Текст
                    Е. А. Никулин
Основы ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Частотные методы анализа
И СИНТЕЗА СИСТЕМ
Общий курс для студентов, аспирантов
и преподавателей
Анализ и проектирование систем управления
для инженеров-практиков
Методы расчета и компьютерное моделирование
процессов в среде Mathcad
Задания для курсового проектирования, лабораторных
и практических работ
УЧЕБНОЕ ПОСОБ1/1Е

УДК 519.068 (075.8) ББК 32.96я73 Н65 Никулин Е. А. Н65 Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем / Учеб, пособие для вузов — СПб : БХВ-Петербург, 2004 - 640 с.: ил. ISBN 5-94157-440-1 ими объектами и конструирование ПКД- юго проектирования, лобо|ыторных, практических н самостоятельных работ Для студентов и аспирантов технических вузов, а также преп и специалистов в области автоматического управления УДК 519 068 (075 8) ББК 32.9бя73 Рецензенты: профессор, дт.н., заведующий кафедрой «Теория испей и тедекоммуяи Нижегородского тпсуларстнсиного технического унияерс|гтгп>, действительный 'глеи РАИН, IEEE В В Крылов. Волго-Вятской академии государственной службы А Т Налсеп Группа подготовки издания: Главный редактор Зам. главного редактора Зав. редакцией Редактор Компькгтсрная верстка Корректор Дизайн обложки Зав. производством Екатерина Кондукова Людмила Еремеевская Григорий Добин Алексей Семенов Василисы Сафаровой Евгений Камский Игоря Цырулыткова Николай Тверских Лицензия ИД N. 02428 от 24 07.00. Подписано в печать 30 07.04. Формат 70x100'/,, Печать офсетная Усл. печ. л. 51.0. Тираж 3000 вяз Заказ Ni 3436 'БХВ-Петербург-. 180005. Санкт-Петербург, Измайловский пр . 28 «имеское заялочение на лродухцию. товар Ni 77 98 02 953 Д 001537 03 02 от 13 03 2002 г видено Департаментом ГСЭН Минтдрава России В ГУП ’Типография •Наука- 199034. Санкт Петербург. 9 линия. 12. С Никулин 5. А. 1004 С Оформление. нмлтглмттяо 'ВХВ-Птрбпи-. W* ISBN 5-94157-440-1
Содержание Предисловие...........................................................б Введение.............................................................11 B.I Основные понятия теории автоматического управления 1| В.2. Классификация систем управления.......................... .....14 В.З. Задачи теории автоматического управления 18 Глава I. Математические модели элементов и систем управления.........25 1.1. Классификация элементов систем управления .25 1.2. Статические свойства элементов и систем 26 1.2.1. Соединения статических элементов 2х 1.2.2. Линеаризация статических элементов 31 1.2.3. Статические ошибки в замкнутых системах управления . 36 1.3. Статический анализ и синтез схем на операционных усилителях. 39 1.3.1. Нелинейные статические элементы на операционных усилителях 42 1.3.2. Линейные статические элементы на операционных усилителях .47 1.4. Описание динамики элементов систем управления . 57 1.5. Передаточная функция.......................................... 65 1.6. Соединения элементов и преобразования структурных схем .68 1.7. Чувствительность и стабилизирующие свойства отрицательной обратной связи........ М 1.8. Динамический анализ и синтез схем на операционных усилителях...81 1.8.1. Динамические элементы на операционных усилителях.............81 1.8.2. Построение схем неминимально-фазовых элементов...............97 1.8.3. Анализ и синтез многокаскадных схем на операционных усилителях 104 Глава 2. Частотные характеристики элементов и систем управления.....119 2.1. Основные частотные характеристики.............................124 2.2. Частотные характеристики типовых звеньев..................... 132 2.3* . Погрешности аппроксимации логарифмических частотных характерисгик типовых звеньев.................................... 150 2.4. Частотные характеристики сложных систем..................... 157 2.5. Частотные свойства замкнутых систем...........................172 2.5.1 Частотные характерисгоки систем с отрицательной обратной связью 172
Содержание 2.5.2. Расширение полосы пропускания...... 179 15.3. Свойства систем с положительной обратной святые.................... 187 2.6* Анализ полиномов.................................................... 200 16.1 Полиномы низких степеней ........................................... 205 16.1 Структура спектра полинома 208 16 3 Локализация корней полинома........................................ 213 164 Уточнение корней полинома............................................ 219 Глава 3. Временные характеристики элементов и систем управления...........242 3.1 Обратное преобразование Лапласа...................................... 243 3.11 Метод разложения Хевисайда ......................................... 244 3.1.2. Табличный метод преобразований Лапласа............................ 250 3.1.3 Программный метод преобразований Лапласа............................255 32. Типовые временные характеристики...................................258 311 Импульсная характеристика.......------.............................................. 258 312 Переходная характеристика —...........................................262 313 Взаимосвязь временных характеристик 264 33. Частотно-временные свойства систем.................................281 3.31 Взаимосвязь частотных и временных характеристик 282 3.3.2 . Трансформации частотных характеристик.......................... 285 3.3 3 Масштабируемые ио времени модели 288 3.4*. Аппроксимационный метод построения временных характеристик............291 3.5. Оценки качества переходных процессов в системах управления.........297 3.5.1 Показатели качества переходной характеристики...................... 299 3 5 2 Спектральные оценки качества........................................301 3.5.3. Частотные оценки качества......................................... 307 Глава 4. Устойчивость систем автоматического управления...................318 4.1 Понятие устойчивости 318 4.2. Условия устойчивости линеаризованных систем........................320 4.3. Алгебраические критерии устойчивости........ . 323 4.3.1. Необходимые условия устойчивости............................... 324 432. Критерий устойчивости Рауса - Гурвица............................... 325 4.4. Построение областей устойчивости параметрических полиномов ........331 4.5. Частотный критерий устойчивости Михайлова .........................342 4.6 Частотный критерии устойчивости Найквиста...........................354 4.6.1. Вывод критерия Найквиста ....................................... .354 46 2 Логарифмический критерий устойчивости Найквиста......................361 4 7 Запасы устойчивости замкнутой системы.......... ......376 4.7.1. Определение запасов устойчивости ................................ 376
Содержание 4.7.2. Алгебраический критерий устойчивости с запасами.............379 4.8*. Устойчивость систем с запаздыванием.......................... 385 Глава 5. Расчет переходных процессов и системах автоматического управления .....397 5.1. Структура переходного процесса.................................. 398 5.2. Метод преобразований Лапласа......................................401 5.3. Метод вариации произвольных постоянных 414 5.4. Метод интеграла Дюамеля.......................................... 418 5.5. Метод пространства состояния..................................... 421 5 5.1. Модель в пространстве состояний.......................... 421 5.5. 2. Расчет параметров моделей в пространстве состояний ........424 5.5.3. Программное моделирование переходных процессов в пространстве состояний Глава 6. Методы проектирования систем автоматического управления...........434 6.1. Основные задачи синтеза регуляторов..................................434 6.2. Методы повышения статической точности (низкочастотный синтез регуляторов)................................ 451 6.2.1. Коэффициенты статтческих ошибок.. ...................... 452 6.2.2. Статические системы управления 454 6.2.3. Астатические системы управления .........................967 6.3. Методы улучшения динамических параметров (среднечастотный синтез регуляторов)....... 975 6.4. Быстрый синтез систем управления методом логарифмических частотных характеристик.............................991 6 5 Управление неустойчивыми объектами W2 6 6 Спектральный метод синтеза регуляторов. ......................510 6 6 1 Замкнутая система второго порядка . 516 6 6 2 Замкнутая система третьего порядка 528 6.6 3. Замкнутая система п -го порядка..........................534 6.6.4. Неустойчивая р.тюммтугая система 537 6.7 Системы управления с ПИД-регуляторами 544 6 7 1 Аиштиз ПИД-регуляторов 545 6.7.2. Синтез ПИД-рсгуляторов 6.7.3 Рвали.......ия ПИД-регуляторов 574 Заключение..........................................................579 Приложение 1. Таблицы преобразований Лапласа.....................581 Приложение 2. Задания для курсового проектирования..................612 Список литературы.................................................... Предметный указатель.................................................623
ВВЕДЕНИЕ все должно быть илюжено так проста, кок только ооыожно, ко не праще Альберт Эйнштейн В.1. Основные понятия теории автоматического управления Теория автоматического управления (ТАУ) как одно из основных направле- ний технической кибернетики изучает свойства различных, в основном тех- нических устройств с целью заставить их работать с большей эффективно- стью для человека. Анализ этих свойств дает основания для исследования возможностей повышения эффективности работы устройств в автоматиче- ском режиме, т е. без вмешательства человека-оператора. Автоматизация процессов заключается в проектировании специальных устройств, а в более широком смысле — систем автоматического управления (САУ), работающих по принципу «включил и забыл». Назначение системы управления заключа- ется в том, чтобы заставить управляемый объект выполнять возложенную на него задачу с желаемым качеством, двигаться по заданной траектории в пространстве и во времени Необходимость поддержания постоянного значения или желаемого закона изменения какой-либо величины возникает в различных отраслях техники: □ хтектроснабжении — постоянство частоты и напряжения в сети; □ атомной энергетике — устойчивый и безопасный уровень мощности ре- актора, определяемый глубиной погружения стержней, поглощающих нейтроны; □ авиации и судовождении — движение самолета или судна по заданному курсу, стабилизация крена и дифферента, □ космонавтике — выведение летального аппарата на орбиту и его ориен- тация в космическом пространстве; □ локации — наведение оси локатора на неподвижную цель или сопрово- ждение движущейся цели;
12—Д»»Дри**е □ робототехнике - движение рабочего органа по заданной траектории в пространстве; □ химической промышленности — обеспечение требуемых параметров технмопгческого режима, состава реагентов и готового продукта: □ металлургической и бумажной промышленности — поддержание толщи- ны проката в пределах установленного допуска. Сами по себе объекты, в которых протекают процессы, часто не обеспечи- вают их желаемого хода, не устраняют отклонений от заданных режимов. Поэтому такие обьекты упраазения (ОбУ) снабжаются регуляторами, или устройствами управления (УУ). Управление — это контролируемое воздейст- вие на объект, предназначенное для достижения цели управления — опре- деленных критериев качества, которые могут включать в себя следующие условия: □ ограничения на максимальное и установившееся отклонения от заданно- го режима; □ получение желаемого вида переходных процессов; □ необходимость компенсации неблагоприятных факторов; □ уменьшение энергии, затраченной на управление, и т п Таким образом, система автоматического управления представляет собой объединение объекта и регулятора В зависимости от субъекта, принимаю- щего решения о воздействии на объект, управление бывает ручным и авто- матическим. Регулирование - это управление с целью обеспечения близости управляемых координат объекта к их заданным значениям — уставкам. Синонимами по- нятия уставки являются термины «желаемое» или «эталонное» значение. Следящее регулирование — это приведение управляемых координат к зна- чениям заранее неизвестных, но доступных для измерения уставок путем их сравнения благодаря наличию в системе контура обратной связи (ОС). Данное понятие включает в себя комплекс технических средств, обеспечи- вающих: □ измерение выходной переменной объекта с помощью датчика', □ измерение или генерирование по определенной программе сигнала ус- тавки; □ формирование с помощью сравнивающего устройства сигнала невязки или ошибки регулирования — разности между уставкой и текущим значе- нием управляемой переменной; □ преобразование ошибки регулирования в управляющий сигнал, пода- ваемый через исполнительное устройство на объект управления.
Введение 13 В правильно спроектированной системе управления сигнал невязки за- ставляет объект реагировать таким образом, чтобы уменьшить величину ошибки до допустимого, а в идеале — до нулевого значения. Примером следящей системы может служить система автоматического наведения ан- тенны локатора, телескопа, ствола орудия, лазерного луча и т. п. на дви- жущуюся цель. Стабилизация — это регулирование управляемых координат к постоянным уставкам с помошью обратной связи. Являясь частным случаем следящей системы, система стабилизации нс требует непрерывного измерения уставки из-за се постоянства в пределах рабочего интервала времени Примером системы стабилизации может служить кондиционер, поддерживающий в комнате заданную температуру воздуха. Программное регулирование — это регулирование координат объекта ио оп- ределенному закону — заранее известной функции времени Типичными примерами устройств с программным управлением могут служить □ робот-манипулятор, переносящий деталь по заданной траектории; □ программа автопилота яхты, перекладывающая руль в заранее опреде- ленные моменты времени в процессе ее движения по проложенному штурманом курсу; □ система автоматической посадки самолета по специальной траектории — глиссаде. При полностью известных условиях работы объекта и в отсутствие факто- ров, отклоняющих его движение от заданного, программное управление яв- ляется надежным и дешевым методом регулирования. Возмущение — это неуправляемое воздействие извне на любой элемент систе- мы, как правило, затрудняющее достижение цели управления. Примерами возмущений являются. □ боковой ветер или течение, сносящие самолет или судно с заданного курса; □ утечка тепла через открытые окна, двери, щели в стенах в системе ста- билизации комнатной температуры; □ инструментальные погрешности настройки датчиков, из-за чего послед- ние сообщают регулятору недостоверную информацию о состоянии сис- темы. Учет возмущений, возможность их измерить и использовать для корректи- ровки управления, позволяет противодействовать их вредному влиянию на объект или, наоборот, использовать (например, попутный ветер при управ- лении самолетом) для ускорения достижения цели или экономии энергии.
Введение В.2. Классификация систем управления Классификация систем автоматического управления производится по сле- дующим признакам. □ По принципу регулирования: • ратикнутые системы с программным управлением (рис. В 1, о); . разомкнутые системы с управлением по возмущению (рис. В.1, <5); • замкнутые системы (рис. В.1, а); • комбинированные системы (рис. В. 1, г) в) Рис. В.1 На рис. В.1 обозначено: • g — уставка, или выходной сигнал генератора уставки; • е - невязка, или ошибка регулирования; • х - управление, или выходной сигнал регулятора; • у- измерение, или выходной сигнал измерительного устройства (ИУ); • /о и/, - возмущения объекта и измерительного устройства. В разомкнутой системе управления информация о текущем состоянии объекта отсутствует либо не используется, управляющее воздействие вы- рабатывается по заранее составленной программе, а выходной сигнал об- разуется как непосредственная реакция на это воздействие. Возможность измерения возмущений, нарушающих желаемый ход процесса, повышает эффективность разомкнутого управления благодаря заложенной в регуля- тор программы компенсации возмущений.
ВввДвНИв 1 5 Обратная связь — важнейшее понятие кибернетики и основной принцип функционирования сложных систем, позволяющий в реальном времени, по ходу процесса управления, уменьшать абсолютное значение ошибки регулирования е(/) = «(0-ХО (В.1) на основе измерения текущего состояния объекта у(/) и сравнения его с уставкой g(f). В отличие от разомкнутых систем, в системах с обратной связью становится возможной компенсация неизмеряемых возмущений благодаря их раннему или позднему влиянию на работу системы в виде увеличения ошибки регулирования. Если измерение возмущений возможно, то введение в систему автома- тического управления дополнительного контура управления по возму- щению позволяет оперативно противодействовать его вредному влия- нию, не дожидаясь, пока это влияние заметно проявится в выходном сигнале системы. Влияние обратной связи на динамику систем всесторонне изучалось в 20 - 30-х годах двадцатого века применительно к задаче конструирования высококачественных электронных усилителей слабых сигналов, а в 40 - 60-х годах — при разработке систем автоматического управления в энер- гетике, авиации и космонавтике. Более того, Норберт Винер сделал тео- рию управления с обратной связью краеугольным камнем целой фило- софской системы — «кибернетики», охватывающей всевозможные аспек- ты от автоматики до физиологии, психологии, экономики, политики и даже этики. Время и развитие альтернативных воззрений несколько уменьшило великолепие этой картины, однако управление с обратной связью остается в основе как важнейших идей, так и полезных техниче- ских приложений. □ По цели регулирования: • системы программного управления (цель ип без использования обратной связи); • следящие системы (цель r(z) ,сТ>) с пом.МЦЫО обратной связи). • системы стабилизации (цель: iv) = - const с использованием обрел ной связи); • экстремальные системы (цель, лкстремум некоторою показателя каче- ства управления). Q По способу формирования сигнала ynpaaiemm регулятором: • непрерывные, или аналоговые системы (рис. В.2, а); • дискретные системы, использующие квантование времени А Л/ и/или уровня сигнала X/ = i -Д.г.
Введение импульсные с квантованием времени, в которых информация об уровне сигнала кодируется с помощью амплитудной (рис. В.2. б), широтной (рис. В 2, в) или фазовой (рис. В 2. г) модуляции; релейные системы с квантованием уровня сигнала (рис. В.2, д'). Мровые системы с обоими видами квантования (рис В.2. е); системы с гармонической модуляцией. Рис. В.2 В непрерывных системах управление вырабатывается аналоговыми уст- ройствами автоматики, например, схемами на операционных усилителях. В дискретных системах квантование времени выполняется синхронизи- рующими устройствами - таймерами, а квантование уровня — аналого- цифровыми преобразователями. В системах, работающих на переменном токе, высокочастотные колебания несущей частоты модулируются в соот- ветствии с величиной и знаком управляющего сигнала низкой частоты. □ По количеству peey.iupye.uux координат'. • одномерные системы с одним входом и одним выходом; • многомерные системы, которые в зависимости от влияния координат друг на друга делятся на несвязные и многосвязные. □ По характеру изменения параметров во времени: • стационарные системы, описываемые уравнениями с параметрами, не зависящими от времени,
Введение • нестационарные системы, параметры моделей которых изменяются во времени. Если эти изменения за рабочий период системы неве- лики, то по методу замороженных параметров такую систему можно считать стационарной с параметрами, зафиксированными на теку- щий период. □ По распределению параметров в пространстве • системы с сосредоточенными параметрами, описываемые обыкновен- ными дифференциальными уравнениями; • системы с распределенными параметрами, описываемые дифференци- альными уравнениями в частных производных. □ По степени идеализации математического описания: • линейные системы, описываемые линейными алгебраическими и диф- ференциальными уравнениями; • нелинейные системы, описываемые НСЛИНСЙНЫМИ уравнениями □ По соотношению сигнал/шум в передаваемой информации: • детерминированные системы, в которых отсутствует или не учитывает- ся влияние шума в параметрах и передаваемых сигналах; • стохастические системы, работающие при высоких уровнях шумов, чьи статистические характеристики используются в моделях зашум- ленных элементов. □ По характеру переходных процесса*. • устойчивые системы, • неустойчивые системы; • нейтральные системы. Устойчивость движения как свойство объекта или системы самостоятель- но возвращаться в состояние равновесия после прекращения действия отклоняющих сил — вовсе не врожденное свойство всех объектов. Про- стейшей иллюстрацией этого факта является движение шарика с трением по различным поверхностям (рис. В.З): • шарик в яме (а) имеет устойчивое состояние равновесия на дне и ус- тойчивое движение по склонам ямы; • состояние равновесия шарика на горе (б) является неустойчивым: ма- лейшее отклонение приводит к удалению от него. Неустойчивость также присуща и движению по склонам горы; • движение шарика по горизонтальной плоскости (в) имеет безразлич- ное (нейтральное) состояние равновесия там, где он остановится в результате торможения.
Введение Рис. В З В.З. Задачи теории автоматического управления Основная задача теории автоматического управления — обеспечение устойчи- вости системы путем выбора структуры и параметров регулятора или изме- нения параметров объекта Интуитивно понятие устойчивости означает, что при любам ограниченном входном сигнале выходной сигнал также является ог- раниченным. Устойчивые объекты сами возвращаются в состояние равновесия без всяко- го управления. Назначение регулятора состоит в улучшении качества пере- ходного процесса - уменьшении его длительности, максимальных отклоне- ний от состояния равновесия, демпфировании (сглаживании) колебаний. Устойчивость многих объектов является условной, зависящей от значений некоторых параметров, например, коэффициентов усиления или постоян- ных времени усилителей. Если вмешательство в конструкцию неустойчивого объекта по тем или иным причинам недопустимо, то на регулятор возлага- ется решение обеих задач: как обеспечения устойчивости, так и качества пе- рекатных процессов. Как пример условной устойчивости рассмотрим акустическую систему, со- стоящую из микрофона, усилителя и динамика (рис. В.4). При слишком близком расположении микрофона от динамиков даже в отсутствие голоса возникает процесс самовозбуждения, слышимый как громкий свист на не- которой звуковой частоте
Введение Причина неустойчивости упрощенно объясняется с помощью коэффициен- тов усиления устройств Им, И'д и воздушного слоя IFB, имеющих, во- первых, комплексный, а во-вторых, частотно-зависимый характер. Если на некоторой частоте последовательное соединение блоков в контуре обратной связи имеет коэффициент усиления амплитуды колебаний Л = |И'нИ'уН'аИу> I и фазовый сдвиг <P-arg(H'MH'yH'aH'1) = O, то малейший сигнал этой частоты, попав в микрофон из внешней среды, лавинообразно усиливается в контуре обратной связи до достижения макси- мальной конструктивной мощности усилителя. Устранить неустойчивость можно следующими способами: □ уменьшить | JFy|, т. е. убавить громкость звука регулятором усилителя; □ уменьшить | IFJ, т. е. отодвинуть микрофон подальше от динамика. Таким образом, на плоскости параметров |Wy| и существуют области ус- тойчивости и неустойчивости системы, разделенные границей устойчивости (рис. В.5). При попадании значений параметров в область неустойчивости переходные процессы в системе расходятся до насыщения по максимальной мощности, что ведет к перегреву аппаратуры, аварии, взрыву и другим не- желательным или катастрофическим последствиям. Рис. в.5 Системы, устойчивость которых не может быть достигнута никаким изме- нением параметров, называются структурно неустойчивыми. Устойчивое управление в этом случае достигается путем перестройки структурной орга- низации системы управления.
X______________________Введение Задача програмчного управления — изменение управляемой величины у(/) по заранее заданному закону (программе) g(i) без учета внешних воздействий. Примерами могут служить программы автопилота самолета, движения инст- румента обрабатывающего станка или руки робота по заушиной траектории. Задача следящего упрощения — изменение управляемой величины yti) по произвольному и заранее неизвестному закону g(i). Цель слежения е(г) -»О достигается с помощью отрицательной обратной связи (см. рис. В.1, а). При е(|) * 0 регулятор отрабатывает ошибку управления в направлении уменьше- ния ее абсолютного значения |е(4 Примеры следящих систем: □ сопровождение локатором движущейся цели; □ повторение роботом, находящимся в агрессивной среде, манипуляций человека-оператора; □ выполнение прецизионных операций в микроэлектронике и микрохи- рургии путем отработки движений инструмента на увеличенном макете обрабатываемого изделия или органа. Задача стабилизации — сведение управляемой величины к значению посто- янной уставки g(0 = const. Стабилизация как частный случай слежения ши- роко востребована в технических системах со стационарными целями. При замене по (В.1) переменной >(<)=«(/)- <40 получается модель системы в отклонениях е(/1. в результате чего задача следящего управления Яб -»М сводится к задаче стабилизации e(t) -»0 с нулевым состоянием равновесия. В качестве вычитателей в системах слежения и стабилизации применяются устройства самой различной физической природы: □ механические дифференциалы и рычажные весы; □ электромеханические гироскопы; □ электронные дифференциальные усилители. Задача статического и динамического анализа системы автоматического управления состоит в исследовании статических (в установившемся режиме) и динамических (в переходном режиме) свойств системы с учетом взаимно- го влияния ее элементов друг на друга. Сюда входит определение статиче- ских ошибок и параметров качества переходных процессов в системе при различных входных воздействиях Качество системы определяется параметрами переходного процесса при от- работке системой возникающих возмущений. К основным показателям каче- ства относятся: □ статические ошибки регулирования, или отклонения выходных перемен- ных от их уставок в установившемся режиме;
Введение 21 □ длительность переходного режима, или время установления; □ максимальные выбросы (перерегулирования} управляемых переменных за их установившиеся значения; □ число колебаний в переходном режиме и степень затухания колебаний Задача синтеза устройства управления заключается в проектировании техни- ческого устройства, воздействующего на объект в направлении достижения желаемой цели управления. Основные функции регулятора- □ преобразование контролируемых величин в сигналы используемого ре- гулятором вида энергии — электрической, механической, гидравличе- ской и т. д.; □ формирование программных сигналов (уставок), □ формирование ошибок регулирования; □ квантование сигналов в дискретных системах; □ выполнение аналоговых, логических и арифметических операций по расчету управляющего воздействия; □ хранение сигналов до момента их использования, □ распределение сигналов по различным каналам управления; □ преобразование управляющих сигналов к виду, необходимому для рабо- ты исполнительных устройств. Здесь перечислены задачи регулятора в широком смысле, каким фактически является вся система управления, за исключением объекта Задачей регуля- тора в узком смысле можно считать пятую из перечисленных функций Разработка регулятора заключается в выборе его структуры (из чего слагает- ся управляющее воздействие) и расчете параметров (коэффициентов перед слагаемыми). Основными компонентами управления могут быть; □ пропорциональное (П) управление по ошибке регулирования е(Г), □ дифференциальное (Д) управление по производной ошибки —— . о/ □ интегральное (И) управление по интегралу ошибки je(r)dT Рассмотрим принципиальное назначение указанных компонентов на приме- ре работы автопилота — устройства, обеспечивающего движение судна по заданному компасному курсу g (рис В.6) Изменение направления движения Достигается путем отклонения руля на угол х относительно оси судна (пози- ция А на рис. В.6, а), что при наличии продольного движения создаст вра- щающий момент и поворачивает судно в сторону отклонения руля.
Введение □ Пропорциональное управление лп(0 - М') (В.2) выполняет главную задачу уменьшения модуля ошибки |?(г)| за мини- мальное время установления При достижении значения е(г) = 0 (пози- ция В) руль встает в неотклоненное положение. Поскольку судно имеет определенный момент инерции, то оно продолжает и дальше вращаться, отклоняясь от заданного курса в противоположную сторону. Так возни- кают колебания регулируемой величины у(1) вокруг уставки g. Правиль- ным выбором параметра регулятора К„ можно несколько сгладить (демпфировать) эти колебания, но общий характер переходного процесса на выходе системы остается колебательным. □ Что делает опытный рулевой в таком случае’ Он начинает заранее пере- кладывать руль так, чтобы подойти к точке равновесия с минимальной угловой скоростью /(/) и компенсировать инерцию вращения противо- положным вращательным моментом, создаваемым рулем, который изо- бражен пунктиром в позиции В. Дополнительное дифференциальное управление Рис. В.6
Введем. 23 □ Наконец, в реальных условиях плавания как на реке, так и на море, возможны различные неконтролируемые возмущения (ветер, течения), сносящие судно с курса и создающие установившееся отклонение от курса еуст (позиция С на рис. В 6, б). Для его устранения в закон управ- ления добавляется интегральный компонент хи(Г)жКДе(т)<1т, (В.4) о сводящий статическую ошибку е«) с течением времени к нулю за счет дополнительного отклонения руля в сторону, противоположную сносу судна (изображено пунктиром в позиции D на рис. В.6, б) Более детальное изучение компонентов управления и их влияние на свойст- ва переходных процессов в замкнутых системах будет продолжено в после- дующих разделах книги. Объединяя пропорциональный, дифференциальный и интегральный компоненты, получим широко распространенную в практи- ке автоматического управления структуру регулятора ПИД-типа x(/)=^e(r)+Kje(T)dT+^^ (В.5) о «" Выборочное исключение из (В.5) дифференциального или интегрального компонента позволяет формировать управляющие воздействия ПИ и ПД типов (рис В.7). Как правило, пропорциональная составляющая управления не отключается Возможна и более сложная, чем ПИД. структура корректи- рующего устройства, например, ПИДД2, включающая компонент управле- ния по второй производной сигнала невязки е"(г). Рис. В.7 В общем случае регулятор — это аналоговый или цифровой фильтр, выпол- няющий преобразование уставок и выходных сигналов системы в управ- ляющие воздействия. В заключение перечислим основные требования, которым должна удовле- творять современная система управления сложным объектом.
Н Введение □ Система должна предсказуемым образом реагировать на входные воз- действия и начальные условия, для чего опа должна быть устойчивой. Неустойчивая система неработоспособна. □ Поскольку никакая модель не описывает физическую систему полно- стью, то система автоматического управления должна проектироваться с определенным запасом устойчивости, предназначенным для компенса- ции неконтролируемых изменений параметров объекта во времени, а также их зависимости от условий внешней среды. □ В системе должна быть обеспечена желаемая точность отработки устав- ки в установившемся режиме, вплоть до нулевой статической ошибки. □ Переходные процессы в системе автоматического управления должны иметь желаемые динамические показатели качества- время установления, перерегулирование, степень затухания колебаний и другие параметры, указанные в техническом задании. □ Система должна быть способной подавлять (компенсировать) влияние нежелательных внешних возмущений - как статических, так и изме- няющихся во времени, как детерминированных, гак и стохастических.
ГЛАВА 1 Вначале Баг создал пытпиноаы иконы дви- жения Этим все и исчерпывается, остальное Оо1жно получать* в peiy ibmume ри/работки надлежащих математических методов Альберт Эйнштейн Математические модели элементов и систем управления Математическое описание системы начинается с разделения ее на элемен- ты, для которых должны быть составлены уравнения, описывающие их функционирование. Уравнения составляются на основе анализа физических, химических, экономических и других процессов, происходящих в системе, с помощью законов сохранения энергии и вещества, законов электротехники, гидравлики и т д. Система уравнений, с достаточной точностью описывающая повеление объ- екта во времени и пространстве, называется математической моделью. Раз- работка и уточнение моделей занимает от 80 до 90 процентов времени, за- трачиваемого на проектирование систем автоматического управления |29|. Следует отдавать себе отчет, что никакая математическая модель физиче- ской системы не является точной Можно повышать точность модели, уве- личивая количество и сложность уравнений, но все равно мы никогда не достигнем абсолютной точности Нужно стремиться к тому, чтобы модель адекватно отражала поведение физической системы в области ее работоспо- собности и в то же время была не слишком сложной, доступной для анали- тических преобразований и численного расчета 1.1. Классификация элементов систем управления Элементы систем управления классифицируются по следующим призна- кам (16).
□ По функциональному назначению: • задающие элементы - генераторы уставок; • ихиеритезьные элементы — датчики; • суммирующие н вычитающие элементы; • усиливающие элементы без изменения формы сигналов; • преобразующие и корректирующие элементы; • исполнительные элементы. □ По виду используемой знергии: • электрические элементы; • механические элементы; • еидраашческие элементы; • пневматические элементы; • комбинированные элементы. □ По наличию источника энергии • активные элементы; • пассивные элементы. □ По длительности переходных процессов: • безынерционные элементы — описываются алгебраическими уравне- ниями Входные и выходные переменные связаны между собой коэф- фициентами усиления; • инерционные элементы - описываются дифференциальными урав- нениями. У линейных инерционных элементов связи между вход- ными и выходными переменными устанавливаются передаточными функциями. □ По характеру установившегося режима: • статические элемент, имеющие конечные установившиеся значения выходных переменных; • астатические элементы, модели которых нс имеют постоянных уста- новившихся значений выходных переменных. 1.2. Статические свойства элементов и систем Статическим называется элемент, у которого при постоянном входном воз- действии x(f) с течением времени устанавливается постоянная выходная пе- ременная ЯО Отношение у / х В установившемся режиме называется коэф- фициентом усиления К.
Математические модели элементов и систем управления 27 Выходная переменная астатического элемента не имеет установившегося значения, а неограниченно возрастает с постоянными скоростью (напри- мер, угол поворота электродвигателя при постоянном входном напряже- нии), ускорением (например, перемещение материальной точки под дей- ствием постоянной силы) или производной высшего порядка. У такого элемента, например, при постоянной установившейся скорости изменения выходной переменной V = dp / dr коэффициент усиления определяется как отношение V/ х. Свойства статиэма или астатиэма нс абсолютны, а зависят от выбора выход- ной переменной Так, если при описании электродвигателя в качестве вы- ходного сигнала задать не угол поворота <р, а угловую скорость о> = d<₽ / dr, то получим статический элемент Признак астатизма — наличие хотя бы од- ного интегратора между входом и выходом элемента или системы Статической характеристикой (СХ) у = Лх) (рис. I I. о) статического элемен- та называется зависимость установившегося значения выходной переменной от значения постоянного входного воздействия Статическая характеристика, в общем случае нелинейная, может быть гладкой или разрывной (рис. 11.5), однозначной или многозначной (например, гистерезисной на рис. 1.1, в). Раз- рывные характеристики присуши релейным элементам и аналого-цифровым преобразователям. Характеристиками гистерезисного типа обладают, напри- мер, магнитные элементы и механические соединения с люфтом Линейный статический элемент имеет гладкую линейную статическую ха- рактеристику у(х) » во + О|Х, где а0 есть смещение в нуле, а коэффициент = Ду / Дт задает коэффици- ент усиления элемента относительно приращений входного Дх и выходного Ду сигналов. Астатический элемент не имеет статической характеристики по причине от- сутствия установившегося режима при постоянном входном воздействии Однако может существовать статическая характеристика
для /-ой производной выходного сигнала Д/). Минимальный порядок про- изводной УЛ(/). имеющей статическую характеристику, называется порядком астатизма. Он равен числу интеграторов между входом и выходом, не охва- ченных контуром обратной связи. Статические элементы имеют астатизм нулевого порядка. 1.2.1. Соединения статических элементов Статическая характеристика системы, образованной соединением двух эле- ментов, может быть найдена двумя способами: □ аналитическим, если заданы формулы статических характеристик исход- ных элементов; □ Мафическим, если характеристики элементов заданы графиками. Рассмотрим основные типы соединений статических элементов и методы ана- литического и графического расчета их статических характеристик. □ Параллельное соединение (рис. 1.1 а): Л*)=/|(х)+Л«- Графическое построение результирующей характеристики Дх) очень про- сто (рис 1.2, б): она равна сумме ординат л и уг характеристик парал- лельно соединенных элементов при одинаковых значениях абсцисс х. «I Я □ Последовательное соединение (рис. 1.3, о): Дх)-Д(Л(Х». Графическое построение результирующей характеристики Дх) выполняем следующим образом (рис. 1.3, б):
Математические модели элементов и систем управления на оси абсцисс характеристики первою элемента выбираем значение хи по графику/Дх) определяем выходной сигнал ур рассматривая у\ как входной сигнал второго элемента, по графику /2(У!) находим значение у;. равное выходному сигналу у последова- тельного соединения При этом ось у совпадает с осью X, для каждой пары чисел (х, у} на отдельном графике строим точку ис- комой характеристики у = /х). Нелинейные элементы нельзя переставлять местами, т к. в общем случае Например, для функций Д(х) = I - е_*иД(х) =х2 имеем 1-е ?*(1-е-’У □ Соединение с обратной связью (рис. 14. о). На рисунке и формулах в обозначениях ->±» и «Т» верхний знак означает отрицательную обрат- ную связь (ООС), а нижний - положительную (ПОС» Запишем уравнения трех блоков системы: е = хтг.у-/|(е),г-Л(У). Исключая переменные е и z. получим уравнение связи входа и выхода: №/|(»ТЛ(У)).
X__________________________________________________________Глава< Оно имеет решение п виде функции. обратной к статической характери- стике у JU): <=r,(y)’/r,<y)±A(.v) Аналитическое обращение нелинейной функции не всегда возможно. Так. для функций (х) - 1 - е"1 и Л(*)= П0ЛУчим s - ln(l - у), откуда следует обратная зависимость х»-1п(1 -у)±/ Видно, что явной зависимости у =Дх) не существует. а) е -» У =/|(е) -> Z тЛ(у) -> X ± I дает функцию у-Дх) для каждого значения е и показана стрелками для случаев отрицательной (рис. 1.4,6) и положительной (рис. 1.4. в) обрат- ных связей.
Математические модели элементов и систем управления 1.2.2. Линеаризация статических элементов Каждый элемент системы имеет рабочую область изменения входных и вы- ходных переменных, причем некоторые точки этой области наиболее пред- почтительны как точки равновесия или как самые удаленные от границ ра- бочей области. Такие точки называются номииа1Ы1ы.ми. а координаты точки (хн, Ун) ~ номинальным режимом При слабой нелинейности статической ха- рактеристики достаточно иметь одну номинальную точку, сильная же нели- нейность заставляет разбивать область работоспособности на подобласти, каждую со своим номинальным режимом (рис. 1.5). В окрестности номинального режима желательно иметь линейное описание элемента как наиболее удобное для решения задач анализа и синтеза. Ли- неаризация — это замена реальных нелинейных уравнений, описывающих функционирование объекта, близкими к ним линейными уравнениями. Ли- неаризация гладкой функции y=fix) в окрестности номинальной точки (х„, Ун) выполняется по формуле разложения в ряд Тейлора Это уравнение касательной к кривой Дх) в точке (.v,„ у„) (рис. 1.6). Приведем примеры разложения до линейных членов в ряд Тейлора и, где возможно, при х„ = 0 — в ряд Маклорена некоторых простейших нелинейных функ- ций одного переменного: □ е“ + ве“‘" (х - х„ ), е«= I + ах. □ sin(ax) = sin(«tx„) + a cos(ax„)(x - х„). sin(ax) = ax. □ cos(ax) » cos(ax„) ~ ° sin(ar„)(x - x„), cos(ar) = I. Iog/1(ax)= logb(avH)+
Рис. 1.6 Введем тикмиепил от номинального режима Ьу-у-у^Лх-х-х* тогда линеаризованное уравнение в отклонениях примет вид Ду=Г Дх с коэффициентом наклона касательной Если стагическая характеристика у = /(х) является функцией вектора пе- ременных » = (ж, ... л„Г, то линеаризованная характеристика в прираще- ниях представляет собой гиперплоскость, касающуюся поверхности у = f(x) в номинальной точке (хи.у,) и описываемую векторным уравнением в приращениях Ду £К,Дл( “?/(х)Дх, — иектор*строка градиента /(ж) в точке х с эле- ментами Рассмотрим примеры линеаризации статических характеристик.
Математические модели элементов и снегом управления 33 & Пример 1.1. Устройство умножения двух сигналов г <г *i (рис. I 7, а): ° Л2н 1 <h?| ° Л|" ° У “ *' * Х5"(Х' “ *|н> * ” Х)")’ По этому выражению построена структурная схема умножителя, линеаризо- ванного в окрестности точки ,г„ - Х|ИХ2„ * 0 (рис 1.7,6). Нелинейная по- верхность гиперболического параболоида ><лг|. «) изображена на рис 1.7, я. О I ' Пример 1.2. Устройство деления двух сигналов у = Х| v (рис. I 8, л) По этому выражению построена структурная схема делителя, линеаризован- ного в окрестности точки у„ *• с)м / при х2и • 0 (рис. 1.8. 6) Нелинейная поверхность гиперболического параболоида H-'i. по иному ориентире мнного по сравнению с параболоидом в примеря 1.7, изображена на рис. I 8. в. О
Рис. 1.8 & Пример 1.3. Вольт-амперная характеристика диода, т. е. зависимость проходящего тока / от приложенного напряжения U и температуры окру- жающей среды Т. имеет вид (рис. 1.9, а) ( WL ] -SsZk /(У.Г)=/0(Г e*,r -1 , /0(г)=уТ2е , (1.1) гае р, = 0.0257 В и Фв = 0.7 В — тепловой и барьерный потенциалы; л и у — индивидуальные параметры для каждого диода. Справочные данные номинального режима диода КД512А 110]: □ /„ = 10 мА при £/, - 1 В; □ Г, = 25 °C = 298 К. Предельные параметры диода: □ обратный* гок /«, = 5 мкА при максимальном обратном напряжении □ максимальный прямой ток /та = 20 мА; □ диапазон температур от Гт|п = -25 »С до = 100 °C. аольт-амп'риуЮ «’’«’'Ристику диода в окрестности точки (£/и, Г,. /я). Построить рабочую опасть диода в окрестности номинального
Математические модели элементов и систем управления режима. Оценить изменение тока при изменениях напряжения на Д{/= 100 мВ и температуры на ДГ= -20 °C. Решение. Вычислим коэффициенты л и у решением системы уравнений (1.1) в двух режимах (£/„, Г„, /н) и (-(/оти. 7», 4>о). полагая, что еХр(-(/отах / = 0: у = -Ч-е”’ = 37.88 Д. Тнг К2 Рио. 1.9 Найдем частные производные /((/, 7) по (/и Г. дЦЦ'Т)\ = 0.0761^ мВ --(^,,Г)| = ^е ^Ije'"*-1ЬП<рт+Пфв-1/и)-(/,^ = 0.7258^
Таким образом, линеаризованная вольт-амперная характеристика открытого диода в отклонениях Д(/, Д7и Л/имеет вид M-Ki&U* КтЬТ В переменных I'(мВ) и Т(“С) зависимость /- 10 + 0.076KZ/- 1000) + 0.7258(7- 25) = 0.0761(7+ 0.72587 - 84.2 мА предстамяет собой уравнение плоскости в пространстве ((/, Г, /}, проходя- щей через точку ((/,,, 7„, /„) касательно к поверхности /((/, 7) Рабочая об- ласть диола изображена на рис. 1.9, би ограничена четырьмя прямыми Г- -25 °C; 7= 100 "С; 0.0761(7 + 0.72587 = 84.2; 0.0761(7+ 0.72587= 104.2. Левее рабочей области в пределах -25 ”С < 7s 100 “С расположена область отсечки закрытого диода, а правее — область насыщения открытого диода. При заданных отклонениях Д(/и Д7получим приращение тока Д/ = 0.0761 100 - 0.726 • 20 = -6.91 мА и полный ток 7“ 3.09 мА Истинное значение тока, вычисленное по нели- нейному уравнению (1.1), равно 4 8 мА. Большая относительная погреш- ность линеаризации S/ = 35.6% при небольших отклонениях аргументов от номинального режима объясняется сильной нелинейностью вольт-амперной характеристики диола. О 1.2.3. Статические ошибки в замкнутых системах управления Основа функционирования замкнутой системы автоматического управле- ния — принцип обратной связи, т е зависимость текущего сигнала, управ- ляющего объектом, от его состояния, обусловленного предыдущими воздей- ствиями Обратная связь может быть естественной. присущей объекту, и нс- куегтвгнно ореониюванной для повышения качества регулирования. Отрицательная обратная связь действует в сторону уменьшения, а положи- тельная — в сторону увеличения отклонений выходных координат системы от их уставок. Деление обратно!, связи на отрицательную и положительную условно: при определенных частотных свойствах объекта может произойти инверсия се знака
Математические модели элементов и систем управления 37 Для определения статической ошибки в системе с обратной связью (см. рис. В I, в) обозначим статические коэффициенты усиления устройства управления как Лу и объекта вместе с измерительным устройством как Ко. Тогда в установившемся режиме получим 'уст = ЛуСуст, Ууст ~ Кс'уст и статическую ошибку регулирования еуст = S ~ Ууст ° 8 - КуКо'уст =» суст = \ + к к ® Вывод В статической замкнутой системе всегда существует ненулевая стати- ческая ошибка регулирования. Будь она нулевой, то были бы нулевыми управление хус, и выход у,п. что дало бы ненулевое значение в,-, = g у^. Полученное противоречие доказывает основное свойство замкнутых стати- ческих систем Таким образом, статический регулятор в принципе не может свести невязку к нулю, а может лишь се уменьшить Для этого нужно увеличивать значение коэффициента контурного усиления КуК^. Поскольку обычно объект неизме- няем, то остается единственная возможность — увеличение усиления регу- лятора Ку до максимально возможного значения Верхний предел этого уве- личения ограничен мощностью устройства управления и, в большей степе- ни, требованиями устойчивости замкнутой системы управления, что будет показано в гл. 4. На величину статической ошибки влияют также постоянные неконтроли- руемые внешние воздействия. Так, если на объекте скачком изменится на- грузка f„, то изменится и выходная координата .ПО В установившемся ре- жиме замкнутой статической системы благодаря наличию отрицательной обратной связи автоматически сформируются новые значения у, е и х. зави- сящие от новой нагрузки. Для устранения нежелательного свойства статнзма ввелем в состав регулято- ра дополнительный элемент — интегратор с коэффициентом усиления КЛ (рис 1,10, о). Докажем от противного, что в установившемся режиме полу- ченной системы всегда будет достигаться нулевая статическая ошибка Про- следим развитие процессов НО, х(0 и ></» в пошаговом режиме отсчета вре- мени (рис. 1.10, б).
Рис. 1.10 Итак, предположим, что к моменту времени Iq в системе установились по- стоянные значения управления хо. выхода д * go и ошибки «о = go - Л^л0 * 0. На первом шаге интегратор, отрабатывая постоянную ошибку, дает линейно изменяющееся управление x(t) - д + (I - t0). Оно в свою очередь приводит к линейно изменяющемуся выходу ХО = (I ~ 4>)> приближающемуся к уставке д. Тем самым ошибка регулирования е(/) = ео-КяК0е0 (J-t0), перестает быть постоянной и при правильно рассчитанном коэффициенте К„ начинает уменьшаться. На последующих шагах процессы e(t), x(i) и ЯО стано- вятся нелинейными, но общая тенденция развития переходных процессов та- кова, что с течением времени управление изменяется до тех пор, пока выход системы не сравняется с уставкой, а ошибка не станет исчезающе малой. Таким образом, полученное противоречие позволяет сделать вывод: в устой- чивой астатической системе всегда автоматически устанавливается нулевая ошибка регулирования При этом выход интегратора равен go / Ко при нуле- вом входе. Эго справедливо при любой статической нагрузке, действующей на объект. Скачкообразное изменение нагрузки порождает изменение выхо- да системы и новый переходный процесс устранения статической ошибки благодаря наличию интегратора в структуре регулятора и действию отрица- тельной обратной связи. Управление называется интегральным, или И-управленнем.
Математические модели элементов и < Системы с И-управлением являются астатическими (с нулевой статической ошибкой), но медленными, что объясняется инерционностью процесса ин- тегрирования ошибки. Системы с пропорциональным управлением ХО “ V(') могут быть быстродействующими, но не имеют астатизма. Комбинация пропорционального и интегрального управления x(r) = Kne(t)+K„Je(T)dT 'о с оптимально подобранными коэффициентами Кп и К„ делает двухканальную замкнутую систему ПИ-управления (рис. 1.11) и астатической, и быстродей- ствующей [20, 30[. При больших уровнях ошибки работает преимуществен- но пропорциональная составляющая управления, быстро сводящая ошибку к значению g / (1 + Кп^о) Окончательное точное сведение ошибки к нулю возлагается на интегральную составляющую управления. 1.3. Статический анализ и синтез схем на операционных усилителях Для практической реализации и моделирования элементов и систем автома- тики будем использовать широко распространенные средства аналоговой электроники — операционные усилители (ОУ), позволяющие конструировать сложные и разнообразные схемы с широким спектром статических и дина- мических свойств [1,2, 18). Операционный усилитель (рис. 1.12, а) — это аналоговое устройство усиления разности ДР =Р-Р напряжений на его прямом (Р) и инверсном (Р) входах: Р,ых -
глава I Усилительные свойства операционного усилителя проявляются в области линейности его статической характеристики при |ДМ < f/mJM / Л,. иначе он работает в одной из областей насыщения с выходным напряжением + Г/тм или -Циы, близким к напряжениям питания +(/,, или -Un. сообразно знаку величины Д(/(рис. 1.12, б). <25 о льные отечественные операционные усилители серий 140, 153, 154, 157, . 553. 574 имеют следующие параметры |1. 18]; коэффициент усиления разностного (дифференциального) сигнала Лу» 10* ♦ 10* •= tg(a) (рис. 1.12, б), где а = 90" — угол наклона линейной части статической характеристики; □ входное сопротивление R„ от 300 кОм (в операционных усилителях с би полярным входным каскадом) до 100 ГОм (в операционных усилителях с входным каскадом на полевых транзисторах); □ выходное сопротивление R^, = 10 ♦ 300 Ом;
Математические модели элементов и систем управления_______________41 □ напряжение смещения (дрейфа} нуля елр = 0.1 + 10 мВ, равное выходному Напряжению при нулевой разности Д1/«Он возникающее вследствие несимметричности параметров элементов принципиальной схемы уси- лителя из-за погрешностей их изготовления; □ двухполярное напряжение питания 1/„ - ±(3 + 40) В, определяющее диа- пазон изменения выходного напряжения е|_Цпах« Unaxl» где Мппх < Цг На рис. 1 12, в приведена простейшая схема замещения операционного уси- лителя, включающая все перечисленные параметры Усилительные свойства операционного усилителя на линейном участке его статической характери- стики условно отражены включением в выходную цепь схемы генератора напряжения — усиленного в Ку раз падения напряжения на входном сопро- тивлении. Выходная цепь содержит также генератор паразитного напряже- ния дрейфа нуля епр и выходное сопротивление Япы, Получим по закону Ома зависимость выходного напряжения от входной раз- ности напряжений и выходного тока с учетом параметров схемы замещения: На холостом ходу (/вых = 0) выходное напряжение равно Цшх “ Ky&U + епр. При подключении к операционному усилителю сопротивления нагрузки К„ возникает выходной ток перераспределяющий токи /| и А в верхней и нижней ветвях цепи пита- ния и создающий зависимость выходного напряжения от сопротивления нагрузки: В практических расчетах можно рассматривать опер идеальным с параметрами
Гпава 1 Л,--./?„ = »./^ = 0,^ = 0, при которых выходное напряжение ит = становится независимым от значений /щ*. Л»», %, а также от сопротивления нагрузки. Идеализация дает следующие ключевые условия анализа и синтеза схем на операционных усилителях: □ нулевая разность входных напряжений №=^* = 0 Ку при любом выходном напряжении. Потенциальное равенство U -U (но не физическое соединение входных контактов!) позволяет без изменения переносить известное напряжение с одного входа на другой; □ нулевой входной ток /» = о. игнорирование которого позволяет оперировать только с токами, проте- кающими в навесных элементах каскада; □ независимость выходного напряжения от выходного тока и сопротивления нагрузки. Это позволяет считать операционный усилитель устройством с бесконечно большой нагрузочной способностью niaxj/^J = ” и использовать его для токовой развязки каскадов друг от друга. Во всех последующих схемах мы будем изображать операционные усили- тели без выводов заземления и напряжений питания, имея в виду, конеч- но, что в реальных схемах они должны быть подсоединены к соответст- вующим шинам. 1.3.1. Нелинейные статические элементы на операционных усилителях Типовыми соединениями с отрицательной обратной связью являются схемы прямого и инверсного включения операционного усилителя. Допустим, на- весные элементы простейших схем описываются вольт-амперными характе- ристиками А */|(М) и 4=Л(Й>). а операционные усилители обладают В схеме с прямым включением операционного усилителя (рис. 1.13, а) име- ем U «х и А = /о. откуда получаем/(х) =fa(y -х) и статическую характери- стику схемы
Математические модели элементов и систем управления /«»*</о'М))- Рис. 1 13 В схеме с инверсным включением операционного усилителя (рис. 1 13,5) имеем U =0 и 1\ = /о, откуда получаем/|(х) =Jo(-y) и статическую характе- ристику схемы /W=-/o''(/iW) (12. б) При графическом решении задачи построения статических характеристик схем с прямым (рис. 1.14, а) и инверсным (рис I 14, б) включением опера- ционного усилителя сначала находим напряжение 4/0 по заданной вольт- амперной характеристике /0 = Л(М>) и току /0 =/|(х), а затем по (1.2) полу- чаем выходные напряжения Д.г). Устойчивая работа схем на операционных усилителях в линейном режиме обеспечивается обязательным соединением выхода у с инверсным входом (/ либо проводом, либо навесным двухполюсником или четырехполюсником отрицательной обратной связи, благодаря чему в такой системе автачатиче-
Глава 1 ски поддерживается динамическое равновесие. Например, в схеме на рис 1.13, а изменения г, At/и у синфазны. Часть приращения напряжения с выхода операционного усилителя передается на вход U . Таким образом, в системе с отрицательной обратной связью устанавливаются новые равновес- ные значения 6U и у. В схеме на рис. 1.13, б изменения х и Д(/ происходят в противофазе с сигналом у. Отрицательное приращение выходного напряже- ния передается через элемент обратной связи на вход U в пропорции, ус- танавливающей новые равновесные значения напряжений Д1/ и у В отсутствие отрицательной обратной связи или при ошибочно созданной положительной обратной связи усилитель, благодаря огромному значению Ху и полосе пропускания порядка I МГц, практически мгновенно переходит в режимы насыщения, расположенные справа или слева от линейного уча- стка статической характеристики в зависимости от знака разности напряже- ний Д1/ (см. рис. 1.12, б) Рассмотрим некоторые простейшие схемы функционального преобразования хгектрических сигналов на операционных усилителях с отрицательной обрат- ной связью (рис. 1.15, а- 1.18, я) и их статические характеристики (рис. 1.15, б- 118. б) □ Пропорциональный неинвертирующий усилитель (рис. 1.15): /o'(OW =» y = x+i с коэффициентом усиления схемы "о = tg(a). y=Kv a 0 V 6> ₽ис 1.15
Математические модели элементов и систем управления 45 □ Пропорциональный инвертирующий усилитель (рис. 1.16): </| - х. /,(</.)=^. U0=-y. f0(U0)=^, /о'(/)= V => У = -«оу = -у-< = -^ с коэффициентом усиления схемы (не забывайте о знаке минус перед ним!) K=^ = tg(a). Рис. 1.17
/о”(/)=Яо/ - У = -^ор Логарифмический и экспоненциальный усилители могут быть использованы для построения аналоговых схем точного (в отличие от линеаризованных схем, структурно изображенных на рис. 1.7 и 1.8) умножения и деления на- пряжений на основе следующих соотношений: ln(X|X2) = ln(Xj) + ln(Xj) => XtX2 totuhlnfe) =» С учетом необходимости компенсации смешений сигналов и их масштаби- рования на рис. 1.19 построены структурные схемы умножителя (а) и дели- теля (б) напряжений Х| (В) и Xj (В), использующие нелинейные инверти- рующие каскады на операционных усилителях и источник напряжения 1 В.
