А. Я. Хелемский
КВАНТОВЫЙ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
В БЕСКООРДИНАТНОМ ИЗЛОЖЕНИИ
Москва
Издательство МЦНМО
2009

УДК 517.98 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.16 (издательский проект № 09-01-07056)
Х36 JT
Хелемский А. Я.
Х36 Квантовый функциональный анализ в бескоординатном
изложении. М.: МЦНМО, 2009. 304 с.
ISBN 978-5-94057-507-8
В книге изложены основы квантового функционального анализа,
созданного в 80—90-х годах прошлого века. В настоящее время это одна
из наиболее актуальных и бурно развивающихся областей
функционального анализа, обильная приложениями и обладающая
значительной внутренней красотой.
Способ изложения, принятый в книге, отличается от используемого
в большинстве статей и монографий по этой тематике. При введении
основных понятий в качестве «квантующих коэффициентов» берутся
не матрицы всевозможных размеров, а операторы в фиксированном
гильбертовом пространстве. Такой подход позволяет избежать
сложных вычислений, связанных с матрицами. Вместо этого используется
алгебраический арсенал теории модулей и тензорных произведений.
Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и
преподавателей математических факультетов, а также
специализирующихся в области математики и математической физики научных
работников.
ББК 22.16
Александр Яковлевич Хелемский
Квантовый функциональный анализ
в бескоординатном изложении
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
Подписано в печать 20.05.2009 г. Формат 60x90 /lQ. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 19. Тираж: 400. Заказ
Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, 15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести
в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
© Хелемский А. Я., 2009.
ISBN 978-5-94057-507-8 © МЦНМО, 2009.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение: о трех основных определениях и трех главных теоремах 21
Часть I
НАЧАЛО: ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Глава 0. Подготовка сцены 29
§0.1. Операторы в нормированных пространствах 29
§0.2. Операторы в гильбертовых пространствах 32
§ 0.3. Бубновое умножение 36
§ 0.4. Бимодули 38
§0.5. Размножения линейных пространств 39
§ 0.6. Размножения линейных и билинейных операторов ... 44
§ 0.7. Пространственное тензорное произведение операторных
пространств 46
§ 0.8. Инволютивные алгебры и (7*-алгебры 50
§ 0.9. Одна техническая лемма 58
Глава 1. Квантовые пространства 62
§1.1. Преднормированные бимодули 62
§ 1.2. Протоквантовые и квантовые пространства.
Общие свойства 66
§ 1.3. Примеры квантовых пространств. Конкретные
квантования 69
Min и max (69). Функциональные пространства и С*-алгебры (72).
Операторные пространства (74). Столбцы и строки (75).
Комплексно-сопряженное пространство (78).
Глава 2. Вполне ограниченные операторы 80
§2.1. Основные определения и контрпримеры 80
§ 2.2. Условия автоматической полной ограниченности и их
приложения 86
Функционалы и конечномерные операторы (86). В «min» и из «max»
(88). Гомоморфизмы и операторы двойного умножения (90).
Достижимость (92).

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2.3. Повторное квантование 94
§ 2.4. Полная ограниченность и пространственные тензорные
произведения 97
Глава 3. Пополнение квантовых пространств 101
Часть II
БИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Глава 4. Сильно и слабо вполне ограниченные билинейные
операторы 107
§4.1. Общие определения и свойства 107
§4.2. Примеры и контрпримеры 109
Глава 5. Новые приготовления: классические тензорные
произведения 114
§ 5.1. Тензорные произведения нормированных пространств 114
§5.2. Тензорные произведения нормированных модулей ... 119
Глава 6. Тензорные произведения квантовых пространств 123
§ 6.0. Общее свойство универсальности 123
§6.1. Хаагерупово тензорное произведение 124
§6.2. Операторно-проективное тензорное произведение . . . 136
§ 6.3. Квантовое пространственное тензорное произведение . 144
§ 6.4. Столбцовый и строчечный гильбертианы как тензорные
сомножители 152
§ 6.5. Функториальные свойства квантовых тензорных
произведений 158
§ 6.6. Алгебраические свойства квантовых тензорных
умножений 167
Глава 7. Квантовая двойственность 177
§ 7.1. Квантование пространств, находящихся в
двойственности 177
§ 7.2. Квантовое сопряженное и квантовое предсопряженное
пространства 183
§ 7.3. Примеры 187
Min и max (187). Столбцы и строки (189). Ядерные операторы (191).
§ 7.4. Самодуальный гильбертиан Пизье 195
§ 7.5. Двойственность и квантовые тензорные произведения 201

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 7.6. Квантование пространств, находящихся в векторной
двойственности 205
§ 7.7. Квантовое пространство вполне ограниченных
операторов 208
§7.8. Квантовая сопряженная ассоциативность 214
Часть III
СНОВА И УЖЕ ВСЕРЬЕЗ ОБ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМАХ
Глава 8. Экстремальная плоскостность и теорема продолжения 221
§ 8.0. Новые приготовления: больше о модульных тензорных
произведениях 221
§8.1. Полуруановы односторонние модули 225
§8.2. Экстремальная плоскостность и экстремальная инъек-
тивность 229
§ 8.3. Экстремальная плоскостность некоторых модулей . . . 232
§ 8.4. Теорема Арвесона-Виттстока 236
Глава 9. Теорема реализации и ее дары 241
§9.1. Теорема Руана 241
§9.2. Выполнение ранее данных обещаний 247
Min и max (247). Бубновые произведения (247). Каноническое вложение,
предсопряженные пространства, операция (*) (248). Строки и столбцы
(249).
Глава 10. Теорема разложения 254
§ 10.1. Полная положительность и теорема Стайнспринга ... 254
§ 10.2. Взаимосвязь полной положительности и полной
ограниченности 258
§ 10.3. Прием Полсена и теорема разложения 263
Глава 11. Возвращаясь к хаагерупову тензорному произведению 270
§ 11.1. Другой подход к хаагерупову тензорному произведению 270
§11.2. Разложение полилинейных операторов 275
§ 11.3. Самодуальность хаагерупова тензорного произведения 281
Литература 286
Обозначения 296
Предметный указатель 299

ПРЕДИСЛОВИЕ
Мне кажется, что у названия
«квантованный функциональный анализ»... нет глубокого
физического смысла. Оно просто отражает тот
факт, что мы, будучи вдохновленными
принципом неопределенности Гейзенберга, имеем дело
с преимущественно некоммутативными
операциями.
Альбрехт Питч [95, § 6.9.16]
Эдипов комплекс — это неспособность
математических объектов узнать своего родителя
(мать). ...Как и в греческом мифе, в этом
случае мать также не узнает своего сына.
Карл Фейс [49, замечания к гл. 4]
Этот текст содержит систематическое изложение начал квантового
функционального анализа и предназначен для первоначального
ознакомления с предметом. Он рассчитан на читателя, который, как и сам
автор, принадлежит к той массе математиков, которую последнее время
стало модно называть «пешеходами».
Имена отцов-основателей теории должным образом, как мы
надеемся, упомянуты в основной части книги. Автору хотелось бы
подчеркнуть, что он не является одним из этих первооткрывателей, которым
принадлежат самые фундаментальные и эффектные результаты в
данной области. Он просто был очарован глубиной, богатством приложений
и внутренней красотой теории. Однако, поскольку он и немало других
«пешеходов» испытали определенные трудности и неудобства в
изучении предмета по имеющимся источникам, он попытался изложить его
азы под слегка иным углом зрения. А именно, вводя главные понятия,
мы используем в качестве «квантующих коэффициентов» не матрицы,
как это обычно принято, а конечномерные операторы.
Слова «квантованный функциональный анализ» (мы предпочитаем
более короткий термин «квантовый») находятся в заглавии памятной
лекции Э. Эффроса [33], столь много сделавшей для пропаганды новой
теории. Они отражают дальнейший шаг в победном шествии той обще-

ПРЕДИСЛОВИЕ
7
математической идеологии и методологии, которую называют
«некоммутативной» или «квантовой». Подобный взгляд на математику в целом
сперва возник в математическом аппарате квантовой механики, глубоко
проник в современную алгебру и топологию, а затем, перейдя границы
функционального анализа, пропитал теорию операторных алгебр.
Сейчас мы наблюдаем его следующее завоевание. Квантованию
подверглись изначальные концепции функционального анализа, включая само
понятие нормы.
Говоря весьма огрубленно, квантование математической науки
может быть описано следующим образом. Вы берете корневые понятия
рассматриваемой теории и в центральном месте их определений
производите замену участвующих «коммутативных» объектов — как
правило, функций или даже скаляров — на «некоммутативные» вещи типа
матриц и в особенности операторов. Звучит это весьма расплывчато,
и действительно, практического общего рецепта подобной процедуры
не существует. И тем не менее вот что бесспорно: если вам удастся
сделать нечто подобное в «правильном» месте и «правильным» способом
(а это, конечно, будет видно лишь задним числом), ваша награда будет
велика.
Что касается нашей области, исходные объекты квантования — это
нормированные пространства и ограниченные операторы. Возьмите
линейное пространство £?, перепишите его как С (g) £?, а затем замените это
поле скаляров на какую-либо «хорошую» операторную алгебру. Именно
этот расширенный объект, так называемое размножение пространства
£7, а не Ε само, должно быть наделено подходящей нормой.
Другими словами, в этом контексте мы заменяем, в качестве коэффициентов
наших векторов, «коммутативные» скаляры «некоммутативными»
операторами. После этого мы требуем от операторов, связывающих наши
исходные пространства, чтобы они были определенным разумным
образом согласованы с этим переходом к размножениям, и начало положено.
Отсюда слова «квантовый функциональный анализ». Более часто,
однако, авторы книг и статей (включая упомянутого выше одного из
отцов-основателей) предпочитают называть это направление «теорией
операторных пространств». Дело в том, что все объекты теории могут
быть реализованы как пространства (алгебры, модули...), состоящие из
операторов в гильбертовых пространствах. Трудно судить о том, какое
из двух названий предпочтительнее. Мы выбрали первое, и не только
потому, что оно отдает дань общей философии предмета, кратко
обсужденной выше. Мы пытаемся изложить как можно больше материала,
используя аксиоматический подход, и отложить фундаментальную
теорему реализации Руана до сравнительно поздней стадии. В этой связи,

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
чтобы избежать недоразумений, мы используем многоликое выражение
«операторное пространство» только в его буквальном значении, т. е. как
пространство, состоящее из подлинных операторов. Что же касается
аксиоматически определяемых «абстрактных операторных пространств»,
мы используем термин «квантовые пространства»; ср. с [102, с. 1427]
или [76]. Кстати напомним, что в классическом функциональном
анализе принято говорить «нормированное пространство», а не «абстрактное
функциональное пространство», и это несмотря на хорошо известную
реализацию нормированных пространств в виде подпространств в /оо(·)
или в С(·). Но опять-таки, наш выбор — это наше субъективное
предпочтение, не более того.
* * *
Но, разумеется, отнюдь не только общая тенденция квантовать все,
что только можно, вызвала к жизни понятия и теоремы,
представленные в настоящем тексте. В большей степени они возникли как результат
внутреннего развития современного функционального анализа.
Конечно, самым фундаментальным понятием всего функционального анализа
была и остается норма, заданная в линейном пространстве. Тем не менее
за последние 20-25 лет люди, работающие в различных областях этой
обширной и разветвленной части математики, столкнулись со
следующим явлением. Исследуя тот или иной круг вопросов, они обнаружили,
что за заданной нормой в пространстве, алгебре или модуле,
скрывается существенно более богатая структура этих объектов. Это как раз
то, что многие специалисты называют «структурой операторного
пространства», а мы будем употреблять слова «квантовая норма».
Было очень важно осознать, что здесь и там, пытаясь понять
существо рассматриваемой проблемы, надо учесть не просто норму, но
квантовую норму изучаемых объектов. Еще в большей степени это касается
отображений между объектами: они должны быть разумно согласованы
с этой дополнительной структурой. (Как водится в современной
математике, «морфизмы важнее объектов».) Такими отображениями служат
ныне знаменитые вполне ограниченные операторы. Исторически они
возникли как специальные отображения в контексте некоторых
классов «настоящих» операторных пространств, притом гораздо раньше,
чем были введены общие квантовые пространства.
Обращение к квантовым нормам и вполне ограниченным
операторам принесло свои плоды. Будучи должным образом
переформулированы, рассматриваемые проблемы приобретали гораздо большую ясность
и «правильную» постановку. В результате появлялись новые подходы,
приводящие к существенным продвижениям. А порою подобное пере-

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
осмысление давало ключ к полному и эффектному решению давно
известного открытого вопроса.
Приведем некоторые иллюстрации.
1. Пусть ^и^,1:=1,2,- операторные пространства с
операторными нормами, ψ: Е\ —> F\ и φ: Е2 -> F2 — ограниченные операторы
между этими пространствами. Естественно заинтересоваться, каково
тензорное произведение ψ ® ф, представляющее собой оператор,
действующий между F\ ® Е<± и F\ ® F<i, пространственными тензорными
произведениями наших операторных пространств (ср. с § 0.7). Но вот
неприятность: несмотря на то, что операторы φ л φ ограничены, их
тензорное произведение отнюдь не обязано быть ограниченным (см.
контрпримеры в § 2.1). Теперь мы знаем, каковы причины такого явления.
Мы находимся в той обширной области теории операторов, в которой
должной структурой операторного пространства является не его норма,
а его квантовая норма. Соответственно, мы должны работать не просто
с ограниченными операторами, а со вполне ограниченными
операторами (ср. выше), наделенными специальной нормой «|| · ||сь»·
После того как мы это осознали и восприняли, все становится, как
в песне, «голубым и зеленым». А именно, если наши φ л φ вполне
ограничены, то то же самое верно и для φ (8) ф, и, более того,
выполнено равенство \\φ (8) ^ЦсЬ = IMIcbll^llcb· Так гласит теорема де Кань-
ера-Хаагерупа [29]; см. также Пизье [101, предложение 2.1.1]. В
настоящем тексте это будущая теорема 2.4.2.
2. Теперь обратимся к старому и весьма естественному вопросу
теории банаховых и операторных алгебр. Пусть А — банахова алгебра.
Какое необходимое и достаточное условие надо наложить на А для
того, чтобы знать, что она на самом деле является операторной алгеброй,
только в скрытом виде? Мы имеем в виду то, что наша А
топологически изоморфна (не обязательно самосопряженной) подалгебре в В(Н),
наделенной операторной нормой.
В свое время критерий подобного рода был найден (Н. Варопу-
лос [120]). Однако формулировка этого безусловно сильного и
нетривиального результата не кажется достаточно прозрачной, и ее не столь
просто проверять. (См. также критерий Диксона [31].) Впоследствии
было несколько попыток найти прозрачный и работающий критерий.
Было естественное желание дать его формулировку в терминах
билинейного оператора умножения ЛЛ: А х А —> А или, что эквивалентно,
в терминах ассоциированного с J\4 линейного оператора Μ: А (8) А —> А.
Постепенно выяснилось, что условия, сформулированные в
«классических» терминах функционального анализа, не дают ответа. Например,
можно спросить, существует ли разумная норма в тензорном произве-

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
дении А® А такая, что ограниченность оператора Μ относительно этой
нормы в точности означает, что А может быть реализована как
операторная алгебра. Увы, все доселе известные нормы различных типов
классических функционально-аналитических тензорных произведений
были одна за другой отставлены (ср. с Карне [17]).
Чтобы получить эффектную теорему, отвечающую на заданный
вопрос, нужно сделать А квантовой алгеброй и сравнить ее с квантовыми
же операторными алгебрами. (Все операторные пространства, и в
частности операторные алгебры, обладают стандартными, так
называемыми конкретными нормами; ср. с § 1.3.) Тогда теорема Блечера [10]
утверждает, что А вполне топологически изоморфна операторной
алгебре тогда и только тогда, когда билинейный оператор J\4 является,
в нашей терминологии, сильно вполне ограниченным (см.
определение 4.1.1). Иными словами, это означает, что линейный оператор Μ
вполне ограничен относительно так называемой хаагеруповой
квантовой нормы в А (8) А, по-видимому, самой известной среди квантовых
норм в тензорных произведениях квантовых пространств. Более того,
если А унитальна, то мы можем говорить о вполне изометрическом (а не
только топологическом) изоморфизме на операторную алгебру; это
происходит в точности тогда, когда Л4 удовлетворяет условию так
называемой сильной полной сжимаемости (см. там же). Такая теорема была
доказана ранее Блечером, Руаном и Синклером [15].
Заметим, что у теоремы Блечера есть удивительные следствия
далее внутри «классического» функционального анализа. Возьмите
алгебру λί(Η) ядерных (= следового класса) операторов в Η с присущей ей
ядерной нормой. Поскольку последняя существенно сильнее
операторной нормы, эта алгебра на первый взгляд не имеет ничего общего с тем,
что мы называем операторными алгебрами. Однако Блечер и Ле Мер-
ди [12] обнаружили, что λί(Η) может быть сделана квантовой алгеброй,
удовлетворяющей условию теоремы Блечера. (Годится так называемая
максимальная квантовая норма; ср. с § 1.3.) Поэтому λί(Η) является
с точностью до полного, а значит, и «классического» топологического
изоморфизма операторной алгеброй, и ее норма соответственно
эквивалентна операторной норме. И хотя возникшая алгебра — новый облик
λί(Η) — более не является самосопряженной и действует в другом
гильбертовом пространстве, цель тем не менее достигнута.
3. Пусть А и В — две алгебры фон Ноймана, а А® В — их
тензорное произведение фон Ноймана. На основании знаменитой теоремы
Сакаи (ср. с [ПО]), последнее, будучи само алгеброй фон Ноймана,
обладает единственным предсопряженным банаховым пространством.
Чувствовалось, что это предсопряженное пространство, (А (g) i?)*, долж-

ПРЕДИСЛОВИЕ
11
но как-то выражаться в терминах предсопряженных пространств А*
и В* наших тензорных сомножителей, но как? В качестве
естественного предположения, можем ли мы выразить (А ® В)* в виде А* ®а В*,
гДе ®а было бы каким-либо разумным видом тензорного
произведения банаховых пространств? И снова ни проективное, ни инъективное,
ни какое-либо иное из известных «классических» тензорных
произведений не подходит. Но если мы обратимся к квантовым тензорным
произведениям, то среди них мы найдем нужное, и притом очень хорошее.
Это так называемое операторно-проективное тензорное произведение,
открытое независимо и одновременно Эффросом и Руаном [40], а
также Блечером и Полсеном [14]. В нашем изложении это важное тензор-
4
ное произведение обозначено символом ®. Так вот: согласно теореме
_ 4
Эффроса-Руапа [39], имеет место отождествление (А 0 В)* — А* 0 В*
посредством изометрического изоморфизма, который, более того,
является полным изометрическим изоморфизмом относительно
надлежащих квантовых норм в обоих пространствах.
4. То, о чем пойдет речь сейчас, исторически связано с
многолетним — несколько десятилетий — поиском такого обобщения понтря-
гинской теории двойственности, которая охватила бы все, а не только
абелевы, локально компактные группы. Говоря более формально, мы
напомним, что с категорной точки зрения теорема двойственности
Понтрягина показывает, что категория LCA локально компактных
абелевых групп самодвойственна, и эту самодвойственность доставляет
специальный функтор антиэквивалентности (^): LCA^LCA.
Проблема состояла в том, чтобы продолжить этот функтор до функтора
антиэквивалентности, действующего на более обширной категории,
включающей (хотя бы как небольшую часть) категорию всех локально
компактных групп.
В конечном итоге образец подобной обширной самодвойственной
категории был найден. Это категория так называемых алгебр Каца,
независимо открытая Г. И. Кацем и Л. Вайнерманом, а также Эноком
и Шварцем (см. подробное изложение в [47]). Несмотря на имеющие
место сетования о том, что аксиомы алгебры Каца, опирающиеся на
некоторые достаточно развитые разделы теории алгебр фон Ноймана,
чересчур сложны, нет сомнения в том, что это было большим
достижением1. Сейчас нас интересует действие функтора антиэквивалентности,
1 Впоследствии были предложены некоторые другие большие категории, дающие
обобщение понтрягинской теории двойственности. Это сделали Масуда и Накага-
ми [75], а затем Кустерманс и Вас [68, 69]. Выбор последней категории, состоящей из
так называемых локально компактных квантовых групп, кажется наиболее удач-

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
продолжающего понтрягинский функтор (^) и определенного на
категории алгебр Каца. Что он делает с объектом, отождествленным
с локально компактной группой G или, эквивалентно, с ее
традиционной групповой алгеброй L\(G)1 Было показано, что этот функтор
переводит указанный объект в другой объект, который тоже может
быть отождествлен с банаховой алгеброй, связанной с G, но только
другой. Речь идет о так называемой алгебре Фурье A(G). Такой класс
групповых алгебр, на этот раз всегда коммутативных, был введен
гораздо раньше Эймаром [48].
Таким образом, говоря неформально, мы можем рассматривать
алгебры Фурье как двойственные объекты к Lι -алгебрам. Неудивительно,
что интерес к алгебрам Фурье резко возрос, и они стали весьма модным
объектом исследования. Оказалось, что многие известные результаты
о поведении традиционных групповых алгебр L\(G) обладают
интересными и содержательными «двойниками» для алгебр Фурье.
Одна вещь, однако, нарушала гармонию. Напомним, что одним из
наиболее важных понятий гомологической теории «алгебр анализа»
является понятие аменабельной банаховой алгебры. Согласно хорошо
известной теореме Джонсона, групповая алгебра L\{G) аменабельна
тогда и только тогда, когда G аменабельна в классическом теоретико-
групповом смысле, т. е. обладает инвариантным средним. (См.
первоначальное доказательство в [61] и еще одно доказательство в [131].) Можно
было бы предположить, что подобный критерий справедлив и для
алгебр Фурье. Однако это не так: может случиться, что G — аменабельная
локально компактная группа, но A(G) не аменабельна (Джонсон [62];
см. также [107]).
Путь к восстановлению гармонии указал Руан. А именно, чтобы
достичь цели, надо перейти от «классического» понятия аменабельности
к его естественному «квантовому» варианту. В самом деле, заметим,
что алгебры Фурье, будучи предсопряженными пространствами к
операторным пространствам, обладают некоторой стандартной квантовой
нормой (подробности см. в [46] или в примере 1.3.9 и определении 7.2.1).
Если мы примем во внимание эту доселе скрытую структуру и
рассмотрим L\(G) как квантовую алгебру, то мы получим желаемый
контрапункт теоремы Джонсона, теорему Руана [105]. А именно, алгебра
Фурье локально компактной группы аменабельна как квантовая
алгебра («операторно аменабельна» в терминах цитированной статьи) тогда
ным. Будучи определена с помощью сравнительно простых терминов, эта
категория включает, после соответствующих отождествлений, все алгебры Каца, а также
ряд других важных объектов, как, например, «квантовую группу SU(2)» Воронови-
ча [129].

ПРЕДИСЛОВИЕ
13
и только тогда, когда G аменабельна в теоретико-групповом смысле.
О некоторых результатах «квантовой банаховой гомологии» в контексте
бипроективных алгебр Фурье см. Аристов [4], Вуд [128], а в контексте
более общих алгебр Каца см. Руан и Сюй [106].
5. Теперь мы обсудим еще один пример из топологической
гомологии, на этот раз из гомологии операторных алгебр.
Какие операторные алгебры, действующие в гильбертовом
пространстве ii, считать лучшими? Возможный ответ таков: те,
которые можно мыслить как «правильный» бесконечномерный (или,
эквивалентно, функционально-аналитический) аналог алгебр, описанных
в классической теореме Веддербёрна 1905 г. Вспомним в этой связи, что
интерес к возможным бесконечномерным версиям теорем веддербёр-
новского типа послужил одним из основных стимулов для введения фон
Нойманом алгебр, ныне носящих его имя (ср., например, с [63, 112]).
Эти «лучшие» алгебры могут быть определены несколькими
способами. Мы выбираем здесь простой язык матриц. Мы скажем, что
алгебра А С В(Н) — веддербёрновская алгебра, если, для некоторого
ортонормированного базиса в Η, А состоит из всех тех операторов,
которые изображаются диагональными блок-матрицами, такими, что
каждый блок является скалярной блок-матрицей. Иными словами,
оператор из А представляется блок-матрицей вида
• Λ
/а
0
0
0
0
0
0 .
а .
0 .
0 .
0 .
0 .
. 0
. 0
. а
. 0
. 0
. 0
0 .
0 .
0 .
Ъ .
0 .
0 .
. 0
. 0
. 0
. 0
. ъ
. 0
0 .
0 .
0 .
0 .
0 .
с
V
7
Таким образом, картина та же, что и в случае конечномерных
самосопряженных операторных алгебр, с той лишь разницей, что теперь число
больших блоков, их размеры как блок-матриц, а также размеры их
составляющих матриц (а, 6, с,...) могут быть любыми мощностями.
Ясно, что веддербёрновская алгебра должна быть алгеброй фон
Ноймана, и ее центр должен быть дискретным (= изоморфным /оо(·)).

14
ПРЕДИСЛОВИЕ
Но это условие не достаточно: нужно добавить, что наша алгебра
должна принадлежать типу I; см., например, [65, 118]. Напомним,
что сам факт существования соответствующих контрпримеров, даже
в случае одномерного центра, представляет собой одно из крупнейших
открытий математики XX столетия. Мы имеем, конечно, в виду
знаменитые непрерывные факторы, впервые построенные Мюрреем и фон
Нойманом в [79].
Итак, какого сорта «внешние» дополнительные условия,
наложенные на алгебру фон Ноймана, выделяют веддербёрновские алгебры?
Почтенная алгебраическая традиция подсказывает искать подобные
условия во владениях гомологии, прежде всего среди подходящих
вариантов фундаментального понятия проективности. (Напомним,
например, одну из наиболее известных чисто алгебраических теорем
в этой области: комплексная ассоциативная алгебра обладает вед-
дербёрновской структурой тогда и только тогда, когда все модули
и бимодули над этой алгеброй проективны; см., например, [94].)
Первое условие подобного рода испытывалось в [55]; см. также [57].
Операторная алгебра А (пока произвольная), действующая в Н, была
названа пространственно проективной, если ее пространственный
модуль, т. е. само Η с внешним умножением а · χ := α(χ), a G A, χ G ii,
является проективным левым банаховым модулем над А (мы все еще
подразумеваем «классический» контекст; см., например, [131]).
Действительно, в [55] было доказано, что алгебра фон Ноймана,
являющаяся пространственно проективной, обязана быть веддербёрнов-
ской. Оказалось, однако, что на этом пути мы получаем только часть
всего класса веддербёрновских алгебр. А именно, веддербёрновская
алгебра А является пространственно проективной (забегая вперед, мы
должны были сказать «классически пространственно проективной»
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет добавочному и, на первый
взгляд, довольно экзотическому условию так называемой существенной
конечности. На уже использованном языке матриц это означает
следующее. Взглянем на изображенную выше матрицу, на ее «большие» блоки
с одинаковыми матрицами (на нашей картинке это а, 6,...) на
диагонали. Тогда в каждом из этих больших блоков должна выполняться по
крайней мере одна из двух вещей (или обе): либо матрица на диагонали
(скажем, а) имеет конечный размер, либо число таких матриц на
диагонали (= размер соответствующей скалярной блок-матрицы)
конечно; какое из этих условий выполнено, зависит от того, какой большой
блок рассматривается. Таким образом, мы видим, например, что сама
В(Н) является пространственно проективной (что, конечно,
тривиально), в то время как та же алгебра, но представленная в стандартной

ПРЕДИСЛОВИЕ
15
форме (т. е. В(Н) ®1н С_В(Н ® Н)) не является пространственно
проективной.
Читатель, наверное, уже догадался, что для того чтобы полностью
достичь нашей цели, мы должны обратиться к квантовому варианту
понятия проективности. Операторная проективность (мы говорим
квантовая проективность) была введена Полсеном в [87]; см. также [88].
Соответственно, мы говорим, что заданная операторная алгебра квантово
пространственно проективна, если ее пространственный модуль
квантово проективен. После этого мы в состоянии закрыть вопрос: алгебра
фон Поймана является веддербёрновской тогда и только тогда, когда
она квантово пространственно проективна [57].
6. Последнее по счету, но не по важности. Отрицательное решение
Пизье проблемы подобия Халмоша.
Пусть Τ — сжимающий оператор в Η, &р — многочлен. Тогда
выполнено знаменитое неравенство фон Ноймана: ||р(Т)|| ^ max{|p(z)|: \z\ ^
^ 1}. Как легкое следствие, каждый оператор Т, который подобен
(= топологически эквивалентен) сжимающему оператору,
полиномиально ограничен. Это означает, что существует постоянная С такая,
что для всех многочленов ρ выполнено ||р(Т)|| ^ (7тах{|р(^)|: \ζ\ ^ 1}.
Очень давно Халмош поставил вопрос о том, верно ли обратное. Иными
словами, всякий ли полиномиально ограниченный оператор подобен
сжимающему?
История (и предыстория) этой проблемы очень интересна и полна
драматических поворотов. Читатель может с удовольствием почитать о
ней в [100]; см. также [27]. Для нас существенно то, что проблема
Халмоша представляет собой типичный пример многих проблем, которые,
как мы знаем от самого человека, ее решившего, «могут быть
сформулированы как вопрос о том, влечет ли " ограниченности "полную
ограниченность" для линейных отображений, удовлетворяющих
некоторым дополнительным алгебраическим условиям1» [100, введение].
Такое сведение проблемы Халмоша к вопросу упомянутого типа —
что оказалось важным шагом в ее решении — было сделано
Полсеном [84]. А именно, следует рассмотреть алгебру C[t] многочленов от
одной переменной и алгебру В(Н), наделив обе некоторыми
стандартными квантовыми нормами. Тогда, согласно Полсену, проблема
Халмоша эквивалентна следующему вопросу: всякий ли ограниченный
гомоморфизм из C[t] в В(Н) автоматически вполне ограничен?
1На самом деле Пизье пишет о трех внешне не связанных «проблемах подобия»:
о проблеме Халмоша и о двух других, первая из которых касается представлений
групп, а другая имеет дело с представлениями С*-алгебр. Но эти две последние
проблемы мы здесь не обсуждаем: наш список примеров и так уже довольно длинен.

16
ПРЕДИСЛОВИЕ
Был момент (после появления препринта статьи [1]), когда
показалось, что такой вопрос близок к тому, чтобы быть решенным
положительно. Но в конце концов Пизье [99] предъявил такой оператор Т, что
возникающий гомоморфизм C[t] —> В (Η): ρ \-^ ρ(Τ) оказался «плохим».
После этого его доказательство было переосмыслено и упрощено в [28].
Снова отсылаем читателя за подробностями к цитированным статьям.
* * *
Несомненно, эти примеры убедили нашего читателя в том, что
человечество более не может существовать без квантовых норм и вполне
ограниченных операторов.
Так что же это такое — квантовая норма?
Огромное большинство математиков, пишущих о данном предмете,
берут заданное линейное пространство Ε и одновременно
рассматривают матричные пространства Мп(Е) всех размеров с элементами из
Е. Затем, опять одновременно, они снабжают каждое из этих
матричных пространств своей собственной нормой, скажем, || · ||п. Если это,
в определенном смысле, сделано правильно, то возникшая
последовательность норм удовлетворяет некоторым должным образом
выбранным условиям, так называемым аксиомам Руана; в частности, она
хорошо согласована с операцией взятия прямой суммы матриц. В этом
случае (всю) последовательность норм в этих матричных пространствах
всех размеров называют квантовой нормой или, чаще, структурой
операторного пространства. Изучить предмет в рамках матричного
подхода можно по монографиям [13, 46, 89] самих создателей теории.
Существует, однако, и другой способ «квантовать» норму. Вместо
последовательности матричных пространств можно рассмотреть всего
лишь одно пространство, состоящее, грубо говоря, из векторов
исходного линейного пространства £, нос коэффициентами, взятыми из
некоторой хорошей операторной алгебры. Мы имеем в виду то, что было
названо выше размножением нашего Е. Теперь разумным аксиомам,
т. е. варианту только что упомянутых аксиом Руана для матричных
пространств, должна удовлетворять (одна) норма, заданная в этом
размножении.
Сам факт, что оба подхода, матричный (координатный) и
«операторный» (бескоординатный), будучи формально разными, дают по
существу одни и те же результаты, известен. Это ясно указано в важной
книге Пизье [101]. Нам представляется, что в этой книге в целом
преобладает матричный подход, однако автор демонстрирует достоинства
безматричного подхода в целом ряде принципиальных вопросов (см.,
например, там же, с. 40). Заметим, что у Пизье «хорошая операторная

ПРЕДИСЛОВИЕ
17
алгебра» — это ^(Ь), слегка отличающаяся от той, с которой будем
работать мы. Помимо этого, существование и некоторые преимущества
второго подхода полностью осознавал, судя по его неопубликованным
запискам, Барри Джонсон. Этот же факт отражен в виде некоторых
теорем об эквивалентности различных категорий [125, 80]. Наконец, нет
сомнений в том, что это прекрасно знают авторы работ, содержащих
далеко идущие результаты по теории представлений бимодулей над
операторными алгебрами и тензорных произведений этих бимодулей; см.,
например, [2, 74, 103].
Тем не менее, похоже на то, что до сих пор не было
систематического изложения основ квантового функционального анализа, в котором
главные понятия и результаты теории были бы поданы
исключительно в рамках бескоординатного подхода, без обращения к матричным
пространствам.
Нужно ли подобное изложение? Разумеется, выбор между двумя
указанными подходами — это дело вкуса. Один предпочитает работать
с тензорными произведениями линейных операторов, а другой — с кро-
некеровскими произведениями матриц, и «оба правы». Все же автор
этого текста считает, что в целом бескоординатный подход дает
лучшую картину предмета, не только более элегантную, но также более
прозрачную и поучительную. Единственное, что требуется от
читателя, — это знакомство с некоторыми базовыми фактами, касающимися
нормированных модулей и, в некоторых разделах, их проективных
тензорных произведений (см. § 5.2 и § 8.0). Но так или иначе, все это входит
в обязательный джентльменский набор современного функционального
аналитика.
Возьмите, например, один из краеугольных камней теории, теорему
продолжения Арвесона-Виттстока. С бескоординатной точки зрения,
это по существу теорема продолжения для морфизмов бимодулей над
стандартными операторными алгебрами типа В(-). Даже более того:
это почти непосредственное следствие более простого по виду
наблюдения, касающегося односторонних гильбертовых модулей над В(-). Мы
имеем в виду их гомологическое свойство, называемое экстремальной
плоскостностью, а именно сохранение изометрических морфизмов
модульными тензорными произведениями (см. ниже теорему 8.3.6).
Но особенно достоинства безматричного подхода проявляют
себя в вопросах, представляющихся «бескоординатными» по самой
своей сути. Прежде всего мы имеем в виду квантовые тензорные
произведения, составляющие один из центральных разделов всей
этой дисциплины. Мы полагаем, что именно бескоординатный язык
дает более полное понимание существа обеих квантовых версий клас-

18
ПРЕДИСЛОВИЕ
сического гротендиковского проективного тензорного произведения
нормированных пространств. Речь идет о версиях, обычно называемых
хаагеруповым и операторно-проективным тензорным произведением.
Их явные конструкции выглядят проще и естественней, поскольку мы
ясно видим, что оба упомянутых тензорных произведения на самом
деле суть факторпространства некоторых «настоящих» (=
классических) проективных тензорных произведений. Более того, хаагерупово
тензорное произведение само является «настоящим» проективным
тензорным произведением, только не просто нормированных пространств,
а некоторых нормированных модулей (см. ниже теорему 6.1.11). Это
позволяет, как нам кажется, лучше понять саму конструкцию.
Среди других ситуаций, когда бескоординатный подход дает более
прозрачную картину того, что происходит, мы бы упомянули
доказательство инъективного свойства хаагерупова тензорного произведения,
некоторые аспекты теории двойственности (включая само определение
квантового сопряженного пространства), похвальное поведение
столбцового и строчечного гильбертианов по отношению к некоторым
базовым конструкциям.
Но опять-таки, все сказанное — это не более чем наше субъективное
мнение. Мы просто считаем, что систематическое безматричное
изложение предмета, хотя бы как дополнение к уже имеющимся «матричным»,
могло бы быть полезным.
Наконец, сделаем замечание более технического характера. В
качестве первого подготовительного шага для бескоординатного изложения
теории надо выбрать некоторое пространство в качестве «главного» или
«канонического» гильбертова пространства во всем тексте. Это может
быть Ϊ2 (ср. с [101]) или, что нам кажется более удобным, просто
произвольно выбранное, но «навсегда» фиксированное бесконечномерное
сепарабельное гильбертово пространство L. Затем, как более важный
шаг, мы должны выделить, среди нескольких кандидатов с их
преимуществами и недостатками, две операторные алгебры, действующие
в этом L. Роль первой алгебры — в том, что это она «размножает»
заданное линейное пространство, доставляя операторные
коэффициенты для его векторов. Вторая алгебра (a priori она может быть той же
самой или более обширной) служит в качестве базовой алгебры по
отношению к бимодулям, естественно возникающим при таком
размножении. Постепенно, методом проб и ошибок, мы пришли к паре алгебр,
которая, как нам теперь кажется, обеспечивает сравнительно гладкое
и прозрачное изложение предмета. Эта пара состоит из алгебры •F(L)
ограниченных конечномерных операторов в L в качестве
размножающей алгебры, а также алгебры B(L) всех ограниченных операторов в L

ПРЕДИСЛОВИЕ
19
в качестве базовой алгебры для бимодулей. Главное достоинство
алгебры J-{L) — в том, что у нее есть облик L ® Lcc, т. е. алгебраическое
тензорное произведение пространства L на его комплексно-сопряженное
пространство; вот почему с ним так удобно работать. (Да, она не
полна, но, как показывает опыт, это обстоятельство не создает никаких
затруднений.) А беря B(L) как базовую алгебру, мы получаем в свое
распоряжение, в качестве внешних множителей, множество операторов,
оказывающихся очень полезными. Особенно это касается
изометрических и коизометрических операторов, действующих в нашем L.
Заканчивая наше предисловие, мы хотели бы подчеркнуть
следующее. Предмет нашей книги — это то, что могло бы быть названо
линейным квантовым функциональным анализом. Мы имеем в виду
начальную и, по-видимому, наиболее разработанную часть квантового
функционального анализа, посвященную квантовым пространствам все еще
без какой-либо дополнительной структуры. Но, как и в «классическом»
функциональном анализе, существует и более молодая глава,
посвященная алгебрам и модулям. Она обладает своим неповторимым лицом,
лучше всего представленным своими собственными главными
результатами (ср. с введением ниже), такими, как уже упомянутые теоремы
Блечера и Блечера-Руана-Синклера, или, скажем, теорема реализации
для «квантованных» модулей; эта последняя была по существу
доказана Кристенсеном, Эффросом и Синклером [19] еще в 1988 г. Богатый
материал, содержащий эти теоремы реализации, равно как и некоторые
дальнейшие темы, содержится в монографии [13]; см. также обширную
библиографию этой книги.
Помимо этого, вместе с изучением алгебр, снабженных квантовой
нормой, неизбежно появился интерес к гомологическим свойствам этих
алгебр. Первой ласточкой была только что цитированная статья [19].
Сейчас в нашем распоряжении длинный и все возрастающий список
публикаций, целиком или частично посвященных различным аспектам
этой «квантовой гомологии». Помимо уже отмеченных статей [4, 57, 87,
88, 105, 106, 128], он включает [3, 22, 58, 91, 108, 130, 114] и много других
работ.
Но мы оставляем эти более поздние разделы квантового
функционального анализа, имеющие дело с алгебрами, модулями и гомология-
ми, вне пределов нашего изложения.
* * *
Мы предполагаем, что наш читатель знаком со стандартными
университетскими курсами функционального анализа и алгебры,
например, с материалом, изложенным обычным шрифтом в [133], вместе со

20
ПРЕДИСЛОВИЕ
всеми предварительными знаниями. Кроме этого, он должен знать, что
такое модуль и бимодуль над алгеброй и что такое (би) модульный мор-
физм (см., например, первую главу в [26]). Большая часть
дальнейших подготовительных сведений, прежде всего тех, которые будут
нами многократно использоваться, собрана в гл. 0. Это относится прежде
всего к операторам в гильбертовом пространстве и, в меньшей степени,
к (7*-алгебрам. Стоит заметить, что знание теории (7*-алгебр, в объеме,
скажем, первых трех глав в [78], весьма желательно для более глубокого
понимания предмета. Но фактически мы сталкиваемся с (7*-алгебрами
в этой книге не столь уж часто, а когда это случается, читатель почти
всегда без потери общности может считать, что имеет дело с алгеброй
всех операторов в гильбертовом пространстве.
Знак <^> означает «тогда и только тогда, когда». Комбинация :=
означает «равенство по определению». Доказательства окаймлены знаками
< (начало) и > (конец); помещенные рядом (<>), эти знаки означают
«очевидно» или «проверяется непосредственно».
Благодарности
Я благодарен своему другу и ученику О. Ю. Аристову, сделавшему
несколько весьма ценных предложений по усовершенствованию текста
книги.
Я сердечно признателен издательству Московского центра
непрерывного математического образования за предложение опубликовать
этот текст.
И, конечно же, я благодарен математикам, воздвигшим себе
нерукотворный памятник в виде науки «квантовый функциональный анализ»,
за огромное удовольствие от их прекрасных теорем. Их имена вы
встретите в тексте, и они не нуждаются в специальном перечислении.

ВВЕДЕНИЕ: О ТРЕХ ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ И ТРЕХ
ГЛАВНЫХ ТЕОРЕМАХ
Перед тем как начать подробное изложение теории, нам хотелось
бы выделить несколько ее наиболее важных понятий и результатов,
тех, которые представляют ее лицо. Мы считаем, что подобное
предварительное знакомство поможет нашему читателю правильно осознать
пропорции здания, в которое ему предстоит войти. К счастью,
основные определения и формулировки главных теорем достаточно просты
и прозрачны. О них можно рассказать, со всей должной аккуратностью,
быстро и кратко.
Каждая1 уважающая себя математическая наука имеет дело с
несколькими специальными категориями, типичными для данной
области. Что касается квантового функционального анализа, то его
важнейшие категории — это те, что будут обозначены через QNOR и QNOR^
Соответственно, наиболее важные определения в этой теории касаются
объектов и морфизмов именно этих категорий.
Объекты обеих категорий те же самые: так называемые квантовые
пространства. Чтобы их определить, нам понадобится прежде всего
некоторое фиксированное бесконечномерное сепарабельное гильбертово
пространство. Мы берем такое пространство, обозначаем его L и
фиксируем его на протяжении всего текста. (Нам более удобно сделать
«абстрактный» выбор, а не быть привязанным, скажем, к /2 или L2(·).)
Далее символ В(·) обозначает алгебру всех ограниченных операторов
в заданном нормированном пространстве, наделенную операторной
нормой. Мы обозначаем для краткости B(L) просто через 23, а двусторонний
идеал в 23, состоящий из всех ограниченных конечномерных операторов,
через Τ.
Пусть Ε — линейное пространство. Возьмем алгебраическое
тензорное произведение Τ ® Ε и кратко обозначим его через ТЕ. Назовем это
пространство размножением пространства Е. Это, говоря
неформально, «пространство линейных комбинаций векторов из Ε с операторными
коэффициентами из J-» (ср. с предисловием). Сходным образом
элементарный тензор а 0 х: a G J-*, χ £ Ε будет обозначаться просто через ах.
Ладно, почти каждая...

22
ВВЕДЕНИЕ
Поскольку левый тензорный множитель в ТЕ, будучи двусторонним
идеалом в 23, является бимодулем над последней алгеброй, пространство
ТЕ также есть 23-бимодуль. Соответственно, его внешние умножения
корректно определены равенствами а · Ъх = (ab)x и Ъх · а = (Ьа)ж, a G £>,
Ъ Ε Τ\ χ £ Ε. Это простое наблюдение очень важно для всей дальнейшей
теории.
Определение В.1. Квантовая норма в Ε — это норма в ТЕ,
удовлетворяющая следующим двум условиям («аксиомам Руана»):
(RI) для любых a G В и и G ТЕ выполнено
||a-u|| ^ ||а||||и||, ||^ · &|| ^ ||а||||и||;
(RII) если для и, ν G ТЕ найдутся проекторы (т. е. самосопряженные
идемпотенты) P,Q £ В такие, что Ρ · и · Ρ — и, Q · ν · Q — ν и PQ — О,
то тогда
\\и + г;|| = max{||u||, ||г;||}
(ср. с определением 1.2.3)1.
Квантовое пространство2 — это линейное пространство,
снабженное квантовой нормой (или, более дотошно, это пара (£", || · ||),
состоящая из линейного пространства и заданной в нем квантовой нормы).
Подчеркнем, что квантовая норма в Ε — это (обычная) норма, но
не в £, а в «большем» пространстве ТЕ.
Различными наши две категории делает выбор их морфизмов. Мор-
физмы в QNOR — это так называемые вполне ограниченные операторы,
в то время как морфизмы в QNof^ образуют меньший класс так
называемых вполне сжимающих операторов. Чтобы их определить,
предположим, что заданы два линейных пространства Ε и F и линейный
оператор φ: Ε —> F. Рассмотрим оператор ljr (8> φ: ТЕ —> TF,
корректно определенный равенством αχ \-^ αφ(χ), χ Ε Ε, α G Т. Мы обозначим
его для краткости через φ^ и назовем размножением оператора φ.
Определение В.2. Вполне ограниченный оператор между
квантовыми пространствами Ε и F — это линейный оператор φ: Ε —> F такой,
что его размножение φ^: ТЕ —> TF является ограниченным
оператором относительно соответствующих квантовых норм. Операторная
норма оператора φ^ называется вполне ограниченной нормой оператора φ
и обозначается через ||^||сь (ср. с определением 2.1.1).
Определение В.З. Вполне сжимающий оператор — это вполне
ограниченный оператор φ такой, что ||^||сь ^ 1? иными словами, оператор φ
1В скобках мы указываем номера, под которыми определения и утверждения
появляются в основном тексте.
2 Другое название — абстрактное операторное пространство; ср. с [46].

ВВЕДЕНИЕ
23
такой, что его размножение φ^ — сжимающий оператор (ср. с
определением 2.1.1).
Итак, обе категории QNOR и QNor^ введены. В частности, можно
говорить об их изоморфизмах, имеющих специальные названия
соответственно полные (или вполне) топологические изоморфизмы и полные
(или вполне) изометрические изоморфизмы. Очевидно, полный
топологический изоморфизм — это в точности оператор, размножение
которого является (просто) топологическим изоморфизмом нормированных
пространств, и в этой фразе можно заменить слово «топологический»
на «изометрический». Таким образом, у нас есть два вида
отождествления наших объектов: более терпимый и более жесткий; последний
учитывает точные значения вполне ограниченных норм. Этот второй вид
отождествления квантовых пространств фактически является самым
строгим из всех возможных отождествлений. Именно это
отождествление участвует в первом из обещанных главных результатов.
Чтобы его сформулировать, давайте рассмотрим то, что на первый
взгляд кажется просто одним из специальных классов примеров
квантовых пространств. Предположим, что заданное линейное пространство
Ε является подпространством пространства В(Н) для некоторого
гильбертова пространства Н. Тогда мы можем отождествить ТЕ с
подпространством в B(L (g) ii), где L (g) H — это гильбертово тензорное
произведение пространств L и Н: соответствующее вложение переводит
элементарный тензор а 0 6, a G Τ*, Ъ G В(Н), в оператор a (g) 6,
гильбертово тензорное произведение операторов а и Ь. Таким образом, ТЕ
становится нормированным пространством относительны нормы,
индуцированной операторной нормой в B(L (g) H). Легко проверить, что тем
самым мы задали квантовую норму в Е.
Таким образом, подпространства в В(Н) для любого гильбертова
пространства Η автоматически становятся квантовыми
пространствами. Назовем их квантовые нормы, равно как и сами эти квантовые
пространства, конкретными.
Смысл первой основной теоремы в том, что предъявленный пример
на самом деле охватывает все существующие квантовые пространства.
Теорема В.1 (теорема реализации Руана). Каждое квантовое
пространство совпадает, с точностью до вполне изометрического
изоморфизма, с некоторым конкретным квантовым пространством
(ср. с теоремой 9.1.4)1.
Итак, вот максима: «Нет квантовых пространств, кроме
конкретных квантовых пространств». Бросается в глаза сходство с теоремой
Оригинальное доказательство см. в [104].

24
ВВЕДЕНИЕ
Гельфанда-Наймарка, суть которой — в том, что «нет (7*-алгебр, кроме
конкретных С*-алгебр». Само слово «конкретное» в теореме В.1 явно
унаследовано из теории операторных алгебр, где «конкретная
(7*-алгебра» означает «самосопряженная равномерно замкнутая операторная
алгебра». Такое заимствование не должно удивлять. Роли обеих теорем,
Руана в более поздней области и Гельфанда-Наймарка в более ранней,
очень похожи. В самом деле, обе они являются яркими представителями
семейства так называемых теорем реализации в математической науке.
В этом качестве они доставляют бинокулярный взгляд на объекты
соответствующей теории и поэтому имеют большую практическую, так же
как и эстетическую, ценность. Мы имеем в виду то, что, работая в
соответствующей области, мы можем либо использовать аксиоматический,
внепространственный подход к изучаемому объекту, либо работать с
ним как со множеством, состоящим из операторов. Мы можем
использовать оба подхода попеременно и каждый раз выбирать тот, который
в данный момент более удобен. В нашей книге образцы подобного
синтетического подхода представлены в § 9.2 (ср. также с самым концом
этого введения).
Мы хотели бы выделить, в виде теоремы В. 1а чуть ниже,
утверждение, которое фактически является эквивалентной формой теоремы
Руана. (Эту эквивалентность нетрудно установить, и это будет сделано
на сравнительно ранней стадии нашего изложения; см. теорему 2.2.13.)
Как мы увидим, в ряде важных ситуаций это утверждение может
применяться независимо, без обращения к операторной реализации
«абстрактных» квантовых пространств.
Теорема В. 1а. Пусть Ε — произвольное квантовое пространство.
Тогда для каждого и G ТЕ выполнено
\\и\\ =sup{||<p(u)||},
где верхняя грань взята по всем вполне сжимающим
конечномерным операторам φ: Ε —> Τ или (как немедленное следствие) по всем
без исключения вполне сжимающим операторам φ: Ε —> Т. Здесь
T\=T(L) рассмотрено как конкретное квантовое пространство
(ср. с теоремой 9.1.5).
Свойство квантовых пространств, выраженное в этой теореме, мы
назовем достижимостью.
На самом деле здесь можно заменить супремум на максимум, а
также при желании заменить Τ большей алгеброй 23, или, в
противоположном направлении, целым семейством конечномерных алгебр 23 (Сп),
η = 1,2,... Но для большинства приложений достаточно пользоваться
этой теоремой именно в приведенной формулировке.

ВВЕДЕНИЕ
25
Обе теоремы, В.1 и В. 1а, будут получены как довольно быстрые
следствия определенного свойства квантовых пространств,
выраженного в будущей теореме 9.1.6. Но доказать это свойство совсем не просто.
Оно требует тщательной подготовки, равно как и довольно деликатных
дальнейших рассуждений.
Перейдем ко второй из основных теорем. Она играет роль
«квантового» варианта классической теоремы Хана-Банаха о продолжении
ограниченных функционалов. Чтобы ее сформулировать, предположим, что
F — подпространство линейного пространства £", а последнее наделено
квантовой нормой. Тогда легко проверить, что у самого F есть
квантовая норма, определенная равенством \\и\\ := Цг^и)!!, где г: F —> Ε —
естественное вложение. В этой ситуации мы говорим, что
соответствующее квантовое пространство F является квантовым подпространством
квантового пространства Е.
Теорема В.2 (теорема продолжения Арвесона-Виттстока). Пусть
F — квантовое подпространство квантового пространства Ε, α Η —
произвольное гильбертово пространство. Тогда каждый вполне
ограниченный оператор ψ из F в В(Н), где последнее рассмотрено как
конкретное квантовое пространство, может быть продолжен до вполне
ограниченного оператора ψ: Ε —> В (Η) такого, что Ц^ЦсЬ = IMIcb
(ср. с теоремой 8.4.3)1.
Заметим, что теорема Хана-Б анаха фактически является частным
случаем теоремы Арвесона-Виттстока, когда ii, а с ним и В(Н), есть
С (ср. с будущим замечанием 8.4.6).
Третий принципиальный результат, казалось бы, имеет дело с
весьма специальными квантовыми пространствами, но, как мы очень скоро
убедимся, фактически касается всех квантовых пространств.
Пусть Н, К — гильбертовы пространства, а В(Н), В (К) —
соответствующие конкретные квантовые пространства. Вначале мы выделим
два класса операторов между этими пространствами, которые
автоматически вполне ограничены. Первый класс состоит из всех
^гомоморфизмов из В(Н) в В (К). Чтобы указать второй класс, возьмем
произвольную пару ограниченных операторов S:H^KnT:K^H. Они
порождают отображение mS'T \ В(Н) —> В (К), сопоставляющее
оператору а в Η оператор SaT в К. Эти отображения, так называемые
операторы двойного умножения, образуют другой нужный нам класс
автоматически вполне ограниченных операторов.
Заметим, что в обоих случаях проверить полную ограниченность
очень легко. В самом деле, размножение *-гомоморфизма само есть
Доказана в [122] после важного подготовительного шага в [5].

26
ВВЕДЕНИЕ
*-гомоморфизм между *-алгебрами, которые являются, в некотором
разумном смысле, «почти (7*-алгебрами», и желаемое свойство следует из
автоматической ограниченности *-гомоморфизмов между
«подлинными» С*-алгебрами. В то же время размножение оператора ms>T
является ограничением другого оператора двойного умножения,
действующего между B(L ® Н) и B(L (g) К), а потому также ограниченного. Оба
факта полностью доказаны в будущих теоремах 2.2.10 и 2.2.11.
Теорема В.З. (теорема разложения Стайнспринга-Полсена). Пусть
φ: В (Η) —> В (К) — вполне ограниченный оператор. Тогда существуют
гильбертово пространство К, ^-гомоморфизм а: В(Н) —> В (К) и
ограниченные операторы V: К —> К uW: К —> К такие, что диаграмма
В(Н) * В(К)
коммутативна (ср. с теоремой 10.3.3)г.
Таким образом, любой вполне ограниченный оператор между В(Н)
и В (К) может быть представлен в виде композиции *-гомоморфизма
и оператора двойного умножения.
Эта теорема может рассматриваться как далеко идущее
обобщение структурной теоремы, описывающей ограниченные функционалы
на (7*-алгебрах и связанной с именами Гельфанда, Наймарка и Сигала
(ср. с § 0.8).
А теперь сделаем итоговое наблюдение. Объединив все три основных
результата, можно легко получить, в качестве завершающего аккорда,
теорему о структуре вполне ограниченных операторов между
произвольными квантовыми пространствами, равно как и о природе самих
этих пространств. В духе [101, с. 23] ее можно окрестить
«фундаментальной теоремой реализации-факторизации-продолжения».
Теорема В.За. Пусть Ε и F — произвольные квантовые
пространства, φ: Ε —> F — произвольный вполне ограниченный оператор. Тогда
существуют гильбертовы пространства Н,К и К, конкретные
квантовые пространства Ε С В(Н) и F С В(К), ^-гомоморфизм а: В(Н) —>
—> В (К) и, наконец, ограниченные операторы V: К —> К uW:K^K
1 Впервые в явном виде доказана в [84] после важного подготовительного шага
в [116]. См. также неопубликованную рукопись Хаагерупа [53] и более ранние статьи
Виттстока [122, 124].

ВВЕДЕНИЕ 27
такие, что имеется коммутативная диаграмма
Ε ^F
Ε F
V.W
οι v*> / τ^\ τα '
Υ
B{H) —^ B{K) ^-^ B(K),
где верхние вертикальные стрелки изображают полные
изометрические изоморфизмы, а нижние — естественные вложения.
Таким образом, мы видим, что любой вполне ограниченный
оператор может быть представлен, с точностью до отождествления его
области определения и области значений с некоторыми
конкретными квантовыми пространствами, как биограничение композиции
^-гомоморфизма и оператора двойного умножения.
Действительно, теорема В.1 доставляет гильбертовы пространства
Н, К и изометрический изоморфизм пространств Ε и F на некото-
рые конкретные квантовые пространства Ε С В(Н) и соответственно
F С В (К). Тогда, отождествив F с F, мы можем говорить о копро-
должении φ: Ε —> В(К) оператора φ. После этого, отождествив Ε с £",
мы подставляем в теорему В.2 наши В(Н), Ε и φ на место
соответственно £", F и φ. Эта теорема немедленно доставляет продолжение
φ: Β (Η) —> В (К) оператора φ такое, что ||^|| = ||^|| и, следовательно,
ΙΙ^ΙΙ = \\φ\\. Остается применить теорему В.З к оператору φ.
Разумеется, каждая из теорем В.1-В.З содержится как частный
случай в этой сборной теореме.
Мы видели, что главные результаты теории формулируются в
достаточно элементарных терминах. Но их доказательства, по крайней мере
те, которые у нас есть к настоящему времени, довольно длинны и уж
никоим образом не элементарны. Чтобы полностью в них разобраться, от
читателя требуются значительные усилия. Доказательства теорем В.1
и В.З, несмотря на то, что первоначальные рассуждения были позднее
упрощены, все еще используют тяжелую технику в работе с
положительными функционалами и операторами. Что касается доказательства
теоремы В.2, оно намного менее технично, но зато требует некоторого
знакомства с модульными тензорными произведениями. Этот
предварительный материал, собранный в § 8.0, есть сущая банальность для

28
ВВЕДЕНИЕ
алгебраиста, но, как мы опасаемся, может оказаться новшеством,
скажем, для специалиста по теории операторов.
Вместе с тем большое количество ценных сведений может быть
сообщено независимо от этих далеко идущих теорем. В основном это потому,
что соответствующие конструкции и факты могут быть полностью
изложены в рамках аксиоматического подхода. Это справедливо для
большинства материала, относящегося к таким важным темам, как
квантовые тензорные произведения и теория двойственности. Это же касается
поучительных и важных примеров, как «абстрактных», так и
«конкретных», которые необходимы для неформального понимания предмета:
максимального и минимального квантования, столбцовых и
строчечных гильбертианов, самодуального пространства Пизье и так далее.
В силу этих причин мы старались отложить подробный рассказ
о главных теоремах, включая их полные доказательства, на как можно
более позднее время. Мы не говорим о них, за исключением
неформальных замечаний — так сказать, обещаний на будущее — до того
момента, когда эти теоремы действительно окажутся необходимыми
для дальнейшего развития теории. Но — разрешите повторить это
снова — мы полагаем, что знать с самого начала, о чем они говорят, очень
важно. Это правильно ориентирует нашего читателя и существенно
помогает ему овладеть предметом.

ЧАСТЬ I
НАЧАЛО: ПРОСТРАНСТВА
И ОПЕРАТОРЫ
ГЛАВА О
ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
§ 0.1. Операторы в нормированных пространствах
Вначале напомним несколько терминов, связанных с заданным
отображением множеств φ: X —> Υ. Все знают смысл слов «ограничение
φ на подмножество Μ в X» и «φ — это продолжение отображения
φο: Μ -^Υ на X». Далее, если N — подмножество в У, содержащее
Im ((/?), и φ°: X —> N — отображение, поточечно совпадающее с φ, то
мы говорим, что φ° — коограничение ψ на 7V, а ψ — копродолоюение φ°
на Υ. Наконец, если для тех же Μ л N отображение φ$: Μ —> N
поточечно совпадает с φ, то мы говорим, что φ$ — биограничение φ на пару
М, 7V, а φ — бипродолоюение φ$ на пару Χη Υ.
На протяжении всего этого текста полем скаляров для всех
линейных пространств, если явно не оговорено обратное, будет служить поле
комплексных чисел С. Слова оператор и биоператор всегда означают
соответственно линейный и билинейный оператор. Слова функционал
и бифунщионал имеют сходный смысл.
Если Ε и F — линейные пространства, то С(Е, F) — обозначение
пространства всех операторов из Ε в F, и мы пишем С(Е) вместо £(Е,Е).
Пространство всех функционалов на линейном пространстве Ε
обозначается через ЕК Тождественный оператор в Ε обозначается 1# или,
если ясно, о каком пространстве идет речь, просто 1. Символ (g)
обозначает, как обычно, алгебраическое тензорное произведение линейных
пространств или же линейных операторов.
Комплексно-сопряженное пространство линейного пространства Ε
обозначается Есс. Напоминаем, что это последнее обладает той же под-

30
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
лежащей аддитивной группой, что и Е, но новым умножением на
скаляры, а именно С χ Есс —> Есс: (λ, χ) \-^ Хх. Для вектора χ в Ε тот же
вектор, но рассмотренный в Есс, будет часто, во избежание
недоразумений, обозначаться х. Таким образом, комплексно-сопряженный
оператор φ: Ε —> F — это линейный оператор из Есс в F, а также из Ε
bFcc.
Напомним также равенство Есс (8) Fcc = (Ε (8) F)cc, имеющее место
с точностью до линейного изоморфизма, корректно определенного
правилом х®уих®1/ (т. е. оставляющего на месте элементарные
тензоры). Это позволяет говорить об алгебраическом тензорном
произведении φ (8) ψ: Ει (8) i?2 —> F\ (8) F2 двух сопряженно-линейных
операторов (/?: £Ί —> Fi и ^: ^ —> ^2· А именно, имеется в виду сопряженно-
линейный оператор, корректно определенный тем, что он переводит
элементарный тензор χ 0 у в φ(χ) ®ф(у).
Семейство Μ функционалов на линейном пространстве Ε мы
назовем достаточным, если для каждого ненулевого χ G Ε
существует / Ε Μ такой, что f(x) ф 0. Нам предстоит неоднократно
использовать следующее наблюдение, хорошо известное в линейной алгебре (см.,
например, [133, предложение 4.2.3]). Если Μ достаточно, а векторы
χι,..., χη Ε Ε линейно независимы, то найдется g G span {M} такой,
что g(xk) равен 1 при к = 1 и равен 0 при других к.
Если £", F и G — линейные пространства, а ΊΖ: Ε χ F —> G —
биоператор, то последний известным образом порождает операторы
7ZF: F ^ C(E,G) и f7lE : E^>£(F,G). Первый из них, UF\ переводит
у G F в оператор 7£у : χ ь^ 7£(ж, г/), а второй, '7^, переводит χ £ Ε в
оператор 77£ж: у \-^ И(х,у). В ситуации, когда оба оператора 1ZF и flZE
инъективны, исходный биоператор ΊΖ часто называется векторной
двойственностью (или векторным спариванием).
Проследуем из алгебры в анализ. Если Ε и F — преднормиро-
ванные пространства, то B(E,F), JC(E,F) и F(E,F) — обозначения
соответственно пространств всех ограниченных, всех компактных и
всех конечномерных ограниченных операторов из Ε в F. Как обычно,
В(Е), 1С(Е) и Т(Е) — обозначения соответственно для Β(Ε,Ε), Κ,(Ε,Ε)
и Т(Е,Е). Если E,F и G — три преднормированных пространства,
то В(Е χ F, G) — обозначение пространства всех ограниченных (речь
идет, разумеется, о совместно ограниченных) биоператоров из Ε χ F
в G. Упомянутые пространства (би)операторов, если явно не оговорено
обратное, всегда будут рассматриваться с (би)операторной преднормой.
Замкнутый единичный шар в преднормированном пространстве Ε
обозначается через Be·} а замкнутый единичный шар в его сопряженном
нормированном пространстве Е* := В(Е,С) — через Вд.

0.1. ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 31
Категория нормированных пространств и ограниченных операторов
обозначается через Nor, а ее полная подкатегория, состоящая из
банаховых пространств — через Ban. Категории с теми же объектами, что
Nor и Ban, но лишь со всеми сжимающими операторами в качестве
морфизмов обозначаются соответственно через NORi и ΒΑΝχ.
Оператор между преднормированными пространствами Ε и F
называется изометрическим, если он сохраняет преднормы. (Если Ε —
нормированное пространство, то такое свойство, конечно, означает, что
наш оператор инъективен.) Оператор между теми же пространствами
называется коизометрическим, если он отображает открытый
единичный шар в Ε на открытый единичный шар в F, и строго коизомет-
рическим, если он отображает замкнутый единичный шар в Ε на
замкнутый единичный шар в F. Напомним, с прицелом на будущее, что
оператор S: Ε —> F, действующий между преднормированными
пространствами, является изометрическим <^> его банахов сопряженный
£*: F* —> Е* является коизометрическим, и <^> этот сопряженный
оператор является строго коизометрическим. (Это, разумеется, не
что иное, как теорема Хана-Банаха в другой упаковке.)
Когда это будет удобно, изометрические операторы между
нормированными пространствами будут называться изометрическими
вложениями. Напомним следующие факты, очень важные для всей
излагаемой теории.
Каждое нормированное пространство Е:
(i) может быть изометрически вложено в пространство (7(Ω), где
Ω — компактное топологическое пространство, и
(и) может быть изометрически вложено в пространство В(Н),
где Η — гильбертово пространство.
Есть много способов строить подобные вложения. Например,
классическая теорема Фреше-Урысона дает самую раннюю конструкцию
первого из упомянутых вложений. После этого любой из имеющихся
в изобилии изометрических операторов из пространства (7(Ω) в
определенные пространства В(Н) (см., например, ниже § 0.8) доставляет
второе из упомянутых вложений.
Ограниченные операторы S и Т, действующие в преднормирован-
ных пространствах Ε и F соответственно, называются изометрически
эквивалентными, если существует изометрический изоморфизм /
такой, что диаграмма
Ε ^Е

32
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
коммутативна. Ограниченные операторы S: ^^^иГ: F\ —> F2,
действующие между преднормированными пространствами, называются
слабо изометрически эквивалентными, если существуют
изометрические изоморфизмы I и J такие, что диаграмма
s
коммутативна. (Оба понятия обсуждаются, например, в [133, § 1.4].) Что
касается изометрических изоморфизмов, участвующих в этих
определениях, то мы говорим, что / или, смотря по смыслу, пара (/, J)
осуществляет соответствующий тип эквивалентности.
Очевидно, если некоторый оператор S является изометрическим, ко-
изометрическим или строго коизометрическим, то же верно и для
каждого оператора, слабо изометрически эквивалентного (в частности,
изометрически эквивалентного) нашему S.
Наконец, если Ε — преднормированное пространство, то Есс —
также преднормированное пространство относительно преднормы ||х|| : =
:= ||х||. Если а — ограниченный оператор, действующий в Ε или в Есс,
то он, будучи рассмотрен как отображение Есс —> Есс (соответственно
Ε —> £7), также является ограниченным линейным оператором, и в этом
качестве будет часто обозначаться через а. Однако тождественное
отображение В(Е) —> В(ЕСС) — это не линейный, а сопряженно-линейный
изометрический изоморфизм преднормированных пространств. Таким
образом, имеет место отождествление В(ЕСС) = В(Е)СС.
§ 0.2. Операторы в гильбертовых пространствах
Само собой разумеется, что выдающуюся роль во всей теории
играют гильбертовы пространства и связывающие их операторы. Говоря
о гильбертовых пространствах, мы будем всегда использовать
обозначение Н, а также, если мы имеем дело с двумя, К.
Скалярное произведение в Η обозначается (·,-)я или просто (·,·).
Комплексно-сопряженное пространство Нсс само становится
гильбертовым пространством, если положить (х,г/)ясс '·= (у,%)н·
Напомним, что для ограниченного оператора φ: Η —> К его
гильбертов сопряженный действует из К в Н, в то время как его банахов
сопряженный действует из X* в Н* или, с точностью до
отождествления, доставляемого теоремой Рисса, из Ксс в Нсс. Эти два понятия
существенно различны (см., например, обсуждение в [133, § 6.1]). Тем

§0.2. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 33
не менее мы будем обозначать оба оператора одинаковым символом φ*.
Смысл этой звездочки в разных частях текста будет, как правило, ясен
из контекста, а если нет, то явно указан.
На протяжении всего текста термин операторное пространство
используется для произвольных (не обязательно замкнутых)
подпространств в В(Н,К), где Η и К — гильбертовы пространства. Пока
еще мы не наделяем операторные пространства дополнительными
структурами, за исключением индуцированной (= операторной)
нормы. (Таким образом, из сказанного выше про вложения видно, что
каждое нормированное пространство изоморфно, как объект в NoRi,
некоторому операторному пространству.) Сходным образом, термин
операторная алгебра используется для произвольных (не обязательно
самосопряженных или замкнутых) подалгебр какой-либо алгебры В(Н).
Векторный функционал на операторном пространстве В(Н,К) —
это, по определению, тот, который действует по правилу а \-^ (αξ, η) для
некоторых фиксированных ξ G ii, η Ε Κ. Мы будем всегда
использовать символ (8) для гильбертова тензорного произведения гильбертовых
пространств, а также для гильбертова тензорного произведения
операторов, действующих в этих пространствах; об этих вещах см.,
например, [65, § 2.6] или [133, § 2.8]. (Еще один случай употребления этого
символа будет обсужден в § 0.7.)
Напомним, что для гильбертова пространства Η выполнено Нсс (g)
<g) Нсс = (Н (g) H)cc с точностью до изометрического изоморфизма,
оставляющего на месте элементарные тензоры. Символ Θ обозначает
гильбертову сумму гильбертовых пространств.
В некоторых ситуациях нам понадобятся пространство
операторов Шмидта (говорят также: операторов Гильберта-Шмидта)
и пространство ядерных операторов (говорят также: операторов
следового класса) операторов между гильбертовыми
пространствами Η л К (см., например, [133, § 3.4]). Первое будет
обозначаться через S(H,K), а второе — через Λί(Η,Κ). Напоминаем, что
ЩН, К) С 5(Я, К) С /С(Я, К) С В(Н, К).
Пространство S(H,K) — это гильбертово пространство
относительно скалярного произведения (а, Ь) := tr(fe*a) (или,
эквивалентно, (а, Ь) := tr(afe*)) и, соответственно, оно наделено нормой ЦаЦ^ =
= [tr(a*a)]1/2, называемой нормой Шмидта. (Здесь и повсюду
далее tr(·) — это обозначение операторного следа.) Его сопряженное
пространство совпадает с S(K,H) с точностью до изометрического
изоморфизма, сопоставляющего функционалу / G S(H,K)* оператор
Ъ G S(K,H), однозначно определенный равенством /(a) = (а, &*) (или,
эквивалентно, /(a) = tr(fea) = tr(afe)).

34
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
Пространство Λί(Η, К) — это банахово пространство
относительно так называемой ядерной нормы, или следовой нормы \\a\\j\f : =
:= tr [(α*α)1/2]. Оно совпадает с сопряженным пространством к Κ,(Κ,Η)*
с точностью до изометрического изоморфизма, сопоставляющего
функционалу / £ Κ,(Κ,Η)* оператор Ъ G Λί(Η,Κ), однозначно
определенный равенством f{a) = tr(fea) = tr(afe), a G Κ,(Κ,Η). В то же время
пространство Ν(Η,Κ)* совпадает с В(К,Н) с точностью до
изометрического изоморфизма, сопоставляющего функционалу / Ε Λί(Η, Κ)*
оператор Ъ G В(К,Н), однозначно определенный сходным равенством
/(a) = tr(fea) = tr(afe), a G Λί(Η, К). (Эти два утверждения известны как
теоремы Шаттена-фон Ноймана; см., например, [118, теоремы П. 1.6
иП.1.8].)
Пространство Τ{Ή.,Κ), наделенное нормой Шмидта или
ядерной нормой, т. е. рассмотренное как нормированное подпространство
в S(H,K) или Λί(Η,Κ), будет обозначаться соответственно через
Fs(H,K) или ^(Η, К).
В качестве наших постоянных орудий мы будем использовать
частично изометрические операторы, действующие между двумя (часто
совпадающими) гильбертовыми пространствами, прежде всего
изометрические и коизометрические операторы. Напомним, что с
алгебраической точки зрения оператор S: Η —> К является частично
изометрическим в точности тогда, когда S*S и (как следствие) SS* являются
проекторами (= самосопряженными идемпотентами). Первый из этих
проекторов называется инициальным, а второй — финальным
проектором оператора S. Далее, S — изометрический оператор <^> S*S = 1,
и S — коизометрический оператор <^> SS* — 1. (Таким образом, в
контексте гильбертовых пространств коизометрические операторы — это
в точности сопряженные к изометрическим.)
Довольно часто в наших будущих рассуждениях мы будем иметь
дело с конечными наборами частично изометрических операторов. Если
Sk- Η —> К, /с = 1,..., тг, — такой набор, мы обычно будем
предполагать, что инициальные проекторы наших операторов совпадают с
одним и тем же проектором, скажем Р, в то время как их финальные
проекторы, скажем Р&, попарно ортогональны. (Последнее означает,
что PkPi =0 при к у^ I или, эквивалентно, что образы этих проекторов
попарно ортогональны как подпространства.) Напомним, что в такой
ситуации справедливы следующие равенства:
SkP = PkSk = Sk, PS*k = S*kPk = S*k и,
как следствие, S%Si = <5f P,
где δ — символ Кронекера.
(0.2.1)

§0.2. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 35
Другой класс операторов, который нам будет часто нужен, это
одномерные (= ранга один) операторы. Если Η л К — гильбертовы
пространства, ξ G К и η G Η, то мы обозначаем через ξ Ο η оператор,
переводящий ζ G Η в (ζ, η)ξ Ε К. Разумеется, это одномерный оператор,
и хорошо известно, что всякий ограниченный одномерный оператор,
действующий между Η л К, имеет для некоторых ξ и ту указанный вид.
Ясно, что одномерные операторы нормы 1 являются частично
изометрическими. Напомним равенства
(ξ Ο η)(ξ' О η') = {ξ', η)ξ О η', α(ξ Ο η) = (αξ) Ο η,
(ξΟη)α = ξΟ (α*η), (ξ Ο η)* = η Ο ξ, (0.2.2)
Κ(ξΟη) = &η) и ||«Огу)|| = М|Ы|,
которые имеют место (и легко проверяются) везде, где их ингредиенты
имеют смысл.
Здесь, конечно, звездочка — это символ гильбертова сопряженного
оператора к заданному φ Ε В(Н,К). Что касается банахова
сопряженного, рассмотренного в соответствии со сказанным выше как оператор
в В(КСС, iicc), то можно легко проверить, что
(ξΟη)*=ηΟξ, ξΕΚ,ηΕΗ. (0.2.3)
Отметим также, что мы будем часто использовать стандартное
отождествление
K®HCC = F(H,K), (0.2.4)
справедливое с точностью до линейного изоморфизма, однозначно
определенного равенством ξ (&η \-^ ξ О ту, ξ Ε Κ, η £ Η. Этот изоморфизм
становится изометрическим, если мы рассмотрим К (g) Нсс с
гильбертовой нормой, а Τ{Έί, К) с нормой Шмидта; иными словами, если мы
рассмотрим К (g) Нсс как нормированное подпространство в К (g) ufcc,
а Т(Н,К) — как Ts(H,K). После соответствующего бипродолжения
этого изометрического изоморфизма по непрерывности мы получаем
отождествление
K®HCC = S(H,K), (0.2.5)
справедливое с точностью до изометрического изоморфизма,
однозначно определенного тем же равенством.
Далее, пусть {Hv\ v Ε Λ} и {Κν\ ν Ε Λ} — два семейства
гильбертовых пространств, \TV: Ην —> Κν, ν Ε Λ} — семейство операторов,
являющееся равномерно ограниченным (т. е. sup{||Ti,||: ν Ε Λ} < οο).
В этом случае определена так называемая гильбертова сумма
семейства Тг,, обозначаемая (§){Ти: ν Ε Λ} (см., например, [65, § 2.6]

36
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
или [133, § 6.7]). Это оператор, действующий между (§){HU: v G Λ}
и ^{Ки: ν Ε Λ} (гильбертовыми суммами соответствующих семейств
гильбертовых пространств) и переводящий «строку» (..., χν^...), xv G
G Hu, в (..., Txjj, ...). При этом выполнено равенство
\\®{Τν: ν е А}\\ = sup{\\Tu\\ :veA}. (0.2.6)
А теперь для удобства будущих ссылок сделаем следующее простое
наблюдение.
Предложение 0.2.1. Пусть Η — гильбертово пространство, Ε —
линейное пространство, wi, I — 1,..., τη, — несколько элементов,
каждый из которых принадлежит либо Ε ® Η, либо Ε 0 Нсс. Тогда
существует ортонормированная система е&, к = Ι,.,.,η, в Η (или, что
η
то же самое, в Нсс) такая, что каждый wi имеет вид Σ xlk (g) е&, где
х[ е Е. k=1
< Возьмем любое представление, скажем Σ Ук ® %L· кажДОГО wi-
fc=l
Тогда, рассмотрев все ξ[ в одном и том же пространстве (Н или Нсс),
возьмем ортонормированный базис, скажем е&, их линейной оболочки.
Остается разложить векторы ξ&, теперь снова рассматриваемые в своих
исходных пространствах, по этому базису и использовать билинейность
операции «(g)». >
Иногда нам встретится линейное пространство, скажем Но,
наделенное некоторым предскалярным произведением (·, ·)ο: Но х Но —> С,
т. е. функцией двух переменных из Но, обладающей всеми свойствами
скалярного произведения, кроме, быть может, свойства «(£,£)о = 0
влечет ξ — 0» (см., например, [133, § 1.2]). Напомним, что в этой ситуации
возникает и настоящее гильбертово пространство. А именно, мы
полагаем Ν := {ξ G Но: (£,£)о = 0} и проверяем, что это подпространство
в Но, затем берем факторпространство Ηο/Ν и, используя обозначение
[ξ] для класса смежности вектора ξ G Но, полагаем ([ξ], [η]) := (ξ, 77)0?
ξ, η Ε ϋίο· Полученная функция двух переменных корректно
определена и является скалярным произведением в Ηο/Ν. После этого мы
рассматриваем пополнение почти гильбертова пространства (Ηο/Ν, (·, ·))
(ср., например, с [133, предложение 2.6.3]). О построенном
гильбертовом пространстве мы будем говорить, что оно порождено
предскалярным произведением (·, ·)ο·
§ 0.3. Бубновое умножение
С этого момента, чтобы двигаться дальше, мы должны выбрать
какое-либо сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство

0.3. БУБНОВОЕ УМНОЖЕНИЕ
37
(ср. с введением). Наш выбор произволен, но после того, как он сделан,
мы «навсегда» фиксируем это пространство. Иногда мы будем называть
его каноническим. Мы обозначим его через L. Ради краткости
обозначим операторные алгебры B(L), 1C(L) и •F(L) соответственно через £>,
/С и Τ. Вместо 1^ мы будем писать просто 1.
Мы переходим к довольно существенной части наших
приготовлений. Нам нужна операция, имитирующая тензорное умножение
операторов в нашем каноническом гильбертовом пространстве, но не
выводящая из этого пространства. Для этой цели мы наделим L некоторой
дополнительной структурой.
Согласно теореме Рисса-Фишера существует много унитарных
изоморфизмов из L на L (8> L. Возьмем один из них, скажем ι, и
зафиксируем его, снова «навсегда». (Не играет роли, какой из них мы выберем.)
Затем положим к : = B(L (8> L) —> В: аи ι* αι. Разумеется, мы получим
изометрический *-изоморфизм между нашими операторными
алгебрами. Наконец, условимся употреблять обозначение
α<>6
для оператора х(а (8) Ъ), а, 6 Ε Β\ этот оператор, конечно, действует в L.
Очевидно, имеют место соотношения
(а 0 Ъ)(с 0 d) = ас 0 fed, (а 0 fe)* = а* 0 fe*,
101 = 1 и ||аОЬ|| = ||а||||Ь||. ^°'3'^
Отметим также, что это «бубновое умножение» не выводит из Τ и из К.
Далее, условимся употреблять обозначение ξ <0 ?7? гДе ξ,η £ L, для
вектора £*(ξ (8) η). Тогда с помощью (0.2.2) легко проверить, что для
любых ξ, ту, ξ7, τ/ Ε L выполнено
(ξ Ο η) 0 (ξ' О //) = (ξ 0 О О (τ] 0 г/)· (0.3.2)
Очевидно, наша «бубновая операция» билинейна и совместно
непрерывна.
В этом контексте естественно возникает некий оператор порядка 2,
действующий в L. Мы введем его с помощью оператора рокировки (flip)
V: L (8> L —> L (8) L, корректно определенного правилом ξ (8) ту \-^ η (8) ξ;
ξ, ту Ε L. А именно, мы полагаем Δ := £* V £ (или, что то же самое,
Δ := x(V)). Ясно, что Δ — самосопряженный и (главное) унитарный
оператор, такой, что
60α = Δ(α<>6)Δ. (0.3.3)
Кроме того, рассмотрим цепочку операторов

38
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
и обозначим их композицию через l±l: L —> L. Разумеется, 1±1 —
унитарный оператор. Взяв а, Ь, с G В и выразив операторы а <0 (Ъ <0 с)
и (а {) 6) ^ с с помощью а®Ъ®с, мы легко усматриваем, что
α 0 (6 0 с) = Щ ((а О Ъ) 0 с) Щ*. (0.3.4)
Равенства (0.3.3) и (0.3.4) показывают, что наша «бубновая
операция» коммутативна и ассоциативна с точностью до унитарной
эквивалентности операторов.
Замечание 0.3.1. Мы видели, что определение «бубнового
умножения» доставляет операцию, зависящую от выбора отображения ь.
Однако основные понятия нашей области, которые будут сформулированы,
как правило, в терминах определенных норм, не зависят от этого
выбора. В этом легко убедиться, но нам это не нужно.
§ 0.4. Бимодули
На протяжении всего текста термин бимодулъ (= двусторонний
модуль) всегда означает униталъный бимодулъ в смысле чистой
алгебры над операторной алгеброй В. Как правило, кроме явно указанных
исключений, мы не рассматриваем другие базовые алгебры.
Соответствующие внешние умножения, опять-таки за исключением специально
указанных случаев, будут обозначены точкой: «·». Простейшие
примеры — это, конечно, сама базовая алгебра В и ее двусторонние
идеалы /С и Τ. Слова «бимодульный морфизм» всегда означают морфизм
£>-бимодулей.
Иногда, хотя и не столь часто, нам будут нужны односторонние уни-
тальные модули, левые и правые, над В. Имея дело с ними, мы будем
говорить просто «модуль» (соответствующего типа) и «морфизм
модулей».
Пусть X — левый модуль. Левый носитель элемента и £ X — это, по
определению, любой проектор Ρ G В такой, что Ρ · и — и. Сходным
образом, с помощью равенства и - Ρ = и, мы определяем правый носитель
элемента правого модуля. Если задан бимодуль и Ρ — одновременно
левый и правый носитель его элемента и, то мы говорим, что Ρ — (просто)
носитель элемента и. Выделим очевидное предложение.
Предложение 0.4.1. Если φ: X —> Υ — морфизм левых, правых или
двусторонних модулей, то каждый носитель («односторонний» или,
если это имеет смысл, двусторонний) элемента и G X является
носителем того снсе типа элемента φ (и) G Υ. о >
Если X — бимодуль, а 5, Τ G £>, το S - X - Τ обозначает подмножество
(и, очевидно, подпространство) {S · и · Т: wG X} в X.

§ 0.5. РАЗМНОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ 39
Сделаем следующее наблюдение. С помощью введенного выше
бубнового умножения каждый бимодуль X с первоначально заданными
операциями «·» получает две другие бимодульные структуры. Первая
из них корректно определена с помощью равенств
а · и := (α φ 1) · и и и · а := и · (а ф 1),
а вторая с помощью равенств
а · и := (1 § а) · и и и · а := и · (1 <0 α).
Теперь предположим, что для некоторых элементов и, ν бимодуля
X существуют частичные изометрии S,T G В такие, что ν — S · и · Τ
к и = S* · ν · Τ*. 3 этом случае мы будем говорить, что и конгруэнтен
v. Ясно, что это все равно, что сказать «г; конгруэнтен и», и поэтому
мы будем также говорить, что и л ν конгруэнтны. (Можно показать,
что конгруэнтность — это отношение эквивалентности, но нам это не
пригодится.)
Говоря о конгруэнтности операторов, мы подразумеваем
конгруэнтность в бимодуле В. Как важный частный случай, элементы u, v
заведомо конгруэнтны, если ν = S · и · Τ для некоторых изометрического S
и коизометрического Т. Стоит отметить, что из формул (0.3.3) и (0.3.4)
вытекает, что для любых а, 6, с G В оператор Ъ <0 а конгруэнтен а <0 6,
а а () (Ь <0 с) конгруэнтен (α φ b) φ с.
Следующее наблюдение технического характера часто оказывается
полезным.
Предложение 0.4.2. Пусть X — бимодуль, и\,..., ип G X, а\, fei,...
..., αη, bn Ε Β. Пусть, далее, 5Ί,..., Sn — изометрические операторы
в L с попарно ортогональными финальными проекторами. Положим
η η η
и := ^2 Sk - Uk - S%,, a := ^ ak$>k и b := Σ $kbk· Тогда имеют место
k=l k=l k=l
равенства
η η η
a'u' b = "^2ak -uk · bfc, a = ^^akal и fe = ^fe*feb (0.4.1)
fe=l fe=l fe=l
< Желаемые равенства легко следуют из формул (0.2.1), где в
рассматриваемом случае Ρ — 1. >
§ 0.5. Размножения линейных пространств
Пусть £" — линейное пространство. В соответствии со сказанным во
введении мы обозначим для краткости алгебраическое тензорное
произведение Τ ® Ε через ТЕ и назовем это пространство размножением Е.

40
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
Соответственно мы обозначим элементарный тензор α ® х, α £ Τ, χ £ Ε,
просто через αχ. Заметим, что размножение поля С, разумеется,
отождествляется с Т.
Важно то, что пространство ТЕ — это бимодуль (т. е., как мы
помним, 23-бимодуль) относительно внешних умножений, корректно
определенных равенствами а · Ъх — (ab)x и Ъх · а = (fea)x, a £ 23, Ъ £ Τ, χ £ Ε
(ср. с введением).
Обозначим через Vr множество всех конечномерных проекторов в L
(= проекторов, принадлежащих Т); это, очевидно, направленное
множество относительно операторного порядка. Положим, для заданного
Ρ £ Рг, Тр = {а £ J7: a — РаР}; это, конечно, подалгебра в Т,
изоморфная J3(Lp), где мы обозначаем через Lp образ Р. Кроме того, для
заданного линейного пространства Ε мы полагаем ТрЕ :={iiG ТЕ: и —
— Ρ · и · Р}; ясно, что ТрЕ состоит из всех и £ ТЕ, представимых как
суммы элементарных тензоров вида αχ, а £ Тр, χ £ Ε.
Заметим, что каждое конечное семейство операторов в Τ
содержится в одном и том же Τ ρ для некоторого Ρ £ Vr; в частности, вы-
ГПг
полнено Τ = U{Tp: Ρ £ Vr}. (В самом деле, если а^ = ^ ^гк О г]^,
г — 1,..., гг, — наши операторы, то мы можем взять в качестве Ρ
проектор на линейную оболочку всех ξ^/c и Щк^) Отсюда немедленно следует,
что каждое конечное семейство элементов в ТЕ содержится в одном
и том же ТрЕ для некоторого Р, иначе говоря, у этих элементов есть
один и тот же носитель; в частности, ТЕ = [J{TpE: Ρ £Vr}. Мы будем
неоднократно пользоваться этим наблюдением.
Для нашей дальнейшей работы нам понадобится нечто вроде
обобщенного бубнового умножения, на этот раз связывающего элементы
размножений с конечномерными операторами. Пусть Ε — линейное
пространство, и α £ Τ. Вначале мы вводим операторы α&^α'· 3~Ε —> ТЕ.
Они, по определению, ассоциированы с биоператорами Τ χ Ε —> ТЕ,
переводящими (6, х) соответственно в (а 0 Ь)х и (6 0 а)х- После этого
для а £ Τ и и £ ТЕ мы полагаем
а<) и:=а<) (и) и и<) а:= <)а(и).
Очевидно, оба новых бубновых умножения однозначно определены
своей билинейностью и равенствами
а () Ъх = (а () Ь)х, соответственно Ъх () а = (Ъ () а)х; а, Ъ £ Τ, χ £ Е.
Поэтому для того, чтобы получить какое-либо утверждение о
бубновых операциях, достаточно его проверить на элементарных тензорах.

§ 0.5. РАЗМНОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ 41
Например, это позволяет легко вывести из первого равенства в (0.3.1)
формулы
(а 0 6) · (с 0 и) = ас 0 (6 · и), (а 0 и) · (6 0 с) = аЬ 0 (и · с),
(а () Ъ) · (и () с) = (а · и) () Ъс и (и φ а) · (6 φ с) = (и · Ъ) () ас;
здесь и Ε .7-7?, а другие буквы обозначают операторы из Τ или, если это
имеет смысл, из В.
Иногда нам понадобится знать, что некоторые элементы в заданном
размножении конгруэнтны. Вот несколько наблюдений такого рода.
Предложение 0.5.1. Пусть ρ — одномерный проектор в L. Тогда
каждый и G ТЕ конгруэнтен ρ <0 и и и() р.
< Зафиксируем вектор е, ||е|| = 1, в образе ρ и рассмотрим
изометрический оператор
p:L^L®L, ξ \-^ е 0 ξ.
Ясно, что р* однозначно определен тем, что он отображает е ® ζ в ξ
и ег ® ξ в 0 для всех е7, ортогональных е. Поэтому мы легко
усматриваем, что рар* = ρ (8) а для всех а £ В. Следовательно, для
изометрического оператора S := L*p £ В выполнено
SaS* = l*pap*ι = ί*(ρ (g) a)i = я(р ® а) = ρ () а.
Отсюда ρ <0 и — S · и · S* для всех элементарных тензоров в ТЕ, а
значит, по билинейности, для всех и G ТЕ. Таким образом, и конгруэнтен
ρ () и. Сходное рассуждение, использующее оператор ξ \-^ ξ 0 е вместо
р, показывает, что и конгруэнтен и <0 р. >
Предложение 0.5.2. Пусть а конгруэнтен Ъ в Τ и заданы χ G Ε
и и G ТЕ. Тогда, как элементы бимодуля ТЕ,
(i) ax конгруэнтен Ъх,
(ii) a <0 и конгруэнтен Ъ§ и,
(iii) и <0 а конгруэнтен и()Ъ.
< По условию, для некоторых частичных изометрий 5, Τ G В
выполнены равенства Ъ = SaT и а = S*bT*. Тогда, конечно, Ъх — S · ах · Τ
и ах — S* · Ьх · Т*. Это дает (i). Далее, из (0.5.1) и (0.3.1) легко следует,
что Ь 0 и = (S 0 1) · а 0 и · (Г 0 1) и а 0 и = (S 0 1)* · а 0 и · (Г 0 1)*.
Поскольку 5 <0 1 и Τ 0 1? очевидно, являются частичными изометрия-
ми, это дает (ii). Доказательство п. (iii) аналогично проведенному для
п. (ii). >
Предложение 0.5.3. Пусть a G Τ, χ Ε Ε, и G ТЕ. Тогда, для
некоторого положительного h G Τ, а, ах и а () и конгруэнтны
соответственно h,hx и h <0 и.

