г
*
Ю. А. ДРОЗД, В. В. КИРИЧЕНКО „.-
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ
АЛГЕБРЫ
1У' ' Допущено <mi!A
Министерством высшего и среднего •'¦' • ' чщ
,. , специального образования УССР 4"''
в качестве учебного пособия для студентов '¦•••
механико-математических факультетов ¦/
.-, университетов '
¦ -. л'
КИЕВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ КИЕВСКОМ
ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
ii ., ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ «ВИЩА ШКОЛА» ,,,,,;
, , , I960

УДК 519.48
a
Конечномерные алгебры. Дрозд 10. А.. КириченкоВ В. Киев, из-
издательское объединение «Вища школа», 1980, 192 с.
В учебном пособии наряду с классическими вопросами (теория полупро-
полупростых алгебр, радикал, центральные простые алгебры, теория Галуа, сепара-
бельиые алгебры, представления групп) рассмотрены основы современной
теории неполупростых алгебр (проективные модули, теорема Мориты, тен-
тензорные алгебры) н их применение к изучению квазифробениусовых одноряд-
однорядных и обобщенно однорядных алгебр.
Пособие соответствует программе специального курса по теории алгебр
для студентов механнко-математических факультетов. Изложение опирается
только на стандартный курс алгебры.
Для студентов механико-математических факультетов университетов.
Может быть использовано аспирантами и научными работниками соответст-
соответствующих специальностей. Список лит.: 10 назв.
Печатается по постановлению Редакцнонно-издательского совета Киев-
Киевского государственного университета
Рецензенты: доктора физ.-мат. наук П. М. ГУДИВОК, А. В. ЯКОВЛЕВ
Редакция естественной литературы
Зав. редакцией Б. Н. Фляшников
202СЗ-076
——
М224@4)-80
111-80.1702030008
Издательское объединение
«Внща школа», 1980
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория конечномерных алгебр — один из самых старых разде-
разделов современной алгебры. Его возникновение связано прежде всего
с работами Гамильтона, открывшего знаменитое тело кватернио-
кватернионов, и Кэли, разработавшего теорию матриц. В дальнейшем строе-
строение конечномерных алгебр изучалось в работах целого ряда мате-
математиков, среди которых следует отметить Б. Пирса, К. С. Пирса,
Клиффорда, Вейерштрасса, Дедекинда, Жордана, Фробениуса.
В конце XIX в. Ф. Молин и Э. Картан описали полупростые алгебры
над полями комплексных и действительных чисел и сделали первые
шаги в изучении неполупростых алгебр.
Новый период в развитии теории конечномерных алгебр откры-
открывается работами Веддербёрна, которому принадлежат фундаменталь-
фундаментальные результаты этой теории: описание строения полупростых ал-
алгебр над произвольным полем, теорема о поднятии факторалгебры
по радикалу, теорема о коммутативности конечных тел и др. В ра-
работах алгебраистов немецкой школы, возглавляемой Э. Нётер,
Э. Артином, Р. Брауером, теория полупростых алгебр обрела сов-
современную форму, и большинство ее результатов было перенесено
на кольца с условием минимальности (артиновы кольца). Кроме то-
того, в этих работах была выявлена ведущая роль понятия модуля
(или представления).
Дальнейшее развитие теории пошло в основном в двух направле-
направлениях. Первое из них привело к созданию теории бесконечномерных
алгебр (и колец без условий обрыва); полученные здесь результаты
отражены в монографии Н. Джекобсона «Строение колец». Второе
направление — изучение строения неполупростых алгебр — столк-
столкнулось со значительными трудностями, большинство из которых
не преодолено до сих пор. Поэтому здесь важное место занимают
работы, связанные с выделением и описанием «естественных» клас-
классов алгебр. Это направление ведет свое начало от исследований Кёте,
Асано, Накаямы по алгебрам главных идеалов и их обобщениям.
На протяжении всей своей истории теория конечномерных алгебр
была тесно связана с различными разделами математики, черпая
из них новые идеи и методы и в свою очередь оказывая существен-
существенное влияние на их развитие. На первых этапах наиболее глубокими
были контакты с линейной алгеброй, теорией групп и их представ-
представлений, теорией Галуа. В последнее время, в особенности в связи с
изучением неполупростых алгебр, важную роль начали играть ме-
методы гомологической алгебры, теории категорий, алгебраической
геометрии. , , , .

Настоящая книга задумана как современный учебник по теории
конечномерных алгебр. Основным инструментом исследования в ней
являются методы теории модулей (представлений), которые, на
наш взгляд, позволяют наиболее просто и ясно подойти как к
классическим, так и к новым результатам. Естественно, мы не
могли отразить в одинаковой степени все направления. Поэтому
главное место в книге занимает структурная теория, т. е. изучение
строения алгебр. В частности, почти не затронута общая теория
представлений алгебр, которая в настоящее время переживает мощ-
мощный подъем. Несомненно, специалисты заметят отсутствие и других
разделов, возникших в последние годы. Тем не менее, мы надеемся,
что эта книга даст возможность читателю изучить основные резуль-
результаты классической теории алгебр и получить достаточную подготов-
подготовку для знакомства с современными исследованиями.
Большая часть книги опирается на стандартную программу
курса высшей и линейной алгебры университетов и вполне доступна
студентам второго •— третьего курсов. В частности, мы не предпола-
предполагаем наличие у читателя предварительных сведений по теории колец
и модулей (более того, слово «кольцо» в книге почти не встречается).
Главы, посвященные представлениям групп и теории Галуа, ес-
естественно, требуют знакомства с элементами теории групп (напри-
(например, в объеме учебника А. И. Кострикина «Введение в алгебру»).
В конце каждой главы приводятся упражнения различной сложнос-
сложности, которые содержат примеры, способствующие усвоению матери-
материала, а также фрагменты теорий, не нашедших отображения в основ-
основном тексте. Мы очень рекомендуем читателю (в особенности начина-
начинающему) прорабатывать большинство упражнений уже при первом
чтении. Наиболее трудные из них сопровождаются довольно под-
подробными указаниями.
Содержание книги распадается на три части. Первую из них
составляют главы I—III, в которых содержатся основные понятия
теории алгебр, излагается классическая теория полупростых ал-
алгебр и радикала. Последние параграфы главы III, посвященные схе-
схемам алгебр, можно рассматривать как введение в современные ме-
методы исследования. Вторую часть — главы IV—VI — можно на-
назвать «тонкой теорией полупростых алгебр». Здесь на основе техники
тензорных произведений и бимодулей излагается теория централь-
центральных простых алгебр, элементы теории Галуа полей, понятие груп-
группы Брауэра и теории сепарабельных алгебр. Наконец, третья
часть — главы VIII—X — посвящена более современным резуль-
результатам: теореме Мориты об эквивалентности категорий модулей, те-
теории квазифробениусовых, однорядных, наследственных и обобщен-
обобщенно однорядных алгебр. Некоторые результаты этой части, по-види-
по-видимому, можно найти только в журнальных статьях. Несколько особ-
особняком стоит глава VII, в которой на основании развитой теории полу-
полупростых алгебр излагается теория представлений групп, вплоть
до теорем целочисленное™ и теоремы Бернсайда о разреши-
разрешимости групп порядка paqb.
Естественно, что мы нигде не стремились сформулировать и до-
доказать теоремы в максимальной общности. Более того, специфика
конечномерного случая использовалась всюду, где, по нашему мне-
мнению, это упрощало изложение. Искушенный читатель заметит, ко-
конечно, что многие результаты имеют место, например, для произ-
произвольных артиновых колец. Однако, как известно, очень часто такое
обобщение выполняется почти автоматически. В тех же случаях,
когда это не так, приходится привлекать достаточно сложные новые
соображения, которые, на наш взгляд, могли существенно затруд-
затруднить начинающему чтение книги.
Мы не приводим полного обзора литературы по теории конечно-
конечномерных алгебр, так как даже по вопросам, затронутым в книге, он
по объему был бы, вероятно, сравним с самой книгой. Назовем лишь
несколько учебников и монографий на русском языке, по которым
читатель может познакомиться с другими аспектами теории колец
и алгебр [1, 3—9]. С вопросами арифметики полупростых алгебр
можно познакомиться по книге [2] или по классическому учебнику
Дойринга [10], к сожалению, до сих пор не переведенному на рус-
русский язык.
Мы придерживаемся общепринятых обозначений. В частности,
символы Q, R, С обозначают, соответственно, поля рациональных,
действительных и комплексных чисел. Нумерация утверждений в
книге дается по параграфам. Например, «теорема IV. 6.5» означает
теорему с номером 6.5 (т. е. 5-ю в § 6) из гл. IV. Внутри главы IV
та же теорема нумеруется как теорема 6.5.
•: ¦• ¦ ¦ ,;т .1!!
к ¦
-A i
.\,.НГ.|
. -
и;. uM-.s.i
¦ !¦ 'Л

¦Я"
ГЛАВА
ВВЕДЕНИЕ"
1лгебр а над полем К, или /С-алгебра,—это
векторное пространство Л над этим полем, в ко-
котором задано билинейное ассоциативное умножение. Иными сло-
словами, любым двум элементам а и 6 из пространства Л, взятым в
определенном порядке, сопоставлен однозначно определенный
элемент из Л, который обычно называется их произведением и
обозначается ab, причем выполняются следующие аксиомы:
1) а ф -\- с) = ab + ас; :-»< '
;':^ 2) (b+c)a = ba + ca; ,^ ' ','!•;'•'.' н
.': ы\\- 3) (аа) b = a (ab) = a (ab); '-' "'. ' ,^
"'"" 4) (ab)c = a(bc), ' .'¦ '¦¦'
где а, Ь, с — произвольные элементы из Л, а — произвольный эле-
элемент (скаляр) поля К-
Алгебра А называется конечномерной или бесконечно-
бесконечномерной в зависимости от того, конечномерно или бесконечномер-
бесконечномерно пространство А. Мы в основном будем рассматривать
конечномерные алгебры, хотя в некоторых главах нам придется
иметь дело с бесконечномерными алгебрами.
Размерность векторного пространства А называется размер-
размерностью алгебры Ли обозначается [А : Ю-
Из билинейности умножения следует, что если в пространстве
Л выбран базис {аи ..., ап), то умножение однозначно определяется
заданием произведений базисных векторов Ьц = ataj. Действитель-
но, если а =
то
ab
в B аА (l Ра) - 2 а
п
Разложим векторы btl по базису bti = V у^ак. Мы видим, что
структура алгебры на пространстве А с фиксированным базисом
однозначно задается набором п3 элементов поля К ykr (i, j, k == 1, ...
..., п). Эти элементы называются структурными констан-
константами алгебры А.
Конечно, векторы Ьи (г потому и структурные константы у^)
нельзя задавать произвольно, хотя, определяя умножение формулой
Va,a,)( У Р,&,]= 2 Y^hi мы заведомо обеспечим его били-
нейность (т. е. выполнение аксиом 1)—3)), но этим вовсе не гаран-
гарантируется ассоциативность. Уже ассоциативность умножения ба-
базисных элементов накладывает на структурные константы огра-
ограничения. Действительно,
¦•ё*
1=1
l.m=l
2
1,т=\
откуда;следует, что для любых i, j, k
,'•4
A)
1=1
1=1
Наоборот, из соотношения A) следует ассоциативность умноже-
умножения для базисных векторов, а потому, как легко проверить, и для
любых элементов алгебры.
Предположим, что {аь ..., а„} — новый базис пространства Л,
связанный с исходным матрицей перехода S = (s^). Тогда
2
U=l
n
= 2
где smk — коэффициенты обратной матрицы S '. Таким образом,
структурные константы у*, соответствующие новому базису, имеют
вид
= 2
т. е. набор элементов ук.. можно рассматривать как координаты трех-
трехвалентного тензора (дважды ковариантного и один раз контрава-
риантного).
Элемент е алгебры Л называется единицей алгебры, если
для любого элемента а? А ае = еа = а. В дальнейшем мы всегда
будем предполагать, что в алгебре Л есть единица. Заметим, что
единица е в алгебре единственна: если е' — другая единица, то
е — ее' = е'.

Существование единицы — это обычное и несущественное ог-
ограничение. Если А — алгебра без единицы, то ее всегда можно
«присоединить», рассмотрев алгебру А, состоящую из пар (а, а),
где а 6 А, а 6 К, с покоординатными сложением и умножением на
скаляры и произведением, задаваемым формулой
(а, а) ф, E) = (ab + ab + §а, оф). ''
Легко проверить, что А является алгеброй, а элемент @, 1) —
ее единицей. Практически все свойства алгебр А и А одинаковы,
что мы попытаемся осветить в упражнениях.
Примеры. 1. Множество квадратных матриц п-го порядка
с коэффициентами из поля К образует алгебру относительно обыч-
обычных действий над матрицами. Это — конечномерная алгебра раз-
размерности п2, которую мы будем обозначать Мп (К)-
2. Многочлены от одной переменной над полем К образуют
бесконечномерную алгебру К[х].
3. Если V—векторное пространство над полем К, то линей-
линейные операторы в пространстве V также образуют алгебру E(V).
Эта алгебра конечномерна или бесконечномерна в зависимости
от того, конечномерно или бесконечномерно пространство V.
4. Рассмотрим четырехмерное векторное пространство над
полем вещественных чисел R с базисом {е, i, j, k). Определим
в нем умножение с помощью такой таблицы:
:> I, i ,
е
i
1
k
е
е
i
i
k
i
i
— e
?
/'
/
k
— e
— i
k
k
—/
i
— e
(Произведение ab записано в строке с номером а и столбце с
номером Ь).
Легко проверить, что таким образом получается алгебра Н
над полем R с единицей е. Эта алгебра называется алгеброй
кватернионов. Исторически это один из первых примеров
алгебр.
5. Всякое расширение L поля К, т. е. поле, содержащее К в
качестве подполя, можно рассматривать как алгебру над К. Ес-
Если эта алгебра конечномерна, расширение называется конеч-
конечным, в противном случае — бесконечным.
6. Пусть дана некоторая группа G. Примем элементы этой груп-
группы за базис векторного пространства, т. е. рассмотрим множество
KG формальных сумм вида V agg, где ag— элементы поля К, лишь
gee
конечное число которых отлично от нуля. Тогда умножение элемен-
элементов группы (нашего базиса!) задает структуру алгебры в простран-
пространстве КС Эта алгебра называется групповой алгеброй
группы G над полем К и играет основную роль в теории представле-
представлений групп.
7. Рассмотрим /г-мерное числовое пространство над полем Кг
т. е. множество наборов (аь ..., ап), at 6 К, с покоординатным сло-
сложением и умножением на скаляры. Определив умножение поко-
покоординатно
(«1. -. an) (Pi. -. Pn)= («iPl. ¦•- аА),
мы превратим его в алгебру над полем К, которую обозначим Кп-
8. Пусть Аи ..., Ап — алгебры над полем К- Рассмотрим их де-
декартово произведение А, т. е. множество наборов (аи ..., ап), at ?.
6 At, и определим в нем операции покоординатно
(а1у ..., ап)
и ..., Ьп) = (ау + Ьи .... ап + Ьп),
¦'¦ i a (au ..., an) = (aalt ..., aan),
(°i, •¦•. an) Фи •••> К) ~ («A. •••• anbn)-
Очевидно, таким образом А превращается в алгебру над Кт
которая называется прямым произведением алгебр-
П
Аи •¦•, Ап и обозначается Л4х... х Ап, или J~\At. Алгебры Аи ...
i=i
..., Ап называются прямыми сомножителями алгебры'
А. Конечно, предыдущий пример является частным случаем этого-
примера при At = ... = Ап = К-
Алгебра А называется коммутативной, если умножение
в ней коммутативно, т. е. ab = ba для всех a, b 6 А. Алгебры из при-
примеров 2, 3 и 6 коммутативны. Алгебра из примера 5 коммутативна,
если коммутативна группа G- Алгебра из примера 7 коммутативна,
если коммутативны все прямые сомножители Аи ..., Ап. Остальные
алгебры из приведенных выше примеров некоммутативны.
Подмножество В алгебры А называется подалгеброй,,
если В само является алгеброй относительно тех же операций, что-
и Л, и с той же единицей. Иными словами, В должно быть подпро-
подпространством в А, таким, что е ? В, и если a, b 6 В, то и ab ? В.
Примеры. 1. Множество треугольных матриц, т. е. таких мат-
матриц (а,-;), что ai;- = 0 при /<»', образует подалгебру в алгебре
всех матриц Мп (К)- Эту алгебру мы будем обозначать Тп (К).
2. Диагональные матрицы также образуют подалгебру в М„ (К)„
которую мы будем обозначать Dn (К).

3. Множество матриц вида
¦Ш:ИК , \-<и ¦;
-НЩ1ШГ- j,
II О '! -
f «1 а2 аз ¦
О at а2 .
О 0 а. .
%п—2 an-i
0 0 0.
0 0 0.
а, а2
О а,
' -Oii
It'Jf.
«ак легко проверить, образует подалгебру в Мп (К) размерности
л. Эту алгебру мы будем называть жордановой и обозначать
Jn (К).
4. Если Н — подгруппа группы G, то КН есть подалгебра в KG.
5. Совокупность элементов с алгебры А, перестановочных со
всеми элементами алгебры, т. е. таких, что са = ас для всех а ? А,
очевидно, образует в А подалгебру, которая называется центром
алгебры А и обозначается С (А).
6. Рассмотрим в алгебре А совокупность скалярных кратных
единице, т. е. элементов вида ае, где а ? К- Поскольку (ае) ($е) =
= сфе, они образуют подалгебру, которую обозначим Ке.
Естественное стремление любой теории — это классификация
изучаемых объектов. Попытаемся классифицировать алгебры хотя
бы малых размерностей. Если [А : К] = 1, то А = Ке, чем факти-
фактически полностью определяется строение этой алгебры, поэтому пер-
первый интересный случай — это [А : Ю = 2.
Выберем в двумерной алгебре А базис, принимая е за первый
базисный элемент: {е, а}, а # Ке. Тогда умножение однозначно опре-
определяется заданием произведения аа = а2, причем, как легко ви-
видеть, ассоциативность обеспечивается автоматически. Кроме того,
такая алгебра обязательно коммутативна. Пусть а2 = ра + ае,
где р и q — фиксированные элементы поля К. Рассмотрим много-
многочлен g (х) = х2 — рх — ц. Элемент а — «корень» этого многочлена.
Оказывается, строение алгебры А в основном определяется тем,
какие у g (x) настоящие корни в поле К- Возможны три случая.
Случай 1. g (x) имеет в К два различных корня xi ф х2.
Тогда р = xt + х2, q = —xtx2. Положим Ь = (а — х{е)/(х2 — xt).
Поскольку Ь $ Ке, {е, Ь} — базис Л, причем
\—2 ,
= (xz —
) 2 (ра+qe—2х^аАгх\е) =
= (х2 — xt)~2 l(xz — xt)a — (*2 — xt) xte] = (*„ — Xi)~l (a — хле) = b.
Случай 2. g (x) имеет в К один корень (двукратный), т. е.
g (я) = (я — xiY, где xt 6 К. Полагая Ь = а — х&, получаем базио
{е, Ь), для которого
Ь2 = (а — xgf = g (a) = 0. ';, , .
10
Случай 3. g (x) не имеет корней в К, т. е. он неприводим в
этом поле. Покажем, что тогда А есть поле, т. е. каждый ненулевой
элемент Ь имеет обратный b~l, такой, что bb~l= e. Проще всего это
сделать обычным приемом «уничтожения иррациональности в зна-
знаменателе». Пусть b = аа + pY Тогда g (х) = (ах + Р) / (х) + г,
где г 6 К — остаток от деления g (х) на ах + р\ не равный нулю,
а f (х) = а'х + р". Но отсюда следует, что g (а) — 0 = (аа +
+ Ре) (а'а + р"е) + re, т. е. элемент — (а'а + fi'e)/r обратный к Ь.
Итак, мы получили следующий результат.
Теорема 1.1. Двумерная алгебра А над полем К либо сама явля-
является полем, либо в ней можно выбрать базис {е, Ь], такой, что Ь2 =
= b или Ь2 = 0.
Если поле К алгебраически замкнуто (например, поле комплекс-
комплексных чисел), то случай 3 (поле) невозможен.
При описании двумерных алгебр мы столкну-
§ 2. Изоморфизм лись с тем Чт0 МНогие из них (например, все
и гомоморфизм. Тела ^ , пч v р р>
алгебры случая I или 2) «одинаково устроены»
в том смысле, например, что в них можно выбрать базисы с одина-
одинаковыми таблицами умножения. Такие алгебры обладают совершен-
совершенно одинаковыми свойствами и «внутренне неразличимы», хотя мо-
могут быть определены на разных векторных пространствах. Есте-
Естественно отождествлять все такие алгебры и считать их просто
разными копиями одной и той же алгебры. Это приводит к важней-
важнейшему понятию теории алгебр (и многих математических теорий) —
изоморфизму.
Изоморфизм алгебры А на алгебру В—это взаимно однознач-
однозначное линейное отображение / пространства А на пространство В,
сохраняющее умножение, т. е. такое, что / (ata2) = / (ai)f (a2) для
любых элементов af и а.г из алгебры А. Если существует изоморфизм
из алгебры А на алгебру В, то алгебры А и В называются изо-
изоморфными. Это обозначается А си. В или, если надо явно ука-
указать изоморфизм f,f:A~B.
Очевидно, существование изоморфизма / : А ~ В равносильно
тому, что в Л и В можно выбрать базисы с одинаковыми таблицами
умножения. В частности, все двумерные алгебры над полем К в
случае 1 или 2 предыдущего параграфа будут изоморфны между
собой.
В теории алгебр изоморфные алгебры, как правило, отождеств-
отождествляются. Говорят, что алгебры изучаются «с точностью до изоморфиз-
изоморфизма». Например, с точностью до изоморфизма, над алгебраически
замкнутым полем К есть две двумерные алгебры. Нетрудно убедить-
убедиться, что это алгебры К2 и J2 (К).
Классический пример изоморфизма, важнейший для линейной
алгебры,— это изоморфизм алгебры линейных операторов Е (V)
в n-мерном пространстве V и алгебры матриц Мп (К), который по-
получается, если сопоставить оператору его матрицу в фиксирован-
фиксированном базисе.
И

Еще пример изоморфных алгебр — это алгебры Кп и Dn (К)
(алгебра диагональных матриц).
Наконец, для любой алгебры А с единицей е подалгебра Ке изо-
изоморфна основному полю К- Мы в дальнейшем всегда будем отожде-
отождествлять элемент а поля К с элементом ае 6 А — его образом при
этом изоморфизме — и рассматривать поле К как подалгебру любой
/С-алгебры А. В частности, единицу алгебры А мы часто будем обо-
обозначать просто 1.
Важную роль в теории алгебр играет также понятие гомомор-
гомоморфизма.
Гомоморфизм алгебры А в алгебру В—это линейное отображе-
отображение f : A -*¦ В, сохраняющее умножение и единицу, т. е. такое, что
/ (а{а2) = / (а,) / (а2) для любых аи а2 ? А и / (еА) = ев, где еА —
единица алгебры А, ев — единица алгебры В.
Если гомоморфизм / инъективен, т. е. из at Ф а2 следует
/ (at) Ф f (a2), он называется мономорфизмом. Если же f
сюръективен, т. е. для любого элемента 6 <Е В найдется такой а ?
6 А, что 6 = / (А), то он называется эпиморфизмом.
Очевидно, если / одновременно является и мономорфизмом, и
эпиморфизмом, то это изоморфизм. В этом случае (и только в этом)
у / есть обратное отображение /~\ являющееся изоморфизмом В на
А.
Поскольку гомоморфизм / — это линейное отображение, для его
инъективности достаточно, чтобы из / (а) — 0 следовало а = 0.
Действительно, если это так, то из / (at) = f (a2) следует, что
/ (а4 — а2) = 0, откуда at — а2 ~ 0, т. е. а, = а2. \
Как и для любых отображений, для гомоморфизмов определя-
определяется произведение, или суперпозиция: если f : А -*• В и g : В ->
-> С — гомоморфизмы алгебр, то можно определить отображение
gf : А -> С по правилу gf (a) = g (/ (а)), и легко проверить, что
gf также является гомоморфизмом. Умножение гомоморфизмов ас-
ассоциативно: если одно из произведений (gf) hug (fh) определено,
то определено и другое, и они равны.
Можно привести такой пример гомоморфизма. Пусть а — фик-
фиксированный элемент алгебры А. Рассмотрим отображение К 1х] -*¦
->¦ А, переводящее многочлен / (х) = аох" + ... + ап в элемент
f (а) — аоа" + ... + ап. Очевидно, это гомоморфизм, а его образ
состоит из всевозможных элементов вида / (а). Этот образ обычно
обозначается К la] и называется моногенной подалгеб-
подалгеброй, порожденной элементом а. В частном случае, если К la] =
= А, сама алгебра А называется моногенной. Элемент / (а)
называется значением / (я) при х = а.
Перейдем к изучению внутренних свойств алгебр и их элемен-
элементов.
Элемент а алгебры А называется левым (правым) де-
делителем нуля, -если существует такой ненулевой элемент
b 6 А, что ab = 0 (соответственно Ьа = 0).
12 '
Аналогично а называется левым (правым) делите-
делителем единицы, если существует такой элемент Ь 6 А, что ab =
= 1 (соответственно Ьа = I).
Заметим, что если а одновременно является и левым, и правым
делителем единицы, т. е. существуют bub' такие, что ab — b'a = 1,
то b' = b' (ab) = (b'a) b = b, и если ас = 1, то 6 = 6 (ас) =
= Fa) с — с. Таким образом, 6 — единственный элемент, для ко-
которого ab = 1, и аналогично — единственный элемент, для которо-
которого 6а = 1. В этом случае элемент а называется обратимым,
аб — обратным каи обозначается: 6 = аг1.
Вообще говоря, взаимосвязь между четырьмя сформулирован-
сформулированными свойствами довольно сложная. Однако в конечномерных ал-
алгебрах положение существенно упрощается.
Теорема 2.1. В конечномерной алгебре
1) всякий левый делитель нуля (единицы) является и правым
делителем нуля (единицы) и наоборот;
2) всякий элемент является делителем нуля или единицы;
3) делитель нуля не может быть делителем единицы.
Доказательство, а) Покажем вначале, что в любой ал-
алгебре левый (правый) делитель нуля не может быть правым (левым •
делителем единицы. Действительно, пусть аб = 0, но 6 ф 0 и од-
одновременно са = 1. Тогда 0 = с (аб) = (са) 6 = 6, что противоре-
противоречит предположению 6 ф 0.
б) Пусть теперь алгебра А конечномерна, а a g A — элемент,
не являющийся левым делителем нуля. Рассмотрим отображение f
векторного пространства А в себя, задаваемое формулой / (jc) =
= ах. Из аксиом алгебры следует, что / — линейное отображение,
причем, так как a — не левый делитель нуля, из f (х) = Ь следует
х = 0. Но тогда, ввиду конечномерности A, f— невырожденное
отображение и образ его совпадает со всем А. В частности, 1 =
= f Ф) — °Ь Для некоторого 6 6 А на — левый делитель единицы.
Аналогично доказывается, что если a — не правый делитель ну-
нуля, то он правый делитель единицы.
в) Теперь мы можем завершить доказательство теоремы. Если
элемент а 6 А — левый делитель нуля, то ввиду а) он не может быть
правым делителем единицы. Поэтому ввиду б) он обязан быть пра-
правым делителем нуля. Остальные утверждения п. 1) доказываются
аналогично. После этого из а) следует 3), а из б) — 2).
Алгебра, каждый ненулевой элемент которой обратим, назы-
называется телом.
Следствие 2.2. Конечномерная алгебра без делителей нуля есть
тело.
Следствие 2.3. Подалгебра конечномерного тела есть тело.
В частности, центр конечномерного тела — поле.
Всякий элемент а конечномерной /(-алгебры А является «кор-
«корнем» некоторого ненулевого многочлена / (х) 6 К Ы (это означает,
что / (а) = 0). Действительно, иначе подалгебра К la] была бы изо->
морфна К [х], что невозможно, так как пространство К 1х] беско-
13

нечномерно. Многочлен наименьшей степени со старшим коэффи-
коэффициентом 1, корнем которого является а, называется минималь-
минимальным многочленом элемента а и обозначается та (х).
Предложение 2.4. Всякий многочлен, корнем которого является
а, делится на та (х). В частности, минимальный многочлен опре-
определен однозначно.
Доказательство. Пусть / (а) = 0. Разделим / (х) с
остатком на та (х) : f (х) = та (х) g (х) + г (х), причем либо
г (х) = 0, либо его степень меньше степени та (х). Но / (а) =
= г (а) = 0, поэтому вторая возможность исключена и / (х) делит-
делится на та (х).
Предложение 2.5. Если А —конечномерное тело над полем К,
то для любого элемента а ? А минимальный многочлен та (х) не-
неприводим.
Доказательство. Если та (х) = f (x) g (x), где / и
g — многочлены меньшей степени, то 0 = та (а) = / (a) g (а), но
/ (а) Ф 0, g (а) Ф 0, что невозможно.
Следствие 2.6. Если поле К алгебраически замкнуто, то един-
единственное конечномерное тело над К — это само К.
Доказательство. Если А — такое тело и а — любой
его элемент, то та (х) — неприводимый многочлен и, из-за алге-
алгебраической замкнутости К, он линеен: та (х) = х — а, откуда
а = а 6 К, так как та (а) = 0. Итак, А = К, что и требовалось
доказать.
Определение алгебры, приведенное в самом
§ 3. Представления начале главы, удобно и интересно именно сво-
ей общностью, бла1 одаря которой оно охватывает
весьма разнообразный и большой круг объектов. Однако при из-
изучении строения и свойств алгебр часто существенную роль играют
конкретные реализации данной алгебры, например, как некоторой
алгебры матриц (или линейных операторов). Такие реализации из-
изучает теория представлений, которая во многом будет нашим основ-
основным аппаратом исследования в этой книге.
Представлением /С-алгебры А называется ее гомоморфизм Т в
алгебру Е (V) линейных операторов в некотором пространстве V.
Иными словами, задать представление Т — значит сопоставить
каждому элементу а ? А линейный оператор Т (а) так, чтобы
О А л т
T(I) = E (тождественный оператор) '.. ,.,..,
для любых а, 6 6 Л, а 6 А. Если пространство К конечномерно, то
его размерность называется размерностью (или сте-
степенью) представления Т. Очевидно, образ представления Т,
т. е. совокупность всех операторов вида Т (а), образует подалгебру
в Е (V). Если Т — мономорфизм, эта подалгебра изоморфна алгеб-
алгебре Л. В этом случае представление называется точным.
Теорема 3.1 (Кэли). Всякая алгебра имеет точное представле-
представление. Иными словами, всякая алгебра изоморфна подалгебре алгебры
линейных операторов.
Доказательство. Из аксиом алгебр ы следует, что для
любого элемента а 6 А отображение Т (а) : х -»- ха, х 6 А, является
линейным оператором в пространстве А, причем Т (а + Ь) =
= Т(а)+ Т (Ь), Т (ал) = аТ (а), Т (ab) = Т (а) Т (Ь) и Т A) =
= Е (единичный оператор). Поэтому Т — представление алгебры
А. Если а Ф Ь, то 1а Ф .16. Значит, операторы Т (а) и Т (Ь) различ-
различны и Г — точное представление, что и требовалось доказать.
Представление, построенное при доказательстве теоремы (Кэ-
(Кэли), называется регулярным и играет важную роль в теории
алгебр (этого можно ожидать уже потому, что оно дает сравнитель-
сравнительно простую и стандартную реализацию данной алгебры).
Размерность регулярного представления равна размерности
алгебры.
Если представление Т конечномерно (а в дальнейшем мы будем
рассматривать только такие представления), то мы можем выбрать в
пространстве V базис и сопоставить каждому оператору Т (а) его
матрицу [Т (а)]. Очевидно, соответствие а-> [Т (а)\ является гомо-
гомоморфизмом алгебры А в алгебру матриц Мп (К), где п — размер-
размерность представления Т. Такой гомоморфизм называется матрич-
матричным представлением алгебры А. Если р пространстве V
выбрать новый базис, то каждая матрица [Т (а)] заменится на
С [Т (а)} С~1, где С — матрица перехода. Такие два матричных
представления называются подобными.
Понятие подобия можно определить и для операторных пред-
представлений: два представления Т : А -> А (V) и S : А -> Е (W)
называются подобными, если существует такой изоморфизм f
пространства V на пространство W, что Т (а) = f S (a) f~l для лю-
любого а ? А. Из сказанного выше, очевидно, следует, что в этом слу-
случае базисы в V и W можно выбрать таким образом, чтобы матрицы
операторов Т (а) и S (а) совпадали. Поэтому есть смысл изучать
представления с точностью до подобия, т. е. отождествлять подоб-
подобные представления.
В дальнейшем мы, как правило, не будем различать представле-
представление и соответствующее матричное представление. Заметим, что тео-
теорему 3.1 (теорему Кэли) можно сформулировать еще так: всякая
конечномерная алгебра изоморфна подалгебре алгебры матриц
(конечномерность, очевидно, нужна для того, чтобы регулярное
представление было конечномерно).
Как правило, удобно бывает не рассматривать отдельно про-
пространство V и гомоморфизм Т : А -*¦ Е (V), а считать, что элементы
алгебры сами являются операторами в V. Это приводит к понятию
модуля.
15

Правым модулем над К- алгеброй Л, или правым Л-мо-
Л-модулем, называется векторное пространство М над полем К, для эле-
элементов которого задано умножение на элементы алгебры, т. е. каж-
каждой паре (т, а), где т ? М, а 6 Л, сопоставлен однозначно опреде-
определенный элемент та 6 М, причем выполняются следующие аксиомы:
: 1) (т, + т2) а = mta + т2а,
2) т (а1 + а.,) = mat -f- та2,
3) (am) а = т (аа) = а (та), где а?/(,
4) т (аЬ) = (та) Ь,
5) т\=т. ].
¦¦«те*
Покажем, как по всякому представлению алгебры Л можно по-
-строить правый модуль над этой алгеброй, и наоборот: по всякому
правому модулю можно построить представление.
Пусть Т : А -> Е (V) — представление алгебры А. Определим
умножение элементов V на элементы алгебры, положив ш = vT (a)
для любых v ? V, а ? А. Из определения представлений сразу сле-
следует, что таким образом V превращается в правый Л-модуль. Бу-
Будем говорить, что этот модуль соответствует представлению Т.
Наоборот, если М — правый модуль над Л, то из аксиом модуля
следует, что при фиксированном а ? А отображение Т (а) : m -> ma
является линейным оператором в пространстве М. Сопоставляя а
оператор Т (а) (или его матрицу в некотором базисе), мы получаем
представление алгебры А, соответствующее модулю М.
В частности, регулярному представлению соответствует регу-
регулярный модуль. Здесь М = А, а та есть произведение эле-
элементов /га и а в алгебре А.
В дальнейшем, если не оговорено противное, все рассматрива-
рассматриваемые модули будут предполагаться конечномерными (как вектор-
векторные пространства над /С).
Для модулей вводятся также понятия гомоморфизма и изомор-
изоморфизма.
Гомоморфизм правого Л-модуля М в правый Л-модуль
N — это линейное отображение f : M-+ N, при котором (ma)f =
= (mf) а для любых элементов т 6 М и а 6 Л.
Если /, кроме того, взаимно однозначно, то оно называется
изоморфизмом, а модули М и N — изоморфными.
В этом случае пишут / : М ~ N, или просто М ~ N. Очевидно,
если f : М ~ N, то f~l : N ~ М. Изоморфные модули обладают
совершенно одинаковыми свойствами и отождествляются.
Теорема 3.2. Представления, соответствующие изоморфным мо-
модулям, подобны, и наоборот, модули, соответствующие подобным
представлениям, изоморфны.
16
Доказательство. Пусть Т и S — предсташмвщ соот-
соответствующие модулям М и N, а / : М ~ Af. Тогда для-ЛЮбвГО m 6
€ М и а 6 Л имеет место равенство А,'».
т. е. T(a)f = /S (а) или Т(a)=fS (a) /"'.
Наоборот, предположим, что представления Т и 5 подобны,
Т (а) = f S(a) f~\ Тогда, если М и N — соответствующие модули,
/ является взаимно однозначным линейным отображением М на Af,
причем
(ma) f = mT(a)f = mfS (a) = (mf) a
для любых mZ М и а ? А, т. е. / — изоморфизм модулей.
Таким образом, понятие изоморфизма модулей в точности со-
соответствует понятию подобия представлений.
В дальнейшем нам будет удобно гомоморфизмы правых модулей
записывать слева от элементов, т. е. писать fa вместо а/. Всюду,
где не оговорено противное, мы будем придерживаться этой системы
обозначений.
Гомоморфизмы модулей, как и гомоморфизмы алгебр, можно
умножать, принимая за произведение гомоморфизмов f : М -*- N
и g • N -*¦ L отображение gf : М -*¦ L, такое, что gf (m) = g(f (m))
для всех т 6 М (легко проверить, что gf также будет гомоморфиз-
гомоморфизмом).
Однако для гомоморфизмов модулей определены и другие опе-
операции: сложение и умножение на скаляры. Если / и g — гомомор-
гомоморфизмы модуля М в модуль N, то за f + g принимают такое отобра-
отображение М -»- N, что (/ -f g) (т) — f (т) + g (m), а за а/, где а ?
€ К,— отображение М -*¦ N, для которого (а/) (т) = а/ (т) для
всех т 6 М.
Нетрудно убедиться в том, что определенные таким образом
/ + g и а/ являются" гомоморфизмами, а совокупность всех гомо-
гомоморфизмов из М ъ N относительно этих операций есть векторное
пространство над полем К- Это пространство мы будем обозначать
Horn,, (M, N).
Умножение гомоморфизмов также обладает привычными свой-
свойствами: оно ассоциативно, т. е. (gf) h = g (fh), как только эти про-
произведения определены (очевидно, они определены одновременно),
и билинейно g(f + h) = gf + gh\ (g + f) h = gh + fh; g (af) =
~ (aS) / = « (gf)i как только эти выражения имеют смысл. Неслож-
Несложную проверку этих свойств мы оставляем читателю.
Если гомоморфизм f : М -*¦ N инъективен, т. е. из mt Ф пц сле-
следует, что / (mi) Ф f (m2), он называется мономорфизмом.
Если же / сюръективен, т. е. всякий элемент из N имеет вид / (т),
то / называется эпиморфизмом. Очевидно, если / одновре-
одновременно является моно- и эпиморфизмом, то это изоморфизм. Как и
в случае алгебр, для мономорфности /, конечно, достаточно, чтобы
из / (т) = 0 следовало т = 0.
- 9-907
17

Аналогично понятию правого модуля можно дать определение
левого модуля над алгеброй Л, как векторного простран-
пространства L, для элементов которого определено умножение al (а 6 Л,
I 6 L, al 6 L), удовлетворяющее таким аксиомам:
1) a (Zx + /2) = al, + al2,
2) (a1 + a!!)/ = a1/ +
3) a (a/) = (aa) Z = a |
4) (ab)l = a(bl),
5) 11 = I.
J
m
Левым модулям соответствуют антипредставления
алгебры А, т. е. линейные отображения Т : Л -»- ? (К), для кото-
которых Т (ab) — Т (Ь) Т (а); Г A) = Е. Для антипредставлений и
левых модулей понятия подобия, гомоморфизма и изоморфизма
вводятся так же, как и для представлений и правых модулей. Име-
Имеют место и теоремы, аналогичные теоремам 3.1 и 3.2. В частности,
рассматривая алгебру А как левый модуль над собой, мы приходим
к понятию регулярного левого модуля и регу-
регулярного антипредставления.
В дальнейшем мы будем рассматривать в основном правые мо-
модули, называя их просто модулями над алгеброй А, или Л-мо-
Л-модулями. Читатель легко может проследить, что все доказываемые
результаты остаются в силе для левых модулей. Поэтому мы будем
их использовать по мере надобности без особой оговорки.
§ 4 Подмодули Известно, какую важную роль в линейной
и фактормодулн. алгебре играет понятие инвариантного подпро-
Идеалы странства некоторого оператора. Если задано
и факторалгебры представление Т : А -+Е (V) алгебры А, то ес-
естественно рассматривать в V подпространства, инвариантные от-
относительно всех операторов представления. Это приводит нас к по-
понятию подмодуля.
Подмодуль Л-модуля М — это подпространство Nc: M та-
такое, что па ? N для любых элементов п ? N и а 6 А.
Выберем базис {ей ..., eh) в подпространстве N и дополним его
до базиса М : {et, ..., eh, eft+1, ..., em}. Тогда в этом базисе пред-
представление Т, соответствующее модулю М, имеет вид
Т(а) =
Tt(a)
Х(а)
О
Т,(а)
A)
Такие представления (и все подобные ему) называются приво-
приводимыми. Очевидно; 7\ — это представление, соответствующее
модулю N.
18
Наоборот, пусть представление Т приводимо, т. е. имеет вид
A), где 7\ — представление размерности k. Тогда подпространство
N, натянутое на первые k базисных векторов, будет инвариантно
относительно всех операторов Т (а), т. е. будет подмодулем в М.
Из правил действий с клеточными матрицами следует, что отоб-
отображение а-*Т2(а) также является представлением алгебры А.
Соответствующий ему модуль допускает следующую интерпрета-
интерпретацию.
Пусть m 6 М. Рассмотрим множество m + N, состоящее из
элементов вида m + п, где п пробегает все N. Такие множества на-
называются классами смежности (или смежными
классами) М по N1 . Если элемент х лежит в классе m + N,
то говорят, что хсравним стпо модулю N, и пишут
х = m (mod N). Покажем, что любые два класса смежности либо
совпадают, либо не пересекаются.
Действительно, если (mt + N) [} (Щ + N) ф 0, то в N есть
такие два элемента nt и п2, что mf -f nt = m2 + n2, откуда mt —
— m2 = n2 — ti\ = n0 6 N и для всякого элемента п ? N rtii +
-f п = m2 + п0 + п 6 гп2 + N, а пг2 + п = mj + п — п0 ? т{ -f-
+ N, т. е. т, + N = тг + N.
Легко проверить, что если х 6 т + N, у ? т' + N, то х + у ?
6 (т + т') + N и, кроме того, ах 6 &т + N и ха ? та + Af для
любых элементов а 6 К и а ? А. Поэтому на множестве смежных
классов можно определить структуру Л-модуля, полагая
(m + N) + (m' + ^V) = (m + m') + ЛГ,
...1 a(m + N) = am + N,
B)
' Справедливость всех аксиом очевидна, так как действия над
классами определяются через их «представителей», т. е. через опе-
операции в модуле М.
Множество смежных классов М по N со структурой модуля, оп-
определенной формулами B), называется фактормодулем мо-.
дуля М по подмодулю N и обозначается так: M/N.
Заметим, что фактормодуль возникает вместе с естественным от-[
ображением я : М -*¦ M/N, сопоставляющим элементу т 6 М класс;-
т + N. Формулы B) при этом обозначают, что я является гомо-'
морфизмом (и, очевидно, эпиморфизмом). Этот эпиморфизм мы будем ;
называть п роек цие й М на фактормодуль M/N. *
Тривиальная проверка, которую мы оставляем читателю, по- (
казывает, что если {еи ..., ek} — базис N, а {ек+и ..., ет} — его
дополнение до базиса М, то классы я (ek+i), ..., п(ет) образуют ба-
базис M/N, причем соответствующее представление совпадает с Т2.
1 Очевидно, класс смежности m + N — это линейное многообразие с направ-
направляющим подпространством W, проходящее через вектор /п.
2* 19

Подмодули регулярного модуля называются правыми
идеалами алгебры А. Таким образом, правый идеал — это
пространство I cz А, такое, что из х 6 / н а 6 /4 следует ха? I.
Подмодули левого регулярного модуля называются левыми
идеалами. Отметим, что в термине «правый идеал» мы никогда
не будем опускать прилагательное «правый», так как термин «иде-
«идеал» употребляется совсем в другом смысле.
Важные примеры подмодулей и фактормодулей возникают при
изучении гомоморфизмов.
Пусть / : Мi -> Мг — гомоморфизм Л-модулей. Его ядром,
Кег /, называется совокупность всех элементов т 6 Ми для кото-
которых /(т)=0. Образом Im / гомоморфизма/называется совокуп-
совокупность всех элементов из Мг, имеющих вид/ (т).
Теорема 4.1 (о гомоморфизме). Для любого гомоморфизма /:Afi->
-*¦ М2 ядро и образ являются подмодулями соответственно в
М^ и Мг и Im / ~ AVKer /.
Доказательство. Если / (т) = f (т') = О, то / (т +
+ т') = f (т) + f (т') = 0, / (am) = о/ (от) = 0 и / (та) =
= / (т)а = 0, т. е. Кег / = Nt — подмодуль в Л14. Аналогично,
так как / (т) + / (т') = / (т + т'), а/ (т) = / (am) и / (т)а =
= / (та), Im/ = N2 = подмодуль в М2.
Пусть т + Ni — какой-либо элемент MjNi и х 6 tn + Nt.
Тогда х — т + п, где / (п) = 0, откуда следует, что / (х) = / (т).
Поэтому, полагая g (т + Nt) — / (m), мы задаем отображение
g : MJNi -+¦ N2, причем из того, что / — гомоморфизм, и из оп-
определения операций B) в фактормодуле следует, что g — гомомор-
гомоморфизм.
Предположим, что g (т + Л^) = 0. Тогда / (т) = 0, т. е. m ?
6 #i и m + Л^1 = 0 + A^i — нулевой класс фактормодуля M/Nit
а значит, g — мономорфизм. Поскольку всякий элемент из N2 име-
имеет вид / (т) = g (m + N{), g является эпиморфизмом и, следова-
следовательно, изоморфизмом Afi/Ker /на Im /.
Несмотря на свою простоту, теорема о гомоморфизме играет
важную роль при изучении модулей. Продемонстрируем это на од-
одном примере.
Модуль М называется циклическим, если в нем есть та-
такой элемент гщ, что всякий элемент из М имеет вид топ, где а 6 А.
Элемент т0 называется образующим модуля М.
Следствие 4.2. Всякий циклический модуль изоморфен фактор-
модулю регулярного модуля по некоторому правому идеалу.
Доказательство. Пусть М — циклический модуль с
образующим т0. Из аксиом модуля следует, что отображение / :
: А -> М, переводящее а в тоа, есть гомоморфизм модулей, причем,
так как т0 — образующий, lmf = M. Но тогда М ~ Л/Кег /,
где Кег / — правый идеал.
Мы будем также ча*сто пользоваться следующим результатом,
уточняющим теорему о гомоморфизме.
20
Теорема 4.3 (Нётер). Пусть N — подмодуль в М, л —
проекция М на М = MIN. Для любого подмодуля L cz M
положим л Щ_= {л (*)l *6 L) и для любого подмодуля Ъ cz M
положим яГ1 (L) = {х 6 М \п (х) 6 Ц^ Тогда
1) л (L) — подмодуль в М, а л (L) — подмодуль в М, содержа-
содержащий N;
2) л (л (L)) = L, а если Lzd N, то л (л (L)) = L;
3) если L = л~' (L), то L/N~ L, a MIL ~ MIL.
Таким образом, мы получаем взаимно однозначное соответствие
между подмодулями М и подмодулями М, содержащими N, при-
причем это соответствие согласовано с операцией взятия фактормоду-
фактормодулей.
Доказательство. Утверждение 1) тривиально. Далее,
всякий элемент х 6 L имеет вид л (х), где х 6 М и даже х 6 л (L),
так как л (х) — х 6 L, что доказывает формулу L = п (я~' (L)).
Пусть теперь L — подмодуль в М, содержащий N. Ограничивая
я на L, мы получим гомоморфизм л : L -*¦ М, ядром которого явля-
является N, а образом — я (L) = L. Очевидно, я (L) zo L. Докажем
обратное включение. Если т 6 л~' (L), то л (т) 6 L и потому имеет
вид я (х), где х 6 L. Из равенства л (т) = л (х) следует, что л (т —
— х) = 0, т. е. m — х = п ? N. Но N cz L, значит, и m = х +
+ п 6 ?• Итак, мы показали, что л~' (L) — L и L = Im я ~ L/
/Кег л~= L/W. _ _
Обозначим через т проекцию М на A1/L и рассмотрим гомомор-
гомоморфизм тя : М -*¦ MIL. Поскольку т и я— эпиморфизмы, тя —также
эпиморфизм.
Вычислим Кег тя. тл (т) = 0 означает, что я (т) 6 L, т. е. m 6
б л~' (L) = L, поэтому Кег тл = L и по теореме о гомоморфизме
MIL ~ Af/L.
1 Рассмотрим, что изменится, если L — подмодуль в М, не содер-
содержащий N. По-прежнему можно рассмотреть л : L -> MIN — огра-
ограничение проекции я : М -> MIN. л (х) = 0 означает, что х ? N,
откуда следует, что Кег л = L (] N и 1 = 1тя~ LIL f) Af.
Но, как мы только что установили, L ~ л" (L)IN. В то же время
m 6 я (L) тогда и только тогда, когда я (т) = л (х) для некото-
некоторого х 6 ?, т. е. m = х + п, где л ? N. Поэтому, обозначая через
L + N, как обычно, подпространство в М, состоящее из всевоз-
всевозможных сумм х + п, мы видим, что L + N = я (L) — подмо-
подмодуль в М (это легко проверить и непосредственно) и (L + #)/# ~
~ L ~ L/L П N. Нами доказана такая теорема.
Теорема 4.4 (Нётер). Для любых подмодулей L и N модуля М
(L + N)/N ~ LIL (] N. ¦ ¦ .
21

Если изобразить расположение подмодулей L, N, L + N и
L П N в модуле М, то получим «параллелограмм»
L'N
V /
At*'.
(Г
'¦. (V
Фактормодули (L + #)/# и ^/^ О N — это «противоположные
стороны параллелограмма». Поэтому мы иногда будем называть
вторую теорему Нётер «законом параллелограм-
м а».
Естественное желание перенести полученные результаты на
случай гомоморфизмов алгебр приводит к понятию идеала (или,
как иногда говорят, двустороннего идеала).
Пусть А и В — две алгебры над полем К, Ф : А -*• В — гомо-
гомоморфизм /(-алгебр. Его образ Imqp = {ф (а)\ а?А} есть, конечно,
подалгебра в алгебре В. Но ядро Кег ф = {а 6 А | ф (а) = 0} не яв-
является подалгеброй, поскольку в нем не лежит единица. Так как
Ф — линейное отображение, Кег ф — подпространство в А. Кроме
того, если х 6 Кег ф, то для любого а 6 А ф (ах) = ф (а) ф (х) =
= Ф (а) 0 = 0 и аналогично ф (ха) = 0, т. е. ах и ха тоже лежат в
Кег ф. Иными словами, Кег ф одновременно является правым и ле-
левым идеалом.
Подпространство, являющееся одновременно правым и левым
идеалом в алгебре, называется идеалом.
По всякому идеалу Icz А можно построить новую алгебру сле-
следующим образом.
Рассмотрим снова множество смежных классов А по /. Если
а + / и Ъ + / — два таких класса, то для любых х 6 а. + / и
у ? b + / элемент ху лежит в классе аЪ + /. Поэтому множество
смежных классов можно превратить в алгебру над полем/С, полагая
а (а + I) = <ш + /, а ? К,
(Г
Эта алгебра называется факторалгеброй алгебры А по
идеалу / и обозначается А/1. Нулем этой алгебры служит класс
0 + / = /, а единицей — класс 1 + /.
Отображение л : А -*• А/1, для которого я (а) = а + I, явля-
является эпиморфизмом алгебры А на факторалгебру А/1. Оно называ-
называется проекцией А на А/1.
Следующие результаты вполне аналогичны соответствующим тео-
теоремам, доказанным для модулей. Их доказательства, также ана-
аналогичные изложенным выше, мы оставляем читателю в качестве
несложного упражнения.
Теорема 4.5 (о гомоморфизме). Для всякого гомоморфизма алгебр
<р : Л -»- В 1пкр ~ Л/Кег ф.
Следствие 4.6. Если А = /( [а] — моногенная алгебра, то А ~
^ К \x\II, где 1 — идеал, состоящий из кратных многочлена та (х).
Теорема 4.7 (Нётер). Пусть л — проекция алгебры А на фактор-
алгебру А = А/1. Для любого подмножества В cz А положим
л (В)_= {л (b) \b?B}, а для любого подмножества В cz А положим
л (В) = {Ь 6 Л |я (Ь) € В). Тогда
1) если В — идеал (подалгебра) в А, то л (В) — идеал (подалгеб-
(подалгебра) в Л; если В — идеал (подалгебра) в А, то л (В) — идеал (под-
(подалгебра) в А;
2) для любого идеала (подалгебры) В cz А л (я" (В)) — В;
для любого идеала (подалгебры) BczA, содержащего 1, л~'(я(Б))=
= В;
3)_если В — идеал (подалгебра) в А, В = л" (В), то А/В ~
i^. А/В (соответственно В/1 ~ В).
Теорема 4.8 (Нётер). Если I — идеал, а В — подалгебра в алгебре
А, то (В + 1I1 ~ В/В П /•
Если N — подмодуль модуля М, а / — правый идеал кольца Л,
определим N1 как множество сумм вида ^ л;аг> гДе ni ? N, at ? /.
i
Легко видеть, что N1 также является подмодулем в М. Может ока-
оказаться, что N1 = 0, т. е. па = 0 для любых п ? N к а? I. В этом
случае говорят, что /аннулирует подмодуль N. Для всякого
модуля М можно указать наибольший правый идеал в А, аннули-
аннулирующий М. Положим Ann М = {а 6 А | та = 0 для любого т ? М}.
Очевидно, Ann M — правый идеал и даже идеал алгебры А. Он
называется аннул-ятором модуля М.
Если идеал / аннулирует модуль М, то М можно рассматривать
как модуль над факторалгеброй А/1, полагая т (а + 1) — та
(проверьте, что это определение не зависит от выбора представите-
представителя в классе а + /). Конечно, в этом случае / аннулирует любой под-
подмодуль и фактормодуль модуля М, и все «устройство» модуля М не
зависит от того, рассматривать ли его как А- или как А //-модуль.
Наоборот, всякий А //-модуль М можно превратить в Л-модуль,
полагая та = т (а + /) (при этом автоматически / аннулирует М).
В дальнейшем мы всегда будем отождествлять модули над АН
и модули над Л, которые аннулируются идеалом /. В частности, нам
часто придется рассматривать регулярный Л//-модуль как Л-мо-
дуль. Очевидно, его аннулятором будет именно идеал /.
Отметим еще, что для любого элемента т модуля М и любого
правого идеала I cz А подмножество ml = {та \ а 6 /} есть подмо-
подмодуль в Л. Если ml = 0, говорят, что /аннулирует т. Сре-
Среди правых идеалов, аннулирующих данный элемент, также есть
22
23

наибольший, который называется аннулятором т: Ann m =
= {а 6 А | та = 0}. В отличие от аннулятора модуля, Ann m может
не быть идеалом (см. упражнение 9 к этой главе).
Во всяком ненулевом модуле М, очевидно,
ЖорданаТ-°?ё7ьдера всегда есть по кРайней мере два подмодуля:
сам М и нулевое подпространство (эти под-
подмодули называют тривиальными). Если других подмо-
подмодулей в М нет, модуль М называется простым. Соответствую-
Соответствующее представление неприводим о, т. е. ни в каком базисе
оно не приобретает вид A) из § 4.
Предположим, что модуль М не простой. Тогда в нем найдется
нетривиальный подмодуль N, т. е. такой, что N ф 0 и N Ф М (т. е.
M/N ф 0). Говорят, что модуль М является расширением
модуля L = MIN с ядром N. В силу теоремы о гомоморфизме это
равносильно существованию некоторого эпиморфизма М -v L с
ядром N.
Если сами модули L и N не просты то в i можно выбрать не-
нетривиальный подмодуль Li, а в N — нетривиальный подмодуль
Ni. В силу теоремы 4.3 Li ~ NJN, где N.2 — подмодуль в М, со-
содержащий N. В результате в М возникает такая цепочка подмоду-
подмодулей: М id N2 id N гэ Ni id 0. Если в этой цепочке модуль Ni или
какой-либо из фактормодулей MIN2, NJN, NlNi еще не просты, то в
нее можно тем же способом вставить еще один подмодуль. Из-за
конечномерности пространства М этот процесс не может продол-
продолжаться неограниченно. Значит, в конце концов мы придем к такой
цепочке: М = Мо id Mt id Мг id ... id Ms_, id Ms = 0, у кото-
которой все фактормодули Mt/Mi+i уже просты. Такая цепочка называ-
называется композиционным рядом модуля М. Фактормоду-
Фактормодули Mi/Mi+i называются факторами этого ряда, а их число
s — длиной ряда.
Можно сказать, что факторы композиционного ряда — это «кир-
«кирпичи», из которых модуль М строится последовательными расшире-
расширениями. Конечно, эти факторы не определяют, вообще говоря,
модуль М, но они несут довольно большую информацию о его строе-
строении. Естественно возникает вопрос, насколько однозначно опреде-
определяются они по модулю М. Ответ на него дает следующая важная
теорема.
Теорема 5.1 (Жордан — Гёльдер). Если М = Мо :э Mi id ...
... => М„ = 0 и М = No id Nt id ... id Nt = 0 — два компо-
композиционных ряда, то их длины равны и между факторами этих ря-
рядов можно установить взаимно однозначное соответствие так, что
соответствующие факторы будут изоморфны.
Доказательство будем проводить индукцией по s.
Если s = 1, то модуль М = M0/Mi прост. Поэтому / = 1 и ЛУЛ^ =
— М — Мо/М 1. Предположим, что s > 1 и для рядов длины s — 1
теорема уже доказана.
Если Mi = Nit то M-olMi == N<JN\ и теорема сразу следует из
индукционного предположения. Если же Mt Ф Nit то Mi + Л^ Ф
24
ф Mi и, так как между М и Mi промежуточных подмодулей нет,.
Mi _f- Ni = М и по закону параллелограмма
MJMi Л Nt ~ M/M,; Mi/Mi П N{ ~ M/N,. „ , |;
Построим композиционный ряд в модуле Mt П Ni ' ,. w
= L2 =) L3
= 0.
Тогда Mi гэ L2 =>...=> Lk = 0 — композиционный ряд в Mt.
Сравнивая его с рядом М( d M2 d ... =э Ms = 0, получаем, па
предположению индукции, что s = k n что при некотором взаимна
однозначном соответствии факторы этих рядов попарно изоморфны.
Сравним теперь ряды М гэ Mi id L2 гэ ... =э L, = 0 и М г>
d iVi э L2 з ... => /., = 0. Начиная с третьего места, их факторы
совпадают, а изоморфизмы MIMi ~ NJL^ и M/7Vi ~ MJL2 были
установлены выше. Значит, все факторы этих рядов попарно изо-
изоморфны.
Наконец, сравнивая ряды Nt =э L2 =з ... =э Ls = 0 и #i r>
id N2 id ... id Nt = 0, мы по предположению индукции получаем,
что s = г и факторы этих рядов попарно изоморфны. Значит, фак-
факторы исходных рядов также попарно изоморфны (при некотором вза-
взаимно однозначном соответствии). Теорема полностью доказана.
Длина композиционного ряда называется длиной моду-
модуля М и обозначается / (М), а факторы композиционного ряда на-
называются простыми факторами модуля М. В силу
теоремы Жордана—Гельдера, определение длины и простых фак-
факторов не зависит от выбора ряда.
Отметим, что порядок следования простых факторов в компози-
композиционном ряду определен, вообще говоря, неоднозначно. Например,
для полупростых модулей, которые будут рассматриваться в следую-
следующей главе, он вообще произволен.
Следствие 5.2. Если модуль М является расширением модуля L
с ядром N,mol(M) = l (N) + I (L).
Доказательство. Проведем композиционный ряд в
модуле L ~ MIN : L = Lo id Lt id ... => Lk= 0 и возьмем в М
прообразы Mt модулей Lt. Тогда, по теореме 4.3, Mt/Mi+\ си
~ L/Li+i — простые модули. Построим теперь композиционный
ряд в модуле N N = No id Ni =э ... =э Nt = 0. Тогда ^
М = Мо =э Mi id ... => Mk = yV = No => Nt =>... id Nt = 0
есть композиционной ряд в модуле М длины k +1, что и доказьк
вает утверждение.
Следствие 5.3 (формула Грассмана). Если L и N — подмодули в
М, то
N '
Доказательство непосредственно вытекает> И* след-
следствия 5.2 и закона параллелограмма. .¦ ,А ,
25

Говорят, что подмодуль N модуля М максимален, если
N Ф М и не существует подмодуля L, отличного от М ч N, такого,
что М =э L =э N. Очевидно, это равносильно тому, что фактормо-
дуль M/N прост. В композиционном ряду каждый следующий под-
подмодуль максимален в предыдущем.
Знание подмодуля и фактормодуля дает до-
§ 6. Прямые суммы юльно большую информацию о строении всего
модуля. Особенно понятным это становится, если посмотреть на
матричную запись соответствующего представления (формула A)
§ 4). Однако стоящая в левом нижнем углу матриц «склейка» X (а),
вообще говоря, не определяется подмодулем и фактормодулем и
может быть устроена весьма сложно.
Наиболее приятен, конечно, случай, когда дополнительная ин-
¦формация, вносимая склейкой, отсутствует, т. е. X (а) = О и пред-
представление имеет вид
с;
0 T2(a)
A)
Такие представления (и все им подобные) называются разло-
разложимыми.
На модульном языке понятие разложимого представления при-
приводит к определению прямой суммы модулей.
Пусть All, М2, ..., Мп — модули над алгеброй А. Рассмотрим
множество М наборов (ти ..., тп), где mt 6 Mt, и введем в нем опе-
операции покоординатно
(mlf ...,mn) + (ml, ..., т'п) = (тг + т\, ...,тп+ тп),
a(m1,...,mn) = (ami,...,amn), a?K,
(ти ...,тп)а = (т^,....тпа), а?А.
Очевидно, тем самым М превращается в Л-модуль, который назы-
называется прямой суммой модулей Aflt ..., Мп и обозначается
п
Mi ® ... ® Мп или ф Mt. Как векторное пространство М — это
прямая сумма пространств Afi, ..., Мп.
Если п = 2, a {et, ...,eh} и{/ь ... /,} — базисы, соответственно, в
-AIi и Af2, то легко проверить, что {(ei, 0), .... (eh, 0), @, Д), . . .
..., @, /,)} — базис в Afi © M2 и соответствующее представление
• «меет вид A), где 7\ (а) и Т2 (а) — представления, соответствующие
Afi и Мг.
* Модуль М, изоморфный Afi ф Мг, где Мi и Мг — ненулевые мо-
„дули, называется разложимым. Мы дадим внутреннюю ха-
характеристику разложимых модулей.
Пусть N и L — два подмодуля модуля М. Определим отобра-
отображение / : jV ® L -> М, положив f (х, у) = х + у, где х 6 N, у 6
? L. Тривиально проверяется, что / есть гомоморфизм, a Im/ =
= L + N. Вычислим Кег /.
26
Если (х, у) е Кег /, то х + у = 0, т. е. х = —у. Поэтому х 6
? yV Л L. Наоборот, если х ? N () L, то элемент (х, —х) модуля
Л' © L лежит в Кег /. Итак, Кег f ~ N f) L, откуда следует такое
предложение.
Предложение 6.1. Гомоморфизм f : N ® L^- M (N, L—под-
L—подмодули в М), определенный формулой f (х, у) = х + у, есть изомор-
изоморфизм тогда и только тогда, когда N + L = М, a N(]L = 0.
Если эти условия выполнены, говорят, что М разлагает-
разлагается в прямую сумму своих подмодулей /V и L, и пишут
М = N © L. Подмодуль L в этом случае называется дополне-
дополнением подмодуля N (и наоборот). Говорят также, что подмодуль
N выделяется прямым слагаемым нз модуля М.
Один и тот же подмодуль в М может иметь различные дополнения
(даже в простейшем случае, когда А —К, т. е. модули — это просто
векторные пространства). Однако все дополнения изоморфны между
собой: легко видеть, что каждое из них изоморфно фактормодулю
M/N.
Предложение 6.2. Следующие условия равносильны:
1) подмодуль N модуля М выделяется прямым слагаемым;
2) существует гомоморфизм р : М -*¦ N, такой, что р (х) = х
для любого х ? N;
3) существует гомоморфизм i : M/N -*• М, такой, что i (у) 6
6 у для любого класса у 6 MIN'.
Доказательство. 1)=> 2). Если М = N ® L, то
всякий элемент т ? М однозначно представим в виде т = х + у,
где х ? N, у g L. Положим р (т) = х. Из однозначности сразу сле-
следует, что р (т + т') = р (т) + р (т') для любого т' 6 М, а
р (am) = ар (т), р (та) — р (т)а для любых а ? К, а € А, т. е.
р — гомоморфизм. Если же х 6 N, то х = х + 0, откуда р (х) =
= х.
2) =>¦ 3).Определим значение i на классе т = т -\- N по правилу
i (т) = т — р (т). Если т' — другой элемент из того же класса,
то т! = т 4- х, где х? N, откуда т' — р (т') = т + х — р (т) —
— р (х) = т — р (т), т. е. наше определение не зависит от выбора
представителя в классе т. Легко проверить, что i — гомоморфизм,
причем, так как р (т) 6 N, i (т) 6 т + N = т.
3) => 1). Обозначим L = 1пн. Поскольку i (m) б т, где т =
= т -{- N, т — i (т) (: N, и запись т — (т — i (m)) + i (m) пока-
показывает, что N + L = М. Если же х 6 N П L, то х — i (у), где
у = х + N = N, т. е. у = 0 в MIN, и потому х = 0. Итак, N Л
C\L = 0hM = N®L.
Гомоморфизм р часто называют проектором на подмо-
подмодуль N. Как и дополнение, проектор определен неоднозначно.
Прямая сумма нескольких модулей также допускает внутрен-
внутреннюю трактовку.
Теорема 6.3. Пусть Mit ..., Mk — подмодули модуля М, f :
: Mt ® ... © Mk -*¦ М — гомоморфизм, определенный формулой
27,