Математические модели элементов и систем управления Структурная схема делителя напряжений Рис. 1.19 1.3.2. Линейные статические элементы на операционных усилителях Рассмотрим схему каскада на операционном усилителе с отрицательной об- ратной связью (рис. 1.20), к прямым входам которого зсц * х1я подключены сопротивления Лц+Я1л. к инверсным входам Хц+зсут — сопротивления Я21 * Rim, а в цепи обратной связи включено сопротивление Rq. Для того, чтобы реальный операционный усилитель можно было с достаточной точ- ностью считать идеальным, нужно выбирать сопротивления всех навесных резисторов хотя бы на порядок (в 10 раз) меньше паспортного значения Я„ч и на порядок больше значения /?„мх. Таким образом, с учетом параметров ре- альных операционных усилителей разных серий рекомендуемый диапазон номиналов всех сопротивлений схемы составляет [1 кОм. 10 МОм]. Рис 1 20 Напряжения на прямом и инверсном входах операционного усилителя мож- но найти по законам Кирхгофа и Ома:
£,„=». ^.0. откуда получим напряжение V, а по аналогии с ним и U Так как в идеальном операционном усилителе U =U , то на последних вы- ражений следует Таким образом, рассматриваемая схема выполняет л операций сложения и т операций вычитания подаваемых на ее входы напряжений: Проанализируем последствия добавления в схему заземленных входов Хщ - О и xjo • 0, соединенных с входами операционного усилителя через сопротив- ления Як, и Я№ (на рис. 1.20 они изображены пунктиром). Из (1.3) следует, что это влияет только на коэффициенты Л,,: □ при введении сопротивления Яц, все они уменьшаются из-за увеличения знаменателей дробей на Я|, / Яш: □ при введении сопротивления Ям все числители дробей увеличиваются на 4, / Я2|,. что ведет к увеличению всех коэффициентов Я"1(; □ одновременное введение в схему двух заземленных входов xt0 « 0 и х» 0 позволяет гибко регулировать значения коэффициентов Л'|, как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения Задяча синтеза схемы состоит в определении сопротивлений Я,, Я„ и Я, по заданным значениям коэффициентов усилении Я„ и Я2/ Особенностью этой
Математические модели элементов и систем управления 49 задачи является се недоопредсленность (число неизвестных п + m + 1 меньше числа п + m заданных коэффициентов) и вырожденность Обозна чим суммы коэффициентов усиления по прямым и инверсным входам: Si=2>1(. s2 = 5X, Суммируя в (1.3) коэффициенты Ку, получим ключевую зависимость между 5| и Sy. существующую в любой готовой схеме на операционных усилителях (рис. 1.20) независимо от числа и сопротивлений навесных резисторов: и (1.4) Для численного расчета (т + 1)-го сопротивления Яу( и ЯЬ по т коэффици- ентам Кц необходимо доопределить последние уравнения в (1.3) еще одним условием. Например. противления инверсных входов будут равны Ro, тогда со- Однозначное определение л сопротивлений Яц по и коэффициентам Ktl также невозможно из-за условия вырожденности, вытекающего из уравне- ний (1.3) и (1.4): Если задать произвольно любое сопротивление Яу, то остальные сопротивле- ния, подключенные к прямым входам, однозначно находятся как При произвольно заданных коэффициентах К\, и Лу, условие (1.4) скорее всего не выполнится. Это означает, что схема каскада, изображенная на рис. 1.20, структурно неполная. В ней не хватает одного из заземленных на- весных резисторов Я|0 или Я», в зависимости от соотношения сумм 5, и Sj + I Введение такого резистора эквивалентно добавлению в первое урав- нение (1.3) нулевого слагаемого = 0 либо Кпы = 0 с положительным коэффициентом усиления по заземленному входу К10 ~ + 1 - Si либо К» “ 5i - Si - 1.
Введение заземленных входов изменяет структуру схемы и восстанавливает баланс (1.4), при этом уравнение (1.3) не изменяется благодаря напряжени- ям Хю “ 0 либо *» “ 0. Таким образом, при синтезе схемы нужно свободно выбрать сопротивления Ry и Д1, а остальные сопротивления вычислять по формулам (,S) Замечание Если в полученной схеме прямой вход хп оказался единственным, то по (1.3) его коэффициент усиления Кп = & +1 не зависит от Rn Поэтому можно вы- брать это сопротивление произвольным, в том числе и Rn = 0 — простым про- водом (рис. 121). Рис. 121 2* Пример 1.4. Построить схемы на операционном усилителе серии 544УД2Б (Я„ > 1 ГОм, < 200 Ом |18]). реализующие следующие алгеб- раические соотношения: □ у = Зхц + 4*12 - бхц (рис. 1.22, в): 5| =^+ 1»7=» Я|| =—у2-, Я2| =-у-. Сопротивления всех резисторов должны лежать в диапазоне 2 кОм • 100 МОм. Выберем значения Яц = = 300 кОм, тогда Ян = 400 кОм и /?2Т = 50 кОм. □ у - 3*ц + 4*12 - 5x21 (рис-122, 4): 5|-7>$+1“6=>*2р“$-.51-1-1, Ян Rk ж А). Я2| =у- Выберем Я12 - Яр = 300 кОм, тогда Яп = 400 кОм. Яго = 300 кОм и «21 = 60 кОм;
Математические модели элементов и систем управления Рис. 1.22 □ у = Зхц +4хц - 8x21 (рис. 1.22, в): 5| « 7 < 5j + 1 = 9 => /Сю » 5j + I - 5| = 2, „ _ 2Я|0 2Я|р „ _ Ro Ли- — . Ли-—. Л21-Т. Выберем Лю = Л> = 240 кОм, тогда /?ц = 160 кОм, Яц = 120 кОм и Л2| = 30 кОм. О Рассмотрим некоторые принципиальные схемы на операционных усилите- лях и соответствующие им структурные схемы, выполняющие типовые ал- гебраические операции. □ Универсальный одновходовый усилитель (рис. 1.23, а) с коэффициентом усиления Рис. 1.23
Подбором сопротивлений схемы можно получить любое желаемое по знаку и абсолютной величине значение К в интервале Судя по этой зависимости, границы интервала определяются значениями Я2 и Я20. Приняв эта сопротивления переменными с общей конструктив- ной регулировкой Я2 = ЛЯ.Я2О = (1-МЯ,0$Л5 1. а остальные сопротивления постоянными и равными R, получим сле- дующий параметрический коэффициент усиления каскада: Эта нелинейная регулировочная характеристика построена на рис. 1.23, 6. Нулевой коэффициент усиления достигается при «золотом сечении» X 0.382. а интервал ослабления |AJ S 1 составляет X е [0.232. 0.618]. □ Заменяя в схеме универсального усилителя некоторые сопротивления проводом (Я = 0) или разрывом соединения (Я = ~). получим различные популярные схемы на операционных усилителях: • при Я| = Я:,, = “ и Я|0 = 0 - инвертирующий усилитель (рис. 1.24, а): К=-^2-<0. Я2 Задав Я3 = получим инвертор: К=-\,у • при Я2 = » - неинвертирующий усилитель-делитель (рис. 1.24, б): • при Я2 = Ям = «• и Яо = 0 - делитель напряжения (рис. 1.24, в) • при Я2 = Яю - » и Я| - 0 - усилитель напряжения (рис. 1.24, г):
Математические модели элементов и снегом управления 53 • при R-i - Я,,, - Ям = «> и Я| = Яо = 0 — повторитель напряжения (рис. 1.24, д): К- 1. Операционный повторитель аналогичен эмитгерному повторителю на транзисторе, но в нем обеспечивается точное воспроизведение входного напряжения увеличенной мощности. Повторитель исполь- зуется для развязки каскадов схемы друг от друга благодаря его па- раметрам Я,„ -» и Яаых —> 0. а) Рис 1 24 □ Усилитель-вычитатель (рис. 1.25, а), выполняющий операцию
Глава 1 При выборе / Я2 “ Лю / Л| - Кон становится дифференциальные уси- лителем: У-ДХ1-Ч). Задав Я, = Л|0 и Я2 • Ко, получим широко распространенную в автома- тике схему вычитателя напряжений: у=Х| -ху. □ Неинвертирующий усилитель-сумматор (рис. 1.26, а), выполняющий операцию многовходового сумматора сигналов (рис. 1.26, б) со всеми положительными коэффициентами усиления 1+А Рис. 1.26 Синтез схемы по заданным коэффициентам Ку. Выбором всех одинаковых сопротивлений К можно получить устройство усреднения входных напряжений (рис. 1.27, а)
Математические модели элементов и систем управления 55 а дополнительным выбором сопротивления /^ = (л - 1)Я в цепи отрица- тельной обратной связи — устройство суммирования входных напряжений (рис. 1.27, б): У = ^Х‘ а) в) Рис. 1.27 При п = 2 получим = R и широко распространенную в автоматике схему двухвходового сумматора: У = Х^Х2. □ Инвертирующий усилитель-сумматор (рис. 1.28, а), выполняющий опера- цию вычитания сигналов (рис. 1.28, б) с коэффициентами усиления (не забывайте об общем знаке минус перед суммой!) *) Рис. 1.28
Глава! Синтез схемы по заданным коэффициентам К,. На основе инвертирующих одновходового усилителя и двухвходовопо сумматора очень просто создается усилитель с переменным коэффициен- том усиления ЛЦ) = 2Л-1е |-1,1|УЛе |0, 1|, который в отличие от схемы на рис. 1.23, а обладает линейной зависимо- стью уровня усиления от положения движка переменного резистора Бо- лее того, несложно сделать ступенчатое изменение диапазона усиления l~rf. d\, где d - степень числа 10 По соотношению на рис. 1.29, о построена структурная, а на рис 1.29, б — принципиаль- ная схема мультидиапазонного усилителя с линейной шкалой регулировки ко- эффициента усиления Щ, </). Входное напряжение х подается на инвертор с переменным коэффициен- том усиления, равным -2Л и регулируемым положением движка резисто- ра л 6 |0, 1|. Выход инвертора суммируется с входным сигналом так, что в среднем положении движка (X = 03) получим (1 - 2Л)х = 0. Сумма на- пряжений инвертируется и усиливается в d- I05* раз Показатель поряд- ка к выбирается путем переключения многопозииионного тумблера. Чис- ло диапазонов коэффициента усиления легко наращивается в разумных пределах так. чтобы номиналы всех резисторов схемы укладывались в до- ер, |1 кОм, 10 МОм].
Математические модели элементов и систем управления_____57 1.4. Описание динамики элементов систем управления Статические характеристики определяют лишь установившиеся режимы ра- боты элементов системы автоматического управления. Переходные процес- сы описываются уравнениями динамики — дифференциальными уравнениями. Моделями систем с сосредоточенными параметрами являются уравнения в полных производных, а с распределенными параметрами — дифференци- альные уравнения в частных производных Для составления уравнений сис- тема делится иа элементы. Пусть W — количество элементов в системе, а у, — выходной сигнал /-го элемента Э,. Он может быть связан с выходами других элементов Эу непо- средственно или через сумматоры (вычитатели). Эти элементы не являются динамическими, т. к. описываются алгебраическими уравнениями. Для каждого динамического элемента составляются дифференциальные уравнения на основе законов механики поступательного и вращательного движений, электротехники и т. п. Порядок каждого дифференциального уравнения не выше второго. Таким образом, объединяя уравнения элемен- тов, получим систему из N в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений (16): ЛЬ’пУр >'••••’= (1.6) Линеаризация гладкой дифференцируемой функцииД ) заключается в раз- ложении ее в ряд Тейлора в окрестности номинального режима (Я....Ж/. *н): где fiufaj»' У)»' У*л> V/=i.W,xB. х')=0 удовлетворяет уравнению (1.6); Ду^*1 = у’*’— и Л-т**1 =л<*’-л,1,*’ — отклонения выходных и входных переменных и их производных k-ro порядка от номинальных значений; сла- гаемые F, содержат производные f по у**1 и У*1 второго и высших порядков. После отбрасывания нелинейных функций F„ содержащих производные по- рядков выше первого, линеаризованная система дифференциальных уравне- ний примет вил
58____________________________________________________________Глава 1 с коэффициентами — частными производными Используя оператор дифференцирования р « d / dr, запишем ее в операторной форме w«ijv с полиномиальными коэффициентами = tyo + ЧфР + lipP1- W = гЛ + гпр. Полиномы Q/p} и /?,(/>) формируют Ах fl-матрицу Q(p) и fl-вектор Я(р): Гй|(р) 2|Л'(р)1 е(₽)= ; : . *(₽)=[*1(р) ... Лд,(р)Г Lgwi(p) - е™Ы] По правилам матричной алгебры |4, 6| запишем последнюю систему в виде О(р)а но = адмо с fl-вектором отклонений выходов элементов ДК = [Ду,(г) ... Д»(т)Р- Решение этой системы имеет вид ДЦ/) = е*'(р)Я(р)М/). (1.7,о) Выходной сигнал линейной системы Ду есть линейная комбинация выход- ных сигналов элементов Ду, и входного сигнала Дг M')=f <Wf0+ ОДх(г)=СДГ(г)+ ОДх(г), (1.7, б) где С = h - cj- I х fl-матрица коэффициентов связи выходов эле- ментов с выходом системы, а О — коэффициент прямой связи входа систе- мы с ее выходом. Подставив (1.7, а) в (1.7, б), получим ДХО = (С(Г‘(Р)ЖР) + 0)ДХО. Обратная операторная матрица Q~'(p) вычисляется делением присоединен- ной flx fl-матрицы adj(?(/>) на характеристический полином (ХП) системы — определитель Л(Р) = detQ(p).
Математические модели элементов и систем управления 59 Обозначив полином В(р) = С ad)Q(p) R(p) + D А(р), в итоге получим операторное уравнение связи отклонений входа и выхода системы = адмо с полиномами Л(р) и В(р). Во временной форме ему эквивалентно диффе- ренциальное уравнение дпДу(') + а,Д/(0 + + олД?'’>(0 “ *оМО + Ь^(1) + + Порядок уравнения п определяет порядок динамической системы Порядок правой части дифференциального уравнения равен т < л. Так как каждый из W элементов имеет порядок не выше второго, то обшнй порядок системы удовлетворяет условию 1 S п 5 2N. Обычно в системах стабилизации номинальный режим совпадает с состоя- нием равновесия: yJ,?(z)=O V* = 02; 4**(»)=0 У*=0Л. Поэтому операторная форма дифференциального уравнения системы с ну- левым номинальным режимом имеет вид *(₽)у(0= B(p)x(f\ A(j>)=a0+aip + ... + a„p" =^atp‘. (1.8) 1=0 в(р)=Ь0+Ь}р + ... + bl„p"‘ ^biP‘. Операторной передаточной функцией (ОПФ) системы W{p)=7T\ А(Р) называется дробно-рациональная функция полиномов операторного уравне- ния (1.8). Она позволяет компактно записать дифференциальное уравнение в виде |30| ХО "
Глава 1 Рассмотрим на практике процесс составления и линеаризации дифференци- альных уравнений. 2? Пример 1.5. В |13| и немного упрощенно в [22| рассматривается механи- ческая система, состоящая из тележки и шарнирно установленного на ней в неустойчивом равновесии перевернутого жесткого маятника (рис. 1.30). Те- лежка может двигаться в горизонтальном направлении под воздействием внешней силы/ Параметры системы. □ 21 — длина маятника; □ т — масса маятника; □ Л/ - масса тележки; □ d - линейное перемещение центра масс тележки; □ Ф - угол отклонения маятника от вертикали; □ t, - коэффициент вязкого трения в оси маятника. Момент трения в оси пропорционален угловой скорости вращения маятника ш = <р'; □ kt - коэффициент вязкого трения тележки о поверхность. Сила трения о поверхность пропорциональна скорости движения тележки v = if. Получить нелинейную и линеаризованную модели движения системы в ок- рестностях неустойчивого (вверху) и устойчивого (внизу) состояний равно- весия маятника. Входная переменная -Д»), выходные - d(t} и <р(г). Рис. 1.30 Решение Составим уравнения динамики движения двух элементов системы (рис. 1.31), используя второй закон Ньютона для поступательного и враща- тельного движений:
Математические модели элементов и систем управления____________________61 Рис. 1.31 □ горизонтальное движение центра масс маятника описывается диффе- ренциальным уравнением второго порядка + Ain(<p(»)))' = Я(0; □ вертикальное движение центра масс маятника описывается диф<|»ерсн- циальным уравнением второго порядка m/cos(<p(0)" = N(f) - mg-. □ вращательное движение маятника вокруг своего центра масс описывает- ся дифференциальным уравнением второго порядка /ф"(0 = ZNl0sin(<p(0> ~ ///(r)cos(<p(/)) - *«ф'(1), где J д 2JpA.2dA = ----момснт инерции маятника с погонной массой р = т / 2/; □ горизонтальное движение тележки описывается дифференциальным уравнением второго порядка =Дг) - - H(t); □ отсутствующее вертикальное движение тележки описывается алгебраиче- ским уравнением О = Я</) - Я(/) - Mg. Исключив силы N и Н. получим систему двух нелинейных дифференциаль- ных уравнений: I/|(rf.<p)=»iM'cos(<p) + (/ +»м/:)р' + А„1ф'-/мл/51п(ф)=а () 9) [Л(</.ф)=(М +»н)г/*+<:11</' + »|/ф*со5(ф)-п|/(ф')‘ 51п(ф)-/=0. Линеаризуя эту систему в окрестности номинального режима
a________________________________________________________Глаи1 /„-О. </«=<=<=0. Ф„ =ф'„'Ф*и =0, падучим линейную модель системы «тележка - перевернутый маятник» I mid' + (/ + ml1 )₽' + *шф'“ "ЧМ = °- |(М + m)rf'+kvd'+m/ф' - f » О или в матричной форме мпи - адло. 0. ) = [ «4»2 (f+mPp+^p-mg/ [(М+m)p2+fc,,p mlp2 Характеристический папином и две матрицы измерений выходов системы имеют вид л(р) = mg«,. р + ((м + ni)ngl - kvka )р 2 - -((? +т/2У,. +(« +mXo)p3-(m(j +т1г)+пи)р*. Q=[i О], с,=[о 1]. Таким образом, мы получили операторную модель системы «тележ- ка - перевернутый маятник» с двумя выходными переменными: d(t)= CjQ-'(p)R(p)f(t)= ~А-р~ * т12У ДА 2 А(р’ (1.Ю) ф(г)=С.2,(р)л(р)/(г)=^/(,) Зададим параметрам системы следующие численные значения: /= 1 м. m = 6 кт. .W = 11 кг. *. = 8 Н м с. к, = 10 Н с / м Примем для удобства расчетов ускорение свободного падения равным g=!OM/cJ вычислим момент инерции маятника / =2кг м> и запишем соответствующие урав- :ZM- пе^ХыйЫм^:ГРНЫ' "е₽еда— функции системы «те- 8P~y,w(P)=j£l. А(р) л(р)' (1.П) [А(р) = 600р + 940р2 -2!6р’ -100р4.
Математические модели элементов и систем управления Интуитивно понятно, что в данном номинальном режиме перевернутый ма- ятник неустойчив. Как это можно определить по передаточной функции, мы узнаем в гл. 4. Модели перевернутого маятника типичны для объектов, у которых центр тяжести расположен выше точки или малой плошали опоры, подверженных воздействию опрокидывающего момента: например, для ракеты на старто- вом столе или на взлете. Выполнив линеаризацию уравнений динамики (1.9) в окрестности устойчи- вого номинальною режима /„ = 0, d„=j'=< = 0,фи=18<Г. ф'„=ф>0, получим операторную передаточную функцию системы «тележка - обыч- ный маятник»: | „,60*^ )=£. А\Р> А(р) [Л(р) = бООр +1100р-’ +21бр’ + 100р4. Почему этот номинальный режим с положением маятника под тележкой имеет устойчивое состояние равновесия, также станет понятно после изуче- ния условий устойчивости элементов и систем в гл. 4. D Операторный метод представляет дифференциальное уравнение в алгебраи- ческой форме, благодаря чему он гораздо удобнее для преобразований по сравнению с преобразованиями в дифференциальной или интегральной формах. После составления уравнений динамики элементов системы рекомендуется сразу перейти к их операторной форме путем формальной замены производных на алгебраические эквиваленты р*у. Запишем, например, компонентные уравнения радиоэлементов R. С и L в дифференциальной и операторной формах: =>lc=CpUr; UL=A=>UL=LplL. dt L & Пример 1.6 На рис. 1.32 приведена электрическая схема моста Вина Робинсона |2| с входным напряжением г и выходным напряжением У" (/| - Ui- Составить для этой схемы дифференциальное уравнение и опе- раторную передаточную функцию.
Решение На основе законов Кирхгофа и формул (1.13) запишем систему уравнений функционирования элементов схемы: 2RI]=x~U] RI\=UI Rl2=x-U3 l2=Cp(U3-U2) ri3=u2 I^CpU2 y = Ut-U2 Обозначив постоянную времени T= RC и ценные /| ♦ Ц и У| ♦ (/3 С И последовательно исключая пере- '* V> М T₽eI=»l/j-x_(| + Tp)Uj '~ и> w“‘ ® - w‘ I' ’ we. -« -1)« - <1 * Гр>‘и, =» и 2 Tpx 1 + ЗГр + Г2р2 ' —________- х^Тгргх '+зтр+т2р2 ' з+дтр+зг^р2'
Математические модели элементов и снегам управления 65 получил* желаемые операторную функцию и дифференциальное уравнение схемы: W(р) , ,+Т Р г .у Зу + 97У + ЗГ/ - х + 7V (1.14) Р 3(1+37> + ТУ) О 1.5. Передаточная функция В общем виде линейное неоднородное дифференциальное уравнение систе- мы с одним входом x(z) и одним выходом у(1) имеет вид (115) 1=0 1=0 Его решение методом вариации произвольных постоянных достаточно слож- но. С целью превращения дифференциальной модели динамической системы с произвольными начальными условиями в алгебраическую модель разработан метод преобразования Лапласа 15. II, 16, 17. 20, 21, 23, 24. 28, 29, 30] Временная функция ограниченного роста Д/): (|A0|s Л/си'У/>0,Д/) = 0У г< 0} имеет изображение, вычисляемое по следующей форму.» преобразования Лапласа L{f(r)}= F(i)= J /(r)e-'dr Vr Re(j) > m, (116) о где s — оператор Лапласа. Вычислим, например, с помощью |8| изображение временной функции Л0 = sin(wr), для которой подходят значения ограничивающих параметров М = 1 и m = 0: F(s)= fsin(cor)e"1'df e| —- Y—^sin(tur)-<ocos(uM)j = о (?+<□-J 10 ?+ш- иоскольку при j=c + janc>« = 0 имеет место нулевой предел lim е"“ = lim е^е и = 0 Применяя всем известную формулу интегрирования по частям
Глава 1 получим по индукции изображение (л+1)-ой производной временндй функции ограниченного роста: о 0 =a ♦ lim(f W(r>-")-/(")(0)= л{г W(t)}- / <">(о) о В частности, изображения первых трех производных имеют вид ЦГЮ) = " 4rt0) -/'(0), L{f-(*)» = *W) ~ УДО) - т/'(0) -/'(0) II ПО ИНДУКЦИИ Преобразуем по Лапласу левую часть дифференциального уравнения (1.15): |то- = Л(зНз)-^§О(з‘уН-»(0)=л(1)г(5)_^? £а/у^-»(0)= '°* *"® 4-Х) М+1 /=0 JL 0<v +1 a"? полином левой части дифференциального уравнения. Коэффициенты полинома начальных условий Л.у) могут быть вычислены по рекуррентной или матричной формулам: ‘ p(3)=po+p1J+...+р^-, л= £e>yCH-0(o)Vf=6r^, Ро в| а2 ... а„ р, _ аг aj ... 0 A-J [«. 0 ... О ' > (0) ' /(0) у-"(о) (1.17, а)
Математические модели элементов и систем управления 67 Возможно, для некоторых читателей более понятными будут прямые зави- симости коэффициентов полинома As) от начальных условий. Ре = Л|>(о)+в2/(0)+...+ая.,у<"‘:)(0)+аяу("’,)(0)> Pi = а, у (0)+ а,у'(0)+... + а„у("’2,(0). lP,-i = а„у(0) Аналогично для правой части дифференциального уравнения (1.15) получим где B(s) = fto + 6|S + . + b^m — полином правой части дифференциального уравнении. Коэффициенты полинома начальных условий С(т) могут быть Таким образом, изображение дифференциального уравнения системы имеет вид адад- ад = адад-ад, откуда получаем изображение выходного сигнала Передаточной функцией (ПФ) называется отношение изображения выхода системы к изображению ее входа Н'(т)=-Щ| , , (1.19, а) при нулевых начальных значениях входа, выхода и их производных. Из (1.18) следует, что в этом случае передаточная функция есть дробно-рациональная функция полиномов правой и левой частей операторного дифференциаль- ного уравнения
6в___________________________________________________________Глава I W(f)=A|j {1J9,<5) и совпадает с операторной передаточной функцией Wlp) с точностью до формальной замены оператора дифференцирования р на оператор Лапласа s Такое совпадение позволяет формировать передаточную функцию непосред- ственно по коэффициентам дифференциального уравнения. С учетом ска- занного впредь мы будем использовать символ s и как оператор Лапласа, и как оператор дифференцирования d / dr. Если какой-либо объект задан передаточной функцией ИЦ.г) и требуется по- лучить зависимость (1.18), то нужно действовать следующим образом. 1. Восстановить дифференциальное уравнение (1.15) 2. Преобразовать его по Лапласу при ненулевых начальных условиях. 3. Выразить изображение выходного сигнала Y(s) через изображение вход- ного Х(т) и начальные значения входного, выходного сигнала и их про- изводных. Для примера рассмотрим систему второго порядка с передаточной функцией Иф)=—=10 3+4з+5г X(j) Дифференциальное уравнение системы имеет вид 3></) + 4/(/) + 5Г(/) = х(/) + 2х'(/). Суммируем преобразования по Лапласу слагаемых этого уравнения: ЗИг) + 4(гДг) - ИО)) + 5(?Пг) - дНО) - У(0)) = №) + 2(лЦд) - х(0)). Отсюда получаем изображение выходного сигнала динамической системы при ненулевых начальных условиях: у(,)= Н2< ,у(х)| (4+54у(0)+5/(0)-2«(0) 3+4j + 5j2 3 + 4д+5т2 1.6. Соединения элементов и преобразования структурных схем Для определения передаточной функции системы, заданной структурной схемой, необходимо уметь получать передаточные функции основных со- единений элементов (звеньев) 116. 30). □ Последовательное соединение двух звеньев (рис. 1 33, в) П-И'|(з)х.у=И'2(з)у|.
69 Математические модели элементов и систем управления Отсюда получаем передаточную функцию последовательного соединения: И4т) = «ЗДОД- H'iWH'jW Передаточная функция произвольного числа последовательно соединен- ных звеньев равна И'иве.Ю-ПШ (1.20, а) □ Параллельное соединение двух звеньев (рис. 1.33, б): У1 = ИЖ уг = 1F2(j)x, у - у, + yj. Отсюда получаем передаточную функцию параллельного соединения: m«) = = »hw + mw- Передаточная функция произвольного числа параллельно соединенных звеньев равна W,up(5)=LW’1(s). (1.20, в) □ Обратное соединение звеньев (рис. 1.33, в) е=хт\у0^ъ.у’ где верхний знак «-» соответствует отрицательной обратной связи, а нижний знак •+• — положительной. Исключая из записанных уравне- ний вспомогательную переменную е, получаем передаточную функцию обратного соединения: —х (120, •)
Здесь снова верхний знак (теперь это «+») соответствует отрицательной обратной связи, а нижний знак (это «-») — положительной. Обратная связь широко применяется в автоматике: • положительная обратная связь — для увеличения коэффициента уси- ления охваченного ею устройства и генерирования незатухающих ко- лебаний; • отрицательная обратная связь — для обеспечения устойчивости сис- тем, стабилизации движения объектов, уменьшения чувствительности систем к неконтролируемому изменению параметров элементов и внешней среды Структурную схему любой сложности можно путем последовательных пре- образований привести к простейшему виду с передаточной функцией (1.19, в). эквивалентному исходной схеме относительно входной и выходной переменных. Большое число способов эквивалентных преобразований пред- ставлено в 116, табл. 3.3). Здесь же в табл. 1.1 мы приведем лишь самые не- обходимые правша структурных преобразований блок-схем. Таблица 1.1 Преобразование Исходная схема Эквивалентная схема Перестановка разветвления .4 т .. I Перестановка сумматоров Перенос точки через звено вперед -4Zh L->| t/w|— Перенос точки через звено назад * т-И w I I
Математические модели элементов и систем управления Таблица 1.1 (окончание) Преобразование Исходная схема Перенос сумматора через звено вперед ——»| w р-> ——►] w | — W | 1 Перенос сумматора через звено назад -— 1/w|—I Перенос точки через сумматор вперед Перенос точки через сумматор назад В процессе структурных преобразований каждое типовое соединение звеньев (последовательное, параллельное или обратное) заменяется одним эквивалентным звеном с соответствующей передаточной функцией из (1.20), а табл. 1.1 помогает перегруппировать элементы структурной схемы так, чтобы типовые соединения возникали по ходу преобразований. Для предупреждения ошибок следует обозначать выполняемое преобразование стрелками и пунктирным выделением, вычерчивать структурную схему по- сле каждого шага и указывать на ней передаточные функции эквивалент- ных звеньев. & Пример 1.7. Разделить сцепленные контуры двухконтурной системы, изображенной на рис. 1.34, я, и получить ее передаточную функцию Решение. По методу структурных преобразований после переноса узла ег вперед через звено получим схему, изображенную на рис 1.34. б. а заме- на обратного и последовательного соединений упрощают структурную схему до обратного соединения (рис. 1.34, в). Последняя замена дает один блок (рис. 1.34, г) с передаточной функцией системы
П_______________________________________________________________Глава 1 Рис. 1.34 Точно такую же передаточную функцию получим аналитическим методом исключения вспомогательных переменных е, и е2 Запишем уравнения звеньев системы «I “ х - Hfo, ej = - Hfy, у = 1Г,е2 в векторно-матричной форме [-». iwdtHoF' ж,1Ш и выразим выход системы у через ее вход х >=[о 4 * Жз ГН- л 2J[-W! l + H^J [of I + W'.Wj+WjH', Тогда по (1.19. а) получаем передаточную функцию системы: _____ 1 + И'|И',+Н',И'4
Математические модели элементов и систем управления Теперь покажем, как можно быстро получить этот же результат программным методом, используя символический процессор программы Mathcad1 □ после (ниже или правее) ключевого слова Given записываем уравнения звеньев системы с использованием знака условного равенства « = », вво- димого с клавиатуры клавишами <Ctrl> + <=>: Given el = x-W3e2 е2 = Wl cl - W4 у ye W2c2 □ находим символический результат, возвращаемый функцией Find со зна- ком символического равенства <•->•>, вводимым клавишами <Ctrl> + < . >: W(WI,W2.W3,W4) Find (у .el ,с2)о WI (I + Wl W3+W4 W2) -> W2 Число аргументов этой функции должно быть равно числу уравнений системы. Рекомендуется первым в списке аргументов указать выходную переменную у, а следующими — вспомогательные переменные et, ej и так далее при большем числе уравнений. В этом случае начальный (нуле- вой) элемент возвращаемого функцией Find вектора решения имеет вид произведения входной переменной х на символическое выражение пере- даточной функции системы через передаточные функции звеньев Для получения передаточной функции в чистом виде символическому про- цессору предписано разделить это произведение на х и присвоить резуль- тат функции пользователя ИЦИ'ь W}, Щ). Для доведения задачи до логического конца зададимся передаточными функциями звеньев (см. табл. П.4): И', = К|, И', = Kjj, W, = Al, W4 = -А1_. j 1 + T4s Подставив их как аргументы в функцию W, после упрощения с помощью символического оператора simplify и приведения подобных членов при степенях s символическим оператором collect получим следующий ре- зультат: I При написании шнноЛ книги исполыю1исшсь версии Mathcad 2000 Из-за громоздкости вы- ражении о Mathcad некоторые формулы будут приводиться в уменьшенном или "уреинном"
У4 Глава 1 JKI к,. " М ) 1“'"р1“У-*к>..<1С1 _______________(ltT4 >)_______________ Д ’ 1 > |coll«(,l ‘ [(T4.K4 К1) Л(НК1КЗ T4) s. KI Кз] Таким образом, передаточная функция двухконтурной системы в привычной записи имеет следующий вид: ________^11 К,К3 4- (1 + к^3г4 > + (К2К4 + Т4 У □ 1.7. Чувствительность и стабилизирующие свойства отрицательной обратной связи Функционирование любой реальной системы протекает в условиях отсутст- вия точной информации о ее параметрах, изменения параметров во време- ни, влияния на них условий окружающей среды и других объективных фак- торов, не включенных в математическую модель системы. В разомкнутой системе все эти факторы приводят к существенному отклонению выходной переменной от желаемого значения. В замкнутой системе благодаря отри- цательной обратной связи регулятор чувствует это отклонение e(t) и пытает- ся скорректировать выходную переменную в сторону уменьшения сигнала невязки. Найдем, например, с помощью (1.18) абсолютное и относительное измене- ния изображения выходного сигнала разомкнутой системы Хр(т), вызванные изменением ее передаточной функции Л IF|(s) при нулевых начальных усло- виях: д ул \ дГрЮ = ДИ-WAW => 8Гр(з)=-у^у=5^(3). (1J1, о) В разомкнутой системе относительное изменение передаточной функции при- водит к такому же относительному изменению выходного сигнала. Абсолютное и относительное изменения изображения выходного сигнала в замкнутой системе с отрицательной обратной связью (см. рис. 1.33, в) равны (все зависимое™ от оператора $ для удобства опушены) ДГ Л1***» X у ДИ,1 X ' Ни'.+ди'.К i+и^ (i+^+a^KXi+w) ’
Математические модели элементов и систем управления ЗУ* =^= . SW, __5W, ’ г, 1+(W| +aw>0 ЩГГбй^Ж, При постоянстве передаточной функции элемента прямой цепи И^з) и от- носительном изменении передаточной функции элемента обратной связи бИ'о(л) аналогично (1.21, б) получим следующее относительное изменение выходного сигнала: 8Г*> = —. —М----5% =--- 1 + (1+8%Х% 1+5w+_L ° W (1.21, e) При малых изменениях передаточных функций |6H^t| << 1 и |8»У « 1 (сим- вол ««» означает «меньше хотя бы на порядок», г е. в 10 раз) относитель- ные изменения выходного сигнала оцениваются величинами зr*.=^u 1+1W 1+_L Анализ выражений (1.21) позволяет сделать следующие выводы о влиянии различных дестабилизирующих факторов на относительное изменение изо- бражения выходного сигнала 8У3(т) в замкнутой системе с отрицательной обратной связью: □ относительное изменение передаточной функции элемента прямой цепи вИ^ уменьшается на выходе в 1 + (1 + раз, а для компенса- ции влияния этого фактора необходимо твешчивоть произведение □ относительное изменение передаточной функции элемента обратной связи 8 % проявляется на выходе системы с противоположным знаком и с таким эффектом, что для уменьшения влияния этого фактора необхо- димо уменьшать произведение передаточных функций В') Ч'., Во многих замкнутых системах управления регулятор устанавливается в прямой цепи и его передаточная функция является сомножителем IFifj). а датчик регулируемой переменной включен в цепь обратной связи с переда- точной функцией Kz0(x). Компромисс между противоположными требова- ниями к величине Kzi(.s)Hzo(j) заключается в выборе □ максимально допустимого с учетом требования устойчивости замкнутой системы (см. гл. 4) коэффициента усиления регулятора; □ высокоточного датчика со стабильными характеристиками, не зависящи- ми от внешних факторов, и близкой к нулю погрешностью 81УО.
Для анализа степени влияния параметра р на некоторую функцию Др) ис- пользуется понятие чувствительности — отношения относительного изме- нения функции к относительному изменению влияющего на нее параметра: <122.® &Р/Р Ър f(p) В пределе при Др -т 0 получим важную характеристику системы — функцию чувствительности зависимости Др) к параметру р: <122,0 dp / Если неконтролируемому изменению подвержено несколько параметров системы pi, pi..р„, то, вычислив чувствительности функции Др(. .... р„) к параметрам pt получим следующие формулы расчета относительного и абсолютного изме- нения функции при одновременном изменении всех параметров р, + р„: ^ = £$'бр, . Л/ = £^Др,=/-6/. (1.22, в) м <=| Рассчитаем чувствительность передаточной функции замкнутой системы с отрицательной обратной связью '{'Р> к изменению параметра р. влияющего, в общем случае, на передаточные функции как прямой цепи H^s.p), так и обратной цепи H^o(s, р): эи; _ Эр___________I Эр_________dp_j Эр ' + л.Wy. ИЦУ р эц _ wiP э% ' др w, H'Ji+H'jH'J Эр 1+^% Эр Подставляя в (1.23) сначала р = W'i, а затем р = получим чувствительно- сти передаточной функции IF, к изменению характеристик прямой и обрат- ной цепей системы управления:
Математические модели элементов и систем управления 71 «.w. _ I „IV, _ JW_ W| l+VW **= l + w,wo' Забегая немного вперед, где в гл. 2 с помощью подстановки оператора Лап- ласа х = jco (j — мнимая единица, а ш — частота) передаточная функция ИЫ преобразуется в комплексную частотную характеристику запишем ус- ловие глубокой отрицательной обратной связи |H'|(ja»)%(j(o)|» 1 (1,24) на всех рабочих частотах системы о>. В (1.24) символ «»• означает «больше хотя бы на порядок» При выполнении условия глубокой отрицательной об- ратной связи изучаемые нами чувствительности становятся близкими к зна- чениям Продолжая экспансию в частотные методы исследовании систем, сформу- лируем важное требование к проектируемой системе управления: для уменьшения влияния на характеристику fip} некоторого параметра р необхо- димо, чтобы в рабочей полосе частот модуль функции чувствительности (jio)| был близок к нулю. Способность отрицательной обратной связи уменьшать влияние параметров на характеристики системы — одно из ее важнейших положительных ка- честв Чтобы добиться высокой точности управления в разомкнутых систе- мах (см. рис. В.1, а), необходимо очень тщательно подходить к выбору эле- ментов, образующих передаточную функцию !Kt(j). Напротив, системы с отрицательной обратной связью допускают определенные вариации пара- метров B'i(s), поскольку их влияние на частоте со ослабляется в |1 + H/1(jo))Bz0(jco)| раз, а при глубокой отрицательной обратной связи прак- тически полностью компенсируется Типичный пример устройств с глубокой отрицательной обратной связью — схемы на операционных усилителях, имеющих очень большой коэффициент усиления Ку. Покажем, что при Ку -» «> влияние этого параметра благодаря отрицательной обратной связи ослабляется до нуля: □ в инвертирующем усилительном каскаде (см. рис. 1.24, а) находим ток перетекающий из резистора /6 через точку с напряжением у /(-Ку} в резистор Ло, откуда получаем коэффициент усиления каскада
При Afy - этот коэффициент становится равным ~Rq / Я2 и не зависит ни от самого значения Ку, ни от его возможной нестабильности; □ в неинвертирующем усилительном каскаде (см. рис. 1.24, г) находим ток перетекающий из резистора Rq через точку с напряжением х — у / Ку в резистор Л;о. откуда получаем коэффициент усиления каскада (1.25,6) В пределе Ку -> ~ этот коэффициент становится равным 1 + Яо / Я2о и не зависит от изменений значения при условии, что оно остается очень большим. Все построенные на качественных операционных усилителях каскады обла- дают практически нулевой чувствительностью к их параметрам. Благодаря близости собственных параметров усилителей к идеальным Лу —э о», Ящ —* °0, Явых —> 0, вдр —> О передаточные функции каскадов определяются исключительно способом со- единения навесных элементов и их номиналами. & Пример 1.8. Рассмотрим схему усилительного каскада на транзисторе с температурной стабилизацией выходного напряжения (рис. 1.35, а). Из кур- са электроники известно, что включение сопротивления в эмиттерную цепь транзисторного каскада повышает стабильность его работы при изменениях температуры окружающей среды. Физически стабилизирующее действие отрицательной обратной связи объ- ясняется так: при повышении температуры токи транзистора возрастают Эмиттерный ток. протекая по сопротивлению Яэ, уменьшает напряжение Ufy = х - Л,Л. что уменьшает токи и возвращает выходное напряжение кас- када почти к его первоначальному значению. Выберем рабочую точку транзистора (4, tfe,) на линейном участке входной линеаризованной вольт-амперной характеристики (рис. 1.35,6) с углом на- клона а и оценим зависимость стабильности коэффициента усиления кас-
Математические модели элементов и систем управления 79 капа от изменения температуры, которое, в свою очередь, приводит к изме- нениям коэффициента усиления по току Р и входного сопротивления тран- зистора = ctg(a). Составим основные уравнения каскада и соответствующую им структурную схему (рис. 1.35, в): Затем найдем выходное напряжение и коэффициент усиления каскада: у~ Un+ ЩУр-х), w = РД________ ’ Я„+Ф+1>, В отсутствие отрицательной обратной связи при Л, с0 коэффициент усиле- ния равен -..а
80 Глава 1 Стабильность коэффициента усиления каскада оценивается частными про- изводными Э% _ -pr, Э% -р/?к dJ?.x (R^+^+W 3RM ' Л,2Х ’ Э% _ dwo RK ар "(Лю+Ф+1>,)2’ эр ~R.S и функциями чувствительности (1,22, б) коэффициентов усиления И <, и Ио к изменению параметров и р: с*’. "** с*, _ К»с+Я, R""R,X+(P+1K' 11 " R,x+(p + l)R3’ =4.^=1. По (1.22. в) получаем относительные изменения коэффициентов усиления транзисторного каскада с обратной связью и без нее 8% = S^8R„ +S*’8P, 8 Hi = -5RB + 6P. Оценим температурную нестабильность каскада при следующих исходных данных: = 100 Ом, R3 - 1 кОм, Р = 100, ДЛ„ = -50 Ом => = -0.5, ДР = 20 => 8Р = 0.2. □ Чувствительности каскада с обратной связью: s£ -9.9-Ю4ж0, S*' =0.0109-0. □ В каскаде с обратной связью 6Ж, = 0.0026 или 0.26%. □ В каскаде без обратной связи 8 % = 0.7 или 70%. Таким образом, введение отрицательной обратной связи в виде резистора Rj уменьшает нестабильность работы транзисторного каскада весьма существен- но и тем больше, чем больше значение параметра р и отношение Л, / R„ О Еще одной важной причиной использования отрицательной обратной связи является ее способность уменьшать влияние внешних возмущений и шумов, действующих на элементы системы управления. С различными вариантами точек приложения возмущений и расчетом чувствительности передаточной
Математические модели элементов и систем управления 81 функции замкнутой системы к возмущениям читатель может ознакомиться в (16, табл. 7.7]. Общие выводы совпадают с полученными выше результата- ми анализа выражений (1.21): □ чувствительность к возмущениям, действующим в прямой цепи замкну- того контура, ослабляется при увеличении коэффициента контурного усиления; □ чувствительность к возмущениям, действующим в обратной цепи замк- нутого контура, отрицательна и ослабляется при уменьшении коэффи- циента контурного усиления. Для компенсации таких возмущений необ- ходимо устанавливать в цепи обратной связи элементы со стабильными характеристиками. Условия и способы достижения инвариантности (нечувствительности) сис- темы к возмущениям с помощью специальных корректирующих устройств будут рассмотрены в гл. 6. 1.8. Динамический анализ и синтез схем на операционных усилителях Задача динамического анализа схемы заключается в восстановлении решае- мого ею дифференциального уравнения или определении ее передаточной функции. Обратная задача синтеза состоит в разработке схемы по заданным Дифференциальному уравнению или передаточной функции 1.8.1. Динамические элементы на операционных усилителях Пассивными компонентами линейных схем на операционных усилителях являются резисторы (Л), конденсаторы (С), индуктивности (Z) и их после- довательные, параллельные и смешанные соединения. Из компонентных уравнений (1.13) следуют операторные сопротивления (импедансы\ радиоэле- ментов 2(д): ZK- Л, Zc(j)-i, 2i.(j) « Li. (1.26) Последовательное и параллельное соединения элементов Z\ и Z2 имеют, со- ответственно, сопротивления
Глава 1 В табл. 1.2 приведены импедансы Дх) и схемы простейших двухполюсни- ков. Смешанное соединение двухполюсников представляется суперпозицией последовательного и параллельного соединений. Таблица 1.2 С помощью операторных сопротивлений облегчается определение переда- точных функций сложных схем Например, схема моста Вина - Робинсона на рис. 1.32 является параллельным соединением двух делителей напряже- ния х, поэтому напряжения в средних точках равны (по прежнему использу- ем обозначение постоянной времени Г= RC): R U *HZC 1+7а Tt 2 R + ZC + R\\ZC Л+2_+_Л_ Sl + 3Ts + T2s2 Х' Сх 1+П Отсюда получаем выходное напряжение и передаточную функцию схемы: Эта передаточная функция с точностью до замой.. торной передаточной функцией (1.14), ы з на р совпадает с опера'
Математические модели элементов и систем управления 83 Рассмотрим схему динамического каскада на операционном усилителе с от- рицательной обратной связью (рис 1.36). Аналогично схеме статического каскада (см. рис. 1.20) ее выход и передаточные функции входов равны. у(0=ХИ'1|(/)*и(г)-£И'и(1)х2/(1), Рис. 1.36 Обозначим суммы передаточных функций входов: В работающей схеме между этими суммами, как и в (14), устанавливается баланс 5|($) = Sj(j) + 1. (1.28) Решение задачи синтеза схемы каскада на операционном усилителе по за- данным передаточным функциям ее входов и выполняется в следующем порядке: □ составляется эскизная принципиальная схема с п прямыми и m инверс- ными сигнальными входами с неопределенными импедансами Zp и Z^; □ вычисляются суммы передаточных функций 5|(з), SjU) и проверяется выполнение условия (1.28). В случае нарушения баланса подбираются одна или обе передаточные функции И’|0(з) и ИА0(з) с паюжите.1мнни коэффициентами, удовлетворяющие условию
Глава 1 ад + над - ад +1 + гкад, а эскизная принципиальная схема дополняется заземленными входами хю - 0 и (или) х» = 0; □ выбрав независимые операторные сопротивления Zj/з) и 2о(з), определим аналогично (1.5) остальные нмпедансы каскада с учетом дополнений 7|0(з) и (или) 23о(з): При выборе структуры нмпедансов рекомендуется использовать табл. 1.2 основных соединений пассивных радиоэлементов, стремиться к мини- мальному числу навесных деталей и, желательно, к получению схемы без индуктивностей. Разработаем схемы на операционных усилителях, решающие заданные диф- ференциальные уравнения или имеющие заданные передаточные функции. & Пример 1.9. Задано дифференциальное уравнение У+/ = 2х1|+2х[1+Х|2-2х21-Х2|- После замены операции дифференцирования оператором з оно принимает вид (1 + з)у = 2(1 + л)х|| + хи - (2 + з)х2|, откуда следует операторная форма дифференциального уравнения У = Гц(з)х|| + *12(з)Х|2 - »F2i(3)x21 с передаточными функциями входов Вычисляем необходимые для проверки баланса (1.28) суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам: Поскольку условие баланса 5,(г) = 52(s) + 1 оказалось выполненным, то до- полнительных заземленных входов не требуется, а схема имеет два прямых входа хп, Х|2 и один инверсный вход х2|. По формулам (1.29) составляем со- отношения выбора нмпедансов схемы:
Математические модели элементов и систем управления 85 Для того, чтобы операторные сопротивления Z|j(J) и Zn(s) не имели индук- тивностей, выбираем: □ Zn(5) = I / Сц$ — конденсатор с произвольной емкостью Си. Тогда Zi2(s) = 2(1 + 5) / Сц5 — последовательное соединение резистора Ли = 2 / Си и конденсатора С|2 = Си / 2, □ Д)(т) = ЛЬ / (1 + 5) — параллельное соединение резистора с произвольным сопротивлением Ro и конденсатора Q=l//fo (табл. 1.2, п. 5) Тогда Z21CO = Ло / (2 + j) — параллельное соединение резистора Л2) = / 2 и конденсатора С2| = 1 / 2R2l = 1 / Ко. В результате получаем схему, показанную на рис. 1.37. Рис. 1.37 Задав произвольно номиналы Си = 10 мкФ и Ro = 100 кОм, получим номи- налы остальных элементов: Лп = 200 кОм, С12 = 5 мкФ, Со = 10 мкФ, Л2] » 50 кОм, С2| = 10 мкФ. □ & Пример 1.10. Задано дифференциальное уравнение У+/ = *п +2jct'| +jti2-2jc2| -х'2|. В операторной форме оно имеет вид У" lfn(j)X|| + H'nWxu- И'лМХи с передаточными функциями входов ^'W=777 Вычисляем суммы передаточных функций по прямому и инверсному входам: 3 + 2з 5,(3) = 2. 5,О)+1 = — Так как 5,(j) * ЗД) + 1, но у разности сумм
все коэффициенты положительны, то в схему к сигнальным входам хи. *12 " .гл требуется добавить заземленный вход хщ • 0 с передаточной функцией w По формулам (1.29) формируем соотношения импедансов прямых входов Хц и х,2: Отсюда видно, что наилучшим будет выбор Z|0(s) в виде резистора Я|0. Тогда: □ Zh(j) - Я10 / (1 + 2a) - параллельное соединение резистора Я, , = Л10 и конденсатора С?ц = 2 / Лю; □ Z|Xa) = Л|0 - резистор Л|2 = Ящ. Импеданс единственного инверсного входа х2| равен Z“W=^-5?Z’«- "21 vj 2+J С целью сокращения полинома числителя I + s выбираем 3)(т) = Яо / (I + г) - параллельное соединение резистора и конденсатора Q - 1 / Яо. Тогда Z2l(s) = Яо / (2 + s) — параллельное соединение резистора Яд = Яо / 2 и конденсатора С2| = I / Jfy. В результате получаем схему, построенную на рис 1.38. Рис. 1.38
Математические модели элементов и систем управления 87 В качестве упражнения читателю рекомендуется самостоятельно произнести подбор номиналов навесных элементов. С ЕУ Пример 1.11. Задано операторное уравнение У - 1Г|1(Л)Х|| + lF|j(j)XI2 с передаточными функциями входов l + s 1+s Вычисляем суммы передаточных функций по прямому и инверсному (отсут- ствующему!) входам: 5,(s) = 2, ад +1 = 1. Так как обе суммы числовые и $|(з) > ад) + 1, то разность сумм ад = ад) - ад - 1 = 1 есть передаточная функция по дополнительному заземленному входу х» = 0. Записываем условие выбора нмпедансов прямых входов Хц и Х|2: zu(5)= 1 + 2,)zn(i) "I2V/ Наилучшим будет выбор элемента 2ц(з) = I / Сцз в виде конденсатора с произвольной емкостью (Гц. Тогда операторное сопротивление C||S есть последовательное соединение резистора Я|2 = 2/Сц и конденсатора С12=С„. Сопротивление заземленного инверсного входа хго равно гм"ч$~гм и при выборе резистора Zq(s) = Ro также является резистором Rjo = /&>• В результате проведенного синтеза получаем схему, изображенную на рис. 1.39. О
Простейшие типовые схемы динамических каскадов на операционных уси- лителях и их передаточные функции сведены в табл. 1.3, в которой исполь- зованы следующие условные обозначения для двух безразмерных коэффи- циентов и трех постоянных времени: r«=V с« ’q’ Гг ^=L,Cjt =r~ °30) Дополнительные схемы каскадов можно получить: □ при гч = 0 выбором Я, = 0 (провод) или Rj = <» (разрыв): 3 при е# = 0 выбором С( = О (разрыв) или Су = «= (провод); □ при 0, = О выбором Li = 0 (провод) или Яу = »(разрыв). Такие замены элементов проводом или разрывом следуют из формул опера- торных сопротивлений (1.26).