42
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
< Возьмем любое из двух полярных разложений оператора а и
рассмотрим участвующий в нем положительный оператор h (т. е. (а*а)1'2
или (αα*)1/2). Тогда работает предыдущее предложение. >
Предложение 0.5.4. Пусть ρ и q — одномерные операторы нормы 1
в L. Тогда рх конгруэнтен qx для любого χ G Ε.
< Разумеется, ρ имеет вид ξ Ο η, & q — ξ7 Ο τ/\ где все участвующие
векторы из L имеют норму 1. Тогда, очевидно, qx = S · рх · Τ и рх =
= 5* · рх · Т* для частичных изометрий 5 := ξ7 Ο ζ и Τ := ту О т/. >
Помимо пространства «Fi? иногда мы будем иметь дело с
пространством Т[ТЕ], так называемым повторным размножением Е. Оно
связано с «исходным размножением» оператором
кЕ : Т\ТЕ\ -► ^£,
ассоциированным с биоператором JF χ JF.E —> ТЕ: (а, и) ь^ (а ф и)х,
или, если хотите, с 3-линейным оператором Τ х ^* χ Ε —> «Fi?: (а, 6, ж) ь^
ь^ (а ф Ь)х. Мы видим, что, как оператор из (Т ® Τ) Θ Ε в Τ ® Ε^ ке —
это просто к® 1е- Другими словами, х# корректно определен
правилом аи \-^ а <0 и или а[Ьх] \-^ (а (} Ь)х. Этот оператор мы назовем
размножающим оператором (относительно £", если мы хотим это
уточнить).
Легко проверить
Предложение 0.5.5. Отображение ке — это инъективный мор-
физм бимодулей относительно обычных внешних умножений в
размножение Т[ТЕ] пространства ТЕ и внешних умножений «·» в ТЕ
(см. предыдущий параграф), о >
Сделаем еще одно замечание, касающееся тех, впрочем довольно
редких, мест нашего изложения, когда мы будем работать одновременно
с заданным линейным пространством Ε и его комплексно-сопряженным
пространством Есс. Мы рекомендуем читателю вначале пропустить это
замечание и вернуться к нему только тогда, когда оно понадобится
(в конце § 1.3 и в § 7.4).
А именно, нам понадобятся некоторые отображения, связывающие
размножения Ε и Есс. Есть два различных вида таких отображений,
каждый со своим полем приложений. Выбор подходящего отображения,
в свою очередь, зависит от того, какой из двух различных сопряженно-
линейных изоморфизмов алгебры В на себя мы возьмем. Эти
изоморфизмы таковы.
Первый из них — это хорошо нам знакомый оператор инволюции (*).
Что касается второго, то его определение требует, как и в случае
бубнового умножения, чтобы мы ввели в нашем каноническом
пространстве L некоторую дополнительную структуру. С этой целью мы возьмем

§ 0.5. РАЗМНОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ 43
произвольную линейную изометрическую инволюцию в L, т. е.
изометрический сопряженно-линейный изоморфизм, скажем, ρ: L —> L такой,
что ρ2 = 1. Очевидно, такая линейная инволюция может быть
построена, если мы зафиксируем ортонормированный базис еп, η — 1, 2,...,
оо
в L и положим, для ξ Ε L, ρ (ξ) :— ^ cnen Ε L, где сп — коэффициенты
η=1
Фурье вектора ξ относительно этого базиса. (Можно легко показать,
что каждая линейная изометрическая инволюция строится, с помощью
какого-либо ортонормированного базиса в L, указанным образом, но
нам это не понадобится.) Итак, мы произвольно выбираем такой ρ, но
затем, как и в случае с ι из § 0.3, «навсегда» его фиксируем.
Отображение ρ порождает отображение (о): В —> 23, а —> ραρ,
которое, как немедленно проверяется, является сопряженно-линейным
изометрическим изоморфизмом алгебры В на себя, притом таким, что
(о)» = 1.
Мы сохраняем обозначения (*) и (о) для биограничений
соответствующих сопряженно-линейных операторов, действующих в Τ. Кроме
того, мы будем писать а° вместо (о)(а).
Главное различие между операциями «(*)» и «(о)» в том, что (ab)° —
— а°Ъ°', в то время как все мы впитали с молоком матери, что (afe)* =
= Ь*а*.
Поучительно отметить, что если мы возьмем ортонормированный
базис, участвующий в выборе ρ (см. выше) и матрицы операторов в L
относительно этого базиса, то мы получим следующую картину. Для
заданного α Ε В с матрицей (а^·) матрица оператора а* — это (pij := а^7),
в то время как матрица оператора а° — это (с^ := Щ})·
Теперь, используя тензорные произведения сопряженно-линейных
операторов (ср. с § 0.1), мы введем наши два желаемых отображения.
Это сопряженно-линейные изоморфизмы
(*в) := (*) ®iE:fE^ ТЕсс и ^ .= (0) 0 1е . ТЕ _> ТЕы^
где тождественное отображение в Ε рассматривается как сопряженно-
линейный изоморфизм пространства Ε на Есс (см. там же). Конечно,
(*£?) и (ое) корректно определены соответственно правилами αχ ь^ α*χ
иахи а°х. Для каждого линейного пространства Ε и каждого и Ε ТЕ
мы положим и* := (*#)(?/) и и* := (о^)(и). (Таким образом, в
частности, для υ Ε ТЕСС выполнено г;* = (*ecc)(v) и г;# := (о#сс)(?;).) Очевидно,
имеют место равенства
гх** = гх и u## = u. (0.5.2)

44
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
Заметим также, что различное, как мы видели, поведение операций «*»
и «о» относительно умножения в В легко приводит к равенствам
(а · и)* — и* · а* и (а · и)* — а° · и* (0.5.3)
для всех a Ε 23, и Ε ТЕ.
§ 0.6. Размножения линейных и билинейных операторов
Сперва напомним то, что уже было по существу сказано во
введении. До сих пор мы размножали линейные пространства. Теперь пусть
φ: Ε —> F — оператор. Размножение оператора φ — это, по
определению, оператор ljr (g) φ: ТЕ —> TF; он, таким образом, корректно
определен правилом αχ ь^ αφ(χ)\ χ Ε Ε, α Ε Τ. Мы обозначим его для
краткости через ерю- В частности, когда речь идет о функционале, скажем,
/: Ε —> С, его размножение /оо принимает значения в ^* = ^*С, и оно
корректно определено тем, что переводит ах в f(x)a.
Выделим очевидное равенство
(ψ'Φ)οο = ψοο'Φοο, (0.6.1)
имеющее место всегда, когда композиция φφ имеет смысл.
Следующее алгебраическое наблюдение будет неоднократно
использоваться.
Предложение 0.6.1. Для линейных пространств Ε и F
отображение Φ: ТЕ —> TF является размножением некоторого оператора из Ε
в F <^> оно является морфизмом бимодулей.
< Часть => очевидна. Чтобы доказать обратное, возьмем
произвольный eGL; ||е|| = 1 и одномерный проектор ρ := е О е. Тогда для
каждого χ Ε Ε выполнено Ф(рх) = Ф(р · рх · ρ) = ρ · Ф(рх) · р; следовательно,
Ф{рх) — ру для некоторого у Ε F. Рассмотрим отображение (/?: £" —> F,
жну; это, конечно, оператор. Далее, из равенств (0.2.2) следует, что
для всех ξ, ту Ε L выполнено ξ О ту = (ξ О е)р(е О ту). Поэтому для тех же
ξ, ту и каждого χ Ε Ε выполнено
Φ((ξ О ту)х) = Φ[(ξ О е) · рх · (е О ту)] = (ξ О е) · Ф(рх) · (е О ту) =
= (ξ О е) · р<р(ж) · (е О ту) = [(ξ О е)р(е О ту)](^(х) =
= (СОту)(^(х) = (^00((СОту)х).
Таким образом, Φ (и) = ^оо(г^) для всех и вида αχ, где а —
конечномерный оператор. Следовательно, по билинейности, то же верно и для всех
и Ε ТЕ. >

§ 0.6. РАЗМНОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ И БИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 45
Кроме того, очевидно, что для любых φ: Ε —> F и Ρ G Vr оператор
φoo отображает подпространство ТрЕ в TpF.
Биоператоры тоже могут размножаться, притом — и это окажется
чрезвычайно важным для дальнейшего — двумя существенно
различными способами.
Пусть ΊΖ: Ε χ F —> G — биоператор, связывающий три линейных
пространства. Рассмотрим биоператор 7ZS: ТЕ χ TF —> TG,
ассоциированный с 4-линейным оператором TxExTxF^ TG: (α, χ, fe, у) ь^
\-^ ab7Z(x,y). (Другими словами, 7ZS корректно определен тем, что он
переводит пару (ах, by) в аЬИ(х,у).) Этот биоператор называется
сильным размножением биоператора ΊΖ.
А теперь для того же ΊΖ рассмотрим биоператор 7ZW: ТЕ χ TF —>
—> TG, ассоциированный с 4-линейным оператором TxExTxF^
—> TG: (а, х, Ь, у) ь^ (а ф b)7Z(x, у) (и корректно определенный тем, что
он переводит (ах, Ьг/) в (а ф b)7Z(x, ?/)). Этот биоператор называется сла-
#ьш размножением биоператора 7?,.
Оба вида размножений связаны соотношением
7lw(u · α, 6 · г;) = 7г8(и О Ь, а 0 г;), (0.6.2)
где а,Ь £ Т, uG .F^E, г; G TF. В силу билинейности обоих
рассматриваемых отображений, это легко проверить, с помощью (0.3.1), на
элементарных тензорах.
Слабые размножения обладают несколькими полезными
свойствами, которых нет у сильных размножений. (И это, как мы увидим позже,
будет иметь серьезные последствия.) Вначале выделим тождества
7Zw(a · щ Ъ · г;) = (а О Ъ) · 7Zw(u, v),
7Zw(u · α, ν · b) = 1Zw(u, ν) · (a 0 6)
и их частные случаи
TZw(a - u,v) = а - 7Zw(u, ν), 7Zw(u - α,ν) = 7Zw(u, ν) · α,
7Zw(u, a · ν) = a - TZw(u, ν) и 7Zw(u, ν · α) = 7Zw(u, ν) · α
(0.6.3)
(0.6.4)
(с теми же, что и ранее, а, 6, и, г?), которые легко проверяются тем же
способом. Как немедленное следствие, для каждых и G ТЕ и uG FF
имеет место
Предложение 0.6.2. Если Ρ — носитель элемента и G ТЕ
(соответственно ν G TF), то тогда Ρ <0 1 (соответственно 1 φ Ρ) —
носитель элемента 7Zw(u, v). <>

46
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
Кроме того, рассмотрим для нашего ΊΖ его так называемый
противоположный биоператор ΊΖορ: F χ Ε —> G: (y,x) \-^> 7Z(x,y). Тогда, как
очевидное следствие равенства (0.3.3), мы получаем формулу
(Uop)w(v,u) = Δ · Uw(u,v) · Δ, (0.6.5)
верную для всех и G ТЕ, ν Ε TF.
§ 0.7. Пространственное тензорное произведение
операторных пространств
Пусть Ε С Β(Ηι, Η2) и F С В{К\, К2) — операторные пространства
(ср. с § 0.2). Их (непополненное) пространственное тензорное
произведение — это, по определению, линейная оболочка операторов вида
χ ® у, χ £ £", у £ F, в £>(iii (8) i^i, i^2 <8> #2)· Оно будет обозначаться
через Ε ® F. Замыкание этого пространства в В{Н\,Н2) называется
пополненным пространственным тензорным произведением Ε и F; оно
будет обозначено через Ε ® F. (Будучи рассмотрено вместе с
естественным вложением Ε ® F в Ε (g) F, оно является пополнением Ε ® F'.)
Следующий факт хорошо известен, и он обычно подается как нечто
само собой разумеющееся. Однако, поскольку мы будем его существенно
использовать, мы чувствуем себя обязанными дать его короткое
доказательство.
Предложение 0.7.1. Пусть Ε С В{Н\,Н2) и F С В{К\,К2) —
операторные пространства, a /sp : Ε 0 F —> /3(i?i ® K\,H2® K^) —
оператор, ассоциированный с биоператором (ж, у) \-^ χ (g) 2/ (или; что
эквивалентно, корректно определенный правилом χ ® у ^ χ ® у). Тогда Isp
инъективен и, таким образом, осуществляет линейный изоморфизм
пространства Ε ® F на Ε (g) F.
< Возьмем ненулевой и £ Ε (& F. Тогда, как хорошо известно (см.,
η
например, [133, предложение 2.7.1]), он представим в виде ^ Xk Θ Ук-,
fc=l
где 2/fe, /с = 1,...,тг, — линейно независимая система векторов в £",
и xi G F не равен нулю. Возьмем векторы ξ G i?i, 77 Ε ii2 такие, что
(χιξ,τ?) τ^Ο. Тогда оператор ^ (хк^^)ук не равен нулю, и поэтому
( ( Σ (х/с£? V^Vk)^\ Ή/ Φ 0 Для некоторых ξ G i^i, η G K2. Но указанное
число, разумеется, совпадает с
п
fc=l
Дальше ясно. >

§0.7. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 47
Используя предложение 0.7.1, мы всегда будем отождествлять с
помощью оператора /sp линейные пространства Ε ® F ж Ε ® F. В силу
этого алгебраическое тензорное произведение операторов ψ: Е\ —> Е2
и ψ: F\ —> F2, действующее между операторными пространствами,
отождествляется с соответствующим оператором, действующим между
Е\ ® Е\ и Е2 ® F2 и в этом качестве часто обозначаемом через φ ® ψ.
Последний, таким образом, корректно определен правилом χ (8) у \-^
ь-> <р(ж) (8) ^>(г/), хеЕ^уе Fx.
Операция «(8)» пространственного тензорного произведения
операторных пространств обладает свойствами ассоциативности и
коммутативности.
Ассоциативность означает, что мы можем произвольно расставлять
скобки в выражении Е\ (8) ... (8) Еп, а коммутативность означает, что
мы можем произвольно менять порядок его тензорных
сомножителей. Более того, возникающее операторное пространство не меняется
с точностью до изоморфизма, осуществляемого соответствующим
«каноническим» унитарным изоморфизмом участвующих гильбертовых
пространств. Мы имеем в виду изоморфизм, доставляемый свойствами
ассоциативности и коммутативности операции гильбертова тензорного
произведения гильбертовых пространств. Рассмотрим, например,
отождествление Ε (8) F -> F (8> Е, где Ее B(HUH2), F е В(КЪК2). Этот
изоморфизм сопоставляет оператору и G Ε ® F С В (Hi (8) Κι,Η2 (8> К2)
оператор IuJ е F (8> Ε С #(lfi (8) НЪК2 ® Я2), где J: Н2 ® К2 ^
—> К2 & Н2 и J: Κι ® Hi ^ Hi ® Κι — унитарные операторы переброса
(flip), корректно определенные перестановкой ξ ® η \-^ η ® ξ в
соответствующих элементарных тензорах.
Конечно, операция «С8» также ассоциативна и коммутативна.
Пусть Ε — операторное пространство. Поскольку Τ — это также
операторное пространство, мы можем отождествить размножение ТЕ
с операторным пространством Τ (8> Е, а повторное размножение Т[ТЕ]
с операторным пространством Τ ® Τ ® Ε. После этих отождествлений
размножающий оператор к ε : Т[ТЕ] —> ТЕ превращается в оператор,
обозначаемый (во избежание недоразумений) через усе : Τ' ® Τ' ® Ε —>
-+Т®Е.
Предложение 0.7.2. Оператор не — изометрический,
< Предположим, что Ε С В(Н,К). Тогда не переводит оператор
Ό еТ ® Τ ® Е, действующий между L ® L ® Η viL ® L ® К,ъ оператор
(С ® 1k)U(l (8) 1я) е Τ ® Е, действующий между L ® Η и L ® К. (Мы
можем легко проверить это на элементарных тензорах в Τ ® Τ ® Ε.)
Таким образом, к ε переводит U в его произведение с двумя
унитарными операторами. Дальше ясно. >

48
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
Оставшаяся часть параграфа будет посвящена свойствам и
приложениям одного важного класса операторов, действующих между
операторными пространствами. Предположим, что заданы гильбертовы
пространства Ηι,Η2,Κι,Κ2, операторное пространство Ε С Β(Ηι,Η2)
и ограниченные операторы S: Н2 —> К2, Τ: Κι —> Hi. Обозначим через
mS'T: Ε —> Β(Κι,Κ2) оператор, переводящий χ в SxT\ т. е. в
композицию операторов в цепочке
Κι^Ηι^Η2^Κ2.
Назовем этот оператор оператором двойного умножения
(порожденным парой (5, Т), если мы хотим это уточнить). Ясно, что такой
оператор ограничен, причем
\\mS>T\\ < II 911 \\Т\\
11 l <^ \\о\\\\± и .
Более того, ||ms',T|| = ||5||||Т|| в случае, когда Ε содержит Τ(Ηι,Η2).
В самом деле, возьмем нормированные векторы ξ G К\, η G Н2, положим
χ : = ξ Ο η G В (Hi, H2) и заметим, с помощью (0.2.2), что
||m5'T|| > \\ms>T(x)\\ = \\βξθΤ*η\\ = \\βξ\\\\Τ*η\1
Переходя к верхней грани по всем нормированным ξ и ту, мы видим, что
ΙΙ^ΙΙΙΙΓΙΗΙΙ^ΙΙΙΙΓ*!! <||ms'T||.
Если операторы S и Τ конечномерны или компактны, мы можем,
конечно, рассмотреть коограничение оператора mS'T соответственно на
Τ (Κι, К2) и К(К\, К2). Такие операторы будут также обозначаться
через mS'T. Это не приведет к недоразумению.
Некоторые наши дальнейшие утверждения будут основаны на
определенных фактах, касающихся операторов двойного умножения.
Вначале нам понадобится лемма.
Лемма 0.7.3. Пусть Н, К, К' — гильбертовы пространства,
причем К' бесконечномерно. Тогда каждый ζ G Η (g) К может быть
аппроксимирован векторами вида (1н <8> S)C, где ζ' G Η (g) К1, Ц^'Ц ^ ||£||,
a S: К' —> К — конечномерный частично изометрический оператор.
< Выберем ε > 0. Поскольку мы имеем дело с гильбертовым
тензорным произведением, существует конечная или бесконечная ортонорми-
рованная система е^еК, /с = 1, 2,..., такая, что ζ имеет вид X] ξ/c Θ е/с
к
с некоторыми ξ& £ Η и, как следствие, \\ζ\\2 — Х^||С/с||2· Тогда для
некоторого п выполнено к
к- Σ& ®ек\\<е-
fc=l

§0.7. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 49
Теперь обозначим через S: К' —> К произвольный частично
изометрический оператор с образом span {ei,..., еп}, возьмем ортонормиро-
ванную систему е^,..., е!п такую, что S(erk) — е&, к = 1,..., тг, и ПОЛО-
жим С' := Σ Ь ® е^. Тогда ||С'|| = ( Σ 11&Ц2) < IICII и (1Я ® S)C =
η fe=l 4=1 У
= ^ ξ/e (g) efe. Дальше ясно. >
/с=1
В следующих двух предложениях фигурируют шесть
гильбертовых пространств Н^^К^^К1^ к — 1,2, и два операторных
пространства Ε ξζΒ(Ηι,Η2), F Ε Β{Κ\, Κ2). Заметим, что для ограниченных
операторов S: К2 —> 1^ и Т: i^ —» if ι оператор двойного
умножения mS'T: F —> В(К[,К,2) порождает оператор 1# ® ms^T: Ε ® F ^
-+Е®В(К'ЪК'2).
Предложение 0.7.4. Дая всех и е Ε & F С В{Я\ ® К\,Н2 ® К2)
и Sу Τ, указанных выше, выполнено следующее:
(i) (1я2 ® 3)и(1нг <8> Т) = (1е <8> mS'T)uy иными словами,
композиция операторов, участвующих в цепочке
#ι ® К; -^ Н1®К1^Н2® К2 -^ Н2 ® i^,
совпадает с (1# (g) ms>T)u;
(ii) И(1# <8> ms',T)u|| ^ ||5||||Τ||||ϊζ||, u; следовательно, ||1# (8> ms',T|| ^
< Н^Н НГН·
< (i) Это сразу проверяется на элементарных тензорах в £" (g) F.
Отсюда утверждение справедливо для их сумм, т. е. для всех операторов
в E&F.
(ii) Следует из (i). Надо только принять во внимание
мультипликативное неравенство для операторных норм, а также то, что операторная
норма не меняется после гильбертова тензорного умножения на
тождественный оператор. >
Предложение 0.7.5. Пусть пространства К'[, К2 бесконечномерны.
Тогда для каждого и G Ε (g) F выполнено
\\и\\ = sup{||(l£? ® mS'T)u\\],
где верхняя грань взята по всем конечномерным частично
изометрическим операторам S: К2 —> К2 и Τ: if ί —» К\.
< Выберем ε > 0. Поскольку наши операторы связывают
гильбертовы пространства, выполнено \\и\\ = sup{|(u((j), C2)I}^ гДе Ci и Ci
пробегают единичные шары соответственно в Н\ ® К\ и Н2 ® К2. Пусть ζ&,
к = 1, 2, принадлежат соответствующим шарам и таковы, что
HI-IMCi),C2>|<!.

50
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
В силу леммы 0.7.3, непрерывности рассматриваемых операторов и
непрерывности скалярного произведения, мы можем найти ζ[ и ζ'2 Β еДи~
ничных шарах соответственно Н\ (g) К[ и Н2 (8) К2, а также
конечномерные частично изометрические операторы Τ: К[ —> Κι и Л: К2 —> К^
такие, что
|MCi),C2> - {[u(lHl ®Г)](Й),(1яа ® Д)Й)| < |.
Положим 5 := Л*: К2 —> 1^. Благодаря предложению 0.7.4(i),
выполнено
(1(1Ε ® ms'T)n](Ci), С2) = (ΗΙε ® Τ)]И), (1ε ® 5)4ί> =
= ([«(1В(8>Г)](С0,(1в®Д)Й>·
Отсюда ||u|| — |[(1# <8> т^т)^] (Ci)? Сг)1 < ε· Но из предложения 0.7.4(H)
следует ||и|| ^ ||(ΐ£? ® m5,T)u||, а также, конечно, справедлива оценка
||(1я ® ms>T)u\\ > \([(1Е ® τη8>τ)η]ζ[Λ'2)\.
Дальше ясно. >
§0.8. Инволютивные алгебры и С*-алгебры
В этом параграфе мы имеем дело с размножениями не просто
линейных пространств, но алгебр и в особенности С*-алгебр. Мы рекомендуем
читателю пропустить этот материал при первом чтении и возвращаться
к нему тогда, когда (7*-алгебры действительно нам понадобятся.
Пусть А — алгебра, пока произвольная. Тогда, в согласии с общей
конструкцией умножения в тензорном произведении двух алгебр,
размножение ТА само является алгеброй. Ее умножение, в наших кратких
обозначениях для элементарных тензоров, корректно определено
равенством (ах)(by) = (аЪ)(ху), a, fe Ε Т, х,у Ε А. Пространства ТрА, Ρ Ε Vr
(ср. с § 0.5) — это, конечно, подалгебры в ТА, и они унитальны <^> уни-
тальна А.
Зафиксируем на время Ρ Ε Vr. Обозначим через (ТА)+ унитизацию
ТА и обозначим через ТрА+ либо алгебру Τ ρ А, если последняя уни-
тальна, либо унитизацию ТрА в противоположном случае. Кроме
того, обозначим через 1+ и 1Р единицу соответственно в (ТА)+ и ТрА^~.
Возьмем и Ε ТрА и обозначим через а(и), соответственно ар (и), спектр
и как элемента алгебры ТА, соответственно ТрА. Выделим полезное
предложение.
Предложение 0.8.1. Пусть А, Р', и — те же, что и выше. Тогда
а(и) = аР(и) U{0}.

§0.8. ИНВОЛЮТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ И С*-АЛГЕБРЫ 51
< Предположим, что для некоторого λ Ε С, λ φ 0, элемент и — Х1Р
обладает обратным в ТрА+. Представив этот обратный как ν + λ_11ρ,
мы видим, что элемент и — А1+ обладает обратным в (ТА) + , а именно,
υ + λ_11+. Поэтому а(и) С ар(и) U {0}.
Теперь предположим, что для некоторого λ G С, λ φ 0, элемент
и — А1+ обладает в (ТА) + обратным, скажем, ν + μ1+, ν Ε ΤΑ, μ Ε С.
Тогда, конечно, uv = vu и uv — \ν + μη = 0. Первое равенство дает
Ρ - uv - Ρ — uv - Ρ — vu - Ρ — vu — uv, и, следовательно, гш Ε ТрА.
Объединяя это со вторым равенством, мы видим, что ν Ε Τ ρ А. Отсюда
ν + μ1ρ принадлежит ТрА^~, и очевидные выкладки показывают,
что этот элемент является обратным в ТрА+ к и + А1р. Поэтому
σΡ(» U {0} Са(и). >
Заметим также, что для любых u, v Ε ^Л, S,T £ В имеет место
равенство
(и · S)(T -v) = (u- ST)v = u{ST · ν),
легко проверяемое на элементарных тензорах. Отсюда немедленно
следует такое утверждение.
Предложение 0.8.2. Пусть и и ν — элементы ТА с
ортогональными носителями. Тогда uv — vu — 0. < >
Мы предполагаем, что читатель знает, что такое инволютивная
алгебра (= *-алгебра), вместе с такими понятиями, как *-гомоморфизм,
^-подалгебра и т. п., а также знает, что такое банахова алгебра (см.
учебники по функциональному анализу, например, [25, 133, 92] или книги,
посвященные банаховым алгебрам, например, [16, 26, 132, 81, 82]).
Итак, с этого момента мы считаем, что А — инволютивная
алгебра. Тогда ее размножение ТА, будучи тензорным произведением двух
инволютивных алгебр, также является инволютивной алгеброй с
инволюцией, корректно определенной равенством (αχ)* = α*χ*; a Ε Τ, χ Ε Α.
Напомним, что элемент а инволютивной алгебры называется
положительным, если он самосопряжен и его спектр лежит в R+; мы
пишем в этом случае а ^ 0. Кроме того, для элементов а, Ъ нашей алгебры
мы будем писать а ^ Ъ или, как эквивалентное обозначение, Ъ ^ а,
если а — Ъ ^ 0. (Мы не утверждаем, что в общем случае отношение «^»
является порядком.)
Если А — *-алгебра и и, ν Ε ТА принадлежат ТрА для
некоторого Ρ Ε Vr, то тогда, чтобы избежать недоразумения, мы будем писать
и^р ν или ν ^р и, если и — ν — положительный элемент в ТрА, и
просто и ^ ν или ν ^ и, если и — ν — положительный элемент в ТА.
Предложение 0.8.1 немедленно влечет
Следствие 0.8.3. В указанной ситуации всегда и^0 <^> и^р 0.

52
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
Мы займемся самым знаменитым из разнообразных классов
банаховых инволютивных алгебр — (7*-алгебрами. Исторически теория
(7*-алгебр — это один из двух родителей квантового функционального
анализа (другой — это геометрия банаховых пространств). Однако
наше изложение, будучи вводным и сравнительно элементарным текстом
по нашему предмету, не слишком сильно опирается на (7*-алгебры:
большинство наших С*-алгебр — это просто алгебры вида В(Н). И все
же некоторые основные факты иногда понадобятся, и поэтому их стоит
напомнить. Что касается книг, содержащих основы теории (7*-алгебр,
см., например, [7, 50, 65, 66, 92, 118].
Главное определение. Субмультипликативная норма на инволю-
тивной алгебре А называется С*-нормой, если она удовлетворяет так
называемому С* -тождеству
||α*α|| = ||α|| , a G Α.
Банахова инволютивная алгебра называется называется С*-алгеброй,
если ее норма является (7*-нормой.
На самом деле есть целый ряд на первый взгляд более слабых
условий на норму инволютивной алгебры, которые тем не менее доставляют
в точности класс С*-алгебр. Например, весьма нетривиальная теорема
Себестьяна [111] гласит, что преднорма, удовлетворяющая
(^-тождеству, автоматически субмультипликативна. История поисков
«правильного» определения (7*-алгебры, с ее некоторыми неожиданными
поворотами, рассказана в книге [32], а также, очень живо, в недавнем
обзоре [64]. Но мы ее здесь не касаемся.
Важный пример. Пусть Ω — локально компактное топологическое
пространство, (7ο(Ω) — множество всех непрерывных функций на
Ω, исчезающих на бесконечности. Тогда (7ο(Ω), очевидно, является
(7*-алгеброй относительно поточечных линейных операций и
умножения, инволюции, определенной как переход к комплексно-сопряженной
функции, и равномерной нормы.
Главный пример. Пусть Η — гильбертово пространство. Тогда
линейное пространство В(Н) — это, очевидно, С*-алгебра относительно
композиции операторов как умножения, инволюции, определенной как
переход к гильбертову сопряженному оператору, и операторной (=
равномерной) нормы. То же самое, конечно, верно для произвольной
замкнутой ^-подалгебры в В(Н). Это относится, например, к подалгебре
К,{Н). Но это не так для таких подалгебр, как {х О у. х Ε Η} с
фиксированным у £ Η (ибо она не самосопряжена) или J~(H) (ибо она не
равномерно замкнута).

0.8. ИНВОЛЮТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ И С*-АЛГЕБРЫ
53
*-Гомоморфизм инволютивной алгебры, в частности (7*-алгебры,
в В(Н) обычно называется *-представлением (или просто
представлением) этой алгебры в Н.
Центральным результатом теории С*-алгебр является следующая
теорема, показывающая, что не существует (7*-алгебр, кроме
указанных в предыдущем примере. Она была первоначально доказана в [51]
(с некоторыми дополнительными условиями в формулировке,
впоследствии отброшенными).
Общая (или некоммутативная) теорема Гельфанда-Наймарка1.
Пусть А — С* -алгебра. Тогда существует гильбертово пространство
Η и изометрическое представление алгебры А в Η. Другими словами,
каждая С*-алгебра изометрически ^-изоморфна некоторой равномерно
замкнутой * -подалгебре алгебры В(Н) для некоторого Н.
Алгебры (7ο(Ω) также дают нечто гораздо большее, чем просто класс
примеров. Следующая теорема участвует в доказательстве общей
теоремы Гельфанда-Наймарка, но сразу видно, что она имеет большую
самостоятельную ценность.
Коммутативная теорема Гельфанда-Наймарка. Каждая
коммутативная С* -алгебра совпадает, с точностью до изометрического
*-изоморфизма, с (7ο(Ω) для некоторого локально компактного
топологического пространства Ω.
Стоит отметить, что упомянутый изометрический изоморфизм — это так
называемое преобразование Гельфанда, основная конструкция в общей теории
коммутативных банаховых алгебр (ср. с цитированной литературой). Посмотрев на то, как
оно действует, можно осознать, что последняя теорема фактически устанавливает
некоторый вид отождествления (так называемую антиэквивалентность) категории
коммутативных С*-алгебр с категорией локально компактных пространств
(некоторые подробности см., например, в [133, § 6.3]). Имея это в виду, можно мыслить
произвольные С*-алгебры как «некоммутативные обобщения локально компактных
пространств» и рассматривать их теорию как род «некоммутативной топологии».
(Такое название, по-видимому, идет от Эффроса.) Слова эти звучат туманно, но
подобный взгляд на вещи оказался весьма плодотворным, к вящей пользе для
обоих миров, «функционально-аналитического» и «топологического». С одной стороны,
он привел к поучительным и полезным «некоммутативным» версиям классических
топологических объектов вроде «некоммутативного тора» [34]. С другой стороны,
глядя на классические объекты топологии сквозь «С*-очки», можно достичь более
высокого уровня их понимания, а иногда получить новые и более прозрачные
доказательства чисто топологических результатов «некоммутативными» методами.
Ярким примером является доказательство хорошо известной теоремы периодичности
Ботта, данное Кунцем (см., например, [126, теорема 11.2.1]).
Основное орудие, использованное в доказательстве общей теоремы
Гельфанда-Наймарка — это ныне знаменитая ГНС-конструкция, на-
1Во многих случаях, говоря «теорема Гельфанда-Наймарка», имеют в виду
именно эту теорему.

54
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
званная так в честь Гельфанда и Наймарка, которые ее по существу
придумали, и Сигала, который ее развил и осознал ее независимую
ценность. Не вдаваясь в детали этой конструкции (ср. с цитированными
книгами), мы точно сформулируем то, что она дает.
Функционал / на С*-алгебре А называется положительным, если
для а Е А отношение а ^ 0 влечет f(a) ^ 0 или, что
эквивалентно (ср. ниже с условиями положительности элементов), выполнено
/(6*6) ^0 для всех 6 G А, Положительный функционал на С*-алгебре
всегда ограничен. Положительный функционал нормы 1 называется
состоянием. Если f — положительный функционал на алгебре с
единицей 1Ф, то H/II = /(1#); в частности, / — состояние <^> /(1#) = 1.
Если задано представление π: А —> В(Н) инволютивной
алгебры, то вектор χ Ε Η называется циклическим вектором для π, если
span{x,7r(a)x; а Е А} плотна в Н. Представление, обладающее
циклическим вектором, само называется циклическим.
ГНС-теорема. Пусть А — С* -алгебра, /: А —> С — положительный
функционал. Тогда существуют гильбертово пространство Η,
представление π: А —> В(Н) и циклический вектор χ этого представления
такие, что для всех а Е А выполнено /(a) = (π(α)χ,χ), и при этом
Ν2 = 11/11·
Можно ли описать сходным образом более общие функционалы?
Отправляясь от ГНС-теоремы, мы можем прийти к такому результату.
Следствие ГНС-теоремы. Пусть А — С* -алгебра, д: А —> С —
произвольный ограниченный функционал. Тогда существуют
гильбертово пространство Н, представление π: А —> В(Н) и векторы х,у G Η
такие, что для всех a G А выполнено д(х) — (π(α)χ,ι/) и при этом
II/H = ||ж||||?/|| (ср., например, с [118, предложение III.2.1]).
В некоторых доказательствах общей теоремы Гельфанда-Наймарка
применяется следующее важное утверждение, полезное и в других
вопросах.
«Достаточность множества состояний». Если а — нормальный
(= перестановочный со своим сопряженным) элемент С* -алгебры А,
то существует состояние f на А такое, что |/(а)| = ||а||.
Отметим полезный факт, тесно связанный с указанным выше
явлением автоматической ограниченности положительных функционалов.
Каждый ^-гомоморфизм между двумя С*-алгебрами, в частности,
каждое представление С*-алгебры (автоматически) является
сжимающим оператором
и при этом
каждый инъективный ^-гомоморфизм между двумя С*-алгебрами
(автоматически) является изометрическим.

§0.8. ИНВОЛЮТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ И С*-АЛГЕБРЫ 55
Из этого немедленно следует, что
инволютивная алгебра не может иметь более одной нормы,
превращающей ее в С*-алгебру.
Отсюда, как частный случай, можно вывести, что
инволютивная алгебра В (К) (8> А, где А — С* -алгебра, а К —
конечномерное гильбертово пространство, сама является С* -алгеброй
относительно некоторой (необходимо единственной) С* -нормы.
В некоторых ситуациях нам понадобится такое следствие этого
факта:
Предложение 0.8.4. Пусть А — С* -алгебра. Тогда ее размножение
ТА обладает единственной С* -нормой1.
< Из предыдущего утверждения следует, что для каждого Ρ G Vr
подалгебра ТрА — B(Lp) 0 А алгебры ТА является С*-алгеброй.
Обозначим ее (7*-норму через || · \\р.
Возьмем и Ε ТА; мы помним, что для некоторого Ρ G Vr он
принадлежит ТрА (ср. с § 0.5). Для каждого Q G Vr, Q ^ Р, ограничение
нормы || · \\q на ТрА, будучи, конечно, С*-нормой, должно совпадать
с || · ||р. Поэтому мы вправе определить число \\и\\ как \\и\\р для
каждого Ρ такого, что и G ТрА. Из С*-тождества для норм || · ||р, Ρ G Vr,
немедленно следует, что \\и\\ — это (7*-норма в ТА.
Наконец, пусть || · ||7 — другая (7*-норма в ТА. Возьмем
произвольный и, а затем Ρ такой, что и G ТрА. Ограничение нормы || · ||7 на
ТрА — это С*-норма в последней алгебре, и поэтому она должна
совпадать с || · \\р. Таким образом, \\u\\f = \\и\\. >
Вернемся на время к С*-алгебре В(К) (g) А, где А — С*-алгебра,
а К — конечномерное гильбертово пространство. Хорошо известно, что
С* -норма β В {К) ® А является кросснормой, т. е. для каждого
a G В (К) и χ G А выполнено \\а 0 х\\ = \\а\\ ||х||.
Предложение 0.8.5. С*-норма в размножении С* -алгебры таксисе
является кросснормой.
< Возьмем a G Τ, χ Ε А. Поскольку а® х принадлежит некоторому
ТрА, Ρ £ TV, иначе говоря, некоторому B{Lp) ® А, то работает
предыдущее утверждение. >
Теперь напомним, что
каждая С* -алгебра обладает аппроксимативной единицей нормы 1.
Предложение 0.8.6. Пусть А — С* -алгебра, ev, v G Λ, — ее
произвольная аппроксимативная единица. Тогда для каждых a G Т, и G ТА
выполнено а · и = lim(a Θ еи)и, и · a — lira u(a ® еи).
Эта норма, конечно, не полна.

56 ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
η
< Представим и в виде ^ 6& Θ Хк- Тогда с помощью предыдущего
/с=1
предложения мы получаем, что
fe=l fe=l
а - и — V^ α6& (8) lim еиХк = lim V^ abk Θ e^x/e =
1
= lim(a ® ev) 7 bk Θ Xk — Hm(a Θ e^)
zy ^—^ zy
Сходные выкладки дают второе равенство. >
Мы завершим наш экскурс в теорию С*-алгебр рядом фактов,
касающихся положительных элементов и порядка. В контексте (7*-алгебр
(но не в чисто алгебраическом контексте) положительность может быть
введена с помощью нескольких альтернативных подходов,
эквивалентных исходному определению, приведенному выше. А именно, если А —
(7*-алгебра, то для a G А
(i) а ^ 0 <^> а = h2 для некоторого h ^ 0 <^> а = h2 для некоторого
самосопряженного h <^> а = 6*6 для некоторого Ъ G А.
Отметим некоторые другие важные факты.
(и) Для всех а,Ъ,с G А соотношение а ^ 6 влечет с*ас ^ с*6с;
β частности, а ^ 0 влечет с*ас ^ 0.
(ш) Душ всех а, 6 G А соотношение а^Ь влечет \\а\\ ^ ||6||.
(iv) Положительные элементы в А образуют замкнутый конус.
Из (iv) следует, что отношение «^» в С*-алгебре является линейным
порядком.
Мы предполагаем, что наш читатель знает, что все эти утверждения
справедливы для ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве ii, т. е. для случая А — В(Н). Напомним, что в этом случае имеет
место еще одна, и притом весьма эффективная, «пространственная» ха-
рактеризация положительности. Мы имеем в виду критерий в терминах
так называемой квадратичной формы оператора:
Оператор а является положительным <^> для всех ξ G Η выполнено
(αξ, ξ) > 0.
Предложение 0.8.7. Утверждения (i)—(iv) (см. выше) остаются
справедливыми, если мы заменим С*-алгебру А ее размножением ТА.
< Напомним, что каждое конечное семейство элементов
пространства ТА принадлежит ТрА для некоторого Ρ G Vr (ср. с § 0.5) и что
ТрА — это С*-алгебра. Этот факт в объединении со следствием 0.8.3
и утверждениями (i)-(iii) для С*-алгебр доставляет аналогичные
утверждения для ТА. Тот же факт, в объединении с (iv), влечет то, что

§0.8. ИНВОЛЮТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ И С*-АЛГЕБРЫ 57
положительные элементы в ТрА образуют конус. Наконец, пусть
последовательность ип Ε ТА, ип ^ 0, сходится к некоторому и, и пусть
и G ТрА. Тогда последовательность Ρ · ип · Ρ G ^рЛ сходится к тому
же и. Из того, что мы уже доказали, следует, что Ρ · ип · Ρ
положителен в ТА, а значит, и в ТрА. Поэтому утверждение (и) обеспечивает
то, что и^рОи, следовательно, и ^ 0. >
Заметим, что для а, 6 G Τ и u G .FA выполнено равенство
(a.u.fe)* = fe* -г/*· a*, (0.8.1)
которое легко проверить на элементарных тензорах. Объединяя его с
соответствующей частью предложения 0.8.7, мы получаем
Следствие 0.8.8. Если и G ТА положителен, то а* · и · а таксисе
положителен для каждого a G Т.
Если С*-алгебра А обладает единицей, скажем 1#, и a G А
самосопряжен, то тогда
||а||1.+ 0 0, ||а||1.-00 и а>0 & ||(||а||1. - а)|| < ||а||. (0.8.2)
Кроме того, для всех С > 0 выполнено
-Cl.^a^Cl. <* С^\\а\\ <* <т(а) С [-С,С]; (0.8.3)
здесь σ(α) обозначает спектр элемента а.
Мы видим, в частности, что мы можем ответить на вопрос,
имеет ли место отношение —1#^а^1# для самосопряженного
элемента а, в терминах нормы этого элемента. Любопытно, что существует
иной критерий того же самого отношения, который мы можем
использовать, не зная наперед, является ли наш элемент самосопряженным
(ср. с [46, А.4]). Он нам понадобится только в случае операторных
алгебр.
Предложение 0.8.9. Пусть Η — гильбертово пространство, а —
произвольный ограниченный оператор в Н. Тогда
-1н^а^1н <& \\а + itlH\\2 < (1 + t2) для всех teR.
< =>. Возьмем ί G R. По условию, а заведомо самосопряжен.
Поэтому, согласно (0.8.3), имеет место вложение σ(α) С [—1,1]. Отсюда,
в силу теоремы об отображении спектров (см., например, [133,
теорема 6.4.2]), выполнено σ(α2 + £21я) ^ [0,1 + t2] и, следовательно, с
учетом (0.8.3), \\а2 + t2lH\\ < (1 + t2). Остается заметить, что С*-тождество
влечет \\а + ζί1^||2 = \\а2 + £21я||-

58
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
<=. Предположим что, напротив, а не удовлетворяет
рассматриваемому порядковому соотношению. Тогда, если он самосопряжен, то,
с учетом (0.8.3), мы видим, что ||а|| > 1, и указанное в формулировке
неравенство неверно уже для случая t — 0.
Если а не самосопряжен, рассмотрим Ъ :— г (а* — а), который,
конечно, самосопряжен. Зафиксируем ненулевое (необходимо
действительное) число λ £ σ(6) и произвольное t G R такое, что t\ > 1 + ||α*α||. В
силу теоремы об отображении спектров, выполнено t\ + t2 Ε a(tb + £21#),
и поэтому \\tb + £21я|| ^t\ + t2. Отсюда, используя (7*-тождество, мы
получаем, что
||а + гПя||2 = \\а*а+ th + t2lH\\ >
> \\tb + £21я|| - ||а*а|| > ίλ + ί2 - ||а*а|| > 1 + ί2,
и снова указанное неравенство не имеет места. >
§ 0.9. Одна техническая лемма
Здесь мы докажем утверждение, которое будет существенно
использоваться в двух местах. Прежде всего — и это главное — на него
опирается доказательство теоремы Руана о реализации. Кроме того, то же
утверждение, в слегка упрощенном виде, поможет развить
альтернативный поход к одному из важнейших понятий теории — хаагерупову
тензорному произведению (см. § 6.2). Так что долгое время оно нам не
понадобится.
Впервые лемма со сходной смысловой нагрузкой, по-видимому,
появилась в новом, «чисто метрическом» доказательстве теоремы Руана
в [42]. Наше изложение следует по пути, указанному Пизье [101,
упражнения 2.2.2 и 2.2.3].
Лемма 0.9.1. Пусть Ε и F — нормированные подпространства уни-
тальных С* -алгебр соответственно А и В, G — нормированное
пространство, ΊΖ: Ε χ F х G —> С — сжимающий 3-линейный
функционал. Пусть, далее, для всех натуральных η и всех наборов х\,..., хп G
G Е, г/i,..., г/п G F, ζ\,..., zn G G имеет место неравенство
^2Щхк,Ук^к)\ < \Q2
fe = l
*
fe=l
1/2
^УкУк
fe=l
1/2
max{||zfe||, к = 1,... ,гг}.
Тогда существуют состояния f: А —> С и д: В —> С такие, что для
каждых χ G Е, у G F и ζ G G выполнена оценка
|^(^,ϊ/,^)| < [/(««*)]1/2b(b*6)]1/2INI
(0.9.1)

0.9. ОДНА ТЕХНИЧЕСКАЯ ЛЕММА
59
< Разумеется, мы можем считать, что ||z|| = 1. Вначале мы
покажем, что утверждение справедливо, если мы заменим желаемую
оценку (0.9.1) на оценку
Re (Щх, у, ζ)) < /('*') + »(»'»). (0.9.2)
Обозначим через S и Τ множества состояний соответственно на А
и Л, а через Zj^(«S x T) действительное банахово пространство всех
ограниченных действительнозначных функций на S χ Τ с равномерной
нормой. Далее, для всех η и всех наборов х\,..., хп G Е, у\,..., уп G F,
ζι,..., zn G G, ||ζι|| = ... = \\zn\\ = 1, кратко обозначаемых далее ж, у и ζ,
мы положим
(s,i) ь^Л^ж^ж* J +ίί ^укУк ) -2Re ί^π(χ^,^,ζ^) J.
4=1 ' 4=1 ' 4=1 '
Очевидно, мы получаем ограниченную функцию. Обозначим через Ε
подмножество в /^(<S x <S), состоящее из всевозможных таких функций.
Ясно, что сумма α^,* + α*',^,*', где ж7 := (ж71?... ,х^), г/7 := (^,...
••·>2/ίη)> ζ' := (ζί?···^ϋ> — ЭТО в точности &&',у",ζ", где ж77:=(жь...
• · · j #77,? Х]_, · · · , %rn)·) У := (,2/Ъ · · · ? 2/п? 2/l? · · · 5 I/mJ И ^ * = 4^1? · · · 5 ^715 ^15 · · ·
..., z^J. Кроме того, для λ ^ 0 функция АаЖ;У;^ — это то же самое, что
av\x,v\y^ Где ^х := (^λχι,..., λ/Αχ™) и у/ху := (л/Хг/ь · · ·, л/Хг/п)·
Отсюда мы видим, что £ является выпуклым множеством (более
того, конусом).
Теперь мы покажем, что каждая функция 0ίχ^υ^ζ G Ε обладает
следующим свойством:
тах{аЖ;У;^(5, t): s G <S, £ Ε Τ} ^ 0.
(0.9.3)
В самом деле, поскольку элементы Σ хкхХ и Σ УкУк положитель-
к=1 к=1
ны, то (в силу достаточности множества состояний; см. § 0.8) най-
/ П \ и П
дутся состояния so G А* и ίο £ ^>* такие, что si ^ #/с#£ ) = Σ х/с#&
4=i ' Hfe=i
/ п \ II п II
и Ч Σ 2/fe2/fe) = \\Έ Укхк\\· Вместе с (0.9.1) это дает
4=ι J 4=ι "
^аз,у,г(^0?^о)
Σ
fe=l
*
Хк%к
+
fe=l
^rfaj -2\]S2
*
Xk%k
fe=l
1/2
Σ^^
fe=l
1/2
и (0.9.3) отсюда следует.

60
ГЛ. 0. ПОДГОТОВКА СЦЕНЫ
Обозначим через Λί подмножество в 1^(5 χ Τ), состоящее из
отрицательных функций с отрицательной верхней гранью. Тогда,
в соответствии со сказанным выше, Ε Π Λί = 0. Но оба эти
множества выпуклы, и к тому же Λί открыто. Поэтому, на основании
хорошо известной эквивалентной формы теоремы Хана-Банаха (см.,
например, [65, теорема 1.2.9]), существует ограниченный М-линейный
функционал Φ: /oo(<S χ Τ) —> R и действительное число С такие, что
Φ (φ) < С ^ Φ (ψ) для всех φ Ε Λί, ψ Ε Ε. Конечно, мы можем считать,
что ||Φ|| = 1. Далее, поскольку 0 — точка прикосновения множества Λί,
а Ф непрерывен, выполнено С ^ 0. С другой стороны, поскольку 0 Ε Ε,
выполнено С ^ 0.
Таким образом, для всех φ Ε Λί, ψ Ε Ε имеют место оценки
Φ(φ)<0^Φ(φ). (0.9.4)
Поэтому, поскольку Ф непрерывен, Φ (φ) ^ 0 для всех φ с
неположительными значениями. Это означает, что Φ — положительный
функционал. Отсюда следует, что |Ф(^)| ^ Ф(М) Для всех ψ в ^(^ х ^~)?
и, в частности, в единичном шаре указанного пространства. А это,
вместе с ||Ф|| = 1, дает Ф(1) = 1.
Обозначим через /oo(<S χ Τ) пространство всех комплекснозначных
функций на S х Т, а через Φ — единственный С-линейный функционал,
продолжающий Φ на /^(5 х Т). Рассмотрим для каждых с Ε А и d Ε Β
функции dc:5xT^R, (s,£) ι—> s(c), и т^: 5 χ Τ —> R, (s,£) ι—> £(d);
разумеется, они принадлежат пространству /^(5 х Т). Таким
образом, функция aXiyiZ может быть записана как ас/ + т^/ — М, где с; : =
:= Ε Xfc4, d! := Ε 2/fc2/fc и М := -2Re Σ Щхк,ук,гк) .
fe = l fe=l 4=1 У
Мы в состоянии, наконец, ввести наши желаемые / и д. С этой
целью для каждых с Ε А и d Ε Л мы положим /(с) := Ф(сгс) и g(<i) := Ф(т^).
Поскольку Φ ^ 0, мы, очевидно, получаем положительные
функционалы на наших С*-алгебрах. Далее, равенство Ф(1) = 1, очевидно, влечет
/(1а) = д(1в) — 1; это означает (ср. с § 0.8), что fug — состояния.
Наконец, второе неравенство в (0.9.4), вместе с определением Ε и
действием Φ на постоянные функции, заведомо дает оценку (0.9.2) для всех
подходящих по смыслу х,у, ζ.
Остается вывести (0.9.1) из (0.9.2).
Возьмем произвольное λ > 0. Заменяя χ на А1/2ег6/х, где θ Ε К таково,
что Re (7£(ег6>ж, ?/, ζ)) = |7£(ж, г/, ζ) |, и у на λ-1/2?/, мы видим, что (0.9.2)
влечет, для тех же ж, ?/, ζ, оценку
|K(s,g,z)|<A/(ra*)+,A~'g(l'*'').

0.9. ОДНА ТЕХНИЧЕСКАЯ ЛЕММА
61
Тогда, если оба /(хх*) и д(у*у) — не нули, то мы положим λ : =
:= [f(xx*)]~1'2[g(y*y)]1'2 и немедленно получим желаемую оценку.
Если /(хх*) = 0 и д(у*у) φ 0, то правая часть неравенства может быть
как угодно мала. Таким образом, выполнено 7Z(x,y,z) — 0 и,
следовательно, снова (0.9.1). То же самое, конечно, происходит при Дхх*) φ 0
и д(у*у) — 0 или (простейший случай) при Дхх*) = д(у*у) — 0. >
Частным случаем этого утверждения по сути является
Лемма 0.9.2. Пусть Е, F, А и В — те же, что и выше, ΊΖ: Ε χ
xF^C - сжимающий бифункционал. Пусть, далее, для всех
натуральных η и всех наборов «X/ ^ , . . . , «Χ/ γ^ £ Ε, г/ι,..., yn E F имеет место
неравенство
η
^2щхк,Ук)\ < \\Σ
k=l
*
%к%к
k=l
1/2
П
^У*кУк
fc=l
1/2
Тогда существуют состояния f: А —» С и д: В —> С такие, что для
каждых χ Ε Ε и у Ε F выполнена оценка
\n(x,y)\^[f(xx*)]1^[g(y*y)]1^.
(0.9.5)
< Рассмотрим 3-линейный функционал Έ!: Ε χ F х С —>· С,
(ж, г/, λ) ι—>· !Z(\x,y), и возьмем произвольные наборы xi,...,xn Ε -Б,
2/1,..., уп Ε F и λι,..., Хп Ε С. Поскольку
J2\Xk\2xkx*k
< (max{|Afc|2, k = l,...,n}) У^хкх*к
k=l
к=1
в Л, утверждение (iii) в § 0.8 (о связи порядка и нормы) обеспечивает
выполнение условий леммы 0.9.1 для С и ΊΖ', в роли соответственно G
и ΊΖ. Дальше ясно. >

ГЛАВА 1
КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1.1. Преднормированные бимодули
Напомним, что когда мы говорим просто «бимодуль», мы
подразумеваем бимодуль над В := B(L).
Определение 1.1.1. Мы говорим, что преднормированный бимодуль
X удовлетворяет первой аксиоме Руана или, кратко, (Ш), если для
любых а Е В и и Ε Χ выполнено
\\а · и\\, \\и · а\\ ^ ||а||\\и\\.
Заметим, что на обычном языке теории нормированных алгебр это
в точности означает, что X — сжимающий преднормированный 23-бимо-
дуль. Выделим очевидное
Предложение 1.1.2. Если преднормированный бимодуль X
удовлетворяет (Ш), то его конгруэнтные элементы имеют одну и ту же
преднорму. < >
Определение 1.1.3. Мы говорим, что преднормированный бимодуль
X удовлетворяет второй аксиоме Руана или, кратко, (RII), если для
любых и, ν £ X, обладающих ортогональными носителями, выполнено
\\и + г;|| = max{||u||, |H|}.
Если в той же ситуации выполнено только \\и + г;|| ^ max{||u||, ||г;||}, мы
говорим, что X удовлетворяет условию (RII7).
(Мы выбрали аксиомы (RI) и (RII) как «бескоординатные» версии
известных аксиом Руана для матриц-норм; ср., например, с [46, с. 20]
или [89, с. 180-181].)
Ясно, что из (RII) немедленно вытекает аналогичное свойство для
нескольких слагаемых: если щ,... ,ип Gl обладают попарно
ортогональными носителями, то
\\щ + ... + ип\\ = max{||ui||,..., \\ип\\}.

1.1. ПРЕДНОРМИРОВАННЫЕ БИМОДУЛИ
63
Предложение 1.1.4. Преднормированный бимодуль,
удовлетворяющий (RI) и (ШГ), удовлетворяет (RII).
< Пусть и, ν £ X обладают ортогональными носителями
соответственно Ρ и Q. Тогда, конечно, Ρ · (и + г;) = и и поэтому в силу (Ш)
выполнено \\и\\ ^ ||и + ^||. Поскольку та же оценка справедлива и для
||г;||, выполнено max{||u||, ||г;||} ^ \\и + г;||. Дальше ясно. >
Замечание 1.1.5. Мы могли бы даже пойти дальше и заменить
(ШГ) по виду гораздо более слабым условием. А именно, выберем
только два ортогональных проектора Ρ и Q в L, образы обоих
бесконечномерны.
Предположим что для всех и л ν с носителями соответственно Ρ
и Q выполнено \\и + г;|| ^ max{||u||, \\v\\}. Тогда легко показать, что такое
условие в объединении с (RI) влечет (RII). Однако это наблюдение нам
не понадобится.
Определение 1.1.6. Преднормированный бимодуль называется пред-
нормированным руановым бимодулем, если он удовлетворяет обеим
аксиомам Руана. Сходный смысл мы придаем термину «нормированный
руанов бимодуль».
Разумеется, 23, /С и Τ являются простейшими примерами
нормированных руановых бимодулей. Обратим внимание также на следующий
пример.
Пример 1.1.7. Пусть Ω — локально компактное топологическое
пространство. Рассмотрим банахово пространство Со(0,/С), состоящее из
всех непрерывных и исчезающих на бесконечности /С-значных функций
на Ω. Легко проверить, что это нормированный руанов бимодуль
относительно внешних умножений, определенных правилами [а · φ](ί) :=
:= α(ί)φ(ί) и [φ · a](t) := φ(ί)α(ί), и нормы \\φ\\ := max{||(/?(£)||: t G Ω}.
Следующий пример будет играть выдающуюся роль в некоторых
важных вопросах; см. гл. 8.
Пример 1.1.8. Пусть Я и К — произвольные гильбертовы
пространства. Рассмотрим банахово пространство B(L (g) Я, L ® К). Легко
проверить, что это нормированный руанов бимодуль
относительно внешних умножений, определенных правилами а - Ъ \= (а ® \к)Ъ
и Ь · а := Ъ(а ® 1Я), аеВ,Ъе B(L ® Я, L <g) Я).
Легко усматривается следующее
Предложение 1.1.9. Пусть X — бимодуль, наделенный
семейством преднорм || · Ц^ ν G Λ, таких, что для каждого и G X
множество чисел \\и\\„, ν £ Λ, ограничено. Тогда, если каждая из преднорм
удовлетворяет аксиоме (RI) либо (RII), то \\и\\ := вирЩ^Ц^: ν G Λ} —
это преднорма в X, таксисе удовлетворяющая соответствующей
аксиоме. < >

64
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Вплоть до конца этого параграфа, если явно не оговорено обратное,
X обозначает заданный преднормированный руанов бимодуль.
Следующее предложение показывает, что произвольные преднормированные
руановы бимодули ведут себя в некоторых вопросах так, как если бы
они состояли из операторов.
Предложение 1.1.10 (то, что Барри Джонсон называл «операторной
выпуклостью»). Пусть заданы и\,..., ип £ X и αϊ, fei,..., αη, bn Ε В.
Тогда
y^flfe -Uk · bk\\ < У^
k=l
akal
k=l
1/2
(max{||^i|
Kill)
Т,ъ%ък
k=l
1/2
< Пусть Ski и, а и b — те же, что в предложении 0.4.2. Тогда в силу
и П и
(Ш) выполнено \\Σ ак ' ик ' Ьк\\ ^ ||а|| ||и|| ||Ь||. Далее, из равенств (0.2.1)
следует, что для каждого к финальный проектор оператора Sk является
носителем элемента Sk - ик - S* £ X. Поскольку эти проекторы попарно
ортогональны, (RII) влечет равенство
\и\\ — maxJU^i · и\ · S\ \
I <7
η
U
η
Но предложение 1.1.2 обеспечивает равенство \\Sk · Uk · Ξ%\\ = ||г^|| для
всех к. Наконец, С*-тождество дает ||а|| = Цаа*])1/2 и ||Ь|| = ||Ь*Ь||1/2.
Дальше ясно. >
Вот приложения, выглядящие более прозрачно. Вначале мы пока-
жем, что для преднормированных руановых бимодулей свойство,
выраженное в аксиоме (RII), может быть усилено.
Предложение 1.1.11. Пусть и\,...,ип — элементы X с попарно
ортогональными левыми носителями и попарно ортогональными
правыми носителями. Тогда
Ш1+... + и
η
maxj \\ui\
Ы|}.
< Обозначим соответственно через Pk^Qk упомянутые левые и
правые носители. В предложении 1.1.10 положим ак := Pk и bk := Qk- Тогда
η η
ясно, что Σ ak&k и Σ b^bk суть проекторы, и поэтому их норма рав-
к=1 к=1
на 1. Отсюда немедленно следует, что \\ui + ... + ип\\ ^ max{||ui||,...
..., ||un||}. Дальше ясно. >
Предложение 1.1.12. Пусть v\,...,vn — элементы X, имеющие
попарно ортогональные левые носители либо попарно ортогональные
правые носители. Тогда
\vi + ... + vn\\ < (1Ы12 + ... + 1Ы12)
2\1/2

1.1. ПРЕДНОРМИРОВАННЫЕ БИМОДУЛИ
65
< Рассмотрим случай левых носителей, скажем Р&. Конечно, мы
вправе считать, что \\vk\\ ^ 0 для всех к. Положим в
предложении 1.1.10 Uk := η—й-^ь ак '-— Рк и Ьк '.= \\ик\\1' Тогда очевидно, что
η η vk η η
Σ vk = Σ ak · uk · Ь^ что Σ ака*к ~ это проектор и что Σ Kbk =
к=1 к=1 к=1 к=1
— ( Σ ll^/c||2)l· Дальше ясно. >
4=1 '
Замечание 1.1.13. На самом деле элементы нормированных руано-
вых бимодулей не только ведут себя как операторы, но в определенном
смысле они и являются операторами.
Мы имеем в виду довольно глубокие результаты об операторных
представлениях некоторых бимодулей над (7*-алгебрами,
обладающими некоторыми свойствами типа операторной выпуклости из
предложения 1.1.10 (см., например, [2, 74, 103]). Однако поскольку наши цели
совсем другие (и более скромные), эти сильные средства нам здесь не
понадобятся.
Выделим ради удобства будущих ссылок несколько простых
предложений, касающихся некоторых наследственных свойств преднорми-
рованных руановых бимодулей.
Предложение 1.1.14. Наш X, будучи рассмотрен с внешними
умножениями · или · (ср. с § 0.4), также является преднормированным
руановым бимодулем.
< Аксиома (RI) для «·» следует из той же аксиомы для исходных
внешних умножений «·» и равенства \\а <0 1|| = ||а||. Далее, если Ρ —
носитель некоторого и £ X относительно «·», то Ρ <0 Ι — носитель
этого и относительно «·»; при этом, если проекторы Ρ и Q ортогональны,
то проекторы Ρ <0 1 и Q <0 1 также ортогональны. Отсюда следует, что
аксиома (RII) для «·» влечет (RII) для «·». Сходное рассуждение
доставляет утверждение, касающееся «·». >
Напомним следующий очевидный факт: для преднормированного
пространства Ε преднормированное пространство В(Е,Х) само есть би-
модуль относительно операций [а · φ](χ) := а · φ(χ) и [φ · α] (χ) := φ (χ) · α;
аеВ, φεΒ(Ε,Χ), χ ex.
Предложение 1.1.15. Бимодуль В (Ε, X) таксисе является
преднормированным руановым бимодулем.
< Ясно, что выполнение (RI) для X влечет выполнение этой аксиомы
для В(Е,Х). Далее, пусть φ, ψ G В (Ε, X) имеют ортогональные
носители соответственно Ρ и Q. Тогда для любых χ G Ε проекторы Ρ и Q суть
носители соответственно φ(χ) и ψ(χ). Поскольку (RII) справедлива для

66
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
X, то для тех же χ выполнено \\φ(χ) + VK^)!! = max{||(/?(x)||, Ц^ж)!]}.
Отсюда легко следует аксиома (RII) для В(Е,Х). >
Предложение 1.1.16. Пусть Υ — другой бимодулъ, и пусть
φ: Υ —> Χ — морфизм бимодулей. Тогда Υ, будучи наделен преднормой
\\ν\\ := ||^(^)||, является преднормированным руановым бимодулем.
< Часть, касающаяся (Ш), очевидна. Часть, касающаяся (RII), легко
следует из предложения 0.4.1. >
Наконец, предположим, что X — нормированный руанов бимодуль,
а (Х,1: X —> X) — его пополнение как нормированного пространства.
Предложение 1.1.17. В X существует единственная структура
нормированного руанова бимодуля, такая, что I является бимодуль-
ным морфизмом.
< Желаемые внешние умножения в X появляются очевидным
образом как результат непрерывного продолжения ограниченных
операторов 1{и) ь^ /(а · и), 1{и) ь^ 1{и -а), uGl, корректно определенных
для каждого a G Τ и действующих в образе отображения /. (Здесь мы
используем, конечно, аксиому (RI) и полноту X.) После этого все
требуемые свойства легко проверяются. >
§ 1.2. Протоквантовые и квантовые пространства. Общие свойства
С этого момента мы сосредотачиваемся на бимодулях, являющихся
размножениями линейных пространств.
Определение 1.2.1. Протоквантовая преднорма в линейном
пространстве Ε — это произвольная преднорма в бимодуле ТЕ,
удовлетворяющая (RI). А протоквантовое преднормированное пространство —
это линейное пространство, наделенное протоквантовой преднормой.
Термины протоквантовая норма и протоквантовое нормированное
пространство имеют сходный смысл.
Подчеркнем, что протоквантовая преднорма в Ε — это (обычная)
преднорма, но заданная не в самом Е, а в «большем» пространстве ТЕ.
Протоквантовое преднормированное пространство становится
«классическим» преднормированным пространством, если для χ £ Ε
мы положим ||х|| := ||рж||, где ρ — произвольный одномерный
ограниченный оператор в L. Из предложений 0.4.2 и 1.1.2 следует, что это
число не зависит от выбора р. Ясно, что это преднорма. Возникшее
преднормированное пространство называется подлежащим
преднормированным пространством протоквантового пространства Е. Мы
будем часто обозначать его через П\Е, или иногда снова через £", если
нет опасности путаницы.

§ 1.2. ПРОТОКВАНТОВЫЕ И КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА 67
Предложение 1.2.2. Пусть Ε — такое протоквантовое преднор-
мированное пространство, что ПЕ — нормированное пространство.
Тогда протоквантовая преднорма в Ε является нормой.
< Возьмем ненулевой элемент и G ТЕ. Тогда (снова см., например,
η
[133, предложение 2.7.1]) он может быть представлен как ^ α&χ^, где
/с=1
хк, к — 1,..., п, — линейно независимая система векторов в Ε и а\ φ 0.
Отсюда, конечно, следует, что (αϊ ξ, η) φ 0 для некоторых ξ,η £ L, \\ξ\\ =
= 117711 = 1. Формулы (0.2.2) дают
n
(ξΟη)·ιι·{ξΟξ) = ^(ξ О ту) · акхк · (ξ Ο ξ) =
fe=l
п п
= Σικ о т/к к о οι** = $}<ы, ^ ° ^=рх'
к=1 к=1
п
где мы полагаем ρ := ξ О £ и ж := ^ (α&ξ, rl)xk- Поэтому аксиома (RI)
/с=1
влечет оценку
IIHI ^ΙΙ£θτ7|||Μ|||ξοξ|| = |ΜΙ-
Поскольку ρ — одномерный проектор, \\рх\\ является, по условию,
нормой вектора χ G ПЕ. Но наш выбор векторов хк, ξ и η гарантирует, что
χ φ 0. Дальше ясно. >
Мы переходим к первому из главных понятий квантового
функционального анализа, уже указанному во введении. Это «бескоординатная»
версия «матричных» определений в [46] или [89].
Определение 1.2.3. Квантовая норма в линейном пространстве Ε —
это произвольная норма в бимодуле ТЕ, удовлетворяющая обеим
аксиомам Руана (и таким образом превращающая ТЕ в нормированный
руанов бимодуль). В эквивалентных терминах, квантовая норма — это
протоквантовая норма, удовлетворяющая (RII). Нормированное
квантовое пространство, или просто квантовое пространство, — это
линейное пространство, наделенное квантовой нормой.
Подлежащее пространство ПЕ заданного квантового пространства
является, конечно, нормированным пространством. Что же касается
исходного квантового пространства, то мы называем его квантованием
пространства ΏΕ, и мы называем его квантовую норму квантованием
«обычной» нормы в П\Е. Вскоре мы увидим, что одно и то же
нормированное пространство может обладать многими глубоко
различными квантованиями. Однако простейшее нормированное пространство —
комплексная плоскость С — имеет только одно квантование: из аксиом

68
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Руана легко следует, что единственное квантование нормы в С — это не
что иное, как операторная норма в FC = Τ.
Помимо С, только о двух нормированных пространствах известно,
что они обладают лишь одним квантованием: мы получаем их, снабдив
С2 нормами ||(ξι,6)|| := 161 + 161 и ||(6,6)|| := тах{|6|, |6|}· С дру-
гой стороны, если для нормированного пространства Ε выполнено
dim(E) ^ 3, то оно заведомо обладает различными квантованиями. Но
до сих пор никто не знает, существуют ли (необходимо двумерные)
нормированные пространства с единственным квантованием, отличные от
двух только что упомянутых. Подробности см. в [89] и в цитированной
там литературе.
Пусть /: F —> Ε — изометрическое вложение одного
нормированного пространства в другое, и это последнее снабжено квантованием.
Положим для и £ ТЕ \и\ \— \1^{\ι)\. Легко проверить (используя,
например, предложение 1.1.16), что это равенство доставляет
квантование пространства F. Мы будем говорить, что это квантование
пространства F индуцировано заданным квантованием пространства Ε
и изометрическим вложением L
Если, в частности, / — вложение подпространства в нормированное
пространство Ε и последнее снабжено квантованием, то
индуцированное квантовое пространство называется квантовым подпространством
пространства Е.
(Факторпространства также обладают разумной квантовой версией.
Но эта конструкция требует некоторой подготовки и будет обсуждена
ниже, после теоремы 2.2.1.)
Вспомнив понятие подлежащего (пред)нормированного
пространства, мы вправе рассматривать квантовую норму как норму в
алгебраическом тензорном произведении нормированных пространств Τ и Е.
Предложение 1.2.4. Пусть Ε — квантовое пространство. Тогда
для всех a G Τ', χ £ Ε выполнено \\ах\\ — ||α||||χ||. Иными словами,
квантовая норма является кросснормой.
Перед доказательством мы заметим, что это утверждение
позволяет определить подлежащую норму квантовой нормы равенством
||χ|| := ||ах||, где а — произвольный конечномерный оператор нормы 1.
< Как очевидный частный случай классической теоремы Шмидта
η
(см., например, [133, теорема 3.4.1]), выполнено ах = ^ {sk^k О е&)ж
fc=l
для некоторых ортонормированных систем ei,..., еп и е^,..., е'п в L
и чисел Sfe, || α || = si ^ ^2 ^ ... ^ sn ^ 0. Но указанные слагаемые
обладают попарно ортогональными левыми носителями е;к О efk и попарно
ортогональными правыми носителями е^Ое^. Поэтому само определе-

1.3. ПРИМЕРЫ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
69
ние нормы в ΏΕ, рассмотренное вместе с предложениями 1.1.12 и 0.5.4,
влечет
||αχ|| = maxjIKsfee^ О β&)χ||, к = 1,..., гг} =
= max{sfc||x||, к = 1,..., η} = ||α||||χ||. >
Из этого предложения, разумеется, следует, что элементарные
тензоры в квантовом пространстве совместно непрерывно зависят от
тензорных сомножителей. А это, в свою очередь, очевидным образом влечет
Предложение 1.2.5. Пусть Ε — квантовое пространство, a aVj
ν Ε Λ, — ограниченная сеть в В, являющаяся аппроксимативной
единицей для Τ (т. е. lim ava = а = lim aav для всех a G Т). Тогда для
каждого и G ТЕ выполнено
и = lim(aI/ · и) = lim (и · аи) = lim(au · и · аи). < >
V V V
Предложение 1.2.6. Пусть Ε — квантовое пространство. Тогда
для всех a G Т,и G ТЕ выполнено \\а <0 и\\ — ||а||\и\ — \и <0 а||·
< Теперь из той же теоремы Шмидта следует, что а (} и — это
сумма элементов (skefk О ек) <0 и с попарно ортогональными левыми
носителями (е!к О е^) {) 1 и попарно ортогональными правыми носителями
(е/е О ек) <0 1· Поэтому, с учетом предложений 1.1.2, 0.5.2(H) и 0.5.1,
выполнено
||a 0 и\\ = max{||(sfcej. О ек) 0 и\\, к = 1,..., п} =
= m&x{\\(skek Оек) <}и\\, к = 1,..., п) =
— max{||sfe?z||, к — 1,... ,гг} = ||а||||х||.
Таким образом, мы получаем первое из указанных в формулировке
равенств. Сходное рассуждение устанавливает второе равенство. >
§ 1.3. Примеры квантовых пространств. Конкретные квантования
Мгп и max
Мы переходим к примерам различной степени общности.
Начнем с так называемых минимального и максимального квантовых
пространств, введенных и исследованных (в матричном изложении)
Блечером и Полсеном [14].
В наших первых трех примерах Ε — произвольное нормированное
пространство.

70
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пример 1.3.1. Минимальное квантование.
Возьмем / Ε Β β и его размножение f^ : ТЕ —> Т. Для каждого
и^ТЕ положим \\u\\f := ||/оо(^)||. В силу предложения 1.1.16,
возникающая преднорма || · ||/ в ТЕ удовлетворяет обеим аксиомам Руана.
Взяв произвольное представление элемента и в виде суммы
элементарных тензоров, мы легко усматриваем, что множество {||^||/: / £ В^}
ограничено. Поэтому равенство
|H|min := sup{||/oo(u)||: / е В*Е}
доставляет корректно определенную преднорму в ТЕ,
удовлетворяющую, на основании предложения 1.1.9, обеим аксиомам
Руана. Напомним, далее, что для каждого χ £ Ε выполнено ||х|| =
= max{|/(x)|: feB^}. Отсюда немедленно следует, что для каждого
а £ Τ, ||α|| = 1, выполнено ||ax||min = ||х||. Поэтому, учитывая
предложение 1.2.2, мы видим, что || · ||min — норма в ТЕ и, более того, эта норма
является квантованием исходной нормы в Е.
Построенное квантование пространства Е, а также соответствующие
квантовая норма и квантовое пространство называются
минимальными; последнее пространство будет обозначаться через Ет-Ш. Откуда
такое название, прояснится ниже, в предложении 2.2.4.
Между прочим, уже из указанного примера видно, что все
нормированные пространства обладают хоть какими-то квантованиями.
Предложение 1.3.2. Пусть I: F —> Ε — изометрический оператор
между нормированными пространствами, причем Ε наделено
минимальным квантованием. Тогда квантование пространства F,
индуцированное влоснсением I, само является минимальным. В частности,
квантовое подпространство минимального квантового пространства
само минимально.
< Возьмем и £ F. По определению, а также ввиду (0.6.1) выполнено
\Н\ = supiH/ooOTooi/)!! :f€B*E} = supflK/flooHH: / G BE}.
Но из теоремы Хана-Банаха немедленно следует, что множество
{//: / £ В β} совпадает с В^. Дальше ясно, >
Пример 1.3.3. Максимальное квантование.
Рассмотрим все возможные квантования пространства Е.
Оказывается, среди них существует такое, которое обладает наибольшей
квантовой нормой. В самом деле, из предложения 1.2.4 следует, что для всех
η
наших квантований соответствующие нормы элемента и = Σ akxk £
η k=l
Ε ТЕ имеют одну и ту же верхнюю границу, а именно Σ \\ак\\ \\хк\\- По-
fc=l

1.3. ПРИМЕРЫ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
71
этому мы вправе рассмотреть для каждого и число ||u||max := sup{||u||},
где верхняя грань взята по всем квантованиям. Предложение 1.1.9
обеспечивает то, что \\и\\тах — квантовая норма, а предложение 1.2.4
гарантирует то, что последняя доставляет квантование пространства Е.
По очевидным причинам мы называем это квантование максимальным
и обозначаем соответствующее квантовое пространство через Ет^.
Замечание 1.3.4. Среди классических нормированных пространств,
рассматриваемых, как правило, с максимальным квантованием, мы
упомянем пространства Li(M, μ), где Μ — множество, наделенное счетно-
аддитивной мерой μ, а также пространства мер Μ(Ω), где Ω —
локально компактная группа. Почему это разумно, мы увидим много позже,
в § 9.2.
Пример 1.3.5. Криптомаксимальное квантование.
Отождествив Т\Т\ с операторным пространством Τ ® Τ^ мы
положим для каждого и £ ТЕ
\и\
ах = supill/ooHH: / е В{Е,Т), 11/11 < 1} =
= sup{||/00(u)||:/e^(£,n II/H1}.
Такое определение корректно: снова, как и в примере 1.3.1, мы видим,
что обе указанные верхние грани действительно существуют и к
тому же совпадают вследствие равенства ||/оо(^)|| = SUP 11?тг^Р/сх)(и)11? гДе
PGJ пробегает все конечномерные проекторы. (Фактически это
весьма легкий частный случай предложения 0.7.5.) Далее, для каждого
χ G Ε выполнено ||х|| = тах{||/(х)||: / G Т{Е, Т\ ||/|| ^ 1}. (В самом
деле, для каждого фиксированного aGf, ||a|| = 1, очевидно, выполнено
||ж|| = тах{||/(х)||}, где максимум взят по всем операторам /: Ε —> Τ,
У ^ 9{у)а·) 9 £ Be-) Поэтому такое же рассуждение, как в примере 1.3.1,
показывает, что ||гб||стах — норма в Е, являющаяся квантованием
исходной нормы в Е.
Много позже, в предложении 9.2.1, мы увидим, что только что
построенное квантование пространства Ε — не что иное, как
максимальное квантование из предыдущего примера. Но пока мы в этом не
убедимся, мы будем называть это квантование криптомаксималъным
и обозначать соответствующее квантовое пространство через £стах.
Разумеется, выполнено равенство
|| ' ||min ^ || ' Цстах ^ || ' Цтах·
Заметим, что между · min и · стах мы можем поместить счетное
семейство других квантовых норм в £", сходных по своему построению

72
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
с этими двумя. А именно, для каждого η — 2,3,... мы можем взять
n-мерное гильбертово пространство, скажем Сп, и положить
\\и\\п = supill/ocHU: / е В(Е,В(Сп)), 11/11 < 1}.
(Здесь пространство ТВ(Сп) — область значений f^ — отождествлено
с Τ ® В(Сп).) Очевидно, имеют место оценки
|| " ||min ^ || " ||2 ^ · · · ^ || " ||п ^ · · · ^ || " ||стах·
Функциональные пространства и С* -алгебры
Пример 1.3.6. Стандартное квантование функционального
пространства.
Пусть Ω — локально компактное топологическое пространство,
а Е — функциональное пространство на Ω, т. е. замкнутое
подпространство банахова пространства (7ο(Ω), снабженное индуцированной
(= равномерной) нормой. Напомним теперь о нормированном руа-
новом бимодуле Со(0,/С) из примера 1.1.7 и рассмотрим оператор
J: ТЕ —> Со(0,/С), ассоциированный с биоператором
Τ х Ε -> Со (Ω, /С): (α, χ) ь-> φ(ί) := χ(ί)α.
Очевидно, это морфизм бимодулей. Поэтому, в силу
предложения 1.1.16, ТЕ, будучи наделен преднормой \и\ := ||J(u)||,
является преднормированным руановым бимодулем. Таким образом, Ε —
протоквантовое преднормированное пространство, причем очевидно,
что его подлежащее преднормированное пространство — это как раз
исходное функциональное пространство. Отсюда, на основании
предложения 1.2.2, построенная преднорма в ТЕ является в действительности
квантовой нормой и, более того, квантованием равномерной нормы в Е.
Это квантование нашего функционального пространства называется
стандартным.
Заметим, что бимодульный морфизм J, как видим, оказывается инъ-
ективным. Таким образом, он позволяет нам отождествить ТЕ с под-
бимодулем нормированного руанова бимодуля Co(fi,/C).
Позже, в предложении 2.2.5, мы увидим, что построенное
квантование нашего функционального пространства является частным случаем
минимального квантования из примера 1.3.1.
Следующий пример сыграл важную роль в создании базовых
понятий квантового функционального анализа (ср., например, с [21]). Он
установил связь этой теории с одним из ее главных источников, теорией
операторных алгебр.

1.3. ПРИМЕРЫ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
73
Пример 1.3.7. Стандартное квантование С*-алгебры.
Пусть А — (7*-алгебра. Мы помним, что ТА обладает
единственной С*-нормой (предложение 0.8.5), которая является продолжением
С*-нормы в (7*-подалгебре ТрА — B[Lp ® А) для каждого Ρ G Vr.
Покажем, что это квантовая норма в А.
Пусть е^, ν Ε Λ, — аппроксимативная единица нормы 1 в С*-алгеб-
ре А (ср. с § 0.8), a G £>, и G ТА и Ρ — конечномерный носитель
элемента и. Тогда, в силу предложения 0.8.6, выполнено а · и — аР · и =
= lim(aP ® еи)и. Поэтому, с учетом предложения 0.8.6, выполнено
V
\а-и\ ^ sup{|| {аР ® еи)и\\: ν G Λ} ^ ||аР\\ \\еи\\ \\и|| ^ ||а||||и||,
и точно так же ||и-а||^||а||||г^||. Таким образом, имеет место (RII).
Теперь пусть u, v G ТА обладают ортогональными носителями,
скажем, Ρ и Q. Из С*-тождества для нормы в А следует, что для каждого
η G N выполнено \\и + ν\\2 = \\[{и + ν)*{и + г;)]2 ||. Из (0.8.1) вытекает,
что и* и (u*u)n, η Ε Ν, имеют носитель Р, в то время как г;* и (ν*ν)η,
гг Ε Ν, имеют носитель Q. Поэтому, используя предложение 0.8.2, мы
получаем, что [(и + ν)* (и + г;)]2 = (и*и)2 + (υ*ν)2 . Предположим для
определенности, что \\и\\ ^ ||г;|| и, следовательно, ввиду С*-тождества
м/ * \?п м м ιι9η + 1 \ м ιι9η + 1 м / * \9П и гл
\\{и и) || = \\и\\ ^ ΙρΙΙ = ([(ι; ν) ||. Отсюда следует, что
II ι ||2η + 1 и/ * \2п , / * \2n|| /oil Il2n + 1
Ци + 'иЦ = ||(u u) + (ϊ; ϊ;) ||^2||u||
Поскольку гг произвольно, выполнено \\и + г;|| ^ ||и||, и (RII) следует.
Мы проверили, что С*-норма в «FA — это квантовая норма в А.
Более того, снова пользуясь предложением 0.8.5, мы сразу получаем, что
это квантование исходной нормы в А. Эта квантовая норма в нашей
(7*-алгебре называется стандартной. Тот же термин будет
употребляться для соответствующих квантового пространства и квантования.
Мы пользовались тем же термином «стандартный» в обоих
предыдущих примерах. Но это не приводит к недоразумению:
Предложение 1.3.8. Пусть (7ο(Ω) то эюе, что и в примере 1.3.6.
Тогда его стандартное квантование как функционального
пространства совпадает с его стандартным квантованием как С* -алгебры.
< Заметим, что нормированный бимодуль Со(0,/С), участвующий
в упомянутом примере, является С*-алгеброй относительно
поточечного умножения и инволюции φ*(ί) := ((/?(£))*. Далее, если в этом
контексте Ε := Со (Ω), то соответствующий оператор J (ср. выше) — это,
конечно, ^-гомоморфизм. Поэтому норма в TCo(Q), индуцированная
оператором J, является С*-нормой. Дальше ясно, >

74
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Операторные пространства
Мы переходим к примерам, играющим выдающуюся роль во всей
теории.
Пример 1.3.9. Конкретное квантование операторного
пространства.
Пусть Ε — операторное пространство. Тогда, поскольку Τ также
является операторным пространством, мы можем снабдить ТЕ
операторной нормой, возникающей после его отождествления с Τ® Ε
(ср. с § 0.7). Легко усматривается, что мы получаем квантование
пространства Е. Оно называется конкретным квантованием этого
пространства. Термины «конкретная квантовая норма» и
«конкретное квантовое пространство» в контексте операторных пространств
имеют сходный смысл.
Определение 1.3.10. Пусть F — нормированное пространство,
а /: F —> Ε — его изометрическое вложение в операторное
пространство. Тогда квантование нашего F, индуцированное конкретным
квантованием пространства Ε и вложением / (ср. с предыдущим
параграфом), называется конкретным квантованием пространства F,
индуцированным вложением I. Сходным образом мы будем говорить
о конкретной квантовой норме и конкретном квантовом
пространстве, индуцированными влоэюением I.
Очевидно, если Ε С В(Н, К\ то возникающее квантование
пространства F не меняется при замене / на его копродолжение на любое
подпространство в В(Н, К), содержащее образ /, в частности, на само В(Н, К).
Мы видим, что с этого момента мы используем термины
«конкретная квантовая норма» и «конкретное квантовое пространство» в
некоторой более общей ситуации, чем во введении. Это не приведет к
недоразумению. Когда задано «настоящее» операторное пространство, то
тогда, говоря об этих вещах, мы будем всегда иметь в виду определение
этих структур, данное в примере 1.3.9.
Как мы уже упоминали в § 0.1, изометрические вложения
заданного нормированного пространства в пространства ограниченных
операторов всегда существуют. Это означает, что каждое нормированное
пространство обладает конкретными квантованиями,
индуцированными этими вложениями.
Заметим, что квантовые пространства Ет-Ш и £стах являются
конкретными. Действительно, в обозначениях конца § 0.2 они
индуцированы изометрическими вложениями пространства Ε в пространства соот-
ветственно 0{С/: / G В*Е} и @{Lf~: feB(E,T), ||/|| < 1}; здесь С/ -
это экземпляр поля С, индексированный функционалом /, aif~ — это

1.3. ПРИМЕРЫ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
75
экземпляр L, индексированный оператором /. Эти вложения
переводят χ G Ε соответственно в операторы @{Sxj: / G В^} и ф{Гж ?: / G
G β{Ε^Τ\ 11/11 ^ 1}, где £ж,/: С/ —> С/ действует по правилу λ ь^ /(ж)А,
аТж ?: Lr^Lr действует по правилу ξ ь^ [/(ж)] (ξ), ξ G L я.
Аналогичным образом квантовые пространства (£", || · ||п) для всех
η — 2, 3,... также являются конкретными.
Замечание 1.3.11. В этот момент имеет смысл напомнить теорему
реализации Руана, сформулированную без доказательства во введении
(см. теорему Β.Ι). Ее смысл — в том, что по существу каждое
(«абстрактное») квантовое пространство есть конкретное квантовое
пространство, индуцированное некоторым изометрическим вложением
соответствующего подлежащего нормированного пространства. Как уже
говорилось, этот факт в его полной общности будет доказан много
позлее (см. теорему 9.1.4). А до этого для многих квантовых пространств,
с которыми мы встретимся, мы сможем дать, как в предыдущих
примерах, простое непосредственное доказательство их «конкретной
природы».
Столбцы и строки
Обратимся к частным случаям конкретного квантования.
Следующие примеры-близнецы доставляют богатейший источник
поучительных иллюстраций к общим понятиям и результатам теории.
Произвольное квантовое пространство, являющееся квантованием
гильбертова пространства, будет называться гилъбертианом.
Пример 1.3.12 (берущий начало от [123, 14, 41, 9]). Столбцовый
и строчечный гилъбертианы.
Пусть Η — гильбертово пространство. Рассмотрим
изометрический изоморфизм 1С: Η —> 23(C,ii), переводящий χ в оператор 1 ι—> χ,
а также (пользуясь теоремой представления Рисса) другой
изометрический изоморфизм Ιγ: Η —> 23(ufcc,C), переводящий χ в функционал
у ь^ (х,у). (Здесь (·,·) обозначает скалярное произведение в Я, а не
в Нсс; ср. с § 0.2.) Снабдим Η двумя конкретными квантованиями,
индуцированными посредством соответственно 1С и /г, и обозначим
возникшие гильбертианы через Нс и Нг. Эти квантовые пространства
называются соответственно столбцовым и строчечным гильбертиа-
нами (с подлежащим пространством Н, если требуется уточнение).
Сходная терминология используется для соответствующих квантовых
норм и квантований.
Пусть, на мгновение, Η — это Ι2- Сопоставим каждой последовательности ζ 6 1^
оператор в /2, записываемый в базисе из «ортов» матрицей, у которой левый столбец

76
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
есть ξ, а остальные места заполнены нулями. Разумеется, возникает изометрическое
вложение /2 в В(12)- Легко показать, что квантовая норма в /2, индуцированная этим
вложением, оказывается столбцовой. Аналогично, заменяя в сказанном слова
«левый столбец» на «верхняя строка», мы получим строчечное квантование
пространства Ϊ2- Из подобных рассмотрений и возникли в свое время термины «столбцовый»
и «строчечный».
Заметим, что ТНС = Τ ® Нс — подпространство в B(L ® С, L ® H),
иначе говоря, в B(L^L ® Н\ и элементарный тензор ах как оператор
действует по правилу ξ ь^ α (ξ) ® ж. В то же время ΤΗτ = Τ ® ΗΓ — это
подпространство в B(L ® Нсс, L ® С) = B(L ® Hcc, L), и элементарный
тензор ах как оператор действует по правилу ζ ® у ^ (ж, г/) α (ξ).
Теперь напомним об отображении (*#): .F^E —> FE
ее
U
и
,введенном в § 0.5, и возьмем наше Η в качестве Е. Поскольку Т(НСС)Г
является, аналогично только что сказанному, подпространством в B(L (g) if, L),
то легко усматривается, что с точностью до упомянутых
отождествлений операция «*» — это просто взятие сопряженного оператора. Более
подробно, имеет место коммутативная диаграмма
тяс
У
B(L,L
(*)
Η)
^ Т(НС%
B{L®H,L),
где * и * действуют как и\-^ и и а \-^ а соответственно, а вертикальные
стрелки изображают естественные вложения. (Это легко проверить на
элементарных тензорах.) Как следствие, мы немедленно получаем
Предложение 1.3.13. Отображение (*я)> будучи рассмотрено
между ТНС и jF(ufcc)r; является сопряженно-линейным изометрическим
изоморфизмом. < >
Сделаем наблюдение, которое значительно облегчит работу с
введенными гильбертианами. В следующем предложении Η — то же, что
и выше, Ε — произвольное операторное пространство, a w — элемент
η
в Ε (8) Η вида ^ ^®e^ где тензорные сомножители — те же, что
fe = l
в предложении 0.2.1.
Предложение 1.3.14. Пусть Η отождествлено с операторным
пространством 1С(Н), соответственно 1Г(Н). Тогда w, будучи
рассмотрен в операторном пространстве Ε
,1/2
Я,
имеет норму
\w\\ —
Σ
fe=l
XfcXfc
соответственно
\w\\ —
Σ
fe=l
Xj^Xfo
1/2

1.3. ПРИМЕРЫ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
77
< Чтобы вычислить \\w\\ в «столбцовом» случае, мы заметим, что
наши е/е — теперь это операторы в 23(С, Н) — удовлетворяют равенствам
е\е\ — 6f 1с- (Здесь снова 5 — символ Кронекера.) Поэтому выполнено
η η η
w*w = ^2 (xk ® efc)*(xfc 0 e/) = ^ x^x/ Θ e£e/ = ^ x^ ® lc.
fe,/ = l fe,/=l fe,/ = l
Объединяя это с операторным С*-тождеством \\w\\ = Цг^г^Ц1/2, мы
легко получаем нужное выражение для нормы.
Сходное рассуждение работает и в «строчечном» случае.
Единственная модификация — в том, что теперь выполнено е&е* = δ^ 1с, и мы
используем (7*-тождество в форме \\w\\ = Цг^и^Ц1/2. >
(Это на первый взгляд невинное различие в положении звездочки
в двух возможных выражениях для \\w\\ будет иметь весьма серьезные
последствия...)
Рассмотрим полезный частный случай полученных равенств. Пусть
qk £ Τ, к = 1,..., тг, — произвольные (разумеется, конечномерные)
частичные изометрии в Τ с одним и тем же инициальным проектором
Ρ и попарно ортогональными финальными проекторами. Кроме того,
пусть ei,..., еп — ортонормированная система в Н. Мы полагаем
η η
ωη := ^2qlek G ТЯ и wn := У^е& € ТЕ. (1.3.1)
fe=l fe=l
Предложение 1.3.15. Если рассмотреть введенные элементы с
квантовыми нормами гилъбертиана Нс, то \\ωη\\ = 1 и ||шп|| = у/п.
В то эюе время, если поменять Нс на НТ, то \\ооп\\ — л/п и \\ζυη\\ = 1.
< Возьмем в предыдущем предложении Τ в качестве Е. Тогда мы ви-
п
дим, что в «столбцовом» случае ||cjn||2 — это норма оператора ^ QkQk,
к=1
являющегося проектором, в то время как ||шп||2 — это норма операто-
п
ра Σ qlqk = пР. Отсюда сразу следует утверждение в «столбцовом»
fe = l
случае. Сходное рассуждение доставляет «строчечный» случай, >
Кроме столбцовых и строчечных гильбертианов, есть еще много
других, и некоторые из них весьма важны (ср. с [100, 101]). Возможно,
самый замечательный из всех гильбертианов — это самодуальное
квантовое пространство Пизье. Его мы обсудим позже, в § 7.4.
Вернемся на время к случаю заданной (7*-алгебры А (см.
пример 1.3.7). Напомним, что на основании общей теоремы Гельфанда-
Наймарка (ср. с § 0.8) существуют операторы из Л в алгебры вида

78
ГЛ. 1. КВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В(Н), где Η — гильбертово пространство, которые являются не
только изометрическими вложениями нормированных пространств, но
и *-гомоморфизмами, иначе говоря, являются верными
^представлениями.
Предложение 1.3.16. Все конкретные квантования С*-алгебры,
индуцированные верными *-представлениями, совпадают друг с
другом и с ее стандартным квантованием.
< Пусть π: А —> В(Н) — произвольное верное ^-представление
алгебры А. Тогда, разумеется, π^ : ТА —> ΤΒ{Ίί) — это также инъектив-
ный ^-гомоморфизм. Поэтому соответствующая квантовая норма \и\ : =
·= ||7Γοο(ϊζ)||, и G ΤΆ, является С*-нормой, а значит (см. пример 1.3.7),
совпадает со стандартной квантовой нормой. >
Комплексно-сопряснсенное пространство
Вот последний из нашей серии примеров.
Пример 1.3.17. Комплексно-сопряснсенное квантовое
пространство.
Предположим, что задано квантование нормированного
пространства Е. Рассмотрим комплексно-сопряженное нормированное
пространство Есс (ср. с § 0.1). Возьмем ν G ТЕСС и положим, в обозначениях
§ 0.5, ||г;|| := ||^#||. Очевидно, мы получаем норму в ТЕСС. Поскольку
(о): В —> В — это сопряженно-линейный изометрический изоморфизм
(см. там же), из (0.5.3) немедленно следует, что эта норма
удовлетворяет (Ш), и, очевидно, она удовлетворяет (RII). Таким образом, это
квантовая норма в Есс. Далее, если ρ — одномерный оператор нормы 1
в L, то таков же и р°. Поэтому, с учетом (0.5.3), для всех χ G Есс
выполнено \\рх\\ — ||р°#|| = 11^11 = ||#||. Это означает, что мы получили
квантование обычной нормы в Есс.
В определении квантовой нормы в Есс формально участвует
фиксированная линейная инволюция ρ, но в действительности эта
квантовая норма не зависит от выбора такой инволюции. В самом деле,
пусть ρι: L —> L — другая линейная изометрическая инволюция. Тогда,
как и прежняя инволюция ρ, она порождает отображения (о)!: В —> В,
(°ε)ι- 3~Е —> ТЕСС и, наконец, квантовую норму || · ||ι в Есс по
правилу ||ΐ7||ι := ||(°£;)ϊ~1(^)||7 ν G TECC. Положим S := ρ\ρ\ очевидно, это
унитарный оператор в L. Теперь заметим, что (°е)^ (у) — S · ν* · 5*:
это, с учетом очевидного равенства (oE)~l(hx) = (£ι&£ι)χ, легко
проверяется на элементарных тензорах. Таким образом, элементы (ο^)^~1(ι;)
ии# конгруэнтны и поэтому имеют одну и ту же норму (см.
предложение 1.1.2). Мы показали, что все квантовые нормы в Есс, определенные

