Автор: Маклейн С.
Теги: математика монография издательство мир гомология гомологическая алгебра
Год: 1966
Текст
DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
Band 114
HOMOLOOY
by
Dr. SAUNDERS MACLANE
Professor of Mathematics
at the University of Chicago-
SPRINGER-VERLAG
Berlin • Gottingen -Heidelberg
1963
С. МАКЛЕЙН
ГОМОЛОГИЯ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
М. С. ЦАЛЕНКО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. Г. КУРОША
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 196 6
УДК 519.49
Монография крупного американского математика, одно-
одного из создателей гомологической алгебры и теории кате-
категорий. Книга написана на современном научном уровне,
материал излагается ясно и понятно. Книга сыграет
большую роль в распространении среди широких кру-
кругов математиков идей и методов гомологической алгеб-
алгебры, приобретающих все большее значение в современной
математике.
Книга рассчитана на математиков различных спе-
специальностей; может быть использована как учебное
пособие для аспирантов, студентов старших курсов
математических факультетов университетов и педин-
пединститутов, а также как основа для специальных курсов
по теории гомологии и гомологической алгебое.
Посвящается
ДОРОТИ МАКЛЕЙН
Редакция литературы по математическим наукам
Предисловие редактора перевода
Гомологическая алгебра сложилась к настоящему времени в хоро-
хорошо оформившуюся и самостоятельную алгебраическую науку с соб-
собственными методами и собственным предметом изучения. Широкие
круги математиков узнали о появлении этой новой науки после
выхода в 1956 г. основополагающей книги А. Картана и С. Эйлен-
берга «Гомологическая алгебра», русский перевод которой, вышед-
вышедший в 1960 г., доступен советскому читателю. Позже, в связи
с бурным развитием гомологической алгебры и выявлением
новых возможностей для применения гомологических методов
в различных областях математики, были опубликованы и дру-
другие книги.
«Гомология» С. Маклейна, русский перевод которой предлагает-
предлагается сейчас читателю, выгодно отличается от всех этих книг тем, что
в ней богатство содержания и самый современный подход к изла-
излагаемому материалу сочетаются с исключительным мастерством
изложения. Читатель, изучивший эту книгу, овладеет методами
гомологической алгебры, ознакомится с многочисленными приме-
применениями этих методов в алгебре и топологии и вместе с тем получит
правильное представление о движущих силах всей той области,
к которой книга относится. Говорить о книге подробнее нет необхо-
необходимости — введение, написанное автором талантливо и с большим
подъемом, дает полную возможность читателю, даже владеющему
лишь основами общей алгебры, правильно понять и своеобразие
книги, и предмет, в ней изучаемый.
Автор книги, профессор Чикагского университета, является
одним из самых видных современных американских алгебраистов
и топологов. Его роль в гомологической алгебре, как и в теории
категорий,—это роль одного из основоположников и создателей этой
области. В предисловии к английскому изданию книги, посвящен-
посвященном различным благодарностям, автор говорит следующее:
«Гомологическая алгебра возникла из многих истоков в алгебре
и топологии. Решающие примеры появились при изучении расшире-
расширений групп и их систем факторов, изучении, которое я провел
в совместной работе с Отто Шиллингом. Дальнейшее развитие
гомологических идей с целью их применения в топологии было
Предисловие редактора перевода
проведено в моем продолжительном сотрудничестве с Самуэлем
Эйленбергом».
Эти слова, на мой взгляд, правильно отражают действительную
историю. Этому не противоречит то, что еще в тридцатых годах
активно развивались и алгебраическая (или, как тогда говорили,
комбинаторная) топология, и теория расширений групп и теория
конечномерных простых алгебр, и без этой предшествующей работы
гомологическая алгебра не могла бы в середине сороковых годов
возникнуть. Больше того, автор сам отмечает работу В. Майера
конца двадцатых годов, в которой впервые понятие комплекса
появилось как чисто алгебраическое понятие. Следует отметить,
с другой стороны, что около середины сороковых годов разработка
теории гомологии в группах была независимо начата Д. К. Фаддеевым.
Впрочем, вся эта область еще столь молода, что писать ее историю
пока преждевременно.
Настоящая книга, несомненно, необходима каждому алгебраисту,
каждому топологу, каждому математику, работающему в такой
области, в которой методы гомологической алгебры уже нашли
или должны найти применения.
Москва,
февраль 1966 г.
А. Курош
Введение
Эта книга начинается с гомологии, гомоморфизмов и тензоров.
Гомология дает алгебраическую «картину» топологических про-
пространств, сопоставляя каждому пространству X семейство абеле-
вых групп Но (X), . . ., Нп (X), ... и каждому непрерывному
отображению f:X -*¦ Y — семейство групповых гомоморфизмов
/„ : Нп (X) -*¦ Нп (Y). Свойства пространства или отображения часто
могут быть эффективным образом найдены по свойствам групп Нп
или гомоморфизмов /„. Аналогичный процесс сопоставляет группы
гомологии другим математическим объектам, например группе П
или ассоциативной алгебре Л. Гомология во всех таких случаях
и есть предмет нашего рассмотрения.
Комплексы дают нам средство для вычисления гомологии.
Каждый n-мерный «сингулярный» симплекс Т топологического
пространства X имеет границу, состоящую из сингулярных симплек-
симплексов размерности п—1. Если Кп — свободная абелева группа,
порожденная всеми этими n-мерными симплексами, то функция д,
которая сопоставляет каждому Т альтернированную сумму дТ его
граничных симплексов, определяет гомоморфизм д : Кп~*~ Кп-и
Таким образом возникает (гл. 11) состоящий из абелевых групп Кп
и граничных гомоморфизмов д «комплекс» вида
Кроме того, дд = О, так что ядро Сп гомоморфизма д: Кп-*~ Kn-i
содержит образ дКп+у Факторгруппа Нп (К) = Cn/dKn+i есть
л-я группа гомологии комплекса К или исходного пространства X.
Часто меньший или более простой комплекс достаточен для вычис-
вычисления тех же самых групп гомологии пространства X. Если дана
группа П, то существует соответствующий комплекс, гомология
которого совпадает с гомологией, определенной для группы. Напри-
Например, одномерная группа гомологии группы П — это факторгруппа
П/[П,П] группы П по ее коммутанту.
Гомоморфизмы соответствующего типа связаны с каждым типом
алгебраической системы; относительно умножения гомоморфизмов
системы и их гомоморфизмы образуют «категорию» (гл. I). Если
10
Введение
С и А — абелевы группы, то множество Нот (С, А) всех групповых
гомоморфизмов f:C-+A также является абелевой группой. При
фиксированной группе С это есть ковариантный «функтор», задан-
заданный в категории всех абелевых групп Л; каждый гомоморфизм
а : А -*¦ А" индуцирует отображение а,,: Нот (С,А)-+ Нот (С, А'),
которое переводит каждый гомоморфизм f:C-*- А в произведение
а/. Если группу Л зафиксировать, то Нот — контравариантный функ-
функтор: каждый гомоморфизм у : С -*• С индуцирует отображение у*
в противоположном направлении, Нот (С, Л) -*¦ Нот (С, Л),
переводя / в произведение fy. Таким образом, применение Нот (?, А)
к комплексу К = ? переворачивает стрелки и дает комплекс
Нот (Ко, A) it Нот (К и А) % Нот (Кг, А)-* Здесь фак-
факторгруппы (Kernel d*)/( Image д*) дают когомологию Я" (К, Л)
комплекса К с коэффициентами в Л. В соответствии с происхожде-
происхождением К это дает когомологию пространства X или группы П.
Расширение группы Л с помощью группы С — это такая груп^
па В гэ Л, что В/А ^ С; на языке диаграмм расширение является
последовательностью
?:0->Л->В~>С-»0
абелевых групп и гомоморфизмов, точной в том смысле, что ядро
каждого гомоморфизма равно образу предыдущего гомоморфизма.
Множество Ext1 (С, Л) всех расширений Л с помощью С оказы-
оказывается абелевой группой и функтором от аргументов С и Л, кова-
риантным по Л и контравариантным по С.
Вопрос: определяет ли гомология комплекса К его когомоло-
когомологию?
Ответ: почти да, при условии, что каждая абелева группа К\
свободна. В этом случае группа Я" (К, А) определяется «с точ-
точностью до группового расширения» группами Нп (К), Hn_i (К)
и Л; именно, «теорема об универсальных коэффициентах» (гл. III)
дает точную последовательность
О -> Ext * (Я„_! (К), А) -> Нп (К, А) -> Нот (Н„ (К), А) ~> О,
включающую только что введенный функтор Ext1. Если группы Кп
не свободны, то получается более сложный ответ, включающий
спектральные последовательности, описанные в гл. XI.
Тензоры возникают из векторных пространств U, V и W и били-
билинейных функций В (и, v), определенных на U х V со значениями
в W. Построим векторное пространство U <g> V, порожденное сим-
символами и ® v, билинейными nouZUnv^Vu только. Тогда
и <g> v — универсальная билинейная функция: для всякой били-
Введение
11
нейной функции В существует единственное линейное преобразова-
преобразование Т : U <g) V-*~W, для которого В (и, v) = Т (и ® и). Оказы-
Оказывается, что элементы из V® V совпадают с классическими тензорами
(с двумя индексами), связанными с векторным пространством V.
Две абелевы группы А и G имеют тензорное произведение А ® G,
порожденное билинейными символами a <g> g; оно является абеле-
абелевой группой и функтором, ковариантным по Л и О. В частности,
если К — комплекс, то и А ® К : А ® Ко ¦«- Л <g> Ki ¦*-...
будет комплексом.
Вопрос: определяет ли гомология комплекса К гомологию ком-
комплекса Л <g> /с?
Ответ: почти да; если каждая группа Кп свободна, то существует
точная последовательность
0 -». Л ® Нп (К) -±Нп(А®К)-+ Tori (Л, Я„_! (К)) -> 0.
Здесь Тог4 (Л, G) — новый ковариантный функтор от абелевых
групп Л и G, называемый «периодическим умножением»; он зависит
(гл. V) от элементов конечного порядка из Л и G и порождается
подчиненными подходящим соотношениям парами элементов
а 6 Л и g 6 G, для которых существует такое целое число т, что
та = 0 = mg.
Возьмем декартово произведение двух пространств X х Y.
Можем ли мы подсчитать его гомологию по гомологии пространств
X и К? Изучение комплексов, построенных из симплексов (гл. VIII),
сводит этот вопрос к вычислению гомологии тензорного произведе-
произведения К <S> L двух комплексов. В это вычисление вновь через точную
последовательность входит тензорное умножение (теорема Кюннета,
гл. V):
p+q=n
2 Тог4 (Нр (К), Hq (!))-> 0.
Но, увы, если Л — подгруппа группы В, то Л <g> G обычно не есть
подгруппа в В <g> G; иначе говоря, если ?:0->-Л->-В->-С->0
есть точная последовательность, то последовательность тензор-
тензорных произведений
0-> Л ® G->B ® G-^C ® <5->0
точна, за исключением, быть может, члена Л ® G. К счастью, перио-
периодическое умножение устраняет это затруднение; данная последова-
12
Введение
тельность Е определяет гомоморфизм ?„: Тог4 (C,G) -*¦ А 0 G,
образ которого в точности равен ядру гомоморфизма А ® G -+
-*- В <g) G, н последовательность
0~> Tort (A, G) ~> Torj (В, G) -»Тог, (С, б) -^ А
5 ® G
точна. Назовем Ещ связывающим гомоморфизмом для Torj и ®.
Но вновь, увы, если А — подгруппа группы В, то гомоморфизм
/ : А -*• G не всегда можно продолжить до гомоморфизма В-*• G;
другими словами, точная последовательность 0-»-Л-»-5--»»С->
-*• О индуцирует последовательность (в обратном направлении
ввиду контравар иантности)
О -* Нот (С, G) -» Нот (В, G) -» Нот {A, G) -> О,
которая может оказаться неточной в Нот (Л, G). Ext1 спасает
положение: существует «связывающий» гомоморфизм Е*, который
порождает более длинную точную последовательность
О-> Нот (С, G) -> Нот (Б, (?) -> Нот (А, G) -*
-?¦ Extх (С, G) -> Ext1 E, G) -> Ext1 (A, G) -> 0.
Теперь обобщим сказанное; заменим абелевы группы модулями
над произвольным коммутативным кольцом R. Тогда Extx^,G)
снова определяется как Я-модуль, но наша длинная последователь-
последовательность может не быть точной в члене Ext1 (A,G). Существуют
новый функтор Ext2 (A, G), новый связывающий гомоморфизм
Е* : Ext1 (Л, G) -*¦ Ext2 (С, G) и точная последовательность, про-
простирающаяся до бесконечности вправо:
...-> Ext" (С, G) -> Ext" (В, G) -> Extn (Л, G) -^
-S-Extn+1(C, G)-»... .
Элементы из Ext" (С, G) являются подходящими классами эквива-
эквивалентности длинных точных последовательностей
0 _> G -» ?„_! -> ... -> Бо^С-* 0,
идущими от G к С через я промежуточных модулей. Аналогичное
положение имеется для периодического умножения; существуют
функторы Torn (A,G), определяемые с помощью подходящих обра-
образующих и соотношений, которые входят в длинную точную после-
последовательность
Тог„+1 (С, G) ^> Тог„ (Л, G)
->Тог„ (С, G) ->..
Тог„ C, G)
Введение
13
индуцированную каждой точной последовательностью ? : 0 ->
-»-Л-»-Я-»-С-»-0. Они применимы также и в том случае, когда
кольцо не коммутативно, если Л, В и С — правые ^-модули,
a G — левый Я-модуль.
Эти функторы Тог„ и Ext" являются предметом изучения гомо-
гомологической алгебры. Они дают когомологию различных алгебраи-
алгебраических систем. Если П — группа, то возьмем в качестве R групповое
кольцо, порожденное группой П над кольцом целых чисел. Тогда
группа Z целых чисел есть (тривиальный) ^-модуль; если Л — любой
другой ^-модуль, то группы Extn (Z, Л) являются группами кого-
мологий Я" (П, Л) группы П с коэффициентами из Л. Если п = 2,
группа Я2 (П, Л) оказывается, как и должно быть, группой всех
расширений В абелевой группы Л с помощью (неабелевой) группы П,
причем структура Л как П-модуля показывает, как Л вкладывается
в В в качестве нормального делителя. Если п = 3, то Я3 (П, Л) —
это группа, элементы которой являются «препятствиями» для задачи
расширения. Аналогично Torn (Z, Л) дает группы гомологии
группы П. Если теперь Л — алгебра над полем F, то Ext™
строится с помощью длинных точных последовательностей двусто-
двусторонних Л-модулей Л. Алгебра Л сама является таким модулем,
и Ext" (Л, Л)—это когомология Л с коэффициентами из Л; вновь
Ext2 и Ext3 соответствуют задачам расширения для алгебр.
Модуль Р проективен, если каждый гомоморфизм Р-+В/А
можно провести через В с помощью Р -*- В. Каждый свободный
модуль проективен; запишем произвольный модуль в образующих,
тогда он выразится как фактормодуль свободного модуля
и, следовательно, проективного модуля.
Как можно вычислить Тог„ и Ext"? Запишем Л как фактор-
модуль проективного модуля Ро, т. е. составим точную последова-
последовательность 0 •*- А ¦+- Ро. Ядро гомоморфизма Ро ->¦ А снова является
фактормодулем проективного модуля Pt. Продолжение этого про-
процесса дает точную последовательность 0 -*- Л ч- Ро -*- Р4 ч- ....
Комплекс Р называется «проективной резольвентой» модуля Л.
Этот комплекс ни в ка.ком смысле не однозначен; сравним два
таких комплекса:
0
0
II I"
¦К
р'
•г 1
МОЖНО
Поскольку модуль Ро проективен, отображение Ро -*¦ А .
провести через Р'о -*¦ А с помощью /0- Произведение Pi -*~ Р'о
затем можно провести через Р'х~*- Р'9 с помощью fi : Pi-*- P\
14
Введение
так, что dfi — fod, и так далее по индукции. Результирующее
сравнение /„ : Я„ -»- Р'п комплексов индуцирует гомоморфизм
Нп (Я ® G) -*• Нп (Я* 0 G). Изменение ролей Я и Я" и деформация
произведения Р -*• Р" ->- Р в тождественное отображение (дефор-
(деформации называются гомотопиями) показывают, что этот гомоморфизм
является изоморфизмом Нп (Я ® G) ^ Нп (Я" ® С?). Следователь-
Следовательно, группы гомологии Я„ (Я <g> G) не зависят от выбора проективной
резольвенты Я, а зависят только от А и G. Они оказываются груп-
группами Тог„ (Л, G). Аналогично группы когомологий Нп (Я, G>
являются группами Extn(i4, G), а необходимые связывающие гомо-
гомоморфизмы Е* могут быть получены из основной точной гомологиче-
гомологической последовательности комплексов (гл. II). Таким образом,-
Тог и Ext можно вычислить с помощью проективных резольвент.
Например, если П — группа, то модуль Z имеет стандартную-
«Б-резольвенту» (гл. IX), когрмология которой совпадает с когомо-
логией группы П. Для отдельных групп специальные резольвенты
более эффективны. Ш
Качественные рассмотрения относятся к вопросу о минималь-
минимальной длине проективной резольвенты ^-модуля А. Если существует
проективная резольвента для А, заканчивающаяся на Pn+i = О,
то говорят, что А имеет гомологическую размерность, не превосхо-
превосходящую п. Эти размерности входят в арифметическую структуру
кольца R; например, если R есть кольцо Z целых чисел, то каждый
модуль имеет размерность, не большую 1; как пример отметим еще,
что теорема Гильберта о сизигиях (гл. VII) относится к размерно-
размерностям градуированных модулей над кольцом многочленов.
Две точные последовательности 0->-А-*-В-*-С-*'0 и
0-»-C-»-D->-F->-0 можно «склеить» в С и получить длинную
точную последовательность
другими словами, элемент из Ext1 (С, А) и элемент из Ext1 (F, Q
определяют двукратное расширение, которое является элементом
из Ext2 (F, А), называемым их произведением (гл. III). Эти и ана-
аналогичные произведения для Тог могут быть вычислены с помощью
резольвент (гл. VIII).
Каждый ^-модуль есть также абелева группа, т. е. модуль
над кольцом Z целых чисел. Назовем расширение Е : А ->- В -»- С
^-модулей Z-расщепляющимся, если средний модуль В как абе-
абелева группа разлагается в прямую сумму А к С. Построим группу
Ext(H, z> (С, А), используя только такие Z-расщепляющиеся рас-
расширения. Этот функтор имеет связывающие гомоморфизмы ?*,
определенные для Z-расщепляющихся последовательностей Е.
Введение
15
Вместе с соответствующими периодическими умножениями и их
связывающими гомоморфизмами эти функторы составляют предмет
изучения относительной гомологической алгебры (гл. IX). Когомо-
логия группы — это пример такого относительного функтора. Точ-
Точно так же, если Л есть алгебра над коммутативным кольцом К, то
все соответствующие понятия относительны по отношению к К;
в частности, когомология алгебры Л возникает из точных последо-
последовательностей Л-бимодулей, которые расщепляются как последова-
последовательности К-модулей.
Отсюда следует, что модули являются существенным элементом
исследования. Однако точность резольвенты и определение про-
проективного объекта суть свойства гомоморфизмов; все рассуждения
остаются в силе, если модули и гомоморфизмы заменить любыми
объектами А, В, ... с «орфизмами» а : А -*¦ В, которые можно
складывать, перемножать и которые имеют подходящие ядра,
коядра (В/аА) и образы. С технической точки зрения это равносиль-
равносильно построению гомологической алгебры в абелевой категории
(гл. IX).. Из функтора То (А) = А ® G мы построили после-
последовательность функторов Тп (А) = Torn (A, G). Вообще пусть
То —произвольный ковариантный функтор, который аддитивен
1Т0 («1 + а2) = T(fii + Toa2] и переводит каждую точную последо-
последовательность 0-»-Л-»-В-»-С-»-0 в точную справа последователь-
последовательность То (А) ->- То {В) -*- То (С) ->- 0. Мы опять исследуем ядро
морфизма То (А) -*¦ То (В) и строим новые функторы для его опи-
описания. Если в категории «достаточно» проективных объектов, то
каждый объект А имеет проективную резольвенту Р и объект
Нп (То (Р)) не зависит от выбора Р и определяет функтор Т„ (Л),
входящий в длинную точную последовательность
(В)
„ (С)
Таким образом, То определяет целую последовательность производ-
производных функторов Т„ и связывающих гомоморфизмов ?„ : Тп (С) -*¦
-*¦ Tn-i (А). Эти «производные» функторы можно охарактеризовать
аксиоматически тремя основными свойствами (гл. XII):
(i) приведенная выше последовательность точна;
(И) если Р — проективный объект и п > 0, то Тп (Р) = 0;
(ш) если ?->-?* — гомоморфизм точных последовательностей,
то диаграмма из связывающих гомоморфизмов коммутативна (есте-
(естественность!):
1
1
Тп{С')->Тп_х(А').
16
Введение
Введение
17
В частности, если То (А) = А ® G, то эти аксиомы характеризуют
Тог„ (A,G) как функторы аргумента А. Имеется подобная характе-
характеристика и для функторов Ext" (С, А) (гл. III). Иначе говоря, каж-
каждый производный функтор Тп может быть описан только в терминах
предыдущего функтора Тп_и именно, если Е : Sn (С) ->- Sn-% (A)
другой естественный связывающий гомоморфизм между аддитив-
аддитивными функторами, то каждое «естественное» отображение Sn-1
в Т„_1 продолжается единственным образом до естественного ото-
отображения Sn в Тп. Это «универсальное» свойство функтора Тп
описывает его как левый сателлит функтора Tn-t; он может быть
использован для построения умножений.
Последовательные и взаимосвязанные этапы обобщения появля-
появляются всюду при изложении гомологической алгебры. Мы идем от
абелевых групп к модулям, к бимодулям, к объектам из абелевой
категории; от колец к группам, к алгебрам, к алгебрам Хопфа
(гл. VI); от точных последовательностей к Z-расщепляющимся точ-
точным последовательностям, к «собственному» классу точных последо-
последовательностей, охарактеризованному аксиомами (гл. XII). Предмет
находится в процессе быстрого развития; наиболее общая формули-
формулировка еще должна быть получена. По этой причине движение идет
в книге от частного к общему и предшествующие результаты объеди-
объединяются в заключительном изучении (гл. XII) аддитивных функторов
в абелевой категории по отношению к собственному классу точных
последовательностей.
Как только некоторое понятие изучено, мы останавливаемся
для того, чтобы описать его применения. Так, гл. IV о когомологий
групп содержит топологическую интерпретацию групп когомологий
группы П как когомологию асферичного пространства с фундамен-
фундаментальной группой П, а также теорему Шура о расщепляемости каж-
каждого расширения одной конечной группы с помощью другой, если
порядки этих групп взаимно просты. В гл. VII о размерности изу-
изучаются сизигии и сепарабельные алгебры. Глава X о когомологий
алгебраических систем содержит основную теорему Веддербар-
на для алгебр и когомологию (на разных уровнях) абелевых
групп.
Глава XI содержит стандартное построение спектральной после-
последовательности фильтрации и бикомплекса, использованное для
построения спектральной последовательности покрытия и груп-
группового расширения (эта последняя идет от Линдона, а не от после-
последующей работы Хохшильда и Серра, как часто думают). Большая
часть изложения гомологической алгебры в других главах может
быть понята независимо от этих результатов.
Для специалиста мы отметим несколько особенностей. Основные
функторы Ext и Тог описаны непосредственно: Ext, следуя Ионеда,—
при помощи длинных точных последовательностей, Тог — с помо-
помощью улучшенного множества образующих и соотношений. Резоль-
Резольвентам отведено их истинное место, место средств вычисления.
Все многообразие алгебр (коалгебры, алгебры Хопфа, градуирован-
градуированные алгебры, дифференциальные градуированные алгебры) описано
единообразно коммутативными диаграммами- для отображений
умножения. Относительная гомологическая алгебра рассматривает-
рассматривается на двух уровнях общности: сначала при помощи «пренебрегаю-
«пренебрегающего» функтора, к примеру такого, который считает ^-модуль
абелевой группой, позднее при помощи подходящего собственного
класса коротких точных последовательностей в абелевой катего-
категории. Когомология групп определяется функторно через 5-конструк-
цию. Эта конструкция позднее фигурирует в абстрактной форме: для
пары категорий с пренебрегающим функтором и функтором, строя-
строящим относительные проективные объекты (гл. IX, § 7). Указано
собственное определение связывающего гомоморфизма через адди-
аддитивные отношения (соответствия); эти отношения использованы
для описания трансгрессии в спектральной последовательности.
Это дает удобную форму для рассмотрения трансгрессии в спек-
спектральной последовательности Линдона. Диаграммный поиск рабо-
работает в абелевой категории с подобъектами и факторобъектами вме-
вместо элементов (XI 1.3).
Обозначения обычные, со следующими несколькими исключе-
исключениями. Комплекс обозначается буквой К (латинская), коммутатив-
коммутативное кольцо — буквой К (греческая). «Градуированный» модуль М
есть семейство Мо, Ми . . . модулей, а не их прямая сумма 2 Мп,
в то время как о семействе . . ., M-i, Мо, Ми '• • • говорится, что
оно Z-градуировано. Мономорфизм обозначается как к : А >* В,
эпиморфизм как а : В -» С, а символ х || а означает, что последо-
последовательность 0->-Л->-Б->-С->0 точна. Пунктирная стрелка,
А ...-*- В, обозначает гомоморфизм, который нужно построить,
штриховая стрелка, А >- В — это групповой гомоморфизм
между модулями, неполная стрелка А ->- В — аддитивное отношение.
Мы различаем бикомплекс (XI.6) и комплекс комплексов (Х.9);
мы «пополняем», но не «дополняем» алгебру. Двойственной к резоль-
резольвенте является «корезольвента». Если и — цикл из гомологи-
гомологического класса h?Hn(X), то обозначение и 6 € Нп есть сокра-
сокращение записи и 6 h 6 Нп, в то время как h записывается как
h = els и. Кограница л-мерной коцепи / равна 6/ = (—l)n+1 fd со
знаком (П.З).
Ссылка на теорему V.4.3 означает ссылку на теорему 3 § 4, гл. V;
если номер главы опущен, то имеется в виду теорема из той же главы.
Ссылка типа Бурбаки [1999] означает ссылку на работу упомяну-
упомянутого автора, указанную в библиографии в конце книги и опубли-
опубликованную в отмеченном году; [1999b ]— это ссылка на вторую работу
того же автора, опубликованную в том же году. Оказавший большое
2-353
18
Введение
влияние трактат А. Картана и С. Эйленберга «Гомологическая
алгебра» выделен тем, что упоминается без указания даты. Библио-
Библиография не претендует на полноту; ее задача — быть путеводителем
для дальнейшего чтения, подсказанного в замечаниях, сделанных
в конце некоторых глав и параграфов. Эти замечания содержат
также несистематические исторические комментарии, которые дают
определенный — и, вероятно, субъективный — взгляд на ход
развития гомологической алгебры. Упражнения предназначены
как для того, - чтобы дать элементарную практику в пользовании
введенными понятиями, так и для того, чтобы сформулировать
дополнительные сведения, не включенные в текст.
ГЛАВА
Модули, диаграммы и функторы
В теории гомологии постоянно приходится иметь дело с фор-
формальными свойствами функций (отображений) и их произведений.
Рассматриваемые в этой теории функции обычно являются гомомор-
гомоморфизмами модулей или связанных с ними алгебраических систем.
Формальные свойства, испвльзуемые постоянно при изучении гомо-
гомологии, могут быть описаны утверждением, что гомоморфизмы
образуют категорию. Эта глава посвящена понятиям модуля
и категории.
§ 1. Обозначения при помощи стрелок
Если X и Y — два множества, то прямым (декартовым) произве-
произведением XxY называется множество всех упорядоченных пар
(х, у), где х 6 X и у 6 Y.
Символ / : X -*~ Y означает, что f является функцией, опреде-
определенной на множестве X со значениями в множестве Y. Формально
такая функция может быть описана упорядоченной тройкой
/ = (X, F, У), где F — подмножество множества X X Y, содер-
содержащее для каждого х 6 X только одну пару (х, у). Действительно,
мы, как правило, записываем как f (х) = у значение функции /
от аргумента х. Отметим, что мы пишем функцию слева от аргумента,
т. е. / (*). Заметим также, что каждая функция / связана с опреде-
определенным множеством X как областью определения и определенным
множеством Y как областью значений.
Если даны две функции /: X -*- Y и g: Y -*¦ Z, то произведе-
произведением gf, иногда записываемым в виде g о Д считается функция из X
в Z, определенная равенством (gf) (х) — g (f (х)) для каждого х 6 X.
Поскольку функции записываются слева от аргумента, gf означает,
что сначала применяется функция f, а потом функция g. Произведе-
Произведение gf определено только в том случае, когда область значений
функции / совпадает с областью определения функции g. В частно-
частности, умножение не определено в том случае, когда область значе-
значений / есть собственное подмножество области определения g.
2*
20
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Для произвольного множества X тождественным отображением
A или 1^) является такая функция 1: X ->- X, что 1 (л:) = л: для
любого х 6 X. Если S — подмножество множества X, То функция
j : S -*- X со значениями / (s) = s для каждого s 6 S называется
(«тождественным») вложением S в X. Для произвольной функции
/ : X -*¦ Y произведение /у : S ->- Y (записываемое иногда как / | S)
есть «ограничение» f на подмножество S множества X. Аналогично,
•если Y — подмножество множества W и k: Y ->- W есть вложение
{k (у) = у), то произведение kf : X -+W является той же самой функ-
функцией /, область значений которой Y расширена до множества W.
Заметим, что функции / и kf имеют одинаковые значения для каж-
каждого значения аргумента х, но тем не менее считаются разными
функциями, поскольку у них разные области значений. Это раз-
различие, кажущееся излишне педантичным, позднее окупится (см.
пример 2 из П.1).
В дальнейшем используются обычные обозначения теории мно-
множеств: X П У обозначает пересечение множеств X и У, а 0 обо-
обозначает пустое множество.
§ 2. Модули
Пусть R — кольцо с единицей 1 ф 0. Левым, R-модулем назы-
называется аддитивно записанная абелева группа Л вместе с определен-
определенной функцией р : R X Л -> Л, записываемой в виде р (г, с) = га,
удовлетворяющей для всех г, г" ? R u а, а" ? А следующим соотно-
соотношениям:
r')a = ra-\-r'a, (гг')а = г{г'а)>
r(a-\-a') = ra-\-ra', 1с = а.
Из этих соотношений вытекает, что Ос = 0 и (—1) а = —с. Некото-
Некоторые авторы, определяя ^-модуль, не требуют выполнения соотно-
соотношения 1с = а и называют модули, для которых 1а = с, унитар-
унитарными. В этой книге всегда будет предполагаться, что кольцо имеет
единицу и что модули унитарны.
Наши рассмотрения левых 7?-модулей будут mutatis mutandis
применимы к правым R-модулям, которые являются абелевыми груп-
группами А с аг 6 А, причем выполнены соответствующие четыре тож-
тождества, например с {гг") = (аг) г".
Модули встречаются очень часто. В том случае, когда R есть
поле или тело, левый ^-модуль является левым векторным про-
пространством над R. Если F — поле, a R = F [х]— кольцо многочле-
многочленов от одного неизвестного х с коэффициентами из F, то ^-модуль
«есть просто векторное пространство V над F, в котором зафикси-
зафиксировано линейное преобразование Т : V -*¦ V; именно, Т — это пре-
§ 2. Модули
21
образование, которое задается умножением слева элементов про-
пространства на элемент х ? R. Рассмотрим также Z-модули, где
Z — кольцо целых чисел. Для каждого положительного /л, та =
= с + ... + а (т раз); значит, Z-модуль А есть просто абелева
группа с обычным пониманием целых кратных та, т 6 Z. Если
Za — кольцо вычетов по модулю k, то Zs-модуль А является абеле-
вой группой, в которой порядок каждого элемента делит k. Наконец,
пусть R — коммутативное кольцо, порожденное единицей и таким
элементом d, что d2 = 0, т. е. R состоит из всех пар вида т + nd
с целыми коэффициентами тип; тогда ^-модуль является абелевой
группой А, в которой зафиксирован такой эндоморфизм d: A -*• А,
что d2 = 0. Пара (A, d) называется «дифференциальной груп-
группой» (П.1).
Подмножество S ^-модуля А называется подмодулем (обозначает-
(обозначается S с: А), если S — подгруппа группы А и если из г 6 R, s ? S
следует, что rs ? S. В этом случае S может рассматриваться как
^-модуль. Кольцо R само является левым /?-модулем. Подмодуль
модуля R — это подмножество L, замкнутое относительно сложе-
сложения и выдерживающее умножение слева на все элементы кольца R,
т. е. ri с L для всех г ? R. Такое подмножество называется также
левым идеалом кольца R. Если L — левый идеал в R и Л — левый
^-модуль, то множество
LA = {все конечные суммы 2/гаг для U^L, ai?A}
является подмодулем модуля А, называемым произведением идеала L
на модуль А. В частности, произведение двух левых идеалов LL'
есть левый идеал, и (LL) А — L (L'А).
Пусть А и В суть ^-модули. Обозначения а : А -*¦ В или Л Д. В
указывают^ что а есть R-модульный гомоморфизм Л в В, т. е. такое
отображение Л в В, что
сса + ас', а(гс) = г(аа).
Если а : Л -*¦ В, то Л назовем областью определения, а В —
областью значений а. Образ Im (a) = аЛ состоит из всех элементов
вида ас, а 6 Л; он является подмодулем области значений В. Ядро
Кег (а) состоит из всех элементов а ? А, для которых ас = 0; оно
является подмодулем области определения Л. Если аЛ = В, то мы
будем говорить, что а — эпиморфизм, и писать а : Л -» В; если
же Кег (а) = 0, то будем говорить, что а — мономорфизм, и писать
а : Л >-» В. Наконец, а — изоморфизм, если а одновременно
является и эпиморфизмом, и мономорфизмом. Для каждого модуля Л
тождественное отображение \А : Л -*¦ Л есть изоморфизм. Для
любых модулей Л и Б нулевая или «тривиальная» функция 0, рав-
22
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
ная 0 для всех а 6 А, есть гомоморфизм 0: А -*¦ В. Гомоморфизм
со : А -*¦ А с совпадающими областями определения и значений
называется эндоморфизмом.
Пусть аи а2 : А -*~ В — гомоморфизмы с общими областями
определения и значений. Тогда отображение а4 + a2l определенное
равенством (а4 + а2) а = а4а ¦+- а2а, есть ^-модульный гомомор-
гомоморфизм а\ -{- а2 : А -*- В, называемый суммой at и а2.
Если а: Л -> В и р: ? -»- С суть ^-модульные гомоморфизмы, то
произведение Ра также является ^-модульным гомоморфизмом
pa : A -*¦ С. Следует напомнить, что указанное произведение опре-
определено только тогда, когда область значений гомоморфизма а совпа-
совпадает с областью определения гомоморфизма р.
Умножение гомоморфизмов ассоциативно, если оно имеет смысл.
Обратным (двусторонним) к a : А ->• В называется такой гомомор-
гомоморфизм а-1 : В -*• А, что аа= 1В и а-1а= 1Д. Отображение а обладает
обратным тогда и только тогда, когда а есть изоморфизм, и в этом слу-
случае обратный гомоморфизм единственен. Мы будем писать a : А ш В,
если a — изоморфизм. Левым обратным к а называется такой гомо-
гомоморфизм у • В-*- А, что уа = 1Д: он не обязан существовать или
быть единственным.
Говорят, что пара гомоморфизмов (a, P)
точна в В, если Кег р = Im а. Последовательность гомоморфизмов
а*
считается темной, если пара (аг_1, аг) точна в А%, i = 2, ... п — 1.
Для каждого подмодуля Т а В вложение есть мономорфизм
j : Т -*¦ В. Для каждого b 6 В множество b + Т всех сумм вида
b + t, где t ? Т, называется смежным классом модуля В по под-
подмодулю Т; два смежных класса либо не пересекаются, либо совпа-
совпадают (причем последнее имеет место при 64 — Ьг 6 Т). Напомним,
что факторгруппа В/Т состоит из смежных классов В по Т, а сложе-
сложение в ней производится по правилу Ft + Т) + F2 + Т) —
= (bi + 62) + Т. Поскольку Т— подмодуль, абелева группа BIT
становится ^-модулем, если умножение любого элемента г 6 R
на смежный класс b + Т определить равенством г (Ь + Т) =
= rb + Т.
Мы назовем BIT фактормодулем модуля В. Отображение т),
ставящее в соответствие каждому элементу Ь 6 В его смежный класс
Ь + Т, является эпиморфизмом г\ : В -» BIT, называемым есте-
естественным эпиморфизмом, или проекцией В на BIT.
§ 2. Модули
23
Предложение 2.1. Если Р : В -»- В' и Т cz Кег р, то
существует такой единственный модульный гомоморфизм
Р' : BIT -»- Б', «то Р'т] = р, т. е. диаграмма
В v уБ/Т
>В'
может быть дополнена до коммутативной при помощи единствен-
единственного гомоморфизма р* ф'г\ = Р).
Доказательство. Положим Р" (Ь + Т) = рб. Посколь-
Поскольку Т cz Кег р, отображение однозначно. В частности, если р : В -*¦
-> В" есть эпиморфизм с ядром Т, то р": BIT э* В'.
Этот результат можно выразить и по-другому: каждый гомомор-
гомоморфизм р, для которого выполняется р G) = 0, единственным обра-
образом представим в виде произведения tiP'. Мы будем также говорить,
что р однозначно проходит через г\. Это свойство характеризует эпи-
эпиморфизм г\\ В -> В IT с точностью до изоморфизмов модуля В1Т\
именно, имеет место следующее
Предложение 2.2. Если Т cz В и если ? : В ->- D —
такой гомоморфизм, что ? (Т) = 0 и каждый гомоморфизм р : В ->¦
->- В' с р (Т) = 0 однозначно проходит через ?, то существует изо-
изоморфизм 0 : В/Т з* D, причем ? = 0т).
Доказательство. В силу условия нашего предложения
и предложения 2.1 существуют разложения ? = ?,'г\, г\ = г\%. Сле-
Следовательно, ? = (С'т]') ? = 1?. Ввиду единственности разложения
отображения ?, ?V = 1. По симметрии г\%' = 1. Значит, г\' =
= (С). и ?' является искомым изоморфизмом 0.
Для каждого подмодуля Т cz В вложение / и проекция г\ позво-
позволяют построить точную последовательность
Обратно, пусть
(я, а): 0
лДвДс
0
— короткая точная последовательность, т. е. точная последова-
последовательность пяти ^-модулей, в которой первый и последний модули
нулевые (и, значит, первое и последнее отображения тривиальны).
Точность в А означает, что к — мономорфизм, точность в В озна-
означает, что %А = Кег а, и точность в С означает, что а — эпиморфизм.
Поэтому короткая точная последовательность может быть записана
так: А » В -» С, причем имеется точность в В. Мономорфизм к инду-
индуцирует изоморфизм %': А ^ кА, а a — изоморфизм а' : В/%А ^ С.
24
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Этими изоморфизмами устанавливается изоморфизм точных после-
последовательностей в форме коммутативности диаграммы
О-* А -
1*'
0->яА -
С-+0
В/хА -» 0.
B.1)
Другими словами, короткая точная последовательность — это дру-
другое название для пары, состоящей из подмодуля и фактормодуля
по этому подмодулю.
С каждым гомоморфизмом а : А -*- В связываются два фактор-
модуля
Coim а = Л/Кег а, Сокег а = B/Im а,
которые называются кообразом и коядром а. Эти определения
позволяют построить две короткие точные последовательности
Кег а >* А -» Coim а, Imct >-» В-» Сокега,
B.2)
изоморфизм Coim а^каи длинную точную последовательность
0->КегаЛ А А В Л Сокег а-> 0. B.3)
Из равенства ($а = 0 в силу предложения 2.1 следует, что р одно-
однозначно проходит через т), т. е. р = р'т]. Двойственно, если, для неко-
некоторого у : А' -*• A, ay = 0, то у однозначно проходит через /, т. е.
У — /?" Для единственного у' : А" -*¦ Кега. Это свойство характе-
характеризует вложение / : Ker a -*¦ А однозначно с точностью до изомор-
изоморфизмов модуля Кег а. Отметим двойственные утверждения: а являет-
является мономорфизмом тогда и только тогда, когда Кег а = 0, и а является
эпиморфизмом тогда и только тогда, когда Coker a = 0. Эта двой-
двойственность будет рассмотрена в § 8.
Если а : А -*~ В и S czА, то множество aS всех элементов вида
as с s 6 S есть подмодуль модуля В, называемый образом S при а.
Аналогично, если Т с В, то множество а-хТ, состоящее из
всех элементов s ? А, таких, что as 6 Т, есть подмодуль модуля А,
который называется (полным) прообразом подмодуля Т. В частно-
частности, Ker a = a~10, где 0 означает подмодуль модуля В, содержа-
содержащий только нулевой элемент.
Если К <^ S — подмодули модуля А, то модуль S/Кназывается
подфакпгором модуля А; он является фактормодулем подмодуля S
и одновременно подмодулем фактормодуля AIK- Дальше, если
К cz К' cz S' cz S с А, то К"/К — подмодуль модуля S'/К и про-
произведение проекций S"-»- S*IK-+(S'IK)I{K"IK) имеет ядро,
равное К", откуда вытекает известный изоморфизм {S'IK)I{K"IK) з*
§ 3. Диаграммы
25
a*S7/C. Он позволяет записывать всякий подфактор {S' IK)I{K' IK)
подфактора S/K как подфактор самого модуля Л.
Пусть S/K и S'/K' — подфакторы модулей А и А' соответствен-
соответственно. Если aS cr S' для a: A -*¦ А' и а/С cz К', то смежный класс
as + К' подфактора S'/K' однозначно определен смежным классом
s + К подфактора SIK- Следовательно, отображение а# (s + К)=
— as + /С' задает гомоморфизм
a»:S//C->S7/C' (aSczS1, aKczK'). B.4)
Говорят, что этот гомоморфизм индуцирован гомоморфизмом а на
данных подфакторах.
Если S п Т — подмодули модуля А, то их пересечение S(]T
(как множеств) будет подмодулем, так же как и их объединение
S\jT, состоящее из всех сумм s + t, где s 6 S, t ? Т. В теореме
Нётер об изоморфизмах утверждается, что \А индуцирует изомор-
изоморфизм
.1,: SI{S[\T)^(S\)T)IT. B.5)
§ 3. Диаграммы
Говорят, что диаграмма ^-модулей и гомоморфизмов
0
В ЛС -> 0
А' А в' А с ~> о
C.1)
коммутативна, если x'a = |Jx: Л->В* (левый квадрат комму-
коммутативен!) и сг'Р = уо: В -+¦ С" (правый квадрат коммутативен!).
Вообще диаграмма гомоморфизмов коммутативна, если любые
два пути, указанные стрелками, из одного модуля в другой модуль
дают один и тот же гомоморфизм.
Лемма 3.1. (Малая лемма о пяти гомоморфизмах.) Пусть
в коммутативной диаграмме R-модулей C.1) обе строки точны.
Тогда:
(i) если а и у — изоморфизмы, то и $ — изоморфизм;
(и) если а и у — мономорфизмы, то и $ — мономорфизм;
(ш) если а и у — эпиморфизмы, то и $ — эпиморфизм.
Эти лее утверждения справедливы для диаграмм групп, не обяза-
обязательно абелевых.
Доказательство. Ясно, что (i) вытекает из (ii) и (ш).
Для доказательства (ii) возьмем элемент Ь 6 Кег р. Правый квадрат
коммутативен, поэтому yab = o'fyb — 0. Поскольку у — мономор-
мономорфизм, верно, что ab = 0. Ввиду точности верхней строки сущест-
26
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
вует такой элемент а, что %а = Ь. Теперь х'ас = {Ьса = §Ь = О,
поскольку левый квадрат коммутативен. Нижняя строка точна
в А', и поэтому ас = 0. Но а — мономорфизм, и поэтому с = 0,
откуда Ь = ха = 0. Тем самым доказано, что р — мономорфизм.
Для доказательства (iii) рассмотрим элемент Ь' из В'. Поскольку
у — эпиморфизм, существует такой элемент с 6 С, что ус = а'Ь';
поскольку верхняя строка точна, существует такой элемент Ь 6 В,
что оЬ = с. Тогда о' (fib — Ь') = 0 в С. Ввиду точности нижней
строки р*6 — Ь' = и'с' для некоторого элемента а" ? А". Поскольку
а — эпиморфизм, ас = с* для некоторого элемента с 6 А, следова-
следовательно, рхс = %'аа — $Ь — Ь'. Отсюда Ь' = р1 F — хс), что и тре-
требовалось доказать.
Подобный тип доказательств называется «диаграммным поиском».
Можно заметить, что этот «поиск» оказывается успешным и в том
случае, когда рассматриваемые группы неабелевы.
Тот же метод позволяет читателю убедиться в справедливости сле-
следующих более общих результатов (сформулированных Дж. Лейх-
том):
Лемма 3.2. {Сильная лемма о четырех гомоморфизмах.) Пусть
в коммутативной диаграмме
JO'IiO* C'2)
строки точны, т — эпиморфизм, a v — мономорфизм. Тогда
|(Кега), Ima = ti (Imp).
В этой диаграмме точки обозначают модули или группы (не
обязательно абелевы).
В упрощенной формулировке (слабая лемма о четырех гомомор-
гомоморфизмах) утверждается, что в той же самой коммутативной диаграм-
диаграмме Р — мономорфизм, если а и v — мономорфизмы, а т — эпимор-
эпиморфизм и а — эпиморфизм, если тир — эпиморфизмы, a v — моно-
мономорфизм. Наиболее часто используется такое следствие.
Лемма 3.3. (Лемма о пяти гомоморфизмах.) Пусть дана
коммутативная диаграмма
* ¦ i р • ¦¦-" ^ • ¦—^- - ¦—^- •
I I iaa 1°4 1°6
C.3)
сточными строками. Еслиаи а2, «4> аь — изоморфизмы, то иа3 —
изоморфизм. Более полно:
(i) если ai — эпиморфизм и а2, o-ь — мономорфизмы, то и а3 —
мономорфизм;
§ 4. Прямые суммы
27
(ii) если аь — мономорфизм и а2, а4 — эпиморфизмы, то и а3 —
эпиморфизм.
Доказательство. Применить диаграммный поиск или
лемму 3.2 к первым трем квадратам слева и к первым четырем ква-
квадратам справа.
§ 4. Прямые суммы
Внешняя прямая сумма Ai@A2 двух ^-модулей Ai и А2
является ^-модулем, состоящим из всех упорядоченных пар (с4, с2),
где сг ? At, в котором модульные операции определены следующим
образом:
(ai, а2) + К, с;) = (а4 + a'v а2 + а2), г (с/, с2) = (гаи га^.
Отображения i и я, заданные формулами ijCj = (аи 0), t2a2 =
— @, а2), я4 (сь с2) = Cj, я2 (аи а2) = с2, являются гомоморфиз-
гомоморфизмами
Н 12
которые удовлетворяют равенствам
1124 =
Я212=
D.1)
D.2)
Назовем ц и i2 вложениями, a nt и я2 — проекциями прямой суммы.
Диаграмма D.1) включает частичные диаграммы:
Инъективную диаграмму прямой суммы А Д. Ai © А2 ^- А2;
Проективную диаграмму прямой суммы At ?L At © А2 _Па я ¦
Одностороннюю диаграмму прямой суммы Al^Ai@A-l
12.
Диаграмму последовательности прямой суммы
К±) Л2 —> rt2i
в частности, последняя диаграмма есть короткая точная последова-
последовательность. Вместо данного выше определения прямой суммы, исполь-
использующего элементы, можно охарактеризовать каждую из указанных
диаграмм подходящими свойствами. Имея в виду последующие
обобщения (гл. IX), мы при доказательстве этих свойств используем
только диаграмму D.1), равенства D.2) и формальные свойства
сложения и умножения.гомоморфизмов; в частности, используются
дистрибутивные законы
28
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Предложение 4.1. Для данных модулей At и А2 любая
диаграмма
вида D.1), для отображений которой выполнены пять равенств,
аналогичных равенствам D.2), изоморфна диаграмме прямой суммы.
Более точно, существует такой единственный изоморфизм
0: В -*¦ Ai@ А2, что
/=1, 2.
D.3>
Доказательство. Определим Э равенством 0 = ця^ -Ь
+ i2jt; и аналогично 0': At @ Аг -*- В равенством 0" = ^щ -f- ця2.
Из равенств D.2) вытекает, что 0' является двусторонним обрат-
обратным для 0 и, следовательно, 0 — изоморфизм. Свойства D.3) сле-
следуют непосредственно из D.2). Значит, если 0 удовлетворяет D.3),
то 0 = (iiJti -+¦ 12я2) 0 = ii^j + i2Jtj, так что изоморфизм 0 действи-
действительно однозначно определен.
Теперь мы охарактеризуем одностороннюю диаграмму прямой
суммы.
Предложение
в которой n"i"= Ьа,
прямой суммы Ах © Л2
4.2. Любая диаграмма А2
изоморфна «односторонней»
^ Аг, где А% = Кег я".
^2,
диаграмме
Для доказательства требуется построить изоморфизм 0: В -*-
-*-At@A2, удовлетворяющий равенствам 0i"=i2, я20 = я".
Определим 0 равенством 06 = (b — i"n"b, n"b) и 0 равенством
0-1 (аи а2) = с4 + i "а2.
Чтобы доказать это предложение без использования элементов
модулей, рассмотрим диаграмму
Кег я"
В
А2,
в которой i" — вложение. Поскольку я"Aв — \,"п") = 0, то
1J3 — 1"я" представимо в виде \в—i"ji*=iV для некоторого
я* : Б->Кег я". Теперь hV = О и I'jt't' = Г, откуда л\" = 1.
Следовательно, получены равенства, аналогичные равенствам D.2),
и можно применить предложение 4.1.
Опишем теперь прямую сумму как короткую точную последова-
последовательность (ц, я2). В этом случае i2 — правый обратный к я2,
а Я1 — левый обратный к it.
§ 4. Прямые суммы
29
Предложение 4.3. Следующие свойства короткой точной
последовательности (i", я") : Ai» В -» А2 эквивалентны:
(i) для я" существует правый обратный i": А2 -*¦ В, т. е. я "i" =
(ii) для i* существует левый обратный я*: В-*-Аи т. е. яЧ" =1;
(iii) данная последовательность изоморфна последовательности
0-
JS
¦о,
причем At и А2 отображаются в Ai и А2 соответственно тождест-
тождественным образом.
Говорят, что короткая точная последовательность, обладающая
одним из этих свойств (а значит, и всеми) расщепляется (некоторые
авторы говорят, что последовательность несущественна).
Доказательство. Сразу заметим, что из утверждения (iii)
следуют утверждения (i) и (ii). Обратно, из точности последова-
последовательности вытекает, что i* индуцирует изоморфизм Л1^Кегя",
так что из (i) следует (iii) ввиду предложения 4.2. Аналогично
из (ii) следует (iii).
Теперь рассмотрим пары котерминальных гомоморфизмов аи а2,
образующих диаграмму вида
D-.Ai. Л В ?-Аг. D.4)
Говорят, что эта диаграмма универсальна относительно Ау и Л2,
если для любой диаграммы D": А^ -> В" ч- Л2 с теми же модулями
на концах существует единственный гомоморфизм D в D", тождест-
тождественный на каждом Aj. Другими словами, D универсальна, если
в каждую прямоугольную диаграмму
At Л В
II а, I
At Л В'
;р
Аг
А2
D.5)
с D в качестве первой строки и тождественными отображениями
по крайним вертикалям можно вставить единственным образом
среднюю стрелку так, что вся диаграмма станет коммутативной
фхг = а[, р<х2 = «;).
Предложение 4.4. (Инъективная) диаграмма прямой
суммы Л1-*-Л1©Л2ч-Л2 универсальна относительно At и А2.
Обратно, любая диаграмма D.4), универсальная относительно Ah
изоморфна этой диаграмме прямой суммы {причем в этом изомор-
изоморфизме диаграмм при Ау и А2 стоят тождественные отображения).
30
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Доказательство. Для доказательства универсальности
А\ © А2 определим гомоморфизм р\ требуемый в диаграмме D.5),
равенством P(at, а^ — а'^ + а'^, т. е. р = агщ -\- a'tn2; это яв-
является единственной возможностью для определения р. Чтобы дока-
доказать обратное утверждение, достаточно установить, что любые две
универсальные относительно Л( и Л2 диаграммы изоморфны (при-
(причем в этом изоморфизме на концах стоят единицы). Предположим,
что обе строки в диаграмме D.5) универсальны. Поскольку верх-
верхняя строка универсальна, существует гомоморфизм р : В -*- В"
такой, что р*с^ = а',; поскольку нижняя строка универсальна, суще-
существует такой гомоморфизм $':В'-*-В, что p'aj = aj. Тогда
(р'Р) <xj = а}, j = 1, 2. Но Irfij = a,j, откуда в силу свойства един-
единственности для верхней строки Р'Р = 1В. Аналогично свойство
единственности для нижней строки дает 1В- = РР*. Следовательно,
Р и Р" — взаимно обратные изоморфизмы, что и требовалось доказать.
Поскольку универсальная диаграмма единственна с точностью
до изоморфизма, отображения а} в любой универсальной диаграмме
относительно Аг и Л2 являются мономорфизмами, так как они
мономорфизмы в диаграмме внешней прямой суммы.
Заметим, что вторая половина доказательства этого предложе-
предложения не использует элементов модулей, а использует только фор-
формальные заключения о гомоморфизмах. Поэтому это доказательст-
доказательство справедливо в любой категории; смысл этого понятия скоро
будет разъяснен (§ 7).
Двойственно, пара коинициальных отображений, образующая
диаграмму D: At -«- С-> Аг, коуниверсальна относительно Л4 и Л2,
если для каждой прямоугольной диаграммы
A,
С Л А2
D.6)
с D в качестве первой строки и единицами для Aj в качестве верти-
вертикальных отображений имеется единственный способ построения
среднего гомоморфизма, отмеченного пунктирной стрелкой, который
делает диаграмму коммутативной. Читателю предлагается доказать
Предложение
4.5. Диаграмма прямой суммы
Я1 Л Л Л А
коуниверсальна относительно At и Аг. Обратно, любая коунивер-
сальная диаграмма относительно Ау и А2 изоморфна указанной
диаграмме (причем в этом изоморфизме крайние отображения —
единицы).
§ 4. Прямые суммы
31
Прямые суммы более чем двух модулей строятся аналогично.
Например, элементы прямой суммы А\ @ Az © A3 могут рассмат-
рассматриваться как упорядоченные тройки (ait a2, c3) или как функции
множества индексов {1, 2, 3} с a (i) 6 A t. Вообще для произвольно-
произвольного семейства модулей {At}, отмеченных элементами множества Т,
декартовым произведением *) J\tAt считается множество всех таких
функций /, определенных на множестве Т со значениями в объеди-
объединении множеств At, для которых / (t) 6 At для каждого t. Опреде-
Определим модульные операции «покомпонентно», т. е. определим функ-
функции / + Г и rf для г 6 R посредством равенств
Тогда ]JtAt будет ^-модулем. Гомоморфизмы я4 : Д^-»-Л,
определенные равенствами ntf = f (t), называются проекциями
декартова произведения.
Для данных модулей At рассмотрим диаграмму {yt : В -> At}
с дополнительным модулем В и гомоморфизмами yt, заданными
по одному для каждого t 6 Т. Эта диаграмма коуниверсальна отно-
относительно всех At, если для каждой диаграммы {y't : В" -*¦ At \ 16 Т}
существует единственный гомоморфизм Р : В' -> В, удовлетворяю-
удовлетворяющий равенствам у\ = у$ для всех t. Проекции полного прямого
произведения J\tAt образуют такую коуниверсальную диаграмму,
и, как прежде, две такие диаграммы изоморфны.
Внешняя прямая сумма 2tAt тех же модулей At будет подмоду-
подмодулем модуля \\tAt, состоящим из всех функций /, принимающих
только конечное число ненулевых значений. Гомоморфизмы
ц : At -*¦ ^2itAt определяются сопоставлением каждому элементу
а ? At функции ц (с)/заданной на 71 следующим образом: [ц (a)] (t) =
= a, Ut (a)] (s) = 0 при s^t. Эти гомоморфизмы называются
вложениями прямой суммы. Как и в случае двух слагаемых,
диаграмма {ц: At ->- 2И*} универсальна относительно данных
модулей At и определена этим свойством однозначно с точностью
до изоморфизма.
Для конечного числа слагаемых внешняя прямая сумма совпа-
совпадает с полным прямым произведением. Поэтому любая конечная
универсальная диаграмма а^: Aj-*- В, j = 1, . . ., п, порождает
коуниверсальную диаграмму {у} : В -*¦ Aj}. Более точно, каждый
гомоморфизм у} является отображением, однозначно определенным
(поскольку В универсальна) условиями y/Xj = \А„ урк = 0 при
*) В советской литературе принят термин "полное прямое произведение".
Этот термин будет использоваться в дальнейшем наряду с терминологией
автора.— Прим. перев*. ,
32
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
} Ф k. Двойственно, из каждой коуниверсальной диаграммы чита-
читателем может быть получена универсальная диаграмма.
Прямые суммы могут быть описаны в терминах подмодулей.
Если St — некоторое семейство подмодулей модуля В, индексы
которого — элементы множества Т, то их объединение U St опреде-
определяется как множество всех конечных сумм вида st + . . . + sn,
где каждое s}- взято из некоторого St. Это множество является под-
подмодулем модуля В, включающим все St и содержащимся в любом
другом подмодуле, содержащем все подмодули St. Пересечение
П St определяется как пересечение множеств St; это множество
является подмодулем модуля В, содержащимся в любом подмодуле
St и включающим в себя любой подмодуль с тем же свойством.
Мы будем также писать Si U S2 или S± f| S2 для объединения или
пересечения двух подмодулей Sit S2.
Предложение 4.6. Для подмодулей St с: В, t ?T, сле-
следующие условия эквивалентны:
(i) диаграмма {jt : S* ->- В}, где jt — вложение, универсальна
относительно всех St;
(ii) В = U Su и St0 П ( U St) = 0 для каждого t0 6 Т.
t=t=h
Доказательство. Если выполнено условие (i), то модуль
В изоморфен прямой сумме 2 St, удовлетворяющей условию (ii).
Обратно, если выполнено условие (ii), то ввиду равенства В = U St
каждый элемент Ь Ф О может быть записан как конечная сумма Ь =
= si + . . . + ^ элементов st ф О, принадлежащих различным
подмодулям St., i=l,..., л; вторая часть условия (ii) обеспе-
обеспечивает единственность подобного представления. Для любой дру-
другой диаграммы {at : St -*¦ В'} гомоморфизм ($ : В -»- В", определен-
определенный формулой р (si + . . . + sn) = atfi + . . . + atnsn, являет-
является единственным гомоморфизмом, удовлетворяющим равенствам
ру( = at; отсюда вытекает универсальность диаграммы {/* : St -*¦ В).
При выполнении указанных условий модуль В называется внут-
внутренней прямой суммой своих подмодулей St. Следовательно, внут-
внутренняя прямая сумма изоморфна внешней прямой сумме 2 St-
В частности, В является внутренней прямой суммой двух подмо-
подмодулей Si и S2 тогда и только тогда, когда St Л S2 = 0 и St U Sz =
= В; из этих условий вытекает изоморфизм В ^ Si @ 52.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что диаграмма D.1), в которой njii= 1, Я21г = 1» я412 =
== 0 и пара (it, я2) точна, является диаграммой прямой суммы.
2. Если эндоморфизм а : А -»- А удовлетворяет равенству а« = а, то
А есть прямая сумма подмодулей Кег а н Im а.
§ 5. Свободные и проективные модули
33
3. Показать, что диаграмма {at : At ->- В, t ? Т} универсальна относи-
относительно данных модулей At тогда и только тогда, когда (i) модуль В есть
объединение подмодулей щА( и когда (ii) существуют такие гомоморфизмы
Щ : В -»¦ At, t ?Т, что Ktat = 1 и л8щ = 0 при s Ф t.
4. Сформулировать и доказать предложение, двойственное предложе-
предложению 4.6. (Двойственным к понятию подмодуля является понятие фактор-
модуля.)
5. Пусть заданы гомоморфизмы а^ : А( ->- A], i, j = 1, 2. Показать,
что существует единственный гомоморфизм о : А± ф А2 ->- А[ ф А'2, удо-
удовлетворяющий равенствам я^ан; = ai;-, i, j = 1, 2.
§ 5. Свободные и проективные модули
Кольцо R как левый ^-модуль имеет следующее характеристи-
характеристическое свойство. Если а—произвольный элемент ^-модуля А,
то существует единственный ^-модульный гомоморфизм ца : R -> А,
обладающий свойством цоA) = о; именно, отображение ц,о опре-
определяется формулой ца (г) = га.
Свободный левый ^-модуль — это прямая сумма некоторого
семейства ^-модулей, каждый из которых изоморфен ^-модулю R.
Принимая во внимание указанное выше свойство модуля R, мы
можем сказать более точно, что левый ^-модуль F свободен относи-
относительно подмножества Т своих элементов, если гомоморфизмы
\it:R-*-F, определенные для каждого t 6 Т равенством \it (r) = rt,
образуют универсальную диаграмму относительно R. Поскольку
каждый гомоморфизм v : R -*- А однозначно определяется элемен-
элементом v A) 6 А, свойство универсальности может быть сформулиро-
сформулировано в виде следующего предложения.
Предложение 5.1. Модуль F является свободным относи-
относительно подмножества Т a F в том и только в том случае, когда
для любого модуля А и любого отображения g множества Т в А суще-
существует такой единственный модульный гомоморфизм ц : F -*¦ А, что
F @ = g @ для каждого t ? Т.
Ввиду изоморфизма между внешними и внутренними прямыми
суммами справедливо
Предложение 5.2. Модуль F тогда и только тогда сво-
свободен относительно подмножества Т cz F, когда каждый элемент
из F может быть единственным образом' представлен в виде суммы
2rtt с коэффициентами rt 6 R, которые почти все равны нулю
(т. е. равны нулю все, кроме конечного числа).
Модуль F, свободный относительно множества Т, определяется
множеством Т с точностью до изоморфизма. При заданных
кольце R и множестве Т мы можем построить 7?-модуль, свобод-
свободный относительно Т, как прямую сумму F = 2tRt, где Rt есть
3—353
34
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
множество всех одночленов rt, г ? R, с очевидной модульной
структурой.
Левый модуль А порожден подмножеством U своих элементов,,
если А является единственным своим подмодулем, содержащим,
все элементы и 6 U, т. е. если каждый элемент из А записывается
в виде конечной суммы 2nu* с коэффициентами rt ? R. Модуль^
свободный относительно Т, порожден Т.
Предложение 5.3. Каждый R-модуль изоморфен фактор-
модулю свободного' модуля.
Доказательство. В данном модуле А выберем подмно-
подмножество U, порождающее А (например, положим U = А). Построим
модуль F, свободный относительно множества U, и рассмотрим
такой гомоморфизм fi: F -*¦ А, что ц (и) = и 6 А. Поскольку мно-
множество U порождает модуль А, то ц — эпиморфизм и поэтому А ^
S?/7(Кег ц). '
Модуль А конечно порожден (или конечного типа), если он
порождается конечным подмножеством, т. е. если он изоморфен
фактор модулю конечной прямой суммы R ф . . . © R. Модуль С
циклический, если он порождается одним элементом; в этом случае
С a* RIL, где L — подмодуль модуля R (т. е. L — левый идеал в R).
Основная теорема теории элементарных делителей утверждает, что-
всякий конечно порожденный модуль изоморфен прямой сумме
циклических модулей, если R является коммутативной областью-
целостности, в которой каждый идеал главный (т. е. циклический).
В частности (R — Z), каждая конечно порожденная абелева группа,
есть прямая сумма циклических групп.
Модуль Р называется проективным, если каждую диаграмму
с эпиморфизмом а можно сделать коммутативной, пополнив ее
отображением, указанным пунктирной стрелкой. Другими словами,,
при заданном эпиморфизме а : В -» С для каждого отображения
у : Р ->- С найдется гомоморфизм р : Р -*• В, такой, что оф = уг
т. е. любой гомоморфизм у можно провести через а.
Лемма 5.4. Каждый свободный модуль проективен.
Доказательство. Пусть F — свободный модуль со сво-
свободными образующими t. Поскольку а В = С, можно выбрать-
для каждого t такой элемент bt 6 В, что abt = yt. Тогда единствен-
единственный гомоморфизм Р: F -*¦ В, определяемый равенствами р/ = bt
для каждого t, является искомым.
§ 6. Функтор Нот
35
В дальнейшем проективные модули будут постоянно использовать-
использоваться. Отметим, что проективный модуль может не быть свободным.
Например, если в качестве кольца R взять прямую сумму двух
экземпляров кольца Z целых чисел, R = Z © Z (с умножением,
определенным формулой (/и, п) (/и*, п) = {mm1, nn')), то первое
слагаемое Z как подмодуль ^-модуля является ^-модулем. Этот
^-модуль,. очевидно, не является свободным, однако он проекти-
проективен, что вытекает из следующего предложения:
Предложение 5.5. R-модуль Р проективен тогда и только
тогда, когда он является прямым слагаемым свободного R-модуля.
Доказательство. Предположим сначала, что модуль Р
есть прямое слагаемое свободного модуля F = Р © Q и я: F -*- Р
есть соответствующая проекция. Если дана диаграмма E.1), то
отображение узт : F -*¦ С можно представить в виде ар = уп,
где Р : F -*¦ В. Умножив это равенство на вложение i: Р -*~ Р © Q,
получим a (Pi) = ут = у, откуда следует, что модуль Р проек-
проективен..
Обратно, пусть Р проективен. В силу предложения 5.3 сущест-
существует эпиморфизм р : F -*- Р, где модуль F свободен. Гомоморфизм
\р : Р -*~ Р можно представить в виде рР == 1, р : Р -*¦ F. Из пред-
предложения 4.2 вытекает, что модуль F есть прямая сумма подмодулей
РЯ^Я и Кегр.
Любая подгруппа свободной абелевой группы свободна; сле-
следовательно, всякий проективный 2-модуль свободен.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что прямое слагаемое проективного модуля проективное
2. Показать, что модуль Zm проективен (но не свободен) над кольцом
Z^n вычетов по модулю тп, если тип взаимно просты.
3. Доказать, что произвольная прямая сумма проективных модулей;
проективна.
§ 6. Функтор Нош
Пусть А и В некоторые ^-модули. Множество
всех ^-модульных гомоморфизмов / модуля А в модуль В является
абелевой группой относительно сложения, определенного равен-
равенством (f + g) a = fa + ga для любых гомоморфизмов f, g : A -*- В.
Если А = В, то Нотв (А, А) является кольцом относительно
указанного сложения и умножения гомоморфизмов; это кольцо
называется кольцом R-эндоморфизмов модуля А. В том случае,
з*
36
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
когда кольцо R коммутативно, Нотд(Л,В) может рассматриваться
не только как группа, но и как ^-модуль, если гомоморфизм
tf:A-*B, t ? R, f:A-^B определить так: (tf) a — t (fa) для любо-
любого элемента а 6 Л. То, что tf действительно ^-модульный гомомор-
гомоморфизм, следует из равенств
(tf) (га) -1Q га) = tr (fa) = rt (fa) = r [(tf) a],
в которых использована коммутативность кольца R.
Группа Нот встречается часто. Когда R — поле, Нотн (А, В)
является векторным пространством всех линейных преобразований
векторного пространства А в векторное пространство В. Если G —
абелева группа, а Я — факторгруппа аддитивной группы действи-
действительных чисел по подгруппе целых чисел, обе рассматриваемые как
2-модули, то Homz (О, Р) — группа характеров группы G. Если
<р : R -> Homz (G, G) — кольцевой гомоморфизм, то абелева груп-
группа G становится ^-модулем относительно левого умножения rg —
— ф (г) g. Все левые ^-модули могут быть получены таким образом
из разных групп G и гомоморфизмов ф.
Рассмотрим действие фиксированного модульного гомомор-
гомоморфизма Р : В -*¦ В' на Нотн (А, В). Для каждого / : А -*- В опреде-
определено произведение Р/: А ->- В', причем р (/ ¦+- g) = р/ + $g.
Поэтому соответствие / -*• Р/ является гомоморфизмом
: Ногпд (А, В) -> Нотн(Л, В')
F.1)
абелевых" групп, называемым гомоморфизмом, «индуцированным»
6 Более точно, Р*/ = Р ° /• Если Р — тождественный гомоморфизм,
то и р* тождественно; если р разлагается в произведение, то и р*
есть соответствующее произведение. Точнее,
Aв)*г=1Нош(А,В),
F.2)
ппичем последнее равенство имеет место всякий раз, когда опре-
определено произведение рр\ Можно объединить F.1) и F.2) в следующем
утверждении: Нотн (А, В) есть «ковариантныи функтор» по аргу-
аргументу В (общее определение дано в § 8).
Для первого аргумента А изменяется направление индуцирован-
индуцированного гомоморфизма. При фиксированном модульном гомоморфизме
" л _»- А" для каждого f : А" -> В определено произведение
Г a • А + В, причем (/" + gf) а = f'a+ g'a. Следрвательно, отобра-
отображение a*f" = f"a задает «индуцированный» гомоморфизм
a* : HomR (А1, В) -> Нотн (А, В)
F.3)
абелевых групп. Вновь AА)* — тождественное отображение. Если
а : А -»- А", а' : А' -*¦ А", то определено произведение a'a и инду-
§ 6. Функтор Нош
37
цируются отображения
Нотн (Л", В) ^t Ношд (А', В) Д Нотн (А, В);
можно показать, что a*a** = (a'a)*. Это обращение порядка мно-
множителей обобщает тот факт, что транспонированная матрица про-
произведения двух матриц является произведением транспонирован-
транспонированных матриц сомножителей в обратном порядке. Ввиду изменения
порядка в произведении, мы будем говорить, что Нотл (А, В) при
фиксированном модуле В является контравариантньш функтором
по аргументу А.
Теперь будем менять и А, и В. При заданных a : A -*• А" и
Р : В ->- В" для каждого /:Л*-»-? определено произведение
P/a : A -*- В"; соответствие f-*- Р/а является гомоморфизмом
Нот (а, р): Нот (А', В) -* Нот (А, В')
абелевых групп, причем а*р„с = Нот (а, р) = Р^а*. Этот гомомор-
гомоморфизм обладает свойствами:
НотA, Г) = тождественное отображение;
Hom(aa', pp') = Hom(a', p) Horn (a, P');
последнее имеет место всякий раз, когда определены произведения
aa" и РР". Мы будем говорить, что Нот является функтором от двух
аргументов, контравариантным по первому аргументу и ковариант-
ным по второму, из категорий ^-модулей в категорию групп.
Если аь а2 : А -»- А' суть два гомоморфизма, то можно показать,
что
Horn (a4 + а2, Р) = Нот (altp) + Нот (а2, Р). F.4)
Аналогично Нот (а, Pi + Рг^Нот (а.р^ + Нот (а,р2). Эти два
свойства означают, что Нот —«аддитивный» функтор.
При фиксированном В применим Нот (—, В) к диаграмме пря-
прямой суммы D.1). В результате
'? 1?
Нот(Л4, В) ±^ Нот(/41©Л2, В) ^t Нот(Л2, В)
п* я»
вложения ij перейдут в проекции i*, но ввиду F.4) по-прежнему
выполняются равенства D.2) для диаграммы прямой суммы. Ана-
Аналогично при фиксированном Л диаграмма прямой суммы модулей
Bi и Вz переходит при применении Нот (Л, —) в диаграмму пря-
прямой суммы (причем вложение перейдет во вложение). Таким обра-
образом
Нот (Л4 © Л2, В) =; Нот (Л, В) © Нот (Л2, В),
Нот (Л, В± © В2) о* Нот (Л, В^ ©Нот (Л, В2).
Гл. 1. Модули, диаграммы и функторы
В частности, точна такая последовательность Нот (Л, В4) >*
>-» Нот (Л, Bi © В2) -» Нот (Л, В2).
Теорема 6.1. Для любого модуля D и любой последователь-
последовательности О,-> Л Д» В -Д> L, точной в А и В, индуцированная последо-
последовательность абелевых групп
О -> Нотн (Д Л) Д Нотн (Д В) Д Нотн (Д L) F.6)
точна.
Доказательство. Чтобы показать мономорфность х«,
рассмотрим такой гомоморфизм f : D -*¦ А, что x,J = 0. Для любого
элемента d 6 Д xjtf = x/d = 0; поскольку х — мономорфизм,
то все fd = 0 и, значит, / = 0, т. е. х# — мономорфизм. Очевидно,
что Рях* = (рх)„ = 0* = 0, и поэтому Im x,, с: Кег ($„. Для дока-
доказательства обратного включения рассмотрим такой гомоморфизм
g : D -*- В, что Р^ = 0. Тогда $gd = 0 для любого элемента d. Но
Кег р = хЛ ввиду точности данной в условии последовательности,
поэтому существует единственный элемент а 6 Л, для которого ха =
= gd. Отображение fd — a определяет такой гомоморфизм /: D-*-A,
что %J = g. Следовательно, Imx# zd Ker %, чем и заканчивается
доказательство точности последовательности F.6).
Аналогичными рассуждениями читатель может доказать следую-
следующую теорему.
Теорема 6.2. Если последовательность МДВДС-<-0
точна и D — произвольный модуль, то индуцированная последо-
последовательность
0 -*¦ Нотн (С, D) -^l HomH (В, D) ^ Нотн (М, D) F.7)
точна.
Последовательность М -»- В -*¦ С -»- 0, точная в В и С, назы-
называется короткой точной справа последовательностью. Последняя
теорема утверждает, что функтор Нотн (—, D) при фиксированном
D переводит каждую короткую точную справа последовательность
в короткую точную слева последовательность; по предыдущей
теореме HomH (D, —) переводит короткую точную слева последо-
последовательность в короткую точную слева последовательность. Если
о
А >* В -» С — короткая точная последовательность, то желатель-
желательно иметь точные последовательности
0->HomH(D, A)->HomR(D, В) Д HomH(D, С)-»?, F.6')
0 -> Нотн (С, D) -> Нотн (В, D) -¦ Нотн (Л, D) -* ?. F.7')
§ 6. Функтор . Нот
39
В силу двух предыдущих теорем каждая из этих последователь-
последовательностей точна, кроме, возможно, правого конца. Если вместо ? поста-
поставить 0, то, как правило, последовательности не будут точными.
Например, точность последовательности F.6') в HomH (D, С) озна-
означала бы, что каждый гомоморфизм h : D -*¦ С представим в виде
h = ah" при некотором h": D -*~ В, т. е. каждый гомоморфизм
в фактормодуль С = ВЫА мог бы быть проведен через В (что было
•бы возможно при проективном модуле D). Чтобы убедиться в невер-
неверности этого утверждения, положим R = Z и D = Zm, цикличе-
циклической группе порядка т. Для короткой точной последовательности
Z«Z-» Zm, в которой первый гомоморфизм х задается умноже-
умножением целых чисел на т, последовательность F.6*) принимает вид
0 ->- 0 ->- 0 -v Horn (Zm, Zm) -*¦ 0 и, очевидно, не является точной.
Аналогично последовательность F.7") может не быть точной, если
поставить 0 вместо ?, поскольку не всякий гомоморфизм / : А -»- D
подмодуля A cz В может быть продолжен до гомоморфизма В в D.
Можно описать объект, создающий «препятствие» для расширения
указанного гомоморфизма /. Группа этих объектов, поставленная
в F.7*) вместо ?, восстанавливает точность последовательности.
Эта конструкция, строящаяся одновременно для последователь-
последовательностей F.6') и F.7*), является одним из объектов изучения гомо-
гомологической алгебры.
Теперь мы можем доказать несколько свойств, характеризующих
проективные модули.
Теорема 6.3. Следующие свойства модуля D эквивалентны:
(i) модуль D проективен;
(и) для каждого эпиморфизма а : В -» С индуцированный гомо-
гомоморфизм а* : HomH {D, В) -»- HomH (D, С) является эпиморфиз-
эпиморфизмом;
(iii) если А >* В -» С — короткая точная последовательность,
то и последовательность 0 -»- Нотн (D,A)^>~ HomH (D, В) -*•
-*¦ Нотн (D, С) -*¦ 0 точна;
(iv) каждая короткая точная последовательность Л >-» B-»D
расщепляема.
Доказательство. Содержащееся в (и) утверждение, что
<** — эпиморфизм, означает, что каждый гомоморфизм у : D -*• С
может быть представлен в виде у = a|J; это в точности и означает,
что D — проективный модуль.
Ввиду точности последовательности F.6) условие (ii) эквива-
эквивалентно условию (iii). Наконец, если модуль D проективен и
<т : В -» D, то отображение Id : D -*~ D можно представить в виде
1 = ар, где Р : D -*- В, поэтому последовательность из (iv) рас-
расщепляется. Обратно, пусть всякая короткая точная последователь-
последовательность, оканчивающаяся модулем D, расщепляется. Представим D
40
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
как образ р : F -» D некоторого свободного модуля F. Поскольку
последовательность Кег р >* F -» D расщепляется, D является
прямым слагаемым модуля F по предложению 4.2; в силу предло-
предложения 5.5 модуль D проективен.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Каждый левый идеал L кольца R есть ^-модуль и последовательность
L >-> R -» R/L точна. Предположим, что L2 Ф L.
(i) Последовательность F.6') может не быть точной, если вместо ? поста-
поставить 0. Показать это для D = R/L, установив, что гомоморфизм
Нотя (R/L, R) -*¦ HomR (R/L, R/L) не является эпиморфизмом A не
является .образом!).
(и) Последовательность F.7') может не быть точной, если вместо ? поста-
поставить 0. Показать это для D = L, установив, что гомоморфизм HomH (R, L) -+¦
->- Нотд (L, L) не является эпиморфизмом A не является образом!).
2. Для произвольного множества индексов Т установить изоморфизм
Нотн B<Л*. В) за П4 Нотн (At, В),
сопоставляя каждому отображению f-.y\At^>-B набор его ограничений
ft: At ^ В.
3. Для произвольного множества Т индексов установить изоморфизм
HomH (A,
Нотн (A, Bt).
§ 7. Категории
Категория состоит из «объектов» и «морфизмов», которые могут
иногда «перемножаться». Формально, категория 4$ — это класс
объектов А, В, С, . . ., вместе с
(i) семейством попарно непересекающихся множеств hom (А, В),
причем каждой паре объектов отвечает единственное множество;
(и) функцией, заданной для каждой тройки объектов А, В, С
и сопоставляющей элементам а 6 hom {А, В) и р 6 hom (В, С) эле-
элемент Ра ? hom (А, С);
(Hi) функцией, сопоставляющей каждому объекту А элемент
1А 6 hom (А, А).
При этом должны быть выполнены две аксиомы:
аксиома ассоциативности: если а ? hom (А, В), р 6 hom (В, С)
и v 6 hom (С, D), то у (pa) = (yf) а;
аксиома единиц: если а 6 bom (А, В), то а1А = а = 1да.
Если а 6 hom (А, В), то будем писать а : А -*- В и называть
а морфизмом категории % с областью определения А и областью зна-
значений В. Ввиду (и) произведение Ра определено тогда и только
тогда, когда область значений морфизма а совпадает с областью
определения морфизма Р; произведение трех сомножителей уРа
ассоциативно, если оно определено. Назовем морфизм х единицей
§ 7. Категории
41
категории %, если ха = а всякий раз, как произведение ха опре-
определено, и рх = р всякий раз, как определено произведение Рх.
Каждый морфизм 1А является единицей. Обратно, если х единица,
то х: А ->- А для некоторого объекта А и х = х1д = 1А, т. е.
каждая единица из 46 имеет вид 1А для однозначно определенного'
объекта А. Другими словами, единицы категории % определяют
объекты этой категории. Можно описать категорию просто как
класс морфизмов с частично определенным умножением, удовлет-
удовлетворяющим подходящим аксиомам (см. упражнение 3 в конце этого
параграфа).
Морфизм Э: А ->- В называется эквивалентностью категории %,
если существует такой морфизм ф : В -*¦ А> что фЭ = 1А и 8ф = 1В.
В этом случае ф однозначно определен: если ф'8 = 1А, то ф = 1Аф =
= ф'Эф = ф'1в = ф*. Назовем ф обратным, ф = 8-1, к эквивалент-
эквивалентности Э.
Произведение двух эквивалентностей, если оно определено,
также является эквивалентностью.
(Мультипликативная) группа G есть категория с одним объектом.
G; можно считать, что hom (G, G) состоит из элементов группы G.
Если множество М замкнуто относительно ассоциативного умно-
умножения с единицей, то его также можно рассматривать как кате-
категорию с одним объектом и умножением, совпадающим с данным
умножением.
Более типичным примером категории является категория Я<М
(левых) модулей над данным кольцом R. Объекты этой категории —
это все ^-модули А, В, С, . . ., множество hom (А, В) морфиз-
морфизмов — это множество HomR (A, В) всех i?-модульных гомоморфиз-
гомоморфизмов из Л в В, в то время как умножение — это обычное умножение
гомоморфизмов. Аксиомы ассоциативности и существования единиц
выполнены очевидным образом. В этой категории использован класс
всех ^-модулей. Мы не можем говорить о множестве всех ^-моду-
^-модулей, потому что это множество является незаконной совокупностью
при обычных аксиомах теории множеств. Если же принять аксио-
аксиоматику теории множеств Гёделя — Бернайса — фон Неймана
(Гёдель [1940]), то в нашем распоряжении оказываются большие,
чем множества, совокупности, называемые классами, и можно
законно говорить о классе всех модулей или всех топологических
пространств. Мы определили категорию как класс объектов, имея
в виду эту интерпретацию. Назовем категорию малой, если класс
ее объектов является множеством.
Чтобы привести другие примеры категорий, достаточно будет
указывать объекты и морфизмы категорий; в большинстве случаев-
области определения и значений морфизмов, умножение и единицы
будут иметь их обычный смысл. Мы приводим перечень тех приме-
примеров категорий, с которыми нам придется встретиться.
42
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Категория топологических пространств. Объекты — все топо-
топологические пространства, морфизмы — все непрерывные отобра-
отображения / : X -*¦ Y одного пространства в другое.
Категория абелевых групп. Объекты — все абелевы группы;
морфизмы — все гомоморфизмы абелевых групп друг в друга.
Категория групп. Объекты — все (не обязательно абелевы)
группы; морфизмы — все гомоморфизмы групп.
Категория множеств. Объекты — все множества, морфизмы —
все отображения одного множества в другое.
В следующих примерах под R понимается фиксированное кольцо.
Категория точных последовательностей ^-модулей длины п.
Объекты — все точные последовательности S : Ai-*- А2-*-. . .->
-*• An_t -*~ Ап, морфизмы Г : S -> S* — все такие наборы Г =
= (Yi. Y2. • • •, Yn) модульных гомоморфизмов yf :At-+A'i, что
диаграмма
коммутативна. Если В = (Pi %) : S'-> S", то произведе-
«ием ВГ считается набор¦ (PiTt> • • ¦> PnYn)-
Так же может быть построена категория бесконечных вправо
«ли бесконечных влево точных последовательностей или же
последовательностей, бесконечных в обе стороны. Другим примером
является категория коротких точных последовательностей Е : А >*
>* В -»С, морфизмами которой считаются все тройки (а, р, у)
модульных гомоморфизмов, делающие коммутативными диаграммы
типа диаграммы C.1). Теперь достаточно ясно, как много примеров
может быть построено,— категория последовательностей точных
. последовательностей и т. д. до бесконечности.
Так же ясно, что многие понятия, применимые к модулям, могут
быть применены к объектам любой категории — при условии, что
определение этих понятий не использует элементов модулей, а отно-
относится к самим модулям и их гомоморфизмам. Так, в произвольной
категории 93 диаграмма, состоящая из морфизмов at: At -*• С
из 93, заданных для каждого t из некоторого множества Т, уни-
универсальна относительно данных объектов At (или является диа-
диаграммой прямой суммы для At), если для каждой диаграммы
{a't: At -*• С" 11 € Т} с теми же объектами At существует в 93 такой
единственный морфизм р: С->- С", что 0а< = а\ для всех t 6 Т.
(Для множества Т = {1,2} эта формулировка в точности совпадает
со свойством, указанным для диаграммы D.5).) Доказательство един-
единственности, проведенное раньше для прямой суммы двух модулей,
дословно повторяется для доказательства следующего предложения.
§ 7. Категории
43
Предложение 7.1. Пусть {at : At-*- С} и {a't : At -*¦
-*- С'} — две диаграммы прямой суммы одного и того оке семейства
объектов {At} произвольной категории %. Тогда в % существует
такая единственная эквивалентность 6: С-*~ С", что 6а* = а»
для каждого t.
Аналогичная теорема единственности справедлива для диа-
диаграммы прямого произведения, т. е. диаграммы {yt: B-*-At\t € Т)
такой, что для любой другой диаграммы {у\ : В" -*¦ At \t ? Т)
существует единственный морфизм р : В" -*¦ В, для которого
Y« = YtP Для всех t € Т.
Определение прямого произведения строго параллельно опре-
определению прямой суммы, однако направления всех стрелок изменены
на противоположные. Мы говорим, что прямое произведение «двой-
«двойственно» прямой сумме. Вообще двойственным к некоторому утверж-
утверждению <3 (исчисления высказываний первого порядка) о категории
% считается утверждение ©*, полученное из <& изменением направ-
направления всех морфизмов, заменой каждого произведения морфизмов
ар на произведение Ра и перестановкой области определения и об-
области значений. Сразу же отметим, что двойственное утверждение
к каждой аксиоме из определения категории также является акси-
аксиомой. Поэтому доказательство, двойственное к доказательству
некоторого утверждения @ о категории %, опирающемуся только
на аксиомы, есть доказательство двойственного утверждения ©*.
Например, предложение, двойственное к предложению 7.1, утверж-
утверждает, что диаграмма прямого произведения относительно данных
объектов единственна (с точностью до эквивалентности). Поскольку
доказательство предложения 7.1 опиралось только на аксиомы
категории, двойственное предложение справедливо без дополни-
дополнительного доказательства. Однако может случиться, что предложе-
предложение @, формулировка которого использует только объекты и мор-
морфизмы, справедливо в некоторой определенной категории, хотя
двойственное утверждение неверно. Например, в категории всех
счетных абелевых групп существует диаграмма прямой суммы счет-
счетного множества счетных групп Ait . . ., Ап, . ..., но не сущест-
существует полного прямого произведения тех же групп (в сущности,
потому, что полное прямое произведение этих групп, существующее
в категорий всех абелевых групп, несчетно).
Для каждой категории % можно построить двойственную кате-
категорию $°р. В качестве объектов категории $ор возьмем класс,
находящийся во взаимно однозначном соответствии А* +-*¦ А с объ-
объектами А категории %. В качестве морфизмов возьмем класс, нахо-
находящийся во взаимно однозначном соответствии а* <—»а с морфизмами
из %. Дополнительно потребуем, чтобы а* : А* -*-В* тогда и толь-
только тогда, когда а : В -*¦ А, и чтобы произведение а*Р* было опре-
44
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
делено и равнялось (Ра)* тогда и только тогда, когда определено-
произведение р\х. Тогда %QV будет категорией, и любое утвержде-
утверждение ©* о категории % — это в точности то же самое, что и исход-
исходное утверждение © о категории $ор. Это обстоятельство вновь пока-
показывает, что утверждение, двойственное к доказуемому, доказуемо.
Взаимно однозначное отображение Т:^->-$ор, Т (А) = А*,
Т(а) = а*, является «антиизоморфизмом», поскольку Тфа) =
= Г(о) Г(Р).
Впоследствии мы определим специальный класс категорий г
называемых «абелевыми категориями», потребовав по существу ^
чтобы множество пот (А, В) было абелевой группой и чтобы суще-
существовали ядра и коядра, как в случае категорий модулей. Оказы-
Оказывается, что многие теоремы о модулях остаются верными, если моду-
модули и их гомоморфизмы заменить объектами и морфизмами произ-
произвольной абелевой категории. Интересующийся читатель может
сразу перейти к гл. IX и XII.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что в категории топологических пространств непересе-
непересекающееся объединение двух пространств дает диаграмму прямой суммы
и что декартово произведение X X У двух пространств с обычной тополо-
топологией и естественными проекциями на X и У дает диаграмму прямого про-
произведения.
2. Показать, что для любых двух объектов в категории групп существует
диаграмма прямой суммы и диаграмма прямого произведения.
Замечание. «Прямая сумма» не обязательно абелевых групп более
известна как их «свободное произведение».
3. Рассмотрим класс <М элементов а, Р, Y» • • • с частично определенным
умножением Ра ? <М. Назовем элемент к единицей в <М, если ир = Р и ах =
= а всякий раз, как определены произведения »ф и аи. Тогда оМ называется
абстрактной категорией, если выполнены следующие аксиомы.
(i) Произведение y (Ра) определено тогда и только тогда, когда опреде-
определено произведение (yP) а. Если эти произведения существуют, то они равны.
Это произведение трех множителей будет записываться как yP«-
(ii) Произведение yP<* определено всякий раз, как определены оба про-
произведения yP и Ра-
(ш) Для каждого элемента о^ай существуют такие единицы к и и',
что определены произведения ах и х'а х).
Доказать, что класс морфизмов категории образует абстрактную кате-
категорию, и обратно, что элементы произвольной абстрактной категории являют-
являются морфизмами некоторой категории 'ё, которая определена с точностью
до изоморфизма категорий.
*¦) Пропущено следующее условие: если к и и' — две единицы, то мор-
физмы а, для которых определены произведения аи и и'а, составляют мно-
множество.— Прим.. перев.
§ 8. Функторы
45
§ 8. Функторы
Пусть % и SB — категории. Ковариантным функтором Т из %
в SB называется пара отображений (каждое из которых обозначает-
обозначается одной и той же буквой Т): отображение, определенное на объек-
объектах и сопоставляющее каждому объекту С 6 % объект Т (С) 6 SB,
и отображение, определенное на морфизмах и сопоставляющее
каждому морфизму у: С -> С* из % морфизм Т (у) : Т (С) -> Т (С")
из SB. Эта пара отображений должна удовлетворять следующим
двум условиям:
ТAс)=1т(о, С€«, (8.1)
Тфу) = Тф)Т(у), Ру определено в %. (8.2)
¦Следовательно, ковариантный функтор Т из категории % в кате-
категорию 3 —это отображение из % в 3, которое сохраняет области
определения и области значений морфизмов, а также единицы
и произведения.
Например, пусть R — фиксированное кольцо. Для произволь-
произвольного множества Т пусть F (Т) = HtRt есть свободный модуль отно-
относительно множества Т. Тогда F является ковариантным функтором
из категории множеств в категорию ^-модулей. Возьмем теперь,
например, категорию "В всех групп, где G* = [G, G] — коммутант
группы G, т. е. подгруппа, порожденная всеми «коммутаторами»
gigzg^^z1, где gt 6 G. Каждый гомоморфизм у: G-> Я, очевидно,
отображает G в Я" с помощью у". Отображения Т (G) = G" и Т (у) =
= у' превращают G" в ковариантный функтор из категории & в ка-
категорию Jr. Аналогично факторгруппа Gl [G, G] может рассмат-
рассматриваться как ковариантный функтор из категории в категорию
абелевых групп.
Пусть S и Т — два ковариантных функтора из категории %
в категорию SB. Естественным преобразованием h:S~>-T назы-
называется отображение, которое сопоставляет каждому объекту С 6 %
такой морфизм h (С): S (Q -> Т (С) из SB, что для каждого мор-
физма у: С -> С" из % в категории SB имеет место коммутативная
диаграмма
S (С)
НС)
Т(С)
(8-3)
Если морфизмы h (С) удовлетворяют этому условию коммутатив-
коммутативности, мы будем более коротко говорить, что «Л естествен». Если
к тому же каждый морфизм h (С) является эквивалентностью, то
мы будем говорить, что h — естественный изоморфизм.
46
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы.
Интуитивно, естественное преобразование h определяется еди-
единообразно или одной формулой для любого объекта из рассмат-
рассматриваемой категории. Например, определим для каждой группы G
гомоморфизм h (G): G-*- G/[G, б], сопоставив каждому элементу
g 6 G смежный класс g [G, G] из факторгруппы по коммутанту.
Диаграмма типа (8.3) в этом случае коммутативна, так что h можно
рассматривать как естественное преобразование тождественного
функтора в функтор взятия факторгруппы по коммутанту (оба
функтора в категорию всех групп). Другие (и более наглядные)
примеры естественных преобразований вскоре появятся (например,
см. предложение II. 4.2 об относительной гомологии).
Контравариантный функтор Т из %'-в SB состоит из отображе-
отображения Т, определенного на объектах из % и сопоставляющего каж-
каждому объекту С объект Г (С) ? SB, и отображения Т, определенного
на морфизмах и сопоставляющего каждому морфизму у : С-*- С
морфизм Т {у): Т (С) -*- Т (С) из SB, имеющий противоположное
направление. Эта пара отображений должна удовлетворять двум
условиям:
(8.4>
(8.5)
— Т(у)Тф), произведение р-у определено в Чв.
То, что произведение pv определено, означает, что у: С -*- С\
Р: С -*¦ С", следовательно, Т (р): Т (С") -»- Т. (С), Т(у):Т (С) -*-
-*¦ Т (С) и поэтому произведение Т (у) Т (Р) определено. Значит,
изменение порядка множителей в равенстве (8.5) необходимо.
В § 6 мы отмечали, что при фиксированном /^-модуле В
Нотя {А, В) есть контравариантный функтор по аргументу А,
определенный в категории ^-модулей. Группа характеров абеле-
вой группы А — это группа Ch А = Нот/ (А, Р), где Р — фактор-
факторгруппа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе
целых чисел. Если, как в § 6, определить отображение Ch a = а*,
где а — гомоморфизм, то Ch становится контравариантным функто-
функтором из категории абелевых групп в ту же самую категорию или
из категории дискретных абелевых групп в категорию компактных
абелевых групп при обычном определении топологии в группе Ch A.
Для любой категории SB и двойственной ей категории 3)°v пара
отображений Р, где PD = D*, Р (б) = б*, задает контравариант-
контравариантный функтор из SB в @°v. Каждый контравариантный функтор Г
из % в SB может рассматриваться как ковариантный функтор из
% в 3)°v, именно как произведение РТ.
Естественным преобразованием h : S-+-T, связывающим два
контравариантных функтора из $ в SB, называется функция, сопо-
сопоставляющая каждому объекту С 6 # такой морфизм h (С) : S (С) -*-
-*- Т (С) в D, что для каждого морфизма у : С->- С" из % коммута-
§ 8. Функторы
47
тивна следующая диаграмма:
S(C')—-Xt(C)
(8.6>
S(C)-^>T(C).
Эта диаграмма получается из диаграммы (8.3) изменением направ-
направления вертикальных стрелок.
Если Т — функтор из категории ^ в категорию SB, a S — функ-
функтор из SB в третью категорию %, то произведение отображений
SoT определяет функтор из Ч§ в %, вариантность которого равна
произведению вариантностей (ковариантность = + 1, контрава-
риантность = — 1). Например, пусть (MF — категория векторных
пространств над фиксированным полем F, и пусть D — функтор
из aMF в еМр, сопоставляющий каждому пространству V сопряжен-
сопряженное пространство D (V) — Нотр (V, F), а каждому линейному
преобразованию ( = морфизму из aMF) a: V-+V" индуцированное
преобразование а* : D (V) -*- D (V), определенное как в F.3).
Тогда D есть контравариантный функтор, в то время как D2 = DoZ>
является ковариантным функтором, сопоставляющим каждому
линейному пространству V его второе сопряженное пространство.
Существует гомоморфизм
h = h(V):V->D(DV),
который сопоставляет каждому вектору v такую функцию-
hv:DV-+F, что (hv) f = / (v) для каждого преобразования
f?DV. В случае конечномерности V гомоморфизм h (V) является
известным изоморфизмом пространства V и его второго сопряжен-
сопряженного пространства. Легко проверяется, что h определяет естествен-
естественное преобразование h : I -*-D2 (где / обозначает тождественный функ-
функтор).
Имеется аналогичный естественный изоморфизм конечной абе-
левой группы с группой характеров ее группы характеров.
Укажем пример неестественного изоморфизма. Напомним, чт&
для любого конечномерного векторного пространства V существует
изоморфизм k : V ^ D (V). А именно для каждого такого простран-
пространства V выберем фиксированный базис vu . . ., vn и построим
в D (V) дуальный базис о1, . . ., о", где vl определены требованием,
что vl (Vj) равны 0 или 1 соответственно при i Ф j и i — j.
Положим k (vt) — vl. Это линейное преобразование k =
= k (V): V-*~ D (V) определено для каждого V. Оно отображает кова-
ковариантный тождественный функтор / в контравариантный функтор D.
Если мы ограничимся категорией, объектами которой являются
конечномерные векторные пространства, а морфизмами — изомор-
изоморфизмы а этих пространств, то можно заменить функтор D ковариант-
48
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
ным функтором D, определенным следующим образом: D (V) =
= D (V), D (а) = D (а-1). Однако k (V) : V-> D (У) не является
¦естественным преобразованием. Например, если пространство V
одномерно и изоморфизм а : V -> V определен равенством а (vi) =
= cvi для некоторого скаляра с 6 F, О Ф с Ф 1, то D (а) А (У) Vi =
= A/с) у1; однако А (У) ау4 = су1, так что диаграмма (8.3) в этом
¦случае некоммутативна.
Функторы от нескольких аргументов могут быть ковариантны-
ми по одним аргументам и контравариантными по другим. Для иллю-
иллюстрации достаточно определить функтор от двух аргументов, контра-
вариантный по одному и ковариантный по другому. Пусть 9&, 'ё
и 3 — три категории. Бифунктором Т, определенным на 93 х
х ^ со значениями в 35, контравариантным в $1 и ковариантным
в %, называется пара функций, состоящая из функции, сопостав-
сопоставляющей каждой паре объектов В ? $1 и С ? % объект Т (В, С) 6 35,
и функции, сопоставляющей каждой паре морфизмов р : В -*¦ В"
и у : С -*¦ С' морфизм
Т (Р, у)': Т (В', С) -» Г (В, С) (8.7)
из 35. (Заметим, что направление по аргументу В меняется, а по
аргументу С сохраняется.) Эти функции должны удовлетворять
условиям
ТAВ, 1с) = 1т(в,о, (8.8)
Г(Р'р\ у'у) = Т(^у')Т{р',уI (8.9)
причем последнее соотношение должно выполняться всякий раз,
как определены произведения р"E и y*Y- Тогда произведение спра-
справа определено, так как для Р" : В" -> В" и y" : С" -*¦ С ввиду (8.7)
получаем
Т (В", С) ^Л Т (В', С) —УЛ Т (В, С").
Удобно положить Т ф, 1С) = Т (Р, С) й Г AВ, у) = Т (В, у).
Если зафиксировать В, то Г (В, С) и Г E, y) становятся функци-
функциями, определяющими ковариантный функтор из % в 35, в то время
как при фиксированном С функции 71 (В, С) и Т ф, С) определяют
контравариантный функтор из ${ в 35. Эти функции 71 E, y) и
Т (Р, С) определяют функцию Т (Р, y). поскольку ввиду (8.9)
Т (р, у) = Т (plB, у1с) = Т E, y) 71 (Р. О- Мы предоставляем
читателю возможность провести окончание доказательства следу-
следующего предложения.
Предложение 8. 1. Пусть 81, % и 35— три категории
и пусть Т — функция, сопоставляющая каждой паре объектов В
и С объект Т (В, С) ?35. Пусть при каждом фиксированном В 6 SS
функция Т (В, С) и некоторая функция Т (В, у) определяют кова-
§ 8. Функторы
49
риантный функтор %^>-35, а при каждом фиксированном
С?% функция Т (В, С) и некоторая функция Т (Р, С) определяют
¦ контравариантный функтор <В' -*¦ 35. Предположим, что для каж-
каждой пары морфизмов Р: В-*- В' и у. С -*¦ С" имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
Т (В', С)
то, с)|
Т(В', С)
(8.10)
Г (В, С) —Л Т(В, С).
Тогда диагональное отображение
Т (Р, у) = Г E, у) Г (р, С) = Т (р, С) Г (В', у)
этой диаграммы превращает Т в бифунктор, определенный на Я
и % со значениями в 35, контравариантный в $} и ковариантный
в %. Каждый такой функтор может быть получен указанным
образом.
Если вместо Г (р, С) и Т (В, у) для простоты писать р* и y*.
то условие коммутативности диаграммы (8.10) можно записать менее
аккуратно, но более наглядно в виде равенства p*Y* = Y*P*- Сфор-
Сформулированное предложение обычно позволяет наиболее просто убе-
убедиться в том, что данное Т действительно бифунктор. Типич-
Типичным примером бифунктора подобного типа является функтор
Нотл (А, В), ковариантный по В и контравариантный по А.
Если S и Т — два таких функтора, определенных на 9& х #
со значениями ъ 35, io естественным, преобразованием f : S -*- Т
называется функция, которая сопоставляет каждой паре объектов
В, С такой морфизм / {В, С) : S (В, С) -+¦ Т (В, С), что для каж-
каждой пары морфизмов р : В -*¦ В' и y : С -*• С" имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
(8.11)
5E, С')—^*Г(В, С).
Принимая во внимание указанное выше разложение дляч71(р, y),
достаточно потребовать выполнения этого условия только для р
и 1С и для 1В и Y- Другими словами, достаточно потребовать, чтобы
функция / (В, С) при фиксированном одном аргументе была есте-
естественным преобразованием по оставшемуся аргументу.
Прямые произведения дают пример бифунктора, ковариантного
по двум аргументам. Пусть % — категория, в которой для каждой
пары объектов существует диаграмма прямого произведения,
и пусть для каждой пары объектов выбрана такая диаграмма вида
4-353
50
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
{nt : Ai х Л2-»- At | t = 1, 2}; предположение включает выбор пря-
прямого произведения Л4 х А2 для каждой пары Л4 и Л2. Пусть
аг : А, -*- Л{, t = 1, 2, — морфизмы из ^, указанные в диаграмме .
Ь
• At x A2
102, P = (
(8.12)
Тогда ajjtj : -^i хЛ2-»-Л{; ввиду свойства коуниверсальности
нижней строки существует такой единственный морфизм р: A i x А 2->
-> Л1 х ^2,- что Я{р = а;Яг, т. е. существует единственный
морфизм р, превращающий эту диаграмму в коммутативную. Напри-
Например, если % — категория множеств или /^-модулей и если произве-
произведение Ai х А2 выбрано обычным способом как множество всех пар
(аи а2), то р (аь а2) = (а^, а2а2). Назовем морфизм р = at х
X а2 прямым произведением данных морфизмов. Ввиду свойства
коуниверсальности 1x1 = 1 и (Yi x V2) (ai X a2) = Vi«i X
X 72°^ всякий раз, как определены произведения угаь t = 1, 2.
Следовательно, функции Р (Ait А2) = Ai х А2, Р (аи а2) = ad x
X а2 определяют ковариантный бифунктор Р из %, % в ^.
Для трех объектов Ль Л2, А3 обычное отображение (Л4 X
X А2) х Л3-> Л1 х (А2 х А3) является естественным гомомор-
гомоморфизмом ковариантных трифункторов.
Понятия категории и функтора обеспечивают не глубокие теоре-
теоремы, а удобный способ выражения. Например, рассмотрим понятие
диаграмм «одного и того же вида», скажем, диаграмм модулей вида
D : А -*• В -*• С. Каждая такая диаграмма может рассматриваться
как функтор. Действительно, введем в рассмотрение конечную кате-
категорию $?, имеющую три объекта а, Ь, с, соответствующие тождест-
тождественные морфизмы и морфизмы х0 : а-> Ь, Я,о : Ъ -*• с и \i0 '¦ о-*- с,
причем Хоко = цо- Тогда любая диаграмма модулей указанного
вида есть ковариантный функтор из $в в категорию ввЖ модулей:
такой ковариантный функтор D определяет три модуля D (а) = А,
D (Ь) = B,D (с) = С — и три гомоморфизма D (х0), D (А,о),
D (fi0) = D (Xo) D (х0). Отображение диаграммы D в другую диаг-
диаграмму D' того же вида есть в точности естественное преобразование
D -> D" функторов. В эту формулировку мы можем включить
также понятия диаграмм с условиями коммутативности. Так, ком-
коммутативная квадратная диаграмма есть функтор из конечной кате-
категории
(8.13)
§ 8. Функторы
51
Частично упорядоченным множеством S называется множество
с бинарным отношением r^.s, рефлексивным (/¦</•), транзитив-
транзитивным (из r<s и s<^ следует г</) и антисимметричным (из r<s
и s<r следует г = s). Частично упорядоченное множество S имеет
нуль, если существует такой элемент 0 6 S, необходимо единствен-
единственный, что 0<s для каждого s. Элемент и 6 S называется наимень-
наименьшей верхней гранью (н. в. г.) (или объединением) элементов s,
t 6 S, если s<«, /<ы и если из s<a, t*Cv следует, что
ы<у. Н. в. г. единственна, если она существует, и обозначается
и = s U /. Аналогично элемент w = s f| t называется н. н. г.
(наибольшей нижней гранью или пересечением) s и t, если w^.s,
w*Ct и если из л;<5, x^Ct следует x*Cw. Частично упо-
упорядоченное множество S называется структурой, если s [) t и
s [\ t существуют для всех элементов s и t.
Каждое частично упорядоченное множество S можно рассмат-
рассматривать как категорию З1, объектами которой являются элементы
s 6 S, морфизмами — пары (s, r) : r-*~ s при r<s и с умножением
морфизмов, определенным равенством (t, s) (s, r) = (t, r),, если
r<s< t. Например, конечная категория (8.13) возникает указан-
указанным способом из частично упорядоченного множества, имеющего
четыре элемента а, Ь, с, d, с частичным порядком a<6<d,
a<!c<;d. Если S является структурой, то любые два элемента
s, t из <У имеют прямую сумму (равную s \) t) и прямое произведе-
произведение s f| t; обратно, если <У имеет прямые суммы и прямые произве-
произведения, то S является структурой.
Для любого частично упорядоченного множества S ковариант-
ковариантный функтор Т : «5е -> ввМ является семейством {Ts \ s ? S} R-мо-
дулей вместе с.такими гомоморфизмами Т (s, г) : Гг ->- Ts, задан-
заданными для каждой пары г<$, что Т (t, s) T (s, r) = Т (t, r) всякий
раз, как r^s^Ct. Прямой предел такого семейства удобно опи-
описать в терминах теории категорий (Эйленберг, Маклейн [1945],
гл. IV; Кан [1958]).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть о^: Aj -*¦ A'j суть модульные гомоморфизмы. Показать, что
отображение р = о^ X а2 : Ai © A2 -*¦ А{ф А'%, характеризуемое равен-
равенствами n'fi = ajUj, / = 1,2, характеризуется также равенствами fiij = ijay-,
/= 1, 2.
2. Показать, что ассоциативный закон для (внешней) прямой суммы
модулей может быть выражен как естественный изоморфизм (A ffi В) © С s
3. Доказать, что изоморфизмы F.5) естественны.
4. Пусть <jg — малая категория, в которой каждое множество horn (А, В)
морфизмов имеет не более одного элемента, а каждая эквивалентность есть
4*
52
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
тождественное отображение. Доказать, что % может быть получена из частич-
частично упорядоченного множества.
Замечания. Идея модуля, восходит по крайней мере к Кронекеру,
который рассматривал модули над кольцом многочленов, но только в послед-
последние двадцать лет эта идея стала играть центральную роль в алгебре. Проек-
Проективные модули впервые были эффективно использованы Картаном и Эйлен-
бергом [1952]. Теперь стало ясным, что они дают линейной алгебре подхо-
подходящее обобщение векторного пространства (которое всегда является свобод-
свободным модулем). Эмми Нётер в своих лекциях в Геттингене подчеркнула важ-
важность гомоморфизмов.
Первоначальное ограничение в определении гомоморфизма а : А -»- В,
а именно а (А) = В, приведенное в ^Современной алгебре» ван дер Вардена,
вскоре оказалось излишне стеснительным и было отброшено. Теперь есте-
естественно ожидать, что каждое определение типа математической системы
дается одновременно с определением морфизм'ов такой системы. Обозначе-
Обозначения при помощи стрелок появились в топологических исследованиях около
1940 г., вероятно в связи с использованием соответствий, а затем для непре-
непрерывных отображений. Точные последовательности впервые отмечены Гуре-
вичем [1940]. Функтор Нот давно известен, но видимо впервые появился
под этим именем у Эйленберга и Маклейна [1942]. Категории и функторы
были введены теми же авторами в 1945 г. Они оказались полезными в аксио-
аксиоматической теории гомологии (см. гл. II), в теории когомологий пучка над
топологическим пространством (Годеман [1958]), в дифференциальной гео-
геометрии (Эресманн [1957]) и в алгебраической геометрии (Гротендик — Дье-
донне [1960], см. также обзор Ленга [1961]). Вопросы обоснования теории
категорий с использованием множеств и классов рассмотрены Маклей-
ном [1961].
ГЛАВА Ц
Гомология комплексов
В этой главе мы впервые встретимся с основными понятиями
теории гомологии в простых геометрических случаях, где появле-
появление группы гомологии обусловлено наличием граничного оператора.
Абелева группа с граничным гомоморфизмом называется вооб-
вообще «дифференциальной группой», или «цепным комплексом», в том
случае, когда она снабжена размерностями. В этой главе рассмат-
рассматривается алгебраический процесс построения групп гомологии и
когомологий для цепных комплексов. Основным является тот факт
(§ 4), что короткая точная последовательность комплексов порож-
порождает длинную точную последовательность групп гомологии. Как
иллюстрация в последних параграфах дано краткое описание групп
сингулярных гомологии топологического пространства.
§ 1. Дифференциальные группы
Дифференциальной группой С называется абелева группа С,
в которой задан такой эндоморфизм d: С ->- С, ч'то d2 = 0; назовем
d «дифференциалом» или «граничным гомоморфизмом» группы С.
Элементы из С часто называются цепями, элементы из Ker d —
циклами, а элементы из Im d — границами. Требование d? — 0
эквивалентно включению Im d cz Ker d. Группа гомологии диффе-
дифференциальной группы С определяется как факторгруппа группы
циклов по подгруппе границ
#(C) = Kerd/Imd = Kerd/dC. A.1)
Элементами этой группы являются смежные классы с + Im d цик-
циклов с; мы назовем их гомологическими классами и будем обозначать
их как
els (с) = c + dC?H{C). A.2)
Два цикла с и с* из одного и того же гомологического класса назы-
называются гомологичными, что записывается как с — с*.
В качестве первых примеров мы рассмотрим несколько специ-
специальных дифференциальных групп с их гомологиями. Большинство
54
Гл. II. Гомология комплексов
этих примеров будет найдено при помощи разбиения простой гео-
геометрической фигуры на клетки и взятия в качестве d оператора,
который сопоставляет каждой клетке сумму ее граничных клеток,
снабженных подходящим знаком.
Пример 1. Возьмем на окруж-
окружности S1 две точки р и q, разби-
разбивающие окружность на две полу-
полуокружности а и Ь. «Границами»
или «концами» дуги а являются
точки q и р. Введем свободную
тР абелеву группу С (S1) с четырьмя
свободными образующими a, b, p
и q и определим эндоморфизм d
группы С (S1), положив
da = q — p, db = p — q,
dp^O = dq. A.3)
Каждый элемент из С (S1) един-
единственным образом представим как
линейная комбинация т& + m2b -\-m3p + mkq с целыми коэффи-
коэффициентами ти т2, т3 и т4, в то время как
Таким образом, С (S1) становится дифференциальной группой.
Ее циклы — это все целые линейные комбинации р, q и а + Ь,
в то время как границами являются все кратные элемента q — р.
Следовательно, р и q гомологичны, и группа гомологии является
прямой суммой
Н(С (S1)) = Zco (els (p))@Zoo (els (a + b)), (I A)
где Zoo (els (p)) обозначает бесконечную циклическую группу, порож-
порожденную гомологическим классом els (p). Значит, окружность S1
имеет два основных гомологических класса: точку р (размерность 0)
и окружность а+b (размерность 1).
В этом примере та же самая окружность могла быть разделена
и по-другому, например на большее число дуг. Группы гомологии
оказываются независимыми от выбранного разбиения. Например,
изоморфные группы гомологии возникают, если окружность разде-
разделена на три дуги так, чтобы получился треугольник!
Пример 2. Возьмем треугольник А с вершинами 0, 1 и 2 и сторо-
сторонами 01, 12 и 02. Соответствующая дифференциальная группа С (А)
является свободной абелевой группой с шестью образующими @),
A), B), @1), A2), @2) и дифференциалом, заданным равенствами
d@) = d{\) = dB) = 0, d @1) = A) - @), d @2) = B) - @),
§ 1. Дифференциальные группы
55
d A2) = B) — (l); другими словами, граница каждой стороны
есть разность ее концов. Можно убедиться в том, что
tf(C(A)) = Zoo(cls(O)HZoo(cls[A2)-(O2) + (Ol)]).
Эта группа в действительности изоморфна группе гомологии окруж-
окружности, найденной в примере 1: обе группы являются свободными
абелевыми группами с двумя образующими. Изоморфизм между
этими группами может быть получен из некоторого гомоморфизма /
дифференциальной группы С (S1) в С (А); положим, к при-
меру, /(р) = @), Ш = A), /(а) = @1) и / F) = A2) — @2).
Тогда df (b) = fd (b), df (a) = fd (a) и / переводит образующие
циклы р и а + b из Я (С E1)) в образующие циклы @) и A2) —
-@2) + @1) группы Я (С (А)).
Вообще пусть С и С — две дифференциальные группы. Гомо-
Гомоморфизмом f : С -*-С дифференциальных групп называется груп-
групповой гомоморфизм с дополнительным свойством fd = d'f; другими
словами, это отображение группы С в группу С, которое сохраняет
целиком заданную алгебраическую структуру (сложение и диффе-
дифференциал). Отсюда следует, что образ fc цепи с из С является циклом
или границей всякий раз, как с — цикл или граница соответственно.
Следовательно, отображение Н (/) = /„, определенное посредством
равенства /* (els (с)) = els (fc), есть групповой гомоморфизм
Н(f): Н(С)-+Н(С) (при /:С-»С). A.5)
Мы назовем Я (/) гомоморфизмом, индуцированным f. Поскольку
Я AС) = 1н(о и Я (/'/) = Н {f') H (/), то Я является ковариант-
ным функтором из категории дифференциальных групп в категорию
абелевых групп.
Пример 3. Круговой диск (круг) D получается добавлением
внутренней части с к окружности S1; соответствующая дифферен-
дифференциальная группа С (D) строится путем добавления к С (S1) нового
свободного образующего с с границей dc = а + Ь. Тогда
Я (С (D)) = Zoo (els р). Вложение /: С (S1) -»-C (D) индуцирует
отображение Я (/) : Я (С (S1)) -+Н (С (D)), которое отображает
второе слагаемое из A.4) в нуль. Другими словами, гомоморфизм
Я (/), индуцированный вложением, может не быть мономорфизмом,
т. е. группа гомологии подпространства может не быть подгруппой
группы гомологии самого пространства. Поэтому мы и обозначаем
вложение / символом, отличным от единицы.
Пример 4. Пусть и — верхняя, а / — нижняя полусферы сфе-
сферы S2 с экватором S1 (см. рис. 2). Построим дифференциальную
группу С (S2) добавлением к С (S1) двух новых свободных образую-
образующих и и / с границами du = а + b — — dl. Тогда
A.6)
56
Гл. П. Гомология комплексов
Рис. 2.
значит, имеется цикл р размерности 0 и один цикл размер-
размерности 2.
Пример 5. Действительная проективная плоскость Р2, рас-
рассматриваемая как топологическое пространство, может быть полу-
получена из сферы S2 отождествлением
каждой точки из S2 с диаметрально
противоположной точкой. В частно-
частности, каждая точка верхней полу-
полусферы отождествляется с точкой
нижней полусферы. Это наводит на
Р мысль, что с алгебраической точки
зрения целесообразно положить
и — — /, а = Ъ и р — q в указан-
указанной в предыдущем примере диф-
дифференциальной группе С E2). Тем
самым получается новая дифферен-
дифференциальная группа С (Р2), которая
является свободной абелевой груп-
группой со свободными образующими и, а и р и дифференциалом
du = 2а, da = 0, dp = 0. В этой группе цикл а не есть граница,
хотя 2а — граница. Следовательно,
Я (С (/»)) = Zoo (els (p)) 0 Z2 (els (a)),
где Z2 (els (а)) обозначает циклическую группу порядка 2 с обра-
образующим els (a).
Пример 6. Пусть / (л;, у) — действительная функция класса С°°
[т. е. / (л;, у) имеет непрерывные частные производные всех поряд-
порядков], определенная на связном открытом множестве D точек (х, у)
декартовой плоскости. При фиксированном D множество А всех
таких функций является абелевой группой относительно операции
сложения значений функций. Обозначим через С прямую сумму
А © А ® А © А; тогда элемент из С — это четверка функций
(Л g, h, k), которую более удобно обозначить как формальный
«дифференциал»
(/, g, h, k) =
Определим d: С -*• С, положив
d(f, g, h, *) = ?dx + -g- dy+^-f) dxdy.
Равенство d2 = 0 является следствием того, что -^Ц- = ^Ц- .
дхду дудх
Любой цикл из С есть сумма элементов следующих трех типов:
констант / = а; выражений g dx + h dy, где ^ = ^ (другими
словами, точных дифференциалов), и выражений k dx dy.
§ 1. Дифференциальные группы
57
Если область определения D является, к примеру, внутренно-
внутренностью квадрата, то мы можем записать функцию k как dhldx для
подходящей функции А, в то время как любой точный дифференциал
может быть выражен (при по-
помощи подходящего интегрирова-
интегрирования) как дифференциал функ-
функции /. Следовательно, при такой <
области D единственными гомо- ч^-— ?' ¦-*'
логическими классами являются
классы, определяемые констан-
константами, и поэтому Я (С) является
аддитивной группой действи- qxj
тельных чисел. Это же заключе- "
ние остается в силе, если D —
внутренность круга, но становит-
становится неверным, если D есть, напри- Оо
мер, внутренность круга с вы-
выкинутым началом координат.
В этом последнем случае точ-
ный дифференциал может не
быть дифференциалом некоторой
функции /. Например, ~g+f
а0
Pi
pxl
po
р и с- 3-
не является таким. -
Пример 7. Круговой цилиндр можно рассматривать как прямое
произведение 5хх/ окружности 51 и единичного интервала /.
Мы разобьем его, как показано на рис. 3, так что окружность S1
на нижнем основании имеет вершины^ р0, <7о и дуги а0, Ьо, а на
верхнем основании вершины и дуги обозначены теми же буквами,
но с индексом 1.
Поверхность цилиндра состоит из интервалов pxl и qxl,
расположенных над р0 и q0 соответственно, и поверхностей axl
и bxl над а0 и Ьо- Введем свободную абелеву группу С E1 X /)
с двенадцатью свободными образующими pxl, qxl, ax I,
bxl и ait bu Pi, qi (i — 0, 1). Определим дифференциал d: С ->С
на нижнем и верхнем основаниях так же, как на окружности
(dat = qt — pi, dbt = pt — qt, dpt = 0 = dqt). Положим также
d (p x I) — Pi — po, d (q X /) = <7i — <7o. Рассмотрение геоме-
геометрической границы поверхности axl подсказывает, что нужно
положить
d (а х I) = fli — (q X /) — а0 + (р X I)
Этими равенствами эндоморфизм d определен так, что d2 = 0.
58
Гл. II. Гомология комплексов
Рассмотрение циклов и границ показывает, что
Я (С (S1 х /)) =Z» (els (po)) © Zoo (els (со + bo)).
Эта группа гомологии изоморфна группе гомологии Я (S1), найден-
найденной для окружности в примере 1. Изоморфизм может быть записан
как Я.(/о) : Н (S1) s-г Я (S1 X /), если в качестве /0 взять гомо-
гомоморфизм /о : С (S1) -+С (S1 X /) дифференциальных групп, опре-
определенный следующим образом: fop = р0, foq = q0, /оД = о0, fob =
= b0. Этот же изоморфизм может быть записан так же как Я (Л),
где гомоморфизм Д : С (S1) -> С (S1 X /) определен подобно /0-
Равенство Н (f0) = Н (Д) выполняется потому, что циклы а0 + Ьо
и ai + bi на цилиндре гомологичны, поскольку их разность есть
граница
Для точного сравнения /0 и Д определим функцию s соотноше-
соотношениями
sp — pxl, sq = qxl, sa = axl, sb = bxl.
Функция определяет гомоморфизм s : С (S1) ->• С (S1 X /) абеле-
вых групп (но не дифференциальных групп), обладающий тем
свойством, что
foc
A.7)
для всех элементов с из С (S*). Это равенство можно прочитать так:
граница d (sc) цилиндра sc над с состоит из верхнего основания Дс
минус нижнее основание /qC и минус цилиндр s (dc) над границей
элемента с. Из этого равенства следует, что гомоморфизмы Я (Д)
и Я (/о) равны, поскольку для цикла с (dc = 0) из равенства A.7)
получаем Дс — foC = d (sc), откуда fiC ~ foC.
Отображения, обладающие свойством A.7), будут часто встре-
встречаться под названием «цепных гомотопий».
[(УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть С — дифференциальная группа. Определение Н (С) =
= Kerd/Im d можно записать как Н (С) = Coker (d' : С -»¦ Ker d), где d'
индуцировано d. Используя изоморфизм C/Ker d s Im rf, показать, что
Я (С) имеет двойственное описание как Ker (d": (Coker d) -»¦ С).
2. Для семейства Ct, t ? Т, дифференциальных групп определить прямую
сумму 2С( и прямое произведение tlCt и доказать, что Н BС() a Sff
Я (Uct) s* ПЯ (С,).
2. Комплексы
59
§ 2. Комплексы
В обычных дифференциальных группах С из § 1 мы можем неко-
некоторым элементам из С приписать целые размерности. Множество Сп
всех элементов размерности п есть группа, а С есть прямая сумма С„
и дСп с= Cn-i. Более целесообразно иметь дело непосредственно
с этим набором групп. Объект, который получается в результате,
называется «комплексом» абелевых групп.
Для произвольного кольца R цепной комплекс К ^-модулей
есть семейство {/(„, дп} /^-модулей Кп и R-модульных гомоморфиз-
гомоморфизмов дп : Кп -*-кп~и заданных для всех целых п, — оо < п < оо,
причем дп dn+i = 0. Это последнее условие эквивалентно утвержде-
утверждению, что Ker дп о 1тд„+1. Значит, комплекс К появляется как
бесконечная в обе стороны последовательность
К '• • • • <— К-2 <— Д-1 <— Ко ¦*— Ki <— Kz *— • • •»
в которой произведение любых двух последовательных отображений
равно нулю. Гомология Я (К) — это семейство модулей
Нп(К) = КетдпПтдп+1 = (КетКп-+Кп-1)/д^11(пН- B.1)
Равенство Нп (К) = 0 означает, что последовательность К точна
в Кп', п-мерный цикл комплекса К — это элемент подмодуля Сп (К)=
= Кег дп, п-мерная граница — это элемент из dn+iKn+i- Тогда
Нп = Сп/дКп+1 (фактормодуль модуля циклов по подмодулю
границ). Смежный класс цикла с в Нп будет записываться как
els с = с + dKn+i или как {с}, причем последнее обозначение
часто встречается в литературе.
Говорят, что n-мерные циклы с и с' из одного и того же гомологи-
гомологического класса (els с = els с') гомологичны (с ~ с'); это будет
тогда и только тогда, когда с — с' ? dKn+i-
Если К и К' комплексы, то цепным преобразованием f: К -*¦ К'
называется такое семейство модульных гомоморфизмов fn : Кп -*¦
-*¦ Кп, заданных по одному для каждого п, что д'п fn = fn-i дп для
всех п. Последнее условие означает, что коммутативна следующая
диаграмма (на пунктирные стрелки не надо обращать внимания)
К:
К':
B.2)
(Впоследствии мы обычно будем опускать индекс п у дп и штрих
у д' : Кп -*¦ K'n-i-) Отображение Нп (/) = /*, определенное равен-
равенством /* (с + дКп+i) = fc + 5/Cn+i, является гомоморфизмом
Нп (/) : Нп (К) -*¦ Нп (К')- С этим определением каждое Я„ стано-
60
Гл. II. Гомология комплексов
вится ковариантным функтором из категории цепных комплексов
и цепных преобразований в категорию модулей.
Цепная гомотетия s между двумя цепными преобразованиями
/, g : К -+• К' — это семейство модульных гомоморфизмов Sn : Кп -*•
-*• /Cn+i по одному для каждой размерности п [эти гомоморфизмы
указаны в диаграмме B.2) пунктирными стрелками], причем
idn = fn — gn- B.3)
Мы будем писать s : /-~ g. Геометрический источник этого отноше-
отношения отмечен в примере 7 § 1. С алгебраической же точки зрения
справедлива
Теорема 2.1. Если s : f ~ g : К ->¦ К', то
Hn(f) = Hn(g):Hn(K)->Hn{K'), -oo<n<oo. B.4)
Доказательство. Если с — цикл из Кп, то дпс = 0;
следовательно, ввиду B.3), fnc—gnc = dsnC, что означает, что
he и gnc гомологичны. Поэтому els fnc = els gnc в #„(/('), что
и требовалось доказать.
Говорят, что цепное преобразование / : К -*¦ К' есть цепная
эквивалентность, если существуют другое цепное преобразование
h: К'~*-К (в обратную сторону!) игомотопииs: А/~\к, t: fh~\K-.
Поскольку Нп AК) = 1, из теоремы 2.1 получаем
Следствие 2.2. Если f: К -*-К — цепная эквивалент-
эквивалентность, то индуцированное отображение Нп (/) : Нп (К) ^ Нп (К')
является изоморфизмом для каждой размерности п.
П р едложение 2.3. Если s : f ~ g : К -*- К' и s' : f ~
~ g' : К' -*¦ К" — цепные гомотопии, то цепной гомотопией являет-
является и отображение
Доказательство. По условию имеют место равенства
ds + sd = f — g и 5s' + s'd — f — g'. Для доказательства пред-
предложения достаточно умножить первое равенство слева на /', а вто-
второе справа на g и сложить.
Подкомплексы и факторкомплексы имеют свойства, аналогич-
аналогичные свойствам подмодулей и фактормодулей. Подкомплекс S комп-
комплекса К — это семейство таких подмодулей Sn cz Kn, по одному
для каждого п, что dSn cr Sn-i- Следовательно, S -•- это комплекс
с дифференциалом, индуцированным д = дк, причем вложение
j: S -*-К есть цепное преобразование. Если S — подкомплекс
комплекса К, то факторкомплекс KIS состоит из семейства фактор-
модулей (KIS)n = Kn/SnH дифференциала д': Kn/Sn -»- Kn-i/Sn-ir
индуцированного дк. Проекция является в этом случае цепным
§ 2. Комплексы
61
преобразованием К -*• K/S и короткая последовательность модулей
Sn >* Кп -» (K/S)n точна для каждого п.
Если /: К -*¦ К — цепное преобразование, то Кег / = {Кег /„}
является подкомплексом комплекса К, Im/={/„/(„} — под-
подкомплексом комплекса К', в то время как комплекс /C'/Im/есть
коядро /, а комплекс /С/Кег/ есть кообраз. Пара цепных
преобразований К —> К' —>• К" называется точной в К', если
Im / = Кег g, т. е. если каждая последовательность модулей Кп -*¦
-*• К'п-*~Кп точна в К'п- Для любого /: К -*К' последователь-
последовательность комплексов
0 -»- Кег/
0
является точной.
Вместо использования нижних индексов, как в Кп, часто более
удобно писать Кп для К-п и Зп : Кп -*• Kn+l вместо д-п : К-п -*•
-*¦ K-n-i- Этим способом тот же самый комплекс записывается
при помощи «верхних индексов».
Комплекс К положителен (т. е. неотрицателен), если Кп = 0
при п < 0; его гомология также положительна [Нп (К) = 0 при
п < 0]. Комплекс К отрицателен, если Кп = 0 при п > 0; экви-
эквивалентно комплекс положителен по верхним индексам и имеет вид
причем гомология Я" (К) = Кег б"/б/С"~1 положительна по верх-
верхним индексам. Записанный указанным способом комплекс часто
называют «правым комплексом» или «коцепным комплексом». Под
«коцепной гомотопией» s : / ~ g : К -*• К' понимается цепная гомо-
топия, записанная с верхними индексами, у. е. такое семейство
отображений s" : Кп -*¦ л'™, что 6s + sb = / — g. Появляющиеся
на практике комплексы обычно или положительны, или отрица-
отрицательны; общее понятие цепного комплекса полезно при проведении
общих доказательств формальных свойств, подобных свойствам,
сформулированным в теореме 2.1.
Каждый модуль А можно рассматривать как «тривиальный»
положительный комплекс, у которого Ао = А, Ап = 0 при пфО
и д = 0. Комплекс над А — это положительный комплекс К вместе
с цепным преобразованием е:/С->Л; такое преобразование е —
это просто модульный гомоморфизм 8: Ко -*• А, для которого ъд —
= 0 : Ki -»" А. Стягивающей гомотопией для г: К ->• А называется
цепное преобразование /: А -+-К, Для которого е/ = 1А, причем
имеется гомотопия s: 1 ~/е. Другими словами, стягивающая гомо-
топия состоит из таких модульных гомоморфизмов /; А ->• /Со
и ^ : Кп ->~Kn+i, л = 0, 1, .... что
h B.5)
62
Гл. П. Гомология комплексов
Эквивалентно, расширим комплекс, положив /(_i — А, д0 = е : Ка-*-
-*¦ К-1 и s_! = /. Тогда равенства B.5) означают просто, что
s : 1 ~ 0 для отображений 1 и 0 расширенного комплекса в себя.
Если преобразование е : К -*- А имеет стягивающую гомотопию,
то группами гомологии являются группы е„ : Яо {К) я* А при
п = 0 и Нп (К) = О при п > 0.
В топологии встречаются комплексы К свободных абелевых
групп. Если каждая группа Кп имеет конечное число образующих,
то и каждая группа Нп (К) является конечно порожденной абелевой
группой. Структурная теорема для таких групп представляет
Нп (К) как прямую сумму Z © . . . ® Z @ Zmj 0 . . . © Zmft,
где число Ьп бесконечных циклических групп и натуральные числа
mi, ¦ ¦ •, f^k (каждое из которых есть делитель следующего) зависят
только от Нп (К). Число Ьп называется п-ц числом Бетти комплек-
комплекса К, а числа {mt} называются n-ми коэффициентами кручения.
упражнения
1. Назовем комплекс S q-специальным, если Sn = 0 при пф q, q + I
и д : Sg+i -»- Sq — мономорфизм. Доказать, что любой комплекс К свобод-
свободных абелевых групп Кп является прямой суммой ^-специальных комплексов
(для каждого q имеется только одно слагаемое).
2. Назовем ^-специальный комплекс S абелевых групп элементарным,
если Sg+i = Sg = Z или Sg = Z, Sq+i = 0. Доказать, что каждый ^-спе-
циальный комплекс S, у которого Sq, S^+j — свободные абелевы группы
с конечным числом образующих, есть прямая сумма элементарных комплек-
комплексов. (Указание: использовать операции над строками и столбцами в цело-
целочисленной матрице для выбора новых базисов в Sq и в Sq+л.)
3. Доказать, что каждый комплекс, у которого Кп — свободные абелевы
группы с конечным числом образующих, есть прямая сумма элементарных
комплексов.
§ 3. Когомология
Пусть С — дифференциальная группа, a G — абелева группа.
Построим абелеву группу С* = Homz (С, G); элементами этой
группы служат групповые гомоморфизмы / : С -*• G, называемые
коцепями группы С с «коэффициентами» в G. Дифференциал d:C-+C
индуцирует отображение d*:C*-+-C*, определенное равен-
равенством d*f = fd : С -»- G; назовем d*f кограницей коцепи /; кограница
часто записывается как б/ = d*f. Поскольку d2 = 0, (d*J = 0.
Следовательно, группа С* есть дифференциальная группа с диффе-
дифференциалом d*. Группа гомологии этой группы называется группой
когомологий группы С с коэффициентами из G и обозначается как
Я* (С, G) = H (Нот (С, G)).
Пусть /С — комплекс R-модулей и G — R-модуль. Построим
абелеву группу Нотл (Кп, G); ее элементами служат модульные
гомоморфизмы /: Кп -*G, называемые п-мерными коиепями комп-
§ 3. Когомология
63
лекса К- Кограница гомоморфизма / — это (п + 1)-мерная коцепь
67=(-l)n+1R+1:/G,+i->G, C.1)
Другими словами, дп+1 : Kn+i ¦+Кп индуцирует
а*+1: Нот {Кп, G) -> Нот (К„+1, G) и б" = (- l)n+1 d*+i
(знак будет объяснен ниже). Поскольку б^б" = 0, последова-
последовательность
e»-i в»
> HomH (Kn-u G) > Нотл (К», G) >
^Н<ипя(Кп+1, G)-> ••• C.2)
является комплексом абелевых групп, называемым Нотн (К, G),
причем обычно каждую группу записывают с верхним индексом:
Нот" (К, G) = Нот (Кп, G). Если комплекс К положителен по
нижним индексам, то комплекс Нот (К, G) положителен по верх-
верхним индексам.
Гомология этого комплекса Нот (К, G) называется когомологией
комплекса К с коэффициентами в G. Она является семейством абе-
абелевых групп, отмеченных верхними индексами,
Нп (К, G). = Нп (Нот (К, G)) = Кег бп/б Нот {Кп-и G). C.3)
Элемент из б Horn {Kn-\> G) называется п-мерной кограницей,
а элемент из Кег б" — п-мерным коциклом. Значит, коцикл —
это такой гомоморфизм /: Кп -*-G, что fd = 0 : Kn+i ->G. Любое
цепное преобразование h: К -*• К' индуцирует цепное преобразо-
преобразование h* = Horn (h, 1) : Horn (К', G) ->-Hom (К, G). Поэтому
Horn (К, G) и Я" (К, G) являются бифункторами, ковариантными
по G и контравариантными по К- Если s:A~g — гомотопия,
то из B.3) следует, что s% д%+1 + d%Sn-i = К, — g%. Следовательно,
^n+i = (—l)n+1Sn есть гомотопия t: h* ~ g*.
Более обще, мы можем определить комплекс Нотд (К, L) для
любой пары К и L комплексов /^-модулей. Пользуясь нижними
индексами, положим
, Ц= Д Нотд(/СР, Lv+n),
C.4)
так что элементом / для Нот„ служит семейство гомоморфизмов
fP' Kp-*-Lp+n, где — оо < р < оо. Границей dHf является семей-
семейство {дн1)р:КР-+Ьр+п-и где отображение (dHf)p определяется
следующим образом:
(dHfh k = dL (fpk) + (- 1 )n+1 /р_! (dKk), k?KP, / € Horn»; C.5)
dL и дк обозначают граничные гомоморфизмы в L и К соответствен-
соответственно. Прямой подсчет показывает, что это определение действительно
64
Гл. II. Гомология комплексов
дает комплекс
(dHdHf)p k = dLdL (fpk) + (-\)n dr
+ (-1 )n+1 dJp-idKk + (-1 у /р_а
= О,
поскольку dL dL = 0 = дк дк. Ясно, что HomH {К, Ц есть бифунк-
бифунктор, ковариантный по L и контравариантный по К-
Знак в определении C.5) выбран так, чтобы были справедливы
следующие два результата.
Предложение 3.1. Если кольцо R рассматривается как
тривиальный комплекс, то имеет место естественный изоморфизм
Нот {R, L) sg L, устанавливаемый сопоставлением каждому гомо-
гомоморфизму fp: R -*-Lp его образа fp A) 6 Ар-
Доказательство. Указанное сопоставление дает изо-
изоморфизм Нот (R, Lp) ^ Lp для каждого р. В этом случае в формуле
взятия границы C.5) нет члена с дк; оставшийся член -\-djJ показы-
показывает, что этот изоморфизм перестановочен со взятием границ.
Предложение 3.2. Цикл нулевой размерности комплекса
Нот {К, L) является цепным преобразованием f: К -*-L; он являет-
является границей элемента s из Нопи {К, L) тогда и только тогда, когда s
есть гомотопия s : / ~ 0. »
Доказательство. Формула C.5) для взятия границы
{со знаком) принимает вид
(dHf)p = dLfp—fP-idK при л = 0,
(dHs)p = dLSp-t-Sp-idjs: при п = \.
Поэтому равенство dHf — 0 означает, что / — цепное преобразова-
преобразование, а равенство dHs — f означает, что / = dLs + sdK, откуда
s : f ~ 0, что и утверждалось. Эти выводы можно сформулиро-
сформулировать как
Следствие 3.3. Группа гомологии Но (Нот (К, Ц) есть
абелева группа гомотопических классов цепных преобразований
fKL
В частности, если L = G — тривиальный комплекс, то гра-
граничный гомоморфизм дь равен нулю, а элемент / из Нот„ (К, G) —
это просто гомоморфизм /: К-п -* G, для которого dHf =
= (—1)"+1Х fd: K-n+i -*-G. При обозначениях с верхними индексами
это означает, что элемент из Нот" (К, G) — это гомоморфизм
/ : Кп -*-G с кограницей б/ = (— 1)"+1/3. Это выражение совпадает
с ранее введенной формулой C.1) и объясняет использованный там
знак.
§ 4. Точная гомологическая последовательность
65
Однако необходимо предупредить читателя, что в большинстве
современных работ по когомологиям этот знак не используется,
а вместо этого пишут б/ = fd.
§ 4. Точная гомологическая последовательность
Рассмотрим короткую точную последовательность
Е : 0 -> К Л L Л М -» О
D.1)
цепных комплексов и цепных преобразований х, ст. Первое преобра-
преобразование х имеет нулевое ядро, однако индуцированное отображение
Нп (и): #„ (К) -*-Нп (L) групп гомологии может иметь нетриви-
нетривиальное ядро, как показано в примере 1.3. Чтобы исследовать, когда
это может произойти, отождествим К с подкомплексом %К комп-
комплекса L и рассмотрим цикл с из Кп, гомологический класс кото-
которого равен нулю в L. Это значит, что с = dl для некоторой
(п + 1)-мерной цепи / 6 L и, следовательно, смежный класс / + Kn+i
является циклом фактор комплекса LIK. = М. Обратно, любой
гомологический класс из Hn+i {LIK) состоит из таких циклов
/ + Кп+и что dl = с 6 Кп, и значит, ему соответствует гомологиче-
гомологический класс else из Нп {К), который лежит в ядре Нп {%). Сопоставле-
Сопоставление смежному классу l+Kn+i элемента с определяет гомоморфизм
Hn+i{L/K) ~>-Нп {К), который мы теперь опишем детально.
Пусть в D.1) т — цикл из Mn+i. Поскольку ст — эпиморфизм,
можно выбрать такой элемент / ? Ln+i, что ст/ = т, и, поскольку
дт — 0, имеем adl = 0; раз последовательность Е точна, то суще-
существует единственный цикл с ? Кп, для которого хс = dl, что ото-
отображено в диаграммах
I-
I
dl
т
I
> 0
0
Кп —*¦ Ln
1
Мп.
Гомологический класс els с 6 Нп {К) не зависит от выбора /,
удовлетворяющего равенству ст/ = т, определяется только гомоло-
гомологическим классом элемента т и аддитивно зависит от т. Следова-
Следовательно, отображение Зе (els т) = els с определяет гомоморфизм
аЕ: Яп+1 (М) -* Нп (К), D.2)
называемый инвариантной границей или связывающим гомоморфиз-
гомоморфизмом последовательности Е. Более детально,
дЕelsm = else, если хс = 3/, ст/ = т для некоторого /. D.3)
5—353
66
Гл. II. Гомология комплексов
Это подсказывает обозначение с — к до'хт; или, если рассматри-.
вать символ els как гомоморфизм clsK : Сп (К) -*• Нп (К), то дЕ опре-
опребй фой д (cl) 1 З1 (lI
вать символ els как гомоморфизм K п (К) п (),
деляется «обращающей» формулой дЕ = (cls^) х За (^),
несмотря на то, что обратные отображения els, к'1, а определены
неоднозначно (см., однако, § 6, ниже).
Теорема 4.1. (Точная гомологическая последовательность.)
Для каждой короткой точной последовательности D.1) цепных
комплексов соответствующая длинная последовательность
Hn(L)
<J#
¦3. Нп (М) —-+ Нп-1 (К)
D-4)
групп гомологии, в которой отображение дЕ — связывающий гомо-
гомоморфизм, ащ = Нп (х), а* = Нп (о), является точной.
Последовательность D.4) бесконечна в обе стороны, но равна
нулю при п < 0, если комплексы положительны. Она дает искомое
описание ядра и коядра отображения Нп (х): Нп (К) ->• Нп (L)
в том случае, когда х мономорфизм, именно, ядро равно dEHn+i (M),
а коядро изоморфно ст„Я„ (L).
Доказательство. В силу определений произведение
любых двух последовательных гомоморфизмов последовательно-
последовательности D.4) равно нулевому гомоморфизму. Для каждой размерности
п покажем, что (i) Кег щ а дЕ Hn+i (Af); (п) Кег ст„ с= щНп (К);
(Ш) Кег дЕ cz о#Нп (L). Нашими предварительными рассуждениями
показана уже справедливость первого включения.
Для доказательства второго включения предположим, что
els (с) _это гомологический класс такого цикла с из Ln, что
a* (els с) = 0. Это значит, что ос = дт для некоторого т ? Mn+i.
Поскольку о — эпиморфизм, существует элемент I ? Ln+1, для
которого ol = т. Следовательно, о (с — dl) = 0, так что с — dl —
= %k для некоторого k 6 Кп, причем dk = 0. Это означает, что
els (с) = els (с — а/) = х„ els (k) лежит в образе х*.
Для доказательства третьего включения напомним, что
дЕ els (m) = els с, где с ? Кп-и и существует элемент / 6 К, для
которого w = dl, ol = т, как в D.3). Если els с = 0, то существует
такой элемент k' из Кп, что dk' = с. Тогда х dk' = dl, следова-
следовательно, д (I — %k') = 0. Значит, / — %k' есть цикл в L и о{1 — х&') =
= ol — т, так что els (m) ? Im cr*, что и утверждалось. Этим дока-
доказательство закончено.
Рассмотрим категорию Ш коротких точных последовательностей
цепных комплексов. Морфизмом ?->•?' в этой категории является
§ 4. Точная гомологическая последовательность
67
тройка (/, g, h) цепных преобразований, превращающая диаграмму
E: O^K -> L -> Af -^ 0
|/ j* |л
E'\ 0 -^ K' -»- V -> M' -> 0
D.5)
в коммутативную. При каждом п, Нп (К), Нп (L), Нп (М) являются
функторами аргумента Е.
Предложение 4.2. Для каждой последовательности Е 6 Ш
связывающий гомоморфизм дЕ: Hn+i (M) -*-Нп (К) естествен.
Утверждение о естественности гомоморфизма дЕ означает, что
диаграмма
Я„(/С)
Нп(К')
D.6)
коммутативна. Доказательство легко проводится методом «диаграмм-
«диаграммного поиска» в D.5), использующим определение гомоморфизма дЕ.
Полученный результат можно сформулировать в виде большей
диаграммы
Я„+1 (L) —^ Я„+1 (Af) —=-* Hn (K) —-> Hn (L)
\g*
Я„+1 (V) —-^ >
lh* \t* \s*
(Af') —E-l> Нп (К1) —^ Нп (Ll)
D.7)
В этой диаграмме строки являются точными гомологическими после-
довательностями из теоремы 4.1, построенными для последователь-
последовательностей Е и Е', а вся диаграмма коммутативна, например крайний
слева квадрат коммутативен, потому что ст^ = (o'g)*, h^o^ =
= (Acr)* и o'g — ho в -силу коммутативности диаграммы D.5).
Наш вывод можно сформулировать так: морфизм Е в Е' индуцирует
морфизм точных гомологических последовательностей, построенных
для Е и Е' соответственно.
Конус отображения цепного преобразования / : К -*¦ К' дает
пример указанной точной последовательности. Задача заключается
в том, чтобы индуцированные отображения Д, : Нп (К) -> Нп (К')
групп гомологии поместить в точную последовательность. Для
этой цели построим комплекс М = М (/), называемый конусом
5*
Гл. II. Гомология комплексов
отображения преобразования / (иногда менее точно называемый
цилиндром отображения преобразования /), положив
Мп=Кп-1(
= (-dk,dk'
Тогда д: Мп -*¦ Mn-i удовлетворяет условию] д2 = 0, так что М —
комплекс, а вложение i: К' -+М есть цепное преобразование.
Проекция я : М -> К+, определенная как л (k, k') = k, также
является цепным преобразованием, если под К4 мы будем понимать
комплекс К со сдвинутыми на единицу размерностями и измененным
знаком у дифференциала [т. е. (К+)п = Kn-J. Более того, после-
последовательность Ef: К' >-» М -» К+ является короткой точной после-
последовательностью комплексов. Следовательно, имеем
' Предложение 4.3. Цепное преобразование f: К -*¦ К'
с конусом отображения M(f) определяет точную последователь-
последовательность
>Нп {К') -^ Нп (М (/)) Д Нп-1 (К) Д Я„_, (К1) -*....
Доказательство. Эта последовательность является точ-
точной гомологической последовательностью для Ef, поскольку
Нп (К+) ^ Hn-i (К), а связывающий гомоморфизм dEf: Hn (К+) -*-
->-Hn-i(K') совпадает, как можно проверить, с гомоморфизмом,
индуцированным /.
Конус отображения есть алгебраический аналог следующей
геометрической конструкции/ Пусть /: X ->Х' непрерывное ото-
отображение топологических пространств. Построим конус над X,
— Г
Рис. 4.
взяв декартово произведение Xxl с единичным интервалом /
и отождествив все точки (л;, 0) для х ? X. Присоединим этот конус
к X', отождествив каждую точку (х, 1) из Xxl с f(x)?X';
получившееся пространство есть конус отображения / и подсказы-
подсказывает формулу для взятия границы. Дольд [1960] провел дальнейшее
исследование этих идей.
§ 4. Точная гомологическая последовательность
69
Теперь мы рассмотрим точные когомологические последователь-
последовательности. Говорят, что короткая точная последовательность Е комп-
комплексов ^-модулей расщепляется как последовательность модулей,
если для каждого п последовательность Кп >-» Ln -» Мп расщепляет-
расщепляется, т. е. если для каждого п, Кп есть прямое слагаемое для Ln.
Например, если каждый модуль Мп проективен, то последователь-
последовательность Е из D.1) расщепляется как последовательность модулей
в силу теоремы 1.6.3.
Теорема 4.4. Если G — R-модуль, а Е короткая точная
последовательность D.1) комплексов R-модулей, которая расщеп-
расщепляется как последовательность модулей, то существует для каждой
размерности п такой естественный связывающий гомоморфизм
6Е : Нп (К, G) -*-#"+х (М, G), что последовательность групп кого-
мологий
D.8)
точна.
Доказательство. Для построения когомологической
последовательности для Е сначала применим контравариантный
функтор Нотн (—, G) к Е. В результате получим обращенную
последовательность комплексов
Е* : 0 -» Horn (M,G)-+ Нот (L, G) -* Нот {К, G) -> 0.
Поскольку последовательность Е расщепляется как последователь-
последовательность модулей, последовательность Е* точна. Связывающий гомо-
гомоморфизм для Е*
дЕ* : Я-n+i (Нот (К, G))'-» Я_„ (Нот (Af, G))
дает искомый связывающий гомоморфизм 6Е, если записать члены
последовательности с верхними индексами: Я" = Я-п+1.
Ввиду предложения 4.2 6Е естествен, если аргументы групп
Я" (/С, G) и Я"+1 (М, G) рассматривать как аргументы контрава-
риантных функторов из категории тех коротких точных последова-
последовательностей комплексов, которые расщепляются как модули. По той
же причине ЬЕ также естествен, если рассматривать указанные
функторы как ковариантные по аргументу G. Наконец, точная
гомологическая последовательность для Е* с поднятыми индексами
становится искомой точной когомологической последовательно-
последовательностью D.8).
70
Гл. II. Гомология комплексов
Для ссылок мы опишем, как действует 6Е на коцепи. Поскольку
последовательность Е* точна, каждый л-мерный коцикл из К,
рассматриваемый как гомоморфизм /: К.п -*¦ G, можно представить
в виде / = g%, где g: Ln -*-G есть л-мерная коцепь из L. Тогда
gd% = gvd =/3 = 0, так что gd представимо в виде gd = ha для
некоторого я: Mn+i ->G. Поскольку hda = had = gdd = 0 и а
эпиморфизм, то hd = 0, т. е. h — коцикл в М. Тогда отображение
8Е els / = els h определяет гомоморфизм 8Е: Нп (К, G) —>#n+1 (М, G),
D.9)
причем ha = gd, gv. = / для некоторого g. Снова получается «обра-
«обращающее» правило: ЬЕ — els а*~1Ьк*~1 els.
Другая точная последовательность групп когомологий возникает
из короткой точной последовательности
S:0-
D.10)
модулей «коэффициентов». Если К — произвольный комплекс, то
мономорфизм X: G' -*-G индуцирует гомоморфизм Я,„. : Я" (К, G') -*¦
-*• Я" (К, G). Информация о ядре и коядре %* содержится в следую-
следующей точной последовательности (которая не является двойственной
к последовательности из теоремы 4.4).
Теорема 4.5. Если К — комплекс R-модулей, в котором
каждый модуль Кп проективен, и если S — короткая точная после-
последовательность R-модулей типа D.10), то для каждой размерности п
существует связывающий гомоморфизм 8s: Hn {K,G") -*¦ Hn+1 (К, G');
этот гомоморфизм естествен, если рассматривать Я" (К, G) как
ковариантный функтор по аргументу S и контравариантный
функтор по аргументу К, и включается в длинную точную последо-
последовательность
> Нп (К, G') Н Нп {К, G) Д Нп (К, G") -* Яп+1 (К, G') ->•••.
D.11)
Доказательство. Поскольку каждый модуль К.п проек-
проективен, последовательность
S, : 0 -» Нот (К, G') -> Нот (К, С) -> Нот (К, G") -» 0
точна и дает гомоморфизм 6S, равный 3s#, причем индексы подни-
поднимаются, а точность последовательности D.11) становится след-
следствием теоремы 4.1.
§ 5. Некоторые леммы о диаграммах
71
Укажем явное правило для построения 6S. Пусть /: Кп ->G" —
коцикл. Поскольку последовательность S* точна, f = xg для неко-
некоторой коцепи g: K.n -*-G; поскольку / — коцикл, gd — %.h, где
h: Kn+i ~*-G' — коцикл. Тогда
6scls/ = clsrt, Xh = gd, xg^f. D.12)
Снова получается обращающее правило: 6S = els Я,~1бт els.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть преобразования f, g : К -»¦ К' цепно гомотопны. Показать,
что ассоциированные точные последовательности для конусов отображения
М (f) и М (g) изоморфны.
2. (Оператор Бокштейна.) Пусть К — комплекс свободных абелевых
групп, 2р — аддитивная группа целых чисел, приведенная по модулю про-
простого числа р, и S = (k, т) : Z >-» Z -» Zp является короткой точной после-
последовательностью, где Я есть умножение на р. Построить соответствующую точ-
точную последовательность D.11) и показать, что при этом гомоморфизм
Р = t*6s : Нп (^> zv) ""*" ^™+1 (^> zp) можно описать так: представим каждый
и-мерный коцикл с: Кп -*¦ Zp как образ и-мерной коцепи а : Кп-*~ 2, тогда
Ьа = pb для некоторого Ь: Кп+\ -*¦ Z и Р (els с) = els (тб). Этот гомомор-
гомоморфизм Р известен как когомологический оператор Бокштейна (ср. Браудер
[1961]).
3. Пусть преобразование f: К -*• К' имеет конус отображения М,
ядро L и коядро N, так что точны короткие последовательности комплексов
F : L >-> К -» fK и G : fK >-» К' -» N. Построить цепные преобразования
g : L+ -> М и h: М -+ N, положив g (I) = (/,0), h (k,kr) = k' + fK, и по-
показать, что последовательность
точна, где т) = дрдо есть произведение связывающих гомоморфизмов
для F и G.
4. Показать, что точные последовательности предыдущего упражнения,
предложения 4.3 и гомологические последовательности для F и G встре-
встречаются в «сплетенной» диаграмме
которая коммутативна с точностью до знака (—1) в среднем квадрате (Мак-
лейн [1960b]).
72
Гл. II. Гомология комплексов
§ 5. Некоторые леммы о диаграммах
Как приложение точной гомологической последовательности
может быть получена
Лемма 5.1. Cx3 лемма.) Предположим, что в следующей
коммутативной диаграмме
0 0 0
1 I I
0-^Аз^А2^А1-^0
н ¦>; ч
Ч I I
0-^C3^C2^Ct->0
V V V
0 0 0
все три столбца и две верхние строки (или две нижние строки)
точны. Тогда и третья строка точна.
Доказательство. Любая последовательность А3 -*¦ А 2 -»-
-»-Л4 с такими отображениями а2, аь что (цаг = 0, может рассма-
рассматриваться как цепной комплекс А с граничными гомоморфизмами
а2, <ц и ненулевыми цепями только в размерностях 1, 2, 3. Группы
гомологии этого комплекса исчезают (в размерностях 1, 2 и 3)
тогда и только тогда, когда указанная последовательность является
короткой точной последовательностью.
Предположим теперь, что последние две строки точны. Тогда
для любого а 6 А3, vc^a^ = PiP2taJ = 0; поскольку v — мономор-
мономорфизм, da^ = 0. Значит, первая строка действительно является
комплексом. Поскольку столбцы точны, мы можем рассматривать
всю 3x3 диаграмму как короткую точную последовательность
0 -»¦ Л -*¦ В -*¦ С ->• 0 трех комплексов. Соответствующая гомологи-
гомологическая последовательность имеет вид
Но Яп+1 (С) = 0 = Нп (В) ввиду точности строк В и С. Поэтому
из точности соответствующей гомологической последовательности
следует, что Я„ (Л) = 0 для п = 1, 2, 3.
Доказательство аналогично, если точны первые две строки.
Основной результат этой главы — точность гомологической
последовательности D.4) — может быть выведен иным путем из :
леммы о коротких точных последовательностях модулей.
§ 5. Некоторые леммы о диаграммах
73
Морфизм коротких точных последовательностей описывается
коммутативной диаграммой
1° i*
E.1)
с точными строками; ядро и коядро этого морфизма являются корот-
короткими последовательностями, не обязательно точными (например,
отображение 0 >» А = А в А — А -» 0 с Р = 1А)- Горизонтальные
отображения этой диаграммы индуцируют отображения, дающие
точные последовательности
0-» Кег a-» Кег р-* Кег у
и
Coker a -» Сокег р -> Сокег у —> 0.
Они могут быть соединены в длинную точную последовательность.
Лемма 5.2. Для любой коммутативной диаграммы
(D):
0-
с точными строками существует такое отображение D* : Кег у ->
-*- Сокег а, естественное для функторов с аргументом D, что
последовательность
^> Сокег а -> Сокег р -» Сокег у
последовательностью Кег-Сокег.
E.2)
->Кегр->Кегу-
точна. Мы назовем E.2)
Доказательство. Пусть г. Кег у -*¦ С — вложение,
г\: А' -*- Л7аЛ — проекция. Обращающая формула D* =
= т]х'рст-11 однозначно определяет D». Для доказательства точ-
точности последовательности E.2), например в члене Сокег а,, пред-
предположим, что х* (а' + аЛ) = 0 для некоторого а'. Тогда %'а' = РЬ
для некоторого Ь и о'х'а = yob = 0, так что ob 6 Кег у и, следова-
следовательно, D^ob — а' + аЛ, что и дает нужную точность. Оставшаяся
часть доказательства проводится аналогично.
Мы назовем D,, связывающим гомоморфизмом диаграммы D.
Теперь мы докажем теорему 4.1 для короткой точной последова-
последовательности Е комплексов K>*L-*>M. Пусть Сп (К) обозначает
74
Гл. II. Гомология комплексов
модуль n-мерных циклов модуля К; построим диаграмму
Кп/дКм -> LJdLn+i -+ MJdMn+i -* О
D(E): [в* I'* |«*
О -* С-» (/С) -> Cn-t (L) -* С»
с точными строками и вертикальными отображениями, индуциро-
индуцированными а. Первое ядро — это Сп (К)/дКп+1 = Нп (К), а первое
коядро — это С„_! (К)/дКп = Я„_! (К), так что Ker-Coker после-
последовательность E.2) принимает вид
Hn(K)-*Hn(L).
¦Hn-i(L)-*Hn-i(M).
Среднее отображение D (?)„, определенное обращением, совпадает
со связывающим гомоморфизмом дЕ теоремы 4.1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать 3X3 лемму диаграммным поиском, не используя точную
гомологическую последовательность.
2. Показать, что вторая строка может не быть точной, если в усло-
условии 3X3 леммы предположить точность только первой и третьей строк;
эта строка точна, если р4р2 = 0.
3. В предположениях 3X3 леммы установить точность последователь-
последовательностей
о—> л3-
>0,
¦0.
4. Предположим, что в коммутативной 3X3 диаграмме все три столбца
точны «слева» (т. е. точны в А и В) и две последние строки точны слева. Дока-
Доказать, что первая строка точна слева. Если дополнительно Р4 и | — эпимор-
эпиморфизмы, то доказать точность первой строки.
5. Доказать точность Ker-Coker последовательности при помощи
точной гомологической последовательности. [Указание: заменить А
на Coim (A -»- В) и двойственно для С]
6. Для любых гомоморфизмов а: А -*¦ В, Р: В -»¦ С построить точную
последовательность
О—>Кега-
Кег Ра
• Сокег а —> Сокег 0а —> Сокег р
0.
§ 6. Аддитивные отношения
«Обращающие» формулы могут быть объяснены в терминах
«аддитивных отношений». Они появятся позднее при рассмотрении
спектральных последовательностей.
Аддитивное отношение г: А -*• В определяется как подмодуль
прямой суммы А © В; другими словами, г есть непустое множество
пар (а, Ь), замкнутое относительно сложения и умножения на эле-
§ 6. Аддитивные отношения
75
менты из R. Обратным*, г является аддитивное отношение г х: В-^А,
состоящее из всех таких пар (Ь, а), что {а, Ь) 6 г. Если
s: В -^ С — другое аддитивное отношение, то произведением
sr. A -*- С считается множество всех таких пар (а, с), для которых
существует такое b ? В, что (а, Ь) 6 г, (Ь, с) 6 s. Это умножение
ассоциативно, если оно определено. Граф гомоморфизма а: А -*• В —
это аддитивное отношение, состоящее из всех пар (а, аа) для а 6 А;
поскольку произведением двух графов является граф произведения
гомоморфизмов, мы можем отождествить каждый гомоморфизм с его
графом. Класс всех модулей, играющих роль объектов, и всех
аддитивных отношений г:Л.-=- В, играющих роль морфизмов,
является категорией, но отметим, что произведение гГ1 не обязано
быть единичным отношением.
Для каждого аддитивного отношения г. А -^ В введем под-
подмодули
Def г = [а |(Э6), (а, &)€г] Imr = Deir1,
Indr = Kerr1.
Здесь Кегг с: Defr с: Л и Indr c= Imr c= В. Подмодуль Defr —
это область определения г, в то время как Ind —(/неопределенность» г,
состоящая из всех таких Ь, что @, Ь) ? г. Более того, г есть граф
гомоморфизма тогда и только тогда, когда Defr = А и Ind r — 0.
Например, обратным для гомоморфизма р:5->Л служит
аддитивное отношение (Г1, где Def Р = Im p\ Ind P = Кег р.
В комплексе К множество пар (с, els с), где с ? Сп (К), составляет
аддитивное отношение els : /(„->- Нп (К) с Def (els) == Сп (К).
В силу этих замечаний «обращающая» формула для связывающего
гомоморфизма появляется как произведение аддитивных отношений.
Каждое аддитивное отношение может рассматриваться как
«многозначный» гомоморфизм; более точно, как гомоморфизм под-
подмодуля в фактормодуль.
Каждое аддитивное
гомоморфизм r° : Defr-
отношение
> 5/(Ind r),
• А, л: 5-»5/Indr,
F.2)
Предложение 6.1.
г: А -»¦ В определяет такой
что
r = n-1rui~l, /: Defr
где j — вложение, an — проекция. Обратно, пусть даны подмодуль
S а А, фактормодуль BIL модуля В и гомоморфизм f>: S ->¦ BIL.
Существует такое единственное аддитивное отношение г. А -*• В,
что г° = р.
Доказательство. Если а ? Def г, то из того, что (а, Ь) ? г
и (а, Ь') 6 г следует, что @, b — Ь') Ч г, значит, Ь — Ь' 6 Ind r.
Тогда отображение r° (a) = b + Ind r определяет гомоморфизм
76
Гл. II. Гомология комплексов
требуемого вида F.2). Обратно, если дан гомоморфизм р\ то г есть
множество всех пар (s, Ь), где Ь 6 Р (s).
Аналогичное рассуждение показывает, что каждое аддитивное
отношение г индуцирует изоморфизм 8Г: (Def г)/(Кег г) о*
э* (Im r)/(Ind г); обратно, каждый изоморфизм подфактора модуля А
и подфактора модуля В возникает этим путем из единственного адди-
аддитивного отношения г.
Пусть даны подфактор S/K модуля А и подфактор S'/K" моду-
модуля Л". Каждый гомоморфизм а : А -»- А" индуцирует аддитивное
отношение
a# = a(S/K, S'/K'): S/K — S'/K', F.3)
определенное как множество всех пар (s + К, s" + К') смежных
классов, где s ? S, s' ?S" и s" = as. Сюда включается введенное
раньше понятие индуцированного гомоморфизма.
