона. Дается элементарное
введение в физику нейтрино.
Большое внимание уделяется физической интерпретации теории.
Анализируются трудности теории Дирака, в частности, проблема
античастиц, шредингеровское дрожание, а также парадокс Кляйна.
Предназначено для студентов, изучающих квантовую механику, а
также для всех читателей, желающих углубить свои познания в этой
области.
УДК 530.145
© Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2002
ISBN 5-7417-0187-6 © Тернов А.И., 2002
/
Оглавление
Введение..................................... 7
Глава 1. Релятивистские волновые
уравнения.................................... 9
1.1. Предварительные замечания............ 9
1.2. Общая идея построения релятивистских
волновых уравнений....................... 11
1.3. Уравнение Кляйна-Фока Гордона....... 12
1.4. Уравнение Дирака.................... 17
Глава 2. Релятивистская ковариантность
уравнения Дирака.............................23
2.1. Запись уравнения Дирака в ковариантной
форме.................................... 23
2.2. Краткий обзор группы Лоренца........ 24
2.3. Доказательство релятивистской
ковариантности уравнения Дирака.......... 29
2.4. Спин частиц Дирака.................. 34
2.5. Ковариантность уравнения
непрерывности............................ 34
2.6. Операция пространственного
отражения................................ 36
2.7. Дираковские спиноры и неприводимые
представления группы Лоренца............. 36
2.8. Калибровочная инвариантность
уравнения Дирака......................... 41
3
Глава 3. Интерпретация операторов •
в теории Дирака................................43
3.1. Операторы преобразования
в теории Дирака............................ 43
3.1.1. Пространственно-временные транс-
ляции ................................ 45
3.1.2. Пространственно-временные вращения 45
3.1.3. Четность........................ 48
3.2. Интегралы движения в теории Дирака .... 48
3.3. Решение уравнения Дирака
для свободной частицы ..................... 49
3.4. Сложности в интерпретации
операторов в теории Дирака............. 55
3.5. Операторы с дефинитной четностью...... 59
3.5.1. Оператор скорости............... 62
3.5.2. Оператор момента ............... 63
3.5.3. Оператор координаты............. 63
Глава 4. Представление Фолди—Ваутхайзена . 67
4.1. Преобразование волновых функций
и гамильтониана............................ 67
4.2. Операторы физических величин
в представлении Фолди- Ваутхайзена......... 73
4.2.1. Оператор координаты............. 73
4.2.2. Оператор спина.................. 76
Глава 5. Квазирелятивистское приближение
в теории Дирака................................78
5.1. Уравнение Паули как нерелятивистский
предел уравнения Дирака ................... 78
5.2. Квазирелятивистское приближение
в теории Дирака............................
4
5.3. Физическая интерпретация
гамильтониана Дирака
в квазирелятивистском приближении...... 88
Глава 6. Уровни энергии
водородоподобного атома.........................94
6.1. Тонкая структура уровней энергии
водородоподобного атома.................... 94
6.2. Экспериментальная проверка
формулы тонкой структуры . . .........102
6.3. Лэмбовский сдвиг
в интерпретации Вельтона...............106
6.4. Сверхтонкая структура.
Аномальный магнитный
момент электрона.......................110
Глава 7. Трудности в теории
Дирака. Античастицы............................114
7.1. Состояния с отрицательной энергией....114
7.2. Парадокс Кляйна.......................117
7.3. Дырочная интерпретация Дирака.........119
7.4. Зарядовое сопряжение................. 124
7.5. СРТ-инвариантность
и обращение времени........................126
Глава 8. Физика нейтрино......................129
8.1. Масса нейтрино ..................... 129
8.2. Теория безмассового нейтрино..........132
8.3. Нейтрино во внешнем
электромагнитном поле......................138
8.3 1. Спектр энергии нейтрино
в однородном магнитном поле......141
8.3.2. Переворот спиральности нейтрино
в магнитном поле................ 143
5
8.4. Осцилляции нейтрино.................145
Глава 9. Релятивистски-ковариантное
описание спина в теории Дирака . . .148
9.1. Трехмерный вектор-оператор спина О . . . . 148
9.2. Ковариантные операторы поляризации .... 151
Список литературы .........................162
6
Введение
Предлагаемое читателям учебное пособие написано на
основе части общего курса квантовой механики, кото-
рый читается автором в течение ряда лет для студен-
тов-математиков Московского физико-технического инсти-
тута (факультет прикладной математики и экономики).
Изложение курса квантовой механики для студен-
тов-математиков потребовало его существенной перера-
ботки, учитывая интересы и высокую математическую
культуру аудитории. Эта переработка в первую очередь
касалась более полного и последовательного изложения
математических основ квантовой механики, а также мате-
матических методов, включая теорию симметрий, теорию
групп и их представлений.
В связи с современным динамичным развитием кван-
товой теории поля (калибровочные поля, теории Великого
Объединения, суперсимметричные теории) автор считал
необходимым ввести в курс квантовой механики изложение
релятивистской теории Дирака. Предлагаемое читателям
изложение релятивистской квантовой теории Дирака (как
квантовой механики одной частицы, без привлечения ме-
тодов вторичного квантования) занимает промежуточное
положение между нерелятивистской квантовой механикой
Шрёдингера-Паули и квантовой теорией поля, рассматри-
вающей процессы с изменением числа частиц. Несмотря на
некоторую ограниченность одночастичного подхода (кото-
рая подробно анализируется в лекциях), изложение в об-
7
щем курсе квантовой механики основ релятивистской те-
ории, с нашей точки зрения, имеет принципиальное зна-
чение. помогая студентам в развитии их мировоззрения и
перебрасывая мост между традиционной квантовой меха-
никой и квантовой теорией поля.
Большое значение придается физической интерпрета-
ции основ теории, что, как это подчеркнуто в курсе, зача-
стую является непростой задачей в особенности в рамках
релятивистской квантовой механики вследствие особенно-
стей движения электрона Дирака.
По сравнению с предыдущим учебным пособием авто-
ра (А.И. Тернов Введение в релятивистскую квантовую
механику. М.: МФТИ, 1993) добавлена новая глава, посвя-
щенная физике нейтрино, расширен материал ряда других
глав, а также исправлен ряд ошибок и неточностей, об-
наруженных после выхода в свет предыдущего учебного
пособия.
Автор выражает искреннюю признательность профес-
сору С.П. Аллилуеву за плодотворные дискуссии и обсу-
ждения лекционного курса. Автор благодарен коллегам,
которые в разные годы вели семинарские занятия по кван-
товой механике на факультете прикладной математики и
экономики Московского физико-технического института за
замечания и советы по улучшению лекционного курса. Ав-
тор признателен всем сотрудникам кафедры теоретиче-
ской физики, а также студентам, высказавшим свои заме-
чания.
8
Глава 1
Релятивистские волновые
уравнения
1.1. Предварительные замечания
Традиционный курс квантовой механйки, изучаемый сту-
дентами и базирующийся на уравнении Шрёдингера (до-
полненный впоследствии теорией спина Паули), может
считаться логически замкнутым. Однако он вызывает из-
вестное чувство неудовлетворенности теми обстоятель-
ствами, что, во-первых, теория оказывается не инвари-
антной относительно преобразований Лоренца, как того
требует принцип относительности, а во-вторых, поскольку
спин в теорию вводится “руками”, она не дает объяснения
самого происхождения спина. В связи с этим необходи-
мо обобщение уравнения Шрёдингера на релятивистский
случай и формулировка всей теории в ковариантной отно-
сительно преобразований Лоренца форме. Как будет пока-
зано ниже, на этом пути удается достичь существенного
прогресса также и в вопросе происхождения спина элемен-
тарных частиц (в частности, электрона) и обосновании
гипотезы Уленбека и Гаудсмита.
Предметом нашего дальнейшего рассмотрения будет
релятивистская квантовая механика, то есть релятивист-
ская квантовая теория, в которой допущен ряд идеализа-
ций, в частности:
9
1) Точечностъ частиц. Частицы будут считаться то-
чечными. Согласно современным экспериментальным дан-
ным, точечность электрона проверена до расстояний по-
рядка 10-18 см, но общеизвестно, что нуклоны и другие
элементарные частицы обладают внутренней структурой.
2) Изолированность частиц. Это понятие становится
все более и более относительным в связи с развитием пред-
ставлений о взаимопревращениях частиц при различных
реакциях.
3) Сохранение числа частиц. Одна из основных трудно-
стей, возникающих при построении релятивистской кван-
товой механики, связана с нарушением именно этого поло-
жения. В физике высоких энергий (Е > тс2) возможно ро-
ждение или уничтожение частиц в случаях, когда при вза-
имодействии передается энергия, равная или превосходя-
щая энергию покоя данных частиц. Поэтому полная реля-
тивистская квантовая теория должна допускать описание
состояний, отличающихся также видом и числом частиц,
которым эти состояния соответствуют. Такой подход при-
водит к понятию квантованных полей, а соответствующая
теория есть квантовая теория поля.
Наш подход к релятивистской квантовой теории можно
назвать предварительным этапом, на котором для описа-
ния эволюции динамических состояний используются ре-
лятивистские уравнения, но число частиц считается посто-
янным. Собственно говоря, это есть одночастичный под-
ход, то есть “релятивистская квантовая механика одной
изолированной частицы”.
10
1.2. Общая идея построения релятивистских
волновых уравнений
Обратимся вначале к уравнению Шрёдингера
Q
(r,t) =
V2 + C/(r)U(r,i)-
2т )
(1-1)
Как известно, оно является нерелятивистским, то есть не-
пригодно для описания частиц высокой энергии \Е 2> тс2).
В самом деле, уравнение (1.1) формально может быть по-
лучено путем применения принципа соответствия в следу-
ющей форме:
Е1 —> Р “> — iKV, (1-2)
то есть классическим величинам необходимо сопоставить
соответствующие операторы. И тогда очевидно, что урав-
нению (1.1) соответствует классическая нерелятивистская
связь:
E = ^ + U(r). (1.3)
2т
Видно, что уравнения (1.1) и (1.3) нековариантны от-
носительно преобразований Лоренца и поэтому не могут
считаться удовлетворительными с точки зрения принципа
относительности. В то же время легко видеть, что соот-
ношения (1.2) между классическими величинами и опера-
торами являются ковариантными, ибо они устанавливают
соответствие между компонентами 4-векторов:
{ —, pl —> J—гЬЯ 1 . (1-4)
(с J ОХц ( cot J
С целью построения релятивистски ковариантного
уравнения естественно в качестве исходного вместо (1.3)
11
взять релятивистское соотношение между энергией и им-
пульсом
Е = у/ с2р2 + т2с4. (1-5)
Если мы далее при помощи правил сопоставления (1-4) по-
пытаемся построить волновое уравнение, то мы тотчас же
столкнемся с проблемой: как следует понимать реализацию
оператора — h2 V2 под знаком корня? Данная проблема еще
более усугубляется в случае, когда рассматриваемая ча-
стица находится во внешнем электромагнитном поле, опи-
сываемом 4-потенциалом (в этом случае под знаком кор-
ня окажется оператор (—iTiV — |А)2, см. (1-13))-
Весьма привлекательным вариантом является поиск
уравнений, в которых время и пространственные коорди-
наты входят симметричным образом это существенно
облегчило бы анализ свойств ковариантности этих урав-
нений. Существует два основных пути построения таких
уравнений, связанных с реализацией соотношения (1.5).
Во-первых, это возведение обеих частей соотношения
(1.5) в квадрат: Е2 = с2р2 + т2с4. На этом пути получа-
ется уравнение Кляйна-Фока-Гордона (1926), содержащее
вторые производные по времени и по координатам.
Во-вторых, можно линеаризовать радикал, то есть “из-
влечь корень” при помощи матриц S и /3, придав соотноше-
нию (1.5) следующий вид: Е = с (ар)+/3тс2. На этом пути
можно получить уравнение Дирака (1928), учитывающее
наряду с релятивистскими также и спиновые эффекты.
1.3. Уравнение Кляйна—Фока-Гордона
Итак, возведем обе части выражения (1.5) в квадрат и при-
меним правило соответствия (1-4). В результате мы полу-
12
чим уравнение Кляйна Фока-Гордона:
j_a2
с2 dt2
+ А-
(1-6)
которое можно записать также в явно релятивистски ко-
вариантной форме:
(□-А:2)Ф(г,0 = 0 (1-7)
или
(с^ + /с2)Ф(г,£) = 0. (1.8)
В (1.7) и (1.8) введены обозначения:
1
□ =д -1А * ™
с2 dtz п
'КОМГГГ
Ковариантность полученного уравнения относительно
преобразований Лоренца очевидна, ибо даламбертиан □
является релятивистски инвариантным оператором (т.е. не
изменяющим вида при переходе от одной инерциальной си-
стемы отсчета к другой: хц —> х'ц = Л(дгр, где - матри-
ца преобразования Лоренца), а волновая функция Ф (r, t)
является скаляром относительно преобразований Лорен-
ца (то есть при переходе х^ —> х'^ она переходит в себя:
Ф' (х') = Ф(ж)).
В безмассовом пределе (т —> 0) уравнение (1.6) - (1.7)
переходит в уравнение Даламбера, описывающее электро-
магнитное поле (для каждой из компонент 4-вектора Д^).
В случае, если масса отлична от нуля, уравнение (1.6)
описывает поле, квантами которого являются массив-
ные скалярные частицы - мезоны. Массивность частиц-
переносчиков взаимодействия естественным путем приво-
дит к конечному радиусу действия соответствующих сил.
13
В самом деле, стационарное сферически симметричное ре-
шение уравнения (1-7) имеет вид
(г) = ^-е-ког
т
(1-9)
(потенциал Юкавы, 1935 г.). То есть это - не что иное, как
экранированный кулоновский потенциал (радиус действия
сил R ~ 1/А'о ~ Акомпт), использовавшийся в модели ядер-
ных сил Юкавы. Легко видеть, что в случае m —> 0 будет
также и fco —> 0, и потенциал (1.9) перейдет в кулоновский
потенциал бесконечного радиуса действия - статическое
решение уравнения Даламбера для электромагнитного по-
ля.
Далее на основании уравнений (1.7) и (1.8) по аналогии
с уравнением Шрёдингера найдем плотность вероятности
и плотность тока вероятности, а также соответствующий
закон сохранения, следующий из (1-7). Умножим (1-7) на
Ф*, а затем сопряженное уравнение умножим на Ф и ре-
зультаты вычтем один из другого. Таким образом, можно
получить
~dtp + divJ = °’ (110)
причем
= JL {(^ф*) ф _ ф*а^Ф} ;
7 Й
— {(^Ф*)Ф-Ф*\?Ф},
(1П)
Численный коэффициент в (1-11) выбирается исходя из то-
го, чтобы в нерелятивистском пределе получилось обыч-
ное шредингеровское определение плотности тока. Анализ
14
соотношения (1-11) показывает, что вычисленная таким
образом величина, которой хотелось бы придать смысл
плотности вероятности, не является положительно опреде-
ленной. Поскольку уравнение (1.6), (1.7) содержит вторую
производную по времени, то оно допускает независимое за-
дание в начальный момент времени Ф (г, t) и ф (г, £). От-
сюда и следует знаконеопределенность величины р (г, t).
Указанное противоречие снимается только ценой отка-
за от одночастичного приближения, объявленного нами в
п. 1.1. Можно изменить интерпретацию вектора J11 и опре-
деление средних значений. В новой интерпретации ej = je
есть плотность электрического тока, а ер = ре есть плот-
ность электрического заряда. Таким образом, уравнение
(1.10) выражает собой закон сохранения электрического за-
ряда. Число частиц при этом, вообще говоря, не сохраня-
ется - возможны процессы с изменением числа частиц: ро-
ждение пар частиц с противоположными знаками заряда
и аннигиляция. Таким образом, мы имеем “теорию одного
заряда” вместо “теории одной частицы”. Поскольку тре-
буется выход за рамки одночастичного приближения, то
последовательное рассмотрение таких процессов возможно
только в квантовой теории поля.
Развиваемая нами теория содержит еще одно проти-
воречие, которое является характерным для релятивист-
ских волновых уравнений. Решим уравнение (1.6) для слу-
чая свободного движения. При этом мы получим Ф (г, t) =
= Лехр [-i(Et-pr)], подстановка этого решения в (1.6)
дает:
Е — ±у/с2р2 + т2с4, (1.12)
то есть для релятивистских уравнений характерно по-
явление решений с отрицательными значениями энергии.
Конечно, в случае уравнения Кляйна-Фока-Гордона этот
15
факт связан с возведением соотношения (1.5) в квадрат -
при этом приобретаются “лишние” решения, но проблема
остается и для уравнения Дирака, где изначальное возве-
дение в квадрат отсутствует.
В заключение краткого обзора свойств уравнения Кляй-
на-Фока-Гордона отметим, что его обобщение на случай
движения заряженной частицы во внешнем (классическом)
электромагнитном поле не представляет трудностей и вы-
полняется путем “удлинения” импульса (или “удлинения”
производной):
уд = _ £Лд. ад Гд = 5д + 2£Лд; и 13)
С ПС
А» = {у, А}.
Это связано с применением принципа соответствия к клас-
сической функции Гамильтона заряженной частицы во
внешнем электромагнитном поле:
Уравнение Кляйна-Фока-Гордона для частицы во внеш-
нем поле имеет вид
D^ +
Ф (г, f) = 0.
(1-14)
Перейдем в уравнении (1.14) к нерелятивистскому пре-
делу. Пусть состояние Ф (г, t) является стационарным, то
есть Ф (г, t) = exp (—t) ф (г); положим также у = 0, то-
гда
^Е2 — с2“Р — т2с4^ ф (г) = 0.
16
Положим Е ~ тс2 + в, е тс2, тогда уравнение перей-
дет в
(1.15)
Таким образом, в нерелятивистском приближении урав-
нение Кляйна-Фока-Гордона переходит в уравнение Шрё-
дингера, описывающее поведение бесспиновой квантовой
частицы в нерелятивистском пределе. Это подтверждает
предположение о том, что исходное уравнение (1-6) также
описывает бесспиновые (или скалярные) частицы.
1.4. Уравнение Дирака
Теперь займемся построением релятивистского волнового
уравнения, которое в отличие от (1.6) могло бы описывать
эволюцию во времени частиц со спином 1/2, например,
электронов. Как мы помним, в нерелятивистской кванто-
вой механике электрон описывался так называемым пау-
лиевским (двухкомпонентным) спинором, то есть волно-
вой функцией Ф (г, t) = ( ), компоненты которой при
\ Ф2 /
вращениях преобразуются по неприводимому представле-
нию D (|) группы трехмерных вращений. Следовательно,
строя релятивистское обобщение паулиевского спинора, не-
обходимо заложить в теорию возможность описания элек-
трона многокомпонентной волновой функцией (s = 1, N,
s - номер компоненты), компоненты которой преобразу-
ются вполне определенным образом при преобразованиях
Лоренца:
Ф (г, t, s) = ips (г, t) = (г, s |Ф (t)).
Эта функция задает вектор состояния |Ф (£)) в простран-
стве £(°Рб) ® £(спин) (прямое произведение пространства
орбитального движения на пространство внутренней (или
спиновой) переменной). По аналогии с теорией Паули
функцию Ф (г, t) представим в виде столбца из N компо-
нент -ф8 (г, t). Далее предположим, что искомое уравнение
можно записать в гамильтоновой форме:
Л
ih—Ф(г,0 = НрФ(г,4), (1.16)
где Нр - гамильтониан Дирака, получающийся в резуль-
тате применения правил сопоставления (1-4) к линеари-
зованной форме выражения для энергии (1.5). Линеариза-
ция радикала необходима, в частности, потому, что нам
желательно иметь уравнение первого порядка по времени
(чтобы была положительно определена плотность вероят-
ности р). Кроме того, уравнение должно быть релятивист-
ским, то есть должно обладать симметрией между про-
странственными переменными и временем (то есть быть
уравнением первого порядка и по пространственным пе-
ременным). В связи с этим, следуя Дираку, попытаемся,
введя 4 коэффициента Sj (г = 1, 2,3) и р. представить (1.5)
в виде
з
Д = 52 (.OiPi) + Рте2. (1-17)
г=1
Определим, каким условиям должны удовлетворять вве-
денные объекты ог и р. Для этого возведем последнее вы-
ражение в квадрат:
п2 22. 24
Е = с р +т с =
з з
= 52 52 + втс2') + Рте2} =
г=1 j=l
3 3 Л
2 CCiCCj + OtjOti
= c LLw—- 2 +
i=l j=l
18
3
4- c3m^2 (cpP + PcP^ + P^rrPc^.
i=l '
Отсюда следует, что введенные таким образом объекты
оц и В должны подчиняться следующей алгебре:
OjOj + ajOi =
04 В + Р<Р =
З2 =
(a?, Oj } — 2<\j
|«г,3} = о,
1.
(1-18)
To есть все эти величины должны антикоммутировать, а
квадрат каждой из них должен быть равен 1. Производя
в (1.17) замену классических величин на операторы (1.4),
получим уравнение Дирака в виде (1.16), где
Нр = с (ар) + Рте2. (1-19)
Постулаты квантовой механики требуют эрмитовости
гамильтониана. Поэтому и операторы аги р должны быть
эрмитовыми. Из (1-19) ясен и смысл этих величин - это
есть операторы, действующие только в пространстве спи-
новых (“внутренних”) переменных
Что же представляет собой пространство д(спин)? Мы
знаем, что в этом пространстве действуют четыре основ-
ных оператора: р, Si, «2 и S3, а также их различные
функции. Ясно, что пространство Д(спин) должно быть не-
приводимым по отношению к данному набору операто-
ров. Вспомним, как строилось аналогичное пространство
£г(спин) в нерелятивистской теории Паули. Там это про-
странство должно было быть неприводимым относительно
набора операторов Паули щ (г = 1, 2, 3). Данное простран-
ство в теории Паули натягивалось на базис из собственных
векторов |±1) оператора ср: S3 |±1) = ±|±1). Построен-
ное таким образом пространство действительно являлось
19
инвариантным относительно действия операторов п, и их
функций, ибо действие любым оператором из этого набора
на векторы базиса |±1) не выводило нас за пределы дан-
ного пространства. Такое пространство является двумер-
ным, ибо оператор <?з имеет только два собственных век-
тора |±1), отвечающих собственным значениям ±1 (это
следует из того, что nf = 1). Очевидно, что данное про-
странство действительно неприводимо, поскольку оно не
содержит нетривиальных подпространств, инвариантных
относительно действия операторов ст,и их функций.
Попробуем теперь построить аналогичное простран-
ство в релятивистской теории Дирака. Как мы уже гово-
рили, это пространство должно быть неприводимо по от-
ношению к набору из четырех основных операторов и
/3 и их различных функций. Выделим из этого набора два
семейства операторов Ег и pi, обладающих такими же ал-
гебраическими свойствами, как и операторы ар.
X! = —гй2а3,
Е2 = — газ»!,
Е3 = —?Q!iQ!2,
Pi = ^за3,
< Р2 = —/За1а2аз,
Рз = Я
(1.20)
Четыре основных оператора (itw /3 выражаются через Е,
и pi по формулам:
Р = Рз,
Q!j — PlEj.
(1.21)
Легко убедиться в наличии у операторов Е^ и pi следующих
свойств:
Еу,Ет —
РпРт =
^Ej , Pjj
"Й 1^-nmlPl,
Задача построения спинового
= 0. (1.22)
пространства Д(спин) в
теории Дирака сводится, таким образом, к построению
20
пространства, неприводимого по отношению к наборам
операторов и рг. Поскольку операторы этих двух се-
мейств коммутируют, то
£;(спин) = Е{р)
то есть искомое пространство есть прямое произведение
пространства, неприводимого по отношению к набору pi,
на пространство, неприводимое по отношению к набору £г.
Вследствие совпадения алгебраических свойств операторов
в наборах р, и с алгебраическими свойствами аг - опе-
раторов Паули, каждое из пространств Е^ и Е& может
быть построено указанным выше способом и, следователь-
но, является двумерным. Таким образом, размерность про-
странства Д(спин) в теории Дирака равна четырем.
Операторы щ и /3 традиционно представляются в виде
матриц, и при этом ясно, что минимальная размерность
этих матриц должна быть 4 х 4. В этом случае уравне-
ние (1.16), (1.19) становится матричным а размерность
матриц Sj, /3 ощэеделяет и количество компонент волно-
вой функции Ф(г,1)- четыре. Соответствующая функция
называется дираковским спинором или биспинором. Зако-
ны преобразования волновой функции и физический смысл
операторов Ei, pi мы выясним в следующих разделах.
В так называемом стандартном, или дираковском,
представлении матрицы операторов й^, /3, pi можно
записать в блочном виде, выразив их через матрицы Пау-
ли:
21
Обобщим уравнение Дирака на случай наличия внеш-
него электромагнитного поля, описываемого 4-потенциа-
лом А11 = {<£>, А}. Обобщение уравнения следует проводить
по правилу (1-13) путем “удлинения” импульса р1' —>
При этом уравнение приобретает вид
Ф (г, t) = НрФ (г, t);
Hp = с (йу) + (Зт<? + е<£>, У = р — -А.
(1-24)
На основании (1.24) получим закон сохранения тока в
дифференциальной форме. С этой целью введем эрмито-
во-сопряженную волновую функцию Ф+ = ('^'(,'^2,'^3/^'4)
(комплексно-сопряженная к столбцу Ф строка). Далее мы
умножим (1.24) слева на Ф+, а эрмитово-сопряженное к
(1.24) уравнение
—Ф+ — е<£>Ф+ — ich (\7Ф+й) +
+ еФ+ (SA) — Ф+/Зтс2 = О
(1-25)
умножим справа на Ф (при сопряжении уравнения (1-24)
мы учли эрмитовость и /3+ = /3). Затем вычтем из
одного получившегося выражения другое и получим закон
сохранения тока в дифференциальной форме:
^-р + divj = 0: р = Ф+Ф 0; j = сФ+йФ. (1-26)
dt
Из формул (1-26) видно, что плотность вероятности
р в теории Дирака является положительно определенной
величиной в отличие от случая уравнения Кляйна-Фока-
Гордона.
22
Глава 2
Релятивистская ковариантность
уравнения Дирака
2.1. Запись уравнения Дирака в ковариантной
форме
Для дальнейшего обсуждения свойств ковариантности
уравнения Дирака приведем запись этого уравнения в че-
тырехмерных обозначениях, обеспечивающих симметрию
между временем и пространственными координатами.
С этой целью вернемся к уравнению Дирака для свободной
частицы:
гй— — с (Др) — /Зтс2 1 Ф (г, t) = 0.
Умножим это уравнение на (3/с (слева) и введем новые обо-
значения:
7° = 7о = Я 7г = -7г=^«о г = 1,2,3. (2.1)
В этих обозначениях уравнение приобретает вид
{Игуцд^ - тс} Ф (г, t) = 0. (2.2)
Иногда в целях упрощения вводится также обозначение:
'уО д
23
Тогда уравнение (2.2) принимает вид
{гЙЗ — me} Ф = 0.