§ 1.3. ПРИМЕРЫ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 79
с помощью различных линейных изометрических инволюций в L,
совпадают.
Построенное квантовое пространство называется
комплексно-сопряженным квантовым пространством квантового пространства Е.
Если нет опасности спутать его с подлежащим нормированным
пространством, оно будет обозначено просто через Есс. Сходным образом
мы будем говорить о комплексно-сопряженной квантовой норме
исходной квантовой нормы в Е.
Предложение 1.3.18. Второе комплексно-сопряженное квантовое
пространство (Есс)сс совпадает с исходным квантовым
пространством Е,
< Обозначим квантовые нормы в Е, Есс и (Есс)сс соответственно
через || · ||, || · ||7 и || · Ц". Согласно только что сказанному, мы
вправе вычислять || · И", используя произвольную линейную
изометрическую инволюцию в Lcc. Выберем в этом качестве наше «каноническое»
отображение ρ. Тогда для и G Т(ЕСС)СС очевидным образом
выполнено \\и\\" = Ц^*!!'. Но последнее число есть по определению ||^##||? т. е.,
ввиду (0.5.2), просто \\и\\. >

ГЛАВА 2
ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 2.1. Основные определения и контрпримеры
Сейчас, в соответствии со сказанным во введении, мы переходим от
объектов наших базовых категорий к морфизмам. Как обычно, мор-
физмы не менее, а по существу даже более важны, чем объекты.
Следующее определение безусловно является наиболее важным во
всем нашем изложении. Данное в явном виде сперва в контексте
подпространств операторных алгебр, оно связано с именами Виттстока [122],
Хаагерупа [53] и Полсена [84, 85], а выдающаяся предварительная
работа, в конечном итоге приведшая к этому понятию, была проделана
Стайнспрингом [116] и Арвесоном [5]. Что касается более подробных
замечаний исторического характера, см., например, [21, 46, 85, 101].
Определение 2.1.1. Пусть Ε и F — квантовые пространства.
Оператор φ: Ε —> F называется вполне ограниченным, если его
размножение (/?оо является ограниченным оператором (относительно
соответствующих квантовых норм). Операторная норма этого φ^ называется
вполне ограниченной нормой оператора φ и обозначается через ||^||сь
(ср. с определением В.2).
Далее, оператор φ называется вполне сжимающим, вполне
изометрическим, вполне коизометрическим, полным (иначе вполне)
топологическим изоморфизмом или полным (иначе вполне)
изометрическим изоморфизмом, если φ^ — соответственно сжимающий,
изометрический, коизометрический оператор, топологический изоморфизм или
изометрический изоморфизм, в классическом значении этих терминов.
Два квантовых пространства называются вполне топологически
изоморфными или соответственно вполне изометрически
изоморфными, если существует полный топологический изоморфизм или
соответственно полный изометрический изоморфизм между этими
пространствами.
Разумеется, изометрическое вложение /: Ε —> F
нормированного пространства в пространство, наделенное квантованием, — это
вполне изометрический оператор относительно соответствующего ин-

§ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КОНТРПРИМЕРЫ 81
дуцированного квантования пространства Ε (см. § 1.3). В частности,
таково естественное вложение квантового подпространства в квантовое
пространство.
Множество всех вполне ограниченных операторов из Ε в F
обозначается через CB(E,F); вместо СВ(Е,Е) мы будем писать СВ(Е). Как
легко видеть, СВ(Е, F) — нормированное пространство относительно
поточечных операций и нормы ||(/?||сь· Много позже, в § 7.7, мы
покажем, что это нормированное пространство само обладает естественным
квантованием.
Среди нормированных пространств CB(E,F), случай F — Τ (наше
«каноническое» операторное пространство с его конкретной
квантовой нормой) будет играть важную роль. Единичный шар пространства
СВ(Е,Т) будет обозначаться через В^.
Выделим полезное предложение.
Предложение 2.1.2. Пусть E,F — квантовые пространства,
причем DF — банахово пространство. Тогда CB(E,F) — таксисе банахово
пространство.
< Пусть φη, гг=1,2,..., — последовательность Коши в СВ(Е, F).
Тогда, конечно, она является последовательностью Коши и в B(E,F).
По условию на OF, последнее пространство полно (см., например, [133,
предложение 2.1.7]), и, следовательно, φη сходится относительно
операторной нормы к некоторому φ G В(Е, F).
Возьмем u E ТЕ. Мы видим, что последовательность (φη)οο(η)
сходится к φ ж (и) в TF: действительно, из теоремы 1.2.4 следует, что это
верно для элементарных тензоров в ТЕ, и, следовательно, это верно
для их сумм. Далее, множество чисел ||^п||сЬ? η = 1,2,..., ограничено,
и поэтому для некоторого С > 0 выполнено ||(^η)οο(^)|| ^ С. Отсюда
||^οο(^)|| ^ С, а это влечет φ G СВ(Е, F).
Наконец, возьмем ε > 0. По условию на φη, существует
натуральное N такое, что ||<^ш — <^п||сь < ε/2, как только т,п > N.
Поэтому для всех таких т,п и каждого u G ТЕ, \\и\\ ^ 1, выполнено
\\(ψπι — ψη)οο(^)\\ < ε/2. Отсюда, переходя к пределу
последовательности ψπι при т —> оо, мы видим, что последовательность (<^ш — ^п)оо(^)
сходится к (φ — φη)οο{ν), и, следовательно, ||(<^ — φη)οο(^)\\ ^ ε/2 при
η > N. Взяв верхнюю грань по всем и из единичного шара ТЕ, мы
получаем, что при п> N выполнено \\φ — (рп\\съ ^ ε/2 < ε.
Таким образом, найден предел последовательности φη в CB(E,F):
это φ. >
В действительности полнота DF является и необходимым, а не
только достаточным, условием полноты пространства CB(E,F). Это лег-

82
ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ко показать, используя, например, одномерные операторы и
предложение 2.2.2(H), приведенное ниже. Таким образом, в частности, СВ(Е,Т)
не является банаховым пространством. Но, как мы убедимся, это не
создаст никаких неудобств.
Равенство (0.6.1) немедленно влечет
Предложение 2.1.3 («мультипликативное неравенство для вполне
ограниченной нормы»). Пусть E,F,G — квантовые пространства,
ψ е СВ{Е, F) ифе CB(F, G). Тогда φφ е СВ{Е, G) и при этом
HWIcb ^ IMIcblMlcb-
В частности, СВ(Е) — нормированная алгебра с мультипликативным
неравенством. < >
Таким образом, повторяя сделанное во введении, мы вводим
категорию с квантовыми пространствами в качестве объектов и вполне
ограниченными операторами в качестве морфизмов. Обозначим ее через
QNOR. Категорию с теми же объектами, но только со вполне
сжимающими операторами в качестве морфизмов мы обозначим через QNORle
Очевидно (ср. снова с введением), что категорные изоморфизмы
в QNOR суть в точности полные топологические изоморфизмы, в то
время как изоморфизмы в (^NOF^ суть в точности полные
изометрические изоморфизмы.
Переходя от заданных операторов к их размножениям, мы легко
получаем
Предложение 2.1.4. Каждое биограничение вполне ограниченного,
вполне сжимающего или вполне изометрического оператора на
квантовые подпространства соответствующих квантовых пространств
само является оператором того же типа. < >
Если оператор φ: Ε —> F между квантовыми пространствами
ограничен как оператор между соответствующими подлежащими
нормированными пространствами, мы говорим, что он (просто) ограничен.
Сходным образом, мы будем говорить о (просто) сжимающих,
изометрических и коизометрических операторах.
Возьмем для заданного φ одномерный оператор ρ нормы 1 и
биограничение оператора φ^, действующее между {рх: χ G Ε} и {ру: у £ F},
т. е., с точностью до соответствующих изометрических изоморфизмов,
между \ЗЕ и DF. Сразу видно, что каждый вполне ограниченный
оператор ограничен, и \\φ\\ ^ |М1сЬ· Таким образом, CB(E,F) — линейное
подпространство в B(E,F). Кроме того, каждый вполне
изометрический оператор — изометрический, и каждый вполне коизометриче-
ский оператор — коизометрический; первый факт очевиден, а второй

§ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КОНТРПРИМЕРЫ 83
легко следует из равенства ру — ρ · ру · р, где ρ — одномерный проектор
в L, а у е F.
Подобные наблюдения позволяют нам ввести несколько
забывающих функторов, типичных для нашего предмета. В частности, функтор
D: QNOR —> Nor сопоставляет каждому квантовому пространству его
подлежащее нормированное пространство, а каждому вполне
ограниченному оператору — то же отображение, но рассмотренное как
ограниченный оператор между соответствующими подлежащими
нормированными пространствами (мы назовем этот оператор подлежащим
ограниченным оператором заданного вполне ограниченного оператора).
Сходным образом вводится забывающий функтор из QNof^ в NORi.
Однако из «обычной» ограниченности, вообще говоря, не вытекает
полная ограниченность, и в этом состоит один из главных фактов всей
теории.
Контрпример 2.1.5. Рассмотрим тождественный оператор 1: Нс —>
—> ufr, где Η — бесконечномерное гильбертово пространство. В силу
предложения 1.3.15, для каждого η найдется элемент в J-H, а именно ωη
такой, что размножение 1^: ТНС —> ТНГ увеличивает его норму в л/п
раз. Таким образом, 1^ не ограничен, и, следовательно, исходный
оператор, будучи «на уровне подлежащих нормированных пространств»
даже изометрическим, не вполне ограничен. Переходя от ωη к шп, мы
видим, что то же самое можно сказать и об операторе 1: Ηг —> Нс.
Таким образом СВ(НС, Нг) — собственное подпространство в В(Н).
На самом деле оно совпадает с пространством операторов Шмидта (Эф-
фрос и Руан [41], Пизье [97]). Мы докажем это позже, в
предложении 7.8.5.
Контрпример 2.1.6. Рассмотрим два гильбертовых пространства Η
л К л предположим, что одно из них, скажем, для начала, К,
бесконечномерно. Мы утверждаем, что оператор (*): В(Н,К) —> В(К*,Н*),
φ \-^ (/?*, переводящий оператор между Η л К в его банахов
сопряженный, не вполне ограничен относительно конкретных квантований
обоих операторных пространств. (Второе из них мы отождествляем
сВ(Ксс,Нсс).)
Соответствующее рассуждение напоминает (вернее, обобщает) то,
которое применялось в предыдущем контрпримере. В самом деле,
рассмотрим те же qk и Р, что упоминались перед предложением 1.3.15,
ортонормированную систему ei,...,en в К, а также некоторый е' G ii,
Це'Ц = 1. Положим
η
ωη := J2Й(е* О е') G Г[В(Н,К)} CB{L ® H,L ® К).
fc=l

84 ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Тогда, с учетом (0.2.3), выполнено
η
(*)оо(£п) = Х)й(ё7 Oefc) G ^£[(КСС, Ясс)] С B(L ® Ксс, L ® Ясс).
fe=l
η
Но ||ωη||2 = ||(ωη)*ωη|| = \\Q <g> (e; О e')||, где Q — проектор Σ^Ι,
и, следовательно, это число равно 1. С другой стороны, к=1
||(*)οο(ώη)||2 = ||[(*)οο(ωη)][(*)00(ωη)]*|| = ||ηΡΘ(β,οβ,)||=η,
и нужный результат получен.
η
В случае, когда Η бесконечномерно, мы полагаем wn := ^ ще'Ое^,
fe=l
только теперь ортонормированная система ei,..., еп взята в Я, а
дополнительный вектор е' — в К. То же, с очевидными модификациями,
рассуждение показывает, что ||шп||2 = 1, в то время как ||(*)оо(шп)||2 = гг,
а это снова то, что нам нужно.
Замечание 2.1.7. В одной из самых ранних статей по нашему
предмету Томияма [119] предложил следующий поучительный
контрпример. Возьмем сепарабельное гильбертово пространство Н, зафиксируем
его ортонормированный базис и рассмотрим оператор Τ: В (Η) —> В (Η),
действующий следующим образом: он переводит оператор,
изображаемый в упомянутом базисе матрицей (а^·), в оператор, изображенный в
том же базисе транспонированной матрицей (6^·) := (cLji). Тогда, как
показывает Томияма, в случае dirnuf = η выполнено ||Т||сь = Щ как
немедленное следствие, в случае dim Η = оо наш Т, будучи, конечно,
изометрическим, не вполне ограничен.
А теперь сравним этот Τ с (*): Η ^ К из предыдущего
контрпримера для случая, когда оба гильбертовых пространства сепарабельны
и бесконечномерны. Можно заметить, что отсутствие полной
ограниченности для первого оператора — это тот же самый факт, что и отсутствие
полной ограниченности для второго оператора, только выраженный на
языке матриц. В самом деле, зафиксируем в наших пространствах по
произвольному ортонормированному базису и рассмотрим те же базисы
в соответствующих комплексно-сопряженных пространствах. Возьмем
φ Ε В(Н, К) и обозначим через (а^) его матрицу относительно
выбранных базисов. Легко проверить, что матрица оператора φ* G В(КСС, Нсс)
относительно тех же базисов — это не что иное, как (а^), откуда
немедленно следует эквивалентность обоих утверждений,
«бескоординатного» и «координатного». Тем же путем, зная «конечномерную» часть
результата Томиямы, можно заключить, что в случае dimuf = dim К — η
выполнено ||(*)||cb = п-

§ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КОНТРПРИМЕРЫ 85
Заметим, что в случае бесконечномерного нормированного
пространства Ε тождественный оператор из Ет[п на i?max никогда не бывает
вполне ограничен; ср. с [70, 86]. Как следствие, каждое
бесконечномерное нормированное пространство обладает по крайней мере двумя
квантованиями, не являющимися вполне изоморфными.
Завершая этот параграф, сделаем важное наблюдение, основанное
на понятии вполне сжимающего оператора. В конечном итоге оно
поможет доказать теорему Руана, но до этого мы несколько раз его
используем для доказательства более простых утверждений.
Предложение 2.1.8. Пусть заданы (абстрактное) квантовое
пространство Е, семейство операторных пространств Fv С Β[Ή.ν^Κν\
ν Ε Λ, и семейство вполне сжимающих операторов φν : Ε —> FVJ v Ε Λ,
такие, что для каждого и Ε ТЕ выполнено
|H|=suP{||(^(u)||: ζ/ε Λ}.
Тогда
(i) в обозначениях Η := (§){Ни: ν Ε Λ}; Κ := ф{1^: ν Ε Λ} опера-
тор J: Ε —> В (Η, К), χ \-^ 0{^^(^): ζ/ Ε Λ} (ср. с § 0.1) является
изометрическим ;
(и) Ε — конкретное квантовое пространство, индуцированное
вложением J.
< В силу условия на φν и предложения 1.2.4, для каждых α Ε Τ,
||α|| = 1, и χ Ε Ε выполнено
||χ|| = ||αχ|| = sup{||(/?^(ax)||: ν Ε Λ} =
= sup{||a(^(x)||: ν Ε Λ} = sup{||^(x)||: ν Ε Λ}.
Таким образом, с учетом равенства (0.2.6) выполнено (i).
Теперь рассмотрим размножение J^ : ТЕ —> Т[В(Н, К)] С B(L (g) ii,
L (g) К). Возьмем u Ε ТЕ. Мы помним, что конкретная квантовая
норма элемента и относительно J — это норма оператора J ж (и). Как легко
видеть, пространства L (g) Η и L ® К, между которыми действует
последний оператор, могут быть представлены как гильбертовы суммы
соответственно ф{Ь (g) Hv: ζ/ Ε Л} и ф{Ь (g) Kv: ζ/ Ε Λ}. Далее, из
построения J немедленно следует, что Joe (и) — это (операторная)
гильбертова сумма ©{(^)οο(ΐθ: у Ε Л}, где (^)сх)(^) принадлежит
пространству B{L (g) iij,, L (g) K^) Ζ) Τ ® Fv. (Это очевидно, когда и —
элементарный тензор, а значит, верно в общем случае.) Снова применив
формулу (0.2.6), мы видим, что || Joo^)!! — это в точности \\и\\. >
Разумеется, «конкретность» квантовых пространств Ет\п и £стах
(так же как и (£", || · ||η), η — 2, 3,...), установленная «вручную» в § 1.1,

86
ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
могла бы быть также получена как прямое следствие этого
предложения.
§ 2.2. Условия автоматической полной ограниченности
и их приложения
Тем не менее в ряде важных ситуаций каждый ограниченный
оператор автоматически вполне ограничен. Среди результатов такого рода
наиболее часто будет применяться следующая теорема.
Функционалы и конечномерные операторы
Теорема 2.2.1. Пусть /: Ε —> С — ограниченный функционал на
квантовом пространстве. Тогда он (автоматически) вполне
ограничен, и ||/||сЬ = ||/|| (СР· с «матричным» следствием 2.2.3 в [46]).
(Таким образом СВ(Е,С) совпадает как нормированное
пространство с Е*.)
< Рассмотрим f^ : ТЕ —> ТС — Τ и возьмем и G ТЕ. Поскольку
/оо(^) — оператор в гильбертовом пространстве (принадлежащий Т\
выполнено
Зафиксируем произвольный нормированный вектор е G L и возьмем
проектор ρ = е О е на его линейную оболочку. Используя первые два из
равенств (0.2.2), а потом то, что f^ — морфизм бимодулей (см. § 0.6),
мы получаем
<[/оо(и)](0, Φ = ([/ос(«)]«), η)(β О е) = (е О гу)([/те(«)]«) О е) =
= (е О η)/οο(η)(ξ О е) = /те[(е О ту) · « · (ξ О е)].
Поэтому | <[/«,(«)] (0, »7>| = 11/оо[(е О η) ■ и ■ (ξ О е)]||.
Теперь заметим, что (е О η) · и · (ξ О е) — это элементарный тензор
вида рт£;Г7 для некоторого Χξ^η G £". (Это очевидно, если и —
элементарный тензор, а значит, верно для всех и.) Кроме того, из (RI) и
последнего равенства в (0.2.2) следует, что
ΙΙ^,τ,ΙΙ = \\рхЫ\ ^ 11ео^|||МН|Сое|| < |Н|,
как только ||ξ||, \\η\\ ^ 1. Следовательно, для тех же ξ, ту выполнено
\(Ιίοο(η)](ξ),η)\ = \\ίοο(ΡΧξ,η)\\ = \\ί(Χξ,η)Ρ\\ =
= Ι/(^)ΚΙΙ/ΙΙΙΙ^ΙΚΙΙ/ΙΙΙΗ|.

§2.2. УСЛОВИЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОЛНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ 87
Взяв соответствующую верхнюю грань, мы видим, что ||/оо|| ^ ||/||·
Дальше ясно. >
В качестве первого приложения мы сможем ввести понятие
квантового факторпространства, обещанное в предыдущем параграфе. Пусть
Ε — нормированное пространство, F — его нормированное факторпро-
странство, а а: Е —> F — соответствующее факторотображение.
Рассмотрим σ^ : ТЕ —> TF; этот оператор, будучи алгебраическим
тензорным произведением двух сюръективных операторов, сам сюръективен.
Таким образом, для и G ТЕ мы можем положить \и\ := inf{||i;||: v G
Ε ТЕ, σ^ζυ) = и}. Мы получаем, конечно, преднорму в ТЕ. Легко
проверить, что ТЕ — это преднормированный руанов бимодуль.
Теперь возьмем произвольный χ G F и одномерный проектор р^Т.
Теорема Хана-Банаха доставляет /GF* такой, что f(x) = \\х\\ и ||/|| = 1.
Возьмем д := σ*(/) Ε Ε*; ясно, что \\д\\ — 1 и поэтому, на основании
теоремы 2.2.1, ||#οο|| = 1. Но для каждого ν G ТЕ с σ^ι;) — рх имеет
место, в силу (0.3.2), равенство ^оо(^) = foo(oOo(v)) — 1Mb- Как
следствие, ||г;|| ^ ||(||ж1|р)|| = IIхII· Отсюда, с учетом определения преднормы
в ТЕ, следует, что \рх\ ^ ||х||. С другой стороны, выполнено \рх\ ^
^ inf{||p?/||: у G Е, а(у) = ж}; это дает обратное неравенство. Тем самым
\\рх\\ = ||х||.
Мы видим, что построенная преднорма в ТЕ является, в силу
предложения 1.2.2, нормой и, более того, квантованием исходной фактор-
нормы в F.
Таким образом, мы сделали F квантовым пространством. Последнее
называется квантовым факторпространством пространства Ε
(относительно факторотображения σ, если требуется уточнение).
Теперь продвинемся чуть далее теоремы 2.2.1.
Предложение 2.2.2. (i) Каждый оператор g из С в квантовое
пространство вполне ограничен, и \\д\\съ — ||#||;
(и) каждый ограниченный одномерный оператор φ между
квантовыми пространствами вполне ограничен, и ||^||сь = IMh
(Hi) каждый ограниченный конечномерный оператор между
квантовыми пространствами вполне ограничен.
< (i) Пусть Ε — соответствующее квантовое пространство.
Очевидно, для некоторого χ G Ε оператор g^ переводит a G Τ в ах. Поэтому
желаемый результат следует из предложения 1.2.2.
(и) Разумеется, φ является композицией ограниченного
функционала, скажем /, и оператора, действующего из С, скажем д. Более того,
ΙΜΙ = 11/11IIΡII· Поэтому нам только остается объединить (i) с
предложениями 1.2.4 и 2.1.3.

88 ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
(in) Мы напомним, что каждый ограниченный конечномерный
оператор является суммой нескольких ограниченных одномерных
операторов. Дальше ясно. >
Таким образом, для квантовых пространств Ε и F пространство
F(E,F) является подпространством в CB(E,F). Будучи наделено
индуцированной нормой, оно будет обозначаться через СТ{Е, F).
Единичный шар пространства СТ(Е,Т) будет обозначен через В^Ег. Конечно,
это подмножество в В^ (ср. с предыдущим параграфом).
Замечание 2.2.3. Разумеется, мы не утверждаем, что ||^||сь = IMI
для всех φ G T(E,F). В самом деле, возьмем, например, 1: Нс —> Нг
в случае dim Η — п. Тогда, используя то же рассуждение, что и в
контрпримере 2.1.5, легко показать, что ||1||сь ^ л/^· (В действительности эта
норма в точности равна у/п\ ср., например, с [41, 100].) Таким образом,
операторная норма и вполне ограниченная норма в T(E,F), вообще
говоря, глубоко разнятся.
В «тгп» и из «max»
Теперь мы можем оправдать название «минимальное» для
квантования, введенного в примере 1.3.1.
Предложение 2.2.4. Пусть Ε — нормированное пространство.
Тогда
(i) каждый ограниченный оператор φ: F —> Ет-Ш вполне ограничен,
и ||<р||сь = IMI;
(и) квантовая норма произвольного квантования пространства Ε
не меньше, чем || · ||min;
(iii) заданное квантование пространства Ε является
минимальным <^> для каждого квантового пространства F каждый
сжимающий оператор φ: F —> Ε является вполне сжимающим.
< (i) В силу (0.6.1), для каждого и G TF и / G Е* выполнено
/ооО^ооМ) = [<£*(/)]ооМ- Применяя теорему 2.2.1 к функционалу
(/?*(/) и учитывая, что ||^*|| = ||^||, мы получаем оценку ||/οο(^οο(^))|| ^
^ ||<£*(/)|| ll^ll ^ ΙΜΙ11/11ΙΜΙ· Поэтому, переходя к верхней грани в
определении МИНИМаЛЬНОЙ КВаНТОВОЙ НОрМЫ, МЫ ВИДИМ, ЧТО || ^оо (^) || min ^
^ ||(/?||||u||. Таким образом, ||^||сь ^ |М1> и, следовательно, оба эти числа
равны.
(и) Достаточно взять в (i) произвольное квантование пространства
Ε в качестве F и тождественный оператор в Ε в качестве φ.
(iii) => — это частный случай утверждения (i). Чтобы получить <^=,
мы замечаем, что оператор 1: Ет[п —» Е, будучи вполне сжимающим

§2.2. УСЛОВИЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОЛНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ 89
и имея, согласно =>, вполне сжимающий обратный, является вполне
изометрическим изоморфизмом. >
Вот первое приложение.
Предложение 2.2.5. Пусть Ε G Со (Ω) — функциональное
пространство (см. пример 1.3.6). Тогда его стандартное квантование совпадает
с его минимальным квантованием,
< Согласно сказанному в упомянутом примере, для каждого и G ТЕ
выполнено \и\ — max{||[Ju](t)||: t Ε Ω}. Легко проверить на
элементарных тензорах в ТЕ, что это равенство может быть переписано как
\и\ — max{||/(^0(u)||: t Ε Ω}, где ftm. Ε —> С — функционал означивания
ж ι—> /(£). Поскольку функционалы означивания принадлежат Л^,
выполнено ||u|| ^ ll^llmin. Дальше ясно. >
Произвольное минимальное квантовое пространство может быть
охарактеризовано следующим образом.
Предложение 2.2.6. Пусть Ε — квантовое пространство. Тогда
оно минимально в том и только том случае, когда оно
индуцировано изометрическим вложением пространства ПЕ в наделенное
стандартным квантованием пространство (7ο(Ω) для некоторого локально
компактного пространства Ω.
< <=. Импликация немедленно следует из предложений 1.3.8, 2.2.5
и 1.3.2.
=>. Мы лишь напомним, что наше Ε может быть изометрически
вложено в (7ο(Ω) с указанным выше Ω (ср. с § 0.1). В силу предыдущей
импликации, каждое такое вложение индуцирует минимальное
квантование. >
Перейдем от минимального квантования к максимальному. Оно
также допускает описание «в терминах стрелок», которое, говоря
неформально, двойственно к описанию минимального квантования. Вначале
мы сделаем наблюдение общего характера.
Предложение 2.2.7. Пусть Ε — нормированное пространство,
X — преднормированный руанов бимодуль, α ψ: ТЕ —> X — бимо-
дульный морфизм такой, что для некоторого одномерного проектора
ρ Ε Τ оператор Ε —> Χ: хи ψ(ρχ) — сжимающий1. Тогда ф —
сжимающий оператор относительно нормы в ТЕ, соответствующей
максимальному квантованию пространства Е.
< Рассмотрим в ТЕ норму \\и\\ := max{||u||max, Ц^г^Ц}. Объединяя
предложения 1.1.16 и 1.1.9, мы видим, что это квантовая норма в Е.
Более того, условие на φ обеспечивает то, что это квантование задан-
Ввиду предложения 1.1.2, отсюда следует, что то лее верно для всех одномерных
операторов нормы 1, но это нам не понадобится.

90
ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
НОЙ НОрМЫ. ПОСКОЛЬКУ || · || ^ || · Цтах, МЫ ПОЛучаеМ, ЧТО || · || = || · Цтах
и, следовательно, Ц^г^Н ^ Ц^Цтах Для всех и G ТЕ. >
Предложение 2.2.8. Пусть F — квантовое пространство, а Е —
нормированное пространство. Тогда
(i) каждый ограниченный оператор φ: i?max —» F вполне ограничен,
и \\(р\\съ = 11^11;
(ii) заданное квантование пространства Ε максимально <^> для
каждого квантового пространства F каждый сжимающий оператор
φ: Ε —> F является вполне сжимающим.
< (i) Ясно, что мы можем считать, что \\φ\\ = 1. Тогда предыдущее
предложение с TF в качестве X и с φ^ в качестве ψ доставляет нужный
результат.
(ii) => — это частный случай утверждения (i). Чтобы получить <=,
мы замечаем, что оператор 1: Ε —> £max, будучи вполне сжимающим
и имея, согласно =>, вполне сжимающий обратный, является вполне
изометрическим изоморфизмом. >
Замечание 2.2.9. Из предложений 2.2.8 и 2.2.4 следует, что
категория QNOR обладает двумя различными полными подкатегориями,
каждая из которых изоморфна Nor. Первая из них состоит из всех
максимальных, в то время как вторая — из всех минимальных
квантовых пространств. Более того, для читателя, имеющего вкус к
категориям, мы можем предложить следующее упражнение: показать, что
естественное вложение этих подкатегорий в QNOR доставляет
соответственно левый и правый сопряженные функторы к забывающему функтору
D: QNOR —> Nor. Аналогичный факт, с очевидными модификациями,
имеет место для категории QNORle
Гомоморфизмы и операторы двойного умножения
Мы переходим к двум условиям автоматической полной
ограниченности совсем иной природы. Оба они были уже упомянуты во введении.
Теорема 2.2.10. Пусть а: А^ В — ^-гомоморфизм между двумя
С* -алгебрами (например, между А := В(Н) и В := В (К), где Η и К —
гильбертовы пространства). Тогда он является вполне сжимающим
оператором относительно соответствующих стандартных
квантований.
< Рассмотрим размножение а ж : ТА —> ТВ оператора а\ ясно, что
это ^-гомоморфизм между *-алгебрами, наделенными (7*-нормами. Как
следствие, полагая \\u\\f := Цо^^)!!, и G ТА, мы получаем преднорму
|| · ||7 в ТА, удовлетворяющую (7*-тождеству. Далее, согласно
предложению 0.8.5, *-алгебра ТА обладает единственной С*-нормой, которую

§2.2. УСЛОВИЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОЛНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ 91
мы обозначим просто || · ||. Поэтому тах{|| · ||. || · Ц7}, будучи, конечно,
(7*-нормой в ТА, совпадает с || · ||. Отсюда немедленно следует, что
<^оо — сжимающий оператор. Дальше ясно. >
Теперь предположим, что заданы гильбертовы пространства
Н, К, Hi и К\, операторное пространство F G В(Н, К) и ограниченные
операторы S: К —> К\, Т: Н\ —> Н. Напомним, что в такой ситуации
возникает оператор двойного умножения mS'T \ F —> Β{Ηι,Κ{) такой,
что χ \-^ SxT (ср. с § 0.7).
Теорема 2.2.11. Оператор mS'T', будучи рассмотрен между
соответствующими конкретными квантовыми пространствами, вполне
ограничен, и ||т5,т||сь ^ ||5||||Т||. При этом, еслиР содержит Τ'(Η\ Κ),
11 Q ГТЛ м м Q ГТЛ м 11 /~ч 11 11 11
mo \\m ' ||сь = \\τη ' || = ||ο||||Τ||.
< Поскольку F конкретно, то выполнено TF — T(L) ® F и m^T =
= ljr (g) m ' . Поэтому первое утверждение — это частный случай
предложения 0.7.4(H) (с Τ в качестве Ε и другими очевидными заменами).
Далее, из § 0.7 мы помним, что в случае F D Т(Н,К) выполнено
llm^,T|| = 11^1111^11· Остается объединить это равенство с только что
полученной оценкой для ||?п^,т||сь и напомнить, что || · || ^ || · ||сь· >
Вот хорошая иллюстрация полезности этой теоремы.
В следующем предложении Η и К — гильбертовы пространства,
а φ: Η —> К — ограниченный оператор. Если мы рассмотрим φ как
действующий между Нс и Кс, иначе говоря, между В(С,Н) и В(С,К),
то тогда он, очевидно, переводит оператор χ в оператор композиции φχ.
С другой стороны, мы можем рассмотреть φ как действующий между
Нг и Кг, иначе говоря, между В(НСС, С) и В(КСС, С) или, эквивалентно,
между В(Н*, С) и В(К*, С). Тогда наш φ переводит χ — теперь в
облике функционала на Н*, действующего по правилу / ь^ /(ж), — в
функционал на К*, действующий по правилу / \-^ f(cp(x)); таким образом,
φ, после соответствующих отождествлений, переводит функционал χ
в функционал φ*χ.
Предложение 2.2.12. Каждый φ G В(Н,К), будучи рассмотрен
и как действующий между Нс и Кс, и как действующий между
Нг и Кг, вполне ограничен, и в обоих случаях ||^||сь = ΙΜΙ· ДРУги~
ми словами, операторы I: СВ(НС,КС) —> В(Н,К) и J: СВ(НГ,КГ) —>
-^>В(Н,К), переводящие вполне ограниченный оператор в его
подлежащий ограниченный оператор, являются изометрическими
изоморфизмами.
< Из сказанного выше немедленно следует, что φ, в его «столбцовой
интерпретации», — это в точности оператор m^,1(C: 23(С, Н) —> 23(С, К),
и его норма, конечно, совпадает с \\φ\\. С другой стороны, тот же φ,
в его «строчечной интерпретации», — это τηΐ£'φ : В (Η*, С) —> В(К*, С),

92 ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
и его норма — это, конечно, ||у*||, т. е. снова \\φ\\. Остается применить
теорему 2.2.11. >
Позже, после введения квантовой нормы в пространствах С23(·,·)
(см. § 7.7), мы увидим, что / в определенном смысле лучше, чем J:
первый окажется вполне изометрическим изоморфизмом, в то время
как второй таковым не будет (см. предложение 7.7.2 и замечание 9.2.9).
Достижимость
Вот другое, по-видимому более глубокое применение теоремы 2.2.11,
имеющее общий характер. Чтобы обсудить его в правильной
перспективе, мы напомним стандартное следствие из теоремы Хана-Банаха,
которое утверждает, что для нормированного пространства Ε и его
вектора ж, выполнено ||х|| = sup{|/(x)|: / G В^}. (Можно даже здесь
заменить «sup» на «max», но для настоящего обсуждения это не играет
роли.) Таким образом, мы можем получить исчерпывающую
информацию о заданном объекте Ε в категории Nor с помощью морфизмов
этого Ε в некоторый фиксированный объект простой природы; на этот раз
мы имеем в виду, конечно, С. Переходя к квантовым пространствам,
мы хотели бы показать, что сходная ситуация возникает и в QNOR,
только роль С как подобного простого объекта теперь переходит к Τ.
В этом смысловая нагрузка будущей теоремы 9.1.5, обещанной как
теорема В. 1а во введении.
Будем говорить для краткости, что квантовое пространство Ε
достижимо, если для каждого и G ТЕ выполнено
Ml = supill/ocOOH: /е В%] = supill/ooOOH: /е В»}.
Теорема 2.2.13. Квантовое пространство является конкретным
<^> оно достижимо.
< <=. Это частный случай предложения 2.1.8.
=>. Если одно из двух вполне изометрически изоморфных
квантовых пространств достижимо, то и второе заведомо обладает тем же
свойством.
Поэтому мы можем без потери общности считать, что наше
квантовое пространство уже задано как операторное пространство, скажем,
Ε С В(Н,К). Далее, утверждение становится тривиальным, если мы
заменим знаки «=» на «^». Поэтому мы только должны показать, что
NKsupiii/ocHih/eBl*}.
Напомним предложение 0.7.5 и подставим в его формулировку
наше каноническое пространство L в качестве каждого из четырех про-

§2.2. УСЛОВИЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОЛНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ 93
странств Н\, Κ\η К[ и К'2. Возьмем также Η в качестве i?2, К в качестве
К2-) Τ в качестве Ε и, наконец, наше заданное Ε в качестве F из того
предложения. Тогда мы получаем, что
||гх|| = sup{||(l^ ®ms>T)u\\} = sup{||m^T(u)||},
где верхняя грань взята по всем парам частично изометрических
конечномерных операторов S: К —> L, Т: L —> Н. Для каждой такой пары
оператор ms>T действует, в силу своего определения, из Ε в В = B(L).
Однако нам ясны две вещи:
(i) все операторы в образе оператора ms>T конечномерны,
(и) эти операторы образуют линейное пространство размерности не
большей, чем (rank(5))(rank(T)).
Как следствие, оператор mS'T отображает Ε в Τ и сам
является конечномерным. Далее, на основании теоремы 2.2.11 выполнено
||^5,Т||сЬ ^ Ц^ЦЦТЦ = 1. Таким образом, коограничение оператора mS'T
на Τ корректно определено и принадлежит Вд. Дальше ясно. >
Замечание 2.2.14. Объединив теоремы 2.2.10 и 2.2.11, мы видим, что каждый
оператор между пространствами В(Н) и В(К) заведомо вполне ограничен, если
для некоторого третьего гильбертова пространства К он представим как
композиция некоторого ^-гомоморфизма а: В(Н) —> В (К) и некоторого оператора двойного
умножения ms,T : В(К) —> В(К). Гораздо более глубокий факт — упомянутая во
введении теорема разложения — состоит в том, что верно и обратное: каждый вполне
ограниченный оператор между указанными пространствами представим как такая
композиция. Как уже было обещано, мы ее докажем позже; см. теорему 10.3.3.
Для удобства будущих ссылок сделаем два простых наблюдения.
Предложение 2.2.15. Пусть Η, Н\ и Η2 — гильбертовы
пространства, ife : Hk —> Η, к — 1,2, — изометрические операторы1. Тогда
оператор тг1,г2 : Β(Η2,Ηι) —> В (Η) — вполне изометрический.
(Таким образом, £>(#2, Hi) может быть отождествлено как
конкретное квантовое пространство с соответствующим квантовым
подпространством в В(Н).)
< У рассматриваемого оператора заведомо есть вполне сжимающий
левый обратный, а именно mZl ,г2. Поэтому πι£ 2 — изометрический
оператор. >
Предложение 2.2.16. Пусть Ε — квантовое пространство, φο : Ε —>
—> Τ — ограниченный конечномерный оператор. Тогда существуют
конечномерное подпространство Lo в L и оператор φ: Ε —> B(Lo) такие,
что φο = Ιφ, где I: B(Lp) -^ Τ — вполне изометрический оператор.
В частности, I может быть выбран как коограничение оператора
Например, естественные вложения подпространств.

94
ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
mM , где г: Lo ^ L — естественное вложение, на Τ. Как следствие,
Ц^оЦсЬ = IMIcb-
< Образ оператора φο, будучи линейной оболочкой нескольких
конечномерных операторов, лежит в Тр для некоторого Ρ G Vr (см. § 0.5).
Положим Lo := Lp. Согласно предыдущему предложению, для
указанного в формулировке г оператор гам — вполне изометрический. Из
равенства Ρ = η* легко следует, что в качестве φ подойдет коограниче-
ние φο на J3(Lo). >
§ 2.3. Повторное квантование
Здесь мы обсудим простую, но довольно важную общую
конструкцию. Ее суть в том, что квантование нормированного пространства Ε
порождает квантование возникшего нормированного пространства ТЕ.
В самом деле, напомним о размножающем операторе к ε - Τ [ΤΕ] —> ТЕ
(см. § 0.5) и для U Ε Τ[ΤΕ] положим \\U\\ := ||χ#(ί7)||. Объединяя
предложения 0.5.5, 1.1.14 и 1.1.16, мы видим, что это равенство
действительно доставляет квантовую норму в ТЕ. Далее, из предложения 1.2.6
следует, что для каждого элементарного тензора αν £ Τ [ΤΕ] выполнено
\\αν\\ — \\α <0 ν\\ — ΙΜΙΙΜΙ- Таким образом, построенная норма в Т[ТЕ] —
это квантование заданной нормы в ТЕ, т. е. квантовой нормы в Е.
Определение 2.3.1. Построенная квантовая норма в ТЕ и
квантовое пространство ТЕ называются повторным квантованием1
соответственно исходной квантовой нормы в Ε и квантового пространства Е.
С этого момента, говоря о нормированном пространстве Т[ТЕ], где
Ε — заданное квантовое пространство, мы всегда имеем в виду норму,
доставляемую повторным квантованием пространства Е.
Простейший пример — это, конечно, С с его единственным
квантованием (ср. с § 1.1). Повторное квантование этого квантового
пространства, очевидно, совпадает с конкретным квантованием нашего базового
операторного пространства Т.
Различные свойства повторного квантования основаны на
следующем наблюдении. Пусть φ: Ε —> F — оператор между линейными
пространствами. Рассмотрим диаграмму
Т[ТЕ] {ψοο)ο° > T[TF]
>СЕ
>Cf
(2.3.1)
ТЕ — > TF.
1Мы не осмеливаемся сказать «вторичное квантование», чтобы не навлечь
праведный гнев физиков.

2.3. ПОВТОРНОЕ КВАНТОВАНИЕ
95
Взяв соответствующие элементарные тензоры, легко проверить, что эта
диаграмма коммутативна.
Теперь мы хотим показать, что наша конструкция функториальна,
т. е., говоря нестрого, она может быть распространена с пространств на
операторы.
Предложение 2.3.2. Если оператор φ: Ε —> F между квантовыми
пространствами вполне ограничен, соответственно является вполне
изометрическим, то это снсе верно и для φ^: ТЕ —> ТЕ\ причем
Ц^ооЦсЬ = IMIcb-
< Рассмотрим для нашего φ предыдущую диаграмму и напомним,
что, согласно самому определению повторного квантования, к ε и к ε —
изометрические операторы. Дальше ясно. >
Это предложение позволяет нам ввести пару полезных функторов.
Это SQ: QNOR —> QNor и SQi: QNor^ —> QNor^ Оба действуют по
правилу Ε \-^ ТЕ, φ \-^ φ^. Они называются функторами повторного
квантования.
Размножающий оператор также ведет себя вполне достойно:
Предложение 2.3.3. Пусть Ε — квантовое пространство, ТЕ —
его повторное квантование и Т[ТЕ] — «третичное» квантование.
(Мы подразумеваем, конечно, повторное квантование пространства
ТЕ.) Тогда х#: Т[ТЕ] -^ТЕ — вполне изометрический оператор.
< Напомним об унитарном операторе 1+), участвующем в
формуле (0.3.4), положим λ: ТЕ —> ТЕ, и \-^ 1±1 · и · 1±1* и рассмотрим
диаграмму
Х>ЕХ>ТЕ
же
ТЕ ^ ТЕ.
Взяв элементарный тензор а{Ъ[сх\) G Т(Т[ТЕ]) и «пойдя вниз», мы,
очевидно, получаем вектор ((а <0 Ь) <0 c)x·) a пойдя «направо, а потом вниз»,
мы получаем (а 0 (& 0 с))х. Объединяя это с (0.3.4), мы видим, что
наша диаграмма коммутативна. Но из предложения 1.1.2 следует, что
λ — изометрический изоморфизм, а вертикальные стрелки, очевидно,
изображают изометрические операторы. Поэтому (яе)оо — это также
изометрический оператор. >
Повторное квантование не выводит из класса конкретных
пространств:
Предложение 2.3.4. Пусть F — конкретное квантовое
пространство, индуцированное вложением I: F —> Е, где Ε — операторное
пространство. Тогда его повторное квантование таксисе конкретно,

96
ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
а именно оно индуцировано изометрическим вложением 1^ : J-F
< Рассмотрим диаграмму
T\TF\ {^^Т®Т®Е
Мр
ЖЕ
ТЕ - ^ Τ Θ Ε,
которая, очевидно, коммутативна. Наша задача, конечно, в том, чтобы
показать, что (/оо)оо — изометрический оператор. Но само определение
повторного квантования и предложение 0.7.3 обеспечивают то, что все
другие операторы в диаграмме — изометрические. Дальше ясно. >
Следующее предложение окажется полезным в вычислении норм
в повторном квантовании.
Предложение 2.3.5. Пусть Ε — квантовое пространство, а М —
такое семейство операторов между Ε и некоторыми (возможно,
разными) квантовыми пространствами, что для каждого и G ТЕ
выполнено \\и\\ = sup{||<^00(?/)||: ψ Ε Μ}. Тогда для каждого U G Т\ТЕ\
выполнено \\U\\ = sup{||((^00)00(C/)||: φ е Μ}.
< Рассмотрим для каждого φ £ Μ коммутативную диаграмму (2.3.1),
где F — область значений этого оператора. Очевидно, выполнено
равенство
sup{||(^00(xjE;(C/))|| :^M} = sup{||xF[((^00)00(C/)]|| :^M}.
Остается напомнить, что х# и кр — изометрические операторы. >
Объединяя это с тем, что было сказано в теореме 2.2.13 и
примере 1.3.1, мы получаем следствие.
Следствие 2.3.6. (i) Пусть Ε — конкретное квантовое
пространство. Тогда для каждого U G Т\ТЕ\ имеют место равенства
||/7||=sup{||(/00)00(/7)||:/GJB|}=sup{||(/00)00(/7)||:/GJB|i}.
(ii) Пусть Ε — минимальное квантовое пространство. Тогда для
каждого U G Τ [ТЕ] выполнено
||/7||=sup{||(/00)00(/7)||:/G^}.
Вернемся на время к чисто алгебраической ситуации и рассмотрим
повторное размножение заданного линейного пространства Е. Если за-

§ 2.4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 97
быть о его бимодульной структуре, то можно заметить, что это
пространство, т. е. Τ ® Τ ® Ε, обладает определенной внутренней
симметрией. Последнюю доставляет «оператор рокировки»
13Е:Т[ТЕ}^Т[ТЕ],
корректно определенный равенством 15е(о>[Ьх]) = Ь[аж], а, Ъ G Τ. Тот же
оператор может быть определен и с помощью рокировки V,
введенной в § 0.3. А именно, полагая 15: B(L ® L) —> B(L ® L), a \-^ V^V,
o^G L (g) L, мы легко видим, что 15е является ограничением оператора
U ® 1е '· B{L ® L) ® Ε ^ B{L ® L) ® Ε на его инвариантное
подпространство Т\ТЕ\.
Предложение 2.3.7. Пусть Ε — квантовое пространство. Тогда
оператор 15ε является изометрическим изоморфизмом
нормированного пространства Т\ТЕ\ на себя.
< Из равенства (0.3.3) следует, что для любых а, Ь G Τ и χ G Ε
выполнено
яЕ{15Е{а[Ъх\)) = нЕ{Ь[ах\) = (Ъ 0 а)х = [Δ(α 0 Ъ)А]х = Δ - нЕ{а[Ъх\) · Δ.
Отсюда мы немедленно получаем, что х#(£3 £?(?/)) = Δ ' he(u) · Δ для
всех u G Т\ТЕ\. Остается применить предложение 1.1.2. >
§ 2.4. Полная ограниченность и пространственные тензорные
произведения
Если ψ\ Е\ ^ Е2 и φ: Fi —> Е<± — операторы, действующие между
операторными пространствами, то всегда имеет место оценка
\\φ®φ\\ >Ы\ШУ (2-4.1)
В самом деле, для всех χ G E\,y G F\ имеют место равенства (φ (g) ψ)(χ (8>
г/) = </?(x) (8) ^(у) и ||х (g) y\\ — ||х||||г/||, и нам остается только напомнить
определение нормы операторов φ и ψ.
Однако это неравенство может оказаться строгим и, более того,
бывает так, что φ и ф оба ограничены и в то же время φ (g) ф не
ограничен. Фактически мы уже наблюдали это явление в случае, когда φ = ljr
и, таким образом, φ (g) ф — ф^: см. контрпример 2.1.5 или 2.1.6.
Мы хотим показать, что вполне ограниченные операторы ведут себя
гораздо лучше. Вначале нам понадобится лемма технического
характера.

98
ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Лемма 2.4.1. Пусть Е, F, G — операторные пространства,
α φ: F —> G — оператор. Пусть, далее, Ε — подпространство
в В(Н,К), где Η и К — гильбертовы пространства, α Η',Κ' — два
других гильбертовых пространства, которые предполагаются
бесконечномерными. Наконец, пусть D — еще одно операторное
пространство со следующим свойством: операторы Id ® φ: D (g) F —> D (g) G
и lc (g) Id <8> φ- С ® D ® F —> С ® D ® G, где С обозначает {для
краткости) пространство Т(Н!\Kf), ограничены, и \\lc ®1d® ψ\\ —
= \\1D <8> φ\\.
Тогда оператор Id ®1е ® ψ'· D®E®F^D®E®G таксисе
ограничен, и \\1d <8> 1# <8> ψ\\ — ||1d <8> И1·
< Возьмем uGD&E&Fn положим ν :— (Id <8> If ® ф)и G D (8> Ε ®
(8> G. Далее, возьмем конечномерные частично изометрические
операторы S: К —> К1, Τ: Hf —> Η и рассмотрим оператор двойного умножения
mS'T \ Ε —> С. Положим для краткости Φ := Id <8> mS'T (8) φ: D (8) E (g)
С одной стороны, выполнено равенство
Φ = (1D <g> 1С Θ ψ){1ό ® ms>T <g> 1F).
Поскольку операция пространственного тензорного произведения
ассоциативна и коммутативна (см. § 0.7), имеют место равенства ||1^ (8)
<8> 1/; <8> <р|| = ||l£ (8) Id <8) И1 и ||1D (8) m5'T (8) 1f|| = ||1d®f ® ^5'T||.
Поэтому, объединяя условие леммы с предложением 0.7.5(H), мы получаем
оценку
||Ф(гО|| < ||1d <8) ИНМ1·
Но с другой стороны, имеет место и равенство Φ = (Id <8> m^,T (8)
(8) 1g)(1d <8) If <8) <£>). Как следствие, Ф(и) = (1f> <8> т5'т (8) 1g)^? и? сле~
довательно, указанная выше оценка дает
||(Id (8)ms,T <8> IgHI < ||1d <8> ИНМ1·
Это справедливо для произвольных S и Τ из соответствующего
класса. Поэтому из предложения 0.7.6 вместе с упомянутыми выше
ассоциативностью и коммутативностью операции «(8)» следует, что ||г?|| ^
< ||1d <8) ИНМ1·
Таким образом, ||1^ (8) If <8> И1 ^ ||1d <8> <^||· Обратное неравенство —
это частный случай оценки (2.4.1). >
Вплоть до конца параграфа все операторные пространства (а значит,
и их пространственные тензорные произведения) будут
рассматриваться как конкретные квантовые пространства.

2.4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 99
Теорема 2.4.2 Ч Пусть Ек, F&, к = 1,2, — операторные
пространства, φ: Ει —> £^2 и ψ: Fi ^ F2 — вполне ограниченные операторы.
Тогда оператор φ (g) ψ: Ει 0 Fi ^ Е2 Θ F2 также вполне ограничен,
U \\(р®ф\\сЪ= |M|cb|M|cb·
< Мы начнем с решающего частного случая, когда заданы три
пространства E,F,G вместе с вполне ограниченным оператором φ: F —> G,
а интересует нас 1# (g) <£>: Ε (& F ^ Ε ® G. Возьмем в предыдущей
лемме L в качестве ii7 и К', а ^* в качестве D. Тогда, конечно, 1^ ® φ,
Ιζ&ΐΌ&φκΙρ&ΐΕ&φ превращаются соответственно в φ^, (^οο)οο
и (1# (g) (^)oo. Заметим, что на основании предложения 2.3.4 «повторное
размножение» (^оо)оо действует между нормированными
пространствами, доставленными повторным квантованием соответствующих
конкретных квантовых пространств. В такой ситуации мы, очевидно,
можем использовать предложение 2.3.2, которое обеспечивает
выполнение условий леммы. Применив последнюю, мы видим, что 1# (g) φ
вполне ограничен, и ||1# (g) И1сЬ = IMIcb·
Вернемся к пространствам и операторам в общем случае. Мы
видим, что ||ΐ£?! (g) ^ЦсЬ = Ц^ЦсЬ· Сходное рассуждение показывает, что
\\φ (g) lFillcb = IMIcb· Поскольку φ <g> ψ = (1ε± ® Φ) (φ <g> 1fi)?
предложение 2.1.3 дает оценку
||^<8)^||сь < ll^llcbll^llcb·
Займемся обратным неравенством. Обозначим для краткости
через х/е, к = 1, 2, оператор >cEk^Fk : Τ ® Τ ® Ек Θ Fk —> Τ ® Ек Θ Fk
(см. § 0.7). Используя ассоциативность и коммутативность
пространственного тензорного произведения (см. там же), мы можем мыслить
кк как оператор с областью определения {Τ '(g) Ек) (g) {Τ '(g) Fk).
Рассмотрим диаграмму
(Τ <8> Ει) ®{T®Fi) *°°®^°% (^ <g) £2) ®(^® F2)
κι
>ί2
T®Ei®Fi ^Ь ^ T®E2® F2,
которая, как немедленно проверяется на элементарных тензорах,
коммутативна.
Наконец, возьмем и G ТЕ\, ν G TF\, ||u||, ||г;|| ^ 1, и напомним, что
для любых операторных пространств E,F, а также xG^, у G F,
выполнено ||х (g) 2/II = ||х||||г/||. Далее, в силу леммы 0.7.3, операторы χ&,
гСр. с работами де Каньера и Хаагерупа [29] и Пизье [101].

100 ГЛ. 2. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
к — 1, 2, являются изометрическими. Поэтому
\\(ψ <8> г/>)оо|| > ||[(<£> Θ ^)oo](>fi(M Θ ν))\\ = \\κ2[(φοο ® ф)оо(и ® ν)]|| =
= НОЛ» 0^оо)(и<8) ν)|| = ||^oo(w) Θ VooWH = ||у?оо(гл)ИП^оо(^)||-
Взяв в последнем выражении верхнюю грань по и и ν, пробегающим
соответствующие единичные шары, мы получаем, что ||(<^ eg) ^)oo|| ^
> Н^ооНН^ооН· >

ГЛАВА 3
ПОПОЛНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Определение 3.1. Квантовое пространство Ε называется
банаховым квантовым пространством, если его подлежащее нормированное
пространство ΏΕ полно (= банахово).
Полные подкатегории в QNOR и QNOR1? состоящие из банаховых
квантовых пространств, мы будем обозначать соответственно через
QBan и QBanx.
Замечание 3.2. Что касается ТЕ как нормированного
пространства, то оно никогда не полно, если только Ε φ 0. Однако это неважно
для нашего определения, и мы увидим, что это не создает никаких
неудобств.
В этой главе мы покажем, что классическая конструкция
пополнения заданного нормированного пространства обладает естественной
квантовой версией.
Теорема 3.3. Пусть Ε — квантовое пространство, a (E,i: E^
—> Е) — («классическое») пополнение его подлежащего нормированного
пространства (ср., например, с [133, § 2.6]). Тогда существует
квантование банахова пространства Ε такое, что г как оператор между
квантовыми пространствами является вполне изометрическим.
< Пусть (ΤΕ,Ι: ТЕ —> ТЕ) — «классическое» пополнение
нормированного пространства ТЕ. Рассмотрим пару (a Ε Τ, χ Ε Ε) и любую
последовательность хп Ε Ε такую, что г(хп) сходится к х. Тогда, конечно,
последовательность ахп — это последовательность Коши в ТЕ, и,
следовательно, последовательность 1(ахп) сходится в ТЕ. Пусть J (а, х) — ее
предел. Очевидно, отображение J: Τ χ Ε —> ТЕ: (а, ж) \-^ J(a,x) — би-
оператор. Обозначим через j: ТЕ —> ТЕ соответствующий
ассоциированный оператор; ясно, что он корректно определен равенством j(ax) =
= lim I(axn) для каждой хп из упомянутых выше. Рассмотрим в ТЕ
преднорму, определенную равенством \\и\\ := ||j(u)||.
Поскольку ТЕ — нормированный руанов бимодуль, пространство
ТЕ также становится нормированным руановым бимодулем на
основании предложения 1.1.17. Мы покажем, что j — бимодульный морфизм.

102 ГЛ. 3. ПОПОЛНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Возьмем a, fe G Τ, χ G Ε. Поскольку / — это, согласно тому же
предложению, бимодульный морфизм, из соображений непрерывности
очевидным образом следует, что j(a · (Ъх) = а · j(bx). По линейности отсюда
вытекает, что j(a · и) = а · j(u) для всех u G ТЕ. Сходным образом для
того же и выполнено j(u · α) = j(u) · а.
Таким образом, мы можем использовать предложение 1.1.16. В
результате мы видим, что ТЕ — это преднормированный руанов бимо-
дуль. Далее, возьмем одномерный проектор ρ G Τ и тот же х. Из
выбора преднормы в ТЕ и соображений непрерывности легко следует,
что ||рт|| = ||ж||. Таким образом, в силу предложения 1.2.2, построенная
преднорма в ТЕ — это на самом деле норма, и, более того, она является
квантованием нормы в Е.
Наконец, взяв элементарные тензоры в ТЕ, мы видим, что
диаграмма
ТЕ—^ТЕ
коммутативна. Поскольку / и j — изометрические операторы, таков же
и Zoo. >
Предложение 3.4. Пусть Ε — квантовое нормированное
пространство. Следующие свойства пары (Е ,if), где Ε — банахово квантовое
пространство, а г1: Ε —> Ε — вполне сжимающий оператор,
эквивалентны:
(i) (свойство универсальности пополнения) для каждой пары
(F,(p), где F — банахово квантовое пространство, α φ: Ε —> F —
вполне сжимающий оператор, существует единственный вполне
сжимающий оператор φ такой, что диаграмма
Ef
коммутативна.
(и) г' — вполне изометрический оператор, и его образ плотен в ПЕ .
(Заметим, что плотность образа г1 в П\Е эквивалентна плотности
образа г'^ в ТЕ : это легко следует из предложения 1.2.4 и аксиомы (Ш).)
< (i) => (ii). Возьмем пару (E,i) из предыдущей теоремы в качестве
(F, φ). Тогда в указанной выше диаграмме φ — вполне изометрический

ГЛ. 3. ПОПОЛНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
103
оператор. Поскольку φ — вполне сжимающий оператор, г' обязан быть
вполне изометрическим.
Теперь возьмем в качестве (F,(p) пару (С,0). Мы видим, что
наша диаграмма коммутативна в случае, когда ψ — функционал, равный
нулю на образе г!. Поскольку условие единственности дает φ — 0,
желаемая плотность установлена.
(ii) => (i). На основании соответствующего свойства
«классического» пополнения (см., например, [133, § 2.6]), существует единственный
сжимающий (в обычном смысле) оператор φ, делающий нашу
диаграмму коммутативной. Но г^ — изометрический оператор, φ^ —
сжимающий оператор, и φχ = φ^ί^. Поэтому ограничение φ^ на образ г^ —
сжимающий оператор. Выведем отсюда, что Тр^ — тоже сжимающий.
Возьмем произвольный и G ТЕ\ он представим как J2 ак%к, о*к £ F·>
_ fc=l
XfcGE, к — 1,..., 777,. Рассмотрим для каждого к последовательность
m
Хкп ^ Ε такую, что г/(х/сп) сходится к χ&, и положим ип := ^ ak%kn £
fc=l
G ТЕ. Тогда, на основании предложения 1.2.4, справедливо равенство
и= lim i'^iun), и
(Роо(и) = У2(Роо(акХк) = У] Ит tpco(aki'(xkn)) =
L
m
= lim У21р00(акг(хкп))= lim ^[СМ].
η-
fe=l fe=l
fe=l
Поэтому желаемое неравенство ^^(^ОН ^ \\и\\ следует из уже
известного равенства ||^oo[CKi)]ll 5 HCKOII· >
Определение 3.5. Пара {Ε , г7), обладающая эквивалентными
свойствами, указанными в предложении 3.4, называется пополнением
квантового нормированного пространства Е.
Таким образом, теорема 3.3 служит как теорема существования для
«квантового пополнения», доставляя его явную конструкцию. Подобно
«классическому» контексту, мы будем часто говорить о пополнении
заданного квантового пространства £", имея в виду только банахово
квантовое пространство Ε . Кроме того, мы будем отождествлять Ε с его
образом г'{Е) и говорить о соответствующих ограничениях, бипродол-
жениях и т. д. Все это не приведет к недоразумению.
Хотя универсальное свойство пополнения сформулировано только
в терминах вполне сжимающих операторов, у него есть очевидный
аналог для произвольных вполне ограниченных операторов.

104 ГЛ. 3. ПОПОЛНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Предложение 3.6. Пусть (E,i) — пополнение нормированного
квантового пространства Е. Тогда для каждой пары (F,ip), где F —
банахово квантовое пространство, αφ: Ε —> F — вполне ограниченный
оператор, существует единственный вполне ограниченный оператор φ
такой, что диаграмма из предыдущего предложения коммутативна.
При этом выполнено ||<^||сь = IMIcb· < >
Следствие 3.7. Пусть φ: Ε —> F — вполне ограниченный оператор
между квантовыми пространствами. Тогда существует его
единственное бипродолжение до вполне ограниченного оператора φ: Ε —> F
с той же вполне ограниченной нормой.
Операторы, обозначенные в этих двух утверждениях через Тр,
называются соответственно непрерывным продолжением и непрерывным
бипродолжением заданного оператора φ. Разумеется, непрерывное
продолжение — это частный случай непрерывного бипродолжения.
Предложение 3.8. Если заданный оператор является
соответственно вполне изометрическим, вполне изометрическим
изоморфизмом, полным топологическим изоморфизмом или вполне коизомет-
рическим, то тогда тем же свойством обладает и его непрерывное
бипродолжение.
< Единственный случай, требующий некоторого рассуждения — это
случай вполне коизометрического оператора. Мы не можем немедленно
применить доказательство сохранения такого свойства в классическом
контексте, потому что пространство ТЕ не полно. Однако чуть более
длинное рассуждение приводит к цели.
Пусть φ: Ε —> F — вполне коизометрический оператор. Возьмем
Ρ Ε Vr и рассмотрим, в обозначениях § 0.5, пространства TpG для G —
— E,F,E,F. Поскольку ψ^ — бимодульный морфизм (ср. с § 0.6), мы
легко получаем, что ψ^ отображает ТрЕ в TpF', в то время как Тр^
отображает ТрЕ в TpF. Обозначим соответствующие биограничения
через ψρ и ТрР. Далее, взяв для ν G TpF', ||г;|| < 1, элемент и G ТЕ,
\\и\\ < 1, с (^оо(и) = ν, мы видим, что ν — ψοο(Ρ · и · Р) и, в силу (Ш),
выполнено \\Р - и - Р\\ < 1. Это показывает, что φ ρ — коизометрический
оператор.
Теперь возьмем ортонормированный базис ei,...,en в Lp. Тогда
η
Ρ — Σ ek О е/е, и из равенств (0.2.2) легко следует, что для каждо-
fe = l
го G каждый и £ TpG обладает единственным представлением в виде
η
Σ ^ki{^k О ei)xki, хы £ G, ^ы £ С. Поэтому, помимо ограничения за-
fe,/ = l
данной (= квантовой) нормы || · ||, мы можем рассмотреть в TpG две

ГЛ. 3. ПОПОЛНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
105
другие нормы || · ||χ и || · ||οο, а именно
те
\\u\\i := ^2 \^ы\\\хы\\ и ЦглЦоо :=тах{|Аы|||жы||, /с, I = 1,... ,η}.
к,1=1
Конечно, || · II ^ II ' Hi? а также? поскольку (е& О е&) · и · (е/ О е/) =
= ^ы(^к О ei)xku выполнено || · ||оо ^ || · ||. Поэтому, так как нормы || · ||ι
и || · ||оо эквивалентны, норма || · || эквивалентна им обеим.
Ясно, однако, что в случаях G = E,F пространство TpG полно
относительно обеих добавленных норм. Поэтому то же верно и для
нашей исходной нормы || · ||. Далее, в этих случаях TpG, будучи
замыканием TpG в TG, является пополнением (в классическом смысле)
пространства Тр. Поэтому ТрР — это непрерывное бипродолжение
(снова в классическом смысле) оператора φρ. Как следствие, в силу
классической теоремы Банаха-Шаудера (см., например, [133,
предложение 2.4.1]) φ ρ — коизометрический оператор наряду с φρ. Остается
напомнить, что каждый и G TF принадлежит TpF для некоторого
Ρ eVr.>
Заметим, что теорема единственности классического пополнения
(см., например, [133, § 2.6]) также обладает подходящей квантовой
версией.
Теорема 3.9. Пусть (Ek,ik- ^к —> Е^, к = 1,2) — пополнения
нормированного квантового пространства Е. Тогда существует
единственный вполне изометрический изоморфизм I такой, что
диаграмма
Е\ >■ i?2
коммутативна.
< Стандартное общекатегорное доказательство, использующее
единственность инициального объекта (см. там же), может быть
очевидным образом перенесено с классического случая на квантовый. >
Рассмотрим два примера-близнеца. Пусть Ε — нормированное
пространство, (£", i: Ε —> Е) — его «классическое» пополнение, (£7тах)
и (Ет-Ш) — «квантовые» пополнения соответствующих квантовых
пространств.
Предложение 3.10. (i) Квантовое пространство (Ета>х) совпадает
с (£)тах; β то время как (и) квантовое пространство (Еш[п) совпадает

106
ГЛ. 3. ПОПОЛНЕНИЕ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
< (i) Пусть F — произвольное квантовое пространство, φ: (£max) —>
—> F — («классический») сжимающий оператор. Тогда φι: Еш^ —> F —
также сжимающий оператор, и, таким образом, в силу
предложения 2.2.8(и) =>, он является вполне сжимающим. Поэтому, на основании
универсального свойства квантового пополнения, φ — также вполне
сжимающий оператор. Но это, ввиду части <= предложения 2.2.8(H)
и с учетом произвольности выбора φ, означает, что (EmaiK) — это
максимальное квантование пространства £", т. е. в точности пространство
(Я)
max·
(ii) Возьмем и G 3~(Ет[п) и ε > 0. Мы знаем, что существуют
у^^Еш[п с \\и — υ\\ < ε/З и / Ε В^ с ||г;|| — |/оо(^)| < ε/З. Кроме того,
в силу предложения 3.4(i) выполнено \foo(u — г;)| < ε/З. Все это,
конечно, влечет неравенство \\и\\ — \foo(u)\ < ε. Поскольку ||/|| = ||/|| ^ 1,
а ε произвольно, выполнено \\и\\ ^ ||^||min· Поэтому, ввиду предложе-
ния 2.2.4(ii), \\u\\ — ||u||min. Дальше ясно. >
В заключение отметим, что оба функтора повторного квантования,
введенные в § 2.3, обладают естественными «полными» версиями,
действующими соответственно в QBan и QBanx. Эти версии корректно
определены правилами Ε \-^ ТЕ и φ \-^ (ψ^).

ЧАСТЬ II
БИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ,
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
ГЛАВА 4
СИЛЬНО И СЛАБО ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ
БИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§4.1. Общие определения и свойства
Наш читатель помнит, что в классическом функциональном анализе
существует всеобщее согласие по поводу того, что называть
ограниченным биоператором между нормированными пространствами. А именно,
биоператор ΊΖ: Ε χ F —> G называется ограниченным, если
||ΊΖ\\ := sup{||7£(x,2/)||: ||х||, \\у\\ ^ 1} < сю.
Что касается квантового функционального анализа, то опыт последних
25 лет показал, что существуют по меньшей мере два варианта понятия
вполне ограниченного биоператора, каждый со своими собственными
достоинствами.
Следующее определение существенно использует понятия сильного
и слабого размножений заданного биоператора, введенные в конце § 0.6.
Определение 4.1.1. Пусть E,F и G — квантовые пространства.
Биоператор ΊΖ: Ε χ F —> G называется сильно вполне ограниченным,
если его сильное размножение ΊΖ8 ограничено, и он называется слабо
вполне ограниченным, если его слабое размножение TZW ограничено.
(Говоря об ограниченности размножений, мы имеем в виду, конечно,
соответствующие квантовые нормы.) Нормы биоператоров TZS и 7ZW
называются сильной и слабой вполне ограниченными нормами
биоператора ΊΖ, и они обозначаются соответственно через ||7£||scb и ||^||wcb·

108 ГЛ. 4. СИЛЬНО И СЛАБО ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Далее, биоператор ΊΖ называется сильно, соответственно слабо вполне
сжимающим, если 7£s, соответственно 7ZW — сжимающий биоператор
(т.е. ||7£||scb ^ 1 или соответственно ||7£||scb ^ 1)·
Замечание 4.1.2. Сильно вполне ограниченные биоператоры были открыты
(в «матричном» изложении и в контексте С*-алгебр) Кристенсеном и
Синклером [20] в 1987 г. (В этот момент они были единственной разумной квантовой
версией понятия ограниченного биоператора.) В цитированной пионерской
работе и во многих других статьях и книгах, вплоть до настоящего времени, эти
биоператоры называются (просто) вполне ограниченными. Однако в некоторых
других книгах и статьях, в том числе в важной книге Эффроса и Руана [46], эти
биоператоры называются мультипликативно ограниченными, в то время как термин
«вполне ограниченный» используется для того, что мы здесь называем слабо вполне
ограниченным биоператором. Эта последняя версия была открыта, одновременно
и независимо, Блечером и Полсеном [14], а также Эффросом и Руаном [40] в 1991 г.
Наши термины «сильно» и «слабо» суть лишь добавление к уже существующему
терминологическому хаосу.
Слова «сильно» и «слабо» могут быть оправданы следующим
образом.
Теорема 4.1.3. Пусть ΊΖ: Ε χ F —> G — сильно вполне
ограниченный биоператор между квантовыми пространствами. Тогда ΊΖ слабо
вполне ограничен, и ||7£||wcb ^ ||^||scb·
< Возьмем и Ε ТЕ и ν G TF. Пусть Ρ — их общий конечномерный
носитель (ср. с § 0.5). Полагая в формуле (0.6.2) а = b := Ρ и учитывая
предложение 1.2.6, мы видим, что
\\Uw{u, υ)\\ = \\Uw(u · Ρ, Ρ · ν)\\ = \\П,(и 0 Ρ, Ρ 0 ν)\\ ^
< ||7г8||||и0Р||||Р0г;|| = ПОШИПИ·
Дальше ясно, о
Обратное утверждение неверно, и вскоре это будет ясно из
примеров. Этот факт тесно связан со следующим свойством слабо вполне
ограниченных биоператоров, которое, как мы также увидим, не имеет
«сильного» аналога. Напомним понятие противоположного
биоператора из § 0.6.
Предложение 4.1.4. Пусть ΊΖ: Ε χ F —> G действует между
квантовыми пространствами, и он слабо вполне ограничен. Тогда ΊΖορ
таксисе слабо вполне ограничен, и ||7£op||wcb = ||7£||wcb·
< Объединяя равенство (0.6.5) с предложением 1.1.2, мы видим, что
\\(7Zop)w(v,u)\\ = ||7^w(u,'u)|| для всех ν е TF\ и е ТЕ. Дальше ясно, >
Подобно тому, что мы видели в случае линейных операторов,
слабо, а значит, и сильно вполне ограниченный билинейный оператор
ΊΖ между квантовыми пространствами автоматически является
ограниченным биоператором между соответствующими подлежа-

4.2. ПРИМЕРЫ И КОНТРПРИМЕРЫ
109
щими пространствами, причем \\И\\ ^ ||7£||wcb ^ ||7^||scb· В самом деле,
если ρ Ε Τ — одномерный проектор, то таков же л ρ (} р. Поэтому для
χ G Ε и у G F выполнено
\\П{х,у)\\ = \\(рОр)Щх,у)\\ = \\Kw(px,py)\\ <
< ll^lkcblMIIMI = ||^||wcb||x|||M|,
и желаемый факт следует.
Снова, как и в случае операторов, в ряде важных ситуаций верно
и обратное. Мы переходим к соответствующим примерам.
§ 4.2. Примеры и контрпримеры
Предложение 4.2.1. Пусть Ε и F — максимальные квантовые
пространства, a G — произвольное квантовое пространство. Тогда
каждый ограниченный биоператор ΊΖ: Ε χ F —> G слабо вполне ограничен,
11 Τ") II II Τ) 11
и ||7c||wcb = \\Щ·
< Без потери общности мы можем считать, что \\ΊΖ\\ — 1. Возьмем
произвольный xG£, ||ж|| = 1, одномерный проектор р£^и рассмотрим
элементарный тензор рх G ТЕтах. Биоператор 7ZW : JFi?max x JFFmax —>
-► TG порождает оператор 'ΊΙ^: .FFmax -► TG (ср. с § 0.1). Из (0.6.4)
следует, что последний является бимодульным морфизмом
относительно стандартных операций в ТР^^ и операций «·» в TG. При этом для
каждого у G F и каждого одномерного проектора ρ G Τ выполнено
1Г^С(рг/)11 = \\(v<?v)K{x,y)\\ = \\Щх,у)\\ < |Ы|.
Принимая во внимание предложение 1.1.14, мы видим, что мы
находимся в поле действия предложения 2.2.7. Как следствие, rW™ —
сжимающий оператор, и, следовательно,
\\7lw(pX,v)\\ < ||x|||M|max (4-2.1)
для всех χ Ε Ε и ν G TF.
Мы использовали максимальность нашего второго квантового
пространства; теперь обратимся к первому. Возьмем произвольный
ν £ TF', || г; || тах = 1, и рассмотрим оператор W^ : ТЕт^ —> TG (ср.
снова с § 0.1). Применяя второй раз (0.6.4), мы видим, что это также
бимодульный морфизм, но теперь относительно стандартных операций
в ^£тах и операций «·» в TG. Объединяя это с предложением 1.1.14
и неравенством (4.2.1), мы видим, что можно снова применить
предложение 2.2.7. Теперь последнее дает то, что ΊΖζ, — сжимающий, т. е.

110 ГЛ. 4. СИЛЬНО И СЛАБО ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ВЫПОЛНеНО ||7£w(l£,i;)|| ^ Ц^Цтах ДЛЯ ВСех U G ТЕ И V G ТЕ', |Н|тах = 1·
Дальше ясно. >
В следующем предложении /: Ε —> С и д: F —> С —
ограниченные функционалы на квантовых пространствах. Обозначим через
fxg:ExF^C бифункционал, действующий как (ж, у) \-^ f(x)g(y)·
Предложение 4.2.2. Бифункционал f x g сильно и (следовательно)
слабо вполне ограничен. При этом ||/ χ д\\БСъ — ||/ х #||wcb = ||/||\\д\\·
< Очевидно, выполнено ||/ χ д\\ — ||/||||#|| и, следовательно, ||/||||#|| ^
^ II (/ х flf)w||· Поэтому, на основании теоремы 4.1.3, достаточно
показать, что ||(/x0)s|| < Н/НЫ-
Взяв элементарные тензоры и используя билинейность, мы легко
усматриваем, что (/ χ g)s: ТЕ χ ТЕ —> Τ действует как (и, г;) \-^
^ /оо(^)^оо(^)· Отсюда с помощью теоремы 2.2.1 получаем
||(/ χ g)s(u,v)\\ < ||/ooHIIIIpooWII < ΙΙ/ΙΙΜΙΝΙΝΙ·
Дальше ясно. >
Предложение 4.2.3. Пусть A G В(Н) — операторная алгебра
(ср. с § 0.2), наделенная конкретным квантованием. Тогда биоператор
умноснсения ΛΛ : А х А —> А является сильно вполне сжимающим.
< Поскольку мы имеем дело с конкретной квантовой нормой,
нормированное пространство ТА может быть отождествлено с операторной
алгеброй Τ (8> А С B(L (g) H). Взяв элементарные тензоры в ТА, мы
видим, что сильное размножение J\4S: ТА χ ТА —> ТА оказывается после
этого отождествления биоператором умножения в последней алгебре.
Дальше ясно. >
Следующее наблюдение по существу есть частный случай
предыдущего (ср. с предложением 1.3.16), но допускает короткое независимое
доказательство.
Предложение 4.2.4. Пусть А — С* -алгебра со стандартным
квантованием. Тогда биоператор умноснсения ΛΛ : А х А —> А сильно вполне
ограничен и, более того, является сильно вполне сжимающим.
< Теперь ТА — это алгебра, наделенная (7*-нормой, и ее биоператор
умножения — это в точности J\4S. >
Снова столбцовый и строчечный гильбертианы доставляют
несколько отличных иллюстраций.
Предложение 4.2.5. Каждый ограниченный бифункционал f: Ηγ χ
χ Kc —> С, где Η и К — гильбертовы пространства, (автоматически)
сильно и, следовательно, слабо вполне ограничен. При этом
||/||ecb = ||/||wcb = ||/||.

4.2. ПРИМЕРЫ И КОНТРПРИМЕРЫ
111
< Напомним (см. § 1.3), что элементы J~KC отождествляются с
операторами, действующими из L в L ® К и, в частности, элементарный
тензор ах превращается в оператор ξ \-^ α (ξ) (g) ж. Β то же время элементы
J-HT отождествляются с операторами из L (Н> Нсс в L, и элементарный
тензор by превращается в оператор, корректно определенный правилом
η® z^ bfr)(y,z)H.
Как хорошо известно, наш /: Η χ К —> С («полуторалинейная
форма на Η х Ксс») порождает ограниченный оператор φ: К —> ufcc,
корректно определенный равенством (у, φ (ζ)) = /(г/, ζ), г/ G ufcc, z G К,
и выполнено ||/|| = ||(/?||. Рассмотрим, для u G .Flf и г; G J~HCC в качестве
операторов, цепочку
Если и = αχ и г; = Ъу, то простые выкладки показывают, что композиция
этих операторов переводит ξ G L в /(г/, χ)6α(ξ), т. е. в [/8(г;, ^)](£)· (Здесь
J7 ® С — область значений оператора /s, — разумеется, отождествлена
с J-.) Отсюда, по билинейности, наша композиция равна /8(г?, и) для всех
ν G ТН и u G JFK. Но тогда ||/8(г;,и)|| ^ |М|||1 ® ИНМ1 = 11/11IMIIMI·
Дальше ясно. >
Объединяя это предложение с предложением 4.1.4, мы получаем
Следствие 4.2.6. Каждый ограниченный бифункционал f: Нс χ
χ Κγ —> С; где Η и К — гильбертовы пространства, {автоматически)
слабо вполне ограничен, и ||/||Wcb = ||/||·
Но почему только слабо? Настало время контрпримеров. По-
видимому, наиболее прозрачные из них используют бифункционал
скалярного произведения (·,·): Η х Нсс —> С, где Η —
бесконечномерное гильбертово пространство.
Контрпример 4.2.7. Бифункционал (·,·): Нс χ (HCC)Y —► С не Я/влЯ/-
ется сильно вполне ограниченным.
В самом деле, простые выкладки показывают, что соответствующее
сильное размножение (·, -)s переводит пару (о;п,шп), введенную в § 1.3,
в оператор пР. Поэтому, в силу предложения 1.3.15, он переводит пару
элементов нормы 1 в оператор нормы п. Поскольку п произвольно, наше
сильное размножение не может быть ограниченным биоператором.
Поскольку мы уже знаем, благодаря предыдущему следствию, что
такой бифункционал слабо вполне ограничен, мы видим, что
(i) слова «сильно» и «слабо» использованы здесь не напрасно, и
(и) бывает так, что биоператор ΊΖ сильно вполне ограничен, но 7Zop
не таков.
Замечание 4.2.8. Если бы мы вместо предыдущего бифункциона-
ла рассмотрели (·,·): Нг х (Нсс)с —> С, то тогда, на основании того же

112 ГЛ. 4. СИЛЬНО И СЛАБО ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
предложения, норма оператора (·, ·)8(α;η, шп), т. е. л/йл/п, оказалась бы
равной \\ωη\\ \\ζυ
η
в полном согласии с предложением 4.2.5.
Контрпример 4.2.9. Бифункционалы (·,·): i?c х (Нсс)с ^ С и
(·,·): iir χ (HCC)Y -^ С не являются даже слабо вполне
ограниченными.
В самом деле, выкладки, сходные с упомянутыми в предыдущем
контрпримере, дают
η η
(•,.)w(cjn,cjn) = ^(^ <}ql) и (.,.^(шп,шп) = ^2(qk <>Qk)·
fe=l fe=l
Далее, принимая во внимание равенства (0.3.1), мы получаем, что
fe = l
5^9fe0 9fe = (5^9fe0 9fe) (5^9fe0 9fe
ч/с=1
ч/с=1
1/2
Σ &QI 0 9fe«
fe,/ = l
1/2
и аналогично
η
= ЦпРфР||1/2 = νη,
η. Поэтому каждый из наших бифунк-
'fc=l '
ционалов переводит пару элементов нормы 1 в оператор нормы л/п.
Дальше ясно.
Одно наблюдение, на этот раз более общего характера, заслуживает
нашего особого внимания. Предположим, что Ε и F явно заданы как
операторные пространства. Рассмотрим их пространственное тензорное
произведение Ε ® F (см. § 0.7) и снабдим его конкретной квантовой
нормой. Это означает, как мы помним, что Т{Е ® F) отождествлено с
операторным пространством Τ ® (Е (g) F) (и точно так же ТЕ с Τ ® Ε
и TF с Τ ® F). Далее, отождествив Ε ® F с Ε ® F (ср. с
предложением 0.7.1), мы можем рассмотреть канонический биоператор ϋ\ Ε χ F —>
—> Ε (g) F, (х,у)их®усо значениями в Ε ® F.
Предложение 4.2.10. Биоператор $: Ε χ F —> F (g) F, (x, г/) ь^ χ <g) у
является сильно вполне сжимающим.
< Рассмотрим $s: «Fi? x TF —> F(F (g) F). В данной ситуации этот
биоператор действует между {Τ ® Ε) χ {Т ® F) и Τ (g) (F (g) F). Пусть
F задано как подпространство в Β(Ηι,Η2)·) a F как подпространство
в Β(Κι,Κ2). Тогда имеют место вложения
Ε <g> F С β(#χ ®КЪН2® К2\ F 0 F С £(L g) Яь L g) Я2),
F <g> F С £(L <g> Кь L <g> К2) и
F®(E®F)(ZB(L® (Нг <g> Ki), L(b(H2® K2)).

4.2. ПРИМЕРЫ И КОНТРПРИМЕРЫ
113
Теперь возьмем и G ТЕ, v G ТЕ и рассмотрим цепочку
L ® (Нг <8> Я2) -> (L ® Я2) ® Ях -^ (L <g> Я2) ®Я1 -> L <g> (Ях <8> Я2) ->
-► (L <8> ЯО ® Я2 -^ (L (8> Κι) ® Я2 -► L ® (Κι <8> Я2),
где У:=|;(Й)1я17^г-=/^(Й)1к2 а ДРУгие стрелки изображают
изометрические изоморфизмы, доставляемые ассоциативностью и
коммутативностью пространственного тензорного произведения (ср. с § 0.7).
Предположим временно, что ил ν — элементарные тензоры, скажем,
ах и by. Тогда композиция операторов, участвующих в диаграмме,
очевидно, переводит элементарный тензор
ξ Θ [η Θ С] Ξ L <g> (Нг <g> Я2) в αδ(ξ) Θ [ж(ту) Θ 2/(C)] G L <8> (Ях <g> Я2).
Это означает, конечно, что наша композиция является в точности
оператором $8(и,у). Отсюда, с учетом билинейности соответствующих
операций, следует, что то же верно и для всех и л v. Как следствие,
мультипликативное неравенство для операторных норм дает оценку
||$s(u, г;)|| ^ \\и (g) 1χ2 II11^ ® ^нг \\ — 1141 ΙΜΙ· Дальше ясно. >
В заключение приведем без доказательства следующий важный
факт, установленный Кристенсеном и Синклером [20, следствие 5.6].
Пусть А — коммутативная (7*-алгебра, или, что эквивалентно, А : =
:= (7ο(Ω) для локально компактного пространства Ω. Наделим А
стандартным квантованием. Тогда каждый ограниченный бифункционал
f: Α χ Α ^ С автоматически сильно вполне ограничен, и справедлива
оценка
ii/Kimiscb^Gimi,
где Kq — так называемая постоянная Гротендика (ср., например, с [127,
III.F.7]). Более того, Kq — это наименьшая из таких возможных
постоянных.

ГЛАВА 5
НОВЫЕ ПРИГОТОВЛЕНИЯ: КЛАССИЧЕСКИЕ
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 5.1. Тензорные произведения нормированных пространств
В этой главе мы напомним о классических предшественниках наших
будущих квантовых тензорных произведений. Мы кратко расскажем
о них, следуя примерно той же схеме изложения, что и впоследствии,
когда мы займемся их квантовыми «отпрысками». В качестве
источников мы сошлемся на знаменитый мемуар Гротендика [52], а также,
например, [23], [30, гл. I], [131, § 2.7], [133, § 2.7], [78, гл. 6.3], [81, 1.10],
[109].
Пусть Ek, к — 1,..., гг, — нормированные пространства. Мы
напомним, что нормированное, или непополненное (соответственно
банахово, или пополненное) проективное тензорное произведение этих
пространств — это пара (Θ,#), состоящая из нормированного
(соответственно банахова) пространства Θ и сжимающего гг-линейного оператора
Θ: Е\ χ ... χ Еп —> Θ, обладающая следующим свойством
универсальности:
для каждого нормированного (соответственно банахова)
пространства F и каждого сжимающего гг-линейного оператора ΊΖ: Е\ χ ...
... χ Еп —> F, существует единственный сжимающий линейный
оператор R: Θ —> G такой, что диаграмма
Е\ х ... х Еп
I ^\тг
θ \Γ
γ ^\
Θ ^ F
коммутативна. Оператор R называется ассоциированным с η-линейным
оператором ΊΖ, а также линеаризацией этого ΊΖ.
Каждая из обеих введенных версий проективного тензорного
произведения заданных пространств единственна в следующем смысле:
если (Θ/c^/c), к — 1,2, — два нормированных (соответственно банаховых)
(5.1.1)

5.1. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ 115
проективных тензорных произведения наших пространств, то
существует единственный изометрический изоморфизм (= изоморфизм в NORi)
/: θι —» ©2 такой, что диаграмма
Ει χ ... х Еп
/ \? (5.1.2)
θι - ^θ2
коммутативна.
Стандартное доказательство существования обоих типов введенных
тензорных произведений состоит в предъявлении их явной
конструкции. Мы берем алгебраическое тензорное произведение Е\ ® ... 0 Еп
и для и Ε Ει ® . ·. Θ Εη полагаем
„.. . j^ \
\\u\\p := int< 2_^ IF1INF2II - - - \\Xn\\ f,
где нижняя грань берется по всем возможным представлениям элемента
и в виде
У^Х1 ®...®χη, х\ £ ^ь ..., хп £ Ег
Оказывается, что || · ||р — это норма; она называется проективной
нормой (Гротендика) в Е\ ® ... ® Еп. Нормированное пространство
(Ει (8) ... (8) Еп, || · ||р) обозначается через Ει ® ... ® Еп, а его попол-
р ρ
нение через Ει 0 ... 0 Еп или, что будет для нас более удобно, через
Р Р
Ει ® ... Θ £?η· Известный факт состоит в том, что пара, состоящая из
Ρ Ρ
пространства Ει 0 ... 0 Еп (соответственно Ει 0 ... 0 Еп) и кано-
р ρ
нического η-линейного оператора
ϋ: Ει χ ... χ Εη —> Ει Θ ... Θ i?n, (#1, · · · ?χη) ·-> х\ Θ · · · Θ ^η
ρ ρ
ρ ρ
(соответственно копродолснсения этого $ на Ει ® ... ® Εη),
является нормированным (соответственно банаховым) проективным
тензорным произведением пространств Е^, к = 1,..., п.
Как мы видели, в определении обоих видов проективного тензорного
произведения участвовали только сжимающие п-линейные операторы.
Однако легко усматривается, что если (θ,0) — нормированное
(соответственно банахово) проективное тензорное произведение наших Е^,

116 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
то для каждого нормированного (соответственно банахова)
пространства F и каждого ограниченного η-линейного оператора ΊΖ: Е\ χ ...
... χ Еп —> F существует единственный ограниченный п-линейный
оператор R: Θ —> G такой, что диаграмма (5.1.1) коммутативна.
При этом \\R\\ = \\ΊΖ\\.
Напомним общематематический «экспоненциальный закон»
(ΧΥ)Ζ = ΧΥ*Ζ = (ΧΖ)Υ
(Χ,Υ,Ζ — произвольные множества), связывающий функции двух
переменных с функциями одной переменной со значениями в множестве
функций другой переменной. Как хорошо известно, в классическом
функциональном анализе этот закон принимает следующий
специальный вид. Пусть Е, F', G — нормированные пространства, ΊΖ: Ε χ F —>
-> G — биоператор, KF : F -> C(E, G) и "RE : Ε -> £(F, G) — связанные
с ним операторы, упомянутые в начале § 0.1. Если ΊΖ ограничен, то
тогда, конечно, ΊΖΕ и ;ΊΖΕ принимают значения соответственно в B(E,G)
и B(F,G). Обозначим их соответствующие коограничения теми же
символами ΊΖΕ и ;ΊΖΕ. Тогда существует диаграмма
B(F, В{Е, G)) ^ B(E xF,G)^ В{Е, B{F, G)), (5.1.3)
β которой If и Ίε — изометрические изоморфизмы нормированных
пространств, переводящие биоператор ΊΖ соответственно в
операторы 1ZF и "RE.
В объединении с (5.1.3) свойство универсальности проективного
тензорного произведения сразу влечет так называемый закон
сопряженной ассоциативности. А именно, для тех же Е, F, G существует
диаграмма
B(F, B(E, G)) <- В(Е ®F,G)^ B{E, B(F, G)), (5.1.4)
ρ
β которой стрелки изображают изометрические изоморфизмы
нормированных пространств, корректно определенные следующими
правилами. Отображение слева переводит оператор φ в оператор φ,
действующий как у ь^ ду где д(х) := ф(х (g) у), а отображение справа переводит
ψ β φ: χ \-^ h, где h(y) := ψ (χ (g) у).
Мы переходим ко второму по важности тензорному произведению
классического функционального анализа. К сожалению, класс
полилинейных операторов, с которыми это тензорное произведение
ассоциировано, до сих пор не имеет прозрачного описания. Поэтому оно
обычно определяется не в терминах какого-либо свойства универсальности,
а непосредственно путем явной конструкции. А именно, пусть Ε к те

§5.1. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ 117
же, что и раньше. Тогда мы берем снова пространство Ει 0 ... 0 Еп, но
теперь для и G Е\ ® ... ® Еп полагаем
|H|i:=sup{||(/i Θ...Θ/η)Η||: fk e^fc, /с = 1,..., η}.
Можно показать, что || · ||i — норма в Ε ι (8) ... Θ Еп\ она называется инъ-
ективной нормой (Гротендика) в Е\ (8) ... (8) Еп. Нормированное
пространство (Ει 0 ... 0 Еп, || · ||ι) мы обозначим через Ει 0 ... 0 Еп, а его
i i i i
пополнение через Ει 0 ... 0 Еп. Первое пространство называется
нормированным, или непополненным, а второе банаховым, или
пополненным, инъективным тензорным произведением наших заданных
нормированных пространств. (Здесь из-за отсутствия разумного свойства
универсальности мы говорим просто о соответствующем пространстве,
а не о паре «пространство, п-линейный оператор».)
Напомним, что норма в Ει ® ... (8> Еп называется субкросснормой,
соответственно кросснормой, если для всех элементарных тензоров
выполнено \\χι 0 ... (8) хп\\ ^ ||xi|| ||^21| ... \\χη\\, соответственно \\χι (8) ...
... (8) хп\\ — ||χι|| ||ж21| · · · ||жп||· Обе нормы || · ||i и || · ||р суть кросснормы.
Более того, применяя свойство универсальности проективного
тензорного произведения к $ (см. выше) в роли ΊΖ, мы немедленно
получаем, что || · ||ρ — это наибольшая из всех субкросснорм в £Ί (8> ... <8> Еп.
В частности, имеет место оценка
Теперь напомним о стандартном изометрическом изоморфизме
между if (8) Нсс и S(H,K) (см. (0.2.6)). Тензорные произведения,
рассмотренные в этом параграфе, также приводят к некоторым хорошо
известным пространствам операторов. А именно, то же правило ξ (8) η \-^ ξ Ο η
доставляет отождествления нормированных пространств
К®НСС = ?я(Н, К) и К®НСС = Т(Н, К). (5.1.5)
Р i
Переходя к соответствующим непрерывным бипродолжениям, мы
получаем отождествления банаховых пространств
К d Ясс = λί(Η, К) и К®НСС = /С(Я, К). (5.1.6)
Все рассмотренные здесь тензорные произведения обладают функ-
ториальными свойствами. Это означает, в частности, что в качестве
тензорных сомножителей можно брать не только пространства, но и
операторы.