Для эквивалентности можно определить обратное отношение
для индуцированного отношения.
Предложение 6.2. (Принцип эквивалентности.) Если
8: А -»- А" — эквивалентность, то
= (8-1)#:57К' — S/K.
Действительно, каждое из отношений (в^) и (в)^ состоит
из одних и тех же пар.
В гл. XI мы используем произведение двух индуцированных
отношений. Оно не всегда является отношением, индуцированным
произведением гомоморфизмов. Пусть, например, Bt — подмодуль
прямой суммы А — В 0 В, состоящий из всех пар (Ь, 0), В2 —
подмодуль всех пар @, Ь) и А — подмодуль всех пар (Ь, Ь) («диаго-
(«диагональный» подмодуль). Тогда 1А индуцирует изоморфизм 54 з=?
ш А/В2^? А, однако отношение Bt -*¦ А, индуцированное 1А,
состоит только из @, 0). Произведение отношений согласовано с про-
произведением гомоморфизмов лишь при дополнительных предположе-
предположениях, указанных, например, в следующем предложении:
Предложение 6.3 (Принцип композиции.) Если гомомор-
гомоморфизмы а: А -*- А" и 0: Л* -> Л " индуцируют аддитивные отноше-
отношения а# :S/K-^ S'/K" и р# : S'/K' -» S'/K", то
при условиях (i) а/С гэ К" или $К" а К" и (и) aS cz S" или
p^S'cz S".
Доказательство. Предположим сначала, что
(s + K, s" + /С ") € P#a#- По определению умножения двух отношений
существуют такие элементы s[ и s'3 в S', что s[ + К" — s'2 + К" и as =
= s[, ps; = s". Значит, s, — «; = k" 6 К' и Pas = s" + p&\ В слу-
§ 7. Сингулярная гомология
77
чае, когда р/С'с К" или /("<= аК, имеем (s + К, s" + К") 6 (Р«)#,
так что из условия (i) следует включение P#a# cz (pa)#. Анало-
Аналогично условие (и) обеспечивает обратное включение.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что rr~xr = г для каждого аддитивного отношения
г: Л — В.
2. Доказать, что (rs)-1 = s-1/—* для аддитивных отношений г и s.
3. Пусть и: А -*¦ А есть такое аддитивное отношение, что и-1 = и = и8.
Доказать, что существуют подмодули /СсЗсгЛ, для которых н =
= [(s, s + А) | s € S, А € /С]. Установить обратное утверждение.
4. Описать /г и /—V для аддитивного отношения г : А -»• В.
5. В условиях сильной леммы о четырех гомоморфизмах (лемма 1.3.2)
доказать, что |а~х = P-1tj.
§ 7. Сингулярная гомология
Полезность комплексов можно проиллюстрировать, кратко опи-
описав группы сингулярных гомологии топологического пространства.
Для этого введем аффинные симплексы.
Пусть Е — п-мерное евклидово пространство, т. е. л-мерное
векторное пространство над полем действительных чисел, в котором
задано симметричное, билинейное и положительно определенное
скалярное (внутреннее) произведение (и, v) для каждой пары век-
векторов ы, v 6 Е. Обычное расстояние р (и, v) = (и — v, и — vI^
превращает Е в метрическое пространство и, следовательно, в топо-
топологическое пространство. В частности, Е может быть пространством
Еп всех упорядоченных наборов и = (аи . . ., а„) из п действитель-
действительных чисел ait в котором сложение определено покомпонентно,
а скалярное произведение задано стандартно,
(аи ..., On)(bu ..., bn) —
Прямолинейный отрезок, соединяющий две точки и, v 6 Е,—
это множество всех точек tu + A — t) v, где t действительно
и 0<?<1, т. е. множество всех точек хои + xvv, где х0, xt —
действительные числа, х0 + *i = 1, хо~>0, х1>0. Подмноже-
Подмножество С из ? выпукло, если оно содержит отрезок, соединяющий
любые две точки из С. Если ы0,. . ., ит есть т + 1 точка из Е,
то множество всех точек
, Х0+. • .
Xt>0, G.1)
является выпуклым множеством, содержащим и0, . . ., ит, причем
наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти точки; оно
называется выпуклой оболочкой точек и0, ... ., ит.
78
Гл. II. Гомология комплексов
Говорят, что точки ы0, . . ., ит аффинно независимы, если каж-
каждая точка их выпуклой оболочки имеет единственное представление
в виде G.1); действительные числа хг называются барицентриче-
барицентрическими координатами точки и относительно ы0, . . ., ит. Можно
показать, что точки и0, . . ., ит аффинно независимы тогда и только
тогда, когда векторы ы4 — ы0, . . ., ит — щ линейно независимы.
Аффинный т-мерный симплекс — по определению выпуклая
оболочка т + 1 аффинно независимых точек. Эти точки являются
вершинами симплекса. Так, одномерный симплекс — это прямо-
прямолинейный отрезок, двумерный симплекс — это треугольник (с вну-
внутренностью), трехмерный симплекс — тетраэдр и т. д. Для каждой
размерности п мы выберем стандартный аффинный п-мерный
симплекс А" в пространстве Еп и будем обозначать вершины А71 как
(О, 1, . . ., п). (Например, возьмем за 0 начало координат, а за
1, 2, . . ., п ортогональный базис из п векторов из Еп.)
Для любого топологического пространства X сингулярным
п-мерным симплексом Т в X называется непрерывное отображение
Т: А" -> X. Так, нульмерный симплекс в X — это просто точка
из X или, более точно, отображение стандартной точки А0 в точ-
точку из X. Сначала мы построим некоторые сингулярные симплексы
в выпуклых подмножествах пространства Е.
Пусть Е и Е" — евклидовы пространства, L: Е -> Е" — линей-
линейное преобразование и и'о — фиксированный вектор в Е". Функ-
Функция / (и) = и'о + L (и), и 6 Е, называется аффинным преобразова-
преобразованием f: Е -*• Е". Будучи композицией линейного преобразования L
и сдвига на и'о, f является непрерывным отображением.
Предложение 7.1. Если и0, ¦ ¦ • , «п суть (п + 1) аффин-
аффинно независимых точек в Еп, a v0, . . ., vn G Е", то существует
единственное аффинное преобразование f: Еп -*¦ Е", для которого'
f (щ) = vu i = О, . . ., п.
Доказательство. Векторы щ — и0, i = 1, • • ., п состав-
составляют базис в Еп. Пусть L — однозначно определенное линейное пре-
преобразование, для которого L (ut — ы0) = vt — v0) тогда / (и) =
= v0 — L (и0) + L (и) есть искомое аффинное преобразование.
Оно может быть записано также в барицентрических координатах:
В частности, пусть v0 vn — упорядоченное множество-
точек выпуклого подмножества С из Е'. Единственное аффинное
преобразование f:En-*-E", которое переводит вершины 0, 1, . . ., п
стандартного симплекса А" в том же порядке в точки v0, . . ., vnt.
задает непрерывное отображение А" -> С, обозначаемое как
(v0 vn)c: An->C.
G-2>
§ 7. Сингулярная гомология
79
Это отображение мы будем называть аффинным сингулярным п-мер-
п-мерным симплексом (отображающим стандартные вершины 0 п
в v0, . • ., vn). Например, если v0, ¦ . •, vn аффинно независимы,
это отображение является гомеоморфизмом стандартного симплекса
А" на аффинный симплекс, натянутый на точки V. В частности,
Jn = @, 1, . . ., п)д„ — тождественное отображение А" на себя.
Если v0, . . ., vn зависимы, то соответствующее отображение
(v0, . . ., vn)c стягивает стандартный симплекс А" на симплекс
меньшей размерности.
Теперь мы можем описать «границу» А", состоящую из неко-
некоторых (л — 1)-мерных сингулярных симплексов, которые
являются «гранями» А". Например, грани треугольника А2 =
= @, 1, 2) суть стороны, представленные отрезками A2), @2) и @1);
в обозначениях G.2) они являются тремя непрерывными отображе-
отображениями A, 2)д2, @, 2)да и @, 1)д2 симплекса А1 в А2.
В общем случае А" имеет п + 1 грань; i-я грань этого симпле-
симплекса — это аффинный сингулярный (п — 1)-мерный симплекс
= е?: @, 1,..., ?,..., л)д»:Д"-1-»Дп, * =
G.3)
где символ i означает, что вершина i должна быть пропущена.
Любой сингулярный n-мерный симплекс Т: А" -> X имеет п + 1
грань d%T. Эти грани определяются формулой
¦X, t =
п, п>0.
G.4)
Другими словами, dtT есть отображение, полученное ограничением
Т на i-й грани А" и рассматриваемое (при помощи е*) как отображе-
отображение, определенное на Д"~'. Любой сингулярный симплекс Т можно
записать как произведение Т = TJn, где У„:А"->А" — тожде-
тождественное отображение А" и, следовательно, сингулярный п-мерный
симплекс пространства А". Грани Т задаются тогда формулой
0, .... я,
•О.
G.5)
Для аффинного сингулярного симплекса G.2) i-я грань полу-
получается, если опустить i-ю вершину
dt (v0, ..., vn)c = (v0, ...,Vi, ..., vn)c- G.6)
Процесс построения итерированных граней удовлетворяет тож-
тождеству
didjT^dj-.dtT, i<j. G.7)
Ввиду G.5) достаточно установить это соотношение для Т = Jn;
но в этом случае оно очевидно, поскольку опустить сначала вер-
80
Гл. П. Гомология комплексов
шину /, а потом вершину i — это то же самое, что опустить сначала
вершину i, а затем (в новой нумерации вершин diJn) вершину / — 1.
Другое доказательство можно получить, представив каждую точку
стандартного n-мерного симплекса А" ее барицентрическими коор-
координатами х0, . . ., хп. Сингулярный n-мерный симплекс Т в про-
пространстве X является тогда непрерывной функцией со значениями
Т (х0, . . ., хп) 6 X, определенной для всех действительных чисел
хи где *;>0 и х0 + . . . + Хп = 1, причем i-я грань будет функ-
функцией, определенной формулой
(dtT)(х0, ..., xn-i) = Т{х0, ..., xt-i, 0, хи '...., xn-i),
т. е. приравниванием i-й переменной в Т нулю. Следовательно,
получаем G.7), потому что приравнять сначала xj нулю, а затем
xt нулю при i < / в Т (х0, . . ., хп) — то же самое, что приравнять
Xt нулю, а затем приравнять нулю переменное с новым номером
Для каждого пространства X мы построим теперь комплекс
S (X) абелевых групп, называемый сингулярным комплексом про-
пространства X. Возьмем за Sn (X) свободную абелеву группу, свобод-
свободными образующими которой являются все сингулярные п-мерные
симплексы Т пространства X. Тогда операция взятия /-й грани
определяет гомоморфизм dt: Sn (X) ->¦ Sn-i (X) для i = 0, . . ., п
и п > 0. Определим граничный гомоморфизм
д: Sn(X)-+Sn-i(X)
как сумму гомоморфизмов взятия граней с чередующимися зна-
знаками, т. е.
dT = d0T-dlT+...+(-l)ndnT=j^(-l)idiT, л>0. G.8)
i=0
Далее, n-мерная цепь с 6 Sh (X) имеет единственное представление
в виде суммы с=Ът с (Т) Т, где коэффициенты с (Т) будут целыми
числами, равными нулю, за исключением конечного числа симпле-
симплексов Т; ее граница дс = 2 с (Т) дТ. Для доказательства того, что
S (X) есть комплекс, нужно показать, что произведение дд: Sn ->Sn_2
равно нулевому гомоморфизму при п> 1. Достаточно установить,
что ддТ = 0. Но
ддТ = 2 (-1 )i
-l)i+idtdjT.
Используем G.7) и изменим символы i и / во второй сумме. Тогда
ддт= 2 (-i)i+4-iW2(iI+kddr
§ 7. Сингулярная гомология
81
Обе суммы равны с точностью до знака, следовательно, они взаимно
уничтожаются, что и дает дд = 0. Теперь n-мерная группа сингуляр-
сингулярных гомологии Нп (X) пространства X определяется как п-я группа
гомологии Нп (S (X)) комплекса S (X).
Теорема 7.2. Группа гомологии Нп (X) является ковариант-
ным функтором от X.
Доказательство. Если Y — второе топологическое про-
пространство и /: X -> Y — произвольное непрерывное отображение,
то каждый сингулярный симплекс Т: А" -> X пространства X
определяет при умножении на / сингулярный симплекс fT: A" -*- Y
пространства Y. Соответствие Т -*- fT, заданное для образующих
группы Sn (X), определяет гомоморфизм Sn (/): Sn (X) -*- Sn (Y).
Более того, dt {fT) = f (dtT); следовательно, dS (f) = S (f) д, так
что S {f) — цепное преобразование, которое индуцирует гомомор-
гомоморфизмы Нп (S (/)): Нп (X) -> Hn{Y) групп гомологии любой размер-
размерности. Вместе с этими гомоморфизмами Нп является ковариант-
ным функтором в категории, объектами которой служат все
топологические пространства, а морфизмами — все непрерывные
отображения.
Если G — произвольная абелева группа, то группы когомологий
Я" E (X), G) являются группами сингулярных когомологий про-
пространства X с коэффициентами в G. Они являются бифункторами,
контравариантными по X и ковариантными по G.
Гомоморфизм е: So (X) ->• Z, переводящий все сингулярные
0-мерные симплексы в 1 6Z, называется пополнением S (X). Посколь-
Поскольку ед = 0 : St (X) ->¦ Z, e: S (X) -*- Z есть комплекс над Z. Более
того, е индуцирует эпиморфизм е* : #0 (X) -» Z. Пространство X
называется ацикличным, если Нп (X) = 0 при п>0и8, является
изоморфизмом Но (X) ^ Z.
Предложение 7.3. Топологическое пространство с един-
единственной точкой ациклично.
Доказательство. Пусть X = {х) — данное простран-
пространство. Для любой размерности п пространство X имеет только один
сингулярный симплекс, именно отображение Тп : А" -»- {*}, кото-
которое стягивает А71 в точку х. Следовательно, каждая грань dtTn
есть Т„_1, i = 0, . . ., п. Поскольку дТ есть альтернированная
сумма граней dT2m = T2m-i и dT2m-i = 0. Значит, в четных
размерностях S (X) нет циклов, кроме 0, в то время как в нечетных
размерностях все элементы из S2m-i (X) являются циклами, а также
границами. Следовательно, #„ (X) = 0 при всех п > 0; очевидно,
что Но (X) э* Z.
6-353
82
Гл. II. Гомология комплексов
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть аффинный симплекс Г является выпуклой оболочкой аффинно
независимых точек щ, ¦ • -, ит. Показать, что точка и тогда и только тогда
совпадает с одной из точек щ, когда из того, что v, w ? Г и и лежит на отрез-
отрезке, соединяющем v и w, следует, что и = v или и = w. Вывести отсюда, что
Г как выпуклое множество определяет свои вершины.
2. Пусть пространство X линейно связно. Доказать, что е* : #0 {X) es Z.
(Определение: пусть / — единичный интервал. Пространство X. линейно
связно, если для любой пары точек х, у ? X существует непрерывное отобра-
отображение f: I -*¦ X, для которого f @) = х, f A) = у.)
§ 8. Гомотопия
Говорят, что два непрерывных отображения пространства X
в пространство Y гомотопны, если можно непрерывно деформиро-
деформировать первое отображение во второе. Рассмотрим деформацию как
протекающую на единичном временном интервале; тогда ее можно
считать непрерывным отображением, определенным на декартовом
произведении X х/ пространства X и единичного интервала /,
0-< ?•< 1, действительной оси t. Значит, мы даем такое
Определение. Два непрерывных отображения /0, /t : X -*¦
-»- У называются гомотопными, если существует такое непрерывное
отображение F: X х/ ->• Y, что
F(x,0) = fo(x), F(x,l) = h(x). (8.1)
В этом случае мы будем писать F: f0 ~ ft : X -+ Y.
Условие (8.1) означает, что гомотопия начинается при t — О
с начального отображения /0 (х) и кончается при t — 1 послед-
последним отображением /4 (х). Например, пространство X называется
стягиваемым, если тождественное отображение 1: X ->• X гомо-
гомотопно отображению, которое переводит X в точку. Любое выпуклое
множество С евклидова пространства стягиваемо в любую свою
точку до гомотопией D, определенной формулой
-t)u, 0<*<l, и?С. (8.2)
Эта функция, очевидно, непрерывна и принимает значения из
множества С, потому что С выпукло.
Геометрическое понятие гомотопии тесно связано с алгебраиче-
алгебраическим понятием цепной гомотопии. В качестве первого примера
мы докажем
Предложение 8.1. Любое выпуклое множество С евкли-
евклидова пространства ациклично.
В доказательстве используется цепная гомотопия s : Sn (С) ->-
->¦ Sn+i (С). Поскольку Sn (С) — свободная абелева группа, порож-
§ 8. Гомотопия
83
денная сингулярными n-мерными симплексами Т пространства С,
достаточно определить для каждого Т сингулярный (п + ^-мер-
^-мерный симплекс sT : A"+' -*¦ С. Используя барицентрические коорди-
координаты (х0 Xn+i) точки симплекса Д"+', положим
(sT){х0, ..., xn+i) =
(l-x0)T
xn+t
l — x0
w,
1,
(8.3)
где w — фиксированная точка из С. Для того чтобы убедиться в том,
что функция sT непрерывна при х0 — 1, мы перепишем определение
таким образом, чтобы оно походило на геометрическую гомотопию D
из (8.2). Пусть v0 = 0 есть первая вершина симплекса А"+'. Тогда
@, Xj/A — х0), ..., хл+1/A — х0))
можно рассматривать как барицентрические координаты некоторой
точки и" на противоположной грани. Каждая точка из A"+' может
быть записана как среднее взвешенное xovo + A — х0) и' для
некоторой единственной точки и', за исключением того случая,
когда х0 = 1. Точка и' противоположной грани определяет такую
точку и ? Ап, для которой е°и = и'. Определение (8.3) теперь во
всех случаях можно прочитать следующим образом:
(sT) {xovo + A - Хо) и') = xow + (l-xo)T (и),
Другими словами отрезок из А"+', соединяющий v0 с каждой точ-
точкой и' противоположной грани, отображается посредством sT
линейно на сегмент, соединяющий w 6 С с Т (и) 6 С. В частности,
поскольку А" компактно, то ТА" компактно и, следовательно,
ограничено, так что sT: А"+' -»- С непрерывно при х0 = 0.
Это отображение s:Sn (С) ->- Sn+i (С) является стягивающей
гомотопией для расширенного комплекса е: S (X) ->- Z. Пусть
в обозначениях B.5) / : Z -*- S (X) — цепное преобразование, кото-
которое переводит 1 б Z в сингулярный нульмерный симплекс То данной
точки w б С. Если положить хг = 0, i-я грань йг (sT) является
сингулярным n-мерным симплексом, получающимся из (8.3). Сле-
Следовательно, d0 (sT) = T, a di+i (sT) = sdtT, если п > 0, и disT =
= Го, если п = 0. Отсюда д (sT) = T — s (дТ) при п > 0, dsT =
= Т — f&T при п = 0 и е/ = 1, в согласии с B.5). Значит, комп-
комплекс S (X) ацикличен, что и требовалось доказать. KIJ
Более обще, рассмотрим произвольную гомотопию F: Xx/->- Y.
Будем считать X х/ цилиндром с основанием X; границей
этого цилиндра является верхнее основание (на котором F = /4)
минус нижнее основание (на котором F = /0) минус стороны
6*
84
Гл. II. Гомология комплексов
[т. €. минус F на (ЗХ) хЛ. Окончательная схематическая форму-
формула dF = fi — /0 — Fd подсказывает определение ds = /t — /0 — sd
цепной гомотопии. Эти наводящие рассуждения можно точно
сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8.2. Если f0 ~ /4: X-*• Y есть гомотопные непре-
непрерывные отображения, то индуцированные цепные преобразования
S (fo), S {fi) : S (X) -v S (У) цепно гомотопны.
Мы сведем эту теорему к специальному случаю цилиндра X х /•
Под нижним основанием b и верхним основанием t этого цилин-
цилиндра мы будем понимать непрерывные функции b, t: X-*¦ Xxl,
определенные равенствами b (х) = (х, 0) и t (х) = {х, 1); эти функ-
функции, очевидно, гомотопны.
Лемма 8.3. Для любого цилиндра существует цепная гомо-
топия и : S (f) сы S (Ь).
Из этой леммы вытекает теорема 8.2. Действительно, пусть
F: X х / ->¦ У — произвольная гомотопия F: f0 (^ fi- Тогда
Fb = /о, Ft = fi и 5 (F) — цепное преобразование. Определим s
как произведение
s = Sn+i (F) и : Sn (X) Л Sn+l (X х /) -» 5„+1 (У).
Тогда
При доказательстве леммы мы установим большее: отображение
и — их ' S (X) -*- S (X х /) можно построить сразу для всех
топологических пространств таким образом, чтобы это отображение
было естественным. Для каждого непрерывного отображения
g: X ->• X* топологических пространств естественность требует,
чтобы диаграмма
Sn(X) >Sn+l(XxI)
(8.4)
Sn+1(X'x/)
была коммутативной. Заметим, что отображения b, t: X -»- X х /
уже естественны. Мы построим нужное отображение и индукцией
по п. Для п = 0 сингулярный нульмерный симплекс — это просто
точка Т @) из X. Возьмем в качестве и0Т сингулярный одномерный
симплекс, определенный равенством {и0Т) (х0, х^ = (Т @), х4), так
что щТ есть вертикальный отрезок, проходящий через Т @) в цилин-
цилиндре Хх/. Тогда d0 (ыоТ) = t (T @)), dt (u0T) = b (T @)), так что
д (и0Т) действительно равняется S (t) Т — S (Ь) Т. Более того,
и0, очевидно, естественно.
§ 8. Гомотопия
85
При п > 0 предположим, что отображения ит определены уже
для всех т< п, в частности S (t) — 5 (b) = dUn-i + Un-2d; если
n = 1, то Un-2 в этом равенстве есть нуль. Пусть /„: Ап -*- А" —
тождественное отображение стандартного симплекса. Сначала мы
определим uJn 6 5n+i (Anx /); граница этого элемента должна
быть равной
duJn = S @ /» - S ф) Jn - tin-t dJn. (8.5)
Выражение с, стоящее справа в этом равенстве, является цепью
из Sn (А"х/); его граница
дс = 6S (t) Jn-S (b) dJn -
Jn = (S (t) -S(b)- diin-i) dJn
равна нулю по индуктивному предположению. Значит, с является
л-мерным циклом из А"х /. Но А" х / — это выпуклое множество
евклидова пространства, и, следовательно, оно ациклично в силу
предложения 8.1. Поэтому с — граница, т. е. с = За для некоторого
а 6 Sn+i (Anx/). Мы полагаем uJn = а; тогда равенство (8.5)
имеет место.
Если теперь Т: А™ ->- X есть сингулярный симплекс некоторого
пространства X, Т = TJn = S(T) Jn и Тх 1 : Апх/ -»- Хх/, то
положим иТ = 5 (Тх 1) и Jn = 5 (Тх 1) а. При таком определе-
определении ы немедленно выполняется требование естественности. Чтобы
установить, что в результате получается нужная гомотопия, под-
подсчитаем
l) [S (t)Jn-S(b) Jn-un-idJn],
где t и b — верхнее и нижнее основания цилиндра А"х/. Но t, b
и Uj,-i естественны, следовательно, ввиду (8.5) диТ = S (t) T —
— S (Ь) Т — Un-idT, что и требовалось.
Этот тип доказательства состоит в том, что искомый объект
(в данном случае — искомая цепная гомотопия) сперва строится
для цепи, взятой в качестве модели, например для /„, причем при-
принимается во внимание, что пространство Апх/, в котором эта
модель лежит, ациклично, а затем этот объект распространяется на
другие пространства при помощи отображений Т. Это старый метод
доказательства в топологии; он встретится позднее вновь (гл. VIII)
как метод ацикличных моделей. Здесь же его достоинство состоит
в том, что он позволяет избежать установления явной формулы
для гомотопии и.
Следствие 8.4. Если непрерывные отображения f0, ft : X -*¦
->- Y гомотопны, то индуцированные гомоморфизмы Н (f0),
Н (U) : #„ (X) + Нп (У) равны.
86
Гл. II. Гомология комплексов
УПРАЖНЕНИЯ
1, Показать, что любое стягиваемое пространство ациклично.
2. Пусть в призме ЛИХ / числа 0, 1, . . ., п обозначают вершины ниж-
нижнего основания, а 0', 1 п' — вершины верхнего основания. Показать,
что точное выражение для гомотопии и при X — Ли в лемме 8.3 дается
формулой
Jn=J\ (-1L0,
i=0
1)', ...,п')
в которой использованы обозначения, введенные для аффинных сингуляр-
сингулярных симплексов.
3. Показать, что при п = 1, 2 в упражнении 2 члены uJn соответствуют
«триангуляции» призмы Лпх/ (сделать чертеж!).
4. Показать, что Лих/ можно «триангулировать» следующим образом.
Частично упорядочим вершины Лпх{0} и Аих{1} по правилу: (i, e) <;
¦=С (/> Tl)> гДе е, 1 = 0, 1, если i ^ j и в ^ i|. Возьмем в качестве симплексов
триангуляции все те симплексы, которые образованы линейно упорядочен-
упорядоченными подмножествами всего множества вершин. Показать, что полученные
и-мерные симплексы — это в точности те симплексы, которые фигурируют
в uJn в упражнении 2.
§ 9. Аксиомы для гомологии
Пусть А — подпространство пространства X. Отождествим
каждый сингулярный симплекс Т: А" -»- А пространства А с ото-
отображением А" -»- А ->¦ X; тогда Т становится симплексом из X,
а сингулярный комплекс S (А) — подкомплексом в 5 (X). Группы
гомологии факторкомплекса
= Hn(S(X)/S(A))
(9.1)
называются группами относительных гомологии пары пространств
(X, А). Они являются подфакторами факторгруппы 5 (X)/S (Л),
следовательно, они могут быть переписаны как подфакторы
= Сп(Х,А)/Вп(Х,А)
(9.2)
комплекса 5 (X). Группа С„ (X, Л) состоит из таких элементов
с € Sn (X), для которых дс 6 Sn-i (Л), в то время как Вп (X, Л) =
= Sn (Л) U dSn+1 (X). Элементы с из С„ (X, Л) называются отно-
относительными циклами; элементы из Вп (X, Л) называются относи-
относительными границами. Само пространство X можно рассматривать
как пару пространств (X, 0), где 0 —пустое множество; тогда
Нп (X, 0) = Нп (X).
Отображением /: (X, Л) -> (F, В) Одной пары пространств
в другую по определению считается такое непрерывное отображе-
отображение /: X -v Y, что / (Л) cz В. Относительно этих отображений как
§ 9. Аксиомы для гомологии
87
морфизмов пары пространств образуют категорию, а Нп (X, Л)
является ковариантным функтором из этой категории в категорию
абелевых групп.
Каждая пара (X, Л) порождает короткую точную последова-
последовательность комплексов S (А) » S (X) -» S (X)/S (Л). Связывающий
гомоморфизм 3* этой последовательности называется инвариантным
граничным оператором (дифференциалом, инвариантной границей)
пары (X, Л); из точной гомологической последовательности теоре-
теоремы 4.1 получаем теорему:
Теорема 9.1. Если (X, Л)
последовательность
пара пространств, то длинная
¦ ¦ •-* Нп (Л) % Нп (X) Д Нп (X, Л) % #„_4 (Л) -»• • •, (9.3)
оканчивающаяся членами ->• Но (X) ->• Яо (X, Л) ->• 0, точна.
В этой последовательности i: (Л, 0) ->- (X, 0) и / : (X, 0) ->-
->- (X, Л) суть отображения пар, индуцированные тождественным
отображением, а 3* задается для каждого относительного цикла с
равенством 3* (els с) = els (дс). Мы уже отмечали [пример A.3)],
что отображение i* : Нп (А) -*¦ Нп (X) может не быть мономорфиз-
мономорфизмом; указанная выше точная последовательность описывает ядро
и образ t*.
Два отображения /0, /i : (X, А) -*- (Y, В) пар пространств гомо-
гомотопны, если существует гомотопия F: f0 ~ /i : X -*- У, при которой
F (Л х /) ci В; это последнее условие означает, что F как отобра-
отображение из Л х / является гомотопией между /0 и fi как отображе-
отображениями Л в Б. Распространением доказательства теоремы 8.2 можно
показать, что для гомотопных отображений /0, /i пар Нп (f0) =
- Нп (П) : Нп (X, А) -* Нп (Y, В).
Теория групп сингулярных гомологии пар пространств дает
таким образом:
1. Функторы Нп (X, Л) из категории пар пространств в катего-
категорию абелевых групп, п = 0, 1, ... .
2. Естественные гомоморфизмы 3* : #„ (X, Л) ->- Hn-i (Л),
п= 1, 2, ....
Эти объекты удовлетворяют следующим дополнительным усло-
условиям:
3. Если X состоит из одной точки, то Яо (X) э* Z, а Нп (X) = 0
при п > 0.
4. Для любой пары (X, Л) относительная гомологическая после-
последовательность (9.3) точна.
5. Гомотопные отображения пар пространств индуцируют рав-
равные гомоморфизмы для каждой группы #„.
88
Гл. II. Гомология комплексов
6. (Вырезание.) Если X id A id M — такие пространства, что
замыкание М содержится во внутренней области Л, то обозначим
через X — М ^ А — М пространства, полученные из X и из Л
соответственно выбрасыванием всех точек пространства М. Тогда
вложение k: X — М ->• X индуцирует изоморфизм групп относи-
относительных гомологии
Hn(k):Hn(X-M, A-M)?*Hn(X, А). (9.4)
В наших рассмотрениях были установлены все эти свойства,
кроме шестого. Доказательство этого свойства использует «бари-
«барицентрические подразделения», оно может быть найдено у Стинро-
да — Эйленберга [1952], Уоллеса [1957] или Хилтона — Уайли
[1960].
Эти шесть свойств могут быть взяты в качестве аксиом для
теории гомологии. Можно доказать, что в том случае, когда пара
(X, А) триангулируется конечным числом аффинных симплексов,
любые группы относительных гомологии, удовлетворяющие аксио-
аксиомам, должны совпадать с группами сингулярных гомологии. Более
того, можно вычислить только из аксиом сингулярные гомологиче-
гомологические группы элементарных пространств, совпадающие с вычислен-
вычисленными в § 1 при помощи «наивного» подразбиения группами. В част-
частности, если Sn есть л-мерная сфера, то устанавливается, что
Нп (S") & Z, Но (Sn) &s Z и Ht (Srt) = 0 при 0ф1?=п. Эти
и другие поразительные геометрические свойства (теорема Брауэра
о фиксированной точке и т. д.) изложены в книге Эйленберга и Стин-
рода [1952], гл. XI.
Мы же теперь заканчиваем наше слишком короткое описание
использования теории гомологии в топологии.
Замечания. Слово «комплекс» первоначально означало симпли-
циальный комплекс; в топологии слово «комплекс» имеет различные геометри-
геометрические значения, такие, как цепной комплекс или «CW-комплекс». Цепные
комплексы в нашем чисто алгебраическом смысле были введены Манером
[1929, 1938]. Формулирование точных гомологических последовательностей,
сделанное Келли и Питчером [1947], позволило провести систематическое
исследование простых фактов, которые раньше каждый раз получались
«вручную». Пуанкаре ввел гомологии через числа Бетти; Эмми Нётер под-
подчеркнула, что гомологии пространства связаны с группами гомологии, а не
только с числами Бетти и коэффициентами кручения. Сингулярные гомо-
гомологии в их нынешней форме введены Эйленбергом; аксиомы теории гомо-
гомологии с приложениями к другим гомологическим теориям (теория Чеха)
появились в оказавшей большое влияние книге Эйленберга и Стиирода.
Аддитивные отношения были отмечены в явном виде только недавно (Люб-
кин [I960], Маклейн [1961], Пуппе [1962]). Соответствующее понятие для
мультипликативных групп встречается у Веддербарна [1941], Цассенхауза
[1958], а для общих алгебраических систем у Лоренцена [1954] и Ламбе-
ка [1958].
ГЛАВА
III
Расширения и резольвенты
Длинная точная последовательность ^-модулей
идущая от Л к С через п промежуточных модулей, называется
«я-кратным расширением» модуля А при помощи модуля С. Эти
расширения, классифицированные соответствующим образом при
помощи отношения конгруэнтности, являются элементами группы
Ext" (С, Л). Для вычисления этой группы мы представим С как
фактормодуль С = Fo/So свободного модуля Fo; этот процесс
можно итерировать So = FJSU St = Fz/Sz, . . .; в результате
возникает точная последовательность
называемая «свободной резольвентой» модуля С. Когомология
комплекса Нот {Fn, А) состоит из групп Ext" (С, Л). С другой
стороны, можно вложить модуль Л в инъективный модуль Jo (§ 7),
затем фактормодуль Jo/A в инъективный модуль Ja итерирование
этого процесса дает точную последовательность
0—>A—*Jo—>Ji~-> • • • —> Jn-i —> Jn —>¦ • • • >
называемую «инъективной корезольвентой» модуля Л. Комплекс
Нот (С, /„) имеет когомологию Ext" (С, Л). В частности, Ext1 (С, А)
часто называется Ext (С, Л).
Эта глава начинается с определения функтора Ext1, который
немедленно применяется (§ 4) для вычисления когомологии комп-
комплекса свободных абелевых групп по его гомологии. Заканчивается
глава описанием канонического процесса вложения любого модуля
в «минимальный» инъективный модуль.
§ 1. Расширения модулей
Пусть Л и С — модули над фиксированным кольцом R. Расшире-
Расширением А при помощи С называется короткая точная последователь-
90
Гл. III. Расширения и резольвенты
ность Е = (х, а) : Л >-> В -» С /^-модулей и i?-модульных гомо-
гомоморфизмов. Морфизм Г: Е -*¦ Е' расширений — это такая тройка
Г = (а, Р, у) модульных гомоморфизмов, что диаграмма
В
-с-
E':O^A'
V.'
¦О
> о
A.1)
коммутативна. В частности, положим А" = А и С" = С; два рас-
расширения Е а Е" модуля Л при помощи модуля С считаются кон-
конгруэнтными (Е = ?"), если существует морфизм AА, р\ 1с) : Е-*~
-*• Е". Если такой морфизм существует, то в силу короткой леммы
о пяти гомоморфизмах средний гомоморфизм р является изоморфиз-
изоморфизмом; поэтому конгруэнтность расширений является симметричным,
рефлексивным и транзитивным отношением. Пусть ExtH (С, Л)
обозначает множество всех классов конгруэнтности расширений Л
при помощи С.
Расширение Л при помощи С иногда описывается парой (В, 8),
где Л является подмодулем модуля Б, а 8 — изоморфизмом В/А ^
^ С. Каждая такая пара определяет короткую точную последова-
последовательность А » В ^» В/А, и каждое расширение Л при помощи С
конгруэнтно расширению, полученному таким способом.
Прямая сумма Л >-> Л © С -» С есть расширение Л при помо-
помощи С. Говорят, что расширение Е = (х, а) расщепляется, если оно
конгруэнтно прямой сумме как расширению; ввиду предложе-
предложения 1.4.3 это имеет место тогда и только тогда, когда а обладает
правым обратным \х: С-у В (или эквивалентным образом х имеет
левый обратный). Любое расширение с помощью проективного
модуля Р расщепляется, так что Ext^ (P, А) имеет только один
элемент. Для иллюстрации нетривиального случая положим R = Z.
Тогда, например, аддитивная группа 2Z четных чисел имеет два
расширения при помощи циклической группы Z2 порядка 2: прямую
сумму 2Z © Z2 и группу Z id 2Z. Этот пример является частным
случаем следующего факта.
Предложение 1.1. Для любой абелевой группы А и цикли-
циклической группы Zm (с) порядка т с образующим с существует взаимно
однозначное соответствие
г\: Extz (Zm (с), Л) ^ А/тА,
где тА — подгруппа группы А, состоящая из всех элементов вида та,
А
Доказательство. Возьмем любое расширение Е группы
Л с помощью группы Zm; в средней группе В выберем в качестве
§ 1. Расширения модулей
91
«представителя» образующего с такой элемент и, что аи = с. Каж-
Каждый элемент из В может быть записан единственным образом в виде
b = ха + hu для некоторого а? А и некоторого целого h,
h = 0, 1, . . ., т—\. Поскольку тс = 0, а (/ли) = 0, так что
ти = Kg для однозначно определенного элемента g ? А. Этот
элемент g определяет «таблицу сложения» для группы В, потому что
. ..... , , ., ч \ x(a + a) + (h + h)u, h+h'<m,
Элемент g неинвариантен; представитель и может быть заменен
любым элементом и' = и + х/, где / ? Л; тогда g заменяется на
g" = g + mf. Однако смежный класс g + тА из Л /тА однозначно
определен расширением Е. Положим г\ (Е) — g + тА. Если Е =
= Е", то г\ (Е) = г\ (?'). Если g — любой элемент из Л, возьмем
для построения группы В множество всех пар (а, К), где а в А,
h = 0, 1, . . ., т — 1, и определим сложение пар, используя g как
в приведенной выше таблице. Это сложение ассоциативно, пре-
превращает множество В в группу и дает такое расширение Е, что
Л (?) = 8 + тА- Следовательно, ц есть взаимно однозначное ото-
отображение на А/тА.
Теперь г\ есть соответствие между множеством Extz и абелевой
группой А/тА; это подсказывает нам, что ExtH (С, Л) всегда
является абелевой группой. Мы вскоре покажем, что это действи-
действительно так. Сначала мы установим, что Ext есть функтор из катего-
категории модулей в категорию множеств.
Пусть модуль Л фиксирован. Для того чтобы показать, что
ExtB (С, Л) есть контравариантный функтор по аргументу С,
требуется для каждого Е ? ExtH (С, Л) и каждого у : С" -*¦ С
указать подходящее расширение Е" = у*Е 6 ExtH (С", А). Это рас-
расширение Е\ которое можно обозначить как Еу, описывается сле-
следующей леммой, показывающей, что Е' единственно, откуда легко
вытекают конгруэнтности
Они показывают, что Е зависит от С контравариантным образом;
заметим, в частности, что обозначение Еу, в котором у пишется
на втором месте, дает хорошую упорядоченность для умножения
на у и у' во втором равенстве A.2).
Лемма 1.2. Если Е — расширение R-модуля А при помощи
R-модуля С и если у : С ->• С — модульный гомоморфизм, то суще-
существует расширение Е' модуля А при помощи С и морфизм Г =
= Aа» Р, у) :?'->?. Пара (Г, Е') определена однозначно с точно-
точностью до конгруэнтности Е'.
92
_Гл. III. Расширения и резольвенты
Доказательство существования. В диаграмме
?':0^Л-*»?--»С'-*0
II !е [у A.3)
?:0-^лЛвДС->0
даны боковые стороны и нижнее основание; мы хотим заменить
знак ? модулем и пунктирные стрелки гомоморфизмами так, чтобы
диаграмма стала коммутативной, а верхняя строка точной. Чтобы
добиться этого, поставим вместо ? подгруппу В' а В © С, состоя-
состоящую из таких пар (Ь, с'), что ab = ус'; определим а' и р следующим
образом: о' (Ь, с') = с', р (Ь, с') = Ь. Этот выбор влечет за собой
коммутативность правого квадрата из A.3). Положив я'а = (ха, 0),
мы построим требуемую диаграмму; выполнение остальных условий
может быть проверено.
Доказательство единственности. Возьмем
любое другое расширение Е" с морфизмом Г" = Aл, Р", у) : Е" -*¦
-»-?. Если В" — средний модуль из Е", то определим Р' : В" -*-В'
равенством р'Ь" = ф"Ъ", о'Ь"); тогда Г„ = (U, р', 1с) : Е" ->•?'
есть конгруэнтность и произведение Е" ->-?' -*-Е равняется Г",
так что диаграмма Г :?'->-? определена однозначно с точностью
до конгруэнтности Го расширения ?', что и утверждалось.
Назовем расширение Е' = Еу композицией расширения Е и гомо-
гомоморфизма у; указанный способ построения постоянно встречается,
например, при изучении индуцированных расслоенных пространств
(где у — отображение расслоенных пространств). С алгебраической
точки зрения расширение Е' имеет следующее «коуниверсальное»
свойство.
Лемма 1.3. В предположениях леммы 1.2 каждый морфизм
расширений Г4 = (с^, р4, 71) : ?i ->-?, где 71 — 7> может быть
единственным способом представлен в виде произведения
(оь
Еу > Е.
A.4)
Более коротко: rt можно «провести через» Г: Еу ->- Е.
Доказательство. Пусть расширение Et — («ь а4) имеет
вид Ai >* Bt -» С. (Начертите диаграмму!) Определим гомоморфизм
$':Bi-*~B' так: P'6i = (Pi6i, о^). Это единственный способ
определить |3' таким образом, чтобы Pi = РР' и чтобь! диаграмма
(cti.P', 1) : Ei -*¦ Е' была коммутативной. Проверка того, что
гомоморфизм Р' порождает искомое разложение A.4), тривиальна.
Между прочим, возможность подобного разложения содержит
в себе утверждение об единственности из леммы 1.2, поскольку
морфизм Г" = AА, Р", у) : Е" -*Е представим в силу A.4) в виде
§ 1. Расширения модулей
93
A,Р',Т) = A,Р,Т)A,Р',1) с множителем A, р', 1): ?"->¦?',
являющимся конгруэнтностью.
Теперь мы покажем, что Ext (С, А) есть ковариантный функтор
по аргументу А при фиксированном С, построив для каждого рас-
расширения Е и каждого гомоморфизма а: Л -*-А «композицию»
Е' = а?, характеризуемую следующей леммой.
Лемма 1.4. Для Е 6 Ext (С, А) и а : А -+¦ А' существует
расширение Е' модуля А' при помощи С и морфизм Г = (а, р, 1С): ?->
->-?'. Пара (Г, Е') определена однозначно с точностью до кон-
конгруэнтности Е'.
Доказательство. Мы должны в диаграмме
?:0-
Е':0-
¦А
•0
о
A.5)
заменить знак вопроса и пунктирные стрелки таким образом, чтобы
диаграмма стала коммутативной, а нижняя строка — точной. Чтобы
сделать это, возьмем в прямой сумме А' @ В подгруппу N всех
элементов вида (—аа, ха), где а 6 Л. Вместо ? в диаграмме поставим
факторгруппу (Л' © B)iN и будем записывать элементы этой
факторгруппы как (а', Ь) + N. Тогда равенства via! — (а', 0) +
+ N, а' [{а', Ь) + N] = оЪ и рб = @, Ъ) + N определяют ото-
отображения, которые удовлетворяют требуемым условиям. Един-
Единственность Е' может быть доказана непосредственно или выведена
из следующего «универсального» свойства расширения Е'.
Лемма 1.5. Б предположениях леммы 1.4 любой морфизм
Г4 = (аь рь yi): Е -*¦ ?t расширений с а4 = а может быть записан
единственным образом в виде произведения
(о,
¦аЕ-
VI)
Более кратко, 1\ можно «провести через» Е -*¦ аЕ.
Доказательство. Если в расширении ?4 = (щ, а4) сред-
средний модуль Ви то гомоморфизм Р': (Л' © B)/N ->-Bi можно опре-
определить равенством Р' [(а', Ь) + ЛП = ща' + pt6. Тогда можно
проверить, что pt = Р'Р, что (lA', P', 7i) — морфизм расширений
и что гомоморфизм Р' однозначно определен, тем самым и заканчи-
заканчивается доказательство.
Из свойства единственности расширения а? вытекают конгруэнт-
конгруэнтности
94
Гл. III. Расширения и резольвенты
Следовательно, Ext (С, Л) — ковариантный функтор по аргумен-
аргументу А. Из следующего результата вытекает, что Ext (С, А) есть
бифунктор (от Ли С).
Лемма 1.6. Для гомоморфизмов а, у и расширения Е из
лемм 1.2 и 1.4 существует конгруэнтность расширений а (Еу) ==
= (аЕ) у.
Доказательство. По определению Еу и аЕ существуют
морфизмы
Р (l.Pi.Y) „ (а, ра, 1)
Еу > Е > аЕ,
произведение которых равно (а, р2, Рь у) : Еу -va?. В силу лем-
леммы 1.3 расширение (аЕ) у коуниверсально для таких отображений,
т. е. (а, р2, Рь у) разлагается в произведение
Еу ¦
(аЕ)у
(i.P. v)
аЕ.
Но первый множитель этого разложения является в точности таким
морфизмом, который был использован в лемме 1.4 для построения
а (Еу) из Еу. Значит, в силу утверждения этой леммы об единствен-
единственности а (Еу) = (аЕ) у, что и требовалось доказать.
Чтобы проиллюстрировать полезность этих лемм, докажем
Предложение 1.7. Для любого расширения Е = (%, а)
композиции %Е и Еа расщепляются.
Доказательство. Диаграмма
?:0-
?":0-
¦ Л
I*
¦В-
в-
¦ о
•о,
в которой отображение v определено формулой \Ъ = (Ъ, ab), комму-
коммутативна. Следовательно, определение %Е из леммы 1.4 показывает,
что %Е задается нижней строкой и, значит, расщепляется. Пусть
читатель построит двойственную диаграмму, которая расщепляет Ео.
Предложение 1.8. Любой морфизм расширений Tt =
= (a> Р. у) '• Е -*¦ Е' влечет конгруэнтность аЕ = Е'у.
Доказательство.В силу свойства универсальности рас-
расширения аЕ (лемма 1.5) отображение Г! можно провести через
Т:Е-+аЕ в виде Г4 = Г2Г, где Г2 = AAS р', у) : аЕ -»?'.
Это последнее отображение характеризует аЕ как Е'у в силу
леммы 1.2.
§ 2. Сложение расширений
95
§ 2. Сложение расширений
Прямая сумма Л © С двух модулей может рассматриваться как
ковариантный бифунктор от аргументов Л и С, поскольку для любых
двух гомоморфизмов а:Л->-Л' и у:С-+-С существует гомо-
гомоморфизм
с обычными свойствами (а © у) (а' © у') = аа' © уу' и 1а- © 1с —
¦= 1лфс- Этот гомоморфизм можно определить, положив (а © у) X
X (а, с) = (аа, ус), или определить как единственный гомоморфизм,
делающий диаграмму
A'<-A'G)C'->C
коммутативной. В этой диаграмме каждая строка состоит из проек-
проекций, как и в I (8.12).
Диагональный гомоморфизм модуля С — это гомоморфизм
А (с) = (с, с).
B.1)
Он может быть описан как гомоморфизм, превращающий диа-
диаграмму
С=С=С
в коммутативную. Кдциагональное отображение модуля Л — это
гомоморфизм
Ч = ЧА:А@А->А, V(ai,a2) = ai + a2. B.1')
Он имеет двойственное диаграммное описание: Vix = 1а = Vi2: Л ->-
-v Л. Отображения А и V могут быть использованы для переформу-
переформулировки обычного определения суммы / + g двух гомоморфизмов
f,g:C-+A в виде
/ + ?=VA(/©g)Ac; B.2)
читатель должен проверить, что при таком определении по-преж-
по-прежнему (f + g)c равняется /с + gc.
Если даны два расширения Et = (%и аь): Лг >* Bt -» Ct для
i = 1, 2, то мы определим их прямую сумму как расширение
Et@E2:0->Ai@A2->Bl@B2->Cl@C2->Q. B.3)
96
Гл. III. Расширения и резольвенты
Теперь мы превратим Ext (С, Л) в группу по сложению, определе-
определение которого использует B.3).
Теорема 2.1. Для данных R-модулей А и С множество
ExtH (С, Л) всех классов конгруэнтности расширений модуля А при
помощи модуля С является абемвой группой относительно бинарной
операции, которая сопоставляет классам конгруэнтности расшире-
расширений Ei и Е2 класс конгруэнтности расширения
Ei + E2^VA(Ei@E2)AC- B.4)
Класс расщепляющегося расширения Л >-> А © С -» С является
нулевым элементом этой группы, в то время как обратным для
любого расширения Е служит расширение (—1А) Е; для гомомор-
гомоморфизмов а : А ^*А' и у : С -+-С выполнены равенства
у = Ety + E2y, B.5)
2) = Еу^ Еу2. B.6)
Композиция B.4) известна как сложение Бэра; правило B.5)
устанавливает, что отображения a*: Ext (С, Л) -*- Ext (С, А)
и у*: Ext (С, Л) -»-Ext (С, Л) являются групповыми гомомор-
гомоморфизмами.
Мы дадим два различных доказательства. Первое из них «вычис-
«вычислительное»; оно похоже на вычисления, проделанные в § 1 для того,
чтобы показать, что Extz (Zm, Л) есть группа А/тА.
Возьмем произвольное расширение Е = (х, а) модуля Л при
помощи модуля С, где а: В -» С. Для каждого элемента с из С
выберем представителя и (с), т. е. такой элемент и (с) б В, что
аи (с) = с. Для каждого г б R разность ги (с) — и (гс) б кЛ в силу
точности Е; аналогично если элементы с, d б С, то и (с + d) —
— и (с) — и (d) б *Л. Следовательно, существуют элементы / (с, d)
и 8 (г> с) ? Л, для которых
u(d) = xf(c,d) + u(
= xg(r,c) + u(rc),
c,d?C,
r?R, c?C.
B.7а)
B.7b)
Назовем пару функций (/, g) системой факторов расширения Е.
Пусть в течение этого доказательства Fн (С,А) обозначает мно-
множество всех пар (/, g) функций /, определенных на СхС со зна-
значениями в Л и функций g, определенных на RxC со значениями
в Л. Каждая система факторов является элементом из FR (С, Л),
а FR будет группой относительно почленного сложения, т. е. отно-
относительно операции (Д + /2) (с, d) = Д (с, d) + /2 (с, d).
Система факторов для последовательности Е не единственна.
Для другого выбора представителей «' (с) мы должны иметь соотно-
соотношение «' (с) = ah (с) + и (с), где h — некоторая функция из С в Л.
§ 2. Сложение расширений
97
Можно подсчитать, что
ги' (с) = х [rh (с) - h (гс) + g (г, с)]+и' (гс).
Новая система факторов /' (с, d), g' (г, с) для представителей и'
определяется выражениями, стоящими в квадратных скобках в на-
написанных выше равенствах. Мы можем выразить это обстоятель-
обстоятельство по-другому: для каждой функции h, отображающей С в Л,
существует элемент (бс/г, bRh) б ^н (С,А), определенный следую-
следующим образом:
(всЛ) (с, d) = h(c) + h (d) -h(c + d), (8Rh) (r, с) = rh (с) - h (re).
Система факторов /', g' для представителей и' тогда имеет вид
(/'»?') = (/• ё) + ФсК йдЛ). Обратно, любая такая функция h может
быть использована для изменения представителей расширения.
Поэтому если мы обозначим через SR (C,A) подгруппу всех пар
функций из Fr (С, А), имеющих вид Fch, 6Rh), то система факто-
факторов (f,g) расширения Е оказывается однозначно определенной
по модулю SR (С, А).
Используем теперь факторгруппу FR (С, A)/SR (С, А); каж-
каждому расширению Е сопоставим смежный класс ю (Е) из FR/SR,
содержащий какую-то систему факторов (/, g) этого расширения.
Класс о (Е) однозначно определяется расширением Е.
Конгруэнтность расширений отображает представителей в пред-
представители, следовательно, конгруэнтные расширения имеют одни
и те же системы факторов. Отсюда следует, что w есть взаимно
однозначное отображение множества классов конгруэнтных расши-
расширений на подмножество абелевой группы FR (C,A)ISR (С,А).
Чтобы показать, что Ext (С,А) является абелевой группой отно-
относительно сложения Бэра, достаточно проверить справедливость
равенств
а(Е1 + Ег)^<й(Ех) + «>(Е2), ©[(-1А) ?]=-©(?).
Первое равенство вытекает из подсчета системы факторов для расши-
расширения Ei © E2 и, значит, для ?t + E2. Второе равенство вытекает
из замечания (начертить диаграмму!), что (— 1А) Е получается
из Е изменением знака у отображения х : Л >-* В и, значит, изме-
изменением знаков у функций / и g, составляющих систему факторов.
Наконец, расщепляющееся расширение Ео в качестве одной из си-
систем факторов имеет пару @, 0) и поэтому является нулем отно-
относительно введенного сложения.
Возможно также (см. упражнения) охарактеризовать непосред-
непосредственно те пары функций (/, g), которые могут встретиться как
системы факторов расширения и, следовательно, показать, что
7-353
98
Гл. III. Расширения и резольвенты
ExtB (С, Л) есть абелева группа, вообще не используя сложение
Бэра.
Доказательство соотношения B.5) просто: FR (С, A)ISR (С, Л) —
это бифунктор, а о — естественный гомоморфизм. Доказательство
B.6) аналогично.
. Мы теперь переходим ко второму («умозрительномр) доказатель-
доказательству теоремы. Для прямой суммы B.3) двух расширений Ег конг-
конгруэнтности
могут быть установлены при помощи лемм § 1, которые характери-
характеризуют композиции Егу- и dfEi. Для гомоморфизма а : Л -*-А' легко
проверить, что
и аналогично для гомоморфизма у : С -+• С
Ау = (у@у)А:С'-*СфС. B.10')
Теперь следующая цепочка конгруэнтностей доказывает утверж-
утверждение B.5) теоремы:
= V (ct?t © а?2) А == aEi + а?2;
a
вторая половина утверждения доказывается аналогично. Доказа-
Доказательство B.6) проводится параллельно приведенному, как только
мы установим, что
Д? ==(?©?) A, ?V = V(?©?). B.11)'
Поскольку тройка (Ад, Ав, Ас) : Е -*~Е © Е является морфизмом
расширений, первое из этих соотношений вытекает из предложения
1.8. Аналогично из того, что тройка (V, V, V) :?©?->-? есть
морфизм, вытекает второе соотношение.
Теперь покажем, что сложение Бэра B.4) превращает Ext в груп-
группу. Ассоциативный закон вытекает из определения B.4) сразу,
как только установлено, что диагональное и кодиагональное отоб-
отображения удовлетворяют тождествам
1С)А= AС©Д)Д:С-^ѩѩС, B.12)
V(lA©V):Л©Л©Л->Л. B.12')
Эти тождества следуют прямо из определений А и V, если отож-
отождествить (С © С)I® С с С © (С © С) при помощи очевидного изо-
изоморфизма. Для доказательства коммутативного закона для сложе-
сложения Бэра используем изоморфизм хА : Ai@ Аг-*-А2® Ах, опре-
§ 2. Сложение расширений
99
деленный равенством тА (at, a2) = (a2, aO (или при желании свой-
свойством универсальности и подходящей диаграммой!). Морфизм
(та. *в, ^с) : (Ei © Е2) -*• Ez © ?i показывает, что тд (Et © ?2) =
= (^2 © Ei) тс; подсчетом или при помощи диаграммы доказывает-
доказывается, что VAxA = Va и Ас = тсАс- Следовательно, коммутативный
закон получается посредством цепочки соотношений
з V {Е2© Ei) xA = V(Ez
A =
Для того чтобы показать, что расщепляющееся расширение ?0
действует как нуль для сложения Бэра, сначала заметим, что для
любого расширения Е 6 Ext (C,A) существует коммутативная
диаграмма
Е:0
В
о
->С-^0,
где v — отображение, действующее так: xb = @, ab) = i2ob. Эта
диаграмма утверждает, что расщепляющееся расширение Ео может
быть записано как композиция Ео — 0АЕ, где 0А : Л ->• Л — нуле-
нулевой гомоморфизм. Теперь в силу закона дистрибутивности Е +
+ Ео = Ц? + 0АЕ == AА + 0А) Е = \АЕ = Е. Аналогичное до-
доказательство показывает, что (— 1А) Е есть аддитивный обратный
к Е относительно сложения Бэра. Наше второе доказательство
теоремы закончено.
Второй дистрибутивный закон B.6), содержащийся в этой тео-
теореме, можно выразить следующим образом. Для каждого гомомор-
гомоморфизма а :Л ->Л' пусть сц: Ext (С, Л) -v Ext (С, Л') обозначает
индуцированный гомоморфизм, и аналогично положим у*Е =
= Еу. Тогда (v* + у*) Е = у*Е + у*Е, так что B.6) можно neper
писать в виде
(Yl + уг)* = (Yi)* + Ы*.
Говорят, что бифунктор аддитивен, если он обладает этими свой-
свойствами. Точно так же, как и в A.6.5), из этих свойств вытекают есте-
естественные изоморфизмы
Ext (С, А1@Аг) s^Ext (С, Л4)© Ext (С, Л-О,
Ext (С4 © С„ А) е* Ext (Clf Л) © Ext (C2, Л).
Для R ~ Z и конечно порожденной абелевой группы С эти формулы
вместе с предложением 1.1 и равенством Extz (Z, Л) = 0 позво-
позволяют вычислить Extz (С, Л).
7*
100
Гл. III. Расширения и резольвенты
Следствие. 2.2. Если конечные абелевы группы А и С имеют
взаимно простые порядки, то любое расширение А при помощи С
расщепляется. , :
Доказательство. Пусть тип — порядки групп А
и С и пусть цт : С -»-С — гомоморфизм, определенный умножением
на т элементов из С, так что цтс — тс. Поскольку т и п взаимно
просты, существует такое т', что т'т == 1 (mod п), следовательно,
\лт — автоморфизм, и каждый элемент из Ext (С, Л) имеет вид
?ц,тдля некоторого Е. Однако цт = 1С + . . . + 1С (т слагаемых),
так что
где vm : А -*¦ А — такой гомоморфизм, что vm (а) = та = 0, что
и требовалось доказать. ;
УПРАЖНЕНИЯ
В следующих упражнениях удобно считать, что все системы факторов
lf>g) удовлетворяют «условию нормализации»:
/(с, 0) = 0=/@, d), *(r,0)=0.
Этому условию всегда можно удовлетворить, выбрав представители и так,
чтобы и @) = 0.. .
1. Показать, что для абелевых групп (т. е. при R — Z) «нормализован-
«нормализованная» функция из СхС в А тогда и только тогда является системой факто-
факторов для расширений абелевых групп, когда
f{c, d) + f{c + d, e) = f{e, d+e)+f(d,e), f (с, d)=f (d,c),
что соответствует законам ассоциативности и коммутативности.
2. Пусть Gz (С,А) — множество всех нормализованных функций f,
удовлетворяющих тождествам упражнения 1. Показать, что Ext7 (С, A) s
mGz(C,A)/Sz(C,A).
3. Указать аналог упражнения 1 для произвольного кольца (указать
тождества для систем факторов, состоящих из двух функций f и g).
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов
Мы уже отмечали, что функтор Нот не сохраняет точность
последовательностей, потому что гомоморфизм а : A --*~G подмо-
подмодуля А модуля В не всегда может быть продолжен до гомоморфиз-
гомоморфизма В в G. Мы можем теперь описать некоторый элемент аЕ из
Ext (В/A, G), который служит «препятствием» для этого продол-
продолжения.
Л е мм а 3.1. Пусть А — подмодуль модуля В] u E: А >-> В -»
-» С — соответствующая точная последовательность, в которой
С = В/А. Гомоморфизм а : A -*-G может быть продолжен до
§ 3. Препятствия, для продолжения гомоморфизмов
101
гомоморфизма В -*¦ G тогда и только тогда, когда расширение
аЕ расщепляется.
Доказательство. Предположим сначала, что а про-
продолжается до а: В -*" G. Построим диаграмму
Е : 0 -> А
Е':0
G
В
I
0,
в которой Е'—диаграмма внешней прямой суммы с вложением i4
и проекцией л2. Поставим вместо пунктирной стрелки отображение
b _». {ab, ab) = цйб + у&Ь. Получающаяся в результате диаграм-
диаграмма коммутативна и, следовательно, определяет морфизм Е-+-Е'.
В согласии с леммой 1.4 Е' == аЕ. Поскольку Е' расщепляется,
а? также расщепляется.
Обратно, предположим, что аЕ расщепляется. Диаграмма
Е:0->А -> В ->С-*0
aE:0
использованная для построения аЕ, определяет отображение
я4р : В -*-G, которое является продолжением а. Лемма доказана.
Сопоставление каждому a: A -vGero препятствия аЕ является
ввиду B.6) групповым гомоморфизмом
Е* : HomH (A, G) -> Ех^ (С, G).
Назовем этот гомоморфизм связывающим гомоморфизмом для точ-
точной последовательности Е.
к а
Теорема 3.2. Если Е : А » В -*> С — короткая точная
последовательность R-модулей, то последовательность
Е*
0 -> Нотн (С, G) -^ Нотн (В, G) -> Нотн (A, G) —>
H (С, G)-^ExtH(B, G)-^-ExtH^, G) C.1)
абелевых групп точна для любого R-модуля G.
Доказательство. Ввиду I (.6.7) нам уже известна точ-
точность в членах Нот (С, G) и Нот (В, G). Лемма 3.1 устанавливает
точность в Horn (A, G). По предложению 1.7 а*Е* = (Еа)* = 0.
102
Гл. III. Расширения и резольвенты
Обратно, чтобы убедиться в том, что ядро содержится в образе
группы Нот (A, G) в Ext (С, G) мы должны взять такое расширение
Ei 6 Ext (С, G), что Ei<J расщепляется, и показать, что Ei служит
препятствием для некоторого отображения A ->-G. В силу расщеп-
ляемости Eta коммутативна диаграмма
: А
J Л/
Ех: 0 -»¦ G _!2-н.В1_2_> С -> 0 .
Расщепляющее отображение р., умноженное на р, дает отобра-
отображение Pi = Рц : В ->-Bi (указано пунктирной стрелкой в приве-
приведенной выше диаграмме), которое делает правый нижний треуголь-
треугольник коммутативным. Значит, аф^ = ах ¦= 0. Но последователь-
последовательность Ei точна, так что р4х представимо в виде щах для некоторого
at: A -*-G. Тогда тройка (аь Pi, 1) : Е -+Ei является морфизмом
точных последовательностей, который устанавливает, что ?j =
= а4?.
Аналогичным рассуждением доказываем точность последова-
последовательности в Extu (В, G) и тем самым заканчиваем доказательство
теоремы.
Эта теорема утверждает, что функтор Ext исправляет неточность
функтора Нош справа. В то же время Ext порождает новую неточ*-
дость; в последовательности C.1), отображение ExtH (/?,' G) -*-
-»-ExtH (A, G) не всегда является эпиморфизмом (см. упражнение).
Для описания коядра этого отображения мы нуждаемся в новом
функторе Ext2. "
Обратимся теперь к такой задаче: когда гомоморфизм у : G -*~
¦^¦В/А можно «поднять» до В, т. е. когда существует такой гомо-
гомоморфизм у : G -*-В, что y раэняется произведению О ->-Б ->-Б/Л?
Этот вопрос приводит к лемме, двойственной предыдущей лемме 3.1.
Лемма 3.3. Пусть С = В/А— фактормодуль, а Е — соот-
соответствующая точная последовательность. Гомоморфизм у : G -+¦
-*В/А может быть поднят до: гомоморфизма у :G-+B тогда
и только тогда, когда расширение Еу расщепляется.
Доказательство в точности двойственно доказательству леммы
3.1 в том смысле, что направления всех стрелок изменены на про-
противоположные и прямые суммы заменены прямыми произведениями.
Снова назовем элемент Еу 6 Ext (Q, А) препятствием для подня-
поднятия у- Сопоставление каждому у: G ->-С его препятствия Еу опрё-
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов
103
деляет групповой гомоморфизм
?*:Hom(G, C)-*Ext(G, A),
называемый связывающим гомоморфизмом для Е.
Теорема 3.4. Если Е: А » В -» С — короткая точная
последовательность R-модулей, то последовательность
0 -> HomH (G, А) -> Нотя (G, В) -* HomH (G, С) -5
¦^5. ExtH (G, Л) -> ExtH (G, В) -* ExtH (G, С) C.2)
абелевых групп точна для каждого R-модуля G.
Доказательство двойственно доказательству теоремы 3.2.
Теорема 3.5. R-модуль Р проективен тогда и только тогда,
когда ExtH (P, G) = 0 для любого R-модуля G.
По теореме 1.6.3 Р проективен тогда и только тогда, когда каж-
каждое расширение при помощи Р расщепляется. Теорема 3.2 указы-
указывает следующий путь для определения группы Ext.
Теорема 3.6. Если С и G — данные модули и если F: К **
>-» Р -» С — точная последовательность с проективным модулем
Р, то
ExtH (С, G) s« HomH (К, G)/x* HomH (P, G). C.3)
В частности, группа, стоящая справа, не зависит (с точностью
до изоморфизма) от выбора короткой точной последовательности F.
Доказательство. В C.1) заменим последовательность ? по-
последовательностью F. Поскольку модуль Р проективен, ExtH (P, G) —
= 0и точность последовательности C.1) дает формулу C.3) для
ExtB (С, G).
Поскольку любой модуль С можно представить как фактор-
модуль свободного модуля, можно вычислить всегда ExtH (С, G)
по формуле C.3), в которой Р свободен. Например, точная после-
к
довательность Z >-> Z -» ZlmZ, в которой гомоморфизм х означает
умножение на целое число т, дает представление циклической
группы Zm как факторгруппы группы Z. Поскольку Нот (Z,A) о*
з^ А, где изоморфизм устанавливается отображением, переводящим
каждый гомоморфизм /: Z -*¦ А в элемент f A), мы получаем изо-
изоморфизм Extz (Zm, A) s* A/mA. Это соответствие уже было исполь-
использовано в предложении 1.1.
Предложение 3.7. Для абелевых групп последовательно-
последовательности, указанные в теоремах 3.2 и 3.4, остаются точными, если справа
добавить нуль.
104
Гл. III. Расширения и резольвенты
Доказательство. В случае теоремы 3.2 мы должны пока-
показать, что мономорфизм и : А >* В индуцирует эпиморфизм
х*: Ext (B,G) -vExt (A,G). Для этой цели возьмем свободную абе-
леву группу F и эпиморфизм q> : F -» В с ядром К- Пусть L =
= ф-1 (хЛ). Тогда ф отображает L на хЛ с тем же ядром АГ и поэто-
поэтому возникает коммутативная диаграмма
E1:0->K-*L->A->0
If 14*
с точными строками ?4 и Е2; следовательно, Ег = Е^л. Отсюда
мы получаем коммутативную диаграмму
Нот (К, G) Л Ext (В, G)
И I**
Е*
Нот (К, G) Л Ext (A, G)-»Ext(L, G)
с точной нижней строкой в силу теоремы 3.2. Но L как подгруппа
свободной абелевой группы сама свободна. По теореме 3.5 Ext (L,G) =
— 0, следовательно, отображение Е* из диаграммы является
эпиморфизмом, а поэтому их* — эпиморфизм, что и требовалось
доказать.
В случае теоремы 3.4 нам дана точная последовательность
Е: А >* В -»С, и мы должны показать, что отображение
Ext (G, В) -»- Ext (G, С) — эпиморфизм. Представим любой элемент
из Ext (G, С) точной последовательностью 5: С >-> D -» G. Посколь-
Поскольку ц: С ->-D — мономорфизм, уже рассмотренный случай теоре-
теоремы 3.2 показывает, что существует точная последовательность
Е': А >-» М -»D, для которой ц*?" = ?. Этим установлено, что
мы можем пополнить следующую коммутативную диаграмму таким
образом, чтобы первые две строки и последний столбец были точны:
Е:0->А->В-+С->0
Ц i U
G = G.
Диаграммный поиск показывает, что средний столбец точен. Этот
средний столбец и представляет элемент из Ext (G, В), отображаю-
отображающийся на последний столбец 5 ? Ext (G, С), что и требовалось
доказать.
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов
105-
Отметим, что приведенная выше диаграмма симметрична: если
точны верхняя строка и правый столбец, то точность средней строки
эквивалентна точности среднего столбца. В случае теоремы 3.2
утверждается, что диаграмма может быть пополнена таким обра-
образом, чтобы средняя строка была точной; в случае теоремы 3.4
утверждается, что диаграмма может быть пополнена таким образом,
чтобы средний столбец был точен. Тот же факт можно сформулиро-
зать на групповом языке следующим образом.
Следствие 3.8. Если даны абемвы группы D и A cz В
и мономорфизм ц : В/А>* D, то существует абелева группа М г> В
и продолжение р, до изоморфизма Ml A s* D.
Это следствие приводит к построению группы М по данной под-
подгруппе группы В и «накрывающей» факторгруппе D.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Неточность Ext справа.) Пусть R = К[ж,(/] — кольцо многочле-
многочленов от двух неизвестных х и у с коэффициентами из поля К, и пусть
(х, у) — идеал, состоящий из всех многочленов со свободным членом, рав-
равным 0, фактормодуль R/(x, v) изоморфен полю К, где К рассматривается
как такой Я-модуль, что xk = 0 = yk для всех k (j К, а Е: (х,у) >* R -»
-» К — точная последовательность Я-модулей. Показать, что отображение
Extfl (R, G) -»- Extfl ((x, у), G) не является эпиморфизмом для всех G, выбрав
во второй группе такое расширение, в котором (х, у) представляется как
фактормодуль свободного модуля с двумя образующими.
2. Подобным же образом показать, что последовательность теоремы 3.4
ие всегда может оканчиваться нулем с сохранением точности.
3. Показать, что следствие 3.8 приводит к следующему (самодвойствен-
(самодвойственному) утверждению: любой гомоморфизм а: В -»- D абелевых групп можна
записать в виде произведения а = tv, где v — мономорфизм, т — эпимор-
эпиморфизм и Кег т. r=v (Ker а).
4. Дать прямое доказательство второй половины предложения 3.7
(записать G как факторгруппу свободной группы).
5. Доказать предложение 3.7 для модулей над кольцом главных идеалов.
6. Для простого числа р и такой абелевой группы С, что рС = 0, дока-
доказать, что
Extz (С, G) s Hom2 (С, G/pG)
(Эйленберг — Маклейн [1954], теорема 26.5).
7. Для простого числа р аддитивной группы Р всех рациональных чисел
вида т/ре, т,е ? Z,n аддитивной группы р-адических чисел 2<р) доказать, что
Extz (P, 2)
(Эйленберг — Маклейн [1942], добавление В).
106
Гл. III. Расширения и резольвенты
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах
для групп когомологий
В качестве первого приложения функтора Ext мы дадим метод
«вычисления» групп когомологий комплекса с произвольной груп-
группой коэффициентов по группам гомологии этого комплекса — в пред-
предположении, что мы имеем дело с комплексами свободных абеле-
вых групп или свободных модулей над кольцом главных иде-
идеалов.
Теорема 4.1. (Об универсальных коэффициентах.) Пусть
К — комплекс свободных абелевых групп Кп, и пусть G — произволь-
произвольная абелева группа. Тогда для каждой размерности п имеется точ-
точная последовательность
G)XHn(K, G) Л Horn (#„(/(), G)-»0, D.1)
в которой гомоморфизмы |3 и а естественны по аргументам К и G.
Эта последовательность расщепляется при помощи гомоморфизма,
естественного по G, но не по К-
Второе отображение а определено на когомологическом классе
els / следующим образом. Каждый п-мерный цикл из Нот (К, G)
является гомоморфизмом f: Кп -*¦ G, который равен нулю на дКп+и
так что индуцируется гомоморфизм /*: Нп {К) -*• G. Если f =
= 8g — кограница, то на циклах это отображение равно нулю, так
что Fg)* = 0. Положим a (els f) = /*.
Доказательство. Обозначим через Сп группу я-мерных
циклов из К; тогда группа Dn = Кп1Сп изоморфна группе В„_1
(я — 1)-мерных границ из К- Граничный гомоморфизм д: Кп ->• Кп-\
представим в виде
¦>n-\ ¦
'Kn-i,
D.2)
где / — проекция, i — вложение. Короткие последовательности
т • с •
1 п • *~>п ¦
Sn : D
n+1
n (К)
D.3)
точны, причем вторая точна в силу определения Нп как Сп1дКп-
Кограничный дифференциал комплекса Нот \K,G) равен
6 = ±д*, где гомоморфизм д* : Нот (Kn-i,G) ->• Нот (Kn,G)
индуцирован дифференциалом д. Этот комплекс появляется как
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах
107
средняя строка в диаграмме
0
1
Нот (?>„+,, G)
Нот (Kn+i, G)
ЕхЦНп-i,
Эта диаграмма коммутативна с точностью до знака (включенного
в определение S = ±д*). В этой диаграмме фундаментальная точ-
цая последовательность для Нот и Ext (теорема 3.2) встречается
несколько раз. Верхняя строка — это точная последовательность
для Sn, нижняя строка— та же последовательность для Sn-i
с нулем справа, заменяющим группу Ext (Cn-U G), которая исче-
исчезает, поскольку группа Cn_t cz Kn-i свободна. Столбцы же являют-
являются (частями) точных последовательностей для Тп-и Тп и Тп+1;
нуль в средней вершине стоит вместо Ext (Dn, G), поскольку груп-
группа Dn свободна.
Группа когомологий средней строки равна Кег б/Im б. Посколь-
Поскольку /* — мономорфизм, a i* — эпиморфизм, она равняется
Кег (д'* i*)/Im (/* д'*) и отображается при помощи t* на группу
Кег д'*, изоморфную Нот (Яп, G) в силу точности верхней строки.
Результирующее отображение группы когомологий и есть отобра-
отображение а. Ядро его равно Im /*/Im (/*d**); так как /* — мономор-
мономорфизм, оно совпадает с Ext (#n-i, G) ввиду точности нижней строки.
Тем самым точность последовательности D.1) доказана, причем |3
описывается в «обращающих» обозначениях как /'* (S^-i), и поэто-
поэтому естественно.
Чтобы расщепить последовательность D.1), заметим, что группа
Dn ^ Bn-i cz Kn-i свободна, поэтому последовательность Тп из
D.3) расщепляется таким гомоморфизмом ф : Dn -*• /Сп, что /ф =
= 1О. Тогда ф*/* = 1, так что отображение S*-i9* является левым
обратным для р = /* (S*-!), что и требовалось. Этот левый
обратный зависит от выбора отображения ф, расщепляющего Тп.
Такой выбор не может быть сделан единообразно для всех свобод-
свободных комплексов К, поэтому ф* не зависит естественно от К (но зави-
зависит естественно от G при фиксированном К).
108
Гл. III. Расширения и резольвенты
В этом доказательстве несколько раз использовался тот факт,
что подгруппы свободных абелевых групп свободны. Аналогичное
утверждение справедливо для свободных модулей над кольцом
главных идеалов; следовательно, теорема верна для комплекса К
свободных модулей над таким кольцом D (и для D-модуля G). Наи-
Наиболее полезный случай этой теоремы — это случай векторных про-
пространств над полем. Тогда из теоремы 4.1 вытекает *
Следствие 4.2. Если К — цепной комплекс, состоящий из
векторных пространств Кп над полем F, и если V — любое вектор-
векторное пространство над тем же полем, то существует естественный
изоморфизм Я" (К,V) s Horn (Нп (K),V).
В частности, если V = F, то Я™ (К, F) является пространством,
сопряженным пространству Нп (/С).
Теорема 4.1 является специальным случаем более общего
результата, который «подсчитывает» группу когомологий комп-
комплекса Нош (К, L), образованного двумя комплексами К и L.
Напомним (II.3.4), что Horn (К,Ц— это комплекс, у которого
Homn (K,L) — Д Horn (KP,Lp+n), а граничный гомоморфизм
p
д = дн действует на любую n-мерную цепь f = {/р : Кр -+Lp+n}
по правилу
6/СР.
D.4)
Общая теорема такова:
Теорема 4.3. (Теорема о гомотопической классификации.)
Если К и L — комплексы абелевых групп, причем каждая группа Кп
свободна как абелева группа, то для каждого п существует короткая
точная последовательность
П Ext (Яр (/С), Я
р=-с
Нп (Нот (К,
D.5)
¦» U Нот(Нр(К),Нр+п(Ц),
р=—оо
в которой гомоморфизмы |3 и а естественны по аргументам К и L.
Эта последовательность расщепляется гомоморфизмом, естествен-
естественным по аргументу L, но не по аргументу К-
Заменим нижние индексы верхними в соответствии с обычным
соглашением Я_„ = Яп и предположим, что комплекс L = Lo = G
имеет нулевой дифференциал; тогда каждое из произведений имеет
не более одного ненулевого члена, так что D.5) превращается в D.1).
Вообще, если мы уменьшим все индексы в L на п (и изменим
знак у границ из L на (— 1)п), мы превратим Я„ (Нот (К, L))
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах
109
в Яо (Нот (К, ЦУ, значит, достаточно доказать теорему для п = 0.
Теперь в силу D.4) 0-мерный цикл из Нот (К, L)— это в точности
цепное преобразование /: К ->• L; это преобразование индуцирует
в каждой размерности р гомоморфизм (/р)*: Нр СО ~*" #р СО-
Семейстро этих гомоморфизмов является элементом
-/• = {(Ш Ш Нот (Яр (/С), Нр (L)).
р
Любое преобразование /', гомотопное /, индуцирует тот же гомо-
гомоморфизм /„. Поскольку элемент из Яо (Нот (К, L)) — это гомотопи-
гомотопический класс, els/, цепных преобразований (предложение 11.3.2),
сопоставление a (els /) = /» определяет естественный гомоморфизм
а, указанный в теореме. Определение гомоморфизма |3 более тон-
тонкое и будет дано ниже. Сначала мы рассмотрим частный случай
теоремы.
Лемма 4.4, Если граничный дифференциал в К тождественно
равен нулю, то гомоморфизм а = сс0 является изоморфизмом
оо . >
оо : Яо (Нот (К,Щ <=* Д Нот (КР, HP(L)).
р=—оо
Док аза тельство. Поскольку дк = 0, Яр (К) = КР-
Пусть Ср (L) — группа р-мерных циклов из L, a Bp (L) — группа
р-мерных границ. Любой элемент g = {gp} 6 Д Нот (КР,Нр (Ц)
состоит из гомоморфизмов gP: Кр->~ Яр (L); поскольку группа КР
свободна и Ср (L)-» Яр (L) — эпиморфизм, каждый гомомор-
гомоморфизм gp можно «поднять» до гомоморфизма g'p : Кр -»- Ср (L). Эти
отображения; рассматриваемые как отображения в Lp zd Cp (L),
образуют цепное преобразование /: К -± L, для . которого
а0 (els /) = g. Значит а0 •*- эпиморфизм.
Чтобы установить мономорфность а0) предположим, что
а0 (els Z1) = 0 для некоторого /. Для каждого р это означает, что
fp (КР) cz Bp (L). Поскольку д: Lp+i -» Вр (L) и группа Кр
свободна, отображение /р можно поднять до гомоморфизма sp : Кр -*
-> Lp+1 и dsp = fp. Поскольку sp_i3 = sp_idK = 0, последнее
равенство можно переписать в виде /р = dsp + sp-id. Отсюда сле-
следует, что / цепно гомотопно нулю, следовательно, els / = 0 в
Но (Нот (К, L)). Поэтому Кег а0 = 0, и лемма доказана.
Теперь рассмотрим общий случай теоремы 4.3, используя для
комплекса К обозначения D.2), D.3). Семейство групп С„ а Кп
можно рассматривать как комплекс с нулевым граничным операто-
оператором. Аналогичное соглашение для D дает точную последователь-
последовательность комплексов
0-
D.6)
но
Гл. HI. Расширения и резольвенты
Применим функтор Нот (—, L) для получения другой точной
последовательности комплексов
Е: 0 -* Horn (D, I) Д Нот (К, L) Л Нот (С, L) -> О,
в которой нуль справа стоит вместо группы Ext (D, L), исчезаю-
исчезающей, поскольку Dn ^ Bn-i с Кп-1 — подгруппа свободной
группы и поэтому сама свободна. Точная гомологическая последо-
последовательность для Е дает
г Но (Нот (D, L)) Д Яо (Нот (К, L)) X Но (Нот (С, L)) % ¦ ¦ •,
со связывающими гомоморфизмами (для я = 1 и я = 0)
дЕ,п:Я„(Нот(С, Ц) -> Нп-± (Нот (D, Z,)).
Средняя часть этой последовательности может быть описана с исполь-
использованием дя как короткая точная последовательность
0 -* Сокег дв, 1 -* Яо (Нот (/С, I)) -> Кег дЕ, 0 -» 0. D.7)
Как и в нашей теореме, средний член этой последовательности
равен Но (Нот (К, Ц); остается отождествить крайние члены, про-
проанализировав дЕ.
Отображение d':D-+C индуцирует отображения
d'*:Homn (C,L) -*- Homn_! (D,L), антикоммутирующие с dL, и, сле-
следовательно, индуцирует так же отображения групп гомологии. Эти
отображения (с точностью до знака) совпадают со связывающими
гомоморфизмами дЕ. Действительно, дЕ определяется на циклах
с помощью «обращения» как /*-1dHi*~1. Цикл g из Homn (С, L) —
это семейство отображений {gp:Cp -*- Lp+n}, для которых digp =
= 0; поскольку группа Dp свободна, Kpo±Cp@Dp, так что
каждый гомоморфизм gp можно расширить до такого гомоморфизма
/Р_: КР -v Lp+n, что dLfp = 0. Поскольку i*f = fi = gt положим
i* *g равным /. Поскольку drf — 0, формула D.4) для граничного
дифференциала дн в Нот (К, L) сводится к dHf = ± d%f. Теперь
дк_ = id'} в силу D.2), так что dHf = ±j*d'*i*f, и мы можем считать
/*~15н1*5 равным ±d'*g. Таким образом, дЕ действительно инду-
индуцировано -j- д'*. Но изоморфизм а0 в лемме 4.4 естествен, поэтому
диаграммы
Я„(Нот(С, Ц)
¦ Нп_4 (Нот (D,
П Нот (Ср, Нр+п (L)) °Л Д Нот (D^, Hp+n (L))
коммутативны с точностью до знака. Поэтому мы можем отождест-
отождествить ядро гомоморфизма дЕ с изоморфным ему ядром гомоморфизма
д'* (из нижней строки диаграммы).
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах
111
Теперь применим функтор Нот (—, Яр+„ (L)) к точной после-
последовательности Sp из D.3). Согласно основной точной последова-
последовательности (теорема 3.2) для Нот и Ext, мы получим точную после-
последовательность
0-»Нот(Яр(/С), Яp+n (L))-* Нот (С„ Нр+пЩ)^-
в'* s* D-8)
-¦ Нот (Dp+l, Яр+П (L)) -> Ext (Я, (К), Нр+п (L)) -> 0,
в которой последний нуль стоит вместо Ext (Ср, Яр+„ (L)), так как
эта группа исчезает в силу того, что группа Ср cz Kp свободна.
Прямое произведение этих последовательностей по всем р также
дает точную последовательность, которая описывает ядра и коядра
гомоморфизмов д'* в виде
Кег дЕ, о э* Кег д'* = П Нот (Я, (К), Нр (L)),
р
Сокег дв, 1 ей Сокег д'* = Д Ext (Яр (К), Hp+l (L)).
Подстановка этих выражений в D.7) и дает требуемую точную после-
последовательность D.5) теоремы 4.3. Гомоморфизм а определяется при
этом как произведение
Яо (Нот (К,Ц) Д Яо (Нот (C,L)) ¦% П Нот (Ср, Нр (L)) ->
НРЩ);
здесь последняя стрелка обозначает аддитивное отношение, «обрат-
«обратное» к первому мономорфизму из D.8). Это произведение а сопостав-
сопоставляет каждому f : К -*-L семейство индуцированных отображений
гомологических классов, так что совпадает с уже описанным отобра-
отображением. Гомоморфизм р является произведением
П Ext (Яр (К), Я
рм
A))
«о1
¦Я0(Нот(Д L))-^ Но (Нот (К, L)),
т. е. Р = ра? S*'1, где S*'1 — «обратный» к гомоморфизму S* из
D.8), полученному для последовательности S. Будучи произведе-
произведением естественных отображений, гомоморфизм р естествен. Чтобы
расщепить D.5), выберем, как и раньше, такой гомоморфизм ф, что
/ф = lz>; тогда S*aO9* — левый обратный для Р = /*ao1-S*,
естественный по L, но не по К-
В теореме о гомотопической классификации группы Ext аннули-
аннулируются, если Нп (К)— свободные группы. Поэтому получаем такое
112
Гл. III. Расширения и резольвенты
Следствие 4.5. Если К и L — комплексы абелевых групп,
причем группы Кп « Нп (К) свободны, то два цепных преобразования
/, /': К-*- L цепно гомотопны тогда и только тогда, когда f* =
= f* '• Нп (К) ->• Нп (L) для любой размерности п.
Доказательство основывается на замечании, что f ~: /' означает
то же, что и els / = els f в Яо (Нот (К, L)). С другой стороны,
если некоторая группа Ext (Нр (К), Яр+1 (L)) Ф О, условие /„. = /*
для всех п недостаточно для цепной гомотопии / и /".
Полезным приложением теоремы об универсальных коэффициент
тах является
Следствие 4.6. Если f : К -*¦ К' — цепное преобразование
комплексов К и. К' свободных абелевых групп, причем /„. : Нп {К) ^
S Нп (К') для всех п, то для любой группы коэффициентов G ото-
отображение /*: Я™ (К', G) ->- Нп (К, G) является изоморфизмом.
Доказательство.
ственны, диаграмма
О -¦ Ext (#„_! (К'), О) ~>
if*
О -> Ext (Hn-i (К), G) ->
Поскольку отображения аир есте-
естеНот (Я„ (К'), G) ~» О
Нп (К', G)
If*
Hn (К, G)
Нот (Нп (К), О) -> О
коммутативна. Поскольку отображения fn : Нп (К) ->- Яп (/С') —
изоморфизмы, крайние вертикальные отображения Ext (fn-i, 1g)
и Нот (fn, 1G) также являются изоморфизмами. В силу короткой
леммы о пяти гомоморфизмах среднее отображение есть изоморфизм,
что и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Дать прямое доказательство следствия 4.2,
2. Показать, что теоремы 4.1 и 4.3 остаются справедливыми для ком-
комплексов Я-модулей, если требование о свободе Кп заменить предположением
о том, что Сп (К) и Кп/Сп (К) являются проективными модулями для каж-
каждого п.
3. Если К и L — комплексы абелевых групп, причем группы Кп сво-
свободны, то для любого семейства гомоморфизмов уп : Нп (К) -*¦ Нп (L)
по одному для каждого п, существует цепное преобразование f: К -*¦ L,
для которого уп = Нп (f).
§ 5.- Умножение расширений
Вернемся теперь к изучению расширений модулей. Две короткие
точные последовательности
§ 5. Умножение расширений
113
первая из которых оканчивается модулем К, с которого начинается
вторая, можно соединить вместе с помощью отображения Вх ->• К ->¦
-*- Во и получить длинную точную последовательность
называемую произведением Ионеды последовательностей Е и ?"..
Обратно, любая точная последовательность А >* Bi-*- Во-* С
обладает таким разложением, в котором К = Кег (Во -*• С) =
= Im (Bt -»- Во).
Длинные точные последовательности перемножаются анало-
аналогично. Рассмотрим /i-кратную точную последовательность
начинающуюся с модуля Л и кончающуюся модулем С. Если Т —
любая /n-кратная последовательность, начинающаяся с модуля С,
которым оканчивается S, соединение в С дает произведение Ионеды
S ° Т, которое является (п + /л)-кратной точной последователь-
последовательностью, имеющей начало, общее с S, и конец, общий с Т. Это умно-
умножение последовательностей, очевидно, ассоциативно, но оно может
не быть связанным ассоциативным законом с умножением на гомо-
гомоморфизмы. Например, пусть Е и Е" — последовательности из E.1),
М — произвольный модуль и я : К © М -*- К есть проекция пря-
прямой суммы. Из коммутативных диаграмм
II
Е:А»
©
1
К,
I
Е':К
и определения умножений на гомоморфизмы видно, jito E^ = Ея
и Е' =г яЕ[; однако произведение верхних строк
E.1)
не совпадает с E.1), другими словами, (Ея) о Е[ Ф Е о (я?^),
и ассоциативный закон не выполнен.
Для коротких точных последовательностей мы уже определили
конгруэнтность как изоморфизм с тождественными отображениями
на концах. Для длинных последовательностей нам необходимо
более широкое отношение конгруэнтности =, обладающее свой-
свойством
(Е"ф)оЕ'=Е"о{$Е'), E.2)
причем это отношение имеет место всякий раз, как определены все
встречающиеся произведения, т. е. всякий раз, как последователь-
последовательность Е " оканчивается некоторым модулем К, Р: ?"-+¦ К для некото-
некоторого L и последовательность Е" начинается с модуля L. Определим
8-353
114
Гл. III. Расширения и резольвенты
конгруэнтность как наименьшее рефлексивное, симметричное
и транзитивное отношение, включающее E.2) и ранее введенную
конгруэнтность коротких точных последовательностей. Это опре-
определение можно выразить следующим образом. Запишем произволь-
произвольную /i-кратную точную последовательность 5 как произведение п
точных последовательностей Ей
S = ?no?n-io.-. o?t; E.3)
последовательности Et единственны с точностью до изоморфизма.
Вторая я-кратная последовательность S" с тем же началом и тем же
концом конгруэнтна S, если S" можно получить из 5 конечной после-
последовательностью замещений следующих трех типов:
(i) замена любого множителя Et конгруэнтной короткой точной
последовательностью;
(ii) если два последовательных множителя имеют вид ?"Р о Е'
для некоторых Е", р и Е\ как в E.2), то их можно заменить на
?"ор?';
(ш) если два последовательных множителя имеют вид Е" ° р?",
то их можно заменить на Е "Р о ?".
Например, двукратные последовательности E.1) и E. Г) кон-
конгруэнтны.
Мы также определим произведение длинной точной последова-
последовательности или ее класса конгруэнтности и некоторых гомоморфиз-
гомоморфизмов. Именно, если 5 — /г-кратная точная последовательность, начи-
начинающаяся с Л и кончающаяся С, то мы определим произведение aS
для всякого гомоморфизма а с областью определения Л и определим
произведение Sy для всякого гомоморфизма у с областью значе-
значений С с помощью формул (S представлена как в E.3)):
а(Еп
) = (аЕп)
Если S и S* — /i-кратные точные последовательности, то мор-
морфизм Г : S-»-S"— это семейство гомоморфизмов (а, . . ., у),
образующих коммутативную диаграмму
S:0 -> Л->?„-!-> •¦¦ ->Вп-»С->0
1
S': 0 ¦
I
>С'-*0.
Мы будем говорить, что Г начинается с гомоморфизма а и кончается
гомоморфизмом у. Композиция <хЕ определялась при помощи подоб-
подобной диаграммы Е -*¦ аЕ, так что приведенное выше определение aS
порождает морфизм S-*aS, начинающийся с а и кончающийся 1;
аналогично возникает морфизм Sy -*¦ S, начинающийся с 1 и кон-
кончающийся у. В обобщение предложения 1.8 мы получаем
§ 5. Умножение расширений
115
Предложение 5.1. Каждый морфизм Г п-кратных точ-
точных последовательностей S и S", начинающийся с а и кончающийся
у, порождает конгруэнцию aS = S'y.
Доказательство. Для симметрии в обозначениях
K I
положим Вп = А, Б_1 = С. Пусть
= Кег (Б,_1->- Bi_2), i — n — 1, . . ., 1
в произведение Еп ° . . . о ?ь где Et :
= A, F(o = С. Последовательность S"
логично. Заданный морфизм Г: 5 -*¦ S"
р
Kt = Im (Bt -v Bt_t) =
тогда 5 разлагается
t>* Bt-i -» Kt-i и Кп =
можно разложить ана-
анаиндуцирует гомоморфиз-
гомоморфизрф дуцру рф
мы р\:/<"*-v/<i, которые образуют коммутативную диаграмму
-К
Е1:0-
¦ о.
В силу предложения 1.8 из этой диаграммы вытекает, что $гЕг =
= E'i$t-u причем на концах Р„ = а и р0 = у- Следовательно,
по нашему определению конгруэнтности
aS = (аЕп)
:n-i ° • • ¦ =?«<
г-t) о . . . =
= Е'„
Этот результат дает иное определение конгруэнтности, приведенное
в следующем предложении.
Предложение 5.2. Конгруэнтность S = S" между двумя
п-кратными точными последовательностями, начинающимися с А
и кончающимися С, имеет место тогда и только тогда, когда для
некоторого натурального числа k существуют 2k морфизмов
п-кратных точных последовательностей,
S =
— S ,
причем эти морфизмы направлены навстречу друг другу и все начи-
начинаются с \А и кончаются 1с-
Это предложение устанавливает, что S = S" — такое наимень-
наименьшее рефлективное, симметричное и транзитивное отношение, что
существование морфизма Г: 5 -*¦ S" с 1 на концах влечет конгруэнт-
конгруэнтность 5 == S'.
Доказательство. Предположим сначала, что S = S*.
Для исходной конгруэнции E.2) определение произведения ?"Р
порождало морфизм Е"$-*-Е", в то время как определение §Е'
порождало морфизм Е' ->- $Е" точных последовательностей. Соеди-
8*
116
Гл. III. Расширения и резольвенты
нение следующих двух диаграмм
I
по общему отображению Р порождает морфизм (?"'Р) о ?' ->¦
->• Е" о фЕ'). Следовательно, строка конгруэнции вида E.2) порож-
порождает описанную последовательность морфизмов. Обратное утвержде-
утверждение немедленно вытекает из предложения 5.1.
Пусть Ext? (C,A) для фиксированных ^-модулей Л и С обо-
обозначает множество всех классов конгруэнтности а = clsS л-крат-
ных точных последовательностей, начинающихся с Л и кончающих-
кончающихся С. Будем писать 5 б б Ext" (С,А), если S б о б Ext" (С,А).
Если Т б т б Extm (D, С), то произведение S ° Т определено
при С = С; класс, в котором лежит So Г, определяется а и т
и является элементом из Ext^"* (D, Л), который мы обозначим
ах (не используя знака о для умножения). «Встречное» условие,
необходимое для определения <хт, можно сформулировать, если
считать а б Ext" (С, А) «морфизмом» последнего модуля С в началь-
начальный модуль Л; тогда ах определено, если область определения
морфизма т совпадает с областью значений морфизма а. Это условие
включает «встречное» условие для умножения гомоморфизма
а : Л -1*- А" на расширение а б Ext" (С, Л). Оно также включает
в себя условие для перемножения обычных гомоморфизмов, если
интерпретировать Ext0 (C,A) как Нот (С, Л), что мы и будем
делать.
Для каждого п, Ext? {C,A) есть бифунктор, контравариантный
по С и ковариантный по Л. Бифунктор ExtS (С, Л) является также
абелевой группой относительно сложения, введенного при помощи
сложения Бэра. Действительна, две л-кратные точные последова-
последовательности S б о б Ext" (С, Л) и S" б о" б Extn (С, Л') имеют пря-
прямую сумму 5 © S' б б Ext" (С@С", А © Л'), которая находится,
путем взятия прямой суммы соответствующих модулей и отображе-
отображений в 5 и S". Класс конгруэнтности последовательности 5 © S"
зависит только от классов а и а", и поэтому его можно обозначить
а © а'; для доказательства заметим, что конгруэнция (Е" Р) о ?"=
= Е" о (РЕ') из E.2) распространяется следующим образом до кон-
конгруэнции прямых сумм:
(?"р © F") о (?' © F') = (?" © F") (р © 1) о (?' © F') ss
= (?" © F') о (р © 1) (?' © F') = (Е" © F") о (pF © F').
Наконец, сложение Бэра определяется для аи <т2 б Extn(C, Л),
i = 1, 2, уже известной формулой
E.4)
§ 5. Умножение расширений
117
Теорема 5.3. Пусть Ext# — собрание всех классов конгруэнт-
конгруэнтности а, х, . . . кратных точных последовательностей R-модулей.
Каждый класса имеет степень п (п = 0, 1,2, . . .); R-модуль С
как областью определения и R-модуль А как областью значений;
в этом случае мы пишем а б Ext" (С, Л) и Ext0 (С, Л) = Нот (С, А).
Произведение ах определено, если range t= domain a, degree (ат)=
= deg a + deg т, range ax = range а, domain ax = domain т.
Сумма at + а2 определена для аи а2 из одного и того же множества
Ext" (С, Л) и превращает Extn (С, Л) в абелеву группу. Дистрибу-
Дистрибутивные законы
x — ахх + <т2т, а (т4 + т2) = a-tt + at2 E.5)
и ассоциативный закон р (ах) = (ра) т справедливы всякий раз,
как определены встречающиеся сложение и умножение.
Короче, ExtH подобно кольцу, за исключением того, что сумма
а + т и произведение ах не всегда определены.
Эта теорема, очевидно, включает в себя доказанную ранее тео-
теорему 2.1 для Ext1 = Ext, и ее доказательство подобно «умозри-
«умозрительному» доказательству теоремы 2.1. Такое доказательство опи-
опирается на некоторые правила для «прямых сумм». В нашем случае
эти правила (и их аналоги из теоремы 2.1) выглядят так
(<т©а')(т<
О)
Ат = (т
)а') = (а'
Э<г'т\ B.8) и B.9),
©а), B.10), B.11)
!т)А, B.10'), B.1 Г)
?)а)а),
E.6)
E.7)
E.8)
E.9)
Л. Остает-
где о — естественный изоморфизм а> : Л © Л' -*¦ А
ся только доказать эти правила.
Сначала рассмотрим E.6). Если и а, и т имеют степень нуль, то
они являются обычными гомоморфизмами и E.6) превращается в обыч-
обычное (функторное) правило для подсчета прямой суммы гомоморфиз-
гомоморфизмов. Если и а, и х имеют положительную степень, то E.6) становится
очевидным правилом для произведения прямых сумм точных после-
последовательностей. Если а — степени нуль, а т — положительной
'степени, то а и а' в действительности действуют только на крайние
левые множители т и т'; значит, E.6) сводится к случаю, когда
тит* — короткие точные последовательности, а этот случай рас-
рассмотрен в B.8). Аналогично, когда а положительной, а т нулевой
степени, E.6) сводится к B.9).
Теперь возьмем E.7). Когда а имеет степень нуль, E.7) превра-
превращается в B.10); когда а степени 1 и является короткой точной после-
последовательностью, то E.7) совпадает со вторым соотношением B.11).
118
Гл. III. Расширения и резольвенты
В случае, когда степень а равна 2, из B.11) следуют конгруэнции
(Е2 о ЕЛ) V = Е2 о (?tV) з ?2 о V (?i © ?t) =
s= ?2V о (Ei © ?») = V (Ег © ?2) о (Et © ?i),
устанавливающие E.7.). Более длинные случаи разбираются подоб-
подобным же образом.
Доказательство E.8) аналогично, а E.9) вытекает из соотно-
соотношения со (Ei © Ег) з* (?2 © ?i) <»> полученного применением
предложения 1.8 к морфизму (со, со, со) : Ei@ Ег->- Е2@ Ei.
Нам осталось только указать нуль и противоположный элемент
в абелевой группе Ext" (С,А). Противоположным к els 5 будет
els ((—\А) S). Нулевым элементом в Ext" для п = 0 служит нуле-
нулевой гомоморфизм, для п = 1 — расширение, являющееся прямой
суммой, для п > 1 класс конгруэнтности я-кратной точной последо-
последовательности
Действительно, для каждой последовательности S ? 6 Ext" (С,Л)
существует морфизм @, - . ., 1): S-v So, так что в силу предло-
предложения 5.1 So = 0AS и els S + els So = els S.
Правила E.5) показывают, что функтор Extn аддитивен, так
что мы получаем, как и для Ext1, изоморфизмы
В, G) ^ Ext" (A, G) © Ext" (В, G),
^ Ext" (A, G) © Ext" (A, H).
Ext4?
Ext" (Л,
Далее, любое короткое расширение с помощью проективного модуля
расщепляется. Поэтому
Ext" (P,G) = 0, n>0, P проективен. E.10)
Наше построение элемента а ? Ext" (С, Л) как класса всех
(возможных) л-кратных последовательностей, конгруэнтных данной
последовательности S, дает «большой» класс, и поэтому класс
Ext" (С, Л) таких классов не строго определен при обычной аксио-
аксиоматике теории множеств. Это «непорядочное» использование теории
множеств можно исправить: интуитивно ясно, что достаточно огра-
ограничить кардинальные числа множеств, используемых при построе-
построении последовательностей S для данных модулей Л и С.
Перейдём теперь к отысканию методов вычисления групп Ext".
§ 6. Резольвенты
Любой модуль С является фактормодулем С = F0/Ro некото-
некоторого свободного модуля Fo. Подмодуль Ro снова есть фактормодуль
#о = FjRi для подходящего свободного модуля Ft. Продолжение
§ 6. Резольвенты
119
этого процесса приводит к точной последовательности • • • -*- F\ -*~
->- Fo ->• С -»- 0, которая называется «свободной резольвентой»
модуля С. Мы хотим сравнить между собой две такие резольвенты.
Более детально, комплекс (Х,е) над /^-модулем С — это такая
последовательность ^-модулей X и гомоморфизмов
->х»Лх,иД ^ЛхоДс-^о, F.1)
что произведение любых двух последовательных гомоморфизмов
равно нулю. Другими словами, X — это положительный комплекс
/^-модулей, С — тривиальный цепной комплекс (С = Со, д = 0)
и е: X -v С — цепное преобразование комплекса X в комплекс С.
Резольвентой модуля С называется точная последовательность F.1),
т. е. комплекс (X, е) с группами гомологии Нп (X) = 0 при /г > 0
и е : Но (X) о* С. Комплекс X свободен, если каждый модуль Х„
свободен, и проективен, если каждый модуль Хп проективен. Мы
сравним любой проективный комплекс с некоторой резольвентой.
Теорема 6.1. (Теорема сравнения.) Если, у: С-*-С" —
гомоморфизм модулей, е: X ->• С — проективный комплекс над С
и е": X* ->- С" — резольвента С", то существует цепное преобразо-
преобразование f : X -*- X*, причем е*/ = ve> u любые два таких цепных пре-
преобразования цепно гомотопны.
Мы будем говорить, что преобразование / накрывает гомомор-
гомоморфизм у.
Доказательство использует лишь категорные свойства проектив-
проективных модулей и точности. Поскольку модуль Хо проективен, а е' —
эпиморфизм, отображение уе : Хо -»¦ С" можно провести через ото-
отображение /о : Хо ->- Хо, где е'/о = ?е. Для завершения доказатель-
доказательства достаточно построить по индукции такое отображение fn,
если даны отображения fn-u • • •, /о, что диаграмма
дп-1
Хп-2
-Хе
tn-i
Ы-2
Лп—*• Лп-1
коммутативна. Ввиду этой коммутативности ffn-ifn-^n = fn-zdd =
= 0. Значит, Im (fn-idn) cz Ker d'n-i. В силу точности нижней
строки последнее ядро равно д'пХ'п. Поскольку модуль Хп проек-
проективен, отображение fn-idn можно провести через д'п : d'nfn =
~ fn-idn, что и требовалось доказать.
Построение гомотопии проводится подобным же образом; оно
может быть проведено непосредственно или с использованием заме-
замечания, что разность между двумя цепными преобразованиями
120
Гл. III. Расширения и резольвенты
f : X -у X", накрывающими один и тот же гомоморфизм у, есть
цепное преобразование, накрывающее 0 : С -v С.
Лемма 6.2. Пусть в условиях теоремы 6.1 /: X -»- X' —
цепное преобразование, накрывающее у. С-+ С. Предположим, что
существует такой гомоморфизм t: С -»- Х'о, что e't = у. Тогда
существуют такие гомоморфизмы s,,: Xn -v Х;+1 дляп = 0, 1,
что для всех п
Доказательство. Отображение е' (/„ — te) :X0-*-C
равно нулю. Поэтому /0 — te отображает проективный модуль
Хо в Кег е' = Im (Х'х -*- Х'о), следовательно, это отображение
можно провести через д': d's0 = /о — te. Предположим по индук-
индукции, что мы уже построили искомые отображения t =
= s-u «о V Мы хотим найти такое отображение s^+i, что
d\+i = fn+i — Snd. Теперь
по индуктивному предположению, так что fn+i — ^д отображает
Xn+i в Кег д' = д'Х'п+2 и, следовательно, может быть про-
проведено через д' с помощью нужного отображения Sn+i : Xn+1-v
-г>- Х'п+2.
Пусть Л — фиксированный модуль; применим функтор
Ношя (—,Л) к резольвенте F.1). Поскольку этот функтор не сохра-
сохраняет точность, результирующий комплекс Ношн (Х,Л) может
иметь нетривиальные группы когомологий
Нп(Х, Л) = Я"(Нотн(Х, Л)).
Следствие 6.3. Если X и X' — две проективные резольвенты
модуля С, а А — произвольный модуль, то группы Нп (X, А) ^
3=; Я" (Х',Л) зависят только от С и А.
Доказательство. В силу первой половины теоремы 6.1
существуют отображения f: X -> X' и g: X' -v X, накрывающие
1с; в силу второй половины теоремы произведение gf гомотопно
1:Х->-Х. Следовательно, для отображений /* : Я" (X', Л) -v
-»¦ Яп (X, Л) и g* имеют место равенства g*f* = 1 = f*g*, так что
эти отображения являются изоморфизмами, что и требовалось
доказать.
Теперь мы покажем, что эта функция Яп (X, Л) от Л и С в точ-
точности совпадает с Ext" (С, Л). Пусть п = 0; последовательность
Х4 ->• Хо ->¦ С -*- 0 точна справа, поэтому последовательность
0 -» Нот (С, Л) -^ Нот (Хо, А) -> Нот (Xt, Л)
§ 6. Резольвенты
121
точна слева. Она показывает, что е*: Нот (С, А) = Н°(Х, А).
Пусть теперь п > 0. Каждую л-кратную точную последователь-
последовательность 5 можно рассматривать как резольвенту С, в которой за чле-
членом Л степени п стоят только нули, что и показано в диаграмме
Хп+1 —> Хп —> Xn-i —> • • ¦ —> Хо —> С
Ь 1 ¦ i I F-2>
р. п д _- . D ^ , . . ^ О ^ Q ^ Q
Теорема 6.4. Если С и А суть R-модули и е: X ->• С —
проективная резольвента С, то существует изоморфизм
q: Ext (С, А)^Н (X, Л), n = U,l, ..., (о-о)
определенный для п > 0 следующим образом. Рассмотрим последо-
последовательность S 6 € Ext" (С,Л) как резольвенту модуля С и накроем 1с
цепным преобразованием g : X ->¦ 5. Тогда gn : Хп ->• Л — коцикл
комплекса X. Положим
Этот изоморфизм ? естествен по А. Он также естествен по С
в следующем смысле: если у: С ->- С, е': X' ->- С — проективная
резольвента С и f : X' -*¦ X накрывает у, то
l'y* = f%: Ext" (С, А) -* Я" (X', Л). F.5)
Доказательство. Сначала покажем, что отображение ?
определено корректно. Поскольку gnd = 0, gn —коцикл, как
и утверждалось. Заменим g любым другим цепным преобразова-
преобразованием g', накрывающим 1С [см. F.2)]. По теореме 6.1 существует
такая цепная гомотопия s, что g'n — gn = dSn + Sn-id. Но
s^ : Xn -у 0, так что ^ = 0, g'n — gn = Sn-id = (—1)" 6^_j; послед-
последнее по определению кограничного дифференциала [11C.1)}
в Нот (Х,Л). Этим показано, что коциклы gn и g'n когомологичны,
поэтому chg'n = c\s gn. Теперь заменим 5 произвольной конгруэнт-
конгруэнтной точной последовательностью S'. Согласно описанию отношения
конгруэнтности 5 == S', данному в предложении 5.2, достаточно
рассмотреть случай, когда существует морфизм Т: S-*¦ S', начи-
начинающийся и кончающийся 1. В этом случае любому преобразова-
преобразованию g: X -*• S отвечает преобразование Tg : X -*¦ S" с тем же
самым коциклом gn = (Tg)n; следовательно, els gn — корректно
определенная функция els S. Тем самым ? определено; свойства
естественности этого отображения, сформулированные в теореме,
получаются немедленно, при использовании подходящих произве-
произведений цепных преобразований.
Вместо прямого доказательства того, что ? — изоморфизм, мы
построим обратное отображение. Пусть дана резольвента X; предста-
122
Гл. III. Расширения и резольвенты
вим д : Хп -*¦ Хп—\ как Хп -*- дХп -*- Хп-и где х — вложение;
при этом возникает л-кратная точная последовательность Sn (С, X),
указанная в следующей диаграмме:
Sn(C,X):O.
hSn: 0-
Любой л-мерный цикл Хп -*- А аннулирует дХп+1 = Кег д" и поэто-
поэтому может быть единственным способом представлен в виде hd" для
некоторого h: дХп-+- А. Построим произведение hSn гомомор-
гомоморфизма h и л-кратной точной последовательности 5„, оно вклю-
включается в нижнюю строку диаграммы. Определим отображение
г): Я" {Х,А) ->• Ext" (C,A), положив
els {hd') = els (hSn (С, X)), h:dXn^ A.
F.7)
В силу закона дистрибутивности, имеющего место в Ext, правая
часть написанного равенства аддитивна по h. Следовательно, для
доказательства корректности определения ц достаточно показать,
что т) (els hd") = 0, если hd" есть кограница некоторой коцепи
k : Xn-t-+A. Но равенство hd" = б/fe = (—1)" kd = (—1)" /bed'
означает, что h = ±?х и, значит, hSn = ±k>iSn, где xSn = 0 по
предложению 1.7. Следовательно, отображение ц определено кор-
корректно и является гомоморфизмом. Сравнение диаграмм F.2) и F.6)
показывает, что т) = С-
Эта теорема утверждает, что группы Ext™ (С, А) могут быть
вычислены с помощью любой проективной резольвенты е: X ->• С;
в частности, F.5) показывает, как вычислить индуцированные гомо-
гомоморфизмы у*: Ext" (С, А) ->• Extn (С, А) с помощью резольвент.
С другой стороны, многие авторы onpedeMiom функтор Ext™,
не используя длинные точные последовательности, полагая
Ext" (С, А) = Я" (X, А) = Я" (Нот (X, А)). Таким путем полу-
получается функтор, ковариантный по Л, в то время как для у: С" -*¦ С
индуцированные отображения у*: Extn (С, А) -*¦ Ext" (С*, А) опре-
определяются накрытием у до сравнения X" -*¦ X.
Другим следствием является «каноническая форма» для последо-
последовательностей относительно конгруэнтности.
Следствие 6.5. Если S 6 € Ext" (С, А), п > 1, то суще-
существует последовательность Т == S euda Т: 0 -»- А -> Bn_t ->•
-*"Вп-2-*- >В0->-С-*-0, в которой ModyAuBn-2, . . ., В0свобоЬны.
§ 6. Резольвенты
123
Доказательство. Положим Т = hSn (С, X) для под-
подходящего h : dXn -> А и произвольной свободной резольвенты X
модуля С.
Следствие 6.6. Для абелевых групп А и С, Ext^ (С, А) =
= 0, если п > 1.
Доказательство. Представим С в виде С = F/R, где
F — свободная абелева группа. Поскольку подгруппа R свободной
абелевой группы F свободна, 0-*-R~*-F-*-C-*-0 есть свободная
резольвента С, тривиальная (вместе с группами когомологий) в раз-
размерностях, больших 1.
Рассмотрим теперь действие кольцевого гомоморфизма р: R" -*-R
(pi = 1). Любой левый ^-модуль А становится левым i?'-моду-
i?'-модулем, если действие операторов определить следующим образом:
г'а = (рг') а; мы будем говорить, что модуль А превращен
в ^'-модуль РА отступлением вдоль р. Каждый ^"-модульный гомо-
гомоморфизм а : С-»- А является также 7?"-модульным гомоморфизмом
рС-> РЛ. Точно так же каждая длинная точная последовательность
5 из ^-модулей превращается в длинную точную последователь-
последовательность PS из JR'-модулей; при этом конгруэнтные последовательности
остаются конгруэнтными. Следовательно, отображения р#а = а,
р# (els S) — els PS определяют гомоморфизмы
р# : Ext? (С, Л)
' (РС, РЛ), п = 0, 1,
F.8)
называемые заменой колец. При фиксированном р они естественны
по С и Л.
Эти гомоморфизмы могут быть вычислены с помощью проектив-
проективных резольвент е: X ~> С и е': X' -> РС для R и ^"-модулей соот-
соответственно. Для указания кольца R будем писать Я" (Нотн (X, А))
вместо Я" (X, Л).
Теорема 6.7. Замена колец р# с точностью do изоморфизма
? теоремы 6.4. совпадает с npou3eedenueM
Hn(HomR{X, A)) 4. Яп(Нотй.(рХ, РА))
(X', РЛ)),
где р* — отображение групп когомологий, индуцированное цепным
преобразованием р# : Нотл -> Нотд-, a f: X" -»- РХ — цепное пре-
преобразование, накрывающее тождественное отображение моо\)ля РС.
Доказательство. Случай п = 0 оставляется читателю.
При п > 0 возьмем S 6 6 Ext? (С, Л). Как и в F.2), 1с накрывает-
накрывается отображением g : X -> S. Поскольку РХ -> РС есть резольвента
рС, по теореме сравнения тождественное отображение модуля РС
124
Гл. III. Расширения и резольвенты
накрывается цепным преобразованием / : X' -> РХ. Соответствую-
Соответствующая диаграмма такова:
S:0-
Хп
¦А ¦
I
Г
Вп-1
Х'о
I
Хо
I
> С
> с.
Теперь проследим за отображениями: изоморфизм ? переводит
els S в els gn, р# рассматривает gn как #'-модульный гомоморфизм,
/* отображает clsgn в els (gnfn), равный ? (clsp S), так как gf
накрывает 1. Отсюда и вытекает указанный результат, который
окажется полезным при изучении умножений.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть е : Y ->- С — проективный комплекс над С и е' : X -*¦ С —
резольвента С. Построить естественные гомоморфизмы
? : Ext? (С, А) -> Нп {Y, А), ц : Нп (X, А) -> Ext? (c> А)-
2. (Вычисление произведения Ионеды с помощью резольвент.) Пусть
X -*¦ С и Y -*¦ А — проективные резольвенты, g 6 Homn (X, А) и
Л 6 Horn (F, С) — коциклы. Запишем g в виде god', где go : дХп -*¦ А,
и накроем g0 отображением /, как показано в диаграмме:
т+п
J
¦хп
у
¦Уо-
О
О.
Показать, что hf есть (т + п)-мерный коцикл в Homm+n (X, С), и доказать,
что произведение Ионеды ц (els h) ot) (els g) равно t) (els hf).
3. Дана точная последовательность Е = (х, а) : ^ н В -» С и отобра-
отображения а : Л -»- А', I : В -*¦ А'. Показать при помощи диаграммы, что
(а+ |х) Е = аЕ.
4. Если S = Еп о . . . о ?j, то показать, что любой морфизм Г : S -*¦
. -у S' п-кратных точных последовательностей, который начинается с а : А -*-
-> А', можно разложить в произведение
5. (Другое определение отношения конгруэнтности для точных после-
последовательностей.) Пусть S, S' 66 Extn (С, А). Показать, что S = S' тогда
и только тогда, когда существует последовательность Т 66 Extn {С,А)
и морфизмы Г : Т -*¦ S н Г' : Т ->- S', начинающиеся и кончающиеся еди-
единицами. (Использовать упражнения 3 и 4 и последовательность Т =
^/^ (С, X).)
§ 7. Инъективные модули
125
§ 7. Инъективные модули
Описание групп Ext" с помощью резольвент таково: заменить
первый аргумент проективными модулями и вычислить Ext" с по-
помощью групп когомологий: Ext" (C,A) s* Hn (Нот {Х,А)). Мы
хотим получить двойственное утверждение, используя подходящие
резольвенты для второго аргумента А. Для этого нам нужны модули,
двойственные проективным, такие модули называются инъектив-
ными.
Говорят, что левый ^-модуль J инъективен, если любой гомомор-
гомоморфизм а с областью значений J можно "всегда продолжать, т. е. для
всякого a: A-*- J и A cz В существует гомоморфизм 0: В ->• J,
продолжающий а. Эквивалентно, модуль J. инъективен, если про-
произвольная диаграмма вида
> ЛЛ
'И
G.1)
с точной горизонтальной строкой может быть дополнена (пунктир-
(пунктирной стрелкой указано пополняющее отображение) до коммутатив-
коммутативной диаграммы. Характеризации проективных модулей из теоремы
1.6.3 и теоремы 3.5 немедленно дуализируются:
Теорема 7.1. Следующие свойства модуля J эквивалентны:
(i) J — инъективный модуль;
(п) для каждого мономорфизма к: А-*- В отображение
х* : Нот {В, J) -*- Нот (Л, J) является эпиморфизмом:
(ш) каждая короткая точная последовательность J >» В -» С
расщепляется;
(iv) для каждого модуля С, Ext1 (С, J) = 0.
Последнее свойство можно еще более ограничить.
Предложение 7.2. Левый R-модуль J инъективен тогда
и только тогда, когда ExtH (R/L, J) = 0 для каждого левого идеала
L из R.
Доказательство. Условие необходимо. Обратно, пред-
предположим, что каждая группа Ext (R/L, J) равна нулю. Для дан-
данных A cz В и а:А -*¦ J мы должны, как указано в G.1), построить
продолжение $: В-*-J гомоморфизма а. Рассмотрим все пары
(S, у), состоящие из подмодуля S, A cz S cz В и продолжения
у: S -»- J гомоморфизма а : А ->• J. Частично упорядочим эти пары
по правилу: (S, yX(«S", у')> если S cz S" и у" — продолжение у.
Для любого линейно упорядоченного подмножества (St, yi) этих
пар существует верхняя граница (Т, х), т. е. (S;, yi)K(T, т):
126
Гл. III. Расширения и резольвенты
нужно взять Т равным объединению подмодулей St и определить т
следующим образом: xt = ytt, если t 6 S,. Значит, по лемме Цорна
существует максимальная пара (Soo, Yoo). Нам нужно только доказать,
что S<x> = В. Предположим, что это не так. Тогда существует эле-
элемент Ь 6 В, не принадлежащий Soo", возьмем подмодуль U модуля В,
порожденный Ь и Soo. Отображение г-*- rb + Soo является эпимор-
эпиморфизмом R -» U/Soo, ядром которого служит левый идеал L и R
RIL ^ U/Soo. Поскольку последовательность Soo >-» U -» t//Soo точ-
точна, точна последовательность
Нот (U,J) -» Нот (Soo,J) -> Ext (U/S^J);
G.2)
но Ext (U/Soo,J) s^Ext (R/L,J) = 0 по условию, так что
Нот (?/,/) -»- Нот (Soo, J)—эпиморфизм. Другими словами, каж-
каждый гомоморфизм Soo -»- J можно продолжить до гомоморфизма
U -*- J. В частности, можно продолжить v°° : Soo -»- J, что противо-
противоречит максимальности (Soo,y°o).
Рассмотрим теперь инъективные модули над специальными типа-
типами колец. Если R — поле, то не существует собственных левых
идеалов L cz R, в то время как ExtB (R, —) всегда есть нуль. Сле-
Следовательно, каждый модуль (= векторное пространство) над полем
инъективен. Положим R — Z, где Z — кольцо целых чисел. Назо-
Назовем Z-модуль (= абелева группа) D полным тогда и только тогда,
когда для всякого целого m Ф О и каждого d ? D существует реше-
решение уравнения mx = d.
Следствие 7.3. Абелева группа инъективна (как Z-модуль)
тогда и только тогда, когда она полна.
Доказательство. Единственными идеалами в Z являются
главные идеалы (т), a Zl(m) — циклическая группа порядка т.
По предложению 1.1, Ext (Z/(m), А) о* А/тА, а А/тА = 0 для
всех т Ф 0 в точности тогда, когда А — полная группа.
Построение проективных резольвент опиралось на тот факт,
что каждый модуль есть фактормодуль свободного модуля, а значит,
и фактормодуль проективного модуля. Для получения инъективных
резольвент нам необходима
Теорема 7.4. Каждый R-модуль является подмодулем
инъективного R-модуля.
Доказательство. Предположим сначала, что R — Z.
Аддитивная группа Z вкладывается в аддитивную группу Q рацио-
рациональных чисел, а группа Q полна. Любая свободная абелева груп-
группа F является прямой суммой копий группы Z; она вкладываете»
в прямую сумму соответствующих копий Q, и эта прямая сумма D'
полна. Теперь представим произвольную абелеву группу как фак-
факторгруппу А = F IS свободной группы F и вложим F в некоторую*
§ 7. Инъективные модули
127
полную группу D, как указано выше; тем самым А = F/S вклады-
вкладывается в D/S. Прямая проверка показывает, что любая фактор-
факторгруппа D/S полной группы полна и, значит, инъективна. Абелева
группа А оказывается, таким образом, вложенной в инъективную
группу D/S.
Вернемся теперь к случаю произвольного кольца R. Для любой
абелевой группы G аддитивная группа Homz (R, G) является левым
^-модулем, если произведение sf для sg R и / : R-+G определить
как гомоморфизм sf : R-+G, действующий на элемент г 6 R так:
G-3)
Если С — левый ^-модуль, мы можем определить гомоморфизм
/:C->Hamz(K,C), G.4)
положив jc для с 6 С равным гомоморфизму jc : R-*-C, заданному
(jc)(r) = rc, r?R. G.5)
Для доказательства того, что это гомоморфизм ^-модулей,
возьмем s, r 6 R и подсчитаем
[/ (sc)] (г) = г (sc) =¦(«)> = (jc) (rs) =
по
по
G.5)
G.3)
Поэтому / (sc) = s (jc). Поскольку 1с — с, то / есть мономорфизм.
Теперь вложим аддитивную группу модуля С в полную груп-
группу D, это вложение индуцирует мономорфизм ^-модулей
k: Homz (R,C) -» Homz (R,D).
Произведение kj вкладывает G в Homz (R, D). Если мы покажем,
что Homz (R, D) = J есть инъективный модуль, то мы докажем
теорему. По теореме 7.1 (и), достаточно показать, что каждый моно-
мономорфизм х: А ->• В ^-модулей индуцирует эпиморфизм х* =
= HomH (x, lj). Здесь х* верхняя строка диаграммы
Нотл(х, lj):HomH(j5, Homz
Нотл (A, Homz(R,
1
Homz (x, 1D): Homz (В, D)
Homz (A, D),
в которой вертикальные отображения — изоморфизмы, что устанав-
устанавливается в следующей дальше лемме. Эти изоморфизмы естественны,
так что диаграмма коммутативна. Нижняя строка относится не
к кольцу R, а только к кольцу Z; поскольку D — полная группа,
нижнее отображение Homz (x, ID) — эпиморфизм. Так как ч\в и
•пА — изоморфизмы, верхнее отображение Нотл (х, lj) также
является эпиморфизмом.
128
Гл. III. Расширения и резольвенты
Лемма 7.5. Если G — абелева группа и А — R-модуль, то
существует естественный изоморфизм г) А : Нотл (Л, Homz (R,G))^
^ Homz (Л, G).
Доказательство. Возьмем / 6 Нотл (Л, Homz (R, G)).
Для а 6 Л, fa: R-*- G, т. е. (fa) (г) 6 G. Теперь рассмотрим / как
функцию от двух переменных / (а, г) со значениями в G. Тот факт,,
что fa есть Z-гомоморфизм, означает аддитивность / (а, г) по аргу-
аргументу г, а то, что f: A -+¦ Homz (R, G) есть ^-гомоморфизм, озна-
означает аддитивность по а и выполнение равенства s (fa) = / (sa) для
каждого s 6 R. По определению G.3) умножения на s, это значит,
что всегда
[s(fa)](r) = (fa)(rs) = [f(sa)](r),
другими словами, / (a, rs) = / (sa, г). В частности, f (a, s) =
= / (sa, 1), так что функция / определяется функцией g (a) =
= f (а, 1). Очевидно, что g : Л -»- G — гомоморфизм. Теперь гомо-
гомоморфизм цА и обратный к нему определяются формулами
a, r) = g (га).
(*) - / (а,
Отображения тц и гц1, очевидно, гомоморфны и естественны (по Л
и G).
Возникшая здесь идея рассматривать функцию f (а, г) от двух
переменных как функцию аргумента а, значениями которой являют-
являются функции от г, встретится позже (V.3) много более формальным
образом, а эта лемма окажется частным случаем более общего есте-
естественного изоморфизма, называемого «сопряженной ассоциатив-
ассоциативностью». Инъективные модули будут изучаться дальше в §11.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть R — область целостности. Показать, что поле частных кольца
R есть полный ^-модуль. Если дополнительно R — кольцо главных идеалов,
то показать, что это поле инъежтивно как Я-модуль.
2. Если А — левый Я-модуль и I — левый идеал в R, то каждый эле-
элемент а? А определяет Я-модульный гомоморфизм /а: L -*¦ А, задаваемый
формулой /„ (I) = la. Доказать, что модуль А инъективен тогда и только
тогда, когда для всех L каждый гомоморфизм / : L -*¦ А равен /„ для неко-
некоторого а.
3. Если К — комплекс Я-модулей и / есть инъективный .R-модуль, то
показать, что отображение а из D.1) порождает изоморфизм
Нп (Нотв (К, J)) л Нотд (Нп (К), J).
§ 8. Инъективные резольвенты
129
§ 8. Инъективные резольвенты
Комплекс е : А -*- Y под модулем Л — это последовательность
вида
О-
¦ у-
(8.1)
в которой произведение любых двух последовательных гомоморфиз-
гомоморфизмов равно нулю. Другими словами, Y — отрицательный комплекс,
т. е. положительный по верхним индексам, а е : Л ->• Y — цепное
преобразование. Если указанная последовательность точна, то
е : Л ->• Y называется корезольвентой модуля Л; если каждый
модуль Yn инъективен, то е : Л ->• Y называется инъективным
комплексом под Л. Результаты предыдущего параграфа показы-
показывают, что каждый модуль Л имеет инъективную (ко) резольвенту,
для удобства речи —«инъективную резольвенту».
Теорема 8.1. (Теорема сравнения.) Если а: А->-Л" —
модульный гомоморфизм, е: А -*¦ Y — корезольвента и е": А" ->¦
-»- Y" — инъективный комплекс под А", то существует цепное пре-
преобразование f: Y -*¦ Y', для которого е'а = /е, и любые два таких
цепных преобразования гомотопны.
Доказательство строго двойственно доказательству теоремы 6.1,
в котором использовались лишь категорные свойства проективных
модулей и точных последовательностей. Мы Снова будем говорить,
что отображение / накрывает гомоморфизм а.
Для каждого модуля С отрицательный комплекс Y определяет,
как и в D.4), отрицательный комплекс
Нот (C,Y): Нот (C,Y°) -> Нот (СГ1) -> > Нот (С, Y")->....
(8.2)
Группы гомологии этого комплекса равны группам Ext, как пока-
показывает следующая
Теорема 8.2. Для каждого модуля С и каждой инъективной
корезольвенты е : A-+-Y существует* изоморфизм •
?: ЕхГ (С,А) & Нп (Horn (C,Y)), n = 0,1, ... , (8.3)
естественный по С и по А в том смысле, что если а : А -»- А",
г': А'' -*¦ Y" есть инъективная резольвента и /: У ->• У* есть про-
произвольное цепное преобразование, накрывающее а, то &** = /Д.
Здесь f* — индуцированный гомоморфизм /* : Я" (Нот (С, У)) ->
->-Яп(Нот(С,У')).
Гомоморфизм ? определяется следующим образом. Рассмотрим
любую последовательность S 6 € Ext" (С, Л) как корезольвенту А
с нулями, стоящими за членом С (верхней) степени п; по теореме 8.1
9-353
130
Гл. III. Расширения и резольвенты
построим цепное преобразование, указанное в диаграмме
у: о —> А —> У'0 —> Y1 —>...—> У71 —> Yn —> У""+1
t
Тогда gn: С-»- У"п является циклом из Нот (С,У). Положим
?(clsS) = (cls?rt)etfn(Hom(C,y)). (8.5)
Остальная часть доказательства, подобно определению ?, двой-
двойственна доказательству теоремы 6.4.
Мы можем суммировать результаты § 6 и § 8 в схеме
//"(HomfRespC, 4))«Extn(C, Л)<*Я*(Нот(С, Res, Л)),
где ReSp С обозначает произвольную проективную резольвен-
резольвенту модуля С, Resj А — произвольную инъективную корезоль-
венту модуля А. Симметричная формула Ext" (С,Л) ^
?? Я" (Horn (ReSp С, Resj Л)) также может быть доказана (упраж-
(упражнение V.9.3).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Провести построение g в (8.4) и построить изоморфизм, обратный к ?.
2. Сформулировать н доказать лемму, двойственную лемме 6.2.
3. Для прямых сумм и произведений установить изоморфизмы
Ext» B Ct, А) « Д Ext» (С«, Л), Ext" (С, Д At) at Д Ext» (С, Л,),
§ 9. Две точные последовательности для Ext"
Произведение длинных точных последовательностей с короткой
точной последовательностью Е от А до С порождает связывающие
гомоморфизмы
E*:Exth(A, G)->Exth+1(C, G), ?,:Exth(G,C)-»Exth+1 (G, Л).
Поскольку Я определяет Л и С, и Exth (Л, G) и Extft+1 (С, G) можно
рассматривать как контравариантные функторы от коротких точных
последовательностей Е. Более того, морфизм Г = (а, р, у): Е -*¦ Е"
коротких точных последовательностей определяет конгруэнцию
аЕ s= Е"у и, значит,
E*a* = y*E'*:Exth(A'i G)-»Exth+1(C, G).
Этим устанавливается, что Е* есть естественное преобразование
между функторами от Е, как и Е^. Указанные связывающие гомомор-
гомоморфизмы позволяют продолжить точные последовательности для Нот
§ 9. Две точные последовательности для Ext"
131
и Ext = Ext1, найденные в C.1) и в C.2), на более высокие размер-"
ности. Отметим аналогично, что л-кратная точная последователь-
последовательность S, начинающаяся с Л и кончающаяся С, является произведе-
произведением п коротких точных последовательностей, следовательно, умно-
умножение на S порождает итерированные связывающие гомоморфизмы
S*: Exth {A,G) -»Exth+n(С, G), S*: Ext" (G,C) -». Exth+ri {G,A),
которые зависят только от класса конгруэнтности последователь-
последовательности S.
Теорема 9.1. Если Е = (х,<т) : А >-» В -» С — короткая
точная последовательность модулей и G — какой-то модуль, то
последовательности
-Ext»(С, G)-^Extn(B, G)^Extn(A,
Е*
Extn+1(C, G)
(9.1)
¦ Ext"(G,
(9.2)
точны. Эти последовательности начинаются слева членами 0 ->¦
-> Нот (С, G) = Ext0 (С, G) и 0 -»- Нот (G, Л) соответственно
и продолжаются вправо для всех п = 0, 1,2, ... . Отображения
в этих последовательностях определены для аргументов
р 6 Extn (С, G), и 6 Extn (В, G), т € Ext" (Л, G), . . . при
умножения на х, а, ? следующим образом:
а*р=-ро,
?*т = ( — 1)пт?,
(9.3)
(9.4)
Знак в последнем из равенств (9.3) появляется потому, что
Е*х = хЕ включает перестановку элемента Е степени 1 с элемен-
элементом t степени п.
Доказательство. Сначала рассмотрим (9.2). Выберем
любую свободную резольвенту X модуля G и применим точную
когомологическую последовательность (теорема 11.4.5) для после-
последовательности Е коэффициентов. Поскольку группы Я" (X, А)
равны Ext"(G, А) и т. д., получается точная последовательность
с теми же членами, что и в (9.2). Для доказательства того, что ото-
отображения из этой последовательности получены с помощью умноже-
умножения, как утверждается в (9.4), мы должны установить коммутатив-
9*
132
Гл. III. Расширения и резольвенты
ность диаграммы
Ext"(G, A)
, A)
i
^ н ^ о К i)»"a 1 (9>5)
Hn(X, ^ ^( ){,),
в которой каждое отображение ? — это изоморфизм, построенный
в теореме 6.4, а ЬЕ — связывающий гомоморфизм, указанный в тео-
теореме 11.4.5. Поскольку ? естествен относительно гомоморфизмов
х и а групп коэффициентов, первые два квадрата коммутативны.
Доказательство коммутативности крайнего правого квадрата тре-
требует систематического использования определений всех встречаю-
встречающихся отображений и проводится следующим образом. Для п > О
и S € € Ext" (G,C) рассмотрим Е ° S как резольвенту G и построим
коммутативную диаграмму
X: X
V
EoS:A
n+i
fn+i
Хп
\fn
Хо
I fn-i
els 5.
S: О —>C—» 5 _—>•...—> /? Г
в которой / накрывает 1Е. По определению ?
??. (els S) = (els /п+1) б Я№+1(А:, Л).
С другой стороны, or/ является цепным преобразованием, накрываю-
накрывающим 1G, так что ? (els S) = els (afn). Гомоморфизм бЕ опреде-
определяется «обращением», ЬЕ = els к^дег1 cls~\ из A14 12) и
и-^бо-1 (a/n) = x-x8/n = f—lr+V1 fLr?) = Г—nn+^«-i r«f , л =
= (_]
= (_]
мы (9.5).
Для п = 0 определение
соответственно проще.
Точность последовательности (9.1) доказывается аналогично
с использованием инъективных резольвент. Именно, пусть е : G -*-
-> Y — инъективная резольвента модуля G. Тогда Нот {A,Y),
как и в § 8,— отрицательный комплекс; далее, поскольку каждый
модуль Yn инъективен, каждая последовательность Нот (С У") >+
>-» Нот (В, Yn) -» Нот (Л, К") точна, Следовательно,
0-*Нот(С, К)Днот(В, У)^Нот(Л, У)_>о
L ЧТ° 6*
Лим показана
коммутативность диаграм-
диаграм(и доказательство коммутативности)
§ 9. Две точные последовательности для Ext"
133
есть точная последовательность комплексов. Значит, теорема 11.4.1
в формулировке для верхних индексов утверждает, что первая
строка следующей диаграммы точна для каждого п:
Я" (Нот (В,
I
Extn(C,G)
Ext"(B,G)
к*
Нп (Нот (Л, Y)) Л Hn+1 (Horn (C,Y))
к*
Ext" (Л, G)
Е*
Extn+1(C,
Для доказательства точности нижней строки требуется теперь только
установить коммутативность диаграммы. Заметим, что связывающий
гомоморфизм 8В определяется обращением 6B=clsa*6x*cls,
и теперь не возникает затруднения со знаком. После принятия этого
определения доказательство коммутативности становится похожим
на приведенное выше доказательство для двойственного случая,
хотя, поскольку в нем используются не только стрелки, но и элемен-
элементы, мы не можем сказать, что оно строго двойственно. Хотя теоре-
теорема 9.1 сформулирована на языке точных последовательностей, она
может также рассматриваться как утверждение об аннуляторах
«псевдокольца» ExtB теоремы 5.3. Действительно, если Е (х, а)—
короткая точная последовательность ^-модулей, то
х? = 0, <тх = 0, ?<т = 0,
и эти равенства следующим образом определяют левый и правый
аннуляторы в ExtB каждого из элементов х, Е, а. Правый аннуля-
тор для х состоит из кратных Е; всякий раз, как элемент р 6 ExtH
таков, что произведение хр определено и равно 0, р = 0 или р = Ех
для подходящего t 6 ExtB. Аналогично из рх = 0 следует р = хо
для некоторого t и т. д. Другими словами, левый аннулятор для
х — это главный левый идеал (ExtB) a.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для заданной обычной короткой точной последовательности Е моду-
модулей и данных проективных резольвент г': X -*¦ А и г": Z -*¦ С крайних
модулей А н С построить проективную резольвенту 8 : Y -*¦ В среднего
модуля В и цепные преобразования f : X -*¦ Y, g : Y -*¦ Z, накрывающие х
и a соответственно, так, чтобы короткая последовательность X >-» Y -»Z
комплексов была точной. (Указание: для каждого п взять Yn = Хп ф Z,,
и определить е и д так, чтобы (Y, е) было комплексом.)
134
Гл. III. Расширения и резольвенты
§ 10. Аксиоматическое описание функторов Ext
135
2. Используя результат упражнения 1, дать доказательство точности (9.1)
с помощью проективных резольвент.
3. Вывести предложение 3.7 из теоремы 9.1 и следствия 6.6.
4. Для конечной абелевой группы А и аддитивной группы Q рациональ-
рациональных чисел доказать, что Extz (A, Z) з& Нот/ (Л, Q/Z).
§ 10. Аксиоматическое описание функторов Ext
Уже полученные свойства последовательности функторов Ext™
достаточны для определения этих функторов с точностью до есте-
естественной эквивалентности в следующем смысле.
Теорема 10.1. Пусть для каждого п — 0, 1,2,...
задан контравариантный функтор Ех" (А), определенный в катего-
категории модулей со значениями в категории, абелевых групп, и пусть для
каждого п и каждой точной последовательности Е : А » В -» С
задан гомоморфизм Еп : Ех" (А) -*• Exn+1 (С), естественный отно-
относительно морфизмов Г : Е -*- Е', коротких точных последователь-
последовательностей.
Предположим, что существует такой фиксированный модуль G,
для которого
Ех° (А) = Нот {А, G) для всех А, A0.1)
Ехп (F) — 0 для п > 0 и всех свобод-
свободных модулей F, A0.2)
и предположим, что для каждой последовательности Е — (х, а)
последовательность
> Ехп(С) ^ Ехп(В) -^ Ехп(А)^ Ехп+1 (С) -> ... A0.3)
точна. Тогда для каждого модуля А и каждого п существует изо-
изоморфизм фд : Ex" (A) si Ext" (A, G), причем у\ — 1; этот изомор-
изоморфизм естествен по А, и имеет место коммутативная диаграмма
Ех"(Л) -^ Ехп+1(С)
|фп |„п+1 (Ю.4)
Ext" (Л, G)^Extn+1(C, G)
для всех п и всех коротких точных последовательностей Е: А >¦» В -»
С
С.
Свойство A0.4) означает, что «ф коммутирует со связывающими
гомоморфизмами». Вместе с естественностью ф это означает, что
изоморфизмы ф" определяют морфизм длинной последовательно-
последовательности A0.3) в соответствующую последовательность (9.1) для Ext.
Эта же теорема верна, если слово «свободный» в A0.2) заменить
словом «проективный».
Поскольку функторы Ext", очевидно, удовлетворяют аналогам
свойств A0.1), A0.2) и A0.3), мы можем рассматривать эти свойства
как аксиомы, характеризующие последовательность функторов
Ext™, «связанную» гомоморфизмами Е*.
В доказательстве изоморфизмы ф" строятся индукцией по п; слу-
случай п = 1 представляет наибольший интерес. Представим каждый
модуль С как фактормодуль FIK свободного модуля F. Этим опре-
определяется короткая точная последовательность Ее '¦ К** F -» С.
В силу A0.2) Ex1 (F) — 0, поэтому последовательность A0.3) при-
принимает вид
Нот {F, G) 4- Нот {К, G) % Ех1 (С) -» 0.
Точность этой последовательности означает, что Ех1 (С) з*
зй Нот (/C,G)/x* Horn (F,G). Последовательность (9.1) для Ext1
показывает, что группа Ext1 (C,G) изоморфна той же группе. Ком-
Комбинирование этих изоморфизмов дает изоморфизм фс : Ex1 (Q s
^ Ext1 (С, G); по своему построению фЬ характеризуется равен-
равенством
<?ЬЕЬ = ЕЬ: Нот (К, G) -> Ext1 (С, • G),
которое является частным случаем A0.4). Для доказательства
естественности фс для любого у : С-> С выберем точную последова-
последовательность Ее- : К' >* F' -» С. По теореме сравнения у накрывается
гомоморфизмом P:F->F', который индуцирует морфизм Г =
= (а, р, у) : Ее -> Ее. Поскольку оба связывающих гомомор-
гомоморфизма Е1 и Е* естественны относительно таких морфизмов Г, то
Y Vc ЕЪ = у*ЕЬ> = Е&* = фс??а* = фЬ?*?Ь-.
Но Ес- — эпиморфизм, поэтому
Y4c- = <PcY* = Ех1 (С) -»¦ Ext1 (С, G);
таким образом, изоморфизм ф1 действительно естествен относи-
относительно отображений модулей. В частности, если Ее и Ее два сво-
свободных представления одного и того же модуля С {у = 1с), то послед-
последнее тождество показывает, что гомоморфизм фс не зависит от выбора
свободного модуля F, использованного при построении. Наконец,
если Е: А >¦» В -» С произвольная короткая точная последова-
последовательность, то по теореме сравнения (для свободного модуля Е)
опять можно накрыть 1 морфизмом (а, Р, 1) : Ес -*• Е и устано-
установить, что
icE^ — Efta* (ввиду естественности Е*),
(по определению ф),
(ввиду естественности Е1).
Но это и есть свойство A0.4) для п — 1.
136
Гл. III. Расширения и резольвенты
Для п > 1 мы поступаем подобным же образом, выбирая корот-
короткую точную последовательность Ее со свободным средним членом.
Тогда Ex" (F) = 0— Ех" (/"), так что точная последователь-
последовательность A0.3) принимает
вид
„n-1
0 -> Ex" (/()-^U Ex" (С) -^ 0,
и Ехп (С) = Ех" (К). Используя аналогичную последовательность
для Ext", мы определим ф" равенством
фс =
: Ex" (С) at Ext" (С, G)
и установим естественность, независимость от выбора F и коммута-
коммутативность диаграммы A0.4), так же как и для п — 1.
Существует двойственная характеристика для Ext (C,A) как
функтора от А, использующая вторую точную последователь-
последовательность (9.2).
Теорема 10.2. При фиксированном модуле G ковариантные
функторы Ext" (G, А) от аргумента А, п = 0, 1, . . . вместе
с естественными гомоморфизмами Е% : Ext" (G, С) -> Ext"+1 (G, А),
определенными для коротких точных последовательностей Е моду-
модулей, характеризуются с точностью до естественного изоморфизма
следующими тремя свойствами:
Ext0 (G, А) = Нот (G, А) для всех А, A0.5)
Extn(G, У) = 0 для п>0и всех инъективных модулей J, A0.6)
последовательность (9.2) точна для всех Е. (Ю.7)
Доказательство. Сначала заметим, что функторы Ext™
обладают свойством A0.6), так как инъективный модуль J имеет
инъективную резольвенту 0 -*• J -> J -> 0, которая исчезает во
всех размерностях, следующих за 0. Обратно, доказательство того,
что эти три свойства характеризуют- Ext" (G, Л) как функторы от
А, двойственно данному выше доказательству теоремы 10.1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Шануэль.) Даны две короткие точные последовательности К. >-» Р -» С
и К' >-» Р' -» С, где Р и Р' проективны, /С с Р, /С' с: Р', а на конце —
один и тот же модуль С. Построить изоморфизм Р ф Р' s* Р ф Р', отобра-
отображающий изоморфно К ф Р' на Р ф /С'.
2. Назовем два модуля С и С проективно эквивалентными, если суще-
существуют проективные модули Q и Q' и изоморфизм С ф Q' а С ф Q. Пусть
S: К >-» Pn-i ->-•••-»- Ро -» С — п-кратная точная последовательность
с проективными модулями Р,. Используя упражнение 1, показать, что класс
$ 11. Инъективная оболочка
137
модулей, проективно эквивалентных модулю К, зависит только от класса
проективной эквивалентности модуля С и не зависит от выбора S.
3. Если S — последовательность из упражнения 2, то показать, что
итерированный связывающий гомоморфизм устанавливает изоморфизм
S* : Extx (К, G) & Extn+X (С, G) для любого модуля G.
§ 11. Инъективная оболочка
Каждый R-модуль А является подмодулем инъективного модуля
(теорема 7.4). Мы сейчас покажем, что для каждого А существует
единственный «минимальный» инъективный модуль с этим свойством.
Расширение А с В, или мономорфизм х:Л"-+Вс образом А,
называется существенным, если из S с В и S П ¦А — 0 всегда сле-
следует S = 0. Это условие равносильно требованию, чтобы для вся-
всякого элемента b Ф 0 из В нашелся такой элемент г g R, что гЬф О
и rb 6 А. Например, аддитивная группа Q рациональных чисел
является существенным расширением группы целых чисел Z. Если
ДсВнВсС — существенные расширения, то A cz С — суще-
существенное расширение.
Лемма 11.1. Если х: А' -*- В — существенный мономорфизм-
аК: А' -+ J — мономорфизм с инъективной областью значений J',
то существует мономорфизм ц : В -*• J, для которого цх = ^
Другими словами, существенное расширение модуля А' вклады-
вкладывается в любое инъективное расширение модуля А'.
Доказательство. Поскольку J — инъективный
модуль, Я. : А' -> J продолжается до ц и \ш = А.. Пусть /С — ядро ц.
Поскольку Я. — мономорфизм, /СПхЛ' = 0; поскольку мономор-
мономорфизм х существенный, К = 0. Следовательно, ц — мономорфизм.
Предложение 11.2. Модуль J инъективен тогда и толь-
только тогда, когда J не имеет собственного существенного расширения.
Доказательство. Если J cz В я J инъективен, то /
есть прямое слагаемое В, так что расширение J cz В несуществен-
несущественно в любом случае, кроме случая J — В. Обратно, если J не имеет
собственного расширения, то мы хотим показать, что любое расши-
расширение J cz В расщепляется.
Рассмотрим множество «^ всех подмодулей S модуля В, для кото-
которых S[\J = 0. Если подмножество {St} элементов из ff линейно
упорядочено по включению, то объединение S = [}St множеств St
есть подмодуль в В и S f| J=0; значит, S принадлежит ff. Посколь-
Поскольку любое линейно упорядоченное подмножество из аР имеет
верхнюю грань в if', по лемме Цорна в tf существует элемент М,
максимальный в том смысле, что он не содержится строго ни в одном
S. Тогда J-+B-+-B/M — существенный мономорфизм. Но по
138
Гл. III. Расширения и резольвенты
предположению J не имеет собственных существенных расширений,
поэтому J ->- ВIM — изоморфизм, B=J\JMhJ[]M = 0. Зна-
Значит, модуль J является прямым слагаемым любого содержащего
его модуля В и поэтому инъективен.
Это подсказывает, что мы можем построить минимальное инъек-
тивное расширение как максимальное существенное расширение.
Теорема 11.3. Для любого модуля А имеется существенный
мономорфизм к: A -+-J в инъективный модуль J. Если я': А -*•
-*-J' — другой такой мономорфизм, то существует такой изо-
изоморфизм Э: J ->• J', что Эх = х'.
Доказательство. По теореме 7.4 существует инъектив-
инъективный модуль Jo. для которого A cz Jo. Пусть S" — множество всех
таких подмодулей 5 модуля Jo, что расширение A cz S суще-
существенно. Если {St} — подмножество из S~, линейно упорядоченное
по включению, то объединение (J St является существенным рас-
расширением А и, следовательно, принадлежит &. По лемме Цорна
в У имеется максимальный элемент J, причем расширение A cz J
существенно. Любое собственное расширение J можно было по
лемме 11.1 вложить в Jo в противоречие с максимальностью J.
Следовательно, по предложению 11.2 модуль J инъективен.
Пусть х: А -*¦ J есть вложение. Если х' : А -*¦ J' есть другой
существенный мономорфизм в инъективный модуль У, то в силу
леммы 11.1 имеется мономорфизм ц : J' -*¦ J, для которого цк' =
= х. Поскольку подмодуль \iJ' инъективен, он является прямым
слагаемым в J. Поскольку вложение А -*- J существенно, \iJ'
должен совпадать с J, так что |х — изоморфизм, как и утвержда-
утверждалось.
Существенный мономорфизм х : А -»- / в инъективный модуль J,
единственный с точностью до эквивалентности, называется инъек-
тивной оболочкой модуля А. Ее существование было установлено
Бэром [1940]; в своем доказательстве мы следовали Экману —
Шопфу [1953]. О некоторых из применений оболочек см. работу
Матлиса [1958]. Двойственная конструкция — «минимального»
проективного модуля Р с эпиморфизмом Р-+А вообще невозможна
(почему?).
Замечания. Изучение расширений производилось вначале для
расширений мультипликативных групп (см. гл. IV), причем расширения
описывались с помощью систем факторов. Систематическое исследование
Шрейера [1926] оказало большое влияние, хотя идея системы факторов
появилась значительно раньше (Гёльдер [1893]). Те же системы факторов
были важны при представлении центральных простых алгебр как скрещен-
скрещенных произведеинй (Брауэр [1928], Хассе—Брауэр —Нётер [1932])
и, следовательно, в теории полей классов. Инвариантное исследование расши-
расширений без систем факторов впервые было начато Бэром [1934, 1935]. Эйлен-
берг н Маклейи [1942] в своем исследовании проблемы универсальных
коэффициентов впервые установили, что расширения абелевых групп имеют
§ И. Инъективная оболочка
139
топологические приложения. Там же был введен функтор Ext1. Другое дока-
доказательство теоремы об универсальных коэффициентах и теоремы о гомото-
гомотопической классификации было дано Масси [1958] с использованием конуса
отображения.
Резольвенты, возможно без названия, использовались давно, например,
Гильбертом [1890]. Хопф в 1944 г. использовал их явно для описания гомо-
гомологии группы. Картан [1950] использовал их для теории когомологий групп
и дал аксиоматическое описание, такое, как в § 10; функтор Ext™ был
определен с помощью резольвент Картаном и Эйленбергом. Определение
с помощью длинных точных последовательностей дал Ионеда [1954], кото-
который также провел [1960] более общее исследование произведений.
ГЛАВА \\/
Когомологая групп
Когомология группы П — это наш первый пример функторов
Ext« (С, А), где R — групповое кольцо и С = Z. Эти группы
когомологий можно определить непосредственно в терминах стан-
стандартной «В-резольвенты». В малых размерностях когомологий
появляются в вопросе о групповых расширениях с "помощью П; во
всех размерностях они имеют топологическую интерпретацию
(§ И)-
§ 1. Групповое кольцо
Пусть П — мультипликативная группа. Свободная абелева
группа Z (П), порожденная элементами х 6 П, состоит из конечных
сумм 2 т (х) х с целыми коэффициентами т (х) ? Z. Произведение
в П индуцирует произведение
х у х,у
двух таких элементов и превращает Z (П) в кольцо, называемое
целочисленным групповым кольцом группы П. Таким образом,
элемент из Z (П) — это функция т, определенная на П со значе-
значениями в Z, равная нулю, за исключением конечного числа аргу-
аргументов х 6 П; сумма двух функций определяется формулой
(т + т') (х) = т (х) + т' (х), а произведение — формулой (mm') (x) =
= 2т (у) т! (г), причем последняя сумма берется по всем у и г
из П, для которых yz — x. Кольцевой гомоморфизм е: Z (П) -+-Z,
называемый пополнением, определяется следующим образом:
е Bт (*)*) = 2т (*). A.1)
X X
Пусть цо : П —> Z (П) — функция, которая сопоставляет каждо-
каждому элементу у 6 П элемент из Z (П), записываемый через \у; более
точно это означает, что цог/ — это такая функция из П в Z, что
(Цо«/) (У) = 1 и (цоу) (х) = 0 для х ф у. Очевидно, что \i0 — муль-
мультипликативный гомоморфизм, т. е. \i0 (уу') = (цоу) (\ioyr) и щ A) = 1-
§ 1, Групповое кольцо
141
Групповое кольцо Z (П) совместно с этим гомоморфизмом \i0 можно
охарактеризовать следующим свойством универсальности.
Предложение 1.1. Если П — мультипликативная груп-
группа, R — кольцо с единицей и ц: П —> R — функция, обладающая
свойствами ц (ху) = ц (х) ц (у) и ц A) = 1, то существует един-
единственный кольцевой гомоморфизм р: Z (П) —> R, для которого
РИ-о = И--
Доказательство. Мы можем положить р Bт (*) х) =
= 2т (х) [I (х); это отображение является кольцевым гомомор-
гомоморфизмом, причем единственным, обладающим свойством рц0 = ц.
Имея в виду это свойство, было бы последовательнее называть
Z (П) не «групповым кольцом группы П», а свободным кольцом над
мультипликативной группой П.
Модули над кольцом Z (П) (сокращенно, П-модули) будут
постоянно встречаться в дальнейшем.
Предложение 1.2. Абелева группа А приобретает
однозначно определенную структуру левого П-модуля, если задана
или
(i) такая функция, определенная на множестве Их А со зна-
значениями в А и записываемая как ха, где х 6 П, а 6 А, что соотно-
соотношения
x(ai + a2) = xai + xa2, (XiX2) a — xt (х^а), la = a A.2)
выполняются тождественным образом, или, если задан
(и) групповой гомоморфизм
ср:П -н> АиЫ. A.3)
Здесь Aut А обозначает множество всех автоморфизмов груп-
группы А, т. е. всех изоморфизмов а : А -*¦ А. Относительно умножения
Aut А образует мультипликативную группу.
Доказательство непосредственно: формула A.2) определяет ф
равенством ф (*) а = ха, в то время как группа Aut А содержится
в кольце эндоморфизмов Homz (А, А), а поэтому по предложе-
предложению 1.1 ф расширяется до гомоморфизма г|з : Z (П) ->-Homz (А, А),
который превращает А в левый модуль с операторами г|з (и) а для
каждого и 6 Z (П).
В частности, любую абелеву группу А можно рассматривать
как тривиальный П-модуль, если считать, что ф* = 1 для всех
х 6 П; тогда ха = а для всех х.
Для каждого П-модуля А мы построим аддитивную, но не обя-
обязательно абелеву группу А х ФП, называемую полупрямым про-
произведением А и П с операторами ф. Элементами этой группы служат
пары (а, #), а сложение определяется формулой
(а, x)+(ai, х%) = (а + хаи хх±), ха^ = ф (х) а,. A.4)
142
Гл. IV. Когомология групп
Можно доказать, что действительно построена группа с «единич-
«единичным» элементом 0 = @, 1) и обратным '— (а, х) = (—х~га, х~1)
и что существует короткая точная последовательность
0->лДЛхФпЛп->1, A.5)
в которой гомоморфизм х определен равенством на == (а, 1), гомо-
гомоморфизм а — равенством а (а, х) = х, a 1 обозначает тривиаль-
тривиальную мультипликативную группу. Для а имеется также правый
обратный гомоморфизм v, определяемый как vx = (О, д;) для
всех х; v отображает мультипликативную группу П в аддитивную
группу Л х ФП.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Голоморфизм А мультипликативной группы G — это взаимно одно-
однозначное отображение G в G, при котором A (ab-lc) — h (a) h (Ь)~1Л (с) для
всех а, Ь, с ? G. Показать, что множество всех голоморфизмов группы G
образует относительно умножения группу Hoi G, называемую голоморфом G.
Построить короткую точную последовательность (Я, т) : G >-» Hoi G -» Aut G,
где (Xg) (a) = ga, (тА) (а) = h A)-1A (а) и для т существует правый обратный.
2. (Р. Бэр.) Пусть А есть П-модуль и Hoi А — голоморф аддитивной
группы модуля А, описанный в упражнении 1. Построить прямое произве-
произведение (Но1Д)хП с проекциями л± и я2 на множители и показать, что
группа А х фП изоморфна той подгруппе группы (Hoi Л)хП, для которой
Tnj=qm2 : (Hoi А) х П -*¦ Aut A;
сравнить последовательность A.5) с последовательностью, указанной
в упражнении 1.
§ 2. Скрещенные гомоморфизмы
Если Л — П-модуль, то скрещенным гомоморфизмом группы П
в группу А называется такое отображение / из П в А, что
f(xy) = xf(y) + f(x), х,у?П. B.1)
При этом обязательно / A) = 0. Например, если А — тривиальный
П-модуль (всегда ха = а), то скрещенный гомоморфизм — это
в точности обычный гомоморфизм мультипликативной группы IT
в аддитивную абелеву группу Л.
Сумма двух скрещенных гомоморфизмов fug, определенная
как if + g) (x) = / (x)+g (х), является скрещенным гомомор-
гомоморфизмом. Относительно этого сложения множество скрещенных
гомоморфизмов П в А образует абелеву группу, которая будет
обозначаться Z\ (П, А), причем q> отмечает здесь П-модульнук>
структуру П -> Aut А в А. Для каждого фиксированного элемента
а ? А функция fa, определенная равенством fa {х) = ха — а,
является скрещенным гомоморфизмом. Функции вида fa назы-
§ 2. Скрещенные гомоморфизмы
143
ваются главными скрещенными гомоморфизмами. Поскольку
fa + fb = f{a+b> И /(-а) = — fa, ОНИ Образуют ПОДГрупПу В\ (П, А)
группы ZJ, (П, А). Первая группа когомологий группы П над А
определяется как факторгруппа
Н% (П, Л) = ZJ (П, АIВ% (П, Л).
B.2)
Если Л—мультипликативная группа поля, а П — конечная
группа автоморфизмов группы Л (определяющая П-модульную
структуру в Л), то основная теорема теории Галуа (Артин [1944],
теорема 21) утверждает, что Я1 (П, Л) = 0, т. е. в этом случае
каждый скрещенный гомоморфизм является главным. Другое
приложение скрещенных гомоморфизмов дано в следующем пред-
предложении.
Предложение 2.1. Группа всех автоморфизмов полу пря-
прямого произведения В = Л х ФП, которое индуцируют тождествен-
тождественные автоморфизмы в подгруппе А и факторгруппе В/А ^ П,
изоморфна группе ZJ, (П, Л) скрещенных гомоморфизмов. При
этом изоморфизме внутренние автоморфизмы группы В, индуци-
индуцированные элементами из А, соответствуют главным скрещенным
гомоморфизмам.
Доказательство. Автоморфизм о», обладающий указан-
указанными в условии свойствами, должен определяться формулой
о» (а, х) = (а + / (х), х), где / (х) — некоторая функция из П
в Л, причем / A) = 0. Условие, что и — автоморфизм, эквива-
эквивалентно равенству B.1). При этом произведение автоморфизмов
соответствует сложению функций /, а внутренние автоморфизмы
(Ь,х) -»-(а,1) + (Ь,х) — (а,1) — главным скрещенным гомомор-
гомоморфизмам.
Скрещенные гомоморфизмы могут быть описаны следующим
образом в терминах группового кольца Z (П) и пополнения
e:Z (П) -* Z.
Предложение 2.2. Скрещенный гомоморфизм группы П
в Z (П) -модуль А — это такой гомоморфизм g : Z (П) -*- А абеле-
вых групп, что
= rg(s)+g(r)s(s),
B.3)
Главные скрещенные гомоморфизмы — это гомоморфизмы ga, опре-
определяемые для каждого фиксированного элемента а 6 Л формулой
ga (г) = га — ае (г).
Доказательство. В приведенных формулах е (s)
и е (г) — целые числа, которые действуют справа на Л как крат-
кратные, т. е. ае (г) = е (г) а. Если дана некоторая функция g со свой-
свойством B.3), то ее ограничение / == g| П на элементах х 6 П является
144
Гл. IV. Когомология групп
скрещенным гомоморфизмом в смысле B.1), поскольку е (д;) = 1.
Обратно, любой скрещенный гомоморфизм / в смысле B.1) можно
продолжить линейно до гомоморфизма g: Z (П) —> Л абелевых
групп, положив g Bтхх) = 2тж/ (х). Тогда B.3) следует из
B.1). Мы отождествляем / с его расширением g и получаем сфор-
сформулированный результат.
Пополнение е: Z (П) ->¦ Z является кольцевым гомоморфиз-
гомоморфизмом, следовательно, его ядро / (П) — двусторонний идеал в Z (П)
и, значит, П-подмодуль модуля Z (П).
Вложение i определяет точную последовательность
О
О
B.4)
П-модулей, в которой Z имеет тривиальную модульную структуру.
Отображение т -*- ml из Z в Z (П) является гомоморфизмом адди-
аддитивных групп (но не П-модулей!), правым обратным к е. Следова-
Следовательно, последовательность B.4) расщепляется как последователь-
последовательность абелевых групп. Левый обратный р : Z (П) -*¦ / (П) к вло-
вложению i — это отображение, определенное для г 6 Z (П) форму-
формулой рг = г — е (г) 1. Оно является гомоморфизмом абелевых
групп и скрещенным гомоморфизмом группы П в модуль / (П).
Предложение 2.3. Для любого Н-модуля А операция
ограничения до I (П) всякого скрещенного гомоморфизма g вида B.3)
порождает изоморфизм
Z\ (П, A) ss Homz(n) (/ (П), А). B.5)
Главные гомоморфизмы соответствуют модульным гомоморфиз-
гомоморфизмам ha : / (П) —> А, определенным для фиксированного а формулой
ha(u) = ua, ы?
Доказательство. Если е (s) = 0, то тождество B.3)
принимает вид g (rs) = rg (s), так что отображение g, ограничен-
ограниченное ядром е, становится модульным гомоморфизмом, что и утвер-
утверждалось. Обратно, любой модульный гомоморфизм h : / (П) ->Л,
умноженный на специальный скрещенный гомоморфизм рг =
= г — е (г) 1, порождает скрещенный гомоморфизм hp модуля
Z (П), ограничение которого на / (П) совпадает с h. Наконец, глав-
главные гомоморфизмы ведут себя надлежащим образом.
