Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Автор: Бурбаки Н.
Теги: математика линейная алгебра алгебра полилинейная алгебра
Год: 1962
Похожие
Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении
Гомология
Конечномерные алгебры
Спиноры и пространство-время Т.1. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля
Текст
                    ACTUAUTES SdENTIFIQUES ET INDUSTIUELLES
ELEMENTS DE MATHEMATIQUE
PAR
N. BOURBAKI
РНВМХЙЯВ РАКТШ
LES STRUCTURES FONDAMENTALES DE I/ANALYSE
LIVRBO
ALGEBRE
PARIS
HERMANN & Cte, EDITEURS
6, Roc de la Sorbonne, 6

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
Н. БУРБАКИ
АЛГЕБРА
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ЛИНЕЙНАЯ И ПОЛИЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
Д. А. РАЙКОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 6 2

517
Б 91
АННОТАЦИЯ
Группа французских математиков, оЗьедп-
ненная под псевдонимом «Бурбаки», поставила
перед собой цель — написать под общим загла-
заглавием «Элементы математики» полный трактат
по современной математике. Многие выпуски
этого трактата уже вышли во Франции, вызван
большой интерес математиков всего мира.
Настоящей книгой открывается перевод
части этого трактата, посвященной алгебре
и состоящей из девяти глав.
Книга содержит первые три главы этой
части под названиями: «Алгебраические струк-
структуры», «Линейная алгеЗра» и «Полилинейная
алгебра».
Книга рассчитана на математиков — науч-
научных работников, аспирантов и студентов стар-
старших курсов университетов и пединститутов.
Н. Бурбаки.
Алгебра.
М., Фнзматгиз, 1962 г., 516 стр.
Редактор С. М. Половинкам.
Техн. редактор К. Ф. Брудно. Корректор Т. С. Плетнева.
Сдано ь набор 4/IV 1962 г. Подписано к печати 13/Х 1962 г. Бумага RO*CflO/ie.
Физ печ. л. 32.25 +-4 вкл. Условн. печ. л. 34.25. Уч.-изд. л. 29,73. Тираж 10 000 экз.
Цена книги 1р. 64 к. Заказ 319.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № Ь Мосгорсовнархоза. Москва, Трехпрудный пер , 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 13
Глава I. Алгебраические структуры 17
§ 1. Внутренние законы композиции; ассоциативность; коммутативность 17
1. Внутренние законы композиции \Ъ
2. Композиция серии элементов 20
3. Ассоциативные законы 23
4. Устойчивые множества. Индуцированные законы 26
5. Перестановочные элементы. Коммутативные законы .... 28
Упражнения 33
§ 2. Нейтральпый элемент; регулярные элементы; симметричные эле-
элементы 35
1. Нейтральный элемепт 35
2. Регулярные элементы 36
3. Симметричные элементы 38
А. Симметризация коммутативного ассоциативного закона ... 41
5. Применения: I. Рациональные целые числа 45
6. Применения: II. Положительные рациональные числа ... 47
7. Продолжение представления по симметрии 47
8. Применение: умножение рациональных целых чисел .... 48
9. Обозначения элемента, симметричного данному 49
Упражнения 51
§ 3. Внешние законы композиции 55
1. Внешние законы композиции 55
2. Раздвоение внутреннего закона 57
3. Устойчивые множества. Индуцированные законы 58
Упражнение 59
§ ^4. Алгебраические структуры 60
1. Определение алгебраической структуры 60
2. Устойчивые множества. Индуцированная алгебраическая
структура 62
3. Факторструктуры 62
4. Представления; гомоморфизмы 66

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
5. Произведения алгебраических структур 71
Упражнения 73
§ 5. Отношения между законами композиции , . 75
1. Дистрибутивность 75
2. Ассоциативность 80
3. Перестановочность 81
Упражнения 82
§V6. Группы и группы с операторами 84
1. Группы 84
2. Подгруппы 86
3. Факторгруппы 88
4. Представления 92
5. Произведения групп 94
6. Прямое произведение подгрупп 95
7. Коммутативные группы; моногенные группы 97
8. Центр группы; коммутант 99
9. Группы с операторами 100
10. Устойчивые подгруппы групп с операторами 101
11. Факторгруппы групп с операторами 102
12. Представления групп с операторами 103
13. Подгруппы факторгруппы группы с операторами 104
14. Теорема Жордана — Гёльдера 106
Упражнения 110
+• § 7. Группы преобразований 117
1. Группы преобразований 117
2. Представления группы в группу преобразований 119
3. Распространения группы преобразований 121
4. Инварианты группы операторов. Группы автоморфизмов . . . 122
5. Транзитивные группы 125
6. Однородные пространства 126
7. Примитивные группы 129
Упражнения 130
Т §' 8. Кольца и кольца с операторами 135
1. Кольца 135
2. Кольца с операторами 138
3. Делители нуля. Кольца целостности 140
4. Подкольца 141
5. Отношения эквивалентности в кольце. Идеалы. Факторкольца 143
6. Свойства идеалов 145
7. Максимальные идеалы 148
8. Гомоморфизмы колец 148
9. Подкольца и идеалы факторкольца 150
10. Произведения колец 152
11. Прямая композиция подколец 153
Упражнения 155

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
-(-§ 9. Тела 160
1. Тела и тела с операторами 160
2. Подтела 161
3. Гомоморфизмы тел 162
4. Поле отношений кольца целостности 163
5. Поле рациональных чисел 165
Упражнения 167
Исторический очерк к главе I 170
Библиография 179
Глава II. Линейная алгебра 181
-|-§ 1.^Модули 181
1. Определение модулей 181
2. Унитарные модули. Векторные пространства 183
3. Подмодули и фактормодули 184
4. Произведение модулей. Прямая сумма конечного семейства
подмодулей. Дополнительные подмодули 186
5. Линейные комбинации 187
6. Свободные семейства. Базисы 189
7. Сумма и прямая сумма любого семейства подмодулей .... 192
8. Модули формальных линейных комбинаций 195
9. Аннуляторы. Точные модули. Строение моногенных модулей 196
Упражнения 198
+-§ 2> Линейные отображения 202
1. Линейные функции 202
2. Линейные отображения фактормодуля 204
3. Линейные отображения в прямую сумму 205
4. Линейные отображения прямой суммы 206
5. Эндоморфизмы модуля 208
Упражнения 211
§ 3. Строение векторных пространств 212
1. Базисы векторного пространства 212
2. Конечномерные векторные пространства 215
3. Подпространства векторного пространства 217
4. Ранг линейного отображения 220
Упражнения 221
А § 4. Двойственность 222
1. Линейные формы. Сопряженный модуль 222
2. Ортогональность 224
3. Сопряженный к фактормодулю. Сопряженный к прямой сумме 226
4. Координатные формы. Сопряженные базисы 227
5. Двойственность для конечномерных векторных пространств 228
6. Двойственность для произвольных векторных пространств 229
7. Линейные уравнения 232
8. Линейные уравнения на векторном пространстве 236
9. Сопряженное линейное отображевие 238

§ ОГЛАВЛЕНИЕ
10. Контрагредиентные изоморфизмы 240
Упражнения , 240
§ 5. Сужение тела скаляров 243
1. Базисы относительно подтела 243
2. Первичные элементы векторного подпространства 244
3. Первичные решения системы линейных уравнений 245
4. Применение к пространству линейных соотношений между
заданными элементами векторного пространства 248
5. Подтело, ассоциированное с подпространством 249
6. Применение: кольца эндоморфизмов тела относительно его
подтел 251
Упражнения , 256
§ 0У Матрицы 258
1. Определение матриц 258
2. Матрицы над кольцом 259
3. Матрицы и линейные отображения 260
4. Произведение двух матриц 261
5. Квадратные матрицы 264
6. Транспонированная матрица 267
7. Матрицы над телом 269
8. Матрицы и линейные уравнения 270
9. Переход к новому базису . ., 271
10. Эквивалентные матрицы 274
11. Подобные квадратные матрицы 277
Упражнения 279
§ 7.1 Алгебры 282
1. Определение алгебры 282
2. Базисы алгебры. Таблицы умножения 284
3. Подалгебры. Идеалы. Факторалгебры 287
4. Представления 287
5. Произведения и прямые суммы алгебр 289
6. Примеры алгебр: I. Кольца эндоморфизмов 2У0
7. Примеры алгебр: II. Квадратичные расширения кольца 290
8. Примеры алгебр: III. Кватернионы 292
9. Примеры алгебр: IV. Моноидная алгебра. Групповая
алгебра 294
10. Примеры алгебр: V. Расширенная моноидная адгебра .... 297
Упражнения 208
Приложение I к главе II. Полулинейные отображения 303
1. Определение полулинейных отображений 303
2. Линейпое отображение, ассоциированное с полулинейным . . 304
3. Ранг полулинейного отображения 304
4. Сопряженное к полулинейному отображению 304
5. Матрица полулинейного отображения 305

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
Приложение II к главе II. Аффинные пространства 307
1. Определение аффинных пространств 307
2. Барицентрическое исчисление 308
3. Линейные многообразия ЗиО
4. Аффинные отображения 313
Упражнения 310
Приложение III к главе II. Проективные пространства 319
1. Определение проективных пространств 319
2. Однородные координаты 320
3. Проективные линейные многообразия 32б
4. Проективное пополнение аффинного пространства 322
5. Продолженио рациональных функций 324
6. Проективные отображения 325
7. Структура проективного пространства 327
Упражнения 328
Глава III. Полилпиейнан алгебра 334
§ 1. Тензорные произведении модулей 334
1. Билинейные функции 334
2. Тензорное произведение двух модулей 3315
3. Свойства тензорных произведений 340
4. Тензорное произведение линейных отображений 346
5. Модуль, сопряженный к тензорному произведению .... 347
6. Тензорное произведение матриц 348
7. Полилинейные функции; тензорное произведение конечного
числа модулей 350
Упражнения 352
§ 2. Расширение кольца операторов модуля 353
1. Расширение кольца операторов модуля 353
2. Расширение кольца операторов свободного модуля 357
3. Модули над кольцом целостности 358
Упражнения 361
§ 3. Тензорные произведения алгебр 363
1. Тензорное произведение алгебр 363
2. Примеры тензорных произведений алгебр 365'
3. Характеризация тензорного произведепия двух алгебр над
полем 366
4. Расширение кольца операторов алгебры 369
Упражнения 371
§ 4. Тензоры и тензорные пространства 372
1. Тензоры 372
2. Тензорные пространства; тензорные отображения 375
3. Умножение и свертывание 378
4. Эндоморфизмы смешанных тензоров второго порядка .... 380
5. След эндоморфизма. След матрицы 382

¦JO ОГЛАВЛЕНИЕ
6. Тензорная алгебра 384
Упражнения 386
S 5. Внешняя алгебра 388
1. Операторы симметрии о88
2. Знакопеременные полилинейные функции 392
3. Антисимметрированные линейные функции 394
4. Знакопеременные полилинейные функции на свободном модуле 395
5. Внешние степени модуля 398
6. Внешние степени свободного модуля 400
7. Внешние степени линейного отображения 402
8. Внешнее произведение />-вектора и g-вектора 404
9. Внешняя алгебра 406
Упражнения 408
^ 6. Определители 412
1. Определение определителей 412
2. Вычисление определителя 415
3. Миноры матрицы 417
4. Разложения определители 419
5. Выражение для обратной матрицы. Применепие к линейным
уравнениям 422
Упражнения 425
7. Определители над полем; разложимые р-вектори над векторным
пространством 428
1. Свободные системы разложимых />-векторов 428
2. Применение определителей к решению линейных уравнений
над полем 429
3. Векторные подпространства и разложимые/)-векторы 431
Упражнения 434
§ 8. Двойственность для внешней алгебры 436
1. Знакопеременные линейные формы и антисимметрированныа
ковариантные тензоры 436
2. Модуль, сопряженный к внешпей степени 438
3. Модуль, сопряженный к /\Е 441
4. Внутренние произведения />-вектора и g-формы 442
5. Канонические изоморфизмы р-векторов и (я — />)-форЯ 445
6. Истолкование внутренних произведений над векторными про-
пространствами 448
Упражнения 451
Приложение I к главе III. Бесконечные тензорные произведения . . . 455
1. Тензорные произведения] модулей 455
2. Тензорные произведения алгебр 456
Приложение II к главе III. Тензорные произведении над некоммута-
некоммутативным кольцом 459
1. Тензорное произведение двух модулей 459

ОГЛАВЛЕНИЕ 11
2. Тензорное произведение двух линейных отображений . . . 462
3. Операторы на E(?)aF 463
4. Тензорное произведение с основным кольцом 465
5. Свойства E®xF по отношению к подмодулям и фактормодулям 466
6. Свойства E(R)_\F по отношению к прямым суммам и произве-
произведениям 467
7. Дополнения относительно ?\{Е, F) 469
8. Два канонических изоморфизма 471
9. Коммутативность и ассоциативность тензорного произведения 473
10. Изменение основного кольца 476
11. Применение: размерность модуля 478
Упражнения 480
Исторический очерк к главам II и III 483
Библиография 494
Указатель обозначений 497..
Указатель терминов 501
Определения и аксиомы главы I Вклейка 1
Словарик основных обозначений, относящихся к внутрен-
внутреннему закону композиции Вклейка 2
Определения и аксиомы главы II Вклейка 3
Определения и аксиомы главы III Вклейка 4

ВВЕДЕНИЕ
Заниматься алгеброй — значит, по существу, вычислять, т. е.
выполнять над элементами некоторого множества «алгебраиче-
«алгебраические операции», наиболее известный пример которых доставляют
«четыре действия» элементарной арифметики.
Здесь не место описывать медленный, но неуклонный процесс
абстракции, посредством которой понятие алгебраической опера-
операции, первоначально ограниченное натуральными числами и изме-
измеряемыми величинами, постепенно расширялось параллельно рас-
расширению понятия «числа», покуда не переросло это последнее
и не стало применяться к элементам совершенно пе «числового»
характера, как, например, перестановки множества (см. Истори-
Исторический очерк к гл. I). Несомненно, именно возможность этих
последовательных расширений, при которых форма вычислений
оставалась одной и той же, но природа математических объектов,
над которыми производились вычисления, существенно менялась,
позволила постепенно выявить руководящий принцип современ-
современной математики: математические объекты сами по себе не столь
существенны — важны их отношения (см. Книгу 1). Во всяком
случае можно определенно утверждать, что алгебра достигла
этого уровня абстракции значительно раньше других областей
математики, и уже давно стало привычным рассматривать ее как
науку об алгебраических операциях, независимую от математиче-
математических объектов, к которым эти операции могут применяться.
Общепринятое представление, связываемое с обычными алге-
алгебр аическими операциями, если отвлечься от пх конкретного
характера, весьма просто: выполнить алгебраическую операцию
над двумя элементами а, Ъ одного и того же множества Е — зна-
значит сопоставить паре (а, Ь) вполне определенный третий элемент с
множества Е. Иначе говоря, в атом понятии нет ничего, кроме

14 ВВЕДЕНИЕ
понятия функции: задать алгебраическую операцию — значит
задать функцию, определенную на ЕхЕ и принимающую значе-
значения из Е; единственная особенность сводится к тому, что областью
определения функции служит произведение двух множеств, иден-
идентичных с множеством, из которого берутся значения функции;
именно такую функцию мы называем внутренним законом ком-
композиции.
Наряду с этими «внутренними» законами были введены в рас-
рассмотрение (главным образом под влиянием геометрии) «законы
композиции» другого типа, а именно «внешние» законы, в которых
кроме множества Е (остающегося, так сказать, на,первом плане)
участвует еще вспомогательное множество Q, элементы которого
именуются операторами: на этот раз закон сопоставляет паре
(а, а), образованной оператором a?Q и элементом а?Е, некоторый
элемент b множества Е. Например, в евклидовом пространстве Е
гомотетия с заданным центром относит вещественному числу к
(«коэффициенту гомотетии», являющемуся здесь оператором) и точ-
точке А пространства Е определенную точку А' в Е; это — внешний
закон композиции в Е.
В соответствии с общими определениями (Теор. мн., Рез.*),
§ 8) задание на множестве Е одного или нескольких законов
композиции (внутренних или внешних) определяет в Е структуру;
структуры, определяемые таким способом, мы и называем алге-
алгебраическими структурами, изучение их и составляет предмет
алгебры.
Имеются многочисленные роды (Теор. мн., Рез., § 8) алге-
алгебраических структур, характеризуемые, с одной стороны, опре-
определяющими их законами композиции, а с другой — аксиомами,
которым эти законы подчинены. Разумеется, эти аксиомы не могут
выбираться произвольно; они представляют собой не что иное,
как свойства, принадлежащие большинству законов композиции,
встречающихся в приложениях, таких, как ассоциативность,
коммутативность и т. д. Глава 1 посвящена главным образом
изложению этих аксиом и вытекающих из них общих следствий;
при этом проведено более подробное исследование двух наиболее
*) «Теор. мн., Рез.» — ссылка на сводку результатов Книги 1 «Теория
множеств», перевод которой помещен в виде приложения в книге «Общая
топология. Основные структуры» (Физматгиз, М., 1958).

ВВЕДЕНИЕ 15
важных родов алгебраических структур, а именно групповых
(где участвует лишь один внутренний закон композиции) и коль-
кольцевых (с двумя внутренними законами композиции), частным
случаем которых является структура тела.
В главе I определены также группы с операторами и кольца
с операторами, где, наряду с внутренними законами композиции,
участвуют один или несколько внешних законов. Наиболее важ-
важными группами с операторами являются модули, к которым отно-
относятся, в частности, векторные пространства, играющие опреде-
определяющую роль как в классической геометрии, так и в современном
анализе. Изучение модульных структур ведет начало от исследо-
исследования линейных уравнений, откуда и его название — линейная
алгебра; относящиеся к ней общие результаты будут содержаться
в главе II.
Точно так же наиболее часто встречающиеся кольца с опера-
операторами — это так называемые алгебры (или гиперкомплексные
системы). В главах III и IV будет проведено подробное исследо-
исследование двух специальных алгебр: внешней алгебры, являющейся,
вместе с содержащейся в ней теорией определителей, ценным
вспомогательным средством линейной алгебры, и кольца полино-
полиномов, лежащего в основе теории алгебраических уравнений.
В главе V изложена общая теория полей и их классификации.
Отправным пунктом этой теории является исследование алгебраи-
алгебраических уравнений с одним неизвестным; приведшие к этому во-
вопросы в настоящее время представляют лишь исторический инте-
интерес, но сама теория полей продолжает играть фундаментальную
роль в алгебре, составляя основу теории алгебраических чисел,
с одной стороны, и алгебраической геометрии — с другой.
Поскольку множество натуральных чисел наделено двумя
внутренними законами композиции — сложением и умножением,—
классическая арифметика (или теория чисел), имеющая своим
предметом изучение натуральных чисел, охватывается алгеброй.
Однако на почве алгебраической структуры определяемой этими
двумя законами, здесь возникает структура, определяемая отно-
отношением порядка «а делит Ь»; сущность же классической арифме-
арифметики как раз и состоит в изучении связей между этими двумя
выступающими вместе структурами. И это не единственный при-
пример, когда структура порядка ассоциируется так с некоторой

ЦВЕДЕНИЕ
алгебраической структурой посредством отношения «делимости»:
последнее отношение играет отнюдь не менее важную роль в коль-
кольцах полиномов. Поэтому оно подвергнуто общему рассмотрению
в главе VI; результаты этого рассмотрения применяются в гла-
главе VII к установлению модульных структур в некоторых осо-
особенно простых кольцах и, в частности, к теории «элементарных
делителей».
Глава VIII закладывает начала некоммутативной алгебры; осо-
особое внимание в ней уделено исследованию некоторых типов моду-
модулей и колец, играющих фундаментальную роль во всех вопросах,
относящихся к линейному представлению групп. Наконец, гла-
глава IX посвящена элементарной теории квадратичных форм, эрми-
эрмитовых форм и связанных с ними линейных групп — понятий, встре-
встречающихся почти во всех областях современной математики.

ГЛАВА I
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
j I. Внутренние законы композиции; ассоциативность;
коммутативность
/. Внутренние законы композиции
Определение 1. Внутренним законом композиции элементов
множества Е называется отображение f некоторого подмноже-
подмножества А произведения ЕхЕ в Е. Значение f(x, у) отображения f
при (х, у) ? А называется композицией х и у относительно этого
закона.
Допуская вольность речи, говорят, что такой закон задан
(или определен) на Е. Наиболее важны внутренние законы компо-
композиции, определенные для всех пар {х, у)?ЕхЕ; допуская воль-
вольность речи, говорят, что такой закон определен всюду на Е. Нас
будут интересовать главным образом всюду определенные законы.
Для записи композиции х и у чаще всего выписывают хну
а определенном порядке, отделяя их характеристическим знаком
рассматриваемого закона (а иногда уславливаясь этот знак опу-
опускать). Из наиболее часто употребляемых знаков укажем уже
теперь + и • и согласимся последний знак при желании опу-
опускать; посредством этих знаков композиция хну записывается
соответственно в виде х-\-у и х-у или ху. Закон, обозначаемый
знаком -f-, чаще всего называют сложением (называя тогда ком-
композицию х-\-у суммой х и у) и говорят, что для него принято
аддитивное обозначение; закон, обозначаемый знаком •, чаще
всего называют умножением (называя тогда композицию х-у = ху
произведением х и у) и говорят, что для него принято мульти-
мультипликативное обозначение. В общих рассмотрениях §§ 1—5 этой
2 Н. Бурбаки

Jg АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 1
главы мы будем обычно для обозначения произвольных законов
композиции пользоваться символами Т и X •
В алгебре необходимо уметь переводить каждое предложение,
относящееся к какому-либо закону композиции, непосредственно
с одних обозначений на другие. В целях облегчения задачи читателя
в этом отношении в конце книги (вклейка 2) помещен словарик тер-
терминов и символов, относящихся к основным понятиям, связанным
с законами композиции, в переводе на наиболее употребительные
обозначения (а именно на аддитивные и мультипликативные).
П р и м е р ы. 1) Отображения (X, У) -> X у У и (X, Y) -+ X Г) У
являются (всюду определенными) внутренними законами компози-
композиции подмножеств множества Е.
2) В множестве N натуральных чисел сложение, умножение
и возведение в степень являются всюду определенными законами
композиции (композиции х 6 N и у 6 N при этих законах обозна-
обозначают соответственно х-\-у. ху или х-у и ху; см. Теор. мн., гл. III).
3) В множестве N натуральных чисел вычитание х — у есть
внутренний закон композиции, определенный лишь для тех пар (х, у),
X
в которых х > у; точно так же деление — определено лишь для тех
пар (х, у), в которых у Ф О и х кратно у.
4) Пусть Е — произвольное множество; отображение (X, У) —>-
—у X о Y является законом композиции подмножеств произведения
ЕХЕ (Теор. мн,, Рез., § 3, п° 10); отображение (/, g) -> / о g есть закон
композиции отображений Е в Е (Теор. мн., Рез., § 2, п° 11).
5) В множестве всевозможных отображений подмножеств множе-
множества Е в Е (Теор. мн., Рез., § 3, п° 5) отображение (/, g) —> f о g есть
внутренний закон композиции, определенный лишь для тех пар (/, g),
которые, если обозначить через А и В те подмножества множества Е,
где определены соответственно / и g, удовлетворяют условию g (В) С А.
6) Пусть Е —решетка (Теор. ми. Рез., § 6, п° 8) и sup (x, у) озна-
означает верхнюю грань множества { х,у}. Отображение {х, у) -> sup (x, у)
есть всюду определенный закон композиции элементов множества Е.
Аналогично для нижней грани inf (x, у). Приведенный выше пример 1
подпадает под это, если считать множество 5(? (Е) всех подмножеств
множества Е упорядоченным по включению.
Пусть (х, у) —> хТу—закон композиции элементов множества Е,
определенный на некотором подмножестве А произведения Е х Е.
Каковы бы ни были XdE, YciE, будем обозначать через XTY
(если только это не может повлечь путаницы *)) множество всех
*) Вот пример, в котором этот принцип обозначения мог бы повлечь
путаницу и потому не должен применяться. Пусть речь идет о законе ком-

1 ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 19
элементов хТу?Е таких, что х? X, г/б У и (х, у)?А (иными сло-
словами — образ следа X X Y на А при отображении (х,у)^>
Таким образом, отображение (X, У) —> X Т Y является всюду
определенным законом композиции подмножеств множества Е (если
(х, у)$А, то {х]Т {у) = 0).
Пусть (х, у)—>хТу — всюду определенный закон компози-
композиции элементов множества Е\ отображение (х, у) —> уТх также есть
всюду определенный закон композиции; он называется противопо-
противоположным предыдущему. Если закон (х, у) —> хТУ определен на неко-
некотором подмножестве А произведения ЕхЕ, то, поскольку отноше-
-1
ние (у-, х)?А эквивалентно отношению (х, у) ? А (Теор. мн., Реэ.»,
-1
§ 3, п° 4), (х, у)-^-уТх есть отображение А в Е; оно по-
прежнему называется законом композиции, противоположным
предыдущему. Иными словами:
Определение 2. Два закона композиции злементов множества Е
(всюду определенные или нет) называются противоположными,
если каждый из них является композицией канонической симмет-
симметрии произведения Е х Е и другого закона. Если один из них всюду
определен, то всюду определен и другой.
Согласно нашим общим определениям (Теор. мн., Рез., § 8,
п°2), задание закона композиции элементов множества Е опре-
определяет в этом множестве структуру; это ¦— специальный род
алгебраической структуры (общее определение которой будет
дано в § 4 этой главы). Мы будем называть ее структурой, опре-
определяемой в Е рассматриваемым законом композиции.
Пусть Е и Е'— множества, наделенные каждое структурой,
определяемой некоторым внутренним законом композиции; будем
обозначать оба эти закона композиции знаком у. Пусть А —
позиции A (J В подмножеств множества Е; он порождает закон композипив
($, S5) -> F (%, Щ подмножеств множества % (Е), где F B(, S3) означает
множество всех A (J В, в которых А € 21, В € Ъ; по F (%, Щ нельзя было
бы обозначать % (J S3, поскольку этому обозначению уже приписав другой
смысл (а именно объединения 91 и S3, рассматриваемых как подмножества
множества $ (Е)).
о*

20 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 1
та часть Е X Е и А'— та часть Е' х Е', где соответственно опре-
определены эти два закона. Согласно общим определениям (Теор.
мн., Рез., § 8, п°5), изоморфизмом Е на Е' называется взаимно
однозначное отображение / Е на Е', распространение которого
на Е X Е отображает Л на Л' и для которого
f(xTy) = f(x)Tf(y) A)
всякий раз, кощ&хТу определено (т. е. для каждойпары (х, у) ? А).
Если существует изоморфизм Е на Е', то говорят, что Е и Е'
изоморфны (или что имеется изоморфизм их структур).
Более общим образом, говорят, что отображение f E в Е' есть
представление Е в Е', если всякий раз, когда определена компо-
композиция xjy, композиция f(x)Tf (у) также определена и удовлет-
удовлетворяет соотношению A) (это частный случай понятия, определяе-
определяемого в § 4 для произвольной алгебраической структуры).
Если закон Т на Е всюду определен, то ясно, что изоморфизм Е
на И' есть не что иное, как взаимно однозначное представление Е на Е'.
Но это предложение уже неверно, если закон Т не всюду определен
на Е, ибо тогда может случиться, что / (х) Т /(у), где / — взаимно
однозначное -представление Е на Е', определено, а х Т у — нет.
2. Композиция серии элементов
Напомним (Теор. мн., Рез., § 2, п°14), что семейство элемен-
элементов множества Е определяется заданием множества индексов /
и его отображения i —> х% в Е; семейство (xl)l e / называется конеч-
конечным, если множество индексов конечно.
Множество индексов / семейства может иногда наделяться
структурой (Теор. мн., Рез., § 8); если I ж К — множества
индексов, наделенные структурами одинакового рода, то говорят,
что семейства (xl)l е / и (г/х)х е к элементов одного и того же множества
Е подобны (относительно структур, заданных в/иЯ^если суще-
существует изоморфизму I на К такой, что х1=уч>A-) для каждого ig 1.
Удобно дать особое наименование семействам, множества
индексов которых наделены специальной структурой, особенно
когда па множестве индексов одного и того же семейства (xt)t 6 /
рассматриваются различные структуры. Это как раз имеет место
в алгебре, где нам придется рассматривать в особенности случай

2 ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 21
конечного семейства (xt)l6j, множество / индексов которого наде-
наделено структурой совершенно упорядоченного множества; мы будем го-
говорить, что задание семейства (xt)l6j и структуры совершенно упо-
упорядоченного множества в / определяет серию элементов множество
Е; эта серия обозначается по-прежнему (x^^i, но это обозначе-
обозначение определяет серию лишь при дополнительном указании струк-
структуры совершенно упорядоченного множества в /.
Заданному конечному семейству (ха)аел элементов множе-
множества Е отвечает столько серий, сколько в А имеется структур
совершенно упорядоченного множества (т. е. р\, если А —множество,
состоящее из р элементов); все зти серии должны рассматриваться
как различные. В частности, всякой конечной последовательности
(x4)igH> гДе Н— конечное подмножество множества N натураль-
натуральных чисел, соответствует специальная серия, получающаяся,
если ввести в Н структуру, определяемую отношением порядка
т<и между натуральными числами (Теор. мн., Рез., § 6, п°2).
рассматривая последовательность как серию без указания отноше-
отношения порядка в Н, мы всегда будем подразумевать, что Н наделено
этим специальным отношением порядка. При этом условии можно
сказать, что любая серия (ха)а6л подобна (в определенном выше
смысле) конечной последовательности, ибо существует взаимно
однозначное возрастающее отображение совершенно упорядочен-
упорядоченного множества А на некоторый интервал [0, п\ множества N.
Пусть теперь Е — множество, наделенное всюду определенным
внутренним законом композиции Т •
Определение 3. Пусть (ха)а6л—серия элементов из Е. Для
каждого непустого множества В CZA (совершенно упорядоченного
индуцированным отношением порядка) композицией серии (ха)а е л
(относительно закона у) называется элемент из Е, обозначаемый
~]~ ха, определяемый индукцией по числу элементов множе-
ае в
ства В следующим образом:
1° если ?={($}, то Т ха=хв",
ае в
2° если В состоит из р > 1 элементов, р — его наименьший
элемент и В' —множество всех элементов > р из В, то ~Г х-х —
= хр Т ( Т хЛ
\аеВ' /¦

22 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § t
Легко убедиться (индукцией по числу элементов множеств
индексов) в том, что композиции двух подобных серий равны;
в частности, композиция произвольной серии равна композиции не-
некоторой конечной последовательности (что позволяет при желании
ограничиться этими последними). Когда А состоит из двух элемен-
элементов, А = {К, \i} (К < ц), композиция Т ха есть не что иное,как х^Т^ц-
ос ? А
Композиция серии (ха)а $а относительно закона, обозначае-
обозначаемого _|_, записывается в виде JL ха; для аддитивно обозначае-
сс? А
мого закона принято записывать эту композицию в виде 2 ха
сс? А
и называть суммой серии (ха)а е а (а ха называть членами этой
суммы); для закона, обозначаемого мультипликативно, указан-
указанную композицию записывают чаще всего в виде [] ха и называют
а е а
произведением серии (ха)а^А (а ха называют сомножителями
произведения) *).
Если нет опасности недоразумений по поводу множества индексов
(а также его структуры порядка), то при обозначении композиции
серии это множество часто опускают, т. е., скажем, при аддитивном
обозначении закона вместо J1 ха пишут V ха или даже V ха\
а ? А ос
аналогично при других обозначениях.
При законе, обозначаемом Т > композиция последовательно-
последовательности (xt), имеющей множеством своих индексов интервал [р, q]
множества N, обозначается Т хг , или Т хг , или также
хрТх^Т ¦ ¦ ¦ Т xq; аналогично для законов, обозначаемых дру-
другими символами.
Замечания. 1) При не всюду определенном внутреннем
законе Т можно по-прежнему вводить понятие композиции серии,
как в определении 3, но это определение будет иметь смысл лишь
для серий, удовлетворяющих некоторым условиям.
*) Однако в случае, когда ха— множества, употребления этого термина
и обозначения J] ха следует избегать, чтобы не получилось смешения
а ? А
с аналогичными термином и обозначением из теории множеств.

3 ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 23
2) Заметим, что в определении композиции серии имеется некото-
некоторый произвол; введенная нами индукция действует «справа налево»:
композиция последовательности (xi)i<i<n явно заданных п элементов
есть не что иное, как XiT (х2Т (х3Г (...Т (хп_гТ хп)...))) (и—2 пар
скобок). Было бы также вполне законно определять композицию,
действуя «слева направо» или любым другим способом (произвольно
группируя скобки); но, как мы увидим, этот произвол исчезает в слу-
случае наиболее важных на практике ассоциативных законов.
3. Ассоциативные законы
Определение 4. Всюду определенный закон композиции
(х, у)—>хТу элементов множества Е называется ассоциативным,
если, каковы бы ни были элементы х, у, z из Е,
: B)-
Множество, наделенное структурой, определяемой ассоциатив-
ассоциативным всюду определенным законом, будет называться моноидом.
Очевидно, закон, противоположный ассоциативному, ассо-
ассоциативен.
Закон хТу, не являющийся всюду определенным, называют
иногда ассоциативным, если ассоциативен порождаемый им (п° 1)
закон композиции XTY подмножеств множества Е, который уже
всюду определен; иногда же не всюду определенный закон называют
ассоциагивньш, если соотношение B) выполнено всякий раз, когда
обе его части определены (впрочем, это второе условие является след-
следствием первого). Часть нижеследующих результатов распространяется,
с надлежащими видоизменениями, иа ие всюду определенные ассо-
ассоциативные (в одном из указанных двух смыслов) законы.
Примеры. 1) Среди примеров законов композиции, указанных
в п° 1, ассоциативны следующие: X (") Y и X \j Y (пример 1); х + у
и ху (пример 2); XoYuf°g (пример 4), sup (x, у) и inf (x, у) (пример 6),
Если «Ту — ассоциативный закон композиции элементов множества
Е, то X~TY есть ассоциативный закон композиции элементов мно-
множества 35(?). С другой стороны, возведение натуральных чисел в сте-
степень (пример 2) не ассоциативно; действительно, B1J^2*12).
.2) Свободные моноиды. Пусть А — некоторое множе-
множество и Е — множество всех конечных последовательностей элементов
из А; отношение «s и s' — подобные конечные последовательности»
(в смысле п° 2), очевидно, есть отношение эквивалентности в Е; обо-
обозначим через L (А) фактормножество E/R, где R — указанное

24 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § '
отношение. Определим на этом множестве внутренний закон компо-
композиции следующим образом.
Рассмотрим два элемента s = (<нL ? t, s' = (Ь,);- ^из?, где i < /
при любых i ? /, /?/; и пусть K=I\jJ и для каждого А ? А'
сь=аь, если fc?/, с%~Ь^, если ft ? /; мы будем говорить, что после-
последовательность s" = (cft)h р ^ получена путем приписывания s' к s.
Нетрудно видеть, что если sl^eb s (mod R), s[ s s' (mod R) и приписы-
приписывание s{ к s, определено, то оно дает последовательность sj = л"
(mod R); таким образом, класс (mod R) последовательности s" зависит
лишь от классов последовательностей s и s'; будем по-прежнему гово-
говорить, что он получен путем приписывания класса последователь-
последовательности s' к классу последовательности s; тем самым нами получен
закон композиции в L (А).[Этсп закон всюду определен, ибо для любых
двух последовательностей s = (oi)ig/ и s' = (bj);-g j из ? существует
последовательность s{ такая, что s[ = s' (mod R) и приписывание *-
к s определено (если h — наибольший элемент в /, то достаточно рас-
рассмотреть множество индексов К, образованное числами Л + /+ 1, где
/ пробегает/, и положить si=(bfc_h_i)kс^)- Кроме того, легко прове-
проверить, что этот закон ассоциативен.
Множество L (А), наделенное этим законом композиции, назы-
называется свободным моноидом, порожденным множеством А, а элементы
множества L (А) — словами, образованными из элементов множества А.
Если е — пустое слово (класс пустой последовательности), то ех=хе=х
длн каждого слова х. В каждом непустом слове х существует одна
и только одна последовательность (o;)t<i<n' множеством индексов,
которой служит некоторый интервал [1, п\ из N; п называют длиной
слова хъх часто отождествляют с последовательностью (ot). За длину
пустого слова принимают 0.
Основным свойством ассоциативных законов является следую-
следующая теорема, выявляющая всё значение понятия композиции
серии, определенного в п°2:
Теорема 1 (теорема ассоциативности). Пусть А — непустое
совершенно упорядоченное конечное множество, являющееся объеди-
объединением непустых подмножеств Bi (I < i < p) таких, что отноше-
отношения а?Вг, р б Bj (i<i<]'<p) влекут а < р; и пусть
(ра)аеА — серия элементов из Е, имеющая А своим множеством
индексов. Тогда для каждого ассоциативного закона Т, задан-
заданного на Е, имеет место формула
Х,7 Т •
а ?А

$ ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 25
Теорема доказывается индукцией по числу п элементов множе-
множества А. Если п=1, то, поскольку Вг непустые, необходимо p=lt
и теорема очевидна. В противном случае, предполагая теорему
справедливой для множеств индексов, имеющих меньше чем п
элементов, рассмотрим два случая:
а) Вг состоит из одного элемента р. Пусть C=B2\JB3[J ... \JBp-
Левая часть формулы C) есть (по определению) не что иное,.
какхрТ( Т ха), а правая часть (по определению) — не что-
иное, как хр Т ( Т ( Т ха)); равенство вытекает из предположен-
яой справедливости теоремы для С и В2, В3, . . . , Вр.
б) В противном случае пусть Р — наименьший элемент в А
(а значит, и в Bj); пусть А' — множество всех элементов > ?•
в А, и пусть 2?j=.A'|r)i?1; так как А' состоит из /г—1 элемента,
а условия теоремы выполнены для А' и его подмножеств В[, В2,. . .
.... Вр, то, согласно предположению,
(Тха)).
Образуем композицию хр с каждой из частей этого равенства;
слева мы будем иметь, по определению, ~]~ ха, справа же (при-
(применяя определение ассоциативного закона) получим
Т Ха\
а это (по определению 4) есть не что иное, как правая часть фор-
формулы C).
В теореме 1 содержится как частный случай формула
позволяющая определять композицию конечной последователь-
последовательности индукцией, действующей «слева направо» (вместо данного-
выше определения, действовавшего «справа налево»); таким обра-
образом, для ассоциативного закона эти два определения эквивалентны.
Если все члены серии, состоящей из п членов, равны одному
п
и тому же элементу х?Е, то их композиция обозначается ~\ х
при законе, обозначаемом Т> L% при законе, обозначаемом J.,
хп при законе, обозначаемом мультипликативно, и чаще всего п?

26 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 1
при законе, обозначаемом аддитивно (за исключением неко-
некоторых случаев, где это последнее обозначение могло бы повлечь
путаницу; см. § 3, п° 1). Теорема ассоциативности в применении
к серии, состоящей из одинаковых членов, дает формулу
п,+пг+.. .+пр пх па пр
Т * = (Т*)Т(Тж)Т---Т(Тж),
я значит, в частности, при р = 2—формулу
т-\-п т п
Т я = (Т 4
а при п1==л2= . . . =пр=т— формулу
рт р т
Tx=T(jx). E)
Если ХаЕ, то, в соответствии с введенными обозначениями,
р
ТХ означает множество ХХТ^2Т • • • Т^р> гДе Х1 = Х2= . ..
. .. =Хр=Х; таким образом, это есть множество всевозможных
композиций ххТя2Т ¦ ¦ ¦ Т%р, где х1^Х, х2-', X, . . ., жрб X.
Важно не смешивать это множество с множеством композици й
р
Та;, где х пробегает X.
от i I р
Положим Т^= w (Т^); это — множество композиций все-
Р>0
возможных конечных последовательностей, члены которых при-
ОО
надлежат X; в случае ассоциативного закона имеем Xt(T-3l)=.
4. Устойчивые множества. Инду цированиые законы
v Определение 5. Подмножество А множества Е называется
устойчивым относительно закона композиции элементов множе-
множества Е, если композиция двух элементов из А всякий раз, когда
•она определена, принадлежит А.
Иными словами, для того чтобы А было устойчиво относитель-
относительно закона Т. необходимо и достаточно, чтобы AT Ad А.
Пересечение семейства устойчивых подмножеств множества Е
¦очевидно устойчиво; поэтому, в чаетности, существует наимень-
«пее устойчивое подмножество Z множества Е, содержащее задан-

-* ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 27
ное множество XCZE (Teop. мн., Рез., § 6, п° 5); его называют
устойчивым множеством, порожденным множеством X. Индук-
Индукцией по п легко убедиться в том, что композиция всякой тг-член-
ной серии, элементы которой принадлежат X, принадлежит Z-
иными словами, всегда TXtzZ. При этом имеет место
Теорема 2. Для ассоциативного закона Т на Е устойчивое
ОО
множество, порожденное множеством Х(^Е, совпадает с ТХ.
ОО
Достаточно убедиться в том, что fX при ассоциативности
закона Т устойчиво; но любые два элемента и и у из ТХ имеют
вид и^х0ТххТ .. . Тя„_1, v=xnTxn+1T . . . Jxn+p, где х^Х
@< t< и+р); следовательно (теорема 1), uJv—XgJx^ ¦ ¦ ¦
оо
. . Txntp принадлежит J X.
Примеры. 1) В множестве N натуральных чисел устойчивым
относительно сложения множеством, порожденным множеством, со-
состоящим из одного числа 1, является множество всех натуральных
чисел >1; относительно умножения множество {1}само устойчиво.
2) Пусть Т — всюду определенный закон композиции элементов
множества Е; для того чтобы множество {h}, состоящее из одного
элемента, было устойчивым относительно закона Т, необходимо
и достаточно, чтобы hT h=h; тогда h называют идемпотентом.
Например, всякий элемент решетки идемпотентен относительно каж-
каждого из законов pup (x, у) и inf (x, у).
3) Если Т — ассоциативный закон на множестве Е, то устой-
устойчивое относительно него множество, порожденное множеством {а},
состоящим из одного элемента, есть множество, образованное элемен-
п
тами Та, где и пробегает все натуральные числа >0.
4) Из определений примера 2 п° 3 явствует, что каждая непустая
конечная последовательность (xi)xj элементов из А представляет
собой результат последовательного приписывания одночленных по-
последовательностей (a;^)fe=i, где i пробегает /; таким образом, свобод-
свободный моноид L (А) порождается пустым словом и множеством всех
слов длины 1, которое обычно отождествляют с А.
Если Т —всюду определенный закон композиции на Е и F —
подмножество множества Е, устойчивое относительно этого закона,
то сужение функции хТУ на FxF является всюду определенным

28 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § •
законом композиции на F; его называют законом, индуцированным
на F законом Т • Более общим образом:
Определение 6. Пусть Т —закон композиции элементов мно-
множества Е, определенный на некоторой части А произведения
ЕхЕ; законом, индуцированным законом Т на множестве FdE,
называется закон композиции элементов множества F, определен-
определенный на множестве тех (х, y)?FxF, для которых (х, у)?А и x~Ty?F.
и относящий каждой такой паре (х, у) композицию х"\у. Струк-
Структуру, определяемую в F этим законом, мы будем называть структу-
структурой, индуцированной eF структурой, определяемой законом ТвЕ.
Закон, индуцированный на F законом Т, мы будем (допуская
вольность) обозначать тем же знаком Т, если это не сможет внести
путаницу.
На множестве, устойчивом относительно ассоциативного зако-
закона Т> индуцированный им закон ассоциативен.
5. Перестановочные элементы. Коммутативные за-
законы
Определение 7. Пусть Т — закон композиции элементов мно-
множества Е. Элементы х, у из Е называются перестановочными
относительно закона Т , если хТу и УТх определены и хТу=уТх.
v Определение 8. Закон композиции Т элементов множества Е
называется коммутативным, если для любой пары (х, у) элемен-
элементов из Е, для которой х~[ у определено, х и у перестановочны.
Коммутативный закон совпадает с противоположным ему
законом.
Примеры. 1) Сложение и умножение натуральных чисел —
коммутативные законы.
2) Законы sup (х, у) и inf (x, у) в решетке коммутативны; в част-
частности, коммутативны законы композиции (J и П подмножеств мно-
множества Е.
3) Закон композиции (X, Y) —>- X°Y подмножеств произведении
ЕХЕ не коммутативен (если Е содержит более одного элемента):
действительно, если А —{(а, Ь)}, В={(Ь,с)} и афс, то В°А = {(а,с)и
а А°В = 0. Но диагональ Д произведения ЕХЕ перестановочна
с каждым его подмножеством. Точно так же закон композиции /о#
отображений Е в Е яе коммутативен (если Е содержит более одного

.5 ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 29
элемента), в чем можно убедиться, беря в качестве / и g различные
постоянные отображения; но тождественное отображение переста-
перестановочно со всяким.
4) Если хТу — коммутативный закон композиции элементов
множества Е, то X Т Y — коммутативный закон композиции под-
подмножеств множества Е.
Предложение 1. Если элемент х перестановочен с каждым
из элементов у и z относительно ассоциативного закона Т > лю
он перестановочен и с yTz-
Действительно, хТ(уТ%) записывается последовательно в виде
Предложение 2. Если при ассоциативном законе Т каждый
элемент множества X d Е перестановочен с каждым элементом
множества YCZE, то каждый элемент устойчивого множества,
порожденного множеством X, перестановочен с каждым элемен-
элементом устойчивого множества, порожденного множеством Y.
Действительно, из предложения 1 индукцией по «получается,
что если х перестановочен с каждым членом n-членной последо-
последовательности, то х перестановочен и с ее композицией; поэтому
{теорема 2) каждое igl перестановочно с каждым элементом
устойчивого множества У, порожденного множеством Y; но отсю-
отсюда таким же путем вытекает, что каждый элемент из У переста-
перестановочен с каждым элементом устойчивого множества X'', порож-
порожденного множеством X.
Отметим два частных случая предложения 2: когда Х = {х),
У={у) и когда X=Y:
Следствие 1. Если х и у перестановочны относительно ассо-
т п
циативного закона Т, то это верно и для Тх и ТУ, каковы бы
т п
ни были целые гл>0 и гс>0; в частности, Тх и Тх перестано-
перестановочны, каковы бы ни были х и целые т>0,
Следствие 2. Если элементы множества X попарно переста-
перестановочны относительно ассоциативного закона Т. то закон, инду-
индуцированный им на устойчивом множестве, порожденном множе-
множеством X, ассоциативен и коммутативен.

30 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, I 1
Определение 9. Центральным элементом множества Е отно-
относительно некоторого закона композиции элементов этого множе-
множества называется каждый элемент, перестановочный со всеми эле-
элементами из Е. Центром множества Е называется множество
всех его центральных элементов.
Из предложения 1 вытекает, что центр множества Е относитель-
относительно ассоциативного закона является устойчивым множеством; закон
композиции, индуцированный на центре, очевидно коммутативен.
Основное свойство законов, одновременно ассоциативных и ком-
коммутативных, заключается в том, что композиции всех последова-
последовательностей, отличающихся от заданной конечной последователь-
последовательности лишь порядком следования членов, имеют одно и то же
значение; докажем это.
Теорема 3 (теорема коммутативности). Пусть Т — коммута-
коммутативный ассоциативный закон композиции на Е и (ха)а^А — непустое
конечное семейство элементов из Е; каким бы образом ни было со-
совершенно упорядочено множество А, композиция \ ха имеет одно
и то же значение.
Если А состоит из одного элемента E, то теорема справедлива;
композицией служит тогда х$. Докажем индукцией по р справед-
справедливость теоремы для каждого множества А из р элементов: для
этого достаточно показать, что она верна для множества индексов,-
состоящего из р элементов, если она верна для каждого его
подмножества, имеющего менее р элементов. Итак, пусть А —
множество, состоящее из р элементов, и i—>аг—взаимно одно-
однозначное отображение интервала [0, р — l]CZNHa А; перенеся
посредством этого отображения порядок интервала [0, р — 1] в А,
мы совершенно упорядочим А, причем композицией серии (ха)а?А>
определяемой этим отношением порядка, будет не что иное,
р-1
как Т ха .
1=0 1
Пусть теперь А совершенно упорядочено иным способом и осл—
наименьший элемент в А при этом упорядочении, а А'— множе-
множество всех остальных элементов из А (совершенно упорядоченное
индуцированным порядком). Предположим сначала, что 0<й<
<р—1, и положим В={а0, а17 . . . , och_,), С=(ал+1) . ... , ар_,};.

•5 ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 31
так как теорема, по предположению, справедлива для А', то.
применяя теорему ассоциативности (поскольку A' =B{JC), имеем
h-l р-1
~Т Ха—( ~Т Ха\ ( ~Г X
откуда, образуя композицию xafi с обеими частями и повторно
применяя коммутативность и ассоциативность у, получаем
ft-t р-1
к?А " *h \а?Л' ' Л I 1=0 V I t=ft+l a*J
Л-1 Р-1 р-1
^ i=0 \ l=ft+l 1) 1=0
таким образом, теорема в рассматриваемом случае доказана.
Если А=0 или Л=р—1, то получаем тот же результат, но более
простым путем, поскольку члены, относящиеся к В или к С,
исчезают.
Для коммутативного ассоциативного закона на множестве Е
композицией конечного семейства (ха)а^А элементов из Е будет,
по определению, называться общее значение композиций серий,
получаемых при всевозможных способах превращения А в совер-
совершенно упорядоченное множество. Эта композиция для закона, обоз-
обозначаемого У, будет по-прежнему обозначаться "Т~ ха; аналогично'
a? A
при других обозначениях.
Комбинируя теоремы 1 и 3, получаем:
Теорема 4. Пусть у — коммутативный ассоциативный закон
на Е и (ха)а?А — непустое конечное семейство элементов из Е.
Если А — объединение своих попарно не пересекающихся непустых
подмножеств Вх, В2, . . . , Вр, то
р
Т *а= Т ( Т Ха\ F)
a ? А 1=1 \ а?Вг ).
Действительно, это вытекает из теоремы 3, если совершенно упо
рядочить А так, чтобы Bt удовлетворяли условиям теоремы 1
Отметим два важных частных случая этой теоремы. Во-первых,
если Огкр)(я, р)?Ахв — конечное семейство, множеством^ индексов

32 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § '
которого служит произведение двух непустых конечных мно-
множеств Л, В («двойное семейство»), то
Т *«хР = Т(Т *«!»)= Т(Т*а|»У G)
(а. E)?АхВ а?А \3?В / Р?В\ а?А /
действительно, это вытекает из теоремы 4, если рассматривать
.4x5, с одной стороны, как объединение множеств {а}х5,
¦а с другой стороны, как объединение множеств -4х{р"}.
В частности, если В состоит из п элементов и все хар с одним
« тем же а ? А имеют одно и то же значение ха, то
тЦ=т(Тд^ (8)
Основываясь на формуле G), композицию двойной последова-
последовательности (xfj), имеющей множеством своих индексов произведение
интервалов [р, q] и (г, s] из N, относительно аддитивно обозначаемого
коммутативного ассоциативного закона часто обозначают
Q s s q
2 2 х«у или 2 2 zir
i=p j=r j=r i=p
а аналогично для законов, обозначаемых иначе.
Во-вторых, пусть А—множество всех пар целых чисел (г, ;)
таких, что 0<г</г, 0<;</г и г</'; пусть, далее, композиция
семейства (^i3)(i,j)?A (относительно коммутативного ассоциатив-
ассоциативного закона) обозначается по-прежнему Т x{j (или просто
~Г х^, если это не может повлечь недоразумений); теорема 4
приводит здесь к формулам
п—{ п п ; — 1
Существуют формулы, аналогичные G), для семейства, множе-
множеством индексов которого служит произведение более чем двух
множеств, и формулы, аналогичные (9), для семейства, множе-
множеством индексов которого является множество ?р строго возра-
возрастающих последовательностей (ih)i^h$pP целых чисел, в которых
0<ift<w (р<и + 1); в этом последнем случае композиция
семейства (х> ... i )(i . , i >ев обозначается Т хц i
ИЛИ ПРОСТО Т Xi i . , . i .

.5 ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 33
Отметим, наконец, что, в силу следствия 2 предложения 2,
теоремы 3 и 4 применимы также в случае ассоциативного закона
и семейств, элементов, попарно перестановочных относительно
этого закона.
Упражнения. 1) Пусть Т —закон композиции (всюду
определенный или нет) на множестве Е. Каковы бы ни были семейства
(Ха)а?А и (Ур)р?В подмножеств из Е,
(lUjdJrpH U BГаТУр).
at A Pfc? p (a, P)fcAxB p
2) Пусть Т — пе всюду определенный закон композиции на мно-
множестве ЕиЕ'— подмножество множества ^ (Е), состоящее из мно-
множеств {а:-, где х пробегает Е, и пустого подмножества 0 множества Е.
Показать, что Е' — устойчивое множество в % (Е) относительно закона
XTY; вывести отсюда, что, обозначив через Ё множество, полу-
полученное путем присоединения (Теор. мн., Рез., § 4, н° 5) к Е элемента о>,
можно продолжить закон Т на ЕХЕ так, чтобы Т совпадал с законом
индуцированным на Е этим продолженным законом.
3) Пусть Т—не всюду определенный закон композиции на Е.
а) Для того чтобы закон композиции XT У подмножеств мно-
множества Е был ассоциативным, необходимо и достаточно, чтобы при
любых х, у и z из Е, если определена одна из частей формулы B),
была определена также вторая и равна первой. [При доказательстве
достаточности условия использовать упражнение 1.]
б) Предполагая это условие выполненным, показать, что тео-
теорема 1 обобщается следующим образом: если определена одна из ча-
частей формулы C), то определена также вторая и равна первой.
4) а) Пусть Е — заданное множество, ф — множество всех
отображении в Е всевозможных его подмножеств и /, g, h — элементы
из Ф. Показать, что если композиция {f°g)°h определена, то опреде-
определена и композиция f°(g°h), но обратное неверно; если же обе эти ком-
композиции определены, то они равны.
б) Пусть »? — семейство попарно не пересекающихся непустых
подмножеств множества Е и V — подмножество множества Ф, обра-
образованное всевозможными взаимно однозначными отображениями мно-
множества из ;Лг на множество из 5- Показать, что для закона, индуци-
индуцированного на V законом fag, условие упражнения За) выполнено.
°5) Показать, что единственными тройками (т, п, р) натуральных
чисел 4=0, для которых (mn)p = mn", являются: A, п, р), где л и р
произвольны; (т, п, 1) и (т, 2, 2), где то и и произвольны^
6) Пусть Т —¦ всюду определенный закон композиции элемен-
элементов множества Е и А — подмножество множества Е, образованное
Н. Бурбаки

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. I t
элементами х, для которых хТ (уТ z)—(xTy)T г, каковы бы пи были
у и z из Е. Показать, что А—устойчивое множество и закон, кото-
который Т индуцирует на А, ассоциативен.
7) Если Т —ассоциативный закон на Е, то, каковы бы ни была
элементы я и & из Е, множества \a\TE, ЕТ\Ь], {а}ТЕТ{Ь\
и ЕТ{а\ТЕ устойчивы относительно Т.
8) Пусть Т — ассоциативный закон иа Е и а — элемент из Е\
для любых х и у из Е положим х± у—хТаТу. Показать, что
закоп _1_ ассоциативен.
9) Отображения (х, у) -» х и (х, у) — у являются противо-
противоположными ассоциативными законами композиции на множе-
множестве Е.
10) Пусть X и У—произвольные подмножества множества Е;
полошим XT Y = X \JY, если ХГ\У = 0, и 1ТУ = ?, если
X П Y Ф 0'. Показать, что определенный так закон композиция
на % (Е) ассоциативен и коммутативен.
11) Пусть Т —-ассоциативный закон на Е и А г Е, Be E—
устойчивые относительно него множества. Показать, что если
ВТ ACI AT В, то А Т В устойчиво относительно Т.
°12) Единственными различными натуральными числами Ф (),
перестановочными относительно закона (.г, у) -* хУ, являются
:> и 4.о
13) Показать, что относительно закона композиции X°Y подмно-
подмножеств произведения ЕХЕ центром служит множество {0}{j{&}
(где Д — диагональ ЕХЕ).
14) Показать, что относительно закона композиции / о g
отображений Е в Е центр сводится к тождественному отобра
жению.
15) Закон, заданный на множестве Е, называют идемпотентнъш,
если все элементы из Е идемпотентны (п° 4) относительно этого закона,
т. е. если хТх—х для каждого х?Е. Показать, что если закон Т
на Е ассоциативен, коммутативен и идемпотентен, то отношение
хТу = у есть отношенпе порядка в Е; записывая его жСл/.
показать, что любые два элемента х, у из Е обладают верхней
гранью (относительно этого отношения порядка), равной хТу-
Обращение.
16) Пусть Е — моноид (п° 3) и X — устойчивое множество,
порожденное непустым множеством А /~" Е. Показать, что если каж-
каждому слову " = (йг)о<;<п свободного моноида Ь{Х), порождаемого
множеством X, отнести композицию / (и) последовательности (а$)
в Е, то определенное так отображение / будет представлением (п° 1)
ЦХ) на А.

I НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 35
§ 2. Нейтральный элемент; регулярные элементы:
симметричные элементы
/. Нейтральный элемент
Определение 1. Пусть Т — закон композиции элементов мно-
множества Е. е?Е называется нейтральным элементом относительно
Т, если cjx и х~\е определены и равны х для каждого х?Е.
Заданный закон Т обладает не более чем одним нейтральным
элементом, ибо если е и е' — нейтральные элементы, то e=eje'=e'.
Нейтральный элемент, если он существует, перестановочен с каж-
каждым элементом и, значит, является центральным.
Примеры. 1) В множестве всех подмножеств множества ?
0 есть нейтральный элемент относительно закона [_ , а ?—относительно
закона П- Более общим образом, наименьший элемент решетки,
если он существует, является нейтральным элементом относительно
закона sup(x, у); обратно, нейтральный элемент относительно этого
закона, если он существует, является наименьшим элементом ре-
решетки.
Аналогично для наибольшего элемента и закона inf (х, у).
2) Число 0 является нейтральпым элементом относительно сло-
сложения натуральных чисел, а 1 — относительно их умножения. Заков
(х, у) -' хУ не обладает нейтральным элементом.
3) Нейтральным элемептом относительно закона композиции
XoY подмножеств произведения ЕХЕ служит диагональ А. Ней-
Нейтральным элемептом относительно закона композиции / о g отображе-
отображений Е в Е является тождественное отображение Е на Е.
4) Если е — нейтральный элемент относительно закона компо-
композиции Т элементов множества Е, то \е}-~нейтральный элемент отно-
относительно закона композиции (X, Y)->XTY подмножеств мно-
множества Е.
5) В свободном моноиде L (А) (§ 1, п° 3) пустое слово является
нейтральным элементом.
Если существует нейтральный элемент е относительно закона
Т на множестве Е и если F — подмножество множества Е, содер-
содержащее е, то е является нейтральным элементом относительно
закона, который Т индуцирует на F. Но может случиться, что
1ШДУЦированный на F закон обладает нейтральным элементом е',
когда F не содержит е или даже когда относительно закона Т
"а Е не существует нейтрального элемента.
3*

33 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
Например, если Т—ассоциативный закои на Е и
идемпотент относительно Т (§ 1, п° 4), то h — нейтральный элемент
относительно закона, индуцированного законом Т на устойчивом
множестве, образованном элементами h~Tx~Th, где х пробегает Е;
при этом h может и не быть нейтральным элементом относительно Т
в Е. В частности, когда Т — закон sup (x, у) на решетке Е, в качестве h
можно взять любой элемент из Е.
Пусть Е и F — множества, каждое из которых наделено внут-
внутренним законом композиции, обозначаемым Т; если / — пред-
представление Е в F и закон Т на Е обладает нейтральным элементом
?, то/(е) является нейтральным элементом относительно закона,
индуцированного на f(E) законом, заданным на F.
Определение 2. Пусть на множестве Е задан ассоциативный
закон, обладающий нейтральным элементом. Композицией пус-
пустого семейства элементов из Е называется нейтральный элемент е.
Таким образом, если 0 — пустое подмножество множества
индексов, то мы будем, в условиях определения 2, писать Т #<х=е;
О
точно так же, каково бы ни было х, будем считать Т^=е. При
этих определениях теоремы 1 и 4 § 1 остаются справедливыми и без
предположения непустоты множеств А и Вь. Точно так же фор-
уп-\-п т п тп т п
мулы Т х — {Тх)Т{Тх) и Тж=Т(Т^) сохраняют тогда силу
для тп>0, гс>0.
Нейтральный элемент аддитивно записываемого закона обо-
обозначается 0 и называется нулем или началом, если только это
не сопряжено с риском смешения (например, с натуральным
числом 0); при законе, записываемом мультипликативно, ней-
нейтральный элемент обозначается 1 и называется единицей (или
единичным элементом), с той же оговоркой.
Я. Регулярные элементы
Определение 3. Пусть Т— заданный всюду определенный закон
композиции элементов множества Е. Левым (соответственно правым)
переносом, соответствующим элементу а ?Е, называется отобра-
отображение х—>аТх (соответственно х—>х~Та) множества Е в себя.

S НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 37
Прилагательные «левый» и «правый» проистекают от обычной
записи большинства законов композиции. При переходе к противо-
противоположному закону левый перенос становится правым, и обратно.
Левый и правый переносы, соответствующие элементу а?Е.
будут иногда обозначаться уа и да, т. е.
Предложение 1. Если у— ассоциативный закон, то левый
перенос УхТу, соответствующий композиции х и у, совпадает
с композицией ух°уу переносов yv и ух; а правый перенос bxjy—
с композицией Ьу°Ьх переносов Ьх и Ьу.
Действительно,
Иными словами, отображение х -* ух есть представление множе-
множества Е (наделенного законом У) в множество ЕЕ всех отображений К
в себя, наделенное законом fog; ai-* 6Х есть представление Е в мно
жество ЕЕ, наделенное законом, противоположным f°g.
Определение 4. Пусть У — всюду определенный закон компо-
композиции элементов множества Е. Элемент а?Е называется регуляр-
регулярным относительно закона у, если соответствующие а правый
и левый переносы являются взаимно однозначными отображениями
Е в себя.
Иными словами, для того чтобы а был регулярным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы каждое из соотношений а ух=аТу-
хТа—уТа влекло х~у (т. е. чтобы эти равенства, как говорят,
можно было «сократить на а»). Если закон у обладает нейтраль-
нейтральным элементом е, то последний регулярен относительно этого за-
закона: переносы уе и бе являются тогда тождественными отоб-
отображениями Е на себя.
Если X и Y — подмножества множества Е и а — регулярным
элемент этого множества, то каждое из соотношений {а}уХ=
= {а}уУ, Xj{a}=Yj{a} влечет X=Y.
Напротив, даже если каждый элемент множества ACT E регу-
регулярен, соотношение ATX=ATY (как и соотношение ХТА~
= УУА), вообще говоря, не влечет X = Y.

38 АГГГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, §-
Примеры. 1)"^Каждое натуральное число регулярно относи-
относительно сложения; каждое натуральное число -?- 0 регулярно относи-
относительно умножения; каждое натуральное число, кроме 0 и 1, регулярно
относительно возведения в степень.
2) В решетке не может существовать никакого регулярного элемента
относительно закона sup(x, у), кроме нейтрального (т. е. наименьшего)
элемента; аналогичное верно для inf(^, у). В частности, в множестве
всех подмножеств множества Е 0 есть единственный элемент, регуляр-
регулярный относительно закона (J, а У? — единственный элемент, регуляр
ный относительно закона f).
Предложение 2. Множество всех регулярных относительно
ассоциативного закона элементов устойчиво относительно этого
закона.
Действительно, если уу и ух взаимно однозначны, то это верно
я для yxjy =Y.x°Yy (предложение 1). Аналогично для 6жт,,
Если элемент х регулярен относительно закона Т, то он
регулярен и относительно закона, индуцированного этим зако-
законом на каждом устойчивом множестве А, содержащем х (но эле-
элемент из А может быть регулярным в А, не будучи регулярным
в Е); в частности, если R — множество всех элементов множе-
множества Е, регулярных относительно ассоциативного закона Т5 то
все элементы из R регулярны относительно закона, индуцирован-
индуцированного законом Т иа Л.
-/. Симметричные элементы
Определение 5. Пусть Т— закон композиции элементов мно-
множества Е, обладающий нейтральным элементом е. Элемент х'
называется симметричным элементу х, если х~[х'=х ~[х=е\ эле-
элемент х называется симметризуемым, если существует элемент,
симметричный х.
Примеры. 1) Нейтральный элемент, если он существует,
симметричен сам себе. Может случиться, что в ? не существует
других симметричных элементов; так обстоит дело для сложения и
умножения в N; так же обстоит дело и для закона sup (ж, у)
в решетке.
2) В множестве всех отображений Е в Е симметризуемыми эле-
элементами относительно закона jog являются взаимно однозначные отоб-
отображения Е на Е (Теор. мн., Рез., § 2, п° 12); симметричным такому
отображению / служит обратное отображение.

Я НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 39
Пусть Е и F—множества, каждое из которых наделено внут-
внутренним законом, обозначаемым Т. и / — представление Е в F;
х и х' симметричны в Е, то f(x) и f(x') симметричны в / (Е).
Предложение 3. Относительно ассоциативного закона Т но.
Е каждый симметризуемый элемент х регулярен и обладает
единственным симметричным, а соответствующие левый и правый
переносы ух и 6Х являются взаимно однозначными отображениями
Е на Е.
Пусть х —элемент, симметричный х; если хТу~хТz, то
х'Т (хТу)~х'Т(хТz) или (по ассоциативности) еТу=еТ z, т. е.
y — z. Точно так же, если г/Тx=zjx, то (yj x)T x' ~(zj x)J х',
откуда y — z. Таким образом, х регулярен. Если х" — элемент,
симметричный х, то хТ%' = xjх" = е, а тогда х' = х": элемент,
симметричный ж, единственен. Наконец, ух есть отображение i? на
Е; иными словами, каково бы пи было у?Е, существует z такое,
что yx{z)~y; в самом деле, для z=x'Jy имеем ух (г)=xj (x' J у) —
у, и аналогично для 6Х.
Предложение 3 допускает следующее обращение:
Предложение 4. Пусть Т— ассоциативный закон на Е. Если
х? Е таково, что левый и правый переносы ух и Ьх являются отоб-
отображениями Е на Е, то Т обладает нейтральным элементом и х
симметризуемо.
Так как ух(Е)=Е, то существует е?Е такое, что ух(е)=х,
т. е. xje—x; далее, так как6х(Е)—Е, то для каждого у g E суще-
существует z$E такое, что z~Jx=y, откуда г/Тe=z~[xje=zjx—y.
Аналогичио (меняя ролями ух и бж) убеждаемся в существовании
«' такого, что е'ТУ=У для каждого у. Но в таком случае, с одной
стороны, е' Je=e', а с другой, е'Т«=е, так что е=е', j/Te=eTj/=«/
при любом у, т. е. е — нейтральный элемент. Тогда существуют
х' и х" такие, что xjx'=e, x"Tx=e\ поэтому x"j(xjx')-^x\
{х"Тх)Тх'=х', откуда х'=х" их' — элемент, симметричный х.
Предложение 5. Пусть Т—ассоциативный закон. Если х
« у' соответственно симметричны х и у, то у J'х симметрич-
симметрично xjy.
Действительно, {у'1 х) J (xjy) = у' J {x' J x) Jy^y'jy^e,
и аналогично для (хТу)Т(у' Тх').

40 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
Следствие 1. Пусть X—ассоциативный закон на Е. Если
каждый элемент ха серии (.га)аеА элементов из Е обладает сим-
симметричным х'а, то элементом, симметричным композиции "J" ха.
а?А
служит композиция I х'а, где А' — совершенно упорядоченное
а?А'
множество, полученное из А заменой его порядка противопо-
противоположным.
Это следствие получается из предложения 5 индукцией но
числу элементов множества А.
п п
В частности, если хпх' симметричны, то f х и Xх' симметричны
для каждого целого п >• 0.
Следствие 2. Множество всех симметризуемых элементов отно-
относительно ассоциативного закона устойчиво.
Предложение 6. Если х и х' симметричны относительно
ассоциативного закона и х перестановочно с у, то также х' пере-
перестановочно с у.
Действительно, из xjy = yjx вытекает х'Т (хТу) Тх' =
= x'J(yJx)Jx' или (x'Tx)J{yJx') = (x'Ty)l{xJx), т. е.
Следствие. Если закон композиции ассоциативен, то элементы,
симметричные центральным элементам, центральны.
Из предложения 6 вытекает также, что при существовании
нейтрального элемента предложение 2 § 1 можно заменить сле-
следующим более полным результатом:
Предложение 7. Пусть X — ассоциативный закон композиции
элементов множества Е, обладающий нейтральным элементом е;
пусть X и Y — подмножества множества Е, X" (соответственно
У") — устойчивое множество, порожденное объединением X (соот-
(соответственно У), {е} и множества элементов, симметричных все-
всевозможным симметризуемым элементам из X (соответственно У).
Если тогда каждый элемент иэ X перестановочен с каждым эле-
элементом из Y, то каждый элемент из X" перестановочен с каждым
элементом из Y".

4 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 4$
4. Симметризация коммутативного ассоциативного
закона
Элемент х?Е, симметризуемый относительно ассоциативного
закона • Т, регулярен относительно закона, индуцированного
законом Т на каждом устойчивом множестве, содержащем х.
Обратно, можно задаться вопросом, возможно ли множество Е
с заданным ассоциативным законом Т «погрузить» в более широ-
широкое множество Е, определив на последнем закон композиции
так, чтобы он индуцировал Т на Е и чтобы относительно него
каждый регулярный элемент из Е был симметризуем. Это не всегда
возможно *), но, как мы увидим, при коммутативности закона Т
задача разрешима.
Итак, предположим, что Т коммутативен, и обозначим через Е*
шгожество всех регулярных элементов из Е. Откинем прежде
всего тот неинтересный случай, когда Е* пусто: задача тогда
тривиально решается принятием за Е самого множества Е. Таким
образом, будем в дальнейшем предполагать, что Е*Ф0. Говоря
точно, нашей задачей является определить множество Е, комму-
коммутативный ассоциативный закон Т на Е и изоморфизм / множества
Е на устойчивое подмножество А множества Е (наделенное зако-
законом, индуцированным законом Т) так, чтобы:
1° Е обладало нейтральным элементом относительно закона Т ;
2° /(х) было симметризуемо в Е для каждого регулярного
•лемента х?Е*.
Предположим сначала, что задача решена; пусть A*=f(E*}-
и А' — множество элементов, симметричных всевозможным эле-
элементам из ^4*. Устойчивость множеств А ж А' относительно Т
влечет устойчивость АтА', поскольку тогда, вследствие комму-
коммутативности и ассоциативности закона Т, (Ат А')Т{АТ А') —
= (AjA)T(A'jA')dAjA'. AjA' содержит нейтральный эле-
элемент множества Е; далее, А~Т А' содержит А*, ибо если у?А*
и у' — элемент, симметричный у, то у = уТ{уТу') = (уТу)Ту' 6
*) Си. А. М а 1 с е v, On the immersion of an algebraic ring into a field,.
Math. Ann., т. 113, 1937, стр. 686.

42 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
€ ATА'\ наконец, А Т А' содержит также А', ибо в тех же обозна-
обозначениях имеем у' = (уТу')Т у' = уТ(у'Ту) ? А Т А'. Таким обра-
образом, множество А ТА', наделенное законом, индуцированным зако-
законом Т 1 удовлетворяет всем условиям задачи. Поэтому, если задача
разрешима, можно наложить на Е дополнительное условие;
3° Е порождается объединением множества A —f(E) и множе-
множества А', состоящего из элементов, симметричных образам всевоз-
всевозможных регулярных элементов из Е при отображении /.
Покажем, что условия 1°, 2°, 3° влекут единственность Ё (с
точностью до изоморфизма). Действительно, снова в предполо-
предположении разрешимости задачи, каждый элемент из Е имеет
вид хТу', где г?4, а у' — элемент, симметричный некоторому
у?А*. Для того чтобы ХуТу'х—х2Tj/»> необходимо и достаточно
(принимая во внимание регулярность yi и г/2), чтобы
т. е. (поскольку Т коммутативен) чтобы x1"Jyi~= х2ТУ\- Отсюда
тотчас следует, что это последнее отношение есть отношение
эквивалентности между элементами (а:1, г/х) и (хг, у2) произведе-
произведения АХ А* и что существует взаимно однозначное отображение
множества Е на фактормножество множества АхА* по этому
отношению.
Переходя с помощью изоморфизма, обратного /, от А к Е, мы
•видим, что если задача разрешима, то отношение ulTv2 = uiTvl
между элементами (и1, ох) и (и2, v2) произведения ЕхЕ* есть
отношение эквивалентности и существует взаимно однозначное
отображение множества Е на фактормножество произведе-
произведения ЕхЕ* по этому отношению. Кроме того, если перенести с по-
помощью этого отображения структуру, определяемую законом Т
в Е, то композицией класса эквивалентности элемента (их, ух)
и класса эквивалентности элемента (ы2, у2) будет класс эквива-
эквивалентности элемента (UjTW-2' V\T v«)\ действительно, если хг?А,
х2 А^у^А*, у2?А*, то (x1Yy'l)T(x^ry',) = (x1'fxtyf(yiYy'i),
а у{Ту'2 есть элемент, симметричный ^ТУг- Таким образом, всё
это показывает, что если можно определить Е, закон Т и- изомор-

4 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 43
физм f так, чтобы удовлетворялись условия 1°, 2°, 3°, то Е будет
определяться с точностью до изоморфизма заданием Е и закона Т •
При этом каждый регулярный элемент из Е симметризуем;
действительно, если хТу' (щех?А, у?А*) регулярно в Е, то (пред-
(предложение 2) это верно и для (xj y')~[y = x; тогда а: тем более регу-
регулярно в А и, значит, по предположению симметризуемо в Е; сле-
следовательно, и xfу' симметризуемо. Таким образом, это свойство
множества Е является следствием предположенной справедлп-
вости свойств 1 °, 2°, 3°.
Остается доказать, что задача действительно разрешима. Руко-
Руководствуясь предшествующим, прежде всего покажем, что отношение
UjJ v2 — u2t v-y между элементами (их, иг) и (u2, v2) произведения
ЕхЕ* есть отношение эквивалентности. Действительно, очевид-
очевидно, это отношение R рефлексивно и симметрично; оно также
транзитивно, ибо отношения ихТ и„ = игТ v^, u2yv3=u3TV2
влекут ulTviTv3 — u2 T »i T v3 = u2Tv3Jv1=u3Tv2Jv1, и зна-
значит (в силу регулярности v2), u1Tv3 = usTv1.
Обозначим теперь через Ё фактормножество произведения Е хЕ*
но отношению R. Пусть хг и х2 — элементы из Е, (м15 ух) и (и„, v2)—
элементы из классов эквивалентности х1 и х2', класс экви-
эквивалентности, содержащий (игТи2, vxT v2), зависит только от хЛ
и х2, ибо при замене {ut, v^) эквивалентным элементом (и3, vs)
будем иметь иг Т v3 = и3 f vx и потому (иг Т м2) Т (v3 T v2) —
= (h3Tw2)T(^iT^2)' аналогичный результат получим, заменив
(и2, и2) эквивалентным элементом (и4, у4). Обозначим класс, кото-
которому принадлежит (и^и^, ихТ v2), через xx~S'х2. Т есть закон
композиции элементов множества Е, очевидно, ассоциативный
и коммутативный.
Покажем, что Е обладает нейтральным элементом относи-
относительно этого закона. Действительно, все элементы из ЕхЕ*
вида(и>, w), где wб Е*, эквивалентны; и обратно, если (и, v) экви-
эквивалентен (м\ w), то uTw=vJw,n значит (в силу регулярности
»), u=v. Пусть е — класс, образованный элементами (w, w).
Если (и, v)?ExE* и w б Е*, то (ufw, vf w) эквивалентно (и, v);
следовательно, е является нейтральным элементом относительно
закона Т> и условие 1° выполнено.

44 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
Рассмотрим в ЕхЕ* множество всех элементов вида (иТ v, v),
где и — заданный элемент из Е, a v пробегает Е*; все элементы
этого множества эквивалентны, и обратно, если (иг, vt) эквива-
эквивалентно одному из этих элементов (иТ v, v), то uTvTv1 — u1Tv.
откуда (в силу регулярности v) «,=«1^; иными словами, эле
менты (u~Tv, v) образуют класс эквивалентности; обозначив его
f(u), мы тем самым определим взаимно однозначное отображение
/ множества Е на некоторую часть А множества Е; легко прове-
проверяется, что А устойчиво относительно закона Т и что / есть изо-
. морфизм Е на А. Наконец, если и ¦— регулярный элемент из Е,
то f{u), т. е. класс (иТ v, v), обладает в Е симметричным элемен-
элементом, а именно классом (v, иТ v) (поскольку в этом случае ujv? E*);
тем самым условие 2° выполнено и поставленная задача решена.
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема 1 (теорема симметризации). Если J—всюду опре
деленный коммутативный ассоциативный закон композиции эле-
элементов множества Е, то можно определить множество Е, ком-
коммутативный ассоциативный закон композиции Т элементов этог/>
множества и подмножество А множества Е, устойчивое отно-
относительно закона Т, так, чтобы выполнялись следующие условия:
1° существует изоморфизм Е (наделенного законом Т) на А
(наделенное законом, индуцированным законом Т), относящий
каждому регулярному элементу из Е элемент из А, симметризуе-
мый в Е;
2° Е порождается объединением А и множества А' элементов,
симметричных всевозможным регулярным элементам из А.
При этом указанные условия определяют множество Е одно-
однозначно (с точностью до изоморфизма) и каждый регулярный эле-
элемент из Е симметризуем.
Следствие. Если все элементы множества Е регулярны,
то все элементы множества Е симметризуемы.
Действительно, это вытекает из условий 1° и 2° теоремы 1 и
предложения 5.
Структура, определяемая в Е законом Т, подпадает тогда под
род групповых структур, рассматриваемый в § 6.

Л НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 45
Множество Е, построенное при доказательстве теоремы 1.
наделенное законом Т » будет называться симметризованным мно-
множеством (или результатом симметризации) множества Е (отно-
(относительно Т); мы будем говорить, что Т получен путем симметриза-
симметризации закона Т • В применениях теоремы 1 Е чаще всего удобно
отождествлять (Теор. мн., Рез., § 8, п° 5) с множеством, обозна-
обозначенным выше через А, что позволяет (допуская вольность) гово-
говорить, что ? «погружено» в его симметризованное Е и что Т есть
продолжение по симметрии закона Т. Этот условный язык будет
применяться, в частности, в следующих двух важных примерах.
Ц. Применения: 1. Рациональные целые числа
Примем за Е множество N натуральных чисел, а за закон
композиции — сложение; все элементы из N регулярны относи-
относительно этого закона. Результат симметризации множества N обо-
обозначим Z; его элементы называют рациональными целыми числами;
закон, полученный путем симметризации сложения, заданного
в N, называется сложением рациональных целых чисел и по-преж-
по-прежнему обозначается +• Элементами множества Z являются, по
определению, классы эквивалентности, определяемые в NxN
отношением между (mlt n1) и (т2, п2), записываемым равенством
ffi1+ra2=ma+ra1; все эти элементы симметризуемы; элемент m?N
отождествляется с классом, образованным парами (т-{-п, п), где
п пробегает N; симметричным ему элементом в Z служит класс
пар (п, т-\-п). Но каждая пара (р, q) из NxN может быть запи-
записана в виде (т-\-п, п), еслир> q, или в виде (п, т+п), если /з< q;
отсюда вытекает, что Z есть объединение N и множества элементов,
симметричных всевозможным элементам из N. При этом нейтраль-
нейтральный элемент 0 является единственным элементом из N, симме
тричный к которому принадлежит N.
Рациональное целое, симметричное натуральному числу тфО.
обозначается —т; Z есть объединение N и множества всех эле-
элементов —т, где TngN, тфО; т отождествляется с классом, содер-
содержащим (т, 0), а —т с классом, содержащим @, т)\ отсюда (при-
(принимая во внимание сказанное при доказательстве теоремы 1^
легко получаем выражение для суммы двух рациональных це-
целых; при m?N, n?N, пфО имеем:

46 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § ^
а) если те>?г, то m-f(—п)=р, где р — элемент из N такой.
что т=п-\-р;
б) если т<п, то т + ( — п) = —/), где /> — элемент из N
такой, что т + р = п;
в) если тфО, то ( — т) + ( — ге) = — (т + п).
Эти соотношения остаются в силе и без ограничения пф{).
а в случае в) — также т ф 0, если условиться, что — 0 означает 0.
Более общим образом, через —х обозначают элемент, симмет-
симметричный х, для произвольного рационального целого х и называют
его чаще всего элементом, противоположным х; композиция
х-\-( — у) обозначается сокращенно х — у.
Отношение порядка то< n между натуральными числами (Теор.
мн., гл. III) обладает следующим свойством: если та<ге, то
т+р^п+р для каждого p?N; покажем, что в Z можно опре-
определить, и притом единственное, отношение порядка,'которое будет
обозначаться по-прежнему х< г/, индуцирующее в N указанное
отношение и такое, что а;<г/ влечет а: + z< г/-f z для каж-
каждого zgZ (этот порядок в Z называют инвариантным относи-
относительно переносов; см. гл. VI).
Действительно, при таком отношении мы для каждого mgN
олжны иметь 0<т, откуда ( — m)< m -f ( — т)—0; если х и у —
рациональные целые такие, что а:<г/, то 0=а: — ?< у — х, следова-
следовательно, i/-x=m?NH, значит, у=х-\-т; обратно, если существует
т ? N такое, что г/=х + т, тоО + ж<т + а;, т. е. а:<у; таким обра-
образом, если существует отношение порядка, удовлетворяющее ука-
указанным условиям, оно необходимо эквивалентно отношению
«существует i»?N такое, что у = х-\-т» (или также у — a:?N).
Обратно, зто последнее отношение действительно является отно-
отношением порядка, ибо оно, очевидно, транзитивно, и если у=х-\-т.
х = у-\-п, to?N, rcGNi то wt-f rc = 0, откуда m=re=0 и я=г/; при
этом оно действительно удовлетворяет поставленным условиям;
наконец, Z совершенно упорядочено этим отношением, ибо х — у—
— — (у — х) и потому, каковы бы ни были х и у из Z, всегда
(/— a;GN или a: —ygN, т. е. а;<г/ или г/<ат.
Рассматривая в дальнейшем Z как упорядоченное множество,
мы всюду, где не оговорено противное, будем считать, что порядок
определен в нем описанным образом. Натуральные числа совпа-
совпадают с целыми >0; они называются также положительными целы-

7 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 47
ми; целые < 0 —числа, симметричные положительным целым, —
называются отрицательными целыми; целые >0 (соответственен
<;0) называются строго положительными *) (соответственно строго
отрицательными); множество всех целых >0 обозначается N*.
в. Применения: II. Положительные рациональные
числа
Примем за Е множество N натуральных чисел, а за закон ком
позиции на этот раз умножение; множеством всех регулярных
(ле.ментов из N относительно этого закона служит N*. Результат
.¦имметрилацни множества N относительно умножения будет обо-
обозначаться Q+, а его элементы называться положительными рацио-
рациональными числами; закон, полученный путем симметризации умно-
умножения, будет называться умножением положительных рацио-
рациональных чисел и обозначаться мультипликативно. Элементами Q.
являются классы эквивалентности, определяемые в NxN* отно-
отношением между (/?!, qx) и (р2, д2), записываемым p1ga=p2g1; элемент
из Qt, содержащий (р, <7)?NxN*, условились обозначать — или
plq; таким образом, произведением pxlqx и /?2/<7а является
(PiPi)KQiQa)'< натуральное число т отождествляется с рациональ-
рациональными числами — (ra?N*). Мы не будем продолжать здесь далее
изучение множества Q4, поскольку ниже (§ 9, п° 5) снова встретим-
встретимся с ним как с частью множества Q всех рациональных чисел (где
будет введено не только умножение, индуцирующее па Q+ умно-
умножение, определенное выше, но также сложение).
7. П1>одолжеиие представления по симметрии
Пусть Е — множество, наделенное коммутативным ассоциатив-
ассоциативным законом. Нижеследующая теорема позволяет продолжать
на симметризованное множество Е (п° 4) некоторые представления
Е в множество F, наделенное ассоциативным законом:
*) Заметим, что, сообразуясь с общей терминологией, принятой для упо-
упорядоченных множеств (Теор. ми., Рез., § 6) и упорядоченных групп (см. гл. VI),
мы отклонились от обычного словоупотребления (где положительное озна-
означает >0); при нашей терминологии 0 одновременно положителен и отрица-
отрицателен (причем это единственное рлциональное целое, обладающее таким
свойством).

48 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
Теорема 2. Пусть Е — множество, наделенное коммутативным
ассоциативным законом, и Е — его устойчивое подмножество такое,
что: 1° каждый регулярный элемент из Е симметриэуем в Е:
2° Е порождается объединением Е и множества элементов, симме-
симметричных всевозможным регулярным элементам из Е. Пусть { — пред-
представление Е в множество F, наделенное ассоциативным зако-
законом, относящее каждому регулярному элементу из Е симметри-
зуемый элемент в F; тогда f может быть, и притом единственным
¦способом, продолжено до представления Е в F.
Будем законы, заданные в Е и /', обозначать Т , а элемент,
симметричный элементу х?Е (соответственно y?F), обозначать х
(соответственно у'). Очевидно, закон, индуцированный на f (E)
законом Т! заданным на F, коммутативен. С другой стороны, из
доказательства теоремы 1 следует, что каждый элемент vo?E имеет
вид х Т у' 1 где х?Е, а. у — регулярный элемент из Е; если х Т у' =
= Ч Т у[, то х Т Уг = хх Т У, и поэтому / (х) Т / (у,) = 1 {xj J f {у);
так как f(y) и /(ух) по предположению снмметризуемы и, кроме
того, перестановочны друг с другом, а также с f(x) и /(хх), то
f^)T(f(y))'=f^i)T(f(yl)Y, так что f{x) TV (У))' зависит
только от элемента w, но не от выбора его представления в виде
х Т У', если при этом w? E, то x = w T У, значит, f(x) = f(w)Tf(y)
и j (w) — f (x) T (/ (у))'• Таким образом, положив f(xjy') =
= /(х) Т (/{у)У> мы продолжим отображение/ множества Е в F
яа Е, и выкладки, аналогичные проведенным выше, показывают,
что это продолжение является представлением Е в F. Единствен-
Единственность вытекает из того, что каждое представление g E в F удовле-
удовлетворяет условию g(x T y') — g(x) T (g(y)Y Для всякого симме-
тризуемого у из Е.
8. Применение: умножение рациональных целых
чисел
Рассмотрим множество рациональных целых чисел Z (п° 5)
и множество натуральных чисел NdZ со структурами, опреде-
определяемыми в них одним сложением. Если m?N, то (Теор. мн.,
гл. III) для а:?1У, y?N имеет место тождество m (x -j- y)=mx-{-my,
^означающее, что отображение х—>mx N в себя есть представление.

9 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 49
Его можно также рассматривать как представление N в Z и на
.)том основании применить к нему Teopesiy 2; поэтому оно может
быть продолжено до представления Z в Z, которое по-прежнему
будет обозначаться ж—» ли; согласно доказательству теоремы 2,
для ж= — га, где /г? N*, тх равно — (тп).
Определим теперь все представления / Z в Z. Пусть f(l)=a.
Предположим сначала, что а>0. Имеем f(x-\-l)=f(x)-\-at откуда
но индукции следует, что / (х) = ах для всех х ? N; применяя теоре-
теорему 2 к Z и N, имеем поэтому / (х) — ах, каково бы ни было zgZ.
Пусть теперь а——п, где regN*; отображение x—> — f(x) есть
композиция/ и отображения ж—> — х (являющегося, в силу ком-
коммутативности сложения, представлением) и, значит, представление,
отображающее 1 в п > 0, откуда ~f(x) — nx и / (х) = — (пх),
каково бы ни было z?Z; здесь снова по определению полагают
f(x) = ax, полагая тем самым (— п) х — — (пх) для всех ra = N*,
x?Z.
Таким образом, произведение аЪ определено, каковы бы ни
были agZ, 66 Z. Для mgN, ra?N имеем ( — т) п =— (тп),
т( — п)=—(тп),( — т)( — п) = тп, откуда непосредственно сле-
следует, что умножение в Z ассоциативно и коммутативно; по самому
способу, каким было получено произведение, имеем x(y-\-z) =
-—xy-\-xz, откуда (по коммутативности) (х-\- у) z = xz-\- yz, каковы
бы ни были х, у, z, и ж-0 = 0-а; = 0, х-1 = 1-х — х.
Очевидно, N есть устойчивое множество относительно так
определенного в Z умножения; иными словами, отношения х> О,
г/>0 влекут жг/>0. Поэтому, если ?<1/ и л>0, то z(y — ж)>0,
т. е. zx^Czy.
В § 8 (п° 1) мы увидим, что рассуждение, приведшее к определению
умножения в Z, позволяет при надлежащем его обобщении определить
кольцо эндоморфизмов произвольной коммутативной группы.
О. Обозначения элемента, симметричного данному
Множество Z рациональных целых чисел позволяет ввести
'п
обозначение, содержащее обозначение Т х, введенное в п° 3 §1, как
частный случай. Напомним, что для ассоциативного закона Т,
о
обладающего нейтральным элементом е, мы положили Т х = е,
каково бы ни было х; если при этом существует элемент х' г
1 Н. Бурбаки

50 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
— п п
симметричныйх, то,по определению, полагают Т х — Т х', каково
а
бы ни было n?N*: тогда Тг определено, каково бы ни было
-1
a?Z, и, в частности, имеем "[ х=х . Легко убедиться в том, что,
каковы бы ни были а ? Z, Z> ? Z,
UTa; = (Ta;)T(T^)> A)
ab a b
Та;=Т(Тж). B)
Сделаем еще несколько общих замечаний относительно терми-
терминологии и обозначений для законов композиции, записываемых
аддитивно или мультипликативно:
а) Если только определенно не указано противное, + упо-
употребляется лишь для обозначения коммутативного ассоциатив-
ассоциативного закона композиции элементов некоторого множества Е. Для
обозначаемого так закона считают -\-х, где х?Е, означающим
само х; если при этом х симметризуемо, то элемент, симметричный х,
обозначается — х и чаще всего называется противоположным х.
Кроме того, композиция х-\-{ — у) обозначается сокращенно х — у;
аналогично такие обозначения, как х-\-у— z, х — у — z,x — у-{-
4-z — t, означают соответственно х-\- у-\- (— z), #-j- (— у) -{- (— z),
х ~f (— У) + z + ( — 0- Наконец, во всех случаях, когда композицию
последовательности из п (regN*) элементов, каждый из которых
равен х, обозначают пх и в Е существует нейтральный элемент,
уславливаются понимать под 0 х этот нейтральный элемент (а самого
его чаще всего обозначать 0 и соответственно именовать нулем);
если же х обладает противоположным элементом —х, то через
( — п)х обозначают элемент п ( — х) = — {пх).
б) Если только определенно не указано противное, мульти-
мультипликативное обозначение употребляется только для ассоциативного
закона. При такой записи закона, если существует элемент х\
симметричный х, его чаще всего называют обратным к а;, а эле-
элемент х —обратимым; при тех же условиях ха, где a?Z, означает
a
элемент, обозначавшийся выше для закона Т через ~Х х; в частно-
частности, элемент, обратный х, обозначается х'1.

О НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 51
Если, кроме того, рассматриваемый мультипликативный закон
коммутативен (и только в этом случае), а 1 означает нейтраль-
нейтральный элемент (чаще всего называемый в этом случае, соответственно
его обозначению, единицей), то иногда уславливаются, если
у обратимо, записывать элемент у 1 в виде — и элемент ху'1 = у'}х-
в виде -- ; вместо — пишут также х/у, если только это не может
У У
вызвать путаницу. Элемент, обозначаемый таким способом, назы-
называют дробью; при этом х называется числителем, & у — знаме-
знаменателем дроби.
в) В дальнейшем, при общих рассуждениях, относящихся
к ассоциативным законам композиции, мы чаще всего будем поль-
пользоваться мультипликативным обозначением (но если закон, кро-
кроме того, коммутативен, то иногда и аддитивным).
Упражнения. 1) Пусть Т — всюду определенный закон
композиции на мпожестве Е. Обозначая через F «сумму» (Теор.
мн., Рез., § 4, п° 5) Е и множества \е], состоящего из одного элемента,
и отождествляя Е и \е\ с соответствующими подмножествами множества
F, показать, что на F можно, и притом единственным способом, опре-
определить закон композиции Т , индуцирующий на Е закон Т и имею
щии е нейтральным элементом; если Т ассоциативен, то и Т ассоциа-
ассоциативен. (Если в Е пет нейтрального элемента относительно Т , то гово-
говорят, что F получается из Е «путем присоединения нейтрального эле-
мепта>>.)
2) Пусть Т — всюду определенный закон на Е. Для его ассо-
ассоциативности необходимо и достаточно, чтобы каждый левый перенос уд.
был перестановочен с каждым правым переносом бу (относительно
закона / ° g в множестве всех отображений Е в Е).
3) Для того чтобы в мпожестве F всех отображений Е в Е отно-
отношение fog = fo h влекло g -h, необходимо и достаточно, чтобы / было
взаимно однозначным отображением Е в Е; для того чтобы отношение
g a /= h о f влекло g= h, необходимо и достаточно, чтобы / было отобра-
отображением Е па Е; для того чтобы / было регулярным (относительно^
закона °), необходимо и достаточно, чтобы / было взаимно однознач-
однозначным отображением Е на Е.
4) В свободном моноиде (§ 1, п° 3) каждый элемент регулярен.
5) Определить на множестве Е, состоящем из п элементов, где
2 ^ п <15, все всюду определенные законы с нейтральным элемен-
элементом, относительно которых каждый элемент из Е регулярен; показать,
что при л = 5 существуют также неассоциативные законы, удовле-
удовлетворяющие этим условиям.
4*

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
Упражнения с 6 по 16 включительно относятся к мультиплика-
мультипликативно обозначаемым ассоциативным законам на множестве Е; е озна-
означает нейтральный элемент, если таковой существует, уа и 6О — левый
и правый переносы, соответствующие элементу а^Е; если Ха Е, то,
по определению, уа (X) = аХ, 6а (X) =Ха.
6) Для ассоциативного закона на конечном множестве каждый
регулярный элемент обратим. [Использовать предложение 4.]
7) Пусть заданы ассоциативный закон на множестве Е и элемент
х ? Е, и пусть А — множество всех хп, где п ? N*; далее, если суще-
существует нейтральный элемент, пусть В — множество всех хп, где
га ? N; если, кроме того, х обратимо, то пусть С — множество всех
х'\ где а g Z. Показать, что если А (соответственно В, С) бесконечно,
то (наделенное законом, индуцированным законом, заданным иа Е)
оно изоморфно N* (соответственно N, Z), наделенному сложением.
8) В обозначениях упражнения 7 предположим, что А конечно.
Показать, что А содержит идемпотент h (§ 1, п° 4), и притом только
один. [Если хР и х'1 — идемпотенты, то жр = а;р«, xi = xPi, и значит,
xf=xi.] Если h = xV, то множество D всех хп с га >/> есть устойчивое
подмножество множества Е такое, что относительно закона, индуци-
индуцированного на D, h является нейтральным элементом и все элементы
из D обратимы.
*9) Пусть на множестве Е задан мультипликативный закон и а —
элемент из Е такой, что левый перенос уа есть взаимно однозначное
отображение Е в Е.
а) Показать, что если существует элемент и, для которого аи = а,
то их = х для всякого х ? Е; в частности, если хи = х дли каждого
ж б-Б, то и — нейтральный элемент.
б) Показать, что если существуют и?Е, для которого аи = а,
и Ь?Е, для которого а6= и, то 6а = м. [Образовать аба.] В частности,
если существуют нейтральный элемент е и элемент Ь, для которого
ab=e, то Ь — элемент, обратный а.
10) Показать, что если а и Ь — такие элементы из jE, что Yba ~
взаимно однозначное отображение Е в ?, то уа — взаимно однознач-
однозначное отображение Е в Е. Вывести отсюда, что для коммутативного ассо-
ассоциативного закона на ? множество S всех нерегулярных элементов
из Е обладает свойством ES d S (и, в частности, устойчиво).
*11) Е называют полугруппой с левым со краплением, если ух есть
взаимно однозначное отображение Е в Е для каждого х?Е.
а) Если и — идемпотент (§ 1, п° 4), то их=х для каждого х 6 ?.
[Использовать упражнение 9а.] и — нейтральный элемент относи-
относительно закона, индуцированного на Ей.
б) Если и и о — два различных идемпотента из Е, то Eur\Ev= $
[показать, что отношение xu=^yv влечет xu=xv\ и множества Ей
и Ev (наделенные законами, индуцированными законом, заданным
на Е) изоморфны.

НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 53
в) Пусть R — дополнение к объединению множеств Ей, где и
пробегает множество всех идемпотентов из Е. Показать, что ER a R.
I Доказать, что идемпотент и не может удовлетворять равенству ху=
= хуи при х ? Е, у ? Д.] Следовательно, R — устойчивое подмножество
множества Е. Если R не пусто, то aR =f R для каждого а ?Д. [Для
доказательства того, что в противном случае R содержало бы идем-
идемпотент, воспользоваться упражнением 9а.] В частности, R тогда бес-
бесконечно. R называется остаточным множеством полугруппы с левым
сокращением Е.
г) Если R не пусто и в Е существует хотя бы один идемпотент «
(т. е. Е Ф R), то для каждого x?REu имеем хЕифЕи. [Показать,
что в противном случае существовало бы aZR, для которого aR —
= R.] В частности, ни один элемент из REu необратим в Ей и REu—
бесконечное множество. [Использовать упражнение 8.]
д) Если Е обладает нейтральным элементом е, то он является
единственным идемпотентом в Е и R пусто. [Заметить, что Е=Ее.]
е) Если существует а ? Е такое, что правый перенос ба является
взаимно однозначным отображением Е в Е (в частности, если заданный
на Е закон коммутативен), то либо Е обладает нейтральным элемен-
элементом, либо E—R. [Заметить, что если существует идемпотент «, то
ха = хиа для каждого х?Е.]
ж) Если существует а ? Е такое, что ба является отображением
Е на Е, то либо Е обладает нейтральным элементом, либо Е= R. [Рас-
[Рассмотреть отдельно случаи a g R и а ? Ей, где и — идемпотент.]
*12) Пусть на Е задан мультипликативный закон ив^? таково,
что уа является отображением Е на Е.
а) Показать, что если существует и, для которого иа=а, то их=х
для всякого x<iE.
б) Для того чтобы yia было взаимно однозначным отображением Е
в Е, необходимо и достаточно, чтобы уа было взаимно однозначным
отображением Е на Е, а уь — взаимно однозначным отображением
Е в Е.
*13) Предположим, что ух для каждого х?Е есть отображение
Е на Е. Показать, что если уа для некоторого а ? Е есть взаимно одно-
однозначное отображение Е на Е, то ух для каждого х ? Е есть взаимно
однозначное отображение Е на Е. [Использовать упражнение 126.]
То же, в частности, верно, если в Е существуют элементы а, Ъ такие,
что аЬ= Ъ. [Использовать упражнение 12а.] Е является тогда полу-
полугруппой с левым сокращением, остаточное множество R которой
пусто; кроме того, для каждого идемпотонта и все элементы из Ей
обратимы в Ей.
*14) Для ассоциативного закона на конечном множестве Е суще-
существуют минимальные множества вида аЕ (т. е. минимальные элементы
множества всех подмножеств множества Е, имеющих такой вид, упоря-
упорядоченного по включению)-

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
а) Если М — аЕ минимально, то хМ = хЕ — М для каждого х?М;
наделенное индуцированным законом, М является полугруппой с левым
сокращением (упражнение 11), в которой каждый левый перенос есть
плаимно однозначное отображение М на себя. [См. упражнение 13.]
б) Если М =аЕ и М' = а'Е минимальны и различны, то МГ)М' =
-0: для каждого Ъ ? М отображение х' -¦' Ьх' множества М' в М
сеть взаимно однозначное отображение М' на М. Вывести отсюда, что
существуют идемпотент и'?М', для которого 6м'= 6, и идемпотент
и?М, для которого ии' — и. [Взять за и идемпотент, для которого
bu=b.\ Показать, что м'м = м' [рассмотреть ии'и\ и что каждое
j/'CAf', для которого г/'м = г/', принадлежит М'и'.
в) Показать, что отображение х -* их' множества М'и в М
<?сть изоморфизм М'и' на Ми; вывести отсюда, что М и М' — изоморф-
изоморфные полугруппы с левым сокращением.
г) Пусть Mi A < i < r) — попарно различные минимальные мно-
множества вида аЕ; вывести из б), что идемпотенты каждой полугруппы
с левым сокращением М^ можно расположить в последовательность
(tiij) A <;/¦<; s) так, чтобы UjjUfrj^Uij для любых i, /, к. Показать,
что EuijCzK, где К — объединение полугрупп Д/4, [Заметить,
что хи^Е для каждого х ? Е есть минимальное множество
вида аЕ.] Вывести отсюда, что -Ем,,- есть объединение множеств
ithjEuk:j A <;/с<>) [показать, что (Euii)r]Mk = uiijEuhj] и что
Ещ-Е = К. Наконец, доказать, что каждое минимальное множество
вида ЕЬ совпадает с одним из s множеств Ещ^ [Заметить, что на осно-
иании a) Ebu^jb = Eb, и вывести отсюда, что Ebc K-]
15) Пусть («i)i<i<n~~конечная последовательность элементов,
для которых левые переносы ух являются взаимно однозначными
отображениями Е в Е.
а) Показать, что соотношение Xix2.--xn=e влечет все соотношения
*i+i • • • xnxix2 ... xi=e A <; i <! и), получающиеся из него «круговой
перестановкой».
б) Вывести отсюда, что если композиция последовательности (х{)
обратима, то каждое Х{ обратимо.
16) Если х и у обратимы, то элемент у~1х~]ух называется комму-
коммутатором х ш у ж обозначается х?у. Показать, что для того, чтобы х
и у (предполагаемые обратимыми) были перестановочны, необходимо
и достаточно, чтобы х°у = е. Доказать тождества
усх = (хоу)~1-, xo(yz) = (xoy) (zo(xoy)) (aroz),
(хеу) (гфоу)) (zoXyl (y=z) (xo(yoz)) (xoyyi (г°ж) (j/o(zoi)) (г/ог) = е.
jТретье получается из второго круговой перестановкой х, у, z и по
'i.'ieniibiM перемножением полученных тождеств.]
17) Распространить доказательство теоремы симметризации (тео-
(теорема 1) на тот случай, когда Т — ассоциативный закон и каждый
регулярный относительно него элемент —• центральный.

ИНКШНИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Г)О
*18) Пусть Т — ассоциативный закон на множестве Е и Е* —
множество всех регулярных относительно него элементов; предполо-
предположим, что Е* не пусто и что каждый регулярный элемент — централь-
центральный. Обозначим через $ множество всех X с Е, обладающих следую-
следующим свойством: существует у?Е*, для которого 6У(Е)С2 X.
а) Показать, что пересечение двух множеств из % принадле-
принадлежит %.
б) Пусть ф — множество всех функций, определенных па мно-
множествах из g, принимающих значения в ? и таких, что, каковы бы
ни были / ? Ф и ЛГ g g, / (X) принадлежит g. Обозначим через R
следующее отношение между элементами / и g множества Ф: «суще-
«существует множество X ? % такое, что сужения / и g на X совпадают».
Показать, что R — отношение эквивалентности; пусть ф—Ф/Н—
фактормножество множества Ф по этому отношению.
в) Пусть / и g — элементы из Ф, А ?% и В ?$ — множества,
на которых / и g соответственно определены, и пусть существует
X С В, принадлежащее %, для которого g (X) С А; обозначая через
gx сужение g на X, показать, что отображение fogx принадлежит Ф
и что его класс (mod R) зависит только от классов функций / и g
(но не от X); этот класс называется композицией класса функции /
и класса функции g; показать, что так определенный закон компози-
композиции в *Р ассоциативен и обладает нейтральным элементом.
г) Показать, что левый перенос уа для каждого а ? Е принадле-
принадлежит Ф; пусть фа — его класс (mod Л). Показать, что отображение
х -> ер* есть изоморфизм ЕвТи что если х 6 Е*, то срж обратимо в Ч\
[Рассмотреть отображение, обратное к ух, и показать, что оно принад-
принадлежит ф, а его класс (mod R) симметричен фх.] Получить отсюда
повое доказательство теоремы 1 и ее обобщения, сформулированного
в упражнении 17.
§ 3. Внешние законы композиции
1. Внешние законы композиции
Определение 1. Внешним законом композиции элементов
множества Q, называемого множеством операторов (или областью
операторов) закона, и элементов множества Е называется отобра-
отображение f некоторого множества AczQxE в Е. Значение f(a, x),
принимаемое j в (а, х) б А, называется композицией а и х относитель-
относительно этого закона. Элементы из Q называются операторами закона.
Как и в случае внутренних законов, допуская вольность, гово-
говорят, что внешний закон задан (или определен) на Е. Наиболее

56 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 3
важны законы всюду определенные, т. е. определенные на A — QxE;
они и будут чаще всего рассматриваться в дальнейшем.
Из наиболее распространенных обозначений для композиции
an x приведем мультипликативное слева а-х (где точка может при
желании опускаться), мультипликативное справа х-а и экспонен-
экспоненциальное х*; при рассмотрениях §§ 3—5 мы для обозначения
произвольных внешних законов будем обычно пользоваться зна-
знаком 1.
Примеры. 1) Если на множестве Е задан мультипликативно
обозначаемый ассоциативный внутренний закон, то (я, х) —у хп есть
всюду определенный внешний закон композиции элементов из N*
и Е; для а ? Z (а, х) -> ха есть закон композиции элементов из Z
и Е, всюду определенный лишь когда все элемепты из Е обратимы.
Сказанное относится также к законам (и, х)-+пх и (а, х)—у ах для
аддитивно обозначаемого внутреннего закона на Е *).
2) При заданных множествах Е и F отображение (X, Y) —у Хс У
есть (всюду определенный) закон композиции множеств X с' FXF
и У СГ EXF, где первые служат операторами; отображение (Z, У)—>-
-+Y°Z есть закон композиции множеств Z a FXF (операторов) и мно-
множеств Yd FXE.
3) При заданном внутреннем законе композиции Т на Е через
х Т А, где х С Е, Ad Е, обозначают множество всех х Т у, где у
пробегает А (т. е. множество {х}ТА); этим определяется закон ком-
композиции элементов из Е (операторов) и подмножеств множества^.
Если J. — внешний закон композиции операторов а ? Q и эле-
элементов х?Е, определенный на множестве Л d Q X Е, то через
3 J. X для каждого ЕсЙи каждого XdE обозначают множество
всех а±х, где а? 3, х? X и (а, ж) ? 4; если S сводится к одному
элементу а, вместо {а}±Х пишут aJ,X.
Отображение (Н, Х)—ув1.Х есть всюду определенный закон
композиции подмножеств множеств Q и Е.
*) Может случиться, что наряду с этим внутренним законом на Е задан
мультипликативно обозначаемый внешний закон, область операторов кото-
которого содержит множество N натуральных чисел (или его часть). В этом слу-
случае во избежание путаницы следует пользоваться для суммы последователь-
последовательности и членов, равных х, каким-нибудь обозначением, отличным от п-х
(если только эта сумма не равна всегда композиции пах относительно задан-
заданного впешнего закона).

2 ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ 57
Если aS_x — внешний закон композиции операторов agQ и
элементов х ? Е, то х—> fa(x)=a _}_х есть отображение в Е некоторого
его подмножества, а именно множества тех х, для которых ai_x оп-
определено. Это отображение называется умножением па. оператора.
Обратно, пусть (/а)аея — семейство отображений подмножеств
множества Е в Е, имеющее Q своим множеством индексов; тогда
отображение (а, х) —» fa (х) есть закон композиции элементов из il
и Е. Таким образом, совершенно безразлично, задаться ли та-
таким семейством (fa) или же задаться законом композиции элемен-
элементов из Q и Е. Если _L — внешний закон композиции элементов
из Q и Е, то элемент х? Е называется инвариантным относительно
оператора ag Q, когда a J.х определено и равно х; элемент egQ
называется нейтральным оператором, если все элементы множе-
множества Е инвариантны относительно е.
2. Раздвоение внутреннего закона
Множество Q операторов внешнего закона на множестве Е
может совпадать с самим Е; если Q = E, то налицо отображение
вЕ некоторого А(^ЕхЕ, и это отображение можно с равным пра-
правом считать определяющим внутренний закон композиции эле-
элементов из Е. Более точно: отображение (х, y)—>f(x, у) множества
А ^ЕхЕ в Е можно рассматривать как определяющее следую-
следующие законы, которые важно ясно различать:
1° внутренний закон у, при котором композицией х и у служиг
xjy = f{x, у); _
2° внутренний закон т, противоположный предыдущему (§1,
п° 1), при котором композицией х ш у служит xTy = yJx = f (у, х);
3° внешний закон X композиции операторов х? Е и элементов
у? Е, при котором композицией ? и у является x±y = f(x, у); он
называется левым внешним законом, порожденным законом у;
4° внешний закон J. композиции операторов х?Е и элементов
У?Е, при котором композицией х и у является х±у = /(у, х);
он называется правым внешним законом, порожденным законом у , и
является также левым внешним законом, порожденным законом у .
Если можно не опасаться путаницы, для обозначения внешпих
законов, порожденных внутренним законом У, пользуются тем ж©

58 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § '•>
символом Т, записывая композицию х и у при левом внешнем законе
в виде х Т у и при правом внешнем законе — в виде уТх.
Если Т — всюду определенный закон на Е, то порожденный
им левый внешний закон есть закон, соответствующий (описанным
выше образом) семейству всех левых переносов (у,.)*^, а правый
внешний закон — семейству всех правых переносов Ьх. Сказать, что
е? Е есть нейтральный элемент относительно закона Т » все равно,
что сказать, что е есть нейтральный оператор для левого и пра-
правого внешних законов, порожденных законом Т-
Мы будем говорить, что два внешних закона, порожденных
заданным внутренним, получаются путем раздвоения последнего.
Всякий раз, когда область операторов внешнего закона на Е
совпадает, с Е и есть опасность путаницы, эта область будет заме-
заменяться некоторым множеством Е', поставленным во взаимно
однозначное соответствие с Е, а композиция х' ? Е' и у?Е счи-
считаться, по определению, равной композиции оператора х?Е
и элемента у?Е при заданном законе, где ж —элемент из Е, соот-
соответствующий элементу х ? Е'. Разумеется, одновременно с этим
в Е' будут при необходимости переноситься и все структуры,
заданные в Е (Теор. мн., Рез., § 8, п° 5).
3. Устойчивые множества. Индуцированные законы
Определение 2. Подмножество А множества Е называется
устойчивым относительно внешнего закона композиции а±х опе-
операторов a?Q и элементов х?Е, если композиция а ±х принадле-
принадлежит А всякий раз, когда х?А и а±х определено.
Иными словами, А устойчиво, если Q±A(^A.
Пересечение семейства устойчивых подмножеств множества Е,
очевидно, устойчиво, так что существует наименьшее устойчивое
множество, содержащее заданное XczE; оно называется устой-
устойчивым множеством, порожденным X.
Пример. Для внешнего закона, полученпого путем раздвоения
умножения натуральных чисел, устойчивое множество, порожденное
множеством {1}, содоржит пЛ=п для каждого п ? N и тем самым
совпадает с N. На этом примере видна пеобходимость тщательно отли-
отличать внутренний закон от внешних, получающихся путем его раз-
раздвоения, поскольку относительно умножения натуральных чисел

Я ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Г)Я
множество {1} само устойчиво. Более общим образом, если множество
А СГ Е устойчиво относительно левого (или правого) внешнего закона,
порожденного внутренним законом Т, то оно устойчиво и относи-
относительно Т; но, как показывает предыдущий пример, обратное неверно.
Если X — всюду определенный внешний закон композиции
операторов а ? Q и элементов х? E и А — подмножество множества
Е, устойчивое относительно этого закона, то, каково бы ни было
(I>CZQ, сужение функции а±х на Фх4 есть всюду определенный
внешний закон композиции операторов а?Ф и элементов х?А;
он называется законом, индуцированным законом X на множествах
Ф и А. Более общим образом:
Определение 3. Пусть X — внешний закон композиции опера-
операторов а? Q и элементов х? Е, определенный на AdQxE, и ФаЯ,
F(Z.E; законом композиции операторов а?Ф и элементов x?F,
индуцированным законом X > называется закон, определенный на
множестве тех (а, x)?(bxF, для которых (а, х) ? А и a±x?F,
а относящий каждой такой паре (а, х) композицию а±х.
Там, где нет опасности путаницы, закон, индуцированный зако-
законом X , мы будем (допуская вольность) обозначать снова X • Говоря
(без дополнительных уточнений) о законе, индуцированном зако-
законом X на некотором множестве F(Z.E, мы будем всегда под-
подразумевать, что Ф = Q.
Напротив, рассматривая случай, когда F=E и Ф(ЦЙ, мы
будем по-прежнему говорить, что закон, индуцированный на Ф
» Е, получен путем суженая области операторов заданного закона
до множества Ф.
Упражнение. Пусть X — всюду определенный закон ком-
композиции операторов а ? Q и элементов х ? Е. Пусть, далее, F—мно-
F—множество всех отображений Е в Е, G — его подмножество, образованное
умножениями /а па всевозможные операторы а закона j_, и Я—
устойчивое относительно закона fog подмножество множества F,
порожденное множеством G и тождественным отображением Е на себя.
а) Показать, что каждое подмножество множества Е, устойчивое
относительно закона j_, устойчиво относительно закона (/, х) —у f (x)
композиции операторов / ? Н и элементов х ? Е, и обратно.
б) Устойчивое относительно закона j_ множество, порожденное
множеством X d E, совпадает с множеством всех /(ж), где /пробе-
/пробегает Н, а х пробегает X.

fiQ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4
§ 4. Алгебраические структуры
/. Определение алгебраической структуры
Предметом алгебры является изучение структур, определяе-
определяемых заданием одного или нескольких внутренних или внешних
законов композиции элементов одного или нескольких множеств.
Чаще всего все эти множества, кроме одного, рассматриваются
как вспомогательные (Теор. мн., Рез., § 8, п° 2), что приводит
к следующему определению.
Определение 1. Алгебраической структурой в множестве Е
называется всякая структура, определяемая в Е одним или несколь-
несколькими внутренними законами композиции элементов из Е и одним
или несколькими внешними законами композиции операторов из-
областей операторов Q, в,... и элементов из Е, причем эти
законы могут быть подчинены некоторым условиям (например,
ассоциативности, коммутативности и т. п.) или быть связаны
друг с другом некоторыми отношениями (см. § 5).
Аналогично определяется алгебраическая структура на не-
нескольких основных (и, возможно, нескольких вспомогательных)
множествах путем задания внутренних или внешних законов ком-
композиции на некоторых основных множествах; часть основных
множеств может служить областями операторов внешних законов
структуры.
Таким образом, род алгебраической структуры S (Теор. мн.,
гл. IV, § 1), определенный на основных множествах базы хг, ...
..., хп и ее вспомогательных множествах Аг, ..., АТ (в теории более
сильной, чем теория -множеств), имеет общую структуру вида
(slt ..., sp) и типовую характеристику вида
щ?Тг и s2G7'2 и ... и *ре7>,
где каждое Т; получается путем замены в терме 5Р ((и X и) X о) буквы
v одной из букв хг, буквы и—одним из термов xi или Ah. При этом.
аксиома рода 2 записывается в виде «Р и Q», где Р есть отношение
«Sj есть функциональный график и ...
... и sp есть функциональный график»

/ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 61
(выражающее таким образом, что st являются графиками
законов композиции); отношение Q (выражающее дополнительные
условия, наложенные на законы композиции рода структуры 2)
называют вообще (допуская вольность речи) аксиомой рода 2
(и, разумеется, чаще всего оно представляется в виде конъюнкции
нескольких отношений, называемых аксиомами рода 2).
С таким родом структуры 2 можно ассоциировать род алге-
алгебраической структуры 20, имеющий те же множества базы и ту же
типовую характеристику, но аксиома которого сводится к Р;
20 называется обедненным родом структуры, соответствующим 2.
Два рода алгебраической структуры, имеющие один и тот же
обедненный род структуры, называются гомологичными, и две
структуры гомологичных родов называются гомологичными.
Определение алгебраической структуры естественно порождает
понятие изоморфизма (Теор. мн., Рез., § 8, п° 5): если на Е и Е'
заданы алгебраические структуры одинакового рода, то изомор-
изоморфизм Е на Е' естьбиекция*)/: Е—>Е' такая, что внутренние и внеш-
внешние законы на Е' получаются из соответствующих законов на Е
переносом структуры посредством / и тождественным отображе-
отображением каждой из областей операторов* внешних законов (являю-
(являющейся вспомогательным множеством для обеих структур).
Если речь идет о роде алгебраической структуры 2, опре-
определенном на нескольких основных множествах базы хг, ..., хп,
то об изоморфизме Ev ..., Еп на Е[, ..., Е'п еще говорят, когда
ни одно xi не является областью операторов внешнего закона.
В противном случае систему (Д, ...,fn), где Д —биекция Et на Е\
и законы композиции структуры, рассматриваемой в Е[, ..., Еп,
получаются из законов композиции структуры, заданной в Ег, ...
..., Еп, переносом структуры посредством отображений Д и тож-
тождественного отображения каждого из вспомогательных множеств
рода 2, —предпочитают называть полиизоморфизмом (биизомор-
физмом при п=2); если же рассматриваемые структуры совпадают,
то говорят о полиавтоморфизме (биавтоморфизме при га=2).
Это различение между полиизоморфизмом и изоморфизмом вве-
введено главным образом из-за того, что обычно, допуская вольность,
отождествляют два рода алгебраических структур, отличающиеся
То есть взаимно однозначное отображение на.— Перев.

62 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § 4
лишь тем, что некоторые основные множества базы одного рассматри-
рассматриваются как вспомогательные множества базы другого "(например,
в модуле над кольцом последнее рассматривают то как вспомогатель-
ное множество, то как осиовное)о.
2. Устойчивые множества. Индуцированная алге-
алгебраическая структура
Определение 2. ПустьЕ—множество, наделенное алгебраической
структурой. Множество АаЕ называется устойчивым (относи-
(относительно структуры, заданной в Е), если оно устойчиво относительно
каждого из внутренних и внешних законов, определяющих эту
структуру.
Пересечение произвольного семейства устойчивых множеств
есть снова устойчивое множество; в частности, существует наи-
наименьшее устойчивое множество, содержащее заданное множество
ХаЕ; оно называется устойчивым множеством, порожденным
множеством X.
Определение 3. Пусть Е—множество, наделенное алгебраи-
алгебраической структурой. Индуцированной ею структурой в множе-
множестве FciE называется структура, определяемая в F внутренними
и внешними законами, индуцированными на F законами, опреде-
определяющими структуру в Е.
Часто говорят, что структура, заданная в Е, является продол-
продолжением структуры, индуцированной ею в множестве FdE.
Если структура, рассматриваемая в Е, есть структура рода
Z и 20 — соответствующий обедненный род структуры (п°1),
то индуцированная структура в F есть структура рода 20, но не
обязательно рода 2, даже когда F—устойчивое множество.
В § 6 будет показано на примере, что структура, индуцирован-
индуцированная в устойчивом подмножестве F группы Е заданной в Е групповой
структурой, вообще говоря, не является уже групповой структурой.
3. Факторструктуры
В дальнейшем будут рассматриваться отношения эквивалент-
эквивалентности R, S,... между элементами множеств, наделенных алгебраи-
алгебраическими структурами. Напомним (Теор. мн., Рез., § 5, п° 2),
что отношение R между элементами х, у часто записывается в ви

3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 63
де х = у (mod/?) или просто а: = г/, если нет опасности смешения
с другим отношением.
Определение 4. Пусть Т — внутренний закон композиции эле-
элементов множества Е. Говорят, что отношение эквивалентности В
согласуется с законом Т> если xTy = z'Ty' (mod R) всякий раз,
когда х s x (mod/?), у = у' (mod/?) и композиции х~[ у и х'ТУ
определены. Закон, относящий классам эквивалентности элемен-
элементов х и у класс эквивалентности элемента хТУ, есть внутренний
закон композиции элементов фактормножества EIR, называемый
факторзаконом закона Т по R.
Если Т всюду определен, то всюду определен и его факторзакон
но /?; если Т ассоциативен, то и факторзакон ассоциативен; если
Т коммутативен, то и факторзакон коммутативен (кратко говорят,
что ассоциативность и коммутативность сохраняются при фактори-
факторизации). Если Т обладает нейтральным элементом е, то и факторза-
факторзакон обладает нейтральным элементом (а именно классом эквива-
эквивалентности, которому принадлежит е); элементам из Е, симметрич-
симметричным относительно Т , соответствуют в EIR элементы, симметричные
относительно факторзакона, и значит, симметризуемому элементу
из Е отвечает симметризуемый элемент из EIR. С другой стороны,
регулярному элементу из Е не обязательно соответствует регуляр-
регулярный элемент в EIR (см. пример ниже).
Определение 5. Пусть J. — внешний закон композиции операто-
операторов <x?Q и элементов множества Е. Говорят, что отношение
эквивалентности R между элементами из Е согласуется с зако-
законом X , если a lisa \_x (mod R) всякий раз, когда х=х' (mod /?)
и композиции а±х и а\_х определены. Закон, относящий опера-
оператору а и классу эквивалентности элемента х класс эквивалент-
эквивалентности элемента а±х, есть внешний закон композиции операторов
a?Q к элементов из EIR, называемый факторзаконом закона J.
по R.
Если отношение R согласуется с внутренним законом у , то оно
согласуется также, с одной стороны, с противоположным законом,
а с другой—с двумя внешними законами, получающимися из Т
путем раздвоения. Факторизация по этим четырем законам дает

?4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4
два противоположных внутренних закона композиции элементов
из EIR и два внешних закона композиции элементов из Е, служа-
служащих операторами, и элементов из EIR.
Обратно, пусть Т — всюду определенный внутренний закон
и Л — отношение эквивалентности, согласующееся с обоими
порождаемыми Т внешними законами. Тогда отношения х = х'
(modi?), y^sy' (mod/?) влекут, с одной стороны, х'Ту^хТу
(modi?), ас другой, x'Jy = x'Ty' (modi?), и значит, xjy = x'jy'
(modi?); тем самым i? согласуется с Т-
Если отношение i? согласуется с левым (соответственно пра-
правым) внешним законом, порожденным внутренним законом Т,
то мы кратко говорим, что i? согласуется слева (соответственно
справа) с Т- Таким образом, имеем:
Предложение 1. Для того чтобы отношение эквивалентности
согласовалось со всюду определенным внутренним законом, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно согласовалось слева и справа с этим
законом.
Определение 6. Пусть Е — множество, наделенное алгебра-
алгебраической структурой, определяемой внутренними или внешними
законами композиции. Говорят, что отношение эквивалентности
R между элементами множества Е согласуется со структурой,
заданной в Е, если оно согласуется со всеми этими законами; струк-
структура, определяемая в фактормножестве EIR их факторзаконами
noR, будет называться факторструктурой структуры, заданной
в Е, по R, a E/R, наделенное этой факторструктурой, — резуль-
результатом факторизации множества Е, наделенного заданной струк-
структурой, по R.
Если структура, рассматриваемая в Е, —рода 2 и 20 —
соответствующий обедненный род структуры (п° 1), то фактор-
структура в E/R будет рода 20; но нужно в каждом случае иссле-
исследовать, будет ли она также рода 2 (так, во всяком случае, будет,
в частности, когда.2 есть род групповых структур (§ 6) или род
кольцевых структур (§ 8)).
Пример: Сравнения в Z.
Пусть а ? Z; отношение между элементами х и у из Z «сущест-
«существует z?Z такое, что а; — y = az» есть отношение эквивалентности;

3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 65
ого раз навеегда условились записывать х ^ у (mod а) или, короче,
х гн у (а) и называть сравнением по модулю а. Заменив а на —а,
получим эквивалентное отношение, так что можно считать а>0;
если а — 0, то х = у @) означает, что х = у\ таким образом, отноше-
отношение, отличное от равенства, получается лишь при а Ф 0; поэтому
в дальнейшем, если только явно не указано противное, будет пред-
предполагаться, что а > 0.
Фактормножество множества Z по сравнению х = у (а), где
а > 0, есть конечное множество из а элементов, называемое множест-
множеством рациональных целых по модулю а; этот факт вытекает из следу-
следующего свойства, обобщающего на рациональные целые евклидово
деление натуральных чисел (Теор. мн., гл. III):
Если а ? N* и x?Z, то существуют однозначно определенные -
рациональные целые q и г такие, что х= qa-\-r и 0 <;?¦<; а—1.
Действительно,еслих= qa-\-rw.0<^ r< а—1, то ga<a;<(g+l)a,
откуда та^.х при т<ди та > а; при m>q; следовательно, q (если
оно существует) однозначно определено как наибольший элемент
множества тех т ? Z, для которых та^х. Но существование q
в случае z>0 было доказано (Теор. мн., гл. III); если же х < 0,
то существует q'?Z такое, что <?'а< — х < (q' 4-1) а; а отсюда
ga<x< (q+l)a, где q=^ — q , если — х^ q'a, и q= — (g' + l),
если q'a < — г.
Определенное так число г называется вычетом х по модулю а;
для того чтобы х ;= г/ (а), необходимо и достаточно, чтобы х и у
обладали одинаковым вычетом по модулю а, ибо два натуральных
числа, принадлежащих интервалу [0, а — 1], могут быть сравнимы-
сравнимыми по модулю а только если они равны. Отсюда следует, что фактор-
фактормножество множества Z по отношению х = у (а) находится во вза-
взаимно однозначном соответствии с интервалом [0, а — 1] и тем са-
самым есть множество, состоящее из а элементов; его часто отождест-
отождествляют с этим интервалом.
Легко видеть, что, каково бы ни было а б Z, отношение х s у (а)
согласуется со сложением и умножением в Z; следовательно, при
факторизации они порождают коммутативные ассоциативные
законы; эти законы называют слоокением и умножением по модулю
а (а > 0). При отождествлении фактормножества множества Z по
сравнению (mod а) с интервалом [0, а — 1] суммой (соответственно
произведением) по модулю а элементов г, s этого интервала
5 Н. Бурбаки

gg АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4
является вычет по модулю а их суммы r-j-s (соответственно про-
произведения rs) в Z.
Отношение х =~- О (mod а) выражают также следующим образом:
их кратно я», «я — делитель х», «я делит х».
Заметим, что если х фО кратно а, то х регулярно относительно
умножения в Z, но его класс (mod а) не является регулярным,элемен-
регулярным,элементом относительно умножения по модулю а.
Ясно, что фактормножество множества N по отношению, инду-
индуцированному на N отношением х s= у (я), совпадает с множеством
всех рациональных целых по модулю а; сложение и умножение
по модулю я можно получить также, взяв факторзаконы сложения
и умножения в N по этому индуцированному отношению.
В § 6 мы увидим, что отношения сравнения х =• у (а) являются
единственными отношениями эквивалентности в Z, согласующимися
со сложением.
4. Представления; гомоморфизмы
Определение 7. Пусть Е и F — множества, наделенные гомо-
гомологичными алгебраическими структурами, и f — отображение Е
в F. При обозначении соответственных законов композиции на Е
и F одинаковыми символами, f называется представлением Е в F,
если:
1° для каждого внутреннего закона композиции Т > заданного на
Е и F, всякий раз, когда определено хТУ, определено также
f(x)Tf(y) uf(xJy) = f(x)Tf(y);
2° для каждого внешнего закона ±, заданного на Е и F, всякий
раз, когда определено aj.a;, определено также аX/ (х) и f (а\.х) =
Из определения 7 следует, в частности, что для каждой пары
соответственных внутренних законов т, заданных на Е и F, f
есть представление Е в F при структурах, определяемых одними
этими законами (§ 1, п° 1); если законы Т всюду определены, то
для каждой серии (х^^ь элементов из Е имеет место тождество
0)

4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 67
в справедливости чего можно убедиться индукцией по числу эле-
элементов множества L.
Более общим образом, пусть (Elt ..., Еп) и (Е[, ...,Е'п) —
две системы множеств, наделенные гомологичными алгебраическими
структурами. Пусть /; (l<;i<;n) — отображение Et в Ei. Говорят,
что (/i, . . . , /л) есть предстасление (Ех, . . . , Еп) в (Е[, . . . , Е'п),
если выполнены следующие условия: 1° ft удовлетворяет условию 1°
определения 7 для каждого внутреннего закона у, заданного на Et
и Е\; 2° /{ удовлетворяет условию 2° определения 7 для каждого внеш-
внешнего закона J., заданного на Е^ и Е% и имеющего своей областью
операторов некоторое вспомогательное множество; 3° для каж-
каждого внешнего закона, заданного на Е^ (соответственно Ei) и имею-
имеющего своей областью операторов Ej (соответственно Ej), всякий
раз, когда х-. _]_ач (где х^?;, Xj^Ej) определено, j}-.(xj) j_/{ (хг)
определено и равно /^ (xjJ_xi).
Если все законы композиции, определяющие структуру в Е,
всюду определены, представление / Е в F называется также гомомор-
гомоморфизмом *) Е в F; если при этом / (Е) = F, то / называют гомоморфиз-
гомоморфизмом Е на F; гомоморфизм Е в себя называют эндоморфизмом Е.
Если существует гомоморфизм Е на F, то говорят, что струк-
структура в F гомоморфна структуре в Е (или является ее гомоморф-
гомоморфным образом). Структуры, гомоморфные заданной, характеризуют-
характеризуются следующей теоремой, доказательство которой непосредственно
вытекает из определений:
VТеорема 1 (теорема о гомоморфизмах). Пусть Е и F — мно-
множества, наделенные гомолоеичными алгебраическими структура-
структурами, и законы композиции в Е всюду определены. Если f — гомомор-
гомоморфизм Е в F, то f (E) есть устойчивое подмножество множества F и,
наделенное индуцированной структурой, изоморфно результату
факторизации Е по отношению эквивалентности f (х) = / (у) (кото-
(которое согласуется со структурой, заданной в Е).
*) Когда Е и F наделены не только алгебраическими структурами, но
и топологиями, удовлетворяющими определенным условиям, термин «гомо-
«гомоморфизм» употребляется в более ограниченном значении и уже не является
синонимом «представления» (см. Общ. топ., гл. III, § 2). Но при отсутствии
топологических структур эта синонимия не доставляет никаких неудобств.
5*

68 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4
Если законы композиции на Е не всюду определены, то теорема
может утратить силу, поскольку тогда композиция / (х) и / (у) относи-
относительно внутреннего закона, заданного на F, может быть определена
также, когда композиция хщу относительно соответствующего закона
на Е не определена, и аналогично для внешних законов.
Если гомоморфизм / Е в F инъективен *), f(E) по теореме 1
изоморфно Е; / можно рассматривать тогда как изоморфизм Е на
f(E), наделенное индуцированной структурой. В частности, для
каждого устойчивого подмножества А множества Е со всюду опре-
определенными законами композиции каноническая инъекция **) А (на-
(наделенного индуцированной структурой) в Е есть гомоморфизм.
Если R — отношение эквивалентности в множестве Е, согла-
согласующееся с заданной в Е алгебраической структурой, то канони-
каноническое отображение Е на E/R есть представление; оно называется
каноническим представлением Е на E/R (или каноническим гомомор-
гомоморфизмом ? на E/R, если все законы композиции на Е всюду опре-
определены).
Пусть законы композиции на Е и F всюду определены, / —
гомоморфизм Е в F и R — отношение эквивалентности / (х) = / (у);
теорема 1 показывает, что каноническое разложение (Теор. мн.,
Рез., § 5, п° 3) гомоморфизма / дает:
1° канонический гомоморфизм Е на EIR;
2° изоморфизм E/R на f(E), называемый взаимно однозначным
представлением, ассоциированным с /;
3° каноническую инъекцию f(E) в F.
Предложение 2. Пусть Е, F, G — множества, наделенные гомо-
гомологичными алгебраическими структурами, / — представление Е
в F и g — представление F в G; тогда g of есть представление Е в G.
Это предложение непосредственно следует из определения 7.
Предложение 3. Пусть Е — множество, наделенное алгебра-
алгебраической структурой, R — согласующееся с ней отношение экви-
эквивалентности, f — каноническое представление Е на EIR и F —
множество, наделенное структурой, гомологичной заданной в Е.
*) То есть является взаимно однозпачным отображением Е в F.— Перев.
**) Инъекция — взаимно однозначное отображение в. Канопическая
инъекция множества Ad Е в Е — отображение относящее каждому эле-
элементу из А этот же элемент в Е.— Перев.

4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 69'
Для того чтобы отображение g EIR в F было представлением,
необходимо и.достаточно, чтобы gof было представлением Е в F
Необходимость условия вытекает из предложения 2. Легко"
убеждаемся в его достаточности: если композиция иТ v элементов
и и v из EIR относительно внутреннего закона Т определена, то в
Е существуют элемент х класса и и элемент у класса v, для кото-
которых хТУ определено; тогда g (/(x))Tg (f (у)) 'определено и равно
g(f (xJy)),T.e. g (и) Tg (у) определено и равноg (и Т v); аналогичное'
рассуждение для внешних законов.
В остающейся части этого пс мы будем рассматривать множе-,
ство Е, наделенное алгебраической структурой, задаваемой всюду
определенными законами композиции. В обозначениях предложе-
предложения 3, пусть S — отношение g (x') = g(у') в EIR и Т — отношение
5 (/(х)) — g (/(У)) в Е\ $ есть факторотношение TIR отношения Т
по R (Теор. мн., Рез., § 5, п° 9); по теореме 1 образ E/R при ото-
отображении g изоморфен (E/R)/S; но он есть также образ Е при
отображении go/, и теорема 1 показывает, что он изоморфен Е/Т.'
Тем самым, беря в качестве g канонический гомоморфизм E/R на
(E/R)/S, получаем следующую теорему:
Теорема 2 (первая теорема об изоморфизме). Пусть Е — мно-
множество, наделенное алгебраической структурой, и R — согласующее*,
ся с ней отношение эквивалентности в Е. Тогда каждое отношение-
эквивалентности S в EIR, согласующееся с факторструктурой
множества Е по R в E/R, имеет вид T/R, где Т — отношение экви*
валентности в Е, являющееся следствием R и согласующееся с&
структурой, заданной в Е\ и обратно. При этом каноническое
отображение Е/Т на (E/R)/(T/R) есть изоморфизм.
Будем обозначать через / канонический гомоморфизм Е на.
EIR; пусть А — устойчивое подмножество множества Е, наделен-
наделенное индуцированной структурой; сужение / на А есть представле-,
ние А в EIR, и значит, по теореме 1, f (А) изоморфно А/На, где
Ra — отношение, индуцированное отношением R в А (Теор. мн.,
Рез., § 5,п° 5). Пусть В — подмножество множества Е, полученное
путем насыщения А по R (Теор. мн., Рез., § 5, п° 6); В также
устойчиво. Действительно, пусть х?В, у?В; по определению,,
существуют х' ? А и у' ? А такие, что х = х' и у == у' (mod R); для)

tjn АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4
любого внутреннего закона Т из определяющих заданную в Е
алгебраическую структуру имеем x'jy'^A и xjy = x'jy'
(mod В), откуда хТу?В; аналогично для внешних законов.
Поскольку BIRB изоморфно f(B), a f(B) — f(A), нами получена
Теорема 3 (вторая теорема об изоморфизме). Пусть Е — мно-
множество, наделенное алгебраической структурой, А — его устойчи-
устойчивое подмножество и R — отношение эквивалентности, согласую-
согласующееся со структурой, заданной в Е. Множество В, получающееся
путем насыщения A noR, устойчиво; отношения RA и RB, индуци-
индуцированные отношением R в А и В, согласуются со структурами,
индуцированными в Аи В из Е,и каноническое отображение *) AIR a
на BIRB есть изоморфизм.
Пусть L(А) — свободный моноид, порожденный множеством А,
М — моноид с нейтральным элементом ей/ — отображение А в
М. Существует, и притом единственное, представление g моноида
L (А) в М, переводящее 0 вей служащее продолжением / (так
что Ь(А) есть решение универсальной проблемы (см. Теор. мн.,
гл. IV, § 3)). Действительно, если s= (а4);е/ — непустое слово из
L (А), то примем за g (s), по определению, композицию последова-
последовательности (/(Я|))г?/; кроме того, положим g@) = e; по теореме
ассоциативности, g — представление. С другой стороны, пусть
g' — представление L (А) в М, являющееся продолжением/ и пере-
переводящее 0 в е, и пусть В — та часть L (А), на которой g и g' сов-
совпадают; тогда 0 ? В, A d В, В устойчиво относительно заданного
в L (А) умножения, значит, B—L(A), и следовательно, g' = g-
Пусть А и В — два множества и / — отображение А в В.
Согласно предыдущему, существует, и притом только одно, пред-
представление /' моноида L(A) в L{B), переводящее 0 в 0 и служа-
служащее продолжением /. Пусть С — третье множество, f1 — отобра-
отображение В ъ С и /J — порождаемое им представление L (В) в L (С);
тогда /i°/' есть представление L (А) в L (С), порождаемое отобра-
отображением /х<>/ множества А в С.
*) Это каноническое отображение (композиция канонического отобра-
отображения Л/Лд па / (А) и канонического отображения множества f (B)=f (А)
на B/RB) относит каждому классу (mod RA) в А содержащий его класс
(modi?) в Е.

S АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 71
о. Произведения алгебраических структур
Определение 8. Пусть (Eb)iei — семейство множеств, наделен-
наделенных гомологичными алгебраическими структурами, и Е = J'Et —
его произведение. Будем предполагать, что каждый из (внутренних
я внешних) законов обедненного рода структуры 20, соответствую-
соответствующего родам структур, заданных в множествах Е1, обозначается
одним знаком для всех Ev.
1° Для внутреннего закона Т на множествах Et, x—(xl)u
у = (t/t) положим xjy — faT уь) всякий раз, когда XiTyi определены
для всех i ? /; определенный так внутренний закон композиции наЕ
будем называть произведением законов Т, заданных на множествах Еь.
2° Для внешнего закона J_ на множествах EL, оператора с.
относительно этих законов и х= (xt) положима±х=(а±х1) всякий
раз, когда aj.34 определены для всех i?l; определенный так внеш-
внешний закон композиции на Е будем называть произведением законов
X , заданных на множествах Е.
3° Если для каждого из характеристических законов рода струк-
структуры 20 будет образовано на Е произведение соответствующих
законов на множествах Еь, то структура, определяемая в Е всеми
этими произведениями законов, будет называться произведением
структур, заданных в множествах Еь, а Е, наделенное этой струк-
структурой, — произведением множеств Ev, наделенных заданными
структурами.
Произведение структур, очевидно, гомологично структурам,
заданным в множествах^; но если последние структуры принад-
принадлежат все одному роду, нужно в каждом случае еще исследовать,
принадлежит ли и их произведение этому роду.
В дальнейшем мы встретимся как с примерами, где это всегда
так (структуры группы, кольца и т. д), так и с примерами, [где это
не так (структура тела).
В обозначениях определения 8, если At — устойчивое подмно-
подмножество множества Et, то А= \\ А,, есть устойчивое подмножество
произведения Е, а структура, индуцированная в А из Е, есть
произведение структур, индуцированных в множествах А^ из Et.