118 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Ρ i
Зафиксируем на время любой из символов g), g), g) или (8) и обозна-
Р i
чим его, скажем, через (8). Пусть (/?&: Ek —» Fk, к = 1,..., тг, —
произвольное семейство ограниченных операторов между нормированными
пространствами. Тогда существует ограниченный оператор
rsj
/п
φι Θ ... Θ ψη · Ει g) ... g) En -> Fi g) ... g) Fn,
однозначно определенный равенством
(<ρι ® ... ® ^η)(^ι Θ ... (8) xn) = ^i(^i) Θ ... Θ <Рп(жп)
для всех x/e G £"&. При этом справедливо равенство ||(/?i g) ... g) φ7
— \\ψι\\ - — \\ψη\\- Этот оператор ψ\ g) ... g) ψη называется непополненным
проективным тензорным произведением наших заданных операторов
в случае g), и мы будем употреблять соответствующие термины для
Р
других типов тензорных произведений.
Ρ ρ i i
Заметим также, что операторы ψ\ g) ... g) φη и ψ\ g) ... g) φη суть
непрерывные бипродолжения операторов соответственно ψ\ g) ... g) φη
и φι <8> ... <8> φη- ρ ρ
i i
Указанные конструкции приводят к семейству ковариантных
функторов под общим названием «функторы тензорного произведения
(классического) функционального анализа». Мы говорим здесь, для большей
прозрачности, только о функторах одного аргумента. Для начала
зафиксируем нормированное пространство Е. Тогда так называемый
левый функтор непополненного проективного тензорного произведения
«Е g) ?» : Nor —> Nor переводит объект, т. е. нормированное простран-
р
ство, Fb£®Fh переводит морфизм, т. е. ограниченный оператор,
ρ
ψ: F^Gb 1е ® ψ'. Ε g) F —> Ε g) G. Заменяя в этом определении сим-
р Ρ Ρ Ρ ρ
вол g) на g), мы вводим «пополненную» версию «i?g)?»: NOR —> Ban
Ρ
этого функтора. Аналогичным образом можно ввести обе версии, непо-
полненную и пополненную, правого функтора проективного тензорного
i
произведения. Наконец, тем же путем, только с g) вместо g) и g) вместо
ρ ί Ρ
g), мы вводим четыре соответствующих типа функтора инъективного
тензорного произведения, от левого непополненного до правого
пополненного.
Проективное тензорное произведение операторов обладает важным
свойством, часто называемым проективным свойством. А именно,
проективное тензорное произведение, как непополненное, так и пополнен-

§ 5.2. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НОРМИРОВАННЫХ МОДУЛЕЙ 119
ное, коизометрических операторов между нормированными
пространствами само является коизометрическим оператором. Что касается
инъективного тензорного произведения, то оно обладает так
называемым иньективным свойством, определяемым подобно проективному
свойству, но с изометрическими операторами вместо
коизометрических. С другой стороны, проективное (соответственно инъективное)
тензорное произведение изометрических (соответственно
коизометрических) операторов не обязано быть изометрическим (соответственно
коизометрическим) оператором. Некоторые детали будут сообщены
позлее, в § 6.5.
Легко усматривается, что все рассмотренные виды функционально-
аналитических тензорных произведений ассоциативны и
коммутативны. Ассоциативность означает, что мы можем произвольно расставить
скобки в выражении Е\ ® ... ® Еп. (Здесь ® — это символ
«неспециализированного» тензорного произведения, уже использованный выше.)
Более подробно, возникающие пространства совпадают с точностью
до изометрического изоморфизма, который корректно определен тем,
что он отождествляет элементарные тензоры, снабженные
соответствующими скобками. Например, имеет место изометрический изоморфизм
(Е ® F) ® G ^ Ε ® (F ® G): (ж ® у) ® ζ ь-> χ ® (у ® ζ).
Коммутативность означает, что мы вправе произвольно менять в том же выражении
порядок его тензорных сомножителей, снова с точностью до
изометрического изоморфизма, корректно определенного путем отождествления
соответствующих элементарных тензоров. Например, Ε ® F = F ® Ε
с точностью до изоморфизма x0j/hj/0x,
Замечание 5.1.1. Обратим внимание на то, что из-за коммутативности наших
тензорных произведений левый и правый функторы одноименного тензорного
произведения естественно эквивалентны в смысле теории категорий. Говоря неформально,
это означает, что практически нет разницы между левой и правой версиями того же
самого функтора. Но вот что любопытно: некоторые из наших будущих функторов
квантовых тензорных произведений будут обладать подобным свойством, а
некоторые не будут (ср. с замечанием 6.5.4).
§ 5.2. Тензорные произведения нормированных модулей
Для наших целей нам понадобятся тензорные произведения не
просто пространств, но также модулей и бимодулей. Мы ограничимся
только нормированной проективной непополненной версией этого понятия,
так что мы не будем далее повторять слова «нормированное
проективное непополненное». Кроме того, чтобы сделать вещи проще, мы
рассмотрим лишь случай двух тензорных сомножителей. Некоторые
детали могут быть найдены в [23], [131, гл. 2], [132, гл. 6], [113].

120 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Снова напомним, что биоператор ΊΖ: Ε χ F —> G, действующий
между нормированными (или преднормированными) пространствами,
называется сжимающим, если он ограничен и \\ΊΖ\\ ^ 1, иными словами,
если справедлива оценка ||7£(ж,?/)|| ^ ||х||||г/|| для всех χ G Ε, у G F.
Пусть А — сжимающая нормированная алгебра, т. е. нормированное
пространство, наделенное сжимающим, как биоператор, умножением.
Мы помним, что в нашем изложении почти всегда А — В, но сейчас это
не играет роли. Слова «левый сжимающий нормированный Л-модуль»
или, как мы будем кратко говорить, «левый сжимающий А-модуль»
означают, как обычно, нормированное пространство, наделенное такой
структурой левого Л-модуля, что соответствующий биоператор
внешнего умножения является сжимающим. Слова «правый сжимающий
Α-модуль» и «сжимающий А-бимодулъ» имеют сходный смысл.
Если X и Υ — два левых сжимающих Л-модуля, то мы
обозначим пространство всех ограниченных морфизмов между X л Υ
через Ah(X^Y). Соответствующие пространства для случаев правых
Л-модулей и Л-бимодулей мы обозначим соответственно через На(Х, Y)
и а^а(Х^У)- Мы наделим эти пространства операторной нормой, т. е.
рассмотрим их как нормированные подпространства в В(Х, Y).
Напомним несколько стандартных конструкций. Пусть X —
левый сжимающий Α-модуль. Тогда его сопряженное пространство X*
является правым сжимающим Л-модулем относительного
внешнего умножения, определенного правилом [/ · а] (ж) := f(a · ж), a G А,
xGl, /gX*. Аналогично, сопряженное пространство к правому
сжимающему Л-модулю становится левым сжимающим Л-модулем
с помощью равенства [а · f](x) := f(x · а). Наконец, сопряженное
пространство к сжимающему Л-бимодулю само становится сжимающим
Л-бимодулем с помощью обоих этих равенств. В описанных случаях
мы будем говорить о сопряженном А-(би) модуле, например, о правом
Л-модуле, сопряженном к левому Л-модулю X, и т. д.
Если X л Υ — два левых (соответственно правых) сжимающих
Л-модуля, то нормированное пространство Β(Χ,Υ) является
сжимающим Л-бимодулем с внешними умножениями, определенными
равенствами [а · φ](χ) := а · (φ(χ)) и [φ · α] (χ) := φ (α · χ)
(соответственно [ψ · α] (χ) := φ (χ) · α и [α · φ] (χ) := φ (χ · α)); здесь φ G Β(Χ,Υ)
и т. д. Кроме того, если X — левый, а У — правый сжимающие
Л-модули, то нормированное пространство Χ ®Υ (ср. с предыдущим
Р
параграфом) является сжимающим Л-бимодулем с внешними
умножениями, однозначно определенными равенствами а · {х ® у) := (α · χ) ® у
и (ж (8) у) · а := χ ® {у · а).

§ 5.2. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НОРМИРОВАННЫХ МОДУЛЕЙ 121
Теперь предположим, что X — правый, а У — левый А-модули
в чисто алгебраическом смысле. Тогда биоператор ΊΖ: Χ χ Υ —> Ε,
где Ε — линейное пространство, называется сбалансированным, если
ΊΖ(χ · α, ι/) = ΊΖ(χ, α · у) для всех a G A, χ G X, у G Y. Если X и У —
А-бимодули, то такой биоператор называется сбалансированным, если,
помимо указанного равенства, выполнено также ΊΖ(α · χ, у) — ΊΖ(χ, у · α).
Предположим вдобавок, что мы имеем дело со сжимающими
модулями. Тогда в обоих случаях (т. е. двух односторонних модулей и двух
бимодулей) пара (Θ,#), состоящая из нормированного пространства
Θ и сжимающего сбалансированного (в соответствующем смысле)
биоператора θ: Χ χ Υ —> Θ, называется модульным (или, смотря по
смыслу, бимодульным) тензорным произведением наших X и У, если
она обладает следующим свойством универсальности:
для каждого нормированного пространства Ε и каждого
сжимающего сбалансированного (снова в соответствующем смысле) биоператора
ΊΖ: Χ χ Υ —> Ε существует единственный сжимающий линейный
оператор R: Θ —> Ε такой, что диаграмма
Χ χ Υ
|ЛЧ* (5.2.1)
Θ ^^Е
коммутативна. Как и в случае просто пространств, оператор R
называется ассоциированным с биоператором ΊΖ (как со сбалансированным
биоператором, если требуется уточнение).
Снова, как и в случае пространств, справедлива соответствующая
теорема единственности; мы ее не будем здесь обсуждать. То, что нам
нужно, — это явная конструкция желаемого объекта, доставляющая
соответствующую теорему существования. А именно, модульное
тензорное произведение правого и левого модуля может быть реализовано как
факторпространство нормированного пространства Χ ®Υ (см.
предыдущий параграф) по замыканию его подпространства р
span {χ - а 0 у — χ 0 а - у}.
В то же время бимодульное тензорное произведение двух бимодулей
реализуется как факторпространство пространства X (g) Υ по замыканию
большего подпространства р
span {а - χ ® у — χ ® у - α,χ - а® у — χ ® а - г/};

122 ГЛ. 5. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
везде aGi, xGl, 2/GF. В «одностороннем» случае соответствующее
факторпространство обозначается через I ® 7, а в «двустороннем»
А
случае — через X 0 Y. Элемент пространства X 0 Υ или X 0 У,
А-А А А-А
являющийся классом смежности элементарного тензора χ ® г/,
обозначается соответственно через χ (8) у или χ (8) у. Он также называется
А А-А
элементарным тензором. Очевидно, имеют место тождества
χ · а®у = χ <g> a · у,
А А (5.2.2)
а · χ (8) у = χ (8) 2/ · α, х - а (8) у = χ Θ α - у.
А-А А-А А-А А-А
Таким образом, норма элемента и в X 0 Υ или в X 0 Υ равна
А А-А
inf< J^||zfc||||2/fc|| p (5.2.3)
где нижняя грань взята по всем возможным представлениям и в виде
η η
Σ %к ® Ук ИЛИ, СМОТрЯ ПО СМЫСЛу, ^ Xfe Θ У к-
k=l А k=l А~А
Как легко видеть, оператор Д, делающий диаграмму (5.2.1)
коммутативной, существует для произвольного (не обязательно сжимающего)
сбалансированного оператора 7£, и имеет место равенство ||Д|| = \\ΊΖ\\.
Если X — сжимающий А-бимодуль, Υ — сжимающий левый
Α-модуль, то пространство Χ ®Υ, где X рассмотрен как правый сжима-
А
ющий Л-модуль, обладает структурой сжимающего левого Л-модуля
относительного внешнего умножения, однозначно определенного
равенством а · (ж (8) у) : = (а · х) 0 у. Если X — правый Л-модуль, аУ- сжи-
А А
мающий Л-бимодуль, то пространство Χ (&Υ, где теперь Υ рассмот-
А
рен как сжимающий левый Л-модуль, является сжимающим правым
Л-модулем с внешним умножением, однозначно определенным
равенством (ж (8) у) · а := χ (8) (у · а). Наконец, если заданы два сжимающих
А А
Л-бимодуля, но мы берем их тензорное произведение как
соответствующих односторонних модулей, то X (8) Υ — это сжимающий Л-бимодуль
А
с внешними умножениями, однозначно определенными с помощью
обоих указанных равенств. Важно, что во всех этих случаях факторотоб-
ражение
г: Χ ®Υ -> X ®Y, x®y^x®y
ρ А А
(будучи, конечно, коизометрическим оператором) является морфизмом
левых, правых или, смотря по смыслу, двусторонних Л-модулей.

ГЛАВА 6
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ
ПРОСТРАНСТВ
§ 6.0. Общее свойство универсальности
Тензорные произведения в квантовом функциональном анализе
играют даже еще большую роль, чем в классическом функциональном
анализе.
Существуют, если не считать некоторых вариаций, три основных
типа квантовых тензорных произведений. Два из них имеют по существу
тот же raison d'etre, что и их «классический» прототип, проективное
тензорное произведение Гротендика, обсуждавшееся в § 5.1. А именно,
каждое из них «линеаризирует» важный и ясно очерченный класс
билинейных операторов. Более того, мы покажем, что их явные конструкции
являются слегка усложненными вариантами конструкции
классического проективного тензорного произведения. Что же касается третьего
типа, он не может похвастаться тем, что имеет в своем распоряжении
столь же прозрачно описываемый класс биоператоров. Однако у него
есть свои преимущества, большей частью напоминающие достоинства
классического инъективного тензорного произведения нормированных
пространств.
Везде в этом параграфе, если явно не оговорено обратное, Ε и F —
произвольно выбранные и зафиксированные нормированные квантовые
пространства.
Пусть !R — (пока произвольный) класс биоператоров, действующих
из Ε χ F в различные нормированные квантовые пространства (пока
неважно какие).
Определение 6.0.1. Мы говорим, что пара (Θ, #), состоящая из
нормированного квантового пространства Θ и биоператора θ: Ε χ F —> Θ,
обладает свойством универсальности относительно класса !R, если
(i) θ е 3fc,
(ii) для каждого биоператора ΊΖ: Ε χ F —> G, принадлежащего
классу !R, существует единственный вполне сжимающий оператор R: Θ —> G

124 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
такой, что диаграмма
Ε χ F
I ч\ "к
τ ^Να
Θ—^-^G
коммутативна.
Как и в «классическом» случае, этот (пока гипотетический)
оператор R называется ассоциированным с биоператором ΊΖ, а также
линеаризацией нашего ΊΖ.
Теорема 6.0.2 («теорема единственности»). Пусть !R — тот же,
что и выше, α ((θ&,0&); к — 1,2) — две пары, обладающие свойством
универсальности относительно !R. Тогда существует единственный
вполне изометрический изоморфизм (т. е. изоморфизм в QNor-jJ
/: θι —> 02 такой, что диаграмма
Ex F
коммутативна,
< Стандартное общекатегорное доказательство (ср., например,
с [133, теоремы 2.7.1 и 2.7.3]) работает, с очевидными модификациями,
и в рассматриваемом случае. >
Однако вопрос о существовании соответствующей пары (θ, Θ)
зависит, конечно, от того, насколько удачно выбран класс 9ft.
§ 6.1. Хаагерупово тензорное произведение
Определение 6.1.1. Пара (θ,#), состоящая из нормированного
квантового пространства θ и биоператора θ: Ε χ F —> θ, называется
нормированным (или непополненным) хаагеруповым тензорным
произведением указанных нормированных квантовых пространств, если
она обладает свойством универсальности для класса всех сильно вполне
сжимающих биоператоров из Ε χ F в нормированные квантовые
пространства.
Заменяя в этом определении класс всех сильно вполне сжимающих
биоператоров в произвольные нормированные квантовые пространства
на меньший класс всех сильно вполне сжимающих биоператоров,
действующих (только) в банаховы квантовые пространства, мы получаем
определение банахова (или пополненного) хаагерупова тензорного
произведения наших нормированных квантовых пространств.

6.1. ХААГЕРУПОВО ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
125
Замечание 6.1.2. Выдающаяся роль Уффе Хаагерупа в открытии этого
тензорного произведения, объясняющая принятый термин, подчеркнута, например, в [46,
с. 173]. Что касается формального определения, оно было дано, все еще в
рамках классического функционального анализа (как мы теперь могли бы сказать, на
уровне подлежащих нормированных пространств), Эффросом и Кишимото [36].
Однако настоящая «квантовая природа» этого тензорного произведения была
полностью осознана и объяснена в статье Полсена и Смита [90].
Как частный случай теоремы 6.0.2, мы немедленно получаем
теорему единственности для обеих версий хаагерупова тензорного
произведения. Оставляя ее точную формулировку читателю, мы только хотим
подчеркнуть ее суть. А именно, все квантовые пространства,
участвующие в соответствующих парах, совпадают с точностью до вполне
изометрического изоморфизма, должным образом согласованного с
соответствующими биоператорами.
Мы переходим к теореме существования для хаагерупова тензорного
произведения. Возьмем алгебраическое тензорное произведение Ε 0 F
и канонический биоператор $: Ε χ F —> Ε 0 F', (χ, у) ^ χ 0 у.
Рассмотрим сильное размножение $s: ТЕ χ TF —> Τ [Ε 0 F) биоператора ϋ
и будем использовать обозначение uQv вместо $s(u,v). Мы видим,
что операция 0, так называемый «символ Эффроса», билинейна. (Это
бескоординатная версия известного «символа Эффроса» в матричном
изложении; ср., например, с [46, § 9.1].) Таким образом, эта операция
корректно определена на элементарных тензорах равенством αχ 0 by —
— (ab)(x 0 у)- Заметим также, что для каждых a G В, и G ТЕ, v G TF
выполнено / . / . ,„ л л\
(u-a)&v = u&(a-v). (6.1.1)
(Иными словами, биоператор #s сбалансирован относительно
правого внешнего умножения в ТЕ и левого внешнего умножения в TF;
ср. с § 5.2.)
Пусть 0: ТЕ (8) TF —> Т{Е 0 F) — линейный оператор,
ассоциированный с #s; он корректно определен правилом О (и (8) г;) := и 0 ν.
Поскольку каждый элемент в Τ является произведением других
элементов, каждый элементарный тензор, а значит, произвольный элемент
в Т[Е 0 F) принадлежит образу оператора ©; иными словами, 0 сюръ-
ективен. (Вскоре мы увидим в предложении 6.1.6, что то же верно
далее для самого биоператора #s.) Поэтому размножение Т(Е 0 F) может
быть отождествлено с факторпространством пространства ТЕ 0 TF.
Как следствие, каждая норма в ТЕ 0 TF порождает свою факторпред-
норму в Т(Е 0 F), и последняя преднорма однозначно определена тем
условием, что 0 — коизометрический оператор (ср. с § 0.1).
А теперь применим эту конструкцию к проективной норме || · ||р
в ТЕ 0 TF (ср. с § 5.1). Полученную факторпреднорму в Т{Е 0 F)

126 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
мы обозначим1 через || · ||ь· Таким образом, для каждого U G Т(Е ® F)
выполнено равенство
\\U\\h :=inN ^2 1ЫПМ1 ρ (6.1.2)
где нижняя грань взята по всем возможным представлениям элемента
η
U в виде Σ ик Θ Vk, Uk G ТЕ, vk G TF.
fe=l
Предложение 6.1.3. Предпорма || · ||h β бимодуле Τ (Ε ® F)
удовлетворяет первой аксиоме Руана.
< Мы напомним (ср. с § 5.2), что пространство ТЕ ® TF', будучи
Р
рассмотрено как тензорное произведение левого и правого
сжимающих β-модулей, обладает канонической структурой сжимающего
23-бимодуля (т. е. того, что мы зовем просто бимодулем). При этом 0,
очевидно, является морфизмом соответствующих бимодулей. Таким
образом, (Т(Е (8) F), || · ||h) — это образ сжимающего бимодуля
относительно коизометрического бимодульного морфизма. Дальше ясно.
>
Предложение 6.1.4. Пусть G — квантовое пространство,
ΊΖ: Ε χ F —> G — сильно вполне ограниченный биоператор, R: Ε 0 F —>
—> G — ассоциированный линейный оператор. Тогда размножение
Roc: Τ [Ε (8) F) —> TG — ограниченный оператор относительно
преднормы || · ||ь и заданной квантовой нормы в G. При этом
||р || N'T) ||
П-^оо II — || /^||scb ·
< Рассмотрим диаграмму
ТЕ
где Rs — оператор, ассоциированный с сильным размножением
ΊΖ8: ТЕ χ TF —> TG биоператора ΊΖ. В силу свойства
универсальности «классической» проективной нормы (ср. с § 5.1), выполнено
ll^llscb = ll^s||· Далее, нехитрые выкладки с элементарными тензорами
в ТЕ 0 TF показывают, что эта диаграмма коммутативна. С
учетом того, что Θ — коизометрический оператор, отсюда следует, что
Ц^ооЦ = ||^RS||· Дальше ясно. >
Предложение 6.1.5. На самом деле || · ||ь — это норма.
По всей видимости, нижний индекс «h» используется в литературе в честь Уффе
Хаагерупа. Что делать, заглавное «Н» уже давно зарезервировано для Гильберта...

6.1. ХААГЕРУПОВО ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
127
< Объединяя предложения 1.2.2 и 6.1.3, мы видим, что достаточно
показать следующее: для ненулевого элементарного тензора aw, a G Τ,
w G Ε 0 F, выполнено ||сш;||ь > 0.
Поскольку w φ 0, то, как хорошо известно (см., например,
доказательство в [133, предложение 2.7.6]), существуют ограниченные
функционалы /: Ε ^ С и д: F —> С такие, что (/ ® g)w Φ 0. Положим в
предыдущем предложении ΊΖ : = / х д: Ε χ F ^ С На основании предложе-
ния 4.2.2 ΊΖ сильно вполне ограничен, и ||7£||8Сь = II /IIIIΡII · Поскольку
в нашем случае, разумеется, R = f ® д, предложение 6.1.4 дает
равенство ||i?oo|| = 11/11 \\д\\. Но, очевидно, ROQ{aw) = [(/ (g) g)(w)]a. Отсюда,
поскольку а φ 0 и (/ (8) g)w Φ 0, выполнено ||Доо||||сш;||ь ^ ||-Roo(aw)|| > 0.
Дальше ясно. >
С этого момента мы будем называть || · ||h хаагеруповой нормой.
Теперь мы покажем, что выражение (6.1.2) для хаагеруповой нормы
может быть упрощено. Помимо самостоятельного интереса, это
поможет сократить некоторые дальнейшие доказательства.
Предложение 6.1.6. Каждый U G Т(Е ® F) может быть
представлен как («одинокий символ Эффроса») и Θ ν, и G ТЕ, ν G ТЕ\
и имеет место равенство
||C/||h:=inf{||u||||i;||}, (6.1.3)
где нижняя грань взята по всем возможным представлениям U в
указанном виде.
< Возьмем ε > 0. В силу равенства (6.1.2) существует представление
η η
U = Σ uk Θ Vk такое, что ^ ll^fcIllicitII < ll^llh + ε· Выберем изометри-
fc=l fc=l
ческие операторы Si,..., Sn £ В с попарно ортогональными финальны-
п η
ми проекторами, скажем Р&, и положим и := ^ Uk · S^ v := ^ Sfc · Vfe.
fc=l fc=l
Тогда, на основании (6.1.1) и (0.2.1), выполнено
η η
uQv= ^2 ukSlSi Qyl = ^ukQvk = U.
fe,/ = l fc=l
Далее, из равенств (0.2.1) очевидным образом следует, что Рк
является для каждого к правым носителем элемента ик · S^ и
одновременно левым носителем элемента Sk · Vki к = 1,... , гг. Наконец, ТЕ и ТЕ
суть руановы бимодули. Поэтому, на основании предложения 1.1.12,
/ η \ 1/2 / η ч 1/2
выполнено \\и\\ ^ ( Σ \\ик\\2) и 1М1 ^ ( Σ ll^fell2) · Умножая, если
4=1 ' 4=1 '
потребуется, соответствующие элементы на подходящие скаляры, мы

128 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
вправе считать, что ||г^|| = \\vk\\ для всех к. Но отсюда вытекает, что
η
11411141 ^ Σ llu^||2 < \\U\\h + ε. Поскольку ε > О произволен, нижняя
fc=l
грань в (6.1.3) не превосходит ||С/||ь· Обратное неравенство очевидно, >
Предложение 6.1.7. Хаагерупова норма в Т(Е ® Р) удовлетворяет
второй аксиоме Руана.
< Пусть [/,Vg Т{Е ® Р) обладают ортогональными носителями Pi
и Ρ*}. Поменяв местами, если потребуется, U и V и заменив V на tV,
t < 1, мы всегда вправе считать, что \\U\\h > ||^4|ь·
Используя предыдущее предложение, возьмем ε с 0 < ε < \\U\\h —
— ||У||ь и представления U — и\ Θ ν\, V — U2 Θ V2 такие, что \\ui\\ \\νι\\ <
< \\U\\h. + ε и Цг^Н ||^2|| < ||^||h + ε. Мы можем, конечно, считать, что
и\ = Р\ - и\, U2 = Р2 ' ^2·, v\ — v\ · Pi, V2 = V2 - P21 а также что ||ui|| ^
^ ||u2|| и ||ι;ι|| ^ ||^2II·
Теперь возьмем изометрические операторы Sk, к — 1,2, с
ортогональными финальными проекторами и положим и := и\ · S\ + 112 · S^,
г; := 5ι · ι;ι + S2 · г^·
Из (0.2.1) легко следует, что u0i; = [/ + У и, следовательно,
\\U + У||ь ^ 11411141· ^ ДРУг°й стороны, слагаемые элемента и
очевидным образом удовлетворяют условиям предложение 1.1.9, и поэтому
||ΐζ|| = max{||ui||, Цг^Ц} = ll^ill· Аналогично, выполнено ||4| = \\v\\\. Как
следствие, \\U + У||ь ^ ll^illll^ill < ll^llh + ε· Поскольку ε>0
произволен, справедлива оценка ||С/ + У||ь^||С/||ь· Таким образом, хаагерупова
норма удовлетворяет (RII ), и остается применить предложения 1.1.4
и 6.1.3. >
Объединяя предложения 6.1.3 и 6.1.7, мы получаем
Следствие 6.1.8. Хаагерупова норма является квантовой нормой
в E®F.
Мы будем обозначать построенное квантовое пространство через
h
Ε 0 Ρ, а его пополнение (см. гл. 3) через Ε (8) Р. (Для квантовой нор-
h
мы в последнем пространстве мы сохраним обозначение || · ||h·) Иногда,
h
когда это не вызовет путаницы, те же символы Ε 0 F и Ε 0 F будут
h
обозначать и соответствующие подлежащие пространства. Наконец, мы
рассмотрим, вместе с каноническим биоператором #: Ε χ Ρ —> Ε (8) Ρ',
h h
(ж, у) \-^ χ (8) у, его копродолжение $ь · Ε χ Ρ —> Ρ (8) Ρ.
h
Пространство Ρ (8) Ρ, разумеется, плотно в Ρ (8) Р. Но то же самое,
h _ _ _ _
конечно, верно и для пространств Р(8)Р,Р(8)РиР(8)Р. Поэтому с точ-
h h h

6.1. ХААГЕРУПОВО ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
129
ностью до полных изометрических изоморфизмов имеет место
отождествление
E®F = E®F = E®F = E®F. (6.1.4)
Теорема 6.1.9. Пусть G — произвольное нормированное
{соответственно банахово) квантовое пространство, и ΊΖ: Ε χ F —> G —
произвольный сильно вполне ограниченный биоператор. Тогда существует
единственный вполне ограниченный оператор R: Ε (8) F —> G (соответ-
h h
ственно R: Ε (8) F —> G) такой, что диаграмма
Ε χ F
E®F -^^ G
h
(соответственно
Ε χ F
E0F -^->- G)
коммутативна. При этом выполнено равенство ||Д||сь = ||^||scb·
< Что касается непополненного случая, то чистая алгебра
доставляет единственный линейный оператор Д, делающий первую диаграмму
коммутативной, и желаемое равенство следует из предложения 6.1.4.
В пополненном случае мы снова обозначим через R продолжение со-
h
ответствующего оператора на Ε (8) F', доставляемое свойством
универсальности квантового пополнения (см. предложение 3.4). Мы получаем
оператор с той же вполне ограниченной нормой, делающий вторую
диаграмму коммутативной. Единственность такого оператора очевидным
образом следует из единственности указанного продолжения (см. там
снсе). >
Заметим, что для и G ТЕ, ν G TF выполнено
||#s(u5i;)||h = ll^O^Hh < IMIIMI,
и это означает, что биоператоры ϋ и $h — сильно вполне сжимающие.
Поэтому из предыдущей теоремы сразу вытекает важное утверждение.
Теорема 6.1.10 («теорема существования»). Пара (Е ® F,u) явля-
h
ется нормированным (= непополненным) хаагеруповым тензорным

130 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
h ^
произведением, а пара (£" ® F, $ь) ~~ банаховым (= пополненным)
хаагеруповым тензорным произведением нормированных квантовых
пространств Ε и F. о
Теперь мы покажем, что нормированное (непополненное) хаагерупо-
во тензорное произведение может быть реализовано как «настоящее»
проективное тензорное произведение, но только не просто пространств,
а некоторых модулей.
Поскольку наши размножения суть сжимающие 23-бимодули, мы
можем применять к ним общие конструкции, упомянутые в § 5.2, с В в
качестве А, ТЕ в качестве X и ТЕ в качестве У. В частности,
рассматривая ТЕ как левый, а ТЕ как правый модули, мы можем говорить
о ТЕ ® ТЕ как о сжимающем бимодуле. Далее, взяв тензорное произ-
р
ведение ТЕ ® ТЕ соответствующих правого и левого модулей, но помня
Б
об остающихся внешних умножениях, мы можем говорить и о ТЕ ® ТЕ
Б
как о сжимающем бимодуле. Напомним, что соответствующее фактор-
отображение г: ТЕ (8) ТЕ —> ТЕ ® ТЕ — это морфизм 23-бимодулей.
Ρ Б
Как было отмечено ранее (см. (6.1.1)), сильное размножение
$s: ТЕ χ ТЕ —> Т(Е (g) F) — это сбалансированный биоператор.
Поэтому, в силу свойства универсальности (одностороннего) модульного
тензорного произведения (см. там же), #s порождает сжимающий
оператор ©б : FE 0 ТЕ —> Т{Е ® F), корректно определенный правилом
Б
и ® ν \-^ uJu,v).
Б
Теорема 6.1.11. Оператор Θβ — изометрический бимодулъный
изоморфизм между ТЕ 0 ТЕ и Т(Е 0 F).
Б h
< Рассмотрим диаграмму
ТЕ® ТЕ
ρ
Υ
ТЕ ® ТЕ > Т(Е <g> F).
β Θβ h
Отображения Θ и г являются, как мы помним, морфизмами
23-бимодулей, и оба они, будучи факторотображениями, суть коизомет-
рические операторы. Поскольку наша диаграмма, очевидно,
коммутативна, оператор ©в также обладает обоими этими свойствами. Поэтому
все, что нам нужно, — это показать, что оператор ©# инъективен.

6.1. ХААГЕРУПОВО ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
131
η
Пусть U £ ТЕ (8) ТЕ имеет вид У] ак%к ® ЬкУг, а&, &fc G Τ\ Хк £ Е,
& к=1 &
у к G F. Возьмем конечномерный проектор Ρ в L такой, что Рак = ctk
для всех /с. Используя равенства (5.2.2) и помня, что ТЕ ® ТЕ = Τ ®
®\Е ® TF], мы получаем равенства
η η
В ^-^ В
к=1 к=1
и = У^ Ракхк Θ Ъкук = У^ Рхь ' ак ® Ькук =
к=\
П (
к=1 в
■fe=l
Но, отождествляя £" (8) ^*F с Т(Е ® F) путем перестановки тензорных
η
сомножителей, мы видим, что элемент Σ хк ® (&кЬк)Ук £ Ε ® ТЕ сов-
п к=1
падает с ^ (o>kbk)(xk ® Ук)·, т. е. с &b(U). Таким образом, &b(U) = О
fe=l
влечет С/ = т(Р ® 0) = 0. >
Замечание 6.1.12. Наше рассуждение показывает, что мы установили
изоморфизм между алгебраическим модульным тензорным произведением модулей ТЕ
и TF и пространством Т{Е ® F). Таким образом, это алгебраическое тензорное
произведение совпадает с нормированным тензорным произведением ТЕ (g) TF или,
В
что эквивалентно, подпространство span {χ - а ® у — ж (g) α · у, а £ Τ, χ £ Е, у Ε F}
автоматически замкнуто в ТЕ (g) TF. Однако это наблюдение нам не понадобится.
ρ
Замечание 6.1.13. Обратившись к пополненному хаагерупову тензорному про-
h
изведению и пытаясь представить пространство Т{Е (g) F) в виде какого-либо
разумного модульного тензорного произведения, мы сталкиваемся с объективными
затруднениями. Подробное обсуждение этого довольно деликатного вопроса выходит
за рамки нашего текста. Мы только дадим краткие неформальные комментарии.
Дело в том, что алгебраическое тензорное произведение двух бесконечномерных
нормированных пространств, будучи снабжено осмысленной нормой, никогда не
бывает полно. (Точнее, оно не бывает полным, когда ограниченные функционалы на
одном из тензорных сомножителей порождают ограниченные послойные (slice) опе-
h
раторы.) Поэтому мы не можем представить Т(Е (g) F) в виде ТЕ' (g) TF1', какие бы
В
мы ни брали бесконечномерные квантовые пространства Ег и Ff: ведь мы получим,
по теореме 6.1.11, квантовое пространство с неполным подлежащим пространством
h h
n\(Ef (g) F;), в то время как П\(Е (g) F) полно. С другой стороны, Т{Е (g) F), будучи
h
само неполным, не может быть представлено как пополненное модульное тензорное
произведение Χ (g) Υ некоторых нормированных модулей X и Υ. Как последнее спа-
В h
сительное средство, можно попытаться представить пространство Т{Е (g) F) в виде
непополненного тензорного произведения «(g)» двух банаховых модулей, каким-то
В
образом построенных, исходя из ТЕ и TF. Но и это предприятие выглядит
сомнительным: по крайней мере, наиболее естественные кандидаты, ТЕ и TF, не годятся.

132 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
В самом деле, можно показать, что ТНС ® ТНТ изометрически изоморфно T{L ® L)
h Б
и, таким образом, в отличие от Т{Е ® F), является полным.
h
Что мы в состоянии сделать, так это изометрически вложить Т{Е ® F) как
плотное подпространство в некоторое банахово модульное тензорное произведение,
а именно в ТЕ ® TF. Чтобы это показать, можно взять оператор Т(Е ® F) —
В h
= ТЕ ® TF —> ТЕ ® TF\ корректно определенный правилом и ® υ \-^ и (g) υ. Такой
В В В В
оператор является изометрическим. (И это несмотря на то, что, как можно заметить,
оба пространства суть факторпространства соответственно пространств ТЕ ® TF
ρ
и ТЕ ® TF по различным подпространствам.) Поэтому непрерывное бипродолже-
ние указанного оператора — то вложение, которое нам нужно. Но довольно об этом
вопросе.
Замечание 6.1.14. Доказывая теорему существования, мы
предъявили явную конструкцию хаагерупова тензорного произведения, так
сказать, «сверху» или «проективным образом», беря норму
некоторого факторпространства. Замечательный факт состоит в том, что это
же квантовое тензорное произведение может быть построено
совершенно другим способом, «снизу» или «инъективным образом», путем
взятия нормы некоторого подпространства. Этот факт — будущая
теорема 11.1.6, которую мы полностью докажем значительно позже. Тем не
менее, для того, чтобы сориентировать читателя, нам представляется
целесообразным объяснить уже сейчас, о чем она говорит. А именно,
для наших квантовых пространств Ε и F существует гильбертово
пространство ТС (вообще говоря, далекое от сепарабельности) и два
вполне сжимающих оператора Φ: Ε —> В (Τι) ϋΦ:ί^ В (ТС) такие,
что для каждого U G T(E ® F) выполнено
h
Ι№ = ΙΙ(Φ·Φ)οο(ΐΟΙΙ,
где Φ · Φ: Ε (8) F —> В (ТС) — оператор, корректно определенный тем,
h
что он переводит χ ® у в операторную композицию Φ (ж) Φ (г/).
Иными словами, для некоторых ТС, Φ и Φ (см. выше) указанный оператор
Φ · Φ оказывается изометрическим, и квантовая норма в Ε (8) F — это
h
в точности конкретная квантовая норма, индуцированная этим
изометрическим вложением.
Подобный подход (ср. с определением нормы || · ||# в § 11.1), по-
видимому, берет свое начало в статье Полсена и Смита [90].
Теперь мы сосредоточимся на том важном случае, когда наши
квантовые пространства явно заданы как операторные пространства.
Прежде всего давайте сравним хаагерупову и конкретную квантовые нормы
в соответствующем тензорном произведении.

6.1. ХААГЕРУПОВО ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
133
Предложение 6.1.15. Пусть Ε и F — операторные пространства с
конкретными квантовыми нормами. Тогда имеет место оценка || · || ^
<
где
обозначает конкретную квантовую норму в Ε ® F.
< Из предложения 4.2.10 сразу следует, что биоператор #: Ε χ F —>
—> Ε (8) F является сильно вполне сжимающим. Поэтому определение
хаагерупова тензорного произведения, с $, взятым в качестве ΊΖ, дает то,
что 1: Ε (8) F —> Ε (8) F — вполне сжимающий оператор. Дальше ясно, о
h
В рассматриваемом случае хаагерупова норма может быть
вычислена с помощью некоторой полезной формулы. Последняя носит, говоря
нестрого, «локальный» характер: хаагерупова норма заданного
элемента с выбранным носителем может быть вычислена с использованием
элементов, обладающих тем же носителем.
Вначале нам понадобится подготовительное утверждение,
которое, в свою очередь, опирается на следующее наблюдение. Пусть
Ε С В(Н,К) — операторное пространство, и, стало быть, ТЕ
отождествлено с Τ ® Ε. Тогда имеют место очевидные тождества
а · и = (а (8) 1κ)ν> и и-а = и(а®1ъ), аеВ, иеТЕ. (6.1.5)
Лемма 6.1.16. Пусть Ε С В{Н\,К\) и F С В^Нъ^Къ) ~~
операторные пространства с конкретными квантованиями, ν G ТЕ и w G TF.
Пусть, далее, Q G В — такой проектор, что ν — ν · Q и w — Q · w,
a Sk £ В, k = 1,... ,n, — частично изометрические операторы с
такими попарно ортогональными финальными проекторами Qk, что Q —
η
— Σ Qk- Тогда, если мы положим Vk := ν · Sk и Wk := S^ · w, то вы-
fe=l
полнены равенства
vv
= Σ
fe=l
VkVk;
w
*W = Z^WkWk U V Q W = /]vk 0 Wk-
fe=l
fe=l
< Первые две желаемых формулы легко следуют из условий на ζ),
равенств Qk — SkS% и тождеств (6.1.5). Аналогично рассуждая, но с
использованием (6.1.1) вместо (6.1.5), мы легко получаем третью
формулу. >
Теорема 6.1.17. Пусть Ε и F — те же, что и выше, a U —
элемент пространства Т{Е ® F). Тогда
(i) выполнено равенство
\и\
inf«
Σ
fc=l
Wfc
1/2 11 η
J2w*kWk
fc=l
1/2·

134 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
где нижняя грань взята по всем возможным представлениям U в виде
η
fe=l
(ii) пусть Ρ — конечномерный носитель элемента U. Тогда
нижняя грань в указанном равенстве может быть взята только по
таким представлениям элемента U, в которых все ν к £ ТЕ и Wk £ TF
таксисе обладают носителем Р.
< Обозначим через М\ множество чисел |Н|||г<;||, где (г; £ ТЕ,
w £ TF) — такие всевозможные пары, что U = ν Θ w. Далее, обозначим
множества чисел, нижняя грань которых рассмотрена в (i) и (ii),
соответственно через М.2 и М%. На основании предложения 6.1.6, достаточно
показать, что все три множества совпадают.
Сперва возьмем число из Μ ι и соответствующие ν и w. Конечно, мы
можем считать без потери общности, что ν — Ρ · ν nw — w · P. Также
ясно, что существует конечномерный проектор Q £ Τ такой, что и — и · Q
η
и w — Q · w. Более того, мы можем считать, что Q — ^ Qb гДе Qk —
fc=l
попарно ортогональные проекторы той же размерности, что и Р. Пусть
Sk — частично изометрические операторы с инициальным проектором
Ρ и финальными проекторами Qk- Теперь возьмем Vk и Wk, указанные
в предыдущей лемме. Объединяя первые две формулы, фигурирующие
в этой лемме, с операторным С*-тождеством, мы видим, что
I мм и м *||1/2ц * ||1/2
\V \\\\W = \\W \\ ' \\W W\\ ' =
fc=l
1/2
Σ^ Σ^^
= 1
1/2
Далее, благодаря (0.2.1) все Vk и Wk имеют носитель Р. Таким образом,
Mi CM3.
Теперь возьмем число из М2 и соответствующие ^ и ^. Пусть
Sk £ Τ, k — 1,..., η, — произвольные изометрические операторы с
попарно ортогональными финальными проекторами. Положим ν :=
η η
:= Σ vk ' S%, и w := "}2 Sk - Wk- Тогда, с помощью равенств (6.1.1)
fe=l fe=l
η η
и (0.2.1), получаем U = ν Θ w, νν* = ^ vk^l и w*w = Σ wlwk- Как
fe=l fe=l
следствие, в силу операторного С*-тождества, наше число — это в
точности || ν || || w ||. Отсюда М2 С Μχ. Поскольку, разумеется, М% С М2, мы
ВИДИМ, ЧТО Μι = М2 — М3. >
Как выдающийся частный случай, мы получаем формулу для нормы
в подлежащем нормированном пространстве квантового пространства
Е®Е.
h

6.1. ХААГЕРУПОВО ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
135
Теорема 6.1.18. Пусть Ε и F — те же, что и выше, и £ П(Е <g> F).
Тогда
Ml = inf<
Σ
к=1
*
1/2
η
^УкУк
к=1
1/2"
где нижняя грань взята по всем возможным представлениям элемен-
п
та и в виде ^ Хк ® Ук, %к G Е, ук £ F.
к=1
< Выберем одномерный проектор ρ в L и положим в предыдущей
теореме U := ри и Ρ := р. Обозначим через Μι и Мъ множества
чисел, нижняя грань которых фигурирует соответственно в п. (и) этой
теоремы и в настоящей теореме. Поскольку \и\ = Ц^жЦь, достаточно
показать, что оба множества совпадают.
Возьмем число из М\ и соответствующие Vk,Wk- Наши Vk, будучи
равными ρ · Vk · ρ, суть суммы нескольких тензоров вида αχ, где а = рар,
и, следовательно, а пропорционален р. Поэтому ν к — рхк для
некоторого Хк- Аналогично, Wk — РУк Для некоторого у к- Далее, имеют место
равенства
ри
η η / η
= ^Vk®Wk = Σρχ,ί ®РУк = pwZ
fc=l fc=l \=1
Xk ®Ук
η
и, следовательно, и= Σ хк ® Ук- Теперь заметим, что
/е=1
Ρ
η
■fe=l
η
η
^2,XkX%\ = ΣΡΡ* ®Хк%1 = ^^{Р ® ^к){р ® ХкУ =
к=1
к=1
η
η
= ^2(рхк){рхкУ = Σνι*ν*· С6·1·6)
fe=l
fe=l
Поэтому
Σ хкх
fc=l
fe=l
η
, и сходным образом
Отсюда следует, что Μι С М2.
η
Σ 2/fc2/fc
fe=l
Σ ww
fe=l '
Теперь возьмем число из М<± и соответствующие Хк,Ук- Положим
η
Vk := рхк·) w>k '-= РУк- Тогда, конечно, ри — ^] ^ 0^, и ρ — носитель
к=1
всех Vk,Wk· Далее, выполнены те же равенства (6.1.6), и поэтому снова
П ι
Σ Хкхк\
fc=l '
=
1 п I
'fc=l '
и
Σ ί/fei/fe
/e=l
Σ Wfe^fe
/e=l
Но теперь,
поскольку мы начали с Хк и у к, это влечет соотношение Μι С Μχ. Дальше
ясно. >

136 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Рассмотрим эту теорему для случая, когда наши операторные
пространства суть операторные С*-алгебры. Тогда, объединив ее с
предложением 1.3.16, мы немедленно получаем такое следствие.
Следствие 6.1.19. Пусть А и В — (абстрактные) С*-алгебры со
стандартным квантованием. Тогда для каждого и G П(А®В)
выполнено
lull = inf«
fc=l
1/2
Σα*^ \u2bkb
fc=l
1/2-
где нижняя грань взята по всевозможным представлениям элемента
η
и в виде Σ ak ® bk, ak £ A, bk £ В.
fc=l
Именно это равенство было взято Эффросом и Кишимото [36]
в 1987 г. в качестве первоначального определения хаагеруповой нормы,
тогда еще в классическом контексте и только для (7*-алгебр.
§ 6.2. Операторно-проективное тензорное произведение
Наше второе основное квантовое тензорное произведение
определяется следующим образом.
Определение 6.2.1. Пара (Θ,#), состоящая из нормированного
квантового пространства Θ и биоператора θ: Ε χ F —> Θ, называется
нормированным (или непополненным) операторно-проективным
тензорным произведением указанных нормированных квантовых
пространств, если она обладает свойством универсальности для класса всех
слабо вполне сжимающих биоператоров из Ε χ F в нормированные
квантовые пространства.
Как и в «хаагеруповом случае», заменяя в конце этой фразы
слова «нормированные квантовые пространства» на «банаховы квантовые
пространства», мы получаем определение банахова (или
пополненного) операторно-проективного тензорного произведения наших
нормированных квантовых пространств.
Замечание 6.2.2. Это тензорное произведение было открыто (на языке матриц)
одновременно и независимо Эффросом и Руаном [40], а также Блечером и Пол
сеном [14] в 1991 г. Оно называется просто проективным тензорным произведением во
многих статьях и книгах, в первую очередь в [46]. Мы чувствуем, однако, что в нашем
«бескоординатном» изложении такой термин может привести к некоторой путанице
с классическим значением термина, приданным ему Гротендиком [52]. Более того,
если мы сравним имеющие отношение к делу квантовые нормы, то хаагерупово
тензорное произведение является, говоря неформально, даже «более проективным», чем
операторно-проективное (см. выше теорему 6.1.11). В то же время мы увидим, что
в ряде важных вопросов операторно-проективное тензорное произведение
действительно ведет себя образом, весьма похожим на поведение проективного тензорного
произведения в классическом функциональном анализе.

6.2. ОПЕРАТОРНО-ПРОЕКТИВНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 137
Очевидно, то, что было сказано в предыдущем параграфе о
теореме единственности для хаагерупова тензорного произведения, остается
справедливым, с точностью до очевидных модификаций, и для случая
операторно-проективного тензорного произведения. Мы оставляем
детали читателю.
Снова, чтобы доказать существование введенного объекта,
предъявим его явную конструкцию. Начав с того же канонического биопе-
ратора $, рассмотрим его слабое размножение #w. Мы будем писать
и <0 ν вместо #w(i£,i;), и G ТЕ, v G TF. Разумеется, эта
продолженная «бубновая операция» корректно определена равенством ах §Ъу =
= (а 0 6)(ж ® у) и, следовательно, по билинейности, удовлетворяет
тождеству
(а 0 Ъ) · (и 0 υ) · (с 0 d) = (а - и - с) 0 (6 - ν · d). (6.2.1)
Пусть <0: «Fi? (8) FF —> F(F ® F) — линейный оператор,
ассоциированный с i?w; он корректно определен равенством §(и® v) =u§ v.
Замечание 6.2.3. Напомним, что ТЕ (g) TF как линейное пространство может
быть отождествлено cT®T®E®F. После этого отождествления оператор <0>, как
легко видеть, оказывается частным случаем нашего старого знакомого —
размножающего оператора: он превращается в >ce®f·
Пытаясь поступать по аналогии с построением явной конструкции
хаагерупова тензорного произведения, мы в какой-то момент
испытываем некоторое разочарование: оператор <0, по контрасту с 0, не обязан
быть сюръективным. Однако другой, слегка более сложный оператор
обладает этим привлекательным свойством. Мы приходим к этому
оператору, сделав следующее наблюдение.
Лемма 6.2.4. Каждый a G Τ имеет вид Ъ(с 0 c)d для некоторых
b,c,deT.
< Мы знаем, что а имеет вид а = ^ ξ& Ο η к Для каких-то £&, % £ L.
fc=l
Возьмем произвольную ортонормированную систему ei,..., еп G L,
операторы Ь7, df G Τ такие, что, в обозначениях § 0.3, £k — bf(ek 0 е/с)? ^к —
= d!(e,k 0 ек)-> и проектор Ρ G Τ с образом spanjei <0 ei,..., еп <0 еп}.
Тогда, в силу (0.2.2) и (0.3.2), выполнено
п п
а = Y,{b'{ek 0 ек)) О (d'(ek 0 ек) = Ь'Р ^ [(efc 0 е,) О (ек 0 ez)]Pdr* =
= 6'Р Σ [(ек О efe) 0 (е, О e,)]Pd'* =
fe,i=l
= 6'Р
^Oefc) 0 £(etOek)
4fe=l ' ^fc=l
Pd
/*

138 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
η
Остается положить Ъ := Ь'Р, с := ^ (е/е О ек) и d := Pd7*. >
fe = l
Замечание 6.2.5. Используя несколько более длинное рассуждение, можно
показать, что в формулировке этой леммы алгебра Τ допускает замену на /С.
Теперь мы введем оператор <·>: Τ ® ТЕ ® TF ® Τ —> Τ [Ε ® F),
ассоциированный с 4-линейным оператором (Ь, u, v, d) ь^ Ъ · (и <0 г;) · d.
Предложение 6.2.6. Оператор <·> сюрзективен.
< Из леммы 6.2.4 следует, что элемент пространства T(E(&F) вида
α(χ Θ ?/) равен 6 · (с 0 с)(ж (8> ?/) · d, т. е. принадлежит образу нашего <·>.
Остается напомнить, что произвольный элемент в Т(Е ® F) является
суммой нескольких элементов указанного вида. >
Таким образом, Т(Е ® F) может быть отождествлено с факторпро-
странством пространства Τ ® ТЕ ® ТЕ ® Т. Наделим последнее
пространство проективной нормой || · ||р (см. § 5.1) и рассмотрим
соответствующую факторпреднорму в Т[Е ® F), которую мы обозначим через
|| · ||4- Иными словами, наша преднорма определена с помощью
равенства
||с/||4 := inf< ^||afe||||^fe||||^fe||||bfe|| >, (6.2.2)
где нижняя грань взята по всем возможным представлениям элемента
U в виде
η
У^ ак - (ик 0 Vk) - Ьк, ak,bk е Τ, ик е ТЕ, vk G TF.
fe=l
Заметим, что оператор <·> является коизометрическим относительно
|| · ||ρ и || · ||4· Кроме того, <§> — это, очевидно, бимодульный морфизм
относительно бимодульной структуры в Τ (8) ТЕ (8) TF (8) Т,
рассмотренном как тензорное произведение левого 23-модуля Τ, линейного
пространства ТЕ ® TF и правого 23-модуля Т. (Напоминаем, что
внешние операции в этом бимодуле однозначно определены правилами
а · (6 (8) U (8) с) := аЪ 0 U 0 с и (а 0 U 0 Ь) · с := а 0 U 0 be; a,b,c G Τ,
U eTE®TF.)
Предложение 6.2.7. Преднорма \\ · \\а в В-бимодуле Т{Е ® F)
удовлетворяет первой аксиоме Руана.
< Рассуждение, доказывающее предложение 6.1.3, проходит, с
очевидными модификациями, и здесь, так что мы его опустим. >
Предложение 6.2.8. Пусть G — квантовое пространство, ΊΖ: Ε χ
χ F —> G — слабо вполне ограниченный биоператор, R: Ε (8) F —> G —
ассоциированный с ним линейный оператор. Тогда размножение

§6.2. ОПЕРАТОРНО-ПРОЕКТИВНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 139
Roc: Τ [Ε ® F) —> TG является ограниченным оператором
относительно преднормы \\ · Ц4 и квантовой нормы в G. При этом \\Roo\\ —
— ||7^||web (ср. с предложением 6.1.4).
< Рассмотрим 4-линейный оператор S: Τ х ТЕ χ TF χ Τ —>
—> JFG, (a,u,v,b) \-^ a · 7Zw(u,v) · 6. Поскольку G удовлетворяет
аксиоме (Ш), мы легко усматриваем, что слабая полная
ограниченность биоператора 7£ влечет (обычную) ограниченность
нашего <S, и ||S|| ^ ||7^w||· В то же время благодаря предложению 1.2.5
выполнено 7Zw(u,v) — lim S{av,u,v,OLv) Ε TG, где α^ — произ-
вольная аппроксимативная единица в Τ нормы 1. Как следствие,
||7^w(u,'u)|| ^ ||<S|| · 1 · |М||М| · 1. Таким образом, ограниченность S
влечет слабо полную ограниченность ΊΖ, и ||7£w|| ^ ||<S||. Поэтому оба вида
ограниченности эквивалентны, и ||5|| = ||7£||Wcb·
Теперь рассмотрим диаграмму
Τ Θ ТЕ ® TF ® Τ
Т(Е ® F) —— >■ TG,
где S — оператор, ассоциированный с 4-линейным оператором S. В
силу свойства универсальности проективного тензорного произведения
нескольких нормированных пространств (ср. с § 5.1), выполнено \\S\\ =
= ||51|. Далее, нехитрые выкладки с элементарными тензорами в Τ (8>
(8) ТЕ 0 ^*F 0 ^* показывают, что эта диаграмма коммутативна.
Отсюда следует, с учетом коизометричности оператора <$>, что ||Доо|| = \\S\\.
Дальше ясно. >
Предложение 6.2.9. Имеет место оценка Ц-Ць^ЦЧк; как
следствие, || · ||4 является нормой.
< Мы знаем, что канонический биоператор fi-.ExF^E^F
является сильно вполне сжимающим относительно квантовых норм в Е, F
и (квантовой) хаагеруповой нормы в Ε (8) F. Следовательно, в силу
теоремы 4.1.3, он является и слабо вполне сжимающим относительно тех
же квантовых норм. Возьмем его в качестве 7Ζ из предыдущего
предложения. В такой ситуации R — это, конечно, тождественный
оператор в Ε (8) jF, a Roo — тождественный оператор из (Т(Е (8) F), || · Ц4) на
(Т(Е (8) F), || · ||ь). Благодаря тому же предложению ||Доо|| ^ 1. Дальше
ясно. >
С этого момента мы будем называть || · Ц4 операторно-проективной
нормой.

140 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Предложение 6.2.10. Каждый U G T(E ® F) может быть
представлен как («одинокий бубен с оснащением»)
а - (и() ν) -Ъ
где a, fe G Τ ^и G TE^ v G TF. При этом выполнено равенство
||C/||4:=inf{||a||||u||||i;||||b||}? (6.2.3)
где нижняя грань взята по всевозможным представлениям элемента
U в указанном виде (ср. с предложением 6.1.6).
< Зададим ε > 0. В силу (6.2.2), существует представление элемента
η η
U в виде Σ ak · {uk 0 Vk) · bk такое, что Σ ll«fe||||^fe||||^fe||||bfe|| <
fe=l fe=l
< I)U||4 + ε. Выберем изометрические операторы S\,... ,Sn€iB с
попарно ортогональными финальными проекторами, скажем, Рк и положим
η η
а := J^afe(5fe 0 5£), гх := ^^Sk · uk · 5£,
fe=l fe=l
η η
Тогда, конечно, выполнено
η
a.(u0v).b=J2 a^Sk 0 ^) · i(Si · ^ · St) 0 ($ · Vi · S*)] · (5,- 0 S3)b3,
k,l,ij = l
и простые выкладки, использующие формулы (6.2.1) и (0.2.1),
показывают, что а - (и() v) -h = U.
Умножая, если потребуется, элементы и операторы в выражении для
U на подходящие скаляры, мы вправе считать, что ||а&|| = ||&&|| и \\ик\\ =
η
— \\vk\\ — 1 Для всех /с, и, таким образом, Σ ||a/c||2 < Н^ЛЦ + ε·
fe=l
Теперь мы видим, что и — это сумма нескольких элементов нормы 1
с попарно ортогональными носителями, а именно Р/с, и то же самое
верно и для v. Поэтому, в силу (RII), выполнено \\и\\ = ||г;|| = 1.
Наконец, операторное С*-тождество вместе с равенствами (0.3.1)
и п м1/2 / п \1/2
и (0.2.1) дает оценку ||а|| = \\Σ а/са£ ^ ( Σ ΙΙα&||2) · Сходные
кладки, с учетом \\ак\\ — ||&fe||, дают такую же оценку для ||Ь||. Как
следствие,
ie вы-
\аII\\иIIII^11IIЩ ^ У^ \\ак\\2 < IIс^II4 + ε.
fc=l

§6.2. ОПЕРАТОРНО-ПРОЕКТИВНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 141
Поскольку ε > О произволен, из этого следует, что нижняя грань
в (6.2.3) не превосходит ЦС/Ц4· Обратное неравенство очевидно. >
Предложение 6.2.11. Операторно-проективная норма в Т{Е ® F)
удовлетворяет второй аксиоме Руана.
< Пусть Uk £ Т{Е ® F), к = 1, 2, обладают ортогональными
носителями Pfe. Снова (подобно доказательству предложения 6.1.7) мы можем
без потери общности считать, что ЦС/1Ц4 > ||С^2||4·
Используя предыдущее предложение, возьмем произвольный ε
такой, что 0 < ε < \\Ui\\4 — 11C/2114 ? и представление Uk = &/c · (^fe 0 ν к) ' bk
такое, что
l|afc|||WIINIIIIM < ||C/||4 + ε, к = 1,2.
Конечно, мы можем считать, что α& = Рк&к, bk = bkPk, \\uk\\ —
— 11^11 = 1? ^ = 1?2, а также ||αι|| ^ ||α2|| и ||&ι|| ^ ||&2||· В частности,
выполнено ||αι||||&ι|| < ||?7||4 + ε.
Теперь возьмем изометрические операторы Sk, к = 1,2, с
попарно ортогональными финальными проекторами, скажем, Qfc и положим
а := αϊ(5* 0 5*) + а2(52 0 5^), ^ := 5ι · щ · 5* + 52 · г^2 · 5^,
г; := 5ι · vi · 5* + 52 · ^2 · ^2 и ^ := № 0 £ι)&ι + (S2 О £2)62·
Из равенств (6.2.1) и (0.2.1) легко следует, что
U + V = а · (и 0 г;) · Ь.
(Эта ситуация, конечно, похожа на ту, что возникала в предыдущем
предложении, но теперь, к нашей радости, у нас η — 2.) Отсюда
следует, что \\U\ + С/2Ц4 ^ II&H |М| |М| ΙΙ&ΙΙ· Поскольку элементы Sk · Uk · S^
к — 1,2, обладают носителями Qb аксиомы (RII), а затем (RI) дают
равенство
\и\ = тах{||5/с · Uk · 5£||, к = 1, 2} = 1.
Аналогично ||г;|| = 1. Наконец, операторы а& (5^ <0 ££), /с = 1, 2,
обладают ортогональными левыми носителями Р&, /с = 1,2, и, ввиду (0.2.1),
ортогональными правыми носителями Qk 0 Qfe? A; = 1,2. Как хорошо
известно в теории операторов (или, если угодно, как частный случай
предложения 1.1.11 при X := Т\ из этих свойств слагаемых оператора
а вытекает, что
||a||=max{|K(Sfe*^Sfe*)||,/с = 1,2}
и, следовательно, в силу (7*-тождества, ||а|| = тах{||а&||, к = 1,2} =
= ||αι||. Сходным образом ||6|| = ||&ι||. Поэтому \\JJi + С/2Ц4 ^ ΙΙαι||||^ι|| <
< 11 C^i 114 + ε. Поскольку ε > 0 произволен, выполнено \\U + V\\4 ^ II^IU·

142 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Таким образом, операторно-проективная норма удовлетворяет (ШГ),
и остается применить предложения 1.1.4 и 6.2.7. >
Объединяя этот результат с предложением 6.2.7, мы получаем
Следствие 6.2.12. Операторно-проективная норма является
квантовой нормой в Ε (8) F.
Мы обозначим построенное квантовое пространство через E(&F,
4 4
а его пополнение через Ε ® F. В дальнейшем этот символ и другие
символы с индексом «4» (например, #4 и т· Д·)? будут использоваться
аналогично случаю индекса «h»; ср. со сказанным после следствия 6.1.8.
Теорема 6.2.13. Верно утверждение теоремы 6.1.9 с заменой
h ^
слов/символов «сильно», «(g)», «0», «$ь» и ||7^||scb на «слабо», «(g)»,
h 4
4 ^
«0», «$4» и ||^||wcb соответственно.
< Работает то же рассуждение, что и в теореме 6.1.9, но только
с предложением 6.2.8, заменяющим, в качестве главного используемого
орудия, предложение 6.1.4. >
Теперь мы немного усилим предложение 6.2.10.
Предложение 6.2.14. Равенство (6.2.3) остается верным, если
а и b пробегают всю В (а не только Т\
< Возьмем U Ε Τ {Ε ® F) и его произвольное представление в виде
«одинокого оснащенного бубна» а · (и (} ν) · Ь, где а, 6 Ε В. Пусть а^,
ν Ε Λ, — произвольная аппроксимативная единица в Τ нормы 1. Тогда
αν · U · αν — ανα{μ 0 v)bau, и поэтому выполнено
Но левая часть этого неравенства, ввиду предложения 1.2.5, сходится
к ||?7||4, а правая часть, очевидно, сходится к ||а|| \\и\\ \\v\\ \\b\\. Как
следствие, мы получаем оценку ЦС/Ц4 ^ ||αΙΙΙΜΙ ||г;|| ||Ь||. Поэтому ЦС/Щ не
превышает нижней грани чисел ||a||||u||||^||||fe||, взятой по всем
соответствующим представлениям элемента U. Обратное неравенство очевидно. >
Взяв «одинокий бубен» и «оснастив» его операторами а := Ъ := 1,
мы немедленно получаем
Следствие 6.2.15. Для всех и Ε ТЕ, ν Ε TF выполнено \\и Q уЦд ^
^ IMIIMI·
А это, в свою очередь, влечет
Предложение 6.2.16. В пространстве Ε ® F [т. е. в подлежащем
линейном пространстве обоих П(Е 0 F) и ПЕ 0 DF) имеет место
оценка || · Ц4 ^ || · ||р. р
< Возьмем xG^jGFh одномерный проектор ρ Ε Τ. Тогда
\χ®ν\ = ||(р0р)я®2/|| = 11рх Ои/11 ^ IMIIMI = INIWI-

§6.2. ОПЕРАТОРНО-ПРОЕКТИВНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 143
Поэтому || · ||4, будучи субкросснормой в ΏΕ ® DF, не превышает || · ||р
(ср. с § 5.1). >
Квантовая норма || · || в Ε 0 F называется квантовой
субкросснормой, соответственно квантовой кросснормой, если для каждых и G ТЕ,
v^TF выполнено Цг^О^Ц ^ IMIIMI? соответственно \и <0 v\ = \\u\\\\v\\.
Предложение 6.2.17. Операторно-проективная квантовая норма
является наибольшей из всех квантовых субкросснорм в Ε ® F.
< Пусть || · || — некоторая квантовая субкросснорма в Ε ® F.
Возьмем U Ε Τ{Ε ® F) и представим его в виде «одинокого
оснащенного бубна» а · (и Q υ) · υ. Тогда, согласно (Ш), выполнено
\\U\\ ^ ||а|| \\и\\ \\v\\ \\b\\. Остается применить предложение 6.2.10 и
напомнить о следствии 6.2.15. >
Замечание 6.2.18. На самом деле операторно-проективная норма является не
только квантовой субкросснормой, но и квантовой кросснормой. Это будет доказано
много позже, в предложении 9.2.3. Отсюда немедленно следует, что норма в
соответствующем подлежащем пространстве является (классической) кросснормой. Но
последний факт будет установлен более элементарными методами, и мы сделаем это
довольно скоро, в следствии 6.3.7.
Из следствия 6.2.15, разумеется, вытекает, что биоператоры i?hi?4
являются слабо вполне сжимающими. Отсюда, в объединении с
теоремой 6.2.13, следует
Теорема 6.2.19 («теорема существования»). Пара (Е (g) F, $) являетп-
4
ся нормированным (= непополненным) операторно-проективным тен-
4 ^
зорным произведением, а пара (Е (g) F, $) — банаховым (=
пополненным) операторно-проективным тензорным произведением
нормированных квантовых пространств Ε и F. о
Вот поучительный пример. Говоря неформально, следующее
наблюдение показывает, что, беря операторно-проективное тензорное
произведение максимальных квантовых пространств, мы остаемся во владениях
классического функционального анализа.
Теорема 6.2.20. Пусть Ε и F — нормированные пространства.
Тогда
4 Ρ
^max 09 ^max \^v 09 Γ Jmax ^ ^max 09 ^max \^v 09 Γ Jmax
4 ρ
с точностью до полного изометрического изоморфизма, оставляющего
на месте элементарные тензоры.
< Рассмотрим канонический биоператор $ как действующий между
^тах X ^тах И уИ/ Q9 Г Jmax·
Ρ
На основании предложения 4.2.1 он является слабо вполне
сжимающим. Поэтому его линеаризация, которая, конечно, является тожде-

144 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
ственным оператором 1: i?max Θ i^max —> (Ε Θ ^)тах5 — вполне сжима-
4 ρ
ющий оператор. Далее, согласно предложению 6.2.16, его обратный,
будучи рассмотрен между соответствующими подлежащими
нормированными пространствами, является сжимающим оператором. Как
следствие, предложение 2.2.8(ii) обеспечивает то, что он вполне сжимающий.
Таким образом, наш тождественный оператор — это вполне
изометрический изоморфизм между указанными квантовыми
пространствами. Используя предложение 3.8, мы видим, что то же верно и для
4
его непрерывного бипродолжения, действующего между i?max 0 Fmax
и (£®F)max. >
§ 6.3. Квантовое пространственное тензорное произведение
Мы переходим к третьему способу введения квантовой нормы
в алгебраическом тензорном произведении заданных квантовых
пространств.
Пусть Ε и F — произвольные квантовые пространства. Рассмотрим
для каждых / G Б>Е и д G ВЕ (ср. с обозначениями в § 2.1) оператор
(/ ® д)оо : Т[Е ®Е)^ Т{Т Θ Τ).
Его область значений всегда будет рассматриваться с конкретной
квантовой нормой в Τ' ® Τ*. (Иными словами, это норма, получающаяся при
отождествлении Т{Т ® Т) с операторным пространством Τ ® Τ ® J-.)
η
Если U Ε Τ (Ε ® F) представлен, скажем, как ^ ак(%к ® Ук), то мы
fc=l
η
видим, что ||(/ (8) g)oc(U)\\ ^ ^ ||а&||||ж&||||?/&||. (Здесь мы использова-
fc=l
ли, конечно, тот факт, что вполне сжимающий оператор автоматически
является «классически» сжимающим.) Поэтому корректно определено
число
||Z7||sp := sup{||/ ® g)oo{U)\\ :fzB%,g£ Вгр}. (6.3.1)
Очевидно, || · ||sp — это преднорма в Т{Е ® F). (Вскоре
выяснится, почему мы употребляем индекс «sp», сокращение слова «spatial» —
«пространственный».)
Из определения этой преднормы немедленно следует, что для
каждых / g СВ(Е, Т), д е CB(F, Τ) и U e T{E ® F) имеет место оценка
ll(/®^)oo(c/)KII/||cb||||^||cb||c/||sP. (6.3.2)

6.3. КВАНТОВОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
145
Иногда окажется полезным определять число ||?7||sp B терминах
операторов со значениями пев J- ® J- ® J-, ав «меньшем» пространстве Τ.
Для этого мы можем заменить оператор (/ ® д)^ оператором
f0g:T(E®F)^T} U^ κ(1τ ® x)(f ® g)oo{U);
ясно, что этот оператор корректно определен правилом а(х (8) у) ^ а <0
(/(χ) 0 9{у))ч а £ F, χ £ Е,у £ F. Поскольку χ и, следовательно, ljr (g) χ
сохраняют операторные нормы, выполнены соотношения
II^IIsp = sup{||/ 0 $||, / G B%,g e BXF] (6.3.3)
11(/0^)(/7Ж||/||сЬ|||Ь||сьП|3р. (6.3.4)
Предложение 6.3.1. Преднорма || · ||sp является квантовой нормой
в E®F.
< Для каждых U G T{E ® F), f G Л^ и g £ S]^ мы положим ||С/||/,^ :=
:= II(/ ® g)oo(U)\\. Поскольку (/ (8) ^)οο — это бимодульный морфизм
в руанов бимодуль, а именно в Т{Т (8> Т\ предложение 1.1.16
обеспечивает то, что возникающая преднорма || · ||/^ в Т(Е ® F) удовлетворяет
обеим аксиомам Руана. Поэтому, в силу предложения 1.1.9, || · ||sp — это
также преднорма, удовлетворяющая этим аксиомам. Принимая во
внимание предложение 1.2.2, мы видим, что нам остается только показать,
что соответствующая подлежащая преднорма в Ε (8) F является в
действительности нормой. А для этого, в свою очередь, достаточно
показать, что для ненулевого элементарного тензора aw, a G Τ*, w £ Ε (8) F',
выполнено 11сш;||Sp > 0. n
Поскольку w φ 0, мы можем представить w в виде Σχ^ ® У к с уча-
fc=l
стием линейно независимых систем х\,..., χη в Ε и г/ι,..., уп в F (ср.,
например, с [133, предложение 2.7.1]). Поскольку Τ —
бесконечномерное нормированное пространство, то, очевидно, найдутся ограниченные
конечномерные операторы f-.E^Tng-.F^J7 такие, что системы
/(χι),..., fix η) и g{yi)·) · · · iQiVn) B 3~ также линейно независимы. Но
η
тогда элемент / 0 g(w) = ^ fix к) ® д{Ук) не равен нулю в Τ ® Τ.
fc=l
Следовательно, на основании предложения 0.7.1, ||(/ ® g)w\\ Φ 0. При
этом предложение 2.2.2(Hi) дает нам право вдобавок считать, что ||/||сь?
IMIcb ^ 1· Поэтому, зная, что а ф 0, мы получаем оценку
IIHIsp > IK/® Ρ)οο(α^)|| = ||α[(/® р)И]|| = ||α||||(/ ® g)w\\ > 0.
Дальше ясно. >

146 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Определение 6.3.2. Построенное выше квантовое пространство
(Ε ® F, || · ||sp) называется нормированным, или непополненным,
квантовым пространственным тензорным произведением1 квантовых
пространств Ε и F и обозначается через Ε (& F. Его пополнение назы-
sp
вается банаховым, или пополненным, квантовым пространственным
тензорным произведением наших квантовых пространств и обознача-
sp
ется через Ε ® F.
Позже, в § 7.5, мы изложим альтернативный подход к понятию
квантового пространственного тензорного произведения, используя понятие
квантового сопряженного пространства.
Замечание 6.3.3. Как видно, данное определение не похоже на приведенные
выше определения хаагерупова и операторно-проективного тензорных
произведений. Оно не дано в элегантных терминах свойства универсальности относительно
какого-либо ясно очерченного класса биоператоров. Вместо этого мы просто
предъявили некоторую «сделанную вручную» квантовую норму в алгебраическом
тензорном произведении заданных квантовых пространств. Этот недостаток (по крайней
мере, в красоте изложения) является объективной чертой этого вида тензорного
произведения. Его причина — в том, что класс тех биоператоров ΊΖ: Ε X F —> G,
которые могут быть линеаризованы с помощью квантового пространственного
тензорного произведения (см. с диаграммой в определении 5.1), не обладает достаточно
прозрачным описанием. По крайней мере, так обстоят дела в настоящее время.
Заметим, что есть важный класс операторов, тесно связанный с бифункцио-
налами, допускающими линеаризацию с помощью квантового пространственного
тензорного произведения. Мы имеем в виду квантовую версию так называемых
интегральных операторов Гротендика, рассмотренную Эффросом и Руаном (см. [46,
§ 12.2]). Но это уже другая история.
Тем не менее пространственные тензорные произведения составляют
неотъемлемую часть всей теории, играя в квантовом функциональном анализе приблизительно
ту же роль, что инъективные тензорные произведения в классическом
функциональном анализе, и имея те же достоинства (и тот же упомянутый выше «недостаток
элегантности»).
Выделим полезное предложение.
Предложение 6.3.4. Имеет место равенство
\\U\\sp := sup{||(/ ® 0)оо(ЕО|| :feBXlge В»}.
Иными словами, верхняя грань (6.3.1) не меняется, если мы
ограничимся только конечномерными операторами в В^ и В р.
< Возьмем V Ε Τ {Τ ® Τ\ В настоящий момент нам удобно
употреблять для нормированного пространства Т{Т ® J-) запись Т\ ® Тъ <8> ^з ?
где тензорные сомножители суть экземпляры пространства Τ.
Рассмотрим предложение 0.7.6 для случая, когда все участвующие
гильбертовы пространства совпадают с L. Тогда, применяя его в ситуации, когда
1 Говорят еще инъективное (ср. с [101]), а также минимальное (ср. с [46]) тензорное
произведение.

§6.3. КВАНТОВОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 147
Ε := Т\ ® JF2? F := JF3? а затем в ситуации, когда Ε \= Т\ ® JF3? F := JF2?
мы легко получаем равенство
||у|| =sup{||(l^(g)m5/'T/ 0т5'т)У||}?
в котором верхняя грань взята по всем конечномерным частично
изометрическим операторам S,T,S'\Tj\ действующим в L. Поэтому если
U £ Т(Е ® F\ f G В>Е и д G i?^, то тогда, очевидно,
\\f^g)oO(U)\\^suP{\\(lT0ms''T' 0mS'T)(lT®f^g)(U)\\}^
= sup{||(ljr (8) ms''T' f ® ra5'T#)([/)||},
и, как следствие,
||С/||вр := sup{||(m5/'T7 ® ™*'Τ<?)οο(ί7)||},
где верхняя грань взята по всем / G ВЕ,д G Л^ и тем же S, Т, S',Tf. Но
все операторы ms ,т /': Ε ^ J7 л mS'Tg\ F —> Τ имеют конечную
размерность (очевидно, не превышающую соответственно rank(Sf/) rank(T')
и гапк(5) гапк(Т)). При этом благодаря теореме 2.2.11 справедливы
оценки ||m5/'T//||cb < ||/||cb и ||m5'T#||cb < ||#||cb. Дальше ясно. >
Что можно сказать о подлежащем нормированном пространстве
нашего тензорного произведения? (Его норма будет также обозначена
через || · ||sp; это не приведет к путанице.)
Предложение 6.3.5. Пусть и — элемент пространства Ε 0 F.
Тогда числовое мноэюество {||/ ® g)(u)\\\ f G В>\, g G Ву\ ограничено, и
|H|Sp = sup{||[/ ® д\{и)\: / е В%, д е BXF).
< Это немедленно следует из определения подлежащей нормы и
равенства \\а (g) г;|| = ||а|| ||г;|| для всех a^T^v<^T®T. >
Давайте проясним взаимоотношения между всеми введенными до
сих пор видами тензорного произведения.
Предложение 6.3.6. Пусть Ε и F — произвольные квантовые
пространства. Тогда имеют место оценки
в Т{Е ® F), и (в обозначениях § 5.1)
|ΐ ^ II · lisp ^ || · ||ь ^ || · IU ^
в E&F.

148 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
< Возьмем / £ ВгЕ, д G ВЕ и введем биоператор / χ д: Ε χ F —>
—> Τ ® Τ, (χ, у) \-^ /(ж) (g) #(?/). Как легко видеть (рассматривая
элементарные тензоры), сильное размножение (/ χ g)s является композицией
отображений в цепочке
ТЕ χ TF /ооХ^°> Т[Т] х Т[Т] ^ Т[Т ® Я.
где /оо х ^оо действует по правилу (и, ν) ь-> (/ооМ, <Ьо(^)), а
канонический биоператор ι? рассмотрен со значениями в Τ (3 Т. Но, как
частный случай предложения 4.2.10, последний биоператор — сильно вполне
сжимающий. Поэтому для всех и £ ТЕ, ν £ TF выполнено
||(/ χ #β(«,ν)|| < ll(/)ocH||||^ocW|| < НИ.
Таким образом, / χ д также является сильно вполне сжимающим,
и, следовательно, соответствующий ассоциированный оператор — это,
разумеется, f ® д\ Ε (& F ^ Τ ® Τ — вполне сжимающий. Таким
h
образом, для всех U G Т[Е ® F) выполнено ||[/ 0 g](U)\\ ^ ЦС^Ць-
Переходя к верхней грани по всем / G В>Е, д £ Вр, мы получаем оценку
|| ' ||sp ^ || ' || h·
Теперь обратимся к пространству Ε (g) F', в котором оба тензорных
сомножителя рассмотрены с соответствующими подлежащими
нормами. Произвольно выберем / G ВЕ, д Ε ВЕ и операторы a, fe G Τ
нормы 1. Положим /: Ε —> Τ: жи f(x)a и д: F —> Т: у ь^ д(у)Ь. Ясно, что
/ и д суть ограниченные одномерные операторы. Поэтому из
предложения 2.2.2(H) очевидным образом следует, что ||/|| = ||/||^1и ||fif|| =
= \\д\\ ^ 1. Далее, можно легко проверить на элементарных тензорах, что
для каждого и G Ε 0 F выполнено [/ 0 д] (и) = [(/ 0 д)и]а (g) 6. Как
следствие, \\[f ®д](и)\\ = \\[f ® д](и)\\\\а\\\\Ъ\\ = \\[f ® д](и)\\. Поэтому, в силу
предыдущего предложения, выполнено ||[/ 0 д](и)\\ ^ |M|sP· А это, в
силу определения инъективной нормы в Ε (g) F, влечет оценку || · ||i ^
^ II * llsp·
Что касается других желаемых оценок, то они нам уже известны:
см. предложения 6.2.9 и 6.2.16. >
Поскольку, как было упомянуто в § 5.1, нормы ||-||pH||-||iBi?(g)F
суть кросснормы, мы немедленно получаем следствие.
Следствие 6.3.7. Нормы || · ||sp, || · ||ь и || · Ц4 β Ε 0 F суть (таксисе)
кросснормы.
Замечание 6.3.8. Что касается трех наших квантовых норм, то мы,
объединяя следствие 6.2.15 и предложение 6.3.6, видим, что они
являются квантовыми субкросснормами. Но показать, что частица «суб»

6.3. КВАНТОВОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
149
может быть опущена, уже не столь легко. Это будет сделано позже,
в предложении 9.2.3.
Теперь напомним, что нам еще только предстоит доказать, что
каждое квантовое пространство конкретно в смысле определения 1.3.10.
Однако мы уже сейчас можем показать, что это верно в частном случае
пространственного квантового тензорного произведения произвольных
квантовых пространств.
Возьмем наше «каноническое» гильбертово пространство L и
сопоставим его копию, скажем L/, каждому / £ ВЕ, а другую копию,
скажем Lg, каждому д £ BF. Мы будем рассматривать / и д с областями
значений соответственно T(Lf) и T{Lg) и говорить об операторе
/ ®д: E®F -► F(Lf) <g> T{Lg) C B(Lf <g> Lg).
sp
Предложение 6.3.9. Квантовые пространства Ε ® F и Ε (g) F
sp
суть конкретные квантовые пространства для любых квантовых
пространств Ε и F'.
< Напомним предложение 2.1.8. В силу самого определения
пространственной квантовой нормы, его условия удовлетворены, если мы
возьмем Ε (8) F в качестве Е; ВЕ χ BF в качестве индексного множест-
sp
ва Л; T(Lf)®T(Lg), (f,g) E ВЕ x BF, в качестве Fv, v G Λ; и,
наконец, /"(g) g, (/,g) G ВЕ χ Вр, в качестве φν, ν G Л. Как следствие, мы
получаем, что Ε ® F — это конкретное квантовое пространство относи-
sp
тельно изометрического оператора
J:E®F^ B(®{(Lf ®Lg):feBXE,ge BXF}),
sp
u»®{(f®g)u: feBxE,geBxF}.
Переходя от J к его непрерывному продолжению и используя предложе-
sp
ние 3.8, мы видим, что Ε ® F — это конкретное квантовое пространство
относительно указанного продолжения. >
Теперь обратимся к важнейшему примеру, который в
действительности есть нечто гораздо большее, чем просто пример (ср. с
замечанием 1.3.11). Среди прочего, он оправдывает термин «пространственное».
Теорема 6.3.10. Пусть Ε и F — операторные пространства.
Тогда, с точностью до вполне изометрического изоморфизма,
оставляющего на месте элементарные тензоры,
(i) квантовое пространство Ε (g) F совпадает с конкретным
квантовым пространством Ε ® F; sp

150 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
sp
(ii) квантовое пространство Ε 0 F совпадает с конкретным
квантовым пространством Ε 0 F (замыканием Ε 8) F в соответствующем
«большом» операторном пространстве; см. § 0.7).
< (i) Возьмем U е Т{Е ® F). Отождествляя Т{Е ® F) с Τ' ®Е ®Е
и Τ [Г ® J7) с Τ (8> Τ (8> Т, мы видим, что наша задача — показать, что
\\Щ\ = sup{||(V ® / ® g)(U)\\: / е Вхюд eBxF).
(Здесь и далее || · || обозначает операторные нормы в соответствующих
операторных пространствах.)
Теорема 2.4.2 обеспечивает то, что для каждой пары / G В\,д G BrF
оператор / ® д также является вполне сжимающим. Поэтому \\U\\ не
меньше, чем указанная верхняя грань.
Займемся обратной оценкой. Напомним предложение 0.7.6 и
возьмем в нем L в качестве К[ и К^ а^®£в качестве Е. Это
предложение, вместе с ассоциативностью операции «(g)» (см. § 0.7), обеспечивает
то, что ||U|| может быть аппроксимировано числами ||V^||, д £ Вр, где
Vg := (ljr (8> 1е <8> g)(U) £ Τ ® Ε ® Т. Аналогично, используя еще и
коммутативность упомянутой операции (см. там же), мы получаем, что
для каждого д G В^ число \\Vg\\ может быть аппроксимировано числами
||(ljr (8> / <8> ljr)Vg||, / Ε В д. Остается заметить, что
и утверждение (i) доказано.
(ii) Напомним об операторе /sp из предложения 0.7.1 и обозначим
через /sp его коограничение на Ε ® F. Часть (i) данной теоремы,
разумеется, эквивалентна тому утверждению, что /sp — вполне
изометрический изоморфизм между Ε (8) F и конкретным квантовым простран-
sp
ством Ε (8) F'. Далее, конкретное квантовое операторное пространство
Ε ® F — это банахово квантовое пространство, и естественное
вложение г: E®F^E®F — это полная изометрия. Поэтому из
предложения 3.4 немедленно следует, что пара (Е (8) F,i) есть пополнение
квантового пространства Ε (8) F. Отсюда, в силу предложения 3.8, непрерывное
бипродолжение оператора /sp — вполне изометрический изоморфизм
между Ε (8) F и Ε (8) F'. Дальше ясно. >
Среди прочего, эта теорема показывает, что оценка || · || ^ || · ||ь
полученная в предложении 6.1.15, — это частный случай оценки || · ||sp ^
^ || · ||h из предложения 6.3.6.
Следующая иллюстрация выглядит как нечто вроде двойника
предложения 6.2.20. Однако теперь мы не можем использовать рассужде-

6.3. КВАНТОВОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
151
ние, основанное на свойстве универсальности, и вынуждены работать
«вручную».
Предложение 6.3.11. Пусть Ε и F — нормированные
пространства. Тогда
sp i
£min 0 ^min = (Ε® F)min U Ет[п ® Fmin = (Е® F)min
sp i
с точностью до полного изометрического изоморфизма, оставляющего
на месте элементарные тензоры.
< Рассмотрим пространство Т\ТЕ\ = Τ' ® Τ' ® F с нормой,
доставляемой повторным квантованием пространства Fmin? и возьмем его
элемент V. Мы помним что Fm[n — это конкретное квантовое пространство
(§ 2.3). Поэтому мы можем применить к V обе части следствия 2.3.6.
В итоге получается, что \\V\\ равна обоим числам sup{||(^оо)оо^Ц: Я £=
£ Вр] и sup{||(^сх))сх)V||: g G B*F]. Поэтому выполнено
sup{||(V ® It ® g)V\\ :деВ*р}= sup{||(l^ ®V® g)U\\: д е B*F}.
Далее, рассмотрим квантовое пространство ТЕш\п и его элемент
W. Тогда, в силу теоремы 2.2.13 и самого определения
минимального пространства, ЦИ^Ц равна обоим числам sup{||/00(Wr)||: / G ВЕ}
и sup{^(^(И^)||: д G ВЕ}. Отсюда, отождествив ТЕ с Τ ® Ε ® С, мы
немедленно выводим, что
sup{||(ljr ® / ® 1C)W\\: / G В*,} = sup{||(V ® / ® 1с)^||: / G Яд}·
Теперь возьмем С/ G ^(i^mm 0 ^min) и для каждых / G Л^ и д G СЛ^
обозначим элемент (l^(g)/(g)lir)?7E.F(8).F(8)jF через VV, а элемент
(ljr ® 1# ® ρ)С/ G J7 0 Ε 0 С через Wg. Тогда, используя полученные
выше равенства, мы приходим к соотношениям
sup{||(V ® / ® g)U\\} = sup{||(ljr ®1^® g)Vj\\} =
= sup{||(V ®lf® g)Vj\\} = sup{||(ljr <g> /<g> lc)^||} =
= sup{||(V ® / ® lc№||} = sup{||(V ® / ® $)Ϊ7||},
где верхние грани взяты по всем / G ВЕ, д G S^, / £ i?|; и g £ S^.
Но первое число в этой цепочке равенств — это ||C/||sp. Что же
касается последнего числа, то оно не может превышать минимальную
квантовую норму элемента U в Ε (g) F потому, что функционалы вида
i
/ ® AS / £= В*Е, д Ε Β ρ, составляют часть единичного шара пространства
(Е (8) F)* (ср. с § 5.1). Таким образом, благодаря предложению 2.2.4
i

152 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
(оправдывающему слово «минимальное»), это число в точности
является минимальной нормой.
Таким образом, мы доказали утверждение, касающееся Ет-Ш (8> Fm-in,
sp
которое в эквивалентных терминах означает, что тождественный
оператор из этого пространства на {Ε ® i^min — вполне изометрический
i
изоморфизм. Остается взять его непрерывное бипродолжение, действу-
sp i
ющее между Ет-Ш 0 Fm-in и [Ε 0 F)m{n, и применить предложение 3.8. о
§ 6.4. Столбцовый и строчечный гильбертианы как тензорные
сомножители
Наши драгоценные столбцовый и строчечный гильбертианы
доставляют чуть ли не самые поучительные иллюстрации ко всем трем
типам квантовых тензорных произведений. Приведенные здесь
результаты были получены, в основном, Блечером и Полсеном [14], Эффросом
и Руаном [41], а также Блечером [9].
В пределах всего параграфа Η и, когда понадобится, К суть
заданные гильбертовы пространства.
Факты, изложенные в этом параграфе, будут относиться к обоим
указанным типам гильбертианов, но доказательства будут приведены
лишь для «столбцового» случая. Читатель увидит, что каждый раз
такое же, с точностью до очевидных модификаций, рассуждение дает
нужный результат и в «строчечном» случае.
Предложение 6.4.1. Пусть Ε — операторное пространство. Тогда
для соответствующих квантовых пространств выполнены равенства
НС®Е = НС®Е и Ε®ΗΥ = Ε®ΗΥ.
h sp h sp
Кроме того, с точностью до вполне изометрического изоморфизма
h sp h sp
Hc® Ε = HC®E и Ε ® Нг = Ε ® Яг.
< Напомним, что квантовое пространство Нс (g) Ε может быть
sp
отождествлено с конкретным квантовым пространством Нс (g) E
(теорема 6.3.10). Напомним также, что для каждого U G J~(HC (g) E)
выполнено ||С/1|ь ^ \\U\\, гДе II * II обозначает конкретную квантовую норму.
Поэтому первое из желаемых равенств будет установлено, если мы
покажем, что ||С/||ь ^ \\U\\.
Отождествляя Τ {И ® Е) с Η (g) [Τ ® Ε), мы можем представить U
η
в виде Σ ek ® ^fe? ^/с £ Нс, Uk £ ТЕ, по рецепту предложения 0.2.1.
fe=l
Пусть Ρ — общий конечномерный левый носитель элементов и^.