Введенные нами матрицы 7 имеют алгебраические свой-
ства (следующие из соотношений (1.18)):
{7^) = 7^с _ =
(2-3)
где д^ = дцу = diag (Ч----) - метрический тензор про-
странства Минковского. В представлении (1.23) 7-матри-
цы имеют вид
(2-4)
°
-Т ) ’
Очевидно, что 70 - эрмитова, а 7' - антиэрмитовы матри-
цы.
2.2. Краткий обзор группы Лоренца
Прежде чем рассматривать вопросы ковариантности урав-
нения Дирака относительно преобразований Лоренца, крат-
ко напомним, что мы имеем в виду под преобразовани-
ями Лоренца. Подчеркнем, что данный обзор некоторых
свойств группы Лоренца является кратким и ни в коем слу-
чае не претендует на полноту изложения. Интересующиеся
более глубоко математическими аспектами группы Лорен-
ца могут ознакомиться со специальной литературой [7].
Известно, что два наблюдателя, находящиеся в разных
инерциальных системах отсчета S и S', приписывают од
ному и тому же физическому событию, вообще говоря, раз-
ные пространственные координаты г и время t. Соответ-
ствие между 4-координатами события Д' и в системах
отсчета S и S' или переход от одной инерциальной системы
24
отсчета к другой устанавливается при помощи преобразо-
ваний Лоренца:
= А^я", (2.5)
где Ар - лоренцевская матрица преобразования коорди-
нат. Таким образом, преобразование вида (2.5) предста-
вляет собой линейное однородное преобразование, причем
матрица Ар зависит только от относительных скоростей и
взаимной ориентации систем отсчета S и S'.
Основным инвариантом преобразований Лоренца явля-
ется интервал
ds2 = dx^dx/j, = gljVdxIJdx1'. (2-6)
Из соотношений (2.5), (2.6) можно вывести ряд важных
следствий. Например, из (2.6) получаем, что основное усло-
вие, накладываемое на матрицы преобразования, имеет
вид
g^aKvp = gap. (2.7)
В свою очередь из (2.7) следует, что (det А)2 = 1, то есть
det А = ±1, и поэтому преобразования бывают двух видов.
Если det А = +1, то это - так называемые собственные
преобразования Лоренца. К ним относятся переходы меж-
ду инерциальными системами отсчета (“псевдоповороты”
или бусты), а также хорошо известные трехмерные вра-
щения в качестве подгруппы. Преобразования собственной
группы Лоренца можно рассматривать как последователь-
ность бесконечно малых (инфинитезимальных) преобразо-
ваний. Условием det А = — 1 определяются несобственные
преобразования Лоренца - это преобразования, включаю-
щие дискретные операции типа отражения координат или
обращения времени. Они не могут быть представлены в
25
виде последовательности инфинитезимальных преобразо-
ваний. В дальнейшем мы будем рассматривать в первую
очередь ковариантность уравнения Дирака по отношению
к преобразованиям собственной группы Лоренца (однако
теория ковариантна и по отношению к полной группе).
Рассмотрим конкретные примеры матриц лоренцевско-
го преобразования (для собственной группы). Будем рас-
сматривать бесконечно малые (инфинитезимальные) пре-
образования. Матрица Лр инфинитезимального преобразо-
вания (для однопараметрической подгруппы, отвечающей
групповому параметру у>) имеет вид
Ар =
(2-8)
где 1, а А;)1, = — Ар/1 есть матрица генератора соот-
ветствующей однопараметрической подгруппы группы Ло-
ренца. Свойство антисимметрии для Х^ следует из усло-
вия (2.7). Рассмотрим примеры таких преобразований.
1) Бу ст вдоль оси Ох. Имеется в виду “псевдовраще-
ние” в плоскости гЛ?1 или специальное преобразование Ло-
ренца - переход к движущейся системе отсчета вдоль оси
Ох. В этом случае новые пространственно-временные ко-
ординаты rr'/J связаны со старыми следующим образом:
х'° = 7 (ж° — fa1} ~ т° ch 92 — х1 sh <£>,
х'° = 1 (ж1 — /?т°) = я1 ch У’ — х° sh £>,
7 = (1 -Z?2)1/2, th<^=|=/?.
26
Лоренцевская матрица такого преобразования имеет вид
/ ch</? — sh<y2 0 ° \
АО = — sh</> ch<£> 0 0
0 0 1 0
I 0 0 0 1 /
(2-9)
И соответствующий генератор, то есть оператор бесконеч-
но малого преобразования, имеет вид
Ж
/ 0 -1 0 0 \
-1 0 0 0
0 0 0 0
\ 0 0 0 0 /
(2.Ю)
Таким образом, матрица АО, отвечающая бусту вдоль оси
Ох, имеет две отличные от нуля компоненты. Поднимая
нижний индекс и, получим
(^(xbcO))01 = - (A^ij-O))10 = 1. (2.11)
2) Поворот на угол р вокруг оси Oz. Здесь имеется в
виду обыкновенный поворот в трехмерном пространстве,
и очевидно, что лоренцева матрица такого преобразования
имеет вид
(1 0 0 ° \
AO = 0 COS(£ siny> 0
0 — siny> cosy? 0
k о 0 0 1 /
Аналогично тому, как это проделано в п. 1), мы можем
найти генератор соответствующего преобразования - по-
ворота относительно оси Oz\
(А(Х1Ж2))^ =
дКЧ
dip
(0
о
о
\0
о
о
-1
о
о о \
1 о
о о
0 0/
(2-12)
27
Видно, что матрица А(), отвечающая повороту вокруг оси
Oz, также имеет две отличные от нуля компоненты:
(А(ж1ж2))21 = - (А(Ж1Ж2))12 = 1. (2.13)
Аналогичным образом можно построить и другие матри-
цы А{).
Собственная группа Лоренца является непрерывной
6-параметрической неабелевой группой (группой Ли). За-
дание произвольного преобразования собственной группы
Лоренца сводится к заданию шести параметров: 922-
</?з - для поворотов вокруг осей Ох, Оу, Oz и £>1, ^>2>
- для лоренцевых бустов вдоль осей Ох, Оу, Oz. В со-
ответствии с этим в данной группе может быть выделено
шесть однопараметрических подгрупп: три подгрупшл для
вращений и три - для бустов. Шесть генераторов группы
(в матричном представлении) можно записать в компакт-
ном виде, если использовать обозначения
^(х1!0) = М10, А(ж2жо) = М20, А^о) = М30 (2 14)
(генераторы бустов) и
^(х1!2) = М12, А(ж2жз) = М23, А^Зд.!) = М31 (2-15)
(генераторы поворотов). Матрицы генераторов М10 и М12
вычислены нами выше (см. (2.10), (2.12)), а остальные
можно найти путем аналогичных вычислений. В формулах
(2.14), (2.15) предполагается, что М°^ = —М^“. В соот-
ветствии с теоремой Ли произвольный конечный элемент
группы может быть задан в виде
А (<£>) =
где параметры 92°^ определяются так, что 9212 = 923 и т. д.,
9201 = ^i ит. д.
28
Преобразования полной группы включают в себя, кро-
ме рассмотренных, еще преобразования различных отра-
жений: пространственного отражения (х'° = х°. х'г — —хг)
и обращения времени (ж70 = — х°, х'г = хг).
2.3. Доказательство релятивистской
ковариантности уравнения Дирака
Предположим, что в системе отсчета S наблюдатель
фиксирует состояние дираковской частицы, описываемое
биспинором Ф (ж), где под аргументом подразумевается
4-координата х11 — {ct, г}. Нам нужно найти правило, по-
зволяющее сопоставить функции Ф (ж) в системе S функ-
цию Ф' (ж') в системе S', описывающую то же самое со-
стояние. С другой стороны, в соответствии с принципом
относительности, функция Ф7 (ж') должна быть решением
уравнения (2.2), сохраняющего вид при переходе в штри-
хованную систему отсчета:
— mcj Ф7 (ж7) = 0. (2-16)
Отметим, что 7-матрицы при преобразованиях Лоренца
остаются неизменными. (О том, какой смысл имеет снаб-
жение их лоренцевскими индексами, мы узнаем позже.)
Будем теперь искать операторы, которые сопоставля-
ют Ф (ж) —> Ф7 (ж'), то есть операторы, действующие в
пространстве волновых функций и осуществляющие пред-
ставление группы Лоренца в пространстве внутренних пе-
ременных. Будем считать искомое преобразование линей-
ным, поскольку как само уравнение Дирака, так и преобра-
зования Лоренца являются линейными.
Поэтому
Ф7 (ж7) = S (Л) Ф (ж) = S (Л) Ф (Л-1ж7) . (2.17)
29
Здесь S (Л) - матрица 4x4, действующая на дираковский
спинор, то есть на 4-компонентный столбец Ф (ж). Она. как
и матрица лоренцевского преобразования Л, зависит от от-
носительных скоростей и пространственной взаимной ори-
ентации систем отсчета S и S'. Очевидно, что матрица
S (Л) должна иметь обратную, ибо должна быть возмож-
ность определить функцию в системе S по известной функ-
ции в системе S':
Ф (т) = S'-1 (Л) Ф' (Д) = S-1 (Л) Ф' (Ат). (2.18)
Для решения нашей задачи нам необходимо найти ма-
трицу S (Л). Искомая матрица должна удовлетворять усло-
виям (2.17), (2.18). Умножим исходное уравнение (2.2) сле-
ва на S (Л):
/гПД(Л)7^5,-1(Л)-^- -тс[>5(Л)Ф(т) =0. (2.19)
( их1' J
Воспользуемся известным законом лоренцевского преобра-
зования 4-градиента:
д _ дх^д _ д
дх^ дх1' дх,'1' 'Jdxlv
Уравнение (2.19) в “штрихованной” системе отсчета при-
мет следующий вид.
|гП5(Л)7^-1 (Л) - тс} Ф' (я/) = 0.
Данное уравнение будет совпадать по форме с (2.16), если
существует матрица S (К). такая, что
5(Л)7^-1(Л)Л^71/,
или, что то же самое:
S~l (Л) YS (Л) = AJX- (2.20)
30
Уравнение (2.20) является основным уравнением, опреде-
ляющим S (Л).
Рассмотрим преобразования собственной группы Ло-
ренца (detЛ = 1). В этом случае достаточно исследовать
инфинитезимальные преобразования (2.8): Л = 1+<5<£>А. Ма-
трицы S (Л) и S-1 (Л) в первом порядке по могут быть
записаны в виде
S
S-1
~ 1 +
где матрица Т пока неизвестна. Для бесконечно малых пре-
образований из (2.20) следует, что
S-^S = (1 - ) 7^ (1 + 8<pf) ~
7^ - S<p (f^ - =
откуда мы получаем уравнение для матрицы Т:
7^Т - = А^17.
(2.21)
Условие (2.21) фиксирует матрицу Т однозначно с точ-
ностью до аддитивной константы, кратной единичной ма-
трице. В самом деле, если бы существовали две матрицы Т
и Т', удовлетворяющие условию (2.21), то из (2.21) следо-
вало бы, что их разность Т — Т' должна коммутировать со
всеми 7-матрицами. Известно, что такой матрицей являет-
ся единичная матрица. Если принять для S (Л) нормиров-
ку detS = 1, то тогда необходимо, чтобы det (1 + =
= 1 + <5</>Sp Т = 1. Таким образом, Sp Т = 0, и это условие
фиксирует матрицу Т уже однозначно. Искомая матрица
31
Т, удовлетворяющая условию (2.21) и требованию равен-
ства нулю ее следа, имеет вид
Л 1 7
т = -Х^ (2.22)
О 4:
где введено обозначение
— 2 ('Т'^'Т'й ~ 7^7д) •
Рассмотрим, как и ранее, вначале буст вдоль оси Ох.
Поскольку из (2.11) следует, что при этом Л01 = —А10 = 1,
то генератором соответствующего преобразования Лорен-
ца в пространстве внутренних переменных будет матрица
-— Z 1
1(Л1) = п<710^-й«1. (2.23)
£ £
Конечному бусту вдоль оси От, в соответствии с общими
принципами групп Ли, отвечает следующая матрица:
£(Лс1)(<р) =e“iS1V = ch|-a1sh|, th^=|. (2.24)
Далее рассмотрим поворот относительно оси Oz. Из
(2.13) следует, что в этом случае А21 = —А12 = 1, поэтому
генератором такого преобразования в пространстве вну-
тренних переменных будет матрица
Т(х'х2) = 2СТ12 — 2^3’ (2.25)
Матрица, соответствующая повороту вокруг оси Oz на ко-
нечный угол имеет вид
(92) = е!£з¥> = cos— + iS3sin - (2.26)
32
Ясно, что по аналогии с (2.23) и (2.25) можно постро-
ить остальные четыре матричных оператора Т, отвечаю-
щих бу стам вдоль осей Оу, Oz и поворотам относитель-
но осей Ох и Оу, являющихся по существу генераторами
представления собственной группы Лоренца, реализован-
ного в пространстве внутренних переменных дираковской
частицы. Фактически это есть спинорное представление
группы Лоренца, и оно является двузначным, ибо повороту
на любой конечный угол отвечают, вообще говоря, две
матрицы S (<£>), отличающиеся знаком.
Итак, генераторы построенного нами представления
группы Лоренца имеют вид
где
о ко = —оок = га.к
Окп — ^кппг^тп
то есть
С12 =
* 023 =
<тз1 = Ег
(2.27)
Доказательство ковариантности уравнения Дирака, ко-
торое свелось к нахождению в явном виде S (А) - матрицы
преобразования волновой функции, можно считать закон-
ченным. В качестве замечания отметим, что матрица S (<£>)
для пространственных вращений является унитарной (см.
(2.26)): S+,l2) = S^i, в то время как матрица S (<£>) для
бустов не унитарна, а эрмитова (см. (2.24)). Но легко по-
казать, что для всех матриц преобразований S (А) выпол-
няется следующее соотношение:
S-1 = 7°S+70,
(2.28)
которое для поворотов является очевидным, а для бустов
устанавливается путем разложения S ((?) в ряд.
33
2.4. Спин частиц Дирака
Как известно, спин частиц определяется трансформацион-
ными свойствами внутренних переменных по отношению к
пространственному вращению. Сравнивая, например, ма-
трицу преобразования (2.26), соответствующую повороту
относительно оси Oz на угол для релятивистской ча-
стицы с аналогичной матрицей, вводившейся в нереляти-
вистской теории Паули для преобразования паулиевского
спинора (волновой функции частицы со спином 1/2)
S{xix2) (<£>) = e^3V = cos| + w3sin^, (2.29)
мы можем сделать заключение о том, что волновая функ-
ция частицы Дирака преобразуется при вращениях та-
ким же образом, как и волновая функция частицы со спи-
ном 1/2, то есть также является спинором. (Как следу-
ет из (1-22), алгебраические свойства £;-матриц Дирака
и ст,-матриц Паули полностью совпадают.) Дираковский
спинор отличается в этом плане от паулиевского тем, что
имеет четыре компоненты, а не две.
В связи с соображениями, изложенными выше, а также
на основании (2.26), (2.29) можно сделать вывод о том, что
оператор спина дираковской частицы должен быть равен
S = |S. (2.30)
К вопросу об описании спина в теории Дирака мы еще вер-
немся ниже (см. главу 9).
2.5. Ковариантность уравнения
непрерывности
Уравнение непрерывности (1-26) также является ковари-
антным. Покажем это. Напомним, что из (2.17) следует,
34
что закон преобразования эрмитово-сопряженного биспи-
нора при преобразованиях собственной группы Лоренца
имеет вид
ф+' (ж') = ф+ (ж) S+. (2.31)
Введем новое обозначение:
Ф(ж) = Ф+(т)7°. (2.32)
Функция Ф (ж) называется дираковски-сопряженным спи-
нором. Его преобразование, как это следует из (2.31) и
(2.28), задается следующим равенством:
ф' (ж') = Ф (ж) S-1. (2.33)
Теперь плотность вероятности и плотность тока веро-
ятности (1.26) можно (пока формально) записать в четы-
рехмерном виде:
= сФ+7°7,/Ф = сФ (ж) 7^Ф (ж);
= {сФ+Ф, сФ+йФ} . (2.34)
Установим закон преобразования величины
j'^ = сф' (а/) 7^ф' (ж') = сФ (ж) S-^S^ (ж) = (2.35)
= сА{)Ф (ж)7рФ (ж) = А£Г,
где использовано условие (2.20). Из выражения (2.35) яс-
но, что является лоренцевым 4-вектором, а уравнение
непрерывности
= 0
(2.36)
является ковариантным относительно преобразований Ло-
ренца.
35
2.6. Операция пространственного
отражения
В качестве одного из примеров несобственного преобразо-
вания Лоренца рассмотрим операцию пространственного
отражения:
= {ct, г} -> х'» = {ct, -г} . (2.37)
Закон преобразования волновой функции (2.17) при этом
трансформируется в
Ф' (ж') = Ф' (t, -г) = 5рф (t, г), (2.38)
где Sp - соответствующая матрица преобразования волно-
вой функции. Для ковариантности уравнения Дирака (2.2)
необходимо, чтобы такая матрица существовала, то есть
чтобы уравнение (2.20) имело решение. Поскольку пре-
образование (2.37) несобственное, то такую матрицу не-
льзя построить, используя инфинитезимальные преобразо-
вания. Но оказывается, что это уравнение можно решить
непосредственно:
Sp^Sp = KW -> | sL^ksPp = (2-39)
Условиям (2.39) можно удовлетворить, если выбрать опе-
ратор Sp в виде
Sp = (2.40)
где elv есть некоторый фазовый множитель.
2.7. Дираковские спиноры и неприводимые
представления группы Лоренца
Рассмотрим кратко вопрос о том, как связаны дираков-
ские четырехмерные спиноры Ф (ж) с объектами, преобра-
зующимися по неприводимым представлениям собственной
36
группы Лоренца. В связи с этим заметим, что неприво-
димые конечномерные представления группы собственных
преобразований Лоренца могут быть перенумерованы дву-
мя дискретными индексами, которые могут принимать по-
ложительные целые, полуцелые и нулевые значения. Убе-
димся в этом.
Введем в рассмотрение операторы (см. (2.14), (2.15)):
М = {М32,М13,М21}; N = {Moi,MO2,Mo3}, (2.41)
где M/II? (р,, v — 0,1, 2, 3) - генераторы группы Лоренца в
матричном представлении, полученные нами выше. Оче-
видно, что операторы М и N - это генераторы трехмер-
ных поворотов и бустов. Непосредственным расчетом на
основании явного вида матриц операторов М^ убеждаем-
ся, что коммутационные соотношения для компонент опе-
раторов (2.41) имеют вид
[Mi.Nj] =eijfcNfe. (2.42)
Продолжим наш анализ и введем операторы
А, = (Mz - iNz) , В, = (м, + iNz) (2.43)
Соотношения коммутации (2.42) теперь принимают вид
^A/jjAzJ = iekimA.m, ^Вд.,В/^| = яеитВт,
|^Afc, Bzj — 0.
Мы видим, что перестановочные соотношения для ка-
ждого из наборов операторов Az и Bz совпадают с пере-
становочными соотношениями, характерными для генера-
торов группы трехмерных вращений SO (3) (или груп-
пы SU (2)). Это означает, что каждый набор операторов
37
Ai и В/ генерирует группу трехмерных вращений, и эти
две группы коммутируют между собой. Таким образом,
собственная группа Лоренца локально изоморфна группе
5’0(3) ® 5’0(3), и состояния, преобразующиеся по непри-
водимым конечномерным представлениям такой группы
должны нумероваться значениями двух угловых моментов
(311З2), первый из которых соответствует набору операто-
ров Ац а второй - набору В;.
Рассмотрим прежде всего законы преобразования пау-
лиевских (двухкомпонентных) спиноров. Известно, что при
трехмерных поворотах они преобразуются по неприводи-
мому представлению D (|) группы трехмерных вращений
(то есть j = |). Генераторами этого представления явля-
ются матрицы Паули:
О
м« = 2СТб
и они удовлетворяют перестановочным соотношениям для
М/ в (2.42). Для того чтобы определить явный вид генера-
торов N/ (см. (2.41)), заметим, что одно из двух значений
угловых моментов (j'i, J2) в частном случае может быть
равно нулю:
О,о)
(0,j)
Bl = 0 -> Мг = -iNz;
Ai = 0 -4 М/ = ?NZ.
Определенные таким образом операторы N, также удовле-
творяют коммутационным соотношениям (2.42).
На этом пути мы получаем два вида спиноров. Спино-
ры первого типа преобразуются по D 0)-представлению
группы Лоренца, для которого
31 = 32 = О
'I _ 1
м« = Н = --07.
£
38
Спиноры второго типа преобразуются по D (О, |)-пред-
ставлению группы Лоренца, и для них
J1 = 0, j2 =
М, = -аг,
N/ =
В частности, если происходит поворот вокруг оси Oz
на угол </> и буст вдоль оси Ох с параметром ф>, то законы
преобразования спиноров обоих типов будут иметь следу-
ющий вид:
ф (1) —> ф' (1) = ехр
у
-ст3 (<£> + г^)
^(1) =
= Si (<£>,<£>) ^> (1),
(2.44)
/ 2 \
Ф (2) -4 ф' (2) = exp I -ст3 (<£> - i<p) ] ф (2) =
= 52(<А^(2). (2.45)
Важно подчеркнуть, что это — неэквивалентные предста-
вления группы Лоренца, ибо не существует матрицы L,
такой, что
S2(^,^)=LS1(^,^)L-1.
Итак, теперь очевидно, что если мы рассматриваем
только собственные преобразования Лоренца, то для опи-
сания частиц со спином 1/2 достаточно двухкомпонент-
ных спиноров, преобразующихся либо по представлению
D (|,0), либо по представлению D (0, группы Лоренца.
Иная ситуация возникает, если требуется, чтобы теория
была инвариантна относительно пространственных отра-
жений.
При операции пространственного отражения скорость
v, входящая в лоренцев буст, должна изменить знак:
39
v —> — v. При этом также поменяют знак генераторы N;
(N; —> — N/), а генераторы М/ не будут менять знак
(М; —> Mj). Но это означает, что представления D (|,0)
и D (0, меняются местами: D(^,0) <—> D (О, (см.
(2.44), (2.45)). То есть операция пространственного отра-
жения переводит спинор, преобразующийся по предста-
влению D (|,0) в спинор, преобразующийся по предста-
влению D (0, , и наоборот. Поэтому теперь уже недо-
статочно рассматривать спиноры ^(1) и (2) по отдель-
ности, а следует рассмотреть четырехкомпонентные спи-
норы, являющиеся прямыми суммами спиноров первого и
второго типов.
Наиболее наглядный вид законы преобразования 4-спи-
норов приобретают в так называемом киральном предста-
влении дираковских матриц (8.9), где
а четырехкомпонентный спинор (биспинор) Ф имеет вид
V’(l)
V>(2)
(2-47)
При преобразованиях Лоренца двухкомпонентные спино-
ры, входящие в (2.47), преобразуются независимо согласно
Ф -> Ф' = S (<р, 97) Ф =
/ Si (<А^) 0 \ / V’(l) А
\ О S2 (</?, £) / V (2) 7
/ е&(ч>+Ир) 0 \ / .0Q)
— I о e^s(v>-iv) I (2)
(2.48)
40
что полностью соответствует рассмотренным выше пре-
образованиям дираковских волновых функций при поворо-
тах и бустах (2.26) и (2.24). (Чтобы установить данное со-
ответствие, нужно вначале в (2.26) и (2.24) перейти к ки-
ральному представлению 7-матриц.) При пространствен-
ном отражении четырехмерный спинор (2.47) преобразу-
ется следующим образом (см. также (2.40)):
( ^(1) \ ( 0 1 \ / ^(1) \ / ^(2) \
V ^(2) J \Т 0 Д ^(2) J V ЯП J ’
Таким образом, четырехмерный спинор Ф преобразует-
ся по неприводимому представлению Д(|,0) ф Д(0,|)
собственной группы Лоренца, расширенной по простран-
ственным отражениям.
2.8. Калибровочная инвариантность
уравнения Дирака
Отметим здесь еще один очень важный вид симметрии
уравнения Дирака - инвариантность относительно кали-
бровочных преобразований. При написании уравнения для
электрона во внешнем поле в виде (1.24) или в другом,
эквивалентном, виде
— тс} Ф (а?) = 0
(2.49)
(здесь /Д1 = d,J + ^А^, см. (1.13); Д/1 = {</?, А} - 4-по-
тенциал внешнего поля), может показаться, что уравнение
(2.49) или гамильтониан (1.24) могут изменить вид при
градиентном преобразовании потенциала:
А —> А' = А + V f (а?) 1
-> Д'2 -> Д^ = Др' - d^f (ж). (2.50)
41
Электрическое и магнитное поля остаются инвариантны-
ми при преобразовании (2.50). На самом деле, если одновре-
менно с (2.50) произвести преобразование волновой функ-
ции по закону
Ф (а?) —> Ф' (ж) = е^^Ф (ж), (2-51)
то уравнение (2.49) останется инвариантным.
Преобразования (2.50) и (2.51), выполняемые совмест-
но, называют калибровочными преобразованиями, а соот-
ветствующее свойство инвариантности уравнения - кали-
бровочной инвариантностью, ибо функция / (гг), как видно
из (2.51), определяет калибровку потенциала (Вейль, 1929;
Фок, 1926).
Отметим, что свойство калибровочной инвариантности
теории в современной физике стало чрезвычайно важным,
наличие вышеупомянутой инвариантности в теории рас-
сматривается зачастую наряду с лоренц-инвариантностью
в качестве критерия физической значимости теории.
В заключение отметим, что симметрии уравнения Ди-
рака не исчерпываются рассмотренными в главе 2. Кроме
этого, уравнение инвариантно при обращении времени и
зарядовом сопряжении (см. главу 7).
42
Глава 3
Интерпретация операторов
в теории Дирака
3.1. Операторы преобразования
в теории Дирака
Продолжим наш анализ трансформационных свойств урав-
нения Дирака и дираковской волновой функции, обобщая
на релятивистский случай концепцию операторов преобра-
зования волновой функции, успешно работающую в не-
релятивистской квантовой теории Шрёдингера. В соот-
ветствии с этим закон действия оператора преобразова-
ния волновой функции должен быть определен следующим
образом:
Ф'(х) = ТФ (я). (3.1)
Операторы преобразования Т действуют в пространстве
волновых функций Д(°р6) 0 Д(спин) и осуществляют некото-
рое представление группы преобразования системы отсче-
та. Естественно, нас будут интересовать не произвольные
преобразования вида (3.1), а так называемые преобразо-
вания инвариантности, то есть преобразования, оставляю-
щие неизменным поведение физической системы (в нашем
случае дираковской частицы). Ясно, что это требование
сводится к требованию инвариантности уравнения Дирака
43
при таких преобразованиях, то есть
(ihr^dp — тс) = D;
T-1DT = D —> Гб,т1 = 0.