72 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4
Отображение prt произведения Е на Et есть представление Е
на ?,,; аналогично для проекции на любое частичное произве-
произведение ]]ЕЬ. Если (/«)«?#— разбиение множества / и FK = J] ?\.
го каноническое отображение (Теор. мн., Рез., § 4, п°11) Е
на [] /'и есть изоморфизм.
Если /t — представление множества F (наделенного структу-
структурой, гомологичной структурам, заданным-в множествах i?t) в Е1У
то /=(Д) есть представление F в Е.
Пусть (Ft)iej — второе семейство множеств, наделенных алге-
алгебраическими структурами, гомологичными заданным в множе-
множествах^, обладающее тедг же множеством индексов; если/,, для каж-
каждого i есть представление ?\ в Ft, то отображение (xL) —¦» (Д (zt))
есть представление f] ?t в Jj Fb.
В частности, когда / — множество, состоящее из двух элемен-
элементов, а /| — канонические представления на фактормножества,
получаем следующее предложение:
Предложение 4. Пусть Е и F — множества, наделенные гомо-
гомологичными алгебраическими структурами, R — отношение экви-
эквивалентности, согласующееся со структурой, заданной в Е, и S —
отношение эквивалентности, согласующееся со структурой, задан-
заданной в F. Каноническое отображение (E/R)X(F/S) на (ExF)l(RxS}
(Теор. мн., Рез., § 5, п°10) есть изоморфизм.
¦ Если рассматриваемые структуры определяются в каждом Et
единственным внутренним законом (обозначаемым Т для всех Е,)
и если все эти законы Т ассоциативны, их произведение тоже
ассоциативно; для того чтобы элементы (a;t), (гд) были перестано-
перестановочными относительно произведения законов Т> необходимо и до-
достаточно, чтобы Ху, и j/t были перестановочны при каждом i; в
частности, если все законы Т коммутативны, то и их произведение
коммутативно; для краткости говорят также, что ассоциативность-
и коммутативность сохраняются при переходе к произведениям.
Для того чтобы произведение законов Т обладало нейтральным
элементом e=(et), необходимо и достаточно, чтобы каждое е,
было нейтральным элементом в Еь; для того чтобы x=(xt) было
регулярным относительно произведения законов f , необходимо-

.5 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 73"
и достаточно, чтобы каждое Х\. было регулярно в Еь; для того
чтобы x=(xi) иу=(у1) были симметричны, необходимо и достаточно,
чтобы Ху, и yv были симметричны при каждом i.
Наконец, рассмотрим тот случай, когда все EL совпадают с од-
одним и тем же множеством F, наделенным произвольной алгебраи-
алгебраической структурой; Е есть тогда множество F1 всех отображений
I—>/(i) множества индексов / в F; композиция fjg двух таких
отображений относительно каждого внутреннего закона Т на F
есть отображение i—>/(i)T#(i); а для каждого внешнего закона J.
на F композиция а_]_/ оператора а и отображения / есть отобра-
отображение i—>a±/(i).
Заметим, что гомоморфизмы алгебраических структур (со всюду
определенными законами) удовлетворяют условиям (MOj), (МОП)
и (MOjjj) § 2 главы IV Книги 1, характеризующим морфиамы.
Упражнепия. 1) Рассмотрим алгебраическую структуру,
определяемую в множестве Е заданием нескольких внешних законов.
Показать, что эти законы можно (с точностью до полиизоморфизма) рас-
рассматривать как законы, полученные путем сужения единственного внеш-
внешнего закона _L на некоторые подмпожества его области операторов.
[Рассмотреть «сумму» (Теор. мн., Рез., § 4, п° 5) множеств операторов
всевозможных внешних законов, заданных на ?.] Устойчивые подмно-
подмножества множества Е относительно заданной структуры и структуры,
определяемой этим единственным законом X , одни и те же; каждое от-
отношение эквивалентности, согласующееся с заданной структурой,
согласуется с законом _|_, и обратно.
2) Напомним, что, отождествляя (допуская вольность) отноше-
отношения эквивалентности в множестве Е с определяемыми ими подмноже-
подмножествами произведения ЕХЕ (Теор. мн., гл. II), говорят, что отношение
эквивалентности R содержит отношение эквивалентности S, если
часть ЕХЕ, определяемая отношением R, содержит часть, определяе-
определяемую отношением S (что означает, иными словами, что S влечет /?);.
аналогично говорят о пересечении семейства отношений эквивалентности.
а) Показать, что пересечение семейства отношений эквивалент-
эквивалентности, согласующихся с алгебраической структурой, заданной в мно-
множестве Е, есть отношение эквивалентпости, также согласующееся-
с этой структурой.
б) Пусть а и Ъ — заданпые два элемента из Е; среди всех отноше-
отношений эквивалентности В, согласующихся с рассматриваемой в Е алге-
алгебраической структурой и удовлетворяющих условию а=6 (mod/?),,
существует содержащееся во всех остальных; это отношение Ва, (, назы-
называют отношением эквивалентпости, полученным путем отождестеле-

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 4
ния а и Ь, a E/Rai ъ—фактормножеством, полученным путем отож-
отождествления а и Ъ.
в) Если К — отношение эквивалентности, согласующееся с .а-
данной в Е алгебраической структурой, то существует семейство пар
(аи bj элементов из Е такое, что R есть наименьшее отношение экви-
эквивалентности, содержащее все отношения Ra ь ; E/R называется фактор-
множеством, полученным путем отождествления аь и Ьь для каждого i.
*3) Пусть Е — мопоид (§ 1, п° 3) с мультипликативным обозна-
обозначением.
а) Каково бы ни было множество Ad E, отношение ух (А) = уу (А)
между элементами х и у из Е есть отношение эквивалентности, согла-
согласующееся справа с заданным на Е законом; будем обозначать его
R,i (A).
б) Пусть R — отношение эквивалентности, согласующееся справа
с заданным на Е законом, и А — произвольный класс (modi?). Пока-
Показать, что R влечет Rd (А) и что пересечение (упражнение 2) отношений
R,i(A), где А пробегает множество всех классов modi?, есть следую-
следующее отношение эквивалентности (между элементами х и у из Е): «ка-
«каково бы ни было z, xz = yz (mod R)».
в) Множество А С Е называется разделяющим множеством, если
-1 -1 -1 -1
отпошение ух (A) f] уу (А)Ф0 влечет ух(А)=уи(А). Показать, что
-I -1
если А — разделяющее, то отношение бх (А) [) 6и (А)Ф0 влечет
— 1 —1
бж (у1)=6у (А), и что классами эквивалентности mod Rd (А) служат
-1
множества Ьх (А), где х пробегает Е, и множество W (А) тех х?Е,
для которых ух (А)=0. Пусть F — дополнение к W (А) в Е; при тех же
условиях доказать, что отношения xz?F, yz ?F,xz = yz (modR,i(A))
ялекут x = у (mod Rd (A)).
г) Пусть R — отношение эквивалентности, согласующееся справа
с заданным на Е законом и такое, что xz = yz (mod R) влечет х = у
•(modS). Показать, что каждый класс mod R является разделяющим
множеством; если А — класс mod R, то, в введенных выше обозначе-
обозначениях, отношения, индуцированные в дополнении F к W {А) отноше-
отношениями R и i?j(/4), равносильны.
4) Показать, что каждое отношение эквивалентности в Z, согла-
согласующееся со сложением, имеет вид х = у (а), где а ? Z. [Показать,
что класс числа 0 по такому отношению имеет вид a-Z, для чего рас-
рассмотреть наименьший элемент > 0 этого класса, если таковой суще-
существует.) Вывести отсюда, что если, в обозначениях упражнения 7 § 2.
множество С конечпо и состоит из р элементов, то оно изоморфно
множеству всех целых чисел по модулю р (наделенному сложением
по модулю р); то же верно и для множества D упражнения 8 § 2, если
•оно состоит из р элементов.

I ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ 75
5) Пусть Е и Е' — множества, наделенные гомологичными алгеб-
алгебраическими структурами, и/— представление Е в Е'. Показать, что
если А'—устойчивое множество в Е', то f(A') — устойчивое мно-
множество в Е.
6) Рассмотрим в свободном моноиде L (А), порожденном множе-
множеством А, следующее отношение R между словами u=(aiH<i<n
и v=(bi)Q<i<n: «существует такая подстановка я интервала [0, п],
что 6j,=aJt(i)» (иными словами, последовательности (ai) и (Ь{) разли-
различаются лишь порядком следования членов). Показать, что R есть отно-
отношение эквивалентности, согласующееся с приписыванием в I (Л);
фактормножество L (A)/R называется свободным коммутативным
моноидом, порожденным множеством А; показать, что он изоморфен
устойчивому подмножеству произведения tiA (наделенного произведе-
произведением законов сложения в сомножителях N), образованному всеми
семействами (па)а ? А натуральных чисел такими, что яа=0 для всех,
за исключением конечного числа, индексов а.
§ 5. Отношения между законами композиции
В определении большинства алгебраических структур фигури-
фигурируют несколько законов композиции, находящихся в определен-
определенных взаимных отношениях; типы этих отношений довольно разно-
разнообразны; мы рассмотрим здесь главнейшие из них и укажем, как
принято отражать их в обозначениях.
I. Дистрибутивность
Определение 1. Всюду определенный внешний закон компози-
композиции J. операторов а ? Q и элементов множества Е называют дистри-
дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции Т элемен-
элементов из Е, если всякий раз, когда композиция хТ у определена, ком-
композиция (a_l_x)T(aJL!/) определена для всех a?Q и имеет место ра-
равенство
аХ{хТу) = (а±х)Т(а±у). A)
Это определение равносильно требованию, чтобы отображение
х—>а_1_х было для каждогоa^Q представлениемЕъЕотъоса.тепъ'&о
структуры, определяемой в Е одним только внутренним законом "J".
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением того случая, когда
закон Т всюду определен. Сделанное только что замечание и тож-
тождество A) § 4 показывают тогда, что, какова бы ни была серия

7E АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, §
L элементов из Е,
Если рассматриваемый внутренний закон записывается мульти-
мультипликативно, то для внешнего закона, дистрибутивного относи-
относительно этого умножения, часто пользуются экспоненциальным*
обозначением ха, так что дистрибутивность выражается тождест-
тождеством {ху)а~хауа. Если внутренний закон записывается аддитивно.
то внешний закон, дистрибутивный относительно этого сложения,
часто обозначают в виде умножения слева а-х или умножения
справа х-а, в соответствии с чем дистрибутивность выражается
соответственно тождеством а (х-\-у)=ах-\-ау или (х-\-у)а—ха-\-уа.
Определение 2. Пусть J. — всюду определенный закон компо-
композиции операторов а?& и элементов изЕ, Т —внутренний закон
композиции элементов из Е и X — внутренний закон композиции
элементов из Q. Говорят, что закон _1_ дистрибутивен относитель-
относительно совокупности законов Т , Т , если всякий раз, когда композиция
аТР определена, композиция (aJ_x)T($J-x) определена для всех
х?Е и имеет место равенство
Не следует смешивать эту дистрибутивность с определенной выше:
дистрибутивность _1_ относительно совокупности законов Т, Т
никоим образом не влечет дистрибутивности X относительно за-
закона Т (см. примеры ниже).
Определение 2 равносильно требованию, чтобы отображение
а—>а±х было для каждого хб Е представлением Q в Е (для струк-
структур, определяемых соответственно законами Т и у).
Ограничимся снова рассмотрением лишь того случая, когда
законы Т и Т всюду определены. Внутренние законы, действующие
вйи?, чаще всего обозначаются аддитивно (и значит (§ 2, п° 9),
считаются ассоциативными и коммутативными); тогда внешний
закон, дистрибутивный относительно совокупности этих внутрен-
внутренних законов, записывают в виде умножения слева или справа, так
что дистрибутивность выражается соответственно тождеством
х=ах-{-$х или х (а+Р)=:г:а+:ф.

1 отношения Между законами композиции 77
При обозначении внешнего закона умножением слева а-х обыч-
обычно говорят, что он дистрибутивен слева, если имеет место тожде-
тождество (а+Р) x=ax-{-fix; тождество же а (х+у)=ах-{-ау выражает
так называемую дистрибутивность справа (т. е. дистрибутивность
внешнего закона относительно заданного на Е сложения);
для закона, обозначаемого х-а, эти наименования меняются
ролями. При тех же обозначениях, внешний закон назы-
называется двояко дистрибутивным (относительно двух внутренних
законов), если он дистрибутивен и слева и справа. Тогда для лю-
любого конечного семейства (z^Ksl элементов из Е и любого конеч-
конечного семейства (ott)t?/ элементов из Q имеем
B «О-B*0 = 2 («v*x) D)
l?/ ??L (l?)?IXL
(и аналогичную формулу при записи умножением справа), в чем
можно убедиться индукцией по числу элементов множеств / и L.
Определение 3. Пусть Т и ± — два внутренних закона, заданных
на множестве Е. Говорят, что закон J. двояко дистрибутивен
относительно закона Т, если он всюду определен и каждый из внеш-
внешних законов, получающихся из _[_ путем раздвоения, дистрибутивен
относительно Т •
Чаще всего один из этих внутренних законов записывается
аддитивно (и значит, ассоциативен и коммутативен), а другой
^мультипликативно (и значит, ассоциативен); в этих обозначениях
двоякая дистрибутивность умножения относительно сложения
выражается тождествами х {у + z) = осу + xz и (у 4- z) х = ух + zx.
В случае, когда умножение коммутативно, эти два тождества
равносильны, и при их выполнении говорят просто (допуская
вольность речи), что умножение дистрибутивно относительно
сложения. В прежнем предположении ассоциативности (но не обя-
обязательно коммутативности) умножения, пусть А— вполне упоря-
упорядоченное конечное множество, (Sa)a?A — серия, элементами которой
являются конечные семейства Sa = (xa}.)i?La элементов из Е, и
L = \]La; индукцией по числу элементов множества А получаем
а?А
«общую формулу дистрибутивности»
ПСИ *„0=У(ГЬа,г(а)). E)
?Д k?L l?L ?А

78 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, §5
При коммутативности умножения из этой формулы вытекает,
что для целых т>0, п>0 и каждого семейства (a^h-si^m элементов
из Е имеет место формула
где суммирование в правой части производится по всем последо-
последовательностям (Pi)i^i^m из т целых чисел >0 таким, что
= ". а
с я|
есть число всевозможных отображений [1, п] на [1, иг], прини-
принимающих ph раз значение А; A<й;<пг) (Теор. мн., гл. III, § 5).
При m = 2 получаем формулу, известную под наименованием
бинома Ньютона:
р=0
где ( ] = —; :—-.— так называемые биномиальные коэффи-
\pj рЦп—рI ^
циенты.
TfjJ Примеры. 1) Если мультипликативно записываемый заков
на Е ассоциативен и коммутативен, то закон композиции (п, х)—>хп
операторов n?N* и элементов х?Е дистрибутивен относительно
указанного умножения (§ 1, формула (8)); но, вообще говоря, это уже
не будет так, если умножение не коммутативно. Если коммутативное
и ассоциативное умножение обладает, кроме того, нейтральным эле-
элементом, то закон хп дистрибутивен для п ? N, и это верно также для
п 6 Z, если, сверх того, каждый элемент из Е обратим.
Аналогичные результаты имеют место и для аддитивно записы-
записываемого коммутативного ассоциативного закона на Е при замене
обозначения хп на п-х.
2) Если мультипликативно записываемый закон на Е ассоциа-
ассоциативен, то закон (п, х)—>хп дистрибутивен относительно совокупности
сложения в N* и умножения в Е, поскольку xm*n=xwxn. Значит,
если рассматриваемое умножение коммутативно, то закон хп двояко
дистрибутивен. Если каждый элемент из Е обратим, эти результаты
распространяются на все п 6 Z.
3) Внешний закон композиции (А", X) —> К (X) операторов К а
СЕХЕ и элементов X из $ (Е) дистрибутивен относительно внутрен-
внутреннего закона П на %{Е), но не относительно П (Теор. мн., Рез., § 3,

/ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ 7&
п°8); он также дистрибутивен относительно совокупности внутренних
законов U па $ (Е) и ЩЕХЕ), т. е. если К=К' \J К", то
K(X)=:K'(X)[jK"(X).
Аналогичные результаты имеют место для внешнего закона компози-
композиции АоХ операторов A CFXF и элементов X из ty(EXF).
4) Каждый из внутренних законов [J, П на $ (Е) (двояко) ди-
дистрибутивен относительно другого.
5) В Z умножение дистрибутивно относительно сложения; сло-
сложение дистрибутивно относительно законов sup (х, у) и inf (х, у); каж-
каждый же из этих двух последних законов дистрибутивен относительно
другого и самого себя. В N н умножение дистрибутивно относи-
относительно sup (x, у) и inf (x, у).
6) Пусть Т — внутренний закон на множестве Е; правый внеш-
внешний закон, порождаемый законом fog, дистрибутивен относительно .
закона композиции fT g отображений-Б в Е, т. е. (fT g)°h=(foh)T
Т(g°h); но для левого внешнего закона, порождаемого законом
fog, это уже неверно.
Подобно ассоциативности и коммутативности, определенные
выше различные виды дистрибутивности сохраняются при фактори-
факторизации и переходе к произведениям. Точнее говоря, если, например,
внутренний закон J. на Е двояко дистрибутивен относительно внут-
внутреннего закона Т » а/?— отношениеэквивалентности, согласующее-
согласующееся с законами J. и Т »то факторзакон закона J. no R двояко дистри-
дистрибутивен относительно факторзакона закона Т по R; аналогично
для других видов дистрибутивности и перехода к произведениям.
Замечание. Если ± —внешний закон, дистрибутивный
относительно внутреннего закона Т на Е, А и В — подмножества
множества Е аФ — подмножество множества Q операторов закона J.,
> то формула Ф J. (А Т5) = (Ф J.^4) T (Ф1.В), вообще говоря,
не верна (иными словами, распространение закона ± на множества
подмножеств не дистрибутивно относительно распространения закона
Т). Действительно, ФА. (AT В) есть множество всевозможных эле-
элементов а± (хТ у) = (а±х) Т (a L у), где а ? Ф, х^А, у?В,
тогда как (ФА.А)Т(ФА-В) есть множество всевозможных эле-
элементов (a_Lх)ТФ-Lу), где а?Ф, (З^Ф. <с?А, у?В, и вообще
можпо лишь утверждать, что Ф _L (AT В) а (Ф А. А) Т (Ф А. В).
С другой стороны, очевидно, что для каждого а ? Q имеем
а±(АТ В) = (а±А)Т(а±В).

•gO АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 5
2. Ассоциативность
Определение 4. Пусть J. — всюду определенный внешний закон
композиции операторов а ? Q и элементов множества Е и Т —
всюду определенный ассоциативный закон композиции элементов
из Q; говорят, что закон _]_ ассоциативен относительно закона Т •
если имеет место тождество
. F)
В других терминах, если положить fa(x)=a±x (так что (/а)аеп—
семейство отображений Е в Е, порождаемых операторами закона
X), должно иметь место равенство/атр=/а°/р' т- е- отображение а-э-
—»/а есть представление множества Q (наделенного законом Т)
в множество всех отображений Е в Е (наделенное законом fog).
Если внешний закон ассоциативен относительно некоторого
внутреннего закона (заданного на его области операторов) и если
этот последний записывается мультипликативно, то чаще всего
рассматриваемый внешний закон записывают посредством умно-
умножения слева а-х, так что ассоциативность выражается тождеством
{&$)х = а($х); эта композиция обозначается тогда офаг; точно так
же (в силу ассоциативности умножения в Q) (офу) х = а фух) =
= (а$) (уж)=а(Р (у^)), и общее значение этих композиций обознача-
обозначается сфу^! аналогичные формулы имеют место для произведения
любого числа операторов.
Если внешний закон ассоциативен относительно закона, про-
противоположного мультипликативному закону, заданному на его
¦области операторов, то для этого внешнего закона принимается
либо обозначение посредством умножения справа х-а, либо экспо-
экспоненциальное обозначение х°-, так что ассоциативность выражается
соответственно тождеством хфос) = (х$)а или х$а = (х$)а.
Примеры. 1) Если на множестве Е задап мультипликативно
записыпаемып ассоциативный закон, то внешний закон (и, х) —>¦ хп
ассоциативен относительно умножения в N*, поскольку (хт)п = хтп
(ввиду коммутативности, умножение в N* ничем не отличается от про-
противоположного ему закона). Аналогично для п ? N, если в Е имеется
нейтральный элемент, и для п ? Z, если все элементы из Е обратимы.
2) Если на множестве Е задан ассоциативный закон Т, то внеш-
внешний закон композиции (а, X) —>¦ аТX элементов из Е (операторов)
и подмножеств X множества Е ассоциативен относительно закона Т

3 ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ 81
на Е; внешний закон (а, X)—>-ХТя ассоциативен относительно
закона, противоположного Т.
3) Внешний закон композиции (/, х) —>- / (х) отображений / мно-
множества Е в Е (операторов) и элементов из Е ассоциативен относи-
относительно внутреннего закона fog; точно так же закон композиции
(А, X) —>- А (X) множеств А с~ ЕХЕ (операторов) и множеств Ic E
ассоциативен относительно внутреннего закона А°В.
4) Внешний закон композиции (А, X) -^-А°Х операторов А СГ
с FXF и множеств XczEXF ассоциативен относительно закона
композиции АоВ операторов; внешний закон композиции (В, У) —>-
-^¦YoB операторов ВсЕХЕ и множеств Yc^EXF ассоциативен
относительно закона, противоположного закону композиции В°С
операторов.
Непосредственно ясно, что ассоциативность внешнего закона
относительно внутреннего закона, заданного на его области опе-
операторов, сохраняется при факторизации и переходе к произведе-
3. Перестановочность
Определение 5. Пусть Т —всюду определенный внешний закон
композиции операторов а ? Q и элементов из Е и JL — всюду опре-
определенный внешний закон композиции операторов Р б в и элементов
аз Е. Говорят, что эти два закона перестановочны, если имеет
место тождество
Иными словами, если (fa)a?Q и (gp)pee — семейства отображений
Е в Е, порождаемых соответственно операторами законов у и JL,
fa, должно быть перестановочно с gp относительно закона fog, како-
каковы бы ни были аир. Внешние законы, о которых идет речь, обыч-
обычно обозначаются мультипликативно; если все они записываются
посредством умножения слева, то перестановочность двух зако-
законов выражается тождеством афх) = Р(оиг); если один записывается
посредством умножения слева, а другой — умножения справа,
то перестановочность выражается тождеством а(:гР)=(а;г)Р, и об-
общее значение обеих частой равенства обозначается просто ом^;
эта запись оправдывает наименование рассматриваемой пары внеш-
внешних законов двояко ассоциативной, что- в данном случае рассма-
рассматривается как синоним «перестановочности».
6 Н. Бурбаки

82 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 5
Перестановочность двух внешних законов сохраняется при
факторизации и переходе к произведениям.
Примеры. 1) Если Т—ассоциативный закон на множестве
Е,то внешние законы композиции (а, X) —> а ~[ X и F, X) —>- XT Ь
операторов из Е и множеств X а Е перестановочны.
2) Внешний закон композиции (А, Х)-^-А°Х операторов A(Z
С FXF и множеств XdEXF перестановочен с внешним законом
композиции (В, X) -* ХоВ операторов В d EXE и множеств X a EXF.
Упражнения. 1) Пусть _|_ —всюду определенный внутрен-
внутренний закон на Е, двояко дистрибутивный относительно ассоциативного
внутреннего закона Т; показать, что если х X х' и у Xу' регулярны
относительно закона Т, то х2-у' перестановочно с уА-х' относи-
относительно этого закона. [Вычислить композицию (жТу) -L(:r'Ti/') двумя
различными способами.] В частности, если закон X обладает ней-
нейтральным элементом, то два элемента, регулярных относительно Т,
перестановочны относительно этого закона; если все элементы из Е
регулярны относительно Т , то этот закон коммутативен.
2) Пусть Т и _1_ —^всюду определенные внутренние законы
на множестве Е и левый внешний закон, порожденный законом X ,
дистрибутивен относительно Т.
а) Если закон Т обладает нейтральным элементом е, то каково бы
ни было х ?Е, xl.e есть идемпотепт относительно Т ; если при этом
существует у такое, что х Ху регулярно относительно Т, тожХе = е.
б) Если закон X обладает нейтральным элементом и и существует
элемент z?E, регулярный одновременно относительно обоих зако-
законов X и Т, то и регулярен относительно Т.
*3) Пусть Т и X—всюду определенные внутренние законы
ма Е, обладающие каждый нейтральным элементом. Если левые внеш-
внешние законы, порожденные законами Т и X, дистрибутивны друг
относительно друга, то все элементы из Е являются идемпотентами
относительно каждого из этих двух законов. [Пусть е — нейтральный
элемент относительно Т и и—нейтральный элемент относительно X;
доказать прежде всего, что еХе = е, воспользовавшись тем, что
е = е±(иТе).]
4) Пусть на множестве Е заданы три всюду определенных внут-
внутренних закона композиции: сложение (не обязательно ассоциатив-
ассоциативное или коммутативное), умножение (не обязательно ассоциативное)
и некоторый закон Т. Предположим, что умножение обладает ней-

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ 83
тральным элементом е, .что левый внешний закон, порожденный зако-
законом Т , дистрибутивен относительно умножения и что правый внешний
закон, порожденный законом Т , дистрибутивен относительно сложе-
сложения. Показать, что если существуют х, у, z, для которых хТ г, уТ г
и (х-\-у) Т z регулярны относительно умножения, то е-|-е = е. [Исполь-
[Использовать упражнение 2а.]
*5) Говорят, что всюду определенный внутренний закон компо-
композиции Т на Е определяет в Е структуру квазигруппы, если левый
и правый переносы ух и бх являются для всех х?Е взаимно одно-
однозначными отображениями Е на себя. Квазигруппа называется дистри-
дистрибутивной, если закон Т двояко дистрибутивен относительно
самого себя.
а) Определить все структуры дистрибутивной квазигруппы в мно-
множестве из п элементов, где 2<;/г<.6.
б) "Показать, что множество Q рациональных чисел, наделенное
законом композиции (х, у) —>¦ — (х-\-у), есть дистрибутивная квази-
квазигруппа.,,
в) Каждый элемент дистрибутивной квазигруппы Е идемпотентев.
Вывести отсюда, что если Е содержит более одного элемента, то Т
не может ни обладать нейтральным элементом, ни быть ассоциативным.
г) Левые и правые переносы в Е янляются автоморфизмами.
д) Если Е конечно, то структура, индуцированная в каждом его
устойчивом подмножестве, есть структура дистрибутивной квази-
квазигруппы.
е) Если R — отношение эквивалентности, согласующееся слева
(соответственно справа) сТ, то классы mod R являются устойчивыми
множествами. Если Е конечно, то все эти классы получаются из одного
из них посредством левого (соответственно правого) переноса; при тех
же условиях, если Я согласуется с Т» то факторструктура в EJR
есть структура дистрибутивной квазигруппы.
ж) Множество Аа всех элементов из Е, перестановочных с задан-
заданным элементом а, устойчиво; если Е конечно, то для каждого х?Аа
имеем Ах=Аа [используя д), заметить, что существует у?Аа,
для которого х?а,Ту], и множества Ах, где х пробегает Е, совпа-
совпадают с классами эквивалентности по некоторому отношению, согла-
согласующемуся с Т.
з) Если Е конечно, а Т коммутативен, то число элементов мно-
множества Е нечетно. [Рассмотреть пары (ее, у) элементов из Е, для
которых хТу=уТх = а, где а задано.]
6) Пусть на множестве Е заданы (ассоциативное и коммутативное)
сложение, относительно которого все элементы из Е симметризуемы
"(иными словами — закон композиции аддитивной группы),., и (ассо-
6*

84 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
циативное) умножение, двояко дистрибутивное относительно сложе-
сложения; положим х°у=ху — ух\ закон х°у двояко дистрибутивен отно-
относительно сложения. Для того чтобы х ж у были перестановочны отно-
относительно умножения, необходимо и достаточно, чтобы гог/=0; имеют
место тождества
(второе из которых известно под наименованием «тождества Якоби»).
Второе тождество записывается также в виде
X°(yoz) (Xoy)oZ = (z°X)°y,
выражающем «отклонение закона х°у от ассоциативности».
7) В тех же предположениях, что и в упражнении 6, положим
х~Г у=ху-\-ух; тогда закон Т коммутативен, двояко дистрибутивен
относительно сложения, но вообще не ассоциативен.
гп-\-п т п
а) Показать, что, каково бы ни было х?Е, Тж = (Та;)Т(Та:).
б) Положим [х, у, z] — (x~Ty)~Tz — хТ(уТ z) (отклонение
закона Т от ассоциативности). Доказать тождества
[*, У, z] + [z, у, х]=0,
[х, у, z] + [y, z, x] + [z, х, у]=0,
\xjy, и, z] = uo((xjy)oz)
(где х°у имеет тот же смысл, что и в упражнении 6) и
[хТу, u,z]-\-[yJz, и, x] + [zTx, и, у]=0.
*8) Пуеть на Е заданы (ассоциативное и коммутативное) сложение,
относительно которого все элементы из Е симметризуемы, и умноже-
умножение, не ассоциативное, однако коммутативное и двояко дистрибутив-
ное относительно сложения. Предположим, кроме того, что в Е отно-
отношение п-х=0 (где п—любое целое =?0) влечет ж=0. Положим
[х, у, z] — (xy) z—x(yz). Показать, что если имеет место тождество
[ху, и, z]-{-[yz, и, x]-{-[zx, и, у] = 0,
то хт+п =хтхп для всех х ? Е. [Показать с помощью индукции по р,
что при t^.q<^p имеет место тождество [xi, у, xP~Q]=0.]
§ 6. Группы и группы с операторами
I. Группы
Определение 1. Говорят, что всюду определенный внутренний
закон композиции на множестве G определяет в G структуру
группы (или групповую структуру), если 1° он ассоциативен;
2° он обладает нейтральным элементом; 3° для каждого элемента

1 ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 85 .
из G в G существует элемент, симметричный ему относительно
этого закона. Множество, наделенное групповой структурой, назы-
называют группой.
В силу предложений 3 и 4 § 2, то же самое можно выразить,
сказав, что группа G — это непустой моноид (§ 1, п° 3), такой,
что левый и правый переносы ух и 6Х являются для каждого x^G
отображениями G на G: тогда они являются взаимно однозначными
отображениями G на G (см. упражнение 2).
Примеры. 1) В произвольном моноиде Е, обладающем ней-
нейтральным элементом, множество всех симметризуемых элементов,
наделепное индуцированной структурой, есть группа. В частности,
множество всех взаимно однозначных отображений F на себя (т. е.
всех подстановок множества F) есть группа относительно закона fog;
она называется симметрической группой множества F; мы еще вер-
вернемся к этой группе и более детально рассмотрим ее в § 7.
2) Если Е — множество, наделенное коммутативным ассоциатив-
ассоциативным закономТ , и?— результат симметризации множества Е (§ 2,
п° 4) относительно Т, то множество всех регулярных элементов из Е
образует группу относительно индуцированного на нем из Е закона.
В частности, множество Z, наделенное сложением, есть группа; она
называется аддитивной группой рациональных целых чисел; точно
так же и множество Q* рациональных чисел > 0, наделенное умно-
умножением, есть группа.
Группа G называется конечной, если множество ее элементов
конечно, и бесконечной — в противном случае. Число элементов
конечной группы называют порядком этой группы.
Если закон композиции на G определяет в G структуру группы,
то это же верно и для противоположного закона; две определен-
определенные так группы называются противоположными. Отображение
группы G на себя, относящее каждому элементу из G симметрич-
симметричный ему элемент, есть изоморфизм группы G на противоположную
группу (§ 2, предложение 5); оно называется симметрией или
отображением симметрии группы G на себя и является инволю-
тивной подстановкой этой группы.
В настоящем параграфе всюду, где явно не оговорено против-
противное, мы обозначаем закон композиции группы мультипликативно,,
а нейтральный элемент записываемого так группового закона

86 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
обозначаем е (напомним, что в этом случае е часто называется
единичным элементом группы); симметрия группы G на себя запи-
записывается тогда х—* х'1.
Следуя нашим общим соглашениям (Теор. мн., Рез., § 2, п° 4),
мы обозначаем образ множества A d G при симметрии х —»• аГ1 через
А'1. Но важно отметить, что, несмотря на сходство обозначений, А'1
отнюдь не является элементом, обратным А относительно закона ком-
композиции (X, Y) -> XY подмножеств множества G (напомним, что XY
есть множество всех ху, где х ? X, у ? У); действительно, нейтраль-
нейтральным элементом относительно этого закона служит {е\, а единствен-
единственными элементами из $ (G), обратимыми относительно этого закона,
являются множества А = {а], сводящиеся к одному элементу (причем
такое А действительно имеет своим обратным Л'1). Имеет место тож-
тождество (АВу1=-В'1А-1 (Ac G, ВТ С). Если А=А'1, то А назы-
называется симметричным подмножеством группы G. Каково бы ни было
А ст G, A\JA~*, Af]A'x и А А'1 симметричны.
2. Подгруппы
Определение 2. Подгруппой группы G называется всякое непус-
непустое множество HCZG такое, что структура, индуцированная в нем
из <?, есть структура группы.
Предложение 1. Пусть Н — непустое подмножество группы
G; следующие утверждения равносильны:
а) Н — подгруппа группы G.
б) Н — устойчивое множество (иными словами, отношения х?П,
у?Н влекут ху?Н) и отношение х?Н влечет х'1 ? Н.
в) Отношения х?Н, у?Н влекут ху ? Н.
Покажем сначала, что из а) следует б). Поскольку закон
композиции, индуцированный в // из G, должен быть всюду опре-
определенным, Н должно быть устойчивым множеством в G. При
этом, поскольку индуцированный закон должен обладать нейтраль-
нейтральным элементом и, последний удовлетворяет условию и-и = и,
откуда и — и-и~1 = е, так что Н. содержит е; следовательно, если
элемент х 6 Н обратим в Н', его обратный в Н совпадает с его обрат-
обратным х'1 в G; тем самым б) полностью доказано.
Обратно, из б) следует а); действительно, для каждого х?Н
имеем х~г?Н и, значит, х-х'1 = е?Н; тем самым закон компози-
композиции, индуцированный в Н изб, определяет в Н структуру группы.

2 ГРУППЫ И1 ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 87
Наконец, ясно, что из б) следует в); обратно, если в) выпол-
выполнено, то х? Н влечет х-х'1 = е? Н и, далее, е-х'1 = х'1? Н; следо-
следовательно, отношения х?Н, у?Н влекут х(у'1)'1 = ху?Н, чем
доказано, что из в) следует б).
Замечания. 1) Так же доказывается, что утверждение б)
предложения 1 равносильно следующему:
в') Отношения х ? Я, у ? Я влекут у~*х ? Я.
2) Утверждение б) может быть также записано в виде И Н CZ Я
и Я С Я. Таким образом, в случае непустого множества Н CZ G
из этих отношений следует, что Н — подгруппа; тогда е € Я, откуда
X cz Н-Х для каждого I С С и, в частности, Я С Н Н\ с другой
стороны, отображение симметрии группы G преобразует включение
Н'1 сЯвЯс Я. Тем самым для каждой подгруппы Н группы G
выполняются отношения
Н-Н = Н, Н'1 = Н. A) '
Утверждение в) записывается также в виде Н-Н'1 С Н\ таким
образом, для непустого множества Н С G это отношение равносильно
отношениям A); то же верно и для отношения ТУ-// CZ H.
Ясно, что если Н — подгруппа группы G, а К — подгруппа
группы Н, то К — подгруппа группы G.
Множество {е} есть подгруппа группы G, очевидно, наименьшая
(ибо содержится во всех подгруппах). Пересечение И семейства
подгрупп (Н,) есть подгруппа, ибо оно не пусто (е^Н1 для каж-
каждого i) и отношения х 6 Н, у?Я, влекущие ху'1 ? Н1 для каждого i,
влекут тем самым ху~г?.Н.
Следовательно, существует наименьшая подгруппа G, содержа-
содержащая заданное множество X a G; она называется подгруппой, поро-
порожденной множеством X, a X — системой образующих этой под-
подгруппы.
Пример. Найдем все подгруппы аддитивной группы Z рацио-
рациональных целых чисел. Если Н — такая подгруппа, не сводящаяся
к одному элементу 0, то пусть х ? Н таково, что х Ф 0; тогда либо
х > 0, либо, при х < 0, х'= —х > 0 и х' € Н; таким образом,
множество всех элементов > 0 из Н не пусто; пусть а — его наимень-
наименьший элемент. Индукцией по т ? N* убеждаемся в том, что та ? Н
для всех т ? N*; значит, также —та 6 Н для всех т ? N*, и так
как 0 g Я, то, следовательно, па 6 Я, каково бы ни было п g Z.
Пусть х 6 Я, тогда (§ 4, п° 3) х= да- г, где д ? Z и 0 < г < а; так
как qa ? Я, то г = ж—qa ? Н; но, по определению элемента а,
0 < г < а влекло бы г ^ Я; значит, г = 0 и ж= <?а. Тем самым Я совпа-

88 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
дает с множеством всех па, где п (f Z, иными словами, Н = а-Ъ. Об-
Обратно, очевидно, аЪ есть подгруппа группы Z для всякого a (f N*;
если « = 0, то a-Z = {0}; если а < 0, то а'= — а > 0 и aZ = a'Z, Из про-
проведенного выше доказательства видно также, что аЪ есть подгруппа,
порожденная множеством {а}, и что устойчивым подмножеством мно-
множества Z, порожденным {а}, служит множество aN* всех те, где т
пробегает N*.
Этот пример показывает, что следует остерегаться смешения
устойчивого подмножества группы G, порожденного множеством
X с G, с подгруппой, порожденной этим множеством: первое всегда
содержится во второй, но вообще отлично от нее. Способ образования
подгруппы, порождаемой множеством X, точно описывается следую-
следующим предложением:
Предложение 2. Подгруппа, порожденная непустым подмноже-
подмножеством X группы G, совпадает с устойчивым множеством У00, поро-
порожденным множеством Y ^XIJX'1.
Действительно, У°° есть множество композиций всевозможных
последовательностей, все члены которых — либо элементы из X,
либо обратны таким элементам; так как элемент, обратный ком-
композиции этого вида, снова есть композиция того же вида (§2,
предложение 5), то (предложение 1) У°° есть подгруппа группы G;
обратно, каждая подгруппа, содержащая X, очевидно, содержит
У, а потому и Y°°.
3. Факторгруппы
Выясним, какие отношения эквивалентности согласуются с за-
законом композиции группы. Согласно предложению 1 § 4, доста-
достаточно рассмотреть отдельно согласованность слева и согласован-
согласованность справа; вопрос решается следующей теоремой:
Теорема 1. Если отношение эквивалентности R в группе G
согласуется слева (справа) с групповым законом, то оно равносильно
отношению вида х~ху?Н (соответственно ух~*? Н), где Н — под-
подгруппа группы G. Обратно, для любой подгруппы Н отношение
х~ху 6 Н (соответственно ух'1 ? Н) есть отношение эквивалентности,
согласующееся слева (соответственно справа) с заданным в G группо-
групповым законом.
Ограничимся рассмотрением того случая, когда отношение R
согласуется слова с групповым законом (случай отношения, согла-

3 ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 89
сующегося справа, получается отсюда переходом от G к противо-
противоположной группе). Отношение у = х (modi?) равносильно отноше-
отношению x'1y^se (mod R), ибо у = х влечет х~1у=:Х~1х и, обратно, аГхг/=е
влечет х (х'^-у) = х. Таким образом, R равносильно отношению
х'ху 6 Н, где Н — класс, образованный элементами х = е. Покажем,
что Н — подгруппа группы G; для этого достаточно установить
(предложение 1), что х?Н и у?Н влекут х~ху ?Н, т. е. что х = е
и у = е влекут х s= у; но это вытекает из транзитивности отно-
отношения R.
Обратно, пусть Н— подгруппа группы G; отношение х'ху^Н
рефлексивно, поскольку х' 1z = eg H; оно симметрично, поскольку
х'^у^Н влечет у'хх—{х'ху)'х<^Н\ оно транзитивно, ибо х'ху^Е
и z/^zg H влекут af 1z= {x'1]/) (y^z) б Н; наконец, оно согласуется
слева с законом композиции группы G, ибо х'гу = (zx)'1(zy) для
любого z ([ G.
Отношение х~*у (j H (соответственно ух'1 ? Н) записывается также
в равносильной форме у (j xH (соответственно у?Нх). Таким обра-
образом, каждая подгруппа Н группы G определяет два отношения
квивалентностивб, аименно: у?хНш у?Нх; классами эквивалент-
эквивалентности по этим отношениям служат соответственно множества хН,
называемые левыми классами по Н (или по модулю Н), и множества
Нх, называемые правыми классами по Н (или по модулю Н). Насыщая
множество A dG по этим отношениям (Теор. мн., Рез., § 5, п° 6),
получаем соответственно множества АН и НА. При переходе к про-
противоположной группе каждая подгруппа Н остается подгруппой,
причем левые классы превращаются в правые и обратно; при сим-
симметрии группы G каждая ее подгруппа Н отображается на себя,
а левые классы преобразуются в правые и обратно.
Если число различных левых классов (mod H) конечно, оно
называется индексом подгруппы Н относительно G и обозначается
(G:H); оно равно также числу правых классов. Если существует
бесконечное множество различных левых классов, то Н называется
подгруппой бесконечного индекса.
Подгруппа К группы G, содержащая Н, является объединением
левых (равно как и правых) классов по Н; если при этом К —
объединение конечного числа различных левых классов по Н
т. е. индекс (К-Н) конечен), то и каждый левый класс по К есть

<Ю АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
объединение такого же числа различных левых классов по Н, ибо
он получается из К путем левого переноса. В частности, имеет место
Предложение 3. Пусть Н и К — подгруппы группы G, при-
причем Hd К. Если индекс (G:H) конечен, то также индексы {G:K)
и (К:Н) конечны и
(G:H) = (G:K){K:H). B)
Обратно, если (G:K) и {К:Щ конечны, то {G:H) конечно и имеет
место формула B).
Следствие. Если G — конечная группа порядка g и Н — ее под-
подгруппа порядка h, то
(б:Я) = | C)
{в частности, порядок и индекс подгруппы Н являются делителями
порядка группы G).
Теорема 1 позволяет охарактеризовать отношения эквивалент-
эквивалентности, согласующиеся с групповым законом в G: так как такое
отношение R согласуется с групповым законом одновременно
и слева и справа, то класс Л" нейтрального элемента е (mod/?) есть
подгруппа, для которой отношения у ? хН и у ? Их (будучи оба
равносильными/?) равносильны; таким образом, хН = Нх, каково
бы ни было x?G. Обратно, если это условие выполнено, то оба
отношения эквивалентности у ? хН и у ? Нх согласуются с группо-
групповым законом, поскольку они согласуются с ним одновременно
и слева и справа (§ 4, предложение 1). Принимая во внимание,
что равенство хН — Нх эквивалентно равенству хНх'1 = Н, вводим
следующее определение:
Определение 3. Подгруппа Н группы G называется нормальной
(или инвариантной), если хНх~1 — Н для всех x?G.
Для установления нормальности подгруппы Н достаточно пока-
показать, что хНх'1 С Н для всех х ? G; действительно, тогда для всех
х ? G также х~1Нх С Л, т. е. Н с хНх'1, и, следовательно,
Н = хВх~1.
Пусть Н — нормальная подгруппа группы G и R — опреде-
определяемое ею отношение эквивалентности y?xll; факторзакоп закона
группы G по R на фактормножестве G/R ассоциативен; класс

3 ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 91
нейтрального элемента е группы G является нейтральным элемен-
элементом относительно этого факторзакона, и классы двух взаимно
обратных элементов из G взаимно обратны относительно него
(§ 4, п° 3). Таким образом, резюмируя полученные результаты,
имеем:
Теорема 2. Отношения эквивалентности, согласующиеся с зако-
законом группы G,— это отношения вида у ? хН, где Н — ее нормальная
подгруппа (причем отношение у?хН для такой подгруппы Н рав-
равносильно отношению у ? Нх); факторструктура структуры груп-
группы G по этому отношению есть структура группы.
Определение 4. Результат факторизации группы G по отноше-
отношению эквивалентности, определяемому ее нормальной подгруппой Н,
называется факторгруппой группы G по Н и обозначается GIH.
Отношение эквивалентности, определяемое нормальной под-
подгруппой Н группы G, иногда записывают в виде х = у (mod H) или
х = у (Н); факторзакон закона группы G по этому отношению часто
для краткости называется факторзаконом закона группы G по Н.
Замечания. 1) Если Н — нормальная подгруппа группы G,
то, каково бы ни было A d G,AH=HA; это —множество, получа-
получающееся путем насыщения множества А по отношению х = «/ (mod H).
2) Композицией любых двух элементов хН и уН факторгруппы
GIH служит элемент xyll, равный композиции (хН) (уН) в $ (G), ибо
НуН — у (у' 1Ну) Н = у (##) = уН. Точно так же обратным к хН в G/H
служит элемент х~1Н, равный (хН)'1, поскольку последнее есть не что
иное, как Н~хх'1=Нх'1.
3) Если Я — нормальная подгруппа конечного индекса, то фактор-
факторгруппа G/H есть конечная группа порядка (G:H).
Пример. Если закон композиции группы G коммутативен,
то хух' 1==у, каковы бы ни были afи у, так что всякая подгруппа груп-
группы G — нормальная; так обстоит дело, например, для аддитивной
группы Z рациональных целых чисел. Ее подгруппы были определены
выше (п°2): это — множества аЪ, где а ? Z; отношение эквивалент-
эквивалентности, определяемое подгруппой аЪ,— не что иное, как отношение
х — у ё аЪ, т. е. сравнение'а; = у (mod а) (§ 4, п° 3): сравнения —
единственные отношения эквивалентности, согласующиеся со сложе-
сложением в Z. При а > 0 факторгруппа аддитивной группы Z по сравне-
сравнению mod а называется аддитивной группой рациональных целых по мо-
модулю а; это — конечная группа порядка а.

92 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
Подгруппы G и {е} каждой грзшпы G — нормальные (a GIG
и Gl{e] изоморфны соответственно {е} и G); если это единственные
нормальные подгруппы, то группу G называют простой. -Пересе-
-Пересечение всякого семейства нормальных подгрупп группы Сесть нор-
нормальная подгруппа; поэтому можно говорить о наименьшей нор-
нормальной подгруппе группы G, содержащей множество XdG.
Заметим, что (как мы убедимся на примерах) нормальная под-
подгруппа К нормальной подгруппы Н группы G не всегда есть нор-
нормальная подгруппа группы G.
4. Представления
Общее определение представления (§4, определение 7) приво-
приводит, в частности, в случае групп к следующему определению:
Определение 5. Пусть G — группа и G' — множество, наделен-
наделенное внутренним законом композиции. Отображение f группы G
в G' называется представлением (или гомоморфизмом) G в G', если
(при мультипликативном обозначении заданных в G и G' законов),
каковы бы ни были х ? G и у ? G, f (х) / (у) определено и
D)
Каноническое отображение группы G на ее факторгруппу GIH
по нормальной подгруппе Н есть гомоморфизм; он называется
каноническим гомоморфизмом G на GIH.
Если / — гомоморфизм G в G', то отношение f(x) = f(y) равно-
равносильно отношению 1{х~ху) = /(е); поэтому общая теорема о гомомор-
гомоморфизмах (§ 4, теорема 1) в соединении с установленной выше теоре-
теоремой 2 приводит к следующему результату:
Теорема 3. Пусть / — представление группы G в множество G',
наделенное внутренним законом композиции. Тогда / (G) есть груп-
группа (относительно закона, индуцированного из G') с нейтральным
-1
элементом е' = f (е). Прообраз Н — f (e') последнего есть нормальная
подгруппа группы G {называемая ядром представления /); группа
f(G) (называемая образом представления /) изоморфна фактор-
факторгруппе GIH, и представление f есть композиция канонического
гомоморфизма G на GUI и инъективного гомоморфизма GIH в G'.

¦t ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 93
Иными словами, каноническое разложение представления /
(Теор. мн., Рез., § 5, п° 3) дает: 1° канонический гомоморфизм
G на GIH; 2° изоморфизм GIH на f(G), называемый взаимно одно^
злачным представлением, ассоциированным с /; 3° каноническую
инъекцию /(G) в G' (ср. § 4, п° 4).
Следуя снова § 4, мы будем называть представление группы G
в себя эндоморфизмом группы G, и, как всегда, автоморфизмом
группы G будет изоморфизм G на себя. Композиция двух эндо-
эндоморфизмов группы G относительно закона fog есть снова эндомор-
эндоморфизм зтой группы; композиция двух автоморфизмов группы G
относительно того же закона, равно как и отображение, обратное
к автоморфизму, есть автоморфизм группы G.
Иными словами, автоморфизмы группы G образуют группу отно-
относительно закона fog (см. § 7).
Предложение 4. Каков бы ни был элемент х группы G, ее отобра-
отображение ах в себя, определяемое формулой ах (у) = хух, является
автоморфизмом этой группы.
Действительно, ах — эндоморфизм группы G, ибо
x-yz- х'1 = (хух'1) (xzx'1).
С другой стороны, так как отношение хух'1 = и равносильно отно-
отношению у — х'хих, то для каждого u?G существует, и притом един-
единственное, у такое, что ах(у) — и, иными словами, ах есть взаимно
однозначное отображение группы G на себя. Тем самым ах — ее
автоморфизм.
Автоморфизмы ах называются внутренними автоморфизмами
группы G.
При мультипликативной записи группы G иногда пишут
Vх = ax-i (у)=х'1ух.
Это обозначение оправдывается (по соглашениям § 5) тем, что отобра-
отображение (х, у) —у ух, рассматриваемое как внешний закон композиции
операторов х € G и элементов у ? G, дистрибутивно относительно
группового закона длн элементов у и ассоциативно относительно про-
противоположного закона для операторов х — свойства, выражаемые
тождествами

94 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § &
Однако мы будем пользоваться этим экспоненциальным обозна-
обозначением лишь когда опо не сможет вызвать недоразумений, и притом
каждый раз напоминая его смысл.
Очевидно, автоморфизм группы G, и в частности внутренний
автоморфизм, преобразует каждую ее подгруппу в изоморфную
подгруппу; определение 3 означает, что подгруппа группы G—
нормальная, если она преобразуется в себя каждым внутренним
автоморфизмом группы.
5. Произведения групп
Замечания, сделанные в п° 5 § 4, показывают, что произведе-
произведение групповых структур является групповой структурой, что
позволяет ввести следующее определение:
Определение 6. Произведением семейства групп (Gt)igi называ-
называется произведение G = J](?t семейства множеств (GJig/, наделенное
групповой структурой, определяемой законом, относящим любым
двум элементам х = (xt) и у = (yt) этого произведения элемент
Если Н^ — подгруппы (соответственно нормальные подгруппы)
групп Gt, то U #t, наделенное структурой, индуцированной изб,
есть подгруппа (соответственно нормальная подгруппа) груп-
группы G, изоморфная произведению групп Ht. В частности, пусть
/ С / и К = CJ; произведение Gj — [] Gt изоморфно нормальной
i?J
подгруппе G'j = { \] GA X ( П {ej) группы G и часто отождест-
вляется с ней посредством изоморфизма (называемого канониче-
каноническим), относящего каждому элементу (x^j^Gj элемент (i/t)igj 6 Gj
такой, что j/t = Xi для всех i g J и У\. = et для всех i (jj /. Проекция
prj группы Gu&Gj есть гомоморфизм G на Gj\ прообраз нейтраль-
нейтрального элемента группы Gj относительно этого гомоморфизма есть
не что иное, как G'K, так что Gj изоморфно GIG'k , a G — произве-
произведению G'jX(G/Gj). Из определения 6 следует, что если /г и /2 —
два непересекающихся подмножества множества /, то каждый
элемент из G}, перестановочен с каждым элементом из G'j2.

6 ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 95
Предложение 4 § 4 дает здесь следующее:
Предложение 5. Пусть Gl и G2—группы и Нг, Нг — их нор-
нормальные подгруппы. Каноническое отображение произведения фак-
факторгрупп {GJH^) х (G2/H2) на факторгруппу (Gx X G2)/(H1 X Н2)
есть изоморфизм.
Более общим образом, пусть (Gt)(,r/ — произвольное семейство
групп и (J= [jGt —его произведение; пусть, далее, Ht для каж-
дого i ? / — нормальная подгруппа группы Gb и Д ¦— канониче-
канонический гомоморфизм Gl na.Gl/Hl. Ясно, что отображение (а:,,)—^ (Л(аа))
группы G в группу G' = П GJHt есть сюръективный *) гомомор-
физм, ядром которого служит нормальная подгруппа Н=Т\Н1
/ l?l
группы G; поэтому заключаем (теорема 3), что GIH канонически
изоморфно G'.
Важным частным случаем произведения групп является груп-
группа, образованная всеми отображениями некоторого множества Е
в группу G, с композицией h=fg отображений / и g, определенной
условием, что h(x) = f (x) g (x) для всех х?Е; эта группа есть не что
иное, как произведение G групп G.
6. Прямое произведение подгрупп
Пусть 6г= [f Gt — произведение конечного семейства групп G-x;
согласно предыдущему, Gt изоморфно нормальной подгруппе
GJ = CjX [f {е;} группы G и при i Ф] каждый элемент из G[ пере-
становочен с каждым элементом из G\. Всякий элемент х =(а;4)?(?
представим в виде х = иги2 ... ип, где ut = (ui3) — элемент из G\
такой, что ин = хг и ui; = e3' для всех ) ф i; обратно, если
x = VyV2 . .. vn, где v^G'i A< t<n), и pri(yi) = i/i, то х=(уг),
откуда уг = хг и vi = ui; таким образом, элементы иг однозначно
определяются заданием х; при этом х есть также композиция
любой последовательности, получающейся из последовательности
(ui)i^i^n перестановкой членов (§ 1, теорема 3).
*) Сюръективное отображение — отображение на.— Перев.

Og АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § 6
Введем следующее определение:
Определении 7. Мультипликативная группа G называется пря-
прямым произведением конечного семейства (Н\) i^i^n своих различных
подгрупп, если при 1ф] каждыйэлемент из Нг перестановочен с каж-
каждым элементом из Hj и если каждое x?G представимо, притом
единственным способом, в виде х = иги2 ... ип, где их ? ff. A < i< n).
Элемент их называется компонентой х в Н^.
Таким образом, можно сказать, что каждое произведение
G = [] Gt конечного семейства групп есть прямое произведение
подгрупп GI, изоморфных (ri#
Обратно, допустим, что группа G есть прямое произведение
семейства (-fTJi^i^n своих подгрупп. Для каждого x?G отношение
х= и^и2...ип, гдем^ ? Нг A ¦< i< n), по предположению, однозначно
определяет элементы ut; положим ui = fi(x). Покажем, что Д —
гомоморфизм G на Нг. Действительно, так как fi(Hi) = Hi, то Д
отображает G на Нг. С другой стороны, если y?G,vi = fi(y),
y = v1vi ... vn, то условие перестановочности подгрупп Hi влечет
ху = (ujV^ (u2v2) . . . ( unvn); в самом деле, достаточно доказать
индукцией по р, что
(ujua ... ир) (vxv2 ... vp) = (мл) (u2v2) ... (upvp);
а это очевидно, если заметить, что, согласно предложению 2 § 1,
upVjV2 . .. vp_1=v1v2 . . . vp_jUp. Отсюда следует, что отображение
х—>(fi(x)) есть изоморфизм группы G на произведение групп
ff Пг, переводящий Нг в нормальную подгруппу Н\ этого про-
изведеиия, образованную теми и = (иг), в которых и^ = е при / Ф i.
Резюмируя, имеем:
Предложение 6. Если группа G есть прямое произведение конеч-
конечного семейства (HJi^i^n своих подгруппHt, то последние являются
ее нормальными подгруппами, и отображение, относящее каждому
элементу и — (иг) произведения [] Н-х групп Нг композицию
UjU2 . . . ип последовательности («4), есть (называемый канони-
каноническим) изоморфизм Yi Нг на G.

7 ГРУППЫ И-ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 97
Основываясь на этом изоморфизме, часто не делают различия
между понятиями произведения и прямого произведения конечного
семейства подгрупп заданной группы.
Если G — прямое произведение своих подгрупп Нг A< i< n),
то из указанного изоморфизма явствует, что
Обратно:
Предложение 7. Если (#i)i<ci^n—конечное семейство нормальных
подгрупп группы G, обладающее тем свойством, что
то НгНг ... Нпестъ нормальная подгруппа группы G, являющаяся
прямым произведением подгрупп Н\.
Применение индукции по п сразу сводит вопрос к доказатель-
доказательству предложения для п = 2. Покажем сначала, что любые два
элемента х?Ях и г/?Я2 перестановочны; действительно, так как
хух~ху~х — (хух'1) у'1 = х (ух'^'1), то (вследствие нормальности под-
подгрупп Нх и Я2) хух~1у~1? ЯХР1Я2, т. е., в силу предположения,
хух'1у~1 — е. Отсюда следует (согласно предложению 1), что НХН2
есть подгруппа группы G, и непосредственно проверяется, что эта
подгруппа — нормальная. Пусть, наконец, ху — х'у', где х?Ях,
z'^-tfi. 2/бЯ2,у'бЯ2; тогда х'~хх = у'у'1, значит, xx^ff1f\H2=
= {е}, х' —х, и так же г/' = г/. Тем самым ЯХЯ2 есть прямое произведе-
произведение подгрупп Ях и Я2.
Для аддитивных групп вместо «прямое произведение» употреб-
употребляют термин прямая сумма.
7. RojHJnymamtieiibie группы, моногепные группы
Определение 8. Группу называют коммутативной (или абеле-
вой), если ее закон композиции коммутативен.
Коммутативная группа будет часто записываться аддитивно,
а ее нейтральный элемент обозначаться тогда 0 (и называться
нулем).
В коммутативной группе каждый внутренний автоморфизм сво-
сводится к тождественному и, значит, всякая подгруппа нормальна.
7 Н. Бурбаки

gg АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § &
Всякая факторгруппа коммутативной группы коммутативна; вся-
всякое произведение коммутативных групп коммутативно.
Пусть G — произвольная группа и А — ее подмножество, эле-
элементы которого попарно перестановочны; в силу доказанного выше
предложения 2 и предложения 7 §2, подгруппа группы G, порожден-
порожденная множеством А, коммутативна.
Рассмотрим, в частности, тот случай, когда А сводится к одно-
одному элементу х; тогда подгруппа X, порожденная множеством А,
образована степенями хп, где п пробегает Z (предложение 2),
и всегда коммутативна; в силу тождества хт+п = хтхп, отобра-
отображение п—> хп есть гомоморфизм аддитивной группы Z на X;
следовательно (теорема 3), X изоморфна либо группе Z, либо ее
факторгруппе, т. е. (п° 3) аддитивной группе целых чисел по моду-
модулю а, где а > 0; в этом последнем случае X есть конечная группат
состоящая из а элементов.
Определение 9. Группа называется моногенной, если она поро-
порождается одним из своих элементов; конечная моногенная группа
называется также циклической группой.
Мы доказали следующее предложение:
Предложение 8. Моногенная группа коммутативна; если она
бесконечна, то она изоморфна аддитивной группе Z рациональных
целых чисел; если она — конечная группа порядка п, то она изо-
изоморфна аддитивной группе целых чисел по модулю п.
Если (.моногенная) подгруппа произвольной группы G, поро-
порожденная элементом x?G, имеет конечный порядок р, то х назы-
называют элементом р-го порядка; тем самым р есть наименьшее
целое число > 0, для которого хр=е; если подгруппа, порожденная
элементом х, бесконечна, то х называют элементом бесконечного-
порядка. Эти определения в соединении с предложением 3 влекут,
в частности, что в конечной группе G порядок каждого элемента есть
делитель порядка группы; в качестве следствия отсюда вытекает
Предложение 9. В конечной группе G п-го порядка хи — е для
каждого x?G.
Действительно, если р~~ порядок элемента х, то n = pq, где q—
целое, и потому хп = (xp)q = e.

Л ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 99
Н. Центр группы; коммутант
Предложение 10. Центр Z группы G есть ее коммутативная
подгруппа, преобразуемая каждым автоморфизмом группы С
в себя; каждая подгруппа центра Z есть нормальная подгруппа
группы G.
То, что Z — подгруппа группы G, вытекает из предложения
1 § 1 и предложения 6 § 2; то, что каждый автоморфизм группы G
преобразует эту подгруппу в себя, очевидно; наконец, так как
хух'1==у для каждого х? G и каждого y?Z, то всякая подгруппа
группы Z есть нормальная подгруппа группы G.
Если G коммутативна, то она совпадает со своим центром.
Для некоммутативной группы G центр может сводиться к одному
нейтральному элементу е (в частности, это имеет место в случае,
когда G простая).
Следует иметь в виду, что коммутативная подгруппа группы С
не обязательно содержится в центре этой группы; папример, если G —
некоммутативная простая группа, то моногепные группы, порожден-
порожденные элементами из G, коммутативны и не сводятся к е.
Выясним теперь, какому условию должна удовлетворять нор-
нормальная подгруппа Н группы G, чтобы факторгруппа G/H была
коммутативна. Каковы бы ни были х? G, y?G, мы должны иметь
ху = ух (mod Н) или, что равносильно этому, у~хх~гух = е (Н), т. е.
у'1х'1ух^Н. Элемент у~гх~хух называется коммутатором х и у
(и ипогда обозначается хоу); мы видим, таким образом, что Н
должно содержать множество коммутаторов всевозможных пар
(х, у) элементов из G, а следовательно, также порожденную им
подгруппу С группы G. Эта подгруппа С называется коммутантом
(или производной группой) группы G; очевидно, она преобразуется
в себя каждым автоморфизмом группы G и, в частности, является
нормальной подгруппой группы G; более общим образом, всякий
эндоморфизм ф группы G преобразует каждый коммутатор в ком-
коммутатор, так что (р(С)аС. Резюмируя, имеем:
Предложение 11. Для того чтобы факторгруппа GIH группы
G была коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы нор-
нормальная подгруппа Н группы G содержала коммутант С этой
группы.
7*

100 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
Если G коммутативна, то ее коммутант сводится к е; для неком-
некоммутативной группы коммутант может совпадать с G (что, например,
имеет место в случае, когда группа G простая).
Заметим, что множество всех коммутаторов группы G вообще
не совпадает с (порождаемым им) коммутантом: произведение двух
коммутаторов не есть вообще коммутатор.
9. Группы с операторами
Определение 10. Группой с операторами называют множество
G, наделенное алгебраической структурой, определяемой одним
(внутренним) групповым законом и одним или несколькими дистри-
дистрибутивными относительно него внешними законами композиции.
Иными словами, при мультипликативной записи группового
закона, для любого, оператора а любого внешнего закона J. группы
с операторами G имеет место тождество
а± (ху) = (а±х)(а±у).
В дальнейшем нам встретятся довольно разнообразные структуры
групп с операторами; каждый род их будет характеризоваться зада-
заданием соответствующих областей операторов и чаще всего — также
дополнительными условиями, наложенными на рассматриваемые за-
законы композиции.
В группе с операторами G каждый оператор порождает эндо-
эндоморфизм ее групповой структуры; задание каждого из внешних
законов, определяющих структуру группы с операторами, сво-
сводится к заданию семейства эндоморфизмов группы G; эти эндо-
эндоморфизмы будут часто называться гомотетиями группы с опера-
операторами G. В дальнейшем при мультипликативном обозначении
группового закона мы будем (согласно соглашениям § 5, п° 1)
пользоваться для гомотетий экспоненциальным обозначением,
т. е. записывать композицию оператора а и элемента x?G в виде
жа, так что дистрибутивность будет выражаться тождеством
(ху)а=хауа.
Группу с операторами G называют коммутативной, если ее
групповой закон коммутативен; при аддитивной записи этого
закона внешние законы обычно записываются в виде умножения
слева или справа (см. § 5, п° 1).

10 ГРУППЫ И" ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 101
На группе G всегда можно ввести внешний закон с областью
операторов, сводящейся к единственному элементу е, определяе-
определяемый условием Xs—х для всех x?G (иными словами, внешний
закон, единственный оператор которого является нейтральным).
Этот внешний закон и групповой закон определят в G структуру
группы с операторами; но она по сути ничем не отличается от
заданной в G структуры группы, поскольку все введенные в § 4
понятия, относящиеся к алгебраическим структурам (устойчивые
множества; отношения эквивалентности, согласующиеся со струк-
структурой; представления), для этих двух структур одинаковы. Тем
самым это позволяет рассматривать группы как частный случай
групп с операторами и применять псе формулируемые даль-
дальше результаты, относящиеся к группам с операторами, также
к группам.
В коммутативной группе G, записываемой, скажем, мульти-
мультипликативно, для всех ngZ имеет место тождество (ху)п=хпуп
(§ 1, формула (8)); следовательно, внешний закон композиции
(п, х) —^ хп целых чисел n ? Z и элементов х ? G в соединении с груп-
групповым законом определяет в G структуру группы с операторами;
и здесь по той же причине, что и выше, эта структура по сути
ничем не отличается от исходной групповой.
Более общим образом, структуру коммутативной группы с опе-
операторами не отличают от получаемой путем присоединения к опре-
определяющим ее законам еще внешнего закона (л, х) —> хп.
10. Устойчивые подгруппы групп с операторами
Пусть G — группа с операторами; для того чтобы структура,
индуцированная ее структурой в непустом множестве H(Z.G, была
структурой группы с операторами, очевидно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы Н было подгруппой группы G и чтобы эта подгруппа
была устойчивой относительно заданных на G внешних законов;
поэтому вводим следующее определение:
Определение 11. Устойчивой подгруппой группы с операторами
G называется подгруппа группы G, устойчивая относительно задан-
заданных на G внешних законов (т^-е. отображаемая заданными на G
гомотетиями в себя), наделенная структурой группы с операторами,
индуцированной из G.

102 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
G и {е} всегда являются устойчивыми подгруппами группы
с операторами G; коммутант группы G устойчив относительно лю-
любой структуры группы с операторами в G, имеющей тот же груп-
групповой закон; но центр группы G уже не обладает аналогичным
свойством. Пересечение любого семейства устойчивых подгрупп
группы с операторами G есть ее устойчивая подгруппа; наименьшая
устойчивая подгруппа, содержащая множество ZczG, называется
устойчивой подгруппой, порожденной этим множеством.
Замечания. 1) При рассмотрении группы как группы с one
раторами (а именно с единственным оператором е, определяемым
условием хе=х) понятие устойчивой подгруппы сливается с понятием
подгруппы. Точно так же, если С — коммутативная группа с опера-
операторами, понятие устойчивой подгруппы не изменится от присоеди-
присоединения к заданным внешним законам еще закона хп.
2) Нормальную подгруппу группы G можно определить также
как подгруппу, устойчивую относительно внешнего закона (s, х) -> s~xxs,
имеющего своей областью операторов С; этот закон в соеди-
соединении с заданным на G групповым законам индуцирует в каждой нор-
нормальной подгруппе группы С структуру группы с операторами, имею-
имеющей областью операторов G.
11. Факторгруппы групп с операторами
Теорема 1 распространяется на группы с операторами. Доста-
Достаточно сформулировать ее для отношения, согласующегося слева
с групповым законом:
Теорема 4. Если отношение эквивалентности R в группе с опе-
операторами G согласуется слева с групповым законом и согласуется
с внешними законами, заданными на G, то оно равносильно отноше-
отношению вида х'гу ? Н, где Н — устойчивая подгруппа группы G. Обрат-
Обратно, для любой устойчивой подгруппы Н отношение х'гу^Н есть
отношение эквивалентности, согласующееся слева с групповым за-
законом и согласующееся с заданными на G внешними законами.
Действительно, R равносильно отношению х~1у?Н, где Н —
класс е (modi?) и Я — подгруппа (теорема 1); так как для любого
оператора а отношение х = е влечет ха = еа=е, то НааН, т. е. И
устойчиво. Обратно, если Н — устойчивая подгруппа, то отноше-
отношение у ? хН влечет у°- б зЯ#а d xaH, так что отношение эквивалент-
эквивалентности х~1у ? Н согласуется с заданными на G внешними законами.

is ГРУППЫ И'ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 103
Теорема 2 непосредственно распространяется теперь на груп-
группы с операторами. То же для определения 4: если Н — устойчивая
нормальная подгруппа группы с операторами G, то фактормноже-
фактормножество множества G по отношению эквивалентности, определяемому
этой подгруппой Н, наделенное факторструктурой структуры
группы с операторами G по этому отношению, есть группа с опе-
операторами; она называется факторгруппой группы с операторами
G по Н и обозначается GIH.
12. Представления групп с операторами
Пусть G — группа с операторами; ее представление в G' можно
определить, если G' наделено алгебраической структурой, опре-
определяемой, с одной стороны, внутренним законом композиции и, с
другой, множеством внешних законов, поставленным во взаимно
однозначное соответствие с множеством внешних законов, задан-
заданных на G и имеющих каждый ту же область операторов, что и соот-
соответствующий закон на G (т. е. структурой, гомологичной структуре,
заданной в G (§ 4, п° 1)); отображение / группы с операторами
G в G' есть тогда представление (или гомоморфизм), если, каковы
бы ни были элементы x?G, y?G и оператор а на G, f(x)f(y)
и (f(x))a определены и
Отметим, в частности, что эндоморфизм группы с операторами
G есть не что иное, как эндоморфизм группы G, перестановочный
со всеми заданными на G гомотетиями.
Поскольку гомотетии группы с операторами G не обязательно
перестановочпы, гомотетия, вообще говоря, не является эндоморфизмом
структуры группы с операторами, заданной в G.
Теорема 3 сохраняется без существенных изменений и прини-
принимает следующий вид.
Теорема 5. Пусть f — представление группы с операторами G в
множество G', наделенное гомологичной структурой. Тогда f (G)
есть группа с операторами (относительно структуры, индуциро-
индуцированной из G') с нейтральным элементом е'=/(е). Прообраз
Н — f (e') последнего есть устойчивая нормальная подгруппа

104 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § б
группы G; группа с операторами f (G) изоморфна факторгруппе GlH,
и представление f есть композиция канонического гомоморфизма
G на GIH и инъективного гомоморфизма GIH в G'.
13. Подгруппы факторгруппы группы с операторами
Общие теоремы об изоморфизме (§ 4, теоремы 2 и 3), разумеется,
применимы также к группам с операторами (и тем более к группам);
они позволяют (используя также доказанную выше теорему 5)
охарактеризовать устойчивые подгруппы и факторгруппы лю-
любой факторгруппы заданной группы с операторами:
Теорема 6. Пусть G — группа с операторами, Н — ее устойчивая
нормальная подгруппа и f — канонический гомоморфизм G на
-1
а) Прообраз К= / (К') устойчивой подгруппы К' группы с опе-
операторами G' есть устойчивая подгруппа группы с операто-
операторами G, содержащая Н; при этом К' =/ (К) и К' изоморфна К/Н.
б) Отношение К= f (К') устанавливает взаимно однозначное
соответствие между устойчивыми подгруппами группы с операто-
операторами G' и устойчивыми подгруппами группы с операторами G,
содержащими Н.
в) Если К' — устойчивая нормальная подгруппа группы с опе-
операторами G', то K—f (К') есть устойчивая нормальная подгруппа
группы с операторами G, содержащая Н, и обратно; при этом
GIK изоморфно G4K'.
г) Если L — устойчивая подгруппа (соответственно устойчивая
нормальная подгруппа) группы с операторами G, то это же верно
и для LH = HL; Н[]Ь есть устойчивая нормальная подгруппа
группы с операторами L, и L/(Hf]L) изоморфно (НЬ)/Н.
Докажем сначала а); если К' — устойчивая подгруппа группы
с операторами G', то отношения f(x)?.K',f (у) ? К' влекут / {ху'1) —
— /(х) (/(у))'1 %-К.' и / ixa) = if (x))a€ К' для каждого заданного,
на G оператора а; значит, К= / (К') есть устойчивая подгруппа
группы с операторами G, очевидно содержащая Н; отображая G
на G', / отображает К на К', ив этих условиях группа с опе-
операторами К' изоморфна К/Н по теореме 5.

IS ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 105
Обратно, если К — устойчивая подгруппа группы с операто-
операторами G, содержащая Н, то К насыщена по отношению у?хН,
-г
значит, полагая K'—f{K), имеем K = f (К'), чем доказано б).
Докажем теперь г). Если L — устойчивая подгруппа группы
с операторами G, то сужение / на L есть представление L ъ G'\
согласно теореме 5, прообраз ^П-^ нейтрального элемента отно-
относительно этого представления есть устойчивая нормальная под-
подгруппа группы с операторами L, и /(L) изоморфно LI(H[\L)\
насыщение L по отношению у?хН дает множество HL = LH =
-г
= /(/(?)), являющееся поэтому устойчивой подгруппой группы
с операторами G; а вторая теорема об изоморфизме (§ 4, теорема 3)
показывает, что / (L) изоморфно (HL)IH. Легко проверяется, что
если подгруппа L нормальная, то это же верно и для HL.
Наконец, в) есть не что иное, как перевод первой теоремы об
изоморфизме (§4, теорема 2) на язык групп с операторами.
Для всякой устойчивой подгруппы KzdII группы с операторами
G обычно f{K) отождествляют с факторгруппой К/Н; утвержде-
утверждение в) теоремы 6 выражают тогда, говоря, что факторгруппа
(G/H)/(K/H) изоморфна GIK (для каждой устойчивой нормальной
подгруппы K~Z)H).
Замечание. То, что прообраз / (К1) подгруппы К' группы
С есть подгруппа группы G, вытекает из следующего более общего
предложения:
Для любых множеств А' а С и В' d G' имеем
Действительно, очевидно / (Л') / (В') d / (А'В'); с другой сто-
стороны, если г ^ / (А'В1), существуют х С / С<4') и у ? / (В') такие, что
-1 -1
/ (z) —/(*') f (y) — f (ХУ)> и значит, г ?хуН С / (А1) / (В'). Точпо так же,
отношение г?/ (А'~к) равносильно отношению f(z)(.A'~1, а значит
отношению f(z'1)?A' или г?/(Л'), и, наконец, — отношению
V
Следствие. Пусть f — представление группы с операторами
G в группу с операторами G', L — устойчивая подгруппа группы
-1
Q, К — устойчивая нормальная подгруппа группы L и Н — f (er).

106 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
Тогда КН, K(L\~\H) и f (К) — устойчивые нормальные подгруппы
соответственно групп с операторами LH, L и f (L), и факторгруп-
факторгруппы {LH)I{KH), L/(K(Lf\H)) и f{L)lf{K) изоморфны друг другу.
Действительно, пусть g — сужение / на L; g есть гомоморфизм
L на f(L) и g(K)=f(K), g (e')=L[~}H; поэтому (теорема 6)
g (/ (К)) = К (Lf)H) есть устойчивая нормальная подгруппа
группы с операторами L, и / (L)lf (К) изоморфно L/(K (Lf]H)).
С другой стороны, / (/ (?)) = LH, / (/ (К)) = КН; то же рассужде-
рассуждение применительно к сужению / на LH показывает, что КН нор-
нормальна в LH, a (LH)/(KH) изоморфна f(L)/f(K).
14. Теорема Жордана — Гёльдера
Одним из важных следствий теоремы 6 является теорема, из-
известная под названием теоремы Жордана — Гёльдера; она уста-
устанавливает свойство структуры некоторых групп (особенно конеч-
конечных), инвариантное относительно изоморфизма, и на этом основа-
основании играет фундаментальную роль в алгебре (см. особенно главы
II и VII).
Определение 12. Композиционным рядом группы с операторами
G будет называться конечный ряд (GJo^i^n ее устойчивых подгрупп,
имеющий своим первым членом G0 = G, последним членом Gn = {e}
и такой, что Gi+1, где 0<Сг</г — 1, — нормальная подгруппа группы
G{. Факторгруппы GJGitX называются факторами композиционного
ряда. Композиционный ряд 2' называется уплотнением компози-
композиционного ряда 2, если 2 есть подряд ряда 2'.
Композиционные ряды (С4)о^г^п и (Hj)o^j^,m групп с операторами
G и Н (имеющих гомологичные структуры) называются эквивалент-
эквивалентными, если т= п и существует взаимно однозначное отображение ср
интервала [0, п— 1]CZN на себя такое, что Gi/Gl+1 для каждого
t иЗОМОрфнО Яф(г)/ЯфA)+1.
Заметим, что подряд композиционного ряда (Gj), вообще говоря,
не есть композиционный ряд, ибо Су при />? + 1 вообще не есть нор-
нормальная подгруппа группы Gj.
Теорема 7 (Шрейер). Любые два композиционных ряда 2j, 22
группы с операторами G обладают эквивалентными уплотнениями

Ч ГРУППЫ И'ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 107
Пусть 21=(Gi)Os;^Tl и 22=(Я;.)о^,-^т — Два заданных композици-
композиционных ряда, состоящие соответственно из п-\-1 и ж + 1 членов;
мы покажем, что композиционный ряд 2^ можно образовать пу-
путем вставки между каждыми двумя подгруппами G% и (?i+], где
0 < г < и — 1, по иг — 1 подгрупп G\j A < / < т — 1) и композицион-
композиционный ряд 2j —путем вставки между каждыми двумя подгруппами
Я,- и Я;Ч1, где 0</< то— 1, по и—1 подгрупп Яд A< i<ra— 1);
.это даст два ряда из тп-\~\ подгрупп группы G; надлежащим
образом выбирая вставляемые подгруппы, мы получим эквива-
эквивалентные композиционные ряды.
Заметим, что G^Hj есть подгруппа и группы Gv и группы Я^,
поэтому (теорема 6) ?i+1 (Gif]H-) есть подгруппа группы Gt, содер-
содержащая <?i+1, и Я;+1 (^ПЯ^)—подгруппа группы Я^, содержащая
ffJ+]; если положить
Gii = 0^@^^) A</<т-1)
а
то Сч,я-1 будет подгруппой группы G,'j, Я;',{_|-1 —подгруппой
группы // j; при этом, в тех же обозначениях, G'ii о = С4, Gjm = Gi+1,
//j>0 =Hj, H'jn = Hj+1; поэтому доказываемая теорема будет непо-
непосредственно вытекать из следующей леммы:
Лемма (Цасенхауз). Пусть Н, К — устойчивые подгруппы
группы с операторами G и Я', К' — их устойчивые нормаль-
нормальные подгруппы. Тогда Н'(НГ\К') есть нормальная подгруппа
группы Н'{Н[\К), К'(К[]Н') — нормальная подгруппа группы
К'(К[]Н), причем факторгруппы
изоморфны.
Согласно теореме 6, примененной к группе Я, Н'[\К — Н'[\
Г) (Яр| К) есть нормальная подгруппа группы ЯП, К; точно так же
К'[)Н есть нормальная подгруппа группы К[)Н; поэтому (тео-
(теорема 6) (H'f]K) (K'f]H) есть нормальная подгруппа группы Н[)К.
Согласно следствию теоремы 6, примененному к группе Н,

108 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § <S
есть нормальная подгруппа группы Н'(Н[)К), а факторгруппа
(Н'{НГ\К))/(Н'(НГ\К')) изоморфна (Hf]K)/((H'[]K) (К'Г\Н)).
В эту последнюю факторгруппу Н и Н', с одной стороны, К и
К', с другой, входят симметрично; их перестановка приводит к
сформулированному результату, и лемма доказана.
Определение 13. РядомЖордана — Гёлъдера группы с операто-
операторами G будет называться ее строго убывающий композиционный
ряд 2, не обладающий никаким отличным от него строго убываю-
убывающим уплотнением.
Определение 14. Группа с операторами G называется простой,
если она не сводится к одному своему нейтральному элементу е и не
обладает никакой устойчивой нормальной подгруппой, отличной
от G и {е}.
Предложение 12. Для того чтобы строго убывающий компози-
композиционный ряд группы с операторами G был ее рядом Жордана —
Гёлъдера, необходимо и достаточно, чтобы все факторы этого
ряда были простыми.
Действительно, если строго убывающий композиционный
ряд 2 не есть ряд Жордана — Гёльдера, то он обладает отлич-
отличным от него строго убывающим уплотнением 2'. Значит, суще-
существуют два соседних члена Gt, Gl+1 ряда 2, не являющиеся
соседними в 2'; пусть Н — первый член, следующий за Gi в — ';
Н есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами
Gv содержащая Gi+1 и отличная от этой последней; поэтому HIGUI
есть устойчивая нормальная подгруппа группы с операторами
GJGi+1, отличная от этой последней и от нейтрального элемента;
тем самым GJGitl — не простая. Обратно, если 2 — строго убы-
убывающий композиционный ряд, имеющий не простой фактор Gi/Gi^1,
то этот фактор обладает устойчивой нормальной подгруп-
подгруппой, отличной от него самого и нейтрального элемента, и ее
прообраз Н в Gi будет устойчивой нормальной подгруппой
в G4, отличной от Gx и GU1 (теорема 6); тогда достаточно
вставить Н между С4 и Gi+1, чтобы получить строго убывающий
композиционный ряд, отличный от ряда 2 и являющийся его
уплотнением.

14: ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 109
Теорема 8 (Жордан — Гёльдер). Любые два ряда Жордана —
Гёльдера группы с операторами эквивалентны.
Пусть 21 и 22 — два ряда Жордана — Гёльдера группы с опе-
операторами G; применение теоремы 7 дает два эквивалентных ком-
композиционных ряда SJ и 2^, являющихся соответственно уплотне-
уплотнениями рядов 2г и 22; но так как эти последние — ряды Жордана—
Гёльдера, то 2j либо совпадает с 23, либо получается из 2Х повто-
повторением некоторых членов; поэтому ряд факторов для 2J получа-
получается из ряда факторов для 2, путем добавления некоторого числа
членов, изоморфных группе {е}; поскольку композиционный ряд
2Х строго убывающий, его ряд факторов получается тогда из ряда
факторов для 2^ путем удаления всех членов последнего, изоморф-
изоморфных {е}. И то же для 22 и 2^. Так как ряды факторов компози-
композиционных рядов 2J и 2j различаются (с точностью до изоморфиз-
изоморфизма) лишь порядком следования членов, то тогда то же верно для
рядов факторов композиционных рядов 2j и 22, и теорема дока-
доказана.
Следствие. Пусть G— группа с операторами, обладающая ря-
рядом Жордана — Гёльдера. Тогда любой ее строго убывающий ком-
композиционный ряд 2 допускает уплотнение, являющееся рядом Жор-
Жордана — Гёльдера.
Действительно, пусть 20 — ряд Жордана—Гёльдера группы
G; согласно теореме 7, 2 и 20 обладают эквивалентными друг
ДРУГУ уплотнениями 2' и 2^; рассуждение, проведенное при
доказательстве теоремы 8, показывает, что выбрасывание из 2'
повторяющихся членов дает ряд 2", эквивалентный 20, и тем са-
самым — ряд Жордана — Гёльдера, поскольку все его факторы
простые (предложение 12); при этом, поскольку ряд 2 строго
убывающий, 2" есть его уплотнение, и следствие доказано.
Замечание. Не всякая группа с операторами G обладает
рядом Жордана — Гёльдера. Примером может служить аддитивная
группа Z рациональных целых чисел: BnZ)n;; 0 есть бесконечный строго
убывающий ряд (нормальных) подгрупп группы 2;'каково бы ни было р,
р первых членов этого ряда вместе с группой {0} образуют строго
убывающий композиционный ряд; если бы Z обладала рядом Жордана-—
ГГльдера, он содержал бы, по следствию теоремы 8, не менее р+1
членов, что в силу произвольности р невозможно.

НО АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
Напротив, каждая конечная группа с операторами G обладает
рядом Жордана — Гельдера: достаточно применить индукцию по по-
порядку группы G и заметить, что среди устойчивых нормальных подгрупп
этой группы, отличных от нес, имеется максимальная Hlt фактор-
факторгруппа G/Hl по которой тем самым простая.
Схолия. Если группа с операторами G обладает рядом
Жордана — Гельдера, то число его факторов называют длиною
G; таким образом, простая группа есть группа длины 1. Если G и
G'—две изоморфные группы с операторами и G обладает рядом
Жордана — Гельдера, то это же верно для G' и ряды Жордана—
Гельдера для G и G' эквивалентны; в частности, длины G и G'
равны. Следует заметить, что длина ряда факторов ряда Жордана—
Гельдера группы G вообще не характеризует эту rpynnj' с точно-
точностью до изоморфизма (см. упражнение 1).
Замечание. Всё сказанное о произведениях групп и прямых
произведениях подгрупп (п°п° 5 и 6) непосредственно распростра-
распространяется на группы с операторами, если заменить всюду «группу»
на «группу с операторами», а «подгруппу» — на «устойчивую под-
подгруппу».
Упражнения. 1) Определить все групповые структуры
в множествах из п элементов, где 2 < п < 6 (см. § 2, упражнение 5).
Определить подгруппы и факторгруппы этих групп, а также их ряды
Жордана — Гельдера; показать, в частности, что существуют две
неизоморфные группы четвертого порядка, факторы рядов Жордана—
Гельдера которых изоморфны.
*2) а) Ассоциативный закон (х,у)—>ху на множестве ? является
групповым законом, если существует е С Е такое, что ex = х для всех
х € Е, и для всякого х ? Е существует х' ? Е такое, что х'х—е.
[Рассмотрев композицию х'хх', показать, что га'=е; вывести отсюда,
что е — нейтральный элемент.]
б) Показать справедливость того же результата, если все левые
переносы ух и хотя бы один правый перенос 6а являются отображе-
ааями Е на Е. [Воспользоваться предложением 4 § 2 для сведения
к а) или к упражнениям 11 и 13 § 2.]
3) Каждое непустое конечное устойчивое подмножество группы 6'
является ее подгруппой. [См. § 2, упражнение 8.]
4) Пусть А и В — подгруппы группы G.
а) Показать, что наименьшая подгруппа, содержащая А ж В
(т. е. подгруппа, порожденная множеством A (J В), совпадает с мно-
множеством композиций всевозможных последовательностей (^i)i<i<2n+i -
состоящих из (какого угодно) нечетного числа элементов и таких -
что Xj ? А для нечетного i и х-х 6 В для четного i.

ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 111
б) Для того чтобы А В было подгруппой группы G (в таком слу-
случае это будет подгруппа, порожденная множеством A \J В), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы А я В были перестановочны, т. е. АВ=ВА.
в) Если А и В перестановочны, то, какова бы ни была подгруппа
С группы G, содержащая А, А перестановочна cBf]CnA(Bf] C)=
5) Всякая подгруппа группы G, имеющая индекс 2, нормальна.
6) Пусть (Ga)—семейство нормальных подгрупп группы G такое, что
Q Ga={e}. Показать, что G изоморфна некоторой подгруппе произве-
a
дения [] (G/Ga) факторгрупп G/Ga.
а
7) Если группа G есть прямое произведение своих подгрупп А
и В, то каждая ее подгруппа Я, содержащая А, есть прямое произ-
произведение А и Я Г) В.
8) Пусть Я — нормальная подгруппа группы G. Для того чтобы
G была прямым произведением этой подгруппы Я и некоторой под-
подгруппы К, необходимо и достаточно, чтобы существовало представ-
представление / группы G на Н, при котором / (x)v=x для каждого х ?Н.
9) Пусть G — коммутативная группа я Н — ее подгруппа, для
которой G/H есть бесконечная моногенная группа. Показать, что G
изоморфна произведению HX(G/H). [Рассмотреть подгруппу, по-
порожденную элементом класса по Я, порождающего G/H.]
10) Пусть Н — нормальная подгруппа группы С, содержащаяся
в центре последней. Показать, что если факторгруппа G/H моно-
генна, то группа G коммутативна.
11) Если все элементы группы G, отличные от нейтрального,
имеют порядок 2, то G коммутативна; если G конечна, то ее порядок п
является тогда степенью двойки. [Индукцией по п.]
12) Пусть G — группа такая, что для некоторого целого п > 1
и всех x?G, ydG имеет место равенство (ху)п=^хпуп. Пусть G(n) означает
множество всех хп, где х пробегает G. а G(n) — множество тех х ? G,
для которых хп = е. Показать, что G(n) и G(n,— нормалыше подгруппы
группы G; если G конечна, то порядок G<n) равен индексу G(n).
13) Пусть А — непустое множество элементов группы G; его
нормализатором называют множество iV тех х ? G, для которых
хАх х=у4, а централизатором — множество К тех х ? G, для кото-
которых хах'1=а, каково бы пи было a ?A. Показать, чтоЛ' — подгруппа
группы G, а К — нормальная подгруппа группы Л7. Нормализатор TV
подгруппы А группы G есть наибольшая из подгрупп Я этой группы,
имеющих А своей нормальной подгруппой.
14) Обозначая через D (G) коммутант, или производную группу,
группы G, можно определить по индукции А-ю производную группу
Dh(G) последней как коммутант D (Dh'x (G)) группы Dk~x(G). Пока-
Показать, что Dh (G) есть подгруппа группы G, обладающая тем свойством,
что для всякого эндоморфизма <р последней ф (Dk (G)) CZ Dk (G).

112 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § <>
Для всякой подгруппы Н группы С имеем Dh (Н) с Dh(G); если Н
нормальна, то Dk (G/H) изоморфна (#?>ft (G))IH.
Группу G называют разрешимой (или метабелееой), если она
обладает композиционным рядом (G{), все факторы которого Cj/Gi*]
коммутативны. Показать, что для того, чтобы С была разрешимой,
необходимо и достаточно, чтобы существовало целое к такое, что
Dk (G)=-\e). Вывести отсюда, что каждая подгруппа и каждая фактор-
факторгруппа разрешимой группы разрешимы.
*15) Пусть я — некоторое множество устойчивых подгрупп
группы с операторами С; говорят, что $у удовлетворяет условию ма-
максимальности (соответственно условию минимальности), если каждое
его подмножество, упорядоченное по включению, обладает макси-
максимальным (соответственно минимальным) элементом.
Предположим, что множество всех устойчивых подгрупп группы
с операторами G удовлетворяет условию минимальности.
а) Доказать, что никакая устойчивая подгруппа группы G, отлич-
отличная от С, не изоморфна С. [Рассуждая от противного, показать, что
из существования такой подгруппы следовало бы, что G обладает
бесконечным строго убывающим рядом устойчивых подгрупп.]
б) Назовем минимальные элементы множества всех устойчивых
нормальных подгрупп группы С, не сводящихся к е, ее минимальными
нормальными подгруппами. Пусть Ш — некоторое множество мини-
минимальных нормальных подгрупп группы G и S — наименьшая ее устой-
устойчивая подгруппа, содержащая все подгруппы, принадлежащие 5W;
показать, что? естьпрямоепроизведение конечного числа минимальных
нормальных подгрупп группы С. [Пусть (Мп) — последовательность ми-
минимальных нормальных подгрупп группы С, принадлежащих ЧЯ, такая,
что Mnil не содержится в устойчивой подгруппе, порожденной объеди-
объединением подгрупп Ми М2,..., Мп\ пусть S& — устойчивая подгруппа,
порожденная объединением всех Мп с индексами п > к; показать,
что с некоторого места S^ti^'Sh и> следовательно, последовательность
(Л/п) конечна; затем применить предложение 7.]
в) Если G — группа без операторов, то каждая ее минимальная
нормальная подгруппа М является прямым произведением конечного
числа изоморфных друг другу простых подгрупп. [Пусть N — мипи-
мальная нормальная подгруппа группы М; показать, что М — наи-
наименьшая подгруппа группы G, содержащая все аЛ'а, где а пробегает
С, и применить б) к группе М.]
16) Если множество всех устойчивых подгрупп группы с опера-
операторами G удовлетворяет условию максимальности или минимальности
(упражнение 15), то С обладает рядом Жордана — Гельдера. [Рас-
[Рассмотреть для подгруппы Н группы G максимальный элемент множе-
множества всех устойчивых нормальных подгрупп группы//, отличных от Н.]
*17) Пусть G — группа с операторами; ее композиционный ряд
(Gi) назовем нормальным, если все G4 — устойчивые нормальные под-

14: ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ ИЗ
группы группы G; главным рядом называется строго убывающий нор-
нормальный ряд, не обладающий никаким отличпым от него строго убы-
убывающим нормальным уплотнением.
а) Показать, что любые два нормальных ряда (Gj) и (IIj) группы G
обладают эквивалентными нормальными уплотнениями. [Применить
теорему Шрейера, рассматривая надлежащую область операторов
на G.] Дать второе доказательство этого предложения, «вставляя»
в ряды (С4) и (Hj) соответственно подгруппы Gi;=GiH(Gi).1//;)
us Н'ц=Н^(Н^уСг).
б) Если G обладает главным рядом, то любые два ее главных
ряда эквивалентны; для каждого строго убывающего нормального,
ряда 2 существует главный ряд, являющийся его уплотнением
Вывести отсюда, что для того, чтобы G обладала главным рядом, необ-
необходимо и достаточно, чтобы множество всех ее устойчивых нормальных
подгрупп удовлетворяло условиям максимальности и минимальности.
в) Если G — группа без операторов, обладающая главным рядом
(Gj), и множество всех ее подгрупп удовлетворяет условию минималь-
минимальности, то каждая факторгруппа Gi/Gi+x есть прямое произведение
конечного числа своих простых подгрупп. [См. упражнение 15.]
*18) Пусть (//L) — произвольное семейство устойчивых подгрупп
группы с операторами G; G по-прежнему называют прямым произве-
произведением этого семейства, если: 1° при 1фк каждый элемент из Hi
перестановочен с каждым элементом из Яи; 2° каково бы ни было
x?G, для всякого i существует однозначно определенный элемент х1 ? Н
такой, что х^=е для всех индексов i, кроме конечного их числа i,, i2,...,in,
и x = xl xv ¦ ¦¦xl . G называется вполне приводимой, если она является
прямым произведением семейства своих простых подгрупп.
а) Показать, что если G есть прямое произведение семейства
своих подгрупп (Нь), то она изоморфна подгруппе их произведения
Д^ГТй^ притом отличной от Н, если семейство (HJ бесконечно;
вывести отсюда, что //L — нормальные подгруппы группы G.
б) Пусть G — группа с операторами, порождаемая объединением
семейства (Яl)l ? Г своих простых устойчивых нормальных подгрупп,
а К — устойчивая нормальная подгруппа. Показать, что G есть пря-
прямое произведение К и некоторого подсемейства (#\)l?j- [Рассмотреть
множества LC I, обладающие тем свойством, что устойчивая под-
подгруппа, порожденная объединением К и подсемейства (Hl)l ? L,
является прямым произведением К и этого подсемейства; взять
в множестве этих множеств L максимальный элемент.]
в) Если вполне приводимая группа является прямым произве-
произведением двух конечных семейств (Hi)irj и (H')rj своих простых
8 Н. Бурбани

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
подгрупп, то существует взаимно однозначное отображение ф мно-
множества / на / такое, что Н'^ (i) изоморфна Hi для каждого i € /.
19) Пусть L — свободный моноид (§ 1, п°3), порожденный ней-
нейтральным элементом е и двумя семействами (xh), (yL) с одинаковым
множеством индексов. Показать, что его фактормножество, получен-
полученное путем отождествления всех композиций х1у1 и 3/LxL с е [§ 4, упраж-
упражнение 2в], есть группа, порожденная семейством (xt); опа называется
свободной группой, порожденной этим семейством. Показать, что вся-
всякая группа G, порожденная семейством (аь) своих элементов, изоморфна
факторгруппе свободной группы С, порожденной этим семейством;
эта факторгруппа всегда может рассматриваться как получепная путем
отождествления каждого элемента некоторого семейства (х}) элементов
из С с соответствующим элементом второго такого семейства (у})
(имеющего то же множество индексов) [см. § 4, упражнение 2в]; гово-
говорят, что G есть группа, порожденная образующими at, подчиненными
определяющим соотношениям х^=у^.
*20) а) Пусть G — конечная группа порядка тп, обладающая
циклической нормальпой подгруппой Н порядка т, факторгруппа
G/H по которой — циклическая (порядка п). Показать, что G порож-
порождается двумя элементами а, Ь, удовлетворяющими условиям ат—е,
Ьп=аг, 6а6~1 = а'5, где г и s — целые такие, что г (s— 1) и sn — 1
кратны т. [Взять за а элемент, порождающий //, и за 6 — элемент
класса, порождающего G/H; выразить элементы b''ahb'!> через степе-
степени а и применить это, в частности, к случаям h—n, /c=l и й=1, к—г.]
б) Обратно, пусть G (га, га, г, s) — группа, порожденная двумя
образующими а, Ь, подчиненными определяющим соотношениям
ат=е, Ьп=аТ, bab~l=as, где тип — целые числа > 0, а г и s — любые
целые числа. Показать, что если т, r(s — 1) и sn — 1 не все равны нулю,
то G(m, n, r, s) — конечная группа порядка qn, где q— наибольший
общий делитель чисел т, \r(s — 1) | и \ sn — 1 |; ее подгруппа //,
порожденнаая элементом а, есть нормальная подгруппа порядка </,
a G/H — циклическая группа порядка п. [Доказать, что каждый
элемент группы С(га, п, г, s) может быть записан в виде ахЬУ, где х
и у — целые, удовлетворяющие неравенствам 0 <; а; <! ? — 1, 0.-...
< у <я — 1, и что G (га, и, г, s) изоморфна группе, образованной парами
(х, у) таких целых чисел, с законом композиции
(х у) (х' v'\= \{x + x'sV> У + У'), если з/-|-г/'<п—1,
К'У1'К 'У> \(x+x'sv + ry + y'-n), вслиу+у'>п,
где первые координаты в правой части — суммы по модулю д.] Иссле-
Исследовать случай m=r (s — l)=sn — 1=0.
G (n, 2, 0, —1) называется диэдралъной группой порядка 'in
и обозначается S2n; GD, 2, 2, —1) есть группа восьмого порядка,

ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 115
называемая кеатернионной группой и обозначаемая С Показать, что
в G каждая подгруппа нормальна и что пересечение ее подгрупп,
отличных от \е\, есть подгруппа, отличная от >,е\. Доказать, что ©8
не изоморфна С.
*21) Пусть Е — мультипликативно записываемая неассоциатив-
неассоциативная квазигруппа (§ 5, упражнение 5), обладающая идемпотентом е
и такая, что (ху) (zl) = (xz) (yt), каковыбьпш были х, у, г, t. Обозначим
через и (х) элемент плЕ, для которого и(х)е=х, и через v (се) — эле-
элемент, для которого ev (х)—х. Показать, что закон композиции (х, у) — >
- ¦ и(х)и(у) есть коммутативный групповой законн&Е, для которого е
служит нейтральным элементом, что отображения х - - хе и у —> еу —
перестановочные эндоморфизмы этой групповой структуры и что ху=
= и(хе) v(ey). [Вначале установить тождества е (ху)-=(ех) (еу), (ху) е=
= (ссе) (уе), е(хе) = (сх)е\ далеепринятьвовнимание, что отношения се—у,
ех=су и хе-=уе эквивалентны.] Обращение.
*22) Рассмотрим на множестве Е мультипликативно записывае-
записываемый не всюду определенный внутренний закон, удовлетворяющий сле-
следующим условиям: 1° если одна из композиций (xy)z, x (yz) опреде-
определена, то определена и другая и они равны (см. § 1, упражнение 3);
2° если х, х', у таковы, что ху и х'у (или ух и ух') определены и равны,
то х~х'\ 3° для каждого x(JL существуют такие три элемента ех, е'х
и се, что ехх=х, хе'х = х и х~1х~е'х; будет? называть ех левой единицей
для се, е'х — правой единицей для х, и ^"^(допуская вольность речи) —
элементом, обратным к се.
а) Показать, что композиции хх'1, х~1ех, е'хх'1, ехех, е'хех опре-
определены н хх~х — ех, х~1ех=е'хх~1=х !, ехех — ех, е'хе'х—е'х.
б) Каждый пдемпотент е в Е (§ 1, п° 4) является левой единицей
для всех тех х, для которых ех определено, и правой единицей для всех
тех у, для которых уе определено.
в) Для того чтобы была определена композиция ху, необходимо
и достаточно, чтобы левая единица для у совпадала с правой единицей
для х. [При доказательстве достаточности условия воспользоваться
соотношением еа=уу'1.] Если xy=z, то cez=i/, zy~*=x, y'1x~1=z~i,
2,'хх=у'х, yz~1=x~l (композиции, стоящие в левых частях, опре-
определены).
г) Для любых двух идемпотентов е, е' из Е обозначим через Ge e,
множество тех х ? Е, для которых е служит левой, а е' — правой
единицей. Показать, что Ge e есть группа относительно индуциро-
индуцированного из Е закона.
Е называется группоидом, если ояо удовлетворяет еще следующему
условию:
4° каковы бы ни были идемпотенты е, е', множество Ge e, не пусто.
д) Пусть Е — группоид и a?Ge е,. Показать, что х —-» сея —
взаимно одпозначное отображение Ge е на Ge е,, у — :• ау — взаимно
8*

116 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 6
однозначное отображение Ge.e, на Gee, н х —> а~1ха — изоморфизм
группы Ge e на группу Ge, e,.
е) Показать, что закон, определенный в упражнении 46 § 1,
в случае, когда все множества семейства % равномощны, определяет
в множестве "V структуру группоида.
23) а) Введем на произведении ЕХЕ, где Е — произвольное
множество, мультипликативно записываемый не всюду определен-
определенный закон, для которого композиция (х, у) и (у', z) определена лишь
если у'—у, и имеет в этом случае значение (х, z). Показать, что ЕХЕ,
наделенное этим законом композиции, есть группоид (упражнение 22).
б) Пусть (х, у) = (х', у') (R) — отношение эквивалентности, со-
согласующееся с законом композиции, указанным в а) (т. е. такое, что
из (х, у) = (х', у') и (у, z) = (у', z') следует (х, z) s= (xr, z'));
пусть R удовлетворяет, кроме того, следующему условию: каковы бы
ни были х, у, z, существует, и притом только одно, t ? Е такое, что
(х, у) = (z, г), и существует и ? Е такое, что (х, у) е= (и, z). Показать,
что в этих условиях факторструктура структуры группоида в ЕХЕ
по R есть структура группы. [Доказать спачала, что факторзакон
всюду определен; затем, что если классы х, у, z удовлетворяют равен-
равенству xy-=xz, то 2/=z; наконец, что (х, х) = (у, у), каковы бы ни были
х е Е, у ? Е.)
в) Пусть G — группа, полученная в результате наделения фактор-
фактормножества ЕХЕ по R указанной структурой. Пусть, далее, а — про-
произвольный элемент из Е и /0 (х) для каждого х ? Е означает класс
(а, х) mod R. Показать, что /а — взаимно однозначное отображение Е
на G и что отношение (х, у) ^ (х', у') эквивалентно отпошению
L (*) (fa (x'))-l=fx(y) (fa (y'))-K
Для коммз'тативности группы G необходимо и достаточно, чтобы
(х, у) = (х1, у') влекло (х, х') ее (у, у').
*24) Пусть Е — множество и /— отображение Ет в Е, записы-
записываемое в виде /(*!, ..., хт)=Хх ... хт и удовлетворяющее следующим
условиям:
1° имеет место тождество
{х1 ... Xm)xmtl ..
2° каковы бы ни были ац а2, ..., am_n
х—>ха1аг ...ат_и
х-^ах... агхаи1 ... am_, (I < i < то — 2),
— взаимно однозначные отображения Е на Е.
а) Показать, что для всех индексов i таких, что 1 <J i <J m — 1,
имеет место тождество

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 117
[Провести индукцию по i, введя в рассмотрение элемент
@*1 ••• хт) xmil ... хш_д ахаг ... о^.]
б) Каковы бы ни были аи аг, ..., ат_г, существует и?Е такое, что
х = ха1а2 ... am_iu = ua1a2 ... ат_2х
тождественно относительно х. [Рассуждать, как в предложении 4 § 2.]
в) Рассмотреть в множестве Е^ всех последовательностей (щ,
и2, ..., щ) по к элементов из Е A <; А: <; m — 1) следующее отно-
отношение эквивалентности R}L: каковы бы ни были xlt ..., хт_}1,
...xm_h;
обозначим фактормножество E^/R^ через Е^ и «сумму» множеств
Е1=Е, Ег, ..., Ет_х (Теор. мн., Рез., § 4, п° 5) — через С. Пусть
a?Eit р ? Ер для любой последовательности («lt щ, ..., uj) класса а
и любой последовательности (уь у2, ..., у;) класса р рассмотрим
последовательность
из Ег*>, если i+/<^m, и последовательность
из jBi+j--*-!, если ?+/> m. Показать, что класс этой последователь-
последовательности в Ei+j (соответственно Eit}_m+i) зависит только"~от классов а
и р; обозначим его ар. Показать, что этим определен на G групповой
закон, что Н=Ет_1 — пормальная подгруппа группы G и что G/H
есть циклическая группа порядка т — 1; доказать, наконец, что Е
совпадает с классом по //, порождающим G/Я, и что х^х2 ... хт есть
не что иное, как композиция последовательности (xlt хг,...,хт)
в группе G.
§ 7. Группы преобразований
I. Труппы преобразовании
Как мы уже отмечали (§ 6, п° 1), множество всех взаимно одно-
однозначных отображений множества Е на себя образует группу отно-
относительно закона композиции fog; эта группа обозначается 2>е и назы-
называется симметрической группой (или группой всех подстановок) мно-
множества Е. Если Е и Е' — равномощные множества, ф— взаимно
однозначное отображение Е на Е' и ф — отображение, обратное q>,
то отображение /—>q)o/oaj3 есть изоморфизм симметрической
группы Зе на симметрическую группу @в'.
Симметрическую группу интервала [1, п] множества N нату-
натуральных чисел обозначают <В„ ; это — конечная группа порядка и!;

118 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
симметрическая группа любого множества, состоящего из п эле-
элементов, изоморфна <Вп.
Определение 1. Подгруппы симметрической группы @в назы-
называются группами подстановок, или преобразований, множества Е.
Чаще всего употребление терминов «группа подстановок» и «сим-
«симметрическая группа» ограничивают тем случаем, когда Е копечно;
гсаждая группа подстановок множества Е тогда конечна. Группы
подстановок множества Е, состоящего из п элементов, называются
группами подстановок степени п.
Примеры. 1) Знакопеременная группа. Поло-
Положим Fn = [j (/— i) и образуем для каждой подстановки я ? 6П
произведение я (Fn)= j^J (я (/)- я (i)). Обозначая через v число
тех пар (i, /), для которых 1 <; i< /<; п и я (/) > я (/) (называемое
числом инверсий подстановки я), имеем я (FT!) = eJtFn, где вя=( — l)v-
Каково бы ни было отображение / N в N °(или, более общим образом,
в коммутативное кольцоH, имеет место
J]. (/(* (/))-/(«('))) = ея П (/(/)-/(О)-
Число ея пазывается сигнатурой подстановки я; подстановку я
называют четной пли нечетной соответственно тому, будет ли ея
равно -(-1 или —1. Тождественная подстановка <о (нейтральный
элемент группы <2„) — четная. Транспозицией двух натуральных
чисел i, /, удовлетворяющих неравенствам 1 <л</<! п, назы-
называется подстановка т ? <5П такая, что т(г)=/, т (/)=¦ i ит(/г):=Лдля
всех h, отличных от i и /; транспозиция — нечетная подстановка.
Если я и Q— подстановки из <Вп и а = щ, то
откуда вытекает соотношение
показывающее, что отображение я —>¦ ея есть представление <5п
на мультипликативную группу, образованную числами +1 и —!•
Множество всех четных подстановок пз ^те , будучи прообразом ~\-1
при этом представленпи, является нормальной подгруппой индекса 2
п\ .
(и следовательно, порядка -^-) группы 6П; эта подгруппа называется
знакопеременной группой степени п и обозначается 2{„.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 119
Обозначим через т^, где 1 <; г << и — 1, транспозицию, меняющую
местами i и i-\-i и оставляющую все остальные целые из интервала
[l|i] на месте. Группа @п порождается транспозициями Tj. Чтобы
убедиться в этом, применим индукцию по п. Для и = 1 предложение
очевидно. Пусть п—любая подстановка из ©п и я(п)=/с; если
к=п, то я принадлежит подгруппе в ©„, образованной подстанов-
подстановками, оставляющими п на месте; эта подгруппа отождествима с @n_i,
так что к ней применимо предположение индукции. Если же к<С.п,
положим
По определению транспозиций, тогда л' (п) = п, л мы приходим к пре-
предыдущему случаю.
2) Группы переносов произвольной группы.
Левые переносы ух группы G (§ 2, п° 2) являются ее подстановками
(§ 2, предложение 3); множество Г всех этих переносов есть группа
подстановок группы G, изоморфная G. Действительно, отображение
х —>¦ ух группы G на Г есть представление (§ 2, предложение 1),
и оно взаимно однозначно, ибо отпошение Yx:=Yy влечет хе=уе,
т. е. х = у.
Так же устанавливается, что множество Д всех правых перено-
переносов группы G есть группа ее подстановок, изоморфная группе, про^-
тивоположной G, а значит, и самой группе G.
°3) Движения образуют группу преобразований евклидова
пространства; параллельные переносы образуют ее подгруппу,
и то же верно для вращений вокруг фиксированной точки (см.
главу IX).о
2. Представления группы в группу преобразований
Если ф — инъективный гомоморфизм группы G в симметри-
симметрическую группу <Зе множества Е, то ф (G) называется реализацией
группы G в виде группы преобразований множества Е.
Всякая группа G допускает реализации в виде групп преобра-
преобразований, а именно групп ее переносов.
Более общим образом, рассмотрим представление группы G
в симметрическую группу <&е множества Е и обозначим через /„
подстановку множества Е, относимую элементу <z?G этим пред-
представлением; образ Г группы G при представлении а —> /а есть группа
преобразований множества' Е? изоморфная факторгруппе G!K
группы G по ее нормальной подгруппе К, образованной теми
элементами a?G, для которых /„—тождественная подстановка
(§6, теорема 3).

120 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
Таким образом, можно сказать, что Г есть реализация GIK
в виде группы преобразований.
Представление а—»/а определяет на множестве Е внешний
закон композиции операторов а? G и элементов х?Е, при котором
композицией а и х служит fa(x) (см. §3,п°1); этот закон удовлетво-
удовлетворяет следующим двум условиям: а) он ассоциативен относительно
закона группы G (§ 5, п° 2), поскольку /а0/р = /ар; б) нейтральный
элемент е группы G является нейтральным оператором рассматри-
рассматриваемого внешнего закона, поскольку /Е есть тождественная подста-
подстановка множества Е.
В частности, задание любой группы преобразований Г множества Е
определяет на Е внешний закон, удовлетворяющий указанным усло-
условиям, при котором композицией оператора о(Г и элемента х?Е
служит о (х).
Покажем, что условия а) и б) характеризуют внешние законы,
полученные описанным способом, а именно:
Предложение 1. Пусть Е — множество, наделенное внешним
законом композиции (а, х)—>ах, имеющим своей областью опера-
операторов группу G и удовлетворяющим следующим условиям:
а) этот внешний закон ассоциативен относительно закона
группы G (иными словами, при мультипликативной записи группы
G, а{$х)={а$)х, каковы бы ни были а, р, х);
б) нейтральный элемент г группы G есть нейтральный опера-
оператор внешнего закона (иными словами, гх = х для всех х?Е).
При этих условиях отображение fa, порождаемое каждым <x?G,
является подстановкой множества Е, а отображение а—>fa
есть представление G в симметрическую группу ®?.
В самом деле, у = ах влечет а'1у = а'1(ах) = (а'1а)х = гх — х,
и обратно, так что х—>ах действительно есть подстановка множе-
множества Е; вторая же часть предложения вытекает из ассоциативности
внешнего закона относительно закона группы.
Множество Е, наделенное структурой, определяемой внешним
законом, удовлетворяющим условиям предложения 1, называют
для краткости множество!!, наделенным группой операторов G;
говорят также, что в множестве Е действует группа G.

3 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 121
3. Ратрост ранения группы преобразований
Важный пример представлений группы на группу преобразо-
преобразований доставляют распространения групп преобразований. Если
заданы (скажем) три множества Flt F2, F3, их подстановки
/i'/г'/з и множество М шкалы множеств (Теор. мн., Рез., § 8), имею-
имеющей в качестве базы множества Fx, F2, Fs, то можно, следуя шаг за
шагом по шкале, определить подстановку множества Л/, называеА1ую
распространением /х, /2, /3 на М; будем обозначать ее ц>ы (Д, /2,/3).
Напомним вкратце, как строится это определение. Следует раз-
различать два случая:
1° М= <|J (?), где L — множество шкалы, для которого ф^ (Л, /2, /з)
уже определено; тогда Фл/(/и /г. /з) есть не чт° иное, как распростра-
распространение ф^ (/!,/2, /з) на множество подмножеств (Теор. мн., Рез., §2,п° 9);
2°M=PxQ, где Р и Q—множества шкалы, для которых
фр (/i./г. /з) и Фо (Л, /2, /3) уже определены; тогда фМ(/,, /2, /3) есть рас-
распространение этих отображений на произведения множеств (Теор. мн.,
Рез., § 3, п° 14).
Если gr1, g2, g3>— еще три подстановки соответственно множеств
^i, F2, F3, то, как непосредственно следует из предыдущего опре-
определения,
Фм(/i"gi'fs"82> /з°ёз) = ФмC/i' /2. /з)°ФМ(й. ?2. ?з);
иными словами, фм есть представление группы @р,х8р2Х<&г
в группу ©м. Если Гх, Г2, Г3 —группы преобразований соответ-
соответственно множеств F}, F%, F3, то сужение ц>м на группу ГххГахГ3
называется каноническим представлением этой группы в <&>м; образ
группы rjXr2xrs при этом представлении называется распро-
распространением этой группы на множество М.
Пусть теперь G — произвольная группа и /г4 —ее представ-
представление в группу Ti преобразований множества Fi (i = l, 2, 3);
положив для каждого а б G ом = фм (Лх (а), А2 (о), /г3 (а)), мы полу-
получим представление а—> ам группы G в @м, называемое распростра-
распространением представлений Ах, й2, й3 на множество М.
В частности, если за G принята группа Г, преобразований мно-
множества Fn за h1 — тождественное отображение Г1 на себя, а за Л2
и h3— постоянные отображения Ft на группы Г2 и Г3, сводящиеся
к тождественным подстановкам соответственно множеств F2 и F3,.
распространение этих представлений на М по-прежнему называется

122 АЛГЕБРАИЧКСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
каноническим представлением 1\ в <2у! легко видеть (идя шаг за шагом
по шкале), что это — ипъективный гомоморфизм Г\ в ©з/,если только М
не принадлежит шкале, имеющей в качестве базы одни множества Рг, F3.
Может оказаться, что .множество РаМ таково, что сужение ам
на Р есть подстановка этого Р для каждого o?G; обозначив
эту подстановку ар, мы будем иметь тогда представление а—^аР
группы G в Зр, по-прежнему называемое распространением пред-
представлений hx, h%, h3 на P.
Важный пример этого имеем, когда М—множество всех под-
подмножеств произведения KxL множеств К и L шкалы, а Р — мно-
множество всех отображений К в L, отождествимое с подмножеством
множества М, образованным графиками этих отображений (Теор.
мн., Рез., § 3, п° 5); элемент множества М, относимый представле-
представлением ам графику отображения w множества К в L, будет графиком
отображения aK(z)-^aL(w(z)).
4. Инварианты группы операторов. Группы авто-
автоморфизмов
Определение 2. Пусть Е —множество, наделенное группой
операторов G. Говорят, что элемент х?Е есть инвариант груп-
группы G (или что х инвариантен относительно G, или что G остав-
оставляет х инвариантным), если х инвариантен относительно всех опе-
операторов группы G (иными словами, если ах = х для каждого а? (?)•
Задание представления / группы G на группу Г преобразова-
преобразовании множества Е превращает G в группу операторов на Е (п° 2);
инвариант этой группы операторов называется также инвариан-
инвариантом группы G относительно представления f.
Более общим образом, пусть, скажем, F±, F2, F3 — три множе-
множества, Г4 (?=1,2,3) — группа преобразований множества Fi,hi —
представление G на Тг и! — множество шкалы, имеющей в каче-
качестве базы множества Flt F2, F3 (или инвариантное подмножество
множества этой шкалы). Если а—> ом — распространение представ-
представлений hx, h2, h3 на М (п° 3), инвариант группы G относительно этого
представления называют (допуская вольность речи) ее инвариан-
инвариантом относительно представлений Ах, /г2, h3.
Важным частным случаем этого понятия является, понятие
инвариантного отображения относительно группы G. Пусть К

4: ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 123
и i — два множества шкалы, имеющей в качестве базы множе-
множества Рг, F2, F3; отображение w множества К в L называют инвари-
антным относительно G, если oL(w(z)) = w(oK(z)) для всех z?K
и а б G. В этом случае говорят также, что w (z) есть ковариант эле-
элемента z (относительно группы G и представлений 1гл, h2, h3).
Рассматривая группу преобразований 1\ множества Ft и говоря,
без дальнейших уточнений, о ее инварианте в множестве М шкалы,
имеющей в качестве базы множества /\ и, скажем, F2, F3, имеют в виду
инвариант группы Т1 относительно канонического представления
(п° з) г, в е„.
Примеры. 1) Пусть Г — группа преобразований мпожества Е
в а — произвольный элемент из Е. Множество всех элементов а (а),
где а пробегает Г, есть подмножество множества Е, инвариантное
¦относительно Г (см. п° 5).
2) Пусть в множестве F задан аддитивно записываемый коммута-
коммутативный ассоциативный закон композиции. Рассмотрим множество Р
всех последовательностей (?jI<i<ri по л элементов из/", т. е. множество
всех отображений интервала /=[1, п] С N в F; относя каждому элр-
п
менту (%i) из Р элемент ^ х^ из F, мы получим отображение Р в F',
г=1
являющееся, как вытекает из теоремы коммутативности (§ 1, тео-
теорема 3), инвариантом симметрической группы ©n = @j *).
Точно так же, если, в частности, взять за F мпожество Z рацио-
рациональных целых чисел "(или коммутативное кольцоH, произведение
[! (xj — х{), рассматриваемое как отображение Р в Z, является
инвариантом знакопеременной группы Sln (но не симметрической
группы <3П).
°3) В трехмерном вещественном евклидовом пространстве ?=Н"
расстояние
между точками (х, у, г) и (х', у', г'), рассматриваемое как отображение
ЕхЕ в R, есть инвариант группы движений (см. главу IX).о
п
*) Выражение V х^ есть только одна из так называемых «симметриче-
i=i
<ких функций» от Ж), х2, ..., хп (см. главы III и V), которые все являются
инвариантами относительно группы ©„; от этого свойства и происходит
наименование «симметрическая группа».

124 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § ~
Замечание. Если заданы группа преобразований Г множе-
множества Е и множество М шкалы, имеющей в качестве базы Е (и, возможно,
еще некоторые другие множества), то не следует смешивать подмно-
подмножество множества М, инвариантное относительно Г (элемент из ф (М)г
инвариантный относительно Г), и множество элементов из М, инва-
инвариантных относительно Г (такое множество очевидно является эле-
элементом из % (М), инвариантным относительно Г, но обратное, вообще
говоря, неверно).
Теорема 1. Пусть Е — множество, наделенное группой опера-
операторов G, и А — его непустое подмножество. Множество Н всех
операторов a.?G, оставляющих инвариантным каждый элемент
из А, есть подгруппа группы G.
Действительно, если ах — х и $х = я, то также (а$)х = афх)=
= ах = х и а'1х=^а'1(ах) = (а'^х — гх = х (где е — нейтральный
элемент группы G).
Каково бы ни было у ? G, множество всех операторов а ? G,
оставляющих инвариантным каждый элемент из уА, есть подгруппа
уНу'1, поскольку отношение ауг=\а; эквивалентно отношению
Допуская вольность речи, говорят, что так определенная под-
подгруппа Н есть подгруппа группы G, оставляющая инвариантными
элементы множества А.
Замечание. Множество всех инвариантов этой подгруппы
очевидно содержит А, но может содержать и элементы из Е, не
принадлежащие А.
Пример. "Подгруппа группы движений евклидова простран-
пространства, оставляющая инвариантными две различные точки,— это группа
всех вращений вокруг соединяющей эти точки прямой и, значит, остав-
оставляет инвариантными все точки этой прямой.о
Рассмотрим, в частности, структуру of, заданную в множестве
Е (Теор. мн., Рез., § 8). Это — элемент некоторого множества М
шкалы, имеющей в качестве базы множество Е и некоторое число
вспомогательных множеств. Каждая подстановка / множества
Е, образ которой в <Вм (при каноническом отображении 'Be в <Вм)
оставляет элемент if инвариантным, есть, по определению (Теор.
мн., Рез., § 8, п° 5), автоморфизм структуры of. Таким образом:

Л ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 125
Предложение 2. Автоморфизмы структуры if, заданной в мно-
множестве Е, образуют группу преобразований этого множества
(называемую группой автоморфизмов структуры if', или множе-
множества Е, наделенного структурой if).
Пусть if' — изоморфная if структура, определенная в мпоже-
стве Е', ф — изоморфизм if на if' и "ф — обратный изоморфизм;
очевидно, отображение/—>фо/ог|) есть изоморфизм группы автомор-
автоморфизмов структуры if на группу автоморфизмов структуры if'.
Пример. Группа автоморфизмов группы.
Пусть G — заданная группа. Ее автоморфизмы, согласно предложе-
предложению 2, образуют подгруппу Г симметрической группы <S<j. Внутрен-
Внутренние автоморфизмы ах группы G (§ 6, п° 4) образуют подгруппу Д
группы Г, как следует из непосредственно проверяемого тождества
аху=ахо ау. Оио показывает, кроме того, что отображение х -* ах
есть представление G на Д; для того чтобы ах было тождественным
отображением G на себя, необходимо и достаточно, чтобы хух~1=у
для каждого у ? G, т. е. ху = ух для каждого у ? G; иными словами,
х должно принадлежать центру Z группы G; в силу теоремы 3 § 6, это
«нова показывает, что Z — нормальная подгруппа группы G, и мы
видим вместе с тем, что группа А всех внутренних автоморфизмов
группы G изоморфна факторгруппе G/Z.
Заметим, что группа Д может совпадать с Г; она может также
«водиться к тождественному отображению; для этого необходимо
и достаточно, чтобы Z=G, т. е. чтобы G была коммутативна. Авто-
Автоморфизмы группы G, не являющиеся ее внутренними автоморфизмами,
иногда называют внешними автоморфизмами этой группы.
Если G наделена структурой группы с операторами, автоморфизмы
этой структуры образуют группу Г', очевидно являющуюся подгруп-
подгруппой группы Г всех автоморфизмов заданной в G структуры группы;
заметим, что, вообще говоря, группа Л внутренних автоморфизмов
не есть подгруппа группы Г'.
3. Транзитивные группы
Пусть Г — группа преобразований множества Е. Отношение
«существует /g Г такое, что y=f (ж)» есть отношение эквивалентно-
эквивалентности в Е; действительно, оно рефлексивно, ибо тождественная под-
подстановка и принадлежит Г и х=и(х); оно симметрично, ибо если
/б Г таково, что y=f (x), то обратное ему отображение g принадле-
принадлежит Г и x=g{y)\ наконец, оно транзитивно, ибо из г/=/(ж) и z—
= g (у) следует z=g(f(x)), а если/ и g принадлежат Г, то и g°f при-
вадлежит Г.

126 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
Классы по этому отношению эквивалентности называются
классами интранзитивности группы Г; класс интранзитивности,
которому принадлежит элемент а?Е,— это множество всех /(а),
где / пробегает Г; его называют также орбитой элемента а отно-
относительно группы Г. Если существует только один класс интран-
интранзитивности (совпадающий тогда с Е), то группу Г называют тран-
транзитивной; в противном случае — интранзитивной. Условие тран-
транзитивности группы Г может быть выражено следующим образом:
при любом заданном а ? Е для каждого х? Е существует /? Г такое,
что x=f(a).
Примеры. 1) Симметрическая группа 2„ очевидно транзи-
тивла; то же верно и для знакопеременной группы 3(эт, если п > 2,
ибо для любых трех различных целых чисел i, f, k из интервала [1, п)
его подстановка а, определяемая условиями а ((')=/, а (/)=&, а(/г)=г
и а(А)=Л для всех h, отличных от ;, /, к («круговая подстановка»),
как легко убедиться, —четная.
2) Группа всех левых переносов группы С транзитивпа, ибо для
нейтрального элемента е этой группы имеем у%(е)—х; точпо так же
и группа всех правых переносов транзитивна.
3) Группа Д всех внутренних автоморфизмов группы 6' (содержа-
(содержащей более одного элемента) интранзитивна, ибо ах (е)=е, каково бы
ни было if С; элементы одного и того же класса интранзитивности
группы Д называются сопряженными элементами группы G; каждый
элемент центра группы G уже сам образует класс интранзитивности
группы А.
4) Если Г — интранзитнвиая группа преобразований миож.ества Е
и А — ее класс интранзитивности, множество сужений ъ&А всевозмож-
всевозможных подстановок из Г есть транзитивная группа преобразований
множества А.
6. Однородные пространства
Пусть Е — множество, наделенное группой операторов G (п° 2);
говорят, что G транзитивно действует в Е, если (в обозначениях
п° 2) образ G в <3Я при представлении а—>/„ есть транзитивная
группа подстановок множества Е.
Определение 3. Однородным пространством называется мно-
множество Е, наделенное транзитивно действующей в нем группой опе-
операторов G. '

6 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 127
Таким образом, каждая транзитивная группа Г подстановок
множества Е определяет в Е структуру однородного пространства
с внешним законом композиции, относящим подстановке о ? Г и
элементу х € Е элемент а (х).
Пример. "Всякое евклидово пространство есть однородное
пространство, группой операторов которого служит группа движений
(см. главу IX).о
Замечание. Можно также сказать, что однородное простран-
пространство — это множество Е с группой операторов G, внешний закон
которого удовлетворяет следующему условию: каковы бы ни были
х ? Е и у g E, существует а ? G такое, что у=ах. Заметим, что из это-
этого условия, в соединении с ассоциативностью внешнего закона отно-
относительно закона группы G, следует, что нейтральный элемент е
группы G является нейтральным оператором: действительно так как
существует Х?С такое, что х=%х, то ех=г (%х)=(е.1.) х=\х—х.
Какова бы ни была группа G, левый внешний закон (§ 3, п° 2),
порождаемый законом группы, определяет в G структуру однород-
однородного пространства, группой операторов которого служит сама
группа G (ибо группа подстановок Г, являющаяся образом G в <Bg<
есть не что иное, как группа левых переносов группы G). Рассмо-
Рассмотрим теперь однородное пространство Е, имеющее G своей группой
операторов, и пусть а — произвольный фиксированный элемент
из Е; отображение а—>аа есть представление G (наделенного опре-
определенной выше структурой однородного пространства) в однород-
однородное пространство Е, и это — представление на Е, поскольку G
действует в Е транзитивно. Поэтому (§ 4, теорема 1) Е изоморфно
результату факторизации G (рассматриваемого как однородное
пространство) по отношению эквивалентности аа=$а. Но это
отношение, согласуясь слева с законом группы G, имеет вид р ? о.На,
где На — подгруппа группы G, образованная всеми а ? G, оставляю-
оставляющими а инвариантным; а результат факторизации G по этому
отношению есть множество всех левых классов по На, наделенное
внешним законом композиции, относящим каждому оператору
a?G и каждому левому классу \На левый класс а|#а.
Обратно, пусть Н — произвольная подгруппа группы G и GIH —
фактормножество множества G по отношению эквивалентно-
эквивалентности $?аН (согласующемуся слева с групповым законом); фактор-
закон левого внешнего закона, порожденного законом группы,
заданным в G, по этому отношению определяет в GIH структуру

128 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
однородного пространства, имеющего G своей группой операто-
операторов; действительно, достаточно показать, что G транзитивно дей-
действует в GUI; но для любых двух элементов и=аН и v=$H фактор-
фактормножества GIH имеем v=($a~1)u. Множество GIH, наделенное этой
структурой, называется однородным пространством, определяемым
подгруппой Н группы G.
В случае произвольной подгруппы Н множество G/H, вообще
говоря, не наделено никаким внутренним законом; если же Н —
нормальная подгруппа, то, как мы видели, внутренний закон на С/Я,
являющийся факторзаконом закона группы С по Я, есть закон группы;
в этом случае не следует смешивать факторгруппу G/H, определяе-
определяемую этим законом, с однородным пространством G/H.
Резюмируя полученные результаты, приходим к следующей
теореме:
Теорема 2. Пусть Е — однородное пространство uG — его группа
операторов. Пусть, далее, а — любой элемент из Е и На — под-
подгруппа группы G, образованная всеми операторами а, оставляю-
оставляющими а инвариантным. Тогда однородное пространство Е изоморфно
однородному пространству GIHa, определяемому подгруппой На.
Взяв другой элемент Ъ ? Е, получим, что Е изоморфно также
однородному пространству GlHb; при этом для р ? G такого, что
b = pa, отношения ab = Ъ и p-1apa = а эквивалентны и потому
Нь = р/УдР. Пересечение всех Нх, где х пробегает Е, есть не
что иное, как группа К всех нейтральных операторов однородного
пространства Е\ таким образом, можно сказать, что К — наиболь-
наибольшая нормальная подгруппа группы G, содержащаяся во всех Нх.
Отсюда получается характеристика всех реализаций (и° 2)
группы G как транзитивной группы преобразований (или, как
мы будем еще говорить, транзитивных реализаций группы G):
Предложение 3. Всякая транзитивная реализация группы G
есть (с точностью до изоморфизма) группа, образованная подста-
подстановками, порождаемыми операторами однородного пространства
GIH, где Н — некоторая подгруппа группы G, не содержащая
никакой ее нормальной подгруппы, отличной от {е}.
Взяв, в частности, # = {е}, получим в качестве трапзитивпой реа-
реализации группы G группу всех ее левых переносов.

7 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 129
7. Примитивные группы
Определим факторструктуры структуры однородного про-
пространства; в силу теоремы 2, можно ограничиться случаем одно-
однородного пространства G/H, определяемого подгруппой Н группы G.
Если наделить G структурой однородного пространства, опреде-
определяемой левым внешним законом, порожденным законом группы,
структура однородного пространства в GIH будет факторструкту-
рой этой структуры однородного пространства в G по отношению
у ? хН; пусть R — это отношение. Из первой теоремы об изомор-
изоморфизме (§4, теорема 2) следует, что каждое отношение эквивалент-
эквивалентности в GIH, согласующееся со структурой этого однородного
пространства, имеет вид SIR, где S — отношение, согласующееся
слева с законом группы в G и являющееся следствием R; поэтому
(§ 6, теорема 1) S имеет вид у ? хК, где К — подгруппа группы G,
содержащая //; и та же первая теорема об изоморфизме показы-
показывает, что факторструктура структуры однородного пространства
GIH по отношению SIR изоморфна структуре однородного про-
пространства GIK. Резюмируя, имеем:
Предложение 4. Каждая факторструктура структуры одно-
однородного пространства GIH, определяемого подгруппой И группы G,
изоморфна структуре однородного пространства G/K, где К —
подгруппа группы G, содержащая Н; и обратно, каждая подгруппа
К, содержащая Н, определяет фактор структуру структуры
однородного пространства GIH.
Рассмотрим, в частности, структуру однородного простран-
пространства, определяемую в множестве Е транзитивной группой Г его
преобразований; согласно предыдущему, однородное пространство
Е изоморфно Г/А, где А — подгруппа группы Г, оставляющая
инвариантным элемент а ? Е, и факторструктуры структуры
этого однородного пространства находятся во взаимно однозначном
соответствии с подгруппами в группы Г такими, что A CZ © С Г.
По крайпей мере две такие подгруппы всегда имеются, а именно А
и Г; первая соответствует самому Е, а вторая — однородному
пространству, сводящемуся к единственному^эпемеяту; если других
подгрупп в, удовлетворяющих условиям A CI © CI Г, не суще-
существует, то группу преобразований Г называют примитивной,
в противном случае — импримитивной.
9 Н. Бурбаки

130 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
Таким образом, сказать, что группа преобразований Г прими-
тпвна, все равно, что сказать, что А является максимальным элементом
множества всех подгрупп группы Г, отличных от Г.
Предложение 5. Для того чтобы транзитивная группа Г
подстановок множества Е была импримитивной, необходимо и до-
достаточно, чтобы существовало множество A CZ Е, содержащее
более одного элемента, отличное от Е и такое, что, какова бы
ни была подстановка а ? Г, либо a (A) CZ А, либо А[~]в(А) = 0.
Покажем сначала, что это условие необходимо. Действительно,
если, в прежних обозначениях, существует подгруппа в, отлич-
отличная от Д и Г и такая, что Д CZ в CZ Г, то она определяет в Е
отношение эквивалентности R, согласующееся со структурой
однородного пространства в Е, и классы эквивалентности по R
содержат более одного элемента и отличны от Е; для каждого
из этих классов А также о {А), где а — любая подстановка из Г,
есть класс по Л, и справедливость утверждения следует из того,
что эти классы образуют разбиение множества Е.
Чтобы убедиться в достаточности условия, заметим сначала,
что, как следует из него, если подстановка а ? Г удовлетворяет
условию а (А) d А, то а (А) = А; действительно, тогда Ad a'1 (A),
значит, А\~\в~1(А) Ф 0, и следовательно, а'1 (А) а А, так что
А = G'l\A) = о (А). Отсюда сразу следует (теорема 1), что мно-
множество в тех подстановок а ? Г, для которых о (А) а А (или,
что по предположению равносильно этому, для которых
Af\a (А)ф0), есть подгруппа группы Г. Эта подгруппа отлична
от Г, ибо по условию А Ф Е, а Г транзитивна; она отлична и от Д,
ибо А содержит по крайней мере один элемент Ъ Ф а, и для под-
подстановки т?Г такой, что %(а)=Ъ, имеем т(? Д и х {А)[\А ф 0 ,
т. е. т?в; следовательно, Г импримитивна.
Классы эквивалентности по отношению R, соответствующему
подгруппе в, называются классами импримитивности группы Г,
соответствующими этой подгруппе; это элементы однородного про-
пространства, получающегося в результате факторизации Е по отноше-
отношению Л (и изоморфного Г/0).
Упражнения. 1) Показать, что число элементов конечной
группы G, сопряженных (п° 5) с ее элементом а, равно индексу
его нормализатора (§ 6, упражнение 13) и, следовательно, является
делителем порядка группы G.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 131
*2) Число автоморфизмов конечной группы n-го порядка G
Iegrt
не превосходит nloS 2. [Показать, что G обладает системой образую-
образующих {аи а2, ..., ат} такой что щ не принадлежит подгруппе, поро-
порожденной элементами alt ....a^j B<;i<!m); вывести отсюда, что
2m<ln и что число автоморфизмов группы G не превосходит пт.\
3) Пусть Г — группа всех автоморфизмов, а Д — группа всех
внутренних автоморфизмов группы G; показать, что Д — нормальная
подгруппа группы Г. Для того чтобы автоморфизм а группы G был
перестановочен со всеми ее внутренними автоморфизмами, необходимо
и достаточно, чтобы х'ха (х) принадлежало центру группы G для всех
х ? G; вывести отсюда, что если центр группы G сводится к одному
нейтральному элементу, то это же верно и для централизатора (§ 6,
упраженение 13) подгруппы Д в Г.
*4) а) Пусть G — простая некоммутативная группа, Г — группа
всех ее автоморфизмов и Д — группа всех внутренних автоморфиз-
автоморфизмов группы G (изоморфная G). Показать, что, каков бы ни был авто-
автоморфизм s группы Г, s(A)= Д. [Используя предыдущее упражнение 3
и предложение 7 § 6, заметить, что ДПя(Д) не может сводиться
к нейтральному элементу группы Г.]
б) Показать, что единственный автоморфизм группы Г, оставляю-
оставляющий инвариантным каждый элемент из Д, —тождественный. [Записать,
что, каковы бы ни были a g Д и а ? Г, этот автоморфизм оставляет
инвариантными а и сгаст, и воспользоваться упражнением 3.]
в) Пусть s — автоморфизм группы Г, <р — изоморфизм х ->¦ а,
группы G на Д, о|> — обратный ему изоморфизм ист — автоморфизм
¦фояоф группы 6'; показать, что автоморфизм |-+ст«(|)о группы
Г — тождественный. [Использовать б), приняв во внимание, что
s(ax)=aa(i.) для всех х ? G.] Вывести отсюда, что каждый автомор-
автоморфизм группы Г — внутренний.
*5) а) Пусть G — группа, 2 — группа ее автоморфизмов и Г —
группа левых переносов группы G (изоморфная G). Показать, что
в симметрической группе <Bq пересечение 2 Г) Г сводится к ней-
нейтральному элементу и 2Г=Г2. Вывести отсюда, что Q=F2 есть
подгруппа группы 6g; ее называют голоморфом группы G. [См. § 6,
упражнение 4.]
б) Показать, что Г — нормальная подгруппа группы О, и вся-
всякий автоморфизм группы Г имеет вид у -» ауа'1, где а ? S.
в) Группа Д всех правых переносов группы G есть нормальная
подгруппа группы Q, а Г Г) Д является центром каждой из групп
Г, Д.
г) Показать, что Q есть нормализатор (§ 6, упражнение 13) Г
в @(j. [Пусть т —элемент нормализатора Гв ©д; положив хухх~1 = уа ^х),
доказать, что а(х)=х (хи), где и = т~1(е); далее, показать, что а
есть автоморфизм группы G, и использовать в).]
9*

132 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
д) Показать, что Д — централизатор (§ 6, упражнение 13) Г в Sg.
6) а) Пусть (EL) — разбиение множества Е и Г — множество
всех подстановок а этого множества таких, что а(Е1)С1Е1 для каж-
каждого индекса i. Показать, что Г — подгруппа группы ©к; обозначая
через Гь подгруппу группы Г, образованную теми подстановками а,
для которых а(Е1) = Е1 и а(х)=х для всех х^Е^ показать, что
Ть изоморфна ©? , а Г изоморфна произведению ГТ Гг
i
б) Пусть а — произвольная подстановка множества Е и (EJ —
его разбиение, образованное классами интранзитивности моногенной
подгруппы группы ©в, порождаемой этой подстановкой. Компонента <rt
подстановки о в группе Гь, соответствующей Еь, порождает в этой группе
моногенную подгруппу, транзитивную в Еь, и называется цикли-
циклической подстановкой или циклом; oL называются циклическими ком-
компонентами подстановки а. Если число циклических компонент подста-
подстановки а, не сводящихся к тождественной подстановке, конечно, то а
равна их произведению (в любом порядке, поскольку циклические
компоненты подстановки попарно перестановочны). В случае, когда
какое-нибудь Е^ состоит из конечного числа элементов, их можно рас-
расположить в конечную последовательность (ai)y<i<n так' чтобы
•Oj+1 = CT(Oj) A<^г"<^я— 1) и а1 = ст(а„); соответствующую Цикли-
Циклическую компоненту подстановки а обозначают тогда (aLa2 ... ап)
и говорят, что ее длина равна л. Для любой подстановки т из ©к
имеем
Т-(я1Й2... an).T-i=(t(aj)t(a2) ... т(ап)). A)
*7) а) Показать, что каждая подстановка из ©п есть произведе-
произведение транспозиций. [Индукцией по числу элементов, не инвариантных
относительно рассматриваемой подстановки.]
б) Вывести, что ®п порождается п — 1 транспозициями A 2),
A 3), . . . , A п), а также л —1 транспозициями A 2), B3),...,
(л — 1 л).[Воспользоваться формулой A) упражнения 6.]
в) Вывести, что ©„ порождается двумя подстановками A 2)
и A 2 3 ... п). [Тем же методом.]
*8) а) Показать, что каждая подстановка а ? 21„ есть произве-
произведение циклов длины 3 (не являющихся, вообще говоря, ее компонен-
компонентами). [Доказать это утверждение для произведения двух транспозиций
и использовать упражнение 7а.]
б) Вывести, что 91П порождается п — 2 подстановками A 2 3),
A 2 4),.. ., A 2 я). [Воспользоваться формулой A) упражнения 6.]
в) Вывести, что 2(п при нечетном л порождается двумя подста-
подстановками A2 3) и A 2 ... л), а при четном п — двумя подстанов-
подстановками A 2 3) и B 3 ... л). <

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 133
г) Показать, что нормальная подгруппа группы Шп, содержащая
цикл длины 3, совпадает с ?(„. [С помощью формулы A) упражнения 6
доказать, что эта подгруппа содержит все циклы A 2 к), где 3 ^ к <J п. ]
9) Группа преобразований Г множества Е называется г-кратно
транзитивной, если для любых двух последовательностей (а1? а2, ...
..., аг) и (&ц Ь2, . . ., br) по г различных элементов из Е существует
подстановка 0 ? Г такая, что a (aj)= bj для 1 ^ г -^>, и это свойство не
имеет уже места хотя бы для одной пары последовательностей по
г-\-\ различных элементов из Е.
а) Показать, что r-кратно транзитивная группа при г>1 при-
примитивна. [Применить предложение 5.]
б) Порядок г-кратно транзитивной группы подстановок Г сте-
степени п имеет вид и (л— 1) ... (n—r-\-\) d, где d—делитель (п — г)\
[Рассмотреть подгруппу подстановок из Г, оставляющих инвариант-
инвариантными г элементов, и вычислить ее индекс]
*10) Пусть Г — r-кратно транзитивная группа подстановок мно-
множества Е, состоящего из и элементов, ил — s — число элементов мно-
множества Е, инвариантных относительно нетождественной подстановки
0 ? Г. Показать, что если s > г, то существует подстановка т ? Г
такая, что а'гхах'г — нетождественная подстановка, оставляющая
инвариантными 53 п — 2 (s — r-j-1) элементов из Е. [Воспользоваться
разложением 0 на ее циклические компоненты (упражнение 6) и форму-
формулой A) упражнения 6.] Показать также, что при s = r существует т € Г,
для которого а^хах'1 есть цикл длины 3. Вывести отсюда, что если
г > 3 и Г не содержит знакопеременной группы ?Jn, то s ^ 2г — 2
для каждой подстановки из Г. [Использовать упражнение 8.] Нако-
Наконец, доказать, что если Г не совпадает с S(n или с ©п, то г ^-=--(-1.
о
*11) а) Показать, что знакопеременная группа 9[„ t (n — 2)-
кратно транзитивна.
б) Показать, что группа %п при п =р 4 простая. [Используя а),
метод упражнения 10 и упражнение 8г, показать, что %п простая
при п > 6; аналогичным образом исследовать случай п <; 6.]
12) Пусть Г — транзитивная группа подстановок множества Е.
Показать, что каждый класс интранзитивности ее нормальной под-
подгруппы Д является классом импримитивности для Г. [Воспользо-
[Воспользоваться предложением 5.] Вывести отсюда, что если Г примитивна, то Д
транзитивна.
*13) Пусть Г — интранзитивная группа подстановок множества Е,
А—ее класс интранзитивности и В= СА — его дополнение. Обозна-
Обозначим через Гд и Гд группы, образованные сужениями подстановок из Г
соответственно на А и В, через Ах н Дв — подгруппы группы Г,
оставляющие инвариантными каждый элемент соответственно из А
и В. Показать, что Дд и Дд — нормальные подгруппы группы Г
и что Гд изоморфно Г/ДЛ, а Гд изоморфно Г/Дв; обозначая через

134 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 7
Дав (соответственно Два) группу, образованную сужениями под-
подстановок из Ад (соответственно Дв) на В (соответственно А), пока-
показать, что факторгруппы Гд/Два, Гв/Аав и Г/(Д^Дв) изоморфны.
[Примепить теорему 6 § 6 к представлению а -* а^, относящему
каждой подстановке а ? Г ее сужение на А.]
*14) а) Пусть Г — группа подстановок множества Е, состоящего
из т элементов; показать, что индекс (Г:Да) ее подгруппы Да,
оставляющей инвариантным элемент а ? Е, равен числу элементов
того класса интранзитивности группы Г, которому принадлежит о.
б) Пусть v^ — число подстановок из Г, оставляющих инвариант-
инвариантными к элементов из Е, п — порядок группы Г и t — число ее классов
интранзитивности. Доказать формулу
т
nt=2 *vfe. B)
ft=0
[Обозначая через р (а) число элементов, инвариантных относительно
подстановки а ? Г, вычислить двумя разными способами ^ Р (<*)
<Т?Г
и применить а).]
в) Показать, что если число/) (а) = к одно и то же для всех нетож-
нетождественных подстановок из Г и порядок Да больше 1 для каждого а,
то к ¦< t < 2к. [Заметить, что т < кп.] В том частном случае, когда
&=2, найти все возможные порядки подгрупп Да, соответствующих
классам интранзитивности группы Г; показать, что при 1=3 порядок
подгруппы Да для элементов двух из трех классов интранзитивности
не может быть > 2, если только п не равно ни 12, ни 24, ни 60.
15) Пусть Е — множество, наделенное внешним законом компо-
композиции (а, х) —-> ах, который имеет своей областью операторов группу G
и ассоциативен (§ 5, п° 2) относительно ее группового закона.
Показать, что множество А = гЕ, где е — пейтральный элемент группы
G, устойчиво относительно рассматриваемого внешнего закона и что А
является относительно индуцированного закона множеством, наде-
наделенным группой операторов G, в смысле п° 2. Каждый класс интран-
интранзитивности группы Г всех подстановок множества А, порожденных
операторами из G, есть устойчивое подмножество этого множества,
а структура, индуцированная в любом из этих классов, есть структура
однородного пространства.
*16) а) Пусть G — группа, Я — ее подгруппа иг — взаимно
однозначное отображение множества G/H всех левых классов по Я
в G, относящее каждому X ? G/H элемент г (X) ? X d G, так что
Х=г (X) Н. Определим на GIH внутренний закон композиции Т , поло-
положив XTY—r(X)r(Y)H. Показать, чтоХТЯ=Х для всех X и что
каждый левый перенос закона Т есть взаимно однозначное отобра-
отображение G/H на себя. Если G' — подгруппа группы G, порожденная

КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 135
множеством всех элементов г (X), и Я'=ЯП,C', то внутренний закон,
определяемый аналогичным образом на G'JH' отображением г, опре-
определяет в этом множестве структуру, изоморфную определяемой в GUI
законом Т.
б) Для ассоциативности закона Т необходимо и достаточно, чтобы
Н' была нормальной подгруппой группы С, причем в этом случае
структура, определяемая законом Т , изоморфна структуре фактор-
факторгруппы G'/H'. [Для установлении необходимости условия показать
сначала с помощью упражнения 2а § 6, что если закон Т ассоциативен,
то он определяет в G/H структуру группы; обозначая через К наиболь-
наибольшую нормальпую подгруппу группы G', содержащуюся в Я', пока-
показать далее, выписывая условие ассоциативности для Т, что
(г (XT У)) г (X) г (У) ? К для всех X, У; вывести отсюда, что отобра-
отображение X -* г (X) К есть изоморфизм группы GIH (относительно
закона Т) на факторгруппу G'/K; учтя, что Я' есть объединение
классов по К, заключить, что Н'=К.]
в) Обратно, пусть на множестве Е задан всюду определенный
внутренний закон Т такой, что каждый левый перенос является
взаимно однозначным отображением Е на себя и существует е ? Е
такое, что хТ е=?х для всех х?Е. Пусть, далее, Г — группа подста-
подстановок множества Е, порожденная всеми левыми переносами у„и Д —
подгруппа тех подстановок из Г, которые оставляют е инвариантным.
Показать, что каждому левому классу X по А соответствует однозначно
определенный элемент ж ? Е такой, что ух ? X; если положить г (Х)=ух,
то отображение х -> ух есть изоморфизм множества Е, наделен-
наделенного законом Т, на множество Г/Д, наделенное законом (X, У) ->
§ 8. Кольца и кольца с операторами
1. Кольца
Определение 1. Структурой кольца (или кольцевой структурой)
в множестве А называется алгебраическая структура, задавае-
задаваемая двумя всюду определенными внутренними законами компо-
композиции, первый из которых есть закон коммутативной группы в А,
а второй ассоциативен и двояко дистрибутивен относительно
первого. Множество, наделенное кольцевой структурой, называют
кольцом.
Чаще всего коммутативный групповой закон в кольце А запи-
записывают аддитивно, а второй внутренний закон композиции —

136 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, §
мультипликативно. Предположения, относящиеся к сложению
в А, выражаются тогда тождествами
ж + B/ + z) = (х''г у) + z (ассоциативность), ' A)
х -(- у = у ~- х (коммутативность), B)
требованием существования нейтрального элемента, обозначае-
обозначаемого 0, так что тождественно
х + 0 = х, C)
и, наконец, требованием существования для каждого х элемента,
противоположного х, обозначаемого —¦ х, так что
х + (-х) = 0. D)
Предположения же, относящиеся к умножению, выражаются
тождествами
х (yz) — (xy) z (ассоциативность), (о)
z, 1
<¦ (двоякая дистрибутивность). F)
x j v
Если умножение в кольце А обладает нейтральным элементом,
он называется единичным элементом или единицей кольца А
и часто обозначается 1 (если это не может повлечь путаницы).
Точно так же, говоря о регулярных, или обратимых, или переста-
перестановочных, или центральных элементах, или центре кольца А,
имеют в виду регулярность, обратимость и т. д. относительно
заданного в А умножения.
Закон, противоположный заданному в кольце А умножению,
вместе со сложением также определяет в А структуру кольца;
она называется противоположной первоначально заданной; два
кольца с противоположными структурами называются противо-
противоположными.
Кольцо называют коммутативным, если его умножение комму-
коммутативно; такое кольцо совпадает со своим противоположным.
В кольце А сложение и два внешних закона, получающиеся
путем раздвоения (§ 3, п° 2) умножения, определяют структуру
коммутативной группы с операторами, причем областью опера-
операторов каждого из этих двух внешних законов служит само А;
левой (соответственно правой) гомотетией кольца А, соответствую-
соответствующей любому его элементу а, называется эндоморфизм х-^-^ах
(соответственно х—>ха) аддитивной группы А.