Пусть П — фиксированная группа, тогда Z\ (П, А) и Н\ —
ковариантные функторы аргумента А; для каждого модульного
гомоморфизма а : А ->? (aj) (х) определяется как а [/ (х)]. При
фиксированной абелевой группе А с тривиальной П-модульной
структурой можно превратить Z\ и Яф в контравариантные функ-
функторы аргумента П; групповой гомоморфизм ? : П -»-1Г и скрещен-
скрещенный гомоморфизм / группы П' определяют индуцированное отобра-
§ 3. Расширения групп
145
жение ?* : Z\ (ГГ, A) -*-Z\ (П, А) при помощи формулы (?*/) (*) =
= f (&). Этого нельзя сделать, если А есть нетривиальный П- или
П'-модуль. Однако если ?: П -»-1Г и А' есть П'-модуль отно-
относительно гомоморфизма ф' : П' ->-Aut А', то А[ является также
П-модулем относительно гомоморфизма ф'? : П-> Aut Л' и мы
можем определить индуцированные гомоморфизмы
I* : %> (П\ А') -> Z\.% (П, A'), t? : Н%. (IT, А') -* Н%х (П, А'),
положив (?*/) (*) = / (Ъх) для любого скрещенного гомоморфиз-
гомоморфизма/ группы ГГ. Эти индуцированные гомоморфизмы ?* ведут себя
функторным образом, т. е. (?'?)* = ?*?'* и 1* = 1.
Более формально, рассмотрим тройку (П, А, ф) как объект
категории $-, морфизмами р: (П, А, ф) -*¦ (ГГ, А', ф') которой
являются замены групп, т. е. пары р = ,(?, а) таких групповых
гомоморфизмов ? : П ->-ГГ, а : А' ->-Л, что
дс(аа') = а[(?ж)а'] B.6)
для всех х 6 П и а' 6 А'. Отметим, что а направлен в обратную
сторону (от А' к А) и что условие B.6) утверждает, что гомомор-
гомоморфизм а : А' -*-А является гомоморфизмом П-модулей. Если р' =
= (V, а') : (П',Л'.ф') -*-(П", Л", ф") — вторая замена групп,
то произведение р'р равняется (? ?, аа'). Для любого скрещенного
гомоморфизма /' группы П' в Л' определение (р*/') (*) = а [/' (%х)]
дает отображение р* : Z\- (П', Л') -*-Z\ (П, Л). Тем самым Z\
и Яф превращаются в контравариантные функторы, определенные
в категории &- замен групп. Отображение р*. есть произведение
Д$,(П\ А') Л Я^(П, Л') Д ЯФ(П, Л)
ранее введенных отображений ?* и а#.
§ 3. Расширения групп
Расширением групп называется короткая точная последова-
последовательность
?:0
п
1,
C.1)
вообще говоря, неабелевых групп. Удобно записывать групповую
операцию в О, G и В как сложение, а в П и 1 как умножение. Как
и раньше, утверждение о точности Е равносильно утверждению,
что х отображает G изоморфно на нормальный делитель в В,
а а индуцирует изоморфизм Blv.G ^ П соответствующей фактор-
факторгруппы. Расширение Е расщепляется, если а обладает правым
обратным v, т. е. если существует такой гомоморфизм v : П ->Б,
что ov = 1П, где 1П — тождественный автоморфизм группы П.
Полупрямое произведение A.5) расщепляется как расширение.
10-353
146
Гл. IV. Когомология групп
Пусть Aut G обозначает группу автоморфизмов группы G с груп-
групповой операцией: последовательным выполнением автоморфизмов.
Трансформирование в В порождает гомоморфизм 6 : В -*¦ Aut G.
Действие каждого автоморфизма Э (Ь) на элемент g ? G описывается
равенством
Предположим, что G = Л — абелева группа; тогда 6 (А) = 1,
так что Э индуцирует гомоморфизм ф:П-»-Аи1:Л и ера == Э.
Таким образом, <р определяется равенством
а?А. C.2)
В этом случае мы скажем, что Е есть расширение абелевой груп-
группы А при помощи группы П с операторами <р : П -> Aut A. Ото-
Отображение ф указывает способ, при котором А появляется как нор-
нормальный делитель расширения.
Задачей теории расширений групп является построение всех
последовательностей Е с заданными Л, Пи ф. Гомоморфизм ф
задает П-модульную структуру в А; значит, задача теории рас-
расширений групп при известных группе П и П-модуле А состоит
в построении всех Е. Имеется по крайней мере одно такое рас-
расширение — полупрямое произведение А х ФП.
Если Е и Е' — любые два расширения групп, то морфизмом
Г: Е ->-Е' считается такая тройка Г = (а, р, у) групповых гомо-
гомоморфизмов, что диаграмма
C.3)
коммутативна. Если Л и Л' абелевы группы, а ф и ф' : П' -»-
->-Aut Л' — ассоциированные операторы для Е и Е', то легко
показать, что имеет место тождество
а[ф(х)а] = (ф\*)аа. C.4)
Например, если Л = Л' и a = \А, то (фх) а = (у'ух) а. Другими
словами, П-модульная структура в Л определяется П'-модульной
структурой. Если Г: Е —*• Е' и Г': Е' —> Е" являются морфиз-
мами расширений, то Г'Г : Е —> Е" — также морфизм расширений.
Если Е и Е' — два групповых расширения одного и того же
модуля Л с помощью группы П, то конгруэнция Г: Е —* Е' —
это морфизм Г = (а, р*, у) с а= 1А и у = 1П- Для абелевой груп-
группы А из C.4) вытекает, что ф = ф', т. е. конгруэнтные расширения
имеют одинаковые операторы. Короткая лемма о пяти гомомор-
гомоморфизмах (для некоммутативного случая) показывает, что в кон-
§ 3. Расширения групп
147
груэнции Г = AД, р, 1П) Р — изоморфизм, следовательно, каждая
конгруэнция имеет обратную. Поэтому мы можем говорить о клас-
классах конгруэнтности расширений. Пусть Opext (П, Л, ф) обозна-
обозначает множество всех классов конгруэнтности расширений абелевой
группы А при помощи П с операторами ф. Мы хотим описать Opext.
Любое расширение C.1) абелевой группы G — А, которое
расщепляется (гомоморфизмом v : П -*-В), конгруэнтно полупря-
полупрямому произведению А х VU; изоморфизм р : В —> А х ФП опре-
определяется формулой fib = (х-1 [b — \ab), ab). Подробнее
b + bi — va (b + bt) = (b — vab) + vab + (bi — \abt) — vab =
= (b — vab) + и [(Щ к (b% — \оЬг)] ,
точно так же, как и в.правиле сложения A.4) для полупрямого
произведения.
Если П — (неабелева) свободная группа с образующими tk, то
любой эпиморфизм а : В —» П имеет правый обратный, который
можно задать, положив W* = bk, где bk — такой элемент из В,
что abk = tfft. Следовательно, любое расширение при помощи
свободной группы расщепляется, и Opext в этом случае состоит
из одного элемента.
В качестве более интересного примера возьмем П = Ст (t),
где Ст (t) — циклическая группа конечного порядка т с обра-
образующим t. В некотором расширении Е с помощью Ст отождествим
каждый элемент a 6 Л с его образом ха 6 В, так что А а В. Выбе-
Выберем представитель и для t: аи = t; так как а (ти) = tm ~ 1, то
ти = а0 6 Л. Каждый элемент из В можно единственным образом
записать в виде а + iu, где а 6 Л, и 0< i < т. В силу выбора а0
и C.2)
. C.5)
Используя эти равенства, сумму любых двух элементов вида а + ш
можно представить в этом же виде. В силу ассоциативности и +
+ ти = (т + 1) и = ти + и, так что и + aQ = а0..+ и. Следо-
Следовательно, а0 = to0, т. е. элемент а0 «инвариантен» относительно t.
Этот элемент а0 не единствен: если и' = а± + и — другой пред-
представитель t в В, то ввиду C.5) и индукции по т
Здесь Nta! = at + toi + . . . + t1"-1^ норма относительно t
в Ст-модуле A; Nt есть групповой: гомоморфизм Nf: А —> Л.
Поскольку смежный класс а0 по модулю NtA однозначно опре-
определен классом конгруэнтности расширения, мы установили соот-
соответствие
Opext (Cm (t), Л, <р)< >[a\ta*=a]/NtA. C.6)
10*
148
Гл. IV. Когомология групп
Указанное сопоставление взаимно однозначно: если дан инвариант-
инвариантный элемент а0, то возьмем в качестве В множество всех символов
вида а + ш, 0 ^ i <C т, и определим в этом множестве сложение
формулой C.5). Инвариантность а0 обеспечивает ассоциативность
этого сложения, и поэтому В является расширением Л при помо-
помощи Ст с данными операторами. В частности, если операторы в Л
тривиальны (всегда ta = а), выражение, стоящее справа в C.6),
превращается в группу А/тА —в согласии с уже полученным
результатом для случая абелевых расширений (предложение
III.1.1). В этом случае все расширения А с помощью Ст абелевы.
Пусть теперь П = С» X С» — свободная мультипликативно
записанная абелева группа с двумя образующими tt и tz. В произ-
произвольном расширении с помощью П выберем представители ut обра-
образующих tu i = 1, 2. Тогда существует такой элемент а0 из А, что
"г + Ui = а0 + Mi + ы2, а все элементы расширения можно един-
единственным образом записать в виде а + miMi + /л2ы2 с целыми
коэффициентами т^ и т2- Сложение в В определяется сложением
в Л и правилами
Так определенное сложение на множестве элементов а + mtui +
+ m2«2 всегда ассоциативно и превращает это множество в группу.
Если представители ы4 и ы2 заменить другими представителями
и[ = tfi + Mil Щ = Дг + "г, где аи аг ? А, то константа а0 заме-
заменяется элементом а0 + а^ — ^а2 — а4 + t^. Следовательно, если
S — подгруппа, порожденная всеми суммами вида а2 — ^а2 —
— fli + t2a.i, то мы получаем взаимно однозначное соответствие
Opext (С» х Сое, А,
C.7)
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать Opext (С» хСмх С», Л, q>).
2. Описать Opext (Cm X С^, A, q>).
3. Показать, что предложение 2.1 остается в силе, если ДХфП заме-
заменить произвольным расширением (П, A, qp).
§ 4. Системы факторов
Проведенные рассуждения наводят на мысль, что
Opext (П, А, ф) подобно Ext есть группа. Эта групповая структура
может быть описана посредством некоторых систем факторов.
Пусть Е — расширение C.1) из Орех1(П, А, ф); для удобства
отождествим каждый элемент а с ха. Для каждого х из П выберем
«представитель» и (х) в В, т. е. такой элемент и (х), что аи (х) = х.
§ 4. Системы факторов
149
В частности, положим и A) = 0. Теперь в каждом смежном клас-
классе Б по Л содержится ровно один представитель и (х), а элементы
из В однозначно представимы в виде а + и (х), а ? А, х ?П. Мы
будем записывать действие операторов так: ф (х)а — ха. Тогда
формула C.2) при Ь = и, (х) принимает вид
(х). D.1)
С другой стороны, сумма и (х) + и( у) должна лежать в том же
смежном классе, что и и (ху); поэтому существуют однозначно
определенные элементы / (х, у) 6 Л, для которых
u{x) + u(y) = f(x, y) + u(xy). D.2)
Поскольку и A) = 0, мы получаем, что
/(*,1) = О = /A,40, *, У?П. D.3)
Функция / называется системой факторов расширения Е. При
данной системе факторов и при заданной тройке (П, А, ф) сло-
сложение в В любых двух элементов а + и (х) и at + и (у) произво-
производится на основании формул D.1) и D.2):
[а + и(дс)] + [о1 + и(у)] = (а + лса1 + /(дс,4г)) + и(х4г). D.4)
По этому правилу запишем суммы трех слагаемых:
) = f(x, y) + f(xy, z) + u(xyz),
= xf(y, z) + f(x, yz) + u(xyz).
Из равенства этих сумм (закон ассоциативности!) следует
xf(y, z) + f(x, yz) = f(x, y) + f(xy, z), x, у, z$n. D.5)
Система факторов / расширения зависит от выбора представите-
представителей; если и' (х) — второе множество представителей, причем
и' A) = 0, то и' (х) и и (х) лежат в общем смежном классе, поэтому
существует функция g из П в Л, для которой g A) = 0 и и' (х) =
= g(x) + u (х). Тогда и' (х) + и' (у) = g (х) + xg (у) + и (х) +
+ и (у) = g (х) + xg (у) + f (х, у) + и (ху). Новой системой фак-
факторов будет /' (х, у) = 6g (х, у) + f (x, у), где bg обозначает
функцию
(bg)(x, y) = xg(y)-g(xy)+g(x), x, у?П. D.6)
Можно проверить, что функция 6g удовлетворяет тождеству D.5),
если / заменить на bg.
Эти рассмотрения подсказывают следующие определения. Пусть
Z%q (П, Л) обозначает множество всех функций / из ПхП в Л,
которые удовлетворяют тождеству D.5) и условию нормализован-
нормализованное™ D.3). Это множество является абелевой группой относительно
150
Гл. IV. Когомология групп
обычного сложения функций (f + /') (*, у) = / (х, у) + /' (х, у).
Пусть Вф (П, А) обозначает подмножество из Z%, состоящее из
всех функций / вида / = bg, где функция bg определяется форму-
формулой D.6) для любой такой функции g из П в А, что g A) = 0. Фак-
Факторгруппа
Н\ (Л, А) = Z% (П,Л)/ВФ (П, А)
называется второй группой когомологий группы П над А. Наше
исследование приводит к следующей теореме.
Теорема 4.1. Пусть ф : П ->¦ Aut A — гомоморфизм группы
П в группу автоморфизмов абелевой группы А. Отображение ю,
которое сопоставляет каждому расширению А при помощи П с опе-
операторами ф смежный класс одной из его систем факторов, уста-
устанавливает взаимно однозначное соответствие
<о : Opext (П, А, ф) -
ЯФ(П, А)
D.7)
между множеством Opext всех классов конгруэнтности таких
расширений и второй группой когомологий. При этом соответствии
полупрямое произведение переходит в нулевой элемент из ЯФ.
Поскольку Яф — абелева группа, это соответствие определяет
групповую структуру в Opext. Эта групповая структура может быть
описана также с точки зрения бэровского сложения, что отмечено
в приведенных ниже упражнениях.
Доказательство. Поскольку системы факторов одного
и того же расширения совпадают по модулю подгруппы В%
и поскольку конгруэнтные расширения имеют общие системы
факторов, отображение о» определено корректно. Полупрямое
произведение А х ФП имеет, очевидно, тривиальную функцию
f (х, у) = 0 в качестве одной из своих систем факторов. Если два
расширения порождают системы факторов, разность которых
равна некоторой функции bg (x, у), то изменением представителей
в одном из расширений можно добиться совпадения систем факто-
факторов и, значит, расширения конгруэнтны. Следовательно, отобра-
отображение D.7) устанавливает взаимно однозначное соответствие
множества Opext с подмножеством Я2. Наконец, пусть дана
функция /, удовлетворяющая D.5) и D.3). Тогда можно построить
группу В, взяв в качестве ее элементов все пары (а, х) и опре-
определив сложение, как в D.4):
(a,
, у), ху), а,
Правила действия модульных операторов и условие. D.5) показы-
показывают, что сложение ассоциативно; тем самым оказывается построен-
§ 4. Системы факторов
151
ным расширение с представителями и (х) = @, х) и системой фак'
торов /. Этим заканчивается доказательство теоремы.
Если группа А абелева, то расширение Е из C.1) А с помо-
помощью П называется центральным групповым расширением, если
хЛ лежит в центре В. Другими словами, центральное расшире-
расширение — это расширение с операторами ф = 1. В доказанной тео-
теореме поэтому содержится тот факт, что множество классов кон-
конгруэнтности центральных расширений А с помощью П находится
во взаимно однозначном соответствии с группой Я2 (П, А), где
абелева группа А берется с тривиальными операторами ф. Если
группа П — абелева, то каждое абелево расширение центрально,
так что существует мономорфизм ЕхЩП, А) -»-Я2 (П, А).
Мы можем рассматривать группы когомологий Яф и Яф как
группы когомологий подходящего комплекса
Хо <— Xi <— Х% <— Х3
свободных П-модулей. Возьмем в качестве Х2 свободный П-модуль,
порожденный всеми парами [х, у] элементов хФ 1, уф 1 из П.
Чтобы определить элемент [х, у] 6 Х2 Для всех х, у Е И, положим
также [1, у] = 0 = [*, 1] и 11, 11 = 0- Двумерная коцепь из
Нотп (X, А) —это П-гомоморфизм / ; Х2-*» А; он определяется
своими значениями f [х, у] на свободных образующих модуля Х2,
следовательно, в действительности это просто такая функция из
П х П в А, что f(x, 1) = 0 = / A, у). Теперь в качестве Х3 возь-
возьмем свободный П-модуль, порожденный всеми тройками [х, у, z]
элементов из П, отличных от 1, а д: Х3—> Х2 зададим формулой
д[х, у, z] = x[y, z\ — [xy, z] + [x, yz]-[x, у]. D.8)
Условие коцикличности f(fd = 0) совпадает с тождеством D.5).
Наконец, возьмем в качестве Xt свободный модуль, порожденный
всеми [х] с хф 1, и. положим [1] = 0. Одномерная коцепь —
это модульный гомоморфизм Х4 -> А, который определяется своими
значениями на 1х], так что в действительности является функ-
функцией g из П в Л, причем g A) = 0. Если мы теперь определим
д: Х2 —> Х4 формулой
д [х, у]=х[у]-[ху] + [х], D.9)
то дд = 0, а кограницей для g служит функция, удовлетворяющая
тождеству D.6). Значит, Н% (П, А) совпадает с Я2 (Нот2(П) (X, А)).
Мы получим аналогичный результат для Яф, если в качестве Хо
возьмем Z (П) и положим д [х\ = х — 1 6 Z (П).
Этот комплекс определяет также нульмерную группу кого-
когомологий Яф (П, А) = Я0 (Нот2(п) (X, А)). Нульмерная коцепь —
это модульный гомоморфизм f : Z (П) ->-Л, который определяется
своим значением f (I) = а? А. Он является коциклом, если эле-
152
Гл. IV. Когомология групп
мент — F/) [*] = fd [х] = f (х — 1) = ха — а равен нулю. Сле-
Следовательно, нульмерные коциклы соответствуют элементам а ? А,
инвариантным относительно П (ха — а для всех *):
Я?(П, Л) = ЛП, АП = [а\ха = а для х?Щ. D.10)
УПРАЖНЕНИЯ
Сложение Бэра, введенное в гл. III для расширений модулей, может
быть применено также для расширений групп, как показывает следующая
последовательность упражнений.
1. Доказать: если Е — расширение группы G с помощью группы П
н у : П' -*¦ П, то существует расширение Е' группы G с П' и морфизм
Г = Ag. P. Y) : Е' -*¦ Е. Пара (Г, ?") определена с точностью до конгруэнт-
конгруэнтности для Е'. Если G — абелева группа с операторами q>: П -*¦ Aut G, то
Е' имеет операторы <ру. Положить Еу = Е'.
2. В условиях упражнения 1 показать, что каждый морфизм
(ai> Pi. Yi): E±-+ E расширений с Yi = Y «проходит» единственным образом
через Г.
3. Пусть, Е 6 Opext (П, A, q>), q>' : П -» Aut А' и а : А ->¦ А' есть П-
модульный гомоморфизм. Доказать, что существует едивственное с точно-
точностью до конгруэнтности Е' расширение Е' 6 Opext (П, А', q>') и морфизм в =
= (а, Р, 1П): Е -*¦ Е'. Положить аЕ равным Е'.
4. При предположениях упражнения 3 доказать, что каждый морфизм
(<*i. Pi. Yi) = Я -*¦ Ei, где ?4 6 Opext (Щ, A', q>i), at = а н q>iYi = ф', «про-
«проходит» единственным способом через в.
5. Пусть относительно а, у и Е сделаны те же предположения, что
и в упражнениях 1 и 3, и пусть G = А — абелева группа. Доказать, что
расширение a (?y) конгруэнтно расширению (аЕ) у.
6. Используя упражнения 1, 3 и 5, показать, что Opext является кон-
травариантным функтором в категории !§~ замен групп.
7. Показать, что множество Opext (П, A, q>) является абелевой группой
относительно сложения Бэра, определенного формулой Е1 + Е2 =
= Ул (^i x Ez) Дц. н показать, что это определение согласуется с опре-
определением, данным с помощью систем факторов.
§ 5. ^-резольвента
Формулы D.8) и D.9) для взятия границы в комплексе X пре-
предыдущего параграфа могут быть обобщены на более высокие раз-
размерности. Именно, для любой группы П мы построим некоторый
цепной комплекс П-модулей Bn (Z (П)). Возьмем в качестве Вп
свободный П-модуль, образующими которого являются последо-
последовательности [xi | . . . | Хп] из п элементов Xi ф 1, . . ., хп Ф 1
группы П. Результатом действия элемента х 6 П на образующий
является элемент х \х^\. . . |д;га] из Вп, так что Вп есть свободная
абелева группа, порожденная элементами вида х [xt | . . .| Хп].
§ 5. В-резольвента
153
Чтобы придать смысл каждому символу [xt\ . . . |л:„], положим
[Xi\ ... |лгга] = О, если хотя бы один элемент xt = l; E.1)
это есть условие нормализованности. В частности, Во — это сво-
свободный модуль, порожденный одним символом [ ] и поэтому изо-
изоморфный Z (П), а отображение е [ ] = 1 определяет П-модульный
гомоморфизм s:B0-+-Z, где Z — тривиальный П-модуль.
Гомоморфизмы s-i'. Z *-В0, sn: Bn *-Bn+i абелевых групп
определяются формулами
s_il=[], snxlxl\...\xn]=*[x\xi\ ...\xn]. E.2)
Определим П-модульный гомоморфизм d:Bn-+-Bn-i при п>0:
\ХП]
п-1
21
E.3)
в частности, д[х]=х[ ] — [ ], д [х\у] = х [у] — [ху] +
+ [х]. Отметим, что формула E.3) справедлива и тогда, когда
некоторые xt = 1, поскольку члены (i — 1) и i в правой части
уничтожаются, а остальные члены равны нулю. Суммируя ска-
сказанное, мы получаем диаграмму
е 9 д
В
E.4)
So
*n-l
в которой сплошные стрелки означают модульные гомоморфизмы,
а пунктирные — групповые гомоморфизмы. Назовем В = В (Z (П))
В-резольвентой.
Теорема 5.1. Для любой группы П В-резольвента В (Z(U))
с пополнением г является свободной резольвентой тривиального
Il-модуля Z.
Доказательство. Модули Вп свободны по построению,
поэтому мы должны доказать, что последовательность гомоморфиз-
гомоморфизмов, отмеченных сплошными стрелками в E.4), с присоединенным
слева нулем, точна. Мы докажем больше: эта последовательность
является комплексом абелевых групп со стягивающей гомото-
пией s. Последнее утверждение означает, что
E.5)
Каждое из этих равенств вытекает немедленно из определений;
в силу E.3), например, dsn (x Ui | . . .|*„]) начинается с члена
х Ui |. . . | х„, ], в то время как остальные члены совпадают с чле-
членами из Sn-idx [Xi |. . . |л:„], но с измененным знаком; этим дока-
154
Гл. IV. Когомология групп
зано последнее из равенств E.5). Более того, эти равенства рекур-
рекурсией по п однозначно определяют и е, и dn+i : Вп+1 -*-Вп, так как
Вп+1 порождается как П-модуль подгруппой SnBn, а равенства E.5)
определяют dn+i на этой подгруппе: dn+iSn = 1 — Sn-idn, значит,
формула E.3) может быть выведена из формул E.5) и E.2) для s.
То же самое рекурсивное соотношение устанавливает, что edt = О
и dndn+i — О, поскольку
дпдп+tSn = дп A — Sn-
= дп — дп
= дп — (dnsn~i) дп =
откуда д2 = 0 по индукции. Это же можно доказать непосредствен-
непосредственно, но более трудоемко с помощью формулы E.3) для д. Любым
способом доказывается, что В (Z (П)) — комплекс и резольвен-
резольвента Z, что и утверждалось в теореме.
Эта же теорема справедлива для «ненормализованной» В-резоль-
венты р (Z (П)). В качестве р„ здесь берется свободный П-модуль,
порожденный всеми наборами х± ® . . . ® хп из п элементов груп-
группы П (без условия нормализованное™),' а е, s и д задаются теми же
формулами, что и в В. Значит, Вп ^ Р„/Д». где Dn — подмодуль,
порожденный всеми элементами Xi ® . . . ® Хп с хотя бы одним
хг = 1. Символ ® используется здесь потому, что указанное опи-
описание превращает 0„ в (п + 1)-кратное «тензорное произведение»
Z (П) ® . . . ig> Z (П) абелевых групп Z (П); эти тензорные про-
произведения определяются в гл. V и применяются при изучении
В-резольвенты в гл. IX.
Для любого П-модуля А мы определим группы когомологий П
с коэффициентами в А формулой
в согласии с частными случаями, рассмотренными в предыдущем
параграфе (где индекс q> использовался для явного описания струк-
структуры А как П-модуля). Значит, группы когомологий Я" (П, А)
совпадают с группами когомологий коцепного комплекса В (П, А) =
¦= Ношп (В (Z (П)), А), где Нотп — сокращение для Homz(m.
Поскольку В„ — свободный модуль с образующими U41 . . . | *„],
(xt ф 1), n-мерная коцепь f:Bn->-A—это П-модульный гомо-
гомоморфизм, который однозначно определяется своими значениями
на этих образующих. Следовательно, группа В" (П, А) из я-мерных
коцепей может быть отождествлена с множеством всех таких функ-
функций f от п аргументов хх из П со значениями в А, которые удовле-
удовлетворяют условию «нормализованное™»
1, •••,xi_i, I, xi+i, ...,*») = О,- /=1,..., п. E.7)
§ 5. В-резольвента
155
Сумма двух коцепей Д и /2 определяется суммированием значений:
относительно этого сложения множество Вп всех таких функций
/ является абелевой группой. Кограничный гомоморфизм б: Вп-+Вп~1
определяется формулой
E.8)
(-1)
и Нп (П, А) есть п-я группа когомологий этого комплекса.
Как функтор, Я" (П, А) контравариантен по аргументу (П, Л,ф):
если р = (S. а)— замена групп B.6), то индуцированное ото-
отображение р* : Я" (П',Л') ->Я"(П,Л) определяется для любого
f 6 В'п равенством
(Р*Л (Xi, ...,xn)=a
a:A'->A.
E.9)
В частности, при П — фиксированной группе Я" (П, А) — кова-
риантный функтор в категории П-модулей А.
Следствие 5.2. Для любого Ii-модуля А существует изо-
изоморфизм
, Л)^Я*(П, А),
естественный по аргументу А.
Поскольку В — свободная резольвента тривиального П-моду-
П-модуля Z, этот результат непосредственно вытекает из теоремы II 1.6.4;
он показывает, что группы когомологий групп являются частным
случаем функтора Ех{л, где R — групповое кольцо.
Для короткой точной последовательности Е : А >» В -» С
П-модулей следствие 5.2 и обычная точная последовательность
для Ext устанавливают существование точной последовательности
>Нп(П,А)->Нп(П,В)-*Нп(П, С)^Х ЯЛ+1(П, Л)-»-...
Связывающие гомоморфизмы Е* естественны по Е. При фикси-
фиксированной группе П группы когомологий Я" (П, А) являются
ковариантными функторами по аргументу А, которые могут быть
охарактеризованы вместе со связывающими гомоморфизмами тремя
аксиомами, аналогичными аксиомам для Ext (III.10): при-
156
Гл. IV. Когомология групп
веденная выше последовательность точна, Н° (П,А) ^ Аи
и Я" (П, J) = О, если п > О, а / — инъективный П-модуль.
Для конечной группы П пограничная формула устанавливает
любопытный результат.
Предложение 5.3. Если П — конечная группа поряд-
порядка k, то каждый элемент группы Я" (П, А) при п > 0 имеет поря-
порядок, делящий k.
Доказательство. Для любой л-мерной коцепи / опре-
определим (п—1)-коцепь g посредством формулы
, . . ., Xn_i) =
, . . ., Xn_i, x).
Сложим равенства E.8) для всех х — xn+i из П. Последний член
суммы не зависит от х; предпоследний член при фиксированном х„
дает
2 /(•••> -«n-l, ХпХ) = S /(•••, Xn-i, X) = g(..., Xn-i).
X
Следовательно, в результате имеем
зс?П
б/(лг±, ...,xn,x)=—8g(xi, ...,xn)+kf(xi, ...,
При 6/ = О из этого соотношения следует, что элемент kf = bg
является кограницей, откуда вытекает результат.
Следствие 5.4. Если П — конечная группа, a D — полная
абелева группа без кручения, любым образом превращенная в П-мо-
дуль, то Я" (П, D) = О при п> 0.
Доказательство. Для элемента g указанного выше
вида существует такая (п — 1)-мерная коцепь h, что g = kh. Тогда
kf = ± kbh. Поскольку в D нет элементов конечного порядка,
f = ± bh, т. е. коцикл / является кограницей.
Следствие 5.5. Если П — конечная группа, Р — фактор-
факторгруппа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе
целых чисел и если Р и Z — тривиальные П-модули, то Я2 (П,2) о*
эй Нот (П,Р).
Группа (абелева) Нот (П, Р) всех групповых гомоморфизмов
П -*~Р —это группа характеров группы П.
Доказательство. Аддитивная группа R действительных
чисел полна и не имеет элементов конечного порядка. Короткая
точная последовательность тривиальных П-модулей Z >-> R -» Р
порождает точную последовательность
I, R) -> ЯЧП, Р) -» Я*(П, Z) -> НЦП, R).
§ 5. В-резольвента
157
По следствию 5.4 обе крайние группы равны нулю; поскольку Р
имеет тривиальную модульную структуру, Я1 (П,Р) = Нот (II,Р).
Следовательно, связывающий гомоморфизм будет искомым изо-
изоморфизмом.
Для иллюстрации употребления резольвент рассмотрим опера-
операцию сопряжения с помощью фиксированного элемента t 6 П. Пусть
6( : П ->-П обозначает внутренний автоморфизм Qtx = 1ггх1, в то
время как для любого П-модуля A, at : А -*-А —автоморфизм,
задаваемый равенством ata = ta. Тогда х (ata) = xta = t (t^xta) =
= at [(Qtx) а], так что пара (Э4, at) : (П, А, ф) -*(П, А, ф)
является заменой групп в смысле B.6). Индуцированное отобра-
отображение групп когомологий необходимо является изоморфизмом,
однако справедливо более сильное утверждение. .
Предложение 5.6. Для любого П-модуля А сопряжение
с помощью фиксированного элемента t 6 П индуцирует тождествен-
тождественный изоморфизм
(е„а,)*:Я"(П,Л)->Я"(П,Л).
Доказательство. Определим модульный гомоморфизм
gt: Bn (Z (П)) -+Вп (Z (П)) формулой
gt(X[Xi\...\ Xn]) = Xt [t4yt | ... | t^Xit | ... | t*Xnt\.
Можно заметить, что gtd = dgt, т. e. gt — цепное преобразование
резольвент, накрывающее тождественное отображение Z ->¦ Z. По
теореме сравнения для резольвент, gt гомотопно тождественному
отображению, так что индуцированное отображение групп кого-
когомологий тождественно. Но это индуцированное отображение пере-
переводит каждую n-мерную коцепь / в gff, где
Ш (^, • ¦ •. ХП) = fgt [Xi | . . . | Xn] = tf (t*Xit, ..., t^Xnt).
Коцепь, стоящая справа, равна @t, at)*f no определению E.9),
откуда получаем требуемое заключение. Отметим, что теорема
сравнения позволила нам избежать построения явной гомотопии
gt с* 1.
Эта теорема может быть прочитана следующим образом: каждый
n-мерный коцикл / когомологичен определенному выше коциклу
gff. Подобно многим результатам в теории когомологий групп этот
результат был открыт для п — 2 из свойств расширений групп
(упражнение 3 ниже).
В ^-резольвенте Вп (Z (П)) — это свободные абелевы группы,
свободными образующими которых являются все символы
х [xt | . . . I Хп\, где все х6П и ни один из элементов х±, . . ., хп не
равен 1 ? П. Мы назовем эти символы неоднородными образующими
комплекса В. Далее, последовательность х, Xi, . . ., Хп элементов
из П определяет и определяется последовательностью элементов
Но = х, ух = ххи Уг — xXiXz, . . ., уп = xxt . . . Хп, из П, а равен-
158
Гл. IV. Когомология групп
ство xt — 1 превращается в равенство yt-i = у%. Следовательно,
образующие из Вп можно переписать с помощью yt ? П
(Уо, Уи •••¦, Уп) = Уа [У?У11УТУгI • • • IУп-1Уп], E.10)
и обратно:
X[Xt\ ... \ХП] = (Х, XXifXXiX2, ...,XXi, ...*„). E.11)
Перевод граничной формулы в эти обозначения доказывает
Предложение 5.7. Абедева группа Вп (Z (П)) содержит
элементы (у0 уп) из E.10) для всех у% 6 П. Если yt-i = уи
то (уо, ¦ ¦ •, Уп) = 0. Остальные злементы такого вида являются
свободными образующими группы Вп. Здесь 11-модульная структура
задается формулой
У(Уо,Уь---,Уп) = (ууо,УУи---,УУп), ¦ E.12)
а дифференциал д: Вп ->-?n-i определяется формулой
п
д(Уо, Уи...,уп)=> 2 (-1)*(йь •••,&, ...,уп), E.13)
i=0
где крышка над у% указывает на то, что у% нужно опустить.
Заметим, что в этом описании В (Z (П)) умножение из П исполь-
используется только в определении E.12) модульной структуры. Ввиду
формы этого определения символы (у0, • • •, Уп) называются одно-
однородными образующими Вп. Они имеют геометрическую интерпре-
интерпретацию. Если мы рассмотрим (у0, уи . . ., уп) как n-мерный сим-
симплекс а, йо вершину которого описывает элемент yt 6 П, то
(#о. • • •» Уи ¦ • ¦, уп) —это (п— 1)-мерный симплекс, который
является t-й гранью симплекса а, а граничная формула E.13) —
это обычная формула для границы симплекса как альтернирован-
альтернированной суммы его (п — 1)-мерных граней.
Неоднородные образующие можно подобным же образом рас-
рассматривать как систему обозначений ребер. Обозначим ребро сим-
симплекса, идущее от вершины i к вершине /, через ztj — ylYy}y так
что симплексы а и уо имеют одинаковые обозначения ребер,
zuz3h — 2;*. Следовательно, символы ребер Xt = z,-i,i определяют
все обозначения ребер с помощью умножения. Неоднородный
образующий х \х\\. ..| Хп] просто указывает эти обозначения
ребер Xi, а символ х = у0 указывает первую вершину, как показано
на диаграмме
§ 6. Характеристический класс группового расширения
159
Неоднородная граничная формула E.3) может быть вычитана из
этих обозначений для ребер. Этому схематическому описанию
можно придать точный геометрический смысл, если П — фунда-
фундаментальная группа пространства (Эйленберг — Маклейн [1945]).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что Р (Z (Щ) — ненормализованная В-резольвента —
вместе с подходящим пополнением является свободной П-модульной резоль-
резольвентой модуля Z.
2. Установить, что Opext (П,Л,ф) можно описать с помощью систем
факторов, которые удовлетворяют условию D.5), но не удовлетворяют усло-
условию нормализованности D.3). Найти единичный элемент группового расши-
расширения, заданного такой ненормализованной системой факторов.
3. Для п = 2 в предложении 5.6 показать непосредственно, что кого-
мологичные системы факторов f и gff определяют конгруэнтные элементы
в, Opext (IM.qp).
4. Показать, что Extg(n) (Z, А) — контравариантный функтор в кате-
категории %- замен групп, и доказать естественность изоморфизма 9 из след-
следствия 5.2.
§ 6. Характеристический класс группового расширения
Для п — 2 в следствии 5.2 устанавливается изоморфизм
Э : Ext|(n) (Z, А) ^ Я2 (П, А). F.1)
Следовательно, каждое групповое расширение Е группы А с помо-
помощью группы П_
вместе с заданными операторами ф должно определять двукратное
П-модульное расширение А при помощи тривиального модуля Z.
Весьма поучительно непосредственное построение этого модульного
расширения
Z(H)
F.2)
Для этого возьмем групповое кольцо Z (И) группы П вместе с попол-
пополнением е. Возьмем в качестве М фактормодуль М = F/L, где
F — свободный П-модуль с образующими [Ь], Ь ф 0 — произволь-
произвольный элемент из В, и условимся, что [0] = 0; a L — подмодуль
модуля F, порожденный всеми суммами [Ь± + Ь%[ — (a6t) [621 —
— [&1].где Ь\, 62€ Б. Модульные гомоморфизмы а и р из F.2) могут
быть тогда определены формулами аа — Ыа] + L, р ([&] + L) =
= оЬ — 1 ? Z (П). Ясно, что р<х = 0 и, еР = О, поэтому последо-
последовательность % (Е) из F.2) может рассматриваться как комплекс
160
Гл. IV. Когомология групп
П-модулей. Точность этой последовательности вытекает из сле-
следующей леммы.
Лемма 6.1. Как комплекс абелевых групп последовательность
F.2) имеет стягивающую гомотопию.
Доказательство. Стягивающая гомотопия s должна
состоять из таких гомоморфизмов s:Z-*-Z(II), s:Z(II)->-./W
и s : М -*-А абелевых групп, что es = lz, Ps + se = lz(n).
as + sP = lM и sa = lA. Первое условие выполняется, если поло-
положить si = 1, а второе выполняется, если положить sx = [и (х)] +
+ L, где и (х) 6 В — представитель х в В, аи (х) = х, а и A) = 0.
Для всех х и Ь элемент и (х) + Ь — и (х (ab)) лежит в ядре а,
так что существуют элементы h (x, Ь) 6 А, для которых
и (х) + Ъ = %h (x,b) + u(x (ab)).
Гомоморфизм s: М -*-А -можно определить, положив s (x [b] +
+ L) = h (x, b). Доказательство заканчивается проверкой того,
что as + sP = 1, sa = 1.
Тем самым данная короткая точная последовательность Е групп
определяет точную последовательность % (Е) модулей, т. е. эле-
элемент из Extz(n) B,А), называемый характеристическим классом
последовательности Е. То, что соответствие
%: Opext (П, А, <р) -+ Ext|(n) (Z, Л)
является изоморфизмом, будет вытекать из следующей теоремы,
относящейся к произведению % и Э из F.1):
Теорема 6.2. Произведение
Opext (П, А, ф) Л Exti(n) (Z, А) Л Я2 (П, А)
F.3)
является изоморфизмом, который сопоставляет каждому расши-
расширению Е класс когомологий одной из его систем факторов.
Набросок доказательства. Для применения опре-
определения Э мы должны найти цепное преобразование Б-резольвенты,
рассматриваемой как свободная резольвента тривиального моду-
модуля Z, в последовательность % (Е), также рассматриваемую как
резольвента Z. Такое цепное преобразование
> B2(Z(U)) -» Bi(Z(II)) ~> B0(Z(Yl)) -* Z -* О
-> А
о
м
B0(Z
II
> z
(П)
о
можно указать в терминах представителей и (х) для х из В с обыч-
обычной системой факторов для и (х) при помощи модульных гомо-
§ 7. Когомология циклических и свободных групп
161
морфизмов
gi[х] = [и(х)]-f L, gz[x\y] = f(x, у). F.4)
Когомологический класс последовательности % (Е) является тогда
когомологическим классом гомоморфизма g2 как коцикла из
B(Z(I1)), т. е. является когомологическим классом системы
факторов / расширения Е, что и утверждается в нашей теореме.
Указанное построение можно обратить, а именно Б-резоль-
вента дает двукратную точную последовательность, начинающуюся
с dBz и кончающуюся на Z. Умножение слева этой последова-
последовательности на коцикл / дает последовательность % (Е).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что отображения а и Р, определенные формулами F.2),
действительно являются модульными гомоморфизмами.
2. Закончить доказательство леммы 6.1, показав, в частности, что функ-
функция h, введенная там, удовлетворяет равенству h (x, b± + b<^=h (x {pb^),b^)
+ ft (x, bj), н поэтому отображение s : М -*¦ А корректно определено.
3. Выразить функцию А в терминах системы факторов /.
4. Проверить, что равенства F.4) задают цепное преобразование.
§ 7. Когомология циклических и свободных групп
Поскольку Я2 (П,Л) э* Extern B,Л), мы можем вычислить
группы когомологий определенной группы П, используя П-модуль-
ную резольвенту модуля Z, соответственно приспособленную к струк-
структуре группы П.
Пусть П = Ст (t) — мультипликативная циклическая группа
порядка т с образующим t. Групповое кольцо Г = Z (Cm (t)) —
m—i
это кольцо всех многочленов и = 2 attl0T переменного Нецелыми
коэффициентами at, взятое по модулю отношения tm = 1. Два
специальных элемента из Г — это элементы
= t-\.
G.1)
Очевидно, что ND = 0, в то время как для любого элемента и =
= 2 afi из Г
m—i 1т—1
j=0 \ i=0
т
= 2 (aj-i-aj
3=1
= a0.
Если Du = 0, то a0 = «i = • • • = am-i и и = Na0. Если Nu = 0, то
2аг = 0 и и - - D [а0 + (at + а0) t + . . . + (am.t + ...
¦ ¦ ¦ +а0) r-i].
11-353
162
Гл. IV. Когомология групп
Это означает, что последовательность П-модулей
Г^-Г^-Г^-Г, D1|cu = Du, N*u = Nu,
точна. Пополнение е: Г ->-Z действует на и так: ей = 2аь слег
довательно, из ги — О вытекает, что ,ы = Dv для некоторого v.
Учитывая все сказанное, устанавливаем, что длинная точная после-
последовательность
O^-Z^-Г^Г^-Г^Г* G.2)
является свободной резольвентой модуля Z. Эту резольвенту обычно
обозначают через W, особенно в алгебраической топологии, где
она существенно используется при вычислении когомологиче-
когомологических операций (Стинрод [1953]). ¦¦¦"¦¦
Для любого П-мод'уля А изоморфизм Ногпп (Г, А) ^ А ото-
отображает каждый гомоморфизм /: Г -+А в /A). Следовательно,
коцепной комплекс Ногпп (W, А) с обычным знаком б/ = (—1)п+1/д
для кограничного дифференциала становится последовательностью
-в*
-d*
начинающейся с размерности нуль, где N*a = Na, D*a = Da =
= (/ — 1) а. Ядром D* является подгруппа la | ta = а] всех
элементов из А, инвариантных относительно действия t?Cm,
а ядром N* является подгруппа всех таких элементов а из А, что
а + ta + . . . + t™'1 a = 0. Группы когомологий группы Ст —
это группы когомологий этого коцепного комплекса. Следователь-
Следовательно, нами получена
Теорема 7.1. Для конечной циклической группы Ст поряд-
порядка т с образующим t и Ст-модуля А группы когомологий таковы:
, n>0,
, n>0.
Заметим, что эти группы для п > 0 повторяются с периодом 2.
Теперь мы рассмотрим свободные группы.
Лемма 7.2. Если F — свободная группа со свободными обра-
образующими еи i 6 J, то группа Z% (F, А) изоморфна прямому про-
произведению UA t копий At Qsz А группы А, причем этот изоморфизм
устанавливается соответствием, отображающим каждый скре-
скрещенный гомоморфизм fв семейство {fet} его значений на образующих.
Доказательство. По определению свободная группа F
состоит из единицы и слов х = е\1 . . . егк от образующих с показа-
1 п>
§ 7. Когомология циклических и свободных групп
163
телями в/ = ± 1. Если мы предположим, что слово редуцировано
(т. е. е^ + eJ+i Ф 0, если i} = j,-+1), то это представление един-
единственно. Произведение двух слов получается приписыванием одного
слова к другому с последующим сокращением. Далее, скрещенный
гомоморфизм / удовлетворяет равенству / (xy) = xf (y) + f (x) и, сле-
следовательно, / A) = 0 и / (х-1) = — x~xf (x). Значит, / полностью
определяется своими значениями / (е;) = at ? А на свободных
образующих et. Обратно, если даны константы at в А, мы можем
положить / (et) = at?A и определить / (х) индукцией по длине
редуцированного слова х с помощью формул
/ (etx) = etf (x) + a,t f (етгх) = eff (x) - erV
Можно проверить, что эти формулы верны и тогда, когда слово
etx или е\хх не редуцировано, и, следовательно, так определенное
отображение / является скрещенным гомоморфизмом. Доказа-
Доказательство закончено.
Теперь рассмотрим точную последовательность B.4)
Z (/^-модулей
0
Z(F) Л Z-+0
G-3)
вместе со скрещенным гомоморфизмом р из F в / (F), заданным равен-
равенством рх = х — 1. По предложению 2.3 скрещенные гомоморфиз-
гомоморфизмы F в А взаимно однозначно соответствуют модульным гомо-
гомоморфизмам Л: / (F)—* А; действительно, каждый гомоморфизм h
определяет f = hp. В частности, fet = hpet = h (et — 1). Следо-
Следовательно, доказанная выше лемма утверждает, что гомоморфизм h
определяется своими значениями на элементах е, — 1 ? / (F). Это
значит, что / (F) — свободный F-модуль с образующими et — 1.
Поэтому последовательность G.3) является свободной резольвен-
резольвентой тривиального F-модуля Z и, следовательно, может быть исполь-
использована для вычисления групп когомологий группы F. Поскольку
эта резольвента равна нулю в размерностях, больших 1, мы полу-
получаем следующий результат:
п>
Теорема 7.3. Для свободной группы F, Hn{F,A) = 0
> 1
при
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать Н1 (F,A) для свободной группы F.
2. Доказать, что / (F) — свободный модуль без использования скре-
скрещенных гомоморфизмов.
3. Найти резольвенту для Z как тривиального модуля над свободной
абелевой группой П с двумя образующими и вычислить группы когомоло-
гин группы IL /¦?¦¦ '
II»
164
Гл. IV. Когомология групп
4. Определить произведение Ионеды для групп когомологий Hk (Cm,Z),
установив, что
S2™ : 0 -> Z -Л- Г -4 г-^ >Г-^> Z -^ О
— точная последовательность с 2л промежуточными членами Г и отображе-
отображениями, являющимися чередующимися умножениями на N и D, что для
я > 0 в Нот2™ (Ст, Z) = Ext2n (Z, Z) = ZlmZ имеется аддитивный обра-
образующий порядка т, определяемый классом конгруэнтности последователь-
последовательности S2", и что произведение S2nS2fe = S2<n+fe>.
5. Если ?0 — точная последовательность Z >* Z -*> Ст, в которой ото-
отображение Z-+ Z есть умножение на т, то показать, что характеристический
класс % (?о) в смысле § 6 является последовательностью S2 из упражнения 4.
Вывести отсюда, что Opext (Cm, Z) есть циклическая группа порядка т,
порожденная расширением ?0.
6. Пусть ?: Ст -*¦ Cft — гомоморфизм циклических групп. Для три-
тривиального П-модуля А из теоремы 7.1 вычислить индуцированное отображе-
отображение С* групп когомологий.
§ 8. Препятствия для расширений
Трехмерные группы когомологий появляются при изучении
расширений неабелевой группы G. Мы будем записывать операцию
в G как сложение, хотя группа G неабелева.
Для любого элемента ft из G обозначим через (д, (ft) или |д,д вну-
внутренний автоморфизм (Л/ig = ft + g — ft, т. е. трансформирование
элементом ft. Отображение ц,: G -> Aut G является гомоморфизмом
аддитивной группы G в мультипликативную группу Aut G всех
автоморфизмов G; образ jxG — это группа In G внутренних авто-
автоморфизмов группы G. Этот образ является нормальным делителем
в Aut G, так как если г\ 6 Aut G, то всегда
*\{mig) = 4(ti + g — h) = r\h + r\g — r\h-
и, значит,
тцд-лГ) = щ,/!, |д,л — трансформирование элементом ft. (8.1)
Факторгруппа AutG/InG называется группой классов авто-
автоморфизмов или внешних автоморфизмов группы G; она является
коядром гомоморфизма ц. : G —> Aut G. Ядро ц. называется цен-
центрам С группы G; центр состоит из всех таких элементов с ? G,
что с + g = g + с для любого g 6 G. Значит, последовательность
О -> С -> G Л AutG -> AutG/InG -> 1 (8.2)
точна.
Произвольное групповое расширение
Е:0
1
группы G с помощью группы П определяет путем трансформирова-
трансформирования в аддитивной группе В гомоморфизм Э:В-> Aut G, для которого
§ 8. Препятствия для расширений
165
Э (xG) c= In G. Значит, определяется индуцированный гомомор-
гомоморфизм г|з: П -»- Aut G/In G. Другими словами, для каждого элемента
b 6 ? автоморфизм g ->¦ fe + g1 — Ь группы G содержится в классе
автоморфизмов г|з (afe). Мы будем говорить, что расширение Е имеет
класс сопряокения if; таким образом, г|з указывает способ вложе-
вложения G в качестве нормального делителя в группу В. Обратно, назо-
назовем пару групп П, G и гомоморфизм г|з: П ->¦ Aut G/In G абстракт-
абстрактным ядром. Общая задача теории расширений групп состоит
в построении всех расширений Е с данным абстрактным ядром
(П, G, г|з), т. е. в построении всех коротких точных последователь-
последовательностей Е с данными концами G и П и данным классом сопряже-
сопряжения г|з. Как и в § 3, конгруэнтные расширения имеют общий класс
сопряжения.
Заданное расширение Е можно описать следующим образом.
Отождествим каждый элемент g 6 G с элементом xg 6 В. Выберем
для каждого х 6 П представитель и (х) 6 В, аи (х) = х, причем
и A) = 0. Тогда сопряжение элементом и (х) порождает авто-
автоморфизм ф (х) ? г|з (х) группы G:
(8.3)
Сумма и (х) + и (у) равна и (ху) с точностью до слагаемого из G,
который мы можем обозначить как / (х, у) 6 G,
u(x) + u(y) = f(x, y) + u(xy), х, у?П. (8.4)
Из закона ассоциативности для и (х) + и (у) + и (z) вытекает, что
[ф (х) f (У, г)] + / (х, уг) = f(x, y) + f (ху, г). (8.5)
Если бы группа G, содержащая значения функции /, была абелевой,
то это тождество означало бы, что б/ = 0. Следовательно, сопря-
сопряжение отдельно левой и отдельно правой частями равенства (8.4)
должно давать один и тот же автоморфизм в G, поэтому должно
иметь место равенство
), (8-6)
в котором утверждается, что ц/ измеряет степень отклонения ф
от гомоморфизма ф: П -> Aut G.
Обратно, эти условия могут быть использованы для построе-
построения расширения, как показывает следующая лемма.
Лемма 8.1. Пусть даны группы П, G и функции ф из П
в Aut G и f — из IIxIIeG, которые удовлетворяют равенствам
(8.5) и (8.6) и условиям нормализованности <р A) = 1, / (х, 1) =
= 0 = / A, у). Тогда множество Во (G, ф, /, П) всех пар (g, я)
является группой относительно операции, определенной формулой
, у), ху). (8.7)
166
Гл. IV. Когомология групп
Гомоморфизмы g-*(g, 1) и (g,x)-*-x задают расширение G >-»
'>* Во -»П группы G с помощью П, причем класс сопряжения этого
расширения определяется классом автоморфизмов, порожденным
функцией ф.
Доказательство. Обычное вычисление показывает, что
из (8.5) и (8.6) следует закон ассоциативности. В силу условия
нормализованное™ пара @, 1) — нуль, а (—/ (xr1, x) — <p(x~1)g, x'1)
являeтcяJ противоположным элементом для элемента (g, x).
Мы назовем группу Во = [G, ср, f, П], построенную указанным
способом, скрещенным произведением групп, а построенное рас-
расширение — расширением скрещенного произведения. Проведенный
перед последней леммой анализ показывает, что любое расширение
изоморфно подобному скрещенному произведению в следующем
точном смысле.
Лемма 8.2. Если ср A) = 1 для ср (х) 6 гр (*)> tno любое расши-
расширение Е абстрактного ядра (П, G, ip) конгруэнтно расширению
скрещенного произведения [G, ср, /, И] с данной функцией ф.
Доказательство. В данном расширении Е представи-
представители и (х) можно выбрать так, чтобы автоморфизм g ->¦ и (х) + g —
— и (х) принадлежал классу автоморфизмов гр (х). Произведем этот
выбор так, чтобы этот автоморфизм был ф (х). Тогда каждый эле-
элемент из В имеет единственное представление в виде# + и (х), а пра-
правила сложения (8.3) и (8.4) определяют сумму двух элементов так,
что при соответствии g + и (х) -*• (g, x) она переходит в соответст-
соответствующую сумму в скрещенном произведении (8.7). Это соответствие
есть конгруэнтность. Поэтому лемма доказана.
Теперь предположим, что задано только абстрактное ядро
(П, G, гр). В каждом классе автоморфизмов гр (х) выберем автомор-
автоморфизм ф (х), положив на всякий случай ф A) = 1. Поскольку гр —
гомоморфизм в Aut G/In G, автоморфизм ф (я) ф (у) ф (ху)-1 являет-
является внутренним. Для каждой пары элементов х, у 6 П выберем эле-
элемент / (х, у) из G, порождающий этот внутренний автоморфизм,
в частности, положим f (х, 1) = 0 = / A, у); тогда ф (х) ф (у) =
= ц. [/ (х, у)] ф (х, у), т. е. выполняется равенство (8.6). Мы хотели
бы, чтобы выполнялось равенство (8.5), однако это не всегда имеет
место. Закон ассоциативности для ф (х) ф (у) ф (z) показывает
только, что (8.5) выполняется после применения ц, к обеим частям.
Ядро (д, — это центр С группы G; следовательно, существует для
всех х, у, z такой элемент k (х, у, z) 6 С, что
f(x, yz) =
у, z) + f(x, y) + f(xy, z). (8.5')
§ 8. Препятствия для расширений
167
Очевидно, что k A, у, z) = k (x, 1, z) =- ft (х, у, 1) = 0, так что
эту функцию k можно рассматривать как нормализованную трех-
трехмерную коцепь группы П с коэффициентами в G.
Абелева группа С = ueHTp(G) может рассматриваться как
П-модуль, так как каждый автоморфизм ф {х) группы G переводит С
в С и индуцирует автоморфизм с -*• ф (х) с, для с 6 С, который не
зависит от выбора ф (х) в классе гр (х). Поэтому мы можем писать хс
вместо ф (х) с.
Мы называем коцепь k из (8.5') препятствием для абстрактного
ядра (П, G, гр). Существуют разные препятствия для данного ядра,
зависящие от выбора ф (х) 6 ip (x) и функции /, удовлетворяющей
(8.6). Однако если существует расширение Е, то, как уже показано
нами в (8.5), имеется препятствие k = 0. Значит, доказана
Л е м-м а 8.3. Абстрактное ядро (П, G, гр) имеет расширение
тогда и только тогда, когда одно из его препятствий есть коцепь,
тождественно равная нулю.
Теперь мы докажем следующую лемму.
Лемма 8.4. Любое препятствие k ядра (П, G, гр) является
неоднородным трехмерным коциклом в В (Z (П)).
Мы должны доказать, что 8& = 0. Это утверждение правдопо-
правдоподобно, так как в случае абелевости группы G и гомоморфности ф
определение (8.5') для k выглядело бы как k = б/, следовательно,
bk = 88/ = 0. Значит, нужно показать, что 86 по-прежнему есть 0
и в неабелевом случае. Точнее вычислим двумя способами выражение
L = q>(*)[q>(y)/(Z, t) + f(y, Zt)) + f(x, yzt)
для х, у, z, t 6 П. При первом способе применим (8.5") к внутрен-
внутренним членам, начинающимся с ф (у) f (z,t); после применения гомо-
гомоморфизма ф (*) к результату появляются члены ф (х) f (у, z)
и ф (х) f (yz, t), к каждому из которых снова применяем (8.5*)- Если
теперь члены k из центра поставить в начале, то наш результат
принимает вид
L = [xk(y, z, t)]+k(x, yz, t) + k(x, y, z) + U, (8.8)
где U — сокращение для выражения
U = f(x, y) + f(xy, z) + f(xyzt t).
При втором способе вычисления произведение автоморфизмов
Ф (х) Ф {у) при первом члене, получающемся при раскрытии скобок
в L, можно переписать с помощью (8.6), что дает
L = f{x, y) + <f(xy)f(z, t)-f(x, y) + <p(x)f(y, zt) + f(x, yzt).
168
Гл. IV. Когомология групп
Используя (8.5") для каждого члена, содержащего ф, и принадлеж-
принадлежность всех значений функции k центру, получаем
L = k(xy, z, t) + k(x, у, zt) + U, (8.9)
где U — то же самое, что и выше. Но члены, прибавленные к U
в (8.8) и (8.9), являются соответственно положительными и отри-
отрицательными членами в Ыг (х, у, z, t); следовательно, из сравнения
(8.8) и (8.9) вытекает, что 8k = 0, что и требовалось доказать.
Теперь мы исследуем, какое влияние оказывает изменение выбо-
выбора ср и / на построение препятствий для данного ядра.
Лемма 8.5. При данных ф (х) ? г|з (х) изменение выбора f в
(8.6) приводит к замене k когомологинным коциклом. При соответст-
соответствующем изменении выбора f можно заменить k любым когомологич-
ным коциклом.
Доказательство. Поскольку ядром ц. является центр С
группы G, при любом другом выборе функция / в (8.6) имеет вид
/'(*, y) = h(x, y) + f(x, у), h(x, l) = 0 = ft(l, у), (8.10)
где функция h принимает значения в С и, следовательно, может
рассматриваться как двумерный нормализованный коцикл группы
П со значениями в С. Теперь определение (8.5') по существу озна-
означает, что препятствие k есть кограница k = б/. Препятствие k"
для /" поэтому равно k" = б (h + f). Так как значения ft лежат
в центре, то мы можем написать б (h + f) = Fft) + (б/); значит,
новое препятствие имеет указанную в лемме форму. Поскольку
h в (8.10) можно выбрать произвольно в С, мы действительно можем
заменить k любым когомологичным коциклом.
Лемма 8.6. При изменении выбора автоморфизмов ф (х)
можно так изменить выбор функции f, чтобы препятствие k не изме-
изменилось.
Доказательство. Пусть автоморфизмы ф (х) ? г|з (х)
заменены автоморфизмами ф' (х) ?г|) (х), причем ф' A) = 1. Посколь-
Поскольку ф (х) и ф* (х) лежат в общем классе автоморфизмов, существует
такая функция g (х) со значениями в G, что g A).= 0 и ф' (х) =
== Iwf Ml Ф (*)• Используя (8.1) и (8.6), находим, что
Ф'(у) = цlg(х) + y(x)g(y) + f(x, y)-g(xy)]ф'(xy).
В качестве новой функции /' (х, у) мы можем выбрать выражение,
стоящее в скобках. Запишем это определение так:
f'(x, y) + g(xy) = g(x) + <p(x)g(y) + f(x, у). (8.11)
Это определение имеет вид /' = Fg) + /, так что мы должны были
бы иметь б/' = (бб#) + б/ = б/, если пренебречь затруднениями
ф'
§ 8. Препятствия для расширений
16»
с некоммутативностью сложения. Если действительно последова-
последовательно преобразовать выражение ф' (а:) /' {у, z) + /' (х, yz) +
-\-g (xyz) с помощью (8.11) и (8.6), то получим выражение
k (х, у, z) + f (х, у) + f (xy, z) + g (xyz), которое показывает, что-
препятствие k осталось прежним.
Эти результаты можно суммировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8.7. Для любого абстрактного ядра (П, G, Ир}
представим центр С группы G как Л-модуль с операторами хс —
= ф (х) с при некотором выборе автоморфизмов ф (х) 6 'ф (х). Сопо-
Сопоставление этому ядру класса когомологий любого из его препятствий
дает корректно определенный элемент Obs (П, G, г|з) 6 Hs (П, С).
Ядро (П, G, г|з) имеет расширение тогда и только тогда, когда
Obs (П, G, -ф) = 0.
Действительно, если класс когомологий препятствия k равен
нулю, то любое препятствие k имеет вид k = 6ft. По лемме 8.5 суще-
существует возможность выбрать функцию /' вместо / так, чтобы пре-
препятствие стало равным нулю тождественно; взяв эту функцию /'
в качестве системы факторов, можно построить расширение как
скрещенное произведение [G, ф, /", П].
Для окончания изучения проблемы расширений мы установим
ледующий результат о множестве расширений.
Теорема 8.8. Если абстрактное ядро (П, G, г|з) имеет расши-
расширение, то множество конгруэнтных классов расширений находится
во взаимно однозначном соответствии с множеством Н2 (П, С),
где С — центр группы G, рассматриваемый как П-модуль с П-мо-
дульной структурой, описанной в теореме 8.7.
В действительности мы докажем больше. Группа Я2 (П, С)*
действует как группа преобразований на множестве Opext (П, G,if),
причем это действие просто транзитивно, т. е. таково, что из
любого расширения Ео мы получим все конгруэнтные классы расши-
расширений (каждый класс по одному разу) с помощью элементов из
Я2 (П, С).
Доказательство. Запишем любое расширение-
Е ? Opext (П, G, т|з) как скрещенное произведение [G, ф, /, П].
Зафиксируем ф. Представим каждый элемент из Я2 (П, С) системой
факторов (двумерным коциклом) ft. Требуемая операция есть сопо-
сопоставление [G, ф, /, П]-> [G, ф, ft +/, П]. Сформулированные
свойства этой операции вытекают сразу. В частности, чтобы пока-
показать, что любое расширение Е" можно получить таким способом
из Е, запишем Е в виде скрещенного произведения [G, ф, /", Щ
с той же функцией ф, использовав лемму 8.2. Два раза применив-
(8.6), получим
x, у)].
170
Гл. IV. Когомология групп.
Из этого равенства следует, что элемент / (х, у) —/* С*. У) лежит
в ядре |л, т. е. в центре группы G. Если определить h как h (х, у) =
= — / (*> У) + Г (х, у), то (8.5) для / и /* показывает, что 8 Л = 0,
значит, h — коцикл и /* = h + /.
Действие элементов из Я2 на Opext можно также определить
в инвариантных терминах, не используя систем факторов. Предста-
Представим элемент из Я2(П,С) согласно теореме 4.1 как расширение
D группы С с помощью группы П с указанными операторами. Пусть
С xG — прямое произведение групп С и G. Определим «кодиаго-
нальное» отображение V:C xG -*- G, положив V (с, g) = с + g;
поскольку С — центр G, это отображение — гомоморфизм. Резуль-
Результат действия D на расширение Е из Opext (П, G, г|з) можно тогда
записать как V (D хЕ) Ап- Точно так же, как и в случае сложения
Бэра (упражнение 4.7), этот результат определяет расширение G
при помощи П с операторами *ф. Если мы вычислим систему факто-
факторов для этого расширения, то увидим, что она, как и выше, опре-
определяется отображением f-*-h + f.
§ 9. Реализация препятствий
Мы уже доказали, что препятствием для задачи расширения
является элемент из Я3 (П, С). Если С = 0, то препятствий нет,
и, следовательно, задача имеет решение, т. е. справедлива
Теорема 9.1. Если аддитивная, неабелева группа G не имеет
центра, то любое абстрактное ядро (П, G, ч|>) имеет расширение.
Полезно иметь прямое доказательство этого простого резуль-
результата. Поскольку группа G без центра, последовательность G >*
>* Aut G -=» Aut G/In G является расширением Ео; индуцирован-
индуцированное расширение Eoty из упражнения 4.1 и дает искомое расширение
¦G с помощью П и с операторами г|з.
В других случаях задача расширения может не иметь решения
В силу результатов § 7 бывают случаи (например, если П — конеч
ная циклическая группа), когда Я3 (П, С) Ф 0. Изложенная выше
теория препятствий дает возможность построить абстрактные ядра,
не имеющие расширений, при условии, если мы знаем, что каждый
трехмерный коцикл можно реализовать как препятствие. Этот
факт, интересный также и потому, что показывает «пригодность»
теории когомологий групп для решения проблемы расширения,
можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 9.2. Пусть группа П отлична от циклической
группы порядка 2, С есть U-модуль и k — произвольный когомоло-
когомологический класс из Я3 (П, С). Тогда существуют группа G с центром С
§ 9. Реализация препятствий
171
и гомоморфизм -ф: П -> Aut G/In G, индуцирующий ^заданную П-
модульную структуру в С, причем Obs (П, G, г|з) = k.
Эта теорема справедлива для всех групп П (см. Эйленберг —
Маклейн [1947]); случай, когда П имеет порядок 2, требует особого
доказательства.
Доказательство получается путем такого обращения рассмотре-
рассмотрений, приведших к определению препятствия, которое позволяет
построить «свободное» ядро с данным трехмерным коциклом k
в качестве препятствия.
Возьмем G = С xF, где С — данный П-модуль, a F — сво-
свободная (неабелева) группа с образующими [х, у], где х, у — про-
произвольные элементы из П, хФ 1, уф\. Будем записывать опе-
операцию в F и в G как сложение. Определим функцию / из П хП
в G id F, положив / (х, 1) = 0 = / A, у) и / (*, у) = [х, у] для
хФ\, уф\. Для каждого х 6 П определим эндоморфизм
Р (х) : G -v G, положив 0 {х) с = хс (используя модульную
структуру в С) и
Р(*Ш, z] = k(x, у, z) + f(x, y) + f(xy, z)-f(x, yz) (9.1)
для любого образующего [у, z] группы F. Поскольку функция k
нормализована (т. е. k (х, у, 1) = k (x, I, z) = k A, у, z) = 0,
это равенство выполняется также и в том случае, когда эле-
элемент [у, z] заменен элементом / (у, z), т. е. когда у или z есть 1.
Оно означает, что k = б/ в том же «неабелевом» смысле, что и в опре-
определении (8.5") для препятствий.
В силу определения |3 A) — тождественный автоморфизм. Мы
утверждаем, что для всех х, у 6 П
Р (х) Р (У) = Ц [/ (*, У)\ Р (*, y):G-+G. (9.2)
Действительно, при применении обеих частей этого равенства к эле-
элементу с из П-модуля С получается одинаковый результат; значит,
достаточно доказать, что эндоморфизмы из обеих частей равенства
(9.2) дают одинаковый результат на любом образующем [z,t]
группы F. Сначала вычислим Р (*) Р {у) [z,t], повторно применяя
определение (9.1) один раз к Р (у), а затем три раза к Р (х). Члены,
которые являются значениями функции k, лежат в С, а потому
в центре G, так что их можно собрать вместе. Они будут содержать
все члены из б& (х, у, z, i), кроме члена — k {xy, z, t). Так как
bk = 0, эти члены можно заменить членом k (xy, z, t). В резуль-
результате получим
P(*)P(y)[z, *] = /(*, y) + k(xy, z, t) + f(xy, z)+f(xyz, t)-
-f(xy, zt)-f(x, y) = f{x, y) + $(xy)[z, t]-f(x, y) =
= V4f(x, y)№(xy)[z, t].
Этим равенство (9.2) доказано.
172
Гл. IV. Когомология групп
Мы утверждаем, что каждый эндоморфизм р (х) является авто-
автоморфизмом в G. В самом деле из (9.2) следует, что р (х) р (л:-1) =
= [д, [/ (х, х-1)] р A) = (Д. [/ (я, л:-1)] — внутренний автоморфизм.
Следовательно, ядро р (л:-1) равно 0, а образ р (х) равен G. Так как
элемент л: произволен, то мы и получаем наше утверждение.
Обозначим через г|з (х) класс автоморфизмов, содержащий Р (х).
По (9.2) г|з — это гомоморфизм Ир : П ->¦ Aut G/In G, значит,
(II,G, г|з)—абстрактное ядро. Поскольку группа П отлична от цикли-
циклической группы порядка 2, мы можем считать, что в П имеется
более чем два элемента. Тогда свободная группа F имеет более
одного образующего, и поэтому без центра, так что группа С в точ-
точности совпадает с центром группы G — С xF. Но наше построение
было задумано так, чтобы получить k как препятствие для данного
ядра. Тем самым теорема доказана.
Нами установлено соответствие между абстрактными ядрами
с центром С и группой Я3 (П, С). Это соответствие можно преобра-
преобразовать таким образом, чтобы получился групповой изоморфизм.
Сначала надо определить отношение подобия между абстрактными
ядрами: два ядра подобны тогда и только тогда, когда они имеют
общее препятствие. Относительно подходящего произведения ядер
группа классов подобия ядер (П, G, г|з) с фиксированной группой П
и фиксированным П-модулем С в качестве центра становится изо-
изоморфной группе Я3 (П, С). Подробности даны в работе Эйленберга
и Маклейна [1947].
Какая-либо разумная аналогичная интерпретация групп
Я* (П, С) или групп когомологий более высоких размерностей
неизвестна.
§ 10. Теорема Шура
Теперь мы применим системы факторов к одной задаче теории
групп.
Для любого множества S совокупность Aut S всех взаимно одно-
однозначных отображений S на себя является группой относительно
умножения отображений. Говорят, что (мультипликативная) группа
G действует на множестве S, если задан гомоморфизм fi : G->- Aut S.
Эквивалентно, для каждого элемента g 6 G и каждой «точки» s ? S
однозначно определена точка gs = ц (g) s 6 S, причем (gig2) s =
— ?i igzs) и Is = s. Траекторией точки s0 € 5 относительно дейст-
действия группы G называется множество всех точек gso, где g 6 G;
любая другая точка в этом подмножестве имеет ту же траекторию.
Все множество S является объединением попарно непересекающихся
траекторий. Множество всех элементов h 6 G, для которых hs0 =
= s0, есть подгруппа Я, называемая группой фиксирующей s0.
Соответствие gH -*¦ gs0 является взаимно однозначным отображени-
§ 10. Теорема Шура
173
ем левых смежных классов G по Я на траекторию точки s0. По опре-
определению число таких смежных классов — это индекс [G : Н] под-
подгруппы Я; если индекс конечен, то, следовательно, конечно число
точек траектории. Значит, когда конечная группа G действует на
множестве S, число точек в каждой траектории является делителем
порядка группы G.
Возьмем за S множество всех подгрупп U данной группы G.
Соответствие U -*- gUg-1 определяет действие G на S; говорят, что
G действует на S с помощью трансформирования. Аналогичным
образом группа G (или любая ее подгруппа) действует с помощью
сопряжения на множестве элементов этой группы.
Теорема 10.1. (Теорема Коши.) Если порядок п конечной
группы G делится на простое число р, moG содержит элемент поряд-
порядка р.
Доказательство проводится индукцией по п. Пусть G действует
на множестве своих элементов с помощью сопряжения. Траекто-
Траектория элемента с состоит только из с в том случае, когда gcg-1 = с
для всех g 6 G, т. е. тогда, когда с лежит в центре С группы G. Пусть
т обозначает порядок подгруппы С, a kt > 1 — число точек в i-й
траектории, не лежащей в С, ?= 1, . . ., t. Поскольку G есть
объединение непересекающихся между собой траекторий, имеем
я = т + ki + . . .+ kt.
Если т делится на р, то представим абелеву группу С как пря-
прямую сумму циклических групп; тогда одно из слагаемых имеет
порядок, который делится на р и поэтому содержит элемент поряд-
порядка р. С другой стороны, если тир взаимно просты, то хотя бы одно
из чисел ki также взаимно просто с р. Но kt — это число точек
некоторой траектории и, значит, равно индексу [G : Н] некоторой
подгруппы. Поскольку р не делит ku порядок подгруппы Я делится
на р. По индуктивному предположению в Я содержится элемент
порядка р.
Группа называется р-группой, если порядок каждого элемента
является степенью простого числа р. По теореме Коши конечные
р-группы можно также описать как группы, порядок которых есть
степень простого числа р.
Теорема 10.2. Любая конечная р-группа Ф\ имеет центр
Доказательство. Пусть р-группа действует с помощью
сопряжения на множестве своих элементов. Каждая траектория
состоит из рт* точек для некоторого показателя mt > 0; вместе
во всех траекториях имеется рп элементов группы. Поскольку траек-
траектория 1 состоит только из 1, рп = 1 + 2рт*. Следовательно, по
174
Гл. IV. Когомология групп
крайней мере еще р — 1 траекторий состоят только из одного эле*
мента с. Эти элементы лежат в центре С, и поэтому С Ф 1.
Максимальная р-подгруппа — это р-группа Р с С, которая
не содержится ни в какой большей р-подгруппе группы G. В силу
теоремы Коши конечная группа порядка п имеет по крайней мере
одну максимальную р-подгруппу ^=1 для каждого простого делителя
р числа п.
Говорят, что подгруппа U группы G нормализует подгруппу V,
если uVu-1 = V для всех и 6 U, т. е. если V — одноточечная траек-
траектория при действии U на подгруппы из G.
Лемма 10.3. Если Р и Q — максимальные р-подгруппы в G
и Р нормализует Q, то Р — Q.
Доказательство. Пусть PQ обозначает подгруппу из G,
порожденную Р и Q. Поскольку Р нормализует Q, то Q является
нормальным делителем в PQ. Поскольку Р является р-группой/
то и факторгруппа PIP [\ Q^PQIQ является р-группой. Значит,
группа PQ есть расширение р-группы Q с помощью р-группы
PIP П Q и, значит, сама является р-группой. Так как Р не со-
содержится ни в какой большей р-подгруппе, то Р = PQ, откуда
Р о Q. Так как Q не содержится в большей р-подгруппе, то Р =
Любая подгруппа, сопряженная с максимальной р-подгруппой,
сама является максимальной р-подгруппой. Более того, имеет место
Теорема 10.4. Любые две максимальные р-подгруппы конеч-
конечной группы сопряжены.
Доказательство. Пусть S ¦¦— множество всех подгрупп,
сопряженных в G, с некоторой максимальной р-подгруппой Р, и пусть
Р действует на S с помощью сопряжения. По лемме точка Р' ? S
является одноточечной траекторией только тогда, когда Р* = Р.
Число точек в любой другой траектории является индексом под-
подгруппы из Р и поэтому делится на р. Следовательно, число точек
в S сравнимо с 1 по модулю р.
Любая максимальная р-подгруппа Q 6 G действует на S с по-
помощью сопряжения. При этом действии каждая траектория имеет
или одну точку, или число точек делится на р. Установленное выше
сравнение показывает, что существует одноточечная траектория Р*.
Другими словами, Q нормализует некоторую подгруппу Р", сопря-
сопряженную с Р, так что по лемме Q = Р* и сама сопряжена с Р.
Теорема 10.5. {Теорема Шура — Цассенхауза.) Если целые
числа тип взаимно просты, то любое расширение группы порядка
т с помощью группы порядка п расщепляется.
§ 10. Теорема Щура
175
Доказательство. Пусть G >-» В -» П — такое группо-
групповое расширение, в котором G имеет порядок т,аП — порядок п..
Это расширение расщепляется, если для а есть правый обратный,
т. е. если В содержит подгруппу (также порядка п), которая отоб-
отображается изоморфно на П эпиморфизмом а.
Предположим сначала, что группа G абелева. Тогда данное
расширение есть элемент е 6 Н2 (II,G). По предложению 5.3
пе — 0; очевидно, что те = 0. Поскольку тип взаимно просты, е =
= 0, поэтому расширение расщепляется.
Для неабелевой группы G доказательство проводится индукцией
по порядку т группы G. Достаточно доказать, что расширение В
содержит подгруппу порядка п, так как такая подгруппа отобра-
отобразится при гомоморфизме В -*¦ П на П изоморфно.
Возьмем простое число р, делящее т, и максимальную р-подгруп-
р-подгруппу Р в В. Нормализатор N подгруппы Р определяется как множество
всех элементов Ъ, для которых ЬРЬ'1 = Р. Индекс [В : N] пока-
показывает тогда число подгрупп, сопряженных с Р в группе В. Все
эти сопряженные подгруппы должны лежать в G и являются там
максимальными р-подгруппами. По теореме 10.4 они все сопря-
сопряжены в G. Пересечение G{]N является нормализатором Р в G, поэто-
поэтому индекс [G : G {] N] равен числу подгрупп, сопряженных с Р,
и, следовательно, равен [В : N]. Это равенство индексов (см. диаг-
диаграмму) доказывает, что п = [В : G] = [N : G П N].
В
N
С-'
'н
к
Теперь Р и G П N — нормальные делители в N, а факторгруппа
N IP является расширением группы (G [\ N)/P, порядок которой
является собственным делителем числа т, при помощи группы
N/G П N порядка п. По предположению индукции в NIP содер-
содержится подгруппа порядка п, которую можно представить в виде
HIP для некоторого Я, где Р с= Н с= N и [Я : Р] = п. Центр С
176
Гл. IV. Когомология групп
группы Р по теореме 10.2 отличен от 1. При трансформировании
элементами изЯс N группа Р, а следовательно и С, отображаются
на себя, так что С и Р — нормальные делители в Н. Значит, Н 1С
есть расширение р-группы Р/С с помощью группы HIP порядка п,
взаимно простого с р. Поскольку Сф\, порядок группы Р/С
меньше т; по предположению индукции существует подгруппа
К 1С с HIC порядка п. Эта группа К есть расширение абелевой
р-группы С при помощи группы К 1С порядка п и, значит, расщеп-
расщепляется, так как для абелева случая утверждение уже доказано.
Это расщепление выделяет подгруппу L а К порядка п, которая
расщепляет также исходное расширение В.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Первая теорема Силова.) Если порядок конечной группы G делится
на степень pk простого числа р, то в G имеется подгруппа порядка ph.
2. Если рп — наибольшая степень р, делящая порядок группы G, то
каждая максимальная р-подгруппа из G имеет порядок рп.
3. Пусть порядок конечной группы П взаимно прост с порядком конеч-
конечной абелевой группы А. Показать, что Нп (П, А) = 0 для я > 0 и любой
П-модульной структуры в А.
4. Пусть а: В -»П — расширение абелевой группы G порядка т
с помощью группы П порядка п, причем (я, т.) = 1, как в теореме Шура —
Цассенхауза. Если S и Т — две подгруппы из В, изоморфно отображаю-
отображающиеся на П при отображении а, то можно показать, что S и Т сопряжены
<; помощью элемента из G (использовать равенство Н1 (П, G) = 0).
§ 11. Пространства с операторами
Проиллюстрируем геометрический смысл групп когомологий
группы исследованием пространств с операторами.
Для произвольного топологического пространства X обозна-
обозначим через Aut (X) группу всех гомеоморфизмов X с самим собой.
Группа П действует на пространстве X, если задан гомоморфизм
|г : П -v Aut (X). Эквивалентно, каждому элементу а ? П и каж-
каждой точке х 6 X однозначно сопоставлена точка ах = ц (а) х 6 X
таким образом, что отображение ах непрерывно по х при каждом
фиксированном а и (а^) х = at {a^c), \х = х. Открытое множест-
множество U из X называется собственным (относительно действия П),
если at/ П U = 0 (пустое множество) для всякого аф 1. Любое
открытое подмножество собственного множества собственно. Гово-
Говорят, что группа П действует собственным образом, если каждая
точка из X содержится в собственном открытом множестве; тогда
каждое открытое множество в X является объединением собствен-
собственных открытых множеств, так что собственные открытые множества
образуют базу топологии пространства X. Если П действует соб-
§ 11. Пространства с операторами
177
ственным образом, то ни один гомеоморфизм ц, (а) с а Ф 1 не остав-
оставляет на месте ни одной точки х.
Предположим теперь, что П действует собственным образом
на X. Факторпространство Х/П — это пространство, точками
которого служат траектории точек из X при действии группы П.
Пусть проекция р : X -*¦ Х/П — это отображение, сопоставляющее
каждой точке х ее траекторию рх. Значит, pxi = px2 тогда и только
тогда, когда существует такой элемент a € П, что ах^ = *2- Топо-
Топология в Х/П определяется выбором множеств pU в качестве базы
открытых множеств, где U — собственное открытое множество
из X относительно П; множества V = pU называются собственными
в Х/П.
Предложение 11.1. Отображение р : X-*¦ Х/П непре-
непрерывно. Пространство Х/П покрыто собственными открытыми
множествами V; каждое множество р~гУ есть объединение таких
попарно непересекающихся открытых множеств Ua, для которых
ограничение р | Ua является гомеоморфизмом Ua ^ V. |
Это предложение утверждает, что X есть «накрывающее прост-
пространство» для Х/П относительно отображения p. Ua при этом являют-
являются листами пространства X над V.
Доказательство. Если U — собственное множество
и V = pU, то р~гУ является объединением множеств aU для а 6 П.
Эти множества попарно не пересекаются в силу того, что U соб-
собственно. Каждое множество aU отображается на V при отображении
р, причем все эти множества собственны и отображаются на собст-
собственные множества в Х/П, так что р | aU, действительно, гомеомор-
гомеоморфизм.
Например, пусть X — действительная прямая Е1, а П — беско-
бесконечная (мультипликативная) циклическая группа с образующим с,
действующая на Е1 по правилу chx = х + k для любого целого k.
Тогда открытые интервалы на прямой длины, меньшей чем 1, явля-
являются собственными открытыми множествами, так что П действует
собственным образом. Факторпространство ?'1/П гомеоморфно еди-
единичной окружности S1. Если мы отождествим Я1/П с S1, то отобра-
отображение р : Е1 -> S1 принимает вид рх = e2nix и накручивает пря-
прямую Я1 на окружность S1. Аналогично свободная абелева группа
с двумя образующими Ь и с собственно действует на евклидовой
плоскости ?а по правилу &V (х, у) = (х + k, у + I); здесь b —
это горизонтальный сдвиг, ас — вертикальный сдвиг на одну и ту
же единицу. Факторпространство Е2/П — это двумерный тор
S1 xS1. Далее, циклическая группа порядка 2 собственно дейст-
действует на двумерной сфере S2, отображая каждую точку в диаметраль-
диаметрально противоположную; при этом S2fU — действительная проектив-
12-353
178
IV. Когомология групп
ная плоскость. Во всех этих случаях X — «универсальное накры-
накрывающее пространство» пространства Х/П, аП —«фундаментальная
группа» Х/П (Ху Сы-Цзян [1959]).
Теперь рассмотрим сингулярную гомологию пространства X,
определенную в гл. II.
Лемма 11.2. Если группа П действует собственным образом
на пространстве X, то сингулярный комплекс S (X) является ком-
комплексом свободных И-модулей.
Доказательство. Группа Sn (X) n-мерных цепей — это
свободная абелева группа, порожденная сингулярными п-мерными
симплексами Т:Дп-»-Х. Для каждого а 6 П произведение аТ
также является сингулярным л-мерным симплексом; опера-
операторы Т -*- аТ превращают Sn (X) в П-модуль. Если dtT есть
i-я грань симплекса Т, то a{dtT) = d% (аТ), следовательно,
д = 2 (—1)* dt: Sn ->¦ Sn-i есть П-модульный гомоморфизм. Зна-
Значит, S (X) — комплекс П-модулей. Для доказательства того, что
модуль Sn (X) свободен, выберем некоторое подмножество Х<> сг X
(«фундаментальная область»), содержащее ровно по одному эле-
элементу из каждой траектории пространства X относительно действия
П. Тогда те сингулярные n-мерные симплексы Т, первая вершина
которых принадлежит Хо, образуют множество свободных образую-
образующих для Sn (X) как модуля.
Лемма 11.3. Если группа П действует собственным образом
на пространстве X, то любой симплекс Т : Ап -+¦ Х/П можно пред-
представить в виде Т — рТ", где Т" : Ап ->¦ X. При подходящем выборе
для каждого Т одного 7" симплексы 7" образуют множество свобод-
свободных образующих в Sn (X) как в И-модуле.
Мы будем говорить, что Т можно накрыть отображением 7";
возможность такого накрытия в действительности вытекает из более
общего факта накрытия отображений в накрывающем пространстве.
Доказательство. Если симплекс Т «мал», т. е. Т (Дп)
содержится в собственном открытом подмножестве V из Х/П, и если
U — произвольный лист над V, то Т накрывается отображением
Т" = (р | U)-1 Т в U'. Общий случай может быть сведен к рассмот-
рассмотренному разбиением А™ на малые куски и последовательным накры-
накрытием Т на этих кусках. Технически проще сделать это, заменив А"
на n-мерный куб 1п — I х . . . X/ (п множителей), где / — еди-
единичный интервал. Поскольку Ап и /" гомеоморфны, достаточно
накрыть отображение Т: /п-»-Х/П. Куб./" покрывается прооб-
прообразами Т-1 (V) собственных открытых множеств из Х/П. Посколь-
Поскольку /" — компактное метрическое пространство, по лемме Лебега
существует такое действительное е > 0, что каждое подмножество
§ 11. Пространства с операторами
179
с диаметром, меньшим чем е, лежит в одном из Т~х (V). Теперь
разобьем /" на конгруэнтные n-мерные кубы с диаметром, меньшим
е, и ребрами, параллельными осям. Тогда Т можно последовательно
накрыть на кубах этого разбиения, начиная с кубов, лежащих
на нижнем основании. Когда приходится накрывать Т на одном
из кубов, то непрерывное накрытие 7" оказывается определенным
на некотором связном множестве граней этого куба, целиком содер-
содержащемся внутри одного листа U над некоторым собственным множе-
множеством V; на остатке куба Т накрывается тогда при помощи (р | U)'1.
Этим доказательство закончено.
Предложение 11.4. Если группа П действует собственным
образом на пространстве X, а абелева группа А имеет тривиаль-
тривиальную И.-модульную структуру, то отображение р: X -*¦ Х/П инду-
индуцирует изоморфизм р*: Homz (S (Х/П), A) a* Homn (S (X), А)
цепных комплексов и, следовательно, изоморфизм
р*:Яп(Х/П, Л)^//п(НотпE(Х), А)). A1.1)
Доказательство. Коцепь /: Sn (Х/П) ->¦ А однознач-
однозначно определяется своими значениями на n-мерных симплексах Т
из Х/П, в то время как коцепь /* из S (X), будучи модульным гомо-
гомоморфизмом /': Sn (X)-> А, однозначно определяется значениями
на свободных образующих Т" модуля Sn (X). Поскольку эти обра-
образующие находятся во взаимно однозначном соответствии Т" -*-
-*¦ рТ' с образующими модуля S (X /П) в силу леммы 11.3 и по-
поскольку (р*/) Т" = f(pT), утверждение доказано.
Вообще, если А — произвольный П-модуль, то группы кого-
мологий комплекса Homn (S (X), А) известны как группы экви-
вариантных когомологий пространства X с коэффициентами из Л;
в этой общей ситуации теорема остается верной, если
Нп (Х/П, А) интерпретировать как группу когомологий простран-
пространства Х/П с «локальными коэффициентами» из А, определенными
так, как это было сделано Эйленбергом [1947] и ЭйленбергомиМак-
лейном [1949]. Теперь мы докажем основной результат.
Теорема 11.5. Если группа П действует собственным обра-
образом на ацикличном пространстве X и если А — абелева группа с три-
тривиальной И-модульной структурой, то существует изоморфизм
Я"(Х/П, А)я*Нп(П, А), п = 0, 1, ..., A1.2)
естественный по аргументу А, между группами когомологий фак-
торпространства Х/П и группами когоМологий группы П.
Доказательство. Предположение об ацикличности про-
пространства X означает, что Нп (S (X)) = 0 для п > 0 и Но (S (X)) ^
е* 2. Последний изоморфизм порождает эпиморфизм So (X) ->¦ Z
12*
180
Гл. IV. Когомология групп
с ядром dSi (X). Значит, точная последовательность П-модулей
... -*St (X)->S0(X)-+.Z-+0
является свободной резольвентой тривиального модуля Z. Следова-
Следовательно, эквивариантные группы когомологий для S (X) равны
Extz(n) (Z,A), а в силу следствия 5.2 и Нп (П, А).
Система (X, П), состоящая из топологического пространства
с собственной группой операторов П, может рассматриваться как
объект категории, морфизмами р: (Х,П) -v (Х",1Г) которой
являются пары р = (?, у), где g : X -*- X" — непрерывное отобра-
отображение, а у : П ->- П' — групповой гомоморфизм, причем для всех
х 6 X и а?П выполняется g {ах) = (т>а) ?дс. Изоморфизм A1.2)
естествен относительно этих отображений.
Эта теорема дает геометрическую интерпретацию для всех групп
когомологий группы П. Предположим известными некоторые поня-
понятия теории гомотопий. Пусть Y — линейно связное топологиче-
топологическое пространство с фундаментальной группой П = я4 (У). Тогда,
если Y имеет соответствующую локальную связность, то можно
построить универсальное накрывающее пространство; это простран-
пространство, в котором группа П действует собственно таким образом, что
Y гомеоморфно Х/П. Предположим, что У асферично (т. е. все выс-
высшие группы гомотопий исчезают). Тогда можно доказать, что уни-
универсальное накрывающее пространство ациклично. С помощью
теоремы 11.5 убеждаемся в том, что группы когомологий асферич-
асферичного пространства Y в действительности изоморфны группам кого-
когомологий фундаментальной группы пространства Y.
Замечания. Тот факт, что когомологий асферичного пространства Y
зависят только от фундаментальной группы, был доказан Гуревичем [1935],
а выражение этой зависимости с точки зрения когомологий групп было уста-
установлено Эйленбергом и Маклейном [1943, 1945b] и независимо позднее
Экманом [1945 — 1946]. Имеется соответствующий результат, выражающий
гомологии пространства Y через гомологии группы П, найденный Хопфом
[1945] и независимо от него Фрейденталем [1946]. Все эти исследования были
стимулированы работой Хопфа [1942] о влиянии фундаментальной группы
на вторую группу гомологии пространства. Это направление исследований
послужило толчком для изучения групп когомологнй всех размерностей
и явилось исходным пунктом гомологической алгебры. Одномерные группы
когомологий (скрещенные гомоморфизмы) были известны давно; двумерные
группы когомологнй в облике систем факторов появились также достаточно
давно при изучении расширений групп Шрейером [1926], Бэром [1934,
1935], Холлом [1938] и Фиттингом [1938]. Ранее Шур рассматривал проек-
проективные представления р грущш П. Каждое представление р есть гомомор-
гомоморфизм П в группу проективных коллинеаций комплексного проективного
n-мерного пространства и, следовательно, может быть представлено как
множество (я + 1)Х(л + 1) невырожденных комплексных матриц Ах для
х 6 П, причем АхАу = f (х, у) Аху, где / (х, у) — комплексное число, отлич-
дое от нуля. Эти числа / образуют систему факторов для П в мультиплика-
§ 11. Пространства с операторами
181
тивной группе С* комплексных чисел, отличных от нуля. Поэтому «муль-
«мультипликатор» Шура — это группа когомологий Н2 (П,С*) с тривиальной
П-модульной структурой в С*. (Из современной литературы см. Асано —
Седа [1935], Фрухт [1955], Кохендёрфер [1956].)
Проективные представления бесконечных групп изучались Макки
[1958]. Трехмерные группы когомологнй группы впервые рассматривались
Тейхмюллером [1940] при изучении простых алгебр над числовым полем.
Когомологии групп широко применялись в теории полей классов: Хох-
шнльд [1950], Тэйт [1952], Артин — Тэйт [I960].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что множество V тогда и только тогда открыто в Х/П,
когда p~xV открыто в X. (Это означает, что Х/Л имеет стандартную тополо-
топологию «факторпространства».)
2. Построить в явном виде гомеоморфизм между Ди и 1п.
ГЛАВА
V
Тензорное и периодическое
умножения
§ 1. Тензорные произведения
Пусть G — правый /^-модуль, a A — левый /^-модуль; эту ситу-
ситуацию мы будем отмечать как GR, BA. Тензорным произведением
G ®и А этих модулей называется абелева группа, порожденная
символами g®a, где g?G, a?A, связанными соотношениями
a') = g ® a+g® a', A.1)
A.2)
g®
Более формально, это определение описывает группу G ®R A
как факторгруппу (G°A)/S, где Go A—свободная абелева
группа, образующими которой служат все символы g ° a, a
S — подгруппа группы G ° А, порожденная всеми элементами
вида (g + g') ° a — go a — g" ° a, g ° (а + а') — g ° a —go а'
и gr о а — go га. Тогда символ g ® а обозначает смежный класс
(go a) + S из (GoA)/S.
Замысел этого построения состоит в том, что в группе G ®R A
каждый элемент из А можно «умножить» на любой элемент из G
и получить «произведение» g ® а; при этом желательно, чтобы про-
произведение было дистрибутивным в смысле A.1) и ассоциативным
в смысле A.2). Более точно, пусть GxA — прямое произведение
множеств G и А, а М — произвольная абелева группа. Назовем
функцию / из G хА в М биаддитивной, если тождественно имеют
место соотношения
1, CL)^f{g, a)+f(g', a), f(g, a + a') = f(g, a) + f(g, a');
A.3)
назовем функцию внутренне ассоциативной, если всегда
f(gr, a) = f(g, ra). A.4)
Если функция / удовлетворяет обоим условиям, то назовем ее
внутренне линейной. Тогда функция g ® а внутренне линейна
по определению, а группа G <8>и А является универсальной областью
§ 1. Тензорные произведения
183
определения для любой внутренне линейной функции / в следую-
следующем смысле.
Теорема 1.1. Если даны модули GR и RA и внутренне линей-
линейная функция f из б х А в абелеву группу М, то существует един-
единственный гомоморфизм со : G ®R A -*- М абелевых групп, для кото-
которого со (g ® a) = f (g, a).
Доказательство. Формула со (g ® a) = / (g, а) опреде-
определяет со на образующих группы G ®н А; из предположения о внут-
внутренней линейности / следует, что со «сохраняет» соотношения A.1)
и A.2), определяющие группу G®RA. Следовательно, со — гомо-
гомоморфизм и притом, очевидно, единственный, обладающий нужными
свойствами. Это доказательство есть сокращенное изложение сле-
следующего рассуждения: поскольку G ° А — свободная абелева
группа с образующими g о а, существует единственный гомомор-
гомоморфизм со': G о А ~> М, для которого со' (g о а) = f (g,a). Пред-
Предположения о / показывают, что со* отображает подгруппу S в
нуль. Следовательно, со* разлагается в произведение G ° А -*~
-*- (G о A)/S -*¦ М; второй множитель этого разложения и есть
искомый гомоморфизм со.
Эта теорема имеет много приложений. Во-первых, она дает уни-
универсальное свойство группы Мо = G ®R А, которое однозначно
(с точностью до изоморфизма Мо) характеризует эту группу и вну-
внутренне линейную функцию ® : G хА -*- Мо. Поэтому эта теорема
может рассматриваться как аксиоматическое определение тензор-
тензорного произведения. Во-вторых, эта теорема утверждает, что всякая
внутренне линейная функция / может быть получена из одной такой
функции ® при помощи умножения на групповой гомоморфизм со;
в этом смысле теорема сводит внутренне Линейные функции к гомо-
гомоморфизмам. Наконец, теорема утверждает, что гомоморфизм со
с областью определения G ® R А однозначно определяется заданием
образов символов g ® а относительно со при условии, что эти обра-
образы аддитивны по g а аи внутренне ассоциативны относительно эле-
элементов из R.
Последнее утверждение мы будем постоянно использовать при
построении отображений со.
Например, если у: GR-> Gr и a: RA -*-RA' суть ^-модульные
гомоморфизмы, то в группе G'®RA" можно образовать элементы
yg <g) aa, причем они будут внутренне ассоциативны и аддитивны
по g ? G и а ? А. Следовательно, существует гомоморфизм
У <Е> а : G (g)B A -v G'®RA', такой, что (у ® a) (g <g> a) = yg® aa.
Очевидно, что 1« ® 1А = 1 и что для согласованных отображений
ТТ" ® аа" = (у ® а) (у' ®а'), значит, G ®R A — ковариантный
бифунктор от аргументов А и G. Кроме того,
®( P. (Yi + Y2) ® a = Yi ® a + Y? ® a. A.5)
184
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Эти равенства можно применить к диаграмме прямой суммы и полу-
получить изоморфизм
?• G ®лИ©B)^(G®в^)© (G(g)BВ). A-6)
С другой стороны, поскольку отображение (g <g) a, g (g) fe) внутрен-
внутренне линейно по g и (а, 6), мы можем построить изоморфизм ? непо-
непосредственно с помощью теоремы 1.1 как такой гомоморфизм
С : G ®и (Л © В) -»- (G ®л Л) © (G <g)B В), что ? [g <g) (а, Ь)] =
= (g <g> а> g (g) fe); ?-x можно построить, используя отображения
g (g) a -v g (g) (а, 0) и g <g) fe -»- g <g) @, b).
Кольцо R можно рассматривать или как левый, или.как правый
модуль над самим собой. Для модулей GB и RA имеются изоморфиз-
изоморфизмы (абелевых групп)
G ®rR^uG, R(&RA^zA, 0-7)
которые задаются отображениями g <g) r -*¦ gr, r (g) a -*¦ га.
Если р: S->¦ R — кольцевой гомоморфизм, то каждый правый
/^-модуль G становится правым 5-модулем Gp при следующем опре-
определении действия операторов: gs = g (ps). Аналогично каждый
левый Я-модуль А становится левым S-модулем РА; это «отступление
вдоль р», определенное в II 1.6. Если р': Т-> S — второй кольце-
кольцевой гомоморфизм, то G(pp') = (GP)P', а (рР')Л = р- (РА), т. е. в обрат-
обратном порядке.
Лемма 1.2. (Лемма об отступлении.) Для любого кольцевого
гомоморфизма р : S -*¦ R и модулей GR, RA, RC существуют естест-
естественные гомоморфизмы
Р# : (GP) ® s (И) ->• G ®и А, р# : Ногпн (С,А) -* Homs (PC,PA).
A.8)
Если р — эпиморфизм, то оба гомоморфизма р# и р# являются изо-
изоморфизмами.
Доказательство. Для любых элементов g 6 G, а 6 А,
gs (g)B a = gp (s) (g)B a = g (g)B p (s) a = g (g>H sa>
так что функция g (g)H а внутренне S-ассоциативна. Поэтому по
теореме 1.1 отображение р# (g (g)sa) = g <g)B a определяет гомо-
гомоморфизм. Если р G?) = S, то для р# имеется обратное отображение
g<g>H a-*-g <g)s a. Аналогично каждый 7?-модульный гомоморфизм
/: С -*¦ А является S-модульным гомоморфизмом и обратно, если
Р (S) = R.
Как правило, мы не будем писать индекс р у модулей Gp, PA,
если он подразумевается в G (g)s A.
§ 1. Тензорные произведения
185
Абелева группа А является модулем над кольцом целых чисел Z,
поэтому наше определение тензорного произведения включает
в себя определение тензорного произведения G ® А двух абелевых
групп (здесь знак ® стоит вместо ®z)- В этом случае любая биад-
дитивная функция / (g, а) автоматически внутренне ассоциативна,
потому что для любого натурального числа т
f(mg, a) =
= /te. ma).
Это равенство выполняется также и для отрицательных т, посколь-
поскольку / (—g, a) = —f (g, a) = f(g, —а). Следовательно, условие
внутренней ассоциативности A.2) можно в определении <gJ опу-
опустить.
Тензорное произведение конечных абелевых групп можно точ-
точно вычислить. Для каждого положительного целого числа т обоз-
обозначим через Zm (go) циклическую группу с образующим g0 порядка
т, а через тА обозначим подгруппу группы А, которая состоит
из всех кратных та элементов а 6 А. Мы утверждаем, что изомор-
изоморфизм
Zm(gu)®A A.9)
можно задать, положив ц(а + тА) = g0 (g) а. Действительно,
поскольку go ® ma = mg0 ® о. = 0, произведение go ® а зависит
только от смежного класса элемента а по подгруппе тА, следова-
следовательно, т} — гомоморфизм AlmA -*¦ Zm ® А. Для построения гомо-
гомоморфизма, обратного к ч\, заметим, что любой образующий тензор-
тензорного произведения имеет вид kg0 ® а для некоторого k 6 2;
поскольку произведение ka дистрибутивно по обоим множителям,
формула г|з (kgo ® а) = ka + тА определяет гомоморфизм, направ-
направленный справа налево в A.9). Очевидно, что tyr\ — 1, в то время как
¦ф!3 {kgo ® a) = go ® ka — kgo ® а, так что и туф = 1. Значит,
т) и г|з — взаимно обратные изоморфизмы, что и доказывает A.9).
Ввиду A.7) имеется также изоморфизм Z <g) А з* А. Поскольку
любая конечно порожденная абелева группа является прямой сум-
суммой циклических групп Z и Zm, эти формулы вместе с A.6) дают
способ вычисления G ® А, где G— конечно порожденная группа.
Отметим также, что G ® А о* A <g) G. .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что 2m(g)Zn s Z(m,n), где (т, п) —наибольший общий дели-
делитель т и п.
2. Показать, что
186
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
3. Показать, что тензорное произведение двух свободных модулей есть
свободная абелева группа.
4. Если Q — аддитивная группа рациональных чисел, то показать, что
Q <g) Q s Q.
§ 2. Модули над коммутативными кольцами
Значение тензорных произведений можно показать, разобрав
несколько других частных случаев. Если К — коммутатив-
коммутативное кольцо (как обычно, с единицей), то любой левый К-модуль
Л можно рассматривать и как правый К-модуль; просто считая
по определению кратные ak, где k 6 К, равными ka. Равенство
a (kkr) — (ak) k' выполнено в силу коммутативности кольца
К: a (kk') = (k'k) a = k' (ka) — (ak) k'; остальные аксиомы из
определения правого модуля устанавливаются еще более непосред-
непосредственно. Ввиду этого замечания бесполезно делать различие между
левыми и правыми модулями над К; вместо этого мы будем просто
говорить о модулях, и писать скалярные множители с той стороны,
с какой будет удобнее.
Тензорное произведение Л <g)KB модулей Л и В над коммутатив-
коммутативным кольцом К является не только абелевой группой, но даже К-
модулем, если умножение на элементы из К (для образующих)
определить следующим образом:
k (a <g) b)'= (ka) ® 6 (или = a <g) kb).
B.1)
Это определение приводит к видоизменению теоремы 1.1. Пусть
А, В и М являются К-модулями. Назовем функцию /, опреде-
определенную на А хВ со значениями в М, К-билинейной, если / (а, Ь)
есть К-линейная функция каждого аргумента при фиксирован-
фиксированном другом аргументе (т. е. / (k^ + k2a2, b) = Щ (аи b) +
+ k2f (п2, b)). Значит, a <g) b — это К-билинейная функция из А х В
в А ®к В, и из теоремы 1.1 следует, что любая К-билинейная функ-
функция / из А хВ в М может быть записана в виде / (а, Ь) — ю (a <g) b),
где со — однозначно определенный гомоморфизм К-модулей
со : А ®КВ -+М.
Поскольку тензорное произведение Л®КВ также является
К-модулем, можно образовать итерированное тензорное произве-
произведение типа (Л ®к5) <8>кС; это итерированное произведение ассо-
ассоциативно и коммутативно в том смысле, что отображения ? [(a <g)
<g) b) <g) с] = a <g) (b <g) с) и т (a <g) b) = b <g) а определяют есте-
естественные изоморфизмы
(? ® С), т : Л О В^
B.2)
§ 2. Модули над коммутативными кольцами
187
К-модулей; где ® есть сокращение для ®к- Функция (a® b) ® с
будет ^.-трилинейна (т. е. К-линейна по каждому аргументу
в отдельности) и универсальна среди всех К-трилинейных функ-
функций, определенных в Л хВ хС со значениями в К-модулях.
То же самое верно для К-полилинейных функций любого числа
аргументов.
Аналогично (см. 1.6) группа Нотк (Л, В) становится К-моду-
К-модулем, если для каждого гомоморфизма /: Л ->¦ В кратное kf : Л ->- В
определить как (kf) (a) — k (fa).
Модуль над полем F — это просто векторное пространство V,
a HomF (У, W) — это векторное пространство всех линейных
преобразований / : V -*¦ W. Предположим, что V и W имеют конеч-
конечные базисы {еи . . ., ет} и {fti, . . ., К) соответственно. Это зна-
значит, что V есть прямая сумма 2^ег копий Fet поля F. Поскольку
функтор Нот переводит конечные прямые суммы в прямые суммы,
Нот*. (V, U?) есть векторное пространство размерности тп сог-
согласно обычному представлению линейных преобразований
/ : V -*¦ W матрицами размера m xn. Поскольку тензорное про-
произведение аддитивно, пространство V (8>i? W имеет базис из тп
векторов ег (g) hj и, следовательно, имеет размерность тп. В част-
частности, ^юбой вектор «из V ®F V однозначно представим в виде
и = 2 xi} (et <S)ej); тг констант х1' 6 F известны как «компоненты»
тензора и относительно базиса {е;}. При изменении базисов можно
вычислить соответствующее изменение этих компонент xi}. Клас-
Классический тензорный анализ, использующий строго аксиоматическое
определение тензорного произведения, описывает двухвалентные
ковариантные тензоры (элементы и из V ®F V) строго в терминах
таких компонент и их преобразований при изменении базиса.
Тензор с одним ковариантным и одним контравариантным индекса-
индексами является по определению элементом из V ®F V*, где V* =
= Нот*. (V, F) — сопряженное пространство. В этом случае базис
{et} определяет сопряженный базис {е1} в V*. Любой тензор из
V <g)j. V* имеет единственное представление в виде суммы
2 х) (et ® е1) и поэтому определяется своими компонентами х),
i, j = 1, . . . , п.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть новый базис {е\} конечномерного пространства V задан фор-
формулами ej = 2j t3iej- Вычислить соответствующее преобразование компонент
a) дваждь* ковариантиого тензора из V ®F V\
b) тензора из V <g)p V*.
2. Описать преобразование компонент для тензоров, ковариантных
по г индексам и контравариантных по s индексам.
188
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
§ 3. Бимодули
Если R и S — два кольца, то tf-S-бимодуль А (обозначение
RAS) — это абелева группа, являющаяся одновременно левым
^-модулем и правым S-модулем, причем имеет место тождество
(ra)s = r (as). Например, любое кольцо R есть /?-/?-бимодуль;
любой левый 7?-модуль можно рассматривать как ^-Z-бимодуль;
любой К-модуль над коммутативным кольцом К есть К-К-бимо-
дуль и т. д. Если А и В являются /J-S-бимодулями, то мы обозначим
через Нотд-s (А, В) абелеву группу всех бимодульных гомомор-
гомоморфизмов /: А ->¦ В, т. е. группу всех таких групповых гомоморфиз-
гомоморфизмов /, для которых г (fa) s = / (ras) тождественно. Бимодуль RAS
с помощью кольцевых гомоморфизмов р: R'->-R и a: S" ~v S
превращается в /J'-S'-бимодуль рАа.
Функторы Нот и <g) переводят подходящие бимодули в бимо-
бимодули. Для того чтобы показать, как это происходит, возьмем любые
три кольца Т, R и S. Тогда имеет место импликация
TGB&H.4s=^T[G<g)H4]S) C.1)
где бимодульная структура, указанная справа, определяется на
образующих согласно теореме 1.1 следующим образом: / {g (g) a) s =
= tg (g) as. Заметим, что формула t (g (g) a) = tg (g) а, кото-
которая превращает G <g) А в левый модуль над Т, по существу,
совпадает с формулой у (g <g) a) = (yg) (g) а, которая превращает
G®RA в ковариантный функтор аргумента G. Аналогично имеется
импликация
SCR & TAR =» т[Нотя (С, А)]в,
C.2)
где бимодульная структура справа определяется, если для каж-
каждого гомоморфизма /: С-*• А положить (tfs) (с) = t [f (sc)]. Чита-
Читатель должен убедиться в том, что таким образом порождается T-S-
бимодуль, заметив, что бимодульные тождества ассоциативности
s (cr) = (sc) rut (ar) = (ta) r используются при установлении гомо-
морфности отображения tfs правых /^-модулей, если / — такой
гомоморфизм. Следует отметить также, что контравариантность
функтора Нотн по аргументу С изменяет левые операторы из S в С
на правые операторы из S в Нотв (С, А). В случае S = Т группа
Homs-й (С, А) бимодульных гомоморфизмов может быть описана
как множество всех тех элементов / S-S-бимодуля Нотв (С, А),
для которых sf = fs. Для гомоморфизмов левых модулей аналогом
C.2) является импликация
RCS&RAT==> s[HomR (С, А)]т.
C.3)
Эндоморфизмом правого ^-модуля А по. определению считается
^-модульный гомоморфизм f: А ->- А. Относительно сложения
§ 3. Бимодули
189
и умножения множество всех 7?-эндоморфизмов модуля А образует
кольцо EndB (A) = HomH (А, А) с единицей 1д. Равенство (fa) г =
= / (аг), которое утверждает, что / — гомоморфизм правых ^-моду-
^-модулей, утверждает также, что А есть EndB (Л)-#-бимодуль. Если
SAR — бимодуль, то левое умножение lt на элемент s 6 S, опреде-
определяемое как lsa = sa, есть R-эндоморфизм модуля А, а соответствие
S-+- ls является кольцевым гомоморфизмом S -> EndB (А). Обратно,
если дан модуль AR и кольцевой гомоморфизм S ->¦ Endn (A),
«отступление» вдоль этого гомоморфизма определяет бимодуль
SAR. При нашем изучении ExtB (С, А) (гл. III) мы показали, как
умножать элемент So 6 6 Ext? (С, А) слева на гомоморфизм
а : А -*¦ А" и справа на гомоморфизм у : С" -*• С; при этом мы дока-
доказали (лемма II 1.1.6) конгруэнтность (aS0) у == a (Soy). Для эндо-
эндоморфизмов а и у это означает, что ExtS (С, А) есть EndB (A)-
EndH (С)-бимодуль. Если мы «оттянем» эту бимодульную структу-
структуру вдоль T-»-EndBC и S->EndH-^, то мы получим импликацию
TCR&sAR=^s[ExtR(C, A)]T, C.4)
такую же, как и в C.2) при п = 0.
Функция от двух переменных / (а,Ь) может быть превращена
в функцию r\f первого переменного а, значениями которой являются
функции второго переменного, в соответствии с формулой [(уф а\Ь =
= / (а, Ь). Эта замена двух аргументов, независимых друг от друга,
последовательными аргументами появляется во многих случаях,
например при изучении топологии пространств функций. В насто-
настоящем контексте она принимает следующую форму, которую мы назо-
назовем сопряженной ассоциативностью Нот и <g).
Теорема 3.1. Если R и S — кольца, а А, В и С — модули,
находящиеся в ситуации AR, RBS, Cs, то существует естествен-
естественный изоморфизм абелевых групп
r\: Homs (A ® RB, С) & Нотв (A, Homs (В, С)), C.5)
определенный для каждого гомоморфизма f: A (g)B В ->- С посред-
посредством формулы
](b) = f(a®b), a?A, b?B. C.6)
Доказательство проводится непосредственно. Именно, сна-
сначала устанавливаем, что C.6) сопоставляет каждому элементу а 6 А
и каждому S-модульному гомоморфизму / : A <g)B В -> С функцию
F ~ К1!/) о], которая как функция аргумента Ь является S-гомо-
морфизмом [(r\f) а]: В-*- С. Затем проверяем, что r\f как функция
от а есть /^-модульный гомоморфизм А в Homs (В, С). Наконец,
устанавливаем, что r\(fi + /2) = "n/i + Л/г. так что т] — групповой
гомоморфизм, что и утверждалось.
190
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Для доказательства изоморфности г\ построим обратное отобра-
отображение ?. Для этой цели возьмем произвольный правый ^-модуль-
^-модульный гомоморфизм g: A -*¦ Homs (В, С) и рассмотрим функцию
(ga) b, a ? А, Ь 6 В. Любой элемент г из R действует на а справа,
а на Ь слева, причем
Это равенство имеет место потому, что g есть ^-модульный гомомор-
гомоморфизм и в силу определения действия г на гомоморфизм ga: В-*- С.
Это равенство есть свойство «внутренней ассоциативности» для
функции (ga) b от аргументов а и Ь. Следовательно, по теореме 1.1
отображение
определяет гомоморфизм tg : А ®и В -*¦ С. Устанавливается, что
?: Нотл (A, Homs (В, Q) -*¦ Homs (А ®л В, С) есть гомоморфизм
и что оба произведения %г\ и г\? равны тождественным отображениям.
И область определения, и область значений С являются значениями
функторов от аргументов А, В я С, ковариантных по С и контра-
вариантных по Л и В. Более того, С и т) являются естественными
гомоморфизмами этих функторов.
Следствие 3.2. Если U, R, S и Т — кольца, a VAR, RBSr
ТС8 — бимодули, то отображение г\ из C.5) является изоморфизмом
T-U-бимодулей. Если U = Т, то г\ индуцирует естественный изо-
изоморфизм
r\': HomT.s (A ® RB, С) s* Нотт.и {A, Homs (В, С)). C.7)
Доказательство. Описание правой (/-модульной струк-
структуры на членах формулы C.5) и описание этих же членов как функ-
функторов аргумента А даются идентичными формулами. Значит, из
естественности г\ (по А я С) следует, что г\ есть Т-(/-модульный гомо-
гомоморфизм. В случае U = Т из сказанного вытекает C.7).
В качестве другого приложения мы докажем
Следствие 3.3. Если модуль PR проекшивен как R-модуль,
а бимодуль RP's проективен как S-модуль, то тензорное произве-
произведение Р ®R P" является проективным S-модулем.
Доказательство. Высказывание о S-проективности Р"
означает, что для каждого эпиморфизма S-модулей В -» С инду-
индуцированное отображение Homs (P', В) -*¦ Homs (Р\ С) является
эпиморфизмом 7?-модулей. Поскольку Р проективен как Я-модуль,
отображение
Нотя(Р, Homs(P', В))->Нотл(Р, Homs(P', Q)
§ 4. Сопряженные модули
191
есть эпиморфизм. Применение сопряженной ассоциативности к каж-
каждому члену этого отображения показывает, что Р <g>B Р" — проек^
тивный S-модуль.
Упрощенным аналогом сопряженной ассоциативности является
ассоциативность тензорного произведения. В ситуации AR, RBs,
SC соответствие (a (g) b) <g> с -*¦ a <g> (b (g) с) порождает естествен-
естественный изоморфизм
(A ® RB) ® s C^ A ® R(B ® eC). C.8)
Если дополнительно имеем иЛв и SCT, то этот изоморфизм есть изо-
изоморфизм (/-Т-бимодулей. Мы обычно будем отождествлять оба
члена из C.8) при помощи указанного изоморфизма.
Для модулей А и, RB мы также вводим отождествление
A®RR--=A, #<g>BB = B C.9)
при помощи естественных изоморфизмов a <g> г -*• аг и г ® b-*- rb.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если А я В — левые /?-модули, то показать, что Нот/ (А,В)
является /?-^?-бимодулем и что подгруппа Нотд(Л, В) состоит из тех груп-
групповых гомоморфизмов /: А -*¦ В, для которых г/ = fr.
2. Для модулей Gr и дЛ показать, что G (g)j{ А есть Епёд (G) -
EndR (Л)-бимодуль.
3. Для /^-S-бимодулей С и Л определить группу Extft-s (С, А) бимо-
дульных расширений А при помощи С.
4. Установить «перестановочную» сопряженную ассоциативность
Нот (А <2) В, С) и Нот (В, Нот (А, С)).
Вывести отсюда, что если цРц — проективный tZ-модуль, а цР' — проек-
проективный /^-модуль, то Р B)д Р' есть проективный tZ-модуль.
5. В ситуации Лк, Вк, Ск, где К — коммутативное кольцо, установить
естественный изоморфизм Нотк (А, Нотк (В, С)) m HomK (В, Нотк(Л, С))
для К-модулей.
§ 4. Сопряженные модули
Сопряженным или дуальным (двойственным) к левому /?-моду-
лю А называется правый R-модуль А* = HomB (A, R). Таким
образом, элемент из А*—это jR-модульное отображение f\A-*-
-*¦ R, в то время как fr : А -*¦ R есть /^-модульное отображение,
определенное для каждого элемента а 6 А равенством (fr) a =
= (fa) г. Сопряженным к /^-модульному гомоморфизму а : А -*¦
-*¦ А' является гомоморфизм а* = Нот (а, 1): А'* -*¦ А*, так
что сопряженность — это контравариантный функтор из категории
192
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
левых модулей в категорию правых модулей. Аналогично сопря-
сопряженным к правому ^-модулю G является левый Я-модуль G*.
Для левых модулей Л и В имеется естественный изоморфизм
¦^A*№)B*.
D.1)
Действительно, в диаграмме прямой суммы А ^ А @ В ^ В возь-
возьмем вместо каждого объекта сопряженный объект, а вместо каж-
каждого отображения — сопряженное отображение; в результате мы
опять получим диаграмму прямой суммы, при этом вложения
\,А : А ->- А @ В и 1д станут проекциями i\ : (А @ В)* -*~ А*
и ij.
Ввиду свойств функтора Нот короткая точная последователь-
последовательность А >-» В -» С индуцирует точную слева последовательность
С* >-» В* -> А*. Другими словами, если Л с В, то модуль (В/А)* ^
^=z С* изоморфен подмодулю модуля В*, который состоит из всех
гомоморфизмов / : В -*~ R, аннулирующих А. Назовем этот под-
подмодуль аннулятором модуля А, обозначение: АппШЛ; значит,
(В/А)* eiAxmih A czB*f B*/AnnihA>*A*. D.2)
Для каждого левого R-модуля А существует естественный гомо-
гомоморфизм
, R), R), D.3)
который сопоставляет каждому элементу а 6 А отображение
фа : А* -*- R, (ера) f = f (а). Другими словами, выражение / (а)
при фиксированном а рассматривается как линейная функция эле-
элемента / 6 А*.
Теорема 4.1. Если L — конечно порожденный проектив-
проективный левый R-модуль, то L* — конечно порожденный проективный
правый R-модуль. Для такого модуля L отображение <р : L -*¦ L**
является естественным изоморфизмом.
Доказательство. Если F — свободный модуль с обра-
образующими в\, . . ., вп, то мы можем определить элементы eJ в F*,
положив
0, если 1Ф j.
Любой гомоморфизм / : F -*- R однозначно определяется эле-
элементами fet = rt ? R, следовательно, / = 2 ehj и F* — свободный
модуль с образующими е1, . . ., еп. Говорят, что они образуют
базис, сопряженный к базису et, . . ., е„. Отображение ф*. перево-
переводит et в базисные элементы, сопряженные к е1', и поэтому <pF : F ->
->¦ F** — изоморфизм.
§ 4. Сопряженные модули
193
Если L — конечно порожденный проективный модуль, то суще-
существует такой свободный модуль F с конечным числом образующих,
что F -» L и F ^ L © L'; модуль U также конечно порожден
и проективен. Следовательно, F* я* L* @ V* и L © L' ^ F ^ F** s*
^ L** @ L'**; при этом изоморфизме L отображается на L**
с помощью фь, откуда и вытекает наше утверждение.
Например, если R — поле, то любой конечно порожденный
модуль V (т. е. любое конечномерное векторное пространство) сво-
свободен. Для таких пространств V** з* V, а при V id W
<Y/W)*s* Annih W; WAnnih W & W*.
Для левых модулей Л и С существует естественный гомоморфизм
?:Л*®йС-^Нотв(Л, С), D.4)
определенный для каждого гомоморфизма /: Л ->¦ R и каждого
с ? С равенством [? (/ ® с)] а = / (а) с для всех а. Можно прове-
проверить, что ? (/ ® с) — модульный гомоморфизм Л -*¦ С и что этот
гомоморфизм является биаддитивной и внутренне ассоциативной
функцией от / и с.
Предложение 4.2. Если L — конечно порожденный проек-
проективный левый R-модуль, то Z, является естественным изоморфизмом
I = Сь : I* <8>д С & Нотд (L, С).
Например, если V и W — конечномерные векторные простран-
пространства, то положим L = V* и С = W. Тогда L* ^ V, так что изо-
изоморфизм С устанавливает соответствие V ® W ^ Нот (V*, W).
Значит, тензорное произведение векторных пространств конечной
размерности может быть определено с помощью функтора Нот и со-
сопряженных модулей. С другой стороны, V ® W — пространство,
сопряженное к пространству билинейных отображений прямого
произведения VxW в основное поле.
Доказательство. Сначала предположим, что модуль
L = F свободен, a eit . . ., еп —его образующие. Относительно
сопряженного базиса е\ . . ., еп каждый элемент из F* <g) С имеет
единственное представление в виде S el ® с,, где константы ct 6 С.
Но ? B ех <g> Ci) = f — это такой гомоморфизм / : F -*¦ С, что
/ (ej) = С], j = 1, . . ., п. Поскольку F — свободный модуль,
любой гомоморфизм /: F-*~ С однозначно определяется своими зна-
значениями / (е,) для всех /.' Следовательно, Zf — изоморфизм. Слу-
Случай конечно порожденного проективного модуля L рассматривается
теперь так же, как и в доказательстве теоремы 4.1.
Предложение 4.3. Если L и В — модули над коммута-
коммутативным кольцом К и если модуль L конечно порожден и проективен,
то существует естественный изоморфизм г|з : L* <g) В* & (L <g) 5)*.
13-353
194
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Доказательство. Для любых двух К-модулей Л и В
определим естественный гомоморфизм г|з : Л* <g> В* -> (Л ® В)*,
положив для / ? Л*, g 6 В*
Это отображение г|з является произведением
А*® В* Л Нот (А, В*) = Нот (А, Нот (В, К)) &б Нот (A <g> В, К)
гомоморфизма ? из D.4) и изоморфизма сопряженной ассоциатив-
ассоциативности. Последний множитель всегда есть изоморфизм, а С — изо-
изоморфизм, если А = L — конечно порожденный проективный
модуль.
Замечание. Дальнейшее изучение сопряженности можно найти
у Дьедонне [1958], Морита [1958], Басса [1960] или Дженса [1961].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для каждого модуля дЛ показать, что отображение 9 (a (g) /) = fa
определяет бимодульный гомоморфизм 6: A ®z А* -*¦ R-
2. Для модулей rA, Gr бнмодульный гомоморфизм i|) : A ®z G -*¦ R
называется спариванием. Показать, что гомоморфизм г|з определяет такой
гомоморфизм i|)g: G -*¦ А*, что i|) = 8 A (g> tyG), где гомоморфизм в опре-
определен в упражнении 1.
3. Для каждого /?-модуля А показать, что произведение
равно единице.
§ 5. Точность справа тензорных произведений
Тензорное умножение сохраняет точность коротких точных
справа последовательностей.
s о
Теорема 5.1. Если G — правый R-модуль, a D -> В -» С —
точная последовательность левых R-модулей, то
E.1)
является точной последовательностью (абелевых групп).
Доказательство. Построим точную последователь-
последовательность
в которой L — коядро 1 <Е> р\ и сравним ее с последовательностью
E.1). Произведение A <g> a) A ® р*)=1 ®а0 равно нулю, поэтому
гомоморфизм 1 <g> о представим в виде .а"т) для некоторого гомомор-
5. Точность справа тензорных произведений
195
физма о* : L-*-G ®н С. Поскольку а (В) = С, для каждого эле-
элемента с из С найдется такой элемент Ь, что ab = с. В силу точности
в В каждый элемент r\ (g <g) b) зависит только от g ? G и с?С,
но не зависит от выбора Ь. Более того, функция r\ (g (g) b) биадди-
тивна и внутренне ассоциативна. Следовательно, по теореме 1.1
имеется гомоморфизм ш : G <g)H C-*~ L, для которого ю (g (g) с) =
= Л (g<S> b) и а'ю = 1, а>а" = 1. Поэтому изоморфизм ю : G (8>л С^L
дает изоморфизм последовательности E.1) с построенной после-
последовательностью, и, следовательно, последовательность E.1) точна.
Следствие 5.2. Тензорное произведение двух эпиморфизмов
является эпиморфизмом.
Доказательство. Если т и а — эпиморфизмы, то по
теореме т® 1 и 1 ® о также эпиморфизмы, а значит, и их произ-
произведение (т <g> 1) A <g) a) = т <g) а является эпиморфизмом. О ядре
отображения т®а см. лемму VII 1.3.2 или упражнение 3 в конце
параграфа.
Было бы неверным утверждать в теореме 5.1, что короткая
точная последовательность (х, а) : Л >-> В -» С порождает корот-
короткую точную последовательность, подобную последовательности E.1),
так как если х : А -*¦ В — мономорфизм, то гомоморфизм
1 ®K:G(g)RA-*-G(g)RB может не быть мономорфизмом. Чтобы
показать это, положим R = Z, А = 2Z (группа четных чисел),
В = Z, х — вложение, G — Z2 (g) — циклическая группа порядка
2 с образующим g. Тогда, как подсчитано в A.9), тензорное произ-
произведение Z2 (g) ® BZ) является циклической группой порядка
2 с образующим g (g> 2, в то время как
A ® х) (g ® 2) = g <g> 2 = 2g ® l = о;®-1 = 0,
так что элементу ® 2 лежит в ядре 1 ® х.
Этот пример можно переформулировать следующим образом.
Для подмодуля А с В нельзя предполагать, что G (g> А с G"® В,
потому что элемент g ® а из G ® Л может быть ртличен от нуля!
в то время как «стот же» элемент g ® а становится нулем в G ® В.
По этой причине мы с самого начала настаивали на том, чтобы
включение Л с: В представлялось отображением х: А-*~ В.
В приведенном примере число 2 можно заменить любым целым
числом т. Поэтому мы можем описать некоторые элементы в
Кег A ® и) для R — Z и короткой точной последовательности
(и,а) : А>* В -» С абелевых групп. Эти элементы g ® а появля-
появляются всякий раз, как существует такой элемент b и такое целое
число т, что ха = mb и mg = 0 одновременно, поскольку тогда
х) (g ® a)
= 0 (g) 6 = 0.
13*
196
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
В этом случае элемент ха, а значит, и сам элемент а определяются
элементом Ь, в то время как элемент g (g) а зависит только от ab 6 С.
Действительно, из равенства ab = ab' в силу точности вытекает
равенство Ь' = b + ка0 для некоторого а0; тогда х (а + та0) =
= mb' и g <8> (а + /ла0) = Я ® а + g <8> та0 = g ® а. Элемент
ядра g ® о. зависит т g, т ? Z и ob = с; далее, ввиду точности
тс — т (ab) = a (mb) = ака = 0. Введем обозначение
k(g, т,
E.2)
здесь а—некоторый элемент из А, для которого xa=mfe, ab =c
для некоторого Ь, т. е. элемент а получается при помощи «обра-
«обращения», а = •ц-1т<у-1с. В следующем параграфе мы покажем, что
элементы k (g, т, с) из E.2) порождают Кег A <g) x).
Эти элементы k (g, m, с) удовлетворяют некоторым тождествам.
Они аддитивны по g и с; например, аддитивность по с означает, что
k(g, т, Ci + c2) = k(g, m, ct) + k(g, т, с2) E.3)
всякий раз, как mci = 0 = тс2- Для любых двух целых чисел т
и п можно подсчитать, что
- k(g, mn, c) = k(g, m, пс) E.4)
всякий раз, как mg = 0, тпс = 0, и что
k(g, mn, c) = k(gm, n, с)
E.5)
всякий раз, как gmn = 0, пс = 0. Мы пишем здесь gtn вместо mg,
потому что мы можем рассматривать абелеву группу G как правый
модуль над Z. Эти соотношения будут сейчас использованы для
определения одной новой группы.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для мономорфизма А >-» В показать, что каждый элемент из
Кег (A <g) Zm -> В (g) Zm) имеет внд k (с, т, 1), где 1 — образующий груп-
группы Zm.
2. Если J — двусторонний идеал в кольце /?, то показать, что отобра-
отображение a (g) (г + J) -+¦ аг для а 6 J порождает эпиморфизм J ®д (RIJ) -»
-» J/J2 для У?-модулей. Доказать, что если 1г ф J, то вложение J -*¦ R
индуцирует отображение J ®д (R/J) -*¦ R ®r (R/J), которое не является
мономорфизмом.
3. Для точных последовательностей (у, т) : G >-» Н -» К и (Р, о) : D >->
>-» В -» С показать, что ядро отображения т ® а : Я ®д В -» Д" (g)R С
равно Y* (G ® В) U Р* (» ® Ь).
б. Периодические произведения групп
197
§ 6. Периодические произведения групп
Для абелевых групп А и G мы определим периодическое произ-
произведение Тог (G, А) как такую абелеву группу, которая порождает-
порождается всеми символами (g, т, а), причем т 6 2, gm = 0 в G, та =
= 0 в Л, подчиненными следующим условиям («аддитивность»
и правила «скольжения» множителей т, п):
=0 = ma, F.1)
= 0 = mah F.2)
= 0 = na, F.3)
= Q — mna. F.4)
(gi + g2, m, a) = (,gu m, a) + (g2, m, a),
(g, m, ai + a2) = {g, m, aj + ig, m, a2),
(g, mn, a) — (gm, n, a),
(g, mn, a) = (g, m, na),
Каждое условие накладывается в том случае, когда обе части имеют
смысл; в каждом случае это эквивалентно требованию, чтобы имели
смысл символы правой части. Из соотношений аддитивности F.1)
и F.2) следует, что @, т, а) = 0 = {g, m, 0). Следовательно,
Тог (G, А) = 0, если в группе А нет элементов конечного порядка
(кроме нуля) и также Тог (A, G) o^ Tor (G, А).
Если а : А-*-А", то Тог (G, А) в силу определения
а* (§, т, а) = (g, m, аа) превращается в ковариантный функтор
аргумента А. Таким же образом Тог (G, А) превращают в ковариант-
ковариантный функтор аргумента G. Из F.2) выводим, что (а + Р)„. = а„ +
+ Р*. и> следовательно, имеет место изоморфизм Tor (G, А±@А2)^
е* Tor (G, At) @ Tor (G, Az). Значит, для вычисления группы
Тог (G, А) для конечно порожденных групп достаточно вычислить
ее для конечной циклической группы G.
Для циклической группы G = Zq (g0) порядка q с образующим
go существует изоморфизм
l:qA^loT(Zq(g0), A), F.5)
где qA обозначает подгруппу таких элементов а ?Л, для которых
qa = 0. Действительно, каждый элемент а 6 И порождает элемент
ta = {go, q, а) в Тог (Zq, А); ввиду F.2) отображение С является
гомоморфизмом. Для отыскания гомоморфизма ti в обратном направ-
направлении запишем каждый элемент из Zq как g0 k для некоторого
k 6 Z; каждый образующий периодического произведения имеет
ВИД (gok, т, а), где та = 0 и mk = 0 (mod q). Если п = mklq,
то из F.3) и F.4) получаем
(gok, m, a) = {g0, km, a) = (g0, q, na).
Это наводит на мысль, что г\ нужно определить, положив
Л (?о&, т, а) = {mklq) а. Читатель должен проверить, что при
этом определении г\ остаются в силе определяющие соотношения
498
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
F.1)—F.4) в том смысле, что элементы, равные по определению
в Тог, переходят в равные элементы подгруппы qA. Тем самым
будет показано, что г\ порождает гомоморфизм т): Tor (Zq, А) -*-. qA.
Далее, г\?а = о, а подсчет, проведенный выше, показывает, что
?п >= 1. Следовательно, ц и ?— взаимно обратные изоморфизмы,
что и утверждалось.
При фиксированной циклической группе изоморфизм F.5)
естествен по аргументу А, но зависит от выбора образующего цик-
циклической группы Zq.
Периодическое произведение, обусловленное неточностью функ-
функтора ®, измеряет эту неточность, как показывает следующая
теорема.
Теорема 6.1. Если Е — (х, а) : А >-» В -» С есть точная
последовательность абелевых групп, то каждая абелева группа G
порождает точную последовательность
О -> Tor (G, A) -> Tor (G, В) И Tor (G,
Отображения этой последовательности, кроме Е#, индуцированы
х и а, а Е„. определяется на образующих группы Тог (G, С) следую-
следующей формулой:
?*<?. т, c) = k(g, m, с), F.7)
где элементы k взяты из E.2.). Отображение Е^ естественно, если
его аргументы рассматривать как бифункторы от аргументов
Е и G.
Доказательство. Отображение Е# является гомомор-
гомоморфизмом, потому что тождества, выписанные для элементов k
в E.3) — E.5), в точности совпадают с определяющими соотношения-
соотношениями для Тог. Естественность отображения доказывается легко.
Поскольку каждый элемент k (g, т, с) лежит в Кег A ® к),
получаем A <g) х) Е% = О, а также проверяется, что ?*а* = 0. Как
обычно, наиболее трудный пункт в доказательстве точности — это
показать, что каждый элемент ядра содержится в соответствующем
образе.
Мы утверждаем, что для доказательства этого достаточно рас-
рассмотреть случай, когда группа G имеет конечное число образующих.
В Качестве примера рассмотрим точность в члене G <g) A. В элемент
и = Sgj ® at из G ® А входит только конечное число элементов
из G. Если его образ A <g> к) и — 2 gt ® v.at равен нулю в G <g> В,
то равенство нулю устанавливается с помощью конечного числа опре-
определяющих соотношений для G ® В; в эти соотношения вновь вхо-
входит только конечное число элементов /ц, . . ., hm группы G. Пусть
Go — подгруппа группы G, порожденная всеми элементами gu ¦. . ., gn
§ 6. Периодические произведения групп
199
и Ль . . ., hm, которые нам встретились, и пусть i :G0-*-G —
вложение. Тогда и0 = S gt ® at является элементом из Go ® А,
причем (i <g) 1) и0 = и. Ввиду естественности отображений диаграмма
Tor (Go, C)
Tor(G, C)
Е*
А
G ® А
Go® В
G<g> ?
коммутативна, и мы можем предположить, что верхняя строка
точна. Поскольку в Go содержатся все элементы hj 6 G, использо-
использованные при установлении равенства х„ы = 0, эти же самые элемен-
элементы устанавливают, что х*и0 = 0 в Go ® В. В силу точности верх-
верхней строки существует такой элемент t0 6 Тог (Go, С), что E*t0 = щ.
Однако E^^to — (i®l) E^to = (к8>1) "о = «, что и доказывает
точность нижней строки в члене G ® А.
Это рассуждение не зависит от частного вида определений
групп Тог и (g), а использует лишь то обстоятельство, что эти группы
описываются с помощью образующих и определяющих соотноше-
соотношений.
Вернемся к доказательству точности. Пусть теперь группа G
конечно порождена, и значит, представима как прямая сумма цик-
циклических групп. Поскольку оба функтора Тог и ® переводят пря-
прямые суммы в прямые суммы, последовательность F.6) является
прямой суммой соответствующих последовательностей для цикличе-
циклических групп G. Если G = Z — бесконечная циклическая группа, то
все периодические произведения равны нулю, а сама последователь-
последовательность изоморфна исходной последовательности Е. Если G = Zq —
конечная циклическая группа, то различные члены уже вычислены
в A.9) и F.5); эти вычисления приводят к диаграмме, центральная
часть которой имеет вид
В нижней строке отображение Е# определяется «обращающим»
правилом Е#с = уСхцо~хс + qA; используя это определение,
легко проверить коммутативность указанной диаграммы. Посколь-
Поскольку ti из A.9) и I из F.5) — изоморфизмы, проверка точности верх-
верхней строки теперь сводится к установлению точности нижней строки,
которая полностью выглядит так
0 -^ qA -> qB
AlqA
C/qC -+ 0.
200
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Точность здесь проверяется с помощью определений членов
и точности последовательности Е. Например, если х (а + qA) = 0
в BlqB, то ха = qb для некоторого элемента Ъ 6 В. Значит,
a (qb) = 0 и поэтому ob = с ? ЯС; то же самое определение обраще-
обращения дает Е#с — а + qA.
Мы предоставляем читателю доказательство следующей теоремы.
Теорема 6.2. Следующие условия для абелевой группы G
эквивалентны:
(i) в G нет элементов конечного порядка, кроме 0;
(ii) Tor (G, А) = 0 для всякой абелевой группы А;
(ш) если х: А -*¦ В есть мономорфизм, то 1 <g) х: G ® А ->
->¦ G <g) В также мономорфизм:
(iv) любая короткая точная последовательность остается
точной после тензорного умножения ее членов на G;
(v) любая точная последовательность остается точной после
тензорного умножения на G.
Говорят, что группа G без кручения, если в ней выполнено усло-
условие (i).
Для обобщения полезно иное описание образующих группы
Тог (G,A). Тройка (g, m, а) определяет три гомоморфизма
Z,
v: Z =
если положить ц1 = g, dl = т, vl = а. Будем считать L : Z *-
¦*- Z цепным комплексом с нулями во всех размерностях, кроме
Lo — Z = Li\ поскольку цд = О, ц: L -*¦ G также цепной комплекс
над G. И будем считать сопряженный комплекс L* цепным комплек-
комплексом d*:L*-^>-L* над А с гомоморфизмом \:L*-^-A. Тройка
(g, m, а) превращается в тройку (fx, L, v), где
L и L* — сопряженные цепные комплексы («длины» 1),
(л: L—>G и v: L*—>A — цепные преобразования.
Правила скольжения F.3) и F.4) можно записать как одно пра-
правило
(g'n0, т, а) = {g', т', ща); пот = т'п^ g'm' = 0 = та. F.8)
Если т и т' определяют цепные комплексы L и L', то из равенства
n-tn = т'п\ вытекает коммутативность диаграммы
L-.Z-^Z
U: Zt-Z.
§ 7. Периодические произведения модулей
201
значит, р : L -*- V — цепное преобразование. Теперь элементы
g и а определяют гомоморфизмы ц/ : L'o — Z -*¦ G и v : L* ->• А
посредством равенств ц'1 = g', vl = а и fx'p 1 = g'n0, vp*l = ща.
В этих обозначениях правило скольжения F.8) принимает вид
(ц'р, L, v) = (fi', U, vp*), p: L->L\
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что (g, m^ + m2, a) = (g, mlt a) + (g, m2, а), если обе
части равенства имеют смысл.
2. Пусть Qd Z — аддитивная группа рациональных чисел, и пусть
Т (А) («периодическая подгруппа»), т. е. подгруппа группы А, состоящая
из всех элементов конечного порядка из А. Установить естественный изомор-
изоморфизм Тог (Q/Z, A) s- T (А).
3. Пусть Qp — подгруппа группы Q, состоящая из всех рациональных
чисел, знаменатель которых есть степень числа р. Описать группу
Тог (QP/Z,A).
4. Исследовать группу Tor (G, А) в том случае, когда группы G и А
являются бесконечными прямыми суммами.
5. Доказать, что А ® В &, Тог (А, В), если А и В — конечные абе-
левы группы. (Изоморфизм не является естественным.)
6. Показать, что группа Tor (G, А) = 0, если для любого элемента а
конечного порядка k из группы А и для любого элемента g конечного
порядка I из группы G числа k и / всегда взаимно просты.
7. Для модулей Gr, rA обозначим через Т (G, А) абелеву группу, опре-
определенную образующими (g, г, а), где gr = 0 = га, и соотношениями F.1) —
F.4). Показать, что последовательность F.6), в которую вместо Тог надо
поставить Т, может не быть точной в члене G ®r A.
§ 7. Периодические произведения модулей
Рассмотрим цепной комплекс L длины п при фиксированном
0
л ^
L.
г
в котором каждый модуль Lh является конечно порожденным проек-
проективным правым 7?-модулем. Сопряженный комплекс L*=HomH (L, R)
также можно рассматривать как цепной комплекс L*, в котором L* —
это модуль цепей размерности п — k,
L, '.
ц
ц.
Каждый модуль L% является конечно порожденным проективным
левым модулем, а гомоморфизмы бй : L* ->¦ L%+i определяются
как бй = (—l)ft+15|+i, где dk+i : Lh+i -*• Lk. Здесь и ниже мы можем
с одинаковым успехом требовать, чтобы модули Lk были конечно
202
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
порождены и свободны; тогда то же самое будет верно и для модулей
Если G — правый Я-модуль, рассматриваемый как тривиальный
цепной комплекс, то цепное преобразование и : L ->- G будет модуль-
модульным гомоморфизмом и о : Lo-*-G, для которого цод = О : Lt -*¦ G,
а цепное преобразование v : L* -*¦ RC будет модульным гомоморфиз-
гомоморфизмом v : L* -*- С, для которого v8 = 0. Для данных модулей GR и RC
мы возьмем в качестве элементов группы Тот„ (G, С) все тройки
t = (\i, L, v), ц: L->G, x: L*->C,
где комплекс L имеет длину п, a \i, x — цепные преобразования,
описанные выше. Если V — другой такой комплекс и р : L -*¦ L"
есть цепное преобразование, то цепным преобразованием является
и сопряженное отображение р* : L'* -*¦ L*. Для данных преобразо-
преобразований ц': V ->- G и v: L* -*- С мы считаем, что
(|i'p,L,v) = (|i'fL\vp*). G.1)
Эти отображения можно описать с помощью двух коммутативных
диаграмм
G<-Lo< ч-L» Lo*-> > tt^C
|| IP» К po*t P»t II
О < ?/0 < • • • < L-n, , Lq > • ' • > L,n —> С,
похожих на определение отношения конгруэнтности в Ext" с помо-
помощью длинных точных последовательностей. Формально отношение
равенства в Тогп должно быть наиболее слабым отношением экви-
эквивалентности, для которого выполняется G.1); это означает, что две
тройки из Тогп равны, если вторая получается из первой конечной
последовательностью применений правила G.1). Тем самым Тогп
описывается как множество.
Это множество является функтором. Действительно, если даны
отображения r\ : G-*- G", у : С -+ С, то правила
Л* (И. L, v) = (tih, L, v), V* (Нч L, V) = (jx, L, yv) G.2)
сохраняют в силе равенство G.1) и превращают Тогп в ковариант-
. ный бифунктор.
Для двух троек U и t2 из Torn (G, С) тройка
(Hi, L1, xt) © (ц2, L2, v2) = (hi © Ц2. L1 ф L2, xt i
является их прямой суммой и.содержится, в. Т'
Если U = t'x и tz = t'2 в соответствии с G.1), то
Если o>G — автоморфизм группы G ф G, определенный равенством
© igu gz) = (gz, gi), то (ав)* (h © tz) = {(He)* (tz © h), что
можно проверить, применяя G.1) к отображению р : L1 @ L2-*~
-*- L2 © L1, переставляющему слагаемые.
§ 7. Периодические произведения модулей
203
Теперь Torn (G, С) можно сделать абелевой группой, если опре-
определить сложение формулой
n(G, С), G.3)
где Vo : G © G-v G и Vc — кодиагональные отображения (III.2.Г).
Доказательство выполнения групповых аксиом проводится непо-
непосредственно. Ассоциативный закон следует из ассоциативного закона
для кодиагональных отображений. Закон коммутативности выте-
вытекает из равенств ((off)% (tt ф tz) = (©с)* (h © *i) и Vg^g = Vg-
В качестве нуля для сложения мы можем взять тройку @, 0, 0),
в которой средний нуль обозначает нулевой комплекс длины п,
а обратной к тройке —(ц, L, v) является тройка (—\i, L, v). Ото-
Отображения г]* и V*. определенные в G.2), являются гомоморфизмами
относительно этого сложения, так что Тог„ превращается в бифунк-
бифунктор со значениями в категории абелевых групп. Те же формулы G.2)
показывают, что если модули G и С являются бимодулями rGfl,
RCS над другими кольцами Т и S, то Тог„ есть бимодуль T(Torn)s,
так же как и в C.1).
Предложение 7.1. Символы (и, L, х) в Тогп аддитивны
по ц и v; например,
L, v) = (nt, L, v) + (n2, L, v). G.4)
Доказательство. Напомним (III.2.2), что щ + |i2 =
= Vg (щ + H^) AL. Двойственным к диагональному отображению
Al "• L © L ф L является кодиагональ Vl* '• L* © L* -*- L*. Зна-
Значит, G.4) можно вывести из правила равенства G.1) и определе-
определения G.3) следующим образом:
(|i! -f ц2, L, v) = (Vg (Hi © H*) Al, L, v) = (VG (Hi © Ц2), L © L, vVL*)=
= (Vg (Hi©^). ^ф^-. Vc (v©v)) = (nt, L, v)+(H2. L, v).
Предложение 7.2. Каждый элемент из Torn (G, С)
имеет вид (ц, i7, v), где ц- ^ ~*" G, x: F* -+ С и F — цепной ком-
комплекс длины п конечно порожденных свободных правых модулей.
Следовательно, функтор Torn, определенный с помощью комплексов
конечно порожденных свободных модулей Fit естественно изоморфен
функтору Тогп, определенному с помощью конечно порожденных
проективных модулей Lt.
Доказательство. Описанная выше конструкция,
в которой используются только свободные модули вместо проектив-
проективных, дает функтор Torfn (G, С). Поскольку каждый свободный ком-
комплекс F длины п проективен, каждый элемент (ц, F, х) из Torfn
является также элементом из Тог„. Это отображение Torf -*¦ Тог
имеет двустороннее обратное отображение. Чтобы показать это,
возьмем любую тройку (ц, L, х) 6 Тог„. Каждый модуль Lft можно
204
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
представить как прямое слагаемое некоторого конечно порожден-
порожденного свободного модуля Fh = Lh@ Mk. Построим комплекс F
с границей а ® 0: Lk ® Mh -*¦ Lk^ @ Л1 *_,. Вложение V.L-+F
и проекция я : F -> L являются цепными преобразованиями, для
которых Я1 = 1, 1*я* = 1. В силу нашего правила равенства
О*» L, v) = (\i, L, vi*n*) = (цп, F, vi*),
это элемент из Torf, так как /' — свободный комплекс длины п.
При таком переходе тройки равные в смысле G.1) переходят
в равные тройки в Torf; отсюда вытекает естественный изоморфизм
Тогп е* Torfn. Рф
При п = 0, Тог о можно отождествить с ®.
Теорема 7.3. Существует естественный изоморфизм
G ®я С &* Tor0R (G, С). ^
Доказательство. Каждый элемент g ? G определяет
отображение цё : R -> G правых ^-модулей равенством \ig (r) = gr;
аналогично каждый элемент с 6 С определяет отображение
vc : R = R* -> С левых Я-модулей равенством vc A) = с. Тройка
(H'g. #, vc) € Тог0 (G, С) аддитивна по g и с и внутренне линейна,
так что отображение g ® с-»- (ц.ё, Я, vc) определяет гомоморфизм
абелевых групп G <g> С-*-Тог0 (G, С). Этот гомоморфизм естествен
и превращает каждый элемент 2#г <g> ct из G (g) С в тройку (ц, F, v),
где i7 — свободный модуль с образующими еи \iet = gt и ve{ = сг.
Для построения обратного отображения в используем предло-
предложение 7.2 и запишем каждый элемент из Тог0 (G, С) как (ц, i7, v),
где ц: Т7 -> G, v: i7* -> С и F — конечно порожденный свободный
модуль. Выберем произвольную систему еи . . ., ет свободных
образующих модуля F, введем сопряженный базис е1, . . ., ет
в F* и положим
т
в(ц, F, v) = Д Ц (е*) ® v (el) ?G®RC.
Запишем гомоморфизм р : F -»- F' через базисы et и е} в виде рег =
= 2еЛь гДе {о;} —матрица из элементов кольца R. Тогда
Ц
в (|*'р, f, v) = 2 (S I*' (e'}rji)
= е
f, vP*).
Это равенство показывает, что отображение в корректно определе-
определено в смысле ^равенства в группе Тог; следовательно, если F = F'
ne'i — Другой базис в F, то тем самым показано, что определение в
§ 7. периодические произведения модулей
205
не зависит от выбора базиса в F. Поскольку в — двусторонне
обратное к предыдущему отображению, то доказательство закончено.
Следствие 7.4. Для конечно порожденного проективного
правого R-моду ля L естественный изоморфизм \ : Нотл (L*, С) э*
з* L ®RC определяется равенством § (v) = AL, L, v). Следова-
Следовательно, каждый элемент t из Тог0 (L, С) имеет единственное пред-
представление в виде t = Al, L, v) для некоторого гомоморфизма
v :L*-+C.
Доказательство. По свойству аддитивности (предложе-
(предложение 7.1) i — естественный гомоморфизм. Чтобы показать, что i —
изоморфизм^ достаточно доказать, что произведение
**®RC X Homfl(L*, С) X Tor0(L, С)
равно тождественному отображению, где ? — изоморфизм, опре-
определенный в предложении 4.2. Если L = R, то определения пока-
показывают, что произведение ?? равно единице; поскольку все функторы
аддитивны, это же справедливо для конечно порожденных свобод-
свободных модулей L. Произвольный же проективный модуль L является
прямым слагаемым свободного модуля F с конечным числом образую-
образующих. Поскольку отображения i и ? естественны, их произведение
отображает прямые слагаемые в прямые слагаемые; поэтому дока-
доказываемое равенство справедливо для любого L.
Периодические произведения симметричны относительно G и А.
Для доказательства построим из кольца R антиизоморфное ему
кольцо R°v-. аддитивная группа кольца Rov изоморфна аддитивной
группе кольца R, причем этот изоморфизм устанавливается соот-
соответствием г -*¦ гор, а умножение в R°v определяется равенством
ropsop = (s/-)op. Каждый правый 7?-модуль G превращается в левый
^°р-модуль, если положить r°vg=gr; по симметрии каждый левый
^-модуль А становится правым #°Р-модулем.
Предложение 7.5. Соответствие (\i, L, v) ->- (v, L*, ц)
является изоморфизмом
Доказательство. Комплекс L* состоит из конечно порож-
порожденных проективных 7?°Р-модулей. Следовательно, соответствие
определено корректно и, очевидно, является изоморфизмом.
Для короткой точной последовательности Е = (и,а): А у*
>¦» В -» С и элемента t = (ц, L, v) ^ Torn (G, С), где п > 0, можно
определить произведение Et 6 Torn_i (G, А). Пусть v : L* -*• С и Е —
комплексы над С, первый из которых проективен, а второй точен.
По теореме сравнения существует цепное преобразование q>, такое,
206
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
ЧТО
0.
G.5)
Пусть "-JL обозначает цепной комплекс длины п — 1, образован-
образованный выбрасыванием последнего модуля Ln из L; положим
E(|i, L, v) = (|i,"~o?, ф»-!). G.6)
Теорема 7.6. Для Е б Ext1 (С, А) и t 6 Torn (G, С) про-
произведение Et является корректно определенным элементом группы
Torn_! (G, Л), причем имеют место законы ассоциативности
a(Et) = (aE)f, (Ey)t' = E(yJ% E(^t) = ^{Et), G.7)
где а : А -> А', у:С"-+С, r\:G-+G" и t" € Тогп (G, С). Это
умножение порождает гомоморфизм
Ext1 (С, A) ®z Torn (G, С) -» Tor^j (G, Л), л = 1, 2, ... . G,8)
Доказательство. При любом другом выборе <р* для цеп-
цепного преобразования <р из G.5) <р и ф" будут гомотопны, поэтому,
существует такой гомоморфизм s : L? -> А, что ф^_4 = фп_4 + s8.
Произведение Et, определенное с помощью <р", равно
0*. n~\
n~U, Фп-
n~
oL, s6).
Пусть \L — комплекс, полученный из L выбрасыванием первого
модуля Lo; тогда д: \L -*• n~\L — цепное преобразование, и поэтому
второй член написанного равенства есть (±цд, \L, s) = @, "L, s)=0.
Значит, произведение Et не зависит от выбора ф. Если в группе
Тогп имеет место равенство (ц'р, L, v) = (ц", L", vp*) для неко-
некоторого р : L -*• L" , то произведение фр* является цепным преобра-
преобразованием, и произведения
=E(|x', L', vp*)
Efii'p, L, v)=(^'p, n~lL, фп_1)=(ц', n-\L', q>n-lP
равны. Значит, произведение Et определено корректно.
Рассмотрим законы ассоциативности G.7). При а : А -*• А' при-
присоединим морфизм ?->а? снизу к диаграмме G.5). Тогда
получим (а?) (|i, L, v) = (ц, n-\L, aq^-O =а (ц, »-»Li q^-0 =
= а [? (ц, L, v)], что и доказывает первое из правил G.7);
с помощью аналогичной большой диаграммы для у : С" ->- С,
?у € Ext1 (С*, А) и Г 6 Torn (G4C) устанавливается второе из пра-
правил G.7); третье же вытекает непосредственно из определений.
Говоря, что отображение G.8) является гомоморфизмом, мы тем
самым утверждаем, что произведение Et аддитивно по каждому
§ 7. Периодические произведения модулей
207
множителю Е и t в отдельности. Однако равенство Е (t + t') =
= Et + Et' немедленно вытекает из определения G.3) сложения
в группе Тог„. Другое правило (Е± + ?2) t — Erf -+¦ Ett выводится
из определения Et + Ег = VA (?i © Е2) Ас сложения расшире-
расширений. Таким образом доказательство закончено.
Если дана последовательность Е и модуль G, то отображение
?„, : Torn (G, Q->- Torn_! (G, А) определяется как EJ = Et; сле-
следовательно, возникает длинная последовательность
> Тогп (G, А) -> Torn (G, В) -» Torn (G, С) -S
f ' G-9)
-^ Torn_i-(G, Л) -* Tor»-» (G, В) ->..-.
Точность этой последовательности будет доказана в следующем пара-
параграфе гомологическими средствами.
Элемент S ?о ? Ext (С, А) является длинной точной последо-
последовательностью, которую можно записать в виде произведения S =
= EiEz . . . Ет коротких точных последовательностей. По опреде-
определению будем считать произведение at равным Е± (?2 • • • (Emt)).
Ввиду G.7) результат не меняется при конгруэнции (Е"у) ° Е' =
= Е" о (уЕ') длинных точных последовательностей, и поэтому
корректно определен «связывающий» гомоморфизм
Extm (С, А) ® Torn (G, С) -> Torn_m (G, А), п > т. G.10)
Симметричные результаты получаются для точных последователь-1
ностей первого аргумента функтора Тогп. Именно для последователь-
последовательности ?* 6 Ext' (К, G) и элемента t?Torn(K, А) определяется
произведение E't 6 Torn-i (G, А), обладающее свойствами, анало-
аналогичными указанным в теореме 7.6, и порождающее связывающие
гомоморфизмы . "- '
Ext™ (К, G) ® Тог„ (К, А) -+ Тог„_т (G, Л), п > т. G.11)
Умножения на Е и ?' коммутируют в следующем смысле:
Теорема 7.7. Пусть Е = (и, а) : Л у* В -» С « ?' =
= (Я, t) : G >* Н -» /С являются короткими точными последова-
последовательностями левых и правых модулей соответственно, а
t 6 Тогп (/С,С). ?сл« п > 2, то EE't = — ?'?* е Тог„-2 (G, Л).
Доказательство. Пусть ^ = (p., L, v). Произведения
Et и ?7 вычисляются с помощью диаграмм
Я
208
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
и равны Et = (\i, п~^Ь, Фл-i) и E't = (i|)i, nxL, v) соответственно.
При п > 2 диаграммы не перекрываются, так что мы можем вычис-
вычислить EE't с помощью первой диаграммы, заметив, что операторы б
для L* и б для ("Z.)* имеют противоположные знаки. Изменение
знака ф в диаграмме дает EE't = (i|>i, n~[L, —Фп-i)- Аналогично,
но без затруднений со знаком получаем E'Et = (\j>i, n~\L, ф^-i).
Следовательно, E'E = —ЕЕ", что и утверждалось.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Взяв свободный модуль L с заданным базисом, показать, что эле-
элементы из Tort (С?, С) можно считать символами ((gt, . . ., gm),x, (cit . . ., сп)),
где gi € G, cj 6 С и х — такая матрица размера тХп элементов кольца R,
что (gj, . . ., gm) x = 0 = х (cit . . ., Сп)'; штрих означает здесь транспо-
транспонирование. Описать сложение таких символов и показать, что равенство
этих символов задается скользящими матричными делителями матрицы х
справа и слева.
2. Получить аналогичное определение Torn (G, С).
3. Доказать, что Тогп (Р, С) = 0 для п > 0 и проективного модуля Р.
(Указание: покажите сначала, что это утверждение достаточно доказать
для конечно порожденного модуля Р.)
Точность последовательности G.9) может быть доказана непосред-
непосредственно (т. е. без гомологии) так, как указано в следующей цепочке упраж-
упражнений.
4. Показать, что произведение двух последовательных отображений
из G.9) равно нулю и что из точности G.9) для конечно порожденных моду-
модулей Q вытекает точность для всех модулей G.
5. Для точной последовательности Е' = (X, т) : О >-> Н -» К со свобод-
свободным модулем Н показать, что отображение Е* : Тогп (К, С) -*¦ Тогп_4 (G, С)
является изоморфизмом при п > 1 и мономорфизмом с образом Ker (k (g) l^)
при п = 1. (Указание: построить обратное отображение.) Показать, что ?i
изоморфно отображает указанную часть диаграммы G.9) при п = 1 на
Ker-Coker-последовательность 2X3 диаграммы со строками G® Е и Н ® Е. ;
6. Индукцией по п доказать точность указанной части последователь-
последовательности G.9).
§ 8. Периодические произведения и резольвенты
Функтор Ext" (С, А) может быть вычислен с помощью проектив-
проективной резольвенты X модуля С как Я" (Нотн (X, А)) (теорема 111.6.4).
Существует аналогичный способ вычисления для Torn (G, А).
Если е: X ->- G есть проективная резольвента правых ^-модулей, •
тоХ ®ДЛ — это комплекс абелевых групп с граничным гомомор-
гомоморфизмом д (g) 1а : Хп ® А -*¦ Xn_i ® А. Из теоремы сравнения для
резольвент ясно, что группа гомологии Нп (X <S) rA) не зависит :
от выбора X и, следовательно, определяет функцию от аргумен- •
§ 8. Периодические произведения и резольвенты
209
тов G и А, которую мы временно обозначим как
Очевидно, что это функтор от аргумента А, а также функтор и от
аргумента G. Действительно, пусть задан гомоморфизм r\ : G -*• G'.
Выберем проективную резольвенту е' : X' -> G', накроем ц цепным
преобразованием / : X -*¦ X' и построим индуцированное отображе-
отображение /# : Нп (X ® А) -*- Яп (X' ® А). По теореме сравнения любые
два из таких преобразований / гомотопны, так что /„ зависит только
от 1] и дает отображение г)„ : Topn (G, А)'-»- Тор„ (G', А). Поэтому
Тор„ — ковариантный бифунктор, который мы отождествим теперь
с Тог„. (Часто Тог„ определяют так, как мы определили Тор„.)
Теорема 8.1. Для резольвенты е : X -*- G модуля GR и для
модуля RA существует гомоморфизм
?(G, A)-*Hn{X®RA), n = 0,l, .... (8.1)
естественный по А. Если X — проективная резольвента, то а —
изоморфизм, естественный по G и А.
Набросок доказательства. Каждый элемент
(\1, L, v) из Тогп состоит из проективного комплекса ц : L -*• G
длины п над G и п-мерного цикла A, Ln, v) 6 Тог0 (Ln, А) комплек-
комплекса L (g> А; следовательно, он определяет гомологический класс
в Нп (L ig> А). Сравнение L -+¦ X определяет элемент в Нп (X ® А),
т. е. элемент из Тор„.
Доказательство. Возьмем элемент t = {ц, L, v) из
Тог„ (G, А). По теореме сравнения имеется цепное преобразование
h : L-*- X проективного комплекса L над G (с отображением ц)
в точный комплекс X над G (с отображением е). Положим
о (ц, L, v) = els (hn, Ln, v) ? Hn (X <g> A).
Это определение имеет смысл, так как А„ : Ln-+ Xn, v : L.%, -> A,
и поэтому (hn, L^, v) 6 Тог0 (Хп, А) — Хп ® А. Кроме того, эле-
элемент (hn, Ln, v) является циклом в X ® А, так как
d(hn, Ln, v) = (dhn, Ln, v) = (An_j3, Ln, v) =
= (An-i, Ln-i, vd*) = (hn-i, Ln-u 0) = 0.
Гомологический класс этого цикла однозначно определяется эле-
элементом (ц, L, v), так как если А* : L -*• X есть другое цепное пре-
преобразование, накрывающее 1с, то существует гомотопия s, для
которей Кп = hn + dsn + ^,-id. Тогда
(h'n, Ln, v) = (hn, U, v) + (dsn, Ln, v) + (sn-id, Ln, v) =
= (An, U, \>) + d(sn, Ln, vL(sn-i, Ln-i, 0);
14—353
210
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
т. е. цикл (hit, Ln, v) равен исходному циклу (А,,, 1^, v) плюс эле-
элемент границы. Далее, если t = (ц'р, L, v) и f = (ц/, V, vp*)
для некоторого р : L^y L', элементы, равные согласно определению
группы Torn, a А* : L" -> X, то А'р : L -> X и ©^ = a>t' в Тог0-
. Для установления гомоморфности со отметим, что два цепных
преобразования А4 : L% -*¦ X порождают преобразование
V (А1 © А2) : L1 © L2 ->- X, и поэтому
§ 8. Периодические произведения и резольвенты
211
Естественность о по аргументу А проверяется непосредственно,
а указанная в теореме естественность по G вытекает из того замеча-
замечания, что цепное преобразование f : X -*- X', накрывающее t\:G-*-
-*- G', умноженное на h : L -> X, дает преобразование fh : L ->¦ X'.
Достаточно показать, что о — изоморфизм, для свободной
резольвенты X. Любой гомологический класс в X (g) А является
классом цикла из некоторого X' ® А, где X" — подходящий
конечно порожденный подкомплекс комплекса X. По следствию 7.4
этот цикл можно записать в виде A, Х'п, v) для некоторого гомомор-
гомоморфизма v : Х'п* -*¦ А. Если в комплексе X' с отображением е* : X' -*-
->¦ G отбросить все размерности, большие п, то мы получим один
из комплексов L, использованных при определении Тог„, так что
t = (е\ Х\ v) — это элемент группы Torn (G, А). Вложение
i : X' -»- X показывает, что at = els (i, X'n, v). Следовательно,
fi> — эпиморфизм.
Остается доказать, что о — мономорфизм. Предположим, что
at = 0 для некоторого t. Это значит, что цикл (Л„, Ln, v) является
границей в. X ® А, следовательно, границей в комплексе X" ® А,
где X' с: X — конечно порожденный свободный подкомплекс ком-
комплекса X. Выберем X" так, чтобы он содержал h (L). Тогда преобра-
преобразование h : L -> X порождает, преобразование h\ : L -> X', причем
элемент (h'n, Ln, v) = A, Х'„, vh'n*) является границей (п+ 1)-мерной
цепи из X' ® А. Используя следствие 7.4, запишем эту цепь как
A, Х'п+и I), где % : Xn+i ->¦ А. Теперь
A, х'п, vA;*)=a(i, х'п+и о=A, х;, у*),
откуда ввиду утверждения о единственности из того же следствия
vfC = ?д*. Пусть ™Х' — часть комплекса X' от XJ, до Х« включи-
включительно, а П+*Х* — часть от Х[ до X;+i; тогда отображения h" : L-*¦
->- 'JX* и д : "+iX" ->- п0Х" являются цепными преобразованиями.