(3-2)
Соотношение коммутации (3.2) и указывает на инвари-
антность уравнения Дирака при преобразованиях ви-
да (3.1). В первую очередь нас будут интересовать законы
преобразования волновой функции при пространственно-
временных трансляциях, отражениях, преобразованиях
Лоренца.
Общий вид оператора Т легко написать. В самом де-
ле, сравним закон преобразования (3.1) (для конкретного
случая - преобразований Лоренца) с рассмотренным вы-
ше законом преобразования дираковской волновой функ-
ции (2.17). Из второго равенства формулы (2.17) ясно, что
в случае преобразования Лоренца определению (3.1) соот-
ветствует запись:
Ф' (ж) = S (Л) Ф (Л-1т) . (3.3)
Таким образом, действие оператора S (Л), который, как мы
убедились, действует в пространстве внутренних (т.е. спи-
новых) переменных дираковской частицы, должно быть до-
полнено преобразованием пространственно-временных ко-
ординат. На основании данного примера становится ясно,
что операторы преобразования Т должны строиться сле-
дующим образом:
_ т(спин) ^(орб)
и представлять собой прямые произведения операторов
Т(спин\ действующих только в спиновом пространстве, и
Т(орб), действующих только на орбитальные переменные.
44
Это достаточно очевидно, если вспомнить, что простран-
ство, в котором должны действовать операторы Т, соглас-
но п. 1.4 главы 1 есть Д(спин) 0 Д(°р6).
Рассмотрим кратко некоторые конкретные случаи пре-
образований.
3.1.1. Пространственно-временные трансляции
В этом случае, очевидно, т(СШ1Н) = 1, то есть
Ф' (ЖМ) = таФ (Жм) = ф = Ф (а/1 + а*1), (3.4)
где а11 - постоянный 4-вектор сдвига начала системы от-
счета: х'11 = эТ — <7М. Действуя по аналогии с трехмерным
случаем, найдем инфинитезимальное преобразование, сле-
дующее из выражения (3.4):
/ ✓-) \
Т<5аФ (т^) = Ф (жм + (W*) ~ ( 1 + —- | Ф (х'1).
у cjxJ1)
Генераторы группы трансляций в координатном предста-
влении мы, исходя из преемственности с трехмерным слу-
чаем, должны интерпретировать (с точностью до констан-
ты) как ковариантные компоненты 4-оператора энергии-
импульса:
Q
V» = ihd^ “ihd^ (3’5)
Тем самым дается обоснование правил сопоставления
(1.4), использованных нами для “вывода” релятивистских
волновых уравнений на основании принципа соответствия.
3.1.2. Пространственно-временные вращения
Рассмотрим вначале трехмерный поворот на угол ip вокруг
оси в направлении единичного вектора и. Поскольку это
45
не что иное, как частный случай преобразования из соб-
ственной группы Лоренца, то из (3.3) следует, что закон
преобразования волновой функции при этом должен иметь
вид
Ф' (я)=т(¥,п)ф (ж) = S (Л (<^п)) Ф (Л 1 (<^п) ж).
Рассмотрим инфинитезимальный поворот на угол
Ф'(ж) = Т(^п)ф (ж) ~
~ (1 + 8<рТ) Ф (а^ - -
= (T+*f)(T-«^)'
~ < 1 + 6у> Т ® 1 — 1 ® Х^х"-^—
дх!!
Ф(ж).(3.6)
Конкретизируем ситуацию: пусть это будет поворот во-
круг оси Oz. Тогда Т = |Хз - генератор такого преобра-
зования в пространстве спиновых переменных (см. (2.25)),
a AJ, = — А| = 1 - отличные от нуля компоненты матри-
цы Х„ - генератора такого поворота в координатном про-
странстве (см. (2.13)). Таким образом, из (3.6) следует, что
генератор данного преобразования в пространстве волно-
вых функций
Лз = —ih
дх^
з
нужно трактовать (с точностью до константы) как третью
компоненту оператора полного углового момента дираков-
ской частицы:
Лз = S3 ® 1 + 1 ® L3; S3 —-Х3, Ьз=[гр]|3. (3.7)
46
Как это следует из (3.7), компоненты оператора L дей-
ствуют только на орбитальные переменные (орбитальный
момент), а компоненты оператора S действуют только на
спиновые переменные (оператор спина). Кроме того, ком-
поненты операторов L, S и J обладают коммутационны-
ми соотношениями, характерными для углового момента:
|jfc, = ihekim^m- Отметим, что справедливо соотноше-
ние: S2 = |Л21, означающее, что дираковская частица име-
ет спиновый момент, равный 1/2 (в единицах К). (См. гла-
ву 2, п. 2.4.)
По аналогии с (3.6) можно рассмотреть также и закон
преобразования дираковской волновой функции при лорен-
цевых бустах.
В итоге мы получим явный вид генераторов собствен-
ной группы Лоренца в представлении, реализованном в
пространстве волновых функций Е^орб^ ®_£)(спин). Шесть ге-
нераторов этого представления образуют антисимметрич-
ный тензор, который (с точностью до общего множителя
К) представляет собой тензор полного углового момента
дираковской частицы1:
>" = 1^01 + 1® (х'1р" - р^х17).
(3-8)
Операторы компонент вектора полного углового момента
(см. (3.7)) связаны с (3.8) соотношениями Jj = ^eijkJik
(г, j, к — 1,2,3) и являются (с точностью до множителя К)
генераторами трехмерных вращений (см. (3.7)). Компонен-
ты тензора (3.8) Ло представляют собой (с точностью до
множителя К) генераторы бустов вдоль осей Ох, Оу, Oz.
13десь удобно (в отличие от (2.14), (2.15), (2.27)) использовать
эрмитовы генераторы, добавив в прежнее определение множитель —г.
47
3.1.3. Четность
С преобразованием пространственного отражения связан
оператор четности, который, как следует из (2.38), (2.40),
должен иметь вид
Р = е^7°1,
(3-9)
где I - обычный оператор инверсии, знакомый по уравне-
нию Шредингера; 1Ф (г, t) = Ф (—г, t). Очевидно, что опе-
ратор Р эрмитов, если положить фазу </? = 0, и его соб-
ственные значения равны ±1.
3.2. Интегралы движения в теории Дирака
Из известной теоремы Э. Нетер (1918 г.) следует, что ин-
вариантности гамильтониана физической системы относи-
тельно какой-либо группы преобразований координат со-
ответствует некоторый закон сохранения. В нашем случае
свойство инвариантности уравнения Дирака относительно
преобразований, задаваемых операторомТ (3.2), можно пе-
реформулировать на языке законов сохранения. При этом
следует иметь в виду, что если оператор Т включает за-
висимость от времени (временные трансляции, бусты), то
зависимость Ф (г, t) от времени, вообще говоря, изменяет-
ся. Если преобразование не зависит от времени, то опера-
тор Т сводится к некоторой функции инфинитезимальных
трансляций, поворотов, а также отражений (функции опе-
раторов р, J и Р). Все эти операторы коммутируют с 70,
поэтому
D = - Нр } ; [6,Т] = 0 -> [Нр,т] = 0. (3.10)
Из (3.10) следует, что для свободной частицы интеграла-
ми движения являются физические величины; р (импульс),
48
J (полный угловой момент), Р (четность). По существу,
(3.10) представляет собой обобщение на случай реляти-
вистской дираковской частицы техники, связанной с ин-
тегралами движения в теории Шрёдингера.
3.3. Решение уравнения Дирака
для свободной частицы
Перед дальнейшим рассмотрением свойств операторов в
теории Дирака представляется необходимым привести од-
но из простейших решений этого уравнения - для случая
свободной частицы. В дальнейшем мы будем писать урав-
нение Дирака в гамильтоновой форме:
г/г^Ф = НрФ = {с (Др) +/Згас2} Ф. (311)
В (3.11), как и прежде, время считается числовым пара-
метром (параметром эволюции), а пространственные ко-
ординаты - динамическими переменными. В нашем даль-
нейшем изложении релятивистская инвариантность урав-
нения Дирака не будет играть существенной роли, зато в
такой форме записи ситуация с уравнением (3.11) нам бли-
же к знакомой по уравнению Шрёдингера. В частности,
сюда переносятся аппарат теории представлений и стати-
стическая интерпретация, разработанные для уравнения
Шрёдингера.
Рассмотрим решение уравнения (3.11). Для стационар-
ных состояний зависимость волновой функции от времени
имеет следующий вид:
Ф (г, t) — (г),
причем (г) удовлетворяет стационарному уравнению
уравнению на собственные значения гамильтониана
49
Дирака:
(г) = Еф (г).
(3.12)
Операторы трех компонент импульса р коммутируют с га-
мильтонианом (см. (3.10)), и, следовательно, уравнение
рФ (г) = рф (г)
(3.13)
заведомо будет совместным с (3 12). Условие (3.13) ука-
зывает на то, что решения (3.12) следует искать в виде
плоских волн
• (рг)
ф (г) = и (р, Е~) ё *, (3.14)
где и (р, Е) - не зависящий от координат и времени биспи-
нор. Учитывая (3.14), перейдем к так называемой “расщеп-
ленной” форме записи уравнения (3.12) (мы принимаем во
внимание (1.23)):
с (стр) Х= (Е- "ic2)
с (стр) ip = (Д + тс2)
У,
X,
(3.15)
где считается, что
У =
«з
U4
(3.16)
, х =
двухкомпонентные функции. Уравнения (3.15) совмест-
ны, если только
с2 (стр) (стр) = Е2 — т2с4.
С учетом известного тождества
50
это приводит к выводу:
Е = ^Ер = £у/с2р2 + т2с4, С = ±1 (3.17)
знак энергии. Двум знакам энергии отвечают два типа
решений уравнения Дирака, соответствующие различным
знакам энергии в экспоненте, то есть различным типам
зависимости функций от времени.
Рассмотрим оператор
Л Но с (ар) + Рте2
Л = х1/2 ------Ё-----( 18)
(нь)
имеющий особенно простой вид в импульсном представле-
нии. Очевидно, что данный оператор эрмитов и унитарен:
л+ = л = л-1, Л2=Т.
Кроме того, он коммутирует с гамильтонианом Пр, и по-
этому его собственные значения могут быть использова-
ны для классификации состояний, собственных для Нр.
Собственные значения оператора Л есть £ = ±1, причем
£ = +1 соответствует положительному (Е > 0), а £ = — 1
- отрицательному знаку энергии (Е < 0). В связи с этим
Л обычно называют знаковым оператором. Для свободного
движения энергия Ер, импульс р, и £ (знак энергии) явля-
ются интегралами движения и могут одновременно прини-
мать определенные значения.
Таким образом, мы видим, что для уравнения Дира-
ка, как и для уравнения Кляйна-Фока- Гордона, существу-
ет проблема наличия решений с отрицательной энергией,
которые не встречались ранее ни в релятивистской клас-
сической механике, ни в квантовой механике Шрёдинге-
ра- Паули. Отбросить решения с отрицательной энерги-
ей нельзя, ибо тем самым мы бы отбросили просто часть
51
полной системы решений уравнения (3.11). В результа-
те система функций потеряет полноту, и тогда окажется
несостоятельной статистическая интерпретация волновой
функции. Значит, необходимо сохранять решения с £ = — 1
и искать им разумную физическую интерпретацию (см.
главу 7).
Вернемся к решению уравнения (3.11). Из (3.15), (3.16)
следует, что биспинор и (р, Е) можно представить в виде
и (р, Е) = N
c(gp)
£ЕР + тпс2^
(3.19)
где N - нормировочный коэффициент, а <р - остающий-
ся пока неопределенным двумерный спинор, нормируемый
условием
(р+(р = 1.
(3.20)
Из (3.19) с учетом (3.20) следует, что нормировочный ко-
эффициент N равен
Найдем функцию </?. Неоднозначность в выборе <р связа-
на с наличием спина у дираковской частицы. Рассмотрим
оператор (Sp) / р, где р = |р|. Собственные значения это-
го оператора должны характеризовать проекцию спина на
направление движения, то есть это - оператор продоль-
ной поляризации. Легко показать, что оператор продоль-
ной поляризации коммутирует с гамильтонианом, поэтому
физическая величина, соответствующая ему, является ин-
тегралом движения. В связи со сказанным к уравнениям
52
(3.12), (3.13) можно добавить уравнение
Р
•ф (г) = sip (г),
(3-21)
где собственное значение s = ±1 называется спирально-
стью частицы. Из выражения (3.21) следует, что в со-
стояниях с положительной (s = +1) или отрицательной
(s = —1) спиральностью спин частицы направлен соот-
ветственно вдоль или против ее импульса. Решение (3.21)
действительно дает возможность определить функцию </?,
ибо оно с учетом (3.19) сводится к
(стр) у = sptp.
(3.22)
Уравнение (3.22) есть не что иное, как уравнение для пау-
лиевских спиноров с определенной проекцией спина на на-
правление импульса. Его решение может быть представле-
но в виде
(3.23)
где tg ё = Ру/Рх- Объединяя наши результаты (3.19), (3.23),
мы получаем нормированные собственные функции опера-
53
торов Нд, р, Л и
(Sp)/p:
e-|«Sp-pr)
Фр.е„(г,«) = —
2\ 1/2
ТПС \
~^Ёр)
/ 2\ I/2
\ -L-Jp /
(3.24)
Функции (3.24) образуют ортонормированную систему:
/ (Г’ ФР'.<'.8' (Г, t) = ^рр'^'^8'-
Подведем некоторые итоги. Кроме двух возможных зна-
чений проекции спина на некоторое направление (как в те-
ории Паули), состояние дираковской частицы может ха-
рактеризоваться еще двумя возможными знаками энергии
£ = ±1. Это обеспечивается четырехкомпонентностью ди-
раковских спиноров.
В нерелятивистском приближении (Ер ~ тс2 + е, е
тс2) для состояний с положительной энергией (£ = +1)
две нижние компоненты чрз и биспинора -0 малы по срав-
нению с двумя верхними (их называют в этом случае “ма-
лыми” по сравнению с гфч и ^2 ~ “большими” компонен-
тами). Для отрицательных значений энергии ситуация
обратная: “малые” и “большие” компоненты меняются ме-
стами.
54
Если частица движется вдоль оси Oz (p = Pz)i то из
(3.23) следует, что
и это вполне логично, если учесть, что (стр)/ р при этом
переходит просто в ст2.
Полученное нами решение (3.24) будет использоваться
в дальнейшем (см. главы 7, 8).
3.4. Сложности в интерпретации
операторов в теории Дирака
Займемся теперь физической интерпретацией некоторых
операторов, встречающихся в теории Дирака. В предыду-
щем разделе данной главы мы работали с операторами Га-
мильтона, импульса, продольной поляризации и другими.
Основываясь на принципе соответствия, а также на выво-
дах п. 3.1 настоящей главы, уточним интерпретацию этих
и других операторов, а также остановимся на некоторых
сложностях, встречающихся при интерпретации операто-
ров в теории Дирака.
Хорошей физической интерпретации поддаются опера-
торы трех компонент импульса р (действующие только в
пространстве орбитальных переменных), а также операто-
ры H/j (энергии), S (спина), J (полного углового момента),
Р (четности), действующие как в пространстве орбиталь-
ных, так и внутренних переменных, но имеющие простую
структуру, либо связанные с законами преобразования вол-
новой функции при вращениях и отражениях (см., напри-
мер, п. 2.4 главы 2).
Однако уже при рассмотрении оператора момента воз-
никает проблема. Дело в том, что в теории Дирака орби-
55
тальный момент не является интегралом движения:
= —ihc [Sp]|fc 0. (3.25)
To же верно и в отношении компонент оператора спина:
[Нг>, Sfc] = ihc [Sp]|fe 0. (3.26)
Только полный угловой момент J = L + S является ин-
тегралом движения. Сохранение L и S по отдельности
возможно лишь в нерелятивистском приближении теории.
Строгое разделение орбитального и спинового моментов
в теории Дирака исключено. В условиях релятивистско-
го движения ярко выступает их единство, то есть наличие
определенного рода связей между спиновым состоянием ча-
стицы и ее орбитальным движением.
Физически несохранение по отдельности L и S связано
с особым характером движения дираковского электрона —
интерференцией состояний, принадлежащих разным зна-
кам энергии (см. (3.17)). “Отбросить” отрицательные зна-
чения энергии “из физических соображений” нельзя, пото-
му что при этом система решений уравнения (3.11) про-
сто потеряла бы полноту. Значит, необходимо сохранять
решения с £ = —1 (Д — — |Д| —Ер) и интерпретировать
их физически (подробнее об интерпретации таких решений
см. в главе 7).
Если попытаться проинтерпретировать в духе принци-
па соответствия оператор скорости в теории Дирака, то
мы придем к весьма странным, даже с точки зрения теории
Шрёдингера, результатам. В самом деле, перейдем в гей-
зенберговское представление и вычислим оператор dx./dt,
представляющий собой, очевидно, х-компоненту (vx) опе-
ратора скорости. При учете явного вида гамильтониана
56
(3.11) нетрудно получить, что
Ц = Vx = [Hp,xj = ^cSj [рж,х] = cap (3.27)
Результат (3.27) представляется странным по следующим
причинам. Во-первых, поскольку собственные значения
оператора Si равны ±1, то оказывается, что собствен-
ные значения операторов компонент скорости равны ±с,
хотя в действительности скорость может принимать лю-
бые значения в промежутке от —с до +с. Во-вторых, как
было отмечено выше (см. (1.18)), матрицы Sj не коммути-
руют между собой, что должно приводить к принципиаль-
ной невозможности одновременно измерить хотя бы две
компоненты скорости. И, наконец, в теории Дирака про-
исходит так называемое “расщепление” понятий скорости
и импульса, то есть отсутствуют обычные, аналогичные
существующим в релятивистской классической механике
связи между операторами скорости и импульса. (Напомним
для сравнения, что нерелятивистский аналог (3.27) выгля-
дит следующим образом: vx = рх/гп-, и здесь присутству-
ет формальная аналогия с нерелятивистской классической
механикой.) “Расщепление” понятий скорости и импульса
в теории Дирака и другие, отмеченные выше, сложности
в физической интерпретации оператора скорости также
непосредственно связаны с интерференцией состояний с
различными знаками энергии.
Проиллюстрируем наличие такой интерференции на
следующем простом примере. Полное решение уравнения
Дирака (для свободного движения) должно представлять
собой линейную суперпозицию (пакет) состояний с разны-
ми знаками энергии (см. (3.24)). Поскольку нас в первую
очередь интересует именно явление интерференции, рас-
смотрим состояние в виде суперпозиции двух стационар-
ных состояний (3.24) с одинаковыми квантовыми числами,
57
но отличающиеся знаком энергии £ = ±1, то есть
Ф (г, t) = А1е-Ш4^ (+) + Д2еШ4^ (-) - (3.28)
Здесь Q = |Е’| /К; ^(±) — и (С — ±1)егрг/Л (см. (3.24)), Ai
и Д2 комплексные амплитуды. Как было показано выше,
решения (+) и ip (—) ортогональны:
У^+ (±Ит)Л = О.
Следовательно, вероятность (и плотность вероятности)
для состояния (3.28) не зависит от времени:
У Ф+ (г, t) Ф (г, t) d3x =
= I [|А1|2'0+ (+)-0(+) + |Л2|2^+(-)^(-)]^-1.
В то же время ток вероятности обнаруживает зависимость
от времени:
У)=еу'ф+(г,()аФ(г,1)А =
= с / d3T 11 Ai |2 ip+ (+) Sip (+) + |Л2|2 ip+ (—) aip (-) +
+ A*iA2iP+ (+) Sip (-) е2Ш‘ +
+ А*2АцР+ (-)SiP(+) e~2int} . (3.29)
Таким образом, наряду с первыми двумя слагаемыми, не
зависящими от времени (и, как мы увидим, поддающими-
ся простой классической интерпретации), в (3.29) имеются
еще два сильно осциллирующих (с периодом Т = irh/ |Д|
или частотой 2 \E\c/h ~ 1, 6 • 1021 с-1) члена. Этот слож-
ный характер движения дираковского электрона, извест-
ный еще Шрёдингеру, был назван им “дрожанием”, или
“дрожащим движением” - “Zitterbewegung”. Данное явле-
ние, по существу, и затрудняет классическую интерпрета-
цию квантовых расчетов.
58
3.5. Операторы с дефинитной четностью
Следуя нашей программе
(см. главу 1, п. 1.1), мы
хотим и в дальнейшем
(хотя бы приближенно)
остаться в рамках од-
ночастичной теории. Это
осложняется тем обстоя-
тельством, что локализа-
ция электрона ограниче-
на величиной квантового
радиуса гкв ~ К/тс =
= Акомпт- Действитель-
но, в вакууме происхо-
Рис. 3.1. Путь электрона, испыты-
вающего “дрожание”
дит спонтанное рождение
виртуальных электрон-позитронных пар. В силу соотно-
шения неопределенностей AEAt > h виртуальная пара
может существовать в течение промежутка времени At ~
~ Я/ДЕ ~ К/тс2. За это время электрон и позитрон не мо-
гут разойтись дальше, чем на расстояние Ar ~ h/mc = гкв
даже, если они движутся с релятивистскими скоростями.
Может оказаться, что электрон в процессе своего дви-
жения аннигилирует с позитроном виртуальной пары, и
при этом другой электрон (“продолжающий” движение
первого) окажется на расстоянии ~ Аг = гкв (см. рис. 3.1).
Следовательно, локализация электрона на расстояниях,
меньших гкв, невозможна, и последовательная квантовая
теория движения одной частицы может дать лишь при-
ближенное описание тех явлений, в которых эффекты ро-
ждения виртуальных (и реальных) пар мало существенны,
и ими можно пренебречь. Ясно, что одночастичный под-
ход не может быть сохранен при приближении к электрону
ближе, чем на расстояние, равное гкв.
59
Учитывая эти замечания, продолжим построение одно-
частичной теории движения электрона. Поскольку причи-
ной “дрожащего движения” является интерференция со-
стояний с различными знаками энергии, то необходимо
ввести преобразования, позволяющие рассматривать со-
стояния только с одним знаком энергии (как в нереляти-
вистской теории Шрёдингера), а также операторы, не сме-
шивающие состояния с разными знаками энергии. Для сво-
бодной дираковской частицы, рассматриваемой нами, та-
кая постановка задачи находит решение. В случае, если
частица не является свободной и находится в поле внешне-
го потенциала, одночастичная интерпретация становится
невозможной при некоторых критических значениях внеш-
них полей (см главу 7, парадокс Кляйна).
Введенный нами знаковый оператор Л (3.18) позволя-
ет построить проекционные операторы, которые при дей-
ствии на произвольную волновую функцию Дирака вы-
деляют из нее части, соответствующие положительному
(или отрицательному) знаку энергии:
Ф (±) = | (1 ± л) Ф, (3.30)
ибо оператор Л действует на Ф по следующей схеме-
ЛФ (±) = £Ф (±).
(Здесь Ф (±) - состояние с определенным знаком энергии
общего вида, т.е. суперпозиция состояний ф (±) из (3.28).)
В последовательной одночастичной теории, кроме то-
го, как было указано выше, физические величины должны
описываться операторами, не смешивающими между собой
состояния с различными знаками энергии. Такие опера-
торы называются четными (или “одночастичными”). Чет-
ный оператор переводит волновую функцию с определен-
ным знаком энергии в функцию с тем же знаком энергии, а
60
нечетный оператор в функцию с другим знаком энергии:
[₽]Ф(±) = Ф_(±),
{Г}Ф (±) = ф (Т)
(3.31)
В общем случае любой оператор в теории Дирака можно
разложить на четную и нечетную часть:
F = [F] + {F}.
(3.32)
Определим в явном виде правила разложения (3.32). По
определению оператора Л и исходя из (3.31), можно запи-
сать, что
₽Ф (±) = [₽]Ф (±) + {₽}Ф (±),
Л₽ЛФ (±) = ±Л₽Ф (±) = [Р]Ф (±) - {₽}Ф (±) -
Складывая и вычитая полученные равенства, найдем
[F] = |(f + AFA),
{F} = |(F-AFA).
(3.33)
(3.34)
На основании (3.33) нетрудно убедиться в том, что чет-
ная часть оператора F является интегралом движения2.
Она коммутирует с гамильтонианом и сохраняется во вре-
мени:
= О-
Кроме того, как мы увидим ниже, четная часть оператора
допускает простую классическую интерпретацию.
2В случае, если оператор F не является функцией координат (см.
(3.41), (3.42)).
61
На основании (3.34) нетрудно заключить, что нечет-
ная часть оператора антикоммутирует с гамильтонианом,
интегралом движения не является, и более того - осцил-
лирует во времени с частотой ~ 2 |Z| /К и, следовательно,
вызывает явление “Zitterbewegung”. В самом деле, для {F}
в представлении Гейзенберга мы получаем уравнение
1{F} = | (hd{F} - {F}HC) = -у {F}HC,
CZzv /ь ' / It,
которое имеет решение (считается, что dVL/dt = 0)
{F(t)} = {F(0)}e-^
(3.35)
Среднее значение такого оператора в состоянии (3.28) бу-
дет осциллировать с частотой ~ 2 |I?| /h.
Рассмотрим конкретные примеры по выделению чет-
ных частей операторов.
3.5.1. Оператор скорости
Вычислим при помощи (3.33), (3.34) четную и нечетную
части оператора скорости vx (3.27):
2^
[vx] = c[aj] = — 1^Л,
{v,:} = с{21} = c{ai (0)}e“ Л .
(3.36)
(3.37)
Из (3.36) следует, что четная часть оператора скорости
для решений с положительной энергией (£ = +1) связана
с оператором импульса соотношением, соответствующим
связи между скоростью и импульсом в классической ре-
лятивистской теории - четная часть оператора скорости
62
допускает простую классическую интерпретацию. Нечет-
ная часть оператора скорости, напротив, не имеет клас-
сического аналога. Она характеризуется быстрыми осцил-
ляциями и приводит к “Zitterbewegung”. (Если воспользо-
ваться введенным нами в (3.28) состоянием и найти опять
ток вероятности (j) = с (2), выделяя в явном виде четную
и нечетную части 2, то мы увидим, что осциллирующие и
не поддающиеся классической интерпретации слагаемые в
(3.29) происходят именно от нечетной части {2}.)
3.5.2. Оператор момента
Выясним, в чем причина несохранения порознь орбиталь-
ного и спинового момента в теории Дирака. Легко полу-
чить на основании (3.25), (3.26), что
= ЯНр,£1 =с[{2(0)}р]е-^, (3.38)
at п, L J
i 2гНг>*
~ = г Hp,S = -с[{2(0)}р]е—(3.39)
at a L J
Отсюда видно, что несохранение порознь орбитального и
спинового моментов в теории Дирака связано со шрёдин-
геровским дрожанием. Причем, как это следует из (3.38),
(3.39), полный угловой момент J = L + S сохраняется, ос-
цилляции гасятся.