1 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 137
Примеры колец. I. Кольцо рациональных
целых чисел. Мы определили на множестве Z рациональ-
рациональных целых чисел сложение (§ 2, п° 5) и умножение (§ 2, v.° 8);
при этом сложение является законом коммутативной группы,
а умножение двояко дистрибутивно относительно сложения; сле-
следовательно, Z, наделенное этими двумя законами, есть кольцо;
оно называется кольцом рациональных целых чисел. Очевидно, это
кольцо коммутативно и имеет -f-1 своим единичным элементом.
II. "Полиномы вещественного переменного с вещественными (или же
целыми) коэффициентами образуют коммутативное кольцо, имеющее
своим единичным элементом постоянную 1 (см. главу IV). Более
общим образом, вещественные функции вещественного переменного
образуют коммутативное кольцо, имеющее постоянную 1 своим еди-
единичным элементом. о
III. В любой (аддитивно записываемой) коммутативной группе G
можно определить структуру коммутативного кольца, приняв за умно-
умножение закон (х, у) —>- 0, который ассоциативен, коммутативен и дистри-
дистрибутивен относительно сложения. Можно также сказать, что это умно-
умножение определено условием GG = {0}; кольца, удовлетворяющие этому
условию, называются кольцами с нулевым квадратом; такое кольцо,
если только оно не сводится к одному нулю, очевидно, не имеет еди-
единичного элемента.
IV. Кольцо эндоморфизмов коммутатив-
коммутативной группы. Пусть G— аддитивно записываемая коммута-
коммутативная группа. Множество GG всех ее отображений в себя наде-
наделено двумя ассоциативными законами композиции: с одной сто-
стороны, законом (/, g)—>/4-g (напомним, что /i = /+g есть ото-
отображение G в G такое, что h (х) = / (х) -f- g (x) для всех x?G),
определяющим в GG структуру коммутативной группы (§ 6,
п° 5), и, с другой стороны, законом (/, g) —>/°g, который мы будем
обозначать здесь f-g. Множество Е всех эндоморфизмов группы G
есть подгруппа коммутативной группы GG; действительно, если /
и g — эндоморфизмы и h = f—g, то h(x-\-y) = f(x + y) — g(x+y) =
+ h(y), так что h — эндоморфизм. Очевидно, при этом Е устойчиво
относительно закона (/, g)—»/-g; наконец, закон, индуцируемый
на Е этим последним законом, двояко дистрибутивен относительно
закона (/, g)—>/ + g; действительно, если ср = (g+ h)-f, то <р (х) =

138 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
= g(f(x)) + h(f(x)), так что <р = g-f+h-f; с другой стороны, если
y = f-(g + k),T:oy(x)=f(g(z) + h(x)) = f(g(x)) + f(h{x)) (поскольку
/—эндоморфизм), и значит, ty = f-g-\-f-h.
Таким образом, структура, индуцированная в Е рассмотрен-
рассмотренными двумя законами, есть структура кольца; наделенное этой
структурой, Е называется кольцом эндоморфизмов группы G.
Кольцо эндоморфизмов коммутативной группы G всегда обладает
единицей, а именно тождественным отображением G на себя; но
оно, вообще говоря, не коммутативно (см. упражнение 2).
Кольца, определенные описанным способом, играют в алгебре
важную роль (см. главы II и VIII).
Заметим, что кольцо эндоморфизмов коммутативной группы Z
изоморфно кольцу Z рациональных целых чисел (§ 2, п° 8).
2. Кольца с операторами
Определение 2. Кольцом с операторами называют множество
А, наделенное структурой кольца и одним или несколькими внеш-
внешними законами композиции, дистрибутивными относительно
сложения в А и такими, что для любого из них, если записывать
его в виде (ее, х)-^-ах, тождественно
G)
Внешние законы композиции кольца с операторами А вместе
с двумя внешними законами, получающимися путем раздвоения
заданного в А умножения, определяют в А (вместе со сложением
в качестве внутреннего закона) структуру коммутативной группы
с операторами; условие G) выражает, что внешние законы кольца А
перестановочны (§ 5, п° 3) с каждым из двух внешних законов,
получающихся путем раздвоения умножения.
Эндоморфизмы х —>ах структуры аддитивной группы (без опера-
операторов) в А, порождаемые операторами а кольца А, часто называются
его внешними гомотетиями; таким образом, они перестановочны
(в кольце эндоморфизмов аддитивной группы А) с левыми и правыми
гомотетиями кольца А; можно также сказать, что это есть эндомор-
эндоморфизмы структуры группы с операторами в А, определяемой сложением
и двумя внешними законами, получающимися путем раздвоения
умножения.
Пример. Если А—кольцо и ЛГ —подмножество его центра,
то закон композиции (а, х) —>¦ ах операторов a g К и.элементов х ?А
определяет в А (вместе с заданной в А структурой кольца) структуру

КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 139
кольца с операторами; свойства этой структуры существенно зависят
от рассматриваемого множества К, и следует тщательно отличать
друг от друга различные структуры кольца с операторами, которые
могут быть получены таким способом (см. главы II и VIII).
Закон, противоположный заданному в кольце с операторами А
умножению, как вытекает из G), вместе со сложением и заданными
на А внешними законами также определяет в А структуру кольца
с операторами; она называется противоположной первоначально
заданной; кольцо с операторами, получающееся при наделении А
этой структурой, называется противоположным кольцу А.
В соответствии с общими обозначениями (§ 2, п° 7), в произ-
произвольном кольце А через п-х или пх, где п? Z и х? А, обозначают
обычно сумму последовательности из п членов, равных х,
если п > 0, элемент 0, если п — 0, и элемент — (( — п)-х), если
п < 0. Этим определяется внешний закон композиции рацио-
рациональных целых чисел и элементов из А (который не следует сме-
смешивать с умножением в А); этот закон дистрибутивен относительно
сложения и, в силу двоякой дистрибутивности умножения в А
относительно сложения, удовлетворяет тождествам G); тем самым
он определяет в А вместе с заданными там сложением и умноже-
умножением структуру кольца с операторами. Но эта структура по сути
ничем не отличается от заданной в А кольцевой структуры, ибо
все относящиеся к алгебраическим структурам основные понятия,
определенные в § 4 (устойчивые множества, согласующиеся
со структурой, отношения эквивалентности, гомоморфизмы), оди-
одинаковы для обеих структур.
Более общим образом, структуру кольца с операторами не отли-
отличают от получающейся путем присоединения к ее внешним законам
еще внешнего закона (л, х)—> пх.
Это замечание позволяет рассматривать кольца без операторов
как частные случаи колец с операторами; поэтому во всей остав-
оставшейся части настоящего параграфа будут рассматриваться только
эти последние. Там, где не будет опасности путаницы, мы будем,
допуская вольность речи, употреблять термин «кольцо» в смысле
«кольцо с операторами»; в тех же случаях, где утверждаемый
результат справедлив лишь для колец без операторов (или, что

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
то же, для колец с операторами, единственным внешним законом
которых является (п, х)-^пх), это будет специально отмечаться.
3. Делители нуля. Кольца целостности
Пусть А — кольцо. Обобщая терминологию, употребляемую
в случае натуральных чисел (Теор. мн., гл. III), элемент а?А
называют левым (соответственно правым) кратным элемента Ъ ? А,
если существует с? А такое, что а = сЪ (соответственно а=6с);
при этом говорят также, что Ъ есть правый (соответственно левый)
делитель элемента а или что а делится слева (соответственно справа)
на Ъ.
Если А коммутативно, то, поскольку порядок следования мно-
множителей безразличен, говорят просто «кратное» и «делитель».
Заметим, что если в А нет единицы, элемент а 6 А не обязательно
является делителем (правым или левым) самого себя, как это показы-
показывает пример кольца с нулевым квадратом (пример III). Точно так же,
если А не содержит единицы, то пх, где п g Z, не будет вообще крат-
кратным х. Напротив, если А обладает единицей е, то пх=п-ех=(пе) х=
— х (пе).
Для каждого элемента х кольца А имеем х2 = х (х + 0) = х2 -V
-\-х0, откуда а?) = 0; точно так же и Cte = 0: всякое (левое или
правое) кратное элемента 0 равно 0. Следовательно, каковы бы
ни были х и у, имеем ( — х)у = х( — у) = —(ху), ибо ( — х)у-\-
-j-xy = ( — x-\-x)y = 0y = 0; отсюда ( — х) ( — у) — ху. С помощью
индукции по целому п > 0 заключаем, что ( — х)п — хп, если п
четно, и ( — х)п= — хп, если п нечетно.
Отношение хО = 0 показывает также, что если кольцо А не сво-
сводится к 0 и обладает единицей е, то еф 0.
В соответствии с введенной выше терминологией каждый эле-
элемент х б А должен был бы рассматриваться как (правый и левый)
делитель нуля; но, допуская вольность речи, наименование
левый (соответственно правый) делитель нуля сохраняют за 0 и
каждым элементом а, отличным от 0, для которого суще-
существует Ь, отличное от 0, удовлетворяющее соотношению ab = 0
(соответственно Ьа = 0). Можно еще сказать, что левые и правые
делители нуля — это не регулярные элементы (§ 2, п° 2) кольца А
(если только А не сводится к одному элементу 0); действительно,

4 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 141
отношение ах = ау (соответственно ха = уа) равносильно отноше-
отношению а (ж — у) = 0 (соответственно (х—у)а = 0). Элемент a ? A
называют нилъпотентным, если существует целое я>0, для
которого ап = 0; взяв наименьшее целое п, обладающее этим
свойством, убеждаемся в том, что тогда а —делитель нуля в А.
Если в А нет делителей нуля, отличных 0, то, допуская вольность
речи, А называют кольцом без делителей нуля.
В кольце без делителей нуля отношение ab = O равносильно
«а = 0 или 6 = 0»; отношение ап = 0 (где я —целое > 0) равно-
равносильно а = 0.
Определение 3. Кольцом целостности называется коммута-
коммутативное кольцо без делителей нуля, не сводящееся к 0.
П р и м е р ы. 1) Кольцо Z рациональных целых чисел есть кольцо
целостности; напротив, кольцо эндоморфизмов произвольной комму-
коммутативной группы, вообще говоря, содержит делители нуля, отличные
от 0 (см. упражнение 2).
2) В кольце с нулевым квадратом (пример III) каждый элемент
есть делитель нуля.
4. Надкольца
Определение 4. Подколъцом кольца (с операторами) А назы-
называется всякое непустое множество В а А, в котором структура,
индуцированная из А, есть структура кольца с операторами.
Предложение 1. Для того чтобы непустое множество В эле-
элементов кольца А было подколъцом этого кольца, необходимо и до-
достаточно, чтобы В было подгруппой аддитивной группы А, устой-
устойчивой относительно умножения и заданных на А внешних законов.
Справедливость предложения непосредственно вытекает из
определений.
Условия, которым должно подчиняться непустое множество
В с: А, чтобы быть подкольцом, записываются также следующим
образом (§ 6, предложение 1): В-\-ВаВ, —BczB, BBdB и aBczB
для каждого оператора а на А. Первые три из этих условий необходимы
и достаточны для того, чтобы имеющаяся в А структура кольца (без
операторов) индуцировала в В структуру кольца, иными словами,
чтобы В было подкольцом в А, рассматриваемом как кольцо без опера-
операторов (т. е. наделенном своей структурой кольца, но не наделенном
внешними законами).

142 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
Примеры. 1) Каждая подгруппа аддитивной группы Z, имея
вид nl, где п ? N, есть подкольцо кольца Z; таким образом, подкольца
кольца Z совпадают с подгруппами его аддитивной группы. .Ни одно
из этих подколец, кроме самого Z и {0}, не обладает единичным
элементом.
°2) Рассмотрим в теле С комплексных чисел структуру кольца
с операторами, определяемую внешним законом композиции (a, z)—>
—> az вещественных операторов а и комплексных чисел г (см. п° 2).
При этой структуре единственным подкольцом кольца С, отличным
от {0} и С, является множество R вещественных чисел. Действительно,
если подкольцо А кольца С содержит не вещественное число z, то оно
содержит также z2, а значит, и комплексные числа az-f-fk2, где a
и р принимают всевозможные вещественные значения; но так как
отношение z2/z не вещественно, получаемое так множество совпадает
с С. Таким образом, множество Z рациональных целых чисел
не является подкольцом кольца с операторами С, хотя и является
подкольцом в С, рассматриваемом как кольцо без операторов.о
Замечание. Этот последний пример показывает, что поня-
понятие подкольца кольца с операторами А существенно зависит от внеш-
внешних законов заданной в А структури, а не только от его структуры
кольца. Очевидно, подкольцо кольца с операторами А останется тако-
таковым также при сужении заданных на А внешних законов на подмно-
подмножества областей их операторов или же при сохранении только неко-
некоторых из этих законов и отбрасывании других; но обратное неверно.
Однако наличие или отсутствие внешнего закона (/г, х)—у пх (п ? Z)
в заданной структуре кольца с операторами не отражается на понятии
подкольца относительно этой структуры; это объясняется тем, что
всякая подгруппа аддитивной группы А устойчива относительно
этого закона.
Если в множестве А рассматриваются несколько структур кольца
с операторами, в основе которых лежит одна и та же кольцевая струк-
структура, то подкольца относительно этих структур различаются посред-
посредством указания тех внешних закопов, относительно которых они
устойчивы.
Всякое пересечение подколец кольца А есть снова подкольцо
этого кольца; поэтому можно определить подкольцо, порожденное
произвольным множеством XczA, как наименьшее подкольцо,
содержащее X.
Предложение 2. Множество всех элементов кольца А, переста-
перестановочных с каждым элементом произвольного фиксированного мно-
множества MczA, есть подкольцо этого кольца.

.5 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 143
Действительно, это множество устойчиво относительно умно-
умножения (§ 1, предложение 1); оно устойчиво относительно каждого
из заданных на А внешних законов, ибо если х перестановочно
с z?M, то, в силу G), для каждого оператора а кольца А имеем
(ах) z = a(xz) = a (zx) = z {ax). Наконец, если жиг/ перестано-
перестановочны с zgjkf, то х — у перестановочно с z, ибо (х — у) z — xz —
Следствие 1. Центр кольца А есть подколъцо этого кольца.
Следствие 2. Множество всех эндоморфизмов коммутативной
группы с операторами G есть подколъцо кольца Е всех эндоморфиз-
эндоморфизмов группы G.
Действительно, эти эндоморфизмы совпадают с эндоморфизмами
групповой структуры в G, перестановочными со всеми заданными
на G гомотетиями. Подкольцо кольца Е, образованное этими эндо-
эндоморфизмами, называется кольцом эндоморфизмов группы с опера-
операторами G.
5. Отношения эквивалентности в кольце. Идеалы.
Факторколъца
Определим отношения эквивалентности, согласующиеся со
структурой кольца А. По теореме 4 § 6, отношение R, согласую-
согласующееся со сложением и заданными на А внешними законами, имеет
вид х — у?Н, где Я —подгруппа аддитивной группы А, устой-
устойчивая относительно этих внешних законов. Согласованность отно-
отношения R с умножением выражается порознь согласованностью
слева и справа (§ 4, предложение 1). Но согласованность слева
означает, что х = у (modi?) влечет zxs^zy (modi?), т. е. я — у€]Н
влечет zx — zy = z(x — y)? H для каждого z?A. Это приводит
к следующему определению:
Определение 5. Левым (соответственно правым) идеалом коль-
кольца А называют всякую подгруппу Н аддитивной группы А, устойчи-
устойчивую относительно заданных на А внешних законов и такую, что
zH d Н (соответственно Hz CZ Н) для всех z ? А. Подмножество
кольца А, являющееся в А одновременно и левым и правым идеалом,
называется двухсторонним идеалом кольца А.

144 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
Таким образом, условия, которым должно подчиняться непустое
множество Н элементов кольца А, чтобы быть его левым (соответственно
правым) идеалом, записываются так: Н-\-Н С Н, — Н CZ Н, АН с Н
(соответственно 'НА CZ Н) и alt ci H для каждого заданного на А
оператора а. Очевидно, каждый идеал кольца А является его под-
кольцом, обратное же неверно. Идеалы кольца обычно обозначаются
строчными готическими буквами.
Каждый левый идеал кольца А есть правый идеал противо-
противоположного кольца, и обратно. Если А коммутативно, три рода
идеалов совпадают и говорят просто об идеалах кольца А.
Замечания. 1) Левый идеал кольца А есть не что иное, как
подгруппа аддитивной группы А, устойчивая относительно внешних
законов кольца А и левого внешнего закона, порождаемого задапным
на А умножением.
2) Как и понятие подкольца, понятие идеала кольца с операто-
операторами А существенно зависит от заданных на А внешних законов;
замечания, сделанные в п° 4 по поводу подколец, равным образом
применимы и к идеалам. В частности, если в множестве А рассматри-
рассматривается несколько структур кольца с операторами, в основе которых
лежит одна и та же кольцевая структура, идеалы относительно этих
структур различают посредством указания, относительно каких внеш-
внешних законов они устойчивы.
Теорема 1. Всякое отношение эквивалентности, согласующееся
со структурой кольца А, имеет вид х — у ? а, где а — двусто-
двусторонний идеал кольца А, и результат факторизации А по этому
отношению есть кольцо.
Первое утверждение теоремы вытекает из сказанного ранее.
С другой стороны, факторзакон заданного на А сложения по рас-
рассматриваемому отношению эквивалентности R есть закон комму-
коммутативной группы на AIR, а факторзаконы заданных на А внешних
законов дистрибутивны относительно этого группового закона
(§ 6, л° И); наконец, факторзакон по R заданного на А умноже-
умножения есть ассоциативный закон на AIR (§ 4, п° 3), двояко дистри-
дистрибутивный относительно факторзакона сложения (§ 5, п° 1), и легко
видеть, что он удовлетворяет тождествам G).
Отношение эквивалентности х — у ? а, определяемое в коль-
кольце А двусторонним идеалом а, часто записывают х = у (mod а)
или х == у (а) и называют сравнением по модулю а. Таким обра-

О КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 145
зом, отношения isj (а), х' = у' (о) влекут х + х' = у + у' (а),
— a; s= — г/ (о), жж' = уу' (о) и ах = ау (о) для каждого опе-
оператора а (правила действий над сравнениями).
Отметим, что, напротив, отношение ху = xz (а) не обязательно
влечет у = z (а), ибо класс mod а элемента х, даже если этот эле-
элемент регулярен относительно заданного на А умножения, не обяза-
тельпо регулярен относительно факторзакона (см. ниже пример 4).
Определение 6. Результат факторизации кольца А по сравне-
сравнению по двустороннему идеалу о называется факторколъцом коль-
кольца А по а и обозначается Ala.
Примеры идеалов и факторколец. 1) Кольцо А
всегда является своим двусторонним идеалом. Точно так же множество,
сводящееся к одному элементу 0, есть двусторонний идеал кольца А;
он называется нулевым идеалом и обозначается @). Факторкольцо
А 1@) изоморфно А; факторкольцо А/А сводится к 0.
2) Каков бы ни был элемент а кольца А, множество Аа (соответ-
(соответственно аА) есть левый (соответственно правый) идеал этого кольца;
заметим, что, если А не обладает единицей, этот идеал не обязательно
содержит а.
3) Пусть М — произвольное множество элементов кольца А.
Множество тех элементов х ? А, для которых ху = 0 (соответственно
ух = 0), каково бы ни было у g M, есть левый (соответственно правый)
идеал кольца А; он называется лесым (соответственно правым) аннуля-
тором множества М. Если А не обладает делителями нуля, а М содер-
содержит элемент ф 0, аннуляторы М сводятся к нулевому идеалу.
4) Идеалы кольца Z рациональных целых чисел, являясь подгруп-
подгруппами аддитивной группы Z, имеют вид пЪ, где п ? N; но и, обратно,
очевидно, каждое множество такого вида есть идеал кольца Z; иными
словами, идеалы кольца Z совпадают с подгруппами аддитивной груп-
группы Z; идеал пЪ обозначается также (п). При п>0 факторкольцо Z/(/i)
есть конечное коммутативное кольцо, состоящее из п элементов, внут-
внутренними законами которого являются сложение и умножение по мо-
модулю п (§ 4, п° 3); заметим, что, вообще говоря, оно обладает делите-
делителями нуля: например, 2 =ё 0 (mod 4), но 2-2 = 0 (mod 4), так что класс
числа 2 (mod 4) есть делитель нуля в кольце Z/D).
6. Свойства идеалов
В этом и следующем п°п° рассматриваются только левые иде-
идеалы; соответствующие предложения для правых и двусторонних
идеалов предоставляем сформулировать читателю.
10 п. Бурбаки

|4Н АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
Если А — кольцо и а — его левый идеал, а В — подкольцо,
то В П а есть левый идеал кольца В. В частности, если а а В,
то а есть левый идеал в В; по, обратно, левый идеал в В необяза-
необязательно является левым идеалом в А.
Так как левые идеалы кольца А совпадают с устойчивыми под-
подгруппами относительно структуры группы с операторами А, то
на них распространяются все свойства устойчивых подгрупп
группы с операторами (§ 6, п° 10). Так, пересечение семейства
(at) левых идеалов есть левый идеал; среди левых идеалов, содер-
содержащих заданное множество М d А, существует наименьший;
он называется левым идеалом, порожденным множеством М,
а М — системой образующих этого идела.
В частности, в кольце А, обладающем единицей е, левый идеал,
порожденный множеством, сводящимся к одному элементу а,
есть множество А а всех элементов вида ха, где х пробегает А\
действительно, это множество является левым идеалом, содержит
а = еа и содержится в каждом левом идеале, содержащем а. Если
при этом А коммутативно, идеал Аа = аА, порожденный эле-
элементом а, обозначается (а) и называется главным идеалом. ¦
Мы видели выше, что в кольце Z каждый идеал — главный.
Предложение 3. Левый идеал кольца А, порожденный объеди-
объединением семейства (at)i?i левых идеалов этого кольца, есть множе-
множество всевозможных сумм вида У, хь, где xl^al, a H — конечные
1?Я
подмножества множества индексов I.
Как легко видеть, множество всех сумм J хь есть подгруппа
аддитивной группы А, порожденная объединением идеалов at;
действительно, достаточно заметить, что если х = 2 хь и У =-
к я
= Т. Ух, — две такие суммы, то, положив х^ = 0 при iff// и у = О
{{к
при i (J К, можно написать х = У xt, у = J 2/и а тогда
х + У = У (*i + yi). где ;rt+ гд, ? at. С другой стороны,
1?Я|_'К
для каждого z ^ А имеем z(^ хЛ = У\ zxb, где за^сц.
l?H Ifcff

6 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 147
Наконец, для каждого оператора а на А таким же образом имеем
«(? xi) = J1 ахч гДе a^iGii-
16Н i?H
Следствие. Наименьшим левым идеалом, содержащим конечное
п
число левых идеалов сь A<?<п), служит их сумма 2 ai-
По аналогии также левый идеал, порожденный объединением
бесконечного семейства (си)^/ левых идеалов кольца А, назы-
называют суммой этого семейства и обозначают ^ ai (см- главу II, § 1).
Ясно, что левый идеал кольца А, порожденный произвольным
множеством М d А, содержит левые идеалы ах, порожденные
любыми элементами х ? М, и, таким образом, совпадает с сум-
суммой J1 ах. В частности:
Предложение 4. В кольце А, обладающем единицей, левый
идеал, порожденный непустым множеством MdA, совпадает
с множеством всех сумм вида 2 ^Л, где (аг) — произвольные конеч-
конечные семейства элементов из М, a xi — произвольные элементы из А.
Пример. Идеал кольца Z, порожденный множеством, состоя-
состоящим из двух элементов тип, есть сумма (т)+(я) главных идеалов,
порожденных каждым из этих элементов; :<ак всякий идеал кольца Z,
он совпадает с некоторым главным идеалом (d) (d ? N). Но для того,
чтобы главный идеал (а) содержал т, необходимо и достаточно, чтобы а
было делителем т. Мы видим таким образом, что все общие делители
рациональных целых т и п являются делителями одного и того же.
d ? N, которое само есть общий делитель тип. Следовательно, d —
наибольший из общих делителей !> О чисел тип; поэтому его называют
наибольшим общим делителем (сокрэшенно: н. о. д.) га и п, и мы видим-
вместе с тем, что существуют (положительные или отряцателыше)
целые р и q такие, что d—pm-\-qn.
Заметим, кстати, что наибольший идеал, содержащийся в иде-
идеалах (гп) и (л), т. е. их пересечение (т) П («)> также совпадает с неко-
некоторым главным идеалом (г) (г ? N); аналогичное рассуждение доказы-
доказывает, что каждое общее кратное рациональных целых тип кратно г
и что г — наименьшее из общих кратных ^0 чисел т и п; его назы-
называют наименьшим общим кратным (н. о. к.) т и п.
Эти рассмотрения легко обобщаются на любое конечное число
рациональных целых чисел (см. главу VI).
10*

148 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
7. Максимальные идеалы
Определение 7. Максимальным левым идеалом кольца А назы-
называется каждый максимальный элемент упорядоченного по включе-
включению множества всех левых идеалов кольца А, отличных от А.
Пример. Максимальный идеал кольца Z — это главпый идеал
(р), где р ]> 1 есть целое число, не обладающее никаким делителем q,
удовлетворяющим неравенствам 1 < q < p\ такое число называют
простым; так, например, числа 2, 3, 5, 7 — простые.
Каждое целое п > 1 обладает простым делителем, ибо наимень-
наименьший из делителей ф\ числа п очевидно простой.
Можно также сказать, что в Z каждый идеал (п) Ф Z содержится
в максимальном идеале; в такой форме это предложение является част-
частным случаем следующей общей теоремы:
Теорема 2 (Круль). В кольце А с единицей каждый левый идеал,
отличный от А, содержится в максимальном левом идеале.
В силу теоремы Цорна (Теор. мн., Рез., § 6, п° 10) достаточно
доказать, что множество % всех левых идеалов фА, упорядочен-
упорядоченное по включению, индуктивно, т. е., каково бы ни было совер-
совершенно упорядоченное множество @ d ?у> объединение тп всех
входящих в него идеалов есть левый идеал Ф А. Но так как ника-
никакой идеал из ($ не содержит единицы е кольца А, то е (jj Tit;
с другой стороны, так как каждое х ? m принадлежит некоторому
а € Ф, то zx ? а С тп и ах ? а С m для каждого z € А
и каждого оператора а на А; наконец, для любых двух элементов
х и у из m существуют идеалы а, Ь, принадлежащие (У и такие,
что х g а и у € Ь; так как один из этих идеалов содержит другой,
то а; — у принадлежит одному из идеалов а, Ь и, следовательно,
идеалу тп.
Замечание. Теорема 2 уже не всегда будет верна, если не пред-
предполагать, что А обладает едипицей (см. упражнение 146).
8. Гомоморфизмы колец
Общие определения § 4 (п° 4) позволяют определить представ-
представление кольца А в множество А', наделенное структурой, гомоло-
гомологичной структуре, заданной в А (§ 4, п° 1); это означает здесь,
что заданная в А' структура определяется, с одной стороны, двумя
внутренними законами, сопоставляемыми соответственно задан-

* КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 149
ными на А сложению и умножению, и, с другой стороны, внешними
законами, взаимно однозначно сопоставляемыми внешним законам
кольца А так, что соответственные законы имеют одну и ту же
область операторов. В этих условиях (при одинаковом обозначе-
обозначении соответственных законов) введем
Определение 8. Отображение f кольца А в множество А', наде-
наделенное гомологичной структурой, называется представлением
(или гомоморфизмом) А в А', если, каковы бы ни были элементы
х^А, У € А и оператор а кольца А, композиции /(х) + /(z/),
/(х) f (у) и а/(х) определены, причем f(x + y) = f(x) + f(y), f (xy) =
= f(x)f(y), f(ax) = af(x).
Каноническое отображение кольца А на его факторкольцо
есть гомоморфизм, называемый каноническим.
В соединении с доказанной выше теоремой 1 теорема о гомо-
гомоморфизмах (§4, теорема 1) дает для колец следующий результат:
Теорема 3. Пусть / — представление кольца А в множество А',
наделенное гомологичной структурой. Тогда f(A) — кольцо (при
индуцированной из А' структуре), в котором /@) есть нейтраль-
нейтральный элемент относительно сложения (также обозначаемый 0).
-1
Прообраз а = / @) этого нейтрального элемента есть двусторон-
двусторонний идеал кольца А; кольцо / (А) изоморфно факторколъцу A fa,
а представление f есть композиция канонического гомоморфизма А
на А 1а и инъективного гомоморфизма Ala в А'.
Пример. Пусть А — кольцо без операторов, не сводящееся
к 0 и обладающее единицей е; отображение п -> пе есть представление
кольца Z в А; следовательно, подкольцо кольца А, образованное эле-
элементами пе, изоморфно факторкольцу Z/(q), где q — некоторое целое
>0; q называется характеристикой кольца А (см. главу V, § 1); если
q > 0, то его можно определить как наименьшее из целых чисел
т > 0 таких, что тх = 0 для каждого х ? А. В частности, кольцо
Z/(ra) имеет характеристику п.
Предложение 5. Если а — обратимый элемент кольца А,
то отображение х —> аха'1 есть автоморфизм этого кольца.
Действительно, а (х + у) а'1 = аха'1 -\-aya~1, а(ху)а'1 =
= (аха'1) (ауа'1), и для каждого оператора а кольца А, в силу G)>

150 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
а{ах) а'1 = а (аха'1); с другой стороны, так как отношение у —
— аха'1 равносильно отношению х = а'1уа, то х—> аха'1 есть
взаимно однозначное отображение А на себя. Его называют
внутренним автоморфизмом кольца А.
9. Подкольца и идеалы факторколъца
Теорема 4. Пусть f — канонический гомоморфизм кольца А
на его факторкольцо А' = А1а по двустороннему идеалу а.
-1
а) Прообраз B = f(B') подкольца В' кольца А' есть подколъцо
кольца А, содержащее а; при этом В' = / (В) и кольцо В' изоморфно
факторколъцу В/а.
б) Отношение B = f(B') устанавливает взаимно однозначное
соответствие между подколъцами кольца А' и подколъцами кольца А,
содержащими а.
в) Каково бы ни было подкольцо В кольца А, В + а есть под-
подколъцо кольца A, a f (В) — подкольцо кольца А', изоморфное фактор-
кольцам В/(В[)а) и (В + а)/а.
Непосредственная проверка показывает, что если В' — под-
-1
кольцо кольца А', то B-f(B') есть подкольцо кольца А и содер-
содержит а; так как / отображает А на А', то оно отображает В на В',
и значит, согласно теореме 3, В' изоморфно В/а; тем самым а)
доказано.
Обратно, если В — подкольцо кольца А, содержащее а, то В
насыщено по сравнению mod а, значит, для B'=f(B) имеем
B = f(B'), чем доказано б).
Установим, наконец, справедливость утверждения в). Каково
бы ни было подкольцо В кольца А, сужение / на В есть пред-
представление В в А', причем прообразом нуля относительно этого
представления является В[)а; следовательно, согласно теореме
3, / (В) изоморфно В/(В[)а). Множество В-\- а получается путем
насыщения В по отношению х=у{а)\ согласно второй теореме
об изоморфизме (§ 4. теорема 3), оно устойчиво относительно
умножения и внешних законов кольца А и, будучи подгруппой
аддитивной группы А, является подкольцом кольца А; вторая
теорема об изоморфизме показывает тогда, что (В-\-а)/й изо-
изоморфно В/(В Р) а).

9 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 151
Теорема 5. Пусть f — канонический гомоморфизм кольца А
на его факторколъцо А'— Ala no двустороннему идеалу а.
-1
а) Прообраз Ь = / (Ъ') левого (соответственно правого) идеала Ъ'
кольца А' есть левый (соответственно правый) идеал кольца А,
содержащий а, причем 6' = /(Б).
б) Отношение Ь = /F') устанавливает взаимно однозначное
соответствие между левыми (соответственно правыми) идеалами
кольца А' и левыми (соответственно правыми) идеалами кольца А,
содержащими а. Для любых двух левых (соответственно правых)
идеалов Ъ' и с' кольца А' имеем
(8)
-1
в) Если Ь' — двусторонний идеал кольца А', то Ь = / F') —
двусторонний идеал кольца А, содержащий а, и А/Ъ изоморф-
изоморфно А'/Ъ'.
Непосредственная проверка показывает, что если Ь' — левый
(соответственно правый, двусторонний) идеал кольца А', то
Ь = /(Ь') есть левый (соответственно правый, двусторонний)
идеал кольца А, содержащий а; так как / отображает А на А',
то оно отображает Ъ на Б', и а) доказано. Обратно, если Ъ —
левый идеал кольца А, то /(Ь) — левый идеал кольца А', ибо
если х? Ь и z'? A', то существует z?A такое, что z' —f (z), и значит,
z'f (x) = / (z)/ (х) = / (zx) б / F); доказательство для правых идеа-
идеалов аналогично. В частности, если bZDu, то 6 насыщено по
- 1
сравнению mod а, так что для 6' = /(Ь) имеем Ь = /F'), чем
доказана первая часть утверждения б); соотношения же (8)
выполняются для произвольных подмножеств V и с' кольца
А' (§ 6, п° 13).
Можно также заметить, что сумма двух идеалов есть их верхняя
ераш, в множестве всех идеалов кольца А', упорядочешюм по включе-
включению, а пересечение — нижняяя грань; и то же в множестве всех идеа-
идеалов кольца А, содержащих а; формулы (8) вытекают тогда из того,
что взаимно однозначное отображение 6' —>-/(&') первого из этих
множеств на второе — возрастающее.

152 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § 8
Наконец, если Ъ' — двусторонний идеал кольца А и
Ь = /(Ь'), то изоморфизм Alb и А'/Ъ' вытекает из первой
теоремы об изоморфизме (§ 4, теорема 2).
Для подколец В кольца А, содержащих а, кольца /(В) и
В/а обычно отождествляются; в частности, идеал /F) коль-
кольца А', соответствующий идеалу bZDa, обозначают Ыа;
поэтому в случае двустороннего идеала Ъ утверждение в) теоре-
теоремы 5 выражают, говоря, что факторкольцо (А/аI(Ыа) изоморф-
изоморфно А/Ъ.
10. Произведения колец
Из замечаний, сделанных в п°5 § 4 и п°1 §5, явствует, что
произведение структур семейства (At) гомологичных колец с опе-
операторами также есть структура кольца с операторами; это приво-
приводит к следующему определению:
Определение 9. Произведением семейства {А^щ гомологич-
гомологичных колец с операторами называется множество А= ГТ ^4tI
наделенное структурой кольца с операторами, определяемой
гаконами
(где а пробегает все операторы колец Ah).
Важным частным случаем произведений колец является коль-
кольцо, образованное всевозможными отображениями множества Е
в кольцо А, совпадающее с произведением АЕ (см. § 4, п° 5).
Если Bt — подкольцо (соответственно левый идеал, правый
идеал) кольца At, то В= \_]Bt есть подкольцо (соответственно
левый идеал, правый идеал) кольца Л=?]Л|,. В частности,
it/
пусть / — непустое подмножество множества /, К — С/ и
В1 = А1 для ig /, Bh = {0} для ig К; тогда подкольцо A'j— [] Вь
Hi
есть двусторонний идеал в А, структура кольца (с операторами)
которого изоморфна структуре кольца ^=[]Л,,; Aj часто

11 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 153
отождествляют с Aj посредством канонического изоморфизма
аддитивной группы Aj на аддитивную группу Aj, являющегося
также изоморфизмом кольцевых структур. Проекция prj кольца А
на / есть гомоморфизм; прообраз нуля относительно этого гомо-
гомоморфизма есть не что иное, как А'%, так что Aj изоморфно А/А'ц,
а А изоморфно произведению Aj X (A/A'j). Кроме того, по опре-
определению умножения в А, имеем A'jA'k — {0}: говорят, что под-
кольца Aj и А'к взаимно аннулируются. Отсюда следует, что
каждый идеал в Aj есть также идеал в А.
Вместе с тем мы видим, что каждое произведение колец, не сво-
сводящихся к 0, содержит делители нуля, отличные от 0.
В случае, когда / — множество {i}, состоящее из одного
элемента, подкольцо Aj, изоморфное А,,, обозначается также А',,.
Если а — левый (соответственно правый) идеал в А, его проек-
проекция на Аь есть левый (соответственно правый) идеал в At (теоре-
(теорема 5); при этом:
Предложение 6. Если произведение А колец Аь обладает еди-
единицей (т. е. каждое из колец /lt обладает единицей), то идеал
af\A[ изоморфен проекции а на А,,; при этом в случае конечного
множества индексов I а совпадает с произведением своих проекций
на кольца Av.
Действительно, пусть x=^(xL)— элемент из а, et — единица
кольца Ai, е[ — единица кольца А'; а содержит е[х, т. е. эле-
элемент, все координаты которого, за исключением координаты
с индексом I, равной xL, равны нулю; а отсюда сразу следует
справедливость предложения.
Без предположения, что А содержит единицу, предложение
становится неверным (см. упражнение 14в).
11. Прямая композиция подколец
Пусть А = [] Аг — произведение конечного семейства под-
колец At; в обозначениях предыдущего п° аддитивная группа А
есть прямая сумма (§ 6, п° 6) аддитивных групп А[ (допуская
вольность речи, это выражают, говоря, что кольцо А есть прямая
п п
сумма подколец А\). Но более того, если a;=J xt и V= 2#i>

154 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 8
где хг б А\, ух б А\, — (однозначно определенные) разложения про-
п
извольных элементов х, у кольца А, то ху — '^xiyi.
Определение 10. Кольцо А называется прямой композицией
конечного семейства Ej)i^i^m своих подколец, если А есть прямая
сумма подколец Вг и тождественно
(i>i)(i2/i) 2 iVi (^it у^г)
i=l i=l г=1
Тем самым кольцо А, являющееся прямой композицией своих
подколец, изоморфно их произведению.
Не следует смешивать попятия прямой суммы и прямой компози-
композиции подколец: кольцо вполпе может быть прямой суммой своих под-
подколец (и даже правых или левых идеалов), не будучи их прямой ком-
композицией; мы встретимся с примерами этого в главе II.
Предложение 7. Пусть кольцо А есть прямая сумма конеч-
конечного семейства (ВгI^г^п своих подколец. Следующие утвержде-
утверждения равносильны:
а) А есть прямая композиция подколец Z?t;
б) Вг являются двусторонними идеалами кольца А;
в) Вг взаимно аннулируются.
Действительно, а) влечет б), поскольку А изоморфно [\ Bt;
б) влечет в), ибо если Bi — двусторонние идеалы, то
BiBi CZ Bi П Bi = {0} при 1фу,
наконец, в) влечет а) в силу дистрибутивности умножения и опре-
определения 10.
Пример. Рассмотрим подкольцо А факторкольца Z/F), обра-
образованное классами чисел 0 и 3 (mod 6), п подкольцо В, образованное
классами чисел 0, 2 и 4 (mod С); А изоморфно Z/B), а В изоморфно
Z/C); Z/F) есть прямая сумма подколец А и В, ибо 1 = 3 — 2 и срав-
сравнения и = v F), и = 0 B) и v = 0 C) могут одновременно выпол-
выполняться лишь если и = v _: 0 F); наконец, очевидно А и В взаимно
аннулируются; таким образом, Z/(G) есть прямая композиция своих
подколец А ж В ж, следовательно, изоморфно произведению (Z/B))X
X(Z/C)) (см. главу VII).
Если кольцо А есть прямая композиция своих подколец Вг,
то, вследствие изоморфизма прямой композиции произведению,

11 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 155
центр С кольца А есть прямая композиция центров Сг подколец Вг
и Сг = С[}Вг (§ 4, п°5).
Предложение 8. Если кольцо А есть прямая композиция
своих подколец Вг (l<Ci<^n), ai —двусторонний идеал в В{
п
и а = 2 ai> mo факторколъцо А/а изоморфно произведению фак-
г=1
торколец Вг1аг.
Это — непосредственное следствие предложения 4 § 4.
Упражнения. 1) Определить все кольцевые структуры
в множестве, состоящем из п элементов, где 2 ^ п <1 5, а также идеалы
этих колец.
2) Показать, что кольцо эндоморфизмов коммутативной группы,
являющейся произведением двух циклических групп второго порядка,
некоммутативно и обладает делителями нуля, отличными от 0.
3) Пусть А — кольцо (без операторов) и на множестве Z х А
следующим образом определены сложение и умножение:
(т, х)-\-(п, у) = (т-\-п, х + у),
(т, х)(п, у) = (тп, ту-\-пх-\-ху).
Показать, что эти законы определяют в ZXA структуру кольца с еди-
единицей и что А изоморфно двустороннему идеалу этого кольца.
4) Пусть А — кольцо, не сводящееся к 0 и имеющее единицу е.
Если для некоторого элемента а ? А существует, и притом единствен-
единственный элемент а' ? А такой, что аа'=е, то а обратим и а' обратен а.
[Показать сначала, что а не есть лавый делитель нуля, а затем рас-
рассмотреть произведение аа'а.]
*5) Пусть А — кольцо без делителей нуля, имеющее единицу е.
Предположим, что на А задан всюду определенный внутренний закон
Т такой, что порожденный им правый внешний закон дистрибутивен
относительно сложения, а левый — относительно умножения.
а) Показать, что если А не есть кольцо характеристики 2, то
жТ2/ = 0 для всех х и у из А. [Использовать упражнение 4 § 5.] *).
б) Если Л имеет характеристику 2, ажТу = 0 не для всякой пары
(х, у) элементов из А, то множество G тех и ? А, для которых и Т е = 0,
есть подгруппа индекса 2 аддитивной группы А и закон Т опре-
*) В главе IV будет приведен пример кольца целостности с любой харак-
характеристикой, один из законов Т на котором таков, что порожденный
им правый внешний закон дистрибутивен одновременно относительно сло-
сложения и умножения, & хТу равно нулю лишь если х = 0 или j/ = 0.

156 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § &
деляется знанием всех композиций аТ х, где а — (произвольный)
фиксированный элемент $ G. Обратно, задание подгруппы G индекса 2
аддитивной группы А и отображении / А в себя такого, что f-(xy) —
— J (х) / (у)< определяет закон Т , обладающий указанными свойствами
6) Пусть А — кольцо с операторами, В — произвольное мно-
множество его элементов а В' — порожденное им в А множество, устой-
устойчивое относительно заданных на А внешних законов.
а) Пусть В"~ВСО — порожденное В' множество, устойчивое
относительно умножения. Тогда подкольцо, порожденное множеством
В, совпадает с подгруппой аддитивной группы А, порожденной мно-
множеством В".
б) Левый идеал, порожденный множеством В, совпадает с под-
подгруппой аддитивной группы, порожденной множеством В' -\-АВ',
а двусторонний идеал, порожденный множеством В, — с подгруппой
аддитивной группы, порожденной множеством В'-\-АВ'-\-В'А-\-АВ'А.
*7) Пусть А — кольцо (без операторов), не содержащее делите-
делителей нуля и такое, что каждаи его аддитивная подгруппа является
левым идеалом. Показать, что А изоморфно подкольцу кольца Z
или факторкольцу вида Z/(/>), где р — простое. [Выразив, что адди-
аддитивная группа, порожденная элементом а Ф О, является левым идеа-
идеалом, показать, что этим определяется изоморфизм А в Z или в фактор-
кольцо кольца Z.]
8) Правый идеал, порожденный левым идеалом кольца, является
двусторонним идеалом.
9) Правый аннулятор правого идеала кольца есть двусторонний
идеал.
10) Двусторонний идеал кольца А, порожденный элементами
ху — ух, где х и у пробегают А, есть наименьший из двусторонних
идеалов а таких, что А/а коммутативно.
11) Пусть (аа) — семейство двусторонних идеалов кольца А,
для которого П оа=={^- Показать, что А изоморфно подкольцу
а
произведения J] (А/аа).
а
*12) Двусторонний идеал а кольца А называется неприводимым,
если не существует пары двусторонних идеалов Ь, с, отличных от а
и таких, что а = 6/~1с.
а) Показать, что пересечение всех неприводимых идеалов коль-
кольца А сводится к 0. [Заметить, что множество всех двусторонних идеа-
идеалов, не содержащих элемента а ф 0, индуктивно, и применить тео-
теорему Цориа.]
б) Вывести отсюда, что каждый двусторонний идеал кольца А
есть пересечение всех содержащих его неприводимых идеалов. [Исполь-
[Использовать теорему 5.]

КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 157
*13) Идеал р коммутативного кольца Л, отличный от Л, называют
простым, если факторкольцо А/р есть кольцо целостности (иными
словами, если отношения х ^ р, у (? р влекут ху ^ р).
а) Если А обладает единицей, то каждый максимальный идеал а
в А — простой. [Заметить, что в факторкольце А/а идеал, порожден-
порожденный любым ненулевым элементом, совпадает с А/а, и вывести отсюда,
что каждый ненулевой элемент из А/а обратим.]
б) Каждый простой идеал неприводим (упражнение 12).
в) Если множество ^ всех простых идеалов, содержащих задан-
заданный идеал ф А, не пусто (что всегда верно, когда А обладает едини-
единицей), то оно индуктивно по отношению з; если А обладает единицей,
то 3 индуктивно по отношению С.
г) Пусть а — произвольный идеал фА и Ъ — множество тех
х(А, у которых некоторая степень хп ? а (где п зависит от х).
Показать, что Ь — идеал и что, если Ь Ф А, пересечение всех простых
идеалов, содержащих а, совпадает с Ь. [Заметить, что для а$Ъ
множество всех идеалов, содержащих а, но не содержащих никакой
степени ап, индуктивно по отношению С1, и доказать, что всякий
максимальный элемент р этого множества — простой.]
14) При структуре кольца с нулевым квадратом (пс 1, пример III),
определенной в заданной коммутативной группе G, идеалы кольца G
совпадают с подгруппами аддитивной группы G.
а) Примем за G аддитивную группу Ъ/(р) целых чисел по простому
модулю р. Показать, что в кольце G с нулевым квадратом идеал @) —
максимальный, но не простой.
°б) Примем за G подгруппу аддитивной группы Q/Z рациональных
чисел по модулю 1, образованную классами (mod 1) рациональных
чисел вида к/рп, где кип — произвольные целые -г- 0, а р — фиксиро-
фиксированное простое число. Показать, что каждая подгруппа группы G
имеет вид Gn, где Gn — множество всех классов (mod 1) чисел вида к/рп
с фиксированным п > 0 и произвольным к. Вывести отсюда, что
в кольце G с нулевым квадратом не существует ни максимальных,
ни простых идеалов.а
в) Приняв за G аддитивную группу Z рациональных целых чисел,
привести пример идеала в произведении GXG кольца G с нулевым
квадратом на самого себя, который не совпадал бы с произведением
своих проекций на кольца-сомножптели.
15) Пусть А — кольцо с единицей е. Если оно является прямой
суммой конечного числа своих левых идеалов Ij (I <^ i <^ л) и е—-
= 2 Ч (ег 6 Гг), тое? = еь е^ = 0при гф/ и \l=Aei. [Записать,
i=l
что х=хе для каждого х?А.] Обратно, если et A <; г ^ л) — п
п
идемпотентов таких, что е$еу = О при i Ф j и ?=2 ег> то ^ есть
1=1

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § Ь
прямая сумма п левых идеалов Ае^. Rjir того чтобы все эти идеалы
Аег были двусторонними, необходимо и достаточно, чтобы все е4
принадлежали центру кольца А. |Использовать предложение 7.]
*16) Пусть е ¦— идемпотент кольца А.
а) Показать, что А есть прямая сумма левого идеала a=At
и левого аннулятора Ь элемента е. [Заметить, что, каково бы ни было
х ЕА, х — ze ? Ь. ]
б) Каждый правый идеал b кольца А есть прямая сумма ЪГ)а
(правого идеала подкольца а) и bПЬ (правого идеала подкольца 6).
в) Если Ае=еА, то е есть единичный элемент подкольца а, Ъ —
двусторонний идеал кольца А и А — прямая композиция подколец п
и 6; каждый левый (соответственно правый) идеал с кольца А есть
прямая сумма левых (соответственно правых) идеалов с Г) о и сГ\Ъ
этого кольца.
*17) Пусть А — кольцо с единицей е. Если центр С кольца А
есть прямая композиция подколец С{ A <С г <J л)> т0 -^ есть прямая
композиции порожденных ими двусторонних идеалов (ц. [Для дока-
доказательства того, что А есть сумма идеалов сц, воспользоваться тем,
п
что каждое х?А представимо в виде х = хе=^ xei, где е4 — еди-
i=l
яичный элемент подкольца С;; чтобы убедиться в том, что эта сумма-
прямая, показать, что, каково бы ни было z?cij, zej = z и zej = O
для всех / Ф i].
*18) Кольцо без операторов А называют булевским кольцом,
если каждый его элемент идемпотентен (иными словами, если я?—х
для каждого х?А).
а) Показать, что если для любых А С Е, В СГ Е положить АВ~
= АГ\Б и А-{-В=(АГ\СВ)\_(В~\СА), то этим в множестве % (Е) '
всех подмножеств множества Е определится структура булевского
кольца. Это кольцо изоморфно кольцу КЕ всех отображений Е в коль-
кольцо К = 2./B) целых чисел по модулю 2. [Рассмотреть для каждого
X СГ Е его «характеристическую функцию» ф^, определяемую усло-
условиями ф^(х)=1, если х$_Х, и ф^(х) = 0, если х(?Х.\
б) Каждое булевское кольцо А коммутативно и имеет характе-
характеристику 2. [Записать, что х-\-х — идемпотент, а затем, что х-\-у —
идемпотент.]
в) Булевское кольцо А без делителей нуля сводится к 0 или
изоморфно Z/B). [Показать, что ху (х ' ?/)=0 для любых двух элементов
х и у из А.] Вывести отсюда, что в булевском кольце каждый простой
идеал (упражнение 13) — максимальный.
г) Каждый идеал а булевского кольца А, отличный от А, есть
пересечение содержащих его простых идеалов. [Применить упражне-
упражнение 13г.] Вывести отсюда, что каждый неприводимый идеал кольца А
(упражнение 12) — максимальный (тем самым для булевского кольца

КОЛЬЦА И кОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ 159
понятия неприводимого идеала, простого идеала и максимального
идеала совпадают).
д) Показать, что каждое булевское кольцо изоморфно подкольцу
произведения КЕ, где K = Z/B). [Использовать г) и упражнение И.}
е) Пусть pi (I <J i <^ п) — п различных максимальных идеалов
булевского кольца А и а= f"J pi. Показать, что А/а. изоморфно Кп.
[Индукцией по и, находя максимальные идеалы кольца Кп с помощью
предложения 6.] Вывести отсюда, что каждое конечное булевское
кольцо есть кольцо вида Кп.
ж) В булевском кольцо А отношение ху = х есть отношение по-
порядка; будем обозначать его х <; у [§ 1, упражнение 15]; показать,
что А—дистрибутивная решетка (Теор. мн., гл. III, § 1, упражнение 16),
обладающая наименьшим элементом а, и что для каждой пары (х, у)
ее элементов таких, что х ^ у, существует элемент d (x, у), для кото-
которого Ш (х, d (х, у))—a, sup (x, d(x, у)) —у. Обратно, показать, что
если дистрибутивная решетка А обладает указанными свойствами, то
законы композиции ху = Ш(х, у) и x-\-y — d( inf (x, у), sup (x, у))
определяют в А структуру булевского кольца.
19) Кольцоидом называется множество Е, наделенное двумя
внутренними законами композиции: а) всюду определенным ассоциа-
ассоциативным умножением ху\ б) аддитивно записываемым не всюду опре-
определенным законом, удовлетворяющим следующим условиям:
1° он коммутативен (иными словами, если х-{у определено, то
определено также у-\-х, и х-\-у=у-\-х; мы будем в этом случае говорить,
что х и у суммируемы);
2° если х л у суммируемы, то для того, чтобы х-\-у и z были сум-
суммируемы, необходимо и достаточно, чтобы были суммируемы как х
и z, так у и г; тогда также х и y-\-z суммируемы и (х+у)+ z=x-\- (y-\- г);
3° существует нейтральный элемент 0;
4° если как х и z, так у и г суммируемы и x+z=y-{-z, то х=у;
5° умножение двояко дистрибутивно относительно сложения.
Каждое кольцо есть кольцоид; для того чтобы кольцоид, имею-
имеющий единичный элемент е, был кольцом, необходимо и достаточно,
чтобы существовал элемент х такой, что х и е суммируемы и z-j-e=O.
Исследовать, как распространяются на кольцоиды определения
и результаты § 8 и приведенных выше упражнений (левым идеалом
кольцоида Е называется множество а. а Е, устойчивое относительно
сложения и удовлетворяющее условию Еа CZ й).
20) Пусть G — группа с операторами, а / и g — ее эпдоморфизмы.
Для того чтобы отображение х -- / (х) g (x) также было ее эндоморфиз-
эндоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент подгруппы
/(G) был перестановочен с каждым элементом подгруппы g (С); обозна-
обозначая тогда этот эндоморфизм через f-\-g, а композицию х -> / (g(x))
эндоморфизмов g и / через fg, показать, что множество Е всех эндомор-

160 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ I, § 9
физмов группы с операторами G, наделенное этими двумя законами
композиции, есть кольцоид с единицей (упражнение 19); для того чтобы
Е было кольцом, необходимо и достаточно, чтобы группа G была ком-
коммутативна.
Для того чтобы элемент / ? Е был суммируемым со всеми эле-
элементами из Е, необходимо и достаточно, чтобы / (С) содержалось
в центре группы G; множество N всех таких эндоморфизмов есть
кольцо, называемое ядром кольцоида Е.
Эндоморфизм / группы с операторами G называется нормальным,
если он перестановочен со всеми ее внутренними автоморфизмами;
какова бы ни была устойчивая нормальная подгруппа Н группы G,
тогда и / (Я) будет устойчивой нормальной подгруппой этой группы.
Показать, что множество D всех нормальных эндоморфизмов группы
с операторами G образует подкольцоид кольцоида Е, а ядро N есть
двусторонний идеал кольцоида D.
§ 9. Тела
1. Тела и тела с операторами
Определение 1. Телом называется кольцо К, множество нену-
ненулевых элементов которого образует группу относительно закона,
индуцированного заданным на К умножением.
Кольцо с операторами К, обладающее этим свойством, назы-
называется телом с операторами. Так же как и для колец, мы в слу-
случае отсутствия опасности путаницы вместо «тело с операторами»
будем говорить просто «тело».
Множество ненулевых элементов тела К будет обычно обо-
обозначаться К*; наделенное групповой структурой, определяемой
в нем заданным на К умножением, оно называется мультиплика-
мультипликативной группой тела К. Будучи по самому определению группой,
К* не пусто; его нейтральный элемент е является единичным
элементом тела К; так как он ф 0, то тело содержит по крайней
мере два элемента.
Кольцо, противоположное телу, очевидно, снова есть тело.
Тело называют коммутативным, если его умножение коммута-
коммутативно; такое тело совпадает с противоположным ему. Некоммута-
Некоммутативные тела иногда называют косыми. Коммутативные тела будут
называться полями.

2 ТЕЛА ' 161
Примеры долей*). °1) Наиболее важными для математики
полями являются поле рациональных чисел, которое будет определено
в п° 5, поле вещественных чисел и поле комплексных чисел, которые мы
определим в «Общей топологии» (Общ. топ., главы IV и VIII).о
2) В множестве Е., состоящем яз двух элементов, можно опреде-
определить структуру тела, и притом (с точностью до перестановки) только
одну. Действительно, один элемент из Е должен быть нейтральным
элементом 0 аддитивной группы, а другой—нейтральным элементом е
мультипликативной группы. Аддитивная группа вполне определяется
заданием е+е, которым может быть лишь 0; мультипликативная группа
сводится к е; наконец, должны иметь место равенства еО=О'в=О.
Легко видеть, что всем этим действительно определяется в Е структура
(коммутативного) тела.
2. Подтела
Пусть В — множество элементов кольца А, не сводящееся
к 0; для того чтобы В, наделенное индуцированной из А струк-
структурой, было телом, нужно прежде всего, чтобы В было подколъ-
цом кольца А; кроме того, это подкольцо должно обладать еди-
единицей е (не обязательно являющейся единицей кольца А) и каж-
каждый элемент х Ф 0 из В должен быть обратимым в В. Обратно,
если эти условия выполнены, В есть тело; действительно, тогда
множество В* его ненулевых элементов устойчиво относительно
умножения (§ 2, следствие 2 предложения 5) и предложение
1 § 6 показывает, что оно является группой.
Если А — тело, то условия, которым должно удовлетворять
множество ВCZ А, чтобы быть телом, упрощаются следующим
образом: необходимо и достаточно, чтобы В было подкольцом
в А, не сводящимся к 0 и содержащим элементы, обратные (в А)
ко всевозможным своим ненулевым элементам (действительно,
множество В*, будучи подгруппой группы А*, должно содержать
единицу тела А).
Более общим образом, если подкольцо В тела А не сводится к 0
и обладает единичным элементом и, то и равно единице е тела А, ибо
из и2=и и и ф 0 следует м=м-м~1=е.
Подкольцо В тела К, являющееся телом, называют подтелом
тела К, & К часто называется надтелом или расширением своего
подтела В.
*) В главах II и VIII будут даны примеры некоммутативных тел.
И II. Бурбаки

162 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9
Всякое пересечение подтел тела К снова есть его подтело;
поэтому можно определить подтело, порожденное произвольным
множеством XdK, как наименьшее подтело тела К, содержащее X.
Предложение 1. Множество всех элементов тела К, пере-
перестановочных с каждым элементом произвольного фиксированного
множества М с К, есть подтело тела К.
Действительно (§ 8, предложение 2) это множество образует
в К подкольцо; с другой стороны, если х Ф 0 перестановочно
с z? М, то это же верно для х~х (§ 2, предложение 6), и предложе-
предложение доказано.
Следствие. Центр тела К есть (коммутативное) подтело
этого тела.
3. Гомоморфизмы тел
Предложение 2. Единственными левыми (соответственно пра-
правыми) идеалами тела К являются @) и К.
Действительно, если х Ф 0 принадлежит левому идеалу а,
то х~1х—е?а, и значит, а = К.
Теорема 1. Если / — гомоморфизм тела К в множество Е,
наделенное гомологичной структурой, то либо / (К) есть кольцо,
сводящееся к 0, либо f (К) есть тело, a f — изоморфизм К на
ЦК).
Действительно, прообраз /@) элемента 0 кольца f{K), как
двусторонний идеал в К, совпадает с К или с @), и справедли-
справедливость утверждения теоремы следует из теоремы 3 § 8.
Предложение 2 допускает следующее обращение:
Предложение 3. Если в кольце А, не сводящемся к 0 и обладаю-
обладающем единицей, не существует ни одного левого идеала, отличного
от @) и А, то А — тело.
Действительно, пусть х — произвольный ненулевой элемент
из А; так как А обладает единицей е, то левым идеалом, порожден-
порожденным элементом х, служит множество Ах; содержа х Ф 0, ятот
идеал совпадает с А, и значит, существует х' б А такое, что х'х = е.
Поскольку х ф 0, таким же рассуждением устанавливается суще-

4 ТЕЛА 163
ствование х"?А такого, что х"х —е; следовательно, хх' — ехх' =
= х"х'хх = х"ех = х"х = е, иными словами, х есть элемент,
обратный к х, и предложение доказано.
Замечания. 1) Предложение 3 теряет силу, если не предпо-
предполагать, что А обладает единицей (см. упражнение 3).
2) Некоммутативное кольцо (с операторами) А вполне может
не иметь никакого двустороннего идеала, отличного от @) и А, бея
того, чтобы быть телом (такие кольца будут изучаться в главе VIII).
Из предложения 3 вытекает следующая теорема:
Теорема 2. Пусть А — кольцо с единицей и а — его двусто-
двусторонний идеал. Для того чтобы факторколъцо Ala было телом,
необходимо и достаточно, чтобы а было максимальным левым
идеалом кольца А.
Действительно, Ala обладает единичным элементом, а сфор-
сформулированное условие выражает в силу теоремы 5 § 8, что един-
единственными левыми идеалами в А /а являются @) и А /а.
Отсюда видно, в частности, что для того, чтобы кольцо Z/(/>)
было полем, необходимо и достаточно, чтобы р было простым; так,
например, Z/B) есть поле, состоящее из двух элементов, изоморфное
полю из двух элементов, определенному в п° 1.
4. Поле отношений кольца целостности
Поскольку каждый ненулевой элемент тела К обратим иг,,
значит, регулярен относительно умножения, любое подколъцо-
в К есть кольцо без делителей нуля; в частности, всякое под-
кольцо поля есть кольцо целостности. Мы покажем, что и, обратно,,
каждое кольцо целостности может быть «погружено» в поле.
Более общим образом:
Предложение 4. Пусть А — коммутативное кольцо с опера-
операторами и А — результат его симметризации относительно
одного лишь умножения (§ 2, теорема 1).
а) В А можно определить, и притом только одну, структуру
кольца с операторами, индуцирующую в А заданную структуру.
б) Всякое представление / кольца с операторами А в кольцо
с операторами А', переводящее каждый регулярный элемент из А
в обратимый элемент кольца А', можно, и притом лишь един-
единственным образом, продолжить до представления / А в А'.
И*

164 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9
а) Будем, как обычно, считать А погруженным в А; тогда
каждый регулярный элемент из А обратим в А и каждый элемент
из А имеет вид— , тдех?А, у?А и у регулярен. Попытаемся опре-
с/
делить сумму двух элементов 2 = — и г' = ^- из А таким обра-
образом, чтобы определенное так сложение индуцировало в А его
аддитивный закон, а заданное в А умножение было дистрибутивно
относительно этого сложения; так как z — ^-r и z'=-^-^-, то
УУ УУ
из этих требований с необходимостью следует, что z4- z' — ——Ц—^ .
Обратно, покажем прежде всего, что определенный так эле-
элемент из А зависит только от z и z', но не от их представления
в форме дробей; действительно, если z = —, то хху ~хух, значит,
У\
(x^'-rx'yl)y=(xy' + x'y) ylt откуда
У\ _ху'-,-х'у
УуУ УУ
Без труда устанавливается, что так определенное в А сложе-
сложение ассоциативно и коммутативно, что каждый элемент z =—
обладает противоположным z =— и, наконец, что умножение
дистрибутивно относительно этого сложения, так что эти два
закона определяют в А структуру коммутативного кольца, являю-
являющуюся продолжением структуры коммутативного кольца, задан-
заданной в А.
Остается продолжить на А внешние законы кольца А так,
чтобы по-прежнему выполнялись тождества G) § 8; и это воз-
возможно здесь лишь единственным образом, ибо в силу указанного
л х
условия, если а—оператор на А и z = —, то должно иметь
¦место равенство az= —. Определенный так элемент az зависит
у
только от а и z, но не от представления z в виде дроби, ибо если
?l = — , то а (х1у) = а (ху^, и значит, (ах,) у— (ах) г/х;. а опреде-
З/i У
ленный таким образом внешний закон действительно дистрибу-
дистрибутивен относительно заданного на А сложения и удовлетворяет
тождествам G) § 8.

5 ¦ ' ТЕЛА 165
б) Если рассматривать в А структуру, определяемую одним
лишь умножением, то, как мы знаем (§ 2, теорема 2), / продол-
продолжается единственным образом до представления / множества А,
наделенного одним лишь умножением, в А' (наделенное одним
лишь умножением); / определяется формулой /(- ) — f (x) (f (у))'1 •
Остается .проверить, что, каковы бы ни были z?A, z'?A
и оператор a,/(z-j-z') = /(z) + /(z') и f (az) = а/ (z); это не пред-
представляет труда.
Определение 2. Кольцом отношений (или кольцом дробей)
коммутативного кольца А называется коммутативное кольцо,
получающееся путем наделения результата симметризации А
кольца А (относительно одного лишь умножения) структурой,
определенной в предложении 4.
Предложение 5. Кольцо отношений А кольца целостности А
есть поле; оно называется полем отношений (или полем дробей)
кольца целостности А.
Действительно, поскольку каждый ненулевой элемент из А
регулярен, каждый ненулевой элемент из А обратим (§ 2, след-
следствие теоремы 1).
Предложение 6. Если кольцо целостности А содержится
в (не обязательно коммутативном) теле К, то множество всех
элементов ху'х из К, где х пробегает А, а у — множество всех
ненулевых элементов из А, есть коммутативное подтело тела К,
изоморфное полю отношений кольца целостности А.
Это — непосредственное следствие второй части предложения 4,
примененной к тождественному отображению А на себя; пред-
представление А в К, получающееся путем продолжения, в силу
теоремы 1 необходимо является изоморфизмом.
5. Поле рациональных чисел
Определение 3. Полем рациональных чисел называют поле
отношений кольца Z рациональных целых чисел; элементы этого
поля, обозначаемого Q, называют рациональными числами.

]66 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9
В Z определено отношение порядка я<г/ (§ 2, п° 5), удо-
удовлетворяющее следующим двум условиям:
а) х^Су влечет х-\- z-Cy-т z для всех z;
б) структура порядка, определяемая отношением х^у, есть
структура совершенно упорядоченного множества.
Покажем, что в Q можно определить отношение порядка,
и притом только одпо, по-прежнему удовлетворяющее этим двум
условиями индуцирующее bZ первоначальное отношение порядка
(см. главу VI).
Действительно, заметим прежде всего, что из отношения
х > 0, в силу а), индукцией по р выводится, что рх > 0 для
каждого целого р > 0; отсюда следует, что если и —целое > 0,
1 1
то—> 0: в противном случае, в силу б), мы имели бы — < 0,
значит, >0 и п-( j= — 1 > 0, что абсурдно. Поэтому
заключаем, что если р и q — целые числа > 0, то рациональное
число — = р—> 0; так как каждое рациональное число может
быть записано в виде —, где ?>?Z, ^^N*, то мы видим, что
множество Q+ всех рациональных чисел > 0 совпадает с мно-
множеством всех чисел вида—, где />?N, q?N*. В силу а), отно-
отношение х*Су должно быть эквивалентно отношению у —
если существует отношение порядка в Q, удовлетворяющее
поставленным требованиям, то оно необходимо эквивалентно
отношению у — z(;Qt. Обратно, легко видеть, что это отношение
действительно есть отношение порядка в Q, удовлетворяющее
условиям а) и б) и индуцирующее в Z первоначально определен-
определенное отношение порядка.
Говоря о Q как об упорядоченном множестве, мы всюду,
где не оговорено противное, будем иметь в виду определенное
•здесь отношение порядка.
Рациональные числа >0 (соответственно <0, > 0, < 0)
называются положительными (соответственно отрицательными,
строго положительными, строго отрицательными) *).
*) И здесь мы отклоняемся от обычной терминологии, по которой поло-
положительное означает >0 (см. § 2. сноску в п° 5 .

ТЕЛА 167
В силу определения отношения ж>0 в Q, отношения
г/>0 влекут ху>0; точно так же ?>0 и г/<0 влекут ;гг/<0,
а:<0 н г/<0 влекут ;гг/>0 (правила знаков). Отсюда, в частности,
следует, что множество всех рациональных чисел > 0, обозна-
обозначаемое Q*, является подгруппой мультипликативной группы Q*
всех рациональных чисел Ф 0; так как каждое рациональное
число х Ф 0 представимо, и притом единственным образом, в одной
из форм ( + \)у, (— 1)у, где у > 0, то мы видим, что мульти-
мультипликативная группа Q* является прямым произведением под-
подгрупп Q* и { — 1, +1}; компонента у числа х в Q* называется
абсолютным значением х и обозначается \х\ (см. главу V); компо-
компонента х в { —1, +1} (равная -\-\, если х > 0, и —1, если
х < 0) называется знаком х и обозначается sgn x.
Обычно эти две функции продолжают на всё Q, полагая [ 0 | = 0
и sgn 0 = 0.
Упражнения. 1) Какие из кольцевых структур, определен-
определенных в упражнении 1 § 8, являются структурами тела?
2) Конечное кольцо без делителей нуля есть тело. [§ 2, упраж-
упражнение 6.]
*3) Пусть А — кольцо с операторами, имеющее своими един-
единственными левыми идеалами @) ж А. Показать, что либо А есть кольцо
с нулевым квадратом (§ 8, п° 1), а его аддитивная группа с операто-
операторами — простая, либо А есть тело.
Отбросив первую из этих возможностей, показать последова-
последовательно, что: а) существует а ? А, для которого Аа ф @); б) существует
е?А, для которого еа = а и е2=«; в) е — единица кольца Л. [Рас-
гмотреть множество всех элементов х — хе, а затем множество всех
олементов х — ех, где х пробегает А.]
4) Поле Q рациональных чисел не обладает никаким подполем,
отличным от Q.
*5) Пусть А' — поле характеристики ф 2 и G — подгруппа
его аддитивной группы такая, что множество Н, составленное
из 0 и элементов, обратных всевозможным ненулевым элементам
из С, также есть подгруппа аддитивной группы К. Показать, что
существуют элемент а ? К и подполе К' поля К такие, что G = aK'.
[Установить сначала, что если х, у принадлежат G и у ф 0,
х2
то — ? G; вывести отсюда, что если а;, у, г принадлежат G и z Ф 0.

168 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 9
6) Пусть if —поле характеристики ^2 и /—отображение К
в К такое, что / (x-\-y) — j {x)-\-j (у) Для любых iiyi/(i)| f- ) = 1
для любого х Ф 0. Показать, что / или —/ есть изоморфизм 'К на его
подполе. [Доказать, что / (ж2) = (/ (а;)J.]
*7) Пусть Л—коммутативное кольцо с единицей и /4—его
кольцо отношений. Для каждого множества S d A, устойчиеого
относительно умпожения и состоящего из регулярных элементов,
обозначим через As подкольцо кольца А, образованное элемен-
X
тами — , где х пробегает A, a s пробегает S.
s
а) Идеал кольца As, порожденный идеалом о кольца А, совпадает
X
с множеством aAs всех элементов ¦— , где а; пробегает о, а «пробегает^.
Каковы бы ни были идеалы а и Ь кольца А, (о+Ь),4s=O/4s+6/ls
и (аГ|Ь)As = (aAs)r\(bAs).
б) Если с — идеал кольца As, то (c'~)A)As = c.
в) Если а—идеал кольца А, то ad (аА3)Г\А; идеал (aAs)n<_A
есть множество тех элементов х g A, для каждого из которых суще-
существует s ? S такое, что sx(~a.
г) Пусть а- идеал кольца А и <р— канопическое отображение А
на А/а; для того чтобы элементы множества срE) были регулярны
в А/а, необходимо и достаточно, чтобы (aAs)f]A = а; факторкольцо
/Js/@/4s) изоморфно тогда M/a)v(S).
д) Для того чтобы дополнение S к идеалу р кольца А было устой-
устойчиво относительно умножения, необходимо и достаточно, чтобы р
был простым (§ 8, упражнение 13); если А — кольцо целостности, то
s/(pAs) есть поле, изоморфное полю отношений факторкольца А/р.
*8) Пусть А — некоммутативное кольцо без делителей нуля.
Говорят, что А допускает тело легыа; отношений, если оно изоморфно
подкольцу А' некоторого тела К такому, что каждый элемент из К
имеет вид ж?/, где х?А', у ? А'.
а) Пусть А* — множество всех ненулевых элементов кольца А.
Для того чтобы А допускало тело левых отношений, необходимо, чтобы
было выполнено следующее условие: (G) каковы бы ни были х ? А,
х' ? А*, существуют и ? А* и v ? А такие, что ux=vx'.
б) Обратно, предположим, что условие (G) выполнено. Показать,
что отношение R между элементами (х, х) и (у, у') произведения А ХА*:
«для каждой пары (и, v) ненулевых элементов таких, что ux' — vy',
выполняется равенство ма;= w/>> — есть отношение эквивалентности.
Пусть (х, х') и (у, у')—элементы произведения АХ A*, g и т|
соответственно — их классы modi?. Показать, что для каждой пары
(и, и') ?АХА* такой, что и'х = иу', класс modi? пары (иу, и'х')
зависит лишь от ? и т); обозначая его |т|, получим закон композиции
в множестве К=(АХА*)/Я. Пусть К* —множество всех элементов

ТЕЛА 169
из К, отличных от класса 0 элемептов @, х') ?АХА*. Наделенное
законом, индуцированным введенным законом композиции, К* есть
группа.
Для всякого х ? А элементы (х'х, х'), где х' пробегает А*, обра-
образуют класс modi?. Отнесение этого класса элементу х определяет
изоморфизм А (относительно одного лишь умножения) на некоторое
подкольцо в К. При отождествлении А с его образом при этом изомор-
изоморфизме класс mod Л пары (х, х') ? АХ А* отождествляется с элемен-
элементом х'~1х.
Если теперь \, = х'~1х—элемент из К и 1 — единичный элемент
группы К*, то обозначим через g —f— 1 элемент ж' (х-\-х'), не завися-
зависящий от представления g в виде х'~хх. Положим, далее, ?-f-0=?
и g-|-Ti = Ti (ri'4 + l) при т] ф 0. Показать, что введенные так на К
сложение и умножение определяют в этом множестве структуру тела,
являющуюся продолжением структуры кольца А; иными словами,
условие (G) также достаточно для того, чтобы А допускало тело левых
отношений.
9) Пусть А — кольцо без делителей нуля. Для того чтобы А
допускало тело левых отношений (упражнение 8), необходимо и доста-
достаточно, чтобы пересечение двух левых идеалов кольца А, отличных
от {0}, никогда не сводилось к 0.

исторический очерк
К ГЛАВЕ I
(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной
в конце настоящего очерка.)
В математике мало понятий, которые были бы первичней понятия закона
композиции; оно представляется неотделимым уже от самых зачаточных
вычислений с натуральными числами и измеряемыми величинами. Наиболее
древние из дошедших до нас документов, относящихся к математике египтян и
вавилонян, обнаруживают уже владение полной системой правил вычислений
с целыми числами > 0, рациональными числами > 0, длинами и площадями;
хотя в дошедших до нас текстах рассматриваются лишь задачи с опреде-
определенными числовыми данными *), эти тексты не оставляют никаких
сомнений в общности, приписывавшейся употребляемым правилам, и обнару-
обнаруживают прямо-таки замечательное техническое мастерство в обращении
с уравнениями первой и второй степени ((I), стр. 179 и след.). Но при всем
этом там нет и следа заботы ни об обосновании применяемых правил, ни
о точном определении входящих в них операций: и те и другие сохраняют
чисто эмпирический характер.
Напротив, подобная забота уже весьма определенно проявляется у греков
классической эпохи; правда, у них еще нет аксиоматической трактовки
теории натуральных чисел (такая аксиоматизация появилась лишь в конце
XIX века; см. Исторический очерк к главе IV Книги I); но во многих местах
«Начал» Евклида даются формальные доказательства правил действий, столь
же интуитивно «очевидных», как правила действий над целыми числами
*) Не следует забывать, что обозначение всех (известных и неизвестных)
элементов алгебраической задачи буквами ввел в употребление лишь
Вьета (XVI век). До этого в алгебраических руководствах рассматривались
лишь уравнения с числовыми коэффициентами; высказывая общее правило
обращения с аналогичными уравнениями, автор формулировал его (и это
было лучшее, что он мог сделать) словесно; при отсутствии явной формули-
формулировки этого рода обладание таким правилом с большей или меньшей
вероятностью обнаруживалось самим ходом выкладок в рассматрива-
рассматриваемых числовых примерах.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 171
(например, коммутативности произведения двух рациональных чисел).
Наиболее замечательны доказательства этого рода, относящиеся к теории
ееличин, являющейся самым оригинальным творением греческой математики
(и, как известно, эквивалентной нашей теории вещественных чисел > 0;
см. Исторический очерк к главе IV Книги III): рассматривая, среди прочего,
произведение двух отношений величин, Евклид доказывает, что оно не зависит
от формы, в которой представлены эти отношения (первый пример «фактори-
«факторизации» закона композиции по отношению эквивалентности в смысле § 4),
н что оно коммутативно ((II), Книга V, предложения 22—23) *).
Однако не следует скрывать, что этот прогресс в строгости сопровож-
сопровождается у Евклида застоем, а в некоторых отношениях даже попятным
движением в том, что касается техники алгебраических вычислений. Подав-
Подавляющий перевес геометрии (для целей которой явно задумана и теория вели-
величин) парализует всякое самостоятельное развитие алгебраической символи-
символики: элементы, входящие в вычисления, должны быть все время «представлены»
геометрически; при этом участвующие в вычислениях законы композиции не
определены на одном и том же множестве (сложение отношений в общем виде
не определено, произведение же двух длин есть не длина, а площадь); про-
проистекающая отсюда недостаточная гибкость делает оперирование с алгебраи-
алгебраическими соотношениями выше второй степени почти невыполнимым.
Лишь на закате классической греческой математики мы видим Диофанта,
который возвращается к традиции «логистов», т. е. профессиональных вычи-
вычислителей, продолжавших применять в прежнем виде правила, унаследованные
от египтян и вавилонян: не стесненный более геометрическим представлением
рассматриваемых им «чисел», он естественно приходит к разработке правил
абстрактных алгебраических действий; так, например, он дает правила, кото-
которые (на современном языке) равносильны формуле хт''п=хтхп для небольших
(положительных или отрицательных) значений т и п ((III), т. I, стр. 8—13);
несколько дальше формулируется «правило знаков»—первый зародыш дей-
действий над отрицательными числами **); наконец, Диофант впервые употреб-
употребляет буквенный символ для представления неизвестной уравнения. Но,
в противовес этому, он отнюдь не кажется озабоченным увязкой методов,
применяемых им для решепия его задач, с какими-либо общими идея-
идеями; аксиоматический же подход к законам композиции, подобный наметив-
наметившемуся у Евклида, по-видимому, был чужд мышлению Диофанта, равно
как и его непосредственных продолжателей; он вновь появляется в алгебре
лишь в начале XIX века.
*) Правда, Евклид не дает в этом месте формального определения про-
произведения двух отношений, а определение, находящееся в «Началах» не-
несколько дальше (Книга VI, определение 5), считается позднейшей вставкой;
тем не менее, он, конечно, имел совершенно ясное представление об этой
операции и ее свойствах.
**) Диофант не знает отрицательных чисел; поэтому указанное правило
можно истолковывать лишь как относящееся к действиям над многочлена-
многочленами и позволяющее «раскрывать» произведения, подобные (а — 6) (с — d).

172 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ГЛ. I
Потребовалось сначала, чтобы в течение промежуточных столетий, с од-
одной стороны, развилась система алгебраических обозначений, пригодная
для адекватного выражения абстрактных законов, а с другой — понятие
«числа» настолько расширилось, чтобы наблюдение достаточно разнообразных
частных случаев позволяло подыматься до общих понятий. Для этих целен
созданная греками аксиоматическая теория отношения величин была недо-
недостаточной, ибо она лишь уточняла интуитивное понятие вещественного числа
>0 и те операции над этими числами, которые в более смутной форме были
известны еще вавилонянам; теперь же, напротив, дело касалось «чисел»,
о которых греки не имели представления и которые вначале не вызывали
никаких наглядных «представлений»: с одной стороны, нуля и отрицатель-
отрицательных чисел, появившихся в индийской математике в раннее средневековье,
с другой стороны, мнимых чисел, этого творения итальянских алгебраистов
XVI века.
Если оставить в стороне нуль, который первоначально появился как
нумерационный символ и лишь потом стал рассматриваться как число (см.
Исторический очерк к главе III Книги 1), общим у всех этих расширений
понятия числа был (по крайней мере вначале) их чисто «формальный» харак-
характер. Под этим следует понимать, что новые «числа» появлялись первона-
первоначально как результаты операций, примененных в условиях, где эти операции
не имеют, если придерживаться их точного определения, никакого смысла
(например, разность а— Ъ двух натуральных чисел, когда a<fc); отсюда
и присваивавшиеся им наименования чисел «ложных», «фиктивных», «абсурд-
«абсурдных», «невозможных», «мнимых» и т. д. Грекам классической эпохи,
увлечепным прежде всего ясностью мысли, подобные расширения были
недоступны; они могли возникнуть только у вычислителей, в противополож-
противоположность грекам более склонных к несколько мистической вере в мощь своих
методов («общность анализа», как скажут в XVIII веке) и позволявших
увлечь себя механизму вычислений, не проверяя обоснованности каждого
его шага; впрочем, эта вера чаще всего оправдывалась апостериори точными
результатами, к которым приводило распространение на эти новые математи-
математические создания вычислительных правил, строго говоря, применимых лишь
к ранее известным числам. Вот почему эти обобщения понятия числа, вначале
встречавшиеся лишь в виде промежуточных звеньев цепи операций,
исходным пунктом которой и окончательным результатом были настоящие
«числа», понемногу стали все смелее рассматривать сами по себе (неза-
(независимо ни от каких применений к конкретным вычислениям); а отважившись
однажды на этот шаг, начали искать более или менее осязаемые истолкования
новых созданий, приобретших таким путем право гражданства в математике •).
*) Впрочем, эти изыскания составили лишь переходный этап в эволюции
рассматриваемых понятий; с середины XIX века вновь вернулись, на этот
раз вполне сознательно, к формальной концепции различных расширений
понятия числа, и она завершилась включением в «формалистскую» и аксио-
аксиоматическую точку зрения, господствующую в современной математике.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 1 73
В этом отношении уже индийцам было известно истолкование, которое
к некоторых случаях следует давать отрицательным числам (например, как
долга в задачах коммерческого характера). В последующие века, по мере
проникновения на Запад (через посредство арабов) методов и резуль-
результатов греческой и индийской математики, все больше осваиваются с опери-
оперированием этими числами и начинают находить другие их «представления», гео-
геометрического или кинематического характера. Вот, собственно, вместе
с прогрессировавшим улучшением алгебраической символики, и все заметные
успехи алгебры в конце средних веков.
В начале XVI века алгебра познает новый подъем, вызванный открыти-
открытием математиками итальянской школы решения уравнения третьей, а затем
и четвертой степени «в радикалах» (о чем подробнее будет сказано в Истори-
Историческом очерке к главе V); в связи с этим опи были, так сказать, вынуждены,
несмотря на всё отвращение, ввести в свои вычисления мнимые числа; впро-
впрочем, мало-помалу возникает доверие к вычислениям с этими «невозможными»
числами, как и к вычислениям с отрицательными, хотя в течение более чем
двух веков не было придумано для них никакого «представления».
С другой стороны, Вьета и Декарт вносят в алгебраическую символику
решающие усовершенствования; начиная с Декарта, алгебраическое право-
правописание, с точностью до незначительных деталей, приобретает уже со-
современный нам вид.
С середины XVII и до конца XVIII века обширные горизонты, открытые
созданием нечисления бесконечно малых, по-видимому, несколько отодвига-
отодвигают на задний план алгебру вообще и особенно математическое исследование
законов композиции или природы вещественных и комплексных чисел *).
Так, например, сложение сил и сложение скоростей, хорошо известные
в механике с конца XVII века, не нашли в алгебре никакого отражения,
хотя и содержали уже в зародыше векторное исчисление. В самом
деле, пришлось ждать идейного движения, приведшего примерно в 1800 г.
к геометрическому представлению комплексных чисел (см. Исторический очерк
к главе VIII Книги III), чтобы в чистой математике появилось сложепие
векторов **).
К этому же времени понятие закона композиции, впервые в алгебре,
распространяется, в двух различных направлениях, на элемепты, имеющие
уже с «числами» (в наиболее широком смысле, придававшемся к тому времени
*) Следует оставить в стороне попытки Лейбница, с одной стороны, при-
придать алгебраическую форму умозаключениям формальной логики, с другой —
создать «геометрическое исчисление», оперирующее прямо с геометрическими
элементами, без посредства координат ((IV), т. V, стр. 141). Эти попытки
остались в стадии набросков и не вызвали никакого отклика у современ-
современников; к ним вернулись лишь в XIX веке (см. ниже).
**) Причем зта операция была введена без всякого отношения к меха-
механике; связь между обеими теориями была явно осознана лишь основателями
векторного исчисления во второй трети XIX века.

174 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ГЛ. I
этому слову) лишь отдаленную аналогию. Первое из этих распространений
принадлежит К. Ф. Гауссу и связано с его арифметическими исследованиями,
посвященными квадратичным формам ах1 -|- Ъху + су2 с целыми коэффици-
коэффициентами. Лагранж определил в множестве всех форм с одинаковым дискрими-
дискриминантом отношение эквивалентности *) и, с другой стороны, доказал тожде-
тождество, дающее в этом множестве некоторый (не всюду определенный) комму-
коммутативный закон композиции; отправляясь от этих результатов Гаусс пока-
показывает, что этот закон согласуется (в смысле § 4) с упомянутым отношением
эквивалентности ((V), т. I, стр. 272): «Отсюда видно, — говорит он
затем,— что следует понимать под композицией двух или нескольких клас-
классов». Он приступает затем к изучению полученного им так «факторзакопа»
и устанавливает по существу, что это (на нынешнем языке) — закон комму-
коммутативной группы, притом с помощью рассуждений, общность которых чаще
всего выходит далеко за пределы исследуемого Гауссом специального случая
(например, рассуждение, которым он доказывает единственность элемента,
симметричного данному, совпадает с примененным нами при доказательстве
предложения 3 § 2 для произвольного закона композиции (там же, стр.273)).
Но он не останавливается на этом: возвращаясь немного позже к тому же
вопросу, он отмечает аналогию между композицией классов и умножением
целых чисел по простому модулю **) (там же, стр. 371), устанавливая, однако,
при этом, что группа классов квадратичных форм с заданным дискриминантом
не всегда циклическая; замечания, которые он делает по этому поводу, дают
основание полагать, что ему было известно, по крайней мере на этом частном
случае, общее строение конечных коммутативных групп, которое мы изучим
в главе VII ((V), т. I, стр. 374 и т. II, стр. 266).
Другая серия исследований, о которой мы хотим сказать, также под-
подводит к понятию группы, которое этим путем и входит окончательно в мате-
математику: это — «теория подстановок», развившаяся из идей Лагранжа, Ван-
дермонда и Гаусса относительно решения алгебраических уравнений. Мы не
*) Две формы эквивалентны, если одна из них получается из другой
путем «замены переменных» х' — ах + Pj/, у'= У#+ бг/, где а, E, у, б-— целые
такие, что аб— Ру = 1.
**) Весьма замечательно, что Гаусс пользуется для композиции классов
квадратичных форм аддитивным обозначением, несмотря на аналогию, отме-
отмеченную им самим, а также на то, что тождеством Лагранжа, определяющим
композицию двух форм, гораздо естественнее подсказывается мультиплика-
мультипликативное обозначение (к которому, кстати, и вернулись все продолжатели
Гаусса). В этом безразличии к выбору обозначения следует видеть лишнее
свидетельство общности, несомненно достигнутой в понимании Гауссом зако-
законов композиции. При этом в своих рассмотрениях он не ограничивался комму-
коммутативными законами, как это показывает относящийся к 1819—1820 гг., по
не опубликованный при жизни Гаусса отрыпок, где более чем за двадцать лет
до Гамильтона даются формулы умножения кватернионов ((V), т. VIII.
стр. 357). i

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 175
собираемся подробно излагать здесь историю этого вопроса (см. Историче-
Исторический очерк к главе V); следует лишь напомнить данное Руффини, а за-
тем Коши ((VI), B), т. 1,стр. 64) определение «произведения» двух подста-
подстановок конечного множества *) и первоначальных понятий, относящихся
к конечным группам подстановок: транзитивности, примитивности, нейтраль-
нейтрального элемента, перестановочных элементов и т. д. Но эти первые исследова-
исследования оставались, в целом, довольно поверхностными, и действительным
родоначальником теории должен считаться Эварист Галуа: сведя в своих
знаменитых работах (VIII) изучение алгебраических уравнений к изучению
связанных им с ними групп подстановок, он значительно углубил это послед-
последнее как в том, что касается общих свойств групп (так, Галуа первый определил
понятие нормальной подгруппы и осознал его важность), так и в нахождении
групп, обладающих специальными свойствами (где полученные им результаты
и ныне числятся среди наиболее тонких результатов теории). Галуа принад-
принадлежит также первая идея «линейного представления групп» **), а этот
факт ясно показывает, что он владел понятием изоморфизма двух групповых
структур, независимого от их «реализаций».
Однако, хотя и представляется несомненным, что гениальные методы
Гаусса и Галуа привели их к весьма широкому взгляду на понятие закона ком-
композиции, им не представилось случая специально развить свои идеи на этот
счет, и их работы не оказали непосредственного воздействия на эволюцию
абстрактной алгебры ***). Наиболее ощутимый прогресс по пути абстрак-
абстракции был достигнут в третьем направлении: развивая идеи относительно
природы мнимых чисел (геометрическое представление последних вы-
вызвало в начале XIX века появление довольно многочисленных работ), алгеб-
алгебраисты английской школы в 1830—1850 гг. первыми выделили абстрактное
понятие закона композиции и немедленно расширили область алгебры, при-
применив это понятие к множеству новых математических созданий: алгебре ло-
логики у Буля (см. Исторический очерк к главе IV Книги I), векторам,
кватернионам и общим гиперкомплексным системам у Гамильтона (IX),
матрицам и пеассоциативным законам у Кэли ((X), т. I, стр. 127 и 301 и т. II,
стр. 185 и 475). Параллельная эволюция независимо протекала на континенте
Европы, особенно в том, что касается векторного исчисления (Мебиус, Бел-
*) Разумеется, понятие сложной функции было известно гораздо
раньше, по крайней мере для функций вещественного или комплексного
переменного, но алгебраический аспект этого закона композиции и связь
с произведением двух подстановок были выяснены лишь работами Абеля
((VII), т. I, стр. 478) п Галуа.
**) Именно в этой связи Галуа, смело распространяя «формализм», при-
приведший к комплексным числам, рассматривает «мнимые корни» сравне-
сравнения по простому молулю и открывает так конечные поля, изучаемые нами
в главе V.
***) При этом идеи Галуа до 1846 г. оставались неизвестными, а идеи
Гаусса оказали прямое воздействие лишь на теорию чисел.

176 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ГЛ. I
лавитис), линейной алгебры и гиперкомплексных систем (Грассман), о чём
подробнее будет сказано в Историческом очерке к главам II и III *).
Из этого кипения оригинальных и плодотворных идей, которое в первой
половине XIX века вдохнуло в алгебру новую жизнь, она вышла обновленной
до самих своих устремлений. Прежде ее методы и результаты концентриро-
концентрировались вокруг задачи решения алгебраических уравнений (или диофантовых
уравнений в теории чисел): «Алгебра,— говорит Серре во введении к своему
«Курсу высшей алгебры» (XII),—есть, собственно говоря, анализ уравнений».
После 1850 г., хотя руководства по алгебре п предоставляли еще долгое вре-
время приоритет теории уравнений, над новыми исследованиями уже не домини-
доминировала забота о непосредственных применениях к решению численных урав-
уравнений, и они всё более и более ориентировались на то, что мы сегодня рас-
рассматриваем как основную задачу алгебры, а именно изучение алгебраических
структур самих по себе.
Эти работы довольно отчетливо разбиваются на три течения, продолжав-
продолжавшие соответственно три рассмотренных выше направления идей и продвигав-
продвигавшиеся параллельно без ощутимого взаимного влияния вплоть до последних
лет XIX века **).
Это, прежде всего, построение немецкой школой XIX века (Дирихле,
Куммер, Кронекер, Дедекинд, Гильберт) теории алгебраических чисел, вос-
восходящей к Гауссу, которому принадлежит первое исследование такого
рода, а именно исследование чисел о + Ы (где а и 6 рациональные). Мы не
будем прослеживать здесь эволюцию этой теории: для наших целей нужно
лишь отметить порожденные ею абстрактные алгебраические понятия. Начи-
Начиная с первых преемников Гаусса, идея поля (алгебраических чисел) лежит
в основе всех работ в этом направлении (как и исследований Абеля и Галуа
по теории алгебраических уравнений); область ее применений расширяется,
когда Дедекинд и Вебер (XIII) строят теорию алгебраических функций
одной переменной по образцу теории алгебраических чисел. Дедекинду
(XIV) мы обязаны также введением понятия идеала, дающего новый пример
закона композиции множеств элементов; к Дедекинду и Кронекеру восходит
обнаружение роли, далее всё более возрастающей, которую играют коммута-
коммутативные группы и модули в теории алгебраических полей; мы вернемся к этому
в главах II, V и VII.
В последующих главах (главы II, III и VIII) мы вернемся также к исто-
истории развития линейной алгебры и гиперкомплексных систем, которое в кон-
*) Основные теории, развитые в течение этого периода, замечательно
изложены в относящемся к нему труде Ганкеля (XI), где абстрактное понятие
закона композиции осмыслено и изложено с совершенной отчетливостью.
**) Мы сознательно оставляем здесь в стороне все относящееся в этот
период к эволюции алгебраической геометрии и тесно связанной с ней теории
инвариантов; эти две теории развивались на базе своих собственных мето-
методов, ориентированных на анализ не в меньшей мере, чем на алгебру, и лишь в
недавнее время нашли свое место в обширном здании современной алгебры.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 177
це XIX и начале XX веков идет, без введения новых алгебраических понятий,
по пути, проложенному Гамильтоном и К эли, в Англии (Сильвестр,
В. Клиффорд) и Америке (Б. и К. Пирс, Диксон, Веддербэрн) и совсем неза-
независимо от англосаксов, на базе довольно отличающихся методов, в Герма-
Германии (Вейерштрасс, Дедекинд, Фробениус, Молин*)) и Франции (Лагерр,
Э. Картан).
Что касается теории групп, то вначале она развивалась главным образом
в виде теории конечных групп подстановок, вслед за публикацией сочинений
Галуа и распространением его идей трудами Серре (XII) и, особенно, боль-
большим «Трактатом о подстановках» К. Жордана (XV). Этот последний подыто-
подытожил, в значительно усовершенствованном виде, работы своих предшественни-
предшественников по специальным свойствам групп подстановок (транзитивности, примитив-
примитивности и т. д.) и получил результаты, в большинстве своем не превзойденные
в дальнейшем; вместе с тем он подверг углубленному исследованию весьма
важные специальные группы — линейные группы и их подгруппы (см. гла-
главы II и IX), причем именно им было введено фундаментальное понятие пред-
представления одной группы на другую, а также (несколько позже) понятие
факторгруппы, и оп доказал часть теоремы, известной под названием «теоремы
Жордана — Гёльдера» **). Наконец, к Жордану восходит и первое
исследование бесконечных групп (XVI), которое несколькими годами позже
было значительно развито в двух различных направлениях, с одной сторо-
стороны, С. Ли, а с другой — Ф. Клейном и А. Пуанкаре.
Тем временем Кэли ((X), т. II, стр. 123 и 131) дал в 1854 г. определение
«абстрактных» групп и, одновременно, однородных пространств, правда,
в форме, корректной лишь для конечных групп. Однако даже исследования по
конечным абстрактным группам в течение долгого времени воспринимались
как относящиеся к группам подстановок, и лишь к 1880 г. началось сознатель-
сознательное развитие автономной теории конечных групп. Мы не будем прослеживать
дальнейшего развития этой теории, затрагиваемой в этом трактате лишь
весьма поверхностно; читателя, желающего углубиться в рассматриваемые
ею вопросы н поставленные в ней многочисленные трудные задачи, мы ото-
отошлем к современным монографиям Бэрнсайда (XVII), Шпайзера (XVIII)
а Цасенхауза (XIX).
Здесь нет уже места говорить о чрезвычайном успехе, который с конца
XIX века приобрела идея группы (а также тесно связанная с ней идея инва-
инварианта) в анализе, геометрии, механике и теоретической физике. Аналогич-
Аналогичным вторжением этого понятия и родственных ему алгебраических попятий
(групп с операторами, колец, идеалов, модулей) в те разделы алгебры, кото-
которые до того казались довольно далекими от есгественнои области его приме-
*) Ф. Э. Молпн жил и работал в России и СССР.— Перев.
**) Жордап установил лишь инвариантность (с точностью до рас-
расположения) порядков факторгрупп «ряда Жордана — Гёльдера» конечной
группы; независимость же (с точностью до расположения) самих фактор-
факторгрупп от рассматриваемого ряда показал О. Гольдер.
12 н. Бурбпки

178 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ГЛ. I
нимости, как раз и отмечен последний период излагаемой здесь эволюции,
приведший к синтезу прослеженных выше трех тенденций. Это объединение
есть главным образом дело новой немецкой школы: начатая Дедекиндом и
Гильбертом в последние годы XIX века работа по аксиоматизации алгебры
была мощно продолжена Э. Штейницем и далее, с 1920 г., под влиянием
Э. Артина,— Э. Нетер и алгебраистами ее школы (Хассе, Круль, О. Шрейер.
Ван-дер-Варден). Книга Ван-дер-Вардена (XX), опубликованная в 1930 г.,
впервые объединила эти работы в обобщающем изложении, открыв путь и сде-
сделавшись путеводителем для многих исследований по абстрактной алгебре
в эти последние годы.

БИБЛИОГРАФИЯ
(I) О. N е u g e b a u e r, Vorlesungen iiber Geschichte der antiken
Mathematik, т. I: Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer),
1934. [О. Н е й г е б а у е p, Лекции по истории античных матема-
математических наук, т. I: Догреческая математика, М.— Л., ОНТИ, 1937.]
(II) Euclidis Elementa, 5 тт., изд. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner),
1883—1888. [Начала Евклида, 3 тт., Гостехиздат,М,— Л., 1948—50.}
(II bis) Т. L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements..., 3 тт.,
Cambridge, 1908.
(III) Diophanti Alexandrini Opera Omnia..., 2 тт., изд. Р. Tannery, Lip-
Lipsiae (Teubner), 1893—1895.
(Ill bis) Diophante d'Alexandrie, перев. Р. Ver Eecke, Bruges (Desclee-de
Brouwer), 1926.
(IV) G. W. Leibniz, Matbematische Schriften, изд. С. I. Gerhardt,
т. V, Halle (Schmidt), 1858.
(V) G. F. Gauss, Werke, т. I (GOttingen, 1870), т. II (там же, 1863)
и VIII (там же, 1900).
(VI) A. L. С а и с h у, Oeuvres completes B), т. I, Paris (Gauthier-
Villars), 1905.
(VII) N. H. Abel, Oeuvres, 2 тт., изд. Sylow n Lie, Christiania, 1881.
(VIII) E. Galois, Oeuvres mathwnatiques, Paris (Gauthier-Villars),
1897. [Э в а р и с т Г а л у а, Сочинения, М.— Л., ОНТИ, 1936.J
(IX) W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin, 1853.
(X) А. С а у 1 e y, Collected mathematical papers, тт. I и II, Cambridge
(University Press), 1889.
(XI) H. H a n k e 1, Vorlesungeii iiber die complexen Zahlen und ihre
Functionen, 1. Teil: Theorio tier romplexpn Zahlensystpme, Leipzig
(Voss). 1867.
(XII) J. A. S e r r e t. CoursdAlgebi-esupi'rieiiri'. :>-e изд., Paris (Gauthier-
Villars), 1866.
(XIII) R. D e d e k i n il und H. AV о b e r. Tlieorie der algebraischen
Funktionen ejner Veranderlirlien, .1. de Crelle. т. XCI1 A882), стр. 181.
(XIV) R. D e (I e k i n d. Gesammelte matheinatische Werke, 3 тт..
Braunschweig (Vieweg), 1932.
(XV) С .1 о r d a n. Traito des substitutions ot des equations algebriques,
Paris (Giiiilhipr-ViHHVs), 1870.

180 БИБЛИОГРАФИЯ ГЛ I
(XVI) С. Jordan, Memoire sur les groupes de mouvements, Ann.' di
Mat. B), т. II A868), стр. 167.
(XVII) W. В u г n s i d e, Theory of groups of finite order, 2-е изд., Cam-
Cambridge, 1911.
(XVIII) A. S p e i s e r, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 3-е
изд., Berlin (Springer), 1937.
(XIX) H. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie, т. I, Leipzig-
Berlin (Teubner), 1937.
(XX) B. L. van der W a e г d e n, Moderne Algebra, 2-е изд., т. I, Ber-
Berlin (Springer), 1937; т. II (там же), 1940. [Б. Л. Ван-дер-В а р д е н,
Современная алгебра, ч. I, M.— Л., Гостехиздат, 1947; ч. II (там же),
1947.]

ГЛАВА И
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В этой главе, если только не оговорено противное, никаких
специальных предположений о рассматриваемых кольцах опера-
операторов не делается: они могут быть коммутативны или нет,
иметь или не иметь единицу, содержать или нет делители нуля.
§ 1. Модули
Эта глава посвящена в основном изучению специального
вида коммутативных групп с операторами (гл. I, § 6, пс 9),
а именно модулей. Некоторые свойства модулей, сформулирован-
сформулированные в первых двух параграфах, справедливы (как и их доказа-
доказательства) для всех коммутативных групп с операторами, что
в соответствующих местах отмечается. Впрочем, как будет пока-
показано в пс 9 § 7, изучение любой коммутативной группы с опера-
операторами всегда может быть сведено к изучению надлежащим
образом ассоциированного с ней модуля.
/. Определение модулей
Определение 1. Левым модулем относительно заданного коль-
кольца А (или левым модулем над А, или также левым А-модулем)
называют множество Е, наделенное алгебраической структурой,
определяемой заданием:
1° коммутативного группового закона на Е (с аддитивной
записью);
2° всюду определенного внешнего закона композиции (а,х)—+
^•аТж, имеющего своей областью операторов кольцо А и удо-
удовлетворяющего следующим аксиомам:

182 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 1
(Mi) а~у (х + у) = {аТ х)-\-(аТ у), каковы бы ни были <х?А, х?Е,
У$Е;
(Мп)(а+Р)Тх= (aTz)+ (pTz), каковы бы ни были ag А, Рб А.
х?Е\
а;) = (аР)Та:, каковы бы ни были а^ А, Рб-4, х?Е.
Аксиома (Mj) означает, что внешний закон Л-модуля дистрибу-
дистрибутивен относительно заданного на Е сложения; тем самым модуль всегда
является коммутативной группой с операторами.
Если в определении 1 вместо аксиомы (Мщ) выполняется
аксиома
(Мш) aT(PTz) = (Pa)Tz, каковы бы ни были а? А, $? А, х?Е.
то Е, наделенное определяемой так алгебраической структурой,
называют правым модулем относительно А, или правым модулем
над А, или также правым А-модулем.
Для внешнего закона композиции левого (соответственно пра-
правого) модуля чаще всего используют мультипликативное обозна-
обозначение, записывая оператор слева (соответственно справа); усло-
условие (Мш) записывается тогда в виде a ($x) = (оф) х, а условие
— в виде (х$)а=хфа).
Каждый правый модуль над кольцом А есть левый модуль
над кольцом А0, противоположным А (гл. I, § 8, п° 1). Это пока-
показывает, что при изложении свойств модулей можно систематически
ограничиваться рассмотрением либо левых, либо правых моду-
модулей; за исключением § 6 (где в целях удобства обозначения рас-
рассматриваются правые модули), мы будем вести изложение приме-
применительно к левым модулям и, говоря (просто) модуль, всегда будем
подразумевать левый модуль с мультипликативно записываемым
внешним законом.
Если кольцо А коммутативно, понятия правого и левого
модулей относительно А совпадают.
Отображения х— ах модуля Е в себя называются его гомоте-
гомотетиями (гл. I, § 6, п° 9); в силу (М:) они являются эндоморфизмами
структуры коммутативной группы Е (без операторов), но, вообще,
не эндоморфизмами структуры модуля Е (гл. I, § 6, п° 12). Для

2 МОДУЛИ ]83
каждого а? А имеем а0 = 0; в силу (Мп) также 0ж = 0 для каж-
каждого х ? Е\ из этих двух тождеств вытекает, что а {- - х) = ( — а) х —
= — (ах), каковы бы ни были а? А и z? E.
Если в множестве Е задана структура модуля относительно
кольца А и В — любое подколъцо этого кольца, то заданный
на Е коммутативный групповой закон и сужение внешнего закона
на В (гл. I, § 3) определяют в Е структуру модуля относительно В.
Примеры. 1) Кольцо есть одновременно левый и правый мо-
модуль относительно самого себя, а значит, также относительно любого
своего подкольца. Рассматривая кольцо А как левый (соответственно
правый) Л-модуль, мы будем, во избежание всякой путаницы,
обозначать его As (соответственно Ад).
2) Структура группы с операторами, определяемая в (аддитивно
обозначаемой) коммутативной группе G внешним законом (и, х) —> пх
(гл. I, § 6, п° 9), есть структура модуля относительно кольца Z рацио-
рациональных целых чисел.
3) Пусть G — аддитивно обозначаемая коммутативная группа
и $ — ее кольцо эндоморфизмов (гл I, § 8, п° 1; напомним, что произ-
произведением fg эндоморфизмов fug служит, по определению эндомор-
эндоморфизм jog); внешний закон композиции (/: х) ->¦ / (х) операторов /б &
и элементов х ? G определяет в G структуру левого модуля относи-
относительно кольца ?.
4) Пусть G, как всегда, — аддитивная грудпа и А -- любое
кольцо. Положив ах = 0 для каждого а ? А и каждого х б G, мы
определим в G структуру левого Л-модуля.
2. Унитарные модули. Векторные пространства
Определение 2. А-модулъ Е называется унитарным, если
кольцо А обладает единицей е, являющейся одновременно ней-
нейтральным оператором внешнего закона (иными словами, если
гх = х для каждого х?Е).
В унитарном модуле Е для каждого целого п ? Z и каждого
х?Е имеем пх—(пг)х. Если а ¦— обратимый элемент кольца А,
то гомотетия х—>ах есть автоморфизм структуры коммутативной
группы Е (без операторов), ибо у —ах влечет х = о7х {ах) = а'1у.
Встречающиеся в алгебре модули в большинстве своем унитарны.
Если кольцо А обладает единицей, то Л-модули Ал и A f унитарны:
модули, определенные в примерах 2 и 3 п° 1, унитарны.

184 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § •
Наиболее важны унитарные модули, кольцом операторов кото-
которых служит тело:
Определение 3. Левым (соответственно правым) векторным
пространством над телом К называют унитарный левый (соот-
(соответственно правый) К-модулъ.
Элементы векторного пространства часто называют векторами;
элементы тела операторов именуются тогда скалярами. Допуская
вольность речи, эту терминологию переносят иногда на произволь-
произвольные модули.
Примеры. 1) Тело есть одновременно левое и правое вектор-
векторное пространство относительно любого своего подтела.
°2) Трехмерное числовое пространство R3 классической анали-
аналитической геометрии есть векторное пространство относительно поля В
вещественных чисел, если за произведение 1х числа t и точки х
с координатами хи х2, х3 принята точка с координатами txu te2, lx3.
Точно так же множество всех числовых функций, определенных
на произвольном фиксированном множестве F, есть векторное про-
пространство относительно R, если за произведение If вещественного
числа t и такой функции / принята числовая функция х -» tj{x).o
Согласно предыдущему, в векторном пространстве Е над
телом К каждая гомотетия х—±ах, соответствующая элементу
а Ф О из К, есть автоморфизм структуры коммутативной группы
(без операторов) Е.
3. Подмодули и фактормодули
Пусть Е — модуль; если М — его устойчивая подгруппа
(гл. I, § 6, п° 10), то, очевидно, структура, индуцированная в М
гл. I, § 4, п° 2) структурой модуля Е, является структурой
модуля; множество М, наделенное этой структурой, называется
подмодулем модуля Е. Тем самым подмодули обладают всеми свой-
свойствами устойчивых подгрупп. В частности, сумма М-\-N и пере-
пересечение M[}N любых двух подмодулей М и N модуля Е снова
являются его подмодулями.
Если Е — унитарный модуль, то и все его подмодули унитарны.
В частности, каждый подмодуль векторного пространства Е
есть векторное пространство; его называют векторным подпро-
подпространством (или просто подпространством, если нет опасности
смешения) векторного пространства Е.

модули 185
Примеры. 1) Множество, сводящееся к 0, является подмоду-
подмодулем любого модуля Е (нулевой подмодуль).
2) Пусть Л—кольцо. Подмодули модуля A s (соответственно Ad)—
это не что иное, как левые (соответственно правые) идеалы кольца А.
3)^Пусть Е—А -модуль, х ? Е и а — левый идеал кольца А.
Множество всех элементов ах, где а пробегает а, образует в Е подмо-
подмодуль, обозначаемый ах.
4) Каждая подгруппа аддитивной группы G, рассматриваемой
как модуль относительно Z (с законом (п, х) -» пх), образует в G под-
подмодуль.
°5) Пусть / — открытый интервал числовой прямой R; множе-
множество С всех числовых функций, определенных и непрерывных на /,
есть подпространство векторного пространства всех числовых функ-
функций на /. Аналогично множество D всех дифференцируемых функций-
на / есть подпространство пространства С.о
Замечание. Пусть Е — Л-модульиВ — подкольцо кольца А.
Каждый подмодуль Л-модуля Е есть также подмодуль 5-модуля Е,
но обратное неверно: например, если А — тело в В — его подтело, та
подпространство Bs векторного пространства As (относительно тела В)
при ВфА не будет векторным пространством относительно тела А.
Пусть Е — модуль. Каждое отношение эквивалентности, согла-
согласующееся (гл. I, § 4, п° 3) со структурой модуля Е, имеет вид
х — у?М, где М — устойчивая подгруппа группы с операторами Е
(гл. I, § 6, п° 11), т. е. подмодуль модуля Е. При этом, как непо-
непосредственно проверяется (см. гл. I, § 5), структура группы с опе-
операторами EIM (гл. I, § 6, п° И) есть структура модуля; наделен-
наделенное этой структурой, EIM называется фактормодулем модуля Е
по подмодулю М.
Каждый фактормодуль EIM унитарного ^-модуля Е унитарен,
ибо единица е кольца А, оставляя инвариантным каждый эле-
элемент из Е, тем более оставляет инвариантным каждый класс
по модулю М. В частности, каждый фактормодуль векторного
пространства Е есть векторное пространство; оно называется
векторным факторпространством (или просто факторпростран-
ством) векторного пространства Е.
Пример. Каждый левый идеал а кольца А определяет фактор-
модуль Aja А -модуля As; этот фактормодуль часто для краткости
обозначают А /а; но когда а — двусторонний идеал, не следует сме-
смешивать структуру факторколъца в А/а (гл. I, 5 8, п° 5) с его структу-
структурой левого модуля относительно кольца А.

186 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 1
4. ''Произведение модулей. Прямая сумма конечного
семейства подмодулей. Дополнительные подмодули
Пусть {Ey)^i — семейство модулей над одним и тем же коль-
кольцом А. Как легко видеть, произведение структур модулей, задан-
заданных в множествах Е1 (гл. I, § 4, п° 5), есть структура Л-модуля
в множестве /? = []/?,,. Наделенное этой структурой, Е назы-
4.1
вается произведением модулей EL; таким образом, если х — (xL),
У=(У>.) — элементы этого модуля, то x-\-y={xlJryl) иах =
— (axL) для каждого элемента а?А.
Все свойства произведений групп с операторами, установлен-
установленные в § 6 главы I, относятся и к произведениям модулей. В част-
частности, если Д/i для каждого i ?/ — подмодуль модуля EL, то мно-
множество М = [J Mf, a E есть подмодуль модуля Е, изоморфный
произведению модулей ML. Если М1 = Е1 для каждого индекса
из некоторого / d / и My, — {0} для всех индексов i g CJ, то под-
подмодуль E'j = \]Mi модуля Е изоморфен произведению Ej = \]^i
модулей Еь с i ? У. В случае, когда / сводится к одному индексу х,
подмодуль E'j обозначается также Е'к и называется компонентой
с индексом х (или х-й компонентой) модуля Е; он изоморфен
модулю Ек и чаще всего отождествляется с ним.
Если все модули EL унитарны, то унитарно и их произведение.
В частности, произведение семейства векторных пространств над
одним и тем же телом К есть векторное пространство над К.
Важным примером произведения модулей является произве-
произведение, все сомножители Et которого совпадают с модулем As;
это произведение обозначается А[ или просто А1, если можно
не опасаться смешения; его элементами являются всевозможные
отображения I в А.
Произведение Е конечного семейства (^^l^i^n модулей есть
прямая сумма (гл. 1, § б, п° 6) подмодулей-компонент Е\ A < г< п);
обратно, если модуль Е есть прямая сумма конечного семейства
{Mj)\<^i<tn своих подмодулей, то отображение, относящее элементу
п
(^i)i^i<?i из J] Mi сумму У xt, есть (называемый каноническим)
изоморфизм \\ Мг на Е (гл. J, § 6, предложение 6).

5 модули 187
Определение 4. Подмодули Мх, М2 модуля Е называются
дополнительными, а каждый из них — дополнением другого,
если Е есть прямая сумма Мх и Мо.
Для того чтобы Мг и М2 были дополнительными, необходимо
и достаточно, чтобы Е = Мх-\-М^ и M1f\M2 = {0} (гл. I, § 6,
предложение 7).
В произвольном модуле Е не всякий подмодуль обладает дополне-
дополнением (см. упражнения 11 н 26).
Предложение 1. Если Мх и М2 — дополнительные подмодули
модуля Е, то отображение, относящее каждому х?М% его класс
(mod Л/j), есть изоморфизм М2 на Е/М1.
Действительно, это отображение, будучи сужением на М2
канонического отображения Е на E/Mv есть представление М2
в EjMx; оно отображает М2 на Е/М1, поскольку каждый эле-
элемент из Е сравним (mod Мг) с некоторым элементом из Мг;
наконец, оно взаимно однозначно, поскольку М1[\М2 = {0}.
Изоморфизмг определенный в предложении 1, и обратный
<зму изоморфизм называются каноническими.
Следствие. Если М2 и Мъ — подмодули, дополнительные к одно-
одному и тому же подмодулю М1, то отношение х2 s xa (mod Мг)
между элементами х2 ? М% и х3 ? М3 устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между Л/2 и Л/3.
Это соответствие и два составляющих его взаимно обратных
изоморфизма называются каноническими.
Замечания. 1) При (каноническом) отождествлении Е с
с Л/]ХМ2 изоморфизм, определяемый в предложении 1, превращается
в канонический изоморфизм М2 на (М1ХМ.г)/М1 (гл. I, § 6, п°5).
По этой причине канонический изоморфизм Л/3 на Мг называют также
проектированием М3 на Мг параллельно Мх (при указанном отождеств-
отождествлении это действительно сужение на М3 проектирования Е на М2).
2) Определение 4, предложение 1 и его следствие справедливы
для любых коммутативных групп с операторами.
о. Линейные комбинации
Пусть / — произвольное множество индексов и (*i,)tEJ —
семейство элементов Л-модуля (или, более общим образом, ком-
коммутативной группы с операторами) Е такое, что множество /

188 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 1
тех индексов i, для которых хьф0, конечно; условимся обозна-
обозначать через 2 xi и называть суммой семейства foXy сумму 2 Ъ.\
16/ • 16/
если a;t = 0 для всех i?/, то /=0 и, следовательно (гл. 1,
§ 2, определение 2), 2аЧ = 0- Можно также сказать, что сумма
семейства (а:Де/ есть общее значение сумм 2 xi Для всех конеч-
конечен
ных множеств HciI таких, что a;t = 0 при i ? С#; в случае
конечного / это вновь дает понятие суммы конечного семейства
(определенное в главе I).
Разумеется, символ 2 xt не имеет смысла для семейства (xj^j,
в котором xt Ф 0 для бесконечного множества индексов i (во всяком
случае, покуда Е не наделено топологической структурой; см. Общ.
топ., гл. III, § 4). Всюду в этой главе, где используется указанное
обозначение, подразумевается, если только не оговорено противное,
что 2^ = 0 для всех кроме конечного числа индексов i.
Очевидно, имеют место формулы
B)
Определение 5. Говорят, что элемент х А-модуля Е есть
линейная комбинация семейства (at)t?/ элементов из Е с коэф-
коэффициентами из А, если существует семейство (Юцг элементов
из А такое, что Xt = 0 для всех кроме конечного числа индексов i
и ar=2^iai- Каждое семейство (Xt)tp/, обладающее этим свой-
i?/
ством, называется семейством коэффициентов линейной комбина-
комбинации х (относительно семейства (at)).
Вообще говоря, существуют различные семейства коэффициен-
коэффициентов, удовлетворяющие соотношению x=^\'klal (см. п° 6).
i
Заметим, что (в силу соглашения, принятого в п° 1 § 2 главы I
0 есть линейная комбинация пустого семейства элементов из Е.

6 модули 189
Предложение 2. Подмодуль унитарного А-модуля Е, порож-
порожденный (гл. I, § 6, п° 10) семейством (a,,)ieJ элементов из Е,
совпадает с множеством всевозможных линейных комбинаций
семейства (at).
Действительно, каждый подмодуль модуля Е, содержащий
все at, содержит также все их линейные комбинации; обратно,
из формул A) и B) вытекает, что множество М всех линейных
комбинаций элементов at есть подмодуль модуля Е; так как при
этом al = eal, где е—единица кольца А, то М содержит все я,
и, следовательно, есть наименьший содержащий их подмодуль
модуля Е.
Определение 6. Моногенным модулем называется модуль,
порожденный одним элементом.
Предложение 2 показывает, что если Е — унитарный моно-
моногенный Л-модуль и а—любой порождающий его элемент, то Е
¦совпадает с множеством Аа всех элементов Ха, где А, пробегает А.
Примеры. 1) Каждая моногенная группа, будучи коммута-
коммутативной, является моногенным Z-модулем.
2) Если А—коммутативное кольцо с единицей, то моногенные
подмодули ^4-модуля А—это не что кное, как главные идеалы (гл. I,
§ 8, п° 6) кольца А.
б. Свободные семейства. Базисы
Определение 7. Семейство (fli)ig/ элементов А-модуля Е
называется свободным, если отношение 2 ^iai = 0 (где Я,, = 0 для
всех кроме конечного числа индексов i) влечет \ = 0 для ecexi.
Семейство (at), не являющееся свободным, называется зави-
зависимым .
Любые два элемента свободного семейства (at) в унитарном
Л-модуле Е, имеющие различные индексы, сами различны; дей-
действительно, из aa = ap, где аф$, вытекало бы 2^iai = 0' где
i
"ка=г, Хр=—е (е—единица кольца А) и Xt = 0 для всех
остальных индексов. SczE называется свободным множест-
множеством (или свободной системой), если семейство, определяемое

190 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 1
тождественным отображением S на себя, свободное (причем в этом
случае и каждое семейство, определяемое взаимно однозначным
отображением какого-нибудь множества индексов на S, свобод-
свободное). Элементы свободного подмножества модуля Е называют
также линейно независимыми. Множество в Е, не являющееся
свободным, называют зависимым (или зависимой системой), а его
элементы — линейно зависимыми.
Предложение 3. Для того чтобы семейство (fli)ig/ элементов
модуля Е было свободным, необходимо и достаточно, чтобы каждое
его конечное подсемейство было свободным.
Доказательство непосредственно вытекает из определения 7
и определения суммы бесконечного семейства элементов из Е.
Каждое подмножество свободного множества свободное. В част-
частности, пустое подмножество .4-модуля Е— свободное; каждое
подмножество свободного множества, сводящееся к одному эле-
элементу, свободное. Элемент х?Е называется свободным, если {х}
есть свободное множество, т. е. если ах = 0 влечет а = 0.
Замечания. 1) В векторном пространстве Е каждый элемент
х Ф 0 свободный, поскольку из ах = у при а ф 0 следует х=а~1у.
2) Из предложения 3 вытекает, что множество всех свободных
подмножеств Л-модуля Е, упорядоченное по включению, индуктивно
(Теор. ми., Рез., § 6, п° 9); будучи непустым, оно, в силу теоремы Цор-
на, обладает максимальным элементом (at). Отсюда следует, что для
каждого х ? Е в кольце А существуют элемент [х ф 0 и семейство
элементов (A.J таких, что }ив= У Х1а1 (см. § 3).
i
В силу определения 7, никакой элемент ак свободного семей-
семейства (at) в унитарном Л-модуле не является линейной комбина-
комбинацией элементов at с индексами Ф к. Но, обратно, семейство (аь),
> удовлетворяющее этому условию, не обязательно является сво-
свободным (см., однако, § 3, п° 1).
Например, пусть А—кольцо целостности с единицей и а, Ь —
его ненулевые элементы; в А, рассматриваемом как yl-модуль, а и Ь
образуют зависимую систему, ибо (— b)a->[-ab=0. Но, вообще говоря,
не существует элемента х?А, для которого бы Ь—ха или а = хЬ.
Если В — подкольцо кольца А, то семейство, свободное
в .-1-модуле Е, будет свободным также в структуре 5-модуля,

6 модули 191
полученной путем сужения кольца операторов до В; обратное же,
вообще говоря, неверно (см. § 5). Во избежание недоразумений,
семейство, свободное в структуре А -модуля (соответственно
В-модуля), называется свободным относительно А (соответственно
относительно В).
Определение 8. Базисом унитарного модуля Е называется
всякое свободное семейство элементов из Е, порождающее Е. Уни-
Унитарный модуль Е, обладающий базисом, называется свободным.
Допуская вольность речи, множество всех элементов базиса
унитарного модуля Е мы также называем базисом этого модуля.
Каждое свободное семейство элементов унитарного модуля Е
есть базис порожденного этим семейством подмодуля; в частности,
пустое семейство элементов из Е есть базис подмодуля {0}.
Замечания. 1) Унитарный модуль не обязательно обладает
базисом. Например, мы видели выше, что в кольце целостности А
с единицей, рассматриваемом как Л-модуль, не существует свободных
множеств, содержащих более одного элемента; поэтому неглавный
идеал в А не может иметь базиса; а ниже нам встретятся кольца
целостности, обладающие неглавными идеалами.
2) Свободный модуль может содержать элементы =р 0, ие являю-
являющиеся свободными. Например, если А— кольцо с единицей, то Л-модуль
As свободный, но (правые) делители нуля кольца А не являются
в As свободными элементами.
Пусть (ал)леь — базис унитарного А -модуля Е. Согласно
предложению 2, каждое х?Е есть линейная комбинация элемен-
элементов а%: х =2 ?яая; 1ТРИ этом |^ однозначно определены, ибо
соотношение 2 Ьх<*х — 2 ?я«? может быть переписано в виде
% л
/Е! (Ix. - Ш ая = 0, откуда sa. = ?a. для каждого X, поскольку
(а^) - свободное семейство; с,х называют компонентой (или,
допуская вольность речи, координатой) с индексом К (или к-п
компонентой) элемента х относительно базиса (а^).
В частности, если Е—моногенный унитарный Л-модуль и а —
элемент, образующий его базис, то каждое х € Е единственным
образом записывается в виде ж = |а; \ называют иногда отношением

192 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § I
вектора х к вектору а; если принтом кольцо Л коммутативно, то иногда
отношение х = \а, допуская вольность, записывают в виде \ = ~ ¦
Предложение 4. Пусть фактормодуль Е1МХ унитарного
модуля Е по его подмодулю Мх обладает базисом (at)i?/- Каковы бы
ни были элементы а1 классов at (modM^, семейство (at)te/ является
свободным и порождает подмодуль М2, дополнительный к Мх.
Действительно, по предположению, отношение ^,^(^ = 0
t
влечет A,t = 0 для всех i; так как оно равносильно отношению
2 А-А ?МХ, то мы видим, с одной стороны, что (at) есть свобод-
i
ное семейство и, с другой стороны, что порожденный им под-
подмодуль М2 обладает свойством МХ[\М2 = {Щ. Наконец, так как
каждый элемент из EIMt есть линейная комбинация классвв а,,.
то каждое х ? Е сравнимо (mod Mх) с некоторой линейной
комбинацией элементов at, а это показывает, что Е=-Мх-
Следствие. Если фактормодуль Е1МХ свободный, то Мг обла-
обладает в Е дополнением.
7. Сумма и прямая сумма любого семейства подмоду-
подмодулей
Предложение 5. Подмодуль, порожденный объединением
семейства (ilft)tE/ подмодулей модуля Е, совпадает с множеством
сумм ^Яа, где (xt)tey пробегает множество всех тех семейств
IE/
элементов из Е, в которых х1 = 0 для всех кроме конечного числа
индексов i и x^Mt для каждого i?/.
Действительно, каждый подмодуль модуля Е, содержащий
объединение |J Mt, содержит и все эти суммы, а, с другой сто-
роны, из формул A) и B) следует, что множество, образованное
этими суммами, есть подмодуль' модуля Е.
Если / конечно, то подмодуль, порожденный объединением
подмодулей Mi, есть пе что иное, как их сумма ^М1 (гл. I,
if/
§ 1). Распространяя это, вводим следующее определение:

7 ' МОДУЛИ 193
Определение 9. Суммой 2 Му произвольного семейства {M^j
подмодулей модуля Е называется подмодуль, порожденный объеди-
объединением этого семейства.
Замечание. Предложение 5 может рассматриваться как
обобщение предложения 2: действительно, это последнее сразу выте-
вытекает из предложения 5 и того факта, что подмодуль унитарного А-
модуля, порожденный элементом а, есть множество Аа всех Ха, где
К пробегает А.
Определение 10. Сумма семейства {Mv)l?I подмодулей модуля Е
называется прямой, если каждый элемент этой суммы единствен-
единственным образом записывается в виде 2 xi (гДе xi € Ml для каждого i
и 2^ = 0 для всех кроме конечного числа индексов).
Определение 10 обобщает определение прямой суммы, уже
данное в п° 6 § 6 главы I для случая конечного I. Оно означает,
что отношение 2Ж1 = 2У1> гДе *i€-^/t и yt?Mt для каждого i,
влечет xl = yl для всех i или также (в силу A) и того, что Mt —
подмодули) что отношение ?izl = Q, где zl^M^ для каждого i,
влечет zt = 0 для всех i.
Этому условию можно придать также следующий вид:
Предложение 6. Для того чтобы сумма семейства (M^^i
подмодулей модуля Е была прямой, необходимо и достаточно,
чтобы пересечение Мк с суммой тех Mt, индексы i которых Фк,
для каждого к?1 сводилось к 0.
Необходимость условия очевидна; достаточность его вытекает
из того, что отношение 2zi==0 может быть для каждого к?1
записано в виде zK= 2 (-~zi) и потому влечет zK = 0.
Если Е — прямая сумма семейства (Mt) своих подмодулей,
то каждому х?Е отвечает однозначно определенное семейство (xv)
такое, что xt ? Ml для каждого i и х =2^! элемент хь, соответ-
i
ствующий I, называется для каждого i компонентой х в под-
подмодуле Mt; полагая xl=kl(x), имеем следующее предложение:
13 Н. БурОаки

194 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. и. 5
Предложение 7. Каковы, бы ни были х?Е,у?Еиа?А,
kl(x + y) = kl{x) + kl(y). ¦ C)
kl(ax) = akl(r). D)
Действительно, с одной стороны, х-{-у =2j kt(x-\-у), а с дру-
гой, согласно A), х+ у = 2 К (х) + 2 h (y)= 2 (h (s) + К (у));
i i i
из определения 10 следует тогда C) для каждого i. Аналогично
доказывается D).
Пусть модуль Е есть прямая сумма семейства (M^^j своих
подмодулей; если (Jx)xer, — любое разбиение множества / н N-K
означает (тоже прямую) сумму 2 -^п то Е есть прямая сумма
подмодулей Nx- Обратно, если {ML\?i — семейство подмодулем!
модуля Е такое, что сумма Nx каждого подсемейства {М^^^
прямая, а Е есть прямая сумма семейства (Nx)k?L, to E есть
также прямая сумма семейства (ML)l?I.
Для любого семейства (ML)L^r А -модулей можно определить
Л-модуль, являющийся прямой суммой семейства своих иод-
модулей, соответственно изоморфных модулям Мь; достаточно
взять в произведении [| Mt модулей Mt подмодуль М', являю-
щийся суммой модулей-компонент М[ (п° 4), которая будет оче-
очевидно прямой; допуская вольность речи, мы будем (если это
не сможет привести к путанице), отождествляя каждое Mv
с модулем M'L, отмеченным тем же индексом, называть М прямой
суммой семейства (M^i; если / конечно, то М' совпадает с про-
произведением \\ ML модулей ML. Если все ML совпадают с одним
i?I
и тем же модулем М, то их прямая сумма обозначается М '.
Предложение 8. Пусть (Мь) — семейство подмодулей модуля Е
и М — прямая сумма этого семейства. Тогда сумма N подмоду-
подмодулей Mt изоморфна некоторому фактормодулю модуля М.
Действительно, каждый элемент из М имеет вид (ж,,), где
для каждого i и xL = 0 для всех кроме конечного числа

s модули 195
индексов. Поставив ему в соответствие элемент ^ xt суммы N.
и силу формул A) и B) и предложения 5 получим представление М
на N, откуда и следует справедливость утверждения (гл. Г. § 6.
теорема 5).
Отметим, наконец, что если модуль Е есть прямая сумма
семейства {Mi\^i своих подмодулей и каждый модуль Мк обла-
обладает ба;шсом Вь. то объединение всех Вь будет базисом модуля Е.
Замечание. За исключением последнего свойства, все опре-
определения и предложения, сформулированные и этом п°, без всяких
изменений распространяются на любые коммутативные группы
с операторами.
(V. Модули формальные линейных комбинаций
Понятие прямой суммы позволяет дать другое истолкование
понятиям свободного семейстиа и базиса. Для того чтобы семей-
семейство (at) элементов унитарного А -модуля Е было свободным,
необходимо и достаточно, чтобы каждый из элементов aL был
свободным, а сумма моногенных подмодулей Ааь (порожденных
соответственно элементами at) — прямой. ,
Предложение 9. Для того чтобы унитарный А-модуль Е
обладал базисом {а^сь, необходимо и достаточно, чтобы он был
изоморфен модулю А\ '.
Действительно, отображение, относящее каждому zg E семей-
ctro (E^)xeL его компонент относительно базиса {ai)i^L модуля Е,
в силу предложения 7 и определения базиса есть изоморфизм Е
„а At».
Обратно, пусть L — произвольное множество и е\ для каждого
A.gjL — элемент из .4s , компонента которого с индексом А. равна
единице е кольца А, а все остальные компоненты равны нулю;
для каждого а;=(|^) из А* имеем х—^&е}, так что эле-
менты е\ образуют базис модуля A[L); on называется каноническим
базисом этого модуля.
Следствие. Моногенный подмодуль Аа унитарного А-моауля Е,
порожденный свободным элементом а?Е, изоморфен А^.
13'

196 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 1
Пусть Т — произвольное множество; так как его отображение
t—> et на канонический базис модуля As взаимно однозначно,
то часто Т отождествляют посредством указанного отображения
с этим базисом. Иными словами, элементы модуля А^ записы-
записывают в виде 2i;i вместо 2 1<А- При этом соглашении элементы
модуля ЛзТ> называют формальными линейными комбинациями
(с коэффициентами из А) элементов множества Т, а модуль А^Р —
модулем формальных линейных комбинаций (с коэффициентами
из А) элементов множества Т.
Предложение 10. Пусть (ajig/ — любое непустое семейство
элементов унитарного А-модуля Е. Подмодуль М модуля Е,
порожденный семейством (at), изоморфен фактормодулю модуля
Al ) по >,го подмодулю N, образованному теми элементами (?,.),
для которых 2 liA = 0-
i
Действительно, отнесение каждому элементу (?t) из А(Р эле-
элемента 2 !а из Е, в силу формул A) и B) и предложения 2,
i
определяет представление и модуля А^ на М. Так как, по своему
определению, Л*= и @), то справедливость предложения выте-
вытекает из теоремы 5 § 6 главы I.
Допуская вольность речи, подмодуль N модуля А^ часто
называют модулем линейных соотношений между элементами
семейства (аь).
9. Аниуляторы. Точные модули. Строение моноген-
моногенных модулей
Определение 11. Аннулятором подмножества F А-модуля Е
называется множество тех элементов а?А, для которых аа: = 0,
каково бы ни было x?F.
Очевидно, аннулятор любого множества FCZ.E есть левый
идеал кольца Л. EcnnFdE, GdE и FdG, то аннулятор G
содержится в аннуляторе F. Аннулятор объединения [J Fy, любо-

.9 ' модули 197
го семейства (Ft) подмножеств модуля Е есть пересечение аннулято-
ров этих подмножеств. В частности, аннулятор множества F
есть пересечение аннуляторов его элементов. Сказать, что элемент
модуля Е свободный, — все равно что сказать, что его аннуля-
аннулятор нулевой, т. е. сводится к элементу 0 (гл. I, § 8, п° 5).
В частности, так как каждый ненулевой элемент векторного про-
пространства свободный (п° 6), то аннулятор любого множества эле-
элементов векторного пространства, из которых хоть один ФО, нулевой.
Аннулятор подмодуля М модуля Е есть двусторонний идеал
кольца А: действительно, если ш;=0 для каждого х?М, то также
а($х)—0 для каждого х?М и каждого PG-4, так что оф принад-
принадлежит аннулятору подмодуля М для каждого E 6 .А. В частно-
частности, аннулятор о модуля Е есть двусторонний идеал кольца А.
Обозначим через иа для каждого а? А гомотетию х—>ах.
порожденную оператором а; рассмотрим отображение а—>иа
кольца А в кольцо % всех эндоморфизмов коммутативной групп и
(без операторов) Е; аксиомы (Мц) и (Мщ) показывают, что это
отображение есть представление кольца А в кольцо %; прообран
нулевого эндоморфизма относительно этого отображения есть
как раз аннулятор о модуля Е; поэтому образ А при отображе-
отображении а—>иа изоморфен факторкольцу А/а.
Мы называем модуль Е точным, если его аннулятор а нулевой.
Пусть Е — не точный модуль и а •— произвольны» элемент фактор-
кольца А /а; для каждого х?Е элемент ах будет одним и тем же для
всех а, принадлежащих классу a (mod а); обозначим его ах; легко
видеть, что отображение (а, х) -»• ах определяет в Е (вместе со сложе-
сложением) структуру точного модуля относительно факторкольца А /о;
множество Е, наделенное этой структурой, называется точным моду-
модулем, ассоциированным с заданным Л-модулем Е. Заметим, что каждый
подмодуль Л-модуля Е есть также подмодуль ассоциированного с Е
точного модуля, и обратно.
Предложение 11. Пусть А — кольцо с единицей. Каждый
унитарный моногенный А-модулъ изоморфен фактормодулю Aja,
где а — некоторый левый идеал кольца А; обратно, каждый
фактормодуль модуля As есть унитарный моногенный А-модулъ.