Таблица 1.3 nn Элементы схемы Принципиальная схема и ее передаточная функция z, Z» а) инвертируюншй каскад б) псинаертирующий каскад с входным делителем г, в) исинвертируютий каскад с делителем в ООС 1 Любой Любой -Ш’ МГ ZoW+ZtW , Z0(s) Z|(4) 2 *1 G 1 6oJ 1 1 + Т|0л Ло1 J С| Ь Г0|Д 1 + Г0|Л 1 + Го,1 4 Я, к -во|» 0о,т 1 + 0ор 1 * <ы $ и> вщ1 i+<W l + fligT 0|0>’
Таблица 1.3 (продолжение) № Элементы схемы « С, *0 -*О1»2 1+toi*2 1 + т?,,г 7 ц Со 1 ^0*’ l+Tj'oJ2 l+t?o*2 <?o*2 8 Л| Ко + Со - LtrW». T|Oj I+vbo +7io)f l + (7bo +7iofc /io* 9 Л| + С, Л> _ Tqi* 1 + TiP Top l+(r01+7h> l+frn+rnV 1+TnJ 10 С| Яо+Q -сю(1 + Гоог) l + r«>s l+cOi +7bos 1 + q0 + Toi-» 11 Я, + С| Q CIO 1 l+qo+Tn* i+r„s 1+7-hJ l+c0| +7’I0s 12 Л| 4;+q> roi 1 l + rOi H-TopS l + Tppj 1 + Toos l + zj0 +T|Oi
Таблица 1 3 (продолжение) Ns Элементы схемы Принципиальная схема и ее передаточная функция 13 Л, К, -Л)|(1 + 71|Л) l + 7„i 1 + Г|о+7ц5 1 + 'bi + 7b,i 14 с, 1 Q _ 70,5 1 + 7-005 7о,5 1 + (7(ю + 70, )i 1 + (7qq +70| )t l+Too-5 15 Л, К, Q 1 + 7~цД TJo1 1 + 7„5 l + (7|o + 7,i)s l+(7|o+7||)t 7|о5 16 Л| + С| Яо + Q 1+ 7-001 "'"ЧТ (l + ropiXl + r,,!) 710i l+Cio + (7Oi+7ll)t 1 + 7ц1 17 Л| + С| М Q 7qij (1 + 7-001X1 + 7-, ,1) Tqi1 I+(7|>q+70|+Tii)s+7'(107]i5~ 1 + (7(х> +7bi +7,,)s +7ооГпТг (ur^xi+Ti.i) 18 Л||С| Ло + Q _ (1+7005X1 + 7-1,1) 7,01 (H-TootXi + Thj) l+(7oo-t-7l))-i-7^l l + (7oo +701 +7|,)i+Too7|151 7ioJ
Таблица 1.3 (продолжение) № Элементы стены Принципиальная схема и ее передаточная функция 19 Я.1С, _ 1 + Tnj “Ч + Го^ 1+rn-> 1 + По + (zio + ^ii)s 1 + rol + (Tbo + 7bi 1 + Too j 20 Я| _ l + 7(X>s + Тро-у2 Tio* 1 + Tops 4~ тоод2 1 + (Too + Гю )s + TqqI2 1 + (Too + Г|0> 4- Tqq-S2 ^io5 21 Л| + С| + £, Н> 7oiv W l-*-(r0l+r,l>4-T?|J2 14-Т1р4-т?152 1 + (Tqi + ^ii )J + 1 + TH4 4-T2? 22 <4 Яо+О, + Le -c1o(1 + 7OO's + tOOa2) 14- TqqS + Tqq J2 1 + coi + 7oos + T^2 cI0 ^Ols ^015 23 Л,ЛС* Q C10 1 14-Ciq4-T,iJ4-T?|? 14-Гп5 4-Т?|52 1 + 7j jS 4" Tj |S 1+Coi +7|0s + 't?0j2 24 Л1 MG IG 9015 i+eoos+T^2 Qpi5 1 + (000 + 001 )s + T00*2 l+fooo+Qoifr + TooJ2 14-0005 4-T^S2
Таблица 13 (окончание) № Элементы схемы Принципиальная схема и ее передаточная функция 25 Я,|С, ЛЬ _1 + 0и5 + Т12152 01О5 l + On-y + rfp-2 1 + (0ю+0ц> + Т^2 1 + (0jQ + l)5 + TTli~ 01O$ 26 С| 1А> *о.р-2 1 +0QO$ + (T6o +T01)»~ ' + 0QOS + T0O^2 1 + 0OO.V + Тбо-Г 1 + 000$ + (too + Tqi )s2 27 Hi Q 1+еп$+тц$* 1 + 011$ + T21S2 1 + Э1.$+(Чо +ТП>2 *?0‘2 T?OS2 l + eH5 + (Tf0+T?J2
Глава 1 Применения табл. 1.3 вполне достаточно для построения большинства схем на операционных усилителях. Если задана сложная передаточная функция, для которой в таблице не находится нужной схемы, то можно: □ соединять каскады последовательно. При этом их передаточные функции перемножаются благодаря хорошей развязке каскадов за счет большого входного и малого выходного сопротивлений операционных усилителей; □ два последовательных каскада из второго и третьего столбцов с переда- точными функциями ИЭД и ИЗД можно заменить одним каскадом с передаточной функцией HAU) (♦з(т), у которого есть как входной дели- тель напряжения, так и делитель напряжения в цепи обратной связи. Это вполне допустимо благодаря развязке этих цепей друг от друга внут- ри операционного усилителя. В качестве примера использования табл. 1.3 рассмотрим построение эквива- лента схемы моста Вина - Робинсона (см. рис. 1.32) на одном каскаде опе- рационного усилителя. Передаточная функция (1.14) комбинируется из пе- редаточных функций двух каскадов, имеющихся в табл. 1.3: □ каскад с передаточной функцией B'jU) = 1 / (3 + 97Ъ + 37V) (п. 236), имеющий коэффициенты Coi = 2, 71о = 9Г, Тц) =ЗТ2 и номиналы элементов, выбираемые из условий СЬ»2С1,Л1О) = 9Т,£1СЬ = 3 72; □ каскад с передаточной функцией IFj(s) = 1 + TV (п. бе), коэффициен- том То, =Т2 и номиналами элементов, удовлетворяющих условию £oQ = Г. В итоге получаем схему на рис. 1.40 с желаемой передаточной функцией ₽ис. 1.40
Математические модели элементов и систем управления 95 Рассмотрим некоторые типовые схемы динамических элементов на операцион- ных усилителях и их передаточные функции. □ Универсальный одновходовый усилитель (рис. 1.41) с передаточной функцией . . Z0(j) Z0(j) <U1> Z,o0) Рис. 1.41 Решая задачу синтеза схемы, реализующей передаточную функцию (1.31), представим ее в расщепленном виде: W(s) = И'Из) - Wfc). Введем дополнительные передаточные функции IPjoU) и (или) H'joW минимальной сложности с положительными коэффициентами так, чтобы выполнилось условие баланса H'i(j) + H'io(J) = ИЭД + I + Ж»(т). В крайнем (не самом экономичном!) случае всегда можно перекрестно задать И'ю(т) = ^(т) + 1. - W'i(J). Тогда, выбрав свободно, например, сопротивления 2io(*) и Z>(t). опреде- лим по формулам (1.29) остальные сопротивления схемы: Неинвертирующий сумматор (рис 1.42, о), выполняющий операцию
с передаточными функциями Синтез схемы по заданным передаточным функциям W'/j): z2o(*)= Zp(s) W) о) б) Рис. 1.42 Выбрав резистор Z, = Л„ конденсаторы 7|0(з) = 3>(з) = 1 / Qj и парал- лельное соединение резисторов = Я, Ц ... || К„. получим неинверти- рующий интегросумматор (рис. 1.42. б), выполняющий операцию М о с коэффициентами усиления К, = | / Rfa □ Инвертирующий сумматор (рис. 1.43, 0), выполняющий операцию с передаточными функциями входов
Математические модели элементов и систем управления 97 в том числе инвертирующий интегросуммапюр (рис. 1.43, б), выполняю- щий операцию 1*1 о с коэффициентами усиления Рис 143 1.8.2. Построение схем неминимально-фазовых элементов Нетрудно заметить, что в табл. 1.3 нет ни одной схемы так называемого не- минимально-фазового (термин станет более понятен после изучения частот- ных характеристик в *1.2) элемента, чья передаточная функция (119, о) имеет полиномы числителя й(т) и/или знаменателя Л(т) с правыми корнями и разнозначными коэффициентами (1.30). Тем не менее, накопленных нами теоретических знаний и практических навыков вполне достаточно ия кон- струирования таких схем на операционных усилителях. Обладание умением электронного моделирования неминимально-фазовых элементов приобретает важное значение при исследовании неустойчивых систем различной физической природы, с которыми опасно или вообще невозможно ставить натурные эксперименты для изучения их динамических свойств. Заменяющая такую систему электронная схема в виде натурального макета «в железе» или компьютерной модели позволяет безопасно, быстро и разносторонне исследовать качественные и количественные характеристики системы, а также возможные последствия ее нестабильного поведения. Начнем с построения динамических элементов с неминимально-фазовыми полиномами числителей передаточных функций Я0- Решению задачи син- теза методом расщепления передаточной функции способствует наличие в формуле (1.31) двух каналов прохождения входного сигнала через элемент с разными знаками преобразований
О Пример 1.12. Дано дифференциальное уравнение элемента у + 7у = .г-«' с постоянными времени Т> 0 и т = аТ> 0. Исследовав различные вариан- ты расщепления неминимально-фазовой передаточной функции на две разнозначные составляющие, автор пришел к следующему наиболее оптимальному варианту решения этой задачи: Суммы передаточных функций прямого и инверсного входов составляют 5|^=7+Б’,ад +1 = , + 0L Для восстановления баланса (1.28) добавляем в схему один заземленный прямой вход Хю = 0 с передаточной функцией, имеющей все положитель- ные коэффициенты: Запишем соотношения H'iUJZiW = (F1o(3)Z|o(5) => Zt(s) = nZl0(j). Zfa) - => 4(J) - aZzU). по которым выберем двухполюсники Z|(j), Z|0(5), Z2(t) и Zq(s): □ резистор Z|(t) = Л, и конденсатор Zipfa) = 1 / Clo$ такие, что Д(Сю = Г. □ резисторы Zjb) - Я2 и Zq(s) = /?о = аЯ2. В схеме каскада, построенной на рис. 1.44, предусмотрены возможности настройки как постоянной времени Т путем регулировки переменного рези- стора Я|, так и соотношения параметров т и Г регулировкой переменного резистора Kq. Устройство с одинаковыми постоянными времени Т = т и сопротивлениями Л| = Л2 = Aq. называемое фазовращателем. широко используется в радио- технике и автоматике для реализации частотно-зависимого фазового сдвига между входным и выходным гармоническими сигналами без изменения ам- плитуды последнего. □
Математические модели элементов и систем управления Типовые динамические элементы с неминимально-фазовыми полиномами знаменателей передаточных функций Л(л) на одном каскаде, имеющем толь- ко отрицательную обратную связь, реализованы быть не могут и конструи- руются как неустойчивые схемы с положительной обратной связью. Получим передаточные функции двух разных каскадов, изображенных на рис I 45, с обоими видами обратных связей — как отрицательной через элемент 2о(з), так и положительной через элемент Z|(j). Рис. 1 45 □ Вход и выход схемы неинвертирующего типа (а) в соответствии с (1.27) связаны операционным соотношением У *Му + H'jUU с передаточными функциями Отсюда получаем передаточную функцию каскада
100 Гпава 1 W(,\- - Z,Z,0(Z0+Z20) l-W'.Cv) z1z,0z2o+z1z1IzM-zllzI0z0 • (1.32,0) знаменатель которой при подстановке импедансов двухполюсников Z||(s), Z|o(s). Z|U). ZjoU) и ZiU) в (1.32, о) может (но не обязательно!) стать неминимально-фазовым из-за наличия операции вычитания. Для всех желающих избежать ручных преобразований «многоэтажных» дробей приводим программный вывод формулы (1.32, о) с помощью символического оператора simplify процессора Mathcad: HI* «10 10 ____________(z20 + z0)____________ ‘ (z20 zl zlOtzJO zll zl-zll zlO zO) Уравнение, связывающее входное и выходное напряжения схемы инверти- рующего типа (б), по (1.27) имеет вид У = ИМу- НОДх с передаточными функциями j,^), Z0(a) Знаменатель передаточной функции каскада V0=J^L =------------ZoZ^fZ, -bZjo)------ H'jW-l z0z10z2+z0zI0zM-zlz2z20 при подстановке импедансов двухполюсников Z|(J), Z(o(5), Z2(s), Z20(s) и ZM в (1.32, 6) также может стать неминимально-фазовым. Несмотря на отличия передаточных функций в (1.32) друг от друга, они полно- стью идентичны! В этом легко убедиться, слетав переинлексацию импедансов. например, в схеме на рис. 1.45. б и формуле (1.32, б) следующим образом: Z\ -» Z). Zj0 -» ZM, Zj -»Zu, Z]o -t Zl0, Z> -»Z\. Поскольку рассматриваемые структуры каскадов наиболее универсальны в том смысле, что все ранее изученные одиовходовые схемы (см. рис. 1.23.
Математические модели элементов и систем управления 101 1.24, 1.41 - 1.43) являются их частными случаями при некоторых нулевых или бесконечных импсдансах, хочется задать недоуменный вопрос неужели безразлично, как подключать к операционному усилителю обратные связи’ Ведь никого не нужно долго убеждать, что при ошибочном замыкании цепи обратной связи на прямой вход усилителя схема с по.южите.1ыюй связью становится склонной к самовозбуждению, т с. неустойчивой1 Понять природу динамического процесса самовозбуждения операционного усилителя невозможно, считая его, что мы до сих пор и делали, статиче- ским элементом с бесконечным на всех частотах коэффициентом усиления Кг В следующих главах при анализе частотных и временных свойств каска- дов с обратными связями будет использована динамическая модель линейно- го режима операционного усилителя в виде передаточной функции с конечным большим коэффициентом статического усиления Ку и отличной от нуля небольшой постоянной времени Ту. А пока нужно помнить, что ох- ватывание реального операционного усилителя положительной обраткой свя- зью приводит к его самовозбуждению и неустойчивости всей схемы & Пример 1.13. Получить передаточные функции двух схем на идеальных операционных усилителях с положительной и отрицательной обратными связями, глубина которых регулируется переменными сопротивлениями (рис. 1.46). Решение. Обозначим постоянную времени обоих каскадов как Т = КС □ Подстановка в (1.32, я) импелансов двухполюсников (см. табл. 1.2)
102 Глава 1 дает передаточную функцию схемы неинвертируюшего типа на рис. 1.46. а: W(s)=(a+l\ . а 2 0. (1.34, л) 1+(2-а)Тт+Г’т2 Вот как делается подстановка с помощью символического процессора Mathcad: Значение переменного сопротивления aR с коэффициентом а > 2 делает знаменатель передаточной функции 1Цз) неминимально-фазовым, а схе- му неустойчивой □ Подставив в (1.32, б) импедансы - ря. Z.W = Л. zo(*)=^r, получим передаточную функцию схемы инвертирующего типа на рис. 146. 6: (,хя Значение переменного сопротивления (ЗЯ с коэффициентом Р > 2 делает знаменатель передаточной функции 1Г(з) неминимально-фазовым, а схе- му неустойчивой. & Пример 1.14. Разработать каскад на идеальном операционном усилителе, моделирующий неминимально-фазовое звено с передаточной функцией W(e)=—, К>0, Т>0. l-Ts Решение Поскольку вовсе не очевидно, какие двухполюсники нужно вы- брать в схемах на рис. 1.45, чтобы их импедансы. будучи подставленными в (1.32), дали нужную передаточную функцию, будем проектировать каскад по обшей методике синтеза схем на операционных усилителях Запишем дифференциальное уравнение элемента, выраженное относитель- но старшей производной: Ему соответствует структурная схема, изображенная на рис. 1.47, а. Вре- менно разорвав обратную связь у выхода интегратора. запишем операторное уравнение элемента с двумя входами х и v • у.
। элементов и систем управления К«) = - »W(s), где W2(i) = ^ Так как условие баланса (1.28) не выполнено, а именно, то дополним схему заземленными входами *ю и х20 с всегда неминимально- фазовыми передаточными функциями ^00=^0+» = ^. ^0=5(0=^. Выбрав произвольно сопротивление Л и емкость С, удовлетворяющие условию а также резистор Z|(j) = KR и конденсатор 3)(*) - 1 / Cs, определим по (1-29) остальные навесные элементы схемы: Рис. 1.47
104 Глава 1 В результате получаем принципиальную схему каскада (рис. 1.47, (5), выход которого связан с прямым входом операционного усилителя по петле поло- жительной обратной связи через резистор Я,. Проверим правильность построения схемы путем программного вывода ее передаточной функции с помощью символического процессора Mathcad: Find (у.el .с2)0 R substitute. zlO =----—— |+к s substitute,zl = К-R -К substitute,z2 = R (-I + T substitute.z20 = К R К R substitute,zO =----- Ts simplify Разработанный элемент имеет правый полюс передаточной функции 5| = Г1 > 0 и расходящуюся составляющую переходного процесса е Ч т. □ Как будет доказано в г«. 3. системы с правыми полюсами неустойчивы В ус- тойчивых системах с минимально-фазовыми передаточными функциями по- 1.8.3. Анализ и синтез многокаскадных схем на операционных усилителях Задача анализа схемы заключается в определении ее передаточной функции или решаемого ею дифференциального уравнения. При анализе схема де- лится на каскады четырехполюсников. Так как у операционного усилителя Я,, >:> то передаточная функция каскада на основе операционного усилителя практически нс зависит от подключенной к нему нагрузки. При расчете каскада на пассивном четырехполюснике без операционного усили- теля необходимо учитывать нагрузку, потребляющую часть входного тока каскада и изменяющую его передаточную функцию.
Математические модели элементов и систем управления 27 Пример 1.15. Рассмотрим два варианта последовательного соединения двух четырехполюсников: ЯС-цепочки и СЯ-испочки. □ В схеме с развязывающим операционным повторителем между цепочка- ми (рис. 1.48, а) передаточные функции трех каскадов имеют вид ^0= 1 + Тнз' И^(5) = 1, %(.?)= с постоянными времени =Я/С;. В силу последовательного соединения каскадов получаем передаточную функцию схемы как произведение трех передаточных функций (1.20, а) Рис. 1 48 О В схеме с непосредственным соединением цепочек друг за другом (рис. 1.48, б) происходит отбор части входного тока первой цепочки в нагрузку — вторую цепочку. Рассчитаем передаточную функцию этой схемы методом контурных токов: QI = Рх,у = Cl=»y-CQ-'Px. Ж= CQ-'P. ^ = ЯЬ Z,=^y. Z3~,4-*2
106 Гпава 1 Отсюда получаем передаточную функцию схемы: - Tns (• + ?i I1 X1 + 722J)+ 2s которая, очевидно, отличается от передаточной функции (1.35) дополни- тельным слагаемым Т| ys в полиноме знаменателя. О При последовательном соединении каскадов пассивных четырехполюсников необходимо включать между ними развязывающие операционные повторите- ли. Тогда передаточные функции каскадов можно перемножать. В отсутствие повторителей должна учитываться подключенная к каскадам нагрузка. & Пример 1.16. Рассмотрим схему (рис. 1.49), состоящую из четырех кас- кадов, первый из которых является пассивным четырехполюсником с на- грузкой Zj. Запишем уравнения каскадов и определим их передаточные функции: У» - ГЛЙ-1^ - И'зи.у» = (РуЛ + «V. где _ Z2Z3 z^ ъ z^ Z,+Z2|Z, Z.Zj + Z^+ZjZ, ’ 2 Zj’ 3 z4 ‘ 4 z6"
ментов и систем управления 107 Получим передаточную функцию всей системы в целом методом эквива- лентных преобразований структурных схем (рис. 1.50): Рис. 1.50 = __________________ « (z,Z2 + 7,23+ Z2Z3 ) U4Z6 (Z8 + Z, )Z,, + Z5 (Z6ZQ - Z7Z8 )(zl0 + Z,, Отметим, что влияние нагрузки первого каскада Z} учтено при записи его передаточной функции FT,. О Решение задачи синтеза схемы на операционных усилителях по заданной передаточной функции не единственно и зависит от сложности последней и особенно от ее минимально-фазовости Процесс разработки и выбора вари- анта схемы является многокритериальной задачей оптимизации: □ следует минимизировать стоимость устройства; □ желательно использовать типовые схемы каскадов с минимальным чис- лом индуктивностей; □ нужно обеспечить возможность желаемой вариации параметров схемы изменением номиналов минимального числа радиоэлементов. Рассмотрим некоторые методы синтеза схем иа операционных усилителях со сложными передаточными функциями
108 Метод последовательных каскадов Представим передаточную функцию моделируемой системы произведением простых передаточных функций первого и второго порядков: Ж0-ПШ (136, а) Тогда, согласно (1.20, в), моделируюшая схема строится как последователь- ное соединение каскадов, подобранных с помощью табл. 1.3. Для миними- зации числа каскадов и навесных элементов рекомендуется объединять в одну схемы из второго и третьего столбцов. Пример 1.17. Разработать схему моделирования системы «тележка - обычный маятник», имеющей передаточные функции (1.12). Решение Представим эти передаточные функции произведениями функций, реализуемых каскадами на операционных усилителях из табл. 1.3: IV (Л- 0.1(1+0.133^0,133?) = ' 1 з(1 +1.681)^+0.1551+ 0.1?) _ -0.2__________0.5 -(1+0.1331 + 0.133?), .1 + 1.683 1+0,1551+0.1? __________i__________, *?!•) ' ад ад) n.lJe п 236 п 25а ж , х___________0.01т______ -0.2_______________0.5 , 0 ’ (1 + 1.681 )(l + 0.155i+0.1?) 1 + T68j 1 + 0.1551 + 0.1?, *Ф) ' ' ад) П lb n 2M П 3o На рис 1.51 приведена электронная схема моделирования этой механиче- ской системы с двумя выходными сигналами. Номиналы радиоэлементов схемы должны выбираться из следующих соотношений: Рис. 1.51
Математические модели элементов и систем управления 109 RC = 1.68, Я = 0.2Яь С- С|. Я2С=0.31, t|C-0.2; Ь- = 1, ^. = 0.133, L2C2 = 0.133, ЯС3 = 0 1. Я Я, Метод параллельных каскадов Представим сложную передаточную функцию суммой простых передаточных функций порядков не выше второго: Иф)=5Х(з). (1.36, б) Тогда, согласно (1.20, б), моделирующая схема строится как параллельное соединение каскадов, реализующих передаточные функции И^з), и вклю- чает дополнительно алгебраический многовходовый сумматор & Пример 1.18. Разработать схему ПИД-рсгулятора с передаточной функ- 1У(1)=Яп+-^-+Ялз, (1.37) параметры которой К„, и КЛ могли бы изменяться произвольно и незави- симо друг от друга как по величине, так и по знаку'. Решение. Построим два варианта схемы регулятора, отличающиеся спосо- бами выбора знаков параметров □ Первый вариант (рис. I 52) реализован на типовых инвертирующих схе- мах усилителя, интегратора и дифференциатора с настраиваемыми ко- эффициентами усиления (см. табл. 1.3, пп. 1в. 2а, За): «'„о) = -ia Номиналы сопротивлений Я и емкостей С выбираются свободно. Для задания желаемых значений модулей коэффициентов К„, Ка и А„ предна- значены переменные сопротивления, настраиваемые по следующим формулам: Выбор знака или отключение любого из компонентов регулятора выпол- няется соответствующим трехпозиционным тумблером Верхнее положе- ние тумблера соответствует положительному коэффициенту, нижнее — отрицательному, а среднее — нулевому.
Рис. 1.52 Управляющее воздействие (В.5) формируется на выходе сумматора с тремя прямыми и тремя инверсными сигнальными входами, рассчитан- ного по общей методике синтеза статических схем на операционных усилителях (см. разд. 1.3.2). Каждый из компонентов управления, инвертированный своим функцио- нальным каскадом, в зависимости от положения тумблера, подается на прямой либо на инверсный вход сумматора, при этом неиспользуемый вход заземляется. В среднем положении тумблера оба входа заземлены. □ По второму варианту, изображенному на рис. 1.53, схема строится на операционных инвертирующих каскадах с постоянными параметрами на- весных элементов, а регулировка знаков и значений параметров Afn, Кп и Ка производится с помощью мулыидиапазонных универсальных усили- телей (см. рис. 1.29. б) С учетом отсутствия инвертирования сигнала в пропорциональном канале, конечный сумматор выполняет алгебраиче- скую операцию х(г>Кп(кпх/пк(1)^-КДХ,4и)Р(тМт^(-Кд(ХлА)^).
Рис. 1.53 □ Если в (1.36) имеются передаточные функции И^з) с неминимально- фазовыми полиномами знаменателей, то соответствующие каскады конст- руируются с использованием положительной обратной связи и являются неустойчивыми. Недостатком методов последовательного и параллельного соединений явля- ется возможность появления каскадов с дифференцирующими свойствами, признаком чего служит наличие оператора s в числителе передаточной функции. Это весьма нежелательно в многокаскадных схемах, т. к даже са- мый слабый высокочастотный шум zfcinfw/), пройдя через цепочку из N дифференцирующих каскадов, многократно увеличит свою амплитуду ЛоЛ пропорционально Л^-ой степени частоты и заглушит полезную низкочастот- ную составляющую выходного сигнала. Другие недостатки рассмотренных методов: □ необходимость вычисления корней полинома для получения разложе- ний (1.36); □ разнотипность каскадов; □ нерегулярная структура полученной схемы; □ трудоемкий расчет номиналов радиоэлементов принципиальной схемы
Ill Метод канонических схем Метол реализации передаточной функции H'GMG) свободный от указанных выше недостатков, основан на построении вспомо- гательной схемы, имеющей передаточную функцию и выход Цг), удовлетворяющий дифференциальному уравнению vW=±x_W-«)_ v (, 38> я) а, а„ а„ ап Соединим последовательно п интеграторов, обозначим их выходы справа налево как v, v,.... а вход самого левого интегратора сформируем по уравнению (1.38. а) с помощью (л + 1)-входового сумматора. Так как Wj) = BisjH'M, то выход системы ></) формируется как линейная комбинация выходов ин- теграторов (рис. 1.54): У‘В&у~Ьо1+№ + ... + Ь„^. (1.38,6) При т < п вводятся фиктивные коэффициенты b„+i = ... = Ь„ = 0. Мето- дика построения подобных схем унифицирована для любых передаточных
Математические модели элементов и систем управлений функций, у которых т< п. Структуры схем являются каноническими (тако- номерными. регулярными, повторяющимися), не имеют дифференциато- ров, строятся просто, хотя и не всегда гарантируют минимальных затрат оборудования. Для практической реализации канонической схемы достаточно п одновходо- вых интеграторов и не более двух многовходовых сумматоров-вычитателей, обведенных на структурных схемах (рис. 1.54, 1.55) пунктиром Интеграторы можно строить как по неинвертирующей (рис. I 56. о), так и пс инвертирующей (рис. 1.56,6) схемам с постоянной времени ЛС= I Вторая схема вдвое экономичнее первой по числу навесных элементов В схеме на инвертирующих интеграторах (рис. 1.55) необходимо учитывать чередованш справа налево знаков производных ... -з -✓*-» V -»-✓-» v и коэффициентов суммирования в цепях обратной связи и формирования выходного сигнала. Рис 1 56
Вынос точки съема г<"> влево за сумматор дает эквивалентные схемные ре- шения на нсинвертируюших (рис. 1.57) и инвертирующих (рис. 1.58) инте- граторах с меньшим числом операционных усилителей за счет совмещения двух функций многовходовыми ннтегросумматорами обратных связей Це- ной экономии оборудования несколько усложняется расчет схемы Принципиальная схема интегросумматора строится по типовой методике синтеза каскада на операционном усилителе на основе операторного диф- ференциального уравнения (1.39,0)
Математические модели элементов и систем управления 115 Подставив выражение для ^л> из (1.38, о) в (1.38, б), получим уравнение вы- ходного сигнала системы: y= £clv^ + Dx, где D = —, С) = b, - Dat Vi = 0.n-l. (1.39,6) ЙО °я & Пример 1.19. Разработать канонические схемы на операционных усили- телях, моделируюшие систему «тележка - обычный маятник» с одним вхо- дом, двумя выходами и передаточными функциями (1.12) W,(,)-------1уф(5)=---------------------------------------- в|Х + a2s + o3s + o4.s + + о?з + о4з с коэффициентами полиномов Ьо = 60, Ь\ = 8, 6j| = 8, 622= 6, о, = 600, о2 = 1100, о3 = 216, о4 = 100. Решение На рис. 1.59 приведена структурная схема на неинвертирующих ин- теграторах, моделирующая уравнения (1.39): Рис 1 59 Начиная построение принципиальной схемы с разработки интегросуммато- ра, сравниваем суммы
Глава 1 a^s 0^3 и вводим дополнительный прямой заземленный вход л'ю = 0 с передаточной функцией а4з s Составим соотношения для выбора структуры и параметров принципиаль- ной схемы (рис. 1.60): Zii(s) = (О| + аг + аз - I + a43)ZI0(s), <м4(з) = O|Z2i(j) = ojZnU) = fljZijU) Рис. 1.60 Выбрав свободно значения R и С, удовлетворяющие условию RC = 1, поло- жим Z|0U) ~ Я10/(1 + ЯюСО — параллельное соединение конденсатора Сю “ С и резистора *ю = 7-----------т- = 0.0522Я (<з,+а2+в3-1)С Тогда элемент Zu Ли = (a( + oj + Oj - 1)Л10 = а4Я = 100Я есть резистор. Выбирая в цепи обратной связи конденсатор = 1/0, получим сопротивления резисторов г2|«Я21=^1г = О.167Я, z22 Ru = = 0.0909R . 2п«Яц«-21- = 0.463Я. а,С
Математические модели элементов и систем управления Сопротивления выходных каскадов, формирующих выходные сигналы d и Ф, удовлетворяют соотношениям R _ *i _i R-h.,.h+h R к .к -7-5--т—"Г- ’ T~~b°+b'+b''~l = 5- t_ = z’22-* = 5- *31 °2I *32 ®2I *40 *50 На рис. 1.61 приведена структурная схема системы на инвертирующих инте- граторах, моделирующая уравнения Рис. 1.6» Начиная построение принципиальной схемы с разработки интегросуммато- ра, сравниваем суммы и вводим дополнительные заземленные входы xw *0 илц’Ос передаточ- ными функциями в43 J
Глава 1 Составим соотношения для выбора структуры и параметров импедансов принципиальной схемы, построенной на рис. 1.62: njZnW = a<sZM, <bsZM » Z2|(j) = fl|Z22(j) = ajZ2j(s). Рис. 1 62 Задав свободно значения Ли С из условия /?С = 1, выбираем емкостной тип элементов Zto(j) = ZiU) = 1 / Ст, тогда элементы на входах интегросум- матора будут резисторами: Z"3/f|l=7c=009<)9/?' 221в7- = 100Я- Z22 = /?23=y^ = 0.167/?, ZB Яа = -^ = 0.463/?, Z20 а Л20 = 7--------Т- = 0.353/?. а3С (а2 - О) - а3 - 1)С Сопроп1вления выходных каскадов, формирующих выходные сигналы d и ф, удовлетворяют соотношениям Т=^15' тН=8’ r^+d2|_z,_,=59- Г’=^-,=5- «Л Ojt Kj, Кю «50 Еше раз обращаем внимание читателя на то, что все номиналы навесных элементов рассчитаны в относительных единицах Я. Для получения конкрет- ных значений номиналов нужно задать этот свободный параметр, например, равным Я= I МОм. и подставить его во все расчетные формулы. О
ГЛАВА 2 Как много мы знаем, и как маю понимаем Амйерт Эйнштейн Частотные характеристики элементов и систем управления Эта глава посвящена изучению реакции линейных стационарных элементов и систем на одно из типовых внешних воздействий — гармоническое казеба ние. Важность этого воздействия не очевидна, поскольку редко встречаются системы управления, отслеживающие синусоидальную уставку Однако, ес- ли известна реакция системы на гармонические колебания всех возможных частот, то тем самым мы получаем полную информацию об этой системе, поскольку любой сигнал можно разложить на гармонические составляющие. Часто удается экспериментально измерить реакцию физической системы на гармонические колебания, и полученные таким образом характеристики имеют огромную практическую ценность. Рассмотрим линейный объект с входным сигналом .x(t) и выходным сигна- лом y(t), описываемый неоднородным дифференциальным уравнением (1.15): аау(г) + ai/(0 + ... + a^(i) - Mrt + ^(0 + ... + Л,,?"’ (/). К основным задачам исследования сложных объектов относится расчет ие реходных процессов — зависимостей >(/) при различных воздействиях Это составляет, пожалуй, главный визуальный результат теории автоматиче ского управления. Многократное решение линейного неоднородного диф- ференциального уравнения со сложной правой частью весьма трудоемко и повторяется каждый раз заново для каждого нового входного сигнала.
IX Глава? Один из подходов, призванный унифицировать и тем самым облегчить ре- шение данной задачи и основанный на свойстве линейности объекта, за- ключается в следующем: □ входное воздействие представляется взвешенной суммой некоторого числа типовых сигналов простого вила; О рассчитывается отклик объекта на типовой сигнал; □ выходной сигнал формируется как взвешенная сумма откликов на типо- вые сигналы, составляющие входное воздействие. К простейшим типовым воздействиям, применяемым в теории автоматиче- ского управления, относятся колебательные, ступенчатые и импульсные сигналы. В этой главе изучается прохождение через объекты колебательных сигналов, а воздействия ступенчатого и импульсного типов булут рассматри- ваться в гл. 3. Гармоническое колебание некоторой величины описывается тригонометри- ческими формулами И») = А^п((Ш + ф.) или iV) = Л,со5(гш + <ру) (2.1) и характеризуется следующими тремя параметрами □ Амплитудой А, — размахом колебания вокруг нулевого среднего значе- ния. Единица измерения амплитуды совпадает с единицей измерения самой величины. □ Частотой ы — скоростью совершения одного цикла колебаний. В автома- тике принята единица измерения частоты I рад / с — один радиан в се- кунду, что соответствует длительности цикла 2п = 6.28 с. Во многих техни- ческих дисциплинах, изучающих колебательные процессы, используется единица измерения частоты 1 Гц — один герц или один цикл в секунду Радианная частота ш и циклическая частота /связаны соотношением ш(рад/с) = 2г/(Гц) (2-2) и отличаются друг от друга примерно в 6 раз: 1 рад / с соответствует 160 мГц. Колебания частотой/Гц описываются функциями ИО Asin(2>j/? + <рг) или И/) - H,cos(2r^ + <pj, не очень удобными для 1-кратного дифференцирования этих сигналов по времени г из-за множителя (2к)*. □ Фазой ф, — угловым сдвигом колебательного процесса (2.1) от несме- щенного (с фазовым углом ц>,= 0) сигнала Л^1п(шг) либо 4«cos(utf). Еди- ницами измерения фазового угла являются рад (радиан) или градус Фа* зовый сдвиг ф, и временной сдвиг I, связаны соотношениями
Частотные характеристики элементов и систем управления 121 Ъ-ЫЬ /,=^. (2.3) ш Форма описания колебаний функциями (2.1) для решения практических за- дач неудобна тем, что при каждом дифференцировании функция sin меня- ется на сов , а сов — на -sin. Такое чередование тригонометрических функций и их знаков приводит к достаточно громоздкому выражению пра- вой части дифференциального уравнения (1.15), содержащему обе эти функции. Более удобной является общепринятая комплексная форма описания колеба- ний v(r)= А,,е^ш'м’^ = A^cos(<or + <pv)+jA,.sin((iM + (pv), (2.4) где р = -|, как равномерного вращения на комплексной плоскости радиус- вектора длиной А-|Ф)| с угловой скоростью ш и начальным фазовым углом <P» = atg(i<0)) (рис. 2.1). Переход от действительных колебаний (2.1) к обобщающему комплексному “Сражению (2.4) имеет следующие свойства и последствия: Упрощается дифференцирование комплексной экспоненты: ^)=4j<Ue^- -» = Ло Ч); производные функции v(z) любого порядка dr
122__________________________________________________________Глава! выражаются через эту же функцию, благодаря чему каждая из частей дифференциального уравнения (1.15) записывается в алгебраической форме типа 2сЛ(->(,)=р(/)Хс,сшг, г>4 <*О а пространство происходящих в системе процессов становится комплекс- ным, и в нем естественным образом вычисляются как амплитудные, так и фазовые изменения сигналов в процессе их прохождения через дина- мические элементы системы; □ действительные сигналы в (2.1) могут быть получены из комплексной формы (2.4) как 4^in(<iV + ф>.) = 1т(Ц0}, >4^:os(co/ + <р„) = Re{v(r)}, хотя этот прием в теории автоматического управления остался невостре- бованным Частотная характеристика (ЧХ) - это зависимость определенного па- раметра гармонических колебаний выходной переменной линейного объекта от частоты колебаний входной переменной в установившемся режиме функционирования. Широкое применение частотных характери- стик базируется на том, что входное воздействие произвольного характе- ра может быть представлено в виде суммы гармоник различной частоты, каждая из которых передается на выход линейной системы без искаже- ния формы. Большинство систем при внезапной подаче на вход периодического воздей- ствия дают в конечном счете периодический отклик установившейся фор- мы. За редким исключением, когда в момент приложения входного сигнала система случайно оказывается точно в состоянии, совпадающем с устано- вившимся, практически всегда в начале движения будет некоторый интервал времени, в течение которого затухает начальное отклонение системы от ус- тановившегося режима. Таким образом, если на вход невозбужденного линейного устойчивого объекта подан сигнал в виде гармонического колебания 40 “ ЛдЯп(шг + ф^), то на его выходе начинает развиваться переходный процесс у(0. который пс истечении некоторого времени гу становится установившимся процессе» (рис. 2.2) УусЛО = Xysintcor + фу).
Частотные характеристики элементов и систем управления зф)=Дв1п(йХ+<р,) ^('Ь^ип^+Ф,) А=Л(“) ф> =<₽>(“) У всех устойчивых динамических объектов, описываемых дифференци- альными уравнениями (1.15), амплитуда А, и фазовый сдвиг <₽,. выходно- го сигнала зависят от частоты входного сигнала о> Иначе говоря, устано- вившиеся параметры выходных колебаний являются частотно- зависимыми, и это свойство изменять амплитуду и фазу гармонического сигнала является свойством самого линейного объекта, а не сигнала, про- ходящего через него. Теоретически частотные характеристики определены при изменении угло- вой частоты ш от 0 до =°. Однако всякое реальное устройство может пропус- кать гармонические сигналы лишь некоторого ограниченного интервала частот, поэтому в каждом конкретном случае следует заранее определиться, в каком интервале частот целесообразно исследование частотных свойств этого устройства. Частотные характеристики устойчивого объекта могут быть получены экспе- риментально с помощью генератора гармонических колебаний и устройства регистрации временных процессов, например, осциллографа Ввиду отсутст- вия у неустойчивого объекта установившегося режима ею частотные харак- теристики не могут быть экспериментально измерены Тем не менее, их можно формально построить по передаточной функции 1Ит) (она. как из- вестно, есть иной способ записи дифференциального уравнения объекта и не зависит от вида входного воздействия), о чем будет рассказано в следую- щем разделе, и использовать для моделирования системы, включающей не- устойчивый объект. С учетом сказанного следует, видимо, разорвать прямую связь данного выше определения частотных характеристик с параметрами установившихся коле- баний на входе и выходе объекта, а воспринимать их как еше один способ описания динамики систем, имеющий в случае устойчивости последних по- нятный физический смысл.
2.1. Основные частотные характеристики Для получения коллекции частотных характеристик подставим в дифферен- циальное уравнение объекта комплексные формы 1х(г)=А,еи“**,), х(')0=А,О<оУе)(“’*,) Vie0, т, [y(i)=A>ej(“^), у^)=А,^^ Vi=0T7i входного и установившегося выходного сигналов и их производных: А>Л*£д10шУ=Ахе^^>У. i=O 1=0 После сокращения обеих частей уравнения на е,ш', т. е. исключения враща- тельного движения, получим выражение, описывающее относительное по- ложение на комплексной плоскости радиус-векторов x(i) и y(z): А,е*’ =АЛе”- . Отсюда следует соотношение между амплитудами и фазовыми углами вход- ного и выходного сигналов: (2.5) Введем в рассмотрение следующие основополагающие понятия: □ - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), или от- ношение частотно-зависимой амплитуды выходных колебаний к ампли- туде входных; □ ф(ш) = ф^ш) - ф, - фазочастотная характеристика (ФЧХ), или разность между частотно-зависимой фазой выходных колебаний и фазой вход- ных; □ (Щсв) - комплексная частотная характеристика (КЧХ), ко- торая. согласно (2.5). получается из передаточной функции His) путем формальной замены оператора г мнимой функцией частоты jcn. Как лю-
Частотные характеристики элементов и систем управления 125 бой комплексный объект, комплексная частотная характеристика имеет вещественную и мнимую составляющие (рис. 2.3): HXjca) = Л(а>)(«к(ф(ы)) + j • sin(«p(<o))} - Л«) + jQ(“>' lm{H) О До» Re|ll| Рис 2.3 □ Л<о) = Re{ Wj<n)) = y4(to)cos(<p(a>)) — вещественная частотная характери- стика (ВЧХ). □ 2(w) = lm{ И^ш)} = ?l(ii>)sin(<p(<a)) — мнимая частотная характеристика (МЧХ). Знание вещественной и мнимой характеристик позволяет рассчитать ампли- тудную и фазовую частотные характеристики по следующим формулам: Д(со) = . <р(со) = arct^ | (2.6) Вот самый главный результат описания гармонических колебаний на ком- плексной плоскости: фактически без решения неоднородного дифференци- ального уравнения мы можем быстро найти по комплексной частотной ха- рактеристике И^со). которая просто получается из передаточной функции H^s}, коэффициент усиления амплитуды сигнала и его фазовый сдвиг на любой частоте со. Перечисленные выше частотные характеристики принято строить в равно- мерном масштабе по осн частот ш> 0. Особое внимание следует уделить по- строению графика фазочастотной характеристики по ее аналитической за- висимости (2.6) с помощью ЭВМ, в том числе и калькулятора. Поскольку Функция arctg возвращает главное значение угла в интервале (-90°. +90°), то при Дш) < 0 его следует скорректировать: □ увеличить на 180° или л рад при С(ы) > 0; □ уменьшить на 180° или я рад при 0(ш) < 0. Линия на комплексной плоскости, образуемая точками графика B-tyo) при "вменении частоты ш от 0 до называется годографом или ампптпдно- Фозовой частотной характеристикой (АФЧХ) Л(<р). Годограф строится как
126 параметрическая функция частоты ш е |0,«) по значениям любой из пар характеристик: (Я(ш), ф(ш)| или (Лш). 0(ш)(. Заметим, что с математической точки зрения годограф является отображением на комплексную плоскость верхней половины мнимой оси плоскости s через функцию 1Щ<о) На построенном годографе рекомендуется указать стрелкой направление возрастания частоты и отметить следующие особые точки- □ начало годографа при <о -> 0; О конец годографа при ш ->«; □ пересечения годографа с координатными осями: • с осью Re| И] на частотах, где = 0; • с осью lni| И} на частотах, где Ли) = 0; □ пересечения годо!рафа с окружностью единичного радиуса на частотах, где Л(ы)» I. В равномерном масштабе по оси <> графики частотных характеристик быстро изменяются на низких частотах и медленно — на высоких По- этому в практических расчетах используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) с соответствующими масштабами по осям частоты и амплитуды: □ Д(со) = 20lg(,4(u)) — логарифмическая амплитудно-частотная характери- стика (ЛАЧХ). строящаяся в логарифмических масштабах как по оси частот, так и по оси амплитуд; □ Ф(<а) — логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ), строя- щаяся в логарифмическом масштабе по оси частот и в равномерном, желательно градусном, масштабе по оси фазового угла. В англоязычной технической литературе логарифмические характеристики называют диаграммами Боде |11, 22, 291 Обратная зависимость амплитудно-частотной характеристики от логариф- мической амплитудно-частотной характеристики имеет вид а(ш)=1Оом^>. Значение коэффициента усиления А = I соответствует логарифмическому усилению L = 0. Отрицательная логарифмическая амплитуда L < 0 означает ослабление сигнала с коэффициентом 0 < А < 1, а значение L > 0 — усиле- ние с амплитудой А > I. Единицей измерения логарифмической величины lg(.r) является декада (дек) — интервал, на концах которого значения к отличаются друг от друга в 10 раз. Примеры декад: |1, 10), (0.2, 2], |о 10я, а 10я*11.
Частотные характеристики элементов и систем управления 127 Для измерения логарифмической амплитуды введена специальная едини- ца - бел (Б). Названная в честь изобретателя телефона, она первоначально применялась к мощностям, пропорциональным квадрату амплитуд напря- жений или токов. Из-за ее слишком большой величины более популярна десятая часть бела — децибел (дБ). Поэтому при измерении в логарифмиче- ском масштабе степени усиления амплитуды напряжения либо тока полага- ют, что декада по оси I. равна 20 дБ Логарифмическая шкала Igx преобразует равномерную шкалу положительных величин х > 0 следующим образом: □ в области х < I происходит растяжение тем большее, чем х ближе к ну- лю; □ в области х > 1 происходит сжатие тем большее, чем х ближе к беско- нечности. Таким образом, логарифмическая шкала позволяет отобразить на одном графике больший динамический диапазон изменения величины по сравне- нию с равномерной шкалой. К тому же человеку присущ именно логариф- мический масштаб восприятия явлений природы, а именно: □ музыкальные интервалы между одноименными нотами в разных октавах слышатся ухом как равные, хотя при этом совпадают не разности, а от- ношение частот звуков крайних нот; □ равномерное изменение громкости звука ощущается не при линейном, а при показательном законе изменения давления воздуха на барабанную перепонку, благодаря чему человек слышит как шелест травы, гак и рев ракетных двигателей. При измерении интенсивности звука в логариф- мической шкале за начало отсчета (ОдБ) принимается звуковое давле- ние 2 • 10’5 Н / м2, соответствующее среднему нормальному порогу слышимости уха человека на частоте 1000 Гц [22], а болевой порог гром- кости составляет 140 дБ; □ зрительная система человека способна регистрировать количество световой энергии, начиная от отдельных квантов до ослепляющих вспышек, чему способствует автоматическая адаптация площади от- верстия радужной оболочки глаза обратно пропорционально лога- рифму энергии. Если равномерная ось частот ые (0, “>) — полубесконечная, то логарифми- ческая ось lg<o е ~) — бесконечная в обе стороны, поэтому начальные значения логарифмических частотных характеристик при ш = 0 отсутствуют Принято ось L проводить через частоту <г> = I рад / с. т. е. в начале коорди- наты IgCd = 0. В табл. 2.1 приведены логарифмы Igx и 20lg.< величины х на декаде \\,\0\.