Исходный элемент t из Torn (G, А) принимает вид
(ц, L, v) = (e'A't L, v) = (e', JfXf,
= (е', №, -ЕЭ*)^ (в'а, П+
, —) = 0,
т. е. ^ = 0, что и требовалось доказать. Доказательство закон-
закончено.
Удобно иметь гомоморфизм, обратный к са.
Следствие 8.2. Если r\ : Y -» G — проективный комплекс
над G, то существует гомоморфизм
r:Hn(Y ®д А) ~> Тог? (G, А),
(8.2)
естественный по аргументу А. Если Y — резольвента, mot = ю-1.
Доказательство. Пусть X — проективная резольвента
модуля G. По теореме сравнения 1G накрывается цепным преобра*
зованием f : Y-*• X так, что отображение /* : Нп (Y (g) RA) ->•
->- Нп (X (g) н>1) не зависит от выбора /. Положим т = от1/*.
Связывающие отображения t-*-Et можно также вычислить
с помощью резольвент.
Предложение 8.3. Пусть г : X -> G — проективная
резольвента. Каждая короткая точная ¦ последовательность
Е : А » В •» С левых R-моду лей порождает точную последова-
последовательность Х<%)Е:Х<8)А>*Х®В-ъХ®С комплексов со свя-
связывающим гомоморфизмом дх®Е : Нп (X (g> С) ->- Я„_1 (X ® А).
Для каждого t 6 Torn (G, Q
т. е. изоморфизм а теоремы 8Л коммутирует со связывающими
гомоморфизмами.
Доказательство заключается в непосредственном , применении
соответствующих определений и предоставляется читателю. Из
точности гомологической последовательности для последовательно-
последовательности X (g) E комплексов вытекает
Теорема 8.4. Короткая точная последовательность
Е : А >* В-» С левых R-модулей и правый R-модуль G порождают
длинную точную последовательность
Torn (G, А) -> Torn (G, В) -> Тогп
Тотп-г (G, А) ->•••,
(8.3)
0. Отображе-
Отображеоканчивающуюся членами Tor0 (G, Q — G ® С
ние ?„ есть умножение слева на Е.
Для проективного модуля А = Р в силу точности резольвенты X
группы Нп (Х<8)Р) и, следовательно, Torn. (G, Р) обращаются
в нуль при п > 0. Теперь мы можем аксиоматически охарактери-
охарактеризовать функторы Тог так же, как и функторы Ext (III.10).
14*
212
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Теорема 8.5. Для фиксированного правого R-модуля G кова-
риантные функторы Тог„ (G, А), п = 0, 1, . . ., аргумента А,
взятые вместе с гомоморфизмами ?* : Тог„ (G, С) -*• Torn_i (G, А),
естественными для коротких точных последовательностей Е моду-
модулей, характеризуются с точностью до естественного изоморфизма
следующими свойствами:
(i) Tor0 (G, А) = G 0R А для всех А;
(ii) Тог„ (G, F) == 0 при п ~> О для всех свободных модулей F;
(iii) последовательность (8.3) точна для всех Е..
По симметрии (предложение 7.5) Torn (G, А) также порождают
длинную точную последовательность, когда первый аргумент G
здмещается короткой точной последовательностью; отсюда полу-
получается соответствующая характеристика Тог„ как функторов аргу-
аргумента G при фиксированном А. При R — Z из теоремы вытекает,
что Tori для абелевых групп совпадает с функтором Тог, определен-
определенным в .§ 6 при помощи образующих и определяющих соотношений.
Теорема 8.6. Следующие свойства правого R-модуля G экви-
эквивалентны:
(i) для каждого левого R-модуля С, ToTt (G, С) = 0;
(ii) всякий раз, когда отображение к : А -> В является
мономорфизмом, мономорфизмом является и отображение
1 ® к : G 0 А -+¦ G 0 В;
(iii) каждая точная последовательность левых R-модулей остается
точной после тензорного умножения на модуль G;
(iv) если А — левый модуль, a G" >-» G" -» G — точная последо-
последовательность, то последовательность G*0A>*GA-»G®A
точна;
(v) для каждого модуля RC и каждого п > 0, Тог„ (G, Q = 0.
Доказательство. Очевидно, что (iii) =ф (ii). Обратно,
тгусть выполнено условие (ii). Тогда из теоремы 5.1 вытекает, что
любая короткая точная последовательность остается точной после
тензорного умножения на G; поскольку длинная точная последова-
последовательность есть произведение коротких, (iii) следует из (ii).
Если выполнено условие (i), то из длинной точной последова-
последовательности для Тогп следуют условия (ii) и (iv). Обратно, пусть выпол-
выполнено условие (ii). Представим С как фактормодуль С ^ Р/А проек-
проективного модуля Р, так что последовательность
0 = Tor!(G, P)->Torj(G, C)->G(g) A->G <g> P
точна, причем G 0 A -*-G 0 P — мономорфизм ввиду (ii), и, зна-
значит, Tor! (G, С) = 0. Доказательство импликации (iv) =#> (i) ана-
аналогично. .
§ 9. Тензорное произведение комплексов
213
Наконец, (v) =#> (i); обратно, С¦&* Р/А и ввиду точности после-
последовательности
0 - Torn (G, Р) -> Torn (G, С) -> Torn_! (G, А),
индукцией по п показываем, что (i) =#> (v).
Модуль G, обладающий эквивалентными свойствами, перечис-
перечисленными в теореме 8.6, называется плоским. Отметим аналогию:
проективность модуля Р означает, что функтор Нот (Р, —) сохра-
сохраняет точность последовательностей; плоскость модуля G означает,
что функтор G ® — сохраняет точность последовательностей. Каж-
Каждый проективный модуль, очевидно, плоский. Если R = Z, то из
теоремы 6.2 видно, что плоский Z-модуль — это в точности абелева
группа без кручения. Следовательно, плоский модуль может не
быть проективным.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть т| : Y -*¦ А —проективная резольвента. Установить изомор-
изоморфизм »' : Tor^ (G,A) s Hn (G <g)RY)< Для точной последовательности
?": G>-> Н -» К. доказать, что а'Е' =
2. Для проективной резольвенты X модуля G пусть Sn (G,X) есть
п-кратная точная последовательность 0 -*¦ дХп -*¦ Хп-± ->¦...-*¦ G -*¦ 0.
Показать, что изоморфизм со из теоремы 8.1 определяется равенством at =
= els д-* [Sn (О, X)t].
§ 9. Тензорное произведение комплексов
Если /Сн и rL — цепные комплексы правых и левых 7?-модулей
соответственно, то их тензорное произведение К 0r L — это цеп-
цепной комплекс абелевых групп, у которого
(К®вЦп^ 2 Kp®*Lq, (9.1)
P+q=n
а граничные гомоморфизмы определены на образующих k ® I
равенством
d(k0l) = dk0l + (-lfeBhk0dl. (9.2)
Если К и L — положительные комплексы, то таким же является
и комплекс К 0 L, а прямая сумма в (9.1) конечна, причем р меняет-
меняется от 0 до п. Формула взятия границы (9.2) напоминает формулу для
производной произведения двух функций; знак (—l)desft появляет-
появляется в соответствии с правилом коммутирования: веякий раз, когда
Два символа и и v переставляются, появляется знак (—1)е, где
е = (степень и) х (степень v). Так как во втором члене формулы
214
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
(9.2) гомоморфизм 3 степени —1 переставляется за символ k,
то появляется этот знак. Используя его, можно установить, что
дд=О.
Если / : К -*• К" и g : L ->- V — цепные преобразования, то
определение (/ <g> g) {k jg> t) = fk <g) gl задает цепное преобразо-
преобразование f ® g : К ® L -*¦ К.* ® L'\ этим путем тензорное произве-
произведение превращается в ковариантный бифунктор от комплексов. Для
цепных гомотопий справедливо
Предложение 9.1. Если fi ~ /2 : К -** К' и gt ~
— ёг '• L ->¦ V, то /4 ® gt ca /2 (g> ^2. Подробнее: цепные гомотопий
s : fica f2 и t :gi ~gz порождают гомотопию
-*K'®L', (9.3)
определяемую формулой « = s <g> gt + /2 <g> ?, m. e.
«(A ® /) = sk <g> grj/ + (- l)deg ft f2k ® f/.
Последняя формула написана в соответствии с соглашением
о знаке, поскольку символ t степени 1 переставлен за символ k.
Доказательство. Во-первых, s n t определяют гомото-
гомотопий s ® I : fi ® 1 са fa® I : К ® L -*• К' ® L н I <8> t: I ® g! са
^ 1 <g> gz- Перемножение этих двух гомотопий (по предложе-
предложению 11.2.3) и дает нужный результат.
Следствие 9.2. Если f : К -»- К" и g : L-+ L" — цепные
эквивалентности, то и f (g> g : К <g> L-*- К" <g> L" — цепная экви-
эквивалентность.
В качестве первого применения тензорного произведения ком-
комплексов мы покажем, что периодические произведения могут быть
вычислены с помощью резольвент обоих аргументов.
Теорема 9.3. Если е: X -*¦ G и i\: Y-*• А — проектив-
проективные резольвенты модулей GR и RA соответственно, то пре-
преобразование e<g> 1: X <g> У -»- G (g) У индуцирует изоморфизм
Нп (X (g>H У) ^ Нп (G <g)B У) и, следовательно, изоморфизм
"(G, А), п = 0, 1, .... (9.4)
Доказательство. Пусть Fh, k — 0, 1, . . ., — под-
подкомплекс комплекса X <g> У, составленный из всех групп Хг ® У;,
где /<&, и пусть Mh — подкомплекс комплекса G (g) У, состоя-
состоящий из всех групп G ® У;-, /<й. Тогда
= Л1-1с=Л1ос:М1
(9.5)
§ 9. Тензорное произведение комплексов
215
а е (g) i отображает F" в Mk. Поскольку д (х (g) у) = дх ® у ±
± х ® Зу в X ® У, фактор комплекс Fh/Fh~1 изоморфен комплексу
Аналогично комплекс Mh/Mk~1 состоит только из группы цепей
G <g> Yh размерности k. Так как каждый модуль Уд проективен,
а последовательность 0 <- G -«- Хо •*- Xt... точна, то точна и после-
последовательность
О^-ОФУь^-ХоФУа^-Х^Уа*
Это равносильно утверждению, что преобразование е®1 : Fh/Fh~1->~
-> М'ЧМ1''1 индуцирует изоморфизм групп гомологии для всех k.
С другой стороны, е (g> 1 отображает точную последовательность
pk-i ^ ph _^ phjph-i B соответстВуЮщуЮ последовательность для
комплексов М, что приводит к коммутативной диаграмме
* Нп (f *-«) -> Я„ (Fft) -> Яп (f/F*-1) ->Я»_1 (Z76-1)
Я„
+1
Мы утверждаем, что отображение Я„ (i7*1) -> Я„ (Mft) является
изоморфизмом для всех п и k. Это верно для отрицательного k
и всех п. Предположим по индукции, что это же верно для чисел,
меньших k, и всех п. Значит, четыре внешних вертикальных отобра-
отображения указанной диаграммы являются изоморфизмами, поэтому
среднее вертикальное отображение является изоморфизмом в силу
леммы о пяти гомоморфизмах. Этим заканчивается индукция.
Каждый цикл или граница размерности п из Х®У будет
появляться из комплекса i7n+1. Следовательно, из изоморфизма
Нп (Fh) ^ Я„ {Mh) для больших k (именно для k>n+l)
вытекает искомый изоморфизм Нп (X (g> У) ^ Нп (G ® У). Но
Нп (G (g) У) ^ Тог„ (G, А) в силу симметричного случая тео-
теоремы 8.1, чем и заканчивается доказательство.
Последовательность подкомплексов Fk комплекса Х®У, упо-
упорядоченная, как в (9.5), называется фильтрацией комплекса X ® У.
Использованный здесь метод сравнения двух комплексов с помощью
фильтрации каждого из них будет сформулирован в общем виде
в гл. XI.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для комплексов К, L, М над коммутативным кольцом установить
сопряженную ассоциативность Нот (К (g) L, M) ss Нот (К, Нот (L,M)).
2. Пусть f : К -*¦ L — цепное преобразование, Fh — фильтрация К,
Л** — фильтрация L и f (Fh) с Mh. Пусть ft : Нп (FhIF^-1) ->- Нп (Mk/Mk-1)
216
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
— изоморфизм для всех и и k идля каждого п существует такое k, что
вложения индуцируют изоморфизмы Нп (Fk) es Нп (К), Нп (Мп) ss Hn (L).
Показать, что /* : Йп {К) -*¦ пп (L) — изоморфизмы для всех я.
3. Доказать,- что Ext" (С,А)
проективная резольвента, т| : А -*
& Hn (Horn (X,Y)), где е : X -> С есть
Y есть инъективная резольвента.
§10. Формула Кюннета
Тензорное произведение комплексов соответствует прямому
произведению пространств X и Y в том смысле, что можно дока-
доказать (VII 1.8) цепную эквивалентность сингулярного комплекса
S (XxY) комплексу S (X) ® S (Y). Это обстоятельство опреде-
определяет задачу настоящего параграфа: описать группы гомологии ком-
комплекса К <S> L в терминах групп гомологии комплексов К и L.
Формула взятия границы (9.2) показывает, что тензорное произ-
произведение и ® v циклов является циклом в К ® L и что тензорное
произведение цикла и границы есть граница. Следовательно, для
циклов и и v комплексов К и L соответственно формула
р (els и ® els v) = els (и ® v) (ЮЛ)
корректно определяет гомологический класс в К ® L, так что
порождается гомоморфизм
p:Hm(K)®BHq(L)-+Hm+q(K®RL)
абелевых групп, называемый (внешним) гомологическим умноже-
умножением. Прямая сумма 2Ята ® Hq для т -\- q = п при этом отобра-
отображается в Я„ (К ® RL), образ совпадает со всей группой Нп (К ® L)
при выполнении определенных условий для модулей Вт (К),
Ст (К) и Нт (К) границ, циклов и классов гомологии комплекса К
соответственно.
Теорема 10.1. (Тензорная формула Кюннета.) Если L —
комплекс левых R-модулей, а К — комплекс правых R-модулей,
удовлетворяющий условию
0) Сп (К) и Нп (К) — проективные модули для всех п; тогда
для всех п гомологическое умножение является изоморфизмом
р: 2 Hm(K)®RHq(L)=*Hn(K®RL). A0.2)
m-\-q=n
Этот результат является следствием более общей теоремы,
которая, помимо других обстоятельств, показывает, что образ
гомоморфизма р обычно не исчерпывает группу Я (К <8>я L)-
Теорема 10.2. (Формула Кюннета.) Если L — комплекс
левых R-модулей, а К — комплекс правых R-модулей, удовлетво-
удовлетворяющий условию
§ 10. Формула Кюннета
217
(и) модули Сп (К) и Вп (К) являются плоскими для всех п; тогда
для каждой размерности п существует короткая точная последо-
последовательность
A0.3)
m+q—n
2 Тог«(Ят(/С), Hq(L))-*0,
m-fq=n— I
в которой р — гомологическое умножение, a {S — естественный гомо-
гомоморфизм.
Ни один из комплексов К, L не обязан быть положительным.
Теорема 10.1 вытекает из последней теоремы. Действительно,
поскольку Я„ (К) s* Сп (КIВп (К), то из предположения (i) о проек-
проективности модуля Нп (К) следует, что эпиморфизм С„ -» Я„ расщеп-
расщепляем, т. е. модуль Вп (К) является прямым слагаемым проектив-
проективного модуля Сп и поэтому сам проективен. Так как каждый проек-
проективный модуль плоский (теорема 8.6), то модули Сп и Вп плоские,
что и требуется в условии (и). Более того, Tor4 (Hm, Hq) = 6
для плоских модулей Нт, так что A0.3) сводится к A0.2).
Прежде чем доказывать теорему 10.2, мы рассмотрим специаль-
специальный случай, когда граница комплекса К равна нулю. Для этого
достаточно положить К = G.
Лемма 10.3. }Если G — плоский правый R-модуль, то-
p:G ® Нл (L) s*Hn(G® L).
Доказательство. Положим Нп = Нп (L), Сп = Сп (L),
Вп = Вп (L). Высказывание о том, что Нп есть n-я группа гомоло-
гомологии комплекса L, равносильно высказыванию о точности строк
и столбцов коммутативной диаграммы
0 0
Т I
• вп —> сп ¦
?-71+1 > ?-71
Нп -* 0.
Действительно, точность длинного столбца означает, что Сп — ядро
д : Ln -> Ln-i, а точность короткого столбца дает представление
Вп в виде дЬп+и точная строка определяет Я„ как фактормодуль
Сп/Вп. Возьмем тензорное произведение каждого члена этой диа-
диаграммы на модуль G. Поскольку G — плоский модуль, новая диа-
218
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
грамма точна, что и устанавливает изоморфизм группы G ® Нп
с группой гомологии Нп (G ® L), причем этот изоморфизм задается
отображением р. Значит, лемма доказана.
Для доказательства теоремы 10.2 мы рассмотрим семейства
Сп = Сп (К) и Dn = Кп1Сп ^ Bn-i (К) как комплексы плоских
модулей с нулевой границей, так что последовательность С >-> К -»
-*» D есгь точная последовательность комплексов. Так как модуль
Dn ^ Bn-i (К) является плоским по условию, то Tort (Dn, Lq) = 0,
поэтому последовательность E:C®L>*K<8)L-»D®L также
является точной последовательностью комплексов. Обычная точная
гомологическая последовательность для последовательности Е
имеет вид
Н
п+1
n (С ®L)
Hn(D®L)?l Нп-,. (С
Hn(K®L)->
L),
где Еп — связывающие гомоморфизмы. Другими словами, последо-
последовательность
0->CokerEn+i->Нп (К ®L)->КетЕп^0
A0.4)
является точной. Мы хотим сравнить ее с последовательностью
A0.3), которая имеет тот же средний член Нп (К ® L). Пусть д'
обозначает отображение Dm+i ->-Cm, индуцированное 3.
Модуль гомологии Нт (К) можно описать при помощи короткой
точной последовательности S : Dm+i » Ст -» Нт (К). Возьмем
тензорное произведение этой последовательности и модуля Hq (L).
Поскольку Ст — плоский модуль, Tor4 (Ст, Hq (L)) = 0, так что
длинная точная последовательность для периодического произве-
произведения, просуммированная по т + q = п, принимает вид
1(Ят(/(), Hq(L))'-
*S Dm+i ® Я, (L)
Hq (L) -» 2 Нт (К) ® Hq (L)
l(D®L)-^>Hn(C®L).
A0.5)
Поскольку Dm+i и Ст — плоские модули, вертикальные отобра-
отображения являются изоморфизмами по лемме. Если мы будем знать,
что квадратная часть диаграммы A0.5) коммутативна, то мы полу-
получим описание Кег (En+i) с помощью Кег (д' ® 1); более точно
Кег (En+i) & Кег (д' ® 1) a* 2Tord (Я (К), Я (Ц) и Coker En+i &e
я* Coker (д' ® 1) ^ 2Я (К) ® Я (L). Таким образом, последова-
последовательность A0.4) превращается в искомую последовательность A0.3).
Можно также проверить, что первое отображение из A0.3) действи-
действительно является гомологическим умножением, в то время как вто-
§ 10. Формула Кюннета
219
рое отображение Р описывается при помощи коммутативности сле-
следующей диаграммы:
1
Нп ((ЮС) ® L)
2 Tort(Ят_!(К), Hq(L))
m+q=n
" Is*
A0.6)
- 2
(KIC)m®Hq(L),
в которой К -*¦ К1С — каноническая проекция, р — изоморфизм,
Sm — короткая точная последовательность Sm '¦ Кт1Ст ** Cm-i -»
-» Hm-i (К) и S* — сумма соответствующих; связывающих гомо-
гомоморфизмов для Tori. Эта диаграмма показывает естественность
гомоморфизма Р, однако отметим, что его определение не симмет-
симметрично относительно К и L; если предположить, что модули Сп (L)
и Вп (L) также являются плоскими, то симметричные относитель-
относительно L рассуждения устанавливают существование отображения {$',
возможно отличного от Р'. Мы покажем ниже (предложение 10.6), что
Р = Р' для комплексов абелевых групп; мы предполагаем, что
то же самое верно и в общем случае.
Осталось показать, что квадрат в диаграмме A0.5) коммутати-
коммутативен. Элемент 2d; ® els vt из Dm+i ® Hq (L) переходит при ото-
отображении р в els (Sdj ® Vi). По определению связывающий гомо-
гомоморфизм ?„+1 действует следующим образом: берется прообраз
2Аг ® vt ? К. ® L цикла 2,dt ® vt из D ® L, затем берется про-
прообраз в С ® L границы Hd'di ® vt этой цепи и, наконец, берется
гомологический класс последнего прообраза. Отсюда следует, что
els (Zd'di ® vt) = р (д' ® 1) (Sdj ® els vi), т. е. коммутативность
указанного квадрата.
В случае комплексов абелевых групп мы можем сказать больше.
Теорема 10.4. (Формула Кюннета для абелевых групп.)
Если К и L — (не обязательно положительные) цепные комплексы
абелевых групп и если в группах Кп нет элементов конечного порядка,
кроме 0, то последовательность A0.3) точна и расщепляется гомо-
гомоморфизмом, который не является естественным.
Доказательство. Поскольку группы Кп без кручения,
подгруппы Сп и Вп также являются группами без кручения и, зна-
значит, плоскими Z-модулями; поэтому предыдущая теорема, дает
точную последовательность A0.3). Остается показать, что она рас-
расщепляется. Предположим сначала, что К и! — комплексы свобод-
свободных абелевых групп Кт и Lq. Тогда Dm = дКт cz /Cm-i — под-
подгруппа свободной абелевой группы и, значит, сама свободна, так
что группа Кт, как расширение Ст с помощью Dm, расщепляется:
Km^Cm@Dm. Поэтому гомоморфизм els : Ст -+Нт (К) можно
220
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
продолжить до гомоморфизма <рт : /Ст—> Ят (К), где <рт с = else
для каждого цикла с. Существует аналогичный гомоморфизм
i|>g : Lq ->- Hq (L) для свободного комплекса L. Тензорное произведе-
произведение этих групповых гомоморфизмов порождает гомоморфизм
ф ® ip : (/С <8) Цп -*• 2Ят (К) 0 Hq (L); поскольку ф и ij) аннули-
аннулируют группу границ, то эту же группу аннулирует и отображение
Ф ® ij). Значит, существует индуцированное отображение
(ф <8> ф)*: Нп {К 0 L) -»- 2Ят (Л) 0 Я, (L). Для циклов и н v,
(ф 0 ¦ф)* Р (els « 0 els v) = (ф 0 ij))# els (u 0 t>) = фи 0 ij>t> =
= els и 0 els о, так что (ф 0 ijj^priz 1 и (ф 0 ij)),, — левый обрат-
обратный к р, расщепляющий нашу последовательность.
Теперь рассмотрим любые комплексы К и L (причем комплекс К
без кручения). Ниже мы покажем, что можно так выбрать свобод-
свободный комплекс К' и цепное преобразование / : К' -*-К, что каждое
отображение /„ : Нр (/(') -*¦ Нр (К) является изоморфизмом. При
аналогичном выборе преобразования g : V -*-L естественность
р и Р означает, что следующая диаграмма коммутативна:
о -> 2 н (К') ® я
я (/с ® L')
2 тог (я (К'), я <l')
| Тог(/*, g»)
о
В силу выбора / и g внешние вертикальные отображения — изомор-
изоморфизмы. Следовательно, по короткой лемме о пяти гомоморфизмах
среднее вертикальное отображение также является изоморфизмом.
Таким образом, нижняя точная последовательность изоморфна
верхней точной последовательности, которая, как только что было
установлено, расщепляется. Значит, и нижняя последователь-
последовательность расщепляется.
Это доказательство, принадлежащее А. Дольду, опирается
на следующую лемму.
Лемма 10.5. Если К — комплекс абелевых групп, то сущест*
вует такой комплекс X свободных абелевых групп и такое цепное
преобразование f : X -*-К, что отображение /„ : Нп (X) -»-Яп (К)
является изоморфизмом для всех размерностей п.
Доказательство. Достаточно взять в качестве X прямую
сумму комплексов Хт и цепных преобразований fm : Х<п) ->- К, для
которых (Рп\ : Нп (Xм) =* Нп (К) и Я, (Х(п)) = 0 для цфп. При
фиксированном п построим диаграмму
§ 10. Формула Кюннета
221
Для этого сначала представим группу Сп n-мерных циклов комплек-
комплекса К как факторгруппу свободной группы Fn; тогда получим отобра-
отображение | : Fn ->-Cn с: /(„. Затем положим Rn+i — 1~гВп и
j:Rn+i-*~Fn — вложение. Поскольку группа Rn+i свободна
и ljRn+i = дКп+и то Щ можно поднять до отображения г\, которое
делает диаграмму коммутативной. Теперь верхнюю строку рассмо-
рассмотрим как комплекс Х(п) с группой гомологии Fn/Rn+i = Сп1Вп —
= Нп (К) в размерности п и нулевыми группами гомологии во всех
остальных размерностях. Вертикальные отображения образуют цеп-
цепное преобразование, индуцирующее изоморфизм групп гомологии
в размерности п, что и требовалось.
Теорема 10:4 показывает, что гомологии комплекса /С® L поро-
порождаются циклами двух типов. Тип I — это цикл и ® v, построен-
построенный из циклов и 6 К, v 6 L; по нашей теореме Im p порождается
классами циклов типа I. Рассмотрим тройку (els и, т, els v)
в Tort (Я (К), Я (L)); тогда существуют такие цепи k и /,
что dk = mu, dl = mv для одного и того же целого числа т; значит,-
элемент
{\lm)d(k ® /) = ы
dimu = n,
есть цикл (типа II). Можно проверить, что гомологический класс
этого элемента определяется els и и els v по модулю Im p. Отсюда
возникает следующее выражение для гомоморфизма Р в формуле
Кюннета.
Предложение 10.6. Для такого элемента t =
= (els и, т, els о) 6 Tort (Я„ (К), Я (L)), что dk = mu, dl = mv,
формула yt = (—l)n+1 els A Im) д (k ® t) определяет гомоморфизм
Y: Tort (Я (K), H (L)) ~* H (K 0 L)/p [H (К) ® Я (L)].
При выполнении условий теоремы 10.4 у является изоморфизмом,
обратный к которому индуцирует р.
Доказательство. Поскольку D — К1С, отображение
Я (К 0 L) -*¦ Я (D ® L) переводит yt = els [(—l)n+1 и ® / +
+ k ® v] в els [(k + С) 0 v]. Отображение pS* из A0.6) пере-
переводит t в (к @ С) 0 els v, а затем в els [(k + С) 0 v]. Совпадение
этих двух результатов доказывает, что у индуцирует {S указанным
способом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что теорема 10.1 остается верной, если условие (i) заме-
заменить или условием (ш), т. е. когда С„, (К), Вп (К) и Нп (К) — плоские моду-
модули для всех п, или условием (iv), т. е. когда Сп (К), Вп (К) и Нп (L) — пло-
плоские модули для всех п.
222
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
2. Для конечно порожденных комплексов К и L, свободных абелевых
групп вычислить числа Бетти и коэффициенты кручения комплекса К ® L,
зная эти числа для комплексов К и L (см. 11.6; эта формулировка дает пер-
первоначальную теорему Кюниета [1923, 1924]).
3. Доказать теорему 10.4 следующим образом. Достаточно взять в каче-
качестве К конечно порожденный комплекс, следовательно, можно считать К
элементарным комплексом (упражнение 11.2.2). В этом случае каждый цикл
из К ® L можно записать как сумму циклов типа I и II; установить, что
п — мономорфизм, а V из предложения 10.6— изоморфизм (Эйленберг —
Маклейн [1954, § 12])-
4. Сформулировать формулу Кюннета для комплекса К ® L <Е> Л1.
5. Используя эту формулу, установить для абелевых групп изомор- '
физмы
Тог (Л, Тог (В, С)) ss Tor (Tor (Л, В), С),
Ext (Л, Ext (В, С)) s Ext (Tor (Л, В), С).
§11. Теоремы об универсальных коэффициентах
Теперь мы можем перечислить различные группы гомологии
комплекса. Если К — комплекс правых ^-модулей, а ВА и GR —
модули, то, рассматривая А как комплекс (с тривиальной градуи-
градуировкой А = Л о и границей 3 = 0), можно построить комплексы
К, K®RA, Нотя(К,#), Нотя(К, G), ¦
производные от комплекса К- Группы гомологии
Нп (К ®д А), Нп (К, G) = Нп (Нотд (К, G))
известны как n-мерная группа гомологии комплекса К с коэффи-
коэффициентами в модуле А и как n-мерная группа когомологий комплек-
комплекса К с коэффициентами в G соответственно. Согласно нашим прави-
правилам о перемещении индексов вверх или вниз, Я" (Нотн {К, G)) —
это Н-п (Нотя (К, G)). Когда К — положительный комплекс,
Нп (K<3)rA) = 0 для п < 0, в то время как Я" (К, G) = 0 для
п < 0; отсюда обычное написание индекса для групп гомологии
внизу и для групп когомологий наверху. Для положительного
комплекса К группа Нп (K®rA) иногда записывается как
Нп (К, А). Предупреждение: не поднимать этот индекс, так как
он приобрел бы иной смысл Я"" (К, А) = Нп (Нот (К, А)).
Рассмотрим комплексы абелевых групп (R = Z). Если каждая
группа Кп свободна, то теорема об универсальных коэффициентах
(теорема II 1.4.1)—это точная последовательность
0 -> Ext (Hn-i (К), G) -> Нп (К, G) -> Нот (Нп (К), G) -> 0.
Сейчас мы получим соответствующую теорему для групп гомологии.
Теорема 11.1. Если К — (не обязательно положительный)
комплекс абелевых групп без элементов конечного порядка и А —
§ 11. Теоремы об универсальных коэффициентах
223
абелева группа, то для каждой размерности п.существует расщеп-
расщепляющаяся точная последовательность групп
0 -> Нп(К) ®АЛ Нп(К®А)-> Тог (Нп-1 (К), А) -+ 0, A1.1)
в которой оба гомоморфизма естественны и действие гомоморфизма р
определено на цикле и из К равенством р (els и ® а) = els (и ® а).
Если К — комплекс векторных пространств над некоторым
полем и V — векторное пространство над тем же полем, то
H(K)VH(KV)
Этот результат есть следствие предыдущей теоремы 10.4. Прямое
доказательство просто в случае, когда комплекс К свободен. Будем
писать а„ вместо д <g> 1 : Кп ® A ->-/Cn-i <g> А. Точная последова-
последовательность
О —> Сп —> Кп —> Cn-i —> Hn-i —> 0
является свободной резольвентой группы Нп-й тензорное произве-
произведение этой последовательности и группы А имеет поэтому нулевую
группу гомологии в размерности 2, Тог {Нп-и А) в размерности 1
и Я„_1 ® А в размерности 0. Первое означает, что Сп ® А можно
рассматривать как подгруппу в Кп ® А; действительно,
Im dn+i сСп®Лс Кег дп а
А.
Второе означает, что Кег дп/Сп ® A gg Tor (Нп-и А); третье
(с заменой п на п + 1), что Сп ® Л/Im dn+i ^ Hn ® А. Следова-
Следовательно, Я„ (К ® А) = Кег 3„/1гп дп+1 есть расширение группы
Нп ® А с помощью Тог (Я„_1, А), что и утверждается точной после-
последовательностью A1.1).
Следствие 11.2. Если К и К' — комплексы абелевых групп,
каждый из которых не имеет элементов конечного порядка, и если
f : К ->¦ К''— такое цепное преобразование, что /„ : Нп (К) ^
s* Нп (К') — изоморфизм для каждого п, то /# : Нп (К ® А) -*¦
-> Нп (К' ® А) — изоморфизм для каждой абелевой группы А
и каждого п.
Доказательство. Нужно написать последовательно-
последовательности A1.1) для комплексов К и К' и применить лемму о пяти гомомор-
гомоморфизмах, как в доказательстве следствия II 1.4.6.
Эти теоремы об универсальных коэффициентах выражают гомо-
гомологию и когомологию комплекса К с любыми коэффициентами в тер-
терминах так называемой «целой» гомологии Я„ (К), по крайней мере
в том случае, когда группы Кп свободны. Если Кп — свободные
конечно порожденные абелевы группы, то существуют соответствую-
соответствующие выражения в терминах «целой» когомологий Я" (К, Z) (см.
ниже упражнение 2).
224
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
УПРАЖНЕНИЯ
1. Построить для абелевых групп К и А естественные гомоморфизмы
Нот (К, Z) 0 А -+ Нот (К, А) и К ® А -» Нот (Нот (К, Z), А). Пока-
зать, что это изоморфизмы, если К — конечно порождённая свободная груп- '
па, и что они являются цепными преобразованиями, если К — комплекс.
2. Пусть К — конечно порожденный комплекс свободных абелевых
групп. Обозначим Нп (Нот (К, Z)) через Нп (К). Используя упражнение 1
н теоремы об универсальных коэффициентах, построить естественные точ-
ные последовательности
О —*¦ Нп (К) ® G -> Нп (К, G) -> Тог (tfn+i (К), G) —> 0,
О -* Ext (Я»+1 (К), А) ->Нп(К®А)-> Нот (Я« (К), А) -» 0.
3. Если К — комплекс конечно порожденных свободных абелевых
групп, то показать, что n-е число Бетти fy, комплекса К. A1.2) равно раз-
мерности векторного пространства Нп (К. ® Q). где Q — поле рациональ-
.ных чисел.
4. Для комплекса К. из упражнения 3 и поля Zp вычетов по модулю р
вычислить, размерность векторного пространства Нп {К ® Zp), зная числа
Бетти и коэффициенты кручения комплекса К-
5. Для комплекса К векторных пространств над полем F обозначим
через К* сопряженный комплекс Нот (К, F). Установить естественные изо-
изоморфизмы Нп {К*) s [Нп {К)]*, если каждое пространство Кп конечно-
конечномерно.
Замечания. Тензорные произведения долго использовались в неяв-
неявном виде как G®R 2 ^е< s 2 Ge' или как V ® W & Hom W*'W)%
Их центральное место в полилинейной алгебре было подчеркнуто в трактате
Бурбаки [1948] на эту тему. Тензорные произведения абелевых групп впер-
вые были явно определены Уитнн [1938]. Теорема об универсальных коэф-
коэффициентах 11.1 была доказана Чехом [1935], который, таким образом, ввел
(но не назвал) периодическое умножение' Тог4. Картан н Эйленберг исполь-
зовалн резольвенты для определения более высоких периодических умноже-
ний. Описание (§ 6) Toq для абелевых групп при помощи образующих
и соотношений (Эйленберг — Маклейн [1954], § 12) полезно при изучении
спектра Бокштейна комплекса К. абелевых групп (о различных группах
Нп (К, Zm),VL их связи см. Бокштейн [1958], Палермо [1957]). Аналогичное
описание (упражнения 7.1, 7.2) Тогп с помощью образующих и соотношений
(Маклейи [1955]) включает некоторые новые довольно таинственные функто-
функторы —«произведения скольжения» (например, Т в упражнении 6.7) и прн-
водит к абстрактной характеристике (§ 7) элементов нз Тогп как троек
<ц, L, v>.
ГЛАВА \f\
Типы алгебр
§ 1. Задание алгебр диаграммами
Эта глава посвящена изучению формальных свойств различных
типов алгебр над фиксированным коммутативным кольцом К.
Употребляются следующие сокращения: ® для <g)K и Нот для
Нотк.
Далее, К-алгебра Л — это кольцо, которое является также
К-модулем, причем выполняется' равенство
для всех k 6 К и Яь Я2 € Л. Если 1Л — единичный элемент алгеб
ры Л, то равенство / (k) — k\A определяет кольцевой гомоморфизм
/ : К ->- Л. В действительности К-алгебру можно описать как
кольцо Л вместе с таким кольцевым гомоморфизмом / : К -у А,
что для всех k и Я выполняется (Ik) К = Я (Ik), т. е. /К лежит
в центре кольца Л.
Умножение XtX2 удовлетворяет обоим законам дистрибутивно-
дистрибутивности и, значит, является К-билинейной функцией. Следовательно,
формула л (Xi (g> Хг) — ^Аг определяет К-модульный гомоморфизм
я : Л ® Л -> Л. В этих терминах К-алгебру можно описать как
К-модуль Л с такими двумя гомоморфизмами К-модулей
я =
:Л ® Л
что диаграммы
= /л:К
К ® Л е* Л ^
A.1)
A.2)
коммутативны. Действительно, первая диаграмма показывает, что
умножение ассоциативно, а левая и правая половины второй диа-
диаграммы показывают, что / AК)— правая и левая единицы относи-
относительно умножения в Л и что я (Ik ® Я) = k% — я (X ® Ik).
15-353
226
Гл. VI. Типы алгебр
Если К совпадает с кольцом Z целых чисел, то Z-алгебр а — это
просто кольцо, так что тем самым дано диаграммное определение
кольца с помощью тензорных произведений абелевых групп. Двой-
Двойственные диаграммы определяют «кокольцо» или «коалгебру».
Алгебра может быть градуирована степенями таким образом, что
deg (Я1Я2) = deg Я4 + deg %2 или может иметь дифференциал д,
для которого д (Ki Я2) = (д Я?) Я2 + Ki (д Я2). В этой главе прово-
проводится единообразное исследование этих различных типов алгебр
и модулей над ними. В качестве примера алгебр с дифференциалом
рассмотрим сначала некоторые резольвенты над кольцом много-
многочленов.
Пусть P = F [х]—обычное кольцо многочленов от неизвест-
неизвестного х с коэффициентами из поля F; на самом деле Р можно рассма-
рассматривать как /""-алгебру, но временно мы будем рассматривать Р
только как коммутативное кольцо. Поскольку F = F [х]/(х) —
факторкольцо Р по главному идеалу (х), состоящему из всех крат-
кратных неизвестного х, мы можем считать FP-модулем, так что форму-
формула е (х) = 0 определяет Р-модульный гомоморфизм е : Р —> F.
Построим последовательность
0<-F -l-P -I- Ри^-0 A.3)
Р-модулей, где Ри — свободный Р-модуль с одним образующим и,
а д есть Р-модульный гомоморфизм, для которого ди = х. Эта после-
последовательность точна и является свободной резольвентой модуля F.
Для любого Р-модуля А группа Extp (F, А) может быть вычислена
при помощи этой резольвенты как первая группа когомологий
комплекса
Нотр (Р, А) -* НотР (Ри, А) -> 0.
Ввиду изоморфизма НотР (Р, А) ^ А это есть комплекс
б : А —> А с 6а = —ха, так что Extp (F, А)з*А/(х) А. Взяв тен-
тензорное произведение резольвенты A.3) с модулем В, мы определим
Torf (F, В) как подмодуль модуля В, состоящий из всех таких эле-
элементов Ь € В, чтохЬ = 0. Например, Extp(F, F)^FnTorf (F,F)s*
= F.
Аналогично, пусть Р = F [x, t/] —кольцо многочленов от двух
неизвестных х и у над полем F. Если (х, у) обозначает идеал, порож-
порожденный х и у, то поле F — Р/(х, у) снова является Р-модулем, а ото-
отображение е : Р -*-F является Р-модульным гомоморфизмом, для
которого е (х) = 0 = е (у). Ядро гомоморфизма е можно записать
как образ свободного Р-модуля с двумя образующими и и v при
модульном гомоморфизме di : Ри @ Pv ->Р, dtu = х, dxv = y.
Ядро этого отображения д± состоит из всех выражений fu + gv,
где f, g — такие многочлены из Р, что fx + gy = 0. В силу един-
§ 1. Задание алгебр диаграммами
227
ственности разложения многочленов на множители должны быть
выполнены соотношения / == — hy, g = hx для некоторого много-
многочлена h. Следовательно, это ядро является образом свободного
модуля Р (uv) с одним образующим uv при гомоморфизме 32, для
которого d2 (huv) = {hx) v — (hy) и = fu + gv. Поскольку в Р
нет делителей нуля, д2 — мономорфизм. Таким образом, мы пока-
показали, что последовательность
Pu@Pv
A.4)
точна. С помощью этой резольвенты можно вычислить, что
ExVp (F, F)^F @F о* Torf (F, F) и что Ext?» (F, F) s* F a*
s* Torf (F, F).
В резольвенте A.4) опустим F и запишем Е = Р @ Ри @ Pv @
@ Р (uv). Теперь положим vu = —uv, и2 = 0, v2 = 0; тем самым
превращаем Е в кольцо, в котором \Р действует как единица, а про-
произведения задаются, например, равенствами (fu) (gv) = (fg) (uv) =
= — (gv) (fu). Это кольцо называется «внешним» кольцом над Р
с двумя образующими и и v. Его элементы можно «градуировать»,
снабдив их размерностями следующим образом: dim \P = 0,
dim и = 1 = dim v и dim (uv) — dim и + dim v = 2, в соответ-
соответствии с их обычными размерностями в резольвенте A.4). Тогда раз-
размерность произведения есть сумма размерностей сомножителей.
Далее, граничный гомоморфизм резольвенты теперь становится
модульным гомоморфизмом 3: Е -*-Е степени —1, причем ди = х,
dv = у и д (uv) = (ди) v — и (dv). Отсюда вытекает формула для
дифференциала произведения двух элементов еи е2 кольца Е:
= (де
l)
dim
(дег).
A.5)
Эта «формула Лейбница» типична для кольца, которое есть одно-
одновременно комплекс. Другие примеры помещены в следующей главе,
которую можно читать параллельно этой.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать эквивалентность трех определений К-алгебры, данных
в тексте.
2. Показать, что если J — идеал кольца К, то К/У есть К-алгебра.
3. Для кольца Р = F [х, у] и произвольного Р-модуля А показать,
что Extp {F, А) — это фактормодуль А/(хА \J у А), а
Extp (F, A) s [(oj, a2) | oj, a2 ? А, ха2=уа1]/[(ха, уа)\а? А].
4. Получить аналогичную формулу для Torf (F, F), где Р = F [х, у].
5. Построить свободную резольвенту для F как модуля над кольцом
многочленов F [х, у, г] от трех неизвестных.
15*
228
Гл. VI. Типы алгебр
§ 2. Градуированные модули
(Внешне) Z-градуированным К-модулем называется семейство
М — {Мп, п = 0, ±1, ±2, . . .} К-модулей Мп; элемент т из Мп
называют также элементом степени п в М (коротко, deg m = n).
Градуированный подмодуль S cz M — это семейство подмодулей
Sn cz Мп, по одному для каждого п. Для двух Z-градуированных
модулей L и М гомоморфизм f: L -*• М степени d — это семейство
/=={/„: Ln ->Mn+d; л ? Z} К-модульных гомоморфизмов fn.
Множество всех гомоморфизмов f:L-+M фиксированной степе-
степени d является К-модулем Нот^ (L, М). Произведение гомоморфиз-
гомоморфизмов степеней d и d' имеет степень d + d'. Можно Z-градуирован-
Z-градуированный модуль М записывать также с верхними индексами, как
Мп = М-п; в частности, Homd (L, М) = Hom-d (L, М).
Градуированный К-модуль М — это Z-градуированный модуль,
у которого Мп = 0 при п<0. Такие градуированные модули наи-
наиболее часто встречаются и будут ниже изучаться, причем читателю
предоставляется формулировка соответствующих фактов для
Z-градуированных модулей. Предупреждение: многие авторы назы-
называют «градуированными» Z-градуированные модули и «положи-
«положительно градуированными» — градуированные модули в нашем
смысле.
В тривиально градуированном модуле М Мп = 0 для п ф 0.
Градуированные К-модули М с морфизмами horn (L, М) =
= Homo (L, М) — гомоморфизмами степени 0 образуют катего-
категорию. Каждый гомоморфизм / : L -+М степени 0 имеет ядро, образ,
коядро и кообраз, определенные естественным образом (т. е. почлен-
почленно для каждого п); они являются градуированными модулями с обыч-
обычными свойствами. Для фиксированной степени d, Homd (L, M) —
бифунктор, определенный в этой категории, контравариантный по-
L и ковариантный по М. Иначе говоря, семейство Нот (L, М) —
= {Homd (L, М)} — это бифунктор из этой категории в категорию
Z-градуированных К-модулей. Оба бифунктора точны слева в смы-
смысле теорем 1.6.1 и 1.6.2.
Тензорное произведение двух градуированных модулей L и М
есть градуированный модуль, заданный формулой
B.1)
кратко: градуировка в тензорном произведении определяется равен-
равенством deg (/ <g> m) = deg / + deg m. Если / : L -+L' и g : M ->• AT—
гомоморфизмы степеней d и е соответственно, то гомоморфизм
/ ® g '• L <g> M -*-L' ® M' степени d + e определяется формулой
B.2)
§ 2. Градуированные модули
229
согласно соглашению о знаке (перестановка g и /). Если deg/ =
= deg g = 0, то это определение превращает L <g) M в ковариант-
ковариантный бифунктор внутри категории градуированных модулей. Этот
функтор точен справа, как и в теореме V.5.I.
Тензорное произведение градуированных модулей удовлетво-
удовлетворяет тем же формальным тождествам, что и в неградуированном
(= тривиально градуированном) случае, т. е. имеются естествен-
естественные изоморфизмы степени 0
а : L ® (М <g> N) ^ (L ® М) ® N, а [/ <g> (m <g> п)] = (/ ® т) ® п,
B,3)
r:L®M^M®L, T[/<g>m] = (-l)(d€8')((le8tn)m®/, B.4)
K®M^Mq*M®K, k ®m->fem<— m <g> fe. B.5)
В этих формулах ® = ®к. а основное кольцо К рассматривается
как тривиально градуированный модуль К, в котором Ко == К,
Кп = 0 при п ф 0. Мы рассматриваем эти изоморфизмы как отожде-
отождествления. Мы можем это сделать, так как они согласованы явным
образом друг с другом; если даны два произвольных итерирован-
итерированных тензорных произведения одних и тех же модулей М±, . . ., Ms,
то подходящая комбинация этих изоморфизмов порождает канони-
каноническое отображение первого тензорного произведения во второе.
При этом, возможно, вычеркивается или добавляется множитель К
и учитывается знак в соответствии с соглашением о знаке, как
в B.4).
Те же самые свойства Ногпк и ®к справедливы для Z-градуи-
Z-градуированных модулей и для множества других случаев, описываемых
ниже.
Биградуированный К-модуль В есть семейство В = {fip,9 \p, q € Z}
К-модулей Bp,q, причем Bp,q = 0, если р < 0 или q < 0;
гомоморфизм /: В ->• В' бистепени (d, e) — это семейство
{fp,q '• Bp,q -* B'p+d,q+e} К-МОДуЛЬНЫХ ГОМОМОрфИЗМОВ. Так, Тен-
зорное произведение двух градуированных модулей L и М перво-
первоначально является биградуированным модулем {Lp ® Mq}, кото-
который суммированием B.1) превращается в просто градуированный
модуль. Аналогично тензорное произведение двух биградуирован-
биградуированных модулей Б и С есть четырежды градуированный модуль, кото-
который порождает биградуированный модуль суммированием
= 22-
p-f-q=m r+s=n
B.6)
Говорят, что элемент из Bp,q имеет полную степень р + q. Естествен-
Естественные изоморфизмы B.3), B.4) и B.5) верны и для биградуированных
230
Гл. VI. Типы алгебр
модулей, если использовать полную степень в знаке при транспо-
транспозиции т.
Аналогично определяются триградуированные, Z-биградуиро-
ванные модули и т. п.
Внутренне градуированный К-модуль А — это К-модуль с задан-
ным разложением в прямую сумму А = 2Л„; другими словами,
заданы модуль А и его подмодули Ап, п = 0, 1, . . ., причем
каждый элемент а Ф 0 имеет единственное представление в виде
конечной суммы ненулевых элементов из различных подмодулей Ап.
Элементы из Ап называются однородными элементами модуля А
степени п. Каждый внутренне градуированный модуль А опреде-
определяет внешне градуированный модуль {Ап}. Обратно, каждый
внешне градуированный модуль М = {Мп} определяет ассоции-
ассоциированный внутренне градуированный модуль М* = 2М„. Более
того, (L ® М)» = L^ ® М#, однако Нот (L», М») больше, чем
[Нот (L, М)]*, так как К-модульный гомоморфизм / : L* -+M*
может не быть суммой конечного числа однородных гомоморфизмов.
В большей части литературы «градуированный модуль» понимается как
внутренне градуированный модуль. Следуя предложению Джона Мура, мы
выбрали как рабочий аппарат внешнее градуирование. Этот выбор имеет то
преимущество, что мы всегда оперируем только с однородными элементами,
а ие с суммами то+ ••• + «„ элементов различных степеней. Аналогично
нам необходимы только однородные гомоморфизмы L -*¦ М, а не произволь-
произвольные гф L М Б б
ные гомоморфизмы
б
рд рф , р
М%. Более того, наш выбор дает возможность
рф ^ % , р д
не использовать бесконечные прямые суммы, так что мы можем определить
градуированный объект М над любой категорией вМ как семейство {Мп}
объектов из <S с морфизмами различных степеней точно так же, как и для
модулей. Например, градуированное множество S — это семейство мно-
множеств {Sn, n=0, 1, 2, . , .}.
§ 3. Градуированные алгебры
Градуированная К-алгебра А — это градуированный К-модуль,
снабженный двумя К-модульными гомоморфизмами я =
=лА: Л® Л-*-Ли/ = /Л:К-»-Л, имеющими степень 0 и делаю-
делающими коммутативными диаграммы
Л=Л<8)К
C.1)
Л ® Л
А <— Л ig) Л.
В первой диаграмме утверждается, что «умножение» Ац = я (X ® р,)
ассоциативно, а во второй, что элемент /Л AК) == 1д является дву-
двусторонней единицей для этого умножения. Гомоморфизмом f: Л ->-
-»- Л' двух градуированных алгебр над одним и тем же кольцом К
называется такой гомоморфизм степени 0 градуированных К-мо-
§ 3. Градуированные алгебры
231
дулей, что диаграммы
Л® Л
C-2)
Л'® Л'
коммутативны.
Эти определения можно сформулировать также в терминах
элементов. Градуированная алгебра Л — это семейство К-модулей
{Л„, п = 0, 1, . . .} вместе с выделенным элементом 1 ? Ло
и функцией, которая сопоставляет каждой паре элементов Я, \i
произведение Яц, К-билинейное и удовлетворяющее соотношениям
deg (V) = deg Я + deg ц,
= {K\i) v,
Аналогично гомоморфизм /: Л -»- Л' двух алгебр — это функция,
переводящая элементы из Л в элементы той же степени из Л' и сохра-
сохраняющая структуру алгебры:
degC/A)=degX
/ (Яц) = (Д) (fii),
f(kk) = k(fk)
/ AЛ) = 1 л-
(модульная структура),
(градуировка),
(произведение).
C.3)
Мы подчеркиваем, что каждый гомоморфизм / переводит единицу
в единицу. Для алгебр, как и для колец, предполагаем, что 1 Ф 0.
Градуированная подалгебра 2 с Л является таким градуиро-
градуированным подмодулем модуля Л, что 1Л € 2 и что аа' 6 2, если
о, а' 6 2. Значит, подмодуль 2 сам является градуированной алге-
алгеброй с той же единицей, что и в Л, а вложение i: 2 -у Л является
мономорфизмом градуированных К-алгебр. Если /: Л-»-Л' есть
гомоморфизм алгебр, то образ / B) есть градуированная подалгебра
алгебры Л'.
Градуированный левый идеал L с Л — это такой градуирован-
градуированный подмодуль алгебры Л, что AL с L (т. е. для любых Я 6 Л
и I ? L, Я / ? ^.Следовательно, левый идеал'!, замкнут относительно
умножения, но может не быть подалгеброй, поскольку может не
содержать единицы 1Л. Если аи . . ., as —элементы алгебры Л,
то наименьший градуированный левый идеал, содержащий все
элементы аг, часто обозначается через Л (аь . . ., as) или просто
(аи . . ., as), где Л подразумевается. Подмодуль элементов п-й
степени этого идеала состоит из всех сумм 2Ягаь где элементы
Я; 6 Л имеют степени п — degc;. Градуированный правый идеал
R с: Л аналогично определяется условием R Л cz R.
232
Гл. VI- Типы алгебр
Градуированный (двусторонний) идеал У алгебры Л — это гра-
градуированный подмодуль, который одновременно является левым
и правым градуированным идеалом Л. Фактормодуль Л/У есть
градуированная алгебра с произведением, определенным тем усло-
условием, что проекция г\: Л :-> Л/У является гомоморфизмом градуи-
градуированных алгебр. Эта факторалгебра вместе с отображением т)
характеризуется с точностью до изоморфизма тем, что любой гомо-
гомоморфизм / : Л -> Л' градуированных алгебр, для которого / (У) =
= 0, представим единственным образом в виде произведения / = gr\.
где g — некоторый гомоморфизм алгебр g: Л/У ->-Л'. Более того,
ядро любого гомоморфизма /: Л ->• Л' градуированных алгебр
является идеалом в Л (замечание: в случае У = Л в «факторкольце»
Л/У = 0 получаем 1 = 0 в противоречии с нашим соглашением
о том, что 1 Ф 0).
Градуированная алгебра Л коммутативна (некоторые авторы
говорят — косокоммутативна или антикоммутатшна), если для
любых элементов Яиц
fy = (-l)deg*deBVX, . C.4)
т. е. если яЛ = ялт: Л 0 Л -> Л, где т — транспозиция B.4).
Вследствие этого определения элементы четной степени пере-
перестановочны в обычном смысле. Если к тому же Я2 = 0 для каждого
элемента Я нечетной степени, то алгебра Л называется строго ком-
коммутативной. Если основное кольцо К есть поле характеристики,
не равной 2, то любая коммутативная градуированная К-алгебра
строго коммутативна, так как при нечетной deg Я в силу C.4)
ЯЯ = —ЯЯ, 2Я2 = 0, а так как 2 лежит в К, то Я2 = 0.
Например, градуированная полиномиальная алгебра Р = Рк 1*1
может быть определена для любой степени d>0 «неизвестного»
х. Если d = 0, то Р — это обычное кольцо многочленов от неизвест-
неизвестного х с коэффициентами из К. Если d > 0, то Р — градуирован-
градуированный модуль, у которого Рп — 0 для п ф 0 (mod d), a Pqd для каж-
каждого </>0 — свободный К-модуль с одним образующим xq; про-
произведение определяется формулой хрх9=хр+9. Если d четно, то эта
полиномиальная алгебра коммутативна. Алгебра Р характеризует-
характеризуется с точностью до изоморфизма тем фактом, что она свободна отно-
относительно х. А именно, для любой градуированной К-алгебры Л
и любого выбранного элемента Я^ степени d существует такой един-
единственный гомоморфизм /: Р -*¦ Л градуированных, алгебр, что
fx = %d.
Внешняя алгебра Е = Е^ [и] от одного символа и нечетной сте-
степени d строится с помощью свободного К-модуля Ки с одним обра-
образующим и как градуированная алгебра Е, в которой Ео = К,
Ed = Ки, Еп = 0 для 0 ф п Ф d, а умножение определено следую-
следующими равенствами: 1« = и = «1, «2 = 0. Она строго коммутатив-
§ 3. Градуированные алгебры
233
на. Мы можем также определить Е как факторалгебру Рк М/(х2),
где х — неизвестное степени d, а (х2) обозначает (двусторонний)
идеал в Р, порожденный х2. Алгебра Е может быть охарактеризо-
охарактеризована как строго коммутативная алгебра, свободная относительно и;
для любой строго коммутативной алгебры Л с выбранным элемен-
элементом К € Ли существует такой единственный гомоморфизм /: ?к [и] —>
->- Л градуированных алгебр, что / («) = Kd.
Тензорная алгебра Т (М) К-модуля М является градуирован-
градуированным К-модулем
То (М) = К, Тп (М) = АГ = М ® ... <g> M (п сомножителей),
умножение в котором задается отождествляющим отображением
я : Мр (g) Mq S М'"+ч. Другими словами, произведение образуется
«приписыванием» одного множителя к другому:
) mp) (
m'q) — mi (g)...
tnp
> m'x
m'q.
Ясно, что Т — это ковариантный функтор из категории К-модулей
в категорию градуированных К-алгебр. Вообще, если М — градуи-
градуированный К-модуль, то тензорная алгебра Т (М) определяется ана-
аналогично:
То (М) =-- К © 2 (Моу>, Тп (М) = 2 Mdx
i
где вторая сумма берется по всем dt, для которых di + . . . +
-f dt = п. При М = Mi это определение включает в себя преды-
предыдущий случай. Градуированная алгебра Т (М) с очевидным К-
модульным включением М -> Т (М) (степени 0) характеризуется
с точностью до изоморфизма следующим свойством «универсаль-
«универсальности».
Предложение 3.1. Если М—градуированный модуль,
а А — градуированная алгебра над К, то каждый гомоморфизм
g : М -*¦ Л градуированных модулей степени нуль продолжается
до единственного гомоморфизма /: Т (М) -»¦ Л градуированных
алгебр.
Доказательство. Положим / (mt <g) . . . <g) mp) —
В частности, если М — свободный градуированный К-модуль F
с п образующими хь . . ., хп, каждый из которых имеет определен-
определенную степень, то Т (F) является свободной градуированной алгеброй
с этими образующими в том смысле, что всякое отображение мно-
множеств |: {хи . . ., хп) -»-Л степени нуль продолжается единствен-
единственным образом до гомоморфизма Т (F) -у А градуированных алгебр.
234
Гл. VI. Типы алгебр
Если модуль F имеет только один образующий элемент х, то T(F)
является полиномиальной алгеброй от неизвестного х; если V —
векторное пространство над полем К, то Т (V)— тензорная алгебра
пространства V над полем К, состоящая из всех ковариантных
тензоров с некоторым числом индексов (сравните с V.2).
Основное кольцо К само есть градуированная К-алгебра с три-
тривиальной градуировкой. Пополненной градуированной алгеброй
называется градуированная алгебра Л, снабженная гомоморфизмом
е:Л->-К градуированных алгебр. Полиномиальная, внешняя
и тензорная алгебры обладают, очевидно, таким пополнением.
Пополненная алгебра называлась также «дополненной» алгеброй
(Картан — Эйленберг). В этой книге под «пополнением» объекта С
в категории % всегда будет пониматься морфизм е: С -»-Б в некото-
некоторый фиксированный «базисный» объект В. Так, в категории К-
алгебр базисный объект — это алгебра К, в категории цепных ком-
комплексов абелевых групп — это тривиальный комплекс Z и т. д.
Исходя из градуированных К-модулей, мы определили градуи-
градуированные К-алгебры при помощи морфизма умножения я и морфиз-
ма единицы /, которые дают коммутативные диаграммы C.1). Исходя
из других типов модулей, мы получим соответствующие типы алгебр.
Так, диаграммы A.2) для (неградуированных) К-модулей опреде-
определяют К-алгебры; мы будем называть их неградуированными К-алгеб-
рами, когда различение этих типов алгебр необходимо. Аналогично
Z-градуированные модули порождают Z-градуированные алгебры,
биградуированные модули — биградуированные алгебры, внутрен-
внутренне градуированные модули — внутренне градуированные алгебры.
Как и раньше, внутренне и внешне градуированные алгебры экви-
эквивалентны: каждая градуированная алгебра Л, определяет внутренне
градуированную алгебру Л* = 2ЛП, B которой умножение опреде-
определяется с помощью билинейного соотношения
Заметим, что градуированная алгебра не является алгеброй, в то
время как внутренне градуированная алгебра может рассматри-
рассматриваться просто как алгебра (без всякой градуировки). Внутренне
градуированные идеалы, определенные, как и выше, обычно назы-
называются однородными идеалами; они находятся среди идеалов ассо-
ассоциированной неградуированной алгебры.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать свободный градуированный К-модуль с некоторым градуиро-
градуированным множеством образующих.
2. Описать биградуированную тензорную алгебру биградуированного
модуля и доказать аналог предложения 3.1.
§ 4. Тензорные произведения алгебр
235
3. Пусть S — множество элементов градуированной алгебры Л. Пока-
Показать, что множество всех однородных сумм произведений A,sV, где s ? S,
есть градуированный идеал в Л, наименьший среди идеалов, содержащих S.
Он называется идеалом, порожденным S (или натянутым на S).
4. Показать, что градуированная К-алгебра может быть описана как
грудированное кольцо R, снабженное таким гомоморфизмом / : К -*¦ R
градуированных колец, что (Ik) г = г (Ik) для всех k 6 К, г ? R.
§ 4. Тензорные произведения алгебр
Тензорным произведением двух градуированных К-алгебр Л
и 2 является их тензорное произведение Л® 2 как градуирован-
градуированных модулей с гомоморфизмом умножения, определенным как после-
последовательное выполнение отображений
Л® 2, D.1)
где т — транспозиция B.4) (со знаком) 2 и Л, и с гомоморфизмом
единицы, заданным отображением /®/ : К = К® К ->Л®2.
В терминах элементов умножение определяется так:
(Я ® ст) (Я' ® а') = (- l)deg(Jdegr ЯЯ' ® ста',
а тождественное отображение алгебры Л ® 2 равно 1Л ® 12.
При этом выполнены все аксиомы для градуированной алгебры.
Если f: A -*-А' и g: 2 -*- 2' — гомоморфизмы градуированных
алгебр, то и отображение / ® g : Л ® 2 ->- Л' (g) 2' является гомо-
гомоморфизмом. Отображения Я->Я ® 1х, ст->-1Л®ог определяют
гомоморфизмы
Л-»Л<8J<-2
градуированных алгебр. Вместе с этими отображениями тензорное
произведение Л ® 2 характеризуется с точностью до изоморфизма
следующим свойством:
Предложение 4.1. Если f:A~*-Q и g : 2 ->-Q —
гомоморфизмы градуированных К-алгебр, причем
D.2)
для любых Я 6 Л, а 6 2, то существует единственный гомоморфизм
h : Л ® 2 ->-Q градуированных алгебр, для которого h (Я ® 1) =
= / (Я), h A ® а) == g (а).
Доказательство предоставляется читателю (положить h (Я ® а) =-
7()*())
Если алгебра Q коммутативна, то условие D.2) выполняется
автоматически. Значит, в категории коммутативных градуирован-
градуированных алгебр диаграмма Л ->- Л ® 2 <— 2 универсальна относитель-
236
Гл. VI. Тины алгебр
но концов Л и 2. В категории всех (не обязательно коммутативных)
алгебр универсальная диаграмма определяет свободное произведе-
произведение (Кон [1959]), а коуниверсальная диаграмма — прямое произве-
произведение Л х 2, которое будет определено ниже в VI 1.E.1).
Тензорное произведение алгебр вместе с приведенной характе-
характеристикой применяется во всех подходящих случаях: тензорного
произведения К-алгебр (тривиальная градуировка), колец (К = Z),
биградуированных алгебр. В каждом случае тензорное произведе-
произведение алгебр коммутативно (т: Л ® 2 э* 2 ® Л), ассоциативно
и удовлетворяет соотношению К <g> Л ^ Л; другими словами, есте-
естественные изоморфизмы B.3)—B.5) верны и для алгебр. Тензорное
произведение алгебр также называется их кронекеровым произведе-
произведением или, в более ранней литературе, их «прямым» произведением.
Каждой градуированной алгебре Л мы ставим в соответствие
также градуированную противоположную алгебру Л°р. Она опреде-
определяется как градуированный К-модуль Л с той же единицей и новым
умножением яЛт: Л ® Л -v Л (берется произведение с соответ-
соответствующим знаком тех же множителей, но в обратном порядке). Во
избежание неудобства от записи двух различных произведений для
одной и той же пары элементов мы также говорим, что градуирован-
градуированный модуль Л°р является изоморфной копией градуированного
модуля Л относительно отображения Я ->-Яор, а произведение опре-
определяется формулой А°рц°р = (—1 yegMeg и(цХ)ор. Очевидна ассоциатив-
ассоциативность этого умножения. Например, если Л — тривиально градуи-
градуированная алгебра квадратных матриц порядка п с элементами из
кольца К с обычным матричным умножением «строка на столбец»,
то Л°р — кольцо квадратных матриц с умножением «столбец на стро-
строку». То же построение противоположной алгебры применимо для
построения противоположного кольца (как уже отмечалось в V.7),
противоположной биградуированной алгебры и т. д., и в каждом
случае существуют естественные изоморфизмы
(Л°р)°р ^ Л, (Л ® 2)°р ш Л6р ® 2°р. D.3)
Тензорное произведение может быть использовано для построе-
построения различных примеров алгебр.
Пусть Рк lxt], i = 1, . . ., n,— градуированная полиномиаль-
полиномиальная алгебра от неизвестного xt четной степени dt > 0 (§ 3). Коммута-
Коммутативная градуированная алгебра
Рк [Хи ..., хп] = Рк Ы <g> ... ® Рк [хп] D.4)
называется градуированной полиномиальной алгеброй от неизвест-
неизвестных X;. В каждой размерности т, Рк [хь . . ., х„] будет свободным
К-модулем, свободными образующими которого будут все элементы
вида
хр ® ... ® х*?, причем etdi + ... + endn = m
§ 4. Тензорные произведения алгебр
237
(если ef = 0, то х\ обозначает 1к); при перемножении двух таких
образующих складываются соответствующие показатели степени.
Эта полиномиальная алгебра является свободной коммутативной
алгеброй с образующими xt четной степени в смысле следующей
характеристики.
Предложение 4.2. Если А — коммутативная градуи-
градуированная алгебра, то отображение множеств |: {хи . . ., хп}~->
-*- А, для которого deg (?хг) = deg xt для всех i, однозначно про-
продолжается до гомоморфизма f : Рк Ui, . . ., х„] ->-Л градуиро-
градуированных алгебр.
Доказательство. Поскольку Рк 1хг ] — свободная
алгебра с образующим xt, соответствие xt -*%Xi продолжается до
гомоморфизма алгебр ft: Рк [xt 1 -*• А. Поскольку алгебра Л комму-
коммутативна, набор этих гомоморфизмов /г по предложению 4.1 одно-
однозначно определяет гомоморфизм /: Рк -*• А.
Если все хг имеют одну и ту же степень, то из этого свойства
следует, что перестановка порядка неизвестных просто заменяет
полиномиальную алгебру изоморфной ей алгеброй; значит, порядок
неизвестных xt не существен. Если все х% имеют степень нуль, то
алгебра Рк \.хи . » ., дсп] тривиально градуиробана. Мы можем рас-
рассматривать ее как неградуированную алгебру и обозначить через
К [хи . . ., хп]; в этом случае она является обычной алгеброй
многочленов от п неизвестных над кольцом К. Для заданных п кон-
констант kt 6 К по предложению 4.2 существует такой единственный
гомоморфизм /: Рк ->К, что fxt = ki, i = 1, . . ., п. Это гомомор-
гомоморфизм, получаемый известным процессом «подстановки kt вместо xt,
i = l л».
Теперь мы построим аналогичную свободную строго коммутатив-
коммутативную алгебру с образующими щ нечетной степени (степень 1 будет
достаточна). Для п букв «ь . . ., ип, каждая из которых имеет
степень 1, тензорное произведение (над К)
есть строго коммутативная алгебра, называемая внешней алгеброй
над К с образующими щ,..., ип. Как и выше, имеет место
Предложение 4.3. Внешняя алгебраЕ = ?к 1«ь •••»"»]
в степени 1 является свободным К-модулем Е± с образую-
образующими Uu . . ., Un. Если А — любая строго коммутативная гра-
градуированная К-алгебра, то каждый модульный гомоморфизм
Р: ?4 -^-Л4 однозначно продолжается до гомоморфизма f:E-*-A
градуированных алгебр.
Произведение двух элементов е и е' внешней алгебры часто
записывается как е Л ?• Очевидно, что Е — свободный модуль,
238
Гл. VI. Типы алгебр
образующими которого служат все (упорядоченные) произведения
образующих щ; произведения степени р > О — это произведения
UhUi2 . . . Uip = Uh Д «i2 Д • • • Л «ip.
где Ki'i < t2< . . . < гр<п. Число таких произведений равно
(р, п — р), где
(р,
D.5)
— наше обозначение для биномиальных коэффициентов. Любая
перестановка а знаков 1, . . ., р может быть записана как про-
произведение sgn а транспозиций смежных знаков, где sgn a==l
или 0 (mod 2) в соответствии с четностью или нечетностью пере-
перестановки а, так что из правила коммутативности вытекает
равенство
"V4, • • • "Ч = (~ \fenauhuh ... uio.
Тензорное произведение К ®z К' двух коммутативных колец
есть коммутативное кольцо, а из определения Е следует, что
?к [и] ®гЕк' [и'] = ?к®к- [и, и']. D.6)
Имеются аналогичные изоморфизмы для большего числа букв «,
большего числа множителей, а также при замене алгебры Е алгеб-
алгеброй Р. Многочлены от п коммутирующих неизвестных с коэф-
коэффициентами из не обязательно коммутативной (неградуированной)
К-алгебры Л можно определить так:
Рл[xi, ...,*»] = Л <3>кРк [хи ¦¦¦, хп]. D.7)
УПРАЖНЕНИЯ
1. В произвольной градуированной алгебре Л обозначим через С =
= С (Л) идеал, порожденный (см. упражнение 3.3) всеми разностями Я,(х —
— (—1)тп|хЯ,, где т = deg %, п = deg \i. Показать, что алгебра Л/С комму-
коммутативна и что любой гомоморфизм алгебры Л в коммутативную алгебру
можно однозначно провести через проекцию Л -*¦ Л/С.
2. Симметричная алгебра S (М) определяется как факторалгебра
S (М) = Т (М)/С (Т (М)) тензорной алгебры, где идеал С определен в упраж-
упражнении 1. Показать, что предложение 3.1 остается в силе, если алгебра Л
коммутативна, а алгебра Т (М) заменена алгеброй S (М), и что для свобод-
свободного модуля М с конечным числом образующих четной степени алгебра
S (М) является полиномиальной.
3. Проделать аналогичное построение внешней алгебры над любым
градуированным К-модулем М, состоящим только из элементов степени 1.
4. При условиях упражнения 2 показать, что
S (М ф N) s S (M) (g) S (N).
§ 5. Модули над алгебрами
239
5. Показать, что свободная, строго коммутативная градуированная
алгебра с некоторым конечным градуированным множеством образующих
может быть построена как тензорное произведение полиномиальной и внеш-
внешней алгебр.
6. Показать, что если Р = К [х] и Q = Р [у], то Q как (неградунрован-
ная) К-алгебра изоморфна алгебре К [х, у]. Распространить этот резуль-
результат на градуированный случай с большим числом неизвестных.
§ 5. Модули над алгебрами
Пусть Л — градуированная К-алгебра. Градуированный К-
модуль А называется левым А-модумм, если задан такой гомо-
гомоморфизм пА: А ® А -*-А градуированных К-модулей степени
нуль, что коммутативны диаграммы
пА
Л® А
E.1)
Другими словами: левый Л-модуль — это градуированная абелева
группа А вместе с функцией, которая сопоставляет каждому
К (Е Л и каждому а 6 А элемент Ха 6 А, причем deg (ka) = deg k +
-\- deg а и для любых элементов А,ь Я2 и at, аг, таких, что deg Ki =
= deg Я2, deg a4 = deg a2). имеют место равенства
k (at -f a2) = fail + Яа2, E.2)
\Аа = а. E.3)
Действительно, если выполнены эти условия, то по определению
ka = (k\A) а, А превращается в градуированный К-модуль.
Ввиду E.3), (kX) a = k (Ха) = X (ka). Вместе с E.2) это равенство
показывает, что функция Ха К-билинейна, и поэтому определен
гомоморфизм яА: пА(Х ® а) = Ха. Наконец, E.3) есть перефра-
перефразировка коммутативности диаграмм E.1).
Если С и Л — левые Л-модули, то А-модульным гомоморфизмом
f:C-+A степени d называется такой гомоморфизм градуирован-
градуированных К-модулей степени d, для которого
яАA®/):А®С->>4; E.4)
Другими словами, это такой гомоморфизм, для которого
(fc) E.4')
Для всех Я ? Л и с ? С; обычный знак появляется в силу опреде-
определения B.2) отображения 1 (g) /. Множество всех таких гомомор-
240
Гл. VI. Типы алгебр
физмов / степени d является К-модулем, который мы обозначим
как Hcm-d (С, А).
Класс К"М всех левых Л-модулей образует категорию с мор-
физмами honu (С, А) = Нотл (С, А) степени нуль. В катего-
категории нМ определены прямые суммы, подмодули и фактормодули,
ядра, образы, кообразы и коядра с обычными свойствами. Для
каждого п Нот™ (С, А) — аддитивный бифунктор из категории
Ае$ в категорию К-модулей; контравариантный по аргументу С
и ковариантный по А. Семейство Нотл (С, А) = (Нот! (С, А),
п = 0, ± 1, ±2, . . .} является аналогичным бифунктором из
АэМ в категорию Z-градуированных К-модулей. Согласно опре-
определению E.4) Л-модульного гомоморфизма, мы можем также
описать Нотл (С, А) как Z-градуированный К-модуль, который
является ядром естественного гомоморфизма
1|з: Нот (С, А) -> Нот (Л <g> С, А), Нот == Нотк E.5)
Z-градуированных К-модулей, определенного равенством
Предложение 5.1. Функтор НотЛ точен слева, т. е.
если D -*¦ В -*• С -*¦ 0 — короткая точная справа последователь-
последовательность из Аем, то индуцированная последовательность
0 -» Нотл (С А) -> Нотл (В, А) -* Нотл (D, А) E.6)
точна; соответствующий результат верен в том случае, когда
А заменяется короткой точной слева последовательностью.
Доказательство. Построим следующую коммутативную
диаграмму:
0 -> HomA (С, А) > Нотл (В, А) > Нотл (D, А)
I
I
0 -> Нот (С, А)
Нот
1
(В, А)
Нот (D, А)
О -> Нот (Л <g> С, А) -> Нот (Л <g> В, А) -> Нот (Л <g> D, А).
Ввиду точности справа тензорного произведения (теорема V.5.1)
последовательность A0D-*-A0B-*-A0C-*-O точна спра-
справа. Ввиду точности слева функтора Нотк последние две строки
точны слева; по определению E.5) все три столбца точны слева
(если их написать, начиная с 0 ->•••). Лемма о девяти гомомор-
гомоморфизмах (в сильной форме упражнения 11.5.4) показывает теперь,
что первая строка точна слева, что и требовалось доказать.
Правые Л-модули G вводятся аналогично. Гомоморфизм у: G ->
-»-G' правых Л-модулей должен удовлетворять соотношению
§ 5. Модули над алгебрами
241
Y (§#-) = (yg) Л.' здесь не требуется никакого знака [в противо-
противоположность E.4')], потому что гомоморфизм и модульные опера-
операции действуют на элементу ? G с разных сторон. Правый Л-модуль
G можно также описать как левый Л°Р-модуль с «обращенными»
операторами: Я°р# = (— l)<dee M(aegs) ^. эт0 определение гаран-
гарантирует, что Я.°р (n°Pg) = (А,°рц°р) g.
Для данных модулей GA и АА их тензорное произведение над Л
является градуированным К-модулем. Он определяется как коядро
отображения <р градуированных К-модулей
-»0, E.7)
определенного формулой q>(g0k0a) = gX0a — g 0 Ка. Это
равносильно утверждению, что каждый модуль (G0AA)n является
К-фактормодулем К-модуля (G 0 А)п по подмодулю, порожден-
порожденному всеми разностями gX 0 a — g 0 Ха в (G 0 A)n. Это тензор-
тензорное произведение характеризуется с помощью внутренне линей-
линейных функций в градуированные К-модули М точно так же, как
и в теореме V. 1.1.
Теорема 5.2. Если f — семейство К-билинейных функций
fP, q. Gp x Ач ->¦ Mp+q, внутренне А-ассоциативных в том смысле,
что f {g%, a) — f (g, Ха) для всех g, X, а, то существует такой
единственный гомоморфизм о: G 0А А -+М градуированных
К-модулей степени нуль, что а> (g 0 a) = / (g, a).
Доказательство. Каждая функция /р?д билинейна
и, следовательно, определяет гомоморфизм (a'Ptq : Gp 0 Aq -*-Mp+q,
для которого о' (g (gi a) = fp>q (g, а); внутренняя ассоциативность
гарантирует, что о' обращается в нуль на образе гомоморфизма <р
последовательности E.7) и, значит, о' индуцирует отображение о
на коядре G 0 АА гомоморфизма <р с нужными свойствами.
Из этого результата следует, что Л-модульные гомоморфизмы
у : G -+G' н а : А -*-А' степеней due соответственно определяют
гомоморфизм у 0 a : G 0A A ->-G' 0А А' градуированных К-
модулей степени d + e:
{У ® a) (g ® а) =
) yg ^ аа;
E.8)
при таком определении гомоморфизмы (у 0 а) и (у' 0 а') пере-
перемножаются естественным Образом И СО ЗНаКОМ (—l)(dega) (degv').
В частности, G 0А А — это ковариантный и биаддитивный
бифунктор из категорий <ЖА и А<М правых и левых Л-модулей
в категорию градуированных К-модулей. Из определения E.7)
следует, как и в предложении 5.1, что этот функтор переводит точ-
точные справа последовательности (по G или А) в точные справа после-
последовательности.
16-353
242
Гл. VI. Типы алгебр
§ 6. Когомология свободных абелевых групп
243
Модули над другими типами алгебр (Z-градуированные, бигра-
дуированные и т. д.) определяются соответственно. Заметим, что
каждый Л-модуль А автоматически несет структуру того же типа,
что и Л (например, градуирован, если алгебра Л градуирована,
биградуирован, если Л биградуирована). Мы можем ввести модули
с дополнительной структурой: так, градуированный модуль над
неградуированной алгеброй Л — это модуль над алгеброй Л,
рассматриваемой как тривиально градуированная — в точности
так же, как мы рассматривали градуированные модули над ком-
коммутативным кольцом К.
Если Аи И —две градуированные К-алгебры, то Л-2-бимо-
дуль А (записываем, как АА-?)—это градуированный К-модуль,
который одновременно является левым Л-модулем и правым
2 -модулем и в котором равенство (Ха) а = X (ао) имеет место для
всех Я, 6 Л, а ? А, о ? 2. Это условие равносильно коммутатив-
коммутативности подходящей диаграммы. Заметим, что ka = (klA) а =
= a (k\x), так что та же самая К-модульная структура в А воз-
возникает из левой Л-модульной структуры при «отступлении» вдоль
/ : К -*¦ А или из правой 2-модульной структуры при «отступле-
«отступлении» вдоль / :К ->2. Например, любая градуированная алгебра
Л является Л-Л-бимодулем. Поскольку Л — левый Л-модуль,
а 2—правый 2-модуль, тензорное произведение Л®К2 есть
Л-2-бимодуль, а именно свободный бимодуль с одним образую-
образующим 1(8I. Аналогично тензорное произведение Л® к В моду-
модулей АА и Be каноническим образом превращается в Л-2-бимодуль:
X (а ® Ь) о =•- Ха (g) bo.
То случайное обстоятельство, что у буквы две боковые стороны,
совсем не означает, что бывают лишь односторонние модули и бимо-
дули. Действительно, мы естественным образом приходим к три-
модулям; например, тензорное произведение А ®кВ модулей ЛА
и s Ваканонически становится правым Й-модулем и левым Л-2-мо-
Л-2-модулем. Здесь мы называем С левым Л-2-модулем, если он
одновременно и левый Л-модуль и левый 2-модуль, причем
для всех А, ? Л, ст ? 2, с ? С.
К счастью, мы можем свести тримодули к бимодулям и даже
к левым модулям над единственной алгеброй. Если положить
(X ® о) с = X (ас), то тогда каждый левый Л-2-модуль можно
рассматривать как левый (Л <g) 2)-модуль или обратно. Анало-
Аналогично имеются логические эквивалентности
Bs <=> soPB, ЛЛ2 <=> (Л82°Р)Л' E.9)
которые устанавливаются формулами ст°р& = (— i)(deg<j)(uegt>) ?CT>
(X ® (т°р) а = (— 1) (Дев о (dee 0)^00. Это сведение дает возмож-
возможность определить Нот и (g) для бимодулей. Так, для бимедулей
s^a и ААъ бимодульное тензорное произведение
G®A-ZA^G®(A®Z°r>)A E.10)
является по E.7) фактормодулем К-модуля G <2>к А по градуи-
градуированному К-подмодулю, порожденному всеми элементами вида
gX® a — g® Xa, og®a — ( — iy
Равенство нулю первых выражений означает внутреннюю Л-ассо-
циативность; то же равенство для вторых выражений означает вне-
внешнюю 2-ассоциативность. Аналогично, градуированный К-модуль
бимодульных гомоморфизмов из a^s в лЛх записывается как
Нотл-z (С, А) = Нот(Л®2°Р) (С, А).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Неградуированная К-алгебра Л — это кольцо R, снабженное коль-
кольцевым гомоморфизмом / : К ->- R, образ которого / (К) лежит в центре
кольца R. Показать, что левый Л-модуль А — это в точности левый ^-мо-
^-модуль, в котором К-модульная структура определяется «отступлением»
вдоль /. Показать также, что НотЛ (С, А) = HomR (С ,А) и G (g) AA =
= G<g)RA.
2. Как и в упражнении 1, свести модули над градуированной алгеб-
алгеброй Л к модулям над алгеброй Л, рассматриваемой как градуированное
кольцо (см. упражнение 3.4).
§ 6. Когомология свободных абелевых групп
В качестве приложения тензорных произведений алгебр мы
вычислим группы когомологий свободных абелевых групп.
Для группового кольца Z (IIi x П2) прямого произведения
двух мультипликативных групп IIi и П2 существует естественный
изоморфизм
г{пгхЩ^г{П1)®г{щ. F.1)
Действительно, кольцо Z (Пг) характеризуется (предложение
IV. 1.1) тем, что любое мультипликативное отображение \it груп-
группы Л; в кольцо 5, при котором (г,- A) = ls, продолжается до коль-
кольцевого гомоморфизма Z (Пг) —>- 5. По предложению 4.1 мульти-
мультипликативное отображение ц: IIi xII2->S, при котором \л A) =
= 1, продолжается тогда до единственного кольцевого гомомор-
гомоморфизма Z (ПО <2> Z (П2) ->-S, так что кольцо Z (IIi) <g) Z (П2) удов-
удовлетворяет характеристике группового кольца Z (П! х П?).
Пусть Соо — бесконечная (мультипликативная) циклическая
группа с образующим t, a R = Z ((?«,) — ее групповое кольцо.
Любой элемент из R является многочленом от положительных,
16*
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры
245
отрицательных и нулевой степеней t и, значит, может быть запи-
записан как tmp it), где р — (обычный) многочлен с положительными
степенями t и целыми коэффициентами. Ядро пополнения
е: R —>Z— это множество всех кратных элемента t — 1; следо-
следовательно, имеет место точная последовательность
9'
F.2)
в которой Ru — свободный R-модуль с одним образующим и
и ди — t — 1. Значит, д : R<~ Ru — свободная R-модульная
резольвента для eZ; она является частным случаем резольвенты,
найденной в (IV.7.3) для произвольной свободной группы, и ана-
аналогом резольвенты A.3) для кольца многочленов. Для любого
/^-модуля А можно найти с помощью этой резольвенты группу
Н1 (Со,, А); она совпадает с факторгруппой Al[ta — a\a?A],
в то время как Я™ (Ст, А) = 0 при п > 1.
Свободная абелева группа П с п образующими tu . . , tn
является прямой суммой п бесконечных циклических групп* По
F.1) групповое кольцо Z (П) равно R1 ® . . . (g) Rn, где каждое
7?* есть групповое кольцо Z (Сте (ti)), а пополнение е : Z (П) -»-Z
равно тензорному произведению е1 ® . . . 0 е™ пополнений
е1 : R1 -*- Z. Для каждого индекса i построим /?{-проективную
резольвенту X*:/?*-»- RlUi типа F.2). Построим комплекс тен-
тензорного произведения
он является цепным комплексом свободных ^"® • • • 9 * =
= Z(П)-модулей. г,рчпгтьвента X1 —это комплекс сво-
С №!L^ ™VnT^p!^S^™U>HaH формула Кюн-
VЛИ") noSaL, что гомологическое умножение
является изоморфизмом размерности Т^;^^
Однако U (X) О, ных т> а при m = О
Г^^Х)-^^ доказано, что комплекс X является сво-
бодной резольвентой Z как и-
С другой стороны, кажд?"
ERi 1"^]ВиИДпоэтому имеет вид точной последователь-
является внешней
- -о внешняя алгебра
ности
П-модулей, в которой каждый модуль Хр свободно порождается
элементами м^ ® ••¦ Cg> uip, l<t'i< . . .<ip<n. Поскольку
5«е == tt — 1, граничная формула (V.9.2) для тензорного произве-
произведения дает
р ¦
д^® ... <g> uip)= 2 (—l)*^—!)»»!® ••• ®Uift® ... ®«ip,:
F.3)
крышка означает пропуск. Группы когомологий группы П можно
вычислить с помощью этой резольвенты. Для любого П-модуля А
= O, p>n.
F.4)
Если р<п, то р-мерная коцепь /: Хр -*• А как модульный гомо-
гомоморфизм определяется (р, п — р) произвольными элементами
f(u% ® . . . <g> uip)eA и
р+1
К
В частности, если А — абелева группа, рассматриваемая как
тривиальный П-модуль (tta = а для всех i), то б/ всегда есть нуль,
так что Яр (U, А) является просто прямой суммой (р, п — р)
копий группы А.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что если П, как и выше,— свободная абелева группа, то;
группа Я1 (П, А) изоморфна факторгруппе L/M, где L — подгруппа груп-
группы Лф . . . (РА (п слагаемых), состоящая из всех элементов (а{, . . ., а„);
для которых tiuj — tjui — aj — а/ для всех i, /, a M — подгруппа всех
элементов вида (^о — а, . . ., tna — а) для а ? А. Интерпретировать этот
результат в терминах классов скрещенных гомоморфизмов.
2. Получить аналогичную формулу для Я2 (П, А) и сравнить ее с резуль-
результатом, полученным для двух образующих в IY.3.7.
3. Определить группу Нп (П, А) для свободной абелевой группы П
с п образующими.
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры
Резольвента* X из предыдущего параграфа является одновре-
одновременно комплексом и алгеброй, в которой граница произведения
определяется формулой Лейбница A.5). Такие алгебры мы назы-
называем DG-алгебрами. Другие примеры DG-алгебр появятся в еле-
246
Гл. VI. Типы алгебр
дующей главе; они будут широко использоваться в гл. X, для
которой и проводится следующее систематическое исследование.
Положительный комплекс К-модулей X = (X, д) — это гра-
градуированный К-модуль X = {Хп}, снабженный таким К-модуль-
ным гомоморфизмом д = дх '• X ->¦ X степени —1, что д2 = 0.
Положительный комплекс можно поэтому назвать также диффе-
дифференциальным градуированным модулем (коротко: DG-модуль); гомо-
гомология комплекса X — это градуированный К-модуль Я (X) =
= {Нп (X)}. Цепное преобразование (другими словами, DG-модуль-
ный гомоморфизм) /: X -*• X' — это такой гомоморфизм градуи-
градуированных модулей степени 0, для которого дх- f = /дх- Множе-
Множество всех таких гомоморфизмов / является абелевой группой
hom (X, X'); вместе с этими морфизмами DG-модули, образуют
категорию. Аналогично произвольный комплекс К-модулей являет-
является дифференциальным Z-градуированным модулем (DGz -модуль).
Тензорное произведение X (g) У двух DG-модулей — это тен-
тензорное произведение над К градуированных модулей X и У, снаб-
снабженное дифференциалом д = дх <g) 1 + 1 <8> дг. Согласно опре-
определению B.2) отображения 1 ®"pY, получаем
а (х ® у) = дх ® у + (- 1 fesxх ® ду,
G.1)
что соответствует предшествующему определению (V.9.2) тензор-
тензорного произведения цепных комплексов. Это тензорное произведение
DG-модулей удовлетворяет стандартным .естественным изоморфиз-
изоморфизмам B.3), B.4) и B.5); в последнем случае основное кольцо К рас-
рассматривается как DG-модуль с тривиальной градуировкой и д = 0.
Для DG-модулей Х и У наш Z-градуированный модуль
Нот (X, У) = {Нот™ (X, У)} имеет дифференциал, определенный
для каждого / ? Нот™ формулой dHf = dYf + (— l)n+1fdx, как
и в (II 1.4.4). Значит, Нот (X, У) будет DGz-модулем. Подчерк-
Подчеркнем, что символ Нот (X, У), написанный с заглавной буквы «Н»,
обозначает множество всех гомоморфизмов градуированных моду-
модулей всех степеней, а символ hom (X, У) с маленькой буквой «h»
обозначает только множество всех гомоморфизмов DG-модулей
степени 0.
Далее, DG-алгебра U = ((/, д) над К — это градуированная
алгебра (/, снабженная градуированным К-модульным гомомор-
гомоморфизмом д: (/->•(/ степени —1, для которого д2 = 0, причем спра-
справедлива формула Лейбница
д (щиг) = (диО и2 + (- 1 )de8ui «i (дщ).
G.2)
Аналогично гомоморфизм /:(/->-(/' для DG-алгебр — это такой
гомоморфизм градуированных алгебр (условие C.3)), что df = fd.
Вместе с этими гомоморфизмами DG-алгебры образуют категорию.
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры
247
Ввиду формулы Лейбница произведение двух циклов есть цикл,
а произведение границы дщ на цикл и2 равно границе д (щи^).
Следовательно, произведение гомологических классов из Я ((/)
можно определить как (els и4) (els u2) = els (ui«2); это опреде-
определение превращает Н (U) в градуированную алгебру. Любой
гомоморфизм DG-алгебр /: U -> V индуцирует гомоморфизм
/„: Я (U) -> Я (V) градуированных алгебр.
Тензорное произведение U <g) U' двух DG-алгебр — это их тен-
тензорное произведение как градуированных алгебр, в котором диф-
дифференциал задается формулой G.1). Имеет место аналог предло-
предложения 4.1. Алгебра С/Ор, противоположная к DG-алгебре U,—
это противоположная к U градуированная алгебра с тем же диф-
дифференциалом.
Левый U-модуль X = (X, д) — это левый модуль над градуи-
градуированной алгеброй U, снабженный таким градуированным К-
модульным] гомоморфизмом д:Х->Х степени —1, что д2 = 0,
причем имеет место формула
f G.3)
для всех и и х. Точно так же левый tZ-модуль Х — это DG-модуль
над К, снабженный гомоморфизмом DG-модулей С/®кХ->Х
степени 0 (записывается, как и ® х -+их), для которого выпол-
выполнены стандартные условия
(«i + UZ)X = U\X + ЩХ, U (Ху + Х2) = UXy + UX2,
(U^X = Щ («2*), 1X = X,
для всех и и х, подобные условиям диаграммы E.1). Если X и У
являются U-модулями, то морфизм I : X -*- У — это гомоморфизм
всей структуры, т. е. гомоморфизм DG-модулей степени 0, который
также является гомоморфизмом модулей над градуированной
алгеброй U; другими словами, | — аддитивная функция и
I (kx) = k фс), I (дх) = д (lx), I (их) = и (&е), deg (fcx) = degx. G.4)
К-модуль всех таких отображений ? записывается как homy (X, У).
Вместе с этими морфизмами левые tZ-модули образуют категорию,
в которой подмодули и фактормодули, ядра, образы, кообразы
и коядра определяются как обычно. Правые (/-модули рассматри-
рассматриваются аналогично.
В этой категории мы определим бифункторы Ноти и ®и. Для
(/-модулей X и У градуированный (/-модульный гомоморфизм
/: X -*- У степени —п есть гомоморфизм X и У, причем последние
рассматриваются только как модули над градуированной алге-
алгеброй (/; другими словами, функция / аддитивна и
f(kx) = k(fx), f(ux) = u(fx), deg(/x) = degx-n, G.5)
248
Гл. VI. Типы алгебр
но / может не коммутировать с д. Множество всех таких функ-
функций/является К-модулем Homg (X, У). Семейство Ноту (X, У) =
= {Нот? (X, У)} становится DGz-модулем над К, если опреде-
определить дифференциал дн: Нот" ->¦ Нот"+1 обычной формулой
-l)n+1fdx. G.6)
Таким образом Ноп% с заглавной буквы «Н» отличается от ^
с маленькой буквы «h»: а именно
Ноту (X, У) есть DGz-модуль над К; элементы — все f: X —»• Y;
homy (X, У) есть (неградуированный) К-модуль;
элементами его являются — все |: Х—> Y.
Более того, потц есть К-модуль циклов степени 0 в комплексе
Ноту.
Пусть X есть правый (/-модуль, У — левый (/-модуль. Рас-
Рассматриваемые только как модули над градуированной алгеброй,
они определяют градуированный К-модуль X ®и У, который
становится DG-модулем над К, если дифференциал определить
формулой G.1); тогда в силу этой формулы д (хи (g) у) = д (х <g> иу)
(внутренняя (/-ассоциативность). Значит, элементы в Нот^ и ®у
определяются градуировкой и модульной структурой X и У; диф-
дифференциалы в Ноту и ®и возникают из дифференциалов в X и У.
Для двух DG-алгебр U и (/' их (/-(/'-бимодуль (X, д) имеет
один дифференциал д, для которого выполнено соотношение G.3)
для д (их) и соответствующее правило для д (хи') — точно так
же, как бимодуль имеет только одну К-модульную структуру,
индуцированную или (/, или (/'.
Для дальнейшего необходим также пополненный случай. Диф-
Дифференциальная градуированная пополненная алгебра U (коротко:
DGA-алгебра) — это DG-алгебра вместе с пополняющим отобра-
отображением е:(/->-К, которое является гомоморфизмом DG-алгебр.
Здесь основное кольцо К рассматривается как DG-алгебра с три-
тривиальными градуировкой (Ко = К) и дифференциалом (д = 0).
Такое пополнение полностью определяется своей компонентой
степени 0, которая является гомоморфизмом е0 : Uo -»- К (не гра-
градуированных) К-модулей и
eol = l, e0(«0«i)==(e0u0)(eo«i), еод = 0: (/t-> К.
Такая DG-алгебра (/ называется связной, если Uo = К и д : U\ -*~
-*¦ Uo есть нуль; отсюда следует, что Яо ((/) ^ К (этим объясняется
выбор термина «связная»: топологическое пространство X связно
тогда и только тогда, когда Но (X) з* Z). Связная DG-алгебра
имеет каноническое пополнение е0 = 1: (/0 ->К.
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры
249
Дадим теперь несколько примеров DG-алгебр. Возьмем поли-
полиномиальную алгебру Рк Ы от неизвестного х степени 1, выберем
некоторое k0 6 К и положим дх = k0; тогда дх*т = 0, дх2т+1 =¦-
= kox3m, и Р превращается в DG-алгебру. Аналогично внешняя
алгебра Ец[и] с образующими степени 1 имеет единственный
дифференциал, для которого ди = k0, и является DG-алгеброй.
Если X есть DG-модуль над К, то тензорная алгебра Т (X)
имеет единственную структуру DG-алгебры, при которой вложе-
вложение X -> Т (X) является цепным преобразованием; требуемый
дифференциал в Т (X) задается формулой
р
д (xi ® ... ® хр) = 2л (— 1 )*"' Xi ® ••• 0 dxt ® ... ® хр,
где Т1г = degxt4- ••• • + degXi_i в соответствии с соглашением
о знаке. Аналог предложения 3.1 верен для этой алгебры Т(Х).
Можно построить универсальные DG-алгебры с данными обра-
образующими. Так, если х имеет степень 2, аи — степень 1, то суще-
существует только одна структура DG-алгебры в алгебре V = Р [х] (g>
® Е [и], при которой дх = и, поскольку по правилу Лейбни-
Лейбница G.2) дифференциал на свободных К-модульных образующих
алгебры V задается формулами
d(xm® l) = mxm-1 ®и, д (хт <g> и) = 0. G.7>
Если и2 — отмеченный элемент степени 2 в некоторой строго ком-
коммутативной DG-алгебре U, то существует единственный гомо-
гомоморфизм DG-алгебр /: V ->¦ U со свойством fx — и2 (и, значит,
fu = dM2).
Путем аналогичных рассмотрений определяются дифференциаль-
дифференциальные внутренне градуированные и дифференциальные Z-градуи-
рованные алгебры.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать для DG-модулей над К, что точная гомологическая после-
последовательность (теорема 11.4.1) для короткой точной последовательности
Е: W >-> X -» Y DG-гомоморфизмов к и а принимает вид точного треуголь-
треугольника
Н (W) — ^ Н (X)
Я 00
(ядро=образу в каждой вершине), где х»ис» — гомоморфизмы градуирован-
градуированных модулей степени О, а связывающий гомоморфизм. &е имеет степень —1.
250
Гл. VI. Типы алгебр
{Обычная длинная точная последовательность закручивается вокруг этого
треугольника, опускаясь с одного уровня на другой с помощью дд.)
2. Доказать, что DG-алгебра U — это DG-модуль над К, снабженный
гомоморфизмами я: U $ U -*¦ и и /: К ->- U для DG-модулей степени 0,
удовлетворяющими условиям C.1). Дать аналогичное описание {/-модулей
при помощи E.1) и показать, что Ноту и (g)u можно получить из Нотк
и (g)K для DG-модулей, используя аналоги для E.5) и E.7).
3. Для алгебры V, определенной в G.7), определить градуированную
алгебру гомологии Н (V), если К = Z или если К = Zp (поле вычетов
по модулю р).
4. Построить универсальную строго коммутативную DG-алгебру с дан-
данным конечным числом образующих (четных и нечетных степеней).
5. Если Atgxi = 2, deg ul =1, то любая градуированная алгебра
Р [xit . . ., хп] 0 Е [ui, . . ., ип), изоморфна тензорному произведению п.
алгебр Vi = Р fa] (g) E [«^] аналогичных рассмотренным в тексте, и
имеет единственный дифференциал, для которого дх^ = иг, i = 1 п.
Для любого многочлена р от х\ показать, что др= "S\ JP- (g) щ, где -J—
обозначает обычную частную производную. Показать непосредственно, что
дгр = 0. Заметить, что др превращается в обычный дифференциал функции р
от п переменных, если щ заменить символом dx%.
§ 8. Тождества для Нот и (g)
Рассмотрим модули и бимодули над различными градуирован-
градуированными К-алгебрами Л, S и Q, которые с равным успехом могут
быть DG-алгебрами. Функторы НотА и (g)A имеют унаследован-
унаследованные модульные структуры
ZCA &QAA=>Q[HomA(С, А)]х,
которые определяются для f:C-+A равенством (со/а) (с) =
= to [/ (ас)], а для g ®а равенством a (g <g) а) to = og ® асо,
так же как в (V.3.2) и (V.3.1).
Имеется несколько естественных изоморфизмов для итериро-
итерированных тензорных произведений. Так, изоморфизм
А®АА^А, (АА) (8.1)
задается отображением X (g> a -»»Ял. Закон коммутативности
ыА® .opG, (GA, АЛ) (8.2)
задается отображением g <g> a ->¦(—l)(degg)(<i€ga)a ^ ^ Закон ассо-
ассоциативности
« : А ®та (В 0s С) si (.4 ® А В)
(8.3)
8. Тождества для Нот ц
251
задается отображением a [a ® F (g) с)] = (a <g> 6) (g) с; здесь
В <g>s С рассматривается как левый Q-модуль с операторами
@ (Ь <g> С) = (— l)(degb)(deg<o)^ (g, („^ Для ТОго чтобы ПОКЭЗаТЬ,
что отображение а определено корректно, заметим сначала, что при
•фиксированном а функция (с (g> b) (g) с билинейна и внутренне
2-ассоциативна по b и с. По теореме 5.2 для каждого а существует
единственный гомоморфизм F (а): В (g>s С -> (А <8>л#) <S> s®qC,
при котором F (a) (b (g) с) = (a <g) 6) (g) с. Функция F (а) F (g) с)
также билинейна и внутренне (Л (g> Й)-ассоциативна по своим
аргументам в А и В <gJ С. Также в силу теоремы 5.2 существует
•единственный гомоморфизм а, при котором a [a (g) (b <g> с)] =
= (a <g> 6) (g) с. Отображение, обратное к а, строится аналогично.
Ассоциативный закон верен и в более простых случаях, например,
¦если опустить Q (в этом случае в (8.3) нужно положить Q = К).
Общая формулировка закона коммутативности заключается в воз-
возможности производить внутреннюю четверную перестановку
), (8.4)
d).
т: (А ®АВ)
где изоморфизм т определяется для модулей ЛЛ-л'>
и s_s'D следующим образом:
)] = ( —l){degb)(degc) (о ® с) ® F
т[(а
(с
Для DG-модулей все эти естественные изоморфизмы являются
изоморфизмами DG-модулей над К, что можно проверить, показав,
что каждый из указанных изоморфизмов коммутирует с дифферен-
дифференциалом, который мы определили в ®и.
Для функтора НотА мы имеем естественный изоморфизм
НотА(Л,Л)^Л, (АА), (8.5)
задаваемый отображением / -»-/ A), и естественный гомоморфизм
К -> Нотл (Л, А), (АА), (8.6)
задаваемый отображением 1К, в тождественный гомоморфизм
Сопряженная ассоциативность — это естественный изоморфизм
т]: HomQ_2 (А ® д В, С) ^ HomQ_A (A, Homs (В, С)) (8.7)
для модулей ЙЛЛ, ЛВ2 и аС2, заданный для /:Л®ЛВ->С
формулой [(т]/) а] 6 = / (а ® Ь), совпадающей с формулой V C.5)
для случая колец. Для DG-модулей можно установить, что т) ком-
коммутирует с дифференциалами, заданными в области определения
и в области значений; значит, г\ — изоморфизм DGz-модулей над К.
В частности, выбирая циклы степени нуль в обеих частях (8.7),
252
Гл. VI. Типы алгебр
получаем естественный изоморфизм
homa_s (А ®АВ, С) о* Ьото_л (А, Нот2 (В, С)),
(8.8)
где, как и выше, hom с малой буквой «h» обозначает гомоморфизмы
степени нуль всей DGz-структуры. В этом случае, поскольку в А
нет элементов отрицательных степеней, Z-градуированный модуль
Нот (В, С) из правой половины (8.7) может быть заменен гра-
градуированным модулем {Нот"" (В, С); п = 0, 1, . . .}.
Произведение гомоморфизмов порождает отображение
Нотл (В, С) ®о Ногти (А, В) -> Нотл (А, С), (АА, ОВЛ, СА), (8.9)
естественное по аргументам Л и С. Другой полезный естественный
гомоморфизм задается Нот-® -перестановкой для модулей АВ,
лА, а'В , а'А':
I: Нотл (В, А) ® НотЛ' (В', Л')-*Нотл®л' (В <g> В', А ® А'). (8.10)
Этот изоморфизм определяется для /: В ->Л и /': В' -»-Л' фор-
формулой
Ь') = (г- lfegn(ueeb)fb® f'b'.
В случае DG-модулей указанные гомоморфизмы будут гомомор-
гомоморфизмами DG-модулей.
Отметим некоторые особенности наших обозначений. В этом
определении / (g) /' обозначает типичный элемент тензорного про-
произведения, указанного слева в (8.10). Раньше, в B.2), мы исполь-
использовали символ / <g) /' для обозначения гомоморфизма В ® В' -»-
-*-А (g) А', записанного здесь как ? (/ ® /'). Смысл обоих симво-
символов / ® /' не одинаков, потому что ? может иметь ненулевое ядро.
Это противоречие не существенно; мы уже давно заметили, что
тензорное произведение а ® b двух элементов имеет смысл только
тогда, когда указаны модули, в которых лежат эти элементы,
и может обратиться в нуль, если расширить один из этих модулей.
Перемножением указанных гомоморфизмов можно определить
различные другие естественные гомоморфизмы. Например, вычис-
вычислительный гомоморфизм
е:НотА(А, В)®А->В, (АА,АВ) (8.11)
задается для /: А -> В формулой е {f ® а) = / (а), т. е. вычисле-
вычислением значения функции / в а. Его можно записать как произве-
произведение
Нотл(А, В) ® А->Нотл(А, В) ® Нотл(Л, А) —> Нотл(Л, В)—>В
отображений (8.5), (8.9) и (8.5). Было бы интересно узнать все
различные тождества, справедливые для произведений естествен-
естественных гомоморфизмов (8.1) — (8.10), описанных выше. :
§ 8. Тождества для Нот и (g)
253
Как приложение рассмотрим свободные и проективные Л-моду-
ли над градуированной алгеброй Л. Как обычно, левый Л-модуль
Р проективен, если каждый эпиморфизм а: В -» С левых Л-моду-
лей степени 0 индуцирует эпиморфизм пошл (Р, В) -» homA (P, С).
Свободный Л-модуль с градуированным множеством S образую-
образующих — это Л-модуль С, содержащий S и характеризующийся
с точностью до изоморфизма обычным свойством (предложение
1.5.1); каждое отображение множеств S—> АА степени нуль
однозначно продолжается до Л-модульного гомоморфизма С —*¦ А;
как всегда, свободный модуль проективен. Сама алгебра Л является
свободным Л-модулем с одним образующим 1 степени 0; свободный
Л-модуль с произвольным множеством 5 образующих может быть
построен как прямая сумма Л5 = 2Л*, гДе s 6 S. Здесь As обо-
обозначает левый Л-модуль с элементами Xs степени deg (As) = deg A -\-
+ deg s. Заметим, что AS = Л ® KS, где KS = 2Ks — свобод-
свободный градуированный К-модуль с множеством образующих S.
Другими словами, каждый свободный градуированный К-модуль F
порождает свободный Л-модуль Л <g) F. Аналогично, имеет место
Предложение 8.1. Если М — проективный градуиро-
градуированный К-модуль, а А— градуированная К-алгебра, то Л (g> M
является проективным А-модулем.
Доказательство, как и для следствия V.3.3, вытекает из сопря-
сопряженной ассоциативности
homA (Л ® М, В) s* horn (М, НотЛ (Л, В)) = hom (M, В).
Исходя из той же ассоциативности, докажем более общее .
П р е д л о ж е н и е 8.2. Определим для каждого градуирован-
градуированного К-модуля М гомоморфизм е: М ->¦ Л <g) M градуированных
К-модулей, положив е (т) — 1 <g> т. Этот гомоморфизм е уни-
универсален: для каждого левого А-моду ля А каждый гомоморфизм
?•. М —*¦ А градуированных К-модулей степени 0 можно предста-
представить единственным образом в виде g = ye, где у: A (g) M -*¦ А
есть А-модульный гомоморфизм степени 0.
Доказательство. Заметим, что для у должно быть
выполнено равенство у (A (g) m) = kg (m) 6 А; правая часть этой
•формулы К-билинейна по А и т и, значит, однозначно опреде-
определяет 7-
Для «универсального» в смысле этого предложения гомомор-
гомоморфизма е мы будем также говорить, что Л (g) M — относительно
•свободный Л-модуль, порожденный градуированным К-модулем М,
или что Л (g) M (Л, К),-свободен. Аналогично для двух градуи-
градуированных алгебр Л и 2 каждый модуль Л (g) M (g) 2 будет
«{Л-2, К)-относительно свободным бимодулем; если модуль М
254
Гл. VI. Типы алгебр
будет К-проективным, то этот бимодуль будет Л-2 -проективным;
если М будет К-свободным, то бимодуль будет Л-2 -свободным.
В теореме Х.7.4 мы используем
Предложение 8.3. Если В и В' — свободные левые Л-
и К'-модули конечного типа, то Нот- ® -перестановка является
естественным изоморфизмом
I: Нотл (В, А) ® Нотл< (В', А') а*
Доказательство. С помощью прямых сумм все сво-
сводится к случаю В = А, В' = Л'; в этом случае отображение ?
является тождественным: A <g> A' о* A <g> A'.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Дать прямое доказательство внутренней четверной перестановки,
т. е. показать, что отображение т, указанное в тексте, корректно определено
и обратимо.
2. Вывести внутреннюю четверную перестановку путем повторных при-
применений ассоциативности (8.3) и изоморфизма А ® КВ ^В^КА.
3. Для модулей ЛС2 и AAQ описать бимодульную структуру
в Нотл (С, А). (Обратить внимание на знаки!)
4. Описать поведение произведения (8.9) при отображении В -*¦ В\
5. Показать, что гомоморфизм ? из (8.10) может иметь ненулевое ядро.
(Указание: использовать конечные циклические группы.)
6. Построить естественный гомоморфизм
A <g)Q НотЛ (В, С) -> Нотл (HomQ (А, В), С).
§ 9. Коалгебры и алгебры Хопфа
Формальная дуализация понятия алгебры приводит к понятию
коалгебры. Коалгебры недавно приобрели большое значение в связи
с множеством топологических приложений; например, сингуляр-
сингулярный комплекс топологического пространства оказывается коалгеб-
коалгеброй.
Градуированная коалгебра W над коммутативным основным
кольцом К — это градуированный К-модуль W с такими двумя
гомоморфизмами y>:W-+W® W и е: W ->-К степени 0 гра-
градуированных К-модулей, что диаграммы
* w®w w®wXwX w®w
w® w® w
к
||
= W =-
(9.1)
§ 9. Коалгебры и алгебры Хопфа
255
коммутативны. Первая диаграмма задает ассоциативный закон для
диагонального отображения (или коумножения) i|>; во второй диа-
диаграмме утверждается, что е — коединица. Коалгебры, не являю-
являющиеся ассоциативными или не имеющие коединицы, иногда полезны,
но в этой книге они не встретятся. Гомоморфизм \i : W-+W коал-
гебр — это такой К-модульный гомоморфизм степени 0, что диа-
диаграммы
w-Xw®w w Л к
|и || (9-2)
коммутативны. Если следующая диаграмма коммутативна
W X W® W
то мы назовем градуированную коалгебру W коммутативной.
Как обычно, наше определение включает частные случаи коалгебр
(U?тривиально градуирована) и градуированных коколец (К = Z).
Можно также определить DG-коалгебры с помощью диаграммы (9.1)
для DG-K-модулей W. В частности, основное кольцо К является
(тривиально градуированной) К-коалгеброй с диагональным ото-
отображением К -> К ® К в качестве канонического изоморфизма
и коединицей К->Кв качестве тождественного изоморфизма.
Если W и W — градуированные коалгебры, то их тензорное
произведение W ® W (как градуированных модулей) является
градуированной коалгеброй с диагональным отображением, рав-
равным произведению
W®W ^ W ® W ® W ® W —^ (W ® W) ® (W® W), (9-4)
где т определяется как в (9.3), и с коединицей е <g) е' : W <g) W ->-
. V IO\ XT V
Для полноты определим также комодули, дуализируя диаграм-
диаграммное определение E.1) модуля над алгеброй. Градуированный левый
W-комодуль над градуированной коалгеброй W — это градуи-
градуированный К-модуль С, снабженный таким гомоморфизмом ф: С ->¦
-> W (g) С степени нуль, что диаграммы
>w®c
к®с
(9.5)
коммутативны.
256
Гл. VI. Типы алгебр
Градуированная алгебра Хопфа V — это градуированный
К-модуль V = {Vn}, который относительно этой градуировки
является одновременно градуированной алгеброй с отображением
умножения я: V (g) V -»- V, единицей / : К -*• V и градуирован-
градуированной коалгеброй для диагонали i|> и коединицы е, причем выполнены
условия:
(i) / : К -*¦ V — гомоморфизм градуированных коалгебр;
(ii) е : V -> К — гомоморфизм градуированных алгебр;
(iii) я : V <g) V -»- V — гомоморфизм градуированных коалгебр.
В условии (i) утверждается, что i|> A) = 1 (g) 1 и что е/ : К ->
->К равняется тождественному гомоморфизму. В условии (ii)
утверждается, что V — пополненная алгебра с коединицей в каче-
качестве пополняющего отображения. В условии (iii) утверждается
ввиду определения (9.4), что следующая диаграмма коммутативна:
V®V®V
(9.6)
т здесь определяется, как в (9.3). Но (я ® я) A ® т <g> 1) — это
отображение умножения в тензорном произведении V <g> V алгебр,
так что эта диаграмма равносильна условию
(iii') ip: V -*-V ® V есть гомоморфизм градуированных алгебр.
Значит, условия (iii) и (iii') эквивалентны.
Гомоморфизмом v : V -*¦ V" алгебр Хопфа называется К-модуль-
ный гомоморфизм, который одновременно является гомоморфизмом
алгебр и коалгебр.
Пусть V и V — градуированные алгебры Хопфа над К. Можно
показать формальными рассуждениями, использующими лишь
определения, что V ® V — это градуированная алгебра Хопфа
над К, градуировка которой задается, как в тензорном произве-
произведении градуированных модулей, с умножением и единицей, опре-
определенными для тензорного произведения алгебр, и с коумноже-
нием и коединицей, определенными в (9.4) для тензорного произ-
произведения коалгебр.
Теперь приведем несколько примеров алгебр Хопфа.
Основное кольцо К — это (тривиально) градуированная алгебра
Хопфа.
Пусть Е = Ек [«1 — внешняя алгебра с одним символом и сте-
степени 1. Поскольку Е — свободная строго коммутативная алгебра
с одним образующим и, существуют однозначно определенные
гомоморфизмы е : ? -»- К, ty : Е -*- Е ® Е алгебр, для которых
е (и) = 0 г|з (ы) = ы ® 1 + 1
и.
(9.7)
§ 9. Коалгебры и алгебры Хопфа
257
Мы утверждаем, что алгебра Е, наделенная этой структурой, есть
алгебра Хопфа. Для того чтобы доказать, что Е — коалгебра,
отметим следующее: оба гомоморфизма, (i|>(g)l)it> и A (g) i|>) i|>,
могут быть охарактеризованы как единственный гомоморфизм
алгебр г\: Е -*¦ Е ® Е ® Е, для которого ч\ (и) = и ® 1 (g) 1 +
+ 1®и® 1 + 1 ®1® м; аналогично доказывается, что (е ® 1)т|з=
= 1 = A (g> e) if). Условие (i) для алгебры Хопфа выполняется
тривиальным образом, а выполнение условий (ii) и (iii') следует
из определений е и i|>.
Пусть Р = Рк М — полиномиальная алгебра с одним симво-
символом х четной степени. Таким же образом, как и раньше, доказы-
доказывается, что Р — алгебра Хопфа относительно отображений
е(х) = 0, Ч>(х) = х® 1 + 1 ®х. (9.8)
Поскольку г|з — гомоморфизм алгебр, if> (xn) = (г|зх)п, так что
4>(*п) = 2 (Р,Я)х*>®хч, (p,q) = (p + q)l/(plq\). (9.9)
p+q=n
Используя тензорные произведения алгебр Хопфа, получаем,
что внешняя алгебра Ек.[ии . . ., ы„] с образующими ut степени 1
и полиномиальная алгебра Рк lxit . . ., хп) с образующими х%
четных степеней являются алгебрами Хопфа.
Групповое кольцо Z (П) произвольной мультипликативной груп-
группы является тривиально градуированной алгеброй Хопфа над Z,
так как если х 6 П, то отображение i|> (х) = х <g> x группы П
в Z (II)(g)Z (П) переводит 1 в 1 и произведение в произведение
и, значит, (предложение IV. 1.1) продолжается до кольцевого гомо-
гомоморфизма ¦ф: Z (П) ->- Z (П) <g> Z (П). Вместе с обычным пополне-
пополнением е: Z (П) -> Z этот гомоморфизм превращает Z (П) в коалгебру
[условие (9.1I и алгебру. Хопфа с единицей I.Z-+-Z (П), являю-
являющейся вложением. Любой гомоморфизм групп ?: П -> П' инду-
индуцирует гомоморфизм Z (Q : Z (П) -> Z (ГГ) алгебр Хопфа.
Для произвольного коммутативного кольца К групповая алгебра
К (П) определяется как К-алгебра K(g>zZ (П); эквивалентно,
групповая алгебра — это свободный К-модуль, свободными обра-
образующими которого являются элементы группы П, а умножение
определяется умножением в П. Она является алгеброй Хопфа
с коумножением if> (х) = х <g> x.
Теперь рассмотрим левые модули А, В и С над градуированной
алгеброй Хопфа V, т. е. модули над градуированной алгеброй V.
Тензорное произведение А®КВ является левым (У®У)-моду-
лем, но становится левым У-модулем при «отступлении» вдоль
диагонали г|з : V -»- V <g) V; мы запишем этот модуль так: A (g> В =
= ч>04 ®кВ). Закон ассоциативности (9.1) для i|> устанавливает
обычный закон ассоциативности A <g) (В <g) С) = (A (g) В) <g) С для
17-353
258
Гл. VI. Типы алгебр
этого тензорного произведения. Более того, основное кольцо К
становится левым V-модулем еК при отступлении вдоль е : V -*¦ К,
а правило (е ® 1) ч|з = 1 = A <g> е) т|э устанавливает изоморфизм
К <& А е* А ^ А ® К. Используя эти два изоморфизма, парал-
параллельные изоморфизмам B.3) и B.5), можно определить алгебру
над градуированной алгеброй Хопфа V в точности тем же путем,
как определялись алгебры над самим кольцом К. Если коумно-
жение 1|з коммутативно (9.3), то можно получить изоморфизм
т: A <g) В ^ В <g) А для У-модулей и определить в этом случае
тензорное произведение алгебр над V.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать для К-модуля М, что тензорная алгебра Т (М) имеет един-
единственную структуру алгебры Хопфа, при которой ty (m) = m (g) 1 +1 (g> m.
2. Пусть Л — градуированная К-алгебра, в которой каждый модуль Лд
конечно порожден и проективен как К-модуль.- Показать, что дуальная
алгебра Л* является коалгеброй с диагональным отображением, индуциро-
индуцированным я* (использовать предложение V.4.3). При аналогичных условиях
показать, что алгебра, дуальная к алгебре Хопфа, есть алгебра Хопфа.
3. Охарактеризовать групповую алгебру К (П) с помощью аналога
предложения IV. 1.1.
Замечания. Первоначально слова «лииейиая ассоциативная алгеб-
алгебра» обозначали алгебру над полем К, имеющую конечную размерность как
векторное пространство над этим полем, и классическая теория описывала
структуру таких алгебр (например, основная теорема Веддербарна Х.3.2).
В анализе алгебры непрерывных функций были векторными пространствами
бесконечной размерности. В топологии с произведением Колмогорова —
Александера в когомологиях (гл. VIII) вводятся градуированные алгебры
над коммутативным кольцом, не являющимся полем. Бурбаки и Шевалле
[1956] указали современное определение градуированной алгебры н под-
подчеркнули принцип, принадлежащий Муру: формулировать теоремы в мак-
максимально полезной общности, например, для градуированных алгебр,
а не только для колец. Алгебры Хопфа впервые встретились при изучении
Хопфом когомологий групп Ли. Их алгебраическая структура исследова-
исследовалась различными авторами (например,, Борель [1953], Гальперн [1958]),
систематическое изложение дано Милнором и Муром. Алгебры над алгебрами
Хопфа были недавно рассмотрены Стинродом [1962].
ГЛАВА
Размерность
Эта глава является кратким введением в область широкого
применения гомологической алгебры к теории колец и алгебраи-
алгебраической геометрии. Мы определим различные размерности и исполь-
используем их для колец многочленов, для сепарабельных алгебр и в тео-.
реме Гильберта о сизигиях. Последующие главы не зависят от этого
материала. Исключение составляют описание (§ 3) функторов Ext
и Тог для алгебр, прямое произведение и расширения основного
кольца для алгебр.
§ 1. Гомологическая размерность
Для абелевых групп С и А группа Ext| (С, А) всегда равна
нулю; мы говорим, что С как модуль над кольцом Z целых чисел
имеет гомологическую размерность, не большую 1. Проективный
модуль Р над произвольным кольцом R характеризуется тем, что
все группы Exti (P,G) тривиальны; мы говорим, что Р имеет
гомологическую размерность 0. Общая ситуация может быть опи-
описана следующим образом-
Теорема 1.1. Для каждого неотрицательного п и каждого
левого R-модуля С следующие условия эквивалентны:
(i) для всех левых R-модулей В, Extn+1 (С, В) = 0;
(П) в любой точной последовательности модулей
S:0 -+ Сп -> Х„_1 -» > Хо -> С -> 0,
в которой все Х{ проективны, первый член Сп проективен;
(Hi) модуль С имеет проективную резольвенту длины п
0 -> Хп -> Х„_! -> > Хо -» С -^ 0.
Здесь и ниже мы будем писать Ext вместо ExtB.
Доказательство. Разложим последовательность S из
пункта (п) в произведение коротких точных последовательностей
17*
260
Гл. VII. Размерность
Et: Ci+i>* Xi-*> Ct. Каждая из последовательностей определяет
стандартную длинную точную последовательность
Е*
Ext" (Xi, В) -* Ext* (Сг+1, В) -Л Extft+1(Cb В) -* Exth+1 (Xt, В)
из III (9.1). Поскольку модули Xt проективны, внешние члены
Exife(Xj, В) равны нулю, если к > 0, так что связывающий
гомоморфизм Е* является изоморфизмом. Итерированный связы-
связывающий гомоморфизм S* равен произведению ?*...?« -i и, зна-
значит, является изоморфизмом
S*: Ext1 (С„, В) э* Extn+1 (С, В).
Если теперь Ext"+1 (С,В) = 0 по условию (i), то этот изо-
изоморфизм показывает, что Ext1 (Cn, В) = 0 для всех В, и, значит,
модуль Сп проективен, что дает (и). Поскольку С имеет хотя бы
одну проективную резольвенту, из (ii) следует (ш). Если же имеет-
имеется резольвента вида (ш), то группа Extn+1 (С,В), вычисленная
с ее помощью, равна нулю, откуда вытекает (i).
Гомологическая размерность ^-модуля С определяется так:
h. dimHC<«, если выполнено одно из эквивалентных условий
теоремы 1.1. Другими словами, h. dimH С = я означает, что все
группы Ext^1 (С, В) = 0, но Ext" (С, В) Ф 0 по крайней мере
для одного модуля В.
Следствие 1.2. Если h. dimH С = п, то для всех моду-
модулей RB и GR
ЕхГ+ь (С, В) =0, Torn+ft (G, С) = 0, k > 0,
в то время как для каждого т*Сп существует такой левый модуль
Вт, что
Доказательство. Первый результат следует из (Hi).
Если Ext71 (С,В) Ф 0 для п > 0, то мы построим короткую точ-
точную последовательность В >-» J ^» В" с инъективным модулем J.
Соответствующая точная последовательность
Ext" (С, В') -> Extn (С, В) -» Ext" (С, J) = 0
показывает, что Ext" (С,В') Ф 0.
Аналогично h. dim С = <х> означает, что для каждого положи-
положительного п существует такой модуль Вп, что Ext71 {С,Вп) Ф 0.
Гомологическая1, размерность модуля С может быть вычислена из
произвольной проективной резольвенты 0 -*- С ¦<- Хо -«- Х4 -<-. . .
как первое п, для которого модуль Im (Х„ -»- Xn_i) проективен
(для п = 0 под Х_1 понимается С), или как оо, если ни один из
этих образов не является проективным.
§ 1. Гомологическая размерность
261
Например, выкладки из VI.6 показывают, что тривиальный
модуль Z над групповым кольцом Z (П) свободной абелевой груп-
группы П с п образующими имеет гомологическую размерность п.
Левая глобальная размерность кольца R определяется как
1. gl. dim R = sup (h. dim C),
где верхняя грань берется по всем левым /^-модулям С. Например,
1. gl. dim Z = 1. Над полем F каждый модуль является вектор-
векторным пространством, т. е. свободен, так что 1. gl. dim F — 0.
Вообще имеет место
Предложение 1.3. Каждое из следующих условий эти
валентно условию 1. gl. dim R = 0:
(i) каждый левый R-модуль проективен;
(И) каждая короткая точная последовательность А >-> В -» С
левых R-модулей расщепляется;
(ш) каждый левый R-модуль инъективен;
(iv) каждый левый идеал в R инъективен как левый R-модуль;
(v) каждый левый идеал в R есть прямое слагаемое R как левого
R-модуля.
Доказательство. Условие (i) — это определение
1. gl. dim R = 0. Если выполнено условие (i), то в каждой корот-
короткой точной последовательности (И) модуль С проективен; следо-
следовательно, она расщепляется. Поскольку любая такая последова-
последовательность, начинающаяся с модуля А, расщепляется, каждый
модуль А инъективен по предложению II 1.7.1. Следовательно,
(i) =Ф (ii) =ф (Ш), а обратное рассуждение показывает, что (ш) =Ф
=Ф (ii) =ф (i). Очевидно, что (iii)=» (iv) =» (v). Если выполнено (v)
и если L—левый идеал, то короткая точная последовательность
L»R-^» RIL расщепляется, и отображение Horn (R, А) -> Нот (L, А)
является эпиморфизмом для каждого модуля А. По предложе-
предложению III. 7.2. модуль А инъективен. Значит, (v)=^(iii), и, следо-
следовательно, доказательство закончено.
Теорема 1.4. Для каждого кольца R и каждого п>0 сле-
следующие условия эквивалентны:
(i) I. lg. dim/?<n;
(ii) каждый левый R-модуль имеет гомологическую размер-
размерность -< п;
(iii) Extn+1 = 0 как функтор левых R-модулей;
(iv) Exth = 0 для всех k > п;
(v) в любой точной последовательности
S:O-»^-»yo-> > У„_! -> Ап -> 0,
в которой все промежуточные модули Yk инъективны, модуль Ап
инъективен.
262
Гл. VII. Размерность
Доказательство. Первые четыре условия эквивалентны
в силу теоремы 1.1. Последовательность S из (v) определяет
связывающий гомоморфизм, который является изоморфизмом
S*: Ext1 (С,Ап) о* Extn+1 (С,А) для каждого модуля С. Но
равенство Ext1 (С,Ап) — 0 для всех С в точности означает, что
модуль Ап инъективен; отсюда вытекает эквивалентность усло-
условий (ш) и (v).
Следствие 1.5. (Ауслендер [1955].) Для любого кольца R
l.gl.dim#=sup{h.dim#/L|Z,— левый идеале R}.
Доказательство. (Матлис [1959].) Если эта верхняя
грань бесконечна, то 1. gl. dim R = оо. Поэтому предположим,
что она равна п < оо, так что Extn+1 (R/L, А) = 0 для всех левых
идеалов L и всех левых R-модулей А. Для каждой последо-
последовательности S вида, указанного в (v), St : Ext1 (R/L, An) ^
e^Ext71-1-1 (R/L, A) = 0. По предложению 111.7.2 модуль Ап
инъективен; по теореме l.gl.dim RKn.
Условие 1. gl. dim R = 0 эквивалентно тому требованию, что
кольцо полупросто, и связано, таким образом, с классической
теорией представлений. Действительно, левый /^-модуль А можно
рассматривать как абелеву группу А вместе с кольцевым гомо-
гомоморфизмом <р: R->-Endz А, который определяет левые операторы
из R в А. Этот гомоморфизм q> называется представлением R,aA —
соответствующий модуль представления. Модуль А называется
простым (а соответствующее представление неприводимым), если
А ф 0 и в А нет других подмодулей, кроме 0 и А. Модуль А полу-
полупрост, если он является прямой суммой простых модулей; кольцо
R Ф 0 полупросто, если оно является полупростым левым /?-моду-
лем. Используя лемму Цорна, можно доказать (см., например,
Картан — Эйленберг, предложение 1.4.1), что модуль полупрост
тогда и только тогда, когда каждый подмодуль модуля А является
прямым слагаемым в Л. В силу условия (v) предложения 1.3 отсюда
следует, что кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда
1. gl. dim R — 0, а ввиду (П) каждый левый модуль над полу-
полупростым |кольцом R сам полу прост. Можно также доказать, что
левая полупростота кольца R (определенная здесь) эквивалентна
правой полупростоте.
Ы Могут быть введены различные другие размерности. Например,
левая инъективная размерность модуля определяется с помощью
аналога теоремы 1.1 с использованием инъективных резольвент,
так что эквивалентность (v)<=>(iii) в последней теореме означает,
что левая глобальная размерность кольца R совпадает с его левой
глобальной инъективной размерностью. Правые размерности опре-
§ 2. Размерности в полиномиальных кольцах
263
деляются с помощью правых R-модулей; Капланский [1958]
построил пример кольца, левая и правая глобальные размерности
которого отличаются на единицу. Ауслендер доказал, что если
кольцо R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей левых
и правых идеалов, то его левая и правая глобальные размерности
сэвпадают (доказательство см. у Норскотта [1960], теорема 7.20).
Ограниченная левая глобальная размерность кольца R — это верх-
верхняя грань гомологических размерностей всех левых /^-модулей С,
у которых h. dimC<oo. Слабая размерность модуля С опре-
определяется с помощью замены условия Extn+1 (С, А) = 0 для всех
модулей А более слабым условием Torn+i (G, С) = 0 для всех
модулей GR. Например, модуль С тогда и только тогда является
плоским, когда его слабая гомологическая размерность равна 0.
О развитии этих идей см. работу Басса [1960].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сформулировать и доказать аналог теоремы 1.1 для левых инъектив-
инъективных размерностей.
2. Если 1. gl. dim R > 1, то
1. gl. dimi? = l+'sup{h. dim L/L — левый идеал в R}.
3. Если A v» В -» С — короткая точная последовательность ^-модулей
и если любые двЪ из этих модулей имеют конечную гомологическую размер-
размерность, то н третий модуль имеет конечную размерность.
4. В условиях упражнения 3 показать, что из h. dim A < h. dim В
следует h.dim С = h. dim В, из h. dim A — h. dim В следует h. dim С < 1 +
+ h. dim В и из h. dim A > h. dim В следует h. dim С = 1+ h. dim A.
§ 2. Размерности в полиномиальных кольцах
В (VI. 1.4) внешнее кольцо порождало точную резольвенту для
поля F, рассматриваемого как модуль над кольцом многочленов
от двух переменных Fix, у]. Тот же механизм работает и тогда,
когда поле F заменяется коммутативным кольцом К или два неизве-
неизвестных заменяются п неизвестными.
Подробнее, пусть Р = К [жь . . ., хп] — полиномиальное
кольцо от п неизвестных хи каждое из которых имеет степень 0.
Тогда равенство е (хх) = 0 определяет пополнение е = еР : Р -*-
-*¦ К, а «отступление» вдоль е превращает К в Р-модуль еК. Такой
подход равносилен изучению К как фактормодуля Р1(х\, . ¦ •, хп),
где (Xi хп) обозначает идеал в Р, порожденный всеми хх.
Пусть Е = ЕР [щ, . . ., Un\ — внешняя алгебра над Реп обра-
образующими щ, имеющими степень 1. Значит, Ем в каждой степени
т является свободным Р-модулем со всеми внешними произве-
произведениями т упорядоченных букв ut в качестве образующих. Диф-
264
Гл. VII. Размерность
ференциал, задаваемый равенствами диг- = xt, превращает Е
в DG-алгебру над Р, причем dEm+i а Ет, а отображение ер дает
пополнение Ео -*- К. Все эти модули и гомоморфизмы порождают
последовательность Р-модулей и Р-модульных гомоморфизмов
О
еК
Еп «-0.
B.1)
Предложение 2.1. Если Р — кольцо многочленов от п
неизвестных над К, то внешняя алгебра Е с п образующими над
Р порождает указанную в B.1) свободную Р-модульную резольвенту
модуля еК.
Для доказательства будут построены такие К-модульные гомо-
гомоморфизмы tj:K->? и s: Е -*¦ Е степеней 0 и 1 соответственно,
что т) — это цепное преобразование и ет] = 1, a s — цепная гомо-
топия s: 1 ~ т]е: Е -*¦ Е. С помощью этой стягивающей гомотопии
устанавливается, что последовательность B.1) точна как последо-
последовательность К-модулей и, следовательно, точна как последова-
последовательность Р-модулей, а потому является резольвентой.
Цепное преобразование х\ определяется формулой r\k = kl;
очевидно, что гц = 1. Гомотопия s строится индукцией по п. Положим
Р" = К \х±, ..., xn-i\, P'— K.[xn],
Тогда Р = Р" ® Р", Е" и Е' являются DG-алгебрами над Р"
и Р' соответственно, тензорное произведение Е"(&Е' которых
есть Р"B)Р'-алгебра, и в силу (VI.4.6) имеется изоморфизм
Е^ЕЕ' для DG-алгебр над Р. Кроме того, е = е ® е*
и т] = т]" <g) т]*. Для п= 1 результат стягивающей гомотопии
s': Е'о-*- Е[ на многочлене / = Sa^1 степени k от х = хп, at ? К,
может быть определен следующим образом:
s' (ao + aix+...+ akxk) = (a4 + a& + ... + акхк-г) и;
тогда ds'f — f — a0 = / — Tj'e'/ и s'dfu = /и, так что s": 1 ~ Ti"e'.
Отметим, в частности, что s", будучи гомоморфизмом К-модулей,
не является гомоморфизмом Р-модулей.
Теперь предположим по индукции, что существует К-цепная
гомотопия s": I ~ т]"е" :?"->?". Поскольку мы уже имеем s',
предложение V.9.1 дает К-цепную гомотопию s на Е = Е" (g) E\
и индукция тем самым закончена.
Резольвента B.1) известна как резольвента Косуля; она впервые
встретилась в явном виде у Косуля [1950] при изучении алгебр Ли.
Теорема 2.2. Если Р — К [хи . . ., хп] — неградуирован-
ная полиномиальная алгебра над коммутативным кольцом К с п
неизвестными хи /: К ->- Р — вложение и кольцо К каким-то
«S 2. Размерности в полиномиальных кольцах
265
образом превращено в Р-модуль, причем /К = К, то
h.dimpK = n, h.dimp(A:1, ... , хп) = п— 1, B.2)
Extp (К, К) — прямая сумма (ni, n —^ т) копий кольца К,
a Torp (К,| К) = {Тог? (К, К)} — внешняя алгебра над К, имею-
имеющая п образующих в Тог4 (К, К).
Доказательство. Предположим сначала, что К — это
Р-модуль еК. Резольвента Косуля B.1) останавливается на сте-
степени п. Следовательно, гомологическая размерность не больше п.
Мы можем вычислить Тогр (К, К) с помощью резольвенты
B.1) как гомологию комплекса
с граничным гомоморфизмом д (k <g) щ) — k <g) xt. Однако при
указанных изоморфизмах k 0 Xi-*-{k <g) pXi) <2) 1 -*- fee (л;;) (g) 1—0,
поскольку по определению e (xt) = 0. Следовательно, диффе-
дифференциал комплекса равен нулю, так что Тогя (К, К) является
внешней алгеброй над К с п образующими. В частности,
Тог? (К, К) ^ К Ф 0, и поэтому h. dimP К равно в точности п.
Аналогично ЕхрР (К, К) вычисляется с помощью резольвенты
как когомология комплекса
Нотр (ЕР, К) s* HomP (Р ® Ек, К) ^
^Нотк(?к, НотР(Р, К)^Нотк(?к, К)).
Кограница этого комплекса опять равна нулю, так что
Extp (К,К) ^ HomK (Ет, К) является прямой суммой (т, п — т)
копий К, как и утверждалось в теореме.
Теперь рассмотрим идеал J = (хи . . ., хп) — Кег е. Посколь-
Поскольку образ отображения д: Ei-*-E0= P в точности равен /, резоль-
резольвента Косуля B.1) порождает резольвенту]
0
?i
Еп
0
идеала / с модулем Em+i в «размерности» т. Следовательно,
Ext™ (J, K)^HomK (?m+i, К) при m>0, так что Extj-1 (/,K) =
= К^=0и/ имеет размерность точно п — 1, как и утверждалось.
Пусть теперь К имеет какую-то другую Р-модульную структуру,
задаваемую операторами p°k, р 6 Р. Условие jK = К означает,
что эта Р-модульная структура при «отступлении» вдоль вложе-
вложения /: К -*- Р, I (k) = klP, становится исходной К-модульной
структурой в К; другими словами, k'°k = k'k. Отображение
266
Гл. VII. Размерность
Р (р) = Р ° 1к определяет гомоморфизм алгебр р: Р-> К, потому
что р о k = р о AК &) = р (р) о & = р (р) &. Другими словами,
К становится Р-модулем РК при «отступлении» вдоль р. Но поло-
положим at — pxt ? К и д:г = Xi — а*. Тогда Р можно рассматривать
как полиномиальную алгебру К [х'г, . . ., х'п] и px't = 0, так что
р — соответствующее пополнение, и применимы предыдущие рас-
рассуждения.
В заключение отметим, что Тогр (К, К) = Ек t«i, • • •, «nl
оказывается не только градуированным Р-модулем, как это должно
быть в силу общих положений, но на самом деле является гра-
градуированной алгеброй, а именно внешней алгеброй, построенной
на л циклах (гомологических классах) ut из Тог^ В появлении
этой структуры алгебры есть нечто таинственное. Ведь в .силу
наших основных результатов мы можем и на самом деле вычисляем
Тог? (К, К) с помощью любой, удобной резольвенты. «Случайно»
DG-модуль Е, который мы использовали как резольвенту, оказался
в действительности DG-алгеброй, так что Тогр (К, К) унаследовал
«случайно» структуру алгебры. В гл. VIII мы покажем, что эта
структура появляется, по существу, из того обстоятельства, что К
(как Р-модуль) есть Р-алгебра; действительно, периодическое
произведение двух алгебр есть алгебра.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить Тогр (У,К) и Extp (У,К) для J = (xlt . . ., *„).
2. Показать, что h. dimp (x\ Xk) = k — 1.
3. Исследовать теорему 2.2 в том случае, когда К — тело.
§ 3. Ext и Тог для алгебр
Если Л — (неградуированная!) К-алгебра, то обычные функ-
функторы ExtA и Тогл можно рассматривать как функторы, значениями
которых являются К-модули. Для этой цели мы, как в VI. 1,
рассмотрим К-алгебру Л как сложный объект Л = (R, /), состоя-
состоящий из кольца R и кольцевого гомоморфизма /: К -*• R, для
которого (Ik) г = г (Ik), т. е. / (К) лежит в центре R. Левый
Л-модуль [определенный, скажем, как в (VI.5.2) и (VI.5.3)] — это
как раз левый ^-модуль Л; при «отступлении» вдоль /: К -*¦ R
он становится К-модулем и, значит, #-К-бимодулем ЛЛК. Гомо-
Гомоморфизм а: А -*• А" левых Л-модулей определяется как гомо-
гомоморфизм левых /^-модулей и автоматически является гомоморфиз-
гомоморфизмом 7?-К-бимодулей.
Предложение 3.1. Если А = (R, I) есть К-алгебра,
С, А — левые Л-модули, то абелева группа Ext? (С, Л) имеет
§3. Ext и Тог для алгебр
267
две К-модульные структуры, индуцированные К-модульными
структурами в С и А соответственно. Эти две К.-модульные струк-
структуры совпадают; если результирующий К-модуль обозначить
Extl (С, А), то Ext" становится бифунктором из категории
А- моду'лей в категорию К-моду лей, удовлетворяющим аксиомам,
сформулированным в теореме II 1.10.1. Если D — третий А-модуль,
то умножение является гомоморфизмом К-модулей
Ех&(А D) ®KExt? (С, А) -> Exti+m(C, D). C.1)
Доказательство. Первая К-модульная структура инду-
индуцируется в Ext? (С, А) как функторе аргумента С R-модульными
эндоморфизмами ph : С-*- С, определенными для каждого k 6 К
равенством рь (с) = kc; вторая структура индуцируется подобным
же образом модулем А. Таким же образом можно С и Л рассматри-
рассматривать как .R-K-бимодули; тогда ExtS (С, А) есть К-К-бимодуль,
как показано в V.3.4. Основное заключается в доказательстве
совпадения этих двух К-модульных структур.
Для п = 0 и f ? Ногпл (С, А) первая К-модульная структура
определяет kf как (kf) с = f (kc), а вторая — как (fk) с = k (fc).
Поскольку / является К^модульным гомоморфизмом, результаты
совпадают.
При п > 0 возьмем длинную точную . последовательность
S 6 6 ExtS (С, А). Умножение на k — это морфизм Ph'-S-*-S
последовательностей /^-модулей, который совпадает в левом конце
с умножением в Л на k, а в правом конце — с умножением в С
на k. По предложению II 1.5.1 pkS = Spk, и поэтому структуры
совпадают. Иначе говоря: если X — проективная резольвента
модуля С и ExtjJ (С, Л) вычисляется как Нп (Нотл(Х, Л)), то
К-модульная структура, подобная функторной структуре, под-
считывается из структур в X или в Л, а последние структуры, как
известно, совпадают в Нотл (X, Л).
Любой R-модульный гомоморфизм а: Л -*• А" коммутирует
с эндоморфизмом pk, так что индуцированное отображение
ос* : ExtH (С, А) -*- ExtS (C,A") является К-модульным гомомор-
гомоморфизмом и Ext71 (С,Л) есть бифунктор в категорию К-модулей.
Связывающие гомоморфизмы также являются К-модульными гомо-
гомоморфизмами, а умножение Ионеды К-билинейно, откуда выте-
вытекает C.1).
Рассмотрение периодических произведений проводится анало-
аналогично.
Предложение 3.2. Если А = (R, I) и GA, AC являются
А-модулями, то для каждого n>0j абелева группа Tor? (G, С)
имеет две К-модульные структуры, индуцированные К-модульными
268
Гл. VII. Размерность
структурами в G и С соответственно. Эти две К-модульные струк-
структуры совпадают; если результирующий К-модуль обозначить
Torn (G, С), mo Torn — ковариантный бифунктор из категории
А-модулей в категорию К-модулей, удовлетворяющий аксиомам,
сформулированным в теореме V.8.5.
Доказательство. При п = 0 , kg <g> с = g (g) he, так что
две К-модульные структуры совпадают. Мы оставляем читателю
проведение доказательства для п>0 (использовать V.7.1).
Пусть теперь Л и 2 — две К-алгебры (пока неградуирован-
ные). В этом случае Л-2-бимодуль АЛх— это такой бимодуль
над кольцами Л, 2, что две индуцированные К-модульные струк-
структуры совпадают. Они индуцируют идентичные К-модульные струк-
структуры в Нотл-z (С, А). Соответствующие К-модули Ext"_s (С, А)
для п > О можно было бы определить как классы конгруэнтности
длинных точных последовательностей бимодулей, идущих от Л к С
через п промежуточных шагов, как и раньше. Те же функторы
можно получить, превратив Л и С в левые Л®2ор-модули и опре-
опреEt Et^ А
делив ExtA_s как
A_s
у
. Аналогично бимодули 2ВЛ,
ЯВЛЯЮТСЯ ОДНОСТОРОННИМИ МОДУЛЯМИ б(Л®20Р) ; (Л®2°Р)С, И ПОЭТОМУ
существуют тензорное произведение В (g) (д^ор) С и периодические
произведения Tor<A®s°p)(B, С), являющиеся К-модулями. Мы
также будем записывать эти произведения как TorA-s (В, Q.
Теперь покажем, что Ext для левых Л-модулей иногда сводится
к Л-бимодульному Ext.
Теорема 3.3. Пусть А является К-алгеброй, и пусть
С и А являются левыми А-модулями. Предположим, что А и С —
проективные К-модули (например, это условие автоматически
выполняется в том случае, когда К—поле). Тогда сопряженная ассо-
ассоциативность индуцирует естественный изоморфизм К-модулей
Л, : ExtjJ (С, А) ^ ExtA_A (Л, Нотк (С, А)), п = О, 1, .... C.2)
При п = 0, ExtA (С, А) = НотЛ (С,А) = Нотл(Л ®л С, А)
и л есть обычная сопряженная ассоциативность.
В C.2) Нотк (С,А) — это левый Л-модуль со структурой,
унаследованной от левой Л-модульной структуры модуля А, и пра-
правый Л-модуль со структурой, унаследованной от левой Л-модуль-
Л-модульной структуры контравариантного аргумента С.
Доказательство. Возьмем свободную резольвенту
Л-Л-бимодуля е: X -*¦ А. Как свободный бимодуль каждый Хп
имеет вид Хп = Л <g) Fn (g) Л для некоторого свободного К-модуля
Fn. Далее, проективный модуль является прямым слагаемым сво-
§ 3. Ext и Тог для алгебр
269
водного модуля, поэтому тензорное произведение двух проектив-
проективных К-модулей есть проективный К-модуль. Поскольку мы пред-
предположили, что Л и С — проективные К-модули, Л ® Fп и Fn ® С—
проективные К-модули, так что по предложению VI.8.1 Хп =
= (Л (g) Fn) (g) Л — проективный правый Л-модуль иХ„®л С^
^ Л <g) (Fn (g) С) — проективный левый Л-модуль.
Сопряженная ассоциативность естественна и поэтому порождает
изоморфизм комплексов
ц: Нотл (X ®лС, Л) =* Нотл-л (X, Нотк (С, Л)). C.3)
Группы когомологий правого комплекса — это
ExtA_A(A, HomK (С, Л)).
Рассмотрим группы когомологий левого комплекса. Поскольку
« : X -> Л есть проективная резольвента для Л как правого
Л-модуля, гомология комплекса X(g>AC есть Тогл (Л, С). Но
алгебра Л сама по себе есть свободный правый Л-модуль, так что
все группы Тог? (Л, С) = 0 при п > 0 и поэтому комплекс
Х®ЛС вместе се® 1: Хо ®л С-*- А ®л С = С образует проек-
проективную резольвенту модуля АС. Следовательно, когомология этого
комплекса над Л, как показано в левой части C.3), есть ExtA (С, Л).
Значит, т] индуцирует изоморфизм этих групп когомологий, что
и утверждалось.
Этот изоморфизм может быть описан следующим образом в тер-
терминах длинных точных последовательностей.
Следствие 3.4. Для произвольной длинной точной после-
последовательности S ? 6 ExtA (С, Л), где п > 0, изоморфизм ц из C.2)
переводит класс последовательности S в класс последовательности
[Нотк (С, S)] ц A с) е е ExtA_A (Л, Нотк (С, А)).
Доказательство. Сначала проанализируем выражение
[Нот (С, S)] т] AС). Поскольку lc 6HomA (С, С) ит) : НотЛ(С, С) =
= Нотл (Л <g)A С, С)з=ЖотА_л (Л, Нот (С, С)), ц Aс) есть ото-
отображение и: Л-*- Нот (С, С) (фактически (иЯ,) с = %с). Если
последовательность
5:0 -> Л -» Bn-t -> > Во -> С -> О
точна и Нот — сокращение для Нотк, то Нот (С, S) — это после-
последовательность
О -» Нот (С, Л) -> Нот (С, Вп_0 -»...
> Нот (С, Во) ^Нот(С, С) -> 0;
поскольку модуль С К-проективен, она является точной после-
последовательностью Л-Л-бимодулей. Подействовав на эту последова-
270
Гл. VII. Размерность
тельность справа отображением т] Aс), мы получим длинную точную
последовательность бимодулей, идущую от Нот (С, Л) к Л, ука-
указанную в следствии.
Для применения канонического изоморфизма ?: Ext! (С,А) е*
э* Нп (X ®л С, Л) из (II 1.6.3) мы рассматриваем S как резоль-
резольвенту модуля С, далее накрываем 1с цепным преобразованием
/:X<g)AC-»-S и получаем ? (els S) как класс коцикла /„. При-
Применим сопряженную ассоциативность; i\f : X -*¦ Нот (C,S) накры-
накрывает т] Aс): Л-*- Нот (С, С), так что r\f «проходит» через цепное
преобразование g:X->-[Hom (С, S)] т) Aс), накрывающее 1Л,
причем 4]fn=gn> Значит, тц els fn = els gn, I (els S) = els /„„
и (вновь по определению ?) получаем ? els [Horn (С, S)ti (lc)l =
= els gn, откуда вытекает наше утверждение.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Л — алгебра над полем, Р — проективный Л-Л-бимодуль
и В — левый Л-модуль. Показать, что Р ® jJB — проективный левый
Л-модуль.
2. Пусть как в следствии 3.4 Т 66 Ех*л-л (^» ^от (с> ^)) есТЬ точ~
ная последовательность
Г: Нот (С, А)>*Вп-г—> Хп_2—> >Х0-»А,
в которой все Xi — проективные! модули. Показать, что Tp*clsr =
= els (е (Т ® ЛС)), где е — вычислительное отображение е : Нот (С, A) (g>
®С-*-А.
3. Для алгебры Л над полем F, для Й = Л® Л°Р и для модулей СЛ
АА доказать, что Тог? (С, A) as Tor" (Л, A (g) KC).
4. Для К-алгебры Л и 2, модулей GA и ЛЛ2 и инъективного правого
2-модуля / установить следующий изоморфизм («двойственность»; Кар-
тан — Эйленберг [1956] VI.5), используя упражнение III.7.3:
Ext^ (G, Homs (A, J)) s Homs ^Тог^ (G, A), J).
§ 4. Глобальные размерности колец многочленов
Мы можем теперь вычислить глобальные размерности колец
многочленов над полем.
Предложение 4.1. Если модули С и А над коммутатив-
коммутативным кольцом К рассматриваются как модули над кольцом много-
многочленов Р — К [х], превращенные в Р-модули отступлением вдоль-
е: Р -> К, где е (х) = 0, то НотР (С, А) = Нотк (С, А) и при
п > 0 существует изоморфизм Р-модулей
ExtI (С, А) ^ Ext? (С, А) 0 Extr1 (С, А). D.1 >
§ 4. Глобальные размерности колец многочленов
271
Здесь Extn. справа являются К-модулями и, следовательно,
Р-модулями относительно отступления.
Доказательство. Возьмем К-проективную резольвенту
тр Х-*- С. Внешняя алгебра Е = ЕР [и] определяет резольвенту
е: Е -*¦ К кольца К, состоящую из свободных Р-модулей Ео =
^ Е\ а^ Р, с граничным гомоморфизмом д : Е± -*¦ Ео, определяемым
умножением на х. Теперь Р — свободный К-модуль, следователь-
следовательно, таковыми являются Eit Ео, Н (Е) и модуль циклов в Е. В тен-
тензорной формуле Кюннета (теорема V.10.1) утверждается, что
Я (Е ® X) & Н (Е) ® Я (X), так что Я„ (? ® X) = 0 при п > 0
и в ® г] : Но (Е®Х) & К ® С = С. Значит, е ® т): ? ® X -»-
-»¦ С есть резольвента модуля С, состоящая из проективных Р-моду-
Р-модулей. Следовательно, ExtP (C,A) — когомология комплекса
Horrip (E <g> X, А).
Теперь (Е ® Х)„ = ?«, ® Х„ ® Et ® Х„_4 ^ Р О Х„ ® Р(8)
<8> Xn_i, так что в силу сопряженной ассоциативности
НотР((?®Х)„, Д)ш
^НотР(Р, Нот(Х„, Л)HНотР(Р, Нот(Х„_1, Л))^
^Нот(Х„, Л)фНот(Х„_1, Л).
Поскольку дифференциал 3 : ?4 -> ?0 есть умножение на х, а Л
и Х„ суть Р-модули относительно отступления вдоль е, причем
е (х) = 0, то эти изоморфизмы переводят кограницу из левой
части в кограницу правой (индуцированную д в X). Этот изомор-
изоморфизм коцепных комплексов устанавливает указанный изомор-
изоморфизм D.1).
Теорема 4.2. Если коммутативное кольцо К имеет гло-
глобальную размерность /¦<«>, то кольцо многочленов Р = К Ы
имеет глобальную размерность г + 1 (или со, если г = оо).
Поскольку кольца К и Р коммутативны, мы можем опустить
слово «левый» в l.gl.dim.
Доказательство. Пусть G — произвольный Р-модуль.
Первые г членов свободной резольвенты G как Р-модуля дают точ-
точную последовательность S : Gr>* Fr_i -»- •••-*¦ Yo -» G. Само
кольцо Р и, значит, каждый модуль Yt являются также свобод-
свободными К-модулями, поэтому из h.dimKG<gl.dim К = г сле-
следует, что К-модуль Gr проективен. Для любого Р-модуля Я мы
имеем изоморфизмы
Ext^+2 (G, Я) ^ ExtJ> (Gr, H) =? ExtJ,_p (P. Horn (Gr, Я));
первый из них получен с помощью итерированного связывающего
гомоморфизма последовательности S, а второй — с помощью сопря-
272
Гл. VII. Размерность
женной ассоциативности (теорема 3.3). Рассмотрим Р-бимодули
крайнего правого члена как ЮаР-левые модули. Так как
pop ^ р? то КОЛЬцО р <g) pop ^ p 0 к [у] изоморфно кольцу
многочленов Р [у] от неизвестного у над Р. В частности, Р-Р-бимо-
дуль Р становится Р [г/]-модулем, а вложение /: Р-*¦ Р [у] удов-
удовлетворяет соотношению (ip) р*— рр". Следовательно, из теоремы 2.2
(в которой К нужно заменить на Р и Р на Р [у]) следует, что
h.dimP[y] Р = 1; это значит, что ExtP_p (Р, —) = 0 и, следо-
следовательно, Ext? = 0, т. е. gl.dim P<r + 1. С другой стороны,
равенство gl.dim К = г означает, что существуют К-модули С
и А, для которых Extii(C, А) Ф 0. По предложению 4.1
Ext?x (С,Л) == Ext? {С,А) ф 0, так что gl.dim P не меньше
г + 1. Последнее рассуждение устанавливает также результат,
сформулированный для г = оо.
Следствие. 4.3. Глобальная размерность Z [хи . . ., хп]
равна п + 1.
Следствие 4.4. Глобальная размерность кольца многочле-
многочленов Р = PF [хи . . ., хп] от п неизвестных над полем F равна п.
Если J—произвольный идеал в Р, то h. dimP/<n— 1.
Доказательства требует лишь утверждение об идеале /. Любая
проективная резольвента идеала J порождает точную последова-
последовательность
0 -> Cn-j -> Хп-г -> > Хо -» J -* 0
Р-модулей, в которой модули Xt проективны. Перемножение этой
последовательности и последовательности J v» P -» P/J дает точ-
точную последовательность с п промежуточными модулями, оканчи-
оканчивающуюся членом PIJ. Поскольку п — глобальная размерность
кольца Р, h.dimPP//<n, так что в силу характеристики гомо-
гомологической размерности (теорема 1.1) модуль Cn_i проективен.
Этим доказано, что h.dimP /<n — 1.
§ 5. Сепарабельные алгебры
Рассмотрим теперь приложения (неградуированных) алгебр Л
в классической теории. Напомним, что 1Л обозначает единичный
элемент алгебры Л.
Предложение 5.1. Следующие условия для алгебры Л
.эквивалентны:
(i) h. dim(A8AoP) Л = 0;
(ii) Л есть проективный А-бимодуль;
§ 5. Сепарабельные алгебры
273
(iii) отображение умножения я : Л ® Л -*- А имеет бимо-
дульное обратное справа отображение;
(iv) существует такой элемент е 6 Л ® Л, что яе = 1Л
и Хе = ек для всех К.
В этом параграфе мы будем отмечать выполнение этих экви-
эквивалентных свойств записью bidim Л = 0 (т. е. словами: «гомоло-
«гомологическая размерность алгебры Л как Л-бимодуля равна нулю»).
Доказательство. Свойства (i) и (ii) эквивалентны по
определению гомологической размерности. В (iii) отображение
умножения я (А, ® ц.) = А,(г является эпиморфизмом Л-бимоду-
лей. Если Л — проективный бимодуль, то это отображение рас-
расщепляется бимодульным гомоморфизмом а: Л -*- Л ® Л, где яа= 1;
этим доказано, что (ii) =$ (iii). Обратно, если яа = 1, то Л есть
бимодульное прямое слагаемое свободного бимодуля Л® Л
и, следовательно, проективный Л-бимодуль. Если яа = 1, то для
элемента а1Л = ? ? Л® Л получаем пе = 1д, поскольку а —
бимодульный гомоморфизм, аК = Хе = еХ. Обратно, элемент е с эти-
этими свойствами определяет подобный гомоморфизм а.
Теперь мы исследуем вопрос о сохранении свойства bidim Л ==
= 0 относительно трех стандартных конструкций для алгебр:
прямых произведений, расширения основного кольца и образова-
образования полных матричных алгебр.
Прямое произведение двух К-алгебр Г и 2 является К-алгеб-
рой Л= Гх2; как К-модуль она является прямой суммой
Г 0 2, причем ее элементы —это все пары (у, а); перемножаются
эти пары по правилу
единичный элемент этой алгебры — это пара Aг, Is)- Проекции
Я1 (Y. °) = У и П2 (?, а) — а являются гомоморфизмами алгебр
Гх2
E.2)
(вложения ч, i2 не будут гомоморфизмами алгебр, так как они не
отображают единицу в единицу). Относительно этих отображений
алгебра Гх2 коуниверсальна для Г и 2 в категории алгебр.
В этом причина того, что мы называем Гх2 прямым «произве-
«произведением», хотя эта алгебра часто называется прямой «суммой» Г и 2.
Любой Г-бимодуль становится (Г х 2)-бимодулем при отступ-
отступлении вдоль я4 (с обеих сторон); аналогично любой 2-бимодуль
или любой (Г-2)-бимодуль становится (Гх 2)-бимодулем. В част-
частности, определение E.1) показывает, что алгебра Л= Гх2,
рассматриваемая как Л-бимодуль, есть прямая сумма Г@2
Л-бимодулей Г и 2. Поскольку тензорное умножение аддитивно,
18-353
274
Гл. VII. Размерность
A <g) Л= (Г ©2) © (Г©2) есть прямая сумма четырех Л-бимо-
дулей
Л ® Л а* (Г ® Г) © (Г ® 2) © B ® Г) © B <g> 2). E.3)
Предложение 5.2. ?сли для алгебр Г м 2, bidim Г =
= 0 = bidim 2, то bidim (Г х 2) = 0.
Доказательство. При выполнении условий в силу
предложения 5.1 (Hi) имеются такие бимодульные отображения
аг : Г -> Г <g> Г и а2 : 2 -»» 2 <g) 2, что яаг = 1 и яа2 ==¦ 1.
Они являются также отображениями Л-бимодулей и, следователь-
следовательно, дают комбинированный гомоморфизм аг © а2 : Г © 2 -+-
->¦ (Г (g) Г) © B (g) 2), умножение которого на вложение из E.3)
порождает Л-бимодульное отображение а : Л -»- Л <g) Л. Посколь-
Поскольку вложения Г ® Г -> Л <g) Л и 2 ® 2 -> Л <g) Л сохраняют
произведение, яа = 1, что и требуется для равенства bidim Л = 0.
Расширение основного кольца — это процесс перехода от алгебр
над коммутативным основным кольцом К к алгебрам над новым
основным кольцом R, причем предполагается, что R — коммута-
коммутативная алгебра над К. Если Л есть К-алгебра, то /?®А есть
кольцо (как тензорное произведение колец) и R-модуль (структура
которого унаследована от левого множителя); поскольку алгебра R
коммутативна, R ® Л есть алгебра над R. Эту алгебру мы обо-
обозначим Ля (обычное обозначение Лл; однако оно противоречит
нашему предшествующему обозначению для ^-модулей).
Предложение 5.3. Если bidim Л = 0, то bidim AR = 0.
Доказательство. Наш Ля-бимодуль Ая ®л Лй =
= (R ® Л) ®н (R <g> Л) изоморфен R <g> Л <g) Л, и этот изомор- j
физм можно задать соответствием (г <g> X) ® (s <g> \i) ->rs (g) X (g) \i. i
Если элемент е = 2цг 0 v; ? A(g)A обладает свойством (iv) из /
предложения 5.1, примененного к алгебре Л, то можно проверить, i
что элемент е' — 2 1 <g) \it <g) v, имеет соответствующие свойства
для AR. ,
Расширение основного кольца полезно в классическом случае ;'
алгебр А конечной размерности (как векторных пространств) i
над полем F. Любое поле L гэ F можно рассматривать как ком- i
мутативную алгебру над F, так что AL — алгебра над L. Если А •
имеет F-базис «ь . . ., ип, то умножение в А определяется равен-
равенством utuj = 2ft/ft uft при помощи п3 констант flk} ? F. Расши-
Расширенная алгебра AL является векторным пространством над L ;
с базисом 1 <g> m, i = 1, . . ., п, и с теми же структурными кон-
константами Дл В этом случае мы имеем обращение последнего пред- j
ложения. i
§ 5. Сепарабельные алгебры
275
Предложение 5.4. Если А — алгебра над полем F и если
R — коммутативная алгебра над F, то из того, что bidim Ан = 0,
следует, что bidim А == 0.
Доказательство. Если ® обозначает ®F, то отобра-
отображение умножения для Ая эквивалентно эпиморфизму A (g> я) : R ®
<g)A(g)A-*-/?(g)A для Ая-бимодулей; по условию он имеет
правый обратный а, который является отображением Ая-бимоду-
лей. Поскольку имеется гомоморфизм F-алгебр / : А -*- Ая, опре-
определяемый равенством / (X) = 1 <g) X, каждый Ая-бимодуль отступ-
отступлением вдоль / превращается в А-бимодуль; в частности, мы можем
рассматривать a:.R<g> A-»-/?® A(g)A как отображение Л-бимо-
Л-бимодулей.
Далее, R — это векторное пространство над полем F; выбе-
выберем в R базис с первым элементом 1Н- Если т] отображает 1В в 1^,
а остальные базисные элементы в нуль, то [ц: R ->-F является
/^-модульным гомоморфизмом, произведение которого с вложением
i: F -*¦ R равно единице. Теперь построим диаграмму
Л = Л ® Л
л=л.
Квадраты этой диаграммы коммутативны; произведение отображе-
отображений верхней строки — это произведение Л-бимодульных отобра-
отображений и, следовательно, это бимодульное отображение а' : А -*-
-*- A <g) А. Поскольку A (g) я) а = 1 и тц, = 1, диаграмма пока-
показывает, что па' = 1, так что bidim А = 0 в силу (ш) из предло-
предложения 5.1.