: 6.4. СТОЛБЦОВЫЙ И СТРОЧЕЧНЫЙ ГИЛЬБЕРТИАНЫ
153
Заметим, что, если ах — элементарный тензор с носителем Р, то
справедливы равенства Ре^ Θ ах = Pa{ek ® х) = Ck ® {Ρα)χ = е& ® ах.
Поэтому, выражая каждый Uk в виде суммы элементарных тензоров,
η
мы видим, что Ре/е Θ Uk — вк ® Uk и, следовательно, U = ^ Ре^ Θ г^.
fe=l
Далее, элементы Ре^ = Ρ ® ek GS(L(8)C,L(8) i?) суть частичные изо-
метрии с попарно ортогональными образами. Как следствие, оператор
проектор, а значит, его норма
Σ (Ре/с)(Ре/с)*, действующий в L ® Я,
fe=l
равна 1. Поэтому, с учетом теоремы 6.1.17, выполнено равенство
\U\\h<
DPe*)(^efe)i Σ
/с=1
1/2
UfeiXfe
/c=l
1/2
^2и1ик
k=l
1/2
Теперь обратимся к числу ||С/||, рассматриваемому в качестве нормы
нашего С/ как элемента операторного пространства {Т ® Е) (g) Яс. На
η
основании предложения 1.3.14 ||С/|| — это в точности ^ Цг^^^Ц1/2.
fe=l
Таким образом, мы видим, что 1: Нс® Ε ^ Нс® Ε является вполне
h sp
изометрическим изоморфизмом. Согласно предложению 3.8, то же
верно и для его непрерывного бипродолжения, действующего между бана-
h sp
ховыми квантовыми пространствами Нс 0 Ε и Нс 0 Е. >
Замечание 6.4.2. На самом деле Ε в этом предложении может быть
произвольным квантовым пространством, не обязательно состоящим из
операторов; см. ниже предложение 9.2.6.
Рассмотрим наглядный частный случай. Вначале нам понадобится
такая лемма.
Лемма 6.4.3. С точностью до вполне изометрических
изоморфизмов между соответствующими конкретными квантовыми
пространствами имеют место равенства
£(С, К) ® В{Н, С) = Т{Я, К) и £(С, К) <§> В{Н, С) = /С(Я, К).
Эти изоморфизмы корректно определены, после отождествления
£>(С, К) с К и В{Н, С) с Нсс, правилом x®j/hxOj/.
< Пространство В (С, К) ® В{Н, С) — это подпространство в В {С (g) Η,
К (g) С), а последнее, разумеется, совпадает с В{Н,К). Как легко
видеть, возникающее изометрическое вложение пространства В{С,К) (8>
®В{Н, С) в В{Н,К) переводит (при указанном отождествлении)
элементарный тензор χ 0 у в одномерный оператор χ О у. Очевидно, образ
этого вложения есть Т{Н, К). Обозначим через /: 23(С, К) ® В{Н, С) —>
—> Τ {PL, К) соответствующее коограничение. Поскольку наши кванто-

154 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
вые пространства конкретны, размножение 1^ действует между
подпространством Τ ® #(С, К) ® В(Н, С) в B(L ®£®H,L®H®£)n
подпространством Τ ® Т{Н, К) в B(L (g) Я, L (g) K\ и оно однозначно
определено тем, что переводит a (g) (χ (g) г/), α G JF, в α (g) (χ О у). Отсюда легко
следует, что 1^ — биограничение изометрического изоморфизма между
этими более обширными операторными пространствами,
возникающего при естественном отождествлении Ь®С®Я и L®ii®C
соответственно cL®HwL®K. Поэтому 1^ сам является изометрическим
изоморфизмом.
Таким образом, / — это первый из наших двух желаемых вполне
изометрических изоморфизмов. Переходя к его соответствующему
непрерывному бипродолжению, мы получаем второй. >
Объединяя эту лемму с теоремой 6.3.10 и предложением 6.4.1 —
и, конечно, учтя, что (Ясс)сс = Я — мы немедленно получаем
Следствие 6.4.4. С точностью до вполне изометрических
изоморфизмов имеют место равенства
Кс ® (Ясс)г = КС® (Ясс)г = Т{Н, К)
h sp
и ,
h sp
Кс <g> (Ясс)г = КС® (Ясс)г = ЦН, К),
где Τ{Έί, К) и /С(Я, К) рассмотрены с конкретными квантовыми
нормами. Эти вполне изометрические изоморфизмы корректно
определены правилом ξ (8) η \-^ ξ Ο η.
Теперь напомним о классическом инъективном тензорном
произведении и соответствующих отождествлениях в (5.1.5) и (5.1.6). Это дает
дополнительную информацию о подлежащих нормированных
пространствах наших квантовых пространств.
Следствие 6.4.5. Выполнены равенства
П(КС Θ (Ясс)г) = П(КС Θ (Ясс)г) = К®НСС
h sp i
и
h sp ι
B(KC Θ (Ясс)г) = В(КС Θ (Ясс)г) = К Θ Ясс.
...Мы рассказали о том, что происходит, если левый сомножитель
в хаагеруповом тензорном произведении — столбцовый гильбертиан. Но
что будет, если мы поставим этот гильбертиан справа?
Предложение 6.4.6. Пусть Ε — произвольное квантовое
пространство. Тогда для соответствующих квантовых пространств
выполнены равенства
Е®НС = Е®НС и Ητ®Ε = Ητ®Ε.
h 4 h 4

§ 6.4. СТОЛБЦОВЫЙ И СТРОЧЕЧНЫЙ ГИЛЬБЕРТИАНЫ 155
Кроме того, с точностью до вполне изометрического изоморфизма
h 4 h 4
Е®НС = Е®НС и Ητ®Ε = Ητ®Ε.
< Мы помним, что для каждого U G Т{Е ® Нс) выполнена оценка
\\U\\4 ^ \\U\\h (предложение 6.2.9). Установим обратное неравенство.
Используя предложение 6.1.6, представим U как одинокий символ
Эффроса и Θ ν, и £ ТЕ, ν G ΤΗ. Далее, используя предложение 0.2.1,
η
представим ν как ^] а^е^, а^ G Τ, где ек — ортонормированная систе-
/с=1
ма в L. Тогда, взяв эти е&, а также некоторые Ρ и qk, /с = 1,...,гг,
рассмотрим в .Fiic элемент вида cjn, указанный в (1.3.1). Положим
η
k=l
После этого, используя формулы (6.2.1), мы наблюдаем следующую
цепочку равенств между элементами Т[Е ® Н):
η
(и 0 ωη) · Ь = ^ (^ 0 qlek) · (щ 0 qi) =
/с,/=1 η η
= ^ (u · α/) 0 (q*kqi)ek = ^(и · ак) 0 Pefc.
fe,/=l fe=l
Но, как легко проверить на элементарных тензорах в ТЕ, выполнено
[и · а к) 0 ^е/с = (^ Θ dk^k) О ^· Отсюда легко следует что (и φ ωη) · 6 =
= (и Q ν) <0 Ρ = U § Р. Из этого равенства с помощью
предложения 1.2.6, аксиомы (Ш), следствия 6.2.15 и, наконец, предложения 1.3.15
мы получаем, что
||ЕЛ|4 = \\U0PL·^ \\и\\\\ип\\\\Ъ\\ = \\и
Но С*-тождество вместе с формулами (0.3.1) дает равенство ||Ь|| =
η Ι.1/2
Σ акак\\ ? а последнее число, согласно предложению 1.3.14, рав-
fc=l "
но ||г;||. Таким образом, ЦС/Ц4 ^ ЦиЦЦ^Ц. Поэтому, взяв все возможные
представления элемента U в виде одиноких символов Эффроса и
используя предложение 6.1.6, мы видим, что ЦС/Ц4 ^ ||^||ь·
Таким образом, оператор 1: Ε 0 Нс —> Ε 0 Нс является вполне изо-
4 h
метрическим изоморфизмом. То же самое, в силу предложения 3.8,
верно и для его непрерывного бипродолжения, действующего между бана-
4 h
ховыми квантовыми пространствами Ε 0 Нс и Ε 0 Нс. >
Прозрачное описание пространства Кс 0 (ufcc)r, данное в следст-
h
вии 6.4.4, естественно приводит к следующему вопросу: а что можно

156 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
сказать о квантовом пространстве Кг (g) (Нсс)с? Нам несколько удобнее
h
вместо него рассмотреть пространство (Ксс)г (g) Нс; причина (чисто тех-
h
ническая) такого предпочтения выяснится позже, в § 9.2. Но пока мы
в состоянии лишь охарактеризовать соответствующее подлежащее
нормированное пространство.
Предложение 6.4.7. С точностью до изометрических
изоморфизмов имеют место равенства
D((Kcc)r Θ tfc) = D((Kcc)r Θ tfc) =KCC®H
h 4 ρ
U
D((Kcc)r !> tfc) = D((Kcc)r 4 tfc) = Kcc & tf.
< Пусть || · ||h обозначает хаагерупову квантовую норму в (KCC)Y (g)
h
(g) tfc. Возьмем u> G (i^cc)r Θ tfc и одномерный проектор g в L. В си-
h h
лу предыдущего предложения достаточно только установить равенство
INIp = IkHlh-
Как стандартное следствие теоремы Хана-Банаха, существует
функционал /: Ксс (g) Η —> С такой, что ||/|| = 1 и /(ги) = ||гс||р.
ρ
Рассмотрим бифункционал
ясно, что он ограничен. При этом, поскольку / — это его
линеаризация, свойство универсальности проективного тензорного произведения
влечет ||/|| = 1. Но тогда, на основании предложения 4.2.5, /, будучи
рассмотрен с областью определения (KCC)Y x tfc, автоматически сильно
вполне ограничен, и ||/||scb = 1. Теперь работает свойство
универсальности хаагерупова тензорного произведения: оно обеспечивает то, что
/, будучи рассмотрен с областью определения (Ксс)г (8) tfc, вполне огра-
h
ничен, и ||/||сь = 1. Как следствие, мы получаем, что
INIp = Я» = 1кЯ>)|| = \\foo(qw)\\ < ||/||cblk^||h = IIHk.
Обратное неравенство следует из предложения 6.3.6. >
Объединяя это предложение с подходящими по смыслу
отождествлениями в (5.1.5) и (5.1.6) (до сих пор еще не использованными), а так-
р
же коммутативностью операций «(g)» и «(g)», мы получаем нечто вроде
двойника к следствию 6.4.4: р

§ 6.4. СТОЛБЦОВЫЙ И СТРОЧЕЧНЫЙ ГИЛЬБЕРТИАНЫ 157
Следствие 6.4.8. С точностью до изометрических изоморфизмов
имеют место равенства
В{(КСС)Г ® Яс) = П({КСС)Г ® Яс) = Τχ{Κ, Я)
h 4
D((Kcc)r έ Яс) = D((Kcc)r 4 Яс) = Λ/ΧΚ, Я).
Эти изометрические изоморфизмы корректно определены правилом
η®ξ^ξΟη· h
Но что можно сказать «обо всей» квантовой норме в (Ксс)г С§) Яс
(а заодно в его подпространстве (Ксс)г 0 Яс)? На что она похожа?
h
Ответ, в общем-то, есть, и хотя он явно гораздо менее прозрачен,
h
чем характеризация квантовой нормы в Кс 0 (Ясс)г, данная в
следствии 6.4.4, он все же содержит ценную информацию. А именно, в § 7.3
мы научимся квантовать некоторым довольно разумным способом
пространство ядерных операторов, а позже увидим, что после этого
квантования изоморфизмы в следствии 6.4.8 становятся вполне
изометрическими изоморфизмами квантовых пространств. Этот факт будет
установлен в предложении 9.2.7. (В самом конце книги, в замечании 11.3.8,
мы упомянем без доказательства о другом, и притом совершенно
отличном, способе получить тот же результат.)
Наконец, давайте рассмотрим случай, когда наши тензорные
сомножители имеют «одну и ту же природу». На этом пути мы получим
поучительную иллюстрацию к обоим предложениям 6.4.1 и 6.4.5.
Взяв гильбертово пространство К ® Η, мы можем говорить о
столбцовом и строчечном гильбертианах [К ® Я)с и {К ® Я)г. При этом,
рассмотрев алгебраическое тензорное произведение К 0 Я С К 0 Я,
мы можем говорить о квантовых подпространствах этих гильбертианов.
Они будут обозначаться соответственно через (К (g) Я)с и (К (g) Я)г.
Предложение 6.4.9. С точностью до вполне изометрических
изоморфизмов между соответствующими квантовыми пространствами
имеют место равенства
КС®НС = КС®НС = КС®НС = (К® Я)с
h 4 sp
и
h 4 sp
КС®НС = КС®НС = КС®НС = (К® Я)с.
Утверждение остается верным при замене индекса «с» на «г».
< Отождествляя В (С, К (g) Я) с В (С ® С, К ® Я), мы можем
говорить о естественном вложении /: В(С,К) (g) £>(С,Я) —> В(С,К (g) Я),
которое, конечно, является изометрическим изоморфизмом. Более того,

158 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
его размножение 1^ есть также изометрический изоморфизм, будучи,
с точностью до упомянутого отождествления, биограничением
очевидного изометрического изоморфизма между пространствами B(L (g) С (g)
® С, L (8) К (8) Я) и 23(L (8) С, L (8) if <8> Я). Таким образом, i — вполне
изометрический изоморфизм. Тем самым, при участии теоремы 6.3.10,
возникает вполне изометрический изоморфизм, изображаемый равен-
sp
ством Кс® Яс = (К (8) Я)с. Из этого следует Кс® Яс = (К ® Я)с, по-
sp
тому что оператор i, очевидно, отображает первое из этих пространств
на второе. Оставшиеся равенства сразу вытекают из предложений 6.4.1
и 6.4.6. >
Отсюда мы, конечно, получаем
Следствие 6.4.10. С точностью до изометрических изоморфизмов
имеют место равенства
В(КС Θ (Ясс)с) = В(КС Θ (Ясс)с) = В(КС Θ (Ясс)с) = К Θ Я,
h 4 sp
где последнее пространство рассмотрено как нормированное
подпространство в К (8) Я', и
h 4 sp
П(КС ® (Ясс)с) = D(tfc ® (Ясс)с) = D(XC 0 (Ясс)с) = К®Н.
То же верно и при замене индекса «с» на «г».
В заключение напомним о классическом изометрическом
изоморфизме между гильбертовыми пространствами К (8) Ясс и 5(Я, К),
упомянутом в § 0.2 (см. (0.2.5)). Мы немедленно получаем, в духе
следствий 6.4.4 и 6.4.8,
Следствие 6.4.11. С точностью до вполне изометрических
изоморфизмов,имеют место равенства
Кс Θ (Ясс)с = Кс Θ (Ясс)с = Кс ® (Ясс)с = (^5(Я, К))с
h 4 sp
U h 4 sp
#c Θ (Ясс)с = Kc Θ (Ясс)с = Кс Θ (Ясс)с = (5(Я, К))с.
То снсе верно и при замене индекса «с» на «г». (Здесь через (^(Я, if ))с
и (^(Я, if))r обозначены соответствующие квантовые
подпространства в (S(H,K))C и (S(H,K))T.)
§ 6.5. Функториальные свойства квантовых тензорных произведений
Теперь мы убедимся в том, что конструкция каждого из введенных
выше квантовых тензорных произведений может быть определена не

§ 6.5. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 159
только для пространств, но и для операторов между этими
пространствами.
Чтобы сделать наши будущие формулировки более компактными,
зафиксируем на время любой из наших трех типов непополненного
квантового тензорного произведения, т. е. ®, ® или ®, и обозначим
/о h 4 sp
его через ®.
Соответствующий тип пополненного квантового тензорного
произведения мы обозначим через ®.
В следующей теореме Ek,Fk, к — 1,2, — квантовые пространства,
а φ: Е\ —> Е2, ψ: F\ —> F2 — два вполне ограниченных оператора.
Вначале заметим, что для всех и G ТЕ\, ν Ε TF\ и α, fe G ^* выполнены
равенства
((£> ® ^)oo(^ Θ г;) = ^ooH Θ ^οο(^) (6.5.1)
и
(φ ® ^)οο[^ · (и 0 г;) · Ь] = а · [<£οοΜ 0 ^оо(^)] · b. (6.5.2)
Оба равенства легко проверить для элементарных тензоров, а потому
они верны и для всех элементов в соответствующих размножениях.
Теорема 6.5.1. Существуют вполне ограниченные операторы
φ®ψ: Ei®Fi^E2®F2 и φ ® ψ: Ег ® Fx ^> Е2 ® F2,
однозначно определенные равенствами
(φ Θ ψ) (χ Θ у) = (φ Θ /0)(χ ® 2/) = ψ{χ) ® Ф(у)
для всех χ £ Ει, у G Fi.
Далее, φ ® ψ является непрерывным бипродолснсением оператора
φ 0 ψ. Наконец, имеет место оценка
\\φ g ^||сь = ll^ θ ^||сь < НИЫМЦ·
< Ясно, что если вполне ограниченный оператор φ® ψ с указанным
действием существует, то он должен совпадать как отображение с
алгебраическим тензорным произведением ψ ® ψ наших операторов.
Далее, в этом случае оператор φ ® ψ с указанным действием также
существует и однозначно определен, будучи непрерывным бипродолжением
оператора φ&ψ (см. гл. 3). Поэтому достаточно показать, что
оператор φ (g) ib, действующий между квантовыми пространствами Е\ ®F\
и E2®F2, в самом деле вполне ограничен. Так что мы возьмем не-
который U Ε Т{Е\ ® F\) и посмотрим, что с ним произойдет.

160 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
(i) В случае 0 = 0 мы представим U в виде и Θ ν (см. предложе-
^ h
ние 6.1.6) и применим формулу (6.5.1). Тогда само определение хааге-
руповой нормы дает
||(^0^)оо(^)||ь < |1^ооН||||^оо(^)|| < 1М1сь||^11сь|М||М|.
Взяв нижнюю грань, указанную в упомянутом предложении, мы видим,
что ||(^0^)оо(^)||ь < ||^||cb||^||cb||^||h·
(ii) В случае 0 = 0 мы проводим аналогичное рассуждение. Един-
ственная модификация — в том, что вместо предложения 6.1.6 и
формулы (6.5.1) мы опираемся на предложение 6.2.10 и формулу (6.5.2).
(Hi) В случае (g) = (g) мы возьмем / G ВЕ и д G ВЕ . Тогда, используя
^ Sp 12
оценку (6.3.2) и предложение 2.1.3, мы получаем, что
\\(ί®9)οο(φ®Ψ)οο(υ)\\ = \\(/φ®9ψ)^(υ)\\^
< ll/^llcbll^llcbll^llsp < ll^llcbll^llcbll^llsp·
(Здесь || · || — операторная норма в Т\Т ® Т\, отождествленном с Τ ®
® Τ' ® Τ".) Поэтому, в силу определения пространственной квантовой
нормы в Е2 Θ F2, справедлива оценка \\(φ ® ψ)οο(υ)\\$Ρ ^ IMIcblMlcb·
sp
Дальше ясно. >
Выделим полезное следствие для случая «(g)».
sp
Предложение 6.5.2. Пусть Ε и F — квантовые пространства.
Тогда для каждого U G T{E ® F) выполнены равенства
sp
\U\\sp = sup{||(/ ® 1f)oo(C/)||sP : / е ΒχΕ] =
= ^V{\\{lE®g)oo{U)\\^:geBxF}.
sp
yjoc\v У ||sp - У ^ ■"
sp
< Возьмем / G В>Е и положим, для краткости, Uf := (/ (g) ljp)00(C7).
sp
Как частный случай полученной выше оценки, выполнено ||t//||Sp ^
^ || U ||sp. С другой стороны, для каждого g G ВЕ та же самая оценка
влечет ||(/ <8> р)оо(С/)|| = ||(1^ ® d)oo(Uf)\\ < ЦС//Ц. А это, вместе с опре-
sp sp
делением квантовой пространственной нормы, влечет оценку ||C/||Sp ^
^ sup{||?7/||Sp: / £ ВЕ}, и первое равенство получено. Сходным
рассуждением устанавливается второе равенство. >
h
Операторы φ (g) ψ и φ (g) ψ называются соответственно непополнен-
h
пы,м и пополненным хаагеруповым тензорным произведением (вполне

§ 6.5. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 161
ограниченных) операторов ψ и ψ. Сходным образом, выбирая другие
типы квантовых тензорных произведений, можно говорить о непополнен-
ном операторно-проективном тензорном произведении или, скажем,
о пополненном квантовом пространственном тензорном произведении
наших операторов и т. д.
Предыдущая теорема позволяет ввести, подобно случаю тензорных
произведений в классическом функциональном анализе (ср. с § 5.1),
семейство ковариантных функторов, основанных на различных версиях
квантового тензорного произведения. В качестве примера,
зафиксировав квантовое пространство £", мы рассмотрим так называемый
функтор левого непополненного хаагерупова тензорного произведения
«Ε(&Ί»\ QNor —> QNor. Этот функтор переводит объект (= кван-
h
товое пространство) F в Ε (g) F, а морфизм (= вполне ограниченный
h
оператор) ψ: F —> G в 1# (g) ψ: Ε (8) F —> Ε (8) G. Заменяя в этом оп-
h h h
ределении символ (8) любым другим символом квантового тензорного
h
произведения, мы говорим о функторе левого пополненного опе-
4
раторно-проективного тензорного произведения «Е 0 ?»: QNor —>
—> QBan, функторе левого непополненного квантового
пространственного тензорного произведения «Е (8) ?» : QNor —> QNor и т. д. Ана-
sp
логично, зафиксировав квантовое пространство F, мы получаем так
называемый функтор правого непополненного хаагерупова тензорного
произведения «? 0 F» : QNor —> QNOR, Ε \-^ Ε 0 F, φ \-^ φ ® lp или,
h h h
скажем, функтор правого пополненного квантового пространствен-
sp sp
ного тензорного произведения «? ® F»: QNor -^ QBan, Ε \-^ Ε ® F,
sp
φ \-^ φ (8) If и т. д. Эти функторы действуют аналогичным образом,
с точностью до очевидных модификаций. Легко проверить, что все эти
конструкции действительно доставляют ковариантные функторы.
Замечание 6.5.3. Как легко заметить, наши левые и правые функторы можно
получить, зафиксировав соответствующий аргумент в должным образом построен-
4
ном бифункторе «? (g) ?» : QNor x QNor —> QNor или, скажем, «? (g) ?» : QNor χ
h
χ QNor —> QBan и т. д. Но для наших целей вполне достаточно односторонних
функторов.
Замечание 6.5.4. Несмотря на то что семейства «хаагеруповых»
и «операторно-проективных» функторов тензорного произведения
определяются полностью аналогичным образом, они ведут себя
совершенно по-разному в одном важном вопросе. Говоря неформально,
в «операторно-проективном», равно как и в «квантовом простран-

162 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
ственном», случае практически нет разницы между левыми и правыми
функторами. Такое поведение типично для подавляющего большинства
разнообразных типов функторов тензорного произведения, которые
можно встретить в функциональном анализе. В то же время
левый и правый функторы хаагерупова тензорного произведения (как
в непополненном, так и в пополненном варианте) существенно
разнятся. В точных теоретико-категорных терминах, если мы обсуждаем,
скажем, непополненные версии, это означает следующее: функторы
«Е1®?» и «? (8) Е» естественно эквивалентны в случаях (g) = (g) или (8)
~ ~ ~ 4 sp
(ср. с предложением 6.6.6 ниже), однако функторы «Е (8) ?» и «? (8) Е»,
h h
вообще говоря, естественно эквивалентными не являются. Иными
h
словами, операции «(8)» и «(8)» (по контрасту с <<(8>» и т. д.) не
κόμη 4
мутативны. Мы вернемся к этой особенности хаагерупова тензорного
произведения в самом конце этой главы.
Как хаагерупово, так и операторно-проективное тензорные
произведения вполне ограниченных операторов обладают следующим важным
свойством, которое мы назовем квантовым проективным свойством.
Предложение 6.5.5. Пусть символ (8) обозначает (8) или (8), а
h 4
φ: Ει —> E2j ψ'. F\ —> F2 — два вполне коизометрических оператора
между квантовыми пространствами. Тогда операторы
φ®ψ\ Ei®Fi^E2®F2 и φ®ψ\ Ei®Fx^ E2®F2
таксисе являются вполне коизометрическими.
< Возьмем V £ Т[Е2 ® F2) с ||У||ь < 1. Тогда, согласно предложе-
h
нию 6.1.6, V может быть представлен как и1 Θ г/, и1 G TE2, vf G TF2, при
||?/||, ||ΐ/|| < 1. По условию существуют и G ТЕ\, ν G TF\, ||u||, ||г;|| < 1,
такие, что ψοο{η) — uf, ψοο (ν) — ν'. Положим U := и Θ ν G T(E\ ® F{).
h
Тогда, конечно, выполнена оценка ||С/||ь < 1? а также, в силу (6.5.1),
равенство ((/? (8) /0)ОО(С7) = У. Таким образом, φ ® ψ — вполне коизомет-
h h h
рический. На основании предложения 3.8, то же верно и для φ (8) ψ.
Это завершает доказательство для «хаагерупова» случая.
Рассуждение в «операторно-проективном» случае по существу то же самое.
Единственное различие — в том, что вместо предложения 6.1.6 и
формулы (6.5.1), мы используем предложение 6.2.10 и формулу (6.5.2). >
Замечание 6.5.6. По контрасту с «хаагеруповым» и «операторно-проективным»
случаем, квантовое пространственное тензорное произведение не обладает
квантовым проективным свойством. А именно, для вполне коизометрических φ и ψ опера-
sp
торы φ(3ψιαφ(£)ψηβ обязаны быть вполне коизометрическими (а второй из них
sp

§ 6.5. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 163
даже не обязан быть сюръективным). В самом деле, напомним предложение 6.3.11
о минимальных квантовых пространствах.
Как его очевидное следствие, из наличия обсуждаемого квантового
проективного свойства следовало бы, что классическое инъективное тензорное произведение
нормированных пространств обладает (классическим) проективным свойством,
упомянутым в § 5.1. Но мы знаем, что это не так. В частности, пусть Ε — сопряженное
пространство к некоторому банахову пространству Ε*, а ф — коизометрический
оператор между некоторыми банаховыми пространствами F и G такой, что для
некоторого оператора Τ: Ε* —> G, аппроксимируемого конечномерными, не существует
S: Е* —> G с Τ = ipS. (Можно взять, например, Ε = G = h, F = /ι, произвольную
коизометрию из 1\ на /2 в качестве φ и произвольный компактный оператор из
(/2)* = Ϊ2 в Ϊ2 в качестве Т.) Тогда оператор 1# ® ψ: Ε (g) G —> Ε (g) G не является
i i i i i i
коизометрическим и даже открытым: более того, оператор 1^ ® Φ'· Ε ® F ^ Ε ® G
даже не сюръективен. Подробности см. в [30, с. 50 и 144].
Теперь, возвращаясь к хаагерупову тензорному произведению, мы
продемонстрируем его поистине выдающееся качество, открытое (в
матричном изложении) Полсеном и Смитом [90]. А именно, это тензорное
произведение обладает не только квантовым проективным свойством,
но и квантовым инъективным свойством. Последнее означает, что ха-
агерупово тензорное произведение сохраняет полные изометрии. Мы
напомним, что ни один из основных видов тензорного произведения
в классическом функциональном анализе не обладает обоими
указанными свойствами одновременно.
Мы начнем с нескольких предварительных наблюдений,
представляющих и некоторый самостоятельный интерес. Если Ε и F —
линейные пространства, то мы будем употреблять краткие обозначения EL
для Ε (8) L и LCCF для Lcc (g) F. Далее, напомним о стандартном
линейном изоморфизме L 0 Lcc —> Τ*: ξ ® η ь^ ξ Ο η. С его помощью, а также
с использованием свойств ассоциативности и коммутативности
алгебраического тензорного произведения, мы получаем, что с точностью
до соответствующих линейных изоморфизмов выполнены соотношения
FE = EL® Lcc, FF = L® LCCF и F(E ®F) = EL(g) LCCF.
После этих отождествлений операция 0, теперь связывающая элементы
пространств EL (g) Lcc hL® LccF, корректно определена равенствами
(х# Θ η) Θ (ξ Θ у*) = (ξ, η)χ* Θ у*] (6.5.3)
здесь χ* Ε EL, y% G LCCF, ξ G L, η G Lcc и (·, ·) — скалярное произведение
в L. Заметим также, что для каждых aGf, ν £ ТЕ и w G TF имеют
место равенства
ν · а — (Iel ® a*)v и а · w = (a ®1l^f)w. (6.5.4)

164 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
(Формулы (6.5.3) и (6.5.4) сразу проверяются на элементарных
тензорах.)
Еще одно наблюдение. Пусть φ: Е\ —> Е^ и ψ: F\ —> F^ —
операторы между линейными пространствами. Введем операторы φ^ :=
:= φ 0 1L: EXL -> E2L и ^ос := 1l- Θ ψ: LccFi -> LCCF2. Тогда,
используя отождествление L ® Lcc = Τ n ассоциативность тензорного
произведения операторов, мы получаем, что
ψ* 0 lLcc = (^, 1l®/0oc=/0oo И (ψ 0 ψ)^ = ψ* ® ^. (6.5.5)
Лемма 6.5.7. Пусть Ε и F — квантовые пространства, a U Ε
Ε JF(,E (8) F) представлен как v\Q w\, v\ £ ТЕ, w\ Ε TF. Тогда
найдутся представление элемента U в виде ν Θ w, v Ε JFi?; u> Ε JFF; α таксисе
η Ε Ν такие, что
(i) ||г;|| ^ ||i7i|| u ||г^|| ^ ||wi||;
(ii) душ некоторых линейно независимых систем ξ& G L; ^ G LCCF,
η
χ· Ε £Χ, /с = 1,..., гг; справедливы равенства U = ^x*k ® Ук и w ~
η к=1
= Σ & ®Уй5
fe=l
(iii) душ некоторых линейно независимых систем η^ Ε Lcc, ζ* Ε ^L;
η
u* Ε LCCF, k — 1,..., η, справедливы равенства U — Σζ\® и\ и ν —
π fe=l
fe=l
< Рассмотрим множество всех конечномерных проекторов Ρ в L
(или, что эквивалентно, в Lcc) таких, что (wi · Ρ) Θ (Ρ · wi) = ν\ Θ wi.
Поскольку это множество, очевидно, не пусто, оно содержит проектор Ρ
минимальной размерности, скажем, гг. Положим ν := ν\ · Ρ nw:= P · W\.
Тогда, конечно, имеет место (i).
Далее, взяв (6.5.4) с Ρ в качестве а, мы видим, что ν принадлежит
подпространству EL (g) P(LCC) в ТЕ = EL 0 Lcc. Поэтому, поскольку
т
dim P(LCC) = η, существует представление ν = ^ ζ\ ® щ, где т ^ гг,
fe=l
а системы ζ* Ε i?L и 77^ Ε P(LCC) линейно независимы.
Покажем, что m = п. В самом деле, если это не так, то мы
возьмем проектор на span{771,... ,77™}, действующий в Lcc (или, что
эквивалентно, в L). Обозначим его через Q; очевидно, его размерность
равна 777,, и выполнено ν — ν · Q. Операция 0 сбалансирована (см. (6.1.1)),
и, разумеется, PQ = QP = Q = Q2. Отсюда мы получаем, что ν Θ w =
— (νι · PQ) · Q Θ Ρ · w\ — v\ · PQ Θ QP · wi, и, следовательно, v\Q w\ =
— v\ · Q Q Q - W\. Мы видим, что Q принадлежит упомянутому выше

§ 6.5. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 165
множеству проекторов и имеет размерность меньшую, чем п. Мы
пришли к противоречию.
η
Таким образом ν = ^ ζ\ ® г)к с указанными выше z*k и щ, и ана-
к=1 η
логичное рассуждение показывает, что w — ^ ξ& ® У к Для некоторой
fc=l
линейно независимой системы ^ G L, у* G LCCF, к = 1,..., п.
Теперь возьмем систему (feGL, fe = l,...,n, такую, что (С/с? С/с) = ^f?
/с,/ = 1,...,гг; ясно, что такая система существует и необходимо
является линейным базисом в P(L) или, что то же самое, в P(LCC). Разложив
векторы ηΐτ по этому базису, мы приходим к другому представлению
п
элемента г;, а именно υ = ^ х*к ® С/с Для некоторых ж* G £^L.
fc=l
Сравнивая оба представления, мы видим, что1 span {ж*,..., х*п} =
= span {ζ*,..., ζ*}. Поэтому система ж*, /с = 1,..., гг, линейно
независима.
Наконец, рассматривая ι; и к; как элементы соответственно
пространств EL (8) Lcc и L 0 LCCF и используя (6.5.3), мы получаем, что
(П \ / П \ 77, 71
/с=1 ' ^/с=1 ' к,1 = 1 /с=1
Это завершает доказательство утверждения (и). «Симметричное»
рассуждение доставляет утверждение (Hi). >
Теорема 6.5.8. Пусть φ: Ει —> i?2, ^: ^ι ~~^ ^2 — ^βα вполне
изометрических оператора между квантовыми пространствами. Тогда
h h h
операторы φ ® ψ \ Е\ ® F\ ^ Е2 ® F2 и ψ 0 ψ: Ει 0 F\ —> E2 ® F2 так-
h h h
снсе являются вполне изометрическими.
< Сперва мы рассмотрим решающий частный случай. А именно,
предположим, что заданы три квантовых пространства E,F\,F2 и
вполне изометрический оператор г: Fi —> F2. Сейчас наша цель — это
доказать, что оператор 1# ® г: Ε ® Fi ^> Ε ® F2 — также вполне изомет-
h h h
рический. Для этого, поскольку 1# (g) г является вполне сжимающим
(теорема 6.5.1), достаточно выбрать произвольный U G T{E ® F^) вида
U — (1е Θ OooV^, V G Τ {Ε ® Fi), и показать, что \\У\\ъ ^ ||?7||ь·
h
Рассмотрим оператор г^: LccFi —> LCCF2. Как частный случай
третьего равенства в (6.5.5), выполнено (1# (8) г)оо = 1#l ® ioc· Отсюда,
1Вот одно из многих доказательств этого хорошо известного факта. Обе линейных
оболочки совпадают с образом оператора i(v): (Lcc)p —> L, где г — каноническое
вложение пространства EL (g) Lcc в £((Lcc)tt, i?L), корректно определенное правилом
χ* <8>η\-^>φ: f »-► f(v)x*, х* G #L, 77 G Lcc.

166 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
т
с учетом того, что V = Σ s* ® ^Г Для некоторых s* G £^L, i* G LCCF\,
1 = 1 m
I = 1,..., m, мы получаем, что С/ = X^s* (8> ^(ί*).
ζ=ι
Теперь возьмем произвольные г;ι £ .Fi?, u>i £ .FF такие, что С/ =
= viQwi. Тогда лемма 6.5.7, рассмотренная для случая F := F2,
доставляет соответствующие ι; и к;, а ее утверждение (и) доставляет
другое представление элемента U. Поскольку участвующие элементы
ж* £ EL линейно независимы, существуют (просто линейные)
функционалы fk : EL —> С такие, что Д(ж*) = 5^, /с, / = 1,..., п. Как следствие,
для каждого к = 1,..., η упомянутое новое представление элемента U
дает равенство (Д (8) 1lccf2)U — у\. В то же время прежнее представле-
ние нашего С/ дает равенства (fk 0 1l«=f2)^ = Σ /fc(sz#)*oc(**) = г<х(Ук),
m 1 = 1
где мы полагаем ^ := X^/fe(s*)i* G LCCF\. Объединяя это с выражени-
ем для и>, доставляемым утверждением (ii) леммы, мы получаем, что
η
w= Σ) ffc ^ioc^fe).
fe=l
η
Наконец, положим ώ := 5] (fc 0 й G i 0 LCCF\. Как частный случай
fe=l
второго равенства в (6.5.5), выполнены равенства
ίοο(ώ) = [1l®vI(w) = 5^Cfe0i(^fe) = ^£fc 0 2/fe,
fe=l fe=l
т. e. ioo(w) — w. Из этого равенства следуют две вещи. С одной
стороны, оно доставляет в объединении с равенством (1# (8) ι)οο[ν 0ώ] =
h
= г; Θ ioo(w) (частный случай (6.5.1)) соотношения (1# (8) г)оо[г; 0ώ] =
h
= v Q w = U. Как следствие, учтя к тому же, что (1# (8) г)^ — это
h
инъективный оператор, мы получаем, что ν 0 w = V. С другой
стороны, вспомнив о том, что г — вполне изометрический оператор, мы
видим, что \\w\\ = \\w\\. Объединяя оба факта и используя утверждение (i)
предыдущей леммы, мы получаем, что
||у||ь ^ IMIII^II = IMIIIHI ^ ll^illll^ill·
В силу произвольного выбора v\ и w\, предложение 6.1.6 доставляет
желаемое неравенство \\V\\h ^ ||^||ь-
Возвращаясь к первоначально заданным операторам, мы видим, что
1#2 ® Ф: ^2 Θ F\ —> Е2 Θ F<i — полная изометрия. «Симметрическое»
h h h

§ 6.6. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ УМНОЖЕНИЙ 167
рассуждение (использующее утверждение (in) леммы вместо (и))
показывает, что то же верно и для φ ®\р1: Е\ ® F\ —> Е<± ® F\. Поэтому опе-
h h h
ратор φ ® ψ, будучи композицией этих двух вполне изометрических опе-
h
h
раторов, сам является вполне изометрическим. Поскольку φ (g) ψ — это
непрерывное бипродолжение оператора φ (g) ψ, предложение 3.8 обеспе-
h
чивает то, что и он является вполне изометрическим. >
Квантовое пространственное тензорное произведение также
обладает инъективным свойством: теорема 6.5.8 остается в силе, если мы за-
h sp
меним символы «0» и «(g)» на «(g)» и «(g)». В этом отношении квантовое
h sp
пространственное тензорное произведение ведет себя подобно своему
«классическому» прототипу, инъективному тензорному произведению
нормированных пространств (ср. с § 5.1). Но чтобы это доказать, нам
нужно сильное средство, теорема, которая сыграла бы роль теоремы
Хана-Банаха в доказательстве соответствующего свойства инъективно-
го тензорного произведения. Это теорема Арвесона-Виттстока,
сформулированная как теорема В.2 во введении. Соответственно, мы
вернемся к этому вопросу позже, когда последняя теорема будет доказана;
см. теорему 8.4.7.
Замечание 6.5.9. Что касается операторно-проективного тензорного
произведения, то оно не обладает инъективным свойством. Этот факт легко следует, с учетом
предложения 6.2.20, из хорошо известного отсутствия такого свойства у
классического проективного тензорного произведения нормированных пространств (ср. с
параллельным рассуждением в замечании 6.5.6). Мы имеем в виду то, что проективное
тензорное произведение двух изометрических операторов не обязано быть изомет-
рией. Сейчас мы просто укажем два класса соответствующих контрпримеров;
подробности см. в [30, с. 10, 36 и 66].
Пусть Ε — банахово пространство, F := Е*, a G — банахово пространство,
содержащее топологически изоморфный образ пространства F как недополняемое
подпространство. (Известно, например, что G := Li[0,1] содержит недополняемое
подпространство, топологически изоморфное F := fa.) Тогда оператор \е ® Φ'- Ε ® F —>
ρ ρ
—> Ε ® G не является изометрическим и даже топологически инъективным.
Р
С другой стороны, пусть Ε — сопряженное к некоторому банахову
пространству F, не обладающему свойством аппроксимации, а ψ — каноническое
изометрическое вложение F в 1оо(Ве) (переводящее χ в функцию / ι—>► fix))- Тогда оператор
ρ ρ ρ
Ίε ®Ψ'· Ε ® F —> Ε ® G даже не является инъективным.
§ 6.6. Алгебраические свойства квантовых тензорных умножений
Мы обращаемся к алгебраическим свойствам операций,
доставляемых квантовыми тензорными произведениями. Вначале мы покажем,
что все они ассоциативны в том же смысле, в каком и классические

168 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
тензорные произведения (ср. с § 5.1): можно расставить произвольным
образом скобки в каждой из версий гг-кратного тензорного
произведения. Мы переходим к определениям этих версий, которые и сами по себе
интересны и полезны.
Замечание 6.6.1. Что касается хаагерупова тензорного
произведения, его ассоциативность можно доказать довольно быстро, используя
теорему 6.1.11. В самом деле, из последней следует, что же лаемое
свойство (непополненного) хаагерупова тензорного произведения
эквивалентно ассоциативности модульного тензорного произведения
нормированных (би)модулей, которое хорошо известно (ср., например, с
подобным свойством банаховых модулей в [131, П.5.3]). Однако мы
предпочитаем путь доказательства, параллельный случаю операторно-проектив-
ного тензорного произведения.
Начнем с того, что введем два типа размножения заданного
п-линейного оператора ΊΖ: Е\ χ ... χ Εη —> F, действующего между
квантовыми пространствами. Это два п-линейных оператора 7£s,7£w: ТЕ\ χ ...
... χ ТЕп —> ТЕ\ корректно определенные на элементарных тензорах
следующим образом1:
Ks: (aixb.. .,апхп) ι-> (αϊ ... ап)Щхи .. .,xn),
в то время как
Kw: (aixb. ..,anxn) "->[(... ((αϊ 0 α2) 0 α3).. .αη-ι) 0 an]7£(ab .. .,αη).
В соответствии со сказанным ΊΖ называется сильно вполне
ограниченным или сильно вполне сжимающим, если 7ZS является соответственно
ограниченным или сжимающим. Заменяя здесь 7ZS на 7£w, мы получаем
определение слабо вполне ограниченного и слабо вполне сжимающего
п-линейного оператора.
После этого мы, определяя хаагерупово и операторно-проективное
гг-кратное тензорное произведение, повторяем, с очевидными
модификациями, определения для случая η — 2 (т. е. определения 6.1.1 и 6.2.1).
Заметим, что соответствующее свойство универсальности (ср. с
определением 6.0.1) теперь формулируется в терминах диаграммы
Εγ χ ... χ Еп
I >Чч\^
θ \Γ
γ ^\
Θ >F.
Заметим, что в «слабом» случае мы должны обращать внимание на положение
скобок. Это потому, что операция «О», как было упомянуто в § 0.3, ассоциативна
только с точностью до унитарной эквивалентности.
(6.6.1)

§ 6.6. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ УМНОЖЕНИЙ 169
Очевидно, гг-кратное тензорное произведение (Θ,#), определенное
указанным способом, единственно в том же смысле, что и 2-кратные ха-
агерупово и операторно-проективное тензорные произведения (ср. с
теоремой 6.0.2). Только теперь, конечно, коммутативная диаграмма в
упомянутой теореме принимает вид
Ει χ ... χ Еп
0! - >- θ2.
Прежде чем заняться вопросом о существовании указанных двух
типов гг-кратного тензорного произведения, вспомним о третьем типе,
квантовом пространственном тензорном произведении. Что касается его
гг-кратной версии, мы вынуждены ввести ее посредством явной
конструкции (ср. с замечанием 6.3.3).
Пусть Ek, к = 1,..., гг, — квантовые пространства, U G Т\Е\ ® ...
... ® Еп]. Представляя U в виде суммы гг-кратных элементарных
тензоров, легко видеть (ср. со случаем двух пространств в начале § 6.3),
что корректно определено число
\\U\\sp := sup{||(/i ® ... Θ fn)oo(U)\\: fk G В%к, к = 1,... ,n}, (6.6.3)
где, аналогично 2-кратному случаю, норма
(/ι ® . · · ® fn)oc(U) e F[F® ...®F\
— это операторная норма в (гг+1)-кратной тензорной степени Τ ® ...
... ® Τ. Очевидно, || · ||sp является преднормой в Т{Е\ ... ® Еп).
(Вскоре в предложении 6.6.4 мы увидим, что это в действительности
квантовая норма.)
Говоря неформально, мы покажем, что можно вычислять все наши
квантовые нормы в £Ί 0 ... (8) Еп «путем итераций», расставляя в этом
выражении произвольные скобки — лишь бы они сводили дело к случаю
двух сомножителей. На этом пути мы получим закон ассоциативности
одновременно с теоремой существования рассматриваемых квантовых
тензорных произведений. Очевидно, что случай η сомножителей
сводится к случаю трех. Поэтому мы ограничимся последним случаем.
Итак, предположим, что Ек, к — 1, 2, 3, — заданные квантовые
пространства.
Теорема 6.6.2 (это заодно и теорема существования). Пусть символ
«(g)» обозначает «®» или «®». Тогда
h 4
(6.6.2)

170 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
и
(i) каждая из пар
(E1(g)E2)®E3,
°дх\ЕххЕ2хЕъ^ (Ει 0 Е2) 0 Я3, (ж, у, ζ) ^ (х 0 у) 0 2
Е10(е20£;з),
ΰ2: Егх Е2х Е3^ Ει® (Е2 0 £3), (ж, у, ζ) ь-> ж 0 (j/ 0 ζ)
есшъ 3-кратное пепополпеппое хаагерупово (для 0 = 0) или оператор-
h
но-проективное (для 0 = 0) тензорное произведение пространств Е\,
^2, Е3;
(ii) утверждение остается в силе, если мы заменим символы «0»,
h 4 ~
rvj
«(χ)» u «(χ)» соответственно на «09», «09» и «09», а таксисе слово «непо-
h 4
полненное» на «пополненное».
< (i) Займемся сперва случаем, когда 0 := 0. Пусть квантовое про-
^ h
странство F и сильно вполне ограниченный 3-линейный оператор ΊΖ —
те же, что в диаграмме (6.6.1) (где теперь, конечно, η = 3). Полагая
в этой диаграмме Θ := (Ει 0 Е^) 0 Е% и θ := $ι, мы видим, что есть
h h
только один линейный оператор Д, делающий диаграмму
коммутативной, и он корректно определен правилом (х 0 у) 0 ζ \-^ ΊΖ(χ, г/, ζ).
Рассмотрим биоператор ΊΖ: (Е\ 0 Е^) х Е% —> F, корректно опреде-
h
ленный правилом (ж 0 г/, ζ) ь^ 7£(ж, г/, ζ). Обратим внимание на то, что
его сильное размножение связано с сильным размножением ΊΖ
формулой
7Zs((u Θ v),w) = TZs(u, v, w), (6.6.4)
u G TE^ ν G JFF, w G JFG. (Это равенство немедленно проверяется на
элементарных тензорах в трех последних пространствах.) Отсюда,
поскольку TZS — сжимающий, мы видим, что \\TZs(u Θ г;), w)\\ ^ 1МНМ1 \\w\\.
Поэтому, взяв произвольный U G Т(Е\ 0 Е^) и все его возможные пред-
h
ставления в виде символов Эффроса и пользуясь предложением 6.1.6,
мы получаем, что ||7£8([/, и>)|| ^ \\U\\||г^||.
Таким образом, 7Z — сильно вполне сжимающий биоператор. Но его
линеаризация — это, очевидно, не что иное, как R. Поскольку мы имеем
дело с хаагеруповым тензорным произведением пространств Ε 0 F и G,
это влечет то, что R — вполне сжимающий оператор.
Итак, мы проверили свойство универсальности для первой из пар,
указанных в формулировке. Сходное рассуждение устанавливает
подобное свойство для второй пары. Мы лишь заметим, что роль биоператора

§ б.б. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ УМНОЖЕНИЙ 171
ΊΖ теперь играет биоператор
К: Ег х (E2®E3)^F, (χ, у ® ζ) ι-» К(х,у, ζ),
h
а роль формулы (6.6.4) играет формула
7Zs(u, ν Θ w) = 7£s(u, υ, ги). (6.6.5)
Таким образом, случай «(g)» рассмотрен; обратимся к «(g)». Возьмем
h 4
произвольное квантовое пространство F, 3-линейный слабо вполне
сжимающий оператор ΊΖ: Е\ χ Е2 х Е% ^ F л единственный оператор Д,
делающий подходящую по смыслу версию диаграммы (6.6.1)
коммутативной. Теперь, параллельно доказательству для «(g)», достаточно по-
h _
казать, что соответствующие биоператоры, на этот раз ΊΖ: (Е\ (g) E2) х
4
х Е3^ F, (x®y,z) ^7l(x,y,z) и ΊΖ: Ελ χ (£2 Θ Ε3) -> F, (ж,г/Θ 2;) ι->
4
ь^ 7£(χ, ι/, ζ), слабо вполне ограничены. С этой целью мы применим
формулу
TZw(a - (и§ ν) -b,w) = а - TZw(u, v,w) · b
для первого биоператора и чуть более сложную формулу
1Zw(u, а · (ν (} w) · b) = а · [l±l · 7Zw(u, v, w) · l±l*] · b
для второго; здесь a,bGf, wG FE\, ν G .Fi^? ги £ i?3, a l±) — унитарный
оператор, введенный в § 0.3. Обе формулы играют в настоящем
контексте ту же роль, что формулы (6.6.4) и (6.6.5) в доказательстве для
случая «(g)». Они легко проверяются на элементарных тензорах с помо-
h
щью (0.6.4), а также, для второй формулы, с помощью (0.3.4). Остается
объединить эти формулы с предложениями 1.1.14, а затем с 6.2.10.
^ h ^ 4
(и) Поскольку рассуждения для случаев (g) := (g) и (g) := (g) строго
параллельны, мы ограничимся первым из них.
Предположим, что F — банахово квантовое пространство.
Возьмем непрерывное продолжение упомянутого выше оператора R на
h h h
(Ει (g) E2) Θ £"3, или, что то же самое, на (Е\ (g) E2) (8> Е% (см. (6.1.4)).
h
Аналогичным образом возникает продолжение соответствующей лине-
h h
аризации биоператора ΊΖ8 на Ει (g) (E2 Θ Ε%). После этого остающееся
h
рассуждение для случая «(g)» весьма сходно с рассуждением,
проведенным в п. (i) для «(g)». >

172 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Замечание 6.6.3. Напомним о предложении 2.1.6, позволяющем для случая
двух тензорных сомножителей вычислять хаагерупову норму с помощью
символа Эффроса. Используя ассоциативность хаагерупова тензорного произведения,
нетрудно показать, что это предложение имеет η-кратную версию. А именно, пусть
Ек, к = 1,. . . , п, — квантовые пространства и и^ Ε Е^. Положим и\ Θ · · · Θ ип : =
:= i9s(tAi, · . · ,14η), где #: Ει х ... х Еп —► Ει (g) .. . (g) Еп, (χι, ... ,xn) \-^ x\ ® .. .
. . . (g) xn — канонический полилинейный оператор. Очевидно, такая операция
«многократный символ Эффроса» полилинейна и, стало быть, корректно
определена на элементарных тензорах правилом αϊ χ ι Θ · · · Θ αηΧη = αϊ .. . αη(χι (g) ... (g) xn)>
Тогда для U Ε Τ {Ει (g) .. . (g) En) имеет место равенство
h h
||C/||h = inf{||iAi||... \\un\\},
где нижняя грань взята по всевозможным представлениям U в виде и\ Θ · · · Θ ип.
Следующее предложение также может быть рассмотрено как
теорема существования, на этот раз для 3-кратного квантового
пространственного тензорного произведения. Ради краткости обозначим
канонические линейные изоморфизмы
Ελ®Ε2®Ε3^ (Ει <g> Е2) ®Е3 и Ег Θ Е2 ® Е3 -► Ег Θ (Е2 Θ Ε3)
соответственно через I л J.
Предложение 6.6.4. Операторы 1Х : Т\Е\ ® Е2 ® Е3] —► ^[(Ει Θ
Θ Ε2) Θ #з] ^ Joe'· Т\ЕХ ® Е2 ® Я3] -► ^[^ι Θ (#2 Θ #з)]
являются изометрическими бимодульными изоморфизмами относительно
преднормы || · ||sp в JF[i?i Θ Ε2 (g) £з] (ср. с (6.6.3)) и квантовых норм
соответственно в (Ει (g) i?2) Θ ^з и Ει® (Е2 ® Е3).
sp sp sp sp
< Очевидно, оба оператора суть бимодульные изоморфизмы в
смысле чистой алгебры. Далее, для заданного U Ε Т\Е\ ® Е2 ® Е3] положим
У -= Ioo(U) и W := Joo(U). Наша задача состоит, конечно, в том,
чтобы показать, что ||^||8р = ||C/||sp = ll^llsp· Сосредоточимся на втором
равенстве.
Возьмем произвольные Д Ε В\ , /с = 1,2,3, и рассмотрим элемент
(= оператор)
W123 := (/ι ® (/2 ® /з))те W £?®(Г®Г).
sp sp sp sp
Из оценки в теореме 6.5.1 следует, что ЦИ^зЦвр ^ ||И^||8р. Но, как
частный случай теоремы 6.3.10, имеет место совпадение квантовых
пространств J^JhJ^J, ита же теорема дает совпадение Τ ® (Т ® Т)
sp sp sp
и Τ (g) (Τ ® Τ\ Отсюда и из ассоциативности операции «(g)» следует, что
элементы Ui23 \— (fi (g) f2 (g) /3)00 (С/) и Wi23 отождествляются с одним
и тем же элементом ъТ®Т®Т®Т. Поэтому || С/1231| = || Wi23||sp·

§ 6.6. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ УМНОЖЕНИЙ 173
Следовательно, на основании равенства по определению (6.6.3)
и приведенной выше оценки для ЦИ^зЦэр, имеет место неравенство
\\u\UP^\\w\\sp.
Теперь зафиксируем на время Д G Bi, и положим
к
Wx := (Л ® 1e2®e3)oo{W) е Т{Т ® (Е2 ® Е3)).
Sp sp Sp Sp
Поскольку E2 ® E3 — это конкретное квантовое пространство (пред-
sp
ложение 6.3.9), мы можем отождествить, снова на основании
теоремы 6.3.10, квантовые пространства Τ ® (Е2 ® Е3) и Τ ® (Е2 ® Е3). Но
sp sp sp
последнее является повторным квантованием конкретного квантового
пространства Е2 ® Е%. Поэтому предложение 2.3.5, рассмотренное для
sp
случая
М := {/2 ® /3: Е2 ® Е3 -> .F <g> .F, fkeBxE к = 2,3},
sp
дает равенство
||Wi||sp = sup{||((/2<8>/3) ос Joe (Wi)||:/fcGB|fc,A; = 2,3}.
Но, будучи рассмотрен в Т\Т ® Τ ® Т\, каждый ((/2 ® /3)00)00(^1)
совпадает с
(ljr ® j2® /3)00 (Λ Θ 1#2(8)£з)оо
Как следствие, имеет место оценка ||Wi||sp = ||(/ι ® 1£72®Яз)оо(^ЮН ^
Sp sp
^ ||C/||sp. Применяя предложение 6.5.2, получаем, что ||И^||8р ^ ||C/||sp.
Таким образом, мы доказали, что ||?7||sp = ||H^||sp. Сходное рассуж-
дение, с дополнительным использованием коммутативности операции
<8>, доставляет равенство ||^||8р = ||C/||sp. >
Сейчас нам снова удобно употреблять «неспециализированные»
символы для всех наших типов квантового тензорного произведения
(ср. с началом предыдущего параграфа).
Теорема 6.6.5 (ассоциативность). Существуют однозначно
определенные вполне изометрические изоморфизмы
(Ег Θ Е2) ® Ез -> Ει ® (Е2 Θ Е3) и (Ег ® Е2) ® Е3 -► Ег ® (Я2 ® Е3),
переводящие (х 0 у) 0 ζ β χ 0 (у 0 ζ).
< (i) «Хаагерупов» и «операторно-проективный» случаи.
Объединяя теорему 6.6.2 с теоремой единственности для
соответствующего типа квантового тензорного произведения, мы получаем

174 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
единственный вполне изометрический изоморфизм из (Е\® Е2)® Е%
в Εχ (8) (Е2 Θ Е%) (или из {Е\ ® Е2) ® Е% в Е\ ® (Е2 ® ^з)), делающий
соответствующую диаграмму, т. е. соответствующий частный
случай диаграммы (6.6.2), коммутативной. Но ясно, что такой оператор
должен действовать так, как указано в формулировке. Дальше ясно.
(п) «Пространственный» случай.
Что касается ®, то желаемый изоморфизм — это, конечно, J/-1,
sp sp
где I л J — изоморфизмы, указанные в предложении 6.6.4. В случае 0
мы возьмем непрерывное бипродолжение оператора Л~1 до операто-
sp sp
pa (Ει (8) Ε2) (Η> Ε% —> £Ί (8) (i?2 Θ £?з) и заметим, что его область опреде-
sp sp sp sp
ления и область значений совпадают соответственно с (Е\ ® Е2) ® Е<$
sp sp
и Εχ <8> (Ε2 <8>Я3)· >
Итак, все наши тензорные операции ассоциативны. Являются ли они
также и коммутативными?
Теорема 6.6.6. Пусть Ε и F — квантовые пространства, а символ
«(g)» обозначает «(g)» или «(g)» (но не «(g)»!). Тогда существуют одно-
4 sp h
значно определенные вполне изометрические изоморфизмы Ε (g) F —>
^ F ® Ε uE®F^F®E, переводящие χ (g) у в у (8> х.
< (i) Случай (g). Рассмотрим пару, состоящую из квантового про-
4
странства F (g) Ε и биоператора $ор\ Ε χ F ^ F ® Е\ (х,у) \-^> у ® х.
4 4
Возьмем произвольное квантовое пространство G и слабо вполне
сжимающий биоператор 7Ζ: Ε χ F —> G. Очевидно, существует
единственный линейный оператор Д, делающий диаграмму
Ex F
коммутативной, и он корректно определен правилом j/®xh 7£(ж, у). Но
в то же время R — это, очевидно, и единственный оператор, делающий
коммутативной диаграмму
F χ Ε
*-<?,

§ 6.6. СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ УМНОЖЕНИЙ 175
где $ — канонический биоператор (у,х) \-^ у & х. Далее, согласно
предложению 4.1.4, ΊΖορ — слабо вполне сжимающий оператор
наряду с ΊΖ. При этом мы знаем, что пара (F ® Е,$) — непополненное
4
операторно-проективное тензорное произведение пространств F и Е.
Как следствие, R — вполне сжимающий. Таким образом, у нас есть
два операторно-проективных тензорных произведения Ε и F:
«каноническая» пара (Е 0 F, $) и «пришелец» (F 0 Ε,ϋορ). По теореме
4 4
единственности, существует единственный вполне изометрический
изоморфизм /: Ε (8) F —> F (8) £", делающий диаграмму, представляющую
4 4
собой очевидный специальный случай диаграммы из теоремы 6.0.2,
коммутативной. Но из чисто алгебраических соображений ясно, что
есть только один оператор, делающий эту диаграмму коммутативной,
и он действует в точности так, как указано в формулировке.
4
(ia) Случай (8). Теперь пусть G — банахово квантовое пространство.
В этой ситуации мы можем взять непрерывное продолжение упомяну-
4
того выше оператора R на F 0 Ε (ср. с гл. 3), которое также является
4 ^ ^
вполне сжимающим. Мы видим, что пара (F (8) i?,$op), где $ор — ко-
4
продолжение биоператора $ор на F 0 Е, удовлетворяет определению
пополненного операторно-проективного тензорного произведения
пространств Ε и F. Тогда соответствующая (теперь «пополненная») версия
теоремы единственности немедленно дает нужный результат.
(и) Случай ®. Здесь нам придется работать «вручную». Возьмем
sp
линейный изоморфизм I:E®F^>F®E, χ 0 у \-^ у 0 χ. Мы
должны показать что для каждого U Ε Τ (Ε ® F) и V := Ioo{U) выполнено
II ν ||sp = ||и lisp·
Рассмотрим оператор j: JF(8)JF(8)JF^JF(8)JF(8)JF, корректно
определенный правилом x®y(&z^x(&z(&y. Мы помним, что
(«классическая») операция (8) коммутативна и ассоциативна; ср. с § 0.7.
Отсюда следует, что j — изометрический изоморфизм. Но для всех
/еБ^, g^Bp выполнено равенство (д® f)oo(V) = j[(f ® g)oo(U)]: это
легко проверяется на элементарных тензорах. Поэтому выполнено
НО? ® /)оо(^)|| = ||[(/ Θ g)oo(U)\\. Переходя к соответствующим верхним
граням, мы получаем желаемое равенство.
sp
(Па) Случай 8). Желаемый вполне изометрический изоморфизм —
это, конечно, непрерывное бипродолжение оператора /. >
Однако, как уже отмечалось в замечании 6.5.4, хаагерупово
тензорное произведение — не коммутативная операция. Точное значение та-

176 ГЛ. 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КВАНТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
кого заявления — в том, что, вообще говоря, нет вполне
изометрического изоморфизма Ε 0 F —> F 0 Ε, который бы переводил χ 0 у в у 0 х.
h h
В действительности дела обстоят куда хуже: подлежащие пространства
этих квантовых пространств не обязаны быть даже топологически
изоморфными. В самом деле, пусть Ε := Нс и F := (Нсс)г. Тогда, как мы
видели в следствиях 6.4.4 и 6.4.8, П\(Е ® F) = (jF(uf), || · ||), в то время как
h
D(F (8) Ε) — (jF(ufcc), || · ||дг); здесь || · || — (обычная) операторная нор-
h
ма, а || · ||дг — ядерная (или следовая) норма. Теперь предположим для
простоты, что Η сепарабельно и бесконечномерно. Тогда наши
нормированные пространства не являются топологически изоморфными уже
потому, что сопряженное к первому — это сепарабельное банахово
пространство Λί(Η) ядерных (= следового класса) операторов в ii, в то
время как сопряженное ко второму — это В(Н), которое, разумеется,
не сепарабельно.

ГЛАВА 7
КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Основная конструкция этой главы имеет дело с ситуацией, когда
заданы два нормированных пространства, связанные скалярной или,
более общо, векторной двойственностью. Тогда при некоторых
естественных условиях квантование одного из этих пространств порождает
определенное квантование другого. В частности, сопряженные пространства
квантовых пространств сами становятся квантовыми пространствами,
и то же самое происходит с более общими пространствами вполне
ограниченных операторов между квантовыми пространствами. В свое время
обнаружить «правильный» способ квантовать эти пространства было
совсем не простым делом; ср., например, с замечаниями в [46, § 3.6].
Проблема была решена независимо и одновременно (в матричном
изложении) Блечером и Полсеном [14], а также Эффросом и Руаном [40].
Вначале мы рассмотрим упомянутую конструкцию в простейшем
случае скалярной двойственности.
§ 7.1. Квантование пространств, находящихся в двойственности
Пусть Ε и F — линейные пространства, V: Ε χ F —> С — бифунк-
ционал. Рассмотрим для каждого у G F функционал Vy: Ε —> С,
χ \-^ Р(ж,?/), а для каждого χ G Ε — функционал 'Vх: F —> С,
у ь^ Р(х, у). Таким образом, наш V порождает операторы VF : F —> Е$,
у i-> Vy и 'Vе : Ε -> F», χ ι-V Vх.
Мы будем говорить, что V невыроснсден справа (соответственно
слева), если оператор VF (соответственно fVE) инъективен или, что
эквивалентно, семейство функционалов Ру, у G F (соответственно 7РЖ,
xG£), достаточно. Если V обладает обоими указанными свойствами,
мы назовем его (просто) невырожденным. Чаще, однако, мы будем
называть такой бифункционал скалярной двойственностью или просто
двойственностью между Ε и F. Конечно, скалярная двойственность —
это частный случай, при G := С, векторной двойственности,
упомянутой в 8 0.1.

178
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Наше основное определение будет опираться на понятие слабого
размножения биоператора, введенного в § 0.6 и существенно
использованного в предыдущей главе. Рассмотрим этот род размножения для
произвольного бифункционала V: Ε χ F ^ С и отождествим ТС с Τ. Мы
получим биоператор Vw : ТЕ χ ТЕ —> Τ, корректно определенный
правилом (αχ, by) ь^ Ί)(χ, у)а <0 Ь. Заметим, что для каждых xG^, у G F',
а,Ь £ Т, u G ТЕ, ν G ТЕ имеют место (в обозначениях § 0.1, 0.3 и 0.5)
полезные формулы
V^(u)=Vlo(u)0b и fV™(v) = a0"D*oo(v). (7.1.1)
Они легко проверяются на элементарных тензорах в ТЕ и ТЕ,
Предположим вдобавок, что Ε — нормированное пространство.
В этом случае мы будем говорить, что наш бифункционал V раздельно
ограничен справа, если для каждого у G F функционал Т>у ограничен.
Такое свойство в точности означает, что образ VF лежит в
подпространстве Е* пространства ЕК Мы сохраним для соответствующего
коограничения то же обозначение VF : F —> Ε*. Сходным образом,
если F — нормированное пространство, мы будем говорить о
раздельно ограниченных слева бифункционалах и использовать обозначение
>Х>е . ε ^ F*.
Наконец, если оба Ε и F — нормированные пространства, мы
будем говорить, что наш V — изометрический справа, если оператор
VF : F —> Ε* корректно определен и является изометрическим; иными
словами, для каждого у G F выполнено \\у\\ — sup{|P(x, у)\: χ G Be}-
Аналогично, мы можем говорить об изометрических слева
бифункционалах. Бифункционал, одновременно изометрический справа и слева
(и поэтому заведомо являющийся двойственностью), будет называться
изометрической двойственностью.
Наиболее важный класс бифункционалов, с которым мы встретимся,
это канонические двойственности Ε χ Ε* : (ж, /) \-^ f{x) между
нормированным пространством и его сопряженным; мы обозначим такой
бифункционал через Ό ε или просто D, если Ε фиксировано. Ясно, что
это изометрическая двойственность. (Мы только хотим напомним, что
изометричность оператора Ό ε — это не тавтология, подобно изомет-
ричности оператора De* , но следствие мощной теоремы Хана-Банаха.)
Тем не менее нам понадобятся и некоторые другие примеры
бифункционалов и особенно двойственностей (ср., например, с § 7.5). Все эти
примеры охватывает следующая теорема, описывающая общую схему двух
пространств, связанных «хорошим» бифункционал ом. В этом
контексте квантовая норма в одном из этих пространств порождает квантовую
норму в другом пространстве.

7.1. КВАНТОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВ
179
Теорема 7.1.1. (i) Пусть Ε — квантовое пространство, F —
линейное пространство и V: Ε χ F —> С — невырожденный справа
и раздельно ограниченный справа бифункционал. Тогда F может
быть наделено квантовой нормой, корректно определенной для ν G ТЕ
равенством
|Н| :=sup{||Pw(u,u)||: и£ТЕ, \\u\\ < l},
м^; что то ^се самое, \\ν\\ := ||2^ΙΙ·
77pu этом («классическая») норма вектора у G DF равна \\Т)У\\.
(ii) Пусть F — квантовое пространство, Ε — линейное
пространство и V: Ε χ F ^ С — невырожденный слева и раздельно
ограниченный слева бифункционал. Тогда Ε может быть наделено квантовой
нормой, корректно определенной для и G ТЕ равенством
\и\ := sup{||X>w(iz,?;)||: v G TF, \\v\\ ^ l}.
или, что то же самое, \\и\\ := \\fV™"
' ' II I III ν
(7.1.3)
W I
При этом норма вектора χ G П\Е равна \\fVx\\.
(in) В каждом из этих случаев имеет место, относительно
заданной квантовой нормы в одном пространстве и определенной выше
квантовой нормы в другом пространстве, оценка
\\Vw(u,v)\\ ^ IMIIMIj и, более того, ||2?||Wcb = 1· (7-1.4)
< (i) Сперва мы покажем, что число ||г;|| в (7.1.2) корректно
определено. Для этого, в силу неравенства треугольника для нормы, достаточно
рассмотреть случай ν = by E TF, \\b\\ = 1. Ввиду (7.1.1) и
предложения 1.2.6, для всех и G ТЕ выполнено ||Р^(и)|| = ||2^ο(^)||. Как
следствие, учтя также автоматическую полную ограниченность Т>у
(теорема 2.2.1), мы видим, что число \\Ьу\\ в самом деле корректно
определено, и
1М = га = Р>1· (7-1-5)
Теперь зафиксируем на время и G ТЕ и заметим, что оператор
fT>^: TF —> Τ — это бимодульный морфизм относительно внешних
умножений α · 6 := (1 0 а)Ь и b · а := 6(1 <0 а) в Τ (частный случай
операций, упомянутых в § 0.4). Далее, как очевидный частный случай
предложения 1.1.14, Τ — руанов бимодуль относительно этих операций.
Поэтому, в силу предложения 1.1.16, преднорма \\v\\u := Ц'Р^^Ц —
руанова преднорма. Но, разумеется, sup{||i;||u: и G ТЕ, \\и\\ ^ 1} — это
просто ||г;|| из (7.1.2). Как следствие, на основании предложения 1.1.9

180
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
функция ν \-^ ||г; || — руанова преднорма в TF. При этом, в силу (7.1.4),
соответствующая подлежащая преднорма вектора у G F равна ||^у||.
Отсюда, используя невырожденность справа бифункционала D, а
также предложение 1.2.2, мы видим, что построенная преднорма в TF —
это норма. Таким образом, (F, || · ||) — квантовое пространство с
подлежащей «обычной» нормой у ι—► ||2}у||.
(и) Работает аналогичное, с точностью до очевидных
«симметрических» модификаций, рассуждение.
(Hi) Как явная тавтология, если выполнены условия (i), то ||г;|| = 1
означает в точности, что sup{||Pw(u, г;)||: и G ТЕ, \и\ ^ 1} = 1. Дальше
ясно. >
Заметим, что существование верхних граней, указанных в (7.1.2)
и (7.1.3), означает, что образы операторов Τ>ζΓ и 'Τ>ζΕ (ср. с § 0.1) лежат
соответственно в В(ТЕ,Т) и B(TF,T). В связи с этим мы будем
говорить об операторах Όζρ : TF -> В{ТЕ, Τ) и !ΌζΕ : TF -> B(TF, T).
Вот важный частный случай.
Следствие 7.1.2. Пусть Ε и F — нормированные пространства,
V: Ε χ F —> С — бифункционал. Тогда
(i) если V — изометрический справа и задано квантование
пространства Е, то F таксисе обладает квантованием, корректно
определенным каждым из равенств в (7.1.2);
(и) если V — изометрический слева и задано квантование
пространства F, то Ε таксисе обладает квантованием, корректно
определенным каждым из равенств в (7.1.3).
Определение 7.1.3. Мы говорим, что квантовая норма в F (или
в £■), доставленная теоремой 7.1.1, порождена заданной квантовой
нормой пространства Ε (соответственно F) и бифункционалом V.
Сходные слова будут употребляться, когда мы будем говорить о
соответствующих квантовых пространствах или, смотря по смыслу, квантованиях.
Если ясно, какая исходная квантовая норма и/или какой бифункционал
имеется в виду, они упомянуты не будут.
Есть слегка иной подход к квантованию пространств в
двойственности, дающий те же самые квантовые нормы; ср. с Пизье [101, с. 40]. Как
увидит наш читатель, этот подход может считаться специализацией
хорошо известной алгебраической конструкции, связывающей линейные
пространства £", F, G. Мы подразумеваем оператор G 0 C(E,F) —>
—> C(E,G 0 F), корректно определенный правилом z 0 φ \-^ ψ, где
ψ(х) := z Θ φ(χ).
Пусть V: Ε χ F —> С — бифункционал, пока произвольный.
Рассмотрим оператор VF : TF —> С(Е,Т), переводящий ν £ TF в опера-

7.1. КВАНТОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВ
181
тор VF{v)\ χ bV V^(y). Мы видим, что VF корректно определен тем,
что отправляет элементарный тензор by в одномерный оператор φ: χ\-^>
\-^V(x,y)b, b Ε F, χ G F, у Ε F. Сходным образом мы рассмотрим
оператор 'Vе : ТЕ —> L(F,T\ корректно определенный тем, что отправляет
ах в одномерный оператор ψ: у \-^ Ί)(χ, г/)а, α £ F, x G Ε, у G F.
Условимся сначала писать для краткости Р17: Ε —> F вместо VF (v)
и 7РП: F ^ Τ вместо 'Vе{и), В силу определения наших операторов,
для каждых ж £ F, ?/ £ F, wG FF, г; £ FF выполнены равенства
£"(*)='££ (г;) и '£*%) = %(и). (7.1.6)
Также заметим, что для тех же и, г; выполнено V^(u) = V F)^0(,u)V?
где V — оператор рокировки из § 0.3; это немедленно проверяется на
элементарных тензорах. Следовательно, имеет место равенство
\\Ol0{u)\\ = \\>Vu00{v)\\. (7.1.7)
Если вдобавок F,F и Ρ — те, что в теореме 7.1.1(i), то
одномерные операторы Vby, Ъ £ F, у £ F, очевидно, ограничены.
Следовательно, переходя к соответствующему коограничению, мы можем говорить
об операторе VF : ТЕ —> СТ(Е,Т). Сходным образом, в контексте
теоремы 7.1.1 (и) мы можем говорить об операторе fVE: FF —> CT(F,T).
(Напоминаем, что пространства CF(F, F) и CT(F, F) суть
соответственно Т(Е,Т) и T(F,T\ наделенные нормой || · ||сь·)
Теорема 7.1.4. (i) В условиях теоремы Т. 1.1 (i) порожденная
квантовая норма 6F - это в точности норма, индуцированная
оператором VF : TF -> CF(E, Τ). Иными словами, для каждого ν £ TF
выполнено _
\\v\\ — ||F)F('u)||cb, или, что то же самое,
V '"„ ' ' (7.1.8)
Η = sup{||P^(u)||:u GTE, Hl^l}.
77pu этом выполнено
\\v\\ = sup{||'P£>)||: u £ FF, ||u|| < 1}. (7.1.9)
(ii) В условиях теоремы 7.1.1 (ii) квантовая норма в Ε
индуцирована оператором 'Vе : ТЕ ->■ CF(F, Τ). Иными словами, для каждого
и £ ТЕ выполнено
\\и\\ — ^!Т)Е{и)\\пь, или, что то же самое,
" " " V Л'1 (7.1.10)
IMI=sup{||'P^)||: ?;£FF, IHI^l}.

182
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
При этом выполнено
\\и\\ = sup{||P^(u)|| :v£TF, \\v\\ < 1}. (7.1.11)
< Поскольку оба утверждения «симметричны», мы ограничимся
первым.
Рассмотрим диаграмму
СТ{Е,Т)
j (7.1.12)
В{ТЕ,Т),
где J переводит φ: Ε —> Τ в ^: «Fi? -^ Τ,u^ κφ^ (и). (Мы напоминаем,
что оператор χ: Τ ® Τ ^> Τ корректно определен на Т\Т\ С.Т ® Τ тем,
что отправляет а[Ь] в а <0 6.) Таким образом, J есть композиция
изометрических операторов к л φ \-^ φ^ и поэтому сам является
изометрическим. Далее, ввиду (7.1.2) Τ)ζΓ — также изометрический оператор. Но
наша диаграмма, как легко усмотреть на элементарных тензорах в TF,
коммутативна. Поэтому VF тоже должен быть изометрическим, а это
в точности то, что нам нужно для равенств (7.1.8). Равенство (7.1.9)
следует из (7.1.7). >
Как видно, равенство (7.1.7) означает, что семейство операторов fVu,
где и пробегает единичный шар в ТЕ, удовлетворяет условиям
предложения 2.1.8, а равенство (7.1.10) имеет аналогичный «симметрический»
смысл. Поэтому предыдущая теорема влечет
Следствие 7.1.5. Все квантования, описанные в теореме 7.1.1,
конкретны.
Выделим полезное предложение.
Предложение 7.1.6. Пусть, в условиях теоремы 7.1.1 (i), оператор
VF : F —> Ε* сюрьективен. Тогда оператор VF : ТЕ —> СТ(Е,Т)
является изометрическим изоморфизмом нормированных пространств.
< Согласно (7.1.8), VF — изометрический. Поэтому наша задача
в том, чтобы показать, что он сюръективен.
Хорошо известно (и легко доказать), что каждый ограниченный
одномерный оператор из Ε в Τ действует, для некоторых / Ε £"*, Ъ Ε Т,
по правилу χ \-^ f(x)b, χ Ε Ε. Следовательно, ввиду условия, он
совпадает с Vby для некоторого у Ε F. Поэтому, по линейности, каждый
/ Ε С J-{Ε, Τ) имеет вид Ί)ν для некоторого ν Ε TF. >
ν1
TF
ν
TF

§ 7.2. КВАНТОВОЕ СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 183
Разумеется, «симметрическое» утверждение, касающееся
оператора f/DE, также справедливо.
§ 7.2. Квантовое сопряженное и квантовое предсопряженное
пространства
Теперь мы сосредоточимся на важнейшем случае канонической
двойственности между нормированным пространством и его
сопряженным. Поскольку этот случай покрывается следствием 7.1.2, мы вправе
дать следующее определение.
Определение 7.2.1. Пусть Ε — нормированное пространство,
наделенное квантованием. Тогда его сопряженное пространство £"*,
наделенное квантованием, порожденным заданным квантованием пространства
Ε и канонической двойственностью, называется квантовым
сопряженным пространством к Е.
Сходным образом, если исходным квантованием наделено £"*, мы
определяем квантовое предсопряснсенное пространство к Е*.
Разумеется, хорошо видно, что определение квантовой нормы
в квантовом сопряженном пространстве — это близкая имитация
определения «классической» нормы в сопряженном пространстве: просто
мы берем
swp{\\Dw(u,v)\\: ue ВТЕ)
вместо
sup{\D(x,y)\: χ е ВЕ}.
Как частный случай предложения 7.1.6, имеет место
Предложение 7.2.2. В случае канонической двойственности
оператор DE : ТЕ* —> СТ(Е^Т) — изометрический изоморфизм
нормированных пространств. < >
Теперь напомним, в контексте канонической двойственности, о
каноническом изометрическом вложении г: Ε —> £Г*, переводящем χ
в функционал ζ на £*, определенный равенством O(y, ζ) := D, у Ε Ε*.
Заметим, что для каждых и £ ТЕ и ν £ ТЕ* выполнено Ow(u,v) =
= ADw(v, ioo(u))A: это немедленно проверяется, с помощью (0.3.3),
на элементарных тензорах. Поэтому для всех этих u, v имеет место
равенство
\\Dw(u,v)\\ = WD^v.i^u^l (7.2.1)
Предположим, что в контексте заданной канонической
двойственности сопряженное пространство Е* наделено некоторым квантованием.
В этой ситуации как исходное пространство Е, так и второе
сопряженное пространство Е** становятся квантовыми пространствами: первое

184
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
как квантовое предсопряженное, а второе как квантовое сопряженное
к Е*. Из предыдущего равенства немедленно следует
Предложение 7.2.3. В упомянутом выше контексте каноническое
изометрическое вложение г: Ε —> Ε** является вполне
изометрическим. Иными словами, относительно этого вложения и указанных
квантований, квантовое пространство Ε является в точности
квантовым подпространством квантового пространства £■**. о
Более интересная и деликатная ситуация возникает, когда вначале
задано квантование исходного пространства Е. Тогда мы можем
говорить о сопряженном квантовом пространстве £"*, а также о втором
сопряженном квантовом пространстве £■**, определяемом, конечно,
как квантовое сопряженное к Е*. С другой стороны, мы можем
вернуться от Ε* κ Ε и рассмотреть квантование последнего пространства,
порожденное только что построенным квантованием пространства Е*.
Если мы обозначим новую квантовую норму в Ε через || · ||7, а исходную
через || · ||, то оценка (7.1.4) дает неравенство || · ||7 ^ || · ||. Заметим, что
из равенства (7.2.1) немедленно следует
Лемма 7.2.4. Если квантовые пространства Ε, Ε* и £"** — те,
что выше, то следующие утверждения эквивалентны:
(i) каноническое изометрическое вложение г: Ε —> £"** — вполне
изометрический оператор,
(и) квантовая норма в Ε как предсопряженного квантового
пространства пространства Е* совпадает с исходной квантовой нормой.
о
На самом деле эти эквивалентные утверждения всегда справедливы.
Однако чтобы это показать, нам снова необходимо сильное средство,
упомянутое как теорема В. 1а во введении. А пока мы можем их
установить в ситуации, которая все еще производит кажущееся впечатление
частного случая:
Предложение 7.2.5. Предположим, что Ε достижимо, или, что
эквивалентно (см. теорему 2.2.13), оно конкретно. Тогда
утверждения предыдущей леммы справедливы.
< Возьмем и £ ТЕ. В данной ситуации равенство (7.1.10) в
теореме 7.1.4 принимает вид
|Mr = sup{||£L(u)||:Ve.re*, NO}.
На основании предложения 7.2.2 это равенство может быть
переписано как
H^supill/ooHlh/GS»}.
Дальше ясно. >

§ 7.2. КВАНТОВОЕ СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 185
Замечание 7.2.6. Напротив, предположим, что вначале задано
квантование пространства £"*, затем мы наделяем Ε структурой
квантового предсопряженного пространства и, наконец, мы рассматриваем
Е* как квантовое сопряженное к Е. Получим ли мы исходную
квантовую норму в Ε*Ί Оказывается, это не всегда так (хотя это в самом
деле так для большинства известных примеров). Более того, некоторые
сопряженные банаховы пространства можно так проквантовать, что
получившееся квантовое пространство не является квантовым
сопряженным ни к какому квантовому пространству. Это показал Ле Мерди [72].
В его примере соответствующий оператор Dw : ТЕ* —> В[ТЕ^Т\
конечно, не может быть изометрическим.
Теперь мы обратимся к функториальным свойствам квантовой
версии операции «звездочка». В следующем предложении Ε и F —
квантовые пространства, а φ: Ε —> F — ограниченный оператор. Заметим,
что для каждых и G ТЕ и ν G ТЕ* имеет место равенство
Dw{u,iplQ{v)) = Dw{iPoo{u),v). (7.2.2)
Оно немедленно проверяется на элементарных тензорах в ТЕ и ТЕ*.
Предложение 7.2.7. Если ψ вполне ограничен, то сопряженный
оператор φ* : F* —> Ε* таксисе вполне ограничен относительно
сопряженных квантовых норм, и ||^*||сь ^ IMIcb-
< Возьмем ν G ТЕ*. Объединяя (7.1.2) и (7.2.2), мы получаем, что
ΙΙ^ΞοΜΙΙ =sup{||Dw(^oo(^),i;)||: иеТЕ, \\u\\ < 1||}.
Остается применить оценку (7.1.4). >
Предложение 7.2.7 позволяет нам рассмотреть квантовые
версии функторов сопряженности, или «функторов звездочки» «(*)»,
хорошо известных в классическом функциональном анализе; см.,
например, [133, § 2.5]. Мы подразумеваем — конечно же, контрава-
риантные — «квантовые функторы звездочки» Q(*): QNOR —> QBan
и Q(*): QNOR2 —> QBan1? которые сопоставляют квантовому
пространству его сопряженное квантовое пространство, а вполне ограниченному
или, смотря по смыслу, вполне сжимающему оператору — его
сопряженный оператор. Подчеркнем, что эти функторы принимают значения
соответственно в QBan и QBan1? потому что все сопряженные
пространства суть банаховы пространства (ср. с определением 3.1).
Поскольку функторы всегда сохраняют категорные изоморфизмы,
сопряженный к полному топологическому изоморфизму и к
полному изометрическому изоморфизму сам является соответственно
полным топологическим и полным изометрическим изоморфизмом.

186
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Здесь, конечно, специфическая природа наших объектов и морфизмов
не играет роли. Однако эта специфика выходит на передний план,
когда мы интересуемся некоторыми дальнейшими свойствами наших
функторов. Вот образец:
Предложение 7.2.8. Пусть E,F и φ — те же, что и в предыдущем
предложении, и при этом φ — вполне коизометрический оператор.
Тогда φ* — вполне изометрический оператор.
< По условию, множество {^оо(г^): и G ТЕ, \и\ < 1} пробегает целый
открытый единичный шар в ТЕ. Поэтому, взяв соответствующие
верхние грани в (7.2.2), мы видим, что ||^*(^)|| = ||г;|| для каждого ν G ТЕ*. >
Еще одно обещание на будущее: мы покажем, что на самом деле
всегда ||^*||сь = IMIcb и что сопряженный к полной изометрии является
полной коизометрией; см. предложения 9.2.5 и 8.4.8.
Замечание 7.2.9. В действительности φ — вполне изометрический
тогда и только тогда, когда φ* — вполне коизометрический. Очерк
доказательства можно извлечь, например, из [13, 1.4.3].
Наконец, для удобства наших будущих ссылок мы выделим два
простых утверждения технического характера.
Предложение 7.2.10. (i) Пусть Е\ и Е2 — квантовые
пространства, Е\ и F2 — линейные пространства, Vk : E\~ χ Fk ^ С, /с = 1, 2; —
бифункционалы, I: Е\ —> Е2 — вполне изометрический изоморфизм,
J: F\ —> F2 — линейный изоморфизм. Пусть, вдобавок, для V1 и V2
выполнены условия теоремы 7.1.1(i), и диаграмма
Ελ χ Fi — ^ Е2 х Е2
С,
где Ι χ J действует по правилу (х,у) ь^ (Ix,Jy), коммутативна.
Тогда J — вполне изометрический изоморфизм относительно
порожденных квантовых норм в F\ и Е2.
(ii) («Симметрическая часть».) Пусть Е\ и Е2 — линейные
пространства, Е\ и F2 — квантовые пространства, Vk, k — 1,2, как
выше, I: Е\ —> Е2 — линейный изоморфизм, J: F\ —> F2 — вполне
изометрический изоморфизм. Предположим, что для V1 и V2 выполнены
условия теоремы 7.1.1(H) и указанная выше диаграмма
коммутативна. Тогда I — вполне изометрический изоморфизм относительно
порожденных квантовых норм в Ει и Е2.
< Мы докажем только (i). Возьмем ν G ТЕ\. Поскольку 1^
отображает единичный шар пространства ТЕ\ на единичный шар в ТЕ2,

7.3. ПРИМЕРЫ
187
мы видим, что ||Joo(u)|| = sup{||P^(JooM, Joo(v))\\: \\u\\ < 1}. Но, как
можно немедленно проверить на элементарных тензорах, выполнено
Pj(ioc(V), Joo(v)) =Т)^(и,у). Дальше ясно. >
Теперь предположим, что Ε и F — квантовые пространства с
квантовыми нормами соответственно || · ||# и || · ||^, i?* и F* — их сопряженные
квантовые пространства, а V: Ε χ F —> С — двойственность.
Предложение 7.2.11. (i) Двойственность V [как биоператор)
слабо вполне ограничена <^> оператор VF : F —> Ε* корректно определен
и вполне ограничен <^> оператор Vе : Ε —> F* корректно определен
и вполне ограничен. То снсе самое верно, если мы заменим
«ограниченность» на «сжимаемость».
(и) Если для V выполнены условия теоремы 7.1.1 (i), то квантовая
норма \\ - \\f порождена квантовой нормой \\ · \\е О оператор VF : F —>
—> Е* — вполне изометрический.
Если снсе для V выполнены условия теоремы 7.1.1 (ii), то квантовая
норма || · \\е порождена квантовой нормой || · ||F <^> оператор Vе : Ε —>
—> F* — вполне изометрический.
< Возьмем и G ТЕ, v G TF и рассмотрим каноническую
двойственность Ό: Ε χ Ε* —> С. Как легко усмотреть на элементарных тензорах,
имеет место равенство
Pw(u, г;) = Dw(u, V^v)).
Как следствие, числа ||P||Wcb и 11^^11 одновременно существуют или
нет, и если да, то они совпадают. Это дает первую эквивалентность
в п. (i). Та же формула вместе с определением порожденной квантовой
нормы элемента ν и сопряженной квантовой нормы элемента T)^(v)
обеспечивает то, что эти нормы равны. Это дает первую часть п. (и).
Остальное доказывается сходными рассуждениями. >
§ 7.3. Примеры
Чем оборачивается определение квантовой нормы, порожденной
двойственностью, для наших базовых примеров квантовых
пространств? Какой специфический облик оно приобретает?
Мгп и max
Начнем с минимального и максимального квантований (ср. с [8]).
Далее Ε — это произвольное нормированное пространство.
Предложение 7.3.1. Имеет место равенство
mm?
т. е. квантовое пространство, сопряженное к i?max — это (Е*)т-Ш.

188
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
< Объединяя (7.1.8) с предложением 2.2.8(i) и с (7.1.6), мы видим,
что для каждого υ £ Т(Ешах)* выполнено
И = ||Ь1сЬ = \\DV\\ = sup{||'££»||: χ Ε ΒΕ}.
Но, конечно, все функционалы 'Dx : Ε* —> С, участвующие в указанной
верхней грани, имеют норму ^ 1. (Фактически они заполняют
подмножество в £Г*, отождествленное с Be, но нам это не понадобится.)
Поэтому, в силу определения минимальной квантовой нормы, выполнено
IMI ^ IMImin· Остается напомнить, что «минимальное значит
минимальное» (предложение 2.2.4(H)). >
Теперь наш читатель скорее всего ожидает «симметрический»
результат: (Ет'т)* = (S*)max· Это действительно так, и мы обещаем
в конечном итоге это доказать (см. теорему 9.2.2 ниже). Сейчас,
однако, мы лишь в состоянии получить предварительное утверждение,
хотя и представляющее определенный независимый интерес. Более
того, нам неизвестно достаточно простое доказательство даже этого
утверждения, и мы должны существенно опираться на некоторые
глубокие и трудные результаты из геометрии банаховых пространств.
Приведенное ниже рассуждение использует
Слабый принцип локальной рефлексивности. Пусть Ε —
произвольное нормированное пространство, F — конечномерное
нормированное пространство, a a: F —> £"** — оператор. Тогда для каждого
ε > 0 и каждого конечномерного подпространства G в Е*
существует оператор ψ: F —> Ε такой, что \\ψ\\ < (1 + ε)||α|| и для всех ζ G F
и у G G выполнено равенство
Ό(φ(ζ),υ) = Ό(ν,α(ζ))
(см. И. Линденштраусс и X. Розенталь [73]).
Доказательство приведено в [30, с. 73] или, например, в [127, П.Е.14].
Предложение 7.3.2. Имеет место равенство
minj = \-^ Jcmax?
т. е. квантовое пространство, сопряженное к Ет[п, — это (£*)Шах·
< Как частный случай следствия 7.1.5 для Ε := Ет[п, квантовое
пространство Е* конкретно, а потому достижимо (теорема 2.2.13). Поэтому,
в силу определения криптомаксимального квантования (пример 1.3.5),
наша задача — показать, что каждый сжимающий конечномерный
оператор из Е* в Τ является вполне сжимающим. А для этого, ввиду
предложения 2.2.16, достаточно установить, что каждый сжимающий
оператор, скажем φ, из Е* в В(Н), где Η — произвольное конечномерное
гильбертово пространство, — вполне сжимающий.
(Е

7.3. ПРИМЕРЫ
189
η
Возьмем υ = Σ ЬкУк £ ТЕ* ^ bk £ Τ*, г/к £ Ε*, и положим G :=
fc=l
:= span {г/ι,..., yn}. Далее, возьмем сопряженный оператор φ*: В(Н)*^
—> Е** и произвольный ε > 0. Применив слабый принцип локальной
рефлексивности для В(Н)* и φ* в роли соответственно F и а, а также
для указанных G и ε, мы получаем оператор ψ: Β (Η)* —> £" с
упомянутыми свойствами.
Теперь возьмем сопряженный оператор ^* : £"* —> В(Н)**. Согласно
цитированному принципу, для всех ζ Ε Β (Η)* л у G G выполнены
равенства
£>(*, Г {У)) = П(ф(г),у) = D(y, φ* (ζ)) = D(<p(y), ζ).
Как следствие, φ (у) £ В(Н) совпадает, после его отождествления
с функционалом на В(Н)*, с ψ*(у); в частности, это справедливо для
у = Ук,к = 1,...,п. Поэтому
η η
ψοο(ν) = ^Ь^(ук) = ^Ькф*(ук) = φ^υ),
fe=l fe=l
и, с учетом предложения 7.2.7, выполнено
llvooWH = 1СИ1 < НЯЫМК \\ФЫН.
Но, поскольку область значений оператора ψ — минимальное квантовое
пространство, его вполне ограниченная норма совпадает с его
операторной нормой (предложение 2.2.4(i)). Поэтому принцип дает оценки
\\ψοο(ν)\\ <: \\Φ\\\\υ\\ <: (1 + ε)\\φ\\\\ν\\ < (1 + ε)||ν||.
Поскольку это верно для каждого ε > 0, мы получаем, что ||^оо(^)|| ^
^ ||ν ||. Дальше ясно. >
Столбцы и строки
Теперь обратимся к гильбертианам (ср. с [9, 14, 41]). Пусть Η —
произвольное гильбертово пространство, а (·,·): Η х Нсс —> С —
двойственность, доставляемая скалярным произведением в Н. Говоря о квантовой
норме в ufcc, порожденной заданной квантовой нормой в Н, мы будем
всегда иметь в виду эту двойственность. Слабое размножение бифунк-
ционала (·, ·) будет всегда обозначено через ((·,·)).
Предложение 7.3.3. Квантовая норма в Нсс, порожденная
столбцовым квантованием пространства Η, — это в точности строчечная
квантовая норма, и vice versa.

190
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
< Обозначим через ||-||си||-||г столбцовую и строчечную квантовые
нормы в Η, а также и в Нсс. Далее, рассмотрев скалярное произведение
в соответствующем гильбертовом пространстве (Н или Нсс) в качестве
заданной двойственности, мы обозначим через || · ||ас и || · ||dr квантовые
нормы, порожденные квантовыми нормами соответственно ||-||си||-||г.
Наша задача — показать, что || · ||ас = || · \\г и || · ||dr = || * \\с- Удобно
начать со второго равенства.
Возьмем и £ ТИ nv G ТНСС. Согласно предложению 0.2.1, для
некоторой ортонормированной системы в Η и (что то же самое) в Нсс вы-
п η
полнено и— Σ ак^к и ν = Σ Ьк^к- Как следствие,
к=1 к=1
η η
((и, ν)) = ^2 (ek,ei)ak 0 к = ^ ак 0 Ък. (7.3.1)
к,1=1 к=1
Теперь возьмем изометрические операторы 5/с,А: = 1,...,гг,вЬс
попарно ортогональными финальными проекторами и положим а :=
η η
:= Σ akSl 0 SI и Ъ := Σ Sk 0 Skbk- Тогда, с помощью (0.2.1) и (0.3.1),
к=1 к=1 η
легко получаем, что аЪ совпадает с Σ ак 0 &fc? τ· е· с ((ui v))· Точно так
fc=l
П и П
же выполнено равенство аа*= ^akak 0 1· Поэтому ||αα*|| = ^akak
к=1 "fe=l
I n II1/2
^ α&α£ · Но последнее число, на ос-
'fe=l "
новании предложения 1.3.14, — это в точности \\и\\г. Сходным образом,
вычисляя ||Ь|| как ||Ь*Ь||1/2, мы получаем, что ||Ь|| = ||г;||с.
Таким образом,
||((г*,г;))|| = \\аЪ\\ < ||а||||Ь|| = |М|Г||г;||с,
и само определение сопряженной квантовой нормы дает равенство
IMIdr < IMIc·
Чтобы установить обратное неравенство, напомним об элементе
zu(zJ-H и других ингредиентах предложения 1.3.15. На основании
η
(7.3.1) мы получаем, что ((шп, г;)) = Σ Як 0 &fc> и поэтому, в силу (0.3.1),
имеют место равенства к=1
η η
((πη,ν))*{(πη,ν))= Σ qimOblb^POj^blbk.
к,1=1 к=1
Как следствие, ||((шп, г;))|| равно (||Р|| ||Ь*Ь||)1/2 = ||6|| и, следовательно,
совпадает с ||г?||с. Поскольку, ввиду предложения 1.3.15, ||шп|| = 1,
выполнено IMIdr ^ IMIc·
и, ввиду С*-тождества, ||а|| =

7.3. ПРИМЕРЫ
191
Итак, второе из желаемых равенств установлено. Чтобы получить
первое, мы его сведем ко второму.
Возьмем и £ ΤΉ. и ν G ТНСС. Как легко проверить на элементарных
тензорах, в обозначениях § 0.5 выполнено равенство ((и, v))* = ((u*,^*)).
(Здесь ((·,·)) обозначает слабое размножение скалярного произведения
как в Нсс, так и в Н.) Как следствие, ||((^,г;))|| = ||((и*, ϊ;*))||.
Если и пробегает единичный шар в J~HC, то, по предложению 1.3.13,
и* пробегает единичный шар в ТН^С. Объединяя это с определением
сопряженной квантовой нормы, мы видим, что норма ||^||dc равна ||^*||dr·
Но уже полученное равенство для || · ||dn теперь рассмотренное для Нсс
и г;* вместо соответственно Η и νη дает равенство ||^*||dr = ||^*||с·
Последнее число, на основании предложения 1.3.13, — это в точности
норма ||^**||γ? которая совпадает, в силу (0.5.2), с ||г;||Г. >
Теперь мы готовы охарактеризовать квантовые сопряженные
пространства к нашим гильбертианам.
Напомним классический изоморфизм Рисса между Нсс и Н*,
действующий по правилу χ \-^ fx: у \-^ (г/, ж); это, конечно, не что иное, как
VF для V =(·,·) nF = Hcc.
Предложение 7.3.4. С точностью до вполне изометрических
изоморфизмов, совпадающих как отображения с изоморфизмом Рисса,
имеют место равенства
(ЯСС)С = (ЯГ)* и (ЯСС)Г = (ЯС)*.
< Нам надо лишь объединить предыдущее предложение с
предложением 7.2.10(i), сделав в последнем очевидные замены (1яс или 1яг
вместо /, изоморфизм Рисса вместо / и т. д.). >
Ядерные операторы
Наша следующая цель — введение некоторой квантовой нормы
в Λί(Κ, Η) — пространство ядерных (= следового класса)
операторов между гильбертовыми пространствами, снабженное ядерной
нормой (ср. с § 0.2).
Рассмотрим наряду с Λί(Κ,Η) пространство 1С(Н,К) компактных
операторов между Η и К с его операторной нормой. Как хорошо
известно, оба пространства связаны изометрической двойственностью
Т: JC(H,K) х λί(Κ,Η) —> С, (χ, у) ь-> ti(xy), где tr(·) —
операторный след. Более того, эта двойственность, подобно
обсуждавшемуся выше случаю скалярного произведения, также может считаться
частным случаем канонической двойственности, потому что она
доставляет реализацию Λί(Κ, Η) в виде сопряженного банахова
пространства к Κ,(Η,Κ). В точных терминах это означает, что оператор

192
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
гЯ{к,н). ^(^Я) -► К(Н,К)* — изометрический изоморфизм. (Так
гласит теорема Шаттена-фон Ноймана, упомянутая, в эквивалентной
формулировке, в § 0.2.)
Определение 7.3.5. Квантование пространства ЛГ(Я,Я),
порожденное конкретным квантованием пространства /С(Я,Я) и
двойственностью Т, называется стандартным. Сходным образом мы будем
говорить о стандартной квантовой норме в Λί(Κ, Я) и о
стандартном квантовом пространстве Λί(К, Н) (ср. с [46, § 3.2]).
Ясно и без слов, что стандартное квантование пространства Λί(Κ, Я)
не имеет ничего общего с его конкретным квантованием как
операторного (= рассматриваемого с операторной нормой) пространства.
Везде далее стандартная квантовая норма в Λί(Κ, Я) будет
обозначена через || · ||s, в то время как конкретные квантовые нормы в
операторных пространствах будут обозначены через || · ||с.
Что произойдет, если мы «двинемся назад» от Λί(Κ, Я) к /С(Я, К)?
Предложение 7.3.6. Квантовая норма в К,{Н,К), порожденная
двойственностью Τ и стандартной квантовой нормой в Λί(Κ,Η),
совпадает с исходной (= конкретной) квантовой нормой этого
пространства.
< Обозначим первую из указанных квантовых норм через || · ||а·
Из упомянутой выше теоремы Шаттена-фон Ноймана и
предложения 7.1.6 следует, что операторы VF(v) (или, что то же самое, Ί)ν\
ν Ε Τ[Λί(Κ^ Я)], ||г;||s ^ 1, пробегают весь единичный шар пространства
СТ{К(Н^К\Т\ где /С(Я, К) наделено конкретной квантовой нормой.
Объединяя это с равенством (7.1.11), мы видим, что для каждого
и Ε Т[К,(Н, К)] выполнено равенство
\\u\\d = sM\\foo{u)\\: f zCF(K(H,K),f), ||/||съ<1}·
Но конкретная квантовая норма элемента и, на основании теоремы
2.2.13, выражается с помощью того же равенства. >
Пусть S и Τ — ограниченные операторы соответственно в Η л К.
По аналогии с операторами двойного умножения, действующими
между операторными пространствами (ср. с § 0.7), мы можем
рассматривать корректно определенный оператор ms>T : Λί(Κ, Я) —> Λί(Κ, Я), у \-^
ь^ SyT. Ясно, что он ограничен относительно ядерной нормы, и имеет
место оценка ||т^,т|| ^ ||5||||Т||. Отметим равенство
Tw(u, ms^Tv) = Tw{mTJu, v), (7.3.2)
легко проверяемое на элементарных тензорах. Далее, мы выделим
следующее полезное предложение.