3.5.3. Оператор координаты
Найдем зависимость от времени оператора координаты с
учетом (3.36), (3.37):
cfx
dt
63
откуда в результате интегрирования получим
Л , 2iHnt / \ —1
х = хо + ——A + Л ih (2H/;j . (3.40)
Из (3.40) видно, что координата, как и скорость, мо-
жет быть разложена на две части (электрон участвует в
двух видах движения): “макрокоординату”, соответству-
ющую обычному представлению о равномерном движении
(“макродвижение” - аналог классического движения по
траектории):
Хмакро — Х0 +
И/р
(3-41)
и колебательную “микрокоординату”, соответствующую
шрёдингеровскому дрожанию, связанному с переходами в
состояния с отрицательными значениями энергии (“микро-
движение”, ему отвечает последнее слагаемое в (3.40)).
Если в операторе координаты выделить, согласно (3.33),
четную часть
[х] = 2 + = 2 ~
ihcai^. ihc2px
2Ер +
(3.42)
то, восстанавливая зависимость от времени х (t) в предста-
влении Гейзенберга (3.40), мы получим, что
[х] =х
макро (0 •
“Дрожащая”, т.е. нечетная, часть координаты (3 40) ос-
циллирует с амплитудой
|Хмикро|-|{х}|- 2)Е| 2тс,
(3.43)
64
по порядку величины равной комптоновской длине волны
частицы. Таким образом, “микродвижение” электрона ока-
зывается локализованным пространственно также величи-
ной квантового радиуса электрона.
Частота осцилляций весьма велика: она равна, по край-
ней мере, 2тс2/Й ~ 1,6 • 1021 с-1. По-видимому, ни в каком
реальном эксперименте эффект осцилляций наблюдать не-
льзя. Можно получить приближенное представление о дви-
жении одной частицы в релятивистской квантовой механи-
ке (среднее положение), усреднив по конечным промежут-
кам времени и отбросив осцилляции.
Последовательное устране-
ние “Zitterbewegung” в теории
обеспечивается переходом от
операторов физических вели- \ —
чин к их четным частям со- z~ '
гласно (3.33). При этом полу-
чается, что электрон никогда \ Й
не будет переходить в состоя- / \ ~ 2тс
ния с отрицательными значе-
ниями энергии, если первона- Рис. 3.2. “Микро- и макро-
чально он находился в состоя- движение” электрона
нии с положительной энергией.
Условия возможности исключения “Zitterbewegung” (ма-
лость амплитуды высокочастотных колебаний по сравне-
нию с характерным параметром локализации макроскопи-
ческого движения), как это следует из изложенного вы-
ше, совпадают с условиями применимости одночастичного
приближения. Тем самым обосновывается второе название
для четных операторов - “одночастичные” операторы.
Итак, в результате перехода к четным операторам мы
получаем так называемую “одночастичную” теорию, опи-
сывающую приближенно только такие явления, в которых
эффекты рождения виртуальных и реальных пар мало су-
65
щественны, т.е. явления, протекающие при малых энер-
гиях и докритических значениях внешних полей (см. гла-
ву 7). В развиваемой нами “одночастичной” теории в каче-
стве оператора координаты, например, следует взять опе-
ратор [х] (3.42) “среднего положения частицы”. В случае
отсутствия движения (р = 0) мы приходим в (3.42) к так
называемому оператору “центра инерции”, впервые вве-
денному В.А. Фоком:
ifi
Хц. инерции = X + -44)
Данный оператор показывает, что после устранения “дро-
жания” электрон как бы “размазывается” в области про-
странства, размеры которой имеют порядок комптонов-
ской длины волны - квантового радиуса электрона. Это
означает, что при этом положение электрона оказывается
усредненным по объему с линейными размерами порядка
ti/тпс _ Акомпт = гкв.
66
Глава 4
Представление Фолди—Ваутхайзена
4.1. Преобразование волновых функций
и гамильтониана
При исследовании свободного движения дираковской ча-
стицы в и. 3.3 главы 3 нами отмечалось, что в нереля-
тивистском пределе (Е ~ тс2 + е, е -С тс2) две из четы-
рех компонент волновой функции становятся “малыми” по
сравнению с двумя другими, а в случае отсутствия движе-
ния, то есть в системе покоя (р = 0), эти “малые” компо-
ненты вообще обращаются в ноль. Таким образом, в систе-
ме покоя частицы волновая функция становится двухком-
понентной: зануляются либо г/’з и (для положительного
значения энергии £ = +1), либо ^1 и (для отрицатель-
ных значений энергии £ = —1).
Из нерелятивистской теории Паули хорошо известно,
что для описания спиновых состояний у частицы со спи-
ном 1/2 необходимо, чтобы волновая функция имела всего
две компоненты (“паулиевские” спиноры). Между тем по-
пытки построения последовательной релятивистской двух-
компонентной теории успеха не имели. Как уже отмеча-
лось выше, волновая функция - решение уравнения Дирака
является четырехкомпонентной, ибо она может описывать
решения двух знаков энергии (£ = ±1). Казалось бы, что
если зафиксировать знак энергии (£ = +1 или £ = —1), то
67
далее для описания двух возможных проекций спина доста-
точно двух компонент у волновой функции - и в этом смы-
сле в традиционной формулировке теории Дирака имеются
определенные излишества. Таким образом, должна суще-
ствовать возможность ввести такое преобразование, после
которого волновые функции дираковских частиц имели бы
ровно две компоненты (как в теории Паули).
Эта задача была решена Фолди и Ваутхайзеном (1950),
которые предложили перейти к новому представлению в
теории Дирака при помощи канонического преобразования,
при котором уравнение Дирака превращается в два двух-
компонентных уравнения. Одно из этих уравнений, как бу-
дет показано ниже (5.8), в нерелятивистском пределе пе-
реходит в уравнение Паули, а другое служит для описа-
ния состояний с отрицательной энергией. В представле-
нии Фолди-Ваутхайзена (ФВ) волновая функция являет-
ся двухкомпонентной не только в системе покоя, но и в
лабораторной системе отсчета. Отметим также, что точ-
ное решение описываемой здесь проблемы возможно лишь
в случае свободной дираковской частицы, если же части-
ца находится во внешнем поле, то подобный подход может
быть проведен лишь приближенно (в так называемом ква-
зирелятивистском приближении, см. п. 5.2).
Найдем явный вид преобразования Фолди- Ваутхайзена.
Основная причина, по которой в представлении Дирака ре-
шения являются четырехкомпонентными, заключается в
том, что гамильтониан (1.19) содержит операторы (матри-
цы Si), связывающие верхние ('</Ji, '0г) и нижние ('0з, чМ
компоненты волновой функции. В связи с этим попытаемся
найти унитарное преобразование UfWj которое освободи-
ло бы гамильтониан Дирака от операторов, связывающих
верхние и нижние компоненты. Пусть искомый оператор
68
ФВ-преобразования имеет вид
UFW = ei§, S+ = S.
Оператор S является эрмитовым и не зависит от времени.
В уравнении Дирака для свободной частицы
д
ih—'l’ (г, t) = НГФ (г, t)
ot
совершим унитарное преобразование Ф' = ПрдуФ. В ре-
зультате уравнение переходит в
= 呧Ное“йФ' = Н'рФ'. (4.1)
ot
При этом необходимо потребовать, чтобы Н), не содержал
операторов типа (см. выше).
Поскольку в уравнении Дирака Нр = с (Др) + /Зтс2,
а все матрицы а, и /3 попарно антикоммутируют, то су-
ществует определенная аналогия между нашей задачей и
задачей об унитарном преобразовании гамильтониана Н =
= СТ1ЛХ + одД-г к такому виду, чтобы он содержал только
операторы 1 и од (тоже не смешивающие верхние и нижние
компоненты в паулиевском спиноре, см. (1.23)). Последнее
преобразование, как нетрудно убедиться, есть просто по-
ворот вокруг оси Оу на угол в = arctg (Дх/Д2), и ему от-
вечает унитарный оператор ег'720 = е2(Тз'710.
Будем действовать по аналогии. Предположим, что ис-
комый нами оператор преобразования Фолди- Ваутхайзена
имеет вид
UFW = ei§ =
Перейдем далее в импульсное представление, где |р| =
= |р| = р. Учитывая, что /3(Sp) = (7р), а (7Р)2 = ~Р2
69
cos 26 — -— sin 26
Р
оператор Ufw можно представить в виде
Ufw = е^<£р в = cos6 + /3-Qp) sin#. (4.2)
P
После подстановки (4.2) в выражение для Нр (4.1) и неко-
торых несложных преобразований получим, что
Нр = UfwHdUfw = с (Др)
+ /3 [me2 cos 26 + ср sin 20] .
Для исключения оператора (Sp) необходимо положить
2
cos2# = ^-, sin20=^. (4.3)
Ер Ер
И при учете (4.3) мы немедленно получаем выражение для
преобразованного гамильтониана:
2 4 । 2 2
Н'р = ДШС +ср = рЕр = Ру/с^ + т^. (4.4)
Формула (4.4) показывает, что Нр теперь представлен в
виде прямой суммы двух гамильтонианов ±^/с2р2 + т2с4,
являющихся нелокальными, ибо в координатном предста-
влении их нельзя записать в виде конечного числа диффе-
ренциальных операторов1.
С учетом необходимости выбора параметра преобра-
зования в виде (4.3) можно конкретизировать оператор
ФВ-преобразования (4 2). В результате он принимает вид
e±iS = Др + тс2±сД(ар)
у/2Ер (Ер + тс2) ‘ 1 ’
выражениях (4.4), (4.5) и далее будет преимущественно исполь-
зоваться импульсное представление, как и в (3.18).
70
Посмотрим теперь, каков будет новый вид уравнения
Дирака и волновых функций в ФВ-представлении. Стаци-
онарное уравнение Дирака (3.12)
= £,Ерф
в представлении Фолди Ваутхайзена принимает вид
H'pV'' = РЕрф' = £Ерф',
(4.6)
/ (7? \
причем если представить ф в виде ф = I , I, то мож-
\ А /
но получить систему уравнений для функций ф' (±) - ре-
шений уравнения (4.6), отвечающих определенному знаку
энергии £ = ±1:
H^'(+) = W(+)>
н^Ч-) = -М'(-),
(4-7)
где ф' (±) определяются, очевидно, следующим образом
(см. (4.6)):
^'(+) = |(1 + £)^' = (
^'(-) = f (l-£)v>'= ( ° )•
(4-8)
Выражения (4.6) - (4.8) говорят о том, что решения
уравнения Дирака в ФВ-представлении, отвечающие опре-
деленному знаку энергии £ = ±1, являются, по существу,
двухкомпонентными, ибо их нижние (верхние) компоненты
всегда равны нулю. Таким образом, спиноры у/ и уф соглас-
но (4.7), (4.8) оказываются полностью разделенными - они
являются решениями разных уравнений !
71
В качестве наглядной иллюстрации вышесказанного
установим, каков будет в ФВ-представлении вид конкрет-
ных решений уравнения Дирака в виде плоских волн (3.24).
Итак, подействуем на функции (3.24) оператором (4.5):
Фр,з,£ (г, = Ufw^paC (г, t).
Конкретно для состояний с положительной энергией имеем
Фр,з,+1 (г> =
Ер
2 {Ер + тс2)
(!+?)
Фр,з,+1 (г, t) =
e-^(Ept-pr)
Vv
(4-9)
ФР'в>-г (Г’ 2 {Ер +тс2) (Х Фр’в’-1 (Г’ “
е|(Ер«+рг)
о
-s<ps
(4.Ю)
- для состояний с отрицательной энергией. Под <ps здесь
подразумевается введенный ранее паулиевский двухкомпо-
нентный спинор с определенной проекций спина (s = ±1)
на направление импульса (3.23).
Отметим, что из (4.6) следует, что в ФВ-представлении
£ = ±1 является собственным значением оператора /3. Та-
ким образом, /3 в ФВ-представлении является знаковым
оператором. В этом можно убедиться и непосредственно,
совершая ФВ-преобразование над оператором Л:
Upw^Up^y = (3. (4.11)
Этот факт и подтверждает то, что преобразование функ-
ций, рассмотренное в (4.8), соответствует в ФВ-представ-
72
лении операции выделения частей волновой функции, со-
ответствующих положительному (отрицательному) знаку
энергии (3.30).
4.2. Операторы физических величин
в представлении Фолди—Ваутхайзена
4.2.1. Оператор координаты
Определим вид оператора координаты в ФВ-представле-
нии. Итак, если в стандартном дираковском представлении
оператор координаты имеет вид х, то, переходя к предста-
влению Фолди-Ваутхайзена, мы получим
xfw — Upy/xUpw — х + Upw х, Upyy
где последний коммутатор рассчитывается по известному
правилу:
Несложный расчет дает следующее выражение:
_ 2 _ ihc^a _
6 Х ~ 2Ер
he ^р] ich/3 (op) c2p
2Ep (Ep + me2) + 2Ep (Ep + me2) Ep
В главе 3 мы отмечали, что в последовательной одно-
частичной теории в качестве оператора координаты следу-
ет взять так называемый оператор “среднего положения”,
или, что то же самое, — четную часть оператора коорди-
наты [х]. Напомним, что поскольку мы действуем теперь
в представлении Фолди-Ваутхайзена, то в выражении для
73
выделения четной части из xfw вместо оператора Л мы
должны использовать оператор /3 (см. (3.42) и (4.11)). Вы-
деляя по аналогии с (3.42) четную и нечетную часть из
(4.12), получим
xfw = [xfw] + {*fw},
где
{xfw} =
he2 ISp
[xFW] = x - 2E^ + mc2^;
Sg c2^(gp)p \
P Ep (Ep + me2) I ‘
(4-13)
(4-14)
Заметим, кстати, что [xfw] = [x]fw, а также {xfw} =
= {x}fw, to есть можно перейти к ФВ-представлению и
непосредственно в выражении (3.42), результат при этом
получится тот же (4.13).
Как было указано в главе 3, развиваемая нами одно-
частичная теория может рассматриваться лишь как при-
ближенная, описывающая явления, в которых малосуще-
ственны эффекты, связанные с рождением виртуальных и
реальных электрон-позитронных пар, то есть происходя-
щие при малых энергиях и малых напряженностях внеш-
них полей. Поэтому имеет смысл проанализировать наши
результаты в нерелятивистском приближении (Е ~ тс1).
В этом случае
[xfw] — х,
{xfw} ~ -^—осв.
2тс
(4-15)
Из (4.15) следует, что в отличие от (3.42), (3.44) опера-
тор среднего положения частицы (то есть четная часть
оператора координаты) в рассматриваемом приближении
74
в ФВ-представлении сводится к обычному оператору коор-
динаты (х — гКФр - в импульсном представлении). Следо-
вательно, он является локальным, а его собственные функ-
ции -дельта-функции. Нечетная часть {xfw}, как и обыч-
но, отвечает за шрёдингеровское дрожание.
Однако существует и другой подход к введению одноча-
стичного оператора координаты в теории Дирака. Можно
переопределить оператор координаты в стандартном пред-
ставлении Дирака: введем новый оператор X, такой, что-
бы в представлении Фолди-Ваутхайзена он имел вид х.
То есть
о _iS~ - гИсва.
Х = е хе =х+-^--
Йс [хР] ich/З (Др) с2р
2ЕР (Ер + тс2) 2Ер (Ер + тс2) Ер
(4-16)
(ср. с (4.12)). Этот оператор обладает следующими свой-
ствами, которые легко установить в ФВ-представлении для
оператора х, а затем перейти к представлению Дирака и к
оператору X:
[Xj,Xfc] = 0;
Производная оператора X по времени определяется соглас-
но
(4-17)
то есть для состояний с положительной энергией это -
обычный релятивистский оператор скорости частицы, а
для состояний с отрицательной энергией этот оператор ме-
няет знак (ср. с (3.36), (3.40)). Кроме того, оператор X,
75
как нетрудно убедиться, является четным, то есть не сме-
шивает состояния с различными знаками энергии. Таким
образом, оператор X является хорошим кандидатом для
одночастичного оператора координаты в теории Дирака.
Отметим, что этот оператор совпадает с введенным Нью-
тоном и Вигнером “оператором координаты” для частицы
со спином 1/2 (1949).
4.2.2. Оператор спина
По аналогии с оператором X зададимся вопросом, какой
вид будет иметь оператор спина в представлении Дира-
ка, если в ФВ-представлении он имеет вид S = (см.
(2.30))? Совершая обратное преобразование Фолди-Ваут-
хайзена, мы получаем
Sm = e-i§|sei§ = |s -
ihc/З [Др] [₽ [^p] ]
2Ep 2EP {Ep + me2) ’
(4.18)
Легко проверить, что данный оператор, как и оператор X,
является четным, то есть не смешивает состояния с раз-
личной энергией.
Ранее (см. (3.25), (3.26)) мы отмечали, что определен-
ные в представлении Дирака традиционным образом опе-
раторы орбитального момента L = [хр] и спина S = не
являются порознь интегралами движения, и это было свя-
зано с наличием шрёдингеровского дрожания. Легко прове-
рить, что определенные по-новому операторы орбитально-
го момента [Хр] и спина 8д/ (4.18) являются интегралами
движения порознь. Наиболее легко этот факт замечается в
ФВ-представлении, где они имеют соответственно вид [хр]
76
и и коммутируют с гамильтонианом (ЗЕр. Оператор Sm
называется “оператором среднего спина”.
Таким образом, мы пришли к доказательству принци-
пиальной возможности наблюдения спиновых свойств ча-
стиц в релятивистском случае независимо от орбитального
движения.
Операторы спина релятивистской дираковской части-
цы будут еще обсуждаться ниже (глава 9).
77
Глава 5
Квазирелятивистское приближение
в теории Дирака
5.1. Уравнение Паули как нерелятивистский
предел уравнения Дирака
В дальнейшем мы будем анализировать релятивистские
поправки к движению заряженной дираковской частицы
(электрона) во внешнем электромагнитном поле. Посколь-
ку в физических приложениях нас будут интересовать в
первую очередь квантовые системы типа атома, сделаем
предварительно некоторые оценки, касающиеся электро-
на, находящегося в связанном состоянии в атоме. Оценим,
во-первых, отношение характерной области “размазанно-
сти” электрона, то есть области, в которой релятивистская
задача имеет существенно неодночастичный характер, к
характерной атомной длине радиусу боровской орбиты:
A h те2 е2 1
— ~ — —— = — = а ~1
а тс п пс 137
(5-1)
Оценка (5.1) показывает, что в процессах на атомном уров-
не электрон хотя бы приближенно можно считать точечной
частицей, ибо область его локализации существенно мень-
ше характерных размеров атома. Оценим далее величину
78
скорости атомных электронов:
пат р h е2 1
-- -- — Q ~ ---
с тс тса he 137
(5.2)
Оценка (5.2) показывает, что характерные величины ско-
ростей электронов в атоме существенно меньше скорости
света. Следовательно, для описания атомных процессов
нет необходимости привлекать точный гамильтониан Ди-
рака. Достаточно найти приближенный вид уравнения Ди-
рака, используя разложение по (п/с) (или точнее по (р/тс))
с точностью до линейных или квадратичных по параметру
(у/с) членов.
Вначале рассмотрим так называемый нерелятивист-
ский предел уравнения Дирака, описывающего движение
заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле
(1-24):
^Г’ = {с (Зт(? — е<р| Ф (г, t), (5-3)
где У — р + | А. —е < 0 - заряд электрона.
Считая состояние Ф (г, t) стационарным, запишем:
iEt
Ф (г, t) — е й 'ф (г),
причем в дальнейшем будем считать Е > 0, то есть мы
фиксируем знак энергии (считаем энергию положитель-
ной, ибо в нерелятивистской квантовой механике имеют-
ся только состояния с положительной энергией). Пред-
ставим далее, как и обычно, волновую функцию в виде
ф (г) = и запишем (5.3) в “расщепленном” ви-
де:
(Е — тс2 + еф) <р = с (аУ
(Е + тс2 + е<ф) Х = с (сгФ
(5-4)
79
Исследуем систему (5.4) в нерелятивистском пределе и в
слабых полях, то есть
Е ~ тс2 + е; |е + еф\ тс2. (5.5)
В этом случае (5.4) перейдет в
{(е + еф) (р (г) — с (ст?) X (г),
(е + еф + 2тс2) у (г) = с (о^) (г)
Из второго уравнения с учетом (5.5) находим
(ст?)
(5-е)
откуда видно, что в нерелятивистском приближении двух-
компонентный спинор х (г) имеет по отношению к р (г) по-
рядок малости (г/с) С 1. Это и позволяет (в случае поло-
жительной энергии Е > 0) говорить о двух нижних компо-
нентах дираковского спинора как о малых (ср. со случаем
свободного движения, глава 3).
Подставим (5.6) в первое уравнение системы и получим
с линейной точностью по (у/с) уравнение для двухкомпо-
нентного спинора (fl (г):
(е + еф} (fl (г) = (ст?) (ст?) (fl (г). (5.7)
ZifTL \ / \ /
Упростим правую часть (5.7), используя тождество
(9У) (st)
= Т2-Ь —(STt).
С
Здесь ? = р -|- | А ; ?С = rot А; —е < 0 - заряд электро-
на. В результате получаем нерелятивистское уравнение,
80
описывающее движение частицы со спином 1/2 в электро-
магнитном поле:
-~2
T eh
2т 2тс
¥> (г) = (г) - (5.8)
А это - не что иное, как уравнение Паули (1927), пред-
ложенное им для описания заряженной частицы со спи-
ном 1 /2. Здесь (/) (г) - паулиевский двухкомпонентный спи-
нор - двухкомпонентная функция, отвечающая двум воз-
можным ориентациям спина частицы. Сравним (5.8) с не-
релятивистским пределом уравнения Кляйна-Фока Гор-
дона (115) для бесспиновой частицы. И мы замечаем, что
по сравнению с (1.15) уравнение (5.8) содержит в гамиль-
тониане дополнительное слагаемое
- (pj<) = —- (аСК) = /ю (?И),
2тс
отражающее наличие спиновых свойств у электрона: это
есть не что иное, как энергия взаимодействия собствен-
ного магнитного момента частицы с внешним магнитным
полем (ро _ магнетон Бора).
Собственному магнитному моменту, как это следует из
(5.8), соответствует оператор
л е
М = — — д67" — —2
тс 2
е
2тс
S.
(5-9)
Выражение (5.9) показывает, что для спинового (или соб-
ственного) момента гиромагнитное отношение д = 2, то
есть оно в два раза превышает аналогичную величину, свя-
занную с орбитальным моментом.
Соответствующее предположение содержалось еще в
гипотезе Уленбека и Гаудсмита и было использовано Па-
ули при написании его (феноменологического !) уравнения
81
(5.8), но оказалось, что этот результат есть простое след-
ствие теории Дирака. В этом состоит огромное достоин-
ство теории Дирака: уравнение Дирака уже содержит спи-
новые магнитные свойства электрона, а уравнение Пау-
ли представляет собой нерелятивистский предел уравне-
ния Дирака.
Численное значение магнитного момента, предсказыва-
емое теорией Дирака, равно магнетону Бора:
|р| = ро = --— 5, 79 10 '9 эВ/Гс.
£j ItbC
Отметим, что экспериментально измеренное значение маг-
нитного момента электрона слегка отличается от теорети-
ческого за счет радиационных поправок (эти вопросы мы
будем обсуждать позже, см. (6.13), (6.25)).
Математически переход к нерелятивистскому прибли-
жению в теории Дирака означает пренебрежение нижни-
ми (“малыми” <9(п/с)) компонентами волновой функции
и переход к подпространству “больших” компонент. По-
этому для установления полной эквивалентности нереля-
тивистского приближения теории Дирака и теории Паули
необходимо сопоставить операторы, действующие только
в подпространстве “больших” компонент с операторами
в теории Паули. Применяя нерелятивистское приближе-
ние (5.5), нетрудно показать, что действительно операто-
ры теории Дирака переходят в операторы теории Паули.
Мы здесь не будем заниматься этим техническим вопро-
сом, см. [3].
5.2. Квазирелятивистское приближение
в теории Дирака
Как мы видели из (5.8), спиновые свойства электрона Ди-
рака при наличии внешнего электромагнитного поля про-
82
являются уже в нерелятивистском приближении - при раз-
ложении гамильтониана с точностью до линейных по (д/с)
членов уравнение содержит слагаемое, отвечающее взаи-
модействию собственного магнитного момента с внешним
магнитным полем. Естественно задаться вопросом: с какой
точностью по параметру (д/с) требуется разложить исход-
ный гамильтониан (5.3), чтобы в приближенном уравнении
проявились также спиновые эффекты, возникающие при
движении электрона в электрическом поле? Это является
весьма важным при анализе процессов на атомном уровне,
когда, как уже указывалось ранее, нет необходимости ре-
шать точное уравнение Дирака, а достаточно ограничить-
ся его приближенным видом. Оказывается, что спиновые
эффекты в электрическом поле проявляются при разложе-
нии гамильтониана с-точностью до (д/с)2 - до квадратич-
ных по (д/с) членов. Соответствующее приближение носит
название квазирелятивистского (или слаборелятивистско-
го).
Релятивистские (и спиновые) поправки к движению
электрона дальнейших порядков по (д/с) можно получить
на основании уравнений (5.4) способом, описываемом в
п. 5.1 настоящей главы. Между тем, эта процедура оказы-
вается весьма деликатной, в частности, потому, что нельзя
более пренебрегать вкладом “малых” компонент волновой
функции в нормировку и матричные элементы операторов,
ибо “малые” компоненты всего в (д/с) раз меньше “боль-
ших” . Принципиально эти трудности вполне преодолимы,
однако мы воспользуемся для получения искомого прибли-
жения представлением Фолди Ваутхайзена. Действитель-
но, поскольку в этом представлении “малые” и “большие”
компоненты оказываются полностью разделенными (4.8),
то “малые” компоненты можно просто отбросить и полу-
чить искомое двухкомпонентное уравнение.
При применении преобразования Фолди -Ваутхайзена к
83
уравнению Дирака в случае движения электрона во внеш-
нем (заданном) электромагнитном поле возникают свои
сложности. Оказывается, что эта задача не имеет замкну-
того решения, как задача о свободной частице. То есть не-
возможно построить такой оператор Ufw (см. (4.2), (4.5)),
который бы удалял операторы, смешивающие “большие”
и “малые” компоненты, из гамильтониана во всех поряд-
ках по (с/с) (ср. с (4.4)). Можно, тем не менее, применяя
последовательно унитарное ФВ-преобразование, получить
разложение гамильтониана в степенной ряд по (v/c) (то
есть получать такие представления, в которых операторы,
смешивающие “большие” и “малые” компоненты, имеют
все более и более высокий порядок по (v/c)).
Покажем в общих чертах, как производятся соответ-
ствующие вычисления (см. также [2]). Итак, гамильтониан
частицы во внешнем электромагнитном поле имеет вид
Нр = с (йу) + (Зтс? — еф = Qo+/3mc2+Qe, (5.10)
где По - операторы, смешивающие “большие” и “малые”
компоненты:
Qo = с
(а?), {Оо} = о,
а О.е - операторы, не смешивающие их:
= 0.