198 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § I
Первое утверждение есть следствие предложения 10, приме-
примененного к случаю, когда / сводится к одному элементу: унитарный
Д-модуль Е, порожденный элементом а, изоморфен As/"a, где
а—апнулятор а. Обратное очевидно, ибо если а — левый идеал
кольца А с единицей е, то модуль Aja порождается классом! е
(mod a).
Поэтому, в силу теоремы 6 § 6 главы I, каждый подмодуль уни-
унитарного моногенного 4-модуля Е изоморфен фактормодулю Ъ/а,
где а и Б — левые идеалы кольца А такие, что ааЬ; каждый
фактормодуль модуля Е изоморфен фактормодулю Ajb и, значит,
сам является моногенным.
» Не следует думать, что подмодуль моногенного модуля всегда
является моногенным модулем; например, неглавные идеалы комму-
коммутативного кольца А с единицей являются немоногонными подмодулями
мопогенпого Л -модуля А.
Упражнения. 1) Пусть А — произвольное кольцо и А' —
кольцо, полученное путем присоединения к А единицы по методу
упражнения 3 § 8 главы I. Показать, что структуру любого А -модуля К
можно рассматривать как получающуюся путем сужения до А областл
операторов структуры унитарного .4'-модуля. Е, наделенное как той.
так и другой структурами, имеет одинаковые подмодули.
2) Пусть Е— -4-модуль и \а — центральный элемент кольца .-1
такой, что [да,— \i2x для каждого х?Е (что, в частности, имеет
место, если и — идемпотент (гл. I, § 1, п° 4) кольца А); показать,
что Е есть прямая сумма своего подмодуля \lE и подмодуля М, обра-
образованного теми у?Е, для которых и,?/=0. В частности, если А
обладает единицей е, Е есть прямая сумма унитарного подмодуля е.Е
и подмодуля М такого, что аМ — \0\ для каждого а?А.
3) Моногенный подмодуль, порожденный элементом а произволь-
произвольного Л-модуля Е, совпадает с множеством всех элементов вида
па-\~Ха, где n?Z и к?А.
4) Пусть М и iV — подмножества Л-модуля Е, m и п — их
аннуляторы; показать, что аннулятор пересечения М f] N содержит
m-f-n, и привести пример, где он отличен от m-j-n.
5) Аннулятор подмножества /' произведения Г!^ модулей Е{
i
|?сть пересечение аннуляторов проекций этого подмножества.
6) Аннулятор любого ненулевого элемента свободного унитар-
унитарного у4-модуля содержит лишь 0 и левые делители нуля кольца А;
в частности, все элементы свободного Л-модуля, где А — кольцо
оез делителей пуля, свободные.

МОДУЛИ
7) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу.
Показать, что модуль А™ при п > 1 не может быть моногенным. [См.
5 3, упражнение 8, и гл. III, § 5.]
8) Пусть А — факторкольцо Z/F), (elt е2) — канонический базис
Л-модуля А2 и e=2ej-f-3e2; показать, что хотя е1 и е2 образуют свобод-
свободную систему, а и elt равно как а и е2, образуют зависимые системы.
9) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу,
ио не допускающее тела левых отношений (см. гл. I, § 9, упражне-
упражнение 8). Показать, что для всякого свободного элемента а унитарного
Л-модуля Е существуют элементы Ь=$а и с=уа моногенного подмо-
подмодуля, порожденного элементом а, образующие свободную систему.
10) Пусть А — кольцо с единицей, допускающее тело левых
отношений (гл. I, § 9, упражнение 8), и Е — унитарный Л-модуль;
показать, что если (?i)i--i<r — свободная система в Е и элементы у, z
таковы, что как хг, ..., хг, у, так и xlt ..., xr, z — зависимые системы,
то также х2, •-., х,-, у, z — зависимая система. [Индукцией по г.]
11) Пусть А — кольцо с единицей, допускающее кольцо левых
отношений. Показать, что в А-моруле As подмодуль, отличный от -4S
и {0}, не обладает дополнением. [См. гл. I, § 9, упражнение 9.]
12) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу.
Показать, что если каждый его левый идеал является моногенным
.4-модулем, то А допускает тело левых отношений. [Использовать
ириведенное выше упражнение 7 и упражнение 9 § 9 главы I.J
*13) Пусть Е — Л-модуль, являющийся прямой суммой бес-
бесконечного семейства (M^^j своих подмодулей (не сводящихся к 0).
Показать, что каждая система S образующих модуля Е имеет мощность,
не меньшую мощности множества /. [Пусть S — система образующих
модуля Е, Fx для каждого х ?S —¦ конечное множество тех индексов
i ? /, для которых 1-я компонента х отлична от 0, и F — объединение
множеств Fx, где х пробегает S. Показать, что F имеет мощность,
не превосходящую мощности произведения iSXN, а тем самым—мощ-
самым—мощности S, и что мощность F не может быть строго меньше мощности /.]
Вывести отсюда, что если Е есть прямая сумма каждого из семейств
(Afl)lrj, (Nx)xck своих моногенных подмодулей, то / и К равно-
мощны. В частности, если Е обладает бесконечным базисом В, то каж-
каждый другой базис модуля Е равпомощен В.
14) Показать, что каждый унитарный ^-модуль, обладающий
базисом с множеством индексов /, равномощен множеству AXI,
осли хотя бы одно из множеств А, I бесконечно. [Воспользоваться
тем, что множество всех конечных подмножеств бесконечного мно-
множества F равномощно F.]
*15) а) Говорят, что Л-модуль удовлетворяет условию макси-
максимальности (соответственно минимальности), если множество всех
его подмодулей удовлетворяет условию максимальности (соответ-
(соответственно минимальности; см. гл. I, § 6, упражнение 15). Показать, что

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. П. § I
произведение EXF .4-модулей Е, F, удовлетворяющих условию ма-
максимальности (минимальности), также удовлетворяет этому условию.
[Пусть (A/ft) — возрастающая (соответственно убывающая) последо-
последовательность подмодулей модуля EXF; рассматривая их проекции
на Е, установить существование индекса р такого, что для всех к > р
имеет место равенство Мк = Mv -f- (M^ f] F) (соответственно
Mp — Mk-\-(Mpf}F), откуда следует, что MvIMjt изоморфно
б) Вывести отсюда, что для того, чтобы -4-модуль Ап- удовлетво
рял условию максимальности (соответственно минимальности), необ-
необходимо и достаточно, чтобы этому условию удовлетворяло As.
•16) а) Пусть А — кольцо с единицей такое, что Л-модуль А,.
удовлетворяет условию максимальности (упражнение 15). Показать,
что каждая система образующих модуля аЧ содержит по меньшей
мере п элементов. [В противном случае при некотором р<^п суще-
существовали бы представление A?s иа As и, следовательно, эндоморфизм и
модуля Л™ такой, что м(Л?)=Л"и и @)ф{0}; показать, что это несов-
несовместимо с условием максимальности в Л".]
б) Пусть В — подкольцо кольца А, имеющее тот же единичный
элемент, что и А. Показать, что также каждая система образующих
В-модуля В? содержит по меньшей мере н элемептов. [Показать, что
каждая система образующих модуля В™ С А™ есть также система
образующих модуля As.] Вывести отсюда, что осли унитарный
В-модуль Е обладает конечным базисом, то всякий другой базис
модуля Е состоит из такого же числа элемептов.
17) Пусть А — кольцо с единицей такое, что Л-модуль As удов-
удовлетворяет условию минимальности (упражнение 15). Показать, что
каждое свободное подмножество модуля А™ содержит не более п эло
ментов. [В противном случае для некоторого /?>/г существовал бы
подмодуль модуля А?, изоморфный Af, но отличный от пего, что несо-
несовместимо с условием минимальности в А^ (см. гл. I, § 6, упражне-
упражнение 15).]
Вывести отсюда, что если унитарный Л-модуль Е обладает конеч-
конечным базисом, то всякий другой базис этого модуля состоит из такого же
числа элементов.
*18) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее еди-
единицу.
а) Показать, что если А допускает тело левых отношений А
(гл. I, § 9, упражнение 8), Е — векторное пространство над К и М—
Л-модуль, содержащийся в Е, то каждое множество в М, свободное
относительно А, будет также свободным относительно К.
б) Для того чтобы в у4-модуле А$ не содержалось свободного
множества, имеющего более п элементов, необходимо и достаточно.

модули 201
чтобы А допускало тело левых отношений. [При доказательство
необходимости условия воспользоваться упражнением 9 § 9 гл. I;
при доказательстве достаточности использовать а), заметив, что
As с К™', и применить упражнение 17 к ЛГ?.]
19) Унитарный Л-модуль Е, обладающий рядом Жордана—Гёль-
дера длины п (гл. 1,§6,п° 14), имеет систему образующих, состоящую
из п элементов. [Заметить, что если М т& N — подмодули модуля ?
такие, что М 3 N и M/N — простой модуль, то существует а?М
такое, что Л/= N Л-Аа.]
*20) Пусть М — простой модуль (гл. I, § 6, определение 14)
относительно кольца А. Показать, что либо аЛ/ = {0} для каждого а ?А
и М состоит из конечного числа р элементов, где р — простое, либо
М=Аа для каждого а ф 0. принадлежащего М. [Заметить, что Ах с. М
для каждого х?М, и рассмотреть подмодуль модуля М, образован-
образованный теми х ? М, для которых Ах— {0}.] Во втором случае аннулятор а
элемента а есть максимальный левый идеал кольца А и М изоморфно
As/a. Обратно, если а — максимальный левый идеал кольца А, то
.4-модуль Asfa — простой.
21) Пусть М и N — два полупростых подмодуля *) модуля Е,
имеющие соответственно длины то и д. Если пересечение М Г\ N
имеет длину q, то сумма МЛ- N есть полупростой модуль длины /)
такой, что р-\- д = тЛ-п.
22) Пусть Е — вполне приводимый модуль (гл. I, § 6, упражне-
упражнение 18). а М и Л7 — его подмодули с полупростыми фактормодулями
Е/М и E/N, имеющими соответственно длины то и д. Показать, что
Е/(М П N) и EI(M-\- N) — полупростые, а их длины q и р связаны
с те и и соотношением р— - q = mJrn.
*23) Вполне приводимый модуль (гл. I, § 6, упражнение 18) назы-
называется однородным, если он является прямой суммой своих простых
подмодулей, изоморфных одному и тому же модулю. Пусть Е — вполне
приводимый модуль, являющийся прямой суммой семейства (Afl)lgi
своих простых подмодулей; тогда каждый его простой подмодуль изо-
изоморфен одному из М1 (гл. I, §6, упражнение 186); сумма Суесехпростых
подмодулей модуля Е, изоморфных Mv называется для каждого i ? /
i-й однородной компонентой модуля Е. Показать, что Е есть прямая
сумма семейства всех своих различных однородных компонент, a Gt —
сумма всех Мк, изоморфных М1.
*24) а) Пусть Н — однородный вполне приводимый yl-модуль
(упражнение 23), являющийся прямой суммой семейства (Л/1I?/
*) Модуль М называется простым, если он не сводится к {0} и не обла-
обладает подмодулями, отличными от М и {0}. Модуль М называется здесь полу-
полупростым модулем длины п, если он является прямой суммой некоторого
конечного семейства (Мг)\ <; % ^ п своих простых подмодулей (общее опреде-
определение полупростого модуля см. в гл. VIII, §^3).— Перее.

202 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. П. § -
своих попарно изоморфных простых подмодулей. Если К есть также пря-
прямая сумма второго семейства (Лк)х,к своих простых подмодулей, то
все они изоморфны подмодулям Му1 а К равномощно /. [Ограничиться
случаем бесконечного /; согласно упражнению 20, рассмотреть два
случая соответственно тому, будет ли ЛЕ = {0\ или нет; в первом слу-
случае рассматривать Е как вполне приводимый Z-модуль; затем приме-
применить в обоих случаях упражнение 13.)
б) Пусть Е — произвольный вполне приводимый Л-модуль.
Если Е — прямая сумма каждого из двух семейств (-Mt)l?i и (TVи)иек
своих простых подмодулей, то существует такое взаимно однозначное
отображение ср множества / на К, что NфAч изоморфно Мt для каж-
каждого I. [С помощью упражнения 23 свести к а).)
25) Пусть Е и F — изоморфные полупростые модули, V — под-
подмодуль модуля Е mW — подмодуль модуля F; если V и W изоморфны,
то также E/V и F/W изоморфны. Показать на примере, что соответ-
соответствующий результат для вполне приводимых модулей бесконечной
длины неверен.
*26) Пусть Е — Л-модуль, каждый подмодуль которого обладает
дополнением.
а) Показать, что и все подмодули F модуля Е обладают этим
свойством, т. е. каждый подмодуль в F обладает дополнением отно-
относительно F.
б) Показать, что каждый подмодуль модуля Е обладает простым
подмодулем. [Используя упражнение 1, свести к случаю унитар-
унитарного Л-модуля Е; затем, используя а), упражнение 20 и теорему Круля
(гл. I, § 8, теорема 2), доказать, что каждый моногенный подмодуль
модуля Е содержит простой подмодуль.]
в) Показать, что Е есть сумма своих простых подмодулей и, сле-
следовательно (гл. I, § 6, упражнение 18), вполне приводимо. [Рассмот-
[Рассмотреть подмодуль модуля Е, являющийся суммой всех простых подмоду-
подмодулей этого модуля.]
§ 2. Линейные отображения
/. Линейные функции
Определение 1. Пусть Е и F — модули относительно одного
и того же кольца А. Линейным отображением Е в F называется
всякое представление (гл. I, § 4, п° 4) Е в F.
Иными словами, отображение и модуля Е в F линейно^ если
и(х+у)~и(х)-\-и(у), каковы бы ни были ж g 2?, у?Е, и и(Хх) =
— Аи- (х) при любых х 6 Е и % ? А.

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 20'Л
Замечание. Если Е и Ь' — коммутативные группы, рассматри-
рассматриваемые как модули над кольцом Z (§ 1, п° 1), то каждое представление и
группы {бел операторов) Е в группу (без операторов) F есть также
линейное отображение Е в F, поскольку соотношение и (и)=ли (г)
сводится к и (х-{-у) = и (х)-f и (у) индукцией по п.
Примеры. 1) Проекция ргг произведения \\Et семейства
41
модулей па частичное произведение И Е{ есть линейное отображе-
4-1
ние. Точно так же, если модуль Е есть прямая сумма семейства (MJ
своих подмодулей, а к: (х) — компонента х ? /:' в М1 (§ 1, п° 7), то
к1 — линейное отображение (§ 1, предложение 7).
2) Пусть а — элемент Л-модуля Е; отображение X -> Ха Л-модуля
As в Е линейно; обозначим его 6О; если Е — унитарный модуль, то
Оа(е) = а (где г — единица кольца А).
°3) Пусть / — открытый интервал числовой прямой R, Е — век-
векторное пространство всех дифференцируемых числовых функций
иа I и F — векторное пространство всех числовых функций на /.
Отображение х -> х', относящее каждой дифференцируемой функции х
ее производную, есть линейное отображение Е в F.o
Все свойства представлений произвольных групп с операто-
операторами (гл. I, § 6, п°п° 12 и 13) сохраняют силу и для линейных
отображений; напомним их вкратце.
Для того чтобы отображение модуля Е в модуль F было изо-
изоморфизмом Е в F, необходимо и достаточно, чтобы оно было
взаимно однозначным линейным отображением Е в F, или чтобы
-I
и @) сводилось к 0.
Пусть и — линейное отображение Еъ F, тогда и(Е) есть под-
подмодуль модуля F; Н = и @) есть подмодуль модуля Е, и и (Е)
изоморфно фактормодулю Е/Н; и есть композиция канониче-
канонического гомоморфизма Е на Е/Н, изоморфизма Е/Н на и(Е) и кано-
канонического изоморфизма и (Е) в F. Если М — подмодуль модуля Е,
то и (М-) — подмодуль модуля F, изоморфный фактормодулям
Mi(M[}H) и (М-\-Н)/Н; в частности, если сумма М-гН прямая
(т. е. если М[)Н={0}), то сужение и на М есть изоморфизм М на
и (М). Если М' — подмодуль модуля F, то и (ЛГ) — подмодуль
модуля Е, содержащий Н, а фактормодуль и (M')lH ияолгорфен
M'f}u(E).

204 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 'I
Если S — система образующих подмодуля М модуля Е, то
и (S) есть система образующих для и (М). В частности, если и (х) = 0
для всех x?S, то и(х)=0 также для всех х?М.
Ссылаясь на этот результат, мы будем называть его иногда «прин-
«принципом продолжения линейных тождеств» или «принципом продолжении
по линейности».
Наконец, если Е, F, G — ,4-модули, и — линейное отобра-
отображение Е в F и v — линейное отображение F в G, то композиция
иои есть линейное отображение Е в G.
Множество всех линейных отображений модуля Е в модуль /
будет обозначаться X (E,F). Ясно, что если и и v — такие отобра-
отображения, то также —и и u-\-v являются линейными отображе-
отображениями Е в F; тем самым X (Е, F) есть аддитивная подгруппа
модуля FE (множества всех отображений Е в F); напротив, если
*А некоммутативно, то w=au, где а? А, не будет, вообще говоря,
линейным отображением Е в F; действительно, w(kx)=au (Хх) —
= (аХ) и{х), a Xw (x)=(ka) u(x), и потому w(Xx)="kw{x) для всех
х?Е и всех Х?А, вообще говоря, лишь если а принадлежит
центру С кольца А. Иначе говоря, вообще X (Е, F) можно наделить
структурой модуля относительно С (но не относительно А).
2. Линейные отображения фактормодуля
Пусть Е — А -модуль, Н — его подмодуль и ф — канониче-
канонический гомоморфизм Е на фактормодуль Е/Н. Если / — линейное
отображение Е/Н в .4-модуль F, то /о<р есть линейное отображе-
отображение Е в F, аннулирующееся для всех х?Н; обратно, если g —
линейное отображение Е в F, аннулирующееся для всех х?И,
то х = у (mod//) влечет g(x—у)~0, т. е. g{x) = g(y); тем самым g
согласуется с отношениемх = у (mod if) (Teop. мн., Рез., § 5, пс 7)
и, следовательно, имеет вид /°ф, где / — отображение Е/Н в F,
линейность которого легко проверяется. Другими словами:
ПредложЕНИЕ 1. Пусть Е и F — А-модули, Н — подмодуль
модуля Е и ф — канонический гомоморфизм Е на Е/Н. Отобра-
Отображение, относящее каждому линейному отображению f фактор-
модуля Е/Н в F линейное отображение /о<р модуля Е в F, есть

•i ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 205
изоморфизм модуля X (Е/Н, F) (относительно центра С кольца А)
на подмодуль модуля X(E,F), образованный теми линейными
отображениями Е в F, которые аннулируются на Н.
Этот изоморфизм и изоморфизм, обратный ему, будут назы-
называться каноническими.
Замечание. Предыдущее рассуждение может быть обобщено
следующим образом: если и — линейное отображение Е в F, М —
произвольный подмодуль в ? и функция и согласуется (Теор. мн.,
Рез., § 5, п° 8) с отношениями эквивалентности х = у (mod М) в Е
и х' = у' (mod и (М)) в F, то отображение и фактормодуля Е/М
в F/u (Л?), получающееся путем ее факторизации, линейно и отображает
Е/М на и (Е)/и (М)\ при этом и о ф=гM ° и, где ф—канонический гомо-
гомоморфизм Е на Е/М, a ij) — канонический гомоморфизм F на Flu (M) *).
.'i. Линейные отображения в прямую сумму
Пусть Е и F — Л-модули и F является прямой суммой конеч-
конечного семейства {Nj)i^j^n своих подмодулей; для каждого y?F обо-
обозначим через kj(y) компоненту у в JV3- A</<гс). Пусть и — ли-
линейное отображение Е в F; для каждого х?Е имеем и(х) =
п п
— 2 kj (и (х)), т.е. и = 2j kjou\ иными словами, линейное отображе-
У=1 3=1
ние и вполне определяется знанием линейных отображений ц}- = к^°и
модуля i? в модули Nj A<!/<и). Обратно, если и^ для каждого
п
/ — произвольное линейное отображение Е в iV}-, то u='^]uj
У=1
есть линейное отображение Е в F такое, что и^ = к^ои. В итоге,
если рассматривать линейные отображения Е в JV3- A</<и)
как линейные отображения Е в F и тем самым модуль X (E,Nj) —
как подмодуль модуля X (Е, F), то получаем:
Предложение 2. Если F — прямая сумма конечного семейства
(Nj) своих подмодулей, то модуль X(E,F) есть прямая сумма
своих подмодулей X(E,Nj).
*) Эти результаты сохраняют силу также, когда Е a F — произ-
произвольные группы с операторами (коммутативные или нет), и — представление Е
на F и М — устойчивая нормальная подгруппа группы Е (откуда следует,
что и (М) есть устойчивая нормальная подгруппа группы и (Е) = F).

206 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § ~
4. Линейные отображения прямой суммы
Пусть теперь Е—Л-модуль, являющийся прямой суммой
произвольного семейства (Мх) своих подмодулей, и F — произ-
произвольный 4-модуль. Для каждого х^Е обозначим через h\(x)
компоненту х в Мх. так что х~ ^ hx(x). Если и — линейное ото-
отображение Я и F, то и (х)=^и(У\ hx (х))=^ 2] и (h) (z))=2 и\ (^> (х))-
XI X
где их — сужение и на подмодуль Мх- Тем самым значение и для
каждого х? Е определяется знанием сужений и на подмодули Мх-
Обратно, пусть для каждого к задано линейное отображение
их модуля Их в F; если для каждого х?Е положить и(х)
= 2 их (hx (x)) (выражение, имеющее смысл, поскольку hx (x) d
х
и, значит, их (hx (х))=0 для всех кроме конечного числа индексов л).
то ясно, что и будет линейным отображением Е в F, сужение
которого на каждое Мх совпадает с их- В итоге:
Предложение 3. Пусть Е и F — А-модули, причем Е есть
прямая сумма семейства (Мх) своих подмодулей. Каково бы ни
было семейство (их) линейных отображений щ модулей Мх в F.
существует, и притом только одно, линейное отображение и
модуля Е в F, сужение которого на Мх ровно их для каждого X.
Следствие 1. Модуль Ж (Е, F) изоморфен проиаведених/
\\%{МЪ F) модулей Х(Мх, F).
х
Следствие 2. Если Е обладает базисом (ах), то для каждого
семейства (Ьх) элементов из F существует однозначно опреде-
определенное линейное отображение и модуля Е в F такое, что и (пх)~ Ох
для каждого X.
Это отображение определяется формулой и (У) 1,х^х) = 2 Ъ 0> ¦
X X
Следовательно, для того чтобы и было изоморфизмом Е в F, необ-
необходимо и достаточно, чтобы (Ох) было свободным семейством;
для того чтобы и было изоморфизмом Е на F, необходимо и доста-
достаточно, чтобы (Ьх) было базисом модуля F.
Замечание. Пусть Т — произвольное множество, отожде-
отождествленное с каноническим базисом модуля ^4^ формальных линей

4 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2О7
ных комбинаций (с коэффициентами из А) элементов множества Г
(§ 1, п° 8). Следствие 2 предложения 3 показывает, что любое отобра-
отображение / множества 7" в Л-модуль F может быть, и притом единствен-
единственным образом, продолжено до линейного отображения J модуля Л ['
в F, а именно по формуле 7 (^ S(')= 2 Ы (*)•
i t
Предположим теперь, что Е есть прямая сумма конечного
семейства {Мг)^^т своих подмодулей. В тех же обозначениях,
m
что и выше, изоморфизм [[ X (Мг, F) на X (Е, F), определенный
т
при доказательстве предложения 3, запишется в виде (щ)—> 2 Ui°ht;
когда ui пробегает %(Mi:F), uiohi пробегает подмодуль Р\ модуля
% (E,F), образованный теми линейными отображениями Е в F,
которые аннулируются на подмодуле Рг= 2 Л1к, дополнитель-
кфг
ном к Мг. Тем самым имеем:
Предложение 4. Пусть Е — модуль, являющийся прямой
суммой конечного семейства {Мг)^^т своих подмодулей; далее.
Pi для каждого индекса i — подмодуль 2 ^/г> дополнительный
кфг
к Мг, и Р{ — подмодуль модуля X (Е, F), образованный теми
линейными отображениями Е в F, которые аннулируются на Рг.
Тогда Р[ изоморфен X (Мt, F) и X (Е, F) есть прямая сумма под-
подмодулей Р\ A<?<т).
Замечание. Изоморфизм ut -+ щ о й4 модуля if (Mit F)
на -Pi есть композиция изоморфизма if (M;, F) на if (Е/Рг, F). поро-
порождаемого каноническим изоморфизмом М^ на E/Pi (§ 1, предложение 1),
и канонического изоморфизма if (Е/Р^, F) на Р\, определенного в пред-
предложении 1. if (MitF) и Pi часто отождествляются посредством изомор
физма «? -+ Uj о frj и изоморфизма, обратного ему, которые мы назы-
называем каноническими.
Следствие. Подмодуль М\ модуля X (E,F), образованный теми
линейными отображениями Е в F, которые аннулируются на Мг,
равен 2 P'h-

208 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 2
Действительно, поскольку все hk с индексами к Ф i аннули-
т
руются на Мг, то для того, чтобы и= 2 ик°^и аннулировалось
на Л/4, необходимо и достаточно, чтобы и4о/14=0.
Еще более специализируя наши предположения, допустим, нако-
наконец, что, с одной стороны, Е есть прямая сумма конечного семейств»
(^/iI<i<m своих подмодулей и, с другой стороны, F есть также пря-
прямая сумма конечного семейства (^Vj)i<j<n своих подмодулей. Предло-
Предложения 2 и 3 показывают тогда, что модуль X (Е, F) изоморфен произ-
произведению т.п. модулей X (Mit Nj). Говоря точнее, каждое линейное
отображение и модуля Е в F определяется своими m сужениями Uj
на М±, каждое же и4 определяется п отображениями kj о Ui—иц по фор-
п
муле м$ (ж) = 2 Uji(x); и^ — линейное отображение М4 в Nj, и эти
тп отображений могут быть выбраны произвольно.
Пусть G — третий Л-модуль, прямая сумма семейства (Рь)\<к<р
своих подмодулей, и v — линейное отображение F в G, a (vkj) — соот-
соответствующие ему пр линейных отображений (где v^j — отображение
Nj в -Pfc). Для каждого х ? М^ имеем
Полагая
2
J=J
видим, что семейство, образованное то/> линейными отображениями
aifej, соответствует линейному отображению w=vou модуля Е в G
(см. § 6, п°4).
Замечание. Все предыдущие определения и предложения
(кроме определения структуры С-модуля в X (Е, F), следствия 2
предложения 3 и сделанных вслед за ним замечаний) применимы без
изменения к произвольным коммутативным группам с операторами.
5. Эндоморфизмы модуля
Пусть Е — Л-модуль; в соответствии с общими определениями
(гл. I, § 4, п° 4), эндоморфизм модуля Е — это линейное отобра-
отображение Е в Е; таким образом, множеством всех этих эндоморфиз-
эндоморфизмов служит множество, которое мы обозначили %{Е,Е) и будем
в дальнейшем для краткости обозначать X (Е). Очевидно, закон

• > ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 209
композиции (и, v)—> ио v определяет в X (Е) вместе со сложением
структуру кольца, единичным элементом которого служит тожде-
тождественное отображение Е на себя. X (Е), наделенное, кроме того,
внешним законом композиции (у, и)—>уи операторов у, принадле-
принадлежащих центру С кольца А, и эндоморфизмов и модуля Е, есть
кольцо с операторами (гл. I, § 8, п° 2), ибо для любых двух эндо-
эндоморфизмов и, v имеем (уи)о v~uo(yv)=y (uo v).
Автоморфизмы модуля Е —¦ это не что иное, как обратимые
элементы кольца X (Е); они образуют группу, которую обозна-
обозначают GL (Е) и называют линейной группой модуля Е\ при Е=А™
пместо GL (E) пишут Gha(A).
Кольцо (без операторов) Jg (Е) есть подкольцо кольца ? всех
эндоморфизмов аддитивной группы (без операторов) Е; оно состоит
из тех элементов кольца «S, которые перестановочны со всеми гомоте-
гомотетиями модуля Е (гл. I, § 8, следствие 2 предложения 2). Как было
уже отмечено (§ 1, п° 1, и гл. I, § 6, п° 12), если кольцо А некоммута-
некоммутативно, гомотетия модуля Е, вообще говоря, не является эндоморфиз-
эндоморфизмом структуры модуля в Е.
Если у принадлежит центру С кольца А, то гомотетия х—*ух
есть эндоморфизм модуля Е. Эти гомотетии называются централь-
центральными гомотетиями модуля Е; они образуют подкольцо кольца
X (Е) и перестановочны со всеми эндоморфизмами модуля Е.
При этом:
Предложение 5. Если Е — свободный А-модулъ, имеющий
базис, содержащий не менее двух элементов, то каждый эндомор-
эндоморфизм модуля Е, перестановочный со всеми автоморфизмами этого
модуля, является центральной гомотетией.
Пусть (а\) — базис модуля Е и / — эндоморфизм, переста-
перестановочный со всеми автоморфизмами этого модуля. Зафиксируем
какой-нибудь индекс К, и пусть / (fl^)=Yxflx + 2 Уь^ц', для каждого
индекса fi Ф % обозначим через и%^ автоморфизм модуля Е, опре-
определяемый (следствие 2 предложения 3) условиями и^ (all)=ax-\-av,,
«Ли (Ov)=av при vф\i,¦, записывая, что f(uxii(a}i)) = u^(f(ax)),
получаем Y?m=0; поскольку это верно для всех \i Ф X, имеем
f(ai)-yxa), для каждого индекса К. Пусть теперь уЯ)Х для каждой
пары различных индексов (К, р,) означает автоморфизм модуля Е,
14 II. Бурбакп

210 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, §2
определяемый условиями ^ц («a)=«h. '-V (Яц) = «л и *V («v) = °v
для всех v, отличных от X и |л; записывая, что f {v%^ {a%))~- v^ (f (a^)),
получаем Ya^Yh» так что все yx равны одному и тому же элементу
у?Л. Наконец, пусть wa для каждого а?Л означает автомор-
автоморфизм, определяемый условиями wa {п),) = ах^гаа^ и wa(av) — av для
псех v Ф X (где Я, и [Л — любые два фиксированных различных
индекса); записывая, что f (wa(ai)) — wa(j (а^)), получаем <xy—Ya'
так что у принадлежит центру С кольца А. Тогда для каждого
х = 2 Ъ^х ?Е имеем
л.
/ И = 2 ii/ Ю = 2 ?лУЛя = 2 Y?*fl* = v^.
i ¦ - i я,
чем и доказано, что / — центральная гомотетия.
Следствие 1. Если Е — свободный А-модуль, то центр кольца
j6 (E) есть кольцо всех центральных гомотетий модуля. Е, кото-
которое тогда изоморфно центру С кольца А.
То, что каждый эндоморфизм, принадлежащий центру кольца
X (Е), является центральной гомотетией, в случае, когда Е имеет
базис, содержащий не менее двух элементов, вытекает из пред-
предложения 5; если Е изоморфно As, то, поскольку каждый эндо-
эндоморфизм и модуля As имеет вид g—> ?a, где а=и(е), два таких
эндоморфизма перестановочны тогда и только тогда, когда пере-
перестановочны их значения для |=в, так что центр кольца X (Е)
и в этом случае образован центральными гомотетиями. Остается
показать, что если Е — свободный Л-модуль, то кольцо его
центральных гомотетий изоморфно С; но отображение Y~~>(P;i'
гДе Фа — центральная гомотетия х —> ух, есть представление
С в X (Е), и фу = 0, имея своим следствием у% = 0для каждого
элемента базиса (а^) модуля Е, влечет у —0.
Следствие 2. Если Е — свободный А-модуль, имеющий базис,
содерясащий не менее двух элементов, то центром линейной
группы GL(E) служит группа обратимых центральных гомоте-
гомотетий модуля Е, изоморфная тогда группе, обратимых элементов
центра С кольца А.
Замечание. Это следствие остается еще верным для моногев-
ного векторного пространства Е\ но оно не распространяется на А-
модуль As с произвольным кольцом А, ибо можно указать примеры
некоммутативных колец, каждый элемент которых перестановочен

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 211
со всеми обратимыми элементами кольца; °так, этим свойством обладает
тензорная алгебра векторного пространства размерности >1 (гл. III.
У
пражнения. 1) Пусть Е — Л-модуль и /"=17./^ _
изведение Л-модулей FL; показать, что X (Е, F) изоморфно произве-
произведению [] X (Е, /\).
i
2) Пусть Е — свободный Л-модуль, F — произвольный Л-мо-
дуль, М — подмодуль модуля Е, N — подмодуль модуля F. Пусть,
далее, Г — подмодуль модуля X (Е, F), образованный теми линей-
линейными отображениями ы, для которых и (М) СГ N, и Го — подмодуле
модуля Г, образованный теми линейными отображениями и, для кото-
которых и (Е) С N. Показать, что модуль X (Е/М, F/ N) изоморфен фак-
тормодулю Г/Го. [Показать, что каждому линейному отображению /
в FlN можно поставить в соответствие класс (mod Го) линейных
отображений Е в F.]
3) Пусть Е и F — .4-модули и и — линейное отображение Е в / .
Показать, что отображение (х, у) —* (х, у — и (х)) модуля EXF в себя
есть его автоморфизм. Вывести отсюда, что если существуют v ?
?je(F, Е) и а ? Е такие, что v (и (а))=а, то существует такой автомор-
автоморфизм w модуля EXF, что w (а, 0) = @, и (а)).
4) а) Изоморфизм и модуля Е в Е не может быть левым делителем
нуля в кольце Х(Е).
б) Если Е — свободный модуль и и ? X (Е) не является левым
делителем нуля в X (Е), то и — изоморфизм Е в Е.
в) Пусть G — подгруппа аддитивной группы Q рациональны?
чисел, образованная рациональными числами к/рп, где р — фиксиро-
фиксированное простое число, п пробегает мпожество всех целых чисел >0.
а к — множество всех рациональных целых чисел. Пусть, далее.
Е — факторгруппа G/Z. Показать, что эндоморфизм х—>рх Z-модул»
Е не есть левый делитель нуля в X (Е), по не есть также изоморфизм
F. в Е.
5) а) Эндоморфизм и модуля Е на себя не является правым дели-
делителем нуля в кольце X (Е).
6) Показать, что если Е — свободный Z-модуль, то существуют
его эндоморфизмы и такие, что и(Е)фЕ, по и не является правым
делителем нуля в Х(Е).
6) а) Пусть Е — свободный Л-модуль им, и — его эндоморфизмы.
Показать, что если и (Е)с v(E), то существует эндоморфизм w модуля
/•.' такой, что u=vow.
б) Пусть Е — Z-модуль упражнения 4в, и — тождественно*
отображение Е на себя и v — эндоморфизм х-^рх. Показать, что
(•(?)= и (i?) = Е, но Е не обладает никаким эндоморфизмом w, для
которого бы u=v°w.

212 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, §3
7) Показать, что Z-модуль Z обладает эндоморфизмами и, w
-1 -1
такими, что и @) = w @) = 0, но не существует никакого эндоморфизма
У, ДЛЯ КОТОРОГО бы U=VoW.
§J3. Строение векторных пространств
Относительно тел операторов, участвующих в рассмотрениях
этого параграфа, не делается никаких специальных предположе-
предположений; они могут быть как коммутативными, так и некоммута-
некоммутативными.
1. Базисы векторного пространства
Предложение 1. Для того чтобы семейство (at) элементов
чекторпого пространства было свободным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ак ни для какого индекса х не было линейной ком-
комбинацией элементов аь с индексами Ф%.
Мы видели (§ 1, п° 6), что это условие необходимо (но не до-
достаточно) для любого унитарного модуля. Чтобы убедиться в его
достаточности для векторных пространств, нужно только заме-
заметить, что соотношение вида Яиаи+2 ?чй|, = 0, где Х^фО, равно-
равносильно соотношению аи=2 ('—^й1^)^-
\.фк
Сформулированное условие можно выразить и иначе: для
того чтобы (at) было свободным семейством, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ак ни для какого к не принадлежало подпростран-
подпространству, порожденному элементами at с индексами 1фк.
Отсюда снова следует, что каждый ненулевой элемент вектор-
векторного пространства свободный (§ 1, п° 6).
Предложение 2. Если (at) — свободное семейство элементов
векторного пространства Е и b? E не принадлежит подпростран-
подпространству, порожденному этим семейством, то множество, образован-
образованное всеми at и Ь, свободное.
Действительно, рассуждение, проведенное при доказатель-
доказательстве предложения 1, показывает, что не может существовать соот-
соотношения вида [ib-\-^]'kLal = 0 с \1ф0; с другой стороны, из еде-

/ СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 213
ланного предположения следует, что если имеется такое соот-
соотношение с ц=0, то также все Xt = 0.
Предложение 3. Пусть Е — векторное пространство. Следу-
Следующие три свойства множества BczE равносильны:
а) В — базис пространства Е;
б) В — максимальное свободное множество в Е\
в) В — минимальная система образующих для Е.
Покажем прежде всего, что а) влечет б) и в) в любом унитар-
унитарном модуле Е. Действительно, если В — базис модуля Е, то каж-
каждый элемент этого модуля есть линейная комбинация элементов
из В, так что никакое множество в Е, содержащее В и отличное
от В, не является свободным. С другой стороны, если S — часть В.
отличная от В, и а? В не принадлежит S, то а не принадлежит
подпространству, порожденному множеством S (§ 1, предложе-
предложение 2), и, значит, S не служит системой образующих для Е.
Покажем далее, что в векторном пространстве Е в) влечет а);
достаточно доказать, что минимальная система В образующих
пространства Е является свободным множеством. Но в против-
противном случае, в силу предложения 1, существовало бы х?В, при-
принадлежащее подпростравству, порожденному множеством S —
= В(~]С {х}\ тем самым S служило бы системой образующих для
К, что противоречит предположению.
Наконец, в векторном пространстве Е б) влечет а) в силу
следующего более общего предложения:
Предложение 4. Если S — система образующих векторного
пространства Е, то каждое ее максимальное свободное подмно-
подмножество есть базис этого пространства.
Действительно, пусть В — максимальное свободное подмноже-
подмножество множества S; если бы В не было системой образующих про-
пространства Е, то S не содержалось бы в порожденном В подпро-
подпространстве, так что существовало бы х ? S, не принадлежащее
этому подпространству; но тогда, в силу предложения 2, B\J{x)
было бы свободным подмножеством множества S. что противо-
противоречит предположению.
Теорема 1. Каждое векторное пространство обладает базь-
сом.

214 линейная алгебра гл. л, § л
Эта теорема содержится в следующей более точной:
Теорема 2. Для каждой системы S образующих векторного
пространства Е и каждого его свободного подмножества L, содер-
содержащегося в S, существует базис В пространства Е такой, что
LCZBCZS.
Действительно, множество § всех свободных подмножеств
множества S, упорядоченное по включению, в силу предложе-
предложения 3 § 1 есть множество конечного характера (Теор. мн., Рез.,
§ 6, п° 11) и потому индуктивно (Теор. мн., Рез., § 6, п° 9); сле-
следовательно, то же верно и для множества & всех свободных
подмножеств множества S, содержащих L. В силу теоремы Цорна
® обладает максимальным элементом В, и В есть базис про-
пространства Е в силу предложения 4.
Замечание. В случае, когда ? конечно, доказательство
теоремы 2 опирается лишь на то, что каждое множество подмножеств
конечного множества обладает максимальным элементом, а этот резуль.
тат не зависит от аксиомы выбора (Теор. мн., гл. III).
Пример. Каждое кольцо, содержащее тело К и имеющее еди-
единицу тела К своей единицей, есть векторное пространство над К
и, значит, обладает базисом относительно К (см. § 7); в частности,
вснкое надтело тела К обладает базисом относительно К. °Поэтому
я поле R вещественных чисел обладает (бесконечным) базисом относи-
относительно поля Q рациональных чисел; всякий базис R относительно Q
называется базисом Хамеля.о
Следствие 1. Каждое левое векторное пространство над телом
К изоморфно векторному пространству вида К[Т\
Следствие 2 («теорема о замене»). Для каждой системы S
образующих векторного пространства Е и каждого его свободного
подмножества L существует множество S'CZS такое, что L[JS'
есть базис пространства Е и L[)S' = 0.
Достаточно применить теорему 2 к свободному множеству
L и системе образующих L\]S.
Заметим, что это следствие равносильно теореме 2, ибо примене
аие теоремы о замене к свободной системе L, содержащейся в S, в свою
очередь приводит к утверждению теоремы 2.

2 СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 215
2. Конечномерные векторные пространства
Теорема 3. Если векторное пространство Е над телом К обла-
обладает конечным базисом, состоящим из п элементов, то и каждый
другой базис пространства Е состоит из п элементов.
Достаточно доказать, что если В — базис пространства Е,
состоящий из п элементов, то всякий другой базис В' этого про-
пространства содержит не более п элементов. Применим индукцию
ио п; при тг=О справедливость утверждения очевидна. Пусть
а?В'; существует множество CdB такое, что {rt}U^ есть базис
пространства Е и а§С (теорема о замене); так как В — базис
пространства Е, то СфВ, так что С содержит не более тг—1 эле-
элементов. Пусть V — порожденное им подпространство и V —
подпространство, порожденное множеством B'f]C{a}; будучи
оба дополнительными к подпространству Ка, V и V изоморфны
(§ 1, следствие предложения 1). Так как V обладает базисом с чис-
числом элементов, не превосходящим п—1, то В'Р\С{а} содержит
не более п—1 элементов и, значит, В' — не более п элементов.
Этой теореме можно дать другое доказательство, основывающееся
на том, что каждое моногенное векторное пространство над телом К
есть простой. ЛГ-модуль (гл. I, § 6, определение 14), поскольку оно
порождается любым своим элементом Ф 0. Векторное пространство Е
над К, обладающее конечным базисом, является тем самым полу про-
простым К -модулем*); поэтому то, что два конечных базиса пространства
Е имеют одинаковое чпсло элементов, непосредственно вытекает
из теоремы Жордана — Гёльдера (гл. I, § 6, теорема 8), а ее следствие
показывает, что Е не может иметь бесконечного базиса.
Можно было бы также установить связь теорем 1 и 2 этого пара-
параграфа с более общими предложениями, относящимися к произвольным
группам с операторами (коммутативным или нет; см. гл. I, § 6, упраж-
упражнение 18).
Определение 1. Говорят, что векторное пространство Е над
телом К конечномерно, или имеет конечный ранг (или также имеет
конечную размерность) относительно К, если оно обладает конеч-
конечным базисом. Число элементов любого его базиса называется тогда
размерностью или рангом пространства Е (или также числом
измерений Е) относительно К и обозначается \Е: К] или dim/v E.
*) См. сноску на стр. 201.

216 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 3
В силу теоремы 3, векторное пространство над К, обладаю-
обладающее бесконечным базисом, не может быть изоморфно конечномер-
конечномерному векторному пространству; такое пространство называют
бесконечномерным (или имеющим бесконечный ранг, или бесконеч-
бесконечную размерность) относительно К.
Векторное подпространство V векторного пространства Е
над К, порождаемое конечным множеством М его элементов,
конечномерно, ибо V обладает базисом, содержащимся в М (тео-
(теорема 2). Если М — любое (конечное пли бесконечное) множе-
множество элементов пространства Е и порожденное им векторное про-
пространство V конечномерно, то размерность V называется рангом М
относительно К; если же V бесконечномерно, то говорят, что М —
бесконечного ранга относительно К.
Допуская вольность, всюду, где это не может повлечь пута-
путаницы, дополнение «относительно К» в приведенных выше выра-
выражениях мы опускаем и вместо dimx Е пишем dim?.
Замечания. 1) Говоря, что векторное пространство над телом
К имеет размерность > п, желают сказать, что оно имеет относитель-
относительно К лuбJ конечную размерность >- п, либо бесконечную размерность.
Это равносильно утверждению, что в Е существует свободная система,
состоящая из п элементов.
2) В случае, когда Е есть надтело тела К. термина «размерность»
ц обозначения dimK E следует избегать, ибо это может повести к сме-
смешению с другим смыслом слова «размерность» (см. главу V); чтобы
избежать венкой двусмысленности, лучше говорить о ранге F. относи-
относительно К.
Приведем некоторые следствия теоремы 3 и определения I
Следствие 1. Для того чтобы левое векторное пространство
над К было п-мерно, необходимо и достаточно, чтобы оно было
изоморфно К™. Пространства К™ и IQ при тфп не изоморфны.
Следствие 2. Каждая система образующих п-мерного вектор-
векторного пространства Е содержит не менее п элементов; система
образующих пространства Е, состоящая из п элементов, является
базисом этого пространства.
Это — непосредственное следствие теорем 2 и 3.

•i СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 217
Следствие 3. Каждое свободное множество в п-мерном вектор-
векторном пространстве Е содержит не более п элементов; свободное
множество, состоящее из п элементов, является базисом про-
пространства Е.
Действительно, согласно теореме 2, каждое свободное под-
подмножество пространства Е содержится в некотором базисе этого
пространства.
Замечания. 1) Метод, на котором основано данное выше пер-
первое доказательство теоремы 3, может, при надлежащем развитии,
служить для явного определения компонент элементов базиса В отно-
относительно базиса В', если явно заданы компоненты элементов базиса В'
относительно В. Мы проведем это вычисление в аквивалентной форме
при рассмотрении теории матриц (см. § 6, п° 10).
2) Теорема 3 справедлива не только для векторных пространств,
но и для некоторых видов модулей (см. § 1, упражнения 16 и 17,
и Приложение II к главе III, п° 11). Однако можно указать примеры
модулей, обладающих двумя конечными базисами, состоящими из
разного числа элементов (см. упражнение 8).
3) Теорема 3 выражает, что два базиса одного и того же вектор-
векторного пространства, один из которых конечен, равномощны; но в дей-
действительности это свойство справедливо без всяких ограничений
(см. § 1, упражнение 24).
3. Подпространства векторного пространства
Предложение 5. Каждое подпространство V векторного про-
пространства Е обладает в Е дополнением.
Действительно, в силу теоремы 1, факторпространство E/V
обладает базисом; а тогда утверждаемое свойство есть следствие
предложения 4 § 1.
Замечание. В случае, когда E/V обладает конечной систе-
системой образующих, этот результат не зависит от аксиомы выбора (см. за-
замечание после теоремы 2).
Предложение 6. Каждое подпространство V векторного про-
пространства Е конечной размерности п имеет размерность <и;
если его размерность=п, то оно совпадает с Е.
Действительно, каждое свободное множество в V имеет не
более п элементов (следствие 3 теоремы 3); свободное множе-
множество в V, имеющее наибольшее возможное число р элементов.

218 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 3
есть максимальное свободное множество в V и тем самым его
базис (предложение 3); если р = п, то это множество является
также базисом пространства Е (следствие 3 теоремы 3) и, зна-
значит, V=E.
Определение 2. Говорят, что подпространство V векторного
пространства Е имеет в Е конечную факторразмерность, если
факторпространство E/V конечномерно. Размерность E/V назы-
называется тогда факторразмерностью V в Е и обозначается codim^ V
или просто codimF.
В случае, когда E/V бесконечномерно, говорят, что V имеет
бесконечную факторразмерность в Е. Факторразмерность под-
подпространства V векторного пространства Е может быть опреде-
определена также как размерность дополнения к V; следовательно,
когда Е конечномерно, имеем
coding F = dim ? — dimV. A)
Предложение 7. Если М и. N — конечномерные подпростран-
подпространства векторного пространства Е, то Mf]N и M-\-N конечно-
конечномерны и
. B)
Предложение очевидно, когда M[)N={0}, ибо тогда M-\-N
есть прямая сумма. Для получения равенства B) в общем случае
достаточно применить этот результат к подпространствам Мх =
= M/(Mf\N) и N1=N/(Mf]N) факторпространства E/(Mf]N),
приняв во внимание формулу A), дающую размерность этих под-
подпространств; действительно, имеем M1[]N1={0} и M^N^
= (M+N)/(Mf]N) (гл. I, § 6, теорема 6).
Предложение 8. Если М и N — подпространства векторного
пространства Е, имеющие конечную факторразмерность, то
Mf]N и М-гN также имеют конечную факторразмерность и
codim (М + N) + codim (M[}N) = codim M + codim N. C)
Действительно, M/(Mf}N) изоморфно (M-\-N)/N, т. е. под-
подпространству пространства E/N, и, следовательно (предло-
(предложение 6), конечномерно. Отсюда вытекает конечномерность про-

•t СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 21U
странства E1 = E/(M(~]N). В обозначениях предложения 7 имеем:
dim Мх = codim (М |~| N) — codim М,
dimTVj = codim G1/ |~) TV) — codim TV,
dim (Mx + Nt) = codim G1/ П #) — codim (M + TV);
внося эти выражения в соотношение dim G1/,+ 7Vj) = dim 71/, + dim TV,,
получаем C).
Одномерные (соответственно двумерные) подпространства век-
векторного пространства Е над произвольным телом К, по аналогии
с языком классической аналитической геометрии, часто называют
прямыми (соответственно плоскостями); с другой стороны, под-
иространство Н векторного пространства Е, имеющее факторраз-
мерность 1, называют гиперплоскостью *). Можно также опре-
определить гиперплоскости как максимальные элементы упорядочен-
упорядоченного по включению множества <3 всех подпространств вектор-
векторного пространства Е, отличных от Е. Действительно, между под-
иространствами пространства Е, содержащими заданное его
подпространство Н, и подпространствами факторпространства
Е/Н имеется взаимно однозначное соответствие (гл. 1, § 6, тео-
теорема 6); поэтому для максимальности Н необходимо и достаточно,
чтобы Е/Н не содержало никакого подпространства, отличного
от {0} и самого Е/Н, а это означает, что Е/Н одномерно.
Заметим, что гиперплоскости векторного пространства конеч-
конечной размерности п— это его подпространства размерности п—1.
Предложение 9. Каждое подпространство V векторного про-
пространства Е над телом К есть пересечение гиперплоскостей,
содержащих это подпространство.
Достаточно показать, что для каждого x$V существует ги-
гиперплоскость, содержащая V и не содержащая х. Пересечение V
с прямой Кх сводится к 0, иными словами. Yx~-VJ-Kx есть
*) В Приложении II к этой главе словам «прямая», «плоскость») и «гипер-
«гиперплоскость» будет придан более широкий смысл, а то, что было названо
выше этими словами, будет именоваться соответственно однородной прямой,
однородной плоскостью и однородной гиперплоскостью. Но впредь до Прило-
Приложения II можно не опасаться путаницы, и потому прилагательное «однород-
«однородная» будет нами опускаться.

220 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 3
прямая сумма. Пусть W — подпространство, дополнительное
к Vx; Е есть прямая сумма подпространств Н= V-\-W и Кх, иными
словами, Н есть гиперплоскость, содержащая Va не содержащая х.
4. Ранг линейного отображения
Пусть Е и F — векторные пространства над телом Кии —
линейное отображение Е в F. и (Е) изоморфно векторному про-
пространству Е/Н, где Н=и@); значит, и (Е) изоморфно подпростран-
подпространству G в Е, дополнительному к И (предложение 5), а сужение и
на G есть изоморфизм G на и (G) = u (E). Следовательно, если (at) —
базис в G, элементы и (at) образуют базис в и{Е).
Определение 3. Если линейное отображение и векторного
пространства Е в векторное пространство F таково, что подпро-
подпространство и (Е) имеет в F конечную размерность, то последняя
называется рангом и и обозначается Q (и).
В случае, когда и (Е) бесконечномерно, говорят, что и — линей-
линейное отображение бесконечного ранга.
Предложение 10. Ранг линейного отображения и простран-
-1
ства Е в F равен факторразмерности подпространства и @) в Е.
Это сразу вытекает из сделанных выше замечаний. Следова-
Следовательно,
(Нтк(.Ё') =codim?;K@) = Q(w), D)
если все три числа конечны. В случае, когда Е конечномерно,
можно также написать
-1
q(u) = dimE — dim и @). E)
Предложение 11. Пусть Е и F — конечномерные векторные
пространства; для каждого линейного отображения и простран-
пространства Е в F имеем
Q (w)<min (dim/?, dim/1); F)
для того чтобы Q(u) = dimE, необходимо и достаточно, чтобы
и было изоморфизмом Е в F; для того чтобы Q(u) = dimF, необхо
димо и достаточно, чтобы и отображало Е на F.
Это — следствие определения 3 и предложения 10.

4 СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 221
Следствие. Пусть Е — векторное пространство конечной
размерности п\ следующие четыре свойства его эндоморфизма и
равносильны:
а) и — автоморфизм пространства Е;
б) и — взаимно однозначное отображение Е в Е\
в) и — отображение Е на Е;
г) и — линейное отображение ранга п.
Напротив, когда Е бесконечномерно, его эндоморфизм может быть
взаимно однозначным или отображающим К на Е, не будучи автомор-
автоморфизмом (упражнение 8).
Упражнения. 1) Показать, что если Е — векторное про-
пространство над телом К, содержащим бесконечное число элементов, то
множество всех систем образующих этого пространства не индуктивно
относительно отношения порядка ZD. [Образовать убывающую после-
последовательность (Sv) систем образующих пространства Е, имеющую
пустое пересечение.]
2) Пусть и —- линейное отображение m-мерного векторного про-
пространства Е в л-мерное векторное пространство/'; положим Н=.и@).
Показать, что если V — р-мерное подпространство пространства Е
a Vf]H g-мерпо, то и (V) (р — д)-мерно. Показать, что если W —
подпространство пространства F такое, что Wf]u(E) г-мерно, то
и (W) имеет размерность r-\-m — q (и).
3) Пусть и и v — линейные отображения m-мерного векторного
пространства в я-мерное векторное пространство. Показать, что
, п, Q
причем q(u-tv) может принимать всякое целое значение, удовле-
удовлетворяющее этим неравенствам.
4) Пусть Е, F, G — конечномерные векторные пространства над
телом К, и — линейное отображение Е в F и v — линейное отображе-
-1
ние F в G. Показать, что размерность и (Е)Г) f @) равна q(u)—q(vo и);
вывести отсюда, что если F я-мерно, то
max @, Q (и) + е(и)~и)<0(с° "X тт (Q(«). Q (»)),
причем q (v о и) может принимать всякое целое значение, удовлетворяю-
удовлетворяющее этим неравенствам.
Пусть Н — четвертое конечномерное векторное пространство
над К и w — линейное отображение G в Н. Показать, что
Q(V о «)-f-?> (W о ?>)<; Q (fl)-f-Q (W Зов).
5) Если и и v — два эпд ом орфизма векторного пространства Е
конечной размерности такие, что и °v есть тождественное отображение

222 ЛИНЕЙНАЯ АЛ Г КБ И А ГЛ. II, § 4
К иа себя, то ии v — взаимно обратные автоморфизмы пространства /.
(см. упражнение 8).
6) Пусть Е — произвольное векторное пространство. Показать,
что если и — его эндоморфизм, не являющийся правым делителем
нуля в кольце J? (E), то и(Е) = Е. [См. § 2, упражнение 5.]
7) Пусть Е — произвольное векторное пространство и и, к1 —
два его эндоморфизма, удовлетворяющие условию w @) С "@). Пока-
Показать, что существует эндоморфизм v пространства Е такой, что «=
— vow. [Разложить Е в прямую сумму w @) и некоторого другого под
пространства.]
8) Пусть Е — векторное пространство, имеющее бесконечный
счетный базис (еп).
а) Эндоморфизм иу пространства Е, определяемый условиями
"i(e2n-i)=0> щ (е2п)=еп для всех л, отображает ? на себя, но не является
автоморфизмом этого пространства; существует взаимно однозначный
эндоморфизм vt пространства Е такой, что vt (Е) Ф Е, а и1 о vt есть
тождественное отображение Е на себя.
б) Аналогично пусть и2 — эндоморфизм пространства Е, опре
деляемый условиями и2 (e2n)=0> u^.(ezn-i) —еп Для всех п, и А — кольцо
эндоморфизмов пространства Е. Показать, что цх и и2 образуют базис
А -модуля As. Вывести отсюда, что Л-модуль А® для каждого р > О
изоморфен As.
*9) а) Пусть Е — векторное пространство над телом К. Каждое
отображение / пространства Е в себя, перестановочное со всеми авто-
автоморфизмами и этого пространства (т. е. такое, что /(и (х))=и (/ (х))
для каждого х ? Е и каждого автоморфизма и пространства Е),
имев! вид х -+ ах, где а принадлежит К. [Записать, что / перестано-
перестановочно с каждым автоморфизмом и, оставляющим инвариантным эле-
элемент х ? Е, и вывести отсюда, что f (x)—q (x)x, где q(x)?K.]
б) Пусть /—отображение ЕХЕ в Е такое, что для каждого
автоморфизма и пространства Е тождественно / (и (х), и (у)) = и (/ (х, у)).
Показать, что для всех пар (х, у) линейно независимых элемептов из Е
имеет место равенство ](х, у)=ах-\-$у, где а и [5 — постоянные ска-
скаляры, и что / (%х, \ix) = ф (А,, ц) х, где <р — произвольное отображение
КХК в К. [Тотже метод.1 Если при этом / (и (х), и (у))=и (/ (х, у)) для
каждого эндоморфизма и пространства Е, то / (х, у)=ах-\-$у, каковы бы
ни были х, у. Обобщить на отображения Еп в Е.
§ 4. Двойственность
1. Линейные формы. Сопряженный модуль
Определение 1. Линейной формой на левом А-модуле Е назы-
называется всякое линейное отображение Е в А-модулъ As (т. е. в кольцо
А, рассматриваемое как левый модуль относительно А).

ДВОЙСТВЕННОСТЬ 223
I,
11 р им е р. "Отображение х -* \ x(t)dt есть линейная форм<1
а
на векторном пространстве С (относительно R) всех непрерывных
числовых функций на интервале [а, Ь].о
Каковы бы ни были линейная форма и на ? иа?Л, отобра-
отображение х— >и(х)а тоже есть линейная форма на Е, ибо для каж-
догоЯ?Л имеем и(кх)а=(ки (х))а=1(и(х)а); эта линейная форма
обозначается иа. Непосредственно ясно, что в множестве X (Е, As)
всех линейных форм на Е закон аддитивной группы и внешний
закон (а, и)—>иа определяют структуру правого модуля относи-
относительно А. Наделенное этой структурой, X (Е, As) называется
модулем, сопряженным к Е (или просто сопряженным к Е*));
мы будем впредь обозначать его Е*.
Предложение 1. Если А — кольцо с единицей, то модуль,
сопряженный в левому модулю As, изоморфен правому моду-
модулю Ad.
Действительно, пусть е — единица кольца А и и — линейная
форма па As; для каждого |6-4> полагая а=и(е), имеем: и (?)=
= и (|е)=|м (е)=?а; обратно, |—» \а для каждого а? А есть линей-
линейная форма и на As такая, что м(е)=а; поэтому отображение
и—> и (г) есть изоморфизм модуля, сопряженного к Ав, на правый
модуль Ad. Основываясь на этом изоморфизме, модуль, сопря-
сопряженный к As, обычно отождествляют с Ad, отождествляя каж-
каждую линейную форму и на As с и(г).
Пусть Е — левый Л-модуль и Е* — модуль, сопряженный
к Е\ каждой паре элементов х?Е, х 6 Е* соответствует элемент
х (х) кольца А; этот элемент часто обозначают (х,х'). Отобра-
Отображение (х, х')—>{х,х') называется канонической билинейной
*) Далее в этом трактате для векторных пространств, наделенных топо-
топологией, будет определено понятие «сопряженного пространства», завися-
зависящего от этой топологии и отличного от определенного здесь. Мы предосте-
предостерегаем читателя против опрометчивого распространения на «топологическое»
сопряженное пространство свойств «алгебраического» соприженного, уста-
устанавливаемых в этом параграфе.

224 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. И, § 4
формой*), определенной на ЕхЕ*; имеем тождественно
(х^-у,х') = (т,У)-г(у,У), A)
(х,г'+у') = {х,тг) И-г, ?/'), B)
<аг, г') = «<¦/..<¦'>. C)
{.с, .с'а) = (.г,х')и. D)
Замечание. Модуль Е*, сопряженный к правому Л-модулю Е,
есть левый Л-модуль; значение х' (х) канонической билинейной формы
на ЕХЕ* записывают тогда (х', х), а формулы, соответствующие C)
и D), принимают вид <ж', ха) = {х', ж) а и (сю', х) = а(х', х).
В случае, когда А коммутативно, можно пользоваться и тем и другим
обозначением.
Каждую линейную форму х на Е можно рассматривать как
частичное отображение (Теор. мн., Рез., § 3, п° 13) х —>{х,х'),
порожденное канонической билинейной формой.
Точно так же для каждого х?Е частичное отображение
х —>(х,х') является линейной формой на правом Л-модуле Е*;
обозначая ее х, имеем тождественно {х, х') = (х, х')\ непосред-
непосредственно ясно, что х—> х есть (называемое каноническим) линейное
отображение модуля Е в модуль Е**, сопряженный к модулю Е*,
сопряженному к Е (и называемый вторым сопряженным к Е).
В случае, когда А обладает единицей е, каноническое отображе-
отображение модуля Аа в его второй сопряженный, в силу предложения 1,
есть тождественное отображение As па себя; поскольку каждая
линейная форма ж' на As отождествима с элементом ?'=аг' (е), канони-
канонической билинейной формой является отображение (|, ?') ->¦ ||'.
2. Ортогональность
Определение 2. Пусть Е — модуль и Е* — сопряженный
модуль; элементы х^Е и х?Е* называются ортогональными,
если {х, х')=0.
Множества MdE iiM'dE* называются ортогональными,
если ортогональны любые два элемента х?М и х'?М'. В част-
*) Общее понятие билинейной формы будет определено и изучено в г.чи-
пах III и IX.

3 двойственность 225
ности, говорят, что х'?Е* (соответственно х?Е) ортогонально
к М (соответственно к М'), если оно ортогонально к любому
элементу из М (соответственно М'). Если х' и у' ортогональны
к М, то в силу B) и D) то же верно для х'-\-у', а также для х'а
при каждом <х?А; этим оправдывается следующее опреде-
определение:
Определение 3. Пусть М — произвольное множество элемен-
элементов из Е (соответственно М' — произвольное множество элемен-
элементов из Е*). Полным подмодулем, ортогональным к М (соответствен-
(соответственно к М') (или, допуская вольность речи, просто подмодулем,
ортогональным к М (соответственно к М'), если можно не опа-
опасаться путаницы), называется множество тех х' ? Е* (со-
(соответственно тех х?Е), которые ортогональны к М (соответ-
(соответственно к М').
По определению линейной формы, подмодуль модуля Е*, орто-
ортогональный к Е, сводится к 0; подмодулем в Е*, ортогональным к {0},
служит всё Е/*.
Предложение 2. Пусть М и N — подмножества модуля Е
такие, что MdN; если М' и N' — подмодули сопряжен-
сопряженного модуля Е*, ортогональные соответственно к М и N,
то N'CLM'.
Предложение 3. Пусть {Му) — произвольное семейство под-
подмножеств модуля Е; подмодуль, ортогональный к объединению
всех My,, есть пересечение Г| М[ ортогональных к ним подмоду-
подмодулей М[; он есть также подмодуль, ортогональный к подмодулю в Е,
порожденному объединением всех My,.
Предложения 2 и 3 являются непосредственными следст-
следствиями определения 3. Два аналогичных предложения относительно
подмодулей модуля Е, ортогональных к подмножествам сопря-
сопряженного модуля Е*, мы предоставляем сформулировать чита-
читателю.
Если М — подмодуль модуля Е, М' — подмодуль сопряженного
модуля Е*, ортогональный к М, и М" — подмодуль в Е, ортогональ-
ортогональный к М', то М С М"; но может случиться, что М Ф М" (см. упраж-
упражнения 3 и 5).
15 Н. Бурбаки

226 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 4
3. Сопряженный к фактормодулю. Сопряженный
к прямой сумме
Предложение 4. Пусть Е — А-модулъ, М — его подмодуль
а ф — канонический гомоморфизм Е на Е/М. Отображение,
относящее каждой линейной форме и на Е/М линейную форму
«оф на Е, есть изоморфизм модуля, сопряженного к Е/М, на орто-
ортогональный к М подмодуль М' модуля Е*.
Это предложение сразу следует из предложения 1 § 2, если
заметить, что определенный в нем канонический изоморфизм
и—>иоц> есть также изоморфизм структур правого А-модуля.
в сопряженном к Е/М и в М'.
Точно так же предложение 3 § 2 показывает, что если модуль
Е является прямой суммой семейства (M%)xcL своих подмодулей,
то сопряженный модуль Е* изоморфен произведению [] М% МОДУ-
МОДУЛЬ
лей М%, сопряженных к Л/д,. В частности, модуль, сопряженный
к A($L\ изоморфен (в силу предложения 1) модулю А\.
В случае, когда Е есть прямая сумма конечного семейства своих
подмодулей, имеет место следующее более точное предложение:
Предложение 5. Пусть Е — модуль, являющийся прямой сум-
суммой конечного семейства (Л/^ккп своих подмодулей, и Ni для каж-
каждого индекса (означает подмодуль У\М,, дополнительный к М,.
Тогда модуль Е*, сопряженный к Е, есть прямая сумма своих под-
' модулей Ni, ортогональных соответственно к Nt; N{ для каждого
индекса i изоморфно модулю М*, сопряженному к Mt, и подмодуль
М\, ортогональный к Мг, равен 2-Wj'-
Это предложение вытекает из предложения 4 § 2 и его след-
следствия, если принять во внимание, что определенные там изомор-
изоморфизмы являются здесь изоморфизмами рассматриваемых правых
А-моду лей.
В соответствии со сказанным в п° 4 § 2, модуль М*, сопряжен-
сопряженный к Mi, часто отождествляется с подмодулем N[ посредством
отождествления каждой линейной формы и на Мг с (однозначно
определенной) линейной формой х , служащей продолжением и
на Е и аннулирующейся на Nv

4 двойственность 227
4t. Координатные формы. Сопряженные базисы
Пусть Е — унитарный Л-модуль, обладающий конечным бази-
базисом (ai)i^i^n5 так как Е есть прямая сумма п своих подмодулей,
изоморфных As, то, в силу предложений 1 и 5, сопряженный
модуль Е* есть прямая сумма п своих подмодулей, изоморфных
Ad. Точнее, обозначим через а\ для каждого индекса i линейную
п
форму на Е такую, что а\ <х) для каждого 2 = 2 ъА 6 Е равно
его компоненте ^: а\ называется i-й координатной формой
(относительно базиса (а,)). а\ образуют базис сопряженного
модуля ?*; действительно, для каждой линейной формы х' на Е
п п п
имеем х' (х) = 2 \%х> (ai) = 2 а'г (х)х> (ai)> т- е- х' = 2 aW (аг);
п
обратно, для каждой линейной формы у' = 2 афг имеем у' (at) — р;,
поскольку а'г (аг) — е (единице кольца А) и а) (аг) — 0 для всех / Ф i.
Базис (а[) модуля Е* называется сопряженным к базису {а{)
модуля Е; согласно следствию 2 предложения 3 § 2, он однозначно
определяется условиями
/ /7 П \ Л / \ *?*' 7 <*^ It \ -^ 7* <^" Yl\ l^~\\
где 6i3- есть функция пары (i, j), равная е при j=i и 0 при ; Ф г,
называемая кронекеровским символом.
п п
Для любых двух элементов х — 2 1^ б Е и х' = 2 а\ & б Е*
имеем
п
/х< ж') = 2 I li F)
Замечания. 1) При отождествлении модуля, сопряженного
к Л™, с модулем Л^ базис, сопряженный к каноническому базису
(§ 1,п° 8) модуля Л™, отождествляется с каноническим базисом моду-
модуля Л^.
2) В случае, когда Е есть правый Л-модуль с базисом "(ai)i<i<n>
формула F) заменяется формулой
п
<х, х)= 2j lib.
15*

228 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 4
п
справедливой для любой пары элементов ж = ^ a?i?E, х' =
Соотношения E) позволяют установить, что каноническое
отображение х—>х модуля Е в его второй сопряженный Е** есть
в этом случае изоморфизм Е на Е**; действительно, так как
(ait а)) — {а{, а)) = Ь^, каковы бы ни были i и /, то (а;) есть
базис в Е**, сопряженный к (а*). Тогда Е отождествляют с Е**
посредством изоморфизма х—>х, что позволяет называть (я{)
базисом, сопряженным к (a'i).
В случае, когда Е обладает бесконечным базисом (at), можно по-
прежнему определить для каждого индекса i координатную форму a'v,
относящую каждому х ? Е его i-ю компоненту относительно базиса (av).
Но семейство (а[), всё еще являющееся свободным, уже не будет
теперь базисом модуля Е*.
5. Двойственность для конечномерных векторных
пространств
Результаты, полученные в пс 4, применимы, в частности,
к конечномерным векторным пространствам:
Предложение 6. Сопряженное к п-мерному левому векторному
пространству Е над телом К есть п-мерное правое векторное
пространство над К; каноническое отображение х—^х простран-
пространства Е в его второе сопряженное Е** есть изоморфизм Е на Е**.
Значит, если при этом К коммутативно, то пространство Е*,
сопряженное к векторному пространству Е над К конечной
размерности п, изоморфно Е.
Можно показать, что в этом случае при в>1 не существует
канонического изоморфизма Е на его сопряженное, понимая под этим
изоморфизм, зависящий ляшь от структуры векторного простран-
пространства ? (см. упражнение 16). В главе IX будут изучены изоморфизмы Е
на Е*, тесно связанные с теорией билинейных форм на ЕХЕ.

6 двойственность 229
ПрЕдложЕНие 7. Пусть Е — векторное пространство конеч-
конечной размерности п; если V' — его подпространство размерности р,
то подпространство V сопряженного пространства Е*, ортого-
ортогональное к V, имеет размерность п — р; подпространство про-
пространства Е, ортогональное к V, совпадает с V.
Действительно, V изоморфно сопряженному к E/V (предло-
(предложение 4), а это факторпространство имеет размерность п — р, зна-
значит, согласно предложению 6, и V имеет размерность п — р.
Отсюда (вследствие отождествимости Е с Е**) вытекает, что
подпространство V" пространства Е, ортогональное к V, имеет
размерность р; а так как оно содержит V, которое тоже имеет
размерность р, то они' совпадают.
Предложение 8. Пусть V и W — подпространства конечно-
конечномерного векторного пространства Е, а V и W — ортогональные
к ним подпространства в Е*. Подпространством в Е*, ортогональ-
ортогональным к F-J- W, служит V'f)W; подпространством в Е*, орто-
ортогональным к Vf]W, служит V'-\-W.
Первая часть предложения является частным случаем пред-
предложения 3. Для доказательства второй заметим, что подпростран-
подпространством в Е, ортогональным к V + W, является Vf\ W; отождествляя
Е** с Е, заключаем из предложения 7, что V + W есть подпро-
подпространство пространства Е*, ортогональное к
6'. Двойствеииостъ для произвольных векторных
пространств
Пусть Е — произвольное векторное пространство над телом К.
Предложение 7 обобщается следующим образом:
Теорема 1. а) Пусть V — подпространство векторного про-
пространства Е. Для того чтобы подпространство в Е*, ортогональ-
ортогональное к V, имело конечную размерность р, необходимо и достаточно,
чтобы V имело в Е факторразмерностъ р.
б) Для того чтобы подпространство в Е, ортогональное к за-
заданному подпространству V пространства Е*, имело конечную
факторразмерностъ р, необходимо и достаточно, чтобы V имело
размерность р.
в) Пусть g — множество всех подпространств пространства Е,
имеющих конечную факторразмерностъ, к §' — множество всех

230 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 4
конечномерных подпространств пространства Е*; отображение,
относящее каждому подпространству V ? § ортогональное
к нему подпространство V ? $', есть взаимно однозначное ото-
отображение Qf на g'; обратное отображение относит каждому под-
подпространству V ? %' ортогональное к нему подпространство
а) Подпространство V пространства Е*, ортогональное к под-
подпространству V пространства Е, изоморфно пространству, сопря-
сопряженному к факторпространству E/V (предложение 4); значит,
если E/V конечномерно, V имеет размерность, равную размер-
размерности E/V (предложение 6). С другой стороны, если V имеет
конечную размерность р, то E/V не может быть бесконечномер-
бесконечномерным, ибо V содержалось бы тогда в некотором подпространстве W
факторразмерности р-\-1 и V содержало бы подпространство W
пространства Е*, ортогональное к W, имеющее размерность р + 1,
что невозможно.
б) Пусть V — р-мерное подпространство пространства Е*
11 (a'i)i^i^p— его базис. Рассмотрим отображение х—> ({х, ai))i^i<p
пространства Е в Kf; это —линейное отображение и ранга
р'</>. Подпространство V = u@) есть не что иное, как подпро-
подпространство пространства Е, ортогональное к У; в силу предло-
предложения 10 § 3, оно имеет факторразмерность р'<р. Согласно а),
подпространство в Е*, ортогональное к V, имеет размерность р';
так как оно содержит V, то они необходимо совпадают, и р'=р-
Обратно, предположим, что подпространство V пространства
Е, ортогональное к V, имеет конечную факторразмерность р;
тогда, согласно а), ортогональное к V подпространство V" в Е*
имеет размерность р; так как оно содержит V, то V конечномер-
конечномерно, и следовательно, факторразмерность V равна размерности V.
в) При доказательстве утверждения б) мы уже видели, что
если V — подпространство в Е* размерности р и V — ортого-
ортогональное к нему подпространство в Е, то V совпадает с подпро-
подпространством в Е*, ортогональным к V. Точно так же, если V —
подпространство в Е, имеющее факторразмерность р, то орто-
ортогональное к нему подпространство V в Е* имеет размерность р,
значит, подпространство V" в Е, ортогональное к V, имеет фак-
факторразмерность р; поскольку оно содержит V, они совпадают.

в ДВОЙСТВЕННОСТЬ 231
Тем самым два отображения, рассматриваемые в третьей
части теоремы, действительно взаимно однозначны и обратны
друг к другу.
Замечания. 1)В силу предложения 2, два взаимно обратные
отображения, определенные в теореме 1, являются убывающими,
когда % ж %' упорядочены по включению; поэтому они относят сумме
(соответственно пересечению) двух подпространств пересечение
(соответственно сумму) соответствующих им подпространств (обобще-
(обобщение предложения 8).
2) Первая часть теоремы 1 показывает, в частности, что если
сопряженное Е* к векторному пространству Е конечномерно, то это же
верно и для Е: достаточно применить теорему 1 к случаю, когда F={0}.
Теорема 1 позволяет охарактеризовать гиперплоскости век-
векторного пространства Е:
Предложение 9. Для каждой гиперплоскости Н векторного
пространства Е существует линейная форма х'о на Е такая, что
Н ~х'0@); для того чтобы линейная форма х'?Е* обладала тем
свойством, что Н — х' @), необходимо и достаточно, чтобы х' = х'оа,
где афО. Обратно, для каждой линейной формы х Ф 0 па Е
-1
подпространство х' @) есть гиперплоскость.
Справедливость этих утверждений сразу следует из тео-
теоремы 1, примененной к случаю р=1.
Если JET—гиперплоскость и х'й — любая линейная форма,
-1
для которой Н — х'0@), то отношение х'0(х) — 0, характеризующее
элементы х?Н, называют уравнением гиперплоскости Н.
Более общим образом, если (ж',,) — семейство ненулевых линей-
линейных форм на Е и V означает пересечение семейства гиперпло-
гиперплоскостей х{ @), то отношение «каково бы ни было i, x[(x) = 0»
характеризует элементы х 6 V; говорят, что отношения х[(х) = 0
образуют систему уравнений подпространства V.
В силу предложения 9 § 3 , каждое подпространство векторного
пространства Е может быть определено системой уравнений.
Пусть, в частности, V — подпространство конечной фактор-
размерности р, так что ортогональное к нему подпространство
V, по теореме 1, имеет размерность р; если (a'i) — его базис,

232 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, §4
то V есть пересечение р гиперплоскостей а\ @); иными словами,
р уравнений а[ (х) = 0 A<г<р) образуют систему уравнений
подпространства V, левые части которых являются линейно
независимыми формами.
Отметим еще, что предложение 9 § 3 равносильно следующему
утверждению, обобщающему часть утверждения в) теоремы 1:
Предложение 10. Пусть V — произвольное подпространство
векторного пространства Е; если V — подпространство в Е*,
ортогональное к Е, то подпространство в Е, ортогональное
к V, совпадает с V.
Действительно, V есть множество тех линейных форм х', для
-1
которых Vdx' @); принимая во внимание предложение 9, видим,
что подпространство в Е, ортогональное к V, есть пересечение
всех гиперплоскостей, содержащих V, и, значит, совпадает с V.
Замечание. Для подпространств пространства Е* не суще-
существует аналога предложения 10; если V — подпространство в Е*,
имеющее бесконечную размерность, то подпространство в Е*, орто-
ортогональное к подпространству V пространства Е, ортогональному к V,
может не совпадать с V (упражнение 9) *).
Наконец, если принять во внимание предложение 9, из третьей
части теоремы 1 вытекает, что если подпространство V вектор-
векторного пространства Е есть пересечение конечного числа гиперплос-
-1
костей х[ @), то каждая линейная форма на Е, аннулирующаяся
на V, есть линейная комбинация форм х\.
7. Линейные уравнения
Пусть Е и F — Л-модули. Каждое уравнение вида и(х) = у0,
где неизвестное х принимает значения из Е, и — линейное ото-
отображение Е в F и г/0 — заданный элемент из F, называется линей-
линейным уравнением; у0 называется свободным членом (или правой
*) Как мы позже узнаем, можно, наделяя Е и Е* надлежащими топо-
топологиями и рассматривая в Е и Е* лишь подпространства, замкнутые в этих
топологиях, восстановить полную симметрию в свойствах Е и Е* также-
в случае, когда Е бесконечномерно.

7 двойственность 233
частью) этого уравнения; линейное уравнение, в котором уо = О,
называется однородным.
Примеры. 1) Линейное уравнение и (х) = у0, в котором и —
линейная форма на Е (и, следовательно, F — А), называется ска-
скалярным. Система уравнений
где (х[)t?/ — заданное семейство линейных форм на Е, ("nt)l?7 —
заданное семейство элементов из А, имеющее то же множество
индексов, а неизвестное х принимает значения ир Е, называется
системой линейных (скалярных) уравнений или просто линейной
системой; элементы х\ь называются свободными членами системы;
если все они равны нулю, система называется однородной.
Система G) линейных уравнений равносильна одному линейному
уравнению и(х) = у0, где за F принято А{, за у0 принято (%), а и
означает отображение а;—>((а;, х[}) модуля Е в F.
Более общим образом, каждая система линейных уравнений
где «t—линейное отображение Е в модуль F^, а у1 (для каждого
t?/)—заданный элемент из Ft, равносильна одному линейному
уравнению и(х)=у, где и—отображение (uj модуля Е в /1 = J|/1i»
Пусть ^—унитарный Л-модуль, обладающий базисом {ах)%^.
Если положить х=2?яЯя. иая,|, = (ая,> х[), то система G) примет
вид
2 = % (i6/). (8)
Обратно, отыскание семейства (|я,)я,?ь скаляров такого, что
Еа, = 0 для всех кроме конечного числа индексов X и соотношение (8)
выполняется для каждого i?/, равносильно отысканию решения
системы линейных уравнений G) с Е = AiL), x—Y. 1как (гДе (ак)—
канонический базис прямой суммы Е) и х[, означающими

234 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 4
соответственно линейные формы z—> 2 "?,№и- \% называются неиз-
вестными системы (8), а^ — ее коэффициентами.
В случае, когда кольцо А некоммутативно, во избежание всяких
недоразумений систему (8) называют системой левых скалярных ли-
линейных уравнений. Аналогично система
называется системой правых скалярных линейных уравнений, относи-
относительно неизвестных |^ (лишь конечное число которых отлично от ну-
нуля); а^ь по-прежнему называются коэффициентами, r)t — свобод-
свободными членами такой системы, которая, впрочем, сводится к системе
вида (8), если считать ^, r]L и о^ принадлежащими кольцу А0, про-
противоположному А.
В постоянном предположении, что (я*,) — базис модуля Е,
соотношение и (х) = у0 равносильно, в прежних обозначениях,
соотношению
где Ъ% = и{ах). Обратно, отыскание семейства (EO^l (b котором
Еа. = О для всех кроме конечного числа индексов %.), удовлетворяю-
удовлетворяющего соотношению вида (9), равносильно разрешению линейного
уравнения и(х) = у0, где неизвестная ?=21я,ал принимает зна-
к
чения из Е — A sL), (а^) — канонический базис прямой суммы Ежи —
линейное отображение Е в F, определяемое соотношениями
и(п},)= Ь^ для всех А,? L (§ 2, следствие 2 предложения 3).
°2) Решением системы линейных дифференциальных уравнений
на открытом интервале /=]а, Р[ вещественной прямой R, где а^
и Ь{ — определенные на / вещественные функции, называется конеч-
конечная последовательность B/i)i<i<n Дифференцируемых вещественных
функций на /, удовлетворяющих п соотношениям A0) для каждого
х f /. Отыскание таких решеиий равносильно разрешению одного линей-
линейного уравнения. Действительно, пусть F — множество всех отображений
х —> (z;(«)) интервала / в Rn и Е — подмножество этого множества,
образованное теми отображениями, в которых функции zt (х) A < i «С п)

двойственность 235
дифференцируемы на I; F есть векторное пространство над R, а Е —
его подпространство; функция b(x)=(bi(x)) есть элемент пространстваF;
наконец, если для каждой функции у = {уд^Е положить
то у—> и (у) будет линейным отображением Е в F. А тогда разрешение
дифференциальной системы A0) равносильно разрешению линейного
уравнения и(у) — Ь.о
Замечание. Допуская вольность речи, задачу, равносиль-
равносильную разрешению линейного уравнения, часто называют линейной
задачей.
Если и(х) = у0 — заданное линейное уравнение, то уравнение
и (х) =-0 называют однородным линейным уравнением, ассоцииро-
ассоциированным с и(х) = у0 (и говорят также, что оно получается путем
отбрасывания в уравнении и(х) = у0 свободного члена). Аналогично
систему {х, х[) = 0 (i?/) называют однородной системой, ассо-
ассоциированной с системой G).
Предложение 11. Если х0 — решение линейного уравнения
и(х) = у0, то множество всех решений этого уравнения совпа-
совпадает с множеством элементов хо-\-хг, гдехх пробегает множество
всех решений однородного уравнения, ассоциированного с и(х) = у0.
Действительно, соотношение и (х) = у0 записывается в виде
), т. е. и{х — ?0) = 0.
Иными словами, если уравнение и (х) = у0 имеет хотя бы одно
решение х0, то множеством всех решений этого уравнения слу-
служит х0 -f- и @). Заметим, что и @) является подмодулем модуля Е
и, значит, не пусто, ибо во всяком случае содержит 0 (называемый
нулевым или тривиальным решением однородного уравнения
«ф) = 0).
В силу предложения 11, для того чтобы линейное уравнение
и (х) = у0 имело не более одного решения, необходимо и достаточно,
чтобы и @) = {0} (иными словами, чтобы ассоциированное одно-
однородное уравнение не имело нетривиальных решений); в этом слу-
случае линейное уравнение и(х) = у имеет не более одного решения
при каждом y?F (или, что то же, и есть изоморфизм Е в F).

236 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II. §4
8. Линейные уравнения на векторном, пространстве
Мы ограничимся в дальнейшем изучением скалярных линейных
систем G), где Е — векторное пространство над телом К (комму-
(коммутативным или нет).
Определение 4. Система скалярных линейных уравнений
(х,х[) = г\,, A6/), G)
где неизвестная х принимает значения в векторном простран-
пространстве Е, называется системой конечного ранга, если подпростран-
подпространство сопряженного пространства Е*, порожденное семейством
(х[), конечномерно; его размерность называется рангом системы G).
Система G), не являющаяся системой конечного ранга, назы-
называется системой бесконечного ранга.
Предложение 12. Для того чтобы система скалярных линей-
линейных уравнений G), где неизвестная х принимает значения из
векторного пространства Е над телом К, имела конечный ранг г,
необходимо и достаточно, чтобы линейное отображение х—>({х,х\))
пространства Е в К[ было отображением ранга г.
Обозначим линейное отображение х—> ((х, х[)) через и и под-
подпространство сопряженного пространства Е*, порожденное семей-
семейством {х[), —через V. Подпространство V пространства Е, ортого-
-1
нальное к V, есть не что иное, как и @); если V r-мерно, то V име-
имеет в Е факторразмерность г, и обратно (теорема 1 ,б)), а отсюда, в силу
предложения 10 § 3, и следует справедливость утверждения.
Теорема 2. Пусть
{х,х[) = ъ A6/) G)
— система скалярных линейных уравнений на векторном про-
пространстве Е относительно тела К, имеющая конечный ранг г.
Для того чтобы эта система имела по крайней мере одно реше-
решение, необходимо и достаточно, чтобы равенство 2xt6t==0 (гДе
(°л) — семейство скаляров, отличных от нуля лишь для конеч-
конечного числа индексов) всегда влекло равенство 2 *liQi = *-*• Если х0 —

¦8 двойственность 237
какое-нибудь решение этой системы, то множество всех решений
имеет вид х0 -+- V, где V — подпространство фактор размерности г
пространства Е.
Необходимость сформулированного условия существования
решения системы G) очевидна. Докажем, что оно достаточно.
Среди форм х[ существует г форм x[h A</с<г), образующих
базис подпространства V в Е*, порожденного всеми х[ (§ 3,
теорема 2). Таким образом, для каждого индекса i, отличного
г
от всех индексов ih, имеем х[= 2 АЗъ. п в силу условия, верно
также Tit= У т],, р\,,; следовательно, множество всех решений
fc=i k
системы G) совпадает с множеством всех решений частичной
системы
(x,x'lh) = ^h A<&<г). (И)
Но, согласно предложению 12, линейное отображение а:—> ((х, х[ ))
пространства Е в КТ (обозначенное нами через и) есть отобра-
отображение ранга г, иначе говоря, отображение на Кт; это показы-
показывает, что система A1) обладает по крайней мере одним решением
х0; согласно предложению 11, множеством всех решений служит
х0 -\- V, где V = и @), причем V имеет факторразмерность г.
Всякая система G), состоящая из конечного числа m уравнений,
имеет конечный ранг г, причем /•< т; точно так же, если Е — про-
пространство конечной размерности п (что соответствует случаю си-
системы (8), содержащей лишь п неизвестных), то его сопряженное
Е* ге-мерно, а значит, г< п.
В частности:
Следствие 1. Система скалярных линейных уравнений на век-
векторном пространстве, образованная конечным числом уравнений,
в левых частях которых стоят линейно независимые формы, всегда
обладает решением.
Следствие 2. Для того чтобы однородная система линейных
уравнений (8) относительно п неизвестных (с коэффициентами
из тела К) обладала нетривиальными решениями, необходимо
и достаточно, чтобы ее ранг был < п.

238 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 4
В частности, так всегда будет, если всех уравнений системы —
конечное число < п.
Следствие 3. Для того чтобы линейная система (8) (с коэф-
коэффициентами и свободными членами из тела К), состоящая из п
уравнений с п неизвестными, обладала одним и только одним реше-
решением, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированная с ней
однородная система не имела нетривиальных решений (или, что
то же, чтобы левые части уравнений системы были линейно неза-
независимыми формами).
Замечание. Критерий существования решения системы G),
сформулированный в теореме 2, уже не является достаточным, когда
это система бесконечного ранга; например, если х[ — координатные-
формы в бесконечномерном пространстве Е~К^ (п° 4), то критерий
теоремы 2 выполняется при любых свободных членах, поскольку x'L
линейно независимы; но система G) допускает решение только тогда»
когда все щ, за исключением конечного их числа, равны нулю.
О. Сопряженное линейное отображение
Пусть Е и F — Л-модули, Е* и F* — сопряженные модули
и и — линейное отображение Е в F. Для каждой линейной формы
y'?F* композиция х' = у'ои есть линейная форма на Е.
Определение 5. Отображением 'и, сопряженным к линей-
линейному отображению и модуля Е в модуль F, называют отображе-
отображение у'—>у' о и сопряженного к F модуля F* в сопряженный к Е
модуль Е*.
Таким образом, сопряженное отображение 1и определяется
тождеством относительно х и у'
(и(х) у') = (х, 1и(у')}. A2)
Отображение 'и линейно, ибо для всех у' ? F*, z' ? F* шХ?А имеем
(y'-\-z')ou = yr °и-\- z' о и и (у'Х)° и= (у' о и) X. Если и и у —линей-
—линейные отображения Е в F, то
'(и + ю) = 'и + ^ A3)
и
'(Хи) = Х'и A4)
для каждого X, принадлежащего центру кольца А.

9 двойственность 239
Пусть G — третий А -модуль, и — линейное отображение Е
в F и v — линейное отображение F в G; согласно A2), имеем,
тождественно относительно х?Е и z'?G*,
откуда
t{Vou) = tUotV. A5)
В случае, когда Е и F — унитарные .Л-модули, обладающие
конечными базисами и, значит, отождествимые каждый со своим
вторым сопряженным (п° 4), тождество A2) показывает, что
отображение *{1и), сопряженное к отображению 1и, совпадает с и
и что каждое линейное отображение F* в Е* является сопряжен-
сопряженным к некоторому линейному отображению Е в F.
Предложение 13. Пусть и — линейное ощображение модуля Е
в модуль F. Для того чтобы элемент у' ? F* был ортогонален к под-
подмодулю и(Е) модуляF, необходимо и достаточно, чтобы 'и(у')=0.
Действительно, согласно A2), отношение <<{и(х), у'}=0 для
каждого х?Е» равносильно отношению «(ж, fu(y')}=0 для
каждого х?Еу>, т. е. отношению 'и(у')=0.
В случае, когда Е и F — векторные пространства, из пред-
предложений 13 и 10 вытекает следующая характеристика подпро-
подпространства и (Е):
Теорема 3. Пусть и — линейное отображение векторного
пространства Е в векторное пространство F и v='u — сопряжен-
сопряженное отображение F* в Е*. Для того чтобы уравнение и(х) = у0
имело хотя бы одно решение (т. е. чтобы уо?и(Е)), необходимо
и достаточно, чтобы у0 было ортогонально к подпространству
V' = v @) пространства F*.
Действительно, согласно предложению 13, V есть подпро-
подпространство в F*, ортогональное к и (Е), и значит (предложение 10)
и (Е) есть подпространство в F, ортогональное к V.
Следствие. Для того чтобы линейное отображение и векторного
пространства Е в векторное пространство F было отображе-
отображением Е на F, необходимо и достаточно, чтобы 'и было изомор-
изоморфизмом F* в Е*.

240 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 4
Будем далее предполагать, что Е и F — векторные простран-
пространства, и сохраним обозначения теоремы 3; в силу предложения 5,
сопряженное к подпространству и (Е) пространства F изоморфно
F*/V (поскольку и (Е) обладает в F дополнением); но, согласно
определению V, F*/V изоморфно lu (F*); таким образом:
Теорема 4. Если и — линейное отображение векторного про-
пространства Е в векторное пространство F, то сопряженное к под-
подпространству и (Е) пространства F изоморфно подпространству
lu(F*) пространства Е*. В частности, если и — отображение
конечного ранга, то и и1и имеют одинаковый ранг.
10. Еонтрагредиентные изоморфизмы
Предложение 14. Пусть и — изоморфизм модуля Е на модуль F;
тогда 'и есть изоморфизм F* на Е*; если v — изоморфизм,
обратный к и, то lv —изоморфизм, обратный к 1и.
Действительно, так как z'=y'<>v влечет y'—x'ov, то 1и есть
изоморфизм F* на Е*, a lv —обратный ему изоморфизм.
Определение 6. Пусть и — изоморфизм модуля Е на модуль F.
Изоморфизмом, контрагредиентным к и (или отображением,
контрагредиентным к и), называют изоморфизм и, сопряженный
к изоморфизму, обратному и (равный, согласно предложению 14,
изоморфизму, обратному к 1и).
Таким образом, изоморфизм и определяется тождеством от-
относительно х?Е и х' ? Е*
(и(х), й(х')) = {зс, х'). A6)
Если Е и F обладают конечными базисами и, значит, отожде-
ствимы каждое со своим вторым сопряженным, то и есть отобра-
отображение, сопряженное к {и, и, значит, изомбрфизм, контрагредиент-
ный к и.
Упражнения. 1) Пусть А — кольцо без делителей нуля.
Показать, что если Е — Л-модуль, имеющий ненулевой аннулятор,
то сопряженный модуль Е* сводится к 0.
2) Показать, что модуль, сопряженный к полю Q рациональных
чисел (рассматриваемому как Z-модуль), сводится к 0.
3) Показать, что прообраз нуля относительно канонического
отображения х -* % .4-модуля Е в его второй сопряшенпый ?** есть

ДВОЙСТВЕННОСТЬ 241
подмодуль Ео в Е, ортогональный к Е*. Привести пример, где Е* и Ео
не сводились бы к 0. [Рассмотреть модуль, содержащий элемент, в анну-
ляторе которого имеется элемент, ие являющийся делителем нуля.]
4) Пусть Е — модуль, М — его подмодуль и М'~ подмодуль
в Е*, ортогональный к М. Пусть, далее, х'м для каждой линейной
формы х' на Е есть сужение х' на М\ отношение х'м = у'м равносильно
отношению х' —у' ?М'; х' -> х'м есть линейное отображение Е*
в модуль М*, сопряженный к М, а ассоциированное взаимно однознач-
однозначное отображение есть изоморфизм Е*/М' в М*. Привести пример, где
этот изоморфизм не отображал бы Е*/М' на М*, т. е. где существо-
существовала бы линейная форма на М, не продолжаемая до линейной формы
на Е. [Принять Е=А, где А — кольцо целостности, и в качестве М
взять главный идеал кольца А, отличный от Л.]
5) Пусть Е означает Л-модуль, а Ео — его подмодуль, ортого-
ортогональный к-Б*; привести пример, где Е0={0], но существует подмодуль М
модуля Е такой, что подмодуль М" в Е, ортогональный к подмодулю М'
в Е*, ортогональному к М, отличен от М. (См. упражнение 4.]
6) Пусть Е — модуль, являющийся прямой суммой своих под-
подмодулей М и Л'. Обозначим через Е„ (соответственно Мо, No) подмо-
подмодуль в Е (соответственно в М, /V), ортогональный к Е* (соответственно
к М*, /V*); пусть, далее, М' (соответственно iV') — подмодуль в Е*,
ортогональный к М (соответственно к ./V), и М" (соответственно N") —
подмодуль в Е, ортогональный к М' (соответственно к N'). Показать,
4?oE0=M0+N0, M0=Mf]N", N0=Nf]M",M"=M+N0=M+Eft.
7) Пусть V и W — подпространства произвольного векторного
пространства Е, а V и W — ортогональные к ним подпространства
сопряженного пространства Е*. Показать, что подпространством
в Е*, ортогональным к V Г) W, является V'-\-W.
8) Привести пример модуля Е, обладающего подмодулями М
и N такими, что подмодуль в Е*, ортогональный к М f] N, отличен
от M'-\-N', где М' и N' — подмодули в Е*, ортогональные соответ-
соответственно к М и N. [Взять E=AS, где А — кольцо без делителей нуля,
обладающее единицей, но не допускающее тела левых отношений
(см. гл. I, § 9, упражнение 9).]
*9) Пусть Е — бесконечномерное векторное пространство. По-
Показать, что:
а) Капоническое отображение х -> х пространства Е в Е** есть
изоморфизм Е в ?**, но не отображает Е на ?**.
б) В Е* существует бесконечномерное подпространство V такое,
что подпространство в Е*, ортогональное к подпространству V в Е,
ортогональному к V, отлично от V. [Припять за V подпространство,
порожденное координатными формами, соответствующими базису
пространства Е.] Вывести отсюда существование такого бесконечного
семейства (Vt) подпространств пространства Е, что подпространство
Н. Бурбаки

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, §4
в Е*, ортогональное к Г| T*t, отлично от ^ V[, где V[ — подпро-
i 1
странство в Е*, ортогональное к Vl.
в) Показать, что в Е* существуют такие бесконечномерные под-
подпространства V и W, что подпространство в Е, ортогональное
к V Г| W, отлично от F+FP, где V и W — подпространства в Е,
ортогональные соответственно к V и W. [Использовать б).]
10) Показать, что теорема 2 для частного случая конечной системы
линейных уравнений есть следствие теоремы 3. Напротив, для линей-
линейной системы G) конечного ранга, образованной бесконечным множе-
множеством уравнений, критерии, получаемые путем применения теоремы 2,
с одной стороны, и теоремы 3, с другой (если принять за и отображе-
отображение х ->¦ (<#, »t>) и взять «/„=A^)), различны. [Заметить, что при
каноническом отображении на свое второе сопряжение K~f' отождеств-
отождествляется с подпространством сопряженного к К^ и что, с другой сто-
стороны, подпространство сопряженного к К^, на котором аннули-
аннулируется 'и, имеет факторразмерность г.]
11) Пусть и — линейное отображение модуля Е в модуль /
и v=lu; показать, что для каждого подмодуля М модуля Е подмоду-
лемв Е*, ортогональным к и (М), служит v(M'), где М' — подмодуль
в Е*, ортогональный к М; для каждого подмодуля N' модуля F*
-1
подмодулем в Е, ортогональным к v(N'), служит u(N), где N-
подмодуль в Е, ортогональный к N'.
12) Пусть Е и F — векторные пространства, и — линейное ото-
отображение Е в F, V—подпространство пространства Е и V ¦— под-
подпространство пространства Е*, ортогональное к V. Показать, что
сопряженное к и(Р) изоморфно факторпространству lu(F*)l(У'ПЧ^1*)).
Если W — подпространство в F*, для которого 'и (И")
конечномерно, a W — подпространство в F, ортогональное к W,.
то 'и (W) изоморфно сопряженному к факторпространству
u(E)/(W П и(Е)).
13) Пусть и — линейное отображение векторного пространства
Е в векторное пространство F. Для того чтобы и было изоморфизмом Е
в F, необходимо и достаточно, чтобы (и было отображением F* на Е*.
[Для установления необходимости условия показать, что для любой
линейной формы х' на Е и базиса (at) пространства Е существует
линейная форма у' на Этакая, что (al,x') = (al, {u(y')} для каждого i.J
14) Пусть М — простой Л-модуль.
а) Если аЛ/={0} для каждого а ?А и М состоит из р элементов
(где р — простое; см. § 1, упражнение 20), то модуль, сопряженный
к М, изоморфен правому идеалу кольца А, образованному всеми эле-
элементами р-то порядка правого аннулятора этого кольца.

1 СУШЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ 243
б) Если М=Аа для некоторого а ? М (§ 1, упражнение 20)
и а — аннулятор элемента а, то модуль, сопряженный к М, изомор-
изоморфен правому аннулятору 6 множества а в А. Для того чтобы Ъ =ь {0;,
необходимо и достаточно, чтобы существовали левые идеалы кольца А ,
изоморфные .1/. В этом случае подмодуль Мн в М, ортогональный
к модулю М*, сопряженному к М, сводится к {0).
*15) Распространить предложение 9 и теоремы 3 и 4 на вполне
приводимые модули (§ 1, упражнения 22.и след., и гл. I, § 6, упражне-
упражнение 18), никакой простои подмодуль которых не имеет сопряженного,
сводящегося к {0}.
*16) Пусть К — векторное нростраистно конечной размерности
п > 1 над полем А'; показать, что не существует изоморфизма ср этого
пространства Е на Е*, зависящего лишь от заданной в Е стуктуры
векторного пространства. [Заметить, что для такого изоморфизма ц,
отображение (ж, у) ~* (.т, <$ (у)) произведения ЕХЕ в К было бы
инвариантным (гл. I, § 7, п° 4) относительно всякого автоморфизма и
пространства Е, иными словами, каков бы ни был автоморфизм и,
тождественно выполнялось бы равенство <,.г, ф (?/)> -(и(х), ф (м (j/))).J
§ 5. Сужение тела скаляров
Пусть Е — векторное пространство относительно тела К.
При сужении области операторов заданного на Е внешнего закона
до подтела Ко тела К Е становится векторным пространством
относительно Ко. В этом параграфе будет исследована связь
между двумя определенными так структурами векторного про-
пространства в Е.
1. Basuebi относительно подтела
Как мы знаем (§ 1, п° 2), тело К является левым векторным
пространством относительно Ко.
Предложение 1. Если (ая)яе!. — базис Е относительно К и
(Pm-Wm ~~ базис К относительно Ко, то семейство (P^aXa, \i)zlxm
является базисом Е относительно Ко.
Действительно, очевидно, семейство (Р^в?,) порождает Е,
рассматриваемое как векторное пространство над Ко. С другой
стороны, оно является свободным семейством в этом векторном
пространстве; в самом деле, соотношение 2 6xuPnax=0i где
Я, ц
о и Q>.u —0 Для всех кроме конечного числа пар (К, \х),

244 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 5
может быть записано в виде У] B ?>х.цРЛа* = 0 и, значит, вле-
чет 2 Q^Pn=O для всех К; а для каждого К соотношение 2 QxuPn^O
влечет Qt,ll=O для всех (х.
Следствие. Если [Е: К\ и \К:К0] определены, то определено
также \Е : Ко] и
[Е: К0]=1Е: К][К : Ко]. A)
Обратно, если [Е: Ко] определено, то определены также [Е:К\
и \К : Ко] и имеет место равенство A).
Первое утверждение есть непосредственное следствие предло-
предложения 1. Обратно, если [Е : Ко] определено, то каждый базис
пространства Е относительно Ко, и в частности базис, опреде-
определенный в предложении 1, конечен, а это влечет конечность мно-
множеств индексов L и М-
2. Первичные элементы векторного подпространства
Пусть (в|,)|,?/ — базис векторного пространства Е над телом К.
Для каждого элемента х = J SA из Е обозначим через / (х)
41
(конечное) множество тех индексов i ? /, для которых |t Ф 0. Оче-
Очевидно, х Ф 0 тогда и только тогда, когда J (х) Ф 0.
Предложение 2. Пусть V — подпространство векторного
пространства Е и J (х), где х? V, — минимальный элемент мно-
множества всех J (y)dl, соответствующих элементам уфОиз V (упо-
(упорядоченного по включению). Тогда для того, чтобы элемент z? V
удовлетворял условию J (z) CZ J [x), необходимо и достаточно, чтобы
он имел вид z=qx, где q? К, и тогда либо z—О, либо J (z)=J (х).
Последнее утверждение очевидно. Пусть теперь х—^^а^
z=2Ciai таково, что J (z)dJ {х), и х—какой-нибудь индекс
i
из J (х), так что "Е,хф0. Положим д = |и^й1 и z' = z—qx. Тогда /(z')CZ
CZ / (х) и и (J / (z'), поэтому J(z) Ф J (x) и, следовательно, z' =0.
В тех же предположениях и обозначениях, предложение 2
означает, что задание / (х) определяет х с точностью до скаляр-
скалярного множителя; в частности, этот множитель всегда можно

Н СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ 245
выбрать так, чтобы сделать одну из компонент ?,, элемента х рав-
равной 1. Это оправдывает следующее определение:
Определение 1. Пусть V — подпространство векторного про-
пространства Е. Элемент х? V называется первичным элементом
этого подпространства относительно базиса (a^^i простран-
пространства Е (или, если можно не опасаться недоразумения, просто
первичным элементом подпространства V), если он удовлетворяет
следующим двум условиям'.
а) / (х) есть минимальный элемент упорядоченного по включе-
включению множества &у тех J (г/)(Ц/, которые соответствуют эле-
элементам у фО из V;
б) хотя бы одна из компонент Zi элемента х равна 1.
Предложение 3. Множество всех первичых элементов из V
является системой образующих этого подпространства.
Пусть х = 2 ?iai — элемент из V; доказательство того, что х
i
есть линейная комбинация первичных элементов, проведем индук-
индукцией по числу п элементов множества / (х). При п=0 наше утвер-
утверждение очевидно; предположим, что п > 0. Среди всех ненулевых
элементов z?V, для которых / (z) CZ J(x), выберем элемент у=
= 2 4\.aii У которого J (у) содержит наименьшее число элемен-
i
тов; тогда J (у) минимально в ©v! согласно предложению 2, можно,
в случае необходимости умножив предварительно у на надлежа-
надлежащий скаляр, считать, что существует и б J {у), для которого т]и=1,
так что у первичен. Пусть z=x—%ку; z принадлежит V и / (z)
содержит не более п—1 элементов; значит, z, а следовательно
и х, есть линейная комбинация первичных элементов.
3. Первичные решения системы линейных уравнений
Рассмотрим сначала однородную линейную систему
E 0 (i?/) B)
E ()
яе/,
с коэффициентами a\y из К. Всевозможные ее решения
составленные из элементов тела К, образуют векторное подпро-
подпространство V пространства E~K\L)\ первичные элементы этого

246 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § Г)
подпространства V относительно канонического базиса простран-
пространства Е будут называться первичными решениями системы B).
Пусть теперь дана неоднородная линейная система
где коэффициенты а^ и свободные члены т],, принадлежат К;
сопоставим ей однородную систему
- stu = 0 A6/) D)
относительно неизвестных | и |?,; будем, по определению, назы-
называть решение (Z,x) системы C) первичным, если решение системы D),
образованное элементами ^ и Е==1- есть первичное реше-
решение этой однородной системы.
Предложение 4. а) Подпространство х K{SL\ образованное
всеми решениями системы однородных линейных уравнений B),
порождается множеством первичных решений этой системы.
б) Неоднородная линейная система C), имеющая хотя бы одно
решение, имеет хотя бы одно первичное решение.
Действительно, а) непосредственно вытекает из предложения 3.
Применение а) к системе D) показывает, что если C) имеет хотя
бы одно решение (?л), то решение системы D), образованное
всеми ?а, и | = 1, является линейной комбинацией первичных
решений этой системы; отсюда следует, что D) обладает по край-
крайней мере одним первичным решением, в котором | Ф 0; умножив
это решение на I, мы и получим первичное решение системы D),
в котором | = 1.
Предложение 5. Вели коэффициенты а^ и свободные члены i]L
системы скалярных линейных уравнений
принадлежат подтелу Ко тела К, то первичные решения (?х)
этой системы состоят из элементов этого подтела.
В силу определения первичных решений, достаточно про-
провести доказательство для однородного случая (тн = О при всех 0-
Будем рассматривать К как правое векторное пространство над Ко,

¦¦'t СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ 247
и пусть F — его подпространство, порожденное элементами ?;.
первичного решения системы B); F содержит единицу тела К
и конечномерно, а потому (§3, теорема 2) обладает базисом
относительно Ко, в котором ео = 1. Для каждого %?L
имеем ?я = 2ег?м) ГДе ?м принадлежат Ко. Подставляя в B),
получаем
¦откуда следует, что 2 Смази = 0 для всех i @<i<«) и всех i
Иными словами, (?,xi) для каждого значения i есть решение
системы B); тем самым это относится, в частности, и к (?m)). Так
как ^яо равно нулю всякий раз, когда ?& равно нулю, а (?д,) есть
первичное решение системы B), то предложение 2 показывает
тогда, что, для каждого X, ?m> = q?;l> где q?K. Кроме того, по-
поскольку (?^) — первичное решение, существует \х ? L, для которого
?ii = l, т. е. ?^=8,,; по определению элементов ^j, имеем тогда
Х^о = 1 и ^ц{ = 0 при 1 < t< п; отсюда следует, что q = 1 и потому
всех X.
Замечание. Предложение 5 показывает апостериори, что
понятие первичного решения системы линейных уравнений зависит
лишь от тела, порожденного коэффициентами и свободными членами
системы, но не от надтела, в котором рассматриваются все решения
этой системы.
Предложения 4 и 5 показывают, что справедлива
Теорема 1. а) Подпространство в Ks , образованное всеми
решениями системы однородных линейных уравнений B), коэффи-
коэффициенты которой принадлежат подтелу Ко тела К, порождается
множеством тех решений, которые состоят из элементов этого
подтела.
б) Если какая-нибудь линейная система C) с коэффициентами
и свободными членами, принадлежащими Ко, допускает решение,
.состоящее из элементов тела К, то она допускает решение, состоя-
щее из элементов подтела Ко.

248 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 5.
4. Применение к пространству линейных соотно-
соотношений между заданными элементами векторного
пространства
Пусть % = (at)i?i — заданное семейство элементов векторного1
пространства Е над К. Напомним, что пространством линейных
соотношений между элементами семейства \$ мы назвали (§ 1,
п° 8) подпространство V {%) прямой суммы Ki*\ образованное
теми ее элементами (^Хе-Ь Для которых
в пространстве Е; мы будем называть ^ коэффициентами линей-
линейного соотношения E). Линейные соотношения E), для которых (?,,)
есть первичный элемент подпространства V (%) относительно
канонического базиса пространства К1*\ будут называться пер-
первичными соотношениями между элементами at.
Пусть (ех)иь — базис пространства Е и at=2aiAeA,; соотно-
шение E) равносильно системе однородных линейных уравнений
2 0 (leb) F)
относительно |t. Тем самым V (§) есть пространство решений
системы F), а первичные соотношения между элементами а,
соответствуют первичным решениям этой системы.
Поэтому из предложения 5 и теоремы 1 вытекает
ПрЕдложениЕ 6. Пусть (e^KeL ~^ свободное семейство элемен-
элементов векторного пространства Е над телом К и (at)l?r — семей-
семейство элементов из Е, каждый из которых является линейной
комбинацией элементов е%, с коэффициентами, принадлежа-
принадлежащими подтелу Ко тела К. При этих условиях коэффициенты
первичных соотношений между элементами at принадлежат Ко,
и пространство линейных соотношений между этими элементами
порождается множеством всех первичных соотношений.
Следствие 1. Если семейство (аь) свободное относительно Кп.
то оно свободное относительно К.
Следствие 2. Если элемент х?Е есть одновременно линейная
комбинация элементов е% с коэффициентами из Ко и линейная

5 СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ 249
комбинация элементов аь с коэффициентами из К, то он является
линейной комбинацией элементов а^ с коэффициентами из Ко.
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить предложение 6
к семейству, образованному всеми аь и х.
Следствие 3. Ранг (§ 3, п° 2) множества А всех а,, относи-
относительно Ко равен рангу А относительно К.
Действительно, в силу следствия 1, максимальное свободное
множество В а А относительно Ко является таковым также отно-
относительно К. и обратно.
.5. Подтело, ассоциированное с подпространством
Пусть Е ~- векторное пространство над телом К, (а^^г — его
базис и V — подпространство. Как мы знаем (§ 4, п° 6), существует
по крайней мере одна система линейных уравнений («система
уравнений подпространства F») с коэффициентами из К:
/), G)
такая, что V совпадает с множеством всех х=^^,ьа1, где (?t)
i
пробегает множество всевозможных решений системы G), состоя-
состоящих из элементов тела К.
Предложение 7. Пусть Ко-~ подтело тела К. Для того
чтобы подпространство V пространства Е порождалось множе-
множеством Vo тех его элементов, компоненты которых (относительно
(at)) принадлежат Ко, необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовала система уравнений этого подпространства, все коэффициенты
которой принадлежат Ко.
Согласно теореме 1, а), условие достаточно. Оно также необходи-
необходимо: действительно, Vo есть подпространство векторного простран-
пространства Ео относительно Ко, образованного всевозможными линей-
линейными комбинациями элементов аь с коэффициентами из Ко;
поэтому существует система уравнений G) подпространства Vo
с коэффициентами из Кй. Согласно теореме 1,а), Vo порождает
подпространство пространства Е, определяемое той же систе-
системой; а так как, по предположению, Fo порождает в Е подпро-

250 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § Г)
странство V, то определенная так система G) и есть как раз
система уравнений последнего в Е.
Предложение 8. Если подпространство V пространства Е
порождается некоторым множеством элементов, компоненты кото-
которых (относительно (at)) принадлежат подтелу Ко тела К, то ком-
компоненты всех первичных элементов этого подпространства (отно-
(относительно базиса (аь)) принадлежат Ко.
Пусть х = 2 Siai ~ первичный элемент из V; по предположе-
нию, V порождается семейством элементов &?, = 2 РяА^ где все р\,
i
принадлежат Ко. Покажем, что если (?*,) — решение системы
2^1 = 1» A€Я), (8)
х
где Н — множество тех i?/, для которых fei = 0 или ?,, = 1, то
2=2 1,\Ъь есть не что иное, как х. Действительно, J(z — x)dCH,
и следовательно, / (z — a;) CZ / (а;), причем 1{г — х)ф!{хI
поскольку элемент х первичный; значит, в силу предложения 2,
z — х = 0. Но коэффициенты и свободные члены системы (8)
принадлежат Ко; следовательно (теорема 1,6)), эта система обладает
решением, состоящим из элементов подтела Ко, чем предложение
¦и доказано.
Предложение 8 подсказывает следующее определение:
Определение 2. Пусть Е—векторное пространство над телом К'
{а,) —его баэис и V—подпространство. Подтелом тела К,
ассоциированным с подпространством V относительно базиса (at),
называется тело, порожденное компонентами первичных элементов
из V относительно (аь).
Из предложений 7 и 8, если принять во внимание предложе-
предложение 3, непосредственно вытекает другая характеристика подтела,
ассоциированного с подпространством V:
Теорема 2. Подтело, ассоциированное с подпространством V
пространства Е относительно базиса (at) этого пространства,
есть наименьшее из подтел Ко тела К, обладающих тем свойством,

*' СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ 251
что V порождается множеством всех своих элементов, компоненты
которых принадлежат Ко, а также наименьшее из подтел Кп
таких, что существует система уравнений подпространства V,
все коэффициенты которых принадлежат Ко.
И. Применение: кольца эндоморфизмов тела относи-
относительно его подтел
Пусть К — произвольное тело и Щ (К) —кольцо эндоморфиз-
эндоморфизмов его аддитивной группы (без операторов) (гл. I, § 8, п° 1);
% (К) есть часть множества Кк всех отображений К в себя; если
наделить К его структурой левого векторного пространства над К
(произведением структур векторного пространства его сомно-
сомножителей (§ 1, п° 4); напомним, что произведением аи элементов
ы?К и и?Кк служит отображение |—>ам(?) тела К в себя), то
Ш (К) будет подпространством векторного пространства Кк,
ибо для каждого и g g (К) имеем аи (?4- г\) = а (и (?) -\~ и (ц)) =
— аи (?,)-\-аи (ц), каковы бы ни были ?, г\ и а из К.
Заметим, что если agA', u?%(K), v?g(K), то a(uv) = (аи) и,
но, вообще говоря, a (uv) Ф и (av).
Для каждого подтела L тела К обозначим через KL тело К,
наделенное его структурой правого векторного пространства
над L. Кольцо эндоморфизмов X (KL) этого векторного простран-
пространства (§2, п° 5) есть подкольцо кольца Щ{К), образованное теми
эндоморфизмами и аддитивной группы тела К, для которых и (|^) =
= и (?) X, каковы бы ни были ? ? К и X ? L; ясно, что X (KL) есть
также векторное подпространство (левого) векторного про-
пространства g (К) над К. Нашей целью будет охарактеризовать
среди всех подколец кольца g (К) кольца эндоморфизмов X (KL),
соответствующие тем подтелам L тела К, для которых размер-
размерность KL относительно L (которую мы будем для краткости назы-
называть индексом L в К) конечна.
Заметим прежде всего, что (в прежних обозначениях) каждый
элемент К из L обладает тем свойством, что и (^А,)=и (?) К для каж-
каждого ^Z и каждого и^Л =X(KL). Обратно, для любого <М (Z
ZZ.%(K) множество всех Х^К, обладающих этим свойством,
_есть подтело тела К. Более общим образом;

252 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § Ь
Предложение 9. Пусть Е и F — правые векторные простран-
пространства над телом К и <М — некоторое множество представлений
аддитивной группы (без операторов) Е в аддитивную группу
(без операторов) F. Множество Ко = %(&%) тех Х?К, для которых
f (xX)=f (х) X, каковы бы ни были х?Е uf??M, есть подтело тела
К; Ко есть наибольшее из подтел L тела К таких, что каждое
f?&M есть линейное отображение Е в F, где Е и F рассматри-
рассматриваются как векторные пространства над L.
В самом деле, если L обладает этим последним свойством,
то для каждого k? L действительно f(xX)=f(x)X, каковы бы ни
были х? Е и /?©//; таким образом, достаточно доказать справед-
справедливость первого утверждения. Прежде всего, Ко содержит еди-
единицу тела К и, значит, не сводится к 0; при этом, если Х?К0
и \i?K0, то очевидно К — [J-б^о и ^\i?K0, так что Ко — под-
кольцо кольца К. Наконец, если Х? Ко и X =/= 0, то для всех х?Е
и f?jl имеем f{x)=f{{xl-1)l) = f(xk'1)k, откуда /(a;V1) =
= f(x)X'1, и значит, Х^^Кп.
Мы будем называть тело "i{»M), определенное в предложении 9.
подтелом тела К, ассоциированным с множеством представлений ail.
В дальнейшем будет рассматриваться лишь случай Е = F — К:
в этом случае Л есть некоторое множество эндоморфизмов адди-
аддитивной группы К. Если, в частности, оМ состоит из изоморфизмов
структуры тела К на структуру его подтела, то % (в?) есть не что
иное, как множество тех элементов из К, которые инвариантны
относительно всех изоморфизмов /С аМ; действительно, отноше-
отношение «/(|л) = /(!) X, для всех \?К и /gs#» принимает тогда вид
/(Е)/(^) = /(!) ^ и> значит, равносильно отношению «f(X)-~X для
всех /? з-/?».
Нам потребуется также следующее вспомогательное предло-
предложение:
Предложение 10. Пусть Е — левое векторное пространства
над телом К, (аь) — его базис и V — подпространство. Пусть,
далее, ы/1 — некоторое множество эндоморфизмов аддитивной
группы К и f для каждого /?<*// — отображение Е в Е, определяе-
определяемое формулой /B ?iai) — 2/(?i)ai- Если в этих условиях f (V) С V
для каждого f ? еМ, то подтело %(М) тела К, ассоциированное с а#.

в СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ 253
содержит подтело тела К, ассоциированное с V относительно
базиса (at).
Пусть х?Е. Очевидно, в обозначениях п° 2, J (f(х)) CZ J (х)
для всех/6©//. В частности, если у = 2 ЛЛ — первичный элемент
i
подпространства V, то из предположения /(V)CZ V и предложения
2 п° 2 вытекает, что для каждого %?К существует \л?К такое,
что /(?г/) = |лг/. Так как т]и = 1 для некоторого и, то /(|) = ц, и сле-
следовательно, /EтI)=/E)тI для каждого индекса i, каждого |g А'
и каждого /?&//; это означает, что компоненты каждого первич-
первичного элемента из V принадлежат %(&$), откуда, принимая во
внимание определение 2, и вытекает справедливость предло-
предложения.
Следствие. Если М — некоторое множество таких изоморфиз-
изоморфизмов структуры тела К на структуру его подтела, что J{V)C1 V
для каждого f?&M, то каждый элемент ассоциированного с V
подтела тела К инвариантен относительно всех изоморфизмов
/бе*.
Теперь мы в состоянии решить вопрос, поставленный в начале
этого п°.
Теорема 3. Пусть К — тело и % (К) — кольцо эндоморфизмов
его аддитивной группы, наделенное одновременно ссоей структу-
структурой левого векторного пространства над К.
а) Пусть L— подтело тела К; для того чтобы кольцо эндомор-
эндоморфизмов X (KL) правого векторного пространства Kl, над L было
(левым) векторным подпространством в % (К), имеющим конечную
размерность п над К, необходимо и достаточно, чтобы L имело
в К индекс п.
б) Пусть М —подколъцо кольца Щ,{К), содержащее тожде-
тождественное отображение К на себя и являющееся (левым) векторным
подпространством в % (К) над К; для того чтобы подтело % (а/Я)
тела К*, ассоциированное с а/Я, имело в К конечный индекс п, необ-
необходимо и достаточно, чтобы еМ было размерности п над К.
в) Пусть Ф — множество всех подтел L конечного индекса
тела К и Ч? — множество всех подколец м кольца «€ (К), содер-

254 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 5
жащих тождественное отображение К на себя и являющихся
конечномерными {левыми} векторными подпространствами
в % (К) над К: L —»X (Kl) есть взаимно однозначное отоб-
отображение Ф на W, имеющее своим обратным отображение
а) Заметим прежде всего, что каждая линейная форма х
на векторном пространстве KL есть линейное отображение
KL в LCZK и, значит, эндоморфизм векторного простран-
пространства KL.
Предположим, что KL имеет размерность п над L, и пусть
(ai)i=si^n —базис Kl, а (а\) — сопряженный базис в К*. Покажем, что
(al) есть также базис (левого) векторного пространства X (Ki) над
телом К; действительно, для каждого эндоморфизма и этого
тела и каждого элемента х — 2 пЛг имеем и (х) = 2 и (ai)?i —
i i
= 2 и (ai) а'г (x)> иными словами, в векторном пространстве X (Kl)
г
над К u = 2u(ai)ai> и значит, элементы а\ порождают X (KL):
г
при этом они линейно независимы в X (Кь), ибо 2 А,4о5=0 (ki g К)
i
означает, что '^Х1а[(х) = 0 для каждого х?К, и в частности,
г
2 ^1 (a;) = 0, т. е. Kj=O, для каждого индекса/. Эта последняя
г
часть рассуждения сохраняет силу также в случае, когда KL
обладает бесконечным базисом (at),H показывает, что в этом случае-
координатные формы а\ линейно независимы в X (KL), так что
Х(Кь) в этом случае бесконечномерно над К.
б) Покажем, что если М — подкольцо кольца Щ{К), содер-
содержащее тождественное отображение К на себя (служащее
•в g (К) единицей) и являющееся га-мериым (левыл1) векторныд1
пространством над К, то тело L = %(a>M) будет иметь в К
индекс га'<га; отсюда будет следовать, что е#, которое (по-
определению подтела L) содержится в X (К^), будет, соглас-
согласно а), иметь размерность < п' и, следовательно, что п' = п
и X(KL)=aM.
Пусть Ьг A<г<ге+1)—произвольные ге+1 элементов из KL;
мы покажем, что они образуют зависимую систему в Kl, чем
будет доказано, что размерность KL не превосходит п. Рассмотрим!

« СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
отображение и—>(и(Ь4)) пространства аМ в левое векторное про-
пространство isT"+1; это — линейное отображение, и его ранг -<и,
поскольку е/Ы, «-мерно. Пусть V — образ М при этом отображе-
отображении; V есть подпространство в i?"+1, имеющее размерность <и.
В обозначениях предложения 10 (и при отнесении К™+1 к его кано-
каноническому базису), для любой пары эндоморфизмов и и v из еМ
имеем тогда (v (и F4))) = (v (и F»))) 6 V, поскольку vou?Jl;
иными словами, v(V)d V для каждого эндоморфизма v?a%; зна-
значит, согласно предложению 10, тело L~%(&M) содержит подтело
тела К, ассоциированное с V (относительно канонического базиса
в К™*1). Согласно теореме 2, существует система уравнений подпро-
подпространства V, все коэффициенты которой принадлежат L; следова-
следовательно (поскольку V имеет размерность -</г), существует хотя
бы одно семейство (А.4), состоящее из л+1 эледаентов тела L, не
всех равных нулю, такое, что 2j u (^t) ^i — 0 для каждого эндомор-
г
физдт и?е$; согласно определению подтела L=%(e#), это соотно-
соотношение может быть записано также в виде и(^\ Ьг%г) = 0; беря,
г
в частности, за и тождественное отображение К на себя, полу-
получаем "^.1)^ = 0, чем и доказано, что Ьг образуют в К^ зави-
зависимую систему.
Обратно, если предположить ail таким, что К^ имеет конеч-
конечную размерность п, то aS, которое содержится в X (Кг)-, в силу а),
конечномерно, и значит, по предыдущему, размерность Ki, равна
размерности аН,.
в) При доказательстве утверждения б) мы видели, что если
jf f и L=i(cJi), то X (Кг_) =е#. С другой стороны, если ??Ф
имеет в К конечный индекс п, то e/jl — 35 (KL) имеет размерность п
над К, и значит, тело L'=%(оМ) в К имеет индекс п; так как LCZL',
то, согласно следствию предложения 1, отсюда вытекает, что L'
имеет размерность 1 над L, т. е. что L' — L.
Следствие. L—>X(Ki) есть убывающее отображение Ф на W
(упорядоченных по включению). Если L, L' — подтела конечных
индексов тела К, то подтело L" тела К, порожденное множеством
L[jL', будет конечного индекса в К, а X (Kl") будет пересечением

256 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, 5 ¦>
X (KL) и X (KL>); если при этом и тело Lf]L' — конечного индекса
в К, то Jg (Klou) есть наименьшее принадлежащее х? кольцо,
содержащее X {KL) и X (KL').
То, что отношение LdL' равносильно отношению X (Kl)ZD
ZJ X (Kl>), вытекает из определения X (KL) и теоремы 3; а отсюда
сразу вытекает сформулированное следствие (то, что тело L",
порожденное множеством L\JL', будет иметь конечный индекс
в К, если хотя бы одно из тел L, L' имеет конечный индекс, выте-
вытекает из следствия предложения 1).
Замечания. 1) Отметим, что доказательство теоремы 3
сохраняет силу, если в ее пунктах б) и в) не предполагать, что о'П
содержит единицу кольца ё (К), но потребовать лишь, чтобы сМ
удовлетворяло следующему (более слабому) условию: для каждого
ненулевого элемента | из К существует и ? nil такое, что и (g) Ф 0.
Тем самым это условие для подкольца сМ в % (К), являющегося конеч-
конечномерным (левым) векторным пространством над К, влечет, что <М
содержит единицу кольца ? (К); заметим, кроме того, что тогда аМ
вместе с каждым своим элементом и, обратимым в ? (К), содержит
и обратный ему элемент v; в самом деле, для каждого % б X {"-Щ
и каждого ?? К имеем u(v A%))=%%, откуда u(v A%) Х'1) = 1, т. е.
t>(gX)X-1=t>(|), и, наконец, v AХ)=и (g) %.
2) Наиболее интересные приложения теоремы 3 относятся к слу-
случаю поля К; как мы увидим в главе X, отсюда вытекают важные ре-
результаты теории Галуа.
Упражнения. 1) Определим в произведении A = ZX(Z/B))
структуру коммутативного кольца, приняв за аддитивный групповой
закон произведение аддитивных законов, заданных на Z и Z/B), и
определив умножение формулой (п, е) (ге', е') = (пп', пе'-\-п'е-\- ее').
Пусть Ао — подкольцо кольца А, образованное элементами (п, 0),
имеющее ту же единицу, что и А, и изоморфное кольцу Z. Показать,
что в Л0-модуле, порожденном каноническим базисом .,4-модуля Ап,
существуют системы, свободные относительно Ао и не свободные отно-
относительно А.
*2) Пусть Ка — подтело тела К такое, что [К : К0\=2, Е —
векторное пространство относительно К, Ей ¦— его подмножество,
являющееся векторным пространством относительно Ка, н V — наи-
наибольшее подпространство векторного пространства Е (относительно К),
содержащееся в Ео. Показать, что если FF0 — подпространство в Ео
(относительно Ко), дополнительное к V в Ео, и W — порожденное им
подпространство в Е (относительно К), то V П ^ = {0}, иными сло-
словами, сумма VA-W прямая. [Показать, что если (xh)i<k<n—семеи~

СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ 257
п
¦ство элементов из Wo, свободное относительно Ко, то V ^kxh может
принадлежать Еа лишь тогда, когда все Xh принадлежат Ка; взяв
элемент ц из АГ, не принадлежащий Ко, представить коэффициенты
Xk в виде gft + |x0ft, где Qk и ah принадлежат Кп.]
Предполагая Е конечномерным относительно К, показать, что
если^оИ^о — векторные пространства относительно Ко, содержащиеся
в Е, а V и V — наибольшие подпространства пространства Е (отно-
(относительно К), содержащиеся соответственно в Ео и Е'а, то для сущест-
существования автоморфизма пространства Е, преобразующего Ео в Е'а,
необходимо и достаточно, чтобы Еп и Е'й имели одинаковую размерность
относительно Ко, а V и V — одинаковую размерность относитель-
относительно К.
*3) Пусть L — бесконечное множество индексов и К — произ-
произвольное тело. Показать, что мощность каждого базиса векторного
пространства KL не меньше мощности множества $(L). [Пусть
(а ) см—семейство всевозможных различных элементов из KL, каж-
каждая координата которых равна 0 или 1, Е ¦— порожденное им
подпространство пространства KL и N С М таково, что (вд)„сд-
есть базис пространства Е (% 3, теорема 2); для каждого индекса
_u"?C/V пусть a^= ^ ?(J.vav; проектируя это соотношение на сомно-
V?lV
жители произведения KL, показать, применяя теорему 1, что коэф-
коэффициенты ?wv принадлежат подтелу Ка тела А', порожденному
элементами 0 и 1; заметив, что Ко счетно, показать, что Л' и М равно-
мощны; в заключение воспользоваться теоремой 2 § 3 и упражне-
упражнением 24 § 1-1
В случае, когда мощность К не превосходит мощности $(?),
показать, что каждый базис пространства KL равномощен *K (L).
Вывести отсюда, что бесконечномерное векторное пространство
над полем никогда не изоморфно своему сопряженному.
4) Пусть К — произвольное тело и % (К) — кольцо эндоморфиз-
эндоморфизмов аддитивной группы (без операторов) К; для каждого и ? % (К)
и каждого X 6 К обозначим через и% эндоморфизм ? -+ и (Х,|) груп-
группы К; показать, что сложение и внешний закон (к, и) -* иХ опреде-
определяют в ? (К) структуру правого векторного пространства над телом К.
Пусть L — произвольное подтело тела К. Показать, что кольцо
эндоморфизмов правого векторного пространства KL есть (правое)
векторное подпространство в S (К), наделенном указанной структу-
структурой. Показать, что в утверждениях б) и в) теоремы 3 предположение,
что аМ содержат единицу кольца S (К), можно, не нарушая справед-
справедливости заключений теоремы, заменить предположением, что <М
есть правое векторное подпространство пространства 4 (К)-
Н. Бурбаки

258 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
§ 6. Матрицы
/. Определение матриц
Определение 1. Матрицей над непустым множеством Е
называется всякое семейство (аяц)<я, h)?lxm элементов из Е, мно-
множеством индексов которого является произведение двух конечных
множеств L, М. Семейство (а^)ц?м для каждого Х? L называется
строкой с индексом К (или Х-й строкой) матрицы; семейство
(аяц)я?1. для каждого ц ? М называется столбцом с индексом \ь
(или \1-м столбцом) матрицы.
Наименования «строка» и «столбец» происходят от того, что в слу-
случае, когда I и М- интервалы [1, т] и [1, п\ натурального ряда,
элементы матрицы представляют размещенными по ячейкам прямо-
прямоугольной таблицы, состоящей из т строк (расположенных горизон-
горизонтально) и п столбцов (расположенных вертикально):
а12 ..
а22 ..
\ат1 ат2 ..
Но условию, если тип — явно заданные целые числа, такая
таблица действительно считается символом рассматриваемой мат-
матрицы; эта запись освобождает от указания индексов, поскольку под-
подразумевается, что индексы элемента определяются его местом в таб-
таблице: например, говоря о матрице
/ а Ъ с\
U в f)'
имеют в виду матрицу («Ч^^^г.КзйЗ' в которой а11 = а, а12=--6,
а,3 = с, a21=d, а22=е, а23 = /-
Говоря о матрице из т строк и п столбцов без указания множеств
индексов строк и столбцов, подразумевают, что этими множествами
служат соответственно интервалы [1, т] и [1, п] натурального ряда.
Каждая матрица, одно из множеств L, М индексов которой пустое,
есть не что иное, как пустое семейство элементов множества Е; она
называется также пустой матрицей. В случае, когда L = {X0\
и М = {ц0}—множества, сводящиеся к одному элементу, матрицу, имею-
имеющую L и М своими множествами индексов, часто отождествляют с един-
единственным образующим ее элементом.
Мы будем обычно обозначать матрицы прописными латинскими
буквами.
Подсемейство (а^д)№, Д)?яхк матрицы (а^)(я, юе^хль множеством
индексов которого служит произведение множествНClLis.KdM',

2 матрицы 259
называется подматрицею рассматриваемой матрицы, полученною
путем вычеркивания строк с индексами к?СН и столбцов с ин-
индексами ц?(Ж; а про матрицу (ссхДя, ц^ьхм> обратно, говорят,
что она получена путем окаймления подматрицы (а^)
строками с индексами К 6 С// и столбцами с индексами
Множество всех матриц над множеством Е, соответствующих
заданным множествам индексов L, М, совпадает с произведением
Е х . Если ср (соответственно ajj) — взаимно однозначное ото-
отображение множества L (соответственно М) на множество L'
(соответственно И'), то отображение, относящее каждой матрице
(avn')(V, h')il'xm- над Е матрицу (fVV, melxm, где Ряц = аФМ>Ш)>
есть взаимно однозначное отображение множества EL хМ всех
матриц над Е, соответствующих множествам индексов L', М', на
множество Е 'х всех матриц над Е, соответствующих множествам
индексов L, М.
2. Матрицы над кольцом
Наибольшую важность для математики имеют матрицы над
кольцами с единицей. Множество ALxM всех матриц над коль-
кольцом А с единицей, соответствующих заданным множествам индек-
индексов L, М, можно наделить структурой аддитивной группы, яв-
являющейся произведением структур аддитивной группы сомно-
сомножителей А произведения ALx ; суммой матриц X = (?а.ц)(А.( ц^ьхм
иУ= (%ц)а, тьхм будет тогда матрица X+Y = (^ц+ЛлцК h)?lxm-
Таким образом, сумма матриц X, Y определена, лишь если мно-
множества индексов строк и индексов столбцов у обеих матриц одни
и те же.
Точно так же Л х' можно наделить структурой левого (соответ-
(соответственно правого) А-модуля, являющейся произведением соответ-
соответствующих структур сомножителей; произведением qX (соответ-
(соответственно Xq) оператора q&A и матрицы Х = (|яц) будет матрица
(б5яц) (соответственно (?хцР,)).
Если ф (соответственное "ф) — взаимно однозначное отображение
L (соответственно М) на L' (соответственно М'), то взаимно
однозначное отображение множества матриц AL xM на множество
17'

260 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
матриц ALxM, определяемое отображениями ф и а|) (п° 1), есть изо-
изоморфизм каждой из структур Л-модуля первого из этих множеств
на структуру того же рода второго.
Поэтому можно при желании ограничиться тем случаем, когда
L и М — интервалы [1, т] и [1, п] натурального ряда. Предпо-
Предположим, что имеет место этот случай, и пусть е — единица кольца
А. Пусть Eif для каждой пары (i,j)?LxM— матрица (ahh),
в которой ahk = 0 при (h, k)=fc(i,j) и ai3- = e; при наделении множе-
множества ALxM одной из двух указанных структур модуля, тп матриц
Е^ образуют канонический базис этого модуля (§ 1, п° 8).
3. Матрицы и линейные отображения
Пусть А — кольцо с единицей и L, М — конечные множества
индексов. Пусть, далее, Е и F — унитарные правые Л-модули, до-
допускающие соответственно базисы (ах)\?ь и (?>ц,)мель которые имеют
своими множествами индексов L и М. Как известно (§ 2, след-
следствие 2 предложения 3), линейное отображение и модуля Е в F
определяется заданием элементов yx = u(a.x)?F, причем каждое
семейство (ух)>?ь элементов из F определяет линейное отобра-
отображение и модуля Е ъ F условиями и (ах) = Ух- Пусть и (а^) = "^ Ьмцх;
нем
коэффициенты а^% вполне определяются заданием и и, обратно,
определяют элементы и (ах), а вместе с ними и. Обозначим
матрицу (сбця)(ц,«емх1,, отнесенную отображению и, через
М(и; (ах), (Ьц)) (или, если можно не опасаться путаницы, просто
через М(и))\ мы будем называть ее матриц ей отображения и отно-
относительно базисов (ах) и (Ьц); таким образом, Ji-й столбец этой матрицы
образован компонентами а^д, элемента и (ах) относительно бази-
базиса (Ь^) модуля F. Очевидно, каковы бы ни были линейные
отображения и и v модуля Е в F,
M(u + v) = M(u) + M(v). A)
Иными словами, отображение и—>М(и; (ах), (Ьц)) есть изомор-
изоморфизм аддитивной группы X (Е, F) линейных отображений Е в F
на аддитивную группу матриц (над А), имеющих М множеством
индексов строк и L — множеством индексов столбцов.
Если задана матрица М (и) = (а^х) отображения и относитель-
относительно базисов (ах) и (Ьц), то каждая компонента т)^ элемента и (х)

4 МАТРИЦЫ 261
относительно базиса (Ьц) выражается через компоненты |х элемен-
элемента х относительно базиса (а*,) формулой
%= 2аця?я.- B)
Замечание. В случае кольца А без единицы формула B)
все еще относит каждому элементу (??) правого модуля А ^ элемент (т^)
правого модуля А1^, и определенное так отображение очевидно ли-
линейно; но в этом случае различные матрицы могут определять одно
и то же линейное отображение, и, с другой стороны, могут существо-
существовать линейные отображения а\ в A^J, которые нельзя получить
таким способом; примером может служить при M=L тождественное
отображение А^ на себя.
4. Произведение двух, матриц
Пусть А — кольцо с единицей, L, М, N — конечные множе-
множества индексов, Е, F', G — унитарные правые Л-модули, обла-
обладающие соответственно базисами (йя,)хеь. (Ъц)^м, (cv)veJV-
Пусть и — линейное отображение Е в F, v — линейное ото-
отображение F в G. Найдем матрицу отображения w = vou модуля
Е в G относительно базисов (а^) и (cv), если известны матрицы
М(и;
и
Имеем
= v (и (ак)) = v { 2
нем
v?iV
Поэтому, если положить
M(w; (ak), (cv)) = (Yv*.)(
для каждой пары индексов (v, Я) будем иметь
yVK= S Pvn«n^- C)
нем
Определение 2. Пусть L, M, N— конечные множества ин-
индексов, А — кольцо и
Y — (Pvn) (v,

262 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
— матрицы над А. Произведением YX матриц Y и X называется
матрица Z=(yvjl)(V> x.)?Nxl< элементы которой задаются фор-
формулой C).
Таким образом, при этом определении можпо написать, что
М(иоН; (ах), (cv))=M(v, (ЬД (су))Л/(и; (а,), (М) D)
или, проще,
M{vou) = M(v)M(u), E)
если можно не опасаться недоразумения.
Замечание. Таким образом, произведение YX определено,
лишь если множество индексов столбцов матрицы У совпадает с мно-
множеством индексов строк матрицы X; в частности, при L Ф N произ-
произведение XY не имеет никакого смысла. В формуле C) фигурируют
элементы одной и той же строки матрицы У, умножепные справа
на элементы одного и того же столбца матрицы X: говорят, что произ-
произведение У на X получается путем «умножения строк на столбцы».
Каждое свойство, относящееся к сумме или композиции линей-
линейных отображений, посредством формул A) и E) переводится
в соответствующее свойство, относящееся к сумме или произве-
произведению матриц. В частности, имеют место правила дистрибутив-
дистрибутивности и ассоциативности
F)
G)
X (YZ) = (XY) Z, (8)
справедливые всякий раз, когда фигурирующие в них операции
имеют смысл.
Аналогичный перевод формулы A) § 2, дающей композицию
двух линейных отображений модулей, разложенных в прямые суммы,
приводит к интересной формуле для вычисления произведения двух
матриц.
Пусть (Li)j<t< п (Л/;-I</< —разбиения множеств ипдексов
L и М, далее, Et (соответственно Fj) — подмодуль модуля Е (соответ-
(соответственно F), имеющий своим базисом (а^)^ь_ (соответственно
.)' гДе l^i^Cp (соответственно !</<!?); Е—есть пря-
прямая сумма подмодулей Е^ и F — прямая сумма подмодулей Fj. Тем
самым каждому линейному отображению и модуля Е в F соответ-

МАТРИЦЫ 263
ствует (§ 2, п° 4) семейство (и.ц) линейных отображений, где Uji —
отображение Е^ в Fj, определяемое тем условием, что и^ (х) для каж-
каждого х ? Ei есть компонента и (х) в Fj. Из этого определения сразу
видно, что если положить М (и)=Х и М (и^) =X,i (относительно
рассмотренных выше базисов в Е, F я Ej, Fj), то матрица JSfjj будет
не чем иным, как подматрицею матрицы X, получаемою путем вычер-
вычеркивания строк с индексами и. ? CMj и столбцов с индексами % ? СЬг\
поэтому матрицу X можно представлять себе в виде «таблицы матриц»,
или клеточной матрицы из q «строк» и р «столбцов», соответствую-
соответствующих разбиению (Мj) множества индексов строк и (Ь{) множества
индексов столбцов:
Z-v
12 * •> Л 1р\
X2i Х22 ... Х2р
(Д -Лд2 • • • -A-qp'
Аналогично пусть (Nft)[<k<r—разбиение множества индексов N
и Gk — подмодуль модуля G, имеющий своим базисом (cv)v?jv ; G есть
прямая сумма подмодулей Gfe. Матрица Y = M(v) любого линейного
отображения v модуля F в G таким же образом может рассматриваться
как клеточная матрица из г строк и q столбцов, образованная подма-
подматрицами («клетками») УЙ7-=Л/ (v^j), где (о^) — семеГтство линейных
отображений, соответствующих отображению v и разбиениям (Mj)
и (./V;,). Если теперь рассмотреть матрицу Z = YX отображении
w = v о и, то она представится в виде клеточной матрицы из г строк и р
столбцов, образованной подматрицами Zki, соответствующими семей-
семейству (o>/(i) линейных отображений, определяемых отображением w
и разбиениями (Li) и (N^). Но, согласно формуле A) § 2,
ч
Wki = J (yjijoUji)> поэтому
3=1
? , __ ^О у. ,v*.. (9)
3=1
Иными словами, клеточная матрица {Z^i) получается путем
образования «произведения» клеточной матрицы (У^у) на клеточную
матрицу (Xj^), как если бы они были обычными матрицами, имею-
имеющими соответственно У^,- и Xji своими элементами. Вычисление
произведения YX, выполняемое таким способом, называется «ло-
клеточным-1>. Разумеется, чтобы эта операция была возможна, нужно,
чтобы разбиение множества индексов столбцов матрицы У было тем ж?,
что и разбиение множества индексов строк матрицы X.
Формулы B), дающие компоненты и(х) относительно базиса
t), допускают следующее истолкование с помощью понятия

264 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § &
произведения матриц: каждый элемент х — У] я\1х модуля Е опре-
опреть
деляет линейное отображение \-^>х\ модуля Айъ Е (обозначен-
(обозначенное в п° 1 § 2 через 0Х); этому отображению соответствует мат-
матрица из одного столбца М (Qx) = (?,x)x?L (относительно базиса Ad,
образованного единичным элементом е, и базиса (ах) модуля Е).
Точно так же у = и (х) = 2 VHh определяет линейное отображе-
ние Q,j модуля Ad в F, которому таким же образом соответствует
матрица из одного столбца М (9д) = (%)ц?м; но " (Х1) ~ и (хI < иными
словами, Qy — u°Qx; перевод этого соотношения на язык мат-
матриц, в силу формулы D), и приводит к формулам B). Чаще всего,
если можно не опасаться путаницы, элемент х?Е отождест-
отождествляется с одностолбцовой матрицей М (8^.) (образованной компо-
компонентами х относительно базиса (ах)); при этом соглашении фор-
формулы B) объединяются в одной формуле
и(х) = М(и)х. A0)
5. Квадратные матрицы
Определение 3. Квадратной матрицей называют матрицу^
строки и столбцы которой имеют одно и то же множество
индексов.
Квадратная матрица, имеющая п строк и п столбцов, назы-
называется матрицей п-го порядка.
Когда говорят о квадратной матрице га-го порядка, не указывая
(общего) множества индексов строк и столбцов, под этим множеством
подразумевают интервал [1, п] натурального ряда.
Замечание. Следует иметь в виду, что матрица над Л, у кото-
которой множества L, М индексов строк и столбцов имеют одно и то же
число элементов, но не совпадают, не должна считаться квадратной
матрицей; в частности, произведение двух таких матриц не определено.
Пусть L — конечное множество индексов, А — кольцо с еди-
единицей е и Е — правый .4-модуль, имеющий базис (ах)х?ы мно-
множеством индексов которого служит L. Матрица М (и; (ах), (ах))-
каждого эндоморфизма и модуля Е относительно двух базисов,
совпадающих с (ах), квадратная; для краткости ее называют
матрицей и относительно базиса (ах).