§7.3. ПРИМЕРЫ 193
Предложение 7.3.7. Оператор mS'T : Λί(Κ, Η) —> Λί(Κ, Η) вполне
ограничен относительно стандартной квантовой нормы, и ||ш5,т||сь ^
< Н^Н НГН·
< Объединяя (7.3.2) с (7.1.4), мы получаем, что
IT / S,T Ml / Μ Τ, Si ι и
\Tw(u,m^ v)\\ < ||mc^ ||||u
Τ iS ι
' 1117/11 11 ??l
Остается напомнить теорему 2.2.11. >
Перейдем теперь ко второй классической изометрической двойст-
венности с участием пространства Λί(Κ,Η), а именно Τ: Λί(Κ,Η) χ
χ В(Н,К): (у, χ) ь^ tr(yx). На основании второй теоремы Шаттена-
фон Ноймана (ср. с § 0.2), эта двойственность порождает
изометрический изоморфизм ТБ(Н>К); В(Н,К) —> Λί(Κ, Ну. В результате мы
можем отождествлять В(Н,К) как нормированное пространство с
сопряженным пространством к Λί(Κ, Η).
Какая квантовая норма порождена в В(Н, К) этой двойственностью
и стандартной квантовой нормой в Λί(Κ,Η)? Ответ, как мы увидим,
совершенно естественен. Однако он требует некоторой подготовки.
Начнем с того, что обратим внимание на очевидный аналог
равенства (7.3.2):
fw(m^T7j, и) = Tw(tj, mTJu). (7.3.3)
Заметим также, что для всех и G J-[K,(H, К)] и ν G Τ[Ν(Κ, Η)] выполне-
но равенство Tw(u, v) = ATw(v, и) А: оно легко следует из представления
и и ν в виде сумм элементарных тензоров. Как следствие, мы
получаем, что
\Tw(u,v)\\ = \\Tw(v,u)\\. (7.3.4)
Обозначим через V множество всех пар (Р, Q) конечномерных
проекторов, действующих соответственно в Η л К. Очевидно, это
направленное множество относительно операторного порядка.
Следующее подготовительное утверждение по существу хорошо
известно. Тем не менее мы дадим его простое доказательство.
Лемма 7.3.8. Для каждых у G Λί(Κ, Η) и χ G В(Н,К) выполнено
tr (yx) = lim tr (yQxP).
< Будучи ядерным оператором, у представим в виде ^ ξη О ηη,
00 п=1
где Σ ||Cn||||^n|| < оо· Поэтому, с учетом (0.2.2), для каждой пары
71=1
(P,Q) (zV выполнено
оо оо
tr (yQxP) = tr {xPyQ) = J2tr (xPtt" ° ^)Q) = Σ>Ρ£„, ®*ηη^
п=1 п=1

194
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
оо
и точно так же tr (ух) = Σ (χ£η??7η)· Но для каждого тг, очевидно,
п=1
выполнено (χξη,ηη) = Hm(xP£n, ζ)*?7η), и, кроме того, \(χΡξη, <^*ηη)\ <
^ llxll 11Сп|| ||^η||· Дальше ясно. >
Предложение 7.3.9. Квантовая норма в В(Н,К), порожденная
двойственностью Τ и стандартной квантовой нормой в Λί(Κ,Η),
совпадает с конкретной квантовой нормой этого пространства.
< Обозначим первую из упомянутых квантовых норм в В(Н, К)
через || · ||а и возьмем и Ε F[B(H, К)]. Наша задача — доказать, что \\u\\d —
Сперва мы покажем, что для всех ν G J-\N(K, H)] выполнено (в
нормированном пространстве Т) равенство
Tw(v,u) = \imTw(v^m^pu).
В самом деле, представив ν пив виде сумм элементарных тензоров, мы
видим, что достаточно проверить желаемое равенство только в случае
ν — by и и — ах. Но в этом случае оно принимает вид tr (yx)b <0 a —
— limtr (yQxP)b <0 α, а значит, немедленно вытекает из предыдущей
леммы.
Как следствие, принимая во внимание, что т<^ри G KL(H,K) для
любой пары (Р, Q) G Р, и используя (7.3.4), мы получаем, что
\\fw(v,u)\\ = lim\\fw(v, m%pu)\\ = lim \\Tw(m%;pu, v)\\.
Но, в силу (7.1.4) и теоремы 2.2.11, имеют место неравенства
\\Т (тп^' II ίΛ\\ <С Пгп^' 7/11 \\п\\ <С Пгп^' II ulU/ll \\п\\ <С \\ίι\\ \\ίι\\
ll^wv'^oo a%> L/II ^ Ir'^oo ^llcll^Hs ^ \\Πί ||cb|| "Ί|ο|| ^Hs ^ || а\\с \\ u ||s·
Это влечет оценку ||7^(ί;5ϊζ)|| ^ ||^||c||i;||s. Отсюда, беря
соответствующую верхнюю грань, мы получаем, что Цг^Ца ^ |М1с·
Мы переходим к обратному неравенству. Из соотношений тп<^ри =
= (l®_Q)u(l®_P), \\u\\ =swp{\(ui,rj)\: ieL®H,rj£L®K, \\ξ\\,\\ή\\ <
^ 1}, ξ = limP£ и τ? = limQn (ср. с предложением 0.7.5) очевидным об-
разом следует равенство ||и||с = sup{||m^,jPu||c: (Р, Q) G V}. Далее, из
предложения 7.3.6 следует, что
\\m%pu\\c = sup{\\Tw{m%pu,v)\\:vef[N{K,H)l \\v\\s < 1}.
Поэтому достаточно показать, что ||tt||d ^ ||7^(m^'pu, г>)|| для всех
P,QeV nve Τλί{Κ, Я), |H|S < 1.

7.4. САМОДУАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТИАН ПИЗЬЕ
195
В силу (7.3.2) и (7.3.4) выполнены равенства
\\Tw(m^pu,v)\\ = \\Tw(u,m^Qv)\\ = \\?w(m^Qv,u)\\.
Но, на основании предложения 7.3.7, Цттг^^Ц ^ 1. Остается вспомнить,
что такое Цг^Ца- >
Это предложение дает немного иной подход к определению
стандартного квантования пространстваΛί(Κ, Η). В самом деле, помня, что
последнее квантовое пространство конкретно (следствие 7.1.5)1, и
используя такое же рассуждение, как в доказательстве предложения 7.3.6,
мы получаем
Предложение 7.3.10. Стандартная квантовая норма в Λί(К, Н) —
это в точности квантовая норма, порожденная двойственностью Τ
и конкретной квантовой нормой в В(Н,К). о
Будучи переведены на язык сопряженных пространств, два
выражения для квантовой нормы в J\f(K, ii), доставляемые определением 7.3.5
и предложением 7.3.10, звучат следующим образом:
Предложение 7.3.11. С точностью до вполне изометрических
изоморфизмов соответственно Т^(к^ и ТБ(^Н'К^ выполнено
Ν(κ,Η) = κ(Η,κγ и в(н,к)=щк,ну.
< Упомянутые выражения для || · ||s, объединенные с
предложением 7.2.10(i), где надо произвести очевидные замены, дают нужный
результат. >
Второе из указанных равенств, вместе с предложением 7.2.5 и
следствием 7.1.5, доставляет
Предложение 7.3.12. С точностью до вполне изометрического
изоморфизма, квантовое пространство Λί(Κ, Η) совпадает с
квантовым подпространством в В(Н,К)*, являющимся образом
канонического вложения предсопряснсенного пространства к В(Н,К). о
§ 7.4. Самодуальный гильбертиан Пизье
Мы уже отмечали, что есть огромное множество разных
квантований гильбертова пространства; известно, что существует целый
континуум попарно не вполне изоморфных гильбертианов (ср. с [101,
гл. 21] или [98, § 2]). Однако один и только один из них обладает
замечательным свойством, являющимся квантовой версией того свойства
1Мы напоминаем, что соответствующее изометрическое вложение Λί(Κ,Η) как
конкретного квантового пространства в подходящее операторное пространство
никоим образом не является его естественным вложением в В(Н, К).

196
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
классических гильбертовых пространств, о котором говорит теорема
представления Рисса. А именно, когда мы возьмем его квантовое
сопряженное пространство, то мы получим комплексно-сопряженный
гильбертиан. Такой гильбертиан был открыт Жилем Пизье [98].
Нам потребуются некоторые приготовления. Пусть Η —
гильбертово пространство, a J-H, как обычно, — его размножение. Напомним
отображения ρ: L —> L, (о): В —> £>, (рЕ)\ ТЕ —> ТЕСС и обозначения
а°, u#, введенные в конце § 0.5. Сейчас мы будем всем этим пользоваться
для нашего Η в роли Е; в частности, нам понадобится сопряженно-
линейный изоморфизм (оя): Τ Η —> ТНСС, корректно определенный
тем, что переводит ах в α°χ, α G .F, χ Ε ii.
Введем полуторалинейный оператор {·,·}: .Fi? x Fuf —> F
равенством
{и, г;} := ((и, ν*)
Такое отображение будет играть роль «квантового скалярного
произведения в Н», и его главное свойство — это род «квантового неравенства
Коши-Буняковского». Это ключевое наблюдение — теорема 7.4.2
ниже — было сделано Хаагерупом [54, лемма 2.4].
Чтобы получить упомянутое неравенство, удобно иметь дело с полу-
торалинейным оператором, представляющим собой, так сказать, другой
облик нашего {·,·}. С этой целью мы рассмотрим банахово пространство
S(L) операторов Шмидта в L, далее обозначаемое для краткости через
<S, а затем банахово пространство B(S). Мы помним (ср. с § 0.2) что S —
это гильбертово пространство, изометрически изоморфное
пространству L (g) Lcc. Его скалярное произведение задано как (с, d) := tr (d*c) =
= tr(cd*).
Пусть {{·,·}}: ΤΗ χ ΤΗ —> T(S) — полуторалинейный
оператор, переводящий пару элементарных тензоров (αχ, by) в оператор
{{αχ, by}}: <S ^ <S, си (x,y)acb*. Конечно, он корректно определен:
проявляя дотошность, мы могли бы сказать, что он порожден, в
очевидном смысле слова, 4-линейным оператором T(L) χ Η χ (T(L))CC x
χ Hcc —> T(S): (α, χ, 6, у) \-^ (χ, y)acb*.
Лемма 7.4.1. Для любых и, ν G ΤΗ выполнено равенство || {и, г;} || =
= 11{{^}}Н·
< Рассмотрим диаграмму
ΤΗ χ (ТН)СС —^ T{L <g> Lcc) —^ T(S)
7х
δ
κ
ΤΗ χ FHCC —β—^ T{L (8) L) —^-^ Τ,

7.4. САМОДУАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТИАН ПИЗЬЕ
197
отображения которой действуют следующим образом. Оба а и β суть
биоператоры, корректно определенные тем, что отправляют пару
(αχ, (by)) в (ж, у)а g) &, а пару (αχ, Ьг/) соответственно в (ж, г/)а g) 6. Отоб-
ражение 7 χ переводит пару (ΐ/,ν) в (и, v*), a 5 действует по правилу
α и (1 ® ρ)α(1 ® ρ); этот оператор, очевидно, корректно определен
тем, что переводит α g) 6, α G •F(L), 6 G F(LCC), в α g) fe°. Далее, σ —
это ^-изоморфизм, порожденный стандартным изометрическим
изоморфизмом jf: (L g) Lcc) —> <S, ξ ® η ^ ξ Ο η; ξ £ L, 77 G Lcc (ср. с § 0.2);
иными словами, σ действует по правилу Ь ь^ j*bj. Наконец, к — это
наш старый знакомый из § 0.3.
Ясно, что для α G B(L), b G £>(LCC), ξ G L, 77 G Lcc, выполнено
равенство
[σ(α®6)](ξθ77) = α(ξθ77)6*.
Отсюда следует, что σ(α g) 6) переводит каждый cg5bch acb*, а это,
конечно, влечет то, что σα, рассмотренный как сопряженно-линейный
оператор, совпадает с {{·,·}}. В то же время х/?7х — это? очевидно, {·,·}.
Далее, рассмотрев соответствующие элементарные тензоры, мы
видим, что наша диаграмма коммутативна. Поэтому, с учетом того, что 5,
разумеется, — изометрический оператор, для всех и, ν G J-Η выполнено
равенство
\\a(u,v)\\ = \\βηχ(η,ν)\\.
Остается принять во внимание, что σ и к — также изометрические
операторы. >
Теорема 7.4.2. Для любых и, ν G ΤΗ имеет место неравенство
\\{u,v}\\<\\{^M\\1/2\\{vM\\1/2·
< На основании леммы, достаточно доказать аналогичное
неравенство для {{и,ι;}}.
Помня о виде скалярного произведения в <S, мы получаем равенство
\\{{u,v}}\\ =su-p{\ti ({{и, v}}c)dT\: с, de Bs}. (7.4.1)
п п
Используя предложение 0.2.1, представим и как ^ а&е& и г? как ^ &&е&,
fe=l fe=l
где ei,..., еп — ортонормированная система в Н. Тогда в силу
билинейности выполнено
п п
({{u,v}}c)d* = ^ (e^e^a^d* = ^akti*kd*. (7.4.2)
к,1=1 fe=l
Теперь возьмем полярные разложения с = 5|с| = |с*|5 и d = T\d\ —
— |d*|T (ср., например, с [66, гл. VI.1]). Поскольку след операторной

198
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
композиции не зависит от порядка сомножителей, выполнено равенство
tr(afcc^(i*)=tr(afc)S|c|1/2|c|1/2)6^(T|(i|1/2|(i|1/2)* =
= tr([|(i|1/2r*a^|c|1/2][|c|i/26*|(i|i/2]).
Поэтому неравенство Коши-Буняковского для скалярного
произведения в S влечет оценку |tr (akcbkd*)\ < (tr [gg*])1/2^ [/г/г*])1/2, где д :=
:= |d|1/2T*a/cSf|c|1/2 и h := |с| 1//2Ь^ |с?|1//2. Снова поменяв порядок
соответствующих сомножителей и напомнив, что |с*| = 5|с|5* и |d*| = T|d|T*,
мы получаем, что (tr \дд*])1/2 = tr (акв^/^с^^З^а^Щ1/2^/2^) =
= tr(afe |c*| a£ |d*|) и (tr [/г/г*])1/2 = tr (bfe \c\ b^ \d\). Как следствие,
используя сперва (7.4.2), затем — на этот раз традиционное — неравенство
Коши-Буняковского, а затем — снова (7.4.2) для подходящих v,u,c,d,
мы получаем, что
η
|tr [««,V}}(c))rf*]| ^ 5Z(tr (afcl^la^rf*!))1^^ (bfc|c|63E|rf|)|i/2 ^
fc=l
/ η ч 1/2 / η \ 1/2
< (X)tr(afc|c*|aJK|)) ($>r (ΜΦΜ) =
4=1 ' 4=1 '
= (tr[({{n,<}(|c*|))|(i*|])1/2(tr[({{t;,V}}(|C|))|(i|])V2.
Наконец, из с, d G B$, конечно, следует, что |c*|, |d*|, |c|, |d| G S<s.
Отсюда, в силу (7.4.1), вытекает оценка
|tr [({{«, *}}(с))<Г]| < ||{{ι^}ΙΙ1/2ΙΙ{{«Μ}ΙΙ1/2·
Остается взять верхнюю грань по всем с, d G i?<s и снова
применить (7.4.1). >
А теперь для и £ Τ Л мы положим
IM|q:= ||{^,^}||1/2.
Таким образом, одновременно выполнено ||^||q := ||((u, и0))!]1/2 и, с
учетом леммы 7.4.1, ||^||q := ||{{^, ^}}||1^2. Между прочим, последнее
равенство показывает, что число || · ||q не зависит от выбора «канонической»
линейной инволюции ρ.
В этих обозначениях предыдущая теорема утверждает, конечно, что
u,i;}|| ^ IMIqIMIq? или, эквивалентно,
(7.4.3)
||<<u,o>KIMIqlMlq.

7.4. САМОДУАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТИАН ПИЗЬЕ
199
Предложение 7.4.3. Функция ни ||^||q — это квантовая норма в Н,
являющаяся квантованием заданной гильбертовой нормы.
< Прежде всего ясно, что || · ||q — преднорма в ТН.
Соответствующее неравенство треугольника выводится из «квантового неравенства
Коши-Буняковского» (ср. с неравенством (7.4.3)) в точности так же,
как неравенство треугольника для нормы в Η выводится из
«обычного» неравенства Коши-Буняковского.
Теперь возьмем a G Τ и и G ТН. Используя (0.6.3) (с (·, ·) в
качестве 7£), а также (0.5.3) и (0.3.1), мы получаем, что
\1 = \\((а-ща°-и^)\\ = \\(а<>а0)((щи^)\\^\\аПи\\1.
Вместе с параллельной оценкой для \\и · а\\1 это дает (Ш).
Таким образом, мы вправе говорить о протоквантовом пространстве
(ii, || · ||q). Каково его подлежащее преднормированное пространство?
Возьмем одномерный проектор ρ G Τ и χ G Η. Очевидно, (ρχ)* = ρ°χ,
откуда ||{рт,рт}|| = ||χ||2ρΦίΑ и? наконец, ||рж||д = ||ж||. Это означает,
что наше протоквантовое пространство является квантованием
исходного гильбертова пространства ii, а также, в силу предложения 1.2.2,
что преднорма || · ||q в действительности является нормой.
Остается проверить аксиому (RII). Предположим, что для и G Τ Η
выполнено и = и\ + U2, где ик обладают ортогональными носителями
Р/с, к = 1, 2. Тогда элементы {и^)* £ ТНСС, очевидно, имеют
ортогональные носители (Рк)°· Поэтому, снова используя (0.6.3) и (0.5.3), мы
получаем для /с, / = 1, 2, что
((ик, (щ)·)) = ((Р/с · ик ■ Pki (Pi)0 ■ (Щу ■ (Рг)°>> =
= (pfe0№)°)««fe,W))(Pfc<>W)0).
Операторы Р& φ (Р/)°, /с, I — 1, 2, — это, конечно, четыре попарно
ортогональных проектора в L. Как следствие, выполнены равенства
II 2
||{u,u}|| = ^2 ((uk,(ui)*)
"fe,/ = l
= max \\(Рк О (Р/)°)(К, (щУ))(Рк О (Ρζ)°)|| =
= max \\((ик, ЗД#»|| = max \\{ик, щ}\\,
где максимум взят по /с,/ = 1,2. Поэтому из определения нормы || · ||q
и оценки (7.4.3) немедленно следует, что \\u\\q = max{|| ||ui||q, ||^2||q||}· >
Таким образом, мы имеем право говорить о гильбертиане (ii, ||^||q).
Назовем его квантовым пространством Пизъе или гилъбертианом

200
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Пизье1 и будем иногда обозначать его через QH. Сходным образом,
мы будем употреблять термины квантовая норма Пизье в Η л
квантование Пизье пространства Н.
Теперь напомним, что Нсс — такое же гильбертово пространство,
как и Н, и оно, таким образом, также может быть наделено квантовой
нормой Пизье. Мы сохраним для его скалярного произведения и для
слабого размножения этого скалярного произведения те же
обозначения (·,·) и ((·,·)); это не должно привести к конфузу. Соответственно
для u,v £ ТНСС мы положим {и, г;} := ((и, ν*)) и \\u\\q := \\{и, ^Щ1/2. Мы
помним, что ||^||q не зависит от выбора линейной изометрической
инволюции в L.
Заметим, что для всех и, ν £ ΤΗ выполнено равенство ((и, ν*)) —
= A((v* ,u))A, легко проверяемое на элементарных тензорах. Как
следствие, мы получаем, что
|| ((и, ι;*))|| = ||((ί;#,ϊζ))||5 или, эквивалентно,
||Κτ;}|| = ||Κ,«·}||.
Это дает, в частности, равенство
для всех w G Τ Π
Напомним о понятиях, связанных с квантованием
комплексно-сопряженного нормированного пространства (см. пример 1.3.17). Сейчас
мы возьмем в качестве исходного пространства Ε наше гильбертово
пространство Н. Предыдущее равенство немедленно влечет
предложение.
Предложение 7.4.4. Комплексно-сопряженное квантовое
пространство гильбертиана QH — это QHCC, т. е. результат квантования
Пизье гильбертова пространства Нсс. < >
Мы переходим к главному характеристическому свойству
гильбертиана Пизье. Назовем квантовую норму || · || в Η самодуальной, если
II II ттсс «-» «-» 11 11
квантовая норма || · ||d в Η , порожденная квантовой нормой в || · ||
и двойственностью (·,·): Η х Нсс —> С, совпадает с
комплексно-сопряженной квантовой нормой в этом пространстве. Сходным образом мы
будем говорить о самодуальном гильбертиане и самодуальном
квантовании пространства Н.
Теорема 7.4.5. Квантовая норма Пизье в Η самодуальна и явля~
ется единственной самодуальной квантовой нормой в Η.
1Сам его первооткрыватель называет его операторным гильбертовым
пространством и обозначает через ОН.
(7.4.4)

7.5. КВАНТОВЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
201
< Возьмем «,ti£ J-H. Ввиду (7.1.4) для каждой квантовой нормы
|| · || в Η выполнено
\\и\\\ = \\((и,и'))\\ < |Н|||w#||d. (7.4.5)
Поэтому, если мы предположим, что || · || = || · ||q, то выполнено ||u||q ^
С другой стороны, в силу (7.4.3) имеет место оценка ||((ΐ75ΐζ#))|| ^
^ IMIqlMk· Следовательно, если || · || = || · ||q, то определение нормы
||u#||d влечет ||^#||d ^ IMIq· Как следствие, для каждого w G J-Hcc
выполнено \\w\\d — ||u>#||q, и самодуальность нормы || · ||q установлена.
Теперь предположим, что квантовая норма || · || в Η самоду-
альна, и таким образом ||^#||d = ||^##|| = |М| для всех и G TFL.
Поэтому (7.4.5) влечет ||^||q ^ ||u||. Но тогда ||^#||d = sup{||((?;,iz#))||: ||г;|| ^ 1} ^
^ sup{||((i;5 и*))\\: ||^||q ^ 1}, а это, в силу (7.4.3) и самодуальности нормы
|| · ||q, влечет ||гл|| ^ |M|q· Дальше ясно. >
Используя предложение 7.2.10(i) с подходящими заменами,
молено (и должно) переформулировать эту теорему в контексте квантовой
двойственности. Это даст оправдание термину «самодуальность».
Теорема 7.4.6. Квантовая норма Пизье является единственной
квантовой нормой в Η', для которой изоморфизм Рисса Нсс —> Н*
является вполне изометрическим изоморфизмом между комплексно-
сопряженным квантовым пространством к Η и сопряженным
квантовым пространством к Η. о
Стоит отметить, что квантовое пространство Пизье обладает
многими другими замечательными свойствами. В некотором разумном
смысле оно расположено «в самой середине сонма квантовых пространств».
Этой странной фразе можно придать точный смысл с разных точек
зрения, прежде всего в терминах теории интерполяции и локальной
(конечномерной) теории квантовых пространств. Но эти вещи лежат вне
рамок нашего текста; см. мемуар Пизье [98], а также его книгу [101].
§ 7.5. Двойственность и квантовые тензорные произведения
Здесь мы покажем, что конструкция квантовой нормы, порожденной
двойственностью, доставляет важные связи между различными типами
квантовых тензорных произведений.
Пусть Ek^Fk·) k — 1,2, — линейные пространства, Т>\: Е\ χ Е^ —>
—> С и Т>2: F\ х F2 —> С — два бифункционала. Обозначим через
Т)\®Т>2^ (Е\ ® F{) χ (Εΐ2 ® F^) —> С бифункционал, ассоциированный
в очевидном смысле с 4-линейным функционалом Е\ χ F\ x F^ x F^ —>
—> С, (χ, ж7, г/, у') \-^ T>i(x^y)T>2(xf^yf) и, таким образом, корректно

202
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
определенный правилом (х 0 х\у 0 у1) \-^ Ί)\{χ, у)Т>2{х1 ^ у'). Его мы
будем иногда называть тензорным произведением бифунщионалов Т>\
и 2?2· Следующее наблюдение по существу хорошо известно.
Предложение 7.5.1. Если V\ и Т>2 либо невыроэюдены справа,
либо невырооюдены слева, либо являются двойственностями, то то же
самое верно и для V\ ®T>2-
< Ограничимся случаем невырожденности справа. Наша задача —
показать, что для ν G Е^ ® Fb? ν φ 0, существует и G E\ ® F\ такой, что
η
(Pi (8) V2)(u,v) φ 0. Поскольку υ Φ 0, он представим в виде ^ Ук ® у'кч
к=1
где у к линейно независимы, а у[ φ 0. Далее, семейства функционалов
V\: Е\ —> С, ι/ G i?2, и Ι?! : ^ι ^ С, г/7 G F2, достаточны. Поэтому
найдутся χ £ Ει такой, что Ρι(χ,ι/ι) ^ 0, T>i(x,yk) = 0, /с = 2,... ,гг, а
также ж7 Ε jFi такой, что Т>2(х',у[) φ 0 (ср. с § 0.1). Остается положить
и\= χ ® х'. >
Теперь мы сосредоточимся на случае двух канонических
двойственностей DE: Ε χ Ε* —> С и Ζ>^: F x F* ^ С, где Ε и F — заданные
нормированные пространства. Тогда, в силу предыдущего
предложения, бифункционал DE ® Dp : {Ε ® F) χ (Ε* Θ F*) —> С, далее кратко
обозначаемый через De,f, также является двойственностью. Что
произойдет, если мы наделим одно из фигурирующих здесь (пока все еще
чисто алгебраических) тензорных произведений той или иной
«хорошей» квантовой нормой? Сможем ли мы говорить о соответствующей
порожденной квантовой норме в другом тензорном произведении, и
если да, то на что эта квантовая норма будет похожа?
В нескольких важных специальных случаях на такой типовой
вопрос можно дать содержательный ответ. Мы начнем с утверждения,
доставляющего альтернативный подход к определению квантового
пространственного тензорного произведения, обещанный в § 6.3.
Сперва сделаем одно наблюдение. Возьмем U G Т(Е ® Е\
V Ε J7(Ε* (8) F*) и представим V в виде «одинокого оснащенного бубна»
а · (и φ υ) · 6; α, b G £>, и G ТЕ*, υ G ТЕ* (ср. с предложением 6.2.10).
Положим / := (De)E (и): Ε —> Τ и g := (Dp)F (v): F —> JF; мы
помним, что /, ί? суть конечномерные операторы и ||/||сь = IMI? ||#||сЬ = |М|
(теорема 7.1.4). Напомним также об операторе / 0 g: T[E ® F) —> JF,
введенном в начале § 6.3. Имеет место равенство
(DEtF)w(U, V) = (1 0 а)[(/ 0 #(tf)](l 0 6), (7.5.1)
легко проверяемое, с помощью (0.3.1), на элементарных тензорах
vf{E®F),TE* kTF*.

7.5. КВАНТОВЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
203
С этого момента, говоря о сопряженных пространствах Е* и F*, мы
всегда считаем, что они наделены квантовыми нормами сопряженных
квантовых пространств.
Лемма 7.5.2. Бифункционал De,f является слабо вполне
сжимающим относительно пространственной квантовой нормы в Ε 0 F
и операторно-проективной квантовой нормы в Ε* ® F*.
< Возьмем те же U и V, что и выше. Тогда формула (7.5.1), вместе
с последним равенством в (0.3.1), определением операции «0» и
оценкой (6.3.4), доставляет соотношения
\\(DE,F)AU,v)\\^\\a\\\\{f(Z)~g){u)\\\\b\\^
< 1Н111Л1сь||<г||сь||£Л|8р|||Н1 = IHIIMIIMIIHIII^IIsp·
Поэтому, с учетом предложения 6.2.14, мы получаем, что
\\(dEjF)w(u,v)\\ ^\\u\\sp\\\\v\\4. >
Из этой леммы немедленно следует, что биоператор De,f
является сжимающим относительно подлежащих норм указанных квантовых
пространств. А это влечет, в частности, то, что наш биоператор
относительно нормы в D(£T (8) jF*) раздельно ограничен слева1. Кроме того,
4
наш De,f является двойственностью на основании предложения 7.5.1.
В частности, оператор D1^®/1: Ε Θ F —► (Ε* Θ F*)* инъективен. В даль-
' 4
нейшем мы будем обозначать для краткости этот оператор через Ie,f-
Мы видим, что линейное пространство Ε (8> F и квантовое пространство
Е* 0 F* удовлетворяют условиям теоремы 7.1.1(i), и, стало быть, мы
4
можем говорить о порожденной квантовой норме в первом
пространстве.
Предложение 7.5.3. Квантовая норма в Ε 0 F, порожденная
двойственностью De,f и квантовой нормой «|| · Ц4» в Е* ® F*,
совпадает с пространственной квантовой нормой «|| · ||sp». Иными
словами {см, предложение 7.2.11 (ii))^ оператор Ie,f- Ε Θ F —> (Ε* (8) F*)*
sp 4
является вполне изометрическим, и, следовательно, Ε 0 F может
sp
быть отождествлено с квантовым подпространством Ie,f(E 0 F)
в (Е* (8)F*)*.
4
< Обозначим порожденную квантовую норму в £®F, вид
которой нас интересует, через || · ||а- Предыдущая лемма немедленно дает
\\U\\d ^ ll^llsp- Займемся обратным неравенством.
1И раздельно ограничен справа относительно нормы в D(i?(g)F). Но это сейчас
нас не заботит. sp

204
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Возьмем ε > 0. Ввиду (6.3.4) и предложения 6.3.4, существуют
f £ В^ и д G Вр такие, что ||(/ 0 g)(U)\\ > \\U\\sp — ε. Отождествляя
посредством предложения 7.2.2 / и д соответственно с некоторыми
и Ε ТЕ* и ν G TF* и полагая в (7.5.1) а := b := 1, мы видим, что
(DEjF)w(U,uOv) = (f0g)(U).
Далее, в силу следствия 6.2.15 выполнено \\и <0 ^||4 ^ 1. Отсюда \\U\\d >
> || U||Sp — ε, и остается лишь напомнить, что ε произволен. >
Поскольку (£"* ® F*)* — это банахово квантовое пространство, до-
4
казанное предложение немедленно влечет
Следствие 7.5.4. Пополненное квантовое пространственное тен-
sp
зорное произведение «®» может быть отождествлено с замыканием
квантового подпространства Ie,f(E Θ F) в (Ε* 0 F*)*.
4
Замечание 7.5.5. Молено было бы ожидать, что у предложения 7.5.2 есть
«симметрический двойник»: если мы снабдим Ε* ® F* квантовой нормой «|| · ||Sp», то,
мол, порожденная квантовая норма в Ε ® F окажется «|| · Щ». Однако, как было
показано в [39], это не так. Из некоторого критерия общего характера (теорема 2.1
цитированной статьи) следует, что если мы возьмем полную С*-алгебру свободной
группы с двумя образующими в качестве Е, то найдется даже конечномерное
квантовое пространство F такое, что пара (E,F) доставляет соответствующий
контрпример.
Наконец, надо отметить исключительно хорошее поведение в
контексте квантовой двойственности хаагерупова тензорного произведения.
А именно, квантовая норма в Ε ® F [соответственно в Е* 0 F*),
порожденная хаагеруповой тензорной нормой «(&» в Е* (& F* (соответ-
h
ственно в Ε ® F) и двойственностью Όε,ε · (Ε (8) F) χ (Ε* (8) F*) —►
—> С, снова является хаагеруповой тензорной нормой. В эквивалентной
формулировке (см. предложение 7.2.11(ii)), оператор Ie,f'- E®F^
h
—> (Ε* (8) F*)* и аналогично определяемый оператор Ife'- Ε* (8) F* —>
h ' h
—> (Ε (8) F)* являются вполне изометрическими. Это явление носит на-
h
звание самодуальность хаагерупова тензорного произведения, и оно не
имеет аналога среди других типов квантовых тензорных произведений.
По-видимому, оно было открыто Блечером, а также Эффросом и Руа-
ном (см. [41]). Его изложение содержится в [13, с. 33], [46, теорема 9.4.7],
[101, следствие 5.8].
Доказательство этой теоремы использует довольно сильные
средства, которые появятся в нашем распоряжении значительно позже,
в конце книги; тогда мы его и приведем. Речь идет о будущей
теореме 11.3.2, опирающейся на альтернативный подход к хаагерупову

7.6. КВАНТОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВ
205
тензорному произведению, обещанный в замечании 6.1.14 и подробно
изложенный в § 11.1.
Сейчас мы лишь докажем гораздо более слабое утверждение,
которое фактически играет роль первого подготовительного факта к
указанной «самодуальности» в ее полном объеме. Все же оно представляет
самостоятельный интерес.
Предложение 7.5.6. Пусть Ek,Fk, к = 1,2, — квантовые
пространства, V1: Ει х F\ —> С и V2: Е2 х F2 —> С — слабо вполне сжимающие
бифункционалы. Тогда бифункционал V1 0 V2 : (Ει 0 Е2) х (Fi 0 F2) —»
h h
—> С (ср. с началом этого параграфа) таксисе является слабо вполне
сжимающим.
< Условимся писать для краткости V вместо V1 (g) V2. Наша
задача — показать, что для каждых U G Т{Е\ ® Е2) и V G T{F\ ® F2) вы-
h h
полнена оценка ||DW([/, V)\\ ^ ЦС^ЦЦ^Ц. Рассмотрим произвольные
представления U = ui Q и2 и V = vi Q v2, обеспеченные предложением 6.1.6.
Тогда выполнено равенство
Vw(ui Θη2,νι Θ ν) = Vlv(uuu2)Vl(vi,v2),
легко проверяемое, с участием (0.3.1), на элементарных тензорах. Это,
вместе с оценкой (7.1.4), дает неравенства
\\Vw(ui Qu2,vi Θν)\\ < \\Vl(ui,u2)\\\\T>l(vi,v2)\\ < \\ui\\\\u2\\\\vi\\\\v2\\.
Поскольку мы рассматривали все возможные представления U и V
символами Эффроса, остается применить вторую часть предложения 6.1.6.
>
Таким образом, в важнейшем случае двух канонических
двойственностей Ό ε и Dp (см. выше) справедливо
Следствие 7.5.7. Бифункционал De,f'· (Ε Θ F) х (Е* ® F*) —> С
h h
является слабо вполне сжимающим. Иными словами (см.
предложение 7.2.11(i)), операторы IEjF: Ε <g> F -> (Ε* Θ F*)* u JF;jE;: £* <g> F* ->
h h h
^ (Ε ® F)* являются вполне сжимающими.
h
§ 7.6. Квантование пространств, находящихся в векторной
двойственности
От скалярной двойственности мы переходим к более общей
векторной двойственности. В этом контексте основная конструкция близко
напоминает «скалярный» случай, изложенный в теореме 7.1.1, и это же
касается соответствующих рассуждений.

206
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Пусть ΊΖ: Ε х F —> G — биоператор между линейными
пространствами. Прежде всего, используя обозначения § 0.3, отметим равенство
nbJ(u) = nyoo(u)0b, uefE, be T, yeF, (7.6.1)
очевидный «векторный» аналог первого равенства в (7.1.1).
Теперь предположим, что Ε и G — нормированные пространства,
и оба наделены квантованием. Тогда мы будем называть биоператор
ΊΖ вполне изометрическим справа, если для каждого у G F оператор
ΊΖυ : Ε —> G вполне ограничен, и к тому же \\1Zy ||сь = \\у\\- Иными
словами, образ оператора 1ZF : F —> £(Е, G) лежит в СВ(Е, G), и
соответствующее коограничение — изометрический оператор. Мы сохраним для
этого коограничения то же обозначение 7ZF. (Конечно, мы могли бы
также говорить о «левой» и «двусторонней» версиях этого понятия, но
они нам не пригодятся.)
Теорема 7.6.1. Пусть F — нормированное пространство, E,G —
квантовые пространства и ΊΖ: Ε χ F —> G — вполне изометрическая
справа векторная двойственность. Тогда F обладает квантованием,
корректно определенным для ν G ТЕ равенствами
||υ|| := sup{||7£w(u, ?;)||: и G ТЕ, \и\ ^ 1},
(7.6.2)
или, что то же самое, \\v\\ := ||7£^||.
При этом относительно заданной квантовой нормы в E,G и
определенной выше квантовой нормы в F имеет место оценка
\\Rw(u,v)\\ ^ IMHMI и, более того, ||7£||wcb = 1· (7.6.3)
< Для каждых Ъ G Τ, ||Ь|| = 1, и у G F выполнено, на основании (7.6.1)
и предложения 1.2.6, равенство ||7^(и)|| = 117^^(^)11 для всех и G ТЕ.
Поэтому
11М = 11^11сь = 1Ы|. (7.6.4)
Таким образом, число \\Ъу\\ и, следовательно, ||г;|| для всех ν G ТЕ
корректно определено.
Теперь заметим, что для каждого и G ТЕ оператор 'VJ^ : TF^ TG —
это бимодульный морфизм относительно внешних умножений «·» в TG.
Поэтому то же рассуждение, что и в соответствующем фрагменте
доказательства теоремы 7.1.1 (только теперь роль формулы (7.1.5)
играет (7.6.4)), показывает, что функция ν \-^ \\ν\\ — это норма в ТЕ и, более
того, квантование исходной нормы в F.

7.6. КВАНТОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВ
207
Что касается (7.6.3), то это тавтология того же сорта, что и (7.1.4)
в теореме 7.1.1. >
Конечно, у этой теоремы есть «симметрический двойник»,
касающийся квантования первого аргумента заданной векторной
двойственности. Но мы оставляем его читателю.
Отметим, что существование верхней грани, указанной в (7.6.2),
позволяет нам говорить об операторе Vs^F : TF —> B{TE,TG\
переводящем ν в ограниченный оператор и \-^ 7Zw(u, v).
Определение 7.6.2. Мы говорим, что квантование пространства F,
доставленное теоремой 7.6.1, порождено заданным квантованием
пространств Ε и G и векторной двойственностью ΊΖ. Сходные слова
будут употребляться, когда мы будем говорить о соответствующих
квантовых нормах и квантовых пространствах.
Как и в скалярном случае, есть несколько иной способ квантования
пространств, находящихся в векторной двойственности, который дает
тот же результат; ср. с [101, с. 41]. Он состоит в следующем.
Взяв тот же ΊΖ, что в теореме 7.6.1, мы рассмотрим оператор
7ZF : TF —> С(Е, TG). Он определен тем, что отправляет ν G ТЕ в
оператор HF(v): Ε —> TG, действующий по правилу χ ^'Tl^iy). Этот
последний ^оператор будет также обозначаться через ΊΖν. Очевидно,
оператор 7ZF корректно определен тем, что переводит элементарный
тензор by в ограниченный оператор φ: χ\-^> bIZ(ж, г/), b G Τ, χ Ε Ε, у Ε F.
Напомним, что TG является квантовым пространством
относительно «повторного квантования» пространства G (см. § 2.3) и что его
размножение обладает некоторой симметрией, доставляемой «оператором
рокировки» 13с · T[TG] —> T[TG], рассмотренном в конце упомянутого
параграфа. Взглянув на элементарные тензоры в ТЕ, легко получить
равенство
7г5(п) = ад^Н]· (7.6.5)
Теорема 7.6.3. Пусть ΊΖ — тот же, что и в теореме 7.6.1.
Тогда оператор 7ZF принимает значения в CB(E,TG) (иначе говоря, для
каждого ν G TF оператор ΊΖν вполне ограничен) и выполнены
равенства
\\v\\ = ||7^F('u)||cb, или, что то же самое,
V Τ (7.6.6)
ΙΗΙ = sup{||7?4(V)||: и е ТЕ, \u\ < 1}.
< Сперва возьмем произвольные Ъ Ε Τ, у £ F. Используя (7.6.5)
и помня, что рокировка сохраняет нормы (предложение 2.3.7),

208
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
мы получаем, что
\\К%(и)\\ = ||6[7г^(п)]|| = ||Ь||||рг*»]|| < ИНЯЧЫМ = ||&|||MIN|.
Таким образом, 7Zby вполне ограничен, и, следовательно, то же верно
и для всех ΊΖν, ν G TF.
Итак, мы вправе говорить об операторе 1ZF со значениями
в CB(E,TG). Рассмотрим диаграмму
CT{E,TG)
j
B{TE,TG),
где J переводит φ: Ε —> TG в ψ: ТЕ —> TG, и \-^ xg^oo(^)· Поскольку,
на основании предложения 2.3.3, kq : T[TG] —> TG — заведомо
изометрический оператор, то же справедливо и для J. Зная это и повторяя
с очевидными модификациями соответствующее рассуждение в конце
доказательства теоремы 7.1.4, мы видим, что 7ZF — также
изометрический оператор. Дальше ясно. >
Замечание 7.6.4. Аналогично тому, что было сделано в теореме
7.1.4, можно показать, что ||г;|| совпадает с числом sup{||/7^^0(,u)||: и G
G ТЕ, \\и\\ ^ 1}. Это легко следует из равенства flZu(v) = 15οΊΖν{η)
и предложения 2.3.7.
§ 7.7. Квантовое пространство вполне ограниченных операторов
Сосредоточимся на наиболее важном, по всей видимости, случае
векторной двойственности.
Пусть Ε и G — квантовые пространств. Рассмотрим биоператор
означивания Ε: Ε χ CB(E,G) —> G, (x, φ) ·—> ψ{χ) и его слабое
размножение Ew: ТЕ χ T[CB(E,G)] —> TG; последнее, конечно, корректно
определено правилом (ах,Ъф) ь^ (α φ Ь)(^(х). Ясно, что условия
теоремы 7.6.1 выполнены, если мы возьмем CB(E,G) в качестве F и Ε
в качестве ΊΖ. Далее, для Φ G T[CB(E,G)] в роли ν оператор Έ^
превращается в Е®: ТЕ —> TG, и \-^ £w(u, Ф), а оператор ΊΖν
превращается в Еф: Ε —> TG, χ \-^ £^(Ф), где 'Ех: (/? ь^ (/?(ж). В частности,
£^ : β _^ jzq переводит χ в Ьср(х). Таким образом, мы вправе дать
следующее определение.
TF

§7.7. КВАНТОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 209
Определение 7.7.1. Квантование нормированного пространства
(СВ(Е, G), || · ||сь), заданное для Φ G Т\СВ{Е, G)] равенством
||Ф|| := sup{||£w(u, Ф)||: ие ТЕ, \и\ < 1},
φ (7·7Λ)
или, что то же самое, ||Ф|| := ||£w||,
называется стандартным. Тот же термин будет употребляться, когда
мы будем говорить о соответствующей квантовой норме и квантовом
пространстве.
На основании теоремы 7.6.3, выполнено также равенство1
1|Ф||:=11^Ф||сЬ. (7.7.2)
Заметим, что, согласно предложению 2.1.2, стандартное квантовое
пространство СВ(Е, F) является банаховым квантовым пространством,
если F — банахово квантовое пространство.
Вот важный пример. Напомним о введенном в предложении 2.2.12
тождественном операторе /: СВ(НС, Кс) —> В(Н,К). Согласно
этому предложению, он является изометрическим. Теперь мы можем
утверждать нечто большее (ср. с [46, теорема 3.4.1]):
Предложение 7.7.2. Оператор I — вполне изометрический
изоморфизм относительно стандартной квантовой нормы в его области
определения и конкретной квантовой нормы в его области значений.
Таким образом, имеет место отождествление квантовых
пространств
СВ(НС,КС) = В(Н,К).
< Зафиксируем произвольный Φ G J-[B{H,K)\. Поскольку мы уже
знаем, что / биективен, достаточно показать, что ([/^(Ф)!] = ||Ф||.
Возьмем и £ ТНС. Рассмотрим для каждого Ρ Ε Vr элемент и <0 Ρ G
Ε J~HC (ср. с § 0.5). В случае, когда и — αχ, этот элемент, в качестве
оператора в B(L,L® if), действует по правилу ξ \-^ (α <0 Ρ)(ξ) Θ χ (см.
пример 1.3.12).
Сходным образом, для произвольного Τ Ε Т[В(Н,К)] и того же Ρ
мы вводим элемент Ρ <0 Τ Ε J~B(H,K). Этот Ρ <0 Τ, после вложения
ΤΒ(Η,Κ) в B{L ® Η, L (g) K\ корректно определен тем, что Р § {Ъф)
действует по правилу ξ (g) χ \-^ (Ρ <0 6) (ξ) ® φ(χ).
1Это равенство было по существу приведено как «вложение Τ ®α CB(E,F) С
С СВ(Е, Τ (g)min F)» в [101, с. 41].

210
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Теперь заметим, что после отождествления J-Kc с подпространством
в B(LjL 0 К) для всех и £ ТИС выполнено равенство
£w(u, /"'(Φ)) = Hm(P 0 Ф)(« О Р). (7.7.3)
В самом деле, из-за билинейности достаточно рассмотреть случай,
когда и = ах и Φ = bcp. В этом случае, отождествляя χ £ Η и φ(χ) €L К
с соответствующими операторами в Нс — В(С,Н) и Кс — В(С,К), мы
получаем, что
Sw(ax, /"ЧМ) = (а0 ЪЩх, Г1 (ψ)) = (а О Ь)<р(х),
где последний элемент, рассмотренный в B(L,L (g) К), разумеется,
переводит ξ £ L в
(α 0 6)(ξ) Θ <р(ж) = lim(Pa 0 6Ρ)(ξ) Θ <р(ж) =
= lim(P 0 b)(a 0 Ρ) (ξ) Θ <р(ж) = lim(P 0 fe)[(a 0 Ρ)(ξ)] Θ φ (χ) =
= lim(P 0 bip)[{ax 0 Ρ)(ξ)] = lim[(P 0 bip){ax 0 Ρ)](ξ).
Поэтому равенство (7.7.3) верно, и, объединяя его с самим
определением стандартной квантовой нормы в СВ(-, ·), мы видим, что
\\1^\Щ\ = sup{|| lim(P 0 Щи <>Р)\\:ие ^Яс, \\и\\ < 1}. (7.7.4)
Но, согласно предложению 1.2.6, \\и <0 Р\\ = ||и|| и \\Р <0 Ф|| = ||Ф||.
Поэтому указанная верхняя грань не превосходит ||Ф||.
(U) ||Ф|| < ||^Χ(Φ)ΙΙ-
«Внутренний голос» подсказывает, что существует приятное
доказательство этой оценки с помощью той же формулы (7.7.3). Однако нам
пока не удалось найти удовлетворительное рассуждение, следуя этим
путем. (Может быть, это удастся нашим читателям?) Вместо этого мы
применим другой подход к квантовой норме в пространствах С23(·,·),
выраженный равенством (7.7.2).
Положим для краткости Φ := Ι^1 (Φ) и Φ := £ ф : Нс —> ТКС.
Очевидно, существует ортонормированный базис ξ^ £ L такой, что для некото-
N
рого N выполнено Φ = ^ (^ О ^)φ^, ψ^ £ Β(Η,Κ). Зафиксируем на
время вектор η G L (g) Η вида ^ λ&/£& ® еЬ гДе е1 — ортонормирован-
fe,/=l
ная система в ii, а λ&/ £ С. Поскольку векторы такого вида образуют
плотное подмножество в L ® Η, достаточно показать, что
||Ф(тй|| < ЦФЦИ· (7.7.5)

7.7. КВАНТОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 211
После отождествления Φ с оператором B{L <g> H, L <g> К) имеют место
равенства
ф(л) = Σ Xkl^ °£/)& ®Ψί3^ι) = ^^kiii 0<^ifc(eO-
Как следствие, из-за того, что система ξ]ς — ортонормированная,
выполнено
*Ш\ = [Y^uZ^mkiet)
ы
2х 1/2
(7.7.6)
Теперь возьмем произвольный ^ G L, ||ξ|| = 1, и положим ω : =
м ~
:= ХХ£0£/)е/ G ТНС. Тогда, помня, как действует оператор £ф, мы
1=1
получаем для соответствующих элементов в Т\ТК\ — Τ ® Τ ® К
равенства
Μ Μ г- N
ФтеМ = £« О 6)Ф(ег) = £« О ξι) £ «< О &)*><*fa)
= Σ Ko6)®KiO^)®y><fe(ei).
Зная это, перейдем от второго к первому размножению пространства
Кс с помощью оператора к к (ср. с § 0.5) и вспомним (0.3.2). Тогда,
если мы положим для краткости ζί := ξ <0 ξ^ и(^ := ξ/ φ ξ&, то получим,
что
Μ
Теперь рассмотрим оператор Л := ^ Хы(Сы О ξ) G JF. Поскольку
fe,/ = l
система £&/, /с, / = 1,..., М, — ортонормированная, простые выкладки
показывают, что
Облик такого элемента в B(L,L® К) — это, очевидно, одномерный
оператор ( ^ Хы& ® Ψ%η{^ι)) О ξ. Отсюда, с помощью (0.2.2), мы
получаем, что
|"к(ФооМ) ·Λ||
% 5 гС 5 6

212
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Поскольку система ζΐ — ортонормированная, мы видим, что последнее
число — это в точности правая часть формулы (7.7.6). Поэтому
выполнено
1|хк(ФосН)-л|Н||Ф(^)||.
Далее, оператор х^, будучи рассмотрен как действующий из Т\ТК^\
в ТКС, является изометрическим (см. § 2.3). Объединяя это с (Ш), мы
получаем оценку
Ι|Φ(£>Κΐ|Φοο|||μιιι|Λ||.
Но наш ω — это частный случай операторов cjn, рассмотренных
в предложении 1.3.12; поэтому ||о;|| = 1. С другой стороны, ясно, что
|Л||2 =
fe,/=l "
2
kl\ ·
кЛ=1
и, следовательно, ||Л|| = \\η\\. Желаемая оценка (7.7.5) установлена, >
Любопытно, что другой тождественный оператор —J: СВ(НГ, Кг)^
—> В(Н,К) — из той же теоремы 2.2.13 ведет себя много хуже: у него нет
даже вполне ограниченного обратного. Это будет вытекать из несколько
более сложной версии предыдущего предложения для строчечных гиль-
бертианов. Об этой версии мы поговорим позже; см. предложение 9.2.8
и замечание 9.2.9.
Указанная конструкция квантовой нормы в СВ(Е, G) порождает
два семейства функторов. Они представляют собой квантовые
версии «функторов ограниченных операторов» В(Е,7) и В(?,Е) (ср.,
например, с [133, § 2.5]) в классическом функциональном анализе. Их
конструкция основана на следующем утверждении.
Теорема 7.7.3. Пусть E,F,G — квантовые пространства, φ: F —>
—> G — вполне ограниченный оператор. Тогда отображения
СВ(Е, φ): СВ(Е, F) -► СВ(Е, G), ф н-> φφ
и
СВ((р, Е): CB(G, Ε) -► CB(F, Ε), φ^φφ
суть таксисе вполне ограниченные операторы относительно
стандартного квантования и \\СВ(Е, ^)||сь? ||С/3(<£, ^)||сЬ ^ IMIcb· При этом,
если φ — вполне изометрический, то и ΟΒ(Ε,φ) — вполне
изометрический, а если φ — вполне коизометрический, то ΟΒ(φ,Ε) — вполне
изометрический.
< Предложение 2.1.3 немедленно влечет, что ΟΒ(Ε,φ) и ΟΒ(φ,Ε) —
корректно определенные ограниченные операторы. Таким образом, мы

7.7. КВАНТОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 213
можем говорить об их размножениях. Рассмотрим диаграмму
Г[СВ(Е, F)] €Β{Ε'φ)ο°, Т[СВ(Е, G)]
β
E,F
Pe,g
B(TE,TF) g(:FJS'<H b{te,TG\
где Pe,g переводит Φ G T\CB[E^G)\ в £^, Pe,f определен
аналогично, только с F вместо G, а Β^ΤΕ^ψ^) переводит ф G B{J-E,J-F)
в ψοοΦ- (Иными словами, Β^Ε,φ^) — это результат действия на
ψοο «классического» функтора £>(jFi?,?).) Поглядев, что происходит
с элементарными тензорами в F\CB{E, F)], мы заключаем, что наша
диаграмма коммутативна. Далее, ввиду самого определения 7.7.1, ее
вертикальные стрелки изображают изометрические операторы. Но,
как легко видеть (и хорошо известно; ср., например, с [133,
предложение 2.5.1]), оператор Β^ΤΕ^φ^ ограничен. Поэтому 0Β(Ε^φ)οο
также ограничен, и \\СВ(Е, <^)||сь ^ IMIcb· При этом, если φ^ —
изометрический, то это же верно и для Β^ΤΕ^φ^^ и, следовательно
(см. диаграмму), для 0Β(Ε^φ)οο.
Случай ΟΒ(Ε,φ) рассмотрен. Сходное рассуждение доставляет
утверждение о ΟΒ(φ,Ε). Единственная разница — в том, что в
соответствующей коммутативной диаграмме (пожалуйста, нарисуйте ее!)
нижняя стрелка изображает оператор Β{ψ00^ΤΕ)^ который изометри-
чен, когда ψ^ коизометричен. Как следствие, эта диаграмма, будучи
коммутативной, заставляет 0Β{ψ^Ε)οο быть также изометрическим. >
Эта теорема показывает, что каждое квантовое пространство Ε
порождает ковариантный функтор
СВ(Е,7): QNor^QNor,
действующий по правилу
F^CB(E,F), φ^ΟΒ(Ε,φ),
и контравариантный функтор
СВ(?,Е): QNor^QNor,
действующий по правилу
F^CB(F,E), φ^ΟΒ(φ,Ε).
Мы назовем их соответственно ковариантным и контравариантным
функтором вполне ограниченных операторов. Заметим, что в случае,

214
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
когда Ε — банахово квантовое пространство, второй функтор
принимает значения в QBan (ср. с предложением 2.1.2).
В дальнейшем условимся обозначать через ole.g'- T\CB{E^G)\ —>
—> CB{E,J-G) оператор, переводящий Фв^ф. (Иными словами, ole,g —
это 1ZF из теоремы 7.6.3, где в роли F теперь выступает CB(E,G).)
Напомним, что такой оператор переводит элементарный тензор Ьср
в оператор χ \-^ Ьср(х). Равенство (7.7.1) означает, что ole,g —
изометрический оператор. Более того, справедливо
Предложение 7.7.4. Оператор ole^g является вполне
изометрическим.
< Рассмотрим диаграмму
T[T[CB{E,G)}}
T\CB{E,TG)\
*t\
OL\
T[CB(E,G)\
CB{E,T\TG\)
CB{E,TG),
где a := aE,G, «ι ·= <*e,tg, k\ := kcb(e,g), 7 := CB(E,kg) и, наконец,
Она, как легко проверить на элементарных тензорах, коммутативна.
Далее, первые два из указанных операторов — изометрические (см.
теорему 7.6.3 и предложение 2.3.3), а третий является изометрическим в
силу предложения 2.3.3. Наконец, объединяя предложение 2.3.3 (на этот
раз в его полном звучании) и предыдущую теорему, мы видим, что 7 —
также (и даже вполне) изометрический оператор. Как следствие, а
тоже является изометрическим. >
оо
§ 7.8. Квантовая сопряженная ассоциативность
Напомним «закон сопряженной ассоциативности» классического
функционального анализа, выраженный диаграммой (5.1.4). Наша
очередная цель — дать его квантовую версию.
Зафиксируем, в пределах этого параграфа, квантовые пространства
E,Fи С Рассмотрим отображение означивания £, сперва определенное
на Ε χ С В (Ε, G), и обозначим тем же символом 8 его продолжение на
Ε χ J3(E,G), действующее по тому же правилу (χ,φ) ·—> ψ(%)- Это не

§ 7.8. КВАНТОВАЯ СОПРЯЖЕННАЯ АССОЦИАТИВНОСТЬ 215
приведет к недоразумению. Выделим формулу
Sw{u,n^{v)) = Uw{u,v), (7.8.1)
которая справедлива для всех ΊΖ G В{Е χ F,G), и £ ТЕ, ν G TF. В
самом деле, ее легко проверить на элементарных тензорах в
соответствующих размножениях.
Теперь введем пространство WB(E x F, G) как подпространство
в В(Е χ F, G), состоящее из всех слабо вполне ограниченных биопе-
раторов, действующих из Ε х F в G. Снабдим его нормой || · ||wcb
(ср. с § 4.1). Взяв за образец «классический» экспоненциальный закон,
выраженный диаграммой (5.1.3), мы утверждаем, что справедливо
Предложение 7.8.1. Существуют изометрические изоморфизмы
(нормированных пространств) If и Ίε, участвующие в диаграмме
CB(F, СВ(Е, G)) -^ WB(E xF,G)^ СВ(Е, CB(F, G)) (7.8.2)
и корректно определенные (в точности как β (5.1.3)) тем, что они
отправляют биоператор ΊΖ в операторы соответственно 7ZF и ;ΊΖΕ.
В более подробной формулировке:
(i) для каждых ΊΖ G WB(E x F,G) и у G F оператор ΊΖυ : Ε —> G
вполне ограничен,
(и) оператор 7ZF : F —> CB(E, G), у ь^ 7Zy, корректно определенный
ввиду (i), вполне ограничен относительно стандартной квантовой
нормы в СВ(Е, G),
(iii) оператор If'. WB(E x F, G) —> CB(F,CB(E,G)), корректно
определенный ввиду (μ), является изометрическим изоморфизмом.
Параллельное утверждение об операторах ;ΊΖΧ, ;ΊΖΕ и 'Ιε таксисе
справедливо. _
< Сперва, используя краткое обозначение ΊΖν для IZF(г;), мы выделим
равенство
KH^GitM), иеТЕ, veTF, (7.8.3)
легко проверяемое на элементарных тензорах. Объединим его с (7.6.4)
и напомним, что операторы kq и, в силу предложения 2.3.7, 13с —
изометрические. Тогда для feG^7, ||6|| = 1,h?/GF мы получаем, что
ΙΐπϋοΜΙΙ = IIM^Hlll = \\к%(и)\\ = \\КУЫ)\\ =
= \\Kw(u,by)\\ < ii^i|wcb||u||||6y|| = ni|ft||wcbiMiiMi·
Это дает (i), и мы вправе говорить об операторе 1ZF (см. п. (ii)) и его
размножении ΊΖ^ : JFF —>· JF[C23(.E, G)].

216
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Ввиду (7.7.1) и (7.8.1), для ν <ETF имеют место равенства
ЦЯ£>)11 = sup{\\8w(u,K^(v)\\: и G ТЕ, \\и\\ < 1} =
= sup{\\7Zw(u,v)||: u G .F^E, ||u|| ^ 1}.
Как следствие, ΊΖζ^ — ограниченный оператор, и ||7^|| = ||7£w||. Это,
конечно, дает (и), а также равенство ||7£F||cb = ||7£||wcb·
Таким образом, оператор IF : WB(E x F,G) -> CB(F,CB(E, G))
корректно определен и изометричен. Чтобы завершить доказательство
п. (iii), мы покажем, что он сюръективен.
Возьмем S e CB(F,CB(E,G)) и положим ΊΖ: Ε χ F -> G: (x,у) н->
ь^ [5(г/)](ж). Ясно, что 7?, ограничен, и 7ZF = 5. Поэтому наша задача —
проверить, что ΊΖ слабо вполне ограничен. Но та же формула (7.8.1)
влечет, что ||7^w(u,?;)|| = ||£w(^5oo(^))||· Используя (7.6.2) с 8 в
качестве заданного биоператора, мы видим, что ||7£w(u, г;)|| ^ \\и\\ ||<ί>οο(^)ΙΙ ^
^ ||5||сь|М||М|· Следовательно, ΊΖ eWB(E x F,G).
Мы доказали часть предложения, касающуюся оператора 1р. Теперь
обратимся к утверждению об Ίρ. Разумеется, для него есть строго
параллельное доказательство. Мы имеем в виду применение
«симметрического двойника» теоремы 7.6.1, в котором в качестве первого
аргумента исходного биоператора было бы взято CB(F, G), ав качестве самого
биоператора — соответствующее означивание. Однако мы
предпочитаем более короткий путь.
Поменяем местами в уже установленном утверждении Ε и F.
Мы получаем изометрический изоморфизм Ip: WB(F χ Ε, G) —>
—> CB(E,CB(F,G)). Далее, напомним предложение 4.1.4; оно,
очевидно, доставляет изометрический изоморфизм (ор): WB(E x F,G) —>
-► WB(F x E,G): ΊΖ ^ πορ. Наконец, положим Ίρ := /f(°p). Легко
проверить, что это в точности то, что нам нужно. >
Настало время напомнить, что, точно так же, как мы
отождествляем в «классическом» контексте пространства В{Е χ F,G)
и В (Ε ® F,G), в «квантовом» контексте мы отождествляем простран-
р
ства WB(E χ F, G) и СВ(Е ®F,G). Это подсказывает следующий облик
4
«квантового закона сопряженной ассоциативности» (ср. с [14], [46]).
Теорема 7.8.2. Существуют вполне изометрические
изоморфизмы Тр и 'Те , участвующие в диаграмме
CB(F, CB(E, G)) -^ CB(E ®F,G)^ CB(E, CB(F, G))
4
и однозначно определенные равенствами
{[Ыч>)\у){х) = φ{χ ®у) = (['IE(<p)]x)(y).

§ 7.8. КВАНТОВАЯ СОПРЯЖЕННАЯ АССОЦИАТИВНОСТЬ 217
При этом, если G — банахово квантовое пространство, то в этой
диаграмме можно заменить квантовое пространство СВ(Е 0 F, G) на
CB(E®F,G).
< Обозначим через г: WB(E χ F,G) —> СВ(Е ® F,G) отображе-
4
ние, сопоставляющее биоператору его линеаризацию; на основании
теоремы 6.2.13, это изометрический изоморфизм нормированных
пространств. Положим Тр := Ipi~l. Тогда предыдущее предложение,
очевидно, влечет то, что это изометрический (пока все еще просто
изометрический) изоморфизм, однозначно определенный на элементарных
тензорах в Ε (g) F первым из указанных равенств. Сказанное, конечно,
справедливо для всех троек квантовых пространств. Поэтому оператор
Zf,tGi определяемый по аналогии с Хр, но с TG в роли G, — также
изометрический изоморфизм.
Теперь рассмотрим диаграмму
T\CB{F,СВ(Е,G))] <{If)°° TCB(E ® F,G)
У
CB(F,F[CB(E,G)])
7
У
J_, τρ ηζ■ (~ι
CB(F, CB{E, TG)) ^-^ CB{E <g> F, TG),
4
где ax := aF,CB(E,G), «2 := OiE®F,G и 7 = CB(F, ole,g) (ср. с предыдущим
4
параграфом). Как следует из предложения 7.7.4, все операторы α(ν) —
вполне изометрические. Отсюда вытекает, ввиду предложения 7.7.3,
что 7 обладает тем же свойством. Наконец, было уже упомянуто, что
Ί-f.tg — изометрический изоморфизм. Но наша диаграмма, разумеется,
коммутативна. Это немедленно влечет то, что (Xf)oo — изометрический
оператор. Как следствие, будучи биекцией, он является
изометрическим изоморфизмом. Сходное рассуждение показывает, что таков же
Наконец, если G полно, то, отождествляя каждый вполне ограничен-
4
ный оператор из Ε (g) F в G с его непрерывным продолжением на Ε (g) F
4
(ср. с гл. 3), мы можем говорить о совпадении квантовых пространств
СВ(Е ® F, G) и СВ(Е ®F,G). Дальше ясно, >
4
Выделим особенно важный специальный случай.
Oil

218
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Следствие 7.8.3. Существуют вполне изометрические
изоморфизмы Хр и 'Те , участвующие в диаграмме
CB(F, Ε*)) ^(Е® F)* ^ СВ(Е, F*)
4
и однозначно определенные равенствами
{[IF{f)]y){x) = f(x ® у) = (l'IE(f)}x)(y).
4
77pu этом мы вправе писать (Е (g) F)* вместо (Е (g) F)*.
4
Замечание 7.8.4. Точно так лее, как в случае «классической» сопряженной
ассоциативности, теорема 7.8.2 на самом деле показывает только часть всей картины.
Мы имеем в виду естественную эквивалентность 3-функторов, возникающих в
ситуации подобного рода. В «квантовом» контексте эти функторы переводят тройку
объектов (Е, F, G) соответственно в CB(F, СВ(Е, G)), СВ(Е ® F, G) и СВ(Е, CB(F, G)).
4
Теперь мы в состоянии выполнить одно старое обещание, данное
после контрпримера 2.1.4.
Предложение 7.8.5. Оператор φ: Нс —> Нг вполне ограничен тогда
и только тогда, когда он является оператором Шмидта. Более
того, отображение I: СВ(НС,НГ) —> (S(H)CC)Y, φ \-^ φ* является вполне
изометрическим изоморфизмом квантовых пространств.
< Рассмотрим цепочку
(S(H)cc)r - S(H)*C - (Яс ® Щсу - СВ(НС, (Щс)*) - СВ(НС} НТ),
в которой стрелки изображают вполне изометрические
изоморфизмы, доставляемые предложением 7.3.4, следствием 6.4.11,
следствием 7.8.3 и снова предложением 7.3.4. Двигаясь вдоль этих стрелок
и начав с оператора φ G S(H), рассмотренного в (<S(ii)cc)r, мы
сперва приходим к функционалу, корректно определенному правилом
ξ Ο η ι-> (ξ Ο η, φ)β(Η) = tr О* (ξ Ο η)) = (φ*ξ, η) н, затем к функционалу
ξ 0 η ь^ (φ*ξ, η) н, после этого к оператору χ, корректно определенному
равенством (χ(ξ)Χ7?) = ((^*С?7?)я7 и? наконец, к оператору ψ,
корректно определенному равенством (г]^ф(^))нсс — xiOiv) — (<£*£> ??)я· Это
означает, конечно, что ψ — φ*. Дальше ясно. >
Замечание 7.8.6. Снова взглянем на предложение 7.8.1. Из теоремы 7.8.2
становится ясно, что за ним скрывается утверждение о полных изометрических
изоморфизмах. Для его формулировки нам только не хватает подходящего
квантования нормированного пространства (WB(E X F, G),|| · ||Wcb)· Самый быстрый
способ задать такое квантование — это «канонически» отождествить это пространство
с (СВ(Е (g) F, G), || · ||cb) и рассмотреть квантовую норму, индуцированную стандарт-
4
ной квантовой нормой в последнем.

§ 7.8. КВАНТОВАЯ СОПРЯЖЕННАЯ АССОЦИАТИВНОСТЬ 219
Мы только хотим заметить, что желаемое квантование может быть построено
и непосредственно, далее без знания, что такое операторно-проективное тензорное
произведение. В самом деле, оба способа квантования пространства CB(E,G),
описанные в предыдущем параграфе, обладают естественными версиями для
пространства WB{E xF,G).
Если мы возьмем, в качестве образца, метод, изложенный в теореме 7.6.1, то мы
можем рассмотреть 3-линейный оператор означивания ЕЕ : Ε χ F χ \УВ(Е χ F, G) —>
—> G, действующий по правилу (ж, у, ΤΖ) \-^> ΊΖ(χ, у). Далее, мы берем его слабое
размножение (EE)W : ТЕ χ TF x F[WB(E x F, G)] -► ^G (ср. с § 6.6) и для Φ G
G f[W8(£; x F, G)] полагаем
||ф|| :=sup{\\(EE)w(u,v,4>)\\: ueTE, veTF, \\u\\, \\v\\ ^ 1}.
С другой стороны, если мы хотим имитировать метод, описанный в теореме 7.6.3, мы
можем рассмотреть оператор OLE,F,Gm- T\WB{E x F, G)] ^W£>(F x F, TG),
корректно определенный правилом [cR](x,y) ь^ c7£(x,y), cGf, а затем положить ||Ф|| : =
:= ||«£?,F,G(*)||wcb·
Нетрудно проверить, что все три указанных подхода доставляют одну и ту же
квантовую норму в \УВ(Е X F, G) и что стрелки в диаграмме (7.8.1), теперь
соединяющие квантовые пространства, являются вполне изометрическими изоморфизмами.
Объединяя следствие 7.8.3 с предложением 7.5.2, мы немедленно
получаем
Следствие 7.8.7. Пусть Ε и F — квантовые пространства. Тогда
существует вполне изометрический оператор Ε 0 F —> CB(E*,F**),
sp
корректно определенный тем, что переводит χ ® у в φ: Ε* —> F**;
/ι->α, sdea(g):=f(x)g(y); здесь χ е Е, у e F, f e Ε*, g e F*.
Таким образом, квантовая норма в квантовом пространственном
тензорном произведении может быть также определена как квантовая
норма в Ε (8) F, индуцированная его указанным вложением в квантовое
пространство CB(E*,F**).
Замечание 7.8.8. Этот результат, однако, создает ощущение
неполноты. В самом деле, можно заметить, что вышеупомянутый оператор φ
в действительности принимает значения в подпространстве F
пространства F**. Иными словами, Ε (g) F может быть погружено в более простое
пространство, а именно СВ(Е*, F), и даже более прозрачным способом:
мы отправляем χ (g) у в ψ: f \-^ f(x)y. Можем ли мы определить
квантовую пространственную норму b£®Fc помощью этого вложения? Да,
это так, но мы покажем это позже (см. предложение 9.2.11). Мы снова
встречаемся с ситуацией, когда без сильного средства, упомянутого во
введении как теорема В. 1а, похоже, не обойтись.
Замечание 7.8.9. Глядя на уже накопленный в этой книге материал, можно
наблюдать следующее явление. Для каждого из наших трех типов квантового
тензорного произведения есть круг вопросов, в которых данный тип ведет себя
значительно лучше других типов. Только что мы обсудили вопросы, в которых
несомненным преимуществом пользуется операторно-проективное тензорное
произведение. Закон сопряженной ассоциативности в виде теоремы 7.8.2 связывает именно

220
ГЛ. 7. КВАНТОВАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
этот вид тензорного произведения с пространствами, образованными морфизмами
главных категорий квантового функционального анализа. В этом состоит источник
важных приложений упомянутого закона. В частности, это делает возможным
развить достаточно богатую гомологическую теорию, «квантовую» версию
гомологической теории банаховых алгебр (изложенной, например, в [131, 132, 56]). Существуют
содержательные квантовые версии пространств Ext и Тог, стягиваемости,
аменабельности и т. д. Подробнее об этом см. в статьях, цитированных в конце нашего
введения.
А что можно сказать в этой связи о хаагеруповом тензорном произведении? Ведь
оно так прекрасно себя вело в других вопросах: напомним, скажем, теорему 6.5.8 или
то, что было сказано в п. 2 введения. Что же, это тензорное произведение участвует
в довольно интересном «частичном» варианте сопряженной ассоциативности,
который, однако, связывает менее важные квантовые пространства операторов.
А именно, для заданных квантовых пространств E,F давайте рассмотрим
следующие множества Г2(£7,.Р) и Г2(£7,.Р), введенные Эффросом и Руаном в [41]
(см. классический прототип этих множеств в [96]). Первое множество состоит из
операторов φ: Ε —> F, допускающих факторизацию через столбцовый гильберти-
ан; эти слова означают, что существуют гильбертово пространство Η и вполне
ограниченные операторы σ и г, делающие диаграмму
яс
коммутативной. Второе множество определяется аналогичным образом, только со
строчечными вместо столбцовых гильбертианов. Оказывается, эти множества могут
быть сделаны квантовыми пространствами таким образом, что имеют место, с
точностью до вполне изометрических изоморфизмов, действующих по тем же правилам,
что изоморфизмы в теореме 7.8.2, равенства
r2(F, Г2(£7, G)) =Г2(Е® F, G) и f 2(E ® F, G) = Г2(£7, f 2(F, G))
h h
(см. [41, с. 280-281]).
Но довольно о хаагеруповом тензорном произведении. Что же касается
квантового пространственного тензорного произведения, оно является, по-видимому,
наименее удачным в вопросах, связанных с сопряженной ассоциативностью. Имеются
весьма нетривиальные, но частные результаты о вполне изометрических образах
квантового сопряженного пространства (Ε (g) i7*)*, которые могут быть интерпре-
sp
тированы как некоторые разновидности сопряженной ассоциативности. Однако,
насколько нам известно, эти результаты не касаются пространств операторов из Ε (g) F
sp
в общие квантовые пространства. Они имеют отношение к понятию вполне
интегрального оператора (ср. с замечанием 6.3.3). См. [35, 43, 44, 45] и книгу [46].

ЧАСТЬ III
СНОВА И УЖЕ ВСЕРЬЕЗ
ОБ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМАХ
ГЛАВА 8
ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ И ТЕОРЕМА
ПРОДОЛЖЕНИЯ
Конечная цель этой главы — доказать бескоординатную версию
теоремы Арвесона-Виттстока, сформулированную во введении как
теорема В.2. Но фактически мы сделаем несколько больше.
Теорема Арвесона-Виттстока формально касается размножений
операторов и, таким образом, морфизмов специального класса бимоду-
лей. Однако, взглянув на нее под некоторым углом, мы увидим, что,
говоря неформально, ядро этой теоремы состоит в одном утверждении,
касающемся односторонних модулей. Мы имеем в виду исключительно
хорошее поведение некоторых модулей в качестве модульных
тензорных сомножителей; речь идет о модулях класса L (g) Η, где L — наше
каноническое гильбертово пространство, а Н пробегает все
гильбертовы пространства. Соответствующее утверждение — это будущая
теорема 8.3.4(i). Будучи объединена с несколькими простыми фактами
общего характера, относящимися к некоторой односторонней версии
руановых бимодулей, она даст теорему Арвесона-Виттстока как почти
немедленное следствие.
§ 8.0. Новые приготовления: больше о модульных тензорных
произведениях
Вначале напомним несколько стандартных фактов о тензорных
произведениях нормированных (би)модулей, которые до сих пор нами не
использовались. Теперь настало время, когда они понадобятся. Этот

222 ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
параграф служит естественным продолжением § 5.2, и цитированная
здесь литература — в основном та же, что была приведена там.
Снова пусть А — нормированная сжимающая алгебра, пока
произвольная. Сперва мы вернемся к (проективному) бимодульному
тензорному произведению, обсуждавшемся в упомянутом параграфе.
Теперь, имея в виду наши будущие цели, мы хотим выделить случай,
когда первый из наших Л-бимодулей имеет вид X 0 У, т. е. является
ρ
проективным тензорным произведением левого и правого сжимающих
Л-модулей. В этом случае, если Ζ — еще один сжимающий Л-бимодуль,
то имеет место отождествление нормированных пространств (род
«сложной ассоциативности»), выраженное диаграммой
(У ® Ζ) ® X <-(X ® У) Θ Ζ^Υ®(Ζ®Χ). (8.0.1)
А А р А-А А А
Здесь стрелки изображают изометрические изоморфизмы
нормированных пространств, корректно определенные следующими правилами.
Отображение, изображенное слева, переводит элементарный тензор
(χ Θ у) Θ ζ в {у 0 ζ) 0 ж, а оставшееся отображение переводит та-
А-А А А
кой тензор в у 0 (ζ 0 χ). (Доказательство этого простого факта, см.,
А А
например, в [113, предложение 2].)
Далее, мы помним, что классические тензорные произведения
нормированных пространств обладают функториальными свойствами
(ср. с § 5.1). Теперь нам нужны похожие свойства (би)модульных
тензорных произведений. Пусть а: Х\ —> Х^ и β: Υ\ —> Υ^ — ограниченные
морфизмы сжимающих соответственно правых и левых Л-модулей.
Тогда существует ограниченный оператор а ® β\ Х\ 0 Υ\ —> Х2 Θ Υ2,
А А А
однозначно определенный правилом χ 0 у \-^ а(х) 0 β (у)- При этом вы-
А А
полнено неравенство ||α®/?|| ^ ||α||||/?||. Если а (соответственно β) яв-
А
ляется вдобавок ограниченным морфизмом сжимающих Л-бимодулей,
то а (& β — ограниченный морфизм сжимающих левых (соответственно
А
правых) Л-модулей относительно внешних умножений, обсуждавшихся
выше. Наконец, если мы имеем дело со сжимающими Л-бимодулями
и их бимодульными морфизмами, то существует ограниченный
оператор а (8) β: Χι Θ Υί —> Хз ® Υ2> однозначно определенный
Α-Α Α-Α Α-Α
правилом χ 0 у \-^> α(χ) 0 β^)·> и выполнено ||α 0 β\\ ^ ||α||||/?||.
Α-Α Α-Α Α-Α
Напомним следующий важный и хорошо известный факт.
Предположим, что а: Х\ —> Х^^ β: Υ\ —> Υ<ι и η: Ζ\ —> Ζ^ — ограниченные мор-

§8.0. О МОДУЛЬНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ 223
физмы сжимающих соответственно левых, правых и двусторонних
модулей. Тогда операторы
{α® β) ® η\{Χλ®Υ{) ® Ζι-> (Х2 ® У2) ® Z2,
ρ Α —Α ρ Α —Α ρ А —А
(/? ® 7) ® α: (Ή ® Ζι) ® Χλ -> (У2 ® Ζ2) ®Ι2 и
А А А А А А
/? Θ (7 ® а): Ух Θ (Ζι Θ Χι) -> У2 ® (Ζ2 Θ Χ2)
Α Α Α Α Α Α
слабо изометрически эквивалентны (ср. с § 0.1), и эта
эквивалентность осуществляется изометрическими изоморфизмами,
участвующими в диаграмме (8.0.1). (Используя категорный язык, мы могли
бы сказать, что эти изометрические изоморфизмы доставляют
естественную эквивалентность соответствующих функторов тензорного
произведения.) В самом деле, можно легко проверить коммутативность
соответствующих диаграмм на элементарных тензорах.
Кроме того, нам нужны некоторые дополнительные факты,
касающиеся закона сопряженной ассоциативности (ср. с диаграммой 5.1.4).
До сих пор он обсуждался в простейшем контексте нормированных
пространств. Теперь давайте предположим, что заданы левый сжимающий
Л-модуль X вместо Ε и правый сжимающий Л-модуль Υ вместо F.
В такой ситуации, как было отмечено в § 5.2, X*, У* и Χ ®Υ ста-
р
новятся соответственно правым, левым и двусторонним сжимающими
Α-модулями. Для простоты мы ограничимся случаем G := С,
единственным, который нам действительно необходим. Тогда диаграмма (5.1.4)
превращается в диаграмму
Β(Υ, Χ*) ^(Ι® У)* -► В(Х, Υ*). (8.0.2)
ρ
Мы помним, что стрелки изображают изометрические изоморфизмы
нормированных пространств, действующие так, как было указано
в § 5.1. (А именно, отображение слева переводит функционал / в
оператор φ, действующий по правилу ?/ ·—> #, где д(х) := f(x ® г/), а другое
отображение переводит / в ψ: хи/ι, где h(y) := f(x 0 у).)
Но в соответствии с тем, что было сказано в § 5.2, все
пространства в предыдущей диаграмме суть сжимающие Л-бимодули. Теперь
мы заявляем, что в обсуждаемой ситуации (как очень легко проверить)
оба отображения, фигурирующие в этой диаграмме суть вдобавок
изометрические изоморфизмы А-бимодулей.
Нам понадобится и некоторый чуть более изощренный облик закона
сопряженной ассоциативности, имеющий дело с (би)модульными
тензорными произведениями. Предположим, что X — сжимающий левый,

224
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
а У — сжимающий правый Α-модули, и, следовательно, X* —
сжимающий правый, а У* — сжимающий левый А-модули. Тогда возникает
диаграмма
hA(Y,X*) <- (Υ ®Χ)* -+Ah(X,Y*). (8.0.3)
А
Здесь стрелки изображают изометрические изоморфизмы банаховых
пространств, корректно определенные теми же правилами, что и в
диаграмме (8.0.2), только, конечно, с χ 0 у вместо χ ® у. Если вдобавок X
А
и У — сжимающие А-бимодули и, следовательно, таковы же X* и У*,
то мы получаем похожую диаграмму, только с символом Η а-а вместо
На и аН на ее краях, и с « ® » вместо «®» в середине.
А-А А
Снова, как и в случае диаграммы (8.0.1), указанные
изометрические изоморфизмы доставляют отождествление некоторых естественно
возникающих операторов. В частности, пусть X — сжимающий левый
Л-модуль, а а: Υ\ —> Υ^ — ограниченный морфизм сжимающих
правых Α-модулей. В такой ситуации возникает ограниченный оператор
а*\ Ηα(Ζ, X*) —> Ηα(Υ·)Χ*)·) переводящий морфизм Φ: Ζ —> X* в
композицию Φα: Υ —> X*. Тогда операторы
а* и (а® 1ху : (Ζ Θ ХУ ^ (Υ Θ ХУ
AAA
(второй из них — это определенный выше сопряженный κα®1χ: Υ Θ
А А
(8) X —> Ζ (8) X) слабо изометрически эквивалентны, и эта эквивалент-
А А
ность осуществляется изометрическими изоморфизмами,
соответствующими левой стрелке в диаграмме (8.0.2). Аналогичная слабо
изометрическая эквивалентность двух подходящих по смыслу операторов
имеет место также и в случае заданного правого модуля и морфизма
левых модулей, равно как и в случае заданного бимодуля и морфизма
двух других бимодулей. Подробности таких утверждений могут быть
легко восстановлены по аналогии, и мы оставляем их читателю. Что
касается доказательств, то они состоят просто из рутинной проверки
коммутативности соответствующих диаграмм на элементарных
тензорах вУ®1, или, смотря по смыслу, в У (8) X.
А А-А
Некоторая дополнительная информация появляется в случае,
когда наша базовая алгебра обладает изометрической, как сопряженно-
линейный оператор, инволюцией. В оставшейся части этого параграфа
мы предположим, что А именно такая алгебра.
Пусть X — сжимающий левый Л-модуль. Тогда его комплексно-
сопряженное пространство Хсс становится сжимающим правым А-
модулем с внешним умножением χ · α, определенным как «прежнее»

8.1. ПОЛУРУАНОВЫ ОДНОСТОРОННИЕ МОДУЛИ
225
а* · х. Сходным образом, правое внешнее умножение в X порождает
левое в Хсс, определенное равенством а · χ := χ · α*. Очевидно, каждый
ограниченный морфизм φ: X —> Υ сжимающих левых (соответственно
правых) Α-модулей становится, будучи рассмотрен как отображение из
Хсс в Усс, морфизмом правых (соответственно левых) Л-модулей с той
же нормой. Мы назовем Хсс, наделенный соответствующей
структурой правого или левого Α-модуля, комплексно-сопряженным модулем
модуля X.
Предложение 8.0.1. Пусть X — правый, α Υ — левый сжимающие
А-модули. Тогда существует изометрический изоморфизм
нормированных пространств
IXY:X0Y^(Ycc0Xcc)cc,
А А
однозначно определенный тем, что он переводит χ 0 у в у 0 х.
< Рассмотрим отображения 1:1хУ^ (Усс (8) Хсс)сс, (x,j/)hj/®x
А А
и J: Ycc х Хсс —> (Χ (8) У)сс, (у, ж)иж®1/, Легко проверяется, что это
А А
сжимающие сбалансированные биоператоры. Обозначим через Ιχ,γ и J
их соответствующие ассоциированные операторы (см. выше). Они
являются сжимающими, и из их действия на элементарные тензоры следует,
что они взаимно обратны. Дальше ясно. >
Предложение 8.0.2. Пусть φ: Χι —> Х2 и ψ: Υ\ —> Υϊ —
ограниченные морфизмы соответственно правых и левых
нормированных Α-модулей. Тогда операторы φ 0 ψ: Χι (8) Υί —> Χ2 0 Уч
и ф 0 φ: (Y£c 0Х±с)сс —> (У2СС (8) -^2)сс слабо изометрически эквива-
А А А
лентны.
< Это немедленно следует из предыдущего предложения и
коммутативности диаграммы
Χι (8) Υχ Т—^ (Y£c (8) Х{с)сс
А А
А
А
Х2 Θ Υ2 ^ (Y2CC ® Х2СС)
сс^сс
А ч ~ А
где мы полагаем / := 1х1ууг и Г := /χ2)γ2. >
§ 8.1. Полуруановы односторонние модули
С этого момента нашей единственной базовой алгеброй снова
является 23, так что, говоря о (би)модулях, мы опять имеем в виду 23-бимодули
(ср. с соглашением в § 0.4).

226
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
Предложение 8.1.1. Пусть X — правый, α Υ — левый модули.
Тогда каждый и G Χ ®Υ может быть представлен как одинокий эле-
Б η
ментарный тензор. При этом, если и представлен как и = У" %k ® Ук,
Xk £ Χ, у к £Υ, & Sk, к — 1,..., η, — произвольное семейство
изометрических операторов в L с попарно ортогональными финальными
проекторами Pk := SkS^, то такое представление может быть взято
η η
в виде и = χ ®у, где χ \= Σ Xk · S% и у := Σ Sk · Ук-
& k=l к=1
< В силу (0.2.1) и (5.2.2) имеют место равенства
η η η
х®У= J^ Xk' S%®Si-yi= V" Xk · S^Si 0 yi = V" хк ® Ук = и. >
Б ^-^ Б ^-^ Б ^-^ Б
к,1=1 к,1=1 к=1
Мы помним о понятии руанова бимодуля (§ 1.1), играющем основную
роль в определении квантового пространства. Сейчас нам нужна его
версия для односторонних модулей. Как показывает опыт, очевидная
почти дословная версия условия (RII) для этих модулей не приносит
большой пользы. Следующее более «терпимое» определение работает
гораздо лучше.
Определение 8.1.2. Нормированный унитальный левый модуль X
называется левым полуруановым модулем1, если он удовлетворяет
следующим двум условиям:
(IsRI): для всех а £ В и и Ε Χ выполнено
\\а · и\\ ^ ||а|| \\и\\
(иными словами, наш левый модуль — сжимающий),
(IsRII): если и, ν £ X обладают ортогональными левыми
носителями, то
Wu + vW^iWuf+Wvf)1/2.
Сходным образом, заменяя «левый» на «правый» и «а · и» на
«и · а», мы вводим понятие правого полуруанова модуля.
Соответствующие условия будут обозначены через (rsRI) и (rsRII).
Ясно, что из (IsRII) и (rsRII) немедленно вытекают сходные свойства
для нескольких слагаемых: если элементы и\,...,ип одностороннего
1Б. Магайна в [74, следствие 2.2], преследуя иные цели, рассматривает
некоторый класс левых модулей над произвольными С*-алгебрами. Нетрудно понять, что
в случае, когда такая алгебра — это £>, его класс совпадает с классом банаховых
полуруановых модулей. Мы благодарны Д. Блечеру, обратившему наше внимание
на статью Магайны.

§8.1. ПОЛУРУАНОВЫ ОДНОСТОРОННИЕ МОДУЛИ 227
полуруанова модуля имеют соответствующие односторонние попарно
ортогональные носители, то
\\т + ... + ип\\ < (||ui||2 + ... + ||un||2)1/2.
Очевидно, каждый подмодуль левого или правого полуруанова модуля
сам является полуруановым модулем соответствующего типа. Кроме
того (ср. с концом предыдущего параграфа), комплексно-сопряженный
модуль полуруанова модуля — сам полуруанов модуль.
Вот наиболее важный в нашем тексте двойной пример.
Пример 8.1.3. Для произвольного гильбертова пространства Η
гильбертово пространство L (g) Η, очевидно, является левым
полуруановым модулем относительно внешнего умножения а-£:=(а(8)1я)С>
а £ 23, ζ Ε L (g) Η. Его комплексно- сопряженный правый полуруанов
модуль (ср. с тем же) — это, конечно, гильбертово пространство
Lcc (g) Нсс с внешним умножением ζ · а := (a* (g) 1я)С· Заметим, что
последний модуль, на основании теоремы представления Рисса — это
не что иное, как сопряженный к левому модулю L (g) Η.
Благодаря предложению 1.1.12 каждый руанов бимодуль,
рассмотренный как левый или правый модуль, является соответствующим
односторонним полуруановым модулем. Однако нормированный бимодуль,
являющийся левым и правым полуруановым модулем, вообще говоря,
не обязан быть руановым бимодулем. В качестве контрпримера можно
предложить L (g) Lcc.
Заметим также, что /2_сУмма семейства односторонних полуруано-
вых модулей есть также полуруанов модуль того же типа.
Предложение 8.1.4. Пусть X — правый полуруанов модуль, Υ —
левый полуруанов модуль, и G X (g) Υ. Тогда \\и\\ = inf{||x|| \\y\\}, где
в
нижняя грань взята по всевозможным представлениям и в виде
и = χ (g) у, χ G X, у G Υ. (Такие представления существуют в силу
в
предложения 8.1.1.)
< Обозначим указанную нижнюю грань через \\и\\'. Из (5.2.3)
следует, что \\и\\ ^ \\и\\'. Наш задача — установить обратное неравенство.
Рассмотрим произвольное представление элемента и в виде
η
U = J^Xk®yk·
fc=l
Очевидно, без потери общности мы можем считать, что \\хк\\ — \\Ук\\,
к — 1,..., п. Пусть Sk, Рк-, к = 1,..., гг, χ и у — те же, что в
предложении 8.1.1. Из формулы (0.2.1) следует, что Р& — правый носитель
элемента Xk · S%, и левый носитель элемента Sk · Ук, к — 1,..., п. Поэтому

228
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
из условий (rsRII), (IsRII), (rsRI) и (IsRI) вытекает, что
1/2 / η ч 1/2
I 11Г 11 ЦП II ^ / \ Λ II С*1|2\ / \~^ ПО II2 \
\и\\ ^ N 2/И У A\xk-Sk\\ > \\Sk -УкЦ
(п \ ι/ζ / η
fc=l ' Ч/с=1
(η ч 1/2 / η ч 1/2 η η
V^ II Il2\ / V^ Μ ||2\ V^ II Il2 V^
l^\\xk\\ ) Ι Ζ^ΙΙ^ΙΙ ) =1^\\χ*\\ = ^\\хк\\\\Ук\1
k=l ' ^k=l ' k=l k=l
Взяв всевозможные представления и в виде сумм элементарных
тензоров и используя (5.2.3), мы получаем, что \\u\\f ^ \\и\\. >
Напомним о внешних умножениях в модульных тензорных
произведениях, обсуждавшихся в § 5.2.
Предложение 8.1.5. Если X — руанов бимодуль, α Υ — левый по-
луруанов модуль, то X 0 Υ — левый полуруапов модуль. Если X —
в
правый полуруапов модуль, α Υ — руапов бимодуль, то Χ ® Υ —
правый полуруапов модуль.
< Поскольку рассуждения, приводящие к обоим утверждениям,
строго аналогичны, мы ограничимся первым. Условие (IsRI) для X (g) Υ
в
немедленно следует из того же условия для X и первого равенства
в (5.2.2). Так что мы сосредоточимся на (IsRII).
Пусть u\,U2 Gl®7 обладают ортогональными левыми носителя-
в
ми, скажем, Q\ и Q2· На основании предложения 8.1.1 мы вправе
считать, что Uk = Хк ® Ук-> к = 1, 2. Очевидно, без потери общности мы
μοβ
жем также считать, что \\хк\\ = 1 и %к := Qk ' Хк, к = 1, 2.
Возьмем для наших ик операторы Sk и Р&, к — 1, 2, фигурирующие
в только что упомянутом предложении. Тогда выполнено равенство
и\ + и2 = (х\ · 57 + Х2 · #2) ® (Si · 2/1 + 52 · 2/2).
в
Далее, элементы Хк · 5^, к — 1, 2, имеют ортогональные левые носители
Qk и ортогональные правые носители Р&. Поэтому предложение 1.1.11
вместе с аксиомой (RI) влечет
||χι · SI + Х2 · #2 II = max{||xi · 5*||, ||х2 · $2 III = max{||Ji||? ΙΙχ2||} = 1.
Как следствие, \\ui + U2W ^ \\Si · у\ + S2 · 2/21|· Но элементы S& · г/^,
/с = 1,2, обладают ортогональными левыми носителями Р&. Поэтому,
в силу (IsRII) и (IsRI), выполнено
||«ι + «2|| < (||5ι · 2/1Ц2 + ||52 · y2f)1/2 = (bill2 + \Ы\2)1/2 =
ЫЫ1)2 + (1Ы1М1)2)1/2·

8.2. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
229
Остается взять всевозможные представления и\ ии2 в виде
элементарных тензоров и применить предложение 8.1.4. >
§ 8.2. Экстремальная плоскостность и экстремальная инъективность
Следующее определение дано в духе хорошо известных определений
плоского и строго плоского банахова модуля ([131, гл. VII § 1], [132,
гл. VII § 1.3]).
Определение 8.2.1. Сжимающий левый модуль X называется
экстремально плоским относительно полуруановых модулей или, короче,
ESR-плоским, если для каждого изометрического морфизма α: Υ —>
—> Ζ правых полуруановых модулей оператор а 0 1χ : Υ 0 Χ —> Ζ 0 Χ
Β Β Β
(см. § 8.0) также является изометрическим. Сходным образом
определяется «правомодульная» версия этого понятия.
Наконец, сжимающий бимодуль X называется экстремально
плоским относительно руановых бимодулей или, короче, ER-плоским, если
для каждого изометрического морфизма а: Υ —> Ζ руановых бимодулей
оператор a (g) 1χ : Υ\ ® Χ —> Y^ ® X (см. там же) также является
в-в в-в в-в
изометрическим.
Замечание 8.2.2. Слово «экстремально» выбрано потому, что изометрические
операторы или морфизмы являются в точности так называемыми
экстремальными, или крайними, мономорфизмами в некоторых основных категориях пространств
и (би)модулей в функциональном анализе (ср., например, с [23], [133, § 0.5]).
Вот простейшие примеры. Модуль В — ESR-плоский как левый и как
правый нормированный модуль, а бимодуль В ®В — ER-плоский нор-
Р
мированный бимодуль. Причина этого в том, что тензорное умножение
на В в одностороннем и на В (g) В в двустороннем случае не меняет
ρ
заданное пространство. Кроме того, можно легко показать, что В ® 1\
ρ
и {В ® В) ® 1\ являются соответственно ESR-плоским односторонним
Ρ Ρ
и ER-плоским двусторонним модулем. Заметим, что в этих примерах
тензорное умножение на соответствующий (би) модуль сохраняет изо-
метричность морфизмов всех заданных нормированных модулей, а не
только полуруановых. Свойства последних выйдут на передний план,
когда мы перейдем к другим примерам, более важным для наших целей.
Подчеркнем, что данное определение не требует, чтобы наш
экстремально плоский (би)модуль сам был бы (полу)руановым (би)модулем.
Тем не менее самые важные для нас модули будут именно таковы.
Покажем, что свойство экстремальной плоскостности сохраняется
при нескольких стандартных конструкциях.