128 Таблица 2 1 1 2 3 4 5 6 7 В 9 10 |дх 0 0.301 0 477 0.602 0.699 0.778 0.845 0 903 0954 1 2О1дх 0 602 9.54 12 04 13 98 15 56 16.9 18 06 19 08 20 На других декадах работают следующие формулы десятичного логарифми- рования: lg< 10"х) = и + Igx. 201g(10".v) = 20л + 201gx, т. е. увелнчение/уменьшение числа в 10 раз увеличивает/уменьшает его ло- гарифм на I дек или 20 дБ. Полезно также запомнить, что □ 1 дБ соответствует изменению амплитуды примерно на 12%; □ 3 дБ эквивалентны изменению амплитуды в Vl раз, т. е. примерно на 40%; □ 10 дБ соответствуют изменению амплитуды в х/10, т. е. примерно в 3.16 При построении частотных характеристик очень важно уметь точно размес- тить определенное число (частоту ы или амплитуду Л) на размеченной лога- рифмической оси. На рис 2.4 изображено расположение различных частот на нулевой, первой, минус первой и г-ой декадах. Цифры и сетку на частот- ной оси можно проставлять двумя способами: □ в логарифмическом масштабе значений ы; □ в равномерном масштабе значений Igco. 0 0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 lgo> Н—1-----------1-----1----------------i-----1—i1 ~г~ ' H—* I 2 3 4 5 6789 10 ы 10 20 30 40 SO 60 70 80 90 100 01 0.2 0.3 0.4 O S 0.6 0.7 0 8 0.9 1 10' 210' 310' 4-10' 510' IO*’ Рис 2.4 Если под руками нет ни калькулятора, ни табл. 2.1, ни рис. 2.4, то для быст- рого логарифмирования в уме можно руководствоваться следующими про- стыми правилами:
Частотные характеристики элементов и систем управления__________________1_29_ □ запомнить всего два десятичных логарифма: lg2«0.3 и lg3«0,48, □ умножение/деление числа на 2 увеличивает/уменьшает его логарифм на 0.3 дек, т. е. на 6 дБ; □ умножение/деление числа на 3 увеличивает/уменьшает его логарифм на 0.48 дек. т. е. на 9.5 дБ; □ представив число х произведением степеней чисел 2, 3 и 10, получим формулы приближенного логарифмирования х - 2‘* 3±я| • 10*" « Igx = ±0.3* ± 0.48m ± п, 20lgx = ±6* ± 9.5m ± 20л. (2.7) Решим по этим правилам несколько примеров, а для сравнения в конце ка- ждого из них приведем в скобках округленные до I0'3 точные значения, вы- численные с помощью калькулятора. □ lg!5 = lg(3 10 / 2) = 0 48 + 1-0.3» 1.18 (1.176). □ lg250 = lg(103 / 22) = 3 - 0.3 2 = 2.4 (2.398). □ lg0.7 - Ig7 - 1 = 0.5 lg50 - 1 = 0.5(2 - 0.3) - 1 = -0.15 (-0.155) □ £ = -22 = -40 + 18 = 3 6 - 2 20 дБ =M = 23 / I02 = 0.08 (0.0794). □ A = 120 = 10 • 3 • 22 => L = 20 • (I + 0.48 + 0.6) - 41.6 дБ (41.584). Как видно, приближенное логарифмирование без привлечения какой бы то ни было вычислительной техники дает достаточно точные результаты Амплитудные частотные характеристики дают наглядный ответ на вопрос об усилительных свойствах элемента или системы на разных частотах входного сигнала. Поскольку практически все реальные сигналы не являются идеаль- но гармоническими, а содержат взвешенную смесь гармоник разных частот, то на выход системы преимущественно проходят те гармоники, на чьих час- тотах амплитудно-частотная характеристика больше. Например, если на вход системы, находящейся в состоянии равновесия, подать импульсный сигнал х(/) = б(г) с изображением Дт) = I (см. табл П.1) и равномерным спектром X(j<o) = I, то по (1.18) спектр выходного сигнала Mj<o) будет равен И-Xjco) — комплексной частотной характеристике системы. При произволь- ном спектре входного сигнала A(ja>) спектр выходного сигнала Hj<o) = H4j<u).V(j<u) содержит лишь те гармоники, которые пропускаются системой независимо от того, какова их доля в спектре входного сигнала. Таким образом, система, пропускающая с различным усилением одни гар- моники и поглощающая другие, является фильтром с определенной полосой пропускания частот. В современной теории автоматического управления (И, 29] принято включать в полосу пропускания те частоты ш, на которых коэффициент усиления амплитуды не уменьшается более чем в Л раз
Глава 2 (рис. 2.5, в) или нс опускается более чем на 3 дБ (рис. 2.5, б) ниже уровня усиления постоянного сигнала- , Дш) г ДО) - 3. Иначе говоря, мощность пропускаемых гармоник, пропорциональная квад- рату амплитуды напряжения или тока, нс меньше половины уровня мощно- сти постоянного сигнала, имеющего нулевую частоту. Выбор для сравнения именно нулевой частоты, лежащей в полосе пропускания системы, обуслов- лен чрезвычайно большой ролью установившегося режима в работе любой системы управления. Рис 2.5 Данное определение полосы пропускания условно: оно неприменимо, на- пример, к астатическим системам, у которых Л(0) = «• (рис. 2.5, в). А у сис- тем, имеющих на низких частотах дифференцирующие свойства, значение Л(0) = 0 и полоса пропускания по введенному определению становится ну- левой (рис. 15, г). В радиотехнике такого рода системы — резонансные уси- лители — составляют большинство. Поэтому там принято отсчитывать по- лосу пропускания по уровню, в 41«1.4 раза или на 3 дБ меньшему лтокш- мума амплитудно-частотной характеристики (22]. С учетом сказанного рассмотрим некоторые типы фильтров и вил их полос пропускания.
Частотные характеристики элементов и систем управления___________131_ □ Множество отдельных элементов и большинство замкнутых систем управления представляют собой фильтры низких частот (ФНЧ), усили- тельные свойства которых максимальны на частотах со е |0, <n,il, где Ц, — верхняя граница полосы пропускания (см. рис. 2.5, а). Те устройства, кото- рые называют широкополосными усилителями и полагают их коэффици- енты усиления постоянными, так или иначе теряют свои усилительные свойства на высоких частотах, т. е. имеют конечную полосу пропускания (рис. 2.6, а). Термин «широкополосный» применим к усилителю при ус- ловии, что его полоса пропускания частот перекрывает полосы пропус- кания других элементов системы □ Идеальный фильтр высоких частот (ФВЧ) имеет полубесконечную по- лосу пропускания |w„,«) (рис. 2.6, б) и применяется для удаления из сигнала низкочастотных гармоник. Физически реализуемый фильтр вы- соких частот, как и широкополосный усилитель, имеет конечную верх- нюю границу полосы пропускания. В качестве примера высокочастотно- го фильтра можно привести С7?-цепочки с передаточными функциями Тз / (1+ 7i), устанавливаемые между усилительными каскадами для ис- ключения распространения постоянной и низкочастотных составляю- щих сигнала по усилительному тракту. □ Полосовой фильтр характеризуется двухсторонне ограниченной поло- сой пропускания . WnJ (рис. 2.6, е) и используется для избира-
132 тельного выделения полезного сигнала нужной частоты из смеси раз- личных сигналов и шума. Примером полосового фильтра с узкой по- лосой пропускания может служить колебательный контур радиопри- емника, настраиваемый на частоту сигнала желаемой радиостанции. □ Заграждающий (режекторный) фильтр с двумя полосами пропускания |0, Wnil и (рис. 2.6, г) предназначен для вырезания из сигнала нежелательных гармоник в полосе частот (ц,|, ц^). Показательными примерами таких устройств служат фильтры подавления в звуковом сиг- нале колебаний сетевой частоты 50 Ги или шипа иглы звукоснимателя в проигрывателе виниловых фампластинок. 2.2. Частотные характеристики типовых звеньев Типовые звенья - это элементы, передаточные функции которых имеют в числителе или знаменателе полином минимальной (от нулевой до второй) степени с действительными коэффициентами: □ безынерционный усилитель нулевого порядка с передаточной функцией □ дифференцирующее звено первого порядка с передаточной функцией Щх) = Лг. а форсирующее звено ИТх) = Ml + ТУ); первого порядка с передаточной функцией а интегрирующее звено первого порядка с передаточной функцией а апериодическое звено W 1 + ТУ первого порядка с передаточной функцией функцией □ форсирующее звено второго порядка с передаточной IHj) « К( 1 + 2£7У + Г?); □ колебательное звено второго порядка с передаточной W(,)------ нащ+тУ функцией звено чистого запаздывания с передаточной функцией W(,)= ° .
Частотные характеристики элементов и систем управления 133 Буквенные параметры передаточных функций типовых звеньев должны удовлетворять следующим условиям. □ Значения коэффициента усиления К и постоянной времени Т могут быть любого знака. Типовые звенья с Т< 0 принято называть неминимально- фазовыми в том смысле, что их фазочастотные характеристики отклоне- ны от характеристик аналогичных звеньев с положительными постоян- ными времени Т и левыми корнями полиномов передаточных функций. □ Коэффициент затухания (демпфирования) звеньев второго порядка 0s£< 1. При 1 полином 1 + 2!j7J + 7V имеет два действительных корня и две постоянных времени Следовательно, он может быть разложен на произведение простых мно- жителей: 1 + 2t,Ts + TV = - j,)(j - д>) “ (1 + Пл)(1 + TiJ), (2.8, 6) а звено с таким полиномом в числителе или знаменателе передаточной функции не является типовым: его можно заменить последовательным соединением двух форсирующих или апериодических звеньев первого порядка. □ Время запаздывания т > 0 Далее и впредь до особого упоминания мы бу- дем рассматривать элементы и системы без запаздываний, т. е со значе- нием т = 0. Поскольку любой действительный полином степени л > 2 имеет п корней, а его комплексные корни всегда попарно сопряжены, то не существует типо- вых звеньев с полиномами третьей и более высоких степеней: такие пати- номы всегда можно представить произведением полиномов первой и второй степеней. & Пример 2.1, Рассмотрим этапы построения частотных характеристик типовых звеньев на примере апериодического звена с передаточной функцией 1 Получим комплексную частотную характеристику, подставив в переда- точную функцию J = jox Pb(u)+)Qi№ к i+j7to
134 Глава 2 2. Получим вещественную и мнимую частотные характеристики, умножив полиномы B(ju) и на комплексно-сопряженный полином Л(-j<o): =р(ю)+je((o)= к-»™> /л(ш)+0л(“) 1+Т2ш2 Построим в равномерном масштабе частот графики вещественной Р(ш) (рис. 2.7, о) и мнимой 0(ш) (рис. 2.7, б) частотных характеристик: р(л Рв^л^+Ов^л^) = К ^л(“)+Йл(м) 1+Т2ш2 ’ п(.Л Ов(<о)РЛ(о))-Ра(ш)2л(ш) = -МЪ /эл(и)+2л(ш) 1+Г2со2 Опорные точки для ручного построения этих графиков: • при ш - 0 графики начинаются в Я(0) = К и 0(0) = 0; • на средней частоте ц. = 1 /|7] вещественная частотная характеристи- ка проходит через точку Р(Шс) = 0.5Z, а мнимая Q(u>c) = -sgn(7) 0.5К достигает экстремума - минимума при КТ > 0 и максимума при КТ<Ъ. • в пределе ш -> ~ оба графика сходятся к нулю. Годограф Л(<р) как функция параметра ш g |0, ~) удовлетворяет уравнению
Частотные характеристики элементов и । 135 полуокружности с радиусом 0.5|А| и центром (0.5К, 0), находящейся в со- ответствующем квадранте, определенном знаками Р(ш) и 0(ш) (рис. 2.8). Опорные точки годографа: • при w = 0 он начинается в точке (К, 0); • на частоте ш = график проходит через точку (0.5К, -sgn( 7) 0.5/0; • в пределе ш -»•» годограф сходится в начало координат. 4. Построим в равномерном масштабе графики амплитудной Л(<о) (рис. 2.9, а) и фазовой <р(ш) (рис. 2.9, б) частотных характеристик. Осо- бое внимание следует обратить на расположение графика фазочастотной характеристики в зависимости от знаков чисел К и Т: A(fo) = ^P2(u>)+Q2(w) = . 1*1 , Vl + Т ш2 I-arctg(7o>) при К >О, - arctg(7"(o)+180° при К < О, Т > О, -arctg(Tw)-180° при К <О, Т <0.
136 Гпава 2 Рис. 2 9 Рекомендуется строить графики амплитудной и фазовой частотных ха- рактеристик в одном и том же интервале частот и размешать их верти- кально друг под другом для облеггения совместного использования в за- дачах исследования устойчивости (см. гл. 4). Опорные точки для ручного построения амплитудной и фазовой частот- ных характеристик следующие: • при ш = 0 графики начинаются в точках Л(0) = |Я|, а <р(0> = 0 при К> 0 и <р(0) = sgn(7) 180° при АС < 0; • на средней частоте о = ч амплитудная характеристика проходит че- рез точку л(“с)=^= = 0-7|Л'|, а фазовая - через точку <р(ц) = ф(0) - sgn( 7) • 45°; • в пределе ш -»« амплитуда сходится к нулю, а фаза — к значению -sgn(AT) • 90°. Таким образом, полоса пропускания апериодического звена первого по- рядка равна |0. Эго значит, что данное звено является фильтром низ- ких частот. 5. Построим графики логарифмических амплитудной (рис. 2.10, а) Цш) - 20lg|X| - 10lg( I + TV) ’ (2.9, a) и фазовой (рис. 2.10,6) I- arctg(Tw) при К >0. -arctg(T(0)+ ио» при К < 0, Т > 0. (2.9. 6) _arctg(Tw)~|80° при К <0, Т<о'
Частотные характеристики элементов и систем управления 137 частотных характеристик в интервале частот ые (O.lov, 10ц.|, где проис- ходят их основные изменения. Логарифмическая фазочастотная характе- ристика (2.9, б) строится в равномерном масштабе углов и кососиммет- рична относительно средней точки Ф(Ч) - 0.5(Ф(0) + Ф(~))- Рис. 2.10 Задача построения графиков (2 9) облегчается, если сначала провести асимптотические логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики — АЛАЧХ ДДш) и АЛФЧХ Ф3(ш). состоящие из отрезков прямых линий — асимптот на низких и высоких частотах Асимптотиче- ская логарифмическая фазочастотная характеристика имеет еще и со- пряжение на средних частотах. Низкочастотная асимптота амплитудной характеристики . . Г 20 lg | X-1 при <0 < <DC. Ю ” 1201g | АГ | —201g 17* | со приш>шс на частотах to S гц. получается отбрасыванием в (2.9, а) слагаемого 7V«1, а высокочастотная при ш > Ч. имеющая наклон -20 дБ / дек, — отбрасыванием слагаемого I « 7W. Частота (2.10)
138 Глава 2 на которой пересекаются две асимптоты логарифмической амплитудно- частотной характеристики, называется частотой сопряжения. Асимптотическая логарифмическая фазочастотная характеристика состо- ит из низкочастотной (tosO.lc^) и высокочастотной (шг 10ц) горизон- тальных прямых, соединенных среднечастотной (0. lot < ш < 10ц.) сопря- гающей прямой с наклоном ±45°/дек. Например, для коэффициентов К> 0 и Т> 0 асимптотическая логарифмическая фазочастотная характе- ристика описывается формулой (0° приш£0.1шс, -45°-45°lg(7to) при0.1шс <ш< 10о)с. -90° приш210шс. О Главное удобство логарифмических частотных характеристик, помимо большого динамического диапазона, — возможность их быстрого построе- ния по передаточной функции любого типового звена без применения каль- кулятора или ЭВМ благодаря следующим свойствам: □ логарифмические частотные характеристики одинаковы по форме для различных значений и знаков параметров К и Т (можно использовать шаблоны кривых £(ш) и Ф(ш) из плотного прозрачного материала) и от- личаются лишь ориентацией: • изменение величины |А) смещает логарифмическую амплитудно- частотную характеристику по вертикали вдоль оси £; • изменение величины |7| смещает обе логарифмические частотные харак- теристики и частоту сопряжения (2.10) по горизонтали вдоль оси Igw; • изменение знака коэффициента усиления К смещает логарифмиче- скую фазочастотную характеристику параллельно по вертикали вдоль оси Ф на ±180°; • изменение знака постоянной времени Т зеркально отражает логариф- мическую фазочастотную характеристику по вертикали вдоль оси Ф. □ нелинейные логарифмические частотные характеристики можно при- ближенно аппроксимировать асимптотическими, состоящими из отрез- ков прямых линий и строящимися непосредственно по передаточной функции эвена. Логарифмические характеристики строятся путем проведения гладкого со- пряжения между асимптотами. Вопросы выбора ширины интервала сопря- жения и величины отклонений логарифмических характеристик от их асим- птотических приближений рассматриваются в следующем разделе В табл. 2.2 приведены годографы и логарифмические частотные характери- стики всех гиповых звеньев
Таблица 2.2 и его ПФ Ms) АФЧХ А(ф) ЛАЧХ Цш) ЛФЧХ Ф(ш) Безынерционный усилитель К ej К<0 К>0 Ф- 90° Л>0 0*1 1 10 о> 4*1 0 Я<о) = * 1*1 р соы-о o'l 1 Цо>) = 10 ш 201д|К1 -90° Ф(ш)=1 ° V ' [±1 А’<0 ° при К >0 80° при К <0 Дифференци- рующее звено Ks Q‘ К>0 L4 ОДЯ 90° А~>0 о'| 1 10 <0 0 Яш)-0, гк<о Р ОМ - Кш 1 К<1>) = 20Jg|> П + 201дш -90’ Ф(<о)={_9 К<0 0° при К >0 Ю°приА<0

Таблица 2.2 (продолжение) и.го’пФИЪ) АФЧХ А(ф) ЛАЧХ Цш) ЛФЧХФЫ Д<0, Г>0 Q А>0. Т<0 ф ‘£ MlelAI W. А«1.7Х> >- А>0 Г«0 Апериодическое А ,ве"° 1+tr Л<0. /<0 М- *>#. Г>0 i7rV‘ -А7ш [.UIg|A| т ф(т) = 'ам>. ги> ^а>^ Л<0Г«> £Ы и>, |К|<^ч ш 2 дек = 201д|К1 - 101д(1 + Л, = -ЗдБ Г- лс<^Гш)приК > 0 [- 4TCIj(r«>)t 184Гпри* < 0 звено второго порядна 7*/) 1 fa- г/ \1=, 5- OI дту у %? ~ <zl\zH?3 * 101 wm У7» ' п/'Д! t J •» /.(<•)= 3»|<| с | » -Д».6 + 1д;дБ •(»). мд>- 1 1МГ «ф. < < 0
Таблица 2.2 (продолжение) Звано и его ПФ Ms) АФЧХ А(ф) ЛАЧХ Цш) ЛФЧХ Ф(ш) *<0^n Wn А>0 /<0 кф MigiM/A л, к>0 к<о?мрт г>0 1 ч t 90° - ! Ь Is’ *' >< звено К /|.т2«21 1 1 уУ * -90° - -180 — А<0. Т<0 ш Т>0 1 ♦ ЦП ♦ т3,2 4-)- \ 1 ^1-rV^ +(2$Л>)2 / ч -2£Л7ш ’Wp№ -1 4) = 201g 1 К I - Olg^l-rV)2 +(2^<»)2] Лг»-6-1д5дБ Ф((0/ = 2£дех ’ f - arclg [ г при К > 0 -aretg ^^-±180 приК<0 1 1-Та'
Таблица 2 2 (окончание) Звено и его ПФ Ms) АФЧХА(ф) ЛАЧХ Цш) ЛФЧХ Ф(ш) . А ~ Q‘ К<0 Д' 20lg|A1 -180“ Звено чистого запаздывания «9- ЧК|\0 Яш) ж J ОЫ» Al Р ^К>0 Ксоз(тш) -Ksin(tu>) 0 1 1 Кш) = 10 ш 2О|д|К1 -ЗбЬ* г по 180“ — при К > 0 Г 801 1 - — при К < 0
Наиболее сложными частотными характеристиками обладают типовые звенья второго порядка (форсирующее и колебательное) с коэффициентом затухания О < £ < I Этот коэффициент характеризует безвомратные потери энергии: • в механическом цементе, например, маятнике, — на трение в точке подвеса и об окружающую среду; • в электрическом колебательном контуре — на рассеяние тепла в актив- ных сопротивлениях резисторов и соединительных проводов; • в пневматическом или гидравлическом элементе, например, в трубопро- воде. — на нагревание движущейся субстанции из-за изменения в ней давления и трения о стенки трубы. От коэффициента затухания 5 очень сильно зависят все свойства колеба- тельного элемента: • величина, обратная удвоенному коэффициенту затухания 2Е, называется добротностью колебательного элемента Q [15, 18. 22| (не путать доброт- ность с обозначенной такой же буквой мнимой частотной характеристи- кой!). При 5 0-5 добротность больше единицы и, как видно из табл. 2.2. на логарифмической амплитудно-частотной характеристике появляется пик в окрестности частоты сопряжения wt. • на частоте сопряжения амплитудная характеристика (рис. 2.11. о) увеличивается по сравнению с начальным значением /1(0) в Q= 1 / 2£ раз; • частота, на которой амп. ется частотой реюнанса называ- <1>р = шс^1-2£2 Swc. (2.12) При 0<£<1/^2 =0.7 резонанс в недодемпфированнам элементе наступа- ет на частоте, меньшей частоты сопряжения (рис. 2.11, б), а при с, S 0.7 он вообще отсутствует. Колебательный элемент с таким высоким уров- нем потерь называется передемпфированнылг, отношение максимального коэффициента усиления а(о>р )= |К|/2^-J1 к статическому усилению /1(0) = |К называется покамте.кч канюатезьности
Частотные характеристики элементов и систем управления близким к добротности в интервале существования резонанса О < £ S 0.7 (рис. 2.11, б). Отметим, что практически во всех учебниках по автоматическому управлению график Л/(с) ошибочно продолжается и да- лее в область £ > 0.7, увеличиваясь согласно (2.13) до бесконечности при £-> 1, что противоречит здравому смыслу ввиду отсутствия резонанса в передемпфированной системе. Рассмотрим построение частотных характеристик идеатьшмо колебательного звена, которое в предельном случае 5 -» 0 имеет бесконечную добротность и называется автока1ебат&1ьным звеном с передаточной функцией
Для определенности примем К> 0 к Т> 0. После подстановки s = jo> в Ифз) получим комплексную, вещественную (рис. 2.12, а), мнимую (рис. 2.12, о) и амплитудную (рис. 2.12, в) частотные характеристики: *v(jw)=—т-е-, Р(ш)=—т-г, С(ш)’О, А(со)=|---“ч~?! 1-ТЖ 1-rV |1-Г2йг| Особенностью графиков вещественно)! и амплитудной частотных характе- ристик является наличие разрывов второго рода на частоте сопряжения ц. = 1 / Т. которая у колебательного звена совпадает с частотой резонанса Шр, Явление резонанса проявляется в избирательном усилении колебаний с частотой Ыр, имеющихся во входном сигнале. В гл. 3, посвященной изуче- нию временных характеристик элементов и систем управления, будет пока- зано, что при подаче на вход автоколебательного звена гармонического ко- лебания с частотой uij, амплитуда выходного колебания неограниченно воз- растает во времени, что и соответствует значению А(оц>) = <» — отсутствию установившейся амплитуды. Нулевая мнимая частотная характеристика С(ш) означает, что график годо- графа Bjju)) проходит только по действительной оси Р, начинаясь в точке (К, 0) и заканчиваясь в начале координат (рис 2.12, г). Он также является разрывным: • при со —»— 0 годограф удаляется в точку (+<», 0), т. к. Р(и>) > 0; • при ш -+ + 0 годограф продолжается из точки (-“, 0), т. к. Л“) < 0; • на частоте ш = щ наблюдается разрыв годографа из-за того, что 1-Г2ш2=0 и функция Лш) имеет разные знаки на интервалах частот |0, ц.) и (<ц, При использовании годографа для анализа устойчиво- сти он должен быть непрерывным. Для этого ветви комплексной час- тотной характеристики Н'Ою) на частоте разрыва Щ соединяются пунк- тирной дугой бесконечно большого радиуса в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
Частотные характеристики элементов и систем управлений Логарифмические частотные характеристики автоколебательного звена так- же являются разрывными: • амплитудная характеристика Д(ш) = 201gXf - 20lg|l - 7М состоит из двух ветвей, устремленных на частоте резонанса в бесконеч- ность (рис. 2.12, д), в связи с чем в асимптотической характеристике к двум асимптотам с наклонами 0 дБ / дек и -40 дБ / дек добавляется третья асимптота — дельта-функция 8(<о - <ц); • фазовая характеристика ф J 0°приш<шс. [-180°прн<о>ц. на частоте резонанса скачкообразно изменяется на -180’(рис. 2.12. е). Это явление называется переворотом фазы. Скачки фазы на +180° и -180°, вообще-то. эквивалентны, поэтому при руч- ном построении фазовой характеристики будем усювно считать, что у фор-
148 Гпава 2 сируюшего звена второго порядка с передаточной функцией W(s) = 1 + TV скачок фазы составляет +180°, а у автоколебательного звена с передаточной функцией Щт) 1 / (I + 7V) он равен -180°. При машинном построении частотных характеристик соседние точки на дискретных частотах ш; и мм по умолчанию соединяются отрезками пря- мых, разрывы исчезают, а характеристики оказываются неверными. Вот по- чему нельзя всецело полагаться на правильность компьютерных расчетов по общим формулам в отдельных частных случаях, например, при построении частотных характеристик звеньев второго порядка при £ -> 0. Понимая сущность происходящих явлений, нужно в этих случаях предусматривать в программах специальные способы обработки данных, например, раздельное построение ветвей разрывных графиков. Типичный пример бездумного применения теоретически верной форму- лы — построение фазочастотной характеристики непосредственно по формуле (2.6), используя имеющуюся в большинстве языков программи- рования функцию арктангенса atan(x) с одним аргументом х= 0(ы) / А и) Почему-то многие часто забывают, что эта функция воз- вращает главное значение угла в интервале <р е (~л / 2, я/ 2). Она не чув- ствует всех четырех сочетаний знаков вещественного числа Р(ш) и мнимого числа С(ш), правильно рассчитывая фазу комплексной точки только в первом и четвертом квадрантах, где Р(ю) > 0. Из-за этого при- ходится при Лш) < 0 делать коррекцию возвращенного угла путем его смешения на sgn(Q(o))) 180°. Вообще невозможно с помощью функции atan вычислить фазовый угол точки И^й) на мнимой оси с нулевой дей- ствительной частью Р(и>). Гораздо более эффективным представляется использование другой функ- ции вычисления арктангенса, работающей с двумя аргументами Р(и>) и 0(ш). В Mathcad |19| и многих языках программирования эта функция называется atan2(x.y) и возвращает значение угла комплексного числа х + jy а интервале ф € (-я, я| с учетом обоих знаков аргументов х и у В Mathcad есть еше одна подходящая функция arg(z) вычисления фазо- вого угла <р е (-я, я] комплексного числа z = х + jy. Применение функ- ций atan2 и arg гарантирует правильность построения фазочастотных характеристик в интервале (-180*. 180*1. кУда умещаются фазочастотные характеристики всех типовых звеньев до второго порядка включительно. На рис. 2.13 приведен листинг Mathcad-программы расчета и построения графиков частотных характеристик колебательного эвена с коэффициен- том усиления К = 2, постоянной времени Г= 0.05 с, резонансной часто- той ох, = 20 рад / с (/р = 3.2 Гц) и коэффициентами затухания £ е {0, 0.1. 0.25, 0.5, Ц.
Частотные характеристики элементов и систем управления Рис. г 13
2.3*. Погрешности аппроксимации логарифмических частотных характеристик типовых звеньев Исследуем абсолютные погрешности ДДш) = Цш) - £0(ш). ДФ(<о) = Ф(ш) - Ф„(ы) аппроксимации нелинейных логарифмических частотных характеристик с помощью асимптотических характеристик типовых звеньев первого и второ- го порядков с коэффициентами усиления К > 0 и постоянными времени Т> 0. Для других знаков чисел К и Г характеристики приведены в табл. 2.2. В анализе будем использовать нормированную логарифмическую частоту w=lg(Tw)=lg—, шс гае = I / Г— частота сопряжения. Нормировка масштабирует интервал частот о»е [O.lot, lOod в интервал we [-1, 1) и позволяет глубже понять свойства погрешностей логарифмических характеристик. Переход от лога- рифмических частотных характеристик £(<о) и Ф(ш) к нормированным L(w) и Ф(») осуществляется путем подстановки 7Ъ= 10«. Апериодическое звено с передаточной функцией vv(5)=]7^ Нормированная логарифмическая амплитудно-частотная характеристика апериодического звена Z(w)’201gA'- 101g(l + 10’“) аппроксимируется двумя прямыми (рис. 2.14, л): , . [ 201g К Viv S 0 - горизонтальная прямая . Z_lwl = ( | 201gK’-20w Vw» 0-прямая с наклоном-20 дБ/дек . Погрешность ее аппроксимации находится следующим образом: • на низких частотах » < 0 очевидно, что Д£(о>) = - l0lg(I + 102“); • на высоких частотах w > 0 получим ДЦ») - -IOIg(l ♦ IO2") + 20w - -lOlgd + 1Q1-) - l0lg(I0-2*) - -I0lg(l0-’* + 1).
Частотные характеристики элементов и систем управления 151 Таким образом, погрешность аппроксимации логарифмической амплитуд- ной характеристики апериодического звена есть четная функция частоты Д4(н») = -10lg(l + 10-2М) и имеет наибольшее отклонение на частоте w = 0, т. е. о> = «ь (рис. 2.14, б): Л, = ДЦО) =-!0lg2 =-3 дБ. (2.15) О дБ/дск 2Qt Рис.2 14 На расстояниях йд = ±1 дек отклонения равны Д4(Йд) = IOlgl.01 = -0.0432 дБ, что составляет 1.44% от Л(. Таким образом, логарифмическая амплитудно- частотная характеристика отличается от асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики в основном на интервале частот сое |0.lufc, Ютц.) шириной 2 дек вокруг частоты сопряжения ч Аппроксимируем логарифмическую фазочастотную характеристику Ф(ю) = -arctg(10*) тремя прямыми с неизвестным пока параметром £Х» (рис. 2.15, а): 0° Vw S -йф - горизонтальная прямая. Фа(н,) = - 45*11 + j V - йф < н- < Йф - наклон - 45/йф град/лек, - 90° Viv & -йф - горизонтальная прямая.
иг Гпава 2 Нечетная функция погрешности аппроксимации фазовой характеристики (рис. 2.15, б) ДФ(») = -arctg(lO“)VH’S-fl0, -arctg(10“j+ 45°fI+^-j V - < w < Пф, (2.16) -arctg(10“)+90° tf *>$!<„ Рис. 2.15 существенно зависит от О» — полуширины среднечастотной части логариф- мической фазочастотной характеристики. Оптимальное значение этого па- раметра находится решением минимаксной задачи =ar8| min тах|Дф(к] j. (2.17) Данная запись означает следующий алгоритм определения О*. I. Задается значение О» и по формуле (2.16) строится график функции 2. Находится максимальная погрешность аппроксимации логарифмиче- ской фазочастотной характеристики max ДФ = шах|ДФ( »v)|.
Частотные характеристики элементов и систем управления 3. Пункты / и 2 повторяются для разных и из всех значений шахДФ выбирается минимальное Соответствующее ему значение О® является решением минимаксной задачи поиска оптимальной полуширины сред- нечастотной части асимптотической логарифмической фазочастотной характеристики. Так как функция |ДФ(н')| не является гладкой ни по аргументу w, ни по па- раметру Йф, то решение задачи (2.17) может быть найдено только численны- ми методами на ЭВМ, что и было сделано с помощью программы на языке Mathcad. Результаты расчетов приведены на графике тахДФ(О«) (рис. 2.16) и дают оптимальную полуширину среднечастотной части логарифмической фазочастотной характеристики О® = 1.013 дек с минимаксной погрешностью ДФ = 5.534°. Для удобства вполне приемлемо использовать значение О*» 1 дек, при котором погрешность аппроксимации логарифмической фазочастотной характеристики нс превышает 5.7Г или 6% от полного ин- тервала изменения фазы |Ф(“=) - Ф(0)| = 90° Выводы • Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев первого порядка с передаточными функциями К (I + Ts) и А' / (1 + ТУ) хорошо аппроксимируются асимптотическими характеристиками (см. табл. 2.2) с максимальными погрешностями по амплитуде 3 дБ и фазе 5.7°. * Ширина среднечастотной части логарифмических характеристик равна 2 дек вокруг частоты сопряжения ut “ 1 /1Т).
Колебательное звено с передаточной функцией ' 1 + 25TS + T1? Нормированная логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена Д*.« = 201g/T - 10lg((l - Ю2*)2 + 441 102*) аппроксимируется двумя прямыми (рис. 2.17, о): {201gК tfw<0-горизонтальная прямая, 201g К - 40w Vie > 0 - прямая с наклоном - 40 дБ/дек. Четная по частоте функция погрешности аппроксимации амплитудной ха- рактеристики звена второго порядка АДч$) = -IOlg((l - 10’W + 442 - IO’2!*!) зависит как от частоты w, так и от коэффициента затухания 0 < 4 < 1. На рис. 2.17, 6 изображено по одной из симметричных ветвей AZ.(w, 4) № раз- ных значений На частоте сопряжения отклонения логарифмической ам- плитудно-частотной характеристики от ее асимптотической формы вычис- ляются по формуле л2(4) = АДО, а = -201g(24) => -6 - 20lg4 дБ. (2.18) «) Рис. 2.17 Проанализируем построенные на рис. 2.I8, а зависимости погрешностей Л2(4) и тахАД4)=тах|ДДн’,4)| от коэффициента затухания 4: • при 0.25 S 4 < I максимальная погрешность аппроксимации амплитуды не превышает 6 дБ, а вместо нелинейной амплитудно-частотной харак-
Частотные характеристики элементов и систем управления теристики достаточно строить асимптотическую логарифмическую ам- плитудно-частотную характеристику; при 0 < £ < 0.25 нужно обязательно строить реальную логарифмическую амплитудно-частотную характеристику с резонансным пикам величиной Aj(^) для колебательного звена или антирезонансной впадиной глубиной -Aj(4) для форсирующего звена второго порядка; при = 0 погрешность аппроксимации на частоте сопряжения стремит- ся в бесконечность. Это означает разрыв амплитудно-частотной харак- теристики на две ветви а) б) Зависимость Яд(£) полуширины среднечастотной части логарифмической амплитудно-частотной характеристики от коэффициента затухания ё полу- чим из следующего соображения. При ъ = I колебательное звено эквива- лентно последовательному соединению двух апериодических звеньев, даю- щих на частоте Ql = । дек суммарную погрешность аппроксимации 201g 1.01 =-0.0864 дБ. Поэтому мы будем определять значение QH4) по ми- нимальной частоте, на которой |д£(и', 5)| - 0.0864 Решение этой задачи с помощью программы Mathcad приведено на графике построенном на рис. 2.18, б. Видно, что ширина среднечастотной части логарифмической амплитудной характеристики ни при каких 5 не превышает двух декад, а при 5 е [0.6, 0.71 — одной декады. Аппроксимируем логарифмическую фазочастотную характеристику ’Рвмя прямыми с неизвестным пока параметром О» (рис. 2.19, <»):
156 Глава 2 Фл(») = 0° V»v i -йф - горизонтальная прямая, -wjl + ^-jv-Йф <»<йф -наклон -90/йф град/дек, -180° V»v & -Оф - горизонтальная прямая. Нечетном функция погрешности аппроксимации логарифмической фазоча- статной характеристики (Ф(н’)Уи^-йф, ДФ(и’) = Ф(и’) + 90’(1 + w/йф) V - йф < w < йф, [фМ + ^О’Уи'^йф изменяется аналогично графику на рис. 2.15, б. Оптимальное значение по- луширины среднечастотной части логарифмической фазочастотной характе- ристики Q* находится решением минимаксной задачи (2.17) для каждого значения Результаты вычислений в среде Mathcad приведены на графиках ЙФ(5) и тахДФ(£) (рис. 2.19, б): сплошные графики — оптимальные, пунктирные — при линейной зависимости от t Видно, что не увеличивая существенно погрешности аппроксимации шахДФ, вполне приемлемо принять удобное значение £!♦ = £, при котором 11° < шахДФ < 23.4°, что составляет от 6 до 13% полного интервала изменения фазы |Ф(«>) - Ф(0)| = 180°. а) в) Рис. 2.19 Выводы • Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев второго порядка с передаточными функциями К • (1 + 2\Ts + TV) и K/(l + 2VA+ 7V) хорошо аппроксимируются асимптотическими ха-
Частотные характеристики элементов и систем упраоления 157 рактеристиками только при 0.25 < < 1 с максимальными погрешно- стями 6 дБ по амплитуде и 22° по фазе При 0 $ £ < 0.25 асимптотическую амплитудную характеристику необхо- димо дополнить резонансной впадиной или пиком величиной Aj = -6 - 20lg£, дБ (см. табл. 2.2). Ширина среднечастотной части амплитудной характеристики нс пре- вышает двух декад, а ширина интервала переворота фазы близка к зна- чению 2$ декад вокруг частоты сопряжения ц. = I /17*|. 2.4. Частотные характеристики сложных систем Передаточную функцию системы И^з) можно представить в виде произве- дения (1.36, в) передаточных функций типовых звеньев Иф), а комплекс- ную частотную характеристику W^jco) — произведением типовых комплекс- ных частотных характеристик ИОДы): и'6ы)=П^6ш)= П =|пА0“)|е ' = Л0<о)в-1ф^ Таким образом, амплитудная, фазовая и логарифмическая амплитудная час- тотные характеристики системы, представленной последовательным соеди- нением типовых звеньев, имеют вил Л(<о)= П А,(оз). <р(из)= Х<р(Н L(w)= 201g f] А,(ш)= £201gA,(w)= Возможность суммирования, в том числе и графического, логарифмических частотных характеристик типовых звеньев изменяет алгоритм построения час- тотных характеристик сложных систем, который в сравнении с алгоритмом, строящим частотные характеристики типовых звеньев (см. пример 2.1), те- перь выглядит следующим образом. I Найти нули (корни полинома числителя Я(з)) и полюсы (корни полинома знаменателя Л(.т)) передаточной функции И)л) и представить последнюю в виде произведения передаточных функций типовых звеньев И'Дз) Ну- мерация постоянных времени типовых звеньев Г, сквозная по убыванию модулей |7}|. 2. На частотных осях lgu> выбрать интервал
158 Глава 2 [max|T,|’ min|7] | округлить его до целого числа декад и нанести возрастающие частоты сопряжений звеньев = 1 / | FJ. 3. Построить в общих осях (L, lg<o) асимптотические логарифмические ам- плитудно-частотные характеристики типовых звеньев Lai(w), а в общих осях (Ф. Igw) асимптотические логарифмические фазочастотные характе- ристики Фа1(<о). 4. Согласно (2.19) графически сложить Ц/ш) и Фа,(ы), получив асимптотические характеристики системы Ц(о>) и Фа(ш). 5. С учетом погрешностей аппроксимации построить реальные характери- стики системы Цш) и Ф(ш). 6. Построить в равномерном масштабе [рафик амплитудно-частотной ха- 7. По графикам А(ш) и Ф(ш) построить годограф комплексной частотной характеристики W(jw). 8. Отслеживая проекции точек годографа на беи координат, построить в равномерном масштабе графики вещественной /\ш) = Re{ и мни- мой Q(°>) ~ 1пт( частотных характеристик. Наиболее трудоемким является первый этап, требующий расчета корней полиномов и разложения их на простые множители. Последний раздел гла- вы специально посвящен этой теме. Остальные этапы с помощью табл. 2.2 выполняются за 5 + 10 мин для сис- тем практически любого порядка. После четвертого этапа нужно проверить правильность построения асимптотических характеристик по расположению асимптот на низших (при о> -» 0) и высших (при ш -» ~) частотах. Эта про- верка легко выполняется непосредственно по коэффициентам передаточной функции системы. □ На низших частотах ш « I / max|TJ свойства системы близки к свойст- вам типового звена с передаточной функцией W(s—0), равной' • Ло / Oq для статических систем, при этом: • асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика 1>(ш) = 20lg|bo / a<J есть горизонтальная прямая. • асимптотическая логарифмическая фазочастотная характеристика Фа(<о) начинается с угла 0" при Д) / > 0 или с ±180° при Ьц / ао < 0; • / оо. «ели полином числителя передаточной функции
159 Частотные характеристики элементов и систем управления B(s) = + bk+\S + + Ь^-*) имеет к нулевых корней, при этом: • асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная ха- рактеристика Да(ш) = 201g|At / flol + 20*tgw проходит через точку La(l) = 20lg|/>* / яо1 с наклоном +20* дБ / дек; • асимптотическая логарифмическая фазочастотная характери- стика Фа(ш) начинается с угла 90% при Ьк / а0 > 0 или с угла 90% ± 180° при Ьк/ а0< 0; • Г*Ьо / в*, если полином знаменателя передаточной функции A(s) = ?(fl* + + + aZ’*) имеет к нулевых корней, при этом: • асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная ха- рактеристика Z.a(a>) = 2Olg|Ao / fl*] - 20*lgw проходит через точку Z.j(I) = 2OlgjAo / в*| с наклоном -20* дБ / дек; • асимптотическая логарифмическая фазочастотная характери- стика Фа(ы) начинается с угла -90% при Ло / а* > 0 или с уг- ла -90% ± 180° при Ьо / о* < 0. □ На высших частотах ш » 1 / min|T,| свойства системы близки к свойст- вам типового звена с передаточной функцией W(s-»~) = sm*nbm/an, у которого: • асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характери- стика Д,(ш) = 201g|Z>„ / а„| + 20(от - n)lgw проходит через точку Д,( 1) = 20lg|Z>„, I а„ | с наклоном 20(л* - л) дБ / дек; • асимптотическая логарифмическая фазочастогная характеристика Фа(ш) сходится к углу 90°(л> - л) при bm / а„ > 0 или к углу 90°(/и - л) ± 180° при Ь„/ а„< 0. Проиллюстрируем на рис. 2.20 аддитивный метод построения логарифмиче- ских характеристик на примере схемы (см. рис. 1.44) с передаточной функ- цией И'(г)=у^,тг°, 7% 0, представляемой произведением передаточных функций двух звеньев первого порядка — неминимально-фазового форсирующего и апериодического И'Нз) - I - V, 1+Гз Фазочастотные характеристики обоих звеньев Ф|(<о) и Ф*(ш) изменяются от О" до -90", так что их сумма Ф(<о) = Ф|(ш) + Фз(а>). начинаясь в О', сходится
к -180'. Это означает, что на низких частотах входное и выходное колеба- ния напряжений совершаются примерно синфазно, а на высоких — почти в противофазе. Амплитудная характеристика Цы) = £|(ш) + Lj(<d) в зависимости от соот- ношения постоянных времени г и Т, определяющих расположение частот сопряжения ох = 1 / т и (i)p= I / Т, имеет следующие частотные свойства □ При т < Т (рис. 2.20, а) подъем составляющей L|(w) начинается позже спада, обусловленного составляющей 1-2(ы). В результате коэффициент усиления схемы уменьшается с единицы на низких частотах до т / Т < I на высоких. □ При т > Т (рис. 2.20, б) спад составляющей Ез(ы) начинается позже подъема, обусловленного составляющей Li(u). В результате коэффици- ент усиления схемы увеличивается с единицы на низких частотах до т/Т > I на высоких □ При т = Т (рис. 2.20, в) подъем и спад составляющих L|(w) и L2(w) про- исходят на одних и тех же частотах и компенсируют друг друга. В ре- зультате коэффициент усиления схемы в установившемся режиме по- стоянен и равен единице. Поскольку фазовый сдвиг изменяется с ростом частоты входного сигнала, такая схема называется фазовра- щателем. Это хорошо видно по графикам входного х(/) и выходного у(0 колебаний на частотах а)=0.1шг (рис. 2.20, г) и o)=10<i>7- (рис. 2.20. Л Для правильного ориентирования во времени на гра- фиках отмечены отсчеты г=ЗГ времени установления постоянных параметров выходных колебаний
I и систем управления Рис. 2.20 & Пример 2.2. Построить логарифмические частотные характеристики схе- мы моста Вина - Робинсона (см. рис. 1 32) с передаточной функцией (114) wfrh г 1 + Г2*2 X, з(1 + ЗП+Т2?) постоянная времени которой Т соответствует частоте сопряжения /с = 50 Гц. Решение 1 Прежде всего вычислим значение постоянной времени: — = —= 3.183 мс. 2nfc 100л Полином знаменателя передаточной функции A(s) имеет действительные корни f|2 = ~-3±^ = {-120. -822.5} и разложение на простые множители A(s)=p-~p~p(J+^Xi+^) с постоянными времени Г1=2±^Т-8333мс, Т,=^Г = 1.216мс. 1 2 2 причем Г, Т2 - Р. Таким образом, передаточная функция имеет разло- жение
Глава 2 1 + Г2д на два апериодических звена и предельный случай форсирующего звена второго порядка с коэффициентом затухания 5 = 0. Обозначив частоты сопряжения логарифмических амплитудно-частотных характеристик типовых звеньев как <Hi = 120 рад / с, (^ = 314 рад / с, «из = 822.5 рад / с, построим в частотном интервале ше [1. 10s] асимптотические логарифми- ческие амплитудно-частотные характеристики Ди, 4о, 412 (рис 2.21, о) и логарифмические фазочастотные характеристики Ф3ь Ф3о, Ф32 (рис. 2.21, б). Согласно (2.18) и табл 2.2 асимптота 4о стремится на частоте ц. в График Фао на этой же частоте претерпевает скачок фазы с 0° до +180°. Рис. 2.21
Частотные характеристики элементов и систем управления>63 Просуммировав асимптотические характеристики, получим графики Z.u и Фо, а с учетом погрешностей аппроксимации — графики Цы) и Ф(ю) □ Вместо графического сложения асимптотических характеристик типовых звеньев можно использовать другой прием ручного построения логарифми- ческих частотных характеристик сложных систем. 1 Вычислить, пронумеровать по возрастанию частоты сопряжения звеньев ^=1/17,1 и нанести на осях Igw условные обозначения (наклонные риски) перегибов асимптотических характеристик согласно табл 2.2: • у амплитудного графика на частотах • у фазового графика на частотах ± Л*. 2. Построить начальные асимптоты амплитудной и фазовой характеристик для предельной передаточной функции Щз -» 0). 3. Продвигаясь по осям частот слева направо, изменять наклоны асимптот логарифмических амплитудно-частотных характеристик на частотах <ц(, а наклоны асимптот логарифмических фазочастотных характеристик на частотах ± А». 4. Проверить правильность построения логарифмических характеристик на высших частотах по предельной передаточной функции -»<»). & Пример 2.3. Построить все частотные характеристики системы с переда- точной функцией z 50з + 99? >4998з3-100/ W -400 - 80005+96Г +1920? +з4 +20з5 I Разложим полиномы передаточной функции на простые множители JFJU) = Kts, Kt - -0.125 = -2-’, £|(l) = 201sf*i| = -18 дБ. Ф,(0) = -90°; И'зО)=1 + 2^T3s+T32a\ Ty~ IOc.bh-O.I рад / c, • 0.1;
164 Глава 2 И'40=7Цг-. Д = 0.5 с, 44 = 2 рад / с; 1 + Т4л И5(j) = I - Zjj, Г7 = 0.02 с, 47 = 50 рал / с. 2. Выберем частотный интервал ше (0.001, 100] и отметим на осях Igw частоты сопряжения 42 + 47 и риски перегибов асимптотических ха- рактеристик (рис. 2.22, о, й). 3. Для низкочастотного предела передаточной функции ‘V(w0)=^ = '°125i = W',(j) построим начальные асимптоты логарифмических характеристик: Дп1<ш) = 201gw - 18 дБ, Ф0|(<о) = -90’ 4. Двигаясь вдоль осей Igw слева направо, изменяем наклоны графиков 4(к>) и Фа(ш) согласно нанесенным рискам. 5. Проверяем правильность построения асимптотических логарифмических частотных характеристик по высокочастотным асимптотам: IV(4 -»<»)=— => 4(Ш) = 14 - 201go>aB, Ф,(ш) - 90° » -270° s 6. Строим реальные логарифмические характеристики, сглаживая переги- бы асимптотических характеристик с учетом погрешностей аппроксима- ции (2.15) и (2.18). На частоте 43 амплитудная характеристика имеет свойства форсирующего звена второго порядка с коэффициентом зату- хания •= 0.1: • резонансную впадину величиной ДД = 6 + 201g(0.1) = -14 дБ; • ширину интервала переворота фазы 2Пф = 0.2 дек. На частоте 4<, характеристики имеют свойства колебательного звена с коэффициентом затухания = 0: • разрыв амплитуды £(а>) на две ветви; • скачок фазы Ф(ы) на ДФ = -180°.
Частотные характеристики элементов и систем управления Рис. 2.22 7. График амплитудно-частотной характеристики Л(ш) (рис. 2.23, а), начи- нающийся и заканчивающийся в нуле, также имеет разрыв второго рола на частоте <ц.6. На графике отмечены точки с единичной амплитудой. 8. Годограф WO’co) (рис. 2.23, б) начинается и заканчивается в начале координат, а на частоте шсб разрывается на две ветви Первая ветвь асимптотически стремится в бесконечность под углом Ф(и\:б - 0) — -11.14. Вторая ветвь выходит из бесконечности под
ГлаваS углом Ф((1\:б + 0) = Ф(о^6 - 0) - 180° =-191.14°. Ветви соединены пунктирной дугой окружности бесконечного радиуса в отрицательном направлении. На графике годографа отмечены точки его начала, конца и пересечения с окружностью единичного радиуса Рис. 2.23 4. Проходя по годографу, строим графики вещественной Р(ы) (рис. 2.23, в) и мнимой 0(<о) частотных характеристик (рис. 2.23, г). □ & Пример 2.4. Построить асимптотические логарифмические характери- стики и годографы системы «тележка - маятник». Единицы измерения пе- ременных: И = Н. |</| = см. [<p| = град. Решение Применим без лишних слов методику, изложенную в примере 2.3. □ Система с перевернутым маятником имеет следующие разложения пере- даточных функций (I II) на простые миожители и параметры частотных характеристик (рис. 2.24):
Частотные характеристики элементов и систем управления 100(б0-8д-8?) 600s+940s2 -216s3-100s4 lO(l-T2sXl + T4j) см s(i + r,sXi-^Xi+r5s) Н ' ц, (Л______________180-6Г___________ Ф ’ " n(600s + 940s2 - 216s3 - 100s4)~ 0.573s град (l + T,sXl-T,sXl + r5s) H ' (2.20, о) (2.20, б) Г| = 1.72 с. Ц;| = 0.58 рад/с; 72 = 0.438 с, сна “ 2.28 рад / с; Г3 -0.397 с, (^j = 2.52 рад/с; 7i = 0.305 с, Ц;4 = 3.28 рад / с; 7j = 0.244 с, tuts = 4.1 рад / с.
Глава 2 Рис. 2.24 □ Раагожения передаточных функций (1.12) и параметры частотных харак- теристик (рис. 2.25) системы с обычным маятником следующие: G) - 100(б0 + 8т + 8?) _ d " 600s+ 1100?+ 216? +100s4 . / , й (2.21, а) _ 1(Д1+ 2^т72$ + TVs у см ^С + Г^ + З^ + Т,2? ) Н ' W9(s) ------------------------------ n|600s+ 1100?+ 216?+100s4 J (221 Q 0.573s________град (1 + 7-Д + 2$37-}т + Г,2?) Н • Г, = 1.678 с, <%| = 0.596 рад / с; Г2 - 0.37 с, (Ц2 = 2.74 рад / с, = 0.18; Tj - 0.315 с, <цз = 3.17 рад / с, Ь = 0.246.
о Продолжим обсуждение вычислительных аспектов машинного построения частотных характеристик, но теперь уже на уровне сложных систем. Глав- ным образом, это касается правильного построения фазочастотной характе- ристики ф, = ф(о>,) на всем заданном дискретном множестве частот ш,. Ни одна из имеющихся в языках программирования стандартных функций ие в состоянии возвратить результат ф, вне интервала (-я. я|, г к он формирует- ся не только текущими значениями Лю,) и ®Ч), но и всей предысторией углов Фу V/ < i. То, что фазовые характеристики могут выходить из интерва- ла (-я, я|, доказывает график рис. 2.22, б. Прямое использование в Mathcad-программе функций аеапз или azg при- водит к тому, что при пересечении графиком фазовой характеристики ф(ы) (или Ф(ш)) уровней ±180’ наблюдается скачок угла Аф, = <₽,., - ф, при&шзи- metuHO на +360° (знак скачка противоположен направлению пересечения) Таким способом на рис. 2.26 построена логарифмическая фазочастотная характеристика системы с запаздыванием, имеющей передаточную функцию
Глава? с параметрами Г, = 10 с, Г2 = 1 с, 4 = 0.5 и т = 0.01с. Из трех типовых звеньев, составляющих данную передаточную функцию, первым «тянет, фазу вверх на +90° от ее начального нулевого уровня форсирующее звено с постоянной времени Г|. Далее подключается неминимально-фазовое коле- бательное звено, дополнительно изменяющее угол на +180°. Наконец, после частоты ш > 10 рад/с фазовый сдвиг резко уменьшается звеном запаздыва- ния. На (рафике теоретически гладкой зависимости Ф(ю) хорошо заметно присутствие скачков. О Т1:=10 T2s»l 4“0.S г := 0.01 Ликвидировать ошибочные фазовые скачки можно с помощью следующего алгоритма численного расчета и коррекции фазочастотной характеристики. I Рассчитать углы ф( V / = 0. л на всех желаемых отсчетах частотного ин- тервала с помощью стандартных функций acanz или arg, т. с. без кор- рекции скачков. 2. В цикле I = I, и проверить значение скачка Д<р = ф/ - ч>/— । и при выпол- нении условия |Дф| > 270° сдвинуть все оставшиеся отсчеты углов фу V п на величину -эдНДф) • 360“.