5 матрицы 265
Сложение и умножение квадратных матриц, имеющих в каче-
качестве множества индексов строк и столбцов множество L из п эле-
элементов, определяют в множестве этих матриц (на основании
формул F), G) и (8)) структуру кольца; если никакого недоразу-
недоразумения по поводу множества индексов можно не опасаться,
определенное так кольцо матриц обозначается просто Мп(А).
Отображение и —> М (и) есть изоморфизм кольца J? (Е) эндомор-
эндоморфизмов модуля Е на кольцо Мп (А). Единичный элемент кольца
Мп (А) отвечает при этом изоморфизме тождественному авто-
автоморфизму модуля Е; тем самым им служит матрица Fа.д), где
$а.и — кронекеровский символ (§ 4, п° 4). Там, где можно не опа-
опасаться путаницы, эта матрица будет обозначаться /„ (или 1П, когда
единичный элемент кольца А обозначается 1). Обратимые элемен-
элементы кольца Мп(А), называемые обратимыми матрицами, при
изоморфизме и—»М(и) соответствуют автоморфизмам модуля Е.
Примеры квадратных матриц. I. Диа-
Диагональные матрицы. Элементы |^ квадратной мат-
матрицы Х = (|^д), имеющие равные индексы, называют диагональ-
диагональными элементами, а семейство (Eu)jiei,— диагональю матрицы X.
Матрицу, все не диагональные элементы которой равны нулю,
называют диагональной матрицей; единичная матрица 1п диаго-
диагональная, равно как и все ее кратные Qln — InQ, где q — скаляр
(все диагональные элементы которых равны о); заметим, что,
какова бы ни была матрица X?ALxM (где М — любое конечное
множество индексов), (о/„) X — qX и, какова бы ни была матрица
Y?AMXL, Y(QIn) = YQ.
Если X и Y — диагональные матрицы, имеющие соответствен-
соответственно диагонали (|^) и (%), то сумма Х + У есть диагональная мат-
матрица с диагональю (la, + Ля.) > а произведение XY — диагональная
матрица с диагональю (|д,Ля.); таким образом, диагональные мат-
матрицы образуют подколъцо кольца Мп(А), изоморфное произведе-
произведению А (или Ап), а матрицы о/п образуют подкольцо кольца
диагональных матриц, изоморфное А.
II. Диагональные клеточные матрицы. Пусть
(LjI<i<p— разбиение множества L; каждая квадратная матрица,
имеющая L множеством индексов строк и столбцов, может быть запи-
записана в виде «квадратной клеточной матрицы», соответствующей одному

.266 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, §6
и тому же разбиению (L{) множества индексов строк и множества
индексов столбцов (п° 4):
ц Х12 ,..
21 X 22
Каждая из матриц Хц есть квадратная матрица, имеющая Lj
своим множеством индексов строк и столбцов.
Если теперь все матрицы Х^ с i ^ / нулевые, то рассматривае-
рассматриваемая клеточная матрица называется диагональной. Квадратные мат-
матрицы, для которых указанная клеточная матрица (соответствующая
заданному разбиению (Li)) диагональная, как вытекает из «поклеточ-
ного» получения произведения двух матриц, образуют кольцо; легко
р
видеть, что это кольцо изоморфно произведению ГТ JS(Ei) колец эндо-
1=1
морфизмов подмодулей Е^ модуля Е, имеющих своими базисами
семейства (
III. Матрицы подстановок. Пусть я — произ-
произвольная подстановка множества индексов L; существует, и при-
притом только один, эндоморфизм Wjt модуля Е такой, что ип(а^) —
= ая<1) Для каждого AgL (§ 2, следствие 2 предложения 3).
Каково бы ни было 'k^.L, элемент матрицы М(ил), находящийся
на пересечении столбца с индексом % и строки с индексом я(Х),
равен е, все же остальные элементы того же столбца равны нулю.
Допуская вольность речи, матрицу М(ил) называют матрицей
подстановки я. Очевидно, п\ матриц, соответствующих всевоз-
всевозможным подстановкам множества L, обратимы; при этом, по-
поскольку для любых двух подстановок я. q множества L имеет место
равенство ит = ип°щ, матрицы М(ик) образуют мультипли-
мультипликативную группу, изоморфную симметрической группе ©„.
IV. Мономиальные матрицы. Каждая строка и каж-
каждый столбец матрицы подстановки содержат лишь один элемент фО.
Квадратная матрица R, обладающая этим свойством, называется
мономиальной. Пусть q^ — единственный ненулевой элемент Я-го
столбца матрицы Лия (>.) — индекс строки, на которой находится
этот элемент; ясно, что л есть подстановка множества индексов L,
a R — произведение матрицы М (и^) этой подстановки и диагональ-
диагональной матрицы с диагональю

<f> матрицы 267
V. Треугольные матрицы. В случае, когда множест-
множеством L индексов служит интервал [1, п] натурального ряда, треу-
треугольной матрицей называют квадратную матрицу л-го порядка,
в которой atj = 0 при / > i ; говорят также, что эта матрица имеет
над своей диагональю одни нули. Легко видеть, что треугольные мат-
матрицы образуют подкольцо кольца Мп (А); оно очевидно содержит
кольцо диагональных матриц.
И. Транспонированная матрица
Пусть Е и F — унитарные правые Л-модули, обладающий
конечными базисами (ах)х^ь и (Ьц)Ц?м- Их сопряженные Е* и F*
являются левыми Л-модулями; будем рассматривать их как
правые модули над кольцом А0, противоположным. А (§ 1, п° 1);
базисы (а'}) и (Ь'ц), сопряженные соответственно к (ах) и (Ьц)
(§ 4, п° 4), будут также базисами для Е* и F*, рассматриваемых
как правые Л°-модули. Пусть теперь и — линейное отображение
Е в F и М (и) — (ац^)(Д> я)емх^ — его матрица относительно бази-
базисов (ах) и Eц); найдем матрицу М('и) сопряженного отображе-
отображения 'и (§ 4, п° 9) относительно сопряженных базисов (Ь'^ и (а'х).
Определение 4. Пусть X = (а^)^, xjemxl — заданная матрица
над кольцом А. Транспонированной матрицей или матрицей,
транспонированной по отношению к X, называется матрица
'X = фх>х)(к, iiKLxM над кольцом А", противоположным А, такая,
что Ра,х = 0Чл для каждой пары (k, \i).
Говорят также, что 'X получается их X путем перестановки
строк и столбцов (подразумевая при этом, что и структура кольца
А заменяется одновременно противоположной структурой).
Предложение 1. Матрица сопряженного отображения 'и отно-
относительно базисов (Ь^) и (а'х) равна транспонированной матрице
отображения и относительно базисов (ах) и (Ь^).
Действительно, пусть М('и) = (б^)^, ц)еьхм — матрица ото-
отображения 'и относительно базисов (b'ti) и (а%); по определению,
Ря.и есть ^-я компонента элемента 'и(Ь'ц) в Е*, т. е., согласно
формуле A2) § 4, примененной к правым модулям,
('м(бд), ax) = {b'll,, n(aK));

268 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. IIJ ^
но (Ь'ц, и (ах)) есть не что иное, как fi-я компонента элемент»
и (а^) в F, т. е. адЛ.
Очевидно, 1AХ) = Х. В силу формул A3) и A5) § 4, имеем
'(Х+У) = 'Х+1У, (И)
l(XZ) = (Z(X A2)
всякий раз, когда матрицы X-j-Y и XZ определены. Разумеется,
следует помнить, что в правой части формулы A2) произведения
элементов матрицы lZ на элементы матрицы 1Х должны браться
в кольце А0.
Применим предложение 1, в частности, к линейной форме
х' на Е. Сопряженное к ней отображение есть не что иное, как
линейное отображение А% в Е* (рассматриваемое как правый
.4"-модуль), обозначавшееся выше через 9Ж- (п° 4). Тем самым транс-
транспонирование однострочной матрицы М (х1) (относительно базиса
(ах) и базиса в Ad, образованного одним элементом е) дает одно-
одностолбцовую матрицу, элементами которой являются компоненты
|я, формы х' относительно базиса (а'%) (рассматриваемые как эле-
элементы кольца ^4°); это также прямо вытекает из определения
матрицы М (х'). В соответствии с принятым в п° 4 соглашением,
эта одностолбцовая матрица отождествляется с элементом х'
сопряженного модуля Е*, и следовательно, соотношение A0)
при и = х' дает
(хг, х) = 1х'-х. A3)
Пусть и — линейное отображение Е в F; для каждой линей-
линейной формы y'?F*, в силу A0) и предложения 1, имеем
*и(у') = М('и).у' = (М(и).у';
поэтому соотношения A2) и A3) показывают, что
{'и(у'), х) = 1у'-М(и)-х, A4)
и фундаментальная формула A2) § 4 (записанная для правых мо-
модулей) принимает вид частного случая ассоциативности про-
произведения матриц:
Следует помнить, что в этих формулах элементы одностолбцо-
одностолбцовых матриц х', у' должны рассматриваться как принадлежащие А0,
а элементы однострочных матриц *х', 1у' — как принадлежащие А.

7 матрицы 269
Обратимые квадратные матрицы над А, с множеством L ин-
индексов строк и столбцов, соответствуют автоморфизмам модуля Е
(п° 5). Для каждого такого автоморфизма и контрагредиентный
автоморфизм и сопряженного модуля Е* (§ 4, п° 10), являющий-
являющийся обратным к 'и, совпадает с сопряженным к автоморфизму,
обратному к и; таким образом, полагая Х = М(и), в силу пред-
предложения 1 имеем М (и) = ('X)'1 = {(X'1), что позволяет, не опа-
опасаясь двусмысленности, обозначать эту матрицу просто 'X;
она называется матрицей, контрагредиентной к обратимой мат-
матрице X, и иногда обозначается X. Если X и У — обратимые квад-
квадратные матрицы одинакового порядка над А, то, в силу A2),
'(XYy^i'X-^CY-i) A5)
(где произведения, входящие в матрицу, стоящую в правой части,
берутся в кольце А0).
7. Матрицы над телом
Матрицы из т строк и п столбцов над телом К оказываются
во взаимно однозначном соответствии с линейными отображе-
отображениями правого векторного пространства Е = К% в правое век-
векторное пространство F=K™, если каждому такому отображе-
отображению отнесена его матрица относительно канонических базисов
пространств Е и F. По определению, ранг такой матрицы X есть
ранг того линейного отображения и пространства Е в F, кото-
которому она соответствует; так как это число, по определению, есть
размерность подпространства и (Е) пространства F, то это же
можно выразить (отождествляя столбцы матрицы X с образами
элементов канонического базиса пространства Е при отображе-
отображении и) посредством следующего определения:
Определение 5. Пусть X ¦— матрица из т строк и п столб-
столбцов над телом К. Ее рангом Q (X) над К называется размерность
подпространства в К™, порожденного п столбцами матрицы X.
Можно также сказать, что ранг матрицы X — это наибольшее
число ее линейно независимых столбцов. Согласно определе-
определению 5, Q(X)<min (m, п); для каждой подматрицы Y матрицы X
имеем q(Y)<q(X).

270 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § <>
Если Е и F — конечномерные векторные пространства и и —
линейное отображение Е в F, то ранг матрицы М (и) (относитель-
(относительно любых базисов в Е и F) равен рангу и.
Понятие ранга матрицы лишь на вид зависит от тела, к кото-
которому считаются принадлежащими элементы матрицы. А именно:
Предложение 2. Если элементы матрицы X из т строк и п
столбцов принадлежат подтелу Ко тела К, то ранг X относи-
относительно Ко равен рангу X относительно К.
Действительно, столбцы матрицы X принадлежат подпро-
подпространству Нй над телом Ко, порожденному каноническим бази-
базисом пространства К™; поэтому справедливость предложения
вытекает из следствия 3 предложения 6 § 5.
Из доказанного выше предложения 1 и теоремы 4 § 4 вытекает
Предложение 3. Ранг матрицы X над телом К равен рангу
транспонированной матрицы 1Х.
Тем самым ранг матрицы X равен также наибольшему числу
ее линейно независимых строк (рассматриваемых как элементы
левого модуля i?").
Квадратные матрицы тг-го порядка над телом К соответствуют
эндоморфизмам пространства Е — К2; они образуют кольцо,
изоморфное кольцу X (Е) эндоморфизмов пространства Е (п° 5);
поскольку автоморфизмам этого пространства соответствуют об-
обратимые квадратные матрицы, из следствия предложения 11 § 3
вытекает
Предложение 4. Для того чтобы квадратная матрица п-го-
порядка над телом К была обратимой, необходимо и достаточно,,
чтобы она была матрицей ранга п.
8. Матрицы и линейные уравнения
¦'' | Пусть А — кольцо с единицей; рассмотрим систему т линей-
линейных (справа) уравнений с п неизвестными, коэффициенты которой.
и свободные члены принадлежат А:
3=1

f> матрицы 271
Пусть (ej — канонический базис произведения Е—А™; как мы
.знаем (§ 4, пс 7), система A6) равносильна уравнению
!«& = *• A7)
3=1
т m
где fly = 2 еЛ;-, 6=2 etPi.
i=^l г--1
Матрица Л = (ai;.) из //г строк и /г столбцов называется л«ат-
рицей системы A6); сказать, что система A6) имеет решение, все
равно, что сказать, что матрица, образованная одним столбцом
Ь = ф4), есть линейная комбинация п столбцов матрицы А.
Когда речь идет о системе A6) над телом К, приведенное
только что истолкование в соединении с определением ранга
матрицы дает
Предложение 5. Для того чтобы система A6) т линейной
уравнений с п неизвестными над телом К имела решение, необ-
необходимо и достаточно, чтобы матрица В, полученная путем
окаймления матрицы А = (аг]) системы (п4-1)-м столбцом (р\),
образованным свободными членами уравнений, имела тот же ранг,
что и А.
Это условие всегда выполнено, когда т = п и А — обратимая
матрица, т. е. матрица ранга п (предложение 4). Замечая, что
если обозначить через х матрицу, состоящую из одной строки
(ij)i^y^n (n°4), то уравнение A7) запишется в виде А-х=Ъ, за-
заключаем, что в этом случае имеется единственное решение, а
а именно задаваемое формулой х=А~1-Ь.
9. Переход к новому базису
Предложение 6. Пусть Е — унитарный правый А-модуль,
имеющий базис (a4)i^i5n, состоящий из п элементов. Для того чтобы
п
семейство из п элементов at =¦ У1 fli<23i A<!г<1и) было базисом
модуля Е, необходимо и достаточно, чтобы квадратная матрица
п-го порядка Р~ (<x;i) была обратима.

272 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
Действительно, Р есть не что иное, как матрица эндоморфизма
и модуля Е, определяемого условиями и (ai)=ai A < i < п) х отно-
относительно базиса (аг). Но для того, чтобы и был автоморфизмом
модуля Е, необходимо и достаточно, чтобы (at) было базисом
этого модуля (§2, следствие 2 предложения 3), чем справедли-
справедливость предложения и доказана.
Обратимая матрица Р называется матрицей перехода от ба-
базиса (flj) к базису (а{). Ее можно также рассматривать как матрицу
тождественного отображения <р модуля Е на себя относительно
базисов (а{) и (а{) (в этом порядке); из формулы D) сразу следует
тогда, что матрицей перехода от базиса (аг) к базису (аг) служит
матрица Р1, обратная к Р.
¦
Предложение 7. Пусть (а[) и (а\) — базисы, сопряженные
соответственно к (at) и (аг); матрицей перехода от базиса (a'i)
к базису (a'i) служит матрица 'Р'1, контрагредиентная к матри-
матрице Р перехода от базиса (а{) к базису (а{).
Действительно, сопряженное к тождественному отображению
Ф модуля Е на себя есть тождественное отображение ср' сопря-
сопряженного модуля Е* на себя; согласно предложению 1, матрица
отображения <р' относительно базисов (а[) и (а[) (в этом порядке)
получается путем транспонирования матрицы отображения <р
относительно базисов (аг)ж (аг) (в этом порядке), т. е. транспониро-
транспонирования матрицы Р'1.
Предложение 8. Пусть Е и F — унитарные правые А-модули,
имеющие соответственно базисы (a,)i ^i^n и (b,-)io'<n»> состоящие из
пит элементов. Пусть, далее, и — линейное отображение Е
в F и U — его матрица (из т строк и п столбцов) относительно
базисов (аг) и (bj). Наконец, пусть {a^i^i^n — второй базис в Е,
(bj)i^,^m— второй базис в F, Р — матрица перехода от (аг) к (аг)
и Q — матрица перехода от (bj) к (bj). Тогда матрица V отобра-
отображения и относительно базисов (at) и (bj) задается формулой
A8)

9 матрицы 273
Действительно, и=%\ю и о ф, где ф — тождественное отобра-
отображение Е на себя и ij) — тождественное отображение F на себя.
Если в правой части этого соотношения взять матрицу ф отно-
относительно (аг) и (а{), матрицу и относительно (а4) и (Ь^) и матрицу г|з
относительно (Ь^) и (&3), то формула A8) будет непосредствен-
непосредственно следовать из формулы D).
Следствие 1. Если U и U' — матрицы эндоморфизма и модуля Е
соответственно относительно базисов (а4) и (а4), то
U'^P'WP. A9)
Следствие 2. Если ас=(У и ас=(^) — однострочные матрицы,
образованные компонентами элемента х?Е относительно базисов
(аг) и (ffj), то
х = Р-~х. B0)
Достаточно применить предложение 8 к отображению |—>х\
модуля Ad в Е, взяв матрицы этого отображения, с одной сто-
стороны, относительно базисов {г} и (аг), с другой стороны, отно-
относительно базисов {е} и (аг).
Формула B0) равносильна формулам
5.= |о^ (i<i<n), B1)
называемым формулами преобразования координат; заметим, что
они выражают компоненты х относительно базиса (а4) через
компоненты х относительно базиса (аг) и элементы матрицы Р,
т. е. компоненты базиса (а4) относительно базиса (а4); говорят,
что при переходе к новому базису компоненты элементов модуля Е
преобразуются контравариантным образом.
Пусть теперь х' — (Е,1) и ac' = (li) — одностолбцовые матрицы
(элементы которых принадлежат А0), образованные компонентами
линейной формы х'?Е* относительно базисов {а[) и (а[), сопря-
сопряженных к (аг) и (а4). Поскольку матрицей перехода от (a'i) к (aj)
18 П. Бурбаки

274 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
служит 'Р'1, имеем х' = 1Р~1х', что может быть записано также
в виде
гх' = 1х'Р B2)
или
ii=2&«,-i (Ki<n). . B3)
i=i
Говорят, что при переходе к новому базису компоненты ли-
линейных форм на Е преобразуются ковариантным образом.
10. Эквивалентные матрицы
Определение 6. Матрицы X и X' из т строк и п столбцов
над кольцом А с единицей называются эквивалентными, если суще-
существуют обратимая квадратная матрица т-го порядка Р и обра-
обратимая квадратная матрица п-го порядка Q такие, что
X' = PXQ. B4)
При этом определении предложение 8 можно выразить, сказав,
что при переходе к новым базисам в унитарных Л-модулях Е и F
(имеющих конечные базисы) матрица линейного отображения
и модуля Е bF относительно новых базисов эквивалентна матрице
отображения и относительно старых базисов.
Другое истолкование состоит в рассмотрении линейных ото-
отображений и и и' модуля Е в F, имеющих матрицы X и X' относи-
относительно фиксированных базисов (a^i^i^n и (&3-)i<c;^m этих модулей;
тогда соотношение B4) равносильно соотношению u'=tyo цо ф,
где ф и if) — автоморфизмы Е и F', имеющие относительно бази-
базисов (а,) и (bj) соответственно матрицы Q и Р.
Очевидно, отношение «X и X' эквивалентны» действительно есть
отношение эквивалентности (Теор. мн., Рез., § 5) в множестве ма-
матриц из т строк и п столбцов над А, чем и оправдывается принятая
терминология.
Примеры эквивалентных матриц. 1) Говорят,
что матрицы .ЗТ=(!^) и X' =(?{у) из т строк и п столбцов «отличаются
лишь порядком строк», еели существует подстановка а интервала [1, т]
натурального ряда такая, что g.[;- = ga(i) ;- для каждой пары индек-
индексов (г, /) (говорят также, что X' получается путем выполнения над

10 матрицы 275
строками матрицы X подстановки сг1). Матрицы X и X' тогда экви-
эквивалентны, ибо X'=РХ, где Р — матрица подстановки о (над индек-
индексами базиса (bj) модуля F; см. п° 5).
Точно так же говорят, что X и X' отличаются лишь порядком
столбцов, если существует подстановка т интервала [1, п] такая,
что ^,= 1; т(д для каждой пары индексов (г, /). Так как тогда матрицы,
транспонированные по отношению к X и X', отличаются лишь поряд-
порядком строк, то они эквивалентны и, звачит, то же верно для X и X'
(более точно: X'=XQ, где Q — матрица подстановки т (над индек-
индексами базиса (<zj) модуля Е)).
2) Предположим теперь, что для некоторого индекса / и всех i
(l^Ci<m) имеют место равенства |j';-= lij + Sife^i гДе k —
индекс Ф / и |х — какой-нибудь элемент из А; говорят, что X' полу-
получается из X путем прибавления к }-му столбцу матрицы X k-го столбца,
умноженного справа на |х. И в этом случае X и X' эквивалентны: дей-
действительно, при втором из рассмотренных выше истолкований имеем
и' (aj)=u (ay)-j-M (ak) [i = u (а;--|-йьЦ), значит, u' = uo<p, где <р—автомор-
<р—автоморфизм модуля Е, определяемый условиями <p(a;)=a3+aft|x и (р (a/,)=a/,
для всех h ф / (это действительно автоморфизм, ибо эндоморфизм ф',
определяемый условиями ср' (а^) = а^ — aj,jx и <р' (a/,) = a;t для всех
li Ф j, обратен <р).
Так же убеждаемся в эквивалентности матриц X и X', когда X'
получается из X путем прибавлении к г-й строке матрицы X строки
с индексом h ф i, умноженной слева на какой-нибудь элемент Я ? А:
тогда Х'~РХ, где Р — матрица автоморфизма о|> модуля F, определяе-
определяемого условиями г|) F;,)=&h-|- 6;Я и г|)F/!)=6(, для всех к ф h.
3) Наконец, JST и X' эквивалентны также, если для заданного
индекса / и всех i A <С г ¦< га) имеют место равенства ?.[,• = ?;Д1,
где [х—обратимый элемент кольца А; действительно, тогда X'=XQ,
где Q — матрица автоморфизма (р модуля Е, определяемого
условиями <р (aj) = aj\i и <р (ак) = а? для всех /с =^= /'. В этом случае
говорят, что X' получается из X путем умножения /'-го столбца ма-
матрицы X справа на Ц.
Точно так же X' и X эквивалентны, если X' получается из X
путем умножении г-й строки матрицы X слева на обратимый элемент
Я ? А: тогда Х'=РХ, где Р — матрица автоморфизма if модуля F,
определяемого условиями ¦ф(Ь;)=61Я и ^(bfl)=bil для всех А =? и
Предложение 9. Для 7?гого чтобы две матрицы из т строк
и п столбцов над телом К были эквивалентными, необходимо и до-
достаточно, чтобы они имели одинаковый ранг.
Согласно первому из приведенных выше истолкований эквива-
эквивалентности, условие необходимо, поскольку ранг линейного

276 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
отображения равен рангу матрицы этого отображения относительно
любых базисов.
Для установления достаточности условия покажем, что
каждая матрица X ранга г эквивалентна матрице
о) <25>
(где в правой части стоит клеточная матрица, соответствующая
разбиению [1, т] на [1, г] и [г+1, т] и разбиению [1, п] на [1, г]
и [г+1, п]), называемой канонической матрицей ранга г из т
строк и п столбцов над К.
Предположим для этого, что X есть матрица линейного ото-
отображения и модуля Е в F относительно базисов (а4) и (Ь;-), и пока-
покажем, что в EvlF существуют базисы (at) и F;-), относительно кото-
которых и имеет матрицу U. Так как и — ранга г, то В.—и @) — раз-
размерности п—г; пусть G — подмодуль в Е, дополнительный к Н;
тогда существует базис (а4) модуля Е такой, что (at)i<;i^r будет
базисом в Си (ajrj-jjgi^n — базисом в Н. В таком случае векторы
и (uj) A < , < г) образуют базис ви(Е); значит в F существует базис
(bj)i<zj^m такой, что bj=u(uj) A</<г) (§ 3, теорема 2). Очевидно,
базисы (аг), (Ь?) удовлетворяют поставленному требованию.
В случае, когда Л=(О{;) — явно заданная матрица из т строк
и п столбцов над телом К, можно, как мы это увидим, явно определить
обратимые квадратные матрицы Р и Q, для которых PAQ=U, где U —
каноническая матрица B5). Можно ограничиться случаем, когда
r=Q(/l) > 0, нбо иначе А — нулевая матрица и нечего доказывать.
Умножая А слева и справа на матрицы надлежащих подстановок,
можно всегда свести дело к случаю, когда ап Ф 0, а умножая слева
первую строку на а^1, — к случаю, когда ап=1; вычтя тогда первую
строку, умноженную каждый раз на надлежащий скаляр, из каждой
другой, мы обратим все члены первого столбца, кроме ои, в 0; другими
словами, существуют обратимая квадратная матрица Р± и матрица
подстановки Дх такие, что

11 матрицы 277
J = (Pi ¦) есть матрица из га — 1 строк иге — 1 столбцов B <I i <C га,
2 <; / <; п). Если В — ненулевая матрица, то, умножая ее слева
и справа на матрицы надлежащих подстановок, можно добиться,
чтобы р2., =р 0. Поступая так последовательно с первыми г столбцами,
убедимся в существовании обратимой квадратной матрицы Р и ма-
матрицы подстановки R (ясно задаваемых указанными операциями),
для которых
PAR=\ Г \. B6)
.0 0
Наконец, вычтя из каждого из п— г последних столбцов этой ма-
матрицы надлежащие кратные первых г столбцов, что сводится к умноже-
умножению справа на (явно определяемую) обратимую квадратную ма-
матрицу S, придем к канонической матрице U.
В том частном случае, когда А есть обратимая квадратная ма-
матрица, в качестве R можно взять единичную матрицу; согласно фор-
формуле B6), тогда матрица Р, определенная описанным способом, будет
просто матрицей, обратной к А (см. § 3, п° 2, замечание 1 после след-
следствия 3 теоремы 3, а также § 6, упражнение 9а).
Операции, приведшие к матрице B6), позволяют также явно
определить решения линейного уравнения Ах=Ъ с явно заданным
вектором Ъ. Действительно, это уравнение может быть записано в виде
PAR(R'lx)=Pb; поскольку Л — матрица подстановки, компоненты
вектора y=R~1x, с точностью до порядка, те же, что у х. Теперь, дли
того, чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно,
чтобы т — г последних компонент вектора РЪ были нулями; если это
выполнено, то из соотношения PARy=-Pb сразу получаются первые г
компонент вектора у в виде явных функций последних п — г, остаю-
остающихся произвольными.
Этот метод явного разрешения линейных уравнений известен
под названием метода последовательных подстановок; он действи-
действительно сводится к выражению первой компоненты вектора у через
остальные с помощью первого уравненпя, затем подстановке этого
выражения в остальные уравнения и применению к этим последним
той же процедуры до тех пор, пока мы не придем к системе, матрица
которой имеет вид B6).
11. Подобные квадратные матрицы
Определение 7. Квадратные матрицы п-го порядка X, X' над
кольцом А с единицей называются подобными, если существует
обратимая квадратная матрица п-го порядка Р такая, что
B7)

278 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
При этом определении следствие 1 предложения 8 можно вы-
выразить, сказав, что при переходе в унитарном 4-модуле Е (имею-
(имеющем конечный базис) к новому базису матрица эндоморфизма и
модуля Е относительно нового базиса подобна матрице и относи-
относительно старого базиса.
Другое истолкование состоит в рассмотрении эндоморфизмов
и, и' и автоморфизма ф модуля Е, имеющих X, X' и Р своими ма-
матрицами относительно некоторого фиксированного базиса в Е;
соотношение B7) равносильно тогда соотношению ц'^фоцоф^1.
Очевидно, и здесь отношение «X и X' подобны» есть отношение
эквивалентности в множестве всех квадратных матриц п-го порядка
над А.
Замечания. 1) Две квадратные матрицы, отличающиеся
лишь порядком строк (или столбцов), эквивалентны, но, вообще го-
говоря, не подобны. Матрица, подобная квадратной матрице X=(|j}),
получится, если подвергнуть одной и той же подстановке а и строки
и столбцы, т. е. если рассмотреть матрицу ЛГ' = B-г/), где |г/:=
= ?(т(г) а(Лдля кажД°й пары индексов (г, /); действительно, легко
видеть, что Х'=РХР~*, где Р — матрица подстановки сГ1 (индексов
базиса (сц) модуля Е).
2) Две подобные матрицы над одним и тем же телом К очевидно
имеют одинаковый ранг, поскольку они эквивалентны (предложение 9).
Но здесь это необходимое условие уже не достаточно для того, чтобы
две квадратные матрицы над К были подобными; необходимые и доста-
достаточные условия в случае поля К будут даны в главе VII.
3) Пусть X и X' — квадратные матрицы га-го порядка, записы-
записываемые в форме «диагональных» клеточных квадратных матриц (п° 5):
(Ху О ... 0\ /Х[ О ... О
О Y' О
Л =1
. о о ... хр/ \ о о
соответствующих одному и тому же разбиению множества индексов
[1, л] и для X, и для X'. Если Х^ и!; для каждого i (I ^ i^Jp) подобны,
то X и X' подобны; действительно, если Xiz=piX^Pi для всех
i (I < i <i p), то, как показывает правило «поклеточного» вычис-
вычисления произведения (п° 4), Х'^РХР', где
О ...
0 0

матрицы 279
Упражнения. 1) Пусть Е — унитарный правый Л-модуль
и Аг— кольцо квадратных матриц r-го порядка над А. Определим
на множестве Ег внешний закон композиции, имеющий Аг своим
множеством операторов, обозначив через Х'Р, для каждого элемента
x = (xi)l<i<-r из Е1 и каждой матрицы Р = (сц3-) из Аг, элемент у=(у^)
из Ег, в котором
г
j/i= У Х)йц (Ki --;¦-/•).
;=l
Этот внешний закон есть закон аддитивной группы на Ег, опре-
определяющий в этом множестве структуру правого модуля относительно
кольца Аг. Показать, что для того, чтобы Л-модуль Е допускал си-
систему г образующих, необходимо и достаточно, чтобы .Лг-модуль Ег
был моногенным.
2) Пусть А —кольцо с единицей, (I^)^-^ — разбиение интер-
интервала [1, п] натурального ряда и каждая квадратная матрица л-го
порядка X над А представлена в форме квадратной клеточной матри-
матрицы (Xj3),] соответствующей одному и тому же разбиению (L{) множе-
множества индексов строк и множества индексов столбцов.
а) Показать, что матрицы X, длн которых клеточная матрица
(Xi) «треугольная''), т. е. такая, что Хц=0 при i < /, образуют
под кольцо кольца Мп (А). Как можно охарактеризовать эндоморфизмы,
которым соответствуют эти матрицы?
б) Показать, что если каждая из квадратных подматриц Xit
A < i < р) такой матрицы X обратима, то и X обратима, причем X
снова является треугольной клеточной матрицей. Доказать, что если
А — тело, то это достаточное условие обратимости матрицы X также
необходимо.
3) Пусть A=Z/C0). Показать, что у матрицы
/1 1 -1\
V0 2 Ъ)
над кольцом А строки линейно независимы, но любые два столбца
линейно зависимы.
*4) Пусть X — матрица из т строк и п столбцов над телом К;
показать, что ее ранг q (X) равен наибольшему из рангов ее квадрат-
квадратных подматриц. [Пусть q (Х)=ги а1; а2, ..., ar — г столбцов матрицыХ,
образующие в К™ свободную систему; образовав базис простран-
пространства К™ из этих г векторов и т — г векторов канонического базиса (е{),
показать, что компоненты векторов ах, а2, ..., ar nor остальнымвек-
торам канонического базиса образуют матрицу ранга г.]
5) Пусть X — матрица из т строк и п столбцов над телом К
и г — ее ранг. Показать, что ранг подматрицы из т строк и s столб-
столбцов, получающейся путем вычеркивания п — s столбцов матрицы А',
^¦r+s — п.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 6
6) Пусть Х=(аг/) — матрица из т строк и п столбцов над телом К.
Для того чтобы X была ранга 1, необходимо и достаточно, чтобы
в К существовали семейства (A.iI<i<m из т элементов, не равных все
нулю, и (H-j)i<i<n из п элементов, не равных все нулю, такие, что
сц, = Х{11.; для каждой пары индексов (г, /).
*7) Пусть Е — правое векторное пространство над телом К
и // — его гиперплоскость. Всякий эндоморфизм и пространства Е,
оставляющий все элементы из Н инвариантными, дает при фактори-
факторизации эндоморфизм одномерного факторпространства Е/Н, тем самым
имеющий вид ж->ж|х(ж), где (.1 (ж) ? А' и \i (xX)=k~1\.\. (ж) X. Авто-
Автоморфизм и, оставляющий все элементы из // инвариантными, назы-
называется сдвигом, если соответствующий автоморфизм факторпространства
Е/Н есть тождественное отображение, и растяжением — в противном
случае; если и — растяжение, то множество всех элементов (х (ж),
являющееся классом сопряженных элементов (гл. I, § 7, п° 5) в муль-
мультипликативной группе К* ненулевых элементов тела К, называется
классом растяжения и.
а) Показать, что для каждого растяжения существует, и притом
лишь одна, дополнительная к Н прямая, инвариантная относительно
этого растяжения.
б) Пусть ф —линейная форма, для которой #=ф@); показать,
что для каждого сдвига и существует однозначно определенный век-
вектор а?Н такой, что и (ж)=ж+аф (ж). Обозначая через Т(Е,Н) группу
всех автоморфизмов пространства Е, оставляющих инвариаптным
каждый элемент из Н, показать, что сдвиги (относительно Н) образуют
ее нормальную коммутативную подгруппу в (Е, Н), изоморфную
аддитивной группе Н; факторгруппа Г (Е, Я)/в (Е, Н) изоморфна К*.
в) Если Е конечномерно, то для каждого сдвига и существует
такой базис пространства Е, что в матрице и относительно этого базиса
все диагональные элементы равны 1 и по крайней мере еще один эле-
элемент =/=0.
г) Показать, что централизатор (гл. I, § 6, упражнение 13)
группы в (Е, Н) в группе GL (Е) автоморфизмов пространства Е
есть композиция Z(E)Q(E, Н) = в(Е, Н) Z (Е) группы в(Е, Н)
и центра Z (Е) группы GL (E) (§ 2, следствие 2 предложения 5). Един-
Единственными автоморфизмами, принадлежащими этому централизатору
и оставляющими инвариантным по крайней мере один ненулевой эле-
элемент из Е, являются сдвиги из в (Е, Н).
д) Показать, что нормализатор (гл. I, § 6, упражненпе 13) груп-
группы в (Е, Н) в GL (E) есть подгруппа GL (E), образованная всеми авто-
автоморфизмами, оставляющими Н инвариантным.
*8) Пусть F (Е) — нормальная подгруппа группы GL(?), обра-
образованная теми автоморфизмами и, для которых множество всех эле-
элементов из Е, инвариантных относительно и, имеет конечную фактор-

матрицы 281
размерность (если Е конечномерно, то F (?)=GL (?)). Пусть, далее,
С (Е) — нормальная подгруппа группы GL (?), порожденная всеми
сдвигами; она содержится в F(E).
а) Показать, что если Е — размерности > 1, то для каждой дары
ненулевых векторов х, у из Е существует сдвиг или произведение двух
сдвигов, переводящее х в у (иными словами, группа С (Е) транаитивно
действует в дополнении к {0} в Е).
б) Пусть V и W — гиперплоскости, xo=xo-r-V— класс mod V,
отличный от V, и j/o=2/o~fW—класс mod W, отличный от W. Пока-
Показать, что если Е— размерности > 1, то существует сдвиг или произ-
произведение двух сдвигов, преобразующее V в W и х0 в у0. [Рассмотреть
сначала случай различных V и W.]
в) Показать, что если Е — размерности > 1, то любые два сдвига,
отличные от тождественного отображения, являются сопряженными
элементами (гл. I, § 7, п° 5) группы F(E).
г) Показать, что если Е — размерности > 2, то любые два сдвига,
отличные от тождественного отображения, являются сопряженными
элементами группы С (Е). [С помощью б) свести к случаю, когда гипер-
гиперплоскости обоих сдвигов совпадают, и затем использовать а).]
д) Если Е двумерно, то для того, чтобы любые два сдвига были
сопряженными элементами группы С (Е), необходимо и достаточно,
чтобы подгруппа Q группы К*, порожденная квадратами всевозмож-
всевозможных элементов из К*, совпадала с К*. [Показать, что если и — сдвиг,
а а — элемент из Е, не инвариантный относительно и, и 6= и (а) — а,
то для каждого сдвига и', сопряженного к и в С (Е), имеет место равеп-
• ство и' (а) — а = аА.+ 6A, где ц ? Q или ц = 0; воспользоваться для
этого тем, что во всякой мультипликативной группе элементы сфа^р"
и сф2а являются произведениями двух квадратов. Чтобы убедиться
в том, что сформулированное условие влечет сопряженность в С (Е)
каждого сдвига v со сдвигом и, свести рассмотрение к случаю, когда
v (а) = аХ\- b.]
е) Если Е — размерности > 1, то для того, чтобы растяжения и
и и' были сопряженными относительно группы С (Е) (т. е. чтобы суще-
существовал автоморфизм v ? С (Е), для которого u'=vuv^1), необходимо
и достаточно, чтобы классы (упражнение 7) этих растяжений совпа-
совпадали. [Использовать б).] Вывести отсюда, что если класс некоторого
растяжения содержится в коммутанте (гл. I, § 6, п° 8) группы К*
то это гастяжение принадлежит группе С (Е). [Воспользоваться тем,
что vuv'1u~1=v {uvlu~x).\
*9) а) Показать, что каждый автоморфизм и, принадлежащий
F (Е), есть произведение автоморфизма, принадлежащего С (Е), и, воз-
возможно, растяжения, гиперплоскостью инвариантных элементов кото-
которого служит фиксированная гиперплоскость Но. [Провести индукцию
по факторразмерности подпространства элементов, инвариантных
относительно и, используя 8а и 8е.]

282 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Л. II, § 7
б) Показать, что С(Е) содержит коммутант группы/'(?) и, за исклю-
исключением того случая, когда K=Z/B) и dim?=2, совпадает с пим. [При
доказательстве того, что С (Е) содержит коммутант группы F(E),
использовать а) и упражнение 8е; для установления того, что С(Е),
кроме указанного исключительного случая, содержится в этом комму-
коммутанте, показать; используя упражнения 76 и 8в, что при всяком пред-
представлении F (Е) в коммутативную группу образом каждого сдвига
служит нейтральный элемент.]
*10) Показать, что если Е—размерности >2, то каждая нор-
нормальная подгруппа группы GL (Е), не содержащаяся в центре Z(E),
содержит коммутант С (Е) группы/" (Е), и что каждая нормальная под-
подгруппа группы С (Е), не содержащаяся в Z (Е), совпадает с С (Е). [По-
[Показать, что если Г — нормальная подгруппа группы GL (E) и и — авто-
автоморфизм, принадлежащий Г и не принадлежащий Z(E), то существует
сдвиг v такой, что w=v~1u~'lvu оставляет инвариантной некоторую
гиперплоскость Н и не принадлежит Z (Е); для этого воспользоваться
упражнением 7г и показать с помощью упражнения 76, что w (х) — х
для каждого х ? Е принадлежит фиксированному двумерному под-
подпространству. Доказать, далее, с помощью 7г, что либо w есть сдвиг,
либо существует сдвиг t, оставляющий инвариантным каждый эле-
элемент из Н и такой, что twt'^w'1 не принадлежит Z (Е). В заключение
использовать 8в; аналогичное рассуждение для нормальных подгрупп
группы С (Е) с использованием 8г.]
И) Пусть 1иУ- матрицы из т строк и п столбцов над телом К;
если существуют квадратные матрицы m-го порядка Р, Р1 и квад-
квадратные матрицы я-го порядка Q, Qt такие, что Y=PXQ и X=P1yQ1,
то X и Y эквивалентны. [Использовать предложение 9.]
12) Пусть X, X', У, У — квадратные матрицы л-го порядка
над кольцом А с единицей, причем X обратима. Для того чтобы суще-
существовали обратимые квадратные матрицы n-го порядка Р и Q такие,
что X'=PXQ и Y'=PYQ, необходимо и достаточно, чтобы X' была
обратима, а хМатрицы YX~X и Y'X'~l подобны.
§ 7. Алгебры
Все рассматриваемые в этом параграфе кольца операторов
предполагаются коммутативными и содержащими единицу.
1. Определение алгебры
Определение 1. Пусть А — коммутативное кольцо с едини-
единицей е. Алгеброй (или гиперкомплексной системой) над А (или отно-
относительно А) или также А-алгеброй называется всякое кольцо
с операторами Е, внешний закон которого имеет множеством

/ АЛГЕБРЫ 283
своих операторов кольцо А и вместе с заданным в Е сложением
определяет в Е структуру унитарного А-модуля *).
Другими словами, алгебра над А есть кольцо Е, наделенное
внешним законом (записываемым в виде левого умножения),
имеющим А своей областью операторов и удовлетворяющим
следующим тождествам:
а (х + у) = ах + ау, A)
(а -j- Р) х = ах -j- pV, B)
а(И = (аР)*, C)
ЕХ = Х, D)
а(ху) = (ах)у = х(ау) E)
(а?А, $?А, х?Е, у?Е).
Отсюда вытекает общая формула дистрибутивности
^) = SKPj)(^,-) F)
i
Примеры. 1) Каждое кольцо Е с единицей может быть наде-
наделено структурой алгебры относительно любого подкольца А своего
центра (с тем же единичным элементом, что и у Е), если за композицию
оператора z ? А и элемента х ? Е принять произведение zx(=xz)
этих элементов в кольце Е.
2) Структура кольца с операторами, определяемая в любом кольце
Е внешним законом (л, х) -> пх, где п ? Z (гл. I, § 8, п° 2), есть струк-
структура алгебры относительно кольца Z.
°3) Пусть / — открытый интервал числовой прямой R. Кольцо
всех непрерывных числовых функций на / будет наделено структурой
алгебры над полем R, если для каждой непрерывной числовой функции
/ на / и каждого вещественного числа X понимать под X/ функцию
t-> Xf(t).o
Структура кольца с операторами, противоположная заданной
в алгебре Е над А, также есть структура алгебры над А;
*) В обычно употреблявшейся до сих пор терминологии «алгебрами»
назывались исключительно алгебры над полем; это действительно наиболее
часто встречающиеся алгебры. Если на протяжении какой-нибудь главы нам
придется рассматривать лишь алгебры этого рода, мы будем считать себя
вправе придавать в этой главе слову «алгебра» всюду смысл «алгебра над
полем», причем будем явно оговаривать эту вольность речи.

284 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 7
наделенное этой структурой алгебры, Е называется алгеброй,
противоположной заданной.
Если внешний закон алгебры Е над А сузить на подколъцо В
кольца А (имеющее тот же единичный элемент, что и А), то этот
закон (вместо с заданными в Е сложением и умножением) опре-
определит в множестве Е новую структуру алгебры, которую следует
отличать от структуры алгебры, имеющей своим кольцом опера-
операторов А.
Замечания. 1) Позже (в теории «алгебр Ли») нам придется
рассматривать алгебраические структуры, определяемые в некотором
множестве Е заданием двух внутренних законов и внешнего закона,
имеющего множеством своих операторов коммутативное кольцо,
причем будут выполнены все аксиомы алгебр, за исключением ассо-
ассоциативности умножения в Е\ по аналогии множество, наделенное
такой структурой, будет называться «неассоциативной алгеброй».
2) Можно было бы попытаться обобщить определение 1, отбросив
ограничение коммутативностью, наложенное на кольцо операторов
А; но из условия E) видно, что в наиболее важных случаях это обобще-
обобщение было бы лишь кажущимся: действительно, аннулятор а А-ио-
дуля Е (§ 1, п° 9) есть двусторонний идеал, факторкольцо по кото-
которому Ala коммутативно, а перейдя к точной структуре, ассоцииро-
ассоциированной со структурой Л-модуля в Е (§ 1, п° 9), мы увидели бы, что
получили в ? структуру алгебры относительно А /а (см. упражнение 11).
Часто приходится рассматривать в алгебре Е структуру левого
(или правого) модуля относительно ее некоммутативного подкольца В;
не следует думать, что Е есть алгебра над В (для элементов а ? В
соотношение E), вообще говоря, не будет выполняться).
2. Базисы алгебры. Таблицы умножения
Наиболее интересны те алгебры, которые, рассматриваемые
как модули относительно их кольца операторов А, допускают
базис относительно А (§ 1, п° 6); это всегда имеет место для алгебр
над полем (§ 3, теорема 1).
Как вытекает из формулы F), в алгебре Е, имеющей базис от-
относительно своего кольца операторов А, умножение вполне
определено, если известны, с одной стороны, умножение в коль-
кольце А, а с другой — всевозможные попарные произведения эле-
элементов базиса. Если (а^)^ — базис в Е относительно А, то
каждый элемент из Е однозначно представляется в виде 2 %хаь.'г

АЛГЕБРЫ
285
поэтому, в частности,
G)
и знание элементов YJinv фигурирующих в этих соотношениях,
полностью определяет умножение в Е; говорят, что соотноше-
соотношения G) образуют таблицу умножения рассматриваемого базиса (ajj.
Это название происходит оттого, что в случае, когда множеством
индексов базиса служит интервал [1, и] натурального ряда, соотно-
соотношения G) обычно записывают, располагая правые части этих соот-
соотношений В виде квадратной таблицы
ч
•
<*п
«1
а1
ап
где подразумевается, что на пересечении строки элемента «j и столбца
элемента а;- стоит значение произведения а^а^
Элементы y^v кольца А, фигурирующие в соотношениях G),
не произвольны, ибо, каковы бы ни были индексы Я,, \i, v, должны
выполняться соотношения ассоциативности
av =
(8)

286 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 7
согласно G), эти соотношения равносильны соотношениям
2 "WoYova = 2 УКоаУ^а, (9)
Q О
которые должны выполняться для любых индексов X, \i, v, a.
Обратно, пусть заданы унитарный Л-модуль Е, его базис
(ai)i?E и семейство (yjihv) элементов кольца А, удовлетворяю-
удовлетворяющее соотношениям (9); тогда в Е можно определить умножение,
для любых x=^\lxaK, г/=2 т^ая, положив жг/= 2 ^nYW1^
X к X, yi, v
двоякая дистрибутивность этого закона относительно задан-
заданного на Е сложения непосредственно очевидна, а условия (9)
влекут его ассоциативность; следовательно, .вместе со сложе-
сложением он определяет в Е структуру кольца; наконец, ясно, что
заданный на Е внешний закон в соединении с этой структурой
кольца определяет в Е структуру алгебры относительно А. Это —
часто применяемый способ определения алгебры.
Заметим, что элементы Yj^v зависят от выбранного базиса; при
изменении базиса таблица умножения, вообще говоря, меняет свой
вид. В главе III мы уточним способ преобразования коэффициентов
^Xuv ПРИ пеРеХ0Де к новому базису, а именно покажем, что в случае,
когда Е имеет конечный базис, они являются компонентами один раз
контравариантного и дважды ковариантного тензора (глава III, § 3).
Если Е — алгебра, определенная указанным образом, то взяв,
при том же базисе (а^), таблицу умножения с коэффициентами
Ухцу = УцХу, мы определим в Е противоположную структуру.
В частности, для коммутативности алгебры Е необходимо и до-
достаточно, чтобы Yxij.v = YiUv> каковы бы ни были X, fi, v.
Другими словами, таблица умножения алгебры, противополож-
противоположной Е (относительно того же базиса), получается путем «отражения»
таблицы умножения алгебры Е в ее «диагонали»; коммутативная
алгебра характеризуется тем, что ее таблица умножения «симметрична
относительно своей диагонали».
Точно так же для того, чтобы элемент а% рассматриваемого
базиса был единицей алгебры Е, необходимо и достаточно, чтобы
о-ках~o-iflv. = аХ: каково бы ни было К, т. е. чтобы
при \i Ф X и ух%х = Ухях= в, каково бы ни было X.

4 АЛГЕБРЫ 287
Алгебра Е относительно поля К является векторным про-
пространством относительно К; его размерность относительно К
(§ 3, определение 1) чаще всего называют рангом алгебры Е
относительно К (или степенью Е относительно К, если Е — поле);
напомним, что этот ранг в случае его конечности обозначается
[Е:К\ (§ 3, п° 2).
3. Подалгебры. Идеалы. Фапторалгебры
Пусть Е — алгебра относительно кольца А. В любом под-
кольце F кольца с операторами Е (т. е., по определению, устой-
устойчивом подкольце этого кольца; см. гл. I, § 8, п° 4) структура,
индуцированная заданной в Е структурой алгебры, тоже есть
структура алгебры относительно А; наделенное этой структурой,
F называется подалгеброй алгебры Е. Каково бы ни было множе-
множество MczE, множество N тех элементов из Е, которые перестано-
перестановочны с каждым элементом из М, есть подалгебра алгебры Е
(гл. I, § 8, предложение 2); в частности, центр алгебры Е есть
ее подалгебра.
Нет необходимости вновь определять понятие (левого, правого
или двустороннего) идеала алгебры: оно было определено более
общим образом для любого кольца с операторами (гл. I, § 8, п°5).
Если а — двусторонний идеал алгебры Е (относительно коль-
кольца А), то структура кольца с операторами в фактормножестве
Е/а есть структура алгебры относительно А; наделенное этой
структурой, Е/а называется факторалгеброй Е по а.
4. Представления
Пусть Е и F — алгебры относительно одного и того же кольца
А; мы уже определили (гл. I, § 8, п° 8) представления Е в F;
напомним, что отображение и алгебры Е в F есть представление,
если оно удовлетворяет тождествам
и (х Jr у) = и (х) ~\-и {у), и (ху) = и (х) и (у), и(ах) = аи(х)
Можно также сказать, что и есть представление Е в F, если
оно есть линейное отображение ^l-модуля Е в Л-модуль F

288 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 7
и одновременно представление относительно мультипликативных
законов, заданных в Е и F.
Все свойства представлений колец с операторами относятся,
в частности, к представлениям алгебр: если и—представление EbF,
-1
то и (Е) есть подалгебра алгебры F; а = и @) есть двусторонний
идеал алгебры Е, и(Е) изоморфно факторалгебре Е/а, и и есть
композиция канонического гомоморфизма Е на Е/а и изомор-
изоморфизма Е/й на и(Е); если G — подалгебра алгебры Е, то u(G) —
подалгебра алгебры F, изоморфная факторалгебрам G/(Gf)o)
и (G + a)/o.
Если алгебра Е допускает базис (а^), то ее представление /
в алгебру F полностью определяется элементами f (ах) (§ 2,
следствие 2 предложения 3); обратно, задание этих эле-
элементов определяет линейное отображение / 4-модуля Е в А -мо-
-модуль F; для того чтобы / было представлением алгебры Е в
алгебру F, необходимо и достаточно, чтобы, согласно форму-
формулам F) и G), /(aO/(an) = 2YW(av) Для любой пары индек-
СОВ (к, fi).
В случае, когда Е обладает единичным элементом е, причем этот
элемент свободный (что всегда имеет место для алгебр над полем),
отображение а—>ае есть изоморфизм фкольца А (рассматриваемого
как алгебра относительно самого себя) в алгебру Е; поскольку
ах = (ае) х — х (ае), ф (А) есть подкольцо центра алгебры Е, и струк-
структура алгебры относительно А по сути ничем не отличается от
структуры алгебры относительно ф (А). Поэтому Л и q(A) обычно
отождествляют, рассматривая тем самым А как подалгебру
алгебры Е, содержащуюся в центре этой алгебры и имеющую
тот же единичный элемент, что и Е. Заметим, что в этом случае
каждый идеал кольца (без операторов) Е есть также идеал алгебры Е
(напротив, подколъцо кольца без операторов Е не обязательно
является подалгеброй алгебры Е).
Вообще, в случае, когда Е обладает единицей е, ее аннулятор a
(§ 1, п° 9) есть также аннулятор Е; образ А при представлении a -* ае
есть подалгебра алгебры Е, изоморфная Ala. Структура точного
модуля (относительно А/а), ассоциированного (§ 1, п° 9) со структурой
Л-модуля в Е, вместе с умножением определяет в Е структуру алгебры
относительно кольца А/а, в которой е является свободным элементом;

¦» АЛГЕБРЫ 280
мы будем и эту структуру алгебры называть ассоциированной с задан-
заданной в Е структурой алгебры относительно А.
Замечание. Как уже указывалось (гл. I, § 8), при рассмот-
рассмотрении в множестве Е нескольких структур кольца с операторами
(и, в частности, нескольких структур алгебры), в основе которых лежит
^ одна и та же структура кольца (без операторов), следует тщательно
различать понятия подалгебры, идеала, представления и т. д. отно-
относительно этих различных структур. В частности, рассмотрим в кольце
Е структуры алгебры относительно двух различных подколец А, В
его центра, и пусть а —- элемент из А, не принадлежащий В; если / —
представление Е, рассматриваемого как алгебра над А, то / (ах) =
= af (x) — f (a)f (х) для всех х ?Е; напротив, если§—представление Е,
рассматриваемого как алгебра вар,3 В, то g (ax) — g (a) g (x), но,
вообще говоря, g (ax) =/= ag (x).
о. Произведения и прямые суммы алгебр
Пусть (Ei) — семейство алгебр над одним и тем же коль-
кольцом А; очевидно, кольцо с операторами ?' = []?'1 (гл. I, § 8,п°10)
тоже есть алгебра над А; она называется произведением алгебр Еь.
Каждое свойство произведений колец с операторами относится,
в частности, к произведениям алгебр.
В случае, когда семейство (Еь) конечно, компоненты Е[
модуля Е, отождествляемые соответственное^ (§ 1,п°4), явля-
являются подалгебрами алгебры Е is E есть прямая композиция (гл. I.
§ 8, п° 11) этих подалгебр. Но если, обратно, F есть алгебра над
А и (FJ — конечное семейство ее подалгебр таких, что А-модулъ
F есть прямая сумма (§ 1, п° 7) подмодулей Ft (что, допуская
вольность речи, выражают, говоря, что алгебра F есть прямая
сумма подалгебр Fb), то, вообще говоря, отсюда еще никоим обра-
образом не следует, что F есть прямая композиция подалгебр /\
(или, что то же, изоморфно произведению П-^i)! как известно
(гл. I, § 8, предложение 7), для того чтобы F было прямой ком-
композицией Fu необходимо и достаточно, чтобы F^Ffl = {0} для
всех пар различных индексов (А,, \х). Если это условие не вы-
иолнено, то мультипликативный закон на F не определяется
однозначно знанием мультипликативных законов на каждой ил
подалгебр /\; для его определения следует еще знать, как пере-
перемножаются элементы, принадлежащие двум различным F,.
19 Ц. Еурбакн

290 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ . 11. § 7
6. Примеры алгебр: I. Кольца эндоморфизмов
Пусть Е — унитарный правый модуль над кольцом А; как
.мы вид ел и (§2, п° 5), множество X (Е) всех эндоморфизме)!!
модуля Е наделено структурой кольца с операторами, имеющей
своей областью операторов центр С кольца А; поскольку сло-
сложение и внешний закон этой структуры определяют в X (Е) струк-
структуру унитарного С-модуля, мы видим, что X (Е) есть алгебра
относительно С, имеющая своим единичным элементом тождест-
тождественное отображение Е на себя.
Наиболее важен тот случай, когда Е обладает конечным базисом
из п элементов относительно А; тогда X (Е) изоморфно кольцу
Мп(А) квадратных матриц п-го порядка над А (§ 6, л° 5). Если
А коммутативно, то Мп(А) есть алгебра относительно А; кано-
канонический базис (Еи) этой алгебры (§ 6, п° 21 имеет таблицу
умножения
EtiEhk = 0, если /ф/i, ^
? A0)
Е^Ер( =Eih, каковы бы ни были i, /, к. )
п
Единичный элемент 1п алгебры Мп(А) ранен ^ Elt; кольцо .4
г=1
отождествимо с подкольцом матриц aJn (a?A).
7. Примеры алгебр: II. Квадратичные расширении
кольца
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей. Его квадра-
квадратичным расширением называется алгебра Е относительно А,
имеющая базис, состоящий из двух элементов, один из которых
служит ее единицей; таким образом, при отождествлении еди-
единицы алгебры Е с единицей кольца А, которую мы будем обозна-
обозначать 1, А отождествляется с подкольцом кольца Е. Если
и — второй элемент рассматриваемого базиса, то каждый элемент
из Е однозначным образом записывается в виде а-\-Ьи1 где а? А
и b 6 А. Поскольку, по предположению, 1 -и = и-1 = и, Е коммута-
коммутативно, и таблица умножения базиса A, и) полностью опреде-
определяется заданием ц2, т. е. определяющего его соотношения
«* = ан + р (а 6-4, ре Л); (II)

7 АЛГЕБРЫ 291
условия ассоциативности выполнены, каковы бы ни были а и р1,
так что последние могут быть выбраны произвольно.
Исследуем строение алгебры Е, когда А есть поле характе-
характеристики ф1 (гл. I, § 8, п° 8). Замечая, что
(я + buf = (ab + 2а) (а + Ьи) + р*62 — aab- а1,
п полагая в :>той формуле Ь — \, а — —- , видим, что .можно при-
принять за новый базис в Е множество, образованное элементами
1 и i> = и—^ , где и'2 = у?А. Возможны три случая:
Iе у не является в А квадратом. Тогда Е есть поле; действи-
действительно, если а-\-ЪиФ§, то, в силу предположения, (а ~\- bv) X
X (я — bv) = a"-— vb2 Ф U, и значит, , ' ,, = г„ v есть эле-
мент, обратный а-\-Ъи.
"Если Л — поле вещественных чисел, то — 1 не является в А
квадратом; элементами квадратичного расширения Е, соответствую-
соответствующего у— 1,'будут тогда комплексные числа (см. гл. V и Общ. топ.,
гл. VIII).j
2° у есть квадрат \х2 Ф 0. Рассмотрим тогда в Е новый базис,
ооразованныи элементами el = -^i 1 ~\ v ) , ео = —( 1 у J ;
имеем e^ = Cj, е\ — ег, е1е2 = е2е1 =0; таким образом, Е есть прямая
композиция двух полей Aet, Ae2, изоморфных А.
3° y = 0. Множество а = A v есть тогда идеал в Е такой, что
по = {0}, и факторалгебра Е/а изоморфна полю А.
"Если А— поле R вещественных чисел, элементы алгебры Е
над R, имеющей базис A, и), в котором i>2 = 0, называют дуальными
числами.q
Элемент x — a—bv называется сопряженным к элементу
х = а+ bv алгебры Е; непосредственная проверка показывает, что
отображение ж— --я есть инволютивный (т. е. совпадающий со
споим обратным) автоморфизм алгебры/?. Имеем х-\-х=2а?А
пхх — а2 — Ь2?А; произведениехх называется нормой х и обозна-
обозначается N(x). Имеем
N(xy)=N(x)N(y), A2)
ибо N (ху) = xi/-ху = ххуу.
О*

292 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 7
X. Примеры алгебр: III. Кватернионы
Пусть А — колшутатипное кольцо с единицей и Е — алгебра
пад А, имеющая базис, образованный четырьмя элементами,
первым из которых служит единица алгебры Е, отождествляемая
с единицей 1 кольца А, а остальные три элемента и, v, w пере-
перемножаются согласно таблице
«2 = а, У2 = р\ ыу2= -aP,
ми = — vu = w,
vw = —twf = —Рм,
дам = — uw = — аи,
A3)
где а и Р —элементы из А, для которых ар Ф 0. Без труда про-
проверяется, что эта таблица умножения удовлетворяет условиям
ассоциативности. Определенная так алгебра Е, некоммутатив-
некоммутативная, если характеристика А не равна 2, называется алгеброй
кватернионов над А, соответствующей паре (a, f5) элементов
яз А, а ее базис A, и, v, w) — каноническим базисом этой
алгебры.
Таблица умножения базиса, образованного элементами 1, и' =
= Хи, v' = \iv, w' = X\iw, где X и jj, — обратимые элементы из А,
получается из A3) заменой а на Я,2а и р* на jj,2|3. Тем самым алгебры
кватернионов над А, соответствующие парам (а,Р) и (X2a, \i2fi),
изоморфны. Если а обратимо, то элементы 1, и' = и, v = w, w' = av
также образуют базис алгебры Е; таблица умножения этого но-
нового базиса оказывается совпадающей с таблицей умножения
алгебры кватернионов, соответствующей паре (а, — оф), так что
.эта алгебра изоморфна алгебре, соответствующей паре (a, P);
наконец, ясно, что алгебры кватернионов, соответствующие
парам (a, P) и ф,а), изоморфны.
Для каждого кватерниона х = а -\- Ьи-\-с v -j- dw будем обозна-
обозначать через z кватернион a — bu — cv — dw; он называется кватер-
кватернионом, сопряженным к х\ х—>х есть взаимно однозначное линей-
аое отображение Е на себя; при этом uv — w= —w=vu,n так же
проверяется,что vw— wv, wu — uw; таким образом, х—>х есть
язоморфизм алгебры Е на противоположную алгебру Е° (и также
язоморфизм Е° на Е); его называют антиавтоморфизмом алгебры Е;

.V АЛГЕБРЫ 293
он совпадает с обратным к нему отображением. Далее, х-\ х =
— 2а?А и хх = хх —a2—- ab2 — f>c2 + af>d2? А; произведение за-
заказывают также нормой кватерниона х и обозначают iV (x). Имеем
N(zy) = N(x)N(y), A4)
ибо N (ху) = хуху = ху (у х) = х (г/г/) х = (г/г/) (хх), поскольку уу?А
Рассмотрим, в частности, тот случай, когда А есть поле (харак-
(характеристики ф2), и исследуем, при каком условии алгебра кватер-
кватернионов Е над А (относительно элементов а, |3) сама есть (некомму-
(некоммутативное) тело. Для этого необходимо, чтобы х Ф 0 влекло
!\[(х)фО, ибо, в силу A4), N (x)N (x~1)=N A) = 1. Но это условие
также достаточно, ибо если оно удовлетворяется, то соотноше-
соотношения xx = xx = N(x)фO для каждого х Ф 0 из Е показывают,
X
что х обладает и Е обратным х'Л =
N(x) ¦
В случае, когда А — поле Q рациональных чисел, условие удовле-
удовлетворяется, если взять а< 0 и Р < 0. °То же верно и в том случае,
когда А — поле R вещественных чисел; причем в этом случае все
некоммутативные тела, полученные таким способом, изоморфны тепу,
соответствующему паре (а, Р) с a=f5= — 1; говоря о теле кватернио-
кватернионов над R, всегда имеют в виду именно это последнее тело; его канони-
канонический базис обозначают A, ?, /, к), и то же обозначение принимается
обычно для канонического базиса алгебры кватернионов над любым
иолем, соответствующей паре (— 1, —1).о
Ясно, что когда один из элементов а, р, —ар является в поле А
квадратом, то Л' (х) может быть =0 и приг=^0. °В частности, мы
видим, что алгебры кватернионов над полем € комплексных чисел
(которые все изоморфны) не являются телами (см. упражнение 4).ь
Заметим, что, каково бы ни было х? Е, х'1 — %х-\- jx, где К=х-\-х
II A= — хх= — N (х) принадлежат А. Таким образом, если х$А.
то подалгебра Ах алгебры Е, порожденная элементами lax.
есть квадратичное расширение кольца А с базисом, образованным
этими двумя элементами; очевидно, Е есть (левый и правый)
модуль относительно коммутативного кольца Ах, но не является
алгеброй над этим кольцом (если А в. Ах — поля, то Е — вектор-
векторное пространство размерности 2 над Ах).

294 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, §7
9. Примеры алгебр: IV. Мопоиднал алгебра. Группо-
Групповая алгебра
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, S — моноиа
(гл. I, § 1, п° 3), для которого мы примем мультипликативное
обозначение, и Е — 4<S) — модуль формальных линейных комби-
комбинаций (с коэффициентами из А) элементов моноида S (§ 1, п° 8);
как мы знаем, канонический базис этого модуля отождествляется
с множеством S, так что каждый элемент из Е записывается
(однозначным образом) в виде ^ ass, где псе ая? А. НЕ можно
определить теперь структуру алгебры относительно А, приняв
за произведение элементов s, t канонического базиса S их произ-
произведение st в моноиде S; ясно, что условия ассоциативности (8)
при таком определении удовлетворяются. Так определенная
алгебра Е называется моноиднои алгеброй моноида S относи-
относительно кольца А. Таким образом, для любых элементов х= 2 k3s,
У — 2 p\s этои алгебры имеем ху = 2 B a<Pu) s-
Замечания. 1) В случае, когда S — аддитивно записывае-
записываемый коммутативный моноид, его уже нельзя отождествлять с канони-
каноническим базисом модуля Д( , так как это могло бы повлечь смешение
аддитивных законов, заданных в S и ^4(S); элемент канонического ба-
базиса модуля A(s\ соответствующий элементу s моноида S, в этом слу-
случае можно, скажем, обозначать es; таблицей умножения этого базиса
будет тогда ese,=e^i.
2) Пусть ? — мультипликативный моноид и (е.) — канонический
базис модуля A^s\ Определение моноиднои алгебры моноида S отно-
относительно А можно обобщить, приняв за таблицу умножения базиса
(es) соотношения
e^l=ai,ieat (a,.,?/l)
с условиями ассоциативности
для произвольных s, t, и из S. Семейство (cts, j) называется системой
факторов определенной так алгебры. Если ух для каждого s—обрати-
s—обратимый элемент кольца А, то элементы е',=уле3 образуют базис модуля
) c таблицей умножения

•'' АЛГЕБРЫ 295
Иными словами, алгебры, соответствующие системам факторов (сц, ()
и ' ач,,( ), изоморфны, (см. упражнение 12).
', Ysi * У
Если S коммутативно, то это же верно и для алгебры А ;
если б1 обладает нейтральным элементом е, то е есть также единица
алгебры v4(s>.
Если Т — устойчивое множество элементов моноида S (гл. 1,
§ 4. п° 2). то множество всех элементов вида 2 ass есть по^~
алгебра алгебры А , изоморфная моноидной алгебре А монои-
моноида Т относительно А, и отождествляется с этой последней.
Пусть В — подкольцо кольца А, имеющее тот же единичный
элемент, что и А;' множество всех элементов 2 a~s алгебры А( \
в которых ^S^B для каждого s?S, есть подкольцо кольца
(без операторов) v4(S), но не подалгебра относительно кольца А\
его структура алгебры относительно кольца В отождествима
со структурой моноидной алгебры B(S) моноида S относительно
кольца В.
Каждое представление f моноида S в алгебру Е относительно А
(рассматриваемую как моноид относительно одного умножения)
можно, и притом единственным образом, продолжить до пред-
представления / алгебры /1(S) в Е, положив /B ass) = S as/(s)-
Пусть теперь ф — представление кольца А в коммутативное
кольцо В с единицей; будем считать моноидные алгебры Л(й)
н Z?(S) одного п того же моноида S наделенными лишь их струк-
lypoii кольца (без операторов), лежащей в основе их структуры
алгебры. Положив тогда /B ass) = S Ф (as) s> мы получим пред-
s?S s?S
ставление / кольца A(S> в кольцо Z?(S). Если S обладает единицей,
так что А (соответственно В) может быть отождествлено с под-
г;ольцом кольца A(S) (соответственно 2?(S)), то представление / есть
продолжение представления ср.
Наиболее важными моноидными алгебрами являются группо-
групповые алгебры относительно полей.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 7
Применение: м од ули и группы с операто-
операторами. Понятие ыоноидной алгебры позволяет свести изучение любых
коммутативных групп с операторами к изучению модулей.
Говоря точнее, с каждой структурой коммутативной группы с опе-
операторами в множестве Е можно ассоциировать структуру модуля,
имеющую тот же закон аддитивной группы и такую, что:
1° каждая устойчивая подгруппа в Е (относительно заданных
внешних законов) будет подмодулем в Е (относительно ассоциирован-
ассоциированной структуры модуля), и обратно;
2° каждое представление группы с операторами Е в гомологич-
гомологичную группу F (гл. I, § 4, п° 1) будет представлением модуля, ассоцииро-
ассоциированного с Е, в модуль, ассоциированный с ^, и обратно.
При доказательстве будем для всех заданных на Е внешних зако
нов пользоваться мультипликативным обозначением. Пусть Q—сум
ма (Теор. мн.. Рез., § 4, п° 5) областей операторов всех этих внеш-
внешних законов, и отождествим каждую из этих областей с соответствую-
соответствующим ей подмножеством в Й. Пусть L (Q) — свободный моноид (гл. I,
§ 1, п° 3), порождаемый множеством Q; мы определим внешний закон
композиции (а, х) -* ах на Е, имеющий L (Q) своей областью опера-
операторов, индукцией по длине слова а в L'{ii); если а — длины 1, то оно
принадлежит одной (и только одной) из областей операторов задан-
заданных на Е внешних законов, и ах определено. Если теперь Хх определено
для всех слов Я длины п — 1 и а — слово длины п, то имеем а=Р\>,
где у—длины п — 1, а |3 — длины 1, и мы полагаем тогда ax — fi(yx).
Индукция по длине слова а показывает, что, каковы бы ни были слова
а и р из L (Q), а (|3ж)=(сф) ж для каждого х?Е. Пусть теперь А — моно-
идная алгебра моноида L (Q) относительно кольца Z рациональных
целых чисел; определим внешний закон композиции (а, х) -*¦ ах на Е,
имеющий А своей областью операторов, положив ах= ^ п} (Кх)
X?L(Q)
для каждого а= V пх"К (п^?Ъ). Без труда проверяется, что этот
внешний закон удовлетворяет аксиомам (Mj), (Мп) и (М1П), тем
самым определяя в Е структуру унитарного левого Л-модуля, и что
эта структура удовлетворяет поставленным выше условиям 1° и 2°.
Описанный метод применим к любым коммутативным группам
с операторамн; но, рассматривая коммутативные группы с операторами,
удовлетворяющие некоторым дополнительным аксиомам, часто можно
удовлетворить условиям 1° и 2° (в предположении, что фигурирующие
в условии 2° коммутативные группы Е и F обе удовлетворяют рас-
рассматриваемым аксиомам), ассоциируя другим способом структуру
модуля со структурой группы с операторами в Е.
Часто встречающийся важный частный случай — это случай
коммутативных групп с операторами, имеющих лишь один внешний
закон, причем областью операторов его служит мультипликативный

ю алгебры 297
моноид S (чаще всего являющийся группой), так что тождественно
а (Рз:) = (сф) х (где сф — произведение а и Р в S). Если в этом случае
В — моноидная алгебра моноида S относительно Z, то мы получим
структуру В-модуля в Е, обладающую требуемыми свойствами, для
каждого а = V ПуХ (тг? ? Z) положив аа:=%_ n^ (кх) (заметим,
US " X?S
впрочем, что то что мы делали выше для общего случая, состояло
прежде всего в сведении к рассматриваемому частному случаю путем
определения на Е внешнего закона с областью операторов L (Q)).
10. Примеры алгебр: V. Расширенная моиоиднан
алгебра
Моноидную алгебру моноида S относительно кольца А (комму-
(коммутативного и имеющего единицу) можно также рассматривать
как подмодуль произведения А , образованный теми семействами
(as)s?g, в которых as = 0 для всех кроме конечного числа индексов,
с произведением, определенным соотношением (as) (Ps) = (ys), где
для каждого s$S
Y,= 2 а«Р„ A5)
tu=s
(сумма распространяется на все пары (t, и), для которых tu=s).
Сумма в правой части формулы A5) имеет смысл, поскольку
лишь конечное число as и Ps, а значит и произведений а$и,
отлично от нуля. Но правая часть формулы A5) имеет смысл и для
любых семейств (as) и ф3), если моноид S удовлетворяет следую-
следующему у ел о в ию:
(D) Для каждого sg5 существует лишь конечное число пар
{t, и) элементов из S таких, что tu = s.
Итак, предположим, что S удовлетворяет условию (D); опре-
определим на произведении А внутренний закон композиции
((as), (Ps))—-> (ys), где ys задается для каждого s$S формулой A5).
Ясно, что определенное так на А умножение двояко дистрибутив-
дистрибутивно относительно сложения и удовлетворяет тождествам E);
наконец, вследствие тождеств
2 «иРл,,= 2 (( 2 a«P,hJ= 2 М 2 P,yJ)
uvw=t \w=t ur=i us=f »w=s
оно ассоциативно.

298 ЛИНКЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 7
Таким образом, это умножение и два закона композиции имею-
щейся в А структуры Л-модуля определяют в А структуру
алгебры относительно кольца А; множество As, наделенное этой
структурой, мы называем расширенной моноидной алгеброй
моноида S относительно кольца А.
Очевидно, моноидная алгебра AiS) моноида S относительно А
(называемая также, при желании избежать всякой опасности
путаницы, узкой моноидной алгеброй моноида S) есть подалгебра
расширенной моноидной алгебры этого моноида (совпадающая
с ;)той последней, когда S конечно). Допуская вольность речи,
мы также всякий элемент (as)s?g расширенной моноидной алгебры
моноида 5 относительно А обозначаем тем же символом У a.s,
sTs
что и элементы его узкой моноидной алгебры; разумеется, фигу-
фигурирующий здесь знак суммы не выражает никакой алгебраиче-
алгебраической операции, поскольку им охватывается бесконечное множе-
множество членов фО. При этом обозначении умножение в расширен-
расширенной моноидной алгебре моноида S по-прежнему записывается
в виде
B<v)BP.») = 2(B ««Pa)*)-
s?S s?S s?S fu=s
Все сформулированные в n° 9 свойства узких моноидных алгебр
без изменений распространяются на расширенные моноидные
алгебры, за исключением продолжения представления моноида S
в алгебру Е на его узкую моноидную алгебру, ибо такое продол-
продолжение на расширенную моноидную алгебру, вообще говоря,
¦невозможно.
И.ч моноидов, удовлетворяющих условию (D), укажем, в част-
частности, множество N натуральных чисел, наделанное структурой, опре-
определяемой сложением, и множество N* целых чисел >0, наделенное
структурой, определяемой умножением. В главе IV мы детально
изучим узкую моноидную алгебру (кольцо полиномов от одной неиз-
неизвестной) и расширенную моноидную алгебру (кольцо формальных
рядов от одной неизвестной) аддитивного моноида N (относительно
любого кольца); расширенная моноидная алгебра мультипликативного
модуля N* (кольцо формальных рядов Дирихле) играет важную роль
в теории Чисел.
Упражнения. 1) а) Пусть Е — алгебра конечного ранга
над полем А'; показать, что если а ? Е не является ни левым, ни пра-

АЛГЕБРЫ 29П
вым делителем нуля, то К обладает единичным элементом и а обратимо.
[См. гл. I, § 2, предложение 4.]
б) Вывести отсюда, что если в Е не существует делителей нуля,
то Е — тело.
2) Пусть К — поле характеристики 2 и Е — его квадратичное
расширение, имеющее базис, образованный элементами 1 и и, где
и3 = ам-|-Р (а ? К, Р С К). Показать, что если уравнение х2 — ах —
—Р=0 не имеет в К корня, то Е—тело; если это уравнение имеет
два различных корня, то Е есть прямая композиция двух полей,
изоморфных К\ наконец, если оно имеет только один корень (что воз-
возможно, лишь когда а=0), то Е изоморфно алгебре, обладающей бази-
базисом 1, и, где у2=0.
Линейное отображение, оставляющее 1 инвариантной и заменяю-
заменяющее и иа м+а, есть автоморфизм алгебры Е.
3) Если А — коммутативное кольцо с единицей и характеристи-
характеристикой Ф2, то центр алгебры кватернионов над А, соответствующей паре
элементов (а, Р), не являющихся делителями нуля, совпадает с А.
4) Пусть К — поле характеристики Ф2; показать, что алгебра
кватернионов над К, соответствующая паре A, Р), изоморфна алгебре
всех матриц второго порядка над К. [Рассмотреть базис алгебры ква-
кватернионов, образованный элементами — A — и), — A - "), ^s(v-*-w)<
*5) Каждая алгебра кватернионов ? над полем А'характеристики
2 коммутативна, и квадраты всех х^Е принадлежат К. Поэтому под-
подалгебра Кх алгебры Е, порожденная элементом х {j- К, является
квадратичным расширением К. а Е — квадратичным расширением Кх.
Показать, что множество С тех элементов из Е, квадрат которых
равен квадрату какого-нибудь элемента из К, есть векторное подпро-
подпространство в Е размерности 1, 2 или 4. Если С одномерно (в этом слу-
случае С~К), то Е — тело. Если С двумерно, то в ? существует квадра-
квадратичное расширение Кх поля К, являющееся телом, и Е имеет базис
относительно Кх, образованный элементами 1 и и, где и2=0; множе-
множество а тех у ? ?, для которых у2=0, есть идеал размерности 1!,
и Е/а изоморфно Кх. Наконец, если С имеет размерность 4 (и зна-
значит, совпадает с Е), то множество о тех у ? Е, для которых j/2 = 0,
есть идеал размерности 3 и Е/а изоморфно К\ в Е существует базис
A, ех, е.,, е3) такой, что e?=e'i=e§=0, ele.2 = es, ele3 = e2e3=0; Ke3=b
есть единственный одномерный идеал в Е; он является аннулятором
идеала о, и а/b есть прямая сумма двух взаимно аннулирующихся
в Е/Ъ одномерных идеалов.
*6) Пусть К — поле характеристики —2 и Е — алгебра ранга 't
над /С, обладающая базисом A, и, у, ш), где 1 — единичный элемент.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1Л II, ^ ~i
а попарные произведения элементов м, v, w задаются формулами A3).
в которых а заменено нулем.
а) Если р не является в К квадратом, то в ? не существует одно
мерного левого (соответственно правого) идеала; множество о тех х ? t*,
для которых ж2=0, есть двусторонний идеал размерности 2, и Е/а
есть тело, изоморфное некоторому квадратичному расширению поля А .
б) Если р является в К квадратом ФО, то в ? существует баяне
{е\, е2, е3, et) со следующей таблицей умножения:
е2
«3
<"i
е1
0
0
ei
0
<-*
'¦з
0
«3
«3
0
0
0
«4
0
е*
0
0
1\4ножество а тех i(?, для которых х2=0, есть двусторонним
идеал размерности 2, являющийся прямой суммой взаимно аннулирую
щихся двусторонних идеалов Кея и Ket; эти последние являются един
ственными одномерными (левыми или правыми) идеалами в Е. Фак-
торалгебра Е/а есть прямая композиция двух полей, изоморфных А .
в) Если Р=0, то множество а тех х?Е, для которых ж2 = 0,
есть двусторонний идеал размерности 3; Кш = Ъ есть единственный
одномерный (левый или правый) идеал в Е\ это — двусторонний идеал.
являющийся левым и правым аннулятором! идеала а. о/Ь есть при
мая сумма двух взаимно аннулирующихся одномерных двусторонних
идеалов факторалгебры Е/Ъ; наконец, Е/а есть поле, изоморфное К
7) Пусть К — поле характеристики =^2 и Е — алгебра над А ,
обладающая базисом из четырех элементов 1, /, /, к (где 1 — единич
ный элемент), с таблицей умножения
/2 = /2=A'2=l, ij = ji = к, /A' = A7=-(j ki=ik — j.
Показать, что Е есть прямая композиция четырех полей, изоморфных А .
[Рассмотреть базис алгебры Е, образованный элементами
A + еО A + е'/),
где е в б' равны +1 или —1.J
Е есть групповая алгебра (относительно А') произведения двух
циклических групп второго порядка. Обобщить на групповую алгебру
произведения п циклических групп второго порядка.
*8) Кватернионная группа D (гл. I, § 6, упражнение 20) изоморфна
группе из восьми кватернионов ±1, ±i, ±/, ±fc в алгебре кватернио
нов (относительно пары (—1, —1)) над полем характеристики ф2.
Показать, что групповая алгебра Е группы О относительно поля К
характеристики Ф2 есть прямая композиция четырех полей, изоморф-
изоморфных К, и алгебры кватернионов (относительно пары (—1 —1)) над К.

АЛГЕБРЫ 301
(Элементы группы С можно записать в виде е, i, /, к, с, ci, cj, ск,
где с — элемент, соответствующий кватерниону —1; рассмотреть
базис алгебры Е, образованный элементами — (е+с), —(е — с),
11111 1
j-(e-L-c)i,^(e-c)i, yfe-j-c)/, у (е-с)/, у (е+с)/с, — (е —с) к.\ .
*9) Показать, что групповая алгебра Е диэдралъной группы %%
восьмого порядка (гл. I, § 6, упражнение 20) относительно поля К
характеристики Ф'1 есть прямая композиция четырех полей, изоморф-
изоморфных К, и алгебры всех матриц второго порядка над К. [Элементы
группы Ф8 имеют вид а'Ь> @ <! i <^ 3, 0 <; / <^ 1), где а и Ь — обра-
образующие этой группы, рассмотренные в упражнении 20 § 6 главы I;
рассмотреть базис алгебры Е, образованный элементами -^-(е + а2),
— (е — а2), -^-(а+а8), —(а—а3) и четырьмя элементами, полученными
из них умножением справа на Ъ; использовать упражнение 4.] Вывести
отсюда, что если —1 является в К квадратом, то групповые алгебры
групп Q и ®8 относительно К изоморфны.
Показать также, что групповая алгебра F диэдральной группы ?0
шестого порядка относительно поля К характеристики ^2и ^3 есть
прямая композиция двух полей, изоморфных К, и алгебры всех матриц
второго порядка над К. [Рассмотреть здесь базис алгебры F, образо-
образованный элементами е-\-а-\-а2, a-f-a2 — 2е, а — а2 и тремя элементами,
полученными путем умножения их справа на Ь.}
10) Пусть G — группа, Н — ее нормальная подгруппа и a —
двусторонний идеал групповой алгебры А^ , порожденный элемен-
элементами ts — s, где I пробегает Н и s пробегает G. Показать, что груп-
групповая алгебра yl<c''H) изоморфна факторалгебре А^/а.
11) Пусть Е — левый модуль над некоммутативным кольцом
А; предположим, что на Е определено умножение, которое, вместе
с законом аддитивной группы и внешним законом заданной в Е струк-
структуры модуля, определяет в Е структуру кольца с операторами, имею-
имеющую своей областью операторов А. Показать при этих условиях, что
(сф) (ху)-фа) (ху), каковы бы ни были а?А, Р € А, х б Е, у ? Е.
Вывести отсюда, что если каждый элемент модуля Е есть произведе-
произведение двух элементов из Е (что всегда выполняется, если Е обладает
единицей), то факторкольцо А/а, где о — аннулятор?, коммутативно.
*12) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей 1 и S — муль-
мультипликативный моноид с единичным элементом е. Предположим, что
на А задан внешний закон (s, х) —> хч, имеющий S своей областью
операторов и такой, что отображение х —» ж3 при каждом s ? S есть
автоморфизм кольца А и (x'i)t=x'st, каковы бы ни были s и t из S
(откуда следует, что е есть нейтральный оператор рассматриваемого

ЛИНЕЙНАЯ ЛЛ1Т.1.РЛ ГЛ. II, 5 7
внешнего закона). При этих условиях определим на Л-модуле AlS>.
канонический базис которого мы обозначим (/s), мультипликатив
ный внутренний закон композиции соотношением
у > fu—.<¦
где а,., , — коэффициенты, принадлежащие Л.
Показать, что этот закон и сложение определяют в Л^' структуру
кольца, если только коэффициенты а... ( удовлетворяют условиям
каковы бы ни были s, I, и из S. Если при этом ае, , = ".,, н — 1 для каж-
каждого s g S, то /е есть единичный элемент этой структуры; в этом слу-
случае А отождествимо с подкольцом кольца Л(И>, а Л^ ость алгебра
над подкольцом С кольца Л, образованным элементами, инвариант-
инвариантными относительно всех автоморфизмов х — > х*\ эта алгебра называется
скрещенным произведением кольца Л и моноида 6' относительно ск-
стемы факторов (as, (). Если эту систему заменить системой факторов
гДр cs Для каждого s?S есть обратимый элемент из .1
и с„=1, то полученное так новое скрещенное произведение будет
изоморфно скрещенному произведению, определяемому системой фак-
факторов (а,. ().
Приняв, в частности, за Л квадратичное расширение кольца В, а за
S —циклическую группу второго порядка {е, s}, так, чтобы х'—.г
для каждого х?А, показать, что каждое скрещенное произведение Л
и S есть алгебра кватернионов над В (или алгебра с той же таблице!!
умножения, но в которой по крайней мере один из элементов a, [i.
ар равен нулю).
*13) Пусть S — мультипликативный моноид с единицей «.
удовлетворяющий условию (D) п° 10 и такой, что в нем соотношение
st — e влечет .s=?=e.
а) Показать, что для любого элемента s?S существует число
v (s), зависящее только от s, такое, что число п членов всякой конем
ной последовательности Bt)i<t<n элементов, отличных от е, для кото-
которой /^j... tn = s, меньше v (s).
б) Вывести отсюда, что для того, чтобы элемент z=.^a,s рас-
расширенной моноидной алгебры моноида S над кольцом А был обрати-
обратимым, необходимо и достаточно, чтобы as был обратимым в А. [Свести
к тому случаю, когда ае = 1, и воспользоваться тождеством е— zn+1 =
— (е—-z) (e^-zJrzl - . .. — zn) в расширенной моноидной алгебре мо-
моноида S над А.] '

ПР И Л ОЖ ЕНИЕ 1
К ГЛАВЕ II
ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
I. Определение полулинейных отображении
Пусть Л и В — изоморфные кольца (коммутативные или нет) и а — изо-
изоморфизм А на В; образ элемента Я- ? А при отображении а будем обозначать
Ха. Отображение и Л-модуля Е в .В-модуль F называется полулинейным
относительно изоморфизма а, если оно удовлетворяет тождествам
и (х±у) = и (х)-\-и (у),
Чаще всего встречаются на практике полулинейные отображения,
относящиеся либо к случаю, когда В = А (и, значит, а — автоморфизм
кольца А), либо к случаю, когда В есть кольцо А0, противоположное А.
Наиболее важны те случаи, где А — квадратичное расширение
(S; 7, п° 7) поля К (соответственно алгебра кватернионов (§ 7, п° 8)
над К), а а —автоморфизм (соответственно антиавтоморфизм) t- —> |.
В этих двух случаях полулинейное отображение называют также
антилинейным.
v Примеры. 1) Если а — автоморфизм кольца А, то отображе-
отображение, относящее каждому элементу (|() модуля Л" элемент (??), есть
полулинейное относительно а отображение Л" на себя.
2) Если кольцо А некоммутативно, то, как мы видели, при а?Л,
не принадлежащем центру кольца А, гомотетия х—>ах, вообще го-
говоря, не является линейным отображением Л-модуля Е в себя (§ 1,
п° 1 и § 2, п° 5); но если а обратимо, то эта гомотетия есть полулиней-
полулинейное отображение относительно внутреннего автоморфизма \ —> agcT1
кольца Л, ибо a(hc) = (aXa~1)(ax).
Пусть Е, /•'. С, — модули относительно изоморфных колец Л, В, С и и —
полулинейное отображение Е в F относительно изоморфизма а кольца Л

304 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВК II. ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
на В, a v — полулинейное отображение F в G относительно изоморфизма т
кольца В на С; тогда композиция v о «является полулинейным отображением
Е в G относительно изоморфизма г о а кольца А на С.
2. Линейное отображение, ассоциированное <• полу-
полулинейным
Пусть к — полулинейное отображение Л-модуля Е в В-модуль F отно-
относительно изоморфизма о кольца А на В. Если к есть взаимно однозначное
отображение Е на F, то оно образует, вместе с изоморфизмом а, биизомор-
биизоморфизм Е на F (гл. I, § 4, п° 1); допуская вольность речи, говорят, что к само
есть биизоморфизм Е на F относительно о.
В F можно определить структуру А-мод^ля, оставив прежний закон
аддитивной группы и положив "ку = Хау для каждого X ? А и каждого у € F
(выполнение аксиом модуля очевидно); обозначим полученный так Л-модуль
через Fa. Тождественное отображение ср множества F на себя есть биивомор-
фивм (относительно а) А -модуля Fo на В-модуль F; ясно, что образ каждого
подмодуля М модуля Fa при отображении гр есть подмодуль в F, и обратно;
кроме того, при факторизации ср порождает биизоморфизм фактормодуля
Fo/M на фактормодуль F/M.
Пусть теперь к — произвольное полулинейное отображение Е в F;
оно однозначным образом представляется в виде в=ф« v, где о—линейное
отображение Л-модуля Е в Л-модуль Fo. о называется линейным отобра-
отображением, ассоциированным с полулинейным отображением и. Благодаря
этому разложению каждому свойству линейных отображений отвечает свой-
свойство полулинейных отображений (относительно одного и того же изоморфизма
а), полученное путем применения рассматриваемого свойства к ассоцииро-
ассоциированным с ними линейным отображениям; мы предоставляем читателю сфор-
сформулировать большую часть получающихся так предложений.
3. Ранг полулинейного отображения
Пусть К и К' -~ изоморфные тела и а — изоморфизм К на К'. Ринг
полулинейного относительно а отображения м векторного пространства Е
над К в векторное пространство F над К' есть, по определению, размерность
подпространства и(Е) пространства F (если эта размерность конечна; в про-
противном случае говорят, что и — бесконечного ранга). Очевидно, этот ранг
равен рангу линейного отображения v, ассоциированного с и (п° 2), ибо
каждый базис подпространства V пространства Fa относительно К есть
также базис ф(^) относительно К'.
4. Сопряженное к полулинейному отображению
Пусть А и В — изоморфные кольца, Е — левый Л-модуль, F — левый
В-модуль, и—полулинейное отображение Е в F относительно изоморфизма а
кольца Л на В и а—изоморфизм В на А, обратный к а. Для каждого у' ? F*

,5 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ II. ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 305
отображение х —> (и(х), у')а есть линейная форма на Е; обозначив ее
1и(у'), мы определим отображение (м модуля F* в Е*, называемое по-преж-
по-прежнему отображением, сопряженным к и; таким образом, 'и определяется тож-
тождеством относительно х ? Е и у' ? F*
(u(x),y') = (x,tu{y'))°. A)
Без труда проверяется, что 'и есть полулинейное отображение /"* в Е*
относительно изоморфизма О. Если v — линейное отображение Е в FOt
ассоциированное с и, и ф — тождественное отображение Fg па F, так что
и = ф о v (пс 2), то, как легко видеть, (м= 'у о '<р, и '<р есть биизоморфизм /'*
на (Fc)* относительно изоморфизма о; это соотношение позволяет сразу
распространить на сопряженные полулинейные отображения все установ-
установленные в § 4 свойства сопряженных линейных отображений.
5. Матрица полулинейного отображения
Пусть А ж В — изоморфные кольца с единицей и а — изоморфизм А
на В. Для каждой матрицы ^=A№) над А обозначим через Ха матрицу
(lip) над В; очевидно (X+YH = Х° + Y°, (XZ)a=X°Z°, (aX)a = a°X0,
(Ха)°=Хаас (в предположении, что рассматриваемые операции имеют
смысл).
Пусть Е — унитарный правый А -модуль с конечным базисом (я»)^/,,
F — унитарный правый В-модуль с копечным базисом (&д)деД/ им — полу-
полулинейное отображение Е в F относительно изоморфизма а; коэффициенты
ад?1 разложений и (а^) = ^ *|.ianj, вполне определяются задапием и, и, обрат-
но, их задание определяет элементы и(а.), а следовательно, и и (§ 2, след-
следствие 2 предложения 3); матрица (а ,), »)pmxl с элементами «з В называется
матрицей отображения и относительно бааисов (а^) и (&„) и по-прежнему
обозначается М (и; (а^), FД)) или просто М(и).
Пусть С — кольцо, изоморфное А и В, х — изоморфизм В па С, С —
унитарный правый С-модуль с конечным базисом (cv)vpy и v — полули-
полулинейное отображение F в G относительно изоморфизма т. Если U — матрица
отображения и относительно базисов (а^) и F ) и V — матрица отображе-
отображения v относительно базисов F ) и (cv), то матрица отображения v ° и отно-
относительно базисов (а?) и (cv) равна VUX.
В частности (см. § 6, п° 4), если, как обычно, отождествлять'элемент х?Е
(соответственно у ? F) с одностолбцовой матрицей, образованной его ком-
компонентами относительно (а^) (соответственно (Ь„)), то
и(х)=М(и)-х°. B)
20 Н. Бурбакн

306 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ II. ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть (а^) и F^) — базисы в Е* и F*, сопряженные к (а^) и F^);
если U — матрица отображения и относительно базисов (ах) и (бр,) то мат-
матрица отображения 1и относительно базисов F^) и (а^) равна l(Ua ).
Наконец, если (я^)^, (^ц)д^м — базисы модулей Е vi F, Р — мат-
матрица перехода (§6, ti° 9) от (а^) к (а^) и Q — матрида перехода от FД)
к (fe^), то матрица отображения и относительно базисов (а?) и FЦ) равна

ПРИЛОЖЕНИЕ II
К ГЛАВЕ II
АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение аффинных пространств
Определение 1. Аффинным пространством, ассоциирован-
ассоциированным с заданным левым (соответственно правым) векторным про-
пространством Т над телом К, называется каждое однородное про-
пространство Е аддитивной группы Т (гл. I, § 7, п° 6) такое, что О
является единственным ее оператором, оставляющим инвариант-
инвариантными все элементы из Е (т. е. что Т действует в Е точно и тран-
зитивно). При этих условиях Т называется пространством пере-
переносов аффинного пространства Е, а элементы из Е — переносами
пространства Е (или свободными векторами этого пространства).
В дальнейшем мы ограничимся случаем левого векторного
пространства Т над К. Размерность (над К) векторного простран-
пространства Т переносов аффинного пространства Е называется размер-
размерностью пространства Е (над К) и обозначается dimi? или dimKE.
Одномерное (соответственно двумерное) аффинное пространство
называется аффинной прямой (соответственно аффинной пло-
плоскостью). Элементы аффинного пространства именуются также
точками.
В условиях определения 1 мы обозначаем через t + а или
a+t, где *? Т и а?Е, образ точки а при отображении t.
Таким образом, каковы бы ни были 8?T,t€Tiia?E,
s+(t + a) = (s + t) + a, 0 + a = a. A)
Кроме того, из определения 1 вытекает, что для каждого а?Е
отображение t —* *+ а есть биекция Т на Е. Иными словами, для
20*

308 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
любых двух точек a, b из Е существует, и притом только один,
перенос t такой, что b = t + а; будем обозначать его b — а; каковы
бы ни были а ? Е, Ь?Е, с?Е, имеем
а— а = 0, а — Ь=—F —а), Ъ = (Ь— а)+а.
(с — Ь) + (Ь-а) = с-а. B)
Если точки а, Ь, а', 6' пространства Z? таковы, что b—a=b'—а',
то, как следует из формулы
Ь' = (Ь' - Ь) + (Ь - а) + а = F' - а') + (а' - а) + а
и коммутативности сложения в Т,
Ъ' -Ь = а' -а
(«правило параллелограмма»).
Для каждого а?Е отображение х—>х—а есть биекция Е на Т;
отождествляя Е с Т посредством этого отображения, говорят,
что Е рассматривается как векторное пространство, получен-
полученное путем принятия а за начало в Е. Обратно, каждое векторное
пространство Т канонически наделено структурой ассоцииро-
ассоциированного с ним аффинного пространства, а именно структурой
однородного пространства, соответствующего подгруппе {0}
аддитивной группы Т (гл. I, § 7, п° 6).
Замечание. Определения этого п° и часть дальнейших ре-
результатов ^непосредственно распространяются на тот случай, когда
вместо векторного пространства Т рассматривается произвольная
коммутативная группа с операторами Т.
2. Барицентрическое исчисление
Предложение 1. Пусть (xj^r — семейство точек аффинного
пространства Е над К, (K)itr — семейство элементов из К, равных
нулю для 'всех кроме конечного числа индексов и таких, что
2^=1 (соответственно ^ ^t = 0), и а — произвольная точка
из Е. Точка х?Е, определяемая формулой
х — а = 2 *а (xi — а)
(соответственно свободный вектор 2 ^ч ("^ — a))i не зависит от
рассматриваемой точки а.

3 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ IX. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 309
Действительно, для любой другой точки a' g Е имеем
2 К (х, - а') = 2 К (fo - о) + (а - а')) =
Если 2^=1, то получаем 2 'ч (#i — <*') = (я—a)-f (а—а') = х— а ,
i
если же 2'4 = 0' то 2 ^i (xi— a) = 2 ^i ^i ~ а)> и предложение
i i i
доказано.
В условиях предложения 1 точка х, определяемая формулой
х — а = 2 ^i (А — а) (соответственно свободный вектор 2 ^i (#i — a))>
будет обозначаться 2 Kxi- В частности, таким образом вновь
получается обозначение b — а, введенное в п° 1. В случае 2 ^i== 1
i
точка а: = 2 ^А называется центром тяжести семейства точек xlf
i
снабженных массами Xt.
Если ei, ..., ат — точки из Е, число т которых не делится на
m
характеристику тела К (гл. I, § 8, п° 8), то точку g= ^ ~~ ai называют
(допуская вольность речи) центром тяжести семейства точек
<Ч A ¦<': < т) (ПРИ т — 2 вместо «центр тяжести» говорят «середина»);
m
он характеризуется соотношением 2 (а, — g1) =0.
•i. Линейные многообразия
Определение 2. Множество V точек аффинного простран-
пространства Е называют аффинным линейным многообразием (или просто
линейным многообразием), если для каждого семейства (xj^j
точек из V и каждого семейства Cki)^ элементов иэ К, равных
нулю для всех кроме конечного числа индексов и таких, что 2 ^-i= 1 >
центр тяжести 2 ^А принадлежит V.

310 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Достаточно потребовать, чтобы условие определения 2 выпол-
выполнялось для каждого конечного семейства точек из V.
Пустое множество есть линейное многообразие; пересечение
любого семейства линейных многообразий есть линейное много-
многообразие.
Пусть Г — непустое множество в Е и а — его точка: соот-
соотношение
п
¦г - а = 2 К (Ъ - а)
означает, что х есть центр тяжести 2 Kxi + (l ~" S К)а семейства,
i=l t=l
образованного всеми точками хг и а. Следовательно:
Предложение 2. Для того чтобы непустое множество V точек
аффинного пространства Е было линейным многообразием, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы V было векторным подпространством
относительно структуры векторного пространства в Е, полу-
получаемой путем принятия любой точки из V за начало.
В частности, непустые аффинные линейные многообразия век-
векторного пространства Т (рассматриваемого как аффинное про-
пространство) — это не что иное, как множества точек, получаемые
путем переносов векторных подпространств этого пространства Т;
значит, векторные подпространства пространства Т — это линей-
линейные многообразия, содержащие 0; их называют также однород-
однородными линейными многообразиями.
Пусть V — непустое линейное многообразие аффинного про-
пространства Е; множество/) всех свободных векторов х — у, где хжу
пробегают V, есть векторное подпространство пространства Т
переносов аффинного пространства Е; действительно, если <z? V,
то можно написать
и достаточно проверить, что множество всех свободных векторов
х—а, где х пробегает V, есть векторное подпространство про-
пространства Т; но так как (х— a) -f- (у—а) = (х + у— а)— а ж I (х— а) =
= (Кх -\- A — X) а) — а, то это вытекает из определения 2. Мы будем

3 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 311
называть D направляющим подпространством или направляющей
линейного многообразия V. Очевидно, D действует в V точно
и транзитивно, так что V канонически наделено структурой
аффинного пространства, ассоциированного с D. Под размерностью
линейного многообразия V понимают его размерность в этой
структуре аффинного пространства, т. е. размерность вектор-
векторного пространства D. Линейные многообразия размерности О —
это точки пространства Е; линейные многообразия размерности 1
(соответственно 2) называются прямыми (соответственно пло-
плоскостями) аффинного пространства Е.
Каждый ненулевой вектор, принадлежащий направляющему
подпространству прямой, называется направляющим вектором этой
прямой; его компоненты относительно базиса векторного простран-
пространства Т образуют так называемую систему направляющих параметров
ассматрнваемой прямой.
Факторразмерностью линейного многообразия V в Е назы-
называется факторразмерность его направляющего подпространства
D в Т; линейное многообразие, имеющее в Е факторразмерность 1,
называется (аффинной) гиперплоскостью аффинного простран-
пространства Е.
Два линейных многообразия с одной и той же направляющей
называются параллельными; то же самое можно выразить, сказав,
что параллельные линейные многообразия — это линейные много-
многообразия, получающиеся друг из друга путем переноса. Направляю-
Направляющей линейного многообразия V в Т (рассматриваемом как аффин-
аффинное пространство) служит однородное линейное многообразие,
параллельное V.
Предложение 3. Каково бы ни было семейство (aL)L?J точек
аффинного пространства Е, множество V всевозможных центров
тяжести 2 \<Ч (К = 0 для всех кроме конечного числа индексов
и 2^t = l) есть линейное многообразие в Е.
Если семейство (at) пустое, то, вследствие условия 2^t = l>
V = 0. Поэтому можно считать семейство (aL) непустым, а в этом
случае предложение становится очевидным, если принять в Е
одну из точек яг за начало.

312 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Очевидно, V есть наименьшее линейное многообразие, содер-
содержащее точки at; оно называется аффинным многообразием,
порожденным семейством (at).
В обозначениях предложения 3, предполагая семейство (at)
непустым, для единственности представления каждой точки
х? V в виде х — 2 Ка\. необходимо и достаточно, чтобы семейство
i
векторов а1 — ак пространства Т, где х — произвольный фикси-
фиксированный индекс из /, a i пробегает множество всех индексов
1 Ф х, было свободным. В этом случае семейство (ХХе/ точек из Е
называют аффинно свободным (а его элементы аффинно независи-
независимыми, или образующими аффинно свободную систему); А^ назы-
называется 1-й барицентрической координатой точки х относительно
аффинно свободного семейства (а,).
Семейство (at)ici точек из Е, не являющееся аффинно свобод-
свободным, называется аффинно зависимым.
Предложение 4. Для того чтобы непустое семейство («^Хе/
точек аффинного пространства Е было аффинно зависимым,
необходимо и достаточно, чтобы существовало семейство (K)i?i
элементов тела К (равных нулю для всех кроме конечного числа
индексов) такое, что 2 ^i= 0 и 2 Kai = 0, но we все A,t = 0.
Действительно, утверждение, что семейство векторов (а^ — пу)
из Т, где х — заданный индекс из /, a i пробегает множество
всех индексов i Фх, линейно зависимое, означает, что существует
семейство скаляров (к^ьфк, не равных все нулю, такое, что
2 К (at — ак) = 0; но, положив А,и=— 2 ^i> можно переписать
это соотношение в виде 2^-iai==0» гДе 2^-i==^-
ie/ ie/
Предложение 5. Для того чтобы непустое семейство (а,,)^
точек аффинного пространства Е было аффинно свободным,
необходимо и достаточно, чтобы ак ни при каком индексе х?/
не принадлежало линейному многообразию, порожденному точ-
точками at с индексами i Ф х.
Предложение очевидно, если / состоит только из одного эле-
элемента. В противном же случае оно вытекает из предложения 1
§ 3, если принять в Е за начало одну из точек at с индексом v Ф х.

4 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 313
4. Аффинные отображения
Определение 3. Пусть Е и Е' — аффинные пространства,
ассоциированные с векторными пространствами Т и Т над одним
и тем же телом К. Отображение и пространства Е в Е' называется
аффинным отображением (или аффинным линейным отображе-
отображением), если, каковы бы ни были семейство (а^Хе/ точек из Е
и семейство (ЯДег скаляров, для которого 2^i —1>
»BW = 2*iB(a4). C)
Предложение 6. Для каждого аффинного отображения и
аффинного пространства Е в Е' существует однозначно определен-
определенное линейное отображение v векторного пространства Т в 7"
такое, что
u(x+t) = u(x)-\-v (t),
каковы бы ни были х?Е, t?T.
Действительно, пусть а — произвольная точка из Е. Отобра-
Отображение
t —> и (a -f-1) — и (а)
есть линейное отображение Гв Г, ибо, обозначая его через vn
и принимая во внимание, что
а + It - X (а +1) + A — а) а,
а + «-f * = (я + s) + (а + *) — а,
получаем из C), что va(Xt) = Xva(t) и va (s + t) = va(s)+ va{t).
При этом, какова бы ни была другая точка b?E, имеем Уа= vb;
действительно, из равенства (a-\-t) — a-\- Ъ= Ъ-\-1 следует, что
и (а +1) - и (а) + и (Ь) = и (b + t),
т. е. и(а-\- «) — и (а) = и(Ъ-\-Ь) — и(Ь). Этим существование v
доказано; единственность очевидна.
v называется линейным отображением Т в Т, ассоциирован-
ассоциированным с и. Обратно, легко видеть, что для каждого линейного
отображения v векторного пространства Т в 7" и каждой пары
точек а б Е, a' g E'
(х — а)

314 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
есть аффинное отображение Е в ?", имеющее v ассоциированным
линейным отображением. Таким образом, утверждение, что и есть
аффинное отображение Е в Е', означает также, что если принять
в ? за начало произвольную точку а, а в Е' — точку и(а), то и
будет линейным отображением первого из получающихся так
векторных пространств во второе.
Пусть Е"—третье аффинное пространство, Т" — его про-
пространство переносов, и' — аффинное отображение Е' в Е" и v' —
линейное отображение Т' в Т", ассоциированное с и'. Очевидно,
и'ои есть аффинное отображение Е в Е"; при этом, так как для
любых а ? Е и 16 Т
и' (и (а + «)) = в' (в (а) + v («)) = и' (и (а)) + v' (v («)),
то v'°v есть линейное отображение Т в Т", ассоциированное
с и'ои. Для того чтобы аффинное отображение и было биектив-
биективным, необходимо и достаточно, чтобы таким было ассоциирован-
ассоциированное линейное отображение v; и и'1 есть тогда аффинное отобра-
отображение, имеющее ассоциированным линейным отображением v~l.
В частности, аффинные биокции аффинного пространства Е
на себя образуют группу G, называемую аффинной группой про-
пространства Е. Отображение, относящее каждому u?G линейное
отображение v, ассоциированное с и, есть, согласно предыдущему,
гомоморфизм группы G на линейную группу GL (Т). Если и — пере-
перенос, то v — тождество, и обратно. Таким образом, ядром ука-
указанного гомоморфизма служит группа Т переносов простран-
пространства Е, являющаяся, следовательно, нормальной подгруппой
группы G.
Если u?G, то автоморфизм t-^-utu'1 группы Т есть не что
иное, как линейное отображение v, ассоциированное с и. Дей-
Действительно, для всех а; 6 Е и ?? Т имеем
х + utu'1 = и (W1 (х) + t) = u (и (х)) + v(t) = x + v («),
так что utu'x~v (t).
Пусть а?Е и Ga — подгруппа группы G, образованная теми
u?G, для которых и(а) = а. Если отождествить i? с Т, приняв а
за начало, то Ga совпадает с GL (T). Каждое ц? G однозначно пред-
представляется в виде ц=*1и1 (соответственно в виде u=u2t2), где щ,
и2 принадлежат Ga, a tx, t2 принадлежат Т\ действительно, поло-
положив tl = u(a)—а, будем иметь u~1t1^Ga, чем доказано существо-

ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 315
и tt; аналогичным способом получим существование
аа и ?2. Единственность же вытекает из того, что Ga{~] T сводится
к нейтральному элементу группы G. Так как при этом
«]м1=н1(м-1«1м1),
го ui=u1, a ti=ul1t1u1. Наконец, так как линейные отображения,
ассоциированные с и и иг, совпадают, то, если отождествить,
как выше, Ga с GL (Т), щ будет линейным отображением Т в себя,
ассоциированным с и.
Пусть Е и Е' — аффинные пространства над К. Образ (соот-
(соответственно прообраз) линейного многообразия из Е (соответствен-
(соответственно Е') относительно аффинного отображения и пространства Е
в Е' есть линейное многообразие в Е' (соответственно Е); ранг
и есть, по определению, размерность и (Е) (если она определена);
он равен рангу линейного отображения, ассоциированного с и.
Для любых двух линейных многообразий V и V одинаковой (ко-
(коночной) размерности пг, принадлежащих соответственно Е и Е'.
существует аффинное отображение и пространства Е в Е' такое,
что и (V) = V: это непосредственно вытекает из следствия 2 пред-
предложения 3 § 2, если принять за начало в Е и Е' соответственно
точки из V и V и, далее, взять в Е (соответственно Е') базис,
первые пг векторов которого образуют базис в V (соответственно V).
Так как тело К канонически наделено структурой (одномер-
(одномерного) левого векторного пространства над К, то его можно рас-
рассматривать как одномерное аффинное пространство. Аффинное
отображение аффинного пространства Е (над К) в аффинное про-
пространство К называется также аффинной функцией (или аффин-
аффинной линейной функцией). Таким образом, если принять в Е за
начало какую-нибудь точку а, то каждая аффинная функция
на Е допускает однозначно определенное представление в виде
г—>ос+ v(x), где а?К, a v — линейная форма на полученном так
векторном пространстве Е; тем самым аффинные функции на Е
образуют правое векторное пространство над К, имеющее раз-
размерность, равную 1+dimi? (если размерность Е определена).
Если и — не постоянная аффинная функция на Е и Xg К, то мно-
множество всех х?Е, удовлетворяющих уравнению и(х)=Х, есть
¦ гиперплоскость; обратно, для каждой гиперплоскости Н про-
пространства Е существует аффинная функция и0 на Е такая,

316 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
что Н=ио(О), и каждая аффинная функция и, для которой
#=ы@), имеет вид щц, где \i?K (§ 4, предложение 9). Если
и — аффинная функция на Е, то гиперплоскости, определяемые
уравнениями и (х) = а и и(х) = $, параллельны.
Упражпения. 1) Четверка точек (а, Ь, с, d) аффинного про-
пространства Е над телом К называется параллелограммом, если Ь — а=
=с — d, причем в этом [случае и (a, d, с, Ь) — параллелограмм.
Показать, что если К — характеристики ф 2, то середины пар (а, с)
и (Ь, d) совпадают; что можно сказать в случае, когда К —харак-
—характеристики 2?
2) Пусть а, Ь, с, d — любые четыре точки аффинного простран-
пространства Е над телом характеристики Ф 2. Показать, что если х, у, z, t —
середины пар (a, b), (b, с), (с, d) и (d, а), то (х, у, z, t) — параллело-
параллелограмм (упражнение 1).
3) Пусть К — тело характеристики Ф 2, Е— аффинная плоскость
над К и а, Ъ, с, d — четыре ее точки, никакие три из которых не лежат
на одной прямой. Обозначая через Dxy прямую, проходящую чере»
точки х и у, допустим, что прямые Dat, и DC?j имеют общую точку е,
а прямые Dad и 2>ьс — общую точку /. Показать, что середины пар
(а, с), (Ь, d) и (е, /) лежат на одной прямой. Во что переходит это свой-
свойство, когда Daf) и Dcd или Dad и Dbc параллельны? Случай тела К,
состоящего из трех элементов.
4) Пусть К — тело характеристики ф2 и Ф 3, Е— аффинное
пространство над К, а, Ь, с — три его точки, не лежащие на одной
прямой, и а', Ь', с' — соответственно середины пар F, с), (с, а) и (а, Ь).
Показать, что прямые Daa,,Dbb, и Dcc, проходят через центр тяжести
тройки точек а, Ь, с. Во что переходит это свойство, когда К — харак-
характеристики 2 или 3? Обобщить на систему п аффинно независимых
точек.
5) Для того чтобы непустое множество V точек аффинного про-
пространства Е над телом К, содержащим по крайней мере три элемента,
было линейным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы для
любой пары (х, у) различных точек из V прямая Dxy, проходящая
через х ж у, вся целиком содержалась в V. Если К состоит из двух
элементов, то для того, чтобы V было линейным многообразием, необ-
необходимо и достаточно, чтобы центр тяжести любой тройки точек из V
принадлежал V.
6) а) Пусть Е — аффинное пространство над телом К. Для того
чтобы аффинное отображение и этого пространства в себя преобразо-
преобразовывало каждую прямую в параллельную ей прямую, необходимо
и достаточно, чтобы линейное отображение v, ассоциированное с и,
было гомотетией t —>- yt с коэффициентом у ф 0, принадлежащим
центру тела К. Если y=i, то и — перенос; показать, что если у Ф 1.

ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ1ПРОСТРАНСТВА 317
то существует, и притом только одна, точка а ? Е, для которой и (а)=
= а. Если принять а за начало в Е, том совпадет с некоторой централь-
центральной гомотетией относительно определенной так структуры вектор-
векторного пространства в Е\ и называется тогда центральной гомотетией
аффинного пространства Е с центром а и коэффициентом у.
б) Пусть 11,111,'— аффинные отображения Е в Е, каждое из кото-
которых есть перенос или центральная гомотетия этого пространства.
Показать, что и и1и2 есть его перенос или центральная гомотетия;
показать, что если щ, и2 и uiu2 все три являются центральными
гомотетиями, то их центры лежат на одной прямой. Что можно
сказать в случае, когда ut и и2 — центральные гомотетии, а щщ —
перенос?
в) Показать, что множество Н всех переносов и центральных гомо-
гомотетий является нормальной подгруппой аффинной группы простран-
пространства Е и что Н/Т изоморфно мультипликативной группе центра тела К;
показать, что группа Н может быть коммутативной только когда
Н=Т, иными словами, когда центр тела К состоит лишь из двух эле-
элементов.
*7) Пусть Е (соответственно Е') — аффинное пространство конеч-
конечной размерности п > 2 над телом К, содержащим по крайней мере 3
элемента (соответственно над телом К'), и и — иыъективное отображе-
отображение Е в Е', преобразующее любые три точки, лежащие на одной
прямой, в три точки, лежащие на одной прямой, и такое, что
линейное многообразие в Е', порожденное множеством и(Е),
равно Е'.
а) Показать, что и преобразуют любую систему аффинно незави-
независимых точек из ? в систему аффинно независимых точек. [Исполь-
[Использовать упражнение 5.]
б) Пусть Dlt -D2 — две параллельные прямые в Е и D[, D'2 —
прямые в Е', содержащие соответственно и (Dt) и u(D2). Показать,
что D[ и D'i лежат в одной плоскости и, если, кроме того, и сюръек-
тивно, параллельны. [Показать, что в противном случае должны
€ыли бы существовать три точки, не лежащие на одной прямой, пере-
переводимые отображением и в чочки одной прямой.] (См. Приложение III,
упражнение И.)
в) Будем предполагать, что еслн-О^-Ог —параллельные прямые
из Е, то прямые в Е', содержащие соответственно u(D1), m(ZJ), парал-
параллельны. Показать, выбрав в Е начало а и в Е' — начало а'=и(а),
что существует изоморфизм с тела К на подтело К1 тела К' такой,
что если рассматривать Е как векторное пространство над К, а Е' —
как векторное пространство над К у. то и будет инъективным полули-
полулинейным (относительно а) отображением Е в Е' (Приложение I). [Рас-
[Рассмотреть сначала случай я=2. Показать, что, выбрав базис («j, e2)
в Е, можно для любых двух элементов а и |3 тела К, отправляясь
от точек 0, еи е2, аеу, р^, построить в Е точки (а+Р) ех и (аР) еу

318 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
с помощью построения параллелей к заданным прямым и точек пере-
пересечения заданных прямых; вывести отсюда, что и(Хе1)=Хаи(е1), где
а — изоморфизм тела К на подтело тела К'; далее, рассматривая
прямую, соединяющую точки Xet и Хе2, показать, что также и(Хег)=
= к°и (е2). Наконец, перейти отсюда к случаю произвольного п индук-
индукцией по п.] Показать, что если и биективно, то К1=К'.
г) Распространить результат пункта в) на случай тела К, состоя-
состоящего из двух элементов, предполагая дополнительно, что и преобра-
преобразует каждую систему аффинно независимых точек из Е в систему
аффинно независимых точек из Е'.

ПРИЛОЖЕНИЕ III
К ГЛАВЕ II
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение проективных пространств
Определение 1. Левым (соответственно правым) проективным
пространством, порожденным левым (соответственно правым)
векторным пространством V над телом К, называют фактор-
фактормножество Р (V) дополнения V* к {0} в V по отношению эквивалент-
эквивалентности А (V): «в К существуеткфО такое, чтоу=кх (соответствен-
(соответственно у=хХ)>> между х и у в V*.
В случае, когда V=K%+1, вместо Р (К?+1) и Д (К?+1) пишут
также Рп(К) и Ап(К).
Определение 1 можно выразить также, сказав, что Р (V) есть
множество всех (однородных) прямых пространства V, лишен-
лишенных начала, и, значит, канонически отождествляется с множе-
множеством всех (однородных) прямых пространства V. Элементы проек-
проективного пространства называют его точками.
В случае, когда V имеет конечную размерность п, размер-
размерностью проективного пространства P(F) называют целое число
п—1 и обозначают его dim^P (V) или dimP(F). Так, проективное
пространство размерности —1 пусто, а проективное пространство
размерности 0 сводится к одной точке. Проективное пространство
размерности 1 (соответственно 2) называют проективной прямой
(соответственно проективной плоскостью).
В дальнейшем рассматриваются только левые проективные
пространства.

320 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2. Однородные координаты
Пусть V — векторное пространство размерности я-j-l над К,
Р (V) — порожденное им проективное пространство размер-
размерности га, (е{)о^«5п— базис пространства V и я — каноническое ото-
бражение V* на Лактормножество P(V). Если а:=2 ?ie»€ 17*> то
i=0
{?„, |х, ...,|„) называют системой однородных координат точки
п(х) относительно базиса (ег) пространства V. Таким образом,
каждая система (|{) л+1 элементов тела К, которые не все равны
нулю, есть однородная система координат некоторой точки из
Р(У) относительно (е4); для того чтобы две такие системы (?t),
(|'i) были системами однородных координат одной и той же точки
из Р (V) относительно одного и того же базиса (е{), необходимо
и достаточно, чтобы в К существовал элемент X Ф 0 такой, что
^i=X^ для всех j
Если (et) — второй базис пространства V, причем е4 = 2 o.ijei
3=0
@<;j<:n), и (^) — система однородных координат точки л(х)
относительно базиса (ег), то для того, чтобы система A{) /г+1
элементов из К была системой однородных координат точки л (х)
относительно базиса (et), необходимо и достаточно, чтобы в К
существовало Х.^=0 такое, что
4 2,,4
5=0
В частности, при e1=Yie1, где у{ Ф 0 @< i< /г), ^ = A^,
где |х =/= 0.
Эти определения непосредственно обобщаются на случай
бесконечномерного V.
3. Проективные линейные многообразия
Пусть W — векторное подпространство векторного простран-
пространства F; канонический образ множества W* = W— {0} в проективном
пространстве P(V), порожденном V, называется проективным
линейным многообразием (или просто линейным многообразием,

3 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 321
если можно не опасаться путаницы); так как отношение эквива-
эквивалентности Д (W) в W* индуцируется отношением Д (V), то проек-
проективное линейное многообразие в Р (V), являющееся образом W*,
можно отождествлять с проективным пространством ~P(W),
порожденным W, и, следовательно, говорить о размерности
такого многообразия. Линейное многообразие в проективном
пространстве P(V), являющееся каноническим образом гиперпло-
гиперплоскости из V (лишенной начала), называется проективной гипер-
гиперплоскостью (или просто гиперплоскостью) этого пространства;
если Р (V) w-мерно, то гиперплоскости в Р (V)— это его (и—1)-
мерные линейные многообразия.
Каждому предложению, относящемуся к векторным подпро-
подпространствам векторного пространства, отвечает некоторое предло-
предложение, относящееся к проективным линейным многообразиям.
Например, если Р (V) есть и-мериое проективное пространство
и (ег)о<г<п—базис пространства V, то каждое r-мерное линейное
многообразие LCZP(F) может быть определено системой п — г
однородных линейных уравнений
JKa,, A</<П-г), A)
связывающих однородные координаты g{ @< i< n) точки из P(F)
относительно базиса (е(), где в левых частях уравнений стоят
независимые линейные формы на V (§ 4, п° 6). В частности, проек-
проективная гиперплоскость определяется одним однородным линей-
линейным уравнением, но все коэффициенты которого равны нулю.
Обратно, точки пространства P(V), удовлетворяющие произволь-
произвольной системе однородных линейных уравнений относительно коор-
координат gj, образуют в нем некоторое линейное многообразие L;
если рассматриваемая система состоит из /с<; /г-1-1 уравнений,
то L будет размерности >-п— к.
Пересечение любого семейства линейных многообразий про-
пространства Р (V) есть его линейное многообразие; для каждого
множества ^dP(V) существует наименьшее содержащее его
линейное многообразие L; оно называется линейным многообра-
многообразием, порожденным множеством А, а это множество — системой
образующих линейного многообразия L; если W — векторное
-1
подпространство в V, порожденное множеством я (А), то L~V (W).
21 Н. Курбаки

322 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если L и М — два произвольных линейных многообразия
в P(F) и N — линейное многообразие, порожденное их объеди-
объединением L\JM, то (§3, предложение 7)
dimL + dimM = dim (Lf]M) +dimN B)
в предположении, что обе части этого соотношения определены.
Из B), в частности, следует, что если dim L-\- dimM >dim P (V),
то Lf]M не пусто.
Пусть (ху), (iji) — семейства точек векторного пространства V,
имеющие одно и то же множество индексов и такие, что yi=r7:lxl,
где \ Ф 0 для каждого i. Если (xj — свободное семейство,
то ото же верно для (j/t), и обратно; в этом случае семейство
точек я (art) пространства Р (V) называют проективно свободным
(или просто свободным). То же самое можно выразить, сказав,
что никакая точка я(хх) не принадлежит линейному многообразию,
порожденному точками я (art) с индексами 1фх. Семейство точек
пространства Р (F), не являющееся проективно свободным, назы-
называется проективно зависимым (или просто зависимым).
Для того чтобы семейству (я;,,) точек из V соответствовало
проективно свободное семейство (я(х1)), порождающее P(V),
необходимо и достаточно, чтобы (xj было базисом пространства
V. Значит, если Р(У) ге-мерно, то число элементов такого семей-
семейства равно п+1.Заметим, что задание такого семейства (я (xt)) вР (V)
еще не определяет (даже с точностью до левого множителя) одно-
однородных координат заданной точки пространства Р (V) относительно
базиса (j/t) в V, для которого я (j/t) = я (xt) при каждом i (см. пс; 2).
4. Проективное пополнение аффинного простран-
пространства
Пусть Г — (левое) векторное пространство над телом К:
рассмотрим векторное пространство Кя X V над К; проективное
пространство P(K^xV) будет называться проективным про-
пространством, канонически ассоциированным с векторным простран-
пространством V. Если V имеет конечную размерность п, to'J? (Ksx V)
немеет ту же размерность п. Рассмотрим в KsxV аффинную
гиперплоскость 1\ = {\}xV. имеющую своей направляющей
(Приложение II, и" 3) (однородную) гиперплоскость 1/0={0} X V:
если (однородная) прямая из Ks х Г не содержится в Fo, то она

4 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 323
содержит точку (а,х) с а Ф 0 и х$_ \ , а значит, точку of1 (а, ж)--
= A, аГ1х) из Fx; обратное очевидно. Таким образом устанавливает-
устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками гиперпло-
гиперплоскости V1 и (однородными) прямыми произведения Ks X V, не
содержащимися в Fo, поскольку каждая из этих прямых пересе-
пересекает \\ в одной п только одной точке. Отсюда следует, что ото-
отображение х—¦» ф(г)=яA,ж) есть (называемая канонической) инъек-
инъекция векторного пространства V в проективное пространство
Р (Ks X V);V часто отождествляют с его образом при этой инъекции.
Дополнением к cp(F) в Р (A's X V) служит проективная гиперпло-
гиперплоскость P(F0); ее называют бесконечно удаленной гиперплоскость**
пространства Р (Ks X V) (или, допуская вольность речи, про-
пространства V), а точки этой гиперплоскости — «бесконечно удален-
удаленными точками» пространства Р (A's X V) (или У). Если (at) — базис
пространства V и в Ks X V выбран базис, образованный всеми
элементами el = @,al,) и элементом еа= A,0), то бесконечно уда-
удаленные точки пространства Р (Ks X V) ¦— это точки, однородные1
коордипаты которых с индексом со равны 0.
Пусть М — аффинное линейное многообразие в V (Приложе-
(Приложение II, п° 3) и D — его направляющая; канонический образ
Ф (М) многообразия М в Р (Ks x Г) содержится- в каноническом
образе М = я (М2) векторного подпространства А/2, порожденного
в Ks X V его аффинным линейным многообразием M-l={i}xM.
[>олее точно, если (aj •— аффпнно свободная система точек из М,
порождающая М, то элементы A, а,) образуют базис подпростран-
подпространства М2, и следовательно, М есть не что иное, как проективное
линейное многообразие, порожденное множеством ф (М); если М
конечномерно, то М имеет ту же размерность, что и М. Допол-
Дополнение к ф (М) в М есть пересечение многообразия М с бесконечно
удаленной гиперплоскостью и равно каноническому образу я (Мо)
подпространства М0 = {0} xD.
Обратно, пусть Лг — проективное линейное многообразие, не
содержащееся в бесконечно удаленной гиперплоскости, и В =
-I
= n(N); R[]V1 есть аффинное линейное многообразие в Ks x У
вида {1]хЛ/, где М — аффинное линейное многообразие в V;
легко видеть, что N совпадает с аффинным линейным многообра-
многообразием Л/, порожденным множеством ф (М).
21*

324 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ XI. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие
между аффинными линейными многообразиями из V и проектив-
проективными линейными многообразиями из Р (К^ X V), не содержа-
содержащимися в бесконечно удаленной гиперплоскости; для того чтобы
два аффиных линейных многообразия из V были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы порождаемые ими проективные
линейные многообразия имели одно и то же пересечение с беско-
бесконечно удаленной гиперплоскостью (что иногда выражают, говоря,
что рассматриваемые два аффинных линейных многообразия
имеют одни и те же бесконечно удаленные точки).
5. Продолжение рациональных функций
Применение результатов п° 4 к одномерному векторному про-
пространству V=KS показывает, что существует его каноническое
вложение <р в проективную прямую Рх (К) = ? (Ks X К?); ф(|) для
каждого ?? К есть точка с однородными координатами A, ?) отно-
относительно канонического базиса (§1, п° 8) произведения KsxK$.
Дополнение к ц>(К) в Рх (К) сводится к точке с однородными коор-
координатами @, 1) относительно указанного базиса, называемой
«бесконечно удаленной точкой». Pj (К) называется также проек-
проективным телом, ассоциированным с К, и обозначается К, а его
бесконечно удаленная точка обозначается сю.
"Рассмотрим, в частности, случай поля К, и пусть f?K(X) —
рациональная дробь от одной неизвестной над К (гл. IV, § 4);
/ однозначным образом представляется в виде /=(оср)/ q, где а?К*.
а р и q — взаимно простые унитарные полиномы (гл. VII, § 1);
пусть т и п—их степени и, скажем, т^,п. Положим р^{Т,Х)~
= ТЛр(Х/Т), ql{T,X)=Tlq(XlT); рг и ^-однородные полиномы
степени п над К такие, что p(X)=pi(X,l), q(X) = gl (X, 1). Для
каждого элемента iG/sT, не являющегося нулем полинома q(X).
/(?)=ар (?)/?(?) определено, и можно написать
каково бы ни было ХфО из К. Рассмотрим тогда отображение
01. I) -> (?i (Л. Ъ),
произведения К2 в себя; это отображение согласуется с отноше-
отношением эквивалентности Д (К2) и, следовательно, порождает при

Г, ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 325
факторизации отображение/ проективного поля К в себя, совпа-
совпадающее с ?—>/(Е) в тех точках, где эта рациональная функция
определена; допуская вольность речи, / называют каноническим
продолжением f i:a К.
Например, если / = 1/Х, то /@) = со и Дсо)=0; если / —
^(aX+b)/(cX+d), где ad-bc--fO, то J(--d/c)=^a:, 7(oo) = o/f,
если с =7- 0, и /(со) =оо, если е = 0. Для полипома /=. в„Х"+ . .. +в„
степени /?>0 имеем /(оо) = со,0
6. Проективные отображении
Пусть F и V" — левые векторные пространства над телом А'.
-1
/ — линейное отображение V в V и АГ= / @) —его ядро. Очеви;;-
но, при этом отображении (однородная) прямая пространства V,
не содержащаяся в N, переходит в (однородную) прямую про-
пространства V; поэтому при факторизации / порождает отобра-
отображение g множества Р (F)—Р (N) в P(F'). Это отображение />
называется проективным отображением (или проективным ли-
линейным отображением); хотя оно определено на P(F) — P(iV).
а не (при N=?{0}) на всем P(F), допуская вольность речи, гово-
говорят, что g есть проективное отображение Р (F) в Р (F'). Проектив-
Проективное линейное многообразие P(iV), на котором g не определено,
называется центром отображения g.
Заметим, что в случае, когда g определено на всем Р (У) (т. е.
когда 7V = {0}), g есть инъекция Р (V) в P(F').
Если в F и V заданы соответственно базисы (%)^?L и (|)ц?
проективное отображение g пространства Р (F) в Р (F') относит
точке из Р (F) с однородными координатами ^ (Яб L) точку в Р (V).
обладающую системой однородных координат т]м (ц ? М) вида
2' C)
Центр отображения g есть линейное многообразие, опреде-
определяемое уравнениями
2

326 ПРИЛОЖЕНИЕ TII К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если С — центр отображения g и М — линейное многообра-
многообразие в Р (F), то образ М— (Mf]C) при отображении g есть линей-
линейное многообразие в РA//), которое (допуская вольность) обозна-
обозначают g{M). Имеем
dim'g(M) = dim:W-dim(J/f|r) - 1, D)
если числа, фигурирующие в этой формуле, определены (§ 3,
формула E)). Если М' —линейное многообразие в P(F'), то
g[{M')[]C есть линейное многообразие в P(F), и
&\m(gl(MyjC)^dimC x-dim(MT]g(P(V))) + 1. E;
Допуская вольность речи, говорят, что g (-*•/') (J С есть прообраз
М' относительно g.
Так как значения из V, принимаемые линейным отображе-
отображением на базисе (et) пространства V, могут выбираться произ-
произвольно, то заключаем, что существует проективное отображение
Р (V) в P(V'), принимающее в точках л (et) произвольно задан-
заданные значения. Но (даже когда g всюду определено) задание
^элементов g(n(el)) не определяет g однозначным образом (упраж-
(упражнение 3).
Композиция двух биективных проективных отображений есть
проективное отображение; то же верно и для отображения, обрат-
обратного к такой биекции. Таким образом, взаимно однозначные
проективные отображения проективного пространства P(F) на
себя образуют группу; она называется проективной группой про-
пространства Р (V) и обозначается PGL(F); вместо PGL(X")
гшшут PGLn(/Q.
Замечание. Пусть Н = Р (W) — гиперплоскость проектив-
проективного пространства P(V") над телом К. Существует взаимно однозначное
линейное отображение / пространства V на Ks X W такое, что /(И/)=И/;
пусть g — проективное отображение, получающееся из / при фактори-
факторизации. Как мы видели (п° 4), дополнение к Р (W) в Р (Ks XW) отождест-
вимо с аффинным пространством, пространством переносов которого
служит W. Отождествляя Р (V) с Р (/Гй X W) посредством отображе
ния g, говорят, что Н принимается с V (V) за бесконечно удаленную
гиперплоскость; дополнение к Я в Р(Г) отождествляется тогда
с аффинным пространством, имеющим W своим пространством по-
реносои.