Процесс расширений основного кольца включает также процесс
«редукции по модулю простого числа р». Действительно, коль-
кольцо Zp вычетов по модулю р можно рассматривать как коммутатив-
коммутативную алгебру R над Z. Для произвольной Z-алгебры A Azp — это
алгебра А, «редуцированная по модулю р».
Полная матричная алгебра Мп (F) над полем F состоит из
всех пхп матриц из элементов поля F с обычным произведением;
как векторное пространство над F она имеет базис, состоящий из
матриц etj, i, j = 1, . . ., п. Здесь ец —это матрица с 1 на пере-
пересечении /-и строки и /-го столбца и с нулями на остальных местах.
Умножение определяется равенствами е^е^ = еа и elTesk = О
при г Ф s. Если L гэ F — большее поле, то [Мп (F)]L ^ Mn (L).
Предложение 5.5. Для любого поля F имеем bidim
Mn(F) = 0.
18*
276
Гл. VII. Размерность
§ 6. Градуированные сизигии
277
Доказательство. Для элемента е — Sea <S> «и
из Мп (F) ® Мп (F) имеем яе = 2еи = 1М и ers e — eTi ® еи =
= еегв, так что он удовлетворяет условиям (iv) предложения 5.1.
Алгебра Л над полем F полупроста (см. § 1), если каждый левый
Л-модуль проективен. Если bidim Л = 0, то алгебра Л полу-
полупроста: для любых левых Л-модулей С и А теорема 3.3 дает изо-
изоморфизм
Extk(C, А)^Ех{\..А(А, Нот (С, А)),
так что модуль ExtA (С, —) равен нулю и С— проективный левый
Л-модуль.
Алгебра Л над полем F называется сепарабельной, если для
каждого поля расширения L =э F алгебра AL полупроста. По
предложению 5.5 каждая полная матричная алгебра сепарабель-
на. Легко видеть, что прямое произведение сепарабельных алгебр
сепарабельно. Обратно, структурная теорема Веддербарна утвер-
утверждает, что для каждой сепарабельной алгебры А конечной раз-
размерности над полем F существует такое поле расширения L поля F
(имеющее фактически конечную размерность как векторное про-
пространство над F), что AL есть прямое произведение конечного числа
полных матричных алгебр. Предполагая известным этот резуль-
результат, мы докажем следующую теорему.
Т е о р е м а 5.6 1). Если алгебра А над полем F имеет конечную
размерность как векторное пространство над F, то А сепарабельна
тогда и только тогда, когда bidim Л = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что алгебра Л
сепарабельна. В силу структурной теоремы существует такое
поле L, что AL ?= Stx . . . xSm, где каждая Ег — полная
матричная алгебра над L. По предложению 5.5, bidim 2t = 0, сле-
следовательно, по предложению 5.2 bidim AL — 0, откуда по пред-
предложению 5.4 bidim Л = 0.
Обратно, предположим, что bidim Л = 0. Для каждого поля
расширения L :э F мы хотим доказать, что каждый левый AL-
модуль С проективен. Пусть В — другой левый Л^-модуль. В силу
сопряженной ассоциативности (теорема 3.3)
Ext^ (С, В) 2? Ext^r_AL (AL, HomL (С, В)).
Но из bidim Л = 0 следует bidim AL = 0 по предложению 5.3,
так что AL — проективный бимодуль, и Ext справа исчезает.
Значит, Ext1 (С, В) = 0 для любого В, что означает проектив-
проективность модуля С.
Розенберг и Зелинский [1956] показали, что можно отбросить предпо- ;'
е о конечномерности Л над полем F.— Прим. перев. ,
Заметим, что доказательство было в общем элементарно, за
исключением использования Ext1 через сопряженную ассоциа-
ассоциативность для перехода от бимодуля AL к левым модулям.
Действие операций прямого произведения и расширения основ-
основного кольца на функтор Ext (Л, —) в более общем случае, когда
bidim Л Ф 0, будет изучаться в гл. X.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Построить прямое произведение двух DG-алгебр (над одним и тем же
К) так, чтобы оно было коуниверсально.
2. Доказать для алгебр Г и 2 над К, что (Г (g) 2)я ss Гя (g) R1R,
(ГХ2)неГйХ2й и (ГХ2)ор s Г°РХ2°Р.
3. (При расширении основного кольца алгебра может не остаться
полупростой.) Пусть р — простое число, Zp — поле вычетов по модулю р,
L — Zp (х) — поле всех рациональных функций над Zp от одного неизвест-
неизвестного х и F — подполе Zp (хр). Тогда L — коммутативная алгебра над F;
пусть Л есть .F-алгебра, изоморфная алгебре L относительно соответствия
х -+¦ и 6 Л. Показать, что алгебра Л полупроста, а алгебра AL не полу-
полупроста. (Если М — идеал в Л^, порожденный элементом и — х, то эпимор-
эпиморфизм Л ->- М, при котором 1 -+¦ и — х, не расщепляется.)
§ 6. Градуированные сизигии
Пусть Р = F [хи . . ., Хп\ — полиномиальная алгебра над
полем fen неизвестными xt, каждое из которых имеет степень 1.
Следствие 4.4 показывает, что любой Р-модуль А имеет проектив-
проективную резольвенту
0<-А<~Х0< ^-Х„<-0,
которая останавливается на члене Х„. В теореме Гильберта о сизи-
сизигиях утверждается, что градуированный Р-модуль А имеет такую
резольвенту, в которой Xft — свободные градуированные модули,
оканчивающуюся на том же месте. Мы не можем вывести теорему
о сизигиях из нашего тесно связанного с ней предыдущего резуль-
результата, так как мы не знаем, какой проективный модуль должен быть
свободным.
В этом параграфе мы рассматриваем Р как внутренне градуи-
градуированную алгебру над F; однородные элементы степени т являют-
являются, таким образом, обычными однородными многочленами этой
степени. Мы будем иметь дело с категорией всех внутренне гра-
градуированных Р-модулей, морфизмами которой служат все Р-модуль-
ные гомоморфизмы степени 0; ядра и коядра таких гомоморфизмов
снова являются внутренне градуированными Р-модулями. Каждый
внутренне градуированный Р-модуль А = 2Л„ есть также негра-
278
Гл. VII. Размерность
дуированный модуль над неградуированной алгеброй Р. Если G —
второй такой модуль, то мы используем символы G®PA и
Torf (G, А) для обозначения обычных тензорного и периодиче-
периодического произведений, построенных без учета градуировки. Внут-
Внутренняя градуировка имеет те преимущества, что она приспособлена
к классическому понятию кольца многочленов и делает возможным
использование обычного периодического умножения. Градуировка
периодического произведения будет введена в Х.8, где она стано-
становится естественной.
Поле коэффициентов F — это градуированный (тривиально)
Р-модуль относительно обычного действия xtf = О для / ? F.
Лемма 6.1. Если А — градуированный Р-модуль, для кото-
которого A®PF = О, то А = 0.
Доказательство. Пусть J = (хи . . ., хп) — идеал
всех многочленов из Р со свободным членом 0. Точная последова-
последовательность Р-модулей J v> Р -» F порождает точную последова-
последовательность A®PJ -v А®рР -» A®PF = 0, так что А ® PJ -»
-» A <g> РР = А. Это означает, что каждый элемент а ? А лежит
в AJ. Если А ф 0, то выберем ненулевой элемент а наименьшей
возможной степени k. Каждое произведение в AJ = А тогда имеет
степень по крайней мере на единицу больше, в противоречии с пред-
предположением А Ф 0.
Заметим, что это доказательство не годится для Z-градуиро-
ванных модулей, где могли бы быть элементы произвольной отри-
отрицательной степени.
Лемма 6.2. Градуированный Р-модуль А, для которого
Torf (A,F) = 0, свободен.
Доказательство. Поскольку модуль А градуирован,
A(g)PF — градуированное векторное пространство над F, поро-
порожденное однородными элементами а ® 1. Выберем множество S
таких однородных элементов, что элементы s <g> 1 образуют базис
этого векторного пространства, и построим свободный градуиро-
градуированный Р-модуль М на множестве 5. Тождественное отображе-
отображение 5 ->-Scz А определяет гомоморфизм т): M ->Л степени нуль;
в силу выбора S отображение
— изоморфизм. Ядро В и коядро С гомоморфизма ц составляют точ-
точную последовательность градуированных Р-модулей
с однородными гомоморфизмами степени 0 (хотя это обстоятельство
нам не понадобится). Применение <g> PF к правой части этой после-
§ 6. Градуированные сизигии
279
довательности дает точную последовательность
По F.1) C(B)PF = 0, так что С = 0 в силу предыдущей леммы.
К оставшейся короткой точной последовательности В >-> М -»А
применим фундаментальную точную последовательность для перио-
периодического умножения (на F)
0-> Torf (A,F) -> В ®PF
A ®PF ~> 0,
где нуль слева стоит вместо группы Tori (M,F), тривиальной,
поскольку модуль М свободен. Опять-таки в силу F.1) , B(g)pF ^
^ Torf (Л, F) и по предположению равно нулю. Следовательно,
В ® РР = 0, так что В = 0 в силу повторного применения преды-
предыдущей леммы. Наша точная последовательность свелась к после-
последовательности 0 -> М -> Л ->¦ 0, устанавливающей изоморфность А
свободному модулю М.
Предложение 6.3. Для каждого градуированного Р-модуля
А существует такой свободный градуированный Р-модуль М и такой
эпиморфизм т): М -*-А степени 0, что для каждого эпиморфизма
е : Хо -*¦ А свободного модуля Хо существует коммутативная
диаграмма
мЛа->о
Х0^Л->0
с мономорфизмом р. Ядро т] содержится в JM; этими свойствами
пара (М, т]) определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Построим ц так, чтобы т]® 1 было
изоморфизмом, указанным в F.1); первая часть предшествую-
предшествующего доказательства показывает, что ц (М) = А. Обычное срав-
сравнение дает гомоморфизм Р; пусть В — ядро р\ Построим диаграмму
где нуль слева обозначает группу Torf (Xo, F), равную нулю,
так как- модуль Хо свободен. Строка этой диаграммы точна, а про-
произведение, отмеченное пунктирной стрелкой,— это изоморфизм
F.1); следовательно, B®PF = 0, откуда В = 0 по лемме 6.1.
Единственность устанавливается аналогично.
280
Гл. VII. Размерность
Ядро Ai эпиморфизма г\ : М ~*-А можно снова записать как
образ Mi -*~At; итерация приводит к однозначно определенной
свободной резольвенте ••• -*-Mz-*-Mi-*-M ~*-А-*-0, называе-
называемой минимальной резольвентой. О ее применениях см. работу Адам-
са ([I960], стр. 28); общее рассмотрение у Эйленберга [1956].
Теорема 6.4. (Теорема Гильберта о сизигиях.) Если А —
градуированный модуль над градуированным полиномиальным кольцом
Р — F [хи . . ., хп] от п переменных степени 1 над полем F, то
в любой точной последовательности
градуированных Р-модулей, в которой модули Xt свободны, п-й
модуль Ап также свободен.
Подобная последовательность может быть всегда построена,
если в качестве Хо взять свободный модуль на множестве одно-
однородных элементов из А, в качестве Xt взять аналогичный модуль
с образующими из Кег [Хо -*¦ А] и т. д. При этом h.dim РЛ <п.
Доказательство. Поскольку модули Xj свободны, свя-
связывающий гомоморфизм данной точной последовательности Т уста-
устанавливает изоморфизм Tor?+i (A,F) э* Torf (An,F). Но резоль-
резольвента Косуля для F показывает, что h.dimp F*Cn, так что
Tor?+i (A, F) = 0. Тогда по лемме 6.2 модуль Ап свободен, что
и утверждалось. Любой идеал J кольца Р является подмодулем
модуля Р; как в VI.3, он называется однородным идеалом, если это
градуированный подмодуль, т. е. если J порождается своими
однородными элементами.
Следствие 6.5. Если J — однородный идеал в Р, то в любой
точной последовательности 0 <— J <— Хо <— • • • <— Хп-2 <— Ап-1 «—
<— 0 градуированных Р-модулей со свободными модулями Xt модуль
An-i также свободен.
Доказательство. Из этого следствия вытекает наш
предыдущий результат о том, что h.dim PJ *Cn — 1. Как и в том
случае, следствие доказывается перемножением заданной после-
последовательности и короткой точной последовательности P/J «- Р <-< J
и применением теоремы о сизигиях к градуированному фактор-
модулю P/J.
Замечание. Теорема Гильберта была доказана (Гильберт [1890])
для теории инвариантов, специально для модулей форм, инвариантных
относительно некоторой группы линейных преобразований; в работе Гиль-
Гильберта (стр. 504—508) содержится вычисление, равносильное резольвенте
Косуля поля F. Его доказательство было упрощено Грёбнером [1949];
в нашем доказательстве мы следовали Картану [1952], который первый
применил гомологические методы и установил гораздо более общую теорему,
верную также для локальных колец (см. ниже § 7).
§ 7. Локальные кольца
281
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для кольца P = F [х, у, г] построить неградуированиый Р-модуль,.
который не имеет внутренней градуировки, совместимой с заданной Р-мо-
йульной структурой.
2. Показать, что теорема Гильберта о сизигиях справедлива при заме-
замене Р на любое внутренне градуированное кольцо G, для которого G№
есть поле.
3. (Общая резольвента Косуля.) Если А — правый ^-модуль, то эле-
элемент х Ф 0 6 R называется делителем нуля для А, если ах = 0 для некото-
некоторого а ф 0 из А. Таким образом, х не является делителем нуля тогда и толь-
только тогда, когда отображение а -*¦ ах есть мономорфизм А >-» А. Если xit ...
. . ., хп ? R, то обозначим через V& правый идеал в R, порожденный эле-
элементами *!, . . ., Xk. Пусть х\ не является делителем нуля для A/AJk-i ПРИ
каждом k = 1, .... п. Доказать, что комплекс А фн ER [и4 и„}
с дифференциалом dut = xt и пополнением е: A (g) Ео = А ® R -*-A/AJn,
определенным формулой е (о (g) r) = ar+ aJn, дает нам резольвенту ^-модуля
A/AJn длины п. (Указание: использовать индукцию по п и применить точную
гомологическую последовательность к фактор комплексу комплекса A (g) E
по соответствующему комплексу без ц„.)
Замечание. Этот результат для А = R = F [xit . . ., хп\ дает
предыдущую резольвенту Косуля поля F как Р-модуля. Более общий случай
полезен в теории идеалов, где последовательность элементов xt, . . ., хп
при условии, что хь не является делителем нуля для A/AJ^-i и A/AJn Ф 0,
называется А-последовательностью для А (Ауслендер — Буксбаум [1957];
вместо нашего А там ?), в то время как наименьшая верхняя грань всех п
для таких Л-последовательностей есть коразмерность модуля А.
§ 7. Локальные кольца
В этом параграфе мы приводим без доказательства некоторые
из достижений гомологической алгебры в изучении локальных
колец. Все рассматриваемые кольца считаются коммутативными.
Простой идеал Р кольца К — это такой идеал, что из rs6 P
следует г 6 Р или s 6 Р; это условие эквивалентно требованию
отсутствия делителей нуля в факторкольце К/Р. Каждое коль-
кольцо К в качестве идеалов имеет множество @), состоящее только
из 0, и все множество К; собственный идеал J d К — это идеал,
для которого @) Ф J Ф К. Обратимый элемент и — это эле-
элемент, имеющий в К обратный элемент о (ш = 1). Ясно, что ни
один собственный идеал не может содержать обратимых элементов.
Локальное кольцо L — это коммутативное кольцо, в котором
все необратимые элементы образуют идеал М; в этом случае идеал М
должен содержать все собственные идеалы кольца L. Если L не
есть поле, то М — максимальный собственный идеал в L. В любом
случае М — простой идеал. Более того, ИМ. есть поле, поле выче-
вычетов кольца L. Для рационального простого числа р кольцо р-ади-
ческих чисел есть локальное кольцо, поле вычетов которого —
это поле Zp вычетов по модулю р. Другим локальным кольцом
является множество всех формальных степенных рядов с неотри-
282
Гл. VII. Размерность
дательными степенями от п неизвестных хь . . ., хп с коэффициен-
коэффициентами из поля F; степенной ряд имеет (формальный) обратный тогда
и только тогда, когда его свободный член не равен нулю, поэтому
максимальный идеал состоит из всех формальных степенных рядов
с нулевым свободным членом, а поле вычетов есть F.
Если Р — простой идеал области целостности D, то кольцо
частных DP — это множество всех формальных частных alb, где
а, Ь 6 D и Ь не лежит в Р, с обычным равенством alb = a' Ib' тогда
и только тогда, когда ab' = a'b. Эти частные образуют кольцо
относительно обычных операций alb + a'Ib' = (ab' + a'b)/bb',
(alb) (a'Ib') = adIbb''. Такое частное alb имеет обратный эле-
элемент bla в Dp тогда и только тогда, когда а $ Р, следовательно,
Dp — это локальное кольцо, максимальный идеал которого состоит
из всех частных alb, а 6 Р; если мы рассмотрим DP как D-модуль,
то этот максимальный идеал можно записать как PDP. Например,
если D — кольцо всех многочленов от п неизвестных над алге-
алгебраически замкнутым полем С, то множество всех нулей идеала Р,
т. е. множество всех таких точек (сь . . ., сп), что / (с1( . . ., сп) =
= 0 для каждого / 6 Р, является неприводимым (аффинным) алге-
алгебраическим многообразием V. Соответствующее локальное кольцо
Dp известно как кольцо рациональных функций на многообра-
многообразии V; действительно, для каждого формального частного fig ? DP
можно определить значение частного fig в каждой точке (си .. . , сп),
лежащей в V, положив его равным f (с±, . . ., cn)/g(Ci, . . ., cj).
Аналогично точка многообразия V ассоциируется с простым идеа-
идеалом, содержащим Р, а кольцо рациональных функций в этой точке
является локальным кольцом. Этот пример объясняет слово
«локальный».
К-модуль С называется нётеровым, если каждый подмодуль
модуля С конечного типа; это эквивалентно условию, что С удов-
удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек подмодулей:
для каждой последовательности С4 с= . . . с= С& сг СА+1 с= . . .
подмодулей модуля С есть такой номер п, что Сп = Сп+1 = . . . .
Само кольцо К называется нётеровым, если оно является нётеро-
нётеровым К-модулем. В теореме Гильберта о базисе утверждается, что
кольцо многочленов от п неизвестны» над полем является нётеро-
нётеровым. Модуль конечного типа над нётеровым кольцом сам нётеров.
Над нётеровым кольцом естественно рассматривать категорию
всех нётеровых модулей; каждый подмодуль или фактормодуль
такого модуля снова есть нётеров модуль. Приняв это соглашение,
можно доказать теорему Гильберта о сизигиях для нётеровых
локальных колец: в формулировке теоремы 6.4 нужно заменить
полиномиальное кольцо локальным кольцом L, поле коэффицентов
полем вычетом ЫМ и «градуированный модуль» «конечно поро-
порожденным модулем». Основная трудность доказательства состоит
§ 7. Локальные кольца
283
в установлении аналога леммы 6.1, в котором идеал J заменяется
идеалом М: когда А = AM, то А = АМп для каждого п и пере-
пересечение всех Мп равно нулю. Поучительное изложение этого дока-
доказательства можно найти у Эйленберга [1956].
Размерность Крулля k нётерова кольца К — это наибольшее
целое число, для которого существует собственная возрастающая
цепочка простых идеалов Ро < Pi < • • . < Ра < К; можно пока-
показать, что эта размерность всегда конечна. В локальном кольце L
с максимальным идеалом М факторкольцо М/М2 является век-
векторным пространством над полем вычетов ЫМ; поскольку М —
конечно порожденный идеал, то размерность этого пространства
п = dim^/M MIM2 конечна. Можно показать, что размерность
Крулля кольца L не больше п. Говорят, что локальное кольцо
регулярно, если его размерность Крулля в точности равна п =
= dirriL/M MIM2. Эти локальные кольца представляют наиболь-
наибольший интерес для геометрии. Используя гомологические методы,
Серр [1956], а позднее Ауслендер — Буксбаум [1956] доказали
(см. также Асмус [1959]) следующий факт:
Теорема. Локальное кольцо L с максимальным идеалом М
регулярно тогда и только тогда, когда \iA\mLLIM <С <х>, или,
равносильное условие: тогда и только тогда, когда gl.dimL< oo.
В частности, эта характеристика регулярности позволяет дать
простое доказательство того, что если Р — простой идеал регуляр-
регулярного локального кольца L, то кольцо (локальное) частных LP
регулярно. До применения гомологических методов эта теорема
была известна лишь для некоторых геометрически важных случаев.
Совсем недавно Ауслендер и Буксбаум [1959] доказали пред-
предположение Крулля.
Теорема. Любое регулярное локальное кольцо является
кольцом с однозначным разложением на множители.
В доказательстве существенно использована редукция Нага-
ты [1958] этого предположения к случаю гомологической размер-
размерности 3. Эта теорема содержит, например, классический результат
однозначности разложения в кольцах степенных рядов.
Замечание. Периодическое умножение в локальных кольцах при-
приводит к эффективному рассмотрению кратности пересечения подмногообра-
подмногообразий алгебраического многообразия (Серр [1958]). Среди многочисленных
недавних работ по гомологической размерности нётеровых колец мы отме-
отметим работы Тэйта [1957], Ауслендера — Буксбаума [1958], Матлиса [1960],
Дженса [1961]. Одно из ранних использований гомологической размерности
принадлежит Хохшильду [1945, 1946], открывшему связь (§ 5) между бираз-
мерностью Л и сепарабельностью. Гомологическая теория алгебр Фро-
бениуса аналогична теории гомологии групп (Накаяма [1957]; Накаяма —
Цудзуку [1960, 1961]; Каш [1961]).
ГЛАВА VIII
Умножения
§ 1. Гомологические умножения
При изучении умножений постоянно проявляется связь между
«внешними» и «внутренними» умножениями. Эта связь может быть
проиллюстрирована на примере гомологических умножений. Если
Хв и rY — цепные комплексы #-модулей, то внешнее гомологиче-
гомологическое умножение — это гомоморфизм абелевых групп
p:Hh(X)®RHm(Y)->Hh+m(X®RY), A.1)
действующий на циклах ы 6 X и вб У по формуле
р (els и ® els о) = els (и ® v).
Отображение р естественно по X и У; оно уже встречалось в фор-
формуле Кюннета. Это умножение ассоциативно: для колец R и S
и комплексов XR, RYs и SW произведения отображений
р A ® р) = р (р ® 1): Я* (X) ®R Яг (У) ®s Hm (W) -»
~*Hn(X®RY®sW),
где я = & •+ / + т, равны.
С другой стороны, пусть U есть некоторая DG-алгебра над
коммутативным кольцом К. Тогда Я (U) является градуированной
К-алгеброй относительно умножения
уже определенного в (VI.7) как
л (els и ® els v) = els (uv);
мы назовем это умножение внутренним гомологическим умноже-
умножением. Внутреннее умножение можно получить из внешнего умно-
умножения с помощью отображения умножения лц: U (g> U -*-U как
произведение отображений
: Н (U)
H (U
§ 1. Гомологические умножения
285
Внешнее гомологическое умножение может быть определено
с модулями коэффициентов. Возьмем (неградуированные) К-алге-
бры Л и Л', комплексы К-модулей АХ и Л<Х', правые модули GA,
G'A' и положим Q = Л <g> Л'. Внешним гомологическим умноже-
умножением называется отображение рн = хр из диаграммы
Hh (G ®лХ)
где р — гомологическое умножение A.1) с Я = К, а т — сокра-
сокращение для Hk+m (т), т. е. для отображения групп гомологии,
индуцированного внутренней четверной перестановкой VI (8.4).
Это умножение рн естественно и ассоциативно; последнее озна-
означает, что коммутативна диаграмма
Рн®1
Н(Х)®Н (X') (8) Я (X") -2—> Н{Х®Х')®Н {X")
^
Я (X ® X' ® X"),
Н(Х)®Н (X' (8) X")
в которой G и Л всюду опущены.
Теорема 1.1. Для алгебр А и А' над полем гомологическое
умножение является изоморфизмом
S
h-\-m=n
Доказательство. Все модули над полем свободны, так
что по тензорной формуле Кюннета р становится изоморфизмом,
а т является изоморфизмом всегда.
Для левых модулей АА и А>А' внешним когомологическим умно-
умножением называется отображение рн = ?р из диаграммы
Я" (НотЛ (X, А)) ® Нт (Нотл- (X', Л'))Л
". Hh+m (Нотл (X, А) ® НотЛ' (X', А'))
A.3)
Hh+m (Нота (X ® X', А ® Л')).
Здесь р — гомологическое умножение из A.1), записанное с верх-
верхними индексами, а ? — цепное преобразование, определенное
Нот-®-перестановкой VI (8.10). Это умножение естественно и ассо-
286
Гл. VIII. Умножения
циативно. Его определение можно переписать в терминах коцепей
/г:Хй->Л, h':X'm-+A'. Рассмотрим huh' как гомоморфизмы
градуированных модулей. По определению, ? (h <g> h') — это гомо-
гомоморфизм
h (g h' ¦ (X (g X')n = 2 Xp (g Xg —> A (g Л',
p+g=n
действующий следующим образом: если х 6 Хр, х' ? Xq, я =
= k + m, то
,ч fAjc®AV, р = Л, ^ = т,
(h ® Л') (х ® *') = Л A.4)
10, p=^=«-
Тогда б (Л ® Л') = bh ® Л' + (— l)h/i ® 6Л', и рн опреде-
определяется для когомологических классов следующей формулой:
рн (els h (g els h') == els (Л <g h').
Теорема 1.2. Для алгебр А и А' над полем и положитель-
положительных комплексов X и X', в которых модули X* и Х'т являются сво-
свободными А- или А'-модулями с конечным числом образующих, кого-
когомологическое умножение является изоморфизмом
рн: 2
k-\-m—n
(X, А))
Я"+т (HomQ (X
Нп (Нотл- (X', А')) s*
X', Л ® Л')).
Доказательство. Поскольку комплексы X и X' поло-
положительны, каждый модуль (X (g> X')n является конечной прямой
суммой 2ХР <S> X'q, а функтор Нот (X, —) перестановочен с конеч-
конечными прямыми суммами (=прямыми произведениями) в силу
аддитивности. Предположение о конечности числа образующих
позволяет применить предложение VI.8.3 и тем самым обеспечи-
обеспечивает изоморфность комплексов при Нот-®-перестановке, а р
является изоморфизмом по тензорной формуле Кюннета для поля.
Теорема 1.3. Связывающие гомоморфизмы, если они опреде-
определены, перестановочны с гомологическим умножением р.
Доказательство. Заменим в A.1) комплекс X корот-
короткой точной последовательностью
комплексов правых R-модулей. Связывающие гомоморфизмы для
групп гомологии имеют вид
A.5)
Последовательность тензорных произведений комплексов
§ 1. Гомологические умножения
287
в случае ее точности также определяет связывающие гомомор-
гомоморфизмы, указанные в диаграмме
) Л Hk+m+i (М ® в Y)
Hk+i (M) ®R Hm (Y
|e*®i |(е®дЮ* A.6)
Hk{K)®RHm{Y) Л Hk+m(K®RY).
В нашей теореме утверждается, что эта диаграмма коммутативна;
доказательство заключается в непосредственном применении опи-
описания связывающих гомоморфизмов через «обращение». Соответ-
Соответствующий результат верен и в том случае, когда комплекс Y заме-
заменяется короткой точной последовательностью комплексов.
Этот результат применим всякий раз, когда последовательность
E®rY точна. Однако] этого может не быть; для того чтобы полу-
получить точность, мы должны заменить левый нуль в A.5) на
2 Torf (Mp, Yq). Последовательность будет точной в одном из
следующих случаев:
случай 1: каждый модуль Yn является плоским левым R-
модулем;
случай 2: каждый модуль Мп является плоским правым
/^-модулем;
случай 3: последовательность Е расщепляется как после-
последовательность правых /^-модулей.
Третье условие означает, что каждая последовательность
Кп^ Ln -» Мп расщепляется.
Следствие 1.4. Связывающие гомоморфизмы, если они опре-
определены, коммутируют с гомологическим и когомологическим умно-
умножениями рн и рн.
Доказательство. Этот результат получается сразу,
поскольку рн — хр и рн = ?р, а естественные отображения т и ?
коммутируют со связывающими гомоморфизмами. В утверждении
содержатся случаи, когда один из аргументов G, X, G' или X' для
рн заменяется подходящей короткой точной последовательностью.
Например, заменим G короткой точной последовательностью Е
правых Л-модулей. Предположим, что
(i) X — комплекс плоских левых Л-модулей Хп;
(ii) E расщепляется как последовательность К-модулей;
(ш) X' — комплекс плоских левых Л'-модулей Х'п-
(Эти условия выполняются довольно часто; они выполнены, если
X и X' — проективные резольвенты, а К — поле.) Такие условия
гарантируют, что Е (g> лХ — короткая точная последовательность
комплексов К-модулей, что Е (g> vG' — короткая точная после-
288
Гл. VIII. Умножения
§ 2. Периодическое произведение алгебр
289
довательность Q = Л® Л'-модулей и что произведение
{Е ® G') ®q (X <8> X') — короткая точная последовательность ком-
комплексов К-модулей. Значит, все связывающие гомоморфизмы опре-
определены, и диаграмма, подобная диаграмме A.6), коммутативна.
§ 2. Периодическое произведение алгебр
Если X и X' — резольвенты, то (ко)гомологические умноже-
умножения рн в рн будут определять соответствующие умножения для
Тог и Ext.
Для К-модулей В, А, В', А' внутренняя четверная пере-
перестановка
т: (В ® А) <g> (В' ® А') & (В ® В') <g> (A ® Л') B.1)
из VI (8.4) может рассматриваться как внешнее умножение для
функтора ®. Напомним, что теорема V.7.3 устанавливает изо-
изоморфизм i\: Тог0 (В, A) s* В ® А; элементы из Тог0 записаны
как тройки t = (jx, F, v), где F — конечно порожденный свобод-
свободный модуль с дуальным модулем F*, a fx: F->-fi, v: F* ->• Л суть
гомоморфизмы. Используя этот изоморфизм т], внутренней четверной
перестановке можно придать вид
т[(ц, Л v)®(n', F', v')] = (ц ® ц
', v®v'). B.2)
Здесь v ® v' F* ® F'* ->-Л (8> Л', но мы можем рассматривать
v ® v' как отображение, определенное на (F ® У7')*, используя
отождествление F* (8) F'* = (F ® F')*, устанавливаемое изомор-
изоморфизмом из предложения V.4.3 [случайно это отождествление ока-
оказывается совместным с отождествлением (F <2> F') (8) F" =
=F (8) (F' (8) F")]. Формула B.2) будет распространена на более
высокие периодические произведения.
Элемент из Тогй (В, А) записывался как тройка / = (ц, L, v),
где L — конечно порожденный свободный- комплекс длины k,
a [i:L-*-B, v:L*-*-A являются цепными преобразованиями.
Если дан второй элемент ? ? Тогт (В', А'), то можно определить
произведение
(ц, L, v) (ц', L', v') = (ц ® ц', I ® L', v ® v'). B.3)
Здесь L(8)Z-' — конечно порожденный свободный комплекс длины
k + m, a v <g> v' — цепное преобразование L*®L'* = (L ® L')* —»
-*-Л (8) Л'. Это произведение корректно определено относи-
относительно соотношений, использованных при определении элементов
Тогп, и естественно по своим четырем аргументам. Это произведе-
произведение W билинейно; мы избежим прямого доказательства с помощью
сложения, определенного в Тог, используя резольвенты так, как
показано в следующей теореме:
Теорема 2.1. Для четырех К-модулей В, Л, В', А' умно-
умножение, определенное формулой B.3), является гомоморфизмом
рТ: Тог* (В, А) (8) Torm (В', А') -> Тогй+т (В ® Я', А® А'). B.4)
Он может быть вычислен с помощью проективных резольвент е: X ->
-*• В, е': X' ->-В' и е" : У ->Б (8) В' как произведение отображений
Н(Х®А)®Н(Х'®А')РЛн(Х®Х'®А®А')Лн(?®А®А'),
где рн — внешнее гомологическое умножение A.2), причем X играет
роль G, а /: X ® X' -*- У есть цепное преобразование, накрываю-
накрывающее 1В®В'.
Доказательство. Тензорное произведение свободных
или проективных К-модулей свободно или проективно соответ-
соответственно, так что е ® г': X ® X' ->• В ® В' — проективный ком-
комплекс над В <g> В'. По теореме сравнения существует отображе-
отображение /, накрывающее 1, а индуцированное отображение /„ групп
гомологии единственно. Вычисление Тог (В, А) через резоль-
резольвенту X проводится с помощью изоморфизма со: Тог (В, Л) ^
^ Н (X ® А) из теоремы V.8.I. Пусть со' и со" — изоморфизмы,
аналогичные со. Утверждение, что рТ можно вычислить как произ-
произведение /*рн, означает, что
Поскольку со": Тог (В ® В', А ® А') ^ Н (У <8> Л <8> Л') есть
изоморфизм, это равенство также показывает билинейность про-
произведения tt' и, следовательно, доказывает, что рт из B.4) также
гомоморфизм.
Для доказательства B.5) напомним, что со определяется сле-
следующим образом: тройку t = {ц, L, v) рассматриваем как свобод-
свободный комплекс fx: L -> В длины k над В и цикл A, La, v) 6 Lh ® A,
\в накрываем цепным преобразованием h:L->X и полагаем
cotf = (h ® I)* els A, Lh, v). Ho tt' записывается соответственно
как свободный комплекс ц ® ц': L <g> L' -*¦ В ® В' и цикл
A, Lk ® L'm, v (8) v'). Этот цикл является гомологическим про-
произведением хр [A, Lh, v) (8> A, L'm, v')], а преобразование
/ (h (8> h') : L ® V -> У накрывает 1в®в'- Следовательно,
со"(//') =/„, (Л (8) Л' (81 1 <8> 1)*Ph{c1sA, L^, v) (8) cls(l, Lm, v')},
так что B.5) есть следствие естественности гомологического умно-
умножения рн относительно цепных преобразований h и К'.
19—353
290
Гл. VIII. Умножения
Пусть Л и Г—две К-алгебры; я: Л ® Л-*-Л и р: Г ® Г
Г являются их отображениями умножения. Гомоморфизм
(Л ® Г) ® (Л ® Г)
(Л ® Л) <g> (Г
задает умножение в алгебре Л® Г. Другими словами, внутреннее
умножение в тензорном произведении Л® Г алгебр получается
из внешнего умножения т модулей.
Это внутреннее умножение будет теперь определено для
Тог (Л, Г).
Теорема 2.2. Для К-алгебр А и Г семейство {Тог* (Л, Г)}
является градуированной К-алгеброй Тогк (Л, Г), в которой эле-
элементы степени нуль образуют тензорное произведение Л ® Г
алгебр. Произведение двух элементов t = (ц, L, v) и t' =
= (|j/, L', v') определяется формулой
(|i, L, v) (ц', Z/, v') = (я (|i ® |i')» L ® L', p (v ® v')), B.6)
б которой пир — отображения умножения алгебр А и Т.
Доказательство. Внутреннее умножение B.6) равно
произведению [Тог (я, р)] рТ, где рт — внешнее умножение. По
теореме 2.1 произведение Н' билинейно; оно, очевидно, ассоциа-
ассоциативно. Единичные элементы алгебр Л и Г представляются
К-модульными гомоморфизмами /:К-»-Л, /': К-»- Г, .а еди-
единичный элемент 1Л ® 1г алгебры Л® Г появляется при изо-
изоморфизме tj : Тог0 (Л, Г) s* Л ® Г в виде тройки 1Г = (/, К, /')
из Тог0, где К рассматривается как свободный К-модуль с одним
образующим. Формула B.6) показывает, что \Tt — t — t\T. Сле-
Следовательно, Tor (Л, Г) — это градуированная алгебра, что и утвер-
утверждалось.
Мы установим, как можно вычислить это умножение с помощью
подходящей резольвенты алгебры Л.
Следствие 2.3. Если U есть DG-алгебра, а е : U -*- Л
такой гомоморфизм DG-алгебр, что алгебра U, рассматриваемая
как комплекс, является проективной резольвентой К-модуля А,
то канонический модульный изоморфизм со: Тог (Л, T)^H(U ® Г),
который определяет периодические произведения с помощью этой
резольвенты, есть также изоморфизм градуированных алгебр.
Доказательство. В нашем случае U ® Г, будучи тен-
тензорным произведением DG-алгебры U и тривиальной DG-алгебры Г,
является DG-алгеброй, так что Я (U ® Г) действительно есть
градуированная алгебра. Положим В = В" = Л в теореме 2.1.
Тогда обе резольвенты X и X' мы можем положить равными резоль-
резольвенте U, в. качестве Y взять произвольную проективную резоль-
§ 2. Периодическое произведение алгебр
291
венту для Л (g> Л. Накроем 1 и п цепными преобразованиями /
и g, как показано в диаграмме
л <g> л = л^лДл.
Тогда Тог (я, р) — отображение групп гомологии, индуцирован-
индуцированное гомоморфизмом g (g> p : F(g> Г® Г-»-?/® Г. Поэтому умно-
умножение в Тог (Л, Г) равно (g (g) p)#f#pH, как показывает диаграмма
Я (U ® Г)
Я (V ® Г) —н-
®Г®Г)
я (с/® г® г) A®р)*> -я (г/® г).
Но умножения %v : U <g> U -*¦ U и gf : U ® U -*• U являются
цепными преобразованиями резольвент, накрывающими отображе-
отображение я: Л <g> Л —» Л и, следовательно, гомотопны по теореме срав-
сравнения. Поэтому приведенная выше диаграмма групп гомологии
коммутативна, так что умножение в Тог (Л, Г) определяется как
(nv (g> p)»pH. Но это выражение в точности совпадает с внутренним
умножением в градуированной алгебре Я (?/®Г).
Для полиномиальной алгебры Р мы уже отмечали в теореме
VI 1.2.2, что градуированная алгебра Тогр (К, К) является внеш-
внешней алгеброй над Р; в доказательстве использовался тот факт, что
резольвента Косуля для К есть DG-алгебра. В действительности
любая алгебра Л имеет проективную резольвенту, являющуюся
DG-алгеброй U (упражнение 2).
Наше определение произведения B.3) является новым, но внешнее
умножение рт, которое оно определяет, совпадает с умножением п\, опре-
определенным Картаном и Эйленбергом (гл. XI.4). Их определение использует
резольвенты А и А', но это не необходимо (упражнение 3).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть U — DG-алгебра, А — К-модуль и ф : А -*¦ Un — такой
модульный гомоморфизм, что <^,Ф = 0. Показать, что градуированная
алгебра U ® Т (А) имеет единственную ?>О-структуру, при которой д \ U =
= дц, д | А = ф и А степени я + 1.
2. Для произвольной К-алгебры Л построить DG-алгебру U и такой
гомоморфизм е: U -»- Л градуированных алгебр, чтобы, как и в следст-
следствии 2.3, U была проективной резольвентой Л как К-модуля. Указание:
используя упражнение 1, построить ?)О-алгебру 1/<п) рекурсивно по п так,
чтобы она была проективной резольвентой до размерности п.
3. Описать внешнее умножение в Тог (В, А), используя резольвенты
для В и А или только для А.
19*
292
Гл. VIII. Умножения
4. Показать, что формула B.3) определяет для К-алгебр Л и Л' и моду-
модулей ВЛ>, Вд,; ^Л,А,А' внешнее умножение
Тогл (В, A) ® Тогл' (В\ А') -> Тогл®л' (В (g) В', A (g) Л')-
Описать его свойства и показать, что оно коммутирует со всеми четырьмя
связывающими гомоморфизмами. Это умножение есть умножение Т Картана
и Эйленберга, X 1.1.
§ 3. Диаграммная лемма
В следующем параграфе нам понадобится следующее антиком-
антикоммутативное правило сплетения точных последовательностей.
Лемма 3.1. Cx3 сплетение.) Если в коммутативной
3x3 диаграмме модулей столбцами являются короткие точные
последовательности Е', Е, и Е", а строками — короткие точные
последовательности ЕА, Ев и Ее, то
Доказательство. Данная 3x3 диаграмма имеет вид
ЕА:А' ->А^А"
111
Ев:В'->вЛв" C.1)
(нули на концах не указаны). Построим диаграмму
О _» Л' -» Л -> Б" _» С -» О
|| 1 .!.« 11-1
О
С -» О,
C.2)
в которой фЬ = {ab, Щ и^(с,Ь") = ус — хЬ" (обратить внима-
внимание на знак), а стрелки без обозначений соответствуют отображе-
отображениям или произведениям отображений из диаграммы C.1). По-
Построенная диаграмма коммутативна; диаграммный поиск пока-
показывает, что средняя строка точна. Верхняя строка есть произве-
произведение ЕА ° Е"; вертикальные отображения, включая —1с : С" ->-
-*¦ С" справа, устанавливают конгруэнтность этого произведения
со строкой, противоположной средней строке, которая в свою
очередь оказывается конгруэнтной нижней строке Е' о Ес. Тем
самым установлен нужный результат.
§ 4. Внешние умножения для Ext
293
Близким и часто используемым результатом является
Лемма 3.2. Для правых R-модулей А с= В, левых R-моду-
лей А' с В'
(Б/Л) ®л (В'/А') е* [В ®лB'Vlim(A ®RB')v im (В ®в А')]. C.3)
Доказательство. Первым здесь указан образ отобра-
отображения A (g> В' -+¦ В <g> В'. Это отображение вместе с симметричным
отображением порождает точную последовательность
А ®лВ' ©В ®л А' -+ В ®лВ' -» (В/А) ®л (В'/А') -^ 0.
Эта последовательность может быть получена также из диаграммы,
сходной с диаграммой C.1) (см. ниже упражнение 2) с первой
строкой А®А', А®В', А®{В'1А').
УПРАЖНЕНИЯ
1. Предположив только, что в C.1) строки и столбцы являются точными
справа последовательностями, а третья строка и третий столбец — корот-
короткими точными последовательностями, доказать, что диаграмма C.2) комму-
коммутативна и имеет точные строки, если нули слева опустить.
2. Доказать лемму 3.1 с помощью диаграммы, подобной диаграмме C.2),
в которой направления вертикальных стрелок заменены на противополож-
противоположные, а средней строкой служит последовательность А' >-> В' 0 А -»- В -» С".
§ 4. Внешние умножения для Ext
Умножение длинных точных последовательностей порождает
внешнее умножение в Ext. Для одного Л-модуля А умножение
является гомоморфизмом
Ext* (Л, Л) ® Ext™ (Л, Л) -> Ext*+m (A, A).
По теореме II 1.5.3 оно превращает ExtA (Л, Л) в градуированное
кольцо; на самом деле (в силу теоремы VI 1.3.1) оно оказывается
градуированной К-алгеброй. В этой алгебре элементы степени
нуль образуют К-алгебру Л-модульных эндоморфизмов модуля Л.
Далее мы опишем, как это умножение можно иногда получить из
когомологического умножения для резольвент.
Пусть Л и Л' — алгебры над коммутативным кольцом К, С
и А — левые Л-модули, С' и Л'—левые Л'-модули. Обозначим
через Q тензорное произведение Л®Л', где <g)—сокращение
для ®к- Заметим, что С (g> С и А ^ А' — левые Q-модули.
Мы хотим определить К-модульный гомоморфизм
V : Ext* (С, Л) ® Ext™, (С, Л') -» Ext*+m (С ®С',А® А'), D.1)
294
Гл. VIII. Умножения
называемый внешним или V -умножением; если ст ? ExtA и
CT'6ExtA', то мы будем писать ст \/ ст' вместо у (ст® а'). Возьмем
свободные резольвенты Л- и Л'-модулей е: X ->- С и е': X* ->- С
соответственно. Когомологическое умножение A.3) —это отобра-
отображение
рн: Hh (HomA (X, А)) ® Нт (НотЛ' (X', Л')) -^
-> Я*+т (Нота (X ® X', Л ® Л')).
Вместе
с каноническими изоморфизмами Ext^ (С, Л)
(X А)) б
рф ^ (С, Л) ^
s* Н (Нотл (X, А)) оно будет определять нужное внешнее умно-
умножение D.1) при условии, что (е ® е'): X ® X' ->- С ® С есть
свободная Q-модульная резольвента, поскольку' стереотипные
рассуждения, использующие теорему сравнения, показывают,
что результат не зависит от выбора резольвент. Во всяком случае,
каждый модуль Xh ® X'm является свободным левым Q-модулем.
То условие, что X ® X" — резольвента, выполняется в двух
случаях.
Случай 1. К — поле. По тензорной формуле Кюннета, спра-
справедливой для поля К, Нп (Х®Х') = 0 при всех п > 0 и
е ® е': Но (X ® X') с* С ® С, так что X ® X' — резольвента.
Случай 2. Л и Л* свободны как К-модули, а С — плоский
К-модуль. В этом случае каждый свободный Л-модуль Хп является
прямой суммой копий свободного К-модуля Л, так что Хп —
свободный К-модуль. Тогда X ->• С есть также свободная К-модуль-
ная резольвента модуля С, и поэтому Тог? (С, С) можно вычислить
(по теореме V.9.3) с помощью X и X' как Нп (X ® X'). Но модуль С
плоский, и поэтому Тогп (С, —) = 0 при п > О и, значит,
X ® X* ->• С ® С" есть резольвента.
Другие случаи встретятся в упражнениях и в последующем изу-
изучении относительных функторов Ext (гл. X). Из определения
следует, что V-умножение перестановочно со связывающими гомо-
гомоморфизмами и ассоциативно; при k = т = 0 оно сводится
к Нот-(?>-перестановке.
В случае 1 \J -умножение можно выразить через умножение
Ионеды.
Теорема 4.1. (Ионеда [1958].) Для алгебр А и А' над полем
а для элементов а 6 Ext? (С, Л), а' б Ext?(C', Л'), У-произве-
У-произведение определяется формулой
a\Jo' = (а® Л') о (С (g> а') = (- l)km KA® <*') ° (о ® С')]. D.2)
В этом выражении а ® А" имеет следующий смысл. Если
k = 0, то о — гомоморфизм С^>-А; пусть а ® А* означает
§ 4. Внешние умножения для Ext
295
ст ® 1А' : С® Л'-*¦ А ® Л". При ?>0 и т>0, ст и ст* — классы
конгруэнтности длинных точных последовательностей
5:0 -» Л -» Бй-i -» > Во -» С -» О,
* у —и |> ^ .. > хЭ«1— 1 > • • • .. > Д. -""'^ О ¦¦ ^ V/»
Поскольку К — поле, функтор ®к сохраняет точность, и поэтому
имеются длинные точные последовательности
5 ® Л': 0 -» Л ® Л' -» Вй_! ® Л' -» > С ® Л' -> 0;
С ® S': 0 -» С ® Л' -> С ® Б„_1 _»...-> С ® С -» 0.
Положим ст ® Л' = els (S ® Л') и С ® ст' = els (С ® 5'); тогда
произведение Ионеды (ст ® А")°(С ® ст') определено; при k — 0
или m = 0 это будет обычное произведение гомоморфизма и длин-
длинной точной последовательности.
Доказательство. Сначала предположим, что k > 0
и т > 0. Рассмотрим 5 как резольвенту модуля С; по теореме
сравнения можно накрыть 1с цепным преобразованием/: X-*-S.
Аналогично 1с накрывается f" : X' -*- S"; в частности, f'm: X'm -*-
->- Л" является коциклом в Нот (X", Л*) и его класс представляет
els 5" при изоморфизме Нт (X", Л*) as Extm (С, А") теоремы
II 1.6.4. Комплекс X ® X" является первой строкой диаграммы
(X ® X')m+j —> (X <g) Х')т —> (X ® X')m-i —> (X ® Х')т_2
У У У
X,
• Хо
Хо ® Х'т-1
• Хо ® Хт-
т-2
Л'
С® Ят-1
С ® В
т-2.
С® Л'
которая тем же способом распространяется вправо и влево и окан-
оканчивается справа столбцом С ® С*. Верхний ряд вертикальных
отображений проектирует каждый модуль (X ® Х")п на его отме-
отмеченное прямое слагаемое. Нижняя строка есть произведение
Т =. E ® Л') о (С ® 5*) длинных последовательностей, причем
отмечено их соединение в С ® Л*. Верхние квадраты не комму-
коммутативны, но если стереть среднюю строку, то получающаяся диа-
диаграмма становится коммутативной даже в месте соединения. Сле-
Следовательно, сквозное вертикальное отображение — это цепное
преобразование h : X ® X* -*- Т, которое накрывает единицу моду-
модуля С ® С*. Для нахождения класса когомологий в X ® X", соот-
соответствующего Г, возьмем преобразование h в размерности k + m.
296
Гл. VIII. Умножения
Здесь h равно произведению
(X ® Х%+т->Х
А® А';
когомологический класс этого коцикла совпадает с когомологиче-
когомологическим классом, отвечающим els fk (8> els f'm при когомологическом
умножении рн. Поскольку классы els Д и els f'm представляют 5
и 5" соответственно, то тем самым доказано первое равенство тео-
теоремы при ^>0ит>0. В доказательстве для k = О (или т = 0)
используется аналогичная диаграмма, в которой соединение после-
последовательностей заменено действием гомоморфизма а: С -*¦ А на
последовательность.
Второе равенство в D.2) — это правило (анти)коммутативности.
Оно непосредственно следует из определений, если k = 0 или т = 0.
Поскольку любая длинная точная последовательность является
произведением коротких, достаточно дать доказательство для
случая k — т = 1, т. е. для коротких точных последовательно-
последовательностей Е и Е". Но в этом случае имеем коммутативную диаграмму
А <8> Е': А ® А' -> А ® В' —*¦ А ® С
D.3)
С (8) Е'\ С <8> Л' -» С ® 5' -> С ® С,
и в силу леммы 3.1, (Л (8) ?') ° (? ® С) = — (Е ® А") о (С ® Е").
А это и есть требуемое равенство.
Из этой теоремы снова вытекает, что V -умножение ассоциативно.
Теорема 4.2. Если К-алгебры А и А" свободны как К-моду-
ли, а А- (А')-модули С, А, С, Л* являются плоскими К-модулями,
то определено \/ -умножение D.1). Оно может быть выражено фор-
формулой D.2).
Доказательство. Предположения теоремы дают нам
условия указанного выше случая 2. Можно применить предыдущее
доказательство, так как X ® X" есть резольвента, а тензорное
произведение 5 <8> кЛ" длинной точной последовательности 5
и К-плоского модуля А" является по-прежнему точной последо-
последовательностью.
Следствие 4.3. Если А и А" — пополненные К-алгебры,
которые являются свободными К-модулями, то \J -произведение эле-
элементов а 6 ExtA (К, К) и а* 6 Ext™ (К, К) задается формулой
aye' = s,eoee' = (-l)hmeo'oe.e?Extb+m(K,K). D.4)
§ 4. Внешние умножения для Ext
297
Здесь К рассматривается как Л- или Л'-модуль, полученный отступ-
отступлением вдоль пополнений е: Л -*- К и е*, а 6<<х есть сокращение
для A <8> е')*ст, т. е. это короткая точная последовательность из
а, члены которой превращены в ЛфЛ'-модули отступлением
вдоль 1® е": Л <8> Л" ->¦ А ® К = Л.
Пусть теперь V есть алгебра Хопфа с коединицей е: V ->• К
и диагональным отображением i|>: F->- V ® V. Отступление вдоль
¦ф превращает (V® У)-модули в V-модули, переводит точные после-
последовательности в точные последовательности, и определяет таким
образом отображение замены колец г|з#: Exty®у-»- Exty. Если С,
А, С и Л* — левые F-модули, то F-модулями являются также
модули у(С®С) и ъ(А®А'), а произведение t|5#V отступления
и V-умножения является К-модульным гомоморфизмом
i|># V : Ext? (С, Л) ® Ext? (С, А') -+ Ext?+m („, (С ® С), *(А ® А')),
D.5)
называемым V -умножением Хопфа. Оно определено, если К —
поле или если С — плоский К-модуль, а V — свободный К-модуль.
При этом справедливы аналоги теорем 4.1 и 4.2. Поскольку if ассо-
ассоциативно, ассоциативно и это умножение.
. Путем отступления каждый К-модуль становится V-модулем еМ.
Лемма 4.4. Для К-модуля М и модуля С над алгеброй Хопфа
V изоморфизмы
Ф(8Л1® С)^М®С, Ф(С®?М)^С®М D.6)
являются изоморфизмами V-модулей, причем V-модульная струк-
структура в М®С и С ® М индуцируется V-модульной структу-
структурой в С.
Доказательство. Алгебра Хопфа, будучи коалгеброй,
удовлетворяет тождеству (е®1) г|э = 1 из VI (9.1). Поэтому
Ф[?М ® С] = ф[(е®1)(М <8> С)] = (?®1N,(M ®C) = M®C,
и с другой стороны получается аналогично. Отсюда вытекает любо-
любопытный результат.
Предложение 4.5. Если V — алгебра Хопфа над полем
К, М и N являются К-модулями, а С, А являются V-модулями,
то \J-умножения Хопфа
Exty (eM, A) <8> Exty (С, ?N') -» Exty (M ®C',A® N'),
Exty (С, eN) <8> Exty (?M\ A') -* Exty (С ® М', N ® А')
не зависят от диагонального отображения г|з, т. е. зависят только
от V как пополненной алгебры е : V -*- К.
298
Гл. VIII. Умножения
Доказательство. Указанные \/-Умножения по-преж-
по-прежнему определяются в терминах умножения длинных точных после^
довательностей формулами D.2), причем модули в этих длинных
точных последовательностях превращены в F-модули отступле-
отступлением вдоль г|5. В предыдущей лемме утверждается, что результи-
результирующая F-модульная структура не зависит от ij>.
Пусть, в частности, все рассматриваемые модули совпадают
с еК; тогда К (g> К = К и внешнее у-умножение становится
внутренним умножением,
Extv (К, К) ® Extv (К, К) -> Extv (К, К), D.7)
которое превращает Exty (К, К) в градуированную К-алгебру.
Поскольку о (g> К = а, формула D.4) показывает, что эта алгебра
коммутативна.
Замечание. Внешнее умножение для Тог возникает из внутренней
четверной перестановки н совпадает с этим отображением для Тог0 = ®;
оно может быть получено, как в B.5), с помощью замены подходящих аргу-
аргументов резольвентами, перемножением с гомологическим умножением и срав*
неивем резольвент. Внешнее умножение для Ext возникает аналогичным
образом из Нот- ® -перестановки. Различные другие «умножения», вклю-
включающие Тог и Ext, получаются при помощи того же механизма из тождеств
для Нот и <S); например, существует умножение, появляющееся из сме-
смешанной сопряженной ассоциативности
Нот (A (g> А', Нот (С, С')) —> Нот (С (g> А, Нот (А', С')).
Эти умножения детально описаны с помощью резольвент Картаном и Эйлен-
бергом, гл. XI. Было бы интересно получить их описание в терминах инва-
инвариантного определения Тог и Ext. Другие типы умножений появятся позд-
позднее в гл. X.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать, как внешнее умножение в Ext коммутирует со связываю-
связывающими гомоморфизмами.
В следующих упражнениях К — коммутативное кольцо, но не обяза-
обязательно поле.
2. Пусть Р и Р' — проективные Л- и Л'-модули соответственно. Пока-
Показать, что Р (g) P' — проективный (Л (g) Л')-модуль. Показать, что если Л
и Л' проективны как К-модули, то Р (g> P' — проективный К-модуль.
3. Показать, что V-умножение для кольца К можно определить, исполь-
используя проективные резольвенты, при условии, что алгебры Л и Л' проективны
как К-модули и Тог^ (С, С) = 0 для п > 0. Если дополнительно А и А —
плоские К-модули, то показать также, что теорема 4.1 все еще остается
верной.
§ 5. Симплициальные объекты
Когомология Н (X, Z) топологического пространства X с коэф-
коэффициентами в Z образует градуированное кольцо относительно
умножения, известного как умножение Колмогорова — Алексан-
§ 5. Симплициальные объекты
299
дера или и-умножение. Это умножение может быть определено
не только для пространств, но и для других комплексов с «сим-
плициальной» структурой. Поэтому мы теперь проанализируем
комбинаторную структуру симплекса или, точнее, р-мерного сим-
симплекса Ар с упорядоченными вершинами.
Пусть для каждого неотрицательного целого числа р символ [р ]
обозначает множество {0, 1, . . , р} целых чисел с их обычным
порядком. (Слабо) монотонное отображение |х: [q\ -*¦ Ipl является
такой функцией из [q] в [р], что из t</ следует |ji<fi/. Объек-
Объекты [р ] вместе со всеми сйабо монотонными отображениями \х в каче-
качестве морфизмов образуют категорию <Ж (от слова «монотонный»).
Отметим, что монотонная функция ц определяется последователь-
последовательностью из q + 1 чисел Цо^М^. . . <fi9 из [р], где ц0 =
= |i0, . . .; следовательно, мы можем рассматривать ц как аффин-
аффинный симплекс (fx0, . • •, |х9), определенный вершинами цг на стан-
стандартном р-мерном симплексе Ар.
Пусть 'ё — произвольная категория. Контравариантный функ-
функтор S : <Л ->• $ будет называться симплициальным объектом в %.
В нашем случае это значит, что 5 ставит в соответствие каждому
неотрицательному целому числу q (каждому объекту из в?) объект
Sq из % и каждому монотонному отображению ц: [q\->- [p] мор-
физм |i* = S (|i): Sp-*~Sq из $, причем 5 A) = 1 и S (fxv) =
= 5 (v) S (ц). Под симплициальным множеством будет пониматься
симплициальный объект в категории множеств; под симплициаль-
симплициальным А-модулем будет пониматься симплициальный объект в кате-
категории всех Л-модулей.
Если F: % -*¦ SB есть ковариантный функтор, то каждый сим-
симплициальный объект 5 из % определяет симплициальный объект FS
в SS, причем (FS)q = F (Sq), FS (ц) = F {S\i). В частности, если
Л — алгебра, г FA — функтор, который сопоставляет каждому
множеству Y свободный (левый) Л-модуль с образующими Y,
то каждое симплициальное множество S определяет симплициаль-
симплициальный Л-модуль FAS.
Сингулярные симплексы A1.7) топологического пространства X
образуют симплициальное множество 5 (X). Подробнее, пусть
5Р (X) — множество всех сингулярных р-мерных симплексов Т
пространства X; каждый симплекс Т — это непрерывное отобра-
отображение Т : Ар ->• X, заданное на стандартном аффинном р-мерном
симплексе Ар. Тогда каждое монотонное отображение [х: [q] -*-
-*¦ \р\ определяет единственное аффинное отображение ц: Д«-»-
-*¦ Ар, переводящее вершину i симплекса А9 в вершину |i* сим-
симплекса Ар; произведение \i*T = Т\х : А' -*- X определяет отобра-
отображение |i* = § (|i) : Sp (X)-*- §q (X), которое превращает 3 в функ-
функтор на категории <Ж и, значит, в симплициальное множество. Для
300
Гл. VIII- Умножения
кольца целых чисел 5" = FZS есть симплициальная абелева
группа, причем S'p — свободная абелева группа, порожденная
всеми сингулярными р-мерными симплексами пространства X.
Другими словами, S'p — это обычная группа сингулярных р-мер-
ных цепей пространства X. Мы вскоре увидим, что обычная гра-
граница для сингулярных р-мерных цепей также определяется сим-
плициальной структурой S' (X).
Удобно использовать два специальных семейства монотонных
отображений
в1 = в\:[д-1]-*[д], Л* = 4$: 1Я + П -> М. E.1)
определенных для i = 0, . . ., q (и для q>0 в случае е*) равен-
равенствами
е1(/) Г / для/</, ^ f i для/«
1/ + 1для/>1, I / — 1 для / > t.
Другими словами, ег можно описать как (q — 1)-мерную грань
симплекса Д« с вершинами @, 1, . . ., I, . . ., q), причем индекс i
опущен, a tj* есть (q + 1)-мерная грань с вершинами @, 1, ...
. ..., i, i, . . . , q) с дважды повторенной вершиной L Справедли-
Справедливость следующих равенств устанавливается из определений:
E.2)
E.3)
E.4)
*-[p)
E-5)
Мы будем обычно опускать индекс q у е и ц.
Лемма 5.1. Каждая монотонная функция p:lq]
представима единственным образом в виде произведения
где p>h>
, 0</t<
q—t + s =
Доказательство. Пусть элементами из [р], не лежа-
лежащими в [x[q], являются числа А, • • •, is, расположенные по убы-
убыванию, в то время как }и . . ., jt — элементы из [q], для которых
(х (/) = \х (j + 1), расположенные по возрастанию. Тогда имеет
место E.5) и ц представляется как произведение монотонного
эпиморфизма (произведение всех tj) и монотонного мономорфизма
(произведение всех е).
§ 5. Симплициальные объекты
301
Эта лемма позволяет нам дать альтернативное определение
симплициального объекта.
Теорема 5.2. Симплициальный объект S в категории
4S — это семейство {Sq} объектов из % вместе с двумя семействами
морфизмов из %
di-.Sq—S-Sq-u Si'.Sq—^Sq+i, i — 0,...,q
(и q >• 0 в случае di), которые удовлетворяют равенствам
did} = di-ldi, i</, E.6)
*</, E.7)
dt, /</,
!={ 1, i = j, i = j+l, E.8)
Доказательство. Поскольку функтор S контравариан-
тен, морфизмы dt = S (ег), st = S (т]1) удовлетворяют равенствам
E.6) — E.8), двойственным равенствам E.2) — E.4). Обратно,
пусть заданы отображения dt и si\ запишем каждое монотонное
отображение [х однозначным образом в виде E.5) и положим
5 (fx) = Sjt ... sh dia ... dil: Sp —» Sq.
Равенств E.6) — E.8) достаточно для перестановки любых двух
отображений du s^ и, значит, для определения разложения про-
произведения (xv по известным разложениям [х и v, а поэтому их доста-
достаточно для доказательства равенства S (fxv) = S (v) S (ц). Тем
самым S : Л -*- to превращается в контравариантный функтор.
Мы назовем di и Sj соответственно i-м граничным оператором
и /-м оператором вырождения симплициального объекта S. Отме-
Отметим, что из E.6) и E.7) вытекают равенства
didj^djdi+i, i>j, E.9)
E.10)
Например, пусть V — произвольное частично упорядоченное
множество A.8); назовем q-симплексом в V упорядоченный отно-
относительно частичного порядка набор (v0, • . ., vq) из (q + 1) эле-
элемента vo*C. ¦ .*Cvq. Пусть Sq (V) — множество всех ^симплек-
^симплексов из V. Тогда S (V) является симплициальным множеством отно-
относительно граничных операторов и операторов вырождения, опре-
определенных формулами
dt(Щ, ¦ • •, vq) = (v0, ..., it, ...,vq) (опущен элемент vt),
E.11)
Si(fo. • • •, Vq) = (v0, ..., vt, vt,. ...,vq) (повторен элемент Vt).
E.12)
302
Гл. VIII. Умножения
Геометрически V можно рассматривать как схематическое описа-
описание полиэдра с частично упорядоченными вершинами vt.
Если 5 и S" — симплициальные объекты категории %, то сим-
плициальное отображение a: S -> 5" является естественным пре-
преобразованием контравариантных функторов S, S' : <Л -*•%. Дру-
Другими словами, симплициальное отображение а — это такое семей-
семейство морфизмов oq : Sq •**¦ S'q из <в, что oq S (fx) = S" (fx) ap для
каждого монотонного отображения fi: [q]~+- [p] или, эквива-
эквивалентно, adt = dta и ast = sta для каждого i. Симплициальные
объекты категории % образуют категорию, морфизмами которой
служат симплициальные отображения.
Каждый симплициальный модуль 5 определяет (положитель-
(положительный) цепной комплекс К = К E), в котором Kq = Sq, а гранич-
граничный гомоморфизм д: Kq -*- Kq-i есть альтернированная сумма
граничных гомоморфизмов:
d = do-di+...+(-l)*dq:Kq->Kq-i. E.13)
Из равенства E.6) для dtdj следует, что дд = 0. Это позволяет
говорить о модулях гомологии и когомологий симплициального
модуля S, понимая под этим соответствующие модули ассоциирован-
ассоциированного цепного комплекса К (S). Для топологического простран-
пространства X формула E.13) дает обычный дифференциал д в сингуляр-
сингулярном комплексе 5 (X). Более формально, X определяет симпли-
симплициальное множество 5 (X), описанное выше, значит, определяет
симплициальную абелеву группу FZS (X) и, следовательно, цепной
комплекс KFZS (X) с граничным гомоморфизмом д; этот комплекс
есть обычный сингулярный комплекс S (X).
Симплициальный модуль S над кольцом R называется попол-
пополненным, если существует такой модульный гомоморфизм е: So->- R*
что ed0 = edi: Si-*- R; ассоциированный цепной комплекс оказы-
оказывается тогда пополненным отображением е.
Замечания. Симплициальные множества под названием полных
полусимплициальных комплексов появились в исследованиях Эйленберга
и Зильбера [1950, 1953] о сингулярных гомологиях пространств и их декар-
декартовых произведений. Симплициальные абелевы группы под названием FD-
комплексов (F — от слова «face», D — от «degeneracy») появились одновре-
одновременно в анализе Эйленберга и Маклейна [1953] пространств К (П, я) с одной
нетривиальной гомотопической группой П в размерности п. Симплициаль-
Симплициальные множества, удовлетворяющие дополнительному «условию Кана», и сим-
симплициальные (мультипликативные) группы, как было показано впослед-
впоследствии, дают возможность для алгебраической формулировки теории гомо-
топии, см. Кан [1958b]. Теорема о нормализации из следующего параграфа
и ее доказательство принадлежат Эйлёнбергу й Маклейну [1947]. Каждый
симплициальный модуль определяется своим нормализованным цепным
комплексом; этим устанавливается эквивалентность между категориями
симплициальных модулей и (положительных) цепных комплексов модулей
(Дольд [1958]).
§ 6. Нормализация
303
§ 6. Нормализация
Пусть 5 — симплициальный модуль. Для каждой размерности п
определим {DS)n как подмодуль модуля Sn, порожденный всеми
вырожденными элементами, т. е. (DSH = 0 и
(DS)n = so5n_i u ... u Sn-iSn-i, n > 0.
В силу равенств E.8) для dtsj, DS замкнут относительно д, так
что определен подкомплекс ассоциированного цепного комплек-
комплекса KS объекта 5. Фактор комплекс KS/DS = KNS известен как
нормализованный цепной комплекс симплициального модуля 5.
Теорема 6.1. (Теорема о нормализации.) Для каждого
симплициального модуля S каноническая проекция я: /С5 -*• KnS =
= KS/DS является цепной эквивалентностью.
Для доказательства мы интерпретируем операторы вырожде-
вырождения 5г как гомотопию. Пусть для каждого неотрицательного k
DhS — градуированный подмодуль модуля S, порожденный всеми
вырожденными элементами sta при /< k, т. е. положим
._ _. _ f S0Sn_i U . . . U Sn-jSn-i, П— 1 <&,
1 so5n_i u ... u sftSn-i, n— 1 > k.
Ввиду E.8) каждый подмодуль DhS является подкомплексом,
a DS есть объединение всех DhS. Определим отображение th : S -»-
-*• S степени 1 равенствами
ta=H-l)ksha, ?<dima, a?S,
h [о, k > dim a, a?S,
и положим Ад = 1 — dtk — tkd. В силу определения ЛА : К (S) ->
-*¦ К (S) есть цепное преобразование, а ^: 1 ~ ЛА — цепная гомо-
топия. Поскольку ?ftS с D и dDh с Dh, то
= a(modDS), a?S. F.1)
Более того, мы утверждаем, что
hkDbScDb^S, hhDjScDjS, j<k. F.2)
Поскольку SkSj = SjSh-i no E.10), второе включение очевидно.
Что же касается первого включения, то равенства E.8) для &<
< dim a, a? S дают
= { (-1)Ча,
(—l)ftSftSftdj_2a,
k + 2.
t>k +
304
Гл. VIII. Умножения
в то время как при &>dim a E.8) и E.10) дают
(— l)ftsft_1sA_1dja, i<k,
-l)ftSfta, i = k,
( — l)ftsftSftdi_1a, i>/fe + l.
Эти соотношения показывают, что {dtk + 45) sha = Sfta (mod D^S)
при & ^ dim a, где д = 2 (—l)ldj, откуда вытекает первое из
включений F.2). В частности, hoD0S = 0.
Теперь положим h = поп±. . .ЛА. . . . Поскольку ЛАа = а при
k > dim а, это произведение является конечным в каждой размер-
размерности и определяет цепное преобразование h: KS ->• KS. Ввиду
F.1), hhDS cz DS, а итерация сравнения F.1) показывает, что
/ш== a(modDS). F.3)
По F.2), hDS = 0. Так как каждое отображение ЛА цепно гомо-
гомотопно 1, то существует производная гомотопия t : 1 ~ h. Ввиду
того что Ю = 0, формула g (a + DS) = На определяет цепное
преобразование g: KS/DS -*- KS; по F.3), ng = 1, где л; — проек-
проекция KS -»- KS/DS. Более того, произведение #я = A: /CS->- /CS
цепно гомотопно 1 по построению, так что л — цепная эквивалент-
эквивалентность, что и утверждалось.
[ § 7. Ацикличные модели
В следующем параграфе при изучении умножений в симпли-
циальных модулях будут использованы ацикличные модели; сей-
сейчас мы проведем необходимую подготовку для симплициальных
модулей над некоторым фиксированным кольцом R.
Для каждого неотрицательного целого п симплициальный
^-модуль Мп определяется следующим образом: в качестве Мр
берется свободный модуль, образующими которого служат все
монотонные отображения Я: [р]->-[я], а отображение ц* =
= Мп (ц): Мр -*• Мд определяется для каждого монотонного ото-
отображения ц: [q] -> [р] равенством (х*Я = Я(х. Тем самым задается
контравариантный функтор Мп. Заметим, что образующие Я модуля
Мр — это все р-мерные грани (Яо, . . ., Яр), вырожденные или
нет, обычного n-мерного симплекса и что Мп пополняется отобра-
отображением е (Яо) = 1; часто Мп обозначают как А". Мы назовем Мп
л-мерной моделью симплициального модуля, а тождественное ото-
отображение кп = 1 : [я]->- [п]—базисной цепью этой модели, xn g Мп.
Как и в случае пространств (II.7), пополненный цепной ком-
комплекс е : К -*- R называется ацикличным, если Нп (К) = 0 при
л > 0 и е: Но (К) э* R.
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
305
Предложение 7.1. Для каждого неотрицательного п
комплекс К (Мп) ацикличен.
Доказательство. Достаточно построить стягивающую
гомотопию. Определим гомоморфизм s: Мр -> Мр+\ равенством
5 (Хо Яр) = @, Я0) . . ., Яр). Ввиду E.11) и E.12)
G.1)
и ssi = si+is. Следовательно, s индуцирует цепную гомотопию
в ассоциированном цепном комплексе л: 1 ~ /е, где отображение
/: R -> 5 определяется равенством / 1Л = @).
Предложение 7.2. Для каждого'симплициального моду-
модуля S и каждого а 6 Sn существует единственное симплициальное
отображение а : Мп -*- S, для которого ахп = а.
Доказательство. Каждый свободный образующий Я
модуля Мр может быть единственным образом записан с помощью
базисной цепи хп в виде Я*х" = хпЯ. Следовательно, равенство
а (Я*х") = %*а определяет симплициальное отображение а: Мп -*-
-*- S; очевидно, что это отображение единственное, обладающее
свойством axn — a.
Резюмируем: модели ацикличны и представляют каждый эле*
мент а 6 Sn. Подобно этому в доказательстве (П.8) аксиомы гомо-
топии для сингулярного комплекса 5 (X) топологического про-
пространства модели S (Ап) и 5(А"х/) являются ацикличными
и представляют каждый сингулярный симплекс Т как Т : А" -»¦ X.
Эта ситуация повторяется во многих случаях как средство построе-
построения цепных преобразований и цепных гомртопий. Она может быть
описана в категорных терминах (Эйленберг — Маклейн [1953],
Гугенгейм — Мур [1957]); весьма полезно применять ее сразу
в каждом случае, как это сделано в доказательствах следующего
параграфа. .
УПРАЖНЕНИЕ
1. Если V — произвольное множество, частично упорядоченное отно-
отношением v < v' для любых v, v' 6 V, то комплекс К (F.z SV) ацикличен.
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
Если U и V — симплициальные множества, то их декартовым
произведением UxV называется симплициальное множество,
у которого (UxV)n = У*. X Vh (декартово произведение мно-
множеств) и
dt(u, v) =
t(и, v) = (stu, stv), i = 0, ..., n, (8.1)
20-353
306
Гл. VIII. Умножения
где u€Un,v?Vn и n >0 для dt. Это определение подсказано
случаем топологических пространств. Если XxY — декартово
произведение двух пространств X и К с проекциями я4 и л2 на
Л и Y соответственно, то каждый сингулярный симплекс Т : Ап -*-
-*-XxY определяется его проекциями щТ и л2Т, в то время
как dinjT=nidiT, 5гЯ;Т = ji;s;7\ Следовательно, отображение
T-*-(^iT, я27) устанавливает изоморфизм S (X х F) ^ S (X) х
X 5 (Y) симплициальных множеств. Вычисление сингулярной
гомологии пространства XxY тем самым сводится к вычислению
гомологии декартова произведения симплициальных множеств.
Существует параллельное произведение для симплициальных
модулей А и В над ко'ммутативным кольцом. Декартово произве-
произведение Ах В определяется как симплициальный модуль, у кото-
которого (А х В)п = Ап ® Вп и
di(a®b) — dta®dib, Si(a\®b) = sia®sib, t = 0, ..., п, (8.2)
где а 6 Ап, b ? Вп и п> О для dt. Для того чтобы не спутать его
с тензорным произведением комплексов, мы будем писать а х b ¦
для элемента a <g> b из Ап (g> Bn.
Для симплициальных множеств U и V из определения выте-
вытекает, что существует естественный изоморфизм симплициальных
модулей
F(UxV)s*zFUxFV, (8.3)
поскольку F(UxV) в размерности п является свободным моду-
модулем, порожденным множеством UnxVn, а этот свободный модуль
естественно изоморфен тензорному произведению (FUn)(g)(FVn).
Ассоциированный цепной комплекс К (АхВ) приводится
теперь к тензорному произведению цепных комплексов К \А)
я К (В).
Теорема 8.1. (Эйленберг — Зильбер.) Для симплициаль-
симплициальных модулей А и В над коммутативным кольцом существует есте-
естественная цепная эквивалентность
1
б
В силу теоремы о нормализации /С (А) -*• Kn (A) — также
цепная эквивалентность, так что существует также естественная
Цепная эквивалентность
В доказательстве, как показано в следующих леммах, будет
использован метод ацикличных моделей. Отметим, что верно
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
307
/Со (АхВ) = А0 <8) Во = Ко (A) <g> /Co (В), и мы можем взять в ка-
качестве отображений / и g из (8.4) тождественное отображение
в размерности нуль.
Лемма 8.2. Для симплициальных модулей А и В существует
естественное цепное преобразование f: К (Лх5)->- К (A) <g>
<g> К (В), которое является тождественным в размерности нуль.
Любые два таких естественных отображения f цепно гомотопны,
причем гомотопия естественна.
Доказательство. Поскольку отображение /0 дано, пред-
предположим по индукции, что отображения fq уже определены для
всех q < п, естественны на Кд (АхВ) и dfq = /д.Д Мы хотим
определить /п так, чтобы dfn — fn-id; сначала мы сделаем это для
произведения к"хх" двух базисных цепей модели А = Мп = В.
При этом требуется, чтобы d/n (xnxxn) = fn-id (xnxxn). Однако
элемент е, стоящий справа, уже определен, причем де = О (или
ее = 0, если п = 1); значит, он является циклом в комплексе
К (Мп) (8) /С (Мп), который ацикличен как тензорное произве-
произведение двух ацикличных комплексов (предложение 7.1). Следова-
Следовательно, в этом комплексе имеется цепь с размерности п, для кото-
которой дс = е. Мы полагаем /n (xn x хп) = с, так что
dfn (кп ххп) = дс=fn-i д (хп х хп). (8.6)
Теперь рассмотрим элементы а ? Ап, b 6 Вп. По предложе-
предложению 7.2 существуют симплициальные отображения а:М"->-Л,
Р : Мп->- В, для которых ах" = а, 0хп = Ь. Тогда /С (а) : /С (Мп)->
-»- /С (А) является цепным преобразованием, которое мы также
обозначим через а, и a <g> р : /С (АР) ® К (Мп) -> /С (А) ® /С (В)
также является цепным преобразованием. Положим /n (a x b) =
= (a <g> P) с, где с — тот же элемент, что и в (8.6). Поскольку
симплициальные отображения аир единственны, левая часть
этого равенства билинейна по а и b и поэтому определено отобра-
отображение fn : Кп (А хВ) ->• [/С (А) ® /С (В))п. Более того,
dfn (а х Ь) = а (а ® р) с= (а ® Р) 5с = (а ® р) /„_, 5 (xn x хп).
Так как отображение /n_t естественно, то
а/п (а X Ь) = /„_, a (axn х pxn) = /n_j д (а х 6).
Таким образом, / является цепным преобразованием до размер-
размерности п.
Чтобы подготовить следующий индуктивный шаг, остается
показать, что fn естественно. Пусть tj: А ->• А', %: В -*¦ В"
произвольные симплициальные отображения, и пусть ч\а — а',
Zb = b". Тогда r|axn = ца — а" для т]а : АР -*¦ А' и, значит!
ца — единственное симплициальное отображение, переводящее хп
20*
308
Гл. VIII. Умножения
в' а . Следовательно,
(Ч ® Б) fn (а X 6) = (Л ® С) (а ® Р) с = (Ла ® Ер) с = /п (а' х V)
и /п естественно.
Пусть теперь f и f" — два цепных преобразования, удовлет-
удовлетворяющих нашему условию. По индукции мы можем предполо-
предположить, что tq : Kq (А у. В)-*- (К (А) ® К (B))q+i будут отобра-
отображения, определенные для q = 0 п — 1, причем dt + td —
= f — /* в размерностях q<n. (Для q = 0, /0 = /о, так что выбе-
выберем to == 0.) Мы вновь определим tn сначала на х"хх", Потре-
Потребуем, чтобы
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
309
dtn
x
= /(ип хх")-Г (кп x xn)-<„_! д(xn xx").
По индуктивному предположению д (f — /" — td) = 0, так что
правая часть является циклом в ацикличном комплексе, и, сле-
следовательно, есть граница некоторой цепи d. Положим далее
tn (хп х xn) = d, tn (a X b) = (а ® Р) d, а и Р таковы, что ах" — а,
Рха = Ъ. Рассуждениями, подобными предыдущим, устанавли-
устанавливаются естественность tn и равенство dtn + tn-id = f — /' для
всех aXb.
Лемма 8.3. Для симплщиальных модулей А и В существует
естественное цепное преобразование g: К (Л)(8>/С (В) -*-К (АхВ),
которое в размерности нуль является тождеством. Любые два
таких преобразования g гомотопны, причем цепная гомотопия
естественна по А и В.
Доказательство аналогично. Типичная цепь размерности п из
К {А) ® К (В) имеет вид а ® Ь, где а € КР (А), Ь € Kq (В) и р +
+ q = п. Используем модели Мр и Mq и отображения а: Мр -*-
->-Л, Р: Mq'-*-B, для которых ахР = а, рх« = Ь. Теперь ком-
комплекс К (МрхМ?) ацикличен, так как гомотопии s из G.1) для
Мр и Mq порождают стягивающую гомотопию s (а х Ъ)i = saXsb
в /С(МрхМ9). С использованием этой ацикличности построе-
построение g проводится так же, как и выше.
Таким образом мы получили цепные преобразования fug,
указанные в теореме; остается установить гомотопии 1 ~ fg,
1 cxgf. Они строятся в точности тем же методом; например, гомо-
гомотопия 1 csigf в К (АхВ) получается путем сравнения h = 1
"с Ы =gf, с использованием ацикличности комплекса К(МрхМр),
как показано в следующей лемме:
Лемма 8.4. Если h, h': K(AxB) ->-/C (АхВ) суть два
естественных цепных преобразования, равных тождественному ото-
отображению в размерности нуль, то существует естественная^цепная
гомотопия t: h ach''.
Эти доказательства на самом деле конструктивны: явные фор-
формулы для / и g могут быть найдены путем определения цепи с,
использованной на каждом шаге индукции [например, в (8.6)]
из точных формул для стягивающих гомотопии, данных в доказа-
доказательстве предложения 7.1 для моделей. Нам не потребуются явные
выражения для гомотопии 1 ~ fg, I ~ gf, однако явные формулы,
полученные таким способом для / и g, полезны. Для того чтобы
выписать их, обозначим «последнюю» грань в симплициальном
объекте 5 через d, т. е. для а из Sn положим da = а\а. Значит,
для любого показателя п — i имеем dn~l a = di+1 . . . а\а.
Теорема 8.5. Для произвольных симплщиальных модулей
А и В естественное цепное преобразование f: К (А х В) -»- К (А) ®
® К (В) из теоремы Эйленберга — Зильбера задается формулой
а?Ап,
(8.7)
i=0
Доказательство. Поскольку отображение / опреде-
определяется операторами граней, оно естественно и сводится к тожде-
тождественному в размерности нуль. Остается доказать, что df (aXb) =
— fd (aXb); ввиду естественности это достаточно доказать для
элементов а = х™ = b модели Мп. Но хп = @, 1, . . ., п),
da-lxn — это симплекс @, 1, . . ., i) и
f(xnxxn)= 2@, ...,0® («, « + 1, .-., л). (8.8)
{=0
В выражении для df (xnxxn) последняя грань каждого первого
множителя сокращается с членом, появляющимся из начальной
грани второго множителя, а остальные члены в совокупности дают
/<3(х"ххп), что и требовалось.
Цепное преобразование / из (8.7) известно как отображение
Александера — Уитни, поскольку оно появилось в топологии
при одновременном и независимом определении этими авторами
u-умножения. Явное выражение для отображения /, вычисленное
из нашей стягивающей гомотопии, отличается от отображения
Александера — Уитни только вырожденными членами. Кроме того,
имеет место
Следствие 8.6. Отображение Александера — Уитни f
индуцирует цепное преобразование ассоциированных нормализован-
нормализованных цепных комплексов
310
Гл. VIII. Умножения
Доказательство. По определению KNA — KA/DA;
рассмотрим KnA <g> KNB, используя C.3) как фактор комплекс
комплекса КА (g> KB по подкомплексу, порожденному образами
DA (g> KB и КА (g> DB. Предположим, что элемент а X Ь 6
6 /С (Л х Б) из (8.7) вырожден, т. е. имеет вид sha' х skb' для
некоторого k. В каждом члене правой части равенства (8.7) один
из множителей вырожден. А именно если i<k, то E.8) показы-
показывает вырожденность djsAfe', а если i > k, то вырожден множитель
dli~isiia', откуда и вытекает доказываемый результат.
С геометрической точки зрения / является «аппроксимацией
диагонали». Рассмотрим, например, декартово произведение
А1хА1 двух одномерных симплексов (= интервалов); оно является
квадратом с четырьмя вершинами. Алгебраически А1 представ-
представляется комплексом К (АР); в KN Ш1) <g> KN (M1) группа одно-
одномерных цепей является свободной группой с четырьмя образую-
образующими, соответствующими четырем сторонам квадрата. Диагональ
квадрата непосредственно как цепь не появляется. Однако элемент
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
311
является цепью, представляемой суммой левой и верхней сторон
квадрата. Эта цепь «гомотопна» диагонали и, следовательно, есть
«аппроксимация» диагонали. Заметим, что сумма нижней и правой
сторон квадрата дает другую аппроксимацию, которая могла бы
быть получена алгебраически путем изменения ролей начальной
и конечной граней в формуле (8.7). Сравнение этих двух различных
аппроксимаций диагонали приводит к операциям Стинрода второй
степени (Стинрод [1953], Мил нор [1958], Дольд [1961], Стинрод —
Эпштейн [1962]).
Для трех симплициальных модулей А, В и С любое естествен-
естественное отображение Эйленберга — Зильбера / можно итерировать
так, как указано в последовательности
К (А х В х С) Л К (А) ®К(ВхС)
®K(B) ®К{С).
Предложение 8.7. Любое естественное отображение f
ассоциативно с точностью до гомотопии в том смысле, что суще-
существует естественная цепная гомотопия A <8> /)/—(/ <8> 1) /• Ото-
Отображение Александера — Уитни ассоциативно.
Доказательство. Поскольку и отображение A (g> f) f,
и отображение (f ® \) f тождественны в размерности нуль, есте-
естественная гомотопия между ними может быть построена методом
ацикличных моделей. Ассоциативность (без необходимой гомо-
гомотопии) отображения Александера — Уитни может быть установ-
установлена непосредственно с использованием, например (8.8).
Для описания второго отображения g из теоремы Эйленберга —
Зильбера мы введем некоторые «перетасовки». Если рп q — неотри-
неотрицательные целые числа, то (р, q)-nepemacoem (ц, v) — это раз-
разбиение множества [р + q — 1 ] целых чисел на два непересекаю-
непересекающихся подмножества fii < . . . < цр и v4 <;...< vg из р и q
чисел соответственно. Такое разбиение описывает возможный
способ размещения колоды из р карт в колоде из q карт, при кото-
котором карты первой колоды кладутся по порядку на места (ii, ...
. . ., |ip, а карты второй колоды кладутся по порядку на места
vi, . . ., vq. Перетасовка может быть также описана как после-
последовательность движений в структуре точек (т, п) плоскости с целы-
целыми координатами: в момент времени 0 начнем с точки @, 0), во
время k передвинемся направо, если k — одно из чисел \iu • • •
. . ., fip, и вверх, если k есть одно из чисел vt, . . ., v9; в резуль-
результате получается «лестница», идущая от @, 0) до (р, q). Можно
определить (р, q»)-перетасовку как такую перестановку t множе-
множества целых чисел {1, . . ., р + q), что t (j) < t (j) всякий раз,
как i < /<р или р < i < /; действительно, каждая такая пере-
перестановка t определяет цг как t (t) — 1 и vj как t (p + j) — 1,
и обратно. Сигнатура г (\i) перетасовки (ц, v) — это целое число
р
е (и) = 2 Нч — № — О; тогда (—1)*М есть знак ассоциирован-
1=1
ной перестановки t.
Теорема 8.8. Для любых симплициальных модулей А и В
естественное цепное преобразование g из теоремы Эйленберга —
Зильбера определяется формулой
g(a(g) b) = 2 (— l)e(ll) (Sv • • • &vta xs,ip ... s^b), (8.9)
(и. v) q
где a? Ap, 6 6 Bq, а сумма берется по всем (р, q)-nepemacoemM
(I*. v).
Очевидно, что отображение g естественно, элемент a (g> b имеет
размерность p+q и что элемент, определяемый Sxq ¦ • ¦ sVl а и
«и • • • s,i b, имеет ту же размерность. Доказательство того, что g есть
цепное преобразование, заключается в непосредственной проверке,
которую мы опускаем (детали можно найти у Эйленберга и Мак-
лейна [1953b § 5], где впервые были введены перетасовки).
С геометрической точки зрения указанная функция g порождает
«триангуляцию» декартова произведения ДрхА« двух симплек-
симплексов. В частности, положим а = у? € Мр и b = уЯ 6 М9, так что
хр имеет вершины @, 1, . . ., р)- В этих обозначениях
312
Гл. VIII. Умножения
где 0 = io<ti<- • •< h+ч — Р и 'ft = 'ft+'i B точности тогда,
когда k — одно из чисел vt, . . ., vq. Аналогично s^ . . . s^x^ =
— (/о. • • •, jp+q), причем jh = /ft+i тогда и только тогда, когда
k есть одно из чисел ц1з . . ., ц.р. Симплекс, стоящий в правой
части формулы (8.9), имеет в нашем случае вид
(l'o, ... i ip+q) X (jo, . . ., jp+q),
где первый множитель вырожден по тем индексам k, по которым
второй не вырожден. Этот символ может быть истолкован как
(р + <7)-меРный аффинный симплекс с вершинами (ih, ]\) в про-
произведении АрхД9. Эти симплексы, взятые для всех (р, q»)-nepe-
тасовок, порождают симплициальное подразбиение ДрхД«.
Например, если р = 2, q = 1, то А2хА1 — это треугольная
призма, и три возможные B,1)-перетасовки разбивают эту призму
на три симплекса
@122) X @001), @112) х (ООП), @012) х @111),
каждый из которых имеет размерность три.
Это описание показывает также, что если один из множителей а
или Ь вырожден, то и каждый член из правой части формулы (8.9)
вырожден. Тем самым доказывается справедливость следствия 8.9.
Следствие 8.9. Перетасовочное отображение g из (8.9)
индуцирует цепное преобразование нормализованных цепных ком-
комплексов
. gN:KN(A)®K;N(B)->KN(AxB).
Для этих нормализованных комплексов можно показать, что-
произведение fNgN равно единице (не требуется никакой гомотопии
1 ~ fNgN).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Указать вторую явную формулу для /, переставив в (8.7) первую-
и последнюю грани.
2. Установить ассоциативность перетасовочного отображения g.
3. Доказать теорему § 6 о нормализации методом ацикличных моделей.
4. Показать, что теорема Эйленберга — Зильбера верна для симпли-
циального правого /?-модуля А и симплициального левого /?-модуля В
над любым кольцом R.
5. Вычислить целочисленную гомологию тора S1 X S1, зная гомологию
окружности S1 (теоремы Эйленберга — Зильбера и Кюннета).
§ 9. kj-умножения
313
§ 9. U-умножения
Для любого симплициального множества U равенство Аы =
= и х и определяет симплициальное отображение А : U ->UxU,
называемое симплициальным диагональным отображением. Мно-
Множество U определяет симплициальную абелеву группу FZU и, сле-
следовательно, цепной комплекс К (FZU), который мы будем запи-
записывать просто как К (U); каждая группа Кп (U) есть свободная
абелева группа, порожденная множеством Un, а дифференциал
д = 2 (—\Iйг. Диагональ индуцирует цепное преобразование
К (U) -*• К ЩхО), которое также обозначим через А. Если / —
одно из естественных отображений из теоремы Эйленберга —
Зильбера, то произведение
«> = fA:K(U)->K(UxU)-+K(U)®K(,U) (9.1)
называется диагональным отображением в К (U). Поскольку /
определено с точностью до естественной цепной гомотопии, то же
самое верно и для со. Поскольку А ассоциативно, т. е. (А X 1) А =
= A х А) А, а / ассоциативно с точностью до гомотопии (пред-
(предложение 8.7), существует гомотопия (со (g> 1) со ~ A (g> со) со.
Комплекс К {Щ пополняется отображением е (и) — 1 для и 6 Uo.
Мы утверждаем, что существуют гомотопии
(е®1)©~1ойA®е)©:/С(У)->К(У). (9.2)
Действительно, каждое из отображений (e(g>l)<o и (l(g>e)c> есте-
естественно и совпадает с тождественным в размерности 0, поэтому
естественные гомотопии можно построить, используя ацикличные
модели Мп (рассматриваемые в этот момент как симплициальные
множесгва U). Далее, равенства в (9.2) и в ассоциативности —
это в точности условия VI (9.1), необходимые для того, чтобы сде-
сделать со коумножением с коединицей е, так что можно сказать, что
К (U) с диагональю со есть дифференциальная градуированная
коалгебра «с точностью до гомотопии».
Если в качестве / мы выберем отображение Александера —
Уитни, то со станет ассоциативным и легко проверить, что
(е ® 1) © = A ® е) ю. То есть при этом выборе К (U) стано-
становится дифференциальной градуированной коалгеброй и, значит,
таковым является и нормализованный комплекс Kn (JU).
Пусть теперь А и А' — абелевы группы, Hh (U, А) — группа
когомологий Hh (Нот (К (U), А)). Произведение и = со*рн,
Я" (V, А) ® Нт (U, А')
(9.3)
Я"+т (К (V) ® К (V), А ® А') ^> Hh+m (V, A ® А'),
314
Гл. VIII. Умножения
где рн — когомологическое умножение из A.3), называется (внеш-
(внешним) симплициальным \j-умножением. Для коцепей А и А' это
определение прочитывается как (els А) и (els A') = els (A и А'), где
(h\Jh')u = (h®h')fAu, (9.4)
а А (8) А' имеет тот же смысл, что и в A.4).
*В частности, если U = S (V) есть симплициальное множество,
ассоциированное с частично упорядоченным множеством вершин V
и / — отображение Александера — Уитни, то
(tnjh')(v0, ...,vn) = h(v0, ..., vh)®h'(vh vn), (9.5)
где h e Я\ h' € Hn~h.
Если А — А' есть аддитивная группа коммутативного коль-
кольца R с умножением я: R ® R —> R,to произведение я* и является
отображением
H*(U,R)®Hm(U,R)->Hk+m(U,R), (9.6)
называемым внутренним симплициальным и-умножением.
Теорема 9.1. Для каждого симплициального множества U
и каждого кольца коэффициентов R модули когомологий
Hk (Нот (К (U), R)) = Hk (U, R) образуют градуированное коль-
кольцо относительно внутреннего симплициального и -умножения.
Если кольцо R коммутативно, то и это кольцо когомологий ком-
коммутативно.
Доказательство. Ассоциативность умножения известна.
Пополнение е: К (U) —*¦ Z, умноженное на отображение /: Z —> R,
дает нульмерный коцикл /е из К (U). Тогда (A и /е) и =
= я (А ® /) A ® е) сои, где я (А ® Г): К ® Z-+-R совпадает с А,
если К <8> Z отождествить с К, а A <8> е) со ~ 1.
Следовательно, когомологический класс е коцикла /е играет
роль единицы для u-умножения. Аналогично для того, чтобы
показать, что и-умножение коммутативно, достаточно устано-
установить цепную гомотопию / ~ т/ для обычной перестановки
1 : Kh® Km ^K.m® Kh- Отображения / и т/ тождественны в раз-
размерности нуль, и эта гомотопия строится с использованием ацик-
ацикличных моделей.
Если / — отображение Александера — Уитни, то коцепи сами
по себе образуют градуированное кольцо, но это кольцо не ком-
коммутативно: коммутативность выполняется только для классов
когомологий.
Эта теорема показывает, что сингулярная когомология топо-
топологического пространства X с коэффициентами из Z образует ком-
коммутативное кольцо относительно и-умножения.
§ 9. ^-умножения
315
Симплициальное u-умножение применяется также при изучении
когомологий группы П. Под Н-множеством S подразумевается
множество 5 вместе с действием группы П на S; более формально,
это действие задается гомоморфизмом <р : П -*- Aut (S) группы П
в группу взаимно однозначных отображений множества 5 на себя.
П-множества образуют категорию. Например, возьмем множество
Вп (П) всех (я + 1)-наборов (х0, . . ., Хп), в котором группа П
действует следующим образом: х (х0, . . ., Хп) = (хх0, . ¦ ., хх„).
Обычные операторы грани и вырождения
di(x0, ..., хп) = (х0, ...,х{, . ..,хп), 0<f<n, л>0,
Si(x0, .. .,Хп) = (х0, ...,Xi, xt, ..., хп), 0<?<«,
являются П-отображениями, так что В (П) есть симплициальное
П-множество. Ассоциированная симплициальная абелева груп-
группа Fz (В, (П)) является симплициальным П-модулем, а К =
= KFZ (В (П)) является комплексом П-модулей, в котором Кп—
свободная абелева группа, порожденная наборами (х0, . . ., Х);
его граница определяется формулой
д (х0, ..., хп) = 2 (—
t=0
..., хп).
Мы снова получили однородное описание IV E.13) ненормализован-
ненормализованной Б-резольвенты р (П) = KFZ (В (П)), в то время как Кя Fz (В (П))
есть нормализованная .В-резольвента В (П).
Напомним теперь, что групповое кольцо Z (П) есть алгебра Хопфа
с коумножением
При отступлении вдоль соответствующего диагонального ото-
отображения П —>ПхП декартово произведение В(Ц)хВ (П)
двух П-множеств превращается в П-множество. Диагональное
отображение ш для ($ (П) = KB (П) является произведением ото-
отображений
©: р (П) Л К (В (П) х В (П))Л «IP (П) ® р (П)],
где Д есть П-отображение, / — естественное отображение, пере-
перестановочное в силу естественности с действием группы П, так что
со есть П-отображение. Следовательно, со является цепным пре-
преобразованием комплексов П-модулей. Отсюда следует, что сим-
симплициальное итумножение определяется для двух П-модулей А
316
Гл. VIII. Умножения
и Л' как гомоморфизм
u : Я" (П, Л) ® Нт (П,
1 (П, ф (Л ® Л')). (9.7)
Это умножение ассоциативно.
Гомоморфизм а: $(А (g> А') -*Л" для П-модулей называется
спариванием А и Л' в Л". Наше u-умножение, помноженное на
гомоморфизм, индуцированный спариванием а, порождает «внут-
«внутреннее» u-умножение, являющееся гомоморфизмом Я(П,Л)®
®Я(П,Л')^Я(П,Л").
Определение u-умножения можно сделать короче, не исполь-
используя П-множеств, а непосредственно описывая действие этой опе-
операции на коцепях. Если h и h' — коцепи размерностей k и т соот-
соответственно, рассматриваемые как функции от однородных обра-
образующих (х0, . . , xk) и (х0, . . , хт) из р (П), то их и-произве-
дение есть коцепь, которая определяется с помощью отображения
Александера — Уитни следующей формулой:
(h u h') (x0, ..., xn) = h(x0, ...,xh)<2> h' (xh, ...,xn), n = k+m.
(9.8)
Эта функция h u h', очевидно, является П-модульным гомомор-
гомоморфизмом в модуль Л (g> Л' с диагональными операторами, т. е.
в модуль ^(Л (g> Л')-
В частности, если и Л, и Л' совпадают с кольцом Z с три-
тривиальными операторами (Z = eZ), то $(eZ (g> eZ) совпадает с eZ.
Отсюда следует, что Нк (П, eZ) — это коммутативное градуирован-
градуированное кольцо относительно симплициального u-умножения.
Теорема 9.2. При изоморфизме Я" (П, Л) ^ ExtS(n) (Z, Л),
где А — произвольный U-модуль, симплщиальное KJ-умножение
переходит в V -умножение Хопфа, определенное в Ext.
Доказательство основано на замечании, что диагональное ото-
отображение
комплексов П-модулей перестановочно с пополнением и, следова-
следовательно, является сравнением резольвенты е : В (П) ->-Z с резоль-
резольвентой, определяемой отображением ф[{$ (П) (g> p (П)] ->Z. Обе
группы Нп и Ext™ совпадают с Я" (Р (П), Л). Далее V-умножение
Хопфа из D.5) равно г|>#рн, где рн — когомологическое умножение,
a ip# — замена колец, индуцированная отображением iJj: Z (П) ->-
-»-Z (П) <g> Z (П). По теореме II 1.6.7 эта замена колец может быть
представлена как произведение \|j# = /*ip*, где ч|э* отображает
Нот2(п)®2(п) в Нот2(П)) а /: р (П) ->-ф[р (П) ® р (П)] — сравне-
сравнение. Возьмем в качестве / сравнение со; тогда г|5#рн превращается
в (х>*Ор*рн, т. е. в симплициальное u-умножение.
§ 9. \j-умножения
317
Таким образом, u-умножение в кольце когомологий Я* (П, Z)
можно определить тремя эквивалентными способами:
(i) как симплициальное u-умножение;
(ii) как \/-Умножение> индуцированное диагональным отобра-
отображением г|э;
(iii) как умножение Ионеды длинных точных последователь-
последовательностей.
Еще одно, четвертое, определение будет дано в гл. XII и облег-
облегчит вычисления в примерах.
Одним из приложений является «теорема редукции для и-умно-
жения». Предположим, что П = F/R, где F — свободная мульти-
мультипликативная группа. Пусть [R, R] — коммутант группы R; поло-
положим Fo = FUR, R], Ro = R/IR, #]• Тогда Ro — абелева группа
иПй FoIRo, так чт0 ^о есть расширение группы Ro при помощи
группы П с системой факторов /0 — двумерным коциклом из П
в П-модуль Ro- Для любого П-модуля Л, Homz (Ro, А) есть
П-модуль, операторы в котором действуют по следующему правилу:
если a: Ro ->Л, то (ш) г = х [а (лг1/-)], в то время как отобра-
отображение a (g> г ->-аг есть спаривание Нот (Ro, A) (g> Ro ->• Л. Вну-
Внутреннее и-произведение n-мерного коцикла и /0 определяет гомо-
гомоморфизм
Нп (П, Нот (Ro, А)) -» Яп+2 (П, Л).
Теорема редукции для u-умножения утверждает, что это есть
изоморфизм для п > 0. Эта теорема принадлежит Эйленбергу
и Маклейну [1947]; изящное доказательство, использующее отно-
относительные когомологий и характеристический класс (IV.6) рас-
расширения, дано Суоном [1960] и приводится ниже в IX.7, упраж-
упражнения 7—10.
Как было показано в IV.11, группы когомологий Нп (П, Z)
являются сингулярными группами гомологии пространства Х/П,
если П действует собственным образом на ациклическом простран-
пространстве X. В этом случае сравнение, очевидно, сохраняет симплициаль-
ную структуру и, следовательно, w-умножение, так что Я (П, Z) еэ
^ Я (Х/П, Z) есть изоморфизм колец когомологий.
УПРАЖНЕНИЕ
1. Показать, что для резольвенты Р (П) с неоднородными образую-
образующими IV E.11) операторы вырождения и граней определяются равенствами
Si(x[Xi Xn])=X[Xi, ..., Xi_u 1, Xl, ..., Xn], 0 <*'
С хх^хг, •.., xn], i=0,
dt(x[xu ..., xn])= { x[xu ...,xtxi+i, ..., Xn],
{ x[xt, ..., xn-i\,
318
Гл. VIII. Умножения
Уитни / определяется
и что отображение со для отображения Алексавдера
формулой
п
«> (* [«11... I **])= 2х i*i i • • • i *«] ® «i • • ¦ i
1=0
Замечания. Топологическое рассмотрение и-умножения (в иной
терминологии) см. в книге Хилтона и Уайли [1960]. Об u-умножении для
групп см. работы Эйленберга — Маклейна [1947], Экмана [1945—1946],
[1954]. Расслоенное пространство можно рассматривать как разновидность
«закрученного» декартова произведения; имеется соответствующая «закру-
«закрученная» формулировка теоремы Эйленберга — Зильбера (Браун [I960],
Гугенгейм [1960], Щарба [1961]). Симплициальные расслоенные пучки рас-
рассматривались Барратом — Гугенгеймом — Муром [1959].
ГЛАВА
IX
Относительная
гомологическая алгебра
Введение. Когда мы описывали элементы из Extn (С, А) как
длинные точные последовательности, идущие от Л к С, то мы пред-
предполагали, что А и С являются левыми модулями над кольцом.
С тем же успехом можно было бы предположить, что они являются
правыми модулями, бимодулями или градуированными модулями.
Эффективное описание этой ситуации достигается предположе-
предположением, что Л и С являются объектами некоторой категории с соот-
соответствующими свойствами: а именно категории, в которой можно
складывать морфизмы и могут быть построены ядра и коядра. Пер-
Первые три параграфа этой главы посвящены описанию таких «абе-
левых» категорий.
Если П — группа, то каждый П-модуль также является абеле-
вой группой; этим способом задается гомоморфизм категории всех
П-модулей в категорию всех абелевых групп. Если Л является
алгеброй над основным кольцом К, то каждый Л-модуль является
также К-модулем, а каждый Л-бимодуль есть также правый
Л-модуль. Если R и S — кольца и R гэ S, то каждый R-модуль
является и 5-модулем. В каждом таком случае мы имеем гомо-
гомоморфизм одной абелевой категории в другую, который естественно
приводит к определению «относительных» функторов Ext и Тог;
дальнейшие вводные объяснения даны в § 8. В этой главе описы-
описывается общий метод, который будет применен в следующей главе
к изучению когомологии различных типов алгебраических систем.
§ 1. Аддитивные категории
Сначала рассмотрим категории, в которых некоторые пары
морфизмов можно складывать. Аддитивной категорией % называет-
называется класс объектов А, В, С, ... вместе
(i) с семейством попарно непересекающихся абелевых групп
hom (А, В), однозначно сопоставленных каждой упорядоченной
паре объектов. Элемент а 6 hom (А, В) мы будем записывать как
а: А ->• В и называть морфизмом категории ч$;
320
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
§ 1. Аддитивные категории
321
(ii) с гомоморфизмами абелевых групп
hom (В, С) ® hom (А, В) -> horn (А, С),
A.1)
сопоставленными каждой упорядоченной тройке объектов А, В, С.
Образ р ® а при этом гомоморфизме записыьается как Ра и назы-
называется произведением Р и а; •
(iii) с морфизмами 1Л : А -*-А, заданными для каждого объек-
объекта Л и называемыми единицами соответствующих объектов.
При этом должны быть выполнены следующие четыре аксиомы.
Аксиома ассоциативности. Если а: А—>В, $: В—+С и у: С—>
->-D, то
у (ра) = (yP) а. A.2)
Аксиома единицы. Если а : А —> В, то
а1А = а=1ва. A.3)
Аксиома нуля. Существует такой объект 0', что hom (О', О')
является нулевой группой.
Конечные прямые суммы. Для каждой пары объектов А\ и А2
существует такой объект В и такие четыре гомоморфизма, обра-
образующие диаграмму
И 12
Я2
ЧТО
A-4)
Для преодоления затруднений, связанных с основаниями мате-
математики, требуются еще две аксиомы теоретике-множественного
характера; они будут сформулированы в конце этого параграфа.
Наши аксиомы аналогичны аксиомам категории A.7). Действи-
Действительно, аддитивная категория может быть определена как кате-
категория с нулем и прямыми суммами, как и выше, в которой каждое
множество hom (А, В) имеет структуру абелевой группы, причем
дистрибутивные законы
A.5)
выполнены всякий раз, как обе части равенств определены. (Это
означает, что умножение билинейно, что и требуется в A.1).)
Если не требуется существования прямых сумм, то говорят
о предаддитшной категории. Как и в случае категорий, мы можем
отбросить объекты и иметь дело только с морфизмами, исполь-
используя единицы 1Л вместо объектов. Тогда аксиомы становятся похо-
похожими на аксиомы кольца, в котором операции at + a2 и Pa не
всегда определены, но, будучи определенными, удовлетворяют
обычным кольцевым аксиомам типа A.2), A.3) и A.5). Так, Хилтон
и Ледерман [1958] называют предаддитивную категорию кольцо-
кольцоидом, следуя терминологии Баррата [1954].
Через 0 мы обозначим нулевой элемент любой группы hom (A, В);
тогда 0а == 0 = Р0 всякий раз, когда указанные произведения
определены (доказательство: 0а = @ + 0) а; далее использовать
закон дистрибутивности). Объект 0', у которого группа hom @', 0')
нулевая, называется нулевым объектом. В этом случае 10' = 0,
и, следовательно, каковы бы ни были объекты А и В, группы
hom (A, 0') и hom @', В) являются нулевыми, а любые два нулевых
объекта эквивалентны.
Теперь получим некоторые следствия из аксиомы о конечных
прямых суммах. По A.4)
Jtii2 = ni (iiJti-j- 12я2) i2= lnjij-j-rtii^l = л:112 + я112,
следовательно, л412 = 0 и n2ii = 0, как обычно. Отсюда выте-
вытекают предложения 4.1 —4.5 гл. I; в частности, диаграмма A.4)
определяет объект В с точностью до эквивалентности, и мы обычно
такой объект В будем обозначать Ai @ А2. Каждый морфизм
у : Ai © A2 -*-С определяет пару морфизмов yj = yij : Aj ->C;
соответствие <р (у) = (уь 7г) является изоморфизмом
ф : hom (At @ Аг, С) ^ hom (Л4,
I hom (Л2, С)
абелевых групп. Обратное отображение задается формулой
ф (Yi. Y2) = У1Я1 + Y2 :Ai@A2->C.
Значит, у = Yi^i + учЛ2 — единственный морфизм Ai @ Аг ->-С,
удовлетворяющий равенствам yij = yj, j = 1, 2, так что вложения
ij-.Aj -> Ai @ Аг прямой суммы образуют универсальную диа-
диаграмму. При этом диаграмма {at : At -*• В \ t 6 Т) морфизмов at
с общим концом, где Т — произвольное множество индексов,
называется универсальной, если для каждой диаграммы {yt : At -*¦
->С | t 6 Т) существует единственный морфизм у : В -*¦&, такой,
что 7«t = yt для каждого t. Двойственно, существует изоморфизм
: hom (С, At <
I ^ hom (С,
hom (С, А2),
где гру = (я^, п2у) и if (yu yz) = 471 + 472.' Следовательно,
диаграмма {я^ : Л4 @ А2 -*¦ Aj | / = 1, 2} коуниверсальна. Обыч-
Обычные диагональный и кодиагональный морфизмы
ДА= ц + 12: А—>А@А, VA = ni + n2:A@A-~>A A.6)
характеризуются соответствующими свойствами
A.7)
21-353
322
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Если даны две прямые суммы Ai@A2 и А\@ A't и морфизмы
cij : Aj -*¦ А',, то существует такой единственный морфизм
°i © <*г: Л4 0 Л2 -*• А[ © ^j, что
я2 (а4 © а2) = а2я2.
A.8)
Тот же самый морфизм характеризуется двойственными свойствами
(ctj © a2) i2 = i2a2. A.9)
Итерированная прямая сумма At © (Л2 ® ¦ ¦ ¦ ® Ап) с соответ-
соответствующими вложениями является универсальной диаграммой,
и любая универсальная диаграмма для Аи . . ., Ап эквивалентна
этой итерированной прямой сумме. Двойственно, проекции щ
(итерированной) прямой суммы порождают коуниверсальную диа-
диаграмму. Аксиома, требующая существования конечных прямых
сумм, может быть заменена или предположением о существовании
универсальной диаграммы для любых двух объектов Л4 и Л2, или
же двойственным предположением. Во всяком случае, аксиомы
аддитивной категории самодвойственны.
Для аддитивной категории %, hom (А, В) есть бифунктор из
категории % в категорию абелевых групп.
Для подготовки к изучению ядер мы сформулируем опре-
определения «мономорфности» и «эпиморфности», согласующиеся со
стандартными примерами мономорфизмов и эпиморфизмов. В кате-
категории множеств функция /, определенная на X со значениями в Y,
проективна, если / (X) = Y (f есть отображение «на»), и инъек-
тивна, если из f \x) = f (х') всегда следует х = х' (/ — взаимно
однозначное отображение «в» Y). В произвольной категории морфизм
х: А ->-Б называют мономорфизмом, если каждое индуцированное
им отображение х„ : hom (С, A) ->-hom (С, В) инъективно. Таким
образом, мономорфность морфизма х означает, что из ха = ха'
следует а = а' для всех а, а' : С -*-Л, следовательно, на х можно
сокращать слева. В аддитивной категории х — мономорфизм тогда
и только тогда, когда из ха = 0 следует а = 0 всякий раз, как
определено произведение ха. Двойственно, морфизм а: В -*¦ С
в произвольной категории называют эпиморфизмом, если каждое
индуцированное отображение a*: hom (С, G) -»-hom (В, G) инъек-
инъективно. Таким образом, эпиморфность а означает, что из асг = а'сг
всегда следует a = а', следовательно, на а можно сокращать
справа. В аддитивной категории а — эпиморфизм тогда и только
тогда, когда из асг = 0 всегда следует a = 0. В этой главе мы
систематически обозначаем морфизмы, являющиеся мономорфиз-
мономорфизмами, буквами х, К, ц, v, а морфизмы, являющиеся эпиморфиз-
эпиморфизмами, буквами р, сг, т. Если х и X — мономорфизмы, то и хЯ —
мономорфизм, если произведение определено, и двойственно.
§ 1. Аддитивные категории
323
Предостережение: в некоторых аддитивных категориях модулей
«мономорфизмы» (в теоретико-категорном смысле.— Прим. перев.)
могут не совпадать с мономорфизмами (см. упражение 5), хотя
это совпадение имеет место в категории всех модулей со всеми
гомоморфизмами в качестве морфизмов.
Эквивалентность — это морфизм Э, обладающий двусторонним
обратным г|> (г|>0= 1, Ог|з = 1). Два морфизма a : S -*¦ А и a' : S' -*¦
-*-А с общей областью значений называются эквивалентными справа,
если существует такая эквивалентность 9 : S ->-S\ что а'0 = а;
это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, так что
допустимо говорить о классах правой эквивалентности морфизмов
с областью значений А. Если х — мономорфизм, то и каждый мор-
морфизм, эквивалентный справа х, есть мономорфизм. В аддитивной
категории всех модулей два мономорфизма с областью значения А
эквивалентны справа тогда и только тогда, когда их образы как
подмодули модуля А совпадают. Поэтому в произвольной адди-
аддитивной категории мы будем говорить, что класс эквивалентности
справа мономорфизма х : S —> А есть подобъект объекта А. Удобно
говорить, что сам мономорфизм х есть подобъект объекта А,
понимая под этим класс эквивалентности справа, els x морфизма х.
Заметим, что так определенный «подобъект» не является объектом
категории; например, мы не можем рассматривать объект А как
подобъект объекта А, а должны вместо этого использовать els \A,
который состоит из всех эквивалентностей с областью значе-
значений А.
Двойственные определения таковы: a : А -*-Т и а' : Л-+• 7"
эквивалентны слева, если 6а' = а для некоторой эквивалентности 9.
Класс эквивалентности слева эпиморфизма а : А -*¦ Т состоит из
эпиморфизмов и называется факторобъекгпом объекта Л.
В случае модулей ядро К гомоморфизма а: Л -*¦ В является
наибольшим подмодулем модуля Л, который отображается в 0
при а, и характеризуется тем свойством, что каждый морфизм Р,
для которого ар = 0, представим единственным образом в виде
произведения Р = хР', где х : К -*¦ А есть вложение. Эта харак-
характеристика может быть использована в любой аддитивной катего-
категории %\ ядро морфизма a : A -*- В будет таким мономорфизмом к
с областью значений Л, что
ах = 0 и из аР = 0 следует р = хр' A.10)
для некоторого Р", обязательно единственного. Другими словами,
правые аннуляторы морфизма а являются в точности правыми
кратными его ядра х. Следовательно, любые два ядра х и х" мор-
морфизма а эквивалентны справа, так что класс всех ядер а, если он
не пуст, есть подобъект объекта Л, который мы обозначим как
kera. Двойственно, коядро морфизма a : Л -*¦ В является таким
21*
324
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
эпиморфизмом ст с областью определения В, что
ста = 0 и из уа = 0 следует у — у'о (Ы1)
для некоторого у', необходимо единственного. Левые аннуля-
торы а являются поэтому левыми кратными коядра ст морфизма а.
Любые два коядра а эквивалентны слева; если а имеет коядро,
то класс всех коядер а есть факторобъект объекта В, так что
ст б coker а означает, что ст— одно из коядер а. В категории моду-
модулей проекция В-+В1<хА есть коядро морфизма а.
Непосредственным следствием соответствующих определений
является
Лемма 1.1. Если произведения ар,, ха и аст определены, то
справедливы следующие импликации:
ар — мономорфизм =ф р = мономорфизм,
ар = эпиморфизм =ф а = эпиморфизм,
х = мономорфизм =ф ker (ха) = ker а,
а = эпиморфизм =ф coker (аст) = coker а.
Кроме того, ker 1А = 0, coker \А = 0 и Зля 0: Л -»- В,
\А б ker 0 и \в 6 coker 0 (запись ker 1 = 0 есть сокращение
для 0 6 ker 1).
Наконец мы вводим обозначение для короткой точной после-
последовательности, полагая
а || р ф==ф а ? ker p <S р б coker а; A.12
отсюда следует, что а — мономорфизм, a P — эпиморфизм, так что
можно прочесть «х || ст» как «х и а есть морфизмы короткой точ-
точной последовательности».
Для того чтобы не вступать в противоречие с основаниями
математики, мы хотим, чтобы собрание всех подобъектов объекта Л
и собрание всех расширений А с помощью С были множествами,
а не классами. Поэтому для аддитивных категорий мы предпола-
предполагаем выполненными две дополнительные аксиомы.
Множества подобъектов и факторобъектов. Для каждого
объекта Л существует множество морфизмов х, являющихся моно-
мономорфизмами с областью значений Л, которое содержит предста-
представителя каждого подобъекта объекта Л и двойственно для фактор-
объектов.
Множество расширений. Для каждой пары объектов С и Л
и каждого /г> 1 существует множество /г-кратных точных после-
последовательностей из Л в С, которое содержит представителя каждого
§ 2. Абелевы категории
325
класса конгруэнтности таких последовательностей (причем «кон-
«конгруэнтность» определяется, как в II 1.5).
Обе аксиомы выполнены во всех интересующих нас примерах.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать: если 0 : А -»- В есть мономорфизм, то Л — нулевой
объект, и обратно.
2. Для указанного выше изоморфизма ф показать, что ф (Yi, Y2) =
= Vc (Yi Ф Ya)-
3. Для а, р : А -*• В доказать, что а + р = VB (а ф Р) ДА.
4. Показать, что прямая сумма двух коротких точных последователь-
последовательностей точна.
5. Построить аддитивную категорию (некоторых) абелевых групп,
в которой мономорфизм в теоретико-категорном смысле может не быть взаим-
взаимно однозначным отображением. (Указание: опустить несколько подгрупп.)
6. Построить аддитивную категорию некоторых абелевых групп, в кото-
которой некоторые морфизмы не имеют ядер или коядер.
7. В категориях множеств, модулей и (не обязательно абелевых) групп
показать, что морфизм тогда и только тогда является мономорфизмом, когда
он инъективен, и является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда он
проективен (как отображение множеств).
§ 2. Абелевы категории
Для эффективного использования только что введенных поня-
понятий ядра и коядра нам нужны условия, обеспечивающие непустоту
этих классов. Далее, каждый мономорфизм должен быть ядром
своего коядра, и обратно. Для модулей образ гомоморфизма
а: А -> В появляется в разложении А-*-аА-*-В, в котором
первый множитель А -> а.А является эпиморфизмом, а второй
множитель аЛ ~> В есть вложение и, значит, мономорфизм. Соот-
Соответствующими свойствами обладают и другие знакомые нам кате-
категории: категории всех комплексов модулей над фиксированным
кольцом с цепными преобразованиями в качестве морфизмов;
категория всех модулей над данной градуированной алгеброй
с морфизмами степени нуль; категория всех модулей над данной
DG-алгеброй. Поэтому аддитивная категория & называется абеле-
вой, если выполнены следующие дополнительные аксиомы.
(Abel-1). Для всякого морфизма а из & существуют морфизмы
х 6 ker а и а ? coker а.
(Abel-2). Для мономорфизма к и эпиморфизма а , х ? kercr тогда
и только тогда, когда а ? coker к.
(Abel-З). Каждый морфизм из & можно разложить в произведе-
произведение а = ha, где К — мономорфизм ист — эпиморфизм.
326
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Аксиому (Abel-2) можно перефразировать так: если сг-эпимор-
физм и х б ker ст, то х || а и двойственно. Эти три аксиомы объе-
объединены в следующей теореме:
Теорема 2.1. Для каждого морфизма а существуют мор-
физмы х, а, X, т, образующие следующую диаграмму и обладающие
указанными свойствами:
а К
х\\о,Ц\х.
B.1)
Здесь и ниже точки отмечают объекты, не обозначенные буквами.
Доказательство. Используя (Abel-З), запишем а в виде
а = Ха; по (Abel-1) существуют морфизмы х ? ker а = ker а и
т ? coker а = coker %; по (Abel-2), х 11 а и X || т. Доказательство
обратного утверждения о том, что из этой теоремы вытекают все
три аксиомы, оставляется читателю.
Диаграмма B.1) называется анализом морфизма а, а а = Ха —
стандартным разложением этого морфизма.
Предложение 2.2. Анализ морфизма о?Л является
функтором.
Здесь мы рассматриваем анализ B.1) морфизма а как функтор,
определенный в категории <Ж=ЖотрЪ. (&) морфизмов из #-: объек-
объектами аМ являются морфизмы а: А -*¦ В из &; отображениями
S: а ->¦ а* — пары S = (?1? %2) морфизмов категории fr, для
которых a'%t = %&. Значения этого функтора принадлежат ана-
аналогичной категории диаграмм над fr. Так как анализ не определен
однозначно, наше утверждение более точно означает, что любой
выбор анализов, по одному для каждого а, порождает функтор
подобного типа.
Значит, если дано 8 = (|4, 12) :а-*-а' и анализы а и а',
то мы утверждаем, что в категории & существуют единственные
морфизмы t]i, т|2, Т13, превращающие диаграмму
B.2)
в коммутативную. (В обычной терминологии тL — отображение,
индуцированное %i на ядрах и т. д.) Действительно, из а' (?4х) =
= I&k = 0 следует, что |4х разлагается в произведение |4х =
= х'т]ь где х' ? ker a'; поскольку на %' можно сокращать слева,
морфизм t]i определен однозначно. Двойственно; т'?2 — ЛзТ Для
2. Абелевы категории
327
единственного т]з. Далее, Я/сг'^х = |гах = 0; поскольку на Я/
можно сокращать слева, сг'^х = 0 и a'li разлагается в произве-
произведение a'%i = т]га, ст ^ coker x, и морфизм "п2 определен однозначно.
Теперь |2Я,ст = X'a'%i = к'ц^р; сокращая на а, получаем ^ = Я'т]2.
Этим доказана коммутативность диаграммы и ее единствен^
ность. Примененное к l:a-»-a и к двум анализам морфизма а,
это доказательство дает эквивалентности гц, т]2, т]з. Отсюда
Следствие 2.3. Анализ B.1) морфизма а определен одно-
однозначно с точностью до эквивалентности трех объектов: область
определения х, область значений а=область определениях и область
значений т.
В анализе B.1) однозначно определенный класс морфизмов,
эквивалентных справа X, называется образом а, а однозначно
определенный класс морфизмов, эквивалентных слева а, назы-
называется кообразом а. Образ а является подобъектом области зна-
значений а, кообраз — факторобъектом области определения. Анализ
морфизма a : A -*¦ В имеет вид коммутативной диаграммы
ker a , colm a
A >•
B.3)
строка и столбец которой — короткие точные последовательности.
Конечно, «ker a» обозначает здесь любрй морфизм из класса ker a.
При том же соглашении мы можем выписать следующие соотно-
соотношения:
(ker a) || (coim a), (im a) || (coker a), B.4)
coim a = coker (ker a), im a = ker (coker a), B.5)
ker a = ker (coim a), coker a = coker (im a). B.6)
Следовательно, также ker (coker (ker a)) = ker a и двойственно.
Предложение 2.4. Морфизм а является мономорфизмом
тогда и только тогда, когда ker a = 0, эпиморфизмом — тогда
и только тогда, когда coker a = 0, и эквивалентностью — тогда
и только тогда, когда и ker a и coker a равны нулю. В частности,
морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфиз-
эпиморфизмом, есть эквивалентность.
Запись ker a = 0 есть сокращение 0 ? ker a; она означает, что
каждый элемент класса ker a является нулевым морфизмом.
Доказательство. В определении мономорфизма содер-
содержится утверждение, что правыми аннуляторами мономорфизма a
328
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
являются только нули, значит, необходимо, чтобы ker a = 0.
Обратно, если 0 6 ker а, то каждый правый аннулятор а имеет О
множителем и поэтому сам равен нулю, так что а — мономорфизм
по определению. Доказательство для эпиморфизма а двойственно,
оба доказательства используют только аксиомы аддитивной кате-
категории. Наконец, эквивалентность а одновременно есть и мономор-
мономорфизм, и эпиморфизм, так что ker а = 0 = coker а. Обратно, если
ker а = 0 = coker а, то 16 ker 0 = ker (coker а) = ima no B.5),
так что im a эквивалентен 1 и, значит, есть эквивалентность. Двой-
Двойственно, coim a есть эквивалентность, а поэтому a = (im a) (coim a)
также есть эквивалентность.
Точные последовательности действуют, как обычно, и могут
быть определены двумя (двойственными) способами.
Предложение 2.5. Если произведение Р<х определено,
то im a = ker P тогда и только тогда, когда coim p = coker a.
Если эти условия выполнены, то мы скажем, что пара (a, P)
точна. В частности, из х || а следует, что пара (х, а) точна.
Доказательство. Если im a = ker р, то coim p =
= coker (ker P) = coker (im a) = coker a no B.5) и B.6), и двой-
двойственно.
Предложение 2.6. Короткая лемма о пяти гомоморфиз-
гомоморфизмах справедлива в любой абелевой категории.
Доказательство. Для коммутативной диаграммы
у.'
§ 2. Абелевы категории
329
а'
в которой х || а, х' || а', нужно доказать, что из мономорфности a
и у следует мономорфность р, и двойственно. Возьмем ц 6 ker p.
Тогда из Рц = 0 следует 0 = с'Рц = уоц; поскольку у — моно-
мономорфизм, сгц = 0. Поэтому ц разлагается в произведение ц =
= xv, % ? ker а, причем v необходимо будет мономорфизмом.
Отсюда x'av = Pxv = Рц = 0. Но х' и a — мономорфизмы, так что
v = 0 и, значит, ker р = ц = xv = 0, т. е. р — мономорфизм, что >
и утверждалось.
Лемма о пяти гомоморфизмах, лемма о четырех гомоморфизмах
и 3 хЗ лемма также верны в любой абелевой категории. Дока-
Доказательства, которые основаны на некоторой дополнительной тех-
технике, будут даны в гл. XII.
Назовем абелеву категорию отмеченной, если
(Выбор 1.) существует функция, ставящая в соответствие
каждой паре объектов At и Аг диаграмму прямой суммы в форме,
указанной в A.4);
(Выбор 2.) существует функция, отмечающая единственного
представителя х для каждого подобъекта и единственного пред-
представителя а для каждого факторобъекта.
В отмеченной абелевой категории мы можем сопоставить
объект К как Ядро для каждого морфизма а: выберем в качестве К
область определения отмеченного представителя х:К-*~А класса
эквивалентных справа морфизмов ker a. (Заметим, что слово
«Ядро» с большой буквы обозначает объект, а с маленькой буквы —
морфизм.) Аналогично мы можем сопоставить Коядра и образовать
факторобъекты подобъектов; при этом мы действуем так, как
будто имеем дело с категорией всех jR-модулей. Различные упо-
упомянутые примеры абелевых категорий являются отмеченными;
по аксиоме выбора каждая малая абелева категория отмечена.
Замечания о терминологии. Возможность абстрактного
построения гомологической алгебры в подходящей категории впервые была
показана Маклейном [1950], рассматривавшим «абелеву бикатегорию», кото-
которая по существу есть абелева категория с каноническим выбором предста-
представителей подобъектов и факторобъектов. При этом канонический выбор ока-
оказался излишним и опущен в изложенной в этом тексте переработке, при кото-
которой подобъекты не являются объектами. Буксбаум [1955] использовал
в своих формулировках точные категории, которые являются абелевыми
в нашем смысле без аксиомы о прямых суммах, а в содержательном иссле-
исследовании Гротендика [1957] введен термин «абелева категория» в смысле,
использованном здесь. Другие авторы вкладывают другой смысл в этот
термин. Атия [1956] установил теорему Крулля — Шмидта о единственно-
единственности разложения в прямую сумму с неразложимыми объектами для абелевых
категорий, удовлетворяющих условиям обрыва цепей. Теоретико-множе-
Теоретико-множественные вопросы, связанные с абелевыми категориями, рассмотрены Маклей-
Маклейном [1961b ]. Различные другие типы категорий могут быть построены путем
наложения дополнительной структуры на множества hom (А, В). Так, в гра-
градуированных категориях (см. XI 1.4) каждое множество hom (А, В) является
градуированной группой, в дифференциальных категориях (Эйленберг —
Мур, не опубликовано) каждое множество hom (А, В) является положитель-
положительным комплексом К-модулей. Можно было бы определить категории с функто-
функтором тензорного умножения, удовлетворяющим соответствующим аксиомам,
например как при нашем рассмотрении (гл. VI) типов алгебр. Нётеровы
категории изучались Габриэлем [1962].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что при выполнении аксиом (Abel-2) и (Abel-З) аксиома
(Abel-1) может быть заменена более слабым утверждением о существовании
ядра у каждого эпиморфизма и существовании коядра у каждого мономор-
мономорфизма.
2. В B.2) показать, что из мономорфности |4 следует мономорфность Т|4
и из мономорфности 12 следует мономорфность т]2.
330
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
§ 3. Категории диаграмм
331
§ 3. Категории диаграмм
Пусть # — аддитивная категория, и пусть % — малая кате-
категория (т. е. класс объектов в $ есть множество). Через Dgram C&, &)
обозначим категорию, объектами которой являются ковариантные
функторы Т: % -*¦ &, а морфизмами — естественные преобразова-
преобразования функторов /: Т-*- S. Сумма двух естественных преобразо-
преобразований f,g:T-*-S определяется для каждого объекта С 6 % равен-
равенством (f + g) (С) = / (С) + g (С). В Dgram (%, &) выполняются
аксиомы аддитивной категории; в частности, прямая сумма двух
диаграмм Tt и Tzопределяется как G\ © Тг) (С) = Т±(С)@ Тг (С),
т. е. нужно в каждой вершине диаграммы прямой суммы взять
указанную прямую сумму. Здесь, как и в 1.8, можно рассматривать
каждый функтор Т: % -*¦ & как «диаграмму» в & с «моделью» <ё.
Например, если $о — категория с двумя объектами С, С и тремя
морфизмами 1С, 1с и у : С-*• С, то каждый функтор Т : %й-+- &
определяется морфизмом Т (у) из .#, так что категория
Dgram ($о, А) является по существу категорией Morph (#-) из § 2,
объекты которой — морфизмы категории.
Предложение 3.1. (Гропгендик] 11957].) Если катего-
категория % — малая, а категория & — абелева, то категория 3> —
= Dgram Сё, fr) является абелевой. Если fug — морфизмы из 3),
то f\\g в 3) тогда и только тогда, когда для каждого объекта
C,f(Q\\g(Q в Я.
Доказательство. Пусть f: T-*¦ S есть естественное
преобразование. Поскольку категория % мала, то можно выбрать
для каждого объекта С мономорфизм k (Q ? ker f (С) с областью
определения К (С). Значит, k (С): К (С) -*- Т (С) есть морфизм
из ^-. Поскольку / естественно, каждый морфизм у: С-*- С" опре-
определяет коммутативную диаграмму
s (С)
с точными строками. Так как / (С*) [Т (у) k (С)] = 0 и k (С)
является ядром / (С), то существует единственный морфизм К (у)
(указанный пунктирной стрелкой), для которого Т (у) k (С) =
= k (С) К (у). Отсюда следует, что К' $ -*• & как функция, задан-
заданная на объектах и на отображениях К (у), является функтором,
и k : К -*- Т есть естественное преобразование. Как морфизм из 3D
преобразование k является мономорфизмом, так как если kh = 0,
то (kh) (С) = k (С) h (С) — 0 для каждого объекта С; поскольку
k (С) — мономорфизм в А, то Л (С) = 0. Далее, если g: R^*- T
есть такое естественное преобразование, что fg = 0, то каждый
морфизм g (С) единственным образом представим в виде произве-
произведения g (С) = k (С) Л (С), Л : R ->• К — естественное преобразова-
преобразование и g = kh. Следовательно, k 6 ker^; f. Эти рассуждения вместе
с двойственными им доказывают выполнение аксиомы (Abel-1)
в 3) и доказывают также, что
f —мономорфизм в 3 Ф=Ф каждый морфизм f(C)~
мономорфизм в &",
k ? ker% /<==#¦ каждый морфизм k(C)?keTj$f(C).
Эти утверждения вместе с двойственными доказывают выполнение
аксиомы (Abel-2).
Для получения стандартного разложения (Abel-З) для / : Т -*¦ S
выберем для каждого объекта С стандартное разложение f (С) =
= I (С) t (С); области значений R (С) морфизмов t (С) порождают
функтор R: %->•&, причем t:T^*-R является эпиморфизмом,
i: jR -*- S является мономорфизмом в 3) и f = It. Поскольку кате-
категория % мала, можно выбрать для каждого функтора Т множество
представителей подобъектов Т и для каждой пары функторов S
и Т множество представителей расширений S с помощью Т, дока-
доказав тем самым, что категория 3> удовлетворяет дополнительным
теоретико-множественным аксиомам (§ 1) для аддитивной категории.
Теперь рассмотрим диаграммы, включающие нулевые объекты.
Объект N произвольной категории % назовем нулевым объектом,
если для каждого объекта Си? существуют ровно один морфизм
С -*¦ N и ровно один морфизм N -*¦ С; обозначим эти морфизмы
как 0с : С -*¦ N и 0е : N -*¦ С. Любые два нулевых объекта в %
эквивалентны, и любой объект, эквивалентный нулевому, сам
является нулевым.
Для данных объектов С и D произведение 0D0c : С ->• N ->• D
не зависит от выбора промежуточного нулевого объекта N; оно
может быть названо нулевым морфизмом Q^:C->-D. Новый нуле-
нулевой объект может быть присоединен к любой категории. В адди-
аддитивной категории нулевые объекты — это в точности нулевые
объекты в прежнем смысле, а нулевые морфизмы 0: С—>D сов-
совпадают с нулями групп horn (С, D).
Если в категориях % и & имеются нулевые объекты, то норма-
нормализованный функтор Т: % -*¦ & — это функтор, для которого
Г (JV) — нулевой объект для некоторого (и, следовательно, для
любого) нулевого объекта N va %. Отсюда следует, что Т переводит
нулевые морфизмы в нулевые морфизмы. Категорию всех норма-
нормализованных функторов будем обозначать Dgram^ {'ё, А). Предло-
Предложение 3.1 по-прежнему остается в силе.
332
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
§ 4. Сравнение допустимых резольвент
333
Примером служит категория комплексов. Чтобы убедиться
в этом, в качестве % возьмем следующую малую категорию:
JV:...« 2?i-l?.0?-l —...; *
объектами этой категории являются все целые числа п и нулевой
объект N; морфизмами — все единицы, нулевые морфизмы п-*- N,
N ->• п, п-> т и морфизмы д„:/г->-(/г—1). Умножение мор-
морфизмов определяется требованием, чтобы произведение дп-\дп
равнялось нулю.
Возьмем произвольную абелеву категорию #-. Нормализован-
Нормализованный ковариантный функтор Т :%-*¦& задается последователь-
последовательностью ... ч- Tn-i -«- 7V<- . . . объектов и морфизмов из #-, причем
dn-idn = 0, так что это в точности цепной комплекс объектов из &
(сокращенно #-• комплекс). Естественное преобразование / : Т -*• S
является цепным преобразованием. Следовательно, Dgramjv ($, ¦#) —
категория всех ^--комплексов; по предложению 3.1 она абелева.
Если категория & отмеченная, то объекты гомологии Нп (Г) =
= Кег дп/Ьпдп+1 можно определить обычным способом; читатель
должен показать, что каждое отображение /: Т -> S индуцирует
ft : Нп (Т) -*¦ Нп (S), так что Нп — ковариантный функтор, опре-
определенный в категории Dgram^ (ё, fr), и что гомотопии имеют
обычные свойства.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что категория градуированных объектов абелевой кате-
категории М является абелевой.
2. Описать абелеву категорию, объектами которой являются ана-
анализы B.1).
3. Показать, что категория положительных комплексов объектов из абе-
абелевой категории М абелева.
4. (Маклейн [1950].) Пусть g — категория с нулевым объектом. Пред-
Предположим, что для каждой пары объектов А± и Аг существует диаграмма
Ai ^ В ^*: Лг, универсальная относительно пары морфизмов с областью
значений В и коуниверсальная относительно пары морфизмов с областью
определения В. В каждом множестве horn (А, С) ввести бинарную операцию
сложения, как в упраженнии 1.3, и показать, что это сложение коммута-
коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно умножения.
5. В условиях упражнения 4 предположим дополнительно, что существу-
существует такое естественное преобразование Va ¦ А -*¦ A,wtoVa (Va Ф 1а) Да =
= 0 для всех А. Используя V, определить —а для каждого морфизма а
и доказать, что % превращается в аддитивную категорию.
§ 4. Сравнение допустимых резольвент
Если Л — алгебра над фиксированным основным коммутатив-
коммутативным кольцом К, то многие понятия рассматриваются также «отно-
«относительно К». Каждый левый Л-модуль А есть также К-модуль
и каждый Л-модульный гомоморфизм а: А ->• В является также
К-модульным гомоморфизмом, обратное не всегда верно. Назовем
гомоморфизм этого вида «допустимым» относительно (Л, К),
если существует такой К-модульный гомоморфизм t : В —> А
(в обратном направлении!), что ata = а. В частности, мономор-
мономорфизм а допустим, если существует такой гомоморфизм t, что ta — 1А,
т. е. если а обладает левым обратным К-модульным гомоморфиз-
гомоморфизмом t, который может не быть гомоморфизмом Л-моду лей. Ана-
Аналогично Л-модульный эпиморфизм допустим тогда и только тогда,
когда он обладает К-модульным правым обратным t. Следовательно,
короткая точная последовательность х || а Л-модульных гомомор-
гомоморфизмов допустима, если х обладает левым К-обратным, а а обла-
обладает правым К-обратным. Эти свойства означают, что последова-
последовательность (х, а) превращается в последовательность прямой суммы,
если ее рассматривать только как последовательность К-модулей.
Более коротко говорят, что эта последовательность Л-модулей
К-раацепляема (некоторые авторы говорят: слабо расщепляема).
Использование такого класса «К-расщепляемых» или «допустимых»
коротких точных последовательностей типично для относительной
гомологической алгебры. Далее мы покажем, как теорема срав-
сравнения для резольвент применяется в любой подобной ситуации.
В произвольной абелевой категории & класс % коротких точных
последовательностей из & будет называться допустимым., если %
вместе с некоторой короткой точной последовательностью (х, а)
содержит все изоморфные ей короткие точные последовательности
и если % также содержит для каждого объекта fr короткие точные
последовательности (О, Ц) и (Ц, 0).
Будем писать кЩа, если (х, а) — одна из последовательностей
из Щ, и называть эту последовательность g-допустимой. Назовем
мономорфизм х из & допустимым и будем писать х ? %т, если
xga для некоторого a; x допустим тогда и только тогда, когда
у.% (coker x). Двойственно назовем эпиморфизм а допустимым
и будем писать сг ? %е тогда и только тогда, когда (кег а) Ша.
Поскольку кШо тогда и только тогда, когда х 6 Шт и х || а,
класс % определяется классом %т допустимых мономорфизмов
или классом Ще допустимых эпиморфизмов. Значит, %е опреде-
определяет Шт; так как мономорфизм х ? Шт тогда и только тогда,
когда coker х ? Ше. Если х ? Щт, то любой морфизм, эквивалент-
эквивалентный х слева или справа, также принадлежит %т.
Непосредственно из свойств анализа морфизма а выводим
Предложение 4.1. Если дан допустимый класс %, то
следующие условия, налагаемые на морфизм а, эквивалентны:
(i) im a ? %т и coim a ? %е;
(п) ker a 6 %т и coker a 6 %е\
334
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
(ш) в стандартном разложении а = Хо, X ? Щт и а ? Ще;
(iv) каждый анализ а состоит из допустимых мономорфизмов
и эпиморфизмов.
Морфизм а называется допустимым, если он удовлетворяет
этим условиям. Если а вдобавок мономорфизм, то coima=lA,
так что а допустим и является мономорфизмом тогда и только
тогда, когда a ? $т. Аналогично допустимые морфизмы, являю-
являющиеся эпиморфизмами, принадлежат Ще. Произведение допустимых
морфизмов может не быть допустимым.
Например, в категории всех левых Л-модулей К-расщепляю-
щиеся короткие точные последовательности образуют допустимый
класс и можно показать, что допустимы те морфизмы а, для кото-
которых ata = а для некоторого t в соответствии с данным выше опре-
делением. Дополнительные свойства, которые имеются в этом слу-
случае, будут изучаться в гл. XII.
Пусть ? — произвольный допустимый класс из №. g-проек-
тивным объектом Р (или допустимым проективным объектом)
называется такой объект Р 6 &, что для любого допустимого эпи-
эпиморфизма а: В ->¦ С каждый морфизм у : Р -*¦ С из Л1 можно про-
провести через а: у = ау' для некоторого 7': Р-*¦ В. Как и прежде,
это условие можно сформулировать несколькими эквивалентными
способами.
Предложение 4.2. Для заданного допустимого класса %
коротких точных последовательностей следующие условия, нала-
налагаемые на объект Р, эквивалентны:
(i) P — допустимый проективный объект,
(и) каждый морфизм а: В -*¦ С из%е индуцирует эпиморфизм
hom (Р, В) -» hom (Р, С),
(iii) для каждой допустимой короткой точной последователь-
последовательности А» В-»С индуцированная последовательность hom (Р, А) >-*
>-» hom (Р, В) -» hom (P, С) абелевых групп является точной.
Мы будем говорить, что имеется достаточно допустимых проек-
проективных объектов, если для каждого объекта С из Л существует
хотя бы один морфизм р: Р -*¦ С, являющийся допустимым эпи-
эпиморфизмом, область определения которого — допустимый проек-
тивный объект. Понятием, двойственным этому, будет наличие
достаточного числа допустимых инъективных объектов.
Любая длинная точная последовательность в абелевой катего-
рии может быть записана как произведение Ионеды коротких
точных последовательностей; мы назовем длинную точную после-
довательность допустимой тогда и только тогда, когда каждая
из этих коротких точных последовательностей допустима.
§ 4. Сравнение допустимых резольвент
335
Рассмотрим комплекс --•-*¦ Хп -»-....->¦ Xi -*- Хо —> С —> О
над объектом С из А. Назовем его допустимой резольвентой, если
он является допустимой длинной точной последовательностью,
и назовем его допустимым проективным комплексом над С, если
каждый объект Х„ допустимый проективный. Если выполнены
оба эти условия, то комплекс называется допустимой проективной
резольвентой объекта С.
Теорема 4.3. (Теорема сравнения.) Пусть Щ —
допустимый класс коротких точных последовательностей в абе-
абелевой категории №. Если у : С -*¦ С есть морфизм из&, г: X -*• С
есть допустимый проективный комплекс над С и г' : X' -+¦ С —
допустимая резольвента объекта С, то существует цепное пре-
преобразование f: X -+¦ X' морфизмов из &, причем 8'f = уг. Любые
два таких цепных преобразования цепно гомотопны.
Доказательство по существу является повторением доказатель-
доказательства для случая модулей (теорема II 1.6.1). Поскольку Хо — допу-
допустимый проективный объект и г':Х'0-*-С—допустимый эпи-
эпиморфизм, 78: ^о -*¦ С разлагается в произведение e'fo для неко-
некоторого /о- Теперь мы хотим построить такой морфизм fit чтобы
диаграмма
Xi *¦ Хо —> С
¦о
была коммутативной. Возьмем стандартное разложение д" = Хо,
указанное в диаграмме; поскольку X' — допустимая резольвента,
то Х%г'. Но е'/од = угд — 0, так что fQd представляется в виде
произведения fod = Я,р для некоторого р, X ? кег г'. Так как а —
допустимый эпиморфизм, аХ( — допустимый проективный объект,
то р = ст/i для некоторого fi и d'fi = Xofi = X$ = fod, что и тре-
требовалось. Построение морфизмов f2, f3, . . . и гомотопии прово-
проводится аналогично.
Замечание об инъективных оболочках. Семейство
{at} подобъектов объекта А направлено по включению, если каждая пара
подобъектов as> at этого семейства содержится в третьем подобъекте семей-
семейства (в очевидном смысле слова «содержится», разъясненном дальше
в гл. XII). Абелева категория М удовлетворяет аксиоме Гротендика АВ-Ь,
если для каждого объекта А, каждого его подобъекта Ъ и любого направлен-
направленного по включению семейства подобъектов at равенство Ъ Pi (U«at) =
= Lit (Ь О at) выполнено в структуре подобъектов и если, кроме того, в М
имеются бесконечные прямые суммы. Объект U называется образующим,
если для всякого ненулевого морфизма a: A -»- В найдется такой морфизм
I : U -*¦ А, что а| Ф 0. Оба условия выполнены в категории всех Л-модулей,
причем Л является образующим. Гротеидик [1957, теорема 1.10.1] показал,
что в абелевой категории, обладающей образующим и удовлетворяющей
336
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
аксиоме АВ-Ь, достаточно инъективных объектов; Митчелл [1962] при этих
же предположениях построил инъективную оболочку Экмана — Шопфа.
В частности, этим установлено, что в категории пучков над фиксированным
топологическим пространством достаточно инъективных объектов. (Хотя
в этом случае нет достаточного числа проективных объектов, см. Гротендик
11957], Годеман [1958].)
УПРАЖНЕНИЕ
1. (Характеристика допустимых коротких точных последовательностей
с помощью допустимых проективных объектов, см. Хеллер [1958].) Если
% — допустимый класс коротких точных последовательностей, удовлетво-
удовлетворяющий условию оф ? %е =ф а ? %е, и если существует достаточно допусти-
допустимых проективных объектов, то можно показать, что эпиморфизм а: В -»- С
допустим тогда и только тогда, когда отображение horn (P, В) -*¦ horn (P, С)
является эпиморфизмом для всех допустимых проективных объектов Р.
§ 5. Относительные абелевы категории
Пусть S — подкольцо кольца jR, имеющее ту же единицу, что
и R. Некоторые короткие точные последовательности jR-модулей
будут расщепляться, если их рассматривать как последовательности
S-модулей. Каждый jR-модуль А превращается в S-модуль iA при
отступлении вдоль вложения i:S->i?, а отображения, являю-
являющиеся jR-модульными гомоморфизмами а : А -*- В, также являются
5-модульными гомоморфизмами ta : iA -*¦ tB. Значит, ? (А) = ЬА,
? (а) = ta есть функтор Р из категории & всех левых jR-модулей
в категорию <М всех левых S-модулей; этот функтор «забывает»
или «пренебрегает» частью jR-модульной структуры. Имеется много
других примеров, таких, как модули над алгеброй Л и модули
над основным кольцом К, как указано во введении к § 4. В каждом
из этих примеров имеется аналогичный функтор ?• Сформулируем
соответствующие общие свойства таких функторов.
Под относительной абелевой категорией ? будем понимать
пару отмеченных абелевых категорий ^ие! вместе с ковариантным
функтором ? : & -*¦ М (будем писать \JA = Aq, ?« = <*?), кото-
который предполагается аддитивным, точным и полным.
Аддитивность означает, что из a, р б hom^ (Л, В) следует
(а + Р)п = aD + pD в hom^ (Ла, Ба). Отсюда следует, что
0о = 0 и что (А 0 В)а ?? Аа © BD.
Точность означает, что из а [| Р в & следует а^ || Рд в о#. Отсюда
следует, что если к — мономорфизм, а a — эпиморфизм в .#, то
KD — мономорфизм, а сго — эпиморфизм в <М, функтор ? пере-
переводит каждый анализ B.1) морфизма а из & в анализ морфизма <*?
и, следовательно, из х б ker p следует kq б ker Pq и аналогично
для coker, im и coim. Более того, П переводит точные последова-
последовательности в точные последовательности.
§ 5. Относительные абелевы категории
337
Полнота означает, что из aa = 0 вытекает a = 0. Отсюда
следует, что если Aq = 0', то А = 0", однако из равенства Aq = Вп
может не вытекать равенство А — В. Однако если aa — эпи-
эпиморфизм (или мономорфизм) в аМ, то a — эпиморфизм (или моно-
мономорфизм) в &. Будем обозначать объекты категории Л буквами
А, В, С, . . ., а морфизмы а: А -> В греческими буквами и отме-
отмечать сплошными стрелками. Объекты категории <Л будем обо-
обозначать буквами L, M, N, . . ., морфизмы t: L —> М — малыми
латинскими буквами и отмечать штрихованными стрелками.
Говорят, что короткая точная последовательность к [| а из &
относительно расщепляется (или П-расщепляется), если точная
последовательность kq || oq расщепляется в Ж, т. е. если oq имеет
правый обратный k или (эквивалентно) ка имеет левый обратный t
в аМ. Эта ситуация описывается двумя диаграммами
K0 °D
( ft
E.1)
первая из которых точна в &, а вторая является диаграммой прямой
суммы в а#. Для простоты мы часто будем заменять их схемой
¦л k
^..л-^С, (о./)
t a
в которой сплошные стрелки относятся к А, сплошные и штрихо-
штрихованные стрелки относятся к Л. Аналогично равенства
справедливые для диаграммы прямой суммы E.1), схематично
будут записываться как
без знака Q, так что символ Ы есть сокращенная запись произве-
произведения tv.\j В аМ.
Класс ? -расщепляющихся коротких точных последовательно-
последовательностей допустим в смысле § 4; в этом случае условия предложения
4.1 описывают некоторые морфизмы а из & как допустимые (назы-
(называемые Ci-допустимыми). Подробности указаны в следующем
предложении:
Предложение 5.1. Морфизм а: А ->¦ В, обладающий
стандартным разложением а = Ха, ^-допустим в относительной
абелевой категории ? тогда и только тогда, когда он удовлетворяет
одному из следующих эквивалентных условий:
(О Яд имеет левый обратный и сга имеет правый обратный в <М\
(ii) (im a)a и (ker a)n имеют левые обратные в оМ\
22—353
338
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
(ш) существует такой морфизм и: В—>А в <Л, что
ад и <xq = ап;
(iv) существует такой морфизм v: В —>А в Л, что одно-
одновременно выполнены равенства
OqOOq = Oq, VOqV = V.
Условие (ii) можно прочесть так: образ а является s^-прямым
слагаемым для Bq, а ядро а есть <Л-прямое слагаемое для Лд, или
двойственно.
Доказательство. Эквивалентность условий (i), (ii)
и допустимость а вытекают непосредственно из предложения 4.1.
Если tX = 1 и ok = 1, как показано в схеме
A^.m^t.B, а = Хо,
k I
то для v = kt : В --> А имеем аиа = XaktXa = Act = а и иаи =
= ktXokt = kt = t>; этим доказано, что (i) =ф (iv). Имплика-
Импликация (iv) =Ф (ш) тривиальна. Наконец, для установления импли-
импликации (in) =4> (i) предположим, что аиа = а, и положим а = Ал.
Тогда из равенства ХаиХа = Ха следует, что аиХ = 1, так как
X — мономорфизм (в (МК), а а—эпиморфизм, т. е. X имеет в JC
левый обратный аи, а ст — правый обратный иХ.
Если X является ^--комплексом в смысле § 3 (с объектами Х„
и морфизмами дп из #-), то QX будет ^-комплексом; поскольку
функтор D точен, отсюда следует, что ? [Нп {X)] з^ Нп (ОХ).
Теорема 5.2. Если X является ^-комплексом (не обяза-
обязательно положительным), то комплекс QX тогда и только тогда
имеет стягивающую гомотопию s, такую, что ds + sd = 1 и каждый
морфизм Sn : Хп-—>Хп+1 принадлежит о$, когда все объекты
Нп (X) тривиальны и все граничные морфизмы д допустимы. Если
эти условия выполнены, то s можно выбрать так, что s2 = 0.
Доказательство. Если гомотопия s существует, то мы
знаем, что все объекты П#„ (X) е* Нп(ОХ) = 0. Но функтор Q
полон, так что Нп (X) = 0. Более того, д — dsd + sdd = dsd,
так что каждый морфизм д допустим в силу условия (ш) преды-
предыдущего предложения.
Обратно, предположим, что последовательность • ¦ • ->- Xn+i ->-
->- Хп -*¦ Xn-i -*- • • • точна и все морфизмы д допустимы. Возьмем
для каждого дп стандартное разложение д == Ко. Тогда комплекс X
разлагается в произведение ?-расщепляющихся коротких точных
последовательностей Dn >» Х„ -»Dn-u а каждый объект Х„ ста-
становится е^-ПрЯМОЙ СУММОЙ ОТНОСИТвЛЬНО МОрфиЗМОВ t = tn, k— kn,
§ 5. Относительные абелевы категор и и
339
как показано в схеме
Х
n+1
t
к
t
a t о
с обычными равенствами в <Л для прямой суммы:
lXn = Xt + ka, tX=l, ok=\, tk = O, a% = 0.
Теперь определим морфизмы s^ : Хп —>Хп+и положив sn = kt,
так что s2 = 0 и
ds + sd = X (ok)t + k(tX) ст = Xt + ka= lXn.
Комплекс e: X -*~C допустим, если e: Xo -*~C и всед„: Х„ —>
->-Xn_i допустимы, и является резольвентой, если е : Но (X) ^ С
и Нп (X) = 0 при п > 0.
Следствие 5.3. Комплекс г : X ->• С из^Ф над С является
{^-допустимой резольвентой С в том и только в том случае, когда
комплекс ел : Х^ — > Cq в вМ над Cq имеет стягивающую гомо-
гомотопию. Если это условие выполнено, то существует такая гомо-
гомотопия s, что s2 = 0.
Как обычно, s состоит из морфизмов s_t : С --•*¦ Хо, sn : Х„ ->
—> Xn+i из <Л, причем
lXn, n>0.
Условие sz = 0 означает, что SnSn-i = 0 для всех п = 0, 1 ... .
Доказательство очевидно.
Проективный ?-допустимый объект Р из ^ будет называться
также относительно проективным объектом для Q.
Любой проективный объект Р в А является a fortiori относи-
относительно проективным, но это не означает, что имеется достаточно
относительно проективных объектов: если мы представим объект
как образ Р -+А проективного объекта, то отсюда вовсе не сле-
следует, что Р^*-А допустимый эпиморфизм.
УПРАЖНЕНИЯ
(Первые три упражнения касаются абсолютного случая М = еМ.)
1. Комплекс X абелевой категории М обладает стягивающей гомото-
пией s тогда и только тогда, когда каждая последовательность
i Э) Х
д
(im dn+i, coim
й
д едотельность
Хп -*¦ ф дает представление объекта Хп в виде
и условия выпол
n+i ^) « п ф д ре обекта Хп в виде
прямой суммы. Если эти условия выполнены, то существует такая гомо-
гомотопия s, что s2 = 0.
2. Комплекс X модулей имеет стягивающую гомотопию тогда и только
тогда, когда для каждого п модуль n-мерных циклов является прямым сла-
слагаемым Хп.
22*
340
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
3. Комплекс X (не обязательно положительный) свободных абелевых
групп обладает гомоморфизмами s : Хп -*¦ Xn-^i, для которых ds + sd = 1,
тогда и только тогда, когда все группы Я„ (X) тривиальны.
4. Вывести теорему 5.2 из результата упражнения 1.
§ 6. Относительные резольвенты
Для построения достаточного количества относительных проек-
проективных объектов мы выделяем специальный класс относительных
абелевых категорий. Под резольвентной парой М категорий будем
понимать относительную абелеву категорию ? : fr ->el вместе
(i) с ковариантным функтором F : оМ -*•&,
(и) с таким естественным преобразованием е : /^ > QF,
где 1л — тождественный функтор, что каждый морфизм и : М •¦
> А\з из <Л можно представить в виде и = а^ем для един-
единственного морфизма а : F (М) ->-Л из fy.
Таким образом, каждый объект М определяет объект FM 6 &
и морфизм ем : М > UFM, причем каждый морфизм и одно-
однозначно накрывается морфизмом FM > А, как показано в схеме
FM >А
/ и
М '
другими словами, FM есть «относительно свободный» объект в fr
по отношению к данному объекту М из <М. Накрывающее свойство
означает, что формула е*а = а^е определяет естественный изо-
изоморфизм
е* : hom^ (FM, A) ^ hom^ (M, ? А);
является
(см. заме-
замепоследнее свойство означает, что функтор F: <М -
левым сопряженным (Кан [1958]) к функтору ?: & -+
чание в конце параграфа).
Обратно, условия (i) и (И) из определения резольвентной пары
можно заменить требованием того, чтобы функтор ? обладал левым
сопряженным F. Действительно, это требование означает, что
существует естественный изоморфизм
ср:
, A) =:
(M, Q А)
(абелевых групп). Положим в этом изоморфизме А = FM; тогда
морфизм Ijpm из группы, стоящей слева, определяет морфизм
ф Aрм) = ем '¦ М > \JFM. То, что отображение е-Л^ц F
§ 6. Относительные резольвенты
341
естественно, устанавливается применением ц> к диаграмме
hom^(FM, FM)Ш hom^ (FM, FM') С- hom^ (FM', FM'),
где ц: М -*~М' — некоторый произвольный морфизм. Теперь
возьмем произвольный объект А и морфизм а : FM -*- А. Поскольку
преобразование ф естественно, диаграмма
horrid (FM, FM) Л homM (M, О FM)
, А) Л hom^ (M, ? A)
коммутативна. Возьмем морфизм lj.M из группы, стоящей в верх-
верхнем левом углу; левым вертикальным отображением он перевод
дится в а, а верхним отображением — в ем', коммутативность диа-
диаграммы показывает, что <ра = a\jeM- Поскольку (fL— изоморфизм,
то тем самым доказано, что каждый морфизм и : М > П)А из
группы, стоящей в правом нижнем углу, имеет вид и = ааеМг
причем морфизм а единствен, что и требуется в условии (п).
Например, два кольца R zd S порождают резольвентную пару,
обозначаемую М (R, S) или просто (R, S): в качестве fr и <М
берутся категории jR- и S-модулей соответственно, П — обычный
«пренебрегающий» функтор и
Аналогично для любой К-алгебры Л существует резольвентная
пара с категорией левых Л-модулей в качестве & и категорией
К-модулей в качестве оМ, F (М) = Л ® КМ (предложение VI.8.2).
Другие примеры резольвентных пар указаны в упражнении 2.
Теорема 6.1. Б резольвентной паре категорий каждый
объект F (М) относительно проективен в &. Для каждого объек-
объекта А разложение \А = ^aq определяет [2-допустимый эпимор-
эпиморфизм а : F (Aq) -*~A. Следовательно, существует достаточно
много относительных проективных объектов.
Доказательство того что объект F (М) относительно проективен,
состоит в повторении знакомого доказательства (лемма 1.5.4) проек-
проективности каждого свободного модуля.
Действительно, пусть у : F (М) —> С является морфизмом,
а о: В -+С допустимым эпиморфизмом из &, так что сга имеет
342
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
правый обратный k. Построим схему
M--M>FM
\ а 1V>
Произведение куем по условию однозначно представимо в виде
куем = Р^м для некоторого Р: FM -*~В из #-. Следовательно,
о$ем — уем, но морфизм уем однозначно представим в виде произ-
произведения с правым множителем ем, поэтому сф = у. Это означает,
что объект FM относительно проективен.
Обычная теорема сравнения отображает проективный комплекс
в резольвенту. Сравнение относительно свободного комплекса
с допустимой резольвентой может быть проведено каноническим
способом. Относительно свободный комплекс ех : X ->¦ А над А
в категории & — это комплекс, у которого каждый объект Х„
имеет вид F (Мп) для некоторого Мп из <Ж; мы будем писать еп
вместо еМп '¦ Мп > Хп. Допустимая резольвента ег : Y -*-В
имеет а#-стягивающую гомотопию s, причем sa = 0, как пока-
показано в следствии 5.3 (в частности, s_i : В —> Уо).
Теорема 6.2. Пусть гх '• X -*¦ А есть относительно сво-
свободный комплекс над А в & и &?¦ '¦ Y -+В — допустимая резоль-
резольвента. Каждый морфизм а : А -*• В из & накрывается таким
единственным цепным преобразованием ^-комплексов ф: X ->• Y,
что каждый морфизм ф„е„ : Мп > Yn «проходит» через Sn-i.
Это преобразование ф определяется рекурсивными формулами
Фобо = S-iaExe0, фп+iSn+i = Sn<pnden+i-
Мы назовем ф каноническим сравнением для данного представ-
представления Хп = F (Мп) и данной гомотопии s в Y. В случае когда
<М — категория модулей, условие, что каждый морфизм ф„е„ «про-
«проходит» через Sn-u можно переписать в виде
Фо^оМо cz s-iB, <pn+ien+iMn-H czsnYn. F.1)
Это же мы будем записывать более коротко как феМ с sY.
Доказательство. Построим морфизмы ф„: Хп -*-Yn,
удовлетворяющие соотношениям бу ф0 == агх, 3<pn+1 = <р„д, и пока-
покажем их единственность индукций по п. Если фоео проходит через s_i,
то из s2 = 0 следует 50ф0е0 = 0 и
фоео = 1 фо^о = (ds0 + s-^y) фое0 = s-tBT(foeo = s-ia&xe0.
В силу накрывающего свойства существует единственный такой
морфизм ф0; этот морфизм удовлетворяет равенству еуф0 = агх.
§6. Относительные резольвенты
343
Пусть уже построены однозначно определенные морфизмы ф0, . . .
. . ., фп-1. Для каждого морфизма ф„еп, который «проходит» через
nen = 0; значит,
Ф„е„ = \ц>пеп — (ds + sd) q>nen = sd<f>nen = sq>n-iden.
Это соотношение однозначно определяет ф„, причем выполняется
равенство дф„ = <pn_i5. Доказательство закончено.
Теперь каждый объект С из № получает каноническую ? -рас-
-расщепляющуюся резольвенту. Обозначим объект F Q С ? & как
FC, и пусть Fn обозначает n-кратную итерацию F; построим объекты
pn(C) = pn(J2, C)=FnFC, « = 0,1,2
из &. Определим морфизмы s 6 <М между соответствующими объек-
объектами
? с--1 пpoC-so>?
->...--->пр»с-8ДapViC->..., F.2)
положив s-i — e (ОС) и Sn = e (DPnQ-
Теорема 6.3. Существуют однозначно определенные мор-
морфизмы
в:ро(С)--*С; а„:рЛ(С)->р1,-1(С), п=1, 2
из fr, которые превращают Р (М, С) = {Р„ (М, С)} в относи-
относительно свободную допустимую резольвенту объекта С со стяги-
стягивающей гомотопией s из а$. Эта резольвента вместе со стягиваю-
стягивающей гомотопией является ковариантным функтором аргумента С.