' (mit .... mk) = mi + m2 + ... + mk. Тогда следующие исловия
равносильны:
1) f — изоморфизм;
2) Mi + ... + Mk = м и Mt[) (У Mj) = 0 для любого i;
3) Mi + ... + Mk = M и Mt П ('^ Af^ = О «Эля любого i > 1.
Доказательство. 1)=^2)Г Эпиморфность /, очевидно,
означает, что M = Mi+...+Mk. Далее, если х6уИ;П (У, М,\, то
х= V mh где т; 6 Му- Полагая mt= —х, получаем f (ть . ..
/;#
..., mft) = 0, откуда ввиду мономорфности f следует т{ = ... =
2) =>• 3) очевидно.
3) => 1).Из условия Afi + •-. + Mk = Af следует эпиморфность
/. Далее, если / (т4, ..., mft) = Ои i — последний номер, для кото-
которого тгф0, то т, = — ^rrij(: Mt(}l\Mj\, что невозможно.
Поэтому rrii = ... = mft = 0 и / — мономорфизм.
Если выполняются равносильные условия теоремы 6.3, то го-
говорят, что модуль /И разлагается в прямую сумму
подмодулей Mi Mk, и пишут М = Mi ® ... ® Мк.
Внешнее и внутреннее определения прямой суммы равносильны:
если М = Mt ® ... ф Mh — внешняя прямая сумма, то множество
элементов @, ..., О, ти 0, ..., 0) (все координаты, кроме i-й, равны 0)
образует подмодуль Mt в модуле М, причем легко проверить, что
Mt ~ Mt и М = М[ ф ... ф Mk (внутренняя прямая сумма).
Очевидно, всякий (конечномерный) модуль можно разложить
в прямую сумму неразложимых модулей. В гл. III мы увидим, что
такое разложение однозначно ( с точностью до изоморфизма и пе-
перестановки слагаемых). Поэтому если нам известны неразложимые
модули над какой-либо алгеброй А, то мы можем описать все Л-мо-
дули. Однако во многих случаях описание неразложимых модулей—
это очень трудная задача, подчас недоступная известным в нас-
настоящее время методам.
В этом параграфе мы докажем основные тео-
§ 7. Эндоморфизмы. Ремы> устанавливающие связь теории представ-
Пирсовское лений со структурной теорией алгебр. Эти
разложение результаты будут играть главную роль в по-
последующих главах книги.
Напомним, что в § 2 мы определили действия над гомоморфизма-
гомоморфизмами модулей и установили, что для любых двух Л-модулей М и N
множество \\охла(М, N) можно рассматривать как векторное про-
пространство над полем" К- Особенно важным является тот случай,
когда М = N. Гомоморфизмы из Hom,i(Af, M) всегда можно пере-
28
множить. Значит, пространство Нотл(М, М) превращается даже в
/(-алгебру. Эта алгебра называется алгеброй эндомор-
эндоморфизмов модуля М и обозначается Еа (М). Ее элементы (гомо-
(гомоморфизмы М в себя) называются эндоморфизмами М.
Обратимые элементы этой алгебры, т. е. изоморфизмы М на М,
называются автоморфизмами М.
Посмотрим, что дают введенные понятия в случае регулярного
модуля. Пусть / : А -*¦ М — гомоморфизм регулярного модуля в
произвольный модуль М. Тогда для любого элемента а 6 Л f (а)=
= f Aа) = f A) а = Шоп, где щ = / A) — фиксированный эле-
элемент М- Наоборот, если зафиксировать произвольный элемент пц 6
? М и положить f (a) = 1ща, то, как легко проверить, мы получим
гомоморфизм f : А ->- М. Таким образом, мы установили взаим-
взаимно однозначное соответствие между элементами М и гомоморфизма-
гомоморфизмами из Ноша(А, М). Если fag — два таких гомоморфизма, причем
/A) = mo, g(l) = ти to(J4- g)(l) = Шо + nii и (а/) A) = атодля
любого К. Следовательно, наше взаимно однозначное соответствие
есть изоморфизм векторных пространств.
Пусть теперь М = A, f и g — эндоморфизмы Л, причем f A) =
= а, g(l) = b. Тогда (fg) A) = / (g A)) = / (b) = f A) b = ab.
Поэтому взаимно однозначное соответствие между Л и Еа(А) есть
изоморфизм алгебр.
Итак, мы доказали такую теорему.
Теорема 7.1. Соответствие f -*¦ f A) есть изоморфизм векторных
пространств Нот^Л, М) и М. Если М = А, это соответствие
является изоморфизмом алгебр Еа (Л) и Л.
Алгебра эндоморфизмов — это подалгебра в алгебре всех ли-
линейных преобразований пространства М. Она состоит из тех пре-
преобразований, которые перестановочны со всеми преобразованиями
Т (а), а 6 Л, где Т—представление, определенное модулем М.
Таким образом, алгебра Еа (М) возникает вместе с некоторым своим
точным представлением (вернее, антипредставлением, поскольку.
эндоморфизмы мы договорились записывать слева от элементов, а
линейные преобразования — справа). Соответствующий левый мо-
модуль естественно отождествить с векторным пространством М, на.
котором эндоморфизмы действуют по правилу: fm = f (m) (значение
/ на элементе m ? М).
Итак, каждый Л-модуль М можно рассматривать как левый
модуль над алгеброй ЕА (М). Нетрудно проверить, что если М =
= Л — регулярный модуль, то соответствующий левый модуль над
алгеброй ?,4(Л)~Л есть просто левый регулярный модуль.
Аналогичные рассуждения справедливы и для левых модулей.
При этом гомоморфизмы левых модулей удобно записывать справа г,
от элементов. Образ m при гомоморфизме / будем обозначать через,
mf; соответственно, произведение fg определим по правилу m (fg) =
= (mf) §¦ В таких обозначениях левый Л-модуль превращается в
правый модуль над своей алгеброй эндоморфизмов. Имеет место
также аналог теоремы 7.1.
29

Как же связано строение алгебры эндоморфизмов со строением
самого модуля, в частности с разложениями в прямую сумму?
Пусть М разлагается в прямую сумму своих подмодулей М —
= Mi ® ... ® Ms. Это означает, что всякий элемент т 6 М одно-
однозначно представим в виде суммы т = т^ + ... -f- ms, где mt ? Mt.
Обозначим тг = егт. Из однозначности сразу следует, что еь (т +
+ п) = etm + etn, et (am) = aet (m) и e, (ma) = (etm) а для любых
элементов т, п 6 M; a ? K; a 6 А, т. e. ef — эндоморфизм Af. Кроме
того, если т 6 Af;, то e;m = m, a e^/n = 0 при / =^= t, откуда следу-
следует, что efix = б,^„ где 6^ — символ Кронекера (8и = 1 при i =
= / и бц = 0 при i ф /). Наконец, из определения et вытекает, что
т = ецп + ... + esm, т. е. d + ... + es = 1.
Элемент е алгебры А называется идемпотентом, если
е2 = е. Два идемпотента е и /, такие, что ef — fe = 0, называются
ортогональными. Равенство 1 = d + ... + es, где eit ...
..., е8 — попарно ортогональные идемпотенты, будем называть
разложением единицы алгебры А.
Теорема 7.2. Существует взаимно однозначное соответствие
между разложениями А-модуля М в прямую сумму подмодулей и
разложениями единицы алгебры Е = Еа (М).
Доказательство. Мы уже сопоставили всякому разло-
разложению модуля М разложение единицы алгебры Е. Пусть теперь
1 = ei + ... + es — разложение единицы алгебры Е. Положим
Mt = Im et. Для любого элемента т? М тогда т = (ei + ... +
+ ея) т = etm + ... -f esm, причем etm 6 М,. Если т = rrii +
+ ... + ms — какое-нибудь представление элемента т в виде сум-
суммы элементов mt 6 Mlt то т, = etx( для некоторого xt 6 М. Поэтому
= e,x, = m,
(ввиду ортогональности идемпотентов ег и ^ при t Ф /). Следова-
Следовательно, такое представление однозначно, т. е. М = М4 ® ... ф Afs.
Следствие 7.3. Модуль М неразложим тогда и только тогда,
когда в алгебре Еа (М) нет нетривиальных (т. е. отличных от 0 и 1)
идемпотентов.
Доказательство следует из того, что если е — нетри-
нетривиальный идемпотент, то / = 1 — е — также нетривиальный идем-
потент, ортогональный к е, а тогда 1 = е + / есть разложение еди-
единицы.
Сравнивая теоремы 7.1 и 7.2, получаем такое следствие.
Следствие 7.4. Существует взаимно однозначное соответствие
между разложениями модуля М и разложениями регулярного
модуля над алгеброй ЕА(М).
Заметим, что если 1 = ^ + ... + es — разложение единицы
алгебры А, то соответствующее разложение регулярного Л-модуля
имеет вид А = е\А ® .Т. ф esA. Это разложение называется пра-
правым пирсовским разложением алгебры А. Анало-
30
гично определяется левое пирсовское разложение:
А = Aei ® ...ф Aes (это есть разложение левого регулярного мо-
модуля)-
Более того, если М — произвольный Л-модуль, то данное раз-
разложение единицы алгебры Л индуцирует разложение М как век-
векторного пространства М = Met ф ... ф Mes. Поскольку / (тег) =
= (fm)e, для всякого эндоморфизма f 6 ЕА(М), это разложение яв-
является даже разложением М как левого Еа (М)-модуля (но, вообще
говоря, оно не является разложением М как Л-модуля). Мы будем
называть это разложение пирсовским разложением
модуля М.
Слагаемые егА правого пирсовского разложения алгебры А яв-
являются правыми идеалами, т. е. Л-модулями. Применяя к ним пир-
пирсовское разложение модулей, мы получаем такое разложение век-
векторного пространства Л:
t'Ji ' 1!
= ® etAe,.
A)
Это разложение называется двусторонним пирсов-
пирсовским разложением, или просто пирсовским раз-
разложением алгебры Л. Компоненты пирсовского разло-
разложения Ati = etAej, вообще говоря, уже не являются ни правыми,
ни левыми идеалами. Тем не менее, это разложение дает удобную
интерпретацию элементов алгебры Л в виде некоторых матриц.
Пусть а и Ь — два произвольных элемента алгебры А. Разло-
Разложим их согласно пирсовскому разложению A): a = ^atj, b =
Где aU =
^ефе}. Тогда
bu), a
ч
1.1
2
I,/
ni tin "о
поскольку при k ФI aihbu = e-fle^exbe^ = 0. Таким образом, et (ab) e}=
= V aihbhj. Это дает возможность записать элемент а в виде мат-
*
рицы из его пирсовских компонент
B)
-'.in
ati .. .as
Как мы только что видели, сложение и умножение элементов при
этом перейдет в сложение и умножение матриц, определенные обыч-
обычным образом. В дальнейшем мы часто будем пользоваться такой
31

записью. В частности, пирсовское разложение A) мы будем запи-
записывать в виде
/Аи ---А
V Asi ...A,
Применим пирсовское разложение к алгебре эндоморфизмов мо-
модуля М, разложенного в прямую сумму М =>= Mi ф ... ф Ма.
Пусть 1 = «1 + ... + es — соответствующее разложение единицы
алгебры Е — ЕА (М); Ei} = егЕе}. Пирсовское разложение эле-
элемента / ? Е имеет вид
ц<
Пусть т*тщ-\-... + т, — произвольный элемевт из М (mt
) Тогда ,
У ,f, '•/ '•/ -, 'М • Г ' Vh:
х е. если записать т в виде столбца из элементов'ht.,... tii?l'\
vt}< r."-"<;.!fF I' ' •:
Mt fm=( "'."!. II : I.
где умножение будем понимать по-прежнему в обычном матричном
смысле.
Заметим, что fltm всегда лежит в Mt. Кроме того, значение fiSm
однозначно определяется компонентой т} = efm, так как fi}m =
= fumj- Поэтому ftJ естественно интерпретировать как гомомор-
гомоморфизм Mj-+Mi. Наоборот, если g : M}-*- Mt— любой гомомор-
гомоморфизм, можно определить гомоморфизм g : М -*¦ М по правилу
gm = grrij (где т, = е}т), и, очевидно, g будет лежать в Еи. Сле-
Следовательно, Ei} ~ Hom^ (Mj, Mt), и мы всегда будем отождеств-
отождествлять Е1} и HomA(Mj, Mt) при помощи этого изоморфизма.
В частности, возвращаясь к регулярному Л-модулю, мы видим,
что для любого разложения единицы 1 = е^ + ... + es алгебры А
компоненты пирсовского разложения А{) = etAej естественно отож-
отождествляются с HomA(ejA, etA), причем это отождествление согла-
согласовано с матричной записью B) элементов алгебры.
Наконец, интересный результат получается, если все слагае-
слагаемые Ми ..., М„ изоморфны между собой: Mi ~ ... ~ Ms ~ L.
В этом случае мы будем писать М ~ sL. Очевидно, тогда Е и ~
32
~ Е (L), и матричная запись эндоморфизмов приводит к такому
Теорема 7.5. Если М ~ sL, то алгебра ЕД(М) изоморфна ал-
алгебре матриц размерности s с коэффициентами из ЕА (L).
В дальнейшем алгебру матрнц размерности п с коэффициентами
из некоторой алгебры А мы будем обозначать Мп (А).
Следствие 7.6. М„ (А, ~ ЕА (пА).
В заключение рассмотрим связь идемпотентов с прямыми про-
произведениями алгебр.
Пусть А = Ai X ... X Ah. Положим et = @, ..., 1, ..., 0) (на
1-м месте — единица алгебры Ah на остальных — нули). Очевидно,
ei, •••. ?ft — попарно ортогональные идемпотенты и 1 = ei + ... +
+ ek. Однако идемпотенты et обладают дополнительным свой-
свойством — все они лежат в центре алгебры, т. е. eta = aet для любого
аб А.
Идемпотенты, лежащие в центре, называются цетральны-
м и. Если в разложении единицы все идемпотенты центральны, то
само разложение называется центральным.
Для всякого центрального разложения единицы 1 = е4 + ... +
+ eh, конечно, etA = Aet = etAet, a etAej = ехе,А = 0 при i Ф
Ф /. Таким образом, правое, левое и двустороннее пирсовские раз-
разложения в этом случае совпадают, а их компоненты являются иде-
идеалами алгебры А.
Теорема 7.7. Существует взаимно однозначное соответствие
между:
1) разложениями алгебры А в прямое произведение алгебр;
2) центральными разложениями единицы алгебры А;
3) разложениями А в прямую сумму идеалов.
Доказательство. Мы уже построили по всякому раз-
разложению в прямое произведение центральное разложение единицы,
а по нему — разложение в прямую сумму идеалов.
Наоборот, пусть А — It ф ... ф Ik, где /г — идеалы, и 1 =
= ei + ... + ek — соответствующее разложение единицы. Тогда
/( = etA, поэтому etaej 6 /г П h Для любого а 6 А, откуда следует,
что etaej = 0, т. е. ехАе^ = 0 при i Ф /, и пирсовское разложение
имеет вид
А=
где At = etAei — etA. Но тогда А ~ Ai X ... X Ak, что и требо-
требовалось доказать.
Следствие 7.8. Существует взаимно однозначное соответствие
между разложениями в прямое произведение алгебры А и ее центра.
Из доказательства теоремы 7.7 видно, что разложение единицы
1 = ei + ... + et центрально тогда и только тогда, когда егАе} =
¦ 9-907
33

= 0 при i Ф /. Учитывая интерпретацию пирсовских компонент для
алгебры эндоморфизмов, мы получаем такой результат.
Следствие 7.9. Если М — Mt®...®Ms, причем HomA(MhMt)=
= 0 при i ф /, то ЕА (М) ~ ЕА (М,) X ... X ЕА (Ма).
Упражнения к главе I
1. Вычислить регулярное матричное представление поля С комплексных чисел
и алгебры Н кватернионов (иад полем вещественных чисел) в естественных бази-
базисах ({1, i} для С и {1, 1, /, k} для Н).
2. Используя регулярное представление, доказать, что алгебра кватернио-
кватернионов есть тело.
3. Пусть Л — алгебра над полем комплексных чисел с базисом {е, I, /, k) и
такой же таблицей умножения, как в алгебре кватернионов. Найтн в алгебре А
делители нуля. Установить изоморфизм Л ~ М2 (С).
4. Найтн центр и идеалы алгебры Мп (/С).
5. Вычислить регулярное матричное представление жордановой алгебры
Jп (К), найти все ее идеалы.
6. Доказать, что всякая моногенная алгебра над алгебраически замкнутым
полем изоморфна прямому произведению жордановых алгебр (Указание:
использовать теорему Кэли н жорданову нормальную форму матриц.)
7. Пусть М — числовое я-мерное пространство, рассматриваемое как модуль
над алгеброй Л = Тп (К) треугольных матриц (в соответствующем представлении
матрице X сопоставляется оиа сама).
Найти подмодули модуля М н соответствующие представления. Построить в
М композиционный ряд. Показать, что модуль М неразложим. Вычислить
ЕА(М).
Mi, ..., Мк — подмодули в М, I — естественный гомо-
М, определенный в § 6, то Кег f, ~ Nz ф ... ф N.
8. Доказать, что если
морфизм Mi ф ... ф Mk -н
где АГ, =
24
К1 I
9. Пусть М — циклический модуль над алгеброй А с образующим т. Дока-
Доказать, что М с~ Л/Апп т. Проверить, что если Ann m — идеал в А (например, ес-
если А коммутативна), то Ann т = Ann М и для любого образующего т' Ann m' =
= Ann т.
Показать, что, если алгебра А некоммутативна, Ann m может зависеть от вы-
выбора образующего т. (У к а з а н и е: в качестве А взять Мп (К), а в каче-
качестве М — числовое я-мерное пространство.)
10 (пнрсовское разложение идеала). Пусть / — идеал в алгебре А, 1 = е^ -\-
+ ... + е —разложение единицы этой алгебры. Доказать, что элемент а =
а{. (a.j 6 e.Aej) принадлежит / тогда и только тогда, когда а.. 6 е{/е..
П. Используя упражнение 10, описать идеалы алгебры треугольных матриц.
12. Пусть А — алгебра, вообще говоря, без единицы, А — алгебра, получен-
полученная присоединением единицы к А (см. § 1)
А = Ца, с)\а?А, с?К}.
а) Доказать, что элементы вида (а, 0) образуют в А идеал, который изоморфен
А (как алгебра без единицы).
б) Отождествим А с идеалом, построенным в п. а). Доказать, что всякий иде-
идеал алгебры А содержится в А (то же — для правых и левых идеалов).
в) Если в А есть единица, показать, что А ~ А X /С.
34
г) Доказать, что всякий гомоморфизм алгебр без единицы / : А -*¦ В одно-
однозначно продолжается для гомоморфизма },: А -* В алгебр с единицей и всякий го-
гомоморфизм алгебр с единицей g : А -*¦ В отображает А в В. В частности, А ~ В
тогда н только тогда, когда А ~ В.
13 Определим представление алгебры без единицы А как гомоморфизм /.:
:A-*'E(V).
а) Дать определение модуля над алгеброй без единицы и устаиовить связь
между модулями и представлениями.
б) Пусть М — модуль иад алгеброй без единицы А. Положим т (а, с) = та-\-
+ cm (а € А, с 6 К). Показать, что тогда М превращается в Л-модуль.
в) Проверить, что для любых 4-модулей М и N Нотл (М, N) = Hom_(Ai,
А
IV), если М н N рассматривать как Л-модули по правилу, определенному в п.
б). В частности, М = N как Л-модули тогда и только тогда, когдаМ са N как
Л-МОДУЛИ. ,(,! g ,- ,; ,-(.. г;. ...,,А ¦.;..;< .<\|
У.
¦>
, \j II '¦ А
• \ .ГЛАВА К».
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
Классическая теория полупростых алгебр — это, по-видимому,
наиболее яркий пример того, как «модульные» методы дают возмож-
возможность получать глубокие структурные результаты. В то же время
полупростые алгебры и их представления играют важнейшую роль
во многих разделах математики. В этой главе мы установим основ-
основные свойства полупростых алгебр и модулей над ними и докажем
теорему Веддербёрна—Артина, которая дает полную классифика-
классификацию таких алгебр. Основную роль при этом будут играть результаты
гл. I (особенно § 7) и описание гомоморфизмов простых модулей —
так называемая лемма Шура.
Напомним, что ненулевой модуль М называ-
§ 1. Лемма Шура ется Пр0СТЫМ1 если в нем нет нетривиальных
(т. е. отличных от 0 и М) подмодулей. Мы выяснили их значение
в теории модулей: всякий модуль получается из простых после-
последовательными расширениями. В то же время простые модули иг-
играют важную роль и в структурной теории, что во многом опре-
определяется следующими результатами.
Теорема 1.1 (Шур). Если U и V — простые А-модули, то всякий
ненулевой гомоморфизм f : U -v V есть изоморфизм.
Доказательство следует из того, что Кег/ и Im/
— подмодули, соответственно, в U и V, причем если / Ф 0, то
Кег / Ф U и Im/ Ф 0, а потому Кег / = 0 и Im / = V, т. е. / —
моно- и эпиморфизм и, значит, изоморфизм.
Следствие 1.2 (Шур). Алгебра эндоморфизмов простого модуля
есть тело.
35

Действительно, всякий ненулеюй элемент этой алгебры есть
изоморфизм и потому обратим.
Следствие 1.3. Регулярный А-модуль прост тогда и только тог-
тогда, когда алгебра А есть тело.
Доказательство следует из изоморфизма А ~ ЕА (А)
(теорема 1.7.1) и того, что в теле нет нетривиальных правых идеа-
идеалов.
Отметим, что обращение леммы Шура неверно: существуют не-
непростые модули М, для которых Ед(М) — тело (см. упражнение
7 гл. I).
Модуль М называется полупростым,
модулиОиУалгебЫы если он изомоРФен прямой сумме простых мо-
модулей.
Полупростому модулю соответствует вполне приводи-
приводимое представление, т. е. представление Т вида
Т(а) =
О
Тп(а)
где Т; — неприводимые представления.
Предложение 2.1. Следующие условия равносильны:
' 1) модуль М полупрост;
т
2) М = V Мit где Mt — простые подмодули в М;
3) у всякого подмодуля N cz M есть дополнение;
4) у всякого простого подмодуля N а М есть дополнение.
Доказательство. 1) =»- 2) по определению.
2) => 3). Если М = ^ Mi' то тем более м = N + 2 М'- Заме'
тим теперь, что из простоты модуля Mj следует, что либо М,{\
П (N+ УМг)=0, либо MjCzN + ^Mj. Опустив те Mh для
которых Mj cz N + 2 ^i, мы получим такой набор подмодулей
Nh, что N + 2 Nh = М н Nif\(N + ^ Nk) = 0. Но тогда М есть
h *<;
прямая сумма подмодулей N и Nh (теорема 1.6.3) и N' = V Nh —
*
дополнение к jV.
3) => 4) очевидно.
4) =^ 1) легко доказывается индукцией по длине I (M) модуля
М. Если / (М) = 1, то уже модуль М прост. Пусть / (М) > 1 и U —
36
ппостой подмодуль в М. Тогда М = U ф U', где ?/' — какое-ни-
какое-нибудь дополнение к U в М, a I (М) = I (U) + I ((/'), т. е. I (U1) =
J. i Щ) — 1. Если Л^ — простой подмодуль в U' и N' — его до-
дополнение в М, то любой элемент х 6 U' представим в виде х = п +
-f- п', где я 6 W. п' 6 ЛГ, отсюда п' = х — п ? N' f) ^'- Таким об-
образом, ?/' = ^ Ф W П ^'), т. е. в U' всякий простой подмодуль
имеет дополнение. По индукционному предположению U' ~
п "
~ Ф Ut. Поэтому М ~ ф U,, где Ut = U.
1=2 '=1
Следствие 2.2. Всякий подмодуль и фактормодуль полупростого
модуля полу прост.
Доказательство. Пусть N — подмодуль полупростого мо-
модуля М, я :М->- M/N — проекция М на фактормодуль. Если М =
т
= VAf,, где Mj —простые
1
модули,
то M/yV= V я(Мг).
Но
г=1 il
л (Мг) — фактормодуль Мь поэтому либо я (Mt) = 0, либо л (Mt) ~
о^ Мг. Таким образом, Л1/Л^ — сумма простых подмодулей и пото-
потому полупрост.
Полупростота подмодуля N следует из того, что если N' — до-:
полнение к N в М, то N ~ M/N'.
п
Если М — полупростой модуль, М = ф ?/г — его разложение в
i=i
прямую сумму простых подмодулей, то Mj = ®Ut (/ = 0,1, ..., л)—
'¦>;
подмодули в М, причем M,_i id M j и Mj-\/Mj~Uj. Таким обра-
образом, Af -=/W0 :э Ml r>. .. id Mn = 0 — композиционный ряд в М,-
a Ult...,Un — его простые факторы. Тогда из теоремы Жордана—,
Гёльдера A.5.1) следует такое предложение.
Предложение 2.3. Если М—полупростой модуль, M~Ui ф...
... ф Un ~ Vt ф ... ф Vm — два разложения М в прямую сум-
сумму простых модулей, то п = т и при подходящей нумерации сла-
слагаемых Ut ~ Vj для всех i.
Алгебра А называется полупростой, если ее регулярный модуль
полупрост. Простые подмодули регулярного правого (левого)
Л-модуля называются минимальными правыми (ле-
(левыми) идеалами алгебры А.
Следующая лемма, вместе с предложением 2.1, дает возможность
получить «внутреннюю» характеристику полупростых алгебр.
Лемма 2.4 (Брауэр). Если I — минимальный правый идеал в ал-
алгебре А, то либо I2 = 0, либо I = еА, где е — идемпотент.
Доказательство. Предположим, что /2 =^= 0, т. е. в
/ найдутся такие элементы, хну, что ху Ф 0. Тогда отображение
f : I -*¦ I, такое, что / (а) = ха, есть ненулевой гомоморфизм, и,
поскольку / — простой модуль, является изоморфизмом (теоре-
(теорема 1.1). Поэтому найдется элемент е ? 1, для которого х = хе. Но
в этом случае хе = хе2, т. е. / (е) = f (е2), а значит, е — е2, т. е.
37

e — идемпотент. Наконец, еА — ненулевой подмодуль в /, поэтому
/ = еА.
Правый (левый, двусторонний) идеал / алгебры А называется
нильпотентным, если 1т = 0 для некоторого т.
Следствие 2.5. Следующие условия равносильны:
,4 1) алгебра А полупроста;
| 2) всякий правый идеал в А имеет вид еА, где е — идемпотент
3) всякий ненулевой идеал в А содержит ненулевой идемпотент;
;, 4) в алгебре А нет ненулевых нильпотентных идеалов;
5) в алгебре А нет ненулевых нильпотентных правых идеалов.
Доказательство. 1) =»- 2). Если / — правый идеал, то
по предложению 2.1 А = / ф /', где /' — дополнение к /. Поэтому
1 — еА, где 1 = е -\- е' — соответствующее разложение единицы
(теорема 1.7.2).
2) =$- 3) очевидно.
3) =»- 4) следует из того, что если е — ненулевой идемпотент,
то ek = е Ф О для любого k.
4) =>- 5). Если / Ф О — нильпотентный правый идеал, то Л/ —
двусторонний идеал в А, причем (А1)т = А1т, поэтому и Л/ ниль-
потентен.
5) => 1). Если / — простой подмодуль регулярного модуля, т. е.
минимальный правый идеал алгебры А, то I2 Ф О и по лемме 2.4
I = еА. Поэтому у / есть дополнение /' = A — е) А и по предложе-
предложению 2.1 алгебра А полупроста.
Заметим, что условия 3) и 4) следствия 2.5 симметричны отно-
относительно понятий «правый» и «левый». Поэтому «левая полупросто-
полупростота», т. е. полупростота левого регулярного модуля, эквивалентна
полупростоте, и к условиям следствия 2.5 можно добавить все
условия, которые получаются из них заменой слова «правый» на
«левый».
Полученный критерий легко переформулировать в терминах эле-
элементов. Для этого сопоставим элементу а ? А правый идеал аА =
= {ах\х 6Л} (правые идеалы такого вида называются главны-
главными) и выясним, что означает нильпотентность этого идеала. Вся-
Всякий элемент из (аА)т есть сумма элементов вида axiax2...axm, где
xi хт — произвольные элементы алгебры. Поэтому (аА)т = О
тогда и только тогда, когда всякое произведение такого вида равно
нулю. Иными словами, как только в произведении a\a^...at элемент
а встречается т раз, это произведение равно 0. Такие элементы на-
называются существенно нильпотентным и.
Следствие 2.6. Алгебра А полупроста тогда и только тогда,
когда в ней нет ненулевых существенно нильпотентных элементов.
Следствие 2.7. Коммутативная алгебра полупроста тогда и
только тогда, когда в ней нет нильпотентов (т. е. таких элементов
а Ф 0, что ат = 0).
Действительно, в коммутативной алгебре всякий нильпотент,
очевидно, существенно нильпотентен.
38
Заметим,' что в некоммутативной алгебре могут быть нильпо-
тенты, которые не существенно нильпотентны. Например, в мат-
матричной алгебре М2 (К) матричная единица ei2 нильпотентна: е\2 =
= 0, но e2i^i2 = е22 — идемпотент, поэтому ei2 не существенно ниль-
нильпотентен.
Нетрудно проверить, что в М2 (К) существенно нильпотентных
элементов, кроме нуля, нет (рекомендуем читателю убедиться в
этом).
Следствие 2.8. Центр полупростой алгебры полу прост.
Доказательство следует из того, что для элементов
центра нильпотентность, очевидно, равносильна существенной ниль-
нильпотентности.
Наконец, из наших рассмотрений вытекает следующий важный
критерий полупростоты, уже в терминах теории представлений.
Теорема 2.9. Алгебра А полупроста тогда и только тогда,
когда у нее есть точный полупростой модуль 2.
Доказательство. Необходимость нашего условия не-
немедленно следует из того, что регулярный модуль точен. Покажем
достаточность.
л
Пусть М ф Ut, где Ut — простые Л-модули, — точный мо-
модуль. Если 1ф0— идеал алгебры Л, то из точности модуля М
следует, что и{1ф0 для некоторого i. Но тогда UtI = Uit значит,
?/./"• = Ut. Поэтому Г ф 0 ни для какого т. По следствию 2.5
отсюда следует полупростота алгебры Л.
Прежде чем переходить к общей теории
§ 3. Векторные полупростых алгебр и их представлений, мы
рассмотрим векторные пространства и алгебры
матриц над телами.
Пусть D — (конечномерное) тело над К, V — (конечномерный)
левый D-модуль. V называется (конечномерным) векторным про-
пространством над телом D.
Предложение 3.1. Векторное пространство — полупростой мо-
модуль. Всякий простой левый D-модуль изоморфен регулярному.
Доказательство. Пусть V — векторное пространство
надО, Vi — произвольный ненулевой элемент (вектор) из V. Гомо-
Гомоморфизм / : D -v V, переводящий х ? D в xvi 6 V, ненулевой, и
потому Кег / = 0 (поскольку регулярный левый D-модуль прост).
Поэтому Dvi = Im f ~ D.
Если V — простой модуль, то V = Dvi ~ D. В противном слу-
случае найдется элемент и2 6 Dvi. Тогда аналогично Dv2 ^ D, при-
причем Dvi + Dv.2 строго содержит Dvi. Продолжая этот процесс,
мы в конце концов придем к равенству V =
где Dvt ~
2 Напомним, что модуль М называется точным, если точно соответствую-
соответствующее представление, т. е. Ann M = 0. >
39

о* D — простые модули. По предложению 2.1 V—полупростой
модуль, что и требовалось доказать.
Следствие 3.2. Всякое векторное пространство над телом D
изоморфно nD (прямой сумме п экземпляров регулярного модуля).
Число п при этом определено однозначно.
Однозначность следует из того, что п — это длина модуля V.
Ее обычно называют размерностью векторного простран-
пространства V и обозначают [V : D\. Очевидно, [V : Ю = \V : D] [D : Ю-
Согласно следствию 1.7.6, алгебра эндоморфизмов л-мерного
векторного пространства V над телом D изоморфна алгебре мат-
матриц Мп (D) с коэффициентами из тела?>. При этом само простран-
пространство V естественно рассматривать как правый модуль над Мп (D).
В дальнейшем элементы V мы будем отождествлять с «числовыми»
векторами (xt, ..., хп), xt ?D. Тогда действие матриц на векто-
векторы — это обычное умножение вектора на матрицу.
Предложение 3.3. Модуль V над алгеброй А = Mn(D) прост.
Алгебра Мп (D) полупроста.
Доказательство. Пусть U — ненулевой Л-подмодуль
в V, и — (u\, ..., ип) — ненулевой элемент из U. Предположим,
для определенности, что Ui Ф 0. Тогда всякий вектор х = (xt, ...,
..., хп) можно представить в виде х = иХ, где
i. S
u~lxz...u
0 ...
0 0 ... 0
Поэтому иА = V, Л-модуль V прост и алгебра Мп (D) полупроста
по теореме 2.9.
Выпишем явное разложение регулярного Л-модуля. Обозначим
через If правый идеал алгебры Мп (D), состоящий из всех матриц
вида
(О 0 ... О \ ,*л-ч-
UV»
.I,
\0 0 ... 0 /
(ненулевой является г-я строка). Сопоставляя этой матрице эле-
элемент (хи ..., хп) 6 V, мы, очевидно, получим изоморфизм /; на V.
В дальнейшем мы будем обозначать через «^матричные
единицы, т. е. матрицы, у которых на (//)-м месте стоит 1,
а на остальных — 0. В частности, 1 =«« + ... + е„„— разложе-
разложение единицы, причем еиА = It. Отсюда следует, что ЕД (V) ~
~ енАен си. D.
Предложение 3.4. Всякий модуль над алгеброй А — Мп (D)
полупрост. Всякий простой А-модуль изоморфен V, а регулярный
А-модуль изоморфен nV.
40
Доказательство. Л = Л ф ... ф /„ — разложение
регулярного Л-модуля, причем, как мы видели, lt ^ V. Если
М — произвольный Л-модуль, т — его ненулевой элемент, то
т1г — либо нулевой модуль, либо изоморфен Iit поскольку lt
п п
прост. Кроме того, т = V теа? 2 m^i< поэтому какой-то и»
i=l i=i
модулей mli ненулевой. Если сам модуль М прост, то отсюда
следует, что М = mlt ~ V. В противном случае аналогично дока-
доказательству предложения 3.1 мы представим М в виде суммы
простых подмодулей, что и завершает доказательство нашего-
утверждения.
Следствие 3.5. Два модуля М и N над алгеброй Мп (D) изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда [М : Ю = [N : Ю.
Доказательство. Если М = mV, a N = kV, то
Ш : Ю = т IV : Ю, a [N : Ю = k [V : К], т. е. т = k тогда »
только тогда, когда [М : К] = [N : Ю-
Предложение 3.6. В алгебре А = Мп (D) нет. идеалов, отлич-
отличных от 0 и А.
Доказательство. Пусть / — ненулевой идеал в Л,
¦X = (xtj) — ненулевая матрица из /, хы— ненулевой элемент
этой матрицы. Тогда eikX Ф 0 и лежит в lt (] I. Поэтому It f|
П / Ф 0 и, ввиду простоты /;, / zd /; (для всех Л). Но тогда / z>
п
zd V /, = Л, что и требовалось доказать.
i=i
Алгебры, в которых нет идеалов, отличных от 0 и самой ал-
алгебры, называются простыми. Предложение 3.6 показывает,,
что алгебра Мп (D) проста. В следующем параграфе мы увидим,,
что других (конечномерных) простых алгебр нет.
Результаты § 7 гл. I и предыдущих парагра-
§ 4. Теорема фоВ гл ц дают возможность получить основ-
еддер ерна— ртинаные СТруКТурНые теоремы полупростых алгебр.
Прежде всего из леммы Шура непосредственно следует описа-
описание коммутативных полупростых алгебр.
Теорема 4.1 (Вейерштрасс—Дедекинд). Коммутативная по-
полупростая алгебра изоморфна прямому произведению полей. На-
Наоборот, прямое произведение полей — полупростая алгебра.
Доказательство. Пусть Л — коммутативная полу-
полупростая алгебра, Л = Ui @ ... @ Un — разложение регулярного-
Л-модуля в прямую сумму простых, 1 = е\ + ... + еп — соот-
соответствующее разложение единицы. Из-за коммутативности все-
идемпотенты центральны. Тогда Л ~ At X ... X Лп, где At =
= etA ~ EA (Ut) (см. теорему 1.7.7). По лемме Шура At — тела,
а поскольку они коммутативны — поля.
Наоборот, если Л ~ Ai х ... х Ап, где At — поля, то регу-
регулярный Л-модуль имеет вид Л = Ut ф ... ф Un, где Ut — регу-
регулярный Л^-модуль, который прост.
41.

Следствие 4.2. Если поде К алгебраически замкнуто, то вся-
всякая коммутативная полупростая К-алгебра изоморфна К".
Общая структурная теорема получается комбинированием лем-
леммы Шура и матричной записи эндоморфизмов.
Теорема 4.3 (Веддербёрн—Артин). Всякая полупростая алгеб-
алгебра изоморфна прямому произведению матричных алгебр над те-
телами. Наоборот, прямое произведение матричных алгебр над те-
телами — полупростая алгебра.
Доказательство. Пусть Л — полупростая алгебра,
А ~ ntVi ф ... ф ns(Js— разложение регулярного Л-модуля в
прямую сумму простых, причем U^Uj при i Ф /. Полагая
ntUt = Mt, мы получим разложение А ~ М\ ф ... @ Мв, при-
причем Hom/4(i/i, Uj) — 0 по теореме 1.1, а значит, и HomA(Mi,
Mj) = 0. Но тогда А ~ At X ... х А„. где Л,- = ЕА (Mt) (см.
•следствие 1.7.9). Так как Mt ~ niUt, то из теоремы 1.7.5 вытекает,
что Л; ~ Mnt (Pi), где Dt = ЕД (Ut) — тело (по лемме Шура).
Наоборот, если Л = At X ... х As, где Л,- = МП( (D;), то ре-
регулярный Л-модуль разлагается в прямую сумму Л = It ф . . .
... ф /s, где /; — регулярный Л,-модуль (см. теорему 1.7.7).
По предложению 3.4 It — полупростые модули. Значит, и Л —
далупростая алгебра.
Следствие 4.4 (Молин). Если поле К алгебраически замкнуто,
¦всякая полупростая К-алгебра изоморфна алгебре вида Мп, (К) X
X ... X Мп& (К).
Следствие 4.5. Всякая простая К-алгебра изоморфна алгебре
вида Мп (D), zdeD — тело.
Доказательство. Мы уже видели, что Мп(D) —
простая алгебра. Наоборот, если алгебра А проста, то единствен-
единственный ненулевой идеал ее (сама Л) содержит ненулевой идемпотент
— 1, т. е алгебра полупроста (по следствию 2.5). Кроме того,
А должна быть неразложимой (в прямое произведение). Значит,
Л - Мп (D).
Следствие 4.6. Всякая простая алгебра над алгебраически
.замкнутым полем К изоморфна Мп (К) для некоторого п.
Теорема Веддербёрна—Артина сопоставляет
•J 5. Единственность каждой полупростой алгебре А набор (?>ь ...
разложения ..., Ds; nit .... ns), где Dt — тела, а щ — раз-
., мерности матриц,
л-мЛ1(А)х...хм„8р8). A)
Естественно возникает вопрос: однозначно ли определяются
тела Dt и размерности я,? Мы покажем, что это так. Более того,
само разложение A) фактически однозначно.
Установим вначале общий результат, касающийся единствен-
единственности разложения алгебр в прямые произведения.
Теорема 5.1. Пусть Л ~ Л( X ... х Л5 ~ В, X ... X Bt —
•два разложения алгебры А в прямое произведение неразложимых
42
алгебр, 1 = et + . . - + е, = ft + . . . + ft — соответствующие
центральные разложения единицы. Тогда s = t и, при подходя-
подходящей нумерации идемпотентов, et = ft и At ~ Bt для всех i.
Доказательство. Ввиду теоремы 1.7.7 неразложимость
At ш е,А и Вг ~ f]B означает, что если е, = е\ + е], fj = f't+
+ /\, где е\ и е] (соответственно f и Q — центральные ортого-
гальные идемпотенты, то либо е\ = 0, либо ё\ = О (соответственно
либо f't = 0, либо f. = 0). Но, ввиду центральности et и ft, ejj
не, — ejj — центральные ортогональные идемпотенты. Поэтому
либо ejj = 0, либо ejj — et. Аналогично либо ej} = 0, либо
etfj — fj. Поскольку et = et (ft + ... + /,), найдется некоторый но-
номер /, такой, что ejj Ф 0, т. е. et = ejj = /,. Но такой номер мо-
может быть только один, так как при k Ф j ejh — fjfh = 0. Отсюда,
очевидно, следует, что ч = t и, при подходящей нумерации, et =
= ft для всех i. Тогда At ~ etA = ftA ~ Bt.
Теперь мы можем установить единственность в теореме Вед-
Веддербёрна — Артина.
Теорема 5.2. Если A~Mni(Di) х... х М„^ (Da) ~ Mkl (Fi) X ...
... X Mkt(Ft), где Du ..., Ds, Fu ..., Ft — тела, mo s = t и
при подходящей нумерации nt = kt и Dt ~ Ft для всех i.
Доказательство. Поскольку в алгебре Мп (D) нет
идеалов, она неразложима. Поэтому из теоремы 5.1 сразу следует,
что s = t и при подходящей нумерации Mni(Dt) ~ M*. (Ft).
Остается доказать, что если Л ~ Мп (D) ~ Mh (F), где D и F —
тела, топ = /гиО~/7.
По предложению 3.4 у Л есть один простой модуль V, причем
Л ~ nV ~ kV, откуда п = k. Кроме того, D ~ EA(V) ~ F,
что завершает доказательство теоремы.
Простые алгебры At = Mni(Dt) называются простыми
компонентами полу простой алгебры Л. В силу теоремы
5.2 они определены однозначно. Поэтому классификация полу-
полупростых алгебр полностью сводится к описанию конечномерных тел.
Структурная теорема Веддербёрна — Арти-
§ 6. Представления на вместе с результатами § 3 позволяет дать пол-
полупростых алгебр ное описание модулей над полупростыми ал-
алгебрами.
Предложение 6.1. Пусть М—модуль над алгеброй А =
= At X ... X As, I = et + ... + es — центральное разложение
s
единицы алгебры А. Тогда М = @ Met, где Met — модули над At.
Доказательство. Met — подмодуль в М, поскольку et ле-
лежит в центре Л. Далее т = те1 -\-... + тев, и, кроме того, если
т = тх + ... + т$, где m^Mei, то те,=т1, т. е. это представ-
ление однозначно. Следовательно, М = ® Met. Но Л^e^e^ = 0 при
43

i?=j, поэтому е}А cr Ann (Met), т. е. Met — модуль над A/®etA~
сх Аи что и требовалось доказать.
Теорема 6.2. Пусть А — полупростая алгебра, Лг~ Mnt(Dt)—
ее простые компоненты (i == 1, ..., s). Всякий А-модуль полу-
прост и однозначно представим в виде © ktVt, где Vt — простой
Агмодуль. В частности, простые А-модули находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с простыми компонентами алгеб-
алгебры А.
Доказательство. В силу предложения 6.1 всякий
Л-модуль разлагается в прямую сумму Mt ® ... ф Ms, где Mt —
уже Лгмодули. По предложению 3.4 Mt ~ /г*1/г, что и доказывает
теорему (единственность следует из предложения 2.3).
В теории представлений групп важную роль играет такое след-
следствие из доказанной теоремы.
Следствие 6.3. Пусть Т и S — два представления полупростой
алгебры А над полем характеристики 0. Эти представления по-
подобны тогда и только тогда, когда tr T (а) = tr 5 (а) для любого
a€As.
Доказательство. Если представления Т и S подобны,
то матрицы Т (а) п S (а) подобны и потому имеют равные следы.
Наоборот,предположим, что tr T (а) = tr S (а) для всех а 6 А.
Пусть А = Л, х ... X As, где А, — простые компоненты Л,
1 = ei + ... -f es — центральное разложение единицы, Vt— про-
простые Л4-модули. Разложим модули М я N, соответствующие пред-
S 5
стзвлениям Т и S : М ~ ф т^У{, N ~ ф ?A/;. Если v 6 Vt, то
i=i i=i
vet = v и vej — 0 при / Ф i, откуда следует, что tr Т (et) — т$г,
a tr 5 (et) — kidlt где dt = [Vt : К]. Поэтому из равенства следов
вытекает mt = kt для всех i, т. е. М ~ Л^ и представления Г и 5
подобны 4.
Теорема 6.2 дает возможность также вычислить алгебру эндо-
эндоморфизмов модуля над полупростой алгеброй А. Для этого на-
напомним, что если Vt — простой модуль над алгеброй At =
= Mni(Dt) (простой компонентой алгебры А), то ЕД {Vt) ~ Dt.
Кроме того, по лемме Шура, Hom^, (Vt, Vj) = 0 при i ф j. По-
Поэтому матричная запись эндоморфизмов дает и такой результат.
Теорема 6.4. Если М —модуль над полупростой алгеброй А,
то алгебра ЕД (М) также полупроста. Точнее, если М — ® ktVit
где Vt — простой модуль над простой компонентой Л; = Мп. (Dt)
алгебры А, то Е& (М) ~ Et х ... х Es, где Et ~ Mk( (Dt).
8 tr X обозначает след матрицы X: если Х=(Х{,), то tr Х=ха+ •••+•«„„
4 Как видно из доказательства, достаточно требовать совпадения следов
только для элементов центра.
44
Полупростые алгебры Л и В называются однотипными,
если у них поровну простых компонент, а соответствующие тела
изоморфны.
Следствие 6.5. Алгебры А и В однотипны тогда и только тогда,
когда В ~ ЕД (М), где М — точный А-модуль.
Доказательство следует из теоремы 6.4 и того факта,
S
что точность модуля М = © ktVt означает, что kt > 0 для всех i.
Следствие 6.6. Если М — полупростой модуль над произволь-
произвольной алгеброй А, то ЕА(М) — полупростая алгебра.
Действительно, ЕА (М) = Е-А (М), где А = Л/Ann М. Но
М — точный Л-модуль, поэтому Л, а значит, и Е-А (М) — полу-
полупростые алгебры (теорема 2.9).
В заключение выведем из полученных результатов так назы-
называемую теорему плотности для полупростых модулей.
Теорема 6.7 (Бернсайд). Пусть М — полупростой модуль над
некоторой алгеброй А, В = ЕА (М), А = Ев (М) (здесь М рассмат-
рассматривается как левый В-модуль). Сопоставим каждому элементу
а 6 Л эндоморфизм а 6 А, полагая ха = ха. Тогда отображение
а -*- а есть эпиморфизм алгебр.
Доказательство. Не меняя алгебр В и Л, мы можем
заменить Л на Л/Ann М. Но если а 6 Ann M, то а = 0. Поэтому
можно считать, что М — точный модуль. Тогда алгебра Л полу-
полупроста (по теореме 2.9). В этом случае из а Ф 0 следует а Ф 0,
и надо проверить, что так построенное отображение изоморфно.
s
Пусть Л = Ai х ... X Л8, где Л, ~ М„, (Ш, а М = ф кьУ„
i=i
где V; — простой Л^модуль. Тогда В = Bi X ... X Bs, где Bt ~
~ Mki (Di), причем соответствующее разложение единицы 1 =
= ei + ... + es таково, что etM = ktVt. Обозначим простой Bs-
модуль через Ut. Тогда etM ~ rtiiUi (как В-модуль). Но [Vt :
: Ю = ntdt, где dt = [Dt : /0, a Wl : /Cl = ktdt. Поэтому [etM :
: К] = kintdi = m(/j;d(, откуда mi = nt, A = Eв (М) ~ А и моно-
мономорфизм A -*¦ А обязан быть изоморфным.
Следствие 6.8. Если U простой А-модуль, D = EA(U) — его
тело эндоморфизмов и W : D] = п, то у А есть факторалгебра,
изоморфная Мп (D).
Доказательство непосредственно вытекает из тео-
теоремы 6.7 и теоремы о гомоморфизме.
f, ,..- и! ••- : •--!
Упражнения к главе II Ь;; »И|!"Л'
1. Доказать, что неприводимое представление коммутативной алгебры над
алгебраически замкнутым полем одномерно. _,
45

2. Пусть А - коммуТативная полупростая подалгебра алгебры М (К) где
* - алгебраически замкнутое поле. Доказать, что „айдется такая м-™™! Т
что для любой матрицы Х?А SXS~l - диагоняп Наидется та*ая "атрица S,
Л и А', алгебры S называются с о п р я жТк1 ™ ™^ша- №* подалгебры,
тмыв элемент ». такой, .TL- 6 V L ZZ % Г" 'jL?" б
€ А' имеет такой вид. Уп™жйие11ГГ° %
ле, L^t;:^
«оиогеннаяподалгебра, порожденная матрицГ^пГу^Т
-ько тогда.
Т6 аЛГебрЫ> У КОТ°РЫХ люба* моногенная подалгебра полу-
б б
проста
8. Описать алгебры без нильпотентных элементов
9. Доказать, что всякий ненулевой идемпотент в алгебре М„ (D) сопряжен с
ец ^я некоторого k A < k < л)
10. Пусть X и У — две матрицы из алгебры А = Мп (К), XA={XS | S ? А),
YA = {YS I S? А). Очевидно, ХА hYA — правые идеалы. Когда они изоморфны
как А-модули?
11. Доказать, что изоморфные простые подалгебры в алгебре Мп (К) сопряже-
сопряжены.
12. Показать, что если алгебра А полупроста, то длина левого регулярного
модуля равна длине регулярного модуля (для неполупростых алгебр это, вообще
говоря, неверно).
13. Пусть А — полупростая алгебра над полем К характеристики 0, Т и S —
ее представления одинаковой размерности, причем для любого элемента а€ А
найдется такая матрица Са< что СаТ(а)С^х = S (а). Доказать, что представления
Т ч S подобны?.
. мои .и,; ,д, ¦
III
ГЛАВА
1 * ¦?•*¦
РАДИКАЛ '\', _ Д^,;1
Теоремы II.4.3 (Веддербёрна — Артина) и II.6.2 дают полное
описание полупростых алгебр и их представлений. В то же время
о строении неполупростых алгебр и модулей над ними известно
гораздо меньше, даже если поле К алгебраически замкнуто. Ос-
Основное место здесь занимает понятие радикала — наимень-
наименьшего идеала, факторалгебра по которому полупроста. Суще-
Существенным свойством радикала является его нильпотентность. Она
6 Это упражнение предложено А. В. Ройтером. ¦•-;¦
дает возможность «поднимать идемпотенты по модулю радикала».
При этом естественно возникает важный класс модулей — про-
проективные модули, находящиеся во взаимно однозначном
соответствии с полупростыми, что дает возможность доказать для
них однозначность разложения на неразложимые, а с помощью ал-
алгебры эндоморфизмов перенести этот результат и на произволь-
произвольные модули. Наконец, в последних параграфах этой главы мы вве-
введем понятие схемы алгебры и универсальной
алгебры схемы исих помощью получим некоторое (прав-
(правда, далеко не полное) описание алгебр, по крайней мере, в алгеб-
алгебраически замкнутом случае 6. В частности, отсюда получается
классификация так называемых наследственных ал-
алгебр (по-прежнему над алгебраически замкнутым полем).
Напомним, что, если не оговорено противное, все алгебры пред-
предполагаются конечномерными (бесконечномерные алгебры встре-
встретятся в § 6 как универсальные алгебры схем).
S
§ 1. Радикал Пусть М—полупростой модуль: М= ф Uit
модуля и алгебры '='
где ut — простые модули, nt — проекция М на
Ut. Тогда для любого ненулевого элемента m 6 М л; (т) Ф О
хотя бы для одного номера i. Можно сказать, что гомоморфиз-
гомоморфизмы из М во всевозможные простые модули «различают» элементы
модуля М. Нетрудно проверить, что и наоборот, если гомоморфиз-
гомоморфизмы из М в простые модули различают элементы, то М полу-
полупрост. Действительно, если W — минимальный подмодуль в М,
п ? N — ненулевой элемент, то f (л) ф 0 для некоторого го-
гомоморфизма f : М ->- U, где U — простой модуль. Но тогда
W П Кег / = 0 ввиду минимальности W. Кроме того, Im / =0,
т. е. М/Кег f ~ U и Кег / — максимальный подмодуль в М. По-
Поэтому W + Кег / = М и Кег / — дополнение в М kJV. Следова-
Следовательно, М — полупростой модуль (см. предложение II.2.1).
Для произвольного модуля М введем «меру его неполупрос-
неполупростоты»: совокупность всех элементов тбМ, таких, что / (т) = 0
для любого гомоморфизма / из М в простой модуль. Очевидно,
что эти элементы образуют в М подмодуль, который называется
радикалом модуля Ми обозначается rad M.
Поскольку для любого ненулевого гомоморфизма / : М —«- Ur
где U — простой модуль, Кег / — максимальный подмодуль в М
и наоборот, всякий максимальный подмодуль М' cz M есть ядро
проекции л : М ->- М/М', а модуль М/М' прост, радикал есть
пересечение всех максимальных подмодулей модуля М.
Теорема 1.1. Модуль М полу прост тогда и только тогда,'
когда rad M — 0. Фактормодуль M/rad M всегда полупрост. ¦ *
Доказательство. Первое утверждение мы уже дока-^
зали выше. Поэтому достаточно проверить, что rad (M/rad M) = 0.
6 В гл. VIII эти понятия будут обобщены на произвольные алгебры с сепара-
бельной факторалгеброй по радикалу.
47

Но по теореме 1.4.3 максимальные подмодули в M/rad M имеют
вид M7rad М, где М' — максимальный подмодуль в М (посколь-
(поскольку всегда М'=> rad М). Очевидно, П (M'/rad М)=( П M')/rad M=
'= О, т. е. rad (Mlrad M) = 0, и теорема доказана.
Is. \ s
Предложение 1.2. rad © АЫ = © rad Mt.
Доказательство. Всякий гомоморфизм /:М->-?/, где М=
S
= Ф Мо однозначно определяется набором гомоморфизмов ft: Mf-*-
s
->У по формуле f(mi,...,ms) = 'Sf(mi) (см. §7 гл. I). Поэтому
если mt ? rad Mt для всех i, то f (mt ms) = 0 и (mit ...,ms)?
? rad M.
Наоборот, если (mit ..., ms) ? rad M, то, рассматривая гомо-
гомоморфизмы f : M -*¦ U, для которых f} = О при / Ф i, мы видим,
что /, (ть) — 0 для любого гомоморфизма ft : М, -»- U. Следова-
Следовательно, ть 6 rad Mt, что и требовалось доказать.
Предложение 1.3. f (rad M) c= rad Л^ для всякого гомоморфизма
модулей f : М -*¦ N.
Доказательство. Если т 6 rad M, то для любого го-
гомоморфизма g : N -*¦ U, где U — простой модуль, gf (m) = О,
т. е. / (т) 6 rad N.
Этот результат позволяет по любому гомоморфизму f : М -*¦ N
построить индуцированный гомоморфизм ^:M/rad M -*• Nlrad N,
положив f (m + rad М) = f (m) + rad N.
Лемма 1.4 (Накаяма). Гомоморфизм f : М -*¦ N эпиморфен
тогда и только тогда, когда эпиморфен индуцированный им гомо-
гомоморфизм f : M/radM -+ Nlrad N.
Доказательство. Если f — эпиморфизм, то, конечно,
и f есть эпиморфизм. Наоборот, эпиморфность f означает, что
Im f + rad N = N. Но если Im/ Ф N, то Im / содержится в не-
некотором максимальном подмодуле ЛГ. Поскольку и rad Afcr W,
Im/ + radNcz N' и не совпадает с N. Следовательно, Im/ = ,V,
т. е. / — эпиморфизм.
Таким образом, эпиморфность достаточно проверять «по мо-
модулю радикала». Иногда полезна несколько другая форма этого
результата:
Следствие 1.5. Если N и L — такие подмодули в М, что
N + L = М и N с rad М, то L = М.
Доказательство представляется читателю.
Радикал регулярного модуля алгебры А называется ради-
радикалом алгебры. По определению rad A — это правый
идеал. Из теоремы l.t следует, что полупростота алгебры А рав-
равносильна равенству rad A = 0.
48 ' ->
t
Теорема 1.6. Для любого А-модуля М rad M — MR, где R =
= rad А. В частности, радикал алгебры — двусторонний идеал
и факторалгебра по нему полупроста.
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм А -*¦ М, пе-
переводящий всякий элемент a d А в та, где т — фиксированный
элемент из М (см. теорему 1.7.1). По предложению 1.3 он перево-
переводит радикал в радикал, т. е. mR cr rad M. Поэтому MR с: rad M.
В частности, AR a R, т. е. R — двусторонний идеал, а фак-
факторалгебра AIR = А полупроста по теореме 1.1.
Рассмотрим фактормодуль М = Ml MR. Он аннулируется ра-
радикалом R, поэтому его можно рассматривать как Л-модуль, по-
полупростой по теореме II.6.2. Следовательно, для любого ненуле-
ненулевого класса т. = т + MR найдется гомоморфизм / : М -*¦ 11, где
U — простой модуль, такой, что / (т) Ф 0. Комбинируя / с про-
проекцией л : М -*¦ М, мы получим гомоморфизм fn:M-*-U, для
которого /я (т) Ф 0, т. е. т? radM. Отсюда следует включение
rad M a MR, что и завершает доказательство теоремы.
Заметим, что фактически мы установили, что MR — rad M —
наименьший подмодуль в М, фактормодуль по которому полу-
полупрост.
Следствие 1.7. Всякий полупростой А-модуль является модулем
над полупростой факторалгеброй А = Air ad А. В частности, чис-
число простых А-модулей равно числу простых компонент алгебры А.
Следствие 1.8. Радикал алгебры есть пересечение всех макси-
максимальных идеалов.
Доказательство. Если / — максимальный идеал ал-
алгебры А, то АН — простая алгебра, в частности полу простой Л-мо-
Л-модуль, поэтому (All)R = 0, т. е. R а I и I/R — максимальный иде-
идеал факторалгебры А = AIR (теорема 1.4.7). Обозначим через J
пересечение всех максимальных идеалов алгебры Л. Тогда J => R
и J/R есть пересечение максимальных идеалов алгебры А. Но Л —
полупростая алгебра, поэтому J/R = 0, т. е. J = R.
Следствие 1.8 дает симметричную характеристику радикала
(свободную от понятий «правый» и «левый»). Поэтому из него выте-
вытекает, что радикал левого регулярного модуля совпадает с радика-
радикалом алгебры.
Предложение 1.9. Радикал R алгебры А —это нильпотентный
идеал, содержащий все нильпотентные правые идеалы.
Доказательство. Из теоремы 1.6 и леммы Накаямы
(следствие 1.5) следует, что #2 = rad R Ф R и вообще Rm+1 =
= rad #m Ф Rm, если только #m Ф 0. Но цепочка подпространств
R =э R2 zd ... zd Rm =з Rm+l ^d ... должна оборваться, поэтому
Rm = 0 для какого-то т.
Наоборот, если / — нильпотентный правый идеал, то (/ +
-f R)/R — нильпотентный правый идеал в полупростой алгебре
AIR. Тогда по следствию II.2.5 (/ + R)IR = 0, т. е. / + R = R-
4 - 9-907
49

-. .:. й.'яаявые. :
Следствие 1.10. Радикал алгебры есть множество всех существен-
существенно нильпотентных элементов.
Важное свойство радикала связано со следующим понятием.
Правый (левый) идеал / алгебры Л называется квазирегу-
квазирегулярным, если любой элемент 1 — х, где х € /, обратим.
Предложение 1.11. Радикал — это квазирегулярный идеал, со-
содержащий все правые и левые квазирегулярные идеалы.
Доказательство. Если х 6 R, то xk = 0 для некоторого
k, а тогда A — х) A + х + хг + ... + xk~l) = 1 — xk = 1, т. е.
1 — jc обратим. Наоборот, пусть / ф. R, где / — какой-либо правый
идеал. Тогда / ф. М для некоторого максимального правого идеала
М. Поэтому / + М = Л. В частности, 1 = х + т, где х 6 Л а
m 6 Л1. Но /и = 1 — х — необратимый элемент, так как тА ф А.
Значит, / не квазирегулярен.
Таким образом, в конечномерных алгебрах нильпотентность и
квазирегулярность совпадают.
Следствие 1.12. Всякий правый (левый) ниль-идеал (т. е. такой.,
все элементы которого нильпотентны) содержится в радикале и по-
потому нильпотентен.
Доказательство следует из того, что если / — правый
ниль-идеал, то все элементы 1 — х (х 6 /) обратимы: если хт = 0,
то A — *) A + х + ... + х-1) = 1.
В дальнейшем мы будем часто использовать еще такую харак-
характеристику радикала.
Предложение 1.13. Радикал R алгебры А —это единственный
ниль-идеал, факторалгебра по которому полупроста.
Доказательство. Радикал обладает этими свойствами,
как было показано выше. Наоборот, из того, что алгебра АН полу-
полупроста, следует, что / ~ rad Л, а из того, что / — ниль-идеал, сле-
следует, что / с: rad A.
Следствие 1.14. rad (А/1) = (R + 1I1, где R = rad A.
Доказательство. Из нильпотентности R следует ниль-
нильпотентность (R + 1I1. В то же время (A!1)I((R + 1I1) ~ Al (R +
+ /) ~ (AIR) ((R + !)/!)¦ Но A/R—полупростая алгебра, по-
поэтому всякая ее факторалгебра тоже полупроста. Значит, G?+/)//=
= rad (A/I).
Нильпотентность радикала дает мощный метод
§ 2. Подъем исследования неполупростых алгебр: подъем
ГлаевныеТемНоТд°уВли идемпотентов по модулю ра -
д и к а л а .
Лемма 2.1. Пусть I — ниль-идеал алгебры А, и — такой эле-
элемент алгебры, что и2 = и (mod /). Тогда в А существует такой
идемпотент е, что е == и (mod /).
Доказательство. Положим v = и + г — 2мг, где
г = и2 — и. Тогда иг = ги, гг 6 I2, поэтому v2 за и2 + 2иг —
— 4«2г = и + г + 2иг — 4иг =з v (mod I2). Кроме того, очевидно,
и== и (mod /). Поступая таким же образом с элементом v, мы по-
построим элемент vit такой, что vlssvt (mod /4) и у4 = v (mod I2).
50
Значит, Vi з= и (mod /)- Продолжая этот процесс и учитывая ниль-
нильпотентность идеала /, мы и построим требуемый идемпотент е.
Из леммы 2.1 легко выводится характеристика тех алгебр, у
которых регулярный модуль неразложим.
Теорема 2.2. Следующие условия равносильны:
1) регулярный А-модуль неразложим;
2) AIR — ™ело (Я = rad A);
3) в алгебре А есть единственный максимальный правый идеал;
4) необратимые элементы алгебры А образуют правый идеал7.
Доказательство. 1)=>2). Условие 1) означает, что в
алгебре Еа (А) = А нет нетривиальных идемпотентов (следствие
1.7.3). Но тогда в силу леммы 2.1 их не может быть и в полупростой
алгебре AIR, а тогда, очевидно, AIR есть тело.
2) =*¦ 4). Если AIR — тело и элемент а 6 А не лежит в R, то
класс а + R обратим в AIR, т. е. существует такой элемент b 6 А,
что ab = 1 (mod R). Но тогда по предложению 1.11 элемент ab,
а значит и а, обратим. Так как все элементы радикала необратимы,
то R — это в точности множество всех необратимых элементов, что
и доказывает 4).
4) => 3). Пусть / — идеал, состоящий из всех необратимых эле-
элементов алгебры А. Тогда любой правый идеал JФ А содержится в
/, так как обратимых элементов в J быть не может, и / — единствен-
единственный максимальный правый идеал.
3) =ф- 1) следует из того, что если модуль М разложим М =
= N © L, где N ф 0, L Ф 0, то в нем есть по крайней мере два
максимальных подмодуля N' ® L ч N @ L', где N' и L' — макси-
максимальные подмодули соответственно в N н L.
Алгебры, удовлетворяющие условиям теоремы 2.2, называются
локальными.
Из следствия 1.7.4 вытекает такое утверждение.
Следствие 2.3 (Фиттинг). Модуль неразложим тогда и только
тогда, когда его алгебра эндоморфизмов локальна.
Применим полученные результаты к прямым слагаемым регу-
регулярного модуля. Модули, изоморфные неразложимым прямым сла-
слагаемым регулярного, называются главными неразло-
неразложимыми, или просто главными. Иными словами, главный
Л-модуль имеет вид еА, где е — минимальный идемпо-
идемпотент, который нельзя представить в виде е = е' + е"', где е',
е" — ненулевые ортогональные идемпотенты. По следствию 2.3
это равносильно локальности алгебры Еа (еА) ~ еАе.
Предложение 2.4. rad (еАе) = eRe. Идемпотент е € А мини-
минимален тогда и только тогда, когда минимален идемпотент е =
= е + R алгебры А = AIR (R = rad A).
Доказательство. Очевидно, eRe— идеал в еАе, ниль-
потентный ввиду нильпотентности R. С другой стороны, eAeleRe ~
7 Поскольку условие 2) симметрично, в условиях 1), 3), 4) можно всюду пра-
правые модули и идеалы заменить левыми.
4*
51