7 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 327
7. Структура проективного пространства
Структура (левого) проективного пространства в множестве
Е относительно тела К определяется заданием непустого множе-
множества Ф биекций подмножеств проективного пространства F (Ksf )
на Е, удовлетворяющего следующим аксиомам:
(EPj) Областью определения каждого отображения /^Ф слу-
служит некоторое линейное многообразие из Р (KiE)).
(ЕРц) Для любой пары элементов /, g из Ф, определенных
соответственно на линейных многообразиях Р(У) и V (W), биек-
ция h—g~1of пространства Р (V) на Р (W) есть проективное
отображение.
(ЕРШ) Обратно, если /?Ф определено на линейном многообра-
многообразии Р (V) и h — взаимно однозначное проективное отображение
Р (V) на линейное многообразие Р (PF)CZP {K[E)),mo fohХ6Ф.
Пусть Е — множество, (У%)%с^ — семейство векторных про-
пространств над телом К и для каждого A,?L задана биекция f\
пространства P(F^) на Е такая, что Я^о/ддля каждой пары
индексов (К, ц.) есть проективное отображение Р(^ц) на P(^)-
Тогда можно определить в Е структуру проективного простран-
пространства относительно К следующим образом. Пусть (e,,)ie/ — базис
пространства \'\ и ai = f^(n (e\)), а Ь,, — элемент с индексом at
и каноническом базисе пространства К[Е) (§ 1, п° 8). В силу пред-
предположенной биективности отображения Д, bt Ф Ьх при i Ф и;
поэтому Ъ^ образуют базис векторного подпространства Wo про-
пространства К\Е), и следовательно, существует взаимно однозначное
отображение h пространства Р {Wo) на Р (V\) такое, что h (л (Ь1)) =
= jT(et) для каждого ig /. Легко проверить, что множество Ф всех
отображений Д° hо g~l, где g пробегает множество всевозможных
взаимно однозначных проективных отображений Р (Wo) на линей-
линейные многообразия Р (W) CZP (К1Е)), удовлетворяет аксиомам
(EPj), (ЕРц) и (ЕРШ). При этом, очевидно, Ф не зависит ни от
выбора индекса Х? L, ни от выбора базиса (et) в \\, ни от выбора h.
В частности (если взять L, сводящееся к одному элементу),
каждое проективное пространство P(F), порожденное каким-
нибудь векторным пространством V (определение 1), наделено
так вполне определенной «структурой проективного простран-

328 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ства» в смысле определения, данного в этом п°. Поэтому проектив-
проективным пространством можно называть всякое множество, наделен-
наделенное структурой проективного пространства.
В тех же обозначениях линейное многообразие в проективном
-г
пространстве Е — это множество MciE, для которого /(М) хотя
бы для одной биекции /?Ф, определенной на Р (V) CZP (К[Е^),
есть линейное многообразно в Р (V) в смысле п° 3 (этим свойством
обладает тогда каждое /?Ф). Из предыдущего следует, что каж-
каждое линейное многообразие проективного пространства канониче-
канонически наделено структурой проективного пространства.
Говорят, что проективное пространство Е имеет размерность
-1
п, если / (Е) для каждого /?Ф есть линейное многообразие
размерности п (достаточно, чтобы это имело место для одного
из отображений /?Ф).
Упражнения. 1) Пусть К — конечное тело, состоящее
из q элементов, и V — /г-мерное векторное пространство над К.
а) Показать, что число элементов множества всевозможных
последовательностей (х(,х.2, ..., хш) изт<!« векторов пространства I',
образующих свободную систему, равно
[Индукцией по т.\
б) Вывести из а), что число m-мерных линейных многообразий
в n-мерном проективном пространстве над К равно
2) а) Показать, что проективная группа PGL(F) изоморфна фактор-
факторгруппе линейной группы GL(V') векторного пространства V по центру
этой группы (изоморфному мультипликативной группе центра тела К.
см. § 2, следствие 2 предложения 5).
б) Вывести из а), что если V — конечной размерпости >2, то
1 оммутант группы PGL(F) простой. [См. § 6, упражнение 10.]
°в) Показать, что если К — конечное тело, состоящее из q эле-
элементов, то проективная группа n-мерного проективного пространства
над К есть группа порядка
(9n+1 — i){q"+1 — q) ... (q"^— qn'^)qn.
[Использовать а) и упражнение la, а также то, что К необходимо ком-
коммутативно (см. гл. V, § 11, упражнение 14, я гл. 'V Ш).]э
3) Проективным репером в /г-мерном проективном пространстве
Р (V) над телом К называется множество S из п+2 точек, каждые п-\-\

ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 329
из которых'образуют проективно свободную систему. Показать, что для
любых двух проективных реперов S=(ai)A<i^n+l и l5"=@!)o<i<n+i
пространства Р (V) существует преобразование /?PGL(V) такое,
что /(а,) = в| для всех i @<^i<^re-j-1). Для единственности этого пре-
преобразования необходимо и достаточно, чтобы К было коммутативно.
[Свести к случаю S'=S и заметить, что всегда можно считать
щ=я(Ь{), где F,-I<i<n_|_j—базис пространства V, a bo= by-\- 6.,-f ...
Привести пример, где К есть тело кватернионов (§ 7, п° 8) или где
существуют бесконечное множество Т точек из V (V), любые и+1
из которых образуют проективно свободную систему, и нетождествен-
нетождественное преобразование /6PGL(l7), оставляющее инвариантной каждую
точку из Т.
4) Пусть V — двумерное векторпое пространство над телом К
па, Ь, с, d — четыре различные точки проективной прямой Р (V).
Двойным отношением четверки (а, Ъ, с, d) называют множество
I , тех элементов \ ? К, для которых в V существуют векторы и, v
\ а с \
такие, что а = я(и), b = n(v), c—n(u-\-v), d= я (u-f- |u). Это опре-
делепие непосредственно распространяется на каждую четверку раз-
различных точек множества, наделенного структурой проектявной пря-
прямой (п° 7).
> г, [а Ь ]
а) Показать, что | I есть множество всех элементов, сопря-
сопряженных к некоторому элементу ф\ мультипликативной группы К*,
и что, обратно, для любых трех различных точек а, Ь, с из Р(V) и мно-
множества Q всех элементов, сопряженных к какому-нибудь элементу =т=1
из К*, существует точка d?P(V) такая, что =^' Для еДин"
ственности d необходимо и достаточно, чтобы q сводилось к одному
элементу.
б) Показать, что
Гпб1ГЬо1_ГаЬ1-1
I с d \ ~ \й с J "" I й с \
и
[ d а 1 , Га 6
(где Q1 (соответственно 1—q) означает множество всевозможных
сопряженных Х|А,= (А-gX)^1 (соответственно всевозможных
1 — Х^Х'1 — X(l — QX'1) для элементов ? из q).
в) Пусть (а, Ь, с, d) и (а', V, с', d') — две четверки различных
точек из Р (!''). Для того чтобы существовало биективное полулинейное
(Приложение I) отображение V на себя такое, что порождаемое им
при факторизации биективное отображение / пространства Р (V)

ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
на себя удовлетворяет условиям j(a)—a', f(b) = b', f(c)—c',
f(d)=d', необходимо и достаточно, чтобы существовал автоморфизм о
тела К, для которого
! d- с' j - \d c\ ¦
Для существования в проективной группе PGL(F) преобразова-
преобразования /, удовлетворяющего указанным условиям, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
а' Ь' ] I а Ь
d' с' j \_ d с
5) Пусть V(V) —(левое) проективное пространство конечной раз-
размерности п над телом К. Показать, что в множестве всех проективных
гиперплоскостей пространства 1'(V) существует структура (правого)
проективного пространства размерности п над К, канонически изоморф-
изоморфная структуре проективного пространства P(F*) (где V* — векторное
пространство, сопряженное к V). Получить отсюда структуру проек-
проективного пространства размерности п ¦— г—1 в множестве всех проек-
проективных гиперплоскостей, содержащих заданное линейное многооб-
многообразие М размерности г<С_п пространства P(V). В частности, если М
имеет размерность п — 2, можно определить двойное отношение
г ГГ ГТ I
1 г четверки (Hlt H2, H6l Ht) различных гиперплоскостей,
I л 4 "з J
содержащих М. Показать, что если D с Р (V) — прямая, не пересе-
пересекающая М, и а; — пересечение D с 1Ц A ^;г<!4), то
1 Ч «з J ^ Ht H3 J '
°6) Пусть К — поле, К — проективное поле, полученное путем
присоединения к К бесконечно удаленной точки (п° 5), и /, g — две
рациональные дроби из К (X). Показать, что если h (X)=j (g (X)),
а /, g и Л—канонические продолжения /, g и h на А', то h= fc~g,c
7) Пусть а, Ь, с, d — четыре точки проективной плоскости Р (V)
аад телом К характеристики ф 2, образующие проективный репер
(упражнение 3), е, f. g — точки пересечения прямых Лаъ и Z), j, Dac
и Dbdi Dad и Dbc (ГДе -©жу означает прямую, проходящую через раз-
различные точких, у) и h—точка пересечения прямых Вьс и De). Пока-
Показать, что ={ — 1}. [«Теорема о полном четырехстороннике»;
свести к случаю, когда Dad—бесконечно удаленная прямая аффинной
плоскости.] Каков соответствующий результат в случае тела К харак-
характеристики 2?
8) Пусть D иВ'—две различные прямые проективной плоскости
P(F) над телом К, содержащим не менее трех элементов. Для того
чтобы для любых трех различных точек а, Ъ, с прямой D и любых

ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 331
•грех'различных точек а', Ь', с' прямой D' точки пересечения г, q, р
прямыхDal, и Dba,, Dac, и Dca,, Dbc, и Dcb, лежали на одной прямой,
необходимо и достаточно, чтобы К было коммутативно. [«Теорема
Паппа»; свести к случаю, когда q и г находятся на бесконечно удален-
удаленной прямой аффинной плоскости.] Применить эту теорему к проектив-
проективному пространству прямых^пространства P(V) (упражнение 5i.
9) Пусть s, а, Ь, с, а', Ь', с'—семь различных точек проективной
плоскости над телом К, содержащим не менее трех элементов, причем
s, а, Ъ, с и s, а', V, с' — проективные реперы, а прямые Dsa, Ds\,,
D^r проходят соответственно через я', Ъ', с . Показать, что точки пере-
пересечения г, р, q прямых Dab и Da,b,, Dbc и Db,c.,, Dca и Dc,a, лежат н<*
одной прямой. [«Теорема Дезарга»; метод, аналогичный методу упраж-
упражнения 8.]
*10) Пусть E = V(Y) и ?'— P(V') — проективные пространств;!
одинаковой конечной размерности п !> 2 соответственно над телами Л
ц К' и и — биективное отображение Е на Е', преобразующее любые
три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие на ofliioii
прямой. Показать, что существуют изоморфизм а тела К на К' и биек-
биективное полулинейное (относительно а) отображение v пространства 1
на V такие, что и есть отображение, порождаемое отображением <
при факторизации. [Использовать упражнение 7 Приложения II.)
Если V' = V и К коммутативно, то для того, чтобы и было проектив-
проективным отображением, необходимо и достаточно, чтобы для каждой
четверки (я, Ъ, с, d) различных точек пространства P(t')> лежащих
' Г и (а) и (Ь) 1 Га b I
на одной прямой, выполнялось равенство .. ' = ,
11) Пусть V — векторное пространство конечной размерности л
над телом К, (<4)i<i<n—базис этого пространства, К' — подтело
тела К и V — л-мерное векторное пространство над К, порожденное
элементами е;. Дать пример инъективного отображения V в V, пре-
преобразующего любые три точки, лежащие на одной прямой, в три точки,
лежащие на одной прямой, но не обязательно преобразующего две
параллельные прямые в множества, содержащиеся в двух параллель-
параллельных прямых. [Погрузить V в канонически ассоциированное с ним про-
проективное пространство Е и рассмотреть проективное отображение и
последнего на себя такое, что прообраз относительно и бесконечно
удаленной гиперплоскости отличен от нее и не содержит ни одной точки
из V; можно было бы, например, взять бесконечное К и конечное К'.]
*12) Пусть ?r=P(F) — проективная плоскость над телом А'
я и — биективное отображение Е иа себя, получающееся путем фак-
факторизации из некоторого биективного отображения v пространства 1
на себя, полулинейного относительно автоморфизма а тела К.
а) Показать равносильность следующих четырех свойств: а) како-
каково бы ни было х ? Е, х, и (х) и и-(х) лежат на одной прямой; Р) каждая
прямая на Е содержит точку, инвариантную относительно и; у) через

ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
каждую точку из Е проходит прямая, инвариантная относительно и:
ft) какова бы ни была прямая D на Е, прямые D, u(D) и u2{D) имеют
общую точку. [Доказать сначала равносильность а) и у); выьеств
отсюда по двойственности (упражнение 5) равносильность E) п 6):
наконец, показать, что у) влечет E), и вывести отсюда по двойствен-
двойственности, что C) влечет у).]
б) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а). Пока-
Показать, что если на Е имеется прямая D, содержащая лишь одну точку а.
инвариантную относительно и, то и получается путем факторизации
из некоторого сдвига v пространства V (§ 6, упражнение 7). [Пока-
[Показать, что каждая прямая, инвариантная относительно и, проходич
через я; рассматривая прямую, пе проходящую через а, показать, чю
существует прямая _D0, проходящая через а и содержащая по крайней
мере две точкп, инвариантные относительно и; заключить, что все
точки прямой -Do необходимо инвариантны относительно и.]
в) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а), и на Е
не существует прямой, которая содержала бы только одну точку,
инвариантную относительно и. Показать, что если на Е имеется прямая
D, содержащая лишь две точки, инвариантные относительно и, то и
получается путем факторизации из некоторого растяжения v простран-
пространства V (§ 6, упражнение 7). [Показать, что если а и b — те две точки
прямой D, которые инвариантны относительно и, то каждая прямая,
инвариантная относительно и, проходит через а или Ъ; заметить далее,
что существуют по крайней мере две другие точки с, d, отличные от а
и Ь, инвариантные относительно и, и. следовательно, что прямая Dea
проходитчерез а или Ь; в заключение доказать, что все точки прямой Вы
инвариантны относительно и.]
г) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а), и к<ш;
дая прямая на Е содержит по крайней мере три различные точки,
инвариантные относительно и; тогда в Е существует проективный репер-
S (упражнение 3), каждая точка которого инвариантна относительно и:
заключить отсюда, что в V существует базис (e,I<j<3 такой, что и
получается путем факторизации из полулинейного отображения v
пространства V на себя, для которого г>(е^)=е; A ^ г <,. 3). Множе
ством точек из Е, инвариантных относительно и, является тогда проек-
проективная плоскость Р (V'o), где Vo — векторное пространство над телом К»
инвариантов относительно а, порожденное элементами е1; <°2, е-л.
д) Пусть теперь и удовлетворяет условиям пунктов а) и г) и ни и.
ни и2 не есть тождественное отображение. Доказать существовали»*
у g К такого, что Y°-"=Y и
для каждого ggA'. [Воспользоваться условием а) пункта а) и суще
ствованием %?K, длн которого ?° =/= ?.] П жазать, что y— - '•

ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 333
поскольку
A+Y)E°Y = YSA-t-Y) B)
для каждого \ ? К с |°'Ф\. [Применить A), заменив | на |2.]
Заметив, что |~т) — ?, где т)ст ф г\ и ?° Ф t,, распространить B)
на все \ 6 К. Заключить отсюда, что уф I, vi далее вывести из A)
и^B), что
для всех g~? Хв что Y4 Y принадлежит центру тела ТТ. Обращение.
Привести пример, где у не принадлежит центру тела К, a
принадлежит.

ГЛАВА III
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Там, где не оговорено противное, все кольца операторов, рас-
рассматриваемые в этой главе {за исключением Приложений), пред-
предполагаются коммутативными и имеющими единицу, а все модули
над этими кольцами — унитарными. Всякие дополнительные пред-
предположения явно отмечаются в своем месте, а если они относятся
ко всему параграфу — в его начале.
§ 1. Тензорные произведения модулей
1. Билинейные функции
Определение 1. Пусть А — коммутативное кольцо с едини-
единицей и Е, F, G — унитарные А-модули. Отображение f произведе-
произведения Е X F в G называют билинейным, если для каждого y?F частич-
частичное отображение x—^f(x,y) есть линейное отображение Е eG идля
каждого х?Е частичное отображение y—>f(x, у) —линейное ото-
отображение F в G.
Иными словами, / должно удовлетворять следующим тожде-
тождествам:
f{p; y+y')=--f(z, y) + f(x, у'),
(* + *', ту) = /(*, y) + f(x'. у), |
f(ax, y) = f(x, ay)=--a.f{x, у) B)
для всех о. ? А, z?E, x'?E, i/?F, y'?F.
Примеры. Отображение (г, у) -> осу произведения АХ А
в А билинейпо; то же верно в случае, когда Е — алгебра (гл. II, § 7)
над .4, для отображения (х, у) -> ху произведения ЕХЕ в Е. Каков бы

I ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 335
ни был унитарный Л-модуль F, (а, х) '-* ах есть билинейное отобра-
отображение A XF в F.
Из определения 1. в частности, вытекает, что/@,г/)=/(х,О)=О
для всех х ? Е и у f-F.
Если г = ^ ii«b 2/~2%6ц' то (как устанавливается индук-
цией по числу ненулевых коэффициентов ?х, ¦%)
В частности, если (а?) — базис модуля 2?, FД) — базис модуля F,
то для любого заданного семейства (с^ц) элементов из G сущест-
существует, и притом единственное, билинейное отображение / произ-
произведения Е XF в G такое, что / (а%, Ьц) = Ощ для каждой пары
индексов (Я., (х).
Ясно, что если / и g—билинейные отображения ExF в G,
то / + g и а/ (а ? Л) —тоже билинейные отображения ExF в G;
иными словами, билинейные отображения Е X F в G образуют
А-модулъ; мы будем обозначать его Х(Е, F; G) или Х^(Е\ G),
если F = Е. Из предыдущего следует, что если (a{)ieL и (ЬД^жг —
базисы модулей Е и F, то Л-модуль jf (?", /"; G) изоморфен произ-
произведению G Xl .
Предложение 1. Модуль ?{Е, F\ G) билинейных отображений
Е xF в G изоморфен модулю X (Е, X (F, G)) линейных отображений
модуля Е в модуль линейных отображений F в G (а также анало-
аналогичному модулю X(F, ?{E, G))).
Действительно, у—>и(х, у) для каждого u?J6(E, F; G) и каж-
каждого х?Е есть линейное отображение F в G; если обозначить его
их, то х—*их будет линейным отображениемЕ в X (F,G). Обратно,
каково бы ни было линейное отображение х —>/ж модуля Е в X (F,G),
(х, y)—>fx(y) есть билинейное отображение ExF в G, и, обозна-
обозначая его и, имеем ux=fx для каждого х(-Е. Ясно, что этим опре-
определены изоморфизм X (Е, F; G) на X (Е, X (F, G)) и изоморфизм,
ему обратный; эти изоморфизмы будут называться каноническими.
Определение 2. Каждое билинейное отображение произведе-
произведения ExF унитарных А-модулей Е, F в кольцо А (рассматривае-
(рассматриваемое как А-модуль) называется билинейной формой на ExF.

336 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III. § 1
Согласно предыдущему, билинейные формы на Е X F образуют
Л-модуль X (Е, F; А); причем, если Е обладает базисом («>.)>.??
п F — базисом (Ьц),^, то этот модуль изоморфен А х f. Кроме
того, из предложения 1 вытекает:
Предложение 2. Модуль билинейных форм на ExF изо-
изоморфен модулям X (Е, F*) и X (F, Е*) (где Е* и F* означают
модули, сопряженные соответственно к Е и F).
Следствие. Пусть и —билинейная форма на Е х F; если Е и F
обладают конечными базисами (a^i^i^n и (fr^i^i^n, состоящими
из одинакового числа элементов и такими, что u(at, &.,-) = 6j;- (где
6^ — кропекеровский символ) для каждой пары индексов (/, /), то
и канонически соответствует некоторому изоморфизму Е на F*
и некоторому изоморфизму F на Е*.
Действительно, тогда линейное отображение х —> их модуля Е
в F*, канонически соответствующее и, таково, что иа. = 6!
A<?<?г), где (Ь[) — сопряженный к (Ьг) базис модуля F* (гл. II,
§ 4, п° 4).
2. Тензорное произведение двух модулей
Мы увидим, что понятие билинейного отображения можно
с помощью понятия тензорного произведения свести к понятию
линейного отображения.
Покажем, что для заданных унитарных А -модулой Е и F суще-
существуют Л-модуль М п билинейное отображение гр произведения
ExF в М такие, что, каково бы ни было билинейное отобра-
отображение / произведения Е X F в произвольный Л-модуль N, сущест-
существует линейное отображение g модуля М в Л', удовлетворяющее
соотношению / = g о ср.
Заметим прежде всего, что если Л/ обладает этим свойством, то
им обладает также подмодуль Мх в Л/, порожденный множеством
q(E х F) (для чего нужно только рассмотреть сужение g па Л/,);
поэтому достаточно ограничиться тем случаем, когда дополнитель-
дополнительно требуется, чтобы Л/ порождалось множеством <p(ExF), т. е.
совпадало с множеством всевозможных линейных комбинаций

j» ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 337
(гл. II, § 1, п° 5) элементов из q>(ExF); в этом случае линейное
отображение g, для которого / = g° ср, однозначно определяется
билинейным отображением /. Покажем, что если такой модуль М
существует, то он определен с точностью до изоморфизма одно-
однозначно; говоря точно, имеет место
Предложение 3. Пусть Мг (i = 1,2) — два А-модуля и ф1 для
каждого i —билинейное отображение ExF в Мг, обладающее
следующими свойствами: 1° Л/{ порождается множеством ф{ (Е X F);
2° для каждого билинейного отображения f произведения ExF
в произвольный А-модулъ N существует линейное отображение g,L
модуля М% в N такое, что f = gi о ф4. При этих условиях существует
изоморфизм и модуля Мх на Мг такой, что ф2 = иоф^
Действительно, беря в качестве N модуль М2, видим, что суще-
существует линейное отображение h1 модуля Мк в М2 такое, что ф2 =
= ^1оф1; и точно также существует линейное отображение А2
модуля М2 в Л/х такое,что фх =/»2оф2; отсюда фх = (А2о/г1)оф1, где
h^oh^ — линейное отображение Мх в себя; но так как ф1(?'х/?')
порождает Мх, то из последнего соотношения вытекает, что
z — hi(h1(z)) для каждого z €Afx; иными словами, h2<>h1 есть тожде-
тождественное отображение Мх на себя; совершенно так же /г1ой2 есть
тождественное отображение Л/2 на себя; следовательно (Теор.
мн., Рез., § 2, п° 12), ht есть взаимно однозначное отображение
Мг на М2, a h2— обратное ему отображение.
Покажем теперь, что модуль М, удовлетворяющий требуемым
условиям, действительно существует. Рассмотрим Л-модуль
G=A x фор мольных линейных комбинаций (с коэффициентами из
А) элементов множества Е х F (гл. И, § 1, п°8); как мы знаем, кано-
канонический базис этого модуля можно отождествить с множеством
Е X F так, что каждый элемент из G будет однозначно представ-
представляться в виде У ах ,. (х, у) (где ах принадлежат А и равны
(х. y)?EXF
нулю для всех кроме конечного числа пар (х, у)).
Пусть теперь N — произвольный Л-модуль; как мы знаем
(гл. II, §2, п° 4), каждое отображение / множества ExF в N
может быть, и притом единственным образом, продолжено до
линейного отображения / модуля G в N, а именно определяемого
22 н. Бурбаки

338 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, §
формулой
' У)) = S Ox. v / («. У)-
ж, у
Отображение /—>/ есть изоморфизм модуля NEXF всех
отображений Е X FbN на модуль X (G, N) линейных отображений
G в N. Охарактеризуем линейные отображения /, соответствую-
соответствующие билинейным отображениям/ произведенияЕ X F bN; условия
A) и B) означают, что линейная функция / обращается в нуль
на всех элементах из G видов
(х, У + у')-(х> У)-(х, У), (х + х\ у) — (х, У) — (*', У)'
(ах, у)-а(х, у), (х, ау) -(х, у).
В силу своей линейности,/ равна нулю также для всех элементов
подмодуля Н в G, порожденного элементами указанных видов,
причем этот подмодуль не зависит от N; допуская вольность
речи, мы будем называть Н подмодулем в G, на котором аннули-
аннулируются все билинейные функции. Итак, образом модуля X (Е, F; N)
билинейных отображений Е X F в N при изоморфизме /—>/ служит
подмодуль в j?(G,N), образованный теми линейными отображе-
отображениями G в N, которые аннулируются на Н. Но тогда (гл. II, § 2,
предложение 1) g—>goQ: где 0 — каноническое отображение G
на G/H, есть изоморфизм X(G/H, N) на подмодуль в J6(G,N), обра-
образованный линейными отображениями, аннулирующимися на Н.
Таким образом, обозначая через ф сужение 0 на Е X F, видим, что
каждое билинейное отображение Е X F в N однозначно представ-
представляется в виде go ф, где g — линейное отображение G/H в N, причем
g—> go(p есть изоморфизм J?(G/H, N) на Jg(E, F; N) (который, как
и обратный ому изоморфизм, мы будем называть каноническим).
Так как ф — билинейное отображение Е X F в G/H, a q>(E x F)
порождает G/H, то модуль M = G/H и отображение ф удовлетво-
удовлетворяют всем условиям предложения 3. Для каждой пары (х,у)?Е х F
мы положим отныне ф(ж, у) =x?g;у (вместо чего будем иногда допу-
допускать также запись ху, если это не сможет вызвать путаницу).
Определение 3. Пусть Е и F — А-модули. А-модуль G/H
(фактормодуль модуля G формальных линейных комбинаций
элементов произведения Е X F но подмодулю Н. на котором

2 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 339
аннулируются все билинейные функции) называется тензорным
произведением модулей Е и F и обозначается E&F.
Допуская вольность речи, мы будем каждый элемент из
вида x(gy называть тензорным произведением х и у. Имеем тожде-
тождественно
C)
D)
и, в частности, j-(gO = O(g;// = O, каковы бы ни были х?Е и y?F.
Любой элемент из E%F может быть (в силу D)) представлен
в виде ^(^i'XJ/i) и' значит, является суммой конечного числа
тензорных произведений элементов из Е и F; но, как показывают
тождества C) и D), элемент из E(&F представим в таком виде
вообще различными способами.
Замечания. 1) Пусть Е и F — коммутативные группы без
операторов; пх всегда можно рассматривать как модули над кольцом Z
рациональных целых чисел (гл. II, § 1, п° 1); под тензорным произ-
произведением Е ® F двух таких групп всегда понимается произведение
их структур Z-модулей.
2) Тензорное произведение двух модулей, не сводящихся к О,
может сводиться к 0. Например, для Z-модулей i? = Z/B) и F~Z/C)
имеем 2х = 0 и Ъу = 0, каковы бы нп были х ? Е и у ? F; следовательно,
*<&У = 3(*<gi/)-2(*&./) = (•>&(%))- (Bа.-)®2/)= 0
для всех х d E и у ? F.
В связи с этим примером см. ниже следствие предложения 6.
3) Заметим, что отображение (х, у) —i-x&y произведения EXF
в Е (§) F вообще не взаимно однозначно, поскольку для х Ф 0 имеем
= 0 0 0 = 0; поэтому EXF нельзя рассматривать как часть
Резюмируем основные свойства тензорного произведения E&F:
Схолия. Линейные отображения E&F в произвольный А-
модулъ N связаны с билинейными отображениями Е X F в N сле-
следующим взаимно однозначным соответствием: линейное отобра-
отображение f модуля E&F в N определено, если известно его значение
t(z(&y) для каждой пары (я, y)?Ey,F и отображение (х, y)-^-f(x(&y)
билинейно. Обратно, для определения линейного отображения
22*

340 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. 111, § 1
E(g)F в N достаточно задать отображение (х, у) —-> g(x, у) про-
произведения Е X F в TV, проверив его билинейность; тогда существует,
и притом единственное, линейное отображение f модуля E0F
в N такое, что / (х&у) = g {х, у) для всех (х, у)?Е X F.
В частности, незачем проверять, что ^ (xi ® Vi) = 2 (x'h ® У'к>
i k
влечет V g(xi, 2/j) = 2 8(xk> Уь)> это есть следствие определения теп-
i ft
зорпого произведения и предположенной билинейности g.
Для дальнейших приложений (§3) будет полезно вывести из
предыдущего следующее правило определения билинейного ото-
отображения произведения Gt x G2 тензорных произведений
G1 = E1<g)F1iiG2 = E.i(g)F2 в модуль N: достаточно задаться отобра-
отображением g произведения E1xFl'x ЕгХ F2 в N таким, что каждое
из частичных отображений^, уО-»g(а^, у1г х2, у2) и (х2, j/2)->
—>g{xn Ул.-> xv У2) билинейно; тогда существует однозначно оиреде-
ленное билиаейное отображение/произведения GxxG2 в TV такое,
что тождественно/(^Ог/i, x^y^ — g(xl,yl,xi,y.^. Действительно,
для каждой пары (хг, уг) существует линейное отображение uX2t Vi
тензорного произведения G1 в N такое, что их , Vi (x^y^) =
= g(xi, \)v xf J/a). и отображение (х2, у2) -^ их^ у^ произведения
ЕгХ F2 в X (G15 TV) билинейно; поэтому существует линейное
отображение v тензорного произведения G2 в X (Glr N) такое,
что v (x2<giy2) = ы*2, у2, и справедливость утверждения сразу сле-
следует из предложения 1.
3. Свойства тензорных произведений
Предложение 4. Тензорные произведения E®F и F(g)E
изоморфны, («коммутативность» тензорного произведения).
Действительно, так как (х, у) —>у(&х есть билинейное отобра-
отображение Е X Fb F®E, то (п° 2, схолия), положив и {х(&у)=у§$х, мы
определим линейное отображение и модуля E®F в F&E; точно-
так же, положив v {у&х) = х&у, мы определим линейное отобра-
отображение v модуля F&EвE(g)F;так как uov n vou — соответственно
тождественные отображения F(g>E и E®F в себя, то и и у —
взаимно обратные изоморфизмы (Теор. мн., Рез., § 2, п°
(которые будут называться каноническими).

,у ТЕНЗОРНЫЕ ПРОНЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 341
Предложение 5. Для каждого унитарного А-модуля Е
тензорное произведение А&Е изоморфно Е.
Действительно, отображения и(а(&х) = ах и v(x) = z(g)x (где
s — единица кольца А) определяют линейные отображения и
модуля А®Е в Е и v модуля Е в А<&Е\ очевидно, uov есть тожде-
тождественное отображение Е на себя, a v°u, в силу соотношения
е®(ах) = а®х, —тождественное отображение А(&Е на себя; сле-
следовательно, и и v — взаимно обратные изоморфизмы (которые
«УДУт называться каноническими).
Следствие. Тензорное произведение А®А А-модуля А на себя
изоморфно А.
Таким образом, канонический изоморфизм А®А на А отно-
относит элементу a(g,p* произведение а$ в А.
Предложение 6. Пусть М — подмодуль модуля Е и N —
подмодуль модуляF. Тензорное произведение (E/M)(g,(F/N) изоморф-
изоморфно фактормодулю (E®F)jT{M, N), где Г (М', N) — подмодуль
в E&F, порожденный элементами х<2>у с х?М или y?N.
Применим критерий предложения 3. Обозначим соответствен-
соответственно через х —>х и у—>у канонические отображения Е на Е/М и F
на F/N, а через а> — каноническое отображение Е 0 F на
5 = (Е <g) F)/T(M, N). Тогда (х, у)—>а> (х ® у) есть билинейное
отображение ExF в S, аннулирующееся, в силу определения со
и T(M,N), как для х = 0 (modМ), так и для у = 0 (modiV); это
показывает, что а> (х ® г/) зависит лишь от класса х элемента
х (mod M) и класса у элемента у (modiV), так что можно написать
w (ж ® У) — и (я. 2/)- Отображение и произведения R — (Е/М) X (F/N)
в 5 билинейно, и ясно, что элементы вида и(х,у) порож-
порождают S.
Пусть теперь / — билинейное отображение произведения R в про-
произвольный А -модуль Q. Для любых х б Е, y?F положим f^(x, у) =
~f(x,y); так как /, —билинейное отображение ExFb Q, to
существует линейное отображение^ модуля Е <g) F в Q, такое, что
?i (х ® У) = /i (x> y)=f (xi y)'i тогда g1 (x <g) у) аннулируется как для
х — 0 (mod Л/), так и для г/ нг 0 (mod N) и, значит, gt аннулируется
на Г (М, N); отсюда вытекает (гл. II, § 2, предложение 1), что

342 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ш, § 1
g1 = go со, где g— линейное отображение S в Q. Поэтому /(х, у) =
= g(a> (х ® у)) — g (и (х, у)), т.е. f = gou. В силу предложения 3,
примененного к модулям Е/М, F/N, S и отображению и, модуль S
изоморфен (E/M)®(F/N): изоморфизм S на (Е/М) (g (F/N),
определяемый отображением предложения 3, относит классу х (g у
по модулю Г (М, N) тензорное произведение х (g у; мы будем
называть этот изоморфизм и изоморфизм, обратный ему, канони-
каноническими.
Следствие. Пусть а и Ь- любые два идеала кольца А; тензор-
тензорное произведение моногенных модулей А/а и А/Ъ изоморфно
моногенному модулю А/(а + Ъ).
Действительно, при каноническом отождествлении модулей
A (g А и А (следствие предложения 5) подмодуль Г (а, Ь) модуля
/4(gА отождествляется с идеалом а + Ь. откуда и следует спра-
справедливость утверждения.
Пусть М—произвольный подмодуль модуля Е, N — произ-
произвольный подмодуль модуля F, ф— каноническое отображение
М в Е п. a|j — каноническое отображение N в F. Отображение
(х, у) —> ф (ж)®1|з (у) произведения М X N в E(g,F, будучи билиней-
билинейным, определяет (называемое каноническим) линейное отображе-
отображение 0 модуля M^tNв Е^:F (тлкое,чтоQ(x^у) = <р (я)®if (у)); образ
0 (М ® N) модуля М (g) TV при этом отображении есть подмодуль
в Е (g F, порожденный элементами <р (х) (g> 'ф (у), где х пробегает
М иг/пробегаетN; но вообще 0 не есть изоморфизм М(g>Лг в Е (g)F
(см. упражнение 1), что тем самым не позволяет отождествлять
М (giV с Э (M(g)N). Однако справедливо следующее предложение:
Предложение 7. Пусть Е и F — А-модули, являющиеся пря-
прямыми суммами семейств (Е%) и (F^) своих подмодулей. Канониче-
Каноническое отображение ?^ (g> F^e E (g F для каждой пары индексов (к, \х)
есть изоморфизм на некоторый подмодуль G^ модуля Е @ F,
и Е (g F есть прямая сумма подмодулей G^.
Пусть G— прямая сумма семейства А -модулей (E^^F^)
(гл. II, § 1, п° 7); мы определим билинейное отображение и про-
произведения Е X F в G, удовлетворяющее условиям предложения 3,
откуда будет следовать, что G изоморфно Е (g F. Для каждого

;f ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 343
элемента х — 2 хх из Е, где хх<с Ех, и каждого элемента J/ = 2 Ун
X ц
из F, где г/цб^, положим и (х, у) = 2 (жа,<8> Уц); ясно, что и —
я, и
билинейное отображение и и(Е У. F) порождает G. Пусть теперь
Л7' —произвольный ^4-модуль и /—билинейное отображение
ExF в TV; пусть, далее, /^ для любой пары (X, \х) — сужение /
на произведение Е% X F^,. Так как /?-м, билинейно, то существует
линейное отображение g\u модуля Ex® F^ в N такое, что
h\x(xx,yv) = gkv.{xx®ijVi) для всех х%?Ек, y^F», с другой сто-
стороны, для x=y^x%^EvLy=^y^F имеем / (х, у) = 2 /(ж*,, г/и) =
= 2Дц (^i Уц) = 2 ?лм (^ ® г/ц); поэтому, обозначая через g линей-
А,ц X,ix
ное отображение G в N, сужение которого на Е% ® F^ для каждой
пары (А., (д.) равно g^n (гл. II, § 2; предложение 3), имеем
= й-оа. Следовательно,
модули Е <2) F и G изоморфны; изоморфизм v модуля Е ® F на <?,
определяемый отображением предложения 3, относит тензорному
произведению х <gi г/ элементов :г = 2;гх и У = 2 2/ц элемент
2 (жх ® Уц) из G, где каждое тензорное произведение х% (g) г/^
берется в модуле E%^F^\ ясно, что сужение v на Gx(i, есть изо-
изоморфизм Gxn на Ex® f р., обратным к которому служит канониче-
канонический изоморфизм E%ig) F,,. в Е <g) F.
При выполнении условий предложения 7 модули G^ix и Е% ® F^
посредством изоморфизма v отождествляются.
Следствие 1. Если F обладает базисом {Ьу)^ ?М,то модуль Е <g) F
изоморфен модулю Е и каждый элемент из E<§§F может быть,
и притом единственным образом,, представлен в виде 2 (xv. ® ^ц)>
где х^Е.
Действительно, при указанном отождествлении Е (g) F есть
прямая сумма подмодулей Е (^(АЬц)', так как ?,—>1,Ь^ есть
изоморфизм А на АЬ^, то из предложения 5 вытекает, что
х—> ж ® 6ц есть изоморфизм ?" на ?(^4 6^), чем утверждение и
доказано.

344 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ill, § 1
Следствие 2. Если (ах) — базис модуля Е и (Ь^) — базис
модуля F, то элементы яд,® ?>ц образуют базис модуля E(g)F.
Допуская вольность речи, мы будем называть базис (ад,® Ьц)
тензорным произведением базисов (а^) и (Ь^).
Мы видим, что если Е и F — векторные пространства над
полем К, а а; и у — ненулевые элементы из Е и F, то ж® уфО;
действительно, в Е существует базис, содержащий х, и в F —
базис, содержащий у.
Следствие 2 показывает также, что если Е и F — конечномер-
конечномерные векторные пространства над полем К, то и Е <х) F — конечно-
конечномерное векторное пространство над К, причем
dim (E ® F) = dim E dim F. E)
Следствие 3. Пусть Е и F — А-модули, а М и N — их подмо-
подмодули. Если М обладает дополнением в Е и N — дополнением в F,
то каноническое отображение М<S> N в Е ® F есть изоморфизм
и образ М ® N при этом изоморфизме обладает дополнением
в E&F.
В этом случае (всегда реализующемся, когда Е и F — век-
векторные пространства (гл. II, §3, предложение 5)) модуль М ® Лг
отождествляется с его каноническим образом в Е ® F.
То, что для подмодуля М модуля Е и подмодуля N модуля F
каноническое отображение M^N^E^F-ae обязательно является
изоморфизмом, можно также выразить следующим образом:
если (xji^i^n и (j/i)i^i^n — конечные последовательности элементов
из Е и F, для которых 2 (xi ® Уд = 0 в Е ®/\ а М и iV —под-
i
модули в Е и F, порожденные соответственно элементами хг и j/iT
то 2 (^i ®J/i) не обязательно = 0 е M®N. Отметим, однако,
г
следующее предложение:
Предложение 8. Пусть (x^i^i^nU (y^i^i^n —семейства элемен-
элементов изЕ и F, для которых 2 (xi ® Уд = 0 в E(g)F. Тогда существуют
i
подмодуль Е1 в Е, содержащий все xt, и подмодуль Ft в F, содер-
содержащий все г/4, имеющие конечное число образующих и такие, что

3 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 345
Действительно, по предположению, в модуле G = А х фор-
формальных линейных комбинаций элементов из Е х F элемент
2(^i>J/i) принадлежит подмодулю Н, на котором аннулируются
г
все билинейные функции (п° 2). Значит, согласно определению Ну
2 (^i> J^i) можно представить в виде линейной комбинации конеч-
i
ного числа элементов zv ? G видов
(и, v + v') — (u, v) — {u, v'),
(u + u',v) — (u, v) — (u', v),
(аи, v) — а (и, v), (и, av) — а (и, v).
Пусть тогда Ег (соответственно Fx) — подмодуль модуля Е
(соответственной), порожденный элементами xi (соответственно г/4)
и всеми элементами из Е (соответственно F), фигурирующими
в упомянутых выражениях для элементов zv. Модуль Gx = A lX
можно считать подмодулем в G; тогда подмодуль Нх в G1: на кото-
котором аннулируются все билинейные функции, определенные на
E1xF1, будет подмодулем в Н f] G1, содержащим все zv, а, зна-
значит, также 2 (хи J/i)' чем предложение и доказано.
г
Замечание. Пусть В— подкольцо кольца А, имеющее тот
же единичный элемент, что и А, и пусть Е и F—Л-модули. Сузив
области операторов внешних законов этих модулей до кольца В, мы
определим в мпожествах Е и F структуры В-модуля; пусть Ев и Fb —
определепные так В-модули. Тогда можно рассматривать, с одной
стороны, ZJ-модуль Eb®Fb, а с другой—В-модуль, нолучепный
путем сужения области операторов ^-модуля E§§F до В; вообще
* эти два модуля не изоморфны. Например, пусть А — поле и В — его
подполе, степень [А : В] которого есть копечное число те; так как век-
векторное пространство А® А над А изоморфно А, то при сужении
области операторов до В мы получим те-мерное векторное простран-
пространство над В; напротив, согласно формуле E), Ав<2)Ав будет иметь
относительно В размерпость т2.
Таким образом, говорить о тензорном произведении двух модулей
не имеет смысла до тех пор, пока не указано кольцо операторов, отно-
относительно которого это произведение берется; явное указание этого
кольца будет опускаться, лишь когда контекст не будет оставлять
никакого места сомнениям насчет него.

346 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III. § 1
4. Тензорное произведение линейных отображений
Пусть ЕХ,Е2, FJtF2 — Л-модули и их (I = 1, 2) — линейное Ото-
Отображение Ег в Fi. Согласно схолии из п° 2, положив и {хг <g> х2) =
= щ (xj) (g> иг(х„) для каждого тензорного произведения хх ® ж2€
^.Е10Е2, мы определим линейное отображение и модуля Е1(^)Е2
в модуль Fx (g) F2. Обозначим временно это отображение и через
ф(и1? и2); очевидно (п° 2, схолия) ф есть билинейное отображение
произведения X (Elt Fj) X X (Е2, F2) в модуль X (Et ® ?„ ^ ® /",);
следовательно (п° 2), существует, и притом только одно, линей-
линейное отображение г|э тензорного произведения X (Ег, FJ&X (Е%, F2)
в X (Ег ® Е2, F1 (g) /\,) такое, что ф (Mlt u2) = if (мх ® ы2). Вообще ч)э
we есть изоморфизм X {Ег, Fx) ® X (Е2, F2) на X (Е1 ® Е2, Fx ® ^^)
(см. упражнение 3); тем не менее это будет так в наиболее важном
случае:
Предложение 9. Если E1,E2,F1,F2 — унитарные А-модули,
имеющие каждый конечный базис, то я|) есть (называемый кано-
каноническим) изоморфизм X (?i, F^tg/X (E2, F2) на X {Ег (g>E2, Ft0F2).
Действительно, мы покажем, что ч|) отобралгает базис модуля
X (Et, F^ ® X (Е2, F2) на базис модуля X {Ег ®?, Ft ® F2). Пусть
(«гд.) —базис модуля Ег и Fг,ij..) — базис модуля/\ (i = l,2);
положим ах1^2 = а1Д1® Й2Д2 Для каждой пары (^Д2) и Ь,щг2 =
= &1.щ® ^2,ц2 Для каждой пары ((x^u,); aXli2 образуют базис
в Et^jE2, а Ь|гцд,г — в F10F2 (следствие 2 предложения 7).
В таком случае отображения и%.^. (i = 1,2), определяемые условиями
mji-Hj («гд{) = ^-;,м; и "^Mj (ai,%:) —® Для ^' ^ *ч> образуют базис
в %(EvFt) (гл. И, § 2, п° 4); точно так же отображения
определяемые условиями u%lX2illlXi (а%1х2) = Ьщцг, "Х]Х2щи2 (а^ц) = °
для (Xj, Xj) ^= (%„ k2), образуют базис в Х(Е1® Е2, F1 ® F2).
Но, очевидно, uklk2illll2 = ц> (uXniv uX2lx2) = яр (wj.ull <g) И;.да2), и так как
тензорные произведения и^11А1® u?.2ll2 образуют базис в X (Ei,F1) ®
(g X (Е2, F2), то предложение доказано.
Таким образом, в случае, когда El,E«,F1,F2 имеют конечные
базисы, модуль X (El (g> Е„, F1®F2) можно отождествлять
с тензорным произведением X {ЕЛ,Р^\ ® X (Е2, F2) посредством изо-
изоморфизма if и вместо ф (и1,и2) писатьщ (gi u2 (или^жеихи2). Допу-

„5 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 347
екая вольность речи, мы и в случае невыполнения условий пред-
предложения 9 будем называть линейное отображение <р (щ, и2) тензор-
тензорным произведением линейных отображений их и иг и обозначать
его и1 (g) и2; эта вольность речи не сможет вызвать путаницы,
покуда речь будет идти лишь о линейных отображениях
(поскольку элементы тензорного произведения X (E-i,F-i)^^?(E2,F4)
не являются линейными отображениями).
Предложение 10. Если E1,Ei,Fi,F2,G1,G2 — А-модули, ut-
линейное отображение Ег в Ft и vi —линейное отображение Ft
ч Gi (i = l,2), то
(Vi о Щ) ® (И2 о U2) = (V± <gl V2) о (Ul ® U2). F)
Это утверждение есть непосредственное следствие определе-
определения тензорного произведения линейных отображений.
Следствие. Если иг (i= 1, 2) есть изоморфизм Ег на Ft, a v.t —
обратный изоморфизм, то иг (g) u.2 есть изоморфизм. Ех (g) Ег на
^'i ® F2 и v± (& v2 — обратный ему изоморфизм.
о. Модуль, сопряженный к тензорному произведению
Пусть Ех и Е2 — унитарные Л-модул и; согласно п° 2, модуль
X (Elt E2; А) билинейных форм на Е1 X Е2 изоморфен модулю ли-
линейных форм на тензорном произведении Ех (g) E2, т. е. модулю,
сопряженному к этому тензорному произведению; канонический
изоморфизм j? (EY,E2; А) на (El (g- E2)* относит каждой билиней-
билинейной форме / на Е1хЕ2ттейпую форму и на Е^&Е^, определяе-
определяемую условиями и (х1 (g> x2)—f (xlt X») для каждого тензорного про-
произведения х1 (g) х2.
Предположим теперь, что каждый из модулей Ег, Е2 имеет
конечный базис; предложение 9 определяет тогда канонический
изоморфизм модуля Е* ® ?¦* на модуль линейных отображений
Ег ® Е2 в A (g) A ; но следствие предложения 5 устанавливает
канонический изоморфизм Л ® Л на Л, откуда непосредственно
получается изоморфизм модуля X (El (g) ?2, Л ® Л) на
^? (jEj (g) Е2, Л)—(i?j (g) ?2)*; таким образом, имеем:

348 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § *
Предложение 11. Пусть Ех и Е2 — унитарные А-модули
с конечным базисом. Тензорное произведение Е* & Е* модулей Е*
и Е*, сопряженных соответственно к Е1 и Е2, изоморфно модулю,
сопряженному к тензорному произведению Ег (§) Е2; изоморфизм
Е* ® Е* на {Ех (g) Е2)* определяется отнесением каждому тензор-
тензорному произведению х\ ® х'г 6 Е* (g) Е\ линейной формы и на Ех(& Е2Г
определяемой условием и (xv (g) х2)=х[ (а^) х'г (х2).
Изоморфизм, определенный в предложении 11, и изомор-
изоморфизм, обратный ему, называются каноническими; в дальнейшем
Е* <g> ?¦* будет отождествляться с сопряженным к Ех (gi E2 посред-
посредством этих изоморфизмов; таким образом, тождественно
(x1<g)X2, x[ (g) x's) = (хх, х[)(х2, х'2). G>
Предложение 12. Пусть Ег, Е2, Fx, F2 — унитарные А-мо-
А-модули с конечным базисом и ut (i=l, 2) — линейное отображение
Ег в F^, сопряженное к линейному отображению их 0 и2 модуля
Ег0Е2 в Ft(g)F2 равно тензорному произведению tu1(&lu2 сопря-
сопряженных к щ и и2.
Действительно, для всех х4€ E-v y\ G F* (i=l, 2) имеем
("i(*i)<S> u2(x2), y'1<8,y'i) = (u1(xl), y[){u2{x2), y'2) =
= <«i» \(y[))(*2> iu«Ay',)) = {x1®x2, 'wi(yO®'«2(^2))-
чем предложение и доказано.
6". Тензорное произведение матриц
Пусть Еи Е2, Ft, F2 — 4-модули и иг (i=l, 2) — линейное ото-
отображение jEj в F^ Предположим, что Е{ имеет конечный базис
(я«, ^.), Ft -г- конечный базис (bit Ц{) (i=l, 2), и пусть Х{=(ац.^{) —
матрица линейного отображения иг относительно этих базисов;
матрица Х=(аЦ1М2^2) линейного отображения и=щ (g) u2 отно-
относительно базисов (я^г) и (Ьц1М2) (в обозначениях предложения 9)
называется тензорным (или кронекеровским) произведением мат-
матриц Xt и Х2 и обозначается Хх (g) X2. По определению,
поскольку м (a^^2) есть столбец матрицы X с индексом (Кх, К2),
видим, что элементы матрицы Xi (g) X2 задаются соотношениями

ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 349
Если ограничиться рассмотрением матриц, имеющих своими
множествами индексов интервалы из N вида [1, г], то тензорное про-
произведение А ® В матрицы A = (aij) из m строк и п столбцов и матрицы
В=ф,к) из р строк и q столбцов может быть записано в форме «кле-
«клеточной матрицы» (гл. II, | 6, п° 4)
а12В
\а,п1В ат2В ... атпВ,
соответствующей разбиению множества индексов строк па множества
{г}Х1. [р] A <; i ¦< т) и множества индексов столбцов на множества
{/}Х[1, q] (I <J! / <; п), или в форме клеточной матрицы
соответствующей разбиению множества индексов строк на множества
[1, m\X{h} A <; h <; р) и множества индексов столбцов на множе-
множества [1, п]Х{к] A < /с< q).
Билинейность ut (g) м2 и тождество F) в переводе на язык
матриц выражаются тождествами
® X2 = Xj ® (aZ2) = a (Xt ® X&), A0)
(Zx ® X2) (Y1 ® У2) = (ВД) ® (Х2У2). (И)
Если Xt и Z2 — обратимые квадратные матрицы, то Х^Х^ —
•обратимая квадратная матрица, обратной к которой служит
Xj1 (х) XI1. Если 7^ У2 — матрицы, эквивалентные (гл. II, § 6,
п° 10) соответственно "матрицам Хц Х2 (или квадратные матрицы,
подобные (гл. II, § 6, п° 11) квадратным матрицам Xlt X2), то
Yx ® У2 есть матрица, эквивалентная Х1 ® Х2 (соответственно
квадратная матрица, подобная Xt ® Х2).
Пусть (ai, ^.) — второй базис в ?{ (г = 1, 2); если Р4 — матрица
¦перехода от базиса (я*, я{) к базису (я4> *,{) (гл. II, § 6, п° 9), то
матрица перехода от базиса в Е1® Е2, образованного элемен-

.';50 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ill, § 1
тами ах^ = «i, X\az, ?b2' K базису, образованному элементами
%iX2=«i, \\а2, Яг> равна тензорному произведению Pj ® Р2.
Наконец, согласно предложению 12, матрица, транспониро-
транспонированная к тензорному произведению Х2 ® Х2 матриц Хх и Х2,
равна тензорному произведению 'Хг 0 'Х2 транспонированных
к ним матриц.
7. Полилинейные функции; тензорное произведение
конечного числа модулей
Определение билинейных функций обобщается следующим
образом:
Определение 4. Пусть А — коммутативное кольцо с едини-
п
цей, Е — [] Е-х — произведение п унитарных А-модулей Е% и F —
унитарный А-модуль. f называется полилинейным отображе-
отображением Е в F, если, каковы бы ни были индекс I и п— 1 элементов
ak?Eh (кф1), частичное отображение
есть линейное отображение Ei в F.
Пример. Если Е — алгебра над А, то
(•^1! Х2, •••> хп) ~* Х1ХЪ ¦¦¦ Х'П
есть полилинейное отображение Еп в Е.
Замечание. Разумеется, определение 4 непосредственно рас-
распространяется на случай множества индексов i, являющегося не интер-
интервалом из N вида [1, л], а любым конечным множеством.
п
Полилинейное отображение Л-модуля Е=\\ЕЬ в кольцо А
(рассматриваемое как Л-модуль) называется полилинейной формой.
Свойства билинейных отображений, перечисленные в п° 1,
непосредственно распространяются на полилинейные отображе-
отображения; формулирование этих обобщений предоставим читателю.
п
Отметим лишь, что полилинейные отображения Е= [} Ег в /'
образуют Л-модуль, обозначаемый X {Е1, ..., Еп; F) или Хп{Е; F).
если все Ei совпадают с одним и тем же модулем Е.

7 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 351
Рассмотрения п° 2 можно теперь перенести на любое конеч-
конечное семейство (.ё^кг^п Л-модул ей; ими определяется Л-модуль М,
обладающий следующими свойствами:
1° существует полилинейное отображение ф произведения
п п
\\ Ег в М такое, что М порождается множеством ф( \] Ег)\
2° для] любого полилилейного отображения / произведения
п
[] Ei в любой .4-модуль А существует, и притом единственное,
i=i
линейное отображениеg модуля М в N такое, что /=^оф.
При этом каждый Л-модуль, обладающий этими свойствами,
изоморфен М (обобщение предложения 3).
Детальное проведение доказательства предоставляем чита-
читателю.
Определенный так 4-модуль М называется тензорным произ-
ведением семейства (Е{) и обозначается (§) Е-ь или?11®?'20 . .
если все Ei совпадают с одним и тем же модулем Е, то их тензор-
ное произведение обозначается также у$Е и называется п-й
тензорной степенью модуля Е. Значение ф (я^ х2,..., хп), принимае-
п
мое полилинейныл! отображением ф для каждого (х^^, \\EV
i=l
п
обозначают (^) xi или х1 0 х.г 0 ... 0 хп и (допуская вольность
i=i
речи) называют тензорным произведением последовательности (а^).
Каково бы ни было разбиение (/Ji<ft<p интервала [1, п\ множе-
п
ства N, тензорное произведение^)^ изоморфно тензорному
t=i
р
произведению 0 @?.) («ассоциативность» тензорного нро-
ft=i it/,
изведеиия). Это устанавливается методом, использованным в до-
доказательствах предложений 6 и 7: условием и (х±, ..., хп) =
р
~уу (чу* х') определяется полилинейное отображение и про-

352 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ш, § 1
п р
изведения J] Ei в (?) (g)? ) и доказывается, что это поли-
i=i ft=i mh
линейное отображение удовлетворяет условиям предложения 3
(обобщенного на случай п модулей). Определенный так изомор-
п р
физм ^) Ег на ^) ((^Ei), называемый, как и обратный ему
i=i ft=i iah
изоморфизм, каноническим, относит каждому тензорному произ-
п р
ведению (g) xt элемент (g) ((g) ж.),
t=l fe=l it/ft
Читатель без труда обобщит на тензорное произведение
любого конечного числа модулей предложения 6 и 7, определе-
определение тензорного произведения любого числа линейных отобра-
отображений (или матриц) и предложения 8—12.
Упражнения. 1) Пусть E&F — тензорное произведение
Z-модуля ?=Z на Z-модуль F=Z/B) и М — подмодуль 2Z (четных
чисел) модуля Е. Показать, что канонический образ тензорного произ-
произведения М <Э F в Е <Э F (п° 3) не изоморфен М <Э F.
2) а) Пусть G — аддитивная группа, рассматриваемая как Z-
модуль; показать, что тензорпое произведение (Z/(«)) ® С Z-модулей
Z/(n) и G изоморфно факторгруппе G/nG группы G по ее подгруппе nG,
образованной элементами пх, где х пробегает G.
б) Ядро канонического представления (nZ) @Ca Z0 С изоморф-
изоморфно подгруппе в G, образованной теми элементами х, для которых лж=0.
3) Пусть Е — любой унитарный ^4-модуль и F — унитарный
yl-модуль с базисом.
а) Показать, что, каков бы ни был подмодуль М модуля Е, кано-
каноническое отображение М (§) F в Е ® F есть изоморфизм.
б) Показать, что если х — свободный элемент модуля Е
и у—ненулевой элемент из F, то ж®у ф 0; если при этом и у сво-
•бодный, то ж<Эг/ есть свободный элемепт модуля E0F.
4) Пусть р — простое чис\по, А — коммутативное кольцо Z/(p2),
Е — аддитивная группа Z/(p), рассматриваемая как yl-модуль (в кото-
котором произведением класса по модулю р2 и элемента х 6 Е служит эле-
элемент пх, где п— любое целое из рассматриваемого класса по модулю р2)-
Пусть, далее, и и о — любые два линейных отображения Е в А
(рассматриваемое как уЁ-модуль). Показать, что линейное отображение
/ модуля E<§QE в А(?)А, удовлетворяющее условию }(x(R)y) =
= u(x)?Z)v(y), тождественно нулевое, хотя тензорпое произведение
Е*(&Е* сопряженного к ? на себя и не сводится к 0.
5) Пусть Ei, E2, Flt F2 — векторные пространства над полем К,
щ (i = l, 2) — линейное отображение Ei в F^ и м = м1®м2. Пусть,
далее, Hi — векторное подпространство пространства ?{ (i = l, 2),

РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ 353
Я — векторное подпространство Н-^^Н^ пространства
(следствие 3 предложения 7) иН' — подпространство (щ (Я,))®
пространства Fl(g}F2- Показать, что и(Н) = Н'. В частности, если
ранги Q(ut) и q (м2) конечны, то q (hx (g) «2) = Q ("i) Q ()-
6) Пусть z — элемент тензорного произведения E§§F конечно-
конечномерных векторных пространств Е и F над некоторым полем; каков бы
ни был базис (bj) пространства F, z может быть однозначно представ-
представлен в виде 2 (xj 0 bj), где Xj ?Е (следствие 1 предложения 7). Пока-
Показа
зать, что векторное подпространство V пространства Е, порожденное
элементами Xj, не зависит от рассматриваемого базиса F;) простран-
пространства F. Если V r-мерно, то существуют его базис (Яг))<^<;г и г эле-
т
ментов Ci A <^ i ^ г) пространства /" такие, что г= ^ (аг®сг)>
г=1
причем г — наименьшее возможное число слагаемых в представлении z
в виде суммы тензорных произведений элемента из Е на элемент из F.
§ 2. Расширение кольца операторов модуля
В этом параграфе нас будут интересовать структуры модуля
относительно различных колец операторов, причем одно и то же
множество сможет наделяться различными такими структурами;
во избежание всяких недоразумений мы будем называть отобра-
отображение Е в F, линейное при наделении Е и F структурами .4-мо-
дуля, А-линейным или А-гомоморфизмом. Аналогично будут
определяться А-изоморфизм, А-билинейное отображение и т. д.
1. jPacmupenue кольца операторов модуля
Пусть В — кольцо (коммутативное или нет) с единицей е,
А — подкольцо кольца В, содержащееся в его центре и имею-
имеющее ту же единицу, так что В может рассматриваться как алгебра
над А, и М — любой (левый) В-модулъ. Сужение его кольца опе-
операторов до А (гл. II, § 1, п° 1) определяет в М структуру А -мо-
-модуля; говоря о структуре .4-модуля в заданном Б-модуле, мы
всюду имеем в виду структуру, полученную указанным способом.
Пусть теперь Е — произвольный унитарный А-модулъ; иссле-
исследуем, можно ли погрузить Е в унитарный В-модулъ, т. е., говоря
точно, найти А-изоморфизм модуля Е в унитарный Б-модуль.
Легко видеть, что эта задача не всегда допускает решение.
23 н. Бурбаки

354 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 2
Примером может служить тот случай, когда A = Z, B=Q,
а Е — коммутативная группа, имеющая элементы конечного порядка
и рассматриваемая как Z-модуль; такая группа очевидно не может
быть погружена в векторное пространство над Q (см. ниже, п° 3,
теорема 2).
Более общим образом, мы изучим Л-линейные отображения
модуля Е в произвольный унитарный В-модуль и установим
существование унитарного В-модуля F и Л-линейного отобра-
отображения ф модуля Е в F таких, что, каково бы ни было Л-линейное
отображение / модуля Е в любой унитарный В-модуль N, суще-
существует В-линейное отображение g модуля F в N, для которого
/ = gp(p. Тогда поставленная выше задача «погружения» будет
иметь очевидное решение: для существования ^-изоморфизма
модуля Е в унитарный В-модуль необходимо и достаточно, чтобы
ф было взаимно однозначно.
Заметим прежде всего, что если В-модуль F обладает указан-
указанным свойством, то им обладает и его подмодуль Fx, порожден-
порожденный множеством ц>(Е); поэтому можно дополнительно потребо-
потребовать, чтобы ф (Е) порождало F; тогда 5-линейное отображение g,
для которого / = g°9, будет определяться Л-линейным отображе-
отображением / однозначно. При этом такой В-модуль F, если он существует,
определен, с точностью до изоморфизма, однозначно. Говоря точно,
имеет место следующее предложение:
Предложение 1. Пусть Fx (? = 1, 2)— унитарные В-модули
и ф4 для каждого i — А-линейное отображение Е в F\ такое, что:
1° ф4 (Е) порождает i^ и 2° каково бы ни было А-линейное отобра-
отображение f модуля Е в произвольный унитарный В-модуль N, суще-
существует В-линейное отображение gi модуля Fг в N такое, что
f = gioyi. При этих условиях существует В-изоморфизм и модуля
Fx на F2, для которого ф2 = иофх.
Действительно, беря в качестве N В-модуль F2 (соответствен-
(соответственно Fx) видим, что существует В-линейное отображение hx (соответ-
(соответственно h2) Fx в F2 (соответственно F2 в FJ такое, что ф2 = hx ° q>t
(соответственно ф,. = Л2°Фг)! тогда фх = (hzоhx) о фх, и так как ц>х (Е)
порождает Fx, то h^ohx есть тождественное отображение Ft на
себя; совершенно так же h^h^ есть тождественное отображение
F2 на себя, и предложение доказано.

f РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ 355
Покажем теперь, что 5-модуль F и отображение <р, удовле-
удовлетворяющие требуемым условиям, действительно существуют. Рас-
Рассмотрим Л-модуль В ® Е (где В рассматривается как ^-модуль);
пусть t — произвольный элемент из В; если для каждого тен-
тензорного произведения х <g) у (xgS, y?E) положить i|j( (x ® у) =
= (tx) <х) у, то, поскольку отображение (х, у)—> (tx) (§) у очевидно
билинейно, этим определится ^4-линейное отображение "ф, модуля
В <Э Е в себя (§ 1, п° 2). Положив t-z = tyt(z) для каждого t?B
и каждого z?B (g) E, получим внешний закон композиции
(t, z)—>t-z на В®Е, имеющий В своей областью операторов;
непосредственная проверка показывает, что этот внешний закон
вместе со сложением определяет в множестве В (х) Е структуру
унитарного левого В-модуля. Во избежание смешения с А-моду-
лем В <х) Е обозначим полученный так В-модуль через Е(В).
Заметим, что В <х) Е есть не что иное, как модуль, получающийся
путем сужения кольца операторов 5-модуля Е(В) до А.
Теперь, имеет место следующее предложение:
Предложение 2. В-модулъ Е(в) порождается образом Ех
модуля Е при А-линейном отображении х—>е(х)х этого модуля
в Е(в)'у для каждого А-линейного отображения j модуля Е в проиг-
волъный унитарный В-модулъ N существует однозначно опреде-
определенное В-линейное отображение g модуля Е^в) в N такое, что
f (x) = g(е® х), каково бы ни было х?Е.
Первая часть предложения очевидна, поскольку каждый эле-
элемент из Е(В) может быть записан в виде 2 (^ ® xi) ~ 2 (V -(е ® хг))>
г i
Где t^B и хг?Е. Для доказательства второй части заметим, что
отображение (t,x)—>tf(x) произведения В X Е в N А -билиней-
-билинейно; поэтому (§ 1, п° 2) существует ^-линейное отображение g
модуля В <х) Е в N такое, что g(t <х) х) = tf(x); покажем, что
S — В-линейное отображение Е(В) в N. В самом деле, достаточно
(по линейности) доказать, что g(s- (t ® x)) = sg(t (g) x) при любых
s? В, t? В, xg E; но так как, по определению, s-(t <g)х) = (st)<S> x,
то
g (s¦ (t ® х)) = g ((st) ® х) - {st) f(x)=s (tf (x)) = sg(t®x).
Поскольку, очевидно, g(e® x) = ef(x) = f(x), предложение
доказано.
23*

356 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 2
Говорят, что 5-модуль Е(В) получен путем расширения кольца А
операторов модуля Е до В; .4-линейное отображение х —>е®х
модуля Е в Е(В) называется каноническим отображением
этого модуля в его расширение Е{в). В случае, когда это ото-
отображение есть А-изоморфизм, Е чаще всего отождествляется с его
образом Ех.
Предложение 3. Для каждого А-линейного отображения /
А-модуля Е в А-модулъ Е' существует однозначно определенное
В-линейное отображение g В-модуля Е(В) в Е[В) такое, что
g (е ® х) = е 0 / (х) для каждого х?Е.
Достаточно применить предложение 2 к Л-линейному ото-
отображению х —> е ® / (х) модуля Е в Е[Ву
В случае, когда канонические отображения Е в Е(В) и ?" в Е[В)
являются изоморфизмами, посредством которых Е и Е' отождест-
отождествляются соответственно с подмодулями Л-модулей В(&Е и В<2>Е',
можно также сказать, что каждое Л-линейное отображение Е в Е'
однозначно продолжается до 5-линейного отображения Е(в)
в Е{в).
Расширение кольца операторов модуля есть транзитивная
операция; говоря точно, имеет место следующее предложение:
Предложение 4. Пусть С — кольцо (коммутативное или нет)
с единицей е и А, В — подколъца этого кольца, содержащиеся
в его центре, причем е? AciB. Какое бы ни был А-модулъ Е,
С-модулъ Е{С) изоморфен С-модулю {Е{В)\су
Применим критерий предложения 1. Пусть / — Л-линейное
отображение модуля Е в унитарный С-модуль N и ф — канони-
каноническое отображение Е в Е^ву, согласно предложению 2, суще-
существует 5-линейное отображение g модуля Е(в) в N такое, что
g(cp (x))=f(x); точно так же, если обозначить через гр каноническое
отображение Е{В) в (S(B))(C)i существует С-линейное отображе-
отображение h модуля (Е(В))(С) в N такое, что й(г(з (cp(;r))) =g(cp (г)) =/(#);
так как х—»г(з (ер (х)) есть Л-линейное отображение Е в (Е(В))(С),
предложение 1 устанавливает существование изоморфизма Е(о
на (?'(В))(с) (называемого, как и изоморфизм, обратный ему, кано-
каноническим) , относящего каждому элементу вида е (g) х [х 6 Е) из
элемент г|з (ср (х)) из (Е(В))(С)-

РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ 357
Замечания. 1) Поскольку вообще /4-модуль В^Е не изо-
, морфен Е, было бы неправильно думать, что сужение кольца опера-
операторов модуля (гл. II, § 1, п° 1, и § 5) и расширение этого кольца опера-
операторов являются взаимно обратными операциями.
2) В случае, когда А—произвольное (не обязательно коммута-
коммутативное) подкольцо кольца В, содержащее его единицу, также можно
определить расширение кольца операторов произвольного унитар-
унитарного (левого) Л-модуля до В я обобщить предыдущие предложения
(см. упражнение 7 и Приложение II к этой главе).
И, Расширение кольца операторов свободного модуля
Каноническое отображение х—>е(?)х Л-модуля Е в 5-модуль
Е(в) вообще не есть Л-изоморфизм (оно может быть тождественно
нулевым, когда ни В, ни Е не сводятся к 0; см. ниже тео-
теорему 2). Однако оно является А -изоморфизмом в двух важных
случаях, которые мы теперь рассмотрим.
Теорема 1. Пусть В— кольцо (коммутативное или нет), обла-
обладающее единицей е, и А — подкольцо этого кольца, содержащееся
в его центре и такое, что е?А. Каноническое отображение х—> е (g) x
унитарного А-модуля Е, имеющего базис (ах), в Е(В) есть А-изомор-
физм; по отождествлении Е с его образом Е1 при этом изоморфизме
базис (а%) модуля Е относительно А является также базисом
В-модуля Е(щ. Каждое А-линейное отображение f модуля Е
в произвольный В-модулъ однозначно продолжается до В-линей-
ного отображения f модуля Е(в) e N такого, что
для каждого элемента 2 \%а% из Е(в) (%х?В)-
Действительно, при ж=5]|».а». соотношение е®а; = О записы-
х
вается в виде 2 ((^.е) ® ах) = 0 и, значит (§1, следствие 1 предло-
жения 7), влечет |я,е = О для каждого %, откуда |я = 0 для каж-
каждого Я; тем самым каноническое отображение х— >е®х есть изо-
изоморфизм. То, что (ах) служит базисом для Е^щ, непосредственно
вытекает из следствия 1 предложения 7 § 1 и определения
внешнего закона 5-модуля Е(В), поскольку для каждого индекса Я,
и каждого t?B можно, по отождествлении Е с Ех, написать

358 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ill, §2
t-a% = (te) (g) a%. Наконец, последнее утверждение теоремы есть
непосредственное следствие предложения 2, раз только Е отожде-
отождествлено с подмодулем (над А) модуля /?(в>-
Предположения теоремы 1 выполнены, в частности, когда Е —
векторное пространство над полем А, & В — надтело этого поля
(коммутативное или нет), содержащее А в своем центре; к этому
случаю мы всюду н будем ее применять.
3. Модули над кольцом целостности
Рассмотрим теперь модули над кольцом целостности А (гл. I,
§ 8, п.0 3) и векторные пространства, получающиеся из них
путем расширения А до его поля отношений (гл. I, § 9, п° 4).
Теорема 2. Пусть А — кольцо целостности с единицей (обо-
(обозначаемой 1) и К —его поле отношений. Пусть, далее, Е —про-
—произвольный унитарный А-модулъ, Е^щ —векторное простран-
пространство над К, получающееся путем расширения кольца операторов
модуля Е до К, и ф — каноническое отображение х—> 1 ® а; модуля Е
в Е(щ. При этих условиях:
1 ° Векторное пространство Е^К) равно Kq> (E) (множеству
элементов Xz, где К пробегает К, a z пробегает ц>(Е)).
2° Для того чтобы ф (х) Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы х
был свободным элементом в Е.
1° Каждый элемент из Е^щ имеет вид 2 = 2 5гФ (xt), где ?4 ? К
и хг?Е (предложение 2); для каждого i существует аг? А такое,
что at Ф 0 и o&jgj б А; поэтому а = \\агф0 и а?4 = Р4 принадлежит А
г
для каждого i; следовательно, в Е(ю
z = a (az) = o-i 2 Р1Ф (ж,) = а Ч (S Mi) -
i i
поскольку ф Л-линейно.
2° Если элемент жб^1 не свободный, то в А существует а ф О
такое, что аж = 0; тогда в векторном пространстве Е(щ имеем
осф (х) = ф (ах) =0, откуда ф (ж) = 0.
Обратно, предположим, что ф (ж) = 1®а;=0 в К®Е, и покажем,
что элемент ж не свободный. Согласно предложению 8 § 1, в К
(рассматриваемом как Л-модуль) существует подмодуль К^,,

:i РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ 359
содержащий А, порожденный конечным числом элементов \г^.К
к такой, что 1 ® х = О также в тензорном произведении Кг (gi E. Но,
как мы видели в 1°, в А существует афО такое, что все pi = a^i
принадлежат А. Отсюда сразу следует, что каждый элемент из Ку
имеет вид а!, где ??Л, иными словами, что К1 содержится
п Л-модуле Ка = а'1 А. Очевидно, 1 (g> x = 0 в тензорном произведе-
произведении Ка®Е. Но отображение \—>а\ есть изоморфизм Л-модул я
Ка на Л-модуль А; при этом, согласно предложению 5 § 1, кано-
нический изоморфизм А ® Е на Е относит тензорному произведе-
произведению k(g)x элемент Хх$Е; поэтому существует изоморфизм Ka<S>E
ira Е, относящий тензорному произведению \ ® х элемент {а\)х? Е.
Следовательно, предположение, что 1®:с = 0 в Ka<g)E, влечет,
что ом: = 0 в Е, иными словами, что элемент х?Е не свободный.
Следствие 1. Пусть Е — унитарный А-модуль, все ненулевые
элементы которого свободные. Тогда его каноническое отображе-
отображение ф в векторное пространство F=-E(K) есть А-изоморфизм
такой, что:
1° Векторное пространство F равно Кц>(Е).
2° При отождествлении Е посредством изоморфизма ф с моду-
модулем ф(?) каждое А-линейное отображение f модуля Е в произ-
произвольное векторное пространство G над К однозначно продолжается
до К-линейного отображения / пространства F в G; при этом,
если f — А-изоморфизм Е в G, то f есть К-изоморфизм F в G.
Нужно лишь убедиться в том, что вместе с / также / является
изоморфизмом; но так как каждый ненулевой элемент из F имеет
вид Хх, где Х?К, х$Е, ЪфО и хфО, то J (Кх) = Xf (х) Ф 0,
поскольку f(x)фQ в силу предположения.
Векторное пространство ^да, получающееся из унитарного
Л-модуля Е, все ненулевые элементы которого свободные, путем
расширения кольца операторов А до его поля отношений К,
будет называться векторным пространством, ассоциированным
с Е; при этом Е всегда будет отождествляться с его образом
в Е(к.) при каноническом изоморфизме x—>i(&x.
Размерность Е^щ будет называться рангом А -модуля Е\ более
общим образом, ранг любого множества MciE будет, по опреде-

360 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 2
лению, считаться равным рангу канонического образа М в Е(^,
т. е. (гл. II, § 3, п° 2) размерности векторного подпространства,
порождаемого этим образом. Рангом каждого отображения g
множества L в Е будет считаться, по определению, ранг g(L).
Следствие 2. Пусть Е—унитарный А-модулъ, все ненуле-
ненулевые элементы которого свободные. Всякий его А-изоморфизм "ф
в векторное пространство F1 над К такой, что F1 = K^(E), про-
продолжается до К-изоморфизма векторного пространства F = E^q,
ассоциированного с Е, на векторное пространство Fv
Это непосредственно вытекает из следствия 1 и условия Fx =
Следствие 3. Множество S всех зависимых элементов про-
произвольного унитарного А-модуля Е является его подмодулем; все
ненулевые элементы фактормодуля E/S свободные, а векторное
пространство Ец^ изоморфно векторному пространству, ассо-
ассоциированному с модулем E/S.
Действительно, S есть прообраз нуля относительно канони-
канонического Л-линейного отображения ф модуля Е в К ® Е, и ф (Е)
изоморфно E/S; так как Е:да = Кц> (Е), то Е(К) изоморфно вектор-
векторному пространству, ассоциированному с E/S.
Если Е — векторное пространство над К, то оно совпадает
с ассоциированным с ним (как с Л-модулем) векторным про-
пространством; при этом имеет место следующее свойство:
Предложение 5. Пусть А — кольцо целостности, К — его
поле отношений и Е —векторное пространство над К. Всякое
семейство (х^) элементов из Е, свободное относительно А, является
свободным относительно К.
Действительно, если 2ал.^л. —0, где а?1 принадлежат К и все
к
кроме конечного их числа равны нулю, то, как показывает рас-
рассуждение, проведенное при доказательстве теоремы 2, в А суще-
существует элемент у Ф 0 такой, что уа^ = Р>, принадлежит А для каж-
каждого I; поэтому 2 Р?Л>1 = Y B а?л0 =°> 0ТКУДа> в силУ предпо-
х %
ложешш, C>, = 0 для каждого X, а тогда и % = 0 для каждого К,
поскольку у Ф 0.

РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ 361
Замечание. Тензорное произведение Ег (g) E.2 унитарных
Л-модулей Еу и ?2 может содержать ненулевые зависимые элементы,
даже если каждый ненулевой элемент модулей Ег и Е2 свободный
(см. упражнение 4).
Упражнения. 1) Пусть В—коммутативное кольцо с еди-
единицей е и А—его подкольцо, содержащее е. Показать, что если Е
и F — унитарные А -модули, то В-модуль (Е ®^)о\ изоморфен
В-модулго E(B)<g)F(B).
¦2) Пусть Е — векторное пространство над полем К. Показать,
что для множества FXZ E следующие предложения равносильны:
а) F есть векторное пространство относительно подполя L поля К;
каноническое отображение F в Е продолжается (следствие теоремы 1)
до АГ-изоморфизма F^ на Е; группа автоморфизмов поля К, оставляю-
оставляющих инвариантным каждый элемент из L, не оставляет инвариантным
никакого другого элемента из К.
б) Группа Г биавтоморфизмов (Приложение I к главе II) простран-
пространства Е, оставляющих инвариантным каждый элемент из F, не оставляет
инвариантным никакого другого элемента из Е и не содержит ника-
никакого нетождественного автоморфизма пространства Е. [Показать, что
поле L есть множество тех элементов \?К, для которых x?F вле-
влечет \x(zF.]
*3) Пусть А—кольцо целостности с единицей и Е, F—произ-
F—произвольные Л-модули. Показать, что если х—свободный элемент из Е
жу — свободный элемент из F, то xf^iy есть свободный элемент в ?®/\
(Достаточно доказать, что х^)уфО; начать с рассмотрения случая,
когда все ненулевые элементы из Е и F свободные; использовать пред-
предложение 8 § 1 дли сведения к случаю, когда Е и F имеют конечное число
образующих, и, далее, следствие 1 теоремы 2 для установления суще-
существования такого Л-билинейного отображения / произведения EXF
в поле отношений К кольца А, что /(ж, у) =/= 0. Перейти к общему
случаю с помощью предложения 6 § 1.]
*°4) Пусть А—кольцо Ка\Х, Y\ полиномов от двух неизвестных
X, Y над полем Ко и Е — идеал (X)-\-(Y) этого кольца (множество
всех полиномов, не содержащих члена нулевой степени). Показать,
что в тензорном произведении E(g)E Л-модуля Е на себя элемент
Х®У— Y&E отличен от нуля, но XY (X (g> У— Y (g)JT) = O.
[Рассмотреть билинейные отображения ЕХЕ в фактормо-
дуль А/Е.]о
5) Пусть А—произвольное коммутативное кольцо с единицей
и К — его кольцо отношений (гл. I, § 9, п° 4). Пусть, далее, Е— про-
произвольный унитарный yl-модуль и S — множество тех элементов х^Е,
аннулятор которых (гл. II, § 1, п° 9) содержит по крайней мере один
элемент из А, не являющийся делителем нуля. Показать, что S есть
подмодуль модуля Е и что каноническое отображение х — * 1 (gj<x

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 2
модуля Е в Е,К) есть Л-линейное отображение Е на Л-модуль Еи
изоморфный EIS, такое, что E(^Ks) = KE1.
6) В обозначениях упражнения 5, дать прямое доказательство
существования ЛТ-модуля F и Л-линейного отображения ср модуля Е
в F таких, что Ех = у(Е) изоморфно EIS, F — KE^ и для каждого
Л-линейного отображения / модуля Е в произвольный ЛГ-модуль N
существует АГ-линейное отображение / модуля F в N такое, что
/ = /с ф. [Для построения/1 воспользоваться способом, примененным для
симметризации коммутативного ассоциативного закона (гл. I, § 2, п° 4).]
*7) Пусть В— кольцо (коммутативное или нет), обладающее
единицей е, А^его произвольное подкольцо, содержащее е, и Е —
произвольный унитарный ^4-модуль.
а) Обобщить на Е предложение 1.
б) Определим в тензорном произведении В §§Е, где В и Е рас-
рассматриваются как Z-модули (аддитивные группы без операторов),
структуру левого В-модуля, положив t (х С§) у) = (tx) C§) у для всех
1?В, х?В и у^Е. Пусть //—подмодуль этого В-модуля, порож-
порожденный множеством элементов вида (а С§) х) — (е С§) (ах)), где а про-
пробегает А и х пробегает Е, далее, F—В-модуль (В (R)E)/H и <р (х)
для каждого х ?Е — класс е^х (modЯ). Показать, что: 1° ф (Е)
порождает F; 2° для каждого Л-линейного отображения / модуля Е
в произвольный унитарный В-модуль TV существует однозначно опре-
определенное В-линейное отображение g модуля F в N такое, что /=g° ф.
в) Вывести из а) и б), что если А содержится в центре кольца В,
то существует такой изоморфизм \р В-модуля Е,Ву определенного
в п° 1, на В-модуль F — (B ®E)/H, определенный в б), что ф(ж) =
= i|) (e (g) x) для каждого х?Е. Следовательно, когда А содержится
в центре кольца В, Е,щ отождествляется посредством этого изомор-
изоморфизма с F; в случае произвольного А модуль F также будет обозна-
обозначаться Е,™, и мы будем говорить, что он получен путем расширения
кольца операторов модуля Е до В, а отображение ср, определенное в б),
будем называть каноническим отображением Е в Е^Ву
г) Показать, что если В = А, то Л-модуль Е{А) изоморфен А -мо-
-модулю Е.
д) Обобщить на Е предложение 3.
е) Если Е — прямая сумма семейства (Е^) своих подмодулей, то
?(Дч изоморфно прямой суммеВ-модулей (i?^)^,. В частности, если
(а^) —базис модуля Е, то каноническое отображение ф этого модуля
в Е^щ есть изоморфизм; по отождествлении Е с ср (Е) посредством изо-
изоморфизма ср (ак) будет также базисом модуля 2?(В); каждое Л-линейное
отображение модуля Е в произвольный унитарный В-модуль
-V однозначно продолжается до В-линейного отображения Е^в, в N.

ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 363
ж) Предположим, что А есть кольцо, допускающее тело левых
отношений К (гл. I, § 9, упражнение 8). Пусть Е—унитарный А-
модуль, -Е(к) — левое векторное пространство над К, полученное
путем расширения кольца оператором модуля Е до К, и <р — канони-
каноническое отображение Е в Е,Ку Показать, что утверждения теоремы 2
и ее следствий полностью сохраняют силу. [Заметить, что для любого
конечного числа элементов gj A <; i <' п) из К в А существует а Ф О
такое, что все agj принадлежат А.]
§ 3. Тензорные произведения алгебр
1. Тензорное произведение алгебр
Пусть Е и F—алгебры над коммутативным кольцом А с еди-
единицей. Они наделены структурой: 4-модуля, лежащей в основе
их структуры алгебры. Пусть G = E (x) F— тензорное произве-
произведение Л-модулей Е и F; мы определим на G умножение, которое
вместе со структурой Л-модуля определит в G структуру алгебры
относительно А. Для этого заметим, что, поскольку умноже-
умножение на G есть билинейное отображение GxG в G, достаточно
{§ 1, п° 2) определить его для всевозможных пар (z, z') тензорных
произведений z=x<g>y, z''—x'®y', проверив, что каждое из частич-
частичных отображений
(х, у)-*(х®у)(х'®у'), (х1, у')-* (х ® у) (х' ®з/')
билинейно на Е XF. Но эти условия будут очевидно удовлетво-
удовлетворены, если принять
(х®у)(х'®у') = (хх')®(уу'). A)
Остается проверить, что определенное так на G умножение
ассоциативно; ввиду его двоякой дистрибутивности относительно
сложения все сводится к установлению того, что
{{х 0 у) (х' ® у')) (х" ® у") = (х ® у) ((*' ® у') (х" ® у"));
но это свойство вытекает из ассоциативности умножения на Е и F,
поскольку обе части формулы равны (xx'x")<g>(yy'y").
Множество Е ® F, наделенное определенной так структурой
алгебры, называется тензорным произведением алгебр Е и F.

364 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 3
В случае, когда Е и F — кольца без операторов, под тензорным
произведением E6QF, по определению, понимается тензорное произ-
произведение Е и F', рассматриваемых как алгебры над кольцом Z рациональ-
рациональных целых чисел.
Тензорное произведение Е° (g F° алгебр Е° и F0, противопо-
противоположных Е и F, изоморфно алгебре, противоположной Е (& F,
и отождествляется с нею; в частности, если Е и F — коммута-
коммутативные алгебры, то это же верно и для E&F.
Предложения 4 и 5 § 1 распространяются на случай, когда
Е и F — алгебры над А, поскольку определенные там канониче-
канонические изоморфизмы являются одновременно изоморфизмами струк-
структур алгебры.
Предложению 6 § 1 соответствует следующее предложение:
Предложение 1. Пусть Е и F — алгебры над А, а — дву-
двусторонний идеал алгебры Е и Ъ — двусторонний идеал алгебры F.
Подмодуль Г (а, Ь) в E(&F, порожденный всевозможными эле-
элементами вида х(&у, где х?а и г/?Ь, является двусторонним
идеалом алгебры E&F, и факторалгебра (E(x)F)/T (а, Ь) изоморфна
тензорному произведению (E/a)(&(F/b) факторалгебр Е/а и Fib.
Доказательство предложения 6 § 1 без всяких изменений
применимо и здесь, поскольку, как легко видеть, линейные ото-
отображения, определенные в этом доказательстве, являются пред-
представлениями соответствующих структур алгебры.
Пусть М и N — подалгебры алгебр Е и F; каноническое ото-
отображение модуля M&N в модуль E(g>F (§ 1, п° 3) есть также
представление алгебры M&N на подалгебру алгебры E(&F; в слу-
случае, когда А — поле, это представление есть изоморфизм (§ 1,
следствие 3 предложения 7), и алгебра M&N отождествляется
с ее образом при этом каноническом изоморфизме.
Точно так же (предполагая А снова произвольным коммута-
коммутативным кольцом), если Е и F — прямые суммы семейств своих
подалгебр {Е%) и {F^), то каноническое отображение каждой из
алгебр E^Fp в E(g>F есть изоморфизм, и при отождествлении
каждой алгебры E^F^ с ее образом при этом каноническом
изоморфизме E(g)F является прямой суммой подалгебр
При этом:

2 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 365
Предложение 2. Если, алгебра Е есть прямая композиция
(гл. I, § 8) подалгебр Ег A<?<т), а алгебра F — прямая компо-
композиция подалгебр Fj A </'<«), то алгебра E(&F есть прямая ком-
композиция подалгебр E^Fj.
Достаточно доказать, что подалгебры E^Fj взаимно анну-
аннулируются (гл. I, § 8, предложение 7); но если x?Et, x' ?Eh,
VtF;, y'?Fk и A,})Ф(к,к), то {x&y){x'®y') = {xx')®{yy')=Q,
поскольку одно из произведений хх , уу' равно нулю.
Замечания. 1) Замечание, сделанпое в п° 3 § 1, применимо
^ к тензорным произведениям алгебр, т. е. тензорное произведение двух
t алгебр существенно зависит от их общего кольца операторов, а не
только от их структур кольца (без операторов).
2) Легко определить тензорное произведение любого конечного
числа алгебр Ei над одним и тем же кольцом А; предоставляем чита-
читателю сформулировать для такого произведения свойства, установлен-
установленные выше для тензорного произведения двух алгебр (см. Приложение I
к этой главе). Отметим лишь, что канонические изоморфизмы, опреде-
определенные в п° 7 § 1 («ассоциативность» тензорного произведения), в слу-
случае, когда Ei — алгебры, являются также изоморфизмами структур
алгебры.
2. Примеры тензорных произведений алгебр
I. Пусть Е и F — унитарные А -модули с конечными бази-
базисами; как мы видели (§ 1, предложение 9), структуры А-модуля
в X (E&F) nX(E)(g)X (F) канонически отождествимы; формула F)
§ 1 показывает, что при этом отождествлении структура алгебры
в X (E(g>F) отождествляется с тензорным произведением структур
алгебры в X (Е) и X (F). Этот результат можно выразить также
следующим образом (гл. II, § 6, п° 5):
Предложение 3. Тензорное произведение алгебр квадратных
матриц порядков р и q над коммутативным кольцом А с едини-
единицей изоморфно алгебре квадратных матриц порядка pq над А.
II. Пусть Е — алгебра над А, обладающая единичным эле-
элементом, свободным в Е (и, следовательно, отождествимым с еди-
единицей кольца А); кольцо Mn (E) квадратных матриц га-го порядка
над Е есть также алгебра над А; покажем, что она изоморфна
тензорному произведению Е®Мп(А). Действительно, отнеся

366 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 3
каждому тензорному произведению /(§)X € 2?®Мте (А) матрицу tX=
— Xt?Mn{E), мы получим представление алгебры Е&Мп(А)
в Мп(Е), поскольку (tX)(t'X')={tt')(XX'). Чтобы убедиться
в том, что это представление есть изоморфизм i?(g)Mn (А) на Мп(Е),
заметим, что матрицы Е^ канонического базиса .4-модуля Мп (А)
образуют также канонический базис в Мп (Е) (рассматриваемом
как правый или левый ^-модуль); с другой стороны, каждый
элемент из Е§§Мп(А) однозначно представим в виде 2 (*ц®Ец)
i, j
(§1, следствие 1 предложения 7), и ему соответствует при рас-
рассматриваемом представлении матрица '^_ti-Ei^Mn{E); тем са-
i, i
иьш предложение доказано.
III. Пусть S и У —любые два моноида, a E=A(S) и F=A(T)—
их моноидные алгебры относительно кольца А (гл. II, § 7, п° 9);
тензорное произведение E<gF этих двух алгебр изоморфно моноид-
ной алгебре G=A<~SxT) моноида SxT (гл. I, § 4, п° 5). Действи-
Действительно, когда и и v пробегают соответственно S и Т, элементы
и§§ v образуют базис в E&F, а элементы (и, v) — базис в G; тем
самым отнесение элементу (и, v) элемента и® г; определяет изо-
изоморфизм структуры модуля в E&F на структуру модуля в G,
и в силу A) ясно, что это отображение есть также изоморфизм
структуры алгебры в E§§F на структуру алгебры в G.
3. Характеризация тензорного произведения двух
алгебр над полем
Пусть Е и F — алгебры над полем К, имеющие каждая еди-
единичный элемент; К можно отождествить тогда (гл. II, § 7, п° 4)
с подалгеброй каждой из алгебр Е и F, сделав единицу е поля К
общим единичным элементом этих алгебр. Тогда е(§)е будет еди-
единичным элементом в E&F и К можно будет отождествить также
с подалгеброй К(е®е) алгебры E®F. При этих соглашениях
имеем:
Предложение 4. Отображение х—>х§§е (соответственна
y-^-e(g)y) есть изоморфизм Е (соответственно F) на некоторую
подалгебру Ег (соответственно i^) алгебры E(g>F, и каждый эле-
элемент из Ех перестановочен с каждым элементом из Fx.

;t ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 367
Очевидно, х—>x(g>e есть представление Е в E(g)F, ибо
(х®е) (x'<g)e) — (xx')<g)e; точно так же у—> е(х)г/ есть представление F
в E(&F, и так как
то каждый элемент из Ev перестановочен с каждым элементом из Fv
При этом, если х Ф 0 в Е, то ;г?х)е ^ 0, поскольку е =/= 0, r E и F—
векторные пространства над К (§ 1, следствие 2 предложения 7).
Тем самым отображения х—>х®е и у—> e(g>y—изоморфизмы (на-
(называемые в дальнейшем каноническими).
Эти изоморфизмы позволяют отождествлять Е и F с их обра-
образами Ех и i^; тензорное произведение х®у отождествляется тогда
с произведением ху (=ух) в алгебре E(&F, что позволяет отка-
отказаться от обозначения x(g)y; в частности, при F=K тензорное
произведение Е(&К отождествляется с Е. Если М (соответст-
(соответственно N) — подалгебра в Е (соответственно в F), то алгебра
M®N отождествляется с подалгеброй в E(g)F, порожденной
произведениями ху{=ух), где х пробегает М, а у пробегает N.
Пусть заданы алгебра G над полем К, имеющая единицу е
(отождествляемую с единицей поля К), и две ее подалгебры F и G,
содержащие К; исследуем, при каких условиях существует изо-
изоморфизм ф алгебры E(g)F на G, совпадающий на Е и F (отождест-
(отождествленных указанным выше образом с подалгебрами алгебры E&F)
с тождественным отображением. Первое необходимое условие
существования такого изоморфизма дает нам предложение 4:
каждый элемент из Е должен быть перестановочным с каждым
элементом из F; мы говорим тогда, что Е и F — две коммути-
коммутирующие подалгебры алгебры G. При выполнении этого условия
изоморфизм ф (если он существует) вполне определен, ибо тогда
ср (х®г/) = ф (х) ф (у)=ху в G. В любом случае, в силу билинейности
отображения (х, у) —> ху произведения Е X F в G, существует линей-
линейное отображение ф модуля E®F в G такое, что ф (х(&у) = ху
(§ 1, п° 2), и так как каждый элемент из Е, по предположению,
перестановочен с каждым элементом из F, то ясно, что ф есть
представление алгебры E(&F в алгебру G; будем называть его
каноническим представлением.
Введем следующее определение:

368 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 3
Определение 1. Пусть G — алгебра над полем К, имеющая
единицу е (отождествляемую с единицей поля К), и Е, F — под-
подалгебры этой алгебры, содержащие К. Е и F называются линейно
раздельными над К, если: 1° подалгебры Е и F коммутирующие;
2° каноническое представление E&F в G есть изоморфизм E(&F в G.
Тогда имеет место следующий критерий:
ТЕоРЕма 1. Пусть G — алгебра над полем К, имеющая еди-
единицу, и Е, F — ее коммутирующие подалгебры, содержащие К.
Для того чтобы Е и F были линейно раздельными над К, необ-
необходимо и достаточно, чтобы в Е существовал базис относительно К,
являющийся свободным множеством в G при наделении G струк-
структурой правого модуля относительно F.
При этих условиях каноническое представление ср алгебры
E(&F в G есть изоморфизм E§§F на подалгебру Н в G, порож-
порожденную множеством E\JF; далее, Ef]F = K, и каждое свобод-
свободное множество в Е (соответственно в F) относительно К есть
свободное множество в G, наделенном структурой правого модуля
относительно F (соответственно Е).
Сформулированное условие очевидно необходимо, поскольку,
в силу следствия 1 предложения 7 § 1, каждый базис в Е есть
базис в E&F относительно структуры правого F-модуля. Обратно,
условие достаточно; действительно, образ Н алгебры E(g)F
при ее каноническом представлении ср совпадает с множеством
всевозможных сумм 2 х%Ух в G, где хг?Е viy^F; поэтому, если
г
(ах) — базис Е относительно К, Н есть также подмодуль правого
jF-модуля G, порожденный семейством (ах). Таким образом, усло-
условие теоремы означает, что в Е существует базис (а{) (относительно
К), являющийся также базисом F-модуля Н; а отсюда вытекает,
что ср—взаимно однозначное отображение (гл. II, § 2, п° 4).
Остается убедиться в том, что Ef]F = K в G; достаточно
показать, что Ef\F = K в E§§F. Возьмем в Е базис, содержа-
содержащий е, и пусть (by) — семейство остальных элементов этого ба-
базиса; если х(?)е — е®у для х?Е, y?F, то, поскольку можно
написать х = \йе + 2 ЕА, имеем 1йе®е + 2 (ЕЛ®е) =
откуда, в силу следствия 1 предложения 7 § 1, вытекает, что
?i = 0 для всех I, значит, я®е = е®г/б К.

4 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 369
Следствие 1. Для того чтобы каноническое представление
EB)F в G было изоморфизмом E<g)F на G, необходимо и доста-
достаточно, чтобы в Е существовал базис относительно К, который
являлся бы базисом для G, рассматриваемого как правый модуль
относительно F.
Следствие 2. Пусть Е и F — коммутирующие подалгебры
в G, имеющие каждая конечный ранг над К. Для того чтобы Е
и F были линейно раздельными над К, необходимо и достаточно,
чтобы подалгебра в G, порожденная множеством E\JF, имела
ранг над К, равный произведению рангов Е и F.
Заметим, что понятие линейно раздельных подалгебр существенно
зависит от того подполя К центра алгебры С, которое рассматривается
как поле операторов этой алгебры; действительно, Е и F, линейно
раздельные над К, пе могут быть линейно раздельными ни над каким
подполем Кп поля К, отличным от К, поскольку не выполнено необ-
необходимое для этого условие Е ~| •/*" =-^ о (кстати сказать, отнюдь еще
не достаточное для того, чтобы подалгебры Е и F были линейно раз-
раздельными над А'о; см. гл. V, § 3).
4. Расширение кольца операторов алгебры
Пусть В — коммутативное кольцо с единицей е и А — его
подкольцо, содержащее е; В может рассматриваться как алгебра
над А. Пусть Е — алгебра над А; как мы видели (§ 2, п° 1),
в тензорном произведении В ® Е ^4-модулей В и Е условием
t- (х ® у) = (tx) ® у {t?B, x?B, у?Е) определяется структура
унитарного В-модуля. Эта структура и умножение, введенное
на В ® Е в п° 1, определяют в множестве В <g) E структуру
алгебры относительно В; чтобы убедиться в этом, достаточно
показать, что, каковы бы ни были t?B, z?B<g>E, z'?B(g)E,
имеют место равенства t (zz') = (tz) z = z (tzr); так как каждое
из этих трех произведений является линейной функцией от z
и от z , достаточно проверить их равенство для z = x ® у
и z =х' ® у' (где х, х' — элементы из В и г/, у' — элементы из Е)\
но, в силу предположенной коммутативности кольца В, последнее
ОЧРНИДНО.
Мы по-прежнему говорим, что определенная так алгебра над В
получена путем расширения кольца операторов алгебры Е до В,
% II. Пурбаки

370 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 3
и обозначаем ее Е^щ во избежание всякого смешения с алгеб-
алгеброй В ® Е над кольцом А (получающейся при этом путем сужения
кольца операторов алгебры Е(В) до А).
Теперь, в каждой алгебре относительно В сужение кольца
операторов до А определяет структуру алгебры относительно А;
говоря о структуре алгебры относительно А в алгебре относитель-
относительно В, мы всегда имеем в виду структуру, полученную указанным
способом; при этом для обозначения представления алгебры
относительно А (соответственно В) в алгебре относительно того же
кольца мы, как и в § 2, вводим термины А-представление (соот-
(соответственно В-представление).
Ясно, что каноническое отображение (§2, п° 1) х —» е (g) x
алгебры Е в Е(В) есть А -представление Е на подалгебру алгебры
В (g) Е, поскольку (e<g) х) (с® х') = е ® (хх1) для всех х&Е и х' &Е.
Предложение 5. Для каждого А-представления f алгебры Е
в произвольную алгебру N относительно В существует однозначно
определенное В-представление g алгебры Е^в) « ЛГ такое, что
f (x) = g (е <g) x) для всех х? Е.
Принимая во внимание предложение 2 § 2, достаточно пока-
показать, что g (уу1) = g (у) g (у') в Е(в), и так как образ Е при кано-
каноническом отображении х —¦> е <g> x порождает Е(В) (рассматривае-
(рассматриваемое как 5-модуль), то можно ограничиться случаем, когда у = е(&х,
у' — е <g) х', где хш х' принадлежат Е; тогда имеем уу' = е ?g) (хх'),
и соотношение g (уу') = g (у) g (у1) вытекает из того, что / есть
Л-представление.
Предложение 1 § 2 также распространяется на алгебры;
проверку выполнения этого мы предоставим читателю. В силу
установленного только что предложения 5, доказательство пред-
предложения 4 § 2 показывает тогда, что расширение кольца опера-
операторов алгебры также есть транзитивная операция; точнее говоря,
если С — коммутативное кольцо с единицей е, А и В — его под-
кольца такие, что e&A(Z.B, ж Е — алгебра над А, то алгебра Е(су
изоморфна алгебре (?г(В))(о-
Предложение 6. Если алгебра Е обладает базисом (ах) отно-
относительно А, то ее каноническое отображение х —> е ?х) х в

? ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 371
есть А-изоморфизм; по отождествлении Е с ее образом Ех при,
этом изоморфизме (ах) является базисом алгебры Е^щ относи-
относительно В, и каждое А-представление алгебры Е в алгебру N отно-
относительно В однозначно продолжается до В-представления f
алгебры Е(В) в N.
Это непосредственно следует из установленного выше пред-
предложения 5 и теоремы 1 § 2.
Заметим, что таблица умножения базиса (а%) (гл. II, § 7,
п° 2) одна и та же для алгебр Е и Е^щ.
Предложение 7. Пусть А — кольцо целостности, обладающее
единицей (обозначаемой 1), К — его поле отношений и Е —
алгебра над А, все ненулевые элементы которой свободные (относи-
(относительно структуры 4-модуля в А). Тогда каноническое отображе-
отображение х —> 1 ® х алгебры Е в алгебру ?да над полем К есть А-изо-
А-изоморфизм Е на подалгебру Ех в К ® Е такую, что Е^ = КЕг;
при отождествлении Е с Ev посредством этого изоморфизма
каждое А-представление f алгебры Е в алгебру G над К однозначно
продолжается до К-представления f алгебры -Еда в G; если / —
А-изоморфизм, то f — К-изоморфизм.
Справедливость предложения вытекает из установленного
выше предложения 5 и следствия 1 теоремы 2 § 2.
Упражнения. 1) Пусть Е и F — алгебры над коммутатив-
коммутативным кольцом А с единицей. Если а — левый идеал в Е и Ь — левый
идеал в F, то аддитивная подгруппа в Е (g> F, порожденная элементами
ж ® Уч гДе х пробегает а и у пробегает Ь, есть левый идеал алгебры
2) Пусть Е и F — алгебры над полем К, имеющие каждая единич-
единичный элемент, и С —центр алгебры Е. Показать, что подалгебра алгебры
E(^)F, порожденная элементами, перестановочными со всеми элемен-
элементами из Е, совпадает с С ® F; центром алгебры E(x)F слуяшт под-
подалгебра С ®.D, где Д—центр F.
3) Пусть Ех, Ег, Fx, F2 — алгебры над кольцом А. Если и
представление Ех в Е2 и г> — представление /\ в Fit то тензорное
произведение и ® г> есть представление алгебры Ег ® F± в алгебру
Е2 ® F2.
4) Пусть В — коммутативное кольцо с единицей е, А — его
подкольцо, содержащее е, и Е, F -~ алгебры над А. Показать, что
алгебра (Е ?g> F)^ изоморфна алгебре Е,в^ 0 F,By

372 НО.Ш.ЦШКПНАЯ Л.ЧГЕБРЛ ГЛ. Ill, §*
5) Пусть Е — алгебра над полом К н L — надполе итого поля.
Показать, что если алгебра ЕA. обладает единицей, то это же нерп >
и для алгебры Е. [Воспользоваться теоремой 1 § 5 главы П.]
§ \. Тензоры н тензорные пространства
1. Тензоры
Определение 1. Пусть Е — унитарный модуль над коммута-
коммутативным кольцом А. р раз контр авар иантным и q раз ковариант-
ным тензором над Е называется всякий элемент тензорного про-
изведения (?)Ег, где р из модулей Ei совпадают с Е, а остальные
i=i
q — с сопряженным модулем Е*; число p-\-q называется поряд-
порядком *) тензора.
В случае, когда q = 0 (соответственно р = 0), имеется лишь
один модуль тензоров порядка р + q, а именно р-я тензорная
степень Е (соответственно q-n тензорная степень Е*); его тензоры
называют контравариантными тензорами р-го порядка (соот-
(соответственно ковариантными тензорами q-го порядка); контрава-
риантные тензоры первого порядка, т. е. элементы модуля Е,
называют также контравариантными векторами; точно так же
ковариантные тензоры первого порядка, т. е. элементы сопря-
сопряженного модуля Е* (линейные формы на Е), называют ковариант-
ковариантными векторами. В дополнение к определению 1 условимся рас-
рассматривать скаляры (элементы кольца А) как тензоры и называть
их тензорами нулевого порядка.
В случае, когда р и q отличны от нуля, р раз контравариантные
и q раз ковариантные тензоры называют смешанными; они обра-
зуют ' различных модулеи, но между любыми двумя из
этих модулей существует каноническое взаимно однозначное
соответствие (§ 1, п° 7); во многих случаях можно ограничиться
рассмотрением лишь одного из них, например произведения
(<S>E) <g> ((§)?¦*), которое будет обозначаться Т% (Е) или просто Eg,
если это не сможет повлечь путаницы. Элементами Е\ служат
*) В русской математической литературе вместо «порядок тензора»
говорят валентность (или, реже, ранг) тензора.— Перев.

I ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 373
исевозможные линейные комбинации тензоров вида ххх., . ..
. . . хрх'хх'„ . . . x'q (называемых также разложимыми тензорами),
где xt — произвольные элементы из Е, а х) — произвольные
элементы из Е* (мы опускаем символ (g) в обозначении этих теп-
7L q
зоров). Пусть Q<) Е.; — другой модуль р раз контравариантных
\-=л
и q раз ковариаптных тензоров такой, что ЕХ = Е, когда v есть
один из членов строго возрастающей последовательности (/ij)i.<i^p
из р чисел интервала [1, р+ я], " Ev — E*, когда v есть один из
членов строго возрастающей последовательности (^)|<;у;;<р
образованной остальными числами этого интервала; канонпче-
ский изоморфизм Ef, на (х) Ev относит каждому разложимому
тензору х1 ... хрх\ ... х\ (;гг?Е, х)?Е*) разложимый тензор
UiVf-Vv+qi ГДС У1\ = *1 и \!к.¦-=*'; A < i< р, 1 </<?)•
Предположим теперь, что Е обладает конечным базисом
(ax)t^x<n (что, несомненно, является наиболее важным случаем);
будем в дальнейшем обозначать через (aK)\<^i^n базис в Е*,
сопряженный к (ах) (гл. il, § 4, ис \)\ тогда модуль Ef, обладает
базисом из np>q элементов, образопанным разложимыми тензо-
тензорами ах ... а^ а^1 ... avli, где (?ч) пробегает множество Р всех
последовательностей из р элементов интервала /—[1, n]czN,
а ([х;) — множество Г1 всех последовательностей из q г»ле.\гентов
этого интервала. Говоря о компонентах тензора х€Е?}1 мы всюду,
где не оговорено противное, имеем в виду компоненты х относи-
относительно базиса, полученного таким способом, отправляясь от неко-
некоторого базиса (ах) модуля Е; допуская вольность речи, их называют
компонентами х относительно базиса (ях); компонента х относи-
относительно элемента а% ... а% a^i . . . a>li обозначается | * ''' *'",
причем верхние индексы называются контравариантными, а ниж-
нижние — ковариантными; таким образом,
*= I ^•¦•Jpfl,i ... axe"! ...аЧ A)
р+1
Если теперь (?у Ev— второй модуль р раз контравариант-
v=l
иых и q раз ковариантных тензоров такой, что ЕХ = Е для \ = hk

374 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 4
A<г<р) и EV~E* для v = kj A</<д), то базис этого
модуля, соответствующий базису (ах) модуля Е, образован тен-
тензорами ЬхЬг ... bptq, где bh. =«x. и 6Й. = Л', причем (А,4)
пробегает /р , а ([х3) пробегает Л. Компоненты тензора, принад-
принадлежащего этому модулю, обозначают чаще всего так же, как
и в случае модуля Е\; однако при желании избежать смешения
этого модуля с другими контравариантный индекс Хг помещают
на г-м месте, незанятые же места оставляют пустыми или поме-
помечают точкой; например, компоненты тензора, принадлежащего
Е ® Е* 0 Е* ® Е, обозначают Е*1' ' *2 или |*"i \ когда пред-
почитают точную запись, и § i 2-*¦в противном случае.
Пусть (а^) — другой базис модуля Е и (а^) — сопряженный
базис в Е*; если Р — матрица перехода от (ах) к (а^) (гл. II,
§ 6, п° 9), то матрицей перехода от (ах) к (а*-) будет матрица 'Р'1,
контрагредиентная к Р (гл. II, § 6, п° 9 ); отсюда следует,
что в Ер матрицей перехода от базиса (аи ¦ ¦ . ах^1 .. . а?е)
1 _ н
к базису (ах ... ах а,1*1 . . . а^) служит тензорное произведение
A</<3). Аналогичный результат справедлив для любого
другого модуля р раз контравариантных и q раз ковариантных
тензоров.
Как мы увидим ниже (п° 4), при вычислениях с тензорами эле-
элементы матрицы перехода Р принято обозначать aty (или, лучше, о^),
где X—индекс столбца рассматриваемого элемента, а |х — индекс
строки; напротив, элементы коитрагредиентнои матрицы 'Р'1 обозна-
обозначаются р*^ (или, лучше, Р'^), где X —индекс столбца элемента, а |х —
индекс строки; при этих обозначениях компоненты j- x „р тензора
относительно базиса (а-А) выражаются через компоненты !|/ цР
этого тензора относительно базиса (а^) по формулам
1 ч (QjMa ) ' .  1 Ч
Замечание. Многие авторы придерживаются при вычисле-
вычислениях с тензорами такого соглашэния: если написано выражение)

ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 375
содержащее компоненты некоторых тензоров и, возможно, векторов
выбранного базиса модуля Е (или сопряженного базиса), то под ним
подразумевается выражение, получающееся из него следующим спо-
способом: каждому из индексов, фигурирующих в написанном выраже-
выражении один раз как верхний индекс и один раз как нижний (такие индексы
называют «немыми индексами» выражения), придают все значения от 1
до и и затем образуют сумму всех полученных так элементов. При таком
соглашении запись формул A) и B) принимает соответственно вид
В настоящем трактате мы не пользуемся этим соглашением, кото-
которое могло бы повлечь досадную путаницу.
2. Тензорные пространства; тензорные отображения
Пусть и — автоморфизм модуля Ежи — контрагредиентный
автоморфизм сопряженного модуля Е* (гл. II, § 4, п° 10); тен-
Р+9
зорное произведение бу иг, где иг = и, когда 1<г</>, и иг = и,
когда /? + 1<?<р-г-<7, есть автоморфизм модуля Е\ (§ 1,
следствие предложения 10); мы будем обозначать его и\. В силу
формулы F) § 1, отображение и—-> и? есть представление группы
GL (Е) автоморфизмов модуля Е в группу GL (Е%) автоморфиз-
автоморфизмов модуля Е\. Тем самым автоморфизмы модуля Е выступают
в качестве операторов внешнего закона (и, х) —» и? (х) на Е\;
если это не сможет повлечь путаницу, мы будем обозначать компо-
композицию и\ (х) оператора и и тензора х просто и-х (или их);
при этом обозначении имеем (u°v) -x= u-(v-x). Анало-
Аналогичный внешний закон определяется на каждом модуле р раз
контравариантных и q раз ковариантных тензоров, где р и q
не равны одновременно нулю. Для каждого автоморфизма и
модуля Е условимся обозначать через и° тождественное отображе-
отображение кольца А = El на себя; это позволит распространить опре-
определение указанного внешнего закона и на случай, когда/? = q = 0.
Определение 2. Тензорным пространством над А-модулем Е
V+q
называется каждый подмодуль Н модуля тензоров у§Ег (где

376 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, §4
р множителей равны Е, а остальные q равны Е*), устойчивый
р+д
относительно внешнего закона (и, х) = и-х на (??) Ei (иначе
говоря, такой, что для каждого тензора х?Н и каждого автомор-
автоморфизма м модуля Е имеем и-х^Н), наделенный алгебраической
структурой, определяемой, с одной стороны, двумя законами,
определяющими его структуру А-модуля, и, с другой стороны,
внешним] законом, индуцированным на Н законом (и, х) — и-х.
Замечания. 1) Тензорное пространство Н, наделенное
структурой, определяемой внешним законом [и, х) —> и-х, есть при-
пример множества, наделенного группой операторов, в смысле гл. I,
§ 7, п° 2; при этом указанный внешний закон дистрибутивен относи-
относительно заданного на Н сложения и перестановочен с внешним законом
(А,, х) -> %х структуры /1-модуля в //.
2) В случае, когда q = 0 (иными словами, когда речь идет о модуле
контраеариантных тензоров над Е), ир можно определить не только
для автоморфизмов модуля Е, но также для любого его эндоморфизма и,
как тензорное произведение р эндоморфизмов, совпадающих с и;
если и — второй эндоморфизм модуля Е и is = co», то wP = vfi о ufi;
но заметим, что (м-[-у)р вообще не равно u^-~-vP; следовательно, опре-
определенный на Е% внешний закон (и, х) —»- и^(х), имеющий своим мно-
множеством операторов кольцо J6 (Е), не определяет структуру левого
модуля.
Подмножество L тензорного пространства Н над Е, являющееся
подмодулем модуля Н и устойчивое относительно внешнего закона
(и, х) —> и-х, будучи наделенным индуцированной из Н струк-
структурой, очевидно является тензорным пространством над Е; мы
будем называть L тензорным подпространством тензорного про-
пространства Н.
Определение 3. Пусть F и G — тензорные пространства
над А-модулем Е. Тензорным отображением F в G называется
всякое представление / F в G относительно структур тензорного
пространства в этих двух множествах.
Согласно общему определению представлений (гл. I. § 4,
и° 4), то же можно выразить, сказав, что / есть линейное отображе-
отображение модуля F в модуль G такое, что f (и-х) = u-f (х) для •

2 ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 377
каждого автоморфизма и модуля Е и каждого тензора x?F. Если,
например, F = Е%, G = Егв, то это соотношение равносильно
соотношению f(u^(x)) — urs(f(x)).
Другой способ выражения этого тождества состоит в утвержде-
утверждении, что / (х) есть коеариапт тензора х относительно представлений
и -у uft и и—> и''я группы GL(?) (гл. I, § 7, п° 4).
Из определения 3 явствует, что если Н есть тензорное под-
подпространство в F, то / (//) есть тензорное подпространство в G;
-1
если К — тензорное подпространство в G, то / (К) — тензорное
подпространство в F.
Пусть теперь F, G, Н — тензорные пространства над Е; ото-
отображение / произведения F х G в Н называется тензорным ото-
отображением, если / — билинейное отображение такое, что для
каждого автоморфизма и .модуля Е имеет место тождество
f(u-x, u-y) —u-f (х, у); при F = E\, G = E][-, H = Ers это по-
последнее соотношение равносильно соотношению / (м? (х), и?', (?/)) =
= urs(f (x, у)). Аналогично определяются тензорные отображения
произведения любого числа тензорных пространств в тензорное
пространство.
Согласно схолии из п° 2 § 1, для определения тензорного
отображения / тензорного пространства Evq в Е\ достаточно задать
значения / на разложимых тензорах хх . . . хрх[ . . . x'q (в функции
от элементов xi и х]) и проверить, с одной стороны, что отображение
полилинейно и, с другой стороны, что для любого автоморфизма и
модуля Е выполняется тождество
/ (U (Xl) ...U (Xp) ll {Х[) . . . U(XQ)) = Щ (/ (Хг . . . Хрх[ . . . Хд)).
Из этого критерия сразу следует, что определенные в п° 1
канонические изоморфизмы различных модулей р раз контрава-
риантных и q раз ковариантных тензоров (с фиксированными р
и q) являются изоморфизмами структур тензорных пространств^
is этих модулях.

378 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 4
3. Умножение и свертывание
Пусть F= (^) Е[ — модуль р раз контравариантных и q раз
г=1
ковариантных тензоров над Е (Е[ = Е для р индексов i, E\ = E*
для q остальных индексов) и G = (§) ?j —модуль г раз контра-
вариантных и s раз ковариантных тензоров (Е] — Е для г ин-
индексов / и E"j = E* для остальных s индексов). Как мы знаем
{§ 1, п° 7), тензорное произведение F ® G можно отождест
вить посредством канонического изоморфизма с модулем
Н= (??) Ек р -\- г раз контравариантных и q -\- s раз кова-
fe=i
риантных тензоров, определяемым условиями Ek = E'h, когда
1<к<р + q, и Ep+q+h = E'h, когда l</i<r+s. Когда это отож-
отождествление произведено, (х,у)—>х®у есть билинейное отобра-
отображение F XG в Н, значением которого для пары разложимых
Р+Ч r+s
тензоровх = (g) x^F, У=§<) V^G служит тензор
P+Q-\-r+s
0 zh, где zk = xh, когда 1 <&</> + ?, и zp^h = yh, когда
<r + s. Это отображение, очевидно являющееся тен-
тензорным, называется умножением тензоров из F и G; в соответ-
соответствии с общими соглашениями, тензор x<g)y?H (x?F, y?G) при
отсутствии опасности смешения обозначается также ху.
В предыдущем определении неявно предполагается, что р и q
не равны одновременно нулю; на случай р = q = 0 определение
умножения распространяется путем принятия произведения ска-
скаляра а?А и тензора y?G равным их произведению ау относительно
внешнего закона структуры Л-модуля в G. Аналогично определе-
определение и для случая г = s = 0.
Понятие произведения любых двух смешанных тензоров позво-
позволяет придать определению тензорного отображения произведения FXG
тензорных пространств F и G в тензорное пространство Н такой вид:
это — отображение /, для которого существует тензорное отображе-
отображение g тензорного пространства f®G в Н, удовлетворяющее тож-
тождеству f(x, y) — g(zy).

:} ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 379
Пусть р > 0 и q > 0. Свертыванием i-то контравариантного
индекса с /-м ковариантным A<?</?, 1</<д) называется
линейное отображение с) тензорного пространства Е\ в E\l\,
относящее каждому разложимому тензору z — xx ... хх[ ... х'п
тензор
d(z) = {хг, x'j)x1 ... хг_хх1+1 . . . хрх[ . . . x'j-ix'j+i . . . x'q.
Ясно, что этим действительно определяется линейное ото-
отображение (§ 1, п° 2, схолия); при этом, так как для каждого
автоморфизма и модуля Е имеем {и (хг), и (x'j)) = (хг, х]), то
*-}(и-г) = (хг, х-)ы(.т1) . . . и (ij.j) и (xitl) . .. и(хр)и(х[) .. .
... u(x'j-t) u(x'j+i) ... u(x'q) = u-c){z),
что показывает, что с) есть тензорное отображение Е\ в Evq1\.
Так же определяются свертывания в любых модулях р раз кон-
травариантных и q раз ковариантных тензоров.
Пусть ^ц* „р—компоненты z относительно базиса (о^) мо-
модуля Е, так что
Так как (ах, а|1>=б^ (кронекеровский символ), то
где первая сумма распространяется на все индексы, отличные от \t
и (ху. Иными словами, компоненты свернутого тензора cj B) отно-
¦сительно базиса (а}) задаются формулой
Разумеется, в смешанном тензоре можно свертывать несколько
яар индексов, что, очевидно, сводится к последовательному сверты-
свертыванию каждой из этих пар (в любом порядке).
Часто приходится выполнять операцию, состоящую в обра-
образовании произведения двух тензоров (не являющихся одновре-

380 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II. §4
менно ни контравариантными, ни ковариантными) и затем сверты-
свертывании в полученном смешанном тензоре одной или нескольких
пар индексов; определяемое этим отображение, называемое свер-
свернутым произведением (для рассматриваемых пар индексов), также
является тензорным отображением.
Например, пусть хух2 — контравариантный тензор, 'произведе-
'произведение двух векторов ху, хг, и х[х« — коварнантиый тензор, произведе-
произведение двух линейных форм х[, х',; если образовать произведение этих
двух тензоров и затем свернуть в нем первый контравариантный индекс
с первым ковариантньш, а второй контравариантный индекс — со вто-
вторым ковариантиым, то получится скаляр (тензор нулевого порядка)
(Ху, x[) (Жо, .То).
4. Vndowoptf. измы смешетиых tJWHdojJoe второго
порпдпа
Пусть Е и F — Л-модули с конечными базисами. Предложение
2 § 1, примененное к модулям Е и /""*, определяет канонический
изоморфизм модуля билинейных форм на Е X F* па модуль
X (Е, F**) линейных отображений Е во второй сопряженный
к F: билинейной форме / на Е ;; F* отвечает линейное отображе-
отображение, относящее каждому х?Е линейную форму у' — ¦>/ (х, у')
на F*. Но F** отождествило с F (гл. II, § 4, п° 4); с другой сто-
стороны, ранее был определен канонический изоморфизм тензор-
тензорного произведения Е* ® F на модуль билинейных форм на Е X F*
(§ 1, п° 5), относящий тензорному произведению х' ® У билиш-й-
ную форму
(х, у')—>{х, х')(у, у')
на Е X F*. Отсюда:
Предложение 1. Если Е и F — А-модули с конечными бази-
базисами, то линейное отображение E*®F в X (Е, F), относящее
каждому тензорному произведению х' ® у линейное отображение
х—>(х, х')у, есть изоморфизм E*^F на X (Е, F).
Этот изоморфизм и изоморфизм, обратный ему, будут назы-
называться каноническими.
Из предложения 1, в частности, вытекает, что каждое линей-
линейное отображение и модуля Е в F есть сумма конечного числа

/ ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 381
линейных отображений вида х—>{т,х')у. Впрочем, это легко
установить и непосредственно: если (я{) — базис модуля Е, то
для каждого x=^L ^Л ? Е
i де (а1) — сопряженный базис модуля Е*. Мы видим при этом,
что если м — элемент из Е* (§j F, отвечающий и при канониче-
каноническом изоморфизме, то для каждого базиса (а{) модуля Е
1У4). D)
Н том случае, когда F = E, канонический изоморфизм и-^и
относит каждому эндоморфизму и модуля Е смешанный тензор и
на Е (принадлежащий Е*(&Е), один раз коптраварнаптный
и один раз коварнаитный. Если x'J — компоненты этого тензора
относительно базиса (аг) модуля Е, так что и= 2 сцэага;,
i, 3
то, как показывает сравнение с D), и(аг) = 2 счэа;-; иными
словами, компонента а{3 тензора и есть элемент матрицы эндо-
эндоморфизма, и (относительно того же базиса), находящийся на пере-
пересечении i-го столбца с j-й строкой.
3 а м е ч а и и я. 1) Каждому эндоморфизму и' модуля Е*, сопря-
сопряженного к Е, так же соответствует смешанный тензор и', принадле-
принадлежащий на этот раз модулю Е 0 Е* (при отождествлении Е** с Е)',
так же, как выше, устанавливается, что для каждого базиса (а{)
модуля Е
~'— X1 ' (л'Л
i
так что компонентой E'j тензора и' относительно (а;) служит элемент
матрицы эндоморфизма и' (относительно базиса (а )), стоящий на пере-
пересечении г'-го столбца и /-н строки. В частности, если и' = 1и, то тен-
тензоры и и и' соответствуют друг другу при канонических изоморфиз-
изоморфизмах между Е* (g> Е и Е 0 Е* (п° 1).
2) Как мы зиаем (§ 1, п° 2), каждому билинейному отображению
ЕХЕ в Е можно отнести линейное отображение Е 0 Е в Е, и следо-
следовательно, согласно предыдущему,— элемент из (Е 0 Е)* 0 Е, иными
словами, дважды ковариантный и один раз контравариантный тензор,
принадлежащий модулю Е* 0 Е* 0 Е. В частности, каждой струк-
структуре алгебры в Е (гл. II, § 7), поскольку она определяется билинейным

382 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 4
отображением (х, у) —> ху, соответствует такой тензор; коэффициенты
у^ входящие в таблицу умножения этой алгебры относительно
базиса (а^) (гл. II, § 7, п° 2),— это не что иное, как компоненты соот-
соответствующего тензора относительно указанного базиса.
3) Более общим образом, каждый модуль р раз контравариант-
ных и q раз ковариантных тензоров над Е изоморфен модулю линей-
линейных отображений Егг, в Е*. при всякой системе целых положительных^
г, s, r', s' такой, что г'- s = p и r-rs'—q.
5. След эндоморфизма. След матрицы
Определение 4. Пусть Е — А -модуль с конечным базисом^
Следом Тг (и) его эндоморфизма и называется скаляр с\(и), полу-
полученный путем свертывания смешанного тензора и, соответству-
соответствующего и.
То же самое можно выразить, сказав, что для любых пар конеч-
конечных семейств (x'i) элементов из Е* и (уг) элементов из Е таких, что
тождественно и (х) = 2 (х, х[)уг, имеет место равенство
i
°Как мы впоследствии узнаем, это последнее определение даег
в некоторых случаях отправной пункт для обобщения понятия след*
на (непрерывные) эндоморфизмы топологических векторных про-
пространств. 0
Если U = (о^) — матрица эндоморфизма и относительно бази-
базиса (а4) модуля Е, след Тг (и) принимается, по определению, также-
за след матрицы U и обозначается тогда Тг (?/); согласно формуле-
D), имеем Тг (и) = 2 (м (ai)' al) = 2ai; иными словами, след'
г i
квадратной матрицы — это сумма ее диагональных элементов^
Определение следа матрицы показывает, что следы подобных
матриц X и РХР'1 (гл. II, § 6, п° 11) равны. Это предложение-
может быть также выведено из следующего более общего:
Предложение 2. Каковы бы ни были матрица X из т строк'
и п столбцов и матрица Y из п строк и т столбцов над коммута-
коммутативным кольцом А,
Тг (ХУ) = Тг (УХ).

,; ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 383-
Доказательство этого утверждения сводится к доказательству
того, что Тг (мои) = Тг (vо и) для линейного отображения и мо-
модуля Е = Ап в F = Ат и линейного отображения v модуля /"
в Е; при этом можно ограничиться тем случаем, когда и имеет
иицх~>(х, а')Ь (b^F,a^E*)t&v-B«ny-*{y,b')a (а?Е, b'?F*),
поскольку каждое линейное отображение есть сумма отображений
этого вида, а Тг (w) — линейная функция от w\ но в этом частном
случае имеем
Тг(моц) = Тг(иоИ) = (а, а'){Ъ, Ь')
согласно определению 4.
Следствие. Пусть (X t)i^i^p —конечная последовательность р
матриц над коммутативным кольцом А таких, что, обозначая
через mi число строк и через ni число столбцов матрицы Хг, имеем
ni — mi+l при 1<г<р —1 и пр = т1. При этих условиях
Тг (Х,Х2 ...Хр) = Тт (ВД+1 . . . ХрХ, . . . Х^) G)
(«инвариантность относительно круговых подстановок»).
Достаточно применить (б) к произведению (Хг . .. Хр) (Х1 .. .
• • • Хг_г).
Заметим, что, напротив, для произвольных матриц X, У, Z
вообще говоря, Tr(XYZ)^Tr(XZY).
Пусть Х=(|^), Y — (г\^) — квадратные матрицы n-го по-
порядка; тогда Tr^XY) — 2 ЬцЦц (что дает второе доказательство
предложения 2); кроме того, эта формула показывает, что каждая
линейная форма на Л-модуле Мп (А) квадратных матриц п-то
порядка над А может быть представлена, и притом единственным
способом, в виде X—>Тг(РХ), где Р — фиксированная квад-
квадратная матрица; это отображение может быть тождественно
нулевым, лишь если Р = 0.
Мы выведем из этого замечания, что предложение 2 характе-
характеризует (с точностью до постоянного множителя) след матрицы
среди линейных форм на Мп(А); а именно:
Предложение 3. Если f — линейная форма на модуле Мп(А)..
для которой тождественно f (XY) = f (YX), то существует
скаляр q?A такой, что f (X) — qTt (X) для каждой матрицы X..

384 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ III, § 4
Действительно, существует фиксированная матрица Р такая,
что f(X) = Tv(PX) для всех Х?Ып(А); поэтому условие
f(XY) = f(YX) записывается в виде Tr (PXY) = Тг (PYX),
или, на основании G), Tr (PXY) = Tr (XPY), или, наконец,
Тг ({РХ — ХР) Y) = 0; так как это соотношение имеет место
для каждой матрицы Y, заключаем, что РХ — ХР для каж-
каждой матрицы X, откуда, в силу следствия 1 предложения 5 §2
главы II, P — qf (где / — единичная матрица), и предложение
доказано.
В случае квадратных матриц над полем К предложение 3 допускает
следующее истолкование: векторное подпространство векторного
пространства Мп(К), порожденное матрицами XY—YX, есть гипер-
плоскост ь.
6". Тензорная алге6%^а
Пусть Е — унитарный Л-модуль и Т (Е)— прямая сумма
V
всех его тензорных степеней &)Е, где р пробегает множество N
целых чисел >0. Понятие произведения двух тензоров позво-
позволяет определить в Т (Е) структуру алгебры относительно А.
Действительно, каждый элемент z?T(E) однозначно представим
со
в виде z = 2. sni гДе zp — контравариантный тензор р-го
порядка (равный нулю для всех кроме конечного числа значений р),
со
Пусть также z = ^ z'p?T (Е). Положим zz' = ^ zpz'q. Оче-
Р=0 р, д
видно, определенное так на Т (Е) умножение двояко дистрибу-
дистрибутивно относительно сложения; оно ассоциативно в силу соотноше-
соотношения {zpzq) zr = zp (zqzr) между тремя тензорами порядков
р, q, r, очевидного для разложимых тензоров и распространяюще-
распространяющегося на произвольные тензоры по дистрибутивности. Наконец,
ясно, что a (zz') = (ccz) z' = z (az') для каждого скаляра а?А.
Тем самым Т (Е) действительно есть алгебра над А; она назы-
называется тензорной алгеброй модуля Е. Эта алгебра имеет своим еди-
единичным элементом единицу е кольца А и вообще не коммутативна;
для элементов из Е (контравариантных векторов) умножение
в Т (Е) дает не что иное, как тензорное произведение, определенное-

ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 385
в п° 2 § 1; тем самым множество A \J E составляет систему
образующих алгебры Т (Е). Если Е обладает базисом (ах), то
Т (Е) обладает (бесконечным) базисом, образованным единичным
элементом и всеми тензорами а^га^„ ... ах , где (Я,4) пробегает
множество всевозможных конечных последовательностей (с лю-
любым числом членов) элементов множества индексов; таблица
умножения этого базиса задается соотношениями
(ак1 . . . ахр) Кг . . . а^) = aXj ... а^а^ ... а^.
Каждое линейное отображение и модуля Е в произвольный
.1-модуль F однозначно продолжается до представления алгебры
Т (Е) в алгебру Т (F). Действительно, если и — такое продолже-
продолжение, то и(е) = е, откуда и (а) — и (ае) = аи (е) = а для любого
скаляра а; с другой стороны, для всякого разложимого тензора
zr — ххх2 . . . хр порядка р > 0 мы должны иметь
и (zp) = и (хг) и (х2) ...и (хр) = ир (zp),
где и1' означает р-ю тензорную степень и, и это соотношение должно
выполняться также для любого контравариантного тензора р-то
порядка, поскольку такой тензор есть сумма разложимых тензо-
ров. Следовательно, для каждого элемента z= jl zp из Т {Е),
р=0
разложенного в сумму тензоров различных порядков, должно
оо со
выполняться равенство и (z) = ^ и (zp) — 2 иР (ZP) (гДе и°
р=0 Р=0
означает тождественное отображение А на себя). Обратно, ясно,
что так определенное отображение и действительно является
представлением Т (Е) в Т (F). и будет называться каноническим
продолжением и на Г (Е). Если v — линейное отображение F
в А -модуль G и v — его каноническое продолжение на Т (F),
го каноническое продолжение композиции v°u на Т (Е) совпадает
с v°u. В частности, если и—автоморфизм модуля Е, то и— авто-
автоморфизм алгебры Т (Е).
Если Е — подмодуль модуля F и и — каноническое отображе-
отображение Е в F, то и есть представление Т (Е) в Т (F), также называе-
называемое каноническим; оно не всегда взаимно однозначно (см. § 2,
упражнение 4). Однако, если F —векторное пространство, то
25 н. Бурбаки

:J,Sli ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ill, § 4
«"есть изоморфизм Т (Е) в Т (F) (§ 1, следствие 3 предложения 7),
и Т (Е) часто отождествляется посредством него с подалгеброй
и T(F), являющейся его образом.
Упражнения. 1) Пусть Е — конечномерное векторное про-
пространство иг — тензор, принадлежащий Ё^. Пусть, далее, Wi для
каждого коптравариантного индекса i (I •< '•'•>/») есть подпростран-
подпространство в Е*, образованное темп х'?Е*, для которых е*л_,(г-аг')=О,
и V; -подпространство в Е, ортогональное К Wi. Пусть, наконец,
Wj для каждого ковариантного индекса / A -¦ ./-С q) — подпро-
подпространство в Е, образованное теми х^Е, для которых Cj (x- z) — 0,
и Vj — подпространство в Е*, ортогональное к Wj. Показать, что г
р Q
принадлежит тензорному произведению (Q9 Vj) ®(<У t'/K при атом,
г=1 /==1
если (fj)i<i<p — семейство подпространств из Е и (f;)i</<(; — семей-
семейство подпространств из Е* такие, что z принадлежит тензорному
произведению (уу fj)®(Qy ^г), то F{ d f,- и У/.' Ui, каковы бы
i=l У-1
ни были i и /. [См. § 1, упражнение 6.]
2) Пусть и для каждого эндоморфизма и А -модуля ? с конечным
базисом означает соответствующий и смешанный тензор (принадле-
(принадлежащий Е* 0Е).
а) Показать, что, каков бы ни был вектор х?Е, вектор и(х)
получается путем свертывания первого контравариантяого индекса
тензора хи с ковариантяым индексом.
б) Показать, что если w — uov—композиция эндоморфизмов v
и и, то тензор и получается путем свертывания второго контравари-
амтяого ипдекса тензора uv с первым ковариантным индексом.
в) Пусть ф - произвольный автоморфизм модуля Е; показать,
что прои.эведепие ф-м (относительно структуры тензорного простран-
пространства в Е* 0 Е) есть тензор, соответствующий эндоморфизму фиф.
3) Пусть Е—Л-модуль с конечным базисом (аг). Каждому били-
билинейному отображению и произведения ЕХЕ в Е соответствует (п° 4)
дважды ковариантный и один раз контравариантяый тензор
и = У a'nhi («j, tij),
принадлежащий модулю Е* §§ Е* (g) E. Для того чтобы и определяло
ассоциативный закон композиции на Е, необходимо и достаточно,
чтобы тензоры с\(и-и) (полученный путем свертывания третьего кова
риантяого индекса произведения и-и с первым контравариаитным

ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 387
индексом) и cl(u-u) (полученный путем свертывания второго кова-
риантного индекса того же произведения со вторым контраварпант-
пым индексом) соответствонали друг другу при каноническом изомор-
изоморфизме Е* @ Е* ® Е* 0 К на Е* 0> /•-" ?. E* <*-, Е*.
4) Если А и В квадратные матрицы над коммутативным коль-
кольцом А, то Тг{А 0Д)-.= Тг(Л)Т)-(Л1).
5) Пусть /) некоммутат}и:нпе кольцо с. рлнннцой; предполо-
предположим, что в А не существует элемента о -•- 0 , для которого бы
(?т) — г)|) у -- 0 при всякой паре элемептов (|, г\) из Л. Показать, что
если /- линейная форма на левом /1-модуле М„ (А) матриц порядка
и > 1 падЛ такая, что/ (XY) = f (YX) для любой пары квадратных мат-
матриц X, У /(-го порядка над А, то /=0. Вывести отсюда, что если А — не-
некоммутативное тело, то ири п ^> 1 матрицы XY — YX, где X и Y
пробегают левое векторное пространство М,, (^4), порождают всё М„(/1).
*6) Пусть Е- векторное пространство над полем А' и Т (Е) —
тензорная алгебра этого пространства.
а) Показать, что 7'(?) —некоммутативное кольцо, если размер-
размерность Е больше 1, и есть кольцо без делителей нуля. Единственными
обратимыми элементами в Т (Е) являются ненулевые скаляры.
6) Пусть х и у — тензоры, принадлежащие Т (Е). Показать, что
если в Т(Е) существуют элемепты а, Ь такие, что ха = у6, то один из
тензоров х, у является правым кратным другого.
в) Показать, что единственными элементами в Т(Е), перестано-
перестановочными с тензором х порядка > 0, являются линейные комбинации
степеней х. [Использовать б).] Вывести отсюда, что если Е — размер-
размерности > 1, то цептр Т (Е) совпадает с К.
г) Показать (нспольлуя (б)), что если dim Е > I, то кольцо Т (Е)
не допускает тела левых отношений (гл. I, § 9, упражнение 8).
7) Пусть L (I) — свободный моноид (гл. I, § 1, п° 3), порожден-
порожденный произвольным множеством /. Показать, что моноидная алгебра
зтого моноида Ь{1) относительно коммутативного кольца А с единицей
изоморфна тензорной алгебре Т (А* ') модуля Л1 '.
8) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, Е — алгебра
над А, обладающая единичпым алемеитом (обозначаемым е), (^t)tej —
произвольное семейство элементов из Е и 7' — тензорная алгебра А-
модуля-<1(/). Если каждому элементу z— Яц+ ^ Я. е ...е. ?Т,
,-- V ¦ •'?! h Si
u/i)
отнесенному к базису алгебры Т, соответствующему каноническому
оазису (et) модуля -4G), поставить п соответствие элемент
алгебры Е, то этим определится представление алгебры Т в алгебру Е,
и образом Т при атом представлении будет подалгебра в Е. порожден-
порожденная единичным элементом и элементами х\.
25*

388 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. 111, § 5
§ 5. Внешняя алгебра
/. Операторы симметрии
Пусть I и Е — произвольные множества. В соответствии
с общими определениями (гл. I, § 7, и° 3), каждой подстановке о
множества / и каждому его отображению / в Е соответствует ото-
отображение / н Е, обозначаемое of и определяемое формулой
а/(*) = /(а-»*) A)
для всех х ? 1. f —* of есть подстановка множества Е1 всех отображе-
отображений / в Е, называемая распространением о на это множество;
Е1 наделено группой операторов C; (гл. I, § 7, пс 2) внешнего
закона (а, /)—-> а/; отображение а—->фа, где фа означает подста-
подстановку f-^of, есть представление группы <3/ в группу подстано-
подстановок множества Е1, являющееся, если Е содержит более одного
элемента, изоморфизмом.
В случае, когда 1 есть интервал [l,p]dN, множество Е1
есть не что иное, как произведение Е7'; тем самым для каждой
подстановки а из симметрической группы @р и каждого элемента
х = (хгI<{<р из Ер имеем ох = (г/4), где yi = ха-щ) A < i< p).
Каждая подстановка х—> ох произведения Ер определяет
теперь таким же образом подстановку /—»о/ множества G все-
всевозможных отображений произведения Ер в множество F; со-
согласно A), для каждого о?Ер имеем of (ж) = /(о'1х), т. е.
В этом параграфе мы ограничимся тем случаем, когда Е и F
являются унитарными модулями над коммутативным кольцом А
с единицей. Из B) следует тогда, что если / — полилинейное ото-
отображение Ер в F, то то же верно для of, какова бы ни была под-
подстановка aG@p Иначе говоря, отображение f-^-of есть автомор-
автоморфизм модуля <5?р (Е; F), оказывающегося тем самым наделенным
группой операторов <Вр.
Как мы знаем (§ 1, п°п° 2 и 7), имеется каноническое взаимно
однозначное соответствие между полилинейными отображениями

/ ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 389
Р
Ер в F и линейными отображениями §Z)E в F. Если g — линей-
р
кое отображение ($?) Е в F, соответствующее полилинейному
отображению /, то через ag для каждой подстановки о€>3р будет
р
обозначаться линейное отображение ($?)Е в /", соответствующее
а/; таким образом, это отображение определяется условием
ogf можно определить также, отправляясь от подстановки
р
р-й тензорной степени (^)Е, с помощью способа распространения,
который мы напомнили в начале этого п°. Действительно, так как
отображение (хг, х2, . . ., хр) —> xa-i ([) (g) «a-i B) ® . . . <Е> «„-i (p) ^
р р
и (^i? полилинейно, то существует линейное отображение Q?) ?
в себя, которое мы обозначим г—> 02, такое, что
(§ 1, иоп° 2 и 7). Без труда проверяется, что определенный так
р р
па &)Е внешний закон (о, z) —-> oz наделяет (^) Е группой опера-
операторов <ВР (гл. I, § 7, п° 2) и, в частности, что z—>az есть
р
автоморфизм структуры Л-модуля в ^) Е (равно как и структуры
р
тензорного пространства в §Z)E; см. § 4, п° 2). Из этого опреде-
определения и формулы C) вытекает теперь, что для всякого тензора
р
г 6 (^) Е выполняется равенство
^g(a'1z), D)
в полном согласии с формулой A).
Определение 1. Унитарный модуль М над коммутативным
кольцом А называется связанным с симметрической группой ©р,
f-.сли М наделен группой операторов @р (гл. I, § 7, п° 2) относи-
относительно внешнего закона (о, z)—^ oz такого, что каждое из отобра-
отображений z—> az модуля М в себя линейно (и, значит (гл. I, § 7,
предложение 1), является автоморфизмом структуры Л-моду-
ля в М).