230
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
Предложение 8.2.3. Если односторонний нормированный модуль
является FiSR-плоским, то это же верно и для его комплексно-
сопряженного модуля.
< Рассмотрим для определенности левый ESR-модуль Χ. Наша
задача — показать, что для каждого изометрического морфизма левых
полу руановых модулей а: Υ —> Ζ оператор lxcc ® а: Хсс (g) У —> Хсс (g) Ζ,
Б Б Б
или, что эквивалентно, lxcc (g) а: (Хсс (g) У)сс —> (Хсс (8) Z)cc, — изомет-
Б Б Б
рический. Но, как частный случай предложения 8.0.2, последний
оператор слабо изометрически эквивалентен оператору а (g) 1χ: Ycc Θ Χ —>
Б Б
—> Zcc (8) Χ. (Здесь, конечно, мы рассматриваем а как отображение
Б
между соответствующими комплексно-сопряженными модулями.) Но
а: Ycc —> Zcc — изометрический морфизм правых полуруановых
модулей (ср. выше). Следовательно, по определению экстремальной
плоскостности то же верно и для а (g) 1χ. Дальше ясно. >
Б
Предложение 8.2.4. Пусть X — левый, α Υ — правый ESR-шшс-
кие нормированные модули. Предположим, что хотя бы один из них
полуруанов. Тогда нормированный бимодуль Χ ®Υ (ср. с § 5.2) —
ΈιΚ-плоский. р
< Предположим для определенности, что полуруановым модулем
является Υ. Пусть α: Ζ\ —> Ζ2 — изометрический морфизм руановых би-
модулей. Наш задача — показать, что оператор
1х0У ® α:{Χ®Υ) ® Ζλ^(Χ®Υ) ® Ζ2
ρ Б-Б ρ Б-Б ρ Б-Б
также является изометрическим. Этот оператор, согласно
соответствующему утверждению в § 8.0, слабо изометрически эквивалентен
оператору
(1у ® α) ® 1χ : (Υ <g> Ζι) <g> X -> (Υ <g> Ζ2) ® Χ.
Б Б Б Б Б Б
Поэтому достаточно показать, что последний оператор —
изометрический. Далее, поскольку Υ — ESR-плоский, а а заведомо является мор-
физмом левых полуруановых модулей, то оператор 1у (g) а — изометри-
Б
ческий. Но последний, разумеется, — морфизм правых модулей, притом,
в силу предложения 8.1.5, полуруановых модулей. Остается напомнить,
что X также является экстремально плоским. >
Обсуждаемое свойство экстремальной плоскостности тесно связано
с вопросом о продолжении ограниченных морфизмов.
Определение 8.2.5. Нормированный левый модуль X называется
экстремально инъективным относительно полуруановых модулей

§8.2. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ 231
или, короче, ESR-гшзе?отшбш>ш, если для каждого изометрического
морфизма а: Υ —> Ζ левых полуруановых модулей и произвольного
ограниченного морфизма левых модулей Φ : Υ —> X существует
ограниченный морфизм левых модулей Φ : Ζ —> X такой, что диаграмма
коммутативна, и ||Ф|| = ||Ф||. Иными словами, каждый ограниченный
морфизм левых модулей из Υ в X может быть продолжен, после
отождествления Υ с подмодулем в Ζ, до морфизма из Ζ в X с той же нормой.
«Правомодульная» версия этого понятия определяется очевидным
«симметричным» образом.
Наконец, заменяя слова «левый модуль» на «бимодуль», а также
«полуруанов» на «руанов», мы получаем определение бимодуля,
экстремально инъективного относительно руановых бимодулей, или,
короче, ΈΥΙ-инъективного бимодуля.
Предложение 8.2.6. (i) Пусть X — нормированный левый или
правый модуль. Тогда он является FjSK-плоским в том и только том
случае, когда его сопряснсенный правый или соответственно левый
банахов модуль X* FjSK-инзективен.
(и) Пусть X — нормированный бимодуль. Тогда он является
Έιΐί-плоским в том и только том случае, когда его сопряснсенный
банахов бимодуль X* FjR-инъективен.
< Поскольку рассуждения во всех трех случаях параллельны, мы
ограничимся случаем заданного левого модуля.
Очевидно, утверждение о том, что X* ESR-инъективен,
эквивалентно следующему утверждению: для каждого
ограниченного морфизма а: Υ —> Ζ правых полуруановых модулей оператор
а* : Jib(Z,X*) —> /г#(У,Х*), β ь^ βα, иными словами, соответствующий
оператор ограничения, является строго коизометрическим (ср. с § 0.1).
В соответствии со сказанным в § 8.0, этот оператор слабо
изометрически эквивалентен оператору (а (g) 1χ)* : {Ζ (g) X)* -^(7® Χ)*. Но
Б Б Б
(а 0 1χ)*, будучи сопряженным к а 0 1χ : Υ 0 Χ —> Ζ 0 Χ, являет-
Б Б Б Б
ся строго коизометрическим тогда и только тогда, когда последний
оператор — изометрический (ср. с тем снсе). Дальше ясно. >
В качестве побочного результата сформулируем следующее
наблюдение.

232
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
Предложение 8.2.7. Пусть X — нормированный левый, правый
или двусторонний модуль, а Хо — его плотный подмодуль
соответствующего типа. Тогда X является FjSK-плоским, или, смотря
по смыслу, FjR-плоским в том и только том случае, когда таков
же и Хо.
< В самом деле, сопряженные (би)модули к X и Xq совпадают, и,
следовательно, они одновременно экстремально инъективны или нет. После
этого работает предыдущее предложение. >
В дальнейшем утверждения о том, что (би)модули того или иного
класса ESR-инъективны или ER-инъективны, будут называться
«теоремами типа Арвесона-Виттстока». Дело в том, что утверждения
подобного типа берут свое начало от «подлинной» теоремы Арвесона-
Виттстока в квантовом функциональном анализе, бескоординатная
версия которой будет изложена в § 8.4. Что же касается предложения 8.2.6,
то оно предлагает некоторый способ получать такие теоремы, сводя
вопрос об экстремальной инъективности к вопросу об экстремальной
плоскостности.
§ 8.3. Экстремальная плоскостность некоторых модулей
Произвольно выберем, в дополнение к нашему каноническому
гильбертову пространству L, еще одно гильбертово пространство Н. В этом
параграфе мы установим экстремальную плоскостность некоторых
(би)модулей, связанных с этим пространством.
Сперва рассмотрим алгебраическое тензорное произведение L ® Η
как подпространство в L ® Η с индуцированной нормой. Ясно, что это
подмодуль относительно внешнего умножения в L ® Η, рассмотренного
в примере 8.1.3. Теперь напомним, что L ® Η как нормированное
пространство может быть отождествлено с Ts(Hcc, L), пространством
конечномерных операторов между Нсс и L, наделенным нормой Шмидта
(см. § 0.2). Заметим, что последнее пространство является левым
нормированным ^-модулем относительно обычной операторной композиции:
для а Е В и Ъ Ε Ts(Hcc, L) мы полагаем а · Ь := ab. При этом
«канонический» изометрический изоморфизм L (g) Η —> Ts(Hcc, L): ζ ® η ^ ξ Ο η
(см. там же) является вдобавок изометрическим изоморфизмом левых
модулей. Это сразу проверяется на элементарных тензорах.
Теперь обозначим левый модуль Ts(Hcc, L) для краткости через X.
Возьмем произвольный правый полуруанов модуль Υ. Некоторое время
главным объектом нашего изучения будет нормированное пространство
Υ®Χ.
Б

8.3. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ МОДУЛЕЙ 233
Пусть с: L —> Нсс — ограниченный оператор. Рассмотрим биопе-
ратор
Тсу:УхЛГ-У, (у,Ь)»у(Ъс).
Разумеется, Т^ ограничен, и \\Т^|| ^ ||с||. Кроме того, немедленно
проверяется, что этот биоператор сбалансирован. Поэтому (см. § 5.2) он
порождает ограниченный оператор из У®^ в У, однозначно опреде-
в
ленный правилом
у®Ъ^у-(Ъс), yeY, ЬеХ,
в
Υ
с ·
и имеющий норму ^ ||с||. Обозначим этот оператор через Т(
Предложение 8.3.1. Пусть и G У Θ X представлен как элемен-
в
тарный тензор у ® Ъ (ср. с предложением 8.1.1). Далее, пусть
в
Ρ G Τ — проектор на Im (b). Тогда и — у · Ρ ®b, и существует опера-
в
тор с G T{L, Нсс) такой, что Τ J (и) =у · Р.
< Поскольку, разумеется, выполнено РЪ — 6, формулы (5.2.2) дают
первое из желаемых равенств. Далее, из того, что dim(Im (6)) < оо,
очевидным образом следует, что существует с G T{L, Нсс) такой, что be — Р.
Отсюда немедленно следует второе из желаемых равенств. >
Замечание 8.3.2. Отсюда, как первое приложение, можно легко вывести, что
наше нормированное тензорное произведение Υ ® Χ совпадает с алгебраическим
в
тензорным произведением Υ и X над £>; иными словами, подпространство N : =
:= span {χ - а ® у — χ ® а - у} замкнуто в Υ ® X (ср. с § 5.2) и, таким образом, фак-
р
торпреднорма в (Υ ®Χ)/Ν фактически является нормой. Но это наблюдение нам
не понадобится. р
Теперь пусть а: Υ —> Ζ — произвольный ограниченный морфизм
правых полуруановых модулей. Тогда, на основании функториальных
свойств модульного тензорного произведения (см. § 8.0), возникает
оператор α ® 1# : Υ' ® X -> Ζ ® X.
в в в
Заметим, что для каждого с £ B(L, Hc) имеет место коммутативная
диаграмма
Υ ®Х ^Υ
в
В
ζ®χ
в
rpZ
(8.3.1)
Это немедленно проверяется на элементарных тензорах в Υ ® Χ.
в
Предложение 8.3.3. Если а — инъективное отображение, то
таково снее и а (g) \χ.
в

234
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
< Предположим что для и G Υ (8) X выполнено (а (8) \χ){υ) = 0. Возь-
в в
мем г/, Ρ и с как в предложении 8.3.1. Тогда коммутативная диаграмма,
указанная выше, дает равенство a(Tj (и)) = а (у · Р) = 0. Но это,
конечно, означает, что и = 0. >
Наконец, мы готовы установить нужные нам факты, касающиеся
экстремальной плоскостности.
Теорема 8.3.4. Пусть Η и К — произвольные гильбертовы
пространства. Тогда
(i) левые нормированные модули L ® Η и L ® Η являются ESR-
шшстшаш;
(и) правые нормированные модули Lcc 0 Η и Lcc (g) ϋ являются
FjSK-плоскимщ
(iii) нормированные бимодули (L (8) ϋ) (8) (Lcc (8) if), (L®H) 0
ρ . ρ ρ
(8) (Ьсс (8> if) и (L (3 Η) ® (Lcc (8) if) являются ER-плоскими.
ρ
На самом деле имеет место более трудно доказываемый факт,
открытый рецензентом статьи [60]: всякий полуруанов модуль является
ESR-плоским. Но мы вынуждены оставить его за пределами нашего
учебного текста.
< (i) Принимая во внимание предложение 8.2.7, достаточно показать,
что модуль X := Т$(НСС ·> Ь)? т· е., как мы помним, другой облик модуля
L 0 ϋ, обладает же лаемым свойством.
Пусть а: Υ —> Ζ — изометрический морфизм левых модулей. Как
следствие (ср. с § 8.0), а 0 1χ — сжимающий оператор. Поэтому наша
в
задача — показать, что для каждых ν G Υ (8) X и и := (а (8) 1χ)(ν) имеет
в в
место оценка ||г;|| ^ ||и||.
Возьмем представление элемента и в виде ζ (8) 6, обеспеченное
предав
ложением 8.1.1 (с Ζ в роли Υ). После этого возьмем соответствующие
Рис, указанные в предложении 8.3.1. Тогда коммутативная
диаграмма (8.3.1) дает равенства
z-P = Tcz (и) = Tcz (α Θ lx)(v) = а{у),
в
где у := Тс (ν) Ε Υ. Отсюда следует, что (а (8) 1х)(у ® Ь) = и, и, ввиду
в в
предложения 8.3.3, ν = у ®Ъ. Теперь, помня, что а — изометрический
в
оператор, мы получаем оценку
1Н1<||г/||И = ||^-Р||||Ь||<|И

8.3. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ МОДУЛЕЙ 235
Далее, L ® Η — полуруанов модуль, и, следовательно, то же верно и для
его «alter ego» X. Остается взять в предыдущей оценке нижнюю грань
чисел ||ζ|| ||61| по всевозможным представлениям и в виде элементарных
тензоров и использовать предложение 8.1.4.
(и) Это немедленно следует из (i) и предложения 8.2.3, примененного
kL®Hcc и L®Hcc.
(Hi) Это немедленно следует из (i), (ii), предложения 8.2.4, а также,
в случае третьего из указанных бимодулей, из предложения 8.2.7. >
Замечание 8.3.5 -1. Если Η, подобно L, бесконечномерно и сепарабельно, то
доказательство ESR-плоскостности модуля X := L (g) Y можно несколько упростить.
В самом деле, принимая во внимание теорему Рисса-Фишера, мы видим, что в этом
случае пространство X может быть отождествлено с J^si^^L). Поскольку
последнее пространство — это часть £>, можно вместо операторов Т* использовать
отображение внешнего умножения π γ : Υ (g) X —> Υ, корректно определенное правилом
В
у ® Ъ \-^ у · Ъ. Роль предложения 8.3.1 переходит к следующему утверждению: ес-
В
ли u = y®b£Y®X, то существует оператор с Ε Τ такой, что и — π (и) · с ® Ъ
В В В
и ||у|| ^ Цтг('и) · с||. После этого, чтобы доказать, что оператор a (g) \χ инъективен,
В
а в конечном итоге изометричен, мы используем вместо диаграммы (8.3.1)
коммутативную диаграмму
'К у
Υ ®Х ^Υ
в
В
У
ζ® χ —— ^ ζ.
в
Мы пришли к нескольким теоремам типа Арвесона-Виттстока.
Теорема 8.3.6. Пусть Η и К — произвольные гильбертовы
пространства. Тогда левый банахов модуль L ® Η и правый банахов
модуль Lcc (g) H ЕБК-инъективны, а банахов бимодуль B(L ® H,L ® К)
{см. пример 1.1.8) ΈιΚ-инзективен.
< Напомним, что, с точностью до изометрического изоморфизма
модулей соответствующего типа, L ® Η = (Lcc ® jjccy и ^сс ^ ц- _
= (Ь®ЯСС)*.
Далее, на основании подходящей версии закона сопряженной
ассоциативности (см. § 8.0), бимодуль B(L (g) ii, L ® К) изометрически
изоморфен бимодулю [(L ® Н) ® (L ® К)*]*, или, эквивалентно, бимо-
дулю [(L®H)®(LCC®KCC)]\ p
ρ
Таким образом, нам лишь остается объединить предыдущую
теорему с предложениями 8.2.3, 8.2.4 и 8.2.6. >
Основано на идее Р. С. Исмагилова.

236
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
§ 8.4. Теорема Арвесона-Виттстока
Настало время вернуться в собственно квантовый функциональный
анализ и получить (в бескоординатной версии) «подлинную» теорему
Арвесона-Виттстока. Сперва сделаем простое наблюдение.
Лемма 8.4.1. Пусть Н,К — произвольные гильбертовы
пространства^ a G B(L (g) Η, L (g) Η) и е — вектор в L нормы 1. Тогда для
одномерного проектора ρ := е О е выполнено равенство ρ · α · ρ = ρ ®Τ для
некоторого Τ G В(Н, К).
< Возьмем η G Η. Тогда оператор ρ (g) 1^, очевидно, переводит
а(е (8) 77) G L (g) К в вектор вида е (g) £ для некоторого ζ £ К. Рассмотрим
отображение Τ: Η ^ К, 77 "—> С? Τ — это, разумеется, ограниченный
оператор с нормой ^ ||ά||. Теперь возьмем произвольный элементарный
тензор ξ (g) η G L (g) uf. Поскольку p(£) = Ae для некоторого λ £ С, мы
получаем, что
О · а · р)(£ ® ту) = [(ρ Θ 1κ)δ(ρ ® 1# )](ξ ® η) =
= (ρ <g> 1κ)[δ(ρ£ ® ту)] = Ае ® Г(ту) = (ρ ® Γ)(ξ ® ту).
Поэтому равенство (р - а · р)х = (р ® Т)х справедливо для всех χ G
Замечание 8.4.2. Однако оператор ρ · ά (по контрасту с ρ · ά · р) не обязан быть
элементарным тензором и даже лежать в ТВ(Н). В самом деле, предположим для
простоты, что Η = К, и возьмем ортонормированные системы е'п и е" соответственно
в L и Н. Далее, пусть ά Ε £>(L (g) Я") — оператор, переводящий efn ® е" в е (g) е", n Ε N.
Тогда легко показать, что ρ · ά не принадлежит пространству FB(H).
Теорема 8.4.3. Пусть Ε — квантовое подпространство
квантового пространства G, а Н и К — произвольные гильбертовы
пространства. Тогда каждый вполне ограниченный оператор φ из Ε в
конкретное квантовое пространство В(Н, К) может быть продолжен до
вполне ограниченного оператора ψ: G —> В(Н,К) такого, что Ц^ЦсЬ =
= Ц^ЦсЬ (цитируется как теорема Арвесона-Виттстока)1.
< Как мы помним, размножение ТВ(Н,К) пространства В(Н,К)
отождествлено с операторным пространством T(L) (g) В(Н, К\ которое,
очевидно, является подбимодулем в B(L (g) Πη L g) К). Пусть Φ — κο-
продолжение φ^: ТЕ —> J7 Β (Η) до морфизма в B(L g) Η). Тогда
теорема 8.3.6, будучи рассмотрена для Υ := ТЕ и Ζ \— TG, доставляет
продолжение Φ морфизма Φ с той же нормой.
Заметим, что образ Φ лежит в ТВ(Н, К). В самом деле,
TG = span {(ξ Ο η)ζ: ξ, η Ε L, z Ε G},
1 Формулируя теорему В.2 во введении, мы предполагали, для большей
прозрачности, что оба участвующих гильбертовых пространства совпадают.

8.4. ТЕОРЕМА АРВЕСОНА-ВИТТСТОКА
237
и для каждого е G L, ||е|| = 1, и ρ := е О е выполнено ξ Ο η —
= (ξ О е)р(еОту). Поэтому, учтя, что Φ — морфизм 23-бимодулей,
достаточно показать, что Φ(ρζ) = ρ · Φ(ρζ) · ρ принадлежит
пространству ТВ{Н, К). Но это как раз обеспечено предыдущей леммой.
Мы видим, что Φ обладает корректно определенным коогра-
ничением с областью значений ΤΒ{Ή.,Κ). Это последнее, в силу
предложения 0.6.1, является размножением некоторого оператора
ψ: G -> В(Н,К). Далее, ||^||сЬ = Ц^ооЦ = ||Ф|| = ||Ф|| = IMIcb- Наконец,
^оо является продолжением φ ж, а это, очевидно, влечет, что ψ —
продолжение оператора φ. >
Замечание 8.4.4. Из рассуждений, в конечном итоге давших теорему 8.3.6, мы
видели, насколько важны Υ ® X и другие (би)модульные тензорные произведения,
В
участвующие в теореме 8.3.4. Иногда поучительно знать явный вид таких
пространств для некоторых специальных тензорных сомножителей Υ.
Возьмем, например, произвольное линейное пространство Ε и рассмотрим
пространство Υ := Ε (g) Lcc, наделенное правым внешним умножением, корректно
определенным равенством (ж ® η) а := χ (g) α*(ту). (Мы могли бы назвать его «правым
пол у размножением» пространства Е.) Легко показать, что Lcc (g) L = С, и вывести
В
отсюда, что пространство Υ (g) X, где Χ := L (g) Η, совпадает, с точностью до ли-
в
пейпого изоморфизма, с Ε (g) Η. Отождествляя, как делалось выше, X с Ts(Hcc, L)
или, эквивалентно, с Ts(H, Lcc), можно увидеть, что этот изоморфизм однозначно
определен правилом (ж (g) η) (g) b \-^ χ (g) 6* (η).
В
Сходным образом, если Υ — левый модуль L (g) Ε с α · (ξ (g) x) := α(ξ) (g) χ и X : =
:= Lcc (g) if, то X ®Y линейно изоморфно пространству Η ® Ε, m соответствующий
изоморфизм, после интерпретации нашего X как Ts(L, H), действует по правилу
ъ® а®х) »->ь(о ®х.
Наконец, рассмотрим случай квантового пространства Ε ш в качестве наших
модулей — теперь двусторонних — положим Υ := ТЕ и X := (L (g) Η) (g) (Lcc (g) Kcc).
ρ
Помня, что Τ = L ® Lcc, можно показать, что пространство Λ* (g) .Fi? линейно изо-
Б-Б
морфно пространству Т(Н, К) (g) E, и соответствующий изоморфизм, в силу
упомянутой выше интерпретации обоих тензорных произведений, однозначно определен
правилом (6 (g) с) (g) αχ ι—> {Ъас)х, а £ J7, χ £ Ε, b £ Ts(L, К), с Ε Ts(H, L).
ρ Б-Б
Выделим случай Η — К — L. В этой ситуации A* (g) .Fi? совпадает как линей-
в-в
ное пространство с ТЕ, но его норма, вообще говоря, сильнее исходной квантовой
нормы в Е. Отношение этой новой нормы в ТЕ к исходной квантовой норме
напоминает отношение ядерной нормы к операторной норме, и в самом деле, в случае
Ε := С новая норма в ТС — Τ — это в точности ядерная норма. Хотя мы нигде это
наблюдение не используем, оно, возможно, представляет некоторый интерес.
Разумеется, в теореме Арвесона-Виттстока пространства Η и К
могут совпадать и быть конечномерными. Этот частный случай
дает нам некую теорему продолжения, которая окажется довольно
полезной.

238
ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
Предложение 8.4.5. Пусть Ε — квантовое подпространство
квантового пространства F. Тогда каждый конечномерный оператор φο из
Ε в конкретное квантовое пространство Τ может быть продолжен
до конечномерного оператора фо'- F —> Τ такого, что llV^ollcb = ||^о||сЬ-
< Пусть Lo, φ и / — те же, что в предложении 2.2.16. Возьмем в
теореме Арвесона-Виттстока Lo в качестве Η и К. Мы получаем
продолжение, скажем ψ, оператора φ на F с той же вполне ограниченной
нормой. Рассмотрим ψο := Ιψ: F —> Т\ конечно, это продолжение φο на
F, являющееся конечномерным оператором. Наконец, поскольку / —
вполне изометрический оператор, выполнено Ц^оЦсЬ = Ц^ЦсЬ = IMIcb =
= Ц^оЦсЬ· >
Замечание 8.4.6. Классическая теорема Хана-Банаха может
считаться частным случаем теоремы Арвесона-Виттстока,
соответствующим выбору Η — К : = С. В самом деле, в этой ситуации В(Н, К) = С,
и, на основании теоремы 2.2.1 (относящейся к функционалам),
выполнено СВ(Е, В(Н, К)) — Е* для каждого квантового пространства Е.
Теперь мы можем выполнить два из наших обещаний, данных в
предыдущих главах. Одно из них касается инъективного свойства
квантового пространственного тензорного произведения (ср. с концом § 6.5).
Теорема 8.4.7. Пусть φ: Ει —> E2j ψ'. F\ —> F2 — два вполне
изометрических оператора между квантовыми пространствами. Тогда
sp sp sp
операторы φ (g) ψ: Εχ 0 F\ —> Ε2 ® F2 и φ ® ψ: Ε\ ® F\ —> Ε2 ® F2 —
sp sp sp
таксисе вполне изометрические.
< Возьмем U Ε Ει (g) F\. Тогда, в силу предложения 6.3.4, выполнены
sp
равенства
\\{ψ®φ){υ)\\&ν = ^ν{\\{ί®9)00{ψ®Φ)οο{υ)\\-ί^ΒχΙ, geB%} =
sp sp
= sup{||(/y> ® 9ψ)οο{φ ® Φ)οοψ)\\ :feB%ge ВЦ}.
sp sp
Поскольку мы вправе отождествлять Ει с квантовым
подпространством в Е2, а φ с соответствующим естественным вложением, мы можем
рассматривать /φ как ограничение / на Ει. Но тогда предложение 8.4.5
немедленно влечет то, что {/φ: f Ε В^2} = Вд . Сходным образом,
{дф'. д Ε В ρ } = В ρ . Объединяя это с тем же предложением 6.3.4, мы
получаем, что
||(¥>®^)(tOllep = l№p.
sp
Таким образом, φ® ψ — полная изометрия. В силу предложения 3.8
sp sp
то же верно и для его непрерывного бипродолжения, т. е. для ψ ® ψ. >

8.4. ТЕОРЕМА АРВЕСОНА-ВИТТСТОКА
239
Перейдем ко второму из обещаний (с первым придется еще
подождать), данных после предложения 7.2.8 и касающихся свойств
сопряженных операторов.
Предложение 8.4.8. Пусть Ε и F — квантовые пространства,
α φ: Ε —> F — вполне изометрический оператор. Тогда его
сопряженный φ* : F* —> Ε* — вполне коизометрический оператор.
< Согласно условию, мы можем рассматривать φ как естественное
вложение квантового подпространства в квантовое пространство.
Рассмотрим диаграмму
*
Υ Υ
CT{F,T)^^CT(E,T),
где вертикальные стрелки изображают изометрические изоморфизмы,
доставляемые предложением 7.2.2, а ψ% сопоставляет оператору его
ограничение. Как легко проверить на элементарных тензорах в TF*, эта
диаграмма коммутативна, или, что то же самое, операторы φ^ и φ%
изометрически эквивалентны. Но, на основании предложения 8.4.5,
последний оператор — коизометрический; тогда, как следствие, таков
же и φ^. >
У теоремы Арвесона-Виттстока есть версия, касающаяся
полилинейных операторов и, по-видимому, не имеющая прототипа в
классическом функциональном анализе. Мы ограничимся для простоты случаем
двух декартовых сомножителей.
Предложение 8.4.9. Пусть Ео и Fo — квантовые подпространства
квантовых пространств соответственно Ε и F', Η и К —
гильбертовы пространства. Тогда каждый сильно вполне ограниченный биопе-
ратор ΊΖο из Ео χ Fo в конкретное квантовое пространство В(Н,К)
может быть продолжен до сильно вполне ограниченного биоператора
ΊΖ: Ε χ F —> В(Н, К) такого, что ||7£||scb = ||^o||scb·
< Пусть Ro: Ео Θ Fo —> Β(Η,Κ) — вполне ограниченный оператор,
h
ассоциированный с 7^о- Благодаря теореме 6.5.8, мы вправе считать
Ео Θ Fo квантовым подпространством в Ε (g) F (после отождествле-
h h
ния, доставляемого вполне изометрическим оператором г ε Θ ^f : ^о ®
h h
® Fo —> Ε ® F, где символом г обозначены соответствующие естествен-
h h
ные вложения). Пусть R: Ε (g) F —> В(Н,К) — вполне ограниченный
h
оператор, обеспеченный теоремой Арвесона-Виттстока. Осталось
положить ΊΖ: (x,j/)h]?(x®j/), >

240 ГЛ. 8. ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТНОСТЬ
Очевидное обобщение этого предложения на случай п-линейного
оператора для произвольного η легко следует из ассоциативности
хаагерупова тензорного произведения (теорема 6.6.5).
Замечание 8.4.10. Мы хотели бы подчеркнуть, что теорема 8.4.3 —
это, с точностью до бескоординатного изложения, «традиционная»
теорема Арвесона-Виттстока, касающаяся вполне ограниченных линейных
операторов. Мы не затрагиваем в нашем изложении позднейшей и более
общей формы теоремы Арвесона-Виттстока, имеющей дело со вполне
ограниченными морфизмами бимодулей над двумя произвольными
унитальными (7*-алгебрами. Различные доказательства такой
теоремы, формулируемой в разной степени общности, могут быть найдены
в статьях Виттстока [123, теорема 3.1], Суэна [117], Мюли и На [77,
теорема 3.4], Попа [103, теорема 2.5]. Заметим, что можно показать,
хотя и не столь уж быстро, что соответствующая 23-бимодульная
версия теоремы Арвесона-Виттстока и теорема 8.3.6 суть эквивалентные
утверждения1.
Этим наблюдением автор обязан рецензенту статьи [60].

ГЛАВА 9
ТЕОРЕМА РЕАЛИЗАЦИИ И ЕЕ ДАРЫ
§ 9.1. Теорема Руана
Пришло время изложить полное доказательство теоремы
реализации Руана.
Вначале напомним лемму 0.9.1. Сейчас нам нужна ее следующая
специализация.
Лемма 9.1.1. Пусть X — руанов бимодуль, Φ: Χ —> С —
функционал нормы 1. Тогда существуют положительные функционалы
f,g: 23 —> С^ ||/|| = \\д\\ — 1, такие, что для каждых а,Ъ G В и и G X
имеет место оценка
|Ф(а · и · Ь)| < [/(аа*)]1/2Ь(Ь*Ь)]1/2||г/|| (9.1.1)
(ср. с [42]).
< Рассмотрим 3-линейный функционал ΊΖ: В х В х Х^> С: (а, 6, и) ι—>
\-^ R(a · и · 6). Мы видим, что условия леммы 0.9.1 выполнены, если
мы возьмем В в качестве β,Α,ίπβ, al в качестве Z: это прямое
следствие «операторной выпуклости» (см. предложение 1.1.10). Дальше
ясно. >
Чтобы двигаться дальше, сделаем очевидное наблюдение. Пусть
Lq — замкнутое подпространство в L и г — соответствующее
естественное вложение. Тогда, согласно предложению 2.2.15, возникает вполне
изометрический оператор mM : B(Lo) —> 25, у которого, очевидно, есть
корректно определенное биограничение /: T(Lo) —> Т. Последнее
однозначно определено тем, что для ξ, η G Lq оно переводит одномерный
оператор ξ О ту, рассмотренный как действующий в Lq, в оператор,
изображаемый тем же символом, но рассмотренный как действующий
в L. Поэтому если Ε — линейное пространство, то мы можем
отождествить T(Lq) Θ Ε с подпространством в ТЕ с помощью инъективного
оператора / ® 1.
Предложение 9.1.2. Пусть Ε — квантовое пространство, Φ: ТЕ —>
—> С — функционал нормы 1, Lq — произвольное замкнутое
подпространство в L. Тогда существуют гильбертовы пространства Η

242
ГЛ. 9. ТЕОРЕМА РЕАЛИЗАЦИИ И ЕЕ ДАРЫ
и К, гильбертова размерность которых не превосходит
гильбертову размерность пространства Lo, вполне сжимающий оператор
φ: Ε —> В(Н, К) и векторы ξο £ L (g) Η, туо G L (g) К нормы ^ 1 такие,
что для каждого и G JF(Lo) Θ £" выполнено равенство
Φ(η) = (φ00(ιί)ξ0,ηο). (9.1.2)
(Мы напоминаем, что (^оо(^) G .F[73(ii, If)] отождествлен с
оператором, действующим между L ® Η и L ® К.)
< Применив предыдущую лемму к ТЕ в качестве X, мы
получаем соответствующие fug. Рассмотрим в пространстве Lqc предска-
лярное произведение, корректно определенное правилом Lqc x Lqc —>
—> С: (ξ, ту) ·—> /(ту О ξ). Возьмем гильбертово пространство,
порожденное этим предскалярным произведением (ср. с концом § 0.2), и
обозначим его через К. Элемент К, являющийся классом смежности
элемента ξ G Lqc (ср. с те<м э/се), мы будем обозначать через ξ. Мы
видим, что скалярное произведение в К корректно определено равенством
Сходным образом, функционал g порождает другое гильбертово
пространство, обозначаемое Н. Обозначая соответствующий класс
смежности элемента ξ G Lqc через ξ, мы видим, что скалярное
произведение в Η корректно определено равенством (ξ, ту)я := #(ту О ξ).
Разумеется, из построения вытекает оценка гильбертовых
размерностей, требуемая в формулировке.
Зафиксируем на время χ G Ε и возьмем произвольный е £ L, ||e|| = l.
Тогда из леммы 9.1.1, с помощью формул (0.2.2), следует, что
|Ф[(ту О ξ)χ}\ = |Ф[(ту О е) · (е О е)х · (е О ξ)]χ\ <
^(№Ое)(туОе)*)^
для всех ξ, ту G Lo-
Следовательно, отображение Lqc x Lqc —> С: (ξ, ту) ь^ Ф[(туОС)х],
очевидно, являющееся полуторалинейным функционалом, порожда-
ет ограниченный полуторалинейный функционал ΊΖΧ: Η х if —> С,
корректно определенный равенством ΊΖχ(ξ,ή) := Φ [(ту О ξ)χ]; при этом
выполнена оценка \\ΊΖΧ\\ ^ ||х||. Стандартное отождествление
ограниченных полуторалинейных функционалов с ограниченными
операторами немедленно доставляет ограниченный оператор φ(χ): Η —> if,
корректно определенный равенством
(φ(χ)ξ,ή) = Φ[(ηΟξ)χ},

9.1. ТЕОРЕМА РУАНА
243
и такой, что ||(/?(ж)|| ^ ||ж||. Как следствие, возникает отображение
φ: Ε —> Β(ϊϊ^Κ\ χ \-^ φ(χ), которое, конечно, является сжимающим
оператором.
Теперь наша цель — показать, что φ в действительности является
вполне сжимающим.
Возьмем и Ε ТЕ. Очевидно, существует ортонормированная система
N
е/е, к — 1,..., TV, в L такая, что и имеет вид и — ^ (е& О е{)хки хы £ Е.
N ш к,1=1
Тогда (^оо(и) — это оператор ^ (efcOe;)® ψ{χμ) - L ® Η ^ L ® К.
к,1=1
Продолжим систему ei,..., ejv векторами ejv+i, βτν+2? · · · Д° орто-
нормированного базиса в L и рассмотрим для всех Μ G Ν, Μ ^ TV,
_ Μ
векторы в L (g) Η вида ξ = ^е^ (8) ξ^, ξ^ G Lqc, и векторы в L ® К ви-
М г=1
да η — Σ ej; ® ήзч Vj ^ ^ο°· Ясно, что такие векторы образуют плотные
подпространства соответственно bL®Hi&L®K. Поэтому выполнено
равенство
ll^ooWH = sup{ K^ooHf,©!}, (9.1.3)
где верхняя грань взята по всем векторам указанного вида,
пробегающим единичные шары bL&HvlL&K.
Но для наших ξ и ту выполнено
/ ■- N Ί / М \М ч
(ψοο(ν>)ξ,η) = (\ ^(ек О ei) ® φ(χΗ)\ ( ^е^ Θ & J , ^е3 Θ т?Л =
= Σ ( Ке^ Оег) ®4>(xki)](ei ® &)>ej ®^з) =
k)l)i)j
/с,/,г,j
= X] ((efeOe/)ei,ei)<[^(xfe0](^),7)i).
/с,/,г,j
Посмотрев на число ((е& О е/)е^, е^), мы видим, что оно равно 1,
когда г = /, j = к, и равно 0 в остальных случаях. Поэтому, напомнив
конструкцию операторов (р(хы), мы получаем, что
TV 7V
(<Ax)W£i7)= ^ (M^kl)](il)^k) = Σ Р1Ы О £l)Xkl].
кЛ=1 кЛ=1

244 ГЛ. 9. ТЕОРЕМА РЕАЛИЗАЦИИ И ЕЕ ДАРЫ
Используя снова (0.2.2), мы видим, что
N , N \ / N \ / N \
Σ ^к ° ^хы = (Σηί ° еч■ ( Σ (ек ° е/)хы) ■ (Σ еэ ° &)
АГ ч , JV
= (Σ ^ ° е0 ·u · (Σе^ ° ^) ·
М=1 ' ^ 7 = 1 '
\7 =
AT χ / Ν
Далее, разумеется, выполнены равенства ( Σ ^ О еЛ ( Σ ηι О е%
iV , JV ч * / Αί λ74
= Σ (^ О т?г) и ( Σ ei О ξΠ ( Σ ei О Ы = Σ О О ij. Наконец,
г=1 4j = l У Ч 3 = 1 ' 3 = 1
, N \ N N
я Σ^θ7?0 = Σ^'7^κ = Σιΐ7^ιι^ ^ ιι^ιι2^1'
^ ί=1 ' ί=1 ί=1
(Ν \
и, сходным образом, ^( Σ Cj Ο Cj ) ^ 1.
Поэтому, применяя снова лемму 9.1.1, мы получаем, что
\(ψοο{ν)ξ,η)\ =
N
<
< (/(ί> °^)) (#(Σ&°&)) И^Н·
Таким образом, благодаря (9.1.3), ||<£οο(ΐ/)|| ^ ||и||, и мы видим, что
ψ действительно является вполне сжимающим.
Остается отыскать векторы ^^Ь®Ныщ^Ь®Кс же лаемыми
свойствами.
Поскольку •F(Lq) С. J7 С В^ мы можем ограничить / и д на .F(Lo),
а затем непрерывно продолжить его на JC(Lq). Применяя к
последнему банахову пространству первую из теорем Шаттена-фон Ноймана
(ср. с § 0.2), мы получаем ядерные операторы Т, S на Lo такие, что
для каждого α в /C(Lo) (в частности, в .F(Lo)) выполнено /(а) = tr (Γα)
и g(a) = tr (5a); при этом ядерные нормы операторов Τ и S не
превосходят 1. Мы видим, что для каждых ξ, 77 G L выполнены равенства
(ίή)κ = {Τη,ξ)ι. и {Iv)h = (S^0l. (9.1.4)
Отсюда, разумеется, мы получаем, что Τ и S — положительные
операторы. Поэтому, согласно теореме Гильберта-Шмидта, существуют

9.1. ТЕОРЕМА РУАНА
245
ортонормированные базисы е'п и е" в Lo и невозрастающая
последовательность (конечная, если dimLo < оо) неотрицательных чисел s'n и s'^
такие, что Те'п = s'ne'n, Se^ = s1^ n^s^s^l.
\i II2 - ς7
"n\\K ~ ^r
и поэтому Χ^||έ^|||^ ^ 1; аналогично, Х^Цё^Ц^ ^ 1. Как следствие,
Теперь заметим, что благодаря (9.1.4) выполнено ||е^||^ = s^,
2 ^1. оххотх^-^хххххх^ v^ii;;//ii2
существуют корректно определенные векторы ξο ·= Σβη ®^£1®Я
и ^7о := Σ β^ ® έ^ G L ® i^? оба нормы ^ 1. Покажем,71 что они удовле-
п
творяют равенству (9.1.2).
Линейная оболочка операторов вида (е'к О е"), /с,/ £ Ν, очевидно,
плотна в •F(Lo) (и совпадает с последним, если dimLo < оо). Как
следствие, линейная оболочка элементов вида (е!к О е")ж, k,l G Ν, χ G £",
плотна в •F(Lo) Θ £7. Поэтому, поскольку обе части желаемого
равенства (9.1.2) непрерывно зависят от и, достаточно показать, что оно
справедливо для всех элементов в ТЕ указанного вида. Но это следует, для
фиксированных /с, /, ж, из выкладок
( [<Роо((е'к О βί')*)]ίο, ί?ο ) = ^[(e'fc О β'{)ψ{χ)\ ( f>? ® ё") 'Σ 4 ® ^) =
/О© ОО ν
= (Σ^ О eJ'K Θ у>(я)(0, Ε «ί ® ё'Л =
4=1 j=l '
/ ОО ν ОО
= (^)(ёП,4) = Ф[КОеП^]· >
Теорема 9.1.3. Пусть Ε — квантовое пространство, и £ ТЕ,
a Lo — замкнутое подпространство в L такое, что и G T(Lo) 0 Ε
(иными словами, такое, что и G span {(ξ Ο η)χ: ξ, 77 G Lq; x G £"}). Lb-
гда существуют гильбертовы пространства Η и К такие, что
dimii, dim К ^ dimLo, и вполне сжимающий оператор φ: Ε —>
—> В(Н,К) такой, что \\φοο(ν>)\\ — \и\.
< Ha основании стандартного следствия из теоремы Хана-Банаха,
существует функционал Ф: ТЕ —> С нормы 1 такой, что F(u) — \и\.
Возьмем Η, Κη φη ξο? Щ-> доставляемые предыдущим предложением.
Тогда равенство (9.1.2) немедленно дает \\и\\ ^ ||<£οο(^)||? а обратное
неравенство очевидно. >
Мы почти у цели.

246
ГЛ. 9. ТЕОРЕМА РЕАЛИЗАЦИИ И ЕЕ ДАРЫ
Теорема 9.1.4 (теорема реализации Руана). Пусть Ε —
квантовое пространство. Тогда существуют гильбертово пространство Η
и вполне изометрический оператор из Ε в конкретное квантовое
пространство В(Н).
Иными словами, каждое квантовое пространство совпадает,
с точностью до вполне изометрического изоморфизма, с некоторым
конкретным квантовым пространством.
< Для каждого и G ТЕ возьмем (ради простоты) Lo := L и обозначим
через Ни, Ки и ψη гильбертовы пространства и оператор, доставляемые
предыдущей теоремой. Теперь, если взять ТЕ в качестве индексного
множества Λ в предложении 2.1.8, то условия этого предложения
выполнены. Дальше ясно. >
А вот и другой заяц, убитый тем же выстрелом. Мы уже знаем,
что теорема Руана эквивалентна утверждению о том, что все
квантовые пространства достижимы (теорема 2.2.13). Но теперь мы получаем
усиленную версию упомянутого свойства:
Теорема 9.1.5. Пусть Ε — квантовое пространство, и G ТЕ.
Тогда имеет место равенство
\\и\\ =max{||^ooWlh Ψ ^Τ(Ε,Τ), \\ф\\съ < l}.
Таким образом, супремум, участвующий в определении
достижимого квантового пространства (см. § 2.2), есть на самом деле максимум.
< Возьмем произвольное конечномерное подпространство Lq в L
такое, что и G T(Lo) (8> E. Тогда теорема 9.1.3 доставляет
соответствующие, теперь конечномерные ΠηΚ^ а также соответствующий φ.
Поскольку найдутся изометрические операторы из К и из Η в L, из
предложения 2.2.15 и того, что В(Н,К) конечномерно, следует, что
существует вполне изометрический оператор /: В(Н, К) —> Т. Положив
ψ := Ιφ, мы видим, что ψ — вполне сжимающий, и
ll^ooWII = ||^ос(^осЫ)|| = \\и\\.
Дальше ясно. >
Объединяя теоремы Руана и Арвесона-Виттстока, мы немедленно
получаем
Следствие 9.1.6. Пусть φ: Ε —> F — произвольный вполне
ограниченный оператор между квантовыми пространствами. Тогда
существуют гильбертовы пространства Н,К и вполне изометрические
вложения Ε в В(Н) и F β В (К) такие, что с точностью до этих
вложений φ является биограничением некоторого вполне ограниченного
оператора между конкретными квантовыми пространствами В(Н)
иВ(К).

9.2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАНЕЕ ДАННЫХ ОБЕЩАНИЙ 247
§ 9.2. Выполнение ранее данных обещаний
Наше главное «двойное» обещание, повторенное несколько раз
в тексте, уже выполнено: теорема Руана, одновременно с явлением
достижимости всех квантовых пространств, доказана. Однако были
даны и другие обещания, касавшиеся различных фактов, которые, по
всей видимости, существенно опираются на эти два эквивалентных
утверждения. Теперь пришло время оплатить и эти долги.
Мгп и max
Мы начнем с обещания, данного в замечании 1.3.4.
Предложение 9.2.1. Для каждого нормированного пространства Ε
выполнено i?cmax = ^max· Иными словами, крипто максимальное
квантование есть не что иное, как максимальное квантование.
< Объединяя теорему 9.1.5 с предложением 2.2.8(i), мы получаем,
что для всех и £ Ε выполнено
Hmax = supill/ocHU: / е Т{Е,Т), ||/|| < 1},
а эта верхняя грань есть, по определению, ||^||стах. >
Установленный факт, вместе с предложением 7.3.2, дает то, что было
обещано перед этим предложением:
Следствие 9.2.2. Выполнено
(Еш\п)* — (Е*)
max?
иными словами, квантовое пространство, сопряженное к Еш[п, есть
(Е*) max ·
Теперь мы можем объяснить, почему пространство Μ(Ω) обычно
рассматривается с максимальным квантованием (ср. с
замечанием 1.3.4). В самом деле, это пространство сопряжено к (7ο(Ω). Поэтому
естественно в нем рассмотреть квантование, сопряженное к
наиболее естественному квантованию последнего пространства, а
таковым несомненно является минимальное квантование. Таким образом,
предыдущее следствие приводит нас к максимальному квантованию
пространства Μ(Ω).
Бубновые произведения
Мы переходим к обещаниям, касающимся тензорных произведений.
Одно из них относилось к нормам «бубновых произведений»; см.
замечания 6.2.18 и 6.3.8.

248
ГЛ. 9. ТЕОРЕМА РЕАЛИЗАЦИИ И ЕЕ ДАРЫ
Предложение 9.2.3. Пусть Ε и F — квантовые пространства,
и G ТЕ и ν G ТЕ. Тогда имеют место равенства
II ^ 0 ν||Sp = ||u 0 г;||ь = \\и$ г;||4 = |МПМ|.
Иными словами, все наши квантовая нормы — пространственная, ха-
агерупова и операторно-проективная — суть квантовые кросснормы.
< Благодаря следствию 6.2.15 и предложению 6.3.6, достаточно
доказать, что ||u^^||sp=||u||||^||. На основании теоремы Руана мы можем
считать без потери общности, что имеем дело с конкретными
операторными пространствами. Как следствие, мы можем отождествлять
нормированные пространства ТЕ с Τ 0 Ε, а ТЕ с Τ ® F. Рассмотрим
цепочку операторов
ТЕ® ТЕ —>Т®Т®[Е®Е)^Т®[Е®Е) —> Т(Е ® F).
sp
Здесь левая стрелка изображает отождествление, доставленное
коммутативностью и ассоциативностью операции «(H)», правая стрелка
изображает отождествление, доставленное теоремой 6.3.10, a kq —
изометрический оператор из предложения 0.7.3, рассмотренный в случае, когда
G := Ε (8) F'. Взяв элементарные тензоры в ТЕ и TF, а затем их
суммы, легко усмотреть, что композиция указанных операторов переводит
и (8> ν в и О ν- Таким образом, \\и <0 г;||8р совпадает с нормой оператора
и <8> ν, т. е. с Цг^ЦЦ^Ц. >
Каноническое вложение, предсопряженные пространства,
операция (*)
До сих пор нам недоставало некоторых фактов, касающихся
квантовой двойственности и примыкающих вопросов. Сейчас мы заполним
эти пробелы. Наиболее существенным добавлением является, по всей
видимости, очищение предложения 7.2.5 от лишних условий. А именно,
справедлива такая теорема.
Теорема 9.2.4. Пусть Ε — произвольное квантовое пространство,
Е* — его квантовое сопряженное и i?** — его квантовое второе
сопряженное. Тогда
(i) каноническое вложение г: Ε —> i?** — вполне изометрический
оператор,
(и) квантовая норма в Ε как в предсопряженном квантовом
пространстве пространства Е* совпадает с исходной квантовой нормой.
< Это просто комбинация предложения 7.2.5 с любой из теорем 9.1.4
или 9.1.5. >

§ 9.2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАНЕЕ ДАННЫХ ОБЕЩАНИЙ 249
Утверждение в п. (и), между прочим, объясняет выбор квантовой
нормы в Li(M,/x) (ср. снова с замечанием 1.3.4). «Классическим»
сопряженным этого пространства является LOQ(M^ μ), а это, на основании
коммутативной теоремы Гельфанда-Наймарка (ср. с § 0.8), — частный
случай пространств (7(Ω). Поскольку мы, как правило, рассматриваем
такие пространства с минимальным квантованием, то разумно
рассматривать Li(M, μ) как соответствующее предсопряженное квантовое
пространство. Но, объединив предложения 7.3.1 и 9.2.4(H), мы получаем
максимальное квантовое пространство.
Теперь напомним о двух обещаниях, данных после
предложения 7.2.8. Одно из них уже выполнено; займемся другим.
Предложение 9.2.5. Пусть Ε и F — квантовые пространства,
φ: Ε —> F — вполне ограниченный оператор и φ*: F* —> Ε* — его
сопряженный. Тогда ||^*||сь = IMIcb·
< Рассмотрим диаграмму
γ * * γ
Ρ** _ ρ**
где вертикальные стрелки изображают канонические вложения.
Хорошо известно (ср., например, с [133, предложение 2.5.2]), и к тому же
легко проверить, что она коммутативна. Поэтому из теоремы 9.2.4(i)
немедленно следует, что ||^**||сь ^ IMIcb· С ДРУг°й стороны,
предложение 9.2.7 дает оценки ||^||сь ^ ||<£*||сЬ ^ ||<£**||сЬ· Дальше ясно. >
Строки и столбцы
Обратимся к материалу § 6.4. Прежде всего, теорема Руана сразу
влечет такое предложение.
Предложение 9.2.6. В формулировке предложения 6.4.1
предположение о том, что Ε — операторное пространство, излишне;
утверждение справедливо для произвольного квантового
пространства Ε. о
Мы помним, что, беря столбцовые и строчечные гильбертианы в
качестве тензорных сомножителей, мы обнаружили, что случай, когда
«строки» стоят слева, а «столбцы» — справа, наименее прозрачен. В
самом деле, до сих пор нам удалось описать только подлежащие
нормированные пространства таких тензорных произведений. Теперь, как это
и было обещано после соответствующего утверждения (следствие 6.4.8),

250
ГЛ. 9. ТЕОРЕМА РЕАЛИЗАЦИИ И ЕЕ ДАРЫ
мы прольем некоторый свет на целую — квантовую — структуру этих
пространств.
Сейчас нам будет удобно употреблять обозначения типа (Ксс)г С§) Яс
как для соответствующих квантовых пространств, так и для их
подлежащих нормированных пространств; то, что мы имеем в виду,
будет ясно из контекста. Таким образом, мы можем сказать, что
следствие 6.4.8 устанавливает изометрические изоморфизмы
нормированных пространств
/о : Щс ® Яс (= {Ксс)г Θ Яс) -> ТМ{К, Я)
h 4
И
/: Ксгс ® Яс (= (Ксс)г 4 Яс) - ЩК, Я),
корректно определенные правилом η (g) ξ \-^ ξ Ο η. Но оно ничего не
говорит о квантовой норме в областях значений этих отображений. Однако
теперь, после § 7.3, появляется разумная идея считать таковой
стандартную квантовую норму Λί(Κ,Η) и ее ограничение на Fjs[{K,H).
Именно эти квантовые нормы мы будем подразумевать в дальнейшем.
Предложение 9.2.7. Оба отображения Ιο и I суть вполне
изометрические изоморфизмы квантовых пространств.
Сказанное, разумеется, можно выразить равенствами
(Ксс)г Θ Яс = (Ксс)г Θ Яс = ТЫ{К, Я)
h 4
и
(Ясс)г ® Яс = {Ксс)г | Яс = ЩК, Я),
касающимися квантовых пространств и, таким образом, доставляющих
«полный» аналог равенств, указанных в следствии 6.4.8.
< Поскольку Iq — биективное биограничение оператора /, достаточно
показать, что же лаемым свойством обладает последнее отображение.
Рассмотрим цепочку операторов
((Ксс)г ® Нсу ±+ СВ(НСУ (Ясс)г*)) Д СВ(НСУ Кс) Λ В(Я, К).
4
Здесь X переводит функционал / в оператор ψ, определенный
равенством [φ(ζ)](η) — f(rj (8) ξ), г переводит φ в оператор χ, корректно
определенный равенством (χ(£)> ^к — [Ф(0](Ю ДЛЯ всех η G К, a j
сопоставляет вполне ограниченному оператору его подлежащий ограниченный
оператор.
Поскольку все три отображения, на основании соответственно
следствия 7.8.3, предложения 7.3.4 и предложения 7.7.2, суть вполне

§ 9.2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАНЕЕ ДАННЫХ ОБЕЩАНИЙ 251
изометрические изоморфизмы, то же верно и для их композиции,
обозначенной далее через J. Из действия операторных сомножителей,
описанного выше, немедленно следует, что оператор J(f) Ε Β(Η,Κ)
корректно определен равенством
μ(ί№,η)κ = ί(η®ξ), ^Я, η G К. (9.2.1)
4 4
Пусть D: [(-ficc)r <8> Нс] х [(Ксс)г ® Яс]* —► С — каноническая двои-
^—.
ственность, а Т: J\f(K,H) χ Β(Η,Κ) —> С — двойственность из § 7.3.
Взяв ξ £ Η, η Ε К ж f Ε ((Kcc)r (g) -fic)*, мы получим, с помощью (0.2.2)
и (9.2.1), что 4
?« О 7], ./(/)) = tr (J/(ξ Ο τ])) = (J/(0, »/> = ^(ti, /).
Поскольку элементарные тензоры образуют тотальное множество
4 ^
в (Ксс)г 0 Нс, то диаграмма в предложении 7.2.10 с D и Τ в
качестве соответственно Р1 и Р2 коммутативна. Из п. (и) упомянутого
предложения вытекает, что / — вполне изометрический изоморфизм от-
4
носительно квантовой нормы в (Ксс)г 0 Нс, порожденной стандартной
4
квантовой нормой в ((Ксс)г (g) Нс)*, и квантовой нормы в Λ/ (Χ, ϋί),
порожденной конкретной квантовой нормой в 23 (ii, X) и двойственностью
Т. Но в предложении 7.3.10 уже было доказано, что последняя
квантовая норма — это в точности стандартная квантовая норма в Λί(Κ,Η).
В то же время первая из указанных квантовых норм — это исходная
4
квантовая норма в (Ксс)г (g) Нс на основании теоремы 9.2.4(и) . Дальше
ясно. >
Наше следующее обещание, данное после отождествления
квантовых пространств СВ(НС, Кс) и В(Н,К) в предложении 7.7.2,
заключалось в том, что мы сделаем «нечто похожее» для СВ(НГ, Кг). Чтобы его
выполнить, давайте начнем с утверждения, представляющего
независимый интерес и усиливающего предложение 9.2.5.
Предложение 9.2.8. Пусть Ε и F — произвольные квантовые
пространства. Тогда оператор (*): CB(E,F) —> CB(F*,E*), φ \-^ φ* —
вполне изометрический. При этом, если F как нормированное
пространство рефлексивно, то (*) — вполне изометрический изоморфизм.
В частности, если Η и К — гильбертианы, то (*): СВ(Н,К) —>
—> С£>(К*, Н*) — вполне изометрический изоморфизм.
1Так что сильное средство применяется в самом конце доказательства. Но на этой
финальной стадии, похоже, без него не обойтись.

252
ГЛ. 9. ТЕОРЕМА РЕАЛИЗАЦИИ И ЕЕ ДАРЫ
< Обозначим через г ρ : F —> F** соответствующее каноническое
вложение и рассмотрим цепочку операторов
СВ(Е, F) ^ СВ{Е, F**) ^ CB{F\ £*).
Здесь ji := СВ(Е, г ρ) (см. теорему 7.7.3), a J2 переводит оператор φ в χ,
определенный равенством (%(#))(ж) = (ф(х)(д), χ £ Е, д G F*. Оба
оператора ji и j2 — вполне изометрические: первый в силу теорем 9.2.4 (i)
и 7.7.3, а второй — поскольку он является композицией \1р][Хр\~1
вполне изометрических изоморфизмов из следствия 7.8.3. (В этом
следствии мы, конечно, рассматриваем F* в роли F.) Следовательно,
J2J1 также вполне изометричен. Но для φ G CB(E,F) и тех же х,д
рутинные выкладки
[(J2Ji(<p)№№ = Μφ){*)]{9) = [ΐΡ{φ(χ))](9)=9(φ{χ)) = Ь'О/Ж*)
показывают, что ]2]ι — φ*. Дальше ясно. >
Предложение 9.2.9. Пусть Η и К — гильбертовы пространства.
Тогда отображение I: СВ(НГ, Кг) —> В(К*,Н*), сопоставляющее
вполне ограниченному оператору его банахов сопряженный, является
вполне изометрическим изоморфизмом.
Таким образом, имеет место отождествление квантовых
пространств
СВ(НГ, Кг) = В(К*,Н*) (= В(КСС, Ясс)).
< Рассмотрим цепочку операторов
СВ(НГ} Κτ) — СВ((Кгу, (Ητ)*) — СВ((К*)С, (Я *)с) — B(tf*, Я*),
в которой левая стрелка изображает оператор (*) из предыдущего
предложения, средняя — результат отождествлений (Кг)* — (К*)с и (Нг)* —
— (Н*)с, а правая — отождествление, доставляемое предложением 7.7.2.
Благодаря предложениям 9.2.8, 7.3.4 и только что упомянутому 7.7.2,
все эти операторы суть вполне изометрические изоморфизмы. Но их
композиция — это, конечно, /. >
Замечание 9.2.10. Теперь мы понимаем, почему обратный к
оператору J: В(Н^К) —> CB(HY,KY) из теоремы 2.2.13 не является вполне
ограниченным (см. обсуждение после этой теоремы и после
предложения 7.7.2). В самом деле, если бы это было так, то то же самое было бы
верно и для композиции J-1/: СВ(Н,К) —> СВ(К*,Н*). Но последний
оператор — это не что иное, как оператор (*) из контрпримера 2.1.6,
который не является вполне ограниченным за исключением случая, когда
оба наши гильбертовы пространства конечномерны.

9.2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАНЕЕ ДАННЫХ ОБЕЩАНИЙ 253
Замечание 9.2.11. Кроме того, мы можем объяснить, почему для того, чтобы
h
получить информацию о природе квантовых пространств (·)Γ (g) (-)с5 мы взяли в ка-
h
честве образца другое пространство, нежели Kr (g) (Нсс)с — очевидный, казалось
h
бы, выбор после столь хорошо себя проявившего Кс (g) (Hcc)r из следствия 6.4.4.
Конечно, молено заметить, что практически такое же рассуждение, как в предложе-
h
нии 6.4.7, показывает, что нормированное пространство Kr (g) (Hcc)c может быть
отождествлено с Λί(Η,Κ): это можно сделать с помощью оператора, корректно
определенного на элементарных тензорах точно так же, как в следствии 6.4.4. Но
этот оператор не является полным изометрическим изоморфизмом. В самом
деле, если бы это было так, то то же самое было бы верно и для его сопряженно-
h
го. Но последний, после отождествлений N{H,K)* = В (К, Н) и (Kr (g) (ifcc)c)* =
= CB(Kr, (ifcc)*) = CB(Kr, Hr) = B{H*, if*), превращается в недавно
упоминавшийся (*) из контрпримера 2.1.6, и, таким образом, уж никак не может быть вполне
ограниченным.
(Между прочим, аналогичные отождествления показывают, что настоящее, если
h
можно так выразиться, «ядерное alter ego» квантового пространства Kr (g) (Нсс)с —
этоЛ/"(Ксс,Ясс).)
Завершая этот список выполняемых обещаний, мы напомним
альтернативное определение квантового пространственного тензорного
произведения, данное в следствии 7.8.7. Теперь мы можем придать
ему более простую и приятную форму (ср. с замечанием 7.8.8), следуя
Блечеру и По л сену [14].
Предложение 9.2.12. Пусть Ε и F — квантовые
пространства. Тогда существует вполне изометрический оператор Ε 0 F —>
sp
-^CB(E*,F), корректно определенный тем, что переводит х®у
e<p:E*^F,f^f{x)y.
< Для каждых χ £ Е,у £ F упомянутый выше оператор φ
является ограниченным и одномерным. Поскольку суммы таких
операторов также вполне ограничены, существует линейный оператор
j: Ε (8) F —> CB(E*,F), корректно определенный указанным прави-
sp
лом. Рассмотрим также оператор j\\ Ε (g) F —> СВ(Е*, F**), указанный
sp
в следствии 7.8.7, и оператор J2 := ΟΒ(Ε,ίρ), где ip — каноническое
вложение для F. Очевидно, выполнено равенство j\ = J2J. Но оба j\
и 32 — вполне изометрические: первый ввиду следствия 7.8.7, а второй —
в силу теорем 9.2.4(i) и 7.7.3. Поэтому j обладает тем же свойством, >

ГЛАВА 10
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
§ 10.1. Полная положительность и теорема Стайнспринга
Конечная цель этой главы заключается в том, чтобы изложить
главный результат о структуре вполне ограниченных операторов,
упомянутый во введении как теорема разложения. Мы уже знаем,
что каждый вполне ограниченный оператор между произвольными
квантовыми пространствами является биограничением некоторого
вполне ограниченного оператора из В(Н) в В (К), где Η и К —
некоторые гильбертовы пространства (следствие 9.1.6). В результате, если
мы знаем структуру вполне ограниченных операторов между этими,
по виду весьма специальными, операторными пространствами, то
мы практически знаем структуру вполне ограниченных операторов
в полной общности. Поэтому разумно ограничиться рассмотрением
операторов между конкретными квантовыми пространствами класса
В(Н), и в конечном итоге мы так и поступим. Однако на первой
стадии наших приготовлений мы встретимся с некоторыми понятиями
и фактами, которые выглядят наиболее естественно в более общем
контексте. А именно, в случае доказанной ниже теоремы Стайнспринга
речь пойдет о произвольных (7*-алгебрах, а в начале параграфа даже
о чистых инволютивных алгебрах.
Напомним, что размножение инволютивной алгебры А само
является инволютивной алгеброй относительно инволюции, корректно
определенной равенством (αχ)* := α*χ*, a G Τ, χ Ε Α.
В частности, если мы имеем дело с (7*-алгеброй, то ее
размножение само является (7*-алгеброй относительно единственной (7*-нормы
(предложение 0.8.1). Эта алгебра, конечно, не обладает единицей.
Однако если А унитальна, то ТА является объединением своих унитальных
(7*-подалгебр Τ ρ А, взятых по всем конечномерным проекторам Ρ в L
(ср. с § 0.8).
Определение 10.1.1. Пусть А и В — инволютивные алгебры, Ε С А
и F С В — их подпространства. Оператор φ: Ε —> F называется
положительным, если для каждого хе^изх^ОвА следует φ(χ) ^ 0

§ 10.1. ПОЛНАЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ И ТЕОРЕМА СТАЙНСПРИНГА 255
в В, и вполне положительным, если для каждого и G ТЕ из и ^ 0 в ТА
следует φοο{η) ^0в ТВ,
Нетрудно усмотреть, что полная положительность оператора φ
влечет его «обычную» положительность. В самом деле, возьмем
одномерный проектор ρ G Т. Тогда отображение А —> ТрА: у \-^ ру — это,
очевидно, ^-изоморфизм. Объединяя это со следствием 0.8.3, мы видим,
что для χ Ε Ε положительность χ в А эквивалентна положительности
элемента рх в ТрА и, следовательно, в ТА. Сходным образом,
положительность φ(χ) в В эквивалентна положительности ρφ(χ), τ. е. φοο(ρχ)
в ТВ. Дальше ясно.
Однако полная положительность — это существенно более сильное
свойство, чем просто положительность, даже если мы говорим об
операторах между (7*-алгебрами.
Контрпример 10.1.2. Пусть Η — гильбертово пространство
с dimii ^ 2. Рассмотрим отображение (*): В(Н) —> В(НСС),
переводящее оператор в его гильбертов сопряженный, рассмотренный как
оператор в Нсс. Очевидно, (*) — линейный оператор со свойствами
(*)(ab) = (*)(&)(*) (а) и [(*)(а)]* = а. Далее, он положителен: если а > 0
в В(Н) и а = 6*6, то (*)а = [(*)6*]*(*)(6*) > 0 в В(НСС) (ср. с
утверждением (и) в § 0.8). Однако размножение (*)оо : ТВ(Н) —> ТВ(НСС) не
положительно.
Чтобы это показать, возьмем ортогональные нормированные
векторы ξι в L и е^ в Н, г = 1,2, и рассмотрим элемент и : =
2 2
·= Σ (Сг О £j)(ei О е3) е ТВ(Н), т. е. оператор Σ (& О £/) (8) (е* О еД
действующий в L 0 Η. Он, конечно, самосопряжен, и легко проверить,
что и = 1—=и) ; следовательно, и ^ 0. Но (*)оо(г^), т. е. оператор
ν := Σ (& О ξ^) Θ (ej О ё^"), действующий bL® ufcc, не положителен.
В самом деле, посмотрим на его квадратичную форму, взятую от
вектора η := ξι (g) ё^ — ^2 ® ej~ G B(HCC): поскольку ^ту = —ту, мы видим,
что (г;ту, ту) < 0.
Однако есть важные классы положительных операторов,
автоматически являющихся вполне положительными. Это явление напоминает
взаимоотношения между «обычной» и полной ограниченностью,
рассмотренные в § 2.2. Более того, ситуации, когда соответствующие
факты имеют место, часто одни и те же. Вот два примера.
Предложение 10.1.3. Пусть Ε — подпространство С*-алгебры,
f: Ε —> С — положительный функционал. Тогда f вполне
положителен (ср. с теоремой 2.2.1).

256
ГЛ. 10. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
< Возьмем и Ε 3-Е, и ^ 0, и произвольный £ Ε L. Затем выберем е Ε L,
||е|| = 1, и положим ρ :— е О е. Простые выкладки1 показывают, что
</ос(^,0р = /ос[(еО0-«-«Ое)].
Представив и в виде суммы элементарных тензоров, мы видим, что
(е О О ■ ϊ/ · (ξ О е) = рж для некоторого χ £ Е. Поскольку е О ζ
сопряжен к ξ О е, из следствия 0.8.5 вытекает, что левая, а значит, и
правая часть последнего равенства — положительный оператор. Поэтому
χ ^ 0 и, следовательно, (/οο(ν>)ξ,ξ)ρ = foo(px) = f(x)p ^ 0. Как
следствие, (/οο(^)ξ,ξ) ^ 0 и, стало быть, foo(u) ^ 0. >
Предложение 10.1.4. Пусть а: А —> Л — ^-гомоморфизм между
двумя С* -алгебрами. Тогда это вполне положительный оператор
(ср. с теоремой 2.2.10).
< Возьмем u G .FA, и^0. Для некоторого проектора Ρ ^ Τ
выполнено u G ^рЛ и поэтому, с учетом следствия 0.8.3, и ^ρ 0. Очевидно, а^
отображает ^рЛ в ТрВ, и соответствующее биограничение является,
как и с^оо, ^-гомоморфизмом. Отсюда выполнено a^iu) ^p 0 и,
следовательно, ol<x>{u) — положительный элемент в ТВ. >
Следующий результат, принадлежащий Стайнспрингу [116],
относится к положительным операторам, действующим из (7*-алгебр
в алгебры класса В{Н)\ такие операторы полностью описываются
в терминах представлений.
Теорема Стайнспринга является далеко идущим обобщением ха-
рактеризации положительных функционалов, упомянутой в § 0.8 как
следствие ГНС-теоремы. Излишне говорить, что она имеет большую
независимую ценность, но для нас она служит первым большим шагом
к теореме разложения.
В дальнейшем символ 1 будет обозначать либо единицу алгебры,
либо тождественный оператор в гильбертовом пространстве, в
зависимости от индекса. Это не должно привести к путанице.
Теорема 10.1.5. Пусть А — унитальная С* -алгебра, Η —
гильбертово пространство, φ: А —> В(Н) — вполне положительный
оператор. Тогда существуют гильбертово пространство К, унитальное
представление а: А —> В (К) и ограниченный оператор R: Η —> К
такие, что φ — mR >Ra. (Иными словами, φ (а) — R*a(a)R для всех a G А;
ср. с § 0.7.) При этом \\R\\2 = ||(/?(1а)||, и если вдобавок ψ(1α) — 1я> то
R — изометрический оператор.
< Рассмотрим линейное пространство А ® Η и полуторалинейный
функционал (·, ·)ο: (А ® Η) χ (А ® Н) —> С, корректно определенный
1Ср. с доказательством теоремы 2.2.1.

§ 10.1. ПОЛНАЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ И ТЕОРЕМА СТАЙНСПРИНГА 257
равенством1 (а 0 ξ, Ъ 0 η)ο := (φ$*α)ξ,η)Η· Возьмем и G А 0 Η и его
η
произвольное представление в виде ^ bk Θ ξ/c- Кроме того, возьмем
к=1
произвольную ортонормированную систему ei,...,en £ L и еще один
η
вектор e£L, ||е|| = 1. Обозначим для краткости элемент ^ (е О е&)6& £
™ . ~ /с=1
G JFA через Ь, а вектор ^ ek ® £к £ L ® Η через ξ. Заметим, что
к=1
{u,u)o = (4>00(b*b)Zt)LeH. (10.1.1)
Это следует из того, что левая часть указанного равенства является
последним, а правая часть — первым числом в цепи равенств
Σ№ι О е)(е О ек) <8> (р(ЦЬк)]1 ξ)
к,I
= J2((ei О ek)ei <g> <р(Ь*Ьк№г,0ь®н =
k)hJ /С,/
Но Ь*Ь — положительный элемент в ΤΆ, а φ^, по условию, —
положительный оператор. Это влечет (и,и)о ^ 0, и мы видим, что (·, ·)ο —
пред скалярное произведение в А (8) Н.
Обозначим гильбертово пространство, порожденное этим пред-
скалярным произведением, через К. Напомним, что К — это
пополнение почти гильбертова пространства А (8) Η/Ν, где Ν := {?} G A (8)
(8) ii: (7j,7f)o — 0} (ср. с концом § 0.2). Мы будем пользоваться
обозначением [и] для класса смежности элемента и ^ Α® Ή. в К, Таким
образом, выполнено ([и], [ν]) κ — (^, ν) о для всех и, ν G А® Н.
Зафиксируем на время a G А и введем оператор ά(α): Α ® Η —>
—> Л (8>ii, корректно определенный правилом 6 (8) ξ ^ afe (8) ξ. (Иными
словами, ά(α) — это линеаризация биоператора Л χ Η —> Л (8) ii: (Ь, ξ) ь^
ь^ аб (8) ξ.)
Взяв в (10.1.1) а (и) в качестве и, мы должны заменить в этом
pari
венстве Ь на с := ^ (е О е/с)аЬ/с. Мы видим, что с*с = Ь*(Р (8) а*а)Ъ, где
fe = l
Ρ G JF — это такой произвольный проектор, что Р(е&) = е&, /с = 1,..., гг.
Поэтому выполнено равенство
(а(а)(г/),а(а)(г/))о = ((роо(Ь*(Р (8) α*α)&)?,0ι,®# ·
Если проявлять дотошность, то молено определить (·, ·)ο как частичную
линеаризацию 4-линейного функционала (Α χ Я") χ (Асс χ Нсс): (α, ξ, 6, η) ι—>► (φ(ρ*α)ξ,η).

258
ГЛ. 10. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Заметим, имея в виду порядок в ТА, что имеет место неравенство
Ρ ®а*а < |Н|2(Р ® 1а), а с ним и Ь*(Р ® а*а)Ь < ||а||2Ь*Ь. Поскольку
ψοο по условию положителен, мы заключаем, что (роо(Ь*(Р ® a*a)b) ^
^ ||а||2^сх)(Ь*Ь). Как следствие, равенство (10.1.1) вместе с определением
положительного оператора в терминах его квадратичной формы влечет
(ά(α)(?ζ),ά(α)(ϊζ))ο ^ ||a||2(u, u)o· (10.1.2)
Отсюда сразу видно, что N — инвариантное подпространство для
оператора ά(α). Поэтому последний порождает оператор, действующий
в А 0 Η/Ν и корректно определенный правилом [Ь 0 ξ] \-^ [аЪ 0 ξ]. Более
того, из (10.1.2) следует, что этот оператор ограничен, и его норма ^ ||а||.
Поэтому он, будучи продолжен по непрерывности, порождает оператор
а (а): К —> К, корректно определенный тем же правилом и такой, что
||α(α)|| ^ ||α||.
Теперь введем отображение а: А —> В (К), а \-^ а(а). Из очевидных
равенств
a(aia2)[b Θ ξ] = a(ai)a(a2)[b Θ £],
(а(а*)[Ъ Θ ξ], [с 0 η])κ = ([b 0 ξ],α(α)[ο Θ η})к и
а(1л)[Ь®£] = [Ь®£], аиа2,Ь,сеА, ξ,η^Η,
следует, что а — унитальное представление алгебры А в гильбертовом
пространстве К.
Кроме того, рассмотрим оператор R: Η —> К, ξ \-^ [Ια Θ £]. Мы
видим, что для всех α £ Л, ξ, ту £ Η выполнено
(ΤΤα(α)Ήξ, т/)к = (а(а)[1 Θ ξ], [1 Θ η])κ =
= (α0ξ,ΐ0η)ο = (φ(1*ά)ξ, η)Η = (φ(α)ξ, η)Η,
и, следовательно, φ (α) = R*a(a)R.
Наконец, для всех ξ £ ii имеют место равенства
ll^ll2 = <1а 0 ξ, Ια θ Оо = <у(1а)£,Оя- (ю.1.3)
Из хорошо известного выражения нормы положительного оператора
в терминах его квадратичной формы, примененного к ψ {1а), мы
получаем, что R ограничен, и ||Д||2 = ||(/?(1а)||· Если вдобавок ψ(1α) — 1я?
то из (10.1.3) немедленно следует, что R — изометрический. >
§ 10.2. Взаимосвязь полной положительности и полной ограниченности
Начиная с этого момента, мы ограничимся случаем, когда
рассматриваемая (7*-алгебра — это просто В(Н) для некоторого гильбертова

§ 10.2. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ И ОГРАНИЧЕННОСТИ 259
пространства Н. В предыдущем параграфе мы объяснили, почему
этого достаточно для наших целей.
Пусть задан ограниченный оператор в Н. Может ли его норма быть
выражена в терминах порядковой структуры в В(Н)? Мы уже знаем,
как это делается в случае самосопряженного оператора; ср. с (0.8.3).
Теперь мы покажем, что если наше Η бесконечномерно, то можно
выразить в терминах порядка норму произвольного оператора в этом
пространстве. В качестве приложения мы увидим, что свойство полной
ограниченности тесно связано со свойством полной положительности,
к вящей пользе для изучения обоих свойств.
Далее ii, если явно не оговорено обратное, — произвольное
гильбертово пространство. Вот основное наблюдение.
Теорема 10.2.1. Пусть Р\ и Р2 — ортогональные проекторы в Η',
α χ Ε В (Η) — такой оператор, что Р\хР2 = х. (В геометрических
терминах это, конечно, означает, что Im (χ) С Im (Pi) и Im (P2)1" ^ Ker (x).)
Тогда
||χ||0 <& Рх + х + х* + Р2 >0.
2
< Перепишем указанную сумму в виде у := Σ xiji гДе хи := ^ь
х\2 := х, Х21 ·= χ*, Х22 '-= ^2· Возьмем ξ Ε Η и представим его как Σ -Pfc£>
fe=l
где Рз := 1я — Р\ — Р2- Тогда выполнены равенства
2 3 2
ш) = Σ Σ {Ргхчътът = Σ <^-%яо =
ij = l к,1=1 ij = l
= \\Ρλξ\\2 + 2Re (χΡ2ξ, Ρλξ) + ||Ρ2ξ||2. (10.2.1)
Если ||χ|| ^ 1, το |(χΡ2ξ,Ριξ)| ^ ||χ||||Ριξ||||Ρ2ξ||. Как следствие,
(y£i 0^0 Для всех С ^ ^ и? таким образом, г/ ^ 0. Если, напротив,
||х|| > 1, то, конечно, мы можем найти ту, ζ Ε ii, |H|,||C|| ^ 1? такие,
что (χηΧ) < —1, и поэтому, согласно условию на χ, (χΡ2η·)Ρ\ζ) < —1.
Как следствие, если мы положим ξ := Р277 + Pi С? то мы легко получим
из (10.2.1), что (?/£,£) < 0, и, таким образом, у не положителен. >
Иногда удобно использовать эту теорему в следующей
эквивалентной форме. Пусть К — другое гильбертово пространство, и пусть
Si'. Η —> К, г = 1, 2, — частичные изометрии с инициальными
проекторами Qi — S*Si и ортогональными финальными проекторами Pi — SiS*.
Мы будем говорить, что у G В (К) — модификация оператора χ G В (Η)
относительно Si и $2, если имеют место соотношения
у = Pi + SixS% + S2 ж* 5* + ^2 и χ = QixQ2.

260
ГЛ. 10. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Говоря просто, что у — модификация оператора х, мы подразумеваем,
что у — модификация χ относительно некоторых частичных изометрий.
Предложение 10.2.2. Пусть у — модификация оператора х. Тогда
\\х\\ < 1 <^г/ ^0.
II II *У ^
< Пусть Si — те же, что выше. В силу равенства P\(S\xS2)P2 —
= S\QixQ2S2·) условия предыдущей теоремы выполнены, если мы
возьмем SixS% в качестве ж. Как следствие, Ц^жб^II ^1^2/^0· Наконец,
H^ixS^ || ^ ||ж||, а условие χ = Q\xQ2 доставляет обратное неравенство, >
Заметим, что в случае бесконечномерного Η каждый χ G В (Η),
очевидно, обладает модификацией в том же Н. Поэтому норма каждого
оператора и в самом деле может быть выражена в терминах порядка
в В(Н). Однако если dirnuf < оо, то предложение 10.2.2 гарантирует
подобное выражение нормы только для операторов, обладающих
носителем размерности ^ - dimuf.
Δ
Следующий полезный факт мог бы быть выведен из теоремы 10.2.1,
но мы дадим его независимое доказательство, напоминающее
доказательство самой этой теоремы.
Предложение 10.2.3. Пусть Р\,Ръ их — те же, что β
теореме 10.2.1, a ζ G В(Н) — такой оператор, что Ρ\ζΡ\ = ζ. Тогда ζ +
+ χ + ж* ^ 0 влечет χ = 0.
< Положим у := ζ + χ + χ* и возьмем ξ G Η. Тогда простые выкладки
показывают, что (?/£,£) = (ζΡχξ, Ρχξ) + 2Re (χΡ2ξ, PiQ- Если χ φ 0, то
существуют ту, ζ G Η такие, что ^хР^Ц^ Ρ\ζ) — (χη, ζ) φ 0. Заменяя, если
потребуется, η на подходящий пропорциональный вектор, мы вправе
считать, что (χΡ2η, Ριζ) < —Κβ(ζΡιζ,Ριζ). Остается взять ξ := РъЦ +
+ Ριζ и увидеть, что Re ({уξ, ξ)) < 0. >
В дальнейшем области определения отображений между
операторными пространствами будут, как правило, унитальными *-подпростран-
ствами в В(Н), т. е. подпространствами Ε со свойствами: (i) x G Ε
влечет χ* G Ε, (ϋ) 1я £ Ε. Такие подпространства обычно называются
операторными системами в Η (ср. с [18]). Конечно, для каждого
оператора, принадлежащего операторной системе £", его действительная
и мнимая части также принадлежат Е. С другой стороны, для
самосопряженного оператора в Ε его положительная и отрицательная части
могут и не лежать в Е. Но это не создает больших неудобств.
Предложение 10.2.4. Пусть Ε — операторная система. Тогда
каждый самосопряженный оператор χ G Ε представим в виде
разности двух положительных операторов из Ε.
< В самом деле, χ = -(ж + ||ж||1) — -(||ж||1 — ж). Но из (0.8.2) немед-
Δ Δ
ленно следует, что как уменьшаемое, так и вычитаемое положительны, >

§ 10.2. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ И ОГРАНИЧЕННОСТИ 261
Пусть А, В — *-алгебры, Ε — *-подпространство в А и φ: Ε ^ В —
оператор. Обозначим через φ* : Ε —> В оператор, корректно
определенный правилом χ \-^ φ{χ*)*, и назовем его сопряженным оператором к φ.
Заметим, что в указанной ситуации ТЕ — ^-подпространство в ТА,
и, очевидно, выполнено ((/?*)оо = (<£оо)*·
В том же контексте оператор φ: Ε —> В называется
самосопряженным, если φ* — ψ. Ясно, что ψ самосопряжен в точности тогда, когда
φ(χ*) = φ(χ)* Для всех х££,ив точности тогда, когда φ(χ)
самосопряжен (в обычном смысле) для каждого самосопряженного χ £ Ε.
Предложение 10.2.5. Каждый положительный оператор из
операторной системы Ε β *-алгебру самосопряжен.
< В самом деле, представив самосопряженный χ £ Ε по рецепту
предложения 10.2.4, мы видим, что φ(χ) есть также разность двух
положительных элементов, и, следовательно, он самосопряжен. >
Мы готовы привести первый результат о связи между свойствами
полной положительности и полной ограниченности. Чтобы придать ему
правильную перспективу, отметим, что для (просто) положительного
оператора φ между двумя операторными системами выполнена
«довольно скромная» оценка \\φ\\ ^ 2||<^(1я)||? и константа 2, как показал
Арвесон, является наилучшей. Подробности см. в [89, гл. 2]. Но когда
мы переходим к «полным» версиям, мы получаем результат, звучащий
гораздо лучше.
Предложение 10.2.6. Пусть Η и К — гильбертовы пространства,
Ε — операторная система в Η, φ: Ε —> В (К) — оператор.
Предположим, что φ вполне положителен. Тогда он вполне ограничен, и
1М1сь = И^З-я)!!·
< Поскольку φ положителен, то благодаря (0.8.3) мы видим, что
0 ^ φ(χ) ^ ||ж||(/?(1я) Для всех χ G Ε, χ ^ 0. Как следствие, если ψ(1η) —
— 0, то φ(χ) =0 для положительных χ G Ε, а это, с помощью
предложения 10.2.4, влечет φ — 0. Поэтому мы вправе без потери общности
считать, что ||<^(1я)|| = 1, и достаточно доказать, что в этом случае
Ц^ооЦ = 1· Кроме того, принимая во внимание теорему 1.2.4, мы видим,
что в этом случае выполнено ||<£оо(а1я)|| = ||а(/?(1я)|| = ||а|| = ||а1я||
для каждого a G Т. Следовательно, ||^||сь ^ 1? и все, что нам
нужно, — это показать, что для каждого и G ТЕ, \\и\\ ^ 1, выполнена оценка
Пусть Ρ — произвольный конечномерный носитель элемента и,
a S\, S2 — частично изометрические операторы в L с инициальным
проектором Ρ и ортогональными финальными проекторами, скажем
Qi и Q2. Положим Si := Si 0 1я и Qi := $ί$* = Qi® 1я, г = 1, 2. Тогда
оператор ν := Q\ + S\uS2 + S2u*Si + Qi, действующий в B(L (g) Η), —

262
ГЛ. 10. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
это, очевидно, модификация оператора и относительно Si и S2.
Поэтому, в силу предложения 10.2.2, ν ^ 0 и, следовательно, ввиду условия
на φ, ψζχ)(ν) ^ 0. Помня, что в настоящем контексте операторных
пространств φ^ = ljr (g) φ, мы легко получаем равенство
<Αχ» = Qi Θ φ(1Η) + Τιψοο(ν>)Τ£ + Τ2φ00(η*)Τ* + Q2® ψ(1η),
где 7^, г — 1,2, — частичные изометрии Si ® 1к- Далее, поскольку φ
положителен, выполнено ψ(1η) ^ ||^(1я)||1а: = lie, откуда, разумеется,
Qi <g> ψ(1η) ^ Qi ® Ik, £ = 1,2. Как следствие, оператор
w := Qi <g) 1к + Τιψοο{η)Τ£ + Τ2ψ00{η")Τ^ + Q2®1K =
г=1,2
положителен в В (К). Наконец, предложение 10.2.5 влечет φοο{η*) =
= (ψοο{ν))*. Следовательно, w — это модификация оператора φ ж (и)
относительно 7ι и Т2. Поэтому предложение 10.2.2, теперь работающее
в обратном направлении, доставляет желаемое неравенство. >
Когда, напротив, вполне ограниченные отображения автоматически
вполне положительны? Разумеется, обилие контрпримеров приводит
к заключению, что соответствующие результаты могут иметь место
лишь при достаточно обременительных условиях на рассматриваемое
отображение. Вот образец такого условия.
Предложение 10.2.7. Пусть Η и К — гильбертовы пространства,
Ε — операторная система в Η, φ: Ε —> В (К) — такой оператор, что
ψ(1η) — !#"· Тогда φ вполне положителен в том и только том случае,
когда он вполне ограничен.
< =>. Это частный случай предыдущего предложения.
<=. Наша задача — показать, что для и G ТЕ неравенство и ^ 0
влечет (^оо(и) ^ 0. Без потери общности мы вправе считать, что \\и\\ ^ 1.
Пусть Ρ Ε Τ — носитель элемента и. Тогда алгебра ΤρΒ(ϊϊ\
отождествленная с B(Lp (g) ii), обладает единицей, а именно Ρ (g) 1#·
Благодаря (0.8.3) мы видим, что 0 ^р и ^р Ρ (g) 1#· Поэтому для ν : =
:= Ρ (g) 1я — 2u, очевидно, выполнена оценка —Р (g) 1# ^р ^ ^р Ρ Θ 1я·
Как следствие, предложение 0.8.9, рассмотренное для ν G B(Lp (g) ii)
в качестве оператора α, дает оценку Цг; + г£Р (g) 1я||2 ^ (1 + £2) для всех
£ Ε R. Поскольку (/? — вполне сжимающий, это влечет ту же оценку для
||^оо(^ + it Ρ <8> 1я)||? т. е., в силу условия на φ, для ||<£оо(г7) + it Ρ (g) 1#Ί|.
Используя снова предложение 0.8.9, только в противоположном
направлении и для φοο(ν) G ТрВ{К) — B(Lp (g) К) в качестве а, мы получаем,
что -Р (g) 1χ ^р (^оо(^) ^р Ρ ® 1κ· Так как <£оо(^) = Р<8> 1к - 2<p00(u),

§ 10.3. ПРИЕМ ПОЛСЕНА И ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 263
то это влечет, что φ ж (ν) положителен в ТрВ(К) и, следовательно,
вТВ(К). >
Замечание 10.2.8. Очевидно, сходное (и чуть более простое)
рассуждение показывает, что при том же условии ψ{\π) — ^-κ (просто)
сжимающий оператор автоматически является (просто)
положительным. Но обратное, как показывает упомянутый выше пример Арвесона,
неверно!
Теперь мы в состоянии получить некоторую теорему продолжения
для вполне положительных операторов.
Теорема 10.2.9. Пусть Η и К — гильбертовы пространства, Ε
и F, Ε С F, — операторные системы в Η, α φ: Ε —> В(К) — такой
вполне положительный оператор, что ψ(1η) — ^-к- Тогда существует
вполне положительный оператор ψ: F —> В (К), продолжающий φ.
< Согласно предложению 10.2.3, φ — вполне сжимающий. Поэтому
теорема Арвесона-Виттстока доставляет его вполне сжимающее
продолжение на F. Но последний оператор, в силу предыдущего
предложения, вполне положителен. >
Замечание 10.2.10. В действительности можно было бы показать
с помощью более сложного рассуждения, что условие (р(1н) = 1χ в этой
теореме продолжения может быть опущено; ср., например, с [46,
теорема 5.1.7]. Но это нам не понадобится.
§ 10.3. Прием По л сена и теорема разложения
Теорему разложения для вполне ограниченных операторов можно
доказывать по-разному (ср. с [53, 122, 124]). Однако первое явное
доказательство, данное Полсеном [84], возможно, является и наиболее
поучительным. По л сен обнаружил, что произвольный вполне
сжимающий оператор, не будучи, вообще говоря, вполне положительным, тем
не менее может быть представлен в виде, говоря неформально, «угла»
вполне положительного оператора. Более подробно, при подходящем
изображении этого «большого» вполне положительного оператора в
виде (2 χ 2)-матрицы с операторными матричными элементами исходный
вполне ограниченный оператор находится в верхнем правом углу этой
матрицы. После того, как это сделано, желаемая теорема может быть
выведена без особых затруднений из теоремы разложения для вполне
положительных операторов, которую мы уже знаем (теорема 10.1.5).
Поскольку По л сен, говоря нестрого, поместил заданный оператор
в матричный элемент, лежащий вне диагонали, его метод часто
называется «внедиагональным приемом (или трюком)». Мы переходим
к описанию этого приема.

264
ГЛ. 10. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Задав гильбертово пространство Η, мы рассмотрим и его «удвоение»
Н2 := Η Θ Η. Обозначим через 5Ί, $2 : i? —» ii2 изометрии, переводящие
вектор ξ соответственно в (ξ,Ο) и (Ο,ξ). Поскольку aSiaSJ + S2S2 = 1я2?
каждый χ G В {Η2) имеет вид
2
ж = ^ йжг^*, ^, G ТВ{Н), (10.3.1)
м=1
который является единственным, поскольку
Заметим, что χ может быть изображен (2 χ 2)-матрицей (xij), и при
этом композиция в В(Н2) соответствует очевидным образом
умножению матриц1.
Обратимся теперь к размножениям ТВ{Н) С B(L®H) и ТВ{Н2) С
С B{L ® Н2) наших операторных пространств. Возьмем произвольный
элемент и £ ТВ(Н2) и выберем его носитель PGf. Напомним, что
выполнены равенства {Р\Н2)и{Р\н2) = Ρ - и· Ρ = и, где Р1н2·> как мы
помним, — это просто краткое обозначение для Ρ (g) 1#2·
Введем частичные изометрии pSi := Ρ (g) S^: L (g) uf —> L (g) uf2,
г = 1,2. При фиксированном Р мы будем кратко обозначать их через
<%. Теперь заметим, что и — сумма тензоров вида a(SixS*), i,j = 1,2,
где aG f имеет в качестве носителя Р, а ж £ В (Η). Такой тензор может
быть переписан как РаР (g) SixS* = (Ρ (g) Si)(a (g) x)(P (g) 5*) = Si(ax)S*.
Отсюда следует, что наш гг имеет вид
2
и= ^2 SiUijS*, Uij e Т[В(Н)\, где чщ = S*uSj\
hj = l
при этом Р, очевидно, является носителем всех щ^.
Теперь сосредоточимся на специальном подпространстве в В(Н2),
состоящем из всех операторов χ таких, что в их представлении (10.3.1)
выполнено Хц = АДя? λ^ £ С, г = 1,2. (Иными словами, это
подпространство состоит из операторов, изображаемых (2 χ 2)-матрицами со
скалярными операторами на диагонали.) Оно является, конечно,
операторной системой в Н2 (хотя и не подалгеброй в В(Н2)). Мы обозначим
его через Е. Взяв элементарные тензоры в ТЕ и перейдя к их суммам,
1Это «матричное мышление» часто придает определенную прозрачность тому,
что происходит, и позволяет использовать в рассуждениях правила матричного
умножения (ср., например, [46, 89]). Но нам больше нравится иметь дело с
представлениями операторов в виде сумм вроде (10.3.1), т. е. с использованием частичных
изометрии, и прямыми выкладками. Последние, как правило, тривиальны благодаря
формулам типа (0.2.1). Такое предпочтение — это, конечно, всего лишь дело вкуса.