Частотные характеристики элементов и систем управления 171 Для обнаружения ложного скачка фазы величиной примерно ±360° выбрано пороговое значение 270°, благодаря которому остаются в неприкосновенно- сти имеющие право на существование скачки +180°, свойственные типовым звеньям второго порядка с параметром £ = 0. Иллюстрация правильной работы алгоритма приведена на рис. 2.27. Вычис- ление и коррекцию фазочастотной характеристики выполняет функция согф(И,ш;, формальными аргументами которой являются имя передаточной функции W(s) и массив отсчетов частот о». на которых строится фазовая ха- рактеристика. TI:» 10 Т2 > I 5 ••= 0 5 т > 0.01 du:-0 001 п—ccilG.Jdu ') l:»0.. n ajj 10 360sign<A) Рис. 2 27
172 2.5. Частотные свойства замкнутых систем Принцип обратной связи лежит в основе создания замкнутых систем управ- ления, обладающих заданными характеристиками. Продолжим, теперь уже в частотной области, начатое в разд. 1.7 исследование влияния отрицательной обратной связи на свойства системы, образованной охватыванием элемента с передаточной функцией ИДО обратным контуром через элемент с переда- точной функцией H'o(j) (см. рис. 1.33, в). 2.5.1. Частотные характеристики систем с отрицательной обратной связью Основное соотношение, связывающее частотные характеристики разомкну- той и замкнутой систем, получим путем подстановки .? = jo> в формулу (I.20, в) с верхним знаком «+» в знаменателе: %G®)=-------(2.22) ’ i+WiGto^Gw) Мало что в этой обманчиво простой формуле говорит о ее магических воз- можностях для анализа и конструирования. С целью выявления этих воз- можностей обозначим контурную передаточную функцию разомкнутой сис- темы между точками е и z как ИДО = ИДО ИДО, (2.23) контурную комплексную частотную характеристику как (ОДю) и контурную амплитудно-частотную характеристику как Лк(ы) = I В зависимости от глубины обратной связи, устанавливаемой условием (1.24), рассмотрим характерные случаи прохождения контурного годографа WK(ju>) по комплекс- ной плоскости (рис. 2.28).
Частотные характеристики элементов и систем управления___________1_73 □ На частотах, где выполняется условие глубокой отрицательной обратной связи |» I, контурный годограф отстоит от начала координат очень далеко, а частотная характеристика замкнутой системы ЙХ“’ близка к инверсной частотной характеристике элемента обратной связи %(т) и практически не чувствительна к вариациям параметров элемента прямой цепи ^(5). Это полезное свойство глубокой отрицательной обрат- ной связи нами рассмотрено выше, а здесь отметим, что основной вклад в степень глубины обратной связи в правильно спроектированной систе- ме должен вносить большой коэффициент усиления элемента ^(5), но не элемента %($), задаваемого инверсным к желаемой передаточной функции замкнутой системы H^s). Если элемент И^т) охвачен отрицательной обратной связью через стати- ческий элемент Wo(s) = <1 (рис. 2 29, а), то передаточная функция замк- нутой системы согласно (2.24, а) близка к значению 1 / /Co Уставка #(/) с полосой частот, на которой усиление элемента прямой цепи такое, что Л1(в>) » 1 / Ко или £|(ш) > 20 - 20lgA'„ дБ, отрабатывается следящей системой с масштабированием y(i)=g(i}/Ko без искажения формы сигнала (рис. 2.29, б). Это явление лежит в основе принципа конструирования высококачествен- ных усилителей с отрицательной обратной связью: для получения стабиль- ного коэффициента усиления К усилитель с большими, но нестабильны- ми на разных частотах и во времени коэффициентами усиления 4|(<о) = |H/|(jw)| охватывается цепью отрицательной обратной связи через
174 четырехполюсник со стабильным коэффициентом усиления Ко = 1 / К. При выполнении в рабочей полосе частот условий Л|(ш) » Лили £|(о>) > 20 + 201gAfaE цель конструирования стабильного усилителя будет достигнута. Применение глубокой единичной обратной связи (Л"о = 1) при условии соблюдения других важных условий работоспособности, например, ус- тойчивости, позволяет создать следящую систему с передаточной функ- цией Wj(s)= I, отрабатывающую на выходе уставку в масштабе один к одному. Примером такой системы служит операционный повторитель (см. рис. 1.24, б). Еще одно важное техническое применение глубокая отрицательная об- ратная связь находит при создании инверсных систем — устройств, реали- зующих прохождение сигнала в обратном направлении (рис. 2.30, а). Де- ло в том, что лишь очень малый класс пассивных четырехполюсников (симметричные П- и Т-образные схемы) обладает свойством инверсии — обратимости свойств при изменении направления распространения сиг- нала на обратное. Большинство четырехполюсников в обратном включе- нии либо приобретают другие свойства, либо вовсе не работоспособны. Для реализации этой возможности и необходимы инверсные системы с обратными передаточными функциями Согласно (2.24, а) четырехполюсник с инверсной передаточной функци- ей W?"i(j) конструируется путем включения устройства 1Г(5) в обратную цепь усилителя с большим усилением А'у (рис 2.30, б). Благодаря стаби- лизирующим свойствам глубокой отрицательной обратной связи нерав- номерность частотной характеристики A"y(jb>) >> I практически не влияет на качество инверсии. Рис. 2.30 Перечислим несколько прикладных задач, где могут быть полезны ин- версные системы: • аналоговое восстановление входного сигнала некоторого устройст- ва, например, инерционного датчика, качество работы которого не
Частотные характеристики элементов и систем управления 175 удовлетворяет требованиям разработчика системы управления. Ин- версная система с электронной моделью датчика в тракте обратной связи, работающая в идентичных внешних условиях, позволяет по показаниям реального датчика y(i) восстановить состояние объекта МО; • синтез устройства, которое легче и дешевле реализовать в виде инверсного четырехполюсника и установить в цепи обратной связи операционного усилителя. Ярким примером такого устройства слу- жит логарифмический усилитель (рис 2.30, в), статическая характе- ристика которого приведена на рис. 1.17, б. Включение в цепь обрат- ной связи операционного усилителя биполярного л-р-л-транзистора с заземленной базой позволяет улучшить многие недостатки [18] про- тотипа — диодной схемы на рис. 1.17, а. □ На тех частотах, где влияние отрицательной обратной связи ничтожно, т. е. |H^(jco)| « 1, контурный годограф проходит в окрестности начала координат (см. рис. 2.28), а частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем близки друг к другу: = H'iGco). (2.24, б) Если на этих же частотах усиление элемента прямой цепи малб, т. е. вы- полняются условия Л|(ш) « 1 или £|(о») < -20 дБ, то соответствующие гармоники входного сигнала проходят на выход замкнутой системы с большим ослаблением. Нельзя сказать, что это все- гда плохо. Например, ослабление высокочастотных шумов является, оче- видно, полезным свойством. При близком к нулю усилении Я|(<о) вне полосы пропускания разомк- нутой системы можно практически безболезненно удалять из нее ста- рые или добавлять в нее новые звенья, если это ненамного увеличивает усиление и не приводит к потере устойчивости замкнутой системы На- пример, в прямой цепи с логарифмической амплитудно-частотной ха- рактеристикой Z.|(u>) (рис. 2.31, а) ни удаление двух звеньев с одинако- вой частотой сопряжения и>( (см. результирующую логарифмическую амплитудно-частотную характеристику £у(ш)), ни добавление нового форсирующего звена с частотой сопряжения он (см. характеристику 4з(<о)) практически не изменяет полосу пропускания разомкнутой сис- темы, ее годограф И^ш) (рис 2.31, б, л) и основные свойства замкну- той системы.
Глава 2 О Рис 2.31 Данный эффект лежит в основе метода понижения порядка модели слож- ной системы путем исключения из ее передаточной функции несущест- венных звеньев, изменяющих амплитудную характеристику Lt((o) лишь ниже уровня -20 дБ. Тем самым удается упростить модель системы без существенного ухудшения ее свойств в сравнении со свойствами реаль- ного прототипа. На естественный вопрос: а какой выигрыш мы получаем, понижая поря- док и точность модели’ — есть, по крайней мере, несколько ответов: • для моделей невысоких, вплоть до третьего, порядков разработано множество аналитических методов исследования,
Частотные характеристики элементов и систем управления______________177^ • с такими моделями возможно точное аналитическое, и нс прибли- женное численное решение многих задач анализа и синтеза; • существенно облегчается подбор параметров чи< lemroro мол -ч....а ния системы низкого порядка, полученной исключением высокочас- тотных звеньев ниже уровня усиления -20 дБ, ограничивающих сверху допустимый период квантования времени, • при работе инженера < мо (елями невысоких поря псов сушег ....... помощь ему оказывают интуиция и практический опыт общения с окружающими системами апериодического (первого порядка) и ко- лебательного (второго порядка) типов, повеление которых он может предсказать и без сложных расчетов. □ На частотах, где |1 + (Ик()о>)| = 0, контурный годограф проходит вблизи точки (-1, j0) (см рис 2.28). Из (2.22) следует, что на стих частотах уси- ление замкнутой системы очень велико, а при прохождении голографа точно через эту особую точку стремится в бесконечность: (2.24,«) Таким образом, одним из нежелательных последствий введения отрица- тельной обратной связи может сто/пь появление в замкнутой системе ре- зонанса и увеличение колебательности переходных процессов вплоть до потери устойчивости. Особую роль в исследовании устойчивости замкну- той системы играет точка на плоскости контурного голографа с коорди- натами (~l,jO). & Пример 2.5. Разомкнутая система представляет собой некоторое устрой- ство с передаточной функцией ж, (•’)= 1--------------------л () + И).т + 200.т2Д| + 0.1# + з2^ Проанализировать возможность понижения порядка модели разомкнутой системы и изменение в результате этого понижения свойств системы, ымк- нутой единичной отрицательной обратной связью Решение. Построив логарифмическую амплитудно-частотную характеристи- ку разомкнутой системы (рис. 2.31, я) £,(ы)» 20lg4 + (Old --------—-------у-ту----—---------- (|-200ti>7 +100ш* I + 0.01Ш2 определяем из условии Z.((ш,,) - Д|(0) - 3 верхнюю границу се полосы про- пускания ш,, » 0.1 рад / с. Точка сопряжения асимптот логарифмической амплитудно-частотной характеристики на частоте о>| - I рад / е лежит не
Глава 2 только вне полосы пропускания, но и ниже уровня -20 дБ. Следовательно, можно попробовать исключить из модели разомкнутой системы два звена с передаточными функциями (1 -з) и 1 / (I + 0.1з + s2), а затем сравнить свойства систем с передаточными функциями W'i(a) и 1 + 10з + 200з2 замкнутых единичной отрицательной обратной связью. □ Сравнение годографов W|(ju>) и Wjflto) обнаруживает их близость почти на всех частотах и примерно двукратное удаление годографа упрошен- ной модели от точки (—!. jO) (см. рис. 2.31, в). Видимо, следует ожидать увеличения колебательности переходных процессов реальной замкнутой системы в сравнении с процессами в упрощенной модели. □ Сравнение амплитудно-частотных характеристик замкнутых систем L,i(w) и L,j(w) (рис. 2.32, а) также дает основания предсказать повы- шенную колебательность реальной системы в сравнении с упрошенной моделью из-за немного большей величины ее первого резонансного пи- ка Измерив частоту резонанса coj, = 0.16 рад / с, можно по формуле (2.2) оценить циклическую частоту и период колебаний:
Частотные характеристики элементов и систем управления Рис. 2.32 □ Сравнение реакций замкнутых систем h,j(t) и h,2<t) на стандартное входное воздействие в виде единичного скачка хо-|'"р"'га [ 0 при г < О при нулевых начальных условиях (в 41. 3 такая реакция названа переход- ной характеристикой) подтверждает их близость (рис. 2.32. б) и сделан- ные выше предположения относительно колебательных свойств реальной замкнутой системы четвертого порядка и ее упрощенной модели второго порядка. Благодаря чуть меньшей величине резонансного пика ампли- тудной характеристики упрощенной модели Л,г(ы) ее переходная харак- теристика A3i(r) затухает немного быстрее, чем характеристика Л,,(О О 2.5.2. Расширение полосы пропускания Рассмотрим еще одно замечательное свойство отрицательной обратной связи расширять полосу пропускаемых частот охватываемой сю системы. При ана- лизе будем, во-первых, считать элемент обратной связи статическим с пе- редаточной функцией и<,(з) - а;,
Гпааа2 Во-вторых, благодаря совпадению п систем |Щз), аИ5^)} и соотношению пропорциональных ^0= K0Wt(s) 1+*Л|0 жесткая обратная связь с коэффициентом Ко * 1 эквивалентна по полосе пропускания единичной обратной связи, в связи с чем далее будем полагать /ч,= 1. Чтобы понять суть явления расширения полосы пропускания, предполо- жим, что амплитудная характеристика Л|(ю) разомкнутой системы со ста- тическим коэффициентом усиления ЛГ| = Л|(0) имеет вид, показанный на рис. 2.33, о. Верхняя граница полосы пропускания удовлетворяет усло- вию Л|(о)|,) =0.7Л’|. Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы находится по формуле (2.25) Качественно оценим ее значения на разных частотных интервалах: □ на нулевой частоте по (2.25) получим коэффициент статического усиле- ния замкнутой системы 1 + К| Ее полоса пропускания отсчитывается по уровню 0.7Ла(0); О на частотах, где А1(<о) » 1, по (2.24, а) получаем Аз(ш) - 1; □ на частотах, где Л|(<о)« 1, по (2.24, б) получаем Ла(ш) = Л|(ш). Таким образом, каких бы больших значений не достигало усиление ра- зомкнутого контура, в замкнутой системе с единичной отрицательной обратной связью оно составляет около единицы. В то же время на часто- тах с большим ослаблением сигналов амплитудно-частотные характери- стики разомкнутой и замкнутой систем совпадают. Если на всех частотах Л|(ш) « 1 либо Д|(ш) < -20 дБ, то расширения полосы пропускания не наблюдается. Далее нас будут интересовать амплитудно-частотные харак- теристики, пересекающие уровни единичного усиления ЛДщ) = 1 или Li(w) 0 дБ.
Частотные характеристики элементов и систем управления__________________181_ Очевидно, что полоса пропускания идеального фильтра с вертикальными фаницами после охватывания обратной связью не изменяется. Благодаря отрицательному наклону высокочастотного участка амплитудной характери- стики при замыкании происходит сдвиг верхней границы полосы пропуска- ния вправо. Аналогичный эффект сдвига нижней границы полосы пропускания влево наблюдается при замыкании системы со свойствами фильтра средних или высоких частот, имеющего положительный наклон низкочастотного участка амплитудной характеристики (рис. 2.33, б). Значения границ полосы пропускания замкнутой системы и порождаемые замыканием эффекты определяются крутизной склонов амплитудной харак- теристики разомкнутого контура на частотах пересечения ею уровня еди- ничного усиления А = 1. Поскольку наклон амплитудно-частотной характе- ристики принято выражать в децибелах на декаду, то рассмотрим воздейст- вие преобразования (2.25) на отдельные достаточно протяженные (порядка декады по оси частот) участки логарифмической амплитудно-частотной ха- рактеристики, пересекающие уровень L = 0 с типовыми наклонами асим- птот 20/и дБ / дек, где m е{+1. ±2): □ на участках с наклонами ±20 дБ / дек (рис. 2.34, а) разомкнутая система аппроксимируется типовыми звеньями JF|(j) » Xts и ИА(з) = Ajj'1, а пе- редаточные функции замкнутой системы близки к Их логарифмические амплитудно-частотные характеристики монотонно изменяют свой наклон от +20 до 0 и от 0 до -20 дБ / дек с частотами со-
Глава 2 пряжения oJhii = I / ^1 и <Ц«2 = ЛГ2 — границами полосы пропускания замкнутой системы; □ участки с наклонами ±40 дБ / дек (рис. 2.34, б) аппроксимируют ра- зомкнутую систему типовыми звеньями W|(s) = К|S2 и W2(s) = K2s2, а передаточную функцию замкнутой системы — выражениями Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Л/ы) имеет на частотах два острых резонансных пика, приводящих к появлению двух узких по- лос пропускания и усилению колебательности переходных процессов замкнутой системы. Особенно опасен этот эффект на частоте <Пр2 с,,ал11 логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутого контура, где коэффициент усиления Л|(и^2) » |, а отрицательный фазо-
Частотные характеристики элементов и систем управления 183 вый сдвиг ф|(о)р2) близок к значению -180". Говорят, что такая замкнутая система смещается на границу устойчивости. При еще более отрицательном наклоне амплитудной характеристики ра- зомкнутого контура £|((о) на некоторой частоте о)к, где выполняются ус- ловия £1(шк) > 0, Ф|(Шк) = -180", (2.26) наступает потеря устойчивости замкнутой системы, аналогичная самовоз- буждению акустической системы, изображенной на рис. В.4 В заключение анализа получим оценки степени расширения полосы пропуска- ния при охватывании двух типовых звеньев жесткой отрицательной обратной связью через элемент с неединичным коэффициентом усиления Л^, # 1. □ Замыкание апериодического звена первого порядка Иф)=_2_, к>0, Т>0, с шириной полосы пропускания <й„ = у Рал / с, /„ = ~ Гц (2.27) дает по (1.20, в) передаточную функцию замкнутой системы со свойства- ми апериодического звена и следующими коэффициентом статического усиления А„ постоянной времени 7\ и полосой пропускания ц,/ Гз=7Т77-' “го=^- = (‘ + ^оК (2.28) 1 + лл0 1+лл0 /, Отсюда следует важное свойство замкнутой системы: произведение коэф- фициента усиления на полосу пропускания ЛХ, - Лоз,, (2.29) есть постоянная величина, независимая от глубины обратной связи. На рис. 2.35 построены логарифмические амплитудно-частотные характери- стики разомкнутой и замкнутой систем при К= 100 и трех разных ко- эффициентах обратной связи Л'о Графики подтверждают полученные аналитически свойства ширины полосы пропускания <цп: ее линейную зависимость от коэффициентов К и А;„ но обратную пропоршюзимь- кость величине К,.
Рис. 2.35 Большинство выпускаемых отечественной и зарубежной электронной промышленностью операционных усилителей с внутренней коррекцией (при внешней коррекции к операционному усилителю подключаются на- весные радиоэлементы, обеспечивающие устойчивость схемы) обладает передаточными функциями (1.33) и амплитудными характеристиками, подобными графикам /-(со) на рис. 2.35. В разомкнутом состоянии они характеризуются (1, 18, 22]: • усилением в низкочастотной области Ку = 104 + 106; • полосой пропускания (частотой перегиба логарифмической ампли- тудно-частотной характеристики) ц, = 6 + 1800 рад / с (1 <- 300 Гц) и, соответственно, постоянной времени Гу = 0.5 + 160 мс; • частотой единичного усиления Ш| = К^Оп = 6 + 180 рад / мкс (1*30 МГц). При замыкании операционного усилителя цепью отрицательной обрат- ной связи частота единичного усиления не изменяется, а полоса пропус- кания расширяется в I + КК0 раз, т. е. примерно пропорционально росту коэффициента обратной связи /^>. Найдем значение Ко и степень расши- рения полосы пропускания для простейших и наиболее распространен- ных в схемотехнике схем каскадов на операционных усилителях: • коэффициент усиления (1.25, а) инвертирующего каскада (см. рис. 1.24, о) может быть записан аналогично (2.28) при "2 + "О “о Следовательно, степень расширения полосы пропускания в зависи- мости от номиналов сопротивлений навесных резисторов составляет
Частоты» характеристики элементов и систем управления 1В5 шп В 2 + *0 • коэффициент усиления (1.25, 6) неинвертирующего каскада, изобра- женного на рис. 1.24, б, записывается в виде (2.28) при Ко=-Г?Г<1 "О + "20 Степень расширения полосы пропускания в зависимости от номина- лов сопротивлений резисторов составляет Win _ J ! Л20 у “и R20 + R0 ' □ Замыкание колебательного звена второго порядка W(s)=-------К , Г>0,0<5< 1, 1 + 2^Тз+Т2з2 с резонансной частотой и? = Г"1 и шириной полосы пропускания (2.30) определяемой из условия половинной мощности .2г \ К2 К2 А (“)=/—ТТЙ—=-х- |l-r2(i)7+4?W 2 дает по (1.20, в) передаточную функцию замкнутой системы, имеющую свойства колебательного звена И^) =--------L--------- ------ 1 +КК0+2£Ts + T2s‘ l + 2^,T3s + T2s2 со следующими коэффициентом статического усиления Л\. постоянной времени Т„ коэффициентом затухания резонансной частотой и полосой пропускания <цп: ®Л)« й»р71 + КК0 -25’ + 7(1 + ^о-257 + (! + /КК,У
186 Глава 2 Отсюда следует аналогичное (2.29) свойство постоянности произведения коэффициента усиления замкнутой системы на квадрат резонансной частоты: /С,(й^ = ^. (2.32) Ввиду близости частот оу, и оу, свойство (2.32) качественно присуще и полосам пропускания разомкнутой и замкнутых колебательных систем. Но самое важное следствие соотношений (2.31) заключается в увеличении частоты колебаний и степени колебательности таких систем при охваты- вании их цепью отрицательной обратной связи, т. к. по (2.18) уменьшение коэффициента затухания приводит к росту резонансного пика Л2(У Однако длительность переходного процесса, оцениваемая, как будет по- казано в а. Л числом ЗГ/ 5 с, остается неизменной, что при увеличении частоты колебаний ведет к росту числа колебаний до затухания На рис. 2.36, а построены логарифмические амплитудно-частотные ха- рактеристики разомкнутой и замкнутой колебательных систем при К= 100 и трех разных коэффициентах обратной связи К„ Семейство (рафиков на рис 2.36, 6 (обратите внимание на логарифмическую шкалу по оси ординат!) отображает зависимость оу,(£) / Шп(5) степени расши- рения полосы пропускания от коэффициента затухания разомкнутой системы. Графики подтверждают перечисленные выше свойства резо- нансной частоты «у, и полосы пропускания «у< линейную зависимость от квадратов коэффициентов усиления К и К, но обратную пропорцио- нальность квадрату величины Л",. Рис. 2 36
Частотные характеристики элементов и систем управлений 187 Многообразие способов замыкания системы W\(s) не ограничивается же- сткой отрицательной связью через статический элемент Ио(г) = Л'о. При использовании динамического элемента общего вида частотные свойства замкнутой системы определяются контурной передаточной функцией (TK(s), вычисляемой по (2.23) Из всего многообразия обрат- ных связей в практике управления находят применение следующие их виды: □ гибкая связь W0(s) = переходящая с ростом частоты ш от нулевой до бесконечно большой и вносящая в комплексную характеристику WK(j<o) фазовый сдвиг +90’, постоянный на всех частотах; □ изодромная связь !To(s) = £0(1 + 7^) / г. переходящая с ростом частоты о> от бесконечно большой до постоянной с дополнительным фазовым сдвигом И'цОы) от -90* до 0*. Достаточно обширный перечень вариантов охватывания различных систем разными видами обратной связи приведен в [16, табл. 2.4]. 2.5.3. Свойства систем с положительной обратной связью Настало время разобраться, как положительная обратная связь влияет на свойства замкнутой системы, имеющей в прямой цепи динамический эле- мент с ограниченным усилением. Вспомним, что в разд. 1.8.2 нами обнару- жена эквивалентность двух видов обратной связи — отрицательной и поло- жительной — в рамках идеальной статической модели усилителя, имеющего бесконечный коэффициент усиления Ку -> ~ на всем интервале частот <о е[0, Почему автор так привязался к операционным усилителям, будто бы в при- роде не существует других достойных внимания систем? Выбор данных уст- ройств для исследования влияния обратной связи на свойства замкнутых систем обусловлен следующими причинами: □ богатой номенклатурой выпускаемых микросхем операционных усили- телей с широким спектром параметров; □ удобством электронного моделирования, в том числе и компьютерного, разнообразных технических систем с помощью схем на операционных усилителях; □ способностью компьютерной электронной модели быстро, дешево и безопасно работать в самых экстремальных режимах и значениях пара- метров как операционных усилителей, так и навесных элементов;
188 Глава! □ возможностью проведения натурного эксперимента с электронной мо- делью системы для подтверждения результатов компьютерного модели- рования. Для более достоверного анализа частотных свойств каскадов с обратными связями примем динамическую модель линейного режима операционного усилителя в виде передаточной функции Wy(s) из (1.33) с конечным коэф- фициентом статического усиления Ку и ненулевой постоянной времени Гу. Такими параметрами обладают все выпускаемые промышленностью опера- ционные усилители с внутренней либо с внешней коррекцией, обеспечи- вающей устойчивость замкнутой схемы благодаря сочетанию на частоте единичного усиления наклона ЛАЧХ -20 дБ / дек и фазового сдвига при- мерно равного -90" (см. гл. 4, 6). Сначала получим передаточные функции И1!*) «правильных» схем усилите- лей с отрицательной обратной связью путем подстановки в (1.25) функции Иу(5) вместо коэффициента Ку: □ у инвертирующего каскада (см. рис. 1.24, а) где К =----%>-—<*<>, т =-------------->0; (2.33, а) 1+« R1 , яо + /?2 *2 !, к /?о + R2 * □ у неинвертирующего каскада (см. рис. 1.24, г) И<(»)=~,где К--------<1+*°-, 1+TS К0 + /?20 К20 «ю+—£-------- у (2.33, б) т=-----Ь------->0. 1 + _?м_к Ro + К20 При всех значениях Ку > 0 вплоть до бесконечного постоянные времени т у обеих замкнутых систем остаются положительными, а сами системы — ус- тойчивыми. Далее переходим к исследованию каскадов, в которых обратные цепи по ошибке или злонамеренно подключены через сопротивления Ко к прямым входам операционных усилителей (рис. 2.37). Такой способ соединения дает передаточные функции (2.33), в которых коэффициент Ку заменен на -Ку. В результате постоянные времени т при определенных соотношениях номина- лов сопротивлений и значений Ку могут стать отрицательными, а схемы не-
Частотные характеристики элементов и систем управления устойчивыми'. В том, что это так, нетрудно убедиться путем непосредствен- ного вывода передаточных функций и сравнения их постоянных времени с параметрами т в (2.33): Рис. 2 37 □ для схемы на рис. 2.37, а: Я2 /?0 К()Ку _ Ку У = яо + /г2-Я,*,+(/?() +Яг)7? У~ 1 + Tys‘ Иф)= - , где К =-----%—, Г =------------£--------: (2.34, о) 1 + ts R «о + Кг j------------- □ для схемы на рис. 2.37, 6: Яго Яо Я) -*-Я20 г Яо + Я <20- - (Яо + Яд, —1---------. (2.М.Ф —К, к<>+ к» Обозначив граничное значение
190 Глава 2 исследуем влияние коэффициента усиления Ку > 0 на параметры К и т пе- редаточных функций (2.33, б) и (2.34, б). На рис. 2.38 сплошными линиями построены графики <13М> Ку К„ для схемы с положительной обратной связью (рис. 2.37, б), а пунктирными линиями - (рафики (2-35Л 1+*Г у 1+^ соответствующие схеме с отрицательной связью (см. рис. 1.24, г). Для опре- деленности выбрано соотношение номиналов / Луо = I, при котором я 2. Различия параметров замкнутых систем с разными типами обрат- ной связи налицо, а качественный анализ их свойств позволяет сделать сле- дующие выводы □ При Ку < Krf, что случается при выборе плохого операционного усили- теля и соотношении номиналов сопротивлений ЛЬ » Лм, происходит иивс|х:ия знака К < 0, т. е. превращение пеипвертирующего усилителя в инвертирующий Поскольку постоянная времени т > 0, то замкнутая сис- тема с положительной обратной связью остается устойчивой При этом
Частотные характеристики элементов и систем управления 191 передаточная функция (2.34, б) имеет левый полюс з, = -1 /т < 0, а пе- реходный процесс — сходящуюся составляющую е '/т. □ Пределы Ку -» Кгр ± 0 обладают общими свойствами параметров |Л] -> ~ и М -т о®, но разными знаками их пределов Практически это означает наличие в выходном сигнале линейной составляющей, пропорциональ- ной времени t. □ При Ку > Кф, что практически всегда и бывает, знак К> 0 верный, но постоянная времени становится отрицательной т < 0. В результате замк- нутая система с положительной обратной связью становится неустойчи- вой. ее полюс 5| > 0 — правым, а составляющая переходного процесса е_,/' расходится. В пределе Ку -> ~, соответствующем «йелнлаиу опера- ционному усилителю, расходимость становится мгновенной. Поскольку в конечном итоге исследователя любой системы интересуют ста- тические и динамические свойства ее переходных процессов, построим на рис. 2.39, а графики переходной характеристики апериодического звена первого порядка с передаточной функцией Щз) из (2.34, б) при различных сочетаниях величин и знаков параметров А' и т Вы- числив по (2.35) параметры К(КУ) и х(Ку) для ряда значений коэффициента статического усиления построим на рис. 2.39, б (обратите внимание на разметку осей координат!) переходные характеристики каскадов с отрицательной (см рис. 1.24, г) и положительной (см. рис. 2.37, б) обратными связями.
192 Глава 2 Анализ графиков и всего материала данного раздела позволяет сделать сле- дующие выводы □ только отрицательная обратная связь и бесконечно большой коэффици- ент Ку статического усиления элемента прямой цепи обеспечивают ус- тойчивое и правильное воспроизведение выходного сигнала замкнутой системы в соответствии с ее передаточной функцией; □ уменьшение значения Ку в системе с отрицательной обратной связью приводит к ухудшению качества отработки входного сигнала: • увеличивается статическая ошибка — разность выходных сигналов замкнутых систем с конечным и бесконечным коэффициенгами Ку; • возрастает инерционность замкнутой системы, характеризуемая по- стоянной времени т(АГу); □ система с положительной обратной связью инвертирует знак выходного сигнала и предрасположена к неустойчивости. Существует некоторое граничное усиление прямой цепи К,?, определяющее свойства замкну- той системы: • при Ку < К^ она устойчива с большой инерционностью т(ЛГу) > Ту, • с ростом усиления Ку > Кц, система становится все более неустойчи- вой с малой инерционностью т(Л'у). стремящейся к нулю в пределе Любая реальная система имеет ограниченную область достоверности линей- ной (линеаризованной) модели (см. рис. 1.9). Например, линейный режим работы операционного усилителя действителен при изменении входного напряжения ДУ в интервале [-(/№ / Ку, / /Су| (см. статическую харак- теристику на рис. 1.12, б) Если модуль выходного напряжения |У1(ЫХ| пре- вышает уровень (/„wo то усилитель входит в режим насыщения, имеюший совсем иную математическую модель. Ранее в at. I нами были построены схемы каскадов на идеальных операци- онных усилителях с положительной обратной связью (см. рис. 1.45 - 1.47). Как теперь стало ясно, она действует на замкнутую систему дестабилизи- руюше, особенно при большом статическом усилении элемента прямой це- пи. В то же время, отрицательная обратная связь имеет, как правило, стаби- лизирующие свойства (см. разд. /7). Изучим, наконец, одновременное влияние двух типов обратной связи на свойства замкнутой системы. Согласно (1.32), знаменатель ее передаточной функции может быть как минимально-фазовым (устойчивым), так и неми- нимально-фазовым (неустойчивым) полиномом, в зависимости от сочета- ния типов и номиналов навесных элементов. Таким образом, устойчивость замкнутой системы является результатом борьбы двух противоположных тенденций.
Частотные характеристики элементов и систем управления Например, динамика замкнутого каскада на рис 1.45, а, построенного на неидеальном операционном усилителе И^Ст) = Л"у / (I 4-Tyj), описывается достаточно громоздкой передаточной функцией, полученной не без помощи символического процессора Mathcad: W,(*)= =________________________+ ______________________________________ (Zo + Z2OXZ1Z|| + ZUZ1O +zizio)+^y(5Xz|Z|oZjO + Z|Z||Z20 - ZuZ|0Z0) Ее можно представить в аналогичном (1.20, в) виде i+w(^w^)-w„(s)y соответствующем структурной схеме комбинированного обратного соедине- ния (рис. 2.40, а) со следующими блоками прямой цепи W(s), отрицатель- ной И'(.г) и положительной обратных связей --------------------И\(з). Z|Z|| +Z||Z|0 +Z|ZIO В частности, если все навесные элементы каскада — резисторы, то И-(з) = Л|О (*о + ^10 ) М»_________д- Л,Я|,+Л|Я|0+ЛцЛ|() ?>»• (2.36, а)
194 а замкнутая система имеет передаточную функцию апериодического звена с параметрами (2.28): №-(,)=— к-------- ’ \4-К{К0-Kn)+TyS l + T.ts (2.36, б) к - к т - 1+к(к0-к„У >~1+к(к0-к„У Свойство устойчивости каскада определяется знаком постоянной времени Г3, которая в зависимости от баланса коэффициентов Ко и К„ может стать как положительной, так и отрицательной. Обозначив граничное усиление прямой цепи как , I Mio(*o + *2о) 41 Кп~Ко Я||Л|(|/?о-Я|Л||/?20 ~ ^1^10^20 (2.36, в) запишем с учетом положительности коэффициента К условие минимально- фазовости замкнутой системы I + К(Ка ~ Кп) > 0 в виде неравенств ( 0<К< ПрнК„>Ка. | К >0при К„ < Ко. (2.36, г) В соответствии с ними на рис. 2.40, б (сравните с рис. В.5) построены об- ласти устойчивости и неустойчивости замкнутой системы в пространстве параметров {К, Кп}- Видно, что при доминировании положительной обрат- ной связи над отрицательной устойчивые значения коэффициента К, а, со- гласно (2.36, о), - и Ку, ограничены сверху тем сильнее, чем больше ука- занное доминирование. Численно оценим свойства каскада, построенного на реальном операцион- ном усилителе 544УД2Б с параметрами |18| Ку = 10*. f - 15 МГц, Ту = Ку / 2т/| = 10'< с (2.37) при различных сочетаниях сопротивлений навесных резисторов: □ если все сопротивления одного номинала Я. то по (2.36, о) получим К‘ Ку / 3 - 3 333, К„ » I > К„ - 0.5, - -2, тогда из (2.36, г) следует, что доминирующая отрицательная обратная связь делает схему устойчивой; □ при Яо = 2R и остальных сопротивлениях, равных Я, получим К- 3 333.^-Кп-2/3,
Частотные характеристики элементов и систем управления 195 г. е. положительная и отрицательная обратные связи взаимно компенси- руют друг друга. Согласно (2.36, й), замкнутая система имеет передаточ- ную функцию “ 1F(j) с таким же свойством устойчивости, что и разомкнутая система; □ при Ro = 3R и остальных сопротивлениях, равных R. совместно с (2.36, в) получим К = 3 333, к, = 0.5 < К„ = 0.75, = 4 Неравенство К » K,v означает, что в схеме сильно доминирует положи- тельная обратная связь, делаюшая ее неустойчивой, □ для того, чтобы схема с преобладающей положительной обратной связью была устойчивой, значение Яа должно удовлетворять условию (2.36, г). Например, при Ку = 10 000 интервал устойчивых значений сопротивле- ния Rq очень узок и весьма труден для удовлетворения: С другой стороны, при выборе значения Ro = ЗЯ должен быть малым ко- эффициент Ку < 12. Понятно, что ни один, даже самый плохой операци- онный усилитель до такого низкого уровня качества не опускается, по- этому схема является неустойчивой. На рис. 2.41 построены годографы И 'к0’а>) контурной передаточной функции лля перечисленных выше значений Ro Эти графики будут нами использо- ваны для определения устойчивости замкнутой системы по критерию Найк- виста, о котором пойдет речь в гг 4.
Одновременное использование положительной и отрицательной обратных связей на грани их баланса может служить основой конструирования гене- раторов гармонических колебаний Как сказано в разд. 2.2. незатухающие ко- лебания в принципе могут возникать на выходе автоколебательного типово- го звена с передаточной функцией )Цх) * Л'/(1 + 7s?). В действительно- сти колебательных элементов без обратной связи, обладающих нулевым коэффициентом затухания 5. не существует. Каким бы добротным ни был /.С-конгур, все равно неизбежны потерн энергии колебаний на сопротивле- ниях проводов и материалов радиоэлементов. Следовательно, нужна «под- качка. энергии, компенсирующая эти потери. Эту задачу и решает правиль- но подобранная положительная обратная связь. Пример 2.6. Построить логарифмические частотные характеристики схем, приведенных на рис 1.46, определить их свойства, условия возникно- вения колебаний и их частоту Решение На рис. 2.42 построены искомые характеристики схем неинверти- рующего (я) и инвертирующего (Л каскадов по их передаточным функциям (1.34). Анализ графиков дает основания сделать следующие выводы о свой- ствах схем:
' злементое и систем управления 197 □ первая схема является фильтром высоких частот, что подтверждается предельными свойствами >И(0) = 0 и ИН = а + I * 0 ее передаточной функции ж(.)-(«<.|)-7П(1у-) ; 1 + (2-а)Гт + Т-.Г □ вторая схема является полосовым фильтром, что подтверждается предель- ными свойствами ЩО) = 0 и = 0 ее передаточной функции -(Р + 0—-----$-----r-г; l + (2-P)Ts + T2? □ частотные характеристики обеих схем £(ш) и Ф(<в) проявляют колеба- тельные свойства с частотой резонанса = 1 / Т в интервале измене- ния параметров а е (0, 4) и р е (0, 4), где модули коэффициентов загу- хания ( = 1 - 0.5а и £ = I - 0.50 становятся меньшими единицы; □ при а = 2 и р = 2 знаменатели передаточных функций становятся рав- ными I + А2, а на частотных характеристиках наблюдаются все при- знаки автоколсбательности: • частота колебаний = сор = I / Г, • бесконечные амплитуды /.(Иц) -» =; • скачки фаз ДФ(а»к) “ ‘180'- □ дальнейшее увеличение параметров а > 2 и Р > 2 делает знаменатели и передаточные функции неминимально-фазовыми, что подтверждается соответствующими фазовыми характеристиками Ф(ш) Таким образом, схемы обоих каскадов на операционных усилителях при выполнении условий автоколебателыюсти а - 2, р = 2 (2.39) Могут быть положены в основу конструкций генераторов незатухающих ко- лебаний частотой о\ = I / RC. регулируемой выбором номиналов резисто- ров R и конденсаторов С. Баланс обратных связей устанавливается точной Настройкой переменных резисторов на значения 2Я. Исследуем, как влияет на условия автоколсбательности (2.39) неидеальность операционного усилителя. Возьмем, например, схему на рис. 1.46. а и при- мем использованную ранее модель усилителя Иу(з) = Ау / (I + Гул) как фильтра низких частот с параметрами (2.37). Способности символического процессора Mathcaii позволили выполнить этот нетривиальный анализ и получить следующие результаты.
198 Глава 2 □ Передаточная функция каскада с реальным операционным усилителем описывает систему третьего порядка: IV(5.a)= (g+lXn-Tt) (2.40, о) Легко заметить, что при Ау « и конечном значении Ту эта передаточ- ная функция совпадает с (1.34. а) Подставив в (2.40, а) параметры операционного усилителя Ту = 10’* с, получим при a = 2 численно-параметрическое передаточной функции каскада от постоянной времени Т Ts(l + Ts) Ky = 104 и выражение W(x,2)=------------------------------------ 0.33343 + (ЗООООГ + 1)-10*8з + + (р.33343Т + 3 • 10’8 )rs2 + КГ8 Г2? (2.40, 6) □ Из трех корней полинома знаменателя два являются комплексно- сопряженными, а третий — действительным. Например, при постоян- ной времени Т = 10'3 с, соответствующей частоте колебаний А = 1 / 2лГ = 160 Гц, получим следующие полюсы передаточной функ- ции (2.40, б): = -0.449826 ± 999.955), з3 » -33 346 332. Левое расположение комплексных корней означает, что колебания, вы- рабатываемые генератором, будут затухающими, ограниченными экспо- нентами ^е"044”26' и -е^"044*834'. Время двадцати кратного уменьшения амплитуды колебаний составляет 3 / 0.449826 = 2.2 с. Вторым следствием переката от идеальной модели операционного усили- теля к реальной является небольшое (на 0.0045%) уменьшение частоты колебаний с 1000 рад / с до 999.955 рад / с. Третий действительный и далеко отрицательный полюс jj не создает ка- ких-либо проблем с устойчивостью и быстродействием генератора, т. к- порождаемая им составляющая переходного процесса cje'33 346 332' затуха- ет примерно за 0.1 мкс. □ Условие автоколебательное™ системы третьего порядка с полиномом знаменателя г
Частотные характеристики элементов и систем управления 199 /1(5) = (1 + tVXl + 05) = 1 + 0|J + fljJ2 + OjS3, в котором П| = 0, й2 ~ & 11 °] = О*2' имеет вид «|вг = °у Подставляя сю- да полученные из (2.40, а) коэффициенты (2-а)кт + (а + 0(зг + Т,) Г + (а + 1)(т + ЗГ) ---------<77й-----------' °г------------------т- можно вычислить оптимальный параметр а, обеспечивающий как неза- тухающие, так и нерасходяшиеся колебания. Например, при А'> = I04 * * * *. Гу = Ю'4 с и Т= 10~3 с получим оптимальное значение а = 2.0009 > 2 Сложная и без кропотливого анализа непредсказуемая зависимость пара- метра а. регулирующего сопротивление /?(| = aR резистора цепи отрица- тельной обратной связи, как от свойств установленного в схеме операцион- ного усилителя, так и от частоты колебаний, делает конструирование гене- ратора стабильных по амплитуде колебаний весьма непростой задачей. Важно понимать то, что даже заранее тщательно рассчитанное и жестко за- фиксированное значение а все равно не гарантирует устойчивой генерации из-за временного дрейфа параметров операционного усилителя и пере- стройки частоты колебаний Выходом из создавшейся коллизии является использование в цепи отри- цательной обратной связи, задающей значение а, нелинейного резистора Яо, сопротивление которого зависит от действующего значения падающе- го на нем напряжения, т. е. от рассеиваемой им мощности. Такой рези- стор, осуществляющий автоматическую регулировку усиления (АРУ), на- зывается термистором и должен иметь отрицательный температурный коэффициент сопротивления (ТКС). Существуют и другие полупровод- никовые устройства — варисторы, сопротивление которых зависит от те- кущего падения напряжения Из-за практически нулевой инерционности использование варисторов при низких частотах генерируемых колебаний нецелесообразно. Автоматическая подстройка глубины отрицательной обратной связи проис- ходит следующим образом: 3 при неконтролируемом возрастании параметра а и начавшейся расходи- мости выходных колебаний происходит нагревание резистора и уменьшение его сопротивления благодаря отрицательному температурно- му коэффициенту сопротивления. Вместе с этим уменьшаются отноше- ние а = Ло / R и амплитуда колебаний, а схема возвращается в режим автоколебаний;
200 Глава2 □ при неконтролируемом уменьшении параметра а и начавшемся затуха- нии выходных колебаний происходит охлаждение резистора и увеличение его сопротивления. Благодаря этому эффекту значение а и амплитуда колебаний увеличиваются, возвращая схему на границу ус- тойчивости. Для уменьшения колебательности самого процесса автоматической регу- лировки усиления, зависящей от значения температурного коэффициента сопротивления и инерционности тепловых процессов, можно вместо од- ного термистора Я(1 использовать два резистора — постоянный ЛП1 и тем- пературозависимый Яо; << Ли. так чтобы сумма их сопротивленизт была равна 2R. С учетом этого дополнения схема генератора гармонических колебаний выглядит так, как показано на рис. 2.43, в. Колебания возбу- ждаются в момент замыкании ключа и подачи на вход схемы постоянного напряжения 6'0. Почему выбран именно такой входной сигнал и как най- ти амплитуду возникающих автоколебаний станет понятно в гл. 3, по- священной изучению временных характеристик элементов и систем управления. На рис. 2.43, б изображена схема генератора гармонических колебаний, по- строенная на основе рис. 1.46, б. В отличие от схемы предыдущего генера- тора здесь источник входного напряжения подключен в обратной поляр- ности для компенсации инвертирования, присущего передаточной функции (134, б), хотя это и не принципиально для работы генератора. □ 2.6*. Анализ полиномов В заключительном разделе данной главы, носящем вспомогательное значе- ние. рассматриваются вопросы разложения сложной системы на типовые звенья Решение этой задачи состоит в нахождении корней и множителей
Частотные характеристики элементов и систем управления 201 полиномов Л(з) и B(s) передаточной функции системы (1.19, (5). Рассмотрим полином общего вида A(s) = an + + ... + степени п с действительными коэффициентами а, (а„ # 0) и методы расчета корней уравнения Л(з) = 0. Основные задачи численного анализа полиномов следующие □ определение структуры спектра полинома; типа корней (действительно- го и комплексного) и числа корней каждого типа; □ локализация корней (определение интервала расположения) и выбор их начальных приближений; □ итерационное уточнение корней; □ факторизация — разложение полинома на простые множители. & Теорема 2.1 (Гаусса). Полином степени п имеет ровно п действительных или комплексных корней (каждый кратный корень считается кратное число раз). Следствие. Две формы разложения на множители полинома, имеющего корни 5| ♦ s„: А(*)=«оП|'"~] = а"П('’-5<)- <24,-в) □ & Теорема 2.2 Комплексные корни действительного полинома всегда по- парно сопряжены: каждый корень s,= п, + имеет сопряженный ему ко- рень sltt = = т]( - jo),. Доказательство Поскольку s, — корень Л(з), то Л(з,) = 0. Используя аксио- мы комплексной арифметики Zl +Z2 =Z| +г2 . Zl -Z2 =Z|Z2 и свойство действительного числа а=а, определим “Ev/’Lv/ =о = о j Следовательно, х, также начнется корнем полинома Л(х). Следствие Г. если полином имеет комплексно-сопряженные корни « И/ ± м, то в (2.41, о) произведения комплексно-сопряженных мно- *ителей дают действительные множители второй степени:
Гпава 2 (i “ “»(♦! )=^"2П? + П?+И?, НН)-,+г№+гЛ! с параметрами Т 1 Е „т Т< = ;, - -- • = -V, = , ---. +ц Следствие 2. степень полинома и число его действительных корней одно- временно либо четны, либо нечетны. В частности, любой полином нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. Обозначим числа действительных положительных, отрицательных и нулевых корней полинома, соответственно, как л+, л. и «о, а как лк — число пар комплексно-сопряженных корней, тогда число действительных и общее число корней полинома равны лл = л> + л. + л0, л = лд + 2лк, а разложения полинома на действительные множители имеют вид *(*)= "ЙО+7»П(1+ W+7}2з2 ) М ы *(»)*аяз"° П(т -», )fl (i2 - 2пл + ПГ + »?) м i»l (2.41,6) Для расчета корней и множителей полинома необходим определенный инструмент: компьютер, калькулятор или, в крайнем случае, бумага с ка- рандашом вместе с хорошо обученной головой, понимающей сущность методов вычислений и критически осмысливающей полученные резуль- таты. Лучшим помощником студента, инженера, исследователя и разра- ботчика является профессиональный программный продукт Mathcad с богатыми функциональными и интеллектуальными возможностями, раз- витыми графическими средствами, удобным и дружественным интерфей- сом (19). На рис. 2.44 приведен листинг Mathcad-программы расчета корней с помощью функции polyroots, множителей с помощью симво- лического оператора tector и построения графики полинома пятой сте- Л(з) = -400 - 200083 - 304? + 4802? + 101? + 50? (2 42)
Частотные характеристики элементов и систем управления_________________203 График полинома Корни полинома polyroots(a) Рис. 2 44 Переходим к изучению методов исследования действительных полиномов без использования компьютера |4, 6, 12, 14]. К сожалению, такое положение вещей еще типично для среднестатистического инженера или студента, имеющего в нужный момент на вооружении лишь калькулятор, который желательно должен быть программируемым. Что касается расчета значения полинома Л(т)|1=< . то следует выполнять его последовательным умножением А(с) = ( (а„с + я„-|)с + ... + Л|к + ао. а не суммированием слагаемых а,<4, которые могут быть настолько разных порядков, что при округлении произойдет потеря самых малых из них В процессе расчета корней рекомендуется периодически понижать степень полинома >4(зг) путем деления его на полином «з) = «в + *|J + ... + образованный произведением найденных простых множителей типа (г - st) или (1 + Тр) для действительных корней s, и (т2 - 2т)(.« + п(г +ш(‘) или (1 + 25|Т(з + т/д2) для комплексно-сопряженных корней >)/*<*• При деле- нии образуются полиномы частного СМ • ср> C|j+ <Ъ
204 Глава 2 степени / = п - т £ 0 и остатка D(s) = rfm-li"-1 + ... + + d0. Деление полиномов можно выполнить вручную «углом» как деление обыч- ных чисел: V" +W'H+• • -+fli5+ав bmsm "и +.. .+^+*6 -------------------------c(j'+cHsw+...+C|j+c0 (2‘43, °) dW4s"4+...+d1j+d0 В соответствии с этим методом деления последовательно рассчитываем ко- эффициенты со + С/ и do ♦ : с(=^-, С,_| = а"-|~Ь>»-1С'.....r0-f».~Vici- --fcm-<c; fc" Ь"> bm =a«-l ~ •••• dt =Д| -Z>|Cq ~bQCt, do^ao-btfo. (2.43, 6) при этом b, = О V t < 0. Отсюда получаем рекуррентные и матричные формулы (2.43, г)
Частотные характеристики элементов и систем управления 205 для вычисления коэффициентов полиномов с определителем обращаемой матрицы, равным //***(». Признак делимости Л(з) на B(s) нулевой остаток ZXvi При п>убом расчете корней будет получен остаточный полином с ненулевыми коэффициентами rfo + rfm-i- сравнимыми по величине с коэффициентами /1(з) и /?(«). В этом случае требуется уточнить корни и построить новый полином Bis). 2.6.1. Полиномы низких степеней Рассмотрим методы нахождения корней и разложения на множители поли- номов низких степеней п, для которых эти задачи решены аналитически, т. е. точно. □ При п = I полином до + Ф* имеет единственный действительный корень j = -^-. 1 «I При заданном действительном корне 3| и одном из желаемых коэффици- ентов а0 или в| полином первой степени имеет разложения Л(д)-а1(д-дО**ао(1 + Тз), где т.-±.±. а0 □ При л = 2 полином «о + aj3 + ajs1 имеет дискриминант d = af - 4аоа2 и корни , _ ~а1 ,|J ~ 2аг * Если d > 0, то j| и з2 — два различных простых действительных кор- ня. При заданных простых действительных корнях 3| * 3J и одном из желаемых коэффициентов ад или а; полином второй степени имеет разложения Я(з) - а2(з - j|)(j - з2) - «о(1 + Т|3)(1 + Туз), где Т, =-—Vi=172. Г,Г2 = ^- »/ «о
Глава 2 Если </=0, то 3|=зу — один действительный корень кратности 2. При заданном двукратном действительном корне з, и одном из ко- эффициентов а0 или о, полином имеет рахчожения Л(з) = в2(з-31)2 = а0(1 + ft)2, *1 «о • Если rf<0. то j|2 = 4±j«— два простых комплексно-сопряженных корня с действительной и мнимой частями При заданных корнях зц и одном из коэффициентов «о или ау по- лином второй степени имеет разложения ><(j) = я2(? - 2т]з + т)2 + ю2) = о0(1 + 2£Гз + 7V), □ При л = 3 полином оо + а|3 + Ojs2 + озз3 имеет корни, вычисляемые по методу Кардано следующим образом. & Шаг 1. Заменой аргумента з = г-^ Зя3 полином Л(з) преобразуется к специальному виду B(z) = *о + + «з? с коэффициентами . at(h 2а? , а? »0=«0--~2' Ь\ = «| ~~- Зв3 27дз За, Шаг 2. Вычисляется модуль 0 и аргумент <р из комплексного вы- ражения Шаг 3. Находятся значения
Частотные характеристики элементов и систем управления 207 и корни полинома B(z) удовлетворяющие условию г, + ;2 + гз = 0. Шаг 4 Вычисляются корни полинома Л(з): О При заданных корнях З], з2, 33 и одном из коэффициентов aQ или аз по- лином третьей степени может иметь следующие разложения: • если все три корня действительны, то A(s) = ai(s - 3|)(з - 3j)(3 - *з) = a0(l + Ги)(1 + Г2з)(1 + 7jS), где • если один корень 3j — действительный, а два s2.3 = Л ± jw — комплекс- но-сопряженные. то А(д)= а3(з - д,/з2 - 2Пз + П2 + и2 )= «оС + Т|4 + 2&Г,з + Т^г). где г1=-—, т2 = — . §=-лг=—=L—r, Г|Г22=— 51 7л2+СО2 yJx\2+lO2 a0 & Пример 2.7. Вычислить корни полиномов знаменателей передаточных функций (2.20) и (2.21) обеих систем «тележка - маятник» <4|(з) = 600 + 940з - 216? - 100?, A,(s) = 600+1100з + 216? + 100?. Решение. Выполнив по методу Кардано замену аргумента з = г - 0 72 в по- линоме Л|(з), получим полином Л|(?) = -151.45 + 1095.52г - 100?, тогда V? =-0.757 + J6.937 = 6.978с•'68 =» И = 1.911, «р, - 0.56.