390 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ш, §5
Таким образом, модули % (Е; F), X (Q9 Е, F) и Q9 Е связаны
с группой @р относительно определенных нами виешних законов.
В случае, когда .1/ — Л-модуль, связанный с группой Sp,
в нем можно определить структуру унитарного левого модуля
относительно групповой алгебры В группы 5^ (гл. II, § 7, п° 9)
над кольцом А; достаточно для каждого элемента t = 2_ ХПа
а
этой алгебры (А.а?Л) и каждого элемента z?M положить t-z —
— 2 K<*Z', выполнение аксиом модуля без труда проверяется
о
(на основании линейности каждого отображения z—>az).
Тогда операторы t?B называются операторами симметрии
на М\ среди этих операторов, разумеется, фигурируют подста-
подстановки о@р, линейными комбинациями которых с коэффициен-
коэффициентами из А являются все оиераторы симметрии. Отметим, что струк-
структура Л-модуля в М получается путем сужения кольца операто-
операторов структуры S-модуля в М до А.
Обратно, если М — унитарный ^-модуль, то Л-модуль, полу-
получающийся путем сужения его кольца операторов до А, связан с груп-
группой Sp относительно внешнего закона (а, г) -- аг, получающегося
путем сужения кольца операторов модуля М до Зр. Поэтому пет осно-
оснований различать понятия унитарного /У-модуля и Л-модул я, связан-
связанного с группой 2р.
Определение 2. Пусть М — А-модуль, связанный с симметри-.
ческой группой @р. Элемент z?M называется симметрическим,
если az = z для всех о"?©р, и антисимметрическим *), если для
каждого о? Эр имеем az -~ hc,z, где еа — сигнатура подстановки о
(гл. I, § 7, п° 1).
Множество всех антиснмметрическнх (соответственно симме-
симметрических) элементов из М является подмодулем в М относительно
его структуры /?-модуля; действительно, если az — eoz (соот-
(соответственно az = z) для каждого о"?@р, то для всех т?@р имеем
a (xz) = a (etz) = вгаг ~ e^eaz = еа (xz) (соответственно cr (xz) = a(z) —
*) В русской математической литературе вместо «антисимметрический»
более принято говорить кососим.иетричеасии. — Иерее.

/ ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 391
Р
=¦% — xz). Если М = QQ Е,то эти подмодули совпадают с тензорными
v
подпространствами (§4, пс 2) тензорного пространства (^) Е.
Предложение 1. Для того чтобы элемент z был симметриче-
симметрическим (соответственно антисимметрическим), необходимо и доста-
достаточно, чтобы xz = z (соответственно xz = — z) для каждой
транспозиции (гл. I, § 7, п° 1) x?Sp.
Необходимость условия очевидна. Его достаточность следует
из того, что каждая подстановка а? ©р является произведением
транспозиций (гл. I, § 7, п° 1), а а—¦> е0 есть представление группы
Зр на мультипликативную группу {— 1, +!}•
Определение 3. Пусть М — А-модуль, связанный с группой @р.
Элемент а = ^. еоа групповой алгебры В группы ©„ относительно А
называется оператором антисимметрирования *), а az = ^Eaoz,
о
где z б Л/, —результатом антисимметрирования элемента z.
z—>az есть линейное отображение модуля .1/ на его подмодуль
р
(при М = (^)Е являющийся тензорным подпространством).
Предложение 2. Антисимметрирование любого элемента z?M
приводит к антисимметрическому элементу (чем и оправдывается
термин «антисимметрирование»).
Действительно, для каждой подстановки q ? <ВР имеем
q (аг) = 2 EoQciz = ео 2 eQOQo-z = eQ {az),
а о
поскольку o—>qz взаимно однозначное отображение ©р на себя.
Следствие. Если z — антисимметрический элемент из J/,
то az = p\z.
Действительно, для каждого a?Sp имеем тогда еоог = s.
Замечания. 1) Как видно из доказательства предложения 2,
подмодуль в М, образованный результатами антисимметрпрования
всевозможных элементов из М, инвариантен относительно каждой
*) В русской математической литературе антисимметрирование пазы-
T плыпгрнароппнигм.— Перес.

392 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
подстановки а ? Sp; другими словами, он является подмодулем
относительно структуры В-модуля в М. Доказательство этого, данное
при доказательстве предложения 2, показывает, что в кольце В мно-
множество всех Ха (X ?А) является левым идеалом. Более общим образом,
если I -любой левый идеал кольца В, аддитивная подгруппа в М,
порожденная элементами lz, где t пробегает I, а г пробегает М, есть
подмодуль В-модуля М, или, иначе, подмодуль А -модуля М, инва-
инвариантный относительно всех операторов симметрии. В наиболее
важных случаях можно показать, что каждый подмодуль В-модуля М
может быть получен таким способом.
2) Антпспмметрпческий элемент модуля М не всегда является
результатом антисимметрирования какого-либо элемента из М (см.
п° 2, замечание, и п° 3, следствие предложения 5). Однако если урав-
уравнение р\х=а при каждом а ? М обладает в М однозначно определен-
определенным решением, то всякий антисимметрический элемент z ? Л/ полу-
получается путем антисимметрирования. Действительно, если z — эле-
элемент из М, для которого р\ z'= z, то pi (az')=az=plz, откуда z=uz.
2. Знакопеременные полилинейные функции
Пусть Е — унитарный Л-модуль и / — антисимметричесное
полилинейное отображение Ер в Л-модуль F, так что для каждого
х = (хг) i<i<p(-Ep imeeMj / (тас) = — / (ас), какова бы ни была
транспозиция т. Существование транспозиции т, для которой
хх = х, равносильно существованию двух различных индексов i, /,
для которых xi = Xj] если это имеет место, то f(x)—f(tx) —
= — /(ас), откуда 2/(ас) =0. Если в модуле F соотношение
2у = 0 влечет у = 0 (а это как раз имеет место, если кольцом
операторов А служит поле характеристики Ф 2), то тогда каждое
антисимметрическое полилинейное отображение Ер в F аннули-
аннулируется на всяком х = (ж4), имеющем (по крайней мере) две равные
координаты. Этим подсказывается введение следующего опреде-
определения, уже без всяких предположений относительно модуля F.
Определение 4. Полилинейное отображении f модуля Ер
в F называется знакопеременным, если f (х1; х2, . . . , хр) = 0
для всякого х = (хг)?Ер, имеющего (по крайней мере) две равные
р
координаты хг. Линейное отображение g модуля (^) Е в F назы-
называется знакопеременным, если знакопеременно соответствующее
полилинейное отображение
. (х17 .>:,, гр) —> g (Xl О х2 О . . . О xv).

2 ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 393
Таким образом, знакопеременность g означает, что g аннули-
аннулируется на каждом тензоре z = хх <g x2 <g . . . <g?rp таком, что
xz = z хотя бы для одной транспозиции т. Подмодуль в (^) Е,
порожденный такими тензорами z — xl (g) г2 (g . . . (g) z_, будет
вплоть до конца настоящего параграфа обозначаться через Н.
Знакопеременными линейными отображениями модуля (??) Е в мо-
р
дуль F будут тогда те линейные отображения (R) E в F, которые
аннулируются на подмодуле N. Допуская вольность речи, мы
будем называть N подмодулем в (^) Е, на котором аннулируются
все знакопеременные линейные функции.
р
Предложение 3. Для каждого тензора z ? (^) Е и каждой под-
подстановки о"? @р элемент z — eooz принадлежит N.
Поскольку каждая подстановка ст?@р является произведе-
произведением транспозиций (гл. I, § 7, п° 1), мы докажем справедливость
предложения для произведения п транспозиций индукцией по п.
р
При п=1 следует показать, что z + xz^N для каждого z?^)E
и каждой транспозиции Tg Sp. Достаточно рассмотреть тот слу-
случай, когда z — элемент вида хх <Э х% (g) . . . ® хр. Предположим,
что т переставляет различные индексы i и /. Обозначим для каж-
v
дого у?Е через ф(г/) элемент из &)Е, получающийся путем под-
подстановки в тензорное произведение хх <Э ^2® • • • ® хр элемента у
вместо каждого из элементов xt uxj. Для каждого у?Е, по опре-
определению, имеем ср (г/) ? Я. Но z + xz = cp (xi + Xj) — Ф (хг) —
-ф(^). Следовательно, z^xz^N. Отсюда вытекает, что если
z?N, то для каждой транспозиции т также xz ? Л\ иными словами,
т (N) = N.
Предположим теперь, что предложение справедливо для
подстановки q, являющейся произведением п транспозиций,
и покажем, что оно справедливо для подстановки а — xq, где
т — произвольная транспозиция. По предположению, qz = е,,г
(mod#), откуда az = xqz = eQxz (mod N), поскольку т {N) =- N:
так как xz = exz (mod N), то заключаем, что az
= еог (mod .V).

394 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ill, §5
Из этого предложения вытекает, что N инвариантно относи-
относительно каждого о?&р, иными словами, является подмодулем
v
относительно структуры В-модуля в (??) Е.
Следствие. Каждое знакопеременное полилинейное отображе-
отображение антисимметрично.
Действительно, если g — знакопеременное линейное отображе-
р v
ние E?) Е в F, то g (z — saaz) — 0 для каждого z? &) Е и каждой
подстановки о?<&р, откуда, в силу D). ag --¦ e(.g.
Замечание. Если в /"" соотношение 2у~() не обязательно
влечет »/=0, то антисимметрическое полилинейное отображение Е>'
в F не обязательно знакоиереыенно. Например, если К — поле харак-
характеристики 2, то на векторном пространстве Е относительно К симмет-
симметрические полилинейные формы совпадают с антисимметрическими,
и существуют не знакопеременные симметрические полилинейные
формы, например билинейная форма (х, у) -¦ и (х) и (у), где и — нену-
ненулевая линейная' форма на Е.
3. Антиси.мметрированные линейные функции
v
Предложение 4. Пусть g — линейное отображение (§)?" в А-мо-
v
дуль F. Каков бы ни был тензор z?§QE,
«S(z) = g(«z)- E)
Действительно, умножив обе части соотношения D) на е0 = Еа-]
и просуммировав по а, получим E).
Следствие. Результат антисимметрирования любого линей-
v
ного отображения Q$) E в А-модулъ F аннулируется на каждом
тензоре z, для которого az = 0.
,0
Будем в дальнейшем обозначать через N1 подмодуль в ^) Е,
образованный теми тензорами z, для которых az = 0. Следствие
предложения 4 показывает, что результат антисимметрирова-
р
ния каждого линейного отображения модуля Q9 Е в А -модуль F
аннулируется на подмодуле N1.

4 ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 395
Следует, однако, заметить, что это условие не характеризует
антисимметрированпые линейные отображения; иными словами, ми-
жет оказаться, что линейное отображение уу Е в F аннулируется на Л |
и тем не менее не является результатом антисимметрирования какого-
нибудь линейного отображения (см. упражнение 5 и теорему 1).
Предложение 5. Для каждого тензора z, принадлежащего nocj-
модулю N, на котором аннулируются все знакопеременные линейные
функции, имеет место равенство az = 0 (иными словами, N CZ Nx).
Действительно, N порождается тензорами z такими, что
xz = z для некоторой транспозиции т. Покажем, более общим
образом, что в модуле М, связанном с группой ©р, каждый эле-
элемент z такой, что tz = z для некоторой транспозиции т, удовле-
удовлетворяет условию «z = 0. Для этого рассмотрим в Зр подгруппу Г
нторого порядка, образованную транспозицией т и тождественной
подстановкой. Возьмем в каждом из -^- левых классов по Г чет-
четную подстановку а1г Согласно определению 3, для каждого z?.l/
можно написать az — 2 ал B — Tz)> гДе сумма распространяется
ft
на все четные подстановки, а отсюда непосредственно следует
наше утверждение.
Можно привести примеры модулей Е, для которых А --- Л'[
(см. упражнение 6).
Следствие. Результат антисимметрирования всякого поли-
полилинейного отображения знакоперсменен.
Действительно (следствие предложения 4), всякое антисимме-
р
трированное линейное отображение модуля (§) Е в Л-модуль
F аннулируется на А\ и тем более на N.
4. Знакопеременные полилинейные функции на сво-
свободном модуле
Пусть Е — свободный Л-модуль и (e%)krL — его базис. Отнесем
каждой последовательности s = (^I<{<„, образованной р эле-
элементами множества L (различными или нет), элемент е%1 ® • ¦ . ® ея, ;
будем в этом п° обозначать его es. Множество этих элементов es
(где s пробегает множество Lp всех последовательностей по р

396 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. ITI, § 5
элементов из L) образует базис модуля Q9 Е (§1, следствие 2
предложения 7). Имеются два сорта последовательностей s:
1° такие, что ts = sxoth бы для одной транспозиции т? @р (иными
словами, последовательности s, имеющие два равных члена);
множество всех таких последовательностей обозначим &\ 2° после-
последовательности s = (л^), образованные попарно различными эле-
элементами; для такой последовательности s имеем as Ф s, какова бы
ни была нетождественная подстановка о"?@р, и, следовательно,
aes = eas Ф es. Рассмотрим в множестве последовательностей
этой второй категории отношение эквивалентности «st и s2 отли-
отличаются лишь расположением членов», которое может быть также
выражено в форме «существует о? @р такое, что ctsx = s2». Выбе-
Выберем в каждом классе эквивалентности по этому отношению какую-
нибудь (безразлично какую) последовательность, и пусть 38 —
множество всех выбранных последовательностей. Мы получим
v
базис модуля &)Е, взяв:
1° элементы es, соответствующие последовательностям s^J?;
2° элементы eas, соответствующие последовательностям s?i?
и всевозможным нетождественным подстановкам o"(ESp;
3° элементы es, соответствующие последовательностям s?&.
р
Мы получим также базис модуля §§)Е, взяв:
а) элементы е6, соответствующие последовательностям s?J?;
Р) элементы saeas — es, соответствующие последовательно-
последовательностям sgi? и всевозможным нетождественным подстановкам (TgCp;
Y) элементы es, соответствующие последовательностям sg^.
Элементы этого базиса, относящиеся к категориям у) и р"),
принадлежат подмодулю N, на котором аннулируются все знако-
знакопеременные линейные функции; для у) это вытекает из определе-
определения подмодуля N (п° 2), а для р) — из предложения 3. Покажем,
что подмодуль, порожденный элементами базиса, относящимися
к категориям у) и C), есть не что иное, как подмодуль Лг1 тензоров
z, антисимметрирование которых дает нуль. Так как NCZNX
(предложение 5), то отсюда попутно получится, что iVt = N.
Достаточно показать, что для тензора г = 2ases (линейной ком-

4 ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 397
бинации элементов категории а)) соотношение az -— 0 влечет
ols = 0 для всех s?^\ Но это соотношение записывается в виде
откуда и следует справедливость утверждения.
р
Пусть теперь g — линейное отображение модуля &)Е в Л-ыо-
дуль F. Для того чтобы g было знакопеременным, необходимо
и достаточно, чтобы оно аннулировалось на базисе подмодуля N,
образованном элементами указанных выше категорий р) и у);
л отсюда вытекает система необходимых и достаточных условий
.чнакопеременности отображения g:
g (es) = 0 для каждой последовательности s, у которой (по
крайней мере) два члена равны;
S (eos) — eag (es) для каждой последовательности s с попарно
различными членами и каждой подстановки ст? @p-
р
Если линейное отображение g модуля Qy E в F удовлетворяет
указанным условиям, то обозначим через h линейное отображение,
определяемое условиями
h(e/l) = g(ei) для каждой последовательности s€^;
h (es) = 0 для каждой последовательности s^J?.
Очевидно, ah = g: каждое знакопеременное линейное отображение
ость результат антисимметрирования некоторого линейного
отображения.
В итоге (учитывая следствие предложения 5) имеем:
Теорема 1. Пусть Е — свободный А-модулъ.
а) Подмодуль N в (>$Е, на котором аннулируются все знако-
знакопеременные линейные функции (п° 2), совпадает с подмодулем h\
тензоров, антисимметрирование которых дает нуль.
v
б) Для того чтобы линейное отображение g модуля к?) Е
в А-модулъ F было знакопеременным, необходимо и достаточно,
чтобы оно получалось путем антисимметрирования некоторого
р
линейного отображения (х)Е в F.

398 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ш, §5
3 а и о ч я н и е. Вторая часть теоремы 1 остается верной и без
предположения, что Е обладает базисом, если только уравнение р'.у=Ь
для каждого b ? F имеет, и притом единственное, решение в F. Дей-
Действительно (замечание 2 в п° 1), тогда каждое антисимметрическое
полилинейное отображение Е1' в / является результатом аптисимметри-
рования некоторого полилинейного отображения, и, в частности., это
верно для каждого знакопеременного полилинейного отображения />
в F (следствие 2 предложения 3). Таким образом, в этом случае поня-
понятия антисимметрированиого, знакопеременного и ацтисимметриче-
ского полилинейных отображений E>J в F совпадают (что, например,
имеет место для каждого целого р, когда Е и F — векторные простран-
ства над нолем характеристики 0).
о- Внешние степени .модуля
Пусть Е — произвольный унитарный Л-модуль. Так как
р
каждое знакопеременное линейное отображение g модуля Q9 Е
v
в Л-модуль F аннулируется на подмодуле N модуля &)Е, то оно
может быть записано в виде h о ty, где г|) — каноническое отобра-
V V
жение модуля &)Е в фактормодуль ((^)E)/N, a h — однознач-
однозначно определенное линейное отображение этого фактормодуля в F
(гл. II, § 2, предложение 1). Поэтому каждое знакопеременное
полилинейное отображение Ер в F может быть однозначно пред-
представлено в виде
{jrlt . . ., xv) -> h
Всюду в дальнейшем через хх/\хг/\ . . . Джр для каждого эле-
элемента (хг)?Ер будет обозначаться образ хх (g) я2® ... ® xv при
р
каноническом отображении г|з модуля &)Е на его фактормодуль
®
Определение 5. Пусть Е — унитарный А-модулъ. Фактор-
р
модуль модуля (g)E no его подмодулю N (порожденному разложи-
разложимыми тензорами хх ® х2 ® ... (g) xp, в которых по крайней мере два
элемента ori.xj равны) называется р-й внешней степенью модуля Е

,.j ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 399
i' P
и обозначается Д Е. Элементы из Д ? называются р-векторами
над Е; каждый р-вектор вида ^ Д ^2Л •¦• Лхр (где все ,/;4 ?/i)
называется разложимым.
Приведенное определение имеет смысл лишь прир>2; в допол-
дополнение к нему будем, по условию, понимать под /\Е сам модуль Е,
о
а под /\Е — кольцо операторов А; таким образом, 1-вектор —
это элемент из Е, а 0-вектор — скаляр.
Поскольку каждый тензор есть сумма разложимых тензоров,
каждый р-вектор над Е есть сумма разложимых р-векторов.
Так как (хи х2, .. ., хр)—.> х1 Д х2 Д . . . Л#р есть знако-
знакопеременное отображение, то каждый разложимый р-вектор, в ко-
котором по крайней мере два элемента xt, Xj равны, есть нуль, и для
каждой подстановки о"€Зр (согласно следствию предложения 3)
имеем
ЖОA)ЛЖ„B)Л • • • AXa(p) = ^a-XiAx2A ¦ ¦ ¦ Л*р- F)
Из схолии, приведенной в п° 2 § 1, и введенного выше опреде-
определения 5 непосредственно вытекает следующая аналогичная
р
Схолия. Линейные отображения Д Е в F связаны со знакопере-
знакопеременными полилинейными отображениями Ер в F следующим
взаимно однозначным соответствием: линейное отображение f
р
модуля /\Е в F определено, если известно его значение f {хх Д ... Д х.р)
для каждой последовательности (^i)i^i^p из р элементов модуля Е
и {хх,..., xv) —^ f (хг Д ... Д хр) есть .знакопеременное полилинейное
отображение. Обратно, для определения линейного отображения
v
/\Е в Е достаточно задать отображение (xlt ...,xp)]—>fg(x1,'...,xp)
модуля Ер в F, проверив его полилииейностъ и знакопеременность;
тогда существует, и притом единственное, линейное отобра-
жение f модуля /\Е eF такое, что Ц{хх/\.../\xp)=g(xl,i...,xn) для
всех (хг)?Ер.
В частности, незачем проверять, что соотношение хх Д ... Д хр~=
=у, Д ... Д ур влечет g (Xl, ..., »P)=g(t/i ,..., ур).

400 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ill, j .">
Далее, для определения билинейного отображения произве-
V Ч
дения G X Я внешних степеней G-- Д? и H~/\F в модуль N доста-
достаточно задать отображение g произведения EpxF4 в N, для
которого бы каждое частичное отображение
(xv ...,xp)->g (xlt . . ., хр, г/j yq),
B/i. • ¦ •- yq)-*g(xi> ¦¦¦,xp,yi, ...,уд)
было знакопеременным полилинейным отображением; тогда суще-
существует, и притом единственное, билинейное отображение / произ-
произведения GxH в N такое, что тождественно
ffaA-.-ЛХр, У\ А-. -Ayq) = g(Xi, - ... -V Уи ¦¦¦, Уч)
(см. § 1, п° 2).
Замечание. Если Е обладает конечной системой образую-
v
щих, число которых равно п, то /\Е при р > л сводится к 0.
в. Внешние степени свободного модуля
Предложение 5 показывает, что линейное отображение z—>az
v
модуля §§Е в себя знакоперешнно и потому может быть записано
V р
в виде 6ог|э, где яр — каноническое отображение (^)Е в.& /\Е=
v
= ((^E)/N, a G — однозначно определенное линейное отображение
р v
[\Е на подмодуль U в (^)Е, образованный антисимметрическими
тензорами р-го порядка; мы будем называть 6 каноническим ото-
р
бражением /\Е на U. Таким образом,
9 («1 Л • • • Л хр) = а (а?!® . .. ® жр)
для каждой последовательности (x^i^i^p изр элементов модуля F.
р
Отношение Q(u)=0 для элемента и?/\Е равносильно отно-
отношению u?NjN; в случае, когда Е — свободный модуль, имеем
N1=N (теорема 1, а)), и значит, 0 — изоморфизм. Иными словами:
Предложение 6. Если А-модулъ Е обладает базисом, то взаим-
взаимно однозначное отображение, ассоциированное (гл. I, § 6, п° 4)

fi ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 401
Р V
с эндоморфизмом z—>az модуля ?>§Е, есть изоморфизм f\E на
подмодуль антисимметрических тензоров р-го порядка.
р-вектор часто отождествляют тогда посредством изоморфизма
U (обратный к которому также именуется каноническим) с соот-
соответствующим аитнсимметрированным тензором.
v
В обозначениях п° 4, каноническое отображение модуля (§)?"
v
на фактормодуль ((q)E)/N преобразует семейство (es)S?jj, являю-
v
щееся базисом дополнения kN, в базис модуля /\Е.
Рассмотрим, в частности, тот случай, когда модуль Е имеет
конечный базис (eji^j^n- Примем во всей остающейся части этой
главы следующее соглашение: если (x^i^i^n — заданная серия
(гл. I, § 1, п° 2) элементов унитарного 4-модуля Е, то для каждо-
каждого множества Н, состоящего из р целых чисел интервала [1, п\ CZN,
через хц будет обозначаться р-вектор xi /\.../\х\ , где (J/Ji^k-cp —
строго возрастающая последовательность, образованная р эле-
элементами множества Н.
Это определение имеет смысл лишь при р>2\ условимся для
множества Н=\1}, сводящегося к одному элементу, полагать хц=х\,
а для пустого подмножества 0 интервала [1, л] считать ж_.= 1 (еди-
(единичному элементу кольца А).
При этих соглашениях, предшествующее замечание показы-
показывает, что справедлива
Теорема 2. Пусть Е — модуль, обладающий конечным бази-
v
сом (ejjijj^n- Если р^.п, то модуль /\Е имеет своим базисом семей-
семейство (ен), где Н пробегает множество ( ) подмножеств интер-
v
вала [1, га], состоящих из р элементов. Если р > п, то модуль /\Е
сводится к 0.
Заметим, что, напротив, если Е обладает бесконечным базисом,
v
то ни один из модулей /\Е не сводится к 0.
26 н. Бурбаки

402 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ш, § 5
Следствие 1. Если Е обладает базисом, состоящим из п эле-
v п—р
ментов, то модули/\Е и /\Е, где 0<р<«, изоморфны.
п
В частности, /\Е обладает базисом, образованным единст-
единственным элементом exAe2A ... Деп.
Можно показать, что при р Ф п — р не существует канонического
р п-р
изоморфизма /\Е на Д Е, понимая под этим изоморфизм, зависящий
р п-р
лишь от структур внешней степени в Д.Е и Л Е (упражнение 12).
Р п-р
В гл. VIII будут изучены некоторые изоморфизмы Д Е на ДЕ, свя-
связанные с теорией билинейных форм.
Следствие 2. Если унитарный модуль Е над коммутативным
кольцом А обладает базисом, состоящим из п элементов, то и каж-
каждый другой базис этого модуля конечен и содержит п элементов.
р
Действительно, п есть наибольшее из целых р, для которых /\Е
не сводится к 0, так что Е не может обладать конечным базисом
с числом элементов Ф п; с другой стороны, если бы Е обладало бес-
р
конечным базисом, то ни одна из его внешних степеней /\Е не сво-
сводилась бы к 0.
7. Внешние степени линейного отображения
Пусть и — линейное отображение Л-модуля Е в Л-модуль F;
очевидно,
(Xj, ...,xp)-+u (Xi) Л •-- Л в (хр)
v
есть знакопеременное полилинейное отображение Ер в /\F;
поэтому (схолия из п° 5) существует однозначно определенное
р р
линейное отображение /\Е в /\F, которое мы будем обозначать
р
Дм (или ир, если это не сможет повлечь путаницу) и называть
р-й внешней степенью и, такое, что тождественно
v
Д и (ж, А . . . Ляр) = »(Xi) Л • • • Л и (х ). G)

7 ВНЕШНЯЯ АЛГКБРА 403
Р
Замечания. 1) Пусть и1' — линейное отображение ууЕ
р
в QyF, являющееся тензорным произведением р линейных отображе-
отображений, совпадающих с и (§ 1, п°п° 4 и 7), и N (Е) (соответственно N (F)) —
р v
подмодуль в QyE (соответственно в Оч/^^порожденный всевозможными
тензорными произведениями р элементов, по крайней мере два из ко-
которых равны между собой. Ясно, что uf(N (E))a N (F); отображение
р V V V
модуляД E=(<S)E)/N(E) в AF=(&)f)/n(f)' получающееся из и?
V
путем факторизации, и есть как раз Дм.
i>
2) Если Е н F — свободные модули, так что /\Е (соответственно
р
Д/1) канонически отождествимо с модулем U (Е) (соответственно U[F))
антисимметрированных тензоров р-то порядка над Е (соответственно
р
над/1; см. предложение 6), то из замечания 1 следует, что Дм отождеств-
отождествляется при этом с сужением м? на подмодуль U (Е).
Пусть G — третий Л-модуль и v — линейное отображение F
в G; из G) по линейности сразу следует, что
Л@°и) = (Л»)°(Ли). (8)
V Р
Если и — отображение Е на F', то Дм есть отображение ДЕ
v
на Д-F; если и — изоморфизм Е на F и v — обратный ему,
р р р v
то Д и есть изоморфизм Д .Ё на /\F, а Д v—обратш.ш изоморфизм.
V
Напротив, если и — изоморфизм Е в F, /\и не обязательно
V V
является изоморфизмом Д? в Д11 (упражнение 10). Однако
справедливо следующее предложение:
Предложение 7. Если F — подмодуль модуля Е такой, что
существует конечный базис (eji^iscn модуля Е, первые т элементов-
р
которого образуют базис для F, то Дер, где <р—каноническое
v v
отображение F в Е, есть изоморфизм Д F в /\Е.
2G*

404 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
Это сразу следует из способа образования базисов модулей
v v
Д Е и Д F, отправляясь от базисов (eji^i^r. и (eji^i^m (теорема 2).
v
Поэтому внешняя степень Д/1 отождествима посредством
v
отображения Д ф со своим образом при этом отображении; дру-^
гими словами, для любых р элементов xt (l<i<p) из F можно
отождествлять р-вектор ххА .. . Д;гр, где xt рассматриваются как
принадлежащие F, с р-вектором ф^^Д . . . Дф(^р) над Е.
В частности, такое отождествление всегда возможно, когда
Е — конечномерное векторное пространство, a F — любое его век-
векторное подпространство (гл. II, § 3, теорема 2).
8. Внешнее произведение р-вектора и q-вектора
Пусть Е — заданный Л-модуль. Рассмотрим отображение
(.гг . .., хр, t/j, ..., yq)—>хгА ¦ ¦ ¦ Да-рДг/iA • • • Ayq
произведения EpxEq в Д Е\ каждое из частичных отображений
(xv ..., xv) —=> хх А ¦ • • Д хр Д ух Д . . . Д yq,
(l/v ¦¦¦' yq)—>ZiA-..AzpAyiA---Ayq
полилинейно и знакопеременно; поэтому (п° 5) существует били-
Р 9 РН-<?
нейное отображение (Д?')х(д?')в /\§Е, значение которого для
r> a
и? /\Е и v? /\Е будет обозначаться и Д v и называться внешним
произведением и и v, такое, что тождественно
(а^Д ... Axv)A{y\A ¦¦• Ayq) = XiA ¦¦¦ AxpAViA-¦ ¦ АУГ (9)
Это определение распространяется на случай, когда р=0
(соответственно (?=0), условием, что внешнее произведение аД v
скаляра а и g-вектора v (соответственно внешнее произведение
р-вектора и и скаляра а) равно осv (соответственно аи).
Замечания. 1) В случае, когда /j=<7=1, внешнее произве-
произведение векторов х С Е и y?F совпадает с бивектором х Д2/, чем
и оправдывается общее обозначение вд» для внешнего произведения
/)-вектора и <7-вектора.

g ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 405
V q p+1
2) Пусть Nv, Nq и Л;р+,, — подмодули в Q<) ?, Q<) ? и Q<) .?, на ко-
которых апнулируются все знакопеременные линейные функции. Рас-
V q !>4-iJ
смотрим отображение (z, г') -> гг' произведения (Qv-#) X {У^Е) в <<V ?
(§ 4, п° 3); соотношения zx r^ z2 (mod7Vp) и z[ = z'2 (mod TV,,) влекут
z^z'-l hi z.,z'2 (mod NJuq), ибо
zxz[ - z2:'2 — zt (z[ — z'2)-\- (zl — z2) Zj.
Поэтому отображение (г, z) —>¦ zz порождает путем факторизации
относительно гиг' (Теор. мн., Рез., § 5, м° 8) билинейное отображе-
V Я V+Q
ние (Д Е)х(/\Е) в Д ?; это и есть наше внешнее произведение.
3) Заметим, что в случае, когда Е обладает базисом и р-векторы,
где 0 <С р <[ п, канонически отождествляются (предложение 6) с ан-
антисимметрированными тензорами р-го порядка, внешнее произведе-
^ ние jj-вектора и (/-вектора отнюдь не отождествляется с произведением
(в указанном в п° 3 § 4 смысле) тензоров, с которыми соответственно
отождествлены эти р-вектор и ij-вектор (см. упражнение 3).
Билинейность отображения (и, у)—>аД у находит свое выра-
выражение в формулах
(«1 + «г) А(*>1 + у2) = uiAvv -\-u1Av2 + u2hVi+ м2Ли2, A0)
(au)Av = uA(av) = a(uAv) (a?A). A1)
Кроме того, для /7-вектора и и g-вектора v имеем
1>Ли = (-1)р"иЛи- A2)
Действительно, пусть о — подстановка множества [1, р+ q] такая,
что о (t)= q+i, когда 1 < i< p, и a (i) = I — р, когда/7 + 1 < ?< р + д.
Имеем ео=( — l)pq, ибо для пар (г,/), в которых г</, разность
о (j) — o(i) может быть <0 лишь если 1 ¦< ?<!/? и pJrl<:/<C/)+5.
Отсюда и из формул F) и (9) следует формула A2), когда и и v
разложимы, а соотношение A0) позволяет тогда распростра-
распространить эту формулу на случай произвольных и и v.
Наконец, для любых /7-вектора и, 5-вектора v и r-вектора w
имеем
(uAv)Aw = uA{vAw). A3)
Действительно, в силу (9) эта формула очевидна, когда и, v и w
разложимы, а по линейности она распространяется на общий
случай. Общее значение обеих частей равенства A3) обозначается
также иAvAw.

406 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
!). Внешняя алгебра
Обозначим через /\Е, где Е — заданный .4-модуль, прямую
п
сумму ненулевых модулей Д? для всех и!>0 (гл. II, § 1,п°7).
Определение внешнего произведения позволяет ввести в Д Е
структуру алгебры относительно А. В самом деле, каждый эле-
оо
мент z?/\E однозначно представим в виде z = 2 zp» гДе zp —
р=0
/>вектор (равный нулю для всех кроме конечного числа инде-
оэ оо
ксов р). Для любых двух элементов z= ^ z и z' = 2 zp из Л^
Р=0 Р=0
положим zf\z = 2 (zpAzq). В силу A0), определенное так на
f\E умножение двояко дистрибутивно относительно сложения;
в силу соотношения A3), распространяющегося по дистрибутив-
дистрибутивности на любые элементы из /\Е, это умножение ассоциативно;
наконец, согласно A1), имеем a (z^z') = (az)/\z'= z/^{az') для
любого скаляра а. Таким образом, /\Е действительно является
алгеброй над А; она называется внешней алгеброй модуля Е. Эта
алгебра имеет своим единичным элементом единицу 1 кольца А и,
в силу A2), вообще не коммутативна. В силу ассоциативности
умножения, разложимый р-вектор х^А ¦ ¦ ¦ Лхр есть не что иное,
как композиция (относительно умножения на Д Е) серии (arji^i^p
элементов из Е, что оправдывает одинаковость обозначений
внешнего произведения и разложимого /ьвектора и показывает
в то же время, что множество A\JE является системой образую-
образующих алгебры Д Е.
В случае, когда Е обладает конечным базисом (e^i^j^n» Д#
обладает базисом, образованным 2П элементами ен (п° 6), где Н
пробегает множество всех подмножеств интервала [1, n]cN.
Таблица умножения этого базиса задается следующими соотно-
соотношениями:
при Н[}Кф0, 1
при#П#=0. J
гДе 0н,к = (— 1)V> a V —число всех пар (i,/), в которых i? H,
f?K и /< г.

д ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 407
Каждое линейное отображение и модуля Е в произвольный
унитарный А -модуль F однозначно продолжается до представле-
представления внешней алгебры Д Е во внешнюю алгебру Д F. Действи-
Действительно, если и —такое продолжение, то u(i) — l, откуда и(а) =
= и(а-1)=амA)=а для каждого скаляра а; с другой стороны, для
любого разложимого р-вектора z = x±k . . . Д?р мы должны иметь
и (z)=u (х^) Д . . . Д м (Xp) = up (z), где ир означает р-ю внешнюю сте-
оо
пень и (п° 7). Наконец, для каждого элемента г= ^1 г из Е,
Р=0
разложенного в сумму р-векторов, должно выполняться равен-
оо go
ство и (z) = 2 u(zn)— 2 up(zp) (гДе wo означает тождественное
р=0 Р=0
отображение Л на себя). Обратно, непосредственная проверка
показывает, что определенное так отображение и действительно
является представлением Д Е в /\F\ мы будем называть его кано-
каноническим продолжением и на /\Е.
Если г; — линейное отображение модуля F в Л-модуль Guv —
его продолжение до представления Д F в Д G, то продолжение ком-
композиции иоц до представления Д Z? в Д(? совпадает с v°u. В част-
частности, если и — автоморфизм модуля Е, то и есть автоморфизм
алгебры Д #.
Если Z? — подмодуль модуля F, a и — каноническое ото-
отображение Е в F, то м есть представление /\Е ъ f\F, также назы-
называемое каноническим; оно не всегда взаимно однозначно (см.
упражнение 9). Однако в случае, когда F — конечномерное век-
векторное пространство, и есть изоморфизм /\Е в /\F (предложе-
(предложение 7), и алгебра Д2? часто отождествляется посредством него
с подалгеброй в Д/1, являющейся ее образом при этом изомор-
изоморфизме. Если такое отождествление произведено для каждого под-
подпространства Е пространства F, то для любых двух подпространств
Е17 ?2 будем иметь /\(E1f]E2)=(/\E1)f\(/\E2). В самом деле,
пусть dimЕ^щ, dimZ?2=w2, dim (E1f]E2)=m; для доказательства
утверждаемого соотношения достаточно взять в F базис, первые
т векторов которого образуют базис для E1f]E2, дальнейшие
лх—т дополняют его до базиса в Ег, а следующие за ними п„—т

408 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
векторов дополняют первые т до базиса в Ег; образование соот-
соответствующего базиса алгебры Д F и дает требуемое соотношение.
Отсюда следует, что если F — канечномерное векторное про-
пространство, то для любого элемента z алгебры /\F существует
наименьшее векторное подпространство Е пространства F такое,
что z принадлежит Д Е\ размерность этого подпространства Е
называется рангом элемента z алгебры Д F.
Упражнения. 1) Показать, что определение az, данное
в п° 1 для тензора z ZxyE и подстановки о"?B1п совпадает с опреде-
определением, получающимся общим методом распространения группы под-
Р
становок (гл. I, § 7, п° 3), отправляясь от определения QyE (§ 1, п° 2)
как фактормножества множества А*-Е \ где последнее само является
частью АЕ .
*2) Пусть Е viF — заданные аддитивные группы и п —целое ~^>\.
Будем обозначать через ^"n (E, F) аддитивную группу, образованную
Еп
всеми отображениями Еп в F (т. е. группу F ).
Для каждого u?dFn(E, F) будем обозначать через ди отобра-
отображение ?n+1 в F, определяемое формулой
ди(хг, ...,хп, ж„+1) = и(ж2, ..., хп, жп+1) +
2
+ ( — lYltlu(x1 xn).
а) Показать, что, каково бы ни было и? 3-п(Е, F),
б) Для каждого и € Уп_(Е, F) (п > 2) будем обозначать через
Su отображение Еп~1 в ^i(E, F), относящее каждому элементу
(»ь ..., хп_х) g E71'1 отображение
п-1
жп-> 2 (~{)ки(х1' •••• *n-ft-l. хп, хп-к xn-l)
ft=0
Е в F. Доказать, что
S(du)=d(Su).
в) Вывести из б), что если и? SFn(E, F) удовлетворяет условию
дм=0, то результат его антисимметрирования аи является полилиней-
полилинейным отображением Еп в F; если v^.?n(E, F) таково, что v = du
для некоторого и ? 5F'п_г (Е, F), то антисимметрирование v дает 0.

ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 409
3) Пусть М— Л-модуль, связанный с симметрической гругшой <Врг
и Я — произвольное подмножество интервала [1, р]. Результатом
антисимметрирования элемента z 6 М по шьдексам i ? Я назы-
называется элемент
а
где а пробегает подгруппу в Вр (изоморфную ©#), образованную теми
подстановками, которые оставляют инвариантным каждый индекс,
не принадлежащий Я.
а) a(aHz)=r\az, где г — число элементов множества Я.
б) Пусть Е — унитарный Л-модуль, z — контравариантный тен-
тензор р-го порядка над Е и z' — контравариантный тензор q-ro порядка.
q р
Показать, что если rtz'=0 в QyE (соответственно az=0 в Qy E), то
«.(zz')=0b QyE. [Заметить, что если Я = [р+1, p+q], то aH (zz') =
=z-az'.] Вывести отсюда, что если z—azx и z'—u,z\—тензоры, полу-
получающиеся в результате антисимметрирования тензоров zx и z[ поряд-
порядков р и q, то тензор a(z1z!j) порядка р~\-д зависит лишь от z и z', но
не от тензоров z1 и z{, антисимметрированиеи которых z и z' получены.
Если z (соответственно z') — канонический образ (п° 6) />-вектора и
(соответственно g-вектора и'), то a (ziz[) есть канонический образ
(р~{~ ?)-вектора и А и'.
4) Пусть Е — унитарный ^-модуль, обладающий системой п
образующих. Показать, что каждое знакопеременное полилинейное
отображение модуля Еп в произвольный ^-модуль F есть результат
антисимметрирования некоторого полилинейного отображения.
*°5) Пусть К—поле характеристики 2 и А—кольцо К[Х, Y, Z]
полиномов от трех неизвестных X, У, Z над К; пусть, далее,
Е — фактормодуль А3/М модуля А3 по его подмодулю М, порожден-
порожденному элементом (X, У, 2); пусть, наконец, F — фактормодуль модуля
А по идеалу (ЛГ2)-|-(У2)+B2). Показать, что существует знакопере-
знакопеременное билинейное отображение Е2 в F, не получающееся путем анти-
антисимметрирования никакого билинейного отображения Е2 в F.
Показать также, что в ?0/ подмодуль JVi тензоров, антисим-
антисимметрирование которых дает 0, совпадает с подмодулем N, на котором
аннулируются все знакопеременные линейные функции. [Рассматривая
Е (g)E как фактормодуль модуля А3 ® А3 (§ 1, п° 3, предложение 6),
показать, что тензоры, дающие при аитисимметрировании 0, являются
каноническими образами симметрических тензоров из А3 ® Л3.]о
*°6) В обозначениях упражнения 5, пусть В — факторкольцо
кольца А по идеалу а = (Х2)-;-(У2)-)-B2) и G — фактормодуль В2/Р
модуля В2 по его подмодулю Р, порожденному элементом, имеющим
своими координатами соответственно классы X, Y, Z (mod a). Пока-
Показать, чть в G (x) G подмодуль N[ тензоров, дающих при антисимметри-

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. ш, § Г)
ровании 0, отличен от подмодуля N', на котором аннулируются все
знакопеременные линейные функции. [Тем же методом, что и в упраж-
упражнении 5.] 0
7) Пусть Л-модуль Е есть прямая сумма своих подмодулей Elt Ег.
р я
Показать, что модуль Д ? изоморфен прямой сумме G модулей (Д.^) ®
p—q
<g) ( Д Е2), где д пробегает все целые значения от 0 до р. [Опираясь
р
на схолию из п° 5, определить линейные отображения Д Е в С и С
V
в Д Е, которые были бы взаимно обратны.]
Обобщить на случай модуля Е, заданного в виде прямой суммы
произвольного конечного числа его подмодулей.
8) Пусть Е—Л-модуль и М — его подмодуль. Показать, что
v v v
модуль /\(Е/М) изоморфен фактормодулю (/\Е)/Т(М) модуля Д Е
ло его подмодулю Г (Л/), порожденному /i-векторами хх Л ••• Л хр,
в которых по крайней мере одно х^ принадлежит М. [Метод упражне-
упражнения 7.]
9) Пусть А — кольцо целостности с единицей и К — его поле
отношений (гл. I, § 9, п° 4).
2
а) Внешняя степень Д А', где К рассматривается как Л-модуль,
сводится к 0.
б) Показать, что если Е — Л-модуль, содержащийся в К, то ника-
v
кая его внешняя степень Д Е (р > 1) не содержит свободных элементов.
в) Показать, что если Е — модуль, определенный в упражне-
2
нии 4 §2, то 1\Е не сводится к 0. Привести пример кольца целостности
А и Л-модуля Е, содержащегося в его поле отношений К, таких, что
v
никакая внешняя степень /\Е не сводится к 0.
10) Привести пример кольца А, обладающего следующим свой-
2
¦ством: в Л-модуле Е = Л2 существует подмодуль F такой, что Д ф,
где ф — каноническое отображение F в Е, есть тождественный нуль,
2 2
тогда как ни /\Е, ни /\F не сводятся к 0. [См. упражнение 4 § 1.]
11) Пусть Е и F — векторные пространства над одним и тем же
полем им — линейное отображение Е в F, имеющее конечный ранг г.
р р
Показать, что если р*Сг, то ранг Д и равен ( r j , а если/>>г, то Д и
есть тождественный нуль. [Взять в Е базис, г векторов которого обра-

КИЕПШЯЯ АЛГЕБРА 41 1
зуют базис подпространства, дополнительного к м@), а остальные —
базис подпространства м@).)
*12) Пусть Е — ^4-модуль, обладающий базисом (е4), состоящим
из п элементов. Показать, что если п > 1 и р Ф п — р, то не сущест-
р п—р
вует изоморфизма ср модуля Д Е па Д Е, который бы зависел лишь
от структуры А -модуля в Е. [Такой изоморфизм должен был бы удовле-
удовлетворять тождеству (fcMp=Mn_j,o(f для каждого автоморфизма и модуля
Е\ взять за и автоморфизм, определяемый условиями и(е4) = е4-|-еу,
u(eh)—ek ПРИ к Ф i, и придавать i и / всевозможные значения.]
13) Показать, что внешняя алгебра /\Е модуля Е изоморфна
факторалгебре тензорной алгебры Т (Е) (§ 4, п° 6) этого модуля по ее
двустороннему идеалу, а, порожденному элементами i§i, где х
пробегает Е.
14) Пусть Е — векторное пространство над полем.
от V
а) Для того чтобы элемент z — V zv (zp? Д Е) внешней алгебры
Д Е был обратимым, необходимо и достаточно, чтобы z0 ф 0. [Дока-
[Доказать это сцачала для случая конечномерного Е и перейти далее к об-
общему случаю, заметив, что для каждого элемента z ? Д Е в Е суще-
существует конечномерное подпространство F такое, что z ? Д /'.]
б) Еслп размерность Е бесконечна либо конечна и четна, то центр
внешней алгебры Д Е образован теми ее элементами z, у которых zp=0
.для всех нечетных индексов р; еслп Е имеет нечетную конечную раз-
размерность п, то центр алгебры Д Е является суммой подпространства,
образованного указанными элементами, и п-п внешней степени Е.
15) Пусть А — коммутативное кольцо с едицицей и ? — алгебра
¦над А, обладающая единичным элементом, который мы будем обозна-
обозначать е. Пусть, далее, (^iI<i<n—конечная последовательность эле-
элементов из Е такая, что х^х^—-—XjXi при гф] и аг? = О A<Сг<. п),
т. L — внешняя алгебра модуля Ап. Если каждому элементу
1 <ifc> h ' '' %р h lp
из L, отнесенному к каноническому базису (е{) модуля Ап, поставить
в соответствие элемент
z (xlt ..., хп)= ^ % ... i fi± it
из Е, то этим определится представление алгебры L в алгебру Е,
и образом L при этом представлении будет служить подалгебра в Е,
яорожденная едипичным элементом в и элементами хг A < i <. п).

412 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6
§ 6. Определители
В этом параграфе рассматриваются лишь коммутативные
кольца с единицей и унитарные модули над такими кольцами,
обладающие конечным базисом.
1. Определение определителей
Пусть и — эндоморфизм .Л-модуля Е, имеющего базис, состоя-
п
щий из п элементов; п-я внешняя степень Д и этого эндоморфизма
71
(§ 5, п° 7) есть эндоморфизм модуля ДА1; но этот последний
модуль имеет базис, состоящий из единственного элемента
(§ 5, п° 6), штьши словами, изоморфен А (рассматриваемому
п
как Л-модуль), и следовательно, каждый эндоморфизм модуля Д Е
есть гомотетия z—--kz (гл. II, § 4, предложение 1).
Определение 1. Определителем эндоморфизма и модуля Е,
имеющего базис, состоящий из п элементов, называют скаляр Кг
п
обозначаемый det и, такой, что внешняя степень [\и совпадает
п
с гомотетией z —> kz модуля Д Е.
п
Согласно определению Ди, каковы бы ни были п элементов
хг?Е,
и (zi) А ... Аи (х.п) = (det и) ¦ j\ Д ... Д хп. A)
Определитель тождественного эндоморфизма равен 1.
Теорема 1. Если и и v — эндоморфизмы модуля Е, то
det (и о v) = (det и) (det v). B)
п п п
Действительно (§5, формула (8)), Д (и о v) = (Ды) °(Д у).
Определение 2. Пусть X — квадратная матрица п-го по-
порядка над коммутативным кольцом А с множеством I индексов
строк и столбцов. Определитель эндоморфизма А-модуля А\

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
413
имеющего матрицу X относительно канонического базиса этого
модуля (гл. II, § 6, и° 5), называется определителем матрицы X
и обозначается del X или -Х\ .
В том (наиболее часто встречающемся) случае, когда 1 есть
интервал [l,rc]dN, так что Х = {\ц)\^г^п, l^jscn, определитель
матрицы X обозначают также det^^)).;^,,, j<jj«jn (или просто
det(^t/), если это не грозит никакой путаницей), или ?4j. , или,
наконец.
Ill Ь12 • • • бы
: Р ?
=21 S22 • ¦ • Ь2п
Если (eji^t^n — канонический базис модуля Ап, эндомор-
эндоморфизм и, матрицей которого служит X, — это эндоморфизм, для
2еДя матрицы X (гл. II,
3=1
которого и (е{) есть столбец
§ 6, п°3); таким образом, согласно A), определитель матрицы X
¦определяется соотношением
zi Л •-. Аха = (йвЬХ)-е1А ¦¦¦ Аеп, C)
так что можно написать (см. гл. II, § 1, пг 6)
detX=x*A-Ax« .
е1 А ... А еп
Матрицу X, у которой dctX = l, называют унимодулярной.
Пусть Е — Л-модуль, имеющий базис (аг), состоящий из п эле-
ментов. Определителем п векторов a*j =
этого
2
модуля относительно базиса (at) называют определитель матрицы
{?ij)> /"й столбец которой образован компонентами Xj относительно
базиса (аг); этот определитель обозначают иногда [хг, х2, . . ., хп]
(если никакая неясность по поводу базиса невозможна).
Таким образом, имеем
х1 А ¦ ¦ ¦ A 5"n = [a;i in]'»iA ••• Аап.

414 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § S
Примеры. Определитель квадратной матрицы первого поряд-
порядка равен ее единственному элементу. Для матрицы второго порядка
/'«U «12
имеем в предыдущих обозначениях
откуда
«И «12
х21 аг2
= a,,an»- а,„ап1.
Замечание. Рассматривая определитель матрицы X = (?,ij),
часто позволяют себе, допуская вольность речи, говорить об «элемен-
«элементах определителя», «строках определителя», «столбцах определителя»,,
понимая под этим элементы, строки и столбцы матрицы X.
Если ХнУ — квадратные матрицы над А с одинаковым мно-
множеством индексов /, то их произведение XY соответствует компо-
композиции эндоморфизмов модуля А1, соответствующих матрицам
У и X (гл. II, § 6, п° 4); поэтому, согласно теореме 1, имеем:
Предложение 1. Определитель произведения XY квадратных
матриц X и Y (имеющих одно и то же множество индексов).
равен произведению определителей этих матриц.
Другими словами, если рассматривать в Л и множестве МП(Л)'
всех квадратных матриц п-то порядка над А лишь алгебраические
структуры, определяемые одними мультипликативными зако-
законами этих двух колец, можно сказать, что X—>detX есть пред-
представление Шп(А) в А.
Следствие 1. Если X и Y — квадратные матрицы одинакового ¦
порядка, то dot (XY) = det (УХ).
Отметим аналогию между этим следствием и предложением 2
§ 4, относящимся к следу произведения двух матриц. Однако эта ана-
аналогия не полна: действительно, если X — матрица из т строк •
и п столбцов, У — матрица из п строк и т столбцов и га<т, то,
как можно показать. det(Zy) = 0, тогда как вообще det (УХ) ==г 0 ¦
(упражнение 6).
Сужение представления X—>detX на (мультипликативную)'
группу обратимых матриц л-го порядка над А (изоморфную ¦

2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 415
линейной группе GLn(yl)) является представлением этой группы
в группу обратимых элементов кольца А. Отсюда:
Следствие 2. Если X — обратимая квадратная матрица над
А, то ее определитель обратим в А, причем
det(X) = (detX)-1. D)
Ниже мы увидим (теорема 2), что, и обратно, если detZ обра-
обратим в Л, то матрица X обратима.
Отметим, что образом алгебры Мп(А) при отображении X
является все кольцо А, ибо определитель диагональной матрицы
/а 0 ... 0\
(О 1 ... О
\0 0 ... 1/
равен а. На том же основании образ группы обратимых матриц при
отображении X -»• (let X совпадает с группой всех обратимых элемен-
элементов из А.
Предложение 2. Две подобные квадратные матрицы имеют
одинаковые определители.
Если X и X' подобны, то существует обратимая матрица Р
такая, что Х'=РХР'1; поэтому справедливость утверждения
вытекает иэ предложения 1 и его следствия. Предложение 2
можно доказать также, заметив, что две подобные матрицы могут
рассматриваться как матрицы одного и того же эндоморфизма
модуля Ап относительно двух разных базисов.
Следствие. Определитель матрицы не изменится, если подверг-
подвергнуть строки и столбцы этой матрицы одной и той же подста-
подстановке (гл. II, § 6, п° 11).
2. Лычисление определителя
Предложение 3. Определитель матрицы X п-го порядка
является знакопеременной полилинейной формой относительно п
столбцов хг этой матрицы.
Это утверждение есть непосредственное следствие формулы C)
и того, что
(а-,, ..., хп)-->х1А ••- Лхп
— знакопеременное полилинейное отображение (см. § 8).

416 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6
В частности, определитель с двумя совпадающими столбцами
равен нулю. Если произвести над столбцами определителя подста-
подстановку а, он умножится на еа. Если к столбцу определителя прибавить
скалярное кратное другого столбца, определитель не изменится.
Следствие. Каждая знакопеременная полилинейная форма
относительно п векторов хг из Ап может быть записана в виде
Действительно, такой форме соответствует линейная 'форма
на п-й внешней степени G модуля Ап (§ 5, п° 5); так как G имеет
базис, образованный единственным элементом е, то каждая линей-
линейная форма на G записывается в виде \е—*№,> где А.? А, чем утвер-
утверждение следствия и доказано.
Заменяя в формуле C) каждый из столбцов xi его выраже-
п
нием 2 е;-^ч и раскрывая внешнее произведение, видим, что
j=l
(det Х)-е1 Д ... Д еп — 2 5a(i), i • • • 5a(«), n ea(i) Л • • • Л еа(П),
а
и так как еац) Л • • • Л еа(п) = е<т• ех Л • • • Л еп, то получаем, что
det X = det (g^) = 2 е^0A), 4 ... ga(n)( „, E)
a
где сумма распространяется на все /г! подстановок а симметриче-
симметрической группы <2>п.
Правая часть формулы E) будет называться полным разложе-
разложением определителя матрицы X.
Так как кольцо А коммутативно, то для любой пары подста-
подстановок а, т группы @п имеем
=a(l), 1 • • • ?a(n),n = 1а(тA)), тA) • • • So(t(n)), т(п)-
Беря, в частности, т = а~1 и замечая, что ea-i=ea, мы видим поэтому
также, что
detX = 2 e<r?i, ad) . . . In, aw- F)
Для каждой пары индексов (г, /) положим т]1;- = gj4; формулы E)
и F) показывают, что det (т)^-) = det (g^); иными словами:

3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 417
Предложение 4. Определитель матрицы, получающейся путем
транспонирования матрицы X, равен определителю матрицы X.
Это свойство выражают также, говоря, что замена строк столб-
столбцами не изменяет значения определителя.
В главе VI будет дано другое доказательство этого предложения,
основанное на неприводимости определителя, рассматриваемого как
полином от своих элементов.
Следствие. Определитель квадратной матрицы X является
знакопеременной полилинейной функцией ее строк.
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить предложение 3
к транспонированной матрице 1Х.
Отсюда вытекают те же следствия, что и из предложения 3,
с заменой в формулировках слова «столбец» словом «строка».
Из формулы F) непосредственно видно, что определитель
общей матрицы X га-го порядка над А, рассматриваемый как функ-
функция ее п столбцов xi A<. i<! п), является результатом антисим-
антисимметрирования полилинейной формы
(xv ...,хп)-> (xv e[) ... (хп, е'п),
где (e'i) означает базис, сопряженный к каноническому базису
(ег) модуля Ап (см. теорему 1 § 5); рассматриваемый как функ-
функция га строк хх A< i< n) матрицы X, ее определитель опять-таки
есть результат антисимметрирования той же полилинейной фор-
формы в силу предложения 4.
3. Миноры матрицы
Каждой прямоугольной матрице X = (l,Xii), множества L, М
индексов строк и столбцов которой различны, но имеют одно
и то же число элементов п, как мы видели (гл. II, § 6, п° 5), можно
несколькими способами поставить в соответствие квадратную
матрицу га-го порядка, множеством индексов строк и столбцов
которой служит интервал [l,ra]dN, располагая элементы мно-
множества L в последовательность (Кг) и элементы множества
М — в последовательность (|л4); соответствующей квадратной
матрицей будет матрица (%I«;кп, is^n. гДе тПг-!=Ц|у
27 Н. Бурбаки

418 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6
Определение 3. Пусть X — прямоугольная матрица из пъ
строк и п столбцов. Ее минорами р-го порядка (где р*С min (m, п)}
называют определители квадратных матриц р-го порядка, получа-
получающихся из подматриц матрицы X, имеющих р строк и р столбцов.
Различные квадратные матрицы, получающиеся из заданной
подматрицы матрицы X, отличаются друг от друга лишь порядком
строк и столбцов, а потому их определители с точностью до
знака совпадают; тем самым миноры р-го порядка матрицы X
определены с точностью до знака. Во всей остающейся части этой
главы мы ограничимся тем случаем, когда множеством индексов
строк матрицы X=(?i;-) служит интервал [l,m]dN, а множе-
множеством индексов столбцов — интервал [1,га]. Пусть тогда Н (соот-
(соответственно К) — подмножество множества индексов [1,7га] (соот-
(соответственно [1, п]), состоящее из р элементов, и рассмотрим подмат-
подматрицу матрицы X, получающуюся путем вычеркивания в X строк
с индексами i g СН и столбцов с индексами / g СК; обозначим
через Хя, к определитель квадратной матрицы, получающейся
из этой подматрицы путем расположения индексов ее строк и столб-
столбцов в возрастающую последовательность (ik) (соответственно (jh));
тем самым минор Хя, к определен соотношением
{ефА + • • ¦ + %SVl) Л ... Л (еф^р + ... + eiplVp) =
= Хн,к-е*1 Л ... A eip. G)
Понятие минора матрицы позволяет выразить компоненты
разложимого р-вектора ^Д.-.ДЖр относительно базиса (ея) мо-
р
дуля Д Е, соответствующего базису (е4) модуля Е, через компо-
компоненты элементов xk относительно базиса (е4). Действительно,
пусть X — матрица (?^) из п строк и р столбцов, /-м столбцом
которой для 1 </<рслужитхj; формула G) показывает, что ком-
компонентой р-вектора х,/\ .../\xv с индексом Н служит минор р-го
порядка матрицы X, имеющий Н множеством индексов строк.
Рассмотрим теперь линейное отображение и модуля Е=Ап
в F=Am; пусть X — его матрица (из т строк и п столбцов) относи-
относительно канонических базисов (e;)i <у<с„ и (/4)к1<т модулей EviF; по-
v
ставим своей целью найти матрицу р-й внешней степени Д и относи-

4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 419
Р V
телыю базисов (е#) и (/н)модулей f\E и /\F. Если (;fe) —последо-
—последовательность индексов, образующих К, расположенных в порядке
р
возрастания, то Д u(eg)=u(eji)A •• ¦ Л " (ty )', поэтому элемент
р
матрицы отображения Дм, стоящий на пересечении строки с индек-
индексом Н и столбца с индексом К, есть не что иное, как Н-я компонента
р
разложимого р-вектора [\и(ек), т. е. минор Хн,к матрицы X.
р
Иными словами, матрицей отображения f\u служит матрица
(%н,к) (из ( т ) строк и f n ) столбцов), образованная мино-
минорами р-то порядка матрицы X (со знаком, установленным опи-
р
санным выше образом); мы будем обозначать ее Д X и называть
р-й внешней степенью матрицы X.
4. Разложения определителя
Вернемся к формуле C), задающей определитель матрицы
X = (!;j) re-го порядка. Пусть Н — подмножество множества
индексов [1,га], состоящее из р элементов A</?<и), Н' — его
дополнение относительно [1, п\ и (ih) (соответственно (/fe)) —
последовательность индексов, образующих Н (соответственно Н'),
расположенных в порядке возрастания; можно написать
*, Л ¦ • ¦ Л хЛ = ен н, (ачх Л ... Л xip) Л (xfi Л ... Л жуп_р), (8)
где QH>H,=(—l)v, a v означает число тех пар (i,j), в которых i?H,
/С Я' и/< i (§ 5, п° 9). В обозначениях из п° 3 имеем
Хх А ¦ ¦ • Л я* = 2 екХх, н,
1 р к
2^ Л--- Л
У
где /iC пробегает множество всех подмножеств интервала [1,га],
состоящих из р элементов, a L — множество всех подмножеств
этого интервала, состоящих из п—р элементов. Подставляя эти
выражения в (8) и принимая во внимание таблицу умножения
базиса (ен) внешней алгебры (§5, п° 9, формула A4)), мы видим, что
—О, если только L не равно дополнению К' множества К
27*

420 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6
относительно [1, га]. Это приводит к следующей формуле для опре-
определителя матрицы X:
detX = eH H.2QJCiJt.XJtiHXK. н.. (9)
Эта формула известна под названием лапласовского разложе-
разложения определителя матрицы X по р столбцам с индексами из Н
(или по п—р столбцам с индексами из Н'); миноры Лк,н и Хх-, н'
называются дополнительными друг к другу.
Важный случай лапласовского разложения имеем при р=1,
#={/}; тогда для каждого множества K—{i), состоящего из
одного элемента, Х-к, н—%ц', %К',н' есть минор (га—1)-го порядка,
получающийся путем вычеркивания в X /'-го столбца и i-й строки и
обозначаемый далее XtJ. Так как, очевидно, q#, н/==(—1У ^hqk, к' —
= (—1. \ то формула (9) принимает в этом частном случае вид
detZ=Si(-lI%Xi>; A0)
ее называют разложением определителя матрицы X по j-му столб-
столбцу. Минор (—l)l+JXw называется алгебраическим дополнением
элемента ?tJ-.
Отметим, что при заданном множестве На [1, п] из р элемен-
элементов миноры Хк, я зависят лишь от элементов матрицы X, находя-
находящихся в столбцах с индексами, принадлежащими Н; из этого
замечания вытекает, что если L — подмножество в [1,га], состоя-
состоящее из п—р элементов и не совпадающее с дополнением Н' к Н, то
2ок.Х'Х*,нХкм, = О. (И)
Действительно, это выражение дает, с точностью до знака, лап-
ласовское разложение (по столбцам с индексами i ? Н) опреде-
определителя, получающегося путем замены в определителе матрицы X
столбцов, индексы которых принадлежат Н', столбцами, индексы
которых принадлежат L (с соблюдением расположения индексов).
Так как Н и L имеют по крайней мере один общий индекс, то этот
новый определитель имеет по крайней мере два одинаковых столбца
и, значит (предложение 2), равен нулю.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
421
В частности, при к Ф j имеем
п
A2)
Рассматривая определитель матрицы, транспонированной к X,
мы, в силу предложения 4, снова получаем «разложения» для
det X, на этот раз по строкам этого определителя.
Замечание. Лапласовское разложение существенно опи-
опирается на ассоциативность внешнего произведения; было бы выгоднее
прямо воспользоваться этим свойством, не прибегая к помощи фор-
формулы (9).
Примеры. 1) Определитель В а н д е р м он д а.
Пусть (zj)j ^j<n— заданная последовательность п элементов кольца^.
Определителем Вандермонда этой последовательности называется
определитель л-го порядка
z2, ..., zn) =
1
1
zl
Покажем, что
V(H, ..., zn)= [] (*,— »«).
A3)
Принимая во внимание очевидность утверждения при л=1, проведем
доказательство индукцией по п. Для каждого индекса к > 2 вычтем
из к-w строки (к — 1)-ю, умноженную на z,; значение определителя
не изменится, и мы получим, что
11 ... 1
О г2 — г]
О г2(г2-л,)
Ч)
О z^-2(Z2_Zl) ... zS-a(^n-^i
Разлагая этот определитель по первому столбцу и затем вынося из
(к — 1)-го столбца получающегося так минора множитель z& — zt
B < к < п), будем иметь
z2, ...,zn)=(z2—z1)(z3 — zl)...(zn—z1)V(H, ¦¦¦< zn).
откуда и следует справедливость формулы A3).
2) Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка, имеющую вид
«квадратной клеточной матрицы» (гл. II, § 6, п° 5):

422 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ .АЛГКБРЛ ГЛ. III, § 6
Покажем, что
detZ = (dety)(dotZ). A4)
Пусть h — порядок матрицы У; столбцы xlt х,, ¦¦¦, xi, матрицы X
принадлежат подмодулю, имеющему базис е1, е,, ..., е^, и, в силу
формулы C),
xlA..-Axk = (detY)-e1A-..Aei,- ' A5)
С другой стороны, для каждого индекса i > h можно написать а:4=
=х[-{-х[, где х[ — линейная комбинация элементов ej, ..., eh, a x\ ¦—
линейная комбинация элементов е/1+1, ..., еп. В силу A5), для каждого
i > h имеем тогда агхЛ • • • Ла-'лЛ аг- = 0, и значит,
Но так как, по определению detZ,
то мы и получили формулу A4).
Из нее индукцией по р сразу следует, что если X имеет вид кле
точной матрицы
\ 0 0 ... А'рр,
где все матрицы, находящиеся под диагональю, нулевые, то
detZ=(det Xn) (det XM) ... {detXpp).
о. Выражение для обратной матргсцы. Применение
к линейным уравнениям
Пусть A = (aij) — заданная квадратная матрица га-го порядка
над коммутативным кольцом С с единицей; положим f>'x=(—1)"'А*'
(алгебраическое дополнение элемента ai3); формулы A0) и A2) до-
допускают следующую запись:
где 6jk—кронекеровский символ; обозначая через В квадрат-
квадратную матрицу (Pij), можно записать соотношение A6) также
в виде

S ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 423
Рассматривая разложения определителя матрицы А по ее
строкам, получим аналогично формулу
АВ = (deb А)-1Л. A8)
Принимая во внимание следствие 2 предложения 1, мы видим,
таким образом, что справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Для того чтобы квадратная матрица над ком-
коммутативным кольцом С (с единицей) была обратимой, необходимо
и достаточно, чтобы ее определитель был обратимым в С.
Матрица Л = (Аг;) есть не что иное, как (п — \)-я внешняя сте-
степень матрицы А. Формулы A7) и A8) показывают, что если А об-
обратима, то обратная к ней матрица получается путем взятия
матрицы, транспонированной к А, умножения в этой матрице
/-и строки на (—II и /-го столбца на (—1)* для всех i и / от 1 до п
и, наконец, умножения полученной матрицы на (det^) (см.
§ 8, предложение 5).
Рассмотрим на кольце С систему п линейных уравнений с п
¦неизвестными
Д<Ч& = тц (К «<«). A9)
При обычном отождествлении матрицы из одного столбца, обра-
образованного элементами |4 (соответственно тL), с элементом а;=(|4)
(соответственно г/=(гц)) из Сп, система A9) записывается также
(гл. II, § 6, п° 4) в виде
Ах = у. B0)
Пусть и — эндоморфизм х—> Ах С-модуля С"; утверждение,
что уравнение B0) имеет (по крайней мере одно) решение для
каждого у(-Сп, равносильно утверждению, что и есть отобра-
п
жение модуля Е=Сп на себя; тогда иДи отображает Д ?" на себя;
но Д? изоморфно С-модулю С, а Д и есть гомотетия z—>(detA)z
п
модуля Д Е; поэтому существует ц.?С такое, что \i(detA)=l,
иными словами, det^l обратим в С. Обратно, согласно теореме 2,
•обратимость det А в С влечет, что и есть автоморфизм модуля Е.
В итоге имеем:

424 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6
Предложение 5. Для того чтобы система п линейных уравне-
уравнений с п неизвестными на коммутативном кольце (с единицей)
обладала по крайней мере одним решением при любых правых
частях, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы
этой системы был обратимым; и в этом случае решение системы
единственно.
Полагая A=det.4, получаем из A7) и B0), что
Ах = By, B1)
т. е.
^i (L (<<)
или, иначе,
Agt = At (l<i<«), B2)
где А4 означает определитель, получающийся из А путем замены
его i-ro столбца столбцом J/=(t]j). Если А обратим, единственное
решение системы A9) задается формулами B2), называемыми
формулами Крамера. Кроме того, принимая г/=0, получаем
из B2)
Предложение 6. Если однородная линейная система п урав-
уравнений с п неизвестными на коммутативном кольце обладает не-
ненулевым решением, то определитель ее матрицы является дели-
делителем нуля.
Можно показать, что это необходимое условие также достаточ-
достаточно (§ 7, упражнение 2).
Замечание. Формулы Крамера могут быть получены также
следующим образом. Обозначим столбцы матрицы А через aj (I < i < re);
тогда система A9) равносильна уравнению
2 *& = У B3)
на Е=Сп. Умножив (внешне) обе части формулы B3) слева на ах А
• •¦ A<zi_i, а справа — на di+iA ... Лап, получим
Si-diA ... Лап = а1Л ... A<Zi-iA2/Aai+iA ... А <г„,
что, в силу формулы C), равносильно формуле B2).

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
425
уПражяения. 1) Если в определителе А n-го порядка заменить
i-й столбец р,л0 каждого индекса ? суммой всех столбцов с индексами
Ф1, то получЕ*тся определитель, равный (—I)™ (п — 1) А. Если в А
из i-ro столбца Для каждого индекса i вычесть сумму всех столбцов
с индексами =^?' т0 получится определитель, равный —(п — 2) 2П"ХА.
2) Пусть Л=^еИа1з') ~ определитель n-го порядка; для всех f
и / от 1 до » —i положим
а,
-1;
ai+l. з
. 3+1
Доказать, что определитель det (ptj) (n-l)-ro порядка равен
а12а13 ... а1пА.
3) Доказать тождество
2/i <*1з а14 ... а,
Х2 Уч С124 •¦ • <Ц
%гХ3 Х3 Уз • • • ^Зп
¦ ¦ ¦ xn
n_lVn_1) x
n
Вывести из него следующие тождества:
! 1 ... 1
Ъх а% ai • • • °i
... (ап— Ъп),
— ахЪ^ ... (an6n_! — ап.хЬп),
axb2 a2b2
ayb3 a2b3
ахЪп а2Ъп агЪп ¦ ¦ ¦ апьп
а2а3 ... ап а3а* ¦ • ¦ апъх at ¦ ¦ ¦ anbibi. ¦ ¦ ¦
b2b3 ... bn a3Pi ¦ • • anai ai ¦¦¦ anaib2 ¦ ¦ • й1<*2Ьз • • • K
агЪ3 ... bn 63*4 • • • Kh 4 .. b
а2а3 ...Ьп asat ¦ • ¦ Ml Ч ... bnbxb2 ... аха2а3 ... ап.
= (а1а2 • • • о-п — &1&2 • • • *п)П1г
a2 аз ¦ ¦ ¦ x
O2 A3 ¦ ¦¦ an
— аг) ... (x — an),

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III,
a2 ¦ ¦. а„
x . . . а„
аг а3 . .. х
-ап) (х —а,) (I — я2) . . . (х — ап).
[Свести последний определитель к предыдущему.]
4) Вычислить определитель
ai-i-6i
6,
К
ь.
b.
{Выразить Дп с помощью Дп_1.]
5) Предполагая аг и bj элементами поля такими, что а;
для каждой пары индексов (?, /), доказать, что
det
(«,— «!) (*,—
6) Показать, что если X — матрица из п строк и m столбцов,
У — матрица из ^э строк и п столбцов, так что их произведение Z =
= YX есть матрица из р строк и т столбцов, то при п < q миноры
?-го порядка матрицы 2 равны нулю, а при q <; п они задаются фор-
формулой
*L, H = 2ll ^L. К^К. Я'
к
где if пробегает множество всех подмножеств интервала [1, п], состоя-
состоящих из q элементов. [Воспользоваться формулой (8) § 5.]
7) Пусть A = det(a{j) — определитель n-го порядка; обозначим
через Д^ для каждого индекса ? определитель, получающийся путем
умножения в Д каждого элемента а;?- A <! /О) на р^-. Показать, что
Д1 + Д.+ • ¦ • +Ar, = (Pi4-p2-r- ¦ ¦ +Рп) Д-
[Разложить Д^ по i-й строке.]
8) Пусть Д = det (ai?) — определитель n-го порядка ист— под-
подстановка из ©п; пусть, далее, Д^ для каждого индекса i (I ^ i ¦< п) —
определитель, получающийся путем замены в Д каждого элемента сц;
A <!/'<>) элементом сц а^, и р — число индексов, инвариантных
относительно подстановки ст. Показать, что
1Тот же метод, что и в упражнении 7.]

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 427
9) Пусть А — квадратная матрица л-го порядка, В — ее под-
подматрица из р строк и q столбцов и С — матрица, получающаяся путем
умножения в А каждого элемента из В на один и тот же скаляр а.
Показать, что каждый член полного разложения определителя ма-
матрицы С равен соответствующему члену полного разложения опреде-
определителя матрицы А, умноженному на скаляр вида аг, где г >• p-^q—n
и зависит от рассматриваемого члена. [Образовать для det С надлежа-
надлежащее лапласовское разложение.]
10) Пусть Г и Д — определители n-го порядка, Н и К — любые
два подмножества интервала [1, л], состоящие каждое из р элементов,
(?fe) (соответственно (/&)) — последовательность, полученная путем
расположения членов множества Н (соответственно К) в возрастаю-
возрастающем порядке; пусть, далее, Гя, к — определитель, получающийся
путем замены в Г каждого столбца с индексом t^ (I <J k <J p) столбцом
определителя Д с индексом /^, и аналогично Ак, я — определитель,
получающийся путем замены в Д каждого столбца с индексом /^ A <^.
<^<^/>) столбцом определителя Г с индексом ih. Показать, что для
каждого Hcz[l, и], состоящего из р элементов,
к
где К пробегает множество всех подмножеств интервала [1, я], состоя-
состоящих из р элементов. (Воспользоваться формулами (9) и A1).]
11) Пусть Д — определитель квадратной матрицы X п-го порядка
и Др — определитель квадратной матрицы Д X, порядка ( \ Пока-
Показать, что
ДрД. Р=Р
[Воспользоваться формулами (9) и (И).]
12) Определитель det (ai3) п-го порядка называется центросим-
метрическим (соответственно косоцентросиммегприческим), если
an-i + i, n-/+i = aij (соответственно an_i+1) n_J+1 = —ai;) для всех i и /.
а) Показать, что центросимметрический определитель четного
порядка 2р можно представить в виде произведения двух определи-
определителей jp-го порядка, а пентросимметрический определитель нечетного
порядка 2jd-j-1 — в виде произведения определителей р-то и (/>+1)-го
порядков.
б) Показать, что косоцентросимметрический определитель чет-
четного порядка 2р можно представить в виде произведения двух опре-
определителей jp-ro порядка. Косоцентросимметрический определитель
нечетного порядка 2p-\-i над А равен нулю, если в А соотношение
2?-=0 влечет ? = 0, и представим в виде произведения арр и двух
определителей р-го порядка в противном случае.

428
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 7
13) Пусть Д = det (сцу) — определитель n-го порядка и
минор (я—1)-го порядка, дополнительный к сцг-. Показать, что
a21
a2n
Ух У2
Уп
Показать, что если Д=0, а элементы ai; принадлежат полк,\
то определитель, стоящий в левой части, является произведением
линейной формы от хи х2, .. .,хп на линейную форму от уи у\, ..., уп.
[Воспользоваться упражнением 11 § 5 и упражнением 6 § 6 главы II.]
Привести пример, где этот результат теряет силу, когда кольцо
скаляров А не является полем. [Принять за А кольцо Z/F) и п рав-
равным 2.]
14) Доказать тождество
1 1 1 ... 1
О
О
<*! + <*„
<*3-fan
[Использовать упражнение 13.]
§ 7. Определители над полем; разложимые р-векторы
над векторным пространством
В этом параграфе рассматриваются лишь конечномерные
векторные пространства над полем.
1. Свободные системы разложимых р-вепторов
Теорема 1. Пусть Е — векторное пространство конечной
размерности п над полем. Для того чтобы р векторов xi A < i < р)
образовывали в Е свободную систему, необходимо и достаточно,
чтобы разложимый р-вектор а^Д ... f\xv не равнялся нулю.
Действительно, если векторы xi образуют зависимую систему,,
то один из них равен линейной комбинации других (гл. II, § 3,
предложение 1); при его замене этой комбинацией внешнее про-
произведение ххА ••• Ахр разлагается в сумму внешних произведе-
произведений, содержащих каждое два одинаковых множителя и, следо-
следовательно, равных нулю.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ НАД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ .р-ВЕКТОРЫ
429
Если, напротив, хг образуют свободную систему, то в ? суще-
существует п—р других векторов, образующих вместе с векторами xi
базис пространства Е\ р-вектор хх/\ . . . /\xv будет тогда (с точ-
р
ностью до знака) элементом соответствующего базиса для Д Е
(§ 5, п° 6) и; значит, не равен нулю.
Теорема и ее доказательство непосредственно распространяются
на бесконечномерные векторные пространства. По поводу обобщения
на модули над кольцом см. упражнение 2.
Предложение 1. Ранг Q (X) матрицы X над полем К равен
наибольшему из целых р, для которых в X существует по крайней
мере один ненулевой минор р-го порядка.
Действительно, q (X) есть наибольшее число линейно незави-
«имых столбцов матрицы X (гл. II, § 6, п° 7), иными словами
(теорема 1), — столбцов, внешнее произведение которых отлично
от нуля; но тем самым предложение доказано, поскольку компо-
компоненты внешних произведений произвольных р столбцов матрицы
X — это, с точностью до знака, не что иное, как ее миноры р-го
порядка (§ 6, п° 3).
Из этого предложения получается новое доказательство тео-
теоремы 2 § 6 для частного случая квадратных матриц над полем:
как мы знаем (гл. II, § 6, предложение 4), для обратимости
такой матрицы необходимо и достаточно, чтобы ее ранг равнялся
ее порядку, а в силу предложения 1 для этого в свою очередь
необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы не равнял-
равнялся нулю.
2. Применение определителей к решению линейных
уравнений над полем
Понятие определителя позволяет представить в сжатом виде
условия существования решений системы (скалярных) линейных
уравнений над полем К и выражение для решений такой системы,
когда они существуют.
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными
над К:
fa^pV (l<i<4 A)

430 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 7
Матрица А = (аг}) этой системы имеет тем самым т строк и п столб-
столбцов. Пусть В — матрица из т строк и га+1 столбцов, полученная
путем окаймления А (га + 1)-м столбцом (р\); как мы знаем (гл. II,
§ 6, предложение 5), для того чтобы система A) обладала реше-
решением, необходимо и достаточно, чтобы А и В имели одинаковый
ранг. Предположим, что А — матрица ранга р (который предло-
предложение 1 в принципе позволяет вычислить) и что первые р ее столб-
столбцов ai A< i<p) образуют свободную систему (чего всегда можно.
добиться, подвергнув индексы j надлежащей подстановке); для
того чтобы В была матрицей ранга р, необходимо и достаточно^
чтобы столбец у — (Pt) являлся линейной комбинацией столбцов
а{, иначе говоря (теорема 1), чтобы
a-i А ¦ ¦ ¦ А ар А У = 0,
или еще чтобы все миноры (р-\-1)-го порядка в В, столбцы которых-
имеют индексы 1,2, . . ., р и га+1, равнялись нулю.
Допустим, что это условие выполнено и, кроме того, первые р
строк матрицы А линейно независимы (чего всегда можно добить-
добиться, подвергнув индексы i надлежащей подстановке); тогда мно-
множество всех решений системы A) совпадает с множеством всех
решений системы, образованной первыми р уравнениями A)
(гл. II, § 4, теорема 2). Иными словами, можно предполагать,
что р = т и, следовательно, га>т; при произвольном задании эле-
элементов ?m+h(l < fe< п— т) элементы ?4 с индексами < т будут опре-
определяться системой т уравнений с т неизвестными
тп n—m
У а^ = pt - ? ait m>hl,n,h A <: i < m), B)
7=1 h=\
а по предположению определитель А этой системы, являющийся
не чем иным, как минором матрицы А, образованным ее первыми
т столбцами, отличен от нуля; тем самым система обладает един-
единственным решением, причем оно задается формулами Крамера
(§6, предложение 5).
Отметим еще, что теорема 1, примененная к случаю р = п.
позволяет вновь получить, в пополненном виде, предложение &
§ 6 относительно системы п однородных линейных уравнений
с п неизвестными:

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ НАД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ /-ВЕКТОРЫ
431
Предложение 2. Для того чтобы однородная линейная система
п уравнений с п неизвестными над полем обладала ненулевым реше-
решением, необходимо и достаточно, чтобы определитель ее матрицы
равнялся нулю.
S. Векторные подпространства и разложимые р-веь-
торы
Предложение 3. Пусть z — ненулевой р-вектор над вектор-
векторным пространством Е; векторы х?Е, для которых zA#=0,
образуют в Е векторное подпространство Vz; при этом, если
(x^i^i^q—свободная система векторов изУ2, то g>< p и существует
(р — д)-вектор v такой, что z = уДа^Д . .. Джд.
Действительно, образуем базис пространства Е, первыми q
векторами которого служат хх, . . -, xq (гл. II, § 3, теорема 2); пусть
xq+1, . . ., хп -- остальные векторы этого базиса. В обозначениях из
п° 6 § 5 можно написать z — 2 о.нхн, где Н пробегает множество
я
всех подмножеств интервала [1, п], состоящих из р элементов;
кз выполнения соотношения гДа;4=О для индекса i вытекает
тогда, чтоая = 0 для каждого Н, не содержащего i; так как по
предположению гД^ = 0 для всех г от 1 до д, то мы видим, что
«н = 0 для всех Н, не содержащих интервала [1, q]dN. Поэтому
р>?и существует (р — д)-вектор v такой, что z—vf\xxt\... t\xq.
Следствие 1. Для каждого ненулевого р-вектора z над вектор-
векторным пространством Е имеет место неравенство dimF,,<j); для
разложимости г необходимо и достаточно, чтобы dim Vz = p.
Неравенство dimF,<p сразу следует из предложения 3, по-
поскольку каждая свободная система в Vz содержит не более р эле-
элементов; если dim F, ==р, то для установления разложимости нужно
взять в предложении 3 в качестве (хг) базис подпространства F.;
обратное очевидно, ибо если z = угА ¦ • ¦ A J/p?=0, то векторы yi
A<?<р) образуют свободную систему (теорема 1) и принадле-
принадлежат V., а значит, Vz р-мерно.
Если ^-вектор z и вектор х отнесены к какому-нибудь базису
ei)l<t<p пространства Е, то соотношение гДх=0 равносильно
^ ^ Г п \
системе ( . ) однородных линейных уравнении для компонент

432 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 7
вектора ж; необходимые и достаточные условия, которым должны
удовлетворять компоненты />-вектора z, чтобы он был разложимым,
получим, написав, что ( ., } линейных форм, стоящих в левых
частях упомянутых уравнений, являются линейными комбинациями
каких-нибудь п—р из них (см. § 8, упражнение 6). Компоненты р-век-
тора z иногда называют его грассманоескими координатами относи-
относительно базиса (ej).
Следствие 2. Пусть (xji^i^p и (yji^i^p — две свободные'
системы р векторов векторного пространства Е. Для того чтобы
(ненулевые) р-векторых^А. .. Джр и г/хД ... Д г/р отличались друг
от друга лишь скалярным множителем, необходимо и достаточно,
чтобы (р-мерные) подпространства, порожденные соответственно
векторами xlt . .., хр и yv .. ., ур, совпадали.
Таким образом, каждому ненулевому разложимому р-вектору
z соответствует р-мерное векторное подпространство V, про-
пространства Е; каждая (свободная) система (а^Ь^г^р Р векторов из
Е такая, что z — x^/^... Да;р, является базисом этого подпростран-
подпространства V,; мы будем называть Vz векторным подпространством,
определяемым разложимым р-вектором z. Следствие 2 предложе-
предложения 3 показывает, что каждое р-мерное векторное подпространство
может быть определено разложимым р-вектором и что все разло-
разложимые р-векторы, определяющие одно и то же подпространство,
отличаются друг от друга лишь ненулевым скалярным мно-
множителем.
Замечание. Пусть (ж4I:;-{$р и (s/^i^i^p —два базиса одного
и того же /(-мерного подпространства V пространства Е\ пусть
р_
j/j = ^ «г/ж,- A<1<я)и''1 — квадратная матрица (а^) р-то порядка
(матрица перехода 'от базиса (xi) к базису (г/j) (гл. II, § 6, п° 9)).
Согласно определению определителей (и предложению 7 § 5), имеем
г/1 Л . •. Л Ур = (det А) хх А • • • Л хр. Для равенства разложимых />-век-
торов ж1Л...Джр и у\ А ... Аур необходимо и достаточно, чтобы
матрица перехода от (хг) к (j/j) была унимодулярной.
Пусть ? отнесено к определенному базису (ei))<i<n; отнеся каж-
каждому свободному семейству (г,I<;<р р векторов пространства Е
матрицу X из л строк и р столбцов, /-й столбец которой для каждого j
A <С I' < р) образуют компоненты вектора xj относительно базиса (ei),

чШ'КДК.'НПК. Ml ЛЛД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ Л-КККТОРЫ
433
мы получим взаимно однозначное отображение свободных семейств
из р векторов пространства Е (имеющих [1, р\ своим множеством
индексов) на множество ?р,п(ЛГ) всовозлголгных матриц из л строк и р
столбцов над полом К, имеющих ран? р. Если X н У — матрицы из /<
строк и р столбцов, соответствующие описанным способом свобод-
свободным системам (а;;).,-^-^ и (j/j)]-,-,,. то для равенства />-векторов
xLA ¦ ¦ ¦ Ахр и ух А ¦ • • Лз/р необходимо н достаточно, чтобы существо-
вала унимодулярная квадратная матрица А р-то порядка такая, что
Y--XA. Тем самым определяется взаимно однозначное отображении
множества всех разложимых р-векторов над Е па фактормножество
множества Lv,n(K) по отношению окоивалршпноспиг. «существует уни-
унимодулярная квадратная матрица А р-то порядка такая, что Yz=XAt>.
Предложение 3 позволяет перевести некоторые свойства под-
подпространств пространства Е в свойства разложимых /^-векторов,
определяющих эти подпространства. Так, например, имеем сле-
следующие предложения:
Предложение 4. Пусть VuW — векторные подпространстса
проаяранства Е, имеющие соответственно размерности р и q;
предположим, что р<.Я, и пусть v — разложимый р-вектор,
определяющий V, и w — разложимый q-вектор, определяющий W.
Для того чтобы VaW, необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовал (q~-р)-вектор и такой, что w = uAv.
Это предложение есть непосредственное следствие предложе-
предложения 3, примененного к разложимому gr-вектору и> и р векторам,
образующим базис подпространства V.
Предложение 5. Пусть VuW — векторные подпространства
пространства Е, имеющие соответственно размерности р и q,
о-— разложимый р-вектор, определяющий V, и w — разложимый
q-вектор, определяющий W; для того чтобы Vf)W = {0}, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы vАи>фО', разложимый (р+д)-вектор
v A w определяет тогда подпространство V -f- W.
Действительно, если F|~j W имеет размерность г>0, то суще-
существует разложимый r-вектор z, определяющий FP|W, такой, что
v будет произведением z п некоторого (р — г)-вектора, w — произ-
медением z и некоторого (д— г)-вектора; по тогда i;A» = 0. Если,
напротив, V*P]^={0}. то сумма F-f W прямая; поэтому, есл;1
(xi)i^i^p —базис подпространства V, a (j/,)i<5/<4— базис под-
подпространства W, то р 4- q векторов xi и ijj образуют базис
28 II. БурОаки

434 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ш, § 7
подпространства V -+- W, и их внешнез произведение есть ненулевой
разложимый (р+ д)-вектор, оггроделяющш! V + W; но (следствие 2
предложения 3) оно лишь ненулевым скалярным множителем
отличается от v/\w.
Пусть Е — (л-4-1)-мерное векторное пространство над полем К;
v 1-1
в векторном пространстве #-Д ?' @ <!/><; и) размерности /i =
) множество ?>Pfl (E) всех ненулевых разложимых (р+1)-век-
торов насыщено по отношению Д(/7): «существует X -^Отакое, что v=%u»
между и и v (гл. II, Приложение III, п° 1). Его канонический образ
Gp*i(E) в проективном пространстве Р(F) размерности А —1 пазы-
вается (jt>+l)-M грассманианом пространства Е (или проективного
пространства V(E)). Согласно предыдущему, существует канониче-
каноническая биекция Gp+j (E) на множество всех (/>+1)-мерных векторных
подпространств пространства Е (или на множество всех />-мерных
проективных линейных многообразий пространства Р(Е)). В случае,
когда Е — Кпл1, вместо Gllhl(E) пишут 6'П,Р(АГ).
Упражнения. 1) Пусть X — матрица над полем. Для того
чтобы она была матрицей ранга р, достаточно, чтобы она содержала
такой ненулевой минор р-ro порядка, что все содержащие его миноры
(р+1)-го порядка равны нулю. [Показать, что каждый столбец
матрицы X будет линейной комбинацией тех р столбцов, которым
принадлежат элементы указанного минора.]
*2) Пусть Е — модуль над коммутативным кольцом С, имеющий
конечный базис, состоящий из п элементов.
а) Для того чтобы р элементов ж; A <; i <1 р) модуля Е образо-
образовывали зависимую систему, необходимо и достаточно, чтобы (izi^ ...
... Дггр = О для некоторого скаляра цфО. [Для установления доста-
достаточности условия рассмотреть матрицу А из п строк и р столбцов,
образованную компонентами элементов хг; свести к случаю, когда
произведение некоторого минора (р — 1)-го порядка матрицы А
па ц не равно нулю; далее, записать, что произведение на ц каждого
пз миноров р-то порядка, содержащих этот минор (р — 1)-го порядка,
равно нулю, и воспользоваться формулой A2) § 6.]
В частности, если р > п, элементы гг; всегда образуют зависимую
систему.
б) Показать, что если (xi) — свободная система р элементов моду-
модуля Е, то при q <С р g-векторы хн, где Н пробегает множество всех
подмножеств интервала [1, р], состоящих из q элементов, образуют
ч
свободную систему в Д#' [Использовать а).]

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ НАД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ />-ВЕКТОРЫ 43а
в) Вывести из а), что если столбцы квадратной матрицы п-го
порядка над С линейно независимы, то также строки этой матрицы
линейно независимы. [См. гл. II, § 0, упражнение 3.]
3) Пусть Е и F — С-модули, обладающие копечныки базисами,
состоящими соответственно из тип элементов. Для того чтобы линей-
линейное отображение и модуля Е в F было изоморфизмом Е в F, необходимо
и достаточно, чтобы то -< п и для матрицы X этого отображенвя отно-
относительно произвольных базисов в Е a F не существовало бы скаляра
ji=/-0, произведения которого на все ее миноры m-го порядка равня-
равнялись нулю. [Использовать упражнение 2.] При выполнении этих усло-
V 1> V
вий, Д и для каждого р < m есть изоморфизм Д Е в Д F.
4) Пусть
-система т уравнений с п пеизпсстными на коммутативном коль-
кольце С. Пусть, далее, i;- A <. / -^ п) — столбцы матрицы A = (aij) этой
системы и 2/ = (Pt)- предположим, что в А все миноры порядка >/>
равны нулю, но xi Д Джр^(). Для того чтобы система имела ре-
решение, необходимо, чтобы ж, Л ... Л хр Д у = 0.
Обратно, если это условие выполнено, то в С существуют и+ 1
алементов ?,• A </<п+1) таких, что gr,+i^0 и
п
;=i
*5) Пусть Е п F — модули над коммутативным кольцом А, обла-
обладающие копечными базисами, состоящими соответственно из то и и
элементов, и — линейное отображение Е в F и X — его матрица отно-
относительно произвольных базисов в Е и F.
а) Если т .&¦ п и существует обратимый минор n-го порядка
матрицы X, то и есть отображение Е на F.
б) Показать, что если, обратно, и есть отображение Е на F, то
т jf- n и в X существует ненулевой минор п-го порядка. Если, кроме
того, идеал кольца А, порождаемый необратимыми элементами этого
кольца, отличен от А, то в X существует обратимый минор и-го порядка.
п
! Рассмотреть внешнюю степень Д и.]
в) Пусть В — коммутативное кольцо с единицей и А — кольцо
ПК В (гл. I, § 8, п° 10). Привести пример такого линейного отобра-
отображения А -модуля Аг на модуль А, чтобы все элементы его матрицы
(относительно канонических базисов модулей А2 и А) были делителями
нуля.
6) Пусть и и v — разложимые ^-векторы над векторным про-
пространством Е. Для разложимости /?-н?ктора и-\- v необходимо и доста-
28"

436 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 8
точно, чтобы пересечение подпространств, определяемых соответ-
соответственно р-векторами и и г, имело размерность ,.*/>— 1.
7) Пусть z = ^Г анеИ — ненулевой разложимый р-вектор над
Н
пекторным прос ранством Es выраженный через свои компоненты
относительно произвольного базиса (ei)i<i<-i этого пространства;
П — множество р элементов интервала [1, «] такое, что ас=#=0;
(ih)[<:h,<ь~ последовательность, полученная путем расположения
индексов из G в возрастающем порядке, и (/;J1<h<rl_p —последова-
—последовательность, полученная путем расположения в возрастающем порядке
индексов дополнения G' к G относительно [1, «]. Пусть, далее, Р^
для любой пары (h, к) индексов таких, что 1 <_„ h <; р, 1 <1 к -^ п -р,
есть компонента а />-вектора z, соответствующая множеству
// CZ [1, я); образованному у> — 1 индексами из G, отличными от щ,
и индексом /;., и X — матрица (P/,/J из р строк и я — р столбцов.
Пусть, наконец, L — произвольное множество р элементов интервала
[1, п] такое, что L П CG содержит q > 1 элементов. Показать, что
{и.а)'1 1а^ равно минору q-ro порядка матрицы X, образованному
отроками с индексами h, для которых г/, g G Г| CL, и столбцами
с индексами к, для которых Jk?L С] CG. [Записать, что г имеет вид
аСУ\ А ••• ЛУу гд0 вектоРы 2/i таковы, что в матрице У из л строк
и /> столбцов, столбцы которой образованы компонентами этих век-
векторов, подматрица, составленная из строк, индексы которых принад-
принадлежат G, является единичной матрицей р-то порядка.]
8) Показать, что коммутант линейной группы GLn (К) обратимых
квадратных матриц «-го порядка над полем К совпадает с группой
матриц, определитель которых равен 1, за исключением того случая,
когда и=2, а К есть поле Z/B) из двух элементов. [См. гл. II, 5 6.
упражнение 9.]
§ 8. Двойственность для внешней алгебры
Всюду, где не оговорено противное, модули, рассматриваемые
'I настоящем параграфе, — это унитарные модули (над комму-
коммутативным кольцом), имеющие конечный базис.
1. Знакопеременные линейные формы и антисимме-
антисимметрированные ковариантные тензоры
Пусть Е — унитарный Л-модуль с конечным базисом. Как мы
V
подели (§ 1, п°п° 5 и 7), модуль, сопряженный к модулю (
коптравариантных тензоров р-то порядка над Е, канонически

/ ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 437
Р
отождествим с модулем <?) Е* ковариантных тензоров р-го поря;и ;•
над Е, так что по отождествлении каноническая билинейная фпр.ми
v v
(z, г') (гл. II, § 4, и0 1) на (&) Е) х ((§)/?*) определяется соотно-
соотношением
(хх ® . . . (g) ж^, ж|® .. . (g) а-р) = (ж1; а.;) . . . {хг„ х'р), (!;
каковы бы ни были х^Е и a^f/?*. Каждый ковариантный тен-
тензор z' ? (^) Е* отождествляется так с линейной формой г —> (г, z .
v
на 0 ?.
р
Исследуем, с какой линейной формой на (^)Е отождествляется
тензор az' (§ 5, п° 1), где а — произвольная подстановка из <&г
Заметим для этого, что имеет место тождество
{az, az') = {z, 2'); B)
но линейности достаточно доказать его для разложимых тензоров
z = хх (g) . . . (g) х и z' = х\ (gi . . . Cg) Xpj но в этом случае левая
v
часть формулы B), по определению, равна}! {хо-щ), х'а-щ)); в силу
н;е коммутативности Л, это выражение равно правой части
Формулы A) и тем самым равно {z, z').
Заменив теперь в B) z на a'1z, получим
(z, az') — (o~1z, z'). C)
Иными словами, в силу формулы D) § 5, линейная форма, с кото-
которой отождествляется тензор az', получается путем применения
к линейной форме, отождествляемой с z', оператора а в соответ-
р
ствии с определением внешнего закона (a, g) —>ag на X (^)Е. F)
(§ 5, н° 1).
Из тождества C), умножая обе его части на ео= eo-i и суммируй
но а, получаем
(z, az') = (az, z'). {4i
Иными словами, линейная форма на у?)Е, отождествляема;!
с результатом антисимметрирования ковариантного тензора г',
есть не что иное, как результат антисимметрироваиня линейной
формы, отождествляемой с л'.

438 полилинейная алгебра гл. ш, s s
У. Модуль, сопряженный к внешней степени
Найдем теперь модуль, сопряженный к р-й внешней степени
Д Е. Как мы знаем (§ 5, и° 5), существует (каноническое) взаимно
р
однозначное соответствие между линейными формами на Д Е
р
и знакопеременными линейными формами HaQ?)/?. Так как Е обла-
р
дает базисом, то знакопеременные линейные формы на Q<)E совпадают
с антисимметрированными (§ 5, теорема 1). Но поскольку Е
обладает конечным базисом, аптиснмметрировапные линейные
v
формы на (??) Е отождествимы (канонически) с антисимметриро-
антисимметрированными ковариантными тензорами р-го порядка над Е (н° 1).
Наконец, так как Е* обладает базисом, то существует канониче-
канонический изоморфизм модуля антисимметрированных ковариантны.х
р
тензоров р-го порядка над Е на р-ю внешнюю степень /\Е* (§ 5,
предложение 6).
Таким образом, в силу этих замечаний, можно установить
р
канонический изоморфизм модуля, сопряженного к Д?\ «а модуль
р
Д?*. Для точного определения этого изоморфизма достаточно
р
указать линейную форму / па Д?\ которой; соответствует раз-
разложимый р-вектор х\ Д • ¦ • Л4 на Е* (§ 5, пс 5, схолия); с дру-
другой стороны, значения / будут известны для каждого р-вектора
над Е, если они известны для каждого разложимого р-вектора
*i Л • • - Л ХР (§ 5, п° 5, схолия). Но, согласно предыдущему.
f канонически соответствует ковариантпому тензору
о
р
Этот последний отождествим с линейной формой i-ia^i?, значе-
значением которой для тензора xl ® ... ® жр, принимая во внима-
внимание D), служит
у gj(X(j 4 г') /? t у \ E)

2 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 439
Так как х1 А ... Л хр есть канонический образ х1 <g) .. . ® хр
v
в Л^ (§ 5,ri°5), то выражение E) и есть искомое значение
/ (xL A ... Д хр); согласно формуле E) § 6, это выражение есть
не что иное, как определитель матрицы ({хг, х))). Иными словами,
справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Пусть Е — модуль над коммутативным кольцом
v
А , имеющий конечный базис. Линейное отображение модуля Д Е* в
р
модуль, сопряженный к Д Е, относящее каждому разложимому р-век-
v
тору х\ А ¦ • ¦ А х'-р над Е* линейную форму / на Д Е такую, что
f{xx Д ... A .rp) =
для каждого разложимого р-вектора над Е, есть изоморфизм модуля
v р
f\E* на модуль, сопряженный к /\Е (называемый, как и изомор-
изоморфизм, обратный сну, каноническим).
р
Всюду в дальнейшем модуль, сопряженный к Д?, будет
v
отождествляться с /\Е* посредством установленного нами кано-
канонического изоморфизма; каноническая билинейная форма (гл. II,
р р
§ 4, п° 1) на (/\Е) х(/\Е*) будет определяться тогда фунда-
фундаментальной формулой
(х\ А •¦• Аур,х[/\ ... Aa-p) = det((a;i,a;;)). F)
v
Элементы модуля Д Е* (р-векторы над Е*), отождествленные
v
так с линейными формами на Д Е (и канонически соответствую-
соответствующие знакопеременным полилинейным формам на Ер), будут назы-
называться также р-формами на Е.
Пусть (eJiicisjTi—базис модуля Е и (e'i)i^i<jn~" сопряженный
оалпе в Е*; формула F) показывает, что
{eh А ¦ ¦ • А^,, e'h А . . . А %) = det ({eih, e'Jk)).
Но если существует индекс jh, отличный от всех ih, то опреде-
определитель, стоящий в правой част л, имеет нулевой столбец; другими

440 полилинейная алгебра гл. ш, § 8
словами, в обозначениях из п° 6 § 5 имеем
(ея> е'к) = 0, если НфК, 1
{ев, е'„) = 1 !" G>
для каждого множества На [1, «J, состоящего из р элементов.
р
Мы видим, таким образом, что базис (е#) модуля Д ? имеет своим
сопряженным базисом (е'н). Для любого /?-вектора х—^
в
и любой р-формы х = ^SMit'n ua # имеем
в
где // пробегает множество всех подмножеств интервала [1,'ге],
состоящих из р алементов.
Следствие. Пусть X и X' — две матрицы из п строк и р
столбцов надкольцом А. Для каждого множества Hd[i,n], состоя-
состоящего из р элементов, обозначим через Хн (соответственно Хн)
минор матрицы X (соответственно X'), множеством индексе»
строк которого служит Н (а множеством индексов столбцов —
интервал [1, р]). Тогда
V
(()) ,H (9>
где Н пробегает множество всех подмножеств интервала [1,и],
состоящих из р элементов.
Действительно, эта формула вытекает из формулы F), приме-
примененной к столбцам xi A < i <, р) матрицы X и столбцам х) A < / < р)
матрицы X', и формулы (8), примененной кх-ххА ¦¦¦ А %,,
и х =х\ Д ... Д х'р (см. § 6, упражнение 6).
В частности, при Х' = Х, получаем соотношение
det(('X)X)=J(XHI.
называемое тождеством Лаграпжа.
Предложение 1. Пусть Е и F — А-модули с конечным базисом
и и — линейное отображение Е в F. Отображение, сопряженное
к р-й внешней степени Д и отображения и, совпадает ср-й внешней
v
степенью Д ((и) отображения, сопряженного к и.

ДТОИСТКЕШЮСТЬ ДЛЯ ВНЕШПЕП АЛГЕБРЫ 441
V
Действительно, пусть v — отображение, сопряженное к Да.
Для каждою разложимого р-вектора х1 Д ... Д хр над Е и каж-
каждой разложимой р-формы у[ Д ... Д у'р на F, но определению,
имеем
{х1 А ¦ ¦¦ Лхр, v(y[ Д . .. Д у'р)) =
= {и (.Tj) Д . .. Д и (хр), у[ А • • ¦ Д у'р),
откуда, согласно F),
(хЦа ¦ ¦ ¦ Д'э-р, v(y[ A ¦ ¦ ¦ А у'р))-
= (хг А ... Д хр, 'и (у[) А ¦ ¦ ¦ А*и (у'р)),
а это и показывает, что
'(л«)=А(Ч A}
Следствие. iJc/гм ц — автоморфизм модуля Е, то автоморфизм
р р
модуля /\Е*, контрагредиентный к автоморфизму Д и, совпа-
р
дает с р-й внешней степенью Дм автоморфизма и, кошпрагре-
диентного к и.
Это сразу следует из установленной только что формулы A1)
и формулы (8) § 5.
р р
Таким образом, для всех х ? Д Е и х ? [\Е* имеем
(Дм(.т), /\и(х')) = {х, х'). A2>
3. Модуль, сопряженный /с Д Е
В дальнейшем в множествах /\Е и /\Е*, определенных в п° 9
§ 5, будут одновременно рассматриваться, с одной стороны,
их структура А-модуля, а с другой, их структура кольца — две
структуры, которые надо будет тщательно различать.
А-модуль /\Е есть, по определению, прямая сумма п + 1 моду-
v
лей (\Е @<р<п), где п — число элементов базиса модуля Е\
следовательно (гл. II, § 4, предложение 5), модуль, сопряженный
к /\Е, есть Л-модуль, изоморфный прямой сумме модулей.

442 полилинейная алгебра гл. ш, § 8
р
сопряженных к модулям Д?\ т- е- (теорема 1)— прямой сумме
р
п+1 модулей [\Е* @<р< п), или А-модулю /\Е*. Говоря точно
(гл. II, § 4, п° 3), мы будем канонически отождествлять /\Е*
с модулем, сопряженным к /\Е, так, что каноническая билинейная
форма (х, х) на (/\Е) х (\Е*) будет определяться формулой
< I1 v 2 <> = I ц„ ^> (*„ е л я. 46 л в*). A3)
Чр=0 р=0 / р=0
Если (e^i^i^n — базис модуля Е и (е^^^п —сопряженный
базис в Е*, то из формул G) и A3) следует, что (ен) и (ен) являются
сопряженными базисами соответственно для Д? и /\Е*, где i7
пробегает теперь множество всех подмножести интервала [l,w].
Можно такнге сказать, что первая из формул G) справедлива и
без предположения, что // н К имеют одинаковое число элементов.
Для каждого линейного отображения и модуля Е в модуль F
мы определили (§ 5, п° 9) его каноническое продолжение и на /\Е
(как отображение, совпадающее на каждом Д Е с Ди). Фор-
Формула A1) показывает, что отображение, сопряженное к и, есть не
что иное, как каноническое продолжение отображения 1и на Д?*.
4. Внутренние произведения р-аектора и q-форты
Для каждого элемента х?/\Е отображение z —> z Д х есть
эндоморфизм структуры А -модуля в Дй (правая гомотетия кольца
Д Е). Поэтому сопряженное отображение есть эндоморфизм мо-
модуля Д Я*.
Определение 1. Левым внутренним произведением х j x' эле-
элемента х?1\Е и элемента х'?/\Е* называст.ся значение, при-
принимаемое в х отображением, сопряженным к эндоморфизму
z —-> z А х модуля Д Е.
Согласно определению сопряженного линейного отображения
(гл. I!, § 4, формула A2)), для всех х?/\Е, х'?/\Е* и z?/\E
имеем
(z,xjx') = {zAoc,.r/). A4)

4 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 443
Предложение 2. Сложение и внешний закон композиции (х, х')—>
—> х jx' на /\Е* определяют в этом множестве структуру
левого модуля относительно кольца Д Е.
Действительно, из A4) следует, что отображение (х, х') —--
— х_\х' билинейно (относительно структур Л-модуля в Д?
и /\Е*); тем самым все сводится к доказательству тождества
(ж Л У) _]ж' = ж j (у jx') A5)
относительно х?/\Е, у?/\Е, х'?/\Е*. Но в правой его части
стоит значение, принимаемое в х композицией, эндоморфизма,
сопряженного к z —> z /\ x, и эндоморфизма, сопряженного
u z —> z /\у; эта композиция есть не что иное (гл. II, § 4, фор-
формула A5)), как отображение, сопряженное к композиции
z —> (z /\х) Д у этих эндоморфизмов, т. е., вследствие ассоциа-
ассоциативности умножения в кольце /\Е, — к эндоморфизму z— > z /\(x /\y);
а отсюда и вытекает формула A5).
Пусть (eji^i^n— базис модуля Е; как билинейная функция от
(х, х'), произведение х jx' для любых х ? Д Е и х ? Д Е* опреде-
определяется значениями произведений ен j e'L, где Н и L — произволь-
произвольные подмножества интервала [1, п]. Но согласно формулам A4)
§ 5, матрица (jil, к) эндоморфизма z—> z Лея модуля /\Е относитель-
относительно базиса (ек) задается соотношениями \iL, к = 0, если Кf)H Ф 0
или КрН=0 и ЬфК[}Н, и \il,k = Qk, Hi если К f] H = 0
и? = K\JH (напомним, что Qk,h = (—^У¦> гДе v—число тех пар (?, /).
в которых i?K, j?H и / < г). Так как матрица эндоморфизма
x'—^-ец Ji' есть матрица, транспонированная к (их,.к), то мы
видим, что
сн J e'L = 0. если Я q? L,
ен J e'L = qk, Hek, если Я a L,
где АГ означает дополнение к И относительно L.
A6)
Эти формулы показывают, в частности, что если х есть р-вектор
v ч
(элемент из /\Е), а х —q-форма (элемент изД-Е*), то внутрен-
внутреннее произведение хЛх равно нулю при р~>4 и является
(q — р)-формой при p<^q. При p=q, как показывает сравнение
формул A6) и G), х J х — (х, х).

444 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § Ь-
Предложение 3. Пусть и— автоморфизм модуля Е и и — его
каноническое продолжение на Д Е. Каковы бы ни были х ? Д Е
и(х Jx') = п(х) J м(ж'). A7>
Покажем прежде всего, что для канонического продолжения и
любого линейного отображения и .модуля Е в модуль F имеет
место равенство
х УТ1(х') = 'п(Г1 (x)jx'). A8>
Действительно, отображение х—>х -Л*и(х') есть композиция
отображений 'и и у'—> xJy', сопряженных соответственно к отобра-
отображениям и и z—.>z/\x, и, значит, является сопряженным к отобра-
отображению z—>u(z/\ x) (гл. II, §4, формула A5)); но так как и есть
представление кольца Д Е в кольцо Д F (§ 5, п° 9), то и (z Д х) =
= u{z)/\и{х); вновь применяя формулу, дающую сопряженное
к композиции двух линейных отображений, получаем A8). В слу-
случае, когда и есть автоморфизм модуля Е, заменяя в A8) х па
и(х'), получим требуемую формулу A7).
Рассмотрим теперь для произвольного элемента ж' g Д?* эндо-
эндоморфизм z'—>x'/\z' модуля /\Е* (левую гомотетию кольца Д?*).
Сопряженное к нему отображение есть эндоморфизм модуля /\Е.
Определение 2. Правым внутренним произведением х L х'
элемента х?/\Е и элемента х'?/\Е* называется значение,
принимаемое в х отображением, сопряженным к эндоморфизму
z'—>х'A z' модуля /\Е*.
Таким образом, имеем тождественно
(x\-x',z') = (x, x'Az'). A9)
Так же, как при доказательстве предложения 2, устанавли-
устанавливается, что сложение и внешний закон (х', х) —> xL-х' на /\Е опре-
определяют в этом множестве структуру правого модуля относительно
кольца /\Е*; иными словами, имеет место тождество
х1-(х'Лу') = (х\-х')\-уг. B0)

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕГ.РЫ 445
Для любого базиса (eji^j^n модуля Е имеем
eL L е'и = 0. если // Q!l L,
B1)
eL L e'H = оя, кйк, если H ah
где /? означает дополнение к Н относительно L. Отсюда, в част-
частности, следует, что если х — р-вектор и х — q-форма, то ж 1_ х = 0
при р < g и есть (р — д)-вектор при р > q; при р = g снова имеем
х La;' = (а;,ж').
Наконец, если «— линейное отображение Е ъ F v\. и — его
каноническое продолжение паД/?, то тождественно
и (j:)La-' = ii(a;L'J7(a;'))) B2)
«. в частности, если и — автоморфизм модуля i?, то
м (ж) L 7/ (х1) ~ u(xl-x'). B3)
-5. Канонические изоморфизмы р-вепторов и (п — р)-
форм
Пусть ? — модуль, обладающий базисом, состоящим из п эле-
п
ментов; как мы знаем (§ 5. теорема 2), внешняя степень /\Е имеет
базис, образованный единственным элементом.
п
Предложение 4. Пусть е—элемент из /\Е, образующий базис
п
много модуля, и е'— элемент из Д Е*, образующий базис,
¦сопряженный к е. Тогда отображение х —> х J е' есть изоморфизм ф
р п-р
модуля 1\Е на модуль /\Е*, отображающий Д Е на Д Е* для
каждого р @<р<п); изоморфизмом, обратным к ф, являет,ся.
отображение х' —> е\—х'.
BE имеется базис (ej)i<г«п такой , что е = ег А ¦ . ¦ Ле„, откуда
у; =eiA...Ae^, где (е|) —базис, сопряженный к (е4); поэтому,
согласно формулам A6). для каждого #С1 [1, п\ имеем
B4)
где Н' — дополнение кЯв [1,га]. Эти формулы показывают, что ф
V ri-p
есть изоморфизм Д Е на Д Е* к отображает Д?на Д ?"* (гл. II,
§ 2, п° 3). Точно так же, если т|5 означает отображение х —>е\—х',

446 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § &
формулы B1) дают
i?(Or)-= Qf/'.нен, B5)
откуда явствует, что я|з есть изоморфизм, обратный к ф (поскольку
—1
Qh'.h равно 1 или —1); мы будем в дальнейшем обозначать его ф.
V Р
Сужение ф на подмодуль Д Е, являющееся изоморфизмом Д Е.
п—р
на Д ^*. мы обозначим фр, а изоморфизм, обратный к фр, будет
-1
обозначаться ф
п
Изоморфизм ф зависит от выбранного в Д? базиса е; но вся-
всякий другой базис этого модуля получается умножением е на»
обратимый элемент кольца А; следовательно, изоморфизмы ф,.
п
соответствующие различным базисам для Д Е, совпадают с точ-
точностью до обратимого множителя. При заданном базисе е модуля
п
Д Е мы будем называть изоморфизм ф (соответственно каждое-
-1 -1
из его сужений фр) и обратный изоморфизм ф (соответственно фр)
каноническими изоморфизмами /\Е на Л^* и Л^* на Л^ (соот-
р п—р п—р р
ветственно /\Е на Д ?* и Д ?* на /\Е), соответствующими,
базису е.
Можно показать (упражнение 8), что вообще не существует изо-
изоморфизма, который зависел бы лишь от структуры модуля в Е (Теор.
мн., гл. IV, Приложепие) (см. упражнение 12). В главе IX будут рас-
р п — р
смотрены некоторые изоморфизмы Д Е на Д Е, связанные с теорией,
билинейных форм.
Формула A4) при х = е' дает
(z, q>(x)) = (z А х, е').
Если х—р-вектор и z — (п — р)-вектор, то zAx — ke, где X —
скаляр, откуда (гДа:,е') = Х и, следовательно,
<7,<pp(x))e = zAx. B6).

о ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 447
Таким же образом для р-формы х и (п—р)-формы z получаем
из A9) формулу
<Ф„-„ (*').*'>«' = *'Л г'. B7).
Заменим теперь в тождестве A5) х' на е'; мы получим
или, заменяя ср (у) на х .
<р(х'))- B8)
Таким же образом из B0) получим
-1
я1_а;'= ф(ф(ж)Лж'). B9)
Формулы B8) и B9) сводят с помощью изоморфизма ф внутренние
произведения к внешним.
Отображение, сопряженное к фр, являющееся изоморфизмом.
п — р р
Д Еяа./\Е*, для каждого/) @</><«) равно ( —1)р'™~р)ф„_р;
в самом деле, для каждого р-вектора х и каждого (п — р)-вектора =
имеем (гл. II, §4, формула A2)) (х, 'фр (z)} = {z, ц>р (х)); поэтому,
в силу B6) и формулы A2) § 5,
откуда
Заметим, что для каждого целого р число — р2 имеет ту же чет-
четность, что и р; поэтому
(_1)Р(П-Р) = ( \\Р(" < 1)_/_1 \(п—Р) (Чт 1) _
Каждое линейное отображение v модуля АЕ в модуль G может
п р
быть записано в виде и = V Ур; где ур — сужение у на Д i? @<j?<>);
j)=0
n
положим т)У^ ^ ( — 1)^цр; т) есть оператор на множестве jf (дЕ, G\,
р=0
имеющий своим квадратом нейтральный оператор. При этих согла-
соглашениях из предыдущего и формулы A3) вытекает, что отображение.
сопряженное к каноническому изоморфизму ср, задается формулой
'<р=т]п+1<р.

448 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III,
Наконец, имеет место следующее предложение:
Предложение 5. Пусть и — автоморфизм модуля Е и и —его
каноническое продолжение на /\Е. Автоморфизм, контрагредиент-
ный к и, задается формулой
« = (det м) -<р о и о ф. C0)
Предположим сначала лишь что и есть эндоморфизм модуля Е.
и применим формулу A8) с заменой х' «.-вектором е'; до опреде-
определению определителя, имеем 'и (е') = (det 1и)-ё — (dctu)-e' (§ (>.
предложение 4); это показывает, что
или
(del н)-ср = 'и офои, C1)'
откуда и следует C0), когда и — автоморфизм.
Замеча ние. В случае, когда A = det. и обратим, из C1) выте-
-1
кает, что и-- A'\x о iun_1 о фх есть эндоморфизм модуля Е такой, что
v о и — тождественное отображение Е на себя. С другой стороны,
заменяя в B2) х на е, получаем для каждого эндоморфизма и модуля /.'
формулу, аналогичную C1):
-1 _ -1 _
(det и)-ц> = и о ф о 1и,
откуда вытекает (в предположении обратимости Д), что и о v также есть
тождественное отображение Е на себя и, следовательно, и является
автоморфизмом модуля Е. Иными словами, атим способом получается-
новое доказательство теоремы 2 § 6, равно как и выражение для обрат-
обратной матрицы через транспонированную к взаимной матрице (§ 6, п° 5).
6". Истолкование внутренних произведений иаИ
векторными пространствами
Правое внутреннее произведение iLi' допускает простое
истолконание в случае, когда Е есть векторное пространство над
полем С, а х— ненулевой разложимый р-вектор. Дейстнителыю.
пусть V — р-мерное подпространство в Е, определяемое ^-векто-
^-вектором х (§ 7, п° 3); как мы видели (§ 5, п° 9), векторное простран-
пространство Д V канонически отождествимо с подпространством про-

« ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 449
странства /\Е, порожденным единичным элементом из С и
r-векторами ух Д . . . Д ут, где г изменяется от 1 до п, а г/,- пробе-
пробегают V. Тогда сужение на Д V произвольной линейной формы
z'?/\ Е*, определенной па/\Е, есть линейная форма на Д V,
и каждая линейная форма на Д V может быть получена таким
способом (гл. II, § 4, предложение 5). Теперь, имеет место сле-
следующее предложение:
Предложение 6. Пусть Е — векторное пространство конеч-
конечной размерности п, х — ненулевой разложимый р-вектор над
Е и V — определяемое им в Е р-мерное подпространство. Для каж-
каждой определенной на /\Е линейной формы х' внутреннее произве-
произведение х\-х есть элемент подпространства /\V пространства /\Е;
при этом сужение на /\V линейной формы х' соответствует
элементу х L х' при каноническом изоморфизме /\V на Д V*
v
(п° 5) относительно базиса х пространства Д V.
Действительно, выберем в Е базис (е4) такой, что х=е1А ¦¦¦ А%\
достаточно доказать справедливость предложения для х'-е'н
(где Н — произвольное подмножество интервала [1, п\)\ но, так
как x—eL, где L=[l,p], она непосредственно следует из фор-
формул B1) и формулы B4), примененных к векторному простран-
пространству V.
Следствие i. Для того чтобы сужение линейной формы х'
на /\V было тождественно нулевым, необходимо и достаточно,
чтобы х\—х'= 0.
Согласно B9), эквивалентным условием является ср (я) Д :г'=0.
Следствие 2. Пусть х—ненулевой разложимый р-вектор над Е,
V — определяемое им в Е р-мерное подпространство, х' —
ненулевая разложимая q-форма на Е, W — определяемое ею в Е*
q-мерное подпространство и W — (п—д)-мерное подпространство
в Е, ортогональное kW . Тогда х\—х' при q < p есть разложимый
(р—q)-eeKmop, равный нулю, если dim(Ff~) W) >р — q, и определяю-
определяющий подпространство Vf]W в противном случае.
Действительно, пусть U=V[~)W, и предположим, что U
/-мерно; в таком случае всегда можно предполагать, что е1у ..., е,
29 и Курбаки

4Г)() ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 8
образуют его базис, а ер+1, ..., ep+n_q_r—базис дополнения к U отно-
относительно W; тогда х есть скалярное кратное е'в, где Н — объеди-
объединение интервалов [г+1, р] и [р-\-п—q—r-j-1, и], и справедли-
справедливость утверждения следствия вытекает из формул B1).
Аналогичные предложения имеют место, если поменять роля-
ролями Е и Е* и заменить правое внутреннее произведение левым.
Сформулировать их мы вообще предоставим читателю; частный
случай аналога следствия 2 предложения 6, относящийся к про-
произведению х Je' = cp(,z), где х — разложимый р-вектор, дает сле-
следующее предложение:
Предложение 7. Пусть Е — векторное пространство конеч-
конечной размерности п; если х — ненулевой разложимый р-вектор надЕ,
то Ц>(х) — ненулевая разложимая (п—р)-форма\ если V — под-
подпространство в Е, определяемое этим р-вектором х (§ 7, п° 3),
то подпространством в Е*, определяемым ц>(х), является подпро-
подпространство, ортогональное к V.
Следствие. Каждый (п—1)-вектор над п-мерным векторным
пространством Е разложим.
Достаточно применить предложение 7, поменяв в не.м ролями
Е и Е* и приняв р=1 (см. упражнение 7).
Пусть Е — (л+1)-мерное векторное пространство над полем К,
Е* — сопряженное пространство, F — пространство Д Е и /" —
Т1-Р
пространство Д Е*\ каноническое отображение ф пространства F
п-И
на/" (относительно базиса е' в /\Е*) дает при факторизации проектив-
проективную биекцию ф пространства Р (F) на Р (F1), которая, на основании
сказанного в п° 5, не зависит от выбора базиса е в /\Е* и называется
канонической. Ее сужение на грассманиан Gptl(?)(§7) является Гбиек-
цией на Gn_p (E*), относящей каждому/>-мерному проективному линей-
линейному многообразию л (V) из Р (Е) (гл. II, Приложение III, п° 3)
(га—р—1)-мерное проективное линейное многообразие я (V0) в РB?*)»
где V0 означает подпространство пространства Е*, ортогональное
к V (предложение 7).

ДВОЙСТВЕНЛОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 451
У п р а ж н е н и я. 1) Пусть Е — модуль, обладающий коиеч
пым базисом, состоящим из и элементов, ж — р-иектор над К у. л' —
(/>-г д)-форма на ?'; х канонически отождествим (§5, предложение 6}
с результатом ихх антиевдшетрирования контравариаптного тензора х,
/1-го порядка, а х' — с антисидгаетрированным коьариантным тензо-
тензором (p-'.-q)-TO порядка. Показать, что если в смешанном тензоре хух'
для каждого I; такого, что 1 < /,-'/), свернуть /,--й контрапнршшт-
пый индекс с (р~- к)-ш ковариантным, то полученный так коларпант-
ный тензор </-го порядка также будет антисимметрировапным, и при-
притом канонически отождествимым с (/-формой х_1. х'.
2) Пусть ж=ж, Д . . . д Xj, — разложимый /)-вектор над конечно-
конечномерным векторным пространством Е, являющийся внешним произ-
произведением р линейно независимых векторов xf, пусть, далее, у' —
д-форма (q %, р) и z'—произвольный элемент из f\E*. Показать, что
н
где 11 пробегает множество всех подмножеств интервала [1, р\, состоя-
состоящих из q элементов, а А' означает дополнение к Ы относительно
[1, р]. [Взять в Е базис, р элементадш которого служат х{ .\
3) Пусть Е — конечномерное векторное пространство их —
произвольный элемент пространства Д Е. Множество V тех линей-
линейных форм у' на А', для которых элемент ж |_ ?/' пространства Д R равен
нулю, образует в Е* подпространство. Показать, что подпространство
У в Е, ортогональное к 1 ', есть наименьшее из подпространств W
пространства /7, для которых х принадлежит Д W.
А) Пусть Е — модуль, обладающий конечным базисом, состоя-
состоящим ня и элементов. Обратным произведением х V у элементов х- и у
it
из Д Е относительно базиса с модуля Д Е называется элемент
<f (<f (х) А 1 (у)), где ср— изоморфизм, соответствующий базису е. Это
произведение определено лишь с точностью до обратимого множи-
множителя, зависящего от выбранного базиса с. Показать, что если
х — />-вектор и >/ — (/-вектор, то при р4 q -С п будем иметь хуу~О,
в противном же случае хуу есть (рт q — п)-вектор такой, что
у у ж—-(- 1)'"" ''^ (-п~к> х у у. Обратное произведение ассоциативно
и дистрибутивно относительно сложения и определяет в Д Е алге-
алгебраическую структуру, изоморфную структуре внешней алгебры.
Выразить компоненты хуу через компоненты хну.
5) Пусть Е — re-мерное векторное пространство, х — разложимый
/j-вектор, у — разложимый 5"вектоР и V (соответственно W) — под-
подпространство в Е, определяемое /^-вектором х (соответственно ?-век-
29*

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 8
тором у). Для того чтобы Г+И;=Е, необходимо и достаточно, чтобы
xV У ф 0; тогда (р+д — и)-вект°Р хУу разложим и определяет
векторное подпространство VC\W.
*6) Для того чтобы />-вектор z над n-мерным векторным простран-
пространством Е был разложимым, необходимо и достаточно,чтобы z V(zA?) = 0
для каждого разложимого (п — р — 1)-вектора х. [Для установ-
установления достаточности условия применить его, взяв в качестве х внеш-
внешние произведения га — р — 1 векторов базиса, и вывести существо-
существование п — р линейно пезависимых линейных форм и| A <J i <J n — р)
на Е таких, что <р (z) Л щ = 0.]
7) а) Дать прямое доказательство (без использования изоморфиз-
изоморфизмов фр) разложимости каждого (п — 1)-вектора над /г-мерным вектор-
векторным пространством.
б) Пусть А — коммутативная алгебра над полем К, обладающая
базисом, образованным единичным элементом 1 и тремя элементами
ci, c2, с3, все попарные произведения которых равны нулю. Пусть,
далее, Е — Л-модуль А3 и fa) is-i<s — его канонический базис. Пока-
Показать, что бивектор
х—сл(ег А е3) + с2(ез Л е{)-\-съ(ел А е2)
неразложим.
8) Пусть Е — Л-модуль, обладающий конечным базисом, состоя-
состоящим из п > 1 элементов. Показать, что каждое линейное отображение
Р П—р Г!— р^ р
\|> модуля Д? в Д?* такое, что (д и ) о -ф = -ф о (д и) для каждого
автоморфизма и модуля Е с определителем, равным 1, являетси
одним из изоморфизмов фр, определенных в п° 5. [Рассуждать, как
в упражнении 12 § 5.] Вывести отсюда, что если в А существуют
р
обратимые элементы ф 1, то не существует изоморфизма Д Е на
п—р
Д Е*, который бы зависел лишь от структуры Л-ыодуля в Е.
9) Пусть Е — .Л-модуль, обладающий конечным базисом, состоя-
состоящим из п элементов. Пусть, далее, и — изоморфизм Е на сопряжен-
сопряженный модуль Е*, Д — определитель матрицы и относительно базиса
(в{) модуля Е и сопряженного базиса (е^) модуля Е* и и—канониче-
и—каноническое продолжение и до изоморфизма Д Е на Д Е*. Доказать формулу
'м=Т]п41Д-ф о и, о ф(
где ф—изоморфизм, соответствующий базису в! Л ... А еп моду-
п
ля
10) Пусть X — квадратная матрица га-го порядка над коммута-
пивным кольцом и .AT —Д-ЯТ. Показать, что если X обратима, то

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 453
= (detX), и что каждый минор Хн н р-ro порядка мат-
матрицы X (§ 6, л° 3) задается формулой
)PXH.iK.. A)
где Н' и А" — соответственно дополнения к Н и А' относительно
\\,п\ («тождества Якоби»). [Воспользоваться соотношением C0).j
И) Из каждого тождества Ф=0, связывающего миноры общей
обратимой квадратной матрицы X я-то порядка над коммутативным
кольцом А, можно вывести новое тождество Ф=0, называемое допол-
дополнительным к Ф = 0, применяя тождество ф —0 к минорам матрицы Л
(упражнение 10) и далее заменяя эти последние их выражением чере:1
миноры матрицы X посредством тождества A) упражнения 10. Дока-
Доказать этим способом следующее тождество:
Х*''Х^ —XihXJ''=(del Х)-Р>, м'.
где X'•>>'''' означает минор (л — 2)-го порядка матрицы X, получаю-
получающийся путем вычеркивания в ней строк с индексами i и / и столбпоь
с индексами h и к.
*12) Пусть Ф = 0 — тождество, связывающее миноры общей обра-
обратимой квадратной матрицы л-го порядка над коммутативным коль-
кольцом А, Ф = 0—дополнительное тождество (упражнение 11), У — обра-
обратимая квадратная матрица (п + к)-то порядка, где к — целое >0,
и Уо— подматрица матрицы У (см. упражнение 10), полученная путем
вычеркивания в У строк и столбцов с индексами <; к. Если предполо-
предположить, что Уо обратима, ц применить к ее минорам тождество Ф = 0,
далее заменить каждый минор, фигурирующий в этом тождестве (рас-
(рассматриваемый как минор матрицы У), его выражением через миноры
матрицы У посредством тождества A) упражнения 10, то получится
тождество Ф& = 0 для миноров матрицы У (справедливое, когда У
и Уо обратимы), называемое распространением к-ео порядка тожде-
тождества Ф = 0.
В частности, пусть Л = (а4?) — обратимая квадратная матрица
(л+ к)-го порядка, В — ее подматрица к-то порядка, полученная путем
вычеркивания в А строк и столбцов с индексами > к, Д^ — опреде-
определитель матрицы (&+1)-го порядка, полученной путем вычеркивания
в А строк с индексами ]> к, за исключением (k-{-i)-u, и столбцов с ив-
дексами > к, за исключением (fc-f/)-го, и С — матрица (Д,^) и-го
порядка. Доказать, что если матрица В обратима, то
[Показать, что это тождество есть распространение к-го порядка
полного разложения определителя «-го порядка.]
Указать тождества, получающиеся путем распространения лап-
ласовского разложения (§ 6, п° 4), а также тождества упражнения 2 § 6.

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Ш, 5 В
*13) Пусть -X — dij) — обратимая квадратная матрица п-го по-
порядка над полем К, И — подмножество интервала [1, п\, состоящее
из р элементов, и Н' — дополнение к Н относительно [1, п\. Пред-
Предположим, что для каждой пары индексов h? //, /,- ? Н' имеет место
равенство
Показать, что для любых двух подмножеств L, М интерпала |1, п],
состоящих из р элементов, выполняется равенство
0.1/, Д1'*/., H^.V, Н'~ ~L, I.'^M, 11*1/, U'=0-
[Рассматривая столбцы хи матрицы X с индексами h ? 11 как векторы
пространства Е=Кп, а столбцы х'к с индексами А- ? Н' как векторы
сопряженного пространства Е*, показать, что (п — р)-форма х'н, про-
пропорциональна ifv(x[I).\
14) Пусть Г и Д — обратимые определители л-го порядка пад
коммутативным кольцом и Г^ — определитель, получающийся путем
замены в Г его <-го столбца ;-м столбцом определителя А. Показать,
что
det (ГЪ) = Г"-!Д.
[Рал.чожить Г^ по ;-му столбцу и использовать упражнение 10.]

ПРИЛОЖЕНИЕ I
К ГЛАВЕ III
БЕСКОНЕЧНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
/. Тензорные произведения модулей
Определение 4 § 1 без труда распространяется на тот случай,
когда рассматривается любое (не обязательно конечное) семей-
семейство унитарных 4-модулей Et A6 Л- Тензорное произведение
\?)Е1 определяется аналогично как фактормодуль модуля фор-
мальных линейных комбинаций (с коэффициентами из А) элемен-
элементов произведения f] Еу по подмодулю, порожденному элементами
41
следующих типов:
1° (xi) + (г/t) — (zt), где хкА-ук = zK для некоторого (произволь-
(произвольного) индекса х и xl — yl = zl для всех i Ф к;
2° (xi) — oc(j/t), где хк = аг/и для некоторого (произвольного)
индекса % и arl = i/l для всех i Ф %.
Существует каноническое полилинейное отображение
(xl)—>&)xl произведения [] Еь в &)EL такое, что &)ЕЬ порож-
дается образом JJ Еь при этом отображении. Кроме того, для каж-
дого полилинейного отображения / произведения \\ Еь в произ-
вольный Л-модуль F существует, и притом единственное, линейное
отображение g модуля Q^) Et в F такое, что тождественно
Каково бы ни было разбиение (I\)i?L множества индексов /,
тензорное произведение (^) Еь канонически изоморфно тензорному

456 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ III
произведению <S)Fx, где 7^ = (Я) Еь (ассоциативность тензорного
произведения).
Предложения 6 и 7 § 1 ие распространяются на тензорные произ-
произведения бесконечных семейств модулей.
2. Тензорные произведения алгебр
Пусть (?"t)tei — произвольное (конечное или бесконечное) семей-
семейство алгебр над одним и тем же коммутативным кольцом А
(с единицей). Введение на модуле (??J?t ассоциативного умножения
по формуле
определяет в (^>Et структуру алгебры относительно А.
Наиболее интересен тот случай, когда каждая из алгебр Еь
обладает единичным элементом et. Тогда для каждого % ? / суще-
существуют канонический гомоморфизм <ри кольца А в Ех и канониче-
канонический гомоморфизм /и алгебры Ек в ^)ЕЬ, наделенное структурой
алгебры, определяемые формулами
фи(а) = аеи для всех а?А,
/и(ж) = ?§JЛ, где yt = et для i ф х и у.А = х?Е.
Подалгебры fi(Et) попарно коммутируют (§ 3, и0 3), и порож-
порожденная ими подалгебра алгебры (^) .Е^ состоит из (конечных) сумм
i?J
элементов вида (^Жц где Xi = et для всех кроме конечного числа
i
индексов. Вследствие ее употребительности именно этой под-
подалгебре (а не всему ^iEA присвоено наименование тензорного
произведения алгебр Е\. Она обозначается ^)Et и вообще отлична
U)
от алгебры (^J^i, когда / бесконечно.
i?/
Предложение 1 § 3 распространяется на тензорное произведе-
произведение любого семейства алгебр, обладающих каждая единичным

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ Ш 457
элементом. Это уже не верно ни для предложения 7 § 1, ни для
предложения 2 § 3.
Предположим, однако, что каждая алгебра Еь обладает бази-
базисом Bt, в который входит единичный элемент et (что всегда имеет
место, когда кольцо А есть поле). Тогда элементы (^)a-t, в кото-
iV
рых Xi 6 Bt для каждого i ? / и xl = el для всех кроме конечного
числа индексов i, образуют базис В тензорного произведения
О^)/?!. Действительно, то, что эти элементы порождают ^)Ei,
A) (D
очевидно, и нужно только доказать, что они образуют свободную
систему. Для этого достаточно, согласно п° 1, доказать, что для
каждого элемента a = ®ot?B существует полилинейное ото-
IV
бражение g произведения [] Et в А такое, что g((at)) = 1 и g((bt)) =
= 0 для всех элементов b = &) bL из В, отличных от а. Но пусть щ
для каждого i g J— координатная форма на Et, относящая каж-
каждому Zi ^ Ei коэффициент при at в выражении zt в виде линей-
линейной комбинации элементов a;t?Bt. Для каждого элемента z —
= (zt) ? \] Е^ положим
V
g(z) = Q, если 21,^=6,, для бесконечного множества
индексов i?/;
8 (z) — U Mi (zi) B противном случае.
iV
Последняя формула имеет смысл, поскольку al = el для всех кроме
конечного числа индексов; и следовательно, если zL = et для всех
кроме конечного числа индексов, то щ (zt) = 1 для всех кроме
конечного числа индексов. Непосредственно проверяется, что
определенное так отображение g полилинейно и отвечает постав-
поставленным условиям.
Отсюда сразу следует, что в рассматриваемом случае гомо-
гомоморфизмы Д и cpi, определенные в начале этого п°, инъективны;
они позволяют отождествить алгебры Е1 с коммутирующими
подалгебрами тензорного произведения &)Еь, а А— с общим

458 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ III
подкольцом всех этих подалгебр. Кроме того, каково бы ни было
непустое множество J CZ. I, §§Е,, канонически отождествимо
(J)
с некоторой подалгеброй тензорного произведения (?)Е,,; по усло-
(/)
вию, (??) ?\ означает кольцо А.
@)
Тензорное произведение E?) Ei можно определить также как «индукт
(I)
тивный предел» тензорных произведений E?) Et, где J пробегает мно-
жество всех конечных подмножеств множества /.