При этом мы не утверждаем, что sz = 0. Обычно это не так.
Доказательство. Нашей задачей является построение
морфизмов из #, указанных в следующей схеме
80
SI
SI
сплошными стрелками и превращающих s в стягивающую гомо-
гомотопию. По свойству морфизма е , 1с можно представить в виде
lc == see; это равенство однозначно определяет е и показывает,
что е — допустимый морфизм. Граничные морфизмы теперь опре-
определяются рекурсивно так, чтобы морфизмами s определялась стя-
стягивающая гомотопия; при известном е морфизм 1 — s_4e однозначно
разлагается в произведение dis0 =1 — s_ie для некоторого
di : Pi -*¦ Ро, и аналогично соотношение dn+1Sn = 1 —Sn-idn '• Pn --> Pn
определяет dn+i при заданном дп. Используя эти равенства, по-
получаем
дпдп+iSn = дп —
344
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
так что, используя единственность разложения и проводя индук-
индукцию, имеем ед = О и д2 = 0. Более того, 3„+15„3„+1 = дп+и так
что морфизм дп+1 допустим.
Эта резольвента Р (М, С), очевидно, имеет функторный харак-
характер; она называется (ненормализованной) В-резольвентой. Кон-
Конкретные примеры даны в § 8.
«Относительный» бифунктор ext можно теперь определить
формулой
), A)).
F.3)
Теорема сравнения показывает, что мы с тем же правом могли
использовать любую ? -расщепляющуюся относительно проек-
проективную резольвенту е:Х->-С для вычисления Ext^ =
как показывает изоморфизм
^Hn(homM(X, A));
F.4)
отметим, что в каждой размерности п символ homjj (Xn, А) обо-
обозначает группу всех морфизмов ? : Хп -> А ? &, а не только допу-
допустимых морфизмов. В частности, Ext^ (С, А) ~ hom^ (С, А).
Замещение С короткой точной последовательностью Е приводит
к обычной длинной точной последовательности для Extn, указан-
указанной в теореме 111.9.1, при условии, что последовательность Е
? -расщепляется. Аналогичный результат получается, если А заме-
заменить ? -расщепляющейся короткой точной последовательностью;
в доказательстве используется или точная последовательность
резольвент (упражнение III.9.1), или предположение о суще-
существовании достаточного количества инъективных объектов. Эти
длинные точные последовательности сохраняют смысл в любой
относительной абелевой категории без предположения о суще-
существовании достаточного числа проективных или инъективных
объектов. Доказательство, данное в гл. XII, основано на интер-
интерпретации ЕхЩ (С, А) как классов конгруэнтности /г-кратных,
? -расщепляющихся точных последовательностей из Л в С.
В частности, Extg в отличие от Extl зависит от ?.
Замечание о сопряженных функторах. Если %
и М— категории, то функтор Т: % -»- М называется правым сопряженным
функтора S: М -*¦ %, если существует естественная эквивалентность
horn™ (Л, Т(С)) es honv(S(A), С).
Здесь оба выражения являются бифункторами, определенными в Ж и %
н принимающими значения в категории множеств (или, если категории g
и М аддитивны, в категории абелевых групп). Например, сопряженная ассо-
§ 7. Категорная В-резольвента
345
циативность
Нот (А ® В, С) as Horn (А, Нот (В, С))
утверждает, что при фиксированном В функтор Т (С) = Нот (В, С) является
правым" сопряженным для S {А) = A <g> В. Имеется ряд других, примеров
(Кан [1958]).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что если относительная абелева категория а является
резольвентной парой категорий для двух функторов F и F', то существует
единственный естественный изоморфизм r\ : F -»- F', для которого г\е — е .
2. Построить резольвентные пары категорий в следующих случаях:
a) R ZD S — градуированные кольца; М и <Л определены выше;
b) р : R' -*¦ R является произвольным кольцевым гомоморфизмом; ,#=ле-
вые ^-модули, а^=левые R -модули, qA = рА есть превращение ^-модуля
А в ^'-модуль путем отступления вдоль р;
c) Л, S —две К-алгебры, М = Л-2-бимодули, <М = К-модули.
3. Показать, что в случае Ь) упражнения 2 допустимые точные после-
последовательности и относительный функтор Ext совпадают с функтором Ext
для резольвентной пары 3i = (R, S), где S = pi?'.
§ 7. Категорная 2?-резольвента
Нормализованная В-резольвента е : В (Z (П)) —> Z для группо-
группового кольца Z (П), как показано в гл. IV, дает стандартную Z-pac-
щепляющуюся резольвенту тривиального П-модуля Z. Для каждого
П-модуля А когомология А определяется с помощью Б-резольвенты
как Нп (Нотп (В (Z (П)), А)). Следовательно,
Нп (П, A) sExtSoi) (Z, A) ^Extfon). z> (Z, А).
Другими словами, когомология группы дает одновременно
пример абсолютного и относительного функторов Ext. Та же самая
(нормализованная) резольвента будет использована в следующей
главе во многих других случаях. Она может быть определена
для любой резольвентной пары
> #-, ем:М --*¦ D FM
М;
F:,
категорий. Для каждого объекта М 6 <Л выберем морфизм
рм € coker ем и объект F (М) = Coker eM. Тогда последователь-
последовательность
M->nFM~+FM~>Q
G.1)
точна в M.,F:S-*-S является ковариантным функтором,
а р : aF -*• F — естественным преобразованием. Применив функ-
346
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
тор [JF к FM, построим диаграмму
М ----¦-> П FM —> FM -> О
SL I*
G.2)
произведение sM = е'р есть естественное преобразование
> П^- Характеристическое свойство этого преобразования дает-
дается следующей леммой:
Лемма 7.1. Морфизмы е = ем и s = sM индуцируют для
каждого объекта А точную слева последовательность абелевых
групп
О -> horn^ (FFM, А) Д hom^ (QFA1, П>1) ¦
(M, QЛ).
Доказательство. Каждый морфизм a: FFM ~>-A из
& определяет морфизм <*? : OFFM > ОА, и s*a равняется
произведению oqs : OFM ---¦* \Z\A, являющемуся морфизмом
категории <Л. Очевидно, что e*s*a '= oqs: e = aD0 = 0. Если
0 = oqs = а^е'р, то а^е' = 0, так как р — эпиморфизм. Но 0
единственным способом «проходит» через е', так что a = 0. Пусть
теперь для некоторого v : QFM —+ П^ будет e*v = 0; построим
коммутативную диаграмму следующим образом:
М -> ? FM --> FM ~> ? FFM
= П^= О А.
Поскольку ve = 0 и р = coker ем, то v проходит через р : v —
— up. По определению морфизма е', и можно представить в виде
и = аде' для некоторого а. Поэтому v = а^р'р = oqs, что и дока-
доказывает точность последовательности.
Каждый объект С из & порождает последовательность объек-
объектов Мп = Fn ? С ? аМ. Здесь В-резольвента состоит из ассоции-
ассоциированных относительно свободных объектов
Вп{С) = Вп(М, C) = FFnQC, /г = 0, 1, 2, ..., G.3)
категории #-. Определим морфизмы между соответствующими
образами этих объектов в категории &М:
О С ~> ? В„С Д
-%
В2С :-->
G 4)
§ 7. Категорная В-резольвента'
347
положив s-i = е (QC) и
Sn = s (Мя): О FMn ~> О FTMn = Q Б„+1С. G.5)
Из этих определений немедленно вытекает, что s2 = 0.
Теорема 7.2. Существуют однозначно определенные мор-
морфизмы
е:Б0(С)->С, Э„: Вл (С)-> ?„_! (Q, л=1, 2, ...,
категории &, которые превращают В (М, С) = {Вп {М, С)}
в ^-комплекс и относительно свободную допустимую резольвенту
объекта С со стягивающей гомотопией s, квадрат которой равен
нулю. Эта резольвента вместе с ее стягивающей гомотопией является
ковариантным функтором аргумента С.
Доказательство. Нам требуется вставить в следующую
схему
е 6i да Эз
С .1^ В0С1Ц. BiC UB2CU--- G.6)
s-i so sj eg
такие морфизмы (категории #), указанные сплошными стрелками
чтобы выполнялись условия
es_i = l, 5±So= I — s_i8, [dn+1sn = l— sn-idn, n>0 G.7)
для стягивающей гомотопии. Морфизм 1 : С -*-С можно предста-
представить в виде 1 = es_i, где s_i = вцс, откуда появляется е. Мор-
Морфизмы дп теперь строятся рекурсивно. Если уже известны мор-
морфизмы di, . . ., 3„, удовлетворяющие G.7), то
A — sn-idn) sn-i = sn-i — sn-i A — Sn-zdn-J = 0 + sn-tfn-zdn-i = 0;
поскольку Sn_i —ер и р — эпиморфизмы, A — в„-А)е = 0. По
лемме 7.1 морфизм 1 — Sn-Д, разлагается в произведение
A — Sn-idn) = ctSn,- это равенство определяет морфизм dn+i = a.
удовлетворяющий условиям G.7). В силу той же леммы 7.1 эти
морфизмы е и дп однозначно определены. Более того, из G.7) сле-
следует, что
дпдп+iSn = dn — dnSn-idn — дп — дп — sn-2dn-idn = — sn-zdn~idn;
индукция, основанная на лемме 7.1, показывает, что edi = 0
и За = 0. Значит, В (М, С) — комплекс над С, чем и заканчивается
доказательство.
Мы назовем В-резольеентой объекта С комплекс В (М, С).
По теореме сравнения она цепно эквивалентна построенной ранее
«ненормализованной» В-резольвенте р (J?, С) (см. упражнение 3).
348
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Чтобы показать, что это описание В-резольвенты согласуется
с предшествующим описанием для группы П, возьмем в каче-
качестве & категорию левых П-модулей, в качестве е# — категорию
абелевых групп и положим F (М) = Z (П) ® М и ем (т) = 1 ® т
для каждого т ? М. Этим определяется резольвентная пара кате-
категорий. Так как последовательность свободных абелевых групп
Z>* Z (П) -» Z (II)/Z точна, то точна и последовательность их тен-
тензорных произведений с М:
Следовательно, F (М) э* [Z (П)/Z} ® М. Возьмем в качестве С
тривиальный П-модуль Z. Тогда
F"Z = [Z (II)/Z] ®... ® [Z (n)/ZJ, /г множителей.
Но Z (II)/Z есть свободная абелева группа, образующими которой
служат все элементы х Ф 1 группы П. Значит, Fn (Z) можно ото-
отождествить со свободной абелевой группой, порожденной всеми
символами [xi | . . . | хп), где ни один элемент хг из П не равен 1.
Тогда Вп {Л, Z) = Z (П) ® Fn (Z) есть свободная абелева груп-
группа с образующими х lxt \ . . . | х„], где х ? П, а морфизм s =
= ер : Вп — -> Бп+ь определенный выше, превращается в ото-
отображение
причем элемент [х \ хг \ , . . | хп ] равен нулю при х = 1. Это
отображение в точности совпадает со стягивающей гомотопией s,
использованной для Б-резольвенты В (Z (П)) в (IV.5.2). Граничные
морфизмы однозначно определяются гомотопией s (как в гл. IV,
так и здесь) и поэтому должны совпадать. Короче говоря, мы дока-
доказали, что для этой резольвентной пары категорий
В следующей главе будут указаны точные формулы для других
случаев.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что длинная последовательность G.4) точна в <М.
2. Показать, что каноническое сравнение р @1, С) -*¦ В (Я, С) является
эпиморфизмом.
3. Показать, что в случае групп Р есть ненормализованная В-резольвента.
В следующих трех упражнениях рассматривается относительный функ-
функтор ext для колец Z (П) и Z.
4. Пусть А, В, С — левые П-модули. Превратить группы В ®z С
и Homz (С, А) в левые П-модули с операторами х (b (g) с) = xb 0 хс
§ 8, Относительные периодические произведения
349
и (ха) с — х [а (х^с) ], а: С -*¦ А соответственно и установить естественный
изоморфизм
Нотп (В, Homz (С, А)) и Нотп (В (g)z С, А).
5. Показать, что если А — относительно инъективный или С — относи-
относительно проективный объекты, то модуль Homz(C, А) с операторами, опре-
определенными в упражнении 4, относительно инъективен.
6. Используя аксиомы для относительного функтора ext, установить
естественный изоморфизм
Е**5<П), z (С, А) в Extg(n); z (Z, Homz (С, А)).
Вместе с этим результатом следующие упражнения, предложенные
автору Шмидом, дают доказательство теоремы редукции для и-умножения,
как это отмечалось в VIII.9 (ср. Шмид [1963]).
7. Из представления П = F/R группы П как факторгруппы свободной
группы F получить групповое расширение Е : Ro >-> В' -» П, где [R, R] —
коммутант группы R, Ro = R/[R,R] и В' = F/[R,R].
8. Характеристический класс % расширения Е, описанный в IV.6,
является двукратным Z-расщепляющимся расширением Rq с помощью Z.
Показать, что промежуточный модуль М из % свободен; именно пусть F —
свободная группа с образующими g, S — свободный П-модуль с соответ-
соответствующими образующими g"; показать, что отображение g1 -*¦ [els g] 6 М
является изоморфизмом SeM. (Указание: использовать лемму IV,7.2
для построения обратного отображения.)
9. Пусть А является П-модулем. Показать, что итерированный свя-
связывающий гомоморфизм для X порождает изоморфизм Extn (RoA) s
s Extn+2 (Z, А) для относительного функтора ext, n > 0, и, следовательно,
в силу упражнения 6, изоморфизмы
Я"+г (П, A) s* Нп (П, Homz (Ro, A)), n > О,
Я2 (П, А) & Coker [Homn (М, А) -> Homn (Ro, A)).
10. При п > 0 для правого П-модуля G получить «дуальную» теорему
редукции
ЯП+2(П, 0)вЯв(П, G®ZRO).
§ 8. Относительные периодические произведения
Пусть 5 — подкольцо кольца jR с той же единицей. Тогда воз-
возникает резольвентная пара М = (jR, S) категорий, в которой & —
категория левых jR-модулей, Л — категория левых S-модулей,
? (А) — функтор, сохраняющий только 5-модульную структуру
F (М) — R ®s М и е (т) = 1 ® т. В этом случае П -расщепляю-
-расщепляющаяся короткая точная последовательность — это точная после-
последовательность R-модулей, расщепляющаяся, если ее рассматривать
как последовательность S-модулей; назовем такую последователь-
последовательность S-расщепляющейся. Соответствующие допустимые гомомор-
гомоморфизмы назовем (R, S)-donycmuMUMU, а относительно проективные
объекты — (R, S)-npoeKtnueHbiMU.
350
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Определим комплекс jR -модулей Р (R) над jR,
положив р„ (R) = R ® Rn ® R = Яп+2, здесь п + 2 множителя,
е (г0 <8> гО = ГоГь где ® есть сокращение для ®s, и
а (го
гв+1) = 2 (- II fo <g>... (
4=0
rn+l
. (8.1)
Теорема 8.1. Для колец jR =5 5 комплекс e:P(jR)-»-jR
является комплексом R-бимодулей над R со стягивающей гомотопией
s: jRn+2 ->¦ jRn+3, определенной для п>\ формулой
s (г0 ®... ® /¦«+,) = 1 ®г0 ® • • • <g> rn+l. (8.2)
Эта гомотопия есть гомоморфизм S-R-бимодулей, причем S дей-
действует слева, a R справа.
Доказательство. Прежде всего esr0 — е A ® г0) = л0,
так что es = 1. Пусть и = г0 ® . . . ® л„+1 и п>0. Первый
член выражения dsu равен и, остальные члены дают —sdu, следо-
следовательно ds + sd = 1, что и требовалось. Из определения следует,
что ед = 0, дд = 0. По симметрии существует также стягивающая
гомотопия
t (г0® • • • ® г„+1) = г0 ®... ® г„+1 ® 1,
которая есть R-S -бимодульный гомоморфизм.
Следствие 8.2. Для левого R-модуля С, Р (R) ®л С
есть В-резольвента Р (С) для резольвентной пары (R, S).
Симметрично для каждого правого R-модуля G, G <8>л Р (R) вместе
со стягивающей гомотопией t есть (правая) В-резольвента р (G).
Доказательство. Поскольку jR ®r С ^ С, можно
построить р (R) ®я С, просто заменив последний аргумент rn+i
в (8.1) и (8.2) элементом с?С. Тогда р„ (R) ®л С = FaF (С), стя-
стягивающая гомотопия s из (8.2) совпадает с гомотопией F.2) и д —
единственный граничный гомоморфизм со стягивающей гомото-
гомотопией s из теоремы 6.3. В частности, р (jR) является резольвентой
(левой или правой) R-модуля R.
Заметим, что граничный гомоморфизм (8.1) в р (jR) является
альтернированной суммой граничных операторов dt : Р„ -^Pn-i,
определенных формулами
dt (г0 ®... ® rn+i) = /о ®... ® г,_, ® г?л<и® ri+2 ®... ® гп+1, (8.3)
1 = 0, 1, . . ., п. Соответствующие операторы вырождения
Si : Pn ->-Pn+i равны
S; (г0 ®... ® Гп+О = fo ® ... (8) гi <g> 1 ® ri+1 ® ... <g) г„+,. (8.4)
§ 8. Относительные периодические произведения
351
При этом выполняются обычные соотношения между di и sj, так
что р (jR) есть симплициальный jR-бимодуль в смысле VII 1.5. Чита-
Читатель может показать, что симплициальная нормализация Р (R)
порождает нормализованную В-резольвенту В (R).
Возьмем jR-модули GR и ЛС. Абсолютные периодические
произведения Tor? (G, С) вычисляются с помощью проективной
резольвенты е: X -+С как Нп (G ®л X). В нашем относительном
случае Р (jR) ®л С дает каноническую и функторную резольвенту,
так что мы определяем п-е относительное периодическое произве-
произведение как
f'S) (G, С) = Нп (G ® лр (R) ® ЛС).
(8.5)
Этим задается ковариантный бифунктор от аргументов G и С,
на самом деле симметричный по G и С. Поскольку G ®R R = G
и jR ®л С = С, группа n-мерных цепей комплекса G ®л Р (R) <S)rC
равна G ®s ^" ®s С. Граничная формула получается из (8.1)
заменой г0 на g 6 G и rn+i на с б С; комплекс можно рассматри-
рассматривать как симплициальную абелеву группу.
Если Е : А >* В -» С есть S-расщепляющаяся короткая точная
последовательность левых R-модулей, то тензорные произведения
(над S) ее членов с G ®s Rn образуют S-расщепляющуюся и, зна-
значит, точную последовательность. Поэтому мы получаем точную
последовательность комплексов
G ® ЯР(R) ® rA«G ® нр(R) ® RB-»G ® лр (i?) ® НС.
Результирующие связывающие гомоморфизмы
¦?„ : Тог?'S) (G, С) -> Tor?iS) (G, Л), п > 0,
естественны по О и ? и обеспечивают точность соответствующей
длинной последовательности
Tor^S)(G,A)-^Tor{nK'b)(G,B)
11 (u, A) —> • • • («•«)
точно так же, как и для абсолютного периодического произведе-
произведения, с тем изменением, "что последовательность Е должна быть
5-расщепляющейся. Если Е': G » К ¦*> L является S-расщепляю-
щейся короткой точной последовательностью правых jR-модулей,
то, повторяя те же рассуждения (с перестановкой слов «левый»
и «правый»), получим естественные связывающие гомоморфизмы
Е'п : Tor?'S) (L, С) -+ Torf-lf* (G, Q, п > О,
и соответствующую длинную точную последовательность для пер-
первого аргумента.
352
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Теорема 8.3. Для колец R r> S и модулей GR, RC,
ToiiR' S)(G, С) — ковариантный бифунктор аргументов G и С для
каждого п, причем
Tor@Rl S) (G, С) ess G <g> RC (естественный изоморфизм), (8.7)
Tor<?'8)(P\ C) = 0 = Tor<?'S)(G,P), n>0, (8.8)
если Р' и Р суть (R, S)-проективные правый и левый модули соот-
соответственно. Если Е' и Е являются S-расщепляющимися короткими
точными последовательностями правых и левых R-модулей соот-
соответственно, то соответствующие связывающие гомоморфизмы есте-
естественны и порождают длинную точную последовательность (8.6)
и симметричную ей.
В частности, эта теорема приводит к характеристике относи-
относительных периодических умножений как функторов второго аргу-
аргумента с помощью свойств (8.7), (8.8) и (8.6), в точности так же,
как и в теореме V.8.5; для этой цели мы можем заменить в (8.8)
(R, S)-проективные модули (R, S)-свободными модулями.
Мы должны доказать только (8.7) и (8.8). Прежде всего после-
последовательность- Pi (jR) ->-Po (R) -*•/? ->-0 точна: поскольку тен-
тензорное умножение переводит точные справа последовательности
в точные справа последовательности, то точна последовательность
G
(R)
RC
RR
0.
Ее последний член есть G <8>д С, что и доказывает (8.7). Для дока-
доказательства (8.8) используем следующую лемму:
Лемма 8.4. Для колец R =э S, если Р есть (R, S)-npoeKmue-
ный правый R-модуль и Е: А >* В -» С есть S-расщепляющаяся
точная последовательность левых R-модулей, то последовательность
0 -*-Р ®д А -+-Р ®д В -»-Р ®д С -vO является точной после-
последовательностью абелевых групп.
Доказательство. Поскольку имеется достаточно много
относительно свободных правых модулей М ®s R, каждый
модуль Р является S-расщепляющимся фактормодулем и, значит,
jR-прямым слагаемым некоторого модуля М <S>s R- Следовательно,
достаточно доказать лемму для модулей вида Р = М ®s jR.
В этом случае Р ®л А = M®SR ®л А = М ®s Л, так что рас-
рассматриваемая последовательность изоморфна последовательно-
последовательности М ®s А -+-М ®s В ->-М ®s С, которая 5-расщепляется
в силу расщепляемости Е и поэтому является точной.
Теперь докажем (8.8). Комплекс Р (jR) <8>д С над С имеет левую
S-модульную стягивающую гомотопию s типа (8.2). Следовательно,
§ 8: Относительные периодические произведения
353
по нашей лемме комплекс Р' <8)д (Р (R) <8>д С) точен над Р' ®л С
и имеет нулевые группы гомологии размерностей п > 0.
Относительные периодические произведения могут вычислять-
вычисляться также с помощью других резольвент.
Теорема 8.5. Если е: F-v G есть S-расщепляющаяся
резольвента правого R-модуля G, состоящая из (Д,8)-проективных
модулей Yn, то существует канонический изоморфизм
ToriBl S) (G, С) ^Hn(Y® RC), (8.9)
естественный по аргументу С. Если Е — произвольная S-расщепля-
S-расщепляющаяся короткая точная последовательность левых R-модулей,
то связывающие гомоморфизмы Еп из (8.6) переходят при изомор-
изоморфизме (8.9) в связывающие гомоморфизмы групп гомологии точной
последовательности комплексов Y ®д А >* Y <8>д В -» Y ®н С. По
симметрии Тогп можно вычислить с помощью S-расщепляющейся,
(jR, S)-npoeKmuenou резольвенты левого R-модуля С.
Доказательство. В силу теоремы сравнения для отно-
относительного случая существует единственное с точностью до гомо-
топии цепное преобразование ф : G ®д Р (R) -*¦ Y, которое инду-
индуцирует изоморфизм (8.9). Поскольку (jR, 5)-проективен каждый
модуль Yn, то каждая последовательность Yn <g>R A>* Yn ®Д5-»
¦* Yn <8) RC точна по лемме 8.4. Цепное преобразование ф отобра-
отображает предыдущую точную последовательность комплексов на эту
точную последовательность; следовательно, в силу естественности
связывающего гомоморфизма последовательности комплексов полу-
получается сформулированный в теореме метод вычисления связывающих
гомоморфизмов Еп.
Поскольку (R, 5)-проективный объект Р' обладает резольвен-
резольвентой 0 -> Р' ->• Р' ->• 0, то эта теорема дает прямое доказательство
(8.8). Мы оставляем читателю проверку остальных свойств отно-
относительного периодического умножения: аддитивности по каждому
аргументу, антикоммутативности Еп и E'n-i (E'n-iEn = — Еп-\Е'п,
как в теореме V.7.7) и аддитивности Еп в Е.
Относительное периодическое умножение можно рассматривать
как функтор от пары колец R гэ S. Более подробно: рассмотрим
объекты (R, S; G, С, А), состоящие из колец R =з 5 и модулей
Gr, rC, rA. Заменой колец (+ в G и С, — в Л) является четверка
% = (р, I, у, а): (Я, 5; G, С, А) -> (R', S'; G', С, А'), (8.10)
где р : R ->-/?' есть кольцевой гомоморфизм, причем р E) с S', а
?:G->GP, y:C->pC, а:рЛ'->Л
гомоморфизмы 7?-модулей (отметим, что направления гомоморфиз-
гомоморфизмов а и 7 противоположны). Эти объекты и морфизмы % вместе с ум-
23—353
354
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
ножением (р, ?, у, а) (р', ?', у', а') = (рр', ??', у/, а'ос) состав-
составляют категорию замены колец М++~; если опустить Л и а, то полу-
получим «ковариантную» категорию замен колец М++. Каждый морфизм
% индуцирует цепное преобразование
® Y : G
С
др„
и, значит, по определению (8.5) — отображение
X* : Torf'S) (G, С) -> Torf'8/) (G', С),
которое превращает относительное периодическое умножение Тог„
в ковариантный функтор из категории J?++ в категорию абелевых
групп. Гомоморфизм зс* можно вычислить также с помощью S-pac-
щепляющихся относительно свободных резольвент г : Y -> G,
e,':Y'-*~G'\ действительно, «отступление» превращает г': Y'p-+
-*- Gp в отображение комплексов ^-модулей с S-модульной расщеп-
расщепляющей гомотопией, так что по теореме сравнения (относительно
проективные комплексы и расщепляющиеся резольвенты) гомомор-
гомоморфизм ? : G->- Gp накрывается цепным преобразованием ф : Y -*¦ Y'p.
Индуцированное отображение групп гомологии, умноженное на
отображение Y'p ®йрС* ->• Y" ®R-C, определяет гомоморфизм х*
как произведение отображения
Hn(Y<
и изоморфизмов (8.9).
'- Нп (Y'p <g> я С) -* Нп (Y' ® в'С)
Мы пишем Extyj.s) по аналогии с Tor?f'S) для соответствую-
соответствующего относительного функтора ext. Так, по F.3)
Ext?H, S) (С, А) = Нп (Нотл (Р (R) ® RC, A)) s
^ Я- (Нотд_д (р (R), Homz (С, А))),
где изоморфизм справа есть сопряженная ассоциативность, а
Homz (С, А) есть jR-бимодуль. Этот функтор Ext является контра-
вариантным функтором из категории замен колец М+- (опустить G
и ? в (8.10)). Если фиксировать R и положить р = 1, то получается
обычное описание Ext(R, s> (С, Л) как бифунктора, контравариант-
ного по С и ковариантного по А.
УПРАЖНЕНИЯ
Первые шесть упражнений взяты из работы Хохшильда [1956].
1. Каждый (R, 5)-проективный модуль Р является ^-прямым слагае-
слагаемым некоторого модуля R<g)8A.
2. Для каждого модуля SM модуль Homs (R, М) является (R, S)-
относительно инъективным.
§ 9. Прямые произведения колец
355
3. Доказать, что имеется достаточно (R, 5)-инъективных объектов.
4. Если Р есть (R, 5)-проективный модуль, а а : А -*¦ В такой гомо-
гомоморфизм й-модулей, что Homs (Р,А) -» Homs (Р> в)> т0 Нотй (Р,А) -»
¦» Нотн (Р,В).
5. Для того же объекта Р и гомоморфизма а правых ^-модулей из моно-
мономорфизма А ® sP >-» В ® sP следует мономорфизм A ®r Р >* В ® rP.
6. Для S-расщепляющихся (^?,5)-проективных резольвент X -*¦ С
и Y -*¦ G доказать, что Тог^1 S) (G,C) s Я„ (F®H X).
7. Дать описание элементов Tor(R' S) (G, А), аналогичное описанию эле-
элементов (ц, L, v), использованному в V.7.
8. Показать на примере, что ExtJR) s^ Ф Extjj,
9. Показать, что Р (R) есть (ненормализованная) S-резольвента для
резольвентной пары ,5?', где^ = ^-бимодули, <М = S-J^-бимодули, F (М) =
= R (g)s M ne(m)=l®m.
10. Для резольвентной пары М' из упражнения 9 показать, что
Здесь С <g)z G—бимодуль с операторами г (с (g) g)=rc
г = с (g) gr.
§ 9. Прямые произведения колец
Прямое произведение R = R' X R" двух колец является коль-
кольцом с аддитивной группой R" © R" и умножением (ri, fi) (r'2, rl) =
— (/-1/'«> rirl)- 1Эт° — в точности прямое произведение R" и R"
как Z-алгебр (VII.5.1).] Каждый левый ^'-модуль А" превращается
в R-модуль П1А" отступлением вдоль проекции щ : R' x R"-*- R", и
аналогично для ^"-модулей. В частности, R" и R" суть левые jR-
модули, а поэлементное определение умножения в R показывает,
что R ^ R" ® R" есть изоморфизм jR-модулей и, значит, R" и R"
суть проективные jR-модули.
Лемма 9.1. Если R'-модули С" uG' и R "-модуль А" рассмат-
рассматриваются как R — R" х R"-модули, то
G'®RA" = 0, Нотл(С, Л") = 0. (9.1)
Доказательство. Возьмем элемент (Г, 0) 6 R. Тогда
Аналогично если f : С" -*- А", то
Соответствие А-+ А" = R' <8>R А, а ->• а" = 1Л- ® а опреде-
определяет ковариантный функтор из категории ./^-модулей в категорию
7?'-модулей. Этот функтор точен: из а || р следует а" || Р". Более
того, имеет место
23*
356
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Предложение 9.2. Каждый левый (R'хR")-модуль А
представим в виде прямой суммы A s (яИ') © (я3А") двух R-моду-
лей, первый из которых получен отступлением из R'"-модуля А',
а второй— из R"-модуля А". Эти модули А' и А" определены
с точностью до изоморфизма А' ^ R'®R A, A" ^ R"<8)r А. При
заданном разложении модулей А и В каждый R-модульный гомо-
гомоморфизм а : А -*- В имеет единственное представление в виде
а = аа", где а':А'-+В\ и а": А"-*¦ В" — это R'- и
R''-модульные гомоморфизмы соответственно.
Доказательство. Используя изоморфизм R ^ R" © R ",
получаем разложение
А = R ® RA^(R'@R") ® RAg?(R' ® RA)@ (R" ® RA).
Если А = А' © А" — разложение указанного вида, то из (9.1)
имеем R" ®ЛА = R' <g>RA' = R" Фд-А' э* А'. Для гомомор-
гомоморфизмов а : А-*-В, а' = 1л- ® а : R" ®яА->- R' ®Н5 и а" =
= 1Л» ® а имеем а о* а" © а".
Следствие 9.3. Для левых R-модулей А и С и правого R-
модуля G, каждый из которых разложен так, как указано в предло-
предложении 9.2, существуют естественные изоморфизмы
Натн (С, А) е* HomR' (С, А') © Нотд» (С", А"), (9.2)
G®j1i4@$G'®B'4'0Gr®R.i4". (9.3)
Доказательство. Функтор Нотл (С,А) аддитивен по
своим аргументам С и А, Нотд (С, А') ^ Нотл< (С, А') и
Нотл(С", А") = 0 по (9.1).
Изоморфизмы, аналогичные изоморфизмам (9.2) и (9.3), спра-
справедливы для относительных функторов Ext и Тог. Например, если
даны подкольца S' с R" и S " с R ", то S = S' x S " есть подкольцо
кольца R' х R ", причем ntS = S', я25 = S". Мы рассмотрим
более общий случай произвольного подкольца кольца R'xR".
Теорема 9.4. Если S — подкольцо кольца R'xR", то по-
положим S" = KiS cz R', S" = п25с R". Для левых R-модулей
А и С и правого R-модуля G, каждый из которых разложен, как в пред-
предложении 9.2, для любого п существуют естественные изоморфизмы
Extfe, S, (С, A) sExtfc.. S-) (С, А') © Extfe-, s») (С", А"), (9.4)
Tor<f'S) (G, С) ss Тог?' •so (С, С) © Тог?'1 S"} (С, С"). (9.5)
Те же изоморфизмы верны, если опустить S, S" и S ".
Доказательство. Сначала заметим, что (jR", S')-cbo-
бодный модуль R' <S>s-M" также (R, 5)-проективен (хотя не обя-
§ 9. Прямые произведения колец
357
зательно (R, S)-свободен). В самом деле, левый S'-модуль М" ста-
становится левым S-модулем при отступлении, и, используя лемму
об отступлении, получаем:
R ® 8М' & R' <g> вМ' ®R"®sM's*R'® s-M' © R" <g> s»M'.
Поскольку (R, SX-проективен модуль R ®sM', то проективно
и его прямое слагаемое jR* ®s' M".
Теперь выберем относительно свободные расщепляющиеся резоль-
резольвенты в': X"-*¦ С и е":Х"^-С" компонент модуля С. Тогда
е'-© е" : X' © X"-*- С © С" есть резольвента Я-модуля С© С",
которая S-расщепляется прямой суммой S'- и S "-стягивающих
гомотопий комплексов X' и X". В силу первого замечания каждый
член X; © X; здесь {R, 5)-проективен. Применяя (9.2) и (9.3) для
X = X' © X", имеем
Нотл (X, А) & НотК' (X', А') © Нотк* (X", А"),
G®RX^G'® R.X' © G" О Й»Х".
Переход к группам гомологии и когомологий дает требуемые изо-
изоморфизмы (9.4) и (9.5).
В изоморфизме (9.5) каждая проекция Тог„ (G, С) -*¦
-vTorn(G", С') может быть описана как отображение %*, индуци-
индуцированное заменой колец % : (R, S; G, Q-^-^R'^S'; G", С), кото-
которая получается проектированиями jR = R'xR"-+ Rr, G = G* ©
0 G"->- G* и т. д. Действительно, для вычисления х* надо накрыть
С^-С цепным преобразованием ф:Х-»-Х'; такое ф есть про-
проекция Х = Х'©Х"->-Х\ использованная при выводе (9.5).
Доказательство тех же результатов в случае, когда нет кольца
S, еще проще; если X; —.свободный ^'-модуль, то он является
прямой суммой копий R и, значит, #-проективен.
Эта теорема будет использована в следующей главе для алгебр
(§ 6).
ГЛАВА
X
Когомология
алгебраических систем
§ 1. Введение
Гомология алгебраических систем является объектом изучения
относительной гомологической алгебры.
Для группы П используются точные последовательности П-
модулей, которые расщепляются как последовательности абелевых
групп. Группы когомологий группы П с коэффициентами в модуле
пА определяются следующим образом (см. IX.7):
Нп (П, А) = Extern (Z, А) & Ext?Z(n)f Z) (Z, А). A.1)
Соответственно группы гомологии группы П с коэффициентами
в модуле Gn будут определены так:
Нп (П, G) = Тог*(П) (G, Z) s Тог{?(П)> Z)(G, Z). A.2)
Для К-алгебры Л используются точные последовательности
Л-бимодулей, которые расщепляются как последовательности пра-
правых Л-модулей, или последовательности, которые расщепляются
только как последовательности К-моду лей. Для Л-бимодуля А кого-
когомология и гомология алгебры Л определяются следующим образом:
Я" (Л, А) = ExtfA-л, к-л) (Л, А) е* Ех^л-л, ю (Л, А), A.3)
Нп (Л, А) = Тогкл"л> к"л) {A, A) si Тот(пА-А-к> (Л, Л). A.4)
Эти эквивалентные описания даны в терминах Б-резольвенты для
алгебр, которая дана в явном виде в § 2 и является специальным
случаем Б-резольвенты (IX.7) для резольвентной пары категорий.
В этой главе исследуются свойства групп Я„иЯ"и рассматриваются
подобные группы (ко)гомологий для градуированных и диффе-
дифференциальных градуированных алгебр, а также для моноидов и для
абелевых групп.
§ 2. Б-резольвента для алгебр
Пусть Л является алгеброй над кольцом К. Единица 1Л опре-
определяет К-модульное отображение / : К — * Л; коядро этого отоб-
§ 2. В-резольвента для алгебр
359
ражения АН (К) = Л/(К1Л) будет обозначаться через Л/К,
а элементы коядра будут записываться как смежные классы Я-]-К.
Для каждого левого Л-модуля С построим относительно сво-
свободный Л-модуль (® = ®к)
Вп (Л, С) = Л ® (Л/К) ® ... ® (Л/К) ® С (п множителей Л/К).
B-1)
Как К-модуль он порождается элементами, которые мы запишем,
заменив символ ® вертикальными черточками:
в частности, элементы Бо запишутся как X [ ]с. Левый множитель К
определяет левую Л-модульную структуру в Б„; здесь символ
l^j | . . .| Яу,] с без оператора Я. обозначает соответствующий
элемент из (Л/К)п ® С. Эти элементы нормализованы в том смысле,
что
= 0, B.3)
если один из элементов Я,г ? К.
Теперь построим отображения, указанные в диаграмме
t; б0 (Л, с) ^ 5j (Л,
Определим К-модульные гомоморфизмы s_i : С
—> Б„ + 1, ПОЛОЖИВ S-iC = 1 [ ] С И
S» (Я- [Я,4 | . . . | In] С) = 1 [Я, | Я,! | . . . | К] С, П > 0.
Бо и Sn : Б„
B.4)
Ввиду нормализации n
Л-модулей е,:В0-+С и
г (Я, [ ] с) = Ял и
= 0. Определим гомоморфизмы левых
dBBn-i при /г >0, положив
dn:Bn
+ 2 (- 1А [Я-11 • • •
г=1
I • • • I Ьп]с + (-1 )ПЯ. ^ | ... 1 Xn-i
B.5)
Это определение законно, поскольку правая часть формулы К-
полилинейна и нормализована: если некоторое Я,г = 1, то члены
с номерами i — 1 и i взаимно уничтожаются, а остальные члены
равны нулю.
Теорема 2.1. Для каждого левого А-модуля С гомоморфизм
ъ-В (Л, С) -v С есть резольвента, состоящая из (Л, К)-относи-
тельно свободных левых А-модулей, которая К-раацепляется стя-
360
Гл.ш X. Когомология алгебраических систем
гивающей гомотопией s, причем s2 = 0. Кроме того, В (Л, С) —
ковариантный функтор аргумента С.
Эту теорему можно доказать непосредственно, исходя из напи-
написанных выше формул. С другой стороны, используем резольвенту
из IX.7 для резольвентной пары 31 с #=левые Л-модули, аМ =
— К-модули, F (М) = Л ® М, e(m) = l®ffi. Поскольку после-
последовательность К--* Л—» Л/К—> 0 точна справа как последова-
последовательность К-модулей, каждый К-модуль М порождает точную спра-
справа последовательность
М = К ® М-> F (М) = А ® М-~> (Л/К) <g> М-> 0,
так что F (М)о* (Л/К) <g> М. Далее, отображение sM : F (М) ->
---» FF (М) определяется формулой s (A, (gi m) = 1 <g> (А. + К) ® т.
Следовательно,
Вп (М, C) = FFnaC = A® (Л/К)п <g> С = Вп (Л, С),
где В {&, С) обозначает то же, что и в IX G.3), a s определяется
формулой B.4). Формулы для е и д„ определяют единственный
граничный гомоморфизм, для которого s есть стягивающая гомо-
топия. Следовательно, В {М, С) = В (Л, С).
Существует несколько вариантов В-резольвенты, что будет
сейчас показано.
Для ненормализованной В-резольвенты Р (М, С) = р (Л, С)
(см. IX.6)
р„ (Л, С) = FFnC = Л <g> Л" <g> С, B.6)
где Л" = Л (g> . . . ® Л (л множителей). Гомотопия s, e и гра-
граничный гомоморфизм задаются формулами B.4) и B.5), в которых
каждый символ А, [А,41 . . . | Х„ ] с заменяется элементом Я, <g) A,d ® ...
• • • <S> К <S> c- В этом случае граничный гомоморфизм можно
переписать, как и для сингулярного комплекса пространства, в bh:
ДО дп = 2 (—1)*^ь гДе dt '• Рп -*¦ Pn-i являются Л-модульными
гомоморфизмами, определенными формулой
dt (Хо ® А,4 ® ... (g> Я„ ® с) = Ко <8> • • • ® ЯгЯг+i ® ... ® с,
i = 0 л B.7)
(при ? = /г правая часть равна Яо® . . . ® Я„с). Теорема 2.1 спра-
справедлива и при замене резольвенты В (Л, С) резольвентой р (Л, С),
за исключением того, что sz не обязательно равняется нулю в р (Л, С).
Далее, Л-модульное отображение т] : р„ -*- Вп, определенное
равенством tj (Я, ® ^ ® . . . ® ^ ® с) = A. [Ai j . . . | А^ ] с, являет-
является Л-модульным цепным преобразованием, накрывающим 1С : С-*-
-*-С; действительно, оно является каноническим отображением
§ 2. В-резольвента для алгебр
361
сравнения резольвент рл и Вп. Значит, по теореме сравнения имеет
место
Следствие 2.2. {«.Теорема о нормализации».) Проекция
¦ц: р (Л, С) ->- В (Л, С) является цепной эквивалентностью комплек-
комплексов К-модулей.
Ядро Ti является Л-модулем, порожденным объединением обра-
образов Л-модульных гомоморфизмов s? : Р„ ->- Pn+i :
s? (A,
с) =
= Я,
B.8)
для t = 0, . . ., п. Эти гомоморфизмы S; и гомоморфизмы dt
из B.7) превращают р (Л, С) в ассоциированный цепной комплекс
симплициального Л-модуля, а т] есть симплициальная нормализа-
нормализация из теоремы VII 1.6.1.
Для построения бимодульной В-резольвенты В (Л, Л) возьмем
в качестве С алгебру Л. Тогда каждый модуль Вп становится
Л-бимодулем; формула B.5), в которой элемент с нужно заменить
элементом %' 6 Л, показывает, что отображения е и дп для всех п
являются Л-бимодульными гомоморфизмами. Аналогично s из B.4)
становится гомоморфизмом правых Л-модулей; тем самым получено
Следствие 2.3. Если А есть К-алгебра, то г : В (А, А) -*-
-у А есть резольвента бимодуля А, состоящая из (Л-Л, Л справа)-
свободных бимодулей, расщепляющаяся как последовательность пра-
правых А-моду лей, и в то же время К-расщепляющаяся резольвента А,
состоящая из (Л-Л, К)-свободных бимодулей.
В последнем предложении не утверждается, что В (Л, Л) —
категорная резольвента для резольвентной пары (Л-бимодули,
К-модули). Заметим также, что В (Л, С) ^ В (Л, Л) ®ЛС
Левая В-резольвента применяется для пополненных алгебр
е: Л -> К и равна В (Л) = В (Л, еК), где еК — кольцо К, рас-
рассматриваемое как левый Л-модуль, полученный отступлением вдоль
е. В этом случае Вп (Л) = Л <g> (Л/К)" порождается элементами
А, [А,! | . . . | ХД a s и д определяются формулами B.4) и B.5), в
которых нужно опустить с, а «внешний» множитель Хпс в последнем
члене из B.5) заменить на е (А,„). Тогда В (Л) -*¦ еК — это К-рас-
К-расщепляющаяся, (Л, К)-свободная резольвента левого Л-модуля
еК. В частности, когда К = Z и Л = Z (П), она превращается
в В-резольвенту из IV.5.
Редуцированная В-резольвента для пополненной алгебры Л —
это комплекс В (Л) = Ке ®Л В (А), так что Бо (Л) = К и Вп (А) =
= (Л/К)п при п > 0. Формула для стягивающей гомотопии уже
362
Гл. X. Когомология алгебраических систем
не применима к В, но формула для граничного гомоморфизма по-
прежнему применима: нужно опустить с и левый оператор Я и в B.5)
заменить оператор К на е (%i) и %пс на е (%„). «Редуцированная В-
резольвента» не есть резольвента, но оказывается полезной при
подсчетах. Левая и редуцированная 5-резольвенты могут быть по-
построены также без нормализации.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Л—пополненная алгебра, и пусть X— произвольная отно-
относительно свободная К-расщепляющаяся резольвента модуля ЕК, состоящая
из левых Л-модулей. Показать, что канонические сравнения (теорема
IX.6.2) ф: В (Л) -*¦ X, ty: X ->- В (Л), накрывающие единицу, удовлет-
удовлетворяют равенству <рф = 1.
2. (Картан.) Если Л — пополненная алгебра, то показать, что левая
В-резольвента В (Л) характеризуется с точностью до изоморфизма как
К-расщепляющаяся резольвента X модуля еК с такой стягивающей гомо-
топией s, что S2 = 0 и Х„еЛ0 s^n-i-
3. Теорему о нормализации можно доказать непосредственно. Пока-
Показать, что бимодульное цепное преобразование ? : В (Л, С) ->- Р (Л, С), для
которого е? = е, можно_ определить рекурсивно, положив ?0 = 1, ^е„ =
= sZn-i^en, где еп = e(FnOC). Доказать, что tj? = 1 и с помощью анало-
аналогичных средств построить цепную гомотопию ^П =* 1; г\ — отображение
из следствия 2.2.
4. Показать, что для левых Л-модулей С и А одномерные коциклы коцеп-
ного комплекса НогпЛ (В (Л, С), А) можно рассматривать как системы фак-
факторов для К-расщепляющихся Л-модульиых расширений А с помощью С.
§ 3. Когомология алгебры
Очевидно, что п-ы модулем когомологий К-алгебры Л с коэф-
коэффициентами в Л-бимодуле А является К-модуль
Нп (А, А) = Нп (Нотл-л (В (А, А), А)), п = 0, 1, ..., C.1)
ковариантный функтор аргумента А. Здесь Нотл-л обозна-
обозначает модуль бимодульных гомоморфизмов. В соответствии с теоре-
теоремой о нормализации мы можем заменить бимодульную 5-резоль-
венту В (А, А) ненормализованной В-резольвентой р (Л, Л). Обе
резольвенты В (Л, А) и р (Л, Л) являются (Л-Л, К-Л)-относи-
тельно проективными резольвентами бимодуля Л, расщепляющими-
расщепляющимися как последовательности правых Л-модулей, а также К-расщеп-
ляющимися, (Л-Л, К)-относительно проективными резольвентами
Л, так что Я" (Л, А) во всяком случае есть n-й относительный
•функтор Ext, как указано в A.3).
Мы назовемЯ" (Л, А) модулями когомологий Хохшильда модуля А,
лоскольку они впервые были определены Хохшильдом [1945],
§ 3. Когомология алгебры
363
использовавшим формулы, данные для В-резольвенты, в случае
когда К есть поле.
Комплекс Нотл_л (В (Л, Л), А), использованный в C.1), мож-
можно описать более непосредственно. Рассмотрим К-полилинейные
функции f, определенные на n-кратном прямом произведении Ах...
... X Л со значениями в А; назовем функцию f нормализован-
ной, если f {%и . . ., Ял) = 0 всякий раз, когда один из элементов
Хг равен 1. Например, функция [Xt [. . . | %п] с из B.3) К-поли-
линейна и нормализована. Универсальное свойство тензорного
произведения Вп (Л, Л) = Л (g) (Л/К)" (g) Л означает, что каж-
каждая К-полилинейная нормализованная функция f определяет един-
единственный бимодульный гомоморфизм /: Вп (Л, Л) -> А, для кото-
которого
? %)
Следовательно, модуль НотЛ-л (В (Л, Л), А) изоморфен К-моду-
лю всех К-полилинейных нормализованных функций, заданных
на n-кратном прямом произведении. Кограничный гомоморфизм
б/ является функцией, определенной согласно правилу знака
формулой
i
C-2)
В частности, нульмерная коцепь — это константа а?А; ее когра-
кограница — это функция f : А-*- А, причем f (X) — аХ — Ха. Назовем
элемент а 6 А инвариантным, если Ял = а% для всех %, и пусть АА
обозначает К-подмодуль всех инвариантных элементов из А; тогда
Я0 (Л, А) & АА = {а | %а = аК для всех К ? Л}. C.3)
Аналогично одномерный коцикл — это К-модульный гомоморфизм
/:Л->Л, удовлетворяющий тождеству
f(%ih) = hf(h) + f(K)K К ^?Л; C.4)
такая функция f называется скрещенным гомоморфизмом алгебры
Л в модуль А. Он является кограницей, если имеет вид fa (%) =
= dk — Ха для некоторого фиксированного а; назовем fa главным
скрещенным гомоморфизмом. Следовательно, Н1 (А,А) есть К-фак-
тормодуль К-модуля всех скрещенных гомоморфизмов по подмоду-
подмодулю главных скрещенных гомоморфизмов, в точности так же, как
в случае когомологий групп (IV.2).
Как и для случая групп, Я2 (Л, А) можно интерпретировать
в терминах расширений с помощью алгебры Л. Расширением с по-
364
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ 3. Когомология алгебры
365
мощью алгебры Л называется эпиморфизм а : Г ~» А алгебр. Ядро
/ этого эпиморфизма является двусторонним идеалом в Г и, сле-
следовательно, Г-бимодулем. Для каждого п пусть Jn обозначает К-
подмодуль алгебры Г, порожденный всеми произведениями
hh • • . /п из я множителей jt 6 J. Тогда J = J1zdJ2z3J3z3 . . ¦
и всякое Jn — двусторонний идеал в Г. Расширение а называют
рассеченным, если а обладает правым обратным гомоморфизмом
алгебр ф : Л -»- Г (atp = 1Л), т. е. если Г содержит подалгебру,
изоморфно отображающуюся при гомоморфизме а на Л. Расши-
Расширение а называют сингулярным, если идеал J — Ker a удовлетво-
удовлетворяет условию Р = 0. В каждом сингулярном расширении Г-би-
модуль J можно рассматривать как Л-бимодуль, так как из ау =
= ау' следует (у — у') 6 J, откуда у] = y"j для каждого / ? J, по-
поскольку У2 = 0. Тем самым определяется действие слева каждого
элемента X = а (у) на /.
Обратно, если дан произвольный Л-бимодуль Л, то сингуляр-
сингулярным расширением А с помощью Л называется короткая точная
последовательность (х, а) : А >-» Г -» Л, где Г — алгебра, a —
гомоморфизм алгебр, А рассматривается как Г-бимодуль, получаю-
получающийся при отступлении вдоль а, и х: А >-» Г есть мономорфизм
Г-бимодулей. Для фиксированных Л и Л два таких расширения
(х, а) и (х\ а') называются конгруэнтными, если существует такой
гомоморфизм р: Г -»- Г* алгебр, что х' = рх, a = a'p. Это усло-
условие приводит к уже знакомой нам коммутативной диаграмме, из
которой следует, что р — изоморфизм. Примером расширения А
с помощью Л является полупрямая сумма, определенная как К-мо-
дуль Л © Л с умножением (аи Я4) (а2, Х2) = (а^з + ^2, Х^Х2);
вместе с отображениями ха = (а, 0) и а (а, X) = X она является
сингулярным расширением А с помощью Л, рассеченным отобра-
отображением ф, ц>Х = @, X). Любое рассеченное сингулярное расширение
конгруэнтно полупрямой сумме.
Рассмотрим те сингулярные расширения (х, а), которые К-рас-
щепляются в том смысле, что существует К-модульный гомомор-
гомоморфизм и : Л —-»¦ Г, обратный справа к а. (Любое рассеченное расши-
расширение К-расщепляется; если К — поле, то любое расширение К-рас-
щепляется.) Отождествим каждый элемент а? Л с элементом ха? Г,
так что х: Л -*¦ Г есть тождественное вложение. Правое обрат-
обратное отображение и можно выбрать так, чтобы выполнялось «нор-
мализационное» условие и Aл) = 1г> если и не удовлетворяет этому
условию, то положим ао=ыAл) — 1г(|Л; тогда и' (К) = и (Ц —
— %ай является новым правым нормализованным обратным. Кроме
того, а [и (Я^г)] = ХД2 = а [и (м) и (Х2I. так что существуют
такие однозначно определенные элементы f (Яь Я2) ? Л, что
Назовем элементы f системой факторов расширения, соответст-
соответствующей представителям и.
Теорема 3.1. Если Л есть К-алгебра и А естьА-бимодуль,
то каждая система факторов ^-расщепляющегося сингулярного
расширения бимодуля А с помощью алгебры Л является двумерным
коциклом комплекса НотЛ-л E (Л, Л), Л). Сопоставление каждому
расширению когомологического класса любой из его систем факторов
определяет взаимно однозначное соответствие между множеством
классов конгруэнтности К-расщепляющихся сингулярных расшире-
расширений А с помощью Л и модулем HS(A,A). При этом соответствии
рассеченные расширения (в частности, полупрямая сумма) переходят
в нуль.
Доказательство. Будем рассматривать элемент и (к)
как представитель элемента X в расширении Г. Г-бимодульную
структуру в Л можно следующим образом описать с помощью эле-
элементов и:
и{%)а = Ха, аи (X) = аХ,
C.6)
где а ? Л, X ? Л произвольны. Поскольку и есть К-модульный
гомоморфизм,
C.7)
Для системы факторов из C.5) правило C.6) дает
[и (Xi) и (Х2)} и (Х3) = f (Xi, X2) X3+f (bjXa, X3) + и (
и (А*) [и (Х2) и (Х3)\ = Xif (h, X3) + f(Xu ХгХ3) + и (ХгХ2Х3).
Так как умножение в Г ассоциативно, то
X\f (Х2, Х3) — f (^i^2, ^з) + / (Xi, Я2Л3) — f (Xt, Х$ Х3 — 0.
и (Xi) и (Хг) = / (Хи Х2) + и
C.5)
C-8)
Это есть в точности условие 8f = 0, означающее, что система факто-
факторов является двумерным коциклом; более того, из равенства и A) =
= 1 следует, что функция f нормализована. Замена представителей
и представителями и', и' (X) = g (X) + и (X), где g : А -> Л есть
некоторая К-линейная функция с нормализационным условием
g A) = 0, приводит к новой (нормализованной) системе факторов
/ + bg. Значит, расширение однозначно определяет когомологи-
когомологический класс функции /.
Любой элемент алгебры Г можно единственным образом запи-
записать в виде а + и (X). Здесь К-модульная структура в Г, сум-
сумма и произведение двух таких элементов определяются равенствами
C.5) — C.7). Для данных Л, Л и некоторого двумерного коцикла /
с помощью этих равенств строится расширение Г: в частности, усло-
условие б/ = 0 достаточно для того, чтобы сделать умножение ассоци-
366
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ 3. Когомология алгебры
367
ативным. Если / = О, то это построение приводит к полупрямой
сумме, чем доказательство и завершается.
Двусторонний идеал J называется нильпотентным, если Jn =
= 0 для некоторого п.
Теорема 3.2. (Уайтхед—Хохшильд.) Если К— поле и если для
К-алгебры А выполняется равенство Н2 (Л, А) = О для каждого
А-бимодуля А, то любое расширение алгебры А с нильпотентным.
ядром является рассеченным.
Пусть «Л1 = 0 для ядра / расширения ст: Г -*. Л. Дока-
Доказательство проведем индукцией по п. Если п = 2, то расширение
сингулярно и К-расщепляемо; поскольку Я2 (Л, У) = 0, расшире-
расширение рассечено по теореме 3.1.
Предположим, что результат верен для ядер экспоненты п — 1,
и возьмем расширение а с ядром J ф 0, Jn — 0. Тогда Р строго
содержится в /, поскольку из Л = J следует Jn = J ф 0. Для
факторалгебры ГА/2 построим коммутативную диаграмму (указана
слева)
J—>Г—>А Г'-1>Г
срЛ с= T/J*.
Ядром проекции р является J2, а ядром а" — J/J2, и, следователь-
следовательно, а" есть сингулярное расширение Л. В силу рассмотренного
уже случая п = 2, а* рассекается некоторым ср. Теперь р-1 (фЛ)=
= Г" есть подалгебра алгебры Г и р индуцирует гомоморфизм
р": Г* -э» фЛ ^Лс ядром J2. Поскольку (J2)" c= Jn = 0, из индук-
индуктивного предположения вытекает, что р" рассекается некоторым
отображением ф", и поэтому а рассекается отображением кр'ф.
В этом результате содержится основная теорема Веддербарна
для алгебры Г конечной размерности (как векторного пространства)
над полем. Каждая такая алгебра имеет такой двусторонний ниль-
потентный идеал R, называемый радикалом, что факторалгебра
T/R полупроста. Теорема Веддербарна утверждает, что если алгеб-
pa T/R сепарабельна, то расширение T-+T/R рассечено. Это еле-
дует из теоремы 3.2, так как из сепарабельности алгебры Y/R еле-
дует (теорема VI 1.5.6), что bidim T/R = 0, следовательно,
bidim Г/^<1 и H2(T/R, А) = 0 для всех (Г7#)-бимодулей
А. Поэтому расширение Г-> T/R рассечено.
Замечание. Для алгебр конечной размерности над полем тео-
теорема 3.2 верна также и без предположения о нильпотентности ядра (Хох-
(Хохшильд [1945], предложение 6.1); (Розенберг — Зелинский [1956]). Проблема
препятствий для построения несингулярных К-расщепляющихся расшире-
расширений с данным ядром приводит (Хохшильд [1947]) к интерпретации модулей
Я3 (Л, А), параллельной интерпретации для случая групп (IV.8). Для рас-
расширений, которые не К-расщепляются, требуется вторая, аддитивная,
система факторов вместо линейности и в C.7); мы вернемся к этому вопросу
в § 13.
Группы когомологий фиксированной К-алгебры Л, как пока-
показывает следующая теорема, характеризуются аксиомами, подоб-
подобными аксиомам для функтора Ext.
Теорема 3.3. Для каждого п>0, Нп (Л, А) есть ковариант-
ный функтор из категории А-бимодулей А в категорию К-модулей.
Модуль Н° определяется формулой C.3), Нп (Л, А) — 0, если п > 0
и А — бимодуль вида А = Нотк (Л, М), где М есть К-модуль.
Для каждой К-расщепляющейся короткой точной последовательно-
последовательности Е: А >-* В -* С бимодулей и для каждого п>0 существует
связывающий гомоморфизм Ет : Нп (Л, С) -»- Нп+1 (Л, А), естест-
естественный по аргументу Е, такой, что длинная последовательность
> Нп (Л, А) -* Нп (Л, В) -> Нп (Л, С) ^5- Яп+1 (Л, А) -* • • •
точна. Эти свойства определяют модули Нп и связывающие гомо-
гомоморфизмы ?„ с точностью до естественных изоморфизмов Нп.
Доказательство оставляется читателю; заметим, что
Нотк (Л, М) —«относительно инъективный» бимодуль.
Если е : Л -> К — пополненная алгебра, то каждый левый Л-мо-
дуль D становится Л-бимодулем De, если правую модульную струк-
структуру в D задать отступлением вдоль е.
Предложение 3.4. Для левого модуля D над пополненной
алгеброй (Л, е) когомологию Хохшильда бимодуля De можно вычис-
вычислить с помощью левой В-резольвенты, используя етественный изо-
изоморфизм
Нп (A, D.) ^Нп (НотЛ (В (Л), D)). C.9)
Доказательство. Канонический изоморфизм
Нот (К, D)^D левых Л-модулей является также изоморфизмом
Л-бимодулей Нот (еК, D) ^Ds. Поэтому для любого бимодуля В
сопряженная ассоциативность устанавливает естественный изо-
изоморфизм
Нотл (В
еК), D) & Нотл_л
К, D)) а* Нотл.л E, ?>,).
Если В — двусторонняя 5-резольвента, то В ®л (8К) — левая
В-резольвента; отсюда вытекает требуемый результат C.9).
Замечание. Предположим, что К-алгебра Л проективиа как
К-модуль. Тогда и Л™ будет К-проективна (следствие V.3.3); следовательно,
рп (Л, Л) — проективный Л-бимодуль (предложение VI.8.1). Значит,
368
Гл. X. Когомология алгебраических систем
в: Р (Л, Л) ->- Л есть проективная бимодульиая резольвента алгебры А.
В этом случае модуль Нп из C.1) определяется как «абсолютный» функ-
функтор Ext:
Нп (Л, А) =5 Ext^.A (Л, А) (если Л К-проективна).
Если вместо Р использовать В, то этот же результат справедлив для
алгебры. Л/К, если она проективна как К-модуль, Картан и Эйленберг
определяют когомологию Хохшильда с помощью абсолютного функтора
Ext во всех случаях, так что их определение не всегда совпадает с нашим.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что АА есть Л-подбимодуль бимодуля А, если алгебра Л
коммутативна.
2. Построить «сумму Бэра» для расширений бимодуля А' с помощью
алгебры Л таким образом, чтобы соответствие, указанное в теореме 3.1,
было изоморфизмом абелевых групп.
3. Показать, что Н1 (Л, А) есть группа классов конгруэнтности тех
бимодульных расширений А >-> В -» Л, которые К-расщепляются.
4. Показать в явном виде, что каждая короткая точная последователь-
последовательность А >-» В -» Л бимодулей, которая К-расщепляется, расщепляется так-
также как последовательность правых Л-модулей.
5. Если Л — пополненная алгебра и М есть К-модуль, то когомологию
модуля М, превращенного в бимодуль отступлением, можно вычис-
вычислить с помощью редуцированной В-резольвеиты, используя изоморфизм
Нп (Л,ЕЛ1е) ss Нп (Horn (В (Л), М)).
§ 4. Гомология алгебры
Для двух Л-бимодулей Л и В имеется «бимодульное» тензорное
произведение Л (g) л.лВ оно получается из тензорного произве-
произведения А ®кВ путем отождествлений
аХ (g) Ь — a (g> Xb, Ха (g> b = a (g) ЬХ
[внутренняя ассоциативность и внешняя ассоциативность, как и в
VIE.10)]. Канонический изоморфизм А ®лЛ = А имеет аналог
для бимодулей. Действительно, если А — бимодуль, а М есть К-мо-
К-модуль, то естественный изоморфизм
D.1)
§ 4. Гомология алгебры
369
можно определить формулой 0 [a (g) (X ® т <g> X') ] = Х'аХ (g> m,
так как правая часть этой формулы К-полилинейна и удовлетворяет
требованиям внешней и внутренней ассоциативности. Обратное
отображение задается формулой 0-1 (a (g> т) = a (g) (I (g> m <g> 1).
Модули гомологии Хохшильда К-алгебры Л с коэффициентами
в Л-бимодуле А определяются с помощью В-резольвенты как К-мо-
дули
Нп (Л, А) = Нп (А ®Л.ЛВ (Л, Л)), п = 0, 1 D.2)
Как и для когомологий, это есть случай A.4) относительного перио-
периодического функтора, так как последовательности Л-бимодулей
должны расщепляться как последовательности правых Л-модулей
или как последовательности К-модулей.
В определении D.2) мы можем заменить В ненормализованной
5-резольвентой {5 (Л, Л), где рп (Л, Л) = Л (g> An ® Л. По D.1)
А ®л-лРп (л» л) = A (g) Л". Следовательно, Нп (Л,Л) есть п-й
модуль гомологии комплекса К-модулей А ® Лп с граничным гомо-
гомоморфизмом д = d0 — dt + . . . + (—l)ndn, где dt — «симплици-
альные» граничные операторы:
di (a
<8> Хп,
a (g) Xt (g> ... (g)
Я„а (g) X{ (g) ...
... (g)
i —О,
0 < / < n, D.3)
в последнем члене Хп появляется вначале благодаря «внешней» ассо-
ассоциативности. В частности, д (a (g> X) = аХ — Ха, так что Но —
это фактормодуль модуля А по К-подмодулю, порожденному всеми
разностями Ха — а%
Но (Л, A) S А/{Ха - аХ \ X € Л, а ? Л}.
D.4)
Подобно теореме 3.3, справедлива
Теорема 4.1. Для фиксированной К-алгебры Л каждый
Нп (Л, Л) — ковариантный функтор из категории А-бимоду-
лей А в категорию К-модулей, причем Но определяется формулой
D.4) и
Я„(Л, Л ® L ®Л) = 0,п>0, L есть К-модуль.
Если Е : А >-* 5 -» С есть К-расщепляющаяся короткая точная
последовательность бимодулей, то существует для каждого п > О
«связывающий» гомоморфизм Еп : Нп (Л, С) -*- #n_i (Л, Я), естест-
естественный по аргументу Е, такой, что длинная последовательность
... -*Яге+1(Л, С)-^»ЯП(Л, А)->Нп (Л, В)->Я„(Л, С)-> ...
является точной. Эти свойства характеризуют НпиЕпс точностью
до естественного изоморфизма.
Функторное поведение модулей гомологии алгебр аналогично
функторному поведению групп гомологии групп (IV.2.6). Рассмот-
Рассмотрим четверку (К, Л, Л, С), где К — коммутативное кольцо, Л
есть К-алгебра, а Л и С суть А-бимодули. Замена алгебр (с + у
аргумента Ли — у аргумента С) — это четверка
I = (х, р, а, у): (К, Л, Л, С) -»(К', Л', Л\ С), D.5)
24—353
370
Гл. X. Когомология алгебраических систем
где х:К->К' и р:Л->Л" суть такие кольцевые гомоморфизмы,
что р (Щ = (кк) (рк) для всех k и Я, и а: Л->рЛриу : рСр->С
(противоположное направление!) суть гомоморфизмы Л-бимо-
дулей, т. е. а (%а) = (pi) (аа) и а (аХ) — (аа) (р%). Категория с эти-
этими морфизмами ? обозначается 9В+-\ здесь показатели + и — ука-
указывают, что замена ковариантна по первому бимодулю А и контра-
вариантна по С. Опускание С и у дает категорию 38*¦ Мы также
используем категорию 9&%l, где кольцо К = К* фиксировано и х= 1.
Комплекс А ®л-л В (Л, Л) из D.2), а поэтому и #„ (Л, А),
является ковариантным функтором из J*+; в частности, отсюда
следует предыдущий результат о ковариантности функтора Нп (Л, А)
по А при фиксированных Л и К. Аналогично функтор Нп (Л, С)
контравариантен в категории $&-. Действие замены ? (с пропущен-
пропущенным а) на нормализованную коцепь/для Л' вида C.2) определяется
формулой (С*/) (Я,!, ...,K) = yf (Р*1, • • •> Р*п).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что изоморфизм A.1) естествен над категорией J8".
2. Пусть е : Л -*¦ К есть пополненная алгебра. Для правого К-модуля
М и К-модуля G доказать, что
ЯП(Л, еЛ1)=Я„(М®лВ(Л)),
§ 5. Гомология групп и моноидов
Когомология группы П изучалась в гл. IV, где использовался
функтор Нотп для Z (П)-модулей. Теперь, когда у нас имеется
тензорное умножение ®п = ®z(ii>MbI можем определить и изучить
гомологию группы П. Столь же легко сделать это для моноида М,
хотя дополнительная общность не имеет в данном случае большого
значения.
Моноид — это множество М с отмеченным элементом 1 = \м
и функцией, сопоставляющей каждой паре х, у 6 М «произведение»
ху ? М таким способом, что для всех х, у и z справедливо (ху) z =
— х (yz) и lx = х — х\. Моноидное кольцо Z (М), подобно груп-
групповому кольцу, состоит из всех конечных сумм 2 &г*ь ГДе kt ? 2,
xt G М, с очевидным умножением и с пополняющим кольцевым
гомоморфизмом е : Z (М) -*-Z, определенным посредством формулы
е B &i*0 = S fct- Это кольцо Z (М) может рассматриваться как
свободное кольцо, порожденное моноидом М, в смысле предложе-
предложения IV. 1.1. Под левым Л4-модулем мы будем понимать левый Z (М)-
модуль и будем писать ®м вместо ®zw)- Если М — свободный
коммутативный моноид с п образующими, то Z (М) есть кольцо
многочленов от п неизвестных.
§ 5. Гомология групп и моноидов
371
= Tor<f(M)'Z) (G, Z) &, Tor?(M) (G, Z). E.2)
. Мы оставляем читателю опи-
опиГомология моноида М с коэффициентами в правом модуле GM
определяется теперь с помощью левой Б-резольвенты В (Z (М))
следующим образом:
Hn(M,G)=Hn(G®MB(Z(M))), n = 0,l E.1)
Поскольку В (Z (М)) есть Z-расщепляющаяся проективная резоль-
резольвента левого М-модуля Z = eZ, мы можем записать это определение
в терминах относительного периодического умножения:
Нп (M
В частности, Ho (M, G) = G
сание когомологии моноида.
Для свободного модуля высшие периодические произведения
тривиальны, поэтому имеем
Предложение 5.1. Для группы П и свободного П-модуля F
Но (П, F) е< F ®nZ, Нп (П, F) = 0, л > 0.
Заметим, что если F — свободный П-модуль с образующими {t},
то F ®nZ — свободная абелева группа с образующими {t (g) I}.
Коммутант Ш, П]—это подгруппа группы П, порожденная
всеми коммутаторами хух-^-у-1, х, у ? П. Коммутант является
нормальным делителем П; факторгруппа П/[П, П] абелева, а ядро
любого гомоморфизма группы П в произвольную абелеву группу
содержит коммутант Ш, П].
Предложение 5.2. Для группы П и тривиального П-
модуля Z
Я„(П, Z)e*Z,
, П].
E.3)
Доказательство. Группы гомологии модуля Z — это
группы гомологии комплекса Z фцВ (Z (П)), который является
редуцированной Б-резольвентой В (Z (П)) из § 2, причем Во = Z,
Bt и В2 — свободные абелевы группы с образующими [х] и [x|i/],.
хф\Фу соответственно и с граничным гомоморфизмом д [х] =
= 0, д [х\у] — [у] — \ху\+ [х]. Отсюда Но = Z, а каждый 1х] есть
цикл. По формуле взятия границы имеет место соотношение els [*|г/1=
= els [х] + els [у]. Значит, отображение щ = els lx] определяет
гомоморфизм ф : П/Ш,П] -*-Н\ (П, Z). Поскольку Bi — сво-
свободная абелева группа, отображение lx] -*-x [П, П] продолжается
до гомоморфизма Bi-^П/Ш, П], который аннулирует все гра-
границы. Поэтому можно определить гомоморфизм, обратный ср, поло-
положив ф-1 els lx] = х [П, П], так что ф — изоморфизм, что и тре-
требовалось для доказательства второго соотношения E.3).
24*
372
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Гомология группы (или моноида) является специальным случаем
гомологии. Хохшильда ее группового кольца.
Предложение 5.3. Для правого модуля G над моноидом
М существует изоморфизм Hn(M,G)^Hn{Z(M), eG) гомологии
моноида и гомологии алгебры Z(M). Этот изоморфизм естествен
по аргументу G.
Доказательство. Возьмем Z-алгебру Л = Z (М). Для
любого Л-бимодуля В изоморфизм eG ®Л-л BsG ®л (В ®ле2)
задается сопоставлением g (g) b ->-g ® (b ® 1). Применим его к слу-
случаю В = В (Л, Л); это показывает, что комплекс, использованный
в определении гомологии алгебры Л с коэффициентами в eG, изо-
изоморфен комплексу, использованному в определении гомологии
моноида М над G.
Для когомологий имеется соответствующий результат.
Предложение 5.4. Для левых U-модулей А существует
естественный изоморфизм
Доказательство. Этот результат есть следствие пред-
предложения 3.4, так как когомология группы П, стоящей слева, опре-
определена с помощью резольвенты В (Z (П)), а когомология алгебры
Z (П) — с помощью резольвенты В (Z (П), Z (П)).
Эти предложения сводят (ко)гомологию групп к (ко)гомологии
алгебр. Обратно, (ко)гомология Z-алгебры Z (П) сводится к (ко)го-
мологии группы П. Эта редукция основана на двух специальных
свойствах группового кольца Z (П). Во-первых, формула г|зл: =
= х (g) х определяет кольцевой гомоморфизм -ф : Z (П) -*- Z (П) 0
® Z (П); действительно, i|) — это коумножение, которое превра-
превращает алгебру Z (П) в алгебру Хопфа (VI.9). Во-вторых, алгебра
Z (П) канонически изоморфна своему антиизоморфному кольцу.
Действительно, если антиизоморфное кольцо Z (П)°р состоит,
как обычно, из элементов г°р, где г ? Z (П), с умножением r°Ps°P =
= (sr)°P, то функция ? (х) = (х-1H?, заданная в группе П со зна-
значениями в Z (П)°р, имеет свойства: ? A) — 1, ? (ху) = ? (х) ? (у)
и, следовательно (предложение IV. 1.1), продолжается до кольцевого
гомоморфизма ? : Z (П)->Z (П)ор, являющегося, очевидно, изо-
изоморфизмом. Произведение отображения 1 ® ? и коумножения
дает кольцевой гомоморфизм
X: Z (П) Л Z (П) ® Z (П) -^ Z (П) ® Z (П)
ор;
E.4)
этот кольцевой гомоморфизм % продолжает мультипликативное
отображение % {х) — х <g> {х-1H*.
§ 5. Гомология групп и моноидов
373
Отображение % позволяет провести редукцию (бимодульной)
когомологий алгебры Z (П) к когомологий группы П. Каждый бимо-
дуль пСп является левым Z (П) <g> Z (П)°р — модулем и, значит,
левым П-модулем %С, где структура определяется отступлением
вдоль %. Эти новые левые операторы из П в С будут обозначаться
л: о с, х ? П; они не совпадают с исходными левыми операторами,
но могут быть определены в терминах бимодульных операторов так:
х о с = хсх-1. Аналогично С% обозначает правый П-модуль с опе-
операторами С о X = Х~ХСХ.
Теорема 5.5. Для группы П и П-бимодуля С существуют
естественные изоморфизмы
Нп (Z (П), С) & Нп (П, ХС), Я» (П, Сх) si Нп (Z (П), С), E.5)
индуцированные цепным преобразованием h:B(Z(U)) -^-B (Z (П), Z (П)),
определенным следующей формулой:
Hn(x[Xi\...\ Xn])=X[Xi \...\Xn](xXi... Xn)'1, Xt ? П.
Коротко говоря, «двусторонние» операторы в когомологиях
групп сводятся к «односторонним» операторам (Эйленберг, Мак-
лейн [1947], § 5).
В доказательстве мы будем обозначать через BL левую Б-резоль-
венту В (Z (П)) и через В — бимодульную ^-резольвенту
В (Z (П), Z (П)). Поскольку В% — свободная абелева группа с обра-
образующими х [хх j . . . | Хп\, данная выше формула определяет гомо-
гомоморфизм hn'. BL-*-Bn абелевых групп. Для левого оператора у ? П
hn{yx[xi\...
... \xn](xxi... ХпУ1}
1;
это равенство показывает, что h : BL -*%В есть гомоморфизм левых
П-модулей. Теперь рассмотрим диаграмму
E.6)
в которой I: Z ->~Z (П) есть вложение. Стягивающие гомотопии s
наверху и внизу определяются посредством «перемещения первого
аргумента внутрь», откуда вытекает коммутативность As = sh
(причем h-i = /). Теперь е ид наверху и внизу однозначно опре-
определяются с помощью рекурсии тем фактом, что s — стягивающая
гомотопия; отсюда следует, что hd = dh, IsL — еЛ0. Эти соотно-
соотношения коммутативности можно, с другой стороны, установить
374
Гл. X. Когомология алгебраических систем
непосредственной проверкой; при этом нужно обращать внимание
только на первый и последний члены формулы для взятия границы.
Значит, h: BL -*¦ В есть цепное преобразование.
Пусть теперь h* — индуцированное отображение коцепных
комплексов Нот (В, С). Произведение h* и отступления Нотп-п -*¦
¦<-»-Нотп дает коцепное преобразование
Ф: Homn-п (В, С) ~> Нотп (%В, %С) -^ Нотп (BL, ХС).
Именно для n-мерной коцепи / слева
(ф/) (Хи . . . , JCn) = / (А [*11 • ¦ • | Хп]) = [f(Xt,..., Хп)] (Xi... ХпТ1.
Но для n-мерной коцепи g из Вь обратное отображение к ф опреде-
определяется формулой
U ..., Хп)] (Xi ... Хп).
Значит, ф — это изоморфизм групп коцепей и, следовательно,
групп когомологий. Доказательство для гомологии аналогично.
Изоморфизм, установленный в этой теореме, можно описать
в более инвариантных терминах как результат замены колец. Для
случая гомологии рассмотрим Нп (Z (П), С) как относительное
периодическое произведение Тогп (С, Z (П)) (см. 1.4) для пары
колец (Z (П) <g) Z (П)°р, Z), а Нп (П, Сх) как относительное пери-
периодическое произведение Torn (C%, BZ) (см. 5.2) для пары колец
Z (П) и Z. Отображения % и / : Z -> Z (П) порождают морфизм
(X, 1С, /): (Z (П), Z; CXf EZ) -»(Z (П) ® Z (П)ор, Z; С, Z (П))
из категории М++ «замен колец» (IX.8.10). Диаграмма E.6) опи-
описывает h как цепное преобразование, найденное в IX.8 с помощью
теоремы сравнения, так что изоморфизм, указанный в теореме,—
это в точности индуцированнное отображение (%, 1С, /)* для отно-
относительного периодического произведения при замене колец.
Замечание. Среди работ, относящихся к точному вычислению
групп когомологий и гомологии групп, укажем работы Лиидона [1950]
для групп с одним определяющим соотношением, Грюнберга [I960] для
резольвенты, построенной из свободного представления П, Уолла [1961]
для «сплетенной» резольвенты для группового расширения.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Картан — Эйленберг, стр. 201.) Гомологию и когомологию абеле-
вой группы G, рассматриваемой как тривиальный П-модуль, можно вычис-
вычислить с помощью редуцированной В-резольвенты. Установить точность после-
последовательностей
0 -> Нп (П, Z) <g> G -» Нп (П, G) -» Тог (Яп_! (П, Z),G)-+ 0,
0 -> Ext (#»-i (П, Z), G) —> Я» (П, G) -> Нот (Яп (П, Z), G) -> 0.
§ 6. Расширения основного кольца и прямые произведения 375
2. Для абелевой группы G показать, что Н± (П, G) e G(g)(II/[n, П]).
3. Исследовать результат сопряжения на Нп (П, G) (см. предложе-
предложение IV.5.6).
4. (Картан — Эйленберг, следствие Х.4.2.) Если абелева группа П
содержит моноид М, который порождает П как группу, то каждый П-мо-
П-модуль А или G является также Л1-модулем. Показать, что вложение М -*¦ П
индуцирует изоморфизмы
Я" (П, А) * Я" (М, А), Нп (М, G) « Нп (П, G).
§ 6. Расширения основного кольца и прямые произведения
В этом параграфе будет изучаться действие на гомологию и кого-
когомологию Хохшильда некоторых стандартных конструкций на
алгебрах: расширений основного кольца и прямых произведений.
Тензорные произведения будут рассмотрены в § 7.
Рассмотрим расширение основного кольца К до коммутативной
К-алгебры R. Каждая К-алгебра Л порождает ^-алгебру Лн =
= R (g) Л; имеются кольцевые гомоморфизмы /к : К -> R и
;Л : Л ->• Лн, определяемые формулами /к (?) = klR и /Л (X) =
= 1r® к, так что (/к, /л): (К, Л) ->(Я, Лк) есть замена алгебр. Каж-
Каждый Лк-модуль или бимодуль превращается при отступлении вдоль
Ул в Л-модуль или бимодуль. Имеется также возможность обратно-
обратного перехода. Каждый К-модуль М определяет ^-модуль MR =
= R (g) М и гомоморфизм К-модулей jM : М -> MR, задаваемый
формулой }м (т) = 1 ® т. Каждый К-модульный гомоморфизм
\а : М -*- N определяет ^-модульный гомоморфизм \iR : Мп ->• NR
равенством ц.к (г (g> /п) = г <g> jim, так что ц11/^ = /w(i. Поэтому
функции Тк (М) = Мн, Тк (ц) = ц.к определяют ковариантный
функтор из категории К-модулей в категорию #-модулей. Этот
функтор сохраняет тензорные произведения (<gi, как всегда, озна-
означает ®к), поскольку отображения Jm^Jn порождают естественный
изоморфизм
: (М ® Nf &e MR ®RNR, ф (г ® (т ® я)) = /-/Mm
F.1)
обратный к которому определяется формулой
Ф [(г (g> m) ®к (г' 0 п)] = rr' ®
(g> n.
Мы будем рассматривать ф как отождествление.
Для любого Я-модуля U и любого К-модуля М имеется естест-
естественный изоморфизм
^-модулей, причем ^-модульная структура в U (g> M задается
с помощью ^-модульной структуры в U. Обратное к г|з отображение
дается формулой гр-1 (ы ®н (г ® /п)) = ыг (g) m. Существует ана-
376
Гл. X. Когомология алгебраических систем
логичный естественный изоморфизм ^-модулей
% : Нот (М, V) ez Нотл (MR, U), (xf) (r®m) = rf (m), F.3)
причем обратный изоморфизм действует на каждый ./?-модульный
гомоморфизм g : MR -»-(/ так: (x"xg) (m) = g (I ® m).
Группы гомологии и когомологий расширенной алгебры Ав
с коэффициентами в любом Лк-бимодуле А, по существу, опреде-
определяются гомологией и когомологией алгебры Л с коэффициентами
в А, превращенном в Л-бимодуль отступлением вдоль /л : Л -*¦ Лк.
Теорема 6.1. Для К-алгебры Л, для коммутативной К-
алгебры R и для каждого Ав-бимодуля А существуют естественные
изоморфизмы
т, : Нп (Л, jAj) ?* Нп (Лк, А), а*: Нп (AR,A)s*Hn (Л, ,А})
R-модулей, где Я (Л, }А}) превращается в R-модуль при помощи
R-модульной структуры в А. Здесь т,, индуцируется заменой алгебр
т = (/к, /л, U) : (К, Л, jAj) ->-(R, AR, А) в категории &+, а
а* —заменой а = (/к. /л, Ы в категории $}- (см. § 4).
Доказательство. Отображение т» : А ® Л™ ->-Л ® л (Лк)№
как отображение соответствующих ненормализованных комп-
комплексов является произведением отображений i|) : А ® Л™ з*
^ Л ®r (Л")к и ф: (Лп)в ?s (Лв)п. Оба эти отображения в силу
F.1) и F.2) являются изоморфизмами, следовательно, т, — изо-
изоморфизм комплексов и, значит, изоморфизм их модулей гомологии
Hn(A,}Aj) и Нп{А*,А).
Доказательство для модулей когомологий проводится анало-
аналогично с использованием % вместо г|з.
Прямое произведение Л= Гх2 двух К-алгебр можно рас-
рассматривать как частный случай прямого произведения колец
(IX.9). Когомология Хохшильда Нп (Л, А) —это Extyj,g> (Л, А),
где R = Л (g) Л°р, причем
(Гх2)®(Гх 2)ор с* (Г ® Гор) х (Г О 2ор) х B ® Гор) х B ® 2ор),
a S — образ отображения / : К -»- Л <gi Л°р; проекция этого обра-
образа на любой из четырех прямых множителей алгебры Л ® Л°р
совпадает с соотвествующим образом К в этом множителе. Предло-
Предложение IX.9.2 утверждает, что каждый Л-бимодуль А имеет кано-
каноническое разложение
F.4)
в прямую сумму указанных бимодулей; более подробно, 'А' =
= Г ®л-<4 ®лГ и т. д. В частности, Л-бимодуль Л представляется
как прямая сумма Л = Г © 2 только двух ненулевых компонент:
$ 7. Гомология тензорных произведений
377
Г-бимодуля Г и 2 -бимодуля 2. Из теоремы IX.9.4 для случая
четырех множителей вытекает
Теорема 6.2. Для каждого (Гх Ъ)-бимодуля А имеюпЬя
естественные изоморфизмы
Нп (Г х 2, А) & Нп (Г, Г ® АА ®ЛГ) 0 Яп B, 2 О ЛЛ О Л2), F.5)
B, 2®лЛ(8)л2). F.6)
Действительно, проекции Г х 2 -»-Г и Л -*-. ^,ж.- ^„
порождают морфизм ?' в категории $}%. замен алгебр из § 4 и, сле-
следовательно, морфизм S* : Яп (Гх2, Л) -*-Яп (Г, Г ®АА ® ЛГ)-
Замена Г на 2 дает отображение ?'„; изоморфизм F.6) являет-
является сопоставлением ft->(?»/i, Qh). Аналогично изоморфизм F.5)
в противоположном направлении индуцируется проекцией Г X 2 -»-
->Ги вложением Г ®л А <8)лГ-»-Л в категории SSi.-
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для группы П и коммутативного кольца К дать прямое описание
пополненной К-алгебры Z (П)к (она называется групповой алгеброй груп-
группы П над К).
2. Для Л-бимодуля А показать, что существует единственная Лк-бимо-
дульиая структура в AR, такая, что (/к, jA, jA) : (К, Л, А) -*¦ (R, AR, AR)
есть замена колец из J8+. Получить естественный гомоморфизм Нп (Л, А) -*¦
-*- Нп (Лн, AR) и показать иа примерах, что он может не быть изоморфиз-
изоморфизмом. Отметить также, что модуль AR, превращенный в Л-бимодуль отступ-
отступлением вдоль /Л, не совпадает с А.
§ 7. Гомология тензорных произведений
Рассмотрим тензорное произведение Л® Л' двух К-алгебр Л
и Л'. Если А и А' — бимодули над Л и Л' соответственно, то
Л(8> А' есть Л® Л'-бимодуль, причем левые операторы действуют
так: (X ® Я,') (а ® а') = Ха (g) X'a', правые операторы действуют
аналогично. В некоторых случаях мы можем вычислить гомологию
модуля Л <gi Л', зная гомологию Л и Л'.
Предложение 7.1. Если г : X ->-А и г' : X' -*-А' есть
К-расщепляющиеся резольвенты левых А- и А'-модулей соответствен-
соответственно, то г (8> е': X ® X' -*¦ A <g) Л' есть К-расщепляющаяся резоль-
резольвента левого (Л® А'Умодуля А ® А'. Если X и X' относительно
свободны, то относительно свободна и резольвента X (8) X'.
Доказательство. Предположение о К-расщепляемости
резольвенты X означает, как показано в следствии IX.5.3, что
существует К-модульная стягивающая гомотопия s, квадрат кото-
378
Гл. X. Когомология алгебраических систем
рой равен нулю. Эти гомотопии для резольвент X и X' вместе дают
К-модульную стягивающую гомотопию (V.9.3) для резольвенты
« ?) е': X (g> X' ->• Л (g) Л', квадрат которой тоже равен нулю.
Если резольвенты X и X' относительно свободны, то Хр =
= Л (g) Мр и Хд = Л' (g) Л4д для некоторых К-модулей Мр и Mq,
так что (X(g)X')n ^ 2 (Л ® Л') ® (Мр <2) M'q), где прямая сум-
сумма берется по всем р + q = л, есть относительно свободный
модуль.
Применяя этот результат к Б-резольвенте, получаем
Следствие 7.2. Для модулей ЛЛ, А-А' существует цепная
эквивалентность
g
В (А, А) ® Б (Л', Л'O^5 (Л ® Л', Л ® А'), G.1)
отображения которой являются цепными преобразованиями ком-
комплексов левых А® А'-модулей, коммутирующими с е и е'.
Доказательство. В силу предложения 7.1 обе части
соотношения G.1) являются К-расщепляющимися относительно
свободными резольвентами левого Л ® Л'-модуля Л <gi А'; теперь
•остается применить теорему сравнения.
Точное выражение для цепного преобразования дается следую-
следующим естественным отображением:
3V[Xi®a;|...|Xn®x;]a®a'}=
i=0
G.2)
действительно, читатель может проверить, что это отображение
¦есть каноническое сравнение. То же самое можно установить, убе-
убедившись в том, что / — это отображение Александера — Уитни
{VII 1.8.7), определяемое на В (Л, Л) = р\(Л, Л) симплициаль-
ной структурой в Р (Л, А).
Для случая Л = Л, Л' = Л' это следствие устанавливает
цепную эквивалентность
В (Л, Л) ® В (Л', Л') ^ В (Л ® Л', Л ® Л') G.3)
Л <gi Л'-бимодулей; отображение / снова задается формулой, ана-
аналогичной G.2).
Теорема 7.3. Гомологическое и когомологическое умножения
индуцируют гомоморфизмы
рА: Hh (Л, А) ® Ят (Л', А') -» Яй+т (Л ® Л', Л ® Л'), G.4)
рл: яй (Л, А) ® Ят (Л', Л') -> Яй+т (Л ® Л', А ® Л') G.5)
7. Гомология тензорных произведений
379
^.-модулей, естественные относительно бимодулей А и А' и ком-
коммутирующие со связывающими гомоморфизмами для К-расщепляю-
щихся коротких точных последовательностей бимодулей А или А'.
Для k = т = 0 эти умножения индуцируются тождественным
отображением в A (g) Л'. Эти умножения ассоциативны.
Доказательство. Модули гомологии Я* (Л, А) опре-
определяются как модули Н^ (А ®а-В). где Q обозначает алгебру
Л <g) Л°р, а Б есть сокращение для В (Л, Л). Гомологическое умно-
умножение из (VIII. 1.2)—это естественное отображение
рн :Hk{A® оВ) ® Ят(А' ® р.В')->Яй+То[(Л ® Л') ®ОД0.(Б ® В')].
р
Область значений отображения изоморфна Hk+m (А® Л', Л (g) Л'),
причем этот изоморфизм устанавливается эквивалентностью
j?# из G.3), так что умножение рА из G.4) определяется как произ-
произведение g*pH', в размерности нуль [ср. с D.4)] оно переводит
•els a (g> els а' в els (a (g> а'). Если Е есть К-расщепляющаяся корот-
короткая точная последовательность Л-бимодулей, то тензорное произ-
произведение Е ®кЛ' тоже является короткой точной последователь-
последовательностью Л-бимодулей, поэтому определены соответствующие связы-
связывающие гомоморфизмы. Они коммутируют с рн по теореме VIII. 1.3
и с естественным отображением g# и, значит, с умножением рЛ-
В данном выше определении этого гомологического умножения
Б-резольвента В = В (А, А) может быть заменена любой К-рас-
щепляющейся резольвентой Л из относительно проективных Л-би-
Л-бимодулей.
Случай когомологий рассматривается аналогично. Запишем
Hk (Л, Л) как Hh (Homo (Б, Л)) и используем когомологическое
умножение
ря : Я* (HomQ (Б, Л)) ® Нт (Нота< (Б', Л')) ->
-> Hh+m (Нотадо- (Б (g) Б', Л (g> Л'))
из (VIII.1.3); для определения рл умножим ря на изоморфизм /*,
индуцированный цепной эквивалентностью / из G.3): рЛ = /*рн-
Поскольку / — отображение Александера — Уитни, рЛ можно
рассматривать как симплициальное U-умножение. Если k = т == О,
то Я0 (Л, Л)—это К-подмодуль Лл модуля Л, состоящий из
инвариантных элементов из Л, как показано в C.3). Теперь из
а?АА и а' ? А'А' следует, что a <gi а' ? (Л ® А')А®А', поэтому
тождественное отображение индуцирует К-модульный гомомор-
гомоморфизм
'А'
(Л ® Л')л®л' ^ Я0 (Л ® Л', А ® Л').
Приведенная выше формула для / в размерности нуль показывает,
что это отображение совпадает с рА.
380
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Теорема 7.4. Если А и А' — алгебры над одним и тем же
полем, то гомологическое умножение для бимодулей А и А' порож-
порождает оля каждого п естественный изоморфизм
Ра- 2 Нк(А,А)®Нт(А',А')шНп(А®А',А®А').
Если дополнительно А и А' суть ^.-модули конечного типаг
то когомологическое умножение является естестенным изоморфизмом
Ра- 2 Hh{A,A)®Hm{A',A')c*Hn{A®A',A®A').
Доказательство. Первый изоморфизм есть непо-
непосредственное применение тензорной формулы Кюннета, ука-
указанной в теореме VIII.1.1. Если алгебра Л конечного типа, то каж-
каждый модуль Вп (Л, Л) является свободным Л-бимодулем конечного
типа, поэтому Нот-®-перестановка есть изоморфизм и можно
применить теорему VIII. 1.2.
Эта теорема впервые была доказана Розе [1952] до того, как
стала известной техника резольвент, поэтому его доказательство
существенно зависит от прямого построения цепной эквивалент-
эквивалентности G.3), использующего перетасовки для описания отображе-
отображения g.
Для алгебр над полем Нп (А, А) = Ext^-A (Л, А).
Используем символ bidim Л для обозначения гомологической
размерности алгебрыЛ как бимодуля. Тогда эта теорема показывает,
что для алгебр конечного типа над полем bidim (Л (g) Л')> bi-
bidim Л + bidim Л'. Аналогично теорема 6.2 показывает, что
bidim (Г х 2) = Max (bidim Г, bidim 2).
Отсюда следует еще одно, более причудливое, доказательство резуль-
результата предложения VI 1.5.2 о том, что из bidim Г = 0 = bidim 2
следует bidim (Гх2) = 0.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для правого модуля G и левого модуля А над Л k-e относительное
периодическое произведение определяется как Яд @®ЛВ®ЛЛ), где В
обозначает В (Л, Л). Внешнее умножение для относительного периодического
функтора — это отображение
рТ : То4Л- к> (G, A) ® TorJ*;- к> (С, А') -> Tor$®A'- K) (G ® <?', А ® А'),
определенное как произведение гомологического умножения для комплек-
комплексов, цепного преобразования
(G ®Л В®л А) ® (С ® д. Д' ®д. А') » (G® G') ®Л0Л, (В ® В')'®л®л' (А®А')•
®
получающегося путем двойного применения внутренней четверной пере-
перестановки, и цепной эквивалентности g из G.3). Показать, что умножение рт
§ 8. Случай градуированных алгебр
381
естественно, коммутирует со связывающими гомоморфизмами по всем четы-
четырем аргументам и сводится в случае k = m = 0 к внутренней четверной
перестановке.
2. Для поля К показать, что относительное периодическое умножение
из упражнения 1 дает изоморфизм
2 Torft(G, i4)®Torm(G'f A')^ToTn(GQG', A® A').
fe-|-m=n
3. Показать, что умножение рЛ из текста является [в силу A.4)] спе-
специальным случаем внешнего умножения для относительного периодического
умножения.
4. Построить аналогичное внешнее умножение для относительного
«руиктора Ext.
§ 8. Случай градуированных алгебр
Если бл и АА — модули над градуированной К-алгеброй Л,
то их тензорное произведение G®\A, описанное в (VI.5.7), является
градуированным К-модулем. Кроме того, функтор G ®лА точен
справа: каждая К-расщепляющаяся короткая точная последова-
последовательность А >-» В -» С левых Л-модулей дает точную справа после-
последовательность
градуированных К-модулей. Для продолжения этой точной после-
последовательности влево необходимы (Л, К)-относительные периоди-
периодические произведения Torn (G, С), каждое из которых, подобно
<3®лч4» должно быть градуированным К-модулем Тог„ =
= {Тог^р | р = 0, 1, . . .}. Мы сейчас опишем, как это происхо-
происходит.
Можно построить В-резольвенту для любой градуированной
К-алгебры Л, используя общую конструкцию из IX.7 для следую-
следующей резольвентной пары категорий: ^ — категория (автомати-
(автоматически градуированных) левых Л-модулей С, а$ — категория гра-
градуированных К-модулей М, F (М) = Л®М, е (т) = 1 ® т, при-
причем в этих категориях в качестве морфизмов берутся морфизмы
степени 0. Заметим, что Л = {Лр}, С = {Ср} и М = {Мр} —
градуированные К-модули. Явные формулы для Б-резольвенты
из § 2 по-прежнему остаются в силе, если считать, что каждый
Л-модуль Вп (А, С) градуирован; действительно, степень образую-
образующего из Вп можно определить так:
Этот элемент имеет в то же время размерность п как элемент
Вп (А, С); другими словами, комплекс В (А, С) биградуирован
подмодулями ВПгР (А, С) размерности п и степени р в смысле (8.1).
382
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Вследствие этого относительный периодический функтор Тог<Л'к>
биградуирован. Действительно, если G — правый Л-модуль, то
периодический функтор вычисляется как гомология комплекса
X = G(g>A-S (Л, С), где каждый модуль Хп = G (g) ABn является
градуированным К-модулем. Именно Хп порождается элементами
g [%! | . . . | %п\с, степень которых определяется равенством (8.1)
(причем X заменяется на g). Граничный гомоморфизм д: Хп -*•
~*~Xn_i имеет степень 0 относительно этой градуировки. Поэтому
для каждой размерности п модуль гомологии Torrt (G, С) = Нп (X)
является градуированным К-модулем и его можно записать как
семейство {#П,Р (X)} К-модулей, так что относительный периоди-
периодический функтор — это биградуированный К-модуль
Tor(?.pK) (G, С) = Нп, v (G ®л# (Л, С)). (8.2)
Первая степень п — это резольвентная размерность, вторая сте-
степень р — это «внутренняя» степень, появившаяся из градуировки
модулей G и С. В стандартных длинных точных последовательностях
для Тогп отображения имеют степень 0 относительно внутренней
градуировки р, и поэтому эти последовательности можно рассматри-
рассматривать как семейство длинных точных последовательностей из моду-
модулей Тогп,р, по одной для каждого р с переменным п.
Аналогичные замечания можно сделать об относительном
функторе Ext(A.K)- Он является когомологией комплекса
Нопи (В (Л, С), Л), который является комплексом Z-градуиро-
ванных К-модулей, т. е. семейством комплексов {Нотл (В, А)},
по одному для каждого целого р. Значит,
Ext?A,PK) (С, А)=Нп (НотЦВ (Л, С), А))
есть биградуированный К-модуль, вторая градуировка (по р) кото-
которого есть Z-градуировка.
Достаточно знать значения этого функтора для всех модулей С
и Л и для р = 0. Мы докажем это путем замены степеней. Для каж-
каждого градуированного К-модуля М мы обозначим через L (М) тот
же самый модуль, все степени которого увеличены на 1, т.\ е.
L(M)n+1=Mn. Тогда тождественное отображение индуцирует
изоморфизм / : М ->¦ L (М) градуированных К-модулей степени
1 с обратным изоморфизмом hl : L (М) -+М. Гомоморфизм
\i: М -*¦ М' степени d —это семейство К-модульных гомоморфизмов
ц™ : Мп -*¦ M'n+d', соответствующий гомоморфизм L (ц) : L (М) -*-
-*~L(M') той же степени d определяется следующим образом:
= (—l)d [^ : L (M)n+i ->L (M')n+d+u другими словами,
(8.3)
§ 8. Случай градуированных алгебр
383
Знак появляется в силу обычного правила перестановки морфизмов
L (ц.) и / степеней d и 1. Поскольку L (ц/ц.) = L (ц.') L (\а), то L —
ковариантный функтор в категории градуированных К-модулей
с морфизмами степени 0, а / : М -*- L (М) — естественное преобра-
преобразование. Левый Л-модуль А является градуированным К-модулем
с операторами Л <gi А ->Л, так что L (А) также является левым
Л-модулем с операторами
n, la?L{A)n+i,
(8.4)
L — ковариантный функтор в категории Л-модулей, l:A-*-LA
есть гомоморфизм Л-модулей степени 1 являющийся естественным
преобразованием тождественного функтора в L. Знак в (8.4) будет
в точности знаком, который требуется правилом перестановки
/ (Ха) = (—i)des; degA ^ ^ для ГОМОМОрфИзма степени 1.
Умножение на / дает естественный изоморфизм
(С, A) s* НотГ1 (С, LA),
итерирование которого приводит к естественному изоморфизму
НопгХ(С, Л)^Нот^(С, WA).
Если С заменить комплексом В (Л, С), то отсюда вытекает естест-
естественный изоморфизм
Ext^K) (С, А) =* Extti.V) (С, LM), (8.5)
который при п = 0 дает предшествующий изоморфизм. Аналогично
ExtfA,"K) (С, A) s Ext?A,°K) (LPC, A). (8.6)
Эти функторы Ext оказались полезными при изучении алгебры
Стинрода для фиксированного простого числа р; это алгебра над
полем Zp вычетов по модулю р, состоящая из всех примарных (по р)
когомологических операций (Адаме [I960], Лиулевичус [I960]).
УПРАЖНЕНИЕ
1. Для градуированной алгебры Л рассмотреть соответствующую вну-
внутренне градуированную алгебру Л* = 2-Лп просто как неградуированную
К-алгебру. Аналогичным образом Л-модули С и С определяют Л*-модули
G^ и С„. Доказать, что
Тог(А..
, С).
384
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ 9. Комплексы комплексов
В любой абелевой категории можно построить комплексы; в част-
частности, можно построить комплексы в категории, объекты которой
сами являются комплексами, а морфизмами служат цепные пре-
преобразования. Эта ситуация встретится в следующем параграфе при
изучении нами DG-алгебр.
Комплекс X комплексов может быть представлен в виде диаграм-
диаграммы
х . ^х Д х Д_ v
I
Р-1, 9+1
ЛР,
9-1
p-l, g-1"
с дополнительными строками сверху и снизу. Каждая строка Хр —
это комплекс с дифференциалом d, а последовательность строк обра-
образует комплекс с другим дифференциалом д', который является
цепным преобразованием д': Хр ->• Хр-±. Следовательно, d'd =
= dd'. Изменим знак у d, положив д"хр, q = (—l)pdxPl9. Это дает
два семейства граничных гомоморфизмов
д' :
д":Х
Р, 9
Р, 9-1'
для которых д'д' = 0, д"д" = 0, д'д" + д"д' = 0. Формально
•отсюда следует, что (д' + д") (д' + д") = 0. Поэтому семейство
X*, д*, определенное посредством равенств
(Х*)„ = 2 Хр,д, д* = д' + д",
p+q=n
является (простым) комплексом. Мы будем говорить, что X* полу-
получен из X конденсацией; степень этого комплекса является суммой
двух данных степеней; его граничный гомоморфизм д* есть сумма
двух данных дифференциалов с измененным знаком. Это изменение
знака можно было бы оправдать при более систематическом рассмот-
рассмотрении.
Пусть & — некоторая абелева категория. Напомним, что (по-
(положительный) Акомплекс X — это семейство {Хр} объектов
из А, причем Хр = 0 при р <. 0, вместе с такими морфизмами
д : Хр -*¦ Xp-i из А, что д2 = 0. Эти комплексы X являются объ-
объектами категории Акомплексов X (#-). Морфизмы из 3? (#) —
это цепные преобразования f : X -*• Y; они являются семействами
Аморфизмов {fp : Хр -*• Yp}, причем dfp = /p_id для всех р.
Цепная гомотопия s : / ~ /' : X -*- Y является семейством
sp : Хр ->Ур+1 таких Аморфизмов, что ds + sd = f — /'. Мы будем
использовать также цепные отображения h : X -*-Y степени d,
т. е. семейства [hp : Хр -*¦ Yp+d} таких Аморфизмов, что dh =
§ 9. Комплексы комплексов
385
= (—l)dhd. Мы не вводим явно категорию со всеми такими цепными
«отображениями» в качестве морфизмов, так как наше рассмотрение
абелевых категорий приспособлено только для случая морфизмов
степени 0.
Поднимающий функтор L из § 8 дает ковариантный функтор
из X (А) в SV ($-), который сопоставляет каждому комплексу X
комплекс L (X) с L (X)n+i = Хп и дифференциалом L (д). Единица
индуцирует цепное отображение /: X -*-L (X) степени 1; как и в
(8.3), L (д) I = — 1д. Короче, L увеличивает все степени на 1 и изме-
изменяет знак у граничного морфизма.
Теорема 9.1. Конденсация является ковариантным функто-
функтором ?(
Доказательство. Пусть X — положительный комплекс
положительных комплексов вида
dp
и <— Хо <— X j <— ¦ • • <— Хр—1 —> Хр <— • • • .
Здесь Хр — комплекс, др — цепное преобразование комплексов.
Заменим этот комплекс диаграммой X':
0
х;
где каждое д'р —это цепное отображение ртепени —1. Более точно,
положим Xp = Lp(Xp). Цепные отображения
определяют д'р как l-xW (др) — 1Р~Х {др) I-1. Тогда д'рдр+1 = 0.
Каждый Хр — это Акомплекс с дифференциалом, который мы
обозначим как д". Следовательно, X* = ^] Хр является Аком-
плексом с дифференциалом д". С другой стороны, д'р : Хр ->Xp-i
имеет степень —1, и, значит, определяет второй граничный морфизм
в X*. Кроме того, д' — это цепное отображение степени —1 для
дифференциала д", так что д"д' = — д'д". Поэтому морфизм д* =
= д' + д" удовлетворяет соотношению д*д* = 0, так что (X*, д*)—
это Акомплекс, называемый конденсацией X. Это описание X*
согласуется с первоначальным описанием, поскольку дифферен-
дифференциал д" в Хр отличается от дифференциала в Хр лишь р изменениями
знака, вызванными применением р раз функтора L. Поскольку
Хр, п = 0 при р~> п, при построении X* используются только
конечные прямые суммы.
Пусть теперь /: X -»- Y есть цепное преобразование. Оно являет-
является семейством цепных преобразований {/р : Хр -»- Yp) и определяет
/': X' ->- Y' как семейство fv = D> (/>) : Х'р -*. Yp. Значит, №" =
= д'% и d'f'v = /p_td'; Тогда для/* = % f'P, d*f* = f*d*, и поэтому
2 5-363
386
Гл. X. Когомология алгебраических систем
/* является цепным преобразованием/* : X* ->• У*. Это показывает,
что конденсация есть функтор, как и утверждалось.
Предложение 9.2. Каждая цепная гомотопия s : f ^
^g: X-*-Y из X (X (&)) определяет цепную гомотопию s* : f* ~
~ g*: X* -*• У* конденсированных комплексов.
Доказательство. Нам дано семейство {sp : Хр -*- Yp+t}
морфизмов из X (#), причем dp+isp + sp-tdp = fp — gp. Каждый
морфизм sp является цепным преобразованием, определяю-
определяющим цепное отображение s'p : Х'р -*- Ур+1 степени 1. Именно
s' = L*+l(Sp)l = lLp(sp) :LP(XP)->LP+I(yp+J). Поскольку s'p
имеет степень 1, d"s'p = — spd". С другой стороны, d's' -+- s'9' =
= /' —g'. Складывая, получаем морфизм s* = ? sp : X* -»- У*
степени 1 и d*s* + s*d* = /* — g*; следовательно, s* — цепная
гомотопия, что и утверждалось.
Мы рассмотрим также влияние конденсации на тензорные
произведения комплексов. Предположим, что в исходной категории
,# определено тензорное умножение, которое является ковариант-
ным бифунктором из & в А. Тензорное умножение вводится в ка-
категории X (&) ^-комплексов X, У обычными формулами
(X <g> Y)n — , Y, ХР ® У? и
d — (dx<S> 1) +(— 1)р 1 ® дг :Хр<8> Ув—*(Х ® У)р+д-1. (9.1)
В частности, если ©# — категория модулей над некоторым коммута-
коммутативным основным кольцом, то этими формулами вводится тензор-
тензорное умножение в категории ?V (X (оМ)) комплексов комплексов.
Предложение 9.3. Существует естественный изоморфизм
г|>: (X ® У)* йй X*® У*.
Доказательство. Для обычных комплексов К и К'
из X (&) и любых р, q существует цепной изоморфизм
%,я : Lp+q (К ® К') э* Lp/C (g) L?/C', определяемый формулой
Пусть теперь X и У — комплексы комплексов (т. е. объекты кате-
категории X (X (#-)). В комплексе комплексов X (g) Y будет
(X <g> У)п = YJ Хр (8) У,, так что изоморфизмы г|зр, а для р -f- q = n
устанавливают цепной изоморфизм обычных комплексов
) (,)(,)
p+Q=tl
Комплекс (Х(8)У)* есть прямая сумма комплексов Ln ((X <g> У)п)
с граничным морфизмом д' 4* д". Комплекс X* (8) У* равен
(Л ?РХР) ® (Е ^9Ув) с дифференциалом, определенным обычной
формулой (9.1) для тензорного произведения, исходя из дифферен-
§ 10. Резольвенты и конструкции
387
циалов д* = д' + д" для X* и У*. По построению г|зп коммутирует
с д"; прямой подсчет показывает, что %, коммутирует с д' и, сле-
следовательно, со всем дифференциалом д*.
Замечание. Понятие комплекса комплексов обычно не отличают
от тесно связанного с иим понятия «бикомплекса», которое будет рассмотрено
в XI.6. Внешнее различие заключается в знаке в формуле d"xp>q = (—l)Pdxp,q.
§ 10. Резольвенты и конструкции
От алгебр Л мы теперь переходим к DGA -алгебрам U. Когда U-
модуль А снабжается резольвентой, то появляются два граничных
дифференциала: один из дифференциала в Л, другой из резольвенты.
Подходящая комбинация этих дифференциалов превращает резоль-
резольвенту в некоторый определенный {/-модуль, называемый «конструк-
«конструкцией»; в частности, каноническая резольвента основного кольца
порождает «Б-конструкцию» В (U). Она может быть описана непо-
непосредственно последовательностью формул A0.4) — A0.8), из кото-
которых вытекают основные свойства В (U), сформулированные в теоре-
теореме 10.4, так же, как и ее связь с «редуцированной» В-конструкцией
из следствия 10.5. Вместо этого сначала опишем Б-конструкцию
аксиоматическим образом путем конденсации канонической резоль-
резольвенты для подходящей относительной категории.
Пусть U есть ЬбЛ-алгебра (дифференциальная градуированная
пополненная алгебра) над коммутативным кольцом К. Каждый
левый ^/-модуль А (определенный, как в (VI.7.3)) можно считать
DG-модулем (т. е. положительным комплексом К-модулей), пре-
пренебрегая частью структуры в А. Отсюда следует, что алгебра U
определяет резольвентную пару категорий:
^ = все левые (/-модули А с морфизмами степени 0;
<М = все DG-модули М с морфизмами степени 0;
F (М) = 1/®М и е (т) = 1 ® т 6 F (М). Обозначим через
е: U -+¦ К пополнение алгебры U; при отступлении К превращается
в левый (/-модуль еК. Пополнение А или М — это морфизмы
еА : Л—>еК, гм:М—>К,
Предложение 10.1. Каждый левый U-модуль А опреде-
определяет DG-модуль
где J — ядро г :(/->• К. Если модуль А пополнен, то и А пополнен.
Доказательство. Напомним (VI. 7), что тензорное произ-
произведение (/-модулей является DG-модулем. Поскольку J >-» U -» К
есть точная последовательность правых (/-модулей, последователь-
25*
388
Гл. X. Когомология алгебраических систем
ность
точна справа как последовательность DG-модулей. Но U <gi VA ^
S А, так что модуль А, стоящий справа, изоморфен фактормоду-
лю модуля А по образу JA модуля J (g) цА. Если еА — пополнение
А, то определим пополнение Л формулой Bj(k <g) a) = ?еА (а).
Назовем Л редуцированным модулем для Л, а р: Л -*-Л = A/JA
его проекцией, {/-модуль Л подобен «расслоенному пространству»
с «группой» U, действующей на Л, и «базой» Л, полученной «отде-
«отделением» действия U. Соответствующим аналогом ацикличного рас-
расслоенного пространства является «конструкция». (Предостереже-
(Предостережение: эта терминология не согласуется с терминологией Картана
[1955].)
Конструкция для U — это пополненный левый {/-модуль
ес: С -*-8К, который имеет DG-модульную стягивающую гомотопию
с квадратом, равным нулю. Эту гомотопию можно записать в виде
*_!: К ¦¦¦> С, tn : Сп -> С»+1, л > 0;
здесь /_i — морфизм DG-модулей, t = {tn\ п>0} есть гомомор-
гомоморфизм градуированных К-модулей степени 1 и
ect-i=l, dt + td=l~t-iec, tf-i = 0 = tf. A0.1)
Конструкция С относительно свободна, если существует гра-
градуированный К-модуль D и изоморфизм U <g> D ^ С модулей
над градуированной алгеброй U. Определение редуцированного
модуля С принимает вид
С ^ КЕ ®v (U ® D) = (Ке
= К ® D = D;
следовательно, D можно отождествить с С, так что конструкция
относительно свободна, если существует изоморфизм
ф:{/®С^С (модулей над градуированной алгеброй U).
Повторим: ф коммутирует с операторами и 6 U, но не обязатель-
обязательно коммутирует с дифференциалом. Кроме того, проекция р : С -*¦
~*-С = CIJC из предложения 10.1 дается ^формулой рф(и ® с) ==
= е (и) с. Следовательно, отображение i (с) = ф A ® с) является
мономорфизмом i :С-^С градуированных К-модулей, а про извет
дение pi равно единице И ->-С. Мы можем и будем использовать i
для отождествления С как градуированного К-модуля («о не как
DG-модуля) с подмодулем модуля С.
_§ 10. Резольвенты и конструкции.
389
Теорема 10.2. Конденсация является ковариантным функ-
функтором из категории оМ -расщепляющихся резольвент X модуля еК,
состоящих из U-модулей, в категорию конструкций X* для U. Если
резольвента X относительно свободна, то относительно свободна
конструкция X*.
Доказательство. Пусть гх: X -»- еК является резоль-
резольвентой, состоящей из {/-модулей Хр. Если пренебречь частью струк-
структуры, то каждый tZ-модуль Хр можно считать DG-модулем, т. е.
положительным комплексом. При этом же условии X можно рас-
рассматривать как комплекс комплексов, имеющий конденсацию X* =
= S Lp (Хр), которая является DG-модулем относительно гранич-
граничных гомоморфизмов д', д" и д* == д' -f д". Но если Л есть {/-мо-
{/-модуль, то и L (А) есть {/-модуль с операторами и (/т)==(—l)dee«/ (um).
Следовательно, ЬР(ХР) есть {/-модуль с . дифференци
алом д", а д'\ Lv (Xp) -^-L9-1 (Xp_i) есть отображение {/-мо-
{/-модулей степени—1, так что, записывая как ди, u?U, резуль-
результат дифференцирования в U, имеем
д" (их) = (ди) х + (-\ )deg u и (дГх),
д'(их) = (-1)йееии(д'х).
A0.2)
Пополнение е^ резольвенты X конденсируется в пополнение
е*: X* -*- еК. Стягивающая гомотопия в X (существующая, так
как резольвента X о^-расщепляется) конденсируется по предло-
предложению 9.2 в стягивающую гомотопию s* в X*, квадрат которой
равен нулю. Эта гомотопия s* удовлетворяет соотношениям, анало-
аналогичным A0.1); в частности,
d's* + s*d'=l-s!l6*, , dV+s*d" = 0. A0.3)
Если резольвента X относительно свободна, то каждый комплекс
Хп имеет вид U ® Мп для некоторого DG-модуля Мп- Поэтому
V (Хр) s U ® U (Мр), так что X* & U ® V ц> (Мр), что пока-
показывает относительную свободу X*.
Теперь мы конденсируем каноническое сравнение (теорема
IX.6.2).
Теорема 10.3. (Теорема сравнения.) Если X -*¦ еК есть
относительно свободная резольвента, о К->еК есть <л,-расщепля-
ющаяся резольвента, обе состоящие из U-модулей, то существует
единственный гомоморфизм ц>: X* -*¦ Y* пополненных U-модулей,
для которого
фХ* с: sljK u s*Y*,
где s* — стягивающая гомотопия в Y*.
390
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Доказательство проводится, как в (IX.6.1); роль подмодуля еМ
из X здесь играет X* <= X*.
Левая В-резольвента В (U) является оМ-расщепляющейся резоль-
резольвентой 8К, состоящей из относительно свободных левых {/-моду-
{/-модулей, так что конденсация В* (U) есть конструкция, называемая
В-конструкцией. Именно, В* (U) — это градуированный К-модуль
Y, Ud&Lv ((U/K)p); будучи тензорным произведением, этот модуль
порождается элементами, которые мы запишем в обычной форме как
u[ui\... |ыр]* = «
где и и щ 6 U. Ввиду нормализации этот элемент равен нулю, если
один из элементов щ принадлежит К. Степень такого элемента
определяется равенством
deg(u[«t|... |up]*) = p + degu + degu14 1-degUp; A0.4)
элемент умножается на и' ? U путем умножения на и' его первого
множителя. Пополнение задается формулой
е|(и[ ]*) = е(ы), (Ю.5)
а стягивающая гомотопия действует так: s_t A) = 1 [ ] * и
s*(u[u1ji...|up]*) = l[u|u1|...|up]*, p>0. A0.6)
Из условия нормализации следует, что s*s* = 0. Формулы для
двух граничных гомоморфизмов д' и д" очень легко находятся из
формул для s* рекурсией по р с использованием A0.3) и A0.2);
они таковы:
д'Aф1|...|ирГ) = Эи[И1|...|ирГ-
3' (U[Ut\ ... .
[«2
'2(-
A0.8)
где показателиet у —1 определяются для i = 0, . . .,р равенством
е{ = t+ deg ы + deg «Н (- deg щ = deg (и [щ |]... | ыг]). A0.9)
Исключая знак, д" совпадает с дифференциалом тензорного произ-
произведения, а д' похож на дифференциал Б-резольвенты. Между про-
прочим, знаки в A0.7) и A0.8) могут рассматриваться как результат
нашего обычного соглашения о знаке.
Из теоремы 10.2 следует
§ 10. Резольвенты и конструкции
391
Теорема 10.4. Для каждой DGA-алгебры U конденсирован-
конденсированная левая В-конструкция В* (U) — ? PU (g) (?//К)*> является попол-
пополненным левым U-модулем с пополнением е|, градуировкой A0.4),
дифференциалом д* = д' + д", где д' и д" из A0.7) и A0.8), и стя-
стягивающей гомотопией A0.6).
Эту теорему можно доказать и непосредственно с помощью ука-
указанных выше формул, проверив по пути формулы A0.2), A0.3)
и соотношение д'д" + д"д' = 0.
В дальнейшем мы используем только конденсированную В-
конструкцию для О&4-алгебр, и поэтому мы будем опускать лиш-
лишнюю с этого момента звездочку. Внимательный читатель может
заметить, что знаки, встречающиеся в формуле для взятия границы,
не совпадают со знаками, появляющимися в В-резольвенте из §2
для алгебр. Изменение знаков может быть получено с помощью опе-
операции W. Мы обошли этот мелочный контроль за изменением,
получив знаки из A0.2) и A0.3).
Как и для любого {/-модуля, редуцированная В-конструкция
В (U) имеет вид КЕ (g) VB (U), и В (U) рассматривается как гра-
градуированный К-подмодуль модуля В (?/).
Следствие 10.5. Для каждой DGA-алгебры U редуцирован-
редуцированная В-конструкция В (U) является DG-модулем над К, причем
В (U) = Y> Lp ((UIK)p). Если элементы этого модуля обозначить
[ut | ... | Up], щ ? U, то степень этих элементов определяется
формулой A0.4), в которой нужно опустить и, а дифференциал
д — д' -f д" определяется формулами A0.7) и A0.8), в которых
и = 1 и Ui нужно заменить на е («i) в первом члене правой части
формулы. A0.8).
Отметим также, что проекция р: В (?/) ->¦ В (U) ^ В {U)JJB (U)
задается формулой р (и [и{ \ . . . \ ир]) = е (и) [щ I . . . | ир]
и является морфизмом DG-модулей степени нуль. Изоморфизм
<р: B(U) ^(/<gi В ([/) задается формулой <р (и \щ \ . . . \ ир\) =
= и ® [ui | . . . | Upl; он является изоморфизмом модулей над
градуированной алгеброй U, но не относительно дифференциала,
так как <рд' Ф д'ср.
В-конструкция обладает хорошим свойством:
s_1KusB(t/) = B([/); A0.10)
что можно выразить следующим образом словами: образ стягиваю-
стягивающей гомотопии в точности равен редуцированной В-конструкции,
рассматриваемой как градуированный подмодуль модуля В.
Следствие 10.6. И В ([/), и В (U), причем В ([/) вместе
со стягивающей гомотопией, являются ковариантными функто-
392
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ 11. Двухступенная когомология DGA-алгебр
393
рами из категории DGA-алгебр U в категорию DG-модулей над К.
Кроме того, р: В -*¦ В и i: В ->¦ В являются естественными преоб-
преобразованиями этих функторов.
Доказательство. Если ц: (/ -> V есть гомоморфизм
DGA-алгебр, то В (У) отступлением вдоль ц превращается в
(/-модуль, по-прежнему имеющий К-модульную стягивающую гомо-
топию. Следовательно, каноническое сравнение из теоремы 10.3
определяет единственный гомоморфизм
В(^):В((/)-^йВ(У) A0.11)
(/-модулей, для которого е'В (ц.) = е. Кроме того, JB ((/) отоб-
отображается в ц (J) В (V), так что В (ц) индуцирует такой гомоморфизм
В (ц), что рВ (ц) = В (|а) р. Эти отображения превращают В и В
в функторы, что и утверждалось.
УПРАЖНЕНИЯ
1 1. Описать в явном виде В-конструкцию в случае, когда К = Zp есть
кольцо вычетов по модулю р и U = Е (х) — внешняя алгебра с образую-
образующим нечетной степени.
2. Получить резольвенту для еК, когда К = Zp, U = Р [х]/(хР) являет-
является факторкольцом кольца многочленов от неизвестного х четной степени
по идеалу, порожденному *р.
3. (Едииствеиность сравнения.) Если X -*¦ еК — относительно свобод-
свободная резольвента, а С — любая конструкция для U со стягивающей гомо-
топией t, то существует не более одного гомоморфизма ф : X* -*¦ С пополнен-
пополненных ?/-модулей, для которого ф (X*) с: t^K vj tC.
§ It. Двухступенная когомология DGA-алгебр
Когомологию DGj4 -алгебры (/ с коэффициентами в (тривиально
градуированном) К-модуле G можно определить в два этапа. На
нулевом этапе (/ рассматриваем как комплекс (= DG-модуль), пре-
пренебрегая частью структуры; тогда Як (U,G) и G<S>kU — это ком-
комплексы, (ко)гомология которых состоит из К-модулей
На первом этапе G с помощью отступления превращается в (/-мо-
(/-модуль, а левая ^-конструкция B(U) вместе с полным дифференциалом
д* является левым (/-модулем. Поэтому Ноту {В ((/), eG) и
G8® uB ((/) будут DG-модулями с (ко)гомологией, состоящей из
К-модулей
Hk ((/, 1; G) = Нк (Ноту (В ((/), EG)),
Hk(U,l;G)^Hh(Ge®uB(U)), fe = 0,
A1.1)
A1.2)
Поскольку отображение В ((/)-»- еК определяется резольвентой,
определение модуля Hk ((/, 1; G) напоминает. определение ((/, К)-
относительного периодического произведения Тогй (Gb, eK), но
этот модуль не есть относительное периодическое произведение,
так как в определении используется полный дифференциал д*
для В ((/), а не только дифференциал д', порожденный резольвентой.
Гомоморфизм \i: ((/, е) -> (V, е') двух DGA-алгебр над фикси-
фиксированным кольцом К — это такой гомоморфизм DG-алгебр, что
е'ц = е: (/ -*- К. Поэтому В (V) превращается при отступлении
в пополненный (/-модуль, а ц индуцирует гомоморфизм
В (ц.): В ((/) -> цВ (V) пополненных (/-модулей, коммутирующий
со стягивающей гомотопией. Отсюда следует, что Hk ((/, 1; G) —
ковариантный бифунктор аргументов (/ и G и что #h ((/, 1; G) —
бифунктор, контравариантный по (/и ковариантный по G. Реду-
Редуцированная (конденсированная) В-конструкция также является
ковариантным функтором из категории DGA-алгебр в категорию
DG-модулей.
Модули (ко)гомологий алгебры U можно выразить через реду-
редуцированную В-конструкцию. Действительно, поскольку G есть
К-модуль, каждый (/-модульный гомоморфизм В ((/) ->¦ 8G должен
отображать JB (U) в нуль, где J — ядро пополнения е:(/->К,
и, следовательно, индуцировать К-модульный гомоморфизм В ((/) =
= В (U)IJB (U) -+G. Этим устанавливается естественный изо-
изоморфизм
Я" ((/, 1; G) ^ Я" (Нотк (В ((/), G)). A1.3)
Аналогично
так что
= (G ® К8) ®и В ((/) ^ G(8)K В ((/),
Я* ((/, 1; G) sgЯй (G ®к В ((/)).
A1.4)
Если X -»- еК есть произвольная о^-расщепляющаяся резольвента,
состоящая из относительно свободных (/-модулей, то стандартными
для сравнения рассуждениями устанавливаются изоморфизмы
Я" ((/, 1; G) ^ Я" (Ноши (X*, eG)) s Я" (HomK (X*, G));
аналогичные утверждения верны относительно функторного пове-
поведения, а также для гомологии.
«Надстройка» отображает гомологию нулевого этапа в гомологию
первого этапа. Пусть отображение S:U->-B(U) определяется
формулой S (и) = [и]; заметим, что 5 —это в точности стягиваю-
394
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ П. Двухступенная когомология DGA-алгебр
395
щая гомотетия, ограниченная подкомплексом U комплекса В (U).
Значит, 5 является гомоморфизмом степени 1 градуированных
К-модулей, причем 6S = — Sd; следовательно, он индуцирует
аналогичные отображения G(g>?/->G®JB(?/)H Horn (В (U), G) -*¦
-*¦ Нот (U, G) и тем самым гомоморфизмы
S*:Hk(U,0;G)->Hh+i(U, 1;G), A1.5)
S*:Hk+1(U,l;G)-+Hh(U,O;G), A1.6)
называемые надстройкой; они будут использованы в следующем
параграфе.
Для изучения зависимости Я (В ([/)) от Я (U) используем
фильтрацию комплекса (DG-модуля) В. Пусть Fp = Fp (В (U))
обозначает подмодуль модуля В, порожденный всеми элементами
w = [«11 ... | Uft], где &<р; мы будем говорить, что такой эле-
элемент w имеет фильтрацию, не превосходящую р.
Предложение 11.1. Для каокдой DGA-алгебры U ассо-
ассоциированный комплекс В (U) имеет каноническое семейство подком-
подкомплексов F?, Fo <= Ft <= . . . с Fp <= . . . <= U Fp = В ([/)• Эле-
Элементы из В (U) общей степени п лежат в Fn. При р = О, Fo ^ К
(К рассматривается с тривиальными градуировкой и дифферен-
дифференциалом), а при р > 0 существует изоморфизм цепных комплексов
Fp/Fp-t ss L (U/K) ® ... ® L (U/K) (р множителей). A1.7)
В проверке нуждается только последнее утверждение. «Внут-
«Внутренний» дифференциальный оператор д" из В переводит элементы
фильтрации р в элементы той же фильтрации, а «внешний» диффе-
дифференциальный оператор д' отображает элементы фильтрации р в эле-
элементы фильтрации р — 1, поэтому Fp действительно замкнут отно-
относительно полного дифференциала д = д' + д". Более того, при
построении факторкомплекса Fp/Fp-i из полной границы исчезают
члены, отвечающие д', так что взятие границы в Fp/Fp-i опреде-
определяется д" в согласии с формулой A0.7) при и = 1. Но это в точности
формула для взятия границы в тензорном произведении р экзем-
экземпляров комплекса L (U/K), так как знак, определяемый показате-
показателем ег, совпадает со знаком в формуле для взятия границы в тен-
тензорном произведении, а знак минус, стоящий перед суммой, введен
в L (UIK) по определению L (д) 1и = — 1ди.
Цепное преобразование ц: X -*• Y комплексов называется гомо-
гомологическим изоморфизмом, если Нп (ц) :Я„ (X) ~ Hn(Y) для каж-
каждой размерности п.
Теорема 11.2. (Эйленберг — Маклейн [1953b].) Пусть
(х : U -*• V есть гомоморфизм DGA-алгебр над К, являющийся гомо-
гомологическим изоморфизмом. Кроме того, предположим, что К—поле,
или что К = Z, и Un и Vn — свободные абелевы группы для каждого п
(т. е. свободные К-модули). Тогда индуцированное отображение
В (\i) : В (U) -*- В (V) является гомологическим изоморфизмом и для
каждого К-модуля G
V*:Hk{U,\;G)^Hk(V,\;G);
yi*:Hk(V,l;G)^Hk(U,l;G). [ >
Доказательство есть упражнение в использовании фильтрации
и леммы о пяти гомоморфизмах.
Во-первых, \i переводит 1и в lv и, следовательно, индуцирует
цепное преобразование UIK -*¦ У/К. Мы утверждаем, что это пре-
преобразование — гомологический изоморфизм. Действительно, допол-
дополнительные предположения (К — поле или К = Z, Uo — свобод-
свободная группа) показывают, что /: К ->¦ U есть мономорфизм, поэтому
К >-» U -» 0/К есть точная последовательность комплексов, кото-
которая отображается посредством \а в соответствующую точную после-
последовательность для V. Следовательно, ц отображает точную гомо-
гомологическую последовательность первой точной последовательности
в точную гомологическую последовательность второй. Для п>2
Hn-i (К) = 0 и точная гомологическая последовательность сводит-
сводится к изоморфизму Нп (U) s* Hn (UIK). При п = 1 она принимает
вид
0 -> Я4 A0 -> Я4 A//К) -> Но (К) -> Но (U) -* Но (U/K) -* О,
где Но (К) ^ К. Эта последовательность отображается посредством
\i в соответствующую последовательность для V. Двумя приме-
применениями леммы о пяти гомоморфизмах устанавливаются изомор-
изоморфизмы Я1A//К)^Я1G/К), Яо ((//К) ее Но (V/K), так что
\i: U/K -»- У/К действительно гомологический изоморфизм.
Теперь рассмотрим отображение В (ц) : В (U) ~>-В (V), точное
выражение которого таково:
... | |ШП].
В
| Un] =
Это отображение сохраняет фильтрацию, т. е. переводит Fp =
== Fp (В (?/)) в Fp — Fp (^ (У))- Мы утверждаем, что индуцирован-
индуцированное отображение Fp/Fp-i -*¦ F'pIF'v-i есть гомологический изомор-
изоморфизм. Действительно, фактор комплекс FpIFp-i — это в точности
n-кратное тензорное произведение A1.7), и индуцированное отоб-
отображение равно \i (g) . . . (g) \i (n множителей). Если К — поле,
то это отображение является гомологическим изоморфизмом по
тензорной формуле Кюннета (теореме V.10.1). Если К = Z и все
группы Un и Vn свободны, то оно является гомологическим изомор-
396
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ 12. Когомология коммутативных DGA-алгебр
397
физмом по следствию из формулы Кюннета для этого случая (след-
(следствие V.11.2). '
Наконец, мы утверждаем, что \i : Fp -*-F'p—гомологический изо-
изоморфизм. Доказательство проводится индукцией по р. Для р = О
это очевидно, поскольку Fo = К = F'o. Для больших р ц отобра-
отображает точную последовательность Fp-i >-> Fp -*¦ Fp/Fp-i комплек- <
сов в соответствующую точную последовательность для F'p. Тогда
длинные точные гомологические последовательности образуют ком-
коммутативную диаграмму с первой строкой
Hk
Hk
и вертикальными отображениями, индуцированными ц. По индук-
индуктивному предположению и в силу предыдущего результата для
Fp/Fp_i четыре крайних вертикальных отображения являются
изоморфизмами, так что лемма о пяти гомоморфизмах доказывает
изоморфность отображения Hk (Fp) -** Hk (F'p) для любого k.
Поскольку для каждой полной размерности п, FPB .при большом
р содержит все элементы из В этой размерности, из доказанного
следует, что В (ц.) : В (U) -*¦ В (V) есть гомологический изоморфизм.
Изоморфизмы A1.8) теперь следуют из подходящей теоремы об уни-
универсальных коэффициентах (К — поле или К = Z и В — комплек-
комплексы свободных абелевых групп).
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Теорема о стягивании. Эйленберг—Маклейн [1953 b, теоре-
теорема 12.1].) Если \i: U-*-V, \ : V-*¦ U суть гомоморфизмы DGA-апгебр,
причем (i/v = 1, и если существует такая гомотопия /, что td + dt =vfi — 1,
pi = 0, tv = 0, то можно доказать существование такой гомотопии 7, что
dt + Id = B(v) В (fi) — 1, В (ц) 7 = 0, t В (v) = 0.
2. Получить фильтрацию из предложения 11.1 для произвольной оМ-
расщепляющейся относительно свободной резольвенты для еК, состоящей
из (/-модулей.
§ 12. Когомология коммутативных /М/Л-алгебр
Пусть U и V — две DGA-алгебры над К. Их тензорное произве-
произведение ?/® V также является DGA-алгеброй, в то время как тензор-
тензорное произведение {/-модуля и У-модуля является (?/®^-модулем.
В частности, Б-конструкции В (U) и В (V) порождают пополненный
(С® У)-модуль В (f))(gM (V). Этот модуль является конструк-
конструкцией со стягивающей гомотопией t, определенной в размерности —I
формулой s_! <g) s_i : К -*¦ В (g) В и в положительных размерно-
размерностях обычной; формулой t — s ® 1 + s_te ® s для тензорного
произведения гомотопий. Кроме того, модуль В (U)®B (V) отно-
относительно свободен. Действительно, изоморфизм В (U) & U (g) B{U)
это изоморфизм модулей над градуированной (но не диффе-
дифференциальной) алгеброй U, так что
есть изоморфизм модулей над градуированной алгеброй U (g> V
(без дифференциала) и В (U) ® В (V) — относительно свободный
модуль. Можно показать, что его редуцированный DG-модуль есть
в точности тензорное произведение В (U) (g> В (V)| .DG-модулей
В (U) и В (V). Наконец, по предложению 9.3 конструкция В (U) ®
<g) В (V) могла бы быть получена как конденсация, именно как кон-
конденсация тензорного произведения исходных В-резольвент. Сле-
Следовательно, мы можем применить теорему сравнения для получения
гомоморфизмов пополненных (?/(g>V) -модулей
B(V). A2.1)
Выберем для / и g канонические сравнения (теорема 10.3):
fB (U ® V) с UK KJt(B(U)®B (V)),
g [B(U) ® В (V)] cz s-tK и sB (U ® V).
Опять-таки в силу теоремы сравнения существует гомотопия 1 ~ gf.
С другой стороны, по A0.10), s_tK u sB (U ® У) = В ((/ ® V),
так что
fa [В (I/) ® В (V)] <= /_jK и / (В (U) ® В (У)).
Это включение показывает, что /g есть каноническое сравнение ком-
комплекса В [U)®B (V) с самим собой, поэтому /g = 1. Поскольку
f Hg, являясь каноническими сравнениями, определены однознач-
однозначно, они естественны относительно U и V.
DGA-алгебра (/ коммутативна, если для ир 6 1/р и ыд ? I/g
"р«9 — (—1)р?«?«р, т. е. если ят = я : f/(g) U -*-1/, причем
х : ?/(g) V->-V® У—обычная перестановка, я — отображение умно-
умножения для U. В этом случае тензорное произведение U (g>(/ также
является DGA-алгеброй; диаграмма показывает, что когда U ком-
коммутативна, отображение умножения я : U <g> U -> U есть гомомор-
гомоморфизм DGA-алгебр. Следовательно, «внешнее» умножение g из A2.1)
в этом случае определяет внутреннее умножение в В (U):
яв: В (U) ® В (I/) Л В (I/ ® U) -1Л В (U). A2.2)
398
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ 12. Когомология коммутативных DGA-алгебр
399
Здесь В (U) рассматривается как G® {/-модуль, полученный
отступлением вдоль я : U (g) U -*- U, а В (я) — каноническое отоб-
отображение, описанное в A0.11). Следовательно, умножение пв из
A2.2) можно описать как каноническое сравнение.
Теорема 12.1. Если U — коммутативная DGA-алгебра,
то В (U) — коммутативная DGA-алгебра с единицей [ ] и умноже-
умножением Яв, при этом пв является также гомоморфизмом пополненных
модулей над U ® U. Это умножение индуцирует такое умножение
~B[(U)<8)B(U)-*-B(U), что В (U)_становится коммутативной
DGA-алгеброй, а проекция В (U)-*-B (U) —гомоморфизмом DGA-
алгебр, в то время как включение В (U) -*-В (?/) становится гомомор-
гомоморфизмом градуированных К-алгебр.
Доказательство. Единичный элемент алгебры U пред-
представляется отображением / : К -*-U. Учитывая, что В (К) = К,
построим произведение отображений {/-модулей
% B{U).
Здесь ® снабжается {/-модульной структурой отступлением
вдоль /<g) 1 : К (g) U -*-U (g) U, а В (U) — такой же структурой
отступлением вдоль яр(/®1) = 1. Следовательно, указанное
произведение есть каноническое сравнение В (U) с самим собой
и поэтому равно единице. Этим показано, что В (/) 1К = [ ] есть
единичный элемент в В (U) для умножения яв. Аналогично уста-
устанавливается, что отображения
яв A ® яв), пв (яв <g> 1): В (U);® B{U)®B (U) -» В (U)
являются каноническими сравнениями и поэтому должны быть рав-
равными. Тем самым установлена ассоциативность, и В (U) превра-
превращается в DGA-алгебру. Имеется аналогичное доказательство ком-
коммутативности умножения.
По определению Ъ = B/JB, где J — ядро пополнения е :?/->-
->К; следовательно, по лемме VII 1.3.2 ядро гомоморфизма
р ® р : В (g) В -»¦ В (g) В есть объединение образов JB ® В и В ®.
® JB. Поскольку пв— гомоморфизм ({/®?/)-модулей, он пере-
переводит это объединение в JB и тем самым индуцирует единственное
отображение я : В (g> В -vB, для которого я (р ® р) —_рпв. Из
единственности этого разложения немедленно следует, что В являет-
является DG-алгеброй относительно умножения я с пополнением, опре-
определяемым изоморфизмом Во ^ К, и что р — гомоморфизм пополнен-
пополненных алгебр.'
Остается показать, что i :B -*-В есть гомоморфизм, т. е. что
яв (i ® 0 = in:B (U) ® В (U) -> В (U).
Так как пв — каноническое сравнение, то образ отображения
яв (i <8> 0 лежит в В с В; на этом подмодуле ip действует тождест-
тождественным образом и поэтому
ipnB (i ® 0 = in (p (g) p) (i ® i) — in (pi ® pi) = in,
что и требовалось доказать. Этим доказательство закончено. Заме-
Заметим, что умножения, определенные в В и U, определяют умноже-
умножение в В; действительно, поскольку пв — гомоморфизм (?/®[/)-мо-
дулей, мы имеем
Яв [(И|® 6i) ® (Ы2 ® fe2)] = (— l)«JegU2)(degb1) UiU2nB (Ьг®\) A2.3)
для любых двух элементов Ьи Ь2?В (U).
Поскольку g — каноническое сравнение, его можно описать
точной формулой; эта формула (исключая знаки) в точности совпа-
совпадает с выражением для отображения g из теоремы Эйленберга —
Зильбера, так как она вытекает из симплициальной структуры В ([/).
Как и раньше (VII 1.8), пусть t есть (р, <?)-перетасовка, рассматри-
рассматриваемая как подходящая перестановка чисел {1, . . ., р + q}. Для
элементов
определим билинейное отображение (перетасовочное умножение)
* : В (U) (g) В (V) -*¦ В (U (g> V): для этого обозначим элементы
1 1 U
1,
1, 1
1
vq из U
ном порядке через wit
wp+q и положим
[и, |
| и,] *
о,] =
V в указан-
указанA2.4)
где сумма берется по всем (р, <7)-перетасовкам /, а показатель сте-
степени е (t) определяется в терминах полных степеней как
]), t(i)>t(p + j), i<p, /<9- A2.5)
Этот знак в точности регулируется правилом коммутирования,
поскольку сумма берется по всем таким парам индексов (t, /), для
которых элемент ыг степени deg [ыг] ставится после элемента о/
степени deg lv}].
Теорема 12.2. Каноническое сравнение g A2.1) определяется
для элементов bi и Ьг из В (U) и В (V) соответственно формулой
g [(ubt) ® (o5j)] = (- 5k
Доказательство. Эта формула подсказана равенством
A2.3). Ею, очевидно, задается гомоморфизм модулей над градуиро-
400
Гл. X. Когомология алгебраических систем
ванной алгеброй I/® V, который переводит В (U) ® В (V) в
Ъ (U (g) V) и поэтому является каноническим сравнением. Дока-
Доказательство завершается проверкой того, что dg = gd. Это можно
сделать непосредственно, используя определения g и д = д* =
— д' + д" для 5-конструкции. Мы оставляем детали читателю или
отсылаем к работе Эйленберга и Маклейна [1953 Ь], где доказатель-
доказательство сформулировано в терминах рекурсивного описания перета-
совочного умножения *.
Заметим, что формула A2.4) вместе с равенством A2.3), запи-
записанным в виде
§ 12. Когомология коммутативных DGA-алгебр
401
*{ифг) = (— 1 )(deg U!)(deg bl) «i (Pi * 5j),
полностью определяет умножение в В (?/)• Например t
[и] * [v] = [и | v] + (— 1 )D+des «)U+4eg •> [о | и],
а также
[и] * [v | ш] = [и | о | ш] + [v | u |ay] ± [v \ w \ и]
при очевидной «перетасовке».
_ Следствие 12.3. Если алгебра U коммутативна, то алгебра
В (U) строго коммутативна*
Доказательство^ Пусть b = [ «41 . . . | ир]. Каждый
член в произведении Ь * Ь встречается дважды для двух перета-
совок t и /', где
e(t) + e (/') = 2. (deg Ш) (deg [u}}) = (deg bf.
Когда deg b — нечетное число, то знаки противоположны, так что
Ъ# b = 0, что и требуется для строгой коммутативности.
Существенное замечание состоит в том, что каждая коммута-
коммутативная DGA-алгебра U порождает коммутативную DGA-алгебру
Ъ ([/), чго позволяег итерированием образовать коммутативную
ОбЛ-алгебру Вя (U) для каждого положительного п. Это приводит
к «-степенной когомологии (или гомологии) алгебры U с коэффи-
коэффициентами в К-модуле G:
Я" (U, л; G) = Я" (Нот (Вп (U), G)).
В частности, описанное построение применимо в том случае, когда
U = Z (П) — групповое кольцо коммутативной мультипликатив-
мультипликативной группы П. Причем «-степенные группы гомологии и когомоло-
гий этой группы П с коэффициентами в абелевой группе G таковы:
Hh(П, п; G) = Hh{G®Bn(Z(П))), A2.6)
Я* (П, п; G) = Я" (Вот(Вп (Z (П)), G)); A2.7)
при п = 1 они совпадают с группами гомологии и когомологии
группы П^_ рассмотренными в гл. IV. Заметим, что надстройка
S:Bn-+Bn+1 из A1.5) дает гомоморфизмы
S.:tfn+P(n, n; G) -> Яп+1+р(П, n+1; G), A2.8)
S* : Яп+1+р (П, я+ 1; G) -> Яп+" (П, п; G). A2.9)
Прямой предел групп Нп+Р (П, n; G) относительно отображений
5* определяет другое множество «стабильных» групп гомологии
Нр (П; G) для абелевой группы П. Они были изучены Эйленбергом
и Маклейном [1951, 1955].
Для произвольного п группы Hh (П, п; G) имеют топологи-
топологическую интерпретацию в терминах так называемых пространств
Эйленберга — Маклейна К (П, п). Здесь К. (П, п) — это тополо-
топологическое пространство, единственной ненулевой группой гомотопий
которого является группа п„, = П в размерности п. Можно доказать
(Эйленберг — Маклейн [1953b]), что существует естественный
изоморфизм
Я"(К(П, я), С)^Я"(П, n;G);
имеется соответствующий результат для гомологии.
Точные вычисления этих групп можно эффективно провести,
используя итерированные альтернативные резольвенты X, выбран-
выбранные так, чтобы в X имелась структура алгебры (Картан [1955])
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что образ стягивающей гомотопий в В (U) ® В (V) строго
содержит В (U) ® В (V).
2. Доказать теорему 12.1 с помощью явной формулы для умножения *.
3. Показать, что Вп (Z (П)) есть нуль в размерностях, заключенных
между 0 и л, и, значит, Ш (П, п; G) = 0 = Нр (П, п; G) для 0 < р < п.
4. Показать, что Нп (П, п; G) в Нот (П, G) при л>1 и что
1 (П, п; G) e Exti, (П, G) при п>2.
5. (Теорема о надстройке. Эйленберг — Маклейн, [1953 b, теорема
20.4].) Для р < п показать, что S* и S* из A2.8) и A2.9) — изоморфизмы,
в то время как S* — мономорфизм, a S* — эпиморфизм для р = п. (Ука-
(Указание: сравнить комплексы Bn+1 (U) и Вп (U) в указанных размерностях.)
6. Пусть X -*¦ ЕК — любая К-расщепляющаяся относительно свобод-
свободная резольвента, записанная как X = С/^Х в согласии с теоремой 10.2,
26—353
402
Гл. X. Когомология алгебраических систем
и пусть отображение j : U -*¦ X задано формулой / (и) = и ® 1 (в предполо-
предположении, что 1 6 U ~ Хо). Показать, что произведение psj : U -»- Х~, где s —
стягивающая гомотопия, дает надстройку.
7* Для любой резольвенты X из упражнения 6 найти умножение X ® X -*-
-*¦ X, ассоциативное с точностью до гомотопии.
§ 13. Гомология алгебраических систем
Для групп, моноидов, абелевых групп, алгебр и градуирован-
градуированных алгебр мы уже определили подходящие группы гомологии
и когомологий. В каждом случае руководящей идеей служило то,
что вторая группа когомологий представляет группу расширений
(с данными операторами) для рассматриваемого типа алгебраи-
алгебраических систем: см. теорему IV.4.1 для групп, упражнение 12.4 для
абелевых групп и теорему 3.1 для алгебр. Элементы третьей группы
когомологий представляют препятствия для соответствующей задачи
?асширения: см. теорему IV.8.7 для групп и работу Хохшильда
1947] для алгебр. Типичные комплексы, используемые для пост-
построений таких гомологических теорий, были описаны с помощью
понятия «общей ацикличности» (Эйленберг — Маклейн [1951 ]).
Здесь мы упомянем о различных других алгебраических системах,
для которых были развиты соответствующие гомологические теории.
Двумерная теория когомологий для колец оперирует с двумя
системами факторов: одна система для сложения, другая — для
умножения. Пусть А — абелева группа, рассматриваемая как
кольцо (без единицы), в котором произведение любых двух эле-
элементов равно нулю. Пусть R — кольцо. Сингулярным расширением
А с помощью R называется короткая точная последовательность
А >* S -» R кольцевых гомоморфизмов хна, в которой S — кольцо
с единицей ls и а\8 = 1н- Будем считать А таким двусторонним
идеалом в S, что S/A = R. Для каждого х ? R выберем предста-
представитель и(х) ? S : аи (х) = х. Тогда А превращается в #-бимодуль
с операторами ха = и (х) а, ах = аи (х), не зависящими от выбора
представителей и. Сложение и умножение в S определяются двумя
такими системами факторов fug, что
u(x) + u(y) = f(x,y) + u(x + y), A3.1)
u(x)u(y)=g(x,y) + u(xy). A3.2)
Эти функции / и g удовлетворяют различным тождествам, которые
отражают ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный зако-
законы для S (Эверетт [1942], Редей [1952], Сендреи [1952]). Теперь
можно построить (Маклейн [1956]) такую теорию когомологий для
кольца R, что в группе Я2 (R, А) указанные пары функций fug
являются коциклами, а когомологические классы представляют
расширения А с помощью R. Часть соответствующей трехмерной
§ 13. Гомология, алгебраических систем
403
группы когомологий Я3 (R, А) в точности отвечает препятствиям
для задачи о расширении кольца Т (без единицы, но не обязательно
с нулевым умножением) с помощью кольца R. Эти результаты мож-
можно приложить также к пучкам колец (Грей [1961а, Ь]).
Шукла [1961] распространил эту когомологическую теорию
со случая колец (Z-алгебр) на случай алгебр Л над произвольным
коммутативным кольцом К. Получающаяся теория когомологий
алгебр более тонка, чем теория когомологий Хохшильда, так как
в теории Хохшильда систематически используются только К-рас-
щепляющиеся расширения, в то время как в рассматриваемом слу-
случае использование системы факторов A3.1) для сложения отражает
именно тот факт, что исследуемые расширения не расщепляются
аддитивно. Теория Шуклы построена так, что каждый элемент из
Я3 соответствует препятствию. Харрисон [1962] начал развивать
теорию когомологий для коммутативных алгебр над полем.
Алгебра Ли L над кольцом К — это К-модуль вместе с таким
К-модульным гомоморфизмом х ® у ->- U, у] из L ® ? в L, что
выполнены тождества
[х, х] = 0, [х, [у,
z, [х, у]] = 0,
типичный пример можно построить, введя в ассоциативной алгебре
Л новое умножение [х, у] = ху — ух. Обратно, каждая алгебра
Ли L определяет пополненную ассоциативную алгебру Iе, как
факторалгебру тензорной алгебры Т (L) модуля L по идеалу, по-
порожденному в Т (L) всеми элементами вида х ® у — у ® х —
— [х, у], х, y?L. Алгебра Le называется обертывающей (ассо-
(ассоциативной) алгеброй алгебры L. Гомология и когомология алгебры
L теперь определяются для модулей Gl," и LeC следующим образом:
Я„ (L, G) = ТогГ (G, К), Нп (I, С) = Ext? (К, С),
хотя, как и в случае алгебр, возможно, более подходило бы исполь-
использование относительных функторов Тог и Ext для пары (Iе, К).
Эта теория развита Картаном и Эйленбергом в гл. XIII; см. также
Джекобсон [1962]. В случае, когда К — поле, теорема Пуанкаре —
Биркгофа — Витта может быть использована для альтернативного
описания этих групп когомологий и гомологии в терминах стандарт-
стандартного комплекса, строящегося прямо с помощью лиева умножения
в L. В действительности этот подход был первоначально исполь-
использован в первых исследованиях по когомологий алгебр Ли (Шевал-
ле — Эйленберг [1948], Косуль [1950b]). Двумерная группа кого-
когомологий Я2 (L, С) соответствует К-расщепляющимся расширениям
алгебр Ли (Картан — Эйленберг, XIV.5). В некоторых случаях
элементы трехмерной группы когомологий H3(L,C) являются
препятствиями для задачи о расширении (Хохшильд [1954]).
26*
404
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Аналогичные результаты применимы в случае аналитических групп
Ли (Маколей [19601) и тройных систем Ли [Ямагути 11960], Хар-
рис [1961]). Ри [1958] применил перестановочные умножения для
алгебр Ли.
Когомология колец имеет дело с системами факторов для сло-
сложения и умножения. Возможно точно так же построить когомоло-
гию колец Ли; группа Я2 будет включать системы факторов для
сложения и лиева умножения. Подобная теория была начата Дик-
смье [1957]; нужно надеяться, что дальнейшие исследования смо-
смогут упростить его формулировку.
С топологической точки зрения в основе В-конструкции лежит
«слой» U, с помощью которого строится косое произведение В (U)
с группой U и соответствующая база В (U). Обратная задача пост-
построения (гомологии) слоя, исходя из заданной базы, геометрически
очень важна. Для ее решения Адаме ввел двойственную В-конструк-
В-конструкции конструкцию F (W), где W—градуированная коалгебра1 над К.
Детали см. в работах Адамса [1956], [1960, стр. 33].
Замечания. Редуцированная В-конструкция В (U) принадлежит
Эйленбергу и Маклейну [1950b]. Картан [1954] сделал важное заключение
о том, что В можно было бы получить из ацикличной В-конструкции В,
и указал эффективный метод проведения вычислений с помощью «кон-
«конструкций».
ГЛАВА XI
Спектральные последовательности
Если Г — нормальный делитель группы П, то гомология груп-
группы П может быть вычислена путем последовательных аппроксима-
аппроксимаций из гомологии групп Г и П/Г. Эти последовательные аппрок-
аппроксимации отражены в понятии спектральной последовательности.
В этой главе мы сначала опишем механизм спектральных последо-
последовательностей, а затем дадим несколько приложений, закончив одной
общей теоремой (теоремой сравнения). Другие применения будут
указаны в следующей главе.
В этой главе под словом «модуль» будет пониматься левый модуль
А над фиксированным кольцом R, хотя во многих случаях с одина-
одинаковым успехом можно понимать под этим словом Л-модуль или
объект данной абелевой категории. Мы постоянно будем иметь
дело с подфакторами S/K модуля А, где К с S а А. Напомним
(I I.6.3): каждый модульный гомоморфизм а: А-+А' индуци-
индуцирует аддитивное отношение <z# : SIK -»- S'/K' данных подфакторов
S/K и S'/K', состоящее из всех таких пар смежных классов
(s + K, as+K'), что s?S, as 6 5'. Если S, Т и U — под-
модул и модуля А, то модулярный закон утверждает, что Sn(TKjU) =
= (S n Т) и U всякий раз, как 5 =з U. Отсюда следует,
что 1А индуцирует изоморфизм (модулярный изоморфизм Нётер)
1„ : S/[U u(Sn T)] ^(Su T)/(U иГ), S =d I/.
Действительно, S/W u (S n T)] = S/[S n (T u [/)]; в силу
изоморфизма Нётер A.2.5) правый модуль изоморфен модулю
(Su T и U)/(T u(/) = (Su T)/{U u T).
§ 1. Спектральные последовательности
Z-биградуированный бимодуль — это семейство Е = {EP)q} мо-
модулей, по одному для каждой пары индексов р, q = 0, ± 1, ±2, ....
Дифференциал d:E-+E бистепени (—г, г—1) есть семейство
гомоморфизмов {d : Ep,q, -*-?p_r, Eq+T_1}, no одному для каждой
406
Гл. XI. Спектральные последовательности
пары р, q, причем d2 = 0. Гомология Н (Е) — Н (?, d) бимодуля
Е относительно этого дифференциала является биградуированным
модулем {ЯР) q (E)}, определенным обычным способом:
НР,, (Е) = Ker [d :?,,,-* Ep-r, g+r-iVdEp+r, ,-P+i. A -1)
Если Е превращен в (обычный) Z-градуированный модуль Е —
= {Еп} с полной степенью п, полученной обычным путем Еп —
— 2 Ер, «I то дифференциал d индуцирует дифференциал
p+q=n
d: En -*-En-i с обычной степенью—1, и Я ({Еп}, d) есть обычный
градуированный модуль, полученный из биградуированного моду-
модуля HPiq(E), Нп = 2j Hp,q-
p+q=n
Спектральной последовательностью Е = {ЕТ, dr} называется
последовательность ?2, Е3, . . . Z-биградуированных модулей,
обладающих дифференциалами
d' : Ер, q —> Ер—г, q+r—i» f = 2, 3, ..., A-2)
бистепени (—г, г — 1), причем имеют место изоморфизмы
Н (Er, dr) & Er+1, г = 2, 3, .... A.3)
Более коротко, каждый бимодуль ?г+1 является биградуирован-
биградуированным модулем гомологии предшествующего модуля (Ет, dT). Таким
образом, Ег и dr определяют ?г+1, но не определяют dr+1. Бигра-
дуированный модуль ?2 является первым (начальным) членом
спектральной последовательности (иногда удобно начинать спект-
спектральную последовательность с г — 1 и с начального члена Е1).
Если ?" — вторая спектральная последовательность, то гомо-
гомоморфизм f \ Е -*-Е' — это такое семейство гомоморфизмов
fr:Er
г = 2, 3, ...,
биградуированных модулей, каждый бистепени @, 0), что drf —
— frdr и каждый гомоморфизм /г+1 является отображением, инду-
индуцированным fT на модулях гомологии [используя изоморфизм A.3I.
Поучительно описать спектральную последовательность в тер-
терминах подмодулей модуля Е2 (или Е1, если рассматривается этот
случай). Сначала отождествим бимодуль Er+1 с Н (Er, d7)
с помощью заданных изоморфизмов A.3). Тогда Е3 = Н (?2, d8)
становится подфактором С?1В2 модуля Е2.. где С2 = Ker d* и В2 =
= Im d2. Далее, Е* = Я (Е3, d3) — подфактор модуля С^/В2, изо-
изоморфный С31В3, где С31В* = Ker d3, B3IB2 = Im d3 и В3 а С3.
С помощью итерации спектральная последовательность представ-
представляется как башня
= B1dB2<=B3c: ... с С3 с С2 с: С1 = Е2
A.4)
биградуированных подмодулей модуля ?2 с ?r+1 = CrIBr, при-
причем гомоморфизм
dT: C'-VB' -> С~ЧВг-\ г = 2, 3, ...,
имеет ядро С/Вг~1 и образ ВТ1ВГ~Х. Говоря неформально,
С — это модуль элементов, которые «.остаются в живых»
до r-го шага;
ВТ~1 — это модуль элементов, которые ограничиваются при г-м
шаге.
Модуль элементов, «живущих вечно»,— это
С°° — пересечение всех подмодулей С, г = 2, 3, . . .,
а модуль элементов, которые «когда-либо ограничивают»,— это
Воо=объединение всех подмодулей ВТ, г = 2, 3
При этом В°° а С00, так что спектральная последовательность опре-
определяет биградуированный модуль
Мы рассматриваем члены Ет спектральной последовательности
как последовательные приближения (посредством последователь-
последовательного образования подфакторов) к ?°°. При представлении A.4) гомо-
гомоморфизм /:?->• ?' спектральных последовательностей — это такой
гомоморфизм / : ?2 ->- ?'2 биградуированных модулей бистепени
(О, 0), что / (С) с: С"\ / (Вг) с: В'т и что все диаграммы
Cr-1/Br-'1 -i- C'VB1"
I/* 1/*
коммутативны. Таким образом, /:?->?' индуцирует гомомор-
гомоморфизм f°° :?°°—>?'°°.
Спектральная последовательность ? называется последова-
последовательностью первой четверти, если Erp, q = 0 при р < 0 или q < 0.
(Из выполнения этого условия для г = 2 следует его выполнение
для больших г.) Удобно изображать модули ЕГР9 целочисленными
408
Гл. XI. Спектральные последовательности
точками в первой четверти плоскости (р, q):
9 q
Е3
d3
Тогда дифференциал dr указывается стрелкой. Все члены полной
степени п лежат на прямой р + q = п, идущей под углом 45°;
последовательные дифференциалы выходят из целочисленной точки
подобной прямой и направлены в целочисленную точку следующей
прямой, лежащей ниже. В каждой целочисленной точке комплекса
Ер, q следующая аппроксимация Ер^ч образуется взятием фактор-
модуля ядра дифференциала, выходящего из этой точки, по образу
дифференциала, оканчивающегося в этой точке; эти отображения
указаны в последовательности
r, q-r+l
Fr
p—r, q+r—i-
Выходящий дифференциал dr оканчивается вне первой четверти,
если г > р; приходящий дифференциал dr начинается вне этой
четверти, если г > q + 1, поэтому
Er+1 - E
оо>г>Мах(р,
A.7)
To есть для фиксированных степеней р и q модули EPt q постоянны
для всех г, за исключением конечного числа членов.
Члены ?р, q, лежащие на оси р, называются членами базы.
Каждая стрелка dT, оканчивающаяся в базе, приходит снизу и,
значит, из 0, поэтому каждый член ??$ является подмодулем моду-
модуля Егр, о, а именно ядром dr: Етр, 0 -*• ?p-r, r-i• Это обстоятельство
приводит к последовательности мономорфизмов
?р, о —?р, о —>•.•¦-
:р. о
р, 0
Е2
Р, 0-
A.8)
Члены ЕОуЧ, лежащие на оси q, называются членами расслоения
(или слоями). Каждая стрелка, выходящая из слоя, оканчивается
слева в нуле, следовательно, Ео, q состоит из циклов и следующий
член расслоения является фактормодулем модуля Ео, q (по образу
§ 1. Спектральные последовательности
409
дифференциала <f). Это приводит к последовательности эпиморфиз-
эпиморфизмов
?о.« -> ?о.« -> ?о,, -> ¦ • • -+Е1+1 = Ео, д. A.9)
Отображения A.8) и A.9) известны под названием краевых гомомор-
гомоморфизмов (мономорфизмов на базе, эпиморфизмов на слое).
Говорят, что спектральная последовательность Е ограничена
снизу, если для каждой степени п существует такое целое число s =
= s (п), что Ер, q, = 0, когда р < s и р + q = п. Это эквивалентно
требованию, что на каждой наклоненной под углом 45° прямой
(Р + Я — п) с убыванием р все члены становились равными нулю;
таким образом, спектральные последовательности первой или «треть-
«третьей» четверти ограничены снизу.
Теорема 1.1. (Теорема об отображении.) Если f : Е ->-Е' —
гомоморфизм спектральных последовательностей и если f : Е1 е*
&. Еч — изоморфизм для некоторого t, то и fT : Ег з^ E'r —
изоморфизм при r^>t. Если, кроме того, последовательности Е и Ег
ограничены снизу, то и /°° : ?°°^?'°° является изоморфизмом.
Доказательство. Поскольку /* — цепной изоморфизм
и ?'+1 = Н (?', dl), то . первое утверждение доказывается по
индукции. Если последовательности Е и Е' ограничены снизу
и пара чисел (р, а) фиксирована, то дифференциал dr : ?р> q ->-
-+ЕГр-г, q+r~i имеет образ 0 для достаточно больших г. Следова-
Следовательно, Cp,q = Cp<q и C'p\q — Cp™q для больших г. Значит, всякий
элемент а' 6 Cp^q лежит в Cpr, q, так что из эпиморфности f следует
эпиморфность /°°. Если fa е В'°°= U В'г для а ё С00, то fa 6 В'Т
для некоторого г. Следовательно, если f — мономорфизм для всех
г, то /от — мономорфизм.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что башня A.4) вместе с последовательностью изоморфиз-
изоморфизмов Qr: Сг-г1Сг е Вг/Вг~1 бистепени (—г, г — 1) для г = 2, 3, ... опре-
определяет спектральную последовательность, в которой Ег = С'-11Вг~г и dr
равняется произведению Сг-1/Вг-1 -»- С'-'/Р^Ж/В'-1 -^-С'11Br~l, и что
каждая спектральная последовательность изоморфна последовательности,
полученной указанным способом.