Гпава 2 208 По (2.44) вычисляем корни полинома В|(с), а затем ненулевые корни поли- нома Л|(з) и его разложение: 2; = -3,377 =» з, - -4.097; 22 = 0.139 =>3з =-0.5815; 23-3.238 =>33 = 2.518; Л,(j) = -100(з + 4.097)(з + 0.5815)(з - 2.518) = = 600(1 + 0.244з)( 1 + 1.72з)(1 - 0.397з). Заменив в полиноме И2(з) аргумент з = г - 0.72, получим полином 5г(г) = -117.35 + 944.48г + 100г3. тогда v2= 6.204 =» Г2 = 1.837,ср2 = 0; 2| =0.124 =>3| =-0.596; 22 = -0.062 + 3.075J => з2 = -0.782 + 3.075j; 2з = -0.062 - 3.075j =» 33 = -0.782 - 3.075J; Л2(з) = 100(з + 0.596)(? + 1.564з + 10.067) = = 600(1 + 1.678з)( 1 + 0.15543 + 0.0993?). Вот так были получены разложения полиномов знаменателей передаточных функций (2.20) и (2.21) в примерах 1.17 и 2.4. О Достаточно трудоемкие методы (Декарта - Эйлера, Феррари) расчета кор- ней полинома четвертой степени, связанные с дополнительным решением полиномиальных уравнений третьей степени, приведены в |6, 14]. Корни полиномов степеней выше четвертой не имеют аналитических методов рас- чета и находятся в общем случае численными приближенными методами. 2.6.2. Структура спектра полинома Определить состав корней каждого типа можно по графику полинома или по его коэффициентам. Графический метод сопряжен с многократ- ными вычислениями Л(з) для различных значений аргумента. Он позво- ляет визуально оценить число действительных корней по числу пересе- чений или касаний графика с осью абсцисс и локализовать области раз- мещения этих корней. График полинома Л(з) степени л, его коэффициенты во. "л и корни 3/ имеют следующие свойства, иллюстрируемые на рис. 2.45: □ при четном л противоположные пределы /t(s -» ±<») одного знака: • Л(±«“) -> +- при а„ > 0 (график /);
Частотные характеристики элементов и систем управления___________209 • Л(±»о) -* -ов при а„ < 0 (график 2). Следствия: • при б?()О„ < О график хотя бы дважды пересекает ось s по разные сто- роны от оси ординат, а полином четной степени имеет хотя бы два действительных корня разных знаков; • при аоа„ > 0 график может не пересекать ось г, а полином не иметь действительных корней; □ при нечетном п противоположные пределы графика разных знаков: • Л(+~) -э ±-> при а„ > 0 (график J); • /1(±о°)->}°° при а„ < 0 (график 4). Следствие-, график Л($) всегда пересекает ось з хотя бы один раз, а поли- ном нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень: Sj > 0 при апа„ < 0 либо st < 0 при аца„ > 0; □ знакопостоянное касание кривой Л(з) оси абсцисс (график 2) означав! наличие действительного корня четной, а знакопеременное касание (гра- фик 5) — нечетной кратности; □ локальные минимум при Я(з) > 0 (графики I, J, 4) и максимум при A(s) < 0 (график 4) означают наличие комплексно-сопряженных корней П ±jw с действительной частью т] в окрестности экстремума. Обратное утверждение неверно: не каждая пара комплексных корней дает на гра- фике локальный экстремум
Если построение графика полинома вручную затруднительно, то можно использовать следующие теоремы, устанавливающие структуру спектра полинома только по его коэффициентам Знание возможного числа каж- дого типа корней позволяет нс искать тс корни, которых в принципе не существует. & Теорема 2.3 (Декарта). У действительного полинома A(s): □ «о = тах(/}- ад = = ам = 0 - кратность нулевого корня равна числу подряд следующих нулевых коэффициентов; □ л+ равно или на четное число меньше числа инверсий знака в последо- вательности ненулевых коэффициентов полинома Л(з); □ п- равно или на четное число меньше числа инверсий знака в последо- вательности ненулевых коэффициентов полинома Я(-з). □ В связи с чрезвычайной простотой отделения нулевого корня любой крат- ности далее будем исследовать полином с ненулевыми корнями, структуру спектра которого можно уточнить с помощью следующих теорем. & Теорема 2.4 (Фурье - Бюдана). Число действительных корней полинома Л(т) на интервале з е [о, />| равно или на четное число меньше значения N(a) - N(b), где N(s) — число инверсий знака в последовательности (М = (Л(з), /(J),.... Ля)(д)| значений полинома и его производных в точке s. При расчете значения N(a) нулевые члены в Q(a) не учитываются. Если при расчете числа N(b) окажет- ся, что АЩЬ) в О, Л<">(6) в О, АМ(Ь) = О V i е |* + 1, т - 1 ], то все АЩЬ) заменяются на (-l)”“/sgn(/l(")(Z')) О Благодаря возможности интервальной оценки структуры спектра эта теорема более мощная, чем теорема Декарта. Подставив в Q(s) предельное значение з = +<», получим число инверсий знака последовательности 0(<») (дя, па„, п(п - 1)а„,. «41. равное М°») = 0. Учитывая, что числа инверсий знаков последовательностей 0(0) • (д0, О|, 2aj,, л’дя) и коэффициентов Л(.т) равны, получаем верхнюю оценку N(0) - М“) = МО) числа л*., соответствующую теореме 2.3. Плата за простату теорем Декарта и Фурье - Бюдана — возможная неопре- деленность их оценок с точностью до четного числа. & Теорема 2.5 (Рауса - Гурвица). У действительного полинома Л(д):
Частотные характеристики элементов и систем управления 211 □ число правых (с вещественной частью Re(5,} > 0) корней равно числу инверсий знака в последовательности из (л + 1)-го элементов Л/= {«„, Mh MiM2, М2М}.....M„-iM„}, (2.45) где Л//есть Лый главный минор лхл-матрицы Гурвица / Следствие: если все элементы последовательности (2.4S) ненулевые и од- ного знака, то все корни полинома — левые. Для этого, по крайней мере, необходимо, чтобы коэффициенты «у, a„-t и а„ были одного знака; □ число левых (с RefjJ < 0) корней равно числу инверсий знака в последо- вательности (2.45), построенной для полинома <4(-з). Следствие-, если все элементы этой последовательности ненулевые и од- ного знака, то все корни полинома — правые Для этого, по крайней мере, необходимо, чтобы коэффициенты ад, (-1)’_|л,г.| и были одного знака. □ Анализ миноров (2.46) матрицы /' и элементов последовательности (2.45) показывает, что при переходе от полинома Я(з) к полиному .-l(-s) меняют знаки: □ при четном п миноры М2, Mj, Л/6, Мт. и элементы последовательно- сти (Л/ь М2М3. М<М5. ...}; □ при нечетном л миноры Л/|, М2. М}, М<>,... и элементы последователь- ности {«„, MiM2, A/jA/i, ...). В дополнение к теореме Рауса - Гурвица приведем формулу Орландо |Ь| nU-мД («л /•I выражающую предпоследний минор матрицы Гурвица через произведение всех попарных сумм различных корней полинома Очевидная польза от
формулы (2.47) состоит в том. что если при ап * 0 получен минор Мп-\ = О, то мы имеем право утверждать, что полином имеет по меньшей мере два корня с нулевой суммой. Это могут быть либо действительные корни Т| = -52, либо мнимые корни 5|,2 = ±j<o. Для соответствия теореме нужно нулевым элементам последовательности М приписать знаки •+• или «-» так, чтобы в случае действительных корней 5| = -5, числа инверсий знаков в последовательностях, построенных для по- линомов Л(5) и Л(-5). увеличивались на единицу. Теорема Рауса - Гурвица дает более определенный результат по сравнению с теоремами Декарта и Фурье - Бюдана за счет дополнительного формиро- вания матрицы Гурвица и расчета ее миноров. А если все миноры М, * 0, то числа правых и левых корней определяются точно. & Пример 2.8. Оценить структуру корней полинома (2.42) Решение. Анализируя только степень полинома п = 5 и знаки коэффициен- тов Oq = -400 и os = 50. получим очень грубые оценки структуры спектра полинома. «о = 0, л* е (1, 2, 3, 4,5), я. е (О, I, 2, 3, 4), як 6 {0, 1, 2}. Используя теорему Декарта, построим диаграммы изменения знаков коэф- фициентов полиномов Л(з) и Л(-5): Л(5): -400 -20008 -304 4802 101 50 Л(-5): -400 20008 -304 -4802 101 -50 * | |_________| L => и .6 {0. 2.4); <0,1,2). Применим метод Рауса - Гурвица к полиному Л(5): 101 -304 - 400 0 О ‘ 50 4802 - 20008 О О Г- 0 101 -304 - 400 О , 0 50 4802 - 20008 О .0 0 101 -304 - 400 а, = 50. М| = 101. Мг = 500 202, М, - 50 020 200, Л/ч = 0, М5 - 0.
Частотные характеристики элементов и систем управления 213 Так как = 0, ад < О и а$ > О, то полином имеет действительные противоположные корни и последовательность знаков (+, +, +. +, +0, -0} с одной инверсией Таким образом, число правых корней л+= 1, а число левых «- = 5-1=4. Это равно числу инверсий знака в последовательности +, +, -0, -0), построенной для полинома Л(-т) = -400 + 20008т - 304? - 4802? + 101? - 50? с минорами Л/, = 101, М2 = -500 202. М3 = -50 020 200, Л/4 = О, Л/$ = 0. Из четырех левых корней заведомо один — действительный s2 = ~.f|, а из оставшихся трех наберется не более одной пары комплексно-сопряженных корней. Следовательно, л. € (2, 4| и лк е {0, 1). В действительности полином (2.42) имеет следующие типы корней: ло = 0, л+ = 1, л, = 2, як = 1. □ 2.6.3. Локализация корней полинома Локализация корней — это приближенная оценка областей их размещения на действительной оси или на комплексной плоскости. Наиболее быстрый способ локализации действительных корней нечетной кратности заключает- ся в построении графика Л(з) и поиске таких интервалов |.тЛп!п, з/пык| его пе- ресечения с осью у, что В точках действительных корней четной кратности (рафик Л(з) лишь каса- ется оси s, поэтому локализовать их данным методом нельзя из-за одно- значности функции Л(з) на концах тестируемого интервала. Некоторую яс- ность в вопрос о существовании действительных корней на интервале |о, Л| с произведением А(а)А(Ь) > 0 может внести теорема Фурье - Бюдана. Ее результат N(a) - N(b) = 0 означает отсутствие таких корней К сожалению, достоверная локализация комплексно-сопряженных корней полинома высокой степени по его графику затруднительна. На рис. 2.44 в среде Mathcad построен график функции (2.42), пересекающий ось s в окре- стности действительных значений 0 и ±2. Оставшаяся пара комплексно- сопряженных корней -1 ± >/10 j никаких визуальных признаков своего су- шествования не обнаруживает Далее рассмотрим некоторые вычислительные методы локализации корней без построения графика функции Л(з).
214 Глава? Метод обособленных корней [12] Метод основан на предположении, что полином с предварительно отделен- ными нулевыми корнями имеет близкие или удаленные от начала коорди- наг корни, обособленные, т. е. далеко отстоящие, от остальных корней. В случае возможного существования близкого к нулю действительного корня |Л|« W V г е [2, л| пренебрежем в уравнении Л(Т|) = 0 слагаемыми a2S\ +a„s", тогда из урав- нения во + Д|Л| = 0 следует оценка такого корня л, гг~а° ' «1 Если существует удаленный от остальных действительный корень |Л|| » W V i е [2, л], то, пренебрегая в уравнении Л($|) = 0 слагаемыми а0 + a„_2s" "2. получим оценку Аналогично находятся оценки расположения обособленных от других ком- плексно-сопряженных корней 5) и «2 = ii путем решения квадратных урав- нений оо + O|J + ojJ2 = 0 и Ои-2 + Дя-i J + OnS1 » 0 при условии, что отрица- тельны их дискриминанты, т. е. а2 < 4аоа2, а£_| < 4ала„_2. Полученные оценки можно использовать как начальные приближения в алгоритмах итерационного уточнения корней. Метод Маклорена [12, 14] Эффективный метод интервальной локализации действительных корней предложен Маклерском. Из коэффициентов полинома Л(д) формируются два вспомогательных полинома A\(s) и Л2(д) с единичными старшими коэф- фициентами: +...+(- !)"-• а,, + (_ J)" ао, д:(,)в*0в4Г" +ал.|зл-1 +... + а1д + аи,
215 Частотные характеристики элементов и систем управления где а,в о//ап. Тогда все действительные корни локализованы в интер- вале -1-""^м7<1(<1+я'"^м7, (2.48.0) где mt и Mi — максимальные индекс и модуль отрицательных коэффициен- тов полинома A/(s). Вместо неравенства (2.48, а) можно использовать неравенство для полиномов Л|(л) = Л(—у) и Aiis) = Л(т). приведенных к виду с положи- тельными старшими коэффициентами а„ Если |Л/| / аД » 1 или |A/j / oj » 1, то формула (2.48, б) дает сильно за- вышенные Гранины интервала локализации Для его сужения рекомендуется представить полиномы Л|(у) и суммами полиномов с положительными старшими коэффициентами и приблизительно равными отношениями мак- симальных модулей к старшим коэффициентам Для каждого слагаемого Л|,(у) и /Ь,(у) по (2 48) находится интервал локализации его действительных корней. Тогда интервал локализации действительных корней полинома Л(з) есть объединение интервалов локализации корней слагаемых полиномов При удачном разбиении полиномов границы локализации определяются значи- тельно точнее, чем без такого разбиения. Метод кругов Гершгорина [4. 6] Любому действительному полиному А(у)=а0 + а15 + ...+ая_|у"*|+у" с приведенными коэффициентами а, = л,/а„ можно поставить в соогвего вие п х «-матрицу fl, собственные числа которой (корни уравнения |у/„ - fl = 0) равны корням полинома, который в этом случае называется характеристическим. Из бесконечного множества подобных матриц с оди- наковым характеристическим полиномом А(у) выделяются особые канони- ческие формы Фробениуса
216 Гпава 2 элементы которой есть числа 0, 1 и коэффициенты ~at V i 6 [0, п - 11. В теории матриц известны методы кругов Гершгорииа, применяемые для лока- лизации собственных чисел л х л -матрицы F= \fq\. Круг Гершгорииа G, для /-го диагонального элемента f, описывается нера- венством и имеет центр в точке ft на оси Re{y) и радиус *.-£|4 В частности, в (2.49) матрица F\ имеет л - 1 совпадающих кругов единич- ного радиуса с центрами в начале координат и один круг радиуса 1=0 с центром в точке -<4-1 (рис. 2.46, а). Матрица Л имеет п - 1 круг Гершгорииа с центрами в начале координат и радиусами Л|=|<ю|, Л,»|а/-||+ 1 V/е 12, л- I] и круг G„ единичного радиуса с центром в точке -а„_| (рис. 2.46, б). <) Размещение корней полинома Л(з) и собственных чисел матрицы F, соглас- но методу кругов Гершгорииа, удовлетворяет следующим условиям: □ любой корень лежит, по крайней мере, в одном из кругов и ни один из корней не лежит вне кругов:
Частотные характеристики элементов и систем управления 217 □ если m кругов образуют область, изолированную от остальных кругов, то в этой области размешено ровно гп корней, □ если какой-либо один круг Гершгорина изолирован, т. е. Э - Jj)[> то он имеет ровно один действительный корень в интервале J/Е Если все круги изолированы, то каждый из них имеет по одному дейст- вительному корню. Во многих случаях анализ совместного расположения кругов Гершгорина, построенных для обеих матриц F\ и F2, позволяет сузить области локализа- ции корней характеристического полинома этих матриц. В заключение приведем дополнительные оценки модулей корней полинома, в том числе и комплексных 112, 16), при следующих соотношениях между ко- эффициентами: □ если 0 < аО < al < ... < ап, то |si| < 1 v i е |1, nJ; (2.50, в) □ если 0 < ап < ... < al < аО, то |si| > I V i е [1, nJ; (2.50, б) □ если 0 < т < —L- <М V j = 0, л -1. то aj*} /Л<Ы< МУ is |1, л|; (2.50,в) □ если для действительных неотрицательных чисел выполняются условия 7| > > ... > q„, то модули всех корней полинома Удовлетворяют неравенствам | «5 g, + 0.618g, + 0.2213g, + 0.0883g4 + 0.0375g, + (2.50. г) + 0.0!85g6 + 0.0074g, +0.008 lg,. Каждую полученную оценку обособленного корня полинома желательно Проверить на принадлежность областям локализации корней, найденным методами кругов Гершгорина или Маклорена. С? Пример 2.9. Локализовать расположение действительных корней поли- нома (2.42) подходящими для него методами.
218 Глава 2 Решение. Предполагая у полинома Л(а) = -400 - 20008s - 304? + 4802? + 101? + 50? наличие обособленных действительных корней, получим s, - — = -2.02, s2 = = -0.019992. 1 50 2 20008 Судя по тому, что отношение модулей этих чисел составляет два порядка, можно считать эти приближения соответственно большим и малым. Из двух оценочных полиномов второй степени -400 - 20008s - 304? и 4802 + 101s + 50? лишь второй имеет отрицательный дискриминант и оценки комплексно-сопряженных корней $«,$ -1.01 ± 9.7478J с большим модулем |s» s| = 9.8. Крути Гершгорнна. рассчитанные по матрицам (2.49) для полинома Л(з) = 50(? + 2.02? + 96.04? - 6 08? - 400.16s - 8), образуют односвязные области и отсекают на действительной оси s интер- валы 1-512.24. 508 2| для матрицы f\ и (-401.16. 401.16| для матрицы А Пересечение этих интервалов дает область локализации действительных корней (-401.16,401 16]. По методу Маклорена для полинома Л(з) получим и = 5 и 40) = ? - 2.02? + 96.04? + 6.08? - 400.16s + 8 => тх = 4, Л/, = 400.16; 4(s) = ? + 2.02? + 96 04? - 6.08? - 400.16s - 8 => = 2, ЛЛ = 400.16. Таким образом, получили интервал локализации действительных корней (-1-1/40046.1 + V400.1б)= (-401.16,7.37) (2.51) Для сужения левой границы представим 4|(s) = ?n(s) + 4гО) + ?u(s): 4i0) - ? - 2.02? - 2.02s + 8 =» ли = 5, /Иц - 4, - 2.02, -1 - = -3.02; 4t(s) = 96.04? - 388.01s => л)2 - 3, m,2 = I. -I->/388.01/96.04 =-3.01; 4j(s) » 6.08? - !0.13s=» «и - 2, mu - 1, - I - 10.13 / 6.08 = -2.67. Для сужения правой границы представим 4(s) = 4i(s) + Л22О) + Л2з(т): 4i(s) - ? - 6.08? - 6.08s - 6 => л2| « 5. «21 3 2, 1 + УбХЙ = 2.83; 4jW = 2.02? - 15.68s - 2 => »J2 - 4. «22 = 1. 1 * V1S.68/2.02 = 2.98; 4j(s) = 96.04sJ - 378.4s =» л2з 3 3, ma • 1, 1 + 7-378.4/96.04 = 2.98
Частотные характеристики элементов и систем управления 219 Таким образом, интервал (2.51) сузился до (-3.02, 2.98) = (-3, 3), т. е. в 68 раз. Полученные выше оценки корней з, и sj лежат в действительном ин- тервале (-3.02, 0), а положительный действительный корень локализован в интервале (0, 2.98). О 2.6.4. Уточнение корней полинома После локализации корней следует завершающий этап их уточнения с же- лаемой точностью. Выбирается начальное приближение корня з*01. принад- лежащее области локализации. Итерационный процесс уточнения порожда- ет последовательность приближений д<2), .... /*) к некоторому корню s, и заканчивается на Л-ой итерации по достижении абсолютной % и/или отно- сительной е0 погрешностей: Л(/*>) = 0, Д<« = р) - Щ < е», 8(*> = < е0. (2.52) Вычисление относительной погрешности следует пропускать при У*1 = 0. Для исключения «зацикливания» алгоритма при осциллирующей сходимо- сти рекомендуется ограничить максимальное число итераций числом A’nm Не представляется возможным рассмотреть здесь огромное число алгорит- мов, отличающихся: □ объектом настройки интервалом, корнем или множителем полинома; □ характером сходимости: глобальным или локальным; □ скоростью сходимости: геометрической, квадратичной, осциллирующей и другими свойствами. Остановимся лишь на некоторых методах, которые можно реализовать без использования компьютера Но для выполнения расчетов желателен все-таки калькулятор — и лучше, если он будет про- граммируемым Метод дихотомии (дробления интервалов) Поиск действительного корня полинома s,: = 0 состоит из двух этапов. □ Нахождение на широком интервале локализации более узкого интервала Л<°> = |Л«>, /«»]. удовлетворяющего условию разнозначности А^Л^<0 (2.53)
Глава! значений полинома А^ = А^0^) на левой Л0) и А^ = а(г^) на правой И01 границах интервала, и задание на нем начального приближения кор- ня з*0) (рис. 2.47) Возможно, что условию (2.53) удовлетворяет исходный интервал локали- зации В противном случае для нахождения интервала Л(0* длиной Л можно воспользоваться методом шагов, заключающимся в прогонке ар- гумента з по интервалу локализации с шагом Л до обнаружения отрезка с разнозначными концами А0) и + й. Кстати, можно построить ал- горитм так, что после уточнения корня s, он запомнит его и продолжит прогонку с целью обнаружения следующего интервала, содержащего ко- □ Запуск итерационной процедуры дихотомического сужения й-го при- ближения интервала Л«»-|Л«, Х*’|Д-0, 1,2,... путем дробления его на две части внутренней точкой — й-ым приближе- нием корня полинома /*) = (!+ (2.54) где 0 <</*>< 1 — некоторым образом выбранный коэффициент дробле- ния t-го интервала При к * 0 проверяются условия (2.52) остановки итерационного процес- са. и если они выполняются, то процедура уточнения корня s( = ?*> за- вершена.
Частотные характеристики элементов и систем управления 221 На следующей итерации интервалом Л'1*1* назначается тот из двух по- дынтервалов |М>, 5<*>] или |л<‘>, И*1], на концах которого значения поли- нома и опять разнозначны: дия)д(*.|)<0 Простейшими методами дробления интервала Л**1 в (2.54) являются: □ половинное (рис. 2.48, в) с фиксированным коэффициентом дробления rf=0.5, гарантирующее монотонную сходимость длины интервала Х(*> = |И*> - /*)| (2.55) к нулю со скоростью геометрической прогрессии = г/А’*1. знамена- тель которой <? = 0.5 дает примерно три новые значащие цифры корня за каждые десять итераций уточнения; □ пропорциональное (рис. 2.48, б) с коэффициентом дробления ,(4) = А^'-А^ Р56) Длина интервала (2.55) монотонно сужается как прогрессия Х<*'и> = с переменным знаменателем 0 < fl*1* < 1: (*) при Л^а(т(1,)<0. " =||-^прц 4(‘>Й‘><0. Часто бывает, что на начальных итерациях </Л) << I и интервал быстро су- жается, а на последних итерациях fl**1 -» 1 и интервал практически перестает сужаться, при этом один из его концов сходится к корню пати нома. «> Рис. 2,48
Глава 2 Следует предостеречь от использования отличных от (2.52) критериев останова итераций Например, выход по длине интервала А’*’ < е„ в ме- тоде пропорционального дробления может стать невозможен при слиш- ком малом значении еа. При половинном делении никогда не выполнит- ся условие -M=i<Eo относительного сужения длины интервала Пример 2.10 Сравнить методы половинного и пропорционального дробления в задаче расчета действительного корня полинома (2.42) с по- грешностями £, = «(,= 10~6 при начальном интервале Л’0’ = |-3, 3|. Решение Проверим корректность выбора начального интервала Л,о>: Д-З) “ -76 735. Л(3) = 86 825. Условие (2.53) выполнено, следовательно, на интервале есть хотя бы одни действительный корень полинома Я(з) Приведем Mathcad-протраммы рас- чета процесса сужения интервала локализации корня и построения графи- ков д<*>. М>, а для пропорционального дробления еще и график из- менения </*’: □ метод половинного дробления (рис. 2 49) с коэффициентами </*> = 0.5 сходится за 21 итерацию к корню з3 = 1.9999995. При этом изменяются поочередно обе границы интервалов Л'**; □ метод пропорционального дробления (рис. 2.50) сходится за 24 итерации к корню J| = -I 9999989. При этом изменяются только верхние границы И11 интервалов Л'11, нижняя же граница остается неподвижной: А*’ = -3. Это значит, что на каждой итерации выбирается левый подынтервал (Л*>. Начальное и конечное значении коэффициента дробления равны - 0.469 и = 0.9999989. Отметим, что при выборе начального интервала Л,о> = (-3.02, 2.98|, по- лученного в примере 2 9, оба метода сходятся к одному и тому же корню si -2 А вот при задании интервала локализации согласно (2.51) в виде Л'1” (-401.16. 7.37] половинное дробление дало сходимость к корню si=2 за 28 итераций, а пропорциональное и за 10 000 итераций сдвину- ло точку ?*• от правой границы = 7.37 всего на -0.025. Это объясня- ется слишком большой разницей порядков значений полинома на концах интервала: Л-401 16) - -5 17 10м, Л7.37) - 3.143 106.
Частотные характеристики элементов и систем управления а : ( -400 -20008 -304 4802 101 S0 )Т аа :• 10‘* ео > IO-6 ктах .= 1000 Л0 ( -3.0 3.0 ) А(Л0) - ( -76735 86825 » "Половинное дробление" Л*-АО Гог ке 0 кта.х X«-(rk«-Ao,t)-(l)j»-Ao) С-А[ч-1к + Х(ак«-0 5)] break If -< If к Л*-|«к-Ч-|| break if Л < ta v \ л -j—j- < to Л*-1Г[А(|к)с<0.(|к h).(4 rifl ( I * r d к ) PMC.2 49
Рис. 2 50
Частотные характеристики элементов и систем управления_________225 Поэтому в (2.56) получаются коэффициенты дробления I, а в (2.54) приближения корня з**1 = И0’. Но бывает, что пропорциональный метод демонстрирует очень быструю сходимость. Например, при Л<0) = [-1.5,0| он сходится к корню sj = —0.02 всего за три итерации с коэффициентами сужения интервалов = 0.03. 9<'> = 0.442, 9<2> = 0.9992, = 0 9999996, тогда как половинный метод сходится к этому же корню за 20 итераций. На основе проведенного сравнения можно заключить, что более надежным и устойчивым в работе является метод половинного дробления интервала ло- кализации корня полинома. Другой метод — пропорционального дробле- ния — более сложный, капризный и непредсказуемый и потому не гаранти- рует эффективной сходимости О Метод итерации Исходное полиномиальное уравнение ао + °i* + + ans" = ° преобразуется к виду т= VW- Задается начальное приближение корня з<0>, после чего строится последова- тельность приближений У*+|> = k = о. 1,2,... Достаточные условия сходимости этой последовательности к некоторому действительному корню т, — существование вокруг него окрестности, во всех точках которой, во-первых, ат а во-вторых, попадание приближения ?** в эту окрестность Хорошо, если это сразу будет начальное приближение /°1. Скорость сходимости метода итерации к корню г, оценивается скоростью сходимости геометрической прогрессии со знаменателем Я ~ гю. При У > I последовательность з<*> к корню s, не сходится. Успешность применения метода итерации весьма чувствительна к выбору Функции v(j) и значения ?0). Приведем возможные варианты v(J> 11 ее производной v'(J):
Глава 2 Vt(j)-j + hA(s), V;(j)=1 + M'(j); В функции V|(s) параметр Л выбирается так, чтобы в возможно более широ- ком интервале выполнялось условие сходимости |1 + ЛЛ-О)| < I =» -2 < ЛЛ'(т) < О, .,/ > dA(s) хп . /-| A\s)=-^l=2jla's Если задать начальное приближение корня з<01 из условия Л'(5<01) > 0, то ‘'7рт)<0’ *lW"’^)’ а в точке начального приближения производная *^(O))=1-^ojj = ° удовлетворяет условию сходимости (2.57). При выборе дробно-рациональных функций типа 412(5) или 4/3(5) их полюсы (корни полиномов знаменателей) не должны совпадать с корнями A(s). До- пустим, это условие не выполняется для простого действительного корня s, = т}, тогда *(*)= т \ • «п) * °- (»-т1)О(з) Поскольку Л(г)) ~ В(п) = 0. то ад - (5 - п)ад. Ап) * О, vG)= Таким образом, при совпадении корня ад с полюсом 4/(5) метод итерации ни- когда не сойдется к этому корню, т. к. он фактически работает с полиномом
Частотные характеристики элементы и систем управления_________ 227 А(з)=зО(г)-Е(г), для которого п не является корнем А(п)*О. Если корень Л(г) очень близок к полюсу у(г), то окрестность, в которой выполнено условие сходимости, скорее всего, будет отсутствовать. Это объ- ясняет невозможность нахождения всех действительных корней полинома при неудачном выборе разрывной функции у(з). Для того чтобы исключить действительные полюсы ч»(г). ее знаменатель подбирается так, чтобы он нигде не обращался в нуль на интервале локали- зации корней. Но т. к. никакая непрерывная функция у(г) не может в двух соседних точках пересекать прямую г, имея в них обеих производные |i|»'(s)| < 1, то такой выбор у(г) в принципе не может дать всех действитель- ных корней полинома. 2? Пример 2.11. Вычислить действительные корни полинома (2.42) Л(г) = -400 - 20008г - 304г2 + 4802? + 101? + 50? методом итерации с погрешностями Еа = ео = 10"6 при начальных прибли- жениях У°» = -1.5, ?°> = 0.8 и ?°> = 3. Решение. Исследуем возможности различных функций у(г). Пусть вначале (у,(г) = г+й(?°)М(г), где ТЦГ) =----------------------;------;------Г - 20008 - 608г + 14406г1 + 404? + 250г4 На рис. 2.51, в, б, в приведены функции Vi(r), vj(г) и итеративные про- цессы уточнения корней полинома. Графики / соответствуют начальному значению ?°> = -1.5 и коэффициенту Л(-1.5) = -7.56 10_J. Так как облас- ти сходимости очень узкие и не включают ни одного корня полинома, то последовательность имеющая периодический характер, никогда не сходится. Графики 2 построены для начального значения = 0.8 и коэффициента 6(0.8) = 9.12- 10-5. Достаточно широкая область сходимости, включающая корень rj = -0.02, обеспечивает его получение с заданными погрешностями ь, и t„ за 70 итераций. Хорошими свойствами сходимости к корню jj = 2 обладает начальное при- ближение = 3 с коэффициентом 6(3) = -7.2 10** (графики 3). Приме- няя функцию Vi(r) с этим коэффициентом аз я начального значения •г*01 = -1.5, получим последовательность приближений сходящуюся к корню Г| = -2 за 21 итерацию ((рафик -Л. Более того, исследование с по-
Глава 2 мощью Mathcad-программы показало, что при h = Л(3) любые начальные приближения з*°> е |-3, -0.02) сходятся к корню S| = -2, а любые /°> е (-0.02, 3) - к корню sj - 2. 10^1 | I | 1 -и» 1 -г 1 1 ? t- t - r~i—Н~т т"г"гг. Рассмотрим теперь функцию W, (.1) ------------------z------Z------Т - 20008 - ЗО4т + 4802? +101? + 50s4 с разрывами второго рода. Графики 5 функций Vj(s), v'j(s) *’ последова- тельностей /*> для разных начальных приближений У0’ изображены на рис 2.52, о, б, в Все три значения сходятся к одному и тому же корню jj “ -0.02 за 3 итерации. Нет ни одного значения з<°>, сходящегося к корням »1 и SJ. Это объясняется близостью корней к полюсам Vj(s). равным
Частотные характеристики элементов и систем управления -2.01 =$| и 1.99 = т3. в окрестностях которых не выполняется условие схо- димости (2.57). Составим гладкую функцию , ' 400 + 400163+304?-101/ 4 20008 + 4802?+50.? не имеющую действительных полюсов. На рис. 2.52, а, б, в изображены графики б функций V4<s), V4O) ” последовательностей s<*>. Начальное при- ближение з<°> = -1.5 сходится к 3’1 за 4 итерации, а з<°> 0.8 и ?°> = 3 — к корню 53 = 2 за 6 и 5 итераций соответственно. Нет ни одного значения ?°>, сходящегося к корню jj, соседнему с j| и Sy Это объясняется отсутствием около него окрестности, в которой выполняется условие сходимости (2.57).
230Глава? Метод Ньютона Этот метод уточнения простых корней известен еше как метод касательных и описывается итерационной формулой Налицо сходство (2.58) с методом итерации, использующим функцию с фиксированным знаменателем Можно ожидать сравнительного ускорения и расширения области сходимости алгоритма Ньютона благодаря вычислению на каждой итерации производной полинома Л'(д), которая в точке корня должна быть ненулевой, а, следовательно, корень — некрат- ным. Задав начальное приближение в области локального притяжения какого- нибудь корня полинома, рекуррентно вычисляем приращения и новые приближения /*+|) = jttl + о<*» до выполнения условий остановки (2.52). Метол Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости к корню s, более высокую, чем скорость сходимости геометрической прогрессии: за одну итерацию число верных знаков корня примерно удваивается. При вы- боре начального приближения з<0) вне областей локального притяжения ал- горитм расходится или зацикливается. & Пример 2.12. Вычислить все корни полинома (2.42) Л(з) “ -400 - 20008т - 304? + 4802? + 101? + 50? методом Ньютона с погрешностями €, = «„= I0-6 при начальных прибли- жениях /°> - 0.8, /°» - 1.1 и 1"»> • 3. Решение. На рис. 2.53 показаны процессы уточнения корней методом Нью- тона: □ при начальном приближении = 0.8 последовательность знакопере- менно сходится к корню 3j« -0.02 за 4 итерации;
Частотные характеристики элементов и систем управления □ при ?°> = II последовательность с большим выбросом сходится к кор- ню 5| = -2 за 8 итераций; □ при ?°) = 3 наблюдается монотонная сходимость к корню 3j = 2 за 5 итераций. Для получения оставшихся корней разделим по алгоритму (2.43) исходный полином Л(з) на произведение трех полученных множителей Д(з) = (г - j,)(j - jj)(j - rj) = ? + 0.02? - 4з - 0.08: _ 50?+101 ?+4802?-304з!-20008з-400 I ?+0.02зг-4 г-0.08 50?+ s4 200?- 4г | 50?+100з+5000 _ Ю0?+5002?-300?-20008г ~ 100?+ 2?-400?- 8г _ 5000?+100.г-200005-400 5000?+100?-200003-400 0 Полином частного имеет комплексно-сопряженные корни г 4.5 = -1 ± 755 j. Таким образом, найдены все корни полинома, имеющего следующие фор- мы разложения на множители (си разд. 2.6.1): Л(з) - -400(1 + 50з)( I + 0.5з)(1 - 0.5з)(1 + 0.02г + 0.01?) - - 50(з + 0.02)(з + 2)(з - 2)(? + 2з + 100).
232 Мы рассмотрели основные численные методы расчега действительных кор- ней полиномов. Что касается комплексных корней, то (рафик функции Л(з) не дает оценок их действительных и мнимых частей. Локализация, часто очень грубая, возможна методом кругов Гершгорииа или по (2.50). Задав комплексное начальное приближение з<0) = т|<°> + , используем для уточнения корня метод Ньютона с учетом следующих замечаний: □ все вычисления в (2.58) производятся в комплексных числах и без при- менения ЭВМ достаточно сложны; □ скорость сходимости алгоритма Ньютона на комплексной плоскости значительно меньше, чем на действительной оси; □ не любое комплексное приближение сходится к комплексному корню, а области сходимости алгоритма Ньютона могут иметь самые разнообраз- ные формы, быть невыпуклыми и неодносвязными, что затрудняет вы- бор начальных приближений и нахождение всех комплексных корней. На рис 254. а изображены корневые траектории ньютоновского итераци- онного процесса (2.58) для начальных приближений з»0' = 0 + 7j, з«» = 0 + 8j, j«» = 0 + 9j, сходящиеся к корням з1 = -2, jj = -0.02 и з4 = -1 + >/99 j, соответственно, за 12,10 и 6 итераций с погрешностями еа = е0 = Ю"6. Сложность структуры областей сходимости к пяти корням полинома (2.42), найденным в примере 2.12, проиллюстрирована на рис. 2.54, б. Вблизи гра- ниц области si расположены мелкие «острова» сходимости к другим корням, не связанные со своими «материками». При увеличении масштаба изобра- жение обнаруживает типичные фрактальные свойства: отсутствие гладких границ и бесконечную степень их дробимости.
Частотные характеристики элементов и систем управления Рис. 2.54 Эти особенности могут затруднить выбор начальных приближений корней: очень близкие значения s*0* сходятся к разным корням s,. Примеры сходи- мости с различных начальных приближений: □ з<°> = -0.8 + 7.62j сходится к комплексному корню ij за 20 итераций. □ з<°> = -0.8 + 7.63j сходится к действительному корню tj за 26 итераций; □ з<°> = -0.8 + 7.64j сходится к действительному корню J| за 27 итераций; □ 5<0) = -0.8 + 7.65j сходится к комплексному корню Х| за 25 итераций; □ 5<0) = -0.82 + 7.63j сходится к действительному корню jj за 28 итераций Для этих итерационных процессов характерны скачки приближений с одно- го «острова» на другой до попадания в «материковую» область с быстрой сходимост ью к соответствующему корню Существует группа итерационных методов нахождения множителей ЯДз) за- данного полинома вместо его корней. Их рекомендуется применять, если конечной целью является не вычисление спектра полинома, а разложение его на простые множители Ж)=Па(з). в ряде случаев (полином четной степени с комплексными корнями или с кратными действительными корнями) данные методы, работающие с дейст- вительными числами, эффективнее комплексных вариантов корневых мето- дов. Если полином разложен до простых множителей первой и второй сте- пеней, то расчет его корней прост.
234________________________________________________________Глава 2 Таким образом, объектом настройки являются коэффициенты приведенных полиномов B(s) - s + bo первой или В(з) = г3 +6|Г + Ьд второй степени. На- чальные приближения полиномов в‘0)(т)»т+^0) или В(0)(тН2+^0)т+^0) вообще-то произвольны, но для ускорения сходимости лучше выбирать их по старшим коэффициентам полинома А(з): □ для множителя первой степени + (2.59,0) «л □ для множителя второй степени В{%)-з2+^-з + ^-. (2.59,6) a« “в В ходе процесса рассчитывается последовательность приближений В^Чз). Условия остановки итерационного процесса на £-ой итерации аналогичны (2.52) для каждого настраиваемого коэффициента и Ь^. Если найденный множитель В(з) имеет вторую степень, то далее определя- ется тип его корней по знаку дискриминанта d - b2 - 4Ь0. При d > 0 поли- ном имеет два действительных корня и разлагается на два множителя пер- вой степени В противном случае В(з) является простым множителем второй степени с комплексными корнями. Далее по алгоритму (2.43) выполняется деление полиномов с(л)’7^ и ищется множитель полинома частного С(г), являющийся также множите- лем Л(г). Процесс разложения заканчивается, когда полином-остаток первой или второй степени является простым. Это последний множитель полинома Л(г) высокой степени. Если имеет место сходимость для начальных полиномов &°4s) и первой, и второй степеней, можно использовать несовпадающие делители обоих полу- ченных множителей для понижения степени Л(з). МетодЛина [12,16] Вычисления на каждой итерации уточнения полинома B(s) = s + bv первой или B(J) = j2 + b\s + bg второй степени очень просты:
Частотные характеристики элементов и систем управления 235^ □ по алгоритму (2.43) полином Л(л) делится на полином sB^(s) второй или третьей степени с получением полиномов частного C(s) и остатка D(s). □ полином D(s) = d\s + d0 первой или D(s) = rfji2 + d^ + d0 второй степе- ни делится на d\ или d2, образуя следующее приближение полинома множителя В^'\л)=л + Ь^ или Условия сходимости последовательности полиномов й***(з) имеют следую- щий вид: □ сходимость к полиному 5(5) = (j - 5,) первой степени при Г‘ ~ |^5J ' *|< 1 ’ где R^= ~~: (2 60, fl) □ сходимость к полиному B(s) = (s - st)(s - Sj) второй степени (корни 5, и s, могут быть как действительными, так и комплексно-сопряженными) при r'"=fe4<l Скорость сходимости оценивается знаменателями геометрической прогрес- сии Ч,ВГ)' При qj^ 1 или qtj> I итерационный процесс расходится. Таким образом, алгоритм Лина, как и все локальные методы, не гарантирует получения ре- зультата наверняка. В случае расходимости или зацикливания последова- тельности полиномов первой степени следует повторить алгоритм для множителя второй степени. & Пример 2.13. Разложить полином (2.42) /1(5) = 505s + 10I54 + 48025s - 304т2 - 200085 - 400 на множители методом Лина с погрешностями расчета коэффициентов Ч = to “ 10~6. Решение. Проанализируем выполнение условий сходимости (2.60, о) к трем множителям первой степени (5- тД. /е(1, 2. 3). □ Для корня 5| - -2 находим полином частного R(s) = Л(т) / (5 - 5|):
ГЛАВА 3 Законы математики. имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны, а надежные математические законы не имеют отношении к реальному миру. Альберт Эйнштейн Временные характеристики элементов и систем управления Динамические свойства элементов и систем оцениваются их временными ха- рактеристиками (ВХ) — реакциями на типовые входные воздействия: гар- моническое, импульсное и ступенчатое. При гармоническом воздействии определенной частоты w динамика системы характеризуется изменением амплитуды И(ы) и фазовым сдвигом <р(ы) установившегося выходного сигна- ла, т е передаточной функцией и частотными характеристиками системы. Изучению этих вопросов была посвяшена гл. 2. Теперь сосредоточим внимание на задаче расчета реакций типовых звеньев и системы в целом на входные воздействия импульсного и сту- пенчатого типов. Среди множества различных методов расчета переход- ных процессов в инженерной практике наиболее распространен опера- торный метод преобразования Лапласа. Основные моменты этого метода заключены в следующем: □ по формуле (1.16) выполняется прямое преобразование Лапласа X(s) = Цх(')> входного сигнала x(t) — оригинала, в результате чего получается изобра- жение сигнала X(s\, □ с помощью алгебраического преобразования (1.18) находится изображе- ние Из) выходного сигнала; □ обратным преобразованием Лапласа X0 = L-'(Kj))
Временные характеристики элементов и систем управления 243 восстанавливается оригинал у(0 — временная функция выходного сигнала. К текущему моменту мы не касались лишь последней задачи — обратного преобразования Лапласа, к чему немедленно приступаем. 3.1. Обратное преобразование Лапласа Изображения большого числа экспоненциально ограниченных временных сигналов ЛО: |/W| s Meml v t г О (степенных, экспоненциальных, гармонических) имеют вид дробно- рациональных функций оператора г *0=2^**» A(I)=2}a',Z Л\*> 1=0 i=o с действительными полиномами B(s) и Л(т) степеней т и п соответственно В теории функций комплексного переменного известна формула обратного преобразования Лапласа [16, 20, 21, 23, 30J: jF0s*<b. (3.1) 2я) Д Условием сходимости несобственного интеграла с абсциссой сходимости с > т является прохождение линии интегрирования с + jio V we (-~. ~) по комплексной плоскости т правее полюсов изображения Дз). Правильность расчета оригинала проверяется по предельным формулам дтя начального и конечного значений: /(О) = lim /(г) = lim jF(t), (3.2. а) lim f(t)= lim jF(j). (3.2. 6) Истинное установившееся значение Л00) совпадает с оценкой (3.2, б) только при условии, что оно существует, а это налагает на изображение Дз) сле- дующее ограничение: все его полюсы — корни полинома знаменателя — должны быть левыми Доказательство формул (3.2) базируется на сравнении двух пределов при з -> 0 и з ~ конечного выражения преобразования Лапласа производной функции/'(г) с ненулевым начальным значением L(T(')I * - ДО)
244 Глава 3 с соответствующими пределами определения (1.16) этого же преобразования: lim L(f'(r)}= lim [e'''^^df = 0 =» lim jF(s)= /(o); '-*“o d' toLHr)}=ltaJe-Mr = /^ = /(-)-/(0) => lim,F(4)=/(~). о Формула обратного преобразования Лапласа (3.1) математически сложна и потому имеет ограниченное применение. Рассмотрим более практичные ме- тоды получения оригинала по изображению как вручную, так и с помощью программ. 3.1.1. Метод разложения Хевисайда Для вычисления несобственного интеграла дробно-рациональной функции Дз) разложим полином ее знаменателя Л(т), имеющий v различных корней st (действительных и комплексных) кратностей Л/2 I, на множители первой степени: (3.3) Оригинал//) изображения Дз) может быть вычислен по формуле разложения Хевисайда'. Эта «страшная» на первый взгляд формула имеет простую структуру: /(')=£с.С|(0="Ёс<‘/‘ =c/o+Qi' + - + c/.nl-i'','’l« '> *-о (3,5) Оригинал есть сумма v экспонент е’1'. умноженных на полиномы времени сХО Вычисление полинома сХО степени - I проходит через следующие этапы: □ сначала находится вычет
Временные характеристики элементов и систем управления 245 функции F(s) в л,-кратном полюсе J/ путем исключения множителя (.5-5, )"' из полинома знаменателя A(s)\ □ вычет дифференцируется л, - 1 раз по s и в полученные производные к- го порядка подставляется s = sf, □ числа делятся на произведение факториалов к'(п, - 1 + кУ В результате получаются в обратном порядке числовые коэффициенты <Ч.п(-1 > •••» сл> с<о- Более простой метод, не требующий дифференцирования вычетов в кратных полюсах, заключается в расщеплении F[s) на сумму изображений Ft(s) по числу различных полюсов — корней полинома Л(з) в (3.3): (3.6) Рассмотрим возможные типы слагаемых Ffa). □ Если степени полиномов 5(з) и Л(з) таковы, что т > п, то в (3.6) есть изображение = сЛ + спз + ... + с,1Я _ -", (3.7, а) порождающее оригинал /</) = СЛ8(1) + caS'(t) + . - ">(/). (3.7. б) Возможно, что изображение представляет собой передаточную функцию некоторого объекта. Тогда при т > п в этом объекте между входом л(г) и выходом у(1) существует прямая связь — такая, что входной сигнал пере- дается на выход с коэффициентом усиления сд. его производная х'(/) — с усилением сц и т. д. При т < п прямая связь отсутствует. □ Если в изображении полюс з, — действительный и простой (п, = 1), то в (3.6) существует следующее изображение АДз), порождающее оригинал /(/): fl(0= — «* /<(')= сле‘’ (3.8. а) s-st Подставив 3 = 5/8 вычет (з - 3/)Дз). получим коэффициент <х,-я где производная от полинома знаменателя вычисляется как
Глава 3 A'(s)=at +2a2s +... +na„s"~l . (3.8, «) □ Если в изображении полюс х( - действительный и кратный (п, > 1), то в (3.6) существует следующее изображение порождающее оригинал /(г): Fiх^х" + ( 8 2 Y +' ’'+ (s-sY' = (х-х У ’ х-х( (х-х,Г (х xj *в1(х xj (з9 в) /, (0=U +««» + ••• + ^.п, -Н"* “'к’ = 2^*'* • Коэффициенты glk и cik вычисляются в обратном порядке: «*"^['<>-1^]] ^.<3.9.0 Сначала находятся коэффициенты У'^(*) |(в>/ =» с/*-1 = Напоминаем, что — вычет Дх) в л,-кратном полюсе х/. Сократив разность 7W-fW-(^r на х-Х/, получим изображение с п,- 1-кратным полюсом х,. Теперь можно вычислить коэффициенты в'А-'У =* ^.«,-2=^^ Повторяя этот прием, последними определяем коэффициенты gn = с»- □ Если в изображении KOMibiexcm-солрнжениые полюсы х, - П/ + М н x/ = n(-jw, - простые, то в (3.6) есть следующее изображение /Хх)- порождающее оригинал /X/):
Временные характеристики элементов и систем управления где Ft(.,)= О1.+ М1 + Р, -№ _ 8,о + gns j-j/ ,»2 -2n,j + n; + w,2' (3.10, о) Л(')=(л +)ч,Р'' + (р, = 2еП(' (р/ cos(io,/) - q, si n(co,/)) = ср'1' cos(w,r + <p,) 8/о=-2(’1,Л+Ю|Ч|>«,)=2л- p = «Ф, q =Hlo + n,g,i ' 2 ' 2(0, c, = 2-Jfl2 + <7/2. tg(<P, )= — Pi (3.10,6) Коэффициенты p, и q, можно также получить аналогично (3.8, 6) (зю. как комплексный вычет изображения Rs) а простом комплексном полю- се 3,. Из-за неудобства сокращения действительного полинома Л(з) на ком- плексный полином s - з, = з - П, “Ж сократим Л(з) на действительный полином (з-з,)(з-^)=з2-2т)Л + П? + Ч2 Тогда (з -з^з- si)г(з| -( = 8,о + 8,1« = -2», (<?, + )• откуда lm{ (з2 - 2ПЛ + И,2 +‘0’к<4.1,} Л--------------' Re| (з2 -2V + 1,2 |
Глава 3 □ Наконец, если комплексные полюсы j, = ii( + j<D( и з, =T|,-j<i), имеют кратность л, > I, то в (3.6) есть следующее изображение F/s), порож- дающее оригинал/X')'- Hj-I =» /,0=e’1,'£f1/cos((Oir + q)lt). (3.11,а) *•0 Параметры од од Сц и <₽,* находятся аналогично (3.9. б) и (3.10, б): (З.п, Ф Обобщая сказанное, проиллюстрируем на рис 3.1 связь расположения по- люса изображения s, на комплексной плоскости с характером (устойчивым, неустойчивым или нейтральным), типом (апериодическим или колебатель- ным) и параметрами (быстродействием, перерегулированием, колебательно- стью) составляющей оригинала с'1', порождаемой этим полюсом. Опытный проектировщик всегда держит в голове это наглядное графическое представ- ление. понимая, как повлияют на свойства оригинала удаление, добавление или перемещение полюсов изображения на 5-плоскости.