Оператор ФВ-преобразования мы по-прежнему выбира-
ем в виде
Ф' = иРууФ = ейФ.
(5.11)
84
Поскольку внешние поля могут зависеть от времени, то и
оператор S тоже может зависеть от времени. Преобразо-
ванное уравнение (5.3) с учетом (5.11) приводится к виду
гП^-Ф' = Н'Ф' = /е<§ (й - ih—\ е-г§) Ф'.
dt IV dt J J
(5-12)
Далее предполагается малость оператора S в нереляти-
вистском приближении ((д/с) ~ (у/тс) 1). Если это
так (а, как будет видно из дальнейшего, S имеет порядок
(v/с) или (р/me)), то выражение для Н' в формуле (5.12)
раскрывается по известной формуле разложения по после-
довательным коммутаторам:
ei§He-l§ = Н + i [s, fi] +
[s, [s,h]] + ...
Наша цель состоит в том, чтобы получить такое предста-
вление гамильтониана, в котором операторы, смешиваю-
щие “большие” и “малые” компоненты, имели бы поря-
док выше, чем (д/с)2, то есть (д/с)3 и (д/с)\ Поскольку
S = <9(р/тс), то с требуемой нам точностью необходимо
написать:
Н' = Н +
[§,н] +(£[§,[§,н]] +
[ЧЧ§>Й]]]+^[ЧЧЧ§'Й]]]]-
Л. Щ *
-ns— s,s
2
S, S,S
Далее мы проделаем несколько итераций - преобразо-
ваний гамильтониана (5.10), последовательно повышая по-
рядок по (у/с) слагаемых, смешивающих “большие” и “ма-
лые” компоненты.
85
Для первой итерации мы заметим, что оператор (4.2),
использовавшийся для свободной частицы, в нереляти-
вистском пределе перейдет в
ттсвоб ___ iS ,
Upw е —е 2тпс
Обобщая этот результат на случай внешнего поля, поло-
жим теперь
g _ _ грПо
2тс 2тс2
Проводя ФВ-преобразование, для Н' мы получим выраже-
ние
Н' = Рте2 + + Q'e,
(5.13)
где
Q' -
° 2тс2
3m2 с 2тс2 ’
1 г^ч. г^ч Л ц ifi?
К -Гй
етще4 L L JJ 8тт?2с4
Операторы, обозначенные (смешивающие “большие” и
“малые” компоненты волновой функции), теперь имеют
порядок О(р/тс). Чтобы его повысить, проделываем вто-
рое ФВ-преобразование с оператором S' = —грП'о/2тс2. В
результате мы получаем:
Н" = Рте2 + Q" + П'е,
86
где
Р
2тс2
- теперь величина порядка О ^(р/тс)2). В результате тре-
тьего ФВ-преобразования с оператором S" = — i/3Q"/2mc2
мы получим
н"' = рте2 + и;,
где П'е найдено раньше (см. (5.13)). Вычисляя далее ком-
мутаторы и произведения операторов в £1'е с необходимой
нам точностью, получаем результат в следующем виде (ДС
и Е - напряженности магнитного и электрического полей):
Н'" = Р (тс2 + - еф + ~Р (SIH) +
\ 2m 8тлс2 j 2тс \ )
(ihe eh eh2 «
(&ot£) + ^2^2 (S [£P]) ) + §^2^dlv£-
Для состояний с положительной энергией в предста-
влении Фолди-Ваутхайзена, как известно (см. (4.8), (4.9)),
оператор /3 можно заменить его собственным значением,
равным +1. Переходя в подпространство “больших” ком-
понент, получим гамильтониан для электрона во внешнем
электромагнитном поле в квазирелятивистском приближе-
нии:
цкв.рен. = тс2 + (Р + IА) _ р" _ еф +
2m 8тлсл
+ 2^(<Т:И)+(8^(<ТГО1£) +
+ 4^(S[S₽,)) + 8^?divE-
(5.14)
87
5.3. Физическая интерпретация
гамильтониана Дирака
в квазирелятивистском приближении
Дадим физическую интерпретацию отдельных слагаемых
в формуле (5.14). По сравнению с нерелятивистским при-
ближением (5.8) данное выражение содержит новые допол-
нительные члены, описывающие релятивистские и спино-
вые поправки к движению электрона во внешнем электро-
магнитном поле. Поскольку важнейшим физическим при-
ложением результата (5.14) является квантовая проблема
Кеплера или квазирелятивистское рассмотрение атома во-
дорода, то мы проведем исследование (5.14) именно в связи
с этой задачей.
Заметим, что в релятивистском случае характер дви-
жения электрона изменяется и в классической задаче Кеп-
лера. Если использовать нерелятивистское приближение
(5.5) и разложить классическую релятивистскую формулу
для энергии по степеням (р/тс), то мы получим
2 4
Екп = у/т2(А + с2р2 ~ тс2 + --₽3 2 + • • • (5.15)
2т 8т? с2
Третье слагаемое в (5.15) представляет собой релятивист-
скую поправку (порядка (р/me)2) к энергии классической
нерелятивистской частицы (второе слагаемое). Напомним,
что учет релятивистских поправок при движении в кулоно-
вом поле (в задаче Кеплера) приводит к изменению траек-
тории движения - прецессии кеплерова эллипса (розеточ-
ная траектория Зоммерфельда).
Проанализируем далее физический смысл поправочных
членов в гамильтониане (5.14) и убедимся в том, что в те-
ории Дирака физика движущегося электрона гораздо бо-
гаче.
Основной член в (5.14) - это гамильтониан Паули -
88
нерелятивистский предел гамильтониана Дирака, содер-
жащий члены вплоть до линейных по (р/тс) (см. также
(5-8)):
дПаули
(р+;а)2
2m
- еф + -— (стГК).
2тс
(5.16)
В выражении (5.16) первые два слагаемых описывают вза-
имодействие точечного заряда с внешним электромагнит-
ным полем. Третий член в (5.16) отвечает, как было ука-
зано выше, взаимодействию собственного (или спинового)
магнитного момента, равного одному магнетону Бора, с
внешним магнитным полем.
Третье слагаемое в (5.14) представляет собой реляти-
вистскую поправку к движению электрона:
Орел __ Р
8т3с2
(5-17)
Происхождение этой поправки очевидно — она учитыва-
ет в (р/me)2-порядке зависимость энергии от скорости
для релятивистской частицы. Классический аналог фор-
мулы (5.17) приведен выше, см. (5.15). Расчет показыва-
ет, что такая же поправка появляется и в теории Кляй-
на Фока-Гордона, и она не зависит от спина.
Шестое и седьмое слагаемые в (5.14) можно отожде-
ствить с энергией спин-орбитального взаимодействия.
Наиболее простой и привычный вид они приобретают в
случае центрально-симметричного электрического поля
(каковым, кстати, является и кулоновское поле). В этом
случае rot£ = 0, е£ = grad(7 (г) = r~ldU/dr (U (г) = — еф
- потенциал центрального поля, —е < 0) и
dU . е dU /
е(ст £р ) = -—(ст гр ) = - —- стЬ
г dr г dr \
89
Поэтому спин-орбитальная поправка для любого централь-
ного поля имеет вид
- 1 dU (SL
2m2 с2 dr г
(5.18)
где учтено, что S = в нерелятивистской теории. В слу-
чае, если U (г) = —ZeZfr - кулоновский потенциал притя-
жения для ядра с порядковым номером Z, то (5.18) моди-
фицируется к виду
Vco =-------___
2т2с2 г3
(5.19)
Важно иметь в виду, что в основе (5.19) лежит не некое
“взаимодействие моментов”, а известные виды электромаг-
нитного взаимодействия.
Действительно, появление слага-
-* емого вида (5.19) в гамильтониане
можно пояснить следующими полу-
цМклассическими рассуждениями. Элек-
/ \ трон, как было изложено выше, обла-
/ \ дает собственным магнитным момен-
\ том р = —ро<т, где ро - магнетон Бо-
ра. Или с учетом S = |ст:
Рис. 5.1. К вопросу д _ е g
о спин-орбитальном тс
взаимодействии _
В атоме электрон движется со скоро-
стью v, и в результате, согласно реля-
тивистским законам преобразования, в лабораторной си-
стеме он должен обладать электрическим моментом:
Зэл = - [vp] ~ — [рр] .
с тс
90
Поэтому он взаимодействует с ядром не только как заряд,
но и как электрический дипольный момент. Дополнитель-
ная энергия взаимодействия равна
(5.20)
Ze Ze2
= —±^(Д[гр]) = -^-Ц
тсгл г3
Это выражение совпадает с (5.19) с точностью до чи-
сленного коэффициента (“томасовская половинка”). Расхо-
ждение в результатах в (5.19) и (5.20), как было впер-
вые показано Томасом (1926 г.), связано с некоррект-
ным применением преобразования Лоренца к вращатель-
ному движению. В случае, если g-фактор электрона равен
двум, корректный учет вращения электрона действитель-
но уменьшает наполовину (5.20), что полностью согласу-
ется с (5.19). Отметим, что наличие лишнего множителя 2
в (5.20), не согласующегося с экспериментальными данны-
ми, не давало возможности Паули, Гейзенбергу и Кронигу
(который в начале 1925 года независимо от Уленбека и
Гаудсмита пришел к гипотезе спина электрона) принять
идею о собственном механическом моменте электрона, пока
множитель 2 не был устранен Томасом в 1926 году.
Наконец, последний член в (5.14), который носит назва-
ние дарвиновского (рассмотренный впервые Дарвином в
1928 г.), связан с наличием “шрёдингеровского дрожания”
электрона. В случае центрально-симметричного электри-
ческого поля с потенциалом U (г) этот член приобретает
вид
2
уконт__
и).
(5.21)
Если U (г) = —Ze2/г - потенциал кулоновского поля
водородоподобного атома, то с учетом V2 (1/г) = —4тг<5 (г)
91
(5.21) переходит в
\ 2
— ) Ze25(r),
тс у
(5.22)
чем оправдывается другое название этого слагаемого —
“контактное взаимодействие”, ибо очевидно, что вклад в
энергию атомных уровней ^VKOHT^ за счет (5.22) отличен
от нуля лишь для электрона, находящегося в непосред-
ственной близости к ядру (“в контакте с ядром” (г = 0)).
Физически (5.21), (5.22) можно интерпретировать как
следствие нелокализуемости электрона в одночастичной
теории. Вследствие наличия “Zitterbewegung” (отражаю-
щего неодночастичные аспекты в движении электрона)
электрон становится подобен броуновской частице, коор-
дината которой испытывает флуктуации на расстояниях
порядка комптоновской длины волны (см. (3.43)) ёг ~
~ Sr кп — h/mc. Поэтому взаимодействие электрона с полем
ядра оказывается нелокальным: электрон чувствует слег-
ка “размазанный” кулоновский потенциал, то есть поле,
усредненное по объему ~ (5г)3. Таким образом, выражение
(5.21) представляет собой поправку на нелокальность взаи-
модействия. Простые соображения показывают, что такая
поправка должна составлять
идоп = (5(7) = (U (г + 5r) - U (г)) щ
(5.23)
При усреднении по направлениям вектора г выражение
(5.23) перейдет в
U»" = i(6r)2(V2!/) = l(^) (V2(,). (5.24)
92
Если в качестве (<5г)2 подставить (h/тс)2, то результат
(5.24) будет качественно (с точностью до коэффициента)
совпадать с дарвиновским членом.
Можно, разумеется, задать вопрос: а почему мы долж-
ны учитывать явление “Zitterbewegung” и связанную с
этим нелокализуемость электрона в ФВ-представлении,
где, как отмечалось (4.7), состояния с различными зна-
ками энергии оказываются полностью разделенными? От-
вет на этот вопрос должен быть такой: г не есть оператор
координаты в ФВ-представлении. Истинным оператором
координаты в ФВ-представлении является оператор xfw
(4.12), обладающий нечетной частью (4.14), то есть ис-
пытывающий “дрожание”. Причем из (4.15) ясно, что в
нерелятивистском приближении флуктуация координаты
(Jxfw)2 будет именно порядка (h/mcj2.
93
Глава 6
Уровни энергии
водородоподобного атома
6.1. Тонкая структура уровней энергии
водородоподобного атома
Нерелятивистская квантовая теория, базирующаяся на
уравнении Шрёдингера, в случае движения электрона в
кулоновом поле ядра водородоподобного атома (U (г) =
= —Ze2,/т} дает следующий результат для уровней энер-
гии:
£;(0) = _ Ji!
2п2
е2
а
(6-1)
где а = h2/те2 = 0, 529 • 10-8 см - радиус боровской орби-
ты. Известно, что (6.1) в общем согласуется с эксперимен-
том, хотя это выражение можно принять лишь в качестве
нулевого приближения для энергетических уровней ато-
ма. Состояние электрона в атоме при этом описывается
волновыми функциями, характеризующимися следующи-
ми квантовыми числами: п (главным), I = 0,1, .. .,п — 1
(орбитальным), т = 0, ±1, ...,±Z (магнитным). Пол-
ная кратность вырождения уровней энергии (6.1) равна
(2Z + 1) = п2. Наличие вырождения связано с ди-
намической симметрией задачи, соответствующей группе
вращений О (4) в четырехмерном пространстве. Детальное
94
наблюдение спектров атомов показывает, что спектраль-
ные линии обладают тонкой структурой, которую не мо-
жет объяснить теория Шрёдингера. Тонкое расщепление
спектра можно объяснить снятием вырождения при учете
релятивистских и спиновых эффектов при движении элек-
трона.
Развитый нами выше аппарат уравнения Дирака мож-
но применить для расчета энергетических уровней атома
водорода. В связи с этим заметим, что проблему Кеплера
по теории Дирака можно решить точно. Однако в таком
решении за громоздкостью математических выкладок не
всегда можно увидеть конкретные физические результаты.
Поэтому мы будем действовать другим путем, основываясь
на выражении для гамильтониана Дирака в квазиреляти-
вистском приближении (5.14) и используя теорию возму-
щений (по малому параметру (у/с) ~ а = 1/137 1, см.
(5.2)).
Итак, в основу наших дальнейших расчетов мы поло-
жим гамильтониан Дирака в квазирелятивистском при-
ближении, который с учетом U (г) = —Ze2/г может быть
представлен в виде
Н = + укврел-
Н(°) = ^ - —, (6.2)
2m г
л г»4 7р2
укв.рел. _ Р . \У .
8т3с2 2т2с2 г3
(t \ 2
*(Г)- (6'3)
/ I/
Далее будем искать поправку к уровням энергии Е?^ (6.1)
(следующим из теории Шрёдингера) по теории возмуще-
ний, считая возмущением укв рел- (6.3).
95
TZ 17,(0)
Как уже указывалось, исходные уровни энергии Вп
вырождены. Поэтому с целью упрощения вычислений бы-
ло бы полезно найти “правильные” волновые функции ну-
левого приближения. Согласно известной лемме о матрич-
ных элементах [9] они должны найтись среди собственных
функций операторов, являющихся точными интегралами
движения (то есть коммутирующих не только с но
и с укв рел ). Выбор в качестве функций нулевого прибли-
жения стандартных решений уравнения Шрёдингера, про-
порциональных сферическим функциям
Фп1т (г) = Rnl (г) У/”г) (0, <р) ,
не подходит для наших целей, ибо эти функции являются
собственными для оператора Lz, а данный оператор, как
легко проверить, не коммутирует с VKB’peJ1" |^Sl) , Lzj ^0.
Однако оказывается, что , Jz^ = 0, то есть точ-
ным интегралом движения является z-проекция полного
углового момента. Это значит, что для решения нашей за-
дачи нужно перейти от полного набора наблюдаемых Н(°),
L2, S2, Sz, Lz (который использовался при решении невоз-
мущенной задачи - уравнения Шрёдингера) к другому пол-
ному набору наблюдаемых: L2, S2, J2, Jz. Эти два
набора эквивалентны, ибо по сути данный переход есть не
что иное, как задача сложения моментов: J = L+S. Волно-
вые функции, являющиеся собственными для нового пол-
ного набора наблюдаемых, которые мы примем в качестве
“правильных” функций нулевого приближения, хорошо из-
вестны и имеют вид
(6-4)
96
(г) =
13 ~ mj +~Цл(тз ~1) \
У 2 j + 2 1
j + mj + ly + 5 )
2j + 2 1 /
(6-5)
Угловые части волновых функций (6.4), (6.5) называ-
ются шаровыми спинорами, являются обобщением обыч-
ных шаровых функций и представляют собой угловую
часть решения для задач, связанных с движением частиц
спина 1/2 в полях центральных сил. Функции (6.4), (6.5)
являются ортонормированными:
I тЧтВ^ (г) Rn,v (г) j dQY^+Y^, = 6nn,6u,SjrSm.m,.
о
Квантовое число j (называемое внутренним), связанное с
собственным значением оператора J2: /j2j (j + 1), а также
квантовое число т3, связанное с собственным значением
Jz, как нетрудно установить, принимают полуцелые зна-
чения:
( I ± 7} , I О
3~[ | 1 = о ;
т3 = -j, -j + 1, - j.
(6-6)
(6-7)
Выбирая далее (г) (6-4), (6.5) в качестве функций ну-
левого приближения, найдем поправку к энергии (6.1) не-
возмущенной задачи.
97
Релятивистская поправка
Согласно (6.3), (5.17) релятивистская поправка к уровням
энергии равна:
/^4
и nlm-, gm3c2Wn^
С учетом нулевого приближения уравнения (6.2) Н^Ф^0) =
= М0)ф(0) это выражение можно переписать в виде
1 / 7е2\2
Ер^ = “2^2 \Е^ + “) =
^{(Е№))2 + 2Е^(1)+(^)г^)} =
= е^— [ " _(ев) п n2 (Z + 1/2 4/’ k J
Здесь а = е2/he - постоянная тонкой структуры. При рас-
чете в (6.8) учтено, что
1\_/Z\ 1. / 1 \ _ (Z\2 1
г/ ya/zi2’ \г2/ \ а у п3 (Z + 1/2)
Обсудим полученный результат (6.8). Можно прове-
рить, что формула (6.8) в точности совпадает с выражени-
ем для дополнительной энергии, вычисленной в аналогич-
ном приближении по уравнению Кляйна-Фока-Гордона.
Но если для бесспиновой частицы, описываемой уравне-
нием Кляйна-Фока-Гордона, это - замкнутый результат,
то в теории Дирака ясно (см. (6.3)), что поправкой (6.8)
полная поправка к энергии не исчерпывается. Видно, что
при учете релятивистской поправки снимается “случай-
ное” вырождение по квантовому числу Z, и это ясно, ибо
при учете Урел задача отличается от чисто кулоновской
98
(классический аналог снятия вырождения - модификация
траектории: переход от эллипса к “розеточной” траекто-
рии Зоммерфельда). И, наконец, величина поправки (6.8)
не соответствует данным эксперимента. Это тоже мож-
но понять, ибо тонкая структура уровней энергии атома
водорода не исчерпывается релятивистской зависимостью
энергии от скорости.
Спин-орбитальная поправка
Используя (6.3) и (5.19), найдем спин-орбитальную поправ-
ку к энергии электрона
Есо = W? l lnZmj) •
Для вычисления заметим, что
(Ыту| (SLj \nlrrij) = (nlmj\ - (j2 - L2 — S2j \nlrrij) —
= J у O'(j + l)-^G + l)-s(s + l)), ^0,
0 , 1 = 0,
(cm. (6.6)), а также, что
n3l (Z + l) (Z + l/2)
(Последняя формула справедлива при условии I 0.) В
итоге для спин-орбитальной поправки к энергии получим
р(1) = г(о) Z2q2 0 0 + 1) - Z (Z + 1) - s (s + 1))
со п п 21(1 + !)(/ +1/2)
(1 - йо)
(6.9)
99
Контактная поправка
Используя (6.3) и (5.22), получим выражение для контакт-
ной поправки к уровням энергии:
(//|ф“ (0)|2 = (ело;
где учтено, что
Общая формула
Складывая энергетические поправки, связанные с реляти-
вистскими эффектами (6.8), спин-орбитальным взаимодей-
ствием (6.9) и контактным взаимодействием (6.10) (учиты-
вая также значения j (6.6) и s — 1/2), получим
Enj = Е™ + ЕЮ + ЕЮ + ЕЮт =
Z2 ( е2\ ( Z2a2 Г п 3 П
= ~2^ V + ^2“ [у + 1/2 ~ 4J J ' )
Формула (6.11) есть формула тонкой структуры спектра
водородоподобного атома. Эта формула по способу получе-
ния является приближенной, при ее выводе использовалась
малость постоянной тонкой структуры а = 1/137 <§; 1. За-
метим, однако, что формула (6.11) может быть получена
из строгой теории Дирака путем разложения точного зна-
чения энергии релятивистского атома водорода
Еп, — — - — - _ _ _ _ тс2 (6.12)
А । ~
V (V(j+l/2)2-Z2aMn-(j+l/2))2)
100
в ряд по величине Z2a2. Анализируя выражение (6.12),
мы заметим, что при j = jm;n = 1/2 устойчивое движе-
ние дираковского электрона в кулоновском поле ядра воз-
можно вплоть до Z = ZKp = 137. При Z > ZKp в куло-
новском поле становится возможным спонтанное; рождение
электрон-позитронных пар (парадокс Кляйна), и задача
теряет смысл одночастичной.
Энергетические уровни водородоподобного атома при
учете тонкой структуры, как это видно из (6.11), зави-
сят лишь от главного квантового числа п (как и в тео-
рии Шрёдингера) и от внутреннего квантового числа j =
= 1/2, 3/2, ..., определяющего полный угловой момент
электрона в атоме. Уровни энергии не зависят от орбиталь-
ного квантового числа I. Поэтому и при учете релятивист-
ских и спиновых эффектов уровни энергии атома водорода
остаются вырожденными по числу I, ибо пары уровней с
одинаковыми п и j при I = j ± 1/2 имеют одну и ту же
энергию.
Кратность вырождения уровней при учете тонкой
структуры несколько изменяется. Сохраняется, во-первых,
вырождение по магнитному квантовому числу т3, опреде-
ляющему проекцию полного углового момента: соответ-
ствующая кратность вырождения равна 2j + 1. Данное
вырождение связано со сферической симметрией задачи
(отсутствие выделенного направления) и характерно для
любого центрального поля. Во-вторых, в кулоновском поле
остается вырождение еще и по I - орбитальному кванто-
вому числу (энергия от него не зависит). Поскольку при
данном j квантовое число I может принимать два зна-
чения I = j ± 1/2, то кратность вырождения уровней в
кулоновском поле равна 2 (2j + 1). Только для состояния с
3 = Jmax = п — 1/2 число I может принимать лишь одно
значение I = j — 1/2, ибо 1 — 0, 1, ..., п — 1. Поэтому крат-
ность вырождения таких уровней энергии равна (2j + 1).
101
Отметим, что указанное вырождение по числу I не
является следствием приближенного способа получения ре-
зультата (6.11), а сохраняется и в случае точного решения
уравнения Дирака (6.12). Это вырождение указывает на
наличие дополнительной симметрии гамильтониана водо-
родоподобного атома, более высокой, чем сферическая (от-
носительно преобразований группы SO (3) - вращений в
3-мерном пространстве).
Квантовое состояние частицы в центрально-симмет-
ричном поле с учетом тонкой структуры принято обозна-
чать тройкой чисел nlj, например:
1S1/2, 2SJ/2, 2pi/2, 2р3/2, 3S1/2, ^P\/2i
(Обведены состояния, имеющие согласно (6.11) одинако-
вую энергию.)
6.2. Экспериментальная проверка
формулы тонкой структуры
Для экспериментальной проверки формулы тонкой струк-
туры необходимо знать, какие спектральные линии могут
наблюдаться на опыте. Правила отбора (для дипольного
излучения) определяются, как и обычно, из условия отли-
чия от нуля матричного элемента оператора координаты
</1 г |г>: “
|r| nljm^ = I (г)гФ^. (г) О,
где (г) имеют вид (6-4) - (6.5). Несложный расчет с
использованием явного вида волновых функций показыва-
102
ет, что переходы с испусканием фотона в дипольном при-
ближении возможны, если
Ап — любое; А; = 0, ±1; Ату = 0, ±1; А/ = ±1.
При этом вид спектра модифицируется по сравнению с не-
релятивистской теорией Шрёдингера. Например, каждая
спектральная линия серии Лаймана ((Is) — (ПР)) расщеп-
ляется на две; (lsx/2) — (nPt/'i) и (lsi/2) — (пРз/г) и т.п.
Многочисленные эксперименты, проводившиеся в опти-
ческом диапазоне, подтверждали выводы теории Дирака о
тонкой структуре уровней водородоподобного атома. Одна-
ко оставались некоторые, казалось бы, “частные” вопросы,
по которым не удавалось достичь согласования теории и
эксперимента.
Лэмбовский сдвиг
Начиная с 1934 года, на основании данных эксперимента
появились сомнения в том, что уровни энергии атома во-
дорода с / = j ± 1/2 совпадают, как это требуется из тео-
рии Дирака. Предметом специальных исследований явил-
ся вопрос о совпадении уровней 2sx/2 и 2pi/2. Физическая
природа этих уровней несколько различна: состояние 2s1?/2
является метастабильным (время жизни ~ 1/7 с), то есть
дипольный переход из него в состояние lsX/2 запрещен пра-
вилами отбора (AZ = 0 !). Возможны переходы либо с из-
лучением двух фотонов (вероятность такого перехода по
сравнению с разрешенным в 108 раз меньше), либо с пред-
варительным переходом на уровни 2р (в этом случае мож-
но было бы исследовать относительное положение уровней
2s]y2 и 2рх/2). Ненадежность экспериментальных данных,
полученных с помощью традиционных методов исследова-
ния в оптическом диапазоне, не давала долгое время воз-
103
можности сделать окончательное заключение о несовпаде-
нии этих уровней.
Только в 1947 году, применяя новый в то время ра-
диоспектроскопический метод исследования, Лэмб и Ризер-
форд достоверно показали, что уровни и 2Р1/2 сме-
щены друг относительно друга примерно на 1/10 часть
расстояния между уровнями дублета %Рз/2 (см.
рис. 6.1). Данное расхождение теории и эксперимента, ка-
1095 )МГц
Дирак
?Рз/2
2S1/2’2Pl/2
?Рз/2
9910 МГц
I______ 2s
1058 МГц 2d'2
Щ/2
Лэмб
Рис. 6.1. Расщепление термов в атоме водорода.
Теория и эксперимент
завшееся ничтожным, было объяснено в 1947 году Бете в
рамках квантовой электродинамики на основании учета
радиационных поправок к уровням энергии, то есть вза-
имодействия электрона с электромагнитным вакуумом (с
виртуальными фотонами), и дало огромный импульс раз-
витию квантовой электродинамики в целом.
Сверхтонкая структура.
Аномальный магнитный момент электрона
При вычислении релятивистских и спиновых поправок к
энергии (см. п. 6.1 настоящей главы), которое привело нас
к тонкой структуре энергетического спектра, мы счита-
ли поле атомного ядра строго кулоновским, центрально-
симметричным. Но на самом деле ядро атома водоро-
104
да (протон) обладает собственным магнитным моментом.