си еАе—полупростые алгебры. По предложению 1.13 eRe =
= rad (еАе). Второе утверждение следует теперь из теоремы 2.2,
поскольку е минимален тогда и только тогда, когда еАе — тело.
Следствие 2.5. Главный модуль содержит единственный мак-
максимальный подмодуль.
Доказательство. Если еА — главный модуль, то е =
~ е + R — минимальный идемпотент, а тогда еА oz eAleR —
простой модуль и eR — максимальный подмодуль в еА. Но по тео-
теореме 1.6 eR = rad (еА) содержится во всех максимальных подмо-
подмодулях, поэтому он является единственным максимальным подмоду-
подмодулем в еА.
Предложение 2.6. Если f : еА -*• М — гомоморфизм А-модулей,
то f (е) ? Me, и, сопоставляя гомоморфизму f элемент f (e), мы уста-
устанавливаем изоморфизм векторных пространств Нот а (еА, М) ~
~ Me.
Доказательство. / (е) = f (е2) = f (е) е € Me, и если
f (е) =* g (е)> то / (еа) = f (e) a = g(e) a = g (ea) для любого а 6
6 А, т. е. / = g и отображение Нотл(еЛ, М) -> Me есть мономор-
мономорфизм. С другой стороны, ограничивая на еА гомоморфизм А ->- М,
переводящий а в та, мы получим гомоморфизм / : еА -*¦ М, пере-
переводящий е в те, т. е. отображение Ноли (еА, М) -»- Me и эпиморфно.
Следствие 2.7. Для любого гомоморфизма f : еА -*¦ М и любого
эпиморфизма g : N -»- М существует гомоморфизм ф : еА -*¦ N,
такой, что f = gy.
Доказательство. Пусть f (е) = те и п — прообраз
т в N. Тогда за ф можно принять гомоморфизм еА -*¦ N, переводя-
переводящий е в пе.
•Следствие 2.8. Если в модуле М есть всего один максимальный
подмодуль, то М изоморфен фактормодулю главного модуля.
Доказательство. Пусть М' — единственный макси-
максимальный подмодуль в М. Тогда М' = MR и M/MR — простой мо-
модуль, т. е. MIMR ~ еА для некоторого минимального идемпотен-
та е алгебры А = AIR. Но по лемме 2.1 е = е + R, где е — идем-
идемпотент в А, минимальный по предложению 2.4, и d ~ eAleR.
Обозначим через л проекцию М на еА, а через / — проекцию еА на
еА. По следствию 2.7 существует гомоморфизм ф : еА -*- М, такой,
что лф = /, причем индуцированный гомоморфизм ф : eAleR -*¦
-> MIMR есть изоморфизм. По лемме Накаямы (лемма 1.4) ф —
эпиморфизм и М ~ еЛ/Кегф.
Следствие 2.9. Главные модули еА и fA изоморфны тогда и только
тогда, когда изоморфны простые модули еА и fA (A = AIR, a =
= a + R).
Доказательство. Если еА ~ fA, то еА ~ eAleR ca
~ fAlfR с±. JA. Наоборот, пусть еА си fA. Комбинируя этот изо-
формизм с проекцией еА -*- еА, мы получим эпиморфизм g : еА -*¦
52
_> fA По следствию 2.7 g — яф, где ф : еА -> fA ,_а л — проекция
(д -rfA. Поскольку ф индуцирует изоморфизм еА ^ fA, он явля-
является эпиморфизмом (по лемме 1.4). Аналогично строится эпиморфизм
^ : fA _). еА. Но тогда фя|з и -фф — эпиморфизмы и поэтому изомор-
изоморфизмы (так как еА и fA — конечномерные пространства). Поэтому
ф и .ф также изоморфизмы, что и завершает доказательство
следствия.
Итак, между главными и простыми модулями устанавливается
естественное взаимно однозначное соответствие. Заметим, что ана-
аналогичные результаты верны и для левых модулей. Но в полупро-
полупростой алгебре Л, как легко видеть, еА ~ fA тогда и только тогда,
когда Ае ~ А] (и то, и другое означает просто, что ей/ принадлежат
одной простой компоненте). Поэтому мы получаем такой результат.
Следствие 2.10. Левые главные модули Ае и Af изоморфны тогда
и только тогда, когда изоморфны модули еА и fA.
Следствие 2.7 выражает важнейшее свойство
§ 3. Проективные главных модулей — их проективность.
М°ныеИнакрытияИВ Модуль Р над алгеброй А называется про-
проективным, если для любого эпиморфизма
g : М ->- W и любого гомоморфизма / : Р -*- N существует такой
гомоморфизм ф : Р -> М, что / = gq>. Говорят, что / можно
поднять доф, или что ф — это подъем / на М.
Предложение 3.1. Проективные модули Р и Q изоморфны тогда
и только тогда, когда изоморфны полупростые модули Р = PIPR
и Q = QIQR (R = rad A).
Доказательство. Всякий изоморфизм Р ^i. Q индуци-
индуцирует изоморфизм Р ~ Q. Наоборот, если Р ~ Q. то существует
эпиморфизм / : Р -> Q, который можно поднять до гомоморфизма
Ф : Р -*¦ Q (так как Р — проективный модуль), причем ф будет
эпиморфизмом по лемме Накаямы. Аналогично строится эпиморфизм
г|) : Q -*¦ Р. Но тогда из сравнения размерностей сразу следует, что
Ф и г|) изоморфизмы.
Предложение 3.2. Прямая сумма модулей проективна тогда и
только тогда, когда проективно каждое слагаемое.
Доказательство. Всякий гомоморфизм / : Р © Q '->- N
однозначно задается парой гомоморфизмов /( : Р -*¦ N и /2 : Q—>- N :
: f (p, q) = fi (p) + /2 (q) и, очевидно, решением уравнения / =
= ?ф, где g — эпиморфизм М -*¦ N, а ф — искомый гомоморфизм
Р -*¦ М, будет такая пара ф1 : Р -*¦ М и ф2 : Q ^- N, что ft — gq>i
и /2 = ^Фг- Таким образом, f можно поднять тогда и только тогда,
когда можно поднять каждый гомоморфизм fit /2, что и доказывает
утверждение.
Одним из основных примеров проективных модулей являются
свободные модули. Свободный модуль — это модуль,
изоморфный прямой сумме регулярных, т. е. имеющий вид пА для
некоторого п. Элементы свободного модуля можно рассматривать
53

как «векторы» (ait ..., ап) с коэффициентами из Л и покоординатными
операциями. Число п называется рангом свободного модуля.
Предложение 3.3. Всякий гомоморфизм f : пА -у М однозначно
задается произвольным набором элементов {mit ..., тп) модуля
М по формуле
*'¦ A)
Таким образом, Нот„ (пА, М) ~ пМ.
Доказательство. Тривиально проверяется, что отобра-
отображение / : пА -> М, определенное формулой A), при любых ти ...
..., тп является гомоморфизмом. Наоборот, если /— гомоморфизм
пА -*¦ М, положим /П; = / (ut), где ut = @, ..., 1, .... 0) A на i-м
п п
месте). Поскольку (а„ . . ., а„)=^ utah / (а„ . . ., ап) =
— V т^ и предложение доказано. *
«=1
Множестю элементов {ти ..., тп) модуля М называется си-
системой образующих, если всякий элемент т 6 М можно
л
представить в виде т = ^ тьа, для некоторых at 6 А. Иными
словами, это означает, что гомоморфизм / : пА -*¦ М, определенный
формулой A), есть эпиморфизм. Из теоремы о гомоморфизме тогда
вытекает
Следствие 3.4. Если в модуле М есть система образующих,
состоящая из п элементов, то М изоморфен фактормодулю свобод-
свободного модуля ранга п.
Заметим, что в конечномерном модуле М всегда есть конечная
система образующих (например, любой базис). Наименьшее число
элементов во всевозможных системах образующих называется
числом образующих модуля М и обозначается цА (А).
Свободные модули, как и главные, проективны (по предложе-
предложению 3.2). Следующая теорема устанавливает связь между свобод-
свободными, главными и проективными модулями.
Теорема 3.5. Следующие условия равносильны: к ,-.¦: .
1) модуль Р проективен; \
j 2) Р изоморфен прямой сумме главных модулей; »
t 3) Р изоморфен прямому слагаемому свободного модуля;
4) ядро любого эпиморфизма f : М -*¦ Р дополнимо в М (очевид-
(очевидно, тогда М ~ Р ф Кет /).
Доказательство. 2) =>- 1) и 3)=^1) по предложению
3.2.
4) =ф- 3) по следствию 3.4.
1) => 4). Существует гомоморфизм <р : Р -»- М, такой, что /<р =
, = 1, а по предложению 1.6.2 это равносильно дополнимости Кег /.
54
1) => 2). Разложим полупростой модуль Р = P/PR в прямую
сумму простых Р = Hi ф ... ф Ut и для каждого Ut выберем
главный модуль Ph такой, что PjPiR ^ Ut. Обозначим Q = ф Рь.
»=i
Тогда Q — проективный модуль и Q/QR ~ P/PR. Следовательно,
Р ~ Q (по предложению 3.1), что и требовалось доказать.
Оказывается, проективные модули находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с полупростыми, подобно тому, как это име-
имеет место для главных и простых модулей.
Теорема 3.6. Сопоставляя проективному модулю Р полупростой
модуль Р — PIPR, мы устанавливаем взаимно однозначное соответ-
соответствие между проективными и полупростыми модулями. Если Р =
= Pi ® •¦• ф Рп = Qi ® ... ® Qm — два разложения проективно-
проективного модуля Р в прямую сумму главных, то п = т и, при подходящей
нумерации слагаемых, Pt с*. Qt для всех i.
Доказательство. В силу предложения 3.1, нужно про-
проверить только, что всякий полупростой модуль М изоморфен PIPR,
где Р — проективный модуль. Но для этого достаточно разложить
М в прямую сумму простых М = Ut ф ... ф Un и положить Р =
= Р\ ® ... ® Рп, где Pi —такой главный модуль, что Ui ~
с* PJPtR.
Если же Pi ® ... ф Рп ~ Qi ® ... е Qm, где Pt и Qt —глав-
—главные модули, то, факторизуя по радикалу, мы получим изоморфизм
Л е ... е рп =* Qi е ... е о~т (Р1 = р,/я,#, q7- = Qj/QiR), при-
причем Pj и Qj — простые модули. По предложению II.2.3, п = т и
Ре ~ Qi для всех i (при подходящей нумерации), а тогда по след-
следствию 2.9 и Р; ~ Qt.
Из следствия 3.4 вытекает, что всякий модуль изоморфен фак-
фактормодулю проективного. Конечно, данный модуль М можно пред-
представить в виде PIN, где Р проективен, многими разными способами.
Однако, как мы сейчас покажем, существует в некотором смысле
минимальное такое представление, и оно единственно.
Проективный модуль Р называется проективным на-
накрытием модуля М и обозначается Р (М), если существует
эпиморфизм / : Р -*¦ М, индуцирующий изоморфизм P/rad P гр
^> Ml rad М. Очевидно, это равносильно тому, что М си PIN, где
ЛГ с: rad P.
Теорема 3.7. 1) Для всякого модуля М существует проективное
накрытие, единственное с точностью до изоморфизма.
2) Р (М) ~ Р (М), где М = M/rad M.
3) Если g — эпиморфизм проективного модуля Q на модуль М,
то Q ~ Pi ® Р2, где Pi ~ Р (М), ограничение g на Pi — эпимор-
эпиморфизм, а Р2 сг Кег g. Более того, изоморфизм Р (М) ^ Р\ можно
выбрать так, чтобы его композиция с эпиморфизмом g давала фик-
фиксированный эпиморфизм f : Р (М) -*¦ М.
55

Доказательство. По теореме 3.6 М са P/rad P для
некоторого проективного модуля Р. Но тогда эпиморфизм Р -*¦ М
продолжается до гомоморфизма f : Р -*~ М, причем по лемме На-
каямы / — эпиморфизм, т. е Р — проективное накрытие М, что
доказывает утверждение 1) и 2) (однозначность следует из предло-
предложения 3.1).
Пусть теперь Q — какой-нибудь проективный модуль и g : Q -*¦
-*¦ М — эпиморфизм. Поднимем g до гомоморфизма ср :Q—»-_P*
такого, что /ф = g. Тогда индуцированное отображение ср :
: Q/rad Q -> P/rad P есть эпиморфизм и по лемме Накаямы ср —
эпиморфизм. По теореме 3.5, Q = Р4 ф Кег ф, где Pi ~ Р. По-
Поскольку Р2 = Кег ф cz Ker g, то это доказывает и утверждение 3).
Следствие 3.8. Р (М ® N) ~ Р (М) ф Р (N).
Доказательство очевидно.
Следствие 3.9. Пусть R = rad Л, Л = AIR, 1 = е, + ... + еп—
разложение единицы алгебры А. Тогда существует такое разложение
единицы 1 = et + ... + еп алгебры А, что et = е{ + R.
Доказательство. Очевидно, А = Р (А). С другой сто-
стороны, если Ut = 7tA, a Pt = Р (Ut), то Р (А) ~ Pt ® ... ф Р„.
Следовательно, Л си Pi ф ...®Рп, причем этот изоморфизм можно
выбрать так, чтобы его композиция с естественным эпиморфизмом
Pi © ... ® Рп -*¦ Vi ф ... ф Un = Л давала проекцию л : А-*-
-*- Л. Пусть 1 = ?j + ... + еп — разложение единицы алгебры Л,
соответствующее разложению Л ~ Pi ф .... ® Р„ регулярного
модуля. Тогда егА1е^ — etA, т. е. идемпотенты е; + ^ дают раз-
разложение единицы, соответствующее разложению Л = е,Л ф ... ф-
ф епА. Ввиду взаимно однозначного соответствия между разложе-
разложениями единицы и разложениями модуля (теорема 1.7.2), et + R =
= et, что и требовалось доказать.
В заключение этого параграфа мы применим полученные ре-
результаты к изучению одного класса алгебр.
Алгебра Л называется прим арной, если Л/rad Л—простая
алгебра.
Теорема 3.10. Следующие условия равносильны:
1) алгебра А примарна;
th- 2) в А есть один максимальный идеал; •¦¦-, , • ,
3) всякий собственный идеал алгебры А нильпотентен'^ '
ш 4) у алгебры А есть один простой модуль; *'•/ ! -
5) у алгебры А есть один главный модуль; ^'
6) /1 ~ Мп (В), где В — локальная алгебра. ¦ ¦ »¦-' . J
^Доказательство проведем по схеме . '
''' 3)=^2)=j»1)=^4)=^5)=^6)=^1)^3).
3) => 2). Если все идеалы нильпотентны, то все они содержатся в
R = rad Л (предложение 1.9) и потому R — единственный макси-
максимальный идеал. . _ . ,)
56
¦ > к
2) =*> 1) вытекает из следствия 1.8. 1) =*> 4) по следствию 1.7-.
4) =*> 5) по следствию 2.9.
5) =^ 6). Регулярный модуль А изоморфен пР, где Р — един-
единственный главный модуль, откуда А ы ЕА(А) ~ Мп (В), где В=
— ЕА (Р) — локальная алгебра (по следствию 2.3).
6) ~ 1). Пусть А=Мп(В). Покажем, что rad A = Mn (J),
где / = rad В. Действительно, Мп (J) — нильпотентный идеал в
А, а АШп (J) са Мп (B/J) — простая алгебра, так как B/J —
тело. Поэтому Мп (J) — rad А (по предложению 1.13) и Л — при-
марная алгебра.
1) => 3). Если / — идеал примарной алгебры Л, то (/ + R)IR —
идеал простой алгебры AIR, откуда либо (/ + R)/R = 0, т. е.
/ с R, либо (/ -f R)IR = AIR, т. е. / + R = Л и, по лемме Нака-
Накаямы, / = Л. Итак, если /=т^Л,то/с:^и потому нильпотентен.
Заметим, что при доказательстве импликации 6) => 1) мы фак-
фактически попутно доказали
Предложение 3.11. rad Мп (В) = Мп (rad В).
Из теоремы 3.6, в частности, следует одно-
К ^лля—°Шм1* та значность разложения регулярного модуля в
рулля мидта ПрЯМуЮ СуММу неразложимых. В этом парагра-
параграфе, используя результаты § 7 гл. I, мы перенесем этот факт на
произвольные модули. Прежде всего переведем его на язык идем-
потентов.
Теорема 4.1. Пусть 1 = ej + ... + еп = fi + ... + fm — два
разложения единицы алгебры А, причем идемпотенты et и ft мини-
минимальны. Тогда п=т и в алгебре А есть такой обратимый эле-
элемент а, что при подходящей нумерации ft = аеьа~~1 для всех i.
Доказательство. А = etA ® ... ® епА = /И ® . . .
. . . ®fmA — два разложения регулярного модуля в прямую
сумму главных. По теореме 3.6 п = т и etA ~ ftA для всех i (при
подходящей нумерации). Но изоморфизм е,Л ~ /;Л осуществляется
некоторым элементом а; 6 fiAet так, что ftat = агег = at. Положим
а = ui + ... + ап. Тогда aet = а;е4 = а, и fta = /;а; = at для
всех i. Покажем, что а обратим. Для этого выберем элементы bi 6
6 ег-Л/;, осуществляющие обратные к at изоморфизмы ftA ~ е,Л,
и положим b = bi + ... + bn. Поскольку агЬь = fh a etb = bt =
п п
= bfh то ab = ^atbi = V ft = 1 и b = a~l. Следовательно, из
равенства aet = fta следует, что ft = aeta~x. Теорема доказана.
Теперь для доказательства однозначности разложения оста-
остается применить теорему 4.1 к алгебре эндоморфизмов.
Теорема 4.2. (Крулль—Шмидт). Если М = М, ® .... ® Мп =
= iVi ф ... ® Nm — два разложения модуля М в прямую сумму-
неразложимых модулей, то п = т и при подходящей нумерации
Mt ~ УУ i для всех i.
Доказательство. По теореме 1.7.2 данным двум разло-
разложениям М в прямую сумму неразложимых соответствуют два раз-
57

результаты для вы-
радикала при пирсовском
ложения единицы алгебры Е = Еа (М).: 1 = е\ + . . . + еп =
= А + ••• + /т> пРичем е, и f} — минимальные идемпотенты;
Mt = егМ, a Nj = /7М. По теореме 4.1 п = т и при подходящей
нумерации /,• = aeta-\ где а — обратимый элемент алгебры Е,
т. е. автоморфизм модуля М. Пусть at — ограничение а на Мь. Так
как aet = fta, то ае; (т) 6 /iM = Af?, т. е. at отображает Mt в Nt.
Поскольку а — мономорфизм, а{ — также мономорфизм. С другой
¦стороны, а — эпиморфизм, поэтому любой элемент из N г имеет
вид у=а(х). Но тогда ft (у) = y = fta (х) = aet (x) и et (x) ?Mit
т. е. at — эпиморфизм Mt на Nt и потому изоморфизм. Теорема
доказана.
Применим полученные
§ 5. Радикал алгебрыяснения поведения
эндоморфизмов разложении.
Лемма 5.1. Пусть f : М -*¦ N — гомоморфизм неразложимых
А-модулей. Тогда либо f—изоморфизм, либо для любого гомомор-
гомоморфизма g : N ->- М fg 6 rad EA (N) и gf 6 rad EA (M).
Доказательство. Пусть g^HomA(N, M) и g/B
grad Еа (М). Тогда, поскольку алгебра Еа (N) локальна (следствие
2-3), fg — обратимый элемент, т. е. автоморфизм N, и потому / —
эпиморфизм. Если ф = (fg)~\ то / (^ф) = 1 и по предложению 1.6.2
М ^ N ® Кег /. Ввиду неразложимости М, Кег / = 0, т. е. f —
мономорфизм и, значит, изоморфизм. Аналогично доказывается,
что если gf B rad Еа (М), то / — изоморфизм.
Теорема 5.2. Пусть M^Mi ф ... ф Ms, где Mt ~ ntNh a
модули Nt неразложимы и Nt ^ Nj при i Ф /. Обозначим
Hom^ (Mit Mj) = Еи и рассмотрим двустороннее пирсовское раз-
разложение алгебры Е = Еа (М)
-is
-т
Тогда радикал алгебры Е имеет вид
I Rit с12 . . . Е
/\а« ... С,
¦¦BI/i'H,-
¦ -!vi.!l .Я
.
E.t E
88
82
К: •
Л',1-
еде Rti = rad Ен. Иными словами, если 1 == et + ^
ветствующее разложение единицы алгебры Е, ЯЦ>
при 1ф\ и е-гЯег = rad etEei. t-a
A)
е, — соот-
соот-58
Доказательство. Согласно § 7 гл. I, элементы ЕИ
можно рассматривать как матрицы размера nt X щ с коэффици-
коэффициентами из Ни = Hom^ (Nt, N,). Поэтому Ru = Мщ (Rt), где
R = rad ЕА (#«) (см- предложение 3.11). А из леммы 5.1 следует,
что ЕаЕ-, <= Rn при i Ф \. Следовательно, множестю R, опреде-
определенное формулой A), есть идеал в Е, причем E/R ~ EnlRn X ...
...X EJRs* — полупростая алгебра, а потому R о rad E.
С другой стороны, рассмотрим правый идеал
¦ .1;
О О
О
о
H . . . Eis
Г ¦
О О ... О ... О I
(/-я строки R). Установим его нильпотентность. Действи4ель
О ... О ... О
и вообще
RHEH . . . Rii . . . RaEls
О . . . О . . .' О )
о . . . о »: . . о
• • RiiEls
О
О
о
ЙЭ
;; .. я ©
a Rku = О при некотором k. Значит, /*+1 = 0. Поэтому lt cz rad E.
Следовательно, R = /, + ... + 1$ с= rad E, что и доказывает тео-
теорему.
Применяя теорему 5.2 к алгебре А ~ ЕА(А), получаем такой
результат.
Теорема 5.3. Пусть 1 = е^ + ... + es — такое разложение еди-
единицы алгебры А, что идемпотенты et = et + R центральны в
факторалгебре А = AIR, где R = rad А. Тогда etRej = e^e, при
i ф /; etRei = rad (еИ^).
Доказательство. Поскольку et — центральные идем-
идемпотенты, Л-модули etA и е,А при i Ф j не имеют изоморфных прос-
59

тых слагаемых. Но тогда, по следствию 2.9, в е1А и е,А нет изо-
изоморфных главных слагаемых и из теоремы 5.2 следует, что е-Ае, =
- "ош (eA e^^radA Поск d (А)
ры 5 следуе, что еАе,
Поскольку rad (е,Ае,) = etRet no
= "Hom, , -—,-.— ., ¦
предложению 2.4, отсюда и следует утверждение теоремы.
Введем теперь один класс алгебр, играющий основную роль в
теории конечномерных алгебр.
Теорема 5.4. Следующие условия равносильны:
1) факторалгебра А = AIR, где R = rad Л, изоморфна прямому
произведению тел;
2) если А = Р4 ф ... ф Ps — разложение регулярного модуля
в прямую сумму главных, то Pt qk Р} при i Ф /;
3) существует такая алгебра В и такой В-модуль М, что А ~
~ Ев(М) и М = Mi ф ... ф Ms, где Mt — неразложимые модули
и Mtqk Mj, при i ф j.
Доказательство. \) => 2). Если Л ~ Di X ... X Ds,
где Dt — тела, то по следствию 3.9 Л ~ Р{ ф ... ф Ps, причем
Pi/Pfi ~ {/j, где Ut — простой Dj-модуль. Pf — главные модули
и Р, qk Р} при / =#= /, поскольку U, qk (Jj при i Ф j.
2) =^ 3) следует из теоремы 1.7.1: достаточно положить В = А,
а за М принять регулярный Л-модуль.
3) =^ 1) непосредственно следует из теоремы 5.2.
Алгебра Л, удовлетворяющая условиям теоремы 5.4, называет-
называется приведенной.
Пусть Л — произвольная алгебра, Л си ftiPt © ... © nsPs —
разложение регулярного Л-модуля в прямую сумму главных, при-
причем Pt qk Pj при i Ф j. Обозначим Р = Pt ф ... @ Ps и В =
= ЕД(Р). Тогда В — приведенная алгебра, которая называется
базисной алгеброй алгебры Л. Если 1 = е4 + •••
... -Ь es — разложение единицы алгебры В, соответствующее дан-
данному разложению модуля Р, то будем говорить, что главный В-мо-
В-модуль Qt = etB соответствует главному Л-модулю Pt, a
проективный В-модуль Q = fe|Q) ф ... ® ksQs соответству-
соответствует проективному Л-модулю Р = kiPi ф ... © ksPs.
Лемма 5.5. Если В — базисная алгебра алгебры Л, Qt, Q2 —
проективные В-модули, соответствующие проективным А-модулям
Pi, Р„ то Horns (Qu Qt) с* Нопъ, (Рь Pt).
Доказательство, ввиду матричной записи эндомор-
эндоморфизмов, введенной в § 7 гл. I, сводится к проверке изоморфизма
Нотв (Qj, Qt) си Нопы (Pj, Pj), где Qt — главные В-модули, со-
соответствующие главным Л-модулям Pt. Но и Homfi (Qj, Qt) и
Horn,, (Pj, Pt) отождествляется с etBej, что и доказывает лемму.
Теорема 5.6. Следующие условия равносильны:
1) базисные алгебры алгебр Л4 и Л2 изоморфны;
2) А2 ~ ЕА, (Р), где Р — проективный Ai-модуль, в который
входят прямыми слагаемыми все главные Ai-модули.
3) Л2 ~ EAi (Pt) и Л, ~ Еа, (Р2), где Pt — проективные Агмо-
дулиA =1,2).
60
Доказательство. 1;=^2). Пусть В — общая базис-
базисная алгебра алгебр Л4 и Л2, Q — проективный В-модуль, соответ-
соответствующий регулярному Л2-модулю, Р — проективный Лгмодуль,
соответствующий Q. Тогда .в Q входят прямыми слагаемыми все
главные В-модули. Значит, в Р входят все главные Лгмодули и по
лемме 5.5 Л2 ^ ^ (А,) с- EB(Q) ~ EAl (P).
Заметим, что, поскольку условие 1) симметрично, мы заодно
доказали и импликацию 1) =^ 3).
2) =*- 1). Пусть Р = kiPi ф ... © ksPs, где Ри ..., Ps — все
попарно неизоморфные главные Л (-модули, Л2 = EAl (P). Из тео-
теоремы 5.2 вытекает, что Ла/rad Ла ~ Mkl (Z?i) X ... х Mks (Ds),
где Dt = B^/rad В,, a Bt = ?^, (Рг). Поэтому у Л2 есть s простых
модулей, а значит, и s главных Pj, ..., P's (следствие 2.9), причем,
как и в лемме 5.5, легко установить, что Hom^2 (Р'., Р'.) ~
~ Нопъ,, (Pjt Pt). Но тогда ЕАг (Р[ ф ... ® P's) с- EAl (P, ®
© ... © Ps), что и требовалось доказать.
3) => 2). Если Л2 с- ЯА, (Pi), где Pt = *iQt ф ... ф fesQ5, a
Q; — попарно неизоморфные главные Лгмодули, то из теоремы 5.2
следует, что у Л2 есть s простых, а потому и s главных модулей. Ана-
Аналогично, если Аг ~ ?л2 ('Ра), где Р2 = /ntQj ф ... ф m,Q;, a Q(!—
попарно неизоморфные главные Л2-модули, то у Л! есть t главных
модулей. Отсюда следует, что s ^ t и t ^ s, т. е. s = ^ и Qlt ..., Qs —
все главные Л^модули.
Алгебры, удовлетворяющие условия теоремы 5.6, называются
однотипными. Очевидно, для полупростых алгебр это по-
понятие совпадает с введенным в§ 6 гл. II.
Следствие 5.7. Всякая алгебра А изоморфна алгебре эндоморфиз-
эндоморфизмов проективного модуля Р над приведенной алгеброй В. Алгебра В
определена однозначно (с точностью до изоморфизма) и изоморфна
базисной алгебре алгебры А.
Отметим, что модуль Р, вообще говоря, определен неоднозначно
(см. упражнение 16 этой главы).
Полученные результаты позволяют наметить
§ 6. схема алге ры нек0Т0рЫИ подход к исследованию строения не-
неполу простых алгебр. При этом, учитывая следствие 5.7, можно ог-
ограничиться приведенными алгебрами. • (
Пусть Pi, .... Ps — все попарно неизоморфные главные модули
над алгеброй Л (по следствию 2.9, их число равно числу простых
компонент алгебры Л = AIR, где R = rad Л). Обозначим Rt =
= PjR и V, = Ri/Rft. Vt — полупростой модуль, так что Vt ~
где
j = PjIRj —простые модули (ввиду теоремы 3.7,
s
это равносильно изоморфизму Р (Rt) ~ © t^Pj). Сопоставим каж-
дому модулю Рг точку на плоскости, которую будем обозначать но-
номером I, и соединим точку i с точкой / ttj стрелками. Полученный на-
6)

бор точек и стрелок назовем схемой алгебры Аи будем
обозначать 5 (А).
Рассматривая левые модули, можно аналогичным образом опре-
определить левую схему алгебры S' (А).
Заметим, что однотипные алгебры имеют одинаковые схемы.
Кроме того, так как Vt=PtR/PiRz, схемы алгебр Л и AIR2 совпадают.
Примеры,. 1. Если алгебра А полупроста, то Rt = 0 в
5 (А) — это просто набор точек без стрелок.
2. Пусть А = Тп (К) — алгебра треугольных матриц размер-
размерности п. Матричные единицы еп являются ее минимальными идем-
потентами, а 1 = еи -f- ... -f- enn — разложением единицы. По-
Поскольку, как легко видеть, [еиА : Ю = п — i + 1, Р, = eitA
попарно неизоморфные главные Л-модули. Из теоремы 5.3 'непо-
'непосредственно следует, что Rt = ei{i+l) К + ... + elnK ex Pt ,. По-
Поэтому S (А) имеет вид
12 3 n
3. Жорданова алгебра Jn(K) локальна, и ее радикал цикличен
(проверьте это). Поэтому единственный главный модуль — это
регулярный, и он является проективным накрытием своего ради-
радикала. Следовательно, схема алгебры Jп (К) имеет вид
О
Вообще схемой S мы будем называть произвольный конеч-
конечный набор точек, соединенных между собой стрелками. Обычно
точки мы будем обозначать номерами I, 2, ..., s. Тогда схема 5
задается своей матрицей инцидентности
:; IV.
0»f
где ttJ — число стрелок, ведущих из точки I в точку /. Если стрел-
стрелка а схемы 5 соединяет точку i с точкой /, то i называется н а-
чалом, а / — концом стрелки а. Это обозначается так: сг:г"->-/.
Две схемы, 5 и Т, называются изоморфными, если меж-
между их точками и стрелками можно установить взаимно однозначное
соответствие, при котором начала и концы соответствующих стре-
стрелок переходят друг в друга. Нетрудно убедиться в том, что
5 ~ Т тогда и только тогда, когда матрицы инцидентности [S] и
[Т] можно перевести друг в друга одновременными перестановка-
перестановками одноименных строк и столбцов. В частности, схема алгебры,
конечно, определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Путь схемы 5—это упорядоченный набор стрелок(оч,..., ал},
такой, что конец стрелки at совпадает с началом стрелки ai+1
(i = 1, .., к — 1). Число стрелок k называется длиной пу •
62
т и. Начало стрелки cri называется началом пути, а конец
стрелки ah — концом пути. Мы будем говорить, что путь
соединяет точку i с точкой /, и писать ai ... oh : i -*¦ j.
Будем считать алгебру А приведенной. Тогда А ш ?>t X ... X
X Ds, raeDt = EA{Ui), a Ut можно рассматривать как регулярный
Огмодуль. Пусть 1 _==_е( + ¦¦• + еа — разложение единицы алгеб-
алгебры А, такое, что е,Л ~ Db 1 = ei +.... + е3 — соответствую-
соответствующее разложение единицы алгебры А (см. следствие 3.9). В этом слу-
случае Pi = <?И; Rt = etR, a Vt = e;V, где К = #/#2. Обозначим
l/jj = etVej. VtJ есть правый Dt -модуль, причем Vu ~ taUj. По-
Поэтому цо (Kj) = tt]. Выберем в Vtj систему образующих из гц
элементов и занумеруем их стрелками схемы S (А), ведущими из
i в / (их также 1ц штук). Пусть va — образующий, соответствующий
стрелке a : i-*- j, аг„ — его прообраз в Ri} = etRej. Совокуп-
Совокупность всех элементов {va} (по всем стрелкам схемы 5) — это система
образующих модуля V. По лемме Накаямы (следствие 1.5) {ra} —
система образующих R (как правого идеала). Заметим, что если
a : i~*- j, то etra = rQet = ra, a rarx = 0, если конец стрелки a не
совпадает с началом т.
Лемма 6.1. Если никакой путь схемы S (А) не ведет из точки i
в точку j (i ф /), то Horn A (Pj, Pt) = 0. Если алгебра А приведенная,
то всякий элемент г ? Rtj представим в виде г = 5>о го ... го аа ...
... ah, где сумма берется по всем путям а ха2... ah: I -»- /, a aa a ...
...оп?Аи = е}Ае}.
Доказательстве. По лемме 5.5 алгебру А можно считать
приведенной, а тогда по теореме 5.3 Hom^ (P}, Pt) ~eiAej=Ri] (при i ф
ф /). Поэтому достаточно доказать второе утверждение. Рассужде-
Рассуждения, приведенные выше, показывают, что если r ? Rtj, то г =
s= Ъгааа (mod R2), где а0 ? Ath а сумма берется по всем стрелкам
o:i^>-j. Тогда элемент г'=г—Егоао лежит в еД2е}. Но R =
= ^Rij, откуда следует, что е,^2^ = 2 RthRk}, T-e- г'= 2 х*Уь>
i,i k k
где xh ? Rih, yh ? Rhi. Снова xh s ^ ггах (mod^2), где т: i -+ k, ax?
X
€ ^hh. a axyh = ^ rcaxP <mod#2)> где P :k -" /' axP ^ Л^- Поэтому
p
r'= Srr a (mod/?3), где xp:i^-j. Продолжая этот процесс и учи-
учитывая нильпотентность радикала, мы и получим искомое выражение
для г. Отметим, что возможно Нотл (P]t Pt) = 0, даже если из i в
j ведет путь (см. упражнение 12).
Схема 5 называется связной, если ее нельзя разбить на
два непустых непересекающихся подмножества, не соединенных
между собой стрелками.
63

Теорема 6.2. Алгебра А неразложима в прямое произведение тог-
тогда и только тогда, когда схема S (А) связна.
Доказательство. Пусть схема 5 = S (А) несвязна,
S = St [) S2, причем S, П S2 = 0, 5, Ф 0, S2 ф 0 и точки
из Si и 52 не соединены стрелками. Тогда по лемме 6.1, если i 6 Si,
;€S2, то Honu(P/, Pj) = 0 и Нотл(Р;, Рг) = 0. По следствию
1.7.9.алгебра А разложима. Наоборот, если алгебра А разложима
А = А\ X Ла, то для любого главного Лгмодуля Pt и любого глав-
главного Л2-модуля Pj \\отА(Рь Pj) = 0 и Нопы (Pj, Pt) = 0, по-
поэтому точки i и / не соединены и схема S (Л) несвязна.
Следствие 6.3. Алгебры А и AIR2 разложимы или неразложимы
одновременно.
Кроме схемы 5 (А), у алгебры А есть еще ряд важных инвариан-
инвариантов. Это прежде всего тела?)г = ЕА (Ut) и кратности щ, с которыми
Pi входит в разложение регулярного модуля. Для приведенной ал-
алгебры щ = 1, но тела Dt могут быть произвольными. Если поле К
алгебраически замкнуто, положение значительно упрощается: все
Dt совпадают с основным полем К-
Алгебру А над полем К назовем расщепимой, если AIR~
cz- УИ„, (К) х ... X Мп$ (К)- Над алгебраически замкнутым полем
все алгебры расщепимы.
Для расщепимых алгебр лемму 6.1 можно несколько усилить.
Лемма 6.4. Пусть А — приведенная расщепимая алгебра. Тог-
Тогда всякий элемент r?Rt] можно представить в виде л=-2го/О1...
¦ ¦ ¦ Гакса1аг...ак, где сс а ak^K, а сумма берется по всем путям
о^ ... ah : i'¦-*¦ j (отметим, что здесь возможно и '=/).
Доказательство. Дословно повторяется доказатель-
доказательство леммы 6.1, если заметить, что в данном случае Ajj/Rj] = К,
т. е. всякий элемент алгебры Ajj представим в виде с + х, где с 6
€ К, х € R,,.
Циклом схемы 5 называется путь, у которого начало и конец
совпадают.
Следствие 6.5. Если в схеме приведенной расщепимой алгебры А
нет циклов, то Еа(Р) = К для любого главного А-моду ля Р.
Лемма 6.4 дает возможность по всякой схеме 5 построить /С-ал-
гебру К (S), вообще говоря, бесконечномерную, такую, что всякая
приведенная расщепимая алгебра с данной схемой является ее
факторалгеброй.
Базис пространства К (S) будут образовывать всевозможные пу-
пути схемы S и набор символов {ej (по одному для каждой точки i).
Таким образом, всякий элемент К (S) однозначно записывается в
s
виде
cief+2 Co1--Oftcri •¦¦ ah (вторая сумма берется по всем путям
«I
схемы S), где cf 6 К, cai.-ok 6 К- Символ ef нам будет удобно рас-
рассматривать как путь длины 0 с началом и концом в точке L
€4
Определим произведение путей аир как путь ар, если конец а
совпадает с началом р, и как 0 — в противном случае. Иными сло-
словами,
а,... айт4. . . Т(, если конец ah совпадает с
началом т4, ."• ..«;*'
О — в противном случае;
-41
о4. . . ah, если i — начало ait
О — в противном случае;
а,... ah, если i — конец ah, у т,
О — в противном случае; ^
t
0 при 1ф\.
' ¦ HP.
Распространим это определение на все пространство К (S) «по
линейности», положив {\ са<Л(^ сф\= V сас' (аР), где а, р —
\ а /\ р / а,р
пути схемы 5, а са, с~ — элементы поля К. Тривиальная проверка
показывает, что таким образом К (S) превращается в алгебру над
полем К с единицей 1 = е, + • • • + es-
Обозначим через J совокупность тех элементов алгебры К (S),
у которых коэффициенты при ег равны 0 для всех i. Очевидно, J —
идеал в К (S). Идеал / а К (S) назовем правильным, если
J2 сэ / zd J" для некоторого /О=2.
Теорема 6.6. Для любого правильного идеала I cz К (S) фактор-
алгебра К (S)// есть расщепимая приведенная алгебра со схемой S.
Наоборот, всякая расщепимая приведенная алгебра со схемой S
изоморфна факторалгебре алгебры К (S) по некоторому правильно-
правильному идеалу I.
Доказательство. Обозначим Ап = К(S)/Jn+l (п ^ 1).
Базис алгебры Ап образуют классы а = а+/п+1, где а — произ-
произвольный путь схемы S длины не более п. 7 = //У"+1 — нильпо-
тентный идеал в Ап, причем An/J ~ К (S)/J ~ Ks (базис этой ал-
алгебры образуют классы et = ег + J, а кге7- = 6г7-ег). По предложе-
предложению 1.13 J = rad Ап. Таким образом, Ап — приведенная расщепи-
расщепимая алгебра, причем An/J2 ~ Аи т. е. S (Ап) = S (Л4). Но в алгеб-
алгебре Л4 е^?.) — это векторное пространство над К с базисом {а},
где а — стрелки, ведущие из i в /. Поэтому если [S] = (ttj) —
матрица инцидентности схемы S, то ег7е; ~ t^U;, где И j = EjAJ
EjJ, и S (/4t) == S. Отсюда следует первое утверждение теоремы (с
учетом следствия 1.14).
5 - 9-9Э7
65

I дукиии, I = 1, тривиальна, так что можно считать, что если /
< /, то'предложение доказано.
у модуля Р есть главное прямое слагаемое Pi : Р = Pi @ Р2
(возможно, Р2 = 0). Обозначим через я проекцию Р на Pi. Если
я (М) = Ри то по теореме 3.5 М ^ Pi ® N, где N = М П Рг —
подмодуль в Р2. Поскольку / (Р2) <с I, N (а вместе с ним и М) про-
ективен.
Если же л (М) Ф Ри то М с Rt @ Рг, где Ri = PtR — прямое
слагаемое радикала и потому проективный модуль. Но снова I (Ri ф
© Р2) < /, потому М проективен. Теорема доказана.
Лемма 7.2. .Если алгебра А наследственна, то любой ненулевой
гомоморфизм главных А-модулей f : Pt-*- Pj есть мономорфизм.
Доказательство следует из того, что в данном случае
Im/— проективный модуль и по теореме 3.5 Pt ~ Im/ © Кег/.
Значит, если Im / ф 0, обязательно Кег / = 0.
Следствие 7.3. Если алгебра А наследственна, то в схеме S (А)
нет циклов.
Доказательство. Если в S (А) есть стрелка а с нача-
началом i и концом /, то существует ненулевой гомоморфизм /о : Р} ->-
—»- Pj, причем Im/o <= rad Pt. Пусть А — наследственная алгебра и
Oi ... 0ft — путь с началом и концом в точке i. Тогда / = /Ol ...
... fok — мономорфизм Pt -v Р;, так как /Ol, ..., /Од,— мономорфиз-
мономорфизмы, и Im/ с rad Рг, что невозможно из соотношения между раз-
размерностями.
Дадим теперь описание наследственных приведенных расщепи-
мых алгебр.
Теорема 7.4. Если S — схема без циклов, то К (S) — наслед-
наследственная алгебра. Наоборот, наследственная приведенная расщепи-
мая алгебра А изоморфна алгебре К (S), где S = S (А). Таким об-
образом, между схемами без циклов и приведенными расщгпимыми на-
наследственными алгебрами существует взаимно однозначное соответ-
соответствие.
Доказательство. Очевидно, в схеме без циклов длины
путей ограничены, поэтому А = К (S) — конечномерная алгебра.
Обозначим Рг = е;Л. Элементы Pt — это линейные комбинации
Vcaa, где a — пути с началом i (включая е;). Тогда vadPt = PJ
состоит из линейных комбинаций ^саа, где а — пути ненулевой
a
длины с началом в i. Поэтому PtJ= ф а А, где а пробегает все
а
стрелки с началом в точке i. Но если a:i-*-j, то, сопоставляя вся-
всякой линейной комбинации 2срР> где Р — пути с началом / (вклю-
чая Ej), элемент Vcpap\ мы получим, как легко видеть, изомор-
Р
физм Р]~оА. Следовательно, PtJ—проективные модули, а потому
5* с 67
Пусть теперь А — произвольная приведенная расщепимая ал-
алгебра со схемой S, 1 = ei -\- ... + ея — разложение единицы на ми-
минимальные идемпотенты, {га}— система образующих радикала,
построенная выше (перед леммой 6.1).
Для всякого пути a = 01 ... ah схемы 5 обозначим ra = rOl...
J ••¦ rOk, rBi = et и положим //^ Са<х\ ~ 2 СаГа' ^3 соотНошеНии меж"
)
¦ ду г о и е( следует, что /— гомоморфизм алгебры К (S) в алгебру А,
а ввиду леммы 6.4 и эпиморфизм. Поэтому А~К (S)//, где /=
= Кег /. Но, как легко видеть, / (J) = R, где R = rad А. Посколь-
Поскольку R" = 0 для некоторого п, Jn cz /. Наконец, элементы va=
= ra+ R2 линейно независимы в #/#2, поэтому гомоморфизм
Ai -*- A/R2 есть изоморфизм, т. е. / с J2. Теорема полностью дока-
доказана.
Алгебра К E) называется алгеброй путей, или уни-
универсальной алгеброй схемы S.
Аналогичную конструкцию, конечно, можно дать и для левых
схем. Однако имеет место такое предложение.
Предложение 6.7. Если А — расщепимая алгебра, то схема
S' (А) получается из схемы S (А) переворотом всех стрелок, или
транспонированием матрицы инцидентности.
Доказательство. Алгебру А можно считать приведен-
приведенной. Тогда, как мы уже видели, [5 (А)] = (tti), где гц— размер-
размерность пространства е^е, (V = R/R2, а 1 = ei + ... + es — раз-
разложение единицы на минимальные идемпотенты). Аналогично
IS' (А)] = (t-j), где t'tj — размерностье}Уеь т. е. (ц = t'lt> чт0 и тре.
бовалось доказать.
Конструкция универсальной алгебры поз-
7 алгебрыВеННЫе воляет Дать описание одного интересного клас-
класса алгебр — наследственных.
; Алгебра А называется наследственной, если в ней лю-
любой правый идеал проективен8.
Теорема 7.1. Следующие условия равносильны:
1) алгебра А наследственна;
2) всякий подмодуль главного А-модуля проективен;
3) всякий подмодуль проективного А-модуля проективен;
4) rad А проективен (как правый А-модуль).
Доказательство. 1) =*- 2) и 3) =*- 1) как частный слу-
случай.
2) => 4). Если А = Pi ф ... © Рп, где Pt — главные модули,
то rad A = R = R{ ф ... ф Rn, где Rt = rad P,. Поэтому из
проективности всех Rt следует проективность R.
4) =^ 3) Пусть М — подмодуль проективного Л-модуля Р. Про-
Проективность М будем доказывать индукцией по I (Р) = /. База ин-
8 Аналогично можно йЬести наследственные слева алгебры. Однако в гл. VIII
мы увидим, что для конечномерных алгебр эти два понятия совпадают.
66

и J = ф Р;У — проективный модуль, а Л — наследственная алгебра
по теореме 7.1.
Остается проверить, что если /с/2и Л = Л//— наследствен-
наследственная алгебра, то / = 0. Обозначим R = у//, р. = р./р./. Тогда /?==
= rad Л, а Р; — главные Л-модули. Кроме того, Л//? ~ Л/У, а
Я/Я2 ~ У/У2. Покажем, что и вообще Rk/Rk+l ~ ///+' (индук-
(индукцией по k). Предположим, что Rk~]/Rk ~ У*~'/У*, и пусть Р =
В—1 / nk
/Rk) = @m.p.. Тогда Р = Р (/?*-') (теорема 3.7), а так
как
* '
проективен, Р ~ Rk '. Поэтому Я* ~ PR, a Rk/Rk+l ~
~ PR/PR*, и, так как PtR/PiR2 ~ Р;У/Р;У2, отсюда следует, что
Я /Я ~ У /У . Но из этого изоморфизма, очевидно, вытекает,
что / с У для всех k, т. е. / = 0, что и требовалось доказать.
Упражнения к главе III
ли ¦<
-+' 1. Найти радикал алгебры Т (К)- ' "®iAl , .
2. Найти радикал моногенной алгебры К [x]lf, (x) К [х].
3. Доказать, что если алгебра Л не проста, то в ней найдется максимальный
ндеал с ненулевым аннулятором.
4. Доказать, что минимальный правый идеал либо содержится в радикале,
либо является главным модулем.
5. Пусть М —модуль над алгеброй A, R = rad A,~A = AIR, "Л=п1(/1ф...
• • • ф nsUs — разложение Л в прямую сумму простых модулей, ~М = Ml MR ?s?
ф ... ф tsUs. Доказать, что \1А (М) = рА (М). Показать, что ЦА(М) =
'-!>([//л]—целая часть числа tin).
= max
I
6. Обозначим через / (М) множество эндоморфизмов модуля М, образы кото-
которых лежат в rad M.
а) Проверить, что / (М) —нильпотентиый идеал 6 Ед (М). " '
б) Доказать, что для проективного модуля PI (Р) = rad Ед (Р). '
в) Построить пример модуля М. для которого / (М) ф rad EA(M).
7. Доказать, что алгебра является приведенной тогда и только тогда, когда
ее нилыютентные элементы образуют идеал.
8. Пусть 1 = ех + ... + еп — разложение единицы алгебры А, в котором все
идемпотенты минимальны.
а) Доказать, что размерность точного представления алгебры А не меньше п.
Если у Л есть точное представление размерности п, А назовем мини-
минимальной алгеброй степени п.
б) Пусть Л —минимальная алгебра. Будем писать i -* /, если е.Ае.фО.
Доказать, что -* есть отношение квазипорядка на множестве S =
= {1,2, ..., п}, т. е. i -* i, и из i -> / и / -> (j следует i —>¦ k.
в) Доказать, что минимальная алгебра всегда расщепима, а приведена тогда
и только тогда, когда —*¦ есть отношение порядка, т. е. из j —> /' и
/ -* i следует « = /.
68
9. Предположим, что на множестве S ={1, 2, ..., п] задано отношение квази-
квазипорядка —»•. Построить минимальную алгебру А степени п, такую, что i —> j тог-
тогда и только тогда, когда еЛе} ф 0. (Указание: рассмотреть подалгебру в
Мп(К) с базисом, состоящим из тех матричных единиц е^, для которых i —> /.)
10. Доказать, что две минимальные алгебры степени п, задающие на S одно
и то же отношение квазипорядка, изоморфны.
11. Найти радикал, схему и базисную алгебру минимальной алгебры. До-
Доказать, что алгебра минимальна тогда и только тогда, когда минимальна ее базис-
базисная алгебра.
12. Пусть R2 = 0, где R — rad А; Ръ ..., Р$— главные Л-модули. Доказать,
что Нот^ (Р,, Р.) =^=0, i ф /, тогда и только тогда, когда в схеме S (А) из / в /
ведет стрелка.
13. Показать, что расщепимая приведенная алгебра А, у которой /?2 = 0,
однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своей схемой.
14. Пусти А — алгебра над полем вещественных чисел R, состоящая из ком-
комплексных матриц второго порядка вида ... . . '
а Ь
0 с
Л
\\ :>Л -
где а б R; Ь, с 6 С. Найти S (А) и S' (А).
15. Описать трехмерные алгебры над алгебраически замкнутым полем.
16. Пусть ф — эндоморфизм алгебры А, Т : А —> Мп (К) — представление
этой алгебры, М — соответствующий модуль. Обозначим через М<р модуль, со-
соответствующий представлению Тф : А —> Мп (К)-
а) Дать вчутреннее описание модуля уИф и проверить, что М (ф!).1) — (Мф) Ч1
а (М ф N) ф ~ Мф ф Л'ф.
б) Доказать, что если ф — автоморфизм, то модуль Pf проективен тогда и
только тогда, когда проективен модуль Р. (Указание: .проверить, что Лф ^
а* А.)
в) Доказать, что если А — приведенная алгебра, Р и Q — проективные Л-мо-
дули, то ЕД(Р) ~ Ед (Q) тогда и только тогда, когда Q ^ Pff для некоторого ав-
автоморфизма ф алгебры Л. (Указание: воспользоваться матричной записью
эндоморфизмов.)
г) Привести пример проективного модуля Р над приведенной алгеброй Л,
для которого Р 9^Ар при некотором автоморфизме ф алгебры А.
17. Схемой с кратностями называется схема S, каждой точке I
которой сопоставлено натуральное число пг Обозначим А = К (S), Р{ = е.Л,
Р = /ix.Pi ф ... © п Р , Л = ЕА (Р). Доказать для алгебры А аналог теоремы 6.6
с заменой приведенной расщепимой алгебры на произвольную расщепимую и
схемы на схему с кратностями.
18. Доказать, что если в схеме S нет циклов, то алгебра из упражнения 17
наследственна и всякая расщепимая наследственная (конечномерная) алгебра име-
имеет такой вид.
19. Цоколем, soc М, модуля М называется сумма всех его минимальных
подмодулей.
а) Показать, что soc М = М тогда и только тогда, когда М полупрост.
б) Доказать, что при любом гомоморфизме f, : М -* N I (soc M) с soc N и f,
есть мономорфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение
soc M —* soc N есть мономорфизм.
в) Доказать, что цоколи правого и левого регулярного Л-модуля — идеалы в
А. Они называются, соответственно, правым и левым цоколями
алгебры Ли обозначаются г. soc А и /. soc Л.
г) Проверить, что г. soc A ={a g A \ aR = 0} (R = rad Л), а /. soc Л =
= {аб Л \Ra= 0].
д) Вычислить правый и левый цоколи алгебры Л = Тп(К), показать, что
r.soc Л ф l.soc А. ' -' ¦ •
69

20. Пусть Pit P3 — все попарно иеизоморфные главные Л-модули. Про-
Проведем в Pt композиционный ряд и предположим, что среди простых факторов это-
этого ряда простой модуль U} = /yrad P} встречается с раз. Числа с.} называются
числами Картана, а матрица с (Л) = (с ) — матрицей Кар-
Карта н а алгебры Л.
а) Доказать, что с (А) = с {В), где В - базисная алгебра алгебры А.
б, Проверить, что если (rad АJ = 0, то с (А) = ? + [S] (? _ единичная мат-
матрица, ISJ — матрица инцидентности схемы S = S (А)).
в) Обозначим Ап= K(S)/Jn±l. Доказать, что с (Л ) = Е + [S]+[S]a+ .
...+ [S]"-
г) Доказать, что для наследственной алгебры А матрица [S], где S = S (А),
00
всегда нилыютентна, а С (Л) = ^ [S]m, и число Картана с.} совпадает с числом
т=0
путей схемы S с началом i и концом / (i =? /), а Cj.= I. (У к а з а н и е: в этом
случае сц = 2 Vw ПРИ ' * /- т- е- с И) = [S] с (Л) + ?, где [S] = (* ).)
ГЛАВА ¦ , .
* ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
Теорема Веддербёрна—Артина сводит изучение полупростых ал-
алгебр к описанию тел над полем К- Если D — конечномерное тело
над К, С — его центр, то С — поле (расширение поля К), a D мож-
можно рассматривать как алгебру над полем С. Таким образом, иссле-
исследование разбивается на два этапа: изучение расширений поля К и
изучение центральных тел, т. е. таких тел, центр которых
совпадает с основным полем. Оказывается, эти две задачи весьма
непохожи друг на друга. Однако здесь удается применить единые
методы исследования, основанные на понятиях бимодуля и тензор-
тензорного произведения алгебр.
Настоящая глава и посвящена изложению этих методов и их
применению к изучению центральных тел. Главную роль здесь бу-
будет играть, по-видимому, теорема 3.1, из которой уже сравнительно
просто выводятся основные теоремы тел (теорема Сколема—Нё-
тер и теорема о централизаторе).
Пусть Л и В — две алгебры над полем
§ 1. Бимодули д-1 4-В -бимодулем называется вектор-
векторное пространство М, на котором заданы структуры левого Л-мо-
дуля и правого В-модуля, связанные законом ассоциативности, т. е.
_ (am) b = a (mb)
для любых а 6 А, Ь 6 В, т 6 М. " ''¦
70
f Если А = В, то М называется просто Л-бимодулем.
Для бимодулей вводятся все те понятия, которые мы ввели в
гл. I для модулей: гомоморфизм, изоморфизм, подбимодуль, фактор-
бимодуль, прямая сумма и т. д. При этом читатель легко может убе-
убедиться, что такие основные результаты гл. I, как теорема о гомомор-
гомоморфизме, закон параллелограмма, теорема Жор дана—Гёльдера и т. п.,
дословно переносятся на случай бимодулей. Впрочем, в следующем
параграфе мы увидим, что изучение Л-В-бимодулей на самом деле
равносильно изучению модулей над некоторой новой алгеброй —
тензорным произведением алгебр Л и В°¦
Рассмотрим ряд примеров, которые будут играть важную роль
в дальнейшем и которые демонстрируют важность понятия бимо-
бимодуля для структурной теории алгебр.
Примеры. 1. Очевидно, всякую алгебру Л можно рас-
рассматривать как бимодуль над собой. Этот бимодуль называется р е -
г у л я р н ы м. Подбимодули регулярного бимодуля — это под-
подпространства / с Л, замкнутые относительно умножения на про-
произвольные элементы а?А и слева, и справа, т. е. идеалы алгебры Л.
С этой точки зрения, простые алгебры — это такие, для которых ре-
регулярный бимодуль прост.
Выясним, как устроены эндоморфизмы регулярного бимодуля.
Если / : Л -*¦ А — такой эндоморфизм, то / является, в частности,
эндоморфизмом регулярного модуля, и, как было показано в тео-
теореме 1.7.1, он имеет вид / (х) = ах, где а — фиксированный элемент
из Л. Но / должен быть и эндоморфизмом левого регулярного моду-
модуля, а это означает, что / (bx) = bf (х) для любого b 6 А, т. е. abx =
= Ьах для всех Ь, х 6 А, откуда следует, что а 6 С (Л). Наоборот,
если а — элемент центра, то то же самое рассуждение показывает,
что умножение на а есть эндоморфизм регулярного бимодуля.
Итак, мы установили следующее.
Предложение 1.1. Подбимодули регулярного бимодуля — это
идеалы алгебры. Алгебра эндоморфизмов регулярного бимодуля изо-
изоморфна центру алгебры.
2. Пусть / : В -*¦ А — гомоморфизм алгебр. Свяжем с ним В-А-
бимодуль, который будем обозначать /Л. Для этого рассмотрим регу-
регулярный Л-модуль и определим на нем структуру левого В-модуля
по правилу ba = f (b) а. Ассоциативность очевидна, и Л превраща-
превращается в В-Л-бимодуль, который обозначим /А. Предыдущий пример
получается из этого, если положить В = Л, а / — тождественный
эндоморфизм.
3. Будем рассматривать D-бимодули, гцеО — конечномерное те-
тело над К- Если М — такой бимодуль, то он является, в частности,
векторным пространством над телом D. Отображение т->- md при
фиксированном d 6 D является тогда эндоморфизмом векторного
пространства М, и при фиксированном изоморфизме М ~ nD, где
п = [М : D], ему соответствует матрица Т (d) 6 Мп (D), причем лег-
легко проверить, что Т (d + d') = T (d) + T (d')\ T (ad) = аЛ (d)
(а ЕЛ:); Т (dd1) = T(d) T(d') и 7A) = 1. Говорят, что соответ-
71

тела D
ствие d -+ Т (d) есть самопредставление
размерности п.
Особенно интересен случай п = 1. Тогда Т (d) ? D и Т : D -*¦
-»- Z) есть автоморфизм тела D.
Наоборот, со всяким самопредставлением размерности п мож-
можно связать D-бимодуль, рассмотрев векторное пространство nD
и положив xd = хТ (d), x 6 nD. В частности, со всяким автоморфиз-
автоморфизмом связывается D-бимодуль М, такой, что [М : D) = 1.
С понятием модуля мы связали в гл. I поня-
§ 2. Тензорные тие представления, т. е. линейного отображения,
произведения согласованного с умножением. Попытаемся осу-
осуществить подобную конструкцию для бимодулей.
Пусть М является Л-В-бимодулем. Тогда всякой паре элемен-
элементов (а, Ь), а 6 A, b 6 В сопоставляется эндоморфизм М как вектор-
векторного пространства: m ->- amb. Таким образом, мы получаем отобра-
отображение А X В -v Е (М), причем легко убедиться, что оно билиней-
билинейно (т. е. при фиксированном а линейно по b и наоборот). Итак, за-
забывая на время об умножении, мы приходим к необходимости клас-
классифицировать билинейные отображения V X V -*¦ IF, где U, V,
W — векторные пространства над полем К-
Выберем базисы {ии ..., ип} и {v{, ..., vm} в пространствах U и V.
Тогда билинейное отображение F: U X V -*¦ W однозначно опре-
определяется значениями F (uit Vj) — wi}, причем wtj можно задавать
произвольно. Это приводит к следующему определению.
Тензорным произведением пространства U с базисом
{ии ..., ип} и пространства V с базисом{иь .... vm} называется вектор-
векторное пространство U®V с базисом {ut®Vj}, i=\, ..., п; / = 1, ...
..., иг, и фиксированным билинейным отображением ® : U X V -*¦
->- U ® V, определенным по правилу ® (ut, Vj) = ut ® Vj. Образ
пары (ы и) при отображении ® обозначается и ® v.
Приведенные выше рассуждения устанавливают универ-
универсальное свойство тензорного произведе-
произведения.
Теорема 2.1. Для всякого билинейного отображения F: U X V -*¦
-v W существует единственное линейное отображение F : U ®
® V -*¦ IF, такое, что F = F ® (т. е. F (и, v) = F (и ® v)).
Следствие 2.2. Если Ф : U х V -*¦ IF о — такое билинейное от-
отображение, что для всякого билинейного отображения F : U х V -*¦
->¦ W существует единственное отображение F : Wo ->¦ IF, такое,
что /^Ф = F, то существует единственный изоморфизм ср : IFO ^>
^ U ® V, такой, что и ® v — фФ (u, v) для всех элементов
Доказательство. Из условия теоремы следует суще-
существование и единственность гомоморфизма ф : Wo -*¦ U ® V, для
которого и ® v = фФ {и, v). С другой стороны, из теоремы 2.1
следует, что существует гомоморфизм Ф: U®V->~ Wo, для кото-
72
рого Ф (и <g> v) = Ф (ы, t>). Но тогда фФ (и ® t>) = фФ (ы, t>) =
= и <g> и, откуда по теореме 2.1 следует, что фФ = 1. Аналогична
ФфФ (и, v) = Ф (и <g> v) = Ф («, и), откуда следует, что Фф = 1,
т. е. Ф — обратное отображение к ф.
Существование и единственность изомофизма ф позволяет отож-
отождествлять всякое пространство Wo, удовлетворяющее условию след-
следствия 2.2, с тензорным произведением U(g)V. При этом, в частности,
отождествляются все тензорные произведения, получающиеся при
различном выборе базисов в U и V.
Кроме того, теорема 2.1 позволяет установить основные свой-
свойства тензорного произведения.
Предложение 2.3. Для любых пространств U, V, W существует
единственный изоморфизм f:U<8>V~V$)U, такой, что
f (и <g> и) = v (g) и, и единственный изоморфизм g : (и <g> V) (g)
<g) W ¦=? U <g> (V <g) W), такой, что g ((u (g) v) <g> w) = и ® (u<g>
(g) (U(g) W).
Доказательство. Поскольку (и, v) -*¦ v (g) и есть, оче-
очевидно, билинейное отображение, существует единственный гомомор-
гомоморфизм f : U ® V ~+ V ® U, для которого/ (и (g) v) — v (g) и. Но,
аналогично, существует гомоморфизм /' : V (g) U ->- U ® V, для
которого /' (и ® ы) = ы ® и, и из теоремы 2.1 сразу следует, что
/ и /' — взаимно обратные изоморфизмы.
Пусть теперь F — билинейное отображение (U (g) V) X №->- Z.
При фиксированном w ? W оно превращается в линейное отобра-
отображение Fw : U (g) V -> Z, т. е. в билинейное отображение [/ X У->-
-»- Z, причем, очевидно, Fw зависит от w линейно. Поэтому при фик-
фиксированном и 6 U отображение V х W -*¦ Z, сопоставляющее паре
(v, w) вектор Fw (и, v), билинейно и потому определяет линейное
отображение V® W ->¦ Z, линейно зависящее от и. Тем самым оп-
определяется билинейное отображение U X (V <S> W) ->- Z. Пере-
Переходя к тензорным произведениям, мы всякому линейному отобра-
отображению (U (g) К) (g) IF -v Z сопоставим отображение U <g> (У ®
(g) W)-*-Z (очевидно, единственное). Наоборот, всякому отображе-
отображению U ® (V ® IF) ->- Z сопоставляется единственное отображение
(?/ <8> V) ® № -»- Z. Полагая вначале Z = (f7 <g) V) <g) IF, а затем
Z — U ® (V ® IF), мы получим требуемый изоморфизм g и обрат-
ный к нему.
В дальнейшем мы будем отождествлять U <g> V и V ® U,
а также (U <g) У) <g> W и U ® (V ® W) (и писать без скобок U ®
® V ® V).
Всякий элемент из t/ (g) V, по определению, однозначно пред-
представим в
виде 2'
элемеат записать в виде
Vj). Полагая ^oLijul=Xj, мы можем этот
) 'л ¦¦¦¦<*
I ® vjt причем легко» проверить, что.
73.