Временные характеристики элементов и систем управления 249 Опытный проектировщик также всегда представляет, как влияют на ориги- нал нули изображения — корни полинома числителя. Если полюсы Дз) оп- ределяют отдельные составляющие оригинала е ' то нули — относитель- ный вес этих составляющих сД/). Чем ближе нуль расположен к какому-то полюсу, тем меньше вклад соответствующей составляющей в общую сумму оригинала (3.4). ЕУ Пример 3.1. Найти оригинал изображения, разложенного на простые множители: rt.) .‘(I.. Решение Полюсы изображения и их кратности равны 3] ш О, Л| = 2; 3i= -l,itj»I; 33= 1. лз = 3; Д.5 = -1 ± 2j (T14 - -1, = 2). «4 = «5 = 1 С учетом кратностей полюсов дробно-рациональное изображение имеет следующее разложение на сумму простых дробей: F (s) = g|1 + -£11 + Сзд + -£iL + 8п + Kii + *40*841* з ? з + 1 з-l (5-1/ (,-|)? з2 + 2з+5 Вычислим его неизвестные коэффициенты В первую очередь найдем чис- лители дробей старших кратностей: Й12=з2Р(з)| =о=8, см=(з + 1>(з)|1ж_|=1. г„=(з-1Уг(з)[_(=-3. Вычитая найденные дроби из Дз), получим изображение с кратностями по- люсов, на единицу меньшими: г/3 г/ г 8 1 3 з7+7з°-з5-Из4-72з3+4з*+72з w—?(„|)(|.4Ч21.5)— _ ~з4-7з3+4з + 72 _gyi Sao+Sjl* " з(1-з)2(з2 +23 + 5)" 3 3-1 (з-lf з2 + 2з + 5 Теперь можно вычислить коэффициенты Si I = *Г(з) Ц -14.4, вм = (з - ^(з) = 8.5
250 Глава 3 Снова находим разность гМ 14.4 8.5 -15.4?-15.5?-45.8?+76.7.Т f(,)- F(i)- V-О =-----------7(a-l/C?+2i+5T-------= . -15.4?-30.9л-76.7 _ g„ + X40 + g4|J (л-1Д?+2s + s) л-1 ?+2j + 5 и последние неизвестные коэффициенты вэ1=0-1Я) [и=-15.375, *40*841* = 7(Л+15-375 = -0.025л-0.175 ?+2s+5 U J-1 ?+2а + 5 Теперь вычислим по (3.8, б) - (3.10, б) коэффициенты оригинала: /(')= (сю + А Д'1' +С20'12' + U + С31' + ^зг? к'3' + ‘Ч6’’4' + Сю - 14.4, С|| *12 = 8, см = 1, Cjo = ftt = -15.375, с3| - gn = 8.5, с . «21 = _j,5, р = «11 = -0.0125, <?4 = S4o + T14^- = -0.0375, 21 2 2w4 С1 = 2^р}+д^ =0.079, ф4 =arctg^ — j-n =-1.893рад=-108.4°. Таким образом, мы получили решение задачи - временную функцию Л Л “ 14.4 + 8/ + е-' - (15.375 - 8.5/ + !.5Я)е/ + 0.079е~'с<к(2/ - 1.893). 3.1.2. Табличный метод преобразований Лапласа Вычисления изображения Дг) по (I.16) и оригинала ДО по (3.4) -(З.П) достаточно сложны Популярность операторного метода основана на том. что изображения большого числа временных функций давно вычислены " протобу.трованы Если бы в докомпьютерную эпоху этого нс было сделано, то высокая трудоемкость выполнения интегральных преобразований в ка*' дой отдельной задаче не позволила бы операционному исчислению стап> мощным инструментом решения самых разнообразных математических " технических задач.
Временные характеристики элементов и систем управления Приведенные в Прол. 1 таблицы преобразований Лапласа заимствованы (с исправлением нескольких ошибок) из учебника-справочника (16. табл. П1 2, 4.1]. Необходимость дублирования таблиц в данной книге объясняется же- ланием автора сделать их более доступными, г. к. справочная литература по автоматическому управлению стала в наше прагматическое время библио- графической редкостью. Подробные таблицы преобразований Лапласа мож- но найти также в (14, табл. 8.4-1, 8 4-2] Изображения наиболее часто встречающихся временных функций приведе- ны в табл. П.1, а по табл. П.2 удобнее совершать обратное преобразование Лапласа дробно-рациональных функций. Возможности этих таблиц расши- ряются благодаря использованию свойств оригиналов и изображений, пере- численных в табл. П.З Согласно устоявшейся в теории автоматического управления терминологии, в табл. П.1 и П.2 использованы следующие обозначения параметров (с ин- дексами и без них) оригиналов, изображений и формулы их связи: □ а и В — показатели затухания экспоненциальных функций; □ Гит — постоянные времени типовых звеньев; □ ш — частота колебаний типового звена второго порядка; □ О S £ < I — коэффициент затухания типового звена второго порядка; □ соотношения между параметрами: аГ= 1,₽Т=5, шГ = 7ьЧ7.(₽1 + а>2)71= I- В табл. П.2, начиная с п. 72, встречаются выражения типа в которых знаменатель р может быть нулевым или отрицательным Во избе- жание сингулярности (при р = 0) или ошибки (при р < 0) вычисления фазо- вого сдвига тригонометрических функций <р нужна ручная коррекция глав- ного значения angle, возвращаемого функцией arctg, с учетом знаков чисел р »<Г- прирз0и9 = (). прнр = 0и<7>0. прн/> = 0и<7<0, angle + Я при р < 0 и q > 0. angle - я при р < 0 и q < ft
252 Глава 3 При машинном вычислении фазового угла нужно использовать функции, возврашаюшие результат в интервале (-л, п|: <р = atan2(p, q) или <р = arg(/> + j<?). & Пример 3.2. В качестве иллюстрации применения таблиц прямого и обратного преобразований Лапласа и выполняя обещание, данное в гл. 2, рассмотрим поведение автоколебательного звена с передаточной функ- цией И,(')=й??’/Г>0’Г₽>0’ на вход которого подано гармоническое колебание х(/) = sin(tOpr) с резонанс- ной частотой собственных колебаний звена <0р = 1 / Гр. По табл. П.1, п. 9, находим изображение входного воздействия: Находим по (1.18) при нулевых начальных условиях изображение выходного сигнала: КТ. Непосредственно такого изображения в табл. П.1 нет, но его можно найти в более удобной для обратного преобразования Лапласа табл. П.2, п. 78, при Р = 0 и ШрГр = I: у(т)=0.5к(мл(шрг)-Шр««»(шр»))=0.51 (3.12, л) На рис. 3.2 построены графики сигналов 4» и у(Г), которые проясняют сущ- ность явления резонанса в автоколебательном звене: благодаря отсутствию 8 нем потери энергии (коэффициент затухания £ = 0) происходит звена входным сигналом с частотой iuj, до бесконечной амплитуды, в чем по- винно слагаемое WpfcosUy) При этом чем больше частота резонанса, тем быст- рее нарастает амплитуда выходного сигнала во времени.
Интересно исследовать реакцию автоколебательного звена на входное гар- моническое колебание х(г) = sin(<n/) с частотой ш # ц,. отличной от резо- нансной. Теперь изображения входного и выходного сигналов принимают ВИД Х0= ш Из табл. П.2, п. 84, при рр = 0 и Р = 0 следует оригинал y(t) в виде биений. т- *. суммы двух незатухающих колебаний — собственных с частотой с^, и вынужденных с частотой со: X/) = -q>sin(v + ’р) “ Gin(“f + ф)’ где Фр = aun2(o, <Ор(тр: - Т2))+ ашп2(о. % )= (1 + sgn(rp - т))-90°, Ф = аип2(о, <о(т2-Tp2))+atan2(O, <o)=(l + sgn(r-Tp)) 90°.
Гпава 3 После упрощений получим более простое окончательное выражение ориги- нала при любых соотношениях между постоянными времени Тр и Т или частотами ц, и ох (3.12.6) На рис. 3.3 построены графики входного лс(/) = sin(ow) и выходного (3.12. 6) сигналов при частотах (в) ш = O.Sojj, и (6) ы = 1.25шр. Рис. 3.3 Физически биения объясняются следующим образом. Поскольку частоты резонанса и входного воздействия не равны, но близки друг к npyiy, система поначалу ведет себя как на рис. 3.2 — раскачивается в такт с внешней си- лой. Но с течением времени между собственным и вынужденным движениями набегает разность фаз в 180е. Они начинают друг дуга компенсировать, что в результате уменьшает суммарный сигнал. Нетрудно показать, что в пределе <о-> Шр формула (3.12, 6) путем разреше- ния неопределенности 0 / 0 по правилу Лопиталя преобразуется в выраже- ние (3.12, а):
Временные характеристики элементов и систем управления 255 lim y(a).r)=-^-(sin(copr)-co/cos(w/)) =0.5K(sin(w.»)-w rcos(oy)). 2W L<Dp о 3.1.3. Программный метод преобразований Лапласа В настоящее время появились компьютерные программы типа Mathcad, имеющие в своем арсенале высокоразвитое интеллектуальное средство — символический процессор, способный выполнять множество сложных сим- вольных операций, в том числе и преобразования Лапласа — как прямое, так и обратное. Теперь пользователю (студенту, инженеру, академику) не обязательно иметь под рукой справочник с таблицами для решения задач операторным методом. Достаточно овладеть несложными навыками работы с программой и потом испытывать бесконечное удовольствие от быстро по- лученного результата. Символические преобразования Лапласа с помощью Mathcad можно выпол- нить, по крайней мере, двумя способами. □ Вводим преобразуемое выражение (оригинал Д/) или изображение устанавливаем курсор на переменной / либо s, затем в меню Symbolics находим пуню* Transform и выбираем Laplace, либо Inverse Laplace Результат преобразования появляется строкой ниже Далее его можно скопировать в буфер и присвоить функции Дз) илиДг). Недостаток данного способа символического преобразования в том, что при любом изменении исходной функции или данных, от которых она зависит, приходится удалять с экрана результат предыдущего преобразо- вания и повторять все действия заново □ Набираем в нужном месте Mathcad-документа присвоение f(t) либо F(s) = и вводим в пустое поле преобразуемую функцию. Затем правее или ниже этой строки печатаем выражение F(s)f(t) либо f(t) : F(s) и выделяем его правую часть. Нажав в меню панелей на значок _*j. вы- бираем в раскрывшейся панели символических вычислений оператор laplace либо inviaplace. В пустое поле (после запятой) полученного шаблона F(s) = Г(1) laplacc .а —♦ либо f(l) - F(s) invlaplace . -»
256 Гпава 3 вводим параметр преобразования «I» либо «s». Нажав клавишу <F9> или установив курсор вне формулы, справа от знака символического равенст- ва «-»» увидим результат, который будет одновременно присвоен функции Ял) либо Д г). Последнее действие выгодно отличает данный способ преобразования от первого: любое изменение формулы преобразуемого выражения или ис- пользуемых им данных автоматически обновляет результат. Если символический процессор не может выполнить необходимое преобра- зование (это, к сожалению, бывает не так уж и редко), то результат преобра- зования повторяет исходное выражение. В этом случае придется решать за- дачу преобразования другими методами. На рис. 3.4 приведен листинг Mathcad-программы обратного преобразова- ния Лапласа изображения с параметрами т= 3, 7= 10 и £ = 0.2. Для сравнения оригинал вычисляется тремя способами: □ функция /|(г) получена в символической форме оператором inviaplace. С помощью оператора float, з оригинал выводится на экран с разреше- нием три цифры без переноса строки, поэтому на бумаге он отображен в усеченном виде С большим разрешением в шесть значащих цифр ори- гинал имеет вид /|(/) = 1 - e'a02'cos(0.09798/) + 0.10206e'®02'sin(0.09798r); □ второй вариант оригинала /1(0 = I - l.005e-«02%in(0.09798r- 84.172*) получен по табл. П.2, п. 74, без коррекции фазового сдвига, вычисляемо- го с помощью функции atan. В итоге получен угол ф = -84.172° и невер- ный результат; □ третий, верный вариант оригинала /з(0 « 1 - l.OO5e-o®2'sin(O.O9798/+ 95.828*) получен также таблично, но с коррекцией фазового угла V - Ф + 180° = 95.828°, находящегося во втором квадранте, т. к. [371 -f-1 <0. Правильное вычисление угла возложено на функцию atg(p,q>, составленную в чисто учебных целях, поскольку Mathcad имеет идентичную встроенную функ- цию atan2(p,q).
Временные характеристики элементов к систем управления 257 т := 3 Т := 10 $ := 0.2 F(s) = ->-------------—х И|ч-2ЛТ» + Г?) I invlaplace ,s , / ,\ I / „ \ fl(t) :=» F(s) I -> I - I.expL-U.OO I0*jtjcos(9.80 IO" tJ+.IO2ex f2(t) := 1 - C-e"₽ ‘-sinlw t + Ф) F3(t)I -C e~P 1 sin(cu t + V) P - 0.02 Ш - 0 098 C • 1.005 Ф = -84.l72deg v = 95.828 deg P T2-t=-I Отметим, что при задании постоянной времени т = 2 получим ₽/• - г = 0 и сообщение об ошибке: «Found a singularity. You may be dividing by zero», оз- начающее деление на нуль при вычислении угла по формуле
258 Глава 3 3.2. Типовые временные характеристики В этом разделе наше внимание будет сосредоточено на изучении реакций динамических элементов и систем на типовые воздействия импульсного и ступенчатого видов Поскольку в реальных условиях заранее неизвестно, ка- кой формы сигнал поступает на вход системы, то для анализа ее качества выбираются тестовые сигналы. Выбор таких сигналов из всего многообразия воздействий обусловлен, во-первых, их широким распространением в при- роде; во-вторых, возможностью аппроксимации произвольных сигналов комбинацией тестовых; в-третьих, несложностью выполнения с ними ана- литических и численных операций. Именно таким требованиям, помимо рассмотренного в гт. 2 гармонического колебания, удовлетворяют воздейст- вия импульсного и ступенчатого типов. 3.2.1. Импульсная характеристика Импульсное или ударное воздействие в момент времени т бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды описывается абстрактной дельта-функцией Дирака, являющейся пределом функции x(t, е) с конечны- ми длительностью и амплитудой (рис. 3.5. о): 8(,-T)=limxV.E)=|“np,,':T; t-я) (0 при t # т. Воздействия импульсного типа в электронных схемах вырабатываются уст- ройствами синхронизации, возникают при разрядах конденсаторов, при дребезге контактов переключателей, в результате электромагнитных наводок и т. п. Сигнал можно считать импульсным, если его конечная длительность существенно, т. е. на несколько порядков, меньше минимальной постоян- ной времени элементов системы. Дельта-функция 6(/) принадлежит классу обобщенных функций [7, 14] и явля- ется недифферениируемым пределом при т. О непрерывных импульсных функций МТ, е), имеющих следующие свойства □ четность относительно аргумента г. x(t, е) ж х(~1, е); □ начальное и конечное значения Д-°°. е) в х(“. е) = 0; □ площадь под функцией х(Л е) равна единице при любых значениях е; □ предел 40. е -» 0) а ширина интервала изменения функции при е -» 0 стремится к нулю.
Примерами приближающих импульсных функций единичной плошали мо- гут служить функции плотности вероятности: □ (рис. 3.5, б); □ Коши г(т,е)=-- 1 (рис. 3.5, в); exf □ Лапласа х(г,е)=— «Л» делыпа-функцию нужно смотреть как на удобное обозначение, которое всегда может быть записано в равносильном. но более громоздком виде. (П. Дирак). Процедура предельного перехода не в состоянии точно определить значение 60) в самой интересной части области ее существования, а именно, в окре- стности точки 1 = 0. Наиболее успешный путь обхода этого затруднения со- стоит в отказе от попыток определения значений дельта-функции в каждый момент времени и в сосредоточении внимания на результатах ее воздейст- вия или свойствах Иначе говоря, обобщенные функции определяются тем. что они «делают», а не тем, как они «выглядят* Свойства смещенной дельта-функции 6(/ - т): □ четность относительно аргумента / - г 6(/ - г) = 6(т - /); О нулевая производная
260 Глава 3 Это неочевидное свойство иллюстрируется на примере предела при е ~>0 производной функции плотности Гаусса: .r,'(tt) = -,-/-=e2f' => limx,'(f.E)= lim , ?Е е2*1 =0. е’72п ‘-о /372л Производная или дуплет (22] состоит из двух 6-подобных функ- ций, действующих в момент времени г с разными знаками и дающих в сумме 0 (рис. 3.6). Но нельзя игнорировать производную 5((/-т), если она интегрируется в произведении с некоторой гладкой функцией х(/) (см. ниже свойство фильтрации). И вообще, нужно рассматривать л-ую производную 8,(л)(/-т) тоже как обобщенную функцию; □ несобственный интеграл J8(r -t)dr = l, т с. площадь под 6-фуикцией равна единице В конечных пределах интег- рирования получим при а*х*ь- ' (0 при Т<а или т>Ь; □ фиксация сомножители х(т) в произведении функции *(/), непрерывной в точке т, и б-функшти: 40«(г ~ Т) - Мт)6(/ - т); □ фильтрации» энменияi Мт) Функции х(0 в несобственном интеграле про- изведения функции х(о И б-функции. интеграл
Временные характеристики элементов и систем управления_____________261 "jxWt - t)df = JxfrM - = х(т)/5(/ - т)й/ = л(т). В конечных пределах интегрирования ' рт |0 при т<а нлн T>fc Интеграл произведения х(1) и в;0-т) берется по частям: JМ - t)d/ = л(г)5(/ -1)- J/(.)5(r -= х(т)5(т - т)- л'(т)/8(, - г)ф По индукции получаем формулу интегрирования произведения функции x(t), неразрывной в точке т, и л-ой производной по t дельта-функции 8«(»-т): fXr)eW(/-T)d/ = S(-iyxW-1 □ изображение смешенной 8-функции Ц8(г-г)} = /е-"8(/-т)ф=е-'т. о Изображение несмещенной 8-функции равно Ц60) - е° = 1. Импульсная характеристика (ИХ) *(/) — это реакция системы на входное воз- действие в виде несмещенного дельта-импульса 8(т) при нулевых начальных ус- ловиях. Согласно (1.18) и свойству изображения функции 8(/). при нулевых начальных Условиях изображение импульсной характеристики системы есть ее переда- точная функция И^з). И наоборот. н</) есть оригинал изображения И(з) L(w</)} = ИО <=> *V) - L-4»W). (З В) В формулах (3.13) заключена потенциальная возможность решения задачи идентификации — определения передаточной функции системы по ее реак- ции на импульсный сигнал единичной площади при нулевых начальных усло- виях. Для этого нужно как можно точнее описать выходной сигнал «рсменнбй зависимостью н(Г). а затем по (1.16) либо таблице преобразова- ния Лапласа получить (Цз).
262 3.2.2. Переходная характеристика Единичное (ступенчатое) воздействие в момент времени т с бесконечно ма- лой длительностью фронта описывается единичной функцией Хевисайда - пределом функции x(t, е) с конечным временем перехода из нуля в единицу (рис. 3.7, о): 1(/-т)= lim.v(r.E)=P ПрИ ,-Т' t->o ' [О при кт. Ступенчатые воздействия в электронных схемах возникают при переключе- нии напряжения питания, скачкообразном изменении нагрузки, характерны для выходных напряжений реле, триггеров и других дискретных элементов. Сигнал можно считать ступенчатым, если конечная длительность его фронта существенно, т. е. хотя бы на порядок, меньше минимальной постоянной времени элементов системы. Единичная функция !(/), как и дельта-функция, принадлежит классу обоб- щенных функций и является недифференцируемым пределом при е -> 0 не- прерывных функций Хг. Е), имеющих следующие свойства: □ х(-~, €) = 0, Х0, е) = 0.5, х(~, в) = 1; □ кососимметричность относительно среднего значения х(0, е); □ интервал изменения X».от 0.05 до 0.95 сужается до 0 при е 0. Примерами приближающих функций могут служить функции распределе- ния вероятности: О Гаусса Хг.е)= 0.5+Ф^ j (рис 3,7,6); □ Коши х(»,е) = О.5 + (рис. 3.7, в);
Временные характеристики элементов и систем управления_____________263 □ Лапласа >(f.f)^(i.sjl + sgn(r|i-eе | (рис 3 7,?). Свойства смешенной единичной функции !(/ - т) и ее связь с б-функнией: □ инвертирование относительно уровня 0.5 при изменении знака аргумента: !(/-?) = 1 -l(t-i); □ производные единичных функций являются 5-функциями □ неопределенные интегралы единичных функций . □ связь интегралов 5-функций с единичными функциями: J8(v -t)dv=l(r-т), Js(v-r)dv = 1(т—г); □ дифференцирование разрывных функций'. £(4>(г-т))=Л>(/-г)+х(г)5(г-т). 1(ж(г>(т-г))=л'(/>(т-/)-х(т)5(г-т); а/ а интегрирование разрывных функций: /л(г)1(г-т)Иг = 1(*-т) /л£>1г. J мфл) ° изображение смешенной единичной функции
Глава 3 L|i(r-t)| = je'1 l(t-t)dl = Je“”dl = Несмещенная единичная функция имеет изображение Переходная характеристика (ПХ) Л(г) — это реакция системы на входное воз- действие в виде несмещенной единичной функции 1(г) при нулевых начальных условиях. Согласно (1.18) и свойству изображения функции 1(1), при нулевых началь- ных условиях изображение Н(з) переходной характеристики Л(1) и переда- точная функция системы Щз) связаны следующими операторными соотно- шениями: ЦЛ(1)| = «(з)=^ « Л(,)=Е-'^|. (3.14) Формулы (3.14) тоже можно использовать для идентификации системы по ее реакции на ступенчатый сигнал единичной амплитуды при нулевых на- чальных условиях Для этого нужно как можно точнее описать выходной сигнал временнбй зависимостью h(t), а затем по (1.16) либо таблице преоб- разования Лапласа получить изображение Я(з), по которому определить передаточную функцию Щз) = зЯ(з). 3.2.3. Взаимосвязь временных характеристик Из (3.13) и (3.14) следуют важнейшие соотношения между импульсной и пере- ходной характеристиками w(r)=^^ й(»)= Jи(т)3т, (3.15, fl) Ф о позволяющие по одной характеристике найти другую, причем удобнее вы- числять импульсную характеристику путем дифференцирования переходной Полученные зависимости таят в себе один тонкий момент. Дело в том. что если переходная характеристика совершает в начальный момент вре- мени скачок из нуля в состояние Л(0) * 0, то импульсная характеристика по свойству дифференцирования разрывных функций должна включать дельтаобразную составляющую Л(0)8(/). При /ЦО) = 0 эта составляющая отсутствует. Отразим данный факт явным образом в виде следующих за-
Временные характеристики элементов и . н{/)=Л(о)5(г)+^ « й(/)=Л(о)+(н<т>1т, (3.15. б) d/ о где начальное значение Л(0) равно плошади дельта-импульса, входящего в состав импульсной характеристики в начальный момент времени I = 0. По формулам (3.13) - (3.15) вычислены и сведены в табл 3.1 импульсные и переходные характеристики всех типовых звеньев с параметрами К > 0 и Г> 0. Следует отчетливо понимать, что графики временных характеристик, содержащих дельта-функцию и ее производные, имеют условный характер из-за невозможности точно изобразить импульсы бесконечно большой ам- плитуды и бесконечно малой длительности, какими являются эти абстракт- ные функции. Таблица 3 1 Звено и его пе- редаточная функция VKs) Импульсная характеристика w<0 Переходная характери- стика МО Безынерционный усилитель К h 0 К 8(1) 0 к ко Дифференци- рующее звено Ks 1 [ „ L . Г ' К 641 01 " К 6(0 Форсирующее звено первого порядка + Те) 1 0 KWt ♦ 78(0) °| f Mi(0*78(0)
266 Глава 3 Таблица 3.1 (продолжение) Звено и его пе- редаточная функция Wts) Импульсная характеристика МЛ Переходная характери- стика МО Интегрирующее эеено £ $ К h‘ К 0 к 1(й 0 Kt ко Апериодическое К 1+П К 0.05К к 0Я5К 0 ЗТ t 0 | ' ЗТ 1 Форсирующее звено второго порядка ♦ ЦТж* Tf) ° ««I Н2^7б'(1)*Г5-(|)) 01 г «1(0 * 2£73(в * 7*5X6) Колебательное К •F 0 ‘ Мш Л ‘ 2К К ' 1 i 1 + 2$Гх+Т2*2 ш = — — т к шТ‘ уУ 37^ -X—1—1— j-e't'/rjjn(u u)l(r) 0 ф ’ 3775 ' ' Г ^e4,/rsii<(>»+4i)|l(/)
Временные характеристики элементов и систем управления Таблица 3.1 (окончание) Звано и его пе- редаточная функция Ms) Импульсная характеристика w(t) Переходная характери- стика мв Звено чистого запаздывания Ке~1' От Г К 80-т) От Г К Kt-т) Наибольший практический интерес представляют инерционные типовые зве- нья с конечным и ненулевым временем установления временных характери- стик — апериодическое и колебательное звенья Полюсы передаточных функций таких звеньев должны быть левыми. Из (3.8) и (3.10) видно, что со- ставляющие временных характеристик имеют форму экспонент е'' аперио- дического (при действительном полюсе s,) или колебательного (при ком- плексно-сопряженных полюсах Si и Ih-i) типов. Определимся с термином «время установления» Длительность процесса полной сходимости экспоненты с отрицательной действительной частью полюса S/ теоретически бесконечна, поэтому на практике применяется поро- говый метод определения временных интервалов Под временем установле- ния характеристики y(t) понимается максимальное значение ty, после кото- рого она вошла и далее не покидает определенной зоны, прилегающей к ус- тановившемуся значению Ууст Интервал времени те |0. д| называется переходным режимом, а при / > /у процесс входит в установившийся режим Принято задавать порог зоны установившегося режима Д равным некоторой малой части от модуля разности [y>VT - у(0)|. В случае цет = >40) пороговое значение отсчитывается как Д-ая часть от максимального модуля отклоне- ния тах[уО) ~ >уст|. Таким образом, зона установившегося режима функции ИО, сходящейся к уровню у^т, заключена между пороговыми уровнями Лет “Ди Ууст + Д- Нанеся эти уровни на график у(г), легко визуально опре- делить время его установления У Ь-0) - ЛУей s a На рис. 3.8 приведена Mathcad-программа, в которой строится график временной функции Д/> (см рис. 3 4) и вычистится время ее установления с Помощью функции tusctt. f. fuse,Л), аргументами которой являются массивы *-ых отсчетов времени г* и функции /, уровень и пороговое значение Д. Функция возвращает отсчет времени, начиная с которого все последующие от- счеты функции заключены в «трубке», ограниченной уровнями i Д.
268 Clf f(0 - I + I 005 exp(-0.02 t)-sin(0.098-t -95.828-deg) T > 300 dt:=0.l к :«0.. round (т-dt"') Д := 0.05 tk := k-dt fk:=f(tfc) tust(t,f,fust.A)for keO.. last(f) hv«-submatrix(f,k,lasi(f),0,0) - fust return tk if max(tnax(hv),-min(hv)) < Д "Нет сходимости” fma - fust „ , , sigma(f,fl).fust) := return — if fl) < fust < fma <- max(f) fmi-fust return --------- if fl) > fust > fmi«- min(f) fust - fl) ty - tust(t,f, I ,Д) tycrn .- T on error min(T,ty) о :=sigma(f,0,l) ty = 136.5 a = 52.928% Рис. 3.B Если значениеаприорно неизвестно, то время сходимости процесса ДО » трубку шириной 2Д можно подсчитать с помощью модифицированной функции
Временные характеристики элементов и систем управления tcx(t,f ,Д) = for кеО. last(f) Ihv <— submatrixff .k.last(f) ,0,0) return tk if max(hv) - min(hv) s 2Д "Нет сходимости" Оно может отличаться от времени, вычисленного функцией tust Напри- мер, время сходимости графика на рис. 3.8 равно 134.6 с. тогда как 4= 136.5 с. В случае отсутствия сходимости обе функции вычисления длительности пе- реходного процесса возврашают текстовое сообщение нет сходима ти. Для экспоненциального сигнала y(f)=e"'/T с постоянной времени т>0 значение гу как функция параметра Д является решением уравнения И'у) - А: /У(Д) = -т 1п(Д). (3.16) На рис. 3.9 построены графики y(t) и /у(Д), по которым можно найти время затухания экспоненциального сигнала при любых значениях Д. Для типовых уровней сходимости, общепринято равных 5%, 2% и 1%, получим следую- щие длительности: □ Гу(0.05) = 2.9957т < Зт; □ ^(0.02) = 3.912т < 4г, □ /у(0.01) = 4.605т < 5т. О т 2т Зт 4т St 0 02 0.05 01 Л Таким образом, значение времени установления динамического цемента не абсолютно, а зависит от выбора ширины зоны установившегося режима, равной 2Д. Далее мы будем использовать значение Л = 0.05. при котором
Гпава 3 время установления экспоненциальной функции оценивается тремя ее посто- янными времени Применительно к инерционным типовым звеньям такой выбор порога Д означает, что (см. табл. 3.1): □ временные характеристики апериодического звена первого порядка с пе- редаточной функцией W(s)=-±- W 1+7$ сходятся с 5%-ой погрешностью за время ty = 37; (3.17.0) □ у колебательного звена второго порядка с передаточной функцией W(s)=-------—— l + 2£7s + 72s2 временные характеристики совершают затухающие колебания с частотой ш=7ь¥/т Они заключены внутри экспоненциально сужающейся «трубки» с посто- янной времени 7/ сходящейся с 5%-ой погрешностью за время ry = 37/t (3.17,6) Для более детального представления о колебательном звене в дополнение к табл. 3.1 на рис. 3.10 построены семейства его нормированных им- пульсных w(i, с) и переходных h(t, £) характеристик при единичных зна- чениях коэффициента усиления К, постоянной времени 7 и коэффици- ентах затухания е (0,0.1,0.2. .0.9, 1). Рис. 3.10
Временные характеристики элементов и снегом управления Кроме времени установления, колебательные процессы характеризуются еще рядом важных параметров (рис. 3.11, о): • временем разгона отсчитываемым от начата движения до первого момента достижения уровня установившегося значения переходной характеристики Луст; • временем максимума отсчитываемым 01 начала движения до мо- мента достижения максимального значения переходной характери- стики Л(/тах); • перерегулированием а — отношением максимального выброса переход- ной характеристики Л(/пих)-Луст к разности между установившимся значением Луст и начальным значением йо- Дчя вычисления перерегу- лирования можно использовать функцию signa, приведенную на рис. 3.8. Графики зависимостей Гу(^), /р(^), /пмх(§) и о(£) построены на рис. 3.11, б. Обращаем внимание читателя на ступенчатый график гу(£), построенный с помощью функции tust. Он отличается от изображенной пунктиром зависимости (3.17, б) времени установления экспоненциальной огибаю- щей колебательного процесса е Рис. 3.11 Ввиду важности места, занимаемого колебательными элементами в сис- темах управления, проанализируем влияние коэффициента затухания § на временные и частотные показатели (см. рис. 2.11) и сделаем следую- щие важные выводы: • при бесконечно малом затухании (£ -»0) колебательный элемент с постоянной времени Т преврашаегся в автоколебательный с мини- мальными временами разгона tv = O.SnT и максимума » пТ. но максимальными временем установления гу -* перерегулированием
272 о= 1, частотой колебаний ш= 1 / Т, а также добротностью £)->«, резонансной частотой (2.12) <^ = I / Ги показателем колебательности (2.13) Частотные характеристики автоколебательною элемен- та приведены на рис. 2.12, а реакции на гармонические колебания с резонансной и отличными от нее частотами — на рис. 3.2 и 3.3; • при увеличении коэффициента затухания до 4 - 0.7 происходит рез- кое уменьшение параметров Гу, a, Q и М наряду с медленным увели- чением /р и rmax- Частота собственных колебаний ю при этом умень- шается в два раза, а резонансная <ар — до нуля; • оптимальным по совокупности показателей качества является уровень затухания £=l/V2, при котором время установления достигает мини- мума гу = 2.9Г, перерегулирование а = 0.046 не превышает порога Д = 0.05, времена разгона и максимума равны, соответственно, 3.297 и 4.47, а резонансная частота и показатель колебательности становят- ся нулевыми Передаточная функция и комплексно-сопряженные по- люсы оптимального колебательного элемента имеют вид <3"> • предельное увеличение коэффициента затухания 4 -» 1 превращает колебательный элемент в последовательное соединение двух аперио- дических звеньев с равными постоянными времени Г, которому при- сущи некоторое увеличение времени затухания до Г, = 4.757, резкий рост параметров /р -> ~ и tm;ix -> «», уменьшение до нуля собственной частоты ш и перерегулирования о. Выполненный анализ быстродействия простейших инерционных элементов первого и второго порядков имеет большое значение при исследовании сложных систем, которые часто можно аппроксимировать моделями невы- соких порядков с хорошо изученными частотными и временными свойства- ми. Вычисление временных характеристик сложных систем выполняется любым методом обратного преобразования Лапласа. Если при расчете импульсной характеристики *0) можно напрямую использовать формулу Хевисайда (3.4) для передаточной функции Щз). то переходная характеристика й(г) нахо- дится обратным преобразованием изображения я(,)з*ы.41 »и_. „ ,„tl. 0В) 355 ..it-.,г м В (3.19) числа уил( отличаются от тех же чисел в Щз) из-за дополнительно- го нулевого полюса изображения I / г единичной функции. По аналогии с
Временные характеристики элементов и систем управления_________273 (3.4) получим формулу разложения Хевисайда для вычисления переходной ха- рактеристики: 4W.vс.л'. ”» "*‘L "WIL, В передаточной функции статической системы нет нулевых полюсов, а изо- бражение H(s) имеет простой полюс изображения входного сигнала г, = 0. Согласно (3.8, я), он порождает составляющую переходной характеристики которая является установившимся значением h(t) при t -» ~ Правильность расчета временных характеристик проверяется по предельным формулам, вытекающим из (3.2): |и,(о)= limsW(s)lw(<»)=lini.sWr(.j), |л(0) = И'(оо),Л(~) = И,(0). Истинные установившиеся значения временных характеристик совпадают с оценками (3.21) только при условии, что в передаточной функции все полюсы левые Е? Пример 3.3. Рассчитать методом разложения Хевисайда временные ха- рактеристики схемы моста Вина - Робинсона (см. рис. 1.32), имеющего пе- редаточную функцию с постоянными времени (см. пример 2.2) Т = -^ = 3.183мс, ?! =1±Дт-= 8.333мс, Т2 = 1.216мс Решение. Вычислив полюсы передаточной функции »!=--•=-120, s, =- = -822.5, найдем сначала переходную характеристику (рис. 3.12, я), представив ее изображение в виде мТХ- ^(»)_ 1 Т U х Зт (1 + гЛ1 + Г2т)
Глава 3 Рис. 3.12 Импульсную характеристику (рис. 3.12, (5) получим по (3.15) с учетом на- чального скачка переходной характеристики с Л(-0) = 0 до Л(+0) =1/3: • 0.33380+ 53.67е’120' -367.8е‘8225'. Благодаря отсутствию в передаточной функции правых полюсов граничные значения »(0) = ~ и и<~) = 0 совпадают с оценками (3.21). О & Пример 3.4. Рассчитать табличным методом временные характеристики системы «тележка - маятник» и объяснить их физический смысл. Решение. Используя результаты примера 2.4, запишем обе передаточные функции системы с перевернутым маятником в виде с параметрами Ь» ~ 10. »| - b2 - -1.333. by - 0.573; йю - (I + 7н)(1 - Ло(| + Тя);
Временные характеристики элементов и систем управлении 275 Г| = 1.72 с, Тз = 0.397 с, Г5 = 0.244 с. Проиллюстрируем методику табличного обращения Лапласа при вычисле- нии импульсной характеристики В табл. П.2, ПП. 57, 56, 59, находим необходимые составляющие изображе- ния JKXs) и их оригиналы: L-i[ fr) l-л Vi2 7 Уз2 е7 _ Уз г, _ W)) (Тз+71ХТ3+Т5) (Ti-^XT-j+Tj) = 10-9.468еч)5Н' -1.162с252' + О.бЗе’4 12; r-l f Ь. 1 =, У, Т № F, . № % _ да) (т, +Тз\Т, -Ts) (Т^Т^Тз+Тз) (^-Г.Х^+Г,) = -О.734е’о58/ +0.39е252' +0.344еч . , ( У ) h: \ 1>: bi л _ да)= (Т’.+ТДТ.-'ЛГ '_(7-,+7]Хт,+Г,)С ~(Т,-Т,\Т^Т/ =0.427е °”' + 0.982е2 № -1 409е ** ”. Суммируя составляющие, получим импульсную w/t), а по аналогии и ос- тальные временные характеристики, построенные на рис. 3.13: ii’j(/)=IO-9.775e"°58' +0.211е152' -0.436еч Л^(г)=1О/-17+16.8|е'о}8' +0.0846е2 +0.106еч н-ч,(О=-О.183е'0Я'-0.422е152' +0.606е*4 Лч,0)=0.315е 058' -0.1б8ег52/ -0.148е 4 Нулевые начальные значения всех полученных характеристик совпадают с оценками (3.21), а оценки их установившихся значений неверны, т. к. обе передаточные функции в (3.22) имеют правый полюс з3 = +2.54. Физическое объяснение возникающих движений следующее В исходном (номинальном) положении тележка стоит на отметке d = 0 см. а маятник находится в состоянии неустойчивого равновесия вертикально вверх при <р - 0°. Под действием импульсной силы единичной энергии (например. 100 Н в течение 0.01 с) тележка скачком приобретает начальную скорость <(0)=8см/с, а далее катится с торможением и через 3 / 0.58 - 5 2 с оста
276 Глава 3 новилась бы в точке d = 10 см. Маятник после удара, сохраняя по инерции свое положение, отклоняется влево (ф < 0). теряет равновесие и падает (от- клонение <р = -90° достигается за 2.12 с), толкая при этом тележку вперед и разгоняя ее все сильнее Похожие процессы Л,/Г) и Л,(Г) происходят и при действии ступенчатой единичной силы. Таким образом, в окрестности номинального состояния неустойчивого рав- новесия система с перевернутым маятником имеет расходящиеся временные характеристики (3.23). Причина неустойчивости — правый полюс > 0. Пунктиром на рис. 3.13, а изображена характеристика w/i) без неустойчи- вой составляющей 0.211е252' и соответствующая системе с жестко закреп- ленным вертикальным маятником. В системе с обычным маятником передаточные функции имеют вид, анало- гичный (3.22), но с другими параметрами: Ьо = 10, bt = 62 = 1.333, Ьз = 0.573; ^О+Т^+ада+Тз2»2); 7\ - 1.678 с, Тз = 0315 с, = 0.246. Используя табл. П.2, пп. 99, 101, 94, получим временные характеристики для выходов d (рис. 3.14, о) и Ф (рис. 3.14, б): *,,(/)= 10-10.267e4)i%' +О.73еЧ)782' sin(3.O75i +0.375); М»)= f «Юг -17 + 17.23е-°+ О.23е"°782' »1п(З.О75г -1.445). о (3.24) -О.216е й”6/ -i.iSle'47*2* sin(3 .075г -2.953) \(г)= О.ЗбТе’05’4' тО.ЗбЗе °782' мп(З.О75г -1.631)
Временные характеристики элементов и систем управления Поскольку в нижнем номинальном положении маятника все полюсы пере- даточных функций — левые, то предельные значения устойчивых характери- стик (3.24) совпадают с оценками (3.21). Рис. 3.14 Физическое объяснение возникающих движений следующее. В исходном устойчивом положении равновесия маятника под действием импульсной силы тележка начинает катиться с торможением и примерно через 3 / 0.596 = 5 с останавливается в точке I0 см. Маятник совершает затухаю- щие колебания с частотой или с периодом 7'к =• 2 с, максимальным отклонением от вертикали на 0.66" и временем установления 3 / 0.782=3.84 с. Эти очень малые колебания ма-
278 Глава 3 ятника слабо воздействуют на тележку ввиду близости комплексных полю- сов -0.782 ± 3.075j и нулей -0.5 ± 2.69j передаточной функции Под действием единичной ступенчатой силы тележка разгоняется и далее катится с постоянной скоростью. Маятник в это время совершает слабые несимметричные затухающие колебания. Графики временных характеристик на рис. 3.14 свидетельствуют, что в окрестности состояния устойчивого рав- новесия система с обычным маятником нейтральна по выходу d и устойчива по выходу <р. □ £? Пример 3.5. Обосновать выбор источников входных сигналов, возбуж- дающих гармонические колебания в генераторах, построенных на рис. 2.43. Решение. Критериями выбора такого источника являются: □ независимость амплитуды генерируемых колебаний от их частоты; □ стабильность параметров вырабатываемого источником сигнала; □ простота технической реализации источника. Проверим, не подойдут ли в качестве запускающих сигналов типовые воз- действия — дельта-функция и ступенчатая функция? Для выяснения этого вопроса вычислим по (3.14) и (3.15, б) временные характеристики генерато- ров: □ у схемы неинвертируюшего типа с передаточной функцией (1.34, о) при Ч)-НЯ Таким образом, лучшим возбудителем незатухающих колебаний обоих гене- раторов является единичная функция Хевисайда 1(1), а простейшим техни-
Временные характеристики элементов к систем управления 279 ческим устройством, реализующим этот сигнал, служит механический ключ, при замыкании которого на вход генератора подается постоянное напряже- ние UQ (рис. 2.43, а) или -U» (рис. 2.43, б) от батарейки или другого более стабильного во времени источника напряжения. Для устранения так назы- ваемого «дребезга» контактов можно заменить механический ключ элек- тронным триггером. Желательно также момент замыкания ключа совместить с подачей напряжений питания на операционный усилитель. Амплитуды колебаний, генерируемых разработанными схемами, равны, со- ответственно, Зх/2(/0 и 3t/(l. Полноценный генератор должен кроме регули- ровки частоты колебаний иметь еще и возможность изменения их амплиту- ды. Простейшими устройствами, реализующими эту возможность, являются универсальный усилитель (рис. 1.23, я), его частные случаи — инвертирую- щий усилитель (рис. 1.24, а) или неинвертирующий усилитель-делитель (рис. 1.24, б), а также мультидиапазонный усилитель с линейной шкалой (рис. 1.29, б). □ & Пример 3.6. Исследовать влияние величины и знака постоянной времени форсирующего звена т на временные характеристики системы с передаточ ной функцией ^)=7Т?- (3.25, я) 1 + 7л Решение После выделения из передаточной функции коэффициента пря- мой связи W Т Т2 s + 1/Г временные характеристики быстро и просто находятся по формулам (3.7) и (3.8): *4)«у80+^-Г«',fl, А(г)= It—e ^ (3.25, б) Их графики в относительном масштабе времени r/|7J и при различных со- отношениях постоянных времени т и Г построены на рис. 3.15. Там же с помощью символов « •• ». • —• и « ° » показано взаимное расположение на- чала координат, полюса = -1 / Ги нуля Ji » -I / т. При внимательном изучении графиков и соответствующих им формул (3.25, б) обнаруживаются следующие юкыюмерности влияния соотноше- ния знаков и величин постоянных времени на свойства временных харак- теристик:
Глава 3 Рис. 3.15 Т<0 □ при положительных значениях постоянной времени Т система (3.25, а) имеет отрицательный полюс i| < 0 , а ее временные характеристики экспоненциально сходятся к уровням »(") “ 0 и Л(~) = 1; □ правое положение полюса л > 0 при постоянной времени Т< 0 порождает неустойчивые экспоненциально расходящиеся временные характеристики; □ в отсутствие форсирующего эвена (т - 0) система описывается переда- точной функцией апериодического звена первого порядка с временными характеристиками из табл. 3 Г, □ система с равными постоянными времени т и Т обладает временными характеристиками статического звена МО “ 6(0 и МО “ 1(0 Инерциои-
Временные характеристики элементов и систем управления 281 ность, порождаемая полюсом J|, полностью компенсируется форсирую- щими свойствами равного ему нуля л Компенсирующие свойства про являются как в устойчивой, так и в неустойчивой системе; □ форсирующее звено с постоянной времени т, заключенной в интервалах О < т < Г или Т< т < 0, улучшает качество временных характеристик в сравнении с системой, у которой т = 0: уменьшается инерционность ус- тойчивых и увеличивается инерционность неустойчивых переходных процессов; □ форсирующее звено с ПОСТОЯННОЙ времени Л !/' vwtHuiic" временных характеристик: увеличиваются положительное (при т > 7) и отрицательное (при т< -7) перерегулирования в устойчивой системе и скорость расходимости в неустойчивой □ Теоретический анализ и практическое построение временных характеристик позволяют сделать следующие выводы относительно влияния на них взаим- ного положения полюсов и нулей передаточной функции □ Свойство сходимости характеристик к установившимся значениям оп рсделястся положением полюсов Наличие в списке полюсов системы хотя бы одного правого делает ее временные характеристики расходя- щимися. □ Начальные и установившиеся значения временных характеристик сис- тем без правых полюсов удовлетворяют предельным формулам (3.21) и могут быть найдены по передаточной функции без расчета самих харак- теристик. □ При равенстве полюса 5/ и нуля ф можно сокращать полиномы переда- точной функции на одинаковые множители (з - з,) и (s - ф благодаря полной компенсации временной составляющей < е ”. при которой вычет в полюсе st и коэффициент г, обращаются точно е нуль. □ Нуль Zj, близко расположенный к полюсу з„ частично компенсирует со- ставляющую с, с'1' за счет почти нулевых значений з, - - 0 и с, = 0 3.3. Частотно-временные свойства систем К данному моменту читателю должно быть очевидным прямое влияние по- люсов и нулей передаточной функции системы на динамические свойства ее временных характеристик. Вспоминая, что абсолютные значения полюсов и нулей являются частотами сопряжения типовых звеньев (см. табл. 2.2). мы вправе далее протянуть нить, связывающую временные свойства системы с
282 Глава 3 ее частотными характеристиками. Как видно из рис. 3.1, удаление домини- рующего (самого правого на плоскости s) полюса от мнимой оси ускоряет протекание переходного процесса: □ если этот полюс левый, то самая медленная составляющая переходного процесса сходится к нулю быстрее, а система, оставаясь устойчивой, ста- новится более быстродействующей и по этому показателю лучшей; □ движение доминирующего полюса вправо от мнимой оси увеличивает скорость удаления переходного процесса от состояния равновесия. Та- кое повышение быстродействия неустойчивой системы лишь ухудшает ее свойства и сильно затрудняет управление ею. Установление связи между частотными и временными характеристиками, позволяющей прогнозировать поведение системы во времени без построе- ния ее переходных процессов, составляет предмет изучения данного раздела. 3.3.1. Взаимосвязь частотных и временных характеристик Функция времени у(') и ее комплексная частотная характеристика Цк°)> на- зываемая расхожим термином «спектр», т. е. «разложение на составляю- щие». связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье: Гб<о)=]у(г> ^Ф; (3.26, а) О у(г)=^ IrGtoJe^dw. (3.26,6) Условия сходимости несобственных интегралов в (3.26): □ » v I i 0 — ограниченность оригинала у(0 при г г 0; □ у(0 = 0 V г < 0 — нулевой оригинал при t < 0; □ все полюсы изображения Из) — левые; □ | Ц)о>)| -» 0 при ы ~ — абсолютная интегрируемость спектра. Подставив в (3.26, 6) комплексную функцию И» - Р/ш) + jQ/ш) и комплексную экспоненту s’01' =cos(w»)+ jsin(w/),
Временные характеристики элементов и систем управления 283 получим для I й 0 интегральную зависимость временного сигнала от вещест- венной и мнимой частотных характеристик его спектра: У^=2п I ^>^(u)cos(w)~^*(tJ)sin((0f^t0't' *“ чета» функция ш + “ f К (w)sin((0/)+Qy(w)cos(wr)}iw = (3.27) нечетная функция ш = - J {л (w)cos(tur)- Q у (to)sin (ow )]йоу ли Эта формула вполне пригодна для численного интегрирования, естественно, в ограниченном частотном диапазоне н> е (О, П| — полосе спектра сигнала. Значения Ру(ш) и Qy(w) могут быть получены по любой паре амплитудной и фазовой частотных характеристик сигнала (/l}(w), фу(<о)| или (Z^w), Ф/ш)): f Py(w)= Л/ш)соа(<ру(ш))= 10OMZ’(*u,cos(®v(w)) | Qy (ш) = А у (to)si п (ф у (<>))= 10° 05t> sin (ф, (и)) Благодаря второму условию сходимости y(t) = 0 V / < 0 возможно |30| упро- щение формулы (3.27). Заменив в ней / на —Г, получим взаимосвязь частот- ных характеристик сигнала Ру(е>) и Qy(wY у(- г) = - J{/». (<d)cos(w/)+ Qy (<o)sin(<iv)]da> = 0 V г > 0. "о Складывая и вычитая это выражение с (3.27), получим две зависимости сиг- нала у(!) отдельно от его вещественной ?/<о) и от мнимой Qy(w) частотных характеристик y(r)=-J/’v(io)c°s(iw)iw= --j£v((i>)sin((iv)tta), (3.29) ло ло что удобнее для численного интегрирования по сравнению с (3.27). Установим связь между частотными и временными характеристиками сис- темы. При нулевых начальных условиях Ц)о>) = JRjo»A(jto) “ 1Л<») + ЗСЫНЛМ + j(M<»)} “ - (Лш)Л(<а) ~ ОИСМ»)) + + «w)?^)),
284 Гпава 3 откуда получаем зависимости вещественной и мнимой частотных характери- стик выходного сигнала = Жш)^ш) - MQ/ш). (2/ы) = Лш)Ш“) + <?(<d)/\(w), которые будут подставляться в (3.29): □ если входной сигнал представляет собой несмещенный дельта-импульс х(/) = 8(/), у которого X(jo>) = 1 => Р/ш) = 1, Q/ы) = О, то Р/ш) = Р(ш), 2х(ш) = С(<1>), а выходной сигнал есть импульсная харак- теристика, связанная с вещественной и мнимой частотными характери- стиками системы соотношениями --J C((i))sin(iiM)dw; яо м(г)=-Jp(<o)cos((iv)dto= яо (3.30) О если входной сигнал является несмещенной единичной ступенчатой функцией х(г) = 1(c), у которой Х0<о) = 1 / jw =» Р/ы) = 0, 0Х<о) =-!/<□, то P/w) = 0(ы) / ш, С/ш) = -Р(ш) / и, а выходной сигнал есть переходная характеристика, связанная с вещественной и мнимой частотными харак- теристиками системы соотношениями (3.31) nJ со nJ со о о По формулам (3.30) и (3.31) можно методом численного интегрирования на ЭВМ рассчитать временные характеристики системы по ее вещественной или мнимой частотным характеристикам. Последние могут быть получены по амплитудным и фазовым частотным характеристикам аналогично (3.28): [р(ш)= a(oj)cos(<p(w))= 10ооп^сов(ф(ш)> |е(ш)= A(<o)sin(<p(to))= lOOO5/(tu)sin(0(<o)) Подставив в (3.26, 6) вместо Ц)ы) комплексные выражения wG<o)=a(<»H4 jco ш получим интегральные зависимости временных характеристик от амплитуд- ной и фазовой частотных характеристик:
г элементов и систем управления w(t) = - 7 A(oj)cos((i)Z + ф(о))>), ло /,(,)^j4j)sin(wW)d(l). о (3.32, о) (3.32, б) Таким образом, нами выведен целый «букет» формул (3.30) - (3.32), пригод- ных как для аналитического, так и для численного расчета импульсной и переходной характеристик системы путем интегрирования имеющихся час- тотных характеристик. 3.3.2. Трансформации частотных характеристик Исследуем теперь, как изменяются временные характеристики системы при трансформации ее частотных характеристик по амплитуде и частоте. Для сравнения обозначим эталонную комплексную частотную характерисгику как (Kitjw), а соответствующие ей эталонные временные характеристики как »|(г) и Л|(/). Системы с трансформированными характеристиками являются подобными. □ Пусть %()0)) = afK|(jto) — комплексная частотная характеристика, полу- ченная умножением И7,(j<o) на константу а, что эквивалентно последова- тельному соединению системы с широкополосным усилителем, транс- формирующим ее амплитудно-частотные характеристики по ординате — масштабированием амплитудной /1(ы) (рис. 3 16, а) или сдвигом лога- рифмической амплитудной характеристики Д(ш) (рис. 3.16, <5). Рис. з. 16 Соответствующие коэффициенту а временные характеристики надобной системы
Глава 3 Wa(f)=-L ]wa(j^d^ JlV,Garden = aiv,(4 Ла(/)=f = a J Wi (T)dT = ah, (t) О о построены на рис. 3.17. «) б) Рис. 3.17 Вывод Умножение комплексной частотной характеристики на константу приводит к пропорциональной трансформации временных характеристик по амплитуде □ Пусть Wp(ja))=W^ j — комплексная частотная характеристика, полу- ценная трансформацией эталонной характеристики (jw) по частоте в Р раз. При р > 1 это эквивалентно расширению полосы частот подобно! системы, а при р < 1 - ее сужению (рис. 3.18). «) Рис. 3.18
Временные характеристики элементов и систем управления Соответствующие коэффициенту 0 временные характеристики подобной системы н-р (г)= ± Jje-do,=£ j\v, j“P'd<o = (0/} Лр (0 = J Wp (t)tiT = f н>! (0т>фт) = f w, (t)dt = Л, (0/) oo о изображены на рис. 3.19 Рис 3.19 Вывод Трансформация комплексной частотной характеристики ло оси частот приводит к пропорциональной трансформации импульсной характеристики по амплитуде и обратно пропорциональной трансформации обеих временных характеристик по оси времени □ При трансформации комплексной частотной характеристики %₽Gw)=aW'1[j^j (3.33, в) одновременно по амплитуде в а и частоте в 0 раз на временные характе- ристики подобной системы действуют сразу оба фактора »v<1P(r) - ари-|(р/>. = аЛ|(рЛ (3.33. б) Важнейшим методологическим результатом проведенного анализа влияния трансформаций частотной характеристики системы на се временные ха- рактеристики является установление фундаментального свойства подобных Аномических систем, заключающегося в том. что произведение полосы
288 Глава 3 пропускания на длительность переходного процесса есть некоторая постоян- ная величина ц, /у = const. (3.34) Значение константы в (3.34) индивидуально для каждого класса систем. На- пример: □ апериодическое звено с постоянной времени Т обладает по (2.27) поло- сой пропускания ц, = 1 / Т и по (3.17, а) временем установления /у = 3 Г, так что произведение этих показателей равно трем, □ колебательное звено с постоянной времени Т и коэффициентом затуха- ния обладает по (2.30) полосой пропускания 1/1-252+а/2-4§2 + 4§4 “п(и=-----------7-----------. а по (3.17, б) временем установления /у = ЗГ/ £, так что их произведение *^"4 +41^>Зх/72-1^1.931 Vije (0, 1] зависит от значения £, обратно пропорционального добротности. 3.3.3. Масштабируемые по времени модели Взаимосвязь частотных и временных характеристик лежит в основе по- строения масштабируемой модели системы, отличающейся от эталонной мо- дели разметкой временной и частотной шкал. Допустим, имеется переда- точная функция некоторого химического процесса, длительность которого измеряется десятками минут или часов. Понятно, что ожидание результатов моделирования такой системы в реальном времени чрезвычайно утомитель- но. Желательно «сжать» время так, чтобы переходный процесс протекал единицы секунд. Обратное желание замедлить ход течения времени возни- кает при изучении очень быстро протекающих процессов — взрыва, движе- ния артиллерийского снаряда, ядерной реакции и т п. Еше одним стимулом применения масштабируемых по времени моделей яв- ляется широкое распространение метода компьютерного исследования сложных систем с помощью программ электронного моделирования — та- ких, например, как MicroCAP и Electronic Workbench. Поскольку подобные системы |29| описываются схожими дифференциальными уравнениями И передаточными функциями, можно исследовать их поведение с помощью электронных моделей на операционных усилителях. Вот почему автор улс' лил в своей книге такое большое внимание методам синтеза и анализа схем на основе этих устройств!