2. Для спектральных последовательностей Е' и Е" векторных про-
пространств над полем построить спектральную последовательность Е = ?'®?"
с ?p,g=2 Ep',q'®Ep",q"' где сУмма берется по всем р' + р" = р, q' +
+ <?" — <?. a dr определяется с помощью обычной формулы для дифференциала
тензорного произведения.
3. Для спектральной последовательности Е проективных левых ^-моду-
^-модулей, левого 7?-модуля С и правого ^-модуля G построить спектральные после-
последовательности Нотд (Е, С) и G ®д Е и вычислить члены ?°°.
410
Гл. XI. Спектральные последовательности
§ 2. Расслоенные пространства '¦
До изучения различных алгебраических примеров спектральных
последовательностей полезно указать некоторые следствия, которые !
можно вывести непосредственно из определения спектральной после- \
довательности. Для этой цели мы отметим без доказательства важ-
важный топологический пример спектральной последовательности
расслоения.
Пусть / обозначает единичный интервал, и пусть Р — некоторый
конечный полиэдр; напомним, что гомотопия — это непрерывное
отображение Я : Р х / ->- В. Непрерывное отображение / : Е ->¦ В
топологических пространств, при котором / (Е) = В, называется
послойным отображением, если любая коммутативная диаграмма
следующего вида:
§ 2. Расслоенные пространства
411
*(*)=(*,o) *eP,
PxI^B,
(все отображения непрерывны) может быть всегда дополнена отоб-
отображением L, сохраняющим коммутативность. Это есть свойство
«накрывающей гомотопии» для /: любая гомотопия Я пространства
Р в В, начальные значения которой Я (х, 0) могут быть «подняты»
до такого отображения h: Р -*¦?, что fh (х) = Н (х, 0), может
быть сама накрыта гомотопией L пространства Р в Е, причем /L = Я
и h(x) — L (х, 0). Если Ь — любая точка из В, то ее полный про-
прообраз F = f-yb называется слоем отображения / над Ъ. Если про-
пространство В линейно связно, то можно показать, что любые два
слоя (над различными точками Ь) имеют изоморфные группы (сингу-
(сингулярных) гомологии. Следовательно, можно образовать группы син-
сингулярных гомологии Нр (В, Hq (F)) пространства В с коэффициен-
коэффициентами в группах гомологии Hq (F) «слоя». Строго говоря, мы должны
использовать «локальные коэффициенты», которые объясняют
действие фундаментальной группы пространства В на Hq (F); этого
мы добьемся, предположив, что пространство В односвязно. Посколь-
Поскольку В линейно связно, его нульмерная сингулярная гомология
такова:
Но (В) = Z, Яо (В, Я, (F)) s Hq (F).
Следующая спектральная последовательность была построена
Серром [1951], следуя конструкции Лерэ [1946, 1950] для случая
когомологии.
Теорема (Лерэ — Серр). Если /:?-»- В есть послойное
отображение с линейно связной и односвязной базой Вис линейно ,
связным слоем F, то существует для каждого п ч.сгнездшшеесяу>
семейство подгрупп группы сингулярных гомологии Нп (Е)
0 = Я_,, n+i с Яо, „ (= Ни „_,(=...(= Нп-и 1 <= Я», о = Нп (?) B.1)
и такая спектральная последовательность первой четверти, что
El g^Hp(B,Hq (F)), E?,, s Hv, q/Hp_u g+1. B.2)
Если ев — итерированный краевой гомоморфизм базы, то произ-
произведение
Нр (Е)
Е\, о
Нр (В, Но (F)) s Яр (В)
Нр, ,IHV_U 4 ^ El о
является гомоморфизмом, индуцированным на. гомологии послойным
отображением f : Е -+В. Если eF — итерированный краевой гомо-
гомоморфизм на слое, то произведение
Hq
^ Яо (В, Hq (F)) S ?о.
Hq(E)
является гомоморфизмом, индуцированным на гомологии включением
Рс-Е.
Эта спектральная последовательность связьшает (сингулярную)
гомологию базы и слоя с помощью Е2 с гомологией «полного про-
пространства» Е, причем ?°° определяется последовательными фактор-
факторгруппами «фильтрации» B.1) гомологии пространства Е.
Теорема об универсальных коэффициентах (теорема V.11.1)
выражает первый член из B.2) в виде точной последовательности
0 -> Hp(B)®Hq(F)
Tor(Hp_t(В),Hq{F)) -> 0.B.3)
В частности, если все группы Нр 4 (В) без кручения, то Е%, q =
= Яр (В) ® Hq (F).
Предполагая известным этот результат, мы выведем некоторые
следствия для иллюстрации того, какая информация может быть
получена из спектральной последовательности.
Теорема Лерэ — Серра остается в силе, если все группы гомо-
гомологии (пространств В, F и Е) интерпретировать как группы гомо-
гомологии над полем Q рациональных чисел. Будем обозначать симво-
символом dim V размерность Q-векторного пространства V над Q. Для
любого пространства X n-е число Бетти Ьп (X) и характеристика
Эйлера х (X) определяются следующим образом:
оо
Ъп (X) = dim Нп (X, Q), х (X) = S (-1Г Ьп (X);
п=0
более точно, число % (X) определено, если каждое из чисел Ъп (X)
конечно и если существует такое т, что Ьп (X) = 0 для п> т.
Если X — конечный полиэдр, число % (X) определено.
412
Гл. XI. Спектральные последовательности
§ 2. Расслоенные пространства
413
Следствие. 2.1. Если /: Е ->- В — расслоенное простран-
пространство со слоем F и если пространства В и F удовлетворяют условиям
теоремы Лерэ — Серра, то число % (Е) определено, если определены
числа х (В) и % (F) и %(Е) = х (В) х (F)-
Доказательство. Для любого биградуированного век-
векторного пространства Ег определим характеристику как число
X(?r) =2 (—l)p+q dim Ер, q. В силу B.3) для векторных прост-
P,q
ранств
El, q s Нр (В) 0 Hq (F), dim ?p, „ = 6P (B) 6g (/?) < oo
и x (f2) = X (B) X (^)- Обозначим через Cp, q и Вр, g группы циклов
и группы границ пространства Ev, q относительно dr. Короткие
точные последовательности
*-<р, q >-* ср, g ~* ?*р—г, g+r— li "p, g >-* '-'р, q~77 E-p, q
определяют С, Вг и Er+1 = Я (?г). В каждой последовательности
размерность среднего члена есть сумма размерностей крайних чле-
членов, так что
dim ?Ptg = dim Erp, q — dim Bp> q — dim Bp-r> q+r- i •
Здесь последний член имеет полную степень р — r+ q + r — 1 =
= (р + q) ¦— 1, так что % (?r+1) = х (Ег); по индукции получаем
%(ЕГ) = %(Е2). Поскольку пространства Ep,q тривиальны для
больших р и q, Е°° = ЕТ для больших г и % (Е°°) = % (Е2). Теперь
по B.1) и B.2)
dim Ни (Е) = 2 dim (Яр, д/Яр_!, д+1) =
так что х (?) = X (Е°°) = X (Е2) = X E) X (Л. чт0 и утверждалось.
Теорема 2.2. (Последовательность Вана.) Если^ : Е -*• Sk —
расслоенное пространство с k-мерной сферой Sh (k>2) в качестве
базы и линейно связным слоем F, то существует точная последова-
последовательность
> Нп(Е) -> Hn_k{F) -U Я„.4 (F) -> Яп.! (?)-*....
Доказательство. База Sh односвязна, и ее группы гомо-
гомологии Но (Sh) a*Zc*Hh (Sk) и Нр (Sh) = 0 для р Ф 0, *; сле-
следовательно, по B.3)
Elq^Hq(F), E%,q^Hq{F), ?j,g = 0, рф0, k.
Ненулевые члены из Е%, q все лежат на вертикальных прямых р = О
и р — k, так что у единственного дифференциала dr, r>2, отлич-
отличного от нуля, г — k. Следовательно, Е% = Е3 = • • • = ?ft, ?ft+1 =
_ gk+2 = ... = ?оо Описание ?fe+1 = ?°° как гомологии бимо-
дуля (Eh, dh) эквивалентно точности последовательности
О
ft, q
Р2
¦Сй, д
2
0, g+ft-1
-6", g+ft-1
0.
B.4)
С другой стороны, в башне B.1) только два фактормодуля отличны
от нуля, поэтому она сводится к последовательности 0 а Н0,п ==
= Hk-i,n-k+i с Hh,n-k = Яп. Вместе с изоморфизмами для ?°°
из B.2) это равносильно короткой точной последовательности
0
Нп(Е)
B.5)
со средним членом Нп (Е). Теперь положим в B.4) q = п — k,
выразим члены из Ег через Я (F) и соединим последовательности
<2.4) и B.5):
Нп(Е)
I
1
О
о
I
\ I
ЯЯ_Л?)
В результате получается требуемая длинная точная последователь-
последовательность. По теореме Лерэ — Серра гомоморфизм Hn_i (F) -*-Hn_i (E)
индуцирован включением F cz E.
Спектральные последовательности могут быть использованы
для вычисления гомологии некоторых пространств петель, полезных
в теории гомотопий. Пусть Ьо — фиксированная точка линейно
связного пространства В. Пространство L (В) путей в В имеет
своими точками непрерывные отображения t: I ->¦ В с t @) = b0;
здесь / — единичный интервал, a L (В) снабжается «компактно
открытой» топологией. Отображение р: L (В) ->¦ В, определяемое
формулой р (t) — t A), проектирует каждый путь в его конечную
точку в В; можно показать, что р — послойное отображение. Слой
Q (В) = р-1 (Ьо) состоит из замкнутых путей t [с t @) = b0 =
= t A)]; он известен как пространство петель пространства В.
Следствие 2.3. Пространство петель QSft k-мерной
сферы, &>2, имеет следующие группы гомологии:
H(QSk)Z 0 (dfe1)
Hn(QSk) =0, пфО (modk — 1), n>0.
Доказательство. Поскольку k > 1, сфера Sh одно-
связна; поэтому каждая петля может быть стянута в нуль. Отсюда
следует, что пространство Q (Sk) линейно связно, так что
414
Гл. XI. Спектральные последовательности
§ 3. Фильтрованные модули
415
Яо (QSft) = Z. Пространство Е = L (В) путей стягиваемо, в чем
можно убедиться «сжатием» каждого пути вдоль самого себя к на-
чалу. Следовательно, пространство Е ациклично (упражнения
11.8.1). Значит, каждый третий член Нп (Е) в последовательности
Вана равен нулю, кроме Но (Е), так что эта последовательность
изоморфизмы Hn-k (QSh) & #„_! (QSfe). Вместе
сданным начальным значением Но = Z
они устанавливают требуемый ре-
результат.
Поучительно изобразить диаграм-
диаграмму этой спектральной последователь-
последовательности для k = 3 (см. диаграмму).
Жирные точки обозначают в этой
устанавливает
Ч
диаграмме члены Ер,ч о* Z, а все
остальные члены равны нулю. Един-
Единственный ненулевой дифференциал —
это d3; эти дифференциалы, применен-
примененные к элементам, лежащим на прямой
р — 3, «убивают» последовательные
элементы в гомологии слоя. Эта диа-
диаграмма может быть построена непо-
непосредственно без использования после-
последовательности Вана. Мы зададим базу
образующими 1 6 Ео,о и х ? ?1,о; все
элементы лежат на вертикальных прямых р = 0 и р = 3. Поскольку
Е°° — О, каждый элемент должен быть «убит» (т. е. стать границей
или иметь ненулевую границу) некоторым дифференциалом. Но-
ds — единственный ненулевой дифференциал. Следовательно,
сРх = у Ф О в ?о,2 на слое. Элемент х ® у ? ?з,2 должен также
иметь ненулевую границу d3 (х ® у) = у' в ?§д на слое и т. д.
Теорема 2.4. (Последовательность Разина.) Если^ : Е ->• В—
расслоенное пространство с односвязной базой В и слоем F, являющим-
являющимся k-мерной сферой Sh с k > 1, то существует точная последователь-
последовательность
f*
Нп(Е) -^ Нп (В)
(В)
п-t (?)
Доказательство. Поскольку Нч (F) = Hq (Sh) = 0 для
q ф 0, k, член ?2 таков:
Спектральная последовательность лежит в этом случае на двух
горизонтальных прямых q = 0 и q = k; единственный ненулевой.
дифференциал — это dfc+\ и мы получаем две точные последова-
последовательности
О -* EZо-* El о --> ?»-ft-i.h -> fn-ft-i,ft -> 0,
соединение которых и дает последовательность, указанную в тео-
теореме.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если f:Sm->*Sk есть послойное отображение,
1 2k 1
1. Если f:Sm->*Sk есть послойное отображение, k^2, и слой есть
сфера S1, то доказать, что должно быть т = 2k — 1 и I — k — 1 (для k =
= 2, 4 и 8 действительно существуют такие послойные отображения; они
являются расслоениями Хопфа; Хопф [1931, 1935], Стинрод [1951],
Ху Сы-Цзян [1959, стр. 66]).
В следующих трех упражнениях /: Е -*¦ В — расслоенное простран-
пространство с линейно связной и односвязной базой Вис линейно связным слоем F.
2. Пусть Hj (F) = 0 для 0 < / < t и Ht (В) = 0 для 0 < i < s. Полу-
Получить точную последовательность
Я.+«-1 (F) ~* Яi+t-1 (?) -* Иш-i. (В) ~> Ha+t-2 (f )-*...
... -* Я2 (S) -> Я4 (/•) -* Wt (?) -> Я4 (В) -> 0.
3. Если Я( (В) = 0 для всех i > 0, то доказать, что Нп {F) s Яп (?)
для всех л.
4. Пусть Hj (F) = 0 для всех />0. Доказать, что Нп (Е) s Hn (В)
для всех п.
5. Для' спектральной последовательности Лерэ — Серра Е и поля Q
рациональных чисел определить спектральную последовательность Е' =
Q Е H (В Q) ®
= Q
Е векторных пространств над Q и показать, что Ер^ q=Hp (В, Q)
®Hq(F, Q) и E'™q—H'pq/H'p_iq+V где Я' появляются в башне, подоб-
подобной башне B.1), но Нп (Е) заменено на Нп (Е, Q).
§ 3. Фильтрованные модули
Фильтрацией F модуля А называется такое семейство подмо-
подмодулей FPA, по одному для каждого р ? Z, что
... с Fp_iA a FРА a Fp+iA cz ... . C.1)
Каждая фильтрация F модуля А определяет ассоциированный гра-
градуированный модуль GFA = {(GFA)P = FpAIFp_iA}, состоящий
из последовательных фактормодулей башни C.1). Если F и F' —
фильтрации модулей Аи А' соответственно, то гомоморфизм а : А ->¦
-*-А[ фильтрованных модулей — это модульный гомоморфизм,
обладающий тем свойством, что a (FPA) cz F'pA'. Фильтрация F
дифференциального Z-градуированного модуля А — это семейство
DGz-подмодулей FPA, подобное семейству C.1), а гомоморфизм
416
Гл. XI. Спектральные последовательности
определяется соответствующим образом. Эта фильтрация индуци-
индуцирует фильтрацию в Z-градуированном модуле гомогологий Я (А),
где Fp (Я (А)) определяется как образ Н (FPA) при вложении FPA -*•
-*-А. Поскольку модуль А сам Z-градуирован степенями п, филь-
фильтрация F модуля определяет фильтрацию FpAn каждого модуля Ап,
а дифференциал модуля А индуцирует гомоморфизмы д : РрАп -*•
-+FpAn_i для каждого р и каждого п. Семейство {FpAn}—это
Z-биградуированный модуль. Привычно и удобно записывать индек-
индексы градуировки как (р, q), где р — степень фильтрации и q =
= п — р — дополнительная степень; тогда наш Z-биградуирован-
Z-биградуированный модуль принимает вид {FpAp+q}. Мы будем использовать
запись «.fDGz-модуль» для сокращения термина «фильтрованный
дифференциальный Z-градуированный модуль».
Говорят, что фильтрация FDGz-модуля А ограничена, если для
каждой степени п существуют такие целые числа s = s (n) < t =
= t (n), что FsAn = 0 и FtAn = An- Это условие равносильно
требованию о «конечности длины» п фильтрации для каждого Ап '¦
О = FsAn a Fs+iAn а ... с FtAn = Ап.
Говорят, что спектральная последовательность {Erv, dr} cxo-
р
дится к градуированному модулю Я (обозначение: ?| =$ Я), если
существует такая фильтрация F модуля Я, что для каждого р имеет
место изоморфизм Ер° ^ FpH/Fp-iH градуированных модулей. Здесь
Ер при заданных г и р обозначает Z-градуированный модуль Егр —
= {Ер, q, q — 0 ± 1, . . .} (градуированный дополнительной сте-
степенью q).
Теперь можно определить ассоциированную спектральную после-
последовательность фильтрации.
Теорема 3.1. Каждая фильтрация F дифференциального
Z-градуированного модуля А определяет спектральную последова-
последовательность (Er, dr), г = 1, 2, . . ., которая является ковариант-
ным функтором пары (F, А), вместе с естественными изоморфизмами
§ 3. Фильтрованные модули
417
); т. е. Е\, qs&H^q(FvAIFv_lA). C.2)
Если фильтрация F ограничена, то Е%=$ Н (А); более точно, имеют
место естественные изоморфизмы
1 (Яр+И).C.3)
C.4)
), т. е. Ер,q^FP(
Для доказательства введем подмодули
модуля FPA. Элемент из Z? можно рассматривать как «приближен-
«приближенный цикл уровня г»: его граница может не быть нулевой, но лежит
на г шагов ниже в фильтрации. В частности, Z% = FPA. Каждый
подмодуль Zp Z-градуирован степенями из А, так что мы можем рас-
рассматривать Zr как биградуированный модуль, у которого
ZP,q = la\a?FpAp+q, да?Р^гАр+9_г]. C.5)
С помощью этих обозначений спектральная последовательность
фильтрации F модуля А определяется следующим образом:
1 12
Ер
1, 2, ...,
а дифференциал dT : Ep ->¦ Erp_T есть гомоморфизм, индуцирован-
индуцированный на указанных подфакторах дифференциалом д: А -»-Л. После
этих определений доказательство становится непосредственным, но
все же достаточно трудоемким. Проведем его в деталях.
Положим ?р = FpA/Fp^A, и пусть т\р: FРА г> Е% — кано-
каноническая проекция. Рассмотрим аддитивные отношения
Ер+г —**• Ьр —*¦ Ср-г,
индуцированные на указанных подфакторах дифференциалом
д: А -+-А. Так, дг состоит из пар (т\ра, г)р-гда) с а 6 Zp (в действи-
действительности это и есть причина, побудившая ввести подмодули Zp).
Кроме того, элемент т)ра лежит в ядре 32, если да € Fp-T-iA; поэто-
поэтому (Def означает «область определения»)
Кегд2=-
Далее, dt состоит из пар (ч\р+гЬ, ч\рдЬ) с Ъ ? ZP+r,.причем у]р+г Ъ — О,
если Ъ 6 Fp+T-iA, т. е. если 6 ? Zp+r-i- Следовательно («Ind»
означает «неопределенность»),
lmdl=t\p(dZrp+r),
Принимая во внимание включения dZp~+r-
о р и каждого
Zp+i a Zp,
мы можем ввести для каждого р и каждого г подфактор Ег, модуля
?°:
^^(TipZpVTip^Zp+U), r = 0,1,2,..., C.6)
приведенные выше формулы показывают, что д индуцирует гомо-
гомоморфизмы
Образ п\ равен
S Er
Im d\ = л? (dZp+r)/T)p (dZrp+r-i),
27-353
418
Гл. XI. Спектральные последовательности
а ядро dl равно
Kerd$ = T]p(Zp+1)/T]p|
Следовательно (опуская индексы 1 и 2), dTdr — О, и
Яр (?-\ d>) s* т|р (Zp+1)/t!p (dZp+r) = Ep+i.
Таким образом, мы имеем спектральную последовательность.
Когда г — О, Zp = FpA, a d°: ?p ->¦ ?Р это в точности дифференциал
фактор комплекса ?р = FpA/Fp-tA. Этим доказано C.2).
Эта спектральная последовательность может быть также полу-
получена из башен
44
I I I
I I i
° l
Башня из первой строки, взятая по модулю FP^A, дает башню из
второй строки: ВТР = i^dZ^-i и Ср = T]PZP. По П.6 аддитивное
отношение д2 : FpA/Fp-iA ^Fp-rAIFp-r-iA равносильно изо-
изоморфизму
Def d2/Ker д2 = Im d2/ Ind д2.
Однако этот изоморфизм — это в точности изоморфизм CpICp+i s*
^ Bpili/Bp-r. Тем самым dT определяется как произведение
где л — проекция, i — вложение. Этим порождается спектральная
последовательность способом, описанным в упражнении 1.1 (за
исключением того, что С здесь обозначается как Cr+1).
Для описания FpH/Fp_iH введем обозначения С = Кег д и В =
= дА соответственно для модулей циклов и границ модуля А. Тогда
F индуцирует в С и В фильтрации FPC = С п FPA, FPB =
=В п FPA. По определению Fp (HA) = (FPC u B)IB. Следовательно,
Fp (HA)/F9-t (HA) & (FpCKjB)/(Fp-iCuB)^FpC/(Fp-iCuFpB)
в силу модулярного изоморфизма Нётер. Другой изоморфизм подоб-
подобного типа
Fp (HA)/Fp-i (НА) s (FpCuFp.iA)l(FpBKjFp^A) C.7)
представляет FpH/FplH как подфактор модуля FpA/Fp_iA.
определении C.6) модуля Етр верхний член равен
В
(Zrp u Fp_iA)/Fp_iA cr FpA/Fp_iA, а нижний член равен
§ 3. Фильтрованные модули
419
Fp_tA)!Fp_iA; поэтому
C.8)
Теперь предположим, что фильтрация F ограничена, и рассмот-
рассмотрим фиксированную бистепень (р, q), соответствующую полной
степени п = р + q. Для элемента а 6 ZPj q из верхнего члена выра-
выражения для ErPt q, при большом г, да 6 ^p_r^p+q_i = 0, следователь-
следовательно, а 6 FpCp+q. С этого момента верхние члены становятся равными
FpCp+q u Fp_iAp+q. Что же касается нижнего члена, то, при
большом г, каждый элемент из FpBp+g является границей элемента
из Fp+T-iA, т. е. элементов из ЪТр~+Т-\- С этого момента нижние
члены равны FpBp+q u Fp__iAp+q. Но ?°° определяется как фактор-
модуль пересечения верхних членов по объединению нижних, поэтому
Ер, « - (FpCp+gVFp-iAp+gViFpBp+gVFp-tAp+g), C.9)
что в точности совпадает с FpHIFp_iH, как показывает изоморфизм
C.7). Тем самым C.3) доказано. В литературе ?°° обычно опреде-
определяется через Я (А) формулой C.9), так что изоморфизм «сходимо-
«сходимости» C.3) утверждает, что это определение согласуется с нашим.
Сходимость C.3) имеет место при более слабых условиях, чем
ограниченность (для полного изучения см. работу Эйленберга и Му-
Мура [1962]). Например, назовем фильтрацию F DGz-модуля А
сходящейся сверху, если А есть объединение всех подмодулей FPA,
и ограниченной снизу, если для каждой степени п существует такое
целое число s — s(n), что FsAn — 0.
Предложение 3.2. Если фильтрация F ограничена снизу
и сходится сверху, то имеет место изоморфизм C.3), и спектральная
последовательность фильтрации F ограничена снизу.
Доказательство. Поскольку F ограничена снизу, пере-
пересечение верхних членов из выражений для Ер равно FPC u FpiA.
Каждый элемент из FPB является границей да некоторого элемента
а 6 А = \]FtA; значит, а 6 FtA для некоторого t. Тогда а 6 Zp+r_i
для r = f —р-j-l, так что FpBkj Fp-i А снова равняется объеди-
объединению подмодулей д2^г_х u Fp_iA, и поэтому мы имеем изомор-
изоморфизм C.3).
В формуле C.8) один из верхних членов Zp дает «приближенные
циклы» уровня г, в то время как нижний член dZp+J.-i является
подмодулем границ (границы элементов, лежащих на г уровней
выше). ч
В доказательстве эти приближения выбраны таким образом, что
следующее представляет собой гомологию предыдущего. Иная форг
27*
420
Гл. XI. Спектральные последовательности
§ 3. Фильтрованные модули
421
мула (для той же самой спектральной последовательности) появится
в упражнении 1.
Фильтрация F DG-модуля А канонически ограничена, если
F_iA = 0 и FnAn = Ап для каждой степени п.
Теорема 3.3. Если F — канонически ограниченная фильтра-
фильтрация (положительно градуированного) DG-модуля А, то спектральная
последовательность фильтрации F лежит в первой четверти, а инду-
индуцированная фильтрация модуля НА конечна и имеет вид
О = F_iHnA с: FoHnA с: /чЯ„Л a...czFnHnA = HnA,
причем последовательные факторы FpHn/Fp^Hn ^ ?^,П-Р и изо-
изоморфизмы индуцируются \А. Например, последовательность из
теоремы Лерэ — Серра появляется из канонически ограниченной
фильтрации модуля сингулярных цепей расслоенного пространства.
Доказательство. Поскольку F-tA = О, Ер =
= Н (FpA/Fp-iA) = О для р < 0. Поскольку FnAn = Ап, из
q < О следует FpAp+q = Fp-iAp+q и, следовательно, E\,<q = О
для q < 0. Поэтому все ненулевые члены Erv,q лежат в первой чет-
четверти плоскости (р, q), и индуцированная фильтрация в Нп (А)
конечна, что и утверждалось.
При п = 1 фильтрация Я4 равносильна описанию Я4 как сред-
среднего члена короткой точной последовательности
0
Я, Д ЕТ,
0.
Для каждого п фильтрация Я„ порождает мономорфизм ??„ -»•
->Я„ (Л) и эпиморфизм Я„ (Л) -*~Еп,о- Комбинируя их с краевыми
гомоморфизмами, мы получаем отображения
El, п -> Я„ (Л), Нп (А) -^ ?i о, (ЗЛО)
каждое из которых индуцировано \А. Вообще спектральная пос-
последовательность фильтрации F определяет не Я (Л), а подфакторы
FpHIFp_iH, утверждая в то же время, что каждый из них является
в свою очередь подфактором модуля Е\ — Я (FPAIFP-^A).
Теорема 3.4. теорема об отображении.) Пусть А, А'
являются DGz-модулями с фильтрациями F и F', ограниченными
снизу и сходящимися сверху. Если a: (F, A) ->-(F', A') — такой
гомоморфизм, что для некоторого t индуцированное отображение
а': Ег (F, А) & Еп (/?', Л')
является изоморфизмом, то и отображения аг являются изомор-
изоморфизмами при оо>r>t и, кроме того, а,. : Я (Л) ~*-Н (А') —
изоморфизм.
Доказательство. Поскольку обе спектральные после-
последовательности ограничены снизу, предыдущая теорема об отобра-
отображении (теорема 1.1) показывает, что <хг и а00 : Е°° -+Е'°° суть изо-
изоморфизмы. Рассмотрим индуцированное отображение <х„ : Нп(А) -*-
->-Я„ (А') на гомологии для фиксированной степени п и соответст-
соответствующие отображения <хР)„ : FpHn -+F'pH'n. Поскольку обе фильтра-
фильтрации ограничены снизу, существует такое s, что FsHn = 0 = F'sH'n.
Изоморфизмы сходимости C.3) дают горизонтальные последователь-
последовательности коммутативной диаграммы
0 -> Fp-iHniA) -* FpHn(A) -> ??.„_р-> 0
K-l.n 1аР,п 1а°°
0 -* F'p_iHn(A') -* F'pHn(A') -> Ер°:п-Р -> 0.
Поскольку а00 — изоморфизм, индукция по р и лемма о пяти гомо«
морфизмах показывают, что <zp n — изоморфизм. Фильтрация F
сходится сверху, поэтому Нп (А) = U FpHn (А); отсюда следует,
что On — изоморфизм, что и требовалось.
При t = 1 из условий этой теоремы вытекает, что индуцирован-
индуцированное отображениеНп (FpA/Fp_iA) -*-Hn (^Л'/^р-И'^является изо-
изоморфизмом для всех пир. Этот специальный случай теоремы был
уже доказан в теореме V.9.3 и вновь в теореме Х.11.2.
Пусть а, Р : (F, A) -**(F',A') — гомоморфизмы fDGz-модулей.
Говорят, что цепная гомотопия s : а са р имеет порядок < t, если
s (FPA) cz F'p+t А' для всех р.
Предложение 3.5. Если s : а ~ Р — гомотопия порядка
<^, то
a' = F:Er(F, A)^E'r(F', A'),
для г > t и а* = р* : Я (Л) -> Я (Л').
Доказательство. Утверждение а,,. = р,,. вытекает из
существования гомотопии (независимо от ее «порядка»). Для дока-
доказательства остального достаточно рассмотреть отображение v = а —
— Р, гомотопию s : y — 0 и доказать, что уг = 0. Запишем Erv,q как
подфактор C.8). Если а € Zp, то уа = dsa + sda, где да 6 FP-TA,
так что sda 6 F'P_1A', поскольку t<г, в то время как sa 6FP+I—1Л',
dsa = уа — sda ? F'PA' и sa ? lrv~+r-\. (Л1). Значит, эле-
элемент уа 6 dZp+r_i и Fp-iA' принадлежит нижнему члену выра-
выражения для Ер и поэтому определяет нуль.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что формулы Ep=Zp/(dZrp'^lr_i и ZTPZ\) вместе с отобра-
отображениями dT: ?p-»-.Ep_r, индуцированными д:Л-*-Л, определяют спек-
422
Гл. XI. Спектральные последовательности
тральную последовательность, изоморфную последовательности теоремы 3.1.
(Эти формулы часто используются в качестве определения.)
2. Если фильтрация F дифференциального градуированного модуля А
канонически ограничена, то показать, что ее спектральная последователь-
последовательность порождает точную последовательность
св <J2 eF "в
Н2(А) —> ?|>0 —> Е%,г —> Я4(Л) —» Е\,й—»0.
Если Ер q — 0 для 0 < q < * и всех р, то показать, что ев : Нр (А) =* ?¦« 0
для 0 <J р < t, и установить точность последовательности
dn+1 "F еВ
3. (Точная последовательность «членов малой степени»; ср. с упраж-
упражнением 2.2.) В условиях упражнения 2 предположим, что ?* =0, когда
или 0 < q < t, или 0 < р < s. Установить точность последовательности
еВ _?+' 2 eF eB
~* ?s+«, 0 "~* ?0,s+«-l "^ Я«+«-1 —>• ?s+(_i,o —*"•••>
где Ht — сокращение для Ht (A).
4. (Двурядная точная последовательность.) В условиях теоремы 3.3
предположим, что имеется два таких индекса 0 < а < Ь, что Ер< д = 0 для
q ф а, Ь и всех р. Получить точную последовательность
n-b-l, b
• Нп-1
с г — Ь — а + 1. (Указание: сравнить с последовательностью Вана из тео-
теоремы 2.1.)
5. Получить «двустолбцовую» точную последовательность, аналогичную
последовательности из упражнения 4.
6. Если А' и А" будут FDG-векторными пространствами над полем и если
фильтрация в A' (g> А" определена формулой Fp (A' (g> A") = ^ Fp> И')®
® Fp,, (А"), где р' + р" — р, то доказать для ассоциированных спектраль-
спектральных последовательностей, что Е (А' 0 A") s E (A') (g) E (А").
7. Для спектральной последовательности фильтрации F модуля А
показать, что модуль Erp q изоморфен образу гомоморфизма
Яp+g (FPA/Fp-tA) -*¦ Яp+g (/"р+г-И/f р-И), Г > 1,
индуцированного единицей. (Это описание можно использовать для опреде-
определения спектральной последовательности фильтрации; см. Фаделл — Гуре-
вич [1958], стр. 318.)
§ 4. Трансгрессия
В спектральной последовательности Е первой четверти послед-
последний возможный ненулевой дифференциал, определенный на членах
?р,о базы,—это дифференциал dP : ?g,o ->?o,P-i, который идет
от базы к слою. Вместе с краевыми гомоморфизмами ев и eF это
§ 4. Трансгрессия
423
порождает диаграмму
Ер, о
0
1
«в
?o,p-i
| eF
о
D.1)
с точными строкой и столбцами. Если (как мы и предполагаем здесь)
спектральная последовательность начинается с г — 1, то аддитивное
отношение
т =
Ъ1 •¦ El, о --*- ?l. P-i, Р = 2, 3, ...,
называется трансгрессией. Любое аддитивное отношение (пред-
(предложение 11.6.1) является гомоморфизмом подмодуля своей области
определения (называемой здесь модулем трансгрессивных элементов)
в фактормодуль своей области значений; в нашем случае D.1)
представляет т как гомоморфизм d" подмодуля ?р,о модуля ?р,о
в фактормодуль ??, p_t модуля ??, р_4. Замена Ех на ?2 в определе-
определении т дает аддитивное отношение т': ?Р) 0 -^?o,p_i. также назы-
называемое трансгрессией. Каждая трансгрессия однозначно опреде-
определяет другую через краевой гомоморфизм е : ?J, p_i ->-?J, p_i. так
как т = e-V; поскольку е — эпиморфизм, ее-1 = 1, так что т' =
- ex.
Предложение 4.1. Трансгрессия в спектральной после-
последовательности Е канонически ограниченной фильтрации F модуля А
является аддитивным отношением
х : ?
р, о
Ь, р-ь
индуцированным дифференциалом д: А -»-Л.
Доказательство. В нашем случае ? — спектральная
последовательность первой четверти. Ее краевые члены можно выпи-
выписать в явном виде из формул C.8). Поскольку dAp+i а Ар = FPAP,
Ap+i = Zp+r-i, -r+2 для некоторого г>2, поэтому для членов
базы формула C.8) принимает вид
?р, о = (Zp, ои^р_1Лр)/(аЛр+1и/'р_Ир), г = 2, 3 D.2)
Нижний член этого выражения не зависит от г; этим проверяется то,
что краевые гомоморфизмы ев являются мономорфизмами. Точно
так же ZJ, , равняется FQCq, когда г > 1 и С есть ядро д. Следова-
Следовательно, на слое формула C.8) принимает вид
?о,, - F0Cq/dZrZ[, g_r+2, r - 1, 2, .... D.3)
424
Гл. XI. Спектральные последовательности
Верхний член не зависит от г (краевые гомоморфизмы eF являются
эпиморфизмами).
Трансгрессия — это произведение отношений, т = е'р dpeBl, где
е~в и e~i? индуцированы 1А, а Ф индуцирован д. Произведение т
является поэтому аддитивным отношением, индуцированным диф-
дифференциалом д, в чем можно убедиться, вычислив т как множество
всех пар смежных классов (а + DPt 0, да + -D?,p_i), где а ? 1VV, о
и Dp, g — нижний член формулы для Erv q, или применив принцип
композиции для аддитивных отношений (предложение 11.6.3).
Краевые отображения C.10) и трансгрессия могут быть подсчи-
подсчитаны прямо, исходя из комплекса А и двух подкомплексов, опре-
определенных с помощью фильтрации, без использования всей спектраль-
спектральной последовательности, но с использованием обобщения известных
гомологических связывающих гомоморфизмов.
Если L и М — подкомплексы (не обязательно положительного)
комплекса Я, то связывающее отношение
р = р (Я; L, М): Нп (К/М) -* Hn-i (L) D.4)
определяется как аддитивное отношение, индуцированное диффе-
дифференциалом д : К -»- Я. При этом каждая группа гомологии должна
рассматриваться как подфактор комплекса Я, например Нп (К/М) =
= Сп (К, М)/(дКп+1 U Мп), где С„ (Я, М) — модуль относитель-
относительных циклов (состоящий из всех элементов k ? Кп, для которых
dk ? Afn_i). Таким образом, р состоит из пар гомологических клас-
классов (k + (дКп+i и Мп), dk + dLn) для всех k?Cn(K, L п М).
Если М = L, то связывающее отношение р — это в точности связы-
связывающий гомоморфизм dL для короткой точной последовательности
L» К -» KIL комплексов. Имеет место более общее
Предложение 4.2. Если L и М —подкомплексы комплекса
К, где Ln-i a Mn-i и Ln а Мп, то отношение р = р (Я; L, М)
можно описать через связывающие гомоморфизмы как произве-
произведение отношений
р (Я; L, М) = г1дм = ОД: Нп (К/М) -- Я„-4 (L),
zde P и у UHdywpoeaHbi edunuueu в коммутативной duazpaMMe
Нп (К) -> Нп (KIL) % Hn-i (Ц -+ Hn-i (К)
Нп(К)-*Н
Доказательство. Включения Ln-i cz Mn~i и Ln cz
cz Mn показывают, что единица индуцирует описанные гомомор-
гомоморфизмы Р и у. В силу принципа эквивалентности (предложение 11.6.2)
E-1 и у-1 — аддитивные отношения, индуцированные единицей.
По принципу композиции (предложение 11.6.3) каждое из произ-
произведений difi-1 и у~Юм оказывается аддитивным отношением, инду-
индуцированным гомоморфизмом 51 = Id; отсюда следует требуемый
результат.
Этот результат показывает, что Dei р = Im р и Ind p = Кег у.
В § 10 нам потребуется информация о воздействии цепной экви-
эквивалентности на связывающие отношения.
K' — цепное преобразование,
ологии / : Н (Я) ^
подкомплексы, комплекса Я, и пусть f () , f ()
так что f индуцирует цепные преобразования g : L -+-L',h : KIM
-*-К'IM'. Предположим, что g* и h* — гомологические изоморфизмы
и что Lk cz Mk, L'k a M'h, k — п — 1, п, так же как в предложе-
предложении 4.2. Тогда диаграмма
р = р (Я; L, М): Нп (KIM) -- Яп_4 (L)
ф h* ф 8*
р' = р (К'; L',M'): Нп (К'/М') _- Hn-i (L')
коммутативна.
Этот результат вычисляет р' через р по формуле р'=Я*рЛ^
или обратно.
Доказательство. Поскольку /* и g* — гомологические
изоморфизмы, точные гомологические последовательности для L,
Я, KIL и для V, Я', K'/L' показывают, что / индуцирует гомо-
гомологический изоморфизм ср: KIL -*¦ Я'IL'. По предложению 4.2
мы можем сосчитать связывающие отношения р = ^lP и р' =
— д^'-1 с помощью строк коммутативной диаграммы
нп
п (KIL)
1*.
8*
Нп (K'lM1) I- Нп (K'/U) ¦=* Нп.
Поскольку диаграмма коммутативна, Р'ф,. = п$ или Р^1 =
= ф^р"-1. Но Л^ и ф^ — изоморфизмы, поэтому ф^р-1 = Р'-1/**.
Теперь ^р = ЯаОД-1 = di/ффР-1 = di/P'-1/!* = p'/t*, что и утвер-
утверждалось.
Теорема 4.4. Если F — канонически ограниченная фильтра-
фильтрация DG-модуля А, то «краевые эффекты» в спектральной последова-
последовательности фильтрации F могут быть вычислены с помошрю А и
426
Гл. XI. Спектральные последовательности
подкомплексов L = F0A и М, где Мп — Fn-iAn и dFnAn+i- Именно
краевые гомоморфизмы
Нп (FoA) = ?$.„-» Нп (А), Нп (А) -» Е2п, о =- Я„ (AIM)
индуцированы вложением F0A -+-А и проекцией А -»- AIM соответ-
соответственно, в то время как трансгрессия х является связывающим
отношением р (A; F0A, M).
Доказательство. По D.3)
Е о, n = F 0Сп ldFQAn+i = Нп (FoA).
По D.2) и в силу определения Нп (AIM) через относительные циклы
El, о = (Zl, о о Fn-iAn)/(dAn+1 и Fn-tAn) =
= С» (А, МI(дАп+1 и Мп) = Нп (AIM).
Однако отображения ев и eF индуцированы единицей; отсюда следует
первый результат. Аналогично каждое из аддитивных отношений
т, р : Еп, о -»- El, n-i индуцировано д, так что т = р, что и тре-
требовалось доказать.
Эта ситуация может быть сделана наглядной в терминах комплек-
комплексов
FoA-* A
I
AIM.
Поскольку Мп => (FoA)n для п> 1, трансгрессия может быть опи-
описана также в терминах обычных связывающих гомоморфизмов, как
в предложении 4.2. Эта теорема показывает, как аддитивные отно-
отношения проясняют результат Серра (loc. cit., 1.3; его обозначение
R = FoA, S = AIM). В случае послойного отображения /:?->-
-+В, Н (А) = Я (?), Я (FoA) — гомология слоя, Нр (AIM) =
= ?р, о — Нр (В, Z) — гомология базы. Таким образом, предло-
предложение 4.2 дает следующее «геометрическое» описание трансгрессии
(впервые она была именно так и определена): гомологический класс
базы трансгрессивен, если его можно представить таким циклом z,
что z = fc, где с — цепь полного пространства и дс лежит в слое.
Образ els z при трансгрессии является гомологическим классом
любого такого элемента дс слоя.
§ 5. Точные пары
Альтернативное описание спектральных последовательностей
можно дать при помощи понятия «точной пары» (Масси [1952]).
Не являющееся необходимым в дальнейшем, оно проливает неко-
§ 5. Точные пары
427
торый свет на источник и природу спектральных последователь-
последовательностей.
Точная пара © = {?>, Е; i, j, k)—это пара модулей D, Е
вместе с тремя гомоморфизмами t, /', k,
E.1)
которые образуют точный треугольник в том смысле, что ядро рав-
равняется образу в каждой вершине. Модули D и Е могут быть гра-
градуированными или Z-биградуированными; в последнем случае
каждый из гомоморфизмов i, }, k имеет некоторую бистепень.
Точность пары & показывает, что квадрат произведения jk : Е ->¦
-+Е равен нулю, и, следовательно, это произведение является диф-
дифференциалом в Е. Образуем модуль гомологии Я (Е, jk) для этого
дифференциала. Построим треугольник
E.2)
Я (?, jk)
где отображение i' индуцировано i, а отображения /" и k' определяют-
определяются формулами
/' (id) = jd + jkE, k' (e + jkE) = ke, e?E, jke^O.
Заметим, что из id = 0 следует d E kE, так что jd 6 jkE, и поэтому
отображение /' определено корректно. Аналогично из jke = 0
следует ke ?iD, поэтому отображение k' корректно определено.
Назовем 6' производной парой пары ©; она является функтором от
@ по отношению к очевидному определению гомоморфизмов для
точных пар. Диаграммным поиском доказывается
Теорема 5.1. Производная пара точной пары точна.
Существует целая последовательность производных пар. Ите-
Итерируем i (г — 1) раз:
„¦д-г
¦D.
428
Гл. XI. Спектральные последовательности
Здесь i1" :Д-*Ви ji1'r — аддитивные отношения, для которых
Ind (/г1"") = / (Кег Г), Im (ji1-*) = k^O с kr1 (i'^D).
Положим
Dr = ir-W, Er^k-i(ir-W)lj{Kzrir-i). E.3)
Тогда i, /tx"r и k индуцируют гомоморфизмы iT, jT, kr, указанные
в треугольнике
/¦=1,2, ...,
называемом r-й производной парой пары ©.
Теорема 5.2. r-я производная пара ©г точна, причем
б1 = ©, ©а .= ©' u ©r+1 — производная пара пары @г.
Доказательство. Для г = 1, ?х = ?. При г = 2, точ-
точность пары @ означает, что Ф = /-Ч), ker i = kE; следовательно,
Е2 = k^j-KlljkE = Я (?, у/г), и, таким образом, @2 — производ-
производная пара ©. При г > 2, Dr+1 = iDT = {rDr; нам нужно показать
только, что ?r+1 — это модуль гомологии модуля Ег относительно
дифференциала jrkr : ЕТ -+ЕГ. Чтобы описать этот дифференциал,
перепишем определение E.3) для Ег в виде
ЕГ^С/В, С = kr1 (Г
В = / (Кег Г"
Элемент из Ег является смежным классом с + В, где kc = iT~ld
для некоторого d и
jrkr(c + B)^jr(kc) = jd + B, kc = ir~4. E.4)
Нам достаточно доказать, что
Ker (jTkr) = /г1 (irD)/B, Im (/A) = / (Ker ir)IB.
Прежде всего из \TkT (с + В) = 0 следует yd = ja для некоторого
элемента а ? D, обладающего свойством t'^a == 0. В силу точности
пары ©, d — а — id' для некоторого сГ, так что kc = ird' и
с ? &-1 (trD). Обратно, если Ас = ГсГ, то jTkr (с + В) = 0; этим
утверждение о ядре доказано. Точно так же Im (jTkr) состоит по
E.4) из элементов jd + В, для которых ird = ike = 0, и обратно,
из ird = 0 следует У~Ч = kc для некоторого с; значит, утвержде-
утверждение об образе доказано. Поскольку ©r+1 — производная пара пары
©г, она точна по теореме 5.1.
§ 5. Точные пары
429
Следствие 5.3. Точная пара Z-биградуированных модулей
D, Е с отображениями бистепеней
degt = (l, -I), deg/" = (O,O), deg* = (-l,O) E.5)
определяет спектральную последовательность (Er, dr) с диффе-
дифференциалами dT = jrkT, r — 1, 2, ... .
Доказательство. Если выполнены условия E.5), то
отображения пары ©г имеют следующие бистепени:
deg/P = (l, -1), deg/r = (-r+l,r-l), degfer = (—1, 0).
Отсюда следует, что deg (jrkr) = (—г, г — 1), так что каждый
модуль ?г+1 является модулем гомрлогий для ЕТ относительно
дифференциала dT бистепени, удовлетворяющей определению спект-
спектральной последовательности.
Точную пару S с бистепенями E.5) можно изобразить следующим
образом:
h j
, q-i
I'
Каждая последовательность, состоящая из вертикального шага i,
двух горизонтальных шагов у и k, нового вертикального шага i и т. д,
является точной; в действительности нашу диаграмму можно рас-
рассматривать как переплетение этих различных точных последова-
последовательностей, которые имеют общий член D. Эта диаграмма делает
наглядным описание члена r-й производной пары с индексами (р, а).
Erp< q строится как подфактор модуля ?Р) q с верхним членом, полу-
полученным взятием прообраза (относительно k) образа вертикального
отображения Г~г, и с нижним членом, полученным взятием образа
(относительно у) ядра соответствующего отображения Г-1 [см.
E.3)].
Каждая фильтрация F Z-градуированного дифференциального
модуля А определяет следующим образом точную пару. Короткая
точная1 последовательность комплексов Fp_i>* FPA -» FpA/Fp_iA
Гл. XI. Спектральные последовательности
порождает обычную точную гомологическую последовательность
Нп
Нп
Нп (FpA/Fp-iA)
где отображение i индуцировано вложением, отображение / —
проекцией, a k — гомологический связывающий гомоморфизм. Ком-
Комбинирование этих последовательностей, для всех р дает точную пару
tA), E.6)
причем степени отображений t, /, k такие же, как в E.5). Назовем
эту пару точной парой фильтрации F.
Теорема 5.4. Спектральная последовательность фильтрации
F изоморфна спектральной последовательности точной пары фильт-
фильтрации Р.
Доказательство. Спектральная последовательность точ^
ной пары E.6) фильтрации F имеет вид
ЕТ = k-1 (Im Г)// (Кег Г), i:H (Fp-iA) -> H (FpA).
Рассмотрим Ер = Ер = Я (FpIFp_ij и, следовательно, все Ер
как подфактормодули Fp/Fp_i. Рассмотрим k~l (Im P-1). Каждый
гомологический класс модуля Ер представляется «относительным
циклом» с 6 Fp с дс 6 Fp-ii при этом элемент k (els с) = els (дс) ?
?H(Fp_t) лежит в ir-^H (Fp-r) a Я {Fp-i), если дс = а + db
для некоторого Ъ ? ^p-i и некоторого а ? Fp-T. Тогда с — Ь лежит
в модуле Zp из C.5) и с = (с — Ь) + & 6 Zrp и Fp_iA, т. е. с при-
принадлежит верхнему члену формулы C.8).
С другой стороны, нижний член выражения для Ет определен
как /(Кег Г-1). Ядро f-1 : H (FpA) -+Н (Fp+T_tA) состоит из
гомологических классов таких циклов c?FpA, что с = дЪ для
некоторого b?Fp+r_iA и, следовательно, для Ь 6 Zp+r-i- Тогда
/ (else) = els (dfc) и дЪ GdZp+r-i u ^p_i- Последнее выражение
есть нижний член формулы C.8). Суммируя все сказанное, мы ви-
видим, что Ер задается формулой C.8), использованной для непосред-
непосредственного определения спектральной последовательности фильт-
фильтрации. В обоих случаях гомоморфизм dT индуцирован дифферен-
дифференциалом д: А -»- А.
Следствие 5.5. В спектральной последовательности FDG-
модуля первый дифференциал d1 можно описать в терминах отобра-
отображений juk точной гомологической последовательности для FPA /Fp-iA
как произведение d1 = jk:
Д _i (Fp-
§ 5. Точные пары
431
Заметим, что последовательность производных пар содержит
больше информации, чем одна спектральная последовательность,
поскольку в нее входят не только модули Е7, но и модули Dr и отоб-
отображения iT, jT, kT, которые определяют последовательные диф-
дифференциалы dT.
Для появления точной пары фильтрация вовсе необязательна.
Примером является точная пара Бокштейна (Браудер [1961]; см.
также упражнение 11.4.2) для комплекса К абелевых групп без
кручения. Пусть / — простое число, 1г—факторгруппа группы
целых чисел по подгруппе чисел, кратных /, и пусть Z >-» Z -» Zi
есть соответствующая точная последовательность абелевых групп.
Поскольку каждая группа Кп без кручения, К ^ К -» К ® Z/
есть короткая точная последовательность комплексов. Обычная
точная гомологическая последовательность является точной парой
Н(К) >Я(К)
V /
Я (К ® Zt)
Z-градуированных (но не биградуированных) абелевых групп.
Другой пример дают тензорные произведения. Тензорное умно-
умножение, примененное к длинной точной последовательности, порож-
порождает точную пару и, значит, спектральную последовательность. Дей-
Действительно, разложим длинную точную последовательность
• • • —>Ар+1 —•>Ар—>Ар-1—>Ар_2—> • ¦ •
левых Я-модулей на короткие точные последовательности
Для правого ^-модуля G и для каждого р мы получаем обычную
длинную точную последовательность
-> Torg (G, Кр) Л Torg (G, Ар) X Tor, (G, KP-i) Л
Лтогв_1(С/СР)->...
со связывающими гомоморфизмами i. Все это можно собрать в точ-
точную пару с
Dp,q = Torg (G, К9), Ev,q = Torg (G, Ар),
причем степени отображений i, /, k такие же, как в E.5); кроме
того, d — jk : ToTq (G, Ap) ->Torg (G, Ap_±) — гомоморфизм, инду-
индуцированный заданным отображением Ар -*-Лр_1. Аналогично,
если С — левый ^-модуль, мы получаем точную пару с
DPt, = Ext"9 (С, КР), EPl q = Ext"9 (С, Ар)
и со степенями отображений i, j, k, указанными в E.5).
432
Гл. XI. Спектральные последовательности
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для точной пары © с членом Е первой четверти показать, что
Dv-i< я = DP- 9-1 ПРИ Р < 0 и ? < 0. Описать верхний и нижний углы соот-
соответствующей диаграммы для К.
2. Показать, что точность производной пары К' может быть выведена
из Ker-coker-последовательности для диаграммы
E/jkE —» D
iD
¦0
i*
0-
Следующая последовательность упражнений описывает спектральные
последовательности в терминах аддитивных отношений и принадлежит
Пуппе [1962].
3. Дифференциальное отношение d в модуле Е — это аддитивное отно-
отношение d : Е —>- Е, для которого Кег d ZD Im d. Определить Й (Е, d).
4. Показать, что спектральная последовательность может быть опи-
описана как модуль Е вместе с такой последовательностью дифференциальных
отношений dT, г = 2, 3, . . ., что dr+i0 = dTE, d7+iE = d7x0. [Указание:
положить Er+i = Н (Е, dr).]
5. Показать, что спектральная последовательность точной пары © —
это модуль Е вместе с дифференциальными отношениями dT = ji~r+1k,
г = 2, 3
6. Показать, что спектральная последовательность фильтрации F —
это спектральная последовательность модуля Е° = Ер, где Ер = Fp/Fp-t
и где дифференциалы — это аддитивные отношения dr : FvIFp-\ -*•
-^Fp-.r/Fp-r-i> индуцированные д (г — 0, 1, . . .)¦
§ 6. Бикомплексы
"Многие важные фильтрации возникли в связи с бикомплексами.
Бикомпмкс (или «двойной комплекс») К — это семейство {КР, q)
модулей с двумя семействами
д" : К
р,q
КР,q-i
F.1)
таких модульных гомоморфизмов, определенных для всех целых
чисел р и q, что
' = O, д"д" = О. F.2)
Таким образом, К — это Z-биградуированный модуль, а д' и д" —
гомоморфизмы бистепеней (—1, 0) и @, —1) соответственно. Биком-
плекс положителен, если он лежит в первой четверти (КР, q = 0
при р<0 или q<0). Гомоморфизм f:K-+L бикомплексов —
это гомоморфизм биградуированных модулей степени 0, перестано-
перестановочный с дифференциалами fd' — d'f и /3" = d"f. Объекты KP,q,
входящие в бикомплекс, могут быть ^-модулями, Л-модулями,
§ 6. Бикомплексы
433
градуированными модулями или объектами некоторой абелевой
категории. Вторая гомология Н" бикомплекса К образуется отно-
относительно д" обычным образом:
= Кег (д": КР, q -+ KP, q-i)/d"Kp,
F.3)
она является биградуированным объектом с дифференциалом
д': Hv<q ->-Яр_1,9, индуцированным исходным дифференциалом д'.
Далее, гомология этого объекта
H'pHq(К) = Ker_(a': H"p,q-+ Hp-i>q)ld'Hv+Uq
F.4)
является биградуированным объектом. Первая гомология Н' (К)
и итерированная гомология Н"Н'К определяются аналогично.
Каждый бикомплекс К определяет одинарный комплекс X =
= Tot (К):
p+q=n
K
P,q,
F.5)
Из условий F.2) следует, что д2 = 0; если бикомплекс К положи-
положителен, то и комплекс X положителен, и в этом случае каждая прямая
сумма в F.5) конечна. Эта операция «тотализации» уже была исполь-
использована раньше. Так, если X и Y — комплексы К-модулей с диф-
дифференциалами д' и д" соответственно, то X(g)Y, естественно, есть
бикомплекс с двумя дифференциалами
д' (х <g> у) = (д'х) ® у, д" (х®у) = (-\fexx ® д"у,
которые удовлетворяют F.2); тензорное произведение комплексов
в том виде, как оно определено в гл. V,— это Tot (X® Y). Анало-
Аналогично Нот (X, Y) — бикомплекс.
Первая фильтрация F' комплекса X = Tot (К) определяется
подкомплексами F'p:
(F'pX)n—
F.6)
Ассоциированная спектральная последовательность этой фильтра-
фильтрации называется первой спектральной последовательностью Е' биком-
бикомплекса.
Теорема 6.1. Для первой спектральной последовательности
Е' бикомплекса К с ассоциированным полным комплексом X существу-
существуют естественные изоморфизмы
E?q2zH'pHt(K). F.7)
Если KP,q = О при р < 0, то Е'2 =#¦ Я (X). Если К положителен,
то Е лежит в первой четверти.
28—353
434
Гл. XI. Спектральные последовательности
Другими словами, эта спектральная последовательность пока-
показывает, как итерированная гомология Н'Н" аппроксимирует пол-
полную гомологию комплекса X.
. Доказательство. Пусть Е = Е' — первая спектраль-
спектральная последовательность. Как и в C.2), EpiQ = Hp+q (F'pXlFp-iX).
Однако определение F.6) фильтрации F' показывает, что
(F'pXIF'v-.iX)p+q & KP,q. Следовательно, EP,q = H"p,q (К). Кроме
того, дифференциал d1:^1-*!:1 индуцирован дифференциалом
д = д' + д", отвечающим д' при изоморфизме Ег ^ Н"К- Поэтому
Е2 = Н (Е1, d1) = Н'Н" К, как и утверждалось в F.7).
Поскольку каждый модуль Хп является объединением всех
F'pXn, первая фильтрация сходится сверху. Если KP,q = 0 при
р < 0, то FLiX = 0, так что фильтрация ограничена снизу. Отсюда
вытекает сходимость ?'2=#>Я (X). Для положительного комплекса
К изоморфизмы F.7) показывают, что Е лежит в первой четверти.
Полезно дать доказательство теоремы, исходя непосредственно
из определения
4,ч = D,я u Fp-i
§ 7. Спектральная последовательность покрытия
435
Элемент а 6 ^РХ„ имеет вид
а -¦¦ ар, q +
К
р, q,
да - д"а
р, g
+ д"ар-г, в+8) + ...,
где мы сгруппировали члены одинаковой бистепени. Следовательно,
а ? Zl,q, если d"ap,q = 0, и а € Z%>q, если
Значит,
д"ар, q = 0, д'аРл q + д"ар-и в+1 = 0.
Lp,qIMp,q, где
и а'аР),= —
Л!р,, = [
^g+i для некоторого ар-1)9+1],
,q + д"Ьр, q+i | Э'&р+1,, = 0]. .
Первое условие, наложенное на элемент ар„ из L, показывает,
что ap,q есть Э"-цикл, так что определен cfs арл 6 Яр>9; второе
условие утверждает, что этот гомологический класс лежит в ядре
у . fj"vq ->Яр_1,д. Член d"bPi q+i из М может изменить ар,, на
д"-границу, не меняя тем самым cls"ap,,; член d'bp+i, q может изме-
изменить cls"ap,g на д' (c\s" bp+1,q). Поэтому соответствие ap,q-+
-v els' (els" ap q) устанавливает требуемый изоморфизм Ер, q ^
& H'pH"q.
Вторая фильтрация F" и спектральная последовательность Е"
определяются аналогично. Сохраняя р как обозначение для степени
фильтрации, запишем бикомплекс в виде К = {Kq,P}, так что
о': Kq,P -*-Kq_i,p. Тогда фильтрация F" определяется формулой
(F"pX)n = 2 Kn-.h,h для /i<p и имеет ассоциированную спект-
спектральную последовательность Е" с ?р% е* HpH'q ({Kq,p}). Если
Kq, P — 0 при р < 0, то эта последовательность сходится к филь-
фильтрации F" комплекса Я (X). Если комплекс К положителен, то обе
спектральные последовательности лежат в первой четверти и схо-
сходятся к различным фильтрациям F' и F" одного и того же градуи-
градуированного модуля Н (X).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть X и К — комплексы абелевых групп, причем каждая группа
Хп свободна. Для первой спектральной последовательности бикомплекса
К = X® Y показать, что ЕРЛ и Нр (X ® Hq (К)). Используя формулу
Кюннета и точное описание образующих длятог из V.6, примененное так же,
как и в предложении V.10.6, показать, что d2 = d3 = . . .= 0 и что в этом
случае ?2 = Е°°.
2. Описать Ep,q как факторкомплекс комплекса L/M, подобно тому
как это сделано во втором доказательстве теоремы 6.1.
§ 7. Спектральная последовательность покрытия
Если группа П действует справа собственным образом, как
в IV.11, на линейно связном пространстве X, то X является «регу-
«регулярным покрытием» факторпространства (= пространства траек-
траекторий) Х/П относительно канонической проекции
Каждый элемент и из П переводит сингулярные симплексы в сингу-
сингулярные симплексы, так что полный сингулярный комплекс S (X)
и его гомология Н (S (X), С) являются правыми П-модулями.
Теорема 7.1. Если группа П действует собственным образом
на линейно связном пространстве X и если С — произвольная абелева
группа, то существует такая спектральная последовательность Е
первой четверти, что
G.1)
l,q^Hp (П, Hq (X, С)) =» Я (Х/П, С).
v
Как всегда, сходимость означает, что существуют фильтрация F
градуированной группы Нп (Х/П, С) и изоморфизм между Е™ q
и ассоциированной (би)градуированной группой GpHp+q (Х/П, С).
28*
436
Гл. XI: Спектральные последовательности
Для доказательства сначала напомним, как вычисляются раз-
различные гомологии. Сингулярная гомология Я (X, С) — это гомо-
гомология комплекса С <g) S (X). Для любого правого П-модуля А,
подобного Я (X, С), гомология Нр (П, А) — это гомология ком-
комплекса А ® ПВ (П), где В (П) есть В-резольвента для группы П;
любая другая проективная резольвента тривиального П-модуля Z
была бы также пригодна. Наконец, гомология пространства траек-
траекторий Х/П вычисляется из его сингулярного комплекса S (Х/П).
Существует изоморфизм комплексов
G.2)
определенный формулой ср (Т" ® 1) = /Т" для каждого сингуляр-
сингулярного симплекса 7" из X. Действительно, поскольку Z — тривиаль-
тривиальный П-модуль, Т" и ® 1 = 7" ® 1 для каждого и 6 П, так что
отображение ф корректно определено на тензорном произведении
®п- По лемме IV. 11.3 каждый сингулярный n-мерный симплекс Т
из Х/П можно поднять до сингулярного n-мерного симплекса Т"
из X, и эти 7", по одному для каждого Т, являются свободными П-
модульными образующими комплекса S (X). Таким образом,
Sn (X) <Эп 2 — свободная абелева группа с образующими
Т' ®п 1. /7" = Т, и ф — изоморфизм. Бикомплекс
имеет две фильтрации F' и f", и каждая из соответствующих спект-
спектральных последовательностей
Е'р> q — H'pHg (К),
— Н"рН'ч (К),
сходится к ассоциированной градуированной группе комплекса
Я (Tot К) для соответствующих фильтраций Fи F".
Для первой спектральной последовательности Н"щ q (К) =
= Hq(C <g> Sp (X) ®п В (П)) есть гомология Hq (П, С ® Sp (X))
группы П. При С = Z мы получаем в точности гомологию группы П
с коэффициентами в свободном П-модуле Sp (X), который, как было
вычислено, равен Sp (X) <g)n Z при q = 0 и равен нулю при q > 0.
Поскольку Sp ®п В — комплекс абелевых групп без кручения,
из тёбремы об униЁерсальных коэффициентах следует, что
О, <7>0.
Ввиду G.2) комплекс, стоящий справа в верхнем равенстве, равен
С ® S (Х/П). Следовательно,
)^ Яр (Х/П, С), <7 = 0,
, = 0,
Ер,, ^
7. Спектральная последовательность покрытия
437
Значит, спектральная последовательность «выродилась»; она лежит
на горизонтальной оси q = 0, имеет нулевые дифференциалы и по-
поэтому равна своему пределу, причем
Я„ (Tot К) & Нп (Х/П, С). G.3;
Для второй спектральной последовательности мы запишем индек-
индексы в бикомплексе К как Kq, р = С ® Sq ®п Вр, так что р будет по-
прежнему обозначать степень фильтрации. Первая гомология H'q
использует только дифференциал в Sq (X), поскольку каждый П-мо-
П-модуль Вр свободен; отсюда следует, что
Hp,q(K) Hv,q({C®Sq®uBp}) Hq(X,C)®TlBp(n).
Вторая гомология Яр явлется теперь гомологией группы П с коэф-
коэффициентами в Яд(Х, С), так что
Е*, ^ H"vH'q (К) & Нр (П, Hq (X, С)). G.4)
Это дает спектральную последовательность, указанную в теореме.
Как и всякая канонически ограниченная фильтрация, она сходится
к гомологии Я (Tot К), описанной в G.3) с помощью первой спект-
спектральной последовательности. Отсюда вытекает заключение G.1).
Это доказательство дает типичный пример двух спектральных
последовательностей, одна из которых вырождается, определяя
предел второй последовательности.
Следствие 7.2. Если группа П действует собственным
образом на линейно связном ацикличном пространстве X, то суще-
существует естественный изоморфизм Нр (П, С)з^Яр(Х/П, С) для
каждого р, где С — любая абелева группа, рассматриваемая как
тривиальный П-модуль.
Доказательство. Поскольку пространство X ациклич-
ациклично, Hq (X, С) = 0 при q Ф 0 и равно С при q = 0, так что (вторая)
спектральная последовательность вырождается и поэтому Е2 изо-
изоморфно пределу, что и утверждалось.
Этот результат является гомологической параллелью теоремы
IV.11.5 для когомологии пространства Х/П. Как и ту теорему, это
следствие можно было бы доказать непосредственно, без использо-
использования спектральных последовательностей. Однако спектральные
последовательности позволяют нам обобщить теорему IV. 11.5 для
применений к пространствам, не являющимся ацикличными. Напри-
Например, имеет место
Следствие 7.3. Если Яо (X) ^ Z для пространства X
и Hq (X) = 0 для 0 <: q < t и если группа П действует собствен-
собственным образом на X, то
Я» (Х/П, C)^Hn(U, С), 0<п<*.
438
Гл. XI. Спектральные последовательности
§ 8. Когомологические спектральные последовательности
439
Для п = t существует точная последовательность
Нш (Х/П, С) -> Яж (П, С) -> Ht (X, С) ® п Z -* Ht (Х/П, С)
ко
Доказательство. В силу теоремы об универсальных
коэффициентах Яо (X, С) о* С и Яд (X, С) = 0 для 0 < q < f.
Тогда в спектральной последовательности теоремы Ер, q — 0 для
0< 7< t и, значит, ?^о = ?7, о S* Я^ (П, С). Фильтрация в
Я4 (Х/П, С) равносильна точной последовательности
а описание ?~ t как гомологии комплекса Е\, t относительно диффе
ренциала di+1 дает точную последовательность
Ht+i (Х/П, С) —> Et+i, о > ?о, t —> ?0°, t—*• 0.
Заменяя ??+i,o на Ht+i (П, С), используя ХE.2) для вычисления
?*, t ^ Но (П, Ht (X, С)) ш Ht (X, С) ®п Z и сплетая эти после-
последовательности, мы получим требуемый результат. Эта точная после-
последовательность является частным случаем «точной последователь-
последовательности членов малой степени» (упражнение 3.3).
Этот результат определяет Я„ (Х/П) для п < t и Ht (Х/П)
с точностью до некоторого группового расширения. Для
полного определения Ht (Х/П) в терминах Я (П) и Я (X) тре-
требуется дополнительный инвариант — когомологический класс
/г?Я'+1(П, Нп (X)), введенный Эйленбергом и Маклейном [1949,
1950].
Спектральная последовательность покрытия принадлежит Картану
и Лерэ [1949] и Картану [1948]. Дальнейшее использование см. у Карта-
на — Эйленберга [1956], стр. 356; Ху Сы-Цзяна [1959], стр. 287 (сноска);
Хилтона — Уайли [1960], стр. 467.
УПРАЖНЕНИЕ
1. Показать, что использование первой спектральной последователь-
последовательности в доказательстве теоремы можно заменить доказательством того, что
(X) ®п В (П) -+• С <g) S (X) <g)n Z есть гомологический изо-
изоморфизм, где е: В
и теорему 3.4).
Z — пополнение (использовать первую фильтрацию
§ 8. Когомологические спектральные последовательности
Для когомологии привычно и удобно записывать спектральную
последовательность с верхними индексами и с обычным изменением
знаков: Er'q = Er_p,_q (знак г не меняется) . Та же самая спект-
спектральная последовательность ? тогда появляется как семейство
биградуированных модулей ?г, г = 2, 3, . , ., с дифференциа-
дифференциалами
dT:Evr'q-^Err'q~r+i (8.1)
бистепени (г, 1 — г) и изоморфизмами Я (?r, dr) о* ?г-и-
Сравнивая эти дифференциалы с' прежними дифференциалами
dr: ?p+r, q-r+i -»-?р, д. мы видим, что формулы для спектральных
последовательностей с верхними индексами получаются из формул
для последовательностей с нижними индексами обращением всех
стрелок и перемещением каждого индекса вверх (или, что может
случиться, вниз) без изменения знака. Предел ?«> определяется,
как и раньше.
Спектральная последовательность ? третьей четверти — это
такая последовательность, у которой ?р,д = 0, когда р>0 или
q > 0; эквивалентно все ненулевые члены этой последовательности
лежат в первой четверти, если их записать с верхними индексами,
а диаграмма есть просто A.6) с перевернутыми стрелками (дифферен-
(дифференциалы направлены от слоя к базе, увеличивая полную степень на
единицу). Краевые гомоморфизмы на базе являются эпиморфизмами
р, 0
2
Р, 0
, 0 сФ, 0
а на слое — мономорфизмами
Трансгрессия т : ?J, 9_t -^ ?*, 0 — это аддитивное отношение (слоя
с базой), индуцированное dq и определенное формулой D.1), в ко-
которой необходимо обратить все стрелки.
Пусть А есть DGz-модуль, записанный с верхними индексами
(Ап = А_п), с граничным гомоморфизмом б : Ап ->-Ап+1. Фильтра-
Фильтрация F модуля А, записанная с верхними индексами Fp = F_р,
проявляется в виде башни дифференциальных Z-градуированных
подмодулей
часто называемой убывающей фильтрацией, хотя в действительно-
действительности это та же самая фильтрация, но в иных обозначениях. Теорема
3.1 применима непосредственна (только меняются обозначения).
Каждая такая фильтрация F порождает спектральную последова-
последовательность {Er, dT}, в которой Ef = Я (F*>A/Fp+1A) и
?*•q = B?-q u 7?р+М11+«)/(в2?1Г+1> 9+г
u
где Z?>9 = {a|aefMp+9, 6a € ?р+г Лр+«+4}, и dr индуцирует-
индуцируется б. Если фильтрация F ограничена, то существуют естест-
440
Гл. XI. Спектральные последовательности
венные изоморфизмы Е%, ^ Ff>HAIFv+1HA, где FPH обозна-
обозначает фильтрацию комплекса НА, индуцированную фильтрацией F.
Эти изоморфизмы имеют место и в том случае, когда фильтрация
сходится сверху ([j F*A = А) и ограничена снизу (для каждого п
существует такое s, что FsAn = 0). Заметим, что ограниченность
«снизу» проявляется как граница справа в убывающей фильтрации
(8.2).
Фильтрация F канонически коограничена, если F °А —
—А и Fn+1An = 0 (заметим, что это условие не совпадает с условием
канонической ограниченности). Из этого условия следует, что ком-
комплекс А положителен по верхним индексам (Ап = 0 для п< 0).
Соображения, подобные доказательству теоремы 4.4, устанавливают
следующий факт:
Теорема 8.1. Канонически неограниченная фильтрация DGZ-
модуля А порождает спектральную последовательность «третьей
четверти». Начальные краевые члены описываются в терминах под-
подкомплексов FXA и L, где Lv = Z?>°, как ?°.» = Нп (A IF1 А) и
?«•<> = нп (L), а краевые гомоморфизмы Нп (А) -+Е°0'п и Е?° -»-
~>-Нп (А) индуцированы тождественным отображением \А. Транс-
Трансгрессия х : E\'n~l—^Ez° при п>2 является аддитивным отно-
шением, индуцированным б, и является также связывающим отно-
отношением р = р {A; L, FXA)
р(A; L, ЯЛ): Я"'1 (AIP-A)
n>2.
В явном виде краевые члены при г > 2 задаются формулами
= Кег[6:Л->Л],
(8.3)
& (Z°/ q u
и
Аналогично точные пары и бикомплексы можно записать с верхними
индексами. Во многих когомологических спектральных последова-
последовательностях имеется (чрезвычайно полезное) умножение, возникаю-
возникающее из и-умножения и когомологии.
УПРАЖНЕНИЯ
1. В условиях теоремы 7.1 получить спектральную последовательность
третьей четверти ??• «eflf (П, Hi (X, С)) =#• Нп (Х/П, С).
2. Доказать теорему 8.1.
3. Если?рд—спектральная последовательность векторных пространств
над некоторым полем и если V — векторное пространство, то описать
Нот (?¦?_ q V) как спектральную последовательность с верхними индексами.
§ 9. Сужение, инфляция и связь
441
§ 9. Сужение, инфляция и связь
Наш следующий пример спектральной последовательности отно-
относится к когомологии группы П с данным нормальным делителем
Г. Нам необходимы некоторые подготовительные понятия, связы-
связывающие когомологии групп П и Г.
Если Г — подгруппа группы П и А — левый П-модуль, то
вложение х: Г->-П определяет замену групп (х, 1А), которая
индуцирует гомоморфизм
т&$:Нп(Ц,А)-+Нп(Г,А),
(9.1)
называемый сужением; сужение естественно по аргументу А. Если
Д с Г с П, то res д res ? = res д1. Пусть Аг обозначает, как
обычно, подгруппу тех элементов а из А, для которых ta = а для
всякого t ? Г. Если Г — нормальный делитель группы П, то Ат
является левым (П/Г)-модул ем. Проекция а :П->П/Г и вложение
/ : Ат -+А образуют замену группы (сг, /) : (П, А) ->-(П/Г, Ат),
которая индуцирует гомоморфизм
(9.2)
называемый инфляцией; инфляция естественна по аргументу А.
Кроме того, существует аддитивное отношение
ЧП/Г,ЛГ), п>0,
infg/r : Нп (П/Г, Ат) -> Нп (П, А),
: Нп (Г, А)
(9.3)
называемое связью, которое будет определено ниже.
Напомним, что Нп (П, А) = На (Нотп (В (П), А)), где
В (П) = В (Z (П)) есть В-резольвента. Каждый элемент
/ 6 Нотп (Вп (П), А) можно записать как однородную коцепь, т. е.
как функцию / (х0, . . ., л;п) 6 А от п + 1 аргумента xt 6 П, для
которой / (хх0, . . ., ххп) = xf (#о, . . ., хп) и которая нормализо-
нормализована условием / (х0, . . ., Хп) = 0, если хг = xt+i для некоторого
i. Кроме того,
п+1
а/(х0, ...,*n+i) = (-ir+1 2 (-i)V(*b. ••-.**' ...,xn+l).
t=0
Тогда сужение индуцируется Цепным преобразованием г|>, заданным
формулой
(Mpf) (t0, ..., tn) = / (t0, ..., tn), U ? Г. (9.4)
Если g 6 Ногпп/r (Вп (П/Г), А), то инфляция индуцируется коцеп-
ным преобразованием а*:
о, ...,xn) = g (ах0, ..., ахп), xt ? П, <щ ? П/Г. (9.5)
442
Гл. XI. Спектральные последовательности
Эти преобразования а* и if можно изобразить в диаграмме цеп-
цепных преобразований комплексов
L К
а*
Нотп (В (П/Г), А) -> Нотп (В (П), А)
(9.6)
В(х)*
Нотг (В (П), А) ——> Нотг (В (Г), А),
II II
S' S
которые обозначены как L, К, S', S. Заметим, что (П/Г)-.
модуль В (П/Г) становится П-модулем при отступлении вдоль а,
так что комплекс L слева канонически изоморфен комплексу
Ногпп/г (В (П/Г), Лг) с когомологией Я™ (П/Г, Лг) и а* — это
В (а)*, где В (а) : В (П) ->-В (П/Г). Каждый П-модуль превра-
превращается в Г-модуль при отступлении вдоль вложения и : Г->П,
так что каждый П-модульный гомоморфизм является также Г-мо-
дульным гомоморфизмом. Этот мономорфизм i : Homn ->- Homr
определяет вертикальное цепное преобразование i: К -> S' в диаг-
диаграмме (9.6), в то время как и индуцирует преобразование
В (у)*: S' ->- S. Ясно, что ij> = В (и*) i.
Цепное преобразование В (и)* является когомологическим изо-
изоморфизмом
В (и)*: Нп (Нотг (В (П), Л)) а* Я" (Нотг (В (Г), А)) = Я" (Г, Л).
(9.7)
Действительно, поскольку группа П есть объединение смежных
классов Ту по подгруппе Г, свободный П-модуль Z (П) с одним
образующим является прямой суммой свободных Г-модулей Z (Г) у.
Следовательно, любой свободный П-модуль одновременно является
свободным Г-модулем, так что е : В (П) -*-Z — это также и сво-
свободная Г-резольвента тривиального Г-модуля Z. Отображение
В (и) : В (Г) -*• В (П) есть цепное преобразование, накрывающее
lz, следовательно, по теореме сравнения оно определяет изомор-
изоморфизм (9.7).
Теперь если Г — нормальный делитель группы П и А — П-мо-
П-модуль, то каждая группа Нп (Г, А) является (П/Г)-модулем. Преж-
Прежде всего для каждого модуля цВ, Нотг (В, А) есть (ШГ)-модуль
в силу следующего определения (структура алгебры Хопфа!):
(9.8)
§ 9. Сужение, инфляция и связь
443
Действительно, так определенное отображение xf является
Г-модульным гомоморфизмом, если таково f, так как для t ? Г,
(xf) (tb) = xf {х-ЧЬ) = х (х-Чх) f (х-Ч) = t [(xf) b] ввиду нор-
нормальности подгруппы Г. Тем самым Нотг становится П-модулем,
но, поскольку tf = / для t ? Г, этот модуль можно рассматривать
как (П/Г)-модуль. Эта модульная структура естественна в В, поэто-
поэтому Нотг (В (П), А) есть (П/Г)-модуль. В силу изоморфизма В (х)*
из (9.7) Я" (Г, А) становится (П/Г)-модулем, что и утверждалось.
Точная формула для этой (П/Г)-модульной структуры в терминах
коциклов из В (Г) дана в приводимых ниже упражнениях 3—5.
Лемма 9.1. Для нормального делителя Г группы П образ
сужения лежит в Я" (Г, А)П.
Доказательство. По (9.6) сужение равно произведению
¦ф = В (y)*i- Для каждого П-модульного гомоморфизма / : 5 (П)->-
-*¦ А в силу (9.8) xf = f при любом д;?П. Следовательно, если / —
коцикл, то els / из Яп (Г, А) инвариантен относительно каждого
оператора из П.
Определения (9.5) и (9.4) показывают, что а* : L -> К из диаграм-
диаграммы (9.6) — мономорфизм и что if : К -> S — эпиморфизм, причем
произведение ijja* равно нулю в размерностях, больших нуля. Зна-
Значит, мы находимся в ситуации, в которой .дан комплекс К с двумя
подкомплексами a*L и М = Кег if, причем (a*L)n с= М при п > О
и S^ KIM; в этой ситуации формула D.4) определяет гомологи-
гомологическое связывающее отношение
р = р (К; a*L, Кег я|>): Я" (S) -- Я*+1 (L).
Возьмем его в качестве связи рп/г из (9.3). В явном виде р является
аддитивным отношением, состоящим из всех пар когомологических
классов
(clsgitf, c\sLg), f?Kn, g?Ln+\ bf^o*g.
Из последнего условия следует, что bg = 0 и бф/ = 0.
Лемма 9.2. Модуль Def р для связи р лежит в Нп (Г, Л)п.
Доказательство. Возьмем пару (clss tyf, cls^ g) ? p, как
выше, и определим коцепь h 6 S'n следующим образом (xt G П):
h(x0, ...,xn) = f(x0, ...,xn) + (— l)ng(\,ox0, ...,axn),
где второй член справа в действительности безоговорочно исполь-
использует стягивающую гомотопию в В (П/Г). Поскольку значение g
лежит в Лг, эта функция h есть на самом деле Г-модульный гомо-
гомоморфизм h : Вп (П) ->- А. Вычисление с помощью граничной форму-
формулы для В (П), использующее равенства б/ = a*g и 6g = 0, показы-
показывает, что bh = 0. Кроме того, В (к): В (Г) -»-Я (П) переводит h
444
Гл. XI. Спектральные последовательности
§ 10. Спектральная последовательность Линдона
445
из S' в я|)/ из S, так что любой элемент clssi|)/ из Defp представляется
как clss' h из На (S'). В комплексе S' мы можем подсчитать дейст-
действие любого х ? П. Пусть kx— такая коцепь, что kx(x0, ¦ . ., xn-i) =
= g (ax, 1, охо, .... охп_±). Кограничная формула и опре-
определение (9.8) показывают, что
(xh — h — 6kx)(x0, ...,xn) = og(ax,l,ax0, ...,ахп) = 0.
Значит, xh — h есть кограница kx, так что когомологический класс
коцепи h в S' инвариантен относительно х, что и утверждалось.
Ввиду лемм 9.1 и 9.2 мы можем переписать сужение и связь как
res: Нп (П, A)->Hn(T,Af и р : Нп(Т, Л)П--ЯП+1(П/Г, А).
Два менее значительных замечания будут необходимы в следую-
следующем параграфе. Для модулей (п/г)С> пВ и пА существует естествен-
естественный изоморфизм
Нотп/Г (С, Нотг (В, А)) & Нотп (С ® В, А), (9.9)
где Нотг имеет операторы, описанные в (9.8), и С® В имеет «диаго-
«диагональные» операторы х (с ® Ъ) = (хс ® хЪ). Отображение в (9.9)
задается сопряженной ассоциативностью. Для проверки того, что
оно корректно относительно указанных операторов, рассмотрим
произвольный групповой гомоморфизм / : С ® В ->Л. Он при-
принадлежит правой группе Нотп, если
f(xc®xb) = xf(c<gib), c?C, b?B, x?U. (9.10)
При фиксированном с, f (с ® —) лежит в Нотг слева, если
¦f(c®tb)=tf(c®b), /?Г, (9.11)
а условие, что / порождает отображение из НотП/г, таково:
f(xc®b') = xf(c®x-1b'), Ъ'?В. (9.12)
Теперь (9.12) превращается в (9.10), если Ъ' = xb, a (9.10) при х =
= t ? Г дает tc = с, откуда следует (9.11). Таким образом, условия,
накладываемые на / слева и справа, эквивалентны.
Лемма 9.3. Для любого свободного Ш-модуля F и любого Ш-мо-
модуля А
#П(П/Г, Нотг(^,Л)) = 0, п>0.
Доказательство. (См. упражнение 6.) Достаточно в ка-
качестве F взять свободный П-модуль Z (П) с одним образующим. Рас-
Рассматриваемая когомология — это когомология комплекса
Нотп/Г (В (П/Г), Нотг (Z(П), A)) at Нот^ (В (П/Г) ® Z (П), А).
Значения n-мерного коцикла / этого комплекса f((u0, . . ., ип) ® х)
лежат в А, где щ 6 П/Г. Используя проекцию а : П ->-П/Г, опре-
определим (п — 1)-мерную коцепь ft формулой ft((uo> . . ., «n_i) <g)Jt) =
= / ((«о, . . ., «n_i. а*) <8> *)• Тогда Л будет П-гомоморфиз-
мом, а условие б/ ((ы0, . . , ип, ах) <%> х) = 0, будучи расписанным,
показывает, что / = 6ft. Поэтому каждый коцикл положительной
размерности п есть кограница, что и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, как гомоморфизм сужения можно вычислить с помощью
любой свободной П-модульной резольвенты Z.
2. Если П = ГХД, то отождествить П/А с Г и показать,
что
¦I.J. л>
3. Для замены групп р = (?, а) : (Г, А, ф) ->- (Г', А', ф') показать,
что гомоморфизм р* : Нп (Г', А') -*¦ Нп (Г, А) из (IV.5.9) может быть вычис-
вычислен с помощью свободных резольвент е: X -*¦ Z и е' : X' -*¦ Z группы Z
как тривиального Г- или Г'-модуля соответственно, как произведение
р*=/*а!к:Яп(Нотг, (X1, А'))—> Яп(Нотг (Х'г А)) —> Нп(Нотг (X, А)),
где f: X -*¦ X' есть Г-модульное цепное преобразование, накрывающее \%.
4. Для нормального делителя Г группы П каждый П-модуль А является
Г-модулем относительно индуцированного отображения ф' . _
Для каждого х 6 П показать, что определения t,xt = x~xtx, t 6 Г и аха =
= ха порождают замену групп
Р*= (&> «*): (Г, А, ф') -> (Г, Л, Ф')<
причем ркн = рйрж. Для Г-модульной резольвенты X -*• Z и преобразова-
преобразования / из упражнения 3 показать, что а,/* : Нотг (X, А) -*¦ Нотг (X, А) —
это модульное действие элементов х на Нотг, определенное в тексте.
5. Используя упражнения 3 и 4, доказать, что модульное действие
х ? П на Нп (Г, А) задается на (неоднородном) коцикле h 6 Нот {Вп (Г), Л)
сопоставлением els h -*¦ els h', где И определяется с помощью сопряжения:
h'(h tn) =xf (x-4yx, ..., x-Unx), 11 € Г, x € П.
6. Используя (9.9), показать, что если модуль -^F свободен, то модуль
Homr (F, А) относительно инъективен для пары колец Z (П/Г), Z. Отсюда
вывести второе доказательство леммы 9.3.
§ 10. Спектральная последовательность Линдона
Теорема 10.1. Для нормального делителя Г группы П и для
И-модуля А существует спектральная последовательность третьей
четверти {Er, dr), естественная относительно А с естественными
изоморфизмами
Е1'ч^Нр(и/Т,НЦТ,А))=^Нр+Ци,А),
р
сходящимися, как показано, к когомологии группы П.
446
Гл. XI. Спектральные последовательности
Здесь Я9 (Г, А) есть (ШГ)-модуль с операторами, описанными
в § 9. Таким образом, эта спектральная последовательность связы-
связывает когомологии подгруппы Г и факторгруппы П/Г с когомологией
всей группы П.
Доказательство. Используя В-резольвенту, построим
бикомплекс К:
К"'q = Нотп/Г (Вр (П/Г), Нотг (Вя (П), А)) &
at Нотп (Вр (П/Г) ® Bq (П), А),
как в (9.9), с двумя дифференциалами, задаваемыми, с учетом стан-
стандартных знаков для кограницы и дифференциала в Вр ® В , фор-
формулами
(8'f)(b' ®b") = (-
где / ? /Ср-«. Условие 6'6" + б"б' = 0 легко проверяется. Первая
и вторая фильтрации этого бикомплекса порождают соответст-
соответствующие спектральные последовательности Е' и Е", сходящиеся
к Я (Tot К).
Для второй спектральной последовательности Е" индекс фильт-
фильтрации по-прежнему обозначается как р, поэтому мы записываем
члены К как Kq'p = НотП/г (Bq, Нотг (Вр, А)) со вторым пока-
показателем р. Как и для любого бикомплекса, E"p>q = Н"р H'q (К).
Но H'q (К) — это когомология группы П/Г с коэффициентами
в Нотг (Вр, А). По лемме 9.3 она равна нулю при q > 0; при q = 0
она равна [Нотг (Вр, Л)]п/Г = Нотп (Вр, А), так как любая
группа Я0 (П, М) — это группа Ми из П-инвариантных элементов
П-модуля М. Вычисление когомологии Н"р комплекса Нотп (Вр, А)
дает когомологию группы П, так что
Все ненулевые члены лежат на базе q = 0, поэтому спектральная
последовательность вырождается. Для каждой полной степени п
имеется только один ненулевой фактор в фильтрации Нп (Tot К);
отсюда вытекает изоморфизм
#"(n,,4)s*tfn(Tottf). A0.1)
Можно показать, что этот изоморфизм индуцируется цепным преоб-
преобразованием
$:Homn(B(Il),A)->7otK,
§ 10. Спектральная последовательность Линдона
447
которое сопоставляет каждому отображению / : Вп (П) -*- А эле-
элемент tf?K*'n, определяемый формулой
(?/) ((и) ® b) = f(b), ц?П/Г, &?ВЛ(П).
Для первой спектральной последовательности Е'/'р^
^ Я'р H"q (К). Пусть S' обозначает комплекс Нотг (В (П), А),
как в (9.6); когомология комплекса S'—это Я (Г, Л). Теперь
Кр = Нотш/Г) (Вр (П/Г), S'), где Вр (П/Г) — свободный (П/^-мо-
(П/^-модуль, является точным функтором аргумента S', поэтому
H"q (Kp) s-Нотп/г (Вр (П/Г), Я* (S')) а< НотП/г (В,(П/Г), Я3 (Г, Л)).
Взятие Я'р дает когомологию группы П/Г, отсюда изоморфизм
в:?2Р'<г^Яр(ШГ, Я'(Г,Л)). A0.2)
Эта спектральная последовательность сходится, как и для любого
положительного бикомплекса, к Я (Tot К), т. е. в силу A0.1)
к Нп (П, А), что и требовалось доказать.
Предложение 10.2. В спектральной последовательности
Линдона Е = Е' краевыми членами являются:
= Я«(Г, Af A0.3)
и ?J-'s Нч (Г, А). Краевой гомоморфизм
на слое является сужением res". Краевой гомоморфизм
Нп (П/Г, АТ) ^Еп2'*-> Нп (П, А)
на базе является инфляцией inf§/r'.Трансгрессия т есть связывающее
отношение р из (9.3):
г . A0.4)
Изоморфизмы A0.3) являются специальными случаями изомор-
изоморфизмов A0.2). Заметим, что образ краевого гомоморфизма на слое
лежит в El'n = Нп (Г, А)и, точно так же как для сужения (лем-
(лемма 9.1), и что область определения трансгрессии т содержится
в Нп~х (Г, А)п, точно так же как для связывающего отношения р
(лемма 9.2).
Доказательство. Для спектральной последовательности
Е первой фильтрации краевые эффекты вычисляются по теореме 8.1
с помощью подкомплексов F1 К и L комплекса Tot К, где № —
— Zi'°, с использованием вложения i : L ->Tot К и проекции
448
Гл. XI. Спектральные последовательности
я : Tot К -*¦ Tot KIFXK- Эти отображения образуют первую строку
следующей диаграммы, вторая строка которой представляет ком-
комплексы, использованные в § 9 для вычисления res, inf и р:
L Л Tot К A (Tot КIРК
у у у™ AU.Ь)
Нотп (В (П/Г), А) -^ Нотп (В (П), А) А Нотг (В (Г), А).
Отображения Я, г\, ф, связывающие эти две строки, будут опре-
определены в терминах однородных образующих (*0, . . ., хп) В-резоль-
венты В (П). Именно модуль L? = Z?'0 <= /^/С состоит из всех
элементов g 6 /Ср>0, для которых bg G /Ср+1>0, т. е. b"g = 0. Посколь-
Поскольку В4 (П) есть свободная абелева группа с образующими (х, у)
и дифференциалом д (х, у) = (у) — (*), то
0 = ± б"? (^' <8> (X, г/)) = g (ft' (g) (г/)) — g(b' ® (л:)), 6' ?Bp (П/Г).
Таким образом, элемент g (b' 0 (х)) не зависит от х ? П, поэтому
формулой (Ag) b' = g (b' 0 A)) определен цепной изоморфизм
Я : L ^ Нотп (В (П/Г), Л). Элемент степени п из Tot К является
набором А = (А0, . . ., Ап) из (п + 1) элементов Ар 6 Kv'n'v.
Он лежит в Я/С, если А0 = 0. Но Во (П/Г) = Z (П/Г), так что
Ао е Нотп/Г (Во (П/Г), Нотг (В„ (Г), Л)) ^ Нотг (Вп (Г), Л).
Значит, формула (фА) (Ь") = А0 (A) ® ft") определяет цепной изо-
изоморфизм ф, стоящий справа в A0.5). Наконец, прямой подсчет
показывает, что определение
(ф) (х0, ...,хп)= 2
р=0
«<гх0, • • •, охр)
р, ..., *„)),
где а : П ->-П/Г, h = (/i°, . . ., hn), задает цепное преобразование
т] : Tot К ->-Нотп (В (П), А), которое делает диаграмму A0.5)
коммутативной. Теперь для описанного после A0-1) отображения
? : Нотп (В (П), A) ->-Tot К будет т)? = 1; посколькуО? индуци-
индуцирует когомологический изоморфизм A0.1), то и т] индуцирует подоб-
подобный изоморфизм.
Таким образом, все вертикальные отображения в A0.5) являют-
являются когомологическими изоморфизмами. В спектральной после-
последовательности краевые гомоморфизмы на базе и слое индуцируются
(теорема 8.1) i и я соответственно; при описанных изоморфизмах
они соответствуют инфляции, индуцированной а*, и сужению,
индуцированному ij). Аналогично лемма 4.3 показывает, что транс-
трансгрессия, рассматриваемая как связывающее отношение для верхней
строки, совпадает с теоретико-групповой трансгрессией, вычислен-
вычисленной (как в § 9) из нижней строки.
§ 10. Спектральная последовательность Линдона
449
Члены малой степени в этой спектральной последовательности
порождают точную последовательность
Я1 (Г, Л)ПА
0
Аг)
, А)
inf
A0.6)
Л Я2 (П/Г, Лг) ^ Я2 (П, А).
В высоких степенях спектральная последовательность произво-
производит более тонкий анализ ядер и образов отображений inf и res в тер-
терминах всей последовательности функторов E?'q (П, Г, А), которые
можно рассматривать как «смешанные» группы когомологий двух
групп П и Г.
В качестве приложения мы докажем
Следствие 10.3. Если Г — нормальный делитель конечной
группы П индекса k — [П : Г], взаимно простого с порядком h =
= [Г : 1 ], то для каждого И-модуля А и каждого п > 0 существу-
существует расщепляющаяся точная последовательность
0 -> Я" (П/Г, АТ) %¦ Нп (П, А) ТЛ Нп (Г, Af -> 0, A0.7)
которая устанавливает изоморфизм Нп (П, А) ^ Нп (П/Г, Аг) ©
© Я" (Г, Л)п.
Доказательство. Из предложения IV.5.3 известно, что
порядок каждого элемента из Я* (Г, А) при q > 0 делит А, а поря-
порядок каждого элемента из Яр (П/Г, М) при р>0 и при любом
(ШГ)-модуле М делит А. Значит, группа ?gl9 s Яр (П/Г, Я9 (Г, А))
при р > 0 и <7 > 0 состоит из таких элементов, порядок которых
делит и А и k, и поэтому равна нулю. Ненулевые члены
спектральной последовательности лежат, таким образом, на краях
(р = о или <7 = 0), а единственный ненулевой дифференциал —
это трансгрессия (от слоя к базе)
dn : Я" (Г, А)п = ??• "-1 -^ ??' ° = Нп (П/Г, Лг).
Однако этот гомоморфизм отображает абелеву группу, порядки
элементов которой делят А, в абелеву группу, порядки элементов
которой делят k, причем (A, k) = 1; значит, дифференциал dn равен
нулю. Таким образом, все дифференциалы спектральной последо-
последовательности равны нулю, ?2 = ?» и имеется только два члена (оба
на краях каждой полной степени п). В этом случае фильтрация
комплекса Нп (П, А) эквивалентна точной последовательности,
указанной в теореме. Эта последовательность расщепляется; дейст-
действительно, стандартным рассуждением, использующим алгоритм
евклида, доказывается, что любая точная последовательность
В >¦¦ С -» D абелевых групп, в которой kB = 0, AD = 0 и (A, k) =
= 1, должна расщепляться.
29—353
450
Гл. XI. Спектральные последовательности
УПРАЖНЕНИЯ
Все упражнения относятся к спектральной последовательности Лин-
дона.
1. Показать для фильтрации Нп (П, Л), что FnHn можно охарактери-
охарактеризовать как образ инфляции, a F^-H* как ядро сужения.
2. Установить точность последовательности
0-> ЛЯ»/ЯЯ2—>?!•!-> ?!>»-*¦ ЯЗ(П, Л).
3. (Хохшильд — Серр [1953].) Предположим, что т > 1 и что
Я" (Г, А) = 0 при 0 < п < от. Показать, что inf : Нп (П/Г, Лг) s Я" (П, А)
есть изоморфизм при п < т, что трансгрессия т в размерности т — это гомо-
гомоморфизм т : Я™ (Г, Л)п ->- Ят+1 (П/Г, Лг) и что следующая последова-
последовательность точна:
0
(П/Г,
int res
—» Hm (П, A) —> Я11
(Г, Л)
п
т „ inf
->Ят+1(П/Г, Лг) -*¦
4. (Хохшильд — Серр [1953]; Хаттори [I960].) Предположим, что
от > 1 и что Яп (Г, Л) = 0 при 1 < п < от. Установить точность следую-
следующей последовательности для 0 < л < от:
• • • -» Я™ (П/Г, Лг) -*¦ Я™ (П, Л) -> Яп~1 (П/Г, № (Г, Л)) -»
—> Яп+1 (П/Г, Лг) -> Я"+1 (П, Л) -»•••.
5. Для правого П-модуля С построить спектральную последователь-
последовательность первой четверти, сходящуюся к гомологии П:
Яр (П/Г, Я„ (Г, С)) а Е\ш 0 =J. Я (П, С).
§ 11. Теорема сравнения
При оперировании спектральными последовательностями полез-
полезно иметь возможность судить об изоморфизме двух спектральных
последовательностей по ограниченным данным. Теорема сравне-
сравнения, доказываемая в этом параграфе, представляет такую возмож-
возможность для спектральной последовательности первой четверти Е
модулей над коммутативным кольцом при условии, что существует
короткая точная последовательность
О
2 _ Р2
р, 0 09 -СО, q
р, q
-i.o, ?§.,)-> О A1.1)
для члена Ег. Это условие часто выполняется. Например, для
спектральной последовательности Лерэ — Серра расслоенного
пространства с односвязной базой формула B.2) устанавливает
изоморфизм E%,q ^Hp (В, Hq(F)), который по теореме об уни-
§ 11. Теорема сравнения
451
версальных коэффициентах порождает точную последовательность
О -> Яр (В) ® Яд (F) ->E2p,q-> Tor (Я,.! (В), Hq (F)) -* 0.
Поскольку и В, и F линейно связны,
?Р,о s* Яр (В, Z) = Яр (В) и ?2о,9 ^ #о (В, Яд (F)) & Hq (F),
так что указанная последовательность сводится к A1.1).
Теорема 11.1. (Теорема сравнения.) Пусть /:?->-?' есть
гомоморфизм спектральных последовательностей первой четверти
модулей над коммутативным кольцом, каждая из которых удовле-
удовлетворяет условию A1.1), причем f коммутирует с отображениями
я, а, %', а' из A1.1). Обозначим отображения fp,q: Ep,q -*-?р% .
Тогда любые два из следующих условий влекут третье (и, следователь-
следовательно, устанавливается, что f изоморфизм)
(i) fp, о : Ер, о -*- Ер2 о — изоморфизм для всех р > 0;
(и) /о,в : Eo,q ->-?o!g — изоморфизм для всех q>0;
O'i) fp,q '¦ ?p°,g -*-E?q — изоморфизм для всех р, q.
Имея в виду геометрические приложения, можно прочитать (i)
как «/ — изоморфизм на базе», (п) как «/ — изоморфизм на слое» и
(iii) как «/ — изоморфизм на всем пространстве».
Доказательство. То, что из первых двух условий выте-
вытекает третье, элементарно. По условию диаграмма
О
f2
p.e
Т014D-i,o, El,q)
jT°ri<'p-i,o,1,9>
0
A1.2)
коммутативна и имеет точные строки. Из условий (i) и (ii) следует,
что крайние вертикальные отображения являются изоморфизмами.
По короткой лемме о пяти гомоморфизмах среднее вертикальное
отображение fv,q является изоморфизмом. Этот изоморфизм ком-
комплексов (?2, d2) и (Е'2,а) влечет за собой изоморфизм их гомологии
Е3 и Е'3, далее по индукции устанавливается (iii), поскольку каж-
каждый модуль Ep,q постоянен, за исключением конечного числа
номеров.
В других случаях, требующих доказательства, используется то
обстоятельство, что спектральную последовательность можно рас-
рассматривать как согласованный набор точных последовательностей
в биградуированных модулях
Er, Cr =
и Gr =
29*
452
Гл. XI. Спектральные последовательности
При применении леммы о пяти гомоморфизмах (в ее уточненной
форме, лемма 1.3.3) мы будем записывать только первую строку
коммутативной диаграммы, подобной диаграмме A1.2).'
Для доказательства того, что из (i) и (iii) следует (И), рассмот-
рассмотрим свойство
(iim) fo, g : E\, q —» Eq,4 является изоморфизмом для 0<<7</п.
Поскольку Ео, о = ?<Г,о, то из (iii) следует (ii?). Следовательно,
достаточно доказать индукцией по т, что из (i), (iii) и (iiTO) следует
(iim+1). Если выполнено (iim), то диаграмма A1.2) показывает,
что fl,q — изоморфизм при <7</п. Дополнительной индукцией
по г>2 доказываем, что
Г:
Р.9
является i
мономорфизмом для G< т и всех р,
изоморфизмом для <7</п — г+ 2 и всех р.
A1.3)
Это утверждение верно при г = 2; предположим, что оно верно для
некоторого г. Лемма о пяти гомоморфизмах для коммутативной
диаграммы точной последовательности
и * '-'р.в. *^р> а * ^*р—г. д+г—1»
которая определяет ядро С дифференциала dT, показывает для
отображения сТ, индуцированного /г, что
. . ,_ [мономорфизмом для а<т,
Ср,в:Ср.д-*СрГ,, является ^ . , (П.4)
"ч V4 РЧ [изоморфизмом для<7<m—r+1. v '
Далее, еГ определяет эпиморфизм ?p+r>9_r+1 -» Brp,q. Если q<m,
то /р+г>,_г+1 — эпиморфизм, а поэтому отображение Ъ, индуци-
индуцированное /, есть эпиморфизм:
bp,q: Bp,q-^>Bp\q есть эпиморфизм при <7</и- (П-5)
Теперь Er+1 определяется короткой точной последовательностью
О
7
-Р. 9'
¦0.
A1.6)
Построим соответствующую диаграмму из двух строчек. При <7<т
первое вертикальное отображение есть эпиморфизм в силу A1.5),
а второе — мономорфизм в силу A1.4); следовательно, по лемме
о пяти гомоморфизмах третье вертикальное отображение /р+д явля-
является мономорфизмом. Если, кроме того, <7<т — (г + 1) +
+ 2 = ш — г+1, то второе вертикальное отображение является
изоморфизмом в силу A1.4), и поэтому /рТд является изоморфизмом.
Этим закончено индуктивное доказательство утверждения A1.3).
§ 11. Теорема сравнения
453
Теперь мы утверждаем, что
Ср, га-р+2
— эпиморфизм при г>р>2.
A1.7)
Для r>p,dT : ?р -»-?р_г имеет нулевой образ, так что Етр =
= Ср, /р = сгр. При больших г, /p,q = fp,q, так что ср,д из A1.7)
есть изоморфизм по условию (iii). Мы можем теперь доказать A1.7),
уменьшая г. Предположим, что A1.7) верно для г + 1, и возьмем
диаграмму последовательности A1.6) при q = m — р + 2. Первое
вертикальное отображение эпиморфно по A1.5); поскольку Ep<q =
= Ср%\ третье отображение эпиморфно по предположению. Зна-
Значит, в силу короткой леммы о пяти гомоморфизмах срл — эпимор-
эпиморфизм, что и доказывает A1.7).
Наконец, мы доказываем уменьшением г, что /о, m+i — изомор-
изоморфизм для г>2. Это верно для больших г в силу (iii); предположим,
что утверждение верно для г + 1, и рассмотрим диаграмму из двух
строк с первой строкой
0 —> €r, m-r+2 —*• ЕТТ, m-r+2
, то+1
0, то+1
0.
Первое вертикальное отображение — это эпиморфизм в силу A1.7)
при г — р, второе — это изоморфизм в силу A1.3) и четвертое —
это изоморфизм по предположению. Значит, третье отображение
^ m+i _ изоморфизм. При г = 2 этим заканчивается индукция
по m в доказательстве утверждения (iim).
Доказательство того, что из (И) и (iii) следует (i), проводится
аналогично.
Замечания. Спектральные последовательности были открыты
Лерэ [1946, 1950] для случая когомологии; нх существенные черты были
независимо отмечены Линдоном [1946, 1948] в случае спектральной после-
последовательности для когомологии группы. Алгебраические свойства спек-
спектральных последовательностей были эффективным образом собраны Косулем
[1947]. Их полезность в вычислениях групп гомотопий сфер была убеди-
убедительно продемонстрирована Серром [1951]. Эквивалентное определение при
помощи точных пар принадлежит Масси [1952[; еще одно определение дано
Картаном и Эйленбергом [1956], XV.7. Теорема Лерэ — Серра была дока-
доказана методом ацикличных моделей (Гугенгейм — Мур [1957]); другие дока-
доказательства см. у Ху Сы-Цзяна [1959, гл. IX], у Хилтоиа — Уайли [1960,
гл. X] и, при несколько отличном понятии расслоенного пространства, у Фа-
делла и Гуревича [1958]. Спектральная последовательность Линдона впервые
была определена с помощью фильтрации комплекса Нот (В (П), А); эта
последовательность удовлетворяет теореме 10.1, но до настоящего времени
не известно, изоморфна ли она определенной нами последовательности,
в которой использована фильтрация, принадлежащая Хохшильду и Серру
[1953]. Этими авторами краевые эффекты были описаны (предложение 10.2)
лишь для фильтрации Линдона; наше доказательство, исходящее прямо
из фильтрации Хохшильда — Серра, зависит от нашего описания связываю-
связывающих отношений, которое было приведено для этой цели. Спектральная
454
Гл. XI. Спектральные последовательности
последовательность Лнндона была использована Грином [1956] для дока-
доказательства того, что группа Н2 (П, Z) для конечной р-группы П порядка рп
имеет порядок ph, где k <; п (п — 1)/2. Для конечной группы П Венков
[1959] доказал топологическими методами, что кольцо когомологий Н (П, Z)
конечно порождено как кольцо; алгебраическое доказательство этого факта,,
данное Ивенсом [1961], опирается на структуру умножения в спектральной
последовательности Линдона. Среди многих других применений спектраль-
спектральных последовательностей отметим доказательство Бореля [1955] теоремы
Смита о неподвижной точке и приложения к функциональным простран-
пространствам, указанные Федерером [1956]. В доказательстве теоремы сравнения,
принадлежащей Муру (семинар Картана [1954—1955]), мы следовали Кудо
и Аракн [1956]; тесно связанное с этим доказательство Зеемана [1957] вклю-
включает случай, когда исходные изоморфизмы предполагаются заданными только
для определенных размерностей. Эйленберг — Мур [1962] изучали сходи-
сходимость и двойственные свойства спектральных последовательностей в абеле-
вой категории.
ГЛАВА XII
Производные функторы
В этой главе наши предыдущие исследования будут применены
к более общей ситуации. Во-первых, мы уже отмечали, что модули
можно заменить объектами абелевой категории; в первых трех
параграфах исследуется эта техника и показывается, как идеи
гомологической алгебры, не включающие тензорные произведения,
могут быть распространены на любую абелеву категорию. Во-вто-
Во-вторых, относительный и абсолютный функторы Ext можно рассма-
рассматривать вместе как частные случаи общей теории «собственных»
точных последовательностей, изложенной в § 4—7. Следующие
параграфы описывают процесс построения «производных» функто-
функторов: HomR приводит к функторам Extn, ®н приводит к Тог^,
а любой аддитивный функтор Т приводит к последовательности функ-
функторов —«сателлитов». Наконец, применение этих идей к категории
комплексов дает обобщенную формулу Кюннета, в которой обычная
точная последовательность заменяется спектральной последова-
последовательностью.
§ 1. Квадраты
Многие операции в абелевой категории основаны на построе-
построении «квадратов». Пусть а и Р — два морфизма с общим концом;
рассмотрим коммутативные квадраты
D"
лЛс
В
С,
A.1)
построенные на данных сторонах а и р. Назовем левый квадрат
коуниверсальным для данных морфизмов а и р\ если для каждого
правого квадрата существует такой единственный морфизм у : D" -*-
-+-D, что р" = р'-у, а" = а'у. Коуниверсальный квадрат (назы-
(называемый также диаграммой «оттягивания»), если он существует
456
Гл. XII. Производные функторы
определен с точностью до эквивалентности объекта D, так что а
и Р вместе определяют а' и Р' с точностью до правой эквивалент-
эквивалентности. Габриэль [1962] называет D расслоенным произведением.
Подобные коуниверсальные квадраты известны во многих обла-
областях математики и существуют при более общих предположениях
(чем те, которые сделаны относительно абелевой категории). В ка-
категории множеств, если аир — вложения, то D есть в точности
пересечение подмножеств А а В множества С. В категории топо-
топологических пространств, если р — послойное отображение, а : А -*•
-*¦ С — непрерывное отображение в базу отображения р, то Р'
это так называемое «индуцированное» послойное отображение.
В любой абелевой категории коуниверсальный квадрат с С = 0 —
это квадрат
Теорема 1.1. (Построение квадрата.) Для данных морфиз-
мов а и Р с общим концом в абелевой категории существует коуни-
коуниверсальный квадрат A.1). В терминах прямой суммы А @ В с проек-
проекциями rti и я2 объект D можно описать как область определения
морфизма v 6 кег (ая4 — Ря2), причем а' — n2v, Р'
Доказательство. Для описанных в условиях теоремы
объекта D и морфизмов v, а' и Р' рассмотрим диаграмму
*АфВ С.
A*2)
Два треугольника этой диаграммы коммутативны по определению
а' и Р'. Квадрат (лучше ромб) в вершине D коммутативен, так как
ар' = ащх = (ая! —p«2)v + ря2у = 0 + Ра'.
Кроме того, для любого другого коммутативного квадрата, построен-
построенного на а и Р, с верхним углом!)*, как в A.1), коуниверсальность
прямой суммы А © В дает морфизм I : D" ->• А @ В, для кото-
которого rtig = Р", я2? = а". Следовательно, 0 = аР" — Ра" =
= (ая! — Ря2) I, поэтому ? проходит через v ? ker (ая1 — ря2)
как ? = \у для некоторого у (см. A.2)). Теперь Р" = п&у = Р'т
и а" = а'?. Если yo:D"-+D — второй морфизм со свойствами
Р" = P'yo, a* = a'Yo, то я^?0 = я/vy, / = 1, 2, так что vyo =
= vy. Но v — мономорфизм, поэтому 7о == У и. значит, морфизм у
§ 1. Квадраты
457
единствен, что и требовалось для доказательства коуниверсаль-
ности.
Для модулей А, Ву С угол D можно было описать как модуль
всех пар (а, Ь), для которых аа = рб; наше доказательство пока-
показало, как вместо элементов а, Ь использовать разность ая4 — ря2
и образование ядер.
Теорема 1.2. Если, в коуниверсальном квадрате, Р — моно-
мономорфизм, то и Р' — мономорфизм, если р — эпиморфизм, то
и Р —эпиморфизм; по симметрии эти же утверждения справед-
справедливы для а.
В доказательстве используется прямая сумма А © В с проек-
проекциями я^ и вложениями iy-. Сначала будем считать, что р — моно-
мономорфизм. Предположим, что Р'ш = 0 для некоторого ш. Тогда
ря2ую = Ра'ю =аР'ю = 0; так как Р — мономорфизм, то Лоуа = 0.
Вместе с тем Rtvfi) = P'a) = 0, так что v(d = 0 и ш = 0, поскольку
v — мономорфизм.. Следовательно, на р' можно сокращать слева,
т. е. р'—мономорфизм.
Теперь будем считать р эпиморфизмом. Предположим, что
ш (ait! — ря2) = 0 для некоторого ш. Тогда 0 = <о (ая! — Ряг) i2 =
= — юря212 = — сор, так что ю = 0. Следовательно, ая! — Ря2
есть эпиморфизм, и, значит, он является коядром своего ядра v.
Теперь допустим, что ?Р' = 0 для некоторого |. Тогда 0 = ?р' =
= ?я4у, поэтому ?я! проходит через ая4 — ря2 ? coker v, ?я4 =
= I' (аЯ! — ря2). Следовательно, 0 = |я412 = —|'ря212 = — |'р,
откуда V = 0, так как р — эпиморфизм; значит, |я4 = 0, ? = О
и Р' — эпиморфизм.
При дуализации (обращение стрелок, перестановка слов, «моно-
«мономорфизм» и «эпиморфизм» и т. д.) аксиомы абелевой категории
переходят в себя. Двойственное построение квадрата исходит
из двух морфизмов аире общим началом и дает универсальный
левый квадрат (или диаграмму «выдвижения»):
сДл
У
сЛл
I
D"
в
Здесь универсальность означает, что для любого другого подобного
коммутативного квадрата с правым нижним углом D" существует
единственный морфизм у : D -*-D" со свойствами.... Например,
в категории групп (не являющейся абелевой категорией), если a
ир — мономорфизмы, то такой универсальный квадрат существует
и в качестве D нужно взять свободное произведение групп А и В
с объединенной подгруппой С (Нейман [1954], Шпехт [1956]).
458
Гл. XII. Производные функторы
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если произведение тст определено и т и ст
т 6 сокег [ст (кег тст) ].
• эпиморфизмы, то
2. Если х н ст имеют общий конец, х — мономорфизм, ст — эпиморфизм,
то доказать, что морфизмы х' н ст' из коуниверсального квадрата опреде-
определяются точными формулами х' ? кег р, ст' ? coim (сгх'), где р = (сокег х) ст
(использовать упражнение 1).
3. Если р (кег о) = 0 и р — эпиморфизм, то показать, что существуют
такие мономорфизм |х и эпиморфизм ст, что |хр = ста.
4. Пусть в коммутативной диаграмме
t ч
I 1 I
оба квадрата коуниверсальны. Показать, что квадрат с верхним и нижним
основаниями т)? и §у коуниверсален.
5. Построить коуниверсальную диаграмму для п морфнзмов с общим
концом.
§ 2. Подобъекты и факторобъекты
Подобъект объекта А определяется мономорфизмом х : * -*¦ А
и является классом правой эквивалентности (все морфизмы
хЭ | Э — эквивалентность) этого морфизма х. Класс As всех под-
объектов объекта А можно рассматривать как множество (аксиома
в конце IX.1).
Обычное отношение включения для подмодулей согласуется
с определением, что clsxj <. clsx2 тогда и только тогда, когда
существует такой морфизм со, что Xj = x2co; этот морфизм со необ-
необходимо является мономорфизмом. Множество As частично упоря-
упорядочено этим отношением <: и имеет нуль 0А : 0A<;cls x для каж-
каждого х; именно, 0А — это класс любого нулевого морфизма 0:0'-»-
-*-А, где 0' — произвольный нулевой объект категории.
В абелевой категории каждый морфизм а с областью значе-
значений А имеет стандартное разложение а = Яа (Я — мономорфизм,
а — эпиморфизм) и im а = els Я? As. Таким образом, мы можем
описать Аа как множество всех образов морфизмов а с областью
значений А; тогда отношения включения и равенства определяются
следующим предложением.
Предложение 2.1. В абелевой категории для морфизмов
<xi, а2 с общей областью значений А имеют место следующие утверж-
§ 2. Подобъекты и факторобъекты
459
дения (знак «
im (*! = im а2
im (Xj <; im а2
» означает «тогда и только тогда, когда»):
а^ = а2а2 для некоторых эпиморфизмов аи о2;
с^ст — а2со для некоторого эпиморфизма а
и некоторого со;
im а = 0А <=> а = 0.
Доказательство. Из стандартного разложения мор-
морфизма а1а1 = a&z следует im at = im с^о?! = im a2. Обратно, если
для a4 и a2 образом является els x, то эти морфизмы имеют стан-
стандартные разложения СЦ = хрь а2 = ирг, где р4 и рг — эпимор-
эпиморфизмы. Построение квадрата для Pi и р2 дает по теореме 1.2 эпи-
эпиморфизмы alt cr2, для которых piOi = p2cr2 и, следовательно, а^а^ =
= a2a2. Доказательство остальных утверждений аналогично.
Элемент из As будет записываться как а 6 As или как im a
для некоторого а с областью значений А; как будет удобнее.
Каждый морфизм | : A ->S задает отображение ?s : As -»- Bs,
определяемое формулой
?s(im a) = im(?a), область определения а~А.
Соответствия А -»-Л8, |-»-?s порождают «представление» каждой
абелевой категории частично упорядоченными множествами с ну-
нулем. Мы можем также рассматривать As как «множество с отме-
отмеченной точкой». Под множеством U с отмеченной точкой понимает-
понимается множество с выделенным элементом, скажем 0^ G U. Отобра-
Отображение / : U -*¦ V множеств с отмеченной точкой — это функция,
определенная на множестве U со значениями в множестве V, для
которой / Ои = 0у; в частности, / = 0 означает, что /ы = 0у для
каждого и?У. Множества с отмеченной точкой вместе со всеми
описанными отображениями / в качестве морфизмов образуют
категорию, в которой мы можем определить многие известные
понятия следующим образом. Для каждого отображения /: U -»- V:
Kernel f = {все u\u?U, fu = QY},
Image/ = {все v\fu = v для некоторого и ?V),
f сюръективно тогда и только тогда, когда Image f = V,
f инъективно тогда и только тогда, когда из fui = fu2 следует
щ = ы2.
Если (/, g) : U -*¦ V -»- W, то назовем пару (/, g) точной, если
Image/ = Kernel g. Как и в абелевой категории, пара (/, g) точна
тогда и только тогда, когда gf = 0 и Kernel g с Image /, где с:
обозначает теоретико-множественное включение.
460
Гл. XII. Производные функторы
Основные свойства представления в виде частично упорядо-
упорядоченных множеств подобъектов можно сформулировать следующим
образом.
Теорема 2.2. Если ? : А -*¦ В — морфизм абелевой кате-
категории, то ?, : Ае -*• Bs — отображение частично упорядоченных
множеств с нулем, т. е. ?s0A — 0в и из а*Са' в А, следует La<
<?ga'. Оно обладает следующими свойствами:
(i) ! = 0<=>?8 = 0;
(ii) ? — эпиморфизм <=г> отображение lt сюръективно;
(iii) ? — мономорфизм -s=> отображение ?g инъективно <=>
<=> Kernel I, — 0.
Если произведение ti? определено, то Cnl)e = т)в?, и
(iv) пара (?, г\) точна <=> пара (Is, у\„) точна.
Доказательство. Если im a4 < im a2 в А „, то по пред-
предположению 2,1 сца = а2ю для некоторого морфизма ш и некото-
некоторого эпиморфизма а, поэтому gaiO = ?а2ю и im (Eat)<im (?а2).
Значит отображение ?„ сохраняет частичную упорядоченность.
Свойство (i) очевидно.
Если ? — эпиморфизм и если im р ? В„ то коуниверсальный
квадрат для ? и р дает такой эпиморфизм |' и такой морфизм р',
что ?Р' = Р?', откуда ?s im Р' = im Р и отображение ?„ сюръек-
сюръективно. Обратно, если отображение ?g сюръективно, то существует
такой морфизм а с областью значений А, что im (?a) = im 1B, так
что |aoi = <т2 для некоторых эпиморфизмов а± и a2, откуда выте-
вытекает эпиморфность 1.
Если ? — мономорфизм, из равенства |, im a = |g im a' сле-
следует ?aa = |a'o', следовательно, сит = а'а' и im a = im a', так
что отображение ?g инъективно. Если ?s инъективно, то Kernel ?g,
очевидно, равно нулю. Наконец, если Kernel ?„ = 0, то из ?а = 0
следует im (^а) = gg (im a) = 0, значит, im a = 0 и a = 0, поэтому
? — мономорфизм. Этим доказано свойство (iii).
Для морфизма г\ : В -*- С определение ker v\ 6 Bs показывает, что
Kernelr\e = {b\b?Bs и b<kerri}; B.1)
другими словами, ker т] — это максимальный элемент подмноже-
подмножества Kernel r\s; мы пишем «ker» для морфизма абелевой категории,
«Ker»— для модульных гомоморфизмов и «Kernel»— для мно-
множеств с отмеченной точкой. Аналогично для | : А ->- В
Imagets = {b\b?B8 и b<im?}. B.2)
Действительно, если А есть область значений морфизма а, то
^, im а = im (|а) < im ?; обратно, из imp<im | следует, что
Рст = |а для некоторого эпиморфизма а и некоторого а с областью
значении А, поэтому ?« im a = im (?а) = im p. Этим доказано B.2).
S 2. Подобъекты и факторобъекты
461
Если произведение т]? определено, то равенство (п?)в = т^
вытекает из определения, а B.1) и B.2) доказывают свойство (iv)
из теоремы.
Факторобъекты двойственны подобъектам. Подробнее, пусть
В9 означает множество всех факторобъектов объекта В, т. е. мно-
множество всех классов левой эквивалентности эпиморфизмов а
с областью определения В. Множество Вг частично упорядочено
с нулем; нулем является класс 0: В -*-0'; включение els а > els т
по определению означает, что т = Ра для некоторого морфизма р,
необходимо являющегося эпиморфизмом. Для модулей это вклю-
включение имеет естественно ожидаемый смысл: если а : A -+-A/S,
t : A -+AIT, то els а > els т означает S cr T и, следовательно,
Каждый морфизм ? : А -*~В индуцирует отображение
?9 : Bq -*Aq (в обратном направлении!) по формуле ?9 (els а) =
= coim (а|). В силу принципа двойственности нам нет необходи-
необходимости доказывать теорему, двойственную теореме 2.2. Напомним,
что двойственная теорема формулируется путем обращения всех
стрелок и сохранения логической структуры теоремы. Таким обра-
образом, «область определения» становится «областью значений», а ото-
отображение ?g становится отображением ?9. Теоретико-множествен-
Теоретико-множественные понятия составляют часть логической структуры теоремы,
поэтому фраза «отображение ?„ инъективно» переходит в фразу
«отображение |ч инъективно».
Теорема 2.3. Если | : А -*¦ В — морфизм абелевой кате-
категории, то |9 : В4 -»- Aq — отображение частично упорядоченных
множеств с нулем. Оно,обладает следующими свойствами:
(i) Б = О<*Б« = О;
(ii) 1 — мономорфизм<=>отображение |9 сюръективно;
(iii) | — эпиморфизм <=> отображение ?9 инъективно<?$> Ker-
Kernel |9 = 0.
Если произведение \ч\ определено, то (&п)9 = x\q ?9 и
(iv) пара A, tj) точна <=> пара (i\q, iq) точна.
Эти свойства приобретают более привычную форму, если их
сформулировать в терминах прообразов подобъектов (упражне-
(упражнения 5, 6).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверить непосредственно, что каждое утверждение теоремы 2.3
выполняется в абелевой категории всех ^-модулей.
2. Если произведение т)| определено, то показать, что im ? << ker r\
тогда и только тогда, когда сокег 4 > coim r\, и что ker r\ ^ im | тогда
и только тогда, когда coim r\ > сокег 5.
462
Гл. XII. Производные функторы
3. Антиизоморфизм <р : S -*• Т частично упорядоченных множеств S
и Г — это такое взаимно однозначное соответствие, что из s <; s' следует
фв > q>s'. Доказать, что соответствие els х -*• coker х задает антиизомор-
антиизоморфизм множеств Аа н At.
4. Доказать, что множество As является структурой A.8) с пересече-
пересечением (els X) n (els (i), определенным с помощью коуниверсального ква-
квадрата как els (A(i') = els ((J-V), и объединением (els X) vj (els ц), определен-
определенным двойственным образом.
¦5. Для морфизма ? :~А -*¦ В определим отображение Is : Bs -*¦ As фор-
формулой Is im P = ker [|<* (coker 0)] (в обозначениях упражнения 3, Is =
= ф-1|9ф). Доказать, что gs характеризуется свойствами ?s (Is im P) <;
<; im Р; из |s im a<im р следует im a ¦< Is im p. Вывести отсюда для моду-
модулей, что Is (im P) — это прообраз подмодуля im P относительно |.
6. Переформулировать теорему 2.3 в терминах отображений Is.
7. Показать, что im a является наибольшей нижней гранью мономорф-
ных левых множителей морфизма а.
§ 3. Диаграммный поиск
Различные леммы о диаграммах (лемма о пяти гомоморфизмах,
3x3 лемма и т. д.) справедливы в абелевых категориях. Обыч-
Обычные доказательства, основанные на «поиске» элементов, часто
можно провести, применяя вместо этого «поиск» подобъектов или
факторобъектов. Мы приведем три примера.
Лемма 3.1. (Слабая лемма о четырех гомоморфизмах.)
В любой абелевой категории для коммутативной 2x4 диаграммы
А -+В _» С -> D
I5 ^ Iе Iй
А' -^В'-> С'-> D'
с точными строками (т. е. со строками, точными в В, С, В' и С)
справедливы следующие утверждения:
(i) из того, что ? — эпиморфизм, а г\ и со — мономорфизмы,
следует мономорфность ?,
(ii) из того, что ш — мономорфизм, a 1 и ? — эпиморфизмы,
следует эпиморфность г\.
Доказательство. Рассмотрим соответствующую диа-
диаграмму для множеств подобъектов и будем писать а ? As, b'? B's
и т. д. Для доказательства (i) рассмотрим такой подобъект с ? Cs,
что ?„? = 0 (или, более коротко, возьмем подобъект с, переходя-
переходящий в 0 из C's). Пусть с переходит в d из Ds. Тогда с и, значит, d
переходят в 0 из D's; поскольку отображение ©s инъективно, d = 0.
В силу точности существует подобъект Ъ, который отображается
в с; этот подобъект Ъ переходит в V 6 B's. И Ъ', и с отображаются
в 0 из C's, поэтому ввиду точности существует подобъект а' пере-
§ 3. Диаграммный поиск
463
ходящий в Ь'. Поскольку |s сюръективно, существует подобъект а,
который отображается в а' и, значит, в Ь'. Пусть а отображается
в bt из Bs. Но Ь и bi из Bs имеют один и тот же образ в B's; посколь-
поскольку отображение tjs инъективно, b = 64. Теперь а отображается
в 6, а затем в подобъект с, который оказывается равным нулю
в силу точности последовательности А -+-В -*С. Мы показали,
что Kernel ?s = 0; по теореме 2.2 (iii) t, — мономорфизм.
Это доказательство свойства (i) представляет полную анало-
аналогию поиску элементов в диаграмме модулей. Двойственное дока-
доказательство, использующее факторобъекты, дает (ii).
Существует доказательство свойства (ii) с помощью подобъек-
подобъектов. Если дан подобъект Ь' 6 Bs, то простой поиск дает подобъект
b 6 Bs с тем же образом в С;, что и для Ь'\ таким образом, yj^Jo =
= ysb'. Оперируя с элементами, мы могли бы образовать раз-
разность r\sb — b', лежащую в Кег ф. Вместо этого напишем b =
= im p, V = im p'; • тогда im (<pi]p) = im (<pp'). По предложе-
предложению 2.1 существуют такие эпиморфизмы аь ст2, что qn^Poi = <pp'a2
и, следовательно, q>s im (пРс! — Р'^г) = 0. Точность в Б' и эпи-
эпиморфность I дают новый элемент b\ = im pt 6 Bs, который отобра-
отображается в im (nptfi — Р'02) 6 B's. По предложению 2.1 имеются
такие эпиморфизмы а3, ст4, что "nPidg = "Прог^ — Р0^; поэтому
равенство
V = im (p'or2a4) = r\s (im (fiatak - р^в))
показывает, что b'?r\sBs, так что г\ ^-эпиморфизм. Мы показали,
каким образом предложение 2.1 может быть использовано для
«вычитания» двух подобъектов с общим образом так, как если бы
они были элементами модуля.
Из слабой леммы о четырех гомоморфизмах также вытекает
лемма о пяти гомоморфизмах (лемма 1.3.3). Напомним, что запись
х || а означает, что (х, а) — короткая точная последовательность.
Лемма 3.2. Cx3 лемма.) В абелевой категории в любой
3x3 коммутативной диаграмме, в которой все три столбца
и последние две строки являются короткими точными последова-
последовательностями, первая строка является короткой точной последо-
последовательностью.
Мы докажем несколько больше. Назовем последовательность
(а, р) : А ->• В ->• С точной слева, если точна последовательность
0' -*¦ А -*¦ В ->С (т. е. точна в Л и в В). Таким образом, точность
слева пары (а, р) означает, что a ? ker p.
Лемма 3.3. (Уточненная 3x3 лемма.) Если в 3x3 ком-
коммутативной диаграмме все три столбца и последние две строки
точны слева, то и первая строка точна слева. Если дополнительно
464
Гл. XII. Производные функторы
§ 3. Диаграммный поиск
465
первый столбец и средняя строка являются короткими точными
последовательностями, то и первая строка является короткой
точной последовательностью.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму (нули наверху
и сбоку опущены)
I
A -
\
i
* В ->
i
i
С
I
По условию А' -*-В — мономорфизм, имеющий а : А' -*¦ В' пра-
правым множителем, следовательно, а — мономорфизм. Поскольку
произведение Л'->-С'->-С равно нулю и С -»¦ С — мономор-
мономорфизм, Ра = 0. Для доказательства точности в В' выберем подобъект
Ь' 6 В'з, имеющий образ 0 в C's, и пусть Ь' отображается в Ь из Bs.
Тогда Ь' и Ь отображаются в 0 из Са; ввиду точности слева строки
в В существует подобъект а, который отображается в Ь. Но тогда a
отображается в 0 из В"а и, значит, в 0 из А"а. В силу точности слева
первого столбца существует подобъект а', который отображается
в а. Теперь и ааа', и Ъ' имеют один и тот же образ в Bs; поскольку
В' -*¦ В — мономорфизм, asa' = b'. Этим показана точность строки
в В'. Вновь доказательство подобно поиску элементов.
Теперь сделаем дополнительные предположения и используем
диаграмму соответствующих множеств факторобъектов, в кото-
которой все отображения изменяют направление. Для того чтобы дока-
доказать, что р — эпиморфизм, по теореме 2.3 (ш) рассмотрим фактор-
объект с' 6 С'9 с образом 0 в В'я. В силу (И) той же теоремы суще-
существует факторобъект с, который отображается в с'. Пусть с отобра-
отображается также в Ь 6 В9. Поскольку Ъ затем отображается в 0 из В'ч,
точность среднего столбца в В дает Ь" с образом Ъ. Но Ь и, значит,
Ь" переходят в 0 из А. Так как первый столбец является короткой
точной последовательностью, то Ь" переходит в нуль уже в Л".
Точность строки в В" позволяет найти с" с образом Ь". Пусть с"
отображается в с(^ (X Тогда с и ct имеют общий образ в Вч,
поэтому Ci = с ввиду точности. Исходный факторобъект с' ока-
оказывается теперь, как образ для с", равным нулю, так что Р —
эпиморфизм, что и утверждалось.
Вновь доказательство использует факторобъекты для того,
чтобы обойти вычитание. Для полноты мы присоединяем следую-
следующую лемму.
Лемма 3.4. (Симметричная 3x3 лемма.) Если в коммута-
коммутативной 3x3 диаграмме средняя строка и средний столбец являют-
являются короткими точными последовательностями, то в том случае,
когда три из оставшихся четырех строк и столбцов являются
короткими точными последовательностями, четвертая строка или
четвертый столбец также является короткой точной последова-
последовательностью.
Доказательство. Использовать двойственность и сим-
симметрию относительно строк и столбцов леммы 3.2.
Замечание. Имеется несколько других способов установления
этих и подобных лемм в абелевой категории.
Теорема представления (Любкин [I960]) утверждает, что для каждой
малой абелевой категории М существует ковариантный аддитивный функтор
Г из М в категорию абелевых групп, который является точным вложением,—
вложение означает, что разные объекты или морфизмы переходят в разные
группы или гомоморфизмы; точность означает, что последовательность точна
в М тогда и только тогда, когда ее образ при Т является точной последова-
последовательностью абелевых групп. В доказательстве Фрейда [1960] этой теоремы
изучается категория всех функторов Т, и подходящий функтор вкладывается
в свою инъективную оболочку, построенную Митчеллом [1964], следуя
методам Экмана — Шопфа. Используя эту важную теорему представления,
обычные диаграммные леммы можно перенести нз категории абелевых групп
(где они известны) в малую абелеву категорию М.
Аддитивное отношение г. А —¦*¦ В в абелевой категории можно опреде-
определить как подобъект объекта А ф В, как и в II.6. Относительно естествен-
естественного определения умножения аддитивные отношения в М образуют катего-
категорию с инволюцией г-*-/-1. Пуппе [1962] открыл эффективный метод дока-
доказательства диаграммных лемм с помощью таких отношений (которые он
называет соответствиями); кроме того, этот метод дает естественное опре-
определение связывающих гомоморфизмов для точных последовательностей ком-
комплексов в М. Пуппе нашел также характеристику категории аддитивных
отношений в М посредством такого множества аксиом, что каждая катего-
категория, удовлетворяющая этим аксиомам, является категорией аддитивных
отношений однозначно определенной абелевой категории.
УПРАЖНЕНИЯ
В первых двух упражнениях использовать механизм «вычитания»,
отмеченный в доказательстве леммы о четырех гомоморфизмах.
1. Доказать сильную лемму о четырех гомоморфизмах (лемма 1.3.2)
в абелевой категории.
2. Доказать внутреннюю 3X3 лемму: если в коммутативной 3X3
диаграмме все три столбца и первая и третья строки являются короткими
точными последовательностями, а в средней строке произведение двух нену-
ненулевых морфизмов равно нулю, то и средняя строка является короткой точ-
точной последовательностью (ср. упражнение 11.5.2).
Замечание. Неопубликованные идеи Р. Г. Суона дают метод диа-
диаграммного поиска, используя морфизмы а : Р ->- А с проективной областью
определения вместо элементов объекта А. Этот метод применим к абелевой
категории, в которой едва хватает проективных объектов в том смысле, что
для каждого ненулевого объекта А существует морфизм а : Р -*-А с проектив-
проективной областью определения Риа^О. Пусть Ар обозначает класс всех таких
морфизмов аЦ(включая нуль); каждый морфизм | : A -»-fi индуцирует отобра-
30—353
466
Гл. XII. Производные функторы
жение ip : Ар -*¦ Вр множеств с отмеченной точкой, определенное 'формулой
Ер (а) = ?а : Р -*¦ В. Указанный метод формулируется на языке этих отобра-
отображений |р и указан в следующих упражнениях 3—9.
3. Эпиморфизм т равен нулю тогда и только тогда, когда его область
значений есть 0', н двойственно.
4. Если ул = 0 и уХ = О ДЛЯ мономорфизмов х, %, то и у (х о X) = 0.
В остальных упражнениях используются упражнения 3 н 4 н диаграмм-
диаграммный поиск в абелевой категории М, в которой, как отмечалось, едва хва-
хватает проективных объектов.
5. Доказать: | : А ->¦ В — эпиморфизм тогда и только тогда, когда
ър (Ар) — Вр.
6. Доказать, что 5 : А -*¦ В — мономорфизм тогда и только тогда,
когда Kernel ?р ='0.
7. Если т)| = 0, то ker r\ = im ? тогда и только тогда, когда Kernel цр =
= Image lp.
8. Используя утверждения 5—7, доказать слабую лемму о четырех
гомоморфизмах.
9. Теми же методами Доказать 3X3 лемму.
§ 4. Собственные точные последовательности
В некоторых случаях мы имеем дело со специальным классом
точных последовательностей в абелевой категории и с соответ-
соответствующим функтором Ext; например, в категории модулей над
К-алгеброй Л функтор Ех{<л, ю использует те точные последова-
последовательности Л-модулей, которые расщепляются как последова-
последовательности К-модулей.
Другой пример возникает в категории абелевых групп. Гово-
Говорят, что абелева группы А является сервантной подгруппой абеле-
абелевой группы В, если из а — mb для некоторого целого числа т
следует а = та' для некоторого элемента а' ? А, т. е. тА =
= тВ о А. Эквивалентно, подгруппа А сервантна в В в том
и только в том случае, когда каждый элемент с конечного порядка
из факторгруппы С = В/А имеет представитель в В того же
самого порядка. Через Ext/ (С, А) мы обозначим множество (клас-
(классов конгруэнтности) сервантных расширений А с помощью С.
Топологические применения функтора Ext/ появились у Эйлен-
берга и Маклейна [1942], алгебраические применения — у Хар-.
рисона [1959], Нунке [1959], Фукса [1958] и Маклейна [1960].
Тот факт, что Ext/ есть бифунктор в категорию абелевых групп,
входящий в определенные точные последовательности, будет выте-
• кать из нашей последующей теории.
Пусть еР обозначает некоторый класс коротких точных после-
последовательностей в абелевой категории &\ запись хеРа означает,
что (х, а) — короткая точная последовательность, принадлежа»
§ 4. Собственные точные последовательности
467
щая еР, х ? еРт означает, что ХеРа для некоторого а и а 6 &е
означает, что х^а для некоторого х. Назовем ^ собственным
классом (и любой из его элементов — собственной короткой точной
последовательностью), если он удовлетворяет следующим само-
самодвойственным аксиомам:
(Р-1) если хсРа, то любая изоморфная короткая точная
последовательность принадлежит &*;
(Р-2) для любых объектов А а С последовательность
А >-» А @ С -э» С собственная;
(Р-3) если произведение уХ определено и х ? &т, Я ? &т,
то хЯе^т;
(Р-3') если произведение ах определено и а 6 Фв, т 6 оРе,
то ах 6 аРе;
(Р-4) если х и Я, — мономорфизмы и хЯ б «Рт, то Я 6 &т;
(Р-4') если а и т — эпиморфизмы и ах ? Фе, то а б &е-
Эти аксиомы выполняются во всех приведенных выше приме-
примерах. Они выполняются также, если еР — класс всех Q -расщепляю-
-расщепляющихся коротких точных последовательностей относительной абе-
абелевой категории ? : & -*¦ аМ или если оР — класс всех коротких
точных последовательностей данной абелевой категории.
Отметим некоторые элементарные следствия. Из первых двух
аксиом следует, что еР — допустимый класс в смысле IX.4, так
что аР определяется классом ^т.или классом сРе. Точно так же
любой морфизм, эквивалентный справа или слева с собственным
мономорфизмом х, является собственным; если х имеет объект А
областью значений, то els x состоит из собственных мономорфиз-
мономорфизмов и называется собственным подобъектом объекта А.
По (Р-2), 0' >^ 0' © А -» А есть собственная короткая точ-
точная последовательность, и двойственно; следовательно, 1А it
О : 0' ->- А суть собственные мономорфизмы, 1А и 0 : А -+-0' —
собственные эпиморфизмы. Морфизм а : А -*~В называется соб-
собственным, если ker а и coker а собственны; как и в предложе-
предложении 1Х<4.1, это условие эквивалентно условию, что im а и coim а
собственны. Для любой эквивалентности Э, ker 6 и coker Э соб-
собственны, поэтому Э — собственный морфизм и принадлежит одно-
одновременно аРт И еРе.
Предложение 4.1. Прямая сумма двух собственных
коротких точных последовательностей является собственной точ-
точной последовательностью.
Доказательство. Прямая сумма морфизмов аг : At ->
-*• Bt — это морфизм
cit © а2 = цеця! + 12а2я2: Л,©Л2—> Bt@B2, D.1)
30*
468
Гл. XII. Производные функторы
где я* : At © Аг ->-Аг и ij : Bj ->Bi © В2- Если х || а и Я || т,
то легко доказать, что (х 0 Я) || (а © т). Следовательно, доста-
достаточно показать, что из х, Я ? а^т следует и © Я ? еРт. Поскольку
х © Я = (х © 1) A © Я), в силу (Р-3) достаточно доказать, что
^ © 1 € «Рт- Таким образом, мы хотим доказать для каждого D,
что если (х, а) : Л >> В -» С — собственная точная последователь-
последовательность, то и (х © 1, o'):.<4©D>4?©D-»C — собственная
точная последовательность. Здесь а' = on, где я : В © D -*- В —
проекция прямой суммы, которая в силу (Р-2) собственна. Сле-
а' = an — собственный по (Р-3')(
5 1 ? ker а' — собственный, что и тре-
довательно, эпиморфизм
и поэтому мономорфизм х
бовалось доказать.
Две собственные короткие точные последовательности Е =
= (х, а) и Е' = (х', а') от Л к С называются конгруэнтными,
если существует такой морфизм 6, что 0х = х', а'6 = а. Ввиду
короткой леммы о пяти гомоморфизмах любой такой морфизм Э
необходимо есть эквивалентность.
Предложение 4.2. Если собственная короткая точная
последовательность ? = (х, а) : Л >» В -» С расщепляется мор-
физмом а: С ->В, аа = 1С, то а— собственный мономорфизм,
и последовательность Е конгруэнтна прямой сумме. Обратно, лю-
любая последовательность, конгруэнтная прямой сумме, расщепляется.
Доказательство. Поскольку а A — аа) =0, 1 — аст
проходит через х ? ker а, 1 — аа = хр и ра = 0, рх = 1А.
Результирующая диаграмма А ;± В ±; С может быть сравнена
с диаграммой прямой суммы с помощью обычной эквивалентности
6 : А © С ->?, где а = 0i2 и i2 — вложение С -+А © С. Далее,
Q — эквивалентность и, значит, собственный морфизм. Поэтому
чх = 0i2 — произведение собственных мономорфизмов и, следова-
следовательно, собственный мономорфизм. Доказательство обратного
утверждения еще проще.
Для любых объектов С и Л, Ext^o (С, А) теперь определяется
как множество всех классов конгруэнтности собственных корот-
коротких точных последовательностей Е: А >-» В -» С; по аксиоме IX. 1
о множестве расширений мы можем рассматривать Ext^o как мно-
множество. Теперь покажем, что Ехф имеет все формальные свой-
свойства, установленные для ExtR, где R — кольцо.
Теорема 4.3. Для каждого собственного класса аГ1 коротких
точных последовательностей абелевой категории, fr, Ext^o (С, А)
является бифунктором, определенным в категории &. Сложение
Ei + Ег = VA (Ei © ?2) Ас превращает его в бифунктор в кате-
категорию абемеых групп.
§ 4. Собственные точные последовательности
469
Доказательство подобно доказательству для R-модулей. Су-
Существенный шаг состоит в доказательстве того, что Ext^.
контравариантный функтор аргумента С; как и в лемме III. 1.2,
мы должны построить для каждой собственной последовательно-
последовательности Е и каждого морфизма у: С ->С из & однозначно определен-
определенную коммутативную диаграмму
Е' :0
?:0
A^B-^C
о
о
D.2)
с первой строкой Е' — собственной точной последовательностью
(здесь 0 обозначает нулевой объект 0'). Сначала построим правый
квадрат при помощи конструкции теоремы 1.1. По теореме 1.2
а' — эпиморфизм. Построим второй квадрат
А ¦
1"
В -
С
с.
Свойство коуниверсальности первого квадрата определяет мор-
морфизм у.': A ^>-D, для которого рх' = х и а'х' = 0. Диаграм-
Диаграмма D.2) теперь построена и коммутативна.
Для доказательства точности Е' рассмотрим произвольный
морфизм I, для которого а'\ = 0. Значит, apg = уо'% — 0, поэтому
р? проходит через х ? ker а, Р? = ха = Рх'а для некоторого а.
Но а'| = 0 = а'х'а, поэтому коуниверсальность D для морфизмов
? и х'а с областью значений D показывает, что ? = х'а. Поскольку
любой морфизм |, для которого а'\ = 0, проходит через х' и по-
поскольку а'х' = 0, х' ? ker а'.
В доказательстве собственности Е' используется прямая сум-
сумма. По построению коуниверсального квадрата D, р и а' опре-
определяются точной слева последовательностью
Морфизм v может не быть собственным, однако
vx' = (цЯ! + 12я2) vx' = црх' + i2a'x' = цх.
По аксиоме (Р-2), ц 6 &т', теперь аксиома (Р-4) показывает,
что х' ? аГ'т и, таким образом, последовательность Е' собственна.
Из коуниверсальности квадрата в D теперь вытекает, что мор-
морфизм A, р, у) :?'->•? собственных коротких точных последователь-
последовательностей коуниверсален относительно морфизмов (d, рь уд : ?i -*¦ Е
в точном соответствии с леммой II 1.1.3.
470
Гл. XII. Производные функторы
§ 4. Собственные точные последовательности
471
Теперь определим Еу как Е'. Этим задано действие справа мор-
физмов у на Е; из коуниверсальности Е' вытекает, что Ехф —
контравариаитный функтор аргумента С. Доказательство того,
что Extljo (С, Л) — ковариантный функтор аргумента Л, двой-
двойственно, и его нет нужды приводить; доказательство того, что
это бифунктор, можно дословно повторить (лемма II 1.1.6); подоб-
подобное же повторение, использующее предложение 4.1, показывает,
что Ехф (С, А) —абелева группа.
Длинная точная последовательность называется собственной,
если каждый ее морфизм собственный, n-кратная точная после-
последовательность S, начинающаяся объектом А и кончающаяся
объектом С, может быть записана (в силу стандартного раз-
разложения ее морфизмов) как произведение S = ?„ ° ... ° Ei
коротких точных последовательностей. По предложению IX.4.1
последовательность S собственна тогда и только тогда, когда каж-
каждый из ее множителей Et является собственной короткой точной
последовательностью. Назовем две n-кратные последовательности
S и S', идущие от Л к С, конгруэнтными, если вторая может быть
получена из первой конечным числом замещений Et на конгруэнт-
конгруэнтную последовательность Е\, или замещений двух последователь-
последовательных множителей по правилам (Ea)°F = E°(aF) и E°(aF) =
= (Ea)oF, где Е и F — собственные последовательности, а а —
подходящий морфизм. Теперь элементами множества Exf^, (С, А)
являются классы конгруэнтности таких n-кратных последователь-
последовательностей, причем сложение и нуль определяются, как раньше.
Свойства Extjo в точности те же, что собраны в теореме III.5.3.
Эти свойства можно переформулировать на другом языке. Гра-
Градуированная аддитивная категория § — это категория, в кото-
которой каждое множество hom^ (С, А) является теоретико-множе-
теоретико-множественным объединением семейства абелевых групп
{Ъотп (С, А), п = 0, 1, ...}, а умножение индуцирует гомоморфизм
horn (В, С) ® horn (А, Б)-»-horn (А, С) степени 0 градуированных
абелевых групп; "§ должна стать аддитивной категорией, если рас-
рассматривать только морфизмы horn0 (С, А). В частности, каждый мор-
морфизм градуированной аддитивной категории имеет степень. Теперь
рассмотрим собственную n-кратную точную последовательность S,
начинающуюся с объекта А и кончающуюся объектом С, как мор-
морфизм степени п из С в А, а обычным морфизмам из С в Л припишем
степень 0. Свойства Ext$> можно теперь собрать в следующей теореме:
Теорема 4.4. Каждый собственный класс & коротких точ-
точных последовательностей абелевой категории & определяет гра-
градуированную аддитивную категорию Шдо {&), объектами которой
являются объекты категории & и hom<g (А, В) = Ext^> {А, В);
в частности, homg {А, В) = homj^ (Л, В). Умножение в %$> опре-
определяется умножением Ионеды собственных длинных последователь
ностей и умножением гомоморфизмов и длинных последовательно-
последовательностей, а сложение определяется правилом els (St + S2) =
= els (VB(Si © S2) AA).
Если & — некоторый собственный класс коротких точных
последовательностей абелевой категории &, то конгруэнтные
собственные длинные точные последовательности S и S' также
конгруэнтны, как несобственные длинные точные последователь-
последовательности. Этим определяется естественное преобразование Ext^. (С, Л)->-
^-Extj^ (С, А) бифункторов. Предложение 4.2 утверждает,
что это преобразование есть мономорфизм при п = 1. Этого может
не быть в случае л> 1; в любом случае при наличии элемен-
элементарной конгруэнции (Ea)°F = E°(aF) в ¦#•; из того, что после-
последовательность aF собственная, не следует собственность после-
последовательности F.
Замечание. Идея систематического изучения точных последова-
последовательностей /^-модулей, которые S-расщепляются, принадлежит Хохшильду
[1956], а некоторые указания имеются у Картана и Эйленберга [1956].
Гомологические аспекты в случае сервантных расширений абелевых групп
были замечены Харрисоном ([1959] и в неопубликованной рукописи). Воз-
Возможные аксиомы для собственных точных последовательностей были сфор-
сформулированы Буксбаумом [1959, 1960], Хеллером [1958] и Ионедой [1960].
Наши аксиомы эквивалентны аксиомам Буксбаума. Батлер и Хоррокс
[1961] рассмотрели взаимоотношения нескольких собственных классов
в одной и той же категории; вместо собственного класса 3й они рассмотрели
подфунктор Ext^o С Ext1. Функторы Ext для категории <М — Morph (M)
морфизмов категории Ж, как оказалось, имеют тесную связь с функторами
Ext в категории М (Маклейн [1960b]).
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Буксбаум.) Показать, что аксиому (Р-2) можно заменить требо-
требованием, что из ajj = \g, следует р ? !Рт.
2. (Хеллер.) Если х 6 $>т и ха — собственный морфнзм, то морфизм а
собственный.
3. Построить пример двух сервантных подгрупп в Z4 ф 2ч. показы-
показывающий, что из х, X 6 8>т не следует, вообще говоря, х + X 6 #т.
4. Построить пример несервантного расширения F абелевых групп
и такой гомоморфизм а, чтобы расширение aF было сервантным.
5. Пересечение ^ п 3"' двух собственных классов коротких точных
последовательностей является собственным классом.
472
Гл. XII. Производные функторы
§ 5. Ext без проективных объектов
473
6. (Харрисон.) Если S — фиксированный модуль, то показать, что '
класс всех коротких точных последовательностей А >-» В -» С, для которых ...
Horn (S, В) -*¦ Нот (S, С) — эпиморфизм, является собственным классом.
§ 5. Ext без проективных объектов
Если категория & имеет достаточно проективных объектов
для данного собственного класса &, то каждый объект С имеет
собственную проективную резольвенту е : X -*- С. Тогда имеет '
место, как и для модулей (теорема III, 6.4), естественный изомор-
изоморфизм Ext^o (С, А) =^ Нп (Homjg (X, А)). Как и в отмеченном
случае, мы можем построить стандартную точную последователь-
последовательность для Ext^>. Вместо этого мы даем прямое доказательство,
не используя ни проективных, ни инъективных объектов.
Теорема 5.1. Если 3* — собственный класс коротких точ-
точных последовательностей абелевой категории &, Е = (%, а) : А >->
» В -» С собственная короткая точная последовательность и G —
некоторый объект, то существует точная последовательность
абелевых групп
(A, G)
в.П-1
Ext?> (C, G)
an,
(В, G) -> Ext5»,(i4. G)
отображения в которой задаются с помощью умножения; в част-
частности, Еп (els S) = (— 1)" els (S о ?).
Двойственная теорема устанавливает точность обычной длин-
длинной последовательности в том случае, когда Е замещает второй
аргумент, как в теореме II 1.9.1.
Доказательство. Немедленно проверяется, что
ап?«-1 = о, кпап = О и Еп%п = 0. Будем писать т11 \ ип» для
сокращения утверждения о точности пары (ап, у,п). Мы должны
доказать, что
?п-*|<гп, <тп|ип, хп|?\ л = 0, 1, ...; ?-х = 0.
Для п = 0 и для Е° | а1 доказательство такое же, как для моду-
модулей, с незначительными изменениями.
Чтобы показать, что а11 х1, рассмотрим последовательность
?" ? Ext^> (В, G), для которой Е'% = 0. Это означает, что после-
последовательность E'y. расщепляется, поэтому определение D.2) для
E'v. эквивалентно коммутативности диаграммы
?'х:0
Е':0-
в которой ц — мономорфизм по теореме 1.2. Кроме того,
аа' ? coker \i, так как оо'ц — аил2 = 0, если ^р, = 0 для неко-
некоторого I, то ?и' = ?|ai4 = 0, откуда | = г\а' для некоторого Т),
для которого 0 = т]ст'|л = г\у,п2. Поскольку я2 — эпиморфизм,
¦ри = 0, и значит, ц проходит через a, r\ = tp. Следовательно,
i проходит через аа', так что мономорфизм ц 6 ker (аа') собствен-
собственный ввиду (Р-3').
Для заполнения пунктирной части диаграммы используем
собственное вложение i2 : A -»-G © А, возьмем р 6 coker (jj,i2)
и а = ри'. Поскольку стсг'|дл2 = аил212 = 01А = 0, аа' проходит
через р : аа' = тр, где т — собственный эпиморфизм по (Р-4').
Теперь вместо G всюду в первой строке поставим 0, я2 заменим
на 1А и |х — на |л2. В результирующей 3x3 диаграмме собственны
точные столбцы и точны первые две строки; по 3x3 лемме третья
строка точна и собственна, поскольку эпиморфизм т собственный.
Следовательно, эта строка есть Ео G Ext^o (С, G); диаграмма
утверждает, что Еоа = ?'. Значит, а1 [ х1.
Лемма 5.2. Если кп \ Еп для всех собственных последова-
последовательностей Е, то Еп | ап+1 и оп+1 \ %п^.
В доказательстве мы опустим символ аГ1 в Ext^o и будем запи-
записывать как иЕ и аЕ два ненулевых морфизма короткой точной после-
последовательности Е = (кЕ, аЕ)- Они дают удобные конгруэнтности
(предложение II 1.1.7)
%ЕЕ = 0, ЕаЕ = 0.
Сначала предположим, что an+1S = 0 для последовательности
S ?? Extn+1 (С, G). Запишем S как произведение S = Т о F,
где Т ?6 Extn. Следовательно, 0 = So = T (Fa); по предпо-
предположению (Е заменяется на Fa) имеется такая последователь-
последовательность U ? Extn, что Т = Uy.F0, значит, S = U (xFCT^)- Но-
(y.paF) a = x,Fa (Fa) = 0, поэтому доказанное ранее утверждение
?о | о1 устанавливает наличие морфизма а, для которого %F<3 F ~
= а?. Таким образом, S = U (x.FaF) == (Ua) E = ± Еп (Ua), что
и требовалось установить.
474
Гл. XII. Производные функторы
Затем мы хотим доказать, что всякую последовательность
S 66 Extn+1 (В, G), для которой Sx = 0, можно представить в виде
S = Va для некоторой последовательности V 66 Extn+1. Дока-
Доказательство проводится аналогично предыдущему с использова-
использованием а11 и1 вместо Е° \ а1.
Доказательство теперь сводится к установлению соотношения
х" | Еп для всех п > 1.
Рассмотрим случай у.1 [Е1; утверждается, что если FE = 0 для
последовательности F 66 Ext1 (A, G), то F = F'%E для неко-
некоторой последовательности F'. Чтобы разобрать этот случай, мы
должны вникнуть в миогоступенное определение отношения кон-
конгруэнтности FE = 0. В действительности мы докажем несколько
больше.
Лемма 5.3. Если F 6 Ext1 {A, G) и ? 6 Ext1 (С, Л), то
следующие три свойства эквивалентны:
(i) F = F'%E для некоторой последовательности F' 6 Ext1;
(ii) E == aF E' для некоторой последовательности Е' 6 Ext1;
(Hi) FE s 0.
Чтобы доказать, что из (i) следует (ii), запишем коммутативную
диаграмму для морфизма F-+-F', определяющего F'%E, в виде
F:0
о
F':0
• in
i Jo
У У
с=с
с последним столбцом Е. Здесь у, — мономорфизм в силу построе-
построения коуниверсального квадрата для F'ke. Вставим оЕ а' вместо
пунктирной стрелки. Этот морфизм является собственным эпимор-
эпиморфизмом и принадлежит coker \i, что доказывается так же, как и для
оа' в предыдущей диаграмме. Средний столбец является теперь
собственной короткой точной последовательностью Е', и построен-
построенная диаграмма утверждает, что oFE' = Е, что и требовалось дока-
доказать. Доказательство обратного утверждения двойственно прове-
проведенному.
Из условий леммы следует, что произведение FE 66 Ext2 (С, G)
определено, и из (i) вытекает, что FE == (F'ke) Е = F' (кЕ Е) =
== F = 0, т. е. (iii). Двойственным образом из (ii) следует (ш).
При доказательстве обратного будем обозначать символом F ф Е
свойство F и Е, сформулированное в эквивалентных утверждениях
О) и (ii). Теперь нуль группы Ext2 (С, G) имеет разложение
S 5. Ext без проективных объектов
475
0 = F0E0, где
и Fo ф ?0, поскольку f 0 = xe0F', где f : G « G © С -* С. Пред-
Предположим, что FE = 0, как в (iii); эта конгруэнция получена конеч-
конечным числом k применений закона ассоциативности F' {уЕ') =
S3 (F'y) Е' к равенству F0?o = 0. Мы теперь покажем, что F ф ?,
индукцией по числу Л таких применений. Поскольку Fo ф ?0,
нам необходимо только показать, что из Fy ф ?' следует
^ф7?', и обратно ввиду двойственности. Теперь по (ii), Fy^feE'
означает, что ?' = oF^E" для некоторой последовательности ?".
Диаграмма, определяющая Fy
дает y°.fy = °^Р Для некоторого р. Следовательно, уЕ' =
5= (уору) Е" = (Ту (Р?"); по (ii) это означает, что F ф v^'- В дока-
доказательстве обратного утверждения используется (i) вместо (ii)
для отношения ф. Мы закончили доказательство того, что из (iii)
следует (i) и (ii).
Лемма 5.4. Условие {ii) леммы 5.3 эквивалентно условию:
(ii') для некоторого морфизма а и некоторой последовательности
Е', Fa == 0 и Е == аЕ'.
Доказательство. Поскольку FaF = 0, из (ii) следует
(ii'). Для доказательства обратного запишем F в виде 6 » D -э> А.
Для некоторого объекта L двойственная последовательность, инду-
индуцированная F, начинается членами
0 -> hom (L, G) -^ hom (L,D)-> hom (L, Л) •
(L, 0);
мы уже знаем, что эта часть последовательности точна. Значит,
если Fa = 0 и о : L->.A, то a = огРР для некоторого р : L ->D.
Таким образом, если выполнено условие (ii'), мы получаем,
что Е == a?" =s Сту(р?"), т. е. условие (ii) леммы.
Эти леммы являются первым шагом индуктивного доказатель-
доказательства следующего утверждения:
Лемма 5.5. Если п > 0, S 6 6 Extn (Л, G) и Е 6 Ext1 (С, Л),
/по следующие три свойства эквивалентны:
([) для некоторой последовательности S' 6 6 Extn, S = S'ke;
(ii) Зля некоторого морфизма а и некоторой последовательности
Е', Sa = 0 и Е s a?';
(iii) S? = 0.
476
Гл. XII. Производные функторы
Импликация (iii) =ф (i) покажет, что хп\Еп, и закончит дока-
доказательство теоремы.
Для доказательства того, что из (i) следует (ii), запишем S'
как произведение TF', гдеТ7' 6 Ext1. Отсюда S s= S'ke = T (F'%E).
Применим лемму 5.3 к F == Px^ и ?; она устанавливает, что
Е =з aF E' и Say = T {FaF) == 0, что и совпадает с (ii).
Для доказательства того, что из (ii) следует (i), используем
индуктивное предположение. Если Е = a E' и Sa = О, то запи-
запишем S как произведение TF, где Т ? 6 Ext™-1. Тогда Т (Fa) = О,
так что по индукции (из (iii) следует (i)) существует такая после-
последовательность 7" ? 6 Ext"-1, что Т = 7"ир.а. Таким образом,
S = TF =T (%FaF) и (xjraF) a = %Fa (Fa) = О, так что
(y-Fa F) E = 0. По лемме 5.3 (из (iii) следует (i)), %FaF = F'%E
для некоторой последовательности F', откуда S s= (T'F1) кЕг
т. е. свойство (i).
И из (i), и из (ii) следует (iii); пусть в доказательстве обратных
импликации S ф ? снова обозначает отношение между S и ?,
устанавливаемое эквивалентными утверждениями (i) и (ii). Тогда
из SE = 0 следует S ф ?, что устанавливается индукцией по
числу шагов в конгруэнции SE = 0 в точности так же, как в дока-
доказательстве леммы 5.3.
Заметим, что условие (ii) из этой леммы можно интерпретировать,
сказав, что конгруэнцию SE == 0 можно установить с помощью
одной ассоциативности SE = S (аЕ') = (Sa) E', включающей Е,
а остальные ассоциативности все применяются внутри Sa.
Замечание. Доказанная теорема была установлена Буксбаумом
[1959]; обработка доказательства, приведенного в тексте, целиком принад-
принадлежит Стефану Шануэлю (не опубликовано).
§ 6. Категория коротких точных последовательностей
Пусть аГ> — собственный класс коротких точных последователь-
последовательностей абелевои категории А. Построим категорию Ses^o (&) (сокра-
(сокращение слов «короткая точная последовательность из #»):
Объекты — все собственные короткие точные последова-
последовательности Е = (к, а) из #,
Морфизмы Г :?->¦?" — все тройки Г = (а, р, у) морфиз-
мов из &, которые порождают коммутативную диаграмму
?:0
о
?':0
0.
§ 6. Категория коротких тонных последовательностей 477
ocajd (.#•) является аддитивной категорией относительно определен-
определенных очевидным образом умножения и сложения морфизмов. Однако
Ses^o (&) не есть абелева категория. Чтобы убедиться в этом, заме-
заметим, что для морфизма (а, р, у) с а = р = 0 необходимо у = 0, так
как уа — о'р = а'О = 0, откуда у = 0, поскольку а — эпимор-
эпиморфизм. Правило умножения (а, р, у) (а', р', у') = (аа', рр', уу')
показывает, что если аир — мономорфизмы в #-, то (а, р, у) —
мономорфизм в Ses^. (&). Двойственно, если р и у—эпиморфизмы
в &, то (а, Р, у) —эпиморфизм в Ses^. (#). Для нулевого объекта 0'
и некоторого объекта G Ф 0' из #• построим морфизм Г = @, 1, 0):
0 -* 0' ->G~>G -^0
1° I1 1°
коротких точных последовательностей. Поскольку 0 и 1 — моно-
мономорфизмы, Г — мономорфизм; поскольку 1 и 0 — эпиморфизмы,
Г — эпиморфизм. Однако Г не является эквивалентностью, как
должно было бы быть в абелевои категории.
Причину этого явления нетрудно заметить. Если мы возьмем
«почленное» ядро этого морфизма Г, мы получим короткую после-
последовательность 0' -> 0' -> G, которая не точна; то же самое справед-
справедливо и для «почленного» коядра G -»»0' ->¦ 0'. Действительно
Ker-Coker-последовательность леммы 11.5.2 показывает, что эти
две последовательности нужно соединить вместе морфизмом
1G : G -*G, чтобы получить точную последовательность. (Исполь-
(Используя аддитивные отношения, можно получить ker-coker-последо-
вательность в любой абелевои категории.)