Взаимодействие магнитного момента электрона с магнит-
ным полем ядра и приводит к дополнительному расщепле-
нию атомных уровней по значению полного момента атома
(Ферми, 1930 г.). Поскольку значение ядерного магнитного
момента примерно в 103 раз меньше, чем значение орби-
тального магнитного момента электрона, то и соответ-
ствующее расщепление примерно в 103 раз меньше, чем
расщепление тонкой структуры (6.11). Поэтому такое рас-
щепление называют сверхтонким расщеплением. Оценка
величины сверхтонкого расщепления для s-состояния ато-
ма водорода дается в п. 6.4 настоящей главы.
Теоретический расчет сверхтонкого расщепления в
основном состоянии атома водорода дает
ДМгеор = — ~ Es=0 = 1417 МГц
л,
(здесь S - величина полного момента атома). Однако
тщательная экспериментальная проверка, проведенная
в 1948 году радиоспектроскопическими методами (Каш,
Фоли), показала, что
Д^эксп = 1420 МГц.
Учет релятивистских эффектов, конечности массы
ядра не давал согласования теории и эксперимента. Экс-
периментально измеренное значение магнитного момента
протона также не подвергалась сомнению. Единственной
возможностью согласовать результаты оказалось предпо-
ложить, что магнитный момент электрона не равен в точ-
ности магнетону Бора ро (5.9), а отличается от него:
/Бл = ЙО (1 + Ge) - (6.13)
Величина — Цоае называется аномальным магнитным
моментом и впервые была рассчитана Швингером (1948)
105
методами квантовой электродинамики:
\ие) Швингер 2 7Г
Было показано, что происхождение аномального магнит-
ного момента также связано с взаимодействием электрона
с вакуумом. В настоящее время величина ае вычисляется в
рамках квантовой электродинамики с очень большой точ-
ностью, а ее экспериментальная проверка служит одним
из важнейших методов проверки предсказаний квантовой
электродинамики в целом. Приведем некоторые современ-
ные данные (теоретические и экспериментальные) по ано-
мальному магнитному моменту электрона:
ате°р = 9 2 = 1159652156,4(1,2)(22,9) • 10~12
(Киношита с сотрудниками, 1996 г.),
аэКСП = 1159652188,4(4,3) 1(Г12
(Демельт с сотрудниками, 1987 г.). Как видно, теоретиче-
ские данные находятся в уверенном согласии с эксперимен-
том.
6.3. Лэмбовский сдвиг
в интерпретации Вельтона
Не вдаваясь в точную теорию лэмбовского сдвига, разра-
ботанную Бете, дадим простое полуклассическое описание
лэмбовского смещения, предложенное Вельтоном и осно-
ванное на рассмотрении взаимодействия нерелятивистско-
го электрона с вакуумными флуктуациями электромагнит-
ного поля. Хотя данное описание и не претендует на мате-
матическую строгость, но оно содержит наглядную модель
106
с ярким физическим содержанием, поэтому представляется
полезным обсудить ее здесь.
При вторичном квантовании электромагнитного поля
каждая его нормальная мода, динамически эквивалентная
гармоническому осциллятору, получает “нулевую энер-
гию”, равную /гхд/2. В результате даже в условиях ваку-
ума, то есть при отсутствии внешнего поля, в системе
имеются флуктуирующие электромагнитные поля. Сред-
ние значения напряженностей таких полей равны нулю,
но отличен от нуля их средний квадрат, что приводит к
среднеквадратичным флуктуациям координаты электро-
на. Как мы видели при рассмотрении дарвиновского члена
(5.24), подобные флуктуации приводят к наличию у элек-
трона добавочной энергии взаимодействия. Эта энергия
взаимодействия возникает, как и (5.24), за счет нелокаль-
ности взаимодействия электрона с полем ядра; отличие
от (5.24) состоит в том, что флуктуации координат вызы-
ваются электромагнитным полем, а не шрёдингеровским
“дрожанием”.
Итак, дополнительный вклад в гамильтониан, согласно
(5.22), (5.24), имеет вид
уЛэмб = ^(<5г)2 > 6 (г).
(6-14)
Очевидно, что в первом приближении теории возмущений
вклад дадут только 5-состояния, при этом поправка к энер-
гии для n-го уровня будет иметь вид
В&, (") = ~ ((fc?) Ifc (0)|2 =
2тг£е2 fZ\3 1 / ч,\
=—(д (бл5>
Для оценки величины воспользуемся предста-
влением об электроне как о колеблющейся классической не-
107
релятивистской частице. Тогда уравнение движения элек-
трона будет иметь вид
тёг = —е£,
где Е - флуктуирующее поле. Для Фурье-компонент имеем
= -Д^Е,
Для среднеквадратичных значений получаем
(6.16)
Энергия электромагнитного вакуума есть сумма энергий
нулевых колебаний
где А = 1,2 два независимых состояния поляризации, а
поле рассматривается в большом потенциальном ящике —
кубе с ребром L. Переход к пределу L —> оо предполагает
вначале переход от суммы к интегралу по правилу
(р = /а).
Средний квадрат напряженности вакуумного поля (|£| =
= |ТС|) равен
(6-17)
108
С учетом (6.16) из (6.17) имеем
Как видно, интеграл в (6.18) оказывается расходящим-
ся на верхнем (оо) и нижнем (0) пределах. При более акку-
ратном, релятивистском описании электрона в связанном
состоянии в атоме такой расходимости не будет. Выделим
в (6.18) “наблюдаемую” часть, пользуясь предположением,
что движение электрона должно быть нерелятивистским.
Обрежем интеграл сверху комптоновской частотой
^max = mc2/Zi, что соответствует тому, что импульс элек-
трона, приобретенный в результате дрожания, не превы-
шает т/ic. hk - hjj/c < тс.
Обрежем интеграл снизу, исходя из условия, чтобы ча-
стота дрожания была не меньше частоты, соответствую-
щей энергии связи электрона в атоме
h h2n2
(минимальная частота вынужденных колебаний атома).
Подставляя пределы cjmin и <дтах в интеграл (6.18), по-
лучим
(6.19)
Заметим, что, как видно из (6.19), эффективный радиус
“размазанности” точечного электрона в рассматриваемом
процессе равен
109
- это и есть причина нелокальное™ взаимодействия в поле
ядра.
Теперь подставим (6.19) в (6.15) и получим
ci(l) ___ л.З
Лэмб 37Г°
(6.20)
Если сравнить (6.20) с (6.11), то видно, что лэмбовский
сдвиг оказывается по порядку величины в а раз меньше
расщепления тонкой структуры.
Рассмотрим опять уровни 23| /2 и 2pi/2 атома водорода.
Вакуумное взаимодействие приводит к лэмбовскому сдви-
гу уровня 2sj/2, то есть уровень 2sj/2 будет лежать вы-
ше уровня 2рХ/2. Такое положение уровней было экспери-
ментально подтверждено в опытах Лэмба и Ризерфорда
(см. рис. 6.1). Если подставить в (6.20) численные данные
(п = 2, Z = 1, I = 0),то мы получим следующую числен-
ную оценку:
МГц,
что показывает сравнительно неплохое согласие с данны-
ми эксперимента (например, = 1057,8576(21) МГц,
1983 г., 1994 г.). Заметим, что постоянно происходит совер-
шенствование теоретических расчетов лэмбовского сдвига,
что дает все лучшее согласие с экспериментом.
6.4. Сверхтонкая структура.
Аномальный магнитный
момент электрона
Дадим оценку сверхтонкого расщепления энергетических
уровней s-состояний атома водорода. Воспользуемся не-
релятивистским приближением для s-состояний. Гамиль-
тониан дополнительного взаимодействия (согласно Ферми
110
(1930 г.) оно должно представлять собой взаимодействие
магнитного момента электрона с магнитным полем ядра)
имеет вид
VCE-T = - (/Жя),
где
с/l 1
М = -----ДСЯ = rot А; А=[Д 7]-,
2тс L F J г
— fJp& ~ оператор магнитного момента протона, р,р -
его величина. Таким образом,
VCD’T- = Mo^[V[apV]]^ =
=/А)Ррст[стрЛ - (&pV) V] (6.21)
Расчет ведется далее по теории возмущений, в волновых
функциях нулевого приближения пространственные пере-
менные отделены от спиновых (г, s, sp) = ф (г) х (s, sp).
Поправка к энергии, связанная с взаимодействием (6.21),
равна
Е£т. = I (г) Усвт'ф (г) X- (6.22)
Для s-состояний вследствие сферической симметрии коор-
динатных частей волновых функций взятие интеграла по
угловым переменным в (6.22) даст усредненный по напра-
влениям гамильтониан (6.21), в котором нужно заменить
оператор > |<5уД. В результате (6.22) сведется к
Есв.т. = IV’ (0)|2 Х+ (стстр) у- (6.23)
Поскольку (<т<тр) = 2S2/7t2 — 3 -1, то “правильными” функ-
циями нулевого приближения будут собственные функции
111
оператора квадрата суммарного спина S = ~ (сг + <тр). С
учетом того, что \ip (0)|2 = (я (па)3) для атома водоро-
да, из выражения (6.23) получим
Е^т. = (S (S + 1) - 3) =
3 (па)
{8 д.р//р 1
3ИГ ’ (6-24>
S = 0.
(па)3
Подставляя численные значения величин, окончательно
находим
= Es=l Г = 1417 МГц.
h
Рассогласование этого результата с экспериментальным,
как указывалось выше, объясняется тем, что электрон име-
ет кроме кинематического магнитного момента, равного
магнетону Бора, еще и аномальный магнитный момент
Р-эл ~ /А) (1 Н" Яе)
Наличие аномального магнитного момента связано с ради-
ационными поправками, описывающими взаимодействие
электрона с электрон-позитронным вакуумом (см. главу 7).
В настоящее время величина ае рассчитывается теорети-
чески с очень высокой точностью (см. п. 6.2 настоящей гла-
вы).
В связи с аномальным магнитным моментом заметим,
что, вообще говоря, не представляет сложности введение
его в теорию. Обычное введение электромагнитного взаи-
модействия (1-13) dfl —> D1' = 5м + (так называемое
минимальное взаимодействие) обеспечивает калибровоч-
ную инвариантность (2.50), (2.51), а также лоренц-ковари-
антность уравнения Дирака, и при этом получается, что
112
электрон имеет магнитный момент, равный магнетону Бо-
ра (то есть д = 2). Однако можно написать уравнение с
взаимодействием, не являющимся минимальным:
— тпс + j- Ф (ж) = 0, (6.25)
где для электрона следует положить
Данное уравнение является обобщением уравнения Ди-
рака, предложенным Паули (уравнение Дирака-Паули).
Оно обладает всеми свойствами, предъявляемыми к реля-
тивистским волновым уравнениям. В частности, это урав-
нение лоренц-ковариантно и калибровочно инвариантно.
Можно в (6.25), как и обычно, перейти к гамильтоновой
форме записи и далее к нерелятивистскому пределу. Легко
показать, что дополнительный вклад в нерелятивистский
гамильтониан, возникающий от нового слагаемого, равен
<7-2
-р (стДС) = р0 (о-^С) = /АКР (<тТС)
(ср. с (5.8), (5.14)). Таким образом, уравнение (6.25) может
описывать частицы с ^-фактором, отличающимся от 2.
Современные исследования показывают, что (6.25) при-
годно лишь для описания частиц в условиях слабых мед-
ленно меняющихся полей. В сильных полях аномальный
магнитный момент проявляет динамическую природу -
становится функцией напряженности поля и энергии ча-
стицы. Особенно сложно поведение аномального магнит-
ного момента в сверхсильных полях: при ТС > ТСкр =
= т2с3/eh — 1,41 - 1013 Гс он даже меняет знак. Сильные
поля такой напряженности встречаются вблизи астрофи-
зических объектов, но, как оказалось, могут быть созданы
и в лабораторных условиях, например, при столкновениях
тяжелых ионов.
113
Глава 7
Трудности в теории
Дирака. Античастицы
7.1. Состояния с отрицательной энергией
Мы уже отмечали раньше (см. (3.17)), что уравнение Дира-
ка имеет решения с отрицательными значениями энергии.
В главе 3 были указаны и некоторые причины, по кото-
рым эти состояния не могут быть просто “выброшены” из
теории, следовательно, им нужно искать разумную физи-
ческую интерпретацию.
Состояния с отрицательной энергией появляются, ра-
зумеется, не только в теории Дирака. Они появляются в
любой релятивистской теории, в том числе и в классиче-
ской. Ведь известная формула релятивистской зависимо-
сти энергии от импульса допускает в принципе существо-
вание обоих знаков энергии:
Е = £\/<"2Р2 + т2с4; £ = ±1. (71)
Таким образом, из (7.1) следует, что энергия дираков-
ского электрона может принимать значения, принадлежа-
щие двум областям значений (положительным и отрица-
тельным). Эти области значений энергии разделены энер-
гетической щелью шириной 2тс2 (энергетический порог
рождения электрон-позитронной пары), см. рис. 7.1.
114
Рассмотрим состояния с отрицательной энергией. На
первый взгляд кажется, что им невозможно приписать ра-
зумный физический смысл.
Во-первых, этот контину-
ум состояний ничем не ограни-
чен снизу, то есть отсутствует
основное состояние! Но тогда
получается, что все остальные
состояния дираковского элек-
трюна неустойчивы, ибо воз-
можны радиационные перехо-
Рис. 7.1. Уровни энергии
свободной дираковской
частицы
ды электрона в состояния с от-
рицательной энергией и затем
не ограниченный каскад пере-
ходов во все более низкие со-
стояния в нижнем континууме
энергий (рис. 7.1).
Во-вторых, частица с отрицательной энергией долж-
на была бы обладать некоторыми весьма странными свой-
ствами. Например, это так называемое “попятное движе-
ние”. Проиллюстрируем это явление на следующем при-
мере. Возьмем решение уравнения Дирака в виде плоских
волн (3.24) и найдем, чему равен ток вероятности в таком
состоянии. Для простоты можно считать, что частица дви-
жется, например, вдоль оси Oz. В этом случае несложные
вычисления дают, что
2
(ь) = б^щ = б (^рел), . (7.2)
(См. также (3.36).) В случае состояния с положительной
энергией (б = +1) формула (7.2) соответствует классиче-
скому соотношению между энергией и импульсом в реля-
тивистском движении. Если же наше состояние является
состоянием с отрицательной энергйей (£ = —1), то из (7.2)
115
следует, что положительному значению импульса соответ-
ствует отрицательный ток! В классическом аналоге это
означало бы, что ускорение частицы направлено против
силы:
d d
dt& dt
(7-3)
Описанное выше явление носит название “попятного дви-
жения”. Ничего подобного в экспериментальных условиях
не наблюдалось.
Заметим, что в классической физике состояния с от-
рицательной энергией обычно не рассматривают на том
основании, что в процессе движения энергия частицы мо-
жет изменяться лишь непрерывно, “скачкообразные” же
переходы с ДЕ 2тс2 в классике невозможны. Поэтому
если исключить из рассмотрения в начальный момент вре-
мени состояния с отрицательной энергией, то больше они
в теории никогда и не появятся.
В квантовой механике, как известно, могут происхо-
дить и дискретные переходы (например, между уровня-
ми дискретного спектра). Переход из состояния с энерги-
ей +тс2 в состояние с энергией —тс2 имеет, как можно
убедиться, конечную вероятность; таким образом, нижний
континуум состояний из теории исключить нельзя.
Можно было бы еще надеяться на то, что удастся ис-
ключить из теории состояния с отрицательной энергией и
оставить одночастичную интерпретацию, если рассматри-
ваются свободные частицы. Но это не соответствует ре-
алистической физической картине: в природе всегда есть
взаимодействия. Если поместить дираковскую частицу во
внешнее поле, то, с одной стороны, учет наличия состо-
яний с отрицательной энергией становится просто необ-
ходим (7.5), а с другой стороны, желание сохранить при
этом одночастичную интерпретацию теории сталкивает-
116
ся с наличием таких трудностей и парадоксов, которые
в рамках одночастичного подхода являются непреодоли-
мыми. Одним из самых известных парадоксов такого рода
является парадокс Кляйна (1929 г.).
7.2. Парадокс Кляйна
Предположим, что электрон находится в постоянном и од-
нородном электрическом поле, направленном вдоль оси Oz.
Пусть движение происходит вдоль поля £ = {0, 0, £}.
При этом суще-
ственно изменяется
конфигурация уров-
ней энергии: изменя-
ются границы верх-
него (Е = тс2) и
нижнего (Е = —тс2)
континуумов энергии
Рис. 7.2. Модификация уровней
энергии частицы Дирака в одно-
родном электрическом поле
(см. рис. 7.2). Новы-
ми границами верх-
него и нижнего кон-
тинуумов состояний
станут линии (электрон движется по оси Oz, pa.=pJ/=0):
Е = ±mc2 + e£z,
где U (z) = e£z - потенциальная энергия электрона в элек-
трическом поле (подразумевается —е < 0 - заряд элек-
трона). В результате поворота запрещенной энергетиче-
ской зоны, разделяющей верхний и нижний континуумы,
состояния с отрицательной и положительной энергией бу-
дут разделены пространственно.
Таким образом, электрон, имеющий определенную энер-
гию Е, будет находиться в “состоянии с положительной
117
энергией” (С = +1) при z а и в “состоянии с отрица-
тельной энергией” (£ — —1) при z Ь. Но на самом-то
деле (см. рис. 7.2) энергия электрона при этом - одна и та
же! Значит, при наличии внешнего электрического поля
(или любого другого потенциала!) не может быть строгого
разделения состояний на состояния с положительной и от-
рицательной энергией. Более того, возможен туннельный
переход через запрещенную зону из верхнего континуума
в нижний (или наоборот). Этот эффект и представляет
собой парадокс Кляйна.
Оценим вероятность туннельного перехода из верхнего
континуума в нижний, используя квазиклассическое при-
ближение:
(7-4)
где р (z) = (Е — eEz)2 — m2c4. Несложный расчет пока-
зывает, что
[ ш2с3
О — ехр < -7Г——
I eric
(7-5)
Оказывается, что этот результат, полученный в квази-
классическом приближении, совпадает с результатом, ба-
зирующимся на точном решении уравнения Дирака в од-
нородном электрическом поле. Очевидно, что такой же вид
(7.5) должна иметь и вероятность обратного туннельного
перехода - из нижнего континуума в верхний.
Итак, наложение электрического поля не приводит к
локализации дираковской частицы - она может оказаться
в состоянии с противоположным знаком энергии в резуль-
тате туннельного перехода, причем вероятность такого пе-
рехода растет с ростом поля и стремится к единице в том
118
случае, если напряженность поля равна
2 3
£ = £кр = —С- = 1,3- 1016 В/см (7.6)
eh
— так называемому “швингеровскому” значению. Ясно, что
парадокс Кляйна, описанный выше, может возникать и в
электрических полях другого вида (например, в кулонов-
ском поле ядра атома), а также в потенциальных полях
иной природы.
С целью преодоления противоречий, появляющихся в
теории и выражающихся в наличии парадокса Кляйна и
других подобных парадоксов, Дираком в 1930 году была
предложена так называемая дырочная интерпретация со-
стояний с отрицательной энергией.
7.3. Дырочная интерпретация Дирака
Как мы видели, вероятность перехода электрона из состо-
яния с положительной энергией в состояние с отрицатель-
ной энергией может оказаться конечной, и в этом случае
электрон может переходить во все более низколежащие со-
стояния, излучая при этом бесконечную энергию. Чтобы
“спасти” уравнение Дирака, которое уже, как мы знаем,
дало большое количество впечатляющих результатов, под-
тверждаемых экспериментально (спектр атома водорода,
собственный магнитный момент электрона и др.), оказа-
лось необходимым найти новую интерпретацию состояний
с отрицательными энергиями, отличную от традиционной,
которая использовалась в нерелятивистской квантовой те-
ории.
Чтобы избежать перехода электрона в состояния с от-
рицательной энергией, предположим вместе с Дираком
(1930 г.), что все уровни с отрицательными значениями
энергии первоначально были заполнены в соответствии с
119
принципом запрета Паули. Это значит, что вакуум пред-
ставляет собой такое состояние, когда все уровни с отри-
цательной энергией заполнены электронами, а все уровни
с положительной энергией - свободны. При этом ни один
добавочный электрон (опять же согласно принципу Па-
ули) не может попасть в “море” дираковских частиц с
отрицательной энергией. Этим обеспечивается запрет пе-
реходов частиц в состояния с отрицательной энергией и их
дальнейший “спуск” вниз. Наличие этого “моря” частиц
в состояниях с отрицательной энергией (представляюще-
го собой полностью вырожденный ферми-газ, обладающий
бесконечной плотностью и бесконечным электрическим за-
рядом) является, согласно Дираку, экспериментально не
наблюдаемым, пока частицы из “моря” не станут перехо-
дить в другие состояния. Единственно возможными явля-
ются переходы в состояния с положительной энергией.
— Свободно
—
+тс
, -тс2
• Занято
Рис. 7.3. Электрон-позитрон-
ный вакуум в теории “дырок”
Рис. 7.4. Рождение электрон-
позитронной пары из вакуума
Предположим, что под воздействием 7-кванта с энер-
гией, превышающей 2тс2 (ширину щели), электрон пере-
ходит из “моря” в состояние с положительной энергией. В
результате этого перехода мы будем наблюдать электрон
с отрицательным зарядом —е и положительной энергией
+ЕР и “дырку” в море отрицательно заряженных “ваку-
умных” электронов с отрицательной энергией. Но наличие
“дырки” означает отсутствие электрона с зарядом —ей
120
энергией —Ер. Сравнивая это новое состояние “моря” с ва-
куумным, можно интерпретировать его, как состояние, в
котором имеется частица с зарядом +е и энергией +Ер.
Действительно, если мы условимся отсчитывать энергию
и заряд частиц относительно вакуумного состояния, опи-
санного выше (т.е. относительно “моря” Дирака), и учтем,
что энергия и заряд вакуумного состояния равны:
Ева,к — Е (£ — —1),
р(€=-1)
^вак = ' в,
Р(£=-1)
то полное изменение энергии и заряда в системе в резуль-
тате перехода электрона в верхний континуум окажется
равным:
Де = — е + <
е “ (~е) / ~ евак = -е + е
р(£=-1) J
Выражение (7.7) показывает, что образовались две части-
цы с положительной энергией, а (7.8) показывает, что за-
ряд частицы, соответствующей “дырке”, противоположен
заряду электрона.
Таким образом, описанный переход электрона из “мо-
ря” в состояние с положительной энергией приводит к ро-
ждению двух частиц. При этом одна из образующихся ча-
стиц должна иметь положительную энергию и массу, но
обратный по сравнению с электроном (то есть положи-
121
тельный) знак заряда. Частица с такими свойствами бы-
ла предсказана Дираком и получила название “позитрон”.
Вслед за этим она была обнаружена экспериментально Ан-
дерсоном в космических лучах (1932 г.).
В дырочной интерпретации получает объяснение и та-
инственный феномен “попятного” движения (7.3), посколь-
ку есть возможность одновременного изменения знака у
энергии и заряда (F = е£).
Итак, мы описали процесс рождения электрон-пози-
тронной пары. Позитрон является античастицей по отно-
шению к электрону и описывается волновой функцией, под-
чиняющейся уравнению Дирака с положительной энергией
и положительным зарядом. Очевидно, что процесс кван-
тового туннелирования электрона из состояния с отрица-
тельной энергией в состояние с положительной энергией
в присутствии электрического поля, описанный в п. 7.2,
есть не что иное, как рождение электрон-позитронной па-
ры из вакуума внешним электрическим полем. Коэффици-
ент прохождения (7.5) пропорционален вероятности это-
го процесса. Из формулы (7.5) следует, что вероятность
рождения е+е“-пар из вакуума мала, если поле мало по
сравнению со швингеровским £кр = m2c3/e/i (7.6). Если
же внешнее поле порядка (или даже больше) критическо-
го, то из (7.5) следует, что электрон-позитронный вакуум
становится нестабильным в таких электрических полях,
существенно возрастает вероятность процессов спонтанно-
го рождения пар, и одночастичная интерпретация теории
становится совершенно невозможной.
Ясно, что дырочная интерпретация дает возможность
описать и процесс, обратный процессу рождения е+е“-па-
ры: переход электрона на свободный уровень с отрица-
тельной энергией ведет к исчезновению как электрона, так
и “дырки” и сопровождается излучением 7-квантов. Это
есть не что иное, как аннигиляция электрон-позитронной
122
пары с испусканием излучения.
Следует обязательно подчеркнуть, что именно в дыроч-
ной интерпретации впервые возникает представление о ва-
кууме не как о “пустом пространстве”, но как о некотором
особом состоянии системы частиц (“море” Дирака!), обла-
дающим важными и далеко не тривиальными свойства-
ми. Электрон-позитронный вакуум играет рсуть резервуа-
ра, откуда появляются частицы при их рождении и куда
они переходят вследствие аннигиляции. Вакуум действи-
тельно ненаблюдаем, пока он не возмущен, но если на него
подействовать внешними полями, то это может проявить-
ся во вполне наблюдаемых эффектах (например, сдвиги
атомных уровней (по аналогии с (6.20)), аномальный маг-
нитный момент электрона (6.13) и др.).
Теория дырок, описанная выше, разумеется, предста-
вляет собой уже первый шаг к многочастичной теории,
которая описывает частицы обоих знаков заряда. Волно-
вая функция при этом уже не имеет простой вероятност-
ной интерпретации, ибо она должна в принципе описывать
процессы с изменением числа частиц (рождение и анниги-
ляция е+е--пар).
Нельзя не отметить также, что модель вакуума в виде
“моря” Дирака не лишена серьезных недостатков. Напри-
мер, не очень логичным кажется факт, что электроны с от-
рицательными энергиями, образующие “море”, никак друг
с другом не взаимодействуют. Другим слабым местом в те-
ории является отсутствие симметрии между электронами
(частицами) и позитронами (“дырками”). Все данные про-
тиворечия разрешаются в квантовой теории поля, мето-
ды которой позволяют построить новую теорию электрон-
позитронного вакуума, симметричную относительно знака
заряда. В основе этих методов лежит еще одна дискретная
симметрия уравнения Дирака - инвариантность относи-
тельно зарядового сопряжения.
123
7.4. Зарядовое сопряжение
Из рассмотренной выше теории “дырок” следует, что в
природе существует еще один тип фундаментальной сим-
метрии: каждой частице должна соответствовать антича-
стица, в частности, из существования электронов долж-
но следовать существование позитронов. Здесь мы най-
дем в явном виде оператор, который переводит волновые
функции электронов с отрицательной энергией в волновые
функции позитронов с положительной энергией.
Волновая функция электрона с отрицательной энер-
гией будет удовлетворять уравнению Дирака с зарядом
-е < 0 (2.49):
+ ^^А^ - тс} Ф (г, £) = О, (7.9)
причем она, согласно дырочной интерпретации, должна
быть однозначно связана с волновой функцией позитрона,
которая, очевидно, является решением уравнения
- тс} Фс (г, £) = 0. (7.10)
Итак, имеется однозначное соответствие между решения-
ми уравнений (7.9) и (7.10).