эта запись однозначна. Аналогично, всякий элемент из U ® V од-
л
«означно записывается в виде "У ut <8> уь у. ? V.
1=1
Если U' — подпространство в V, то (и', v)-*-u®v есть били-
билинейное отображение V X V ->¦ U ® V, которое определяет гомомор-
гомоморфизм f:U'®V-*-U®V. Очевидно, если базис в U выбран так,
что {ult . ¦ ., uh} (k^.n) — базис U', то образ / состоит из элемен-
k
тов вида V и,- <8> yt и / есть мономорфизм, позволяющий рассмат-
ривать U' ® V как подпространство в U ® V. При этом легко ви-
видеть, что если U=Ur ®U", то U ® V = О" ® V ф U" ® V. Ана-
Аналогичные утверждения верны и для подпространств пространства V.
Пусть теперь Л и В — алгебры над полем К- Тогда при фиксиро-
фиксированных по ? Л и ft0 6 В отображение Л х В ->- А ® В, сопоставля-
сопоставляющее паре (a, ft) элемент аа0 ® ftfto, билинейно и потому продолжа-
продолжается до линейного отображения F : Л ® В ->- Л (g> В, при котором
a (g) ft ->- аа0 ® bb0- С другой стороны, F билинейно зависит от
{во, bo), поэтому мы можем любому элементу х ? Л ® В сопоставить
линейное отображение /\,., линейно зависящее от а: и такое, что
-^0g>*0 (a (g) ft) = аа0 (g) ftfto.
Обозначив Fx (у) = до, мы определим тогда в Л ® В билинейное
умножение, такое, что (а ® ft) (а0 ® fto) = «йо ® ftfto Для любых
41, а0 ? Л, ft, ft0 ^ В. Поскольку [(а ® ft) (а' ® ft')] (а" ® ft") = (аа" ®
®bb'){d'®b")=aa'a" ® bb'b" = {а ® ft) [(а' <8> ft')(a" ® ft")], a (a(g)ft)X
X(l® 1)= A ® \) {а ® b) = а ® b, пространство А ® В тем самым
¦превращается в алгебру над полем К, которая называется тен-
тензорным произведением алгебр Л и В.
Из предложения 2.3 вытекает, что А ® В си В ® А и
<Л ® В) ® С ~ Л ® (В ® С) как алгебры.
Тензорные произведения дают возможность свести изучение
бимодулей к изучению модулей.
Пусть М — некоторый Л-В-бимодуль. Обозначим через Л*
алгебру, обратную к Л, т. е. состоящую из тех же эле-
элементов, но с умножением: a°b° = (bdf (здесь а° обозначает элемент
a 6 Л, рассматриваемый как элемент алгебры А°). Введем на М
структуру модуля над алгеброй В (g) Л°, полагая т (ft ® а°) =
= amb. Корректность этого определения и аксиомы модуля про-
проверяются непосредственно.
Наоборот, всякий В ® Л°-модуль N можно рассматривать как
Л-В-бнмодуль, если положить an — n (I ® a°), nb = n (ft ® 1).
Таким образом, понятия Л-В-бимодуля и В ® Л°-модуля фак-
фактически совпадают.
В заключение вычислим центр тензорного произведения алгебр.
Теорема 2.4. С (А ® В) = С (Л) <g> С (В).
Доказательство. Выберем в Л подпространство Л',
дополнительное к С (Л), т. е. такое, что Л = А' ф С (А) каквек-
74
торное пространство. Тогда Л ® В = Л' <g> В © С (А) ® В. По-
Покажем, что С (Л ® В) с С (Л) ® В. Действительно, пусть
гШЛ ® В), с= х + у, где * б Л' <g) В, у е С (Л) ® В. Тогда
с (а ® 1) = (a <g) 1) с, откуда следует, что дс (а ® 1) = (а ® 1) JC,
так как у (о <8> 1) = (а ® 1) г/ автоматически.
m
Выберем базис {ftt, . . ., ftm} в В и запишем дс= V xt ® ft;-
Из
a,
однозначности такой записи следует, что xia = axl для любого
т. е. Xi^C(A). Так как хг?Л', то xt = 0 и дс = 6.
Аналогично, выбирая базис в С (А) и раскладывая С (А) ®
® В = С (Л) ® С (В) ф С (Л) <g) В', где В' — дополнение к С (В),
мы покажем, что С (Л (g> В) с С (А) ® С (В). Но обратное вклю-
включение очевидно, что и доказывает теорему.
Алгебра Л над полем К называется цент-
§ 3. Центральные р а л ь Н О Й, если С (А) = К-
простые алге ры д^ы поставили задачу изучить в этой главе
центральные тела (конечномерные над К)- Однако, как будет видно
из дальнейшего, удобнее рассматривать сразу все центральные
простые алгебры, т. е. алгебры вида Мп (D), где D — центральное
тело.
Из предложения 1.1 следует, что алгебра является центральной
простой тогда и только тогда, когда ее регулярный бимодуль прост,
а его алгебра эндоморфизмов совпадает с К- Это дает возможность
охарактеризовать алгебру Л ® А°.
Определим гомоморфизм Т алгебры Л <g> Л° в алгебру эндомор-
эндоморфизмов ? (Л) векторного пространства Л, приняв за Т (a (g) ft°)
линейный оператор, переводящий х ? Л в axb.
Теорема 3.1. Алгебра А является простой центральной алгеброй
над полем К тогда и только тогда, когда гомоморфизм Т : А ®
(g) Л° -*¦ Е (А), определенный выше, есть изоморфизм.
Доказательство. Если Л — простая центральная ал-
алгебра, то Л можно рассматривать как простой модуль над алгеброй
Л ig) Л° с телом эндоморфизмов К- Но тогда по теореме 2.6.7 гомо-
гомоморфизм Т:А® Л° -*¦ Е (А) есть эпиморфизм, и, так как
[А ® Л° : ЛП = пг = [Е (А) : К\, где п = [А : К), Т является
изоморфизмом.
Наоборот, если Т — изоморфизм, то, отождествляя А ® А°
с Е (А), мы видим, что А — простой Л ® Л°-модуль, т. е. простой
Л-бимодуль, и его алгебра эндоморфизмов есть К- Иными словами,
Л — центральная простая алгебра.
Мы применим теорему 3.1 для изучения строения алгебры А <8>
<g> В, где Л — центральная простая, а В — произвольная /(-ал-
/(-алгебра.
Теорема 3.2. Всякий идеал алгебры А ® В, где А — простая
центральная алгебра, имеет вид A <g> /, где I — идеал алгебры В.
Доказательство. Очевидно, если / — идеал в В, то Л <8>
<g> / — идеал в Л <g> В. Наоборот, пусть J — идеал алгебры А ® В.
75

Выбирая базис {alt . . ., ап] в А, мы можем каждый элемент из
п
А <8> В однозначно записать в виде \ at ® bh где b,- ? В. Рассмот-
рим линейный оператор Tk в пространстве А, переводящий ah в I,
1 а остальные элементы базиса — в 0. По теореме 3.1 Th = T (yh),
«где yh ? Л <g> Л°: г/„ = J ^ ® х°> xt ? 4. Но ТОГДа 2 (а' ® !) Х
> ®!) =2 B
= 2 (fl«r*)®b'el ®
(=1
(g) fth. Поэтому если элемент V аг (g) bt лежит в идеале J, то A<8>
®bh)?J для любого fe. Пусть / = {Ь?5|1 ®/??./}¦ Очевидно, /—
идеал в алгебре В, и, как мы только что показали, всякий эле-
п
"• мент из У имеет вид V а< (g) fy, где b, ? /, т. е. У = Л (g) /, что и
' требовалось доказать.
Следствие 3.3. Если А — центральная простая алгебра, то
алгебра А ® В проста тогда и только тогда, когда В проста.
Следствие 3.4. Если А — центральная простая алгебра, то
rad (А ® В) = A (g> rad В для любой алгебры В.
Доказательство следует из характеристики радикала
как пересечения максимальных двусторонних идеалов.
Следствие 3.5. Если А — центральная простая алгебра, то ал-
алгебра A (g) В полупроста тогда и только тогда, когда алгебра В по-
полупроста.
Комбинируя теорему 3.2 с теоремой 2.4, описывающей центр
тензорного произведения, мы получаем еще такое следствие.
Следствие 3.6. Если А — центральная простая алгебра, то ал-
алгебра А ® В является центральной простой тогда и только тогда,
когда В — центральная простая алгебра.
Теорема 4.1 (Сколема—Нётер). Если f и g—
§ 4: Основные тео- Qea гомоморфизма простой алгебры В в цен-
ремы теории тел ,- Л *
тральную простую алгебру А, то в А суще-
существует такой обратимый элемент а, что g (b) = af (b)a~l
для всех b 6 В.
Доказательство. Рассмотрим S-Л-бимодули fA и
gA (см. § 1, пример 2). Это — модули над алгеброй A (g) B°, которая
проста по следствию 3.4. Но поскольку размерности этих модулей
совпадают (это есть [А : К}), по следствию 2.3.5, fA ~ gA.
Пусть ф—изоморфизм fA в gA. Тогда ф является автоморфизмом
регулярного Л-модуля и потому имеет вид ф (х) = ах, где а — фик-
фиксированный обратимый элемент из Л. Кроме того, ф является гомо-
гомоморфизмом левых S-модулей, т. е. ф (Ьх) = Ьц> (х). Если учесть оп-
определение tA и gA, то ф (/ (b) x) = g (b) ф (х). Полагая х — 1, мы
76
получаем, что af (b) = ф (/ (b)) = g (b) <p A) = g (b)a для любого
b б В, т. e. g (b) = af (b) a-1.
Отображение х-*- аха~\ очевидно, является автоморфизмом ал-
алгебры А. Этот автоморфизм называется внутренним. Если-
В — подалгебра в Л, то аВа~1= {aba-^b 6 В} также является под- •
алгеброй. Говорят, что В и аВа~1 сопряжен ывЛ. . *
Следствие 4.2. Изоморфные простые подалгебры В и В' цент-
центральной простой алгебры А сопряжены. Более того, всякий изомор- '•
физм g : В ^ В' продолжается до внутреннего автоморфизма ал-
алгебры А, т. е. имеет вид g (b) = abar^, где а — обратимый эле-
элемент из А.
Доказательство следует из теоремы Сколема—Нётер,
если наряду с g рассмотреть тождественное вложение / алгебры В в
алгебру Л.
Следствие 4.3. Всякий автоморфизм центральной простой ал-
алгебры является внутренним. В частности, всякий автоморфизм ал-
гебры Мп (К) — внутренний.
Заметим, что в доказательстве теоремы Сколема—Нётер алгебры
Л и В по сути равноправны: мы пользовались только простотой
тензорного произведения Л (g) В", для чего достаточно, чтобы одна
(любая) из этих алгебр была центральной простой, а вторая —
простой. Поэтому можно сформулировать «двойственную» теорему,
доказательство которой предоставляется читателю.
Теорема 4.4. Если f и g — два гомоморфизма центральной прос-
простой алгебры В в простую алгебру А, то в А существует такой об-
обратимый элемент а, что g (b) = af (Ь)а~1 для всех b ? В.
Следствие 4.5. Изоморфные центральные простые подалгебры В
и В' простой алгебры А сопряжены. Более того, всякий изоморфизм #
g : В ~ В' продолжается до внутреннего автоморфизма алгебры А,. *
т. е. имеет вид g (b) = abar^, где а — обратимый элемент из А.
Конечно, аналог следствия 4.3 для нецентральных простых ал- -
гебр неверен. Простейший пример — это комплексное сопряжение, h
являющееся невнутренним автоморфизмом поля комплексных чисел
как алгебры над полем вещественных чисел.
Теорема Сколема-Нётер часто называется первой основной тео-
теоремой теории тел. Вторая основная теорема связана с понятием
централизатора.
Централизатором подмножества X алгебры Л называется '
совокупность всех таких элементов а?А, что ах=ха для любого х? •
^Х. Централизатор подмножества X — это подалгебра в Л, ко- *
торую обозначим так: СА (X). В частном случае, когда X = А, '
СЛ(А) = С (А)—центр алгебры. ^
Теорема 4.6. Пусть А — центральная простая алгебра, В — *
ее простая подалгебра, В' = Сд(В). Тогда:
,1) В' — простая алгебра;
< 2) СД(В') = В; -' ,-'
3) 1В\ К) IB' :K\ = \A : Kh ' i"
4) если В' ~ Мт (D), то A <g> В0&Мпф), причем т делит п,
77

Доказательство. Рассмотрим В-Л-бимодуль fA, где
/ — тождественное вложение В в Л. По следствию 3.4 алгебра А &
® В° проста. Значит, А ® 5° с*. Mn(D), a fA ~ /п(/, где ?У —
простой модуль над Л <8> В°. Поэтому ЕА$В* (fA) ~ УИт (D).
Пусть ф — эндоморфизм fA. Тогда это эндоморфизм регулярного
i Л-модуля, т. е. ф имеет вид ф (х) — ах. Кроме того, ф (bx) = by (x),
'1 откуда, полагая х = 1, получаем, что аЪ = Ьа для всех Ь 6 В, т. е.
а в В'. Наоборот, если а 6 В', то отображение х -*¦ ах, очевидно,
есть эндоморфизм fA. Поэтому В' ~ Е (,А) ~ Мт (D), т. е. мы до-
доказали утверждения 1) и 4) (кроме утверждения о делимости).
Обозначим d = [D : /С). Тогда {У ~ raD, откуда [U : К\ = nd и
[А : К) = mnd. С другой стороны, [А : К) [В : К] = [А ® В° :
: /С1 = n2d, а [В' : /С) = m2d. Отсюда следует, что [В : К1 = — =
/л л а
= —, т. е. т делит п и [А : К) = [В : ДЧ [В' : Ю, что доказывает
3) и 4).
^ Пусть, наконец, В" = СА (В'). Очевидно, В с В". Но алгебра
В' проста, поэтому для нее также верно утверждение 3), откуда
[В* : Ю = [А : КШВ' : К) = [В : ffj. Следовательно, В" = В, что
завершает доказательство теоремы.
Применим результаты предыдущего парагра-
Поля расщеЛпЯлеТ„еия *а «изучению подполей центральных тел.
Нас будут интересовать максимальные
подпол я, т е. такие, которые не содержатся ни в каком боль-
большем подполе.
Теорема 5.1. Подполе L тела G максимально тогда и только
тогда, когда L = CD (L). Если тело G центрально, то в этом слу-
случае [D : К\ = [L : Ю2 и D <g> L ~ Mn (L), где п = [L : К).
Доказательство. Очевидно, всякое подполе, содержа-
содержащее L, содержится в CD(L). Поэтому если L = CD (L), то оно мак-
максимально. С другой стороны, если элемент а лежит в CD(L), но не
лежит в L, то совокупность элементов вида / (а), где / (х) — много-
многочлен над полем L, образует коммутативную подалгебру в D, т. е.
подполе, строго большее чем L. Это доказывает первое утверждение.
Пусть теперь D — центральное тело, L — его максимальное под-
подполе. Тогда L = CD(L), откуда по теореме 4.6 следует, что
IO : ^] = IL : 0 и D ® L ~ Mn (L) (ввиду коммутативности L
L ~ L). Наконец, подсчет размерностей сразу дает равенство п =
= [L : К,].
Следствие 5.2. Размерность центральной простой алгебры всег-
всегда является квадратом целого числа.
Для любой /С-алгебры А и расширения L поля К алгебру А ®
® L можно рассматривать как L-алгебру, полагая ах = х A ® а),
где х 6 А О L, а 6 L. Эту L-алгебру мы будем обозначать AL. Го-
Говорят, что AL получается из А расширением
поля скаляров. Очевидно, \AL : L] = [А : /CJ.
78
Теорема 5.1 показывает, что если L — максимальное подполе
центрального тела D, то DL~ Mn (L). Очевидно, тогда Mh (D) ®
(8) L ~ Mnh (L).
Если /(-алгебра А центральна, то теорема 2.4 показывает, что
L-алгебра AL также является центральной. В частности, если А —
центральная простая /(-алгебра, то AL — центральная простая
^-алгебра.
Поле L называется полем расщепления центральной
простой алгебры А, если AL ~ Mn (L). Из теоремы 5.1 следует, что
поле расщепления всегда существует.
Однако поле расщепления, конечно, не единственно, хотя бы
потому, что всякое его расширение также является полем расщеп-
расщепления. В самом деле, даже минимальное поле расщепления (не со-
содержащее других полей расщепления) определяется неоднознач-
неоднозначно (см. упражнение 6 этой главы).
Следующая теорема дает некоторую характеристику полей рас-
расщепления, которая будет полезна в дальнейшем.
Теорема 5.3. Поле L является полем расщепления центрального
тела D размерности d2 тогда и только тогда, когда \L : К] = md и
L изоморфно подалгебре алгебры Мт (D).
Доказательство. Пусть D (g) L ~ Md (L). Рассмотрим
простой DL -модуль, или, что то же, простой L-D-бимодуль U.
U является правым векторным пространством над D, а умноже-
умножение на элемент а. ? L определяет эндоморфизм этого векторного
пространства. Обозначая через Т (а) матрицу этого эндоморфизма,
мы получаем гомоморфизм (и даже мономорфизм, поскольку L по-
поле) Т : L -> Mm (D), где т = W : D].
С другой стороны, так как DL ~ Md (L), то U ~ dL и
[U : К1 = d[L : Ю- Но в то же время [U : Ю = mdz, откуда
[L:K\ = md.
Наоборот, пусть L — подполе в алгебре А = Мт (D) размер-
размерности md, L' — централизатор L. Тогда L' zd L и по теореме 4.&
[L : К) [L' :К] = 1А:К) = пЛР, откуда (/.' : К] = md = [L : Kl
т. е. L' = L, и потому А <8> L ~ Mn {L), т. е. L — поле расщеп-
расщепления для А, а значит, и для тела?>.
В § 3 мы отметили, что класс центральных
§ 6. Группа Брауэра.Пр0СТЫХ алгебр замкнут относительно тензорно-
теорема Фробениуса го умножения. Основное поле К играет при
этом роль единицы, поскольку A (g) К с^- А для любой алгебры А.
Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А°, дей-
действительно, «с точностью до матриц» является обратной к алгебре А
в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве
классов изоморфизма центральных тел структуру группы следу-
следующим образом.
Зафиксируем по одному представителю в каждом классе изо-
изоморфизма центральных тел. Если D, и D2 - два таких представи-
представителя, то D\ (8> Ь2 — центральная простая алгебра, поэтому она изо-
изоморфна какой-то алгебре вида Мп (D), где D — центральное тело.
79

ПоложимD = DtD2- Из§2 следует, что D,D2 = D2Di иО, (D2?>3)=
= (DtD2)D3. Далее DK = KD = D, и по теореме 3.2DD° =
= D°D = К- Таким образом, наше множество центральных тел
превращается в коммутативную группу. Эта группа называется
группой Брауэра поля К и обозначается Вг (К).
Если L — расширение поля К, то для всякого центрального тела
D L-алгебра DL — центральная простая, поэтому она изоморфна
Мп (D'), где D' — центральное тело над L. Легко проверить, что,
•сопоставляя D тело D', мы получаем гомоморфизм групп Вг (К) -»-
-*¦ Вг (L). Ядро этого гомоморфизма состоит из тех тел. для которых
L является полем расщепления. Эта подгруппа группы Брауэра
обозначается Вг (L/K)- Теорема 5.1 показывает, что всякий эле-
элемент группы Брауэра лежит в какой-то подгруппе вида Вг (L/K),
т. е. Вг(/С) = L) Вг (UK).
Фактическое вычисление группы Брауэра, как правило, весь-
весьма сложно, а строение этой группы известно лишь для некоторых
полей К. Мы ограничимся простейшими случаями: полем веществен-
вещественных чисел и конечными полями (см. гл. V).
Конечно, если К — алгебраически замкнутое поле, над ним нет
•центральных (и вообще никаких) тел, отличных от самого К, т. е.
«го группа Брауэра тривиальна.
Над полем R вещественных чисел есть по крайней мере одно
центральное тело — тело кватернионов Н. Замечательный резуль-
результат состоит в том, что это — единственное центральное тело над
полем R.
Теорема 6.1 (Фробениус). Единственные конечномерные тела
над полем R вещественных чисел — это само поле R, поле С комплекс-
комплексных чисел и тело кватернионов Н.
Доказательство. Пусть вначале L — конечное расши-
расширение поля R, а — произвольный элемент L, та (х) — минимальный
многочлен элемента а над полем R (см. § 2 гл. I). Он неприводим и
потому является либо линейным (в этом случае а? R), либо квад-
квадратным вида х2 + 2рх + q, где рг < q. Во втором случае элемент
а -\- р — корень многочлена хг -f- (q — р2). Наконец, (а -\- рI
IV ц — рг — корень многочлена х2 + 1. Поэтому подполе R [а]
изоморфно полю С. Поскольку поле С алгебраически замкнуто,
L~ С.
Итак, конечные расширения поля R — это само R и С. Поэто-
Поэтому С является полем расщепления любого центрального тела D
над R. ПустьD ф R, d2 = [D : Rl, L — максимальное подполе bD.
Так как L Ф R, то L ~ С, откуда по теореме 5.1 d = [С : R] =
¦ «= 2, т. е. [D : R] = 4.
Обозначим через i элемент подполя L, такой, что i2 = —1 (об-
(образ элемента г ? С при изоморфизме С ~ L). Комплексное сопряже-
сопряжение дает автоморфизм поля L, при котором i переходит в —i. По
следствию 4.2 bD найдется ненулевой элемент /, такой, что jij~x =
= — i, т. е. /7 = —ij.
80
Поскольку / и i неперестаноючны, / g L, т. е. 1, t, /линейно не-
независимы. Кроме того, ]Ч = —jij = ij2, т. е. f ? CD(L) = L. Итак,
/2 = а -\- pj, где а, р ? R. Но /2 обязано коммутировать с /, поэтому
/ (а + pi) = а/ + р/7 = (а + рг")/ = а/ — pi/ и р = 0. Значит,
Z2 = а 6 R- Очевидно, а < 0 (иначе а = у2 и (/ — у) (/' + Y) =
= 0, что невозможно). Заменяя, если нужно, / на j'V—а, можно
считать, что /2 = —1.
Итак, мы уже выбрали элементы i и /, такие, что i2 = j2 — —1,
/7 = —ij. Обозначим k = ij. Тогда k2 = ijij = —i2/2 = —1; ik =
= i2/ = —/; ki = i/'i = —i2/ = /. Аналогично jk = —kj = i. Ины-
Иными словами, элементы /, /', k множатся так же, как одноименные эле-
элементы тела кватернионов. Поэтому можно задать гомоморфизм
/:H->D, являющийся мономорфизмом, поскольку Н — тело.
Но [Н : R] = [D : R]. Значит, / — изоморфизм, что и требовалось
доказать.
Следствие 6.2. Вг (R) = Вг (C/R) есть циклическая группа вто-
второго порядка.
¦¦'.Hi' ¦¦' t-. '.*¦• -щ<' щ
i J. ,-¦ ;¦' •¦¦ " ' ¦•'¦¦
Упражнения к главе IV -. > ¦. д
1. Пусть D — конечномерное тело над К. Показать, что два D-бимодуля изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие самопредставления подобны
(т. е. отличаются на внутренний автоморфизм алгебры М (D)).
2. Пусть S и Т — конечные множества, на которых задан квазипорядок —>,
А и В — соответствующие минимальные алгебры над полем К (см. упражнения
8—10 к гл. III). Введем квазипорядок на декартовом произведении S X Т, пола-
полагая (s, t) —> (s\ t'), если s —* s' и / —> t'. Доказать, что Л^В есть минимальная ал-
алгебра, соответствующая так определенному квазипорядку на декартовом про-
произведении А X В.
3. Доказать, что С®С~С@С (С рассматривается как алгебра над R).
Этот пример показывает, что тензорное произведение простых алгебр не обязано
быть простой алгеброй.
4. Линейное отображение д : А —» А называется дифференцированием алгеб-
алгебры А, если для любых элементов а, Ь 6 А д (ab) = а (дЬ) + (да) Ь.
а) Доказать, что при фиксированном х ? А отображение дх, определенное
формулой дха = ах — ха, является дифференцированием алгебры А. Это диф-
дифференцирование называется внутренним.
б) Доказать, что если д — дифференцирование алгебры А, то отображение
Т : А —>¦ М% (А), определяемое формулой
Т(а) =
а да
.0 а
;н .у! ,|- ¦
¦*i«ss m:
41 I,1-»!''.1'
.Г| !" л;
есть гомоморфизм алгебр.
в) Доказать, что всякое дифференцирование центральной простой алгебры
является внутренним. (Указание: воспользоваться утверждением б) и тео-
теоремой Сколема—Нётер.)
5. Пусть А — простая алгебра, В — ее центральная простая подалгебра,
В' = СА(В). Доказать, что: а) В' — простая алгебра; б) [В : К][В' : К] =
= [А : К]; в) если В' са Mm (D), то А ® В° ~ Мп (D), причем т делит п.
Привести пример, в котором СА (В') ф В.
6 - 9-907
81

6. Рассмотрим алгебру D над полем Q рациональных чисел с базисом A, «,
/, к) и таблицей умножения - ' §i
i
i
k
i
— 1
— k
i
i
k
2
%
k
-i
— 2i
2
(проверьте, что это действительно алгебра).
а) Доказать, что D — центральное тело.
б) Проверить, что Z-i = Q [»] и L2 = Q [/]— неизоморфные максимальные
подполя в D.
7, Доказать, что если Dt и D2 — такие центральные тела над К, что [D\.
К] и [D2 : К] взаимно просты, то Di ® D2 есть тело. (Указание: предпола-
предполагая, что ?>i ® D2 = Mn (D), вычислить двумя способами D-i ф D2 ® Dg и вывес-
вывести отсюда, что га делит [О2 :/(].)
8 (теорема Диксона). Доказать, что два элемента центрального те-
тела сопряжены тогда и только тогда, когда у них совпадают минимальные много-
многочлены.
9 (тело Гильберта). Пусть L — некоторое поле, ф — автоморфизм
со
поля L. Рассмотрим «степенные ряды» вида 2_, а^> гДе а> € L, t — некото-
I»—00
рый символ («переменное»), а обозначение i > —со показывает, как обычно,
что в этот ряд входит лишь конечное число членов с отрицательными номерами.
00 00 00
Сложение рядов определяется как обычно: ^ a,tL -(- ^, b.t* = ^ (а.-\-
1>>— оо 1» — оа О>— ос.
-\-b^tl, а умножение — исходя из правил ta — ф(а) t (a QL) на \) аг'' =
а) Проверить, что множество рядов с так определенными операциями обра-
образует тело L [\t, ф]]. Это тело называется телом Гильберта.
б) Пусть /(={аб1.ф(а)= а}, п — порядок автоморфизма ф, т. е. наимень-
наименьшее натуральное число, такое, что ф" есть тождественный автоморфизм (или со,
если такого натурального числа не существует). Доказать, что центр тела Гиль-
Гильберта есть У( [[/"]], если га ф со, и У(, если га = со.
в) Построить пример центрального бесконечномерного тела. (Указание;
принять за L поле рациональных функций К (*)¦)
С. ' , Г ]|1
i\:/№ts'jfl •!>¦¦ • л'
82
ГЛАВА
ТЕОРИЯ ГАЛУА
У,Ъл
В этой главе мы применим аппарат бимодулей и тензорных про-
произведений к изучению расширений поля К, т. е. к -теории Галуа.
Далее нам понадобятся некоторые известные
§ 1. Элементы результаты о строении полей и их расширений.
теории полей Пусть К — произвольное поле. Напомним,
что характеристикой поля К называется наименьшее
натуральное число р, для которого
/? 1 = 1 —f— 1 -4-.. . —}— 1 == 0 (если такое число существует). i
Р раз ' \
Если такого числа нет, т. е. ml ф 0 ни для какого т, говорят,
что К — поле характеристики 0. Поскольку из равенства р = тп,
очевидно, следует, что р\ = (ml) (n\), характеристика поля —
всегда простое число (или 0).
Предположим, что К — поле характеристики 0. Тогда из /г Ф т
следует, что п\ ф ml, и мы можем, отождествляя элемент п\ с
числом п, считать, что К содержит множество натуральных чисел.
Обозначая далее (—п)\ = —п\ и отождествляя —п\ с числом —п,
мы можем рассматривать и совокупность целых чисел как подмно-
подмножество (подкольцо) поля К- Наконец, рассматривая отношения
nl/ml, мы можем вложить в К все поле рациональных чисел Q.
Если поле /( — простой характеристики р, положение еще про-
проще: легко видеть, что в этом случае элементы вида п\, где 0 ^ п <
< р, сами образуют подполе, изоморфное полю F (р) вычетов по
модулю р.
Очевидно, поля Q и F (р) уже не содержат собственных подпо-
лей. Поля, обладающие этим свойством, называются просты-
м и. Итогом наших рассуждений является следующая теорема.
Теорема 1.1. Всякое поле К содержит простое подполе, изоморф-
изоморфное либо Q (если К — характеристики 0), либо F (р) (если К — ха-
характеристики р > 0).
Следствие 1.2. Если поле К конечно, то число элементов в нем ,
равно рп, где р — простое число.
Доказательство. Характеристика конечного поля .
всегда отлична от нуля, т. е. К гэ F (р) для некоторого простого р. »,
Но тогда К — конечное расширение F (р). Выбирая в нем базис,
мы сразу получаем, что К, состоит из р" элементов, где п =
I )l
(p)
Нас будут интересовать в основном конечные расширения фик-
фиксированного поля К- Важнейшую роль при построении и исследо-
исследовании таких расширений играет следующий результат.
6* 83

Теорема 1.3 (Кронекер). Пусть р (х) — неприводимый много-
многочлен над полем К, (р (х)) — идеал в К [х], состоящий из многочле-
многочленов, кратных р (х) : (р (х)) = {р (х) g(x)\g (x) 6 К Ы}. Тогда
К 1х]!(р (х)) есть поле, в котором многочлен р (х) имеет корень. На-
Наоборот, если L — расширение поля К, в котором р (х) имеет корень
а, то К la] ~ К Ы1(р (х)).
Доказательство. Обозначим 1 = (р (х)) и рассмотрим
в факторалгебре К \.х\11 класс х = х + /. Из определения действий
в факторалгебре следует, что р (х) — р (х) + / = 0, т. е. х — ко-
корень р (х). Остается проверить, что К \х\/1 есть поле.
Пусть / = / (х) + I — ненулевой класс К [х]/1, т. е. f(x)?I.
Тогда многочлены / (х) и р (х) взаимно просты. Потому 1 =
= f (x) h (х) + р (х) g (х), где h (х) и g (x) — некоторые многочле-
многочлены. Обозначим h = h (x) + /, получаем, что fh = 1 в факторал-
факторалгебре К \х]/1.
Наоборот, пусть L — расширение поля К, а ? L — корень р (х).
Тогда р (х) = та (х). Определяя гомоморфизм ф : К lx] -v L фор-
формулой ф (f (x)) = f (а), из теоремы о гомоморфизме находим, что
к ы ~ к ып.
Заметим, что расширение К [х]/1 — конечное: если степень р (х)
равна п, то легко проверить, что 1, х, хг, ..., х"~1 — базис К [х\П.
Из теоремы Кронекера можно получить такое важное следствие.
Пусть f (х) — произвольный многочлен над полем К, р (х) — его
неприводимый множитель. Тогда в поле Kt = К 1х]/(р (х)) много-
многочлен р (х), а потому и / (х) имеет корень аи откуда по теореме Безу
/ (х) = (х —¦ п\) ft (x). Продолжая этот процесс, мы построим це-
цепочку конечных расширений 9 К cz Kt cz /С2 ^ •¦-. такую, что в
Kt многочлен f (x) имеет i корней (с учетом кратности). Отсюда сле-
следует, что если f (х) — степени п, то в поле Кп он разложится на ли-
линейные множители.
Говорят, 4toL — поле разложения многочле-
многочлена/ (х), если в нем / (х) разлагается на линейные множители, но ни
в каком его собственном подполе / (х) не разлагается на линейные
множители.
Теорема 1.4. Для любого многочлена f (х) ? К 1х] существует поле
разложения L и любые два поля разложения изоморфны.
До казательство. Существование поля разложения сле-
следует из изложенного выше. Его единственность мы будем доказы-
доказывать индукцией по степени п многочлена f (х). База индукции, п =
= 1, тривиальна: здесь автоматически L = К-
Пусть / (х) — многочлен степени п, L и V — его поля разложе-
разложения, р (х) — неприводимый (над К) множитель f (x). Тогда р (х)
имеет корень а в поле L и корень а' в поле L'. Из теоремы Кронеке-
Кронекера следует, что поля К Ы и К la'l изоморфны. Отождествляя их,
можно считать, что ? и L' содержат общее подполе Ki = К Ш.
9 Заметим, что в этой цепочке включения не обязаны быть строгими. Напри-
Например, если р (х) — линейный многочлен, то уже К%= К-
84
Но тогда L и L' — расширения поля Ki- Более того, это поля
разложения над Ki многочлена /i (х) = f (х)/(х — а) степени п —
— 1. По индукционному предположению L ~ L', что и требовалось
доказать.
Покажем, что поле разложения L — также конечное расшире-
расширение основного поля К- Поскольку L — подполе поля Кп, получа-
получающегося из К цепочкой конечных расширений, наше утверждение
является частным случаем следующего результата.
Теорема 1.5. Если К = /@ с /С, с: .. . а Кп-\ с Кп — цепочка
полей, в которой Ki+\ — конечное расширение Ki для любого i, то
п
Кп — конечное расширение К и [Kn:K] = \~[[Ki'- Ki-i].
До казател ьство, очевидно, достаточно провести для
случая п = 2: общий результат получается отсюда по индукции.
Итак, пусть К cz F a L, причем [F:K] = n и [L: F] = т. Вы-
Выберем базис {аи . .., ап) поля F над К и базис {Ь„ . . ., Ьт] поля
п
L над F. Тогда всякий элемент F имеет вид ^ atah где а? ? А',
?=1
т
а всякий элемент поля L — вид V fabj, где р;- ? F. Но, расписывая
1=1
МЫ ПОЛуЧИМ
{atbj} — система образующих векторного пространства L над по-
полем К.
С другой стороны, если \ <хца$1 = 0, то из линейной незави-
симости {bj} над F следует,
auO; = 0 для любого /, откуда,
ввиду линейной независимости at над К, olu — 0 для всех i, j,
т. е. элементы atbj линейно независимы над К. Итак, мы постро-
построим базис {afij} поля L над А^, состоящий из пт элементов, что и
доказывает теорему.
Применим полученные ранее результаты для
§ 2 Конечные поля, описания конечных полей (и даже всех конечных
Теорема Веддербёрна тел!). Докажем вначале одну лемму о коммута-
коммутативных группах.
Лемма 2.1. Если в коммутативной группе G есть элементы по-
порядков тип, то в G есть и элемент порядка k, где k — наименьшее
общее кратное тип.
Доказательство. Пусть х — элемент порядка т, у —
элемент порядка п. Если тип взаимно просты, то k = тп и
(ху)к = х*ук = 1. Наоборот, если (хуI = 1, то х1 = у~1 и элемен-
элементы х1 и у1 имеют одинаковый порядок. Но порядок элемента х1
85

делит т, а порядок у делит п, откуда следует, что х1 — у1 = 1,
т. е. / делится на и и л, а потому и на k.
В общем случае разложим т и п на простые множители и для
каждого простого числа р выберем в т или в п сомножитель вида
р', где t — степень, с которой р входит в k. Тогда тип разложатся
в произведения т — тот' и п = поп' так, что k = топо, причем
т0 и п0 взаимно просты.
Но элементы х' = хт' и у' = у"' имеют порядки, соответствен-
соответственно, т0 и п0, поэтому порядок элемента х'у' есть т0п0 = k, что и
требовалось доказать.
Непосредственным следствием этой леммы является такая тео-
теорема.
Теорема 2.2. Конечная подгруппа мультипликативной группы
поля циклична. В частности, мультипликативная группа конеч-
конечного поля всегда циклична.
Доказательство. Пусть G — подгруппа мультиплика-
мультипликативной группы поля К, состоящая из п элементов. Из леммы 2.1
следует, что в G есть элемент g такого порядка т, что порядок лю-
любого элемента из G делит т. Поэтому ат = Гдля любого a 6G, т. е.
все элементы G — корни уравнения хт — 1 = 0. Значит, п ^ т.
Отсюда сразу вытекает, что п = т и g — образующий группы G.
Теорема 2.3. Для любого простого числа р и любого натураль-
натурального п существует единственное, с точностью до изоморфизма,
поле из рп элементов.
Доказательство. Положим AT = F (р) и рассмотрим над К
многочлен / (х) = х" — х. Пусть L — его поле разложения, S —
множество корней f (х) в поле L. Поскольку /' (х) — — 1, f (х) не
имеет кратных корней, т. е. S состоит из рп элементов. Но а ? S
тогда и только тогда, когда а" = а. Применяя формулу для бино-
бинома Ньютона, легко замечаем, что в любом поле характеристики р
(a+bf -" "
а )~\
= a"" -f- bp"
Поскольку еще и (ab)"" = a
(a~Y =
Y
= (а )~\ то отсюда следует, что S — подполе в Z,, и потому S=
= L, т. е. L состоит из рп элементов.
Пусть теперь L' — произвольное поле из р" элементов, G —
мультипликативная группа поля L'. G состоит из рп — 1 элементов,
поэтому для любого а 6 G а""~1 = 1 и арП = а. Но последнее ра-
равенство верно и при а = 0, т. е. все элементы V — корни уравне-
уравнения х" — х = 0. Поскольку их как раз рп, L' — поле разложения
/ (х) и по теореме 1.3 L' ~ L.
Из теоремы 2.3 следует, в частности, что конечные поля с оди-
одинаковым числом элементов изоморфны. В сочетании с теоремой
Сколема—Нётер это приводит к следующему замечательному ре-
результату.
86
Теорема 2.4 (Веддербёрн). Всякое конечное тело коммутативно,
т. е. является полем.
Доказательство. Если D — конечное тело, то его
центр /С — это некоторое конечное поле. Пусть [D ¦ К\ = dz. Для
любого максимального подполя L тела D [L : /(] = d. Значит, все
они состоят из одинакового числа элементов и потому изоморфны.
Из теоремы Сколема—^Нётер следует, что тогда все они сопряжены.
С другой стороны, очевидно, всякий элемент а ? D лежит в каком-
то максимальном подполе. Поэтому если G — мультипликативная
группа тела D, а Н — мультипликативная группа какого-то мак-
максимального подполя L, то G = (Jg^g-1, где g пробегает все G.
g
Покажем, что это невозможно при Н ф G.
Обозначим порядок G через п, а порядок Н — через т. Из того,
что G = U gHg~\ следует, что п < mk, где k — число различных
подгрупп вида gHg~l (поскольку все они содержат единицу). Но
если gi = gh, где h 6 Н, то giHgT^ = gHg~\ откуда следует, что
k не превосходит i — индекса Н в G. Мы приходим к противоречию
с теоремой Лагранжа, утверждающей, что п = mi.
Итак, обязательно H=G, т. е. L= D, что и доказывает теорему.
Вернемся к изучению конечных расширений
§ 3. Сепарабельные произвольных полей. Как и в предыдущей гла-
расширении ^ важНуЮ р0Ль ПрИ этом будет играть алгебра
L ® L (заметим, что здесь L° = L). Поэтому нам понадобится ин-
информация о строении тензорных произведений полей.
Далее нам придется пользоваться тензорными произведениями
над различными полями (как над основным полем К., так и над его
расширениями). Тензорное произведение векторных пространств
{или алгебр) над полем L гэ К мы будем обозначать знаком <g»?,.
При этом нетрудно убедиться, что «формула ассоциативности» из
предложения IV.2.3 имеет место и в этой более общей ситуации.
Именно, если L с М — два расширения поля К, U — векторное
пространство над L, а V и W — над М, то (U ®l V) <8>м W со.
^ U <S>l(V <8>m W). Доказательство этой формулы мы оставляем
читателю. Заметим, что ®к — это просто ®.
Рассмотрим простейший случай, когда один из сомножителей
является моногенным, т. е. имеет вид К la].
Предложение 3.1. Пусть L и F — конечные расширения поля К,
причем F = К [а], и минимальный многочлен элемента а над К
есть р (х). Тогда L ® F ~ L [хУ(р (х))-
Доказательство. Очевидно, L ® F, как L-алгебра,
моногенна: L ® F = L [1 ® а]. Поэтому, сопоставляя / (jc) 6
6 L Ы элемент / A ® а) ? L ® F, мы получаем эпиморфизм L [х\
на L <S> F.
Поэтому L ® F c~ L 1хУ(т (х)), где т (х) — минимальный мно-
многочлен элемента 1 ® а над L. Но, очевидно, р A (g> а) = 1 ®
<g) р (а) = 0 и в то же время элементы 1, 1 ® а 1 <8> а"",
87

где п — степень р (х), линейно независимы над L. Отсюда следует,
что т (х) = р(х). Предложение доказано.
Выясним строение факторалгебры К Ы/(/ (х)) для произвольного
многочлена / (х).
Лемма 3.2. Если f (х) = Л (х) ... ft (x), где многочлены ft (x), ...,
t
..., f t (х) попарно взаимно просты, то К Ы/(/ (х)) са \~[ К Ы/
/{ft (*))•
Доказательство. Обозначим / = (/ (х)), It = (ft (x)).
Сопоставим каждому классу g (х) + / факторалгебры К \x\l{f (x))
t
набор {g(x) + /„ g (x) + /„, ..., g (x) + lt) ? П К [x]/lt. Очевидно,
i=i
это будет гомоморфизм алгебр, и даже мономорфизм, так как если
g (x) делится на все ft (x), то из их взаимной простоты следует, что
g (х) делится на их произведение, т. е. на f (x). Но размерность ал-
алгебры К [хУ1 равна п, где п — степень / (х), а размерность алгебры
К [x]/It равна пь где щ — степень Д (х). Поэтому размерности
К \x\ll и |~[ К [x\llt одинаковы, и наш мономорфизм обязан быть
изоморфизмом.
Следствие 3.3. Алгебра К [x\l(f (x)) полупроста тогда и только
тогда, когда многочлен f (x) не имеет кратных неприводимых мно-
множителей.
Доказательство. Если / (х) = pt (х) . . . ps (x), где
Pi (x), .... ps (x) — попарно различные неприводимые многочлены,
t
то К \xV(f (х)) ~ П К lx\/(pt (x)), а К Ы/ (pt (x)) — поля (по тео-
i=i
реме Кронекера), т. е. эта алгебра полупроста. Если же / (х) =
= Рг (х) S {х)> т0 класс многочлена р (х) g(x), как легко видеть,
является ненулевым нильпотентным элементом в К lx]/(f (x)).
Следствие 3.4. В условиях предложения 3.1 алгебра L ® F
полу проста тогда и только тогда, когда многочлен р (х) не имеет
в поле L кратных неприводимых множителей.
Следствие 3.5. Пусть F—K la) — моногенное расширение, при-
причем а — простой корень своего минимального многочлена р (х).
Тогда для любой коммутативной полупростой алгебры А алгебра
А ® F полупроста.
Доказательство. Разлагая А по теореме Вейерштрас-
са — Дедекинда в прямое произведение полей, мы видим, что до-
достаточно проверить полупростоту алгебр вида L <g) F, где L —
поле. По следствию 3.4 нужно показать, что р (х) не имеет в L крат-
кратных неприводимых множителей.
Предположим, что~? (х) — кратный неприводимый множитель
р (х) над полем L, L' — расширение L, в котором g (x) имеет корень
Ь. Тогда b — кратный корень р (х). Но К \b] ~ К Ы по теореме
Кронекера, откуда следует, что а — кратный корень р (х), что про-
противоречит предположению.
Неприводимый многочлен р (х) называется сепарабель-
н ы м, если ни в каком расширении поля К. он не имеет кратных
корней. Рассуждение, проведенное при доказательстве следствия
3.5, показывает, что для этого достаточно, чтобы в каком-то расши-
расширении р (х) имел простой корень.
Элемент а конечномерного тела называется сепарабель-
н ы м, если сепарабелен его минимальный многочлен.
¦ Теорема 3.6. Для любого конечного расширения L поля К равно-
равносильны следующие условия:
1) L ® L — полупростая алгебра;
2) для любой полупростой коммутативной алгебры А алгебра
А ® L полупроста;
3) всякий элемент поля L сепарабелен;
4) L = К [at, ..., at], где все элементы at сепарабельны.
Доказательство. Очевидно, 2) =*> 1) и 3) => 4).
1) =?. 3). Пусть а — несепарабельный элемент из L, F = К Ы.
Тогда а — кратный корень своего минимального многочлена, и
по следствию 3.4 L ® F — неполупростая алгебра, а тогда и алгебра
L ® L гэ L ® F неполу проста.
4) =?- 2) будем доказывать индукцией по t. База индукции,
t = 1,— следствие 3.4. Обозначим F = К lat\. Тогда F-алгебра
AF— A ® F полупроста. Но А ® L ~ AF®FL, a L = F [at, ...,
..., rt,_il и по предложению индукции алгебра А ® L полупроста,
что и завершает доказательство теоремы.
Расширение, удовлетворяющее равносильным условиям теоре-
теоремы 3.6, называется сепарабельны м.
Следствие 3.7. Если дана цепочка полей К= Коа К( сг . ..
. . . cz Kn = L, где Kt—конечное расширение Kt-i, то L сепара-
бельно над К тогда и только тогда, когда каждое Kt сепарабель-
но над Ki-\.
Доказательство снова достаточно провести при п = 2.
Если Ki сепарабельно над К, a L сепарабельно над Ки то L ® L ~
~ L <g> (/Ct ®/с, Ц =г А ®к, L, где А = L ® Кх — полупростая
алгебра. Поэтому L <g> L — полу простая алгебра, т. е. L сепара-
сепарабельно над К.
С другой стороны, Kt ® Kt — подалгебра в L (g)L, поэтому из
полупростоты L ® L следует полупростота Kt <%> Kt- Рассмотрим
алгебру L ®KlL и зададим отображение / : L ® L -»- L ®Kt L, пере-
переводящее а ® b в а®к,Ь. Легко проверяется, что f — эпиморфизм
алгебр. Значит, L ®к, L изоморфна факторалгебре L ® L. Но фак-
торалгебра полупростой алгебры полупроста, поэтому из сепара-
сепарабельности L над К следует его сепарабельность над К4.
Поле К называется совершенным, если любое его конеч-
конечное расширение сепарабельно или, что то же, сепарабелен всякий:
8»

неприводимый многочлен из К 1х]. Нетрудно установить следующий
критерий совершенности.
Теорема 3.8. Любое поле характеристики 0 совершенно. Поле К
характеристики р совершенно тогда и только тогда, когда для лю-
любого а 6 К разрешимо уравнение х" = а.
Доказательство. Если / (х) — неприводимый много-
многочлен, /' (х) — его производная, то либо / и /' взаимно просты, либо
/ делит /', что возможно, очевидно, лишь, если f (х) — 0. Пусть
/ (х) = аохп + ajx"-1 + . . . -f an, а0 ф 0, тогда /' (х) = паох"~1 +
+ (п— 1) а,/1" -(....-}- а„_1. Если К— поле характеристики 0,
то па0 ф 0, т. е. f (х) ф 0 и f и /' взаимно просты. Поэтому / (х)
не имеет кратных корней ни в каком расширении поля К, т. е.
¦сепарабелен. Если же К—поле характеристики р, то /' (х) = 0
тогда и только тогда, когда / (х) имеет вид рпд^ -+- Р,/ + . . .
• • • + (V Предположим, что уравнение х" = (}г имеет решение
Tf € К. Тогда, как легко заметить, / (х) = (у^ -\- 74х*~' + . . .
• • • +7ft)". т- е- /(¦*) не неприводим. Если же уравнение х" = а
для некоторого а?К не имеет решения, то в поле разложения
многочлена / (х) = х" — а имеет место равенство / (х) = (х — Р)р,
где РР = а, из которого вытекает несепарабельность многочлена
/(х). Теорема доказана
Следствие 3.9. Конечное поле совершенно.
Доказательство вытекает из того, что отображение
<р : К -v К (К — конечное поле характеристики р), переводящее a
в а", инъективно, т. е. из а" = f>" следует a = р\ поскольку а" —
— Р = (а — Р)р. Из-за конечности К ср тогда взаимно однозначно,
-что и требовалось доказать.
Перейдем к основной теме этой главы —
•$ 4. Нормальные изучению автоморфизмов конечных рас-
расширений. Напомним связь между автомор-
автоморфизмами и бимодулями, установленную в гл. IV
¦(§ 1, примеры 2, 3). Пусть L — конечное расширение поля К, о —
автоморфизм L. Тогда aL есть L-бимодуль, в котором операторы из L
действуют справа как в регулярном L-модуле, а слева по правилу
ах = ха (а). Наоборот, если М — такой L-бимодуль, что10
\М : L] = \, то М zzc L как правый L-модуль. Сопоставляя эле-
элементу a ? L эндоморфизм х-^-ах правого L-модуля М, мы полу-
получим гомоморфизм L -v EL (М) =* L, т. е. автоморфизм поля L.
Поэтому М =^aL для некоторого автоморфизма о. Легко проверя-
проверяется, что aL =i: XL тогда и только тогда, когда a = т.
Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между
множеством автоморфизмов поля L и классами изоморфизма одно-
18 В принципе следовало бы различать левую и правую размерности М над
L, однако нз-за конечномерности они совпадают: каждая из них равна [М : К]/
/II- ' К1- -
-90
расширения.
Группа Галуа
мерных (над L) L-бимодулей. Поскольку одномерный бимодуль,
очевидно, прост, то, рассматривая его как модуль над L ® L, мы
получаем следующий результат.
Теорема 4.1. Существует взаимно однозначное соответствие
между автоморфизмами поля L и теми простыми компонентами
алгебры (L ® L)/rad (L <g> L), которые изоморфны L.
Отсюда простым подсчетом размерностей мы получаем такое
следствие.
Следствие 4.2. Число различных автоморфизмов поля L не пре-
превосходит [L : К\ и может равняться \L : K\ только в том случае,
если L сепарабельно.
Если расширение L имеет точно [L : Ю различных автоморфиз-
автоморфизмов, оно называется нормальным. В силу теоремы 4.1 это
равносильно изоморфизму L ® L — L". Нормальное расширение
всегда сепарабельно.
Следствие 4.3. Если расширение L поля К нормально и К cz
с Ki cz L, то расширение L поля Kt также нормально.
Доказательство следует из того, что L ®K, L есть фак-
торалгебра алгебры L <g> L (см. доказательство следствия 3.7), а
всякая факторалгебра L" сама имеет вид L для некоторого
т ^ п.
Автоморфизмы расширения L поля К, очевидно, образуют груп-
группу, которую мы будем обозначать G (L/K)- Если расширение нор-
нормально, G (LIK) называется его группой Галуа.
Элемент а поля L называется инвариантом автомор-
автоморфизма о, если о (а) = а. Это равносильно тому, что в бимодуле
„L ах = ха для любого х 6 QL. Если Н — подмножество в G (UK),
то инвариантом Н называется элемент а 6 L, являющийся
инвариантом любого элемента а 6 Н. Инварианты подмножества Н
образуют подполе в L. Это подполе называется полем инва-
инвариантов Ни обозначается Inv Н. ,;
Теорема 4.4. Следующие условия равносильны:
1) расширение L поля К нормально; ¦;;i"llil1
2) Inv G (UK) = К,
3) L есть поле разложения некоторого сепарабельного много-
многочлена f (х) 6 К 1х]. (Произвольный многочлен называется с е п а -
р а б е л ь н ы м, если сепарабельны все его неприводимые мно-
множители.)
Доказательство. 1)=>2). Обозначим К\ =
= Inv G (UK). Тогда L — расширение /(, и G (UK) = G (L/Ki\,
что невозможно при Ki Ф К, поскольку порядок группы G (UK)
равен [L : К].
2) => 3). Пусть а — произвольный элемент поля L. Применим
к а все автоморфизмы из G (UK) и выпишем все те из полученных
элементов, которые попарно различны: а — аиа2> ¦¦¦< o.h- Рассмот-
Рассмотрим многочлен / (х) = (х — а,) ... (х — ah). Он переходит в себя
91

при любом автоморфизме а б G (L/K). Поэтому f (х) в К Ы. Итак,
а — корень сепарабельного многочлена из К [х], который разлага-
разлагается в поле L на линейные множители.
Выберем в L некоторую систему образующих (например, ба-
базис) L = К [coi, ..., coj и для каждого со,- построим сепарабельный
многочлен ft (x), корнем которого является сог и который разлага-
разлагается в L на линейные множители. Тогда L — поле разложения мно-
многочлена f (х) ~ fi (x) ... ft (x), который является сепарабельным
над полем К.
3) =?- 1) будем доказывать индукцией по степени d многочлена
/ (х). База индукции, d = 1, тривиальна (L = К). Предположим,
что для многочленов степени d — 1 теорема уже доказана.
Пусть L = К Icoi, .... со(], где сог — корни f (х). Обозначим /Cf =
= К [coiJ. L есть поле разложения (над К\) сепарабельного много-
многочлена f (хI(х— coi) степени d — 1, поэтому L нормально над К :
L ®Kl L~ Lm. Но L ® L ~ (L ® /(,) ®Kl L. Выясним, как уст-
устроено L <g» Ki- Пусть р (х) — минимальный многочлен элемента
©1. Он сепарабелен и разлагается в L на линейные множители:
gee
— as) (a4 = a»i, at, .... as попарно различны),
дает s различных гомоморфизмов at
K\ С
построить
® К4 есть
размерностей
^^ ^ms- Тео-
Теоу , ь , (, де сог —
корень сепарабельного многочлена/; (х). Тогда за L' можно принять
поле разложения многочлена / (х) = /, (х) f )
В
р(х) = (х-ал...
Но тогда К [aj kAi, что
: Ki -* L, причем s = [/Ci : K\- Соответственно можно
s /Сг^-бимодулей а L, одномерных над L. Поэтому у L
факторалгебра, изоморфная L\ Но простой подсчет
показывает, что тогда L ® /С4 ~ Ls и L ® L ~ Ls ®Kl
рема полностью доказана.
Следствие 4.5. Для всякого сепарабельного расширения L поля К
существует нормальное расширение L', содержащее L.
Доказательство. Пусть L — К [соь •-., соA, где
В этом параграфе мы докажем центральные
§ 5 Основная теоремы теории полей: теорему о нормальном ба-
теорема теории зисе и основную теорему теории Галуа. Пред-
Галуа варительно сделаем следующее полезное заме-
замечание.
Лемма 5.1. Пусть А — алгебра над полем К, М и N — некото-
некоторые А-модули, L — конечное расширение поля К, Al = L ® А,
ML = L ® M, NL = L ® N (Ml и Nl, очевидно, можно рассмат-
рассматривать как AL -модули). Если ML ^ Nl как AL-модули, то М ы
ex. N как А-модули.
До казательотво. Рассмотрим Ml и Nl как Л-модули.
Поскольку L есть л-мерное векторное пространство над К, Ml ^
~ пМ и JVi~ nN. Но из изоморфизма пМ cz nN в силу теоремы
Крулля—Шмидта следует, что М са N.
Пусть L — расширение поля К, G = G (L/K), KG — групповая
алгебра группы G над полем К (см. § 1 гл. 1, пример 6). Тогда L
92
можно превратить в левый A^G-модуль, полагая B aggVa =
(«) Для любого а б L.
gee
Теорема 5.2. Расширение L нормально тогда и только тогда,
когда L, как левый KG модуль, изоморфен левому регулярному KG-
модулю.
Доказательство. Если L ~ KG как левый /CG-модуль,
то [KG : К) = IL: К)- Но \KG : К) = (G : 1) (порядку группы G).
Значит, L нормально.
Наоборот, пусть L — нормальное расширение. Будем рассмат-
рассматривать L <g) L как левый модуль над алгеброй L ® KG ~ LG.
В силу леммы 5.1 нам достаточно показать, что L ® L ~ LG.
Но L ® L, как модуль над собой (или бимодуль над L), разла-
разлагается в прямую сумму L ® L ~ ф L. Пусть 1 = \ е —соответ-
ствующее разложение единицы. Легко проверить, что отображение
х -> gx есть автоморфизм алгебры L ® L. Поэтому gea — минималь-
минимальный идемпотент этой алгебры, и по теореме II. 5. 1 gen =e, для
некоторого t^G. По определению бимодуля rL это означает, что
agea = geaT(a) для любого a?L.
Поскольку для х = 2a,- ® bt g L ® L gx = Еаг ® gbt, a ax =
= '?aai ® bit agx = gax для любого a?L. Следовательно, ageo—
= gaea = g {eao (a)) = gea (go (а)), т. е. т = go.
Итак, gea = ega. Сопоставляя элементу a d LG элемент еа, мы
получаем изоморфизм LG-модулей LG ~ L (g) L, что и требовалось
доказать.
Отметим, что изоморфизм /Cg-модулей L ~ /CG означает суще-
стювание такого элемента со 6 L, что элементы а (со), где а пробе-
пробегает группу G, образуют базис L. Базис такого вида называется
нормальным, а теорема 5.2 — теоремой о нор-
нормальном базисе.
Следствие 5.3. Нормальное расширение моногенно.
Доказательство. Если со — элемент, для которого
о (со) образуют базис, то, поскольку а (со) — корни многочлена
та(х), его степень равна размерности расширения L, откуда сле-
следует, что L = К fml-
Из теоремы о нормальном базисе немедленно следует основ-
основная теорема теории Галуа.
Теорема 5.4. Пусть L — нормальное расширение поля К, G ==
= G (L/K)- Для любого подполя F поля L обозначим Inv F подгруппу
в G, состоящую из всех элементов а, таких, что о (а) = а для всех
а? F. Тогда:
1) для любой подгруппы Н с G Inv (Inv H) = Н, а для любого
подполя F c= L Inv (Inv F) = F;
93

2) сопоставляя подгруппе Я подполе Inv Я, мы получаем вза-
взаимно однозначное соответствие между подгруппами группы Галуа
и подполями поля L, причем Я гэ Нх тогда и только тогда когда
Inv Я cz Inv Н\\
3) Inv F m G (UF) для любого подполя F\
4) подполе F нормально тогда и только тогда, когда нормальна
подгруппа Inv F, в этом случае G (FIK) = G/Inv F.
Доказательство. Очевидно, Inv (Inv Я) zd Я и
Inv (Inv F) гэ F. Вычислим размерность поля Inv Я. Для этого
воспользуемся изоморфизмом левых /(G-модулей L ~ KG. При
этом изоморфизме Inv Я переходит в подпространство V cz KG,
состоящее из таких элементов х, что ах = х для всех о ? Н. Запи-
Запишем х в виде х = ^ cLg g. Тогда ах = ^ag (og), откуда следует,
«ее йео
что а§ = aag для любого сг 6 Я и базис V образуют элементы вида
2 . гДе 8 — фиксированный элемент из G. Различных элементов
такого вида столько, сколько есть классов смежности G по Я, т. е.
(G : Я). Итак, [Inv Я : К] = (G : Я).
С другой стороны, поле L нормально над любым подполем F
(по следствию 4.3). Следовательно, существует \L : F] различных
автоморфизмов L, оставляющих все элементы F неподвижными,
т. е. порядок группы Inv F равен [L : F].
В частности, порядок группы Inv (Inv Я) равен
[L : Inv //] = [!: /C]/[Inv Я : tf] = (G : 1)/(G : Я) = (Я : 1),
откуда Inv (Inv Я) = Я. Аналогично размерность поля Inv (Inv F)
равна
(G : Inv F) = (G : l)/(Inv F : 1) = [L : K]/[L: F] = [F : K]
и Inv (Inv F) = F, что завершает доказательство утверждений 1) и
2). Заметим, что попутно мы установили и изоморфизм G (LIF) ~
~ Inv F.
Вычислим теперь Inv (g (F)), где g — произвольный автомор-
автоморфизм из G. Если а 6 Inv (g (F)), то ag (a) = g (а) для любого
а 6 F, т. е. g-1og (а) = а и g~log 6 Inv F. Следовательно,
Inv (g (F)) = g(\nv F) g~\ и если Inv F — нормальная подгруппа,
то Inv (g (F)) = Inv F, откуда g (F) = F для любого g?G. Таким
образом, всякий автоморфизм поля L в этом случае индуцирует
автоморфизм поля F, причем легко проверить, что g и h индуцируют
один и тот же автоморфизм F тогда и только тогда, когда они ле-
лежат в одном классе смежности по Inv F. Всего мы получаем
(G : Inv F) автоморфизмов F над А^. Поскольку (G : Inv F) =
= [5 : К], отсюда следует, что поле F нормально и G (F/K) c^ GI
/Inv F.
Наоборот, если F нормально, то по теореме 4.4 F есть поле раз-
разложения сепарабельного многочлена / (х) 6 К Ы. Поскольку любой
автоморфизм g поля L переводит корень / (х) снова в некоторый ко-
94
рень / (х), g (F) = F и g (Inv F) g~l = Inv F, т. e. Inv F — нор-
нормальная подгруппа, что завершает доказательство теоремы.
Следствие 5.5. В сепарабельном расширении L поля К содержит-
содержится только конечное число подполей.
Доказательство. Если L нормально, это следует
сразу из основной теоремы теории Галуа, так как конечная группа
имеет конечное число подгрупп. В общем же случае достаточно по-
погрузить L в некоторое нормальное расширение (это можно сделать
по следствию 4.5).
Следствие 5.6. Сепарабельное расширение моногенно.
Доказательство. Всякое расширение конечного поля
нормально по теоремам 2.3 и 4.4 и потому моногенно (см. следствие
5.3). Поэтому основное поле К можно считать бесконечным.
Сепарабельное расширение L поля К содержит конечное числа
подполей. Если а — элемент L, не лежащий ни в каком собствен-
собственном подполе, то, очевидно, L = К ta]. Поэтому доказательство сво-
сводится к такому факту из линейной алгебры.
Лемма 5.7. Векторное пространство над бесконечным полем
нельзя представить в виде объединения конечного числа собственных
подпространств.
Доказательство. Очевидно, что пространство V нель-
нельзя представить в виде объединения двух собственных подпро-
подпространств Vi и V2: если х4 6 Viy/V2, а х2 6 У ч/У и то х4 + хг не
т
лежит ни в Vt, ни в V2. Пусть теперь V = (J Vt, где Vt — собствен-
ные подпространства. Покажем, что хотя бы одно из них содержит-
содержится в объединении остальных.
Действительно, пусть х( лежит только в Vt, а х2 лежит только &
V2- Тогда для любого ненулевого a 6 К xt + ах2 не лежит в V, {J
U V2, поэтому Xi + ах2 6 Vt, где i > 2. Поскольку а может прини-
принимать бесконечно много значений, найдутся два различных элемента
аир поля К, такие, что xt + ах2 6 Vl и xt + Р*г 6 Vt (для одного
и того же i). Но тогда х2 6 Vt, что противоречит предположению.
Итак, мы можем выбросить одно из подпространств и получить
представление V в виде объединения т — 1 подпространств. При-
Применяя эту процедуру, мы в конце концов придем к случаю двух
подпространств, что невозможно.
Теория Галуа дает новый подход к изуче-
§ 6. Скрещенные шш центральных простых алгебр. В этом па-
произведения раГрафе Мы дадим конструкцию, позволяющую
описать группу Брауэра в терминах нормальных расширений и
построить для всякого центрального тела D некоторую алгебру
вида Мп (D).
Прежде всего установим следующий важный результат.
Лемма 6.1 (Нётер). Пусть D—конечномерное центральное
тело над К- Существует максимальное подполе L с D, сепарабель-
сепарабельное над К-
95-