ПРИЛОЖЕНИЕ II
К ГЛАВЕ III
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
НАД НЕКОММУТАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ
Все кольца операторов, встречающиеся в этом приложении,
предполагаются имеющими единичный элемент (но не обязательно
коммутативными), а все модули над этими кольцами — унитар-
унитарными. Так же, как в § 2, одно и то же множество сможет наде-
наделяться структурами модуля относительно различных колец
операторов. В случае, когда оба множества Е и F наделены струк-
структурой левого (или правого) А-модуля, коммутативная группа
всех А-линейных отображений Е в F, во избежание всякой пута-
путаницы, обозначается Ха(Е, F). Аналогично %а(Е) означает кольцо
всех А-эндоморфизмов модуля Е.
1. Тензорное произведение двух модулей
Пусть А — кольцо, Е —правый Л-модуль и F — левый А-мо-
дуль. Рассмотрим Z-модуль C = Z(ExF) формальных линейных ком-
комбинаций элементов произведения Е X F с коэффициентами из
кольца Z рациональных целых чисел (гл. II, § 1, v° 8); таким
образом, модуль С имеет базис, образованный всевозможными
парами (х, у), где х?Е и y?F. Пусть D — подгруппа комму-
коммутативной группы С. порожденная элементами следующих типов:
— (xv y)—(x2, у),
-(х, Уд-(я-, 2/2).
(хХ, у)-(х, Ху),
где х, X), х„ принадлежат Е, у, ух, у2 принадлежат F и А,€
A)

460 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВК III
Определение 1. Тензорным произведением правого А-модуля Е
и левого А-модуля F называют коммутативную группу С ID
(факторгруппу группы формальных линейных комбинаций эле-
элементов произведения Е X F с целыми коэффициентами по ее под-
подгруппе, порожденной элементами типов A)). Это тензорное про-
произведение обозначается Е (g) F или Е <S)aF (или просто Е (g F, если
А
нет опасности смешения). Для любых х?Е и y?F элемент тензор-
тензорного произведения Е <g) F, являющийся каноническим образом эле-
элемента (х, у)?С в С ID, обозначается х(&у.
Отображение (х, у) —> х (g у произведения Е X F в Е (gj/*
называется каноническим отображением ExF в Е (g) F.
Очевидно, E<?)aF канонически изоморфно факторгруппе
группы E<S)zF no ее подгруппе, порожденной всевозможными
элементами вида (хХ) (g у — х (g) (ky), где К б А.
Как мы увидим (п° 3), в случае, когда А —коммутативное кольцо,
это определение и определение 3 § 1 действительно приводят к одной
и той же коммутативной группе E(g)F. Однако в смысле теперешнего
определения Е (g/" не наделено структурой Л-модуля; в п° 3 мы уви-
увидим, что это расхождение двух определений несущественно.
Предложение 1. а) Пусть g — Ъ-линейное отображение группы
E(&aF в коммутативную группу G. Тогда отображение (х, у)-^>
—>f(x, у) = g(x(g) у) произведения ExF в G удовлетворяет сле-
следующим условиям:
y) = f(xlt y) + f(x.2, у),
у2),
B)
f(xl, y)=f{x, ty).
б) Обратно, пусть f— отображение произведения Е X F в ком-
коммутативную группу G, удовлетворяющее условиям B). Тогда суще-
существует, и притом единственное, Z-линейное отображение g груп-
группы Е (gj a F в G такое, что f {x, y) = g(x ® у) для всех х?Е, у? F.
По определению тензорного произведения E<S)aF. имеем
О = (хх + х2) (g у — х1 (g у — х2 <g) у =
откуда следует а). Для доказательства б) заметим, что, в обозна-
обозначениях определения 1, / продолжается до Z-линейного отобра-

/ ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 461
жения / группы С в G (гл. II, § 2, замечание после следствия 2
предложения 3). В силу соотношений B), / аннулируется на всех
элементах типа A), а значит, и на D. Следовательно, существует
Z-линейное отображение g факторгруппы C/D = E §§aF в G такое,
что f = g°<f>, где ф—каноническое отображение С на C/D (гл. II,
§ 2, предложение 1); единственность gочевидна, поскольку E§§aF
порождается (как Z-модуль) элементами вида х ® у.
Таким образом, предложение 1 определяет канонический изо-
изоморфизм коммутативной группы всех отображений / произведе-
произведения Е X F в G, удовлетворяющих условиям B), на коммутатив-
коммутативную группу Хъ (Ei&aF, G) Z-линейных отображений Е (g>AF в G.
Следствие. Пусть Н — коммутативная группа и h—ото-
h—отображение ExF в Н, удовлетворяющее условиям B) и такое, что И
порождается множеством h(ExF). Предположим, что для каж-
каждой коммутативной группы G и каждого отображения f произ-
произведения ExF в G, удовлетворяющего условиям B), существует
Z-линейное отображение g группы Н в G такое, что f=g°h. Тогда
существует, и притом единственный, изоморфизм г[) группы Е 0aF
на Л такой, что h = ty°Q, где 9 означает каноническое отображе-
отображение ExF в Е 0AF.
Согласно предложению 1, существует, и притом единственное,
Z-линейное отображение ty группы Е (guF в Н такое, что А = г|?о0.
С другой стороны, если принять за G коммутативную группу
E(?)aF, а за / — отображение 6, то из предположений, сделан-
сделанных относительно h и Н, будет следовать существование Z-линей-
ного отображения г^ группы Н в Е (g)AF такого, что 9 = г[IоД. Для
завершения доказательства остается показать, что г^ог^ и ^огр¦—
тождественные отображения соответственно Л и Е ®а-^ на себя.
Но так как г[Iог[)о9 = ty1oh = Q, тог^о^ есть тождественное отобра-
отображение E(g)AF на себя, поскольку 9 (Е X F) порождает группу
Е<E)aF. Точно так же, г[)ог[Iо/1=г[)о6=А, и потому г^о^ есть тожде-
тождественное отображение Л на себя, поскольку h(ExF), по пред-
предположению, порождает Н.
Отметим, что, в силу предложения 1, пара (Е ®д F, в) является
решением следующей проблемы универсального отображения (Теор.
мн., гл. IV, § 3): род структуры 2 есть род структуры коммутативной
группы, морфизмами являются Z-линейные отображения, а а-отобра-

462 ПРИЛОЖЕНИЕ 11 К ГЛАВЕ III
жения — это отображения Е х F в коммутативную группу, удовлетво-
удовлетворяющие условиям B). Таким образом, свойство единственности,
установленное в следствии, есть не что иное, как общее свойство един-
единственности решения проблемы универсального отображения (там же).
Предложение 2. Пусть Е и Е1 — правые А-модули, F и Fl —
левые А-модули, G — коммутативная группа и /- Ъ-полилиней-
ное отображение Е X F X ЕХХ Fx в G такое, что
f(xX, у, я\, y1) = f(x, Ку, xv г/j),
f(x, у, тх1, yj) = f(x, у, хх, ta/j)
для любых х?Е, х1^Е1, y?F, y-^^F^ и k?A. Тогда существует,
и притом единственное, Ъ-билинейное отображение g произведе-
произведения (Е ® a F) X (Е\ ®a F\) в G такое, что f(x, у. х1? г/j) =
= g(?®2/, ^i®J/i) для любых х?Е, y?F, хх?Е^ г/хб^г
Единственность g явствует из того, что элементы вида х ® у
(соответственно?i®2/i) порождают E®AF (соответственно E^aFx).
Докажем его существование. Для каждой пары (a;,. y-i)€ Егх Ft
существует, и притом единственное, Z-линейное отображение hx у
группыE@aFвGтакое,что hx :V (x^)y)=f(x,y,xbyi). Отображение
(хл, г/i)—>hx :У произведения Et xF^ в ?ъ (E®AF, G) Z-билинейно.
и hx%tV —hXtxy Для всех k?A. Поэтому существует Z-линейное
отображение h группы E1®aFi в Xz{E ®AF, G) такое, что
h {%i ® J/i) = hx , у . В силу предложения 1 § 1, тогда существует
Z-билинейное отображение g произведения (E0AF)x(E1<^AFl)
в G такое, что
»¦ {х®у, х^у^ = (h (x^yj) (rig,у) = hXv „L (:rlg,y) = / (.'-•, у. л\, у,).
и предложение доказано.
2. Тензорное произведение двух линейных omoojta-
жений
Пусть А — кольцо, Е и Е' — правые Л-модул и, F и F' —ле-
—левые Л-модули, и: Е —> Е' и v: F —> F' — Л-линейные отображения.
Непосредственная проверка показывает, что отображение (х, у)—>
-^u(x)<g>v(y) произведения ExF в E'®AF' удовлетворяет усло-
условиям B). Поэтому существует, и притом единственное, Z-линей-
Z-линейное отображение ~л< E§§AF в E'$$AF' такое, что
w (х®у) ¦=-и (x)®v (у) C)

:i приложение и к главк ш 463
для всех х?Е, y&F. Это отображение обозначается u&'v и на-
называется тензорным произведением линейных отображений и и V.
Если и, и1, иг принадлежат Xa(Fj, Е') и v, vl, v,, принадлежат
ХА (F, F'), то, в силу C),
D)
Пусть Е" — правый А -модуль, F" — левый А -модуль и и':
Е'—ь-Е", v': F' —> F" — А -линейные отображения. В силу C),
(и' ou)®(v' °v) = (u'(g) t)')o(aig) v). E)
Более общим образом, пусть А и А' — два кольца, Е — пра-
правый Л-модуль, Е' — правый Л'-модуль, F — левый Л-модуль
и F'—левый Л'-модуль. Пусть, далее, ср: А—>А' — гомоморфизм
относительно кольцевых структур, а и: Е—^Е' и v: F—>F' —
Z-линейные отображения такие, что и (хк) — и(х)ц> (к) и v (ку) =
= ц> (k)v(y) для всех х?Е, y?F, k?A. Отображение (х,у)—-
—> u(x)(g)V (у) произведения ExF в E'§§aF' по-прежнему удо-
удовлетворяет условиям B), ибо, в частности,
и (хк) ®v{y) = (и (х) ф (k))®v (у) = и (ж)® (ф (к) v (у)) = и (x)®v (ку).
Поэтому существует, и притом единственное, Z-линейное ото-
отображение w Etg)AF в E'(g)A'F' такое, что w(x(&y) = u(x)(g)v(y). Если
нет опасности смешения, иногда и это отображение обозначают
)V; очевидно, оно обладает свойствами, аналогичными D) и E).
И. Операторы на
Пусть и — эндоморфизм правого Л-модуля Е. Если 1 означает
тождественный автоморфизм левого А -модуля F, то и(&\ есть
эндоморфизм коммутативной группы EQaF (n° 2). При этом,
согласно D) и E), для любых эндоморфизмов щ, иг .4-модуля Е
имеем (u1+u2)<g)l = (w1<8>l)+(®l) и ("i°)®1 = (ui<8>1)° (мг®1)-
Отсюда, в частности, следует, что если В — кольцо и Е наделено
структурой левого (соответственно правого) 5-модуля, внешний
закон которого перестановочен (гл. I, § 5, определение 5) с внеш-
внешним законом структуры .4-модуля в Е, то тензорное произ-
произведение E(&AF канонически наделимо структурой левого

464 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
(соответственно правого) в-модуля, при которой
{соответственно
для всех р*6#, x?E, y?F.
Точно так же, если F наделено структурой левого (соответ-
(соответственно правого) С-модуля, внешний закон которого перестаново-
перестановочен с внешним законом структуры Л-модул я в F, то E®aF кано-
канонически паделимо структурой левого (соответственно прав го)
С-модуля, при которой
(соответственно {Х®У)' У — Х
для всех у?С, х?Е, y?F. При этом, если E<g)AF одновременно
наделено структурой .В-модуля п структурой С-модуля, то, вслед-
вследствие предыдущих формул, внешние законы этих двух структур
перестановочны.
Пусть Е'—правый Л -модуль, F'—левый Л-модуль, и: Е—>Е'
и v: F—>F' — Л-линейные отображения. Если Е и Е' наделены
структурами (скажем, левого) 5-модуля, внешние законы которых
перестановочны с внешними законами структур Л-модуля, и если
и в-линейно, то U0V В-линейно, ибо
(u®v) (p {х®у)) = (н®о) ((Рж)(8)у) = и (Pz)®w (у) =
для всех Р65, х?Е, y?F. Точно так же, если F и F' наделены
структурами С-модуля, внешние законы которых перестановочны
с внешними законами структур Л-модуля, и если v С-линейно,
то u(giv С-линейно.
Пусть Г — центр кольца Л. Гомотетии, определяемые в Е
(соответственно в F) элементами из Г, являются эндоморфизмами
структуры Л-модуля в Е (соответственно в F). Тем самым, соглас-
согласно предыдущему, это определяет в E®AF две структуры Т-мо-
дуля с внешними законами (y,x<g)y)—>(xy)(g)y и (у, х$§у)—>х(?)(уу);
по определению E(g>AF, эти две структуры совпадают. Если Е' —
правый Л-модуль, F' — левый Л-модуль, а и: Е—>Е' и v: F—>F' —
Л-линейные отображения, то u(&v есть Т-линейное отображение

ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 465
в E'®aF'. Отображение (и,и)—*ц®и произведения
XA(E,E')xXA(F,F') в J6r(E®AF, E'®AF') определяет тогда
(называемое каноническим) отображение ХА(Е, ?")(g>r XA{F, F')
в J6r(E®AF,E'®AF'), которое, очевидно, Г-линейно.
Заметим, что, так же как в п° 4 § 1, обозначение и (g) v может
повлечь смешение элемента и <§§ v из Х.\_(Е, E')<3)rJ?A(F, F'}
с его образом в J?T(E(g)±F, E'(g)AF') при упомянутом отображении,
который мы в п° 2 также условились обозначать и (§) v.
В случае, когда А коммутативно, E(&AF, согласно предыду-
предыдущему, наделено структурой А-модуля, при которой a (x(g)y) =
— (ха)®у = х®(ау) для всех а?Л, х?Е, y?F. Для любого
4-билинейного отображения/произведения ExF в произвольный
4-модуль N существует Z-линейное отображение g модуля E®AF
в N такое, что f(x,y) = g(x® у) для всех х?Е, y?F; так как
при этом для всех а ? А имеем
g (а (х®у)) = g ((ха)®у) = f (xa, y) = af(x, y)=-ag(x®y),
то g Л-линейно. Поэтому существует (§ 1, предложение 3)
4-изоморфизм модуля E®aF на Л-модуль, обозначенный в опре-
определении 3 § 1 через E<S>F, преобразующий х®у (в смысле опре-
определения 1) в х®у (в смысле, установленном в п° 2 § 1). В дальней-
дальнейшем эти два Л-модуля будут посредством указанного изомор-
изоморфизма отождествляться.
4. Тензорное произведение с основным кольцом
Пусть Е — правый Л-модуль. Так как внешние законы Л-мо-
дулей As и Ad перестановочны, то тензорное произведение E(R)AAS
канонически наделимо структурой правого Л-модуля, при кото-
которой (х<?)Х) \\,=x$(k\i) для всех х?Е, у?А, \i?A. Так как отобра-
отображение (х, К)—>хК произведения ?х As в Е удовлетворяет условиям
B), то существует (называемое каноническим) Z-линейное отобра-
отображение g модуля E®AAS в Е такое, что g(x®k)=xk для всех х?Е,
к?А; ясно, что g Л-линейно.
Предложение 3. Отображение h: х—>х®1 правого А-модуля Е
в E®AAS есть изоморфизм правого А-модуля Е на правый А-модулъ
E(R)AAS; изоморфизм g, обратный к h, определяется условием
g (x<g>l) = хХ.
30 н. Бурбаки

466 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Действительно, очевидно, goh и h°g — соответственно тожде-
тождественные отображения Е и E(g)AAs на себя; поэтому, в силу
своей Л-линейности, g и h являются взаимно обратными изомор-
изоморфизмами.
Заметим, что если Е наделено структурой (левого или правого)
Л-модуля, внешний закон которой перестановочен с внешним
законом структуры Л-модуля в Е, то g и h являются также взаим-
взаимно обратными изоморфизмами структур ZJ-модуля в Е и E®AAt.
Пусть теперь F — левый .4-модуль. Аналогичным образом
определяются структура левого Л-модуля в Ad®AF и канониче-
канонический Л-изоморфизм Ad®AF на F.
В частности, существует канонический изоморфизм Ad®AAs
на А (для структур левого и правого Л-модулей), преобразую-
преобразующий X0[i в А,|л.
.5. Свойства E®aF по отношению ь- подмодулям и
факт ормодулям
Пусть Е — правый Л-модуль, F — левый Л-модуль, М —
подмодуль в Е и N — подмодуль в F. Рассмотрим канонические
отображения
М 4- Е Л Е/М и N -4 F 4- FIN.
Отображение г®/ (называемое каноническим) вообще не инъек-
тивно, так что вообще M®AN не отождествимо с подгруппой груп-
группы E®AF (см., однако, п° 6). Но имеет место следующий резуль-
результат, доказываемый совершенно так же, как предложение 6 § 1-
Предложение 4. Отображение р ® q группы E®AF в
(E/MHA(F/N) сюръективно, и его ядром служит сумма обра-
образов групп E§§A"N и М <2)AF соответственно при отображениях
l(g)/ и t<g)l.
Следствие. Пусть F — левый А-модулъ и а — правый идеал
кольца А. Тензорное произведение (Ad/a)<S>aF канонически изоморфно
факторгруппе F/(aF), где мы под aF (допуская вольность) пони-
понимаем подгруппу в F, образованную конечными суммами 2 Хгу^
г
в которых \ б а и y^^F.

6 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 467
Действительно, в силу предложения 4, (Ad/aHAF канони-
канонически изоморфно факторгруппе группы Ай <S)aF по каноническому
образу группы а<2>лР- Поэтому достаточно, на основании пред-
предложения 3, канонически отождествить Ad(giAF с F и заметить,
что канонический образ группы u<^aF отождествится тогда
с aF.
6. Свойства JE <2)л F по отношению к прямым суммам
и произведениям
Предложение 5. Пусть Е — правый А-моду.гъ, являющийся
прямой суммой семейства (Ex)i^l своих подмодулей, и F — левый
А-модулъ, являющийся прямой суммой семейства (.F^Wm своих
подмодулей. Тогда для любой пары (X, \i)?LxM каноническое ото-
отображение Ei®a.Fi\ в E(&aF есть изоморфизм на некоторую под-
подгруппу Gfo группы E(&aF, и E®aF есть прямая сумма этих под-
подгрупп GV
Это предложение доказывается совершенно так же, как пред-
предложение 7 § 1.
В условиях предложения 5, Ex^aF^ отождествляется с G^
посредством канонического отображения. Если элементы хх?Е%
и г/р/ё^ц равны нулю для всех кроме конечного числа индексов,
имеем тогда
E>*)®B^)= 2 *л®ум. F)
Следствие. Если F обладает базисом (Ь^)^м, то группа
изоморфна группе Е и каждый элемент из E(?aF представим,
и притом единственным образом, в виде 2 (хц <§> by,), где
элементы х^^Е для всех кроме конечного числа индексов равны
нулю.
Это доказывается, как следствие 1 предложения 7 § 1, с уче-
учетом установленного выше предложения 3.
В условиях следствия предложения 5, допустим, что модуль Е
также обладает конечным базисом (ах)х?ь- Тогда каждое z?E®aF
представимо, и притом единственным образом, в виде
30*

468 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
2 ((а*?м) <?> М> гДе W принадлежат Л, и отображение
z—> (^хц)а, n)?Lxitf есть изоморфизм Е ® а-^1 на Л относительно
групповых структур (и даже относительно структур модуля над
центром кольца Л).
Пусть (?"я)хеь — семейство правых Л-модулей и (F^^m — семей-
семейство левых Л-модулей; рассмотрим модули Е= \\Ехк F= \\ F^.
X?L ц?М
Отображение ((хх), {у у)) —> {х% ® уу) произведения ExFb комму-
коммутативную группу JJ (#&, <8>а-^ц) удовлетворяет условиям B)
(X,|X)?LXM
предложения 1; поэтому существует, и притом единственное,
Z-линейное отображение / группы E®aFb [] (E^^aF^) (назы-
ваемое каноническим) такое, что f{(x%) ® (у^)) = (хх<?) Уу).
Предложение 6. Если (Ех))^ь — семейство правых векторных
пространств над телом А и (F^^m — семейство левых вектор-
векторных пространств над А, то каноническое отображение
( П Ял)®а( 0*V) в П (Ex®AFy) инъективно.
X?L ПЕЛ/ (к, Ц)?ЬХМ
Обозначим через g каноническое отображение 2?® д/'в \] (Е-, ®aF)
и через h% (для каждого X б L) — каноническое отображение
Ex<S>aFb f[ (^(Эа^н); очевидно,/ есть композиция отображения g
нем
и отображения (А*,) произведения \] (Ex®aF) в [] ( П
яеь хь м
тем самым всё сводится к случаю, когда каждое из множеств L, М
состоит из одного элемента. Покажем, например, что g инъек-
инъективно; пусть (bQ) — базис левого векторного пространства F;
тогда каждый элемент из Ei^AF может быть однозначно пред-
представлен в виде s = 2 ((До))®^о); если g(z)=O, то ^(x{Q)®bQ) = O
Q С
для каждого h?L, значит, a;[Q)=0, каковы бы ни были к и q
•(следствие предложения 5), и предложение доказано.
При выполнении условий предложения 6 тензорное произведе-
произведение (П^О^аСЛ^х) часто отождествляется с его каноническим
х i

7 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 469
образом в П (^а.® а-^ц)- В частности, если F — левое векторное
пространство над телом A, A^aF канонически отождествляется
с F (п° 4), значит, A^fguJF канонически отождествляется с вектор-
ным подпространством в г путем отождествления элемента
2 (иг®Ьг), где Ьг€Р ж иг — отображение L в А, с отображением
X,—» 2 ui (ty ^i множества L в/1. Точно так же Е^аА*1 , где?—пра-
где?—правое векторное пространство над А, отождествляется с подпро-
подпространством в Ем. Еще специальней, aIm&aAI1 для любого
тела А отождествляется с подпространством в ALxM (рассматри-
(рассматриваемом одновременно и как левое и как правое векторное про-
пространство над А) путем отождествления каждого элемента 2 (и4&а4),
г
где иг — отображение L в А и vt — отображение М в А,
с отображением (К, [i)—» 2 ui (^) yi (И-) множества LxM в Л.
7. Дополнения относительно Хл (Е, F)
Пусть Е ж F — два левых или два правых Л-подул я. (В даль-
дальнейшем для краткости будет предполагаться, что Е и F — левые
.4-модули.) Мы дополним в некоторых отношениях свойства
J?a(E,F), установленные в главе И. Читатель отметит опреде-
определенную аналогию между свойствами Xа (Е, F) и E<^aF.
Пусть Е', F' — левые Л-модули и и: Е —>Е', v: F—>F' —
А -линейные отображения. Отнесение каждому элементу /? Xа (Е, F)
элемента vojou??a(E',F') устанавливает Z-линейное отобра-
отображение Ха(Е, F) ъХа{Е', F'). Мы будем обозначать его % (и, v).
Каковы бы ни были и,и1,и2 из Xа(Е' , Е) и v, vx, гл,из<5?д (F,Fr),
имеем
X К + н2, v) = X К, v) + X (u2, V),
X (и, vx + v2) = X (и, Vl) + X (в, vt).
Если Е", F" — левые Л-модули и и': Е"->Е', v': F' —>F" —
.4-линейные отображения, то
Х(иои', v' ov) = X(u', v')oX (и, v). (8)
Пусть и — эндоморфизм Л-модуля Е. Если 1 — тождествен-
тождественный автоморфизм модуля F, то X (и, 1) есть эндоморфизм

470 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
коммутативной группы Xa(E,F). При этом для любых двух эндо-
эндоморфизмов щ, игмодуля Е, согласно G) и (8), имеем X (их + и2,1) =
=--- X (щ, 1) + X К, 1) и X К о н2, 1) = х (и2,1) о X К, 1). Отсюда,
в частности, следует, что если В — кольцо и Е наделено структу-
структурой левого (соответственно правого) 5-модуля, внешний закон
которого перестановочен с внешним законом структуры Л-модуля
в Е, то %а (Е, F) наделимо структурой правого (соответственно,
левого) 5-модуля, при которой
(соответственно (Р'/) (х) = /(гР))
для всех Рб^, fGXA(E, F), х?Е.
Точно так же, если F наделено структурой левого (соответ-
(соответственно правого) С-модуля, внешний закон которого перестано-
перестановочен с внешним законом структуры Л-модуля в F, то Xa{E,F)
канонически наделимо структурой левого (соответственно пра-
правого) С-модуля, при которой
(y-f)(x) = yf(x)
(соответственно (/ ¦ у) (х) = / (х) у)
ЯПяу^С^^ХА(Е,Е),х^Е.Щяэтои,еслаХА(Е, F) одновременно
наделено так структурами .В-модуля и С-модуля, то внешние
законы этих двух структур, в силу предыдущих формул, пере-
перестановочны. В частности, если Г — центр кольца А, мы вновь
получаем так, двумя различными способами, структуру Г-модуля
в Ха(Е, F), определенную в п° 1 § 2 главы II.
Пусть Е' и /" — левые Л-модули, и: Е' —»Е и v: F—>F' —
Л-линейные отображения. Если Е и Е' наделены структурами
(скажем, левого) 5-модуля, внешние законы которых соответ-
соответственно перестановочны с внешними законами структур Л-модуля,
и если и 5-линейно, то X (и, v) 5-линейно. Действительно, если
h и h' означают эндоморфизмы модулей Е и Е', порожденные
одним и тем же элементом P^jB, to, в силу предположения,
hou=uoh' и, значит,
Х(и, v)oX(h, lF) = X(hoU, v) = X(uoh', v) = X(h', \y)°X (u, v),
где 1F и lp' означают соответственно тождественные автоморфизмы
модулей F и F'. Так как X (h, iF) и X (h', 1f')~ эндоморфизмы,

S ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 471
порожденные элементом {J соответственно в Ха(Е, F) и Х.\ (?", F'),
то наше утверждение тем самым доказано. Точно так же, если
F и F' наделены структурами С-модуля, внешние законы кото-
которых перестановочны с внешними законами структур Л-модуля,
и если v С-линейно, то X (и, v) С-линейно.
Рассмотрим группу XA(AS,F), где F — левый Л-модуль.
Так как правые умножения |—>|а являются эндоморфизмами
левого А -модуля As, то, согласно предыдущему, Ха (As,F) канони-
канонически наделимо структурой левого .4-модуля такой, что (af)(h)=--
= 1{Ы) для всех 1?%л (As, F) и всех аи ? из А. Пусть 0ж для каж-
каждого х ? F — элемент из Xa (As, F), определяемый формулой 6Ж (К) =
= Кх. Тогда отображениеg: x-^Qx модуля/1 в J/5a(As,F), называемое
каноническим. Л-линейно.
Предложение 7. Каноническое отображение g: x-^-Qx левого
А-модуля F в J6a(As, F) есть изоморфизм А-модуля F на А-мо-
А-модуль Xa (As, F); обратным ему изоморфизмом служит h: f—>/A).
Действительно, Л-линейиость h непосредственно проверяется;
так как очевидно g°h и h°g являются соответственно тождествен-
тождественными отображениями Xa (As. F) и F на себя, то тем самым предло-
предложение доказано.
Заметим, что если F наделено, кроме того, структурой 2?-мо-
дуля, внешний закон которого перестановочен с внешним зако-
законом структуры Л-модуля, то канонический изоморфизм х—>0Х
также Б-линеен.
Предыдущие свойства являются аналогами свойств
рассмотренных в п°п° 2, 3 и 4; свойства же, рассмотренные в п°п° 5 и 6,
имеют своими аналогами свойства Jf^(i?, F), доказанные в п°п° 2, 3
и 4 § 2 главы П.
S. Два канонических изоморфизма
Пусть Е — правый Л-модуль, F — левый Л-модуль, G — ком-
коммутативная группа и Л" — коммутативная группа всех отобра-
отображений/: ExF—^-G, удовлетворяющих условиям B). Какмы видели
(п° 1), существует канонический изоморфизм Н на Xz(E®aF,G).
С другой стороны, в Xz(E, G) существует каноническая струк-
структура левого Л-модуля, а в J6z{F,G) — каноническая структура

472 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
правого Л-модуля (п° 7). Поэтому можно рассматривать группы
XA(E,XZ(F, G))n Xa(F,Xz(E,G)). Отображение / произведе-
произведения ExF в G канонически отождествимо с отображением Е в мно-
множество GF всех отображенийF в G(Теор. мн., Рез., § 4, п° 14); выра-
выражая, что это последнее отображение принадлежит Хл (E,Xz(F,G)),
получаем как раз условия B). Тем самым имеем канонический
изоморфизм Н на ХА(Е, XZ(F,G)). Аналогично определяется
канонический изоморфизм Н на XA{F,XZ(E,G)). Эти изомор-
изоморфизмы позволяют отождествлять группы Н, Xz (E®AF,'G),
ХА (Е, Xz (F, (?)), ХА (F, Xz (E, G)).
Предположим теперь, что Е и G являются, кроме того, левыми
(соответственно правыми) 5-модулями и что внешний закон
5-модуля*в jE1 перестановочен с внешним законом Л-модуля. Тогда
E®AF канонически наделимо структурой левого (соответственно
правого) 5-модуля (см. п° 3), а Xв {Е, G) канонически наделимо
структурой левого Х-модуля (п° 7). Поэтому можно рассматри-
рассматривать группы Хв {E(&AF, G) и Xa (F, Хв (Е, G)). Они являются соот-
соответственно подгруппами групп Xz(E<g)AF,G) nXA(F,Xz(E,G)).
Разыскивая условие, при котором отображение/: ExF—>G, удовле-
удовлетворяющее условиям B), соответствует элементу из Хв (E(g)AF, G)
или элементу из ХА(Е, Хв (Е, G)), в каждом из этих двух случаев
находим одно и то же условие
/ (рж> у) = р7 (х, у)
(соответственно / (х$, y) — f (x, у) Р)
тождественно относительно $?В, х?Е, y?F.
Аналогично, предположил!, что F и G — левые (соответственно
правые) С-модули и что внешний закон С-модуля в F перестано-
перестановочен с внешним законом ^-модуля. Тогда для того, чтобы отобра-
отображение/: ExF—>G, удовлетворяющее условиям B), соответствовало
элементу из Xc(E<g>AF, G) или элементу из XA{E,<XC{F,G)),
необходимо и достаточно, чтобы / удовлетворяло одному и тому же
условию
/ (ж. УУ) = Y/ (х> У)
(соответственно / (х, уу) = / (х, у) у)
тождественно относительно у?С, х?Е, y?F.
Таким образом, установлен следующий результат:

j) ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 473
Предложение 8. а) Пусть g' для каждого g? Xв (E<QAF,G)
есть отображение F в Хц (Е, G). определяемое требованием, чтобы
(g' (у)) {x) = g(x(&y) для всех х?Е, y?F. Тогда g—>g' есть изомор-
изоморфизм коммутативной группы Xв (Е ®AF, G) на группу
Xa(F,Xb(E,G)).
б) Пусть ti для каждого h? Xc (E<8)a F, G) есть отображение Е
в %с (F, G), определяемое требованием, чтобы (h' (х)) {y) = h (x®y)
для всех х?Е, y?F. Тогда h—^h' есть изоморфизм группы
?c(B(E>aF,G) на группу ZA{E,%C{F,G)).
9. Коммутативность и ассоциативность тензор-
тензорного произведения
Пусть Е — правый и F — левый А -модуль. F можно рассма-
рассматривать также как правый Л "-модуль, а Е — как левый Л°-модуль,
где А° — кольцо, противоположное А.
Предложение 9. Существует, и притом единственный, изо-
изоморфизм о коммутативной группы E§ZjaF на коммутативную
группу F(?)auE такой, что а{х(?)у)=у®х для всех х?Е и y?F
(«коммутативность» тензорного произведения).
Действительно, отображение (х, у) —>у(g)x произведения ExF
в F<g>AoE удовлетворяет условиям B), если вспомнить, что произ-
произведение Кх (соответственно ук) при структуре левого (соответ-
(соответственно правого) Л°-модуля в Е (соответственно в F) есть, по опро
делению, произведение ха (соответственно ку) при структуре пра-
правого (соответственно левого) ^4-модуля в Е (соответственно в F).
Поэтому (предложение 1) мы получаем Z-линейное отображение о*
группы E(&aF в F®AoE такое, что a(x(g)y)=y(g)x. Так же опре-
определяется Z-линейное отображение т группы F(&a.oE в E®aF
такое, что т {у®х)=х(&у, и ясно, что а и т — взаимно обратные
изоморфизмы.
Изоморфизм а и обратный изоморфизм X называются канониче-
каноническими; в случае, когда Е (соответственно F) наделено структурой
Б-модуля (соответственно С-модуля), внешний закон которой
перестановочен с внешним законом структуры А -модуля, эти
изоморфизмы очевидно являются также изоморфизмами струк-
структур 5-модуля (соответственно С-модуля), канонически опреде-
определяемых в E®AF и F®AoE (n° 3).

474 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Пусть теперь А и В — кольца, Е — правый Л-модуль, F — ком-
коммутативная группа, наделенная структурами левого Л-модуля
и правого 5-модуля с перестановочными внешними законами
ж G — левый .б-модуль.
Пусть С—коммутативная группа Z(-ExirxG' и D — ее под-
подгруппа, порожденная элементами следующих типов:
(Xj+a-;,, у, Z) — (Xlt у, Z) — (Ж2, у, Z), )
(х, 2/i + Уг, z) — (х, ylt z) - (х, у2, z), j
(X, у, Zj-I-Z,,) — (X, у, Zj) — (X, у, Z2), ; (9)
(.гА, у, z)-(or, ?.г/, z), j
(x,y\i,z)-(x,y,\iz) J
со всевозможными х, х1; хг из i?, у, уг, у2 из F, z, zx, z, из G, A, ^ -4-
и |J.g/?. Коммутативная группа C/D обозначается E(S)aF®bG
или просто E&F0G, если это не может повлечь путаницы. Кано-
Канонический образ (x,y,z)?C в C/D обозначается x®y®z.
Если g — Z-линейное отображение Е§§аР®в& в коммутатив-
коммутативную группу Я, то отображение {x,y,z)—>f{x,y,z) = g(x®y®z)
очевидно удовлетворяет условиям
/ {х1 + хг, у, z) = / (xlt у, z) + / (ж2, y,z), "|
f(x'yi + y2<^)=--f(x,y1,z)~\-f(x,y2,z), j
/ (ж, у, zx + z2) = / (ж, у, zL) -f / (ж, у, z2), ]> (Ю)
j
/(Ж, 2/(X, Z) = f(x, y, ]XZ). J
Обратно, пусть / — отображение ExFxG в JET, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям A0); рассуждая тогда, как при доказательстве
предложения 1, заключаем, что существует, и притом единст-
единственное, Z-линейное отображение g группы E®AF(g)BG в Н такое,
что f(x,y,z) = g(x<g>y(g>z) для всех х ?Е, y?F, z?G.
Тем же рассуждением, что и при выводе следствия предложе-
предложения 1, устанавливается следующее свойство единственности.
Пусть Н — коммутативная группа и h — отображение ExFxG
в Н, удовлетворяющее условиям A0) и такое, что h(ExFxG)
порождает Н; предположим, что для каждой коммутативной
группы L и каждого отображения / произведения ExFxG в L,
удовлетворяющего условиям A0), существует Z-линейное ото-
отображение g группы Н в Этакое, что f=g°h. Тогда существует,
и притом единственный, Z-изоморфизм ij) группы G

9
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
475
на Н такой, что /г=г]зо8, где 9 означает каноническое отображе-
отображение^, у, z)—>x(S)y(&z произведения ExFxG в
Построим снова коммутативные группы Н, обладающие ука-
указанными свойствами. Поскольку внешние законы структур А-мо-
дуля и Л-модуля в F перестановочны, можно (п° 3) канонически
определить в E(g>AF структуру правого 5-модуля и, следова-
следовательно, образовать группу H={E(&AF)®BG. Пусть h — отобра-
отображение (х, у, z) —» {x®y)(g)z произведения ExFxG в Н; оно оче-
очевидным образом удовлетворяет условиям A0), и группа Н поро-
порождается множеством h(ExFxG). Наконец, пусть /— отображе-
отображение ExFxG в коммутативную группу L, удовлетворяющее усло-
условиям A0). Для каждого zg G отображение (х, у)—.> f(x, у, z) удовле-
удовлетворяет условиям B), а потому (предложение 1) существует Z-лп-
нейное отображение ?г группы E(R)AF в L такое, что gz(x®y)=^
= /(х,у, z), каковы бы ни были х?Е и y?F. Рассмотрим отобра-
отображение (и, z) —¦» g2 (и) произведения (Е ®A.F) X О в L. Имеем
и
(первое и третье из этих соотношений очевидны, когда и имеет
вид х ® у, и распространяются на общий случай по линей-
линейности). Поэтому существует Z-линейное отображение g группы
(Е <S)aF)<S)BG в L такое, что g((x<$ у) ® z) = f(x, у, z) для всех
х?Е, y?F, z?G. Аналогичное рассуждение можно провести для
Е ® a(F (&bG), так что нами установлено следующее предло-
предложение:
Предложение 10. Существует, и притом единственный,
изоморфизм
такой, что ср (х
изоморфизм
у & z) = (х & у) ® z, и однозначно определенный
такой, что Мр (х ® у
ного произведения).
z) = х ® (у ® z) («ассоциативность» тензор-

тензор476 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Эти изоморфизмы, а также обратные им изоморфизмы и компо-
композиции cpoijr1 и фоф называются каноническими. Если, например,
F наделено структурой С-модуля, внешний закон которой пере-
перестановочен с внешними законами структур Л-модуля и 5-модуля
в F, то, как в п° 3, устанавливается, что Е<S>aF<S>bG канонически
наделимо структурой С-модуля и что предыдущие канонические
изоморфизмы С-линейны; аналогично, когда Е (соответственно G)
наделено структурой модуля, внешний закон которой переста-
перестановочен с внешним законом Л-модуля (соответственно 5-модуля)
в Е (соответственно G).
Сказанное выше допускает обобщение на случай п — 1 колец.
Л4A< г<и—1) и п модулей Е1,Е2, . . .,Еп. Предположим, что
Ег есть правый Л^-модуль, Еп — левый Л„_1-модуль и Ei при
1 < i < п наделено структурами левого Л^-модуля и правого
Л4-модуля, внешние законы которых перестановочны. Тогда
тензорное произведение Et ®Al Е2 ®Аг. .. <Эап-2 Еп_х ®ап-± Еп, или
просто Z?! ® E2(g)...(g) En, определяется таким образом, что2-линей-
ные отображения этой группы в коммутативную группу L взаимно»
однозначно соответствуют отображениям Е1Х Е2Х . . . X Еп в L,
удовлетворяющим условиям, которые обобщают условия A0)
и формулирование которых мы предоставим читателю. И здесь
имеются изоморфизмы «ассоциативности», которые читатель опре-
определит по приведенному выше образцу. В случае, когда все At
совпадают с одним и тем же коммутативным кольцом А, мы вновь
получаем тензорное произведение Ег® Е2® ... (g> En, определен-
определенное в п° 7 § 1 (без его структуры Л-модуля).
10. Изменение основного кольца
Пусть А и В — кольца и Q—гомоморфизм А в В, преобра-
преобразующий единичный элемент в единичный элемент. Каждый левый
(соответственно правый) 2?-модуль N может рассматриваться
как левый (соответственно правый) .А-модуль, если считать
a-x — q(a)x (соответственно х-а = xq(a)) для всех x?N и af 4;
выполнение аксиом унитарного модуля при этом очевидно. Каж-
Каждый гомоморфизм 5-модуля М в Б-модуль N будет также
гомоморфизмом относительно соответствующих структур .А-мо-
.А-модуля в М и N.

Ю ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 477
В частности, В, наделенное структурой правого 2?-модуля
(т. е. структурой Bd), может также рассматриваться как правый
Л-модуль; поэтому, если Е — левый Л-модуль, можно образовать
тензорное произведение В ®аЕ (где подразумевается, что В наде-
наделено структурой, определяемой гомоморфизмом q). Так как В
наделено также структурой левого 2?-модуля (структурой Bs),
а внешние законы в Bs и Bd перестановочны, В®АЕ канони-
канонически на делимо структурой левого В-модуля (п° 3). Мы говорим,
что этот Б-модуль получен из Е путем расширения кольца
скаляров посредством q до В, и обозначаем его ?<в,с) или
просто Е(В), если можно не опасаться путаницы. В случае,
когда А есть подкольцо центра кольца В, содержащее единич-
единичный элемент, a q—каноническая инъекция А в В, мы вновь
получаем модуль Е^, определенный в п° 1 § 2.
Возвращаясь к общему случаю, будем называть Z-линейное
¦отображение ф: х—> 1 (g) х модуля Е в Bi^aE — Е^ канони-
каноническим. Для всех а?Л и х? Е имеем
Ф (ах) = 1 ® (ах) = q (а) ® х = q (а) A ® х) = q (а) ф (х),
иными словами, ф А-линейно (относительно структуры левого
^1-модуля в Е(В), получающейся из его структуры Б-модуля,
как описано в начале этого п°). Канонический образ ф (Е)
модуля Е в Еф) порождает 5-модуль Е(В)-
Предложение 11. Для каждого А-линейного отображения f
модуля Е в левый В-модулъ F существует, и притом единствен-
единственное, В-линейное отображение f модуля Е(в) в F такое, что
j(x) = f A (?> х) для всех х?Е.
Это доказывается так же, как предложение 2 §2, с использова-
использованием предложения 1, установленного в п° 1.
Согласно п° 3, для каждого Л-линейного отображения gмодуля Е
в левый Л-модуль Е' отображение g=\ (g) g модулями) в Е{В)
-В-линейно; при этом, обозначая через ф' каноническое отобра-
отображение Е' в Е{В), имеем g (ф (х)) = A (g) g) A ® х) = 1 ® g (x) = ф' (g (x))
для каждого х? Е, т. е. ^оф=ф' og. Очевидно, g есть единственное
Б-линейное отображение Е(В) в Е[В) такое, что g(l (g) x) = l ® g(x).

478 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Пусть теперь С — кольцо и сг — гомоморфизм В в С, преобра-
преобразующий единичный элемент в единичный элемент. Тогда можно
рассматривать, с одной стороны, С-модуль (?"(в, «)(с, 0)> а с дру-
другой — С-модуль Е(с, cog), которые мы будем для упрощения обозна-
обозначать (?"(В))(С) и Е(С)- Коммутативными группами этих модулей
служат соответственно С ® в (В ® аЕ) и С ® аЕ. Но С-модуль
С ®в (В ®аЕ) канонически отождествим сС-модулем (С (%>вВ)
(предложение 10); с другой стороны, С-модуль
отождествим с С-модулем Cs посредством изоморфизма
—>уоф) (предложение 3), и этот изоморфизм есть также изомор-
изоморфизм относительно структуры правого ^-модуля в С®вВ, опре-
определяемой гомоморфизмом Q, и структуры правого Л-модуля в С»
определяемой гомоморфизмом а о q. В итоге мы получаем изоморфизм
8 С-модуля (?"(В))(С) на С-модуль Е(о, называемый, как и изо-
изоморфизм, обратный ему, каноническим, такой, что
для всех х?Е, $?В, у?С. Если г|з и q/ означают соответственно-
канонические отображения Е в i?(C) и Е(В) в (Е(В)\с), изомор-
изоморфизм Э отождествляет ф' о ф с г|5.
Пусть Е — Л-модуль, обладающий базисом {a^)%^.L, и ф —кано-
—каноническое отображение а;—» 1 (gi х этого модуля в Е^в, q)! из следствия
предложения 5 вытекает, что (ср (%)Kel есть базис i^-модуля E(B,q)~
Для того чтобы ф было инъективным, необходимо и достаточно*
чтобы q было инъективным, ибо фB Елйя) = 2 Q (Ш A ® а>.)-
Аналогичные определения и свойства получим, отправляясь
от правого Л-модуля Е.
11. Применение: размерность модуля
Предложение 12. Пусть А — кольцо и Е — свободный левый
А-модулъ. Если существует гомоморфизм кольца А в тело D, пере-
переводящий единичный элемент в единичный элемент, то любые два
базиса Е над А равномощны.
Действительно, пусть q — гомоморфизм А в D и ф — канони-
каноническое отображение модуля Е в векторное пространство Еф,о)>
как мы видели в п° 10, для каждого базиса (а*,) модуля Е (ф (ах))

11 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 479
есть базис в E(DtQy, мы видим таким образом, что если Е обладает
конечным базисом над А, то каждый другой базис конечен и состоит
из такого же числа элементов (гл. II, § 3, теорема 3).
Предположим теперь, что Е обладает бесконечным базисом
(ак)х?ь, и пусть (Ьц)цем — другой базис этого модуля. Пусть
С (|а) для каждого (д,? М — конечное множество тех X?L, для
которых компонента Ьц с индексом X относительно базиса (а^)
отлична от нуля, и С=М С ((д.). Имеем Card (С)< Card (M) *)
(Теор. мн., гл. III, §6, следствие4теоремы 2); но так как Ъ^ для каж-
каждого |Д.?М принадлежит подмодулю в Е, порожденному теми а^,,
для которых А,? С, откуда следует, что C=L, то Card (L)< Card (M);
так же устанавливается, что Card (M)< Card (L), и предложение
доказано.
Заметим, что вторая часть этого доказательства имеет силу
независимо от каких бы то ни было предположений о кольце А.
В случае, когда А удовлетворяет условиям предложения 12,
кардинальное число произвольного базиса свободного А -модуля Е
называется также размерностью Е и обозначается dim.A E или dimE.
Замечания. 1) В случае, когда А — тело и Е обладает конеч-
конечным базисом, предыдущее определение совпадает с данным в п° 2
§ 3 главы П.
2) Условия предложения 12 выполнены, в частности, для каждо-
каждого коммутативного кольца А (с единицей), ибо, в силу теоремы Круля
(гл. I, § 8, теорема 2), существует гомоморфизм кольца А на поле
(гл. I, § 9, теорема 2); в случае, когда Е обладает конечным базисом,
мы так другим способом вновь получаем следствие 2 теоремы 2 § 5.
3) Большинство свойств конечномерных векторных пространств
уже пе распространяется на конечномерные Л-модули над коммута-
коммутативным кольцом А. Например, идеал в А не обязательно обладает
базисом (см. главу II, § 1, п° 6, замечание 1 после определения 8,
и главу VII, § 1, упражнения 1 и 12); подмодульF свободного модуля Е
может быть свободным, отличным от Е и иметь ту же размерность, что
и Е, как показывает пример главных идеалов в А; тот же пример
(в случае, когда А есть кольцо целостности) показывает, что
*) Card (Е) означает мощность (кардинальное число) множества Е. —
Перев.

ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
свободный подмодуль свободного А -модуля не обязательно обладает
дополнением.
Упражнения. 1) Пусть Е — правый А -модуль ж F — левый
Л-модуль. Пусть, далее, / — функция, определенная на множестве S
всех конечных последовательностей ((хи у{), (х2, у2), ..., (хп, уп))
(п произвольно) элементов изЕХР, со значениями в множестве G, такая,
что
х), •••- ixn, Уп)) = 1((ха
для каждой подстановки a g <Bn;
2° f
3° /(К, j/i + 2/i). •••. (хп, Уп))=/((Х1, Ух), (xi, 2/i) (жп. 2/п));
4° /((жД, ух), •-., (a:n, 2/n)) = /((a:i. ^l). •••. (жи. 2/п))-
Показать, что существует, и притом единственное, отображение g
п
труппы Е ®AF в G такое, что f((xx, ух), ••-, (жп, yn))=g B (жг®2/г))-
г=1
[Заметить, что если 2 Оч ®2/г)=2 (x'i ®2/j)> т0 Разность ^ (жг, 2/г) —
г з г
— 2 (ж'-, i/j) в модуле z'-ExF' есть линейная комбинация с целыми
3
коэффициентами элементов одного из типов A).]
2) а) Пусть Е — коммутативная группа, наделенная структура-
структурами правого и левого векторных пространств над полем К, внешние
законы которых перестановочны. Предположим, кроме того, что раз-
размерности Е как правого и левого векторных пространств над К
обе равны одному и тому же конечному числу п. Показать, что в Е
существует семейство (<4)i<i<n элементов, являющееся базисом Е
для каждой из этих двух структур векторного пространства над К.
[Заметить, что если Fj)i<;<m—семейство то<л элементов из Е,
свободное при каждой из двух структур векторного пространства в Е,
ж V — правое, a W — левое векторные подпространства, порожден-
порожденные элементами bj, то либо V-\-W Ф Е, либо V П CWж W f] CV
не пусты; в этом последнем случае показать, что y-\-z, где у ?V[]CW
и z ? W П CF, образует вместе с элементами bj семейство m -\- 1 эле-
элементов, свободное при каждой из двух структур векторного простран-
пространства в Е.]
б) Пусть F — коммутативная подгруппа в Е, являющаяся его
векторным подпространством при каждой из двух структур векторного
пространства в Е и такая, что обе индуцированные структуры вектор-
векторного пространства в F обладают одинаковой размерностью р <С п
(см. упражнение 36). Показать, что существует семейство (ai)i<i<n
л элементов из Е, являющееся базисом для каждой из двух структур

ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 481
векторного пространства в Е, первые р элементов которого образуют
базис для двух структур векторного пространства в F. [Тот же
метод.]
в) Пусть FJI<j<n_1 — семейство/г —1 элементов из Е, свобод-
свободное при каждой из двух структур векторного пространства в Е. Пусть,
далее, V — левая и W — правая гиперплоскости, порожденные этим
семейством. Показать, что если V a W (соответственно W СГ V), то
V=W. [Используя соотношение V ст W, показать, что если a§W,
то множество тех X ? К, для которых Ха ? W, есть идеал.]
°3) а) Пусть К=К0 (X)]— поле рациональных дробей над полем
Ко (гл. IV, § 3). В К определены: 1° структура левого векторного про-
пространства над К, в которой произведением t-u элемента и ? К на опе-
оператор t?K является рациональная дробь t (X) и (X); 2° структура
правого векторного пространства над А", в которой произведением u-t
элемента и ? К на оператор t ? К является рациональная дробь
и(Х) t(X2). Показать, что внешние законы этих двух структур пере-
перестановочны, структура левого векторного пространства имеет раз-
размерность 1, а структура правого векторного пространства — размер-
размерность 2. Получить отсюда примеры коммутативных групп Е, наделен-
наделенных структурами левого и правого векторных пространств над К,
внешние законы которых перестановочны, а размерностями являются
произвольные целые числа.
б) Получить из а) пример коммутативной группы Е, наделенной
структурами левого и правого векторных пространств над К, внешние
законы которых перестановочны и которые имеют одинаковую конеч-
конечную размерность, но при этом Е содержит подгруппу F, устойчивую
относительно обоих внешних законов на Е и такую, что две индуци-
индуцированные в F структуры векторного пространства имеют различные
размерности. о
4) Пусть К — тело, L — его подтело, К^ — тело К, рассма-
рассматриваемое как правое векторное пространство над!,, и ? = cifL (К]_.) —
кольцо эндоморфизмов этого векторного пространства. Вследствие
того, что левые умножения определяют в К структуру левого вектор-
векторного пространства над К, внешний закон которого перестановочен
с внешним законом пространства К^, Е оказывается канопически
неделимым структурами левого и правого векторных пространств
над К, внешние законы которых перестановочны (п° 7; см. главу II,
§ 5, п° 5 и упражнение 4). Сопряженное (Ki)* к К^ содержится
в Е; это — правое векторное подпространство над К и левое вектор-
векторное подпространство над L (относительно структуры, получающейся
путем сужения тела скаляров К структуры левого векторного про-
пространства в ? до L). В случае, когда L содержится в центре тела К,
структуры векторного L-пространства в Е, получающиеся путем суже-
сужения до L тела скаляров двух структур векторного .йГ-пространства
в Е, совпадают.
Н. Бурбаки

ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Далее предполагается, что L содержится в центре тела А", » pa:i
мерность Kl конечна и равна п.
а) Показать, что (Kl,)* имеет размерность 1 при структуре пра-
правого векторного пространства над К. [Заметить, что (А"ь)* имеет
размерность п при структуре векторного пространства над L.]
б) Вывести, что в этом случае Е есть я-мерное правое векторное
пространство над К. [Показать, что если («$) — базис пространства
Ki, относительно L и щ — ненулевая лилейная форма на К^, то
элементы а\ий образуют в Е базис для структуры правого векторного
пространства над К.}
в) Пусть F — правое векторное пространство конечной размер-
размерности над К и F^ — векторное пространство над L, получающееся
путем сужения его тела скаляров до L. Показать, что если щ — нену-
ненулевая линейная форма на Ki,, то отображение х' -<- щ о х' простран-
пространства F*, сопряженного к F (рассматриваемого как векторное простран-
пространство над L), на пространство (FjJ*, сопряженное к F^, является изо-
изоморфизмом F* na.(FL)*. [При доказательстве инъективности этого
отображения использовать а).]
5) Пусть К — тело конечного ранга над своим центром Z и L —
подтело этого тела, содержащее Z.
а) Показать, что структуры левого и правого векторных про-
пространств в К относительно L имеют одинаковую размерность.
6) Показать, что свойства а), б) и в) из упражнения 4 еще сохра-
сохраняются в этом случае. [Заметить, что если щ — ненулевая линейная
форма на Lz и v0 — ненулевая линейная форма на Ki,, то (и0 о v0) ¦ Х=
=w0o(t>0-A,) описывает (Kz)*, когда X описывает К, я воспользоваться
упражнением 4в.]
б) Пусть А — кольцо, Г — его центр, Е — правый Л-модуль,
F — левый Л-модуль, а Е* и F*~ их сопряженные модули. Отображе-
Отображение / модуля Е* 0rF* в А называется двояко линейным, если / (аш>)=
-= a/ (w) и / (wo) = / (и) а для всех w ?E* &rF* па^А. Пока-
Показать, что существует, п притом единственное, Г-липейпое отображе-
отображение ф модуля Е §§s_F в Г-модуль L всех двояко линейных отображений
Е* i&pF* в А такое, что
) = <г\ х)(у, у').
При этом, если каждый из Л-модулей Е и F обладает конечным базп-
сом, то <р есть биекция Е ®4 F на L.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВАМ II и III
(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной
в конце настоящего очерка.)
Линейная алгебра является одновременно и одной из древнейших,
и одной из новейших отраслей математики. С одной стороны, еще у истоков
математики мы находим задачи, решающиеся одним умножением или деле-
делением, т. е. вычислением одного из значений функции вида j(x) = ах или
нахождением решения уравнения вида ах = Ъ\ но это —• типичные задачи
линейной алгебры, и их невозможно ни рассматривать, ни даже корректно
ставить, не «мысля линейно».
С другой стороны, не только эти вопросы, но почти всё касающееся урав-
уравнений первой степени уже давно отошло в область элементарного преподава-
преподавания, когда современное развитие понятий тела, кольца, топологического век-
векторного пространства и т. д. выявило все значение основных понятий линей-
линейной алгебры (например, двойственности); именно тогда был подмечен суще-
существенно линейный характер почти всей современной алгебры, одной из отли-
отличительных черт которой и является эта «линеаризация», и линейной алгебре
было отведено подобающее ей место. Поэтому проследит!, историю ее разви-
развития с точки зрения, на которой мы стоим, было бы задачей столь же важной.
сколь и трудной; и мы вынуждены будим ограничиться здесь замечаниями
довольно общего характера.
Из предыдущего видно, что возникновение линейной алгебры, несомнен-
несомненно, было вызвано пуждами вычислителей-практиков. Так, например, во
всех практических руководствах по арифметике, начиная с египетского папи-
папируса Райнда, через Ариабхатту, арабов, Леонардо Пизапского, неисчисли-
неисчислимые «вычислительные книги» средних веков и эпохи Возрождения и вплоть
до почитаемых в наших начальных школах, важную роль играют более или
менее ясно высказанные тройное правило и правило ложного положения *);
но они, быть может, никогда не были чем-либо иным, как извлечением для
нужд практиков из более развитых научных теорий.
*) См. J. Tropfke, Geschiclite der Elementar-Mathematik, т. 1,
2-е изд., Berlin — Leipzig (W. de Gruy'ter), 1921, стр. 150—155.
M ¦

484 исторический очерк к главам и и hi
Что касается математиков в собственном смысле, характер их исследова-
аий по линейной алгебре является функцией общей структуры их науки.
В древнегреческой математике, как она изложепа в «Началах» Евклида, были
развиты две абстрактные теории линейного характера, а именно, с одной
стороны, теория величин ((II), Книга V; см. Исторический очерк к главе IV
«Общей топологии»), с другой — теория целых чисел ((II), Книга VII).
У вавилонян мы находим методы, значительно более близкие к нашей элемен-
элементарной алгебре; они умели решать, и притом весьма изящно ((I), стр. 181—
183), системы уравнений первой степени. Тем не менее в течение весьма долго-
долгого иремени прогресс линейной алгебры зависит главным образом от прогресса
алгебраической техники, и в этом аспекте, чуждом настоящему очерку, его
я следовало бы рассматривать; так, для сведения линейной системы к урав-
уравнению вида ах = b достаточно, если речь идет лишь об одном неизвестном,
знать правила (по существу, сформулированные уже Диофантом) перенесе-
перенесения членов уравнения из одной его части в другую и приведения подобных
членов; имея же дело с несколькими неизвестными, достаточно, сверх того,
уметь последовательно исключать их, пока не останется только одно. Поэтому
в руководствах по алгебре вплоть до XVIII века, в том, что относится к первой
степени, цель считалась достигнутой, как только изложены эти правила;
что же касается системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных
(а другие системы и не рассматриваются), левые части которой не являются
линейно независимыми формами, то неизменно довольствовались беглым заме-
замечанием, что это указывает на плохо поставленную задачу. В руководствах
XIX века и даже некоторых более поздних эта точка зрения сохраняется и
арогресс наблюдается лишь в обозначениях, позволивших записывать
системы п уравнений с п неизвестными, и введении определителей, позволив-
позволившем давать явные формулы решения этих систем в «общем случае»; этим про-
прогрессом, честь которого принадлежала бы Лейбницу ((VII), стр. 239), если бы
он развил и опубликовал свои идеи по этому поводу, мы обязаны главным
образом математикам XVIII и начала XIX веков.
Но нам следует прежде рассмотреть различные идейные течения, гораздо
более способствовавшие развитию линейной алгебры в том смысле, как мы
ее понимаем, чем изучение систем линейных уравнений. Вдохновленный изу-
изучением Аполлония, Ферма (IVa), даже до Декарта (V), приходит к принци-
аам аналитической геометрии, к идее классификации плоских кривых
ао их порядку (идее, которая, становясь постепенно привычной для всех
математиков, может считаться окончательно усвоенной к концу XVII века)
я выдвигает фундаментальный принцип, что уравнение первой степени пред-
представляет на плоскости прямую, а уравнение второй степени — коническое
сечение,— принцип, из которого оп сразу выводит «весьма красивые»
следствия, относящиеся к геометрическим местам. В то же время он пред-
тагает (IV6) классификацию задач на задачи определенные, задачи, сводя-
сводящиеся к уравнению с двумя неизвестными, уравнению с тремя неизвестными
а т. д., и добавляет: первые состоят в определении точки, вторые —
-тинии или плоского места, следующие — поверхности, и т. д. (...«такая
if/дача состоит в разыскании не одной лишь точки или линии, но целой связан-

исторический очерк к главам и и ш 485
мой с вопросом поверхности; отсюда и возникают пространственные места
и так же для последующих», там же, стр. 186; здесь уже виден зародыш
«-мерной геометрии). Этот отрывок, выдвигая принцип размерности ъ
алгебре и алгебраической геометрии, намечает слияние алгебры и геомет
рии, целиком согласующееся с современными идеями, хотя, как известна
понадобилось более двух веков, прежде чем оно овладело умами.
Всё же эти идеи привели скоро к расцвету аналитической геометрии,
достигшему всей своей полноты в XVIII веке в трудах Клеро, Эйлера, Краме-
Крамера, Лагранжа и многих других. Линейный характер формул преобразования
координат на плоскости и в пространстве, который не мог не заметить уже
Ферма, отчетливо выступает, например, у Эйлера ((Villa), гл. II—III, в
Append., гл. IV), основывающего на нем классификацию плоских кривых, а
также поверхностей по их порядку (инвариантному именно вследствие линей-
линейности этих формул); это Эйлер ((Villa), гл. XVIII) вводит также слово «affi-
nitas» («родство» *)) для обозначения отношения между кривыми, которые
могут быть получены одна из другой преобразованием вида х'= ах, у'— by
(не замечая, однако, ничего геометрически инвариантного в этом определе-
определении, остающемся связанным со специальным выбором координатных осей)
Несколько позже мы видим Лагранжа AХа), посвящающего целый мемуар.
долгое время пользовавшийся заслуженной известностью, типично линейным
и полилинейным задачам трехмерной аналитической геометрии. К этому
же времени в связи с линейной задачей, состоящей в разыскании плоской
кривой, проходящей через заданные точки, оформляется, сначала несколько
эмпирическим путем, понятие определителя у Крамера (X) и Безу (XI).
развитое затем различными авторами, это понятие с его основными свойст-
свойствами получает окончательный вид у Коши (XIII) и Якоби (XVIa).
С другой стороны, в то время как математики проявляли тенденции'
несколько пренебрежительного отношения к уравнениям первой степени, ре
шение дифференциальных уравнений представляло, напротив, главную зада-
задачу; естественно, что среди этих уравнений уже очень рано выделили линейны<
уравнения с постоянными или переменными коэффициентами и что их из-
изучение способствовало выявлению значения линейности и всего с ней связанно-
связанного. Это заметно уже у Лагранжа AX6) и Эйлера (VIII6), по крайней мере
в том, что касается однородных уравнений; ибо эти авторы не считают нуж-
нужным сказать, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма частно-
частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнении, и не
делают из этого принципа никакого употребления; отметим также, что.
утверждая, что общее решение однородного линейного уравнения л-го поряд-
порядка есть линейная комбинация п частных решений, они не добавляют, что эти
решения должны быть липейно независимыми, и не делают никаких попыток
к выяснению этого последнего понятия; ясность в эти вопросы, как и в ряд
других, внесли, по-видимому, лишь лекции Коши в Политехнической
школе ((XIV), стр. 573—574). Но уже Лагранж(там же) вводит также (правда,
лишь для вычислительных целей и без наименования) уравнение L*(y) =• 0.
*) В русской литературе — аффинность.— Перее.

486 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III
сопряженное к линейному дифференциальному уравнению Ь(у) = 0,— типич-
типичный пример двойственности в силу соотношения
\ zUy)dx— \l*(z) ydx.
справедливого для у п z, обращающихся в нуль на концах интервала интегри-
интегрирования; еще точнее, мы видим здесь, за 30 лет до того, как Гаусс явно опре-
определил подстановку, сопряженную к линейной подстановке трех переменных,
несомненно периый пример «функционального оператора»L*, «сопряженного»
к оператору L, заданного посредством билинейной функции (здесь интеграла
\yz dx).
В то же время, и снова с Лагранжем AХв), линейные подстановки, преж-
прежде всего двух и трех переменных, сумели завоевать арифметику. Ясно, что
множество значений функции F (х, у), где х и у принимают все целые значения,
ае изменяется, когда хну подвергаются произвольной линейной подстанов-
подстановке с целыми коэффициентами и определителем, равным 1; на этом фундамен-
фундаментальном замечании Лагранж основывает теорию представления чисел форма-
формами и приведения форм, а Гаусс одним шагом, всю дерзость которого нам стало
трудно теперь оценить, выделяет понятия эквивалентности и класса форм
(см. Исторический очерк к главе I); в этой связи он уясняет необходимость
аекоторых элементарных принципов, относящихся к линейным подстановкам,
а, в частности, вводит понятие транспонированной, или сопряженной под-
подстановки ((ХНа), стр. 304). Начиная с этого момента арифметическое и алгеб-
алгебраическое исследование квадратичных форм от двух, трех, а позже п перемен-
аых, тесно связанных с ними билинейных форм, а в более близкий нам период
обобщение этих понятий на бесконечное число переменных образуют, вплоть
до нашего времени, один из наиболее плодотворных источников прогресса
линейной алгебры (см. Исторический очерк к главе IX).
Но, что является, быть может, еще более решительным прогрессом, в тех
же «Исследованиях» (см. Исторический очерк к главе I) Гаусс создает теорию
конечных коммутативных групп, встречающихся там в четырех различных
видах, а именно: аддитивной группы целых чисел по (целому) модулю т,
мультипликативной группы чисел, взаимно простых с т, по модулю т, груп-
группы классов бинарных квадратичных форм и, наконец, мультипликативной
группы корней т-й степени из единицы; причем, как мы уже отмечали, Гаусс
явно трактует все эти группы как коммутативные группы, или, лучше
сказать, модули над Z, изучает их строение, их отношения изоморфизма и т. д.
На модуле «целых комплексных чисел» а + Ы он исследует позже бесконеч-
аый модуль над Z, изоморфизм которого с (открытым им же в комплексной
области) модулем периодов эллиптических функций, несомненно, не остался
для него незамеченным; во всяком случае, эта идея уже явно появляется
у Якоби, например в его знаменитом доказательстве невозможности функции
с тремя периодами и в его взглядах на задачу обращения абелевых интегра-
интегралов (XVI6), и вскоре приводит к теоремам Кронекера (см. Исторический очерк
к главе VII «Общей топологии»).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И Ш 487
Здесь к течениям, трассы, а иногда и извилины которых мы пытались
проследить, примешалось еще одно, долгое время остававшееся подспудным.
Как будет подробнее изложено в другом месте (см. Исторический очерк к главе
IX), «чистая» геометрия в том смысле, как ее понимали в течение прошлого
века, т. е. в основном проективная геометрия плоскости и пространства без
использования координат, была создана в XVII веке Деааргом (VI), идеи
которого, оцененные в их истинном значении самим Ферма и использованные
самим Паскалем, были затем забыты, отодвинутые в тень блестящими успе-
успехами аналитической геометрии; она вновь попала в честь к концу XVIII века
стараниями Монжа, а затем Понселе и его соперников Шаля и Брианшона
иногда умышленно и полностью очищенная от аналитических методов, иногда
(особенно в Германии) тесно переплетенная с ними. Но, с какой бы точки
зрения их ни рассматривать (синтетической или аналитической), проективные
преобразования все же являются просто линейными подстановками проектив-
проективных или «барицентрических» координат; конические сечения (в XVII веке),
а позже поверхности второго порядка, проективная теория которых долгое
время составляла основной предмет исследований этой школы, являются
просто квадратичными формами, на тесную связь которых с линейной алгеб-
алгеброй мы уже выше указывали. К этим понятиям присоединяется понятие по-
полярности; теория полюсов и поляр, также созданная Деааргом, становится
в руках Монжа и его последователей, вскоре под наименованием принципа
двойственности, мощным инструментом преобразования геометрических
теорем; если и не брать на себя смелость утверждать, что были замечены ее
связи с сопряженными дифференциальными уравнениями,— это было сделано
с опозданием (они были указаны Пинкерле в конце XIX века),— все же от
математиков не укрылось — тому свидетель Шаль (XVII) — ее родство
с понятием полярных сферических треугольников, введенным в сфериче-
сферическую геометрию Вьета ((III), стр. 418) и Снеллием в XVI веке. Но двой-
двойственность в проективной геометрии есть лишь один из аспектов двойственно-
двойственности векторных пространств с учетом модификаций, накладываемых переходом
от аффиппого пространства к проективному (являющемуся его факторпрост-
ранством по отношению «скалярного умножения»).
XIX век, более чем какой-либо другой период нашей истории, был богат
первоклассными математиками, и трудно на нескольких страницах, даже
только в главных чертах, описать всё, что создало их руками слияние этих
идейных течений. Между чисто синтетическими методами, с одной стороны,
— этим родом Прокрустова ложа, на котором сами предавали себя пыткам их
ортодоксальные адепты,— и аналитическими методами, связанными с про-
произвольно навязанной пространству системой координат, скоро ощутили
потребность в чем-то вроде геометрического исчисления, задуманного,
но не созданного Лейбницем и в несовершенном виде намеченного Карно;
сперва появляется сложение векторов, в неявной форме у Гаусса в его гео-
геометрическом представлении мнимых чисел и применении их к элементарной
геометрии (см. Исторический очерк к главе VIII «Общей топологии»),
далее развитое Беллавнтисом под названием «метода эквиполленций»
и принявшее свой окончательный вид у Грассмана, Мёбиуса и Гамильтона;

488 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ- II И III
одновременно Мёбиус предлагает его вариант под названием «барицентри-
«барицентрического исчисления», приспособленный к нуждам проективной геометрии
(XVIII).
К тому времени, и теми же людьми, совершается возвещенный, как мы
видели, еще Ферма переход от «обычных» плоскости и пространства к про-
пространству п измерений, столь естественный (раз уж вступили на этот путь)
и даже неизбежный, поскольку алгебраические факты, которые для двух
или трех переменных, как и сами эти переменные, истолковываются в гео-
геометрических терминах, остаются такими же для любого числа переменных;
поэтому налагать на употребление геометрического языка ограничение двумя
или тремя измерениями было бы для математиков этого времени столь же
стеснительным ярмом, как и то, которое всегда мешало грекам распространить
понятие числа на отношения несоизмеримых величин. Поэтому язык и идеи,
относящиеся к пространству п измерений, почти одновременно появляются по-
повсеместно, неявно у Гаусса и отчетливо у математиков следующего поколения,
а их большая или меньшая смелость в пользовании этим языком, быть может,
определяется не столько их математическими склонностями, сколько фило-
философскими или даже чисто практическими соображениями. Во всяком случае,
Кэли и Грассман к 1846 г. обращаются с этими понятиями с весьма большой
непринужденностью (ипритом, говорит Кэли в отличие отГрассмана ((XXПа),
стр. 321), чне прибегая ни к каким метафизическим понятиям»); Кэли по-
постоянно держится весьма близко к аналитическому истолкованию и коорди-
координатам, тогда как у Грассмана уже с самого начала, со сложения векторов
в п-мерном пространстве, одерживает верх геометрический аспект, что при-
приводит его к рассмотрениям, на которых мы позже остановимся.
Тем временем импульс, полученный от Гаусса, двумя разными путями
побуждал математиков к изучению алгебр и гиперкомплексных систем.
С одной стороны, не могли не появиться попытки расширить область вещест-
вещественных чисел иным путем, чем введением «мнимой единицы» i=Y—1< и, быть
может, открыть так области, более обширные, чем область комплексных чисел,
и столь же плодотворные. Сам Гаусс был убежден ((ХПб), стр. 178) в невозмож-
невозможности такого расширения, по крайней мере если пытаться сохранить основные
свойства комплексных чисел, т. е., на современном языке, те свойства, кото-
которые делают множество этих чисел коммутативным телом; и под его влиянием
или независимо современники Гаусса, по-видимому, разделяли это убежде-
убеждение, обоснованное лишь значительно позднее в виде точной теоремы Вейер-
штрассом (XXIII). Но раз только умножение комплексных чисел интерпре-
интерпретируется вращениями в плоскости, желание распространить эту идею на
пространство неизбежно ведет к рассмотрению некоммутативных умножений
(поскольку вращения в пространстве образуют некоммутативную группу);
это и является одной из идей, которыми руководствовался Гамильтон*) в своем
открытии кватернионов (XX), первого примера некоммутативного тела.
*) См. интересное предисловие к его «Лекциям о кватернионах» (XX),
где он излагает всю историю своего открытия.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III 489
Своеобразие этого примера (единственного, который — как показал позже
Фробениус — можно было построить над полем вещественных чисел) несколь-
несколько ограничило сферу его влияния, вопреки или, быть может, даже благодаря
образованию школы фанатичных «кватернионистов» — странному явле-
явлению, повторившемуся позже вокруг творения Грассмана,— а затем популя-
популяризаторов, извлекших у Гамильтона и Грассмана то, что было названо «век-
«векторным исчислением». Отказ от ассоциативности несколько позже у Грейвса
и Кэли, построивших «числа Кэли»,не открывает интересных путей. Но после
того, как Сильвестр ввел матрицы и (не давая ему наименования) явно опре-
определил ранг (XXI), тот же Кэли (ХХПб) создает матричное исчисление,
не преминув заметить (существенный факт, впоследствии часто упускавшийся
из виду), что матрица есть просто сокращенное обозначение линейной под-
подстановки, такое же, в сущности, как гауссовское обозначение (а, Ь, с) формы
яХ2+ 2bXY -f- cY2. Впрочем, это было лишь одним из, несомненно наиболее
интересных для нас, аспектов относящейся к определителям и всему с ними
связанному обильной продукции Сильвестра и Кэли, ощетинившейся замысло-
замысловатыми тождествами и внушительными вычислениями.
Грассман открывает также (среди прочего) одну алгебру над полем веще-
вещественных чисел, а именно внешнюю алгебру, за которой закрепилось его
имя. Его творение, даже более раннее, чем творение Гамильтона (Х1Ха),
и созданное в почти полном духовном одиночестве, долгое время оставалось
мало известным, несомненно вследствие своей оригинальности, а также фило-
философского тумана, окутывающего его начало и сперва оттолкнувшего, напри-
например, Мёбиуса. Побуждаемый замыслами, аналогичными имевшимся у Гамиль-
Гамильтона, но более широкими (и, как он скоро заметил, совпадавшими с замыслами
Лейбница), Грассман строит обширное алгебраико-геометрическое здание,
покоящееся на геометрической, или «внутренней» (уже почти аксиоматизиро-
аксиоматизированной), концепции и-мерного векторного пространства; из наиболее элемен-
элементарных результатов, к которым он приходит, упомянем, например, опре-
определение линейной независимости векторов, размерности и основное соотно-
соотношение dim F+ dim W = dim (V+W) + dim (V Г) W) (там же, стр. 209; см.
(XIX6), стр. 21). Но главным образом внешнее, а затем внутреннее умножение
поливекторов доставляют ему средства, с помощью которых он легко справ-
справляется сначала с задачами собственно линейной алгебры, а затем относящи-
относящимися к евклидовой структуре, т. е. ортогональности векторов (где он находит
недостающий ему эквивалент двойственности).
Другой путь изучения гиперкомплексных систем, открытый Гауссом,
имеет своим отправным пунктом целые комплексные числа а + Ы; вполне
естествен переход от них к более общим алгебрам или гиперкомплексным
системам над кольцом целых чисел Z или полем рациональных чисел Q, преж-
прежде всего к тем, уже рассмотренным Гауссом, которые порождаются корнями
из единицы, п далее к полнм алгебраических чисел и модулям целых алгеб-
алгебраических чисел. Указапные поля составляют главный предмет работ Кум-
мера, а модулям целых алгебраических чисел посвящают свои исследования
Дирихле, Эрмит, Кронекер, Дедекинд. В противоположность тому, что имеет
место для алгебр над полем вещественных чисел, здесь не нужно отказываться

490 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III
ни от каких характерных свойств коммутативных тел; этим и ограничиваются
в течение всего XIX века. Но линейные свойства, например разыскание бази-
базиса целых чисел поля (необходимое для общего определения дискриминанта),
играют во многих вопросах существенную роль, и, во всяком случае, у Деде,
кинда, методы принимают типично «гиперкомплексную» окраску; при этом
сам Дедекинд, не ставя перед собой в общем виде проблему алгебр, осознает
этот характер своих работ и то, что роднит их, например, с результатами Вейер-
штрасса, относящимися к гиперкомплексным системам над полем веществен-
вещественных чисел ((XXIV), в частности том 2, стр. 1). В то же время определение
строения мультипликативной группы единиц поля алгебраических чисел,
осуществленное в знаменитых сообщениях Дирихле (XV) и почти одновремен-
одновременно также Эрмитом, оказалось в высшей степени подходящим для прояснения
представлений о модулях над Z, их системах образующих и их базисах, когда
последние существуют. Затем понятие идеала, определенное Дедекиндом
в полях алгебраических чисел (как модуля над кольцом целых чисел поля),
в то время как эквивалентное понятие в кольцах полиномов (под наименова-
наименованием «систем модулей») вводит Кронекер, дает первые примеры модулей
над кольцами более общими, чем Z; и теми же авторами, а затем Гильбертом
постепенно на частных случаях выкристаллизовывается понятие группы
с операторами с возможностью всегда построить, исходя из такой группы,
модуль над надлежаще определенным кольцом.
В то же время арифметико-алгебраическое исследование квадратичных
и билинейных форм и их «приведения» (или, что то же самое, матриц и их
«инвариантов») приводит к открытию общих принципов решения систем ли-
линейных уравнений, принципов, которые из-за отсутствия попятия ранга ус-
ускользнули от Якоби *). Задачу решения системы линейных уравнений с це-
целыми коэффициентами в целых числах рассматривает и разрешает сначала
в частном случае Эрмит и затем во всей общности Смит (XXV); результаты
последнего вновь получает лишь в 1878 г. Фробениус, в рамках обширной про-
программы исследований, намеченной Кронекером, в которой принимает участие
также Вейерштрасс; лишь попутно, в ходе этой работы, Кронекер придает
окончательный вид теоремам о линейных системах с вещественными (или
комплексными) коэффициентами, излагаемым также в одном малоизвестном
руководстве, с характерной для него скрупулезной аккуратностью, знамени-
знаменитым автором «Алисы в стране чудес»; Кронекер же не снисходит до публикации
этих результатов, оставляя это своим коллегам и ученикам; само слово «ранг»
ввел лишь Фробениус. В своих лекциях в Берлинском университете
Кронекер (XXVI) и Вейерштрасс вводят также «аксиоматическое» определе-
определение определителя (как знакопеременной полилинейной функции п векторов
«-мерного пространства, нормированной так, чтобы для единичной матрицы
она принимала значение 1); оно равносильно определению, получающемуся
*) О классификации систем п уравнений с п неизвестными, определитель
которых равен нулю, он говорит ((XVIa), стр. 370): «paullo prolixum videtur
negotium» (ее разъяснение иге было бы кратким).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II II ш 491
¦из грассмановского исчисления, равно как и принятому в настоящем трактате;
в своих лекциях Кронекер, не ощущая нужды в наименовании и в форме еще
не внутренней, вводит тензорное произведение пространств и «кронекеровское»
произведение матриц (линейную подстановку, индуцированную в тензорном
произведении заданными линейными подстановками в его сомножителях).
Эти изыскания не следовало бы также отделять от теории инвариантов,
созданной Кэли, Эрмитом и Сильвестром («инвариантивистской троицей», как
говорил позже в своих письмах Эрмит) и являющейся с современной точки
зрения прежде всего теорией представлений линейной группы. Здесь появля-
появляется, в качестве алгебраического эквивалента двойственности в проективной
геометрии, различение между сериями когредиентных и контрагредиентных пе-
переменных, т. е. между векторами пространства и векторами сопряженного про-
пространства; и тогда как раньше внимание обращалось в первую очередь на фор-
формы низких, а затем и произвольных степеней от двух и трех переменных, теперь
яе мешкая переходят к рассмотрению билинейных форм, а затем и полили-
полилинейных форм от нескольких серий «когредиентных» или «контрагредиентных»
переменных, что равносильно введению тензоров; это осознается и становится
общим достоянием, когда в 1900 г. под влиянием теории инвариантов Риччи
и Леви-Чивита вводят в дифференциальную геометрию «тензорное исчисление»
(XXVIII), приобретшее позже большую известность благодари его исполь-
использованию физиками-«релятивистами». Уже прогрессирующее взаимопроник-
взаимопроникновение теории инвариантов, дифференциальной геометрии и теории уравне-
уравнений с частными производными (особенно так называемой проблемы Пфаффа
а ее обобщений) постепенно приводит геометров сначала к рассмотрению зна-
знакопеременных билинейных дифференциальных форм, в частности «билиней-
«билинейного коварианта» формы первой степени (введенного в 1870 г. Липшицем и за-
затем изученного Фробениусом), а в завершение к созданию Э. Картаном (XXIX)
и Пуанкаре (XXX) исчисления внешних дифференциальных форм. Пуанкаре
вводит их, имея в виду образование интегральных инвариантов, как выраже-
выражения, фигурирующие в кратных интегралах, тогда как Картан, несомненно
руководствуясь своими исследованиями по алгебрам, вводит их более фор-
формальным способом, но также не упуская заметить, что алгебраическая часть
его исчисления тождественна с грассмаповским внешним умножением (отку-
(откуда и принятое им наименование указанных форм), и тем самым окончательно
определяя истинное место творения Грассмана. Перевод внешних дифферен-
дифференциальных форм на язык тензорного исчисления непосредственно обна-
обнаруживает при этом их связь с антисимметрическими тензорами, что, если
оставаться на чисто алгебраической точке зрения, показывает, что они так же
относятся к знакопеременным полилинейным формам, как ковариантные тен-
тензоры — к произвольным полилинейным формам; эта сторона дела еще более
проясняется современной теорией представлений линейной группы; ею обна-
обнаруживается, например, существенная тождественность определения опреде-
определителей, данного Вейерштрассом и Кронекером, и определения, вытекающего
из грассмановского исчисления.
Мы подходим так к современному периоду, когда аксиоматический метод
и понятие структуры (вначале только чувствуемое, определенное же лишь

492 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III
совсем недавно) позволяют разделить понятия, до того безнадежно перепле-
переплетенные, формулировать то, что было неотчетливым или неосознанным, и дока
зать в присущей им общности теоремы, которые были известны лишь для
частных случаев. Пеано, один из создателей аксиоматического метода и так-
также один из первых математиков, оценивших значение творения Грассмана,
дает в 1888 г. ((XXVII), гл. IX) аксиоматическое определение векторных
пространств (конечной или бесконечной размерности) над полем веществен-
вещественных чисел и, с вполне современным обозначением,— линейных отображений
одного такого пространства в другое; несколько позже Пинкерле пытается
развить применения так понимаемой линейной алгебры к теории функций,
правда, в направлении, оказавшемся мало плодотворным; все же его точка
зрения позволяет ему усмотреть в «лагранжевском сопряженном» частный
случай сопряженного линейного отображения — то, что вскоре еще более
выявляется, притом не только для обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, но также для уравнений в частных производных, по мере выхода
памятных работ Гильберта и его школы по гильбертовым пространствам и их
применениям к анализу. В связи с этими последними исследованиями Теплиц
(XXXI), тоже вводя (но посредством координат) наиболее общее векторное
пространство над полем вещественных чисел, делает фундаментальное заме-
замечание, что для доказательства основных теорем линейной алгебры не нужна
теория определителей, что позволяет без труда распространить их на про-
пространства бесконечной размерности; он отмечает также, что так понимае-
понимаемая линейная алгебра естественно применима при любом основном поле.
С другой стороны, с введением Банахом в 1922 г. пространств, носящих
теперь его имя *), встретились, правда в проблеме столь же топологической,
сколь и алгебраической, пространства, не изоморфные своему сопряженному.
Уже между конечномерным векторным пространством и его сопряженным нет
«канонического» изоморфизма, т. е. определяемого его структурой, что давно
нашло свое отражение в различении когредиентного и контрагредиентного.
Тем не менее представляется несомненным, что различение пространства от
его сопряженного окончательно утвердилось лишь после работ Банаха
и его школы; в этих же работах была обнаружена важность понятия фактор-
размерности. Что касается двойственности, или «ортогональности», между
векторными подпространствами пространства и его сопряженного, то спо
соб, которым ее формулируют ныне, представляет не только внешнюю ана-
аналогию с современной формулировкой основной теоремы теории Галуа (см.
гл. V) или с понтрягинской двойственностью локально компактных коммута-
коммутативных групп; последняя восходит к Веберу, который в 1886 г. в связи с ариф
метическими исследованиями заложил ее основы для конечных групп; «двой-
«двойственность» между подгруппами и подполнми в теории Галуа выявляется
Дедекиндом и Гильбертом; а ортогональность векторных подпространств,
очевидно, имеет своим источником прежде всего двойственность линейных
*) А именно полных нормированных векторных пространств над полем
вещеегвенных или комплексных чисел.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И Ш 493
многообразий в проективной геометрии, а также понятие и свойства ортого-
ортогональных многообразий в евклидовом или гильбертовом пространстве
(откуда и ее наименование). В наше время все эти нити сплетаются воедино
в руках таких алгебраистов, как Э. Нетер, Артин и Хассе, и таких
топологов, как Понтрягин и Уитни (не без взаимных влияний, оказанных
одними на других), и каждая из этих областей приобретает законченный
вид, результаты чего изложены в настоящем трактате.
В то же время производится критическая проверка, имеющая своей
целью исключить в каждом пункте предположения, пе являющиеся действи-
действительно необходимыми и особенно те, которые преграждали бы путь тем
или иным приложениям. Так подмечают возможность заменить в понятии
векторного пространства тела кольцами и, создав общее понятие модуля,
рассматривать сразу эти пространства, коммутативные группы, модули специ-
специального вида, уже исследовавшиеся Кронекером, Вейерштрассом, Дедекин-
дом, Штейницем, и даже группы с операторами и применять ко всем им,
например, теорему Жордана — Гёльдера; в то же время посредством различе-
различения правых и левых модулей осуществляется переход к некоммутативно-
некоммутативному случаю, к чему вело современное развитие теории алгебр американской
(Веддерборн, Диксон) и, особенно, немецкой (Э. Нетер, Артин) школой.
Наконец, в недавнее время проявляется последняя из тенденций, кото-
которую мы здесь должны отметить: линеаризация теории Галуа, в зародыше
содержащаяся в теореме Дедекпнда ((XXIV), том 3, стр. 29) о линейной
независимости любых автоморфизмов поля, завершается Артином (XXXII)
и вскоре распространяется современной школой алгебраической геометрии
на любые расширения полей, а затем некоммутативных тел; в § 5 главы II
мы дали теоремы, лежащие в основе систематического изложения этих
методов, которое в дальнейшем найдет свое место в этом трактате.

БИБЛИОГРАФИЯ
(I) О. Neugebauer, Vorlesungen [iiber Geschichte der antiken
Mathematik, т. I: Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer),
1934. [Русск. перевод: О. Нейгебауэр, Лекции по истории
античных математических наук, т. I: Догреческая математика,
ОНТИ, М.-Л., 1937.]
(II) Euclidis Elementa, 5 тт., изд. J. L. Heiberg, Lipsae (Teubner),
1883—1888.
(II bis) T. L. H e a t h, The thirteen books of Euclid's Elements..., 3 тт..
Cambridge, 1908.
(III) Francisci Vietae, Opera matliematica..., Lugduni Bata-
vorum (Elzevir), 1646.
(IV) P. Fermat, Oeuvres, т. I, Paris (Cauthier-Villars), 1891:
a) Ad locos pianos et solidos Isagoge (стр. 91—110; франц. перевод,
там же, т. III, стр. 85); б) Appendix ad methodum... (стр. 184 - -
188; франц. перевод, там же, т. III, стр. 159).
(V) R. Descartes, La Geometrie, Leyde (Jan Maire), 1637 (= Oeuvres,
ed. Ch. Adam et P. Tannery, т. VI, Paris (L. Cerf), 1902). [Русск.
перевод: Ренэ Декарт, Геометрия, с приложением избран-
избранных работ П. Ферма и переписки Декарта, ОНТИ, М.—Л., 1938. |
(VI) G. Desargues, Oeuvres..., т. I, Paris (Leiber), 1864: Brouil-
lon proiect d'une atteinte aux euenemens des rencontres d'un cone
auec un plan (стр. 103—230).
(VII) G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, ed. C. I. Gerhardt.
т. I, Berlin (Asher), 1849.
(Villa) 1.. E u 1 e r, Introductio in Analysin Infinitorum, т. 2dust Lausan-
nae, 1748 (= Opera Oninia A), т. IX, Zurich — Leipzig — Berlm
(O. Fiissli et B. G. Teubner), 1945). [Русск. перевод: Леонард
U й л ер, Введение в анализ бесконечных, т. II, Физматгиз, М., 1961. ]
(VIII6) L. Е и 1 е г, Institutionum Calculi Integralis, т. 2<Эит, Petropoli,
1769 (= Opera Omnia A), т. XII, Leipzig — Berlin (В. G. Teubner),
1914). [Русск. перевод: Леонард Эйлер, Интегральное
исчисление, т. II, Гостехиздат, М., 1957.]
(IX) ,!.-[.. Lagrange, Oeuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867—
1892: a) Solutions analytiques fie quelques problemes sur les руга

БИБЛИОГРАФИЯ
495
mides triangulaires, т. Ill, стр. 661—692; 6) Solution de differents
problemes de calcul integral, т. I, стр. 471; в) Recherches d'arithmn-
tique, т. HI, стр. 695—795.
(X) G. С г a m e r, Introduction a l'analyse des lignes courbes, Geneve
(Cramer et Philibert), 1750.
(XI) E. В e z о u t, Theorie generale des equations algebriques, Paris.
1779.
(XII) С F. Gauss, Werke, Gottingen, 1870—1927: a) Disquisitiones
arithmeticae, т. I. [Русск. перевод в: Карл Фридрих Га-
Гаусс, Труды по теории чисел, Изд. АН СССР, М., 1959.] б) Selb-
stanzeige zur Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio
secunda, т. II, стр. 169—178.
(XIII) A.-L. С a u с h у, Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obte-
nir que deux valeures egales et de signes contraires par suite des
transpositions operces entre les variables qu'elles renferment,
.1. Ec. Polytechn., вып. 17 (т. X) A815), стр. 29—112 (= Oeuvres
completes B), т. I, Paris (Gauthier-Villars), 1905, стр. 91—169).
(XIV) A.-L. С a u с h у, в «Lemons de calcul differentiel et de calcul
integral, redigees principialement d'apres les methodes de M. A.-L.
Cauchy», par 1'abbe Moigno, т. II, Paris, 1844.
(XV) P. L. Lejeune-Dirichlet, Werke, т. I, Berlin (G. Rei-
mer), 1889, стр. 619—644.
(XVI) С. G. J. J а с о b i, Gesammelte Werke, Berlin (G. Reimer),.
1881—1891: a) De formatione et proprietatibus determinantium,
т. Ill, стр. 355—392; 6) De fractionibus duarum variabilium...,
т. II, стр. 25—50.
(XVII) M. Chasles, Apersju historique sur l'origine et le developpement
des methodes en geometrie..., Bruxelles, 1837.
(XVIII) A. F. M 6 b i u s, Der baryzentrische Calcul..., Leipzig, 1827
(= Gesammelte Werke, т. I, Leipzig (Hirzel), 1885).
(XIX) H. G r a s s m a n n: a) Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer
Zweig der Mathematik, dargestellt und durch Anwendungen anf
die iibrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mecha-
nik, die Lehre vom Magnetismus und die Kristallonomie erlautert,
Leipzig (Wigand), 1844 (=± Gesammelte Werke, т. I, ч. 1, Leipzig
(Teubner), 1894); 6) Die Ausdehnungslehre, vollstandig und in
strenger Form bearbeitet, Berlin, 1862 (= Gesammelte Werke,
т. I, ч. 2, Leipzig (Teubner), 18.96).
(XX) W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin, 1853.
(XXI) J. J. Sylvester, Collected Mathematical Papers, т. I, Cam-
Cambridge, 1904: № 25, Addition to the articles..., стр. 145—151 (= Phil.
Mag., 1850).
(XXII) А. С а у 1 e y, Collected Mathematical Papers, Cambridge, 1889—
1898: a) Sur quelques theoremes de la geometrie de position, т. I,
стр. 317—328 (= J. de Crelle, т. XXXI A846), стр. 213—227);

496
БИБЛИОГРАФИЯ
б) A memoir on the theory of matrices, т. II, стр. 475—496
(= Phil. Trans., 1858).
(XXIII) K. Weierstrass, Mathemalische Werke, т. II, Berlin (Mayer
und Miiller), 1895: Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten
complexen Grossen, стр. 311—332.
(XXIV) R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, 3 тт.,
Braunschweig (Vieweg), 1930—1932.
(XXV) H. J. Smith, Collected Mathematical Papers, т. I, Oxford,
1894: On system of linear indeterminate equations and congruences,
стр. 367 (= Phil. Trans., 1861).
(XXVI) L. Kronecker, Vorlesungen iiber die Theorie der Determinan-
ten..., Leipzig (Teubner), 1903.
(XXVII) G. P e a n o, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di
Grassmann, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva,
Torino, 1888.
(XXVIII) G. Ricci et Le vi-Ci v i t a, Methodes de calcul differentiel
absolu et leurs applications, Math. Ann., т. LIV, 1901, стр. 125.
XXIX) E. С a r t a n, Sur certaines expressions differentielles et le pro-
bleme de Pfaff, Ann. scient. Ecole norm, super. C), т. XVI, 1899,
стр. 239—332.
(XXX) H. P о i n с а г е, Les methodes nouvelles de la mecanique celeste,
т. Ill, Paris (Gauthier-Villars), 1899, гл. XXII.
(XXXI) О. Т о е р 1 i t z, Ueber die Auflosung unendlichvieler linearer
Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Rend. Circolo mat.
Palermo, т. XXVIII, 1909, стр. 88—96.
(XXXII) E. A r t i n, Galois Theory..., Ann Arbor, Mich., 1942.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Глава 5 r.°
т — у, х-a, j-.v, х Т ц,
ill/ I 1 1
X ТУ, Л' + У, Л'У
(X, Y- подмножества) I i 1
~]~ х ~Г" х ~Т~ х I ] 2
(If-4
а?А а
ГК-ЕК-ГК ¦ • •
тс?.А а
Т я- Т г-
- *' i=
>. т, т Ti
Т X, _L Xt Х1} , /IX ...
п со
ТХ, ТХ (X - под-
подмножество)
T
Тх, Т
Z, N*
Т 1 2
I
I
I
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
1 1 3
I 5
I 1
2 1
Глава § п°
— .т (т — рациональнее
целое) 1 2 5
x-f^y (х и jy — рацио-
рациональные целые) ... ] 25
.п/ (г и а — рациональ-
рациональные целые) i 2 Н
-1
Т х, j-i, —х I 2 9
— т»
Та:, аГ«, (-в)а: (//-по-
(//-положительное целое) 12 9
1/2/, — , a:/j/, — .... I 2 9
a_Lz, a ..г, х-a, x'!- (a —
оператор, j —элемент) 13 1
А 1 X. АХ, ХА (А ~
подмножество множе-
множества операторов. X —
подмножество .множе-
.множества элементов) ... I Л 1
а 1.Х, аХ, Ха (а — опе-
оператор, X — подмноже-
подмножество множества эле-
элементов) 1 о I
хТА (Т —внутренний
закон, х — элемент,
А —подмножество мно-
множества элементов) . . 13 1
х --. у (mod о), х — у (а)
(а, х, у — рациональ-
рациональные целые) I 4 3
А'1 (/I — множество
и группе) I 0 1
32 ]]. БурОакп

498
УКА.ЧАТКЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Г ли н
S пс
F' : //) (&' — группа,
/7 — подгруппа) ...
G/H (О — группа (гоот-
ветственно группа
с операторами); Н —
нормальная подгруппа
(соответственно устой-
устойчивая нормальная под-
подгруппа))
х~у (топ II), х = у (//)
(//—нормальная под-
подгруппа)
ух (х и у — элементы
группы)
G'H (С, — группа, Я —
любая подгруппа)
2 а, (аь — идеалы) ..
Я* (А: — тело) ....
Q. Q*. Q?
х^у (х и «/ — рацио-
рациональные числа) ...
| х \, sgn х (х — рацио-
рациональное число) ...
As, A,i (A — кольцо) .
I fi 2
I
II
дуля, равные нулю для
всех кроме конечного
числа индексов) ... II
2 ML (Mt — подмодули
модуля) II
М{1) (М — модуль, / —
произвольное множе-
множество) II
Jff(E, F) (Е я F — мо-
модули над одним п тем
же кольцом) II
X (Е) (Е — модуль) . . II
GL(?) (E — модуль) . . II
GLn (А) {А — кольцо) . II
6 3
6 11
I 6 3
I
I
I
I
I
6
7
7
8
9
4
1
6
6
1
5
195
9 5
1 1
1 5
1 7
1 7
2 1
2 5
2 5
2 5
Гла га з
[Е : К\, climK E, dim E
(Е — векторное про-
пространство над телом Л') II 3
codini/.; Г, codim Г (К—
векторное подпро-
подпространство векторного
пространства Е) . . II 3
Q (и) (и — линейное ото-
отображение векторного
пространства в вектор-
векторное пространство) . . II 3
Е* (Е — модуль) ... II 4
(х, х') (х — элемент мо-
модуля Е, х' — элемент
сопряженного моду-
модуля Е*) .II 4
6iv- II 4
'и (и — линейное ото-
отображение) II 4
и (и — изоморфизм мо-
модуля Е па модуль /') II 4
а„ а12 ... а1п
«ml Oln2... U лп/
X+Y, oX, Xq (X и У-
матрицы над коль-
кольцом А, о — его эле-
эле10
6 1
мент)
ХУ (X и У —матрицы)
/„ i_
Mn (A) (A ~ кольцо) . .
lX (X — матрица) . . .
'X, X (X—обратимая
квадратная матрица)
q (X) (X — матрица над
телом)
х, N (х) (х — элемент
квадратичного расши-
расширения коммутативного
кольца)
II
II
т j
II
И
II
П
II
6
6
6
6
6
6
6
6
7
2
2
4
5
5
6
0
7
7

КАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
Глава § п°
х, N (х) (х — элемент
алгебры кватернио-
нов) II 7 8
2 ol3s (S—моноид, as —
элементы коммутатив-
коммутативного кольца, равные
нулю для всех кроме
конечного числа ин-
индексов) II 7 9
2 «ss i$ ~ моноид,
s?S
удовлетворяющий ус-
условию (D), сц — про-
произвольные элементы
коммутативного коль-
кольца) II 7 10
X" (X — матрица над
кольцом А, о — его
изоморфизм над коль-
кольцом В) II 1 5
dimi?, dira^-i? (? —аф-
—аффинное пространство) IF II 1
t-\-a, a-\-t (a — точка
аффинного простран-
пространства, t — его перенос) II FI 1
Ь — а (а и b — точки
аффинного простран-
пространства) II И 1
У^, А,,в1 ((а{) — семейство
точек аффинного про-
пространства, (XJ — се-
семейство скаляров та-
такое, что 2 \=1 или
i
У V=0) II II 2
i
V*, А (У), ДП(А'), P(F),
?п(К) П III 1
dimP(V), dimK[>(l ) . . II III 1
A' II Ш 5
PGL(F), PGL,, (K) ... IF III 6
X(E, F; G), Хг{Е\ G)
(E, F и G — модули)
(E и /"—модули)
F, V.
и F модули)
Ml 0 U2 ("l И «2 — ;|H-
нейные отображения)
499
Глмиа S ir
III 1 1
IFF 1 2
III II 1
III 1 2
III II 1
III 1 4
III II 2
(Xx и A'L> -
матрицы)
X(EX, ...,?„; /¦) (ff(
и /" — модули) . . .
jen(E; F) (/? н /'-мо-
/'-модули)
п
(у?) Е ¦ Е\ 6^ .. 6^ /''
III 1
III 1
III 1
III 1
III II
(x^Ei, Ei — модули) III I 7
III II 9
(g)E Ill 1 7
Е(В) (Е—А-ыоцулъ, А —
подкольцо кольца В) III 2 1
III II 10
E®F (E uF— алгебры) III 3 1
Е.щ (Е—алгебра над А ,
А — подкольцо ком-
коммутативного кольца В) III 3 4
Т\(Е), Е\ (^-модуль) III 4 1
хх ... хрх{ ... х\ (xj СЕ,
x'j?E*) Ill 4 1
и]' (и — автоморфизм
модуля Е) III 4 2
ху (х и у — тензоры) III 4 3
Cj (z) (z — смешанный
тензор) Ill 4 3
32*

500
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Глава § и !
и (и — эндоморфизм мо-
модуля Е) 111 4
Тг (и) (и—эндоморфизм) III 4
Tr (U) (U — квадратная
матрица) III 4
Т(Е) (Е — модуль) . . III 4
ах (x=(xt) — элемент
из ЕР, а ? Ъу) . . . . Ш 5
о/ (/ — отображение Е>'
в 6', (jfSp) Ill 5
og (g — линейное ото-
/^
бражеиие (х)Е в !¦',
абЗр) 111 5
a*(z6(g)/?, стРгр) . . Ill 5
«z (z — элемент Л -моду-
-модуля, связанного с 2,,) III 5
Л^ "I 5
*1 Л ... Л .г,, (.Г; ??) . III 5
*я <^i)i<c);SM — после-
последовательность элемен-
элементов из Е, Н — под-
подмножество интервала
[1, л]) Ш 5
v
Дм (и — линейное ото-
отображение) II [ 5
и/\ v (и—р-вектор, v—
^-вектор) III 5
Л Е (Е —модуль) ... Ill Г)
qh д. (Я и А' — непе-
непересекающиеся подмно-
подмножества интервала
[1, «]) III 5
del и (к —эндоморфизм) III 6
del X, i X (X — квад-
квадратная матрица) . . III E
]hr Ш *'
I ll
Глава
II!
з-i А ... А ¦?„ ]П fi
'1 Л ...Л '¦„
Хн /v (X — матрица п.- />>
строк и п столбцоу
Н — множество из />
элементов интервала
11, т], К — множе-
множество из р элементен
интервала II, и\) . . III I)
V
АХ {X — матрица) . . III (>
X') (X — квадратная
матрица) Ill О
xjx' (хС/\Е,л-Х\К*) I" R
х\_х' (х?/\Е,г'?/\Е*) III 8
E?) El ((Ey)lCj — семей-
семейство .модулей) .... Ill I
модулей) III I 1
— семей-
... Ill I 2
ство алгебр)
A)
во алгебр с единицей) III I 2
(Е и F — А -модули) III II 1
E0&F (Е—правый, а/' —
левый модуль над Л) III II 1
X (к, v) (ми v — ли-
линейные отображения) III II 7
Ill II '.)
E
(B 5)
Ill II 9
ЦТ II К)

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава
. I
§ п°
6 7
Абелева группа ....
Абсолютное значение ра-
рационального числа ... 195
Автоморфизм алгебраи-
алгебраической структуры . . I
— внешний (группы). . I
— внутренний (группы) I
— модуля II
Аддитивная группа ра-
рациональных целых чисел 1
— — — — по модулю а 1
Аддитивное обозначение
закона композиции . I
Алгебра кватернионов. II
— моноидная расши-
расширенная II
— — (узкая) II
— над кольцом II
— противоположная . . II
— тензорная модуля . III
4 1
7 4
6 4
2 5
6 1
6 3
1 1
7 8
7 10
7 9
7 1
7 1
4 6
4 1
4 2
Алгебраическая струк-
структура I
— — индуцированная . I
Алгебраические структуры
гомологичные 1 4 1
Алгебраическое дополне-
дополнение элемента квад-
квадратной матрицы . . III 6 4
Л-линейное отображение III 2
А-модулъ II 1 1
Аннулятор левый (пра-
(правый) 18 5
— множества элементов
модуля И 1 9
33 п. Г.урбаки
Глава
Антиавтоморфизм алге-
алгебры кватернионов . II
Антилинейное отобра-
отображение II
1 1
Антисимметрирование . III 5 1
Антисимметрический
элемент III 5 1
Ассоциативность внеш-
внешнего закона .... 152
— внутреннего закона . 113
— двоякая 15 3
Ассоциативный внешний
закон 15 2
— внутренний закон . 113
Ассоциированное аффин-
аффинное пространство (с
векторным простран-
пространством) II II 1
— взаимно однозначное
представление .... 144
— линейное отображение
(с аффинным отображе-
отображением) II II 4
— — — (с полулиней-
полулинейным отображением) . II I 2
— однородное линейное
уравнение II 4 7
— подтело (с множеством
представлений) .... II 5 6
— — (с подпростран-
подпространством) II 5 5
— проективное простран-
пространство (с векторным про-
пространством) II II! 4

502
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Аффинная гиперплос-
гиперплоскость II II 3
— группа II II 4
— плоскость II II 1
II II 3
— прямая II II 1
II II 3
— функция II II 4
Аффинно зависимое се-
семейство II II 3
— независимые точки . II II 3
— свободная система .II II 3
— свободное семейство II II 3
Аффинное линейное мно-
многообразие II II 3
— отображение II II 4
— пространство .... II II 1
Базис алгебры II 7 2
— канонический алгебры
кватернионов . ... II 78
— — модуля А^ (соот-
(соответственно А^) ... II 1 8
— — — матриц из т
строк и п столбцов
— модуля
— сопряженный . . . .
— Хамеля
Базисы сопряженные
Барицентрическая коор-
координата
Бесконечно удаленная ги-
гиперплоскость
— удаленные точки . .
Бесконечномерное век-
векторное пространство
Биавтоморфизм ....
Биивоморфивм
Билинейная форма . •
— — каноническая
Билинейное отображение
Вандермонда определи-
определитель III
Глава § п° Глава § п"
Вектор II 1 2
— коеариантный . ... III 5 5
— контраеариантный . . III 4 1
— направляющий . . . II II 3
— свободный II II 1
Векторное подпростран-
подпространство II 1 3
— пространство, ассоци-
ассоциированное с одулем над
кольцом це. эстности III 2 3
— — бесконечномерное II 3 2
— — конечномерное . . II 3 2
— — левое (правое) . . II 1 2
— —, полученное приня-
принятием точки аффинного
пространства за начало. II II 1
— факторпространство II 1 3
Внешнее произведение
/>-вектора и ректора .III 5 8
Внешние законы компо-
композиции перестановочные 15 3
Внешний автоморфизм
группы 17 4
— закон композиции . 13 1
— — —, ассоциативный
относительно внутрен-
внутреннего закона 15 2
— — —, всюду опре-
определенный I 3 1
— — — , дистрибутивный
относительно внутренне-
внутреннего закона I 5 1
— — — ,— — совокуп-
совокупности двух внутрен-
внутренних законов .... 151
— — — ,¦— слева (спра-
(справа) 15 1
— — — индуцирован-
индуцированный : 1зз
Внешняя алгебра моду-
модуля III 5 9
— гомотетия кольца опе-
операторов 18 2
— степень линейного
отображения^ .... Ill 5 7
. II
II
II
II
II
II
6
1
4
3
4
II
II III
II III
II
I
I
III
II
III
3
4
4
1
4
1
2
6
4
1
4
3
4
4
2
1
1
1
1
1

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
503
III 8 4
I 1 1
I 1 3
I 1 1
I
Глава § n°
Внешняя степень матри-
матрицы Ill 6 3
— — модуля Ill 5 5
Внутреннее произведение С
левое (правое) р-векто-
ра и g-формы
Внутренний закон ком-
композиции
— — — ассоциативный .
— — —, всюду опреде-
определенный
— — — , двояко дис-
трибут,ивный относи-
относительно внутреннего за-
закона
— — — индуцирован-
индуцированный
— — — коммутатив-
коммутативный
— — — противополож-
противоположный
Всюду определенный внеш-
внешний закон композиции
— — внутренний закон
композиции
Второй сопряженный мо-
модуль
Вычеркивание строк
(столбцов) матрицы .
Вычет целого числа по
модулю а
Гиперкомплексная сис-
система II 7 1
Гиперплоскость аффинная II II 3
— бесконечно удаленная II III 4
— в векторном простран-
пространстве II 3 3
— проективная .... II III 3
— —, принимаемая за
бесконечно удаленную
Главный идеал . ...
Гомологичные алгебраи-
алгебраические структуры
Гомоморфизм группы
I
I
I
I
I
II
II
I
1
1
1
3
1
4
C3
4
4
5
1
1
1
1
1
3
II III 6
I 8 6
I 4 1
I 6 4
I
I
I
II
II
III
I
I
8
6
8
1
2
7
6
6
2
о
А
1
5
3
i
1
Глава § С
Гомоморфизм канони-
канонический — см. Каноничес-
Канонический гомоморфизм
— кольца 18 8
— множества, наделен-
наделенного алгебраической
структурой 14 4
Гомотетия внешняя
кольца операторов
— группы операторов
— левая (правая) кольца
— модуля
— — центральная
Грассмановские коорди-
координаты р-вектора . .
Группа
— абелева
— автоморфизмов струк-
структуры 174
— аддитивная рацио-
рациональных целых чисел 16 1
— — целых чисел по мо-
модулю а 16 3
— аффинная II II 4
— бесконечная 17 4
— знакопеременная . 17 1
— импримитивная . . 17 7
— интранзитивная . 17 5
— коммутативная . . 16 7
— конечная 17 1
— линейная модуля . . II 2 5
— моногенная 16 7
— мультипликативная те-
тела 19 1
— подстановок 17 1
— преобразований ... 171
— примитивная .... 177
— проективная II III 6
— производная 16 8
— простая 16 3
— противоположная . 16 1
— с операторами .... 169
— — — коммутативная 16 9
— — — простая ... I 6 14
— симметрическая ... 171
33»

504
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Группа транзитивная
— циклическая . . .
Групповая структура
Двоякая ассоциативность
— дистрибутивность
Двусторонний идеал . .
Делитель левый (правый)
— — (—) нуля . . .
Диагональ квадратной
матрицы
Диагональная клеточная
матрица
— матрица
Диагональные элементы
матрицы
Дистрибутивность двоя-
двоякая
— относительно внутрен-
внутреннего закона . . . .
— — совокупности двух
внутренних законов
— слева (справа) ....
Дистрибутивный закон
композиции
Длина группы с опера-
операторами
— слова
Дополнение подмодуля
Дополнительные миноры
— подмодули
Дробь
Дуальные числа . ...
Глава
I
I
I
I
I
I
I
I
§
7
6
6
5
5
8
8
8
п°
5
7
1
3
1
5
3
3
II 6 5
II
II
II
I
6
6
6
5
5
5
5
1
I 5 1
I
I
II
III
II
I
5 1
5 1
I 5 1
6 14
1 3
1 4
6 4
1 4
9 4
Единица
Единичный элемент
— — кольца
Жордана-Гёлъдера ряд
— — теорема . ...
II 7 7
I 2 9
I ;2 1
I 8 1
I 6 14
I 6 14
Зависимая система эле-
элементов множества II 1 6
Зависимое множество эле-
элементов модуля ... II 1 6
Глава.§ п°
Зависимое семейство элемен-
элементов модуля II 1 6
Закон композиции внешний 13 1
— — —, ассоциативный
относительно внутрен-
внутреннего закона 15 2
— — —, всюду опреде-
определенный I 3 1
— — —, дистрибутив-
дистрибутивный относительно вну-
внутреннего закона ... 151
— — —, — — совокуп-
совокупности двух внутренних
законов
— — —, — слева (справа) I
— — — индуцированный
— — — левый (правый),
порожденный внутрен-
внутренним законом . ...
— — внутренний . . .
— — — ассоциативный
— — —, всюду опреде-
определенный I 1 1
— — —, двояко дистри-
дистрибутивный относительно
внутреннего закона . 15 1
— — — коммутативный 115
— — — противополож-
противоположный I 1 1
Законы композиции внеш-
внешние перестановочные . 15 3
Знак рационального числа 19 5
Знакопеременная группа 17 1
Знакопеременное линейное
отображение III 5 2
— полилинейное отобра-
отображение III 5 2
Знаменатель дроби . . 19 1
I
I
I
I
I
I
5
5
3
3
1
1
1
1
3
2
1
3
Идеал
— главный . . . .
— двусторонний
— левый (правый)
— максимальный
— нулевой . . . .
I 8 5
I 8 6
I 8 5
I 8 5
I 8 7
I 8 5

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
505
Глава § п°
Идеал, порожденный
множеством 18 6
Идемпотент 114
Изоморфизм канониче-
канонический — см. Канонический
иаоформизм
— контрагредиентный . II 4 10
— множества, наделен-
наделенного алгебраической
структурой, на такое
же множество ... 141
Импримитиеная группа . 17 7
Инвариант группы опе-
операторов 17 4
— — относительно пред-
представлений на группу
преобразований ... 174
Инвариантная подгруппа 16 3
Инвариантное отображе-
отображение (относительно груп-
группы преобразований) . 17 4
Инвариантный элемент
(относительно опера-
оператора) 13 1
Индекс подгруппы . . 16 3
Индуцированная алгеб-
алгебраическая структура 14 2
Индуцированный закон
внешний 13 3
— — внутренний ... 114
Интранзитивная группа 17 5
Инъекция каноническая
—см. Каноническая
инъекция
Кан ническая билинейная
форма II 4 1
— инъекция векторного
пространства в ассоци-
ассоциированное проективное
пространство II III 4
— матрица ранга г из то
строк и п столбцов . II 6 10
Канонические структуры
модуля в E®AF ... Ill II 3
Глава
Канонический базис алгеб-
алгебры кватернионов . . II
модуля А[Т) (A(dT)) II
— гомоморфизм алге-
алгебраической структуры
на факторструктуру . I
— — группы на фактор-
факторгруппу I
— — кольца на фактор-
кольцо I
— изоморфизм двух
дополнений подмо-
подмодуля II
— — фактормодуля на
дополнительный мо-
модуль II
А®Е на Е ... III
— — E<g)F на F0E . . Ill
(E®F)IV(M,N) на
(EIM)®(FIN) .... Ill
III
§ D'
7
1
4
6
8
8
8
4
4
8
1 4
{Е&Ег)* на Ef
g
k=i ,i
III
III
1
1
1
1
II
1
4
3
3
3
5
5
III
E*(g)F на X(E, F) III
(соответственно на F) . . Ill
E<g)A.F на F<$a0E . . Ill
на
(E <g>A F)<g)BG и на
Ш
F на J?A (As, F) . . Ill
% (E, F; G) на
X (E, X (F, G)) .... Ill
J?z(?<2)aF, G) на
Ill
GEXF
XA(P, Xb(E, G)) . . . Ill
Xc{e®aF, G) на
¦Za iE, Xc {F. G)) . . . Ill
2 1
2 10
4 4
II 4
II 9
II 7
1 1
II 1
II &
II 8

506
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п°
Канонический изофор-
V V
физм {/\Е)* на 1\Е* . . Ill 8 2
р п-р
/\Е на Д Е* . . . III 8 5
1\Е на Д?*.... III 8 5
Каноническое отоб ражение
модуля во второй сопря-
женный II 4 1
Е в Е,
(В)
Ill 2
III II 10
v
— — \E в модуль ан-
антисимметрированных
тензоров Ill 5 6
— •— M§Z)N в E§Z)F (Л/ и
N — подмодули модулей
Е a F) III 1 3
x?l цел/
В Y\ (?Я.®А^ц)- Ш И 6
(X, (i)?LXM
— представление алге-
алгебраической структуры
на факторструктуру . 14 4
— — произведения групп
преобразований в сим-
симметрическую группу . 17 3
— продолжение линей-
линейного отображения до
представления . ... III 4 6
III 5 9
рациональной дроби II III 5
Квадратная матрица . . II 6 5
Квадратичное расширение
кольца II 7 7
Квадратные матрицы
подобные II 611
Кватернион сопряженный II 7 8
Класс импримитивности 17 7
— интранзитивности . . 17 5
— левый (правый) по
подгруппе 16 3
Глава § п°
Клеточная диагональная
матрица II 6 5
— матрица II 6 4
Ковариант 17 4
Ковариантный вектор . III 4 1
— тензор III 4 1
Кольцевая структура . 18 1
Кольцо 18 1
— дробей 19 4
— коммутативное . . 18 1
— отношений 19 4
— противоположное . 18 1
— рациональных целых
чисел I 8 1
— с нулевым квадратом 18 1
— —• операторами . . 18 2
— целостности .... 183
— эндоморфизмов ком-
коммутативной группы . 18 1
Комбинации линейные
формальные II 1 8
Комбинация линейная
элементов модуля . . II 1 5
Коммутант 16 8
Коммутативная группа 16 7
— — с операторами . 16 9
Коммутативное кольцо 18 1
— тело 19 1
Коммутативности тео-
теорема 115
Коммутативность вну-
внутреннего закона ... 115
Коммутативный внут-
внутренний закон .... 115
Коммутатор двух эле-
элементов 16 8
Коммутирующие под-
подалгебры III 3 3
Композиционный ряд . I 6 14
Композиционные ряды
эквивалентные .... I 6 14
Композиция двух эле-
элементов Ill
— конечного семейства
элементов 115

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
507
Композиция
элемента
— прямая
— пустого
— серии
Глава
оператора и
подколец .
семейства
элементов .
Компонента произведения
модулей II
— элемента в прямой сум-
сумме подмодулей II
— прямом произведе-
произведении подгрупп I
— — модуля относительно
базиса , . . . . II
Компоненты тензора над Е
относительно базиса мо-
модуля Е III
Конечномерное векторное
пространство II
Контравариантный вектор III
— тензор III
Контрагредиентная
матрица II
Контрагредиентный
изоморфизм II
Координата барицентри-
барицентрическая II
— элемента модуля от-
относительно базиса ....
Координатная форма
Координаты грассманов-
ские ^-вектора
— однородные точки проек-
проективного пространства
Кссое тело
Коэффициенты линей-
линейного соотношения . . .
— линейной комбинации
— системы липейных
уравнений
Крамера формулы ....
Кратное левое (правое)
Кронекеровский символ
Кронекеровское произведение
матриц III
Круля теорема . . .
II
II
3 1
8 1
2 1
1 2
1 4
I 7
6 6
1 6
4 1
3 2
4 1
4 1
6 6
4 10
II 3
1 6
4 4
III 7 3
II
I
II
II
II
III
I
II
III
I
III
9
5
1
4
6
8
4
1
8
2
1
4
5
7
5
3
4
6
7
I
I
I
I
I
[I
I
I
II
3
8
8
8
6
1
2
6
2
T2
3
3
5
3
1
2
14
5
Глава § n°
Лагранжа тождество III 8 2
Л апласовское разложение III 6 4
— •— по столбцам (по
строкам) ........ III 6 4
Левая гомотетия кольца 18 1
Левое векторное простран-
пространство II 1 2
— внутреннее произведе-
произведение р-вектор аи д-формы III 8 4
— кратное 18 3
Левый аннулятор .... 185
— внешний закон компо-
композиции, порожденный внут-
внутренним законом . . .
— делитель
— — нуля
— идеал
— класс по подгруппе
— модуль
— перенос
Лемма Цасенхауза . .
Линейная группа модуля
•— комбинация семейства
элементов модуля . . II 1 5
•— система II 4 7
• однородная . . . II 4 7
— форма II 4 1
¦— функция II 2 1
Линейно зависимые эле-
элементы модуля ... II 1 6
— независимые элементы
модуля II 1 6
— раздельные подалгебры III 3 3
Линейное многообразие II II 3
— — однородное II II 3
• , порожденное се-
семейством точек .... II II 3
проективное .... II III 3
— отображение .... II 2 1
, ассоциированное с
аффинным II II 4
— —, — — полулиней-
полулинейным II 1 2
проективное .... II III 6
сопряженное ... II 4 9

508
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п°
Линейное проективное ото-
отображение IIIII 6
— уравнение II 4 7
однородное II 4 7
скалярное
Линейные комбинации
формальные . .
— многообразия парал-
параллельные
II 4 7
II 1 8
II II 3
Максимальный идеал
Матрица
— диагональная
— каноническая ранга г
из т строк и п столбцов
— квадратная
обратимая
— клеточная
диагональная . . . .
— контрагредиентная . . .
— линейного отображения
— линейной системы . . .
— мономиалъная . .
— перехода к новому базису
— подстановки
— полулинейного отобра-
— транспонированная
— треугольная
— унимодулярная ....
— эндоморфизма . .
Матрицы, отличающиеся
лишь порядком строк
(столбцов)
— подобные
I
II
II
II
II
II
И
II
II
II
II
II
II
II
II
П
II
II
III
П
II
II
8
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
1
6
6
6
6
6
6
6
7
1
5
10
5
5
4
5
6
3
8
5
9
5
5
1
6
5
1
5
10
И
II 6 10
II 6 10
III 6 3
III 6 4
II II 3
IIIII 3
IIIII 7
аффинное II II 3
— эквивалентные ....
Метод последовательных
подстановок
Минор
—¦ дополнительный . .
Многообразие линейное
I 3 1
I 2 4
II 4 1
II 1 1
II 1 8
II 1 5
II 1 6
Глава § а"
Многообразие линейное
однородное II II 3
— —, порожденное се-
семейством точек .... II II 3
проективное .... II III 3
Многообразия линейные
параллельные II II 3
Множества ортогональные II 4 2
Множество, наделенное груп-
группой операторов ... I 7 2
— операторов внешнего
закона
— симметризованное . .
Модуль второй сопря-
сопряженный
— левый (правый) . . .
— линейных соотношений
— моногенный
— свободный
—, связанный с симметри-
симметрической группой III 5 1
— сопряженный II 4 1
— точный II 1 9
— •— ассоциированный . .
— унитарный
— формальных линейных
комбинаций .....
Моногенная группа . .
Моногенный модуль . .
Моноид I 1 3
— свободный 113
Моноидная алгебра ... II 7 9
— — расширенная . . .II 7 10
Мономиалъная матрица II 6 5
Мультипликативная груп-
группа тела 19 1
Мультипликативное обозна-
обозначение закона компо-
композиции 14 1
Надтело 192
Наибольший общий дели-
делитель (н. о. д.) двух
целых чисел I 8 6
II
II
II
I
II
1
1
1
6
1
9
2
8
7
5

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава
Наименьшее общее крат-
кратное (н. о. к.) двух це-
целых чисел
Направляющая линей-
линейного многообразия
Направляющее подпро-
подпространство линейного
многообразия
Направляющие параметры
прямой
Направляющий вектор
прямой
I
II
II
II
II
Начало (в аффинном про-
пространстве)
— (относительно адди-
аддитивного закона ком-
композиции)
Неизвестные (системы ли-
линейных уравнений) . . .
Нейтральный оператор
— элемент
Нечетная подстановка
Норма кватерниона . . .
— элемента квадратичного
расширения
Нормальная подгруппа
Нулевое решение одно-
однородного линейного урав-
уравнения
Нулевой идеал
Нуль .
Область операторов . . .
внешнего закона . . .
Образ линейного много-
многообразия при проектив-
проективном отображении ....
Образующих система
идеала ...
подгруппы ....
Обратимая квадратная
MaTfiDuua ... ....
Обратимый элемент . . .
Обратный элемент ....
II
НН
II
I
I
нн
II
II
I
нн
I
I
I
II
I
I
II
I
I
8
II
II
II
II
II
2
4
3
2
7
7
7
6
4
8
2
3
нн
8
6
6
2
2
6
3
3
3
3
1
1
7
1
1
1
8
7
3
7
5
1
1
6
6
2
5
9
9
Глава § п"
Однородная система линей-
линейных уравнений .... II 4 7
Однородное линейное
многообразие II II 3
уравнение II 4 7
, ассоциированное
с линейным уравнением II 4 7
— пространство .... 176
, порожденное под-
подгруппой I 7 6
Окаймление матрицы ... II 6 1
Оператор 13 1
— нейтральный . . . . 13 1
— симметрии III 5 1
Операторов множество
(область) 13 1
Определитель Вандермонда III 6 4
— матрицы III 6 1
— п векторов III 6 1
— эндоморфизма III 6 1
Ортогональные множества II 4 2
— элементы II 4 2
Ортогональный подмодуль .II 4 2
— — полный II 4 2
Отношение 19 4
— двух векторов II 1 6
— эквивалентности, согла-
согласующееся с алгебраической
структурой I 4 3
, — слева (справа) с
внешним законом . 14 3
— —, — — (—) — внутрен-
внутренним законом I 4 3
Отношений кольцо .... I 9 4
— поле I 9 4
Отображение антилиней-
антилинейное П 1 1
— аффинное II II 4
— инвариантное отно-
относительно группы преоб-
преобразований 17 4
— каноническое — см.
Каноническое отобра-
отображение
— линейное II 2 1

510
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п"
Отображение линейное, ас-
ассоциированное с аффинным II II 4
, полулинейным II 1 2
сопряженное . . . . II 4 9
— полулинейное II I 1
— проективное II III 6
— симметрии группы ..161
— тензорное III 4 2
Отрицательные рациональ-
рациональные числа I 9 5
— целые числа I 2 5
р-вектор
— разложимый ....
Параллельные линейные
многообразия
Параметры, направляю-
направляющие прямой
Первичное решение ли-
линейной системы . . . .
— соотношение между
элементами семейства
Первичный элемент век-
векторного пространства . . .
Перенос аффинного про-
пространства
— левый (правый)
Переносов пространство
Перестановочные внеш-
внешние законы композиции
— элементы
Плоскость афинная ....
— в векторном простран-
пространстве
— проективная
Подалгебра
Подалгебры коммутирую-
коммутирующие
— линейно раздельные
Подгруппа
— инвариантная
— нормальная
—, порожденная множе-
множеством
— устойчивая
III 5 5
III 5 5
. II II 3
. II II 3
. II 5 3
II 5 4
. II 5 2
II II 1
I 2 2
II II 1
I 5' 3
I I 5
II II 1
II 3 3
II II 3
II III 1
II 7 3
III 3 3
III 3 3
I 6 2
I 6 3
I 6 3
I 6 2
I 6 10
Глава § n°
Подгруппа устойчивая,
порожденная множе-
множеством I 6 10
Подколъцо 18 4
—, порожденное множе-
множеством 18 4
Подматрица II 6 1
Подмодуль II 1 3
— дополнительный .... II 1 4
— ортогональный II 4 2
полный II 4 2
Подобные квадратные
матрицы II 6 11
— семейства элементов . 112
— серии элементов ... 112
Подпространство век-
векторное II 1 3
—, определяемое разло-
разложимым р-вектором . .III 7 3
Подстановка нечетная .
— четная
Подстановок последова-
последовательных метод . . .
Подтело
—, ассоциированное с мно-
множеством представлений II 5 6
—, подпространством II 5 5
—, порожденное множе-
множеством 192
Поклеточное вычисление
произведения матриц . . II 6 4
Поле 19 1
— дробей кольца целост-
целостности 194
— отношений кольца цело-
целостности I 9 4
— рациональных чисел 19 5
Полиавтоморфизм ... 141
Полиизоморфизм .... 141
Полилинейная форма ¦ III 1 7
Полилинейное отображение III 1 1
Полное разложение опре-
определителя III 6 2
Полный ортогональный под-
подмодуль II 4 2
I
I
II
I
7
7
6
9
1
1
10
2

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
511
Глава § п°
Положительные рацио-
НО JhbHhlP "ЧИСЛО . •
Полулинейное отображение
сопряженное ....
Порядок группы ....
— квадратной матрицы
— элемента группы . .
Правая гомотетия кольца
Правое векторное про-
пространство
— внутреннее произведение
р-вектора и д-формы
Правый аннулятор ....
— внешний эакон ком-
композиции, порожденный
внутренним законом
— делитель
— — нуля
— класс по подгруппе
— модуль
— перенос . . ...
Предст авление
— взаимно однозначное
ассоциированное
— группы
с операторами . . .
— каноническое.— см.
Каноническое пред-
представление
Примитивная группа . ¦
Принцип продолжения
линейных тождеств . .
— — по линейности . .
приписывание последо-
последовательностей
Продолжение алгебраиче-
алгебраической структуры ....
— внутреннего закона
по симметрии ....
1
I
II
II
I
II
III
I
I
II
III
I
I
I
I
I
I
I
II
I
I
II
1
I
I
I
I
II
II
I
I
I
9
2
1
1
6
6
4
6
8
1
8
8
8
3
8
8
8
6
1
2
4
7
4
6
6
8
7
2
2
1
4
2
5
5
1
4
1
5
1
7
1
2
4
3
5
2
3
3
5
3
1
1 CSI
4
4
4
4
12
8
7
1
1
3
2
4
Глава § п°
Продолжение каноническое
—см. Каноническое про-
продолжение
Проективная гиперпло-
гиперплоскость II III 3
, принимаемая за бес-
бесконечно удаленную И III 6
— группа II III 6
— плоскость II III 1
— прямая II III 1
Проективно зависимое
семейство II III 3
— свободное семейство II III 3
Проективное линейное
многообразие II III 3
— отображение II III 6
— пространство II III 1
II III 7
, канонически ассо-
ассоциированное с вектор-
векторным пространством II III 4
, порожденное век-
векторным пространством II III 1
— тело II III 5
Проектирование на под-
подмодуль параллельно
его дополнению ... II 1 4
Произведение алгебр ... II 7 5
— алгебраических структур 14 5
— векторных пространств II 1 4
— внешнее р-вектора и
g-вектора III 5 8
— внешних законов ком-
композиции 14 5
— внутреннее III 8 4
— — левое (правое) р-векто-
ра и д-формы .... III
— внутренних j законов
композиции ....
— групп
— двух элементов
— клеточных матриц
— колец
— кронекеровское двух
матриц III 1 6
I
I
I
II
I
8 4
8 10

512
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава §
Произведение матриц . . II 6 4
— модулей II 1 4
— прямое подгрупп . . 16 6
— свернутое двух тензоров III 4 3
— серии элементов . . 112
— тензорное — см.
Тензорное произведение
Производная группа . . 16 8
Прообраз линейного
многообразия относи-
относительно проективного
отображения II III 6
Простая группа 16 3
с операторами . . I 6 14
Пространство аффинное II II 1
— векторное — см.
Векторное пространство
— однородное 17 6
, порожденное под-
подгруппой 17 6
— переносов II II 1
— тензорное III 4 2
Противоположная алгебра II 7 1
— группа 16 1
Противоположное кольцо 18 1
с операторами . . 18 2
Противоположные внутрен-
внутренние законы композиции 111
— целые числа 12 5
Противоположный элемент 12 9
Прямая аффинная .... II II 1
II II 3
— в векторном простран-
пространстве II 3 3
— композиция подколец . . I 8 11
— проективная II III 1
— сумма аддитивных групп 16 6
модулей II 1 7
— — подалгебр .... II 75
— — подмодулей II 1 7
Прямое произведение подгрупп I 6 6
Пустая матрица .... II 6 1
р-форма III 2 8
Раздвоение внутреннего за-
закона композиции ... 132
1° Глава § п'-
Разложимый р-вектор . . . III 5 5-
•— тензор 1П 4 1
Размерность аффинного
пространства II II 1
— векторного пространства II 3 2
— линейного многооб-
многообразия II II 3
— проективного про-
пространства И Ш 1
— свободного модуля над
коммутативным кольцом III II 11
Ранг алгебры над полем II 7 2
— аффинного отображения II II 4
— линейного отображе-
отображения И 3 4
— линейной системы урав-
уравнений над телом . . II 4 8
— матрицы над телом II 6 7
— модуля над кольцом
целостности III 2 3
— подмножества вектор-
векторного пространства II 3 2
— полулинейного отоб-
отображения II I 3
— элемента алгебры
/\F (где F — вектор-
векторное подпространство) III 5 9
Распространение под-
подстановки 17 3
— представлений группы
в группу преобразований I ' 7 3
— произведения групп
преобразований .... 173
Расширение кольца квад-
квадратичное II 7 7
операторов алгебры III 3 4
модуля III 2 1
— тела 19 2
Расширенная моноидная
алгебра II 7 10
Рациональные целые
числа 125
— числа 195
Реализация группы в виде
группы преобразований 17 2

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
513
Глава § п°
Реализация группы, тран-
транзитивная I 7 6
Регулярный элемент ... I 2 2
Результат антисиммет-
антисимметрирования элемента . . . III 5 1
Решение линейной систе-
системы нулевое II 4 7
• первичное . . . . II 5 3
— — — тривиальное .... II 4 7
Ряд Жордана — Гёль-
дера I 6 14
— композиционный .... I 6 14
Ряды композиционные
эквивалентные . ... I 6 14
•Свернутое произведение III 4 3
Свертывание двух индек-
индексов смешанного тензора. III 4 3
Свободная система эле-
элементов модуля . . . . II 1 6
¦Свободное множество
элементов модуля ... II 1 6
— семейство элементов
модуля II 1 6
¦Свободный вектор аффин-
аффинного пространства
— модуль
— моноид
— член уравнения .
— элемент модуля .
•Семейства элементов
подобные I 1 2
Семейство аффинно зави-
зависимое II II 3
независимое II II 3
— коэффициентов линейной
комбинации II 1 5
— проективно зависимое II III 3
свободное II III 3
— элементов модуля за-
зависимое II
свободное II
II
II
I
II
II
II
1
1
4
1
1
6
3
7
6
Серии элементов подобные I
Серия элементов I
Сигнатура подстановки . I
1 6
1 6
1 2
1 2
7 1
Глава § п°
Символ кронекеровский .II 4 4
Симметризации теорема 12 4
Симметризация внут-
внутреннего закона компози-
I 2 4
ции
Симметризованное мно-
множество I 2 4
Симметризуемый элемент 12 3
Симметрический элемент III 5 1
Симметричное подмно-
подмножество группы .... I 6 1
Симметричные элементы 12 3
Симметрия группы ... I 6 1
Система аффинно неза-
независимая II II 3
— гиперкомплексная ... II 7 1
— левых (правых) скаляр-
скалярных линейных уравнений II 4 7
— линейная II 4 7
— линейных уравнений II 4 7
•— однородная ... II 4 7
— образующих векторного
пространства II 3 1
идеала 18 6
подгруппы 16 2
проективного линей-
линейного многообразия . . II III 3
— уравнений подпро-
подпространства II
Скаляр II
Скалярное линейное урав-
уравнение II
След матрицы III
— эндоморфизма III
Слово I
Сложение I
— рациональных целых чисел I
— целых чисел по модулю а I
Смешанный тензор .... III
Сомножители произве-
произведения I 1 2
Сопряженное линейное ото-
отображение II 4 9
— полулинейное отобра-
отображение I! 1 4
4
1
4
4
4
1
1
2
4
4
6
2
7
5
5
3
1
5
3
1

514
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИЙОВ
Глава § n°
Сопряженные базисы II 4 4
— элементы группы ... 175
Сопряженный базис II 4 4
— кватернион II 7 8
¦— модуль II 4 1
— элемент в квадратич-
квадратичном расширении II 7 7
Сравнение по модулю а
(а —двусторонний идеал) 18 5
— — рациональному целому
модулю I 4 3
Степень внешняя линей-
линейного отображения . . . III 5 7
матрицы III 6
— модуля III
— группы подстановок 17 1
Столбец матрицы .... II 6 1
Строго отрицательные
рациональные числа I 9
целые числа I
— положительные ра-
рациональные числа I 9
целые числа I
Строка матрицы II 6 1
Структура алгебраиче-
алгебраическая
индуцированная .
— группы
— кольца I 8 1
— проективного про-
пространства II III 7
Структуры гомологичные 14 1
— гомоморфные I 4 4
— канонические модуля
в E0AF III II 3
Сужение области опера-
операторов внешнего закона 13 3
Сумма двух элементов ... I 1 1
— идеалов I 8 6
— матриц II 6 2
— подалгебр прямая ... II 7 5
— прямая семейства адди-
аддитивных групп 16 6
модулей II 1 7
подколец I 8 11
3
5 5
5
2 5
5
2 5
I 4 1
I 4 2
I 6 1
Глава.§ в*
Сумма прямая семейства
подмодулей II 1 7
¦— семейства подмодулей . II 1 7
• элементов модуля
(равных нулю для всех
кроме конечного числа
индексов) II 1 5
— серии элементов I 1 2
Таблица умножения
базиса алгебры ....
Тело
— кватернионов над по-
полем вещественных чисел
— косое
— проективное
— с операторами . . . .
Тензор ковариантный . .
— контравариантный . .
— нулевого порядка . . .
—, р раз контравариант-
контравариантный и q раз ковари-
ковариантный
— разложимый
— смешанный
Тензорная алгебра модуля
Тензорное отображение .
— произведение алгебр . . .
— — двух базисов .
линейных ото-
матриц . . .
— модулей
элементов . . .
семейства модулей
Теорема ассоциативности
— Жордана — Гёлъдера
— коммутативности . .
— Круля
II
I
II
I
I
II
. I
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
III
I
I
I
I
7
9
7
9
9
III
9
4
4
4
4
4
4
4
4
3
1
1
1
II
1
1
II
1
1
I
4
1
6
1
8
2
1
8
1
1
5
1
1
1
1
1
1
1
6
2
1
2
3
4
2
6
2
1
2
7
1
2
3
14
5
7

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § пс
Теорема о гомоморфизмах.
замене
.14 4
II 3 1
12 4
I 6 14
— симметризации ....
— Шреиера
Теоремы об изоморфизме ... I 4 4
Тождество Лагранжа . . III 8 2
Точка аффинного про-
пространства .II II 1
— проективного простран-
пространства II III 1
Точки аффинно независимые II II 3
— бесконечно удаленные ... II III 4
Точный модуль II 1 9
, ассоциированный
с модулем II 1 9
Транзитивная группа 17 5
Транспозиция I 7 1
Транспонированная мат-
матрица II 6 6
Треугольная матрица II 6 5
Тривиальное решение
однородного линей-
линейного уравнения . . . II 4 7
Узкая моноидная алгебра II
Умножение I
— на оператор I
— рациональных целых . .
чисел I
— тензоров III
— целых чисел пя модулю а I
Унимодулярная матрица . III
Унитарный модуль ... II
Уплотнение композицион-
композиционного ряда I
Уравнение гиперплоскости II
— линейное II
однородное II
, ассоциированное
с линейным уравнением II
Устойчивая подгруппа I
— —, порожденная мно-
множеством I
7 9
1 1
3 1
2 8
4 3
4 3
6 1
1 2
6 14
4 6
4 7
4 7
4 7
6 10
6 10
515
Глава $ п°
Устойчивое множество
(относительно алгебраи-
алгебраической структуры). ¦. 14 2
( ), порож-
порожденное подмножеством . 14 2
(— внешнего закона) 13 3
( —), порож-
порожденное подмножеством 13 3
(— внутреннего
закона) i ^ 4
( ), порож-
порожденное подмножеством 114
Факторалгебра II 7 3
Факторгруппа I 6 3
— группы с операторами I 6 11
Факторзакон внешнего
закона композиции ..143
— внутреннего закона
композиции I 4 3
Факторколъцо I 8 5
Фактормодулъ II 1 3
Факта рпространство
векторного простран-
пространства II 1 3
Фактор размерность ли-
линейного многообразия II II 3
— подпространства век-
векторного пространства II 3 3
Факторструктура алгеб-
алгебраической структуры ... I 4 3
Факторы композицион-
композиционного ряда I 6 14
Форма билинейная III 1 1
каноническая II 4 1
— координатная II 4 4
— линейная II 4 1
— полилинейная III 1 7
Формальные линейные ком-
комбинации И 1 8
Формулы Крамера Ш 6 5
преобразования координат II 6 9
Функция аффинная .... II II 4
Хамеля базис
II 3 i

Г) 16
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
I
I
I
I
I
I
I
II
II
2
2
2
2
2
2
1
III
II
5
5
5
5
5
5
5
6
2
Глава § п°
Характеристика кольца . 18 8
Цасенхауаа лемма .... I 6 14
Целые числа отрицатель-
отрицательные
— — положительные
— — противоположные
— — рациональные .
строго отрица-
отрицательные
— — — положительные
Центр
— проективного ото-
отображения
— тяжести т точек
— — семейства точек,
наделенных массами II II 2
Центральная гомотетия
модуля II II 2
Центральный элемент . . 115
Циклическая группа . . 16 7
Четная подстановка . . 17 1
Числа дуальные II 7 7
— рациональные I 9 5
— — положительные
(отрицательные)
строго положитель-
положительные (строго отрица-
отрицательные)
Числитель дроби
Число измерений век-
векторного пространства
— инверсий подстановки
Член суммы I 1 2
I 9 5
I
I
II
I
9
CSI
3
7
5
9
5
1
Шрейера теорема
Глава § п°
• . I 6 14
Эквивалентные компози-
композиционные ряды I
— матрицы II
Элемент единичный ... I
кольца Г
— инвариантный отно-
относительно оператора
—• нейтральный
— обратимый ....
— обратный
— первичный вектор-
векторного подпространства
(относительно базиса)
— противоположный . .
— регулярный ....
— свободный модуля . . .
— симметривуемый . .
—¦ си.мл1етрический ....
—¦ сопряженный в квадратич-
квадратичном расширении . . . . II
—• центральный ....
Элементы линейно за-
зависимые
независимые
—- матрицы диагональ-
диагональные
— ортогональные .
—• перестановочные .
— симметричные ....
— сопряженные группы . .
Эндоморфизм
II
. I
. I
II
1
III
— модуля II
6 14
6 10
2 1
8 1
3 1
2 1
2 9
2 9
5 2
2 9
2 2
1 6
2 3
5 1
7 7
1 5
1 6
1 6
6 5
4 2
1 5
2 3
7 5
4 4
2 5