Операция “С”, посредством которой функция Фс обра-
зуется из Ф, называется операцией зарядового сопряжения
(Крамере, 1937 г.). Реализуем эту операцию, как антиуни-
тарное преобразование, включающее операцию комплекс-
ного сопряжения волновой функции. В силу известного со-
отношения (выполняющегося в представлении (2.4))
7°7ЮуО _ ун-
уравнение для функции у°Ф* = Фт (где “Т” - операция
транспонирования) имеет вид (см. (2.32))
{ — + -7А‘тАдг — тс} Фт (г, f) = 0.
124
Введем преобразование зарядового сопряжения по схеме
Фс (г,^) = 5сФт (г, £),
(7-11)
где Sc - матрица унитарного преобразования, свойства ко-
торой следуют из того, что Фс должна удовлетворять урав-
нению (7.10):
SC^TS^ = -7"; S+ = S~\ Sj = -Sc. (7.12)
Легко видеть, что условиям (7.12) удовлетворяет матрица
Sc = 727° = ~«2-
(7-13)
Матрица Sc определена, как и Sp (см. (2.40)), с точностью
до произвольной фазы, которую мы здесь положили равной
нулю.
Посмотрим далее, как преобразование (7.11), (7.13) бу-
дет действовать на конкретные решения уравнения Дира-
ка в виде плоских волн (3.24). Исходя из функции (3.24)
с отрицательным значением энергии, получаем функцию
античастицы:
Ф1€,-р,я (М) =
Рг)
____•
*
иС (-С, -Р, s) =
е-|(?Ер-рг)
-----7=-----(С, Р, s) = г^Ф^,р>я (г, £).
(7-14)
То есть с точностью до несущественного фазового множи-
теля мы получаем ту же самую функцию - свободные элек-
троны и позитроны описываются одними и теми же вол-
новыми функциями. Это и естественно, ибо эти функции
характеризуются лишь значениями импульса р и продоль-
ной поляризации s.
125
Если преобразование волновой функции (7.11) допол-
нить преобразованием, изменяющим знак электромагнит-
ного поля
А^(х)-^Ас^х) = -Ац(х), (7.15)
то уравнение Дирака (7.9) будет инвариантно относитель-
но операции зарядового сопряжения (включающего пре-
образование волновой функции (7.11) и поля (7.15)). Физи-
ческий смысл данного преобразования состоит в том, что
каждому состоянию электрона в поле Ац (т), описываемо-
му решением уравнения (7.9), соответствует состояние по-
зитрона в поле —Ар,(х), описываемое решением того же
уравнения.
7.5. СРТ-инвариантность
и обращение времени
Динамика рассматриваемого явления инвариантна отно-
сительно обращения времени, если обращенная во времени
последовательность состояний также соответствует физи-
чески реализуемой ситуации. Эта инвариантность означа-
ет, что мы можем проделать над уравнением Дирака неко-
торое преобразование, включающее замену t —tn приво-
дящее уравнение к прежнему виду. Тогда преобразованная
волновая функция будет описывать электрон, движущийся
вспять во времени, и она будет удовлетворять уравнению
Дирака, то есть являться физически возможной.
Операция обращения времени реализуется как антиу-
нитарная операция, включающая операцию комплексного
сопряжения
ТФ (г, t) = б'уфТ (г, -t), (7.16)
126
где St - унитарный оператор. Запишем уравнения для Ф
и Фт:
^*~7°^ + (7^) ~ тс} (г> 0 — (7-17)
г—7°т^- + ih (7TV) + mcl Фт (г, t) = 0. (7-18)
с ot I
Заменим в (7.18) t на — t и подействуем слева операто-
ром St-
i-STy0T^~ - ihST (7TV) 1 Фт (r, -t) -
с ot J
— тс8т^Т (г, —t) = 0.
Мы хотим, чтобы функция (7.16) удовлетворяла уравне-
нию (7.17), поэтому матрица St должна подчиняться усло-
виям
STy0TS^ =7°; St^S^-i. (7.19)
Условиям (7.19) удовлетворяет матрица
ST = (7.20)
определенная, как и обычно, с точностью до фазового мно-
жителя.
С целью уточнения физического смысла преобразова-
ния (7.16) - (7.20) изучим действие такого преобразования
на плоские волны (3.24). Преобразованная функция будет
иметь вид
е-|(-^р-рг)"
(г, 0 —
*
7'73717°д* (£, р, s) =
е-^Ер+Рг)
= ls-----/=---и (^, s) Ф£,-Р,з (Г>
(7-21)
127
Выражение (7.21) показывает, что с точностью до фазового
множителя мы получаем в качестве образа волновой функ-
ции при обращении времени функцию свободной частицы с
измененными на обратные значениями пространственных
компонент импульса (и спина, ибо спиральность s сохра-
няется!). Заметим, что определенная таким образом опе-
рация обращения времени соответствует тому, что мы по-
нимаем под обращением времени в классической физике.
Найдем теперь результат воздействия на Ф (г, 1) всех
трех дискретных операций: пространственной инверсии
(2.38), (3.9), зарядового сопряжения (7.11) и обращения
времени (7.16):
ТФ (г, t) = -Р^Ф* (г, -t),
РТФ (г, t) = е^7° (ТФ) = -ге^7°7173Ф* (-г, -t),
СРТФ (г, t) = 72 (-?е^7°7173Ф*)* =
— ге^г<'’727°7173Ф (—г, —t) =
=-е“^75Ф (-г,-t), (7.22)
Ч • П 1 9 Ч
где матрица 70 =
Как мы выяснили, уравнение Дирака инвариантно по-
рознь относительно всех трех дискретных преобразований.
Разумеется, оно инвариантно относительно всех трех пре-
образований, выполненных одновременно (частный случай
так называемой СРТ-теоремы Людерса-Паули-Швингера
(1951-1955), утверждающей, что локальная квантовая те-
ория поля в любом случае инвариантна относительно пре-
образования СРТ).
128
Глава 8
Физика нейтрино
8.1. Масса нейтрино
История физики нейтрино началась более 60-ти лет назад с
известного письма Вольфганга Паули Тюбингенскому фи-
зическому обществу (1930 г.), в котором он выдвинул идею
о существовании новой частицы - нейтрино. Эта гипоте-
за позволила обеспечить сохранение энергии, импульса и
углового момента в ядерном /3-распаде. Паули предпола-
гал, что нейтрино - это электрически нейтральная части-
ца со спином 1/2 и с массой, которая должна быть малой,
но не обязательно нулевой.
Развитие физики нейтрино сопровождалось крупными
открытиями и достижениями, которые не только углубили
наше представление о самом нейтрино и его свойствах, но
и, по существу, способствовали изменению общего взгляда
в целом на слабые взаимодействия, одним из важнейших
участников которых является нейтрино. Тем не менее на
сегодняшний день в физике нейтрино существует еще мно-
го нерешенных до конца вопросов.
Один из самых важных аспектов физики нейтрино -
возможное наличие массы частицы. Пока никто не мо-
жет объяснить, почему нейтрино настолько легче заря-
женных лептонов (электронов мюонов, г-лептонов), и мы
можем лишь предполагать, не является ли это отраже-
129
нием некоей новой фундаментальной симметрии. В самом
деле, современные экспериментальные данные дают верх-
нее ограничение на массу электронного нейтрино, равное
mUe < 4, 5 эВ [11], что, вообще говоря, совместимо и с нуле-
вой массой нейтрино. Однако более приемлемой на нынеш-
нем этапе развития физики считается именно концепция
массивного нейтрино, нежели теория, в которой масса ней-
трино точно равна нулю. Наличие малой массы, а также
смешивания нейтрино разных типов и осцилляций нейтри-
но (см. п. 8.4) может дать естественное объяснение многим
астрофизическим и космологическим проблемам [10].
Итак, если считать, что нейтрино обладает малой мас-
сой, то его состояние должно описываться четырехкомпо-
нентным дираковским спинором, удовлетворяющим урав-
нению Дирака (3.11) без электрического заряда (дираков-
ское массивное нейтрино). Состояние такого нейтрино ха-
рактеризуется теми же квантовыми числами, что и состоя-
ние свободного электрона (3.24) - тремя компонентами им-
пульса, знаком энергии ( = ±1 и спиральностью s — ±1.
Подчеркнем, что при фиксированных значениях импуль-
са и энергии здесь возможны четыре базисных состояния:
частица и античастица - каждая со своим значением про-
екции спина (четырехкомпонентное нейтрино).
По общему закону зарядового сопряжения (7.11) волно-
вой функции нейтрино можно сопоставить волновую функ-
цию античастицы - антинейтрино. Естественно, сразу воз-
никает вопрос: какие физические характеристики могут
дать возможность отличить частицу от античастицы в
условиях отсутствия у нейтрино электрического заряда?
Очевидно, что дираковские нейтрино не могут быть ис-
тинно нейтральными: частица отличается от античастицы
знаком так называемого лептонного заряда (или лептонно-
го числа). Число лептонных зарядов при этом равно чи-
слу лептонных поколений, то есть таких зарядов три: Le,
130
Ьц, LT - для электронного, мюонного и т-нейтрино. (За-
кон сохранения лептонного заряда означает, что на опы-
те не наблюдаются процессы вида: —> е~ + 7, р- —>
-> е~ + (е+ + е-), —> е~ + 27 и т.п.)
Однако закон сохранения лептонного заряда может и
нарушаться. Современные модели Великого Объединения
всех видов взаимодействий как раз и предсказывают воз-
можность нарушения закона сохранения лептонного за-
ряда. Поэтому существует и другая возможность описа-
ния массивного нейтрино. Можно исходить из того, чтобы
нейтрино было истинно нейтральным, то есть чтобы все
его возможные заряды были тождественно равны нулю.
В этом случае мы получим частицы, тождественные сво-
им античастицам и описываемые зарядово-сопряженными
спинорами (Майорана, 1937 г.): ,
ФМ = (ФМ)С. (8.1)
Дополнительное условие (8.1) уменьшает число степеней
свободы майорановского нейтрино, фактически оно являет-
ся двухкомпонентным: частица тождественна античасти-
це, и два нейтрино с одинаковыми значениями импульса
могут отличаться только значением проекции спина на не-
которое направление.
Свойства массивных нейтрино существенно зависят от
природы их массы. Например, если массивное нейтри-
но - майорановское, то оказывается разрешенным процесс
двойного безнейтринного /3-распада (2п —> 2р+2е“), прохо-
дящий с нарушением закона сохранения лептонного числа
(Д£е = 2). Экспериментальное обнаружение этого процес-
са позволило бы фиксировать массу нейтрино как майо-
рановскую. Кроме того, различить майорановское и дира-
ковское нейтрино в принципе можно по их электромагнит-
ным свойствам (см. п. 8.3). Установление истинной приро-
131
ды массы нейтрино является одной из самых интересных
и важных задач современной нейтринной физики.
Отметим, что с ростом энергии различие между дира-
ковским и майорановским нейтрино постепенно исчезает,
и при ту -> 0 (или {myc2/Ej) -> 0) обе теории переходят
в теорию безмассового двухкомпонентного нейтрино (Лан-
дау, Ли, Янг, 1957 г.).
8.2. Теория безмассового нейтрино
Переходя к описанию безмассовых нейтрино, устремим к
нулю массу в гамильтониане Дирака (1.19):
Нр = с (ар) + /Зтс21 ->с(ар). (8.2)
Im—>0
Таким образом, мы получаем уравнение
гд£ф = с(Др)ф. (8.3)
Первое, что бросается в глаза при анализе уравнения
(8.3) - это тот факт, что оно не содержит в отличие
от (1.19) матрицы (3. А это, в свою очередь, приводит к
упрощению структуры пространства внутренних перемен-
ных для дираковской безмассовой частицы. Мы знаем (см.
(1.18)), что матрицы аг (г = 1, 2, 3) удовлетворяют соотно-
шениям антикоммутации
{сц, Oj} — 2<5ij.
Поскольку точно таким же соотношениям удовлетворяют
матрицы Паули 07:
132
то можно просто положить
и вместо (8.3) мы получаем пару уравнений фактически
для двухкомпонентных волновых функций, ибо щ - матри-
цы размерности 2x2:
г?г|^Ф = с (стр) Ф,
= —с (Sp) Ф.
(8-4)
Конкретный выбор одного из уравнений в (8.4) для опи-
сания безмассового нейтрино должен, разумеется, следо-
вать из экспериментальных данных.
Получим (8.4) более последовательным путем. С этой
целью вернемся к (8.2) и заметим, что с исчезновением мас-
сового члена из гамильтониана появляется новый интеграл
движения, ибо теперь
[hd,75]
= о,
75 = -27°717273 = -Р1-
(8-5)
Соответствующая симметрия называется киральной сим-
метрией, а собственное значение 75 называется кираль-
ностью. Очевидно, что решения (8.3) должны характери-
зоваться определенным значением киральности. Запишем
решение уравнения (8.3) в виде плоской волны, характери-
зующейся определенным значением импульса и знака энер-
гии:
фр(г, t) = и (р, Е) -Le-|(^P-pr)
(8-6)
Подставим выражение (8.6) в уравнение (8.3) и получил
£Ери (р, Е) = с (Sp) и (р, Е).
(8.7)
133
(Это - не что иное, как система четырех уравнений, ибо
аг - матрицы 4x4.) Условие совместности системы урав-
нений дает, что
с2р2 = Ер, Ер = с |р| = ср > 0.
Поэтому безмассовое нейтрино всегда движется со скоро-
стью света.
Учитывая, что <$г = —75Ej (см. (1.21)), приведем урав-
нение (8.7) к виду
(£р)
- ~ ~ и (Р, Е) = и (р, Е). (8.8)
Из уравнения (8.8) следует, что если функция и (р, Е) явля-
ется собственной для оператора продольной поляризации
(ср. с (3.21)), т.е. характеризуется определенным значени-
ем спиральности, то она должна быть также собственной
для 75 и обладать определенной киральностью. Причем,
как это видно из (8.8), для £ = — 1 киральность равна спи-
ральности, а для £ = +1 они отличаются знаком. Подчерк-
нем, что такое совпадение значений киральности и спи-
ральности существует только в безмассовом случае, если
же тп 0, то j^Hc,75j 0, и, следовательно, киральность
вообще не является интегралом движения. В то же вре-
мя продольная поляризация (Sp) j Р ~ интеграл движения
для свободной частицы как при т = 0, так и при m 0.
Поэтому состояние массивной дираковской частицы не мо-
жет быть охарактеризовано определенной киральностью,
но может обладать определенной спиральностью.
Вернемся к безмассовому случаю. Из уравнения (8.8)
следует, что необходимо рассмотреть общие собственные
функции операторов (Sp) [ Р и 75- С этой целью перейдем
к так называемому киральному представлению 7-матриц,
134
где матрица 75 = — pi диагональна (в стандартном пред-
ставлении она недиагональна, см. (1.23)). Переход к ки-
ральному представлению осуществляется при помощи уни-
тарного преобразования:
7f„p = U-y&C+, где 0=^(| 21)- <8£1)
В киральном представлении:
О
(8.10)
При этом дираковский спинор и (р, Е) можно записать в
виде
д (р, Е)=( ; д(±) = | (1 ± 75) и.
Здесь | (1 ± у5) - проекторы на дНч - состояния с поло-
жительной (75 = 1) и отрицательной (75 = — 1) кираль-
ностью. Уравнение (8.8) расщепляется на два уравнения
для состояний с положительной и отрицательной кираль-
ностью:
(стр) д/ ) = £рд( \
(стр) д(+) = —£рд(+).
(8.П)
Отметим, что в обоих уравнениях в (8.11) речь идет о двух-
компонентных волновых функциях д(±\ см. также (8.12).
Система уравнений (8.11) для безмассового нейтрино
показывает, что решения с определенным знаком энер-
гии соответствуют определенному значению проекции спи-
135
на на направление движения (спиральности). Эксперимен-
тальные данные по /3-распаду указывают на то, что у ней-
трино спин всегда ориентирован антипараллельно напра-
влению движения (“левое” нейтрино). Это значит, что оно
должно описываться вторым уравнением системы (8.11)
при £ = +1.
Итак, нейтрино характеризуется (при £ = +1) отри-
цательной спиральностью (s = —1). Если же рассмотреть
решение второго уравнения системы (8.11) с отрицатель-
ным знаком энергии (£ = —1), то станет ясно, что оно от-
вечает положительному значению спиральности (спин па-
раллелен импульсу или s = Н-l). Но следует учесть, что
при интерпретации состояний с отрицательными значе-
ниями энергии на языке теории “дырок” волновая функ-
ция антинейтрино должна характеризоваться значением
£ = +1, а его импульс должен быть направлен противо-
положно импульсу “дырки”. Изменяя одновременно знаки
р —> —р и £ = — 1 £ = +1 во втором уравнении (8.11),
видим, что состояние антинейтрино, определенное таким
образом, должно характеризоваться положительным зна-
чением спиральности (s = +1, “правое” антинейтрино).
Оказывается, что состояния “правого” нейтрино (ней-
трино с положительной спиральностью, s = +1) и “левого”
антинейтрино (антинейтрино с отрицательной спирально-
стью, s = — 1) не регистрируются экспериментально в сла-
бых взаимодействиях, и поэтому решения первого уравне-
ния системы (8.11) можно просто не рассматривать. Это
означает, что в природе реализуются только состояния с
положительной киральностью (75 = 1).
Таким образом, мы приходим к выводу о том, что в рас-
сматриваемой теории состояния нейтрино и антинейтрино
различаются чисто кинематически - по направлению спи-
на. Нейтрино при этом является двухкомпонентным: при
фиксированном значении импульса возможны только два
136
состояния - “левое” нейтрино (s = —1) и “правое” анти-
нейтрино (s = +1).
Обратимся теперь к возможным дискретным симме-
триям уравнения для безмассовых нейтрино. Переходя к
киральному представлению (8.9) непосредственно в урав-
нении (8.3), получим
) = с(<тр)ф( \
= -с(о-р)Ф<+),
(8.12)
где
ф(г’0=(ф(+) )• ф<±) = 5(1±75)*(г,0,
ср. с (8.4). Полученная система уравнений (8.12) для функ-
ций (г. t) с положительной и отрицательной кираль-
ностью фактически эквивалентна паре уравнений Вейля
(1929 г.) для безмассовых частиц со спином 1/2.
Сразу становится очевидным, что в этой теории отсут-
ствует инвариантность порознь относительно зарядового
сопряжения С и пространственной инверсии Р, ибо обе
эти операции связывают решения уравнений с противопо-
ложными киральностями. Только лишь комбинированная
инверсия СР оставляет уравнения Вейля инвариантными
Учитывая явный вид матрицы Sc в киральном представле-
нии
О
&2
О
и выбирая решение второго уравнения системы (8.12) в ви
де плоской волны (8.6) с паулиевским спинором, описыва-
ющим состояние с определенной спиральностью (3.23), не
трудно показать по аналогии с (7.14), что СР-преобразо-
137
ванная волновая функция с точностью до фазового множи-
теля та же самая, что и исходная:
СРЧ'Й’.-!,..! (Г. О = (-Г, t) =
В заключение этого раздела необходимо отметить, что
если все же допустить наличие ненулевой массы нейтрино
(ту 7^ 0), то различие между нейтрино и антинейтрино,
основанное на различии спиральностей, уже теряет абсо-
лютный характер. Дело в том, что если ту 0, то ней-
трино должно двигаться со скоростью, меньшей скорости
света, а значит, что его всегда можно “обогнать”, то есть
перейти в инерциальную систему отсчета, движущуюся
быстрее, чем нейтрино. Очевидно, что направление им-
пульса нейтрино в этой новой системе изменится на проти-
воположное, значит, изменится и значение спиральности.
Поэтому массивное дираковское нейтрино (в отличие от
безмассового) может находиться и в состоянии со спираль-
ностью s = +1. Однако свойства слабого взаимодействия
таковы, что для состояний массивного нейтрино с s = +1
и антинейтрино с s = — 1 вероятности взаимодействия с
другими частицами в нейтринных процессах пропорцио-
нальны величине (ту(? /EJ) , то есть сильно подавлены
для релятивистских нейтрино. Поэтому отличными от ну-
ля оказываются вероятности взаимодействия только для
тех состояний нейтрино, которые присутствуют и в тео-
рии двухкомпонентного нейтрино.
8.3. Нейтрино во внешнем
электромагнитном поле
Изначально нейтрино было постулировано Паули как элек-
трически нейтральная и, следовательно, не взаимодейству-
138
ющая с внешними электромагнитными полями частица.
Тем не менее электромагнитные свойства у нейтрино воз-
никают при учете взаимодействия нейтрино с вакуумом.
В принятой на сегодняшний день Стандартной моде-
ли электромагнитных и слабых взаимодействий, основан-
ной на группе 5(7(2) ® (7(1) (теория Вайнберга-Салама-
Глэшоу, 1967 г.), переносчиками слабого взаимодействия
являются И/±-бозоны и Z°-6o3OHbi. Это массивные век-
торные частицы, открытые экспериментально в 1983 го-
ду, и современные значения их масс составляют т\у —
= 80, 394±0,042 ГэВ; mz = 91,187±0,007 ГэВ [11].
Итак, массивное дираков-
ское нейтрино, движущееся
во внешнем электромагнит-
ном поле и в вакууме Стан-
дартной модели, в некоторый
момент времени распадается
на виртуальные электрон и
И7 * -бозон, а через малое вре-
мя At W+-бозон и электрон
взаимно поглощаются, снова
превращаясь в нейтрино (см.
рис. 8.1). Время существова-
ния виртуальных И^-бозона
и электрона очень мало (At
~ 2 10-27 с)
Рис. 8.1. Фейнмановская
диаграмма, описывающая
радиационную поправку к
массе дираковского ней-
трино во внешнем поле
~ h/ДЕ ~ h/туус2 ~
, но, будучи заряженными частицами, элек-
трон и И7 7-бозон взаимодействуют с внешним электромаг-
нитным полем (двойные линии на рис. 8.1 означают учет
воздействия внешнего поля на виртуальные частицы). Вза-
имодействие с внешним полем изменяет состояния вирту-
альных частиц, а значит, и состояние самого нейтрино.
Возникают радиационные поправки к энергии нейтрино. В
частности, одно из слагаемых в этой радиационной поправ-
ке интерпретируется как энергия взаимодействия аномаль-
139
ного магнитного момента нейтрино с внешним магнитным
полем (К.
Таким образом, в результате учета взаимодействия с
вакуумом дираковское массивное нейтрино получает маг-
нитный момент. В случае, если напряженность внешнего
поля мала (ТС -С ТСкр = m2c3/eh ~ 4,4 1013 Гс), аномаль-
ный магнитный момент нейтрино имеет значение (в систе-
ме единиц h — с = 1):
..о 3>eGpmv in-i9 го i->\
(Фуджикава, Шрок, 1980 г.). В выражении (8.13) Gp =
= 10~5т~2 - константа Ферми, тр - масса протона. Маг-
нитный момент нейтрино направлен вдоль спина, а маг-
нитный момент антинейтрино - против. Поэтому частица
и античастица отличаются направлением магнитного мо-
мента. Заметим также, что магнитный момент пропорци-
онален массе нейтрино, поэтому он исчезает при mv —> 0
(для безмассового нейтрино).
Важно подчеркнуть, что здесь речь идет именно о дира-
ковском массивном нейтрино. Для майорановского массив-
ного нейтрино, тождественного своей античастице, наряду
с виртуальным процессом и —> e~W+ —> и, рассмотрен-
ным нами ранее, необходимо учитывать вклад зарядово-
сопряженного процесса и —> e+W~ —> v. В результате по-
лучается, что майорановское нейтрино не может иметь ни
магнитного, ни дипольного электрического моментов. Та-
ким образом, электромагнитные свойства майорановского
и дираковского нейтрино оказываются существенно раз-
личными, и это дает принципиальную возможность отли-
чить эти два типа нейтрино по их электромагнитным вза-
имодействиям.
В дальнейшем мы рассмотрим некоторые физические
140
следствия, к которым приводит наличие аномального маг-
нитного момента у дираковского массивного нейтрино.
8.3.1. Спектр энергии нейтрино
в однородном магнитном поле
Будем считать, что массивное дираковское нейтрино опи-
сывается уравнением Дирака-Паули (6.25) (разумеется,
при этом электрический заряд в (6.25) равен нулю)1:
< - тс + V Ф (т) = 0. (8-14)
После перехода к гамильтоновой форме в (8.14) мы полу
чим:
ГЛ
гП^Ф (г, t) = НФ (г, t), Н = Н(°> + V,
Н(°) = Нр = с (Sp) + [Зтс2 * *; V = —р°Э-С/?Бз. (8.15)
(Мы считаем, что в (8.15) однородное магнитное поле на-
правлено вдоль оси Oz: FC = {0,0, J£}.) Найдем поправ-
ки к уровням энергии массивного дираковского нейтрино,
обусловленные взаимодействием его магнитного момента с
внешним магнитным полем, используя стационарную тео-
рию возмущений.
В качестве волновых функций нулевого приближе-
ния выберем общие собственные функции гамильтониа
на Н(°) = Нр и оператора поляризации спина М (9.26).
1Это не очень точно. На самом деле уравнение, описывающее по-
ведение массивного дираковского нейтрино в слабом внешнем поле
следующее из однопетлевого приближения Стандартной модели, име-
ет вид: (1 + T5) Ф = 0 (в системе единиц
h = с = 1). Но различия между этим уравнением и (8 14) несуще-
ственны в рамках рассматриваемых здесь задач
141
который принимает вид
~ ~ Ml
М = д Э-Сдз; Дз = S3 + р2---(8.16)
тс
где оператор Дз характеризует проекцию спина нейтрино
на направление магнитного поля. Заметим, что оператор
М является точным интегралом движения для гамильто-
ниана (8.15). Уравнение на собственные функции для М
имеет вид
Мф(°) =
(8-17)
где £ = ±1 - спиновое квантовое число, характеризующее
проекцию спина на направление магнитного поля, Ej_ =
= у/Е2 — с2р2. “На решениях уравнения Дирака”, то есть в
предположении, что все операторы реализуются, действуя
на волновую функцию, удовлетворяющую уравнению Ди-
рака, оператор Дз может быть записан в следующем экви-
валентном виде:
Мз = —U (Е^з ~ icp2pz
тег \
В результате общие собственные функции операторов
Н<°) = Нр, р, Ли М мы получаем в виде (ср. с (3.24)):
/Ci \
, .. е-к^~рг) C2ei6
P’U (г, ) - Сз
)
(8.18)
где
с.,3=>/'+Q (71+е> ± «71 -«>),
= TcJi-cg (71+е>тК\/1-ф)
у -L/_L \ у -L-tp у -L-tp /
142
Учитывая, что оператор возмущения V диагоналей в
базисе из функций (8.18), сразу получаем поправки к уров-
ням энергии. В итоге уровни энергии массивного дираков-
ского нейтрино в магнитном поле имеют вид (£ = 1, знак
энергии положительный):
Е = Е<») -
£;(°) = Ер - у/с2р2 + т*с4.