Доказательство. Если характеристика К равна О,
то всякое подполе в D сепарабельно. Поэтому можно считать, что
К—поле характеристики р > 0. Покажем, что в этом случае bD
обязательно найдется сепарабельныи над К элемент, не лежащий в К..
Возьмем произвольный элемент а б D/К Пусть / (х) = та(х).
Если элемент а несепарабелен, то он является кратным корнем (в
К Ы) неприводимого многочлена / (х), откуда следует, что /' (х) =
= 0, а тогда f (x) = g (jc") для некоторого g (x) б К 1х\. Элемент
аР является тогда корнем многочлена g (x). Если он несепарабе-
несепарабелен, то вновь g (х) = h (хр) для какого-то h (x) б К 1х]. Продол-
Продолжая этот процесс, мы прийдем к элементу Ь, который несепара-
несепарабелен над К, но Ь" уже сепарабелен.
Предположим, что Ь" б К, и рассмотрим отображение б : D -*¦
-*¦ D, переводящее d?D в db — bd. Поскольку b^K, найдется
do 6 О, такое, что б (do) ф 0. В то же время б" (d0) = dob" — b"d0 =
= 0, так как Ь" б К. Пусть т — наименьшее натуральное число,
такое, что 6m (do) = 0, t = бт~' (do),w = бт~2 (do) и и = Ь~Ч.
Тогда t = 8w = wb— bw, а б/ = 0, т. е. tb = bt, и потому ub=bu.
Но отсюда b = Ш~*= (wb—bw) u~'= wbu~l— bwu—1 = (wu~*) b —
— b (wu~l), т. e. b — cb — be, где с = wu~x. Домножая на b~\
получаем с = 1 + bcb~x.
Как и для а, для с найдется показатель рп = q, такой, что эле-
элемент с" сепарабелен над К- Но из равенства с = 1 + bcb~l следует,
что с? = 1 -(- Ьс'Ь", и если с4 6 К, то с4 = 1 + с4, что невозможно.
Итак, cflQ_K, что и требовалось доказать.
Теперь мы уже можем легко доказать лемму индукцией по раз-
размерности [D : К]- База индукции, [D : К] = 1, тривиальна. Пред-
Предположим, что для тел меньшей размерности над центром лемма уже
доказана.
Выберем bD элемента б D\K, сепарабельныи над К, и положим
F = К [al, Di = CD(F). По теореме IV.4.6 F = CD(D), т. е., по-
ЛП. Значит, в
над F. Тогда
() р
скольку F cz D,, F = С (Di). Но [D, : F] < [D
Di есть максимальное подполе L, сепарабельное
[D, : Л = [/. : Л2, a [D : К) = [D, : К) IF : /Cl = [D, : F] X
X \F : КJ = [L : Л2 [F : /Cl2 = \L : F}2, т. е. L — максимальное
подполе в D (по теореме IV.5.1). Поскольку F сепарабельно над
К, по следствию 3.7 L также сепарабельно над К, что и требовалось
доказать.
Следствие 6.2. У всякой простой центральной алгебры есть нор-
мальное поле расщепления.
Для доказательства достаточно воспользоваться теоремой
IV.5.1 и следствием 4.5.
В терминах группы Брауэра следствие 6.2 означает, что i
где L пробегает нормальные расширения поля К.
Пусть теперь D — центральное тело с нормальным полем рас-
расщепления L. По теореме IV.5.3 для некоторого т L вкладывается
в алгебру А = Мт (D), причем [А : К) = [L : KV. Если ст б
б G (LIK), то по теореме Сколема—Нётер (точнее, по следствию
IV.4.2) ст продолжается до внутреннего автоморфизма алгебры А.
Иными словами, в А найдется такой обратимый элемент аа, что для
любого х б L ст (х) = а„ха~\ или аах = ст (х) аа. При этом эле-
элемент аа, очевидно, определен с точностью до множителя, переста-
перестановочного со всеми х б L, т. е., поскольку L = CA(L), с точностью
до множителя из L.
Но если т — другой элемент группы G = G (UK), то от (х) =
= аахха~хх, и в то же время
стт (х) = о (агха->) = а^ха^а-1 = (а^) х (ааах)~К Z. ~
откуда a,flx = уахаох для некоторого УОЛ?Ь. Итак, получаем функц
цию уал от двух переменных о, т ? G со значениями в мультипли*»
кативной группе L* поля L. Вычисляя двумя способами ааа а , по-
получаем ¦'*
v a
¦ стт.р атр'
откуда
>а,тр атр'
'<т,тр'
A)
Функция у, удовлетворяющая этому уравнению, называется
коциклом группы G со значениями в L* (точнее, двумерным
коциклом). Легко проверить, что произведение коциклов также
есть коцикл. Поэтому можно говорить о группе коцик-
коциклов Z(G, L*).
Наоборот, пусть у 6 Z (G, L*). Построим алгебру А=А (G, L, у),
которая называется скрещенным произведением
группы G на поле L, определенным коциклом y-
Элементами алгебры A (G, L, у) будут формальные линейные ком-
комбинации V пава, где аа — элементы поля L, а»,— некоторые сим-
о?С,
ВОЛЫ.
Структура векторного пространства на А определяется обычным
«покоординатным образом», а умножение определяется правилами
(элементы же из L умножаются обычным образом). Ассоциативность
введенного так умножения следует непосредственно из уравнения
A) для коцикла.
Теорема 6.3. А = A (G, L, у) есть простая центральная ал-
алгебра над полем К, a L — ее поле расщепления.
7 — 9-907 97]

Доказательство. Если элемент ^ а^" лежит в Центре
Л, то он, в частности, перестановочен со всеми элементами из L, от-
откуда
аУааеа = ^(ааа)ео=(^ааеа)а=^ааеаа=^аао(а)еа,
а а <т а "
т. е., как только ао ф 0, а = ст (а) для всех a?L, откуда ст = 1.
Итак, CA(L) = L, а тогда С (Л) с= L. Но если элемент a?L ле-
лежит в С (Л), то аест = еста = а (а) еа для всех ст ? G, т. е. а ? Inv G =
= #. Следовательно, алгебра А центральна.
Пусть теперь / — идеал в А. Выберем в / ненулевой элемент
х = ^пава с наименьшим числом ненулевых коэффициентов ао.
о
Домножая х на е~1, можно считать, что at ф 0. Возьмем произволь-
произвольный элемент а ? L. Тогда ах — ха ? 1. Но ,,
— 2 а<Р <а) е° ta •
= 2 (aaa — о (a) аа) е„,
причем aat — 1 (a) at = 0, т. е. в ах — ха меньше ненулевых ко-
координат. Значит, ах — ха = 0 и х 6 Ca(L) — L. Но тогда х обра-
обратим и / = А.
Осталось проверить, что L — это поле расщепления А. Но это
сразу следует из того, что CA(L) = L и теоремы IV.4.6.
Следствие 6.4. Пусть D — центральное тело, L — его нормаль-
нормальное поле расщепления. Тогда для некоторого т и некоторого коцик-
коцикла у е Z (G, L*) Mm(D)~A (G, L, у).
Доказательство. Выше мы уже построили в Мт (D)
элементы еа, которые перемножаются между собой и с элементами
из L в точности так же, как одноименные элементы из А = A (G,
L, у). Это дает возможность определить гомоморфизм алгебр f :
: А -*• Мт (D). Поскольку алгебра А проста, f есть мономорфизм.
Но так как (G : 1) = [L : Kl U : К) = [L : К\г = Шт (D) : К)
(см. теорему IV.5.3), то / — изоморфизм, что и требовалось дока-
доказать.
Коцикл б ? Z (G, L*) называется кограницей, если су-
существует функция цо, определенная на G и со значениями в L*,
такая, что
б
для любых а, 1 б G.
Теорема 6.5. Пусть у и т) — два коцикла из Z (G, L*). Алгебры
А = A (G, L, у) и В = A (G, Z,, Г|) изоморфны тогда и только тог-
тогда, когда у = 6ц для некоторой кограницы б.
Доказательство. Предположим, что f : A ^t В. Тогда
f (L) — подполе в В, изоморфное L. Применяя следствие IV.4.2
из теоремы Сколема—Нётер, можно считать, что f (а) = а для всех
а 6 L. Обозначим /а = / (еа) ? В. Тогда
f (eaa) = faa = f (а (а) еа) = a (a) fo,
откуда следует, что /ст =• {iaea для некоторого ца ? Св (L) = L. Но
тогда
= Ta.t/ax =
Наоборот, пусть у = бт], где бд т = цаст ((хт)
ражение f:A->B, пеложив / ^ aaeo) = 2 «
а а
диться, что f является гомоморфизмом алгебр
А и равенства размерностей А и В f будет
требовалось доказать.
Кограницы образуют подгруппу В (G, L*)
теорема 6.5 вместе со следствием 6.4 означает,
Вг (LIK) находятся во взаимно однозначном
ментами факторгруппы
Н (G, L*) = Z (G, L*)/B (G, L*).
Теорема 6.6. Вг (LIK) ca. H (G, L*).
Доказательство основывается на следующей лемме.
Лемма 6.7. A (G, L, у) ® A (G, L, r\) ~ Mn (A (G, L, уц)), где
n = [L: К).
Доказательство. Обозначим А = A (G, L, у); В =
= A (G, L, г\). Поскольку поле L вкладывается и в А, и в В, в А ®
® В содержится подалгебра L ® L. Как показано в доказательстве
теоремы 5.2, в L ® L лежит единственный ненулевой идемпотент
/, такой, что (х <8> 1) / = / A <g> х) для всех х ? L. Покажем, что для
любого a 6 G / (ea ® е„) = (ест ® ест) /. Действительно, (еа ® ба)" X
X/ (?а ® еа) — также идемпотент в L ® L, причем
^1. Определим отоб-
отоба^- Нетрудно убе-
Но из-за простоты
изоморфизмом, что и
в группе Z (G, L*), а
что элементы группы
соответствии с эле-
эле)-' (о (х)
а (х)) (еа
1) f (еа
ео ® еа)
х),
ест)~' X
поскольку еах = а(х)еа, т. е. хе~' =е-'ст(х). Значит, (е
X / (sa ® eo) = f, что и требовалось проверить. ¦>¦•;
Рассмотрим теперь алгебру Т = f (А <8> В) f. Сопоставляя эле-
элементу a 6 L элемент а = / A <g) a) = (а ® 1) /, мы получим вложе-
98
99

ние поля L в алгебру Т. Обозначим также е„ = / (еа ® еа) —
•= (е0 ® еа) f. Тогда
ab = ab, eaa = (ea ® ea) f A ® a) = (е0 ® ea) (a
= (a (a) ® 1) (ea ®ea)f = aja) ea,
= f {ea ® e0) [ex ®ex)=f (e^ex ® eaex) = / (ya,xeax
« = / (V<J,x ® 1) A ® r\a,x) (eax ® eax) = (Va.xTla.x <5
Поэтому отображение "V аоео
есть гомоморфизм (а,
а а
значит, мономорфизм) A (G, L, у\\) -*¦ Т.
С другой стороны, Т ~ Еа$в (/ (А ® В)). Но разложение едини-
единицы в L ® L имеет вид 1 = V fg, где fg — такой (единственный)
идемпотент, что xfg = foa(x) для всех x?L. Кроме того, A ®ех)Х
Х/дО ® ех)~х =fxa (см- Доказательство теоремы 5.2). Поэтому все
модули fg (A ® В) изоморфны между собой, и в частности, изо-
изоморфны /(Л®В), f = fi. Следовательно, А® В ~ Мп(Т), откуда
[Т: К] = п2 = [A(G, L, уц): К], т. е. Т ~ A{G, Ь,уц), что и завер-
завершает доказательство.
Доказательство теоремы 6.6 следует теперь из того,
что отображение Z (G, L*) -*¦ Вг (L/K) есть гомоморфизм (по лемме
6.7), его ядро есть В (G, L*) (по теореме 6.5), и это отображение эпи-
морфно (по следствию 6.4).
Следствие 6.8. Алгебра A (G, L, у) изоморфна Мп (К) тогда и
только тогда, когда у 6 В (G, L*).
Упражнения к главе V
1. Пусть К — поле характеристики р > 0. Доказать, что отображение ф,
переводящее элемент а 6 К в аР, является эндоморфизмом поля К- Это отображение
называется эндоморфизмом Фробениуса. Доказать, что если поле К конечно, то
«р — автоморфизм. Вычислить Im ср, если К = F (t) — поле рациональных функ-
функций над некоторым полем F.
2. Доказать, что группа автоморфизмов конечного поля — циклическая, а
автоморфизм Фробениуса является ее образующим.
3. Предположим, что характеристика поля К не равна 2. Показать, что вся-
всякое квадратичное расширение L поля К, т. е. такое поле, что [L:K\ = 2, ивляется
полем разложения некоторого многочлена вида х2 — а, где а — неквадрат в К.
Обычно пишут L = К [V а]. Проверить, что К [V~a\ ^ К [V~b\ тогда и только
тогда, когда а*" — квадрат в К-
4. Найти поле разложения многочлена х3 — 2 над полем рациональных чи-
чисел. Вычислить его группу Галуа над полем рациональных чисел.
5.а) Пусть К — конечное поле из q элементов, f, (х) — неприводимый много-
многочлен степени d над полем- К- Доказать, что / (х) делит Xя — х, и, наоборот,
если f (х) делит хч — х, то d делит п.
100
б) Обозначим через ty (d) число неприводимых многочленов степени d со
старшим коэффициентом 1 над полем К- Доказать, что тогда <С = 2л dty (d).
d/n
в) Используя формулу обращения Мёбиуса (см., например, И. М. Виногра-
Виноградов «Основы теории чисел». М., 1965), доказать, что ,!и
d/n
где \i — функция Мёбиуса.
6. Пусть К — поле характеристики р > О, F = К [а] — его конечное моно-
моногенное расширение, т (х) — минимальный многочлен элемента а над К. Дока-
Доказать, что алгебра F ® F локальна тогда и только тогда, когда т (х) = хг — а
для некоторого целого k и некоторого a ? К. В этом случае неприводимый много-
многочлен т (х) и элемент а называются чисто несепарабельными, а
показатель k — высотой элемента а.
7. Пусть L — конечное расширение поля К. Доказать равносильность сле-
следующих условий:
1) L ® L — локальная алгебра;
2) для любой локальной коммутативной алгебры А алгебра А ® L локальна;
3) всякий элемент поля L чисто несепарабелен;
4) L = К [о1( .... а(], где все элементы а. чисто несепарабельньь
Показать, что в последнем случае высота любого элемента поля L не превос-
превосходит наибольшую из высот элементов аи ..., а,.
8. Пусть К = Ко с: Ki с: . . . cz Kn= L — цепочка конечных расши-
расширений. Доказать, что L чисто несепарабельно над К тогда и только тогда, когда
каждое Kt чисто несепарабельно над K,_j.
9. Для всякого конечного расширении L поля К обозначим Ls совокупность
всех сепарабельных, а L, — совокупность всех чисто несепарабельных элементов
поли L. Доказать, что: а) Ls и L{ — подполя поля L, причем Ls ("I L{ = /С;
б) L чисто несепарабельно над L3.
Предположим теперь, что Ls нормально. Доказать, что: в) L сепарабельио над
Lji г) если {av ..., апУ — базис Ls, а {blt ..., fcm}—базис L., то {efc^} (ft—1. •¦<
¦ .., и; / = 1, ..., т) — базис поля L.
В частности, [L : К\ = [?, : /Ш?-4 : К] и L — наименьшее поле, содержащее
L и L,. Подполя L и L. называются соответственно сепарабельиои и чисто несе-
парабельной частью расширения L.
10. Доказать, что если L—конечное расширение поля К, то следующие
условия равносильны; 1) L моногенно; 2) L содержит лишь конечное число под-
полей. (Указаниек доказательству 1) =>¦ 2): показать, что если L = К[а],
F— подполе в L, а х™ + Ь1хт~1 + ••• + *„, — минимальный многочлен а над
F, то F — К [Ьг,.... Ьт\.) Построить пример немоногенного расширения. (У ка-
казан и е: положить К = F (х, у) — поле рациональных функций от двух перемен-
переменных над полем характеристики р > 0.)
11. Пусть F — подполе конечного расширения L поля К, d = [F '. К] Дока-
Доказать, что число различных гомоморфизмов F —* L (считая тождественный) не пре-
превосходит d и равно d тогда и только тогда, когда F сепарабельно, а L содержит
подполе F' zd F, нормальное над К-
12. Доказать, что наименьшее нормальное расширение, содержащее данное
сепарабельное, определено однозначно с точностью до изоморфизма.
13. Предположим, что конечное расширение L поля К является компо-
композитом своих подполей Lx и Ц (т. е. наименьшим полем, содержащим Ц и L2),
причем L2 нормально над /С. Доказать, что тогда L нормально над L\, причем
G (L/LJ ~ Inv (L, П Ц) a G (LJK).
101

Следующий цикл упражнений (с 14 по 22) посвящен решению
уравнений в радикалах. Для простоты характеристика основного
поля К в этих упражнениях предполагается равной 0, кроме упраж-
упражнения 22, в котором указывается, какие изменения должны быть
внесены для полей положительной характеристики.
14. Пусть L — поле разложения многочлена х" — 1. Доказать, что в L со-
содержится «первообразный корень степени п из 1», т. е. такой корень Жданного мно-
многочлена, что все остальные являются его степенями; более того, число таких кор-
корней равно(р (п), где q> — функция Эйлера. Используя это, показать, чтоб (LIK) —
циклическая группа, порядок которой делит <р (п).
15. Предполагая, что К содержит первообразный корень степени п нз 1, до-
доказать, что если L = К [а], где а — корень многочлена х" — а, а 6 К, то L —
нормальное расширение, G (UK) циклична, а ее порядок делит п. В частности,
если р — простое число, то многочлен хр — а либо неприводим, либо разлагает-
разлагается в поле на линейные множители.
16. Наоборот, пусть по-прежнему К содержит первообразный корень Z,
степени п из 1, a L — нормальное расширение К с циклической группой Галуа по-
порядка п. Доказать, что тогда L*= К [о], где минимальный многочлен элемента а
имеет вид х" — а. (У к а з а н и е: за а можно принять ш + ?ст (ш) + ?2<т2 (ш)+...
... + f^'o" (ш), где а — образующий G (UK), а ш — образующий Кй-мо-
дуля L.)
17. Говорят, что L — радикальное расширение поля К, если в
нем есть цепочка подполей К = Loc Lxcl ¦ ¦ • С Lm = L, такая, что L. = Z./_1
[а{], где минимальный многочлен элемента а. над полем L(_, имеет вид х —
— а;. (очевидно, уплотняя эту цепочку, можно добиться, чтобы все степени п{
были простыми числами). Предполагая, что К содержит первообразные корни
всех степеней п{ из 1, показать, что всякое радикальное расширение вкладыва-
вкладывается в нормальное радикальное расширение.
18. Расширение L назовем разрешимым, если его можно вложить в
радикальное расширение. Доказать, что поле разложения многочлена х" — 1 раз-
разрешимо для любого п. (У к а з а н и е: доказывать по индукции, с использованием
результатов упражнений 14—16.)
19. Доказать, что расширение L и наименьшее нормальное расширение, со-
содержащее L (упражнение 12), разрешимы одновременно. (Указание: исполь-
использовать результаты упражнений 17 и 18.)
20. Доказать, что нормальное расширение L разрешимо тогда и только тогда,
когда разрешима его группа Галуа G, т. е. в ней есть такой ряд подгрупп G =
= Go ZD С, zd G2 ГЗ ... О Gm = {1}, что G, нормальна в G[._, и факторгруппа
G./G1_1 абелева дли всех номеров /. (Указание: можно считать, что G./Gi_i
цикличны, a L радикально и воспользоваться результатами упражнений 15 и 16;
упражнение 18 позволяет присоединить корни из 1, а упражнение 13 — просле-
проследить, как при этом изменяется группа Галуа.)
21. Неприводимое уравнение / (х) = 0, где / (х) ? К UJ, называется раз-
разрешимым в радикалах, если оно имеет корень в некотором радикаль-
радикальном расширении. Доказать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы поле
разложения многочлена f, (x) было разрешимым.
22. Разработать аналогичную теорию для полей характеристики р > 0.
При этом в определении радикального расширения нужно допустить еще много-
многочлены вида хР — х — а. Соответственно, нужно модифицировать упражнение 16
(при п = р, а ? К). Учесть также, что чисто несепарабельное расширение всегда
радикально.
102
Упражнения 23—27 посвящены важному примеру скрещенных
произведений — циклическим алгебрам. Известный результат Бра-
уэра, Нётер и Хассе говорит о том, что если К — поле алгебраи-
алгебраических чисел (т. е. конечное расширение поля Q), то эта конструкция
дает все центральные тела над К,- Во всех этих упражнениях пред-
предполагается, что L — нормальное расширение поля К с циклической
группой Галуа G порядка п; образующий этой группы обозначается
о.
23. Пусть v 6 Z (G, /.*) — коцикл группы G со значениями в L*. Доказать,
ято он лежит в одном классе смежности по подгруппе кограниц В (G, L*) с некото-
некоторым коциклом т) вида
_ A, если I + i < п,
ai^ la, если i+j^n,
где а 6 К*. Соответствующую алгебру A (G, L, у) обозначим A (L, а, а) (она зави-
зависит, вообще говоря, от выбора образующего а). (Указание: в алгебре
A (G, L, у) элемент е можно заменить на ега.)
24. Доказать, что A (L, a, a) ^ A (L, о, р") тогда и только тогда, когда в L*
иайдетси такой элемент к, что р" = aN (X), где N (к) = ка (к) а2 (к)... а"~ (к).
Проверить, что N — гомоморфизм группы L* в группу К*, и вывести отсюда, что
Br (L/K) с* /C*/Im N. Гомоморфизм N называется нормой.
25. Пусть К — конечное поле, L — его конечное расширение. Доказать,
что в этом случае норма N : L* —* К* является эпиморфизмом. (Указание:
применить теорему Веддерберна о конечных телах.)
26. Обозначим К — F (t) поле рациональных функций иад полем F из двух
элементов. Доказать, что многочлен х% + х + 1 неприводим над полем К. (Воз-
(Возможно, это упражнение будет легче, если за К принять поле F ((<)) формальных
степенных рядов над полем F.)
27. В обозначениях предыдущего упражнения пусть L = К[а\, где а —
корень многочлена ж2 + х+ 1. Доказать, что если k : L* —* К* —норма (см.
упражнение 24), то t ? lm N. Используя результат упражнения 24, построить
четырехмерное тело D над К, содержащее подполе, изоморфное К I V't], что дает
пример чисто несепарабельного поля расщепления центрального тела.
28. Доказать «теорему о независимости автоморфизмов»: если L — нормаль-
нормальное расширение поля К, G = G (LIK), то для любой функции i : G —»¦ L найдется
такой элемент а 6 L, что ^ 1F) о (а) Ф 0. (У к а з а н и е: воспользоваться тео-
ремой 6.3, рассмотрев L как модуль иад алгеброй A (G, L, 1), где 1 — единичный
коцикл.)
/fee;
¦¦I*?--
vr
ГЛАВА
->Ц
-I'. I1 '),,.^
1" <) '.11
.•/!',:;; jHO
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
Среди полупростых алгебр особое место занимают такие, кото-
которые остаются полупростыми при любом расширении основного поля.
Эти алгебры называются сепарабельными. Примерами сепарабель-
ных алгебр являются, с одной стороны, центральные простые ал-
103

гебры, а с другой стороны — сепарабельные поля. Оказывается,
общий случай представляет собой в некотором смысле комбинацию
этих двух примеров. Мы установим также следующие основные свой-
свойства сепарабельных алгебр: полупростота всех бимодулей; теорема
Веддербёрна—Мальцева о подъеме сепарабельной фактор алгебры
(этот результат мы используем в гл. VIII для обобщения конструк-
конструкций «универсальной алгебры» из § 6 гл. III); невырожденность
формы главного следа (играющая важную роль в теории чисел при
изучении арифметических свойств сепарабельных алгебр).
Алгебра Л над полем К называется с е п а -
§ 1. Бимодули рабельной, если для любого расширения
НЭД СаеГгеРбааемиНЫМИ L П0ЛЯ К алгебРа AL = A <g> L полу проста.
В частности, сепарабельная алгебра полу-
полупроста, однако обратное, вообще говоря, неверно: если L — не-
сепарабельное расширение поля К, то L — полупростая К-алгеб-
ра, но L ® L — неполупростая алгебра, как следует из теоремы
V.3.6.
Мы дадим описание сепарабельных алгебр и критерий сепара-
сепарабельности, обобщающий теорему V.3.6.
Прежде всего установим следующий простой результат. '
Лемма 1.1. Для любой К-алгебры А существует такое 'расшире-
'расширение L поля К, что L-алгебра AL расщепима, т. е.
AJvad AL ~ Mni (L) X - X Mns (L). ."
Доказательство. Пусть А = Л/rad Л ~ fl Mkt (Dt),
i=i
где Dt — тела, причем, например, [Dt : Ю = d > 1.
Поскольку (rad Л)®?, очевидно,—нильпотентный идеал, он со-
содержится в rad AL для любого поля L. Следовательно, v4L/rad AL—
факторалгебра алгебры AL. Выберем в Di элемент а $ К- Пусть
р (х) — его минимальный многочлен, F — К Ы. Поскольку р (х)
имеет корень в F, D( ® F — не тело. Следовательно, если обозна-
обозначить В = Min (Dt), то тела, входящие в разложение алгебры
Bplvad Вр, имеют размерности над F меньшие, чем размерность
[Di : К). Продолжая это «понижение размерностей», мы получим в
конце концов такое поле L, что AL—расщепимая алгебра.
Поле L, существование которого утверждает лемма 1.1, называ-
называется полем расщепления алгебры А. Заметим, что оно
определяется далеко не однозначно. Даже минимальное поле рас-
расщепления, т. е. такое, подполя которого уже не являются полями
расщепления, определяется не однозначно (см. ^упражнение 6 к
гл. IV). ' „ „,.,._ . ¦
Теорема 1.2. Следующие условия равносильны:
/. алгебра А сепарабельна; • ..л. ¦
2) алгебра А <8> Л° полупроста; ' . . * ; ¦',,..'..
104
' 3) А ~ At х Л2 х ... X As, где Аг — простые алгебры с се-
парабельными центрами.
Доказательство. 1)=>2). Пусть L — поле расщеп-
расщепления алгебры А. Поскольку AL — полупростая алгебра, AL ~
^ Мщ (L) X ••• X МП( (L). Тогда (AL) ®L (A°j) — прямое произведе-
произведение алгебр вида Mh (L) ®LMm(L) ~Mhm(L), т. е. полупростая
алгебра. Остается заметить, что (AL) <S)L(A°L) = (A ® L) ®L (L ®'
®A°)~A®(L ®LL) ® A0 ~ A ® L ® A0 ~ (A ® A°)L. А из полу-
полупростоты алгебры (A <8> A°)L следует полупростота А ® A0.
2) => 3). Если А ® А0 полупроста, то и Л полупроста, т. е.
А = Aty( ...У1А8, где At — простые алгебры, причем At ® Л° —
полупростые. Следовательно, центр алгебры Л, ® Л° полупрост. Но-
С (А, ®А*) = С (At) ®С(А°^ = С (А^ ® С (Л,), откуда по теореме
V.3.6. С (Л,) — сепарабельное поле.
3)=^1). Пусть A = Aly....y(tAs, где Л; — простые алгебры,
причем все центры Сг = С(А^ сепарабельны. По следствию V.6.2
существует сепарабельное расширение F поля Ct, такое, что
Ai®d F са. Mh(F). Если L — произвольное расширение поля К, то-
(AJ ®с,- F~L®(At ®c, F) ~ Mh (L ® F). Но из следствия V.3.7 ,
вытекает, что F сепарабельно над К. Значит, L ® F, а потому »>
(Atj) ®q F — полупростые алгебры. Отсюда, очевидно, следует.
полупростота AiL и всей AL для любого поля L, т. е. сепарабель-г»
ность Л.
Заметим, что попутно мы установили такое следствие.
Следствие 1.3. Алгебра А сепарабельна тогда и только тогдаг
когда AL~Mni(L)X---X Mn$(L) для некоторого расширения L
поля К. Кроме того, поле L можно считать сепарабельным.
Следствие 1.4. Если поле К совершенно (например, поле харак-
характеристики 0 или конечное поле), то всякая полупростая К-алгебра-
сепарабельна.
Из полупростоты алгебры Л ® А" мы получаем еще и такой ре-
результат.
Следствие 1.5. Алгебра А сепарабельна тогда и только тогдаг
когда всякий А-бимодуль полупрост.
Очевидно, последнее утверждение можно переформулировать- v
следующим образом: алгебра Л сепарабельна тогда и только тогда,
когда всякий Л-бимодуль (или, что то же, всякий Л ® Л°-модуль)-
проективен. Замечательное обстоятельство состоит в том, что до-
достаточно проверять проективность только регулярного бимодуля,. •
т. е. самой алгебры Л, рассматриваемой как Л ® Л "-модуль.
Теорема 1.6. Алгебра А сепарабельна тогда и только тогда,,
когда регулярный А-бимодуль проективен.
До казательство. Предположим, что регулярный Л-би-
Л-бимодуль проективен. Выберем некоторое поле расщепления L ал-
алгебры А. Тогда AL/ra.dAL~Mni(L)X---XMns(L). По теореме

III.3.5 А является прямым слагаемым свободного А ® А0-модуля F.
Но тогда AL является прямым слагаемым свободного модуля FL
над алгеброй (A ®A°)L~(AI) ®L(A°L), т. е. проективным Л^-бимо-
дулем. В силу следствия III. 1.8 радикал регулярного бимодуля
¦совпадает с радикалом алгебры. Разложение факторалгебры AJrad AL
в прямое произведение простых алгебр дает разложение Л ^бимоду-
^бимодуля AL/radAL в прямую сумму простых бимодулей (минимальных
идеалов этой факторалгебры).
В силу соответствия между проективными и полупростыми
модулями (теорема III.3.6), ему соответствует разложение AL в
прямую сумму идеалов, или, что то же, в прямое произведение ал-
алгебр AL =А ,х ... х А„ причем Лj/rad А% ~ Мп (L), где п = n-v
Тогда по теореме Ш.3.4 At ~ Мп (В), где B/rad В ~ L (В,
вообще гоюря, зависит от номера i). Кроме того, так как А{ — про-
проективный Л^-бимодуль, а компоненты Л^ при \ф i действуют на
нем нулевым образом, Л| — проективный Лг-бимодуль. Заметим
теперь, что если R = rad В, то / = (R <S)L В°) ® (В ®L R°) —
«ильидеал в В ®L В0, причем (В ®^ B°)II ~ L ®^ L ~ L. Сле-
Следовательно, по предложению III.1.3 / = rad (В ®^В°) и В ®L
®LB° — локальная алгебра, a At ® А] ~ Мп* (В ®L В0) — при-
марная алгебра. По теореме III.3.10 у нее есть ровно один главный
модуль (очевидно, это Л,), причем Л, ®L A° ~ n2At как Лгби-
модуль. Но [Лг : L] = n2b, где b = [В : L], [At <g^ Л° : L] = п4й2,
•откуда Ь = 1, т. е. В ~ L, At ~ Mn (L) и А сепарабельна по след-
следствию 1.3.
Отметим, наконец, что если (AL) ®L (A°L) полупроста, то полу-
полупроста и алгебра А ® А0, откуда получаем такое следствие.
Следствие 1.7. Если L-алгебра AL сепарабельна для некоторого
расширения L поля К, пго и К-алгебра А сепарабельна.
¦Пусть Л — произвольная, вообще гоюря,
§ 2. Теорема неполупростая алгебра, R — ее радикал, А =
Веддербёрна— = д/? п — проекция алгебры А на фактор-
Мальцева - г г -г г
алгебру А. Во многих вопросах теории алгебр
¦бывает важно «поднять» факторалгебру Л до изоморфной ей подалгеб-
подалгебры в Л. Дадим точное определение.
Подъемом факторалгебры Л назовем такой гомоморфизм
алгебр е : А-^-А, что ле=1. Очевидно, подъем е всегда является
мономорфизмом, a Im е = Ло — подалгебра в Л, изоморфная Л,
причем Л = Ао ф R (прямая сумма векторных пространств).
Наоборот, если Ло — подалгебра в Л, изоморфная А, то Ло П
pi R = 0 (так как Л^ полупроста). Следовательно, Л = Ло ф R
<так как [Л : /(] =[Л0 : К\ + \R ¦ К])- Тогда_ ограничение проек-
проекции я на подалгебру Ло дает изоморфизм л : Ао"^. А. Полагая
« = л—', мы получим подъем факторалгебры А. Итак, существо-
существование подъема равносильно дополнимости радикала.
Два подъема, е : А -*¦ А » ц : А -*¦ А, назовем со пряжен-
пряженными, если в алгебре А есть такой обратимый элемент а, что
Л (х) = аг (х) а~1 для всех х 6 Л. Если, кроме того, а = 1 + г,
где г ? R (такие элементы называются унипотентными),
то говорят, что еиг| унипотентно сопряжены.
Настоящий параграф будет посвящен доказательству следующе-
следующего основного результата.
Теорема 2.1 (Веддербёрн—Мальцев). Если факторалгебра А се-
сепарабельна, то подъем всегда существует и любые два подъема уни-
унипотентно сопряжены.
Отметим, что без предположения сепарабельности оба утвержде-
утверждения теоремы перестают быть верными: подъем может не существо-
существовать (см. упражнение 4), а два различных подъема могут быть не со-
сопряжены (см. упражнение 5).
Доказательство существования подъема проведем «по-
«поэтапно», постепенно расширяя класс алгебр, для которых устанав-
устанавливается этот результат.
_ 1) Предположим вначале, что алгебра А расщепима, т. е.
А ~ Мп, (К) X ••• X Mns (К). Обозначим через Ut простой Л-модуль,
принадлежащий i-й компоненте алгебры Л, Рг — соответствующий
главный Л-модуль (см. следствие III.2.9). Тогда А = nlUi ф . . .
...®nJUa. Следовательно, А ~ «4Р, ф ... © nsP3 (теорема III.3.6).
Используя изоморфизм А ~ ЕА(А) и матричную запись эндо-
эндоморфизмов прямой суммы (см. § 7 гл. I), мы находим, что А изоморф-
изоморфна алгебре матриц вида
"-21
~.i\\\
•..>.¦(. ..'Д
*"Sl
"'S2
где xij^?[omA(njPj,niPi). В частности, А содержит подалгебру
«диагональных матриц», изоморфную ЕД {nj3^ X • • • X ЕА (nsPs) —
~ Мп, (Aj) X ••• X Мп$ (As), где Л; = Ед (Pt), а потому и подалгебру,
изоморфную Л, откуда, как мы видим, следует существование
подъема.
2) Пусть теперь А — произвольная сепарабельная алгебра, но
R2 = 0. Выберем базис {аъ...,ап} в алгебре Л так, чтобы элемен-
элемента {аи ... ,ат}, где ai = n(ai), образовывали базис факторалгебры
Л, а элементы {ат ,,,..., а„} — базис радикала А. Обозначим через
{а*у} структурные константы алгебры Л. Иными словами, ata} =
iO6
107

= 2 a?iak< a тогДа aiai = 2 ацак- Подъем е, как линейное отобра-
жение, достаточно задавать на базисных элементах. Условие ле —1
п
означает, что е (at) должен иметь вид а, + 2 хиаь гДе хи ? К.
Наконец, е будет гомоморфизмом тогда и только тогда, когда вы-
выполняется соотношение е
т
= г (at) e (uj) . Но
(
k=\
t=m+l
k=l
*-?„.
d> Мы учли здесь, что произведение элементов радикала равно О,
а произведение любого элемента на элемент радикала вновь лежит
в радикале. Приравнивая коэффициенты при базисных векторах
at, мы получаем систему линейных уравнений для хм
k=\
2 a«
=1 n;
2
k=m+\
Итак, в данном случае существование подъема равносильно
разрешимости системы линейных уравнений, коэффициенты кото-
которой — структурные константы — не меняются при расширении
основного поля. Но если L — поле расщепления алгебры Л, то
AL — расщепимая полупростая алгебра. Тогда ввиду 1) существу-
существует подъем AL -> AL. Следовательно, наша система линейных урав-
уравнений (с коэффициентами из поля К) имеет решение в поле L. Но
имеет место такой простой факт.
Лемма 2.2. Если система линейных уравнений с коэффициентами
из поля К имеет решение в расширении этого поля, то она имеет
решение и в К-
Доказательство немедленно следует из теоремы Кро-
некера—Капелли.
Таким образом, существование подъема над L влечет существо-
существование подъема и для исходной алгебры (в случае R2 = 0).
108
3) Общий случай теперь легко получается индукцией по раз-
размерности радикала.
Пусть R2 Ф 0 и В = A/R2. В силу предыдущего пункта суще-
существует подъем г:~А->-В. Обозначим через А' прообраз Im e в
алгебре А. Тогда А' ^ R2 и A'/R2 ^ Im е ~ А — полупростая
алгебра. Из предложения III.1.13 следует, что R2=rad A'. Посколь-
Поскольку dim R2 <. dim R, к алгебре А' применимо индукционное пред-
предположение и существует подъем е : А -*- А'. Но тогда е будет и
подъемом А в А.
Доказательству сопряженности мы предпошлем следующую тео-
теорему, обобщающую теорему IV.4.4 («двойственную» к теореме Ско-
лема—Нётер). Этот результат представляет и самостоятельный ин-
интерес.
Теорема 2.3. Если fug — гомоморфизмы центральной простой
алгебры В в некоторую алгебру А, то в А существует такой обра-
обратимый элемент а, что g (b) = af (b) arx для всех b 6 В.
Следствие 2.4. Изоморфные центральные простые подалгебры В
и В' любой алгебры А сопряжены. Более того, всякий изоморфизм
g : В ~ В' продолжается до внутреннего автоморфизма алгебры А,
т. е. имеет вид g (b) = abar1, где а — обратимый элемент из А.
Для до казательства, как и в теореме Сколема — Нё-
Нётер, достаточно установить изоморфизм В-Л-бимодулей fA и gA
(см. гл. IV, § 1, пример 2). Но как правые Л-модули оба они совпа-
совпадают с регулярным модулем. Поэтому утверждение теоремы сво-
сводится к следующей лемме.
Лемма 2.5. Пусть А — произвольная, В — центральная прос-
простая алгебра, М и N — некоторые В-А-бимодули. Тогда если М и
N изоморфны как А-модули, то они изоморфны и как В-А-бимодули.
До казательство. Пусть L — поле расщепления алгеб-
алгебры В. Так как (AL) <g>L (B°L) ~ (A ® B°)L, нам ввиду леммы V.5.1
достаточно доказать, что если ML и NL изоморфны как Л^модули,
то они изоморфны и как В^-Л^-бимодули. Поэтому можно считать,
что с самого начала В = Мп (К). Тогда Л ® В° ~ Мп (Л), и нам
нужно проверить, что если два Мп (Л)-модуля М и N изоморфны
как Л-модули, то они изоморфны и как Мп (Л)-модули.
Обозначим Mt = Meit. Очевидно, Mt есть Л-подмодуль в М,
п
причем М = ф Mt. Кроме того, М{еи а М> и умножения на еи и
еп — это взаимно обратные Л-гомоморфизмы. Следовательно, Mt ca
~ Mj и М ~ nMi как Л-модуль. Ввиду теоремы Крулля — Шмидта,
из изоморфизма Л-модулей М и N следует изоморфизм Alt и Nt.
Пусть ф — этот изоморфизм. Заметим, что всякий элемент х?М
однозначно записывается в виде x = Xi + x2ei2-{- ...-\- хпе1п, где
M
Определим отображениеa|) : М
= Ф К) + Ф (дд
N, полагая
+ ... + Ф (хп) е1п.
109

Легко проверить, что т|) — гомоморфизм Мп (Л)-модулей, при
чем, поскольку ф взаимно однозначен, if также взаимно однозначен
что и требовалось доказать.
Вернемся к доказательству сопряженности в теореме Веддер-
бёрна—Мальцева. Пусть е и ц — два подъема Л в Л. Нам нужно
найти такой элемент а — 1 + г, г G /?, что аг (х)а"[ = г| (х) для
всех х 6 А, или гг (х) = г\ (х)г. Вновь выбирая базисы в Л и Ап и
записывая г с «неопределенными коэффициентами» г = \ xtair
мы превратим это равенство в систему линейных уравнений отно-
относительно хг. Ввиду леммы 2.2 достаточно показать существование
решения этой системы, т. е. унитарную сопряженность 6 и ц, в
каком-нибудь расширении L поля К- Конечно, за L следует принять
поле расщепления, что сводит задачу к случаю расщепимых алгебр.
Итак, мы можем считать, что А = МпЛК) X ••• х Мп$(К)-
Обозначим через екц матричные единицы k-й компоненты алгеб-
алгебры A, k = 1,.. ., s; /,/=l пк, и положим ek. = е (efj), /*. =
_ s Ч s nk
= т) (ehj). Тогда 1 = V V е*(. = V V /* — два разложения едини-
цы алгебры Л, причем е*.Л~/*Л. По теореме III.5.1 в алгебре А
найдется такой обратимый элемент а, что fku= ae^ar1 для всех
k== 1,..., s; /= 1,..., nfc.
Переходя в Л с помощью проекции л, мы получаем eki = aek.a~i,
где а = л (а), откуда легко следует, что а = "V а;ь^. причем
а.1кф0 для всех i, fe. Положим й = V aihe*r Тогда й — обратимый
элемент, перестановочный со всеми екц, откуда следует, что ab~[—
унипотентный элемент, причем fu = {ab~x) eku (ab~l)~~l. Поэтому в
дальнейшем можно считать, что е* = /*. для всех i, k.
Ч ч _
Обозначим e*=\V*. Тогда ek=\elfi — центральные идемпо-
<=i _ i=i
тенты факторалгебры Л. Учитывая, что е?у = екае\ркп и /*,- = <?и/?уе*/,
т. е. в? и fij лежат в Ah = e Ае , мы видим, что, ограничивая е и
т)_на Ль = еМё*, мы получаем гомоморфизмы eh: Ак->- Ah; r\h:
¦ К -»- лй. _
Поскольку Лй — центральная простая алгебра, из теоремы 2.3
следует, что найдутся такие обратимые элементы ак б Ah, что цк (х) =
= акгк (х) aj1 для всех к. Вновь применяя отображение я, мы ви-
видим, что y = ahya~i для любого #?ЛЛ, где ак = л(ак), откуда
ПО
следует, что ак=акек для некоторого ак?К- Заменяя ак на ak 'ahr
мы можем считать, что aft = rk + eft, где rh ? #. Но тогда, полагая
S
а—^ак, мы получаем, что ц (х) = аг(х)а-\ причем а=\-\-гг
4=1
где r?R, что и требовалось доказать.
Пусть Т — представление некоторой алгебры
§ 3. След, норма, ^ Рассмотрим характеристический многочлен
дискриминант det (х? _ т ^ матрицы т (д) Поскольку ха-
характеристические многочлены подобных матриц совпадают, он не
меняется при замене представления Т подобным, т. е. фактически
определяется соответствующим Л-модулем М. Этот многочлен назы-
называется характеристическим многочленом эле-
элемента а относительно модуля М (или представления Т) и обознача-
обозначается ХМа (х).
Аналогично, следом и нормой элемента а относительно
модуля М называются, соответственно, след и определитель мат-
матрицы Т (а). След и норма обозначаются, соответственно, Ттм (а)
и NM (a).
Из определения непосредственно вытекает, что след — это ли-
линейное отображение Л -*¦ К, т. е.
Ттм (a+b) = TrM (a) + Ттм (Ь); Тгм (аа) = а Ттм (а), а б К.
Кроме того, Тгм (аи) = Тгм (Ьа), NM (ab) = NM (a) NM (b), и для
любого а ? К
Х
м,а
= (х - а)"; ТГд1 (а) = da; NM (a) = а\
где d= [M : /С].
Следующее простое предложение сводит вычисление характе-
характеристических многочленов, следов и норм к случаю простых модулей.
Предложение 3.1. Пусть М = М0 =э М1 id ... id Ms = 0 — ком-
композиционный ряд модуля М, Ui = Mt/Mi-i—eao простые факто-
факторы. Тогда для любого элемента а?А
Хл,,„ (*) = П х<,,,„ W; na, И = П N^ (а); Тгм (а) = J Тг^ (а).
Доказательство немедленно следует из того, что пред-
представление Т, соответствующее модулю М, приводится к виду
<ТХ (а)
Т (а) =
О
s
где Г{ — представление, соответствующее модулю (/,. .¦>. ,и
ill

Следствие 3.2. Если элемент а лежит в rad Л, то Хм а (х) =
= х", NM (а) = Тгм (а) = 0, где d = [М : К].
Действительно, если U — простой модуль, то иа = 0 для всех
¦и 6 U, т. е. в соответствующем представлении а переходит в нуле-
нулевую матрицу.
I Предложение 3.3. Для любого расширения L поля К
(а ® 1) = N^ (а),
(а
=Тгм(а).
Доказательство следует из того, что если {т\, ...
..., md) — базис М над К, то {mt ® 1, ..., md ® 1} — базис ML над
1ив этих базисах элементам а и а ® 1 соответствует одна и та же
•матрица.
Как мы увидим в дальнейшем, иногда наряду с представлениями
алгебры Л над основным полем К удобно рассматривать ее пред-
представления над некоторым расширением L поля К, или, что то же,
представления L-алгебры AL, т. е. Л^-модули. В дальнейшем мы
¦будем отождествлять элемент а ? Л с элементом а ® 1 6 AL и пи-
писать Хм>в (х), TrM (a), NM (а) вместо ХМа& (х), Тгм (а ® 1),
NM (а ® 1), где М — некоторый Лд-модуль.
Вообще говоря, коэффиценты Хм а [х), в частности, Тгм (а),
NM (a) — это элементы поля L. Если они лежат в К для любого эле-
элемента а 6 Л, назовем Ль-модуль М правильным (этот тер-
термин будет использован только в данном параграфе).
Формой следа на алгебре Л, соответствующей Л-модулю
М, называется функция В^ (а, Ь) = Тгм (аи), где a, b ? А. В силу
свойств следа, Вм — симметрическая билинейная форма на про-
пространстве Л. Дискриминант формы Вм, т. е. элемент
ТГд. la.a,)... Тгы (плпЛ
Тгм(а2а2)...ТГл1(а2ап)
гм (flnfli) Trм (а^) ...7гм (апап)
где {аи ..., ап}— базис Л, называется дискриминантом
модуля М. Очевидно, Ам определен с точностью до квадрата
ненулевого элемента поля /С. Если форма Вм невырождена, т. е.
Дм Ф 0, назовем модуль М невырожденным.
С этими определениями связан следующий критерий сепарабель-
сепарабельности.
Теорема 3.4. Алгебра А сепарабельна тогда и только тогда,
когда для некоторого расширения L поля К существует невырожден-
невырожденный А ^модуль М. Более того, поле L всегда можно выбрать сепа-
рабельным, а модуль М — правильным. г
112
Доказательство. Если а 6 rad AL, то по следствию
3.2 Вм (а, Ь) = Тг^ (ab) = 0 для любого Ъ ? AL и форма Вм вы-
вырождена. Поэтому если М — невырожденный Л^-модуль, то ал-
алгебра AL полупроста. Но из предложения 3.3 следует, что для лю-
любого расширения F поля L дискриминант Л^-модуля MF равен
Ам. Значит, MF — невырожденный Л^-модуль и алгебра Ар
полупроста. Поэтому AL, а тогда по следствию 1.7 и алгебра Л
сепарабельны.
Наоборот, пусть алгебра Л сепарабельна, L — ее поле расщеп-
расщепления. Тогда AL ~ Л{ X • • • X Л8, где Ah = Mnk(L). Пусть Uh —
простой Лй-модуль. Тогда для любой матрицы ah б Ah многочлен
Ху а (х) — это просто характеристический многочлен матрицы ah.
Обозначим М —Ui © ... © Us- Тогда по предложению 3.3 для лю-
любого элемента Ь=(аъ ... ,as) из Лх X ••• X Ля многочлен Хмь(х)—
это произведение характеристических многочленов матриц ah. В ча-
S S
стности, Тгм (Ь) = У tr flhl ^ai (b) = П det ah- Базис алгебры AL
состоит из матричных единиц е\. (k указывает номер компоненты,
k=\,...,s; i,j = l,...,nh), причем, очевидно, Ттм(eku) = 1, а
Тгм (е*) = 0 при 1Ф-]. Отсюда получаем ' \Е
Тгд
—B противном случае.
¦I.U
шп
Поэтому в определителе Ам в каждой строке и каждом столбце
стоит ровно одна 1, а остальные элементы равны 0, откуда Ам =
= ±1 ф 0, т. е. модуль М невырожден.
Поле L можно выбрать сепарабельным по следствию 1.3. Дока-
Докажем, что модуль М правильный, т. е. при а 6 Л коэффициенты мно-
многочлена Хд^ (х) лежат в поле К- Заметим вначале, что Хд,^ (х)
не зависит от выбора поля расщепления L: для любого поля, со-
содержащего L, это вытекает из предложения 3.3, а если F — какое-
нибудь поле расщепления, то всегда можно построить поле, содер-
содержащее как F, так и L. Поэтому ввиду следствия V 4.5 поле L можно
считать нормальным. Обозначим G = G (UK)-
Группа G действует на алгебре AL по правилу а (а ® I) — а <8>
® о (К), где а ? Л, К ? L. Покажем, что для любого элемента Ъ ?
€ AL имеет место равенство ХМаф) (х) = о (Хмь (х)), где a (f (x)
обозначает многочлен, полученный применением а ко всем коэф-
коэффициентам многочлена / (х). Если эта формула будет установлена,
то для любого а 6 Л получим а (ХМа (х)) = ХМа(а) (х) = ХМа(х),
и по теореме V 4.4 все коэффициенты ХМа(х) лежат в поле К, т. е.
М — правильный модуль.
8 — 9-907
113

Заметим прежде всего, что если Ь= (ait..., as) ? AL, то Хм ь(х)=
= ^-м.у (*)» гДе b' — (atl> ¦¦• >ats) Для любой перестановки (ti,t2,...
...,/s) номеров 1, 2,...,s. Поскольку AL~o(Л4) X ••• Xо(As), из
теоремы И.5.2 следует, что a(Ah)=Aik для некоторой перестанов-
перестановки индексов & /,). в частности, тогда nh=*ntk. Обозначим че-
через ak ограничение а на Ah и рассмотрим изоморфизм oh:Ah-+Atk,
переводящий матрицу (Хи) в матрицу (а (Хи)). Композиция a^ah—
это автоморфизм алгебры Ak, тождественный на ее центре L По
теореме Сколема — Нётер (точнее, по следствию IV.4.3) этот авто-
автоморфизм внутренний, т._е. a^\(a)=uhaull для некоторого uh?
€Л. откуда oh(a)=vhoh(a)vk\ где vh=ah(uh) и а имеет вид, с
точностью до перестановки компонент,
1.Л
ол К) Vi
Но, очевидно, характеристический многочлен матрицы ah (a^),
а потому и матрицы vhah (ah)v^x получается применением а ко всем
коэффициентам характеристического многочлена матрицы ak, от-
откуда и следует требуемая формула ХМ>ЩЬ) (х) = a (XMb (x)).
Теорема полностью доказана.
Отметим, что использование расширений основного поля в тео-
теореме 3.5. существенно: в упражнении 9 дан такой пример сепарэ-
бельной алгебры А, что всякий Л-модуль вырожден. Невырожден-
Невырожденный Л-модуль всегда существует, если характеристика поля К
равна 0 (см. упражнение 6) или если алгебра А коммутативна (см.
ниже пример 1).
Многочлен ХМа(х), где М — модуль, построенный выше, на-
называется главным многочленом элемента а ? А и
обозначается Ра (х). Норма и след Тгм (а) и NM (а) называются, со-
соответственно, главным следом и главной нор-
нормой элемента а и обозначаются Тг (а), N (а). Если нужно явно
указать, о какой алгебре идет речь, пишут РА/Ка (х), ТгЛ/л (а)
и N.,^ (a). Билинейная форма В (а, Ь) = Тг (ab) называется фор-
формой главного следа, а ее дискриминант Д (А/К) — дис-
дискриминантом сепарабельной алгебры А (напомним, что
он определен с точностью до множителя, являющегося квадратом
ненулевого элемента из К)- В процессе доказательства теоремы 2.4
мы установили следующий факт.
Теорема 3.5. Коэффициенты главного многочлена, в частности
главный след и главная норма, леясат в поле К- Форма главного сле-
следа сепарабельной алгебры воегда невырождена, т. е. А (А/К) Ф 0.
Кроме того, поскольку модуль М точный, а всякая матрица яв-
является корнем своего'характеристического многочлена, имеет мес-
место такое предложение.
114
Предложение 3.6. Всякий элемент сепарабельной алгебры явля-
является корнем своего главного многочлена.
Отметим еще, что из построения модуля М и формулы
(А ® F) <g>F L с*. А ® L, где L zd F, непосредственно вытекает и
такое предложение.
Предложение 3.7. Для любого элемента а ? А и любого расшире-
расширения F поля К )
PapIPj.W = PwAx)> ТЧИ«) = Тгл/я(а), NAplF(a)=NAIK(a).
й Ниже приведены примеры вычисления главного многочлена.
{Примеры. 1. Пусть F — сепарабельное расширение поля
К- Тогда для всякого поля расщепления L F ® L ~ L", где п =
= [F : /(], и главный многочлен совпадает с характеристическим
многочленом регулярного модуля. Очевидно, то же имеет место и
для любой коммутативной сепарабельной алгебры Л.
2. Пусть теперь А — центральная простая алгебра размерности
d2, L — его максимальное подполе. Тогда A <g> L ~ Md (L) и
Ра (х) — это характеристический многочлен матрицы, соответству-
соответствующей элементу а ® 1. Если Хо (х) обозначает характеристический
многочлен регулярного модуля, то, поскольку регулярный AL-
модуль — прямая сумма d простых модулей, Ха(х) = (Pa(x))d.
В частности, NA (a) = (N (a))\ lvA (a) = dlr (a).
Упражнения к главе VI
1. Доказать, что для любых модулей М н N над алгеброй А и любого расшире-
расширения L основного поля Нотл (ML, NL) ^ Horn^ (M, N) ® L. (Указания:
можно воспользоваться теоремой о строении решений однородной системы линей-
линейных уравнений.)
2. Назовем Л-модуль М сепарабельным, если Л^-модуль ML полу-
полупрост для любого L. Доказать, что М сепарабелен тогда и только тогда, когда он
полупрост, а алгебра ЕА (М) сепарабельна.
3. Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы:
а) алгебра AL была простой для любого L;
б) Л^-модуль М L был простым для любого L (такой модуль называют а б-
солютно простым, а соответствующее представление — абсолют-
абсолютно неприводимым).
4. Пусть F — поле характеристики 2, /С = F (f) — поле рациональных функ-
функций над F, А = К [х]/(х* — t2). Найти R = rad А и A/R. Проверить, что в А нет
подалгебры, изоморфной AIR. Построить аналогичный пример для поля любой
характеристики р > 0.
5. Пусть поля F и К определены так же, как и в предыдущем упражнении,
L = К [х]1(х2 — t), А — L-алгебра с базисом {1, /¦}, где гг =0. Рассматривая А
как /(-алгебру, установить^ что Л/rad А ~ L, и найти в А две различные подал-
подалгебры, изоморфные L (поскольку А коммутативна, эти подалгебры не сопряжены
в А). Построить аналогичный пример для поля любой характеристики р > 0.
6. Доказать, что алгебра А над полем характеристики 0 полупроста тогда и
только тогда, когда регулярный Л-модуль невырожден.
7. Вывести из результата предыдущего упражнения, что существует много-
многочлен F (xf.) с целыми коэффициентами от л' переменных xkjt, i, j, k = 1, . ¦., n,
8*
115

такой, что алгебра А над полем характеристики 0 со структурными константа-
константами -у?/ полупроста тогда и только тогда, когда Жу^^О.
8. Пусть К — поле характеристики р, А = М (К)- Проверить, что регуляр-
регулярный Л-модуль вырожден. Перенести этот результат на произвольную центральную
простую ^-алгебру размерности рг.
9. Доказать, что если D — центральное тело размерности рг над полем ха-
характеристики р, то всякий D-модуль вырожден (пример такого тела см. в упраж-
упражнении 27 к гл. V). Таким образом, в теореме 3. 4 действительно нужно рассмат-
рассматривать А ^-модули, а не только Л-модули.
Ю. Пусть А — алгебра над полем К с базисом {ах>.... а } и структурными
константами у^. Рассмотрим алгебру А над полем F — K(tlt .... ( ) рациональ-
рациональных функций п переменных с тем же базисом и теми же структурными кон-
п
стантамн11. Обозначим а = "V ^аг Р (х, tx / ) = m_ (ж)—минимальный мно-
г=1 " а
гочлен элемента а (очевидно, это есть многочлен от (га + 1 )-й переменной
*• ** '»)'
п
Если а — ^ ata{—произвольный элемент алгебры А, то многочлен Рд а(х)=
= Р(х, a.v ..., ап) называется главным многочленом элемента а.
а) Доказать, что РАа (х) не зависит от выбора базиса в алгебре А.
б) Проверить, что Рд ф, (х) =PAiQ (*) Для любого расширения L поля К-
в) Установить, что если А — сепарабельная алгебра, то это определение глав-
главного многочлена совпадает с данными в § 3.
П. Мы сохраняем определения н обозначения предыдущего упражнения!
Если РАа (х) = хт + р^-1 + ... + рм, р, е К, положим ТтА/к (а) = - р,
^А/К (а) = (— ' )mPm и бУДем их называть соответственно главным следом
и главной нормой.
а) Проверить, что главный след — линейная форма на пространстве А, при-
чем Тгл;к (аЬ) = liA/K (Ьа), a NA/K (ab) = NA/K (а) Ыл/К F).
б) Доказать, что алгебра А сепарабельна тогда и только тогда, когда били-
билинейная форма ТтА/1< (ab) на пространстве А невырождена.
12. Пусть L — конечное расширение поля К. Доказать, что если а — эле-
элемент L-алгебры А, то
А/К,а
(PA
/L.a (
Тт
А/К
= Тг'
L/K (
13. Доказать, что если у идеала / алгебры А есть базис, состоящий из ниль-
потентных элементов, то I d rad А. (Указание: воспользоваться тем, что
след нилыютентной матрицы равен 0.)
If и:
:' U ¦ >,
'' I'! i
.:пД -ь
1J Если определить тензорное произведение бесконечномерных ,4ИЙ1б|К го
легко видеть, 4TQJ4 « А 0 F. . , . ¦•¦-., ¦»¦' "-• - (. ') '"'
116
^ VII ¦ ¦ .' -'f
ГЛАВА
; представления конечных групп
В этой главе мы воспользуемся общей теорией полупростых ал-
алгебр и их представлений для получения основных результатов
классической теории представлений конечных групп.
„ „ Представлением группы G над полем К назы-
§1. еорема ашке вается гомоморфизм этой группы в группу GL(V)
обратимых линейных операторов в векторном пространстве V над
полем К- Иными словами, задать представление Т — это значит
сопоставить каждому элементу g ? G обратимый линейный опера-
оператор Т (g) eGL(V) так, что Т (gh) = T (g) T {К) для всех g,h?G.
Для представлений групп, как и для представлений алгебр,
определяются понятия подобия, приводимости, разложимости и т. п.
Однако оказывается, что изучать представления группы G — это
то же самое, что изучать представления ее групповой алгебры
(см. гл. I, § 1, пример 6).
Напомним, что базис групповой алгебры KG составляют эле-
элементы группы G, которые перемножаются, как в группе. Если
Т : KG -*¦ Е (V)— представление групповой алгебры, a g ? G, то
Т (g) Т (g~l) = Т (gg~l) = Т A) = 1. Поэтому Т (g) — обратимый
оператор, так что, ограничивая Т на G, получаем представление
группы G. Наоборот, пусть Т : G -> GL (V) — представление груп-
группы G. Распространим его на алгебру KG «по линейности», полагая
Т (\ agg\ = V agT (g)\. Очевидно, получится представление
Т : KG -+¦ Е (V), ограничение которого на G совпадает с исходным
представлением. Итак, представления группы и групповой алгеб-
алгебры — это, по сути, одно и то же.
В этой главе все рассматриваемые группы предполагаются ко-
конечными. Решающую роль в теории представлений конечных групп
играет следующий замечательный результат, известный как
«теорема Машке».
Теорема 1.1. Если характеристика поля К не делит порядок
группы G, то групповая алгебра KG сепарабельна.
Доказательство. В силу теоремы VI.3.4 достаточно
указать какой-нибудь невырожденный /(G-модуль. Оказывается, в
нашем случае уже регулярный /(G-модуль невырожден. Действи-
Действительно, возьмем в качестве базиса алгебры KG множество {git..., gn}
всех элементов группы G (здесь п — порядок G). Если gФ 1, то
gtg ф gt для всех i = 1, ..., п, следовательно, Tr (g) = 0 (Тг здесь
означает след регулярного представления). С другой стороны,
Тг A) = [KG : К] = п. Поэтому Tr (gtgt) = 0, если g^gj1 и
Tr(gig,/) = « при gi = g7I. Таким образом, в каждой строке и каж-
каждом столбце дискриминанта Д регулярного представления стоит
117