§ 10.3. ПРИЕМ ПОЛСЕНА И ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 265
легко увидеть, что и G ТВ{Л2\ обладающий носителем Р,
принадлежит Τ 8 в точности тогда, когда он имеет вид
2
и= Σ SWijS;, (10.3.2)
где uu = аДя для некоторых а^ Ε Τ, г = 1, 2. Заметим, что оба а^ имеют
тот же носитель Р, т. е. ΡαιΡ = а^.
Далее рассмотрим, наряду с ii, другое гильбертово пространство К
и его удвоение К2. Все, что было сказано об операторных пространствах
В(Н),В(Н2) и их размножениях, справедливо, с точностью до
очевидных замен, для К в роли Η. Мы обозначим изометрии, играющие для К
роль Si, через Τί: К —> К2, а изометрии, играющие роль p<S^ = 1 Θ 5г, —
через р% := 1 (8) Τί, или просто через 7^. Эти 7^, конечно, суть
операторы из L ® К в L ® К2,
Лемма 10.3.1. Пусть φ: В (Η) —> В (К) — вполне сжимающий
оператор. Далее, пусть Ф: 8 —> В(К2) — оператор, корректно опреде-
2
ленный тем, что переводит1 χ = ^ SiXijS*, где хц = АД я, λ^ G С,
г = 1,2, в2/:= £ Т{у^Т*, где уц = λ;1Κ; 2/i2 = ^(^12) ^ 1/21 = ^*(χ2ΐ).
Тогда Φ вполне положителен.
< Пусть гг G .F£ имеет носитель Ρ и, следовательно, вид, указанный
в (10.3.2). Сперва мы покажем, что
^00{u) = Yj%vl3r;, (ю.з.з)
где уц = CLilK, 2 = 1,2, V12 = ^00(^12) и v2\ = ^(^21).
В самом деле, если г = j, то ясно, каков Φ00(5^^·5*). Если г ф jf,
то SiUijS* — сумма операторов вида Si(ax)S* — a(SixS*) (ср. выше),
где a G JF имеет Ρ в качестве носителя. Следовательно, ^OQ(Si(ax)Sj) —
— a^(SixS*) — a(TixTj) — %(ах)Т? и (10.3.3) следует из линейности
соответствующих операций.
Теперь предположим, что и ^ 0. Тогда выполнено аДя = S^uSi ^ 0,
откуда, разумеется, α^ ^ 0 в JF. Кроме того, поскольку и самосопряжен,
выполнено S2U21S* — {S\U\2S%)* — S2u\2S\, а это влечет и2\ — и\2.
Наша задача — показать, что Фоо(гг) ^ 0.
Мы помним, что оба а^ принадлежат унитальной подалгебре Τ ρ
в Τ. Предположим на время, что они обратимы как элементы этой
алгебры. Тогда непрерывное функциональное исчисление доставляет
1Для наглядности нарисуйте соответствующие матрицы.

266
ГЛ. 10. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
операторы Ь{ G JFp, обратимые в Τ ρ и такие, что Ъ^аф^ = Р. Положим
2
b := Σ Si(biln)S* и займемся оператором и! \— bub.
г=1
Поскольку и' — это сумма всех возможных Sk{bk^H)S^SiUijS^ x
χ 5/(6/1я)5*, где k,i,j,l = 1,2, то из равенств (0.2.1) и выбора Ρ
следует, что 2
где и'и = Р1Я, г = 1,2, и'12 = (fei (8> 1#)^ι2(62 (8) 1я) и г^ = (fei (8> 1Я) х
χ U2i(b2 (8> 1я)· Это влечет, в частности, что г£21 = ?/12.
Далее, и и b положительны; поэтому то же верно и для и'. Теперь
настала кульминация доказательства. Легко видеть, что ur G B(L (8) Н2) —
это модификация оператора и[2 £ B(L ® H) относительно частичных
изометрий S\ и <S2. Поэтому в силу предложения 10.2.2 выполнена
оценка \\иг12\\ ^ 1· ВВИДУ условия на φ, это дает оценку ||<£oo(^i2)|| ^ 1·
2
Теперь введем оператор г/ := ^ %ν'^Τ*, где у'и := Р1к, г = 1,2,
^12 := ^00(^12) и ^21 := ^00(^12)*· Он? конечно, является модификацией
оператора <£оо(г^2) относительно %. Следовательно, согласно тому же
предложению 10.2.2, г/ ^ 0. 2
Обозначим через q обратный к^в Тр, положим с := ^7^(сДк)7^*
г=1
и рассмотрим г; := cv'c. Выражая ν подобно тому, как это было сделано
2
выше для г//, мы легко получаем, что ν = Σ %wij^j·) гДе
wu = ail к, г = 1,2,
wu = (ci (8) 1я)^оо W2)(c2 (8) 1я) = ψοο(η12),
w2i = (c2 (8) 1я)ЬооК2)]*(с1 ® 1#) =
= (c2 Θ 1я)[(Ь2 <8> 1#)y>oo(ui2)*(bi ® 1я)](с1 <8> 1я) = Λ(^2ι).
Помня о (10.3.3), мы видим, что оператор г?, который, разумеется,
положителен вместе с г/, есть не что иное, как Ф(гг).
Таким образом, при указанном выше дополнительном условии на
наш положительный оператор и выполнено Ф^гг) ^ 0. Теперь
возьмем произвольный и ^ 0 с тем же носителем. Тогда для каждого ε > 0
2
оператор ιχε := гг + Х}«5г(£-Р1я)<5* заведомо удовлетворяет упомяну-
г=1 2
тому условию. Следовательно, Фоо(гге) = Фоо(гг) + ε ^ %{Р1к)Т* ^ 0.
г=1

§ 10.3. ПРИЕМ ПОЛСЕНА И ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 267
Поскольку конус положительных операторов в В (К2) замкнут, это
влечет Ф(гг) > 0. >
Предложение 10.3.2. Пусть φ: В (Η) —> В (К) — вполне
сжимающий оператор. Тогда существуют вполне положительные операторы
фг: В(Н) —> В[К\ г = 1, 2, обладающие следующими свойствами:
(i) оператор Ф: В(Н2) —> В (К2), корректно определенный тем, что
2 2
переводит Σ SiXijS* (ср. с (10.3.1)) β ^ Tiy^T*, где ^ :=ψί(χα),
г = 1,2, г/12 := ^(^12) ^ 2/21 := ^*(^2ΐ); таксисе вполне положителен;
(и) Ψι(1η) = /02(1я) = 1к (шш, ^^я то э/се самое, Φ(Ι^) = 1^2).
< Возьмем подпространство £ в В(Н2) и вполне положительный
оператор Ф: £ —> В(Н2), указанный в лемме. Тогда Φ(Ι^) = 1κ2ι
и поэтому теорема 10.2.9 доставляет вполне положительный оператор
Ф: В(Н2) —> В(К2), продолжающий Ф.
Для каждого χ G В (Η), разумеется, SixS%, S2xS^ G 8.
Следовательно, Φ(Ξ1χΞ^) = Τλφ(χ)Τ* и <S>(S2xSf) = T2<p*(x)Tf. Обратимся
к Φ($ιχ*ί?*) и покажем, что в его «каноническом» представлении в виде
2
Σ TiZijT*, Zij Ε Β(Κ), все слагаемые, кроме, быть может, первого
(т. е. при г — j — 1), суть нули.
В самом деле, напомним, что, как немедленное следствие
спектральной теоремы Гильберта, В(Н) является линейной оболочкой своих
проекторов. Поэтому, по линейности, достаточно рассмотреть случай, когда
χ — проектор. В этом случае 0 ^ χ ^ 1я и, следовательно, 0 ^ S\xSl ^
^ SiIhS*- Отсюда, учтя, что Φ положителен и продолжает Ф, мы
получаем, что 0 ^ Φ(5Ίχ5*) ^ ΤχΙχΤι. Это дает две вещи.
Во-первых,
о < faiKT^faxSufaiKT;) =
= Τ2ζ22Τ; < (Γ21κΓί^ιΙκΓί(Γ21α:Γ2*) = О,
и, следовательно, Τ2ζ22Τ^ = 0.
Во-вторых, поскольку Φ(5Ίχ5^), будучи положительным,
самосопряжен, то имеет место равенство Τ2ζ2\Τ^ — (Τχζ^Τ^)*'. Поэтому мы
в поле действия предложения 10.2.3 с К, Т\1кТ^ Τ21χΤ^ Τιζ2\Τ*
и TiZnT*, играющими роль соответственно Н,Р\,Р2,х и ζ. Отсюда
вытекает, что ΓιΖι2Γ2* = Τ2ζ2λΤ{ = 0.
Таким образом, для каждого χ G В (Η) оператор Φ (Siж5*) имеет вид
TiZnT* для однозначно определенного z\\ G В(К). Как следствие,
возникает корректно определенный оператор ψ ι: В (Η) —> В (К), χ ^ ζ\\.
Аналогично, появляется оператор ф2 : В(Н) —> В (К).

268
ГЛ. 10. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Если χ ^ 0, а значит, SixS* ^ 0, г — 1, 2, то положительность Φ влечет
Τιψ(χ)Τ* ^0 и, следовательно, ψι^ 0 для обоих г. Мы видим, что оба
г/ji суть положительные операторы. Этим установлено (i).
Наконец, для г = 1, 2 выполнено
ВДг(1я)77 = 4SilHS*) = y(SilHS*) = Тг1кТ*,
откуда следует (и). >
Последнее усилие — и мы получаем теорему разложения.
Теорема 10.3.3. Пусть φ: В (К) —> В(Н) — вполне ограниченный
оператор. Тогда существуют гильбертово пространство Η, уни-
тальный ^-гомоморфизм а: В (К) —> В(Н) и ограниченные операторы
V: Η —> Η и W: Η —> Η такие, что диаграмма
В{К) - ^В(Н)
коммутативна. Более того, если ||^||сь = 1, то V может быть
выбран коизометрическим, a W изометрическим. Как следствие, в
общем случае V и W могут быть выбраны так, что ||^||сь = ||^|| ||И^||.
< Очевидно, мы вправе считать, что ||^||сь = 1·
Пусть Ф: В(Н2) —> В(К2) — оператор, доставляемый предыдущим
предложением. Тогда теорема 10.1.5 дает нам гильбертово
пространство К, унитальное представление β: В(Н2) —> В (К) и
изометрический оператор^ Д: К2 —> К такие, что Φ = mR >κβ. Обозначим через
а: В(Н) —> В (К) отображение, переводящее χ в β^ΞιχΞ* + S^^)· Оче-
видно, а — унитальный ^-гомоморфизм вместе с β. Далее, положим
U := /?(5Ί1##2*) Ξ В{К). Поскольку {s&Sl + S2xS^){S1lHS^) = SxxS^,
мы получаем, что β^ΞχχΞ^) = a(x)U. Как следствие, имеют место
равенства
φ(χ) = Τΐ[Τιφ(χ)Τ;]Τ2 = T?[<S>(SlXS2)]T2 =
= T?[Ry(SlXS2)R}T2 = T^R*a(x)URT2 = Va(x)W,
где мы полагаем V := Τ*R* и W := URT2.
Таким образом, φ (χ) = mv,wa. Далее V, будучи композицией двух
коизометрий, сам является коизометрическим оператором. Кроме
того, выполнено U*U = [/^анОД]*/^1^) = P(S21hS%), откуда
R*{U*U)R = Ф(521я5'|) = Т21КТ£ и, наконец, W*W = T%R*U*URT2 =
= 1χ. Мы видим (ср. с § 0.2), что W — изометрический оператор. >

§ 10.3. ПРИЕМ ПОЛСЕНА И ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ 269
Оказывается, эта теорема имеет своеобразную версию для сильно
вполне ограниченных полилинейных, в частности билинейных,
операторов. Это будет одна из тем следующей главы (см. ниже теоремы 11.2.3
и 11.2.8). Там нам пригодится следующая весьма близкая разновидность
теоремы разложения.
Теорема 10.3.3'. Пусть φ — тот же, что и выше, по только
с В{И\^И2)^ где Н\,Н2 — произвольные гильбертовы пространства,
вместо В(Н). Тогда существуют Η и а с теми же свойствами, что
и выше, и ограниченные операторы V: Η ^ Η2 и W: Hi —> Η такие,
что та же диаграмма, что и выше, но только (снова) с Β(Ηι,Η2)
вместо В(Н), коммутативна. К тому же ||^||сь = ||^|| ||И^||.
< Пусть Η := Hi 0 Н2 и ik: Н^ —> Ηη к = 1, 2, — соответствующие
естественные вложения. Поскольку mZ2,Zl : Β(Ηι, Η2) —» В(Н) — вполне
изометрический оператор (предложение 2.2.15), мы вправе применить
предыдущую теорему к τήΐ2'1ιψ в роли ψ и получить соответствующие
Η и а, а также V' и W1\ играющие в той теореме роль 1/и1У. Теперь
положим V := г^у1 и W := Wfi\. Нужные свойства легко проверяются, >

ГЛАВА 11
ВОЗВРАЩАЯСЬ К ХААГЕРУПОВУ ТЕНЗОРНОМУ
ПРОИЗВЕДЕНИЮ
В нашей последней главе, вооружившись основными теоремами, мы
рассмотрим дальнейшие свойства хаагерупова тензорного произведения
и связанных с ним полилинейных операторов. Изложенные результаты
большей частью были уже сформулированы, с целью создания у
читателя должной перспективы, в различных частях текста. Теперь читатель,
если пожелает, может ознакомиться с их полными доказательствами.
§ 11.1. Другой подход к хаагерупову тензорному произведению
Здесь мы выполним обещание, данное в замечании 6.1.14. В нашем
изложении мы, в основном, следуем Полсену и Смиту [90], а также Пи-
зье [101, с. 88-91]. Помня, однако, что наша книга рассчитана на
таких же «пешеходов», как и сам ее автор, мы постарались восполнить
некоторые детали, сочтенные во втором источнике очевидными. Начнем
необходимую подготовку.
Пусть Ε и F — линейные пространства, Н]^ к — 1, 2, 3, —
гильбертовы пространства, φ: Ε —> В{Н2^Н\) и ψ: F —> В(Н%,Н2) — операторы.
Рассмотрим биоператор из Ε χ F в Β(Ηι,Η<$), сопоставляющий паре
(ж, у) операторную композицию (р(х)ф(у). Обозначим ассоциированный
с ним линейный оператор через φ · ψ: Ε (g) F —> B(H\, H%)] он
однозначно определен тем, что переводит элементарный тензор χ ® у в (р(х)ф(у).
Теперь пусть вдобавок Ε и F снабжены квантовыми нормами,
а φ и ψ — вполне сжимающие операторы. Тогда для U G T(E ® F),
η
U = Σ ак(хк ®Ук), выполнено \\ψ · ipoo(U)\\ < Σ \\ак\\\\(р(хк)\\||^(ЫН ^
к=1
^ Σ Ikfcllll^fclHI^fell· Поэтому корректно определено число
||t/||. = sup{||(^.V0oo(t/)||}, (П.1.1)
где верхняя грань взята по всевозможным тройкам гильбертовых
пространств ii/е, к — 1,2,3, и всевозможным вполне сжимающим операто-

11.1. ДРУГОЙ ПОДХОД К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
271
рам ψ: Ε —> Β{Ή.2·, Hi) и φ: F —» В(Нз, Н2). Очевидно, || · ||« преднор-
мав F{E®F).
Выражение для этой преднормы можно слегка упростить.
Предложение 11.1.1. Имеет место равенство
||[/||.:=sup||(^^)oo(t/)||,
где верхняя грань взята по всевозможным гильбертовым
пространствам Я и всевозможным вполне сжимающим операторам φ: Ε —>
^В(Н) u^: F^B(H).
< Ясно, что указанная верхняя грань — обозначим ее \\U\\f — не
превосходит ||С/||#. Установим обратное неравенство.
Пусть Яь к = 1,2,3, φ: Ε^Β(Η2,Ηλ), ψ: F -^£(Я3,Я2) -
произвольные гильбертовы пространства и вполне сжимающие операторы.
Положим Я := Hi Θ Н2 Θ Η% и обозначим через г&: Я& —> Я
соответствующие естественные вложения. Положим ψ
21
т
гиг2(р: Е^В(Н)
32 ._ ^0г2,г1„/,. ^р _> В(Н). Из предложения 2.2.15 сразу следует, что
вполне сжимающие операторы. Далее, положим (φ · ф)31 : =
(/?21 и ΐ/;32
:= т/1,/з (φ · ψ): Ε
F —> В (Η). Тогда для любых χ G Ε1, у £ F
выполнено ((/? · ψ)01 (χ (8) ι/) = ΐιψ{χ)ΐ2ΐ2φ{ν)^ — (ψ # Ψ )(х ® I/)? и поэтому,
с учетом того же предложения 2.2.15, ||<^ · ф)оо{и)\\ — одно из чисел,
участвующих в выражении для \\U\\'. Дальше ясно. >
В следующих двух леммах К\ и К2 — гильбертовы
пространства, Ε С В (К ι) и F С В(К2) — конкретные квантовые пространства,
D: ^(Е (8) F) —> С — сжимающий функционал. Как обычно, мы вправе
h
считать ТЕ подпространством в B(L (g) if i), a ^*F — подпространством
bB(L®K2).
Лемма 11.1.2. Существуют гильбертовы пространства Ηχ,Η2,
сжимающий оператор Т: Н2 —> Hi, представления π: B(L (g) Κι) —>
—► Β(Ηι), ρ: B{L (g) Κ2) —► Β{Η2) и векторы ξ G Щ, η G Η2 нормы 1
такие, что для любых и G ТЕ и ν £ TF выполнено
D(u Θν) = (π(ύ)Τρ(υ)η, ξ).
< Введем бифункционал V: ТЕ χ TF —> С, (и, ν) ь^ D(u Θ г;). Из
теоремы 6.1.17 очевидным образом следует, что для любых наборов
Uk Ε ТЕ, Vk £ ^Е, /с = 1,..., гг, выполнена оценка
y^V(uk,vk)
fc=l
<
I n I
Ε^ί
'fc=l '
11/2 ι
1 n I
Σ1^
U=l '
1/2
Это означает, что для TE,TF, B(L (g) ΑΊ) и 23(L (g) K2) в роли
соответственно Ε, F, А л В выполнены условия леммы 0.9.2. Как следствие,

272 ГЛ. 11. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
существуют состояния /: B(L ® К\) -^ С и д: B(L ® К2) —> С такие, что
для любых и Ε ТЕ, ν Ε ТЕ выполнено
\D(uQv)\^f(uu*)1/2g(v*v)1/2.
Согласно ГНС-теореме (см. § 0.8), существуют гильбертовы
пространства Н[,Н^ представления π: B{L (g) Κι) —> Β(Η[), ρ: B(L (g) Κ2) —>
—> Β(Η'2) и циклические векторы ξ Ε Я{, η Ε Я^ нормы 1 такие, что для
любых и Ε ТЕ и г; Ε JFF выполнено /(и) = (π(ϊζ)ξ, ξ) и р(г;) = (ρ(ν)η, η).
Отсюда, в частности, для тех же u, v выполнено
\D(uQv)\ < |к(г/*)^||||р(г;)7у|| (11.1.2)
и, следовательно, D(u Θ г;) = 0, как только 7τ(^*)ξ = 0 или р(^)т7 = 0. Это
означает, что для почти гильбертовых пространств Η® := {π(η)ξ: u E
Ε JF£^} С Н[ и Я^ ·= {р(^)?7: ^ £ J^F} С Я^ корректно определено
отображение V: Я? χ Я? ^ С, (τ/,ξ') ι-> £>(г/* Θ ν), где и Ε ^£, г; Ε ТЕ -
произвольные элементы с ττ(η)ξ — ξ7 и ρ(ν)η — τ/. Очевидно, V — по-
луторалинейный функционал, который, в силу той же оценки (11.1.2),
является сжимающим. Обозначим через Η ι и Η 2 гильбертовы
пространства, являющиеся пополнениями соответственно Я^ и Я^. Тогда, в силу
стандартной конструкции функционального анализа, существует
сжимающий оператор Τ: Я2 —> Н\, однозначно определенный равенством
(Τ(ρ(ν)η),π(η)ξ)=ϋ(η\ν)
для всех и Ε .Τ-Έ1 и г; Ε .FjF. Отсюда для тех же u, v выполнено
D(u Qv) = (Τρ(ν)η, π(η*)ξ) = (Τρ(ν)η, [π(«)]4>·
Дальше ясно. >
Лемма 11.1.3. Пусть U E JF(F (g) F). Тогда существуют
гильбертовы пространства Н\,Н2, вполне сжимающие операторы φ: Ε —>
—> В(Н\), ψ: F —> B(H2, Hi) и векторы ξ Ε L (g) Η\,η Ε L (8) Я2 нормы
^ 1 такие, что для (φ · ψ)οο(υ) Ε Τ(Β(Η2·)Ηι), понимаемого как
оператор из L (8) Я2 в L ® Hi, справедливо равенство
0(υ) = ((φ·ψ)00(ϋ)η,ξ).
< Рассмотрим гильбертовы пространства, представления и
векторы, доставленные предыдущей леммой. Помня, где лежит £", введем
оператор φ: Ε ^ Β{Η\), χ ь^ π(1 (g) x). Поскольку его продолжение на
В (К ι) — *-гомоморфизм, из теоремы 2.2.10 следует, что φ — вполне
сжимающий. В силу тех же причин вполне сжимающим является
оператор χ: F —> £>(Я2), у \-^ р(1 (g) 2/). Поэтому, введя ψ: F —> В(Н2,Н{),

§ 11.1. ДРУГОЙ ПОДХОД К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ 273
у \-^ Тр(1 8) у) и заметив, что φ — ?ητ,1χ, мы снова, с учетом
теоремы 2.2.11, получим вполне сжимающий оператор.
Введем операторы а: В —> В(Н{), а \-^ π (а 8) 1#ι) и /?: £> ^ В(Н2),
а ь^ π(α (g) 1я2)· Очевидно, что это представления алгебры £>, связанные
с введенными ранее операторами равенствами
α(α)φ(χ) = φ (χ) α (α) = π(α (8) χ) и ψ (у) β (α) = Τρ(α (8) у), (11.1.3)
где ае В, χ е Ε, у е F.
Возьмем произвольный конечномерный носитель элемента С/, а в его
образе — какой-либо ортонормированный базис е&, /с = 1,..., п.
Зафиксируем в L произвольный вектор е нормы 1 и рассмотрим в L (8> Н\
η η
вектор ξ := ^ efc (g) [а(е О е/с)]^, а в L ® Я2 - вектор ту := X) efe ®
/с=1 /с=1
® [/?(еОе&)]т7. Слагаемые в каждой из сумм попарно ортогональны,
и поэтому
кн2 = Σ IIе* ® Ме ° е*жи2 = ΣII Ме ° е*)КИ:
fe=l fe=l
η / Г η Ί \
= ^([a(eOefc)]*[a(eOefc)]C,C) = /L^(efcOefc) ξ,ξΥ
fe=l ^ ^ fe=l -I '
η
Ho Σ (β/c О е/е) — это проектор, оператор α, будучи *-гомоморфиз-
fe=l
мом, — сжимающий, и ||ξ|| = 1. Поэтому из предыдущих выкладок
следует, что ||ξ|| ^ 1. Точно так же и \\η\\ ^ 1.
Осталось проверить требуемое равенство. Ясно, что U есть сумма
нескольких элементарных тензоров вида (е^ О ej)(x 0 у) G T{E ® F),
где 1 ^ г, j ^ n, ж Ε £", у G F. В силу соображений аддитивности
достаточно рассмотреть случай, когда U имеет для некоторых i,j,x,y
указанный вид. Но тогда
(φ·ψ)οο(υ) = (ei Oej) ®φ(χ)ψ^),
и поэтому, с учетом равенств (11.1.3),
{(φ·ψ)οο(υ)η,ξ) =
П
= Σ ((ei ° eJ")efe' ^Х^М^/Ше О efc)]77, [a(e О ez)]£) =
fc,/ = l
= (у>(жМз/Ше О е^)]77, [а(е О е<)]0 =
= ([а(е< О е)]у>(хЖг/)[/?(е О е,-)]»7,0 =
= (тг[(е* О е) (8) ж]Гр[(е О е,·) 0 у]г/, ξ).

274 ГЛ. 11. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
Записав, как обычно, элементарные тензоры в двух последних
квадратных скобках в виде (е^ О е)х £ ТЕ и (е О Cj)y £ ТЕ', обратим внимание
на очевидное равенство (е^ О е)х Θ (е О е^)у = (е^ О ej)x 0 у. Отсюда,
в силу предыдущей леммы, ((φ * ψ)οο (U)rj, ξ) есть в точности D(U). >
Предложение 11.1.4. Пусть Ε и F — квантовые пространства,
Hk, /с = 1,2,3, — гильбертовы пространства, φ: Ε —> Β{Ή.2,Έί\),
ψ: F —> Β(Η<$, Η2) — вполне ограниченные операторы. Тогда оператор
φ · ψ: Ε 0 F —> В(Нз, Н\) вполне ограничен относительно хаагерупо-
вой нормы в Ε 0 F, и \\ψ · ^llcb ^ IMIcbll^Hcb· В частности, если
(риф— вполне сжимающие, то и φ · ψ — вполне сжимающий
относительно указанной нормы.
< Заметим, что для любых и G ТЕ, ν G ТЕ имеет место равенство
легко проверяемое на элементарных тензорах в ТЕ и ТЕ. Отсюда для
любого U Ε Τ {Ε ® F) и его любого представления в виде и Θ ν
выполнено \\φ · ψοο(υ)\\ ^ 1М1сь||^||сь|М||М1· Остается воспользоваться
предложением 6.1.6. >
Предложение 11.1.5. Пусть Ε и F — квантовые пространства.
Тогда для любого U G Т(Е (8) F) выполнено
\\U\\h=\\U\\..
Таким образом, \\U\\* — квантовая норма в Ε 0 F, совпадающая с ха-
агеруповой.
< Из предыдущего предложения сразу следует, что || · ||# ^ || · ||ь·
Чтобы получить обратную оценку, возьмем U G Т[Е ® F) и (вспомнив
h
теорему Хана-Банаха) функционал D: Т(Е (8) F) —> С нормы 1 такой,
h
что D(U) — ||C/||h· Теперь применим теорему Руана, благодаря которой
мы можем, не теряя общности, считать, что Ε С В(К\) и F С В {К 2) для
некоторых гильбертовых пространств Κι и К2. Но тогда лемма 11.1.3
доставляет вполне сжимающие операторы ψ и ψ, для которых,
разумеется, выполнено \D(U)\ ^ \\φ · /0)оо(С/)||. Отсюда ||C/||h ^ ll^ll·· ^
Вот, наконец, и давно обещанная теорема.
Теорема 11.1.6. Пусть Ε и F — квантовые пространства.
Тогда существует гильбертово пространство Η и вполне
сжимающие операторы Φ: Ε —> Β(Τί) и Φ: F —> £>(7ϊ) такие, что оператор
Φ · Φ : i? (8) F —> £>(7ϊ) — вполне изометрический.
h
< Объединяя предложения 11.1.1 и 11.1.5, мы видим, что для
некоторого индексного множества Λ существуют гильбертовы пространства

§ 11.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 275
Η^ и вполне сжимающие операторы ψν: Ε —> В(Н„) и ψ„: F —> В(Ни),
ν Ε Λ, такие, что для любого С/ Ε ^(i? (8) F) имеет место равенство
||I7||h = sup{||(^ · ^)oo(t/)||: ^ G Λ}. (11.1.4)
Рассмотрим, в обозначениях конца § 0.2, гильбертову сумму Τί : =
:= ®{Ην : ν Ε Λ} и операторы
Φ: Ε - B(ft), χ -> ®{φν(χ) :^Λ}, Φ : у -> @{ф„(у): ν <Ξ Λ}.
Возьмем χ Ε £", у £ F. Очевидно, композиция Φ(χ)Φ(?/) Ε 23(7Υ) — это
гильбертова сумма семейства операторов ψυ{χ)φυ{ίυ) Ε В(Ни), ν Ε Λ.
Поэтому, отождествляя L (g) [ф{^: ^ Ε Λ}] и ф{Ь (g) Hu: ζ/ Ε Λ}, мы
видим, что для любого а Е В оператор а ® (Ф(ж)Ф(г/)), действующий bL®
7ϊ, есть гильбертова сумма операторов а ® [φ^(χ)φ^(ι/)] Ε £>(L (g) ii^),
ζ/ Ε Λ. Но это означает, что для элементарного тензора V \= а(х ® у)
выполнено равенство
(Ф · Ф)оо(^) = Θ{(^ · ·φν)οο(ν) :vek}.
Следовательно, по аддитивности, такое же равенство верно при
замене V на любой элемент U Ε Τ (Ε (g) F). Но тогда норма оператора
(Φ · Ф)оо(С7) равна правой части в (11.1.4). Дальше ясно. >
Замечание 11.1.7. Есть и третий подход к понятию хаагерупо-
ва тензорного произведения. В свое время Кристенсен, Эффрос
и Синклер [19] обнаружили, что хаагерупово тензорное
произведение (7*-алгебр может быть вполне изометрически вложено в так
называемое свободное С*-произведение этих алгебр. Это вдохновило
Пизье [19], который показал, что хаагерупово тензорное произведение
любых квантовых пространств, заданных как подпространства
некоторых унитальных (7*-алгебр, может быть вполне изометрически вложено
в так называемое амальгамированное свободное (7*-произведение этих
алгебр. (Речь идет об унитальном варианте свободного произведения;
см., например, [6, 121].) Подробнее об этом см. [89, 101].
§ 11.2. Разложение полилинейных операторов
Здесь мы расскажем о довольно удивительных свойствах сильно
вполне ограниченных полилинейных операторов, опирающихся на
теорему разложения.
Эти факты не имеют аналога в классической теории операторов,
равно как и для слабо вполне ограниченных полилинейных
операторов. Обнаружили эти свойства Кристенсен и Синклер [20], которые
рассматривали полилинейные операторы, определенные на С*-алгебрах.

276 ГЛ. 11. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
Впоследствии их результат был прояснен и продолжен на общие
конкретные операторные пространства Полсеном и Смитом [90]. (Стоит
отметить, что абстрактной характеризации конкретных операторных
пространств, т. е. теоремы Руана, в то время еще не было.)
Сперва мы рассмотрим более наглядный случай билинейных
операторов или, в эквивалентных терминах их реализаций, двух тензорных
сомножите л ей.
Предложение 11.2.1. Пусть Ε и F — квантовые пространства,
Н\ и Нз — гильбертовы пространства, R: Ε 0 F —> Β(Η^^Ηι) —
линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) R вполне ограничен относительно хаагеруповой квантовой
нормы]
(и) существует гильбертово пространство Н2 и вполне
ограниченные операторы φ: Ε —> Β(Η2,Ηι),ψ: F —> B(H%,H2) такие, что
R — φ %ψ.
При этом, если выполнено (ι), то φ и ψ могут быть выбраны так,
что IMIcbH^llcb = ||#||cb·
< (ii) => (i). Это уже содержится в предложении 11.1.4.
(i) => (ii). Возьмем 7ϊ, Φ и Φ, доставляемые теоремой 11.1.6.
Согласно теореме 8.4.3', оператор R может быть продолжен до вполне
ограниченного оператора R: Β(Τί) —> В(Нз, Н\) с той же вполне ограниченной
нормой. Применяя к последнему теорему 10.3.3', мы получаем
коммутативную диаграмму
В(П)
а
^(Яз.ЯО^-^ВСЯз),
т '
в которой Η2 — гильбертово пространство, а — унитальное
представление, а V: Ή.2 —> Н\, W: Н% —> Ή.^ — ограниченные операторы такие, что
||Д||сЬ = \У\ ΙΙ^ΊΙ· Таким образом, для χ G Ε и у G F выполнено
R{x ®у) = Д(Ф(ж)Ф(у)) = Va(<b(x)V(y))W =
= Va(<b(x))a(V(y))W = ^^^(х)]^1^^*^)],
где 1 := 1я2- Положим φ := ту,1аФ и ψ := т1,и/аФ. Тогда, как легко
проверить, R = φ · ψ.
Наконец, заметим, что наши операторы выбраны так, что ||^||сь ^
^ ΙΙ^ΊΙ? Il^llcb ^ ΙΙ^ΊΙ? и поэтому Ц^ЦсьЦ^ЦсЬ ^ ||i?||cb· Обратное
неравенство обеспечено предложением 11.1.4. >

§ 11.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 277
Следующая теорема, в силу свойства универсальности хаагерупо-
ва тензорного произведения (вернее, его версии, выраженной в
теореме 6.1.9), по сути является эквивалентной формулировкой доказанного
предложения.
Теорема 11.2.2. Пусть Е, F, Н\ и Н% — те снсе, что и выше,
α ΊΖ: Ε (g) F —> Β(Η^^Ηι) — биоператор. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(ϊ) ΊΖ сильно вполне ограничен;
(и) для некоторого гильбертова пространства Н2 и вполне
ограниченных операторов φ: Ε —> Β(Η2·)Ηι),ψ\ F —> Β(Η^^Η2) имеет место
равенство
Tl(x,y) = φ(χ)ψ(ν)
для всех χ G Ε, у G F.
При этом, если выполнено (i), то φ и ψ могут быть выбраны так,
что IMIcbll^llcb = H^llscb· < >
Отсюда мы можем без труда получить важную версию теоремы
разложения для билинейных операторов.
Теорема 11.2.3. Пусть Hi, Н2 и К — гильбертовы
пространства, Ε и F — квантовые подпространства соответственно в В (Hi)
и В(Н2). Пусть, далее, ΊΖ: Ε χ F —> В (К) — сильно вполне
ограниченный биоператор. Тогда существуют гильбертовы пространства Hi
и H2j унитальные представления а^\ В(Н^) —> В(Н^), к = 1,2, и
цепочка ограниченных операторов
такие, что для всех χ G Ε и у G F имеет место равенство И(х,у) =
= SiQii(x)S2Qt2(y)S?>· При этом Sk, к — 1,2,3, могут быть выбраны
так, что ||i?||scb = Ц^ЦЦ^ЦЦ^зЦ·
< Согласно предложению 8.4.9, существует сильно вполне
ограниченный биоператор ΊΖ: Β(Ηι) χ В(Н2) —> В(К), продолжающий
ΊΖ. Тогда предыдущая теорема (с К в роли фигурирующих там Hi
и Н2) доставляет гильбертово пространство К1 и вполне ограниченные
операторы φ: В(Н{) —> B(Kf,K), ψ: В(Щ) —> B(K,Kf) с указанными
свойствами. Применяя к ψ и ψ нужную версию теоремы
разложения — теорему^ 10.3.3' — мы получаем, для к = J_,2, гильбертовы
пространства Н^, представления а&: В(Н^) —> В(Н^) и
ограниченные операторы V&: Н^ —» К, Wfc: К' —> Н^ такие, что ψ = mVl,Wlai
и ψ = mV2>W2a2. Это означает, что для всех χ G Ε и у G F выполнено
TZ(x^y) — ViOiiWiV20i2W2· Остается положить Si := Vi, S2 ·= W1V2
и Ss := И^2. >

278 ГЛ. 11. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
До сих пор приведенные результаты касались двух декартовых (или
тензорных) сомножителей. Теперь мы покажем, каким образом они
могут быть распространены на случай произвольного числа
сомножителей. Для этого нам понадобится гг-кратная версия операции «·».
Пусть Ek, к = 1,...,тг, — линейные пространства, Hk, к = 1,...
..., η + 1, — гильбертовы пространства, φ к : Ек —» B(Hk+i, Η к), к —
= 1,..., тг, — операторы. Обозначим через
φι · ... ·φη: Ελ ® ... ® Еп -^Β(Ηη+ι,Η{)
линеаризацию п-линейного оператора
Ει χ ... χ Εη -^Β(Ηη+ι,Η{): (жь...,жп) ^ φι(χλ).. .φη{χη),
однозначно определенную правилом х\ ® ... ® хп \-^ ^ι(χι)... φη(Χη)·
Очевидно, операция «·» ассоциативна в привычном для нас смысле
этого слова (ср., например, с § 0.7) и поэтому могла бы быть определена
с помощью индукции: φι · .. . · φη := [φι · . .. · φη-ΐ) · φη.
Предложение 11.2.4. Пусть Ek, к = 1,...,п, — квантовые
пространства, Hi и Ηη+ι — гильбертовы пространства, R: Ει 0 ...
... <g> Εη+ι — линейный оператор. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(i) R вполне ограничен относительно хаагеруповой квантовой
нормы]
(ii) существуют гильбертовы пространства Н2^ ^ ,Нп и вполне
ограниченные операторы φ^: Ек —> B(Hk+\,Hk), к = 1,...,гг; такие,
что R = φι · ... · φη.
При этом, если выполнено (i), то операторы φ к могут быть
выбраны так, что ||(/?i||cb · · · ||^п||сЬ = Ц^ЦсЬ-
< (ii) => (i). Благодаря принципу индукции — в данном случае по
числу операторов φ^ — это легко следует из ассоциативности операции
«·» и предложения 11.1.4.
(i) => (ii). Снова воспользуемся индукцией — на этот раз по числу
заданных пространств. В силу ассоциативности хаагерупова тензорного
произведения (см. теорему 6.6.5), мы вправе рассмотреть R как
оператор из Ε 0 Εη+ι, где Ε := Е\ 0 ... 0 Еп. Начало индукции, равно как
h h h
и индуктивный переход, обеспечены предложением 11.2.1. Требуемое
равенство для норм также доказывается по индукции. >
Переведем это предложение на язык полилинейных операторов.
Теорема 11.2.5. Пусть Ек, Hi и Hn+i — me же, что и выше,
α ΊΖ: Ει χ ... χ Εη —> Β(Ηη+ι,Ηι) — η-линейный оператор. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:

§ 11.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 279
(i) ΊΖ сильно вполне ограничен;
(и) для некоторых гильбертовых пространств Η2,..., Нп и вполне
ограниченных операторов φ^: Ek —> B(Hk+i, Hk), к = 1,..., тг; имеет
место равенство
7г(хь . ..,хп) = (^ι(χι)... ψη{χη)
для всех Xk £ Ek, к = 1,..., п.
При этом, если выполнено (i), то ψ^ могут быть выбраны так,
Что ||^l||cb · · · Ц^пЦсЬ = H^llscb· <>
Альтернативный подход к определению хаагерупова тензорного
произведения также может быть обобщен на случай нескольких тензорных
сомножителей. Сперва сделаем простое наблюдение, которое
фактически уже использовалось в случае η = 2, когда мы доказывали
предложение 11.1.1.
Лемма 11.2.6. Пусть Ek, /с = 1,...,тг; — квантовые
пространства, Hk, /с = 1,...,гг+1; — гильбертовы пространства, ψ^\ Ek —>
—> B(Hk+i, Hk), к = 1,... ,η, — вполне сжимающие операторы. Тогда
существуют гильбертово пространство Н, вполне изометрический
оператор Ι: Β(Ηη+ι,Ηι) —> Β(7ί) и вполне сснсимающие операторы
Ф/е: ^ —> В(Н), к = 1,..., гг; такие, что Ι(ψι · ... · (/?п) = Φι · ... · Фп.
< Пусть Τί : = iii θ ... Θ Нп+\ и г&: iifc —> 7Y — естественные вло-
жения. Положим / := mn,*n+1 и <^ := mlk>lk+1(pk. Тогда /, а также все
тгк>гк+1 — вполне изометрические операторы (предложение 2.2.15), и
поэтому, в частности, каждый ср'к — вполне сжимающий вместе с φ^.
Желаемое равенство немедленно следует из того, что г£г& — тождественный
оператор в Η к, /с = 1,...,гг+1. >
Теорема 11.2.7. Пусть Ek, /с = 1,...,гг; — квантовые
пространства. Тогда существует гильбертово пространство Η и вполне
сснсимающие операторы Ф& : Ek —> В (Τι) такие, что оператор
Φι · ... · Фп : Ег Θ ... Θ Εη -► β(Ή)
h h
— вполне изометрический.
< Пользуясь ассоциативностью хаагерупова тензорного
произведения, отождествим Е\ ® ... ® Еп с Ε ® Еп^ где Ε := Е\ ® ... ® Еп-\.
h h h h h
Тогда, в силу теоремы 11.1.6, найдутся гильбертово пространство 7ϊο
и вполне сжимающие операторы Φ: Ε —> Β(7ίο) и <^п: Еп —> В (И,) о
такие, что оператор Φ · φη: Ε 0 Еп —> В (Но) — вполне изометриче-
h
ский. Далее, предложение 11.2.3 обеспечивает то, что для каких-то
гильбертовых пространств i?i,..., iin, где П\ — Нп — Ή§^ оператор Φ

280 ГЛ. 11. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
представим в виде ψλ · ... · φη-ι, где ψ)~: Ек -> B(Hk+i,Hk), к = 1,...
..., η — 1, — вполне сжимающие операторы. Но тогда предыдущая
лемма доставляет гильбертово пространство 7Υ, вполне
изометрический оператор /: В (Но) —» В(Н) и вполне сжимающие операторы
Фк: Ек —> Β(?ί), к = 1,..., тг, такие, что Φι · ... · Фп — композиция
вполне изометрических операторов I л Φ · φη. Дальше ясно. >
А вот и гг-кратная версия теоремы о структуре билинейных
операторов.
Теорема 11.2.8. Пусть Нк, к = 1,...,тг; и К — гильбертовы
пространства, а Ек для каждого к — подпространство в В(Нк).
Далее, пусть ΊΖ: Ει χ ... χ Εη —> В (К) — сильно вполне ограниченный
п-линейный оператор. Тогда существуют гильбертовы
пространства Нк, к = 1,..., п, унитальные представления ак : В(Нк) —> В(Нк),
к — 1,..., тг, и диаграмма ограниченных операторов
κ^πλ^π2... яп_1 ^ яп Д^ к
такие, что для всех хк Ε i?b /с = 1,..., тг, имеет место равенство
Щхг,. . .,жп) = Siai(xi)S2a2(x2)S3 ...αη-ι(#η-ι)^αη(#η)£η+ι·
77pu этом Sk, k = 1,... ,η + \, могут быть выбраны так, что \\R\\sch —
— II Q II II С II
— IPill . . . ||Οη+ι||.
< Работают, с очевидными модификациями, те же рассуждения, что
и в доказательстве теоремы 11.2.3; только роль теоремы 11.2.2 теперь
играет ее гг-кратный аналог — теорема 11.2.5. >
На самом деле в этой теореме можно перейти к несколько иным
представлениям алгебр В(Нк), и притом так, что операторы S2,..., Sn
окажутся ненужными. Этот факт тесно связан с упомянутой в
замечании 11.1.7 теоремой Кристенсена-Эффроса-Синклера о
вложении хаагерупова тензорного произведения (7*-алгебр в свободное
(7*-произведение этих алгебр (см. [19]). В результате гг-кратная
теорема разложения принимает несколько более элегантный вид, который
мы приведем без доказательства.
Теорема. Пусть Нк, /с = 1,...,гг; и К — гильбертовы
пространства, а Ек для каждого к — подпространство в В(Нк). Далее, пусть
ΊΖ: Ει χ ... χ Еп —> В (К) — сильно вполне ограниченный п-линейный
оператор. Тогда существуют гильбертово пространство К,
унитальные представления ак: В(Нк) —> В (К), к = 1,...,гг; и ограниченные
операторы V: К —> К, W: К —> К такие, что для всех xk £ Ек
выполнено равенство 7£(χι,..., хп) — V 0ί\{χ\)0ί2{χ2) . . . an(xn)W. При этом

§ 11.3. САМОДУАЛЬНОСТЬ ТЕНЗОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 281
указанные операторы могут быть выбраны так, что ||7£||8Сь = II^IIII^II
(ср. с [19, следствие 3.2]).
§ 11.3. Самодуальность хаагерупова тензорного произведения
Осталось только одно еще не выполненное обещание — то, которое
было дано перед предложением 7.5.6. Наконец, пришло и его время.
В нашем изложении мы, с точностью до «бескоординатных
модификаций», следуем Пизье (ср. с [101, следствие 5.8]) — но опять-таки, в
отличие от автора цитированной книги, имея в виду читателя-«пешехода».
Нам понадобится некоторая специализация предложения 11.2.1.
А именно, мы сосредоточимся на операторах из Ε (8) F', принимающих
h
значения в нашем стандартном пространстве Τ. Укажем ситуацию,
когда такой оператор удается разложить в произведение (в смысле
операции «·») операторов со значениями в том же Τ.
Предложение 11.3.1. Пусть Ε и F — квантовые пространства,
хотя бы одно из которых конечномерно, R: Ε (8) F —> Τ — конечно-
h
мерный вполне ограниченный оператор. Тогда R имеет вид φ · ψ, где
φ: Ε —> Τ и ψ: F —> Τ — такие конечномерные вполне ограниченные
операторы, что ||Д||сь|| = IMIcbH^Hcb·
< Пусть, для определенности, dimF < оо. Согласно предложению
2.2.16, для некоторого конечномерного подпространства Lq в L и
ограниченного оператора Ro: Ε (8) F —> B(Lq) выполнено R — тг,г До?
h
где г: Lq —> L — естественное вложение; при этом, разумеется,
|| До || = II-RII· Тогда, в силу предложения 11.2.1, существуют гильбертово
пространство К и вполне ограниченные операторы ψο : Ε —> B(K,Lo)
и ψο'· F -> B(L0,K) такие, что R0 = φο · Ψο и ||Д0|| = ||^o||cb||^i||cb·
Из конечномерности F и Lq легко следует, что подпространство
Ко := span {Im (фо(у)): У £ F} в К также конечномерно.
Пусть г ι — естественное вложение пространства К о в К. Тогда
для всех у Ε F имеет место равенство фо(у) — Η^ιΦο(ν)^ и поэтому для
φι := ш1,г1(^о· Ε —> B(K0,L0) и ψ ι := т^^фо- F —> B(L0,K0)
выполнено ψι(χ)ψι(ν) = φο(χ)Ψο(ν) — Ro для всех χ G £", у G F. Тем самым
R0 = ψι %фъ
Далее, поскольку Ко конечномерно, существует изометрическое
вложение j : Ко —> L. Положим φ := тг^ φι: Ε —> B(L) и ψ := т^г ψι: F —>
—> B(L). Это вполне ограниченные операторы, причем, разумеется,
IMIcb = H^illcb = ll^ollcb и Ц^ЦсЬ = ||^i||cb = ll^ollcb· К тому же, с
учетом того, что dimB(Ko, Lo),dim£>(Lo, Ко) < оо, φ и ψ конечномерны,
и мы вправе считать, что их область значений — это Τ. Наконец,

282 ГЛ. 11. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
для любых χ £ Е, у £ F выполнено
φ·ψ(χ®ν) = φ(χ)φ(ν) = ιψι{χ)3* 3φι{ν)ι* =
= ίψι · ψι(χ Θ у)г* = гаг,г Ro(x ® у) = R(x Θ у)-
Отсюда следует наше утверждение в случае dimF < оо. В случае
dim Ε < оо работает сходное, с точностью до очевидных модификаций,
рассуждение. Мы лишь отметим, что теперь в роли К о выступает
подпространство span{Ker (ψο(χ))1-: χ G F} в К. >
Теперь возвратимся к ситуации, рассмотренной в § 7.5. Заданы
квантовые пространства ΕηΕη их квантовые сопряженные Е*, F*,
соответствующие канонические двойственности De, Df и их тензорное
произведение — двойственность De,f · (Ε ® F) χ (Ε* (8) F*) —> С.
Укажем две полезных формулы. Сперва пусть Fo — замкнутое
подпространство в F, F\ := F/Fo — соответствующее нормированное фак-
торпространство, Oe,fx · {Ε ® F{) χ (F* ® F*) —> С — тензорное
произведение соответствующих канонических двойственностей. Пусть, далее,
г: F —> Fi — факторотображение и г := г* : F* —> F*. Наконец, пусть
С/ G JT(F ® F) и V' e T(E* (8> F*). Тогда имеет место равенство
(^F)w(i/, (1 ® г)оо(О) = (£>вдМ1 ® τ)οο(ϊ7), О- (П-3.1)
Действительно, если U — а(х (8> у) , а У7 = 6(/ 0 £/')? то левая часть есть
(а 0 b)f ® [i</](x <8) г/) = (α Ο 6)/(x)fa'](2/) =
= (а 0 b)f{x)g'(T(y)) = (а О Ь)[/ ® </'](* ® rfe)),
и, стало быть, совпадает с правой. Поскольку JF(F (8) F) и Т(Е* (8) F*)
состоят из сумм элементарных тензоров указанного вида, общий случай
следует из соображений билинейности.
Теперь пусть г#: Ε ^ Е** и г^?: F ^ F** — канонические вложения.
Рассмотрим, наряду с двойственностью De,Fi enie и двойственность
De*,f* : (#* Θ F*) χ (F** ® F**) —► С, т. е. тензорное произведение
канонических двойственностей DE* : F* x F** -^Си F>F* : F* x F** —> С.
Тогда для любых U G Τ {Ε ® F) и У G ^*(F* (8) F*) имеет место
равенство
(DEjF)w(U, V) = A[(DE*jF*)w(V, (iE ® iF)oo(i7))]A, (11.3.2)
где Δ — унитарный оператор «типа рокировки», введенный в § 0.3. Оно
также легко проверяется, с учетом формулы (0.3.3), на элементарных
тензорах.

11.3. САМОДУАЛЬНОСТЬ ТЕНЗОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 283
Теорема 11.3.2. (i) Квантовая норма в Ε ® F, порожденная
двойственностью De,f и хаагеруповой квантовой нормой в Е* ® F*,
сама является хаагеруповой. Иными словами, оператор Ie f · Ε 0 F —>
h
—> (Ε* 0 F*)* (см. там же) является вполне изометрическим;
h
(ii) квантовая норма в Е* 0 F*, порожденная двойственностью
De,f и хаагеруповой квантовой нормой в Ε (g) F', сама является
хаагеруповой. Иными словами, оператор If,e- Ε* ® F* —> (Ε ® F)*
(см. там же) является вполне изометрическим.
(Таким образом, если хотя бы одно из пространств Ε и F
конечномерно, то из этой теоремы следует, что операторы Ie,f и -Гр,£7? будучи,
разумеется, биективными, являются вполне изометрическими
изоморфизмами.)
< Обозначим через || · ||d интересующие нас порожденные квантовые
нормы в£®^ив£*®Г.
Начнем с утверждения (ii). Следствие 7.5.7 обеспечивает оценку
ll'lld^H'llh- Займемся обратной оценкой.
Сперва предположим, что одно из наших исходных пространств
конечномерно; пусть, для определенности, это F. Возьмем любой V G
Ε Τ (Ε* (8) jF*) и применим к нему теорему 7.1.4 (i), в которой в на-
h
стоящий момент в роли E,F и V выступают Ε ® F,E* ® F* и De,f-
h
Мы получаем, что \\V\\d — это вполне ограниченная норма конечно-
~E*®F*
мерного оператора DE F (Vj, далее обозначаемого для краткости че-
~ ' ~E*®F*
рез V: E®F^T. Что касается оператора De,f : f(E* Θ F*) —►
h
—> T(E®F,T), то, как следует из его определения (см. § 7.5), он кор-
h
ректно определен тем, что отправляет элементарный тензор &(/ <8> #),
Ъ G Т, f G F*, д G F*, в одномерный оператор χ 0 у \-^ f(x)g(y)b G Т.
В силу предыдущего предложения, V представим как и · ν для
некоторых и G Т(Е,Т) л ν £ T(F,T) таких, что ||^||сь = Ц^ЦсьЦ^ЦсЬ· Да_
F* / —
лее, предложение 7.2.2 доставляет u G ТЕ* такой, что DE (и) =й, где
1} : ТЕ* —> Т{Е, Т) корректно определен тем, что отправляет
элементарный тензор 6/, 6 Ε Τ, f G £"*, в одномерный оператор χ ь^ f(x)b; при
этом ||u||d = ||й||сь. Аналогичным образом возникает г; G FF* такой, что
£>F (г;) = v и ||i;||d= |M|cb·
Теперь предположим на мгновение, что щ и vo — элементарные
тензоры bf и сд, а через Wo обозначен щ Θ νο или, что то же самое,
(Ьс)(/®0). Тогда
ΗΌ(ζ О у) = f(x)g(y)bc = u0(x)v0(y) = (щ · v0)(x <g> у),

284 ГЛ. 11. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ТЕНЗОРНОМУ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
т. е. Wo — йо · ^о· Отсюда, переходя от элементарных тензоров к их
суммам и используя билинейность операций «0» и «·», мы получаем,
— ~ ~#*(g)F*
что для W := и Θ ν выполнено W — V. Поскольку оператор DE F
заведомо инъективен (это следует хотя бы из равенства (7.1.8) вкупе
с тем фактом, что || · ||а — норма), мы получаем, что V — и Θ ν. Отсюда
||V||h < IM|d|M|d = ||й||сь||^||сь = ||V||Cb,
и желаемая оценка получена.
Теперь пусть F произвольно. Снова возьмем любой V G Т(Е* ® F*);
η h
пусть он имеет вид ^ Q>k(fk ® 9к)- Рассмотрим квантовое подпростран-
fe=l
ство Fo := {у £ F: д\(у) = ... = дп(у) = 0} в F (оно, очевидно,
замкнуто) и квантовое факторпространство F\ := F/Fo; последнее, разумеется,
конечномерно. Рассмотрим, применительно к введенным Fo и F\,
отображения, участвующие в формуле (11.3.1).
η
Очевидно, V = (1 Θ г)00(У/) для V := Ε ΜΛ ® д'к) G Г(Е* 0 F*),
k=l h
где д'к: F\ —> С корректно определен правилом grk(y + Fq) := дк(у)-
Поэтому из формулы (11.3.1) следует, что
ЦУЦа = sup{||JD£;,Fl((l ® r)oo(i7), Oil :UeT(E® F), \\U\\h < 1}.
Но г, в силу определения квантовой нормы в факторпространстве
jFi, — вполне коизометрический оператор; следовательно, в силу
проективного свойства хаагерупова квантового тензорного произведения
(предложение 6.5.5), таков же и 1 (8) г. Это означает, что множество
{(1 (8) т)оо(?7): С/ £ ^*(F (8) F), ||С/||ь < 1} — открытый единичный шар
в TF\. А отсюда, в свою очередь, следует равенство \\V\\d — ll^'lld?
где через || · ||^ обозначена квантовая норма в F* ® F*, порожденная
двойственностью De,Fx- Но, поскольку dimFi < оо, мы уже знаем, что
IIV*На = ll^'llh- А теперь вспомним, что хаагерупово квантовое
тензорное произведение обладает инъективным свойством (теорема 6.5.8),
которое обеспечивает равенство Ц^'Ць = Ц^Ць- Дальше ясно.
Перейдем к утверждению (i). Возьмем любой U G Т{Е ® F). Тогда
h
формула (11.3.2), с учетом того, что Δ — унитарный оператор, дает
равенство
\\U\\d = sup{||CDe.>f.)w(V, (iE 0 iF)00(/7))|| :VeF{E® F), \\V\\h < 1}.
Поэтому уже доказанное утверждение (ii), с Ε* и F* в роли
соответственно Ε и F, обеспечивает то, что \\U\\d есть хаагерупова кванто-

§ 11.3. САМОДУАЛЬНОСТЬ ТЕНЗОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 285
вая норма элемента {гε Θ ^f)oo(C^) £ F(E** 0 F**). Но %e и ip
согласно теореме 9.2.4 — вполне изометрические операторы. Отсюда, еще
раз использовав инъективное свойство хаагерупова тензорного
произведения, мы получаем, что \\{ie ® ^)оо(^0||ь = ||^||h? и? стало быть,
\\u\U = \\u\\h. >
Замечание 11.3.3. Напомним о весьма интересовавшем нас в свое время опе-
h _
раторе (Kcc)r (g) Яс —> λί(Κ, Я): η (g) ξ \-^ ξ О ту, фигурировавшем в следствии 6.4.8.
В предложении 9.2.7 было показано, что такой оператор является вполне
изометрическим изоморфизмом относительно стандартной квантовой нормы в Λί(Κ,Η),
и, таким образом, он доставляет отождествление обоих квантовых пространств.
Оказывается, свойство самодуальности хаагерупова тензорного произведения позволяет
быстро доказать это утверждение другим способом.
Обозначим упомянутый оператор через /. Отождествления квантовых про-
h
странств К* = (Ксс)г, (Ясс)* = Яс и Кс ® (Ясс)г = /С(Я, К), обеспеченные
предложением 7.3.4 и следствием 6.4.4, доставляют коммутативную диаграмму
(ксс)г έ яс —^ лг(к, я)
Υ Υ
к* ® (ясс)* —7-+ (кс <| (ясс)г)*,
в которой J переводит элементарный тензор д (g) / в функционал η (g) ξ ι—>► 3(77)/(Oj
а вертикальные стрелки изображают вполне изометрические изоморфизмы (тот, что
справа, сопоставляет оператору α функционал η (g) ξ \-^ (αη,ξ)). Применяя
теорему 11.3.2(H), мы видим, что J есть бипродолжение вполне изометрического
оператора, а именно Ιρ ρ с Ε := К* (g) (Ясс)*, F := К* (g) (Ясс)*, и, таким образом, сам
h h
J является вполне изометрическим. Но тогда, вследствие коммутативности нашей
диаграммы, тем же свойством обладает и /. Дальше ясно.

ЛИТЕРАТУРА
[1] А 1 е χ a n d г о ν А. В., Ρ е 11 е г V. Hankel operators and similarity to
a contraction // Internat. Math. Res. Notices. — 1996. — P. 263-275.
[2] Anantharama n-D elaroche C, Pop C. Relative tensor products
and infinite C*-algebras // J. Operator Theory. — 2002. — V. 47. — P. 389-
412.
[3] Aristov O. Yu. On the definition of a flat operator module //
Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar / Helemskii A. Ya.
ed. — Huntington, N. Y.: Nova Science Publishers, 2000. — P. 29-38.
[4] Aristov O. Yu. Biprojective algebras and operator spaces // Journal of
Math. Sciences. — 2002. — V. Ill, No. 2. — P. 3339-3386.
[5] Arveson W. Subalgebras of C*-algebras // Acta Math. — 1969. —
V. 123. - P. 141-224.
[6] Avitsour D. Free products of C*-algebras // Trans. Amer. Math.
Soc. 1982. — V. 271. — P. 423-436.
[7] В 1 а с к a d a r B. Operator algebras: Theory of C*-algebras and von
Neumann algebras. — Berlin: Springer-Verlag, 2006.
[8] В 1 e с h e r D. The standard dual of an operator space // Pacific J. Math. —
1992. - V. 153. - P. 15-30.
[9] В 1 e с h e r D. Tensor products of operator algebras II // Canad. J. Math. —
1992. — V. 44. — P. 75-90.
[10] Blecher D. A completely bounded characterization of operator
algebras // Math. Ann. — 1995. — V. 303. — P. 227-240.
[11] Blecher D. P. Some general theory of operator algebras and their
modules // Operator Algebras and Applications / Katavolos A. ed. —
Dordrecht: Kluwer, 1997. — P. 113-144.
[12] Blecher D. P., Le Merdy C. On quotients of function algebras and
operator algebra structures on lp // J. Operator Theory. — 1995. — V. 34. —
P. 315-346.

ЛИТЕРАТУРА 287
[13] Blecher D. P., Le Merdy С. Operator algebras and their modules. —
Oxford: Clarendon Press, 2004.
[14] Blecher D. P., Paulsen V. I. Tensor products of operator spaces //
J. Funct. Anal. — 1991. — V. 99, No. 2. — P. 262-292.
[15] Blecher D., R u a n Ζ.-J., Sinclair A. A characterization of operator
algebras // J. Funct. Anal. — 1990. — V. 89. — P. 188-201.
[16] Bonsall F. F., Duncan J. Complete normed algebras. — Berlin:
Springer-Verlag, 1972.
[17] С a r η e Т. С Not all i/'-algebras are operator algebras // Math. proc.
camb. phil. Soc. — 1979. - V. 86, № 243. - P. 243-249.
[18] Choi M.-D., Ε f f г о s E. G. Injectivity and operator spaces // J. Func.
Anal. - 1977. - V. 24. - P. 156-209.
[19] Christensen E., Effros E. G., Sinclair A. M. Completely
bounded multilinear maps and C*-algebraic cohomology // Invent. Math. —
1987. - V. 90. - P. 279-296.
[20] Christensen E., Sinclair A. M. Representations of completely
bounded multilinear operators // J. Func. Anal. — 1987. — V. 72. — P. 151—
181.
[21] Christensen E., Sinclair A. M. A survey of completely bounded
operators // Bull. London Math. Soc. — 1989. — V. 21. — P. 417-448.
[22] Christensen E., Sinclair A. M. On the Hohschild cohomology for
von Neumann algebras. — Preprint.
[23] Cigler J., Losert V., Michor P. Banach modules and functors on
categories of Banach spaces. — New York: Marcel Dekker, 1979.
[24] С ο η η e s A. Noncommutative geometry. — London: Academic Press, 1990.
[25] Conway J. B. A course in functional analysis. — Berlin: Springer-Verlag,
1985.
[26] Dales H. G. Banach Algebras and Automatic continuity. — Oxford:
Clarendon Press, 2000.
[27] Davidson K. R. Polynomially bounded operators, a survey // Operator
algebras and applications / Katavolos A. ed. — Dordrecht: Kluwer, 1997. —
P. 145-162.
[28] Davidson K. R., Paulsen V. I. On polynomially bounded
operators // J. fur die reine und angewandte Math. — 1997. — V. 487. —
P. 153-170.

288 ЛИТЕРАТУРА
[29] De Canniere J., Haagerup U. Multipliers of Furier algebras of
some simple Lie groups and their discrete subgroups // Amer. J. Math. —
1985. - V. 107. - P. 455-500.
[30] Defant Α., Floret K. Tensor Norms and Operator Ideals. —
Amsterdam: North-Holland, 1993.
[31] Dixon P. G. A characterization of closed subalgebras of B{H) // Proc.
Edinburgh Math. Soc. 1976-77. - V. 20. - P. 215-217.
[32] Dor an R. S, Belfi V. A. Characterizations of C*-algebras. The
Gelfand-Naimark Theorems. — New York: Marcel Dekker, 1986.
[33] Effros E. G. Advances in quantized functional analysis // Proc. ICM
Berkeley, 1986. - Providence, RI: AMS, 1987. - V. 1, 2. - P. 906-916.
[34] Effros E. G. Why the circle is not connected: an introduction to
quantized topology // Math. Intellegencer. — 1989. — V. 11. — P. 27-34.
[35] Effros E. G., Junge M., Ruan Z.-J. Integral mappings and the
principle of local reflexivity for non-commutative i^-spaces // Ann. Math. —
2000. — V. 151. — P. 59-92.
[36] Effros E. G., Kishimoto A. Module maps and Hochschild- Johnson
cohomology // Indiana Univ. Math. J. — 1987. — V. 36. — P. 257-276.
[37] Effros E.G., Ozawa N, Ruan Z.-J. On injectivity and nuclearity
for operator spaces // Duke Math. J. — 2001. — V. 110. — P. 489-521.
[38] Effros E. G., Ruan Z.-J. Representations of operator bimodules and
their applications // J. Operator Theory. — 1988. — V. 19. — P. 137-157.
[39] Effros E. G., Ruan Z.-J. On approximation properties for operator
spaces // International J. Math. — 1990. — V. 1. — P. 163-187.
[40] Effros E. G., Ruan Z.-J. A new approach to operator spaces // Canad.
Math. Bull. — 1991. — V. 34. — P. 329-337.
[41] Effros E. G., Ruan Z.-J. Self duality for the Haagerup tensor product
and Hubert space factorization // J. Fuct. Anal. — 1991. — V. 100. —
P. 257-284.
[42] Effros E. G., Ruan Z.-J. On the abstract characterization of operator
spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 119. — P. 579-584.
[43] Effros E. G., Ruan Z.-J. Mapping spaces and liftings for operator
spaces // Proc. London Math. Soc. — 1994. — V. 69. — P. 171-197.

ЛИТЕРАТУРА
289
[44] Effros E. G., Ruan Z.-J. The Grotendieck-Pietsch and Dvoretzky-
Rogers theorems for operator spaces // J. Funct. Anal. — 1994. — V. 122. —
P. 428-450.
[45] Effros E. G., Ruan Z.-J. On the analogues of integral mapping and
local reflexivity for operator spaces // Indiana Univ. Math. J. — 1997. —
V. 46. - P. 1289-1310.
[46] Effros E. G., Ruan Z.-J. Operator spaces. — Oxford: Clarendon Press,
2000.
[47] Ε nock M., Schwartz J.-M. Kac Algebras and Duality of Locally
Compact Groups. — Berlin: Springer-Verlag, 1992.
[48] Ε у m a r d P. L'algebre de Fourier d'un group localement compact // Bull.
Soc. Math. France. — 1964. — V. 92. — P. 181-236.
[49] Faith C. Algebra: Rings, modules, and categories I. — Berlin: Springer-
Verlag, 1981. [Русский перевод: Фейс К. Алгебра: кольца, модули и
категории I. — М.: Мир, 1977.]
[50] Fillmore P. A. A user's guide to operator algebras. — New York: John
Wiley & Sons, 1996.
[51] G e Г f a n d Ι. Μ, Ν a i m a r k M. A. On the embedding of normed rings
into the ring of operators in Hilbert space // Mat. Sb. — 1943. — V. 12. —
P. 197-213.
[52] Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces
nucleaires. — Mem. Amer. Math. Soc, 1955. — № 16.
[53] Haagerup U. Decomposition of completely bounded maps on operator
algebras. — Unpublished notes, 1980.
[54] Haagerup U. Injectivity and decomposition of completely bounded
maps // Operator Algebras and Their Connections with Topology and
Ergodic Theory / Araki H., Moore C. C., Stratila S., Voiculescu D., eds. —
Springer-Verlag, 1985. - P. 170-222.
[55] Η e 1 e m s k i i A. Ya. A description of spatially projective von Neumann
algebras // J. Operator Theory. — 1994. — V. 32. — P. 381-398.
[56] Η e 1 e m s k i i A. Ya. Homology for the algebras of analysis // Handbook of
algebra, V. 2 / Hazewinkel M. ed. — Amsterdam: North-Holland, 2000. —
P. 151-274.

290
ЛИТЕРАТУРА
[57] Η е 1 е m s к i i A. Ya. Wedderburn-type theorems for operator algebras
and modules: traditional and «quantized» homological approaches //
Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar / Helemskii A. Ya.
ed. — Huntington, N. Y.: Nova Science Publishers, 2000. — P. 57-92.
[58] Helemskii A. Ya. Some aspects of topological homology since 1995:
a survey // Banach Algebras and Their Applications / Lau A. T.-M.,
Runde V., eds. — Providence: AMS Publishers, 2004. — P. 145-179.
[59] Helemskii A. Ya. Tensor products in quantum functional analysis: non-
matricial approach // Topological Algebras and Applications / Mallios Α.,
Haralampidou M., eds. — Providence: AMS Publishers, 2007. — P. 199-224.
[60] Helemskii A. Ya. Extreme flatness of normed modules and Arveson-
Wittstock type theorems // J. Operator Theory. — To appear.
[61] Johnson B. E. Cohomology in Banach algebras // Mem. Amer. Math.
Soc. - 1972. - V. 127.
[62] Johnson В. Е. Non-amenability of the Fourier algebra of a compact
group // J. London Math. Soc. - 1994. - V. 250. - P. 361-374.
[63] К a d i s ο η R. V. Operator algebras — an overview // The Legacy of John
von Neumann / Glimm J., Impagliazzo J., Singer I., eds. — Providence:
AMS, 1990. - P. 61-90, 361-374.
[64] К a d i s ο η R. V. Notes on the Gelfand-Naimark theorem // C*-algebras:
1943-1993. A fifty year celebration / Doran R. ed. — Providence: AMS,
1994. — P. 20-53.
[65] Kadi so η R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the Theory of
Operator Algebras. Vol. I: Elementary Theory. — London: Academic Press,
1983.
[66] Kadi so η R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the Theory of
Operator Algebras. Vol. II: Advanced Theory. — London: Academic Press,
1986.
[67] К a i j s e r D., Sinclair A. M. Projective tensor products of C*-
algebras // Math. Scand. - 1984. - V. 55. - P. 161-187.
[68] Kustermans J., Vaes S. Locally compact quantum groups // Ann.
Scient. Ec. Norm. Sup. 4e serie. — 2000. — V. 33. — P. 837-934.
[69] Kustermans J., Vaes S. The operator algebra approach to quantum
groups // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 2000. - V. 97, № 2. - P. 547-552.

ЛИТЕРАТУРА 291
[70] Lambert A. Homogene hilbertsche Operatorraume und ihre vollstandig
beschrankten Abbildungen. Diplomarbeit. — Universitat des Saarlandes,
1997.
[71] Lambert A. Operatorfolgenraume. Eine Kategorie auf dem Weg von
dem Banachramen zu den Operatorraumen. Ph. D. Thesis. — Universitat
des Saarlandes, 2002.
[72] Le MerdyC. On the duality of operator spaces // Canad. Math. Bull. —
1995. — V. 38, № 3. - P. 334-346.
[73] Lindenstrauss J., Rosental H. P. The £p-spaces // Israel Math.
J. - 1969. - V. 7. - P. 325-349.
[74] Magajna B. The minimal operator module of a Banach module // Proc.
Edinburgh Math. Soc. (2). — 1999. — V. 42, № 1. — P. 191-208.
[75] Masuda Т., Nakagami Y. A von Neumann algebra framework for
the duality of the quantum groups // Publ. RIMS, Kioto Univ. — 1994. —
V. 30. - P. 799-850.
[76] Maurey В., Pisier G. Espaces de Banach classique et quantique. —
Paris: Societe Mathematique de France, 1994.
[77] Muhly P. S., Na Q. Extension of completely bounded A-£>-bimodule
maps // Proc. Glasgow Math. J. — 1994. — V. 36, № 2. — P. 145-155.
[78] Murphy G. R. C*-Algebras and Operator Theory. — London: Academic
Press, 1990.
[79] Murrey F. J., Von Neumann J. On rings of operators // Ann. of
Math. — 1936. — V. 37. — P. 116-229.
[80] N g С. -К. From operator spaces to topological bimodules. — Preprint.
[81] Palmer T. V. Banach Algebras and the General Theory of C*-algebras I.
Algebras and Banach Algebras. — Cambridge: Cam. Univ. Press, 1994.
[82] Palmer T. V. Banach Algebras and the General Theory of C*-algebras II.
C*-Algebras. — Cambridge: Cam. Univ. Press, 2001.
[83] Paulsen V. I. Completely bounded maps on C*-algebras and invariant
operator ranges // Proc. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 86. — P. 91-96.
[84] Paulsen V. I. Every completely polynomially bounded is similar to
a contraction // J. of Funct. Anal. — 1984. — V. 55. — P. 1-17.
[85] Paulsen V. I. Completely bounded maps and dilations. — Longman,
1986. (Pitman Research Notes in Math. Ser.; V. 146).

292 ЛИТЕРАТУРА
[86
[87
[88
[89
[90
[91
[92
[93
[94
[95
[96
[97
[98
[99
Paulsen V. I. Representations of function algebras, abstract operator
spaces, and Banach space geometry // J. of Funct. Anal. — 1992. — V. 109,
№ 1. — P. 113-129.
Paulsen V. I. Relative Yoneda cohomology for operator spaces: an
overview // Operator Algebras and Applications / Katavolos A. ed. —
Dordrecht: Kluwer, 1997. — P. 389-402.
Paulsen V. I. Relative Yoneda cohomology for operator spaces // J. of
Funct. Anal. - 1998. - V. 157. - P. 358-393.
Paulsen V. I. Completely bounded maps and operator algebras. —
Cambridge: Cam. Univ. Press, 2002.
Paulsen V. I., Smith R. R. Multilinear maps and tensor norms on
operator systems // J. Funct. Anal. — 1987. — V. 73. — P. 258-276.
Paulsen V. I., Smith R. R. Diagonals in tensor products of operator
algebras // Proc. Edinb. Math. Soc. — 2002. — V. 45. — P. 647-652.
Pedersen G. K. C*-algebras and their automorphism groups. — London:
Academic Press, 1979.
Peters U. Duale operatorraume und der standard-pradual von
CBS(B(H)). Diplomarbeit. — Universitat des Saarlandes, 1997.
Pierce R. S. Associative algebras. — Berlin: Springer-Verlag, 1982.
Ρ i e t s с h A. History of Banach spaces and linear operators. — Basel:
Birkhauser-Verlag, 2007.
Ρ i s i e r J. Factorization of linear operators and geometry of Banach
spaces. — Washington, DC: Conf. Board Math. Sci., 1986. (CBMS Regional
Conference Series in Math.; V. 60).
Ρ i s i e r J. Completely bounded maps between sets of Banach space
operators // Indiana Univ. Math. J. — 1990. — V. 39. — P. 251-277.
Ρ i s i e r J. The operator Hubert space OH, complex interpolation and
tensor norms. — Mem. Amer. Math. Soc, 1996. — № 585.
Ρ i s i e r J. A polynomially bounded operator on Hilbert space which is
not similar to a contraction // J. Amer. Math. Soc. — 1997. — V. 10. —
P. 351-369.
[100] Ρ i s i e r J. Similarity problems and completely bounded maps. Second,
expanded edition. — Berlin, 2001.

ЛИТЕРАТУРА 293
[101] Ρ i s i e r J. Introduction to operator space theory. — Cambridge: Cam.
Univ. Press, 2003.
[102] Ρ i s i e r J. Operator spaces // Handbook of the Geometry of Banach Spaces
II / Johnson W. В., Lindenstrauss J., eds. — Amsterdam: North-Holland,
2003. — P. 1425-1458.
[103] Pop C. Bimodules normes representables sur des espaces hilbertiens //
Operator theoretical methods (Timi§oara, 1998). — Bucharest: Theta
Found., 2000. - P. 331-370.
[104] R u a n Ζ.-J. Subspaces of C*-algebras // J. Funct. Anal. — 1988. — V. 76. —
P. 217-230.
[105] Ruan Z.-J. The operator amenability of A(G) // Amer. J. Math. —
1995. - V. 117. - P. 1449-1474.
[106] Ruan Z.-J., Xu G. Splitting properties of operator bimodules and
operator amenability of Kac algebras // 16th ОТ Conference Proceedings. —
1997. — P. 193-216.
[107] R u η d e V. Lectures on Amenability. — Berlin: Springer-Verlag, 2002.
[108] Runde V., Spronk N. Operator amenability of Fourier-Stieltjes
algebras // Bull. Lond. Math. Soc. - 2007. - V. 39, № 2. - P. 194-202.
[109] Ryan R. A. Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. — Berlin:
Springer-Verlag, 2002.
[110] S akai S. C*-Algebras and VK*-Algebras. — Berlin: Springer-Verlag, 1971.
[Ill] SebestyenZ. Every C*-seminorm is automatically submultiplicative //
Period. Math. Hungar. — 1979. — V. 10. — P. 1-8.
[112] Segal I. E. C*-algebras and quantization // C*-algebras: 1943-1993. A
Fifty Year Celebration / Doran R. S. ed. — Providence: AMS, 1994. —
P. 67-98.
[113] S e 1 i ν a n ο ν Yu. V. Weak homological bidimension and its values in the
class of biflat Banach algebras // Extracta Mathematicae. — 1996. — V. 11,
Ж 2. — P. 348-365.
[114] Sinclair A. M., Smith R. R. Hohschild cohomology of von Neumann
algebras. — Cambridge: Cam. Univ. Press, 1995.
[115] S m i t h R. R. Completely bounded maps between C*-algebras // J. London
Math. Soc. - 1983. - V. 2. - P. 157-166.

294 ЛИТЕРАТУРА
[116] Stinespring W. Positive functions on C*-algebras // Proc. Amer.
Math. Soc. - 1955. - V. 6. - P. 211-216.
[117] Sue η С.-Υ. Completely bounded maps on C*-algebras // Proc. Amer.
Math. Soc. - 1985. - V. 93. - P. 81-87.
[118] Та к e s а к i M. Theory of operator algebras I. — Berlin: Springer-Verlag,
1979.
[119] Tomiyama J. On the transpose map of matrix algebras // Proc. Amer.
Math. Soc. - 1983. - V. 88. - P. 635-638.
[120] Varopoulos N. Th. A theorem on operator algebras // Math. Scand. —
1975. - V. 37. - P. 173-182.
[121] Voiculescu D., D у ke m a K., N i с a A. Free Random Variables. —
Providence, RI: AMS, 1992. (CRM Monograph Ser.; V. 1).
[122] Wittstock G. Ein operatorvertiger Hahn-Banachn Satz // J. Funct.
Anal. — 1981. — V. 40. — P. 127-150.
[123] Wittstock G. Extensions of completely bounded C*-module homo-
morphisms // Operator algebras and group representations. V. II (Neptun,
1980). — Boston: Pitman, 1984. — P. 238-250.
[124] Wittstock G. On matrix order and convexity // Functional analysis:
Surveys and Recent Results. Math. Studies, V. 90. — Amsterdam: North
Holland, 1984. — P. 175-188.
[125] Webster C. Matrix compact sets and operator approximation
properties. — Preprint arXiv:math.FA/9804093.
[126] We g g e-0 1 s e η Ν. Ε. X-theory and C*-algebras. — Oxford: Oxford Univ.
Press, 1993.
[127] Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. — Cambridge: Cam. Univ.
Press, 1991.
[128] Wood P. J. The operator biprojectivity of the Fourier algebra // Canad.
J. Math. — 2002. — V. 54. — P. 1100-1120.
[129] Woronowicz S. L. Twisted SU(2) group. An example of a non-
commutative differential calculus // Publ. RIMS, Kioto Univ. — 1987. —
V. 23. - P. 117-181.
[130] Волосова Η. В. Теорема о глобальной размерности для
квантованных банаховых алгебр // Сб. Трудов ММО, в печати.

ЛИТЕРАТУРА
295
[131] Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и
топологических алгебрах. — М.: Изд-во МГУ, 1986. [Английский перевод:
Η е 1 е m s k i i A. Ya. The Homology of Banach and Topological
Algebras. — Dordrecht: Kluwer, 1989.]
[132] Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры:
общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989. [Английский
перевод: Η е 1 е m s k i i A. Ya. Banach and locally convex algebras. —
Oxford: Clarendon Press, 1993.]
[133] Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — Μ.: МЦ-
НМО, 2004. [Английский перевод: Helemskii A. Ya. Lectures and
exercises on functional analysis. — Providence, RI: AMS, 2005.]
[134] Хелемский А. Я. Квантовые версии векторной двойственности и
экспоненциального закона в рамках безматричного подхода // Матем.
сб. - 2006. - Т. 197, № 12. - С. 133-156.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
αχ 21, 40
α<>6 37
aOu 40
α° 43
Ban 31
Βανι 31
ΒΕ 30
Β*Ε 30
*Ι 84
ΒΕΧ 88
β 21, 37
Β{Ε) 30
#Ce,f) 30
B(F χ F, G) 30
Я(Х,У) 120
СВ(Е) 81
CB(E,F) 81
CB(F, С) 209
ΟΒ(Ε,Ί) 213
СВ(?,Е) 213
СВ(НС,КС) 91,209
СВ(НГ,КГ) 91,212,252
СТ{Е,Т) 88, 181
£> 178
£>я 178
Ub.f 202
Ρ 177
Dy 177
/рх 177
PF 180
'£>в 181
Ρυ 181
'Χ>ω 181
Fcc 29, 79
Ε* 30, 183
Ε** ]
L84
FH 29
F(g>F
F<g>F
Er max
-^max
^min
Ei®..
Ρ
Fi §..
Ρ
Fi <g>..
Fi <g>..
i
Fi<g..
F(g>?
P
F<g>?
F(g)F
h
F(g>F
sp
sp
F(g>?
h
F<g>?
F(g?
sp
46
46
71, 247
71, 247
70
• <S>Fn
Ρ
.<g>Fn
i
.<g>Fn
118
118
128
128
146
146
161
161
161
EL 163
£ 208, 264
Τ 21
^(F)
,37
30
115
115
115
117
117

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Тр 40
ТрЕ 40
T(E,F) 30
Ts{H,K) 34
Тлг(Н,К) 117
Т\ТЕ\ 42
? <g> F 161
h
?§F 161
hA(X,Y) 120
аЛ(А",У) 120
аЛл(Х,^) 120
/С 37
/C(£,F) 30
(IsRI) 226
(IsRII) 226
L 21, 37
Ltg># 23
Li(M,/i) 71,249
£(£) 29
£(F,F) 29
LP 40
LCCF 163
Μ(Ω) 71, 247
ms'T 25, 48, 91
Nor 31
Nori 31
λί(Η,Κ) 33
Pr 40
QBan 101
QBanx 101
QNor 22, 82
QNorx 22, 82
QH 200
QC) 185
(RI) 22, 62, 66
(RII) 22, 62, 67
(RII') 62
UF 30, 206
'TlE 30
π^ 30,206
'Пх 30
π3 45
1ZW 45
ЦтгЦвсь 108
117^ 11 Wcb 108
№ 123
SQ 95
SQi 95
5 · X ■ Τ 38
S(H,K) 33
u* 43
w* 43
u<)a 40
u 0 υ 137
« 71, 247
ax 71, 247
|min <U
117
115
198
WB(ExF,G) 215
ж 30
X®Y 121
A-A
122
122
122
у 122
A
A-A
α® β 222
A
α <g> /5 222
A-A
t 37
χ 37
xe 42
kE 47
£θ?7 35
£♦^7 37
ρ 43
г? 112, 125, 172
■&s 125, 172
tfw 137

298
ОБОЗНАЧЕНИЯ
tfh 128
tf4 142
ψ* 33, 185, 261
ψοο
φκ.
φ ® Φ
IMIcb
φι ® .
Ρ
φι ® ·
<£ι Θ .
φι ® ·
Ρ
<£ι Θ ·
<£ Θ ф
φ® ф
φ® ф
h
h
φ® ф
Фос
1 2ί
1#
Ο 3
(ο)
(θ£?)
(он)
(*£?)
22, 44
164
47
22, 80
• · ё φη
Ρ
• · Θ φη
i
• · ®ψη
Ρ
• · <8> <^η
159
159
160
160
164
), 37
29
5
43
43
196
43
118
118
118
118
118
♦
<8>
Θ
Θ
<έ>
ν
Δ
й
Θ
Θ
37, 40, 137
138
33
29
33
159
118, 159
37
37
38
125
в 130
/00 145
D
1
2
(·,
{·
((·
{{
||h 126
|Ц 138
lisp 144
jjc 190
||r 190
Ε 66
39
39
■)н 32
·} 32
, ·} 196
, ·)) 189
·, ·}} 196

предметный указатель
С*-алгебра 20, 24, 50
С*-норма 52
С*-тождество 52
ER-инъективный бимодуль 231
ER-плоский бимодуль 229
ESR-инъективный модуль 231
ΕSR-плоский модуль 229
аксиомы Руана 22, 62
ассоциативность квантовых
тензорных произведений 167
— тензорного произведения 47,
167
банахово инъективное тензорное
произведение (классическое)
117
— квантовое пространство 101
— операторно-проективное
тензорное произведение 136
— хаагерупово тензорное
произведение 124
бимодуль 38
бимодульное тензорное
произведение 121
бимодульный морфизм 38
биограничение отображения 29
биоператор 29
— означивания 208
бипродолжение отображения 29
бифункционал 29
бубновое умножение 36, 40, 137
векторная двойственность 30, 205
векторный функционал 33
вполне изометрический
изоморфизм 23
оператор 80
справа биоператор 206
— изометрический изоморфизм 80
— коизометрический оператор 80
— ограниченная норма 22, 80
— ограниченный оператор 22, 80
— положительный оператор
между инволютивными
алгебрами 255
— сжимающий оператор 22, 80
— топологический изоморфизм
23, 80
вторая аксиома Руана 22, 62
гильбертиан 75
— Пизье 200
гильбертова сумма семейства
операторов 35
гильбертово пространство,
порожденное предскалярным
произведением 33, 242, 257
ГНС-конструкция 53
ГНС-теорема 54
двойного умножения оператор 25
— умножения оператор 48
двойственность 177
достаточное семейство
функционалов 30
достижимое квантовое
пространство 24, 92, 246
закон сопряженной
ассоциативности (квантовый)
216
(классический) 116
для модулей 223

300
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
изометрическая двойственность
178
изометрически эквивалентные
операторы 31
изометрический бифункционал
178
— оператор 31, 34
— слева бифункционал 178
— справа бифункционал 178
изометрическое вложение 31
изоморфизм Рисса 32, 191
инициальный проектор 34
инъективное свойство (квантовое)
163
(классическое) 119
каноническая двойственность 178,
183
канонический п-линейный
оператор 115
— биоператор 112, 125
каноническое вложение 183, 248
квантование
(пред) нормированного
пространства 67
— Пизье 200
квантование, индуцированное
вложением 70
квантование, порожденное
векторной двойственностью 207
квантование, порожденное
двойственностью 180
квантовая кросснорма 143, 248
— норма 8, 22, 67
Пизье 200
— норма, индуцированная
вложением 74
— норма, порожденная
двойственностью 180
— норма, порожденное векторной
двойственностью 207
— субкросснорма 143, 148
квантовое второе сопряженное
пространство 184
— неравенство
Коши-Буняковского 197
— подпространство 68
— предсопряженное пространство
183
— пространство 8, 22, 67
Пизье 199
— пространство, индуцированное
вложением 74
— пространство, порожденное
векторной двойственностью 207
— пространство, порож:денное
двойственностью 180
— скалярное произведение 196
— сопряженное пространство 183
— факторпространство 138
квантовый функтор звездочки 185
коизометрический оператор 31, 34
коммутативная теорема
Гельфанда-Наймарка 53
коммутативность тензорного
произведения 47, 119, 174
комплексно-сопряженная
квантовая норма 79
комплексно-сопряженное
квантовое пространство 79
комплексно-сопряженное
линейное пространство 29
комплексно-сопряженным модуль
225
конгруентный элемент 39
конкретная квантовая норма 74
конкретное квантование
операторного пространства 74
— квантовое пространство 23, 74
коограничение отображения 29
копродолжение отображения 29
криптомаксимальное квантование
71, 247
кросснорма квантовая 143, 248
— классическая 55, 68, 117
левый носитель модуля 38
— полуруанов модуль 226
— сжимающий Л-модуль 120
линеаризация биоператора 124

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
301
— полилинейного оператора 114
линейная изометрическая
инволюция 43
максимальная квантовая норма
70
максимальное квантование 71
— квантовое пространство 247
— квантовое пространство 71
минимальная квантовая норма 70
минимальное квантование 70
— квантовое пространство 70
модификация оператора 259
модуль 38
модульное тензорное
произведение 121
модульный морфизм 38
морфизм 38
невырожденный слева
бифункционал 177
— справа бифункционал 177
непополненное инъективное
тензорное произведение
(классическое) 117
— квантовое пространственное
тензорное произведение 146
— операторно-проективное
тензорное произведение 136
— операторно-проективное
тензорное произведение
операторов 161
— проективное тензорное
произведение (классическое)
114
— хаагерупово тензорное
произведение 124
непрерывное бипродолжение 104
— продолжение 104
нормированное инъективное
тензорное произведение
(классическое) 117
— квантовое пространство 67
— операторно-проективное
тензорное произведение 136
— проективное тензорное
произведение (классическое)
114
нормированный модуль 38
— руанов бимодуль 63
носитель бимодуля 38
общая (или некоммутативная)
теорема Гельфанда-Наймарка
53
оператор рокировки 97
оператор, ассоциированный с
биоператором 124
оператор, ассоциированный с
полилинейным оператором 114
оператор, ассоциированный со
сбалансированным
биоператором 121
операторная алгебра 33
— выпуклость 64
— система 260
операторно-проективная норма
139
операторно-проективное
η-кратное тензорное
произведение 168
операторно-проективное
тензорное произведение 136
операторное пространство 33
осуществляющий оператор 32
первая аксиома Руана 22, 62
повторное квантование 94
— размножение 42
подлежащее (пред)нормированное
пространство 66
положительный оператор между
инволютивными алгебрами 254
— элемент 51
по л у руанов модуль 225
пополнение квантового
пространства 103
пополненное инъективное
тензорное произведение
(классическое) 117

302
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— квантовое пространственное
тензорное произведение
операторов 161
— квантовое пространство 103
— операторно-проективное
тензорное произведение 136
— хаагерупово тензорное
произведение 124
произведение операторов
160
правый носитель модуля 38
— полуруанов модуль 226
— сжимающий Л-модуль 120
преднормированный бимодуль 38
— руанов бимодуль 63
предскалярное произведение 36
представление 53
прием (трюк) Полсена 263
проблема подобия Халмоша 15
проективное свойство (квантовое)
162
(классическое) 118
противоположный биоператор 46,
108
протоквантовая норма 66
— преднорма 66
протоквантовое нормированное
пространство 66
— преднормированное
пространство 66
раздельно ограниченный слева
бифункционал 178
справа бифункционал 178
размножающий оператор 42, 47
размножение биоператора 45
— оператора 22, 44
— пространства 7, 21, 39
самодуальная квантовая норма
200
самодуальное квантование 200
самодуальность хаагерупова
тензорного произведения 204
самодуальный гильбертиан 200
самосопряженный оператор в
контексте операторных систем
261
сбалансированный биоператор 121
свойство универсальности
(би)модульного тензорного
произведения 121
относительно класса 3ft 123
— универсальности пополнения
102
— универсальности проективного
тензорного произведения 114
сжимающая нормированная
алгебра 120
сжимающий Л-бимодуль 120
сильно вполне ограниченная
норма 107
ограниченный биоператор
107
сжимающий п-линейный
оператор 168
биоператор 108
сильное размножение
биоператора 45
символ Эффроса 125
скалярная двойственность 177
слабо вполне ограниченная норма
107
ограниченный п-линейный
оператор 168
сжимающий п-линейный
оператор 168
сжимающий биоператор 108
— вполне ограниченный
биоператор 107
— изометрически эквивалентные
операторы 32
слабое размножение биоператора
45
слабый принцип локальной
рефлексивности 188
следствие ГНС-теоремы 54
сложная ассоциативность 222
сопряженный Л-(би)модуль 120

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
303
— оператор 32, 185
стандартная квантовая норма в
λί(Κ,Η) 192
стандартное квантование
С*-алгебры 73
— квантование пространства
CB(E,G) 209
— квантование функционального
пространства 72
столбцовый гильбертиан 75
строго коизометрический
оператор 31
строчечный гильбертиан 75
тензорное произведение
бифункционалов 202
теорема Блечера 10
— Блечера-Руана-Синклера 10
— Гельфанда-Наймарка 24, 53
— де Каньера-Хаагерупа 9, 99
— продолжения
Арвесона-Виттстока 25, 236
для вполне положительных
операторов 263
— разложения
Стайнспринга-Полсена 26, 268
— реализации Руана 12, 246
— реализации-факторизации-
продолжения
26
— Руана об аменабельности 12
— Стайнспринга 256
— существования для
операторно-проективного
тензорного произведения 143
хаагерупова тензорного
произведения 129
для η-кратного тензорного
произведения 169
— Эффроса-Руана 11
теоремы типа
Арвесона-Виттстока 232, 235
финальный проектор 34
функтор вполне ограниченных
операторов 213
— левого непополненного
квантового пространственного
тензорного произведения 161
хаагерупова тензорного
произведения 161
пополненного
операторно-проективного
тензорного произведения 161
— повторного квантования 95
— правого пополненного
квантового пространственного
тензорного произведения 161
— правого непополненного
хаагерупова тензорного
произведения 161
хаагерупова норма 127
хаагерупово η-кратное тензорное
произведение 168
— тензорное произведение 124
экспоненциальный закон
(квантовый) 215
(классический) 116
экстремально инъективный
бимодуль 231
модуль 230
— плоский бимодуль 229
модуль 229