(8.19)
Как следует из (8.19), энергия дираковского нейтрино яв-
но зависит от ориентации спина по отношению к напра-
влению поля (С = ±1). Заметим также, что закон диспер-
сии (8.19) разрешает электромагнитное излучение нейтри-
но при переходах между состояниями с ( = ±1.
8.3.2. Переворот спиральности нейтрино
в магнитном поле
Рассмотрим теперь поведение продольно-поляризованного
массивного дираковского нейтрино во внешнем магнитном
поле. Для решения этой задачи мы используем гамильто-
ниан (8.15) и теорию возмущений. В качестве функций ну-
левого приближения теперь выберем функции (3.24), соб-
ственные для оператора продольной поляризации и ха-
рактеризующиеся определенным значением спиральности
(s = ±1). Оператор продольной поляризации /Р не
коммутирует с гамильтонианом (8.15) и поэтому не явля-
ется интегралом движения.
Оператор возмущения V не является диагональным в
базисе волновых функций (3.24). Поэтому вначале следу-
ет диагонализовать возмущение, составив “правильные”
функции нулевого приближения:
Ф<°> (г, t) = C^p>s=1 (г, t) + (г, t). (8.20)
143
(В (8.20) мы фиксировали значение знака энергии £ = +1.)
Коэффициенты Ci и C_i находятся из системы уравнений
Q (ДЕ - Vn) - C-iVi-! = 0,
CiV_ii — C_i (ДЕ — V—i—i) = 0,
где Vssi - матричные элементы оператора V, а ДЕ - по-
правки к энергии нейтрино.
В дальнейшем будем считать, что нейтрино движется
перпендикулярно направлению магнитного поля: pz = 0.
Непосредственное вычисление с учетом (3.24) дает:
Vu = V^i_i = 0; Vi_i = -V-ц =
ДЕ(±> =
Находим далее явный вид коэффициентов и соста-
вляем из функций (8.20) суперпозицию состояний, отвеча-
ющую начальному условию ф(°) (t = 0) = Фр,в=-1, то есть
спин вначале направлен против импульса (начальное ней-
трино - левое). При помощи этой суперпозиции находим
значение спиральности нейтрино в произвольный момент
времени:
(8.21)
Из (8.21) следует, что при движении нейтрино перпенди-
кулярно к полю продольная поляризация прецессирует с
периодом Т = Заметим, что если бы мы не накла-
дывали дополнительное условие pz = 0, то получили бы
более общий результат:
sin2# .
“ 1 - 1-----Z5---ГБ 1 - cos
1 — /З2 COS2 V
2р^Л , 2 2 д\ 1/2
д>1Н = —(1 - /З2 cosz #)
(8.22)
144
где (3 = vfc- скорость нейтрино, 6 - угол между импуль-
сом нейтрино и магнитным полем ДС. Ясно, что при pz = О
результат (8.22) переходит в (8.21), а при р = pz, pj_ = О
(движение вдоль магнитного поля) продольная поляриза-
ция сохраняется, ибо проекция спина нейтрино на напра-
вление магнитного поля - интеграл движения (см. (8.19)).
Таким образом, родившись в результате какого-либо сла-
бого процесса со спиральностью s = — 1 и распространя-
ясь в магнитном поле, нейтрино может оказаться в состо-
янии со спиральностью s — +1. А как мы уже говорили,
такое состояние практически является “стерильным”, то
есть практически не поддается детектированию.
Итак, как мы видим, магнитное поле вызывает пере-
ворот спиральности массивного дираковского нейтрино.
Эффект переворота спиральности нейтрино может иметь
важное значение в процессе образования нейтронной звез-
ды, обладающей сильным магнитным полем 34 ~ 1013 Гс:
половина образующихся в процессе гравитационного кол-
лапса левых нейтрино может перейти в правые, практиче-
ски не взаимодействующие с веществом стерильные состо-
яния, что, в свою очередь, приводит к уменьшению наблю-
даемого нейтринного импульса, сопровождающего коллапс
звездного ядра. Этот же эффект предполагалось использо-
вать для возможного объяснения проблемы дефицита сол-
нечных нейтрино, однако величина аномального магнитно-
го момента нейтрино, предсказываемая Стандартной моде-
лью (8.13), оказалась слишком малой [10].
8.4. Осцилляции нейтрино
Познакомимся в самых общих чертах с физическими осно-
вами явления осцилляций нейтрино (Понтекорво, 1957 г.).
Для реализации этого явления нужно предположить, что
нейтрино обладают массой (мы будем их считать по-преж-
145
нему массивными дираковскими частицами). Нужно сде-
лать и еще одно предположение: нейтрино определенного
типа (например, электронное или мюонное), или, как при-
нято говорить, определенного аромата, не являются состо-
яниями с определенной массой, а представляют собой су-
перпозицию таких состояний:
( ре) = рх) cos# + р2) sin#,
1 Рд) = _ Pl) sin# + р2) cos#.
(8.23)
Состояния pij2) в (8.23) удовлетворяют уравнениям Дира-
ка соответственно с массами mi и т2, а # - угол смеши-
вания нейтрино.
Эволюция во времени состояний pi) и р2) дается вы-
ражением
И (t)) = |рг (0)); р2 (t)) = р2 (0)) ,
где £1'2 — у Р2с2 + т2 2с4- Если в момент t = 0 рождается
электронное нейтрино, то его состояние эволюционирует
во времени следующим образом:
pe(t))=cos#e pi (0)) + sin#e чЕ2* p2 (0)) =
= Elt cos2 # + e~*E2t sin2 #) pe (0)) +
+ cos#sin# (e~%E2t — e~iiElt'\ p/t (0)).
Теперь нетрудно найти вероятность того, что нейтри-
но, родившись в момент t = 0, как электронное, перейдет
в момент t в состояние p;i):
Рре i^) = |рм| i/e(t)> I2 =
| sin2 2#
1 — cos
(m2 -m2) с3
2ph
(8.24)
146
В выражении (8.24) мы предположили, что р » тддс. Ве-
роятность появления нейтрино нового сорта периодически
зависит от времени, поэтому данное явление и носит назва-
ние осцилляций. Угол в, характеризующий степень смеши-
вания, и Am2 = |т2 ~ mi| “ это параметры, которые упра-
вляют интенсивностью и периодом осцилляций и которые
можно оценивать, основываясь на экспериментальных дан-
ных. При осцилляциях нейтринного аромата нарушается
закон сохранения лептонного заряда для отдельных леп-
тонных чисел (Le и LM), но сохраняется полное лептонное
число Le+L^. Заметим, что явление осцилляций существу-
ет и для майорановских нейтрино, и при этом окончатель-
ная формула для вероятности перехода имеет вид, такой
же, как и (8.24).
В настоящее время в мире проводятся десятки экспери-
ментов по обнаружению осцилляций нейтрино. Существу-
ют и некоторые экспериментальные указания на возмож-
ное наличие осцилляций (см. [11]).
147
Глава 9
Релятивистски-ковариантное
описание спина в теории Дирака
9.1. Трехмерный вектор-оператор спина О
Мы уже обсуждали выше проблему наблюдения спиновых
свойств релятивистской дираковской частицы независимо
от ее орбитального движения. Используя представление
Фолди-Ваутхайзена (см. главу 4), мы пришли к выводу
о том, что описание спина релятивистской частицы неза-
висимо от ее орбитального движения принципиально воз-
можно, то есть можно определить такие операторы, кото-
рые бы описывали спиновые свойства частицы и являлись
бы при этом интегралами движения. В качестве примера
в главе 4 был рассмотрен оператор “среднего спина” Sm
(4.18).
Поиск спиновых интегралов движения в теории Дира-
ка является чрезвычайно важным направлением исследо-
ваний как с точки зрения совершенствования и углубления
знаний о самой теории, так и для конкретных расчетов,
ибо при построении волновых функций - решений уравне-
ния Дирака требуется конкретизация спинового состояния
частицы (см. (3.24), (8.18)).
Еще один важный вопрос, также требующий своего вы-
яснения, - это конкретизация ковариантных свойств спино-
вых операторов, то есть определение законов, по которым
148
осуществляется преобразование этих операторов при пере-
ходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Если следовать историческому ходу событий, то пер-
вый и простейший способ описания спиновых свойств ча-
стицы вне зависимости от ее орбитального движения был
предложен Дарвином (1928 г.). Согласно его идее, для опи-
сания поляризационных свойств частицы следует исполь-
зовать среднее значение спина в системе покоя частицы.
Конкретно для описания спиновых свойств в системе по-
коя частицы было предложено использовать два операто-
ра: (уже известный нам оператор, см. (2.30)), а также
оператор - оператор магнитного момента частицы.
Смысл и название последнего оператора легко проясняет-
ся при помощи уравнения (6.25) с аномальным магнитным
моментом, где дополнительное слагаемое
^<^ = ^((Ёи)-цае)) (9Л)
после перехода к гамильтоновой форме в уравнении (6.25)
умножится слева на c.fl и далее после перехода к нереля-
тивистскому приближению даст известное выражение для
энергии взаимодействия магнитного момента с внешним
магнитным полем:
(6<Н)
Фактически, как можно увидеть, например, из соотно-
шений (4.9), (4.10), преобразование Фолди-Ваутхайзена
переводит волновую функцию электрона из лаборатор-
ной системы в систему покоя (речь идет о свободной ча-
стице!), и в представлении Фолди-Ваутхайзена состоя-
ние частицы описывается двухкомпонентным паулиевским
нерелятивистским спинором. В связи с такой интерпре-
тацией ФВ-преобразования, а также следуя идее Дарви-
149
на (см. выше), предположим, что в представлении Фол-
ди -Ваутхайзена спиновый оператор выбран в виде
Этот оператор коммутирует с гамильтонианом /ЗЕР в
ФВ-представлении и для состояний с положительной энер-
гией переходит в известный паулиевский оператор спи-
на Совершая далее унитарное ФВ-преобразование (по
аналогии с (4.18)), найдем вид этого оператора в предста-
влении Дирака:
2м 2Л 2Е„
hc2/3p (^р)
2ЕР (Ер + тс2)
(9-2)
Это и есть трехмерный вектор-оператор спина (Штех,
1956 г.).
Физическая интерпретация этого оператора очевидна:
из его явного вида (9.2) следует, что в системе покоя он,
как и ожидалось, переходит в - оператор магнитного
момента частицы. Поскольку согласно способу вывода опе-
ратор О связан с оператором унитарным преобразо-
ванием, то для оператора О сохраняются многие полезные
свойства, которыми обладает оператор Оператор О
коммутирует с дираковским гамильтонианом и является
интегралом движения (и поэтому подходит для описания
спиновых свойств независимо от орбитального движения).
Кроме того, оператор О является единичным (в единицах
П/2):
О2 — |л.2; (On) = ^2> lnl = 1 (9-3)
- квадрат его проекции на любое направление п равен
Й2/4. Далее, для него сохраняются обычные алгебраиче-
ские свойства, характерные для оператора спина:
OiOk OkOi = iheiknOn.
150
В связи с наличием вышеперечисленных свойств оператор
О наиболее удачно подходит с точки зрения интерпрета-
ции постановки экспериментов в лабораторной системе от-
счета.
В качестве, пожалуй, единственного недостатка опера-
тора О можно отметить его нековариантность, то есть при
переходе к новой лоренцевой системе отсчета он должен
преобразовываться по особому закону.
9.2. Ковариантные операторы поляризации
Обсудим теперь вопрос о введении в теорию Дирака ко-
вариантных операторов поляризации. Заметим, что при
анализе ковариантных свойств уравнения непрерывности
(глава 2, п. 2.5) мы показали, что билинейная форма (2.35)
Ф (ж) 7МФ (х) = Ф+ (х) 7°7//ф (х) =
преобразуется при преобразованиях Лоренца как число-
вой четырехмерный вектор. При этом мы действовали в
предположении, что операторы (то есть в данном случае
7-матрицы) не преобразуются, а преобразованиям подвер-
гаются волновые функции Ф (х) и Ф (х). Однако основное
полученное нами в п. 2.3 соотношение (2.20)
S-1 (Л) 7/х5 (Л) = (9.4)
может быть истолковано и по-другому. (Напомним, что в
(9.4) S (Л) - матрица преобразования группы Лоренца в
том пространстве функций Ф (х), в котором задано урав-
нение Дирака.) Из формулы (9.4) следует, что сама сово-
купность четырех матриц Дирака может рассматриваться
по индексу р как четырехмерный вектор (в этом случае
151
h.4, является матрицей операторного преобразования Ло-
ренца - см. ниже ее явный вид). Это соответствует пред-
ставлению о том, что лоренц-преобразованиям подверга-
ются наблюдаемые, а волновые функции остаются неиз-
менными. Результат обеих точек зрения, естественно, один
и тот же: билинейная форма (2.35) в обоих случаях пре-
образуется как числовой вектор.
Заметим далее, что из условия (9.4) следует, что про-
изведение двух матриц Дирака может считаться тензором
второго ранга, ибо
S~l (A) ^VS (А) = S-1 (A) (A) S-1 (A) yuS (А) =
= A^A^V-
Поэтому матрицы сгм" = | (7М7Р 7Р7/0 следует счи-
тать компонентами антисимметричного тензора второго
ранга. Аналогично можно показать, что матрица 75 =
= — 27°717273 является псевдоскаляром, ибо
ф' (ж') 75Ф' (т') = Ф (ж) S-1 (A)75S (А) Ф (ж) =
= (det А) Ф (ж) 75Ф (ж) ,
а совокупность четырех матриц образует псевдовек-
тор.
Заметим, что при унитарном преобразовании, каковым,
естественно, является ФВ-преобразование, средние значе-
ния операторов не изменяются (ибо преобразованию под-
вергаются как операторы, так и волновые функции, см.,
например, (4.1), (4.9), (4.10)):
Ffw = ег$Ге *s, Фру/ = е*®Ф (9-5)
Поэтому если мы хотим при помощи ФВ-преобразования
перевести оператор в систему покоя (в соответствии с иде-
ями предыдущего пункта), то одного ФВ-преобразования
152
для этого, вообще говоря, оказывается недостаточно. Сле-
довательно, возникает необходимость дополнить преобра-
зование Фолди-Ваутхайзена операторным преобразовани-
ем Лоренца. Результирующее преобразование имеет вид
F* = giS^F^e-iS = л^е^р^е-г§ (9 ,6)
Здесь F - исходный оператор, Fo - оператор, унитарно
преобразованный в систему покоя. Матрица А{) имеет вид
обычной матрицы операторного преобразования Лоренца
(см. главу 2). В дальнейшем нам понадобится обратное
преобразование Лоренца, матрица которого, например, для
буста вдоль оси Ох имеет следующий вид (см. (2.9)):
р
тс
Н
тс2
О
о
о о \
о о
1 о
о 1;
Обратное преобразование из системы
покоя в лаборатор-
ную систему имеет вид
F'1 = A^e-^Fofce^.
(9.7)
Используя преобразование (9.7), найдем теперь вид опе-
ратора в лабораторной системе, если в системе покоя он
имеет вид
т£ = {о,
(9-8)
Преобразование Фолди- Ваутхайзена переводит простран-
ственные компоненты этого оператора в компоненты трех-
мерного вектора-оператора спина О, а последующее пре-
образование Лоренца дает релятивистски-ковариантное
153
обобщение оператора О в лабораторной системе отсчета в
виде четырехмерного псевдовектора спина
= -o'5
2
(9-9)
или в записи по компонентам
(9.10)
Векторный четырехмерный оператор поляризации был
впервые получен Баргманном и Вигнером (1948 г.), а в
виде (9.9) - Фрадкиным и Гудом (1961 г.).
Отметим, кстати, что к тому же результату (9.9), (9.10)
можно прийти, применив преобразование (9.7) не к опе-
ратору магнитного момента ^/553 (см. (9.8)), а к операто-
ру спина электрона (в системе покоя) (В этом слу-
чае ФВ-преобразование переведет -jE в оператор среднего
спина Sm (4.18), а последующее преобразование Лоренца
переведет Sm в четырехмерный вектор (9.10).
Полученное нами ковариантное обобщение оператора
О (или Sjv/) не является единственно возможным. Вме-
сто лоренцевского преобразования в (9.7) по закону транс-
формации 4-вектора можно ввести преобразование по зако-
ну трансформации тензора второго ранга. Действительно,
вспомним, что, как это следует из (2.27), компоненты век-
тора спина | X связаны с пространственными компонента-
ми антисимметричного тензора
Положим, что тензорный оператор спина №" в системе
154
покоя частицы имеет вид
л friO _ frOi _ л
пГ= ’ (9Л1)
ylOij — 2aV
Найдем вид оператора ГР" в лабораторной системе:
ГР" = Л^Л"е'г5^ст^ег§. (9.12)
В результате применения преобразования (9.12) мы при-
ходим к тензорному оператору поляризации - антисимме-
тричному тензору второго ранга.:
Л / '-уМг)/у — \
ГР" = - ( ст'2" - г—-----, (9.13)
2 \ тс )
причем отличные от нуля компоненты тензора поляриза-
ции ГР" имеют вид
ГР
П10П20П30
П23 П31 П12
(9-14)
\ 2Е + Пр2 2^
В (9.14) операторы и называются компонентами
электрической и магнитной поляризации соответственно.
Тензор поляризации был впервые получен Хильгевудом и
Ваутхайзеном (1961 г.), однако отдельные его компоненты
использовались для классификации спиновых состояний и
ранее.
Итак, псевдовектор спина (9.9) - 4-вектор поляриза-
ции ТР и тензор поляризации ГР1" являются ковариант-
ными обобщениями трехмерного оператора спина О, и в
155
силу этого все три способа описания поляризации спина
дираковской частицы являются эквивалентными. Опера-
торы и №" обладают многими полезными свойствами.
Например, из формул (9.10) и (9.14) непосредственно сле-
дует, что
Л 1 Л Л 3
Т^Тд = --П^Пдд = -~п2
- это аналог соотношений (9.3). Операторы T/z и №" для
свободной частицы являются интегралами движения, то
есть коммутируют с гамильтонианом Дирака, и, следова-
тельно, пригодны для описания спиновых свойств вне за-
висимости от орбитального движения. Наконец, оба опера-
тора являются двумя лоренц-ковариантными представле-
ниями спина - в векторной и тензорной форме.
Отметим, что к релятивистски-ковариантным операто-
рам поляризации Тл и Пм" можно прийти и другим путем.
Мы обсуждали в главе 3, что в рамках развиваемой одноча-
стичной теории с целью последовательного описания дира-
ковского электрона необходимо от операторов физических
величин перейти к их четным частям согласно (3.33). При
этом происходит устранение феномена “Zitterbewegung”, и
четные части операторов получают наглядную классиче-
скую интерпретацию, причем соблюдаются необходимые
требования ковариантности.
Рассмотрим вначале оператор 7'57м- Как уже говори-
лось выше, при преобразованиях Лоренца этот оператор
преобразуется как псевдовектор. В записи по компонентам
7V={-7°75, 7°£} (9-15)
можно легко усмотреть, что пространственные компонен-
ты этого четырехмерного вектора с точностью до коэф-
фициента К/ 2 равны компонентам оператора магнитного
156
момента (в системе покоя частицы) Далее умножим
(9.15) слева на у0 и перейдем к одночастичному оператору,
выделив четную часть в соответствии с правилом (3.33):
5 [ЛМ = (9.16)
Таким образом, на этом пути мы снова приходим к опера-
тору четырехмерного псевдовектора спина (9.9).
По аналогии с (9.15) рассмотрим оператор . Как го-
ворилось ранее, по своим ковариантным свойствам — это
тензор второго ранга. Напомним, что пространственные
компоненты представляют собой с точностью до К/2
компоненты оператора спина в системе покоя Выде-
ляя четную часть из оператора ^у°сг/Аг^:
(9-17)
Z .с/р
мы вновь приходим к тензору поляризации (9.13).
По-видимому, наиболее полное и последовательное ис-
следование тензорных свойств операторов спина можно
провести на основании анализа ковариантных свойств
уравнения Дирака по отношению к преобразованиям не-
однородной группы Лоренца (группы Лоренца Пуанкаре),
которая включает лоренцевские бусты и вращения, а так-
же пространственно-временные трансляции. Вигнер уже
много лет назад указал на то, что фундаментальной груп-
пой для физики частиц является именно группа Пуанкаре,
а не (однородная) группа Лоренца, рассмотренная выше.
Мы не имеем здесь возможности проводить детальный ана-
лиз свойств этой группы и остановимся лишь на некоторых
основных моментах, отсылая читателей за подробностями
к литературе [6, 7].
157
Итак, общее преобразование группы Пуанкаре в про-
странстве Минковского определяется согласно
х'1* = Л(Х + а11
(9.18)
и представляет собой комбинацию операций сдвига нача-
ла системы отсчета на постоянный 4-вектор а'1 (3.4) и
однородного преобразования Лоренца, определяемого ма-
трицей Ар (2.5). Преобразования вида (9.18) образуют
10-параметрическую группу Ли (группу Пуанкаре). Ге-
нераторами представления этой группы, реализованно-
го в пространстве волновых функций, являются эрмито-
вы операторы компонент импульса рм (3.5) (генераторы
пространственно-временных трансляций) и эрмитовы опе-
раторы компонент полного углового момента, образующие
антисимметричный тензор (3.8):
= х^р" - р^х" + (9.19)
(генераторы пространственно-временных вращений).
Существуют два независимых инварианта р2 и W2
(операторы Казимира группы Пуанкаре), которые комму-
тируют со всеми операторами jj;i и J/1P. Один из них ха-
рактеризует массу частицы
Р2 = Р^Рд = "г2с2,
а другой (инвариант Любаньского-Паули)
W2 = - + -^pJ^p,
\2 mzc2
(9.20)
связан со спином частицы.
В результате исследований выяснилось, что опера-
тор спина в представлении группы Пуанкаре определяет
158
трансляционно инвариантные повороты в плоскости, пер-
пендикулярной четырехмерному импульсу Это обсто-
ятельство связано с тем, что спин описывается простран-
ственноподобным тензором (или вектором) (см. (9.21)) и
в действительности преобразуется по представлению так
называемой “малой группы” Лоренца, изоморфной трех-
мерной группе вращений. (Малой группой, соответству-
ющей четырехмерному вектору рл, называют подгруппу
группы Пуанкаре, преобразования которой оставляют ин-
вариантным вектор рм.)
Условие пространственной подобности спина задается
в виде соотношения
П^р1" = 0 или Тмрр, = О
(9.21)
в зависимости от того, какой оператор (тензорный или век-
торный) используется для описания спина. Интересно от-
метить, что, выделяя согласно (9.21) пространственнопо-
добную часть в выражении (9.19) для полного момента Л2",
мы получаем в точности тензорный оператор поляризации
ГР2" (9.13).
Можно показать, что инвариант Любаньского-Паули,
связанный со спином (9.20), имеет вид
w2 = Цп^п^ = тмтм = -h2s (s + 1),
где s = 1/2. Это является еще одним свидетельством того,
что спин дираковских частиц равен Й/2.
При движении заряженной дираковской частицы во
внешнем электромагнитном поле рассматриваемые опера-
торы поляризации спина (О, Т/2 и П/2") допускают про-
стое обобщение, которое достигается заменой р/2 на опера-
тор Т/2 = р/2 — или по компонентам: р —> Л = р — А;
Н -> Н + еф. После этой замены операторы О, Тм и П/2,/
159
уже не являются, вообще говоря, интегралами движения,
то есть вопрос об их сохранении должен быть рассмотрен
конкретно для каждой задачи.
В частности, при движении электрона в однородном
магнитном поле сохраняются проекция оператора О на на-
правление движения электрона - продольная поляризация
(обобщение (3.21)) [ У, проекция оператора О на на-
правление поля (считается, что поле направлено по оси Oz)
~ Й С753’з с
3 = 2 S £ 3 е Е(Е + тс2)
к >
(9.22)
(где под энергией Е понимается только ее кинетическая
часть Е = Н — еф ), проекция Тм на направление поля
т3 = -
75?з
тс
(9.23)
а также проекция ц на направление поля
тс
(9.24)
Операторы (9.22), (9.23), (9.24) коммутируют с гамильто-
нианом и являются интегралами движения.
Иногда полезно рассмотреть инвариантные операторы
поляризации Mi и М2:
Mi = —F^T^ М2 =
тс 2
(9.25)
(здесь FpI/ = ^e^apF^ - дуальный тензор электромаг-
нитного поля). В случае однородного магнитного поля оба
160
инварианта сводятся к оператору
Mi = М2 = М = доФСдз- (9.26)
При решении конкретных задач, связанных с разделе-
нием точных решений уравнения Дирака по спиновым со-
стояниям. метод введения инвариантных операторов поля-
ризации наиболее предпочтителен. Заметим, что все упо-
минавшиеся выше операторы поляризации находят при-
менение при классификации по спину решений уравнения
Дирака (для свободной частицы и для частицы во внешнем
поле), см., например, (8.17).
161
Список литературы
1. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П.
Квантовая электродинамика. - М.: Наука, 1989.
2. Бъёркен Дж.Д., Дрелл С Д. Релятивистская квантовая
теория. Т. 1. - М.: Наука, 1978.
3. Мессиа А. Квантовая механика. Т 2. - М.: Наука, 1979.
4. Давыдов А. С. Квантовая механика. - М.: Наука, 1973.
5. Rose М.Е. Relativistic Electron Theory. - New York,
London: John Wiley &; Sons, 1961.
6. Райдер Л. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1987.
7. Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. Т. 2. -
М.; Мир, 1983.
8. Боум Ф., Фогель П. Физика массивных нейтрино. - М.:
Мир, 1990.
9. Аллилуев С.П. Квантовая теория сложного атома и
квантовая теория излучения: Учеб, пособие. - М.:
МФТИ, 1984. - 80 с.
10. Герштейн С. С., Кузнецов Е.П., Рябов В. А. Природа
массы нейтрино и нейтринные осцилляции // УФН. -
1997. - Т. 167. - № 8. - С. 811-848.
11. Groom D.E. et al. (Particle Data Group). Rewiev of
particle physics // Eur. Phys. J. - 2000. - V. C15. - P. 1.
162
12. Аллилуев С.П., Белоусов Ю.М. Введение в теорию
симметрии и ее применения в физике: Учеб, пособие. -
М.: МФТИ, 1998. - 96 с.
13. Петрашенъ М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории
групп в квантовой механике. - М.: Наука, 1967.
163
Учебное издание
Тернов Алексей Игоревич
ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Редактор О.П. Котова
Корректор И.А. Волкова
Изд. лиц.ИД № 05403 от 16.07.2001 г. Подписано в печать 18.01.2002.
Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 10,2. Уч.-изд. л. 9,2. Тираж 350 экз. Заказ Ф-181
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем
“физтех-полиграф”
141700, Моск, обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9