ровно один ненулевой элемент (заметим, что п = п 1 ф О, так как
характеристика К не делит п). Следовательно, Д=И=0 (точнее, Д =
= ± п") и алгебра KG сепарабельна.
Следствие 1.2. Если характеристика поля К не делит порядок
группы G, то всякое представление группы G над полем К вполне при-
приводимо.
Оказывается, имеет место и теорема, обратная к теореме Машке.
Теорема 1.3. Если характеристика поля К делит порядок груп-
группы G, то алгебра KG не полупроста.
До казательство. Рассмотрим в алгебре KG элемент
s = V х. Очевидно, для любого g ? G имеет место равенство
x?G
gs = sg = s. Поэтому s лежит в центре алгебры KG. С другой сторо-
стороны, s2 = V xs = ns = 0 (так как порядок п группы G делится на
x€G
характеристику поля К)- По следствию II.2.8 алгебра KG не полу-
полупроста.
Таким образом, теория представлений групп фактически рас-
распадается на две существенно различные теории: классиче-
классическую (когда порядок группы не делится на характеристику по-
поля) и модулярную (когда порядок группы делится на ха-
характеристику поля). В этой главе (кроме некоторых упражнений)
мы будем рассматривать только классическую теорию представле-
представлений. Поэтому всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что по-
порядок п группы G не делится на характеристику поля К-
Из теоремы Машке и теории полупростых
§ 2. Число и размер- алгебр и их представлений сравнительно просто
ности неприводимых г к г
представлений вытекают следующие важные результаты о чис-
числе и размерностях неприводимых представлений.
Теорема 2.1. Если du ... ,da—размерности всех (попарно не-
неизоморфных) представлений группы G над алгебраически замкнутым
полем К, то d\ + ... + d2s = п, где п = (G : 1).
Доказательство. По теореме Веддербёрна — Артина (точ-
(точнее, по следствию II.4.4) и по теореме 11.6.2, если db ...,ds — раз-
размерности всех неприводимых представлений алгебры KG, то KG ~
S с
^ П -Mdl (К), откуда п = [KG : К] =
f=i .—
Пусть по-прежнему поле К алгебраически замкнуто. Тогда центр
алгебры KG по следствию II.4.2 изоморфен Ks, где s— число прос-
простых компонент KG, или, что то же, число неизоморфных неприво-
неприводимых представлений. Поэтому число неприводимых представлений
равно размерности центра алгебры KG. Но элемент а = ^ а^х ле-
х?О
жит в центре KG тогда и только тогда, когда ga = ag для любого
g?G, или, что то же,- gag-1 =а. Поскольку gag~l =V ax (gxg~l),
118
это означает, что коэффициенты при х и gxg—1 элемента а оди*
наковы.
Напомним, что элементы х и gxg называются сопряжен-
сопряженными в группе G. Вся группа G распадается на попарно непере-
непересекающиеся классы сопряженных элементов Clf С2, •••> Cs. Из при-
приведенных выше рассуждений следует, что базис центра групповой
алгебры KG образуют элементы ct = ~Sx, i «= 1, ... , s. Отсюда
вытекает такая теорема.
Теорема 2.2. Число неизоморфных неприводимых представлений
конечной группы G над алгебраически замкнутым полем К равно чис-
числу классов сопряженных элементов в группе G.
Следствие 2.3. Группа G абелева тогда и только тогда, когда
все ее неприводимые представления над алгебраически замкнутым
полем одномерны.
Для доказательства достаточно заметить, что группа
абелева тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженных
элементов состоит из одного элемента, т. е. ввиду теоремы 2.2 чис-
число ее неприводимых представлений равно порядку группы. Учиты-
Учитывая соотношение между размерностями этих представлений и по-
порядком G (теорема 2.1), мы видим, что так будет в том и только том
случае, когда все эти представления одномерны.
Следствие 2.4. Если G и Н — абелевы группы одинакового поряд-
порядка, а поле К алгебраически замкнуто, то групповые алгебры KG и
КН изоморфны.
Пусть Т — представление группы G над по-
^ м й /(G Д
s. характеры
дем
р ру
_ соответствующий /(G-модуль. Для
Т()
любого элемента а 6 KG определен тогда его след ТГд,(а) относитель-
относительно модуля М (§ 3 гл. VI) — это след матрицы Т (а) (в любом бази-
базисе). В частности, для любого элемента х 6 G определен элемент
X (х) = Тгм (х) поля К- Функцию % : G ->- К называют харак-
характером представления Т. Если Т неприводимо. то % называют
неприводимым характером. Характер регулярного
представления называется регулярным характером
и обозначается Xreg.
Предложение 3.1.
\п при х=1,
(X) =
О при хф-1.
Доказательство очевидно.
Предложение 3.2. Для любого характера % (gxg-1) = % (х).
Иными словами, характер постоянен на каждом классе сопряжен-
сопряженных элементов.
До казательство следует из того, что для любого пред-
представления Т Т (gxg~l) = T(g)T (х) Т (g)~\ т. е. матрицы Т (gxg'1)
и Т (х) подобны и, в частности, имеют одинаковый след.
119

Заметим еще, что из следствия И.6.3. немедленно вытекает та-
такая теорема.
Теорема 3.3. Пусть К — поле характеристики 0. Тогда пред-
представление однозначно определяется своим характером, т. е. из
равенства характеров следует подобие представлений.
Пусть теперь поле К алгебраически замкнуто, Хь •••, %s — все
неприводимые характеры группы G над полем К. Обозначим in =
— Xt (gj)< гДе gj € Cj (С,, ..., Ca — классы сопряженных элементов
группы G). Квадратная матрица X = (хо) называется табли-
таблицей характеров группы G над полем К. Заметим, что если
Mt — модуль /-го неприводимого представления, то KG ~ ^dtMit
где<*г = \Mt : Ю, откуда Xreg =
Kyi
Как мы уже заметили, элементы ct = V х, i=\, ..., s, обра-
образе,
зуют базис центра С групповой алгебры группы G. С другой сто-
стороны, С~К\ поэтому если \ = el+ ... + ef—разложение единицы
алгебры С, то элементы {elt..., es) также образуют базис С. Сле-
Следовательно, в поле К найдутся такие элементы atJ и р^, что с, =
S S
= V <xueh et = "S §uCj, причем матрицы А= (аи) и В—- фи) взаим-
/=1 j=i
но обратны. Оказывается, коэффициенты ati и p,v тесно связаны с
таблицей характеров.
Предложение 3.4. Обозначим через dt размерность неприводимо-
неприводимого представления с характером %t, hj — число элементов в классе
С}. Тогда , , u
\ ^ ; ;;
где gj e Cj.
Доказательство. Заметим, что в /-м неприводимом
представлении элемент е} действует тождественным образом, а
элементы ek (k Ф /) — нулевым. Поэтому %} (eh) — 0 при k Ф /,
а Ъ (ej) = dj. Отсюда
B
4=1
- c
поскольку
стороны, Xreg(etg-')=
*=i
(,g) = Xi(g). Отсюда получаем формулу для $1}. '''V х
Учитывая, что матрицы А и В взаимно обратны, мы немедлёйвй*
получаем следующие «соотношения ортогональ-
ортогональности» для характеров. }Н
Теорема 3.5.
АЛ
s
при i =
при i = j.
Следствие 3.6. Представление Т группы G над алгебраически
замкнутым полем характеристики 0 неприводимо тогда и только-
тогда, когда его характер х удовлетворяет равенству тпШ'лЕ-
in h/xiir.iKnrino'vc] •
*=i
Доказательство. Разложим представление Т в прямую
сумму неприводимых. Соответственно, характер х представится в
S
> где Хь •"• У* ~~ непРив°Димые характеры. Но-
виде x = 2
i=l
тогда .
С другой стороны, очевидно, х> (ct) —
выражение для atJ.
откуда и получаем
Для нахождения рц воспользуемся тем, что Xreg = V dtXt. За-
Заметим что Xreg(Cfeg) = 0, если g-*$Ck, и X.eg (Cftg)Ti n, если
g eCft (это следует из предложения 3.1). Поэтому если gj?CJt то
120
'./
9IU1M0
ГП\; \l lit M IV
/t=i
t-i
и это выражение равно 1 тогда и только тогда, когда х = Xi Д-"я не"
которого i, т. е. ввиду теоремы 3.3 Т — неприводимое представ-
представление.
Если К = С — поле комплексных чисел, то соотношениям орто-
ортогональности можно придать несколько иной вид. Для этого вос-
воспользуемся следующей леммой.
121

Лемма 3.7. Если % — характер представления Т размерности
А группы G над полем комплексных чисел, то для любого элемента
StGl(g) есть сумма d корней степени п из 1 и % (g~') j
?де, как обычно, г — число, комплексно-сопряженное к г.
Доказательство. Как известно, gn = е, откуда
Т (g)" = Е для любого g 6 G. Поскольку многочлен х" — 1 не име-
имеет кратных корней, отсюда следует, что матрица Т (g) подобна ди-
диагональной
Т (g)
где е«= 1. Отсюда x(g) =
О
ed,
0\ •'¦/¦
Значит,
¦ ..ч',? -)
В частности, %t (g~l) = %iS, и соотношения ортогональности
теоремы 3.5. можно переписать в виде
из
=y,
J_
п
- О При 1ф],
Xk) = {. ...
[i/ht при i =].
§ 4. Теоремы
В этом параграфе нам понадобятся некоторые
свойства целых алгебраических чисел. Напом-
ним, что комплексное число г называется ц е-
лым алгебраическим, если оно является корнем урав-
уравнения х™ + aixf"~l + ... + am = 0 с целыми коэффициентами at.
Предложение 4.1. Если рациональное число является целым ал-
алгебраическим, то оно целое.
До казательство. Пусть г = plq, где р и q — взаимно
простые целые числа, является корнем уравнения хт + aiXf"-[-{-
+ ••• + ат = 0, где все at —целые. Приводя к общему знамена-
знаменателю, получаем р ==__—ащрт~х — ... — amcf", что невозможно,
так как р и q взаимно просты.
J22
Следующая лемма дает удобный критерий того, что некоторое
число г является целым алгебраическим.
Лемма 4.2. Для того чтобы число г было целым алгебраическим,
необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие комплексные чис-
t
не все равные нулю, что zyt = ^a^yj, где все а1} —
ла уи
yt,
целые числа.
Доказательство. Если г — корень целочисленного уравне-
уравнения х + акхт~х + • • • + о-т = 0, то, очевидно, достаточно поло-
положить «/4 = 1, уг = г,...,ут = г"»-' .
Наоборот, пусть существуют yit .. ., yt с указанным свойством.
Обозначим через А матрицу (atj), а через Y — вектор-столбец с
координатами yit...,yt. Тогда (zE — A)Y = Q, откуда следует, что
det (zE — А) = 0. Но det (zE — А) = z' + а^~х + ... + at, где at—
целочисленные линейные комбинации произведений элементов мат-
матрицы Л, т. е. целые числа. Следовательно, г — целое алгебраичес-
алгебраическое число.
Следствие 4.3. Сумма и произведение целых алгебраических
чисел суть целые алгебраические числа. Иными словами, целые ал-
алгебраические числа образуют кольцо.
Доказательство. Пусть yit..., yt — такие числа, что zyt =
~^atly} (ау—целые), а у[,..., у"~такие числа, что г'у'=^а'цУ'(
(а].; — целые). Тогда, как легко видеть, набор чисел {yty'}, t =
= 1,..., t; j = 1,..., г, будет обладать тем же свойством относи-
относительно чисел z + г' и zz', что и требовалось доказать.
Поскольку корни из единицы, конечно, суть целые алгебраи-
алгебраические числа, из леммы 3.7 мы получаем такое следствие.
Следствие 4.4. Если % — характер группы G над полем комплекс-
комплексных чисел, то % (х) — целое алгебраическое число для любого x?G.
Воспользуемся теперь обозначениями предыдущего парагра-
параграфа. В частности, пусть X = (xi;) — таблица характеров группы
G над полем комплексных чисел.
Теорема 4.5. Все числа atj = {htldj) %}i — целые алгебраические.
Доказательство. Заметим, что ctCj для любых i и / —
элемент центра алгебры CG. С другой стороны, ctc j— целочислен-
целочисленная линейная комбинация элементов группы G. Отсюда следует,
что CtCj = ^yuhch> гДе все Чцк— целые числа. В то же время
к
a ch = ^oLhpev, откуда cft = 2 Ь^пр^р и aaajp=^iyijhahp. По-
р р. * *
лагая 2 = aip, у, = aJp (р — фиксированное), мы можем воспользо-
123

ваться леммой
ческое число.
Следствие 4.6. Размерности dt неприводимых комплексных пред-
предавлений делят порядок п
4.2, из которой следует, что а1р — целое алгебраи-
ставлений делят порядок группы.
Для доказательства перепишем первое из соотноше-
соотношении ортогональности (теорема 3.5)
-ОИПГ
'JH9
2
k=l
Поскольку (hk%lh)/di = ahi и %t (g^1) — целые алгебраические
числа, число nldt — также целое алгебраическое. А поскольку оно
рациональное, то является целым, что и требовалось доказать.
Для представлений групп, наряду с обыч-
§ 5. Тензорное ными теоретико-модульными конструкциями
пред'ставТе'ни^ можно определить еще одну операцию — тен-
тензорное (или кронекеровское) произведение.
У Пусть М и N — два модуля над групповой алгеброй KG. Тогда
их тензорное произведение (как векторных пространств) можно
превратить в /CG-модуль, полагая для любого элемента g 6 G
(т ® л) g = mg ® ng. Так построенный модуль и называется тен-
тензорным произведением KG-модулей М и N,
а соответствующее представление группы G — тензорным
произведением представлений, соответствующих
модулям М и N.
Вычислим характер тензорного произведения представлений.
Пусть представление Т, соответствующее модулю М, в некотором
базисе {щ, ..., ит} имеет вид ,. ,, , ; .•¦...
;С,П!!И OI'}1
(g) =
. :шг,
ФИ
.« @ '
4>ml (g) • • •
а представление S, соответствующее модулю N, в н^кртрр^») бази-
базисе {vi, .... vn} имеет вид ' ' ]}\''
,, ,
Тензорные произведения ut®vh i=l,.. , m; i=\ .
рвзуют базис M®N, причем
об-
(g)
ик®1>г).
! (в) "«) =
¦1 ¦..•.«,"
*,/
'- I'i
124
Таким образом, элементы матрицы (Г ® 5) (g), соответствующей
g в этом представлении,— это всевозможные произведения элемен-
элементов матриц 12 Т (g) и S (g). В частности,
Тг
= (Тг Г <Й)(ТгS (g)l
Итак, мы доказали такое предложение.
Предложение 5.1. Характер тензорного произведения равен
произведению характеров.
Следствие 5.2. Пусть Хь ••¦. Х« — неприводимые характеры
группы G. Существуют такие натуральные числа nljh, что
для любых i, /.
Доказательство. Пусть Mt,. . ., Ms — все простые KG-
модули. Тогда Mt&Mj ~ ®niihMk для некоторых натуральных ni)h,
откуда и следует наше утверждение.
Пусть теперь G = Gt X G2. Всякое представление Т одного из
прямых сомножителей (например, G4) можно рассматривать как
представление всей группы G, полагая Т (gb g2) = T (gi). В част-
частности, если Т — представление Gt, a S — представление G2, можно
построить их тензорное произведение Г® S, которое есть пред-
представление группы G. При этом имеет место теорема.
Теорема 5.3. Пусть поле К алгебраически замкнуто. Если пред-
представление Т группы Gi и представление S группы G2 неприводимы,
то и представление Т ® 5 группы G = G4 X G2 неприводимо и вся-
всякое неприводимое представление группы G однозначно представля-
представляется в таком виде.
Доказательство. Пусть М (N) — /CGj-модуль (/@2-модуль),
соответствующий представлению T(S). Поскольку К алгебраически
замкнуто, EKGl(M) = EKGl(N) = К и по теореме И. 6. 7, сопостав-
сопоставляя элементу a?KGi линейное отображение т-+та, мы получим
эпиморфизм алгебр /CGj-*-? (M).
т
Выберем базис {«,, . . ., ит} в модуле М и пусть х =
i=i
nt?N — ненулевой элемент из M®N. Для определенности будем
считать, что дг4 Ф 0. Возьмем в алгебре KG{ такой элемент а =
= "Sujgj, cij ? К, gj ? Gj, что соответствующее линейное отображе-
отображение М-+М переводит «4 в произвольный элемент т?М, а и2,. ..<ц\
...,ит — в 0. Тогда . щШ.
т п т П '
12 Эта матрица называется кронекеровским или тензорным
произведением матриц Г (g) и S (g) и обозначается Т (g)®S (g).
125

Аналогично можно подобрать такой элемент b ? KG, что
(т ® т) Ъ = т ® п для любого п ? N. Следовательно, подмодуль,
порожденный элементом х, совпадает с М ® L, т. е. М ® N
простой модуль.
Заметим теперь, что элементы (g{, g2) и (g[, g'2) сопряжены в груп-
группе G = Gi X G2 тогда и только тогда, когда gi и g[ сопряжены в
Gi, ag2 Hg'2 — bG2. Поэтому если Си ..., Са — классы сопряженных
элементов в Gu a Du ..., Dt~ в G2, то С, х D^ , i = 1, ..., s ; / =
= 1, .... t — классы сопряженных элементов в Gi x G2. В частнос-
частности, их число равно st, поэтому ввиду теоремы 2.2, если мы уста-
установим, что для простых модулей из М ® N ~ М' <g> N' следует
М ~ М' и JV ~ N', то всякий простой /CG-модуль будет иметь вид
М ® N.
Обозначим через х характер, соответствующий модулю М, %' —
модулю М', ? — характер, соответствующий N, и ?'—ЛГ, и пусть
для определенности М ~ М'. Выберем представителя gt в классе
С;> U — в классе Ds и пусть число элементов в группе G; есть nt,
в классе Ct — ht и в классе D} — k}. Тогда число элементов в G
равно щпг, в классе Ct x Dj — htkj, a (gt, /;) — представитель
этого класса. Характер, соответствующий М ® N, есть xl. a
характер, соответствующий М' ® ЛГ,— х'|\ Тогда ,,.,..
4
-L V
2 /
= o,
откуда ввиду теоремы 3.5 (и неприводимости характеров уЪ, и
XT) "й Ф Х'1' к М ® N ?i М' ® N'. Теорема доказана.
Таким образом, зная представления групп G4 и G2, мы можем
построить все представления их прямого произведения.
Применим конструкцию тензорного произведения представле-
представлений для доказательства следующего результата, усиливающего
следствие 4.6.
Теорема 5.4. Пусть С — центр группы G. Размерность любого
неприводимого представления G над полем комплексных чисел де-
делит индекс (G : С).
Доказательство. Пусть d — размерность неприводи-
неприводимого представления, Т, М — соответствующий модуль.
Если g 6 С, то матрица Т (g) коммутирует со всеми матрицами
представления Т, и шГлемме Шура она скалярна: Т (g) = К (g) E.
Рассмотрим представление М® ... ® М (т раз) группы G х ...
126
... X G. Если элементы gf лежат в С, то в этом представлении
(Bi> •••, gm) действует как умножение на число X (gi) ... К (gm) =
—}- (gi ... gm)- В частности, если gi ... gm = 1, то этот элемент
действует тождественным образом. Но наборы (g{ , gm) такие,
что gt 6 С и gi . . gm = 1 образуют подгруппу Н в G X ... X G.
Следовательно, М ® ... ® М —это фактически представление фак-
факторгруппы (G X ... х G)IH, порядок которой есть пт1'с™-1, (п =
= (G : 1), с = (С: 1), тогда (Я : 1) = С1). По следствию 4.&
размерность этого представления (равная dm) делит п^с-1, т. е.
nm/?m-l dm — целое ЧИСЛО.
Обозначим q = n/cd. Это рациональное число, причем cq —
целое для любого т. Очевидно, это возможно только, если q —
целое, что и требовалось доказать.
В этом параграфе мы покажем, как теория
представлений используется для отыскания нор-
нормальных подгрупп и, следовательно, доказа-
доказательства непростоты и разрешимости тех или иных классов групп.
Всюду в этом параграфе представления рассматриваются над полем
комплексных чисел.
Пусть Т — неприво'димое представление размерности d группы
G, х — его характер. По лемме 3.7 для любого g?G число % (g)
есть сумма d корней степени л из 1, где п = (G : 1). Кроме того,
если матрица Т (g) не скалярная, эти корни различны, а тогда
I X D) I = et + .. .+ed |< |е{ | + . .. + | ed | =d.
Обозначим через Q поле рациональных чисел, е — первообраз-
первообразный корень степени п из 1, L = Q [е]. Тогда L есть поле разложения
многочлена хп— 1, т. е. по теореме V.4.4 — нормальное расшире-
расширение поля Q. Обозначим через Г его группу Галуа. Заметим, что для
любого элемента а 6 Г и любого корня et из 1 а (ег) — также ко-
корень из 1. В частности, а (% (g)) — также сумма d корней из 1, от-
откуда | а(х (g)) | ^ d. Из этих соображений выведем следующий ре-
результат.
Теорема 6.1. Пусть С — такой класс сопряженных элементов в
группе G, что число элементов h в классе С взаимно просто с раз-
размерностью d неприводимого представления Т. Тогда либо все мат-
матрицы Т (g) (g 6 С) скалярные, либо % (g) = 0 для всех g 6 С, где % =
характер представления Т.
Доказательство. По теореме 4.5 (hid) x (g), где g 6
6 С — целое алгебраическое число. В то же время и х (g) — целое
алгебраическое число. Пользуясь взаимной простотой d и h, под-
подберем целые числа х и у так, чтобы xd + yh = 1. Тогда
— целое алгебраическое число. Если Т (g) — не скалярная
матрица, то, как мы видели, | г \ < 1. С другой стороны, для любого
127

<J 6 Г число о (г) — целое алгебраическое (оно удовлетворяет всем
тем же уравнениям, что и г), причем \о (z)|< 1. Следовательно, и
число q = Y]° (z) — Целое алгебраическое, причем | q | < I. Но,
аег
очевидно, а (q) — q для всех а 6 Г, т. е. <? € Q (по теореме V.4.4).
Ввиду предложения 4.1 q — целое число, откуда q = 0, а потому
и z = 0, что и требовалось доказать.
Заметим, что скалярные матрицы образуют нормальную под-
подгруппу в группе невырожденных матриц. Поэтому те элементы g 6
€ G, для которых матрицы Т (g) скалярные, образуют нормальную
подгруппу N (Т) в G. Если Т неприводимое и не одномерное, то
N (Т) фЬ. Эти соображения позволяют применять теорему 6.1
для отыскания нормальных подгрупп. Мы докажем таким способом
следующие две теоремы Бернсайда.
Теорема 6.2. Если в группе G есть такой класс сопряженных
элементов Сф{\), что число элементов в нем h =р', где р — про-
простое число, то группа G не простая, т. е. в ней есть нетривиальная
нормальная подгруппа.
Доказательство. Пусть Т{, .... Те — все неприводи-
неприводимые представления G, d{, ..., da — их размерности и хь •••. %s —
характеры. Будем считать, что Ti — одномерное представление,
такое, что 7\ (g) = 1 для всех g. Тогда % 4 (g) = 1 для всех g. Если
еще хотя бы одно из Tt — одномерное, то его ядро — нетривиаль-
нетривиальная нормальная подгруппа в G. Следовательно, можно считать di >
> 1 при i Ф 1.
Пусть g 6 С. Если Tt (g) — скалярная матрица, то вновь в G
есть нетривиальная нормальная подгруппа. В противном случае,
если dt не делится на р, то %t (g) — 0 по теореме 6.1. Воспользуемся
теперь формулой %red =
и предложением 3.1. Получаем
(g) = 0 = 1 +
(S) = 1 +
¦KM
где г — целое алгебраическое число, откуда г = —\1р, что невоз-
невозможно ввиду предложения 4.1. Теорема доказана.
Теорема 6.3. Если (G : 1) = paqb, где р и q — простые числа,
то группа G разрешима13 .
Доказательство будем вести индукцией по порядку
группы G. При этом используем следующие известные результаты
из теории конечных групп:
а) если порядок группы G — степень простого числа, то груп-
группа G имеет нетривиальный центр;
13 Напомним, что группу Сказывается разрешимой, если в ней есть такой ряд
подгрупп G Г) Gj- ID G2 ID ... DGm= {1}, что Gl+l — нормальная подгруппа в
<j{ и факторгруппа Gi'Gt^_l абелева для всех i = 0, 1, ..., т -г- 1 (Go = G). '
128
!i
i б) если порядок группы G делится на ра, где р простое, то в G
:«сть подгруппа порядка р" (теорема Силова).
Выберем в G подгруппу Н порядка ра, и пусть элемент g Ф 1
лежит в центре Н. Обозначим Н ={х 6 G\xg = gx) (нормализатор
элемента g). Очевидно, Н гэ Н, поэтому (G : Н) делит (G : Н) =
= qb. Но число элементов, сопряженных с g, как легко видеть,
равно (G : Н), т. е. является степенью q. По теореме 6.2 в G есть не-
нетривиальная нормальная подгруппа N. По предположению ин-
индукции группы N и GIN разрешимы, а тогда, очевидно, и группа G
разрешима, что и требовалось доказать.
Упражнения к главе VII ¦>;
Во всех упражнениях, кроме упражнений 18—22, предполага-
предполагается, что К — поле, характеристика которого не делит порядок
группы G.
1. Пусть G = {gj Sn}~ конечная группа, М и /V — два /CG-модуля, f;.
: М -*¦ N — произвольное линейное отображение. Доказать, что отображение
}: М -*¦ N. задаваемое формулой / (т) = — у j' (mgt ]) gt,
является гомомор-
физмом /CG-модулей.
2. Вывести из упражнения I. что в описанной ситуации всякий подмодуль
N с М выделяется прямым слагаемым. (Указание, применить указанную
конструкцию к произвольному проектору пространства М на подпространство N
и воспользоваться предложением 1.6.2.) Этот результат дает новое доказательство
теоремы Машке, не зависящее от результатов гл. VI.
3. Установить изоморфизм KG ~ KGi ® KGit если G — Gi X G9. \,
В упражнениях 4—б предполагается, что поле К содержит пер^'
вообразный корень степени п = (G : 1) из 1 (или*, что то же, явля-
является полем разложения многочлена х" — 1). Группа G во всех этих
упражнениях предполагается абелевой.
4. Доказать, что групповая алгебра KG в указанных предположениях рас-
щепима, а группа G имеет л различных неприводимых представлений, которые
все одномерны (т. е. являются гомоморфизмами G -*¦ К*, где К* — мультиплика-
мультипликативная группа поля К).
5. Обозначим через G множество всех неприводимых представлений !руппы G
над полем К (они называются характерами G над /С).Для любых двух ха-
характеров fr и ft положим (ftfjig) = jFj (g)f2 (g), где g?G.
а) Проверить, что Мл — также характер G над К и относительно так опре-'
деленной операции G является абелевой группой порядка п.
б) Доказать, что для фиксированного элемента g 6 G отображение g : G -*¦ К-
определенное формулой g (/) = f, (g), является характером группы G.
в) Доказать, что отображение б : G -»- G, переводящее g в g, является гомомор-
гомоморфизмом групп.
г) Установить, что Кег б ={ 1}, т. е. б —мономорфизм и, поскольку (G : 1)=
= (G : 1), изоморфизм групп.
I - 9-907
129

¦ 6. Используя тот факт, что всякая абелевз группа G разлагается в прямое
произведение циклических, вычислить явно все ее характеры и показать, что G~
sss G (в отличие от изоморфизма б из предыдущего упражнения этот изоморфизм су-
существенно зависит от явного вида разложения группы G в произведение цикличес-
циклических).
7. Группой кватернионов называется подмножество {е, i, /,
k, —e, —«, —/, —k) алгебры кватернионов (сИ. § I гл. I, пример 4). Проверить,
что эти восемь элементов действительно образуют группу относительно умножения.
Найти все неприводимые представления этой группы над полями действительных
и комплексных чисел. (Указание: в последнем случае можно воспользовать-
воспользоваться результатом упражнения 3 гл. I.)
8. Группой диэдра Dn называется группа с образующими а, Ь и оп-
определяющими соотношениями а" = Ь2 = I, Ьа = а~хЬ.
Примеры (для л = 5):
а) Доказать, что Dn — конечная группа порядка 2л.
б) Проверить, что соответствие
2nk
¦ — sin
2nk
sin
2nk
cos ¦
i)
i.'o — целое число) задает представление Тк группы диэдра Dn, причем при раз-
различных k, удовлетворяющих неравенству 0<6< л/2, представления Tft непри-
водимы и неподобны.
в) Найти одномерные представления группы D и доказать, что эти представ-
представления и представления Тк, 0< k < л/2, из пункта б) составляют все неприводимые
представления Dn над полем комплексных или действительных чисел. (Указа-
(Указание: использовать теорему 2.1.).
Следующие упражнения (9—13) посвящены описанию представ-
представлений симметрической группы Sn, т. е. группы всех подстановок на
множестве{1, 2, ..., п). Напомним некоторые факты о строении этой
группы. Цикл о.м длины k (ti, i2, ..., ih) называется подстановка,
которая переводит i\ в г2, (г в г3| ..., ih в iu а всеостальные элементы
оставляет на месте. Все числа ii, ..., ih предполагаются различными.
Возможен случай k = 1. Очевидно, такой цикл — это тождествен-
тождественная подстановка. Циклы (t1( ..., ih) и (/,, ..., /,) называются неза-
независимыми, если множества {iu .... ih] и {ju ..., /,} не пересе-
пересекаются. Всякая подстановка о раскладывается в произведение не-
непересекающихся циклов а = (г'ц ... /[*,) (йл ... i2fe,) ... (itl... itkt),
где kt + ... + kt = n, причем это разложение однозначно (с точ-
точностью до порядка сомножителей, так как независимые циклы,
очевидно, перестановочны). Набор длин (kt, ..., kt) называют цик-
цикленным типом подстановки а.
9. Доказать, что две подстановки сопряжены в S тогда и только тогда, когда
они имеют одинаковый цикленный тип. Таким образом, класс сопряженных эле1
ментов в Sn однозначно определяется разбиением числа п в сумму натуральных
слагаемых л = kx + k2 + ... + k%.
Далее мы будем всегда считать, что kx ^>fi2 ^> ... ^ k^ Такой цикленный тип
удобно задавать так называемой диаграммой Юнга — расположением
п клеточек в t строк, по kt в i-й строке. ^, ./; . .
13&' т ':г
5=3*1*1
¦¦ <l'i
Позицией нз диаграмме Юнга называется произвольное расположение
чисел {1, 2, ..., п} в клетках этой диаграммы. Говорят, что диаграмма Юнга, соот-
соответствующая разбиению (klt ..., &g), выше диаграммы, соответствующей (/,, ...,
..., L), если ki > llt или ki = /j, но k2 > /г, или ki = l\, k2 = /2, но ks > /„ и т. д.
(лексикографический порядок).
10. Пусть Dj и D2 — позиции на двух диаграммах Юнга, первая из которых
выше второй.
а) Доказать, что для любых позиций на диаграммах ?), и D2 найдутся два чис-
числа i Ф j, которые стоят в одной строке диаграммы Dj и в одном столбце диаграммы-
D2.
б) Доказать, что для любой подстановки о найдутся такие транспозиции (т. е.
циклы длины 2) tj = (ijB) и т2 = (/i/2)> то Ti° = сп2' причем числа i], i2 стоят в
одной строке диаграммы Db а числа /ь /2 — в одном столбце диаграммы D2.
11. Для любой позиции D на диаграмме Юнга обозначим через РD множество
подстановок, переставляющих числа только внутри строк этой диаграммы, а
через QD — множество подстановок, переставляющих числа только внутри столб-
столбцов.
а) Проверить, что PD и QD — подгруппы в Sn, причем />D Q QD = {I).
б) Доказать, что если Dj и D2 — две позиции на одной и той же диаграмме
Юнга, то либо найдется пара чисел 1ф], которые стоят в одной строке D, и в
одном столбце D2, либо, переставляя числа в строках D, и столбцах D2, можно по-
получить одну и ту же позицию.
в) Доказать, что для любой позиции D и любой подстановки о либо найдут-
найдутся транспозиции т, 6 PD и т2 € QD, такир, что т,а= ат2, либо а = |т|, где | g PD,
a tj € Qq, причем такое представление однозначно.
12. Симметризатором Юнга, соответствующим позиции D на
некоторой диаграмме, называется элемент cD групповой алгебры А = KS , оп-
определенный формулой
:л •-•:•
p.-/ \
где sgn (т|) — знак подстановки т|, равный 1 для четных и —I для нечетных под-
подстановок.
Доказать, что если сг 6 PD, то acD = cD, а если а ? QD, то cDa = sen (ojc^
Наоборот, если а € Л — любой элемент, удовлетворяющий этим условиям, то
а = acD для некоторого а 6 /Г. (Указание: воспользоваться результатом
упражнения 11, в).)
13. Обозначим MD — cDA, где cD — симметризатор Юнга, А = ,/CS^.
а) Доказать, что ED (MD) = К.. (У к а з а н ие: воспользоваться результа-
результатом предыдущего упражнения.)
б) В предположениях упражнения 10 доказать, что Hom4 (MDl, /WDj) =0.
9* 131

в) Вывести отсюда, что, когда D пробегает все позиции на диаграммах Юнга,
...и пробегает все простые Л-модули (с точностью до изоморфизма), причем
MDioi. MD тогда и только тогда, когда Ог и О2 — позиции на одной и той же диа-
диаграмме.
14. Пусть А = KG, М и N — два произвольных Л-модуля, % и t|) — характе-
характеры соответствующих представлений. В обозначениях теоремы 3.5 доказать, что
¦¦ dim Horn,, M, N).
15. Вывести из следствия 2.3 и 4.6, что всякая группа порядка р2, где р —
простое число, абелева.
16. Пусть М — модуль над групповой алгеброй KG, M* — пространство
линейных форм на /И, т. е. М* = Hom^. (M, К)- Проверить, что, полагая (/g)X
X (m) = f, (mg~1) для любых f ? М*, т ? М, g 6 G, мы превращаем М* в KG-шо-
дуль, причем если Т — представление, соответствующее М, то представление Т*
соответствующее М*, имеет вид Т* (g) = T (fJ~1)' (штрих означает переход к
транспонированной матрице). В частности, если х — характер представления Т,
X* — представления Т*. то х* (g) = X (g-1). а если К = С, то %*{g) = х (8)-
17. Представление Т группы G над полем комплексных (или действительиых)
чисел называется унитарным, если все матрицы Т {g) унитарны.
а) Доказать, что всякое комплексное (действительное) представление конеч-
конечной группы G = {gi, ...,g ) подобно унитарному. (Указан не: выбрать каким-
нибудь образом скалярное произведение (и, v) в соответствующем модуле М, пре-
превращающее М в унитарное (эвклидово) пространство, и положить (и, v) =
?г). Тогда скалярное произведение{ и, v) по-прежнему превращает М
в унитарное пространство и («g, vg) = (и, с) для всех g ? G.)
б) Вывести отсюда еще одно доказательство того, что всякое представление
G над R или С вполне приводимо.
в) На примере бесконечной циклической группы показать, что для бесконеч-
бесконечных групп утверждение пункта а) неверно.
В последующих упражнениях предполагается, что характерис-
характеристика р поля К делит порядок п группы G.
18. Пусть Н — такая подгруппа группы G, что индекс (G : Н) взаимно прост
р, N — подмодуль /CG-модуля М, дополняемый как /СЯ-модуль. Доказать,
vro тогда /V дополняем и как /CG-модуль. (Указание: выбрать по представи-
представителю в смежных классах G по Н и поступить, как в упражнениях I и 2.)
19. Предположим, что G — р-группа, т. е. n = ph. Обозначим / =
Доказать, что / = rad KG, причем KG/I ш К.
г '
(Указание: воспользоваться результатом упражнения 13 к гл. VI.)
20.а) Пусть М—неприводимое представление р-группы G. Доказать, что
[М : К] = 1 и mg — m для всех m g M, g 6 G.
б) Доказать, что всякое представление G над К подобно специально-
специальному треугольному, т. е. представлению вида
1 *n
' ' /
132
в) Вывести из пункта б), что всякая конечная р-группа G изоморфна подгруп-
подгруппе группы верхних специальных треугольных матриц над полем вычетов по моду-
модулю р.
г) Доказать, что всякая конечная р-группа G нильпотентна, т. е. в
ней существует ряд нормальных подгрупп. G = Go r> Gj r> ... => Gh ={'}. та-
таких, что для любого 1 = 1, ..., k факторгруппа Gi+l/Gt содержится в центре GIGV
21. Описать неразложимые представления циклической р-группы над полем
характеристики р; убедиться, что их число равно порядку группы.
22. Пусть G — нециклическая группа порядка р2 (т. е. прямое произведение
двух циклических групп порядка р). Построить для любого четного d неразложи-
неразложимое представление группы G размерности d. (Указание: если а и Ь — обра-
образующие циклических сомножителей G, положить
где Е — единичная, X — произвольная матрица.) Проверить, что если поле К.
бесконечно, то существует бесконечно много неподобных представлений группы
G размерности d. Перенести этот результат на произвольную нециклическую
р-группу.
23. Пусть G — прямое произведение трех циклических групп порядка р с
образующими а, Ь и с. Проверить, что, полагая
Т(а)
Т(Ь) =
о
Г(с) =
где X и Y — произвольные квадратные матрицы, мы получаем представление
Т = Тх у группы G, причем представления Гх у и Тх, у, подобны тогда и
только тогда, когда подобны пары матриц X, Y и X', Y' т. е. существует мат-
матрица С, такая, что X' = СХС~Х и Y' =CYC~l. Отметим, что С. Д. Кругляк
построил, при р > 2, для любой нециклической р-группы G представление SKY,
зависящее от пары матриц X, Y, и такое, что SXY и Sx^y подобны тогда и
только тогда, когда подобны пары матриц X, Y и X',Y'. Классификация пар
матриц с точностью до подобия является одной из труднейших задач линейной
алгебры и до настоящего времени не решена-
- . .... ..1. ¦ л «..о. ... - .'• -..,»*».
косоп
¦'Г.. • -; VIII ¦
ГЛАВА
fi4U? ТЕОРЕМА МОРИТЫ
м-,- ..и iulr. {¦'¦
:¦ С " •! ('! ..'
В §3 гл. II мы отмечали, что модули над телом D и над простой
алгеброй Мп (D) «устроены одинаково». Результаты § 6 той же гла-
главы показывают, что и вообще модули, над однотипными полу прос-
простыми алгебрами обладают одинаковыми свойствами: у таких моду-
модулей изоморфны кольца эндоморфизмов и т. п. В § 5 гл. III эти ре-
результаты были перенесены на проективные модули уже над любыми
однотипными алгебрами (лемма III.5.5). Оказывается, здесь можно
избавиться от требования проективности: над однотипными алгеб-
133

рами все модули устроены одинаково. Однако, чтобы придать этому
утверждению точный смысл, нужно ввести ряд понятий, играющих
в настоящее время важную роль в различных разделах математики.
Это прежде всего понятия категории и функтора, а также понятие
эквивалентности категорий, которое является математической ин-
интерпретацией выражения «устроены одинаково».
Теорема Мориты, которую мы докажем в этой главе, как раз и
утверждает, что алгебры однотипны тогда и только тогда, когда ка-
категории модулей над ними эквивалентны. Техника, которая при-
применяется при доказательстве этой теоремы (тензорные произведе-
произведения, точные последовательности), оказывается полезной и во мно-
многих других вопросах. В частности, в § 5 мы построим тензорную ал-
алгебру бимодуля, обобщающую понятие алгебры путей схемы и иг-
играющую аналогичную роль при описании неполупростых алгебр
(не обязательно расщепимых).
Говорят, что задана категория С, ес-
§ 1- Категории ли определены:
и фуикторы ^ множество оь С, элементы которого назы-
называются объектами категории С;
2) множество Мог С, элементы которого называются мор-
ф и з м а м и категории С;
3) каждому морфизму / ? Мог С сопоставлена упорядоченная
пара объектов (X, Y) категории С (мы будем называть X н а ч а -
лом, а К — концом морфизма /, писать/ : X -*¦ Y и говорить,
что / — морфизм из объекта X в объект Y; множество всех морфиз-
мов из X в Y обозначается Нот (X, Y) или, если нужно явно ука-
указать категорию, Homc (X, Y));
4) для любой тройки объектов X, Y, Z 6 ОЬ С и любой пары
морфизмов f : X ->- Y и g : Y ->- Z однозначно определен морфизм
gf : X -*• Z, который называется композицией или про-
произведением морфизмов fug; °
5) умножение морфизмов ассоциативно, т. е. для любой тройки
морфизмов /, g, h h (gf) = {hg)f, если эти произведения опреде-
определены14 ;
6) для каждого объекта X 6 ОЬ С существует морфизм \х 6
6 Нот (X, X), такой, что для любых морфизмов / : X -*¦ Y и g :
:Z-+Xflx = /и lxg = g.
Тривиально проверяется, что морфизм 1^ с указанными свой-
свойствами единствен. Он называется единичным, или тож-
тождественным морфизмом объекта X.
Примеры категорий. 1. Категория множеств
Sets. Объектами этой категории являются множества, а морфизмами
f : X -*¦ Y — отображения множества X во множество Y. Компози-
Композиция морфизмов — это просто последовательное выполнение отоб-
отображений. Выполнение всех аксиом категории очевидно15 .
2. Категория групп Gr. Объекты этой категории —
это группы, морфизмы / : X -*- Y — это гомоморфизмы группы X в
группу Y, а композиция определяется как обычное умножение гомо-
гомоморфизмов.
3. Аналогично определяются категория векторных
пространств над некоторым полем К (обозначим ее Vect,
или Vect*. если нужно явно указать поле), категория
К - а л г е б р Alg (или Alg^), категория mod-Л правых
\м категория Л-tnod левых модулей над алгеброй
i А и т. п. Во всех этих примерах морфизмами служат некоторые отоб-
;ражения множеств, а композиция морфизмов — это их последова-
последовательное применение. Однако следующие примеры показывают, что
встречаются категории и другого типа.
4. Всякую полугруппу Р (с единицей) можно рассматривать как
множество морфизмов некоторой категории, содержащей всего
один объект. При этом за композицию морфизмов естественно при-
принимается их произведение в полугруппе Р.
5. Категория матриц Mat. Объектами этой категории
служат натуральные числа, а множество морфизмов Нот (т, п)
определяется как множество всех матриц размера п X т с коэф-
коэффициентами из некоторого поля К- Композиция морфизмов — это
обычное произведение матриц. Здесь проверка всех аксиом также
тривиальна.
6. Пусть М — некоторое частично упорядоченное множество.
Будем рассматривать его как множество объектов категории, в
которой Нот (х, у) состоит из одного элемента при х <^ у и
Нот (х, у) = 0 в противном случае. Композиция морфизмов оп-
определяется здесь, очевидно, естественным образом.
7. Категория путей. Пусть 5 — некоторая схема
(см. § 6 гл. III). С ней можно связать категорию Cs следующим об-
. разом. Положим Ob Cs = S, а Нот (i, j). где i, /65 — множество
путей с началом i и концом /. Произведение путей определяется, как
и в гл. III, приписыванием одного пути к другому, а за 1г можно
принять «пустой» путь с началом и концом i (см. гл. III). Вновь три-
тривиально проверяется, что получается категория, которую назовем
категорией путей схемы 5.
8. Дуальная категория. По произвольной катего-
категории С можно построить новую категорию С° следующим образом.
Положим ОЬ С° = ОЬ С, Мог С° = Мог С, но началом (концом)
морфизма/ в категории С°объявим его конец (начало) в категории С.
За произведение gf в категории С° примем произведение fg, опреде-
14 Легко видеть, что «ели определена левая часть этого равенства, то опреде-
определена и правая, и наоборот,— это будет тогда и только тогда, когда конец морфизма
t совпадает с началом морфизма g, а конец g — с началом Л. • ' • ;
134
16 Конечно, при таком определении Ob (Sets) и Мог (Sets) множествами не яв-
являются. Однако для всех практических целей это не существенно: всегда можно
ограничиться подмножествами некоторого фиксированного множества (и их отоб-
отображениями). Это замечание относится и к другим аналогичным примерам.
135

ленное в категории С. Категория С°называется дуальной по отно-
отношению к категории С. Очевидно, С°с = С.
Для того чтобы избежать путаницы, обычно объекты и морфизмы
категории С° также помечают кружочком: Х°, f и т. п. Тогда при-
приведенные выше определения можно записать в виде формул Ob С —
= (Ob СH, Мог С = (Мог Cf, Homc° (Х°, У°) = Нотс (Y, Х)°
и ёТ = (iff-
В произвольной категории имеет смысл понятие изомор-
изоморфизма. Именно, морфизм / : X -*¦ Y называется изоморфизмом
тогда и только тогда, когда существует морфизм /-1: Y -*¦ X, та-
такой, что f~lf = \х, a ff~i= h- Очевидно, этими условиями мор-
морфизм f~l определяется однозначно. Он называется морфизмом,
обратным к /. Конечно, /—* также является изоморфизмом и
(f )~* = /• Легко проверить также, что композиция изоморфизмов
/ и g (если она определена) снова является изоморфизмом, причем
/) fg-
Так же, как при изучении групп, алгебр и модулей, важную роль
играет понятие гомоморфизма, в теории категорий центральное мес-
место занимает понятие функтора.
Функтором F из категории С в категорию D называется
пара отображений Fob •' Ob С -*¦ Ob D и Fmor : Мог C->-Mor D,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) если f:X-*-Y, то Fmor (/): Fob (X) -* Foh (Y);
2) FmOT(lx)=lFob(X);
3) если определено произведение gf, то FmoT (gf) = Fmor (g) Fmor(f).
Обычно вместо F^ (f) и Fob (X) пишут просто F (/) и F (X).
Примеры функторов. 1. Пусть С — произвольная катего-
категория. Фиксируем произвольный объект X 6 Ob Си построим функтор
fix'- С -*• Sets следующим образом. Если Y 6 Ob С, положим hx(Y) —
= Нош (X, Y). Если / : Y -*~ Z, то за hx (/) примем отображение
множеств Horn (X, Y) -*• Нот (X, Z), переводящее произвольный
морфизм g : X -*¦ Y в морфизм fg : X -*¦ Z. Выполнение условий 1)
и 2) очевидно, а условие 3) вытекает из ассоциативности умножения
морфизмов 1в.
Если С — mod-Л (или Л-mod), где А — алгебра над полем К,
то все множества Нот (X, Y) являются векторными пространства-
пространствами над К и легко видеть, что для любого / отображение hx(f) явля-
является гомоморфизмом. Поэтому hx в данном случае можно рассмат-
рассматривать как функтор в категорию Vect векторных пространств над
полем Л".
2. Пренебрегающие функторы. Пусть С = Gr,
D = Sets. Определим функтор F:C-*-D, полагая F (X) — X
и F (/) = / для любых X 6 Ob С и / 6 Мог С. Иными словами, мы
«забываем» о структуре группы на X и рассматриваем X просто
как множество, а гомоморфизм — как отображения множеств.
это
16 Читателям, неискушенным в категорией технике, рекомендуем проверить
136
Этот функтор называется пренебрегающим функтором из катего-
категории групп в категорию множеств.
Аналогично можно построить целую серию примеров пренебре-
пренебрегающих функторов, принимая за С «категорию множеств с более
богатой структурой», а за D — «категорию множеств с более бедной
структурой».
Например: а) С = Alg/c, D = Vect*; б) С = mod-Л, D —
= Vect; в) С = Algi., D — Alg^, где L — расширение поля К,
и т. п.
3. Пусть Л — некоторая алгебра, В = Мп (А). Построим функ-
функтор G : mod-Л ->- mod-B следующим образом. Для всякого А -мо-
-модуля М положим G (М) = пМ. Наделим G (М) структурой В-мо-
дуля естественным образом: рассматривая элемент х 6 G (М) как
л-мерный вектор с координатами из М, определим xb, где b 6 В,
по обычному правилу умножения матриц. Если / : М -*¦ N — го-
гомоморфизм Л-модулей, определим G (/) : G (М) -*• G (N) «поко-
«покоординатно»: для х = (xi, ..., хп) положим G (/) х = (fxu •••, fxn).
Легко проверить, что G (/) — это гомоморфизм В-модулей и что
приведенная конструкция действительно определяет функтор.
4. Если L —- расширение поля К, то можно построить функтор
F : AlgK -> Algz. , принимая за F (Л) L-алгебру Al = A ® L, а за
F (/), где f : А-*¦ В,— гомоморфизм L-алгебр / ® 1 : Al-*- Bl.
5. Пусть С — полугруппа с единицей, рассматриваемая как
категория с одним объектом (пример 4 категорий). Выясним, что
такое функтор F из категории С в категорию Vect/<. Поскольку Ob С
состоит из одного элемента, то для задания Fob достаточно фикси-
фиксировать одно векторное пространство V. Тогда для всякого элемента
а полугруппы F (а) 6 F. (V), причем F (I) = lv, a F (ab) =
= F (a) F (Ь). Иными словами, Fmor — это представление полугруп-
полугруппы С в векторном пространстве V.
6. Если С° — категория, дуальная к категории С, то функто-.
ры F : С° -*¦ D часто называются контравариантными
функторами из категории С в категорию D (в этом случае
обычные функторы из С в D называются ковариантными
функторами). Поскольку между множествами Ob C° и Ob С,
а также Мог С° и Мог С имеется взаимно однозначное соответствие,
для контравариантного функтора F отображения Fob и Fmor можно
рассматривать и как отображения, соответственно, ObC->ObD
и Мог С->- MorD. Однако при этом аксиомы 1)—3) из определения
функтора принимают следующий вид:
Г), если / : X -*¦ Y, то F (/) : F (Y) -у F (X) (F «переворачива-
«переворачивает стрелки»); '*•¦
2°) F(l*)= 1/w;
3°) F (gf) = F (/) F (g) (F «меняет порядок стрелок»). !
Важный пример контравариантного функтора получается ана-
аналогично примеру 1. Фиксируя объект X 6 Ob С, можно построить
функтор h°x : С0 -> Sets, полагая hx {Y°) = Нот (Y, X), a hx (Г). гДе
137

/: Y-+ Z — отображение Horn (Z, X) ->- Нот {Y, X), переводящее мор-
физм g:Z-+X в морфизм gf;Y-*X. ЕслиС = тос1-Л (или Л-mod),
то h°x также можно рассматривать как функтор С° -> Vect.
В дальнейшем часто будут встречаться си-
последова?ельЫнеости тУаиии, в которых приходится одновременно рас-
рассматривать довольно много модулей и их гомо-
гомоморфизмов, связанных различными соотношениями. Для описания
таких ситуаций очень удобен «язык диаграмм и точных последова-
последовательностей». Пусть, например, заданы модули М, и Л/, (i = 1, 2, 3)
и гомоморфизмы /,: Mif->- Nt (i = 1, 2, 3), g: M{-+ M2,h : M2 ->
-*¦ Мз> g' : Ni-y- N2n h' : N2 -> N3. В этом случае говорят, что дана
диаграмма модулей
¦м.
h
g'
h'
— /И,
A)
i
Диаграмма A) называется коммутативной, если f2g =
= g'fi и /3/1 = h'f2. Иными словами, если в диаграмме есть два пути,
соединяющие некоторую пару модулей, то произведения гомомор-
гомоморфизмов, взятые вдоль каждого из этих путей, должны совпадать.
Аналогичный смысл вкладывается в понятие коммутативной диаг-
диаграммы и в произвольном случае. Понятно, что такая терминология
позволяет кратко описывать довольно сложные ситуации.
Пусть дана последовательность модулей и гомоморфизмов (ко-
(конечная или бесконечная).
ft—i h h+i ¦¦ . '
...->Мн-,М(->М,.+1-,... B)
Говорят, что эта последовательность точна в члене Mt,
если Кег ft = Im Д_4. Если последовательность B) точна во всех
своих членах, то говорят, что она точна.
Приведем примеры, иллюстрирующие введенную терминологию.
1. Последовательность О-*- N ^*- М (первое отображение, оче-
очевидно, нулевое) точна тогда и только тогда, когда Кег f = 0, т. е.
g
/ — мономорфизм. Аналогично последовательность М ->~ N -*-0
точна тогда и только тогда, когда g — эпиморфизм.
2. Выясним, что означает точность последовательности 0 ->-
/ g
-+¦ N -*¦ М -*- L. Точность в члене N, как и выше, означает моно-
морфность /. Иными словами, N можно рассматривать (отождеств-
(отождествляя его с Im /) как подмодуль в М. Точность же в члене М означает,
что Im / = Кег g, т. erN можно отождествить а ядром гомоморфиз-
гомоморфизма g . ^ .,..,¦•„
138
, * . - t «
Аналогично точность последовательности N -+¦ М -*¦ L -*• О оз-
означает, что g есть эпиморфизм, при помощи которого L можно отож-
отождествить с фактормодулем M/lm f (этот фактормодуль называется
коядром гомоморфизма / и обозначается Coker /).
3. Наконец, точность последовательности
• •_!*.? o-+nSm^l-+o
означает, что f есть мономорфизм, ag- эпиморфизм, причем если
отождествить N с подмодулем М (при помощи мономорфизма /),
то L отождествляется с фактормодулем M/N.
4. Переформулируем на языке диаграмм и точных последова-
последовательностей одно из определений проективного модуля (см. теорему
III.3.5): модуль Р проективен тогда и только тогда, когда любую
диаграмму вида
f
•¦*"¦•¦
: * \
с точной строкой можно дополнить до коммутаторной диагр
.Р ; ¦
f
4; г М-
g
N
¦v\'
...i'.r..l-
(напомним, что точность в данном случае означает ^Ц^р^Цюсть g,
а коммутативность выражается равенством / = gf). ,(i! ;
Точная последовательность ! .
называется расщепляющейся, если существуют такие го-
гомоморфизмы f : М -*- N и g : L -*¦ М, что // = In, a gg = lx,.
В силу предложения 1.6.2, достаточно проверить существование
только / (или только g): в этом случае М отождествляется с прямой
суммой N ф L, причем / — это естественное вложение N -*- Xf ф L
(переводящее элемент х 6 N в пару (х, 0)), ag — проекция N ф L на
второе слагаемое.
Сформулируем, наконец, одну диаграммную лемму, которую мы
часто будем употреблять в дальнейшем.
139

Лемма 2.1 (лемма о пяти гомоморфизмах). Пусть в коммцтатиШ
ной диаграмме %
h
ф2
• м.
h
'М,
Фз
i
¦-> N,
C)
обе строки точны, а гомоморфизмы фг, г = 1, 2, 4, 5, суть изомор-
изоморфизмы. Тогда и щ — изоморфизм.
Доказательство. Пусть элемент х 6 М3 лежит в ядре
Фз, т. е. фз* = 0. Тогда ф^з* = g3q>3X = 0 и, так как ф4 — изомор-
изоморфизм, /з* = 0, т. е. х 6 Кег /3. Но.ввиду точности, Кег /3 = Im /2.
Значит, найдется элемент у ? М2, такой, что х = f2y. Кроме того,
#2ф2# = Фз/г# = фз* = 0. Значит, ф2г/ 6 Кег g2 = Im glt т. е. щу =
= giZ для некоторого г ? Nt. Но ф4 —также изоморфизм, поэтому
г = ф,и, где и ? М, и фгДы — g^u = gj2 = ср2у, откуда /,ы = у
и х = f2y = f.J,u = 0 (снова из-за точности). Итак, Кег ф3 = 0,
т. е. фз — мономорфизм.
Выберем теперь произвольный элемент а 6 Af3- Поскольку
ф4 — изоморфизм, найдется b 6 Mk, такой, что ф46 = g3a. Кроме
того, фй/46 = g^46 = gbgsa = 0, значит, fkb = 0 и b 6 Кег /4 =
= Im/3, т. е. b = fsP, где с ? УИ3. Положим а = а — ф3с. Так как
|Гзфз? = Ф4/3С = ф46 = g3flt g3fl = 0, т. е. а 6 Кег g3 = Im g^. Пусть
<з =Jf2d. где d 6 #2. Выберем с 6 М^_ так, чтобы d = ф2с. Тогда
Ыгс = &2Фг^ = gid = а, откуда а = а+ ф3с = ф3 (/2с + с) g Im <p3.
Итак, фз — эпиморфизм, а потому и изоморфизм.
Чаще всего встречаются такие случаи применения леммы о пяти
гомоморфизмах.
1) Дана коммутативная диаграмма
0
0 —
Ф2
Фз
0
0
с точными строками, причем ф! и ф3 — изоморфизмы. Тогда и ф, —
изоморфизм (это следует из леммы 2.1, если дополнить нашу ди-
диаграмму тождественными отображениями нулевых модулей до ди-
диаграммы вида C)).
2) Дана коммутативная диаграмма
ф2
: Ms 0
Ф3
V'j Лг2 —-Л^3 —-0
140
с точными строками, причем ф* и <?2 — изоморфизмы. Тогда и ф3 —
изоморфизм (нужно дополнить нашу диаграмму до диаграммы
¦ни
¦ли
--/И,
¦- 0
— о-
•0 ^ у.)
"•(HWJE.4
•0
тождественными отображениями).
3) Аналогично, если в коммутативной диаграмме с точными стро-
строками
0 М, Л1, Ms
ф2
Фз
о
<р2 и
— изоморфизмы, то и ф) — изоморфизм.
В этом параграфе мы введем новый важный
§ 3. Тензорные функтор на категории модулей —тензорное про-
произведения ^^ модулейК
Пусть А — некоторая алгебра, М — правый и JV — левый Л-мо-
дули. В векторном пространстве М <S) N рассмотрим подпростран-
подпространство Т, порожденное всеми элементами вида ха ® у — х ® ау,
где х 6 М, у 6 N, а 6 А. Факторпрогтранство (М <g> N)/T называется
тензорным произведением модулей М н N над ал-
алгеброй А и обозначается М <g)A Лг. Обозначим через п естествен-
естественную проекцию М <2) jV -*¦ М ®Д N. Композиция л с билинейным
отображением ®:MxN^>~M®N (переводящим (х, у) в х ® у)
дает билинейное отображение ®х: М X N -*¦ М <8>AN. Образом
(х, у) при этом отображении является х <8>д у = л (х ® у).
Отображение ®А обладает дополнительным свойством, кото-
которое мы будем называть «внутренней Л-билинейно-
с т ь ю»: ха ® А у =
ау. Более того, так же как <g) является
универсальным билинейным отображением, <S)A является универ-
универсальным внутренне Л-билинейным отображением в смысле следую-
следующего утверждения.
Теорема 3.1. Пусть F : М X N -*¦ V — внутренне А-билиней-
А-билинейное отображение в произвольное векторное пространство V. Тогда
существует единственное линейное отображение f : M ®AN -*¦ V,
такое, что F (х, у) = f (х ®А у) для любых х 6 М и у d N.
Доказательство. Поскольку F билинейно, найдется
единственное линейное отображение ф : М <8> N -*¦ V, такое, что
F (х, у) = ф (х <8> у) для любых х 6 М, у в N (теорема IV.2.1).
Но ф (ха <8) у — х <2) ау) = ф (ха <8> у) — ф (х ® ay) = F (ха, у) —
141

—F (x, ay) — О ввиду внутренней Л-билинейности F. Поэтому
Т с Кег ф и ф индуцирует единственное отображение / :
'•M<8AN^>-V, такое, что ф = /я, или, что то же, f (х ®А у) =
= /л (х <g> у) = ф (х ® у) = F (х, у).
Очевидно, универсальное внутренне Л-билинейное отображение
единственно с точностью до канонического изоморфизма. Универ-
Универсальность позволяет сравнительно просто установить основные
свойства тензорного умножения.
Предложение 3.2. Для любой пары гомоморфизмов А-модужй
f:M->-M' и g : N-*¦ N' существует единственное линейное отобра-
отображение f®Ag:M®AN-*-Mr ®AN', такое, что (/ ®Д g) (x ®А у) =
= fx®Agy. Если f'-.M'^-M" и g': N' -> N" — другая пара гомо-
гомоморфизмов, то (/' ®Ag')(f®Ag) = f'f <8>Ag'g-
Доказательство. Рассмотрим отображение F : М X N ->
-*- М' ®AN', такое, что F (х, у) — fx ®Agy. Легко проверить, что
F — это внутренне Л-билинейное отображение. Поэтому существует
единственное отображение / ®Ag : М ® А N ->- М' ®Д N', такое, что
(/ <8>А g) {x <g)Ay) = F (x, у) = fx ®А gy. Второе утверждение три-
тривиально.
Указанное свойство позволяет рассматривать тензорное произ-
произведение как функтор в категории модулей. Точнее, зафиксируем
левый Л-модуль N и построим функтор ®д N : mod-Л -> Vect,
сопоставляя всякому правому Л-модулю М векторное пространство
М ®А N, а всякому гомоморфизму / : М -*¦ М' — линейное отобра-
отображение / 0А 1 : М ®д N -*¦ М' <3)л N. Выполнение аксиом функ-
функтора тогда следует из предложения 3.2. Аналогично можно постро-
построить функтор М <S>д : Л-mod -*¦ Vect (при фиксированном правом
Л-модуле М).
Функториальность тензорного произведения позволяет иногда
превратить М <8Д N снова в модуль. Пусть, например, jV является
Л-В-бимодулем (или, как часто говорят, дана ситуация Мд, ANB).
Тогда каждый элемент b ? В индуцирует гомоморфизм Л-модулей
N -*~ N, переводящий элементу ? N вyb, и, следовательно, гомомор-
гомоморфизм векторных пространств М ®AN^>-M®AN, переводящий
х <S)A у в х ®д yb. Очевидно, тем самым М ® д N превращается в
В-модуль. Аналогично в ситуации ВМД, AN (т. е. М есть В-Л-би-
модуль, N — левый Л-модуль) М ®AN превращается в левый
В-модуль, если положить b (х ®д у) =- Ьх <8>д у. Наконец, в ситу-
ситуации ВМА, ANC тензорное произведение М ®А N превращается в
В-С-бимодуль. Это позволяет итерировать операцию тензорного
умножения, рассматривая произведения трех и более модулей (в
подходящей ситуации). При этом, как показывает следующее ут-
утверждение, порядок, в котором выполняется перемножение,, не
существен, ^ ,т , ...
142
Предложение 3.3. В ситуации МА, ANB, BL сущспщт един-
единственный изоморфизм '¦"''
переводящий (х ®Ду) <8Bz в х ®д(у ®Bz).
Доказательство. Фиксируем элемент г ? L и определим
отображение Fz: М X N -*¦ М <%>д (N ®B L), полагая F. (х, у) =
= х ®д(у ®вг). Очевидно, оно будет внутренне Л-билинейным, и
потому существует однозначно определенное линейное отображение
/г: М <8>АN-» М <8>д (N <8)s L), переводящее х ®ду в х ®А (у ®в г).
Меняя г, получаем внутренне В-билинейное отображение F:(M&AN)Y.
XL-*-M®A{N ®BL), переводящее пару (х ®ду, z) в х ®д(у ®Bz).
Оно однозначно пропускается через линейное отображение /:
:{M®AN)<8>BL-+M ®A(N <8)BL), такое, что f (x ®Aу) ®Bz =
— х <g)A (у ®вг). Аналогично строится линейное отображение
g:M ®A(N <8)BL)->(iW <giAN) <8>BL, переюдящее x ®д (у <S>вг)
в (х ®Ау) ®Bz. Поскольку, очевидно, всевозможные элементы ви-
вида х ®д{у <8>вг) (соответственно, (х®ду)®вг) порождают про-
пространство М <8A(N ®BL) (соответственно, (М <8>AN) <g)B L), f и
g — взаимно обратные отображения, что и требовалось доказать.
Легко видеть, что в ситуации СМА, ANB, BLD построенный изо-
изоморфизм будет также изоморфизмом C-D-бимодулей.
Аналогично доказывается утверждение, устанавливающее связь
между функторами <g) и Нот.
Заметим, что, например, в ситуации ВМА, NА пространство
Hom^ (M, N) превращается в правый В-модуль, если положить
(fb) (т) = f Fm). Аналогично в ситуации МА, BNA Hom^ (M, N) пре-
превращается в левый В-модуль, а в ситуации ВМД, CNA — в С-В-би-
модуль. При этом имеет место
Предложение 3.4 («формула сопряженности»). В ситуации Мд,
ЛУУ„, LR существует единственный изоморфизм
HomB (M ®AN, L) ~
(Af, HomB (N, L)),
переводящий гомоморфизм q>:M®AN-*~L в гомоморфизм ц>:М->-
-> Homg (N, L), такой, что ф (х) (у) = ф (х <8>Д у).
Доказательство. То, что ф есть гомоморфизм Л-модулей,
проверяется тривиально. Построим обратное отображение. Пусть
т|): М -*¦ Homg (Л^, L) есть гомоморфизм Л-модулей. Тогда, как не-
нетрудно убедиться, отображение М х N -*~ L, переводящее (х, у) в
tyl) (у)> внутренне Л-билинейно и потому определяет отображение
( ()( Л
l) ) у
:Л1 <8>AN-+L, такое, что ty(x ®Ау)=$(х)(у). Легко проверить,
143