Вложим категорию Ses^o (&) в следующую категорию"^0 (&):
Объекты — все диаграммы D : А -> ? -> С из & (точность
не требуется);
Морфизмы Г : D -+D' — все тройки Г = (a, P, у) морфиз-
морфизмов из $% которые порождают коммутативную 2x3 диа-
диаграмму, подобную приведенной выше.
Поскольку & (&) — категория диаграмм в абелевои категории,
она является абелевои категорией; кроме того, морфизм (а, р, у)
тогда и только тогда является эпиморфизмом в ff (#), когда
а, р, у — эпиморфизмы в #, тоже и для мономорфизмов.
Короткая точная последовательность D'^D-^D" из <Г '^ч
478
Гл. XII. Производные функторы
соответствует коммутативной 3x3 диаграмме
D': А' -> В' -> С
У V
1 1 1
jy-.A"
В"
в категории #, столбцы которой точны в &. Назовем последова-
последовательность D' >>D -»D" допустимой в tf (&), если все строки
и столбцы в этой диаграмме являются собственными короткими
точными последовательностями в &. Тем самым определен допу-
допустимый класс коротких точных последовательностей в tf {&)
в смысле IX.4 и, значит, определены допустимые морфизмы кате-
категории ^ (#)
Предложение 6.1. Морфизм Г = (а, Р, у) :D -*¦ D" из
of (#") тогда и только тогда является допустимым эпиморфизмом
(допустимым мономорфизмом) в tf (&), когда D и ГУ— собствен-
собственные короткие точные последовательности категории &, а а, р, у —
собственные эпиморфизмы в & (соответственно собственные
мономорфизмы в &).
Доказательство. Условие, очевидно, необходимо.
Обратно, если а, р и у — собственные эпиморфизмы, то построим
3x3 диаграмму со второй и третьей строками D и D" и с первой
строкой, состоящей из ядер а, р, у и морфизмов, индуцированных
морфизмами последовательности D. По 3x3 лемме первая строка
точна; по аксиоме (Р-4) первая строка собственна. Следова-
Следовательно, все строки и столбцы — собственные точные последова-
последовательности, так что Г — допустимый эпиморфизм.
Теперь «собственные» проективные объекты определяются как
«допустимые» проективные объекты (IX.4). Если дан собственный
класс еР, то объект Р из & называется собственным проективным
объектом для оР, если он имеет обычные свойства по отношению
к собственным эпиморфизмам, т. е, если каждый собственный эпи-
эпиморфизм а : В -» С индуцирует эпиморфизм Нот (Р, В) ->-
->-Нот (Р, С). Мы будем говорить, что имеется достаточно соб-
собственных проективных объектов, если для каждого объекта А
существует собственный эпиморфизм т : Р -» А, где Р — соб-
собственный проективный объект.
Теорема 6.2. Если Р и Q — собственные проективные
объекты абелевой категории &, то F : Р ->~Р @ Q -*-Q — допу^
стимый проективный объект в <Sf (&)
§ 6. Категория коротких точных последовательностей 479
Доказательство. Если дана любая коммутативная
диаграмма в
О
с точными строками и если Г — допустимый эпиморфизм, то мы
должны найти такой морфизм Z' : F -*- Е первой строки в третью,
что TZ' = Z : F ->-?". По предложению 6.1, а, Р и у — собственные
эпиморфизмы, значит, уа — собственный эпиморфизм. Поскольку
Р и Q — собственные проективные объекты из &, | можно пред-
представить в виде а?' = |, где 1' : Р -*-Л, a ? можно представить
в виде уоа> = Z, где со : Q ->-В. Возьмем i2 : Q -*• Р ® Q. Тогда
о' (рш —тц2) = уоа> — ?я21г = I — ? = 0, поэтому рю —T|i2 про-
проходит через и' ? ker а': Рш —r\i2 = и'со' для некоторого со' : Q ->•
-*- А'. Поскольку а — собственный эпиморфизм и Q собственный
проективный объект в &, со' представляется как сгф = со', где
я|> :Q-+A, и
Рсо — T]i2 = и'сгф = Р>о|).
Определим морфизмы т|': Р 0 Q -*-В и S' '• Q ->С, используя
V = xl'jit + (со — кЦ) я2, I' = асо.
Тогда Z' = (|', т)', ?') : F -»- ? — требуемый морфизм.
Мы теперь покажем, что имеется достаточно допустимых проек-
проективных объектов, не для всех объектов категории & (&¦), а для
объектов категории Ses^o (A) cz oP (&).
Теорема 6.3. Если абелееа категория .#• имеет достаточно
собственных проективных объектов, то для каждой собственной
короткой точной последовательности Е:А»В-ъСиз& суще-
существует допустимый проективный объект F и допустимый эпи-
эпиморфизм Z — (I, г\, ?) : F ->-? категории # (&).
Мы будем строить F в форме, указанной в теореме 6.2. Поскольку
в Л- достаточно собственных проективных объектов, мы можем
найти собственные проективные объекты Р и Q и собственные
эпиморфизмы |:Р^-Л, co:Q-*-B. Произведение ? = am : Q-> С
является собственным эпиморфизмом, а морфизм г\ = и^л4 +
+ юя2 : Р ® Q -*" В порождает морфизм Z = (?, т), ?) : F -> ?.
Но поскольку | и ? — эпиморфизмы, по короткой лемме о пяти
480
Гл. XII. Производные функторы
гомоморфизмах г\ — эпиморфизм. Следовательно, Z — допустимый
эпиморфизм по предложению 6.1, если только г\—собственный
эпиморфизм. Но т] определяется морфизмами тщ = и?-, T]i2 = «,
поэтому его можно записать как произведение
Оба множителя ? © ш и VB (х © 1) — собственные эпиморфизмы;
шторой множитель потому, что он эквивалентен (собственной) проек-
проекции я2 прямой суммы, как показывает диаграмма
В
В.
в которой ф и я|) — автоморфизмы прямой суммы А © В, опреде-
определенные равенствами
Л1ф11=1, Я!ф12=0, Я2фЦ=—И, Я2ф12=1,
Ц = 1, Я!1(I2 = 0, n2ij)li = И, Я2Я|I2 = 1
«{на элементах ф (а, Ь) — (а, & — иа), я|) (а, Ь) = (а, Ь + ха).
Доказательство закончено.
Эта теорема позволяет построить допустимые проективные
¦резольвенты.
Теорема 6.4. Пусть аГ> — собственный класс коротких точ-
точных последовательностей абелевой категории &. Для каждой соб-
собственной короткой точной последовательности Е из & существует
допустимая проективная резольвента е : К ~>-Е, в <!f ($-), пред-
представленная коммутативной диаграммой
Xn —> Хп
1 1
I 1
_ у y
1
I"
Yo
A ¦
i
0
о
F.1)
•в &; каждая строка этой диаграммы является собственной проек-
проективной резольвентой в &, каждый столбец К — собственной корот-
короткой точной последовательностью {собственных проективных объек-
объектов) из А и каждый объект Wn = Хп © Yn.
Доказательство. Теорема 6.3 позволяет построить
е : К ~*-Е рекурсивно, причем каждый столбец Кп является допус-
допустимым проективным объектом в а? (&) вида F из теоремы 6.2.
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
481
Значит, Кп — собственная короткая точная последовательность
Хп >-» Wn -» Yn собственных проективных объектов Хп, Wn, Yn
и Wn — Хп © Yn. Каждый морфизм д: Кп -^Kn-i и е : Ко ~*"Е
являются допустимыми морфизмами категории & (^-),. поэтому
строки диаграммы точны и собственны в $-. Заметим, что К можно
рассматривать или как комплекс коротких точных последователь-
последовательностей, или как короткую точную последовательность X >* W -э» Y
комплексов из &. Заметим также, что хотя последовательность
X >» W -^ У расщепляется как последовательность градуирован-
градуированных объектов, она может не расщепляться как последователь-
последовательность комплексов (= градуированных объектов с дифференциа-
дифференциалом д).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если <М — категория всех левых /^-модулей, то показать, что каж-
каждый мономорфизм в Ses (аМ) имеет коядро в Ses (<M) и двойственно. (Исполь-
(Использовать Ker-coker-последовательность.)
2. Морфнзм Г = (а, р, у): D-+D' допустим в аР (М) тогда н только
тогда, когда D и D' — собственные короткие точные последовательности
из Мч н индуцированное отображение кег р -*¦ ker y является собственным
эпиморфизмом в М (или, двойственно, индуцированное отображение
сокег а -»- сокег Р является собственным мономорфизмом в М).
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
При систематическом исследовании функторов Т: & -> М
в этом и следующих параграфах (§ 7—9) будет предполагаться, что
(i) & — абелева категория;
(п) & — собственный класс коротких точных последователь-
последовательностей в &;
(iii) M — отмеченная абелева категория (IX.2).
При таком подходе одновременно включается и относительная
гомомологическая алгебра (например, если &Г1 — класс подходя-
подходящих расщепляющихся точных последовательностей), и «абсолютная»
гомологическая алгебра, для которой в качестве 3> берется класс
всех коротких точных последовательностей в А. В М мы исполь-
используем класс всех коротких точных последовательностей. Для при-
приложений в качестве М можно взять категорию всех модулей над
некоторым кольцом или над алгеброй..
Аддитивный функтор Т-.Ф-^-М — это такой функтор (кова
риантный или контравариантный), то Т (а + р) = 7" (а) + Т ф)
всякий раз, как определена сумма а + р. Из этого условия сле-
следует, что Т @) = 0, Т (—а) = — Т (а) и Т (А © В) ^ Т (Л) ©
© Т (В). Начиная с этого места, мы будем считать, что все функ-
функторы аддитивны.
31—353
482
Гл. XII, Производные функторы
Изучим действие ковариантного функтора Г на все собственные
короткие точные последовательности (х, а) : А >* В -» С 6 •#•
Назовем функтор Г
^-точным, если в J? точна каждая последовательность
О -*• Г (Л) ->• Г (В) -> Г (С) -+¦ 0;
^-точным справа, если точна каждая последовательность
^-точным слева, если точна каждая последовательность
0 -> Г (Л) -* Г (В) -* Г (С);
&-полу точным, если точна каждая последовательность
Г(Л)->Г(В)->Г(С).
Если функтор Г сР-точен, то он переводит собственные моно-
мономорфизмы в мономорфизмы, собственные эпиморфизмы в эпимор-
эпиморфизмы и собственные длинные точные последовательности в длинные
точные последовательности. Кроме того, для любого собственного
морфизма а и ^-точного функтора Г
Г (кег а) = кег (Га), Г (im а) = im (Га);
Г (сокег а) = сокег (Га), Г (coim а) = coim (Га). * ' '
Точные справа функторы могут быть описаны несколькими
эквивалентными способами. Под собственной точной справа после-
последовательностью категории & мы будем понимать последователь-
последовательность вида (а, а) : D -> В -*¦ С -> 0, точную в В и С, с собствен-
собственными морфизмами а и а.
Лемма 7.1. Ковариантный аддитивный функтор Г Ф-точен
справа тогда и только тогда, когда или
(i) Г переводит собственные точные справа последователь-
последовательности из А в точные справа последовательности в М, или
(и) Г (сокег а) = сокег (Га) для каждого собственного морфиз-
морфизма а из &.
Доказательство. Поскольку равенство coker a = a
означает, что последовательность (а, а) точна справа, условия
(i) и (и) эквивалентны, и из них следует, что функтор Г сР-точен
справа. Обратно, пусть Г сР-точен справа. Каждая собственная
точная справа последовательность D ->• В -*- С ->• 0 из А поро-
порождает две собственные короткие точные последовательности
К
X
D
0-
В-
0;
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
483
Г переводит каждую из них в точную справа последовательность
в М, так что последовательность Г (D) -+¦ Г (В) -*-Т (С) точна
справа.
Аналогично функтор Г сР-точен слева тогда и только тогда,
когда Г (кег а) = кег (Га) для собственного морфизма а.
Если Г: & -> .52 контравариантный функтор и если рассма-
рассматриваются все собственные короткие точные последовательности
Л >-> В-» С из &, то Г называется
^-точным, если точна в 31 каждая последовательность
0 -> Г (С) -* Г (В) -> Г (А) -+ 0;
cF-точным справа, если точна каждая последовательность
Г(С)->-Г(В)->Г(Л)-+0;
с^-точным слева, если точна каждая последовательность
cF-полуточным,
Т(С)-*Т(В)
если точна каждая
Т(А).
последовательность
Справедлив аналог леммы 7.1; в частности, функтор Г ^-точен
справа тогда и только тогда, когда он переводит каждую собствен-
собственную точную слева последовательность из & в точную справа после-
последовательность в М.
^-связанной парой (S, ?*, Г) ковариантных функторов назы-
называется пара функторов S, Г : А- -+-М вместе с функцией, которая
сопоставляет каждой собственной точной последовательности
Е: А >-» В -» С из & морфизм Б, : S (С) -*- Г (А) из М таким
образом, что любой морфизм (а, р, у) : ? ->?' собственных корот-
коротких точных последовательностей порождает коммутативную диа-
диаграмму
S(C) ЕЛТ{А)
в:
[Па) G.2)
S (С) А Г {А'), Я
(в отмеченной категории М). Назовем ?„ связывающим морфизмом
пары. Условие G.2) означает, что ?* — естественное преобразование
функторов аргумента Е. Это условие может быть заменено тремя
отдельными требованиями:
Если последовательность Е конгруэнтна последова-
последовательности ?", то Е^ = Е'Щ. G.2а)
Если y:C'-»C, to (?y)* = ?*Y*. Y* = s(y)- G-2b)
Если а:Л->Л\ то (аЕ), = а,Е„ а„, = Г(а). G.2с)
Действительно, из G.2) при а = 1 и y = 1 следует (а). Если
(I, p, y) •' Е ->-?', то Е'у по определению равняется Е, поэтому
31*
484
Гл. XII. Производные функторы
из G:2) следует (b). Двойственно из G.2) при у = 1 вытекает (с).
Обратно, если выполнены условия (а), (Ь) и (с) и если (а, р, у) : Е ->•
->-?', то конгруэнция а? = Е'у из предложения II 1.1.8 доказы-
доказывает справедливость G.2).
Если последовательность Ео расщепляется, то (Ео)* = 0.
В самом деле, если последовательность Ео расщепляется, то мор-
физм AА, Яь 0) отображает Ео в последовательность А >-» А -» 0.
Поскольку функтор S аддитивен, S @) = 0, так что из G.2) полу-
получаем 0 = S @) = 7 A) (Ео). = (Ео)..
Для каждой собственной последовательности Е : А >* В -» С
длинная последовательность
¦Т(С) G.3)
является комплексом в М (произведение любых двух последова-
последовательных морфизмов равно нулю) и функтором аргумента Е. Дей-
Действительно, запишем Е — (х, а); последовательности кЕ и Ео
расщепляются, поэтому 7 (х) ?„ = 0, ?»S (о) = 0 и S (a) S (х) =
= S (ах) = S @) = 0.
Например, если & — категория /^-модулей, & — класс всех
коротких точных последовательностей, то функторы S (А) =
= Torn+1 (G, Л) и 7 (Л) = Тог„ (G, Л) при фиксированных G
и п образуют связанную пару с обычным связывающим гомомор-
гомоморфизмом.
Морфизмом (/, g) : (S\ E#, 7') ->(S, Е„ 7) связанных пар
называется такая пара естественных преобразований f: S' -*•
->• S, g : 7' ->• 7 функторов, определенных в категории &, что
диаграмма
S' (С) ^1 Г (Л)
G-4)
коммутативна для каждой собственной последовательности Е.
Другими словами, морфизм (/, g) сопоставляет каждому объек-
объекту Л морфизмы / (Л) : S' (A) -+S(A),g (А) : Г (А) -> 7 (Л) кате-
категории М, которые в совокупности образуют цепное преобразова-
преобразование комплексов G.3). Эти условия на / и g можно выразить сле-
следующими равенствами:
/а#==а*/:' §E#~E*f* ёа# = а*ё* G.4a)
где а# — сокращение для S' (а) или 7'(а), а» — сокращение
для S (а) или 7 (а).
Связанная пара (S, Е„ 7) &-коуниверсальна слева, если для
каждой связанной пары E', Е#, Т') и каждого естественного
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
485
преобразования g : 7' -> 7 существует такое единственное есте-
естественное преобразование / : S' -^-S, что пара (/, g) является мор-
морфизмом связанных пар. Короче, коуниверсальность слева пары
(S, ?*, 7) означает, что если дано g, то диаграмму G.4) можно един-
единственным образом дополнить до коммутативной с помощью есте-
естественного /. Аналогично ^-коуниверсальность справа пары (S, Е^, 7) .
означает, что при заданном / существует единственное g. Точно
так же пара (S', Е#, 7') &-универсальна справа, если при заданной,,
паре (S, ?», 7) и заданном / существует единственное преобра-
преобразование g, удовлетворяющее G.4).
Если задан функтор 7, то обычным образом показывается,
что существует не более одной коуниверсальной слева пары (S,E^, 7)
с точностью до естественных эквивалентностей функтора S. Эта
пара и, выражаясь не точно, этот функтор S называются
левым сателлитом функтора 7. Отметим любопытный факт: если
(S, ?*, 7) — левый сателлит, то и (S, —?*, 7) —,левый сател-
сателлит, требуется только изменить знак у каждого морфизма ?*
и у каждого / в G.4).
Теорема 7.2. Если в категории fr достаточно собственных
проективных объектов, то эквивалентны следующие условия отно-
относительно ^-связанной пары (S, ?„, 7) ковариантных функторов:
(i) пара (S, ?„ 7) &-коуниверсальна слева;
(п) для каждой собственной короткой точной последователь-
последовательности К >* Р -» С последовательность
0->S(C)->T(K)->T(P), M, G.5)
точна слева всякий раз, когда Р — собственный проективный объект.
Поскольку имеется достаточно проективных объектов, для
каждого объекта С из fr существует собственный эпиморфизм
о: Р -» С собственно проективного объекта Р; этим путем полу-
получается собственная точная последовательность
Она является первым шагом при построении собственной проек-
проективной резольвенты объекта С; мы назовем ее короткой проектив-
проективной резольвентой.
Чтобы доказать, что из (ii) следует (i), мы должны построить
для заданного преобразования g преобразование /, указанное
в G.4). В коммутативной диаграмме для Е = Ее
S' (Р) > S' (С) —% Г (К) —^ Т (Р)
i«c> \g(K) \g(F) G.7)
0 > S (С) —-> Т (К) —^*" 7 (Р), М
486
Гл. XII. Производные функторы
первая строка является комплексом, а нижняя строка точна по
условию. Следовательно, ?„ — мономорфизм, поэтому морфизм
/ (С) определен однозначно, если вообще существует. С другой
стороны, Т (х) g (К) Е# = g (Р) Г (х) Е# = 0, так что g (К) ?#
проходит через ?, ?ker (T(x)), g (К) ?# = Е*1 для единственного
морфизма | : 5' (С) ->-5 (С). Положим / (С) — |. Этот морфизм
вставляется вместо пунктирной стрелки и делает диаграмму ком-
коммутативной.
Теперь возьмем любую собственную короткую точную после-
последовательность Е' = (х', а') : А' >* В' -» С и любой морфизм
у : С ->• С из &. В диаграмме
G.8)
из категории ¦#, Р — собственный проективный объект, так что
ее можно дополнить (теорема сравнения!) до морфизма
(а, р\ у) : Е -*•?'. Мы утверждаем, что
?;S (Y) / (9 = Я (A') E'#S' (у): 5' (С) _» Г (Л'), Л. G.9)
Действительно, а? = ?'у и в обозначениях G.4а) E'^yJ = a^Ej —
= a^fi^ = ga#?# = g?^-7#. Мы уточним этот результат G.9)
в двух направлениях.
Во-первых, пусть у : С ->• С — некоторый морфизм из &.
Возьмем в качестве Е' короткую проективную резольвенту Ее,
используемую для определения морфизма f (С), который удов-
удовлетворяет равенству g (К') ?# = E'J (С), как в G.7). Тогда
А' = К' и Е'# — мономорфизм, поэтому из G.9) получаем
•S (у) f (Q = f (Cr) S' (у). Это означает, что преобразование
/ : 5' -> S естественно. При С = С и у = 1 последнее равенство
показывает, что морфизм / (С) не зависит от выбора ?с.
Во-вторых, пусть Е' — некоторая собственная короткая точная
последовательность, оканчивающаяся объектом С = С. Возьмем
V = 1. Тогда G.9) принимает вид E'J (С) = g (А') Е#; последнее
означает, что / и g коммутируют со связывающими гомоморфизмами
и, следовательно, образуют, как в G.4), морфизм пар (S', Е#, 7") -»•
-4S, Е„ Т).
Прежде чем доказывать обратное утверждение, отметим, что
диаграмма G.7) подсказывает определение 5 (С) как ядра морфизма
Т (К) ->• Т (Р). Рассмотрим каждую собственную короткую точную
последовательность Е : А » В -» С как комплекс в^с размер-
размерностями 1, 0, —1. Тогда Т (Е) :Т (А) ->¦ Г (В) -*- Т (С) — ком-
комплекс в М; его одномерная гомология Я4 (Т (Е)) является (отме-
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
487
ченным) объектом категории М, который делает последовательность
0
G.10)
Н1(Т{Е))-^Т(А)-*Т{В), Л
точной. Каждый морфизм Г = (а, р, у): Е -*-?' собственных корот-
коротких точных последовательностей из & определяет цепное пре-
преобразование Т (Г) : Т {Е) ->7 (?') и, следовательно, индуцирует
морфизм
Я4 (Г):«!(?-(?))-> ^(Г (?')). Л,
который характеризуется равенством ц'Я4 (Г) = Т (а) ц. Кроме
того, морфизм Hi (Г) зависит только от у, Е и Е' и не зависит от
аир.
Действительно, пусть Го = (а0, р0. у) '• Е ->• Е' — любой дру-
другой морфизм с тем же у. В диаграмме
a-a.|
a' (p — ро) = О, поэтому Р — Ро = и'« ДЛЯ некоторого s : В -*-А'.
Далее, х' (а — а0) = (Р — р0) х = x'sx, поэтому, учитывая все
сказанное, sx = а — а0, x's = Р — р0- Значит, s — гомотопия
Г ~ Го. Поскольку функтор Т аддитивен, Т (s) — гомотопия
Г (Г) ~ Т (Го) iT(E)-*-T (?'). так что Hi (Г) = Я4 (Го). Теперь
существуют:
для каждого объекта С из А короткая проективная резоль-
резольвента Ее;
для каждого у : С -*• С из fr морфизм Г7 = (—, —, у) : Ее -*¦
для каждой собственной точной последовательности Е из
# морфизм АЕ = (—, —, 1) : Ее -*•?.
Лемма 7.3. ?сл« задан ковариантный функтор Т : & -*~М
и если выполнены приведенные выше условия, то равенства S (С) =
= Hi {Т {Ее)), S {у) = Hi {Ту) : S { С) -*• S (С) определяют кова-
ковариантный аддитивный функтор S : fr -*• М, а равенство
в котором ц имеет тот оке смысл, что ив G.10), определяет цепное
преобразование, превращающее пару {S, ?„, Т) в ^-связанную
пару, которая удовлетворяет условию (п) теоремы 7.2.
Доказательство. В силу замечаний о Я4 (Г) S (С)
не зависит от выбора Ее, а также 5 A) = 1. При умножении
488
Гл. XII. Производные функторы
5 (YiVz) = 5 (vO S(y2). Если Г = (a, P, y) : E ->-?' — морфизм
собственных коротких точных последовательностей, то ГЛЕ
и Ле'Г? : Ее ->•?.' имеют общий член у, поэтому преобразова-
преобразование ?„ естественно. Свойство (ii) выполняется по построению.
Этим доказано, что из (i) в теореме 7.2 следует (ii), так как любая
коуниверсальная слева пара (So, ?#, Т) должна совпадать
с построенной выше парой, а последняя удовлетворяет усло-
условию (ii). Это построение дает также теорему существования:
Теорема 7.4. Если в категории А достаточно собственных
проективных объектов, то каждый ковариантный аддитивный
функтор Т: А ->• J? имеет левый сателлит (S, ?„, Т).
Следствие 7.5. Пусть E, Е#, Т) ^-связанная пара. Если
для каждой ^-связанной пары (S', Е#, Т) с тем же функтором Т
существует такое единственное естественное преобразование
f : S' ->S, что (/, 1) : E', Е#, Т) -*(S, ?„, Т) есть морфизм
пар, то пара (S, ?*, Т) &-коуниверсальна слева.
Доказательство. Использовать условия для сравнения
пары (S, ?*, Т) с левым сателлитом функтора Т, который, как
известно, существует и коуниверсален.
Двойственной к теореме 7.2 является
Теорема 7.6. Если в категории & достаточно собственных
инъективных объектов, то ^-связанная пара (Т, ?„, S) кова-
риантных функторов &-универсальна справа тогда и только
тогда, когда каждая собственная короткая точная последователь-
последовательность
0->C->J->K->0, &,
с собственным инъективным объектом J индуцирует точную справа
последовательность
Кроме того, если дан функтор Т, то функтор S с этим свой-
свойством однозначно определен; он называется правым сателлитом
функтора Т. Таким образом, каждый функтор Т имеет левый сател-
сателлит (коуниверсальный) и правый сателлит (универсальный).
Доказательство. Двойственность обращает все стрелки
одновременно и в &, и в М, заменяет «проективные объекты» на
«инъективные», дает ?» от Т к S и оставляет функторы Г и S кова-
риантными.
сР-связанная пара (Т, Е*, S) контравариантных функторов
состоит из двух таких функторов Т, S : .& -> М и функции, которая
сопоставляет каждой собственной короткой точной последователь-
7. Связанные пары аддитивных функторов
489
ности Е : Л >-» В -» С из .# комплекс
Т{С)->Т(В)->Т(A)?t S (C)->S (B)->S (А), М,
являющийся функтором аргумента Е. Пара универсальна справа
тогда и только тогда, когда для каждого естественного преобра-
преобразования / : Т ->• 7" и каждой связанной пары (Т , ?#, S') суще-
существует единственное естественное преобразование g : 5 -*-S', кото-
которое делает пару (/, g) морфизмом связанных пар.
Теорема 7.7. При наличии достаточного числа собственных
проективных объектов контравариантная пара (Т, Е*, S) ^-уни-
^-универсальна справа тогда и только тогда, когда каждая собствен-
собственная последовательность К>* Р -** С с собственным проективным
объектом Р индуцирует точную последовательность
jT(P)->T(K)-»S(C)-»0, М.
Пример. Для фиксированного модуля D, Т (С) = Ext" (С, D),
S (С) = Ext"*1 (С, D).
Доказательство. Теорема сводится к предшествующей,
если мы заменим категорию & двойственной категорией #°р. Напом-
Напомним A.7), что категория $-ор имеет объекты А*, соответствующие
объектам Л из &, и морфизмы а*: В*-»-Л*, соответствующие
морфизмам а : Л ->¦ В из &, причем (ар)* = р*а*. Таким образом,
мономорфизмы из & становятся эпиморфизмами в $-°р, категория,
двойственная абелевой, абелева, и класс, двойственный собствен-
собственному классу сР коротких точных последовательностей из &, обра-
образует собственный класс в .#ор. Каждый ковариантный функтор
Т: А -*¦ М определяет контравариантный функтор 71*: ^-°р -*М,
Т* (Л*) = Т (А). Далее, «достаточность инъективных объектов»
становится «достаточностью проективных объектов». Все стрелки
в ^--диаграммах обращаются, в ^-диаграммах остаются без изме-
изменения, и теорема 7.6 становится теоремой 7.7.
Аналогичное замещение в теореме 7.2 показывает, что контра-
контравариантная пара (S, ?*, Т) коуниверсальна слева тогда и только
тогда, когда последовательность 0 ->• 5 (С) ->• Т (К) -*• Т (J) точна
для каждой последовательности С » J -» К- Тогда 5 есть левый
сателлит Т.
У П РАЖНЕНИЯ
1. Назовем диаграмму Ai ^i В ^ -^2 «декартовой», если она удовлет-
удовлетворяет обычным тождествам прямой суммы itjii = 1 = П212 и 4П1 + i2n2 =
= 1. Доказать, что аддитивный функтор переводит каждую декартову диа-
диаграмму в декартову и, обратно, любой функтор с этим свойством аддитивен.
490
Гл. XII. Производные функторы
2. Пусть функтор Т : М -*¦ 31, не предполагаемый аддитивным,
^-полуточен. Доказать, что он аддитивен (ср. упражнение 1 и предложе-
предложение 1.4.2).
3. Если функтор Т ковариантен и ^-точен слева, то показать, что его
левый сателлит равен нулю.
4. Если пара (S, ?*, Т) коуниверсальна слева и функтор Т ^-полуточен
и аддитивен, то доказать точность последовательности G.3) при условии,
что в М достаточно собственных проективных объектов.
5. Вывести теорему 7.6 из теоремы 7.2, заменив обе категории М и 31
двойственными.
§ 8. Связанные последовательности функторов
&<вязанная последовательность {Тп, Еп) ковариантных функ-
функторов— это последовательность (..., Тп, Еп, Тп.и Еп-и ¦ • •)
функторов Тп: А -+М, в которой каждая пара (Тп, Еп, Tn-i)
^-связана; другими словами, такая последовательность сопостав-
сопоставляет каждой собственной короткой точной последовательности Е
из & комплекс
¦> Тп (В) -> Тп (С) iS- Tn-i (А) -> • • •,
(8.1)
являющийся ковариантным функтором аргумента Е. Последова-
Последовательность положительна, если Тп — 0 при л < 0, и отрицательна,
если Тп = 0 при л > 0; в последнем случае мы обычно используем
верхние индексы.
Положительные связанные последовательности могут быть
описаны более непосредственно в терминах градуированных адди-
аддитивных категорий. Напомним (теорема 4.4), что категория & может
быть вложена в градуированную аддитивную категорию $^>($-)
с теми же объектами и с элементами из Ext^o (С, А) в качестве
морфизмов степени л из С в Л. Из категории М мы можем построить
категорию J?+ градуированных объектов из ^ с морфизмами
отрицательных степеней. Подробнее, объект Ш из J?+ — это
семейство {Rn} объектов из М с Rn — 0' при л < 0, а элемент из
homft (9v, Ж) — это морфизм ц : 9i -»- Ж степени —k, т. е. семей-
семейство морфизмов {\in : Rn -+Rn-k} из М; умножение морфизмов
определяется очевидным образом. Тогда М+ является градуирован-
градуированной аддитивной категорией. Если J2 — категория модулей над
некоторым кольцом, то М+ — категория градуированных модулей
над тем же кольцом с морфизмами отрицательных степеней.
Для градуированных категорий функторы определяются, как
обычно, но обращается дополнительное внимание на степени мор-
морфизмов. Так, если 3 и $# — градуированные аддитивные катего-
категории, то ковариантный функтор Z : § -*• $6 сопоставляет каждому
объекту G из объект % (G) из SB и каждому морфизму у : Gi-*-G2
степени d из Ъ морфизм % (у) : Z (Gt) ->• ? (G2) той же степени
из $в, причем должны выполняться обычные условия % AG) =
= 1 ?(G) и Z (Y1Y2) = Z (vi) Z (у2) всякий раз, как определено
произведение YiY2- Функтор Z аддитивен, если Z (уг + у г) =
= $ (vO + $ Gг) всякий раз, как определена сумма Vi + 7г-
Естественное преобразование /:?'->-? степени d — это функ-
функция, которая сопоставляет каждому объекту G 6 S такой морфизм
f (G) : Z' (G) ->-? (G) степени d из <#?, что
е
(-l)(degY)(degf)f(G2)?'(Y)
в
для каждого у : Gi ->-G2 из 3.
В частности, рассмотрим такие функторы из
Предложение 8.1. Существует взаимно однозначное
соответствие между ковариантными аддитивными функторами
Z : %да {&) -+-М+ и положительными ^-связанными последователь-
последовательностями {Тп, Еп) ковариантных аддитивных функторов Тп : & -*-М.
Доказательство. Пусть задан функтор Z : %<р (#-) -*•
-*"М+. Функтор Z сопоставляет каждому объекту А объект
{Тп {А)} из М+, а каждому морфизму из tga (&) — морфизм из
J2+. В частности, каждый морфизм а'.А-^А' из & является
морфизмом степени 0 в $^> (А), поэтому Z сопоставляет ему семей-
семейство морфизмов {Тп (а) : Тп (А) -*• Тп (А')} из М; эти сопостав-
сопоставления превращают каждое отображение Тп в аддитивный функтор
Тп : fr -+¦№. Далее, каждая собственная последовательность
Е : Л >-> В -» С из А является морфизмом Е : С ->• А степени 1
в категории %$> (&), поэтому Е соответствует морфизм степени 1
в .5?+, т. е. семейство морфизмов {Еп = Тп (?) : Тп (С) -*¦ Tn_i (A)}
из М. Правила умножения Z (Ду) = Z(E)Z (у) и Z (аЕ) =
= Z (a) Z (Е) показывают, что эти морфизмы Еп удовлетворяют
условиям G.2а), G.2Ь) и G.2с), при выполнении которых пара
{Тп, Еп, TVi_i) становится связанной. Таким образом, Z опре-
определяет положительную ^-связанную последовательность функто-
функторов {Тп : fr -+-М).
Обратно, каждая такая связанная последовательность функторов
определяет функции Z (А) — {Тп (А)} и Z (a), Z (Е) для мор-
морфизмов степени 0 и 1 в %$>. Теперь морфизм более высокой сте-
степени в %$> — это в точности класс конгруэнтности длинных точных
последовательностей S. Каждая такая последовательность является
произведением Ионеды коротких точных последовательностей Е,
так что функция % (Е) определяет каждый морфизм Z (S); прави-
правила G.2а), G.2Ь) и G.2с) показывают, что две конгруэнтные длинные
492
Гл. XII. Производные функторы
точные последовательности определяют один и тот же мор-
физм X E); действительно, этот морфизм X (S) является «итери-
«итерированным связывающим гомоморфизмом», определенным длинной
точной последовательностью S. Наконец, чтобы убедиться в адди-
аддитивности функтора X, мы должны доказать, что X (Е + ?") =
= ?(?) + ? (?")• Это вытекает из определения сложения Е + Е' =
= Va (Е © Е') Ас и правила (Е © Е')п а* Еп © Е'п для связы-
связывающих морфизмов, которое является следствием условия G.2)
для связанных пар.
Тем самым установлено указанное в теореме взаимно однознач-
однозначное соответствие. То же самое применимо к отображениям:
Предложение 8.2. Если. X', %-,:¦ Шдо (&) -+М+ есть два
ковариантных функтора, то естественное преобразование f :?'->-
-*¦ % степени d является семейством естественных преобразований
{fn '¦ Тп -t-Tn+a : fr -+Щ, которые коммутируют со всеми свя-
связывающими морфизмами:
Tn+d{E)fn{C) = fn-x(A)T'n(E), E:A»B-»C. (8.2)
Другими словами, для d = О, f есть цепное преобразование
комплекса (8.1) для функтора X' в такой же комплекс для X.
Ковариантный функтор X : %$> (.#) ->• М+ называется коуни-
версальным, если для каждого ковариантного функтора
X' : %да ( &-) -*• М+ и для каждого естественного преобразования
/0 : Т'о -*¦ То функторов, определенных в & на компонентах сте-
степени 0, существует единственное естественное преобразование
f :?'->-? степени 0, продолжающее /0. Другими словами, коуни-
версальная положительная связанная последовательность кова-
ковариантных функторов — это последовательность, начинающаяся
с функтора То, продолжающаяся влево и коуниверсальная для
всех таких связанных последовательностей. Значит, То однозначно
с точностью до естественного изоморфизма определяет X.
Теорема 8.3. Пусть в категории «# достаточно проектив-
проективных объектов. Ковариантный функтор X : %<р {$-) -»• J?+ коуни-
версален тогда и только тогда, когда для каждой собственной
короткой точной последовательности К>*Р-"»Сиз&-с собствен-
собственным проективным объектом Р последовательность
n.t (К) ->7Vi (P),
(8-3)
0-+Тп (С)-+
точна для каждого п > 0.
Доказательство. Если выполнено это условие и дан
некоторый функтор X': Шдо {&) -*¦ М+ вместе с некоторым есте-
естественным преобразованием f0 : Т'о->- То, то мы построим рекурсией
8. Связанные последовательности функторов
493
по п требуемые естественные преобразования fn : ТЦ-+Тп. Если
уже построены /0. • • •> /n-ь коммутирующие со связывающими
гомоморфизмами, то условие (8.3) показывает в силу теоремы 7.2,
что пара (Тп, Еп, Тп-±) коуниверсальна слева, поэтому можно
построить единственное преобразование fn'-Tn->-Tn, для кото-
которого Enfn = fn-iE'n- Следовательно, функтор X коуниверсален.
Обратно, предположим, что функтор X коуниверсален. Исходя
из То, мы построим левый сателлит Si и, продолжая, построим
каждый функтор Sn : & -*-М как левый сателлит функтора Sn-i.
Результирующая связанная последовательность удовлетворяет
условию (8.3) и, следовательно, коуниверсальна; поэтому она
должна совпадать с единственным коуниверсальным функтором X
для данного функтора То. Следовательно, любой коуниверсальный
функтор X удовлетворяет условию (8.3). Это доказательство уста-
устанавливает также теорему существования.
Теорема 8.4. Пусть в А достаточно собственных проек-
проективных объектов. Каждый ковариантный функтор То : &-*-М
является компонентой степени 0 для коуниверсального функтора
X : %g> (&) -+-3Z+, п-я компонента Тп которого есть п-й итери-
итерированный левый сателлит функтора То.
Поскольку последовательность 0 >-» Р -» Р точна для каждо-
каждого собственного проективного объекта, из условия C.3) следует
Тп(Р) = 0 для каждого п > 0. В теореме 8.3 содержится более
слабый результат.
Следствие 8.5. Если функтор X удовлетворяет условию
Тп (Р) = 0 для каждого проективного Р и для каждого n>0u если
длинная последовательность (8.1) точна для каждой собственной
точной последовательности Е из <#, то X коуниверсален.
В частности, если & —категория всех левых модулей над неко-
некоторым кольцом R и если G — фиксированный правый /?-модуль,
то теорема V.8.5 утверждает, что функторы Тп (А) = Tor" (G, А)
удовлетворяют этому условию.
Следствие 8.6. Если функтор U : М -*¦ М' точен и кова-
риантен, а {Тп, Еп} — коуниверсальная положительная связанная
последовательность, то такова же и последовательность
{UTn, UEn).
Доказательство. Поскольку Еп : Тп (С) ->• Tn-t (A)
является морфизмом из М, a U — функтор, UEn : UTn (С) -*¦
-+УТп-1 (А) является морфизмом из М'. Поскольку U сохраняет
точность, условие (8.3) для коуниверсальности выполняется.
Замечание. Если функтор U не точен, то описание левого сател-
сателлита UT0 в терминах U и То включает важную спектральную последова-
последовательность (Картан — Эйленберг XVI, §3; Гротендйк [1957], стр. 147).
494
Гл. XII. Производные функторы
Чтобы иметь дело с отрицательными связанными последова-
последовательностями
>То(С)->Т1(А)->Т1(В)-*Т1(С)-*Т*(А)-+ •••
ковариантных функторов Тп : & ->• М, мы используем градуиро-
градуированную категорию М~; ее объекты {Rn} — это семейства объек-
объектов из М, причем Rn = О при п <. 0; ее морфизмы ц степени k > 0
это семейства {ц„ : Rn -+R'n+h} морфизмов из М. Ковариантный
функтор ? : Ш$> (&) -*¦ М~ является теперь отрицательной свя-
связанной последовательностью функторов Тп : & ->~М, почти как
в предложении 8.1.
Контравариантные функторы требуют внимания к знаку. Так,
если § и SB — градуированные аддитивные категории, то контра-
вариантный функтор ? : § ->» SB сопоставляет каждому объекту
G объект ? (G) из SB и каждому морфизму у : Gi-M32 из "§ — мор-
морфизм ? (у) : ? (G2) -*$ (Gi) той же степени в SB, причем ? AС) —
= lS(G) И
? (Y1Y2) = (- l)<de«^<de««) ? ы ? Ы (8.4)
в соответствии с правилом знаков. Естественное преобразование
f :?'-»• % степени d является функцией, которая сопоставляет
каждому объекту С из § морфизм f (G) : ?' (G) -*• ? (G) сте-
степени d из SB таким образом, что
т. е., за исключением знака, обычное правило.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что условие Тп (Р) = 0 нельзя опустить в следствии 8.5:
использовать Т'п (А) = Тп (А) ф Тп_! {А).
2. Описать контраварнантвый аддитивный функтор © : %ф (М) -*¦ ^2+
как подходящую связанную последовательность функторов из М в 01.
§ 9. Производные функторы
Стандартный метод состоит в следующем: нужно взять резоль-
резольвенту, применить к ней ковариантный функтор Т: & -*• М, взять
гомологию результирующего комплекса. При этом получается
связанная последовательность функторов, называемых производ-
производными функторами функтора Г.
Подробнее, пусть в категории &¦ достаточно собственных проек-
проективных объектов. Каждый объект А имеет тогда собственную
проективную резольвенту е : X -*¦ А. Если е' : X' -*• А' есть вто-
§ 9. Производные функторы
495
рая такая резольвента, то теорема сравнения накрывает каждый
морфизм а : А -*• А' цепным преобразованием / : X ->-Х', и любые
два таких преобразования гомотопны.
Поскольку функтор Т аддитивен, он переводит гомотопии
в гомотопии, и поэтому индуцированное цепное преобразование
Т (/) : Т (X) ->» Т (X') в М определено с точностью до гомотопии.
Следовательно, формула Ln (А) = Нп (Т (X)) определяет! функ-
функцию от Л, не зависящую от выбора X, а формула L^ (a) =
= Нп (Т (f)) : Ln (A) -+Ln {А') превращает Ln в ковариантный
функтор А -+-М. Он называется п-м левым, производным функ-
функтором функтора Т.
Пусть теперь Е : А >¦» В -» С есть любая собственная корот-
короткая точная последовательность из А. Возьмем допустимую проек-
проективную резольвенту е: К -*• Е в категории коротких точных
последовательностей, описанную в теореме 6.4; эта резольвента
равносильна короткой точной последовательности X >-» W -» У
комплексов из А, где X -*-А, W -+-Bn Y -*-С — собственные проек-
проективные резольвенты; кроме того, Wn = Хп © Yn для каждого п.
Так как функтор Т аддитивен, то последнее равенство показывает,
что Т (X) >¦» Т (W) -» Т (Y) является короткой точной после-
последовательностью комплексов в М, которая дает связывающие гомо-
гомоморфизмы Нп {Т (Y)) ->-Яп_1 (Г (X)) для п> 0. Поскольку X —
резольвента Л и У — резольвента С, это есть гомоморфизм Ещ —
— Ln(E) : Ln (С) -+Ln-i {А). Общая теорема сравнения для допу-
допустимых резольвент (теорема IX.4.3) показывает его независимость
от выбора резольвенты К и показывает, что Ln {E) есть естественное
преобразование функторов аргумента Е.
Теорема 9.1. Для каждого аддитивного ковариантного
функтора Т : & -*• М левые производные функторы Ln : & -*-М
и связывающие гомоморфизмы Ln (E) образуют положительную
связанную последовательность функторов, в которой функтор
Lo &-точен справа. Эта последовательность коуниверсальна отно-
относительно начальной компоненты Lo. Если функтор Т Ф-точен
справа, то Lo = Т.
Доказательство. Если Р — собственный проективный
объект, то резольвента Р -*-Р показывает, что Ln (P) = 0 при
п > 0. Для каждой собственной точной последовательности Е
точность длинной последовательности (8.1) для Ln = Тп вытекает
из обычной длинной точной последовательности гомологии ком-
комплексов Т (Х)»Т (W) -» Т (У). В частности, функтор Lo точен
справа. Связанная последовательность {Ln, Ln (?)} удовлетворяет
условиям следствия 8.5 и, следовательно, коуииверсальна.
Предположим, что исходный функтор Т сР-точен справа. В любой
резольвенте часть Xi -*-Xo -+-А ->0 точна справа, следовательно,
496
Гл. XII. Производные функторы
точна последовательность Т (Xd) -+• Т (Хо) ->• Т (А) ->• 0. Отсюда
вытекает естественный изоморфизм Lo (А) = Но (Т (Х))^Т (А).
Эта теорема представляет интерес в случае точности справа
функтора Т. Тогда ее можно считать или характеризацией после-
последовательности левых производных функторов функтора Т как
коуниверсальной последовательности при Lo = Т, или утвержде-
утверждением о том, что левые сателлиты функтора Т и их связывающие
гомоморфизмы могут быть вычислены с помощью резольвент.
Чтобы получить определенный производный функтор Z^, нужно
выбрать резольвенту X для каждого объекта А. Такое широкое
использование аксиомы выбора законно в малых категориях &
и возможно во всех тех примерах категорий, в которых имеется
канонический способ выбора проективной резольвенты. Если кате-
категория М, являющаяся областью значений, не есть категория моду-
модулей, а является произвольной абелевой категорией, то в приве-
приведенном выше доказательстве требуется знание точной гомологиче-
гомологической последовательности с ее связывающими гомоморфизмами для
любой абелевой категории. Мы уже указывали весьма бегло в § 3,
как этого можно достичь, используя аддитивные отношения.
Давайте теперь подытожим' свойства производных функторов
в нашем случае.
I. Ковариантный функтор % : %р (fr) -+Л+ является поло-
положительной связанной последовательностью {Тп, Еп), состоящей
из ковариантных функторов Тп : А ->- М и гомоморфизмов
Еп : Тп (С) -t-Tn-^A), естественных по аргументу Е. Он сопоставляет
каждой собственной последовательности Е : А >-» В -» С комплекс
..-.¦-» Т» (Д)-> Тв (В)-> Т» (С) ЬТп-! (Л)->.... (9.1)
из М. Предположим, что в &¦ достаточно проективных объектов.
Каждый оР-точный справа ковариантный функтор Т:&-*-М
имеет левый производный функтор ? : %$> (&) -+-М+, который
определяется функтором Т с точностью до естественного изомор-
изоморфизма любым одним из следующих трех условий:
Aа) То = Т и функтор Z коуниверсален;
(Ib) То = Т, последовательность (9.1) точна и Тп (Р) = 0 при
л > 0 для каждого собственного проективного объекта Р;
Aс) Тп (А) = Нп (Т (X)) для некоторой собственной проектив-
проективной резольвенты е : X -*-А, а морфизм Еп вычисляется подобным
же образом с помощью короткой точной последовательности таких
резольвент.
Эти рассмотрения можно дуализировать: для этого нужно заме-
заменить одну или обе категории & и М двойственными. Например,
замена категории ,# приводит к следующим результатам.
§ 9. Производные функторы
497
II. Пусть Т:&->-М является ^-точным справа контра-
вариантным функтором, и пусть в категории .#- достаточно соб-
собственных инъективных объектов. Для каждого объекта А выберем
собственную инъективную резольвенту е: А -*¦ Y. Здесь Y—отри-
Y—отрицательный комплекс F0 ->¦ Y1 ->-... ; применение контравариант-
ного функтора Т дает положительный комплекс Т (Y) : Т(У°)ч-
ч- Т (У1)*- . . .; т. е. [Т (Г)]п = Т (У«). Его гомология Нп (Т (У)) =
= Тп (А) есть л-й левый производный функтор Тп функтора Т.
Для каждой собственной последовательности Е корезольвен-
ты Е дают соответствующий связывающий гомоморфизм
Еп ¦ Т„ (А) -*-Т„_1 (С), естественный по аргументу Е. Эти функ-
функторы и гомоморфизмы образуют положительную связанную после-
последовательность {Тп, Еп} контравариантных функторов, кото-
которая сопоставляет каждой собственной последовательности
Е : А >-> В -» С комплекс
¦ Тп (С) -» Тп (В) -> Тп (А) Л Tn-i (С)
(9.2)
из М. Эта последовательность {Тп, ?„} может быть описана также
как контравариантный функтор ? : %д> (.#) -»¦ J?+. Если дан точ-
точный справа функтор Т: fr -+-М, то его левые производные функ-
функторы могут быть охарактеризованы или своим построением из
инъективных резольвент, или одним из следующих свойств:
(Па) То = Т и функтор Z коуниверсален, т. е. если задан
функтор ?' : %$> (&) -*¦ М+, то каждое естественное преобразо-
преобразование /о : Т'о -»- То продолжается до единственного естественного
преобразования f: %' ->•$;
(lib) To = Т, последовательность (9.2) всегда точна и Tn (J ) =
= 0 при п > 0 для каждого собственного инъективного объекта J.
Категорная дуализация I (заменить &¦ на #°р и М на J?op)
такова:
III. Пусть Т : # ->• М есть ^-точный слева и ковариантный
функтор (например, Т (А) = Hom^ (G, Л)). Его правые производ-
производные функторы — это функторы Тп (А) = Нп (Т (Y)), где е : А ->•
-*- Y есть собственная инъективная резольвента (предполагается
достаточность числа инъективных объектов). Вместе с соответ-
соответствующими связывающими гомоморфизмами они образуют отри-
отрицательную связанную последовательность ковариантных функторов
Тп: & -+№, которая сопоставляет каждой последовательности
Е комплекс
E"
(9.3)
из М, т. е. является ковариантным функтором Т : %g>
32—353
498
Гл. XII. Производные функторы
Функторы Тп характеризуются в терминах Т любым из следующих
свойств:
(II 1а) Т° — Т и функтор ? универсален, т. е. если дан функ-
функтор ?' : %да (.#) -*¦ М~, то каждое естественное преобразование
Р:Т°->-Т'0 продолжается до единственного преобразования
f :?->?';
<IIIb) Т° = Г, последовательность (9.3) точна и Тп (J ) = О
при п >¦ 0 для каждого инъективного объекта J.
Наконец, заменим М на J?op в I.
IV. Пусть Т : & -*• ^? есть ^-точный слева контравариантный
функтор (например, Т (Л) = Нотд (Л, О)). Предположим, что
в .#¦ достаточно собственных проективных объектов. Проектив-
Проективная резольвента е : X -*• А порождает отрицательный комплекс
Т (X) в М и, следовательно, производные функторы Тп (А) =
= На (Т (X)) и связывающие гомоморфизмы, которые образуют
отрицательную связанную последовательность {Тп, Еп}; при этом
каждой последовательности Е отвечает комплекс
"-1 (А) -> Та (С) -» Тп (В) -> Тп (А)
(9.4)
т. е. получается контравариантный функтор %
который характеризуется одним из свойств:
(IVa) Т° = Т и функтор ? универсален;
(IVb) Т° = Т последовательность (9.4) точна и Г" (Р) = О
при л > 0 для каждого проективного объекта Р.
Суммируем эти результаты в следующей таблице (примеры ука-
указаны с фиксированным модулем G):
I.
II.
III.
IV.
Го
Точный
справа
Точный
справа
Точный
слева
Точный
слева
Вариант-
Вариантность
Ко
Контра
Ко
Контра
Произ-
Производные
Левые
Левые
Правые
Правые
%
Коуниверсаль-
ный
Коуниверсаль-
ный
Универсальный
Универсальный
Резольвента
Проективная
Инъективная
Инъективная
Проективная
Тип Тп
То r" (G,
?
Ext" (G,
Ext" (A,
(А)
А)
А)
G)
Таким образом, изменение вариантности или изменение точности
слева на точность справа приводит к перестановке используемых
типов резольвент.
§ 9. Производные функторы
499
Например, если Л является К-алгеброй, А — категория левых
Л-модулей, сР — класс К-расщепляющихся коротких точных после-
последовательностей Л-модулей и 31 — категория К-модулей, то
Нотл (С, А) есть точный слева функтор. Как функтор только
аргумента С, он контравариантен (случай IV); его правые ^-про-
^-производные функторы — это Extjiv, к) (С, А). Как функтор аргу-
аргумента А, НотЛ ковариантен (случай III); его правые сР-производ-
ные функторы снова задаются последовательностью функторов
Ех1:"Л, к) (С, А), в этом случае со связывающими гомоморфизмами
для второго аргумента А.
Замечания. Характеризация функторов. Для категорий модулей
точные справа или слева аддитивные функторы часто даются только обыч-
обычными функторами ® и Нот. Именно (Уоттс [1960], Эйленберг [I960]):
если С — фиксированный S-Я-бимодуль, то тензорное умножение на С левых
^-модулей д»Л дает ковариантный функтор Тс {А) = C(g) g-A, точный
справа и переводящий (бесконечные) прямые суммы в прямые суммы. Любой
функтор Т с этими свойствами из категории ^-модулей в категорию S-моду-
лей имеет указанный вид для некоторого модуля С, а именно для С = Т (R).
Точно также любой точный слева контравариантный функтор Т из катего-
категории Л-модулей в категорию S-модулей, который превращает (бесконечные)
прямые суммы в полные прямые произведения, естественно эквивалентен
функтору Т (А) = Ногпел (А, С) для некоторого левого (R (gi 5)-модуля С
(вновь С = Т (R)). Наконец (Уоттс [I960]), любой ковариантный точный
слева функтор из категории ^-модулей в категорию абелевых групп, кото-
который перестановочен с обратными пределами, имеет вид Т {А) = Hom^ (С, А)
%/ь
для подходящего С. Митчелл [1962] обобщил эти теоремы на подходящие
абелевы категории.
Бифункторы. Пусть То (С, А) есть бифунктор, аддитивный и точный
справа по каждому переменному в отдельности. Заменим оба аргумента
проективными резольвентами и возьмем полный комплекс результирующего
бикомплекса; тогда его гомология дает левые производные функторы
Тп (С, А), как, например, для Тогп (С, А) как бифунктора (теорема V.9.3).
Этот и связанные с ним случаи, отличающиеся вариантностью, более деталь-
детально рассмотрены Картаном и Эйленбергом. Эта теория не нужна для функ-
функтора С <2) А, потому что этот бифунктор становится точным, когда один
из аргументов замещается проективным объектом, так что производные
функторы можно построить с помощью случая одного переменного. Подхо-
Подходящий пример — это трифунктор С (gi В (§) А для трех модулей над комму-
коммутативным кольцом, который нужно рассматривать как функтор от двух
переменных. Его производные функторы, называемые Trip^, встречаются
в формулах Кюннета для гомологии тензорного произведения трех комплек-
комплексов (Маклейн [I960]). До настоящего времени не существует, по-виднмому,
способа охарактеризовать производные функторы от двух и большего числа
переменных «универсальными» свойствами, нли «аксиомами». Например,
подходящее определение тензорного произведения двух абелевых катего-
категорий позволило бы свести бифункторы к функторам от одного переменного.
Другие построения производных функторов. Если То— точный справа
ковариантный функтор, определенный в категории всех модулей, то каждая
последовательность S ?? Ext" (С, А) дает итерированный связывающий
гомоморфизм S* : Тп (С) -*¦ То (А), так что каждый элемент t g Tn (С)
порождает естественное преобразование Ext" (С, А)
То (Л) функтор*»
32*
500
Гл. XII. Производные функторы_
аргумента А. Действительно, Тп (С) можно определить (Ионеда [1960],
Хилтон — Рис [1961]) как
Тп (C)=Nat homA (Ext" (С, А), Т (А)).
Тем самым дается другое определение периодических умножений. Мы уже
отмечали, что аддитивная категория является «кольцоидом» (в ней выпол-
выполнены обычные аксиомы кольца, но умножение не всегда определено). В том
же смысле каждый ковариантный аддитивный функтор Т из М в категорию
абелевых групп является левым «JS-модулоидом» (аксиомы для левого моду-
модуля над кольцом; умножения не всегда определены), а контравариантный
функтор S — это правый Jf-модулоид. Ионеда [1960] определил соответ-
соответствующее тензорное произведение S® аГ и использовал его для построения
сателлитов. Пусть опять Т — контравариантный аддитивный функтор.
Короткие точные последовательности Е : А >-> В -» С, оканчивающиеся
фиксированным объектом С, можно частично упорядочить: Е' <; Е, если
существует морфизм (а, р, 1с) : Е' -*¦ Е; тогда эти последовательности Е
образуют «направленный» класс; прямой предел ядер отображений Т (А) -*¦
-*¦ Т (В), взятый по этому направленному классу, дает правый сателлит
функтора Т (Буксбаум [I960]), определенный таким способом без предполо-
предположения о существовании достаточного числа проективных объектов. Это
построение было подвергнуто дальнейшему изучению Амицуром [1961];
Рёрль [1962] установил теорему существования сателлитов для полуточных
функторов и применил ее к теории пучков. Для любого аддитивного функто-
функтора, который не полуточен, нужно различать производные функторы, сател-
сателлиты и косателлиты; их взаимосвязи изучаются в работе Батлера и Хор-
рокса [1961].
Производные функторы неаддитивных функторов изучались Дольдом
и Пуппе [1961], с использованием итерированных В-конструкций. В самом
деле, группы гомологии #n+fc (П, n; G) группы П дают много примеров неад-
неаддитивных функторов (Эйленберг — Маклейн [1954а]). Классическим при-
примером является функтор Г Дж. Уайтхеда [1950]. Для каждой абелевой
группы А, Г (А) — это абелева группа с образующими [у (а) \ а 6 А] и опре-
определяющими соотношениями у (—а) = у (а) и
Эти соотношения верны для «возведения в квадрат» у (а) = а2.
§ 10. Умножения и универсальность
Универсальные свойства производных функторов можно часто
использовать для построения гомоморфизмов типа vj-умножения
для когомологии группы П. В схеме обозначений § 7 возьмем
в качестве М категорию абелевых групп, в качестве & — категорию
всех левых П-модулей и в качестве сР — класс Z-расщепляющихся
коротких точных последовательностей П-модулей. Мы сначала
покажем, что в категории & имеется достаточно собственных инъек-
тивных объектов.
Для каждой абелевой группы М построим П-модуль JM =
= Homz (Z (П), М) с левыми операторами, определенными для
каждого /€«/м формулой (xf) г — f (rx), где х 6 П, г ? Z (U).
Это левые операторы, индуцированные правой П-модульной
§ 10. Умножения и универсальность
501
структурой группового кольца Z (П). Определим гомоморфизм
е — ем '¦ Jм —> М абелевых групп, положив е (/) = / A) для
каждого / -. Z (П)—> М. Он имеет обычное коуниверсальное
свойство, двойственное свойству из предложения VI.8.2.
Лемма 10.1. Если А — левый Н-модуль и если h : А —>
—> М — гомоморфизм абелевых групп, то существует такой
единственный U-модульный гомоморфизм у : А ->• JM, что еу — h.
h e
Доказательство. Рассмотрим диаграмму А—>М<—
<--- JM-
Для выполнения равенства еу = h требуется, чтобы для
каждого а? А и каждого х 6 П имело место равенство
h (ха) = е[у (ха)] = [у (ха)\ 1 = [х (уа)] 1 = (уа) х.
Обратно, если определить у формулой (yd) x = h (ха), то у будет
П-гомоморфизмом и будет удовлетворять равенству еу = h.
Стандартным рассуждением теперь показывается, что каждый
модуль JM относительно инъективен. Кроме того, если А — любой
П-модуль, то по лемме имеется единственный П-модульный гомо-
гомоморфизм у : A ->-Homz (Z (П), А) = JA, для которого еу = 1А.
Следовательно, у — собственный мономорфизм к у : A -+JA вкла-
вкладывает каждый модуль А в собственный инъективный объект.
Значит, имеется достаточно собственных инъективных объектов.
Пусть для каждого П-модуля С Сп обозначает подгруппу
П-инвариантных элементов из С. Ковариантные функторы
Я" (G) = Я" (П, С) = Extg(n)> z (Z, С)
имеют связывающие гомоморфизмы для каждой собственной после-
последовательности Е:
Е„:НР(С)->НР+1(А), Е:А»В-»С,
определенные, например, с помощью умножения Ионеды и дающие
обычную точную последовательность. Кроме того, Hv (J) = 0
при р > 0 для каждого собственного инъективного объекта J
(любое расширение собственного инъективного объекта расщеп-
расщепляется). Следовательно, Н? (С) — правые производные функторы
функтора Я0 (С) = Сп.
Лемма 10.2. Для каждого фиксированного целого числа q
и каждого фиксированного П-модуля С функторы № (С) ® Я« (С)
образуют компоненты универсальной последовательности функто-
функторов с &-связывающими гомоморфизмами Е% ® 1.
Доказательство. Пусть Ео : А >* J -» К есть любая
Z-расщепляющаяся короткая точная последовательность с соб-
собственным инъективным объектом J. При р > 0 последовательность
502
Гл. XII. Производные функторы
HP-1 (J) -ч-tfp-1 (К) ->№> (Л) ->0 ( - Яр (J)) точна. Так как тен-
тензорное умножение над Z точно справа, то точна последовательность
Я" (J) <g> Я« (С) -> Я" (К) ® Я« (С) -> Я? (Л) ® Я« (С) -^ 0.
Это условие параллельно условию (8.3) в теореме, двойственной
теореме 8.3; следовательно, Яр (С) ® Я« (С) — универсальная
последовательность для заданной начальной компоненты
Я0 (С) ® Я« (С).
Лемма 10.3. Если произведение С ® С имеет диагональную
П-модульную структуру [х (с <g> с') = хс ® хс' для х 6 Ш, /по
при фиксированных q и С функторы Яр+« (С <g> С) аргумента С
образуют ^-связанную последовательность функторов со связываю-
связывающими гомоморфизмами (Е ® С'),..
Доказательство. Поскольку последовательность Е
Z-расщепляется и точна, тензорное произведение
Е <g> С : Л ® С >-» В ® С -» С <g> С
точно и Z-расщепляется, следовательно, оно определяет требуемые
(естественные) связывающие отображения. Аналогично при фикси-
фиксированных р и С функторы Яр (С) <g> Hv(C) образуют универ-
универсальную ^-связанную последовательность, если связывающие
гомоморфизмы 1 0 Е^ определяются с обычным знаком:
A <8>?;)(а®а') = (-1)ра®?;ст', <*?НР(С), о'^НЧС). A0.1)
Кроме того, функторы Яр+9 (С ® С') образуют ^-связанную после-
последовательность функторов аргумента С со связывающими гомо-
гомоморфизмами (С ® ?')*• При р = 0, Я0 (С) = Сп есть подгруппа
П-инвариантных элементов из С. Теперь если с 6 Сп и с' 6 С'п, то
с ® с' € (С ® С')Ц, поэтому тождественное отображение индуци-
индуцирует гомоморфизм Сп <g> С'п ->-(С ® С')п.
Теорема 10.4. Существует единственное семейство группо-
групповых гомоморфизмов
р.« . яр (С) 0 Я« (С) -» Яр+« (С 0 С), A0,2)
определенных для всех р>0, q>0 и всех 11-модулей С и С, для
которого:
(i) /°-в — отображение, индуцированное тождественным ото-
отображением, как отмечено выше;
(и) гомоморфизм /р- q естествен по С и С, р>0, 9>0;
(Ш) Р+1-Ч?*® 1) = (?®Q. P'9, р>0,^>0;
(iv) fp-9+1 (I 0 ?'.) = (С 0 ?')* /р-?, р>0,(/ >0.
Последние два свойства выполняются для всех Z-расщепляющихся
коротких точных последовательностей Е и Е''.
Последние два условия означают, что отображения / коммути-
коммутируют со связывающими гомоморфизмами.
Доказательство.. Мы уже определили /0-°. При q = 0
и фиксированном С левые члены из A0.2) образуют ^-универ-
^-универсальную последовательность, а правые члены оР-связанную после-
последовательность. Следовательно, отображения /р- °, естественные
относительно С, существуют, единственны и удовлетворяют усло-
условию (iii) при q — 0. Эти отображения естественны также и по
аргументу С'. В самом деле, рассмотрим гомоморфизм у : С -*-D'.
Тогда v/p> ° и /р> °V — Два естественных преобразования сР-уни-
версального функтора Яр (С) <g) Я0 (С) в ^-связанный функтор
Нр (С ® D'), которые совпадают при р = 0 и, значит, совпадают
при всех р.
Теперь зафиксируем р и С. В A0.2) отображения /р- 9 заданы
для q = 0 и в силу (iv) должны составлять естественное преобра-
преобразование универсальной последовательности в связанную. Следо-
Следовательно, они существуют и единственны; как и раньше, эти ото-
отображения естественны относительно С.
Наше построение устанавливает (iii) только для q = 0; остается
доказать выполнение этого условия при q > 0. При фиксирован-
фиксированном р пусть ф9 обозначает левую часть, af — правую часть из
(iii). Это будут отображения
Ф«, i|>«: Яр (С) 0 Я« (С) -> Яр+а+1 (А 0 С)
универсальной последовательности функторов от С в связанную
последовательность. Они антикоммутируют со связывающими гомо-
гомоморфизмами, определяемыми последовательностью Е'. Действи-
Действительно, в силу (iv)
1) /р+1A+1A®?;)(?®1)
Фм A 0 Е;) = /p+1-3+1 (E, 0 ) (
и A 0 ?;) {Еш 0 1) = — (Е„ 0 1) A 0 ?;) поопределению(ЮЛ).
Точно так же
(А ® ?'), Г = (А 0 Е'), (Е 0 С) Jp-«,
•Фв+1 A0 е;) = (Е 0 л'), г3+1 A0 е;> = (Е ® Л')* (С о е% Г1«.
и последовательность (Л ® ?') о (Е <g> С) конгруэнтна после-
последовательности —(Е ® Л') о (С ® Е') в силу 3x3 леммы
о сплетении (VII 1.3.1). Поскольку ф° = ij)°, единственность ото-
отображений универсальной последовательности дает ф9 = i|)q во
всех размерностях. Этим доказательство закончено.
Теперь w-умножение (определенное, скажем, с помощью умно-
умножения Ионеды длинных точных последовательностей) для кого-
мологии групп удовлетворяет условиям, в точности совпадающим
504
Гл. XII. Производные функторы
с условиями из нашей теоремы для /р- 9. Значит, мы имеем еще одно
построение этих и-умножений (VII 1.9.)- Это построение может
быть использовано для «вычисления» этих умножений для цикли-
циклической группы П.
Путем аналогичного доказательства для Нп (П,С) =
= Torn<z<n>-Z> (Z, С) можно построить умножение, которое сов-
совпадает с внутренним умножением для относительного периодиче-
периодического функтора. Если группа П конечна, то эти два умножения
можно скомбинировать в одно умножение (Картан — Эйленберг,
гл. XII).
§ 11. Собственные проективные комплексы
Пусть <Ж" — абелева категория положительных комплексов К
(левых модулей над некоторым кольцом) со всеми цепными преоб-
преобразованиями / : К -*• L в качестве морфизмов. Назовем короткую
f g
последовательность комплексов К —» L —> М собственной точной
последовательностью, если для каждого л
(i) последовательность 0 -»- Кп -*¦ Ln ->• Мп -> 0 точна и
(и) последовательность 0 -*¦ С„ (К) ->• Сп (L) ->¦ С„ (М) ->• 0
точна, где Сп (К) обозначает модуль n-мерных циклов из К-
Поскольку из (i) следует точность слева последовательности (и),
условие (ii) можно заменить условием
(И') отображение Сп (L) -»-С„ (М) является эпиморфизмом для
всех п. Другими словами, цепной эпиморфизм g : L -*М собствен-
собственный, если для каждого т 6 М, для которого дт = 0, существует
/ 6 L, для которого gl = т и dl = 0. Эквивалентно цепной моно-
мономорфизм f:K-*L собственный, если для каждого / 6 L, для
которого dl 6 fK, существует k 6 К, для которого dl = dfk. Учи-
Учитывая эти характеристики, читатель может проверить, что класс
собственных коротких точных последовательностей удовлетворяет
аксиомам из § 4. Поскольку длинная точная последовательность
является произведением Ионеды коротких точных последователь-
последовательностей, справедлива
Лемма 11.1. Последовательность >• К -+L ->-М -»»
->• N ->•... комплексов является собственной точной тогда и только
тогда, когда для каждой размерности л>0 последовательности
¦¦¦ ^Кп -+Ln +Мп ->. Nn-+... и ¦¦¦ -*СП (К) -*Cn (L) -+.
-> Сп (М) ->• С„ (#)->.••. точны.
Предложение 11.2. Если К>* L-» М является собствен-
собственной короткой точной последовательностью комплексов, то для
всех п точна каждая из следующих последовательностей:
(ш) 0 ->ВП (К) -+Вп (L) ^Вп (М) ->.0,
(iv) 0-+Hn(K)-»Hn (L) +Я„ (М) -*0,
§11. Собственные проективные комплексы
505
(V) 0
(vi)
KJBn {К) -+LJBn (L)
^KJCn (K)-*Ln/Cn (L)
Мп/Вп (М) -+0,
MJCn (M) -^0.
(
Доказательство. Модули В„_4 (К) = дКп границ опре-
определяются с помощью короткой точной последовательности Сп (К) >-»
>-¦ Кп ** Вп-1 (Ю- Эти последовательности для комплексов К, L
и М образуют 3x3 диаграмму со строками (ii), (i) и (iii), поэтому
3x3 лемма устанавливает точность строки (iii). Гомология
Нп {К) определяется с помощью точной последовательности
Вп{К) >¦» Сп{К) -» Нп (К); 3x3 лемма устанавливает точность
последовательности (iv). Доказательства точности последователь-
последовательностей (v) и (vi) проводятся аналогично с помощью последова-
последовательности Вп >-» Кп ¦* Кп1Вп (К) и двойственного описания моду-
модулей гомологии через точные последовательности Нп (К) >¦*
« KJBn (К) -» KJCn (К).
Теперь построим собственные проективные комплексы. Для
каждого модуля А и для каждого целого числа п введем специаль-
специальный комплекс U = U (А, п), в котором Un = А и Um = 0 при
тф п. Если К — произвольный комплекс, то каждый модульный
гомоморфизм а: А -*-Сп (К) определяет цепное преобразование
h = h (a) : U (Л, п) ->• К с hn равным произведению А -*• Сп (К) ->-
->-/Сп; все цепные преобразования h:U-+K имеют этот вид.
Для каждого модуля А и каждого целого числа п введем спе-
специальный комплекс V = V {А, п), в котором Vn = Vn+i = A,
а все остальные группы цепей равны нулю, причем д: Vn+i -*• Vn
есть 1д. Тогда Нт (V) = 0 для всех т. Если К — комплекс, то
каждый модульный гомоморфизм у: А -*• Kn+i определяет цеп-
цепное преобразование h = h (у) : V (А, п) -»-/С с й„+1 = у, hn =
— ду; все преобразования h : V -»- К имеют этот вид.
Лемма 11.3. Для проективного модуля Р специальные комп-
комплексы U (Р, п) и V (Р, п) являются собственными проективными
комплексами.
Доказательство. Пусть g: L -» М является собствен-
собственным эпиморфизмом комплексов, и пусть h = h (у): V (Р, п) -*-М
произвольное цепное преобразование. Тогда gn+i : Ln+i -*
эпиморфизм, поэтому у: Р -*-Mn+i можно провести через gn+i
gn+ip = у, где fi : Р-*-Ln+i. Следовательно, h {у) накрывается
преобразованием h(p):F->-L. В соответствующем доказатель-
доказательстве для U используется тот факт, что Сп (L) ->• Сп (М) является
эпиморфизмом. Теперь справедлива
Лемма 11.4. Если Рп и Qn — проективные модули, то
S= § U(Pn, n)
п=0
V(Qn, я)
0
A1.1)
506
Гл. XII. Производные функторы
-собственный проективный комплекс и #„ (S) з=? Рп, Вп (S) ~ Qn.
Любой комплекс К, у которого все модули Нп (К) и Вп (К) проек-
тивны, имеет этот вид.
Доказательство. Прямая сумма собственных проек-
проективных объектов является собственным проективным объектом.
Положим Q-i = 0. Комплекс S имеет вид
in-i —> • • •,
а дифференциал д индуцирован тождественным отображением
Qn -*-Qn, поэтому группы Н (S) и В (S) совпадают с указанными
в лемме. Последнее утверждение устанавливается индукцией
с использованием того факта, что каждое расширение с помощью
проективного модуля расщепляется.
Теперь мы можем доказать, что имеется достаточно собственных
проективных комплексов.
Лемма 11.5. Для каждого комплекса К существует собствен-
собственный проективный комплекс S вида A1.1) и собственный эпимор-
эпиморфизм h: S -» К комплексов.
Доказательство. Для каждого п имеется проектив-
проективный модуль Рп и эпиморфизм: р„ : Рп -». Нп (К); накроем р„ гомо-
гомоморфизмом а„ : Рп -+Сп (К)- Этот гомоморфизм а„ определяет
цепное преобразование h (а„) : U (Рп,п) ->-К. Для каждого п
существует проективный модуль Qn и эпиморфизм ап : Qn -+Вп (К);
поскольку Kn+t -*-Bn есть эпиморфизм, оп можно накрыть гомо-
гомоморфизмом уп : Qn -»-Kn+i- Этот гомоморфизм уп определяет пре-
преобразование h (уп) : V (Qn, n) ->-К. Для комплекса S типа A1.1)
эти цепные преобразования h (а„) и h (yn) в комбинации дают
преобразование h : S -+-K- Если sn = qn + pn + qn-i € Sn, то
Mi = dynqn + ОпРп + Vn-iqn-u так что h — эпиморфизм. Чтобы
показать, что это собственный эпиморфизм, мы должны доказать,
что если dhsn = 0, то dsn = ds'n для некоторого такого s'n, что
hs'n = 0. Но dhsn равняется dyn-iqn-i- Поскольку yn-iqn-i есть
цикл из Сп (К), а оп и рп — эпиморфизмы, существуют такие
элементы р'п в Рп и q'n в Qn, что yn-iqn-i = ОпРп + дуп/п- Тогда
для s'n = — q'n' — р'п + qn-t 6 Sn, 3sn = ds'n = qn-i и hs'n = 0, что
я требовалось.
Из соединения этих результатов вытекает
Предложение 11.6. Для каждого (положительного) ком-
комплекса L существует собственная проективная резольвента
в д
0,
A1.2)
где каждый Yq—собственный проективный комплекс вида A1.1).
§11. Собственные проективные комплексы
507
Здесь У = {Уд} — комплекс комплексов; каждый комплекс
Yq — это градуированный модуль {Уд, Т) с граничным дифферен-
дифференциалом д" : Уд, г -*• Уд, ,-t, причем д"д" = 0. Сама резольвента
порождает цепные преобразования д, для которых д"д = дд".
Изменим знак у д (точно так же, как в процессе конденсации,
Х.9), положив д' = (—1)«а : Уд,г -> Yq.hr. Тогда (У, д', д") —
положительный бикомплекс.
Для положительных комплексов К и L правых и левых /?-моду-
лей введем теперь соответственно некоторые модули «гипергомо-
логий». Возьмем резольвенту У комплекса L, описанную выше,
и образуем К ® У, где <g> означает <g>H- Это произведение является
триградуированным модулем {Кр ® Уд, г} с тремя граничными
гомоморфизмами дх = дк : КР ® Уд, г -*• KP-i ® Уд, г
du(k®y) = (-lfmhk®d'y, dni(k®y) = (-lfmhk®d"y,
A1.3)
это есть трикомплекс (квадрат каждого д равен нулю, каждая
пара дифференциалов антикоммутативна). Соответствующий пол-
полный комплекс Т — Tot (К® У) имеет компоненты Тп —^КР ® Уд, т,
где р + q + г = п, д = дг + дц + дщ. Применение теоре-
теоремы сравнения . для собственных проективных резольвент
показывает, что группы #„ (Т) не зависят от выбора резольвенты У.
Мы определим модули гипергомологий комплексов К и i как
Жп(К, L) = Нп (lot (К ®Y)). A1.4)
Замечание. Тот часто используемый факт, что тензорное про-
произведение двух комплексов является бикомплексом, справедлив
и для функторов, отличных от тензорного произведения. Пусть
Т (А, В) — ковариантный бифунктор, зависящий от модулей А
и В и принимающий значения в некоторой аддитивной категории %.
Если К и L — положительные комплексы модулей, то применение Т
дает биградуированный объект Т (КР, Lq) в IS, a граничные гомо-
гомоморфизмы в К и L индуцируют морфизмы
д' = Т (дк,1): Т (KP,Lq) -> T (Kp-ltLg),
д" = (-1)РГ (l,dL) :T(KP, Lq)->T(KP, Lg_,),
которые удовлетворяют соотношениям д'д' — 0, д"д" = 0 и д'д" =
¦= — д"д', причем последнее имеет место потому, что Т — бифунк-
бифунктор. Следовательно, Т (К, L) = {Т (КР, Lq), д', д"} — бикомплекс
в % с ассоциированным полным комплексом Tot [T (К, L)]. Если
необходимо рассмотреть гомотопии, то предполагается биадди-
пгивность функтора Т, т. е. аддитивность по каждому переменному
в отдельности. Если Т — тензорное умножение, то Т (К, Ц есть
знакомый нам бикомплекс К ® L.
508
Гл. XII. Производные функторы
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть К —*¦ L —>- Л1 есть последовательность комплексов и gf = 0.
Показать, что она является собственной короткой точной последовательно-
последовательностью тогда и только тогда, когда выполнены условия (ш) и (iv) из предло-
предложения 11.2, а также тогда и только тогда, когда выполнены условия (И)-
и (iii). Найти другие достаточные пары условий.
2. Показать, что всякий собственный проективный положительный
комплекс имеет вид, указанный в лемме 11.4.
3. Доказать, что модуль Мп {К, L) не зависит от выбора резольвенты
комплекса L, и доказать, что его можно найти также с помощью собствен-
собственной проективной резольвенты комплекса К или с помощью резольвент обоих
комплексов К и L.
4. Изучить собственные точные последовательности не обязательно-
положительных комплексов.
5. Пусть 3й — собственный класс коротких точных последовательностей
абелевой категории М. Изучить соответствующий собственный класс в абе-
левой категории положительных комплексов из М.
6. Каждый аддитивный функтор Т : М -> М индуцирует функтор Т
из категории .^-комплексов К в категорию .^-комплексов. Для точного
слева функтора S и точного справа функтора Т построить естественные-
отображения
HnSK -> SHnK, ТНпК ~^НпТК.
Распространить построение на бифункторы и получить гомологическое-
умножение как специальный случай для Т = (§).
§ 12. Спектральная формула Кюннета
Спектральные последовательности позволяют дать обобщение
формулы Кюннета.
Теорема 12.1. Если К и. L — положительные комплексы
правых и левых R-модулей соответственно и если
Н(Ш[Тогт(К, 1)]) = 0 для всех т>0, A2.1)
то существует такая спектральная последовательность первой
четверти {Erp,q, dT), что
Тогр(Я8(К), Ht{L)),
A2.2)
Условие A2.1) этой теоремы требует, чтобы каждый из комп-
комплексов Тогто (К, L), определенный в замечании из § 11, имел
нулевую гомологию при т > 0. Из выполнения более сильного
условия плоскости каждого модуля Кп вытекает, что каждый
Тогто (К, L) = 0 для т > 0, и поэтому выполнено условие A2.1).
Для положительных комплексов предшествующая теорема Кюн-
Кюннета (теорема V. 10.2) содержится в теореме 12.1. Подробнее, усло-
S 12. Спектральная формула Кюннета
509
вия теоремы V.10.2 требуют, чтобы модули Сп (К) и В„ (К) были
плоскими, т. е. чтобы Тогр (Сп, G) = 0 = Тогр (В„, G) для всех
модулей G и всех р > 0. Поскольку последовательность Сп (К) »
¦>-» Кп -» Bn-i (К) точна, следующая часть стандартной точной
последовательности для периодического умножения
Tort(Cn, G)-^Tort(/Cn, GJ-^ToMB»-!, G)
точна, так что Тог4 (/Сп, G) = 0, модуль Кп плоский, и, значит,
условие A2.1) выполнено. Далее, последовательность Вп (К)»
>* Сп (К) -» Нп {К) точна, поэтому последовательность
Тогр {Сп, G) -> Тогр (Нп, G)->Тог^ (Вп, G)
точна и, следовательно, Тогр (Я„ (К), G) = 0 при р > 1. Таким
образом, в спектральной последовательности A2.2) Ep,q — 0 при
р Ф 0, 1, и, следовательно, она состоит только из двух столбцов
и поэтому имеет нулевой дифференциал. Фильтрация комплекса
tin {К ® L) равносильна следующей точной последовательности
с ?§,„ и Eln-i:
s-\-t=n
, Ht(L))->0.
4
Это и есть обычная точная последовательность Кюннета. Другими
словами, теорема этого параграфа показывает, как более высокие
периодические произведения комплексов Я (К), Я (L) действуют
на Я (К ® L) через подходящую спектральную последовательность.
Эта теорема будет выведена из более общего результата.
Теорема 12.2. Если К и L — положительные комплексы
соответственно правых и левых R-модулей с гипергомологией
Шп (К, L), определенной в §11, то существуют следующие две
спектральные последовательности первой четверти:
g^Hp(Tot[Torg(К, L)]),
(К, L)
s+t=q
„ A2.3)
Тогр(ЯЛК), Ht(L)).
A2.4)
При выполнении предыдущего условия A2.1) первая последо-
последовательность сводится к базе, откуда $in о* Е'?о о* Нп (К ® L),
и тем самым получается результат первой теоремы.
Доказательство. Выберем собственную проективную
резольвенту У комплекса L и построим трикомплекс К ® У из A1.3)
с тремя граничными дифференциалами di, dn, дщ. Объединяя
510
Гл. XII. Производные функторы
первый и третий индексы, построим двойной комплекс:
XP,g= 2 K,®Yq,t, д' = дг + дш, д» = дп.
Тогда комплекс Tot X = Tot (К ® Y) имеет гомологию 9i (К, L).
Две спектральные последовательности этого двойного комплекса
и будут давать требуемый результат.
В первой спектральной последовательности Ер\ = Н'РЩ (X).
В каждой размерности t последовательность >-Ув)*->••••
>- YOft -»- Lt -*¦ 0 является проективной резольвентой модуля Ltr
поэтому периодическое произведение Torg (Ks, Lt) можно вычис-
вычислить с помощью этой резольвенты как Яд (К <8> У); оставшийся
дифференциал д' = д/ + дш является тогда граничным гомо-
гомоморфизмом комплекса Torg (К, L). Следовательно, бикомплекс ?
совпадает с указанным в теореме.
Для второй спектральной последовательности компоненты ком-
комплекса X запишем с переименованными индексами как Хд,р, так
что р есть по-прежнему индекс фильтрации для (второй) фильтра-
фильтрации и E'v\ = HpH'q (X). При фиксированном р, Xg,p = 2KS® Yp,t
с s + t = q — это в точности комплекс Tot (К <%) Yp) с диффе-
дифференциалом д' = di + дш. В каждом комплексе Yp модули цик-
циклов и гомологии проективны по построению, так что применение
тензорной формулы Кюннета (теорема V.10.1) с условиями на вто-
второй множитель дает
Hq(Xp) = Hq(K®Yp)s* S Ha(K)®Ht(Yp).
s+t=q
Теперь каждый комплекс Yp имеет вид S из A1.1), так что каждый
модуль Hn (Yp) проективен, а определение собственных точных
последовательностей комплексов показывает, что для каждого t
последовательность
является проективной резольвентой модуля #< (L). Тензорное
умножение этой резольвенты на Н3{К) и взятие гомологии
относительно д" есть стандартный метод вычисления для
Тог (HS(K), Ht(L)). Следовательно, мы получаем часть фор-
формулы A2.4), относящуюся к ?р%.
Эта теорема может рассматриваться как построение из ком-
комплексов К и L большого числа «гипергомологических инвариан-
инвариантов»: модули 8?(/(, L), две фильтрации в Ш и две спектральные
последовательности, сходящиеся, как указано выше, к градуиро-
градуированным модулям, ассоциированным с этими фильтрациями. Напри-
Например, если основное кольцо R является кольцом целых чисел, то
наш результат принимает вид следствия.
§ 12. Спектральная формула Кюннета
511
Следствие 12.3. Если К и, L — положительные комплек-
комплексы абелевых групп с группами гипергомологий 31 (К, L), то суще-
ствует диаграмма
X
Н
п-1
Н
2
p+g=n-l
Нп-2 <Тог1
Я (К)®Н
Тог4(Я (К), И Щ)
l
Тог 1(Н (К), H{L))
2
2
p+g=n-l p+g=n-2
с (длинной) точной строкой и короткими точными столбцами-
Здесь Tori (К, L) есть сокращение для Tot [Tort (К, L)].
Доказательство. Над кольцом Z Тогр равен нулю при
р > 1, поэтому первая спектральная последовательность имеет
только две ненулевые строки (q = 0, q = 1) и только один нену-
ненулевой дифференциал d? : Е%, 0 -*• Е„-г, и следовательно, точна после-
последовательность
0 -> ?;7о -> Нп (К ® L)Л Яп-2 (Tort (К, I)) -»• ?^2,1 -> 0.
Ее сплетение с точными последовательностями, описывающими
фильтрацию в 9tn, дает приведенную выше длинную горизонталь-
горизонтальную последовательность. Вторая спектральная последовательность
имеет только два ненулевых столбца (р = 0, р = 1), следова-
следовательно, все дифференциалы d2 = d3 = . . .= 0; это дает верти-
вертикальные точные последовательности.
Читатель может показать, что произведение
Hp(K)®Hq(L)-*$in->Hn(K®L)
из этой диаграммы является гомологическим умножением; про-
произведение
Нп-, (Tori (К, I)) -> 9in -> 2 Tor, (Яр (К), Яд (L))
является соответствующим «умножением» для точного слева функ-
функтора Тог,, как это определено в упражнении 11.6.
Замечание. Определение модулей гипергомологий принадлежит
Картану и Эйленбергу; рассмотрение их в терминах собственных точных
последовательностей принадлежит Эйленбергу (не опубликовано).
Библиография
513
Библиография1)
Адаме (Adams J. F.)
On the Cobar construction, Proc. NAS USA, 42 A956), 409—412. [X.13]
On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. of Math.,
72 A960), 20—104. [VII. 6; X.8] (Имеется русский перевод:
Адаме Дж. Ф., О несуществовании отображений с инвариантом Хопфа,
равным единице, сб. Математика, 5 : 4 A961).)
А м и ц у р (A m i t s u r S. A.)
Derived functors in abelian categories, J. Math, and Mech., 10 A961)
971—994. [XII.9]
Артин (Artin E.)
Galois theory, Notre Dame Math. Lectures, № 2, Notre Dame (Ind.),
2nd ed., 1944. [IV.2]
Артин, Тэйт (Artin E. and T a t e J.)
Class field theory (Mimeographed notes), Cambridge, Harvard University,
1960. [IV.ll]
Асано, Седа (Asano К. and S h о d a K.)
Zur Theorie der Darstellungen einer endlichen Gruppe durch Kollineationen,
Сотр. Math., 2 A935), 230—240. [IV.ll]
Асмус (A s s m u s E. F., Jr.)
On the homology of local rings, III. J. Math., 3 A959), 187—199. [VII.7]
А т и я (A t i у a h M. F.)
On the Krull-Schmidt theorem with application to sheaves, Bull. Soc.
Math. France, 84 A956), 307—317. [IX.2]
Characters and cohomology of finite groups, Pub. Math., № 9, Inst. Hautjs
Etudes, Paris.
Ауслендер (Auslander M.)
On the dimension of modules and algebras. Ill, Nagoya Math. J., 9 A955),
67-77. [VII.1]
Ауслендер, Буксбаум (Auslander M. and В и с h s b a-
u m D. A.)
Homological dimension in Noetherian rings, Proc. NAS USA, 42 A956),
36—38. [VII.7]
Homological dimension in local rings, Trans. AMS, 85 A957), 390—405.
Homological dimension in Noetherian rings. II, Trans. AMS, 88 A958),
194—206 [VII.7]
Codimensioft and multiplicity, Ann. of Math., 68 A958), 625—657. [VII.7]
Unique factorization in regular local rings, Proc. NAS USA, 45 A959),
733—734. [VII.7] .
Б а р р а т т (В а г г a 11 M. G.)
Homotopy ringoids and homotopy groups, Q. J. Math. Oxon B), 5 A954),
271—290. [IX.1]
M. G., G u g e n-
l) Ссылка типа [Х.8] указывает то место в книге (здесь гл. X, § 8), где
упомянута соответствующая статья.
Барратт, Гугенгейм, Мур (Barratt
heitn V. К. А. М. and М о о г е J. С.)
On semisimplicial fibre bundles,.Am. J. Math.,81 A959), 639—657. [VIII.9]
Басе (Bass H.)
Finitistic dimension and a homological generalisation of semi-primary
rings, Trans. AMS, 95 A960), 466—488. [V.4; VIL1]
Батлер, Хоррокс (Butler M. С. R. and Horrocks G.)
Classes of extensions and -resolutions, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 254
A961), 155—222. [XII.4]
Бокштейн (Bockstein M.)
Sur le spectre d'homologie d'un complexe, C.R. Acad. Set. Paris, 247
A958), 259—261. [V.ll]
Sur la formule des coefficients universels pour les croupes d'homologie,
C.R. Acad. Sci. Paris, 247 A958), 396—398. [V.ll]
Борель (Borel A.)
Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces homogenes
de groups de Lie compacts, Ann. of Math., 57 A953), 115—207. [VI.9]
Nouvelle demonstration d'un theofeme de P.A. Smith, Comment. Math.
Helv., 29 A955), 27—39. [XI.11]
Браудер (Browder W.)
Torsion in Я-spaces, Ann. of Math., 74 A961), 24—51. [II.4; XI.5]
Брауер (Brauer R.)
Untersuchungen fiber die arithmetischen Eigenschaften von Gruppen linea-
rer Substitutionen. I., Math. Z., 28 A928), 677—696. [III.11]
Браун (Brown E. H., Jr.)
Twisted Tensor Products. I, Ann. of Math., 69 A959), 223—246. [VIII.9]
(Имеется русский перевод: Браун Е., Скрещенные тензорные
произведения, I, сб. Математика, 6 : 1 A962).)
Буксбаум (Buchsbaum D. А.)
: Exact categories and duality, Trans. AMS, 80 A955), 1—34. [IX.2] (Име-
(Имеется русский перевод в книге: Картав А. иЭйленберг С,
Гомологическая алгебра, ИЛ, М., 1960.)
A note on homology in categories, Ann. of Math., 69 A959), 66—74. [XII.4;
Satellites and universal functors, Ann. of Math., 71 A960), 199—209.
[XII.4; XII.9]
33—353
V
514
Библиография
Бурбакн (Bourbaki N.)
Algebre Multilinear (гл. Ill книги II в Elements de Mathematique),
Hermann, Paris, 1948; 2-е изд., 1951. [V.ll] (Имеется русский перевод:
Бур баки Н., Алгебра (алгебраические структуры, линейная
и полилинейная алгебра), Физматгиз, М., 1962.)
Б э р (В a er R.)
Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen. Math. Z., 38 A934).
375-416. [III.11; IV.11]
Automorphlsmen von Erweiterungsgruppen, Actualites Scientifiques et
Industrielles, № 205, Paris, 1935. [III. 11; IV.ll] Abelian groups that are
direct summands of every containing abelian group, Bull. AMS, 46
A940), 800—806. [III.11] ,
Веддербарн (Wedderburn J. H. M.)
Homomorphisms of groups, Ann. of Math., 42 A941), 486—487. [II.9]
В е н к о в Б. Б.
Алгебры когомологий, ДАН СССР, 127 A959), 943—944. [XI.11]
Габриэль (Gabriel P.)'
Des categories abeliennes, Bull. Soc. Math. France, 90 A962), 323—448.
[IX.2]
Галълерн (Halpern E.)
Twisted polynomial hyperalgebras, Memoir AMS, 29 A958), Providence.
[VI.9]
Гёдель (G б d e 1 К.) :
The consistency of the continuum hypothesis, Ann. of Math., Studies 3,
Princeton, 1940. [1.7]
Гёльдер (Holder O.)
Die Gruppen der Ordnungen'p», p<?a, pqr, p*, Math. Ann., 43 A893) 301—412
(особенно § 18). [III.ll]
Гильберт (HilbertD.)
Ober die Theorie der Algebraischen Forrnen, Math. Ann., 36 A890), 473—
534. [VII.6J '
Годеман (Godemeni R.)
Theorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1958. [1.8; IX.4] {Имеется русский
перевод: Г о д е м а.н Р., Алгебраическая топология и теория пучков,
ИЛ, М., 1961.)
Грей (Gray J. W.)
Extensions of sheaves of algebras, ///. J. Math., 5 A961), 159—174. {X.13]
Extensions of sheaves of associative algebras by non-trivial kernels., Рас
/. Math., 11 A961), 909—917. [X.13]
Грёбнер (Grobner W.)
Ober die Syzygi en-Theorie der Polynomideale, Monatsh. Math., 53 A949)
1-16. [VII.6] "'
Г p и н (G г е е п J. A.) -
On the number,of automorphisms of a finitegroup, Proc. Roy. Soc. London.
Ser. A, 237 A956), 574—581 i [XI.HJ
Библиография
515
Гротендик (Grothendieck A.) i'.
Sur quelques points d'algebre homologique, Tohoku Math. J., 9 A957),
119—221. [XI.2; IX.4; XII.8] (Имеется русский перевод: Г р о т е и-
дик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, ИЛ, М.,
196Ц
Гротеиди.к (с Дьедонне) (Grothendieck A. with D i e u-
d о n n e J.)
Elements de geometrie algebrique. I, II,
Etudes, Paris, 1960, 1961, Mr 4, 8. [1.8]
Pub. Math. Inst. des Hautes
Грюнберг (Gruenberg K. W.)_
Resolutions by relations, /. London Math. Soc, 35 A960), 481—494. [X.5J
Гугенгейм (Gugenheim V. К- А. М.) . ¦ •¦:
On a theorem of E.H. Brown, III. J. Math., 4 A960), 292—311. [VIII.9]
On extensions of algebras, co-algebras and Hopf algebras I., Am. J. Math.,
84 A962), 349—382.
Гугенгейм, Myp (Gugenheim V. K. A. M. and Moore J. C.)
Acyclic models and fibre spaces, Trans. AMS, 85 A957), 265—306. JjVIH.7;
XI.lll
Г у р е в и ч (H u r e w i с z W.) , , -
Beitrige zur Topologie der Deformationen, Proc. Acad. Amsterdam 38
A935), 112—119, 521—538; 39 A936), 117—125, 215—224. [IV.ll]
On duality theorems, Bull. AMS, abstract 47—7—329, 47 A941), 562—
563. [I.8I
Джекобсон (Jacobson N.)
Structure of rings, AMS, Providence, 1956; (Имеется русский перевод:
Джекобсон Н., Строение колец, ИЛ, М., 1961.)
Lie algebras, New York [Interscience], John Wiley & Sons, 1962. [X.13}
(Имеется русский перевод: Джекобсон Н., Алгебры Ли; «Мир»,
М., 1964.)
Д ж е н с (J a n s J. Р.)
Duality in Noetherian rings, Proc. AMS,_ A961); 829—835. [V.4; VII.7J
Диксмье (Dixmier J.) • :
Homologie des anneaux de Lie, Ann. Set. Ecole Norm. Sup., 74 (J957),
25-83. [X.13]
Дольд (Doid A.) .I..-' .-
Homology of symmetric products and other functors of complexes, Ann.
of Math., 68 A958), 54—80. [VIII:5] '
Zur Homotopietheorie der Kettenkomplexe, Math. Ann., 140 (I960),
278—298. [II.4] (Имеется русский перевод: До льд А., К гомотопи-
гомотопической теории цепных комплексов, сб. Математика, 7: 2 A963).)
Ober die Steenrodschen Kehomologieoperationeti,- Ann: of Math., 73 (I96t),
: 258—294. [VIII.8] (Имеется русский перевод: Д о ль д, А-, О когрмоло-
гических операциях Стинрода, сб., Математика, 7 : 6; (;19.63)-) . -
Дольд, Пуппеф old A. and Puppe D.) . ; ,; , . г- ;
Homologie nicht-additiver Funktoren; Anwendupgen, Ann, Inst. Fourier,
11 A961), 201—312. [XII.9] .... --¦¦;¦¦.
33*
516
Библиография
Дьедонне (Dieudonne J.>
Remarks on quasi-FrobeniuS rings, ///. /. Math., 2 A958), 346—354. [V.4]
Зееман (Z e e m a n E. C.)
A proof of the comparison theorem for spectral sequences, Proc. Camb.
¦Phil. Soc, 53 A957), 57—62. [XI.11J
И в е н с (E v e n s L.)
The cohomology ring of a finite group, Trans. AMS, 101 A961), 224—239.
[XI.11 ]
Ионеда (Yoneda N.)
On the homology theory of modules, /. Fac. Sci. Tokyo, Sec. I, 7 A954),
193-227. [III.11]
Notes on products in Ext, Proc, AMS, 9 A958), 873—875. [VIII.4]
On Ext and exact sequences. /. Fac. Sci. Tokyo, Sec. I, 8 A960), 507—526
[III.ll; XII.4; XII.9]
К a H (K a n D. M.)
( ! ; Adjoint functors, Trans. AMS, 87 A958), 294—329. [IX.6] (Имеется рус-
\; ский перевод: К а н Д. М., Сопряженные функторы, сб. Математика,
V 3:2 A959).)
A combinatorial definition on homotopy groups, Ann. of Math., 67 A958),
282-312. [VIII.5]
Каплаиский (К a p 1 a n s k у I.)
On the dimension of modules and algebras. X, Naeoua Math. J., 13 A958),
85-88. [VII.l] .
Картан (Cartan H.)
: Sur la cohomologie des espaces ой opere un groups, C.R. Acad. Sci. Paris,
, 226 A948), 148—150, 303—305. [XI.7]
Seminaire de topologie algebrique, 1950—1951. (Ecole Norm. Sup.), Paris,
J951. [III.ll]
Extension du theoreme des «chatnes de syzygies». Rend. Matem. Appl.
Roma, 11 A952), 156—166. [VII.6]
Sur les groupes d'Eilenberg —MacLane H (П, n): I. Methode des construc-
constructions; II., Proc. NAS USA, 40 A954), 467—471, 704—707. [X.13]
^Имеется русский перевод: Картан А., Алгебры когомологий про-
пространств Эйленберга — Маклейна, сб. Математика, 3:5, 3:6 A959).)
-Seminaire (Ecole Norm. Sup.), Algebres d'Eilenberg — MacLane et Homo-
topie, Paris, 1955. [X.12; XI.11]
Хартан, Лерэ (Cartan H. and L e г а у J.)
Relations entre anneaux d'homologie et groupe de Poincare, Colloque
Topologie Algebrique, Paris, 1949, 83—85. [XI.7]
.Картан, Эйленберг (Cartan H. and E i 1 e n b e r g S.)
Homological algebra, Princeton, 1956. (Имеется русский перевод: Rap-
танА. и Эйленберг С, Гомологическая алгебра, ИЛ, М., 1960.)
К а ш (К a s с h F.) ¦' ¦ ¦ ; ¦ •
¦:¦¦• Dualitatseigenschaften von Frobenius-Erweiterungen, Math. Z., 77 A961),
219—227. [VII.7] :
Библиография
517
Келли.Питчер (Kelley J. L. and Pitcher E-)
Exact homomorphism sequences in homology theory, Ann. of Math., 48
A947), 682—709. [1.8]
К л е й с л и (К 1 е i s I i H.)
Homotopy theory in Abelian categories, Can. J. Math., 14 A962), 139— W-
169. .1X11.4]
К о н (С о h n P. M.)
On the free product of associative rings, Math. Z., 71 A959), 380—398?
73 (J960), 433-456. [VI.4]
К о с у л ь (К о s z u I J. L.)
Sur les operateurs de derivation dans un anneau, C. R. Acad. Sci. Paris;
225 A947), 217—219. [XI.ll]
Sur un type d'algebres differentielles en rapport avec la transgression,
Colloque de topologie, Brussels, 1950, 73—81. [VII.2]
Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bull. Soc. Math. France, 78
A950), 65-127. [X.13]
Кохендёрфер (Kochendorffer R.)
Ober den Multiplikator einer Gruppe, Math. Z., 63 A956), 507—513. [IVJ1]
К У Д о, Араки (К u d о Т. and Araki S.)
Topology of tfn-spaces and Я-squaring operations, Mem. Fac. Sci. Kyusyu
Univ., Ser. A, 10 A956), 85—120. [XI.ll]
К ю н н е т (K u n ri e t h H.) !
Ober die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit, Math. Ann.,
90 A923), 65—85.. [V.10]
Ober die Torsionzahlen von Produktmannigfaltigkeiten, Math. Ann.,
91 A924), 125—134. [V.10] , ; .
Лаибек (Lambek J.)
Goursat's theorem and the Zassenhaus lemma, Can. J. Math., 10 A958),
45—56. [II.9] .
Л е н г (L a n g S.) :
Review of «Elements de geometrie algebrique», Bull. AMS, 67 A961),
239—246. [1.8]
Л e p э (L e г а у J.) : .
Structure de l'anneau d'homologie d'une representation, C. R. Acad.
Sci. Paris, 222 A946), 1419—1422. [XI.2; XI.ll]
L'anneau spectral et l'anneau filtre d'homologie d'un espace localement
compact et d'une application continue, J. Math. Pures Appl., 29 Ш50),
1—139. [XI.2; XI.ll]
L'homologie d'un espace fibre dont la fibre est connexe, /. Math. Pures
Appl., 29 A950), 169— 213. [XI.2; XI.ll] .: .
Лефшец (Lefschetz S.)
Algebraic topology, AMS, New York, 1942. (Имеется русский перевод:
Лефшец С, Алгебраическая топология, М., 1949.)
Линдон (Lyndon R. С.)
The cohomology theory of group extensions, Harvard University. Thesis,
1946. [XI.10; XI.ll]
518
Библиография
The cohomology theory of group extensions; Duke Math. J., 15 A948),
271-292...{XI.10; XI.1.1) , , • - ¦..
Cohomology theory of groups with a single defining relation, Ann. of Math.,
52 A950), 650—665. [X.5]
Л цу д e в и яу с А. ( L i ,u l.e v i с i u s A.)
The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology ope-
operations, Proc. NAS USA, 46 A960), 978—981. [X.8]
Д О р е н ц е н (L о r e n z e n P.)
Uber die Korrespondenzen einer Struktur, Math. Z., 60 A954), 61—65.
til. yj
Л ю 6 к и н (L u b k i n S.)
Imbedding of abelian categories, Trans. AMS, 97A960), 410—417. [XII.3]
M а й e p (May e г W.)
Ober abstrakte Topologie. I und II., Monatsh. Math. u. Physik, 36 A929),
1-42, 219-258. [II.9]
Topologische Gruppensysteme, Monatsh. Math. u. Physik, 47 A938/1939),
40—86. [II.9]
Мекки-' (Mac Ice у Q. W.)
Unitary representations of group extensions. I., Ada Math., 99 A958),
265-311. fl V.I J] , . , .. i /.
Маклейн (MacLane S.)
Duality for groups, Bull. AMS, 56 A950), 485—51«. [IX.2}
,. Slide and torsion products for modules, Rend, del Sent. Math. Torino,
' 15A955/1956), 281-309. IV.ГЦ"
, Homologie des anneaux et des modules, Colloque de Topologie algebrique,
' Louvain, 1956, 55—80. [X.13]
Extensions and obstructions for rings, ///. J. Math., 2 A958), 316—345.
[X.13]
Group extensions by primary abelian groups, Trans. AMS, 95 A960),
1-16. [II.4; XII.4]
Triple torsion products and multiple Runneth formulas, Math. Ann.,
140 A960), 51—64. [XII.9]
i .f An algebra of addiitve relations, Proc. NAS USA, 47 A961), 1043—1051.
vv til.9] (Имеется русский перевод: М а к л е й н С, Алгебра аддитивных
отношений, сб. Математика, 7 : 6 A963).)
Locally small categories and the foundations of set theory, Infinitistic
Methods (Warsaw symposium, 1959), Oxford, 1961. [1.8; IX.2]
Ma колей (М а с a u 1 e у R. A.)
Analytic group kernels and Lie algebra kernels, Trans. AMS, 95 A960),
530—553. [X.13]
M а с с и (M a s s е у W. S.) ,
Exact couples in algebraic topology, Ann. of Math., 56 A952), 363—396.
[XI.5; XI.11]
On the universal coefficient theorem of Eilenberg and MacLane, Bol.
Soc. Mat. Мех. B), 3 A958), 1—12. [III. 11]
M а т л и с (M a 11 i s E.)
Injective modules over Noetherian rings, Рас. J. Math., 8 A958), 511—528.
[III.ll]
'Библиография
519
Applications of duality, Proc. AMS, 10 A959), 659-662. [VII 1J
Modules with descending chain condition, Trans. ;AMS, 97 A960), 495— у
508. [VI 1.7]
Милнор (Milnor J.)
The Steenrod algebra and its dual, Ann. of Math., 67 A958), 150—171.
[VIII.8]
Мнлнор, Myp (Milnor J. and M о о r e J. С.)
On the structure of Hopf algebras, Forthcoming. [VI.9]
Митчелл (Mitchell B.)
The full embedding theorem, Am. J. Math., 86 A964), 619—637. [IX.4;
XII.3; XII.9]
Морнта (Morita K.)
Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum
condition., Sci. Rep. Tokyo KyoikuDaigaku; See, A, 6 A958), 83—142. [V.4]
Нагата (Nagata M.) . . . ... . . -.
A general theory of algebraic geometry over TJedekind rings/ II., Am. J.
Math., 80 A958), 382—420. [VII.7]
Накаяма (Nakayama T.)
On the complete cohomology theory of Frobenius Algebras, Osaka Math. 'Л,
9 A957), 165—187. IVII.7]
Накаяма, Цудзуку (Nak ay a m a !T. and Tsuzuku T.)
On Frobenius extensions. -I,'-И, Nagoya Math. J., 17 A960), 89—110;
19 A961), 127—148. [VII.7]
H e й м а н (N e u m a n n В. Н.) N
An essay on free products of groups with amalgamations, Phil. Trans.
Roy. Soc. London, A 246 A954), 503—554. [XII.I]
H о р с к о т т (N о r t h с о t t D. G.) . , , , 1
Ideal theory, Cambridge, 1953.
An introduction to homological algebra, Cambridge, 1960. [VII. 1]
H у н к e (N u n k e R. J.)
Modules of extensions over Dedeki'nd rings, ///. /. Math., 3 A959), 222—
241. [XII.4]
Палермо (Palermo F. P.)
The cohomology ring of product complexes, Trans. AMS, 86 A957), 174—
196. [V.ll]
П у п п e (P u p p e D.) . -Sjjl
Homotopie und Homologie in Abelschen Gruppen und Monoidkomplexen,
1.П., Math. Z., 68 A958), 367-406, 407-421. ¦ '
Korrespondenzen in Abelschen Rategorien, Math. Ann., 148 A962), 1—30. t f
[XII.3] (Имеется русский перевод: П у п п е Д., Соответствие в абеле- v,V
вых категориях, сб. Математика, 8:6 A964).)
Редей (Redei L.)
Die Verallgemeinerung der Schreierschen Erweiterungstheorie, Ada Set.
Math. Szeged, U A952), 252—273. [X43]
520
Библивграфая
Р ё р л ь. (R б h r 1 Н.) . •. - , ¦¦;...
Ober Satelliten halbexakter Funktoren, Math. Z., 79 A962), 193—223.
[XII.9]
Pi (Нее R.)
Lie elements and an algebra associated with shuffles, Ann. of Math., 68
A958), 210—220. [X.13]
Рим (Rim D.S.)
Modules over finite groups, Ann. of Math., 69 A959), 700—712.
Роз e (R ose I. H.)
On the cohomology theory for associative algebras, Am, J. Math., 74
A952), 531—546. [X.7]
Розенберг, Зелинский (Rosenberg A. and Z e 1 i n s k у D).
Cohomology of infinite algebras, Trans. AMS, 82 A956), 85—98. [X. 3]
Сендрен (Szendrei J.)
On Schreier extension of rings without zero-divisors, Publ, Math. Debre-
Debrecen, 2 A952), 276—280. [X.13]
Cepp (Serre J,-P.)
Homologie singuliere des espaces fibres. Applications, Ann. of Math.,
54 A951), 425—505. [XI.2; XI.11]
Sur la dimension homologique des anneaux et des modules noetheriens.
Proceedings. Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo, 1956,
175—189. [VII.7]
Algebre locale — Multiplicites (notes written by P. Gabriel), Paris,
! v 1957/1958. [VII.7] (Имеется русский перевод: Серр Ж--П., Локальная
l т-j алгебра и теория кратностей (курс лекций, записанный П. Габриэлем),
У сб. Математика, 7: 5 A963).)
Стинрод (Steenrod N. Е.)
The topology of fibre bundles, Princeton, 1951. [XI.2]
Cyclic reduced powers of cohomology classes, Proc. NAS USA, 39 A953),
217—223. [IV. 7; VI11.8]
The cohomology algebra of a space, L'Ens. Math., II, ser. 7 A961), 153—
178. [VI1I.8]
Стинрод, Эпштейн (Steenrod N. E. and E p s t e i n D. B. A.)
Cohomology operations, Lectures by N. E. Steenrod, written and revised
by D.B.A. Epstein, Annals of Math. Studies 50, Princeton, 1962. [XIII.8]
С у он (Swan R. G.)
A simple proof of the cup product reduction theorem, Proc. NAS USA,
46 A960), 114—117, [VIII,8; VIII.9]
Induced representations and protective modules, Ann. of Math., 71 A960),
552—578. (Имеется русский перевод; Су он Р., Индуцированные
представления и проективные модули, сб. Математика, 8 : 1 A964).)
Тейхмюллер (Teichmuller О.)
Ober die sogenannte nicht kommutative Galoissche Theorie und die Rela-
Relation.... Deutsche Math., 5 A940), 138—149. [IV.ll]
Библиография
521
T э й т (Т a t e J.)
The higher dimensional cohomology groups of class field theory, Ann. of
Math., 56 A952), 294—297. [IV.ll]
Уайтхед (Whitehead J. H. C.)
A certain exact sequence, Ann. of Math., 52 A950), 51—110. [XII.91
On group extensions with operators, Q. J. Math. OxonB), 1 A950), 219—228.
Уитни (Whitney H.)
Tensor products of abelian groups, Duke Math. J.,4 A938), 495—528. [V, 111
У о л л (Wall СТ. С.)
Resolutions for extensions of groups, Proc. Camb. Phil. Soc, 57 A961)„
251—255. [X.5]
On the cohomology of certain groups, Proc. Camb. Phil. Soc, 57 A961),.
731—733. [X.5]
Уоллес (Wallace A. H.)
An introduction to algebraic topology, Pergamon, London, 1957. [11.91
У о т т с (W a t t s С. Е.)
Intrinsic characterizations of some additive functors, Proc. AMS, 11 (I960),.
5-8. [XII.9]
Фаделл, Гуревич (Fadell E. and H u r e w i с z W.)
On the structure of higher differential operators in spectral sequences,.
Ann. of Math., 68 A958), 314—347. [XI.3; XI.11]
Федерер (Federer H.)
A study of function spaces by spectral sequences, Trans. AMS, 82 A956),.
340—361. [XI. 11]
Фиттинг (Fitting H.)
Beitrage zur Theorie der Gruppen endlicher Ordnung, Jber. DMV, 48-
A938), 77—141. [IV.ll]
Фрейд (Freyd P.)
Functor theory, Dissertation, Princeton University, 1960. [XII.3]
Фрейденталь (Freudenthal H.)
Der EinfluB der Fundamentalgruppe auf die Bettischen Gruppen, Ann~
of Math., 47 A946), 274—316. [IV.ll]
Фрелих (Frohlich A.)
On-groups over ad. g. near ring. II. Categories and functors, Q. /. Math. Oxon
B), 11 A960), 211—228.
Non Abelian homological algebra. I. Derived functors and satellites,.
Proc. London Math. Soc, C), 11 A961), 239—275; II. Varieties, Proc-
London Math. Soc, C), 12 A961), 1—28.
Ф р у x т (Fr u с h t R.)
Zur Darstellung endlicher Abelscher Gruppen durch Kollineationen,.
Math. Z.,63 A955), 145—155. [IV.ll]
522
Библиография
•Ф у к с (F u с h s L.)
Abelian groups», Budapest, 1958. Also published by Pergamon Press, Oxford
and New York, 1960. .
Notes on Abelian groups. I., Ann. Univ. Sci. Budapest, Sec. Math., 2 A959),
5-23. [XII.4]
X a p p и с (Ha i r i s В.)
Cohomology of Lie triple systems and Lie algebras with involution, Trans.
AMS, 98 A961), 148—162. [X.13]
X a p p и с о н (H a r r i s о n D. K.)
Infinite Abelian groups and homological methods, Ann. of Math., 69 A959),
366—391; 71 A960), 197. [XII.4] ¦
Commutative algebras and cohomology, Trans. AMS, 104 A962), 191—204.
[X.13]
Хассе, Брауер, Нётер (Hasse H., Brauer R. and N о е-
t h e r E.)
Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren, /. reine angew.
Math., 167 A932), 399—404. [III. 11]
X а т т о р и (H a t t о г i A.) ¦)¦¦•'
Qh fundamental exact sequences., /. Math. Soc. Japan, 12 A960), 65—80
[XI. 11, ynp. 4]
\ X e л л e j) (H e 11 e r A.) ^
Homological algebra in Abelian categories, Ann. of Math., 68 A958),
484—525. [XII.4; X.I 1.6]
Хилтон, Ледерман (Hilton P. J. and Ledermann W,)
Homology .and ringoids. I., Proc. Camb. Phil. Soc, 54 A958).' 152—16"?.
[IX.l] •
Хилтон, Рис (Hilton P. J. and R e e s D.)
Natural maps of extension functors and a theorem of R. G. Swan, Proc.
Camb. Phil. Soc, 57 A961), 489—502. [XII.9]
Хилтон, Уайли (Hilton P. J. and W у 1 i e S.)
Homology theory. Cambridge, 1960. [II.9; VIII.9; XI.7] (Имеется русский
Перевод: Хилтон П. Дж., Уайли С, Теория гомологии и введение
в алгебраическую топологию, «Мнр», М., 1966.)
Холл (Hall M.)
Group rings and extensions. I., Ann, of Math., 39 A938), 220—234,. [IV.ll]
X о n ф (Н о р f H.)
Ober die Abbildungen der dreidimensionalen Spahre auf die Kugelflache,
Math. Ann., 104 A931), 637—665. [XI.2]
Ober die Abbildungen von Spharen auf Spharen niedrigerer Dimension,
Fund. Math., 25 A935), 427^440. [XI.2]
Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. Math. Helv.,
14 A941/1942), 257—309. [IV. 11]
Relations between the fundamental group and the second Betti group,
Lectures in topology, Ann Arbor, 1942. [IV.ll]
Ober die Bettischen Gruppen, die zu einer beliebigen Gruppe gehoren,
Comment. Math. Helv., 17 A944/1945), 39—79. [III.11; IV.ll}
Библиография
523
Хохшильд (Hochschild G.) '• •
On the cohomology groups of an associative algebra, Ann. of Math., 46
П945), 58—67. [VII. 4; VII.71
On the cohomology theory for associative algebras, Ann. of Math., 47
A946), 568—579. [VI1.7]
Cohomology and representations of associative algebras, Duke M. J.,
14 A947), 921-948. [VII.4; IX.3; X.13]
Local class field theory, Ann. of Math., 51 A950), 331—347. {IV.ll]
Cohomology classes of finite type and finite dimensional kernels for
Lte algebras, Am. J. Math., 76 A954), 763—778. [X.13J
Lie algebra kernels and cohomology, Am. J. Math., 76 A954), 698—716.
Relative homological algebra, Trans. AMS, 82 A956), 246—269. [IX.8;
XII.4]
Хохшильд, Cepp (Hochschild С and.Serre J.-P.)
Cohomology of group extensions, Trans. AMS, 74 A953), 110—134. [XI.10;
XI.11]
X убер, (Huber P. J.) . .
Homotppy theory in general categories, Math. Ann., 144 A961), 361—385
X у Сы-Цзян (Ни S.-T.)
Homotopy theory, Academic Press, New York and London, 1959. [XI. 2;
XI.7] (Имеется, русский перевод: Ху Сы-Цзян, Теория гомотопий,
€Мир>, М., 1964.)
Чех (С ech E.j -¦» •
Les groupes de Betti d'un complex infini, Fund. Math., 25 A935), 33—
44. [V.ll] . .
Цассеихауз (Zassenhaus H.)
The theory of groups, 2nd ed., New York, 1958 (оеобейно стр. 237; морфиз-
мы). [11.9]
Шевалле (Chevalley С.) - ¦ ;
Fundamental concepts of algebra, Academic Press, New York, 1956. IVI.9]
Шевалле, Эйленберг (Chevalley, С. and E i 1 e n b e r g S.)
Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras, Trans. AMS, 63 A948),
85—124^, [X.13]¦* ' ' .''..':
HI м и д (Sc h m i d J.)
Zu den Reduktionssatzen in der homologischen Theorie der Gruppen,
Archiv der Math., 15 A964), 28—32. [IX.7] -
Ш.пехт (Spech t W.)
Gruppentheorie, Berlin — Gottingen — Heidelberg: Springer 1956. [XII.1]
HI p ей e p (S ch r ei er O.)
Ober die Erweiterungen von Gruppen. I., Monatsh. Math. u. Phys., 34
A926), 165—180; II. Abh. Math. Sent. Hamburg, 4 A926), 321—346. [III.It;
HI у к л a (S h u k 1 a U.) .
Cohomqlogie' des algebres associatives, Ann. Sci. Ecole Norm., Sup.', 78
A961)^163^209. [X.13] ¦"-'¦'- ¦ ¦ '
524
Библиография
Библиография
525
Ща рба (Szcz аг b a R. Н.) ¦¦ :
The homology of twisted cartesian products, Trans. AMS, 100 A961),
197—216. [VIII.9] ;
Э в e p e тт (E v e r e t t С J.)
An extension theory for rings, Am. J. Math., 64 A942), 363—370. [X.13J
Эйленберг (Eilenberg S.)
Singular homology theory, Ann. of Math., 45 A944), 407—447. [II.9]
Homology of spaces with operators. I., Trans. AMS, 61 A947), 378—417.
Homological dimension and syzygies, Ann. of Math., 64 A956), 328—336.
Errata thereto: Ann. of Math., 65 A957), 593. [VII.6; VII.7]
Abstract description of some basic functors, /. Indian Math. Soc, 24 A960),
231—234. [XIII.9]
Эйленберг, Зильбер (Eilenberg S. and Zilber J. A.)
Semi-simplicial complexes and singular homology, Ann. of Math., 51 A950),
499—513. [VIII.5]
On products of complexes, Am. J. Math., 75 A.953), 200—204. [VIII.51
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S. and M а с L a n e S.)
Group extensions and homology, Ляп. of Math., 43 A942); 757^-831 [HI.11;
ХП.4]
Relations between homology and homotopy groups, Proc. NAS USA,
29 A943), 155—158. [IV.ll]
General theory of natural equivalences, Trans. AMS, 58 A945), 231—294.
[1.8]
Relations between homology and homotopy groups of spaces, Ann. of Math.,
46 A945), 480—509. [IV.ll]
Cohomology theory in abstract groups. I., Ann. of Math., 48 A947), 51—78.
[VIII.5; VIII.9]
Cohomology theory in abstract groups. II. Group extensions with a non-
abelian kernel, Ann. of Math., 48 A947), 326—341. [IV.9]
Cohomology and Galois theory. I., Normality of algebras and Teichrmil-
ler's cocycle, Trans. AMS, 64 A948), 1—20.
Homology of spaces with operators, II., Trans. AMS, 65 A949), 49—99.
IXI.7]
Relations between homology and homotopy groups of spaces. II., Ann. of
Math., 51 A950), 514—533. [XI.7]
Cohomology theory of Abelian groups and homotopy theory. I., Proc. MAS
USA, 36 A950), 443—447. [X.13]
Homology theories for multiplicative systems, Trans. AMS, 71 A951),
294--330. [X.12; X.13]
Acyclic models, Am. J. Math., 75 A953), 189—199. [VIII.7; VIII.8J
On the groups Я (П, и). I., Ann. of Math., 58 A953), 55—106. [VIII.5;
X.12]
On the groups H (П, я). II. Methods of computation., Ann. of Math., 60A954),
49—139. [X. 11; XII.9]
On the groups H (П,я). III. Operations and obstructions, Ann. of Math.,
60 A954), 513—557.
On the homology theory of Abelian groups, Can. J. Math., 7 A955), 43—55.
[X.12]
Эйленберг, Myp (Eilenberg S. and Moore J.)
Limits and spectral sequences, Topology, 1 A962), 1—23. [XI.11]
Эйленберг, Стинрод (Eilenberg S. and Steenrod N.)
Foundations of algebraic topology, Princeton, 1952. [II.9] (Имеется русский
перевод: Стинрод Н. и Эйленберг С, Основания алгебраи-
алгебраической топологии, Физматгиз, М., 1958.)
Helv.,
Экман (Eckmann В.)
Der Cohomologie-Ring einer beliebigen Gruppe, Comment. Math.
18 A945—1946), 232—282. [IV.ll; VIII.9]
Zur Cohomologietheorie von Raumen unj Gruppen, Proc. Int. Cong. Math.
Amsterdam A954) III, 170—177. [VIII.9]
Экман, Хилтон (Eckmann В. and Hilton P. J.)
On the homology and homotopy decomposition of continuous maps, Proc.
NAS USA, 45 A959), 372—375.
Homotopy groups of maps and exact sequences, Comment. Math. Helv,,
34 (I960), 271—304.
Экман, Шопф (Eckmann В. and S с h о р f A.)
Ober injektive Moduln, Archiv Math., 4 A953), 75—78. [III. 11; IX.4]
Эресман (Ehresmann C.)
Gattungen von lokalen Strukturen, Jber DMV, 60 A957), 49—77. [1.8]
Ямагути (Yamaguti R.)
On the cohomology space of a Lie triple system, Kumamoto J. Set., A,
5 (I960), 44—51. [X.13]
Дополнительная библиография
Бенабу (Benabou J.), Categories avec multiplication, C. R. Acad.
Set. Paris, 256 A963), 1887—1890.
Algebre elementaire dans les categories avec multiplication, C. R. Acad.
Sci. Paris, 258 A964), 771—774.
Б е р м а н Г. Х., Функторы в категории локально компактных пространств,
ДАН СССР 154, 3 A964), 497-499.
Бурмистрович И. Е., Вложение аддитивной категории в категорию
с прямыми произведениями, ДАН СССР, 132, 6 A960), 1235—1237.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Категории конечномерных про-
пространств, Вестник МТУ, сер. 1.,~Матем., мех., № 4 A963), 27—48.
Годеман (Godement R.), Theorie des faisceaux, Hermann, Paris,
1958.
Грей (Gray J. M.), Sheaves with values in a category, Topology (to appear).
Гротендик (Grothendieck A.), Sur quelques points d'algebre
homologique, Tdhoku Math. J., 9 A957), 119—221.
Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique,
II, Seminaire Bourbaki, 12 A959/1960), exp. 195, Secretariat Mathemati-
que, Paris, 1961.
Technique de construction en geometrie analytique. IV, Formaltsme general
des foncteurs representables, Seminaire H. Cartan 13 A960/1961), exp. 11,
Secretariat Mathematique, Paris, 1962.
Гротендик и Дьедонне (Grothendieck A. and D i e u-
d о n n ё J.), Elements de geometrie algebrique, Vol. Ill, Publ. Math.
Inst. des Hautes Etudes, 11 A961), 1—167.
>/
526
Библиография
Дженс (Jans J. P.), Rings and homology, Holt, Rinehart and Winston,
New York, 1964.
Дедекер, Мерш (Dedecker P., Mersch J.), Precategories et
relations d'equivalence dans les categories, С R. Acad Sci. Paris, 256
A963), 4811—4814.
Диксон (Dickson S. E.), A torsion theory for abelian categories
(to appear).
Дол ь д (D о 1 d A.), Lectures on homotopy theory and half exact functors.
Notes taken and prepared by F. Oort, Mathematisches Institut, Amsterdam,
1964.
Зильбер (Zilber J. A.), Categories in homotopy theory, Dissertation,
Harvard University, Cambridge, Mass., 1963.
Зоннер (Sonner J.), On the formal definition of categories, Math. Z.,
80A962), 163—176.
Universal and special problems, Math. Z., 82 A963), 200—211.
Исбелл (Isbell J. R.), Natural sums and direct decompositions, Duke
Math.J., 27 A960), 507—512.
Subobjects, adequacy, completeness, and categories of algebras, Rozprawy
Mat., 36 A964), 3—32.
Two set-theoretical theorems in categories, Fund. Math., 53 A963),
43-49.
К а н (Kan D. M.), Adjoint functors, Trans. Amer. Math. Soc, 87 A958),
294—329.
К ел л и (Kelly G. M.), Tensor products in categories. I, /. Algebra (to
appear).
Complete functors in homology» I, II, Proc Cambridge Philos. Soc,
'60 A964), 721—735; 737—749.
On MacLane's conditions for coherence of natural associativities, commu-
tativities, etc., /. Algebra (to appear).
Кеннисон (Kennison J. F.), Reflective functors in general topology
and elsewhere, Trans. Amer. Math. Soc. (to appear).
Ковальский (Kowalsky H. J.), Kategorien topologischer Raume,
Math. Z., 77 A961), 249—272. . .
Кон (Colin P. M.), Universal algebra, Harper, New York, 1965.
К У р о ш А. Г., Прямое разложение в алгебраических категориях, Труды
Моск. Мат. об-ва, 8, 1959, 319—421.
К у р о ш А. Г., Л и в ш и ц А. X., Ш у л ь г е й ф е р Е. Г., Основы теории
категорий, УМЯ, XV, 6 A960), 3—52.
Л ей хт (L e i с h t J. В.), On commutative squares, Canad. J. Math.,
15 A963), 59—79.
Remarks on axiomatic theory of relations (to appear).
Лившиц А. X., Прямые разложения в алгебраических категориях.
Труды Моск. Мат. об-ва, 9, 1960, 129—141.
Прямые разложения с неразложимыми сомножителями в алгебраических
категориях, Матем. сб. (н. с), 51 A960), 427—458.
Сложение отображений и понятие центра в категориях, Матем. сб. (н. с),
60 A963), 159—184.
Лин тон (L i n t о n F. E. J.), The functorial foundations of measure
, theory, Dissertation, Columbia University, New Yorkt 1963.
Autonomous categories and duality, J. Algebra (to appear).
Л о ве p (L a w v e r e F. W.), Functorial semantics of algebraic theories,
Dissertation, Columbia University, New York, 1963.
Functorial semantics of algebraic theories, Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
50 A963), 869—872. ¦
Маклейн (MacLane S.), Natural associativity and commutativity.
Rice University Studies, 49, № 4 A963), 28—46.
Библиография
527
M и т я г и н Б. С, Ш в а р ц А. С, Функторы е категориях банаховых
пространств, УМН, 19 A964), 65—130.
Морита (Morita К.), Category isomorphisms and endomorphism rings-
of modules, Trans. Amer. Math. Soc., 103 A962), 451—469.
Нёбелинг (Nobeling G.)» Ueber die Derivierten des Inversen und
des dirketen Limes einer Modulfamilie, Topology, 1 A962), 47—61.
Нуазе (Nouaze Y.), Categories localement de type flni et categories.
localement noetheriennes, С R. Acad. Sci. Paris, 257 A963), 823—824.
О к у в a (Ohkuna Т.), Duality in mathematical structure,. Proc., Japan
Acad., 34 n958), 6—10.
О э р т (O 6 r t F.), Natural maps of extension functors, Nederl. Akad. Wetensch.,
ser. A 66, № 4-Indag. Math., 25,A963), 559—566.
Yoneda extensions in abelian categories, Math. Ann., 153 A964), 227—235. ъ
Poo с (Roos J. E.), Sur les foncteurs derivees de Um. Applications, С JR.
Acad. Sci. Paris, 252 A961), 3702—3704. *¦
Саму э л ь (Samuel P.), On universal mappings and free topologicai
groups, Bull. Amer. Math. Soc., 54 A948), 591—598.
Сегал (Seghal S. K-), Ringoids with minimum conditions, Math. Z.t
83 A964), 395—408.
Семадени (S e ш a d e n i Z.), Free and direct objects, Bull. Amer. Math,
Soc, 69 A963), 63—65.
Projectivity, injectivity, an.d duality, Rozprawy Mat., 35 A963), 1—47.
С т а ш е ф (S t a s h e f f J. D.), Homotopy associativity of Я-spaces. I,
Trans. Amer. Math. Soc, 108 A963), 273—292.
С у он (Swan R. G.), Theory of sheaves, Univ. Chicago Press, Chicago,
111., 1964.
У окёр К., У ок ер Е. (Walker С. L., W a 1 к е г Е. A.), Quotient
categories and rings of quotients (to appear).
Уотте (Watts С. Е.), Homological algebra of categories. I (to appear).
Флейшер (Fleischer I.), Sur le probleme d'application universelle-
de M. Bourbaki, С R. Acad. Sci. Paris, 254 A962), 3161—3163.
Фрейд (Freyd P.), Relative homological algebra made absolute, Proc.
Nat/ Acad. Sci. U.S.A., 49 A963), 19—20.
Abelian categories, Harper and Row, New York, 1964.
Фукс Д. Б., О гомотопической двойственности, ДАН СССР, 141, 4 A961),
818—821.
Об естественных отображениях функторов в категории топологических
пространств, Матем. сб., 62 A963), 160—179.
Фукс Д. Б., Шварц А. С., К гомотопической теории функторов в кате-
категории топологических пространств, Матем. сб., 62, A963).
Хелемский А. Я., Алгебры нильпотентных операторов и категории,
ассоциированные с ними, Вестник МГУ, сер. 1, матем., мех., № 4 A963),
49—55.
Хёнке (Н о е h n k e H. J.), Zur Theorie der Gruppoide, I, II, Math.
Nachr., 24 A962), 137—168, 169—179; III, Ada Math. Acad. Sci.
Hungar., 13 A962), 91—100; IV, V, Monatsh. Deutsche Akad. Wiss. Berlin,
4 A962), 337—342, 539—544.
Einige Bemerkungen zur Einbettbarkeit von Kategorien in Gruppen,
Math. Nachr., 25 A963), 179—190.
Хнггннс (HigginsP. J.), Presentations of groupoids, with applications
to groups, Proc Cambridge Philos. Soc, 60 A964K 7—20.
Хилтон (Hilton P. J.),. Note on free and direct products in general
categories, Bull. Soc. Math. Belg., 13 A961), 38—49.
X и л т о н, Л и д е р м а н (Hilton P. J., Leder талп W.), On
the Jordan-Holder theorem in homological monoids, Proc London. Math.
Soc, 10 A960), 321—334.
V
528
Библиография
Х
Х
Х
Ц
Ш
I/ Ш
(У •
илтон, Экман (Hilton P. J., Е с k m а п п В.), Hornotopy:groups
of maps and exact sequences, Comment. Math. Helv., 34 П960), 27Г—304.
Operators and cooperators in homotopy theory, Math. Ann., 141' (I960),
1-21.
Structure maps in group theory, Fund. Math., 50 A961/1962), 207—221.
Group-like structures in general categories, I, Math. Ann., 145 A961/1962),
227—255.
Group-like structures in general categories. II, Equalizers, limits, lengths,
Math. Ann., 151 A963), 150—186.
Group-like structures in general categories. Ill, Primitive categories,
Math. Ann., 150 A963), 165—187.
офман (Hofmann F.), Ueber eine die Kategorie der Gruppen umfas-
sende Kategorie, S.-B. Bayer., Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. (I960), 163—204.
убер (Huber P. J.), Standard constructions in abelian categories,
Math. Ann., 146 A962), 321—325.
ушек (Husek M.), S-categories, Comment. Math. Univ. Carolinae,
5 A964), 37—46.
а л е н к о М. С, К Основам теории категорий, УМН, XV, 6 A960), 53—58.
Правильные объединения н специальные подпрямые суммы в катего-
категориях, Матем, сб. (н. с), 57 A962), 75—94.
Пополнение категорий прямыми и свободными объединениями объектов,
Матем. сб. (н. с), 60 A963), 235—256.
Соответствия над квазиточной категорией, ДАН СССР, 155 A964).
ефер (S chafer J. A.), The dual of the flabby is the bar, Proc Amer.
Math. Soc. (to appear),
в а р ц А. С, Двойственность функторов, ДАН СССР, 148 A963), 288—
29f~
Функторы в категориях банаховых пространств, ДАН СССР.
Ш и (S h i h W.), Ensembles simpliciaux et operations cohomologiques,
Seminaire H. Cartan A958/1959), exp. 7, Secretariat Mathematique,
Paris.
Шульгейфер Е. Г., К общей теории радикалов в категориях, Матем.
сб. (н. с), 51 A960), 487—500.
О структуре идеалов объекта категории, I, II. Матем. сб. (н. с), 54
A961), 209—224, 62 A963), 335—344.
^ Правильные вложения категорий, Матем. сб. (н. с), 61 A963), 467—503.
Эпштейн (Epstein D. В. A.), Steenrod operations in abelian categories
(to appear).
Эресман (Ehresmann Ch.), Categories topologiques et categories
differentiates, Colloque de geometrie differentielle globale, Bruxelles,
1958.
Categories inductives et pseudogroupes, Ann. Inst. Fourier (Grenoble),
10 A960), 307—332.
Categorie des foncteurs types, Rev Un. Mat. Argentina, 20 A960), 194—209.
Categories doublees et categories structurees, C. R. Acad. Sci. Paris, 256
A963), 1198—1201.
Categories structurees d'operateurs, C. R. Acad. Sci. Paris, 256 A963),
2080—2083.
Sous-structures et applications 5?"-covariantes, C. R. Aoad. Sci. Paris, 256
П963), 2280—2283.
Product croise des categories, C. R. Acad. Set. Paris, 258 A964), 2461—2464.
Structures quotiments, Comment. Math. Htlv.,-38 A964), 219—283.
Categories structurees, Ann. Sci. Ecole. Norm. Sup., 80 A963), 349—426.
Sous-structures et categories ordonnees, Fund. Math., 54 A964), 211—228.
Список обозначений
—> гомоморфизм; ,
>.» мономорфизм;
-» эпиморфизм; . > .
-*•••> гомоморфизм, индуцированный «пренебрежением»
некоторой структуры; гомоморфизм, который нужно
¦ построить; ' '
—^ аддитивное отношение; ' . ' '¦
=# влечет* сходимость спектральной последовательности
(IX.3); ' ,
3 существует;
& и; ' "¦" ;-'4 ¦'¦¦'¦¦ ' .
д символ взятия границы;
б "символ взятия кограницы (II.3.1);
* Jt индуциррванный гомоморфизм (ставится наверху или
внизу) \L2'A)', (I.6.1); (П1.-6.-8);.;.
~ гомологичность (П.1.2), (П.2);
~ гомотопность (Н.2.3);
э* изоморфизм;
'¦ < отношение йслючения (XII.2)г
= конгруэнтность,расширений (III.5.2);
о произведение; '
^ принадлежность;
•'¦0 пустое мАожёствЪ;
с включение;
[ ] базисный элемент В-резольвеНты (IV.5.1), (X.2);
П п пересечение; ,;/: "¦ ,
U и объединение;^ ' ¦ •¦
и u-умножение (VIII.-9.-5);
V V^-умножение (V.III.4.1);
X декартово произведение; ;
ig) тензорное произведение;
2,.© . прямая сумела, р,4); . . ... ,. '
прямое произведение; v
короткая точная последовательность;
«пренебре^шрщий» функтор; :.
П
II
D
34-353
530
Список обозначений
V, Va кодиагональное отображение (Ш.2.Г), (IX.1.6);
О нулевой элемент или нулевое отображение;
О' нулевой объект категории (IX. 1);
1, 1Л единица группы, кольца или алгебры;
1, 1а тождественное отображение А-^-А;
&,Ч$,М категория;
#ор двойственная категория;
iMR категория правых ^-модулей;
Е точная последовательность; внешняя алгебра;
Ек внешняя алгебра над К;
F свободный модуль; поле;
Н гомология или когомология;
/ отображение единицы /С—>Л;
К комплекс;
L комплекс; проективный модуль; левый идеал A.2);
Р проективный модуль;
Q поле рациональных чисел;
R кольцо;
R°p антиизоморфное кольцо;
5 длинная точная последовательность; кольцо;
S (X) сингулярный комплекс пространства X;
Т функтор; сингулярный симплекс; кольцо;
U ЬвЛ-алгебра;
V векторное пространство; алгебра Хопфа;
X, Y комплекс, топологическое пространство;
Z кольцо целых чисел;
а, г элементы а?А, r?R и т.д.;
di граничный оператор (симплициального множества)
(VIII.5);
р,Р\,рн гомологическое умножение (VIII.1);
s, t гомотопия;
S; оператор вырождения (симплициального множества)
(VIII.5);
Г морфизм диаграмм A.7);
А, А" симплекс, «-мерный (аффинный) симплекс (II.7);
А, АА диагональное отображение (III.2.1), (IX.1.6);
К коммутативное основное кольцо;
Л алгебра;
П мультипликативная группа;
2 алгебра;
п алгебра;
а отображение ассоциативности для тензорного умноже-
умножения (VI.2.3), (VI.8.3);
т| сопряженная ассоциативность (V.3.5); (VI.8.7);
6 изоморфизм, эквивалентность в категории;
Список обозначений
531
i вложение слагаемого прямой суммы (I.4.I);
х, Я, мономорфизм;
Jij проекция на слагаемое прямой суммы (I.4.I);
р, а, т эпиморфизм;
т внутренняя четверная перестановка (VI.2.4), (VI.8.4);
¦ф кодиагональное отображение коалгебры или алгебры
Хопфа (VI.9).
Сокращения (с прописной буквы—для модулей,
со строчной буквы—для категорий)
bidim—размерность как бимодуля (VII.5);
els — гомологический класс;
Coim, coim — кообраз;
Coker, coker —коядро;
Def — область определения аддитивного отношения (II.6);
deg —степень элемента или морфизма;
Ext, ext —группа расширений;
h. dim — гомологическая размерность (VII.I);
Нот, hom —группа гомоморфизмов;
Im, im —образ;
Ind — неопределенность (аддитивного отношения) (II.6);
Ker, ker —ядро;
l.gl. dim —левая глобальная размерность кольца (VII.I);
Тог — периодическое произведение.
34*
Указатель
533
i i
Указатель
Абелева группа 20
— категория 325
Абстрактная категория 44
Абстрактное ядро 165
Автоморфизм 141
Аддитивная категория 319
Аддитивное отношение 465
Аддитивный бифунктор 99
—, функтор 481
Аксиомы для гомологии алгебр 369
Ext 134, 136
когомологии алгебр 367
групп 156
Тог 212, 353
Алгебра 225
— Ли 403
— Хопфа 256
Анализ (морфизма) 326
Аннулятор 192
Антиизоморфизм 462
Антиизоморфное кольцо 205
Антикоммутативная алгебра 232
Ассоциативность 320 ,
Аффинная независимость 78
Аффинное преобразование 78
Аффинный симплекс 79
Ацикличное пространство 81
Ацикличный комплекс 304 *
База (спектральной последователь-
последовательности) 408, 410
Базисная цепь 304
Барицентрические координаты 78
Биаддитивная функция 182
Биаддитивный функтор 507
Биградуированная алгебра 234
Биградуированный модуль 229
Бикомплекс 432
Билинейная функция 186
Бимодуль 188
Бимодульная 5-резольвента 361
Биномиальный коэффициент 238
Бистепень 229
Бифунктор 48
Вершины симплекса. 78
Вложение 20
Внешнее гомологическое умножение
284
— когомологическое умножение 285
Внешний автоморфизм 164
Внешняя алгебра 232
— ассоциативность 243
— прямая сумма 27
Внутренне градуированная алгебра
.234
— градуированный модуль 230
Внутреннее гомологическое умно-
умножение 284
Внутренний автоморфизм 164
Внутренняя ассоциативность 182
— линейность 182
— прямая сумма 32
— четверная перестановка 251
Вторая гомология бикомплекса 433
— спектральная последовательность
бикомплекса 435
— фильтрация бикомплекса 433
Выпуклая оболочка 77
Главный скрещенный гомоморфизм
142, 363
Голоморф группы 142
Гомологическая размерность 260
Гомологический изоморфизм 394
— класс 53
Гомологичные циклы 53, 59
Гомология 59
Гомоморфизм 142
— алгебр 230
Хопфа 256
— бимодулей 188
— градуированных алгебр 230
модулей 228
— дифференциальных групп 55
— коалгебр 255
— модулей 21
— DG-алгебр 246
— Л-модулей 239
Гомотопйя 58
Гомотопные отображения 82
Градуированная алгебра 230
— аддитивная- категория 470
Градуированное множество 230
Градуированный идеал двусторон-
двусторонний 231
левый 231
'¦ правый 231
— модуль 228
— подмодуль 228
"-объект 230
Граница 53
— п-мерная 59
Граничный гомоморфизм 80
Граф гомоморфизма 75
Группа без кручения 200
— гипергомологий 507
— гомологии 53
— относительных гомологии 86
— сингулярных когомологии 81
Групповая алгебра 257
Групповое кольцо 140
Группы когомологии 154
Двойственная категория 43
Двойственное утверждение 43
Декартово (прямое) произведение
модулей 306 ¦
— множеств 19
симплициальных множеств
305
Делитель нуля 28.1
Диагоноальное отображение 255
— сймплициальиое отображение 313
Диагональный гомоморфизм 95
— морфизм 251
Диаграмма прямого произведения 43
— прямой суммы 27, 42 ¦
Диаграммный поиск 26
Дифференциал 405
Дифференциальная градуированная
алгебра (DG-алгёбра) 246
— — пополненная алгебра (DGA-
алгебра) 248
— группа 53
Дифференциальный градуированный
модуль (DG-модуль) 246
Дополнительная степень 416 >
Допустимая проективная резоль-
резольвента 335
— резольвента 335
— точная последовательность 334
Допустимый инъективный объект
334 !
Допустимый класс коротких точных
последовательностей 333
— комплекс 335
— мономорфизм 333
— морфизм 334
— проективный комплекс 335
— — объект 334
— эпиморфизм 333
Единица 40
Единичный морфизм 320
Естественное преобразование 45,
49
Естественный изоморфизм 45
— эпиморфизм 22
Закон ассоциативности для диаго-
диагонального отображения 255
— тензорного умножения 186,
191, 250
Замена алгебр 369
— групп 145
— колец 123, 353
Изоморфизм 21 •- \
— естественный 45
— Нётер 25
Инвариантная граница 65
Инвариантный элемент 363
Индуцированное аддитивное от
шение 76
— отношение 76 • . ¦
Индуцированный гомоморфизм 55
Инфляция 441 !
Инъективная ¦ оболочка 138 ;
— резольвента 129 '
— функция 322
Инъективный комплекс 129
— модуль 125 .-.
— объект категории 334
Итерированный связывающий гомо*
морфизм 131
Канонически' неограниченная филь-
фильтрация 440
— ограниченная фильтрация 420
Каноническое сравнение 342
Категория 40 : >
— абстрактная 44
— групп 42
— диаграмм 330 \ •
— множеств 42 .Г.
534
Указатель
Категорная 5-резольвента 344, 347
Класс автоморфизмов 164
— сопряженных элементов 165
Коалгебра 254
Ковариантный функтор 45
Когомологическое умножение 285
Когомологический оператор Бок-
штейна 71
Кограница 62, 63
Кодиагональный гомоморфизм 95
— морфнзм 251
Коединнца коалгебры 255
Кольцо частных 282
— эндоморфизмов 35
Коммутант 371
Коммутативная диаграмма 25
— коалгебра 255
— СвЛ-алгебра 397
Комодуль 255
Комплекс 59
— комплексов 384
— над модулем 61
— под модулем 129
Конгруэнтность расширений 90
— n-кратных точных последователь-
последовательностей 114
Конденсация 384
Конечно порожденный модуль 34
Конструкция 388
Контравариантный функтор 37, 46
Конус отображения 67
Кообраз 24
Коразмерность 281
Корезольвента 129
Коуниверсальная последователь-
последовательность функторов 492
Коуниверсальный квадрат 455
Коцепной комплекс 61
Коцепь 62, 63
Коцикл 63
Коэффициенты кручения 62
Коядро гомоморфизма 24
— морфизма 323
Краевой гомоморфизм 409
Лемма о пяти гомоморфизмах 26
Линейно связное пространство 82
Лист покрытия 177
Локальное кольцо 281
Малая категория 41
Минимальная резольвента 280
Множество с отмеченной точкой 459
Модули гомологии Хохшильда 368
— когомологий Хохшильда 362
Модулярный изоморфизм Нётер 405
Моноид 370
Мономорфизм 322
Монотонное отображение 299
Морфизм расширений групп 90
— связанных пар 484
Мультипликатор Шура 180
Надстройка 394
Накрывающее отображение 178
— пространство 177
Направленное множество подобъек-
тов 335
Неградуированная алгебра 234
Ненормализованная В-резольвента
154
Неоднородный образующий 157
Неопределенность 75
Несущественное расширение 29
Нётеров модуль 282
Нётерово кольцо 282
Нильпотентный идеал 366
Норма 147
Нормализованная функция 359
Нормализованный симплициальный
комплекс 303
— функтор 331
Нулевой морфизм 331
— объект 321, 331
Нуль 320
Нуль (частично упорядоченного
множества) 51
Левая глобальная размерность 261
— — ограниченность 263
— инъективная размерность 262
— 5-резольвента 361
Левый обратный гомоморфизм 22
— сателлит 485
— сопряженный функтор 340
— й-модуль 20
•=- А-модуль 239
Лемма об «отступлении» 184
Обертывающая алгебра 403
Область значений гомоморфизма 21
— — морфизма 40
— определения гомоморфизма 21
морфизма 40
— — отношения 75
функции 19
Образ 21, 327
Образующие (модуля) 34
Обратное отношение 75
Указатель
535
Обратный гомоморфизм 22
Объединение подмодулей 32
— элементов частично упорядочен-
упорядоченного множества 51
Ограниченная снизу спектральная
последовательность 409
— фильтрация 416
Однородный идеал 234
— образующий 158
— элемент 230
Оператор вырождения 301
Отмеченная абелева категория 328
Относительная абелева категория 336
— граница 86
Относительно расщепляемая после-
последовательность 337
— свободная конструкция 388
— свободный комплекс 342
— — модуль 253
Относительное периодическое умно-
умножение 351
Относительный проективный объект
339
— функтор ext 344
— цикл 86
Отображение Александера — Уитни
309
Отрицательная ^-связанная после-
последовательность функторов 490
Отрицательный комплекс 61
Отступление вдоль гомоморфизма 123
Пара пространств 86
Первая гомология бикомплекса 433
— фильтрация бикомплекса 433
Пересечение 20, 32, 51
Плоский модуль 213
Подкольцо 349
Подкомплекс 60
Подмодуль 21
Подобъект 323
Подфактор 24
Поле вычетов (локального кольца)
281
Полная абелева группа 125
— матричная алгебра 275
— степень 229
Положительная ^-связанная после-
последовательность функторов 490
Положительно градуированный мо-
модуль 228
Положительный бикомплекс 432
— комплекс 61
Полупростое кольцо 262
Полупростой модуль 262
Полупрямая сумма алгебр 364
Полупрямое произведение с опера-
операторами 141
Полуточный функтор 482
Пополнение 81, 234
— градуированной алгебры 234
— группового кольца 140
.— сингулярного комплекса 81
— DG-алгебры 248
— DG-модуля 388
Пополненный симплициальный мо-
модуль 302
Последовательность Вана 412
— Гнзина 414
Послойное отображение 410
Правило коммутирования 213
Правый модуль 20
— сателлит 488
— сопряженный функтор 344
Предаддитивная категория 320
Препятствие 167
Принцип композиции 76
— эквивалентности 76
Проективная резольвента 119
— функция 322
— эквивалентность 136
Проективный модуль 34
— комплекс 119
Проекция декартова произведения 31
— на факторобъект 22
Производная пара 427
Прообраз 24
Простой идеал 281
— модуль 262
Пространство петель 413
— Эйленберга — Маклейна 401
Прямое произведение алгебр 273
Прямолинейный отрезок 77
Размерность Крулля 283
Рассеченное расширение 364
Расширение алгебр 363—364
— групп 145
— модулей 89
— основного кольца 274
— скрещенного произведения 166
Расщепляющаяся короткая точная
последовательность 29, 333
— последовательность комплексов
69
Расщепляющееся расширение 90, 145
Регулярное локальное кольцо 283
Редуцированная 5-резольвента 361
Редуцированный модуль 388
Резольвента 119
536
Указатель
Резольвента Косуля 264 :
Резольвентная пара категорий 340 -
Свободная группа 162
— резольвента 119 . ' --
Свободное кольцо (над группой) 141
Свободный градуированный, модуль
253
— комплекс 119
— модуль 33
Связная DG-алгебра 248 •
Связывающее отношение-(для ком-
комплексов) 424 -
Связывающий гомоморфизм 65, 68,
130
— морфизм пары функторов 483
Связь 441
Сепарабельная алгебра 276
Сервантная подгруппа 466
Сервантное расширение групп 466
Сигнатура (перетасовки) 311
Симметрическая алгебра 238
Симплициальное множество 299
— отображение 30
— и-умножение 314
Симплициальный модуль 299
— объект 299
Сингулярная гомология 81
Сингулярное расширение (алгебры)
364
Сингулярный комплекс 80
Система факторов 96, 149
Скрещенное произведение 166
Скрещенный гомоморфизм 142, 363
Слабая лемма о четырех гомоморфиз-
гомоморфизмах 26, 462
— размерность 263
Слабо расщепляющаяся последова-
последовательность 333
Слово (в свободной группе) 162
Сложение Бэра 96 ¦ ¦ ;
Слой 408
Собственная длинная точная после-
последовательность 470 - -
— короткая точная последователь-
последовательность 467, 482 -
— последовательность комплексов
504
— точная справа последовательность
482
Собственное открытое множество 176
Собственные операторы 176
Собственный идеал 281
— класс 467 . ;¦ -
— морфизм 467 ¦ • ¦ . -: ч '
Собственный подобъект 467
— проективный объект 478 "
Сопряжение 165, 174
Сопряженная ассоциативность 128,
189, 251 - г
Сопряженный базис 192
— модуль 191
Спаривание 316
Спектральная последовательность
406
первой четверти 407
покрытие 435
третьей четверти 439
— — точной пары 429
.——фильтрации 416
Стандартное разложение 326
Стандартный -аффинный симплеке 78
Степень фильтрации 416
Стягиваемое пространство 82
Стягивающая гомотопия 61Г 338, 3391
Структура 51
Сужение 441
Существенное расширение 137
Сходимость спектральной последо-
последовательности 416
Сходящаяся сверху фильтрация 419
Тензорная .формула Кюннета 216-
Тензорное произведение г82|
< алгебр 236
бимодулей 243
градуированных алгебр 235.
модулей 228
комплексов 213
модулей 182, 241
ZXJ-алгёбр 247
Теорема Гильберта о сизигиях 280»
— Коши 173
— Лерэ — Серра 410
— о гомотопической классификации
108 . .
— — нормализации 303, 361
— — отображении 409
универсальных коэффициен-
коэффициентах 106,222 :
— сравнения 119, 451
— Шура 174
— Эйленберга —Зильбера 306
Точная гомологическая последова-
последовательность 66
— пара 427
— последовательность 65
членов малой степени 422
— слева последовательность 38,46$
— справа последовательность 38, 482:
Точный слева функтор 482
— справа функтор 482
— треугольник 427
— функтор 336, 482
Траектория 172
Трансгрессия 423
Тривиально градуированный модуль
228
Триградуированный модуль 230
Трикомплекс 507
Трилинейная функция 186
Убывающая фильтрация 439
Умножение гомоморфизмов 22, 252
— Ионеды 113
— морфизмов 40, 320
— отношений 75
— последовательностей 113
— расширений 112
— функций 19
Универсальная диаграмма 29, 42
Универсальное накрывающее прост-
пространство 170
Универсальный квадрат 457
Унитарный модуль 20
Факторалгебра 231
Факторгруппа 22
Фактормодуль 22
Факторобъект 323
Факторпространство 177
Фильтрация 415
Формула Кюннета 216
— — для абелевых групп 219
— — — спектральной последова-
последовательности 508
Функтор 45
Функция 19
Характеристика Эйлера 411
Характеристический класс расши-
расширения 160
Центр группы 164
Центральное расширение групп 151
Цепная гомотопия 58, 60
— эквивалентность 60
Цепное преобразование 59
Цепной комплекс 59
Цепь 53
Цикл 53, 59
Циклический модуль 34
Цилиндр 83
— отображения 68
Частично упорядоченное множество-
Числа Бетти 62, 411
Эквивалентность слева 323
— справа 323
Эквивариантные когомологии 179
Элементарный специальный комплекс
62
Эндоморфизм 188
Эпиморфизм 322
Ядро гомоморфизма 22
— морфизма 323
В-резольвента 153 .
Нот-(?)-перестановка 252
я-кратная точная последователь-
последовательность 113
р-группа 173
5°-связанная пара функторов 483
— последовательность функторов
490
^-универсальная слева пара функ-
функторов 484
— справа пара функторов 485
(р, 9)-перетасовка 311
^-симплекс 301
q- специальный комплекс 62
Целочисленное групповое кольцо V-умножение 293
140 — Хопфа 297
Оглавление
Предисловие редактора перевода 7
Введение 9
Глава I. Модули, диаграммы и функторы 19
§ 1. Обозначения при помощи стрелок 19
§ 2. Модули 20
§ 3. Диаграммы 25
§ 4. Прямые суммы 27
Упражнения 32
§ 5. Свободные и проективные модули 33
Упражнения 35
§ 6. Функтор Нот 35
Упражнения 40
§ 7. Категории 40
Упражнения 44
§ 8. Функторы 45
Упражнения 51
Г л а в а П. Гомология комплексов 53
§ 1. Дифференциальные группы 53
Упражнения 58
§ 2. Комплексы 59
Упражнения 62
§ 3. Когомология 62
§ 4. Точная гомологическая последовательность 65
Упражнения 71
§ 5. Некоторые леммы о диаграммах 72
Упражнения 74
§ 6. Аддитивные отнощения 74
Упражнения 77
§ 7. Сингулярная гомология 77
Упражнения 82
§ 8. Гомотопня 82
Упражнения 86
¦§ 9. Аксиомы для гомологии 86
Оглавление
539
Глава III. Расширения и резольвенты 89
§ 1. Расширения модулей 89
§ 2. Сложение расширений 95
Упражнения 100
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов 100
Упражнения 105
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах для групп кого-
мологий 106
Упражнения 112
§ 5. Умножение расширений 112
§ 6. Резольвенты 118
Упражнения 124
§ 7. Инъективные модули 125
Упражнения 128
§ 8. Инъективные резольвенты 129
Упражнения 130
§ 9. Две точные последовательности для Ext" 130
Упражнения 133
§ 10. Аксиоматическое описание функторов Ext 134
Упражнения • 136
§11. Инъективная оболочка 137
Глава IV. Когомология групп 140
§ 1. Групповое кольцо 140
Упражнения 142
§ 2. Скрещенные гомоморфизмы 142
§ 3. Расширения, групп 145
Упражнения 148
§ 4. Системы факторов 148
Упражнения 152
§ 5. В-резольвента 152
Упражнения 159
§ 6. Характеристический класс группового расширения . . . 159
Упражнения 161
§ 7. Когомология циклических и свободных групп 161
Упражнения 163
§ 8. Препятствия для расширений 164
§ 9. Реализация препятствий 170
§ 10. Теорема Шура 172
Упражнения 176
§ 11. Пространства с операторами 176
Упражнения 181
540
Оглавление
Г л а в а V. Тензорное и периодическое умножения 182
. ; § 1. Тензорные произведения 182
: Упражнения 185
§ 2. Модули над коммутативными кольцами 186
Упражнения 187
§ 3. Бимодули 188
Упражнения 191
§ 4. Сопряженные модули 191
Упражнения 194
, § 5. Точность справа тензорных произведений 194
: Упражнения 196
§ 6. Периодические произведения групп 197
Упражнения 201
§ 7. Периодические произведения модулей 201
Упражнения 208
§ 8. Периодические произведения и резольвенты 20&
Упражнения 213
§ 9. Тензорное произведение комплексов 213
Упражнения 215
§ 10. Формула Кюннета 216
Упражнения 221
§ 11. Теоремы об универсальных коэффициентах 222
Упражнения" 224
Глава VI. Типы алгебр
225
§ 1. Задание алгебр диаграммами 225
Упражнения 227
§ 2. Градуированные модули . 228
§ 3. Градуированные алгебры , 230
Упражнения 234
§ 4. Тензорные произведения алгебр 235
Упражнения 238
§ 5. Модули над алгебрами 239
Упражнения . 243
§ 6. Когомология свободных абелевых групп . . . . . . . . 243
Упражнения : 245
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры 245
Упражнения . . .¦ . 249
§ 8. Тождества для Нога и (g) ' \. 250
Упражнения 254
§ 9. Коалгебры и алгебры Хопфа . . . : . . ...... j .. 254
Упражнения ,.....„.. 258
Оглавление
541.
Глава VII. Размерность '. . \ . 259
§ 1. Гомологическая размерность . 259
Упражнения . 263
§ 2. Размерности в полиномиальных-кольцах ........ 263
Упражнения 266
§ 3. Ext и Тог для алгебр 266
Упражнения 270
§ 4. Глобальные размерности колец многочленов 270
§ 5. Сепарабельные алгебры 272
Упражнения 277
§ 6. Градуированные сизигии . . 277
Упражнения , . . . : 281
§ 7. Локальные кольца 281
Глава VIII. Умножения 284
§ 1. Гомологические умножения 284
§ 2. Периодическое произведение алгебр 288
Упражнения 291
§ 3. Диаграммная лемма .. . 292
Упражнения • . 293
§ 4. Внешние умножения для Exf 293
Упражнения 298
§ 5. Снмплициальные объекты . . . 298
§ 6. Нормализация 303
§ 7. Ацикличные модели 304
Упражнение "." 305
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера 305
Упражнения .... . 312
§ 9. vj-умножения .' 313
Упражнение . . .". . . ... ... . . 317
Глав а IX. Относительная гомологическая алгебра 319
§ 1. Аддитивные категории 319
Упражнения \ 325
§ 2. Абелевы категории , 325
Упражнения =. 329
§ 3. Категории диаграмм 330
Упражнения : . . . . 332
§ 4. Сравнение Допустимых резольвент . . 332
Упражнение 336
§ 5. Относительные абелевы категории . . . . . , . .,..-. 336
Упражнения . . .• 339
.§6. Относительные резольвенты '. 340
Упражнения '.'... 345
542 Оглавление
§ 7. Категорная В-резольвента 345
Упражнения 348
§ 8. Относительные периодические произведения 349
Упражнения 354
§ 9. Прямые произведения колец 355
Г л а в а X. Когомология алгебраических систем 358
§ 1. Введение 358
§ 2. Б-резольвента для алгебр 358
Упражнения 362
§ 3. Когомология алгебры 362
Упражнения . 368
§ 4. Гомология алгебры 368
Упражнения 370
§ 5. Гомология групп и моноидов 370
Упражнения 374
§ 6. Расширения основного кольца и прямые произведения . . 375
Упражнения 377
§ 7. Гомология тензорных произведений 377
Упражнения 380
§ 8. Случай градуированных алгебр 381
Упражнение 383
§ 9. Комплексы комплексов 384
§ 10. Резольвенты и конструкции 387
Упражнения 392
§ 11. Двухступенная когомология DGA-алгебр 392
Упражнения 396
§ 12. Когомология коммутативных DGA-алгебр 396
Упражнения 401
§ 13. Гомология алгебраических систем 402
Глава XI. Спектральные последовательности 405
§ 1. Спектральные последовательности 405
Упражнения 409
§ 2. Расслоенные пространства 410
Упражнения 415
§ 3. Фильтрованные модули 415
Упражнения 421
§ 4. Трансгрессия 422
§ 5. Точные пары 426
Упражнения 432
§ 6. Бикомплексы ". . 432
Упражнения 435
Оглавление
543
§ 7. Спектральная последовательность покрытия 435
Упражнение 438
§ 8. Когомологические спектральные последовательности
Упражнения
§ 9. Сужение, инфляция и связь
Упражнения
§ 10. Спектральная последовательность Линдона 445
Упражнения
§ 11. Теорема сравнения
438
440
441
445
450
450
Глава XII. Производные функторы
§ 1. Квадраты
Упражнения
§ 2. Подобъекты и факторобъекты
Упражнения
§ 3. Диаграммный поиск
Упражнения
§ 4. Собственные точные последовательности . . .
Упражнения
§ 5. Ext без проективных объектов '. . .
§ 6. Категория коротких точных последовательностей
Упражнения
... 455
. . . 455
... 458
... 458
... 461
... 462
... 465
... 466
... 471
... 472
... 476
... 481
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов 481
Упражнения 489
§ 8. Связанные последовательности функторов 490
Упражнения 494
§9. Производные функторы
§ 10. Умножения и универсальность
§ 11. Собственные проективные комплексы
Упражнения
§ 12. Спектральная формула Кюннета 508
Библиография 512
Дополнительная библиография
Список обозначений
Указатель
494
500
504
508
525
529
532
С. Маклейн
гомология
Редактор Э. 3. Пейсахоеич ¦
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Ю. И. Экм
Сдано в производство 26/IV 1966 г.
Подписано к печати 16/XI 1966 г.
Бумага 60x901/ie=l7>° бум/л. 34,0 печ. л.
Уч.-изд. л. 31,77. Изд.. № 1/3421
Цена 2 р. 47, к. Зак. 353
Темплан изд-ва «Мир» 1966 г., пор. № 10
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2 '
Московская типография № 16
Главполйграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9