Временные характеристики элементов и систем управления 289 Типичные номиналы используемых в схемах сопротивлений Л, и емкостей Cj составляют килоомы и микрофарады, постоянные времени R,Cj измеря- ются в миллисекундах, а рабочие частоты — в килогерцах. Длительности ре- альных процессов, моделируемых электронными схемами, чаше всего отли- чаются от модельных длительностей на несколько порядков в обе стороны. Так что изменение временного масштаба при электронно-программном мо- делировании подобных систем неизбежно Средством исполнения желаний может служить временное масштабирование 'м ~ f> в котором коэффициент т, трансформирует шкалу времени из реальной / в модельную /м. Например, масштаб т, = 0.001 < 1 заменяет единицу времени, равную одной секунде, новой единицей — одной миллисекун- дой, что означает ускорение темпа течения времени и сжатие переходно- го процесса по оси /. При выборе m, > 1 происходит замедление хода изу- чаемых процессов. Согласно (3.33) изменение временного масштаба сопровождается обратно пропорциональным изменением частотного масштаба: ш 1 шм = — = тшш, где тш= — т, т. Например, ускорение хода процесса при выборе значения т, = 0.001 означа- ет замену единицы частоты в один герц новой единицей в один килогерц и приводит к сдвигу всех логарифмических частотных характеристик по оси частот вправо на три декады. Как изменится эталонная передаточная функция системы W(s)* bo+bvt + ...+bms"' a0+als + ... + a„sn при масштабировании времени коэффициентом т,? Так как символ г ис- пользуется и как оператор Лапласа, и как символ дифференцирования d / dr, и как комплексная функция jeo, то между ним и модельным символом Ai существует взаимосвязь d 1 ~т' dt„ *т'3"' Подставив эту зависимость в Ифг), получим масштабируемую по времени передаточную функцию I ГЛе =в,тЛ м\м/ \ I м/ ao+ct|jM +,.. + аяли
290 Глава 3 Соотношения между масштабируемыми оригиналами и изображениями от- ражены в первых двух пунктах табл. П.З. Например, в системе «тележка - перевернутый маятник» из примера 3.4 с передаточной функцией угла от- клонения из (3.22) w / ч ____________» ____________ 1 (1 +1.72 4» -0.397i)(l + 0.244f) длительности временных характеристик составляют единицы секунд (см. рис. 3.13, б). Для замедления этих процессов, например, в 10 раз зада- дим коэффициент временнбго масштабирования т, = 10, тогда масштаби- руемая передаточная функция станет равной 5.73зм а импульсная и переходная характеристики из (3.23) превращаются в сле- дующие временные функции: и<РмО«)=Ь-,Кмк)}=-Ь83е'<,058'“ -4.22еоаг,“ + 6.06е-°4,'«, ^(»м)=Ь~1|И/ф>1^мН = 0.315е’оо58'“ -О.168е0252'- -0.148еч)4|'«. На рис. 3.20 построены (о) логарифмическая амплитудно-частотная характе- ристика LwMJ и (б) временные характеристики н’,м(гм) и A,M(zM) масштаби- руемой модели системы «тележка - перевернутый маятник». Для выяснения отличий модельных характеристик от реальных читатель может сравнить их с графиками на рис. 2.24, а и рис. 3.13, б. Рис 3.20
Временные характеристики элементов и систем управления_291 3.4*. Аппроксимационный метод построения временных характеристик При численном интегрировании по формулам (3.30) - (3.32) неизбежны ме- тодические погрешности из-за усечения бесконечного частотного интервала (0. °°) конечным [О, Я| и трудности подбора оптимального шага интегриро- вания функций, изменяющихся с переменной частотой. Рассмотрим числен- но-аналитический метод расчета временных характеристик по кусочно- линейной аппроксимации вещественной частотной характеристики Жш) и формулам (3.30), (3.31). Для сходимости несобственных интегралов необхо- димо, чтобы функция Лы) была интегрируемой, т. е абсолютно ограничен- ной и стремящейся к нулю при w -»°°. Допустим, некоторая гипотетическая система имеет треугольную [5| вещест- венную частотную характеристику (рис. 3.21): . . fl-ейVO<co< 1. Р»= OVM>1. Рассчитаем по (3.30) и (3.31) нормированные временные характеристики этой системы и оценим их свойства. □ Импульсная характеристика нд(т) (рис. 3.22, о) (/)= — / (1 - w)cos((im )dw: 2fsin((iw) cos((iM)+ciMsin(an)~p [ (sin(//2)) 4 » r Lo = «l '/2 J (3.35, o) имеет начальное и установившееся значения н-4(0) • «"*, *4(~) = О
292 Глава 3 и время сходимости к уровню 0.05ivd(0) = 0.016 не более Зле. В первом приближении wM можно аппроксимировать функцией е~'/я/л. □ Переходная характеристика hM (рис. 3.22, б) *a(r)=|j^sin(<ot)dco= 0 (3-35, й) имеет начальное и установившееся значения Лд(0) = 0, йд(-) = 1 и время монотонной сходимости к уровню 0.95Лд(0) = 0.95 не более Зл с. в) Рис. 3.22 В первом приближении Лд(0 можно аппроксимировать функцией 1-е Интегральный синус в (3.35, б) вычисляется с помощью разло- жения в степенной ряд и медленно сходится к уровню л / 2. В |16, табл. 4.6| приведены значения МО- Пусть имеются расчетные или снятые экспериментально логарифмические частотные характеристики Цш) и <Мш) По известной формуле Р(ш)= 10ом/^и)со»(ф(о>))
Временные характеристики элементов и систем управления рассчитаем вещественную частотную характеристику в конечном множестве из (л + 1)-ой точки (<о/, Pi) и аппроксимируем ее непрерывной кусочно- линейной функцией (рис. 3.23) из л отрезков [(<оь1, Р^), (ш„ Л)| Vi=l^ так, чтобы было <ир = О, Рп = 0. Представим эту характеристику суммой треугольных вещественных характери- с коэффициентами трансформации по амплитуде и частоте Для вычисления высоты /-го треугольника а, нужно найти производную Как тангенс угла наклона /-го отрезка Р, ^Р, к частотной оси. Понятно, что На аппроксимации вещественной частотной характеристики не должно быть вертикальных участков. Для единообразия расчета коэффициента а„=-Р'ш„ дополним аппроксимацию точкой />гц“0 на свободно вы- бранной частоте о>и+1 > ы„.
294 Глава 3 В соответствии с закономерностями (3.33) изменения временных характери- стик при трансформации частотных запишем суммарное действие всех п от- резков вещественной частотной характеристики как Ч)= (₽<')= Еи>д(<оД л' л (3.36) с весовыми коэффициентами И* = (/^| - Р/Х, W, = - Pfa. Таким образом, временные характеристики системы есть взвешенные суммы нормированных характеристик (3.35), сжатых пропорционально частотам ш/ сопряжения отрезков, аппроксимирующих вещественную частотную харак- теристику. Весовые коэффициенты и И, пропорциональны изменениям наклона отрезков, квадратам частот (для №/) или самим частотам сопряже- ния (для Н,). При невыполнении условий интегрируемости интегралы (3.30) - (3.32) расходятся. Это бывает в тех случаях, когда передаточная функция имеет не все строго левые полюсы или степень полинома числителя передаточной функции не меньше степени полинома ее знаменателя. В таком случае необходимо расщепить передаточную функцию = %0) + B'h(j) на интегрируемую И'/т) и неинтегрируемую JFh(t) части, порождающие ус- тойчивые, нейтральные и расходящиеся (неустойчивые) слагаемые времен- ных характеристик: |нМ = И',(Г) + *„(г) + н>(0. Устойчивые слагаемые временных характеристик рассчитываются по изло- женной выше методике для интетрируемой части передаточной функции И^и(з). Нейтральные и расходящиеся слагаемые, порождаемые неинтегри- руемой частью И'н(з). описываются следующими выражениями, дополняю- щими в отдельных случаях табл. 3.1: W'h(j) = К =»»„(/)» К • 8(0, Л„(1) - К 1(0: (3.38, а) Wu(p)~— ~ 1(0, *и(0 = Kt 1(0; (3.38, 6) W"(*)*H-T2ia ** (3.38, в)
Временные характеристики элементов и систем управления w-(,)=dK VV₽(/)="Fe’ М')=к '-е' >(»); (3.38. г) £7 Пример 3.7. Рассчитать аппроксимационным методом временные харак теристики системы «тележка - обычный маятник» с передаточными функ- циями 10 + 1.333*+ 1.333? 5 + 1.833?+0.36?+0.167? ’ __________0.573*_________ l + 1.833*+0.36s2 + 0.167*3 ’ Решение Учитывая, что передаточная функция H'/s) является неинтегри- руемой, представим ее суммой 17 + 2.2675 + I.667*2 1 + 1.8335 + 0.36?+0.167*3 Wrf(*)= у + ^з), где %(*)=- Построим вещественные частотные характеристики /’..(со) и Р,(ы) (рис. 3.24). Они хорошо аппроксимируются восемью отрезками В табл 3.2 приведены Параметры отрезков и расчет весовых коэффициентов и для характе- ристик /’„(<!>) и Рф(ш).
Рис. 3 24 Таблица 3.2 / 0 1 2 3 4 5 6 7 e <д 0 1 2.4 3 3.5 4 7 11 16 p.. -17 -4264 12736 -0.623 2.6 -0 386 0397 -0 482 -0 194 -0 468 003 -O 166 -0 067 0.025 0 0.013 w. H. -10136 -10.136 -12 694 -5 289 -6.313 -1 771 2 736 0 782 1 134 0284 -3 704 -0 529 -1 398 -0.127 -3.412 -0.213 p„ 0 03 0.3 052 0157 0 286 -0 39 -0.12 -0812 -0 226 -0212 -0079 0 049 -0.03 0.012 0.006 wv H, -0142 -0.142 -3.153 -1.314 -3 795 -1 265 7348 2099 4.175 1 044 -1 795 -0 256 -0.77 -0.07 -1532 -0 096 Используя табличные данные, на основе (3.36), (3.37) и (3.38, б) построим требуемые графики временных характеристик системы: w/l) - 10 - 10.136^(0 - 12.694^(2.4/) - 5.313wA(3f) + 2.736и»4(3.5/) + + 1.134жд(40 - 3.704w4(7/) - I 398н>4( 11г) - 3.412и-4(16/). h/i) - Юг - 17 - 10.136Л4(/) - 5.289Л4(2.4/) - 1.771й4(3т) + 0.782Л4(3.5/) + + 0.284Л4(4») - 0.529Лд(7/> - 0.127Л4(11/) - 0.21 ЗЛ4( 16/). »Д/) - -0.142^(7) - 3.153м-4(2.4т) - 3.795w4(3t) + 7.348w4(3.5f) + + 4.175w4(40 - 1.79Sw4(7/) - 0.77w4(l 1Z) - 1.532н»д(1б/),
Временные характеристики элементов и систем управления Они очень близки к истинным графикам характеристик (см. рис. 3.14,6), построенным для сравнения на рис. 3.25 пунктиром. □ 3.5. Оценки качества переходных процессов в системах управления Что понимается под качеством системы управления? Прежде всего, естест- венно, система должна быть устойчивой. Не зная передаточной функции и расположения ее полюсов, мы. тем не менее, можем оценить устойчивость по сходимости или расходимости переходного процесса на выходе системы, развивающегося на наших глазах или зафиксированного в виде графика Х6-
298 Глава 3 Для того, чтобы дать системе проявить свои свойства, ее надо вывести из состояния равновесия (если она в нем была) путем подачи на вход некото- рого воздействия x(t). Убедившись в устойчивости системы, мы начинаем интересоваться ее пере- ходным процессом, его качественными и количественными параметрами, как то: □ длительностью переходного режима, которую почти всегда хочется уменьшить для скорейшего входа в установившийся режим со стабиль- ными параметрами движения; □ динамикой движения в переходном режиме, который при высоком бы- стродействии скорее всего имеет участки с большими выбросами, высо- кой колебательностью, резкими разгонами и торможениями, приводя- щими к перегрузке оборудования системы; □ близостью выходного сигнала к желаемому значению в установившемся режиме, что характеризует статическую точность регулирования. Если мы хотим, чтобы сравнение качественных показателей разных систем было объективным, надо поставить системы в равные условия, выбрав оди- наковый входной сигнал. Этот сигнал должен быть простой формы, про- стым в технической реализации и, главное, способным возбудить в системе все присущие ей собственные движения. Наилучшим тестовым сигналом для исследования динамики систем является дельта-функция х(/) = 5(/) с равно- мерной спектральной плотностью X(jw) = 1 на всех частотах в интервале ше[0, «о). Однако реализация идеальной 8-функции невозможна, да и не всякая система в состоянии выдержать большую амплитуду аппроксими- рующего единичного импульса х(/, е) при малом значении е. Наконец, им- пульсное воздействие с х(<») = 0 не дает возможности оценить статическую точность системы при ууст = 0. Указанных недостатков лишена простая в реализации и ограниченная по амплитуде единичная ступенчатая функция x(t) = 1(/) со спектральной плот- ностью /(j<o) = -j / ш. Она возбуждает на выходе системы сигнал, называе- мый переходной характеристикой h(f) (см. разд. 3.2.2), по которой и оцени- вается способность системы отрабатывать с необходимым качеством произ- вольные входные воздействия. По характеру протекания устойчивые переходные характеристики бывают (рис. 3.26): □ апериодические (/) и колебательные (2); □ без перерегулирования (рис. 3.26, а) и с перерегулированием (рис. 3.26, б), в том числе отрицательным (3).
Временные характеристики элементов и систем управления 3.5.1. Показатели качества переходной характеристики В практической деятельности квалифицированного инженера очень важно не только интуитивно представлять, хорошую систему управления ой спро- ектировал или нет, но и уметь численно охарактеризовать понятие качества, владеть различными методами оценивания его показателей. Последние вы- бираются так, чтобы подчеркнуть наиболее важные требования, предъяв- ляемые к системе. Основными показателями качества переходной характеристики являются: □ начальное и установившееся значения Ло = lim h(f). Ли = lim Л(г); □ точность регулирования в установившемся режиме Др = 0.05|Л. - Ло|; □ время установления переходной характеристики /у : |А(г) - Л_| S Д , V I i Гу (3.39) как время, за которое она окончательно входит н трубку Л. ± Др шириной 2Др вокруг установившегося значения Л_. Функция tustlt. f. fust,а), предназначенная для вычисления времени сходимости временного про- цесса Дг) в трубку fy„ t Д, приведена на рис. 3.8: □ перерегулирование Р'т» ~fr-| 100% (3.40, о)
300 Глава 3 как относительная мера максимального выброса переходной характери- стики за установившееся значение й_. Функция sigma(f, fo, fust), пред- назначенная для вычисления перерегулирования временного процесса /г), изменяющегося с начального значения f0 до установившегося значе- ния^, приведена на рис. 3.8; □ отрицательное перерегулирование как относительная мера максимального выброса переходной характери- стики за начальное значение в противоположную сторону от установив- шегося состояния (пунктирный график 3 на рис. 3.26, б); □ параметры колебаний (рис. 3.27): • частота fK =^Гц; • период Т. =4-=—с ; А «>« • число колебаний в переходном процессе NK=^-; (3.41) • степень затухания колебаний за период Рис. 3.27
пов и систем управления Совокупность статических (Ао, Л_) и динамических (Гу, о. а_, /к, Тк, NK, О показателей качества формирует допустимую область протекания переход- ных процессов, ограниченную сверху мажорантой Лд/G). а снизу — мино- рантой hm(fy. hm(i) <. h(l) S ЛлД/). Расчет переходной характеристики дает точные значения ее показателей ка- чества, но он, как известно (см. разд. 3.1), очень трудоемок Существуют косвенные и более простые методы проведения оценок показателей качества, позволяющие быстро получить информацию о статических и динамических свойствах системы без сложного вычисления ее временных характеристик. Некоторое представление о возможности делать такие оценки мы уже полу- чили в разд. 3.3 при изучении влияния трансформаций частотных характе- ристик на временные. Важно понимать, что оценка некоторого параметра несет информацию не о точном, а, скорее, о наиболее вероятном его значении, и вовсе не обязана с ним совпадать. Поясним сказанное на следующем примере. В разд. 3.2.3 бы- ла получена оценка (3.17, б) времени установления импульсной и переход- ной характеристик типового колебательного звена, а на рис. 3.11, б по опре- делению (3.39) построен график /у(£) путем трудоемкого компьютерного мо- делирования с помощью функции eust (см. рис 3.8). Его значения вполне могли быть получены и в каком-нибудь еще более трудоемком эксперименте с реальной колебательной системой. Ступенчатый вид графика наглядно свидетельствует об отличии истинного времени затухания колебаний от его оценки, сделанной по мажоранте или миноранте 3.5.2. Спектральные оценки качества Спектральные оценки качества основаны на анализе расположения на ком- плексной плоскости полюсов 5, и нулей Zj передаточной функции системы "'«ад- AI Согласно (3.20) переходная характеристика Л(г) есть сумма экспоненциаль- ных составляющих с, (г)еЛ'' и по (3.21) схолнтся к конечному значению Л(«>) к только при условии, что все полюсы передаточной функции ле-
302 Глава 3 вые. Графики на рис. 3.1 убеждают, что чем дальше левый полюс st отстоит от мнимой оси, тем быстрее сходится порождаемая им составляющая qe’1'. Если не все полюсы передаточной функции левые, то переходная характе- ристика не сходится к конечному значению: она расходится или совершает незатухающие колебания. Чем дальше правый полюс s, расположен от мни- мой оси, тем быстрее расходится экспонента е’*'. Вид переходной характеристики — апериодический или колебательный - определяется типом полюса — действительный он или комплексный К основным спектральным параметрам относятся: □ степень устойчивости i)=-max{Re(j,)} (3.43) как расстояние от мнимой оси до ближайшего левого полюса передаточ- ной функции при условии отсутствия не левых полюсов В переходной ха- рактеристике доминирует самая медленная составляющая, соответствую- щая полюсу с Re(j() = -тр • при доминирующем действительном полюсе s, = -и (рис. 3.28, а) — апериодическая составляющая qe*’1' (рис. 3.28, б); при доминирующей паре комплексно-сопряженных полюсов “ ~П ± шк (рис. 3.29, а) — составляющая колебательной формы qc"*1' sin(<o,r ♦ <р,) (рис. 3.29, б);
Временные характеристики элементов и систем управления а) в) Рис. 3.29 □ степень быстродействия y = -min{Re(s|)} (3.44) как расстояние от мнимой оси ло наиболее удаленного левого полюса пе- редаточной функции. В переходной характеристике составляющая c,e'v' изменяется быстрее других и характеризует максимальную скорость ре- акции системы на входные воздействия, а также определяет выбор шага квантования времени при машинном моделировании переходных процессов; □ степень жесткости г = у / и — отношение показателей затухания самой быстрой к самой медленной составляющей переходной характеристики. Система с параметром г > 10 называется жесткой. Численное моделиро- вание переходных процессов жестких систем на ЭВМ сталкивается с проблемой выбора периода квантования времени ДГ, удовлетворяющего двум противоречивым требованиям: • быть достаточно малой величиной ДТ< к / у для того, чтобы согласно теореме Котельникова [ 15|, известной еще как теорема отсчетов (к ее обоснованию причастны Коши, Карсон, Найквист, Хартли, Габор, Блэк и Шэннон [22|>, программа «заметила» бы самые быстрые дви- жения с постоянной времени, равной 1 / у, • не быть слишком малой величиной для того, чтобы чисто шагов мо- делирования ЛГМ = гы / ДГна временном интервале t е(0, гм| с конеч- ным значением гм > я / л, не превышало разумных пределов С учетом критических неравенств, наложенных на величины ДГ и Гн, получим следующую простую оценку необходимого чиста шагов мо- делирования:
304 □ степень колебательности как тангенс угла раствора для ближайших к мнимой оси левых комплекс- ных полюсов -т) ± Шк (рис. 3.29, а). Из (2.8, а) вытекает взаимосвязь ко- эффициента затухания колебательного звена £ - cos(v) и степени колеба- тельности: Основные спектральные оценки качества устойчивой переходной характери- стики следующие. □ Верхняя оценка времени установления /у, определенного в (3.39), обратно пропорциональна степени устойчивости т], а нижняя — степени быстро- действия у. -<ту2-(с). (3.48) у у 11 Действительно, при выбранной точности регулирования Др = 0.05 по (3.16) получим утроение постоянных времени экспонент ±е~у' и ±е'*)', ограничивающих самую быструю и самую медленную составляющие пе- реходной характеристики. То, что эти постоянные времени тп1|п = 1 / у и Тпш = 1 / П определяются не постоянными времени знаменателя переда- точной функции Th а действительными частями полюсов Re(s,}, убежда- ют формулы времени установления процессов в апериодическом (3.17, а) и колебательном (3.17, б) типовых звеньях. □ Верхняя оценка перерегулирования определяется степенью колебательности: aSe1* 100%. (3.49) Действительно, если ближайшими к мнимой оси являются комплексно- сопряженные полюсы -т) ± jo\ с углом раствора у/ = arctg(av / и), то в переходной характеристике доминирует колебательная составляющая Из условия Лф) = 0 получим значения йД/() в точках максимумов функ- ции Л(0. чередующихся с точками минимумов (см. рис. 3.27):
Временные характеристики элементов и систем управления h’i ve~n'(tisin((i)Kt + v)-a)K005(10,,/ + у))= 0, sin (у) откуда следует соотношение tg(oV + V) • tg(v), из которого находим моменты ьых максимумов функции Л(/): Значение первого максимума в момент времени /t равно откуда по определению (3.40, а) находим перерегулирование -1 j-100%=^1 + е •* -lj-10()%=eM 100%. □ Оценка степени затухания также зависит от степени колебательности: -2п С = 1-е •* 100%. (3.51) Подставив (3.50) в зависимость Л(/), находим значения /-го максимума переходной характеристики в момент времени /, и выброса at в /-ом периоде: Измерив по графику колебательной переходной характеристики отноше- ние соседних выбросов о, / Он-i > •• можно по обратной к (3.51) формуле оценить степень колебательности:
-2л 2л □ Оценка числа колебаний в переходном процессе определяется как (3.52) Действительно, ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные по- люсы ~п ± Як лают колебания с периодом Тк = 2л / ov С учетом верхней оценки в (3.48) по определению (3.41) получим к 27СТ| 2 Соотношение (3.52) — самый простой способ определения степени коле- бательности ц = 2NK по визуально наблюдаемому числу колебаний в затухающем переходном процессе. □ Оценки влияния нулей передаточной функции (корней полинома числи- теля) на качество переходных процессов: нуль ф близкий к полюсу sh компенсирует составляющую с,е*'', по- рождаемую этим полюсом. Условие близости чисел Zj и s, имеет вид «шах{|^|, « (3.53) Действительно, т. к. B(zj) = 0, то при выполнении этого условия в (3.20) получим В($й = 0, благодаря чему коэффициент с, = 0 Оценки качества (3.48) - (3.52), выполненные по скомпенсированному полюсу, являются недостоверными; нули передаточной функции, не компенсирующие близкие полю- сы. как правило, ухудшают показатели качества переходного про- цесса. Действительно, при невыполнении условия близости (3.53) значение |в(з()| в (3.20) тем больше, чем дальше полюс з, удален от нулей Zj, правый нуль с Re(Zy) > 0 может дать отрицательное перерегулирова- ние (3.40, б) из-за инверсии знаков B(s, - г/) в некоторых вычетах (3.20) по сравнению с системой, в которой правые нули отсутствуют. Отрицательное перерегулирование часто приводит к появлению в пере- ходном процессе системы попятного движения, что, естественно, затя- гивает его длительность
Временные характеристики элементов и систем управления 3.5.3. Частотные оценки качества Частотные оценки качества переходной характеристики Л(/) могут быть по- лучены по передаточной функции М($), вещественной частотной характери- стике Дсо) и зависимости (3.31) свойств h(t) от Р(ш\. □ Оценки начального значения ha: • в соответствии с (3.21) по коэффициентам передаточной функции оп- ределяем Ло = НтИ'(^)= — при т = п, О при т < и, sgn^—j о» при т>п; (3.55, а) • подставив в (3.54) значение 1= 0, получаем оценку Лд по веществен- ной частотной характеристике: о о (3.55, б) т. к. интегральный синус сходится к значению я / 2. О Оценки установившегося значения й_: • в соответствии с (3.21) по коэффициентам передаточной функции оп- ределяем I— при а0 #0, ,, .. , а0 (3.56, в) sgn(Z>j)) o» при а0 =0; • подставив в (3.54) значение / = »>, получаем оценку показателя Л_ по вещественной частотной характеристике: = 2 f/>(0)sin(v)dv = 2ф)7 sin0dv = (3 5Ь nJ V п j V
ЗОВ______________________________________________________________Глава 3 Следующие оценки динамических показателей качества выполняются на ос- нове вещественных частотных характеристик, построенных для интегрируе- мой части передаточной функции И^(5). Соответственно это будут оценки устойчивой части переходной характеристики Лу(/). □ Оценки времени установления /у (рис. 3.30): • по первой частоте ш,: j/^w) - Я(0)| < 0.05|Р(0)| V ш 5 W| выхода вещественной частотной характеристики из 5%-ой трубки, построенной вокруг начального значения Р(0). По (3.36) определяем самую медленную составляющую переходной характеристики «|ЛЛ((О|/)= (Р2' - которая согласно (3.33) и (3.34) сходится за время Зл / Ш| с. Таким образом, получаем верхнюю границу быстродействия системы: /v < — с; (3.57, а) “1 Рис. 3.30 по максимальной частоте однозначности вещественной частотной ха- рактеристики OV sgn(P(<o)) = const V 0 < <о < шь оценивается нижняя граница быстродействия системы (16]: (3.57. б) • по частоте установления вещественной частотной характеристики в 5%-ой трубке tly |«ш>| $ о.О5| А0)| v ш г «у
Временные характеристики элементов и систем управления 309 находится вторая оценка нижней границы быстродействия. Так как нормированная характеристика hM сходится за время Зл с, то вре- мя установления графика Л(/) не превышает значения с. (3.57, в) “у Если передаточная функция имеет дифференцирующие свойства и ДО) = 0, то порог Др = 0.05 берется от максимального модуля веще- ственной характеристики |Ртах|- Полученные оценки быстродействия (3.57) согласуются с выводом (3.34) о том, что чем шире полоса пропускания системы, тем более она быстро- действующая □ Оценки перерегулирования а: • если Дсо) — монотонно убывающая (|F(<o)| < 0) и выпуклая вниз (Р'(ы) > 0) функция частоты (рис. 3.31). то переходная характеристи- ка не имеет перерегулирования, т. е. а = 0. Действительно, поскольку нормированная характеристика Лд(г) монотонна, то немонотонность графика Л(г) возникает в том случае, когда в (3.36) коэффициенты Н, разных знаков. При выполнении условий монотонности и выпукло- сти, наложенных на ры), получим /»'< , Hi = (^ - Pfai > О V/, Рис. 3.31 что дает монотонную переходную характеристику Л(г) с нулевым пе- ререгулированием; если вещественная частотная характеристика максимальна по модулю в начальной точке, т. е. |Д0)| = тах|Я(и>)| (рис. 3.32), то перерегулиро- вание удовлетворяет условию a S 18Ж. (3.58. а)
Гпава 3 Рис. 3.32 Действительно, если |Лш)| < |Л0)| V <в > 0, то из (3.54) и (3.55, б) следует Mo>Hsqa2^H»s.,,8P(())_, 1М_. я л если — однозначная функция частоты, имеющая пик Ртм (рис. 3.33), то переходная характеристика имеет перерегулирование a S 1-18Рпих-/>(°) .1Оо%. (3.58, б) Р(0) Рис. 3.33 Для доказательства представим вещественную частотную Р(ы) и пере- ходную Л(0 характеристики в виде сумм (рис. 3.34) Лы) - Л(“>) + Р2(ш), Л(0 - Л1(0 + Л2(/). Так как слагаемое Л2(т) порождается низкочастотной составляющей P2(u>), то перерегулирование суммарной характеристики Л(/) создается только функцией At(0. а из (3.58, а) и (3.56, б) следует шах(Л(г)| » шах(Л|(/)) S 1.18Рп,ач, Л.-Л|»+Л2.-ЛО).
Временные характеристики элементов и систем управления 311 Тогда по определению (3.40, а) получаем опенку ioo% |оо%; если вещественная частотная характеристика Р(ш) имеет экстремумы Лих и Pmin разных знаков (рис. 3 35), то переходная характеристика имеет перерегулирование [ОТ (ЗЯ <) □ Оценки параметров колебаний переходной характеристики:
Глава 3 острый пик частотной характеристики на резонансной частоте Ыр > 0 (рис. 3.35) с коэффициентом резонанса 8.=-^- свидетельствует о затухающих колебаниях переходной характеристики со следующими оценками параметров качества: Получение этих оценок основано на аппроксимации системы в окре- стности резонансной частоты ыр типовым колебательным звеном со следующими передаточной функцией и вещественной частотной ха- рактеристикой: Ш, l+2£7b+T:s2 р(о). »К')= р (ш)=7 rTv 7~г ^7 (l-rWf +(2^Т<о)2 Из условия /"(ыр) = 0 определяем частоту Шр и максимум веществен- ной характеристики: 7^4 ₽ р(°) =~г~' яих" 4(1-4) 4(1 -4)8Р Удовлетворяющий условию t, < 1 корень квадратного уравнения 4(1 - £)5р *= 1 дает коэффициент затухания колебаний Эта оценка, кстати, подтверждает, что вещественная частотная харак- теристика колебательного звена с коэффициентом затухания £ - не имеет резонансного пика (см. рис. 2.13). Найдем показатели, описывающие колебательные свойства системы как функции параметров 6р и ср, которые можно измерить по ее ве- щественной частотной характеристике с резонансным пиком величи- ной 8р > 1:
Временные характеристики элементов и систем управления 313 постоянная времени характеристического 1 + 2^7* + 7V полинома частота колебаний (мнимая часть комплексных корней поли- нома) (4+0 4Л(8р-1) показатель затухания колебаний (модуль действительной части комплексных корней полинома) с у n r'2Q8;+/8p-i>p(5p-i): степень колебательности =(^>T^V2V1+2M-0- При остром резонансном пике (5Р » 1), пренебрегая единицей в 6р - 1, получим следующие оценки: Подставляя их в (3.48) - (3.52), получим оценки параметров пере- ходной характеристики, сформулированные в (3.59). Если комплексные полюсы передаточной функции не являются доминирующими в ее спектре, то резонансный пик вещественной характеристики располагается в среднечастотной части и коэффи- циент резонанса 8р показывает усиление на частоте по сравне- нию с близкими частотами, где пик вещественной частотной ха- рактеристики отсутствует. Быстрые колебания переходной характе- ристики совершаются вокруг медленно изменяющейся во времени апериодической функции, определяемой доминирующим действи- тельным полюсом (см. рис. 3.28, б). Оценки параметров колебаний $, о, 5 и NK, выполненные по соотношениям (3.59), являются, ско- рее всего, слишком грубыми; • разрыв непрерывности вещественной частотной характеристи- ки на низкой частоте (рис. 3.36, а) свидетельствует о ломи-
Гпава 3 нируюших, типа изображенных на рис. 3.29, б, но не затухаю- щих колебаниях переходной характеристики с частотой соц = и амплитудой Р(0) вокруг среднего значения ДО). Действительно, при 8р -»~ оценки (3.59) стремятся к предельным оценкам ОК = Шр, ty = а = 100%, 5 = 0, NK = а это не что иное как параметры незатухающих колебаний нейтраль- ной системы с чисто мнимыми полюсами ±)С0ц. В том случае, когда резонансный разрыв графика Р(и>) начинается на среднечастотном участке с некоторого значения Рк (рис. 3.36, (5), то в переходной характеристике типа изображенной на рис. 3.2S, б доми- нирует апериодическая составляющая, переходящая в незатухающие колебания частотой <i\ = шр и ориентировочной амплитудой Рк вокруг среднего значения ДО). & Пример 3.8. Оценить параметры переходной характеристики системы с передаточной функцией W(f)= + (3.60) 50+102з +5s2+2? Решение Получим спектральные оценки по следующему распределению по- люсов и нулей передаточной функции (рис. 3.37): 50 + Ю2з + 5а2 + 2? = 0 => 3| = -0.5, Jjj - -1 ± 7j; loo - 20г + Юг2 = о =» - I ± 3j.
1 элементов и систем управления 315 Рис. 3.37 По (3.43), (3.44) и (3.46) определяем параметры спектра: П = 0.5, у= 1,л-2, р= 7. Спектральные оценки качества переходной характеристики, выполненные по (3.48) - (3.52), следующие. 3 S гу < 6 с, a S 63.8%. С = 0.59, ш* = 7 рад / с,/, = 1.11 Гц, Тк = 0.9 с, NK = 3.5. Поскольку комплексные полюсы не являются доминирующими, то оценка перерегулирования о может оказаться слишком завышенной. Правые нули zi.j могут ухудшить качество переходной характеристики, в частности, дать отри- цательное перерегулирование о- из-за переворота фазы колебаний. Для получения частотных оценок подставим j = jw в передаточную функ- цию (3.60) 5(tO-(oJ+2j<o(51-(o2J и построим вещественную частотную характеристику (рис. 3.38) 25(10-<o2)‘+4w2(51-(oJ/ Рис. з.зв
316 Глава 3 Проведя пунктиром характеристик)’, какой бы она примерно была без резо- нансного пика, выпишем данные, необходимые для оценки параметров ка- чества переходной характеристики: ЛО) ° 2, Л«) - 0. Л™ - 2.06, Pmtn - 0.256, Л - 0.57, 8р = 3.6, uh = 0.1 рад / с, ц, 1.32 рад / с, Wj, - 7.3 рад / с, = 16.9 рад / с. Частотные оценки качества переходной характеристики, сделанные по (3.55, б), (3.56, б), (3.57) и (3.58, в), следующие: Ло = 0. Л_ = 2, тах(2.38, 0.56} S S 94.25 (с), о S 25%. Частотные оценки качества переходной характеристики, сделанные по (3.59) Л = 1.2 Гц, Тк = 0.83 с, ty < 5.92 с, a < 80.4%, С > 0.35, NK < 7.2, могут быть недостоверными, т. к. пик Л“) находится в среднечастотной об- ласти, а его величина сравнивается с условным значением Рк. Истинные показатели качества переходной характеристики определим, по- строив оригинал Л(г) по изображению H^s) /sc помощью табл П.2, п. 99 (рис. 339): h(t) = 2 - 2.284е"05' + 0.656e-'sin(7/ + 25.66*). Рис. 3.39 Сделав по графику необходимые измерения, получаем Ло - 0, Л_ - 2, - 6.25 с, о - 0%. Т, - 0.92 с, Л - 1.08 Гц. С - 0.62, NK • 4. Оценки и истинные значения показателей качества переходной характери- стики Л(0 сведены в табл. 3.3. Сравнение этих данных свидетельствует о хо- рошем совпадении оценок с истинными показателями, за исключением времени установления. Небольшая затяжка длительности переходного про- цесса объясняется наличием у передаточной функции правых нулей. С
Временные характеристики элементов и снегам управления Таблица 33 Показатели качества Спектральные оценки Частотные оценки Истинные значения Начальное значение Ло = О Ло»0 Установившееся значение Л_ = 2 Л.«2 Время установления 3Sl,S6c 2.38 51, < 5.92 с Г, =6.25 с Перерегулирование а 5 63 8% 0 5 25% о = 0% Период колебаний Г, = 0.9 с 7, =0.83 С Г, = 0.92 с Степень затухания колебаний {«0 59 С >0.35 5 = 062 Число колебаний N. а 3.5 N,<72 У, = 4 Сопоставляя истинные показатели качества переходной характеристики с их опенками, делаем следующие выводы □ спектральные оценки ty и о соогласуются с истинными значениями лишь при доминирующих полюсах и в отсутствие правых нулей переда- точной функции; □ спектральные оценки Д, Тк и 5 близки к истинным значениям. Знание спектра передаточной функции помогает точно определить частоты гар- монических колебаний переходного процесса системы по мнимым час- тям комплексных полюсов; □ спектральные методы не дают оценок амплитуд составляющих переход- ной характеристики, поэтому оценки параметров и о, сделанные не по доминирующим полюсам, могут быть грубыми; Q спектральные методы не лают оценок статических параметрон - на- чального ho и установившегося А_ значений. □ частотные методы дают точные оценки параметров Ло и Л_ только для устойчивых систем: □ частотные оценки параметров колебаний близки к истинным значениям лишь при низкочастотном расположении пика вещественной частотной характеристики относительно ее других изменений В других случаях оценки могут стать недостоверными
ГЛАВА 4 Нет ни одного понятия, в устойчивости ко- торого я был бы убежден Альберт Эйнштейн Устойчивость систем автоматического управления В результате изучения методов расчета временных характеристик стало по- нятно, что характер их изменения определяется, главным образом, переда- точной функцией системы, а именно расположением ее полюсов — корней полинома знаменателя. Продолжим более глубокое исследование качествен- ных свойств элементов и систем автоматического управления, определяю- щих их работоспособность во времени и пространстве. 4.1. Понятие устойчивости Устойчивость является важнейшим и самым необходимым условием работо- способности автоматических систем, т. к. включает в себя требование зату- хания переходных процессов во времени. Система управления с расходя- щимся переходным процессом неработоспособна. Устойчивость системы оз- начает, что ее реакция на любое ограниченное воздействие также является озраииченной Понятие устойчивости нелинейной динамической системы И условия устойчивости установлены А. М. Ляпуновым. Как показано в разд. 1.4, модель объекта в виде системы нелинейных диф" ферснииальных уравнений (1.6) может быть линеаризована в операторной форме Л(р)М0 ’ адмо с отклонениями Лу(0 “ ХО “ У,М и МО “ 40 “ *н(0 от номинальных Рс' жимов ун(г) и х,|(/). Номинальное движение является невозмущенным. гласно (118) и (1.19), изображение отклонения выхода объекта равно
Устойчивость систем автоматического управления дх(5)=И/(з)ДХ(5)+^Ь^. (4.1) Устойчивость — это свойство, присущее сугубо объекту и не зависящее от внешних воздействий. Подставляя в (4.1) нулевое отклонение входного воз- действия ДАЪ) = 0 и Q(s) = 0, получим уравнение («) с полиномами Л(«)=£а/, Pi~ ХвудУ(‘'''’',(0)у,=0-',-,4 .=0 1=0 , : описываюшее свободное движение объекта из ненулевых начальных отклоне- ний Ду(0), .... ДУ^’^О) от невозмущенного движения Математическое определение понятия устойчивости по Ляпунову (рис. 4.1, а): невозмущенное движение y„(t) называется устойчивым по Ляпунову, eciu V е > 0 3 8Де) > 0: |ду0(0)| < 6/е) => |Дусв(/)| < е V г > 0. Проще говоря, в устойчивой системе при любых ограниченных отклонениях начального состояния и его производных от их номинальных значений дальнейшее свободное движение также является ограниченно отклоненным от номинальной траектории. 4,f Ч? «) О) В неустойчивой системе малейшее отклонение движения от номинального Режима приводит к его неограниченному отклонению апериодического или колебательного характера. В действительности неустойчивое движение раз- вивается не до бесконечности: в лучшем случае - до насыщения элементов
системы по мощности, а в худшем приводит к более катастрофическим по- следствиям — разрушению объекта, взрыву реактора, падению ракеты и т. п Если сходимость Л>-са(/) -»0 имеет место при /-><», то такое движение на- зывается асимптотически устойчивым. Асимптотически устойчивое движе- ние называется экспоненциально устойчивым, если его траектория не выходит из сужающейся трубки, ограниченной сверху и снизу экспоненциальными функциями с отрицательным показателем (рис. 4.1, б): 3 М < «>, т > 0: |Дусв(г)| < Ме~т. В соответствии с (3.5) если линейный объект устойчив, то он устойчив не только асимптотически, но и экспоненциально. Движение, асимптотически устойчивое при любых начальных отклонениях от номинального режима, называется устойчивым в целом. Устойчивые ли- нейные объекты всегда устойчивы в целом. Если существуют определенные границы начальных отклонений, в пределах которых движение устойчиво, а вне этих границ — нет, то такое движение называется устойчивы» в малом. Свойство устойчивости в малом присуще только нелинейным системам. Оно в большой мере ограничивает область работоспособности таких систем и достоверность их описания линеаризо- ванными моделями. 4.2. Условия устойчивости линеаризованных систем Оценка устойчивости есть оценка возможности осуществлять управление, поэтому с нее начинается исследование любой системы автоматического управления. Для определения условий устойчивости линеаризованной сис- темы (4.1) в силу принципа суперпозиции рассмотрим отдельно движения, вызванные начальными отклонениями и входным воздействием. Без потери общности примем невозмушенное движение нулевым: Ун(0 = 0, хМ = 0. Из (4.2) вытекает, что свободное движение полностью определяется полино- мом >4(5) знаменателя передаточной функции, а формула разложения Хеви- сайда (3.4) раскрывает его характер: Уя(»)= • Отсюда следует спектральное необходимое и достаточное условие устойчиво- сти линеаризованных систем:
Устойчивость систем автоматического управления 321 Re(.v,| < 0 Vi =i?v. (4.3) Для устойчивости линеаризованной системы пеобходнмо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции были левыми Мнимая ось 1т(з) является границей устойчивости движения (см. рис 3.1). Если в процессе функционирования устойчивой системы из-за дрейфа ее параметрон хотя бы один полюс перейдет в правую полуплоскость з, то сис- тема станет неустойчивой. Точка v = 0 мнимой осн называется апериодиче- ской границей устойчивости, т к. полюс з( = О кратности п, порождает в сво- бодном движении согласно (3.9, я) составляющую неколебательного характера. Остальные точки мнимой оси составляют коле- бательную границу устойчивости, т. к. пара мнимых полюсов кратности п, порождает согласно (3.11. а) колебательную составляющую Укл(<) = c,(')cos(bv + Фк)* Системы, имеющие полюсы слева и на границе устойчивости, называются нейтральными Строго говоря, переходные процессы в нейтральных системах не расходятся только если граничные полюсы — простые. Поэтому понятие границы устойчивости весьма условное и при проектировании системы управления необходимо добиваться безусловной устойчивости с определен- ным запасом, задаваемым степенью устойчивости ц — расстоянием (3.43) от мнимой оси до ближайшего левого полюса. Если условие устойчивости вы- полнено с запасом Re(3j S -n V /, то согласно (3.48) свободное движение затухает за время не большее, чем 3/пс. Аналогично свободному ведет себя возмущенное движение, порожденное ненулевыми начальными отклонениями Дх(0).......A.?m-l,(0). Рассмотрим вынужденное движение, вызванное входным воздействием ф). Его изображение в (4.1) равно ПынО) = «Ш) По теореме свертывания [16, 30| произведению изображений Щз)Л(з) соот- ветствуют оригиналы — интегралы Дюамеля | и-(т)х(/ - т)1т. J »v(r - т)х(т)1т (4.4) о о Действительно, по определению преобразования Лапласа (1.16), имеем
W(.t)x(j)=je-'MT)jT /е-‘фл(ф>1ф = |/е’1(х4ф)ЦтХ(ф)£1таф = ° О О О О =||е‘"н(т)4 - T)drdT = Je^'f н(т)г(г - tjdrdr = l|J и{т>(т -1> j. Ввиду симметричности переменных t и т справедлив и второй оригинал в (4.4). Пусть входное воздействие абсолютно ограничено: |х(/)| S V / > 0. Тогда выходной сигнал должен удовлетворять условию ограниченности |У.И11 (0=JИ) |4 - T^dr < М Дw(rJ|dT < о». о о Отсюда следуют временные условия устойчивости линеаризованной системы. Необходимое и достаточное условие — абсолютная интегрируемость ее им- пульсной характеристики Mfl Необходимое, но не достаточное условие ус- тойчивости — сходимость импульсной характеристики к нулю: lim 4)=0. (4.5, а) В соответствии с предельными формулами (3.21) это необходимое условие равносильно условию lim{iW'(j)}=0 (4.5,6) отсутствия астатизма передаточной функции. Достаточное условие устойчи- вости заключается в том. что все полюсы передаточной функции должны быть левыми. На примере системы «тележка - перевернутый маятник* с пе- редаточными функциями (3.22) можно убедиться, что выполнение второго предельного условия (3.21) для и<<») не гарантирует устойчивости, если не все полюсы системы левые. Прямые условия устойчивости системы (4.3) требуют знания полюсов пере- даточной функции, что для систем высокого порядка представляет сложную задачу нахождения корней полиномов (см. разд. 26). В действительности достаточно располагать информацией о качественной ориентации полюсов на комплексной плоскости относительно мнимой оси. Правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без вычисления полюсов ее передаточной функции, называются критериями устойчивости, которые делятся на две группы: О алгебраические - Рауса. Гурвица и Льенара - Шипара- □ частотные - Михайлова и Найквиста.
Устойчивость систем автоматического управления 323 Математически все критерии устойчивости эквивалентны, т к. устанавливают условия принадлежности всех полюсов левой полуплоскости s. С их помо- щью оценивают влияние параметрических или структурных изменений на устойчивость, определяют границы допустимых изменений параметров, при которых в системе управления сохраняется устойчивость и желаемые пока- затели качества 4.3. Алгебраические критерии устойчивости Алгебраические критерии устойчивости работают с характеристическим по- линомом (ХП) C(x)=co+c1^... + eZ=tc1?’ (46> (=0 т. с. полиномом знаменателя передаточной функции той системы, устойчи- вость которой исследуется. Получим передаточную функцию и харак- теристические полиномы Ц>(т) и C,(s) разомкнутой и замкнутой систем, изображенных на рис. 4.2: □ в разомкнутой системе (а) □ в замкнутой системе с единичной обратной связью (о) иф)=-^, %(s)=iZw$) ~ ’ А,) 1 Д5): □ в замкнутой системе с неединичной обратной связью (в)
324 Глава 4 На схемах и в формулах в обозначениях « + » и «±» верхние знаки соответст- вуют отрицательной обратной связи, а нижние — положительной. Полином, все корни которого — левые, называется устойчивым. Если все его коэффициенты — числа, то алгебраические критерии устойчивости ус- танавливают факт уст