что ф — гомоморфизм В-модулей и так построенные отображения
Нотв (М ®л N, L) ^ Нот,, (М, Нотв (N, Ц) взаимно обратны.
Важными свойствами функторов ® и Нот являются так назы-
называемые «свойства точности».
Предложение 3.5. (а) Последовательность А-модулей
f
¦м2—-.
¦ A)
точна тогда и только тогда, когда для любого А-модиля N точна
последовательность
0 -> Нот,, (ЛГ, Щ
Нот,, (N, М2)
(б) Последовательность А-модулей
Л)
f
о
точна тогда и только тогда, когда для любого А-модуля N точна
последовательность
(M3,N)
> Нот,, (M2, N)
>HomA(MuN). B')
До казательство. Предположим, что последователь
^ ность A) точна. Тогда/ — мономорфизм, и если hN(f) (ф) = fcp = О,
,( где ф : N ->¦ Mi, то и ф = 0, т. е. hN (/) — мономорфизм и последо-
г вательность B) точна в члене Нот,, (N, Mi). Поскольку 1т / =
, = Ker g, gf = O, а потому hN (g) hN (/) = hN (gf) = 0. Значит,
\mhN (f) cz Ker hN (g). Пусть теперь ф 6 Ker hN (g), где <p : N -*¦
-*¦ M2. Иными словами, hN (g) (ф) = gcp = 0. Тогда Imipc
с Ker g — Im/. Но гомоморфизм устанавливает изоморфизм
Mi =n Im /, потому ф можно представить как композицию fty, где
ty : N -*¦ Mi, т. е. ф = hN (/) (г|э) 6 lmhN (/) и последовательность B)
точна в члене Нот,, (N, М2)-
Наоборот, пусть последовательность B) точна для любого N.
Подставляя в качестве jV Ker /, мы видим, что отображение
Нотл (Ker/, Mi) -> Нот„ (Кег/, М2) мономорфно. Но если ф —
вложение Ker / в Ми то /ф = 0, откуда ф = 0, т. е. Ker / = 0
, и / — мономорфизм.
Пусть теперь tf = Л*!. Тогда f = flN = hN(f) (\„)?1тп„ф =
;. '= Ker hN ig) и потому gf = hN (g) (/) = 0, т. е. Im / cr Ker g. На-
Наконец, положим N = Ker g, ф—вложение N в М2. Тогда hN (g) (ф)==
= gy = 0, значит, ф g Ker h^ (g) = Im hN if), т. е. ф = /ф, откуда
Kerg = Imфc: Im/ и последовательность A) точна. ., . ,
Аналогично доказывается и утверждение (б). . ., , и\ : -
,144
Используя формулу сопряженности, можно перенести свойства
точности и на тензорное произведение.
Предложение 3.6. Если последовательность правых А-модулей
Mi -> М2 -*¦ Ms -> о
точна, то точна и последовательность В-модулей
C)
AAA D)
для любого А-В-бимодуля N.
Доказательство. По предложению 3.5 нам нужно про-
проверить точность последовательности
0-> HomB (M3
- Нотв (М2 ®ДN, L) ->Нотв (М, ®AN,L)
для любого В-модуля L. Но по предложению 3.4 эту последователь-
последовательность можно переписать так:
0 -*¦ Нотд (Мз, Нотв (N, L)) -*¦ Нотд (М2, Homs (Л^, L)) ->
i '¦¦¦ ¦
-> Нот^ (Л1,, Нотв (Л^, L)), тс
после чего ее точность сразу следует из предложения 3.5.
Указанные свойства часто выражают словами: «функтор Нот
точен слева, a <g) — справа», или, вернее, функторы hN и h°N точны
слева, а функторы ®А N — справа. Конечно, и функтор М ®А
точен справа (доказательство аналогично предложению 3.6).
Отметим в заключение следующий простой факт.
Предложение 3.7. Отображение М -> М <8>А А, переводящее
элемент т в т ®А 1, является изоморфизмом правых А-модулей.
Отображение N -*• А <2)^ N, переводящее п в 1 %Ап, является изо~
морфизмом левых А-модулей.
Для до казательства достаточно заметить, что отобра-
отображение М X А -*¦ М, переводящее (т, а) в та, очевидно, внутрен-
внутренне билинейно и индуцированное им отображение М <2)л А -> М
является гомоморфизмом, обратным к указанному отображению
М-*-М ®Д А.
. . Т м В этом параграфе мы установим, для каких
S 4. 1еорема тоРитыалгебр^ ИВ категории модулей mod-Л и mod-5
«одинаково устроены». Для этого прежде всего нужно придать сло-
словам «одинаково устроены» точный смысл, т. е. указать, какие кате-
категории мы будем считать одинаковыми. Попытка определить изомор-
изоморфизм категорий С и С как такой функтор F : С-*-С', для которого
существует обратный G : С -> С, т. е. GF = lc, FG — 1С,, ока-
оказывается неудачной. Во-первых, среди естественно возникающих
функторов таковых, как правило, не имеется, а во-вторых, некото-
некоторые категории, «одинаковые» с интуитивной точки зрения, оказыва-
оказываются в этом смысле неизоморфными. Примером могут служить ка-
10 — 9-907
14S

тегории матриц Mat и векторных пространств Vect. Причина тако-
такого явления ясна: категория матриц описывает векторные простран-
пространства «с точностью до изоморфизма», в то время как в категории Vect
у каждого пространства существует много «изоморфных копий».
Поэтому между ними никак нельзя установить взаимно однозначное
соответствие.
Более естественным оказывается подход, использующий не ра-
равенство, а изоморфизм функторов. Дадим точные определения.
Пусть F и G — два функтора из категории С в категорию С".
Морфизмом функтора F в функтор G называется отображение
Ф, сопоставляющее каждому объекту X 6 Ob С морфизм ф (X) :
: F (X) -*¦ G (X) (категории С'!), причем так, что для любого мор-
физма / : X -> Y категории С коммутативна следующая диаграмма:
((.'.,
F(X)
F(Y)
-*G(X)
G(f)
¦G(Y)
Мы будем писать q> : F -> С.
Если задан еще функтор Н : С -*- С и морфизм функторов
¦ф : D -*• Н, то можно определить композицию i|xp: F -*¦ Н, полагая
(¦фф) (X) = \|) (X) ф (X). Легко видеть, что при таком определении
множество функторов из категории С в категорию С и их морфиз-
мов образуют категорию функторов Func (С, С).
Кроме того, морфизм ф: F -*¦ G является изоморфизмом в этой кате-
категории тогда и только тогда, когда для любого объекта X ? Ob С
морфизм ф (X) является изоморфизмом. В этом случае говорят,
что ф — изоморфизм функторов, и пишут ф : F ~ G, или F ca G.
Так, нетрудно убедиться, что построенные в предложениях
3.3 и 3.4 изоморфизмы являются на самом деле изоморфизмами со-
соответствующих функторов.
Эквивалентностью категорий С и С называ-
называется пара функторов F : С -» С и G : С" -> С, таких, что GF ~ 1с,
FG ~ 1с. Если такая эквивалентность существует, категории С
и С" называются эквивалентными.
В дальнейшем нам понадобятся следующие очевидные свойства
эквивалентностей категории.
Предложение 4.1. Если пара функторов F : С-*- С и G
-*¦ С является эквивалентностью категорий, то:
A) отображение Ноте (X, У) -> Ноте (F (X), F (У)),
водящее f в F (/), взаимно однозначно;
(Г) отображение Ноте (f/, V) -> Нотс (G ({/), G (V)),
водящее g в G (g), взаимно однозначно;
B) морфизм f 6 МоТ- С является изоморфизмом тогда и только
тогда, когда F (/) изоморфизм;
146
С
пере-
пере-
переB') морфизм g 6 Мог С является изоморфизмом тогда и только
тогда, когда G (g) изоморфизм;
C) каждый объект X 6 Ob С изоморфен объекту вида G (U),
где U e Ob С";
C') каждый объект U ? Ob С изоморфен объекту вида F (X),
где X е Ob С.
Мы докажем утверждения A) и (Г), оставляя прочие читателю в
качестве легкого упражнения.
Пусть / : X -> Y — морфизм категории С. Обозначим через ф.
изоморфизм функторов GF ~ 1С и рассмотрим коммутативную ди-
диаграмму
гп I Х\ ' • i.r ¦ .,
¦ft'-'
GE (X) >- X
GF (/) J ! /
GF(Y) >Y
.-'.TO 4' :
Поскольку Ф (X) — изоморфизм, то / = ф (Y)GF (/) ф (X).
Значит, из того, что F (/) = F (/'), следует / = /•', т. е. отображение
Ноте (X, 7)->Нотс (F (X), F (Y)) инъективно. Аналогично
инъективно и отображение Home (U, V) -*¦ Ноте (G (U), G (V)).
Рассмотрим теперь произвольный морфизм g : F (X) -*- F (Y).
Пусть / = ф (Г) G (g) ф (X)-1, g' = F (/). Тогда, как и выше, / =
= ф (Y) G (g') ф (X)-1, откуда, ввиду изоморфности ф (X) и ф (У>,
G (g) = G (g'). Следовательно, g = g' = F (/), т. е. отображение
Home (X, Y) -» Home (F (X), F (Y)) взаимно однозначно.
Перейдем к категориям модулей. Пусть пара функторов F, G яв-
является эквивалентностью категорий mod-Л и mod-B. Объединяя
предложение 4.1 с критерием точности (предложение 3.5), мы полу-
получим следующее предложение.
Предложение 4.2. (а) Последовательность А-модулей
f g
точна тогда и только тогда, когда точна последовательность В-мо-
дцлей
F(f) F(g)
FMJ
(б) последовательность А-модулей
'.л f g
MMM
C
точна тогда и только тогда, когда точна последователь
F(f)
F (М2) —> F (М3) -> 0.
(в) А-модуль Р проективен тогда и только тогда,
вен В -модуль F (Р).
10*
on'.
147

Доказательство. Мы докажем утверждение (в), ос-
оставляя (а) и (б) читателюЛДля этого мы воспользуемся «диаграм-
«диаграммным» определением проективности (см. § 2, пример 4). Предполо-
Предположим, что F (Р) проективен и пусть дана диаграмма Л-модулей
с точной CTpefgjfi. Применяя функтор F, получим диаграмму В-мо-
дулей '¦¦ *
•*•'" F{P) ш
|
с точной (ввиду утверждения (б)) строкой. Ее м
коммутативной диаграммы
причем ввиду предложения 4.1 g = F (f) для некоторого морфизма
}:Р-+М. Но тогда F (я/) = F (л) F (/) = F (n)g = F (/), откуда
л/= /, т. е. диаграмма
¦* (Г
М-
коммутативна и Р проективен.
Наоборот, если Р проективен, то проективен и изоморфный ему
модуль GF (Р), а тогда по уже доказанному проективен и F (Р).
Следствие 4.3. Пусть F, G — эквивалетность категорий mod-Л
и mod-B, Р — G (В). Тогда Р — проективный А-модуль, причем
Еа(Р) с* В, и для любого А-модуля М существует эпиморфизм пР ->
-> М (для некоторого я).
В этом случае говорят, что Р — образующий /1 -мо-
-модуль.
Доказательство. Проективность Р следует из проектив-
проективности В-модуля В и предложения 4.2. Далее, по предложению 4.1
ЕА (Р) ~ ЕВ(В) ~ ВГ Наконец, всякий Л-модуль М изоморфен
мэдулю вида G (N) для некоторого В-модуля N. Но существует эпи-
148
морфизм пВ -+¦ N, который индуцирует эпиморфизм G (пВ) ~ пР -*¦
-> G (N) ~ М, что и требовалось доказать.
Пусть теперь дан проективный Л-модуль Р и В—ЕА{Р). В
этом случае мы будем говорить, что В—м и н о р алгебры Л. Тогда
можно построить функторы F: mod^->mod-B и G: mod-B-^mod-Л,
полагая F (М) = Нотл (А М) и G(N) = N <&BP (P рассматривается
как левый В-модуль). Определим также функторные морфизмы
q>:lmodB->FG и ij): GF-*¦ lmod.A следующим образом. Для всякого
В-модуля N за cp(iV) примем гомоморфизм N->Homu (P, N ®вР),
переводящий элемент x?N в отображение х:Р-*-N ®ВР, такое,
что х(р) = р ®вх. Для всякого Л-модуля М за i|) (M) примем го-
гомоморфизм НотА(Р,М) <8)ВР-+М, переводящий f<S)eP (где /С
^ Homu (Р, М), р?Р) в f(p)?M. Легко проверяется, что ср и г|з
действительно являются морфизмами функторов.
Заметим, что, вообще говоря, не всякий Л-модуль изоморфен
модулю вида G (N). Действительно, всегда существует эпиморфизм
f : пВ -*¦ N. Пусть N' = Кег /, g — эпиморфизм тВ -*¦ N'. Тогда
точна последовательность
g f
тВ -> пВ ->
0.
¦ сЯ
Следовательно, точна последовательность
; С (тВ)
G(f)
G(nB)—*-G(N)-+O.
Но G (ЩтпР, G (тВ) ~ тР, т. е. если М ~
точная последовательность вида
то суще-
;/;*г
Л Л
A)
Поэтому естественно рассматривать категорию mod-P, объек-
объектами которой являются те Л-модули, для которых существуют точ-
точные последовательности вида A), а морфизмами — всевозможные
гомоморфизмы таких модулей.
Теорема 4.4. Пара функторов F = hp и G = ®вР является эк-
эквивалентностью категорий mod-P и mod-B.
Доказательство. Покажем, что ф : 1 mod.B ^ FG, a ip: GF -5
-*¦ lmod-р- Действительно, ф(В) — это естественный изоморфизм В=я
= Нотд (Р, Р) ^ Нотд (Р, В ® ВР) =FG (В). Тогда ф (пВ), очевидно,
также изоморфизм. Но, как мы уже видели, для любого В-модуля
N можно построить точную последовательность , ,, ,;>
f

Применим к ней функтор FG. Поскольку G — точный справа
функтор, a F точен (так как Р проективен), получим коммутативную
диаграмму с точными строками
тВ
f
it':1'
ф(тВ) ф(лВ)
FG (mB)
FG(nB)
FG(f)
Поскольку ф (тВ) и ф (пВ) — изоморфизмы, из леммы о пяти
гомоморфизмах (лемма 2.1) следует, что и ф (N) — изоморфизм, что
и требовалось доказать.
Аналогично можно показать, что для любого модуля М ? mod-P
гомоморфизм^ (М) также является изоморфизмом.
Из теоремы 4.4 и следствия 4.3 вытекает следующий результат.
Следствие 4.5 (теорема Мориты). Категории mod-Л и mod-B
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует такой про-
проективный образующий А-модуль Р, что Ед(Р)~ В. В этом случае
эквивалентность категорий осуществляет пара функторов F = hp
uG = ®вР-
Как показал Морита, на самом деле всякая эквивалентность ка-
категорий имеет вид, указанный в этом следствии.
Условие эквивалентности категорий имеет такой простой смысл.
Пусть Л ~ kiPi ф ... ф ktPt — разложение регулярного Л-модуля
в прямую сумму главных, причем Pt ф Pj при i ф \. Если Р —
проективный образующий Л-модуль, то существует эпиморфизм
пР -> Л, откуда пР ~ А ф М. Тогда по теореме Крулля—Шмидта
в Р обязаны входить прямыми слагаемыми все модули Ри ..., Pt.
Поскольку всякий проективный модуль есть прямая сумма главных,
мы видим, что проективные образующие — это такие проективные
модули, в которые входят прямыми слагаемыми все главные Л-мо-
Л-модули. Учитывая теорему III.5.6, мы видим, что категории mod-Л и
mod-B эквивалентны тогда и только тогда, когда алгебры Л и В
однотипны, т. е. их базисные алгебры изоморфны. В частности, тео-
теорема Мориты дает возможность при изучении модулей ограничиться
случаем, когда Л — приведенная алгебра. Кроме того, результаты
§ 5 гл. III позволяют обозреть все алгебры, категории модулей над
которыми эквивалентны.
В этом параграфе мы дадим обобщение кон-
и§наслТедственные стРУкиии «алгебры путей» (§6 гл. III). Таким
алгебры обобщением является тензорная алгебра бимо-
дуля.
Пусть В — некоторая алгебра, V — бимодуль над В. Тогда
у« _. у 0 ву также можно рассматривать как 5-бимодуль. Итери-
Итерируя эту процедуру, гГостроим В-бимодуль 7^* для всех k ^ 2, по-
полагая v^ = V^k~l) ®
150
<g>BV. Кроме того, удобно считать, что У®°=
i
= В, а V®1 = V. Из ассоциативности тензорного умножения непо-
непосредственно следует, что У®*®вУ<8т~ у&(А+т). В дальнейшем мы
будем отождествлять V®k QeV^" и V^lk+m) при помощи этого изо-
изоморфизма.
Рассмотрим теперь прямую сумму Г(У)= ф V®k. Элементы
Т (V) — конечные суммы V 4. гДе h € У^*. Построенный выше
к
изоморфизм дает возможность для элементов th ? V®k и tm ? V
определить умножение, полагая thtm = th <8)в?т? V^(*+m). Это умно-
умножение по линейности можно распространить на все Т (V), которые
таким образом превращаются в алгебру (вообще говоря, бесконеч-
бесконечномерную). Она называется тензорной а лгеброй В-бимо ду-
дуля V.
По построению Т (V) содержит подалгебру В = V®0 и В-под-
бимодуль V = V®1- Более того, как показывает следующая теоре-
теорема, Т (V) является универсальной алгеброй с этим свойством.
Теорема 5.1. Пусть ф : В -*• А — гомоморфизм алгебр, a f :
: V->- Л —гомоморфизм В-бимодулей11. Тогда существует един-
единственный гомоморфизм алгебр F : Т (V) -*¦ А, ограничение которого
на В совпадает с ф, а на V — с f.
Доказательство. Гомоморфизм / индуцирует гомоморфиз-
гомоморфизмы В-бимодулей /***: V®k -> Л1^*. Но умножение в алгебре Л ин-
индуцирует гомоморфизм бимодулей Л®* -> Л, при котором образом
at <2) в аг<8> в... ®Bah является ata2...ah. Итак, мы получаем на-
набор гомоморфизмов /Й:У^*->Л, таких, что fh (v{ <g) в ¦ ¦ ¦ <8) вОи) =
= f(Vi)f(v2)...f(vh). Очевидно, тем самым мы получаем гомомор-
гомоморфизм алгебр F : Т (V) -*- А (нужно еще положить /0 = ф, /4 = /).
Единственность F непосредственно следует из того, что T(V) по-
порождается (как алгебра) элементами из В и У.
Как обычно, универсальное свойство, сформулированное в тео-
теореме 5.1, определяет алгебру Т (V) с точностью до изоморфизма.
В алгебре Т (V) естественно выделяется идеал J = / (V) =
= ф У . Мы будем называть его фундаментальным иде-
идеалом тензорной алгебры.
Идеалы /с Т (V), такие, что Jz =э / гэ Jk для некоторого k,
мы будем называть правильными.
Наиболее важным для нас будет случай, когда алгебра В полу-
полупроста (и даже сепарабельна). Оказывается, в этом случае тензорные
алгебры В-бимодулей играют роль «универсальных накрывающих»,
аналогично тому, что имеет место в расщепимом случае для алгебр
путей (см. теорему III.6.6).
17 А становится В-бимодулем, если положить b1abi = <p (b{) a<p (ftj) для лю-
любых а 6 А, Ьх, Ьа 6 В.
151

Теорема 5.2. Пусть А —конечномерная алгебра, R = rad A,
В = AIR. Предположим, что алгебра В сепарабельна. Тогда алгебра
А изоморфна факторалгебре алгебры Т (V), где V = RlRz, no неко-
некоторому правильному идеалу.
Доказательство. По теореме Веддербёрна—Мальцева
(теореме VI.2.1) в А содержится подалгебра А ~ В. Это дает воз-
возможность определить мономорфизм алгебр <р : В-*¦ А и рассмат-
рассматривать А как В-бимодуль, Кроме того, А = Л® R (как В-бимо-
дуль). Поскольку В <g> В° — полупростая алгебра (теорема VI. 1.1),
всякий В-бимодуль полупрост. В частности, в R содержится такой
В-подбимодуль R, что R = R ® R2. Очевидно, тогда R ~ V и этим
изоморфизмом можно воспользоваться для определения мономор-
мономорфизма В-бимодулей / : V -*¦ R-
По теореме 5.1 существует гомоморфизм F:T(V)-*~A, который
на В совпадает с ср, а на V — с /. Тогда F индуцирует изомор-
изоморфизм алгебр Т (V)/J2 ~ A/Rz. Значит, / = Кег F c= Jz. С другой
стороны, F (J) cr R. Значит, F (Jk) cz Rk и, поскольку R нильпо-
тентен, F (/*) = 0 для некоторого k, т. е. Jk а I и / — правиль-
правильный идеал.
Заметим теперь, что F (В) = ср(В) = Л, a F(V) = f(V) — R.
Следовательно, всякий элемент г?R имеет вид r = F(x) + r', где
х ? J, r' ? Rz. Отсюда, очевидно, следует, что всякий элемент
r?Rl имеет вид F(x) + r', где x?jl, a r'?Rl+i. Ввиду нильпо-
нильпотентности радикала мы получаем равенство F (J) = R. Значит, F—
эпиморфизм и /4~Г(V)/I, что и требовалось доказать.
Пару (В, V), где В = AIR, V = R/R2, мы будем называть ти-
типом алгебры А. Если В — сепарабельная алгебра, будем
говорить, что А — алгебра сепарабельного типа.
Очевидно, тип определяет схему 5 (А) алгебры А (см. § 6 гл. III).
Эту схему мы будем поэтому называть схемой типа (В, V).
Очевидно, если В — полупростая алгебра, V — конечномерный
В-бимодуль, то всякая факторалегбра Т (V)/I, где / — правиль-
правильный идеал, конечномерна и имеет тип (В, V). В частности, фактор-
алгебра Т (V)/Jz — это наименьшая (по размерности) алгебра дан-
данного типа.
Как мы уже говорили, алгебра Т (V), вообще говоря, бесконеч-
бесконечномерна. Нетрудно указать условия, при которых она будет конеч-
конечномерной.
Предложение 5.3. Пусть В — полупростая алгебра, V — ко-
конечномерный В-бимодуль. Для того, чтобы алгебра Т (V) была конеч-
конечномерной, необходимо и достаточно, чтобы схема типа (В, V) не
имела циклов.
Доказательство. Очевидно, Т(V) конечномерна тогда
и только тогда, когда V"^" = 0 для некоторого т. Разложим В в
прямое произведение простых алгебр: B — BiX... X Вп. Пусть
I =ei-{- . . . . -\- еп — соответствующее центральное разложение
152
единицы, VtJ = e,Vej. В схеме S типа (В, V) из точки I в точку /
ведет стрелка тогда и только тогда, когда Vtj Ф 0. Заметим, что
V = ®VU (как В-бимодуль), причем Vtj <2) BVhi ф 0 тогда и толь-
только тогда, когда У1}Ф0, Уыф0, j=k. Поэтому егУ®2е}ф 0 тогда и
только тогда, когда из точки i в точку / ведет путь длины 2.
Аналогично еУ^те}Ф0 тогда и только тогда, когда из i в / ве-
ведет путь длины т, откуда и следует наше утверждение.
Применим развитую технику для описания наследственных ал-
алгебр, т. е. алгебр, все правые идеалы которых проективны (см.
§ 7 гл. III).
Теорема 5.4. Конечномерная наследственная алгебра А сепара-
сепарабельного типа (В, V) изоморфна Т (V). Наоборот, если в схеме типа
(В, V) нет циклов, то Т (V) — конечномерная наследственная ал-
алгебра.
Доказательство. Проверим вначале, что Т = Т (V) —
наследственная алгебра. Заметим, что поскольку Т (V)/J са В —
полупростая алгебра, a Jm = 0 для некоторого /и (предложение
5.3), J = rad Т (предложение III. 1.13). Пусть 1 = <?4 + ... + еп —
минимальное разложение единицы алгебры В (очевидно, оно будет
и минимальным разложением единицы алгебры Т).
Если Pt = е{Г=
то PtJ = etJ =
k=\
= etV ®BT.
Но etV ~ ф SjUj, где 11} — простые В-модули, а тогда PtJ~
/i
— проективный модуль. Следовательно, J =
X (fJj <2) ВТ) с*
= © etj — проективный модуль иГ — наследственная алгебра (те-
(=1
орема III.7.1).
Ввиду теоремы 5.2 осталось показать, что если Л = Т/1 — на-
наследственная алгебра, где / — правильный идеал, то / = 0 (заме-
(заметим, что по следствию III.7.3 в схеме наследственной алгебры нет
циклов). Обозначим R = J/I = rad Л, Pi=^Pt/PJ— главные Л-мо-
дули. Индукцией по k установим, что #*/#*+1 ~ /*//+I. База ин-
индукции k = 1 следует из того, что / cr J2.
Предположим, что /?*"'//?* с~ Jk~x/Jk, k~^2, и рассмотрим Я =
= Р(/?*-'/#*). Пусть Pc^QSiPi. По теореме Ш.3.7 Р=*РA?-1).
i=i
Поскольку /?*-"'—проективный модуль, Pc-i?*. Тогда Rk~PR,
a #*//?*+1 ~ PR/PRZ. Но, поскольку R/R2~J/J*, а Р=Р(У*-1/У*)^
c^©SjPj, отсюда вытекает, что R^ZR**1 ~ PR/PRz~Jk/Jk+i, что
153

и требовалось доказать. Следовательно, /с/ для любого k^ 2,
откуда, ввиду нильпотентности /, / = 0. Теорема полностью дока-
доказан
зана.
Упражнения к главе VIII
1, Доказать, что каждая из следующих категорий эквивалентна своей дуаль-
дуальной категории:
а) категория конечномерных векторных пространств;
б) категория конечных абелевых групп. (Указание: воспользоваться
упражнением 5 к гл. VII.)
2. Пусть дана коммутативная диаграмма с точными строками
• V
м1 — - мг —* м3—>
«1I «г I а,| а4
«•{;
Доказать, что:
а) если щ — эпиморфизм, а сс2 и а4 — мономорфизмы, то и otg — мономор-
мономорфизм;
б) если а4 — мономорфизм, a Oj и otj — эпиморфизмы, то и а2— эпиморфизм.
V" 3. Лемма 3X3. Доказать, что если в коммутативной диаграмме
*•>*¦
44
4 i
все столбцы и две какие-ни^Дь строки точны, то и
4. Коммутативная диаграмма
X— -L
строка1 точна.
mi:
/И— -itf
называете^» к «р тойnii квадратом, если для любой
диаграмма
,1 U
/И 'W
существует единственный гомоморфизм ф : К ->- X, такой, что ? = /ср, a t) = §ф.
Доказать, что любую пару гомоморфизмов |: М —>• L Hg:L-»-A^ можно
включить в декартов квадрат. (Указание: рассмотреть в М ф L подмодуль.
{(*> У)!/" (*) = g ((/)}•) Насколько единственный такой квадрат?
5. Пусть дана точная последовательность ,е ' ' i V >*¦
I &
0->L~* М-ц\-*0
в произвольны! «жо1*>рфизм <р : N' -> N. Рассмотрим диаграмму '•&*.1
О—L 'Ml—-*N
1 | ф'| Ф
t / * я g 1
О >L—> /М >/
— -О
где правый квадрат декартов, a f определяется равенствами j = <р ? , g^f — О
(ввиду определения декартова квадрата эти равенства однозначно определяют
I'). Доказать, что верхняя строка этой диаграммы точна (ее называют подъ-
подъемом исходной точной последовательности вдоль <р).
6 (лемма Шануэля). Доказать, что если даны две точные последовательности
О ->
'М-
¦ М-
>0,
.0
с проективными модулями Pj и Р2, то Pj ф Wa си Ра ф Wj. (У к а з а н и а
рассмотреть подъем первой последовательности вдоль ?а, а второй — вдоль fc)
7. Доказать, что категория левых проективных Л-модулей эквивалентна ка-
категории, дуальной к категории правых проективных Л-модулей. (Указание:
воспользоваться функтором Лд = НотА (., А).)
8. Доказать, что для любого Л-модуля М существует точная последователь-
последовательность
ft
h
с проективным и^фпша i
причем еслвг- nrsir/qi.; .-u
(f <> Н »¦' П VI
— другая посладова-
диаграмма
и Ро, такай, что Кег
, с теми же свойствами,
Фо|
о
"X
til
и
в которой Фо и Ф1 — изоморфизмы. •,'
9 (М. Ауслендер). Пусть для Л-модуля М построена точная последователь-
последовательность
рЛрЛм
обладающая свойствами, перечисленными в предыдущем упражнении. Обозначим
Тг (М) = Coker h°A (/х) (см. пример 6 функторов из § 1 и упражнение 7).
а) Доказать, что Тг (/И) с точностью до изоморфизма не зависит от выбора
точной последовательности с указанными свойствами.
б) Проверить, что точная последовательность
П ,;!
h°A(P0)
>. h°A
h°A (Pt)
о
также обладает свойствами, перечисленными в упражнении 8.
в) Доказать, что Тг (М) не содержит проективных прямых слагаемых.
г) Установить, что если М = Р & N, где Р проективен, а N не содержит
Тг (Тг (М)) аг N.
проективных прямых слагаемых, то Тг (Тг (М))
155

_ 10. В обозначениях теоремы 4.4 доказать, что если F (U) ф 0, где U — прос-
простои Л-модуль, то F (U) — также простой В-модуль, причем если V — простой
модуль, неизоморфный U, то F (?/') ^к F (U). v
П. Пусть 1 = «i+ ... + еп — минимальное разложение единицы алгебры А,
п > 2. Доказать, что алгебра А полупроста (сепарабельна) тогда и только тогда
когда для любой пары индексов i ф / полупроста (сепарабельна) алгебра еАе
где е = е. + ву v '
12. Доказать что если алгебра А наследственна, Р _ проективный Л-мо-
дуль, а а = йд (f), то и алгебра В наследственна.
13. Обозначим через S схему вида
Г,
и пусть А — факторалгебра алгебры путей /С E) по идеалу, порожденному ine-
inert
ментом 2ajTr Доказать, что алгебра А ненаследствениа, но для любого нееди-
1—1
яичного идемпотента е 6 А алгебра еАе наследственна. (Указание: если
S' — схема, содержащая часть (но ие все) вершин схемы S н все стрелки, их сое-
соединяющие, а е — сумма путей длины 0 схемы S', то еАе ?2 К (S1).)
Следующая группа упражнений A4—19) посвящена од-
одному применению тензорных произведений — теории индуциро-
индуцированных представлений групп. Пусть Н — подгруппа группы G,
N — некоторый /(Я-модуль. Тогда индуцированный
/CG-модуль Ind?(#) определяется как N ®KNKG. Если Т —
представление группы Н, соответствующее модулю N, г % — его
характер, то представление группы G, соответствующее модулю
Indrt (N), называется представлением, индуцирован-
индуцированным Т, а его характер Ind»% — характером, индуци-
индуцированным %. Всякий /CG-модуль М можно, конечно, рассмат-
рассматривать и как /СЯ-модуль, который обозначается Res« (M) и назы-
называется ограничением М на подгруппу Я.
14 (закон взаимности Фробениуса). Пусть М — некоторый /ДО-модуль, X —*
его характер, N —некоторый /СЯ-модуль, ty — его характер.
а) Доказать, что HomXG (lndf,(N), M) ~ Иоткн (N, Res$ (M)).
б) Доказать, что если п = (G : 1), m = (Я : 1), то
«ее
(Указание: воспользоваться упражнением 14 к гл. VII.)
в) Вывести из а), что если характеристика поля /С ие делит порядок группы
G, М — простой /CG-модуль и N — простой /СЯ-модуль, то кратность вхождения
М в Ind$ (N) равна кратности вхождения N в Res^ (/И).
15. Пусть FZ3 Н — две подгруппы G. Доказать, что Ind$ (N) ~ Ind? x
X (Ind^(W)) для любого /СЯ-модуля N.
156
16 (формула Макки). Пусть F и Я — две подгруппы G, <т< ов — система
S
представителей двойных смежных классов G по Я и F (т. е. G = U ^°jf • причем
i=i
эти классы попарно не пересекаются). Обозначим Я.= (o^Ho^ftF. Всякий /СЯ-
модуль N можно превратить в КН г-модуль, полагая * (a^lha.) = дс/i для любо-
любого ft. Этот /СЯ.-модуль обозначим #г Доказать, что
для любого /СЯ-модуля N. (Указание: KG как /СЯ-К^-бимодуль разлагает-
s
ся в прямую сумму ф Vv где Уг— подпространство с базисом {haJlh^H,
(=1
/fc^}- Проверить, что У. 2i Ind? (/СЯ;) как /СЛмодуль, н распространить этот
изоморфизм на все /СЯ-модули, например, по аналогии с доказательством теоремы 4.4.)
17. а) Используя результат упражнений 14 и 16, доказать, что если /С — по-
поле характеристики 0, то для простоты /CG-модуля Ind^(iV) необходимо и доста-
достаточно, чтобы /СЯ-модуль N был прост и для любого i /СЯ^-модули W. и
Res^(N) ие имели изоморфных прямых слагаемых (здесь Яг, Nt определяются
как и в упражнении 16, при F = Я).
б) Вывести отсюда, что если подгруппа Я нормальна, то представление
Ind^ (Т) неприводимо тогда и только тогда, когда Т неприводимо и иеизоморф-
ио представлению Та, где Тд (h) = Т (a~lha), ни для какого а ?Н.
18. а) Доказать, что всякое неразложимое представление подгруппы Я
группы G изоморфно прямому слагаемому некоторого представления вида
Res$ (Т), где Т — неразложимое представление G.
б) В случае, когда характеристика р поля /С не делит индекс (G : Я), доказать,
что всякое иеразложимое представление группы G изоморфно прямому слагаемому
некоторого представления вида Ind^ (Г), где Т — неразложимое представление
Я. (У к & з а н и е: для любого /CG-модуля М построить эпиформизм /CG-модулей
х : M^j^HKG-*-M, который расщепляется как эпиморфизм /СЯ-модулей, и вос-
воспользоваться упражнением 18 к гл. VII.)
19. Используя результаты предыдущего упражнения, а также упражнений
21 и 22 к гл. VII, доказать, что группа G имеет конечное число неразложимых
представлений над полем характеристики р тогда и только тогда, когда ее силов-
ская р-подгруппа циклична (теорема Хигмана).
•¦'••:' f; <:.-.•; , ;.'.ц. --цц
' Й1-' ГЛАВА,,"
' КВАЗИФРОБЕНИУСОВЫ АЛГЕБРЫ f '-
Важную роль в теории конечномерных алгебр играет двойствен-
двойственность, которая существует между категориями правых и левых мо-
модулей. В настоящей главе мы построим эту двойственность, ис-
157

следуем ее свойства и применим полученные результаты к изучению
двух классов алгебр: квазифробениусовых алгебр, введенных в рас-
рассмотрение Накаямой, а также однорядных алгебр, или алгебр
главных идеалов, которые впервые изучил Асано.
Сначала установим двойственность между ка-
§ 1. Двойственность, тегориями левых и правых модулей над некоторой
Инъектявные модули конечномерной алгеброй л. Такую двойствен-
двойственность можно определить следующим образом.
Всякому (конечномерному) правому Л-модулю М сопоставим
левый Л-модуль М*, построенный по такому правилу. В качестве
векторного пространства М* возьмем пространство Нот(М, К) ли-
линейных функционалов на М (сопряженное простран-
пространство), а действие операторов из Л на М* определим формулой
(af) (т) = / (та) для любых а 6 Л, / ? М*, /и 6 М. Легко проверя-
проверяется, что таким образом М* превращается в левый Л-модуль.
Аналогично, если М — левый Л-модуль, то сопряженное про-
пространство М* превращается в правый Л-модуль.
Всякое линейное отображение q> : М -*¦ N индуцирует сопряжен-
сопряженное отображение ф* : N* ->- М*
(ф*/)(/П)=/(ф/П).
Нетрудно убедиться в том, что если ф — гомоморфизм Л-мо-
Л-модулей, то и ф* является гомоморфизмом Л-модулей. При этом
(qn|>)* =1|)*ф*, а 1* = 1.
Следовательно, сопоставляя модулю М модуль М*, а гомомор-
гомоморфизму ф — гомоморфизм ф*, мы получим контравариантный функ-
функтор (см. § 1 гл. VIII). Точнее, мы получаем два контравариантных
функтора: из категории mod-Л правых Л-модулей в категорию
Л-mod левых Л-модулей и наоборот. Мы их будем называть фун-
функторами двойственности.
Напомним, что существует естественное отображение бм : М -*¦
-*¦ М**, сопоставляющее вектору т ? М линейный функционал
6 (т) : М* ->- К по правилу б (т) (/) = / (т). Очевидно, бм опре-
определяет морфизм тождественного функтора в композицию функторов
двойственности, построенных выше. Но из элементарной линейной
алгебры известно, что для любого конечномерного пространства М
отображение 8М является изоморфизмом. Поэтому наши рассужде-
рассуждения можно подытожить в такой теореме.
Теорема 1.1. Функторы двойственности устанавливают экви-
эквивалентность категорий mod-Л и (Л-modH. В частности, эти функ-
функторы точны и из М* — О следует, что М = 0.
Следствие 1.2. Модуль М прост тогда и только тогда, когда
прост модуль М*. При этом если М ~ еА, где А — A/radA, ае —
минимальный идемпотент А, то М* ~ Ае.
Доказательство. Поскольку М си М**, достаточно
проверить, что если М не прост, то и М* не прост. Но если N —
158
нетривиальный подмодуль в М, то можно рассмотреть точную по-
последовательность
¦ N-+M-+M/N-+0.
0
Применяя к ней функтор двойственности, получим точную по-,
следовательность !
0 -> (M/N)* -> М*
О,
в которой (M/N)* и N* — ненулевые модули, т. е. М* не прост.
Пусть теперь М ~ еА, где е — минимальный идемпотент. Тогда
Me ф О и найдется функционал / 6 М*, такой, что f(Me) ф 0.
Но / (те) = (ef) (т). Значит, еМ* ф 0. Следовательно, М* ~ Ае.
Следствие 1.3. Между подмодулями модулей М и М* суще-
существует взаимно однозначное соответствие, обращающее включение.
Для доказательства достаточно заметить, что всякий
подмодуль N а М определяет эпиморфизм л : М -> M/N, а сле-
следовательно, мономорфизм л* : (M/N)* -> М*, т. е. подмодуль в М*.
Этот подмодуль имеет простой смысл: он совпадает с «ортогональным
дополнением» N1 = {f?M*\f(N) = 0}. Кроме того, M*/NL с* ЛГ*.
Отметим такие очевидные формулы:
(tf, + Лд1 = Nf ПЛ^1, (Ntf] Лд1 = Nt + N?. A)
Соответствие, удовлетворяющее формулам A), называется а н -
тиизоморфизмом структур.
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с подмодулем
(rad MI cr M*. Поскольку rad M —• это пересечение макси-
максимальных подмодулей, (rad MI — это сумма минимальных подмо-
подмодулей модуля М*. Она называется ц о колем модуля М* и обо-
обозначается soc M*. Заметим, что цоколь модуля можно также оп-
определить формулой
soc М = {т ? М | т (rad А) = 0}.
Кроме того, из вышесказанного следует, что soc M* ^
~ (M/rad M)*.
Мы видели, какую роль играют при изучении строения алгебр
проективные и особенно главные модули. Естественно ожидать, что
двойственные к ним модули также окажутся полезны при более тон-
тонких рассмотрениях. «Переворачивая стрелки» в известных теоремах
о проективных модулях (теорема III.3.5 и пример 4 из § 2 гл. VIII),
мы автоматически получаем следующий результат. '-
Теорема 1.4. Следующие условия равносильны: п
1) модуль Q* проективен (иными словами, Q ~ Р*, где Р —°
проективный модуль);
2) Q — прямое слагаемое модуля пА* для некоторого п (Л* —
модуль, двойственный к регулярному, в дальнейшем он будет назы-
называться к о р е г у л я р н ы м);
159

3) Q ~ ф ktP,*, где Pt — главные модули;
i
4) всякую диаграмму вида
Ф
п—>-м •
•¦:;(! (у.
if.
О—>М—
у о
с точной строкой можно дополнить до комму/Ланищой диаграммы
Иными словами, уравнение дар = г|> разрешимо для любого г|> : УИ -*- Q
м любого мономорфизма q>;
5) всякий мономорфизм Q -*¦ М расщепляем, т. е. Q выделяется
прямым слагаемым из любого модуля, в который он вложен как под-
подмодуль.
Модули, обладающие свойством D) из теоремы 1.4, называются
инъективными. Таким образом, теорема 1.4 дает характе-
характеристику инъективных модулей над конечномерными алгебрами.
Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что неразложи-
неразложимые инъективные модули — это модули, двойственные к главным.
Мы будем называть ихкоглавными модулями.
Из следствий 1.3, III.2.5 и III.2.9 вытекает такое следствие.
Следствие 1.5. Если Q — коглавный А-модуль, то его цоколь —
простой модуль. Сопоставляя Q простой модуль soc Q, мы устанавли-
устанавливаем взаимно однозначное соответствие между коглавными и прос-
простыми А-модулями.
По аналогии с понятием проективного накрытия, можно ввес-
ввести понятие инъективной оболочки, т. е. наименьшего
инъективного модуля, в который данный модуль М можно вложить
как подмодуль. Точнее, инъективный модуль Q является инъектив-
инъективной оболочкой модуля М, если существует мономорфизм ф : М -*¦
-*¦ Q, такой, что Im ф ^> soc Q, или, что то же, из Im ф П X = О,
где X — подмодуль Q, следует X = 0. В этом случае будем писать
Существование и свойства инъективных оболочек, ввиду двой-
двойственности, непосредственно вытекают из аналогичных результатов
для проективных накрытий. Мы сформулируем нужные нам факты
в виде следующей теоремы, доказательство которой предоставляет-
предоставляется читателю.
Теорема 1.6. 1) Если Р — проективное накрытие М*, то Р* —
инъективная оболочка М.
2) Q(M)==Q(socM). ,,. ....
3) Q(Mt®Mj)^Q (М,) ф Q (M2). x . , . ;,
160
4) Если t|) : М -*¦ Q' — мономорфизм, a Q' — инъективный мо-
модуль, то Q' = Q ф Qi, где Q ~ Q (М) и 1тг|> <= Q.
Следствие 1.7. Если soc М — простой модуль, а I (М) ^ / (Qt)
для любого коглавного модуля Qt, то М — коглавный модуль.
Доказательство следует из того, что если Q =Q (M),
то soc Q ~ soc М. Поэтому Q — коглавный модуль.
Заметим, что / (Qt) = / (Q*), a Q*— главный Л-модуль. Поэто-
Поэтому максимум длин правых коглавных Л-модулей совпадает с мак-
максимумом длин левых главных Л-модулей (но, вообще говоря, не
совпадает с максимумом длин правых главных модулей, см. упраж-
упражнение 1 к этой главе).
В этом параграфе мы изучим свойства моду-
§ 2. Лемма ле^( которые одновременно являются проектив-
о вы расывании ными и инъективными. Такие модули называют-
называются биективными. Заметим, что у произвольной алгебры Л
биективных модулей, вообще говоря, может и не быть (см. упраж-
упражнение 2 к этой главе). Более того, существование биективного моду-
модуля позволяет свести изучение Л-модулей к изучению модулей над
некоторой собственной факторалгеброй алгебры Л. Это обстоятель-
обстоятельство оказывается полезным при изучении некоторых классов ал-
алгебр и модулей над ними.
Установим вначале следующий простой, но важный факт.
Предложение 2.1. Если Р — проективный, а М — точный
А-модуль, то для некоторого п существует мономорфизм Р -+¦ пМ.
Аналогично, если, Q — инъективный А-модуль, то существует эпи-
эпиморфизм тМ -*¦ Q.
Доказательство. Обозначим Е = ЕД(М). Рассматривая М
как левый Е - модуль, мы можем построить эпиморфизм пЕ —*- М для
некоторого п. Применяя точный слева функтор Hom?(-,M), мы
получим мономорфизм ф: Нот? (М, М) ->Нот? (пЕ, М) ~: пМ. Более
того, поскольку М является ?-Л-бимодулем, ф — это гомоморфизм
Л-модулей. Но, сопоставляя всякому а? А отображение f (а): М-*-
->М, переводящее т в та, мы получим гомоморфизм /:Л-»НотЕ
(М, М). Очевидно, Кег / = АппМ = 0 (так как М точен). Композиция
ф/ является тогда мономорфизмом А^-пМ. Для того чтобы отсюда
получить утверждение для любого проективного Р, достаточно
вспомнить, что Р является подмодулем (даже прямым слагаемым)
свободного модуля kA для некоторого k, а гомоморфизм kA-*- knM=
= k(nM), совпадающий на каждой компоненте с ф/, конечно, также
является мономорфизмом.
Утверждение об инъективных модулях следует после этого из
двойственности (поскольку М и М* точны одновременно).
Выведем из полученного результата следующую основную лем-
лемму.
Лемма 2.2 (о выбрасывании). Пусть W — биективный А-модуль.
Существует такой ненулевой идеал /сА, что всякий А-модуль М
разлагается в прямую сумму Mi ф Мг, где Ann Mx ^> I, а всякое
11 - 9-907
161

неразложимое прямое слагаемое модуля УИ2 изоморфно прямому
слагаемому модуля W. ,
Доказательство. Очевидно, достаточно проверить, что
для всякого неразложимого модуля М, не изоморфного прямому)
слагаемому W, Ann М гэ /. Поэтому за / можно принять пересе-
пересечение аннуляторов всех неразложимых Л-модулей, не изоморфных
прямым слагаемым W (класс таких модулей обозначим через ЭД).
Остается показать, что / ф 0.
Предположим противное. Поскольку алгебра Л конечномерна, в
ней нет бесконечных цепочек подпространств. Следовательно, на
самом деле / = j~j Ann Mt, где Mlt ..., Mt — конечный набор мо-
дулей из JR. Но тогда, очевидно, / = Ann М, где М = Mi ф ...
...ф('М,, т. е. М — точный Л-модуль. По предложению 2.1
существует мономорфизм W -*- пМ (W — проективный модуль).
Но, поскольку W также и инъективен, отсюда следует, что пМ ~
с^. W ф X и по теореме Крулля — Шмидта всякое неразложимое
прямое слагаемое 17 изоморфно одному из Ми что невозможно по
предложению. Полученное противоречие и доказывает лемму.
Итак, если W = к^г ф ... ф ksWs, где Wt — неразложимые
модули, то всякий Л-модуль имеет вид Mt © ltWi ф .. . ф 1SWS,
где Mi — модуль над факторалгеброй А/1. Эту факторалгебру мы
будем обозначать А~ (W).
Особенно просто лемма о выбрасывании выглядит в случае не-
неразложимого модуля W (такой модуль назовем б и г л а в н ы м):
всякий Л-модуль М имеет вид М са М{ ф kW, где Mi — модуль
над А~ (W). В этом случае имеет место и обратное утверждение.
Лемма 2.3. Пусть W — такой неразложимый А-модуль, что
всякий А-модуль М имеет вид Mi® kW, где Mi — модуль над не-
некоторой собственной факторалгеброй В алгебры А. Тогда W —
биглавный модуль.
Доказательство. Поскольку регулярный и корегу-
лярный Л-модули точны, они не являются В-модулями. Следова-
Следовательно, они должны содержать прямое слагаемое, изоморфное W.
Поэтому W проективен и инъективен одновременно, что и требова-
требовалось доказать.
Зафиксируем теперь биглавный Л-модуль W. Уточним вид глав-
главных и коглавных модулей над факторалгеброй В = A~(W).
Предложение 2.4. Всякий главный В-модуль является либо
главным А-модулем (отличным от W), либо фактормодулем W
по минимальному подмодулю Wt (единственному по следствию 1.5).
Всякий коглавный В-модуль является либо коглавным А-модулем,
либо максимальным подмодулем W2 модуля W (единственным по
следствию II 1.2.5). Наоборот, если W — не простой модуль, то
W/Wi — главный, а №2 — коглавный В-модуль.
Доказательство. Очевидно, WIWi является В-модулем.,
Обозначим Р = Рв (WIWi). Тогда эпиморфизм W-*- WIWi про-
162
должается до эпиморфизма q> : W -> Р, который не является изомор-
изоморфизмом (так как W — не В-модуль). Поэтому Кег ср гэ Wt и / (Р) <
< / (W/Wi), откуда Р ~ WIWi. Аналогично, W2 ~: Qb (W2). Кро-
Кроме того, WIWi содержит, как и W, ровно один максимальный под-
подмодуль и потому неразложим. W2 также неразложим, поскольку
содержит один минимальный подмодуль.
Пусть теперь Р — произвольный * главный В-модуль, Р' =
= Ра{Р). Если Р' 9^ W, то Р' — проективный В-модуль и потому
Р' ~ Р. Если же Р' ~ W, то эпиморфизм W -*¦ Р не является изо-
изоморфизмом, а потому пропускается через эпиморфизм WIWi -*¦ Р,
откуда Р ~ W/Wi. Утверждение о коглавных модулях получается
из двойственности.
Из предложения 2.4 и леммы 2.2 непосредственно вытекает такое
следствие.
Следствие 2.5. Пусть W — биглавный А-модуль, причем А =
= Pi Ф Р2, где Pi ~ nW, а Р2 не содержит прямых слагаемых, изо-
изоморфных W. Тогда soc Pt — идеал в А и А~ (W) — Л/soc Pt.
Предложение 2.6. Алгебра А имеет простой биективный модуль
W тогда и только тогда, когда А ~ Аг X Л2, где Ai ~ Mn (D)
(D — тело), а Л2 = А~ (W).
Доказательство. Пусть W — простой биективный Л-мо-
Л-модуль, причем Л ~ nW ф Р, где Р не содержит прямых слагаемых,
изоморфных W. Всякий гомоморфизм ф:й7->Р либо нулевой, либо
мономорфизм. Но во втором случае Р ~ W ф X, так как W инъек-
инъективен, что невозможно. Следовательно, Нотд (nW, P) = 0. Анало-
Аналогично, Нотд (Р, nW) = 0. Поэтому Л ~ Ах X А\, где At =EA(nW)~
~ Mn(D), причем D = Ea(W) — тело, а Аг = ЕА(Р). Очевидно,
An = A~(W). Обратное утверждение тривиально.
Как мы уже отмечали, произвольная алгебра
§ 3. Квазифробе- может и не иметь ни одного биективного
ниусовы алге ры модуЛЯ> Важный класс алгебр, введенный в
рассмотрение Накаямой, составляет те алгебры, у которых всякий
проективный модуль инъективен (а потому и биективен). Очевидно,
для этого достаточно, чтобы регулярный модуль был инъективным.
Такие алгебры называются квазифробениусовыми.
В принципе следовало бы определять квазифробениусовы спра-
справа и слева алгебры. Однако имеет место такая теорема, --и .., ^:-:
Теорема 3.1. Следующие условия равносильны: s > J
1) правый регулярный А-модуль инъективен; ;>'i«w•'" •' m<u>-3i
]1а) левый регулярный А-модуль инъективен; \iM;r ¦ .лпдрха
2) правый нерегулярный А-модуль проективен; .fc-nsjr.
2а) левый нерегулярный А-модуль проективен.
'Доказательство. Эквивалентности 1) <=> 2а) и 1а) <=>
2) следуют из двойственности. Поэтому остается доказать, напри-
например, эквивалентность 1) <=> 2). Заметим, что число коглавных пра-
правых Л-модулей равно числу главных левых Л-модулей, т. е. по след-
следствию II 1.2.9 — числу простых левых Л-модулей, иными словами,
п* 163

числу простых компонент полупростой алгебры Л/rad Л. Но тому
же равно и число простых правых Л-модулей, а значит, и число
главных правых Л-модулей. Но сказать, что регулярный модуль
инъективен — это все равно, что сказать, что всякий главный Л-мо-
дуль инъективен, т. е. что число биглавных Л-модулей совпадает с
числом главных. С учетом вышесказанного это равносильно тому,
что число биглавных модулей совпадает с числом коглавных, т. е.
всякий коглавный модуль, или, что то же, корегулярный модуль
проективен. Теорема доказана.
Теперь квазифробениуссвл алгебры можно охарактеризовать так:
если А ~ кгР± © ... © khPk, где Pt — главные модули, то Л*~
— hpi ф ... ф /SPS. При этом, вообще говоря, kt Ф lt (см. упраж-
упражнение 4 к гл. IX), т. е. А^-А*. Те алгебры, для которых Аса Л*,
образуют собственный подкласс в классе квазифробениусовых
алгебр. Такие алгебры называются фробениусовыми. Важным
примером фробениусовых алгебр являются групповые алгебры ко-
конечных групп (см. упражнение 8 к гл. IX).
Те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 3.1, при-
приводят к следующему результату.
Теорема 3.2. Если кратности вхождения всех главных А-модулей
в регулярный одинаковы, или, что то же, Л/rad Л~ Мп (Dt) X ...
... X Мп (Ds), где Dt —тела, и алгебра А квазифробениусова, то
она фробениусова. В частности, приведенная квазифробениусова
алгебра фробениусова.
Поскольку определение квазифробениусовости было дано в
терминах категории модулей, мы получаем такое следствие.
Следствие 3.3. Однотипные алгебры квазифробениусовы одновре-
одновременно. В частности, всякая квазифробениусова алгебра однотипна
некоторой фробениусовой (именно, своей базисной алгебре).
Из предложения 2.1 и теоремы Крулля — Шмидта вытекает так-
также еще и такое следствие.
Следствие 3.4. Пусть А — квазифробениусова алгебра, А ~
^ К?\ © • • • © Ь„Р„ где Pt — главные модули, Мо = Рг © .. . ф Ps.
Веяний точный А-модуль содержит прямое слагаемое, изоморф-
изоморфное Мо.
Из предложения 2.6 и определения схемы алгебры вытекает
следствие.
Следствие 3.5. Пусть S — схема квазифробениусовой алгебры А.
Если из точки i ? S не выходит ни одна стрелка или в эту точку не
входит ни одна стрелка, то А ~ Ах х Л2, где А\ си Мп (D) (D —
тело).
Для доказательства достаточно вспомнить, что если
из точки i не выходит стрелка, то соответствующий главный модуль
прост (утверждение о входящих стрелках получается из двойствен-
двойственности).
Сравнивая следствие 3.5 с результатом о схемах наследственных
алгебр (следствие III.7.3), мы получаем такое следствие. ,
164
Следствие 3.6. Наследственная квазифробениусова алгебра по-
полупроста.
Если Л — квазифробениусова алгебра, то всякий главный Л-мо-
Л-модуль Р является коглавным и по следствию 1.5 его цоколь — прос-
простой Л-модуль. Более того, если Р' — главный модуль, не изоморф-
изоморфный Р, то и soc P' ~ soc Р. Оказывается, имеет место и обратное
утверждение, которое дает довольно простой и удобный критерий
квазифро бени усо во сти.
Теорема 3.7. Алгебра А квазифробениусова тогда и только тогда,
когда цоколь любого главного А-модуля—простой модуль, причем
если Pi и Р2 неизоморфные главные А-модули, то soc Р4 9^ soc Р2.
Доказательство. Поскольку условие теоремы формулиру-
формулируется в терминах категории Л-модулей, мы можем, заменяя Л на
однотипную алгебру, считать ее приведенной. Тогда Л = Pt ф . ..
... ф Ps, где Р( —¦ попарно неизоморфные главные модули. Обоз-
Обозначим Qt = Q(Pt). По теореме 1.6 socQ;~socPj— простой модуль,
причем socQ^socQj при 1Ф\. Следовательно, Q; — попарно
неизоморфные коглавные модули. Но тогда Q) — попарно неизо-
неизоморфные левые главные модули и, поскольку А — приведенная
алгебра, Л ~ Q* ф ... © Q* (напомним, что число левых и правых
главных модулей одинаково). Нам нужно показать, что Pj~Qj. Но
dim Р: < dim Q, = dim Q,*, a
A* .0 ,T ,(ч
i:
1=1
1=1
откуда вытекает, что dimPj = dimQ,- для всех i. Поэтому Pj~Qj.
Теорема доказана.
Предположим, что алгебра Л фробениусова. Тогда, поскольку
Л* а А, из следствия 1.3 вытекает, что структуры левых и правых
идеалов алгебры А антиизоморфны. Оказывается, то же имеет мес-
место и для любых квазифробениусовых алгебр. Более того, это условие
является критерием квазифробениусовости.
Теорема 3. 8. Алгебра А квазифробениусова тогда и только тогда,
когда структуры левых и правых идеалов в ней антиизоморфны.
Доказательство. Пусть ф — антиизоморфизм структур ле-
левых и правых идеалов в Л. Очевидно, ф (Л) = 0 и Ф @) = А. Раз-
Разложим регулярный левый Л-модуль в прямую сумму главных:
Л = Pj ф Р2 ф ... ф Р„. Это означает, что Pt — левые идеалы в
А, причем SPi = A и для любого i Pt Л I 2 pi = °-
¦ hi Применяя антиизоморфизм структур ф, мы получим в Л пра-
вые идеалы <р (Р,), такие, что П ф (Рг) = 0 и <р (Pj) + / р, <р (Pj)\=A
165

для любого i. Обозначим Р]= Г\ ф(Р^). Тогда Л==ф(Р{) ф Р\ для
любого I. Покажем индукцией по k, что
fa
База индукции, k = 1, уже доказана. Предположим, что наша
формула верна для какого-нибудь k<.n. Тогда гл ф (Р^) :э P'k+l и,
поскольку а = р;+1 е ф (Ph+l), fj ф (Pj) = р;+1 е m ф (Pj) , что
и требовалось доказать. В частности, А = Р\ ф ... ф Р'$, откуда
следует, что все Р\ — главные правые модули. Кроме того, пос-
поскольку Р\ = Л/ф (Рг), структура подмодулей и Р\ изоморфна струк-
структуре подмодулей А, содержащих ф (Рг), т. е. антиизоморфна струк-
структуре подмодулей Pi (поскольку ф—' (А) = 0). Но Рг сочержит один
максимальный подмодуль. Значит, P't содержит один минимальный
подмодуль, т. е. Ut = soc P\ прост.
Ввиду теоремы 3.7 для доказательства квазифробениусовости
алгебры Л остается проверить, что если Р\ q? P., то Ut 9^ Uj.
Заметим, что ф- (P't) = 2 Р]> откуда Pt = {"] ф (Pj), т. е. со-
ответствие между Рг и Pt симметрично.
Мы покажем, что если Pt 9^ Pj, то и Ut 9^ Uj, а следовательно,
PJ 9^ Р',- Отсюда, очевидно, следует, что если Р\ 9^ Р), то Pt ФР
а значит, (/г 9^ ^, что и требуется доказать.
Обозначим P = Pt-\- Р}. Тогда, поскольку Рг П Pj = 0, /j
~ Р;, а Р/Р; ^ Рг. Так как Pj/rad Pt ^к P}/rad Pjt в Р есть ровно
два максимальных подмодуля, один из которых содержит Pt, a
другой Pj. Но ф (Р) = ф (Pj) П Ф (Pj)- Значит, структура подмоду-
подмодулей в Р антиизоморфна структуре подмодулей в Л = ф@), содер-
содержащих ф (Рг) П Ф (Pt). Поскольку ф (Рг) + ф (Pj) = А, Л/ф (Рг) Л
П Ф (Pj) =* А/ц> (Pt) ф Л/ф (Pj) са Р; ф Р). Итак, в Р\ ф Pj. есть ров-
ровно два минимальных подмодуля, что невозможно при Ut ~ Uj
(в этом случае любой элемент вида а-\-Ь, где a^,Ut, b?Uj, по-
порождает в Ut@ Uj простой подмодуль и потому их по меньшей
мере три).
Предположим теперь, что алгебра Л квазифробениусова. Тогда
можно указать явный антиизоморфизм структур левых и правых
Л-идеалов следующим образом. Для всякого правого идеала / по-
положим / (/) = {а 6 Л \al = 0}, и для всякого левого идеала J по-
положим г (J) — {b ?A/Jb = 0}. Очевидно, / (/) — левый, а г (J) —
правый идеалы, причем из / гэ /' (J гэ J) следует 1A) cz l (Г)
166
(соответственно/ г (J) с г (Г)). Мы покажем, что / и^-
обратные отображения, откуда, конечно, и следует, что они
ствляют искомый антиизоморфизм структур.
Рассмотрим точную последовательность Л-модулей
; Применяя к ней функтор hA и учитывая, что Л - инъективный
модуль, получаем точную последовательность
0 -^ НотА (АН, А) -> Нотд (Л, Л) ^ Нотд (/, Л) -» 0.
. Но всякий гомоморфизм АН -> Л однозначно определяете* об-
образом класса 1 + /, причем, очевидно, этим образом может быть
любой элемент о? А, такой, что al = 0. Иными словами,
Нотл (A/I, A) ca I (/), т. е. нашу последовательность можно пере-
переписать в виде
0-
-о. .;..;. .:;¦
Вновь применяя функтор hA и отождествляя Нопц (А/1 (I), А)
с rl (I), получим точную последовательность ' v,! ^
0-> г/(/)-»-Л-»-Л/г/(/)-»-0, v'-v
fur- ¦¦¦
в которой rl (I) ~ Нотд (Нотд (/, А), А).
Заметим теперь, что существует единственный гомоморфизм
модулей М->Нотл(Нотд (М, А), А), переводящий элемент пг^Мв
гомоморфизм т: Нотд (М, А) -*¦ Л, такой, что т (/) = / (т) для лю-
любого /^Нотл(М, Л). Очевидно, совокупность всех таких гомомор-
гомоморфизмов образует морфизм функторов /d^.mOd->- h2A. В частности, по-
получаем коммутативную диаграмму с точными строками
0—-/—-Л -*А/1 -0 ф\
-А-
Среднее отображение в ней — изоморфизм.
Покажем, что отображение М -*¦ Ношл (Нотд (М, А), А) мо-
номорфно для любого М. Для этого вложим М в инъективный мо-
модуль Q и заметим, что ввиду квазифробениусовости Л Q биективен.
Следовательно, он является прямым слагаемым свободного модуля.
Итак, существует мономорфизм М -*¦ пА для некоторого п. Но то-
тогда, очевидно, для любого ненулевого т ? М найдется гомоморфизм
/ : М -> Л, такой, что / (т) ф 0. Значит, т (f) = / (т) Ф 0, т. е.
т Ф 0 и наше отображение Действительно мономорфио.
Остается заметить, что если в диаграмме A) крайние отобра-
отображения мономорфны, то они обязаны быть и изоморфны (например,
167

из мономорфности отображения I -*¦ rl (/) следует эпиморфность,
а потому и изоморфность А/1 -*¦ Alrl (/), и остается применить лем-
лемму о 5 гомоморфизмах). Теорема полностью доказана.
Следствие 3.9. Алгебра А квазифробениусова тогда и только
тогда, когда d (/) = / для любого правого идеала I и lr (J) = J для
любого левого идеала J.
Если алгебра А квазифробениусова, то, как
§ 4. Однорядные мы видеЛи, описание ее представлений сводится
алге ры к опИсаНию представлений некоторой фактор-
алгебры В. Однако, вообще говоря, алгебра Б и ее представления
могут быть устроены достаточно сложно. Положение существенно
упрощается, если предположить, что все факторалгебры А также
квазифробениусовы. В этом случае описание модулей сводится к
последовательному применению следствия 3.4. Оказывается, что и
сами алгебры, удовлетворяющие этому условию, допускают срав-
сравнительно простое описание. Кроме того, в этих алгебрах всякий
идеал является главным, т. е. имеет вид аА для некоторого а 6 А.
Наоборот, всякая алгебра главных идеалов обладает этим свойс-
ством.
Сформулируем соответствующее утверждение.
Теорема 4.1. Следующие условия равносильны:
1) всякая факторалгебра алгебры А казифробениусова;
2) всякий идеал алгебры А является главным правым идеалом
(т. е. имеет вид аА);
* 2а) всякий идеал алгебры А является главным левым идеалом;
в 3) всякий правый идеал алгебры А главный;
-I За) всякий левый идеал алгебры А главный;
¦f 4) Л~Л,Х...Х4 где At cz. Mn{ (Bt), a Bt — локальная
алгебра, причем rad В,-— главный идеал.
Если, кроме того, алгебра Л неразложима в прямое произведение,
то эти условия равносильны еще такому условию:
1а) алгебра А и ее факторалгебра по какому-нибудь минималь-
минимальному идеалу квазифробениусовы.
Доказательство. Очевидно, можно считать, что алгебра
А неразложима в прямое произведение. Импликации l)=s-la),
3) => 2), За) => 2а) тривиальны.
1а) =ф- 4). Пусть / — минимальный идеал, причем А и АИ —
квазифробениусовы алгебры. Найдется главный (следовательно, и
биглавный) Л-модуль Р, не являющийся Л//-модулем. Но тогда,
очевидно, .АН = А~ (Р) (см. лемму 2.2). Пусть Л ~ пР ф Р',
где Р' не содержит прямых слагаемых, изоморфных Р. Обозначим
через Pi максимальный подмодуль Р, а Ра = РШи где Ut = soc P.
По предложению 2.4 Рх — коглавный, аР2 — главный Л//-модуль.
Поскольку А/1 — квазифробениусова алгебра, Pi — главный
Л//-модуль. По предложению 2.4 либо Pt ~ Р2, либо Р4 изоморфен
прямому слагаемому Р'. Но в последнем случае Р\ был бы биектив-
биективным Л-модулем, а тогда Р = Р4 ф X, что невозможно.
168
I
Итак, Pt ~ Р2. Значит, Р2 содержит один минимальный под-
подмодуль U2 ^ soc Pi = Uи причем Р2/?/2 ~ PJUi, откуда следует,
что Р2/?/2 также содержит один минимальный подмодуль Us, изо-
изоморфный ?/2, т. е. и i/j. Продолжая эту процедуру, мы построим в Р
композиционный ряд, все факторы которого изоморфны (Д. Кроме
того, этот композиционный ряд единствен. Ввиду теоремы Жорда-
на — Гёльдера отсюда, в частности, вытекает, что Horru (Р'. P) =
= 0. Ввиду двойственности Р* — также главный модуль с един-
единственным композиционным рядом, откуда и Нот^ (Р, Р') са.
си Нотд (Р'*, Р') = 0. Следовательно, А~А{Х As- гДе А1=ЕА(пР)с^.
~Mn(S) (В = ЕА (Р) — локальная алгебра), а А2 = ЕА(Р'). По-
. скольку Л неразложима, Р' = 0 и А~ Ау
Обозначим R = rad В. Тогда rad Мп (В) = Мп (R) (предло-
(предложение III.3.11). Но rad Л = пРи а Р (Pt) ~ P, поэтому существу-
существует эпиморфизм Л -*¦ rad Л, т. е. rad Л, а потому и rad В — цикли-
циклический модуль, что и требовалось доказать.
4) =^ 3). Пусть Л = Мп (В), причем R = rad В — главный пра-
правый идеал. Тогда существует эпиморфизм ф : В -*¦ R. Значит, R2 —
единственный максимальный подмодуль в R. Кроме того, ф (R) =
= R2. Значит, ф (R2) = R3 — единственный максимальный подмо-
подмодуль в В и т. д. Учитывая это, получаем, что всякий правый идеал
в В имеет вид Rm. Но В ~ ЕА(Р), где Р — главный Л-модуль. Из
теоремы Мориты следует тогда, что структура В-подмодулей в В
такая же, как и структура Л-подмодулей в В (ЭвР^^Ри для вся-
всякого Л-подмодуля М а Р существует эпиморфизм Р -*- М. Отсюда
индукцией по k тривиально выводится, что для любого подмодуля
М с kP существует эпиморфизм kP ->- М. В частности, для любого
правого идеала / сг Л существует эпиморфизм Л -*¦ I, т. е. / —
главный идеал.
2) г^ 1). Пусть Л ~ пР ф Р', где Р —главный модуль, а в
Р' нет прямых слагаемых, изоморфных Р. Если Mi = rad P, то
/i = nMi @ P' — идеал в Л, а значит, и циклический Л-модуль.
Поэтому существует эпиморфизм Л ->- Iit откуда следует существо-
существование эпиморфизма Р -*¦ Mi. Следовательно, у Mt также всего один
максимальный подмодуль Мг, причем MJM2 ~ PIMy. Но тогда
/2 = пМг ф Р' — снова идеал, откуда вытекает существование
эпиморфизма Р -*¦ М2. Продолжая этот процесс, мы проведем в Р
единственный композиционный ряд с изоморфными факторами.
Отсюда, как и выше, следует, что Нотд (Р, Р ) = Нот^ (Р\ Р)=
= 0, т. е. Л ~ Ai X Л2, и, ввиду неразложимости, Р' = 0. По-
Поскольку Р содержит единственный минимальный подмодуль, из
теоремы 3.7 получаем, что Л квазифробениусова. Но, очевидно,
условие 2) переносится с Л на все факторалгебры. Значит, все
факторалгебры алгебры А квазифробениусовы, что и требовалось
доказать.
Ввиду симметричности условий 1) и 1а) аналогично получаем
1а) => 4) =>¦ За) =>¦ 2а) =>¦ 1). Теорема полностью доказана.
169

' Алгебры, удовлетворяющие условиям теоремы 4.1, называются
однорядными (или алгебрами главных иде-
идеалов).
Из теоремы 4.1 и следствия 3.4 непосредственно вытекает такое
следствие.
Следствие 4.2. Всякий неразложимый модуль над однорядной
алгеброй изоморфен фактормодулю главного модуля. Ввиду двой-
двойственности всякий неразложимый модуль над однорядной алгеброй
изоморфен также подмодулю главного модуля.
Заметим, что в процессе доказательства теоремы 4.1 мы устано-
установили также, что в главном модуле над однорядной алгеброй суще-
существует единственный композиционный ряд и потому ровно один под-
подмодуль данной длины. Отсюда получаем такое следствие.
Следствие 4.3. Неразложимый модуль над однорядной алгеброй
однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своей дли-
длиной и проективным накрытием (или инъективной оболочкой).
Из теоремы 4.1. легко следует также такой критерий одноряднос-
ти.
Предложение 4.4. Алгебра А однорядна тогда и только тогда,
когда ее схема является несвязным объединением точек и одното-
одноточечных циклов.
Следствие 4.5. Алгебры А и AIR2, где R = rad Л, однорядны
одновременно.
Упражнения к главе IX
1. Пусть Л — минимальная алгебра, соответствующая частично упорядочед-
' множеству
,Ф;.\ .
V
(см. упражнение 8 к гл. III). Найти длины главных правых и главных левых Л-мо-
Л-моду л ей, убедиться, что их максимумы не равны.
2. Доказать, что у трехмерной алгебры А с базиеом {I, а, Ь) и таблицей умно-
умножения аа = Ь2 = аЬ = Ьа = 0 нет биективных модулей.
3. Пусть А — Тп (К) (алгебра треугольных матриц), W = пК — простран-
пространство /i-мерных числовых векторов над полем К, рассматриваемое как Л-модулы
Доказать, что W — единственный биглавный Л-модуль, и найти А~ (W).
4. Рассмотрим алгебру К (S) путей схемы S
'ЦК'-)'* 1\
.A i
¦/¦"¦
Пусть / — идеал путей ненулевой длины, А = К (S)/P, е* и ea — идемпотен-
ты, соответствующие точкам 1 и 2, Pt = etA, Р\ = Ае(. Доказать, что Р* са Р'2,
Р 2— Р\- Таким образом, А — фробениусова алгебра. Вывести отсюда, что если
Р — Pi® 2Ра, то алгебра В = ЕА (Р) квазифробениусова, но не фробениусова-
5. Доказать, что полупростая алгебра фробеннусова.
6. Доказать, что если Л —фробениусова алгебра, то и Мп (Л) —фробеии-
Усова алгебра.
7. Доказать, что алгебра А фробениусова тогда и только тогда, когда на ней
существует невырожденная билинейная форма Т, которая внутренне билинейна
(в смысле § 3 гл, VIII), т. е. Т (Ьа, с) = Т (Ь, ас) для всех а, Ь, с ?Л.
8. Для элементов групповой алгебры KG конечной группы G, а =
п
и Ь = ^ PgS' определим Т (а, Ь) = \) « —iPg- Доказать, что Т (а, Ь) — невы-
рожденная внутренне билинейная форма на KG и, следовательно, KG — фробе-
ннусова алгебра.
9. Доказать, что алгебра А фробениусова тогда и только тогда, когда для лю-
любого правого идеала / и для любого левого идеала J имеют место равенства
dim / + dim I (/) = [Л : К], dim J + dim r (J) = [Л : К].
(Указание: доказать, что А — квазифробениусова; рассмотреть затем идеал
/ = k (rad P) 0X, где Л = kP © X, Р — главный модуль, не входящий в X
прямым слагаемым.)
10. Доказать, что для любого правого или левого главного модули Р над ал-
алгеброй Тп (К) треугольных матриц soc P прост (заметим, что из упражнения 3
следует, что эта алгебра ие квазифробениусова).
11. Пусть D—некоторое тело, а — его автоморфизм. Алгеброй
скрученных многочленов А = D [t, а) называется алгебра (бес-
(бесконечномерная), элементами которой являются «многочлены от t с коэффициентами
из D», т. е. выражения вида aj" -j- o.n_xf-~x + ... + а0, где а( ? D, а умноже-
умножение определяется правилом ta = а (а) t для любого a?.D. Проверять, что t"A =
= At", и доказать, что A/t"A — локальная однорядная алгебра.
12. Доказать, что всякая локальная однорядная алгебра сепарабельного ти-
типа (см. §5 гл. VIII) имеет вид A/fA, где А = D \t, a) — алгебра скрученных мно-
многочленов над сепарабельным телом D, построенная в предыдущем упражнеиви,
причем тело D и показатель п определяются однозначно, а автоморфизм а — с точ-
точностью до сопряжения (в группе автоморфизмов) и внутреннего автоморфизма
тела D,
13. Вывести из упражнения 12 описание всех однорядных алгебр сепарабель-
сепарабельного типа.
14. Пусть 1 = Й1 + •»• + е„ — минимальное разложение единицы алгебры
Л, n ^ 3. Доказать, что если для любого идемпотента е, который есть суммой
трех различных идемпотеитов из данного разложения, алгебра еАе квазифробе-
квазифробениусова, то и алгебра А квазифробеииусова. (Указание: пусть Р1 = еА и
socP. непрост; тогда P.ZDUj^Uh, где U. н U, — простые Л-модули, причем
P(Uj)s^Pj = ejA, P((/fe)~:Pft = е^Л; i, j, k не обязательно различные. При-
Принимая за Р прямую сумму попарно различных модулей из Р., Р,, Pft, показать,
что если В = ЕА (Р), то цоколь главного В-модуля Рt = Ногпд (P. Pt) не прост,
что противоречит квазифробениусовости В и теореме 3.7. Аналогично, если Р pz
с^Ру, но socPjisiSoc Pj~ Uk, показать, что soc P( zz soc Pj, что вновь про-
противоречит теореме 3.7, так как, ввиду теоремы VIII. 4.4, Р^ Pj)
15. Пусть А = К (S)/P, где К (S) — алгебра путей схемы S, являющейся
циклом (л ^3)
К '" .1.1 »н
7 2 _ 3 .. л .¦¦¦^.vvv.ti'id.'' .-¦¦V'iw ¦•,
17*1

a J — идеал, порожденный путями ненулевой длины. Доказать, что алгебра А
квазифробениусова, но алгебра еАе, где в = в, + ... + efe (k < п, е — идемпо-
теит, соответствующий »-й точке цикла), не квазифробениусова. (Указание:
в последнем случае воспользоваться следствием 3.5.) Таким образом, утверждение
обратное сформулированному в упражнении 14, неверно.
16. Пусть 1 = <?!+... + еп — минимальное разложение единицы алгебры А,
л > 2 Доказать, что если для любой пары индексов », ; алгебра еАе, где е =
= е1 ¦" е;> однорядна, то и алгебра А однорядна.
.• i\ I.;;. I.M ,!
X '*,•(¦; • <fH ¦ - .
¦ , i , ГЛАВА
* ^ОБОБЩЕННО ОДНОРЯДНЫЕ АЛГЕБРЫ /!
Следствия IX.4.2 и IX.4.3 дают простое описание модулей над
однорядными алгебрами. Нетрудно, однако, заметить, что это опи-
описание использует не столько квазифробениусовосгь всех фактор-
алгебр, сколько существование у каждой из них биективного моду-
модуля. В этой главе мы рассмотрим более общий класс алгебр, также
введенный Накаямой,— обобщенно однорядные алгебры, которые
характеризуются тем, что у всякой факторалгебры есть биективный
модуль. Мы покажем, что это наиболее общий класс алгебр, для
которых имеют место аналоги следствий IX.4.2 и IX.4.3. Строение
обобщенно однорядных алгебр существенно более сложно, чем у
однорядных алгебр. Однако для этих алгебр также можно получить
полное описание при достаточно общих предложениях (основные
результаты здесь были получены Купишем).
§ 1. Теорема Пусть М — правый или левый модуль над
Накаимы— некоторой алгеброй А. Модуль М называется
Скорнякова цепным, если структура его подмодулей яв-
является цепью (т. е. линейно упорядоченным множеством). Оче-
Очевидно, это условие равносильно тому, что всякий ненулевой подмо-
подмодуль N с М имеет один максимальный подмодуль, который явля-
является радикалом модуля N. Еще одно эквивалентное условие: для
любого ненулевого подмодуля N с М фактормодуль N/rad N
прост.
Прямая сумма цепных модулей называется полуцепным
модулем. Очевидным примером цепного модуля является всякий
простой модуль, а полуцепного — полупростой. Из теоремы Крул-
ля—Шмидта следует, что всякое прямое слагаемое полуцепного мо-
модуля само является полуцепным модулем. В частности, если оно не-
неразложимо, то является цепным модулем.
Теорема 1.1. (Накаямы—Скорнякова). Пусть А—некоторая
алгебра. Следующие условия равносильны:
1) всякий правый А-модуль полуцепной;
172
Ш 1а) всякий левый А-модуль полуцепной;
*'¦ 2) регулярный правый и регулярный левый А-модули полуцепные;
2а) регулярный и корегулярный правые А-модули полуцепные;
26) регулярный и корегулярный левые А-модули полуцепные;
3) всякий неразложимый А-модуль (правый или левый) изомор-
изоморфен фактормодулю главного модуля;
За) всякий неразложимый А-модуль (правый или левый) изомор-,
фен подмодулю коглавного модуля;
4) всякий неразложимый А-модуль М (правый или левый) про->
ективен как модуль над факторалгеброй A /Ann M;
4а) всякий неразложимый А-модуль М (правый или левый) инъ~
ективен как модуль над факторалгеброй Л/Апп М;
5) у всякой факторалгебры алгебры А есть биективный правый
модуль;
5а) у всякой факторалгебры алгебры А есть биективный левый
модуль.
Алгебры, удовлетворяющие равносильным условиям данной тео-
теоремы, называются обобщенно однорядными.
Доказательство. Равносильность условий 1) <=» 1а),
2) <=» 2а), 3) *=» За), 4) <=» 4а), 5) <=> 5а) следует из двойственности
(заметим, что, как легко проверить, Ann М* = Ann M для любого
модуля М).
1) =>¦ 2а) и 4) =>¦ 3) очевидно.
2) =>- 5). Заметим, что условие 2) сохраняется при переходе к
фактор алгебре: если А = Р4 © ... ф Рп, где все Р( цепные, то
A/I — PJPJ ф ... ф PJPnI и, очевидно, фактормодули Рг/Рг1
также все цепные. Поэтому достаточно проверить, что из условия 2)
следует существование биективного модуля у самой алгебры Л. Нам
удобно заменить условие 2) равносильным условием 2а).
Выберем из главных и коглавных правых Л-модулей модуль М
наибольшей длины. Поскольку М цепной, у него есть ровно один
максимальный и ровно один минимальный подмодуль. Но тогда из
следствий III.2.8 и IX. 1.7 вытекает, что М — главный и коглавный
модуль, т. е. М биективен.
5) =>¦ 4). Пусть М — неразложимый Л-модуль, W — биективный
модуль над факторалгеброй В = Л/Ann М. Поскольку М — точный
неразложимый В-ыодуль, из леммы о выбрасывании (лемма IX.2.2)
сразу следует, что М изоморфен прямому слагаемому W, т. е. В-мо-
дуль М биективен и, в частности, проективен.
3) =>¦ 1). Пусть М — неразложимый Л-модуль. Поскольку он
изоморфен фактормодулю главного модуля, в М есть ровно один
максимальный подмодуль Mt = гасШ (следствие III.2.8). С другой
стороны, М (а потому и М,) изоморфен подмодулю коглавного моду-
модуля и, следовательно, неразложим. Поэтому к Л14 применимо то же
рассуждение: Мг = rad Mj — единственный максимальный под-
подмодуль в Ми причем М2 также неразложим. Продолжая эту про-
процедуру, мы получим в М цепочку подмодулей М гз Мх :э М»^э
гэ М3 Z2 ..., в которой каждый следующий подмодуль является
173

единственным максимальным подмодулем в предыдущем. Очевидно,
отсюда следует, что Мх, Мг, М3,... — это все подмодули в М, т. е.
М цепной. Теорема полностью доказана.
Замечание. В условиях 2), 3) и 4) весьма существенно тре-
требование и для правых, и для левых модулей: алгебра может удов-
удовлетворять любому из этих условий для правых (или для левых) мо-
модулей, но не быть обобщенно однорядной. Простейшим примером
для такой алгебры является подалгебра А с= М3 (/С), состоящая из
всех матриц вида
¦Лк .
О
°2
О
о о
Как показано в упражнении 1 к гл.Х, эта алгебра не является
обобщенно однорядной, однако для нее выполнены условия 3) и
4) для правых модулей и условие 2) для левого регулярного модуля.
Поскольку подмодуль главного модуля над обобщенно одноряд-
однорядной алгеброй однозначно определяется своей длиной, мы получа-
получаем и аналог следствия IX.4.3.
Следствие 1.2. Неразложимый модуль над обобщенно однорядной
алгеброй однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется
своей длиной и проективным накрытием (или инъективной оболоч-
оболочкой).
Поскольку обобщенная однорядность может быть охарактеризо-
охарактеризована в терминах категории модулей (например, условием 1) теоре-
теоремы 1.1), однотипные алгебры обобщенно однорядны одновременно.
В частности, алгебра А обобщенно однорядна тогда и только тогда,
когда обобщенно однорядна ее базисная алгебра.
Условие 2) теоремы 1.1 показывает, что алгебра А обобщенно
однорядна тогда и только тогда, когда всякий подмодуль главного
правого и главного левого Л-модуля содержит один максимальный
подмодуль. Оказывается, это условие достаточно проверить только
для максимальных подмодулей главных модулей.
Предложение 1.3. Предположим, что радикал любого главного
правого (левого) А-модуля содержит ровно один максимальный под-
подмодуль. Тогда всякий главный правый (левый) А-модуль цепной.
Доказательство. Пусть Р — произвольный главный
Л-модуль, Mi = rad P — его единственный максимальный подмо-
подмодуль. Поскольку Mi содержит ровно один максимальный подмодуль
Мг = rad Mi, он является фактормодулем некоторого главного
Л-модуля Pi (следствие III.2.8), а тогда Л12 есть фактормодуль
; rad.Pi. Но rad Pl в свою очередь является фактормодулем главного
Л-модуля Р2, следовательно, и Ма — фактормодуль Я2, т. е. содер-
содержит один максимальный подмодуль М3 = rad M2- Аналогично и
М3 есть фактормодуль некоторого главного Л-модуля Р3 и т. д.
Продолжая этот процесс, мы получим в Р ряд подмодулей Р г?
гэ Mi гэ М2 :о Мз ^э ... , в котором каждый последующий явля-
174
ется единственным максимальным подмодулем в предыдущем. От-
Отсюда, очевидно, следует, что всякий подмодуль Р совпадает с ка-
каким-нибудь Mt. Значит, Р цепной.
Следствие 1.4. Алгебры А и AIR2, где R = rad Л, обобщенно од-
однорядны одновременно.
Для доказательства достаточно напомнить, что
rad Р = PR, a rad (rad P) = PR2, и по предложению 1.3 достаточ-
достаточно проверять простоту модулей PR/PR2 (RQ/R2Q) для каждого
главного правого модуля Р (левого главного модуля Q).
Из этого результата и теоремы IX.3.7 вытекает такое следствие.
Следствие 1.5. Если факторалгебра AIR2, где R = rad Л, ква-
¦ шфробениусова, то А обобщенно однорядна.
Доказательство. Пусть Р — главный правый модуль
над алгеброй AIR2. Если он не прост, т. е. rad P Ф 0, то его един-
единственный максимальный подмодуль rad P совпадает с цоколем (по-
(поскольку (rad P) R = PR2 = 0). Тогда по теореме IX. 3.7 rad P
прост. Значит, Р цепной. Аналогично и всякий левый главный A/R2-
модуль является цепным. Поэтому AIR2, а следовательно, и Л об-
обобщенно однорядна.
Замечание. Как показывает пример алгебры треугольных
матриц, обратное утверждение неверно: если алгебра Л обобщенно
однорядна, то AIR2 может и не быть квазифробениусовой.
Перейдем к изучению строения обобщенно
§ 2. Праворядиые однорядных алгебр. На самом деле мы опишем
алге ры строение более широкого класса алгебр — п р а -
в о р я д н ы х, т. е. таких, у которых регулярный правый модуль
является полуцепным. Аналогичное описание допускают, конечно,
и л]е ворядные алгебры, т. е. такие, над которыми регуляр-
, ный левый модуль полуцепной. Формулировки соответствующих ут-
утверждений для леворядных алгебр мы оставляем читателю.
Заметим, что из предложения 1.3 вытекает такое следствие.
Следствие 2.1. Алгебры А и AIR2 праворядны одновременно.
Доказательство аналогично доказательству следствия
1.4 (без упоминания о левых модулях).
Более того, праворядность полностью характеризуется схемой
алгебры (см. § 6 гл. III).
Теорема 2.2. Алгебра А праворядна тогда и только тогда,
когда из каждой точки схемы S (Л) выходит не более одной стрелки.
Доказательство. Ввиду предложения 1.3 праворяд-
праворядность равносильна тому, что для всякого главного (правого) Л-мо-
Л-модуля Pt его радикал rad Pl либо нулевой, либо изоморфен фактор-
модулю главного модуля Pj. Но это и означает, что либо из точки i
схемы S (Л) не выходит ни одной стрелки, либо выходит ровно одна
стрелка (в точку /).
Для описания схем праворядных алгебр введем следующие оп-
определения. Контуром схемы S назовем такой набор попарно
различных точек {ц,..., it} и стрелок {аи ..., о,}, что каждая стрелка
ak ведет либо из ih в 4+1. либо из ik+i в ih (считая, что iu-i~{'i)*
175

Заметим, что, возможно, t = 1. Конечно, всякий цикл является
контуром, но обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Связ-
Связная схема без контуров называется деревом. Концевой точ-
точкой схемы S назовем такую точку, из которой не выходит ни
одной стрелки.
Следствие 2.3. Неразложимая в прямое произведение алгебра А
праворядна тогда и только тогда, когда S (Л) есть либо дерево с
одной концевой точкой, либо схема с одним контуром, который яв-
является циклом, такая, что если из нее удалить все стрелки, входя-
входящие в цикл, то получится несвязное объединение деревьев, все кон-
концевые точки которых — это точки, лежащие на цикле.
Ниже приведены примеры таких схем.
s; г, ,;
V ;><№,. ¦ ¦•>
)м. ;'' <1(Щ, '¦'
> > 1 , ;. У.
Доказательство. Предположим, что А праворядна,
т. е. из каждой точки S (Л) выходит не более одной стрелки. Пусть
набор точек {/„..., it) и стрелок {о,,..., at} есть контур. Для
определенности будем считать, что ^ : ta —»-1\. Тогда a2:t2->/3 не-
невозможно. Значит, а2: i3 -*¦ i2. Аналогично а3 : г'4~*"'з. ¦ ¦ ¦ ,ot: ii~*~it,
т. е. набор стрелок {at, at-u ..., о,} есть цикл (если о4: t —>- i2,
то {аи о2,.. ., ot] есть цикл). В частности, если в S(A) нет цик-
циклов, то S (Л) — дерево. Предположим, что в S (Л) есть две конце-
концевые точки i, }, i Ф \. Обозначим через St (S2) множество тех точек
схемы S (Л), из которых ведет путь в точку i (/). Тогда, посколь-
поскольку из точки выходит не более одной стрелки, точки S4 и S2 не
могут быть соединены между собой стрелками и схема S (Л) не-
несвязна, т. е. алгебра Л разложима (теорема III.6.2). Значит, в
этом случае в S (Л) есть ровно одна концевая точка.
Пусть теперь {ог, о2, ..., ot] — цикл в схеме S (Л). Очевидно,
можно считать, что все стрелки ок различны, причем если ah : ih->-
-*¦ 1*4-1 (it+i = t'i), то и все точки iit. . ., it различны. Тогда ак —
это единственная стрелка, выходящая из точки ik. Обозначим че-
через Sk множество тех точек схемы S (Л), из которых в точку ik
ведет путь, не содержащий ни одной стрелки из данного цикла
t
(считая и саму точку ik), S0 = S\\J Sh. Поскольку в S (А) вся-
всякий контур является циклом, множества Sk попарно не пересека-
пересекаются. Если точка i?Sk F>0), а а —первая стрелка пути, веду-
ведущего из i в ik, то а — единственная стрелка, выходящая из точки
i. Поэтому в Sh не может быть циклов (значит, и контуров).
Кроме того, всякая стрелка, выходящая из точки i?Sk, ведет сно-
176'
ва в течку / ? Sh. Наконец, из точки i ? So также не может вести
стрелка в точку /€Sh (&>0). Ввиду связности S(A), это означа-
означает, что So= 0. Если из S(A) удалить все стрелки alt..., at, то
останется несвязное объединение схем Sk, каждая из которых —
дерево с единственной концевой точкой ik.
Наоборот, пусть вначале S (Л) — дерево с одной концевой точ-
точкой. Покажем, что из каждой точки i выходит не более одной
стрелки. Действительно, пусть о и т — две стрелки, выходящие из
точки i. Поскольку в S (Л) нет циклов, длины всех путей ограни-
ограничены и можно рассмотреть самые длинные пути ф и г|>, начинающиеся
соответственно со стрелок о и т. Тогда, если ср : i -*¦ /, а г|> : i -*¦ k,
то / и k — концевые точки, откуда / = k, что невозможно, так как в
S(Л) нет контуров.
Пусть теперь {оь ..., at}—единственный цикл схемы S (А),
причем после удаления стрелок а4,
at схема превращается в не-
несвязное объединение деревьев Sh, все концевые точки которых —
это точки iu ..., it, лежащие нз цикле. Тогда ah — единственная
стрелка, выходящая из точки ih. А если точка i не лежит на цикле,
то, как было показано выше, из нее также выходит не более одной
стрелки. Следовательно, алгебра Л праворядна и утверждение пол-
полностью доказано.
Напомним, что типом алгебры Л (§ 5 гл. VIII) называется пара
(В, V), гдг В = AIR, V = R/R2. Из предложения 1.3 вытекает та-
такое следствие.
Следствие 2.4. Пусть (В, V) — тип алгебры А. Алгебра А пра-
праворядна тогда и только тогда, когда для любого минимального идем-
патента е 6 В правый В-модуль eV прост (или нулевой).
В-бимодуль V, удовлетворяющий этому условию, будем назы-,
вать праворядным.
Из следствия 2.4 и теоремы VIII.5.2 мы непосредственно полу-
получаем следующий результат.
Теорема 2.5. Всякая праворядная алгебра сепарабельного типа
изоморфна факторалгебре тензорной алгебры Т (V), где V — право-
рядный бимодуль над сепарабельной алгеброй В, по некоторому пра-
правильному идеалу. Наоборот, всякая такая факторалгебра право-
праворядна.
Таким образом, для описания праворядных алгебр сепарабель-
сепарабельного типа достаточно указать все правильные идеалы в тензорной
алгебре Т = Т (V) праворядного бимодуля V над полупростой ал-
алгеброй В.
Пусть 1 = ек + ... + еп — разложение единицы алгебры В, в .
котором идемпотенты et минимальны, / — правильный идеал ал-
алгебры Т. Обозначим Тг==-е{Г, Ji = etJ (где J — фундаментальный
идеал алгебры Т, см. § 5 гл. VIII), /г=ег/. Тогда Il = TiI —
подмодуль в Tt, причем / правильный тогда и только тогда, ког-
когда 7У2 =)/,=) TtJm для некоторого т, т. е. lt = / (?УЛ) < °°.
причем если J{ Ф 0 (это равносильно тому, что Vt = etV фО), то
} - 9-907
177

lt ^ 2. Из теоремы 2.5 следует, что 7уГгУ"— цепной модуль. Зна-
Значит, задание lt однозначно определяет подмодуль /г —TV".
Наоборот, задав числа lit можно построить правый идеал
I = ®Ih где /; = Гг/', и нам нужно выяснить, при каких огра-
ничениях на /,- этот идеал будет двусторонним.
Заметим прежде всего, что если простые В-модули etB и etB
изоморфны, то ех и е} сопряжены: ej = aeta~l, где а — обратимый
элемент в В. Тогда alt = aej = e}al = ej, откуда следует, что
li = l(Ti/Ii) = l(Tj/Ij) =lj. Иными словами, соответствие /->/г
определяет функцию на схеме S типа (В, V).
Пусть теперь etB 9^ ejB, причем на схеме S из точки, соответ-
соответствующей еи в точку, соответствующую ejt ведет стрелка. Это оз-
означает, что Vj = e{V с^е;В. Тогда, поскольку J=VT, 7V=e;77—
= eiVT = ViT, a TiJ2 = ViTJ — VlVjT. Продолжая этот процесс,
мы получаем
l
где {»'¦= ц, t2,..., i,} — единственный набор индексов, такой, что
на схеме S из точки ih в точку ik+\ ведет стрелка (k=l,... ,1—1).
Отсюда, в частности, следует, что BI = /, а VI с / тогда и толь-
только тогда, когда для любой точки i0, из которой в i ведет стрелка,
с /; = V; Уг ... KimT, где m =/,• — 1, что равносильно неравен-
неравенству 1~^т, т. е. 1г^1[в — 1.
Если же точка i — концевая на схеме S, то, очевидно, Vt = О и
обязательно lt = 1. Окончательно получаем такой результат.
Предложение 2.6. Пусть В — полупростая алгебра, V — право-
рядный В-бимодуль, S — схема типа (В, V). Правильный идеал
I cz T (V) однозначно определяется заданием для каждой точки
i ? S натурального числа lt, такого, что lt = 1 для любой концевой
точки и 2 ^ lt ^ lj -f- 1, если из точки i в точку j ведет стрелка.
Из описания правильных идеалов в T(V) уже нетрудно получить
полную классификацию алгебр сепарабельного типа.
Теорема 2.7. Праворядная алгебра А сепарабельного типа (В, V)
определяется заданием для каждой точки i 6 S (Л) натурального
числа lit такого, что если i — концевая точка, то lt = 1, а если
из i в j ведет стрелка, то 2 ^ lt ^ lj + 1. При этом наборы
{В, V, /4, . . • , ls} и {В', V', 1\, .. ., Г,} определяют изоморфные ал-
алгебры тогда и только тогда, когда существует изоморфизм ал-
алгебр ф:В->В' и изоморфизм В-бимодулей l8 f-.V^-V, такие, что
I' —lit где а — изоморфизм схем типа (B,V) и типа (B',V),
индуцированный парой (ф, /).
¦ -л Tjii { t.i
\ a tit'
18 V превращается в В-бимодуль,
для любых р? К', bi, fta ? В.
178
*Р
Доказательство. Учитывая теорему VIII.5.2 и пред-
предложение 2.6, нам остается проверить только критерий изоморфизма.
Предположим, что алгебра А, определенная набором {В, V, 1и ...
• ••, ls}, изоморфна алгебре А', определенной набором {В1, V,
1\,... ,l's.}. Тогда изоморфизм г|>: Л-> Л', очевидно, индуцирует изо-
изоморфизмы ф:В->В' и f-.V-i-V', поскольку B = A/R, B'=A'IR',
V = R/R2 и V =R'IR'\ где R = radA, /?' ==rad Л'. При этом
если А = Рг ф...ф Рп, где Pt — главные Л-модули, то Л'=Р,'ф...
... ф Рл, где F. = '[p(Pi) — главные Л'-модули, причем / (Pi)=/(Pi').
Но если i — точка схемы S (Л), то число 1Ь как мы видели, есть
не что иное, как длина соответствующего главного Л-модуля. Сле-
Следовательно, V = Г, где a: S (A)-:>-S(Л') — изоморфизм схем, ин-
индуцированный изоморфизмом г|5, или парой (ф, /).
Наоборот, если существуют ф и / с указанными свойствами, то,
очевидно, изоморфизм Т (V) -*¦ Т (V), индуцированный парой
(ф, /), переводит идеал /, заданный набором Aи ..., ls), в идеал /',
заданный набором (/J, ..., Q. Значит, факторалгебры Т (V)II и
Т (V')II' также изоморфны и теорема доказана.
Если алгебра Л расщепима (например, поле К алгебраически
замкнуто), то тип алгебры Л определяется заданием «кратностей»
щ для каждой точки i ? S (Л): это соответствует разложению
s
A/R ~ J~J МП{ (К). Поэтому для таких алгебр мы получаем след-
i=i
ствие.
Следствие 2.8- Расщепимая праворядная алгебра определяется
набором {S; nlt..., па; /4,..., 1а}, где S — схема, связные компо-
компоненты которой удовлетворяют условию, сформулированному в
следствии 2.3, aniuii (i?S) — натуральные числа, причем /г=1,
если точка i концевая, и 2 ^ lt ^ 1} -\- 1, если из i в j ведет
стрелка. Наборы {S; щ,. . ., ns; lu ..., 1а} и {S'; п[,..., п\,\
1[,..., l's,} определяют изоморфные алгебры тогда и только тог-
тогда, когда существует изоморфизм схем o:S-*-S', такой, что
l h ' д
l'aU) =
р
и п'т1)= п. для любой точки
Поскольку обобщенно однорядные алгебры
§ 3 Строение являются, в частности, праворядными, к ним
• обобщенно одно- применимы все результаты предыдущего пара-
ридных алгебр графа. Нужно только уточнить вид схемы и воз-
возможные типы таких алгебр.
Теорема 3.1. Пусть А — неразложимая в прямое произведение
алгебра, (В, V) —ее тип, причем В = УкЦ (D4) X ... X Л1П<. (Ц,), где
Dt — тела. Алгебра А обобщенно однорядна тогда и только тог-
тогда, когда S (Л) есть либо цикл, либо цепочка и, кроме того,
D, ~ D2 ~ ... ~ Д.
Доказательство. Используя следствие 2.4 и его аналог
для леворядных алгебр, мы видим, что Л обобщенно однорядна тог-
12*
179

да и только тогда, когда для любого минимального идемпотента
е 6 В правый В-модуль eV и левый В-модуль Ve просты. Кроме того,
алгебру А, очевидно, можно считать приведенной.
Пусть 1 = е, + . .. + es — разложение единицы алгебры В, та-
такое, что e;S~Dj. Из точки / в точку i схемы S = S(A) ведет
стрелка тогда и только тогда, когда Vп = е}Уеь ф 0. Но если
Vji?=O и Vki ф 0, то левый модуль Vet содержит прямые слагае-
слагаемые Уц и Vkt и, следовательно, не прост. Поэтому в каждую
точку i схемы S входит не более одной стрелки. Поскольку по
теореме 2.2 из каждой точки выходит не более одной стрелки,
схема S, как легко видеть, может быть либо циклом, либо це-
лочкой.
Выберем теперь в S любую пару точек i, /, такую, что из / в
i ведет стрелка. Тогда Vjt ф 0, откуда, очевидно, следует, что
ejV = Vji = Vei — простой правый В-модуль и простой левый В-
модуль. Поскольку Vjfii ф 0, то отсюда вытекает, что Vjt ~ Dt
как правый В-модуль. Аналогично Vn ex. Dj как левый В-модуль.
Итак, мы построили 0;-Огбимодуль U = Vn, который изоморфен
Dt (Dj) как правый Огмодуль (левый Огмодуль). Сопоставляя каж-
каждому элементу a?Dj Оггомоморфизм U-*-U, переводящий u?U в
аи, мы получаем гомоморфизм алгебр ф :Dj-*-ED. (U) ~ Dt. Пос-
Поскольку Dj— тело, ф — мономорфизм, а поскольку [Dj: К] = [Dt: К],
Ф — изоморфизм, т. е. DjCaDi. Но если алгебра А неразложима,
то схема S связна. Значит, все тела Dl,...,Ds изоморфны между
собой.
Наоборот, пусть S — либо цепочка, либо цикл и D,~D2~...
... ~ Ds. По теореме 2.2 алгебра А тогда праворядна. Но если i—
любая точка схемы S, то Vet — либо 0, либо совпадает с Vit для
единственной точки /, из которой в i ведет стрелка. Поскольку А
праворядна, Vjt — простой правый В-модуль, т. е. Vn ca.Dt. С дру-
другой стороны, так как e;Vjt =- Vjt, то V}i ~ mDj как левый В-мо-
дуль. Но поскольку [Dt : К\ = [Dj: К], это возможно лишь при
т=\, а тогда Vet — простой левый В-модуль и алгебра А лево-
рядна, т. е. и обобщенно однорядна, что и требовалось доказать.
Из теорем 3.1 и 2.7 нетрудно получить полное описание обобщен-
обобщенно однорядных алгебр сепарабельного типа. Поскольку, очевидно,
можно ограничиться неразложимыми приведенными алгебрами,
нам нужно только описать такие бимодули V над алгеброй В = Ds,
где D — тело, которые одновременно являются право- и леворяд-
ными. В этом случае схема S типа (В, V) есть либо цепочка
S-J
ЦИКЛ
S-1
Обозначим Vt = егУ; где et — минимальный идемпотент алгебры
В, соответствующий точке t схемы S. Тогда Vi = Vet+u t = l,...
J80
...,s — 1, а V, = 0 в случае цепочки и 7, = Vet в случае цикла.
Кроме того, Vt есть одномерный D-бимодуль, т. е. Vt задается
некоторым автоморфизмом at тела D (см. § 1 гл. IV, пример 3).
Можно считать, что Vt = D, a a ov о b = ai(d)vb (здесь слева от
знака равенства — умножение в D-бимодуле Vit г справа — в теле
D). Рассмотрим автоморфизм ф алгебры В, который тождествен на
всех компонентах, кроме i-й, где он индуцирует автоморфизм т тела
D. Тогда на V можно ввести новую структуру В-бимодуля У1*, по-
лагая а*и*Ь = ф(а) о и оф(Ь). Если v?Vj, где ]ф1 и \ф1—1,
то, конечно, an-v*b = a ov ob. Если v?Vit то a*v*b = т(а)оу о Ь=
= alx(d)vb. Наконец, если o?Vf_i, то a*v*b = а о у от (Ь) =
= 0(_i (a) vx(b). В частности, при v = 1, a*l=o;_i (а)=Ьтг1о!_1(а),
так что автоморфизм, соответствующий t'-й компоненте бимодуля
Кф, есть огт, a (i—1)-й компоненте —t—1Oj-_i. По теореме 2.7 па-
пару (В, V) можно заменить на (В, Уф) (беря за / тождественное
отображение К->УФ).
Принимая » = 2, т = о4, мы заменим таким образом исходный
набор автоморфизмов на набор с о1==1. Затем, принимая 1 = 3,
т = а2 и т. д., мы добьемся того, что ai=. . . =as_i = 1. В слу-
случае, когда S — цикл, остается еще автоморфизм а = os. Применяя
к каждой точке t?S ту же конструкцию с одним и тем же авто-
автоморфизмом т, мы, как легко убедиться, заменим набор {1,..., 1,а}
на набор {1,...,1, т-1от}. Конечно, той же процедурой можно за-
заменить {1,. . ., 1, а} на {1,. . ., 1, о, 1,. . ., 1} (о— на любом
заданном месте).
Заметим теперь, что если U — одномерный D-бимодуль, задан-
заданный автоморфизмом о, а W — одномерный D-бимодуль, заданный
автоморфизмом т, то U <8>d ЯР — также одномерный D-бимодуль, при-
причем если отождествлять U и W с D, то а оA <gi l) = (ao l)(gil =
= a (a) <g> 1 = A о о (a)) <g> 1 = 1 <g> (a (a) о 1) = 1 ® % (a (a))=(l <g> l)o
о та (a), т. e. U ®D W — бимодуль, задаваемый автоморфизмом то.
Отсюда следует, что если В-бимодуль Vt задается автоморфиз-
автоморфизмом О|, то бимодуль V = Vi ®bV2 <8>b... ®bVs задается автоморфиз-
автоморфизмом о = os... a^Oi-
Пусть теперь схема S есть цикл, V — В-бимодуль, задаваемый
набором автоморфизмов {a'v ..., </}, \\>:В-*-В — автоморфизм алгеб-
алгебры В, а / : V -*¦ V — такой изоморфизм, что / (а ° v о b) = t|> (а) о
о/(о)огр(Ь). Тогда, очевидно, / (Vt) = Уад. гДе k @ ~ циклическая
перестановка номеров {1,2,..., s}. Пусть, как и выше, V = V{ ®
<8>BV2 ®в... ®BVt, V'= ГЩ)®ВГНЗ) ®в... ®BV'^S). Тогда / инду-
индуцирует отображение / : У-> V, такое, что / (а о v о b) = i|) (а) о
of (v) о\рф). Обозначая через т автоморфизм тела D, с которым
совпадает ограничение t|> на первую компоненту алгебры В, и при-
принимая за v элемент 1 ® 1 ® ... ® 1, получаем ..,'..
¦ ¦••>•• ¦ J (а ой) = т (a) of(v)=](voa (а)) — f(v) о %а (a)i и к о
181

_ Принимая 7 (v) за базисный элемент одномерного D-бимодуля
V, мы видим, что V — это бимодуль, задаваемый автоморфизмом
тот. Но, с другой стороны, V' задается автоморфизмом o'=a*,s)...
••• a'kB)akiv Следовательно, тот и о' отличаются лишь на внут-
внутренний автоморфизм тела D (см. пример 3 из § 1 гл. IV).
Учитывая, что V всегда можно считать заданным набором {1, ...
..., 1, о}, мы получаем полную классификацию обобщенно одноряд-
однорядных алгебр сепарабельного типа.
Теорема 3.2. Неразложимая в прямое произведение обобщенно
однорядная алгебра сепарабельного типа определяется набором
{S, D, о; пи ..., ns; h, ... , Q, где S — схема, являющаяся цепью или
циклом, D — сепарабельное тело, а — автоморфизм тела D (если
S —• цепь, о = 1); пг к I, — натуральные числа, причем 2 ^ bt ^
^ /,+i + 1 при i = 1, ... , s — 1, a ls = 1, если S — цепь, и2^
^ h ^ h + 1, если S — цикл. При этом тело D определено с точ-
точностью до изоморфизма, автоморфизм а — с точностью до сопряже-
сопряжения и внутреннего автоморфизма, а наборы чисел {пи ... , пг} и
{lit ..., ls} определены однозначно, если S — цепь, и с точностью до
одновременной циклической перестановки, если S — цикл.
Укажем еще критерий обобщенной однорядности для приведен-
приведенных алгебр, который напоминает характеризацию однорядных ал-
алгебр как алгебр главных идеалов.
Теорема 3.3. Приведенная алгебра А обобщенно однорядна тог-
тогда и только тогда, когда ее радикал R является главным левым и
главным правым идеалом.
Доказательство. Очевидно, можно считать, что Л
неразложима. Если А обобщенно однорядна, то ее схема — либо
цепь, либо цикл, т. е. главные правые Л-модули Pi, ..., Ps можно
занумеровать так, что Р (PtR) ~ Pi+U i — \, ..., s—1, и либо
PSR = О, либо Р (P8R) ~ Р,. Но тогда Р (R) ~ ф Р (PtR) изоморфно
1=1
прямому слагаемому А, т. е. R — главный правый идеал. Аналоги- ц
чно R — главный левый идеал. |
Наоборот, пусть R — главный левый и главный правый идеал. J
Тогда существует эпиморфизм А —*¦ R. Следовательно, Р (R) —
прямое слагаемое А, т. е. каждый из главных правых модулей Р,
входит в Р (R) не более одного раза. Пусть 1 = е4 + ... + е8 —
такое разложение единицы, что Pt ~ etA, V = R/R2 и Vt] = e,Vej.
Напомним, что Р — Р (R) ~ Р (V) и Pt входит в Р столько раз,
сколько раз в V входит простой Л-модуль Ut = PilPiR (теорема
III.3.7). Поэтому существует не более одного номера /, такого, что
Vjt ф О, причем в этом случае Уц ~ Ut. Аналогично из того, что
R — главный левый идеал, следует, что для любого i существует не
более одного номера /, такого, что Vt} ф 0, причем в этом случае
Vtj— простой левый- Л-модуль.
Покажем теперь, что из каждой точки i схемы S (Л) выходит не
более одной стрелки. Действительно, стрелки в две разные точки'
182
/ и k, из i выходить не могут, так как тогда было бы Vu Ф 0 и Vih Ф
ф 0. Если же из i в / идет по крайней мере две стрелки, то в Уц
модуль Uj входит по крайней мере дважды, что также невозможно.
Следовательно, алгебра Л праворядна (теорема 2.2). Аналогично Л
леворядна, т. е. обобщенно однорядна.
§ 4. Квазифробени- Если квазифробениусова алгебра А право-
усовы и иаслед- рядна, т. е. всякий главный правый Л-модуль
ствениые право- цепной, то, поскольку левые главные Л-модули
рядные алгебры являются коглавными, т. е. двойственны к пра-
правым главным, они также цепные и Л обобщенно однорядна. Итак,
для квазифробениусовых алгебр праворядность, леворядность и
обобщенная однорядность являются равносильными свойствами.
Следующая теорема дает критерий квазифробениусовости для об-
обобщенно однорядных алгебр.
Теорема 4.1. Пусть А —неразложимая обобщенно однорядная
алгебра. А квазифробениусова тогда и только тогда, когда S (А) —
цикл, а длины всех главных правых А-модулей равны.
До казательство. Предположим, что Л квазифробени-
квазифробениусова. Поскольку Л неразложима, из следствия IX. 3. 5 вытекает,
что в S (Л) нет концевых точек. Значит, S (Л) — цикл. Кроме того,
если ф : Pi-^-Rl—эпиморфизм главного Л-модуля Pj на радикал главно-
главного Л-модуля Р4, то ф — не мономорфизм (иначе Pj как инъектив-
ный Л-модуль выделялся бы из Pt прямым слагаемым, что невоз-
невозможно). Поэтому lj = I {Pj) > / (Rt) == / (Рг) — 1, или /j > lt. Учиты-
Учитывая, что S (A) — цикл, получаем /t^ /2^ ... ^/,^/i, т. е. все lt
одинаковые.
Наоборот, пусть S (A) — цикл и Z1=...=/S = Z. Пусть P=Pt—
главный правый Л-модуль, Mk — его единственный подмодуль, та-
.,: кой, что l(P/Mh) = k (очевидно, Mk = PRk, где # = rad Л). Для
удобства обозначим Ps+i ==• Pit Ps+2 = Р2 и т. д. Тогда Р (Мх) ~
~ Р;+1, значит, М2 — эпиморфный образ Rt+i, откуда Р (М2) ~
~ Р,+2 и т. д., вообще Р (Mk) ~ Pi+k (если только МкФ0). В
частности, socP = M/_i, откуда Р (socPj) = P;+/_i. Очевидно, при
разных t=l, ..., s модули Pi+i—i неизоморфны. Итак, для любого
главного правого Л-модуля Pt его цоколь — простой модуль и при
Р;9^Р> soc Рг 9^ soc Pj. По теореме IX. 3. 7 Л — квазифробениусова
алгебра, что и требовалось доказать.
Следствие 4.2. Неразложимая квазифробениусова обобщенно од-
однорядная сепарабельного типа алгебра А определяется набором
{s, D, а, I; п{, ..., пв}, гдей— сепарабельное тело, а — автоморфизм
D, s, I, nit ..., п„ — натуральные числа, причем D определено с точ-
точностью до изоморфизма, а — с точностью до сопряжения и внутрен-
внутреннего автоморфизма и набор {пи ..., ns} — с точностью до цикличес-
циклической перестановки (s — число точек цикла S (Л) и I — длина глав-
главного А-модуля определены однозначно).
Перейдем к описанию наследственных праворядных алгебр.
Заметим прежде всего, что по следствию III.7.3 в схеме S такой
183

алгебры нет циклов. Из следствия 2.3 вытекает, что тогда S — не-
несвязное объединение деревьев с одной концевой точкой. Для ал-
алгебр сепарабельного типа полное описание получается из теорем
VIII.5.4 и 2.5: такая алгебра изоморфна Т (V), где V — такой пра-
ворядный бимодуль над сепарабельной алгеброй В, что в схеме типа
(В, V) нет циклов. Однако, оказывается, это утверждение остается
верным и без предположения сепарабельности. Это вытекает из сле-
следующего результата.
Теорема 4. 3. Пусть А — конечномерная алгебра, R = г ad A,
S = S (А), В = AIR, V = RIR2. Предположим, что для любой
стрелки ц> : i -*¦ j в схеме S не существует пути а : i -*¦ j длины 2 или
более (в частности, в S нет циклов). Тогда алгебра А изоморфна
факторалгебре тензорной алгебры Т (V) В-бимодуля V по некоторо-
некоторому правильному идеалу.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы
VIII.5.2, нам достаточно проверить, что в А содержится подалгебра
А ~ В, а в R — такой В-подбимодуль R, что R = R ® R2.
Обозначим через Ри .... Ps различные Л-модули, Rt = radPt,
Ru = HomA(Pj, Pt). Если f:Pl-*-Pl — гомоморфизм, который не
является изоморфизмом, то lmfcRt. Следовательно, f = \pg, где
г|з: Р (Rt) ->-Ri — эпиморфизм, a g — какой-то . гомоморфизм Pt -*¦
-*¦ Р (Rt). Поскольку в S нет циклов, если Р} — прямое слагаемое
Р(Rt), то ]'ф i и из точки / в точку i не ведет путь. Тогда по
лемме III. 6. 1 R]t = 0t откуда вытекает, что g = 0 и / = 0.
Следовательно, ЕА (Рг) = Dt — тело. Пусть А ~ n1Pi © ... ф nj3^
Применяя теорему III. 5.2 к кольцу А ~ ЕА (А), мы видим, что
s
R = © Rih а В = A/R ^ П Mni (Dt), причем А => А си В.
Пусть теперь из i в / ведет стрелка. Тогда всякий путь, веду-
ведущий из i в /, есть стрелка, и из леммы III. 6.1 вытекает, что
Ri}dLVlj = elVe], где et и е} — такие идемпотенты, что etA ca Pt,
ejA cz. Р}. Обозначая R— ф Rti (сумма берется по таким парам
(»', /), что из i в / идет стрелка), мы получаем в R подмодуль,
такой, что R = R ф R2, откуда и вытекает утверждение теоремы.
Следствие 4.4. Праворядная наследственная алгебра изоморфна
Т (V), где V — такой бимодуль над полупростой алгеброй В, что
схема типа (В, V) есть несвязное объединение деревьев с одной конце-
концевой точкой.
Следствие 4.5. Наследственная обобщенно однорядная алгебра
однотипна прямому произведению алгебр треугольных матриц
над телами.
Доказательство. Очевидно, достаточно проверить, что
неразложимая приведенная обобщенно однорядная наследственная
алгебра А изоморфна алгебре треугольных матриц над некоторым
телом. Но ввиду теоремы 2.3 и следствия 4.4 такая алгебра изо-
184
морфна Т (V), где V — бимодуль над алгеброй В — D X ... XD =
= D* (D — тело), такой, что Vt) = etVej = 0, если /^i-f-i, и
Ущ+h — регулярный D-бимодуль (здесь 1 = et + ... + е, — мини-
минимальное разложение единицы алгебры В). Обозначим через ещ+1)
тот элемент из Vw+U, для которого аецс+i) = ецС+па, a?D.
Вычислим V®2. Очевидно, при j=/=i-{-l Ущ+1) <8»bK/(/+d = 0. В
то же время Ущ+и ® BV{i+m+2) ~D <g)DD~D, причем базисом
этого модуля является элемент е,«+2) = e^+i) ® ^{i+\w+2y Анало-
Аналогично строятся элементы ещ+3) = ещ+2) <gi е^+гхг+з) и вообще все
элементы elt при s ^ / > i. Заметим, что V^= 0, так как в схеме
типа (В, V) нет путей длины s. Поэтому всякий элемент алгебры
Т (V) однозначно записывается в виде V &ifiij= 51 еиаи> где
aa?D. Поскольку, как легко видеть, eweft, = 0 при j^k и
= ег1, то, сопоставляя этому элементу матрицу
¦•¦¦••.-к (¦.
мы получим изоморфизм Т (V) ~ Ta (D), что и требовалось дока-
доказать.
Из проведенного вычисления Т (V) и теоремы 4.3 мы получаем
такое следствие.
Следствие 4.6. Пусть А — неразложимая обобщенно однорядная
алгебра, схема которой — цепь. Тогда А однотипна факторалгеб-
факторалгебре Ts (D), где D — тело. • , ¦ -. . > ..-. ч
Упражнения к главе X --.чи/ч«'-•:¦¦,¦.
1. Пусть А с Мв (К) — подалгебра, состоящая из всех матриц вида
а„ а,
0 0а
1 ¦ * ¦ ¦
а) Проверить, что левый регулярный Л-модуль полуцепной, а правый — не
полуцепной.
б) Пусть М — правый Л-модуль, e.j — матричные единицы, Mf = Ме^.
Проверить, что умножение на е1а (е^) определяет линейное отображение L2 *.
: Mi ->¦ Ма (Ц : Mi -*¦ Mt). Наоборот, пусть Mlt M2, Mt — три векторных про-
пространства, Z.J : Мх -*¦ М2 и Ц : Мх -*¦ Мя — линейные отображения. Положим
М = М1 ф Ма ф Mt и определим умножение элементов на базисные элементы
алгебры по формулам
,. (miy щ, щ) еа = (щ, 0, 0); (щ, щ, тя) ew = @, тг, 0);
¦ = @, 0, /и8); (щ, щ, щ) еи = @, т^Ц, 0); (mv щ, mt) ей
185

Проверить, что таким образом М превращается в Л-модуль, причем если N —
другой Л-модуль, построенный по отображениям L2 и L'3, то М c*N тогда н толь-
только тогда, когда существуют такие автоморфизмы ф; пространств М., i = 1, 2, 3,
что L\ = ц>1Ь^г i — 2, 3.
в) Используя указанную в п. б) конструкцию, вычислить все неразложимые
Л-модули и проверить, что они удовлетворяют условиям C) и D) теоремы 1.1.
г) Проверить, что rad Л является главным правым, но не является главным
« левым идеалом.
2. Рассмотрим подалгебру Л с: М3 (С), состоящую из всех матриц вида
о
Показать, что Л праворядна, но не леворядна, причем S (Л) — цепь, a rad Л —
главный правый идеал.
3. Пусть А = Т2 (К) (алгебра треугольных матриц), Р; = ^.Л {е „— матрнч-
' ные единицы), Р = 2РХ © Р2, В = ЕА (Р). Доказать, что В — обобщенно одно-
однорядная алгебра, но rad В не является главным правым идеалом.
4. Доказать, что если R = rad Л является главным правым н главным ле-
левым идеалом, то алгебра Л обобщенно однорядна. (Указание: пусть А^?
m m , ,
'•¦ cz: ф п.Р.~ ф п.Р,, где Р. (Р,)—попарно нензоморфные главные правые (глав-
i=i ' ' ,=1 ' ' '
/ m
ные левые) Л-модули, причем если Р^е.А, то Р^Ае^ Р (Р.#) = ф tt,Pл
'< ¦ ¦ ¦ /=1
m
¦' Р (RP D = ф tyPf Из упражнения 5 гл. III вывести, что V tijnf <^ и
/==1 (=1
m
< я< Для любого /. Пользуясь тем, что из щ —
следует
0 и
t=i
наоборот, вывести из этих неравенств, что ^ Л, <; 1 и
. <; 1 для любо-
го 1.) Обратное утверждение ввиду упражнения 3 неверно.
5. Доказать, что алгебра А праворядна тогда и только тогда, когда любую
диаграмму вида ¦ \Х\ • ¦
¦*¦*• .1-1. ¦>(.;; л.
+ е}+ ек, праворядиа (обобщенно однорядна). (Указание: использовать
теорему VIII.4.4 и предыдущее упражнение.)
7. "Докажите теорему, аналогичную сформулированной в предыдущем упраж-
упражнении, для праворядных наследственных алгебр.
8. Пусть В = О", где D — конечномерное тело, ! = «!+.•• т е, — мини-
минимальное разложение единицы алгебры В, V — такой В-модуль, что Уц = e,Ve, =
= 0 для всех пар (i, /), кроме (i, i + 1) и (s, 1), Vi(?+1) - регулярный W-бивюдуль,
а V — ?>-бимодуль, определенный автоморфизмом а тела D. Доказать, что 1ен-
зорная алгебра Т (У) изоморфна алгебре матриц вида
ац ап "is ••• а
In
а33 ...
ta
m
i .ft i-.. -ДЗД|1
Г
¦¦•'А Ф
где а., — элементы кольца скрученных многочленов D [t, о] (см. упражнение 12
к гл. IX), а ее фундаментальный идеал / состоит из матриц, в которых и все ди-
диагональные элементы a.j кратны t.
9. Вывести из упражнения 8 описание приведенных обобщенно однорядных
алгебр сепарабельного типа. Как нужно изменить конструкцию соответствующей
алгебры матриц, чтобы получить и неприведенные кольца?
10. Доказать, что квазифробениусова обобщенно однорядная алгебра Л се-
сепарабельного типа (В, V) изоморфна Т (V)/Jk, где / —фундаментальный идеал
тензорной алгебры В-бимодуля V.
где Plt Рг, Р3 — главные Л-модули (не обязательно различны*!» ШЩВй МВОЛ-
нить до одной из следующих двух коммутативных диаграмм: ^" '' (
mi.uOi о! 1. ./¦:... i!i '
Р,
в. Пусть 1 = ej+ ... + еп — минимальное разложение единицы алгебры Л
(л ^ 3). Доказать, что алгебра Л праворядна (обобщенно однорядна) тогда и
только тогда, когда для любой тройки индексов i, /, k алгебра еАе, где е = ef +
,'R'ift
186

iff' .
"й г СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ i
1. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра, М., «Наука», 1976.
2. Вейль А. Основы теории чисел. М., «Мир», 1972.
3. Джекобсон Н. Теория колец. М., ИЛ, 1947.
4. Джекобсон Н. Строение колец. М., ИЛ, 1961.
5. Кон П. Свободные кольца и их связи. М., «Мир», 1975.
6. Кэртис Ч., Райнер И. Теории представлений конечных групп и ассоциа-
Явных алгебр. М., «Наука», 1969.
7. Ламбек И. Кольца и модули. М., «Мир», 1971.
8. ФейсК' Алгебра: кольца, модули и категории. М., «Мир», 1977.
9. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., «Мир», 1972.
•^ I 10. Dewing М. Algebren. Berlin, 1935. - ~ . i
г.
,!¦>!:, ¦
.•• ¦ !.Ч. '
11 ¦ ''} Г*
- .' ¦ ¦'!' >
'• 1 ¦ ,
'' '
;..•¦• ¦:¦¦{
. ¦¦¦¦.• о
г>нж\- . ...
!'|in-i : :¦
¦УГНг • . ..
• 6'.,
>.¦ ¦ b'K
,<!К .: U(V
¦'!-• , ¦ 1 ('И
"i '.I4
К.,:
. "¦¦ i ..
!»i.-r. ;.
и .
¦1
';¦' .- .
¦| ;
»¦¦.
. ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ' . .•'.".'. 3
Глава I. ВВЕДЕНИЕ ............ 6
§ 1. Основные понятия. Примеры ......... 6
2. Изоморфизм и гомоморфизм. Тела . 11
3. Представления и модули 14
4. Подмодули и фактормодули. Идеалы и факторалгебры , . . 18
;';; § 5. Теорема Жордана—Гёльдера ......... 24
1|г': § 6. Прямые суммы 26
^ § 7. Эндоморфизмы. Пирсовское разложение .28
; ; Упражнения к главе I 34
Тлава II. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ 35
§ 1. Лемма Шура 35
§ 2. Полупростые модули и алгебры ............... 36
§ 3. Векторные пространства и матрицы ....... 39
v'; §4. Теорема Веддербёрна—Артнна ........ 41
¦jfii § 5. Единственность разложения ......... 42
.',..] § 6. Представления полупростых алгебр ....... 43
-' Упражнения к главе I/ ......... 4 .. 45
ГЛава III. РАДИКАЛ 46
•* § 1. Радикал модуля и алгебры ......... 47
*-/1! § 2. Подъем ндемпотентов. Главные модули ....... 50
§ 3. Проективные модули. Проективные накрытия ..... 53
§ 4. Теорема Крулля—Шмидта 57
§ 5. Радикал алгебры эндоморфизмов ........ 59
§ 6. Схема алгебры ............ 61
§ 7. Наследственные алгебры .......... 66
Упражнения к главе III ........... 68
Глава IV. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ .... 70
§ 1. Бимодули ............> 70
§ 2. Тензорные произведения 72
§ 3. Центральные простые алгебры 75
§ 4. Основные теоремы теории тел . 76
§ 5. Подполя тел. Поля расщепления .78
§ 6. Группа Брауэра. Теорема Фробениуса ...... 79
Упражнения к главе IV 81
Глава V. ТЕОРИЯ ГАЛУА 83
§ 1. Элементы теории полей .......... 83
§ 2. Конечные поля. Теорема Веддербёрна 85
§ 3. Сепарабельные расширения ......... 87
§ 4. Нормальные расширения. Группа Галуа ...... 90
§ 5. Основная теорема теории Галуа . .92
§ 6. Скрещенные произведения ......... 95
Упражнения к главе V 100
189

Глава VI. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 103
§ 1. Бимодули над сепарабельными алгебрами ...... 104
§ 2. Теорема Веддербёрна—Мальцева 106
§ 3. След, норма, дискриминант .111
Упражнения к главе VI , t 115
Глава VII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП . . .117
§ 1. Теорема Машке 117
§ 2. Число и размерности неприводимых представлений . . .118
§ 3. Характеры ''.119
§ 4. Теоремы целочисленности .......... 122
§ 5. Тензорное произведение представлений ¦ . . , . .124
§ 6. Теорема Бернсайда . 127
Упражнения к главе VII .......... 4 129
Глава VIII. ТЕОРЕМА МОРИТЫ lf . , 133
§ 1. Категории и функторы , п, . .134
§ 2. Точные последовательности . « , 138
§ 3. Тензорные произведения . . »,-,.. , . , . ( , . .141
§ 4. Теорема Мориты , . . ,;*¦'¦ • . . . • . . 145
§ 5. Тензорные и наследственные алгебры 150
Упражнения к главе VIII ^ . . . 154
Глава IX. КВАЗИФРОБЕНИУСОВЫ АЛГЕБРЫ V . . .157
§ 1. Двойственность. Инъективные модули . . 1Ц , . . 158
§ 2. Лемма о выбрасывании ...... Ч , . . 161
§ 3. Квазифробениусовы алгебры . . . . «¦ . . , , . 163
§ 4. Однорядные алгебры .......... 168
Упражнения к главе IX ........... 170
Глава X. ОБОБЩЕННО ОДНОРЯДНЫЕ АЛГЕБРЫ ... 172
§ 1. Теорема Накаямы—Скорнякова 172
§ 2. Праворядные алгебры .......... 175
§ 3. Строение обобщенно однорядных алгебр ...... 179
§ 4. Квазифробениусовы и наследственные праворядные алгебры 183
Упражнения к главе X . . • . . «,«,..« « . . .185
I-"''T •*,'. .П«1 •" ''¦!< $!' t
¦ ¦ -I ¦ ' - ,'ni,1
И Юрий Анатольевич Дрозд,
Владимир Васильевич Кириченко
*" КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ
Редактор Ю. Е. Кострица
Переплет художника Ю. О. Стефанишина
Художественный редактор 3. Т. Манойло
Технический редактор Н. Н. Бабюк
Корректор А. И. Король
.¦•№Я
•\\
¦,'dl
' > '.•;! :;.|(:,1 Л] 1., , ,;.,-
\f '¦'¦ : ; -ИЛ-Н • ¦¦';¦!-.;;' ,'¦!.;¦)[ .)t(b<
':'. •¦•.... . fif- ¦¦jHlil'./u'I »i!!,ii"ii-c,-|
''"', ¦' • I-.I-.V. nillt.'lj ..-•!ПЭ«'!»и- Jlirj r)J| ,vi
••••••• 4':J-,'. iir "wr fc;,iS.-;Lfoi- -Kii.ii.

Информ. бланк № 3564
Сдано в набор 28.09.79. Подп. в печать 11.04.80.
Формат 60x90/16. Бумага типогр. N> I. Лит. гарн.
Вые. печать. 12 усл. печ. л. 12,98 уч.-изд. л. Ти-
Тираж 2500 экз. Изд. № 1213-к. Зак. № 9-907. Це-
Цена 70 к.
Издательство при Киевском государственном уни-
университете издательского объединения «Вища шко-
школа:», 252001, Киев-1, Крещатик. 4.
Киевская книжная типография научной книги
республиканского производственного объединения
«Полиграфкиига» Госкомиздата УССР. Киев, Ре-
Репина, 4.
с